2.- Ecuaciones diferenciales de primer orden.1.pdf

LeonardoDaVinci61 12 views 72 slides Sep 20, 2025
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About This Presentation

Ecuaciones diferenciales de primer orden


Slide Content

1 / 72
Tema 2.-Ecuaciones diferenciales de
primer orden
Ing. Alfredo Contreras López

2 / 72
2.1 Ecuaciones diferenciales con variables separables
Considéreseunaecuacióndiferencialdeprimerorden(ED)delaforma
��
��
=
ℎ�
??????�
,sedicequeesdevariablesseparablesyseresuelvecomo
sigue:
1.-Primeroseagrupanlasmismasvariablesenelmismoladodela
ecuación.
����=ℎ��
2.-PosteriormenteseintegraenambosladosdelaED,obteniéndose
comoresultadounasolucióngeneraldelaED.
න����=නℎ��

3/ 72
Ejemplo1
ResuelvalasiguienteED
dy
��
=�
2�+3�
obteniéndoselasolucióngeneraly
posteriormenteaplicandolacondicióninicialy(0)=0
Solución:
1.-Primeroseagrupanlasmismasvariablesenelmismoladodelaecuación.
dy
��
=�
2�+3�
Aplicandolapropiedad�
�+�
=�
�
�
�
dy
��
=�
2�
�
3�
dy
�
3�
=�
2�
��

4 / 72
2.-PosteriormenteseintegraenambosladosdelaED,obteniéndosecomo
resultadounasolucióngeneraldelaED.

dy
�
3�
=න�
2�
��
න�
−3�
��=න�
2�
��
Lado izquierdoLado derecho
Cambio de variable �=−3��=2�
Derivando ��
��
=−3
��
��
=2
Despejando
��=−
1
3
����=
1
2
��
Aplicando
�
�

1
3
���
�
1
2
��

5/ 72
න�
�

1
3
��=න�
�
1
2
�v

1
3
න�
�
��=
1
2
න�
�
�v

1
3
�
�
+�
1=
1
2
�
�
+�
2

1
3
�
−3�
=
1
2
�
2�
+�
2−�
1
−2�
−3�
=3�
2�
+�
3
Recordemosqueportratarsedelaconstantedeintegraciónsepuedemanipularaconveniencia,
siempreycuandosóloselehaganoperacionesconconstantes.
La anterior ecuación es la solución general de la ED.

6/ 72
Siconsideramosahoralascondicionesinicialesy(0)=0,.Tenemos:
−2�
−3(0)
=3�
2(0)
+�
3
−2=3+�
3
�
3=−2−3=−5
Asíquelasoluciónparticulares:
−2�
−3�
=3�
2�
−5
Sidespejamos“y”paraquequededelaformay(x),tenemos:
�=−
1
3
ln
5−3�
2�
2

7/ 72
Ejemplo2
ResuelvalasiguienteEDqueestaexpresadaensuformadiferencial
1+xd�−���=0.
Solución:
1.-Primeroseagrupanlasmismasvariablesenelmismoladodela
ecuación.
1+xd�−���=0
1+xd�=���
d�=
���
1+x
2.-PosteriormenteseintegraenambosladosdelaED,obteniéndose
comoresultadounasolucióngeneraldelaED.

8/ 72
නd�=න
���
1+x
නd�=න
�+1−1
�+1
��=න
�+1
�+1
��−න
��
�+1
=න��−න
��
�+1
Aplicandouncambiodevariable
Lado derecho
Cambio de variable�=�+1
Derivando ��
��
=1
Despejando ��=��
Aplicando ��
�

9 / 72
නd�=න��−න
��
�
=�+�
1−ln�+�
2
�+�
1=�+�
2−ln�+�
3
Regresandodelcambiodevariable,tenemos
�+�
1=�+�
2−ln�+1+�
3
�=�−ln�+1+�
2+�
3−�
1
�=�−ln�+1+�
4
Laecuaciónanterioreslasolucióngeneral

10 / 72
Ejemplo3
ResuelvalasiguienteEDqueestaexpresadaensuformadiferencialxe
−y
sen(x)d�−
���=0.
Solución:
1.-Primeroseagrupanlasmismasvariablesenelmismoladodelaecuación.
xe
−y
sen(x)d�−���=0
xe
−y
sen(x)d�=���
xsen(x)d�=
���
e
−y
2.-PosteriormenteseintegraenambosladosdelaED,obteniéndosecomoresultado
unasolucióngeneraldelaED.
නxsen(x)d�=න
���
e
−y

11 / 72

���
e
−y
=නxsen(x)d�
නe
y
���=නxsen(x)d�
Aplicandointegraciónporpartes׬���=��−׬���
��
�
−න�
�
��=−�����+නcos���
��
�
−න�
�
��=−�����+නcos���
��
�
−�
�
=−�����+����+�
Laecuaciónanterioreslasolucióngeneral
Lado izquierdo Lado derecho
Cambio
de
variable
�=���=��
��=�
�
���=න�
�
��=�
�
+�
1
�=���=��
��=�������=න������=−cos�+�
2

12 / 72
2.2 Ecuaciones diferenciales reducibles a variables
separables
Considéreseunaecuacióndiferencialordinariadelaforma
��
��
=�(��+��),
sedicequeesposiblereducirlaavariablesseparables,realizandouncambio
devariable�=��+��,�����≠0ycalculando
��
��
.
1.-Serealizaelcambiodevariableyseorganizanlasvariables
��
��
=�(�)
�=��+��→
��
��
=�+�
��
��
��
��
=�+��(�)
��
�+��(�)
=��

13 / 72
2.-Seprocedearesolver:
��
�+��(�)
=��

��
�+��(�)
=න��
Ejemplo4
ResuelvalasiguienteED
dy
��
=3�+�.
Solución:
1.-Serealizaelcambiodevariableyseorganizanlasvariables
�=3�+�→
��
��
=3+
��
��

14 / 72
��
��
−3=
��
��
SustituyendoenlaED
dy
��
=3�+�,tenemos:
dy
��
=3�+�
��
��
−3=�
��
��
=�+3
��=�+3��
��
�+3
=��

15 / 72
��
�+3
=��
2.-Seprocedearesolver:

��
�+3
=නdx
ln�+3=�+�
�
ln�+3
=�
�+�
�+3=�
�
�
�
→�+3=�
�
�
�=��
�
−3
3�+�=��
�
−3
�=��
�
−3−3�

16 / 72
Tepidoahorapongasenprácticaloquehemosvistohastaelmomento,
encuentralasolucióngeneraloparticularsegúnseaelcaso:
1.-
2.-
3.-
4.-

17 / 72
2.3 Funciones homogéneas y ecuaciones diferenciales
homogéneas
Sea��,���+��,���=0unaEDenformadiferencial,dondelos
coeficientesdelosdiferenciales(��,��)son��,���(�,�).
EntoncesunaEDesdeCoeficientesHomogéneos,cuandoloscoeficientes“M”
y“N”sonfuncionesllamadashomogéneas.
Porotrolado,sediceque�(�,�)esunafunciónhomogéneadegrado“n”,si
paraalgúnnúmeroreal“n”secumple:
���,��=�
�
�(�,�)
Donde“t”esunparámetroy��??????.

18 / 72
Ejemplo5
Sealafunción��,�=�−3��+5�,determinarsieshomogéneayen
casoafirmativo,mencionarelgrado.
Solución:
1.-Colocamosalafuncióncomo���,��=�
�
�(�,�)yvemossisecumplela
condición.
���,��=��−3����+5��=��−3�
2
��+5��
���,��=��−3���+5��
���,��=��−3��+5�
Debidoaquecumplelacondición���,��=�
�
�(�,�),decimosquela
funciónsieshomogénea,ycomo“t”estáelevadoala“1”,seconcluyequees
degrado1.

19 / 72
Ejemplo6
Sealafunción��,�=�
2
+�
2
+1,determinarsieshomogéneayencaso
afirmativo,mencionarelgrado.
Solución:
1.-Colocamosalafuncióncomo���,��=�
�
�(�,�)yvemossisecumplela
condición.
���,��=�
2
�
2
+�
2
�
2
+1=�
2
�
2
+�
2
+1
���,��=�
2
�
2
+�
2
+1
Debidoaquenocumplelacondición���,��=�
�
�(�,�),decimosquela
funciónnoeshomogénea.

20 / 72
Ejemplo7
Sealafunción��,�=
�
2�
+4,determinarsieshomogéneayencaso
afirmativo,mencionarelgrado.
Solución:
1.-Colocamosalafuncióncomo���,��=�
�
�(�,�)yvemossisecumplela
condición.
���,��=
��
2��
+4=
��
−1
�
2�
+4=�
0
�
2�
+4=�
0
�
2�
+�
0
4
���,��=�
0
�
2�
+4
Debidoaquecumplelacondición���,��=�
�
�(�,�),decimosquela
funciónsieshomogénea,ycomo“t”estaelevadoala“0”,seconcluyequees
degrado0.

21 / 72
Ahoraqueyasabemoscuandounafuncióneshomogénea,decimosque
unaEDtendráCoeficientesHomogéneossiestossonfunciones
homogéneasdelmismogrado,porejemplo:
�
2
+�
2
��+����=0
ConloanteriorcomprobamosqueM(x,y)yN(x,y)sonfunciones
homogéneas,ycomolosdossondelmismogrado(2),entonceslaEDesde
CoeficientesHomogéneos.
��,� ��,�
Función �
2
+�
2
��
��,���
2
�
2
+�
2
�
2
=�
2
(�
2
+�
2
) ����=�
2
(��)
Grado 2 2

22 / 72
TodaEDdeCoeficientesHomogéneossepuedetransformarenunaEDdevariables
separables,utilizandocualquieradelassiguientessustituciones.
�=��
ó
�=��
Dondeuyvsonnuevasvariablesdependientes.
Ejemplo8
ResuelvalasiguienteED2x
4
+y
4
dy−x
3
ydx=0.
Solución:
1.-ParasabersisepuedetratarcomounaEDdeCoeficientesHomogéneos,primero
tenemosquesabersisuscoeficientessonfuncioneshomogéneasysondelmismo
grado,asíqueprocedemoscomosigue:
���,��=�
�
�(�,�)

23 / 72
Ejemplo8
ResuelvalasiguienteED2x
4
+y
4
dy−x
3
ydx=0,posteriormentedeterminarla
constantearbitraria,evalúalacondicióninicialy(0)=1yencuentralasoluciónparticular.
Solución:
1.-ParasabersisepuedetratarcomounaEDdeCoeficientesHomogéneos,primero
tenemosquesabersisuscoeficientessonfuncioneshomogéneasysisondelmismo
grado,asíqueprocedemoscomosigue:
���,��=�
�
�(�,�)
ComoesunaEDdeCoeficientesHomogéneos,podemostransfórmalaenunaEDde
variablesseparables,yseprocedecomosigue:
��,� ��,�
Función �
3
� (2x
4
+y
4
)
��,���
3
�
3
��=�
4
(�
3
�)2t
4
x
4
+t
4
y
4
=�
4
(2x
4
+y
4
)
Grado 4 4

24 / 72
2.-Usandocualquieradelassustitucionesquevimosconanterioridad,tenemos:
�=�y
Ahoraprocedemosaderivarlasustitución,porloquenosda:
��=���+y��
SustituyendolasdosecuacionesanterioresenlaEDaresolver,tenemos:
2x
4
+y
4
dy−x
3
ydx=0
2(�y)
4
+y
4
dy−�y
3
y(���+y��)=0
2�
4
y
4
+y
4
dy−�
3
y
3
y(���−���)=0
2�
4
y
4
��+y
4
dy−�
3
y
4
���−�
3
y
4
���=0
2�
4
y
4
��+y
4
dy−�
4
y
4
��−�
3
y
5
��=0

25 / 72
2�
4
y
4
��+y
4
dy−�
4
y
4
��−�
3
y
5
��=0
�
4
y
4
��+y
4
dy−�
3
y
5
��=0
�
4
�
4
+1dy−�
3
y
5
��=0
�
4
�
4
+1dy=�
3
y
5
��
�
4
dy
y
5
=
�
3
��
�
4
+1
dy
�
=
�
3
��
�
4
+1

dy
�
=න
�
3
��
�
4
+1
Resolviendolaintegraldeladerechaconuncambiodevariable�=�
4
+1,��=4�
3
��,
despejando�
3
��=
��
4

26 / 72

�
3
��
�
4
+1
=න
��
4�
=
1
4
=න
��
�
=
1
4
ln�+�
Regresandodelcambiodevariable

�
3
��
�
4
+1
=
1
4
ln�
4
+1+�
Amendeloanterior,tenemosque:

dy
�
=න
�
3
��
�
4
+1
ln(�)=
1
4
ln�
4
+1+�
Volviendodelasustitución�=�y,tenemos:
�=
�
�
ln�=
1
4
ln
�
�
4
+1+�=
1
4
ln
�
4
�
4
+1+�=
1
4
ln
�
4
+�
4
�
4
+�

27 / 72
Aplicandolapropiedad�??????��=ln�
�
,tenemos:
ln�=ln
�
4
+�
4
�
4
1
4
+�
ln
�
4
+�
4
�
4
1
4
−ln�+�=0
Aplicandolapropiedadln�−ln�=ln
�
�
ln
(�
4
+�
4
)
1
4
�
4
1
4
�
1
+�=0
ln
(�
4
+�
4
)
1
4
�
4
1
4
�
1
+�=0
ln
(�
4
+�
4
)
1
4
�
2
+�=0

28 / 72
LaanteriorfórmulacorrespondealasolucióngeneralalaED,despejandolaconstantearbitrariay
evaluandolacondicióninicialparaobtenerunasoluciónparticular,tenemos:
Aplicandoexponencial
�
ln
(�
4
+�
4
)
1
4
�
2
=�
�
(�
4
+�
4
)
1
4
�
2
=�
Encontrandoelvalordelaconstantearbitrariaparalascondicionesinicialesy(0)=1
�=
(0
4
+1
4
)
1
4
1
2
=
1
4
1
4
1
=
1
1
=1
ln
(�
4
+�
4
)
1
4
�
2
+1=0
Laanteriorfórmulacorrespondealasoluciónparticularaplicandolacondicióninicial.

29 / 72
Ejemplo9
ResuelvalasiguienteED
��
��
=
�??????��
�
�
+�
�
,posteriormentedeterminarlaconstante
arbitraria,evalúalacondicióninicialy(1)=0yencuentralasoluciónparticular.
Solución:
1.-ParasabersisepuedetratarcomounaEDdeCoeficientesHomogéneos,primero
tenemosquesabersisuscoeficientessonfuncioneshomogéneasysisondelmismo
grado,asíqueprocedemoscomosigue:
OrdenandolaED,paravisualizarmejorloscoeficientes.
���=����
�
�
+���
����
�
�
+���−���=0
���,��=�
�
�(�,�)

30 / 72
ComoesunaEDdeCoeficientesHomogéneos,podemostransfórmalaenunaEDde
variablesseparables,yseprocedecomosigue:
2.-Usandocualquieradelassustitucionesquevimosconanterioridad,tenemos:
�=��
�=
�
�
Ahoraprocedemosaderivarlasustitución,porloquenosda:
��=���+x��
��,� ��,�
Función
����
�
�
+�
−�
��,��
�����
��
��
+��=�����
�
�
+�
-��=�(−�)
Grado 1 1

31 / 72
SustituyendolasecuacionesanterioresenlaESaresolver,tenemos:
����
��
�
+����−�(���+x��)=0
�������+����−����−x
2
��=0
�������−x
2
��=0
�������=x
2
��
��=
x
2
��
�����
=
���
����
��
�
=
��
����

��
�
=න
��
����
Resolviendo׬
��
??????���

32 / 72

��
����
=න
��
1
1
cos(�)
=න
cos���
1
=නcos���=����+�
Porlotantoquedadelasiguientemanera:

��
�
=න
��
����
ln�+�=����
Volviendodelasustitución�=��,porlotanto�=
�
�
tenemos:
ln�+�=���
�
�
LaanteriorfórmulacorrespondealasolucióngeneralalaED,despejandolaconstantearbitrariay
evaluandolacondicióninicialparaobtenerunasoluciónparticular,tenemos:
�=���
�
�
−ln�

33 / 72
Encontrandoelvalordelaconstantearbitrariaparalascondicionesinicialesy(1)=0
�=���
0
1
−ln1=0
ln�=���
�
�
Laanteriorfórmulacorrespondealasoluciónparticularaplicandolacondicióninicial.

34 / 72
Tepidoahorapongasenprácticaloquehemosvistohastaelmomento,en
losejerciciosdelprimerbloquedeterminasisusfuncionesson
homogéneas,encasoafirmativo,mencionaelgrado.Enelsegúnbloque
calculalasolucióndelaED.
Bloque 1 Bloque 2

35 / 72
2.4 Ecuaciones diferenciales exactas
Sea���+���=0unaED,sedicequelaEDesexactasielprimermiembro
correspondeaunadiferencialexacta,loquesignificaque���+���
representaladiferencialtotaldealgunafunciónf�,�,desconocidaperoesla
solucióngeneral.
Teorema
Sea�(�,�)y�(�,�)funcionescontinuasyconderivadasparcialestambién
continuasenunaciertaregión“R”enelplano(x,y),entoncesunacondición
necesariaysuficienteparaque�(�,�)��+�(�,�)��seaunadiferencial
exactaesquesecumpla:
��
��
=
��
��
EntoncessilaEDesexactaaseguramosqueelprimermiembrodedicha
ecuacióncorrespondealadiferencialtotaldealgunafunciónf�,�,
procediendo,tenemos:

36 / 72
EntoncessilaEDesexactaaseguramosqueelprimermiembrodedichaecuación
correspondealadiferencialtotaldealgunafunciónf�,�,procediendo,tenemos:
���+���=��
���+���=�
���+�
���
��,�=�
��,�………(1)
��,�=�
��,�………(2)
Integrandoparcialmentea(1),tenemos:
�
��,�=��,�

��
��
=න�

37 / 72
��,�=න���+ℎ�………(�)
Dondeh(y)eslaconstantedeintegracióndesconocida
Integrandoparcialmentea(1),tenemos:
�
��,�=��,�

��
��
=න�
��,�=න���+��………(�)
Lafunción�(�,�)eslamismaenambosmiembrosycuandolaobtenemosse
establecelasolucióngeneral��,�=�

38 / 72
Paraobtenerh(y)sederiva(A)parcialmenteconrespectoalavariabledistintarespecto
alacualseintegra.
��
��
=
�
��
න���+ℎ�
��
��
=�
��
��
=
�
��
න���+��
��
��
=�
Deestaultimaigualdadesposibleobtenerh(y)sustituyendofinalmenteenlaecuación
(A).
Pasemosahoraalapracticadeloquehemosaprendido.

39 / 72
Ejemplo10
ResuelvamedianteladiferencialexactalasiguienteED2xydx+x
2
−1dy=0.
Solución:
1.-PrimerovamosasabersilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,
posteriormentesecalculansusparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
�=2��
�=�
2
−1
Mdx+Ndy=0
??????�
??????�
=2�
??????�
??????�
=2�
Como
??????�
??????�
=
??????�
??????�
sedicequeesunaEDexactaentonces(→)existe(∃)�(�,�)
2.-Procedemosacalcular��,�delasiguientemanera:

40 / 72
��=���+���
��=�
���+�
���
�
�=�=2��………1
�
�=�=�
2
−1………(2)
Integramosparcialmentea(1),tenemos:
න�
�=න�
��,�=න���+ℎ�
��,�=න2����+ℎ�
��,�=�
2
�+ℎ(�)
Delaanteriorecuaciónsabemosqueh(y)esdesconocida.

41 / 72
3.-Derivamos parcialmente a �, hallada en el paso 2 con respecto a “y” , para obtener a h(y).
��,�=�
2
�+ℎ(�)
��
��
=
�
��
�
2
�+ℎ(�)
��
��
=�
�=�
2
+ℎ

�=�
Sustituyendo�
�=�=�
2
−1,tenemos:
�
2
+ℎ

�=�
2
−1


�=−1
Integrandoenamboslados:
නℎ

���=න−1��
ℎ�=−�+�
1

42 / 72
4.-Sustituyendo h(y) en �hallada en el paso 2
��,�=�
2
�+ℎ(�)
��,�=�
2
�−�+�
1
Apartirdelateoríasabemosquelasolucióngenerales��,�=�,porlotanto:
�
2
�−�+�
1=�
�
2
�−�=�−�
1
�
2
�−�=�
2
LafunciónanterioreslasolucióngeneraldelaED.
Comprobación:
Parapodercomprobarlafunciónhallada,procedemoscomosigue:
��=�
���+�
���
��=���+���
��=2����+(�
2
−1)��

43 / 72
Resolviendo por variables separables
2����+�
2
−1��=0
2����=1−�
2
��
2���
1−�
2
=
��
�

2���
1−�
2
=න
��
�
Resolviendolaintegraldelaizquierdaconuncambiodevariable�=1−�
2
,��=−2���.

−��
�
=න
��
�
−ln�+�=ln�

44 / 72
Regresando del cambio de variable
−ln1−�
2
+�=ln�
�=ln�+ln1−�
2
Aplicandoln�+ln�=ln(�∗�)
�=ln�1−�
2
Aplicandoeenamboslados,tenemos
�
ln�1−�
2
=�
�
�1−�
2
=�
�−��
2
=�
−(−�+��
2
)=�
��
2
−�=�
Porlotantoquedacomprobado.

45 / 72
Ejemplo11
ResuelvamedianteladiferencialexactalasiguienteEDe
2y
−ycosxydx+2xe
2y
−xcosxy+2ydy=0
Solución:
1.-PrimerovamosasabersilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentesecalculansus
parcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
�=e
2y
−ycosxy
�=2xe
2y
−xcosxy+2y
Mdx+Ndy=0
��
��
=2�
2�
−−�������+cos��=2�
2�
+�������−cos��
��
��
=2�0+e
2y
2−−�������+cos��=2�
2�
+�������−cos��
Como
??????�
??????�
=
??????�
??????�
se dice que es una ED exacta →∃��,�
2.-Procedemos a calcular ��,�de la siguiente manera:

46 / 72
��=���+���
��=�
���+�
���
�
�=�=e
2y
−ycosxy………1
�
�=�=2xe
2y
−xcosxy+2y………(2)
Integramosparcialmentea(1),tenemos:
න�
�=න�
��,�=න���+ℎ�
��,�=නe
2y
−ycosxy��+ℎ�=�
2�
න��−න�cos����+ℎ(�)
Resolviendolaintegral׬cos����conuncambiodevariable�=��,��=���.
��,�=�
2�
න��−නcos���+ℎ�=�
2�
�−����+ℎ(�)

47 / 72
Regresandodelcambiodevariable
��,�=�
2�
�−�����+ℎ(�)
Delaanteriorecuaciónsabemosqueh(y)esdesconocida.
3.-Derivamos parcialmente a �, hallada en el paso 2 con respecto a “y” , para obtener a h(y).
��,�=�
2�
�−�����+ℎ(�)
��
��
=
�
��
�
2�
�−�����+ℎ�
��
��
=�
�=2��
2�
−������+ℎ

�=�
Sustituyendo�
�=2xe
2y
−xcosxy+2y,tenemos:
2��
2�
−������+ℎ

�=2xe
2y
−xcosxy+2y


�=2�

48 / 72
Integrandoenamboslados:
නℎ

���=න2���
ℎ�=�
2
+�
1
4.-Sustituyendo h(y) en �hallada en el paso 2
��,�=�
2�
�−�����+ℎ(�)
��,�=�
2�
�−�����+�
2
+�
1
Apartirdelateoríasabemosquelasolucióngenerales��,�=�,porlotanto:
�
2�
�−�����+�
2
+�
1=�
�
2�
�−�����+�
2
=�−�
1
�
2�
�−�����+�
2
=�
3
LafunciónanterioreslasolucióngeneraldelaED.

49 / 72
Tepidoahorapongasenprácticaloquehemosvistohastaelmomento,en
lossiguientesejerciciosencuentralasolucióngeneraldecadaunodelos
siguientesproblemas.

50 / 72
2.5 Ecuaciones diferenciales de primer orden y el método
del factor integrante
Lafórmulageneraldeunaecuacióndiferencialdeordennes:
�
��
�
�
�
��
�
+�
�−1�
�
�−1
�
��
�−1
+⋯+�
���=�(�)
Entonces,sin=1,obtenemoslaecuacióndiferencialdeprimerorden,dadapor:
�
1�
��
��
+�
0��=�(�)
Peroparafinesprácticoslaanteriorecuaciónsepuededividirentre�
??????�y
entoncescambiaraunaformaestándar.
��
��
+���=�(�)
Donde��=
�0(�)
�1(�)
y��=
??????(�)
�1(�)

51 / 72
SealaED���+�
2
�−���=0queesiguala�+�
2
�−��

=0
Entoncestenemosque�
�=1y�
�=2��
−1
Observamosquedichaecuaciónnoesexacta,notieneCoeficientesHomogéneosyno
esdevariablesseparables.
Perosimultiplicamospor??????�=
1
�
2
alaED���+�
2
�−���tenemos:
�
�
2
��+�−
1
�
��=0
Entoncestenemosque�
�=
1
�
2
y�
�=
1
�
2
ObservamosqueahoraesExacta,lafunciónquemultiplicóalaEDparavolverlaexacta
sellamafactorintegrante.
¿Cómoseobtiene??????(??????)?

52 / 72
FACTORESINTEGRANTESESPECIALES
Estassonfunciones??????�,??????�ó??????�,�,nosotrosutilizaremos??????�y??????�.Estas
funcionestransformanaunaEDnoexactaaunaexacta,sea;
��,���+��,���=0
Paraasegurarsedequeesexacta
�(??????�)
��
=
�(??????�)
��
Donde??????�esunfactorintegranteyqueengeneralserepresentacomo??????�,�
Derivandolosproductosdelasfunciones,recordemosqueseprocededela
siguientemanera:elprimeroporladerivadadelsegundomáselsegundoporla
derivadadelprimero,entoncestenemos:

53 / 72
�(??????�)
��
=
�(??????�)
��
??????
��
��
+�
�??????
��
=??????
��
��
+�
�??????
��
??????
��
��

��
��
=�
�??????
��
−�
�??????
��
��
��

��
��
=
1
??????
�
�??????
��
−�
�??????
��
LoquetenemosarribaesunaEcuaciónDiferencialdeDerivadasParciales(EDDP)
Deelloanalizaremosdoscasos,elprimeroescuando??????=??????�yelsegundo
cuando??????=??????�

54 / 72
CASOI
Suponemos??????=??????�
�??????
��
=0;
�??????
��
=
�??????
��
��
��

��
��
=
1
??????
�
�??????
��
1
??????
�??????
��
=
��
��

��
��
�
1
??????
�??????
��
=�(�)
��=
�
�−�
�
�
Ordenandoyaplicandointegralesenambosladosde
1
??????
�??????
��
=�(�),tenemos:

55 / 72

�??????
??????
=න����
ln??????=න����
Aplicando“e”enambosladosdelaecuación,tenemos:
�
ln??????
=�
׬??????���
??????(�)=�
׬??????���
Laanteriorecuacióneselfactorintegrantequedependesolode“x”ydonde
��=
�
�−�
�
�

56 / 72
CASOII
Suponemos??????=??????�
�??????
��
=0;
�??????
��
=
�??????
��
��
��

��
��
=
1
??????
−�
�??????
��
1
??????
�??????
��
=
��
��

��
��
�
1
??????
�??????
��
=ℎ(�)
ℎ�=
�
�−�
�
�
Ordenandoyaplicandointegralesenambosladosde
1
??????
�??????
��
=ℎ(�),tenemos:

57 / 72

�??????
??????
=නℎ���
ln??????=නℎ���
Aplicando“e”enambosladosdelaecuación,tenemos:
�
ln??????
=�
׬ℎ���
??????(�)=�
׬ℎ���
Laanteriorecuacióneslefactorintegrantequedependesolode“y”ydonde
ℎ�=
�
�−�
�
�

58 / 72
Ejemplo12
ResolverlaED1+3xsen(y)dx=x
2
cos(y)dy
Solución:
1.-PrimerovamosasabersilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentesecalculan
susparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
1+3xsen(y)dx=x
2
cos(y)dy
1+3xsen(y)dx+(−x
2
cos(y))dy=0
�=1+3xsen(y)
�=−x
2
cos(y)
��
��
=3�����;
��
��
=−2����(�)
Como
??????�
??????�

??????�
??????�
se dice que no es una ED exacta →∄��,�
2.-Debido a que no es exacta suponiendo que ∃??????(�)=�
׬??????���
, entonces ∃��=
�
�−�
�
�

59 / 72
��=
�
�−�
�
�
=
3�����+2����(�)
−�
2
cos(�)
=
5����(�)
−�
2
cos(�)
=
−5
�
Sihubiéramosconsideradoque∃??????(�)=�
׬ℎ���
,entonces∃ℎ�=
��−��
�
,entoncestendríamos:
ℎ�=
�
�−�
�
�
=
−2xcosy−3xcos(y)
1+3����(�)
=
−5����(�)
1+3����(�)
Deloanteriortenemosquenoexiste??????�yaquedependededosvariables
3.-Encontrandoelfactorintegranteentonces??????(�)=�
׬??????���
,resolviendoprimero׬����,tenemos:
න����=න
−5
�
��=−5ln�+�=ln�
−5
+�
??????�=�
ln�
−5
+�
=�
−5
+�
??????�=
1
�
5
4.-Unavezteniendoelfactorintegrante,estesemultiplicaporlaED,porlotanto:

60 / 72
1+3xsenydx+−x
2
cosy��=0
1
�
5
1
�
5
+
3seny
�
4
dx+−
1
�
3
cosy��=0
5.-VamosacomprobarahorasilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentese
calculansusparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
�=
1
�
5
+
3seny
�
4
�=−
1
�
3
cosy
��
��
=
3
�
4
cos(�);
��
��
=
3
�
4
cos(�)
Como
??????�
??????�
=
??????�
??????�
se dice que es una ED exacta →∃��,�
6.-Procedemos a calcular ��,�de la siguiente manera:

61 / 72
��=���+���
��=�
���+�
���
�
�=�=
1
�
5
+
3seny
�
4
………1
�
�=�=−
1
�
3
cosy………(2)
Integramosparcialmentea(2),porfacilidad,tenemos:
න�
�=න�
��,�=න���+��
��,�=න−
1
�
3
cosy��+��=
−���(�)
�
3
+��
7.-Derivamos parcialmente a �, hallada en el paso anterior con respecto a “x” , para obtener a g(x).

62 / 72
��,�=
−���(�)
�
3
+��
��
��
=
�
��
−���(�)
�
3
+��
��
��
=�
�=
�
3
0−(−����)(3�
2
)
�
6
+�

�=
3����
�
4
+�′(�)=�
Sustituyendo�
�=
1
�
5
+
3seny
�
4
,tenemos:
3����
�
4
+�′(�)=
1
�
5
+
3seny
�
4
�′(�)=
1
�
5
Integrandoenamboslados:
න�′(�)��=න
1
�
5
��

63 / 72
g�=−
1
4�
4
+�
1
8.-Sustituyendo g(x) en �hallada en el paso 6
��,�=
−���(�)
�
3
+��
��,�=
−���(�)
�
3
+−
1
4�
4
+�
1=
−���(�)
�
3

1
4�
4
+�
1
Apartirdelateoríasabemosquelasolucióngenerales��,�=�,porlotanto:
−���(�)
�
3

1
4�
4
+�
1=�
−���(�)
�
3

1
4�
4
=�−�
1
−���(�)
�
3

1
4�
4
=�
3
LafunciónanterioreslasolucióngeneraldelaED.

64 / 72
Ejemplo13
ResolverlaED2y
2
x−ydx+xdy=0
Solución:
1.-PrimerovamosasabersilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentese
calculansusparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
�=2y
2
x−y
�=x
��
��
=4��−1;
��
��
=1
Como
??????�
??????�

??????�
??????�
se dice que no es una ED exacta →∄��,�
2.-Debido a que no es exacta suponiendo que ∃??????(�)=�
׬ℎ(�)��
, entonces ∃ℎ�=
�
�−�
�
�
ℎ�=
�
�−�
�
�
=
1−4��+1
2y
2
x−y
=
2−4��
�(2��−1)
=
−2(2��−1)
�(2��−1)
=
−2
�

65 / 72
3.-Encontrandoelfactorintegranteentonces??????(�)=�
׬ℎ(�)��
,resolviendoprimero׬ℎ(�)��,tenemos:
නℎ(�)��=න
−2
�
��=−2ln�+�=ln�
−2
+�
??????�=�
ln�
−2
+�
=�
−2
+�=
1
�
2
+�
??????�=
1
�
2
4.-Unavezteniendoelfactorintegrante,estesemultiplicaporlaED,porlotanto:
2y
2
x−ydx+xdy=0
1
�
2
2x−
1
�
dx+
x
�
2
dy=0
5.-VamosacomprobarahorasilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentese
calculansusparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.

66 / 72
5.-VamosacomprobarahorasilaEDesexacta,paraellovemosquiénesMyN,posteriormentese
calculansusparcialesMconrespectoa“y”yNconrespectoa“x”.
�=2x−
1
�
�=
x
�
2
��
��
=
1
�
2
;
��
��
=
1
�
2
Como
??????�
??????�
=
??????�
??????�
se dice que es una ED exacta →∃��,�
6.-Procedemos a calcular ��,�de la siguiente manera:
��=���+���
��=�
���+�
���
�
�=�=2x−
1
�
………1

67 / 72
�
�=�=
x
�
2
………(2)
Integramosparcialmentea(2),porfacilidad,tenemos:
න�
�=න�
��,�=න���+��
��,�=න
x
�
2
��+��=�න
1
�
2
��+��=−
�
�
+��
7.-Derivamos parcialmente a �, hallada en el paso anterior con respecto a “x” , para obtener a g(x).
��,�=−
�
�
+��
��
��
=
�
��

�
�
+��
��
��
=�
�=−
1
�
+�′�=�

68 / 72
��
��
=�
�=−
1
�
+�′�=�
Sustituyendo�
�=2x−
1
�
,tenemos:

1
�
+�′�=2x−
1
�
�′(�)=2�
Integrandoenamboslados:
න�′(�)��=න2���
g�=�
2
+�
1

69 / 72
8.-Sustituyendo g(x) en �hallada en el paso 6
��,�=−
�
�
+�
2
+�
1
Apartirdelateoríasabemosquelasolucióngenerales��,�=�,porlotanto:

�
�
+�
2
+�
1=�

�
�
+�
2
=�−�
1

�
�
+�
2
=�
3
LafunciónanterioreslasolucióngeneraldelaED.

70 / 72
Tepidoahorapongasenprácticaloquehemosvistohastaelmomento,en
lossiguientesejerciciosresuelvecadaunadelassiguientesecuaciones
diferencialeslinealesdeprimerordenocupandounfactorintegrante:

71 / 72
Siempre se puede ser mejor
Tiger Woods

72 / 72
•Boyce,WilliamE.,&DiPrima,RichardC.(2001).Ecuaciones
diferencialesyproblemasconvaloresenlafrontera(Limusa
(ed.);4taed.).
•Cengel,YunusA.,&PalmIII,WilliamJ.(2014).Ecuaciones
diferencialesparaingenieríayciencias(McGraw-HillEducation
(ed.);1raed.).
•Edwards,HenryC.,&Penney,DavidE.(2009).Ecuaciones
diferencialesyproblemasconvaloresenlafronteracomputoy
modelado(PearsonPrenticeHall(ed.);4taed.).
•Zill,DennisG.(2009).Ecuacionesdiferencialesconaplicaciones
demodelo(CENGAGELearning(ed.);9naed.).
•Zill,DennisG.,&Wrigth,WarrenS.(2015).Ecuaciones
diferencialesconproblemasconvaloresenlafrontera(CENGAGE
Learning(ed.);8vaed.).
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