4. zapatas aisladas con trabes de liga

Zapatas

1. Página 1 de 11
4 ZAPATAS AISLADAS CO N TRABES DE LIGA

4.1 Introducción
En este capítulo se efectúa la interacción suelo estructura de una cimentación a base de
zapatas aisladas con trabes de liga, considerando la rigidez de la estructura de cimentación.

4.2 Interacción suelo estructura de cimentación

4.2.1 Ecuación matricial de flexibilidades

La figura 4.1 muestra una cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga. Por
conveniencia, se denotará a las zapatas de los extremos con las letras a y b; y a las zapatas
intermedias con los números 1, 2, 3,…, n (Fig. 4.1 a).



Fig. 4.1 Cimentación a base de zapatas aisladas con trabes de liga; a) cimentación real,
b) condición R = 0 y c) condición Ri = 1.



(c)
(b)
(a)
=1R' ibi RaiR
1i ni
ii2i
Ra0 Rb0
L
ii
n
i2
1
ba1 ni2
2
P iP nP bPPa 1 P
P
bPnPiP2P1a
RR RRR
Wa
bni21a
P
d
dd
d
y x

2. Página 2 de 11
La estructura de cimentación es hiperestática, por lo que para resolverla se utilizará el método de las
fuerzas, también llamado de flexibilidades o método de las deflexiones compatibles.

Para la utilización del método de las fuerzas, se suprimirán las zapatas intermedias, con lo que se
obtiene una estructura estáticamente determinada a la que se llama estructura primaria.

A la estructura primaria se aplican las cargas que actúan sobre la estructura de cimentación real, y se
calculan los desplazamientos ∆
i
, en cada uno de los puntos en donde se retiraron las zapatas
intermedias (fig. 4.1 b).

Después a la estructura primaria se le aplica una fuerza unitaria R
1
=1 en el punto 1 y se calculan las
deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,..., n, a esta condición se le llama
R
1
=1. En seguida se aplica a la estructura primaria una carga unitaria R
2
=1 en el punto 2 y se
calculan las deflexiones producidas por la carga unitaria en los puntos 1, 2,…, n, y se le llama
condición R
2
=1. Se continua con este procedimiento hasta aplicar una carga unitaria R
n
=1 en el
punto n.

Por compatibilidad de deformaciones para la condición R = 0 y las condiciones R
1
=1, R
2
=1,… y
R
n
=1, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:


F
nnnnnnn
F
nn
F
nn
RdRdRd
RdRdRd
RdRdRd
δ
δ
δ
−∆=+++
−∆=+++
−∆=+++
...
...
...
2211
222222121
111212111
(4 .1)

donde:

.
. ReR
.0
1.
F
i
i
i
byazapataslasarespectoconizapataladerelativoentoDesplazami
izapatalaenacción
RcondiciónlaparaipuntoelenentoDesplazami
RcondiciónlaparajpuntoelenentoDesplazamid
iji
=
=
==∆
==
δ

b
a
n
F
A
n
n
i
F
A
i
i
2
F
A
2
2
1
1
A
F
1


Fig. 4.2 Descomposición del desplazamiento vertical de una cimentación

3. Página 3 de 11
El desplazamiento vertical de la cimentación puede descomponerse, (fig. 4.2) como:


F
i
A
ii
δδδ+= (4.2)

donde:

.
.
,
.
ncimentaciódeestructuraladedeflexiónporipuntodelentoDesplazami
rígidancimentacio
deestructuradoconsideranbyazapataslasdetoasentamienporipuntodelentoDesplazami
izapataladeverticalentoDesplazami
F
i
A
i
i
=
=
=δ
δ
δ



Introduciendo la ecuación 4.2 en las ecuaciones 4.1 se tiene:


n
A
nnnnnnn
A
nn
A
nnRdRdRd
RdRdRd
RdRdRd δδ
δδ
δδ−+∆=+++
−+∆=+++
−+∆=+++...
...
...
2211
2222222121
1111212111
(4 .3)

El sistema de ecuaciones anterior puede escribirse en forma matricial, como se muestra a
continuación:


n
A
n
A
A
nnnnnn
n
nR
R
R
ddd
ddd
ddd δ
δ
δ
δ
δ
δ
2
1
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
−+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.4)


La ecuación matricial 4.4 relaciona las reacciones R
1, R2,…, Rn con los desplazamientos δ 1, δ2,…, δ n
de la estructura de cimentación, considerando la rigidez de la cimentación.

A la ecuación 4.4 se le llama
Ecuación Matricial de Flexibilidades (EMFLE) y se escribe en forma
abreviada de la siguiente forma:



[]
i
A
iiijiRd δδ−+∆= (4.5)

donde:

4. Página 4 de 11


.
. doconsideran
,
.0
.
. verticalesentosdesplazamideVector
rígidancimentaciodeestructura
byaapoyoslosdetoasentamienporentodesplazamiVector
RcondiciónlaparantodeplazamiedeVector
ncimentaciósuelocontactodereaccionesdeVectorR
adesflexibiliddeMatrizd
i
A
i
i
i
ji
=
=
==∆
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡δ
δ




4.2.2 Ecuación matricial de asentamientos

A partir de la ecuación 2.9 se obtiene la ecuación matricial de asentamientos (EMA), para la
cimentación a base de zapatas aisladas unidas con trabe de liga, como se ilustra en la figura 4.1 a); a
continuación se muestra la EMA:


b
n
a
b
n
a
bbbnbbba
nbnnnnna
bna
bna
abanaaaaR
R
R
R
R δ
δ
δ
δ
δ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
δδδδδ
2
1
2
1
21
21
2222212
1112111
21
...
...
...
...
...
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.6)






4.2.3 Ecuación matricial de interacción suelo estructura

Nótese que con las ecuaciones matriciales EMA y EMFLE se tienen 2n + 2 ecuaciones con 2n + 4
incógnitas, por lo que las 2 ecuaciones restantes se obtienen con la sumatoria de momentos igual a
cero en las zapatas a y b, con lo que el sistema de ecuaciones puede resolverse y obtenerse R
a, R1,
R
2,…, Rn, Rb y δa, δ1, δ2,…, δ n, δb. A continuación se presenta un algoritmo para la solución de estos
sistemas de ecuaciones.

5. Página 5 de 11

La ecuación EMA tiene n + 2 ecuaciones; mientras que la EMFLE posee n ecuaciones, por lo que
para poder trabajar con estas ecuaciones simultáneamente, se debe reducir la ecuación EMA a un
sistema de n ecuaciones:

Del primer y último renglón de EMA se obtiene:


babnanaaaaaaRRRRRδδδδδδ+++++=...
2211
(4 .7)

bbbnbnbbababRRRRRδδδδδδ+++++= ...
2211 (4 .8)

De los renglones 1 a n de EMA se tiene:


⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
bnbana
bbaa
bbaa
nnnnnn
n
nRR
RR
RR
R
R
Rδδ
δδ
δδ
δ
δ
δ
δδδ
δδδ
δδδ
22
11
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
(4.9)

Despejando | δ
i| de la ecuación anterior:


b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
nR
R
R
R
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
22
11
2
1
21
22221
11211
2
1
...
...
...
(4.10)

Despejando el vector | δ
i| de la ecuación (4.4):


nnnnn
n
n
A
n
A
A
nnR
R
R
ddd
ddd
ddd
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
2
1
...
...
...
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆
∆
=δ
δ
δ
δ
δ
δ
(4.11)

6. Página 6 de 11
Igualando las ecuaciones 4.10 y 4.11 tenemos:


nnnnn
n
n
A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
R
R
R
ddd
ddd
ddd
R
R
R
R
R
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡δ
δ
δ
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
(4.12)


A
n
A
A
n
b
a
nbna
ba
ba
nnnnn
n
n
nnnn
n
n
R
R
R
R
R
ddd
ddd
ddd
δ
δ
δ
δδ
δδ
δδ
δδδ
δδδ
δδδ
2
1
2
1
22
11
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
+
∆
∆
∆
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(4.13)


A continuación se desarrollara cada uno de los siguientes términos:


b
a
nbna
ba
baR
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δδ
δδ
δδ
22
11
y
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1







Termino:

b
a
nbna
ba
baR
R
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δδ
δδ
δδ
22
11
(4.14)

7. Página 7 de 11

bni21a
RRRRR
R
b0Ra0
ba1 ni2R

Fig. 4.3 Sistema equivalente para la obtención de las reacciones R a y Rb.


De la figura 4.3 se obtiene:


)...(
22110 nnaaRRRRR
ψψψ +++−= (4.15)

)...(
22110 nnbbRRRRR
ξξξ +++−= (4.16)

donde:

L
i
i
x
=
ψ (4.17)

L
i
i
y
=
ξ (4.18)

Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.14 tenemos:

n
n
n
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
ba
b
a
nbna
ba
baR
R
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
0
0
22
11
22
11
...
...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
(4.19)

Termino:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
A
n
A
A
δ
δ
δ
2
1
(4.20)

8. Página 8 de 11

Sustituyendo la ecuación 4.2 en la ecuación 4.20 obtenemos:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
bnan
ba
ba
A
n
A
Aδξδψ
δξδψ
δξδψ
δ
δ
δ
22
11
2
1
(4.21)



b
a
nn
A
n
A
Aδ
δ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
22
11
2
1
(4.22)




Sustituyendo las ecuaciones 4.7 y 4.8 en la ecuación 4.22:
b
n
a
bbbnbbba
abanaaaa
nn
A
n
A
A
R
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
2
1
...
...
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= δδδδδ
δδδδδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
(4.23)

9. Página 9 de 11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
bnbb
anaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
AR
R
R
R
R
2
1
21
21
22
11
2
1
...
... δδδ
δδδ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ
(4.24)


Sustituyendo las ecuaciones 4.15 y 4.16 en la ecuación 4.24 resulta:

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
n
n
n
bbba
abaa
b
a
bbba
abaa
nn
A
n
A
AR
R
R
R
R
2
1
21
21
0
0
22
11
2
1
...
... ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ
δ
δ
δ

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
n
bnbb
anaaR
R
R
2
1
21
21
...
... δδδ
δδδ
(4.25)

Sustituyendo las ecuaciones 4.19 y 4.25 en la ecuación 4.13 y reordenando términos resulta lo
siguiente:

nnnnnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
nb
b
b
R
R
R
aaa
aaa
aaa
ddd
ddd
ddd
∆
∆
∆
+=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
21
22221
11211
...
...
...
...
...
...
......
......
......δδδ
δδδ
δδδ
(4.26)

donde:

10. Página 10 de 11
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
bnbb
anaa
nn
n
n
bbba
abaa
nnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
δδδ
δδδ
ξψ
ξψ
ξψ
ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ ...
...
...
...
...
...
...
21
21
22
11
21
21
22
11
21
22221
11211


⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−n
n
nbna
ba
ba
ξξξ
ψψψ
δδ
δδ
δδ ...
...
21
21
22
11
(4.27)


0
0
22
11
22
11
2
1
b
a
nbna
ba
ba
bbba
abaa
nnnR
R
b
b
b
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
δδ
δδ
δδ
δδ
δδ
ξψ
ξψ
ξψ
(4.28)



A la ecuación 4.26 se le llama
“Ecuación Matricial de Interacción Suelo Estructura” (EMISE), y
puede simplificarse de la siguiente forma:


[][][]
iiijijijibRad ∆+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++δ (4.29)


La ecuación anterior puede escribirse de la siguiente manera:

iijiVRM =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ (4.30)

11. Página 11 de 11
donde:

[][][]
jijijijiadM ++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡δ (4.31)

iii
bV ∆+= (4.32)

Entonces:

[]
ijiiVMR
1−
= (4.33)

donde:

[] []
jijiMdeinversaMatrizM
1
=
−


Con la ecuación matricial 4.33 se obtienen las reacciones R
1, R2, …, Rn. Por sumatoria de momentos
en las zapatas b y a se obtienen R
a y Rb, respectivamente; y de la ecuación matricial de
asentamientos EMA se obtienen los desplazamientos δ
a, δ1, δ2, …, δ n y δb.