3.3 teorema fundamental del algebra

teorema fundamental del algebra

1. Teorema fundamental del álgebra

2. Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio.

3. Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales.

4. El Teorema Fundamental del Álgebra: Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales.

5. El Teorema Fundamental del Álgebra: I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene exactamente n raices complejas, contando gradoes . Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales.

6. El Teorema Fundamental del Álgebra: I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene exactamente n raices complejas, contando gradoes . II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz. Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales.

7. El Teorema Fundamental del Álgebra: I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene exactamente n raices complejas, contando gradoes . II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz. Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales. La demostración del enunciado I está más allá del propósito de este curso.

8. El Teorema Fundamental del Álgebra: I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene exactamente n raices complejas, contando gradoes . II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz. Teorema fundamental del álgebra El teorema f undamental del álgebra establece el número y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema también obtenemos los siguientes enunciados acerca de factorizar polinomios reales. La demostración del enunciado I está más allá del propósito de este curso, así que sólo demostraremos el enunciado II. Pero necesitamos algunas reglas sobre conjugados.

9. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra

10. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i.

11. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. Si z = 3, entonces z * = 3.

12. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son:

13. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b.

14. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b.

15. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * *

16. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi ) + (c + di)] * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * *

17. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * *

18. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * z 1 + z 2 . * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * *

19. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * z 1 + z 2 . * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * * Análogamente podemos demostrar el inciso b .

20. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * z 1 + z 2 . * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * * Análogamente podemos demostrar el inciso b . Del inciso b, tenemos que

21. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * z 1 + z 2 . * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * * (az) = a z donde a es un número real pues a = a. * * c. * Análogamente podemos demostrar el inciso b . Del inciso b, tenemos que

22. Sea z * el complejo conjugado de z. Teorema fundamental del álgebra Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z * = 3 + 2i. (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 . * * * a. (z 1 z 2 ) = z 1 z 2 . * * * Para demostrar el inciso a, denotemos z 1 = a + bi y z 2 = c + di, entonces z 1 = a – bi y z 2 = c – di. Por lo tanto (z 1 + z 2 ) = [(a + bi) + (c + di)] = a + c – (b + d)i = * * z 1 + z 2 . * * Si z = 3, entonces z * = 3. Algunas de las propiedades más importantes son: b. * * (az) = a z donde a es un número real pues a = a. * * c. * (z ) n = (z n ) para todo número complejo z. * * d. Análogamente podemos demostrar el inciso b . Del inciso b, tenemos que

23. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Teorema fundamental del álgebra

24. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Teorema fundamental del álgebra

25. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Teorema fundamental del álgebra

26. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, Teorema fundamental del álgebra

27. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a Teorema fundamental del álgebra

28. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d Teorema fundamental del álgebra

29. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d = (a n z n ) * + (a n-1 z n-1 ) * + … + (a 1 z) * + a por c Teorema fundamental del álgebra

30. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d = (a n z n ) * + (a n-1 z n-1 ) * + … + (a 1 z) * + a por c = (a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a ) * por a Teorema fundamental del álgebra

31. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d = (a n z n ) * + (a n-1 z n-1 ) * + … + (a 1 z) * + a por c = (a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a ) * por a = (P(z)) * Teorema fundamental del álgebra

32. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d = (a n z n ) * + (a n-1 z n-1 ) * + … + (a 1 z) * + a por c = (a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a ) * por a = (P(z)) * = (0) * = 0. Teorema fundamental del álgebra

33. II. Si P(x) es un polinomio real , entonces sus raíces complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es una raíz entonces a – bi también será una raíz Ahora estamos listos para demostrar que: Demostración: Sea P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 1 x + a un polinomio real y z una raíz de P(x). Entonces si P(z) = a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a = 0, P(z * ) = a n (z * ) n + a n-1 (z * ) n-1 + … + a 1 z * + a = a n (z n ) * + a n-1 (z n-1 ) * + … + a 1 z * + a por d = (a n z n ) * + (a n-1 z n-1 ) * + … + (a 1 z) * + a por c = (a n z n + a n-1 z n-1 + … + a 1 z + a ) * por a = (P(z)) * = (0) * = 0. Por lo tanto z * también es raíz. Teorema fundamental del álgebra

34. Generando ecuaciones reales de 2 o grado Recordando las propiedades vistas anteriormente para z = a + bi y z * = a – bi: z + z * = (a + bi) + (a – bi) = 2a z(z * ) = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 Un polinomio real de grado 2 con raíces conjugadas z = a + bi y z * = a – bi es: (x – z)(x – z * ) = x 2 – (z + z * )x + z * z * = x 2 – ( 2a )x + ( a 2 + b 2 ) Ejemplo A. a. Encuentra un polinomio real de grado 2 con raíces z = 3 + 2i y z * = 3 – 2i. z + z * = 2a = 6 y z(z * ) = a 2 + b 2 = 13 Así que un polinomio con z y z * como raíces es (x – z)(x – z * ) = x 2 – (z + z * )x + z * z * = x 2 – 6 x + 13 Teorema fundamental del álgebra

35. El polinomio de grado 2 de la forma k (x – z)(x – z * ) donde k ≠ 0 es un número real, también tiene a z y z * como raíces. Ejemplo A. b. Encuentra el polinomio Q(x) de grado 2 con raíces z = 3 + 2i y z * = 3 – 2i tal que Q(1) = 2. De a. Q(x) = k(x – z)(x – z * ) = k(x 2 – 6x + 13) Puesto que Q(1) = k(x 2 – 6x + 13) = k((1) 2 – 6(1) + 13) = 2 Entonces 8k = 2 o k = 1/4. Así que Q(x) = ¼ (x 2 – 6x + 13), es la ecuación específica que cumple la condición Q(1) = 2. Teorema fundamental del álgebra

36. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. Teorema fundamental del álgebra

37. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). Teorema fundamental del álgebra

38. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Teorema fundamental del álgebra

39. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Teorema fundamental del álgebra

40. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Teorema de factorization de polinomios reales Teorema fundamental del álgebra

41. es decir P(x) = A(x – #)(x – #).. (x 2 + #x + #)(x 2 + #x + #)... Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Teorema de factorization de polinomios reales Sea P(x) = Ax n +… un polinomio real, entonces P(x) = AL 1 (x)L 2 (x).. Q 1 (x)Q 2 (x).. Teorema fundamental del álgebra

42. es decir P(x) = A(x – #)(x – #).. (x 2 + #x + #)(x 2 + #x + #)... Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Teorema de factorization de polinomios reales Sea P(x) = Ax n +… un polinomio real, entonces P(x) = AL 1 (x)L 2 (x).. Q 1 (x)Q 2 (x).. donde cada L i (x) es de la forma lineal (x – r i ) con r i un número real, Teorema fundamental del álgebra

43. es decir P(x) = A(x – #)(x – #).. (x 2 + #x + #)(x 2 + #x + #)... Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Cada factor generan una raíz real. Teorema de factorization de polinomios reales Sea P(x) = Ax n +… un polinomio real, entonces P(x) = AL 1 (x)L 2 (x).. Q 1 (x)Q 2 (x).. donde cada L i (x) es de la forma lineal (x – r i ) con r i un número real, Teorema fundamental del álgebra

44. es decir P(x) = A(x – #)(x – #).. (x 2 + #x + #)(x 2 + #x + #)... Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Cada factor generan una raíz real. Teorema de factorization de polinomios reales Sea P(x) = Ax n +… un polinomio real, entonces P(x) = AL 1 (x)L 2 (x).. Q 1 (x)Q 2 (x).. donde cada L i (x) es de la forma lineal (x – r i ) con r i un número real, y cada Q i (x) es una ecuación cuadrática real irreducible, Teorema fundamental del álgebra

45. es decir P(x) = A(x – #)(x – #).. (x 2 + #x + #)(x 2 + #x + #)... Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n raíces, reales o imaginarias. a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r). b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de su conjugado z * , proveniente de un polinomio real irreducible de segundo grado . Resumiendo tenemos: Cada factor generan una raíz real. Cada factor genera un par de raíces conjugadas. Teorema de factorization de polinomios reales Sea P(x) = Ax n +… un polinomio real, entonces P(x) = AL 1 (x)L 2 (x).. Q 1 (x)Q 2 (x).. donde cada L i (x) es de la forma lineal (x – r i ) con r i un número real, y cada Q i (x) es una ecuación cuadrática real irreducible, Teorema fundamental del álgebra

46. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. Teorema fundamental del álgebra

47. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) Teorema fundamental del álgebra

48. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) Teorema fundamental del álgebra

49. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) Teorema fundamental del álgebra

50. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) (x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2. Teorema fundamental del álgebra

51. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) (x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2. (x 2 + 2x +4) y (x 2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas irreducibles con raíces conjugadas complejas. Teorema fundamental del álgebra

52. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) (x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2. (x 2 + 2x +4) y (x 2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas irreducibles con raíces conjugadas complejas. Las raíces de x 2 + 2x + 4 son x = -2 ±  -12 2 Teorema fundamental del álgebra

53. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) (x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2. (x 2 + 2x +4) y (x 2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas irreducibles con raíces conjugadas complejas. Las raíces de x 2 + 2x + 4 son x = = -1 ± i  3 -2 ±  -12 2 Teorema fundamental del álgebra

54. Ejemplo B. Factoriza 3x 6 – 192 y enlista todas sus raíces. 3x 6 – 192 = 3(x 6 – 64) = 3(x 3 – 8) (x 3 + 8) = 3(x – 2)(x 2 + 2x +4) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) (x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2. (x 2 + 2x +4) y (x 2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas irreducibles con raíces conjugadas complejas. Las raíces de x 2 + 2x + 4 son x = = -1 ± i  3 -2 ±  -12 2 Las raíces de x 2 – 2x + 4 son x = = 1 ± i  3 2 ±  -12 2 Teorema fundamental del álgebra

55. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). Teorema fundamental del álgebra

56. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . Teorema fundamental del álgebra

57. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, Teorema fundamental del álgebra

58. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). Teorema fundamental del álgebra

59. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, Teorema fundamental del álgebra

60. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Teorema fundamental del álgebra

61. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5) para alguna constante k. Teorema fundamental del álgebra

62. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5) para alguna constante k. Pero P(0) = 10 Teorema fundamental del álgebra

63. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5) para alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0 – 0 + 5) = -5k Teorema fundamental del álgebra

64. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5) para alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0 – 0 + 5) = -5k, así que k = -2. Teorema fundamental del álgebra

65. Ejemplo C. Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x). P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i , (2 – i), (2 + i) . i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática con raíces i, -i es (x 2 + 1). (2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x 2 – 4x + 5). Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5) para alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0 – 0 + 5) = -5k, así que k = -2. Por lo tanto P(x) = -2(x – 1)(x 2 + 1)(x 2 – 4x + 5). Teorema fundamental del álgebra

66. Teorema Fundamental del Álgebra Ejercicio A. Factoriza los siguientes polinomios en factores reales e indica todas las raíces reales y complejas . 1. x 3 – 1 2 . x 3 – 8 3. 8x 3 + 27 4. 27x 3 + 125 5. x 4 – 16 6. 16x 4 – 81 11. x 6 + 1 12. x 6 – 1 7. x 4 – x 2 – 2 8. 4x 4 + 3x 2 – 1 9. x 4 + 3x 2 + 2 10. 3 x 4 + 4x 2 + 1 B . Dadas las siguientes raíces y condiciones iniciales , e ncuentra el polinomio real P(x) que las satisface . 1 . raíces : x = 1 + i, grado 2 con P(0) = 5. 2. raíces : x = 2 – i, grado 2 con P(0) = –2. 3. raíces : x = 2, 1 + 3i, grado 3 con P(1) = –4. 4. raíces : x = –1, 2 – i, grado 3 con P (–1) = 3. 5. raíces : x = –2 + i , 1 + 2i, grado 4 con P(1) = –3. 6. raíces : x = –1 – i , 3 + i, grado 4 con P (–1) = 1.

67. Teorema Fundamental del Álgebra B . Dadas las siguientes raíces y condiciones iniciales , encuentra el polinomio real P(x) que las satisface . 7. raíces : x = 0 ( ord = 2 ), i, grado 4, P(1) = 2. 8. raíces : x = 1, 1 + i, ( ord = 2), grado 5, P(2) = 1. 9. raíces : x = –1, 2, i – 2 ( ord = 2), grado 6, P(1) = 2. 10. raíces : x = 1 ( ord = 2), i√2 ( ord = 2), grado 6, P (–1 ) = 2. 11. raíces : x = 0, –1, –2 + i√3, grado 4, P(1) = 1. 12. raíces : x = 0 ( ord = 2), 3 + i √5 ( ord = 2), grado 6, P(1) = 2. 13. ¿ Qué se puede concluir del Teorema Fundamental del Álgebra acerca de las raíces de polinomios con únicamente grados pares de x’s ? ¿ únicamente grados impares ?

68. Teorema Fundamental del Álgebra Ejercicio A. 1. (x – 1)(x 2 + x +1), x = 1 , (–1) 2/3 , – √ –1 3. (2x + 3)(4x 2 – 6x + 9), x = - , (1 – √3 i), (1 + √3 i) 5. (x – 2)(x + 2)(x 2 + 4), x = – 2, 2, –2i, 2i 11. ( x 2 +1 )( x 2 + √ 3x + 1)( x 2 – √3x + 1 ), x = – i, i, – (–1), – √ – 1, √ –1 7. (x 2 + 1)( x 2 – 2), x = – √2, √2, – i, i 9. (x 2 + 2)( x 2 +1), x = – √ 2 i, √ 2 i, – i, i Ejercicio B . 1 . ( x 2 – 2x + 2) 3. (x 3 – 4x 2 + 14x – 20) 5 . – ( x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 10x + 25) 3 3 2 3 4 3 4 5/6 6 6 5 2 4 9 3 40 7. x 4 – x 2 9. ( + )(x 6 – x 5 – 16x 4 + 14x 3 + 53x 2 – 25x – 50 3 100 i 25 + i( – 4x 5 + 4x 4 + 28x 3 – 20x 2 – 40x))

69. Teorema Fundamental del Álgebra 11. ( x 4 + 5x 3 + 11x 2 + 7x ) 1 24