4 - Turunan dan Penggunaannya Kalkulus Dasar.pdf

4 - Turunan dan Penggunaannya Kalkulus Dasar

1. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 1
INHERENT K-1 ITB -UNHAS 2007 1
Laju yang berkaitan
Persoalan Memaksimumkan atau Meminimumkan
Menggambar grafik Canggih: Titik kritis, Nilai Ekstrim,
Kemonotonan, Kecekungan, Asimtot

2. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2
Contoh 1:
Tangki minyak bumi bocor di perairan yang tenang.
Minyak bocoran membentuk lingkaran dengan tanki
sebagai pusatnya.
Hitung laju perubahan luas area lingkaran
kebocoran minyak jika saat t = 2 jam, laju
perubahan jari-jari area adalah 4m/jam.

3. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 3
Pemodelan Matematika:
-Gambar sketsa dari permasalah.
-Tentukan semua variabel yang berkaitan
R(t) = jari-jari kebocoran minyak berbentuk lingkaran
di sekitar tangki
A(t) = luas kebocoran minyak berbentuk lingkaran di
sekitar tangki
Rumus yang mengaitkan: perhitungan luas lingkaran
dR/dt berkaitan dengan dA/dt.
Masalah di atas adalah penurunan implisit fungsi di
atas terhadap waktu t jam2
AR

4. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 4
2
22
dA d dR dR
R R R
dt dt dt dt
     
Pada saatt=2,R=4x2=8,dan lajunya 4 m/jam adalah:2 (8)(4) 64
dA
dt

Jadi laju perubahan area kebocoran adalah 64πm^2/jam

5. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 5
Hitung laju perubahan luas area lingkaran
kebocoran minyak jika saat t = 1,5 jam, jika laju
perubahan keliling area adalah 2πm/jam.

6. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 6

7. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 7

8. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 8

9. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 9
Dengan definisi-definisi tersebut, timbul pertanyaan
apakah setiap fungsi mempunyai nilai maksimum atau
nilai minimum atau bahkan keduanya ?
Sebagai contoh apakah f(x) = xdengan x di R
mempunyai nilai maksimum atau nilai minimum ?
Fungsi f(x) = x, dengan Df= R, tidak mempunyai
Nilai maksimum ataupun nilai minimum, karena tidak
terdapat bilangan c di R sehingga
f(c) >= f(x), untuk setiap x di R.

10. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 10
Fungsi yang dijamin mempunyai nilai maksimum
dan minimum dinyatakan dalam teorema berikut.

11. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 11

12. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 12

13. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 13

14. Titik Kritis, Kemonotonan,dan Titik Ekstrim
Fungsi y =f(x)kontinu pada selang terbuka I
14

15. Ilustrasi:
15

16. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 16
Hubungan turunan pertama dengan kemonotonan.
Teorema: Andaikan fkontinu pada selang I dan terdiferensialkan
pada setiap titik dalam I.
•Jika f ‘(x) > 0untuk semua xpada selang Imaka fnaik pada I.
•Jika f ‘ (x) < 0untuk semua xpada selang Imaka fturun pada I.
Definisi: Andaikan f terdiferensialkan pada selang I.
•Kita mengatakan bahwa f(dan grafiknya) cekung ke ataspada I
jika f ‘naikpada Idan
•kita mengatakan bahwa f cekung ke bawahpada Ijika f ‘turun
pada I.

17. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 17

18. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 18

19. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 19

20. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 20
Kalau anda ditanyakan : Nama gunung yang tertinggi di
Dunia, tentu jawabannya adalah gunung Everest.
Kemudian jika ditanyakan , nama gunung yang tertinggi
Di Indonesia, jawabannya adalah gunung JayaWijaya.
Kedua gunung ini sama-sama tertinggi, yang berbeda
Adalah daerah dimana gunung tersebut tertinggi, Yang
Satu di Dunia dan yang satu lagi di Indonesia dimana
Indonesia merupakan bagian dari dunia. Jadi di setiap
Daerah yang diberikan tentu kita dapat mencari gunung
Yang tertinggi.
Pencarian kita ini dikatakan secara lokal, karena hanya
Terbatas pada suatu daerah tertentu.
Demikian halnya fungsi mempunyai nilai ekstrim lokal.

21. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 21

22. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 22

23. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 23

24. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 24

25. ( ) 0fc ()fc Titik KritisFungsi y=f(x) mencapai titik kritisdi cpada selang
terbuka Ijika
atau c adalah titik ujung
(titik stasioner)atau tidak ada,
Ekstrim LokalFungsi y=f(x) mencapai
maksimum lokaldi cєDfjika terdapat selang terbuka I
yang memuat csehingga f(x) ≤f(c) untuk semua xєI;
minimum lokaldi cєDfjika terdapat selang terbuka I
yang memuat csehingga f(x) ≥f(c) untuk semua xєI.
25

26. ()fc ( ) 0fc Jikafungsifmencapaiekstrimlokaldicdan
maka
.Jika fkontinu pada [a,b], maka fmencapai ekstrim
mutlak pada [a,b].
Ekstrim Mutlak (Global)Fungsi y=f(x) mencapai
maksimum globaldi cєDf
jika f(x) ≤f(c) untuk semua xєDf;
minimum globaldi cєDf
jika f(x) ≥f(c) untuksemua xєDf.
ada
26

27. Fungsi y =f(x)kontinu pada selang terbuka I
27

28. Contoh bukan titik ekstrim:
28

29. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 29
2.Sebuah surat selebaran memuat 50cm persegi
bahan cetak. Bagian bebas cetak di atas dan di
bawah masing-masing selebar 4cm, sedangkan di
samping kiri dan kanan masing-masing 2cm. Berapa
ukuran selebaran tersebut sehingga memerlukan
kertas sesedikit mungkin?

30. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 30
2. Tentukansemuaselang
kemonotonankurvak??????=
??????
??????
2
−1
.

31. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 31

32. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 32

33. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 33

34. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 34

35. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 35
Contoh Persoalan Max-Min:
Mencari sudut pandangan terbesar.
Bagaimana menggunakan kalkulus untuk memaksimumkan sudut
pandang?

36. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 36
Contoh Menggambar Grafik memakai Kalkulus:
Kemonotonan ditunjukkan oleh perubahan tanda dari f’(x).
Bagaimana menentukan nilai ekstrim menggunakan Uji Turunan
Pertama?

37. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 37
•Periksa daerah asal dan daerah
hasil fungsi untuk melihat ada
daerah yang dikecualikan.
•Carititikpotonggrafikpada
sumbux dany.
Langkah 1:
analisis
prakalkulus

38. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 38
INHERENT K-1 ITB -UNHAS 2007 38
•Carititikkritis: titik ujung, stasioner, dan
singular (bila ada).
•Cari selang di mana grafik naik atau
turun dengan menghitung turunan
pertama.
•Uji titik kritis untuk mencari nilai
maksimum dan minimum.
•Carititikbelokdenganmenghitung
turunankedua.
•Cari selang dimana grafik cekung ke
atas atau bawah dengan menghitung
turunan kedua.
•Cariasimtot-asimtotdenganlimit ditak
hinggadanlimit takhingga.
Langkah
2:
Analisis
Kalkulus

39. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 39
INHERENT K-1 ITB -UNHAS 2007 39
•Gambarbeberapatitik(titik
potongsumbu, titikkritisdan
balik).
Langkah
3:
•Buatgrafiknya.
Langkah
4:

40. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 40
4032
203
)(
35
xx
xf


Langkah I: Analisis Prakalkulus
Daerah asal: (-∞,∞) atau bilangan Real
Daerah hasil: (-∞,∞) atau bilangan Real
Titik potong pada sumbu x didapat dari
Diperoleh x = 0 dan
Jadi titik potong adalah (0,0), dan 0)203(
32
1
23
xx 55
2 , 2
33
x )0,
3
5
2( 5
( 2 ,0)
3


41. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 41
41
Langkah 2: Analisis Kalkulus
Mencari titik kritis: titik ujung tidak ada.
Titik stasioner terjadi pada f’(x)=0.
maka x = 0, -2 atau 2.
Jadi titik kritis adalah x=-2, 0 dan 2.
Titik singulartidak ada karena fungsi merupakan fungsi
polinom yang punya turunan di setiap daerah asalnya.
Mencari selang kemonotonan:
Perhatikan selang (-∞,-2), (-2,0), (0,2) dan (2, ∞). Cari
titik-titik di dalam selang tersebut dan tentukan nilainya
positif atau negatif.0)1
4
1
(
8
15
)('
22
 xxxf

42. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 42
42
Pilih masukkan x = -4, -1, 1 dan 4 pada f’(x)
f ‘(-4) = 90 >0 f ‘(-1)=45/32 <0
f ‘(4) = 90 > 0 f ‘(1)=45/32 <0
Jadi selang naikpada (-∞,-2), dan (2, ∞) sedangkan
selang turunpada (-2,2).
-2
0 2
+
+-
-
-2

43. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 43
43
Mencari nilai ekstrim lokal(ada 2 cara, boleh pilih salah
satu):
dengan memakai Uji Turunan Pertama maka didapat
f(-2)=2 maksimumlokal karena f’(x)>0 pada selang
(-∞,-2), dan f’(x)<0 pada selang (-2,2),
f(2)=0 minimumlokal karena f’(x)<0 pada selang (-2,2)
dan f’(x)>0 pada selang (2, ∞).
Cara kedua adalah Uji Turunan Kedua.

44. Mencarikecekungangrafikdan titik belok:
gunakanfungsiturunankeduaf’’(x)=0
makatitikbelokx=0, dan
Perhatikanselang(-∞, ), ( ,0),(0, ), ( ,∞).
Masukkanbeberapatitikpadaf’’(x), misalx = -2, -1, 1, 2.
f’’(-2)= -15/2 < 0f’’(-1)=15/4 > 0
f(2)=15/2 > 0 f’’(1)=-15/4 < 0
Jadigrafikcekungkebawapadaselang(-∞, ) dan
(0, ) sedangkancekungkeataspadaselang( ,0)
dan( ,∞).
INHERENT K-1 ITB-UNHAS 44
440)1
2
1
(
4
15
)(''
2
 xxxf 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-2
0
2
+
+-
-
-22 2

45. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 45
45
Mencariasimtot:
x = a adalahasimtottegakjikaberlakusalahsatuatau
keduanya:
y = b adalahasimtotmendatarjikaberlakusalahsatu
ataukeduanya:
Padasoal, tidakadaa danb yang memenuhisemualimit
diatas.


)(limxf
ax 


)(limxf
ax bxf
x


)(lim bxf
x


)(lim

46. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 46
46
Gambargrafiklengkapnya: perhatikantuliskansemua
titikpotong, namasumbux dany, dantitik-titikekstrim
danbelok.
y
x2 2
2
-2
(2,-2)
(-2,2)
(1,4,-1,2)
(-1,4,1,2)

47. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 47Teorema Turunan di titik ekstrim lokal
Jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan()fc ada, maka( ) 0fc . Bukti Untuk kasus maksimum lokal: (untuk minimum lokal serupa)
Jika f mencapai maksimum lokal di c, maka f (x)  f (c) di sekitar c. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0dan 0 ( ) ( ) lim 0
( ) 0
( ) ( ) 0dan 0 ( ) ( ) lim 0
xc
xc
f x f c
xc
f x f c
xc
f x f c x c f c f c
fc
f x f c x c f c f c
.

48. INHERENT K-1 ITB-UNHAS
48Teorema Rolle Jika fungsi f kontinu pada [a,b], terdiferensialkan pada
(a,b), dan f (a)  f (b), maka terdapat c  (a,b) sehingga( ) 0fc . kontinu pada [ , ]
ada pada ( , ) ( , ) ( ) 0
( ) ( )
f a b
f a b c a b f c
f a f b
. Bukti Jika fungsi f konstan pada [a,b], maka( ) 0fx pada [a,b], jadi  c 
(a,b) ( ) 0fc . Jika fungsi f kontinu pada [a,b], maka f mencapai ekstrim
mutlak pada [a,b]. Karena f (a)  f (b) dan f tidak konstan pada [a,b], maka
maksimum atau minimumnya tak tercapai di ujung selang. Jadi  c  (a,b)
sehingga f men-capai ekstrim di c. Karena f terdiferensialkan di c, maka ( ) 0fc
.

49. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 49Teorema Nilai Rata-rata (TNR) Jika fungsi f kon-tinu pada [a,b],
terdiferensialkan pada (a,b), maka terdapat c  (a,b) sehingga( ) ( )
()
f b f a
ba
fc
. ( ) ( )kontinu pada [ , ]
( , ) ( )
ada pada ( , )
f b f a
ba
f a b
c a b f c
f a b
. Bukti Definisikan ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f b f a
ba
S x f x x a f a . Karena S kontinu pada
[a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan S(a)  S(b)  0, maka  c  (a,b) sehingga ( ) ( )
( ) ( ) 0
f b f a
ba
S c f c
. (Teorema Rolle) Akibatnya ( ) ( )
()
f b f a
ba
fc .

50. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 50
Contoh penerapanTeorema Nilai Rata-rataJika2
( ) 1 ,f x x tentukan nilai c yang memenuhi TNR pada selang [0,1]. Karena f kontinu pada [0,1] dan terdiferensialkan pada (0,1), maka
menurut TNR  c  (0,1) (1) (0)
10
()
ff
fc . Dari sini diperoleh 2
01
10
1
1
c
c
. Selesaikan per-samaan ini, diperoleh 2
1cc ,
sehingga 1
2
2c .

51. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 51
Contoh penerapanTeorema Nilai Rata-rata
JojomengendaraimobildariJakarta keBandung
sepanjang142 km dalam2 jam. Jojomengatakanbahwa
kecepatanmobilnyatidakpernahlebihdari60 km/jam.
ApakahJojoberkatabenar?

52. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 52