2017090612078301-determinan (kuliah 2).ppt

ppt

1. DETERMINAN
1.Pengertian Determinan
2.Perhitungan Determinan Matriks Bujur Sangkar
3.Sifat-sifat Determinan
4.Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-Sifat Determinan
5.Aplikasi Determinan pada Geometri
6.Latihan Soal
1

2. 1. Pengertian Determinan
Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan
nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu.
simbol det(A) atau |A|.
Jika nilai det(A)=0, maka matriks bujur sangkar
tersebut singular, artinya tidak memiliki invers,
Jika nilai det(A) 0, maka berarti matriks A tersebut
nonsingular, yaitu matriks tersebut punya invers.
2


3. 2. PERHITUNGAN DETERMINAN
MATRIKS BUJUR SANGKAR
A. DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X2
det(A) =
11 12
21 22
a a
A
a a
 
 
 
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
 
3

4. B. DETERMINAN MATRIKS ORDO 3x3
metode Sarrus metode Sarrus
1.Salin kembali kolom ke 1 dan ke 2 kemudian
ditempatkan disebelah kanan tanda determinan.

11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
det( )
a a a a a
A a a a a a
a a a a a

4

5. 2.Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada
diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan
diagonal utama. Nyatakan jumlah hasil kali dengan
(+).

11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
det( )
a a a a a
A a a a a a
a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32
( )A a a a a a a a a a   
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
5

6. 3.Hitunglah jumlah hasil kali jumlah elemen-elemen
pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang
sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah
hasil harga tersebut dengan A(-).
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
31 22 13 32 23 11 33 21 12
det( )
( )
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
A a a a a a a a a a

   
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
6

7. 11 22 33 12 23 31 13 21 32
det( ) ( ) ( )
det( )
A A A
A aa a a a a a a a
  
  
 
31 22 13 32 23 11 33 21 12
a a a a a a a a a  
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
7

8. C. Minor dan Kofaktor
Jika Aij : matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i
dan elemen-elemen kolom ke-j.
maka: minor Aij = det (Aij) dan
kofaktor Aij = det (Aij).
D. Determinan Matriks Ordo n x n
Determinan matriks Ordo n x n dihitung
menggunakan teorema Laplaceteorema Laplace..
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
8

9. Contoh Minor dan KofaktorContoh Minor dan Kofaktor
Andaikan A berdimensi n, determinan dari submatriks yg berdimensi (n-1)
disebut minor.
M
rs
: minor dari submatriks dng menghilangkan baris ke r kolom ke s.
Andaikan A =
a
11
a
12
a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
M
11 = a
22
a
23
a
32
a
33
= a
22
a
33
– a
23
a
32
M
32
=
a
11
a
13
a
21
a
23
= a
11a
23 – a
13a
21
Untuk matriks A berdimensi 3
tersebut ada berapa minor ?
Matriks tersebut mempunyai 9 minor
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
9

10. Kofaktor
Kofaktor yang berhubungan dengan minor M
rs adalah C
rs = (-1)
r+s
M
rs.
A =












112
431
112
C
11
= (-1)
1+1
M
11
= (-1)
2

11
43

= 1 (7) = 7
C
12
= (-1)
1+2
M
12
= (-1)
3

12
41

= (-1) (9) = -9
C
13
= (-1)
4
M
13
= M
13
=
12
31

= 5
C
21
= (-1)
3
M
21
= - M
21
= -
11
11


= 0
C
22 = M
22 = 0
C
23 = - M
23 = 0
C
31
= M
31
= 7
C
32
= - M
32
= - 9
C
33
= M
33
= 5
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
10

11. Teorema Laplace:
det (A) = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom
dengan kofaktor-faktornya.
, dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke j
,dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j.
dan Kof(Aij) adalah kofaktor dari Aij
1 1 2 2
1
det( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n
ij ij j j j j nj nj
j
A a kof A a kof A a kof A a kof A

    
1 1 2 2
1
det( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
n
ij ij i i i i in in
j
A a kof A a kof A a kof A a kof A

    
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
11

12. Contoh menghitung
determinan dengan
teorema laplace
dengan ekspansi kolom
ke 1
12
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
0
9
/
2
7
/
2
5

13. Contoh menghitung
determinan dengan teorema
laplace dengan ekspansi baris
ke 1
13
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
0
9
/
2
7
/
2
5
= +3 (20+4) – 3 (5 + 4) – 1 (-2 +8) =

= 72 – 27 – 6 = 39

14. 3. Sifat-sifat Determinan
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
14

15. 4. Menghitung Determinan menggunakan Sifat-Sifat
Determinan
1. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; |A
T
| = |A|
|A| =
24
37

= 26 |A
T
| =
23
47
= 26
Akibatnya :
semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.
2. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (0).
det(B) =
567
000
312 
= 0 det(C) =
087
056
022


= 0
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
15

16. 3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom)
dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A
|A| =
43
12


|A| = 5
Jika baris kedua dikalikan
dengan 7 2821
12


= 35 = 7 |A|
Akibat sifat ini :
2821
12


= 7
43
12


= 7 (5) = 35
Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai
faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan.
211
121
1269

= 3
211
121
423

2121
183
142



= 4
231
123
112



0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
16

17. 4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah
menjadi negatif determinan semula.
32
57
= 31 Baris pertama ditukar baris kedua
57
32

= – 31
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom)
yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
27
27


= 0
303
232
111


= 0
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
17

18. 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)
merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0 (nol).
|B| =
1121
3161
2241
1121




Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, |B| = 0
7. Determinan dari matriks persegi A = (a
ij
) berdimensi n yang baris ke -i
(kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua
suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang
baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama
ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan
suku yang kedua.
69
58
69
1435 
=
69
45
+
69
13
645
535


=
65
55
+
64
53
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
18

19. 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris
(kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain.
41
32

= 11
Jika k2 + 3k1
11
92

= 11
Jika b1 – b2
41
13


= 11
Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk
menyederhanakan baris (kolom),
sebelum menghitung nilai determinan
9. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali)
elemen-elemen diagonalnya.
500
310
273


= (3)(-1)(5) = - 15
1300
0411
0020
0003



= (-3)(-2)(4)(1) = 24
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
19

20. Gunakan sifat determinan untuk menghitung :
112
453
221



b2 + 3b1
112
210
221



b3 – 2 b1
330
210
221



b3 + 3 b2
300
210
221


= (1)(-1)(3) = - 3
Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi
matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke 9
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
20

21. Submatriks / matriks bagian :Submatriks / matriks bagian :
Matriks yang diperoleh dengan menghilangkan beberapa baris
dan/atau beberapa kolom dari suatu matriks
A =













5873
1206
5213
Menghilangkan baris pertama diperoleh submatriiks :










5873
1206
Menghilangkan baris kedua dan kolom ketiga diperoleh submatriks :










573
513
dan sebagainya.
0
9
/
2
7
/
2
5
d
e
s
t
y
r
a
k
h
m
a
w
a
t
i@
y
a
h
o
o
.
c
o
m
21

22. 5. APLIKASI DETERMINAN PADA GEOMETRI
Persamaan Garis Lurus yang Melewati Dua Titik
22

23. 23

24. Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga
Titik
24