3 Polinomis Part 1 3r ESO

1. Unitat 3: Polinomis
1. Introducció
2. Monomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
3. Polinomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un polinomi
4. Valor numèric d'un polinomi
5. Operacions amb monomis
6. Suma i resta de polinomis
7. Producte de polinomis
8. Identitats notables

2. 1. Introducció
Parts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependència
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,
representació i interpretació.
-Treball amb nombres desconeguts,
que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra
Estadística i probabilitat
Anàlisi
Geometria
Aritmètica

3. 2. Monomis
Un monomi és una expressió algèbrica formada pel
producte entre un nombre racional conegut (el coeficient) i
una o més lletres elevades a un exponent natural (la part
literal).
x
2
y
7Són monomis o no?
9xt
4xy
2 2
3
a
3
x
2
3x
2
+4x 5√x
7x
1
x
-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar
elevades a un nombre que no sigui natural.
-No poden aparèixer ni sumes ni restes.
Exercici 9 pàg.65

4. 2. Monomis
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
a) Nomenclatura Monomi de grau 4
(3+1=4)1
2
b
3
·h
Coeficient
(el número)
Part literal
(les lletres)
b) Grau d'un monomi
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que
són monomis semblants.
c) Monomis semblants
3x
2
−4x
2x
2
3
−5
3
x
2
E
xercici 10, 11 i 13 pàg.65

5. 3. Polinomis
El grau d'un polinomi és el grau més alt dels termes que el
formen.
a) Nomenclatura Polinomi de grau 4
11x
3
y−7xy
2
+5x−13
Terme
b) Grau d'un polinomi
Exercici 14, 15, 16 pàg.66
Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
Terme TermeTerme
Grau 4 Grau 3Grau 1Grau 0

6. 4. Valor numèric d'un polinomi
Exercici 5 i 6 pàg.64
El valor numèric d'un polinomi és el nombre o resultat que
s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.
3x
2
+x+10
3·5
2
+5+10=3·25+5+10=75+5+10=90
3·5
2
+5+10
si x = 5

7. 5. Operacions amb monomis
El producte o quocient d'un o més monomis és un monomi que té
com a coeficient el producte/quocient dels coeficients, i com a part
literal el producte/quocient de les parts literals.
a) Suma i resta:
b) Producte i quocient:
3x
2
+4x
2
−9x
2
=−2x
2
3a·5b=(3·5)·(a·b)=15ab
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2a+b−4a+2b=−2a+3b
Exercici 1 full monomis
5x
2
·2x
3
=(5·2)·(x
2
·x
3
)=10x
5
Exercicis 2 i 3 full monomis

8. 5. Operacions amb monomis
c) La propietat distributiva:
3x·(5x
3
−2x)
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
Exercici 5 full monomis
3x·(5x
3
−2x)=3x·5x
3
−3x·2x
3x·5x
3
−3x·2x=15x
4
−6x
2

9. 5. Operacions amb monomis
d) Extracció de factor comú:
15x
4
−6x
2
Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.
Exercici 4 full monomis
3·5·x·x·x·x−3·2·x·x
3·x·x·(5·x·x−2)
3x
2
·(5x
2
−2)

10. 6. Suma i resta de polinomis
a) Suma:
P(x)=5x
3
−1
Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple:
Q(x)=7x
3
−5x
2
+3
P(x)+Q(x)
5x
3
7x
3
−5x
2
+3+
−1
12x
3
−5x
2
+2

11. 6. Suma i resta de polinomis
b) Resta:
P(x)=5x
3
−1
Cal recordar que restar és el mateix que sumar l'oposat. Així,
procedirem de la mateixa manera però sumant l'oposat del polinomi que
actua de subtrahend.
Exercici 21 pàg 67
Exemple:
Q(x)=7x
3
−5x
2
+3
P(x)−Q(x)
5x
3
−7x
3
+5x
2
−3+
−1
−2x
3
+5x
2
−4

12. 7. Producte de polinomis
P(x)=3x
2
−2x+7
Per multiplicar polinomis els disposarem també en columnes
ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del
segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants.
Exercicis 26 i 27 pàg.68
Exemple: Q(x)=3x−5
P(x)·Q(x)
x
−15x
2
+10x−35
3x
2
−2x+7
3x−5
9x
3
−6x
2
+21x
9x
3
−21x
2
+31x−35

13. 8. Les identitats notables
(a+b)
2
=a
2
+b
2
+2ab
Demostració:
a) Quadrat de la suma
(a+b)
2
=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b
a·a+1a·b+1a·b+b·b=a
2
+b
2
+2ab
Exemple:
(2x+3y)
2
=(2x)
2
+(3y)
2
+2·2x·3y=4x
2
+9y
2
+12xy

14. 8. Les identitats notables
(a−b)
2
=a
2
+b
2
−2ab
Demostració:
b) Quadrat de la diferència
(a−b)
2
=(a−b)·(a−b)=a·a+a·(−b)−b·a−b·(−b)
a·a−a·b−a·b+b·b=a
2
+b
2
−2ab
Exemple:
(2x
3
−6x)
2
=(2x
3
)
2
+(6x)
2
−2·2x
3
·6x=4x
6
+36x
2
−24x
4

15. 8. Les identitats notables
(a+b)·(a−b)=a
2
−b
2
Exercicis 30 pàg.69
Demostració:
c) Suma per diferència
(a+b)·(a−b)=a·a+a·(−b)+b·a+b·(−b)
a·a−1a·b+1a·b−b·b=a
2
−b
2
Exemple:
(x+2y)·(x−2y)=(x)
2
−(2y)
2
=x
2
−4y
2