3 - Determinantes.pdf

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1. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
CRES




APUNTE TEÓRICO – PRÁCTICO
UNIDAD N° 3
“Determinantes”





Docentes:
Ing. Micaela Mulassano
Ing. Luana Genero

2. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 2
3. DETERMINANTES
3.1 Definición
Dada una matriz cuadrada, la función determinante asocia a dicha matriz con un número real
llamado determinante de A.
El determinante de una matriz cuadrada es único, de modo que, más allá del método que se utilice
para obtenerlo, el resultado siempre es el mismo.
El determinante de una matriz �∈�
??????????????????
se simboliza con |??????|,��??????(??????) � ��??????(??????).
Observación: |�| no guarda relación alguna con el valor absoluto de un número real.
 Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 ( ??????
���)

Si � = [�
11] ∈�
1??????1
; entonces el det(A) = │�│= �
11
Ejemplo:
�= [−5]; entonces el det(A) = │−5 │= −5

 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 ( ??????
���)

Si � = [
�
11�
12
�
21�
22
] ∈�
2�2
; entonces el det(A) = |�|=|
�
11�
12
�
21�
22
|=�
11�
22−�
21�
12
El determinante de una matriz A de orden 2x2 se obtiene realizando el producto de los
elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Ejemplo:
Si � = [
4−3
21
] entonces el det(A) = |�|=|
4−3
21
|=4∗1−(−3)∗2=4−(−6)=10

Esto también se conoce con el nombre de Regla de Sarrus, que sólo es posible aplicar hasta
determinantes de orden 3.
 Regla de Sarrus

Para calcular el determinante de una matriz de 3x3 se agregan al final de la matriz las dos primeras
filas conservando su orden. Luego se suman los tres productos indicados mediante flechas que
descienden de izquierda a derecha (flechas azules) y se restan los tres productos indicados con flechas
que descienden de derecha a izquierda (flechas verdes).
A idéntico resultado se llega si se agregan, lateralmente, las dos primeras columnas.
IMPORTANTE: tenga presente que la regla de Sarrus sólo es válida para calcular determinantes de
orden 3.

3. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 3
Esquemáticamente:

Dada �
3??????3= [
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
], entonces el determinante de A es:
|�|=
|
|
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
�
���
���
��
�
���
���
��
|
|

=[(�
11�
22�
33)+(�
21�
32�
13)+(�
31�
12�
23)]−[(�
13�
22�
31)+(�
23�
32�
11)+(�
33�
12�
21)]

3.1.1 Algunas definiciones necesarias

 Submatriz: Se denomina submatriz de una matriz �
?????????????????? a la matriz que se obtiene suprimiendo
de A una o más filas, una o mas columnas, o ambas cosas.

 Matriz Menor o Menor ??????
��: Menor ij de la matriz �
?????????????????? es la submatriz de A de orden (�−
1)�(�−1), obtenida eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima de A. Se simboliza con
??????
��(??????)
�=
(






�
11�
12
�
21
⋮
�
�−11
�
�1
�
�+11
⋮
�
??????1
�
22
⋮
�
�−12
�
�2
�
�+12
⋮
�
??????2
⋯
⋯
⋮
⋯
⋯
⋯
⋮

⋯
�
1�−1�
1�
�
��+1⋯�
11
�
2�−1�
2�
�
2�+1⋯�
11
⋮
�
�−1�−1
�
��−1
�
�+1 �−1
⋮
�
??????�−1
⋮
�
�−1�
�
��
�
�+1 �
⋮
�
??????�−1
⋮
�
�−1�+1
�
� �+1
�
�+1 �+1
⋮
�
??????�+1
⋮
⋯
⋯
⋯
⋮
⋯
⋮
�
�−1??????
�
�??????
�
�+1??????
⋮
�
????????????)







�
��(�)=
(





�
11�
12
�
21
⋮
�
�−11

�
�+11
⋮
�
??????1
�
22
⋮
�
�−12

�
�+12
⋮
�
??????2
⋯
⋯
⋮
⋯
⋯

⋮

⋯
�
1�−1 �
��+1⋯�
11
�
2�−1 �
2�+1⋯�
11
⋮
�
�−1�−1

�
�+1 �−1
⋮
�
??????�−1






⋮
�
�−1�+1

�
�+1 �+1
⋮
�
??????�+1
⋮
⋯

⋯
⋮
⋯
⋮
�
�−1??????

�
�+1??????
⋮
�
????????????)






Por simplicidad, normalmente se denota como �
��. Solo se hará uso de la notación �
��(�) cuando
se trabaje con más de una matriz.
Si �
2??????2 = [
�
11�
12
�
21�
22
]; entonces la matriz menor �
11(�)=[�
22]
Si �
3??????3 =[
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
] ; entonces la matriz menor �
11(�)=[
�
22�
23
�
32�
33
]

4. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 4
Resumiendo, si consideramos el elemento �
�� , decimos que el Menor de dicho elemento (�
��), es la
submatriz que se obtiene de eliminar la fila � y la comuna � a la que pertenece dicho elemento �
��.
Ejemplo: Si �
3??????3 =[
125
663
214
] ; entonces la matriz menor de:
�
11(�)=[
63
14
], �
13(�)=[
66
21
], �
22(�)=[
15
24
]

 Cofactor �
��
Sea �∈�
??????????????????
; se denomina cofactor �
�� del elemento �
�� de la matriz �
?????????????????? al producto entre (−1)
�+�

y el determinante de la matriz menor �
��.
Simbólicamente:
�
��=(−�)
�+�
��?????? (??????
��)

Ejemplo: Si �
3??????3 =[
23−1
024
−256
] ; entonces el �
22 � �
12 son:

�
��=(−1)
2+2
det(�
22)=(−1)
4
det([
2−1
−26
])=1[(2∗6)−(−1∗−2)]=��
�
��=(−1)
1+2
det(�
12)=(−1)
3
det([
04
−26
])=−1[(0∗6)−(4∗−2)]=−�

3.1.2 Determinante de orden n
El determinante de orden asociado a una matriz �∈�
??????????????????
, se definirá a través de una función
recursiva:
Se denomina determinante de orden n asociado a una matriz cuadrada �∈�
??????????????????
, y se simboliza con
|�| �det(�), al valor calculado mediante la función:
 Para un determinante de orden n=1:
det(�
1)=�
11 ,�� �=1
 Para los determinantes de orden �>1:
det(�
??????)=∑�
1��
1�
??????
�=1
,�� �>1
�
2??????2 = [
�
11�
12
�
21�
22
]

5. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 5
det(�
2)=∑�
1��
1�=�
11�
11+�
12�
12=
2
�=1
�
11(−1)
1+1
det(�
22)+�
12(−1)
1+2
det(�
12)
det(�
2)=�
11�
22−�
21�
12

�
3??????3 =[
�
11�
12�
13
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
]
det(�
3)=∑�
1��
1�=�
11�
11+�
12�
12+�
13�
13=
3
�=1

det(�
3)=�
11(−1)
1+1
det([
�
22�
23
�
32�
33
])+�
12(−1)
1+2
det([
�
21�
23
�
31�
33
])+�
13(−1)
1+3
det([
�
21�
22
�
31�
32
])
det(�
3)=�
11(1)[�
22�
33−�
23�
32]+�
12(−1)[�
21�
33−�
23�
31]+�
13(1)[�
21�
32−�
22�
31]

Este desarrollo constituye lo que se conoce como Teorema del desarrollo de un determinante por los
cofactores de una línea (o Regla de Laplace).
El determinante ��??????(??????
�) de una matriz se puede calcular sumando los productos obtenidos entre
los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos cofactores.

Observación: esta definición nos permite calcular el determinante de cualquier orden n, reduciendo
el cálculo a n determinantes de un orden inferior.
De este modo, notamos que no resulta práctica su aplicación a determinantes de orden 4 en adelante,
salvo con aquellos determinantes que contengan varios ceros en sus filas o sus columnas.

3.1.2 Cálculo del determinante de una matriz triangular

�
5??????5 =
[




�
110000
�
21�
22000
�
31�
32�
3300
�
41�
42�
43�
440
�
51�
52�
53�
45�
55]





Si calculamos el determinante aplicando el desarrollo de un determinante por los cofactores de una
línea:
det(�
5)=∑�
1��
1�=�
11�
11+�
12�
12+�
13�
13+�
14�
14+�
15�
15= �
11�
11
5
�=1

6. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 6
det(�
5)= �
11(−1)
1+1
��??????([
�
�����
�
���
����
�
���
���
���
�
���
���
���
��
])

det(�
5)= �
11[�
��(−�)
�+�
��??????([
�
����
�
���
���
�
���
���
��
])]

det(�
5)= �
11[�
22[�
33(−1)
3+3
det([
�
440
�
45�
55
])]]

det(�
5)= �
11[�
22[�
33[�
44(−1)
4+4
det([�
55])]]]

��??????(??????
�)= �
���
���
���
���
��

Por lo tanto, el resultado es: │??????│= �
���
���
���
���
��
El cálculo del determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal
principal.
��??????(??????
??????)= �
���
���
���
���
��…�
��

3.2 Propiedades de los determinantes
A continuación, se estudiará un conjunto de propiedades, haciendo hincapié en aquellas que luego
permitirán simplificar el cálculo de un determinante.
 Propiedad 1: El determinante de una matriz A es igual al determinante de su matriz transpuesta
A
T

En símbolos: |�
??????
|= |�|
Esta propiedad es relevante ya que permite hacer extensiva cualquier otra propiedad demostrada
para un reglón a columna o viceversa. Por ello se hará mención a “línea”, entendiendo por esto fila o
columna. Así, cuando se efectúa el desarrollo de los elementos por sus cofactores, es válido utilizar
una fila o una columna.
De igual modo, cuando nos referimos a una matriz inferior, se puede decir lo mismo de una matriz
superior.
 Propiedad 2: Si la matriz tiene una línea (fila o columna) nula, entonces su determinante es nulo.
Esto se demuestra tomando en el desarrollo por cofactores, la línea nula, de modo que todos los
productos se anulan.

7. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 7
�� �= (
000
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
) → |�|=|
000
�
21�
22�
23
�
31�
32�
33
|
Desarrollando el determinante por la primera fila (nula)
|??????|= 0�
11+ 0�
12+ 0�
13=�

 Propiedad 3: Si toda una línea de la matriz se encuentra multiplicada por un escalar k (k ε R), esto
es equivalente a multiplicar a todo el determinante por dicho escalar k.

|�|=
|
|
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
��
�1��
�2…��
�??????
… ………
�
??????1�
2??????…�
????????????
|
|


|�|=�
|
|
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
�
�1�
�2…�
�??????
…………
�
??????1�
2??????…�
????????????
|
|
= �|�|

Esto también puede interpretarse que, si un escalar multiplica a toda una línea, es posible extraer un
factor (k) del determinante.
Observaciones: cuando se multiplica un escalar por una matriz, esto es equivalente a multiplicar todos
los elementos de la matriz por dicho escalar; mientras que, si se multiplica un escalar por un
determinante, este escalar sólo afecta a una línea del determinante (fila o columna).

 Propiedad 4: Si en una matriz se intercambian dos líneas (filas o columnas), el determinante
asociado a esa matriz cambia de signo.

Ejemplo:
�=[
202
030
001
], el determinante |�|=6
Ahora tenemos la matriz B, que resulta de un cambio de fila en la matriz A
�=[
030
202
001
], el determinante |�|=−6

 Propiedad 5: Si una matriz tiene dos líneas iguales o proporcionales, entonces su determinante
es nulo.

8. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 8
 Propiedad 6: El determinante de una matriz no cambia cuando a una línea se le suma el múltiplo
escalar de otra. Dicho de otra manera: cuando a una línea se le suma otra, previamente
multiplicada por un escalar, el valor del determinante no se altera.

 Propiedad 7: El determinante del producto entre dos matrices A y B es igual al producto de sus
respectivos determinantes
│� � �│= │�││�│

 Propiedad 8: Si los elementos de una línea son suma de m términos, entonces el determinante
puede descomponerse en la suma de m determinantes.

|�|=|
�+��+��+�
2�2�2�
−�−�−�
|
|�|=|
���
2�2�2�
−�−�−�
|+ |
���
2�2�2�
−�−�−�
|

 Propiedad 9: Si una línea (fila o columna) es combinación lineal de las otras, entonces el
determinante es nulo.

3.3 Resolución de determinantes por el método de triangulación
Dada una matriz A cuadrada, mediante las operaciones elementales de fila (o el método de Gauss-
Jordan) se reduce la matriz hasta obtener una matriz triangular superior (es decir, sólo se hacen 0 por
debajo de la diagonal principal).
Como demostramos anteriormente, el cálculo del determinante de una matriz triangular se obtiene
con el producto de los elementos de la diagonal principal.
Este resultado puede estar afectado por algún escalar, en función de las operaciones que se hayan ido
realizando para triangular la matriz.
Al ir aplicando las operaciones elementales de fila, debemos recordar las propiedades vistas
anteriormente, para ver si las operaciones realizadas van modificando al determinante en cuestión:
 Si se intercambian filas, cambia el signo del determinante: Propiedad 4.
 Cuando se multiplica una fila por un escalar (para obtener el número 1) debe multiplicarse a
todo el determinante por el inverso de dicho escalar para no alterarlo. Propiedad 3.
 Las demás operaciones no modifican al determinante.

9. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 9
3.4 Usos de los determinantes

3.4.1 Matriz Adjunta
Si consideramos la matriz �∈�
??????????????????
, denominamos Matriz Adjunta a la matriz que se obtiene de
transponer la matriz de los Cofactores.
Simbólicamente: ���(�)
Matriz de los Cofactores es aquella donde cada elemento de la matriz A se reemplaza por su
correspondiente cofactor.
Dada la matriz �=[
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
⋮ ⋮ …⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
] ,
tenemos � la matriz de los cofactores de A: �=[
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
⋮ ⋮ …⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
]
La Matriz Adjunta se obtiene de transponer la matriz de los Cofactores.
���(�)= �
??????
=[
�
11�
21…�
??????1
�
12�
22…�
??????2
⋮ ⋮ ⋮⋮
�
1??????�
2??????…�
????????????
]

3.4.2 Adjunta e Inversa
Si efectuamos el producto entre la matriz A y su Adjunta.
�∗ ���(�)
Observamos que para toda matriz �∈�
??????????????????
,

�∗ ���(�)= ���(�)∗�= │A│∗I
A∗Adj(A)
[
�
11�
21…�
??????1
�
12�
22…�
??????2
⋮ ⋮ ⋮⋮
�
1??????�
2??????…�
????????????
]


[
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
⋮ ⋮ …⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
]

[
�
11�
12…�
1??????
�
12�
22…�
2??????
⋮ ⋮ ⋮⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
]

Dada la definición del producto entre matrices y teniendo en cuenta que el elemento ij de la matriz
adjunta es el cofactor ji, por lo que se obtiene:

10. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 10
�
��= ∑�
���
��
n
�=1

Si �=� , (los elementos de la diagonal principal: �
11,�
22,…,�
????????????)
�
��= ∑�
���
��=|�|
n
�=1
(??????�� �� ����� �� �������)
Si �≠�, Nos queda, la suma de los productos de los elementos de una línea por los cofactores de
una línea paralela.
Tenemos una propiedad que nos indica que:
Sea �∈�
??????????????????
, la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) multiplicados
por los cofactores de los elementos de otra fila (o columna) es cero.
Resumiendo, de este producto nos queda como resultado lo siguiente:
A∗Adj(A)
[
�
11�
12…�
??????1
�
12�
22…�
??????2
⋮ ⋮ ⋮⋮
�
1??????�
2??????…�
????????????
]


[
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
⋮ ⋮ …⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
]

[
|�|0…0
0|�|…0
⋮ ⋮ ⋮⋮
00…|�|
]



Adj(A)∗A [
�
11�
12…�
1??????
�
21�
22…�
2??????
⋮ ⋮ …⋮
�
??????1�
??????2…�
????????????
]

[
�
11�
12…�
??????1
�
12�
22…�
??????2
⋮ ⋮ ⋮⋮
�
1??????�
2??????…�
????????????
]


[
|�|0…0
0|�|…0
⋮ ⋮ ⋮⋮
00…|�|
]


|�|[
10…0
01…0
⋮ ⋮ ⋮⋮
00…1|
]=[
|�|0…0
0|�|…0
⋮ ⋮ ⋮⋮
00…|�|
]

siendo ?????? la matriz Identidad de �
??????????????????
.

11. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 11
Si el │�│≠ 0 , multiplicamos miembro a miembro por el escalar
1
|??????|

Entonces:
1
|�|
(�∗ ���(�))=
1
|�|
(���(�)∗�)=
1
|�|
(│A│∗I)
Al utilizar las propiedades de las operaciones matriciales,
1
|�|
���(�)∗�=
1
|�|
���(�)∗�= ??????


Entonces, �∗�= �∗�= ??????
Podemos ver claramente que la matriz B verifica la definición de matriz inversa de A.
Por lo tanto, si │�│≠ 0 tenemos que �
−1
=
1
|??????|
���(�)

Esta expresión la conocemos como el cálculo de la matriz inversa por definición.
De esta expresión también se desprende que la condición necesaria y suficiente para la existencia
de la matriz inversa, es que su determinante no sea nulo.


3.4.3 Regla de Cramer
Es un método que permite resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas compatibles
determinadas.
Resulta conveniente para la resolución de un sistema de 2 y 3 ecuaciones lineales con 2 y 3
incógnitas respectivamente (aunque puede aplicarse a n ecuaciones lineales con n incógnitas).
Sin embargo, sólo es aplicable cuando el sistema es compatible determinado (lo que puede
detectarse en una primera instancia).

3.4.3.1 Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer
Para encontrar la incógnita i-ésima de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas compatible
determinado, �
????????????????????????
????????????1=�
????????????1 con |�|≠0, basta con realizar el cociente entre dos determinantes.
El numerador es el determinante de la matriz que se forma al sustituir en la matriz de los coeficientes
A de las incógnitas la i-ésima columna por la matriz columna B de los términos independientes, y el
denominador es el determinante de la matriz de los coeficientes de A.


B B

12. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 12
Ejemplo:
{
2�+�+�=0
4�+3�+2�=2
2�−�−3�=0


1- Se toma el determinante de la matriz de los coeficientes y se le asigna la letra ∆ (se llama
determinante principal o discriminante).
|�|=|
211
432
2−1−3
|=−8
Si ∆ ≠ 0, entonces el sistema es compatible determinado y puede continuarse con su resolución.
Si ∆ = 0, el sistema no es compatible determinado y el método no puede aplicarse.
2- Se calculan los determinantes que designaremos con las letras ∆
�,∆
� � ∆
�, los cuales se obtienen
de reemplazar en el determinante principal (∆) las columnas 1, 2 y 3 –respectivamente- por la
columna correspondiente a los términos independiente.
∆
�=|
�11
�32
�−1−3
|=4
∆
�=|
2�1
4�2
2�−3
|=−16

∆
�=|
21�
43�
2−1�
|=8

3- Las incógnitas �
1,�
2 � �
3 se obtienen de la siguiente manera:

�
1=
∆
�
∆
, �
2=
∆
�
∆
,�
3=
∆
�
∆

�
1=
�
−�
= 4

�
2=
−��
−�
= 2

�
3=
�
−�
= -1

13. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 13
Ejercicios: DETERMINANTES
1. Resolver los siguientes determinantes por el método de desarrollo por los elementos de una
línea.
a. |�|= |
3−21
1−41
25−2
|
b. |�|= |
27−1
0−21
13−3
|
c. |�|= |
2−24
−317
165
|
2. Resolver los siguientes determinantes por el método de triangulación.
a. |�|= |
32−3
1−20
4−21
|
b. |�|= |
63012
0−102
7−235
0−206
|
c. |�|= ||
26610
1234
−1−2−
5
2
−1
3699
||

3. Hallar el valor de x, de modo que los determinantes sean nulos.
a. |�|= |
�−1−2
1�−4
|
b. |�|= |
�−600
0�−1
04�−4
|

4. Hallar el valor de x, en los siguientes determinantes:
a. |�|= |
�−2
7�−�
|=26
b. |�|= |
3�2�
0�99
00�−1
|=60
c. |�|= |
�0 2
2��−�4
−��−1�+1
|=0

5. Dadas las siguientes matrices:
�= [
45
23
] �= [
1−2−4
2−3−6
−3615
] �= [
−2−10
022
132
]

14. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 14
a. Hallar para cada una la matriz adjunta.
b. Hallar para cada una la matriz inversa por definición.

6. Encontrar el valor del determinante de �∈� para que el determinante de la matriz � sea igual
al doble del valor del determinante de su inversa, siendo �=[
210
�10
3�−1
]
7. ¿Para qué valore+ de � la siguiente matriz no admiten inversa?
�=(
3��
1−10
3−20
)

15. Apunte teórico-práctico
Álgebra y Geometría Analítica CRES


pág. 15
Resultados: DETERMINANTES
1. a. |�|=14
b. |�|=11
c. |�|=−194

2. a. |�|=−26
b. |�|=−36
c. |�|=3

3. a. {
�
1=3
�
2=2

b. {
�
1=6
�
2=2


4. a. {
�
1=4
�
2=3

b. {
�
1=5
�
2=−4

c. {
�
1=1
�
2=−3
�
3=0


5. a.
��� �=[
3−5
−24
]
��� �=[
−960
−123−2
301
]
��� �=[
−22−2
2−44
−25−4
]
b.
�
−1
=[
3/2−5/2
−1 2
]
�
−1
=[
−320
−41−2/3
101/3
]
�
−1
=[
−11−1
1−22
−15/2−2
]

6. {
�
1=2+√2
�
2=2−√2


7. �=0