4 l hospital

cv

1. Formas'indeterminadas'e'a'Regra'de'L’Hôspital'
Material(online:(h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc192010_2.html(
(((((((( (

2. Regra'de'L’Hôspital'
Considere a função
F(x)=
lnx
x−1
Como calcular ? '
lim
x→1
F(x)
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada

do tipo '
lim
x→a
f(x)
g(x)
0
0
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que '
lim
x→a
f(x)= lim
x→a
g(x)=0
Exemplo:!
lim
x→1
x
2
−x
x
2
−1
=lim
x→1
x(x−1)
(x+ 1)(x−1)
=lim
x→1
x
x+1
=
1
2
lim
x→0
sinx
x
=1

3. Regra'de'L’Hôspital'
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que '
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada

do tipo '
lim
x→±∞
f(x)= lim
x→±∞
g(x)=±∞
lim
x→±∞
f(x)
g(x)
∞
∞
Exemplo:!
lim
x→∞
lnx
x−1
= ?'

4. Regra'de'L’Hôspital'
Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que'
e'
e'
ou'
Então' se o limite das derivadas existir.'
Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito.'

5. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Forma indeterminada do tipo '
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'

6. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Forma indeterminada do tipo '
∞
∞
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente: '

7. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar!'

8. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'
Forma indeterminada do tipo '
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente:'
lim
x→0
2·secx·
d
dx
[secx]
6x
=lim
x→0
2·sec
2
xtanx
6x
=
1
3
lim
x→0
sec
2
x·lim
x→0
tanx
x
=
1
3
lim
x→0
tanx
x

9. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez:'
1
3
lim
x→0
tanx
x
=
1
3
lim
x→0
sec
2
x
1
=
1
3

10. Regra'de'L’Hôspital'
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e'
lim
x→a
f(x)=0 lim
x→a
g(x)=±∞
Neste caso, o limite é denominado forma

indeterminada do tipo '
lim
x→a
f(x)·g(x)
0·∞
Observe que , onde neste caso teremos uma


forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital.'
lim
x→a
f(x)·g(x)= lim
x→a
f(x)
1
g(x)
0
0

11. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
lnx
Forma indeterminada do tipo '
0·∞

12. Regra'de'L’Hôspital'
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e'
Neste caso, o limite é denominado forma

indeterminada do tipo '
Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente.'
lim
x→a
f(x)=∞ lim
x→a
g(x)=∞
lim
x→a
[f(x)−g(x)]
∞−∞

13. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'

14. Regra'de'L’Hôspital'
Definição: Potências indeterminadas:'
e'
e'
e'
tipo'
tipo'
tipo'
Estratégia: Tome o logaritmo natural:'
'

15. Regra'de'L’Hôspital'
Exemplo:'
Quando ,' e'
Aplicando a Regra de L’Hôspital:'
=e
lim
x→0
+lny