4.1 definición del espacio vectorial y sus propiedades

1. Definición del espacio vectorial y sus propiedades. x y z

2. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares .

3. Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representara como u + v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u . Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas: Para cualquiera dos vectores u y v en V : u ⊕ v ∈ V Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma : La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto .

4. Para cualquiera dos vectores u y v en V: u ⊕ v = v ⊕ u Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma : El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Para cualquiera tres vectores u, v y w en V: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3 ) Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

5. Para cualquier vector u ∈ V existe un ú nico vector también en V y simbolizado por −u que cumple: u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0 (5) Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos: Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo .