3 guia integración por partes

raul_agudelo 3,323 views 9 slides Mar 15, 2017
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Técnicas de Integración - Método de Integración por partes


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UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA
AREA: DE CIENCIAS BASICAS
CÁLCULO INTEGRAL

METODOS DE INTEGRACIÓ N

INTEGRACIÓN POR PARTES

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA:

Si no es posible resolver un enunciado utilizando el método de integración por sustitución, es viable utilizar una
doble sustitución, mejor conocida como integración por partes.

Este método se aplica para el producto de dos funciones. En especial funciones trigonométricas inversas y
función logaritmo. Donde una de ellas es la derivada de una función conocida y la integral original se transforma
por otra más simple.

Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones.

Sean  xgyxf dos funciones definidas, entonces:
 xgxfxgxfxgxfD
x
,,

, concepto derivada de un producto

Al integrar los dos lados de la igualdad obtenemos:
   dxxgxfdxxgxfdxxgxfD
x
,,



   dxxgxfdxxgxfxgxf
,,




Al sustituir:  
 dxxgdvxgv
dxxfduxfu
,
,



Obtenemos:

 dvuduvvu ...


Organizando las expresiones, tenemos:
 
 duvvudvu ...

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FÓRMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES



Al aplicar la formula anterior a una integral, se empieza por hacer que una parte del integrando, corresponda a
dv. La expresión que se usa para dv debe incluir a la diferencial dx. Después de elegir dv se toma u como el
resto del integrando y se encuentra du.

NORMAS PARA LA INTEGRACIÓN POR PARTES.

1) Tratar de que dv sea la parte más complicada de un integrando que se ajuste a una fórmula de integración
básica. Entonces u será el factor o factores restantes del integrando.

2) Tratar de que u sea la parte del integrando cuya derivada sea una función más simple que u. entonces dv
será el factor o factores restantes del integrando.

Para determinar la solución de una integral utilizando el método de integración por partes es conveniente realizar
los siguientes pasos:

 Primero se escogen � � ��.
 Segundo, se deriva � para determinar ��
 Tercero, se integra �� para hallar �.
 Finalmente, se aplica la fórmula de integración por partes y se soluciona la integral indicada.
Existe una variedad de integrales que se pueden desarrollar, usando la relación:

∫���=��−∫���.

El problema es elegir � � ��, por lo cual es útil la siguiente identificación:

I: Función trigonométrica inversa.
L: Función logarítmica
A: Función algebraica
T: Función trigonométrica
E: Función exponencial.

La elección conveniente para el u y el dv, dependerá de la ubicación de los términos funcionales en la
palabra ILATE. El de la izquierda corresponde al u, y el otro será el dv.
En Resumen Si u = f(x), v = g(x), y si f´ y g´ son continuas, entonces
ʃ ��� = �� − ʃ ���

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Ejemplo �.∫?????? ��???????????? �??????

Solución: I L A T E
↓ ↓
x cos x

�=� ��=����

��=�� �=����

∫� ���� ��=� ����−∫���� ��=� ����+����+�

Respuesta: ∫� ��� ��=� ����+����+�


Ejemplo �.∫?????? ??????��?????? �??????
ʃ �������
= −� ��� − ʃ (−����) ��
= −� ���� + ʃ ���� ��
= −� ���� + ���� + �


Ejemplo 3. ∫?????? ??????��
�
�?????? �??????

Solución: I L A T E

� ���
2
3� ��

�=� ��=���
2
3� ��
��=�� �=
1
3
�?????? 3�
∫� ���
2
� ��=
1
3
�?????? 3�−
1
3
∫�??????3� ��=
� �?????? 3�
3

1
9
��|���3�|+�

Respuesta: ∫� ���
2
� ��=
�????????????3�
3

1
9
��|���3�|+�

Ejemplo 4. ∫??????�
??????
�??????

ʃ ��
�
��= ��
�
− ʃ �
�
��
= ��
�
− �
�
+ �
= �
�
(�−1) + �
Respuesta: ∫� �
�
��= �
�
(�−1) + �


u = x dv = senxdx
du = dx v = - cosx
u = x dv = e
x
dx
du

= dx v = e
x

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Ejemplo 5. ∫
?????? �??????
�
?????? = ∫��
−�
��

I L A T E

� �
−�

�=� ��=�
−�

��=�� �=−�
−�


∫��
−�
= −��
−�
+∫�
−�
��
∫��
−�
=−��
−�
−�
−�
+�=�
−�
(−�−1)+�
∫��
−�
=−�
−�
(�+1)+�
Respuesta: ∫��
−�
��=−
�+1
�
??????
+�


El Ejemplos 6 es una Integral Cíclica


Ejemplo 6. ∫�
??????
??????��?????? �??????


ʃ �
�
������=− �
�
����− ʃ− �
�
������
ʃ �
�
������=− �
�
����+ ʃ �
�
������


ʃ �
�
������= − �
�
���� + [�
�
���� − �
�
ʃ ������ ]
ʃ �
�
������= − �
�
���� + �
�
���� − �
�
ʃ ������
ʃ �
�
������ + ʃ �
�
������ = − �
�
���� + �
�
����
2 ʃ �
�
������= − �
�
���� + �
�
����
ʃ �
�
������ = (− �
�
���� + �
�
���� )/ 2 + �
ʃ �
�
������ = (�
�
����− �
�
���� )/ 2 + �
ʃ �
�
������ =
�
�
2
(����− ���� )+ �
Respuesta: ʃ �
�
������ =
�
??????
2
(����− ���� )+ �




u = e
x
dv = senxdx
du = e
x
dx v = - cosx

u = e
x
dv = cosxdx
du = e
x
dx v = senx

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Ejemplo 7. ∫??????
�
�
??????
�??????
ʃ �
2
�
�
��
= �
2
�
�
− ʃ 2��
�
��
= �
2
�
�
− 2 ʃ ��
�
��


ʃ �
2
�
�
�� = �
2
�
�
− 2 [��
�
− ʃ �
�
��]
= �
2
�
�
−2��
�
+2�
�
+�
= �
�
(�
2
– 2� + 2) +�


Respuesta: ʃ �
2
�
�
�� = �
�
(�
2
– 2� + 2) +�

Ejemplo 8. ∫�����
Solución: I L A T E

��� 1
�=��� ��=1 ��
��=
��
�
�=�
∫�����=����−∫��=����−�+�=�(���−1)+�

Respuesta: ʃ ����� = �(���−1)+�

Ejemplo 9.
ʃ �??????����
= 1/2�
2
??????�� − ʃ 1/2�
2
��/�
= 1/2�
2
??????�� – ½ ʃ ���
= 1/2�
2
??????�� – ½ .½ �
2
+ �
= 1/2�
2
??????�� – ¼ �
2
+ �
Respuesta: ʃ ������ =1/2�
2
??????�� – ¼ �
2
+ �

Ejemplo 10.
ʃ ??????�??????���
= �??????�??????� − ʃ ��
= �??????�??????� – � + �
= �(??????�??????� – 1) +�

Respuesta: ʃ ��??????��� = �(��??????�−1)+�


u = x
2
dv = e
x
dx
du

= 2xdx v = e
x


ʃ xe
x
dx
u = x dv = e
x
dx
du = dx v = e
x

u = Lnx dv = xdx
du = 1/x dx v = ½ x
2

u = Logx dv = dx
du = 1/x dx v = x

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Ejemplo 11. ∫??????�
�
?????? �??????

Solución: I L A T E

��
2
� 1
�=��
2
� ��=1 ��
��=2���
1
�
�� �=�
∫��
2
� ��=���
2
�−2∫���
1
�
���=���
2
�−2∫�����

Donde:
∫�����=
Solución: I L A T E

��� 1
�=��� ��=1 ��
��=
��
�
�=�
∫�����=����−∫��=����−�+�=�(���−1)+�
Luego:
∫��
2
� ��=���
2
�−2⌊�(���−1)+�⌋=���
2
�−2�(���−1)+�

Respuesta: ∫��
2
� ��= ���
2
�−2�(���−1)+�


Algunas integrales por partes comunes:
1) ʃ �
??????
�
??????�
��
ʃ �
??????
�������
ʃ �
??????
�������
Sea u= x
n
y dv= e
ax
dx = sen axdx =cosaxdx

2) ʃ �
??????
??????� ���
ʃ �
??????
����������
ʃ �
??????
����������
�= ??????��,��������,��������
��= �
??????
3) ʃ�
??????�
�������
ʃ �
??????�
�������
��� �= ����� � = �����
��= �
??????�
��

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EJERCICIOS PROPUESTOS



Evalúe las siguientes integrales

1. ʃ ��
2�
��
2. ʃ ��
�
2
��
3. ʃ �
4
�
�
��
4. ʃ �
2
�
2�
��
5. ʃ �
2
(??????��)
2
��
6. ʃ
(????????????�)
2
�
��
7. ʃ �
3
??????�� ��
8. ʃ √� ??????�� ��
9. ʃ �
2�
������
10. ʃ �
2
������
11. ʃ �
�
���2���
12. ʃ ����5���
13. ʃ ����
2
3���
14. ʃ �2
�
��
15. ʃ �
3
��� (�
2
)��
16. ʃ ���(??????��) ��
17. ʃ �
4�
���5���
18. ʃ �
−�
������
19. ʃ ���
−1
���
20. ʃ
�5
√1−�
3

��


En Resumen Si u = f(x), v = g(x), y si f´ y g´ son continuas, entonces
ʃ ��� = �� − ʃ ���

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EJERCICIOS DE ESTUDIO

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BIBLIOGRAFIA

Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson. Sexta Edición. 2012
Leithold, Louis. Cálculo. Editorial Harla. 1998.
Thomas, G., Finney R. Cálculo una variable. Editorial Pearson. Novena edición. 2006
Larson, Edwars. Cálculo Tomo I. Editorial Mc-Graw Hill.
Purcell – Valberg _Rigdon, Cálculo. Editorial Pearson. Octava Ediciòn. 2001
Swokowski, Eael W. Cálculo. Grupo editorial Iberoamericano. 2002

Bibliografía Complementaria:

Stewart. Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Thompson. Quinta Edición.
Stewart. Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Thompson. Quinta Edición.
Swokowski, Eael W. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Grupo editorial Iberoamericano.
Granville, William. Cálculo diferencial e integral. Editorial Hispano-Americana

WEBGRAFIA


www.matebruknca.com
www.fce.unam.edu.ar
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001285/index.html
http://www.aulafacil.com/matematicas-integrales/curso/Temario.htm
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=351
http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1/
http://calculo.tripod.com/
http://www.itpuebla.edu.mx/alumnos/cursos_tutoriales/carlos_garcia_franchini/calculo/PaginasWeb/WebIni
cioCI.htm
http://pis.unicauca.edu.co/moodle-2.1.2/course/view.php?id=60
http://www.wolframalpha.com/input/?i=intregral+%28tanx%29%5E2%28secx%29%5E3
www.matematicatuya.com
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