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Teorema de bayes

1. TEOREMA DE BAYES
Ing. Prof. Samuel Fernández Gutiérrez
Potosí - Bolivia
TEMA:

2. Definición.
Se debe al reverendo Thomas Bayes (1702-1761) quien fundamenta la
estadística bayesiana y sienta los principios de la teoría de decisión en
base a la concepción subjetivista de la probabilidad.
Sea A
1, A
2, A
3, … , A
k eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos que
representan una partición del espacio muestral, con P(A
i
) > 0 para i = 1,
2, … ,k.
Sea B un evento cualquiera de Ω con P(B) > 0, luego se tiene:

3. De lo cual tenemos el Teorema de Bayes:
Donde:
P(A
i
)Se llama probabilidad a priori, es la probabilidad de A
i
antes de de
modificarse por la infomación que aporte B.
P(B/A
i
)Se llama verosimilitudes.
P(A
i
/B)Son las probabilidades a posteriori, es la probabilidad de A
i
una vez que
usamos la información que aporta B.
Significado del Teorema de Bayes.
Que dadas las probabilidades a priori P(A
i
) de las causas A
1
, A
2
, A
3
,..., A
k

mutuamente excluyentes, permite calcular las probabilidades a posteriori P(A
i / B).

4. Ejemplos:
Ejemplo 1. El 48% de los estudiantes de una universidad son mujeres, se sabe
que el 60% de las mujeres y hombres usan Internet. ¿Cuál es la probabilidad de
que un estudiante que usa Internet sea mujer?.
Solución:
Sean los eventos: M: “El estudiante es mujer”, H: “El estudiante es hombre”, I: “El
estudiante usa Internet”.
Diagrama de árbol.

5. Ahora utilizamos el teorema de Bayes.
Interpretación: La probabilidad de que el estudiante que usa internet sea mujer es
0.48 o 48%.
Ejemplo 2. Un hotel de cinco estrellas tiene dos ascensores para el uso de sus
clientes, el primer ascensor es usado el 45% de las ocasiones, en tanto el
segundo es usado el resto de las ocasiones. El uso constante de los ascensores
ocasiona el 5% de fallas en el primer ascensor y un 8% en el segundo. Un día
suena la alarma de uno de los ascensores porque ha fallado. Se pide calcular la
probabilidad de que haya sido del segundo ascensor.

6. Solución:
Sea el evento A: “Suena la alarma”.
Diagrama de árbol.
Utilizando el teorema de Bayes tenemos:
Interpretación: La probabilidad de que suene la alarma y que sea del segundo
ascensor es 0.662 o 66.2%

7. Ejemplo 3. Para la construcción de un coliseo cerrado en un distrito de la ciudad
de Potosí. La empresa constructora compra cierto tipo de piezas, de tres
proveedores (A
1, A
2, A
3), el 50% de las piezas son comprados al primer proveedor
resultando defectuosos el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las
piezas y de ellos son defectuosos el 2%, las restantes piezas son suministrados
por el tercer proveedor siendo defectuosos el 2%. Se selecciona una pieza al azar
y es defectuosa.
Se pide calcular la probabilidad de que la pieza haya sido suministrada por el
tercer proveedor.
Solución: Sea el evento D: “La pieza es defectuosa”
P(A
1
)=0.5P(D / A
1
)=0.01
P(A
2)=0.3P(D / A
2)=0.02
P(A
3)=0.2P(D / A
3)=0.03

8. Diagrama de árbol.
Interpretación: La probabilidad de que la pieza haya sido suministrada por el
tercer proveedor A
3
es 0.267 o 26.7%.