14. Cuadriláteros y Círculos RD 2025.pdf
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Aug 30, 2025
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About This Presentation
La presentación aborda la diferencia entre círculo y circunferencia: mientras la circunferencia es el contorno o línea curva cerrada, el círculo es la superficie que queda dentro de ella. Se explican sus elementos principales y se incluyen ejercicios prácticos, como calcular el perímetro, el �...
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Colegio Alemán de Santiago
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
“Una almohada incómoda”
Estos elefantes marinos destetados estuvieron
practicando sus habilidades de pelea durante
largos minutos antes de colapsar por agota-
miento. ¡Uno parece estar descansando mucho
más cómodamente que el otro!
— FOTÓGRAFÍA: ANDREW PEACOCK —
FUENTE: THE COMEDY WILDLIFE PHOTO
CAPÍTULO 14
CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
“Una almohada incómoda”
Estos elefantes marinos destetados estuvieron
practicando sus habilidades de pelea durante
largos minutos antes de colapsar por agota-
miento. ¡Uno parece estar descansando mucho
más cómodamente que el otro!
— FOTÓGRAFÍA: ANDREW PEACOCK —
FUENTE: THE COMEDY WILDLIFE PHOTO
CAPÍTULO 14
CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
2 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. POLÍGONOS
2. CUADRILÁTEROS
a. Paralelogramos
b. Trapecios
3. ANEXO: TRAPEZOIDE
4. CÍRCULO
5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
6. PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
CAPÍTULO 14
“Aprende del ayer, vive hoy y sueña
con el mañana”
— ANÓNIMO —
2 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. POLÍGONOS
2. CUADRILÁTEROS
a. Paralelogramos
b. Trapecios
3. ANEXO: TRAPEZOIDE
4. CÍRCULO
5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
6. PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
CAPÍTULO 14
“Aprende del ayer, vive hoy y sueña
con el mañana”
— ANÓNIMO —
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
3 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. POLÍGONOS
Un polígono es una fi gura plana cerrada, limitada por
trazos llamados lados, que se intersectan solo en sus
puntos extremos llamados vértices.
El segmento que une dos vértices no consecutivos
recibe el nombre de diagonal.
Los polígonos se clasifi can en convexos y cóncavos.
Los polígonos convexos son aquellos con todos sus
ángulos interiores menores a 180º, en cambio un
polígono cóncavo tiene al menos un ángulo interior
mayor a 180º.
En el transcurso de este libro veremos las propiedades
que se pueden aplicar solo a polígonos convexos.
B A
αα` ββ`
γ
δ
`
δ
ε
ε
`
γ`
E
D
C`
3 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. POLÍGONOS
Un polígono es una fi gura plana cerrada, limitada por
trazos llamados lados, que se intersectan solo en sus
puntos extremos llamados vértices.
El segmento que une dos vértices no consecutivos
recibe el nombre de diagonal.
Los polígonos se clasifi can en convexos y cóncavos.
Los polígonos convexos son aquellos con todos sus
ángulos interiores menores a 180º, en cambio un
polígono cóncavo tiene al menos un ángulo interior
mayor a 180º.
En el transcurso de este libro veremos las propiedades
que se pueden aplicar solo a polígonos convexos.
B A
αα` ββ`
γ
δ
`
δ
ε
ε
`
γ`
E
D
C`
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
4 / 134Colegio Alemán de Santiago
i. Propiedades de polígonos de n lados
Ejemplo: Pentágono
a. Suma de los ángulos
interiores:
180º ·
(n – 2) 180º · (5 – 2) = 540º
B C
D
E
A
b. Suma de ángulos
exteriores:
360º 360º
c. Diagonales desde un
vértice:
n – 3 5 – 3 = 2
d. Total de diagonales:
nn3–
2^h
553
5
–
=
2
^h
4 / 134Colegio Alemán de Santiago
i. Propiedades de polígonos de n lados
Ejemplo: Pentágono
a. Suma de los ángulos
interiores:
180º ·
(n – 2) 180º · (5 – 2) = 540º
B C
D
E
A
b. Suma de ángulos
exteriores:
360º 360º
c. Diagonales desde un
vértice:
n – 3 5 – 3 = 2
d. Total de diagonales:
nn3–
2^h
553
5
–
=
2
^h
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
5 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Polígonos Regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes.
Cálculo medida de ángulo interior:
n180 2º–
α=
n
^h
Cálculo medida de ángulo exterior:
'
360º
α=
n
Nº Nombre
Suma de ángulos
Interiores
c/ ""Int c/ ""ext
3 Triángulo equilátero 180º 60º 120º
4 Cuadrado 360º 90º 90º
5 Pentágono regular 540º 108º 72º
6 Hexágono regular 720º 120º 60º
5 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Polígonos Regulares
Los polígonos regulares son aquellos que tienen sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes.
Cálculo medida de ángulo interior:
n180 2º–
α=
n
^h
Cálculo medida de ángulo exterior:
'
360º
α=
n
Nº Nombre
Suma de ángulos
Interiores
c/ ""Int c/ ""ext
3 Triángulo equilátero 180º 60º 120º
4 Cuadrado 360º 90º 90º
5 Pentágono regular 540º 108º 72º
6 Hexágono regular 720º 120º 60º
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
6 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados, estos los podemos clasifi car en:
i. Paralelogramos ii. Trapecios iii. Trapezoides
2 pares de lados paralelos 1 par de lados paralelosNingún par de lados paralelos
6 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. CUADRILÁTEROS
Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados, estos los podemos clasifi car en:
i. Paralelogramos ii. Trapecios iii. Trapezoides
2 pares de lados paralelos 1 par de lados paralelosNingún par de lados paralelos
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
7 / 134Colegio Alemán de Santiago
a. Paralelogramos
i. Propiedades comunes
2Los ángulos opuestos son congruen-
tes.
""A ≅""C ; ""B ≅""D
2Los ángulos consecutivos son suple-
mentarios.
""A + ""B = ""B + ""C = 180º
""C + ""D = ""D + ""A = 180º
2Los lados opuestos son congruentes
AB≅CD ; AD≅BC
2Las diagonales de un paralelogramo
se dimidian.
AP≅PC ; BP ≅PD
2Las diagonales lo dividen en 4 trián-
gulos de igual área.
A a
a
b b
α
αγ
γ
δ
δ
β
β
B
CD
P
7 / 134Colegio Alemán de Santiago
a. Paralelogramos
i. Propiedades comunes
2Los ángulos opuestos son congruen-
tes.
""A ≅""C ; ""B ≅""D
2Los ángulos consecutivos son suple-
mentarios.
""A + ""B = ""B + ""C = 180º
""C + ""D = ""D + ""A = 180º
2Los lados opuestos son congruentes
AB≅CD ; AD≅BC
2Las diagonales de un paralelogramo
se dimidian.
AP≅PC ; BP ≅PD
2Las diagonales lo dividen en 4 trián-
gulos de igual área.
A a
a
b b
α
αγ
γ
δ
δ
β
β
B
CD
P
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
8 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Clasifi cación de paralelogramos
Cuadrado Rectángulo
Sus ángulos interiores son rectos y sus
lados son congruentes.
Tiene sus ángulos interiores rectos y los
lados consecutivos no son congruentes
a
a
a
a
45º
45º
45º
45º 45º
45º
45º
45º
a
b
b
a
Características:
2Diagonales perpendiculares
2Diagonales bisectrices
2Diagonales de igual medida
Características:
2Diagonales de igual medida
Perímetro:4· a
Área:
a
2
ó
Diagonal
2
2
^ h
Perímetro:2a + 2b
Área:
a· b
8 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Clasifi cación de paralelogramos
Cuadrado Rectángulo
Sus ángulos interiores son rectos y sus
lados son congruentes.
Tiene sus ángulos interiores rectos y los
lados consecutivos no son congruentes
a
a
a
a
45º
45º
45º
45º 45º
45º
45º
45º
a
b
b
a
Características:
2Diagonales perpendiculares
2Diagonales bisectrices
2Diagonales de igual medida
Características:
2Diagonales de igual medida
Perímetro:4· a
Área:
a
2
ó
Diagonal
2
2
^ h
Perímetro:2a + 2b
Área:
a· b
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
9 / 134Colegio Alemán de Santiago
Rombo Romboide
Tienen sus lados congruentes y sus ángu-
los interiores NO son rectos.
Sus ángulos interiores NO son rectos y sus
lados consecutivos NO son congruentes.
β
a
α
α
β
a
a
a
h
β
α
α
β
b
a
a
b
h
Características:
2Diagonales perpendiculares
2Diagonales bisectrices
Características:
2Solo las comunes a todo paralelo-
gramo
Perímetro: 4· a
Área: a· h
ó
DiagDiag12$
2
^ h
Perímetro: 2a + 2b
Área: b· h
9 / 134Colegio Alemán de Santiago
Rombo Romboide
Tienen sus lados congruentes y sus ángu-
los interiores NO son rectos.
Sus ángulos interiores NO son rectos y sus
lados consecutivos NO son congruentes.
β
a
α
α
β
a
a
a
h
β
α
α
β
b
a
a
b
h
Características:
2Diagonales perpendiculares
2Diagonales bisectrices
Características:
2Solo las comunes a todo paralelo-
gramo
Perímetro: 4· a
Área: a· h
ó
DiagDiag12$
2
^ h
Perímetro: 2a + 2b
Área: b· h
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
10 / 134Colegio Alemán de Santiago
b. Trapecios
Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene solo un
par de lados paralelos, llamados bases. Sus ángulos
colaterales internos entre las bases son suplementa-
rios. Es decir, en la fi gura adjunta:
α + δ = 1 8 0 º ; β + γ = 180º
La mediana
(MN) es la unión de los puntos medios
de los lados no paralelos. Esta es paralela a las ba-
ses.
AB // CD // MN ; AM ≅MD y BN≅NC
La medida de la mediana corresponde al prome-
dio de las bases.
MN
ABCD
=
+
2
h
d
δ
α
γ
b
β
M N
CD
A B
ca
Perímetro: a + b + c + d
Área: MN· h
10 / 134Colegio Alemán de Santiago
b. Trapecios
Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene solo un
par de lados paralelos, llamados bases. Sus ángulos
colaterales internos entre las bases son suplementa-
rios. Es decir, en la fi gura adjunta:
α + δ = 1 8 0 º ; β + γ = 180º
La mediana
(MN) es la unión de los puntos medios
de los lados no paralelos. Esta es paralela a las ba-
ses.
AB // CD // MN ; AM ≅MD y BN≅NC
La medida de la mediana corresponde al prome-
dio de las bases.
MN
ABCD
=
+
2
h
d
δ
α
γ
b
β
M N
CD
A B
ca
Perímetro: a + b + c + d
Área: MN· h
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
11 / 134Colegio Alemán de Santiago
i. Trapecios notables
Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo
β
α
β
α
β
α
Características:
2Lados no paralelos congruentes.
2Diagonales congruentes.
2Ángulos basales congruentes.
2Ángulos opuestos suplementarios.
Característica:
2Uno de sus lados es perpendicular
a los lados paralelos
11 / 134Colegio Alemán de Santiago
i. Trapecios notables
Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo
β
α
β
α
β
α
Características:
2Lados no paralelos congruentes.
2Diagonales congruentes.
2Ángulos basales congruentes.
2Ángulos opuestos suplementarios.
Característica:
2Uno de sus lados es perpendicular
a los lados paralelos
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
12 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. ANEXO: TRAPEZOIDE
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Los trapezoides se clasifi can en
asimétricos y simétricos.
i. Trapezoide asimétrico
2Cuadrilátero sin lados paralelos y que no tiene ejes
de simetría.
2Su área se puede calcular sólo si es posible descom-
ponerlo en fi guras conocidas.
C
A
D
B
12 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. ANEXO: TRAPEZOIDE
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Los trapezoides se clasifi can en
asimétricos y simétricos.
i. Trapezoide asimétrico
2Cuadrilátero sin lados paralelos y que no tiene ejes
de simetría.
2Su área se puede calcular sólo si es posible descom-
ponerlo en fi guras conocidas.
C
A
D
B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
13 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Trapezoide simétrico (deltoide)
2Una de las diagonales cumple la función de base
(AC) y la otra diagonal cumple la función de eje de
simetría (BD).
2Las diagonales son perpendiculares entre sí
(AC⊥BD)
2La diagonal, BD, divide al deltoide en dos triángulos
congruentes.
2La diagonal, AC, divide al deltoide en dos triángulos
isósceles, cada uno de base AC.
Área deltoide:
ACBD
2
$
D
B
CA
13 / 134Colegio Alemán de Santiago
ii. Trapezoide simétrico (deltoide)
2Una de las diagonales cumple la función de base
(AC) y la otra diagonal cumple la función de eje de
simetría (BD).
2Las diagonales son perpendiculares entre sí
(AC⊥BD)
2La diagonal, BD, divide al deltoide en dos triángulos
congruentes.
2La diagonal, AC, divide al deltoide en dos triángulos
isósceles, cada uno de base AC.
Área deltoide:
ACBD
2
$
D
B
CA
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
14 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplos
14 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplos
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
15 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. ¿ Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 122 cm
2
B ) 8 cm
2
C ) 18 cm
2
D ) 324 cm
2
15 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. ¿ Cuál es el área de un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 122 cm
2
B ) 8 cm
2
C ) 18 cm
2
D ) 324 cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
16 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. ¿ Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya diagonal y ancho miden 25 cm y 15 cm respectivamente?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 35 cm
B ) 40 cm
C ) 70 cm
D ) 80 cm
16 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. ¿ Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya diagonal y ancho miden 25 cm y 15 cm respectivamente?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 35 cm
B ) 40 cm
C ) 70 cm
D ) 80 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
17 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. En la fi gura adjunta, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿ Cuál de las siguientes afi rmaciones es
verdadera?
HABILIDAD: ARGUMENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2009)
A ) El área de FCGI es 12
B ) El área de EBFI es 6
C ) El área de AEIH es 3
D ) El área de BCGE es 18
H
I
3 + 3
F
3 – 3
D
A
3
B
G C
E
17 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. En la fi gura adjunta, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿ Cuál de las siguientes afi rmaciones es
verdadera?
HABILIDAD: ARGUMENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2009)
A ) El área de FCGI es 12
B ) El área de EBFI es 6
C ) El área de AEIH es 3
D ) El área de BCGE es 18
H
I
3 + 3
F
3 – 3
D
A
3
B
G C
E
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
18 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. ¿ Cuántos triángulos iguales al de la fi gura adjunta son necesarios para cubrir un rombo de lado 23 cm cuyo
ángulo agudo interior mide 60º ?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2014)
A ) 4
B ) 8
C ) 16
D ) 12
C
2 c m
A B
1 c m
18 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. ¿ Cuántos triángulos iguales al de la fi gura adjunta son necesarios para cubrir un rombo de lado 23 cm cuyo
ángulo agudo interior mide 60º ?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2014)
A ) 4
B ) 8
C ) 16
D ) 12
C
2 c m
A B
1 c m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
19 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. En la fi gura adjunta, AD = 3 , DC = 4 y CB = 1 . El área del cuadrilátero ABCD es :
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2009)
A ) 6 + 26
B ) 6 + 6
C ) 12 + 26
D ) 12 + 6
C
A B
D
19 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. En la fi gura adjunta, AD = 3 , DC = 4 y CB = 1 . El área del cuadrilátero ABCD es :
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2009)
A ) 6 + 26
B ) 6 + 6
C ) 12 + 26
D ) 12 + 6
C
A B
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
20 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. En la fi gura adjunta los lados del rectángulo gris miden 3 cm y 9 cm. Alrededor de este rectángulo se ha
dibujado un rectángulo separado en x cm del borde del rectángulo gris, tal como se representa a continuación:
¿Cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro, en cm, del rectángulo mayor?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2023)
A ) 12 + 4x
B ) (9 + 2x)(3 + 2x)
C ) 2(12 + 4x)
D ) (9 + 2x)(3 + 2x) – 27
x cm x cm
x cm
x cm
20 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. En la fi gura adjunta los lados del rectángulo gris miden 3 cm y 9 cm. Alrededor de este rectángulo se ha
dibujado un rectángulo separado en x cm del borde del rectángulo gris, tal como se representa a continuación:
¿Cuál de las siguientes expresiones representa el perímetro, en cm, del rectángulo mayor?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2023)
A ) 12 + 4x
B ) (9 + 2x)(3 + 2x)
C ) 2(12 + 4x)
D ) (9 + 2x)(3 + 2x) – 27
x cm x cm
x cm
x cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
21 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. En la fi gura adjunta, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo
tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2010)
A ) 50 cm
B ) 48 cm
C ) 60 cm
D ) 150 cm
21 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. En la fi gura adjunta, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo
tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (ADAPTACIÓN DEMRE 2010)
A ) 50 cm
B ) 48 cm
C ) 60 cm
D ) 150 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
22 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. En el suelo del patio de un colegio se dibuja un juego conocido como “Luche”. Este juego se compone de
cuadrados congruentes entre sí, dibujados uno al lado del otro y en la posición que se muestra en la fi gura
adjunta. Daniela le dice a Camilo que ella calculó el área total de los cuadrados, lo que le dio 7.200 cm
2
, y
le pide que calcule el perímetro de la fi gura completa para saber cuánta cinta adhesiva necesita colocar en
los bordes del Luche. ¿Cuál es la longitud de la cinta?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2022)
A ) 240 cm
B ) 420 cm
C ) 540 cm
D ) 960 cm
8
6
3
7
4
5
2
1
22 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. En el suelo del patio de un colegio se dibuja un juego conocido como “Luche”. Este juego se compone de
cuadrados congruentes entre sí, dibujados uno al lado del otro y en la posición que se muestra en la fi gura
adjunta. Daniela le dice a Camilo que ella calculó el área total de los cuadrados, lo que le dio 7.200 cm
2
, y
le pide que calcule el perímetro de la fi gura completa para saber cuánta cinta adhesiva necesita colocar en
los bordes del Luche. ¿Cuál es la longitud de la cinta?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2022)
A ) 240 cm
B ) 420 cm
C ) 540 cm
D ) 960 cm
8
6
3
7
4
5
2
1
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
23 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. Se tiene el cuadrado BECF con diagonal sobre uno de los lados del cuadrado ABCD como se observa en la
fi gura adjunta. Si BE = 10 cm, ¿cuál es el perímetro de la región achurada?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 40
2 cm
B ) (402 + 20) cm
C ) (302 + 20) cm
D ) (302 + 40) cm
F E
B
C
A
D
23 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. Se tiene el cuadrado BECF con diagonal sobre uno de los lados del cuadrado ABCD como se observa en la
fi gura adjunta. Si BE = 10 cm, ¿cuál es el perímetro de la región achurada?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 40
2 cm
B ) (402 + 20) cm
C ) (302 + 20) cm
D ) (302 + 40) cm
F E
B
C
A
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
24 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. Una fábrica de espejos recibe un pedido para elaborar varios tamaños de espejos, con la particularidad de
que todos deben ser cuadrados y que en las esquinas se sobrepongan triángulos rectángulos de madera
iguales entre sí, como el que se representa en la fi gura adjunta.
Considera m y n como las distintas medidas que pueden tener los catetos de los triángulos de madera y p
como las distintas medidas que puede tener el lado del espejo.
Si todas las medidas están en cm, ¿cuál de las siguientes fórmulas permite determinar el área (S) que
ocupa el vidrio que se ve en cada espejo, en cm
2
?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2024)
A ) S = p
2
+ 4· m· n
B ) S = p
2
– 4· m· n
C ) S = p
2
+ 2· m· n
D ) S = p
2
– 2· m· n
24 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. Una fábrica de espejos recibe un pedido para elaborar varios tamaños de espejos, con la particularidad de
que todos deben ser cuadrados y que en las esquinas se sobrepongan triángulos rectángulos de madera
iguales entre sí, como el que se representa en la fi gura adjunta.
Considera m y n como las distintas medidas que pueden tener los catetos de los triángulos de madera y p
como las distintas medidas que puede tener el lado del espejo.
Si todas las medidas están en cm, ¿cuál de las siguientes fórmulas permite determinar el área (S) que
ocupa el vidrio que se ve en cada espejo, en cm
2
?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2024)
A ) S = p
2
+ 4· m· n
B ) S = p
2
– 4· m· n
C ) S = p
2
+ 2· m· n
D ) S = p
2
– 2· m· n
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
25 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. CÍRCULO
i. Circunferencia y Círculo
En la fi gura adjunta, la Circunferencia es el conjunto de puntos
que están a una misma distancia del centro O. Por lo tanto, la
circunferencia es solo la línea semicontinua (El borde).
Cuando hablamos del Círculo de centro en O, nos referimos
a toda la región del plano delimitada por la circunferencia.
Es decir, el círculo son todos los puntos de la circunferencia,
sumados a todos los puntos que están en su interior.
De esta defi nición se desprende que, la región a la cual ha-
bitualmente calculamos su área y su perímetro, es el círculo.
Respecto a la circunferencia solo podemos calcular su longi-
tud, la cual es equivalente al perímetro del círculo asociado.
O
•
ii. Elementos asociados al Círculo
Radio (r): Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia
y un punto de ésta.
Cuerda (AB): Segmento cuyos extremos son dos puntos de
una circunferencia.
Diámetro (CD): Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia. Por lo tanto el diámetro es la mayor cuerda
que se puede trazar en una circunferencia. El diámetro es
equivalente a dos radios.
25 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. CÍRCULO
i. Circunferencia y Círculo
En la fi gura adjunta, la Circunferencia es el conjunto de puntos
que están a una misma distancia del centro O. Por lo tanto, la
circunferencia es solo la línea semicontinua (El borde).
Cuando hablamos del Círculo de centro en O, nos referimos
a toda la región del plano delimitada por la circunferencia.
Es decir, el círculo son todos los puntos de la circunferencia,
sumados a todos los puntos que están en su interior.
De esta defi nición se desprende que, la región a la cual ha-
bitualmente calculamos su área y su perímetro, es el círculo.
Respecto a la circunferencia solo podemos calcular su longi-
tud, la cual es equivalente al perímetro del círculo asociado.
O
•
ii. Elementos asociados al Círculo
Radio (r): Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia
y un punto de ésta.
Cuerda (AB): Segmento cuyos extremos son dos puntos de
una circunferencia.
Diámetro (CD): Cuerda que contiene al centro de la
circunferencia. Por lo tanto el diámetro es la mayor cuerda
que se puede trazar en una circunferencia. El diámetro es
equivalente a dos radios.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
26 / 134Colegio Alemán de Santiago
Segmento o recta Tangente (L
1
): Segmento o recta que
intersecta a la circunferencia en un solo punto.
Segmento Secante (L
2
): Segmento que intersecta en dos
puntos a la circunferencia.
Arco (
BA
%
): Es una parte de la circunferencia determinada
por dos puntos distintos de ella. Su lectura es en dirección
contrareloj.
Semicircunferencia (CD
&
): Arco delimitado por los extremos
de una diámetro. Su lectura es en dirección contrareloj. Su
longitud es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia.
Semicírculo: Sección del círculo limitada por una
semicircunferencia y el diámetro que une los extremos de esta.
Su superfi cie es igual a la mitad de la superfi cie del círculo.
Área del Círculo: Ar
2
$r=9
Perímetro del CírculoPr2$$r=9
O
L
1
L
2
C
D
A
B
r
•
26 / 134Colegio Alemán de Santiago
Segmento o recta Tangente (L
1
): Segmento o recta que
intersecta a la circunferencia en un solo punto.
Segmento Secante (L
2
): Segmento que intersecta en dos
puntos a la circunferencia.
Arco (
BA
%
): Es una parte de la circunferencia determinada
por dos puntos distintos de ella. Su lectura es en dirección
contrareloj.
Semicircunferencia (CD
&
): Arco delimitado por los extremos
de una diámetro. Su lectura es en dirección contrareloj. Su
longitud es igual a la mitad de la longitud de la circunferencia.
Semicírculo: Sección del círculo limitada por una
semicircunferencia y el diámetro que une los extremos de esta.
Su superfi cie es igual a la mitad de la superfi cie del círculo.
Área del Círculo: Ar
2
$r=9
Perímetro del CírculoPr2$$r=9
O
L
1
L
2
C
D
A
B
r
•
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
27 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplo:
¿Cuál es el área y perímetro de un círculo de diámetro 6 cm?
Para determinar el área del círculo, usamos la fórmula Ar
2
$r=9 , que depende de la medida del radio, por
lo que necesitamos ese valor. Sabemos que la medida del diámetro es el doble que la del radio, por lo que
r = 3 cm.
Reemplazando en la fórmula, Ar
2
$r=9 = r· 3
2
= 9r cm
2
.
Para determinar el perímetro del círculo o longitud de la circunferencia, usamos la fórmula Pr2$$r=9 .
Reemplazando en la fórmula, Pr2$$r=9 . = 2· r· 3 = 6r cm.
27 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplo:
¿Cuál es el área y perímetro de un círculo de diámetro 6 cm?
Para determinar el área del círculo, usamos la fórmula Ar
2
$r=9 , que depende de la medida del radio, por
lo que necesitamos ese valor. Sabemos que la medida del diámetro es el doble que la del radio, por lo que
r = 3 cm.
Reemplazando en la fórmula, Ar
2
$r=9 = r· 3
2
= 9r cm
2
.
Para determinar el perímetro del círculo o longitud de la circunferencia, usamos la fórmula Pr2$$r=9 .
Reemplazando en la fórmula, Pr2$$r=9 . = 2· r· 3 = 6r cm.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
28 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
El contenido de esta sección no se encuentra explícito en el temario DEMRE para la PAES, sin embargo
creemos que podría ser de utilidad para el estudiante ya que de alguna manera se relaciona con el
contenido de Área y Perímetros de círculo, sector y segmento circular.
i. Ángulo del centro ii. Ángulo Inscrito iii. Ángulo semi–
inscrito
iv. Relación entre
ángulos inscritos
A
α
O
B
α
C
γ
E
D
2
γ
T
A
β
2 β
β
α
D
C
B
A
AB
%
= α DE
%
= 2· γ TA
$
= 2· β α = β
28 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
El contenido de esta sección no se encuentra explícito en el temario DEMRE para la PAES, sin embargo
creemos que podría ser de utilidad para el estudiante ya que de alguna manera se relaciona con el
contenido de Área y Perímetros de círculo, sector y segmento circular.
i. Ángulo del centro ii. Ángulo Inscrito iii. Ángulo semi–
inscrito
iv. Relación entre
ángulos inscritos
A
α
O
B
α
C
γ
E
D
2
γ
T
A
β
2 β
β
α
D
C
B
A
AB
%
= α DE
%
= 2· γ TA
$
= 2· β α = β
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
29 / 134Colegio Alemán de Santiago
v. Ángulo inscrito
en una semicircun-
ferencia
vi. Relación entre
ángulos inscritos y
de centro
vii. Cuadrilátero
inscrito
viii. Ángulo exterior
en un cuadrilátero
C
B
A
O
O
α
2αβ
γ
•
A
B C
β
α
δ
γ
A
B
C
D
A
B
γ
C
D
α
""ACB = 90º α = β + γ α + γ = β + δ = 180º α = γ
29 / 134Colegio Alemán de Santiago
v. Ángulo inscrito
en una semicircun-
ferencia
vi. Relación entre
ángulos inscritos y
de centro
vii. Cuadrilátero
inscrito
viii. Ángulo exterior
en un cuadrilátero
C
B
A
O
O
α
2αβ
γ
•
A
B C
β
α
δ
γ
A
B
C
D
A
B
γ
C
D
α
""ACB = 90º α = β + γ α + γ = β + δ = 180º α = γ
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
30 / 134Colegio Alemán de Santiago
ix. Rectas paralelasx. Cuerdas Iguales xi. Tangentes des-
de un punto
xii. Triángulo isós-
celes de radio r
B
C
A
D
α
α
•O
A D
C
B
2α
2α
α
α
P
A
O
B
α β
A
O B
α
α
r
r
Si AB // CD
entonces
DABC=
& %
Si AB = CD
entonces
ABCD2 α==
% &
α + β = 180º
""BAO = ""OBA
∆ ABO, isósceles
de base AB
30 / 134Colegio Alemán de Santiago
ix. Rectas paralelasx. Cuerdas Iguales xi. Tangentes des-
de un punto
xii. Triángulo isós-
celes de radio r
B
C
A
D
α
α
•O
A D
C
B
2α
2α
α
α
P
A
O
B
α β
A
O B
α
α
r
r
Si AB // CD
entonces
DABC=
& %
Si AB = CD
entonces
ABCD2 α==
% &
α + β = 180º
""BAO = ""OBA
∆ ABO, isósceles
de base AB
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
31 / 134Colegio Alemán de Santiago
xiii. Ángulo Interiorxiv. Ángulo Exterior
C
B
α
α
D
A β
C
D
B
A
ABCD
2
α=
+
%&
ABCD
2
–
β=
%&
31 / 134Colegio Alemán de Santiago
xiii. Ángulo Interiorxiv. Ángulo Exterior
C
B
α
α
D
A β
C
D
B
A
ABCD
2
α=
+
%&
ABCD
2
–
β=
%&
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
32 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
El contenido de esta sección no se encuentra explícito en el temario DEMRE para la PAES, sin embargo
creemos que podría ser de utilidad para el estudiante ya que de alguna manera se relaciona con el
contenido de Área y Perímetros de círculo, sector y segmento circular.
i. Teorema de las secantes ii. Teorema tangente–
secante
iii. Teorema de las cuerdas
P
A
C
B
D
P
T
B
A
•
A
B
C
D
O
E
PA· PB = PD· PC PT
2
= PA· PB AE· EB = CE· ED
32 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. PROPORCIONES EN LA CIRCUNFERENCIA
El contenido de esta sección no se encuentra explícito en el temario DEMRE para la PAES, sin embargo
creemos que podría ser de utilidad para el estudiante ya que de alguna manera se relaciona con el
contenido de Área y Perímetros de círculo, sector y segmento circular.
i. Teorema de las secantes ii. Teorema tangente–
secante
iii. Teorema de las cuerdas
P
A
C
B
D
P
T
B
A
•
A
B
C
D
O
E
PA· PB = PD· PC PT
2
= PA· PB AE· EB = CE· ED
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
33 / 134Colegio Alemán de Santiago
iv. Caso particular de las
cuerdas
v. Tangentes desde un
punto
vi. Cuadrilátero
circunscrito a una
circunferencia
A
B
C
D
O
E
P
A
O
B
A
B
D
C
Si AB⊥CD entonces
CE = DE
CE
2
= AE· EB
PA = PB AB + CD = BC + AD
33 / 134Colegio Alemán de Santiago
iv. Caso particular de las
cuerdas
v. Tangentes desde un
punto
vi. Cuadrilátero
circunscrito a una
circunferencia
A
B
C
D
O
E
P
A
O
B
A
B
D
C
Si AB⊥CD entonces
CE = DE
CE
2
= AE· EB
PA = PB AB + CD = BC + AD
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
34 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplos
34 / 134Colegio Alemán de Santiago
Ejemplos
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
35 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. Si un círculo tiene área igual a 36π cm
2
, ¿cuál es su perímetro?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 6 π cm
B ) 12
π cm
C ) 18
π cm
D ) 36
π cm
35 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. Si un círculo tiene área igual a 36π cm
2
, ¿cuál es su perímetro?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 6 π cm
B ) 12
π cm
C ) 18
π cm
D ) 36
π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
36 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. En la fi gura adjunta, el cuadrado ABCD de lado 8 cm está inscrito a la circunferencia de centro O. ¿ Cuánto
mide la circunferencia?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 32 cm
B ) 4
2 cm
C ) 8
π cm
D ) 8
π
2 cm A
O
C
B
D
36 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. En la fi gura adjunta, el cuadrado ABCD de lado 8 cm está inscrito a la circunferencia de centro O. ¿ Cuánto
mide la circunferencia?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 32 cm
B ) 4
2 cm
C ) 8
π cm
D ) 8
π
2 cm A
O
C
B
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
37 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. Se tiene una circunferencia P de radio 3 cm. Si el área de una circunferencia Q es un cuarto del área de P,
¿cuál es el radio de Q?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2024)
A )
4
3
cm
B ) 6 cm
C )
2
3
cm
D ) 12 cm
37 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. Se tiene una circunferencia P de radio 3 cm. Si el área de una circunferencia Q es un cuarto del área de P,
¿cuál es el radio de Q?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2024)
A )
4
3
cm
B ) 6 cm
C )
2
3
cm
D ) 12 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
38 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. En la circunferencia de centro O y radio 12 cm de la fi gura adjunta, CD = 5 cm. ¿ Cuál es el área del triángulo
ABO?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A )
cm957
2
B ) 815 cm
2
C ) 72 cm
2
D ) cm3516
2
D
A
C
O
B
38 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. En la circunferencia de centro O y radio 12 cm de la fi gura adjunta, CD = 5 cm. ¿ Cuál es el área del triángulo
ABO?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A )
cm957
2
B ) 815 cm
2
C ) 72 cm
2
D ) cm3516
2
D
A
C
O
B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
39 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. En la fi gura adjunta, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces ¿ cuál es el perímetro
de la región achurada ?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 6π cm
B ) 12
π cm
C ) 18
π cm
D ) 24
π cm
6 cm
A B
O
39 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. En la fi gura adjunta, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces ¿ cuál es el perímetro
de la región achurada ?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 6π cm
B ) 12
π cm
C ) 18
π cm
D ) 24
π cm
6 cm
A B
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
40 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. En la fi gura adjunta, AC = 12 cm y AO = 2 ∙ BP.
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2022)
OA PB C
¿Cuál es la suma de las áreas de los dos semicírculos de centro O y P?
A ) 6
π cm
2
B ) 10 π cm
2
C ) 12 π cm
2
D ) 20 π cm
2
40 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. En la fi gura adjunta, AC = 12 cm y AO = 2 ∙ BP.
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2022)
OA PB C
¿Cuál es la suma de las áreas de los dos semicírculos de centro O y P?
A ) 6
π cm
2
B ) 10 π cm
2
C ) 12 π cm
2
D ) 20 π cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
41 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. Se tienen 3 círculos tangentes entre sí y tangentes al rectángulo ABCD como muestra la fi gura adjunta. Si el
rectángulo tiene ancho 4 cm, ¿cuál es el área de la región achurada, en cm
2
?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 32 – 6π
B ) 32 – 12π
C ) 48 – 12π
D ) 48 – 4π
D
A B
C
41 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. Se tienen 3 círculos tangentes entre sí y tangentes al rectángulo ABCD como muestra la fi gura adjunta. Si el
rectángulo tiene ancho 4 cm, ¿cuál es el área de la región achurada, en cm
2
?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) 32 – 6π
B ) 32 – 12π
C ) 48 – 12π
D ) 48 – 4π
D
A B
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
42 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. La fi gura adjunta está compuesta por un triángulo equilátero y 3 semicircunferencias. ¿Cuál de los siguientes
procedimientos representa el perímetro de la fi gura?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) Longitud de 3 semicircunferencias de igual medida de radio.
B ) Longitud de 3 circunferencias de igual medida de radio.
C ) Perímetro del triángulo sumado a la longitud de 3 semicircunferencias de igual medida de radio.
D ) Perímetro del triángulo sumado a la longitud de 3 circunferencias de igual medida de radio.
42 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. La fi gura adjunta está compuesta por un triángulo equilátero y 3 semicircunferencias. ¿Cuál de los siguientes
procedimientos representa el perímetro de la fi gura?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS.
A ) Longitud de 3 semicircunferencias de igual medida de radio.
B ) Longitud de 3 circunferencias de igual medida de radio.
C ) Perímetro del triángulo sumado a la longitud de 3 semicircunferencias de igual medida de radio.
D ) Perímetro del triángulo sumado a la longitud de 3 circunferencias de igual medida de radio.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
43 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Considera una caja de pizza de base cuadrada de 400 cm
2
de área, como se representa en la fi gura adjunta.
Si en la pizzería se quiere aprovechar al máximo la caja para guardar una pizza, ¿cuál es el perímetro de
la pizza redonda más grande que se puede guardar en esta caja?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2025)
A ) 100 π cm
B ) 400
π cm
C ) 10
π cm
D ) 20
π cm
43 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Considera una caja de pizza de base cuadrada de 400 cm
2
de área, como se representa en la fi gura adjunta.
Si en la pizzería se quiere aprovechar al máximo la caja para guardar una pizza, ¿cuál es el perímetro de
la pizza redonda más grande que se puede guardar en esta caja?
HABILIDAD: RESOLVER PROBLEMAS. (DEMRE 2025)
A ) 100 π cm
B ) 400
π cm
C ) 10
π cm
D ) 20
π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
44 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. Para verifi car la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo, los estudiantes de una clase
de Matemática dibujan un círculo y sobre su contorno ponen un trozo de lana de manera que lo cubra
exactamente, sin que sobre o falte lana, tal como se representa en la siguiente fi gura:
Luego, dibujan varios círculos con el mismo radio que el círculo original, uno al lado del otro e intersectándose
en un solo punto, y posicionan el trozo de lana anterior sobre el diámetro de los círculos para verifi car
cuántos de estos diámetros quedan contenidos en el trozo de lana.
44 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. Para verifi car la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo, los estudiantes de una clase
de Matemática dibujan un círculo y sobre su contorno ponen un trozo de lana de manera que lo cubra
exactamente, sin que sobre o falte lana, tal como se representa en la siguiente fi gura:
Luego, dibujan varios círculos con el mismo radio que el círculo original, uno al lado del otro e intersectándose
en un solo punto, y posicionan el trozo de lana anterior sobre el diámetro de los círculos para verifi car
cuántos de estos diámetros quedan contenidos en el trozo de lana.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
45 / 134Colegio Alemán de Santiago
¿Cuál de las siguientes imágenes representa mejor lo que los estudiantes deberían observar?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2025)
A ) B )
C ) D )
45 / 134Colegio Alemán de Santiago
¿Cuál de las siguientes imágenes representa mejor lo que los estudiantes deberían observar?
HABILIDAD: REPRESENTAR. (DEMRE 2025)
A ) B )
C ) D )
Colegio Alemán de Santiago
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
EJERCICIOS M1
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
EJERCICIOS M1
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
47 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. ¿ Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm?
A ) 24 cm
B ) 40 cm
C ) 96 cm
D ) 100 cm
47 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. ¿ Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 cm?
A ) 24 cm
B ) 40 cm
C ) 96 cm
D ) 100 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
48 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. La diagonal de un cuadrado mide 6 cm. ¿Cuál es su área?
A ) 9 cm
2
B ) 18 cm
2
C ) 24 cm
2
D ) 36 cm
2
48 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. La diagonal de un cuadrado mide 6 cm. ¿Cuál es su área?
A ) 9 cm
2
B ) 18 cm
2
C ) 24 cm
2
D ) 36 cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
49 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. Si el diámetro de una circunferencia excede en 5 cm a su radio, ¿cuál es la longitud de dicha circunferencia?
A ) 8
π cm
B ) 10
π cm
C ) 15
π cm
D ) 20
π cm
49 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. Si el diámetro de una circunferencia excede en 5 cm a su radio, ¿cuál es la longitud de dicha circunferencia?
A ) 8
π cm
B ) 10
π cm
C ) 15
π cm
D ) 20
π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
50 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. Sea PQ el diámetro de la circunferencia de centro O y radio 6 cm como se observa en la fi gura adjunta. ¿Cuál
es el área de la región achurada?
A ) 6r cm
2
B ) 12r cm
2
C ) 18r cm
2
D ) 36r cm
2
O
P Q
50 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. Sea PQ el diámetro de la circunferencia de centro O y radio 6 cm como se observa en la fi gura adjunta. ¿Cuál
es el área de la región achurada?
A ) 6r cm
2
B ) 12r cm
2
C ) 18r cm
2
D ) 36r cm
2
O
P Q
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
51 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. Si en el rombo ABCD de la fi gura adjunta, AB = 10 cm y DE = 7 cm , su área es :
A ) 140 cm
2
B ) 70 cm
2
C ) 40 cm
2
D ) 35 cm
2
A B
C
D
E
51 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. Si en el rombo ABCD de la fi gura adjunta, AB = 10 cm y DE = 7 cm , su área es :
A ) 140 cm
2
B ) 70 cm
2
C ) 40 cm
2
D ) 35 cm
2
A B
C
D
E
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
52 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. La diagonal de un rectángulo excede en un metro a su largo. ¿Cuál es su área si su ancho mide 5 m?
A ) 17 m
2
B ) 32 m
2
C ) 34 m
2
D ) 60 m
2
52 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. La diagonal de un rectángulo excede en un metro a su largo. ¿Cuál es su área si su ancho mide 5 m?
A ) 17 m
2
B ) 32 m
2
C ) 34 m
2
D ) 60 m
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
53 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. ¿ Cuánto mide el radio de una semicircunferencia, si su longitud es 6π metros?
A ) 4 m
B ) 6 m
C ) 8 m
D ) 12 m
53 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. ¿ Cuánto mide el radio de una semicircunferencia, si su longitud es 6π metros?
A ) 4 m
B ) 6 m
C ) 8 m
D ) 12 m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
54 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones esverdadera?
A ) El área de un cuadrado de lado a, es igual al área de un rombo cualquiera de lado a.
B ) El perímetro de un rectángulo de lados a y b, y el perímetro de un romboide de lados a y b tienen
valores diferentes.
C ) Si solo se conoce la medida de la diagonal de un cuadrado, es posible determinar su área.
D ) Si solo se conoce la medida de la diagonal de un rectángulo, es posible determinar su perímetro.
54 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. ¿Cuál de las siguientes afi rmaciones esverdadera?
A ) El área de un cuadrado de lado a, es igual al área de un rombo cualquiera de lado a.
B ) El perímetro de un rectángulo de lados a y b, y el perímetro de un romboide de lados a y b tienen
valores diferentes.
C ) Si solo se conoce la medida de la diagonal de un cuadrado, es posible determinar su área.
D ) Si solo se conoce la medida de la diagonal de un rectángulo, es posible determinar su perímetro.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
55 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. En el paralelogramo PQRS de la fi gura adjunta,ST = 3 cm y PS = 5 cm. Entonces, ¿ cuál es el perímetro del
triángulo TRQ ?
A ) 6 cm
B ) 12 cm
C ) 18 cm
D ) 20 cm
P Q
R
S
T
55 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. En el paralelogramo PQRS de la fi gura adjunta,ST = 3 cm y PS = 5 cm. Entonces, ¿ cuál es el perímetro del
triángulo TRQ ?
A ) 6 cm
B ) 12 cm
C ) 18 cm
D ) 20 cm
P Q
R
S
T
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
56 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. El perímetro del rectángulo ABCD de la fi gura adjunta, es 8a + 8b. Si BC = 2a + 3b, ¿cuál es la medida d e DC ?
A ) a + 2b
B ) 2a + b
C ) 4a + 6b
D ) 4a + 2b
A
B
C
D
56 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. El perímetro del rectángulo ABCD de la fi gura adjunta, es 8a + 8b. Si BC = 2a + 3b, ¿cuál es la medida d e DC ?
A ) a + 2b
B ) 2a + b
C ) 4a + 6b
D ) 4a + 2b
A
B
C
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
57 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. Sobre un cuadrado se traza su diagonal que mide 10 cm. ¿Cuál es el área de cada triángulo que se formó al
interior del cuadrado?
A ) 5 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 50 cm
2
D ) 100 cm
2
57 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. Sobre un cuadrado se traza su diagonal que mide 10 cm. ¿Cuál es el área de cada triángulo que se formó al
interior del cuadrado?
A ) 5 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 50 cm
2
D ) 100 cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
58 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. ¿ Cuál es el área de un semicírculo de radio 12 cm?
A ) 24
π cm
2
B ) 48 π cm
2
C ) 72 π cm
2
D ) 144 π cm
2
58 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. ¿ Cuál es el área de un semicírculo de radio 12 cm?
A ) 24
π cm
2
B ) 48 π cm
2
C ) 72 π cm
2
D ) 144 π cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
59 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. ¿Cuál es el perímetro de un semicírculo de área igual a 18π cm
2
?
A ) 6
π cm
B ) 12
π cm
C ) 6
(π + 2)cm
D ) 12
(π + 1) cm
59 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. ¿Cuál es el perímetro de un semicírculo de área igual a 18π cm
2
?
A ) 6
π cm
B ) 12
π cm
C ) 6
(π + 2)cm
D ) 12
(π + 1) cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
60 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. Si la menor de las diagonales de un rombo mide lo mismo que uno de sus lados, y su diagonal más larga mide
83 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rombo?
A ) 16 cm
B ) 24 cm
C ) 30 cm
D ) 32 cm
60 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. Si la menor de las diagonales de un rombo mide lo mismo que uno de sus lados, y su diagonal más larga mide
83 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del rombo?
A ) 16 cm
B ) 24 cm
C ) 30 cm
D ) 32 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
61 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. Se tiene un círculo A de radio 4 cm. Si el área de un círculo B es cuatro veces el área de A, ¿cuánto mide el
radio del círculo B?
A ) 2 cm
B ) 4 cm
C ) 8 cm
D ) 64 cm
61 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. Se tiene un círculo A de radio 4 cm. Si el área de un círculo B es cuatro veces el área de A, ¿cuánto mide el
radio del círculo B?
A ) 2 cm
B ) 4 cm
C ) 8 cm
D ) 64 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
62 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. Fernanda quiere comprar una alfombra circular para su ofi cina. Si su ofi cina tiene suelo cuadrado de superfi cie
igual a 16 m
2
, ¿Cuál debe ser la medida del radio de la alfombra para que esta sea lo más grande posible?
A ) 2 m
B ) 4 m
C ) 8 m
D ) 16 m
62 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. Fernanda quiere comprar una alfombra circular para su ofi cina. Si su ofi cina tiene suelo cuadrado de superfi cie
igual a 16 m
2
, ¿Cuál debe ser la medida del radio de la alfombra para que esta sea lo más grande posible?
A ) 2 m
B ) 4 m
C ) 8 m
D ) 16 m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
63 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. Un pasillo embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12 m de ancho.
¿Cuál es el área del pasillo?
A ) 68 m
2
B ) 120 m
2
C ) 144 m
2
D ) 150 m
2
63 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. Un pasillo embaldosado de 2 m de ancho, rodea un jardín rectangular de 20 m de largo y 12 m de ancho.
¿Cuál es el área del pasillo?
A ) 68 m
2
B ) 120 m
2
C ) 144 m
2
D ) 150 m
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
64 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. Un pastelero cocinará una torta de panqueques. Primero preparará los panqueques para luego armar la
torta dentro de un molde circular cuya base tiene superfi cie que mide 100
π cm
2
. ¿De qué diámetro debe
hacer los panqueques para que calcen justo en la base del molde?
A ) 5 cm
B ) 10 cm
C ) 20 cm
D ) 50 cm
64 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. Un pastelero cocinará una torta de panqueques. Primero preparará los panqueques para luego armar la
torta dentro de un molde circular cuya base tiene superfi cie que mide 100
π cm
2
. ¿De qué diámetro debe
hacer los panqueques para que calcen justo en la base del molde?
A ) 5 cm
B ) 10 cm
C ) 20 cm
D ) 50 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
65 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Por precaución, se necesita enrejar el borde de una piscina rectangular de 5 metros de largo y 3 metros de
ancho. Si el borde de la piscina tiene 1 metro de ancho, y la reja se instalará inmediatamente al exterior del
borde, ¿qué largo debe tener la reja a instalar?
A ) 12 metros
B ) 16 metros
C ) 24 metros
D ) 35 metros
65 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Por precaución, se necesita enrejar el borde de una piscina rectangular de 5 metros de largo y 3 metros de
ancho. Si el borde de la piscina tiene 1 metro de ancho, y la reja se instalará inmediatamente al exterior del
borde, ¿qué largo debe tener la reja a instalar?
A ) 12 metros
B ) 16 metros
C ) 24 metros
D ) 35 metros
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
66 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. En la fi gura adjunta, el triángulo ABC es equilátero de lado 4 cm y ADCE es un rectángulo. ¿Cuál es el área de
la región sombreada ?
A ) 23 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 43 cm
2
D ) 45 cm
2
D
C
BA
E
66 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. En la fi gura adjunta, el triángulo ABC es equilátero de lado 4 cm y ADCE es un rectángulo. ¿Cuál es el área de
la región sombreada ?
A ) 23 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 43 cm
2
D ) 45 cm
2
D
C
BA
E
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
67 / 134Colegio Alemán de Santiago
21. ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm. Si AE = 13 cm, ¿ cuál es el área del trapecio ABCE ?
A ) 30 cm
2
B ) 44 cm
2
C ) 84 cm
2
D ) 114 cm
2
D E C
A B
67 / 134Colegio Alemán de Santiago
21. ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm. Si AE = 13 cm, ¿ cuál es el área del trapecio ABCE ?
A ) 30 cm
2
B ) 44 cm
2
C ) 84 cm
2
D ) 114 cm
2
D E C
A B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
68 / 134Colegio Alemán de Santiago
22. En la fi gura adjunta, ABCD es un romboide de base AB y altura 4 cm. ¿Cuál es su área?
A ) 33 cm
2
B ) 66 cm
2
C ) 22 cm
2
D ) 44 cm
2
C
A B
D
6 cm
11 cm
68 / 134Colegio Alemán de Santiago
22. En la fi gura adjunta, ABCD es un romboide de base AB y altura 4 cm. ¿Cuál es su área?
A ) 33 cm
2
B ) 66 cm
2
C ) 22 cm
2
D ) 44 cm
2
C
A B
D
6 cm
11 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
69 / 134Colegio Alemán de Santiago
23. Con una cuerda de largo x se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
A ) x
2
B )
x
2
2
C )
x
4
2
D )
x
16
2
69 / 134Colegio Alemán de Santiago
23. Con una cuerda de largo x se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
A ) x
2
B )
x
2
2
C )
x
4
2
D )
x
16
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
70 / 134Colegio Alemán de Santiago
24. Si la diagonal de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en cuánto aumenta su área?
A ) 50%
B ) 69%
C ) 73%
D ) 75%
70 / 134Colegio Alemán de Santiago
24. Si la diagonal de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en cuánto aumenta su área?
A ) 50%
B ) 69%
C ) 73%
D ) 75%
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
71 / 134Colegio Alemán de Santiago
25. En la fi gura adjunta, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces ¿ cuál es el área de
la región achurada ?
A ) 8rcm
2
B ) 16r cm
2
C ) 32r cm
2
D ) 64r cm
2
8 cm
A B
O
71 / 134Colegio Alemán de Santiago
25. En la fi gura adjunta, los arcos BA, OA y OB son semicircunferencias. Si OA = OB , entonces ¿ cuál es el área de
la región achurada ?
A ) 8rcm
2
B ) 16r cm
2
C ) 32r cm
2
D ) 64r cm
2
8 cm
A B
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
72 / 134Colegio Alemán de Santiago
26. Andrea cocina en un sartén, una rodaja circular de berenjena, cuya superfi cie en contacto con el sartén
mide 20
π cm
2
. Durante la cocción, por la evaporación de los líquidos de la verdura, aquella superfi cie se
reduce en un 20%. ¿Cuánto mide el diámetro de la rodaja de la berenjena ya cocinada?
A ) 2 cm
B ) 4 cm
C ) 8 cm
D ) 16 cm
72 / 134Colegio Alemán de Santiago
26. Andrea cocina en un sartén, una rodaja circular de berenjena, cuya superfi cie en contacto con el sartén
mide 20
π cm
2
. Durante la cocción, por la evaporación de los líquidos de la verdura, aquella superfi cie se
reduce en un 20%. ¿Cuánto mide el diámetro de la rodaja de la berenjena ya cocinada?
A ) 2 cm
B ) 4 cm
C ) 8 cm
D ) 16 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
73 / 134Colegio Alemán de Santiago
27. Se tiene una bicicleta cuya rueda tiene radio igual a 15 cm. ¿Cuántas vueltas da la rueda si la bicicleta
avanza 3
π metros?
A ) 1
B ) 10
C ) 20
D ) 100
73 / 134Colegio Alemán de Santiago
27. Se tiene una bicicleta cuya rueda tiene radio igual a 15 cm. ¿Cuántas vueltas da la rueda si la bicicleta
avanza 3
π metros?
A ) 1
B ) 10
C ) 20
D ) 100
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
74 / 134Colegio Alemán de Santiago
28. Un atleta corre alrededor de una pista circular. Al dar tres vueltas y media a la pista recorre 2.100 metros.
Considerando
π = 3, ¿ cuánto mide el radio de la pista ?
A ) 60 m
B ) 75 m
C ) 100 m
D ) 125 m
74 / 134Colegio Alemán de Santiago
28. Un atleta corre alrededor de una pista circular. Al dar tres vueltas y media a la pista recorre 2.100 metros.
Considerando
π = 3, ¿ cuánto mide el radio de la pista ?
A ) 60 m
B ) 75 m
C ) 100 m
D ) 125 m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
75 / 134Colegio Alemán de Santiago
29. La pastelería “Las Rosas” ofrece Tortas de 15 cm de radio, para las cuales debe comprar bases de cartón de
un diámetro igual al diámetro de la torta, cuyo costo es $ 450. Si el costo de las bases es proporcional a la
superfi cie basal de la torta, ¿cuánto debería costar una base de 40 cm de diámetro?
A ) $ 4 8 0
B ) $ 6 0 0
C ) $ 7 2 0
D ) $ 8 0 0
75 / 134Colegio Alemán de Santiago
29. La pastelería “Las Rosas” ofrece Tortas de 15 cm de radio, para las cuales debe comprar bases de cartón de
un diámetro igual al diámetro de la torta, cuyo costo es $ 450. Si el costo de las bases es proporcional a la
superfi cie basal de la torta, ¿cuánto debería costar una base de 40 cm de diámetro?
A ) $ 4 8 0
B ) $ 6 0 0
C ) $ 7 2 0
D ) $ 8 0 0
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
76 / 134Colegio Alemán de Santiago
30. En un entrenamiento, una niña da 3 vueltas corriendo alrededor de una pista circular de diámetro igual a 50
metros. ¿Cuántos metros recorrió la niña en ese entrenamiento?
(Use π = 3)
A ) 150 m
B ) 300 m
C ) 450 m
D ) 900 m
76 / 134Colegio Alemán de Santiago
30. En un entrenamiento, una niña da 3 vueltas corriendo alrededor de una pista circular de diámetro igual a 50
metros. ¿Cuántos metros recorrió la niña en ese entrenamiento?
(Use π = 3)
A ) 150 m
B ) 300 m
C ) 450 m
D ) 900 m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
77 / 134Colegio Alemán de Santiago
31. Si el radio de la rueda de una bicicleta mide 30 cm, ¿cuántas vueltas completas alcanza a dar si la bicicleta
recorre 200 metros y utilizamos la aproximación
π = 3?
A ) 90
B ) 97
C ) 103
D ) 111
77 / 134Colegio Alemán de Santiago
31. Si el radio de la rueda de una bicicleta mide 30 cm, ¿cuántas vueltas completas alcanza a dar si la bicicleta
recorre 200 metros y utilizamos la aproximación
π = 3?
A ) 90
B ) 97
C ) 103
D ) 111
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
78 / 134Colegio Alemán de Santiago
32. Se tiene la siguiente fi gura adjunta, la cual representa un rectángulo con dos círculos inscritos de radio
OA = 9 cm.
A
O
¿Cuál de los siguientes rectángulos tiene un área equivalente a la del rectángulo en la fi gura?
A = 36 cm
2
24 cm
27 cm
9 cm
36 cm
A = 324 cm
2
A )
C )
B )
D )
78 / 134Colegio Alemán de Santiago
32. Se tiene la siguiente fi gura adjunta, la cual representa un rectángulo con dos círculos inscritos de radio
OA = 9 cm.
A
O
¿Cuál de los siguientes rectángulos tiene un área equivalente a la del rectángulo en la fi gura?
A = 36 cm
2
24 cm
27 cm
9 cm
36 cm
A = 324 cm
2
A )
C )
B )
D )
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
79 / 134Colegio Alemán de Santiago
33. En la circunferencia de centro O de la fi gura adjunta, AB es un diámetro, CD ⊥AB , DB = 3 cm y CD = 4 cm.
¿Cuál es la longitud de la circunferencia, aproximando
π = 3?
A ) 12 cm
B ) 18 cm
C ) 25 cm
D ) 36 cm
C
B A
O
D
79 / 134Colegio Alemán de Santiago
33. En la circunferencia de centro O de la fi gura adjunta, AB es un diámetro, CD ⊥AB , DB = 3 cm y CD = 4 cm.
¿Cuál es la longitud de la circunferencia, aproximando
π = 3?
A ) 12 cm
B ) 18 cm
C ) 25 cm
D ) 36 cm
C
B A
O
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
80 / 134Colegio Alemán de Santiago
34. Considere que dentro de un triángulo equilátero de lado 63cm se inscribe una circunferencia. ¿Cuál es el
perímetro de dicha circunferencia, si utilizamos la aproximación
π = 3?
A ) 9 cm
B ) 12 cm
C ) 18 cm
D ) 21 cm
80 / 134Colegio Alemán de Santiago
34. Considere que dentro de un triángulo equilátero de lado 63cm se inscribe una circunferencia. ¿Cuál es el
perímetro de dicha circunferencia, si utilizamos la aproximación
π = 3?
A ) 9 cm
B ) 12 cm
C ) 18 cm
D ) 21 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
81 / 134Colegio Alemán de Santiago
35. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 5 cm. Si los arcos DA y CB son semicircunferencias, ¿cuál
es el área de la fi gura sombreada?
A ) 20 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 25 π cm
2
D ) (25 – 12,5 π) cm
2
B
C
A
D
81 / 134Colegio Alemán de Santiago
35. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 5 cm. Si los arcos DA y CB son semicircunferencias, ¿cuál
es el área de la fi gura sombreada?
A ) 20 cm
2
B ) 25 cm
2
C ) 25 π cm
2
D ) (25 – 12,5 π) cm
2
B
C
A
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
82 / 134Colegio Alemán de Santiago
36. Si dentro de un cuadrado blanco de área 25 cm
2
dibujamos el mayor círculo posible, el que posteriormente
pintamos de negro, ¿cuál es el perímetro de la región que se sigue viendo del cuadrado blanco, luego de
pintar el círculo?
A ) 20 cm
B )
(5 + 5π) cm
C )
(20 + 5π) cm
D )
(25 – 6,25π) cm
82 / 134Colegio Alemán de Santiago
36. Si dentro de un cuadrado blanco de área 25 cm
2
dibujamos el mayor círculo posible, el que posteriormente
pintamos de negro, ¿cuál es el perímetro de la región que se sigue viendo del cuadrado blanco, luego de
pintar el círculo?
A ) 20 cm
B )
(5 + 5π) cm
C )
(20 + 5π) cm
D )
(25 – 6,25π) cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
83 / 134Colegio Alemán de Santiago
37. ¿Cuánto mide el perímetro de la región que queda entre una circunferencia de radio 12 cm y el hexágono
regular que ha sido inscrito en ella?
A )
(26 + 8 π) cm
B )
(48 + 12 π) cm
C )
(72 + 24 π) cm
D )
(68 + 36 π) cm
83 / 134Colegio Alemán de Santiago
37. ¿Cuánto mide el perímetro de la región que queda entre una circunferencia de radio 12 cm y el hexágono
regular que ha sido inscrito en ella?
A )
(26 + 8 π) cm
B )
(48 + 12 π) cm
C )
(72 + 24 π) cm
D )
(68 + 36 π) cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
84 / 134Colegio Alemán de Santiago
38. Una piscina rectangular de medidas igual a 8 metros de largo y 4 metros de ancho, tiene un borde de ancho
igual a 1 metro alrededor de toda la piscina. Si se necesita restaurar el borde y comprar un sellante que cuesta
$ 5.000 el litro, que alcanza para sellar 4 m
2
del borde, ¿cuánto se gastará en total en el sellado del borde de
la piscina?
A ) $ 7.000
B ) $ 28.000
C ) $ 35.000
D ) $ 75.000
84 / 134Colegio Alemán de Santiago
38. Una piscina rectangular de medidas igual a 8 metros de largo y 4 metros de ancho, tiene un borde de ancho
igual a 1 metro alrededor de toda la piscina. Si se necesita restaurar el borde y comprar un sellante que cuesta
$ 5.000 el litro, que alcanza para sellar 4 m
2
del borde, ¿cuánto se gastará en total en el sellado del borde de
la piscina?
A ) $ 7.000
B ) $ 28.000
C ) $ 35.000
D ) $ 75.000
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
85 / 134Colegio Alemán de Santiago
39. ¿ Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de la fi gura adjunta ?
A ) 21 cm
B ) 24 cm
C )
(24 +
2) cm
D )
(18 + 6
2) cm
3 cm
6 cm
12 cm
85 / 134Colegio Alemán de Santiago
39. ¿ Cuál es el perímetro del trapecio isósceles de la fi gura adjunta ?
A ) 21 cm
B ) 24 cm
C )
(24 +
2) cm
D )
(18 + 6
2) cm
3 cm
6 cm
12 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
86 / 134Colegio Alemán de Santiago
40. En la fi gura adjunta, sobre la diagonal del cuadrado ABCD de lado a, se construye un cuadrado y sobre la
diagonal de éste, un nuevo cuadrado. Si P es el área del primer cuadrado y T el área del último, ¿ qué relación
hay entre P y T ?
A ) P = 0,125 T
B ) P = 0,25 T
C ) P = 0,5 T
D ) P = 4T
D
A
a
C
B
86 / 134Colegio Alemán de Santiago
40. En la fi gura adjunta, sobre la diagonal del cuadrado ABCD de lado a, se construye un cuadrado y sobre la
diagonal de éste, un nuevo cuadrado. Si P es el área del primer cuadrado y T el área del último, ¿ qué relación
hay entre P y T ?
A ) P = 0,125 T
B ) P = 0,25 T
C ) P = 0,5 T
D ) P = 4T
D
A
a
C
B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
87 / 134Colegio Alemán de Santiago
41. En la fi gura adjunta, ABCD trapecio, M y N puntos medios de AD y BC respectivamente. La razón entre las
áreas del trapecio MNCD y el trapecio ABCD es :
A ) 5 : 6
B ) 5 : 12
C ) 9 : 10
D ) 9 : 20
D
M
4 cm C
N
A 6 c m B
87 / 134Colegio Alemán de Santiago
41. En la fi gura adjunta, ABCD trapecio, M y N puntos medios de AD y BC respectivamente. La razón entre las
áreas del trapecio MNCD y el trapecio ABCD es :
A ) 5 : 6
B ) 5 : 12
C ) 9 : 10
D ) 9 : 20
D
M
4 cm C
N
A 6 c m B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
88 / 134Colegio Alemán de Santiago
42. “La Pica’ de Andrés” ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $ 1.800, ¿ a qué precio deberá
vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero con 45 cm de diámetro ?
A ) $ 5.4 0 0
B ) $ 7. 2 0 0
C ) $ 10.8 0 0
D ) $ 16.20 0
88 / 134Colegio Alemán de Santiago
42. “La Pica’ de Andrés” ofrece una pizza napolitana de 15 cm de diámetro a $ 1.800, ¿ a qué precio deberá
vender una pizza con el mismo grosor, con los mismos ingredientes, pero con 45 cm de diámetro ?
A ) $ 5.4 0 0
B ) $ 7. 2 0 0
C ) $ 10.8 0 0
D ) $ 16.20 0
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
89 / 134Colegio Alemán de Santiago
43. El largo de una piscina rectangular mide el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada
un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m
2
, ¿cuál es el largo de la piscina de la fi gura?
A ) 3 m
B ) 6 m
C ) 12 m
D ) 18 m
89 / 134Colegio Alemán de Santiago
43. El largo de una piscina rectangular mide el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada
un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m
2
, ¿cuál es el largo de la piscina de la fi gura?
A ) 3 m
B ) 6 m
C ) 12 m
D ) 18 m
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
90 / 134Colegio Alemán de Santiago
44. Dado el trapecio de la fi gura adjunta, ¿cuál es su área?
A ) 483 cm
2
B ) 243 cm
2
C ) 123 cm
2
D ) 8 cm
2
5 cm
6 cm 6 cm
60º
90 / 134Colegio Alemán de Santiago
44. Dado el trapecio de la fi gura adjunta, ¿cuál es su área?
A ) 483 cm
2
B ) 243 cm
2
C ) 123 cm
2
D ) 8 cm
2
5 cm
6 cm 6 cm
60º
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
91 / 134Colegio Alemán de Santiago
45. Consideremos la fi gura adjunta. En dicha fi gura se tienen 3 circunferencias: 2 pequeñas, tangentes entre sí
justo en el centro de la circunferencia mayor que tiene un radio cuya medida es el doble de lo que mide el
radio de cada una de las más pequeñas. Si el radio de la circunferencia mayor mide 16 cm, ¿cuánto mide el
perímetro de la región sin achurar?
A ) 24
π cm
B ) 32
π cm
C ) 64
π cm
D ) 81
π cm
91 / 134Colegio Alemán de Santiago
45. Consideremos la fi gura adjunta. En dicha fi gura se tienen 3 circunferencias: 2 pequeñas, tangentes entre sí
justo en el centro de la circunferencia mayor que tiene un radio cuya medida es el doble de lo que mide el
radio de cada una de las más pequeñas. Si el radio de la circunferencia mayor mide 16 cm, ¿cuánto mide el
perímetro de la región sin achurar?
A ) 24
π cm
B ) 32
π cm
C ) 64
π cm
D ) 81
π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
92 / 134Colegio Alemán de Santiago
46. En la fi gura adjunta, ABCD y AEFG son rectángulos. EB = AG = 8 cm , FC = 10 cm y FD = 210 cm. El área de la
superfi cie achurada es :
A ) 28 cm
2
B ) 30 cm
2
C ) 32 cm
2
D ) 34 cm
2
H
F
C
BEA
D
G
92 / 134Colegio Alemán de Santiago
46. En la fi gura adjunta, ABCD y AEFG son rectángulos. EB = AG = 8 cm , FC = 10 cm y FD = 210 cm. El área de la
superfi cie achurada es :
A ) 28 cm
2
B ) 30 cm
2
C ) 32 cm
2
D ) 34 cm
2
H
F
C
BEA
D
G
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
93 / 134Colegio Alemán de Santiago
47. En la fi gura adjunta el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O. Si AD = 8 cm, ¿cuál es
el área achurada?
A ) 64 cm
2
B ) 32
r cm
2
C ) 32 (r – 2) cm
2
D ) 32 (r – 16) cm
2
D
A B
O
C
93 / 134Colegio Alemán de Santiago
47. En la fi gura adjunta el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O. Si AD = 8 cm, ¿cuál es
el área achurada?
A ) 64 cm
2
B ) 32
r cm
2
C ) 32 (r – 2) cm
2
D ) 32 (r – 16) cm
2
D
A B
O
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
94 / 134Colegio Alemán de Santiago
48. Dado el trapecio ABDE y el rectángulo ABCE de la fi gura adjunta, ¿cuál es la razón entre las áreas del trapecio
y del rectángulo, si DB = 10 cm?
A ) 3 : 5
B ) 4 : 5
C ) 5 : 4
D ) 5 : 3
CE D9 cm
8 cm
A B
94 / 134Colegio Alemán de Santiago
48. Dado el trapecio ABDE y el rectángulo ABCE de la fi gura adjunta, ¿cuál es la razón entre las áreas del trapecio
y del rectángulo, si DB = 10 cm?
A ) 3 : 5
B ) 4 : 5
C ) 5 : 4
D ) 5 : 3
CE D9 cm
8 cm
A B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
95 / 134Colegio Alemán de Santiago
49. Una semicircunferencia está construida sobre un triángulo rectángulo isósceles de tal manera que su diámetro
coincide con su hipotenusa, y el vértice del ángulo recto es uno de los puntos de la semicircunferencia. ¿Cuál
es el área de la región que queda entre la semicircunferencia y el triángulo si la hipotenusa del triángulo mide
16 cm?
A ) 18
(2
r – 1) cm
2
B ) 32 (r – 2) cm
2
C ) 24 (3r + 1) cm
2
D ) 24 (8r + 3) cm
2
95 / 134Colegio Alemán de Santiago
49. Una semicircunferencia está construida sobre un triángulo rectángulo isósceles de tal manera que su diámetro
coincide con su hipotenusa, y el vértice del ángulo recto es uno de los puntos de la semicircunferencia. ¿Cuál
es el área de la región que queda entre la semicircunferencia y el triángulo si la hipotenusa del triángulo mide
16 cm?
A ) 18
(2
r – 1) cm
2
B ) 32 (r – 2) cm
2
C ) 24 (3r + 1) cm
2
D ) 24 (8r + 3) cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
96 / 134Colegio Alemán de Santiago
50. En la fi gura adjunta ABCD es un rectángulo de ancho a cm y largo b cm. Si los arcos AB y DC son
semicircunferencias, ¿cuál de las siguientes alternativas describe el procedimiento que se debe realizar para
determinar el perímetro de la fi gura sombreada?
BC
AD
A ) Perímetro del rectángulo ABCD
B ) (Perímetro del rectángulo ABCD) + (Perímetro de un círculo de radio a)
C ) (Perímetro del rectángulo ABCD) – (Perímetro de un círculo de radio 0,5a)
D ) (2b) + (Perímetro de un círculo de radio 0,5a)
96 / 134Colegio Alemán de Santiago
50. En la fi gura adjunta ABCD es un rectángulo de ancho a cm y largo b cm. Si los arcos AB y DC son
semicircunferencias, ¿cuál de las siguientes alternativas describe el procedimiento que se debe realizar para
determinar el perímetro de la fi gura sombreada?
BC
AD
A ) Perímetro del rectángulo ABCD
B ) (Perímetro del rectángulo ABCD) + (Perímetro de un círculo de radio a)
C ) (Perímetro del rectángulo ABCD) – (Perímetro de un círculo de radio 0,5a)
D ) (2b) + (Perímetro de un círculo de radio 0,5a)
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
97 / 134Colegio Alemán de Santiago
51. La fi gura adjunta está formada por seis circunferencias congruentes inscritas entre sí en un rectángulo de 8 cm
de ancho y 12 cm de largo, ¿cuál es el área sombreada?
A ) 72 cm
2
B ) (96 – 4
r) cm
2
C ) (96 – 24r) cm
2
D ) 24r cm
2
97 / 134Colegio Alemán de Santiago
51. La fi gura adjunta está formada por seis circunferencias congruentes inscritas entre sí en un rectángulo de 8 cm
de ancho y 12 cm de largo, ¿cuál es el área sombreada?
A ) 72 cm
2
B ) (96 – 4
r) cm
2
C ) (96 – 24r) cm
2
D ) 24r cm
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
98 / 134Colegio Alemán de Santiago
52. ABCD es un cuadrado circunscrito a la circunferencia como muestra la fi gura adjunta. Si P, Q, R y S son los
puntos de tangencia y el área achurada es 36 cm
2
, ¿cual es el área del círculo?
A ) 9
r cm
2
B ) 12r cm
2
C ) 36r cm
2
D ) 144r cm
2
D
P
Q
R
S
A
B C
98 / 134Colegio Alemán de Santiago
52. ABCD es un cuadrado circunscrito a la circunferencia como muestra la fi gura adjunta. Si P, Q, R y S son los
puntos de tangencia y el área achurada es 36 cm
2
, ¿cual es el área del círculo?
A ) 9
r cm
2
B ) 12r cm
2
C ) 36r cm
2
D ) 144r cm
2
D
P
Q
R
S
A
B C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
99 / 134Colegio Alemán de Santiago
53. La circunferencia de la fi gura adjunta está inscrita en el cuadrado ABCD y tiene perímetro igual a 16 π cm. Si
E y F son puntos de tangencia, ¿cuál es el área del rectángulo ABFE ?
A ) 256 cm
2
B ) 128 cm
2
C ) 64 cm
2
D ) 32 cm
2
D
E
F
A
B C
99 / 134Colegio Alemán de Santiago
53. La circunferencia de la fi gura adjunta está inscrita en el cuadrado ABCD y tiene perímetro igual a 16 π cm. Si
E y F son puntos de tangencia, ¿cuál es el área del rectángulo ABFE ?
A ) 256 cm
2
B ) 128 cm
2
C ) 64 cm
2
D ) 32 cm
2
D
E
F
A
B C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
100 / 134Colegio Alemán de Santiago
54. Sea el arco BA una semicircunferencia y ABC un triángulo como muestra la fi gura adjunta. Si AC = 6 cm,
AB = 10 cm, ¿cuál es el perímetro de la fi gura sombreada, en centímetros?
A ) 5r + 14 cm
B ) 5r + 24 cm
C ) 10r + 14 cm
D ) 12,5r – 24 cm A B
C
100 / 134Colegio Alemán de Santiago
54. Sea el arco BA una semicircunferencia y ABC un triángulo como muestra la fi gura adjunta. Si AC = 6 cm,
AB = 10 cm, ¿cuál es el perímetro de la fi gura sombreada, en centímetros?
A ) 5r + 14 cm
B ) 5r + 24 cm
C ) 10r + 14 cm
D ) 12,5r – 24 cm A B
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
101 / 134Colegio Alemán de Santiago
55. L a fi g u r a adjunta está compuesta por una circunferencia mayor y 3 circunferencias menores congruentes y
tangentes entre sí y además tangentes en M y N a la circunferencia mayor. Si MN es diámetro de la circunfe-
rencia mayor de la fi gura y mide 12 cm, ¿cuál es el área de la región achurada?
A ) 2
π cm
2
B ) 4π cm
2
C ) 12 π cm
2
D ) 16 π cm
2
M
N
101 / 134Colegio Alemán de Santiago
55. L a fi g u r a adjunta está compuesta por una circunferencia mayor y 3 circunferencias menores congruentes y
tangentes entre sí y además tangentes en M y N a la circunferencia mayor. Si MN es diámetro de la circunfe-
rencia mayor de la fi gura y mide 12 cm, ¿cuál es el área de la región achurada?
A ) 2
π cm
2
B ) 4π cm
2
C ) 12 π cm
2
D ) 16 π cm
2
M
N
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
102 / 134Colegio Alemán de Santiago
56. Sea el arco BA una semicircunferencia de centro O, tangente al rectángulo ABCD como se observa en la
fi gura adjunta. Si AB = 8 cm, ¿cuál es el área de la región achurada?
A )
(32 – 4
r) cm
2
B ) (32 – 8r) cm
2
C ) (32 – 16r) cm
2
D ) (64 – 16r) cm
2
D
A B
C
O
102 / 134Colegio Alemán de Santiago
56. Sea el arco BA una semicircunferencia de centro O, tangente al rectángulo ABCD como se observa en la
fi gura adjunta. Si AB = 8 cm, ¿cuál es el área de la región achurada?
A )
(32 – 4
r) cm
2
B ) (32 – 8r) cm
2
C ) (32 – 16r) cm
2
D ) (64 – 16r) cm
2
D
A B
C
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
103 / 134Colegio Alemán de Santiago
57. En la fi gura adjunta, el cuadrado ABCD de lado 12 cm está inscrito a la circunferencia de centro O. ¿ Cuál es
el área de la región achurada en cm
2
?
A ) 72
π – 144
B ) 36
π
2 – 144
C ) 72
π + 48
D ) 12
π
2 + 48
A
O
C
B
D
103 / 134Colegio Alemán de Santiago
57. En la fi gura adjunta, el cuadrado ABCD de lado 12 cm está inscrito a la circunferencia de centro O. ¿ Cuál es
el área de la región achurada en cm
2
?
A ) 72
π – 144
B ) 36
π
2 – 144
C ) 72
π + 48
D ) 12
π
2 + 48
A
O
C
B
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
104 / 134Colegio Alemán de Santiago
58. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. Si los arcos BC y DA son semicircunferencias, ¿cuál
es el perímetro de la fi gura, en cm?
A ) 12 + 6
π
B ) 12 + 9π
C ) 24 + 6π
D ) 36 + 9π
B
C
A
D
104 / 134Colegio Alemán de Santiago
58. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. Si los arcos BC y DA son semicircunferencias, ¿cuál
es el perímetro de la fi gura, en cm?
A ) 12 + 6
π
B ) 12 + 9π
C ) 24 + 6π
D ) 36 + 9π
B
C
A
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
105 / 134Colegio Alemán de Santiago
59. La fi gura adjunta está compuesta por el ∆ ABC rectángulo en A y por el arco AB que es una semicircunferen-
cia de diámetro AB. ¿Cuál es el perímetro de la fi gura?
A )
(18 + 12π) cm
B )
(18 + 6π) cm
C )
(30 + 12π) cm
D )
(30 + 6π) cm
B
AC5 cm
13 cm
105 / 134Colegio Alemán de Santiago
59. La fi gura adjunta está compuesta por el ∆ ABC rectángulo en A y por el arco AB que es una semicircunferen-
cia de diámetro AB. ¿Cuál es el perímetro de la fi gura?
A )
(18 + 12π) cm
B )
(18 + 6π) cm
C )
(30 + 12π) cm
D )
(30 + 6π) cm
B
AC5 cm
13 cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
106 / 134Colegio Alemán de Santiago
60. En la fi gura adjunta ABCD es un rectángulo de ancho AB = 6 cm y largo BC = 10 cm. Si el arco AB es semicir-
cunferencia, ¿cuál es el área de la fi gura sombreada, en cm
2
?
A ) 60 + 4,5
π
B ) 60 – 4,5π
C ) 60 + 9π
D ) 16 + 4,5π
BC
AD
106 / 134Colegio Alemán de Santiago
60. En la fi gura adjunta ABCD es un rectángulo de ancho AB = 6 cm y largo BC = 10 cm. Si el arco AB es semicir-
cunferencia, ¿cuál es el área de la fi gura sombreada, en cm
2
?
A ) 60 + 4,5
π
B ) 60 – 4,5π
C ) 60 + 9π
D ) 16 + 4,5π
BC
AD
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
107 / 134Colegio Alemán de Santiago
61. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias de radio 10 cm cada una, tangentes entre sí y tangentes al
rectángulo ABCD. ¿Cuál es el área de la región sombreada en cm
2
?
A ) 400 – 100
π
B ) 400 – 200π
C ) 800 – 100 π
D ) 800 – 200 π
D
A B
C
107 / 134Colegio Alemán de Santiago
61. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias de radio 10 cm cada una, tangentes entre sí y tangentes al
rectángulo ABCD. ¿Cuál es el área de la región sombreada en cm
2
?
A ) 400 – 100
π
B ) 400 – 200π
C ) 800 – 100 π
D ) 800 – 200 π
D
A B
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
108 / 134Colegio Alemán de Santiago
62. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias concéntricas de centro O. Se sabe que el radio de las
circunferencias miden 10 cm y 8 cm, ¿cuál es el área de la fi gura sombreada?
A ) 18
π cm
2
B ) 25 π cm
2
C ) 50 π cm
2
D ) 100 π cm
2
O
108 / 134Colegio Alemán de Santiago
62. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias concéntricas de centro O. Se sabe que el radio de las
circunferencias miden 10 cm y 8 cm, ¿cuál es el área de la fi gura sombreada?
A ) 18
π cm
2
B ) 25 π cm
2
C ) 50 π cm
2
D ) 100 π cm
2
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
109 / 134Colegio Alemán de Santiago
63. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias concéntricas de centro O. Se sabe que el radio de las
circunferencias miden 6 cm y 4 cm.
O
Se requiere determinar el perímetro de la región sombreada, y para esto un estudiante realiza los siguientes
pasos:
Paso 1: Determina el perímetro de la circunferencia mayor, calculando: 2·
π· 6= 12π cm.
Paso 2: Determina el perímetro de la circunferencia menor, calculando: 2·
π· 4= 8π cm.
Paso 3: Resta los resultados obtenidos, concluyendo que el perímetro de la región sombreada es
12
π – 8π = 4π cm
109 / 134Colegio Alemán de Santiago
63. En la fi gura adjunta se tienen dos circunferencias concéntricas de centro O. Se sabe que el radio de las
circunferencias miden 6 cm y 4 cm.
O
Se requiere determinar el perímetro de la región sombreada, y para esto un estudiante realiza los siguientes
pasos:
Paso 1: Determina el perímetro de la circunferencia mayor, calculando: 2·
π· 6= 12π cm.
Paso 2: Determina el perímetro de la circunferencia menor, calculando: 2·
π· 4= 8π cm.
Paso 3: Resta los resultados obtenidos, concluyendo que el perímetro de la región sombreada es
12
π – 8π = 4π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
110 / 134Colegio Alemán de Santiago
Se acuerdo con el procedimiento anterior, el estudiante comete el primer error en el:
A ) Paso 1.
B ) Paso 2.
C ) Paso 3.
D ) No comete error. Su resultado es correcto.
110 / 134Colegio Alemán de Santiago
Se acuerdo con el procedimiento anterior, el estudiante comete el primer error en el:
A ) Paso 1.
B ) Paso 2.
C ) Paso 3.
D ) No comete error. Su resultado es correcto.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
111 / 134Colegio Alemán de Santiago
64. En la fi gura adjunta se tiene un rombo ABCD de diagonal mayor DB = 16 cm y diagonal menor AC = 12 cm. Si
el arco CD es una semicircunferencia, ¿cuál es el área de la región sombreada en cm
2
?
A ) 48 + 12,5
π
B ) 48 + 25π
C ) 96 + 12,5π
D ) 192 + 25π B
A
C
D
111 / 134Colegio Alemán de Santiago
64. En la fi gura adjunta se tiene un rombo ABCD de diagonal mayor DB = 16 cm y diagonal menor AC = 12 cm. Si
el arco CD es una semicircunferencia, ¿cuál es el área de la región sombreada en cm
2
?
A ) 48 + 12,5
π
B ) 48 + 25π
C ) 96 + 12,5π
D ) 192 + 25π B
A
C
D
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
112 / 134Colegio Alemán de Santiago
65. Durante la campaña electoral cierto alcalde de una comuna de Santiago, promete crear una perrera para
mejorar las condiciones de su comuna y la vida de los perros callejeros. Su equipo ha diseñado un edifi cio de
3 pisos cuya base tiene la forma de un trapecio isósceles como se muestra en la fi gura:
18 m
27 m
A D
5 m
13 m
E
B C
Según el estudio de su equipo cada perro necesita un espacio mínimo de 10 m
2
para vivir, además de
paseos diarios. ¿Cuántos perros puede albergar el edifi cio si se usan 2 de los 3 pisos para el almacenamiento
de los canes?
A ) 30
B ) 60
C ) 90
D ) 120
112 / 134Colegio Alemán de Santiago
65. Durante la campaña electoral cierto alcalde de una comuna de Santiago, promete crear una perrera para
mejorar las condiciones de su comuna y la vida de los perros callejeros. Su equipo ha diseñado un edifi cio de
3 pisos cuya base tiene la forma de un trapecio isósceles como se muestra en la fi gura:
18 m
27 m
A D
5 m
13 m
E
B C
Según el estudio de su equipo cada perro necesita un espacio mínimo de 10 m
2
para vivir, además de
paseos diarios. ¿Cuántos perros puede albergar el edifi cio si se usan 2 de los 3 pisos para el almacenamiento
de los canes?
A ) 30
B ) 60
C ) 90
D ) 120
Colegio Alemán de Santiago
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
EJERCICIOS M2
Registro propiedad intelectual nº 275.203 - Moraleja Editorial.
Se autoriza su uso con fi nes docentes a Colegio Alemán de Santiago durante el año 2025.
EJERCICIOS M2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
114 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. Podemos conocer el radio de una circunferencia si conocemos :
( 1 ) El área de un semicírculo de igual radio.
( 2 ) La medida de la longitud de toda la circunferencia.
A ) (1) por sí sola
B ) (2) por sí sola
C ) Ambas juntas, (1) y (2)
D ) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E ) Se requiere información adicional
114 / 134Colegio Alemán de Santiago
1. Podemos conocer el radio de una circunferencia si conocemos :
( 1 ) El área de un semicírculo de igual radio.
( 2 ) La medida de la longitud de toda la circunferencia.
A ) (1) por sí sola
B ) (2) por sí sola
C ) Ambas juntas, (1) y (2)
D ) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E ) Se requiere información adicional
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
115 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. Si modifi camos el radio de una circunferencia de tal forma que esta triplicaría su longitud, ¿qué efectos
produciría esta modifi cación del radio para efectos del área encerrada por dicha circunferencia?
A ) Se triplicaría.
B ) Se reduciría a la tercera parte.
C ) Se multiplicaría por 6.
D ) Se multiplicaría por 9.
E ) Se mantendría.
115 / 134Colegio Alemán de Santiago
2. Si modifi camos el radio de una circunferencia de tal forma que esta triplicaría su longitud, ¿qué efectos
produciría esta modifi cación del radio para efectos del área encerrada por dicha circunferencia?
A ) Se triplicaría.
B ) Se reduciría a la tercera parte.
C ) Se multiplicaría por 6.
D ) Se multiplicaría por 9.
E ) Se mantendría.
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
116 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, se trazan las diagonales AC y BD, las cuales se cortan en O. El área
del triángulo COD es de 9 m
2
y el área del triángulo ABO es de 16 m
2
. El área del trapecio es igual a :
A ) 49 m
2
B ) 37 m
2
C ) 28 m
2
D ) 25 m
2
E ) 14 m
2
A
D C
O
B
116 / 134Colegio Alemán de Santiago
3. En un trapecio ABCD, de bases AB y CD, se trazan las diagonales AC y BD, las cuales se cortan en O. El área
del triángulo COD es de 9 m
2
y el área del triángulo ABO es de 16 m
2
. El área del trapecio es igual a :
A ) 49 m
2
B ) 37 m
2
C ) 28 m
2
D ) 25 m
2
E ) 14 m
2
A
D C
O
B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
117 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. Sea ABCD un rectángulo, F y E puntos medios de sus lados. A partir de los datos de la fi gura adjunta, ¿qué
porcentaje corresponde el área achurada en relación al área del rectángulo ABCD?
A ) 10 %
B ) 12,5 %
C ) 2 5 %
D ) 3 0 %
FC
E
D
A
B
117 / 134Colegio Alemán de Santiago
4. Sea ABCD un rectángulo, F y E puntos medios de sus lados. A partir de los datos de la fi gura adjunta, ¿qué
porcentaje corresponde el área achurada en relación al área del rectángulo ABCD?
A ) 10 %
B ) 12,5 %
C ) 2 5 %
D ) 3 0 %
FC
E
D
A
B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
118 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. Sea el ∆ ABC equilátero de la fi gura adjunta, cuya altura mide 6 3 cm. ¿Cuál es el área achurada?
A )
(16
r – 363) cm
2
B ) (48r – 363) cm
2
C ) (48r – 63) cm
2
D ) (8r3 + 36) cm
2
C
BA
O
118 / 134Colegio Alemán de Santiago
5. Sea el ∆ ABC equilátero de la fi gura adjunta, cuya altura mide 6 3 cm. ¿Cuál es el área achurada?
A )
(16
r – 363) cm
2
B ) (48r – 363) cm
2
C ) (48r – 63) cm
2
D ) (8r3 + 36) cm
2
C
BA
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
119 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ= 33 cm. Si P, B y Q son puntos colineales,
entonces el área de la región sombreada mide:
A ) 63 cm
2
B ) 93 cm
2
C ) 123 cm
2
D ) 9 cm
2
E ) 18 cm
2
B
C
A
D
P
Q
119 / 134Colegio Alemán de Santiago
6. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ= 33 cm. Si P, B y Q son puntos colineales,
entonces el área de la región sombreada mide:
A ) 63 cm
2
B ) 93 cm
2
C ) 123 cm
2
D ) 9 cm
2
E ) 18 cm
2
B
C
A
D
P
Q
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
120 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. En la fi gura adjunta, ABCD es un cuadrado. Si AP = AQ = 5 cm y DP = BQ = 1 cm, ¿cuál es el área del ∆ AQP?
A ) 1,5 cm
2
B ) 2,5 cm
2
C ) 4 cm
2
D ) (2
5 + 1) cm
2
B
C
A
D
P
Q
120 / 134Colegio Alemán de Santiago
7. En la fi gura adjunta, ABCD es un cuadrado. Si AP = AQ = 5 cm y DP = BQ = 1 cm, ¿cuál es el área del ∆ AQP?
A ) 1,5 cm
2
B ) 2,5 cm
2
C ) 4 cm
2
D ) (2
5 + 1) cm
2
B
C
A
D
P
Q
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
121 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. En la fi gura adjunta, ABCD es un trapecio isósceles, ¿ cuálde las siguientes afi rmaciones esverdadera?
A ) CE = 8 cm
B ) AE = 9 cm
C ) AB = 12 cm
D ) Perímetro trapecio ABCD = 36 cm.
E ) Área trapecio ABCD = 203 cm
2
.
D 6 cm C
8 cm
E
60º
A B
121 / 134Colegio Alemán de Santiago
8. En la fi gura adjunta, ABCD es un trapecio isósceles, ¿ cuálde las siguientes afi rmaciones esverdadera?
A ) CE = 8 cm
B ) AE = 9 cm
C ) AB = 12 cm
D ) Perímetro trapecio ABCD = 36 cm.
E ) Área trapecio ABCD = 203 cm
2
.
D 6 cm C
8 cm
E
60º
A B
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
122 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. La siguiente imagen se elaboró con 3 circunferencias y un semicírculo para dibujar la boca. Si los radios de las
respectivas circunferencias pequeñas e iguales, el de la circunferencia mayor y el del semicírculo están en la
razón 1 : 6 : 2, ¿cuál es el perímetro de la región achurada si el área que ocupa la boca es 8
π cm
2
?
A )
(8 + 36π) cm
B )
(8 + 24π) cm
C )
(6 + 36π) cm
D )
(6 + 12π) cm
E )
(4 + 48π) cm
122 / 134Colegio Alemán de Santiago
9. La siguiente imagen se elaboró con 3 circunferencias y un semicírculo para dibujar la boca. Si los radios de las
respectivas circunferencias pequeñas e iguales, el de la circunferencia mayor y el del semicírculo están en la
razón 1 : 6 : 2, ¿cuál es el perímetro de la región achurada si el área que ocupa la boca es 8
π cm
2
?
A )
(8 + 36π) cm
B )
(8 + 24π) cm
C )
(6 + 36π) cm
D )
(6 + 12π) cm
E )
(4 + 48π) cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
123 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. Si dos circunferencias de igual radio se intersectan de tal forma que la distancia entre sus dos puntos de
intersección equivale 2 veces el radio de cada una de ellas, ¿cuál es el perímetro de la región común entre
ambas circunferencias si sus radios miden 9 cm?
A ) 4,5
π cm
B ) 9
π cm
C ) 15
π cm
D ) 18
π cm
123 / 134Colegio Alemán de Santiago
10. Si dos circunferencias de igual radio se intersectan de tal forma que la distancia entre sus dos puntos de
intersección equivale 2 veces el radio de cada una de ellas, ¿cuál es el perímetro de la región común entre
ambas circunferencias si sus radios miden 9 cm?
A ) 4,5
π cm
B ) 9
π cm
C ) 15
π cm
D ) 18
π cm
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
124 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. En la fi gura adjunta el triángulo ABC es equilátero y está circunscrito a la circunferencia de centro O y radio
43 cm. ¿Cuál es el área achurada?
A ) 123 cm
2
B )
3
144348–r
cm cm
2
C ) 1443 48–r^ h cm
2
D ) 144 cm
2
E ) 1443 cm
2
C
BA
O
124 / 134Colegio Alemán de Santiago
11. En la fi gura adjunta el triángulo ABC es equilátero y está circunscrito a la circunferencia de centro O y radio
43 cm. ¿Cuál es el área achurada?
A ) 123 cm
2
B )
3
144348–r
cm cm
2
C ) 1443 48–r^ h cm
2
D ) 144 cm
2
E ) 1443 cm
2
C
BA
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
125 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. En la fi gura adjunta, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si OA = AB = BC = 2 cm,
entonces ¿cuál es el área achurada?
A ) 10
π cm
2
B ) 14π cm
2
C ) 16 π cm
2
D ) 24 π cm
2
E ) 32 π cm
2
C
B
A
O
125 / 134Colegio Alemán de Santiago
12. En la fi gura adjunta, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si OA = AB = BC = 2 cm,
entonces ¿cuál es el área achurada?
A ) 10
π cm
2
B ) 14π cm
2
C ) 16 π cm
2
D ) 24 π cm
2
E ) 32 π cm
2
C
B
A
O
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
126 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. El deltoide es un cuadrilátero que se forma con dos triángulos isósceles que comparten su lado no congruente.
En la fi gura adjunta ∆ ACD comparte base AC con ∆ ACB. Se puede determinar el área del deltoide si se sabe
que :
( 1 ) BD = 10 cm y EC = 2 cm
( 2 ) BC = 13 cm
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
A
D
E
B
C
126 / 134Colegio Alemán de Santiago
13. El deltoide es un cuadrilátero que se forma con dos triángulos isósceles que comparten su lado no congruente.
En la fi gura adjunta ∆ ACD comparte base AC con ∆ ACB. Se puede determinar el área del deltoide si se sabe
que :
( 1 ) BD = 10 cm y EC = 2 cm
( 2 ) BC = 13 cm
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
A
D
E
B
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
127 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. En la fi gura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AD y AB, respec-
tivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?
A )
a
2
2
B )
a
4
C )
a
4
2
D )
a
8
2
B
C
A
D
M
N
127 / 134Colegio Alemán de Santiago
14. En la fi gura adjunta, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AD y AB, respec-
tivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?
A )
a
2
2
B )
a
4
C )
a
4
2
D )
a
8
2
B
C
A
D
M
N
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
128 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado. ¿ Qué parte del área del cuadrado es el área achurada ?
A )
4
1
B )
3
1
C )
2
1
D )
3
2
B
A
C
D
E
128 / 134Colegio Alemán de Santiago
15. En la fi gura adjunta ABCD es un cuadrado. ¿ Qué parte del área del cuadrado es el área achurada ?
A )
4
1
B )
3
1
C )
2
1
D )
3
2
B
A
C
D
E
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
129 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. Si se tiene un cuadrado de lado x, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al perímetro del círculo
circunscrito?
A ) x
π
B ) 2x π
C ) x π
2
D ) 2x π2
129 / 134Colegio Alemán de Santiago
16. Si se tiene un cuadrado de lado x, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al perímetro del círculo
circunscrito?
A ) x
π
B ) 2x π
C ) x π
2
D ) 2x π2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
130 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. En la fi gura adjunta ∆ ABC está inscrito en un semicírculo. Se puede determinar el área de la región achurada
si se conoce :
( 1 ) La medida de AC y de BC.
( 2 ) La medida de AB .
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
A B
C
130 / 134Colegio Alemán de Santiago
17. En la fi gura adjunta ∆ ABC está inscrito en un semicírculo. Se puede determinar el área de la región achurada
si se conoce :
( 1 ) La medida de AC y de BC.
( 2 ) La medida de AB .
A ) ( 1 ) por sí sola
B ) ( 2 ) por sí sola
C ) Ambas juntas, ( 1 ) y ( 2 )
D ) Cada una por sí sola, ( 1 ) ó ( 2 )
E ) Se requiere información adicional
A B
C
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
131 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. En la fi gura adjunta se tiene un círculo de radio = 2a y diámetro AB. El rectángulo ABCD es tal que los puntos
A, B y E son puntos de tangencia, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al área del rectángulo?
A ) 2a
2
B ) 8a
2
C ) 12a
2
D ) 16a
2
D
A B
CE
131 / 134Colegio Alemán de Santiago
18. En la fi gura adjunta se tiene un círculo de radio = 2a y diámetro AB. El rectángulo ABCD es tal que los puntos
A, B y E son puntos de tangencia, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde al área del rectángulo?
A ) 2a
2
B ) 8a
2
C ) 12a
2
D ) 16a
2
D
A B
CE
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
132 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Si en un terreno rectangular de 42 m de ancho por 10 m de largo, cerrado con alambres, amarramos una
vaca a un poste que está ubicado exactamente al centro del terreno, con una soga de 4 metros de largo,
¿cuánto es la superfi cie máxima de pasto que la vaca podría comer si la soga no se enrolla al girar en torno
al poste?
(Considere π = 3)
A ) 28 m
2
B ) 36 m
2
C ) 40 m
2
D ) 48 m
2
132 / 134Colegio Alemán de Santiago
19. Si en un terreno rectangular de 42 m de ancho por 10 m de largo, cerrado con alambres, amarramos una
vaca a un poste que está ubicado exactamente al centro del terreno, con una soga de 4 metros de largo,
¿cuánto es la superfi cie máxima de pasto que la vaca podría comer si la soga no se enrolla al girar en torno
al poste?
(Considere π = 3)
A ) 28 m
2
B ) 36 m
2
C ) 40 m
2
D ) 48 m
2
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
133 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. El triángulo ABC de la fi gura adjunta es equilátero y está inscrito en la circunferencia de centro O y radio 10
cm. ¿Cuál es el área achurada?
A ) 753 cm
2
B )
3
100
753–
r
a k cm
2
C ) 1002 53–^ h cm
2
D )
3
100
253–
r
a k cm
2
C
O
BA
133 / 134Colegio Alemán de Santiago
20. El triángulo ABC de la fi gura adjunta es equilátero y está inscrito en la circunferencia de centro O y radio 10
cm. ¿Cuál es el área achurada?
A ) 753 cm
2
B )
3
100
753–
r
a k cm
2
C ) 1002 53–^ h cm
2
D )
3
100
253–
r
a k cm
2
C
O
BA
CAPÍTULO 14 | CUADRILÁTEROS Y CÍRCULOS
134 / 134Colegio Alemán de Santiago
CAPÍTULO 14
RESPUESTAS
1. C
2. C
3. B
4. D
5. B
6. C
7. A
8. C
9. C
10. D
11. B
12. D
13. C
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15. B
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1. B
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1. C
2. C
3. B
4. D
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7. A
8. C
9. C
10. D
11. B
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