2. Orígens.pptx_________________________

orígens

1. IHC Institut d’Història de la Ciència Història de la ciència 2. Orígens Mòdul : 42087 Complements de formació de Física i Química i Biologia i Geologia Titulació: Màster Universitari en Formació de Professorat d’ Educació Secundària Sergi Grau, IHC i Departament de Filosofia

2. Què significa la paraula "ciència" a l’Antiguitat? Té sentit parlar de ciència en la prehistòria? Què va motivar els primers intents per comprendre la natura, el cosmos i la vida? Quan neixen les matemàtiques, i quins problemes plantegen? En quin sentit consideren els filòsofs grecs clàssics que la matemàtica és una ciència? Qüestions

3. Atès que la ciència natural s’ocupa de les transformacions i manipulacions reals de la matèria, el gran corrent de la ciència neix de les tècniques de l’home primitiu, que van haver de ser apreses i transmeses sense recórrer maquinalment a les paraules. John D. Bernal, Historia social de la ciència (1954, 2a. ed. 1964), una interpretació des de la historiografia marxista dels orígens de la ciència.

4. Mapa de Jingdezhen ( Tao Lu , 1815) © Divison of Rare and Manuscripts Collection, Cornell University Library

5. Ceramista a Jingdezhen, 1920 © National Geographic /Franz B. Lenz

6. Les propietats tèrmiques i químiques dels gresols fabricats a la regió de Hesse a Alemanya són reconegudes des de l’Edat Mitjana. Però la raó última que tinguin aquestes propietats només s’ha pogut determinar amb el desenvolupament de la teoria atòmica i noves tècniques d’anàlisi química… La paradoxa és que aquest desenvolupament científic només va ser possible gràcies als gresols, que van permetre obtenir resultats fiables. És evident que els artesans que els fabricaven sabien el que feien, i per això no van modificar i van mantenir la recepta en secret durant segles.

7. ESM Fig. 1 chronologically fixed source supposed source common origin [v. d. Waerden] supposed confirmed A rope stretchers B equal problem solutions C truncated pyramid D comparison British Museum 34 568 with Nine Chapter E ritual geometric constructions F Euclidian Algorithm Statements in „Algebra and Geometry in Ancient Civilizations“ by B. L. van der Waerden Indus writing Śulvasūtra Śatapatha Linear A Crete Pythagoras et al. Nine Chapter Oracle writing China BC AD British Museum 34 568 Hiero-glyphics Greece E Cuneiform writing Egypt Babylon D C B F Central Europe / Danube region Supposition of van der Waerden Papyrus Moscow Sumer 4. millennium 3. millennium 2. millennium 1. millennium Circular rings 1. millennium Brittany and Britain India Gize pyramids A Pythagorean triangles/ Pythagorean Theorem

8. Problema 50 Exemple de com fer un camp circular de 9 khet . Quina és la seva quantitat en àrea? Treu 1/9 d’ell, és a dir, 1; el restant és 8. Fes la multiplicació: 8 per 8; es converteix en 64; aquesta és la quantitat de l’àrea 64 seat . Problema 48 9 setat 1 8 setat 2 18 setat 2 16 setat 4 36 setat 4 32 setat 72 setat 8 64 setat total 81 setat

9. En el problema 50 , Ahmes es pregunta per l'àrea d'un terreny circular de 9 khet de diàmetre. Les instruccions són simples: pren el diàmetre del cercle, resta la novena part i eleva el resultat al quadrat. És un cas particular o es pot extreure una regla general? Assegura que el resultat equival a l'àrea d'un quadrat el costat del qual és 8/9 x diàmetre del cercle = (8/9x9) 2 = 8 2 = 64 (en realitat són 63,6172). L'escrivà utilitza la fórmula A = (d-1/9d) 2 . Àrea d'un cercle: π x el radi al quadrat D'aquesta manera, el valor de π segons Ahmes 4(8/9) 2 és de 64x22/92 = 256/81 = 3,1605... Segons el problema 48 , es divideixen els costats en tres parts iguals formant després un octògon. Ahmes elimina els triangles formats als vèrtexs del quadrat. L'àrea de l'octògon és A = 92-4(3x3)/2=63 El papir matemàtic del Rhind (c. 1650 BCE)

10. 1;24,51,10 = 1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 ≈ 1,41421296... 42;25,35 = 30547/720 ≈ 42,4263...

11. Robson , E. (2002). Words and pictures : new light on Plimpton 322.  Amer . Math . Monthly , 109: 105–120

12. Robson, E. (2002). Words and pictures : new light on Plimpton 322.  Amer . Math . Monthly , 109: 107–108

13. La part més difícil d'entendre per al lector actual és la capçalera de la primera columna: [ta]- ki-il-ti si-li- ip -tim [sa 1 in]-na-as-sà- hu - ú-ma SAG i- il - lu-ú El quadrat- takiltum de la diagonal del qual treiem 1 per tal de trobar el costat curt Dos termes tècnics d'aquest text indiquen que estem davant d'un procediment geomètric de retallar i enganxar: nasahum , “treure”, és un verb que fa referència a la substracció geomètrica, i takiltum és un substantiu que fa referència a un quadrat construït en el curs d'un procediment de retallar i enganxar”. E. Robson, Mathematics in Ancient Irak (2008).

14. YBC 6967 7 60 12,15 3,30 1) Dividir el 7 entre 2: 7/2= 3,5 [=3;30] 2) Multiplicar el resultat per si mateix (el quadrat): 3,5x3,5=12,25 [=12;15] 3) Afegir 1 (és a dir, 60) i obtindràs 72,25 (60+12,25) [àrea del nou quadrat] 4) Troba el costat del quadrat: 72,25=8,5x8,5 [8;30] 5) Sostrau 3;30, el quadrat- takiltum (costat del petit quadrat imaginari) de 8;30 [8,5-3,5=12] i després afegeix-lo [8,5+3,5=12) [Un recíproc] excedeix el seu recíproc en 7. Quins són els recíprocs? Parteix en dues meitats el 7, i [obtindràs] 3;30 Multiplica 3;30 per 3;30 i [obtindràs] 12;15 Afegeix [l'àrea] 1 00 al 12;15 que havies obtingut i [obtindràs] 1 12;15 Quin és [el costat del quadrat 1] 12;15? 8;30 Sostreu 3;30, el quadrat-talkitum [la meitat de la diferència], de 8;30 i després afegeix-lo a 8;30 Un és 12, l'altre 5. El recíproc és 12, i el seu recíproc 5

15. “Although mathematics is most immediately the product of individuals, those individuals are shaped and constrained by the society in which they live, think, and write. In order to understand the mathematics of a particular people as richly as possible, historians need to contextualize it. But context, crucial trough it is, has to be paired with scrupulous attention to the mathematical, linguistic, and artefactual details of the tablets themselves ” Robson , Eleanor (2008). Scopes , Methods , Sources . Chapter 1 of Mathematics in Ancient Irak. A Social History (Princeton/Oxford: Princeton University Press ), p. 8-9.

16. “ Scuola di Atene” (1509-1511), Rafael, Palau del Vaticà .

17. The first map , ' Before Alexandria' - before the foundation of Alexandria (331 BC) - is centred on the Aegean . The second , ' After Alexandria', is centred on the eastern Mediterranean . The catalogue contains 144 entries . My conclusion is that there were about 1,000 mathematicians , at most , in antiquity . For 114 localizable individuals , there are 51 sites ( Netz 1997).

18. El llibre està dividit en tres categories: definicions, postulats, i nocions comunes. L’apartat deductiu d’aquesta obra es basa en els postulats –geomètrics- i en les nocions comunes – d’àmbit més ampli. Pauta de les proposicions: enunciat, demostració i conclusió. No hi ha acord sobre el nombre de nocions comunes que donà Euclides, moltes de les quals són aristotèliques. Per Aristòtil, els axiomes son proposicions que estableixen relacions (NC), mentre que els postulats tenen a veure amb l’existència o producció d’objectes geomètrics simples.

19. Llibre 1 La geometria del triangle Llibre 2 La geometria dels paral·lelograms Llibre 3 La geometria del cercle i la circumferència Llibre 4 Els polígons regulars construïbles amb regla i compàs Llibre 5 La teoria general de la proporció d'Èudox Llibre 6 Aplicacions de la teoria de la proporció a la geometria plana Llibre 7 Els fonaments de la teoria de nombres Llibre 8 Els fonaments de la teoria de nombres Llibre 9 La teoria de nombres Llibre 10 Les magnituds incommensurables Llibre 11 La geometria sòlida Llibre 12 La mesura de figures sòlides Llibre 13 La geometria dels sòlids regulars Elements : 13 llibres , 5 postulats , 5 nocions comunes, 130 definicions , 465 proposicions

20. DI1 Un punt és el que no té cap part DI2 Una línia és una longitud sense amplada DI3 Els extrems d'una línia són punts DI4 La línia recta és la que jau igualment damunt els propis punts DI5 Una superfície és el que solament té llargada i amplada DI6 Els extrems d'una superfície són línies DI7 Una superfície plana és aquella que jau igualment en les pròpies línies rectes DI8 Un angle pla és la inclinació de dues línies, una damunt de l'altra, d'un mateix pla, que es toquen però no es troben damunt una mateixa línia recta DI9 I quan les dues línies que contenen l'angle són línies rectes, l'angle s'anomena rectilini DI10 Angle recte DI11 Angle obtús DI12 Angle agut DI13 Una frontera és l'extrem de quelcom DI14 Una figura és el que es troba comprès en una o diverses fronteres Elements, llibre 1, definicions

21. DI15 Un cercle és una figura plana envoltada per una sola línia [que s'anomena circumferència ] i en què totes les línies rectes que hi incideixen des d'un [determinat] punt de la figura són iguals DI16 Aquest punt s'anomena centre del cercle DI17 Un diàmetre del cercle és qualsevol línia recta que passa pel centre i està limitada, en tots dos costats, per la circumferència del cercle. Aquesta recte divideix el cercle en dues parts iguals DI18 Un semicercle és la figura limitada per un diàmetre i la circumferència. El seu centre és el mateix que el del cercle DI19 Les figures rectilínies són les que es troben limitades per línies rectes. Les trilàteres ho estan per tres, les quadrilàteres per quatre i les multilàteres per més de quatre DI20 Triangle equilàter, isòsceles i escalè DI21 Triangle rectangle, obtusangle, acutangle DI23 Els segments paral·lels són segments rectilinis que, trobant-se en un mateix pla, si es prolonguen indefinidament en totes dues direccions no es tallen ni en l'una ni en l'altra Elements, llibre 1, definicions

22. P1 D'un punt a un altre es pot tirar un segment rectilini [únic] P2 I prolongar-lo de forma contínua amb una recta limitada P3 Per a cada centre i distància es pot descriure un cercle P4 Tots els angles rectes són iguals entre sí P5 Si un segment cau damunt de dos segments i els angles interns del mateix costat fan junts menys de dos [angles] rectes, els dos segments, prolongats indefinidament , es tallen pel costat en què els angles valen menys de dos angles rectes Nc1 Coses iguals a una tercera cosa són iguals entre sí Nc2 Si afegim coses iguals a coses iguals, resulten coses iguals Nc3 Si traiem coses iguals a coses iguals, resulten coses iguals Nc4 Coses que coincideixen entre sí són iguals Nc5 El tot és més gran que la part Elements , llibre 1, postulats i nocions comunes

23. Volem construir un triangle equilàter sobre un segment rectilini donat Sigui AB el segment donat. Hem de construir un triangle equilàter de costat AB . Amb centre al punt A i radi AB tirem la circumferència o BCD . I, amb centre al punt B i radi AB , [la circumferència ] o ACE . Unim el punt C en què es tallen [totes dues circumferències ] amb els punts A i B , i obtenim els segments CA i CB . Ara, com que el punt A és el centre de [la circumferència] o ACE , [els segments] BC i BA són iguals. Però hem establert també que [els segments] AC i AB són iguals. Per tant, cada un dels segments CA , CB és igual al segment AB . I com que coses iguals a una altra cosa són iguals entre si, resulta que [el segment] CA és igual a [el segment] CB . Per tant els tres segments CA , A B i són igual entre si. El triangle ABC és equilàter i BC s’ha construït sobre el segment donat AB . I això és el que volíem demostrar. Elements, 1-1 A B C D E

24. The Oxyrhynchus Papyri . This is a fragment of what is likely part of a larger papyrus roll from the early years of the current era. It was dated by its original finders to around 300 A.D. Museum of Archaelogy and Anthropology at the University of Pennsylvania. It is #E2748 in the Museum catalogue. The fragment contains the statement , in Greek , of Proposition 5 from Book II of Euclid's   Elements

25. [enunciació] Si un segment es talla en dues parts iguals i [en dues parts] diferents, el rectangle format per les parts diferents del segment [inicial] juntament amb el quadrat determinat pel segment d’extrems els dos punts que determinen les seccions és equivalent al quadrat de costat la meitat [del segment inicial] [exposició] Sigui C el punt que divideix el segment AB en dues parts iguals i D el punt que el divideix en dues de diferents. [especificació] Afirmo que el rectangle determinat per AD i DB juntament amb el quadrat de costat CD és equivalent al quadrat de costat CB . [construcció] Considerem el quadrat CEFB de costat CB i unim BE . Per D i H , tirem els segments paral·lels DG i KM paral·lels a [els segment] CE o BF , i AB o EF , respectivament, i pel punt A , el segment AK paral·lel a [els segments] CL o BM . Elements, 2-5: parts de les demostracions (Procle) A B C D E F H G M L K

26. [demostració] Atès que els complements CH i HF són equivalents, si afegim el quadrat DM [a cadascun], aleshores els rectangles totals CM i DF són equivalents. […] [conclusió] En definitiva, el rectangle de costats AD i DB més el quadrat de costat CD equival al quadrat de costat CB . I això és el que volíem demostrar. Elements, 2-5: parts de les demostracions (Procle) A B C D E F H G M P O N L K

27. Netz , R. The Shaping of Deduction (Cambridge University Press , 1999), p. 203: estructura de la demostració d’ Elements 2-5 (La demostració és una combinacions d’arguments )

28. En un triangle rectangle, els quadrats de costats els segments que formen l'angle recte [junt] equivalen al quadrat de costat el segment que el subtendeix Elements, 1-47

29. In his geometry, Euclid never multiplies a magnitude by a magnitude; for example, the line of length b is never multiplied by itself to produce the square b 2 . This is particularly clear in (1.prop.46), where he constructs a square (already defined in [1.def.22]): not even there, and nor anywhere else in the Elements , is it stated, assumed, or proved that the area of the square is the square of a side. Thus, for example, Pythagoras’s theorem, which follows at once with its converse (1.props.47–48), states that two squares are equal to a third one, and the well-known proof works by shuffling around regions of various shapes according to principles of congruence and composition; nowhere are area formulae involved. To make an analogy (and no more) with arithmetic, this theorem deals with, say, 9 +16 = 25, but not with 3 2 + 4 2 = 5 2 . In other words, in Euclid’s geometry t he square on the side is not the square of the side, or the side squared ; it is a planar region which has this size.... By contrast, in Euclid’s arithmetic numbers can be multiplied..... Thus, the algebraic version of his arithmetic is free of this objection. Ivor Grattan-Guinness (1996), Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid’s Elements : How Did He Handle Them?, Historia Mathematica 23/4, 355-375.

30. Euclides, Elements , llibre IV, proposició 11: Inscriure un pentàgon equilàter i equiangle a un cercle donat. En un pentàgon regular, el quocient (o raó) entre una de les seves diagonals (per exemple AC) i un costat (per exemple ED) és constant. S'anomena la raó àuria (tot i que no és un terme grec!) i el nombre que resulta 𝜑 =1,61803398875

31. Chou Pei Suan Ching ( The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heavens ), c . XII-VI BC. Diagrama hsuan-thu . On these pages , the diagram on the right is usually called the " hypotenuse diagram " and illustrates the proof of the Gougu ( or Pythagorean ) theorem in the 3-4-5 case. The diagram on the left shows how a square of side 3 fits into a square of side 5.

32. You have in this book, diligent reader, the rules of algebra (in Italian, called rules of the coss ), so abounding in new discoveries and demonstrations by the author, more than seventy, that earlier works now amount to little (or, in the vernacular, are washed out). It disentangles the knots not only where one term is equal to another or two to one, but also where two are equal to two or three to one. It is a pleasure, therefore, to publish this book separately so that, this most abstruse and unsurpassed treasury of all of arithmetic being brought to light, and as, in a theater exposed to the sight of all, its readers may be encouraged and will all the more readily embrace and with less aversion study thoroughly the remaining books of this perfect work, which will be published volume by volume.

33. Cap. XI “Sigui per exemple el cub GH més sis vegades el seu costat GH igual a 20, i siguin AE i CL els cubs la diferència dels quals és 20 [ q ] i el producte dels costats dels quals és 2, és a dir, un terç del número de parts [ p ]. Si trec CB (igual a CK) del costat d’AE, el segment resultant AB és igual a GH [ x ]. Quando ch’l cubo con le cosse apresso, Se aagguaglia à qualche numero discreto Trouan dui altri, differenti in esso. Dappoi torrai, questo per consueto, Ch’lor produtto sempre sia eguale Al terzo cubo, delle cose neto. El residuo pou suo generale Delli lor lati cubi, ben sottratti Verrá la tua cosa principale (expressió prèvia en vers comunicada a Cardano)