15. INTEGRACION VECTORIAL

1. Integraci¶on vectorial
Integrales curvil¶³neas, de l¶³nea o de camino
Sean
C: [a; b]½IR¡!IR
3
t¡!(x(t); y(t); z(t))
una curva regular parametrizada en IR
3
y
f: IR
3
¡!IR
(x; y; z)¡!f(x; y; z)
un campo escalar continuo, es decir, una funci¶on continua de variable vectorial (o de varias
variables) con valores en el cuerpo de escalares IR.
De¯nici¶on:
Se llamaintegral de l¶³nea de primera especie (o integral curvil¶³nea de primera especie)del campo
escalarfa lo largo de la curvaCa la siguiente integral:
Z
C
f dl=
Z
b
a
f(C(t)kC
0
(t)kdt
dondeC
0
(t) = (x
0
(t); y
0
(t); z
0
(t)) =
µ
dx
dt
;
dy
dt
;
dz
dt
¶
denota el vector tangente a la curva en el
puntoC(t). Si la curva es cerrada, es decir,C(a) =C(b) la notaci¶on es
I
C
f dl
Ejemplo:
Sif= 1;es decir,8(x; y; z)2IR
3
esf(x; y; z) = 1 entonces
Z
C
f dl=
Z
b
a
kC
0
(t)kdt

2. representa la longitud de la curva.
Sean
C: [0;2¼]½IR¡!IR
2
t¡!(Rcost; Rsent)
una parametrizaci¶on positiva de la circunferencia de radioR >0 centrada en el origen en IR
2
, y
f: IR
2
¡!IR
(x; y)¡!1
un campo escalar constante, entonces
I
C
f dl=
Z
2¼
0
R dt= 2¼R
Sea ahora
F: IR
3
¡!IR
3
(x; y; z)¡!(F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z))
un campo vectorial continuo, es decir, una funci¶on continua de variable vectorial (o de varias
variables) con valores en IR
3
. En algunos textos, sobre todo de F¶³sica, los campos vectoriales
suelen denotarse por
~
F.
De¯nici¶on:
Se llamaintegral de l¶³nea de segunda especie (o integral curvil¶³nea de segunda especie)deFa lo
largo de la curvaCa la integral:
Z
C
F dl=
Z
b
a
F(C(t)¢C
0
(t)dt
En notaci¶on cl¶asica se escribir¶³a
Z
C
F1dx+F2dy+F3dz
Si la curva es cerrada, es decir,C(a) =C(b) la notaci¶on es
I
C
F dl
y en este caso se habla decirculaci¶ondeFa lo largo de la curva cerradaC:
Ejemplo:
Si la fuerza es
F: IR
2
¡!IR
2
(x; y)7¡!
µ
k
p
2
;
k
p
2
¶

3. ¡
¡
¡µ
F=k N
¡
¡
¡µ
F=k N
0 s
45
±
45
±
Figura 1.1: Trabajo realizado por una fuerza constante de m¶odulo \k" Newtons para trasladar
un cuerpo de masa \m" kg de un punto a otro a lo largo de un segmento de recta de longitud
\s" metros.
y la recta a lo largo de la cual se ejerce tiene la parametrizaci¶on siguiente:
C: [0;1]½IR¡!IR
2
t¡!(st;0)
entonces
W=
Z
C
F dl=
Z
1
0
F(C(t)¢C
0
(t)dt=
Z
1
0
µ
k
p
2
;
k
p
2
¶
¢(s;0)dt=
Z
1
0
k
p
2
s dt=
·
k
p
2
st
¸
1
0
=k
1
p
2
s=F scos 45
±
que es la conocida f¶ormula del trabajo de una fuerza constante a lo largo de una recta estudiada
en Bachillerato.
De¯nici¶on:
Si el campo vectorialFes un gradiente, i.e., si existe un campo escalarf(denominadopotencial)
tal queF=rf=
µ
@f
@x
;
@f
@y
;
@f
@z
¶
y se cumplen los requisitos de continuidad entonces
Z
C
F dl=
Z
b
a
F(C(t)¢C
0
(t)dt=
Z
b
a
rf(C(t))¢C
0
(t)dt=
Z
b
a
d
dt
(f±C)dt=f(C(b))¡f(C(a))
Ejemplo:
Supongamos que tenemos una masa \M"situada en el origen; ¶esta crea a su alrededor un campo
gravitatorio cuya expresi¶on en un punto (x; y; z) de IR
3
de acuerdo con laLey de Gravitaci¶on
Universal de Newtonviene dada por:
E(x; y; z) =
¡GMr
krk
3
Pues bien, si consideramos el campo opuesto¡Eresulta que es un gradiente y su funci¶on
potencial es el campo escalar siguiente:
V(x; y; z) =
¡GM
krk
dondeGes la constante de gravitaci¶on universal yr=r(x; y; z) es el vector de posici¶on del
punto (x; y; z). Por tanto el trabajo que hay que realizar (venciendo la resitencia del campo)

4. para llevar una part¶³cula de masa \m"de un puntoC(a) = (x1; y1; z1) a otroC(b) = (x2; y2; z2)
es
W=
Z
C
F dl=¡
Z
C
m E dl=¡
Z
b
a
m E(C(t))¢C
0
(t)dt=
Z
b
a
mrV(C(t))¢C
0
(t)dt=m(V(C(b))¡V(C(a))) =GmM
µ
1
kr1k
¡
1
kr2k
¶
ya que la fuerza que se ejerce sobre la part¶³cula durante la trayectoria esF=¡m E.
Al producto de la masa por el potencial se le llama energ¶³a potencial y se denota porEp=mV.
As¶³, el trabajo para trasladar la masa desde el primer punto hasta el segundo venciendo la
resitencia del campo coincide con la variaci¶on de la energ¶³a potencial, i.e.,
W=Ep(b)¡Ep(a) = ¢Ep
Es obvio que el trabajo que realiza la fuerza que crea el campo es su opuesto, es decir,¡¢Ep.
En el caso de pertenecer dichos puntos a la misma super¯cie equipotencial (conjunto de puntos
que tienen el mismo potencial) el trabajo que hay que realizar para mover la part¶³cula es nulo
pueskr1k=kr2k:
Observamos que si el punto de partida se sit¶ua en el in¯nito (kr1k=1) entonces la expresi¶on
del trabajo es
W=
Z
C
F dl=¡
GMm
kr2k
=mV(r2) =Ep(r2)
As¶³, pueden de¯nirse la energ¶³a potencial de una masa colocada en un punto como el trabajo que
hay que realizar contra el campo para llevarla desde el in¯nito hasta el punto en que se encuentra
y el potencial en un punto como la eneg¶³a potencial que tiene la unidad de masa colocada en
dicho punto, o equivalentemente, el trabajo que hay que realizar venciendo la resitencia del
campo para trasladar la unidad de masa desde el in¯nito hasta el punto en cuesti¶on.
Integrales de super¯cie
Sean
© :D½IR
2
¡!IR
3
(u; v)¡!(x(u; v); y(u; v); z(u; v))
la parametrizaci¶on de una super¯cie regularS= ©(D) en IR
3
dondeDes un dominio de IR
2
, y
f: IR
3
¡!IR
(x; y; z)¡!f(x; y; z)
un campo escalar continuo. La imagen por © de las rectas del planov=v0yu=u0producen
unas curvas ©(u) y ©(v) respectivamente cuyos vectores tangentes en ©(u0; v0) son:
Tu=
µ
@x(u0; v0)
@u
;
@y(u0; v0)
@u
;
@z(u0; v0)
@u
¶
Tv=
µ
@x(u0; v0)
@v
;
@y(u0; v0)
@v
;
@z(u0; v0)
@v
¶

5. ¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
¾
½
»
¼
¡
¡
¡
¡
¡
®ª ®ª
% %
x
z
y
u=u0
v=v0
®rª
-
©
Figura 1.2: Parametrizaci¶on de una super¯cie regular en IR
3
y determinan lo que se denomina plano tangente a la super¯cieSen ©(u0; v0) siendo la ecuaci¶on
de dicho plano la siguiente:
(x¡x0; y¡y0; z¡z0)¢(Tu£Tv) = 0
De¯nici¶on:
Se llama integral del campo escalarfsobre la super¯cieSa la integral doble siguiente:
Z
S
f(x; y; z;)dS=
ZZ
D
f(©(u; v))¢ kTu£Tvkdu dv
Ejemplo:
Sif= 1 es un campo escalar constante e igual a 1 la integral de super¯cie representa el ¶area
de la misma; por ejemplo, si se considera una esfera en IR
3
de radioRcentrada en el origen
parametrizada como sigue:
© :
µ
¡
¼
2
;
¼
2
¶
£(0;2¼)½IR
2
¡!IR
3
(u; v)¡!(Rcosucosv; Rcosusenv; Rsenu)
se tiene que
Tu= (¡Rsenucosv;¡Rsenusenv; Rcosu) y
Tv= (¡Rcosusenv; Rcosucosv;0) luego
kTu£Tvk=R
2
cosu
Por tanto,
Z
S
f(x; y; z;)dS=
ZZ
(
¡¼
2
;
¼
2
)£(0;2¼)
R
2
cosu du dv=
Z¼
2
¡¼
2
Z
2¼
0
R
2
cosu du dv=
Z¼
2
¡¼
2
h
R
2
vcosu
i
2¼
0
du=
h
2¼R
2
senu
i¼
2
¡¼
2
= 4¼ R
2
que es el ¶area de la super¯cie esf¶erica de radioR.
De¯nici¶on:
Si ahora
F: IR
3
¡!IR
3
(x; y; z)¡!(F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z))

6. es un campo vectorial , se llama integral de super¯cie del campo vectorialFa la integral doble:
Z
S
F dS=
ZZ
D
F(©(u; v))¢(Tu£Tv)du dv
Ejemplo:
Si E(x; y; z) =
Qr
4¼"0krk
3
representa el campo el¶ectrico en un punto (x; y; z) creado por
una carga el¶ectrica puntual positivaQsituada en el origen de IR
3
podemos calcular el °ujo que
atraviesa una esfera de radioRcentrada enOcomo sigue:
©=
Z
S
E dS=
ZZ
D
E(©(u; v))¢(Tu£Tv)du dv=
ZZ
D
1
4¼"0
Q
R
3
©(u; v)¢(Tu£Tv)du dv=
1
4¼"0
Q
R
2
ZZ
D
kTu£Tvkdu dv=
1
4¼"0
Q
R
2
4¼R
2
=
Q
"0
que es la conocidaLey de Gaussdel °ujo electrost¶atico que se estudia en Bachillerato, siendo
"0la permitividad el¶ectrica del vac¶³o, y © la parametrizaci¶on de la esfera de radioRutilizada
en el ejemplo anterior; como es de suponer se demuestra que todos estos resultados son inde-
pendientes (salvo el signo) de la parametrizaci¶on utilizada.
De¯nici¶on:
Sea
F: IR
3
¡!IR
3
(x; y; z)¡!(F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z))
un campo vectorial con derivadas parciales en todos los puntos; se denominarotacionaldeFal
campo vectorial siguiente:
rot F=
µ
@F3
@y
¡
@F2
@z
;
@F1
@z
¡
@F3
@x
;
@F2
@x
¡
@F1
@y
¶
y se denominadivergenciadeFal campo escalar siguiente:
div F=
@F1
@x
+
@F2
@y
+
@F3
@z
El rotacional y la divergencia aparecen en la formulaci¶on de los resultados m¶as importantes de la
teor¶³a de la integraci¶on vectorial, los teoremas de Stokes y de Gauss. Por otra parte estos campos
se pueden expresar de forma muy sencilla conviniendo considerar el operadorr=
µ
@
@x
;
@
@y
;
@
@z
¶
como un vector. As¶³ tenemos:
rot F=r ^F=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
~{ ~|
~
k
@
@x
@
@y
@
@z
F1F2F3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯

7. y
div F=r ¢F=
µ
@
@x
;
@
@y
;
@
@z
¶
¢(F1; F2; F3)
Recordemos que el gradiente de un campo escalarfes el resultado de aplicar dicho operadorr
af, es decir
grad f=rf=
µ
@f
@x
;
@f
@y
;
@f
@z
¶
Hay que insistir en que esto no es sino un recurso mnemot¶ecnico; la expresi¶on de los campos
rotacional y divergencia a partir del operadorrfacilita y simpli¯ca el c¶alculo, sin embargo, para
evitar operaciones carentes de sentido se debe tener siempre presente el convenio anteriormente
citado.
Teorema (de Stokes):
SeaS= ©(D) una super¯cie parametrizada en IR
3
y © una parametrizaci¶on de la misma. Si
la frontera deD½IR
2
es una curva cerrada y regularC=C(I) parametrizada en el intervalo
I= [a; b] , si¡es el borde de la super¯cieSyFes un campo vectorial, y se cumplen ciertas
hip¶otesis de diferenciabilidad en las que no se va a entrar entonces:
Z
S
rot F dS=
Z
¡
F dl
Teorema (de Gauss o de la divergencia)
SeaMuna regi¶on de IR
3
que cumple ciertas hip¶otesis en las que no entraremos; si su frontera
es una super¯cieSque veri¯ca ciertas condiciones yF= (F1; F2; F3) es un campo vectorial
de¯nido en un abierto que contenga aMentonces:
ZZZ
M
div F dx dy dz=
Z
S
F dS
donde la primera integral es una integral triple (de Riemann) en IR
3
y la segunda es una integral
de super¯cie (que ya se ha de¯nido).

8. Ejercicios sobre derivadas direccionales y gradientes de cam-
pos escalares
1.Dado el campoz=f(x; y) =x
3
+y
3
¡3xy
a)Determinar su gradiente en los puntosP0(¡1;0) yP1(1;¡1).
b)Hallar la derivada direccional en dichos puntos en una direcci¶on que forme un ¶angulo
de 30
±
con el ejeOX.
c)Hallar su derivada direccional en la direcci¶on del ejeOX
2.Un foco calor¶³¯co est¶a situado en el origen de coordenadas de un placa met¶alica. La
temperaturaTen cualquier puntoP(x; y) viene dada por la expresi¶onT(x; y) =
1
x
2
+y
2
.
Calcular:
a)la temperatura en los puntosP1(2;0) yP2(2;3),
b)el conjunto de puntos isotermos,
c)la direcci¶on en la que la variaci¶on de la temperatura es m¶axima,
d)estudiar el sentido en que aumenta la temperatura y dibujar algunas curvas de nivel,
e)la variaci¶on de la temperatura en la direcci¶on que forma un ¶angulo de 30
±
con el eje
OX.
3.Dado el campo escalar de¯nido por la funci¶on
u(x; y; z) = (x+y)
2
+z
2
¡xy+ 2z
y partiendo del puntoP0(¡1;2;3), determinar en qu¶e direcci¶on var¶³a m¶as r¶apidamente
dicha funci¶on y hallar en el origen su derivada direccional en la direcci¶on que forma ¶angulos
de 60
±
con el ejeOZ, 90
±
con el ejeOXy 30
±
con el ejeOY.
4.Dada la funci¶onu(x; y; z) =x
2
+y
2
+z
2
calcular en el puntoP(1;0;0) la derivada direc-
cional seg¶un el vector~v= (1;1;1). Calcular tambi¶en el gradiente y sus proyecciones.
EJERCICIOS

9. 5.Calcular las constantesa; b; cpara que la derivada direccional de la funci¶onf(x; y; z) =
axy
2
+byz+cx
3
z
2
en el puntoP(1;2;¡1) tenga un valor m¶aximo de 64 y est¶e en el sentido
positivo del ejeOZ.
6.Dada la funci¶on
z(x; y) =
x
2
y
x
2
+y
2
¡xy
a)Obtener el gradiente en el puntoP(2;¡1).
b) Obtener la ecuaci¶on de la curva de nivel que pasa por el puntoP(2;¡1), comprobando
que el vector gradiente es ortogonal a la recta tangente en ese punto.
7.Calcular la derivada de la funci¶onz(x; y) =x
2
¡xy+y
2
en el puntoP(1;1) en la direcci¶on
que forma un ¶angulo®con la parte positiva del ejeOX. >En qu¶e direcci¶on se veri¯ca que:
a)la derivada alcanza su valor m¶aximo?
b) la derivada es cero?
Calcular dicha derivada en la direcci¶on del vector~u= 6~i+ 8~j
8.Hallar la derivada de la funci¶onz(x; y) =L(x
2
+y
2
) en el puntoP0(x0; y0) y en la direcci¶on
que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto.
9.Hallar la magnitud y la direcci¶on del gradiente de la funci¶on
u(x; y; z) =
1
p
x
2
+y
2
+z
2
en el puntoP0(x0; y0).
10.Calcular la derivada de la funci¶onu(x; y; z) =xy
2
z
3
en el puntoM(3;2;1) y en la direcci¶on
del vector
¡!
MNsiendoN(5;4;2)
11.Calcular la derivada del campo escalar
u(x; y; z) = arc sen
z
p
x
2
+y
2
en el puntoM(1;1;1) y en la direcci¶on del vector
¡!
MNsiendoN(3;2;3).
12.Calcular la magnitud y determinar la direcci¶on del gradiente del campou(x; y; z) =xyz
en el puntoM(2;1;1).
13.Calcular la derivada del campou(x; y; z) =
x
2
+
y
3
+
z
6
en la direcci¶on~v= 6~i+ 3~j¡6
~
ken
el puntoP0(x0; y0; z0).

10. Ejercicios sobre integrales de l¶³nea
1.Evaluar
Z
C
(x
3
¡y
3
)dysiendoCel semic¶³rculoy=
p
1¡x
2
recorrido en sentido positivo
(antihorario).
3¼
8
2.Calcular
Z
C
xy
2
dx+x
2
y dysiendoCla par¶abolay=x
2
desde (0;0) hasta (¡1;1).
1
2
3. Calcular
I
C
y
2
dx+x
2
dydondeCes el tri¶angulo de v¶ertices (1;0);(0;0) y (1;1) orientado
en sentido positivo.
1
3
4.Calcular las siguientes integrales a lo largo de los caminos rectos que unen los puntos
extremos:
a)
Z
(2;2)
(0;0)
y
2
dx
8
3
b)
Z
(1;2)
(2;1)
y dx ¡
3
2
c)
Z
(2;1)
(1;1)
y
2
dx 0