4.4 base y dimension de un espacio vectorial

base y dimension de un espacio vectoria

1. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


1 TECNM-ITVH-2021_A


4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial


Sistemas de ecuaciones lineales como ecuaciones vectoriales.

Si 12
, , ,
n
x x x son las incógnitas de un sistema, la matriz de coeficientes es A , cuyos
términos constantes son las componentes de un vector b ; por tanto si 12
, , ,
n
a a a son las
columnas de A , las notaciones siguientes son equivalentes:
1 1 2 2
,
nn
A b a x a x a x b

 + =



Ejemplo. Escriba el sistema siguiente en forma vectorial
12
5 1 1 5 1
,,
6 3 1 6 3
xy
a a b
xy
− = −      
 = = =
     
− + = −      


Entonces 12
1 5 1
1 6 3
a x a y b x y
−     
+ =  + =
     
−     

Por lo tanto 5 1 1 5 1
6 3 1 6 3
forma vectorialxy
xy
xy
− = −      
 + =
     
− + = −      

Espacio generado por un conjunto de vectores

Definición. El conjunto de todas las combinaciones lineales de las n-vectores 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v
se llama espacio generado por los vectores 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v y se representa por  
1 2 3 n
Gen v ,v ,v , ,v
. Si  
1 2 3 n
V Gen v ,v ,v , ,v= , se dice que 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v generan a V
y que  
1 2 3 n
v ,v ,v , ,v es un conjunto generador de V .

Ejemplo1: ¿Esta 2
3


 en el 13
Gen ,
25
   
   
    ?
Solución: El vector está en el espacio generador si y solo si hay escalares 1
c y 2
c tales que
12
2 1 3
cc
3 2 5
     
=+
     
     
.

2. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


2 TECNM-ITVH-2021_A
Esto equivale a decir que la matriz aumentada 1 3 2
2 5 3


 es consistente. Determinando los
valores de 1
c y 2
c por cualquier método aprendido, tenemos que 12
c 1, c 1= − = así que el
sistema es consistente y el vector sí está en el generador.

Ejemplo 2. Determine un conjunto generador para: 3
3a b
V a 5b , a,b
a
−

= +  






Solución: como 3a b 3 1
a 5b a 1 b 5
a 1 0
−−     
     
+ = +
     
     
      para todos los escalares a y b , V esta generado
por
31
1 , 5
10
−   
   

   

   
   


Teorema. Si  
1 2 3 n
V Gen v ,v ,v , ,v= . Entonces para cualesquiera u y v en V y cualquier
escalar c , se cumple:

i. uv+ está en V
ii. cu está en V

Teorema 1. Si 1 2 3 k
v ,v ,v , ,v k vectores en un espacio vectorial V, entonces el espacio
generado por  
1 2 3 k
v , v ,v , ,v es un subespacio de V.

Teorema 2. Sean 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v n vectores en n y sea A la matriz de nn cuyas
columnas son 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v . Entonces 1 2 3 n
v ,v ,v , ,v son linealmente independientes sii
la única solución del sistema homogéneo AX 0= , i.e. A0

 , es la solución trivial X0= .

Teorema 3. Sea A la matriz de nn . Entonces det A 0 sii las columnas de A son
linealmente independientes.

Teorema 4. Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en n genera n

3. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


3 TECNM-ITVH-2021_A
Base de un espacio vectorial

Definición. Un conjunto de vectores  
1 2 3 n
v , v ,v , ,v es una base del espacio vectorial V si:

i. 
1 2 3 n
v , v ,v , ,v es linealmente independiente.
ii.  
1 2 3 n
v , v ,v , ,v genera a V.

Ejemplo1. Compruebe que 1 2 3
1 0 2
B v 1 , v 1 , v 1
1 2 0
 −     
     
= = = =
     

     −
     

es una Base de 3 .
Sol. Por el teorema 2. Sea1 0 2
A 1 1 1
1 2 0
−

=

−

y det A 8 0= −  , por el teorema 3 se concluye que  
1 2 3
v , v ,v es linealmente
independiente y por el teorema 4 genera a V, finalmente B es Base del espacio vectorial V.

Ejemplo 2. ¿Es el conjunto ()( )( ) T 1,1,1 , 2,1, 1 , 1,0, 2= − − Una base de 3 ?.
Solución. Sea 1 2 1
A 1 1 0
112


=

−−
 como detA 0= entonces las columnas de la matriz no son
linealmente independientes, por lo tanto, T no es Base de 3 .

Ejemplo 3. Demuestre que le conjunto
 B (2,1, 1,1),(1,0, 2,1),(0,0,0,1= − −

Es una base del subespacio vectorial:  (2 , , 2 , ) ; , ,H x y x x y x y z x y z= + − − + +  de 4


Solución. Como
2 1 0
1 0 0
(2 , , 2 , )
1 2 0
1 1 1
x y x x y x y z x y z
     
     
     + − − + + = + +
     −−
     
     

4. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


4 TECNM-ITVH-2021_A
Formamos la matriz 2 1 0 0
0
1 0 0 0
0
1 2 0 0
0
1 1 1 0
y
x
z

=

=
−−
=


Por lo tanto, B es linealmente independiente, con consecuencia H es generado por B. Así,
B es base de H.

Dimensión de un espacio vectorial

Si el espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces se dice que V es de
dimensión finita, y n es la dimensión de V . Se expresa,
dim(V) n=

La dimensión del espacio {0} , se define como cero. Por consiguiente, {0} es dimensional
finito. Un espacio vectorial que no tenga una base finita se llama dimensional infinito.

Primer teorema de la Dimensión.

Sea H un subespacio vectorial del espacio vectorial V n-dimensional. Entonces dimHn
. Si en particular, dimHn= necesariamente HV= . “la dimensión de cualquier subespacio H
de V es menor o igual que la dimensión del espacio”
dim imH d V


Segundo Teorema de la Dimensión.

Sean H y T dos subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V . En
este caso HT+ tiene dimensión finita y se cumple:
dim( ) dim dim dim( )H T H T H T+ = + − 


Teorema. Sea V un espacio vectorial n–dimensional, y sea S un conjunto de n elementos

1) Si S es linealmente independiente, entonces S genera a V , i.e., S es base.
2) Si S genera a V , entonces S es linealmente independiente, i.e. S es base.

Procesos de Cálculo de dimensiones

▪ En el caso de espacios generados: El número de pivotes de la matriz reducida es la
dimensión del espacio generado.
▪ En el caso de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos: El número de variables
libres es la dimensión del espacio lineal.

5. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


5 TECNM-ITVH-2021_A

Ejemplo 1. Determine la dimensión del espacio generado por
2 1 1 2
2 1 2 1
Gen , , ,
2 0 2 1
1111
 −        
       
− − −
       

       −−

       
−−       
.

Solución: formando la matriz aplicando Gauss-Jordan
2 1 1 2 1 0 0 0
2 1 2 1 0 1 0 0
2 0 2 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1
−   
   
− − −
    →
   −−
   
−−   


Por lo escrito anteriormente la dimensión es el número de pivotes de la matriz reducida,
dimensión 4.

Ejemplo 2. Determine la dimensión del subespacio que generan los polinomios:


2 2 3
3 2 3
2 x 2x ,1 5x x 2x ,
2 x x , 3 3x 3x x
− − − + + −
+ − − − −

Escribiendo los polinomios matricialmente y reduciendo por Gauss-Jordan
2 1 2 3 1 0 0 1
1 5 1 3 0 1 0 1
2 1 0 3 0 0 1 3
0 2 1 1 0 0 0 0
−   
   
− − −
    →
   −−
   
−−−   


La dimensión es el número de pivotes de la matriz reducida, i.e., la dimensión es 3.

Ejemplo 3. Determine la dimensión para el subespacio de 3 formado por las soluciones al
sistema 6 x 5 y 3 z 0
12x 10y 6 z 0
36x 30y 18z 0
− − =
− + + =
− − =

Solución: Escribiendo la matriz aumentada y utilizando G-J, se obtiene 5 1
22
6 5 3 0 1
12 10 6 0 0 0 0
36 30 18 0 0 0 0
 − −  − − 
 
−→
 
 −−


6. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


6 TECNM-ITVH-2021_A
Entonces: 5 1
22
10
01
x
y y z
z


=+


 

Por lo tanto, la dimensión es 2.

Cambio de Base

Teorema 1. Si  
1 2 n
v , v , ,v es una base de V y si vV , entonces existe un conjunto único
de escalares 1 2 n
c , c , ,c tales que 1 1 2 2 n n
v c v c v c v= + + +


Teorema 2. Si  
12
, , ,
n
u u u y  
12
, , ,
n
v v v son bases del espacio vectorial V , entonces mn=
; i.e. dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V contiene el mismo número de
vectores

Definición. Sea V un espacio vectorial de dimensiones finitas con base  
1 2 n
B v , v , ,v= .
Según el teorema 1, para vV existen escalares únicos tales que :
1 1 2 2 n n
v c v c v c v= + + +


El vector cuyos componentes son los coeficientes de v , expresado como B
v
 , se llama
vector de coordenadas (o vector coordenado) de v con respecto a B 1
2
B
n
c
c
v
c



  =





B
v

se modifica al cambiar la base B .

Ejemplo1. Se tiene la base de 3  B (1,0, 1),( 1,1,0),(1,1,1)= − −

y el vector v (2, 3, 4)=− .

a) Determine B
v

b) Calcule el vector w si B
6
w3
2


  = −




7. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


7 TECNM-ITVH-2021_A
Solución. a) B
v
 tiene como componentes a los escalares 1 2 3
c , c , c tales que
12
2 1 1 1
3 c 0 c 1 c 1
4 1 0 1
−       
       
− = + +
       
       −
       

Resolviendo el sistema por cualquier método, se obtienen los valores de 1 2 3
c , c , c

1
2
3
1 1 1 2 c 3
0 1 1 3 c 4
1 0 1 4 c 1
 −  = −

−  = −

−=



Así B
3
v4
1
−

  = −




Debido a que las componentes B
w
 son 6, -3 y 2
entonces 1 1 1 11
w 6 0 3 1 2 1 1
1 0 1 4
−       
       
= − + = −
       
       −−
       


Ejemplo 2: Obtenga el vector de coordenadas de 2
p 1 2x 3x= + +
a) La base estándar. (La base estándar en n
P es en 2
P con respecto a cada una de las
siguientes bases: 
2n
1,x,x , x )
b) La base  
22
B 1 x,1 x ,1 x x= + − + +
Solución. a)
Como la base estándar de 2
P es  
2
1, x, x y ya que 2
p 1 1 2 x 3 x=  +  +  tenemos que 
B
1
p2
3


=




b) Las componentes de 
B
p
 son escalares 1 2 3
c , c , c tales que 1 1 2 2 3 3
22
1 2 3
p c v c v c v
p c (1 x) c (1 x ) c (1 x x )
  = + +
= + + − + + +
22
1 2 3 1 3 2 3
1 2x 3x (c c c ) (c c )x ( c c )x+ + = + + + + + − +

Se tiene

8. Unidad 4- Espacios vectoriales Nota Investigativa


8 TECNM-ITVH-2021_A 1 2 3
13
23
c c c 1
c c 2
c c 3
++=
+=
− + =


Resolviendo por cualquier método tenemos que 1 2 3
c 0, c 1, c 2= = − =
Por lo tanto 
B
0
p1
2



=−


