266877 exercicios-resolvidos-de-calculo-i

INTEGRAIS

1. Capítulo9
ExemplosDiversos
AgradecemosaoProfessorSilvioPinhaGomesdoDepartamenetodeAnálisedoIME-UERJ,
porceder,gentilmenteestesexercícios.
9.1Limites
[1]Determineovalordaconstante

paraqueexista





ecalculeo
limite.
Solução:Primeiramenteracionalizemosaexpressão:





!







"#

$

"#

$
!
%

$

&

"'

(
!
*)
+-,





./0 1"#

$(32
!
+-,

4

51"#

$(





1"#

$(76
Logo,acondiçãonecessáriaparaqueolimiteexistaéqueaprimeiraparcelasejanula,istoé,

!98
;então:



5


. !


:
;


1"#

$(
!


<
6
[2]Calcule:
:
)=3>@?
A

2CBEDEFHGJILK
INMOBADEFGJILK
.
Solução:Primeiramentereescrevamosoexpoentedaexpressão:
=3>@?
A$
%
=P>H?
A! QSRUT
V
W

X
QSRUT
V
W

6
Fazendo Y
!

QSRUT
V
W
,temosque

Y
!
QURST
V
W
.Poroutroladoobservamosquese
Z [
,
então
Y
Z\[ e:
=3>@?
A
%
=3>@?
A$
!
X
Y
Y
!

Y
C
6
333

2. 334 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Logo:


)
=3>@?
A

2CBEDEFHGJILK
INMOBADEFGJILK
!


:
X
Y


8
!



X
Y


X
Y


8
!
>

8
6
[3]Calcule:


)
Y
A$
2

V

W
.
Solução:Primeiramentereescrevamosoexpoentedaexpressão.Fazendo
Y
!
$
Y

A$ ,temos
que
Y
A
!

X
Y
e
Y
, $
!
,
Y
A
+
Y

A$
!
,
Y
Y
6
Poroutroladoobservamosquese
Z

,então
Y
Z\[ e:




)
Y
A
2

V

W
!


:
)

+
Y
2


M


!


:
)
+
Y


2 2
8


!
>


6
[4]Determineasconstantes

taisque

"!
)





8
((

#$#$#5
2
!
[
6
Solução:Primeiramentereescrevamosaexpressão:
)

"



8
((


#$#$#

2
!


8
((


"


#$#$#



8
((


#$#$#

!

8
((





#$#$#






#$#$#

6
Sabemosque
"!
%
A
&
A
!
[ se '
(

&
*)
'
+(

%
.Logo,

!
[ e
!
[ ,ouseja
!
e

!
[ .
[5]Calcule:

"!
,
.- "

%


6
Solução:Primeiramenteracionalizemosaexpressão:
,
.-

%


!
)
,
.- "

%


2
)
-
./




-
./




2
!
./ "


-
"
/





!
/ "


-
"
/
"




!

0




1
0

0





!
,

-
8

5
,
8


-
8
2

6

3. 9.1.LIMITES 335
Logo:

"!
,

-


%


!

"!
,
5
-
8


,
8


-
8

2
#
!

,
6
[6]Determineafunçãodenidapor:

A$
!

T
"!

T



,
T
.
T

[
6
Solução:Observeque,se

!
[
,então

E[
!
[
;se

!
,
temos:

,
!

T
"!
,
T



,

T
C,

T
!

T
"!
,

,
T

,/,
T
!
,

,
6
Se
[C ,
,temos:

T
"!

T



,
T

T
!

T
"!

F



F
-
5




T
!
[

logo

A$
!
[
se
[ C ,
.Agoraestudemosocaso
) ,
:

T
"!

T



,

T


T
!

T
"!

F



F
-
5





T
!

T
"!


-
5





T
!


6
Então:

A
!



[
se
[C ,
,

,
se

!
,


se
),
6
[7]Calcule:


8

T
1
T

8

T



6@6@6H6@6@6


%
?
%
6
Solução:Dividindoospolinômios:

T

T

8

T



6@6@66@6@6


1%
?
!
A
%
T
A$

onde
%
T
A
!

T

8
C,
T



T


6@6@6
'
?
-,


?
C
?
.Logo:


8

T

T

8

T



6@6@6H6@6@6


1
?
!


8
%
T
A
!
%
T

6
Poroutrolado,
%
T

!
5C, X
6@6@6H6@6@6
'
?
-, #
?

?
!
T
V
T

8
W
.
[8]Calcule:

:

=
A/
=P>H?
A



,
C
,.

4. 336 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Solução:Seja

A$
!

=
A/
=P>H?
A
.Se



[ ,então
:
=3>@?
A$ [
e

=P>H?
A
!
!
:
,logo

A$
!

=
A$
.Se
[

então
[
=3>@?
A$
e

=P>H?
A
!
[
,logo

A
!

=
A
.Se

!

,então

=P>H?





!
e





!
: .Logo

A$
!






=
A$
se



C [

=
A$
se
[C


:
se

!


6
Então




A$
!




=
A
!




M

A$
!


M

=
A #
!
,
6
Consequentemente,


=
A&
=3>@?
A$
nãoexiste.
[9]Calcule:



=3>@?
"



Y

A/

Y
A$
6
Solução:Primeiramentereescrevamosonumerador:
=3>@?





!
=P>H?
A

=






=3>@?






=
A$
!

,
)
=
A&


=P>H?
A
2
!
=P>H?
A
,
)
Y
A


2

pois
=3>@?
A
!
[ ,então:
=P>H?

"




Y

A$

Y
A$
!
=3>@?
A

Y
A$/



,

Y
A

Y
A&





Y
A



!
=P>H?
A
,

Y
A

Y
A$



6
Logo:




=3>@?





Y

A&

Y
A:!




=3>@?
A$
,

Y
A


Y
A$



!

,
;
6
9.2Continuidade
Analiseacontinuidadedasseguintesfunções:
[1]

A$
!

QURST
V
W


se

!
[

se

!
[
6
Solução:Claramente,oproblemaédeterminarse

écontínuaem
[
.Reescrevamosafunção:

A$
!





QURUT
V
W
se
[

se

!
[
QURUT
V
W
se
)[
6

5. 9.2.CONTINUIDADE 337
Logo,


M

A$
!




=3>@?
A$

!
: e

:


A
!



=P>H?
A

!

6
Então

nãoécontínuaem
[
.
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-0.5
0.5
1
Figura9.1:Grácode

.
[2]

A$
!
,
8


,
8

# .
Solução:Reescrevamosafunção:

A
!
,
8


,
8


!

,
8

#

-,
,
8


!
+
,
,
8


6
Sabendoque

M
8

!
e


8

!
,temos:


M

A$
!


M
) +
,
,
8

#
2
!
: e




A$
!



) X
,
,
8


2
!

6
Então,

nãoécontínuaem
[
.
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
Figura9.2:Grácode

A$
!


I

8


I

8 .
[3]

A$
!


"!



>




(
>

6. 338 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Solução:Se
[
,então,

"!
>


!
[ e

"!

>


!
.Logo,


"!



>




L
>


!
[
6
Se
)[
,então:

L5
>



!


>


5

>



!


>





L

>



!

Y


L5

>





5
>


!


>




>


!


>







>


!
Y





>


6
Logo:


"!

L5
>





5
>


!


"!
"


8


D
I






8


D



!

6
Se

!
[
,então

"!
,



>


!
[
.Reescrevendoafunção:

A
!

[ se
[


se
) [
6
Então,

écontínuaem

.
-3 3
3
Figura9.3:Grácode

.
Determineasconstantestaisqueasseguintesfunçõessejamcontínuas:
[1]

A$
!





"
se
'

=





se
C
?
"
se
)
6
Solução:Se

!

,então


!

=



!

.Poroutrolado:



M

A$
!







!


e




A
!




=




!
:
6

7. 9.2.CONTINUIDADE 339
Comooslimiteslateraisdevemseriguais,temosque



!
:
,istoé,

!


.Se

!

,
então


!

=



!
:
.Poroutrolado:



M

A$
!




=





!
: e





A$
!




?
"

!

?

6
eComooslimiteslateraisdevemseriguais,temosque

?

!
:
,istoé,
?
!



.Logo:

A$
!








se
'

=





se
C





se
)
6
-3 3
-1
1
Figura9.4:Grácode

.
[2]

A$
!




QSRUT
V
8(8


(
W




se
,

se

!
,

2






0



2




se
) ,
6
Solução:Primeiramentefatoremosospolinômios:






O,




;
!
A,

A
A, A
6
Poroutrolado:
QSRUT
V
8(8


(
W




!
QURST

8(8
V



W W

V



W
,fazendo
Y
!
-, ,temosque
Z ,

,então
Y
Z\[
,
e:
=3>@?
O-,O,
%

!
=P>H?

O A-, (
+A-,
!
=3>@?

O
Y


Y
!
O

)
=P>H?

O
Y

O
Y
2
6
Se

!
,
,então

,
!

.Logo:



M

A
!



M
=3>@?

O A -, (
+A-,
!



M
O

)
=3>@?

O
Y

O
Y
2
!
O





A
!









O,



.5
;
!





!
O

6

8. 340 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Então,

!
8(8

e:

A
!




QURST
V
8(8


(
W




se
,
8(8

se

!
,

2






0



2




se
) ,
6
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
Figura9.5:Grácode

.
[3]

A$
!




R
BEDEFHGJILK

8
se
[


=



?
se
[C

2

8(8



#

0
8



2





0
8 se
)
6
Solução:Primeiramentefatoremosospolinômios:


O







;



<
!
A

A O
A

A C,
6
Se

!
[
,então

E[
!


?
,e:

:
M

A
!


M
>
QSRUT
V
W
C

!


M
)>
QURST
V
W

=3>@?
A$
2
)U=3>@?
A

2
!



:


A
!

:




=


$$
?

!


?

logo,


?
!

.Se

!

,então


!



?
,e:



M

A$
!



M



=



?

!



?






A
!




A

A O
A

A C,
!





"C,
!
;

logo,



?
!
;
.Então,temososistema:



?
!




?
!
;

quetemsoluções

!


e
?
!

.

A$
!




R
BADEFGJILK

8
se
[


Q
V

W



se
[

2

8(8



#

0
8



2





0
8 se
)
6

9. 9.2.CONTINUIDADE 341
-2 2 4 6
1
2
3
4
Figura9.6:Grácode

.
[4]

A$
!





0
V



W



V
8(8
W se
C[


se

!
[
QURST
V
T
W

V
8

8
( W se
)C[
6
Solução:Se

!
[
,então

E[
!


.Logo,necessáriamentedevemosterque:


M

A$
!



;

!

E[
!



istoé,

!
;
.Poroutrolado:

:


A
!

:

) =3>@?

?
$
?

2
) ?


@[O[&$
2
!
?



)


@[O[&$
2
!
?

:

)


@[O[&

I
2
6
Como:
:


#@[O[&$
I
!





@[O[&
I

!


>
8
(

!
@[O[
,temos,



A
!
?
@[O[;
poroutrolado,

:


A
!

E[ ,temosque
?
!
[O[ e:

A
!






0
8




V
8(8
W
se
[

se

!
[
QSRUT
V

( W

V
8

8
( W se
)[
6
-0.1 -0.05 0.05 0.1
Figura9.7:Grácode

.

10. 342 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
9.3Derivada
[1]Considereafunção

A$
!




=
, N

=

;

,onde




.Sabendoque




!
,

E[
!

E[
!

E[
!

V

W
E[
!
[
eque

podeserescritanaforma

A
!
=3>@?
T
A
,
?
,
determine

0

e
?.
Solução:Primeiramentenoteque

E[
!





,

E[
!


;

e





!




;logo,
obtemososistema:








!
[





!



;

!
[

cujasoluçãoé

!


,
!

8
e

!
8

;então:

A
!

<


=
, $
,


=

;
$
<
6
Poroutrolado,

=

;

!
,

=

, &
e

=
, $
!
X,
=P>H?

A
,logo:

A
!

<


=
,
,


=

;

<
!

;


=
,
,


=

,
;
!
=3>@?

A
6
Então

!


,

!

8
,

!
8

e
?
!
; .
[2]Determineaequaçãodaretatangenteeaequaçãodaretanormalàcurva

!

'

=P>H?



8


nopontoondeacurvaintersectaoeixodos

.
Solução:Determinemosainterseçãodacurvacomoeixodos

.Se

!
[ ,temos:

'

=P>H?

%
,

!
[
%
, !
[
!

6
Logo,oúnicopontodeinterseçãoé


[
.Poroutrolado,oscoecientesangularesdareta
tangenteedaretanormalàcurvasão,respectivamente:

8
!


!


C,


8

!

,


!




!

/
XC,




!
,
6
Logo,asequaçõesdaretatangenteedaretanormalsão,respectivamente:

!

,
A

%-,

!


!
,+AC

,

!
,
6
[3]Determineaequaçãodaretanormalàcurva
!

?
A ,queéparalelaàreta
, & ,


!
[
.

11. 9.3.DERIVADA 343
Solução:Primeiramente,calculemososcoecientesangularesqueprecisamos.Ocoeciente
angulardareta
, -,


!
[
é

8
!

.Ocoecienteangulardaretanormalàcurvaé:


!




!


5
?
A
6
Comoasretassãoparalelas,temosque

8
!


,istoé:


5
?
A!



?
A
!
,



!
>



logo,temosque

!
>



?

>



!
,
>

.Aequaçãodaretanormalàcurvaquepassapelo
ponto

>



,
>



é:

C,
>


!
%
>





!

>


6
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Figura9.8:Areta


!

>

.
[4]Determineosparâmetros

, e

*
taisqueaparábola
!






tangencieareta

!
nopontodeabscissa

epassepeloponto
:

[
.
Solução:Comooponto
:

[
devepertenceràparábola,substituindonaequação,temos
que:






!
[
6
Comoaparáboladevetangenciarareta

!
nopontodeabscissa

,temosquese

!
,então

!

.Istoé,oponto



écomumàretaeàparábola;substituindonaequação,temosque:
,





!

6
Ocoecienteangulardaretaé

8
!

eocoecienteangulardaretatangenteàparábolaé


!


!
,



,logo



!
,



.Como

8
!


:
,



!

6
Logo,de(1),(2)e(3)temosositema:









!
[





!

,



!

12. 344 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
cujasoluçãoé:

!

!
8

e
!
8
.
1
1
2
Figura9.9:Exemplo[4].
[5]Aformadeumacolinanumaáreadepreservaçãoambiental,podeserdescritapelaequação

!
+

*
,sendo

O
.Umcaçador,munidodeumrieestálocalizadono
ponto
,

[
.Apartirdequepontodacolina,afaunaestará
@[O[

segura?
Solução:Denotemospor
%

!
A




opontoalémdoqualafaunanãopodeservistapelo
caçador,situadonoponto
,

[
.Afaunaestaráasalvo,alémdoponto
%

ondearetaqueliga
,

[
àcolinasejatangenteàmesma.
2
Figura9.10:Vistabidimensionaldoproblema.
Observeque


!
, # éocoecienteangulardequalquerretatangenteàparábola;logo,
noponto
%

,temos

!
,

# eaequaçãodaretatangenteé:




!
,

OA


6
Comoaretapassapor
,

[
,temos:



!
,

#O ,


6
Oponto
%

tambémpertenceàparábola;então:
,


!
X






6

13. 9.3.DERIVADA 345
Igualando(1)e(2):




;


O,
!
A


<
A


;

!
[



!
<
e

!

6
Então,
%

!

<



eafaunaestaráasalvoapartirde
)
<
.
[6]Aretatangenteàcurva

!
X

,

noponto


,
étambémtangenteàcurvaem
umoutroponto.Acheesteponto.
Solução:Ocoecienteangulardaretatangenteàcurvaé


!

;



;
,como


,
éumpontocomumàretaeacurva,temos


!
.Aequaçãodaretatangentequepassa
peloponto


,
é:

!
.Paradeterminarospontoscomunsàcurvaeàretatangente,
resolvemososistema:


!
+

,



!
"#

obtendo


-,


!
A



!
[
e

!

.Opontoprocuradoé
:

[
.
-1 1
2
Figura9.11:Exemplo[6]
[7]Oponto
%
!




pertenceàparábola


!
;

.Determinetodosospontos
&
daparábola
taisqueanormalem
&
passepor
%
Solução:Umpontoarbitráriodaparábolaé
&
!







eocoecienteangulardaretanormal
àcurvaé:

8
!

8

!


.Aequaçãodaretanormalàcurvanoponto
&
é:




;
!

,

A


6
Masanormalpassapeloponto




,logo:



;
!

,









,
<


;
<
!






,


;

!
[
6
Ospontosprocuradossão
&
8
!

;

;

,
&

!
,


e
&

!




.

14. 346 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
-4 -2 6
1
4
9
Figura9.12:Exemplo[7].
[8]Nospontosdeinterseçãodareta


'
!
[
comacurva

!



;

,traçam-seas
normaisàcurva.Calculeaáreadotriânguloformadopelasnormaisepelacordaquesubtende
osreferidospontosdeinterseção.
Solução:Determinemosospontosdeintersecçãodareta



!
[
comacurva:


!



;



!
"
6
Obtemos




+
;
!
A A
;

!
[
;então

!

e

!
;
;logotemosospontos
%
8
!


,
e
%

!

;



.Poroutrolado,oscoecientesangularesdasnormaissãodadospor:

!




!


,
;



!
8
e


;

!

8

.Asequaçõesdasnormaisem
%
8
e
%

,sãorespectivamente:
,


!


;


!
,
;
6
Resolvamososeguintesistemaparaacharospontosdeintersecçãodasretasnormais:

,

!
"
;

!
+",
;

obtemos

!
#
e

!

.Seja
%

!



#

.Aáreadotriângulodevértices
%
8
,
%

e
%

édadapor

!

,onde:

!







;

,

,





!



,


!


;
(
6

6

15. 9.3.DERIVADA 347
1 4 6
2
4
6
Figura9.13:Exemplo[8].
[9]Esboceográcodacurva


!


A .
Solução:Primeiramenteobservamosquesemudamos
por


,aequaçãodacurvanãomuda;
logoacurvaésimétricaemrelaçãoaoeixodos

.Poroutrolado,
!

A$
!


"
,logo






!



.Se

!

,então

!
[ ese

!
[ ,então

!
[
ou

!

.Acurva
intersectaoseixoscoordenadosnospontos
E[

[
e


[
.Determinemosospontoscríticos,
derivando

!

A eigualandoazero:


!
+A ,
,

"
!
[


!
,
6
Noteque


nãoexistee

écontínuaem

!

;como






!



,noponto

!

aretatangenteàcurvaévertical.Determinemosospontosextremos,estudandoosinal
de

aoredordoponto

!
,
:


)[ )' ,


[ ' ,

logo,

!
,
épontodemínimolocale

!
, .Pelasimetriaemrelaçãoaoeixodos

,se
consideramos

!
+

"
,oponto
,

,
édemáximo.Acurvanãopossuipontosde
inexãoouassíntotas.
-3 -2 -1 1 2
-2
-1
1
2
Figura9.14:Exemplo[9].
[10]Dadaumacircunferênciaderaio
',determineocomprimentodeumacordatalqueasoma
dessecomprimentocomadistânciadacordaaocentrodacircunferênciasejamáxima?

16. 348 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Solução:
yy
r
x
Figura9.15:Exemplo[9].
Comasnotaçõesdodesenho,





!
'

;então

!

'


.Ocomprimentodacordaé

!
,

;logo

!
,

'


.Logo,afunçãoquedevemosmaximizaré:

A
!
,

'


.
Derivandoeigualandoazero:


A
!
+
,

'



!
[ ,
!
/
'







!
'



!
'


6
Derivandonovamente:


A
!
,
'


'











'



!




;
'
[
6
Logo,


épontodemáximoe






!


'.
[11]Determineocilindrocircularretodevolumemáximoquepodeserinscritonumcone
circularreto.
Solução:
B E C
D
A
x
y
Figura9.16:Seçãobidimensionaldoproblema.
Comasnotaçõesdodesenho,sejam
'e oraioeaalturadocone,respectivamente;

e oraio
aalturadocilindro.Poroutrolado,o


ésemelhanteao


;temos:


!







!
'
'



!

'

'

6

17. 9.3.DERIVADA 349
Ovolumedocilindroé

!



;logo,de

temosqueafunçãoamaximizaré:

A$
!


'

'





6
Derivandoeigualandoazero:


A$
!


'
,
'

!
[


!
[
ou

!
,
'

6
como

!
[
,oúnicopontocríticoé

!



.Estudemososinalde
,
'

:
,
'
) [ [ C
,
'

,
'
[ )
,
'

6
Então

!



épontodemáximo.Logo,ocilindrodevolumemáximoinscritonumconetem
raiodabaseiguala
,
doraiodabasedoconeealturaiguala

daalturadocone.
[12]Determineotrapéziodeperímetromáximoquepodeserinscritonumsemi-círculoderaio
'.
Solução:
B
CD
A
n
2r
y
x
h
Figura9.17:
Otriângulo



éretângulopoiséinscritonumsemi-círculo;noteque

!
,
'
,
? .Sabe-
mosquenumtriânguloretângulo,cadacatetoéamédiageométricaentreahipotenusaesua
projeçãosobreahipotenusa;logo:


!
,
'
?

?
!


,
' e

!
,
'
-,
?
!
,
'



'
6
Então,operímetro
%
,é:
%
A
!
, C,
'



'
C,
'

%
A
!
;
'
C,


'
6
Derivandoeigualandoazero:
%

A$
!

,
'
C,
!
[
!
'
6

18. 350 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Derivandonovamente:
%

A
!

,
'

%


'
[
6
Logo,
%
!

'
.Otrapéziodeperímetromáximoquepodeserinscritonumsemi-círculoderaio
'tembasemaioriguala
,
'
,basemenoriguala 'eladosnãoparalelosiguaisa '.
9.4Integração
[1]Calcule

!



Y
A$

=3>@?
A

=
A

.
Solução:Fazendo:
(
!


Y
A



(
!
QUR


V
W

V
W




(
!

QURST
V
W

Q
V
W
.Então:

!

(

(
!
(

,


!



Y
A

,


6
[2]Calcule
!

=3>@?
A

=
A
5
=3>@?

A
.
Solução:Fazendo:
Y
!
=P>H?
A


Y
!

=
A$

.Então:

!

Y
5
Y


Y
!

Y


Y




Y
!

'

Y

Y


,


!

'

Y

=3>@?

A$

,


6
[3]Calcule
!


-
5


/
1





.
Solução:Noteque



/
.

!
1

'




!
1



.H
,
então;
-
5


/




!
/


-

/


6
Agora,fazendo:
(
!

/
5.


(
!






logo,

!


(

(
!
,

(


!
,
-

/
5

6
[4]Calcule
!



'

Y
A$
?
A



.
Solução:Integramosporpartes:
(
!

?
A

#


(
!
,



!


'

Y
A$



!



'

Y
A


6

19. 9.4.INTEGRAÇÃO 351
Denotemospor

8
!



'

Y
A$

.Paraachar
,novamenteintegramosporpartes:
(
!

'

Y
A


(
!


1.
!




!


,
6
Logo:

8
!



'

Y
A
,


,



1.

!



'

Y
A$
,


,


X

1.

!



'

Y
A
,


,
)
%

'

Y
A$
2
!
A



'

Y
A$
,


,
6
Voltandoa
:

(
!




8
)AA



'

Y
A
2
!


'

Y
A&





8 e:


(
!

8


'

Y
A&

Então:

!
(




(
!

,
)




'

Y
A&
2
)

?
A

/C
2


'

Y
A

6
[5]Calcule
!




=3>@?
A$


=
OA
.
Solução:Fazendo

!


Y
,


!


Y ;se

!
[
,então
Y
!
ese

!

,então
Y
!
[ .Porouro
lado:

=P>H?
A
5

=
A !



Y

=P>H?



Y



=
O


Y
!



Y

=P>H?

Y

5

=

Y

6
Logo:

!







Y

=3>@?

Y

5

=

Y

Y
!



:=P>H?

Y



=
O
Y

Y



,

!



:=P>H?
A


=
OA

6
Observequeaintegraldenidanãodependedavariáveldeintegração.Fazendo
(
!

=
A
,
então

(
!

=P>H?
A

e:
,

!




8
8

(

(
!


8

8

(
5
(
!

)

'

Y
/

'

Y
:
2
!


,
6
Logo

!



.
[6]Veriqueque:

8




T


!
,

T

?


S,
?



?

6

20. 352 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Solução:Fazendo

!
=3>@?

Y

,


!

=

Y


Y ;se

!
[
,então Y
!
[ ese

!

,então Y
!

.Por
outrolado,
X


T


!

X
=P>H?


Y


T

=

Y


Y
!

=

T

8

Y


Y
,então:

T
!

8

X


T


!






=

T

8

Y


Y

integrandoporpartes:

T
!

=

T

Y

=P>H?

Y









C,
?






=

T

8

Y

=3>@?


Y


Y
!
,
?






=

T

8

Y


Y
-,
?






=

T

Y


Y
!
,
?






=

T

8

Y


Y
-,
?

T

istoé

T
!
,
?
,
?


T

8 ,como


!






=

Y


Y
!
,logo:

8
!
,



!
,

!
,



!
;


8
!
,
;




!




!
,
;







!
<



!
,
;



<



.
.
.

T
!
*,
;



6@6@6
,
?
-, *,
?



6@6@6
- ,
?
C- ,
?


6
Multipliquemos

por
,
;



6@6@6
- ,
?
, ,
?
,
;



6@6@6
- ,
?
, ,
? ,então:

T
!

, , , , ,
;

6@6@6
,+
?
,
?


,
;



6@6@6
- ,
?
-, ,
?
,
?

!
,

T

,
;



6@6@6

?

?



,
?
#


!
,

T

?



,
?


6
[7]Determineaáreadaregiãolimitadapelascurvas


!
,

e



!





,onde


.
Solução:Semudamos

por
+
,asequaçõesnãomudam,logoascurvassãosimétricasem
relaçãoaoeixodos
.Determinemosasinterseçõesdascurvascomoseixoscoordenados.Se

21. 9.4.INTEGRAÇÃO 353

!
[
,então
!
[ e





!
[
;se
!
[ ,então

!
[
;logoospontos
E[

[
e
E[


sãoos
pontosdeinterseçãodascurvascomoseixoscoordenados.Escrevendo

!


e

!

2




,
determinamosainterseçãodascurvas,resolvendoosistema:


!




!

2






donde,






C,

!
[
;fazendo
(
!


temos
(



(
C,

!
[
e

!

.Noteque

!
[
éoúnicopontocríticodeambasascurvas;paraaparábolaéumpontodemínimoepara
aoutracurvaéumpontodemáximo.
Figura9.18:Regiãodoexemplo[7].
Pelasimetriadaregião,calculamosaáreanoprimeiroquadranteemultiplicamosoresultado
por2:

!
,






. .



,



!


)
,



2
(
6

6
[8]Determineaáreadaregiãolimitadapelacurva





!
[
epeloseixoscoordenados.
Solução:Semudamos

por
X
e por


,aequaçãonãomuda,logoacurvaésimétrica
emrelaçãoaoeixodos

edos
.Determinemosospontosdeinterseçãodacurvacomoseixos
coordenados.Se

!
[
,então
!
[ ese
!
[ ,então


A


!
[
;logoospontos
E[

[
,
:

[
e


[
sãoospontosdeinterseçãodacurvacomoseixos.Consideramos

!



X

;logo


:


.Nãoédifícilverqueem

!
[
acurvapossuiumpontodemínimolocaleque

!



sãopontosdemáximolocal.
-1 1
0.4
-1 1
0.4
Figura9.19:Regiãodoexemplo[8].

22. 354 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Pelasimetriadaregião,calculamosaáreanoprimeiroquadranteemultiplicamosoresultado
por
,
.

!
,

8



/
X



6
Fazendo

!
=3>@?

Y

,então


!

=

Y


Y e



X



!
=3>@?


Y


=


Y


Y
;então:

!
,





=3>@?


Y


=


Y


Y
!

,






,
=P>H?

Y


=

Y




Y
!

,





=3>@?

,
Y


Y
!

;





(X

=

;
Y



Y
!

<
(
6

6
[9]Determineaáreadaregiãolimitadapelascurvas





<

!
[
,
;





!
[
,



C
!
[ eoeixodos
.
Solução:Determinemosasinterseçõesdascurvas:






!
<

;



!


,





!
<




!



;



!





!

De

obtemos
!
,logo

!

;de
,
obtemos
!
@[ ,logo

!

ede

obtemos
!
,
logo

!
,
.
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
1 2 3 4 5 6
4
5
9
10
Figura9.20:Regiãodoexemplo[9].
Logo:

!
,



/


;




8


/






8

#
/




!
, [
(
6

6
[10]Determineovolumedacalotaesféricadealtura seaesferatemraio

.

23. 9.4.INTEGRAÇÃO 355
h
R
Figura9.21:Regiãodoexemplo[10].
Solução:Fazendoumarotaçãodaesferasefornecessário,consideramos

!


.
ea
seguinteregião:
R
R-h
Figura9.22:
Logo:

!





/






!












!

)













2
!









(
6

6
Emparticular,se

!
,então

!



2

éovolumedasemi-esferaderaio

;se

!
,
então

!



2

éovolumedaesferaderaio

.
[11]Calculeovolumedosólidoderevoluçãogeradopelarotaçãodaregiãolimitadapelas
curvas

!
>



,
!
>


# eoeixodos

,emtornodoeixodos

.
Solução:Determinemosospontosdeinterseçãodascurvas:


!
>





!
>




>




>


,
!
[

>


!
,


!

?
,
6

24. 356 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2
1
2
3
Figura9.23:Regiãodoexemplo[11].
Logo:

!




T
V

W


>






>









!




T
V

W
)7
>




>



C,
>


2


!
O

;
(
6

6
[12]Calculeocomprimentodearcodacurvas



!

situadodentrodocírculo





!

.
Solução:Determinemosospontosdeinteseçãodascurvas:




!







!










!












!
[


!

6
-1-2 1 2
-1
-2
1
2
Figura9.24:Regiãodoexemplo[12].
Pelasimetriadacurva,consideremos

!





,derivando


!





8
;então:

!
,

8

,

;


;


6
Fazendo
(
!





,obtemos:

!
<
;


8





8

(

(
!

;
,
(
6

6

25. 9.4.INTEGRAÇÃO 357
[13]Calculeaáreadaregiãodeterminadapor


!

2


esuaassíntota,


!
[
.
Solução:Semudamos
por


,aequaçãonãomuda,logoacurvaésimétricaemrelaçãoao
eixodos

.Notequeacurvaintersectaoseixosnaorigem.
Figura9.25:Regiãodoexemplo[13].
Aequaçãodaassíntotaé

!
,

;entãoconsideramos

!
-
2


e:

!
,




,


,




!
,

(


M



,


,




6
Fazendo

!
,

=P>H?


Y

,temosque


!
;

=3>@?

Y


=

Y


Y .Poroutrolado:
,


,



!



,




!
<


=3>@?


Y


Y
6
Temos,

!
[

Y
!
[
e

!

=3>@?


Y

!


;se

Z\,


Y
!

.Então:
,



,


,




!


,
)
=P>H?

;
Y
&
<
=P>H?
,
Y
H,
Y
2


!


,
)
=P>H?

;

/
<
=P>H?
,

#H,

2 6
Logo:

!

(





,
)
=P>H?

;

/
<
=P>H?
,

#H,

2
!




(
6
.
[14]Calculeaáreadaregiãolimitadapelacurva

!

&A ,
'
eoeixodos

.
Solução:Devemoscalcularaáreadaregiãoilimitada:

26. 358 CAPÍTULO9.EXEMPLOSDIVERSOS
Figura9.26:Regiãodoexemplo[14].
Logo:

!

"!
8


./A #
!


"!


8


/A
!


"!


8













!


"!
)7
?





5
?


/
?
,
2
!


"!
)
?








X
?
,
2
!


"!
)
?
(







?
,
2
!

X
?
,

(
6

6