3 ESO Tema10-Figuras y cuerpos geometricos

1. Tema 10
FIGURAS
Y
CUERPOS
GEOMÉTRICOS
C.E.I.P.S. Adolfo Suárez
Luis Alonso
Curso 2010/2011

2. Curso 2010/2011 Luis Alonso 2
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

3. Curso 2010/2011 Luis Alonso 3
1.- POLIEDROS
Un cuerpo geométrico es una figura de tres
dimensiones.
Hay dos grandes tipos de cuerpos geométricos:
–Poliedros: Limitadas por caras planas
poligonales.
–Cuerpos de revolución: resultan al girar una
figura plana alrededor de un eje.

4. Curso 2010/2011 Luis Alonso 4
1.- POLIEDROS
En un cuerpo geométrico podemos distinguir:
–Vértices: puntos.
–Aristas: rectas.
–Caras: planos.

5. Curso 2010/2011 Luis Alonso 5
Posiciones relativas
●En el espacio podemos distinguir las siguientes
posiciones relativas entre planos y rectas:
–Posiciones de dos planos:
●Paralelos
●Secantes

6. Curso 2010/2011 Luis Alonso 6
Posiciones relativas
●En el espacio podemos distinguir las siguientes
posiciones relativas entre planos y rectas:
–Posiciones de dos rectas:
●Paralelas
●Secantes
●Se cruzan

7. Curso 2010/2011 Luis Alonso 7
Posiciones relativas
●En el espacio podemos distinguir las siguientes
posiciones relativas entre planos y rectas:
–Posiciones de una recta y un plano:
●Secantes
●Paralelos
●Recta contenida en el plano

8. Curso 2010/2011 Luis Alonso 8
Perpendicularidad
●Además, si se cortan la recta y el plano pueden
ser perpendicularmente.
●Es decir, la recta es perpendicular al plano.
●Y esto ocurre cuando la recta es perpendicular
a cualquier recta contenida en el plano.

9. Curso 2010/2011 Luis Alonso 9
1.- POLIEDROS
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado
por polígonos.
Llamamos:
–Caras del poliedro a los polígonos que lo
forman.
–Aristas del poliedro a los lados de las caras:
Cada arista se junta con dos caras.
–Vértices del poliedro a los vértices de las caras.
En cada vértice concurren tres o más caras.

10. Curso 2010/2011 Luis Alonso 10
1.- POLIEDROS
●Existen dos tipos de poliedros:
–Convexo: Son los que hemos visto siempre.
–Cóncavo: Tiene como “agujeros” o “hendiduras”
●Ejemplo: las figuras de la página 169.

11. Curso 2010/2011 Luis Alonso 11
1.- POLIEDROS
●En cualquier poliedro se verifica la fórmula de
Euler:
C + V = A + 2
–C: Caras
–V: Vértices
–A: Aristas

12. Curso 2010/2011 Luis Alonso 12
POLIEDROS REGULARES
Un poliedro es regular cuando todas sus caras
son polígonos regulares idénticos y en cada
vértice del poliedro concurren el mismo número
de aristas o de caras.

13. Curso 2010/2011 Luis Alonso 13
POLIEDROS REGULARES
Los únicos 5 poliedros regulares son:
–Tetraedro: 4 caras que son triángulos
–Cubo: 6 caras que son cuadrados
–Octaedro: 8 caras que son triángulos
–Dodecaedro: 12 caras que son pentágonos
–Icosaedro: 20 caras que son triángulos

14. Curso 2010/2011 Luis Alonso 14
POLIEDROS REGULARES

15. Curso 2010/2011 Luis Alonso 15
POLIEDROS
●Otros poliedros importantes son:
–Paralelepípedo recto (ortoedro) y oblicuo
–Prisma recto y oblicuo
–Pirámide y tronco de pirámide

16. Curso 2010/2011 Luis Alonso 16
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

17. Curso 2010/2011 Luis Alonso 17
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
Un prisma es un poliedro limitado por dos
polígonos iguales, llamados base, y varios
paralelogramos, llamados caras laterales.
La distancia entre las bases se llama altura del
prisma.
●Si todas las caras laterales son rectángulos, el prisma
es recto.
●Si alguna cara lateral no es rectángulo, el prisma es
oblicuo.
Se nombra también con el polígono de la base: prisma
pentagonal.

18. Curso 2010/2011 Luis Alonso 18
PARALELEPÍPEDO
●Un prisma con todas las caras paralelogramos
se llama paralelepípedo.
–Un paralelogramo es un polígono de 4 lados
paralelos e iguales dos a dos: cuadrado,
rombo, rectángulo,...
●Podemos destacar:
–Ortoedro: caras rectángulos.
–Cubo: caras cuadrados.
–Romboedro: caras rombos.
–Romboidedro: caras romboides.

19. Curso 2010/2011 Luis Alonso 19
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro que tiene por base
un polígono cualquiera y por caras laterales
triángulos con un vértice común llamado vértice
de la pirámide.
La altura de la pirámide es la distancia del
vértice al plano de la base.
Las alturas de los triángulos de las caras
laterales se llaman apotemas de la pirámide.
Las pirámides se llaman triangulares,
cuadrangulares,... según el polígono de la base

20. Curso 2010/2011 Luis Alonso 20
TRONCO DE PIRÁMIDE
●Si cortamos una pirámide de forma paralela a
la base tenemos un tronco de pirámide y la
pirámide deficiente.

21. Curso 2010/2011 Luis Alonso 21
PROPIEDADES MÉTRICAS
●Como los poliedros tienen en sus caras
polígonos (triángulos, rectángulos,...) podemos
usar las mismas propiedades métricas que en
el plano.
●Por ejemplo, en un ortoedro podemos calcular
ciertas distancias ayudados por el Teorema de
Pitágoras, ya que todas sus caras son
perpendiculares entre sí.

22. Curso 2010/2011 Luis Alonso 22
PROPIEDADES MÉTRICAS
●Por ejemplo, podemos calcular si en una caja
(ortoedro) entra un determinado listón.
●Ejemplo página 171.

23. Curso 2010/2011 Luis Alonso 23
PROPIEDADES MÉTRICAS
●Realmente, podemos usar el “Teorema de
Pitágoras en el espacio”:
–El cuadrado de la diagonal es igual a la suma
de los cuadrados de los valores de sus tres
dimensiones.
D=x
2
y
2
z
2

24. Curso 2010/2011 Luis Alonso 24
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

25. Curso 2010/2011 Luis Alonso 25
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Girando un rectángulo alrededor de un lado se
genera un cilindro recto.
Las bases del cilindro son círculos y su
distancia es la altura.

26. Curso 2010/2011 Luis Alonso 26
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Haciendo girar un triángulo rectángulo
alrededor de un cateto, se obtiene un cono
recto.
La altura es la distancia del vértice a la base.
La altura del triángulo (g) es la
generatriz.
También tenemos troncos de
cono.

27. Curso 2010/2011 Luis Alonso 27
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
La esfera se genera haciendo girar un
semicírculo alrededor de su diámetro. Queda
determinada por su radio (r).

28. Curso 2010/2011 Luis Alonso 28
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
●Podemos encontrarnos también con problemas
métricos en los cuerpos de revolución.
●Lo importante es darnos cuenta de cuáles son
los datos y qué queremos hacer con dichos
datos.

29. Curso 2010/2011 Luis Alonso 29
SIMETRÍAS
●Hay dos tipos de simetrías en cuerpos
geométricos:
–Eje de simetría: Si giramos el cuerpo alrededor
de ella con un determinado ángulo volvemos
a tener el mismo cuerpo.
–Plano de simetría: Es un plano que contiene el
eje de simetría y divide al cuerpo en dos
mitades iguales pero simétricas.
●Podemos encontrar muchos planos de
simetrías en poliedros y en cuerpos de
revolución.

30. Curso 2010/2011 Luis Alonso 30
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

31. Curso 2010/2011 Luis Alonso 31
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
●El área de un cuerpo geométrico es la
superficie que ocupa el cuerpo.
●En los cuerpos geométricos estudiados
conviene desarrollarlos sobre el plano y así
calcular su área.
●Lo que haremos entonces es calcular áreas de
rectángulos, trapecios, triángulos,
hexágonos,... y sumar todas las áreas de las
distintas caras.

32. Curso 2010/2011 Luis Alonso 32
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
●El volumen es el espacio que ocupa un
cuerpo.
●El volumen de un prima o un cilindro es área
de la base por la altura.
●El volumen de una pirámide o un cono es la
tercera parte del área de la base por la altura.
V=A
base
·h
V=
1
3
A
base·h

33. Curso 2010/2011 Luis Alonso 33
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
●El área de la superficie esférica es:
●El volumen de una esfera es:
A=4·r
2
V=
4
3
·r
3

34. Curso 2010/2011 Luis Alonso 34
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

35. Curso 2010/2011 Luis Alonso 35
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE
CUERPOS COMPUESTOS
●Para calcular el área o el volumen de un
cuerpo compuesto debemos primero
descomponerlo en cuerpos elementales como
los que ya hemos estudiado.
●Una vez descompuesto, calculamos las
distintas áreas o volúmenes y luego sumamos
todas para encontrar el área o el volumen del
cuerpo compuesto.

36. Curso 2010/2011 Luis Alonso 36
Tema 10
1.- POLIEDROS
2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES
3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN
4.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE POLIEDROS,
CILINDROS, CONOS Y ESFERAS
5.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS
COMPUESTOS
6.- LA TIERRA

37. Curso 2010/2011 Luis Alonso 37
6.- LA TIERRA
●La Tierra es prácticamente una esfera con
radio medio de 6371Km.
●La Tierra gira alrededor del eje terrestre que
pasa por dos Polos: Norte y Sur.

38. Curso 2010/2011 Luis Alonso 38
6.- LA TIERRA
●Los meridianos son semicircunferencias cuyos
extremos son los polos.
●Un huso es la superficie limitada entre dos
meridianos.
●La Tierra se divide en 24 husos llamados
husos horarios, que determinan lugares con
la misma hora.

39. Curso 2010/2011 Luis Alonso 39
6.- LA TIERRA
●Los paralelos son circunferencias sobre la
superficie terrestre que son perpendiculares al
eje (y por tanto también a los meridianos).
●El ecuador es el máximo paralelo; es decir, la
circunferencia más grande.
●La superficie contenida entre dos paralelos se
llama zona.

40. Curso 2010/2011 Luis Alonso 40
6.- LA TIERRA
●Podemos establecer las coordenadas que tiene
un punto en la esfera terrestre usando el
sistema terrestre que tiene por ejes el
ecuador y el meridiano de Greenwich.
●La unidad de medida es el grado.

41. Curso 2010/2011 Luis Alonso 41
6.- LA TIERRA
●Cualquier punto de la Tierra está determinado
por unas coordenadas: latitud y longitud.
●La longitud de un lugar P es la medida en
grados del arco que forma, en el ecuador, el
meridiano del lugar y el meridiano de
Greenwich.
●La latitud de un lugar P es la medida en
grados del arco que forma, en el meridiano del
lugar, el ecuador y el paralelo del lugar.

42. Curso 2010/2011 Luis Alonso 42
6.- LA TIERRA
●La longitud varía de 0º a 180º en dirección este
(E) y de 0º a 180º en dirección oeste (W).
●La latitud varía de 0º a 90º en dirección norte
(N) en el hemisferio norte y de 0º a 90º en
dirección sur (S) en el hemisferio sur.
●Todos los puntos de un mismo meridiano
tienen la misma longitud.
●Todos los puntos de un mismo paralelo tienen
la misma latitud.

43. Curso 2010/2011 Luis Alonso 43
6.- LA TIERRA
●Entonces las coordenadas de una ciudad se
escriben: A(15ºE, 45ºN)
–Ciudad A
–Situada a 15º al este del meridiana de
Greenwich
–Situada a 45º al norte del ecuador.
●Para que nos hagamos una idea, las
coordenadas de Madrid son: (3.41ºO,40.24ºN)