3 ESTRUCTURA CRISTALINA.pdf

un curso de estructura cristalinas

1. ESTRUCTURA CRISTALINA
Pirita Cuarzo

2. ESTRUCTURA CRISTALINA

3. IMPORTANCIA DE LA ESTRUCTURA CRISTALINA
Grafito
Diamante

4. Pared frisada (Macroestructura)
Analogía para recordar
MICROESTRUCTURA DEL METAL

5. Pared frisada (Macroestructura) Unidad repetitiva: bloque
Analogía para recordar
MICROESTRUCTURA DEL METAL

6. Barra de metal
Superficie atacada
Estructura policristalina del metal
Grano o Cristal
MICROESTRUCTURA DEL METAL

7. Estructura policristalina del metal
Barra de metal

8. ¿QUÉ ES LO QUE CARACTERIZA A UN CRISTAL?
Monocristal
CRISTAL
Analogía para recordar

9. Monocristal
Policristal

10. Grano
ESTRUCTURA A ESCALA ATÓMICA
Estructura cristalina
Microestructura
Red de átomos

11. ESTRUCTURA CRISTALINA
Patrón característico
Estructura cristalina
Grano
Red de átomos

12. Celda unitaria
Estructura cristalina

13. FCC
ESTRUCTURA CRISTALINA FCC
La estabilización de un átomo con los átomos vecinos es tanto mayor cuando se adoptan
formas más regulares  Ordenamiento cristalino, minimiza la energía total interatómica.

14. ESTRUCTURA CRISTALINA FCC
½

1/8
Factor de empaquetamiento (espacio ocupado por átomos) = 74%  26% espacio vacío

15. ESTRUCTURA CRISTALINA FCC
½
1/8
Celda unidad

16. Translación eje X
Celda unidad Translación eje Z Translación eje Y
La repetición regular del patrón, llamado celda unitaria, se denomina red cristalina
Orden de largo alcance
RED CRISTALINA
Repetición de la celda unitaria
Los cristales tienen simetría traslacional:

17. La celda unidad se define geométricamente por 6 parámetros (parámetros de red):

• tres ejes cristalográficos (a, b y c)
• tres ángulos interaxiales (a, b, g).
PARÁMETROS RETICULARES
Esquema Celda unitaria
Ejes cristalográficos (x, y, z)
(Origen de los ejes es arbitrario)

18. Estructuras cúbicas
a = b = c
a
b
c
PARÁMETROS RETICULARES
Ejes cristalográficos
a, b, c, son los parámetros de la
red (dimensiones de cada uno de
los lados de la celda)
Z
X
y Volumen = a
3

19. Espacio vacío: 26% de la celda FCC celda
VV
24
1
 celda
VV
6
1

SITIOS INTERSTICIALES EN LA ESTRUCTURA FCC

20. Tetraédrico Octaédrico
SITIOS INTERSTICIALES EN LA ESTRUCTURA FCC

21. OCTAÉDRICO
Átomos del metal
Intersticios octaédrico (4)
(Punto medio de cada borde y en el centro)
TETRAÉDRICO
Intersticios tetraédrico (8)
Átomos del metal
(Entre una esquina y tres átomos
centrados en la cara)

23. Átomos de soluto en una posición intersticial Octaédrico

24. SITIOS INTERSTICIALES EN LA ESTRUCTURA FCC

25. SITIOS INTERSTICIALES EN LA ESTRUCTURA FCC
Átomos de soluto en
una posición intersticial
Octaédrica

26. Radio Intersticio = 32.2 nm
Intersticio Tetraédrico
Átomo intersticial octaédrica
59,2 nm es radio del átomo
más grande que pueda entrar
en este sitio
Al

27. Solución sólida – analogía
Solución sólida
FORMACIÓN DE SOLUCIÓN SÓLIDA

28. Solución sólida – analogía
FORMACIÓN DE SOLUCIÓN SÓLIDA

29. Corresponde a un arreglo infinito de puntos ubicados de forma tal que el entorno de cada
punto es idéntico al entorno de cada uno de los otros puntos de la red.
REDES
Patrón periódico
Celda unitaria: es el espacio que llena un paralelepípedo con origen en un punto de la red y
con sus bordes definidos por tres vectores base no coplanares (a, b y c), cada uno de los cuales
representa traslaciones entre dos puntos de red.

30. CELDAS
Red 2D
El paralelogramo que se define por a y b (vectores básicos de la red) = celda unidad
Definición de celda primitiva: corresponde a la celda unidad que contiene solo un punto de la
red. Las que contienen más de un punto se denominan múltiples o centradas.

31. Bravais demostró en 1848 que sólo hay 14
tipos de redes ó formas únicas posibles en la
que los puntos (base) pueden distribuirse
periódicamente en el espacio.
Augusto Bravais
(1811-1863)
REDES DE BRAVAIS

32. Cúbico centrado
en el cuerpo (BCC)
LOS 14 REDES ESPACIALES DE BRAVAIS
Cúbico simple
(Polonio)
Cúbico centrado
en la cara (FCC)
Ortorrómbico simple Ortorrómbico centrado
en el cuerpo
Ortorrómbico
centrado en la base
Ortorrómbico
centrado en la cara

33. Tetragonal simple Hexagonal
Tetragonal centrado en
el cuerpo
LOS 14 REDES ESPACIALES DE BRAVAIS
Romboédrico Monoclínico simple Monoclínico centrado
en la base
Triclínico

34. SISTEMAS CRISTALINOS Y REDES DE BRAVAIS
Todos los cristales que existen en
la naturaleza se pueden agrupar
en 7 sistemas cristalinos.

35. ESTRUCTURA CRISTALINA
Estructura cristalina: se obtiene poniendo los átomos de la base en
cada punto de la red.
Estructura cristalina = red + base
Base o motivo: un átomo o un grupo de dos o más átomos localizados
de manera particular cada uno con respecto a otro, y asociados con
cada punto de la red.

36. ESTRUCTURA CRISTALINA BCC
Factor de empaquetamiento = 68%  32% espacio vacío > FCC

37. HEXAGONAL COMPACTO (HCP)
Factor de empaquetamiento = 74%  26% espacio vacío
Vista de planta
Plano Basal
a
C
Prismático
“a” y “c” parámetros reticulares c/a = 1,633 (ideal)

38. Fracción de espacio ocupado por átomos cba
r
FP
i



3
3
4

..
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (F.E)
(a . b . c)

39. Fracción de espacio ocupado por átomos cba
r
FP
i



3
3
4

..
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (F.E)
Requiere calcular el #
átomos por celda unitaria
En función al radio del átomo
(a . b . c)
Volumen debe estar
en función del radio.

40. ÁTOMOS POR CELDAS UNITARIAS

41. Los átomos se deben tocar a lo largo de la diagonal de la cara del cubo
a =
r
r
a
4r
4r 
¿Diagonal cara cubo?
RELACIÓN PARÁMETRO DE RED CON RADIO ATÓMICO
2 a =

42.    
740
23
2
4
44
3
3
3
4
3
3
3
4
.
r
a
r
.F.P 











 F.E
r
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (F.E)
Para la estructura FCC
 74%
26% de la celda unitaria FCC es espacio vacio

43. 3
4 r
a = r
3
4
ar4aaadiagonalbody
222
   
680
8
3
3
4
22
3
3
3
4
3
3
3
4
.
r
a
r
.F.P 












¿Diagonal del cubo? a
F.E
4r = 3 a
Los átomos se deben tocar a lo largo de la diagonal del cubo
F.E para la estructura BCC
FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (F.E)
r
 68% 32% es espacio vacio 
BCC
2 a

44. FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (F.E)
FRACCIÓN DE VOLUMEN
DISPONIBLE OCUPADO
POR ESFERA
CÚBICO
SIMPLE
0,52
CENTRADO
CUERPO
0,68
CENTRADO
CARA
0,74

45. POLIMORFISMO:
Capacidad de un material sólido de existir en más de
una estructura cristalina, todas ellas con la misma
composición.
Del Griego “Poli” (varios) y
“Morfos” (formas) = muchas
formas. El cambio es
irreversible
El ej. clásico es el carbono, que presenta 4 polimorfos con
propiedades muy diferentes entre si: Diamante, grafito, fullerenos y
nanotubos.
POLIMORFISMO O ALOTROPÍA

46. Cuando el fenómeno de polimorfismo se da en los elementos químicos
puros. El cambio en estructura es reversible (Enantrópica).
ALOTROPÍA:
Ej.: Fe, Sn, Mn, Co, Ti
POLIMORFISMO O ALOTROPÍA
Transformación alotrópica del
hierro puro
Cada cambio es un ejemplo de transformación
de fase.

47. Fe d
Fe g
Fe b
Fe a
Tiempo
Temperatura

L
Responsable del
que Fe a cristalice
en BCC y no en HCP
Estable a causa de su
ordenamiento Ferromagnético
ESTADO ALOTRÓPICO DEL HIERRO
(BCC)
(FCC)
(BCC)
Curva de enfriamiento del hierro puro

48. ALOTROPÍA Y POLIMORFISMO
Cada material escoge aquella estructura que proporciona la menor energía.
Van acompañada de un
cambio de volumen
BCC
BCC
BCC
FCC

49. Variación del volumen de los átomos de hierro con la temperatura
Cambio en el volumen atómico de aprox. 1%  tensiones
internas durante la transformación.
ESTADO ALOTRÓPICO DEL HIERRO
Temperatura (
o
C)

50. El polimorfismo ó alotropía son los que justifican ó hacen posible los
tratamientos térmicos  y por lo tanto las transformaciones de fases
En general, aunque no siempre, la fase de empaquetamiento más
compacto es estable a bajas temperaturas y las de menor
empaquetamiento, estables a temperaturas más elevadas
POLIMORFISMO O ALOTROPÍA
La baja direccionalidad de los enlaces que forman los iones metálicos
explica porque el polimorfismo sea frecuente en diversas condiciones
de presión y temperatura.

51. Cambio de Sn blanco (Sn-b, tetragonal),
habitual a temperatura ambiente, a Sn
gris frágil (Sn a, cúbico), que aparece a
temperaturas inferiores a 14,2ºC con
tiempos prolongados de exposición.
ALOTROPÍA Y POLIMORFISMO
Peste del estaño
Campaña de Napoleón en Rusia, 1812

52. ANALOGÍA MECÁNICA DE LA ESTRUCTURA CRISTALINA
Es necesario especificar ciertos planos y direcciones en los cristales.

Planos cristalográficos
d d = distancia interplanar
Dirección cristal.

53. Many phenomena in materials are associated
with or occur preferentially on specific
crystallographic planes. For example, brittle
cleavage cracks readily nucleate and grow on
(100) planes in MgO crystals. Silicon oxidizes
more rapidly on the (111) plane than on the
(100) plane. Crystal growth is frequently
favored on one plane relative to others.
Microelectronic (e.g., transistor) and
optoelectronic (e.g., laser) device fabrication
can be reliably accomplished only on specific
semiconductor planes. Regardless of
application, the important planes are usually
the most atomically dense ones (i.e., high
APD). Such planes are also ones of low index.

54. Método:
i.Expresar los cortes del plano con los ejes en unidades de los
parámetros de red de la celda unidad.

ii. Calcular los inversos de estos valores.

iii. Reducir los inversos a los menores enteros en la misma proporción.
INDICES DE MILLER
PLANOS DE LA RED
Los planos cristalográficos se pueden identificar por tres índices de
Miller. Se utiliza la nomenclatura: (h k l) y para familia planos {hkl}

55. • Si no se cumple lo anterior, el plano debe trasladarse o se necesita un origen.

• Determinar los puntos de intersección del plano con los ejes cristalográficos en


• Determinar el recíproco (1/a 1/b 1/c 1/∞).

• Reducir al menor numero posible según factor común o mínimo común múltiplo.
REGLAS PARA DEFINIR UN PLANO CRISTALOGRÁFICO
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
función de a, b, c, o infinito, si es paralelo a alguno de los ejes.
El plano debe interceptar o ser paralelo a cualquier eje.

56. INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
(200)

57. Los puntos verdes
indican dónde se
ubicó el origen.
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos: (hkl)
Familia de planos {hkl}
Notación

58. Planos con índices de signo opuesto son equivalentes
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

59. • Cara rosa: (1/1, 1/∞, 1/∞) = (100)
• Cara verde: (1/∞, 1/∞, 1/1) = (001)
• Cara amarilla: (1/∞, 1/1, 1/∞) = (010)
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Planos paralelos = tienen los mismos
índices de Miller

60. Intercepción: (1,1, ∞) (110) Intercepción = (1,1,1)  (111)
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

61. INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

62. INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS

63. En los sistemas cúbicos, una dirección que tiene los mismos índices que un plano es
perpendicular a dicho plano.
INDICES DE MILLER – PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Los planos de índices de Miller bajos son los más espaciados entre si (planos más compacto
y espaciado entre si).
Observaciones sobre los índices de Miller para los planos
Los planos y sus negativos son idénticos (en el caso de las direcciones eso no es cierto). Por
tanto, (020) = (020)
Existen planos que son equivalentes, formando familias de planos, ej. Los diferentes planos de
la familia {110} en sistemas cúbicos son: (110), (101), (011), (1-10), (10-1), (01-1).
Los planos y sus múltiplos no son idénticos (en el caso de las direcciones si lo son). (100) no es
lo mismo que (200).
En el sistema cúbico, (hkl) es perpendicular [hkl]

64. Se usan 4 ejes
(hkil)
EJES COORDENADAS HCP
Índices de Miller-Bravais
3 ejes basales y uno vertical

65. EJES COORDENADAS HCP

66. EJES COORDENADAS HCP

67. Planos basales y planos del prisma
EJES COORDENADAS HCP

68. EJES COORDENADAS HCP

69. EJES COORDENADAS HCP
Plano piramidal
C

70. INDICES DE MILLER
Las direcciones son
vectores que conectan dos
puntos de red en un
sentido preestablecido.
Direcciones comunes en una celda unitaria cúbica
DIRECCIONES DE LA RED

71. Los Índices de Miller representan una notación cristalográfica que
permite describir cualquier plano o dirección espacial por un conjunto
de tres números enteros, denominados Índices de Miller.
Las propiedades de los materiales cristalinos y ciertos procesos
fisicoquímicos asociados a los sólidos cristalinos suelen depender de las
direcciones cristalográficas.
Las propiedades de un material serán las mismas a lo largo de una
familia de direcciones cristalográficas.

Para materiales cristalinos uniformes, todas las direcciones paralelas
tendrán las mismas propiedades.
INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS

72. Los metales se deforman, por ejemplo, en aquellas direcciones a lo
largo de las cuales los átomos están en contacto directo (direcciones
compactas).
Las propiedades magnéticas del hierro y otros materiales dependen
de la dirección. Es más fácil magnetizar al hierro en la dirección [100]
que en las direcciones [111] o [110].
INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
Los índices se escriben sin comas, no admiten fracciones y los valores
negativos se indican por una barra sobre el número.
Dirección especifica se escribe [hkl] y familia de direcciones <hkl>

73. • El origen del vector debe estar en el origen del sistema de coordenada.
• Ir desde el punto hasta el origen del sistema de coordenadas.
• Determinar la longitud de vector proyectado en las dimensiones de la celda unidad (a, b, c)
• Remover las unidades y así obtener los índices de Miller; ej. [u v w]
• u v w son divididos y multiplicados por factores comunes para
reducirse a los valores enteros menores posibles.
INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
REGLAS PARA DEFINIR UNA DIRECCIÓN CRISTALOGRÁFICA
Direcciones: [uvw]
Familia de direcciones: <uvw>

74. INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
a) (1,1,0) –(0,0,0) = [110]
(1,0,0) –(0,0,0) = [100]
b) (1,1,1) –(0,0,0) = [111] c) (1, ½ ,0) 2 (1, ½ ,0) = [210]
(2,1,0) –(0,0,0) = [210]
d) ( -??????, -??????,0) –(0,0,0) = [ ????????????0]
X Y Z
Proyecciones

75. INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS

76. INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS

77. INDICES DE MILLER – DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
Observaciones sobre los índices de Miller para las direcciones:
x
x
x

78. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP
Se usan 4 ejes
(hkil)
3 ejes basales y uno vertical

79. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP

80. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP EN PLANO BASAL

81. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP EN PLANO BASAL

82. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP EN PLANO BASAL
X
y
[100]
h´ k´ l´

83. INDICES DE MILLER
X
y
DIRECCIONES EN HCP EN PLANO BASAL Z

84. INDICES DE MILLER
DIRECCIONES EN HCP EN PLANO BASAL
[100]
h´ k´ l´
2/3
-1/3
-1/3
0
[2110]
- -

85. EMPAQUETAMIENTO COMPACTO
¿Por qué se favorecen las estructuras densamente
compacta?
Más del 60% de todo los sólidos metálicos
tienen una estructura compacta, en la cual
cada átomo toca sus 12 vecinos más
cercanos.
ESTRUCTURA CRISTALINA

86. EMPAQUETAMIENTO COMPACTO
ESTRUCTURA CRISTALINA
En un plano compacto todos los átomos están en contacto uno con otros.

87. NÚMERO DE COORDINACIÓN (NC)
NC
2
3
4
NC
6
8
Es el número de vecinos cercanos que están en contacto directo con un átomo en
particular.

88. Número de coordinación (NC)
ESTRUCTURA CRISTALINA

89. BCC
Número de coordinación (NC)
ESTRUCTURA CRISTALINA
NC = 8

90. Máxima densidad de empaquetamiento para esferas del
mismo tamaño de estructuras FCC y HCP.
Número de coordinación (NC)
ESTRUCTURA CRISTALINA
NC = 12 FCC
HCP

91. (111)
Enlaces rotos: 3
(110)
5
NC: 9
(100)
4
8 7
FCC
Incremento estabilidad
superficial
ESTRUCTURA CRISTALINA

92. Densidad planar =
# átomos en el plano (área átomos)
Área del plano
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS – DENSIDAD PLANAR
a
a
Área círculo = 2  r
2 Átomo
¼
¼
Los procesos de deformación de los materiales
se producen en planos de densidad planar alta.
FCC

93. PLANOS CRISTALOGRÁFICOS – DENSIDAD LINEAL
(Los átomos se consideran círculos, no esferas)
(La línea debe pasar a través del centro del átomo)
a ( )
a
FCC

94. INTRODUCCIÓN A LA DIFRACCIÓN

95. Reflexión
Refracción
Absorción y re-
irradiación
Difracción
Fenómeno característico de las ondas que se basa en el curvado y esparcido
de las ondas cuando atraviesan una rejilla cuyo tamaño es del orden de l,
alejándose así del comportamiento de rayos rectilíneos.
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
(Del latin ”diffractus” que
significa quebrado)

96. Onda alta frecuencia  direccionales  se difractan menos y una persona en la calle no puede
escuchar .
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
Baja frecuencia son omnidireccionales y se difractan (doblan
la esquina), la persona de la calle escucha el sonido.
Calle

97. Una onda (l) es la transmisión de energía (perturbación) a través
de un medio.
Frente de onda
l
l
Universitat Politécnica de Valéncia (UPV)
A = amplitud
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
Valle
Mínima Intensidad
Pico
Máxima intensidad (brillo)
Perturbación

98. FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
Frente de onda plana
avanzando un l
l
Adaptado de physics-animations.com
Valle
Pico
(cresta)

99. Frente de onda plana
avanzando un l
l
Adaptado de physics-animations.com
Valle
Pico
(cresta)
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
l
Interferencia
destructiva
Interferencia
constructiva
Interferencia
constructiva
Apertura

100. Frente de onda plana
avanzando un l
l
Adaptado de physics-animations.com
Valle
Pico
(cresta)
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
l
Interferencia
destructiva
Interferencia
constructiva
Interferencia
destructiva
Apertura

101. Ondas que se encuentran en P e interfieren
X
2
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
F
1 F
2
X
1
P

102. = + En fase
Interferencia
constructiva
Interferencia
destructiva
+ 180º desfasado =
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
Onda 2
Onda 1
Onda 1
Onda 2
 2
A = A
1 + A
2 + 2 A
1 A
2 cos(j
o)
2 2
j
o = k (x
2 - x
1)
K = 2/l # onda)
P de la otra onda. según
tiene que recorrer una de las ondas para encontrase con la otra en el punto
(x
2-x
1) = Diferencia en el
recorrido de las 2 ondas
Amplitud (A) resultante de la suma de 2 ondas:

103. Interferencia constructiva
A = A
1 + A
2
4 (x
2 – x
1) = n l
cos(j
o) = 1
Interferencia destructiva
A = A
1 - A
2

La “A” resultante es máxima cuando:
j
o = n 2
(x
2 – x
1) = (2n + 1) (l/2)
La “A” resultante es mínima cuando:
cos(j
o) = -1 j
o = (2n+1)
FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN
La A resultante va depender de j
o, de la diferencia en el recorrido (l) que tiene una
onda con respecto a la otra en el punto de encuentro.
decir, que la

104. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
Observación
L = longitud de cámara

105. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L

106. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
Si la apertura < que la l, la luz difractará
alrededor del orificio (Principio Huygens).

107. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
Rejilla con espaciamiento más estrechos
(orificio mucho < l
Equivalente a una distancia
interplanar pequeña
Orientación
vertical

108. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
Líneas orientadas verticalmente
dispersa luz perpendicular a la
orientación de la línea.
Indica tamaño de la estructura y orientación de la estructura
> Ángulo
dispersión
Rejilla con espaciamiento más estrechos
(orificio mucho < l
Equivalente a una distancia
interplanar pequeña
Orientación
vertical

109. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
l L
a
= X
L
X
a
Inversamente proporcionar a
la rejilla

110. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
Si se cambia la orientación de la rejilla, a una
posición horizontal  reflexión cambia

111. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
L
2 dimensiones

112. L
FENÓMENO DE DIFRACCIÓN

113. L
FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
Ej. Plano (100) Cúbico simple

114. Una sola rendija Hexagonal Circular Apertura cuadrada
DIFRACCIÓN A TRAVÉS DIFERENTES APERTURAS

115. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
3 dimensiones

116. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
Patrón de difracción sin indexar

117. 2q
FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
q = ángulo de Bragg
El patrón de difracción es
la red reciproca.

119. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
A > espaciamiento de los átomos  los puntos de la red reciproca se acercan mucho más.

120. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
Si se añade otro átomo sin cambiar la periodicidad del cristal  posición de los puntos no
cambian , pero su intensidades varían

121. FENÓMENO DE DIFRACCIÓN
Para materiales amorfos el patrón de difracción son anillos difusos

122. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Muestra
cristalina

123. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Plano red
cristalina
Muestra
cristalina
La red cristalina se comporta como una apertura de difracción, en donde sus planos actúan
como espejos semitransparentes que reflejan los rayos X , pero solo en algunas posiciones
d
hkl

124. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Plano red
cristalina
Muestra
cristalina
d
hkl

125. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Plano red
cristalina
Muestra
cristalina
d
hkl
Ondas incidentes
en fase

126. Plano red
cristalina
d
hkl
Muestra
cristalina
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Ondas incidentes
en fase
Ondas reflejadas
en fase l
Para que exista reflexión cooperativa, es necesario que tras la reflexión, ambas ondas deben
seguir estando en fase.

127. Plano red
cristalina
d
hkl
Muestra
cristalina
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Ondas incidentes
en fase
Ondas reflejadas
en fase
Diferencia del recorrido (x
2-x
1)
(Longitud extra del recorrido)

128. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Plano red
cristalina
d
hkl
Muestra
cristalina
Ondas incidentes
en fase
Ondas reflejadas
en fase
q
B
q
B
A
B
C
q
B
AB = BC  2AB = n.l
Pero 2AB = 2.d.sen q  n.l = 2.d. sen q
Para que el haz reflejado este en fase, la diferencia de camino, AB+ BC = n l
n = 1, 2, 3… (n = orden de difracción).

129. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
n l
2 d sen q =
0  sen q  1
=
l
2d
sen q
l
2d
0   1 
l  2d (nm)
Para l = 2d, máximo l permitido para condiciones Bragg
Diferencia en el paso,
garantiza interferencia
constructiva

130. La ley de Bragg es una condición necesaria pero no suficiente para que se produzca difracción.

Define la condición de difracción para celdas unidad primitivas, esto es, aquellas redes de
Bravais con puntos reticulares sólo en los vértices de la celda unidad, como la cúbica simple y
la tetragonal simple.

Las estructuras cristalinas con celdas unidad no primitivas tienen átomos en puntos reticulares
adicionales situados a lo largo de las aristas, en las caras o en el interior de la celda unidad. Los
centros de dispersión adicionales pueden provocar difracción fuera de fase para ciertos
ángulos de Bragg. El resultado es que parte de la difracción que predice la Ecuación de Bragg
no tiene lugar.
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
n l
2 d sen q =

131. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
n l
2 d sen q =
La magnitud “d
hkl” es una función directa de los índices de Miller del
plano y de los parámetros reticulares del cristal particular que se trate.

132. Cúbico
Tetragonal
Hexagonal
Distancia entre planos adyacentes
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Simetría del sistema
cristalino
“a”, “c” = parámetros reticulares
A menor sean los índice de los planos (hkl) , mayor es la distancia interplanar.
Los planos de mayor distancia interplanar, d
hkl, son aquellos de mayor densidad planar.

133. Distancia entre planos adyacentes
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG

134. Distancia entre planos adyacentes
DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG

136. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Reglas de reflexión de la difracción de rayos X para las estructuras BCC, FCC y HCP
Por razones de interferencia entre radiaciones difractadas de distinto orden, no
todos los planos son observables. Cada tipo de estructura cristalina dispone de unos
planos definidos que producen difracción.

137. Esta condición permite conocer si una estructura cúbica es BCC o es FCC
Condiciones de los planos para tener difracción de Bragg
2q
Para sistema cúbico
d
hkl
Incrementa
d
hkl = distancia interplanar
(+)
(-)
Bajo
índices
Alto
índices

138. DIFRACCIÓN – MODELO DE BRAGG
Relación entre el d
hkl de la ec. Bragg y los índice de Miller
Para sistema cúbico
FCC - Au
A > sean los índice de
los planos (hkl) , < es la
distancia interplanar.
Densidad planar
(+)
(-)

139. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Método de análisis de polvo por DRX

140. DIFRACTÓMETRO DE RAYOS X (DRX)
1. Goniómetro, 2. fuente rayos X, 3. rendija de dispersión, 4. rendija de antidispersion, 5.
rendija del detector, 6. monocromador, 7. sujetador de muestras y 8. detector (contador de
radiación).

141. DIFRACTÓMETRO DE RAYOS X (DRX)

142. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Aplicaciones:
 Cristalino o amorfo
 Identificación de material desconocido
 Determinación del tipo estructura
 Determinación del parámetro de red
 Determinación de textura de materiales policristalinos
 Orientación de monocristales
 Determinación de tamaño de granos
 Análisis cuantitativo
 Esfuerzo residuales
 Transformaciones orden-desorden

143. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Estructura cristalina
Picos puntiagudos
Amorfo, loma ancha alrededor
de los espaciamientos más
probables.
Usado en polímeros, vitrocerámica.
Puede determinar % cristalinidad.
Cristalino o amorfo

144. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Resultados arrojados por un difractómetro

145. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Resultados arrojado por un difractómetro

146. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Tarjeta XRD JCPDS (Comité Conjunto sobre Estándares de Difracción de Polvo)

147. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Espectro de difracción de una muestra de polvo de aluminio
Difractograma
Interferencia
destructiva

Los planos (índices) van apareciendo en
orden de menor a mayor en función q.
Perfil de los picos, altura y forma (ancho pico) son
el resultado de la combinación de factores
basados en la microestructura de la muestra,
como tamaño cristales y esfuerzo residuales.
(Planos, todos pares
o todos impares)

148. Si en la muestra analizada hay varios compuestos, en el difractograma se mostrarán
los picos de difracción correspondientes a cada una de las estructuras .
H = Halita (NaCl)
S = Silvita (KCl)
DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)

151. Ejemplos
DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)

152. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Mediante un difractómetro se analizó una muestra de polvo de un metal desconocido,
obteniéndose el espectro de difracción mostrado abajo. El l usado = 0,1542 nm.
Calcular:
 El tipo de estructura cúbica del metal analizado.
 Los tres primeros planos que producen difracción.
 El parámetro de red “a”, sabiendo que la muestra
pertenece al sistema cúbico.
 El radio atómico del metal.
 A que metal pertenece la muestra.

2q

153. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Determinar si el material es BCC o FCC
Suponemos primero que la estructura es BCC y usamos el primer pico (110) y el segundo
(200) y hacemos lo mismo para FCC..
Para FCC 
= 0,75

154. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Determinar si el material es BCC o FCC
Sen
2
(19,3)
Sen
2
(22,45)
 0,75
(seno(radianes(19,3))^2)
q en radianes
Estructura FCC
= 0,75 
FCC
Ya que es FCC, podemos asignar a cada pico su
respectivo plano, según la tabla, el primer pico
pertenece a (111), y así sucesivamente.
Comparamos con los ángulos del Difractograma

155. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
FCC
Los tres primeros planos que producen la difracción.

156. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Calcular los tres primeros planos que producen la difracción.
n l
2 d sen q =
d = n l/2 sen q
1 d (nm)
(111)
(200)
(220)
(hkl)
Según
tabla Para ello se calcula las distancias
inter-planares para los ángulos dados:
0,234
0,202
0,143

157. DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
d
(111) =
1
2
+1
2
+1
2
a
= 0,234
Cálculo del parámetro de red “a”, sabiendo que la muestra pertenece al sistema
cúbico.
Sen
2
(q)  = 0,404 nm
3
a
=  a = 0,404 nm

158. Cálculo del radio atómico del metal FCC
= 0,143 nm 
DIFRACTOMETRÍA DE RAYOS X (DRX)
Verificamos en tabla a que elemento corresponde
el parámetro de red y radio calculado, y
encontramos que corresponde al Aluminio

159. Fin