2.9 graficas de polinomios factorizables

graficas de polinomios factorizables

1. Gráficas de polinomios factorizables http://www.lahc.edu/math/precalculus/math_260a.html

2. Gráficas de polinomios factorizables Calistenia de funciones (Autor desconocido)

3. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . N 1 N 2 N k Gráficas de polinomios factorizables

4. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 . Gráficas de polinomios factorizables

5. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . Entonces r 1 , r 2 ,.. , r k son las raíces de P(x). N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 . Gráficas de polinomios factorizables

6. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . Entonces r 1 , r 2 ,.. , r k son las raíces de P(x). N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 Así que las raíces de P(x) son x = 0, –2, y 2. Gráficas de polinomios factorizables

7. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . Entonces r 1 , r 2 ,.. , r k son las raíces de P(x). El orden o multiplicidad de una raíz es la potencia correspondiente del factor de dicha raíz, es decir, la multiplicidad de r 1 es N 1 , de r 2 e s N 2 ,etc.. N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 Así que las raíces de P(x) son x = 0, –2, y 2. Gráficas de polinomios factorizables

8. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . Entonces r 1 , r 2 ,.. , r k son las raíces de P(x). El orden o multiplicidad de una raíz es la potencia correspondiente del factor de dicha raíz, es decir, la multiplicidad de r 1 es N 1 , de r 2 e s N 2 ,etc.. N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 Así que las raíces de P(x) son x = 0, –2, y 2. x = 0 tiene orden 3 , x = –2 y x = 2 tienen orden 2 . Gráficas de polinomios factorizables

9. El comportamiento de los polinomios factorizables nos da una idea del comportamiento de todos ellos. U n polinomio P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .. + a 1 x + a es factorizable si, usando sólo números reales P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) .. (x – r k ) . Entonces r 1 , r 2 ,.. , r k son las raíces de P(x). El orden o multiplicidad de una raíz es la potencia correspondiente del factor de dicha raíz, es decir, la multiplicidad de r 1 es N 1 , de r 2 e s N 2 ,etc.. N 1 N 2 N k Ejemplo A: P(x) = 2x 7 – 16x 5 + 32x 3 = 2x 3 (x 4 – 8x 2 + 16) = 2x 3 (x 2 – 4) 2 = 2(x – 0) 3 (x + 2) 2 (x – 2) 2 Así que las raíces de P(x) son x = 0, –2, y 2. x = 0 tiene orden 3 , x = –2 y x = 2 tienen orden 2 . Gráficas de polinomios factorizables

10. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Gráficas de polinomios factorizables

11. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Notemos que las gráficas de polinomios son todas líneas continuas. x x Gráficas de polinomios Gráficas de polinomios factorizables

12. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Notemos que las gráficas de polinomios son todas líneas continuas. x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no polinomios Gráficas de polinomios factorizables

13. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Notemos que las gráficas de polinomios son todas líneas continuas. x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no polinomios Para graficar una función, dividiremos el trabajo en dos partes. Gráficas de polinomios factorizables

14. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Notemos que las gráficas de polinomios son todas líneas continuas. x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no polinomios Para graficar una función, dividiremos el trabajo en dos partes. I. ¿Cómo se ve la gráfica en el “medio”? (la sección curveada que dibujamos en el papel) Gráficas de polinomios factorizables

15. En esta sección, desarrollaremos una estrategia para graficar polinomios factorizables y funciones racionales. Notemos que las gráficas de polinomios son todas líneas continuas. x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no polinomios Para graficar una función, dividiremos el trabajo en dos partes. I. ¿Cómo se ve la gráfica en el “medio”? (la sección curveada que dibujamos en el papel) II. ¿Cómo se ve la gráfica mas allá del área que dibujamos? Gráficas de polinomios factorizables

16. Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

17. En particular y = x par y = x 2 Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

18. En particular y = x par y = x 2 y = x 4 (1, 1) (-1, 1) Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

19. En particular y = x par y = x 2 y = x 4 y = x 6 (1, 1) (-1, 1) Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

20. En particular y = x par y = x 2 y = x 4 y = x 6 y = - x 2 y = - x 4 y = - x 6 (1, 1) (-1, 1) (-1,-1) (1,-1) Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

21. En particular y = x par y = x 2 y = x 4 y = x 6 y = - x 2 y = - x 4 y = - x 6 y = ± x par : y = x par y = – x par (1, 1) (-1, 1) (-1,-1) (1,-1) Iniciaremos con las gráficas de y = ± x N . Gráficas de polinomios factorizables

22. Gráficas de y = x impar y = x 3 Gráficas de polinomios factorizables

23. Gráficas de y = x impar y = x 3 y = x 5 (1, 1) Gráficas de polinomios factorizables

24. Gráficas de y = x impar y = x 3 y = x 5 y = x 7 (1, 1) (-1, -1) Gráficas de polinomios factorizables

25. Gráficas de y = x impar y = x 3 y = x 5 y = x 7 y = - x 3 y = - x 5 y = - x 7 (1, 1) (-1, -1) (-1, 1) (1,-1) Gráficas de polinomios factorizables

26. Gráficas de y = x impar y = x 3 y = x 5 y = x 7 y = - x 3 y = - x 5 y = - x 7 y = ± x impar y = x odd y = – x odd (1, 1) (-1, -1) (-1, 1) (1,-1) Gráficas de polinomios factorizables

27. Características de polinomios: x x Gráficas de polinomios Gráficas de polinomios factorizables

28. Características de polinomios: • Sus gráficas son continuas. x x Gráficas de polinomios Gráficas de polinomios factorizables

29. Características de polinomios: • Sus gráficas son continuas. x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no–polinomios (discontinuas) Gráficas de polinomios factorizables

30. Características de polinomios: • Sus gráficas son continuas. • Son curvas suaves (sin esquinas). x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no–polinomios (discontinuas) Gráficas de polinomios factorizables

31. Características de polinomios: • Sus gráficas son continuas. • Son curvas suaves (sin esquinas). x x Gráficas de polinomios x x Gráficas de no–polinomios (discontinuas) Gráfica de no–polinomios (no es suave) x Gráficas de polinomios factorizables

32. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Gráficas de polinomios factorizables

33. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Gráficas de polinomios factorizables

34. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Gráficas de polinomios factorizables

35. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Veamos el caso de P(x) = x 5 + 1000 x 4 . Su razón es 1000 x 4 / x 5 =1000 /x. Gráficas de polinomios factorizables

36. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Veamos el caso de P(x) = x 5 + 1000 x 4 . Su razón es 1000 x 4 / x 5 =1000 /x. Consideremos x = 10 100 , (un gugol ), 1000 /x ≈ 0. Esto significa que el aporte de 1000 x 4 es casi despreciable respecto a x 5 . Así que y = x 5 replica la gráfica de y = P(x) = x 5 + 1000 x 4 para x's grandes. Gráficas de polinomios factorizables

37. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Entonces, para x tales que |x| es " grande", y = P(x) se asemeja a y = A x n (el 1 er término) Veamos el caso de P(x) = x 5 + 1000 x 4 . Su razón es 1000 x 4 / x 5 =1000 /x. Consideremos x = 10 100 , (un gugol ), 1000 /x ≈ 0. Esto significa que el aporte de 1000 x 4 es casi despreciable respecto a x 5 . Así que y = x 5 replica la gráfica de y = P(x) = x 5 + 1000 x 4 para x's grandes. Gráficas de polinomios factorizables

38. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Notando esto, podemos concluir que hay cuatro tipos de gráficas de polinomios, basados en e l signo del primer término A x n y Entonces, para x tales que |x| es " grande", y = P(x) se asemeja a y = A x n (el 1 er término) Veamos el caso de P(x) = x 5 + 1000 x 4 . Su razón es 1000 x 4 / x 5 =1000 /x. Consideremos x = 10 100 , (un gugol ), 1000 /x ≈ 0. Esto significa que el aporte de 1000 x 4 es casi despreciable respecto a x 5 . Así que y = x 5 replica la gráfica de y = P(x) = x 5 + 1000 x 4 para x's grandes. Gráficas de polinomios factorizables

39. Sea P(x) = Ax n + Bx n-1 + Cx n-2 + … Para |x| grande, el primer término Ax n domina sobre los términos de menor grado . Es decir, para x's muy a la izquierda o derecha, los términos de menor grado son despreciables respecto a A x n . Notando esto, podemos concluir que hay cuatro tipos de gráficas de polinomios, basados en e l signo del primer término A x n y si n es par o impar. Entonces, para x tales que |x| es " grande", y = P(x) se asemeja a y = A x n (el 1 er término) Veamos el caso de P(x) = x 5 + 1000 x 4 . Su razón es 1000 x 4 / x 5 =1000 /x. Consideremos x = 10 100 , (un gugol ), 1000 /x ≈ 0. Esto significa que el aporte de 1000 x 4 es casi despreciable respecto a x 5 . Así que y = x 5 replica la gráfica de y = P(x) = x 5 + 1000 x 4 para x's grandes. Gráficas de polinomios factorizables

40. Estos son los 4 comportamientos de polinomios: Gráficas de polinomios factorizables

41. y = + x par + términos despreciables: Estos son los 4 comportamientos de polinomios: Gráficas de polinomios factorizables

42. y = + x par + términos despreciables: y = – x par + términos despreciables: Estos son los 4 comportamientos de polinomios: Gráficas de polinomios factorizables

43. y = + x par + términos despreciables: y = – x par + términos despreciables: Estos son los 4 comportamientos de polinomios: y = + x impar + términos despreciables: Gráficas de polinomios factorizables

44. y = + x par + términos despreciables: y = – x par + términos despreciables: Estos son los 4 comportamientos de polinomios: y = + x impar + términos despreciables: y = – x impar + términos despreciables: Gráficas de polinomios factorizables

45. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Gráficas de polinomios factorizables

46. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Gráficas de polinomios factorizables

47. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Construcción de una tabla de signos para P(x): Gráficas de polinomios factorizables

48. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Construcción de una tabla de signos para P(x): I. Encontramos las raíces de P(x) incluyendo multiplicidad. Gráficas de polinomios factorizables

49. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Construcción de una tabla de signos para P(x): I. Encontramos las raíces de P(x) incluyendo multiplicidad. II. Localizamos estos puntos en el eje real Gráficas de polinomios factorizables

50. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Construcción de una tabla de signos para P(x): I. Encontramos las raíces de P(x) incluyendo multiplicidad. II. Localizamos estos puntos en el eje real III. Muestrea un punto por su signo, utiliza la multiplicidad de las raíces. Gráficas de polinomios factorizables

51. Ahora utilizaremos la tabla de signos para graficar la parte central de las gráficas. Recordemos que dado un polinomio P(x), su tabla de signos se construye mediante los siguientes pasos: Construcción de una tabla de signos para P(x): I. Encontramos las raíces de P(x) incluyendo multiplicidad. II. Localizamos estos puntos en el eje real III. Muestrea un punto por su signo, utiliza la multiplicidad de las raíces. Recordatorio: Una raíz par implica que el signo se mantiene. Una raíz impar implica cambio de signo. Gráficas de polinomios factorizables

52. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Gráficas de polinomios factorizables

53. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Gráficas de polinomios factorizables

54. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Gráficas de polinomios factorizables

55. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Gráficas de polinomios factorizables

56. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. 4 -1 Gráficas de polinomios factorizables

57. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Sustituimos x = 0 en la ecuación original y obtenemos que f(0) es negativo. 4 -1 Gráficas de polinomios factorizables

58. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Sustituimos x = 0 en la ecuación original y obtenemos que f(0) es negativo. 4 -1 Sustituyendo x = 0, t enemos que f(0) es negativo. Gráficas de polinomios factorizables

59. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Sustituimos x = 0 en la ecuación original y obtenemos que f(0) es negativo. Debido a la multiplicidad de las raíces, los signos después de las raíces son "+". 4 -1 Sustituyendo x = 0, t enemos que f(0) es negativo. Gráficas de polinomios factorizables

60. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Sustituimos x = 0 en la ecuación original y obtenemos que f(0) es negativo. Debido a la multiplicidad de las raíces, los signos después de las raíces son "+". 4 -1 Sustituyendo x = 0, t enemos que f(0) es negativo. + + Gráficas de polinomios factorizables

61. Ejemplo B. Haz la tabla de signos de f(x) = x 2 – 3x – 4 Resuelve x 2 – 3x – 4 = 0 (x – 4)(x + 1) = 0 Las raíces son x = 4 , -1 y ambas tienen multiplicidad impar. Localizamos estos puntos en una recta. Sustituimos x = 0 en la ecuación original y obtenemos que f(0) es negativo. Debido a la multiplicidad de las raíces, los signos después de las raíces son "+". 4 -1 Sustituyendo x = 0, t enemos que f(0) es negativo. A continuación se muestra la gráfica de y = x 2 – 3x – 4: + + Gráficas de polinomios factorizables

62. + + + + + – – – – – + + + + + 4 -1 y=(x – 4)(x+1) Gráficas de polinomios factorizables

63. Nota que la tabla de signos describe a la gráfica: I. La gráfica intersecta al eje x en las raíces. + + + + + – – – – – + + + + + 4 -1 y=(x – 4)(x+1) Gráficas de polinomios factorizables

64. Nota que la tabla de signos describe a la gráfica: I. La gráfica intersecta al eje x en las raíces. II. La gráfica está por encima del eje x cuando el signo es"+". + + + + + – – – – – + + + + + 4 -1 y=(x – 4)(x+1) Gráficas de polinomios factorizables

65. Nota que la tabla de signos describe a la gráfica: I. La gráfica intersecta al eje x en las raíces. II. La gráfica está por encima del eje x cuando el signo es"+". III. La gráfica está por debajo del eje x cuando el signo es "–". + + + + + – – – – – + + + + + 4 -1 y=(x – 4)(x+1) Gráficas de polinomios factorizables

66. II. “Parte central” de gráficas de polinomios Gráficas de polinomios factorizables

67. II. “Parte central” de gráficas de polinomios Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . Gráficas de polinomios factorizables

68. + + order = 1 order = 1 r r II. “Parte central” de gráficas de polinomios Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . y = (x – r) 1 y = –(x – r) 1 Gráficas de polinomios factorizables

69. + + + order = 1 order = 1 order = 3, 5, 7.. r r r II. “Parte central” de gráficas de polinomios Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . + order = 3, 5, 7.. r y = (x – r) 1 y = –(x – r) 1 y = (x – r) 3 or 5.. y = –(x – r) 3 or 5.. Gráficas de polinomios factorizables

70. order = 2, 4, 6 .. + + x=r r order = 2, 4, 6 .. y = (x – r) 2 or 4.. y = –(x – r) 2 or 4.. Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . Gráficas de polinomios factorizables

71. order = 2, 4, 6 .. + + Si conocemos las raíces de un polinomio factorizable , entonces podemos construir la parte central de su gráfica (el cuerpo) utilizando la tabla de signos. x=r r order = 2, 4, 6 .. y = (x – r) 2 or 4.. y = –(x – r) 2 or 4.. Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . Gráficas de polinomios factorizables

72. order = 2, 4, 6 .. + + Si conocemos las raíces de un polinomio factorizable , entonces podemos construir la parte central de su gráfica (el cuerpo) utilizando la tabla de signos. I. Dibuja la gráfica alrededor de cada raíz utilizando su multiplicidad. II. Conecta todas las piezas para formar la gráfica. x=r r order = 2, 4, 6 .. y = (x – r) 2 or 4.. y = –(x – r) 2 or 4.. Raíz con multiplicidad impar (x – r) impar . Gráficas de polinomios factorizables

73. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, Gráficas de polinomios factorizables

74. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

75. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

76. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. Al unirse se obtiene la gráfica completa. + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

77. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. Al unirse se obtiene la gráfica completa. + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

78. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. Al unirse se obtiene la gráfica completa. Ejemplo C. Dado P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 , identifica las raíces y su multiplicidad. Realiza la tabla de signos y esboza la gráfica alrededor de cada raíz, conecta cada gráfica. + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

79. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. Al unirse se obtiene la gráfica completa. Ejemplo C. Dado P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 , identifica las raíces y su multiplicidad. Realiza la tabla de signos y esboza la gráfica alrededor de cada raíz, conecta cada gráfica. Las raíces son x = 0 de orden 1, + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

80. P or ejemplo, dadas dos raíces con sus respectivas multiplicidades y tablas de signo, las gráficas alrededor de cada raíz se muestran a continuación. Al unirse se obtiene la gráfica completa. Ejemplo C. Dado P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 , identifica las raíces y su multiplicidad. Realiza la tabla de signos y esboza la gráfica alrededor de cada raíz, conecta cada gráfica. Las raíces son x = 0 de orden 1, x = -2 de orden 2, y x = 3 de orden 2. + order=2 order=3 Gráficas de polinomios factorizables

81. La tabla de signos para P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 e s Gráficas de polinomios factorizables + + x = 3 orden 2 x = 0 orden 1 x = -2 orden 2

82. La tabla de signos para P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 e s Gráficas de polinomios factorizables De la tabla de signos y los órdenes de cada raíz, esbozamos la gráfica alrededor de cada raíz. + + x = 3 orden 2 x = 0 orden 1 x = -2 orden 2

83. La tabla de signos para P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 e s Gráficas de polinomios factorizables De la tabla de signos y los órdenes de cada raíz, esbozamos la gráfica alrededor de cada raíz. + + x = 3 orden 2 x = 0 orden 1 x = -2 orden 2

84. La tabla de signos para P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 e s Gráficas de polinomios factorizables De la tabla de signos y los órdenes de cada raíz, esbozamos la gráfica alrededor de cada raíz. (Para x = 0 de orden 1, la gráfica aproxima una línea recta a través de dicho punto.) + + x = 3 orden 2 x = 0 orden 1 x = -2 orden 2

85. La tabla de signos para P(x) = -x(x + 2) 2 (x – 3) 2 e s Gráficas de polinomios factorizables De la tabla de signos y los órdenes de cada raíz, esbozamos la gráfica alrededor de cada raíz. (Para x = 0 de orden 1, la gráfica aproxima una línea recta a través de dicho punto.) Conectamos las piezas para obtener la gráfica de P(x). + + x = 3 orden 2 x = 0 orden 1 x = -2 orden 2

86. Notemos que la gráfica asemeja a la gráfica de su término principal: y = –x 5 , vista a distancia: Gráficas de polinomios factorizables

87. Notemos que la gráfica asemeja a la gráfica de su término principal: y = –x 5 , vista a distancia: -2 + + 3 Gráficas de polinomios factorizables

88. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio A. Dadas las siguientes tablas de signo de p olinomios factorizables con raíces y multiplicidades . a. Indica cualquier polinomio factorizado que satisfaga la correspondiente tabla . b. Bosquéjalo . –1 1. ord =2 ord =1 1 – – – –1 2. ord =2 ord =1 1 + + + –1 3. ord = 2 ord = 2 1 – – – –1 4. ord =1 ord = 3 1 + + –1 5. ord =2 ord =1 1 3 ord =1 –1 6. ord =3 ord =2 1 3 ord =1 –1 7. ord =2 ord =2 1 3 ord =3 –1 8. ord =3 ord =2 1 3 ord =2 –1 9. ord =2 ord =3 1 3 ord =2 –1 10. ord =3 ord =2 1 3 ord =3 + + + + + + – – – – – –

89. Gráficas de Polinomios Factorizables B. Identifica las raíces y multiplicidades de los siguientes polinomios . Dibuja las tablas de signo y bosqueja las gráficas . 1. P(x) = (x – 3) 2 2. P(x) = –x(x + 2) 3. P(x) = –x(x – 3) 2 4. P(x) = x 2 (x + 2) 5. P(x) = –x 2 (x – 3) 2 6. P(x) = –x(x + 2) 2 (x – 3) 7. P(x) = x 2 (x + 2)(x – 3) 2 8. P(x) = –x(x + 2) 2 (x – 3) 2 9. P(x) = –x 3 (x + 2) 2 (x – 3) 10. P(x) = x 2 (x + 2) 2 (x – 3) 2 11. P(x) = x 2 (x + 2) 2 (x – 3) 12. P(x) = –x(x + 2) 4 (x – 3) 3 13. P(x) = x 2 (x + 2) 2 (x – 3)(5 – x) 2 14. P(x) = x(x + 2) 3 (x – 3) 2 (5 – x) 3

90. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio A. 1. (x + 1) 2 (x – 1) 3. – (x + 1) 2 (x – 1) 2 5. – (x + 1)²(x – 1) (x – 3) 7. (x + 1) 2 (x – 1) 2 (x – 3) 3 9. –(x + 1) 2 (x – 1) 3 (x – 3) 2

91. Gráficas de Polinomios Factorizables Ejercicio B. 1. ord =2 3 + + + + + + 3. ord =1 + + – – ord =2 3 – – 5. ord =2 – – ord =2 3 – – – – 7. ord =2 ord =2 3 – – ord =1 – 2 + + + + + + 9. ord =3 ord =1 3 – – ord =2 – 2 + + – – – –

92. Gráficas de Polinomios Factorizables 11. ord =2 ord =1 3 – – ord =2 – 2 + + – – – – 13. ord =2 ord =1 3 – – ord =2 –2 + + – – – – ord =2 5