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Variables regionalizadas

1. INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE VARIABLES REGIONALIZADAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA “Norte de la universidad Peruana” Fundada el 13 de feberero del 1963 Facultad de ingenieria Escuela académico profesional de ingenieria de Minas INTEGRANTES Bustamante Chávez, Eder. Cayao Coronel, José . Regalado Bustamante, Carlos. Vasquez Z elada, Jhenifer

2. INTRODUCCIÓN En el presente informe haremos una introducción a la teoría de variables regionalizadas, la función variograma e hipótesis estacionario, para lo cual también trataremos algunas definiciones básicas de estadística que nos ayudaran a comprender el curso de geoestadística que a continuación se menciona.

3. Objetivos OBJETIVO PRINCIPAL • Comprender la teoría de variables regionalizadas . OBJETIVOS SECUNDARIOS • Recordar las definiciones de estadística básica. • Comprender que es geoestadística y conocer sus diferentes ámbitos de aplicación . • Entender la teoría de variables regionalizadas y su importancia en la minería .

4. ESTADISTICA Disciplina encargada y dedicada a estudiar las poblaciones Descriptiva Inferencial Describe su comportamiento según las condiciones o características de interés La definición de varias hipótesis o suposiciones en torno a esas características de estudio

5. Población Grupo de individuos, objetos que tienen una característica en común. Muestra Variable Cuantitativas Cualitativas Continuas Discretas Población la muestra debe ser representativa

6. Tipos de muestras Muestra probabilística Muestra no probabilística Técnica de muestreo que integra a toda la población dándole la oportunidad de participar en la muestra. Técnica de muestreo donde las muestras se recogen en un proceso que no brindan a todos los individuos de la población iguales oportunidades de ser seleccionados. Casual o accidental, intencional u opinatico , conveniencia, consecutivo, bola de nieve. Aleatorio simple, sistemático, estratificado, conglomerado

7. Métodos de muestreo Muestreo aleatorio simple todos los componentes o unidades de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados. Representación gráfica del muestreo aleatorio simple

8. Métodos de muestreo Muestreo sistemático Se selecciona al azar un punto de partida y un intervalo muestral . Así si el punto de partida fuera el 11 y el intervalo el 6 se elegirían el 11, 16, 21, 2 6 hasta recorrer toda la población. Representación gráfica del muestreo sistemático

9. Métodos de muestreo Muestreo estratificado La población en estudio se sub- divide en estratos o subpoblaciones que tienen cierta homogeneidad en el terreno y en cada estrato se realiza un muestreo aleatorio simple (o sistemático). Requisito principal para aplicar este método de muestreo: conocimiento previo de información que permita subdividir la población.

10. Métodos de muestreo Muestreo por conglomerados En poblaciones muy extensas Características del conglomerado • Conjunto de unidades muestrales elementales. • Heterogeneidad de la variable a medir • El número total de conglomerados en la población es conocido. • División previa de la población en conglomerados o “áreas convenientes”, de las cuales se selecciona un cierto número para la muestra.

11. Variables y Tipos de variables cada una de las características de los elementos de una población y que varían de una unidad a otra. Variable Tipos de variables Variables cualitativas (o categóricas ) aquellas que no tienen medida numérica; se representan por categorías o atributos (tipo de suelo, de vegetación, textura,…).

12. Tipos de variables Variables cuantitativas las que pueden expresarse numéricamente (temperatura, precipitación, profundidad suelo, altitud, pendiente, etc.) se clasifican en Variables discretas Variables continuas son el resultado de contar y sólo toman valores enteros (número de puntos, de cuadrículas, de píxeles). son el resultado de medir, y pueden contener decimales (temperatura, profundidad, altura).

13. Parámetros Estadísticos Moda (M o ):   Li: es el límite inferior de la clase modal . fi: es la frecuencia absoluta de la clase modal . fi-1: es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal . fi+1: es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal. ai : es la amplitud de la clase.

14. b) Media :     c) Varianza     Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total. Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:    

15. Si las muestras tienen distinto tamaño:  

16. Parámetros Estadísticos   d) Desviación Estándar (  

17.   Coeficiente de Variabilidad (CV):   Parámetros Estadísticos Es una medida de la variación relativa de los datos en porcentaje

18. La Geoestadística tiene su origen en la búsqueda, exploración y evaluación de yacimientos minerales útiles . Se ha consolidado y desarrollado en los últimos 30 años como ciencia aplicada casi exclusivamente en el campo minero . Las investigaciones han buscado los métodos más eficientes que proporcionen la mayor información posible de los datos disponibles . GEOESTADÍSTICA Origen

19. GEOESTADÍSTICA Origen Mediante el mejor estimador que minimice la varianza del error de estimación (error cuadrático medio) surge la Geoestadística por los trabajos de G. atheron en la Escuela Superior de Minas de París (1949 ) Entre los métodos más recientes se pueden citar los “ geomatemáticos ”: El Inverso de la Distancia, Triangulación, Splines , etc.

20. GEOESTADÍSTICA En los años 60, Matheron acuñó el término de Geoestadística Matheron formalizó y generalizó matemáticamente un conjunto de técnicas desarrolladas por D. G. Krige (1941) que explotaban la correlación espacial para hacer predicciones en la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica. D.G. Krige (1951) desarrolló la aplicación del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena (Mineral metalífero, principalmente el de hierro, tal como se extrae del criadero y antes de limpiarlo). Origen

21. La geoestadística es una rama de la estadística que trata fenómenos espaciales ( Journel & Huijbregts , 1978). Su interés primordial es la estimación, predicción y simulación de dichos fenómenos (Myers, 1987). GEOESTADÍSTICA Matheron definió a la Geoestadística como "la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales“ ( Matheron , 1962). Origen

22. GEOESTADISTICA DEFINICION -Rama de la estadística que se especializa en el análisis y la moderación de la variabilidad espacial en ciencias de la tierra. Su objeto de estudio es el análisis y la predicción de fenómenos en espacio y/o tiempo, como: leyes de metales, porosidades, concentraciones de un contaminante, etc.

23. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA GEOESTADISTICA 2.PETROLEO 1. MINERIA 9.AGRICULTURA 10.SALUD 8 .PESCA 3 .ESTUDIOS AMBIENTALES 5.CARTOGRAFIA 6.GEOFISICA 7 .HIDROGEOLOGIA 4.RIESGOS GEOLOGICOS

24. MINERIA 1. Estudios de factibilidad económica de un yacimiento 2. Peritaje minero 3. Cálculo de reservas 4. Diseño de métodos de explotación basados en la distribución de la mineralización 5

25. SOFTWARE DE APLICACIÓN • DATAMINE ( Datamine Group ) • GEMCOM ( Gemcom International)

26. PETROLEO 1. Modelos geológico – petrofísicos de yacimientos 2. Análisis de permeabilidad 3. Simulación de facies 4. Caracterización de propiedades petrofíscas y su escalamiento 5 . Integración de información de diferentes fuentes 6 . Evaluación de reservas 7 . Análisis de riesgo SOFTWARE DE APLICACIÓN 1.HERESIM3D ( Beicip-FranLab ) 2. PETREL ( Schulmberger )

27. HIDROGEOLOGIA 1 • Solución de problemas inversos (permeabilidad, transmisividades ) 2 • Estimaciones de los niveles piezométricos 3• Diseño de Redes óptimas de monitoreo 4• Estimación de los límites de la pluma de un contaminante MEDIO AMBIENTE 1• Predicción de la distribución de contaminantes en atmósfera, suelos, acuíferos, y cuerpos de agua 2• Evaluación de sitios contaminados 3• Estudios de riesgo e impacto ambiental

28. CARTOGRAFIA 1. Mantener actualizado el MGN y la Cartografía Geoestadística , con el fin de garantizar la cobertura nacional y oportunidad en cada una de las etapas de los Censos Nacionales. 2. Continuar la incorporación al Marco Geoestadístico de la delimitación a nivel de colonias de las localidades urbanas. 3. Generar un Marco Geoestadístico Nacional Digital con línea compartida, en donde una misma línea puede representar los diferentes niveles de desagregación del MGN (Estado, Municipio, Localidad Urbana, etc.). SOFTWARE DE APLICACIÓN • ArcGIS (ESRI)

29. CIENCIAS AGRÍCOLAS 1. Estudio de la distribución espacial y la afectación de plagas. 2. Inventarios forestales 3. Estudio cuantitativo de suelos y sus propiedades químicas y mecánicas. INDUSTRIA PESQUERA 1• Estimación in situ del potencialidad de pesca 2• Relación entre la distribución espacial de especies de peces y diferentes variables (profundidad, temperatura, salinidad, etc )

30. PASOS DE UN ESTUDIO GEOESTADISTICO 1. Análisis exploratorio de los datos. 4. Validación del modelo geoestadístico . 3. Interpolación o estimación espacial - kriging . 2. Análisis estructural, construcción del variograma

31. El Análisis Exploratorio de Datos (A.E.D.) es un conjunto de técnicas estadísticas cuya finalidad es conseguir un entendimiento básico de los datos y de las relaciones existentes entre las variables analizadas. Los programas que implementan diversas técnicas estadísticas en un entorno común. Algunos de los más utilizados son SAS, BMDP, SPSS, SYSTAT, STATISTICA, STATA y últimamente MINITAB, S-PLUS, EVIEWS, STATGRAPHICS y MATLAB.

32. 2. Análisis estructural, construcción del variograma El análisis estructural de un estudio geoestadistico se realiza a partir de modelos de interpolación siguientes: Determinísticos G lobales Inexactos Exactos Estocásticos L ocales las predicciones se realizan en base a fórmulas matemáticas las predicciones se realizan en base a probabilidades obteniendo varios modelos las predicciones en los puntos muestreados coinciden con el dato real La predicción en los puntos muestreadono coincide con el dato real realizan las predicciones bajo el concepto de vecindad- subconjunto   usan todos los datos de la muestra para realizar las predicciones - conjunto

33. CONSTRUCCION DEL VARIOGRAMA

34. 3. Interpolación o estimación espacial - kriging . Se utiliza en la evaluación de yacimientos para estimar el valor de una variable regionalizada, en un punto o en un bloque, a partir del uso de factores de ponderación. En la actualidad FUNDECOR utiliza este método de interpolación de modelos de elevación digital (mapas de curvas de nivel) para la planificación del aprovechamiento forestal de los bosques naturales KRIGING  es un método geoestadístico de interpolación espacial que ha probado ser útil y popular en muchos campos Dicho método provee, a partir de una muestra de puntos, ya sean regular o irregularmente distribuidos, valores estimados de aquellos sitios donde no hay información, sin sesgo y con una varianza mínima conocida

35. 4. Validación del modelo geoestadístico . Debido a que el uso de variogramas locales requiere mucha densidad de puntos, solo se uso la modalidad de variograma global ya que la muestra presenta amplias zonas sin datos En la Tabla se comparan los resultados del kriging por bloque y por puntos, según intervalo de confianza para la media de las predicciones al 95%, mostrando mejor predicciones para el modelo de variograma global con kriging puntual.

36. VARIABLES REGIONALIZADAS

37. VARIABLES REGIONALIZADAS DEFINICIÓN E s una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural. z(x ) en el punto x (irregular) REPRESENTACIÓN Aspecto aleatorio Aspecto estructurado. OBJETIVOS Plano teórico Plano práctico.

38. VARIABLES REGIONALIZADAS CARACTERÍSTICAS Localización Anisotropía Campo Soporte Estructuras geológicas

39. VARIABLES REGIONALIZADAS NOTACION CONDENSADA z(x) si el problema es unidimensional ( 1-D) z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D) z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D) EJEMPLO 1 En el espacio de una dimensión, sea z(x) = Ley de Cu a lo largo de una galería :

40. EJEMPLO 1 Las leyes de A - A´ se pueden graficar:

41. EJEMPLO 2 En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en el punto x dentro de un depósito masivo :

42. VARIOGRAMA Es una herramienta que permite medir las discrepancias de una propiedad en una región del espacio. DEFINICION   Donde: Z: variable estudiada. : Valor de dicha variable en el punto : Valor de la variable en el punto ( Número de parejas : Valor de la función variograma para un valor h.  

43. VARIOGRAMA CÁLCULO Sean N datos  z1, z2 , . . . , zN  y sea b la equidistancia entre ellos : Sea h = b: Según el algoritmo de cálculo se tiene: Sea h = 2b:

44. VARIOGRAMA CÁLCULO Sea en general h = kb (k = 0, 1, 2, . . . , N-1): Posteriormente los valores ɣ (0 ),  ɣ (b),   ɣ (2b),   ɣ (3b),   ...  se llevan a un gráfico:

45. En la Fig. 01 se muestra leyes distanciadas 2 metros. Realizar el cálculo de cada punto del variograma para distancias h=2m, h=4m, h=6m, etc EJEMPLO: Fig. 01

46. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS O CARACTERES ESTRUCTURALES REFLEJADOS POR EL VARIOGRAMA

47. Rango: Distancia a la cual el variograma se estabiliza Sill : Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango Variograma-Rango & Sill

48. PARTES DE UN VARIOGRAMA h : paso entre las muestras C : efecto de pepita a : alcance C : sill C + C : meseta s 2 : varianza estadística DEPENDENCIA ESTRUCTURA INDEPENDENCIA ALEATORIEDAD C a C h meseta s 2 GEO ESTADISTICA

49. Si para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionadas entonces el variograma es constante Rango: Distancia a partir de la cual no hay correlación Sill: Varianza de la función aleatoria Z Variograma-Rango & Sill

50. CARACTERES ESTRUCTURALES REFLEJADOS EN EL VARIOGRAMA CONTINUIDAD (para una línea muestreada regularmente) 1.1. Comportamiento del variograma para pequeñas distancias 1.1.1 Continuidad Estricta 1.1.2 Continuidad media 1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al origen 1.1.4 Variable aleatoria o efecto pepita puro 1.2. Comportamiento del variograma para grandes distancias 1.2 1 Leyes con crecimiento o decrecimiento progresivo 1.2.2 Leyes con pseudo – periodicidades 1.2.3 Fenómeno estacionario sin seudo -periodicidades (o fenómenos de transición) ANISOTROPIAS (para una malla regular bidimensional) 2.1 Geométrica 2.2 Zonal 2.3 Hibrida 3. FENÓMENOS DE TRANSICIÓN

51. 1. CONTINUIDAD Esta estrechamente ligada al comportamiento del variograma en las vecindades de origen, se puede distinguir cuatro tipos: 1.1. Comportamiento del variograma para pequeñas distancias 1.1.1 Continuidad Estricta 1.1.2 Continuidad media. 1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al origen (comportamiento discontinuo) 1.1.4 Variable aleatoria o efecto pepita puro

52. 1.1.1 Continuidad estricta o cuadrático Leyes muy regulares y continuas - Para una distancia b pequeña las dos leyes de la figura son casi iguales, lo que implica que para h pequeño Ɣ(h) es próximo a cero . Luego el gráfico del Ɣ(h), será como las siguientes figuras Se dice que Ɣ(h) tiene comportamiento parabólico en el origen. Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

53. 1.1.2 Continuidad media o lineal Continuidad y regularidad promedio, la Variable es continua pero no es derivable En este caso, para una distancia pequeña, la Diferencia de leyes es significativa. Luego el gráfico del Ɣ(h), será como las siguientes figuras Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro. Continuo de origen, pero presenta una tangente oblicua. Ley de mineral

54. 1.1.3 Efecto pepita o tangente vertical al origen Existencia de micro variaciones; presencia de una estructura a menor escala. La variable es mas continua Si la equidistancia entre datos b es menor que la escala de variación d de las microestructuras, el variograma en una vecindad de origen será: Si existiese un crecimiento rápido hasta I h I (debido a la micro regionalización) y luego un crecimiento mas moderado (debido a la variación a gran escala): se dice que existe efecto pepita. Co se llama de pepita. Es decir existe una discontinuidad aparente en el origen.

55. 1.1.4 Variable aleatoria o efecto pepita puro Caso en el cual la irregularidad de las leyes es total, la variable es caótica Por muy pequeña que sea la distancia b, las leyes de dos puntos a esta distancia son prácticamente independientes. Luego el gráfico del Ɣ(h), será: Se dice que Ɣ(h) presenta un efecto de pepita puro

56. Variación más suave a distancias cortas Variación más fuerte a distancias grandes Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas Comportamiento Híbrido

57. 1.2. Comportamiento del variograma para grandes distancias 1.2 1 Leyes con crecimiento o decrecimiento progresivo 1.2.2 Leyes con pseudo – periodicidades 1.2.3 Fenómeno estacionario sin seudo-periodicidades (o fenómenos de transición)

58. 1.2 1 Leyes con crecimiento o decrecimiento progresivo Leyes con tendencia o deriva Variograma con crecimiento sistemático

59. 1.2.2 Leyes con pseudo – periodicidades El fenómeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, varia de manera homogénea y sin deriva) Fenómeno estacionario con periodicidades El variograma presenta efecto de hoyo de agujero. En la figura d=9 unidades proporciona una medida del seudo-periodo; Δ es una medida de la intensidad del efecto (si el fenómeno es perfectamente periódico, entonces Δ =0

60. 1.2.3 Fenómeno estacionario sin pseudo -periodicidades (o fenómenos de transición) El fenómeno es homogéneo en su variación espacial, con cambios bruscos. Fenómeno estacionario sin periodicidades Se puede observar que dos muestras cuya distancia es mayor que el alcance a=6 son prácticamente independientes en ley. Dos muestras cuya distancia sea inferior al alcance a están correlacionadas entre si

61. ANISOTROPIAS N 90° 0° 45° 135° Variogramas en dos direcciones

62. Anisotropías Anisotropías : Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia. Anisotropía Geométrica Anisotropía Zonal Anisotropía Híbrida

63. Anisotropía Geométrica Anisotropía Geométrica : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

64. Anisotropía Zonal : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill Presencia de diferentes estructuras Anisotropía Zonal

65. Anisotropía Zonal

66. Anisotropía Híbrida : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill. Presencia de diferentes estructuras Característico de variogramas horizontales y verticales Anisotropía Híbrida

67. 3. FENOMENOS DE TRANSICIÓN El aumento mas o menos rápido de Ɣ(h) cuando h aumenta representa exactamente la manera mas o menos rápida con que se deteriora la influencia de una muestra sobre otra mas lejana (zona de influencia), es decir mas halla de cierta distancia h, las muestras no tienen influencia sobre otras (Fenómenos de transición, la transición entre un tipo de valores a otro) Según la dirección Δ 1 , formación estratiforme o lenticular Δ 1 Δ 2 Entonces estudiando como se deforma esa dimensión cuando varia la dirección del vector h, podemos hacernos la idea sobre la forma geométrica de estos cuerpos y poner en evidencia su dirección de alargamiento.

68. 70

69. CONCLUSIONES   Hemos conocido la teoría de variables regionalizadas. Se ha recordado las definiciones de estadística básica. Hemos logrado conocer la definición de geoestadistica y su utilidad. Hemos aprendido la función variograma.