3 3克拉瑪公式

1. §3-3 克 拉 瑪 公 式
(甲)二元一次聯立方程組
(1)解 二 元 一 次 方 程 組 ：
î
í
ì
×××=+
×××=+
)2(
)1(
222
111
cybxa
cybxa
， 其 中 x,y是 未 知 數 ，
我 們 使 用 代 入 消 去 法 解 之
(1)´b2-(2)´b1 Þ(a1b2-a2b1)x=(c1b2-c2b1)
(1)´a2-(2)´a1 Þ(a2b1-a1b2)y=(c1a2-c2a1)

Þ可 得
î
í
ì
D=×D
D=×D
y
x
y
x
， 其 中 ，=
22
11
ba
ba
，， x=
22
11
bc
bc
，， y=
22
11
ca
ca
。
當當 其0時 ， 方 程 組 恰 有 一 解 (x,y)=( , ) [兩 直 線 交 於 一 點 ]
當當=Dx=Dy=0， 方 程 組 有 無 限 多 解 。 [兩 直 線 重 合 ]
當當=0， 而，x、、y有 一 不 為 0時 ， 方 程 組 無 解 。 [兩 直 線 平 行 ]
1.試就a值討論
î
í
ì
-=+-
+=--
ayxa
ayax
72)3(
5)3(2
的解。
Ans：若a¹1且a¹5，則(x,y)=(,)；若a=1，則(x,y)=(3-t,t)，tÎR
若a=5，則無解。
1.就k值 討 論 方 程 式 的 解 ：
î
í
ì
--=++
=--
2)12(3
22)2(
kykx
kyxk
。
Ans：當k¹1，時，恰有一組解，當 k=1時，有無限多組解，當 k=
時，無解。
~3-3-1~

2. (乙)三元一次聯立方程組
(1)推導克拉瑪公式：
考 慮 三 元 一 次 方 程 組
ï
î
ï
í
ì
×××=++
×××=++
×××=++
)3(
)2(
)1(
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
， 其 中x,y,z為 未 知 數 ，
使 用 代 入 消 去 法 解 之 ：
由 (1) Þb1y+c1z=-a1x+d1， 由 (2) Þ b2y+c2z=-a2x+d2
由 二 元 一 次 方 程 組 之 求 解 可 知
22
11
cb
cb
y=
222
111
cdxa
cdxa
+-
+-
，
22
11
cb
cb
z=
222
111
dxab
dxab
+-
+-
整 理 可 得
22
11
cb
cb
y= -
22
11
ca
ca
x+
22
11
cd
cd
……………..(4)
22
11
cb
cb
z=
22
11
ba
ba
x-
22
11
bd
bd
……………..(5)
~3-3-2~

3. 將 (3)´
22
11
cb
cb
得
a3
22
11
cb
cb
x+b3
22
11
cb
cb
y+c3
22
11
cb
cb
z=d3
22
11
cb
cb
………(6)
(4)(5) 代 入 (6) ， 消 去 y,z
a3
22
11
cb
cb
x+b3(-
22
11
ca
ca
x+
22
11
cd
cd
)+c3(
22
11
ba
ba
x-
22
11
bd
bd
)= d 3
22
11
cb
cb
整 理 之 後 得
(a3
22
11
cb
cb
-b3
22
11
ca
ca
+c3
22
11
ba
ba
)x=d3
22
11
cb
cb
-b3
22
11
cd
cd
+c3
22
11
bd
bd
……..(7)
觀察(7)式，等號左端 x的係數中，將 a1,a2,a3分別換成 d1,d2,d3及成為右端的式子 ，
a3
22
11
cb
cb
-b3
22
11
ca
ca
+c3
22
11
ba
ba
=
333
222
111
cba
cba
cba
d3
22
11
cb
cb
-b3
22
11
cd
cd
+c3
22
11
bd
bd
=
333
222
111
cbd
cbd
cbd
因 此 (7) 可 改 寫 成
333
222
111
cba
cba
cba
x=
333
222
111
cbd
cbd
cbd
同理若令 同=
333
222
111
cba
cba
cba
，，x=
333
222
111
cbd
cbd
cbd
，，y=
333
222
111
cda
cda
cda
，，z=
333
222
111
dba
dba
dba
則 可 得
ï
î
ï
í
ì
D=×D
D=×D
D=×D
z
y
x
z
y
x
結 論 ：
(a)若DD0，則方程組恰有一解： (,,)
D
D
D
D
D
D
x y z
。[克拉瑪公式 ]
(b)若若=
D
x=
D
y=
D
z=0，則方程組無解或無限多解。
~3-3-3~

4. (c)若D=0，
D
x、
D
y、
D
z有 一 不 為 0， 則 方 程 組 無 解 。
(2)聯 立 方 程 組 解 的 幾 何 解 釋 ：
三元一次方程組
ï
î
ï
í
ì
×××=++
×××=++
×××=++
)3(
)2(
)1(
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
，我們將三個方程式視為空間中的三平
面 ， 因 此 我 們 可 以 討 論 三 個 平 面 的 相 交 情 形 與 解 的 關 聯 。
設 =(a
1,b
1,c
1) 、 =(a
2,b
2,c
2) 、 =(a
3,b
3,c
3)
(a)D=
333
222
111
cba
cba
cba
的 解 釋 ：
D=
333
222
111
cba
cba
cba
= a1
33
22
cb
cb
-b1
33
22
ca
ca
+c1
33
22
ba
ba
= a 1
33
22
cb
cb
+b1
33
22
ac
ac
+c1
33
22
ba
ba
=( a1,b1,c1)×(
33
22
cb
cb
，
33
22
ac
ac
，
33
22
ba
ba
)
= ×(´)
ÞD=
333
222
111
cba
cba
cba
=×(´)
(1°) 當 當 =0 Û ×(´)=0
若若=， 則 表 示 //， 此 時 E
2與E
3互 相 平 行 或 重 合 。
~3-3-4~

5. E
1=E
2=E
3 (D=
D
x=
D
y=
D
z=0，無 限 多 解) E
1//E
2=E
3(D=
D
x=
D
y=
D
z=0無 解)
E
1與E
2(E
3)交 於 一 直 線 (D=Dx=Dy=Dz=0，無 限 多 解 )
E
1//E
2//E
3(D=Dx=Dy=Dz=0，無解)
~3-3-5~

6. E
1與E
2、E
3相交成兩平行線 (D=0，，x、、y、、z有一不為 0，無解)
若若

， 則，(´)， 因 為， 因代 表E
2與E
3交 於 一 直 線 L， 且
其 方 向 向 量 為 其， 此 時 因 為 ，(´)， 所 以L與E
1平 行 或 重 合 。
~3-3-6~

7. E
1、E
2、E
3三 平 面 交 於 一 直 線 (D=Dx=Dy=Dz=0，無 限 多 解 )
E
1、E
2、E
3兩 兩 交 於 一 直 線 ， 三 直 線 互 相 平 行
(D=0，， x、、 y、、 z有 一 不 為 0， 無 解 )
(2°)當當
2
0 Û ×(´)¹0 Û ´¹且 與 (´)不 垂 直
所 以E
2與E
3交 於 一 直 線 L， 且 其 方 向 向 量 為 ，， 此 時 因 為 與 (´)
不 垂 直 ， 所 以 L與 E
1交 於 一 點 。
E
1、E
2、E
3三 平 面 交 於 一 點 (D¹0， 恰 有 一 解 )
(3)齊次方程組：
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
0:
0:
0:
3333
2222
1111
zcybxaE
zcybxaE
zcybxaE
至少會有(0,0,0)的解，所以
(a)若若
0¹
，則齊次方程組只有一組解 (0,0,0)。
(b)若若=0， 則 齊 次 方 程 組 除 了 (0,0,0)之 外 ， 尚 有 其 他 的 解 。
~3-3-7~

8. 2.說明下列各方程組所表示的平面相交的情形
(1) Ans：三平面相交於一點 (-1,2,0)
(2) Ans：兩面平行，另一面交兩線
(3) Ans：三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
3.試就實數 a之值討論方程組的解：
Ans：(1)a¹3且a¹4且a¹7時，有唯一解 (x,y,z)=(,,)
(2)a=3時，有無限多組解 (x,y,z)=(,t,t)
(3)a=4時，有無限多組解 (x,y,z)=(t,t,1-)
(4)a=-7時，無解
4.若若及及為二實數，且聯立方程組
ï
î
ï
í
ì
=+a
b=a++
=+a-
02
17)1(
zy
zyx
yx
有二組以上的解，則 有之值為 ，，之值為 。
Ans：： =2，， =-1 (84 社)
~3-3-8~

9. 5.方程組
xyzax
xyzay
xyzaz
++=
++=
++=
ì
í
ï
î
ï
有異於(0,0,0)之解，a= 。Ans：0,3
6.已知方程組
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
恰有一組解 (a,b g )，，
)一組
0
則方程組
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333
2222
1111
432
432
432
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
之解為何？ Ans：(4a ,2b ,)
2.試以克拉瑪公式解方程組 Ans：x=1,y=2,z=3
3.解 下 列 方 程 組 ， 並 判 斷 其 幾 何 關 係 ：
(1)
ï
î
ï
í
ì
-=+-
=++
=-+
13
7352
22
zyx
zyx
zyx
(2)
ï
î
ï
í
ì
=++-
=+-
=++
3342
23
124
zyx
zx
zyx
(3)
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
-=-+-
3542
133
124
zyx
zyx
zyx
Ans：(1)三 平 面 交 於 一 點 (,,) (2)三 平 面 交 於 一 線 (t,+t,3t+2)
(3)三平面兩兩相交於一直線且三交線不共點
~3-3-9~

10. 4.試 就 a值 討 論 方 程 組
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
1
1
1
azyx
zayx
zyax
的 解 。
Ans： 若a¹1,-2時 ， 恰 有 一 解(,,)； 若a=1，(x,y,z)=(s,t,1-s-t)
若a=-2時，無解。
5.齊 次 方 程 組 ：
(1)
î
í
ì
+=-
=-
42
03
byx
ayx
除(0,0)外 尚 有 其 他 解 ， 則 a=？b=？
(2)
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
075
0323
032
zyx
zyx
zyax
有 異 於(0,0,0)的 解 ， 則 a=？ 解 為 何 ？
Ans：(1)a=6，b=-4 (2)a=3 解為(-t,-18t,13t)
綜合練習
(1)設a為不等於 0的實數，關於方程式組
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++
-=++
=++
1
1
1
azy
a
x
zayx
a
z
yax
的解，下列選項那些是
正確的？ (A)當a=3時，無解 (B)當a=1時，恰有一組解 (C)當a=時，恰有一
組解 (D)當a=-1時，有無限多組解 (E)當a=-4時，有無限多組解。
(85社)
(2)試決定實數 a之值，使得三相異平面 E1：(a+2)x+y+z=0，E2：x+ay+z=0，
E3：x+y+az=0相交於一直線。
~3-3-10~

11. (3)已知空間中三個平面
ï
î
ï
í
ì
×=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
恰好交於一點 P，
令D1=
333
222
111
dcb
dcb
dcb
，D2=
333
222
111
dac
dac
dac
，D3=
333
222
111
dba
dba
dba
，試問下列敘述何者
正確？(A)若D1=0，則P點在xy平面上 (B)若D1=0，則P點在yz平面上
(C)若D1=D2=0，則P點在x軸上 (D) 若D1=D2=0，則P點在y軸上
(E)若D1=D2=D3=0，則d1=d2=d3=0。
(4)若
ï
î
ï
í
ì
=-+
=++
=--
bzayx
zyx
zyx
3
122
32
有無限多解，則 (a)a=？b=？ (b)方程組的解。
(5)三元一次方程組的幾何意義：
(a)就k值討論下列三平面相交的情形
ï
î
ï
í
ì
=-+
-=++
-=-+
kzyx
zyx
zyx
75
152
43

(b)就a值討論下列四平面相交的情形
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-+
-=-+
=+-
-=-+
azyx
zyx
zyx
zyx
23204
2397
114
153

(6)已知方程組
ï
î
ï
í
ì
=++
=++
=++
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
恰有一組解 (5,-2 8 )，
則方程組
ï
î
ï
í
ì
=+++
=+++
=+++
33333
22222
11111
32)33(
32)32(
32)32(
dzcybxba
dzcybxba
dzcybxba
之解為何？
(7)已知方程組
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++
=++
=++
-=++
2
54
43
32
22
b
b
a
zyx
zyx
zyx
zyx
有解，且 有、、都不是整數，則求 都、B的值。
~3-3-11~

12. 綜合練習解答
(1) (C)(D) (2) a=0或或3 (3) (B)(E)[提示：D1=Dx，D2=Dy，D3=Dy，而P
(,,)
D
D
D
D
D
D
x y z
]
(4) (a)a=1,b=4 (b)x=+，y=+t，z=t (5) (a) k=-18時，共線； k¹-18時，三平面各
交一線，三線平行。 (b)a=-58時，共線； a¹-58時，前三平面的交線與第四平面
平行[提示：先考慮前三個平面的相交狀況，結果為三平面交於一直線，將此直線
的參數式代入 4x+20y-23z，得到值 58，所以a=-58時，共線； a¹-58時，前三
平面的交線與第四平面平行 ] (6) (,,8) (7) (,)
~3-3-12~