2 incrementos

1. 37
CAPÍTULO 2
INCREMENTOS
2.1 CONCEPTO (Áreas 1, 2 y 3)
Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo , a la cual se le asig-
2
yx=
na arbitrariamente cualquier valor inicial como , de donde corresponde que . Se3x= 9y=
quiere saber qué relación existe entre el cambio de la variable independiente
x
y la variable de-
pendiente
y
, es decir, cuando el valor de
x
cambia, ¿cómo varía por su parte
y
?
La primera pregunta que surge es: ¿Lo que cambia
x
es lo mismo que lo cambia
y
?
Transformando la pregunta a valores concretos: ¿Cuando
x
cambia en 1 la variable
y
también
cambia en 1? Para averiguarlo basta darle valores y se ve que cuando , se obtiene que
4x=
.16y=
x 34
y 916
Es decir, que mientras
x
cambió en 1 (pasó de 3 a 4), por su parte la
y
varió en 7 (al pa-
sar de 9 a 16), con lo que queda contestada la primera pregunta: Lo que cambia
x
no es lo que
varía y.

2. Incrementos
38
La siguiente pregunta que surge es: ¿Cada vez que la variable
x
cambia en 1, la variable
y
cambia 7? Nuevamente, dando valores numéricos concretos que se concentran en una tabla se
tiene lo siguiente:
x 34 5
y 91625
De donde se ve que mientras la
x
cambió en 1 dos veces (al pasar de 3 a 4 primero y lue-
go de 4 a 5), por su parte la
y
cambió 7 y 9 (al pasar de 9 a 16 primero y luego de 16 a 25). Que-
da contestada la segunda pregunta. Entonces, si cada vez que
x
cambia en 1 la
y
no cambia tam-
bién 1, como tampoco cada vez que cambia
x
en 1 la
y
no cambia 7, ¿qué relación existe entre
el cambio de la variable independiente con la dependiente? La única opción que queda es encon-
trar una especie de fórmula que muestre esa relación de cambios.
Al cambio que sufre la variable independiente
x
se le llama
incremento de x, escrito
, mientras que el respectivo cambio que sufre la variable dependiente
y
se le llama
incre-
xΔ
mento de y
, escrito
.
yΔ
Continuando con la función ejemplo con la que se ha venido trabajando, , se dice
2
yx=
que la variable dependiente
y
vale , es decir, el valor dado inicialmente a
x
elevado al cua-
2
x
drado. Así, si , entonces le corresponde . Cuando la
x
se incrementa en 1, su nuevo3x= 9y=
valor es . Ese nuevo valor de
x
es el valor que tenía inicialmente más el incremento que4x=
sufrió, esto es, ahora . El nuevo valor para la
y
es , o sea , que es el valor31x=+
2
4 16 y=
inicial que tenía más el incremento de
y.
Lo anterior, en forma generalizada es:

3. Incrementos
39
Al inicio:

2
yx=
(1)
Al final:
()
2
yyxx+Δ = +Δ (2)
Significa que el nuevo va-
lor de la variable depen-
diente
y, después de haber-
se modificado el valor ini-
cial de
x, es el valor que
tenía al inicio más lo que
se modificó la misma
y
a
partir del nuevo valor de
x.
Véase el ejemplo numérico
que sigue.
Visto con números:

2
93= Al inicio. O sea que para , .3x
= 9y=
()
2
97 31+= +
Al final. Es decir que para , la
y
vale 16,4x=
que es el valor inicial de
y
más lo que se incremen-
ta. Recordar que en la página anterior se vio que
mientras la variable
x
pasa de 3 a 4 (se incrementa
en 1), por su parte la variable dependiente
y
pasa
de 9 a 16 (se incrementa en 7).
despejando
y
de (2):
(3)
()
2
yx x yΔ= +Δ −
Sustituyendo el valor de
y
de (1) en (3):
(4)
()
2
2
yx x xΔ= +Δ −

4. Incrementos
40
Es la relación buscada. Hay que recordar que lo que se estaba buscando era la relación
entre el cambio de
x
con el cambio de
y
.
Retomando el ejemplo numérico inicial, en donde hay que tener presente que
7y
Δ=
cuando
x
pasa de valer 3 a 4 y que cuando
x
pasa de valer 4 a 5:9yΔ=
x34 5
y91625
cuando
x
se incrementó en 1 al pasar de 3 a 4, por su parte la variable dependiente
y
se incre-
mentó en 7, lo cual se puede obtener aplicando la relación (4):
()
2
2
yx x xΔ= +Δ −
()
2
2
31 3yΔ= + −
22
43yΔ= −
7yΔ=
que es justamente el incremento de
y
cuando la
x
pasa de valer 3 a 4. De la misma forma:
()
2
yx x xΔ= +Δ −Δ
()
2
2
41 4yΔ= + −
22
54yΔ= −
9yΔ=
el cual es exactamente el incremento de
y
cuando la
x
pasa de valer 4 a 5.

5. Incrementos
41
Haciendo una generalización del procedimiento para obtener la relación que existe entre
los incrementos y para cualquier función , se tiene que:xΔ yΔ ()yfx=
()yfx=
( )yyfxx+Δ = +Δ
( )yfx x yΔ= +Δ −
( )()yfx x fxΔ= +Δ −
Ejemplo 1: Hallar el incremento
de la función .xΔ
2
3yxx= +
Solución:
2
3yxx=+
()()
2
3yy xx xx+Δ = +Δ + +Δ
(despejando )()()
2
3yxx xxyΔ= +Δ + +Δ − yΔ
(sustituyendo y)()()( )
2
2
33yxx xx xxΔ= +Δ + +Δ − +
()()
2
2
33
y xx xx xxΔ= +Δ + +Δ − −
( )
22 2
32 3yxxxxxxxxΔ= + Δ+Δ + +Δ− −
222
36 3 3yx xx xxxxxΔ= + Δ+Δ + +Δ− −
2
63yxx x xΔ= Δ+Δ +Δ
Ejemplo 2: Calcular el incremento de la función .xΔ
2
527yx x= −+
Solución:
2
527yx x=−+
()()
2
527yy xx xx+Δ = +Δ − +Δ +

6. Incrementos
42
()()
2
527y xx xx yΔ= +Δ − +Δ + −
()() ( )
2
2
527527yxx xx xxΔ= +Δ − +Δ + − − +
()
22 2
52 227527yxxxx xxx xxΔ= + Δ+Δ − − Δ+ − + −
22 2
510 5 22 7527yx xx x x x x xΔ= + Δ+Δ − −Δ+ − + −

22
10 5 2yxx x xΔ= Δ+Δ−Δ
Ejemplo 3: Calcular el incremento de la función .xΔ
32
2431yx x x= +−−
Solución:
32
2431yx x x=+−−
()()()
32
2431yy xx xx xx+Δ = +Δ + +Δ − +Δ −
()()()
32
2431yxx xx xx yΔ= +Δ + +Δ − +Δ −−
()()() ( )
32
32
24312431yxx xx xx xxxΔ= +Δ + +Δ − +Δ −− + − −
()( )
32 2 3 2 2
23 3 42 331y x x x xx x x xx x x xΔ= + Δ+ Δ +Δ + + Δ+Δ − −Δ−−
32
2431xxx−−++
32 2 32 2
26 6 2 48 4 331y x x x xx x x xx x x xΔ= + Δ+ Δ +Δ + + Δ+Δ − −Δ−
32
2431xxx−−++
223 2
662843yxxxx x xx x xΔ= Δ+ Δ +Δ + Δ+Δ −Δ
Nota: Obsérvese cómo debe repetirse el signo de operación, tanto al final del renglón ago-
tado como del nuevo renglón, cuando toda la expresión, por ser tan larga, no cabe en
el mismo renglón.

7. Incrementos
43
Ejemplo 4: Calcular el incremento de la función .xΔ
1
y
x
=
Solución:
1
y
x
=
1
yy
xx
+Δ =
+Δ
(despejando )
1
yy
xx
Δ= −
+Δ
yΔ
(sustituyendo y)
11
y
xxx
Δ= −
+Δ
(sacando común denominador)
( )
()
xxx
y
xxx
−+Δ
Δ=
+Δ
()
xxx
y
xxx
−−Δ
Δ=
+Δ
()
x
y
xxx
−Δ
Δ=
+Δ
o bien
2
x
y
xxx
−Δ
Δ=
+Δ

8. Incrementos
44
EJERCICIO 7 (Áreas 1, 2 y 3)
Obtener el incremento de las siguientes funciones:xΔ
1) 2) 53yx=+
2
79yx x=−+
3) 4) 69yx=−
2
37yxx=−
5) 6)
2
11 4yx x=+ −
2
897yx x=++
7) 8)
2
52 2yxx=− −
3
5yx=
9) 10)
3
211yx x=+
32
7372yx x x=++−
11) 12)
23
yx x=−
32
57yxx=+−
13) 14)
2
1
y
x
=
1
21
y
x
=
−
15) 16)
2
1
y
xx
=
+
3
25
y
x
=
−
17) 18)
2
4
25
y
x
=
−
2
5
32
y
x x
=
+