2 - limit dan kekontinuan Kalkulus Dasar Kuliah.pdf

2 - limit dan kekontinuan Kalkulus Dasar Kuliah

1. LIMIT LIMIT
&&&&
KEKONTINUAN KEKONTINUAN

2. LIMIT LIMIT
•Apa itu limit ? Kapan limit ada ?
•Limit kiri dan limit kanan
•
Definisi Limit
•
Definisi Limit
•Ilustrasi epsilon-delta
•Teorema Limit
Limit

3. Tali mengangkat beban Tali mengangkat beban
Berat
terangkat
Berat
tidak
terangkat
9.9 kg 10.1 kg
9.7 kg 10.5 kg
9.5 kg 10.8 kg
9 kg
11 kg
9 kg
11 kg
8 kg 12 kg
7 kg 13 kg
6 kg 14 kg
Tidak terangkat Terangkat
7
9 9.5 9.7 10.5 6 8 9.9 10.8 11 12 13 14
10.1
Limit

4. Definisi Limit Definisi Limit

5. Definisi Limit Definisi Limit
(
)
L xf
c x
=
®
lim
Limit
Untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga untuk0 | | maka| () | x c f x L
e d
d e
> >
< - < - <

6. Limit Kanan Limit Kanan
Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) yang terdefinisi sepotong----sepotong, sepotong, sepotong, sepotong,
perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kanan akan
membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan membawa f(x) menuju ke M atau dinotasikan dengan
limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini limit x menuju c dari arah kanan adalah M, tanda positif di sini
menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x positif.
Limit

7. Limit Kiri Limit Kiri
Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri Perhatikan bahwa untuk setiap x yang menuju ke c dari arah kiri
akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan akan membawa f(x) menuju ke L atau dinotasikan dengan
limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini limit x menuju c dari arah kiri adalah L, tanda negatif di sini
menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif. menunjukkan arah datangnya x, yaitu dari arah sumbu x negatif.
Limit

8. Limit Limit
Limit suatu fungsi itu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila Limit suatu fungsi itu ada bila
limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan. limit kiri sama dengan limit kanan.
Limit

9. Cara Cara--ccara ara pperhitungan erhitungan llimit imit
•Membuktikan dengan definisi
•Substitusi Langsung.
•Faktorisasi, yaitu memfaktorkan
pembilang atau penyebut dari fungsi pembilang atau penyebut dari fungsi yang akan kita cari limitnya.
•Mengalikan dengan sekawannya.
Limit

10. Suatu Contoh Pembuktian Limit dengan
e d
-
2
lim(2 3) 7 x
x
®
+ =
2
2
lim 4 x
x
®
=
Buktikan (a)
dan(b)
(a) Diberikan , akan ditentukan suatu sehingga
yang setara dengan
0
e
>
0
d
>
0 | 2| |2 3 7|
x x
d e
< - <⇒+ - <
.
yang setara dengan 0 | 2| 2| 2| ,
x x
d e
< - <⇒- <
atau
| 2| ,
2
x
e
- <
Ambillah
12
d e
£
, maka
1
0 | 2| |2 2 6| 2| 2| 2 2
2
x x x
d d e e
< - <⇒+ - = - < £ =
i i

11. (b) Diberikan , akan ditentukan suatu sehingga
0
e
>
0
d
>
2
0 | 2| | 4|
x x
d e
< - <⇒- <
| 2|| 2|
x x
e
+ - <
atau
Jika faktor | x+ 2 | dapat dibatasi oleh suatu konstanta
positif, maka masalahnya dapat diselesaikan seperti
soal (a). Untuk ini, andaikan , maka
0 1
d
< <
0 | 2| 1 | 2| | 2 4| | 2| 4 1 4 5
x x x x
d
< - < <
⇒
+ = - + £ - + < + =
Akibatnya, kita harus menentukan suatu sehingga
0
d
>
0 | 2| 5| 2|
x x
d e
< - <
⇒
- <
{
}
1
5
min 1,
d e
=
15
d e
£
Ambillah , makadan
Dari sini diperoleh
0 1
d
< <
2
0 | 2| | 4| | 2|| 2| 5| 2| 5
x x x x x
d d e
< - <
⇒
- = + - £ - < <
i

12. Kasus Fungsi yang Tak Mempunyai Limit

13. TEOREMA LIMITTEOREMA LIMIT
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta
f dan g adalah fungsi yang memiliki nilai limit di c
(
)
(
)
x c
x c
x c x c
1.lim ;
2.lim ;
3.lim lim ;
k k
x c
kf x k f x
®
®
® ®
= =
=
TEOREMA LIMITTEOREMA LIMIT
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x c x c x c x c x c
x c x c x c
x c x c x c
4.lim lim lim ; 5.lim lim lim ; 6.lim . lim .lim ;
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
® ® ® ® ®
® ® ®
® ® ®
 + = +
 
 - = -
 
 =
 
Limit

14. TEOREMA LIMITTEOREMA LIMIT
Andaikan n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta
f dan g adalah fungsi yang memiliki nilai limit di c
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
x c
x c x c
x c
x c x c
lim
7.lim ,lim 0
lim
8.lim lim ;
n
n
f x f x
g x
g x g x
f x f x
®
® ®
®
® ®
= ¹
   =
 
 
TEOREMA LIMITTEOREMA LIMIT
(
)
(
)
( )
( )
( )
x c x c
n
x c x c x c
9.lim lim ,lim 0, genap.
n
f x f x f x n
® ® ® ® ®
 
 
= >
Limit
Jika
lim () x c
f x
®
=
ℓ
, maka
lim| ()| | | x c
f x
®
=
ℓ
.
Jika
lim| ()| 0 x c
f x
®
=
, maka
lim () 0 x c
f x
®
=
.

15. 4 4
2 4 2
2 2 2
2
2 4 2 2 4 2 2 4 2
lim lim x x
x x x x
x x x x
® ®
- +
- - +
+
- - - - - +
= × ×
4 4
( 4)( 2 4 2) ( 4)( 2 4 2) (2 4 4)( 2) 2( 4)( 2)
2 4 2
4 2 2 2 4 1
lim lim lim .x x
x x x x
x x x x
x
® ®
- - + - - +
- - + - + - +
+ +
= = = = = = =
Contoh
4
2 4 2
4 2 2 2 4 1
2 4 8 2 2( 2)2( 4 2)
lim . x
x
x
®
- +
+ +
× ++
= = = = =

16. Prinsip Apit
Misalkan fungsi f, g, dan hterdefinisi pada suatu selang terbuka I
yang memuat c, kecuali mungkin di csendiri.
Jika di sekitar c berlaku h(x) £ f
(x) £ g(x) dengan
lim ( ) lim ( ) x c x c
h x g x
® ®
= =
ℓ
,
maka

lim ( ) x c
f x
®
=
ℓ
.

17. Contoh
Hitunglah
0
1
lim sin x
x
x
®
1 1
0 sin | | sin | |
x x
x x x
£ = £
1
0 sin | |
x
x x
£ £
0
lim 0 0 x®
=
0
lim | | 0 x
x
®
=
0
1
lim sin 0 x
x
x
®
=
Karena fungsi sinus terbatas oleh 1, maka diperoleh ketaksamaan
, atau
Berdasarkan prinsip apit, karena
dan
maka
0
1
lim sin 0 x
x
x
®
=
Berdasarkan sifat limit nilai mutlak, dari sini diperoleh
.

18. Limit Trigonometri
TeoremaDasar:
0
sin
lim 1 x
x
x
®
=
1 12
2 2
1 sin 1 1 tan
2
x
x x
p
p
× × < × × < × ×
sin cos
sin
xx
x x< <
1
x
< <
Bukti
Untuk sudut xdengan 0 ≤x≤ π/2
Berlakuluas ∆OQR<luas sektor OQR<luas ∆ OQT
sin
1
1
cos
x
x
x
< <
sin
cos 1
x
x
x
< <
Berdasarkan prinsip apit, karena dan , maka
0
sin
lim 1 x
x
x
®
=
0
limcos 1 x
x
®
=
0
lim1 1 x®
=
Sifat lain :
0
sin
lim 1 x
x
x
®
=
0
tan
lim 1 x
x
x
®
=
0
tan
lim 1 x
x
x
®
=

19. Contoh Soal Contoh Soal
2
x 2
4
A. lim
2
B. lim
x
x
x
®
--
2
x 3
2
D. lim 2 5
6
E. lim
x x x
®
- + +
x 0
x 1
B. lim
1
C. lim
1
x
x
x
®
®
-
-
2
x 3
x 0
6
E. lim
6
F. lim sin( )
xx
x x
®
®
+-
Limit

20. • A
• B
(
)
(
)
4 2 lim
2
2 2
lim
2
4
lim
2 x 2 x
2
2 x
= + =
-
- +
=
-
-
® ® ®
x
x
x x
x
x
=
®
xx
0 x
lim
Perhatikan bahwa
³
=
.0 ,xx
x
(
)
(
)
4 2 lim
2
2 2
lim
2
4
lim
2 x 2 x
2
2 x
= + =
-
- +
=
-
-
® ® ®
x
x
x x
x
x
=
®
xx
0 x
lim
Perhatikan bahwa
³
=
.0 ,xx
x
Solusi (1) Solusi (1)
1 lim
0 x
=
+
®
xx
1 lim
0 x
-=
-
-
®
x
x
Perhatikan bahwa

< -
=
.0 ,xx
x
akibatnya
Dengan demikian
x
x
x
x
-
¹
- +
® ®0 x 0 xlim lim
Jadi
x
x
0 x
lim
®
tidak ada.
dan
1 lim
0 x
=
+
®
xx
1 lim
0 x
-=
-
-
®
x
x
Perhatikan bahwa

< -
=
.0 ,xx
x
akibatnya
Dengan demikian
x
x
x
x
-
¹
- +
® ®0 x 0 xlim lim
Jadi
x
x
0 x
lim
®
tidak ada.
dan
Limit

21. •
C
•
D
(
)(
)
21 lim
1
1 1
lim
1
1
lim
1x 1x 1x
=+ =
-
- +
=
-
-
® ® ®
x
x
x x
x
x
8
5
2
lim
2
=
+
-
x
x
Solusi (2) Solusi (2)
•
D
•
E
8
5
2
lim
3 x
=
+
-
®
x
x
5
3
15
6
6
lim
2
2
3 x
= =
-
+
®
x
x
Limit

22. Solusi (3) Solusi (3)
x 0lim sin( )
x x
®
Perhatikan bahwa
x x xx
x
£ £-
£
£
-
) sin(
1) sin( 1
F.
0 lim
0 lim
0 x
0 x
=
=
-
®
®
x
x
0) sin( lim
0 x=
®
x x
Dengan menggunakan prinsip apit diperoleh
sehingga
Limit

23. Limit Tak Hingga

24. 2 2
2
4 4
( 2)( 3)
6
( )
x x x x
x x x x
f x
- -
+ -
- -
= =
3
lim ()
x
f x
+
®
3
lim ()
x
f x
-
®
2
lim ()
x
f x
+
®-
Contoh
Jika
hitunglah
2
lim ()
x
f x
+
®-
2
lim ()
x
f x
-
®-

25. Limit di Tak Hingga
1
lim 0,
n
x
x
n
®¥
= Î
ℕ
1
lim 0,
n
x
x
n
® -¥
= Î
ℕ
Teorema
(1)
(2)
Contoh
(
)
2
2
3 3 2
2
21 1 1 6 2
2 lim 2
2 32 0
1 0 60 61 lim 6lim 1
lim lim2
x xx
x xx x x x
x x
x
x x
x xx
®¥
®¥ ®¥
 
® ¥ ® ¥
 
- -
--
- - × - -- - - -
= = = =

26. Kekontinuan Kekontinuan
•Definisi informal
iKontinu
•Jenis-Jenis Ketidakkontinuan Suatu
Fungsi
•
Definisi formal
•
Definisi formal
•Contoh soal
•Teorema Nilai Antara (TNA)
•Ketidakberlakuan TNA
Kekontinuan

27. Definisi informal Definisi informal
2 1
y
2 1
y
2 1
y
• Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar Manakah diantara gambar----gambar fungsi di gambar fungsi di gambar fungsi di gambar fungsi di
atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ? atas yang disebut kontinu ?
x
a
1
x
a
1
x
a
1
Kekontinuan

28. Fungsi Kontinu Fungsi Kontinu
Fungsikontinudapatdiilustrasikansebagaiberikut: Dalam menggambarkannya kita tidak perlu mengangkat
pena dari kertas
Kekontinuan

29. Jenis Jenis--jenis jenis kketidakkontinuan etidakkontinuan
ssuatu uatu ffungsi ungsi
• Ketidakkontinuan pada satu titik
• Ketidakkontinuan pada satu garis
•
Adanya suatu lompatan
•
Adanya suatu lompatan
Kekontinuan

30. KETIDAKKONTINUAN PADA SATU TITIK KETIDAKKONTINUAN PADA SATU TITIK
Kekontinuan

31. KETIDAKKONTINUAN PADA SATU GARIS KETIDAKKONTINUAN PADA SATU GARIS
Kekontinuan

32. KETIDAKKONTINUAN AKIBAT KETIDAKKONTINUAN AKIBAT ADANYA ADANYA
SUATU LOMPATAN SUATU LOMPATAN
Kekontinuan

33. Kekontinuan fungsi Kekontinuan fungsi •Suatu fungsi dikatakan kontinu pada
suatu titik a jika dan hanya jika
memenuhi 3 syarat:
(
)
(
)
afsi terdefini
Fungsi terdefinisi di titik x=a; Limit f(x) ada; artinya limit kiri
(
)
() ()
af xf
xf
=
®
®
a x
a x
lim
ada lim
Limit f(x) ada; artinya limit kiri dan limit kanannya sama;
Kemudian nilai dari limit fungsi
sama dengan nilai fungsi di titik
tersebut.
Kekontinuan

34. Apakah kontinu di 0 ? Apakah kontinu di 0 ?
( ) (
)
,
0
0
,
0 ,
0 ,
2
h
xx
xx
xh
=



£ -
>
=
( )
,
0 ,
0 ,
2



£ -
>
=
xx
xx
xh terdefinisi
(
)
( ) ( )
0 0 lim
0 lim
0 lim
,
0
0
0
0
2
0
h xh
x
x
h
x
x
x
==





=-
=
=
®
®
®
-
+
Kekontinuan
Jadi hkontinu di 0.

35. Apakah kontinu di 0 ? Apakah kontinu di 0 ?
(
)
(
)
(
)
0
0
lim
0
lim
0 lim
0 0,
0
f
x
x
x
fx xf
x
=
=

=
-
=
= =
®
+
(
)
x xf=
(
)
0
0
lim
0
lim
0
0
0
f
x
x
x
x
x
=
=



=
-
®
®
®
-
Jadi fkontinu di 0.
Kekontinuan

36. Teorema Nilai Antara
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan m £ k £ M, min ( )
a x b
m f x
£ £
=
dan
maks ( ) a x b
M f x
£ £
=, maka $ d Î [a,b] 'f
(d) = k. Aki-
bat teorema ini adalah:
Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan f
(a) f
(b) < 0, maka $ s Î (a,b) 'f
(s
)
=
0.
(kurva
f
memotong sumbu
x
di
s
)

37. Contoh
2
( ) , 1
( )
1 , 1
x a x
f x
ax x

- £
=
- >

ℝ
1. Tentukan konstanta aagar fungsi
kontinu pada .
.
2. Tunjukkan fungsi kontinu untuk setiap c di
2
( ) 1 cos
f x x
= +
ℝ

38. SEKIAN SEKIAN
&&
TERIMA KASIH TERIMA KASIH
&&
TERIMA KASIH TERIMA KASIH
Kekontinuan