4. Gauss_Seidel.pdf archivo de estudio completo
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Oct 31, 2025
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About This Presentation
Metodo de resolucion de problemas numéricos con un metodo simplemente explicado para mejor estructura a la hora de desarrollo de problemas de errores o aprox. .
Slide Content
Método de Gauss-Seidel
Método de Gauss-Seidel
¿Por qué?
El método de Gauss-Seidel permite al usuario el control del error por
redondeos.
Los métodos de Elminación tales como el Gaussiano y el método de
Descomposición LU son suceptibles a los errores por redondeos.
Además: Si se entiende la física del problema que esta
representando en la ecuaciones, es más fácil sugerir un valor inicial
adecuado para encontrar la solución con un número mínimo de
iteraciones.
¿Por qué?
El método de Gauss-Seidel permite al usuario el control del error por
redondeos.
Los métodos de Elminación tales como el Gaussiano y el método de
Descomposición LU son suceptibles a los errores por redondeos.
Además: Si se entiende la física del problema que esta
representando en la ecuaciones, es más fácil sugerir un valor inicial
adecuado para encontrar la solución con un número mínimo de
iteraciones.
Método de Gauss-Seidel
Es un método iterativo.
Procedimiento básico:
-Algebraicalmente resolver la ecuaciones para x
i
-Asumir un vector inicial de solución
-Resolver para x
i y repetir.
-Determinar el valor del error relativo aproximado luego de
cada iteración para comprobar si el error es igual o está por
debado de la tolerancia específicada.
Es un método iterativo.
Procedimiento básico:
-Algebraicalmente resolver la ecuaciones para x
i
-Asumir un vector inicial de solución
-Resolver para x
i y repetir.
-Determinar el valor del error relativo aproximado luego de
cada iteración para comprobar si el error es igual o está por
debado de la tolerancia específicada.
Método de Gauss-Seidel
Algoritmo
Se tiene un conjunto de n ecuaciones con n
variables desconocidas: 11313212111
... bxaxaxaxa
nn
2323222121
... bxaxaxaxa
n2n
nnnnnnn
bxaxaxaxa ...
332211
. .
. .
. .
Los elementos de la diagonal
no pueden ser ceros.
Despejar en cada ecuación la
variables desconocida
correspondiente.
Es decir:
La primera ecuación resuelve x
1
La segunda ecuación resuelve x
2
Algoritmo
Se tiene un conjunto de n ecuaciones con n
variables desconocidas: 11313212111
... bxaxaxaxa
nn
2323222121
... bxaxaxaxa
n2n
nnnnnnn
bxaxaxaxa ...
332211
. .
. .
. .
Los elementos de la diagonal
no pueden ser ceros.
Despejar en cada ecuación la
variables desconocida
correspondiente.
Es decir:
La primera ecuación resuelve x
1
La segunda ecuación resuelve x
2
Método de Gauss-Seidel
Algoritmo
Ecuaciones despejadas. 11
13132121
1
a
xaxaxac
x
nn
nn
nnnnnn
n
nn
nnnnnnnnn
n
nn
a
xaxaxac
x
a
xaxaxaxac
x
a
xaxaxac
x
11,2211
1,1
,122,122,111,11
1
22
23231212
2
De la Ecuación 1
De la Ecuación 2
De la Ecuación n-1
De la Ecuación n
Algoritmo
Ecuaciones despejadas. 11
13132121
1
a
xaxaxac
x
nn
nn
nnnnnn
n
nn
nnnnnnnnn
n
nn
a
xaxaxac
x
a
xaxaxaxac
x
a
xaxaxac
x
11,2211
1,1
,122,122,111,11
1
22
23231212
2
De la Ecuación 1
De la Ecuación 2
De la Ecuación n-1
De la Ecuación n
Método de Gauss-Seidel
Algoritmo
Form General para cada ecuación 11
1
1
11
1
a
xac
x
n
j
j
jj
22
2
1
22
2
a
xac
x
j
n
j
j
j
1,1
1
1
,11
1
nn
n
nj
j
jjnn
n
a
xac
x nn
n
nj
j
jnjn
n
a
xac
x
1
Algoritmo
Form General para cada ecuación 11
1
1
11
1
a
xac
x
n
j
j
jj
22
2
1
22
2
a
xac
x
j
n
j
j
j
1,1
1
1
,11
1
nn
n
nj
j
jjnn
n
a
xac
x nn
n
nj
j
jnjn
n
a
xac
x
1
Método de Gauss-Seidel
Algoritmo
Forma general para la fila ‘i’ .,,2,1,
1
ni
a
xac
x
ii
n
ij
j
jiji
i
Algoritmo
Forma general para la fila ‘i’ .,,2,1,
1
ni
a
xac
x
ii
n
ij
j
jiji
i
Método de Gauss-Seidel
Resolver para variables desconocidas
Asuma valor inicial para [X]
n
-n
2
x
x
x
x
1
1
Utilizar la ecuaciones despejadas
para determinar x
i.
Importante: Recordar utilizar el más
reciente valor de x
i. Lo anterior
significa utlizar los más recientes
valores calculados para determianr
los valores restantes en la actual
iteración.
Resolver para variables desconocidas
Asuma valor inicial para [X]
n
-n
2
x
x
x
x
1
1
Utilizar la ecuaciones despejadas
para determinar x
i.
Importante: Recordar utilizar el más
reciente valor de x
i. Lo anterior
significa utlizar los más recientes
valores calculados para determianr
los valores restantes en la actual
iteración.
Método de Gauss-Seidel
Calcular el valor absoluto del error relativo aproximado 100
new
i
old
i
new
i
ia
x
xx
¿Cuándo hemos encontrado la respuesta?
La iteraciones deben deternerse cuando el error aproximado
sea igual o menor que el error especificado, tolerado.
Calcular el valor absoluto del error relativo aproximado 100
new
i
old
i
new
i
ia
x
xx
¿Cuándo hemos encontrado la respuesta?
La iteraciones deben deternerse cuando el error aproximado
sea igual o menor que el error especificado, tolerado.
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Tiempo, Velocidad
5 106.8
8 177.2
12 279.2
El perfil de velodidades es aproximado al siguiente polinomiio 12.t5 ,
32
2
1
atatatv s t m/s v
Tabla 1 Velocidad vs. Tiempo data.
Ejemplo 1
Tiempo, Velocidad
5 106.8
8 177.2
12 279.2
El perfil de velodidades es aproximado al siguiente polinomiio 12.t5 ,
32
2
1
atatatv s t m/s v
Tabla 1 Velocidad vs. Tiempo data.
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
3
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
v
v
v
a
a
a
tt
tt
tt
3
2
1
Forma de la matriz del problema
El sistema de ecuaciones
reemplazando los valores:
2.279
2.177
8.106
112144
1864
1525
3
2
1
a
a
a
Valor incial asumido
5
2
1
3
2
1
a
a
a
Ejemplo 1
3
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
1
1
1
v
v
v
a
a
a
tt
tt
tt
3
2
1
Forma de la matriz del problema
El sistema de ecuaciones
reemplazando los valores:
2.279
2.177
8.106
112144
1864
1525
3
2
1
a
a
a
Valor incial asumido
5
2
1
3
2
1
a
a
a
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Despejando cada
ecuación:
2.279
2.177
8.106
112144
1864
1525
3
2
1
a
a
a
25
58.106
32
1
aa
a
8
642.177
31
2
aa
a
1
121442.279
21
3
aa
a
Ejemplo 1
Despejando cada
ecuación:
2.279
2.177
8.106
112144
1864
1525
3
2
1
a
a
a
25
58.106
32
1
aa
a
8
642.177
31
2
aa
a
1
121442.279
21
3
aa
a
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Aplicando el valor inicial para a
i
5
2
1
3
2
1
a
a
a 6720.3
25
)5()2(58.106
a
1
8510.7
8
56720.3642.177
a
2
36.155
1
8510.7126720.31442.279
a
3
Valor inicial
Ejemplo 1
Aplicando el valor inicial para a
i
5
2
1
3
2
1
a
a
a 6720.3
25
)5()2(58.106
a
1
8510.7
8
56720.3642.177
a
2
36.155
1
8510.7126720.31442.279
a
3
Valor inicial
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1 %76.72100
6720.3
0000.16720.3
1
a
x %47.125100
8510.7
0000.28510.7
2
a
x %22.103100
36.155
0000.536.155
3
a
x
Determinar el valor absoluto del error rel. aprox. 100
new
i
old
i
new
i
ia
x
xx
Al final de la primera
iteración:
El máximo error de la primera
iteración es 125.47%
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
Ejemplo 1 %76.72100
6720.3
0000.16720.3
1
a
x %47.125100
8510.7
0000.28510.7
2
a
x %22.103100
36.155
0000.536.155
3
a
x
Determinar el valor absoluto del error rel. aprox. 100
new
i
old
i
new
i
ia
x
xx
Al final de la primera
iteración:
El máximo error de la primera
iteración es 125.47%
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Iterción #2
Usamos
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
056.12
25
36.1558510.758.106
1
a
882.54
8
36.155056.12642.177
2
a
34.798
1
882.5412056.121442.279
3
a
De la #1 iteración
Ejemplo 1
Iterción #2
Usamos
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
056.12
25
36.1558510.758.106
1
a
882.54
8
36.155056.12642.177
2
a
34.798
1
882.5412056.121442.279
3
a
De la #1 iteración
%543.69100
056.12
6720.3056.12
1
a
x
%695.85100x
882.54
8510.7882.54
2
a
%540.80100
34.798
36.15534.798
3
a
x
54.798
882.54
056.12
3
2
1
a
a
a
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Determinar el valor absoluto del error rel. aprox.
Al final de la segunda
iteración:
El máximo error de la
segunda iteración es
85.695%
056.12
6720.3056.12
1
a
x
%695.85100x
882.54
8510.7882.54
2
a
%540.80100
34.798
36.15534.798
3
a
x
54.798
882.54
056.12
3
2
1
a
a
a
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
Determinar el valor absoluto del error rel. aprox.
Al final de la segunda
iteración:
El máximo error de la
segunda iteración es
85.695%
Iteration a
1 a
2 a
3
1
2
3
4
5
6
3.6720
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
72.767
69.543
74.447
75.595
75.850
75.906
−7.8510
−54.882
−255.51
−1093.4
−4577.2
−19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.972
−155.36
−798.34
−3448.9
−14440
−60072
−249580
103.22
80.540
76.852
76.116
75.963
75.931
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
0857.1
690.19
29048.0
a
a
a
3
2
1
Los valores obtenidos luego de varias iteraciones: %
1
a %
2
a %
3
a
Note – Los errores no disminuyen a una tasa significativa.
Tampoco obtenemos la solución verdadera:
1 a
2 a
3
1
2
3
4
5
6
3.6720
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
72.767
69.543
74.447
75.595
75.850
75.906
−7.8510
−54.882
−255.51
−1093.4
−4577.2
−19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.972
−155.36
−798.34
−3448.9
−14440
−60072
−249580
103.22
80.540
76.852
76.116
75.963
75.931
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
0857.1
690.19
29048.0
a
a
a
3
2
1
Los valores obtenidos luego de varias iteraciones: %
1
a %
2
a %
3
a
Note – Los errores no disminuyen a una tasa significativa.
Tampoco obtenemos la solución verdadera:
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 1
¿Qué sucede?
Aún cuando el procedimiento es correcto, no convergemos a la
solución.
El ejemplo ilustra la inconveniencia del método: no siempre converge.
¿Se puede solucionar?
Un sistema que siempre converge es: Aquel donde la matriz es
diagonalmente dominante.
Diagonalmente dominante: [A] en [A] [X] = [C] es diagonalmente
dominant e si:
n
j
j
ij
aa
i
1
ii
n
ij
j
ijii
aa
1
Para toda ‘i’ y
Al menos para una ‘i’
Ejemplo 1
¿Qué sucede?
Aún cuando el procedimiento es correcto, no convergemos a la
solución.
El ejemplo ilustra la inconveniencia del método: no siempre converge.
¿Se puede solucionar?
Un sistema que siempre converge es: Aquel donde la matriz es
diagonalmente dominante.
Diagonalmente dominante: [A] en [A] [X] = [C] es diagonalmente
dominant e si:
n
j
j
ij
aa
i
1
ii
n
ij
j
ijii
aa
1
Para toda ‘i’ y
Al menos para una ‘i’
Método de Gauss-Seidel:
Inconveniente
116123
14345
3481.52
A
Diagonalmente dominante: Los coeficientes de la diagonal deben ser
al menos igual a l asuma de los otros coeficientes en la misma fila y al
menos en una fila el coeficiente de la diagonal debes se mayor que la
suma de los coeficientes de la misma fia.
1293496
55323
5634124
]B[
¿Cuál de las siguientes el diagonalmente dominante
La mayoría de los sistema físicos resultan en sistemas de ecuaciones
lineales simultáneas que se representan por matrices diagonalmente
dominantes.
Inconveniente
116123
14345
3481.52
A
Diagonalmente dominante: Los coeficientes de la diagonal deben ser
al menos igual a l asuma de los otros coeficientes en la misma fila y al
menos en una fila el coeficiente de la diagonal debes se mayor que la
suma de los coeficientes de la misma fia.
1293496
55323
5634124
]B[
¿Cuál de las siguientes el diagonalmente dominante
La mayoría de los sistema físicos resultan en sistemas de ecuaciones
lineales simultáneas que se representan por matrices diagonalmente
dominantes.
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
Dado el sistema de ecuaciones 15312
321
x- x x 2835
321
x x x
761373
321
x x x
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Asumimos el sig. valor
inicial:
La matriz de coeficientes
es:
1373
351
5312
A
¿La solución converge utilizando
Gauss-Seidel?
Ejemplo 2
Dado el sistema de ecuaciones 15312
321
x- x x 2835
321
x x x
761373
321
x x x
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Asumimos el sig. valor
inicial:
La matriz de coeficientes
es:
1373
351
5312
A
¿La solución converge utilizando
Gauss-Seidel?
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
1373
351
5312
A 43155
232122
aaa 10731313
323133 aaa
8531212
131211 aaa
Ejemplo 2
1373
351
5312
A 43155
232122
aaa 10731313
323133 aaa
8531212
131211 aaa
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
76
28
1
1373
351
5312
3
2
1
a
a
a
12
531
32
1
xx
x
5
328
31
2
xx
x
13
7376
21
3
xx
x
1
0
1
3
2
1
x
x
x
50000.0
12
15031
1
x
9000.4
5
135.028
2
x
0923.3
13
9000.4750000.0376
3
x
Ejemplo 2
76
28
1
1373
351
5312
3
2
1
a
a
a
12
531
32
1
xx
x
5
328
31
2
xx
x
13
7376
21
3
xx
x
1
0
1
3
2
1
x
x
x
50000.0
12
15031
1
x
9000.4
5
135.028
2
x
0923.3
13
9000.4750000.0376
3
x
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
%00.100100
50000.0
0000.150000.0
1
a %00.100100
9000.4
09000.4
2
a
%662.67100
0923.3
0000.10923.3
3
a
El max. error en la primera iteración: 100%
Ejemplo 2
%00.100100
50000.0
0000.150000.0
1
a %00.100100
9000.4
09000.4
2
a
%662.67100
0923.3
0000.10923.3
3
a
El max. error en la primera iteración: 100%
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
8118.3
7153.3
14679.0
3
2
1
x
x
x
Luego de iter #1
14679.0
12
0923.359000.431
1
x
7153.3
5
0923.3314679.028
2
x
8118.3
13
900.4714679.0376
3
x
Sustituyendo en la ecuaciones:
Final de la iter #2
0923.3
9000.4
5000.0
3
2
1
x
x
x
Ejemplo 2
8118.3
7153.3
14679.0
3
2
1
x
x
x
Luego de iter #1
14679.0
12
0923.359000.431
1
x
7153.3
5
0923.3314679.028
2
x
8118.3
13
900.4714679.0376
3
x
Sustituyendo en la ecuaciones:
Final de la iter #2
0923.3
9000.4
5000.0
3
2
1
x
x
x
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2 %61.240100
14679.0
50000.014679.0
1
a
%889.31100
7153.3
9000.47153.3
2
a
%874.18100
8118.3
0923.38118.3
3
a
El max error luego de la segunda iteración es 240.61%
Es mucho más grande que el max error de la primera iteración. ¿Es esto
un problema?
Ejemplo 2 %61.240100
14679.0
50000.014679.0
1
a
%889.31100
7153.3
9000.47153.3
2
a
%874.18100
8118.3
0923.38118.3
3
a
El max error luego de la segunda iteración es 240.61%
Es mucho más grande que el max error de la primera iteración. ¿Es esto
un problema?
Iteration a
1
a
2
a
3
1
2
3
4
5
6
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
100.00
240.61
80.236
21.546
4.5391
0.74307
4.9000
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.889
17.408
4.4996
0.82499
0.10856
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
67.662
18.876
4.0042
0.65772
0.074383
0.00101
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
Valores obtenidos luego de 6 iteraciones. %
1a
%
2a
%
3a
4
3
1
3
2
1
x
x
x
0001.4
0001.3
99919.0
3
2
1
x
x
x
Solución obtenida cercana a la solución exacta .
1
a
2
a
3
1
2
3
4
5
6
0.50000
0.14679
0.74275
0.94675
0.99177
0.99919
100.00
240.61
80.236
21.546
4.5391
0.74307
4.9000
3.7153
3.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.889
17.408
4.4996
0.82499
0.10856
3.0923
3.8118
3.9708
3.9971
4.0001
4.0001
67.662
18.876
4.0042
0.65772
0.074383
0.00101
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 2
Valores obtenidos luego de 6 iteraciones. %
1a
%
2a
%
3a
4
3
1
3
2
1
x
x
x
0001.4
0001.3
99919.0
3
2
1
x
x
x
Solución obtenida cercana a la solución exacta .
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 3
Sistema de ecuaciones 761373
321
xxx 2835
321
xxx 15312
321
xxx
Asumimos el valor
inicial:
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Despejando las
ecuaciones. 3
13776
32
1
xx
x
5
328
31
2
xx
x
5
3121
21
3
xx
x
Ejemplo 3
Sistema de ecuaciones 761373
321
xxx 2835
321
xxx 15312
321
xxx
Asumimos el valor
inicial:
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Despejando las
ecuaciones. 3
13776
32
1
xx
x
5
328
31
2
xx
x
5
3121
21
3
xx
x
Iteration a
1
A
2
a
3
1
2
3
4
5
6
21.000
−196.15
−1995.0
−20149
2.0364×10
5
−2.0579×10
5
95.238
110.71
109.83
109.90
109.89
109.89
0.80000
14.421
−116.02
1204.6
−12140
1.2272×10
5
100.00
94.453
112.43
109.63
109.92
109.89
50.680
−462.30
4718.1
−47636
4.8144×10
5
−4.8653×10
6
98.027
110.96
109.80
109.90
109.89
109.89
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 3
Luego de 6 iteraciones: %
1a
%
2a
%
3a
El valor no converge
¿Significa que este método no puede ser utilizado?
1
A
2
a
3
1
2
3
4
5
6
21.000
−196.15
−1995.0
−20149
2.0364×10
5
−2.0579×10
5
95.238
110.71
109.83
109.90
109.89
109.89
0.80000
14.421
−116.02
1204.6
−12140
1.2272×10
5
100.00
94.453
112.43
109.63
109.92
109.89
50.680
−462.30
4718.1
−47636
4.8144×10
5
−4.8653×10
6
98.027
110.96
109.80
109.90
109.89
109.89
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 3
Luego de 6 iteraciones: %
1a
%
2a
%
3a
El valor no converge
¿Significa que este método no puede ser utilizado?
Método de Gauss-Seidel:
Ejemplo 3
La matriz no es diagonalmente
dominante
5312
351
1373
A
Pero es el mismo ejemplo 2 que
si converge.
1373
351
5312
A
Solo es reacomodar las ecuaciones.
Ejemplo 3
La matriz no es diagonalmente
dominante
5312
351
1373
A
Pero es el mismo ejemplo 2 que
si converge.
1373
351
5312
A
Solo es reacomodar las ecuaciones.
¿Porqué de la diagonal dominante?
http://numericalmethods.eng.usf.edu 30
http://numericalmethods.eng.usf.edu 30
http://numericalmethods.eng.usf.edu 31
Método de Gauss-Seidel
No todos los sistema puede reacomodarse para que sean
diagonalmente dominantes.
Ejemplo: 3
321
xxx 9432
321
xxx 97
321
xxx
No todos los sistema puede reacomodarse para que sean
diagonalmente dominantes.
Ejemplo: 3
321
xxx 9432
321
xxx 97
321
xxx
33
http://numericalmethods.eng.usf.edu 34
fin
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