3 - Turunan dan Diferensial Kalkulus Dasar.pdf

3 - Turunan dan Diferensial Kalkulus Dasar

1. MATEMATIKA I A
TURUNAN DAN
DIFERENSIAL

2. Masalah 1 Seorang peneliti mengamati tinggi suatu tanaman
selama 3 bu-lan. Tinggi tanaman setelah bulan ke-x adalah f
(x)
dm, yang memenuhi rumus hampiran f
(x)  x
2
, 1  x  4. Tentukan
besarnya laju pertumbuhan tanaman setelah bulan kedua, pada
saat x  2.

Masalah 2 Manager penjualan suatu industri mengevaluasi
kinerja seorang sales baru selama 3 bulan kerja. Setelah bulan ke-x
ia dapat menjual f
(x) ribu barang, yang memenuhi rumus
hampiran f
(x)  x
2
, 0  x  3. Tentukan besar-nya laju kenaikan
penjualan setelah bulan kedua, pada saat x  2.

Masalah 3 Kurva f
(x)  x
2
, 0  x  4 melalui titik A(2,4). Tentukan
gradien garis singgung di titik A dan persamaan garis
singgungnya.

3. Solusi Masalah Bertemakan Turunan 1. Laju pertumbuhan rata-rata dari tinggi tanaman terhadap waktu pada se-
lang waktu t  2 sampai t  x bulan adalah ( ) (2)
2
f x f
x dm/bulan.
2. Laju kenaikan rata-rata dari hasil penjualan terhadap waktu pada selang
waktu t  2 sampai t  x bulan adalah ( ) (2)
2
f x f
x ribu barang/bulan.
3. Gradien garis sekan dari titik (2,4) ke titik (x,x
2
) pada selang di sekitar 2
adalah ( ) (2)
2
f x f
x .

4. Untuk fungsi y  f (x) yang daerah asalnya selang terbuka I yang memuat c
kita mempunyai:
Laju perubahan rata-rata dari x  c ke x  c  h
adalah ( ) ( ) ( ) ( )
()
R
f c h f c f c h f c
c h c h
L .
Laju perubahan sesaat di c adalah 0
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
S
h x c
f c h f c f x f c
h x c
L
.
Turunan fungsi y  f (x) di c adalah 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
h x c
f c h f c f x f c
h x c
fc
.
Turunan fungsi y  f (x) di x pada selang I adalah 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
h t x
f x h f x f t f x
h t x
y f x
. Turunan fungsi y  f (x) di c adalah()fc , yang arti fisis-nya adalah laju perubahan
sesaat di c sedangkan arti geometrinya gradien garis singgung di 2.

5. Contoh Perhitungan Turunan dengan Limit
Tentukan turunan dari fungsi 1. f (x)  x
2
, 2. f (x) x ,
kemudian gambarkan kurva f dan turunannya dalam satu sistem koordinat
1. Turunan fungsinya adalah 22 2
00
0
() 2
( ) lim lim
lim(2 ) 2 .
hh
h
x h x hx h
hh
y f x
x h x 22
( ) ( )
( ) ( )
( ) lim lim
lim lim( ) 2 .
t x t x
t x t x
f t f x tx
t x t x
t x t x
tx
y f x
t x x
Cara lain:
2. Turunan fungsinya adalah ( ) ( )
11
( ) ( ) 2
( ) lim lim
lim lim .
t x t x
t x t x
f t f x tx
t x t x
tx
t x t x t x x
y f x

6. Notasi Turunan Pertama

7. Turunan Kiri, Turunan Kanan, dan Turunan pada suatu Selang Turunan fungsi y  f (x) di c adalah0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
h x c
f c h f c f x f c
h x c
fc .
Dalam kasus limitnya ada, fungsi f dikatakan terdiferensialkan di c.
Turunan kiri fungsi y  f (x) di c, ditulis ()fc didefinisikan sebagai 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
h x c
f c h f c f x f c
h x c
fc
.
Turunan kanan fungsi y  f (x) di c, ditulis ()fc didefinisikan sebagai 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
h x c
f c h f c f x f c
h x c
fc
.
Kaitan Fungsi y  f (x) terdiferensialkan di c jika turunan kiri, turunan kanan,
dan turunan f di c sama, yaitu ( ) ( ) ( )f c f c f c .

8. Fungsi yang Tak Terdiferensialkan di Satu Titik Daerah asal fungsi f (x)  x adalah selang [0,) sedangkan daerah asal
turunannya 1
2
()
x
y f x adalah selang (0,) karena
0 0 0
( ) (0)
0
1
(0) (0) lim lim lim
x x x
f x f x
xx x
ff (tidak ada) Daerah asal fungsi f (x)  | x | ,0
,0
xx
xx adalah . Karena (0) (0)ff ,
maka f tak terdiferensialkan di 0. Tetapi f terdiferensialkan untuk x  0. Dalam kasus ini 00
0
( ) (0)
0
(0) lim lim
lim 1 1
xx
x
f x f
xx
x
f

dan 00
0
( ) (0)
0
(0) lim lim
lim1 1.
xx
x
f x f
xx
x
f



y

y  | x |

1y 1y


0 x

Turunan y  | x | di 0 tidak ada.

y  | x |

1y 1y

9. Kaitan Kekontinuan dan Keterdiferensialan Teorema Jika fungsi f terdiferensialkan di c, maka f kontinu di c.
Bukti Karena f terdiferensialkan di c, maka ( ) ( )
lim ( )
xc
f x f c
xc
fc .
Karena ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )
x c x c
f x f c
xc
f x x c f c f c f c f c ,
maka fungsi f kontinu di c.
Catatan Kebalikan teorema ini salah, fungsi f (x)  | x | kontinu di 0 tetapi
tak terdiferensialkan di titik itu. Dari teorema ini juga diperoleh jika fungsi
f tak kontinu di c, maka f tak terdiferensialkan di c.

10. Turunan fungsi konstan 0
d
dx
c , c konstanta.
Aturan pangkat bilangan bulat 1nnd
dx
x nx , untuk n negatif : x  0
Aturan perkalian dengan konstanta Jika fungsi u terdiferensialkan ter-
hadap x dan c konstanta, maka d du
dx dx
cu c .
Aturan jumlah Jika fungsi u dan v terdiferensialkan terhadap x, maka
u  v juga terdiferensialkan, dan ()
d du dv
dx dx dx
uv .
Aturan ini dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi.
Aturan hasilkali Jika fungsi u dan v terdiferensialkan terhadap x, maka
uv juga terdiferensialkan, dan ()
d dv du
dx dx dx
uv u v .
Aturan hasilbagi Jika fungsi u dan v terdiferensialkan terhadap x, dan
v(x)  0, maka u
v juga terdiferensialkan, dan 2
u vu uv
v v
atau 2
du dv
du dx dx
dx v
vu
v .
Aturan rantai Jika fungsi y  f (u) terdiferensialkan di u  g(x) dan g(x)
terdiferensialkan di x, maka fungsi komposisi ( f  g)(x)  f (g(x)) juga ter-
diferensialkan di x dan memenuhi ( ) ( ) ( )() ()f g x f g x g x
.

11. Diagram aturan rantai komposisi f  g

laju perubahan
di x adalah
g ( ) ( )()f g x g x f

laju perubahan laju perubahan
di x adalah g(x) di g(x) adalah f (g(x))
x u  g(x) y  f (u)  f ( g(x)) Pendiferensialan implisit Kita mempunyai y fungsi dari x yang terkan-
dung secara implisit dalam F(x,y)  0. Pendiferensialan implisit adalah
proses menentukan turunan dy
dx dengan menganggap y fungsi dari x dan
aturan rantai.

12. Turunan fungsi trigonometri sin cos
d
dx
xx 2
tan sec
d
dx
xx sec sec tan
d
dx
x x x cos sin
d
dx
xx
2
cot csc
d
dx
xx csc csc cot
d
dx
x x x Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x)  x sin
2
x
Contoh: Dengan rumus hasilkali turunan diperoleh 22
( ) (2sin cos ) sin sin2 sinf x x x x x x x x
.
Dengan rumus hasilbagi turunan diperoleh 2 2 2
(1 )( 1) (1 )(1) 1 1 2
(1 ) (1 ) (1 )
()
xx xx
x x x
gx
.

13. Tunjukkan fungsi y  1x
x memenuhi 2
( 1) 0yy . Tulislah 1
1
x
y , maka 2
1
x
y dan 1
1
x
y Akibatnya 22
2 11
( 1) 0
xx
yy
.  .

14. Turunan pertama dari fungsi f adalah 2/3
1/3 1/3 1/3
11/3 2/3 1/3
3
sin
3
( ) ( sin ) (sin ) (sin ) ( )
cos (sin ) cos , 0.
d d d
dx dx dx
x
x
f x x x x x x x
x x x x x x x

Dari aturan ()fx belum didapat informasi tentang (0)f , sehingga (0)f
langsung dicari dengan definisi turunan dan hasilnya adalah 1/3
1/3
0 0 0
( ) (0) sin 0 sin
00
(0) lim lim lim 0 1 0
x x x
f x f x x x
x x x
fx
.
Karena fungsi y  x
1/3
, y  cos x, y  sin x, dan y  3x
2/3
semuanya kontinu
untuk x  0, maka fungsi f  kontinu untuk x  0. Tinggal ditunjukkan ke-
kontinunan fungsi f  di x  0. Karena 2/3 2/3
1/3 1/3
0 0 0 0
1 1/3
3
00
sin sin
33
sin
lim ( ) lim cos lim cos lim
0 1 lim lim 0 1 0 0 (0),
x x x x
xx
x x x
xxx
x
x
f x x x x x
xf

maka fungsi f  kontinu di x  0. Jadi f  kontinu pada . 1/3
sinxx Tentukan turunan pertama dari fungsi f

(x) 
Cek apakah turunan pertamanya kontinu pada

15. Garis Singgung dan Garis Normal Untuk fungsi y  f (x) yang terdiferensialkan di se-kitar c, arti geometri dari ()fc
adalah gradien garis singgung di titik (c, f (c)). Persamaan garis
singgung di titik singgung (c, f (c)) adalah
gs: y  f (c)  ()fc (x  c).
Di titik singgung (c, f (c)) terdapat garis yang tegak lurus gs, yang
dinamakan garis normal di (c, f (c)).

16. Turunan Tingkat Tinggi: Turunan kedua, ketiga,  , ke-n

17. Contoh Tentukan turunan ke-n dari fungsi f
(x)  sin x. Dari 1
2
( ) cos sinf x x x , 1
2
( ) sin sin( ) sin 2f x x x x , 1
2
( ) cos sin 3f x x x
, dan 1(4)
2
( ) sin sin 4f x x x diperoleh
turunan ke-n dari fungsi f adalah 1()
2
( ) sin
n
f x x n
.

18. Sebuah persegi mempunyai panjang rusuk x. Pada saat mengukur rusuk-
nya terjadi galat sebesar x. Galat luasnya adalah
L  (x  x)
2
 x
2
 2x x  (x)
2

Jika L(x)  x
2
, maka dL
dx  2x. Akibatnya L  dL
dx x  (x)
2
.
Dengan mengabaikan (x)
2
diperoleh dL  dL
dx x  2x x  dL
dx dx.
Besaran ini akan dirancang sebagai diferensial fungsi satu peubah. Da-
lam kasus ini dL merupakan suatu hampiran untuk L, ditulis L  dL.

19. Definisi Untuk fungsi y  f (x) yang terdiferensialkan di sekitar x,
diferensial dari peubah bebas x, ditulis dx, didefinisikan sebagai per-
tambahan sebarang dari x, yaitu dx  x,
diferensial dari peubah tak bebas y, ditulis dy, didefinisikan sebagai
dy  ()f x dx .
Catatan Dari dy  ()f x dx kita mempunyai ()
dy
dx
fx , yang berarti bah-
wa turunan fungsi f di x dapat dipandang sebagai hasilbagi dy dengan dx.
Sebagai ilustrasi, dari fungsi y  x
2
kita mempunyai 2
dy
dx
yx
dan dy  2x dx.

20. Aturan Turunan dan Aturan Diferensial

21. Hampiran dengan Diferensial Dari ( ) ( )y f c x f c diperoleh ( ) ( )f c x f c y

Jika hampiran untuk y adalah ()dy f c x , maka hampiran untuk f (c
 x) adalah ( ) ( ) ( )f c x f c f c x
Persamaan garis singgung di titik (c, f (c)) pada kurva f adalah
y  f (c)  ()fc (x  c), atau y  f (c)  ()fc (x  c).
Untuk x  c  x, persamaan ini dapat ditulis y  f (c)  ()fc x, sehingga
hampiran nilai fungsi dengan diferensial adalah hampiran dengan meng-
gunakan nilai di garis singgungnya.
Ilustrasi Untuk menentukan nilai hampiran 3
28 dari 3
27 3 , perha-
tikan fungsi f (x)  3
x dengan f (27)  3, 12/3
3
()f x x , dan 1
27
(27)f .
Nilai hampiran: 113
27 27
28 (28) (27) (27)(28 27) 3 1 3f f f .

22. Contoh Hampiran dengan Diferensial Sebuah tangki percobaan terdiri dari tabung tegak berdiameter 20 cm dan
tinggi 1 meter disertai dua buah setengah bola di bagian atas dan
bawahnya. Jika tangki akan dilapisi cat setebal 1 mm, taksirlah banyaknya
cat yang diperlukan dengan diferensial. Karena yang diukur adalah diameter tabung, ma-ka untuk diameter
tabung x cm tebalnya cat yang akan melapisi tabung adalah 0,2 cm.
Volume tangki untuk diameter tabung x cm dan tinggi tabung 100 cm
adalah 32
4 1 1
3 2 2
1 3 2 3
6
(100)
+25 cm .
V x x
xx

23. Akan ditentukan ( ) ( )V V x x V x untuk x  20 cm dan x  0,2 cm.
Berdasarkan hampiran diferensial, 1 23
2
( ) 50 cmV dV V x x x x x
.
Untuk x  20 cm dan x  0,2 cm diperoleh 1 3
2
400 50 20 0,2 240 754 cmV
.
Jadi banyaknya cat yang diperlukan adalah sekitar 754 cc. Catatan Bandingkan dengan jika luas permukaan tangki dihitung untuk
menentukan banyaknya cat yang diperlukan. Karena diameter tangki ada-
lah 20 cm, maka jari-jarinya adalah r  10 cm, sehingga luas permukaan
tangki adalah 22
4 2 100 4 100 2 10 100 2400 cmL r r
.
Karena tangki akan dilapisi cat setebal 0,1 cm, maka cat yang diperlukan
adalah (2400)(0,1) cm
3
. Hasil ini sama dengan 240 cc, atau 754 cc.