27 polígonos y cuadriláteros

Material preparación (PSU) pre universitario pedro de valdivia.

1. 1
Curso:Matem?tica
Material N? 14
GU?A TE?RICO PR?CTICA N? 14
UNIDAD:GEOMETR?A
POL?GONOS CUADRIL?TEROS
POL?GONOS
DEFINICI?N:Un pol?gono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y
que se intersectan s?lo en sus puntos extremos (no se cruzan).
NOMBRE DEPOL?GONOS
PROPIEDADES DEPOL?GONOSCONVEXODEnLADOS:
Suma de los ?ngulos interiores = 180??(n 2) Diagonales desde un v?rtice = n 3
Suma de los ?ngulos exteriores = 360? Total de diagonales =
n(n 3)
2
?-
EJEMPLOS
1.?Cu?nto suman las medidas de los ?ngulos interiores de un pol?gono de 7 lados?
A)1.260?
B)1.080?
C)900?
D)720?
E)360?
2.?Cu?ntos lados tiene un pol?gono, cuyos ?ngulos interiores suman 720??
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
TRI?NGULOS 3 LADOS
CUADRIL?TERO4 LADOS
PENT?GONO 5 LADOS
HEX?GONO 6 LADOS
HEPT?GONO 7 LADOS
OCT?GONO 8 LADOS

2. 2
3.El n?mero de diagonales que se pueden trazar desde unv?rtice de un pent?gono es
A)1
B)2
C)3
D)4
E)5
4.?Cu?nto sumanlas medidas delos ?ngulos exteriores de un hex?gono?
A)90?
B)180?
C)360?
D)540?
E)720?
5.El total de diagonales de un hept?gono es
A)4
B)7
C)9
D)14
E)28
6.Si eltotal de diagonales de un pol?gono es 9, entonces el n?mero de lados de dicho
pol?gono es
A)5
B)6
C)7
D)9
E)14
7.Con los datos del pol?gono de la figura 1 y sabiendo que?a??b,?cu?l es el valor de
?a+?b?
A)45?
B)90?
C)135?
D)180?
E)270?
?a ?b fig. 1

3. 3
POL?GONO REGULAR
DEFINICI?N:Es aquel que tiene sus lados y sus ?ngulosrespectivamente congruentes. En
caso contrario se dice que es irregular.
EJEMPLOS
1.?Cu?nto mide cada ?ngulo exterior de un pol?gono regular de 8 lados?
A)45?
B)80?
C)135?
D)180?
E)225?
2.?Cu?nto mide cada ?ngulo interior de un hex?gono regular?
A)60?
B)120?
C)180?
D)240?
E)720?
3.?Cu?ntos lados tiene un pol?gono regular cuyos ?ngulos interiores miden 108??
A)4
B)5
C)6
D)7
E)8
a
a
a a
aaa a
aa
a a
Hex?gono regular
?
360?
=
n
?a
?a
?a
?a ?a
?a
a
a
a
a
a
?a
Pent?gono regular
180? (n 2)
=
n
?-
?a

4. 4
4.Si los ?ngulos exteriores de un pol?gono miden36? cada uno, entonces el n?mero de
lados del pol?gono es
A)6
B)9
C)10
D)12
E)18
5.En el hex?gono regular de la figura 1, se trazaron las diagonalesAByCD.?Cu?nto
mide el ?ngulox?
A)30?
B)45?
C)60?
D)90?
E)120?
6.Si?acorresponde a la medida de cada ?ngulo exterior de un pol?gono regular, entonces
?anopuede medir
A)45?
B)60?
C)90?
D)120?
E)135?
7.En el pent?gono regular de la figura 2, ?cu?l es la medida del?Rx?
A)18?
B)30?
C)36?
D)72?
E)108?
C
B
D
A
x
fig. 1
x
fig. 2

5. 5
CUADRIL?TERO
DEFINICI?N
Cuadril?tero es cualquier pol?gono de 4 lados.
CLASIFICACI?N
Los cuadril?teros se clasifican en: Paralelogramos,TrapeciosyTrapezoides.
PROPIEDADES
??La suma de los ?ngulos interiores es 360?.
??La suma de los ?ngulos exteriores es 360?.
??N?mero total de diagonales es 2.
??Diagonales desde un v?rtice: 1.
EJEMPLOS
1.En el cuadril?tero de la figura 1, el valor de?a+?bes
A)220?
B)140?
C)110?
D)80?
E)60?
2.En el cuadril?tero ABCD de la figura 2,la medida del?Rx es
A)50?
B)60?
C)90?
D)100?
E)120?
3.En la figura 3, L1, L2, L3y L4son rectasdonde L1// L2. Entonces,?a+?b+?g=
A)100?
B)200?
C)260?
D)280?
E)360?
A
B
CD
?b
?a
100?
120?
fig. 1
A B
D
120?
C
50?x
fig. 2
L1
L2
L3L4
?a
?b?g
?d
80?
fig. 3

6. 6
4.En elcuadril?tero ABCD de la figura 4,AB=BCyAD=BD=CD.Si?RCDB= 40?,
entonces?RDAB=
A)35?
B)40?
C)70?
D)90?
E)140?
5.En el cuadril?tero ABCD de la figura5, ?cu?ntomide el ?ngulo exterior CBE?
A)36?
B)72?
C)108?
D)126?
E)144?
6.En el cuadril?tero de la figura 6,si?a+?b=?g, entonces?g=
A)30?
B)50?
C)55?
D)70?
E)105?
7.Enla figura7, L1, L2, L3y L4son rectas. Entonces,?cu?nto mide el ?ngulox?
A)30?
B)40?
C)50?
D)80?
E)100?
A
B
D
C
fig. 4
fig. 5
D
C
A BE
4?a
2?a 3?a
?a
?a
?b
?g
150?
fig. 6
100?
50?
80?
x
L1
L2
L3
L4
fig. 7

7. 7
PARALELOGRAMO
DEFINICI?N:Paralelogramo esaquel cuadril?teroque tiene dos paresdeladosopuestos
paralelos.
CLASIFICACI?N Y PROPIEDADES
EJEMPLOS
1.?Cu?l de los siguientes cuadril?teros es un paralelogramo?
A) B) C) D) E)
2.Enun cuadradode v?rtices A, B, C, D y diagonalesACyBD, ?cu?l es el valor de la
suma del ?ngulo ABD con el ?nguloBCD?
A)45?
B)90?
C)135?
D)145?
E)180?
50?
130?
130? 130?50?
50?
130?130?
50? 130?
130?50?
130?
50?50?
CUADRADO ROMBO RECT?NGULO ROMBOIDE
NOMBRE
PROPIEDADES
Lados opuestos
congruentes
?P ?P ?P ?P
?ngulos opuestos
congruentes
?P ?P ?P ?P
Las diagonales
se dimidian
?P ?P ?P ?P
?ngulos contiguos
suplementarios
?P ?P ?P ?P
Diagonales
perpendiculares
?P ?P
Diagonales
bisectrices
?P ?P
Diagonales
congruentes
?P ?P
45?
45?
a
45?
45?
45?
45?
45?
45?
a
a a
?a
?b
?a ?a
?a
?b?b
?b
aa
a a
a
b
?b
?a
a
b
?a
?a
?b ?b
?a
?b
a
?b
?b
?a
?a
bb
a

8. 8
3.En la figura 3, ABCD es rect?ngulo,AC y BDson diagonales. ?Cu?l(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)?RDCA?@?RBAC
II)?RBDC?@?RADB
III)?RADB?@?RCAD
A)S?lo I
B)S?lo II
C)S?lo I y II
D)S?lo I y III
E)S?lo II y III
4.En la figura2,DEFG es unrombo. ?Cu?nto mideel ?ngulox?
A)22,5?
B)67,5?
C)90?
D)112,5?
E)122,5?
5.?Cu?l(es)de las siguientesproposicioneses(son)necesariamenteverdadera(s) en
un paralelogramoABCDde diagonalesACyBD?
I)SiAC?^BDyAC?BD, entoncesABCDes un rombo.
II)SiAC?^BDyAB=BC, entoncesABCD esun cuadrado.
III)SiAC?BDyAB?BC, entoncesABCD es un romboide.
A)S?lo I
B)S?lo II
C)S?lo I y II
D)S?lo I y III
E)I, II y III
6.En el rect?ngulo ABCD de la figura 1,EB=BCy?RECA = 10?. ?Cu?nto mide el
?ngulo BMA?
A)130?
B)110?
C)100?
D)70?
E)55?
G F
D E
3x x
fig. 2
fig. 1
D C
M
A E B
D C
A B
fig. 3
E

9. 9
TRAPECIO
DEFINICI?N:Trapecio es aquel cuadril?tero que tiene s?lo un par de lados paralelos,
llamados bases.
PROPIEDAD:
En todos los trapecios, los ?ngulos colaterales internos entre las bases (AByCD) son
suplementarios.
TRAPECIO IS?SCELES
PROPIEDADES:Adem?s de la propiedad general de los trapecios, los is?sceles tienen las
siguientes propiedades:
??Diagonales congruentes.
???ngulos basales congruentes.
???ngulos opuestos suplementarios.
EJEMPLOS
1.En el trapecio de la figura 1,AB // DC. Entonces, ?cu?l esla medidadel ?ngulo?a?
A)180?
B)140?
C)110?
D)100?
E)70?
2.En el trapecio ABCD de la figura 2,?RA?@?RB yAB // DC.Entonces,siemprees
verdadero que
A)?RA?@?RC
B)?RB?@?RC
C)?RA?@?RD
D)?RC?@?RD
E)?RB?@?RD
?a+?d= 180?
?b+?g= 180?
Trapecio Escaleno
D C
A B
?a ?b
?g?d
AB // CD
Trapecio Is?sceles
BA
CD
?d ?g
?b?a
AB // CD
?a
?b ?b
?a?a
A B
D C
D C
A B
fig. 2
D C
A B
?a
70?
fig. 1

10. 10
3.En el trapecio ABCD de la figura3,AB//CDyAD = BC.Si el?RADC = 100?,
entonces el?RABCmide
A)50?
B)60?
C)70?
D)80?
E)100?
4.En el trapecio ABCD de la figura 4,DC // AB,?RADC = 120? y?RDAC = 20?. ?Cu?nto
mide el ?ngulo CAB?
A)20?
B)30?
C)40?
D)50?
E)60?
5.En el trapecio ABCD de la figura5,AD = DC = CB,AB // CDy?RABC = 76?.?Cu?nto
mide el?RACD?
A)36?
B)38?
C)54?
D)66?
E)104?
6.En el trapecio ABCD de la figura 6,AB // DCyAD = BC. Si?RADC = 2x + 10?y
?RABC = x + 20?, entonces el ?ngulo DAB mide
A)30?
B)50?
C)70?
D)80?
E)110?
7.En el trapecio de la figura 7,AD DC BC?@ ?@ yAB // DC. Si?RACB = 60?, entonces el
?ngulo ADC mide
A)40?
B)80?
C)100?
D)120?
E)140?
D C
A B
fig. 3
D C
A B
fig. 5
D C
A B
fig. 4
D C
A B
fig. 6
D C
A B
fig. 7

11. 11
TRAPEZOIDE
DEFINICI?N:Trapezoide es aquel cuadril?tero quenotiene par de lados paralelos.
CLASIFICACI?N:Los trapezoides se clasifican enasim?tricosysim?tricos.
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
??Diagonales perpendiculares.
??Una diagonal es bisectriz.
??La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral
de la otra diagonal.
EJEMPLOS
1.?Cu?l de los siguientes cuadril?teros es un trapezoidesim?trico?
A) B) C) D) E)
2.?Cu?l de los siguientes cuadril?teros es un deltoide?
A) B) C) D) E)
3.Enel deltoide ABCD de la figura1,?RD?@?RB. Entonces, se cumple que
A)?RA?@?RC
B)?RA?@?RB
C)?RA +?RB = 180?
D)AD?@DC
E)AD?@AB
D
C
A
BTRAPEZOIDE
D
A
C
B
TRAPEZOIDE
SIM?TRICO (DELTOIDE)
AB AD y CD CB?@ ?@
a a
bb
a?b
120?120?
60?
130?50?
80?
40?120?
40?
30?150?
30?
20?
150?
30?
2 3
2
3
2 2
3
3
2 2
3
4
2 3
2
4
2 4
3
5
A
C
D B
fig. 1

12. 12
4.En el trapezoide ABCD de la figura 2,?RDCB = 100?,?RDAB = 40?,?RCDA = 3x + 30? y
?RABC = x + 10?. ?Cu?nto mide el ?ngulo CDA?
A)45?
B)80?
C)135?
D)140?
E)165?
5.En la figura3, DEFG es un deltoide conGD = DEyGF = EF. Si?RDEF = 130? y
?RGDE = 20?, entonces el ?ngulo FGE mide
A)80?
B)75?
C)65?
D)55?
E)50?
6.En un deltoide de v?rtices A, B, C y D,ACes bisectriz del?RBAD, entonces es
siempreverdadero que
A)?RD =?RB
B)?RA >?RC
C)?RA <?RC
D)?RA =?RC
E)?RA =?RB
RESPUESTAS
DMTRMA14
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Ejemplos
P?gs.
1234567
1 y 2CCBCDBE
3 y 4ABBCEEC
5 y 6BDCCBEA
7 y 8ACDADB
9 y 10CDDCBCC
11 y 12CAEEEA
C
BD
A
fig. 2
G
D
F
E
fig.3