Визначений інтеграл. Розв'язування вправ..pdf

вправи з алгебри

1. Визначений інтеграл
Розв'язування вправ НМТ і ЗНО

2. 1.Яку функцію називають первісною для функції
f(x)?
2.Що називають підграфікомфункції? Як його
називають інакше?
3.Що називають інтегралом функції f(х) на
проміжку ሾ�;ሿ�?
4.За якою формулою обчислюють визначений
інтеграл?

3. Завдання 1:
Обчисліть інтеграл ׬
0
7
����,
використовуючи зображений на
рисунку графік лінійної функції
�=�(�).
Розв’язок:
Згідно означення інтеграл функції �=�(�)
–це площа підграфікаданої функції на
заданому відрізку. Отже, треба знайти площу
фігури ABCDN.
Очевидно, що площа підграфікаскладається з суми площ прямокутника
ABDNта трикутника BCD.
??????
���??????=��∙�??????=3∙7=21(кв.од.)
??????
���=
1
2
��∙��=
1
2
∙7∙5=17,5(кв.од.)
Таким чином, ??????=21+17,5=38,5(кв.од.)
Відповідь: 38,5 кв.од.

4. Завдання2:
Використовуючи формулу Ньютона –Лейбніца, обчисліть
׬
1
2
6х
2
��.
Розв’язок:
Формула Ньютона -Лейбніца:
න
1
2
6х
2
��=6
х
3
3
ቤ
2
1
=2∙2
3
−2∙1
3
=16−2=14
Відповідь: 14

5. Завдання3:
Обчисліть інтеграл ׬
0
6
��+6��, якщо ׬
0
2
����=8
Розв’язок:
Застосуємо властивість інтеграла:
න
�
�
��+�(�)��=න
�
�
����+න
�
�
����
න
0
6
��+6��=න
0
6
����+න
0
6
6��=
=8+6�ቤ
6
0
=8+6∙6−6∙0=8+36=44
Відповідь: 44

6. Завдання4:
Обчисліть інтеграл: ׬
3
5??????
2
+2??????+1
??????+1
��
Розв’язок:
Спростимо підінтегральну функцію:
�
2
+2�+1
�+1
=
�+1
2
�+1
=�+1
Отже, шуканий інтеграл матиме вигляд:
න
3
5
�+1��=
�
2
2
+�ቤ
5
3
=
5
2
2
+5−
3
2
2
+3=17,5−7,5=10
Відповідь: 10

7. Завдання5:
Обчисліть інтеграл: න
2
3
�
9
−1
�
6
+�
3
+1
��
Розв’язок:
Спростимо підінтегральну функцію, застосовуючи формулу різниці кубів:
�
9
−1
�
6
+�
3
+1
=
(�
3
−1)∙�
6
+�
3
+1
�
6
+�
3
+1
=�
3
−1
Отже, шуканий інтеграл матиме вигляд:
න
2
3
(�
3
−1)��=
�
4
4
−�ቤ
3
2
=
3
4
4
−3−
2
4
4
−2=
81
4
−3−4+2=
=20
1
4
−5=15
1
4
(кв.од.)
Відповідь: 15,25 кв.од.

8. Завдання6:
Обчисліть інтеграл: න
??????
6
??????
2
5����∙�??????����
Розв’язок:
Спростимо підінтегральну функцію:
5�����??????��=5
����
�??????��
�??????��=5����
Отже, шуканий інтеграл матиме вигляд:
න
??????
6
??????
2
5������=5�??????��ቮ
??????
2
??????
6
=5�??????�
??????
2
−5�??????�
??????
6
=5∙1−5∙
1
2
=5−2,5=2,5
Відповідь: 2,5

9. Розв’язати самостійно: