24113031 agrupamiento-de-capacitores

Fisica Electricidad

1. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
AGRUPAMIENTO DE CAPACITORES .
SERIE.
El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del
diagrama a.
Cuando los condensadores están conectados en serie, el inverso de la capacitancia
equivalente es igual a la suma de los inversos de la capacitancia de los condensadores
conectados en serie. Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión:
1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + 1 / C3
Despejando a la capacidad equivalente C de la expresión anterior se tiene:
C = 1 / ( 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 )
En caso de que solo sean dos condensadores en serie, se puede aplicar la siguiente
expresión:
C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) (solamente para dos capacitores)
Cuando se tienen condensadores en serie, el voltaje total (o diferencia de potencial total)
es la suma de los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial
en cada uno de los condensadores). Matemáticamente corresponde con la siguiente
expresión:
V = V1 + V2 + V3
En condensadores en serie la carga total es igual a la carga en cada uno de los
condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente expresión.
Q = Q1 = Q2 = Q3
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2. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
PARALELO.
El diagrama b representa al condensador equivalente de los tres condensadores del
diagrama a.
Cuando los condensadores están conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es
igual a la suma de la capacitancia de los condensadores conectados en paralelo.
Matemáticamente corresponde a la siguiente expresión:
C = C1 + C2 + C3
En condensadores en paralelo la carga total es igual a la suma de la carga en cada uno
de los condensadores. Lo dicho anteriormente queda manifestado por la siguiente
expresión.
Q = Q1 + Q2 + Q3
Cuando se tienen condensadores en paralelo, el voltaje total (o diferencia de potencial
total) es igual a los voltajes en cada uno de los condensadores (la diferencia de potencial
en cada uno de los condensadores). Matemáticamente corresponde con la siguiente
expresión:
V = V1 = V2 = V3
PROBLEMA.
Dos condensadores de capacidades 3 pF y 6 pF, respectivamente, están conectados en
serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular:
a)La capacitancia total (2 pF).
b)La carga total del sistema (2 nC).
c)La diferencia de potencial en terminales de cada condensador (V1 = 667 V, V2 =
333 V).
d)La energía almacenada en el sistema (1.0 x 10
-6
J).
En la solución del problema se hará uso de la siguiente tabla:
41

3. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
Capacitancia
x 10
-12
F
Carga
x 10
-9
C
Tensión
V
Energía
x 10
-6
J
3 2 667 V 0.667
6 2 333 V 0.333
CT = 2 QT = 2 VT = 1000 V W = 1.0
Cálculo de la capacidad:
C = C1 C2 / ( C1 + C2 ) = 3 x 6 / ( 3 + 6 ) = 2 pF
Cálculo de la carga:
Q = C V = 2 x 10
-12
x 1000 = 2 x 10
-9
C
Cálculo de la diferencia de potencial en las terminales de los condensadores:
V1 = Q1 / C1 = 2 x 10
-9
/ 3 x 10
-12
= 667 V
V2 = Q2 / C2 = 2 x 10
-9
/ 6 x 10
-12
= 333 V
Cálculo de las energías en los condensadores:
W1 = (1/2) x 2 x 10
-9
x 667 = 6.67 x 10
-7
J
W2 = (1/2) x 2 x 10
-9
x 333 = 3.33 x 10
-7
J
W = (1/2) x 2 x 10
-9
x 1000= 1 x 10
-6
J
La tabla contiene los resultados que se solicitan en el problema.
PROBLEMA.
Tres condensadores de capacidades de 3 pF, 6 pF y 15 Pf, respectivamente, están
conectados en serie y el conjunto a una tensión de 1000 V. Calcular:
a)La capacitancia total.
b)La carga total del sistema.
c)La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.
d)La energía almacenada en el sistema.
Hacemos uso de la siguiente tablita:
Capacitancia
pF
Carga
x 10
-9
C
Tensión
V
Energía
x 10
-7
J
3 1.76 587 5.17
6 1.76 293 2.58
15 1.76 117 1.03
CT =1.76 QT =1.76 VT = 1000 V W = 8.8
Cálculo de la capacidad total:
42

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321
111
1
CCC
C
T
++
=
15
1
6
1
3
1
1
++
=
= 1.76 x 10
-12
F
Cálculo de la carga total:
TTT VCQ= )1000)(76.1( VpF= Cx
9
1076.1
-
=
Cálculo de la diferencia de potencial en los bornes de los capacitores:
1
1
1
C
Q
V=
Fx
Cx
12
9
103
1076.1
-
-
= = 586.66 V
2
2
2
C
Q
V=
Fx
Cx
12
9
106
1076.1
-
-
= = 293.33 V
3
3
3
C
Q
V=
Fx
Cx
12
9
1015
1076.1
-
-
= = 117.33 V
Cálculo de la energía en los condensadores:
W = (1/2) x 1.76 x 10
-9
x 1000 = 8.8 x 10
-7
J
W1 = (1/2) x 1.76 x 10
-9
x 587 = 5.17 x 10
-7
J
W2 = (1/2) x 1.76 x 10
-9
x 293 = 2.58 x 10
-7
J
W3 = (1/2) x 1.76 x 10
-9
x 117 = 1.03 x 10
-7
J
La tabla muestra los resultados que se solicitan en el problema.
PROBLEMA.
Dos condensadores de 200 pF y 600 pF están conectados en paralelo y se cargan con
una diferencia de potencial de 120 V. Calcular:
a)La capacitancia total.
b)La carga total del sistema.
c)La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.
d)La energía almacenada en el sistema.
Haremos uso de la siguiente tabla en la solución del problema.
Capacitancia
(pF)
Carga
)10(
8
Cx
-
Tensión
(V)
Energía
)10(
6
Jx
-
200 2.4 120 1.44
600 7.2 120 4.32
CT = 800 QT = 9.6 VT = 120 V W = 5.76
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5. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
Cálculo de la capacidad total:
21CCC
T += pFpF600200+= pF800=
Cálculo de la carga total:
TTT VCQ= )120)(800( VpF= Cx
8
106.9
-
=
Cálculo de las cargas de los condensadores:
111
VCQ= )120)(200( VpF= Cx
8
104.2
-
=
222 VCQ= )120)(600( VpF= Cx
8
102.7
-
=
Cálculo de las energías de los condensadores:
La fórmula es:
W = (1/2) Q V
W = (1/2) x 9.6 x 10
-8
x 120 V = 5.76 x 10
-6
J
W1 = (1/2) x 2.4 x 10
-8
x 120 V = 1.44 x 10
-6
J
W2 = (1/2) x 7.2 x 10
-8
x 120 V = 4.32 x 10
-6
J
La tabla presenta los resultados solicitados en el problema.
PROBLEMA.
Tres condensadores de 200 pF, 600 pF y 15 pF están conectados en paralelo y se cargan
con una diferencia de potencial de 120 V. Calcular:
e)La capacitancia total.
f)La carga total del sistema.
g)La diferencia de potencial en terminales de cada condensador.
h)La energía almacenada en el sistema.
Capacitancia
(pF)
Carga
)10(
8
Cx
-
Tensión
(V)
Energía
)10(
6
Jx
-
200 2.4 120 1.44
600 7.2 120 4.32
15 0.18 120 0.108
CT = 815 QT = 9.78 VT = 120 V 5.868
321
CCCC
T
++= pFpFpF 15600200 ++= pF815=
TTT VCQ= )120)(815( VpF= Cx
8
1078.9
-
=
44

6. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
111
VCQ= )120)(200( VpF= Cx
8
104.2
-
=
222 VCQ= )120)(600( VpF= Cx
8
102.7
-
=
333 VCQ= )120)(15( VpF= Cx
8
108.1
-
=
TTT VQW 2/1= )120)(1078.9(2/1
8
VCx
-
= Jx
6
10868.5
-
=
111 2/1VQW= )120)(104.2(2/1
8
VCx
-
= Jx
6
1044.1
-
=
222
2/1 VQW= )120)(102.7(2/1
8
VCx
-
= Jx
6
1032.4
-
=
333 2/1 VQW= )120)(108.1(2/1
8
VCx
-
= Jx
6
10108.0
-
=
PROBLEMA.
De acuerdo con el circuito de capacitores que se presenta en el dibujo adjunto, calcular:
a) la capacidad equivalente del sistema, b) la carga en cada capacitor, c) la ddp en cada
uno de los condensadores y d) la energía almacenada en cada uno de ellos.
La capacidad equivalente de los condensadores C1, C2 y C3 (están en paralelo) es:
C123 = C1 + C2 + C3 = 3 + 5 + 4 = 12 mF; todos los resultados se registrarán en la tabla
adjunta.
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7. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C123 y C4, que
están en serie:
C1234 = 1 / ( 1/ C123 + 1 / C4 ) = 1 / ( 1 / 12 + 1 / 4 ) = 3 mF
A continuación se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C5 y C6, que están
en paralelo:
C56 = C5 + C6 = 4 + 2 = 6 mF
Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C56 y C7, que están en serie:
C756 = 1 / ( 1 / C7 + 1 / C56 ) = 1 / ( 1 / 3 + 1 / 6 ) = 2 mF
Ahora se calcula la capacidad equivalente de los capacitores C1234 y C756, que están en
paralelo:
CE = C1234 + C756 = 3 + 2 = 5 mF
Teniendo las capacidades equivalentes, se procede a calcular las cargas eléctricas de
cada uno de los condensadores. La fórmula es:
Q = C V = 5 x 10
-3
x 96 = 480 x 10
-3
coulombs; resultado que también se anota en la
tabla adjunta.
Dado que para capacitores en paralelo lo que es igual es el voltaje, entonces, C1234 y C756
tienen el mismo voltaje, razón por la cual su voltaje es de 96 V. Se calcula, pues, la
carga de acuerdo con la ecuación:
Q = C V
Q1234 = C1234 V1234 = 3 x 10
-3
x 96 = 288 x 10
-3
C
Q756 = C756 V756 = 2 x 10
-3
x 96 = 192 x 10
-3
C
Como comprobación, la suma de Q1234 y Q756 debe ser igual a QE y se cumple (lo puede
verificar con los datos anotados en la tabla).
Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C123 y C4, que se encuentran en serie y
para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es:
V = Q / C
V123 = 288 x 10
-3
/ 12 x 10
-3
= 24 volts, y
V4 = 288 x 10
-3
/ 4 x 10
-3
= 72 volts.
Como comprobación la suma de V123 y V4 debe ser 96 V, cosa que es verdad.
Ahora se calcula el voltaje de los condensadores C7 y C56, que se encuentran en serie y
para los cuales, lo que es igual es la carga eléctrica; entonces el voltaje es:
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8. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
V7 = 192 x 10
-3
/ 3 x 10
-3
= 64 volts, y
V56 = 192 x 10
-3
/ 6 x 10
-3
= 32 volts.
Como comprobación la suma de V7 y V56 debe ser 96 V, cosa que es cierto.
Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C1, C2 y C3, que se encuentran
en paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 24 V);
entonces la carga es:
Q = C V
Q1 = C1 V1 = 3 x 10
-3
x 24 = 72 x 10
-3
C
Q2 = C2 V2 = 5 x 10
-3
x 24 = 120 x 10
-3

Q3 = C3 V3 = 4 x 10
-3
x 24 = 96 x 10
-3
C.
Como comprobación, la suma de estas tres cargas debe ser de 288 x 10
-3
, lo que es
cierto.
Ahora se calcula la carga eléctrica de los condensadores C5 y C6, que se encuentran en
paralelo y para los cuales, lo que es igual es el voltaje (el voltaje es de 32 V); entonces
la carga es:
Q5 = C5 V5 = 4 x 10
-3
x 32 = 128 x 10
-3
C
Q6 = C6 V6 = 2 x 10
-3
x 32 = 64 x 10
-3
C.
Como comprobación, la suma de estas dos cargas debe ser de 192 x 10
-3
, lo que es
cierto.
A continuación se calcula la energía almacenada en cada capacitor con la ecuación:
W = (1/2)(QV); los correspondientes resultados están registrados el la tabla adjunta.
C
x 10
-3
F
Q
x 10
-3
C
V
V
W
x 10
-3
J
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9. Ing. Reynaldo Sosa Domínguez Física III
C1 3 722
4
864
C2 5 1202
4
1440
C3 4 962
4
1152
C4 4 2887
2
10368
C5 4 1283
2
2048
C6 2 643
2
1024
C7 3 1926
4
6144
C123 12 2882
4
C56 6 1923
2
C1234 3 2889
6
C756 2 1929
6
CE 5 4809
6
23040
No tiene sentido calcular la energía para los capacitores equivalentes, razón por la cual
no aparecen valores en las casillas correspondientes.
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