2. successive differentiation

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1. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
1
SUCCESSIVE DIFFERENTIATION

Formulae:

1. If  
m
y ax b then    1 2 ... 1 if
mn
n
n
y m m m m n a ax b n m

      


2. If  
m
y ax b

 then    1 1 2 ... 1
n m n
n
n
y m m m m n a ax b

      

 
 
1!
1
1!
n
n
n mn
mn a
y
m ax b


  
 
Corollary: If 1
,
m
y
x
 then putting 1, 0,ab

 

1!1
1
1!
n
n mn
mn
y
mx




2. If ,
m
yx then,   1 2 ... 1 .
mn
n
y m m m m n x

     if nm .
3. If  
1
,y
ax b

 then 
 
1
1 . !
n
n
n n
na
y
ax b



 .
4. If  logy ax b then 
 
1
1 1 !
n
n
n n
na
y
ax b



 .
5. If mx
ya then log
n
n mx
n
y m a a
Corollary: If 1,m i.e. if ,
x
ya then log
n
x
n
y a a .
6. If mx
ye then n mx
n
y m e
Corollary: If 1m i.e. if ,
x
ye then x
n
ye .
7. If  siny ax b then sin
2
n
n
n
y a ax b

  


Corollary: If 0,b i.e. if sin ,y ax

then sin
2
n
n
n
y a ax



 .
8. If  cosy ax b then cos
2
n
n
n
y a ax b

  


Corollary: If 0,b i.e. if cos ,y ax

then cos
2
n
n
n
y a ax



 .
9. If  sin
ax
y e bx c then  sin
n ax
n
y r e bx c n    where 22
r a b and 1
tan
b
a





Corollary: If 0,c i.e. if sin
ax
y e bx , then  sin
n ax
n
y r e bx n .
10. If  cos
ax
y e bx c then  cos
n ax
n
y r e bx c n   
Corollary: If 0,c i.e. if cos
ax
y e bx , then  cos
n ax
n
y r e bx n  .
11. If  sin
x
y k bx c then  sin
nx
n
y r k bx c n    where 
2
2
logr k b & 1
tan
log
b
k




 .
12. If  cos
x
y k bx c then  cos
nx
n
y r k bx c n    where 
2
2
logr k b & 1
tan
log
b
k




 .

2. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
2
Type-1: nth Derivative of Algebraic Functions

Questions Answers

1. 22
x
xa 

11
1! 11
2
n
nn
n
x a x a




2. 44
1
xa 

113
1! 11
4
n
nn
n
a x a x a



 
  
113
1! 11
4! !!
n
nn
n
a x a x a


 

3. 
4
12
x
xx


11
16 1
1!
21
n
n nn
yn
xx


  

for 3n
4. 2
4
1
x
x 

11
1! 11
4 11
n
nn
n
xx



 

11
1! 11
4!
n
nn
n
x i x i


 

5. 2
1
6 5 1xx 
  
11
11
23
1!
2 1 3 1
nn
n
nn
n
xx





6. 2
1
4
x
x

 
 
11
3 1 1 1
1 ! . .
4422




n
nn
n
xx
7. 32
6 11 6
x
x x x   
 
1 1 1
1 2 3
1!
2 1 2 2 3
n
n n n
n
x x x
  

  
  
8.  
2
2
4
2 3 1
x
xx

 (M.U.1992) 
 


12
1 !2 1 1 !
2 3 1
nn
n
nn
nn
xx

  


9. 2
9
x
x 
  
11
1! 11
2 33
n
nn
n
x i x i




10.  
2
1 2 3
x
xx 
 
11
1! 2 9.2
10 1 2 3
n
n
nn
n
xx




11. 2
14
x
x (M.U.1983)  
 

 
11
1 ! 2 2
4 1 2 1 2
n n n
nn
n
xx




12. 
5
1
x
x 

 
5
1 3 !
4
4! 1
n
n
n
xn
x




13. 
2
4
11
x
xx (M.U.1983, 2002, 04) 



1 2 1
2 1 !!!
1
1 1 1
n
n n n
nnn
x x x
  
 
  
  
14.  
2
1
3 2 3xx (M.U.1995) 
 




1 1 2
1 . !3 1 . ! 1 . 1 !9 3 1
.
49 49 73 2 3 3
n n n
n
n n n n
n n n
y
x x x
  
   
  
  
15. 2
32
41
22
xx
x x x

   (M.U.1984) 

1 1 1
1 1 1
1 . !
1 1 2
n
n n n
n
x x x
  

  
  
16. If 1
coth ,y x x

 prove that 

1 2 !
2 11
n
n nn
n x n x n
y
xx
 
 


3. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
3
Type-2: nth Derivative of Trigonometric Functions
17. sin cos3xx 1
. 4 sin 4 2 sin 2
2 2 2
nn nn
xx
   
  
   
   
18. sin2 sin3 cos4x x x        
1
5 cos 5 / 2 3 cos 3 / 2 9 cos 9 / 2 cos / 2
4
nnn
x n x n x n x n          

19. sin2 sin3 sin4x x x       
1
5 sin 5 / 2 3 sin 3 / 2 sin / 2 9 sin 9 / 2
4
n n n
x n x n x n x n          

20. 3
sin 3x    
31
.3 sin 3 / 2 .9 sin 9 / 2
44
nn
x n x n  
21. 4
sinx    
11
.2 cos 2 / 2 4 cos 4 / 2
28
nn
n
y x n x n     
22. 4
cosx    
11
.2 cos 2 / 2 4 cos 4 / 2
28
nn
n
y x n x n    
23. 23
cos sinxx      
1
2sin / 2 3 sin 3 / 2 5 sin 5 / 2
16
nn
x n x n x n       

24. cos2 cos
x
e x x    
/2 1 /21
10 cos 3 tan 3 2 cos / 4
2
x n n
e x n x n 

   

25. 2
sin cos
x
e x x     
3/2
1 /2 111
10 cos 3 tan 3 2 cos tan 1
44
x n x
e x n e x n

   
26. 2
cos sin
x
e x x    
/2 1 /2
10 sin 3 tan 3 2 sin / 4
4
x
nne
x n x n 

   

27. cos2 sin
ax
e x x    
/2 /2
2 1 2 1 31
9 sin 3 tan 1 sin tan
2
ax
nne
a x n a x n
aa

       
    
       
      
28. 2
2 sin cos
x
xx    
1 1 2 2
11
2 cos 3 2 cos
44
n x n x
r x n r x n   

where   
2
21
11
log2 3 , tan 3/ log2 ,r 

     
2
21
22
log2 1 , tan 1/ log2r 

  
29. If cosh2yx prove that 2 sinh2
n
n
yx if n is odd & 2 cosh2
n
n
yx if n is even.
Type 3: nth Derivative Using DeMoivre’s Theorem
30. If 2
1
,
1
y
x

 prove that  
1
1 . sin sin 1
n
n
n
y n n 

   where 
1
tan 1/ .x


31. If 2
,
1
x
y
x

 prove that  
1
1 . !sin cos 1
n
n
n
y n n 

  

where 
1
tan 1/ .x


32. If 
1
tan / ,y x a

 prove that 
1
1 1 ! sin sin
n
nn
n
y n a n 


  

where 
1
tan 1/ .x


33. If 1
2
2
tan ,
1
x
y
x



 prove that
1
2. 1 1 !sin sin
n
n
n
y n n 

   where 
1
tan 1/ .x


34. If 1
2
2
sin ,
1
x
y
x



 prove that
1
2. 1 1 !sin sin
n
n
n
y n n 

  

where 
1
tan 1/ .x


35. If 2
1
2
1
sec ,
1
x
y
x

 
 prove that 
1
2 1 1 !sin sin
n
n
n
y n n 

  

where 
1
tan 1/ .x


36. If 1
tan ,y x x

 ?
n
y   
12
1
1 1 !sin θcosθ 1 2 !sin θsin 1 θ
nn
nn
n n n


     


37. If 7
sin ,yx ?
n
y 1
7 sin 7 7.5 sin 5 21.3 sin 3 35sin
64 2 2 2 2
n n n n n n n
x x x x
          
       
       
       

4. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
4
38. If 43
sin cos ,y x x
?
n
y 1
7 cos 7 cos 5 3.3 cos 3 3cos
64 2 2 2 2
nn n n n n
x x x x
          
      
       
       

39.

If 5
sin ,yx find n
y 1
5 sin 5 5.3 sin 3 10sin
16 2 2 2
nn
n
n n n
y x x x
       
     
     
     
Type-4: Leibnitz’s Theorem
0 1 1 1 2 2 2
....................... .......
n n n n n
n n n n r n r r n n
y C u v C u v C u v C u v C uv
  
      


40. 2
.
x
y x a
 
1
2
log . . log .2


nn
xx
n
y a a x n a a x 
2
1 . log


n
x
n n a a

41. 2mx
y x e 
2 1 2
. . .2 1 . .

   
n mx n mx n mx
n
y m e x n m e x n n m e
42. 3
sin2y x x
3 2 1
2 sin 2 . .3 2 sin 2 1.
22

   
    
   
   
nn
n
n
y x x n x x n


2
1 .3 2 sin 2 2.
2
n
n n x x n


   




3
1 2 2 sin 2 3.
2
n
n n n x n


    

 .
43.  
2
23
x
y x e    
2
2 3 .4 2 3 1 4
x x x
n
y e x ne x n n e     
44. If 1
cos ,yx

 prove that    
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

    
45. If 1
sin ,yx

 prove that    
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

    

Also find 
9
0y and 
10
0y

2 2 2 2
9
0 1 .3 .5 .7y and 
10
00y 
46. If  
22
,
m
y x a x   prove that at 0x ,  
2 2 2
2
0
nn
a y n m y

   .
47. If 1
tan ,yx

 prove that    
2
21
1 2 1 1 0
n n n
x y n xy n n y

     
Hence deduce that 00
n
y if n is even and 0 1 !
n
yn if n is odd.
48. If  
2
22
,y x a x   prove that      
2 2 2
21
2 1 4 0
n n n
a x y n xy n y

     
49. If coslog sinlog ,y a x b x prove that,    
22
21
2 1 1 0
n n n
x y n xy n y

     . (M.U. 04, 05)
50. If 1
,
1
r
x
y
x



 prove that,     
2
11
1 2 1 0
n n n
x y r nx y n n y

     
51. If  
2
1,
n
yx prove that,   
2
21
1 2 1 0
n n n
x y xy n n y

     (M.U.1987, 96)
52. If 1 . ,
x
y x e




 prove that   
11
1 0
n n n
x y n x y n y

    
53. If  
1
sin siny m x

 or if 11
sin sin ,m x y

 prove that     
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy m n y

     
Hence deduce that 00
n
y if n is even &    
2 2 2 2 2 2
0 ....... 3 1
n
y n m m m m    if n is odd
54. If 1
sin
,
x
ye


 prove that      
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y 

     
55. If  
2
1
sin ,yx

 prove that    
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

     (M.U.1988, 97)
56. If  
1/2
21
1 sin ,y x x

 prove that     
2
11
1 2 1 2 0
n n n
x y n xy n n y

      (M.U.1995)
57. If 1
cos
,


mx
ye prove that      
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n m y

      (M.U.1995)

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5
58. If 1
sin log ,
n
yx
bn
   

   
    prove that  
22
21
2 1 2 0.
n n n
x y n xy n y

   
59. If 1/ 1/
2,
mm
y y x

 prove that,      
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n m y

      (M.U.2007)
60. If 1
cosh log ,xy
m



 prove that      
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n m y

      (M.U.1993)
61. If 1
sinh ,yx

 prove that    
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

     (M.U.1987)
62. If  
2
cos log 2 1 ,y x x  
 prove that     
2
2
21
1 2 1 1 4 0
n n n
x y n x y n y

      
63. If log
,
x
y
x
 prove that 
1
1 . ! 1 1 1
log 1 .....
23
n
n n
n
yx
xn

 
    

 (M.U.1991, 96)
64. If 1
,
1
x
y
x



 prove that  
2
1
1y x y and hence, prove that    
2
12
1 2 1 1 1 2 0
n n n
x y n x y n n y

       

(M.U.1983, 2004, 06)
65. If log ,
n
y x x prove that  
22
21
2 1 0x y n xy n y   

and hence, prove that   
2
2
21
2 2 1 0
p p p
x y p n xy p n y

     
(M.U.1984, 88)
66. If  
2
sinlog 2 1y x x   prove that     
2
2
21
1 2 1 1 4 0
n n n
x y n x y n y

      
67. If  cos log ,y m x show that    
2 2 2
21
2 1 0
n n n
x y n xy m n y

    
68. If 1
tan
ax
y
ax



 prove that    
22
21
2 1 1 0
n n n
a x y n xy n n y

      (M.U.2002)
69. If 1
sec ,yx

 prove that    
22
21
1 2 3 1
nn
x x y n x n y

    
   
2
1
3 1 1 0
nn
n n xy n n y

    
70. If  
2
22
log ,y x x a   prove that    
2 2 2
21
2 1 0
n n n
x a y n xy n y

     (M.U.1998)
71. If  
2
2
log 1y x x

  
 prove that 
2
2
00
nn
y n y

 (M.U.1997)
72. If   
2
/ 2 ,y Lx M x Bx C    prove that  

 

2
21
2
20
1 2 1
n n n
x Bx C xB
y y y
n n n

 
  
  
73. If 1
2
sinh
,
1
x
y
x


 prove that     
2
2
21
1 2 3 1 0
n n n
x y n xy n y

     


74. If cos ,
t
x e y mt prove that   
2 2 2
21
2 1 0
n n n
x y n xy m n y

   
75. If 1
cos ; log ,xy
m
 prove that     
2 2 2
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n m y

      .

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6
Extra Solved Examples
1. If 1,xy prove that    
22
1 2 2
12
! . . ..... 1

     

n
n
n n n n n n n n
nn
d
x y n y C y x C y x x
dx
Sol
n
: Since 1xy 1yx  
 1
nn
n
n n n
nn
dd
x y x x
dx dx


Let ,1
n
nn
u x v x y   
Then  .
nn
nn
nn
dd
x y u v
dx dx

Now


 




1
1
2
2
1
22
2
1
1
1
22
2
2

1
.....................................................
1 ..... 3 2 !
!
1 ..... 3 .
2
1 ...3.2.1 !
1 1 1
1 1 1
1
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
u nx
u n n x
u n n x n x
n
u n n n n x x
u n n n
v n x ny
v n n x
n










  
    
  
    
   
 
 


2
1
1
1
1
.........................................................
1 ....3.2 1 1
! 1
! 1
n
n
n
n
n
n
ny
v n n x
ny
vn





   


 1 1 1 2 2 2 2
....
n
n n n
n n xn
d
x y u v nc u v nc u u v uv
dx

     
 
1
1
! ! 1
n
n
n y nc n x n y

  

2
22
2
!
. . 1 1 ....
2
nn
nc x n n y

   
  
22
1 2 2
12
! ... 1
n
n n n n
n y nc y x nc y x x

     
 .
2. If 1,
n
yx prove that 312
.......
1! 2! 3! !
nn
yyyy
yx
n
     
Sol
n
: We have 1
n
yx
 
 
12
12
34
34
1 1 1
1 2 1 1 2 3 1
nn
nn
y n x y n n x
y n n n x y n n n n x


     
        
………………………………………. ……………………………………………
  



0
12
1 2 ....... 1 1 ! 1
1
. . . 1 1 1
1! 2!
nn
n
n n n
y n n n n n x n x
nnn
I h s x x x


         


      

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7

 
3012 !
1 ..... 1
3! !
nn n n n
xx
n

    
 11
n
n
xx    (By Binomial Theorem)
Hence, the result
3. If   
22
log 1 , if e 1
y
y x x or x x     
Prove that 
2
00
n
y  and   
2
2 2 2
21
0 1 .1 .3 .5 .... 2 1
n
n
yn

   .
Sol
n
: Since  
2
log 1y x x   …………………..(1)
1
2 2 2
11
1
1 1 1
x
y
x x x x

   
    ……………….(2)
Differentiating again,
2
21
2
1. . 0
1
  

x
x y y
x
 
2
21
1 . 0x y xy    ……………………(3)
Applying Leibnitz’s Theorem
  


2
21
1
1 . 2 . 2 .
2!
n n n
nn
x y n x y y


   
1
. . 1 0
nn
x y n y

  
   
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

      ………………….(4)
Putting 0x in (1),(2),(3) we get
 0 log 1 0,y 
1
0 1,y 
2
00y
Now from (4), we get,
 
2
2
00
nn
y n y

 ………………………(5)
Putting 1,2,3,4,...... 5n in
   
   
   
2 2 2
3 1 4 2
2 2 2 2
5 3 6 4
2 2 2 2 2
7 3 8 6
0 1 . 0 1 ., 0 2 . 0 0
0 3 . 0 3 .1 , 0 4 . 0 0
0 5 . 0 5 .3 .1 , 0 6 . 0 0
y y y y
y y y y
y y y y
      
     
      
Hence by generalization

2
00
n
y  and   
2
2 2 2
21
0 1 1 .3 .5 ..... 2 1
n
n
yn

  
 .
4. If  
2
1
sinyx

 , prove that 00
n
y if n odd & 
2
2 2 2
0 2. 2 . 4 .6 ........ 2
n
yn if n is even.
Sol
n
: We have  
2
1
sinyx

 ……..(1)
 
1
1
2
1
2 sin .
1
yx
x


 …………(2)
21
1
1 . 2sinx y x

  
Differentiating again,
2
21
22
2
1 . .
11
x
x y y
xx
   

 
2
21
1 . 2x y x y    …………..(3)
By Leibnitz’s theorem,

8. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
8
  


2
21
1
1 2 2
2!
n n n
nn
x y n x y y


     
1
1 0
nn
x y n y

  

   
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

      …………(4)
Putting  
2
2
0, 0 0
nn
x y n y

 …………..(5)
Putting 0,x in (1), (2), and (3) we get,

12
0 0 , 0 0 , 0 2,y y y  
Putting 1,3,5,............n in (5), we get,
   
22
3 1 5 3
0 1 . 0 0, 0 3 . 0 0,y y y y    
  
2
75
0 5 . 0 0, 0 0
n
y y y   if n is odd
Putting 2,4,6,.............n in (5), we get,
   
2 2 2 2 2
4 2 6 4
0 2 . 0 2 .2; 0 4 . 0 4 . 2 . 2y y y y   
 
2
222
0 2.2 .4 .6 ....... 2
n
yn if n is even and 2.n
5. If  
2
1
sin ,yx

 prove that at  
2
2
0, 0 0 .
nn
x y n y


If, further,  
2
12
0 1 2
sin ... .....
n
n
y x a a x a x a x

      prove that 
2
2
1 2 .
nn
n n a n a

  
Sol
n
: We have proved above that,  
2
2
0 0
nn
y n y


Now consider,

01
1
1 1 2
2
22
........... ......
2 ....... ......
2 ..... 1 .......
n
n
n
n
n
n
y a a x a x
y a a x n a x
y a n n a x


    
     
     
…….. ……. …….. ……
1 2 ...........2. 1. a +.........
nn
y n n n  
! ........
n
na
0 ! .
nn
y n a
Similarly, 
2
2
0 2 !
n
n
y n a



But  
2
2
0 0
nn
y n y

 (proved above in (5))


2
2
2
2
2 ! !
1 2 .
nn
nn
n a n n a
n n a n a


  
   
6. If 1
tan
01
...... ......,
m x n
n
y e a a x a x

     
Prove that at 0,x  
21
0 0 1 0 0.
n n n
y my n n y

   
Hence, or otherwise deduce that  
11
1 1 .
n n n
n a n a ma

   
Sol
n
: We can prove that,    
2
21
1 2 1 1 0.
n n n
x y n x m y n n y

      

Putting 0,x we get  
21
0 0 1 0 0
n n n
y m y n n y

    …………(1)
Now if,

2
0 1 2
1
1 1 2
1
22
..... .....
2 ...... .......
2 ...... 1 .......
n
n
n
n
n
n
y a a x a x a x
y a a x na x
y a n n a x


     
    
    
………… ……… ……… ……….. ………….

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9
! ....
nn
y n a as above.
Putting 0,x we get,
0!
nn
y n a ……………..(2)
Changing n to 1n in (1),
 
11
0 0 1 . 0
n n n
y my n n y

    ………….(3)
Putting 1nn and 1n in (2) we get,
 
1 1 1 1
0 1 ! , 0 1 !
n n n n
y n a y n a
   
   
Putting these values in (3)
 
 
 
11
11
11
1 ! . ! 1 ! 0
1 1 0
11
n n n
n n n
n n n
n a m n a n n a
n a m a n a
n a n a ma



    
     
    
7. If  log ,
n
n
n n
d
l x x
dx
 prove that 
1
1!
nn
l nl n

  
Hence show that 1 1 1
! log 1 ........
23
n
l n x
n

     


Sol
n
: We have
   
1
1
log . log
nn
nn
n nn
d d d
l x x x x
dx dx dx





1
1
1
11
11
11
1
1
log .
.log
1 !
n
nn
n
nn
nn
nn
n
d
nx x x
dx x
dd
n x x x
dx dx
n l n













  
Dividing both sides by !n we get,

1
11

! 1 !
n
n
l
l
n n n



Putting 2,3,4,...... ,nn
2
1
11
.
2! 1! 2
l
l
3
2
11
.
3! 2! 3
l
l
2
3
11
.
4! 3! 4
l
l
..... .... .... ....
..... .... .... ....

1
11
.
! 1 !
n
n
l
l
n n n



Adding all these equalities, we get,
1
1 1 1 1
............
! 2 3 4
n
l
l
nn
     
Now  
1
log 1 log
d
l x x x
dx
  

10. INFOMATICA ENGG.ACADEMY CONTACT: 9821131002/9076931776
10
1 1 1
! log 1 ......
23
n
l n x
n

      

 .
8. If  
1
log ,
nn
n
U D x x

 prove that 
1
1
nn
U n U

 and hence deduct that 1!
n
n
U
x

 .
Sol
n
: We have    
1
11
1
log . log
nn
nn
n nn
d d d
U x x x x
dx dx dx










1
21
1
1
11 2
1
11
11 2
11
1
1 .log .
1 .log
1 .log
n
nn
n
n
n n
n
nn
n n
nn
d
n x x x
dx x
d
n x x x
dx
dd
n x x x
dx dx




 


 


  


  

  


1
1
n
nU

 (Second term is zero)
Applying the result repeatedly,

2
12
nn
U n n U

  



3
1
1
1 2 3
1 2 3 ...........3. 2. 1.
1 !.
n
n n n U
n n n U
nU

   
   

But   
0
1
1
log log
dd
U x x x
dx dx x
  

1
1!
n
Un
x
   .
9. If  
2
1,
n
yx prove that  
2
21
1 2 1 0.
n n n
x y xy n n y

    
Hence deduct that if  
2
1,
n
n
n n
d
lx
dx
 then   
2
1 1 .
n
n
x
dld
x n n l
dx d

   

Sol
n
: We have  
2
1
n
yx
 
1
2
1
1 .2
n
y n x x

  
   
22
1
1 1 .2 2
n
x y n x x n x y    
Differentiating again,
 
2
2 1 1
1 2 2 2 x y x y n x y n y   
  
2
21
1 2 1 y 2 y = 0x y n x n    
Now by Leibnitz’s Theorem
  

2
21
1
1 2 .2
2!
n n n
nn
x y n x y y


  
 
1
2 1 2 0
n n n
n xy ny n y

    
  
2
21
1 2 1 0
n n n
x y xy n n y

      ………………..(1)
We first note that
  
2
1
nn
n
nn nn
dd
l x y y
dx dx
  

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11
Now  
2
1
n
dld
x
dx dx



 
  
 
2
2
1
2
21
1
1
1 2
n
n
nn
dd
xy
dx dx
d
xy
dx
x y x y






  
1
n
n n y   from (1) .
10. If u is a function of x and ,
ax
y e u Prove that  .
n
n ax
D y e D a u
Sol
n
: Let ax
ve then 1
ax
v ae
23
23
, ,......
ax ax n ax
n
v a e v a e v a e  
By Leibnitz’s theorem,

0 1 1 1
n n n
nn
D y D uv C u v nC u v

  
2 2 2
...
n
n n n
nC u v C uv

  
Treating D as an operator, we write .
n
n
D u u
12
0 1 1 2 2
. . .
n n n n n n n
D y C D u v C D u v C D u v

   
3
33
. ..... . .
n n n
nn
C D u v C u v

  
1 2 2
0 1 2
. . .
n n ax n n ax n n ax
C D u e C D u ae C D u a e

  
33
3
. .... .
n n ax n n ax
n
C D u a e C u a e

  
1 2 2 3 3
0 1 2 3
1 2 2 3 3
0 1 2 3
. . . . .... .
. ....
ax n n n n n n n n n n
n
ax n n n n n n n n n n
n
e C D u C D u a C D u a C D u a C u a
e C D C D a C D a C D a C a u
  
  
     

     

 ..
n
ax
e D a u
11. If  
2
2
log 1 ,y x x

  
 prove that    
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

    
Hence, deduce that  
2
2
00
nn
y n y


Sol
n
: We have  
2
2
log 1y x x

  
 …………….(1)
Differentiating it w.r.t.x, we get,
 
2
1
22
1
2 log 1 . 1
11
x
y x x
x x x


    

  
 
2
2
1
2 log 1 .
1
xx
x

  


 
22
1
1 y 2.log 1x x x    ……………….(2)
Differentiating again,
2
21
2 2 2
1
1 y y 2. 1
1 1 1
xx
x
x x x x

    
    
2
2
1x


 
2
21
12x y xy    …………………..(3)

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Applying Leibniz’s theorem, we get,
  


2
21
1
1 . 2 2
2!
n n n
nn
x y n x y y


  

1
. 1 0
nn
xy n y

  
   
22
21
1 2 1 0
n n n
x y n xy n y

      …………….(4)
Putting 0x in (4), we get  
2
2
00
nn
y n y

 .
12. Using Leibnitz theorem for 2n
x prove that   

2 2 2
222
22 2 2 2 2
1 1 2 2 !
1 ....
1! 1 .2 1 .2 .3 !
n n n n n nn
n
  
    
Sol
n
: We obtain n
th
derivative of 2n
yx in two different ways.
By applying the formula,
   
2
2 2 1 2 2 ...... 2 1
nn
n
y n n n n n x

    
  


2 2 1 2 2 .... 1 . ...3.2.1
1 ....3.2.1
2!
!
n
n
n n n n n
x
nn
n
x
n
  



By applying Leibnitz’s rule to .
nn
y x x we have
 
1
..
n n n n n n
n
y D x x nD x D x




22
1
2!
n n n
nn
D x D x





33
12
....
3!
n n n
n n n
D x D x




 
1
!
! .
1!
nn
nx
n x n n x






22
33
1!
1
2! 2!
12 !
12
3! 3!
...........
n
n
nn n
x n n x
n n n n
x n n n x






 
  



 
2 2 2
222
2 2 2 2 2 2
1 1 2
! 1 ........
1 1 .2 1 .2 .3
n
n n n n nn
nx
   
    

Equating the two results, we get
 
2 2 2
222
2 2 2 2 2 2
1 1 2
! 1 ........
1 1 .2 1 .2 .3
n n n n nn
n
   
    
 2!
!
n
n

  

2 2 2
222
22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 !
1 ........
1 1 .2 1 .2 .3 !
n n n n n nn
n
  
      .