2 - Prob. concept, random variable . pdf

enjoy

1. 1
Program StudiMatematika
FakultasMatematikadan IlmuPengetahuanAlam
Materi2. KonsepPeluangdan Peubah
Acak
KonsepPeluang
MA3181 –TeoriPeluang
Dr. Utriweni Mukhaiyar

2. 2
Permutasi
DEFINISI.SuatuPermutasiialahsuatususunanyangdapatdibentuk
darisatukumpulanbendayangdiambilsebagianatauseluruhnya.
Banyakpermutasi??????bendaberlainanbiladiambil??????sekaligusadalah
??????�
??????=
??????!
??????−??????!
Misalkandiambil3hurufa,bdanc.Permutasiyangdapatdibuat
adalah���,���,���,���,���,dan���.Terlihatbahwaada6susunan
yangberlainan.
Note:Padapermutasiurutandiperhatikan.

3. 3
Permutasi
Teorema1.
Banyaknyapermutasi??????bendaberlainanyangdisusunmelingkaradalah
??????−1!Disebutjugasebagaipermutasisiklis.
Teorema2.
Banyaknyapermutasiyangberlainandari??????bendabila??????
1diantaranya
berjenispertama,??????
2berjeniskedua,…,??????
??????berjeniske-??????adalah
??????!
??????
1!??????
2!…??????
??????!

4. 4
ContohPermutasi
Suatupohonakandihiasidengan9bolalampuyangdirangkaiseri.Ada
berapacaraenyusun9bolalampuitubila3diantaranyaberwarna
merah,4kuningdan2biru?
Jawab:
Banyaknyasusunanberlainanada
9!
3!4!2!
=1260
SehinggabanyaknyacarautkMenyusunbolatersebutada1260cara.

5. 5
Permutasi
Teorema3.
Banyaknyacaramenyekatsuatuhimpunan??????bendadalam??????sel,
masing-masingberisi??????
1unsurdalamselpertama,??????
2dalamselkedua
danseterusnyaadalahsebagaiberikut,
??????
??????
1,??????
2,…,??????
??????
=
??????!
??????
1!??????
2!…??????
??????!
Dengan??????
1+??????
2+⋯+??????
??????=??????.
CONTOH.
Berapabanyakcaramenampung7pegawaibarudalam3divisi,bila1
divisimenyediakan3posisisedang2lainnyapunya2posisi?
Jawab:Jumlahseluruhsekatadalah
7
3,2,2
=
7!
3!2!2!
=210cara

6. 6
Kombinasi
•Dalam banyakmasalah, ingindiketahuibanyakcaramemilih??????benda
darisejumlah??????tanpamemperdulikanurutannya. Pemilihansepertiini
disebut kombinasi.
Teorema4.
Banyakkombinasidari??????bendayangberlainanbiladiambilsebanyak
??????sekaligusadalah
??????
??????
=
??????!
??????!??????−??????!

7. 7
EkspansiBinomial
Diketahuipersamaan:
�+�
??????
=�+��+��+�…�+�
Persamaantersebutdapatditulismenjadi
�+�
??????
=෍
??????=0
??????
??????
??????
�
??????
�
??????−??????

8. 8
Latihan
1.DalamsuatupenelitianKesehatanparapenderitadikelompokkandalam8cara
menurutgolongandarahnya:��
+
,��
−
,�
+
,�
−
,�
+
,�
−
,�
+
,dan�
−
danjuga
berdasarkanapakahtekanandarahnyarendah,normalatautinggi.Cari
banyaknyacaraseorangpenderitadapatdikelompokkan!
2.Sejenisobatasmadapatdibelidari5pabrikobatyangberbedadalambentuk
cair,atautablet,ataukapsul,semuanyadibuatdalamkadarbiasadan
tambahan.Dalamberapacarayangberlainanseorangdokterdapatmenuliskan
resepobatasmabagiseorangpenderitaasma?
1.Dalamsuatuujianujianpilihangandayangterdiridari5pertanyaanmasing-
masingdengan4pilihanjawabanyanghanya1yangbetul,
a.Dalamberapabanyakcaraseorangmuriddapatmemberisatujawabanper
soal?
b.Dalamberapabanyakcaraseorangmuriddapatmemberisatujawabanper
soaldansemuajawabannyasalah?

9. 9
Latihan

10. 10
Latihan

11. 11
Latihan

12. 12
Program StudiMatematika
FakultasMatematikadan IlmuPengetahuanAlam
Materi2. KonsepPeluangdan Peubah
Acak
PeubahAcakdan
DistribusiPeluang
MA3181 –TeoriPeluang
Dr. Utriweni Mukhaiyar

13. 13
PeubahAcak
•PeubahAcakialahsuatufungsiyang
mengaitkansuatubilanganreal pada
setiapunsurdalamruangsampel.
•Peubahacakakandinyatakandengan
hurufbesar, misalnyaX, sedangkan
nilainyadinyatakandenganhuruf
kecilpadanannya, misalnyax.

14. 14
PeubahAcak
•Sebagaiilustrasi.Tigaorangpetani:Pak
Ali,BadudanCokromenitipkanpecinyadi
pagiharipadaseoranganak.Soreharinyasi
anakmengembalikanpecitersebutsecara
acakpadaketigapetani.BilaPakAli,Badu,
danCokrodalamurutansepertiitu
menerimapecidarisianakmakatuliskanlah
titiksampeluntuksemuaurutanyang
mungkinmendapatkanpecitersebutdan
kemudiancarinilaicdaripeubahacak�
yangmenyatakanjumlahurutanyangcocok.
Ruang Sampel Y
ABC 3
ACB 1
BAC 1
BCA 0
CAB 0
CBA 1

15. PeubahAcak
Peubah acak, yaitu pemetaan X : S →R
oKategorifungsi
15
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –
ITB
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A B
•
•
•
A B
1. Fungsi titik
2. Fungsi himpunan

16. Mengapa Peubah Acak
Perlu?
oMerepresentasikan masalah ke dalam titik real.
oDapat dipetakan.
oLebihmudahdalampenulisan
oLebihmudahperhitungannumerik
oBeberapamasalahdapatdinyatakanoleh peubah
acakyang sama
16
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

17. Contoh
17
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB
•Percobaan pelemparan sebuah dadu
S= { , , ... , }
X = { 1 , 2 , … , 6 }

18. JenisPeubahAcak
•PeubahAcakDiskrit
18 : ( )
i
s X s x E S=  
himpunanterhitung{x
1, x
2, … }, berhingga
atautakberhingga, dan
◼PeubahAcakKontinu
peubahacakyang fungsidistribusinya(F(x))
merupakanfungsikontinuuntuksemuax єR
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

19. 19
19
Contoh TipePeubahAcakX
Diskrit
Banyakkejadian hujan
dalam satu minggu
Lama waktu hujan
setiap kali turun Kontinu
X= 0, jikatidakterjadi hujan dalam 1 minggu
= 1, jikaterjadi hujan 1 kali dalam 1 minggu
= 2, , jikaterjadi hujan 2 kali dalam 1 minggu
… dst
X = [0, 15], jikahujan turun sampai 15 menit
X = (15, 30], jikahujan turun antara 15 sampai 30 menit
X = (45, 60], jikahujan turun antara 45 sampai 60 menit
X = (30, 45], jikahujan turun antara 30 sampai 45 menit
X = (60, ], jikahujan turun lebih dari 1 jam
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

20. Review
FungsiPeluang
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB
Program StudiMatematika
FakultasMatematikadan Ilmu
PengetahuanAlam
Dr. Utriweni Mukhaiyar

21. 21
Fungsi peluangP(X= x)danf(x)
▪Diskrit→P(X= x),
Seringjugadisebutsebagaifungsimassa
peluang(f.m.p).
21
▪Kontinu→f(x),
Seringjugadisebutsebagai
fungsikepadatanpeluang(f.k.p).
Pada kasus kontinu, fungsi peluang tidak bisa ditulis sebagai
P(X= x)karena peluang di satu titik adalah sama dengan nol,
meskipun nilai fungsinya belum tentu nol.
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

22. 22
22
X : SR
Diskrit Kontinu
1.P(X=x)0
2.
3.P(a< X b)=
P(Xb) -P(Xa)
4.
1.f(x)0, xR
2.
3.P(a<Xb) =
4.()1f x dx

−
= ()
b
a
f x dx ()( ) ()
x
F x P X x f t dt
−
=  = 
Pada prinsipnya kedua tipe di atas bermakna sama, hanya berbeda
dalam hal penulisan dan cara menghitungnya.( )1
x
P X x== ()( )
()
tx
F x P X x
ft

=
=
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

23. 23
f(x)
x0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4
ContohGrafikFungsiPeluang
23
P(X=x)
x
Luasdibawahgrafik= 1
Diskrit Kontinu
Jumlahpeluanguntuksemuatitik= 1( )
0.1, 1
0.3, 2
0.4, 3
0.2, 4
0, lainnya
x
x
PXx x
x
x
=

=


== =

=

 ,0 1
()2 ,1 2
0, lainnya
xx
fx x x
x


=− 


Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

24. Review
FungsiDistribusi
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB
Program StudiMatematika
FakultasMatematikadan Ilmu
PengetahuanAlam
Dr. Utriweni Mukhaiyar

25. FungsiDistribusi
•Fungsidistribusikumulatif,Fdaripeubahacak
X
•Sifat-sifat
1.Ffungsiyang monotontidakturun,
2.
3.
4.Fkontinu dari kanan. lim ( ) 1
x
Fx
→
= lim ( ) 0
x
Fx
→−
=
25lim ( ) ( )
xa
F x F a
+
→
=
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

26. 26
Contoh1
Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa
laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati
berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan
hanya ada dua kategori, sebut ’baik’ dan ’tidak’.
26
…
Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan
ruang sampel Ssebagai berikut:
S= {☺☺, ☺, ☺, },
dengan ☺= baik, = tidak.
Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya
baik, tentukan:
a.Fungsi massa peluang dari peubah acak T
b.Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

27. 27
Ilustrasi Contoh
27
☺☺

☺
☺
2
0
1
¼
½
T
P (T= t)
RuangSampel
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

28. 28
Jawab
a.Misal peubah acak T: banyaknya mahasiswa
yang moodnya sedang baik, maka:
T = {0, 1, 2}
dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah:
281/4, 0
1/2, 1
()
1/4, 2
0 yang lain
t
t
PTt
t
t
=

=
==
=



Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

29. 29
29
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB
•Untuk??????<0:
????????????=&#3627408451;??????≤??????=෍
??????≤??????
&#3627408451;(??????=&#3627408462;): kumulatifnilaipeluangsampai??????=??????(tsebagaibatasatas)
0 1 2
Selang II :
0≤??????<1
SelangI :
??????<0
Selang IV :
??????≤2
SelangIII :
1≤??????<2
Posisitsebagaibatasatas, dikuncipada masing-masing4selang:
0 1 2
SelangI :
??????<0
t
????????????=&#3627408451;??????≤??????=0
&#3627408451;??????≤??????
•Untuk 0≤??????<1 :
t
????????????=&#3627408451;??????≤??????=&#3627408451;??????<0+&#3627408451;??????=0
+&#3627408451;0<??????≤??????=
1
4
=??????(0)
&#3627408451;??????≤??????
0 1 2
SelangII :
0≤??????<1
•Untuk 1≤??????<2 :
0 1 2
Selang III :
1≤??????<2
t
????????????=&#3627408451;??????≤??????=??????0+&#3627408451;??????=1+&#3627408451;1<??????≤??????
=
1
4
+
1
2
=
3
4
=??????(1)
&#3627408451;??????≤??????
•Untuk ??????≥2:
t
????????????=&#3627408451;??????≤??????=??????1+&#3627408451;??????=2+&#3627408451;2<??????≤??????
=
3
4
+
1
4
=1
&#3627408451;??????≤??????
0 1 2
Selang IV :
??????≥2

30. 30
Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi
distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :
Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik di
bawah ini:
300, 0
1/4,0 1
()
3/4,1 2
1, 2
t
t
Ft
t
t



=


 
0 4
½
¼
¾
1
F(t)
1
t
32
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

31. 31
Contoh2
Misalkan kesalahan dalam pengukuran tingkat curah hujan antara -
½ mmdan ½ mm. Dianggap bahwa alat ukur melakukan kesalahan
tidak akan kekurangan maupun kelebihan dari ukuran sebenarnya
lebih dari ½ mm, danfungsipeluangnyaseragamdi selangtersebut.
Jika Yadalah peubah acak yang menyatakan kekurangan maupun
kelebihan pengukuran tersebut, tentukan :
a.Peluangalat ukur melakukan kesalahan antara kekurangan 0,25
mmdan kelebihan 0,2 mm,
b.peluang kelebihan pengukuran adalah lebih dari 0,2 mm, dan
c.Fungsi distribusi F(y) besertagambar.
31
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

32. Jawab :
Diketahui Ymenyatakan kesalahan pengukuran(mm).( )
11
24
1/2 1/5
1/2
1
2
1 1 1 1
4 5 5 4
0 1 0 1
71
00
10 4
2810 18
40 40
P Y PY PY
dy dy dy dy
−−
−
− −
− −
   
−= − −
   
   

= + − +



=+−+


−
==
  
3211
1,
() 22
0, yang lain
y
fy
y

−
=


a.
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

33. 33( ) ( )
11
52
1
2
0,2 1 0,2
1
1
5
1 0 1
73
10
10 10
P Y P Y
PY
dy dy
−−
− −
 = − 

= − 



= − +



= − + =


 ()
1
2
1
2
( )
0 1
1
2
y
y
F y f y dy
dy dy
y
−
−
− −
=
=+
=+


33
b.
c.
F(y)
-½ ½
y
1
Fungsidistribusi:()
1
0,
2
1 1 1
,
2 2 2
1
1,
2
y
F y y y
y

−



= + −  





Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

34. 34
LATIHAN
34
•SuatutipekomponenelektronikuntukLab Biologidikemasdalam4 bagian.
MisalkanYmenyatakanbanyaknyapemasangankomponenyang berfungsidengan
baikdenganpeluangbahwatepatypemasanganyang berfungsidinyatakansebagai, ( )
1234
0 lainnya
cy,y,,,
PYy
,y
=
==

denganckonstan.
a)HitungnilaicsehinggaP(Y=y)merupakanfungsimassapeluanguntukY.
b)Berapapeluanglebihdari2pemasanganyangtidakberfungsi.
c)Hitungfungsidistribusidangambarkan
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

35. 35
Latihan

36. 36
MM.DD.20XX ADD A FOOTER 36

37. 37
Referensi
37
Devore, J.L. and Peck, R., Statistics –The Exploration and Analysis of
Data, USA: Duxbury Press, 1997.
Navidi, William, Statistics for Engineers and Scientists 2
nd
ed., New
York: McGraw-Hill, 2008.
Walpole, Ronald E. danMyers, Raymond H., Ilmu Peluang dan
Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB,
1995.
Walpole, Ronald E., et.al, Statistiticfor Scientist and Engineering, 8th
Ed., 2007.
Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters –A first Course in
Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
Copyright 2020 © U. Mukhaiyar, KK Statistika, FMIPA –ITB

38. 38

39. 39

40. 40

41. Latihan

42. 42
Referensi
42
Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and
Statistics, London : Springer, 2005.
Devore, J.L. and Peck, R., Statistics –The Exploration and Analysis
of Data, USA: Duxbury Press, 1997.
Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6
th
ed., Pearson: New
Jersey, 2005.
Wackerly, et.al., MathematicslStatistics and Its Application 7
th
Ed.,
USA: Thomson, 2008.
Walpole, Ronald E., et.al, Statistiticfor Scientist and Engineering,
8th Ed., 2007.
Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters –A first Course in
Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.