5.000 problemas de analisis matematico ( demidovich )

a 7
SFU)
problemas
de análisis
matematico

B.PDemidévich

9° Edición

THOMSON:

15000 problemas de análisis matemático

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INDICE

Prólogo del traductor 9
Prólogo del autor a la edición espafiola u. n
PRIMERA PARTE
FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Capitulo I, Introducción al análisis. 13
$ 1. Los números reales ... ca E:
$ 2. Teoría de las sucesiones un Ñ 19
$ 3. Concepto de función iz 3
$ 4. Representación gráfico de las funciones . 40
$ 5. Limite de una función 33

§ 6. Orden infinitesimal y orden de crecimiento de
una función, O-simbolismo . 74
$ 7. Continuidad de una función 78
3 8. Función inversa. Funciones en forma paraméinca 88
$ 9. Continuidad uniforme de una función 9
$ 10. Ecuaciones funcionates E 94
Capitulo II. Cálculo diferencial de las funciones de una variable 97
§ 1. Derivada de una función explícita …. 97

1

3 2. Derivada de la función inversa. Derivada de una
función dada en forma paramétrica. Derivada de

una función dada en forma implícita …… 113

§ 3. Significado geométrico de la derivada... 115
$ 4. Diferencial de una función cnc 120
$ 5. Derivadas y diferenciales de orden superior .. 123
§ 6. Teoremas de Rolie, Lagrange y Cauchy 134
§ 7. Crecimiento y decrecimiento de una función.
Desigualdades .. 141
$ 8. Sentido de la concavidad, Puntos de inflexión … 145
§ 9. Cálculo de límites indeterminados 148
$ 10. Fórmula de Taylor . _—_ 152
311. Extemo de una función. Valores absolutos
máximo y mínimo de una función meo 158

$

$
$
$

Capítulo

12. Construcción de las gráficas de las funciones por
sus puntos característicos ..

13. Problemas de máximos y mínimos de funciones … 166

14. Contacto de curvas. Círculo osculador. Evoluta

15. Resolución aproximada de ecuaciones …

IL Integral indefinida .

1. Integrale indefinidas elementales

2. Integración de funciones racionales

3. Integración de funciones irracionale

4: integración de funciones trigonométricas

$.

5. Integración de diversas funciones transcendentes . 196
Diversos ejercicios de integración de funciones … 199

IV. Integral definida o
La integral definida como el límite de una suma ... 203

1

% Céleulo de integrales definidas mediante integrales
indefinidas ……

3. Teoremas de la media -

4. Integrales impropias

5. Cálculo de áreas …

6. Cálculo de las longitudes de los arcos =

7. Cálculo de volúmenes ... Z

8. Cálculo de áreas de superficies de revolución u... 2

9. Cálculo de momentos. Coordenadas del centro de
gravedad aseo 241

10. Problemas de mecánica y física 243

11. Cálculo aproximadao de integrales definidas 245

249

1. Series muméricas. Criterios de convergencia de
series de términos de signo constante … 249
Criterios de convergencia de series de términos de
signo variable a

2.
3. Operaciones con las series
4. Series funcionales

5. Series potenciales .
6. Series de Fourier ..
E
8,
9,
0.
L

Sumación de series.
Cálculo de integrales définis las por medio de series sud
Productos infinitos

Fórmula de Stirling
Aproximación de las funciones continuas
mediante polinomios ca =

SEGUNDA PARTE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Capítulo VI. Cálculo diferencial de las funciones de varias

variables .. cia 317
§ 1. Limite de una función. Continuidad ...... 317
$ 2. Derivadas parciales. Diferencial de une función … 323
§ 3: Desiacion delas fnciones implícitas. \ 338
$ 4. Cambio de variables 349
3 5. Aplicaciones geométricas «oo. 363
3 6. Fórmula de Taylor ... Lu 369
§ 7. Extremo de una función de varias variables un. 372
Capítulo VII. Integrales paramétricas 2381
$ 1. Integrales propias paramétricas 381
3 2. Integrales impropias paramétricas. Convergencia
uniforme de las integrales 387
$ 3. Derivación « integración de integrals impropias
bajo el signo integral au
$ 4. Integrales culerianas
$ 5. Fórmula integral de Fousier
Capítulo VL Integrales múltiples y curvilíneas co. 409

$ 1. integrales dobles …
2. Cálculo de áreas

3. Cálculo de volúmenes

4. Cálculo de áreas de superticies

5. Aplicaciones de las integrales dobles ala mecánica 425

6. Integrales wiples …

7. Cálculo de volúmenes mediante integrales trip

8. Aplicaciones de las integrales triples a la mecánica. 436

9. Integrales impropias dobles y triples

0. Integrales múltiples ..

1. Integrales curvilineas IT

2. Fórmula de Green ..

3

4

5

6

7

|. Aplicaciones físicas de las integrales curvilíneas „.. 463
Integrales de superficie ......... E

Fórmula de Stokes
;. Fórmula de Ostrogradski . '
. Elementos de la teoría de campo

1. Consta
U, Tablas

. Mantisas de los logaritmos decimaies .
Logaritrmos naturales a

Funciones hiperbölicas ...
: Facturial y funciones rela

APENDICES

nts principale

Magnitudes inversas. Raíces cuadradas y cúbicas. Fun-
ción exponencial a

Funciones trigonométricas ..
Función Gamma

598
598

598
598
599
599
599
600

PROLOGO DEL TRADUCTOR

El presente libro contiene alrededor de 4.500 problemas y ejercicios
de análisis matemático y abarca la gran mayoría de los temas que se
estudian durante los dos primeros años en el curso de Análisis Maternd-
tico en la Facultad Mecánico-matemática de la Universidad Estatal
Lomonósoy de Moscú, La orientación de la colección se debe al progra-
ma de análisis matemático vigente durante muchos años en esta Fatul-
tad,

EI autor del libro, profesor B.P. Demidóvich, es bien conocido en
España y América Latina por otro libro de problemas de 10 autores del
mismo tema, revisado por el profesor B.P, Demidóvich, pero destinado
a los centros de enseñanza técnica superior y de gran utilidad también
para los cursos de Matemáticas Generales. Éste libro ha sido reeditado
por la Editorial Paraninfo.

El libro que ahora presentamos en castellano está destinado a las
especialidades de matemática y física de las Universidades y a las
especialidades de ingeniería que tienen un programa ampliado de
matemática, Naturalmente, la enorme cantidad de problemas y ejer-
cicios diversos que se proponen son suficientes para poder aprender
a manejar bien las técnicos del cálculo, En la mayoría de los casos, al
final del libro se da la solución. Como no conocemos en castellano
colección alguno de problemas de análisis matemático tan completa,
creemos que el presente libro podrá cubrir las necesidades en esta
materia de las Universidades de habla hispánica. En la traducción se ha
«reído conveniente conservar todas las notaciones matemáticas emplea.
das por el autor,

La presente traducción se ha hecho de la séptima edición rusa.

Emiliano APARICIO BERNARDO

PROLOGO
ALA EDICION ESPAÑOLA.

La presente colección contiene gran número de problemas y ejer-
cicios, tanto de carácter práctico como teórico, referentes al análisis
matemático cläsico, Está destinado a los estudiantes de los primeros
cursos de las Universidades e Institutos Pedagógicos"). Los párrafos
del libro van acompañados de unas introducciones teóricas breves y de
una lista de fórmulas que, no obstante, no pretenden dar una expost-
ción sistemática de la teoria. Algunos de los enunciados de los teoremas
son de carácter práctico y sólo sirven para recordar al lector los resul-
tados principales del análisis matemático; además, se supone que ya
se conocen los capítulos correspondientes de la teoría.

En la colección no figuran problemas relacionados con la topología
elemental, análisis funcional, etc, puesto que en las universidades
de la Unión Soviética este material se expone ordinariamente en los
cursos superiores y no figura en el curso del análisis matemático,

Durante la confección de la presente colección se utilizaron parcial-
mente algunos tratados y guías de análisis matemático, En particular,
se han tomado algunos problemas de los libros: N. M. Gutünter
y R.O, Kuzsmin: “Colección de problemas de matemática superior”,
102 ed, Mosci Leningrado, año 1933; R Buck: “Advanced Calculus”
(New York-Toronto-London, 1956), Dr. D. 8. Mitrionovie: “Zbornik
matematickih problema, I (Boegrad, 1958)

Espero que la versión castellana de la presente colección le permita
al lector obtener una idea de la enseñanza del análisis matemático en
las universidades de la U.R.S.S.

B. P. DEMIDOVICH
Profesor de ia Universidad de Moscú

+) Los institutos Pedaósicos en La Unión Sorten son Cantos de Enseñanza Superior
de preparación de Profeores de Ensenanza Mesta

u

NOTA: Por lead Mpográlicas y para il estores en 1 re
proivcin e as lormulae, ve ha conservado 1a teint
Sia do “en en lugar de “en coma Indicación de "seu

cost À INTRODUCCION AL ANALISIS,

$ 1. Los números reales

1° Método de inducción matemática, Para demostrar qué un teore-
ma es válido para cualquier número natural », es suficiente demostrar
que: 1) el teorema cs válido para m= 1, 2)si el teorema es válido para
algún número natural 1, entonces también es válido para el siguiente
número natural n +1

2° Cortadura. Una partición del conjunto de tos números racionales
en dos clases A y B se llama cortadura si se cumplen las condiciones
siguientes: 1) ambas clases no estén vacías; 2) todo número racional
pertenece a una clase y sólo a una; 3) cualquier número perteneciente a
la clase A (clase inferior) es menor que cualquier número perteneciente
a la clase B (clase superior). Una cortadura A/B determina: a) un
número racional, sien la clase inferior A hay un número máximo o si en
1a clase superior 2 hay un múmero mínimo; b) un número irracional, si
la clase A no posee un número máximo y la clase £ no poses un mimero
mínimo. Los números racionales e isracionales se denominan números
reales").

3.° Valor absoluto, Si x es un número real, se llama valor absoluto
|x| al múmero no negativo que se determina por las condiciones
siguientes

ba

iaa

Pare cualesquiera números reales x e y se verifican Jas desigualdades:
miley lleida

4. Extremo superior (supremo) y extremo inferior (ínfimo). Sea
X= (x Jun conjunto acotado de números reales. El número

inf x)

se llama extremo inferior o ínfimo del conjunto X, si:

saci: d no hay ningún inconvenient, el vocablo “ndmero™ spniftars un

número

13

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS
1) cualquier x EX") cumple la desigualdad
som:
2) para cualquier e > 0, existe x’ EX tal que
¿Sade

De un modo similar, el número

sl

se llama extremo superior o supremo del conjunto X, si
1) todo x € X cumple la desigualdad

x,
2) para cualquier «> 0, existe x" EX tal que
PTE
Si el conjunto X no está acotado inferiormente, se dice que
(es
si el conjunto X no está acotado superiormente, se dice que

sopla

52 Errores absoluto y relativo, Si a (a # 0) es el valor exacto de ia
magnitud que se mide, y x es el valor aproximado de esta magnitud,
entonces

se Mama error absoluto, y

a
TT
se llama error relativo de la magnitud que se mide.

Se dice que el número x tiene n cifras exactas, si el error absoluto de

este número no excede de la mitad de una unidad del orden de la
mésima cifra significativa.

La expresión x G nie que a némers x petenece al conjunto X

14

LOS NUMEROS REALES
Problemas:

Aplicando el método de inducción matemática, demostrar que para
cualquier número natural » se verifican las siguientes igualdades:

11424. E
Cp pate ecb

RUE bal
ee

= etai)

wa) y a
Demostrar que

Scta~n at,

donde CY es el número de combinaciones marias de n elementos.
Deducir de aqui la fórmula del binomio de Newton.
6. Demostras la desigualdad de Bernoulli:
e ESS tba barbed te

donde Xy, x3, ~-, Xn son números de un mismo signo, mayores que — 1
7. Demostrar que, six >= 1, se vesficala desigualdad

Mr (>)

donde el signo de igualdad se verifica solamente para x = 0.
8. Demostrar la desigualdad

(QP) pan wet
Indicación. Aplicar la desigualdad

E a, due

9. Demostrar la desigualdad
241. > (a+ DY para n> la
15

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

10. Demostrar la desigualdad

2n 1
ES
10.1. Demostrar las desigualdades

NN OSM

DAS A
©) [sin Jala Es. u

(sr held,

4) Ca <2 (a

11. Supongamos que c es un número entero positive que no es el
cuadrado exacto de un múmero entero, y que A/B es una cortadura que
determina el número real ,/ €, donde pertenecen a la clase # todos los
"números racionales positivos b, tales que D? >c, y a la clase A, todos
los demás números racionales, Demostrar que en la clase A no hay un
húmero máximo y en la clase 8 no hay un número mínimo.

12. La cortadura A/B que determina al número % 2, se forma del
modo siguiente:

La clase A contiene todos los números racionales a; tales que a? < 2;
la clase 8 contiene todos tos demás números racionales, Demostrar que
en Ja clase A no hay un número máximo y que en la clase B no hay un
número mínimo.

13, Construyendo las cortaduras correspondientes, demostrar las
igualdades:

a) VIHVESVIE m V2V3=VT.

14. Construir la cortadura que determina el nimeso 2V?.

15. Demostrar que todo conjunto numérico no vacío, que está
acotado inferiormente, tiene un extremo inferior (infimo), y que todo
conjunto numérico no vacío, que está acotado superiormente, tiene un
extremo superior (supremo).

16. Comprobar que el conjunto de todas las fracciones racionales
propias

1.LOS NUMEROS REALES
donde m y # son números naturales y O < im <i, no tiene elementos
mínimo y máximo. Hallar el info y el supremo de este conjunto.

17. Determinar el ínfimo y el supremo del conjunto de los números
racionales 7 que cumplen la desigualdad

ra

18. Sea {— x} el conjunto de los nümeros opuestos a los nümeros
xe ixh

Demostrar que

a) uni D) sup (— 2}

tota)
19. Sea (x+y} el conjunto de todas las sumas x +y, donde
x€ (x),y € (y)
Demostrar las igualdades:

a) tat (Fy) int (a) tint yi
©) sup fey} = ap (2) su y).
20. Sea (xy) el conjunto de todos los productos xy, donde
x€ {x},y€© {y}, siendox>0, y >0.
Demostrar las ¡guáldades:
a) tot ay)
24. Demostrar las desigualdades:

a) este if

af {x} inf {y} D) sup (xy) — sup {x} sup {y}.

Y le do X Le EN hie
Resolver as desigualdades.

21 ]<Om 26, 21d le] 10.
23. [22] 510 AE
Adal AS
25. (2: —1|<]x—1f 29.1: (1 —2)1< 0,05,

30. Demostrar la identidad
es
31. Midiendo una longitud de 10 om, el error absoluto era de 0,5

mm; al medir una distancia de 500 km, el error absoluto era igual a 200
m. ¿Qué medición es más exacta?

”

CAPITULO). INFRODUCCION AL ANALISIS
32. Determinar la cantidad de cifras exactas que tiene el número

1=2,3152,

si el error relativo del mismo es 1 %.
33, Elnümero
== 12,125

tiene 3 cifras exactas. Calcular el error relativo de este nümero.
34, Los lados de un rectángulo son iguales a

,50 cm +-0,01 em,
00 cm 20,02 cm.

,

¿Entre qué limites está comprendida el área S de este rectángulo?
¿Cuáles son el error absoluto À y el error relativo & del área del
Tectángulo, si se toman por lados sus valores medios?

35. El peso de un cuerpo p = 12,59 g £ 0,01 g y su volumen »=3,2
em 40,2 om3. Calcular el peso específico del cuerpo y acotar los
errores absoluto y relativo del peso específico, si por peso del cuerpo y
volumen se toman los valores medios.

36. El radio de un círculo es igual a

Fer m 401 m.
¿Con qué error relativo mínimo puede determinarse el área del círculo,
sise tomar = 3,14?

37. Las medidas de un paralelepípedo rectangular son:

4,7 m 4-02 m,
65m+0,) m,
12m2E03 m.

¡Entre qué límites está comprendido el volumen » de este paralelepipe-
do? ¿Con qué errores absoluto y relativo puede determinarse el volu-
men de este paralelepípedo, si por medidas del mismo se toman sus
valores medios?

{Con qué error absoluto se debe medir el lado de un cuadrado x,
donde 2m <x <3 m, para tener la posibilidad de medir el área del
mismo con una exactitud hasta de 0,001 m??

39. ¿Con auf erores aplutos A es ufliente medi lo ladon x =
de un rectángulo para poder calcular su área con una exactitud hasta de
0,01 m?, si los lados no miden más de unos 10 m, aproximadamente?

18

2 TEORIA DE LAS SUCESIONES
40. Sean 5 (x) y 6 (y) los errores relativos de los números x e », y

sea 5 (xy) el error relativo del número xy,
Demostrar que

3) 009480) +5) 50)

§ 2. Teoría de las sucesiones

12 Concepto de limite de una sucesión, Se dice que el limite de la

sucesión %1, Xp, «<a Any. 6S el número a (0 abreviadamente, que
converge hacia a), es dectr,
lim sans,

si, para cualquier e > 0, existe un número N= (e) tal, que
Immal<e para n=.
En particular, xq se llama infinitamente pequeño, o infinitésimo, si

lien xq

Una sucesión que carece de límite se llama divergente.
22 Criterios de existencia de limite.

1) Si
niet
: As
se tiene Tess

2) Una sucesión monótona y acotada tiene límite,

3) Criterio de Cauchy. Para la existencia de límite de una sucesión
(in ), es necesario y suficiente que, para cualquier e>0, exista un
número N=N (0), tal que

ee <e,
para cualesquiera n > N y p > 0.

Teoremas fundamentales de los límites de las sucesiones. Supo-
niendo que existen los límites

Jimny y Jima

19

CAPITULO 1-ANTRODUCCION AL ANALISIS

se tiene
D) si <a entonces liza la, gs

2 na tad Hi im un
5 Jin ent) mon i a

tim a
9 im Fm mn.

42 El número e, La sucesión

Pel] eue

tiene un límite finito

so, (+

Jeanne

5. Límite infinito, La expresión simbólica

lim nen

denota que, cualquiera que sea el número £>0, existe un número
N (E), tal que

ImI>B para an.

6° Punto de acumulación, El nümero $ (o el símbolo cs) se llama
limite parcial (o punto de acumulación) de una sucesión xq (n = 1
..), 5 existe una subsucesión (o sucesión parcial)

USAS.)

tal que

Toda sucesión acotada tiene al menos un límite parcial finito (princi
pio de Bolzano-Weierstrass). Si este limite parcial es Unico, entonces,
éste es el límite finito de la sucesión dada,

El límite parcial mínimo (finito o infinito) de la sucesión xp.

Jim za

2

2. TEORIA DE LAS SUCESIONES
se llama Limite inferior, y el límite parcial máximo
Tm
limite superior.
La igualdad

es condición necesaria y suficiente para la existencia de limite (finito o
infinito) de Ja sucesión x,

Problemes:
41, Sea
aa ana.)
Demostrar que
im

hallando para cada e > 0 un número N=N (e), tal que

aile, para >.

Rellenar la tabla siguiente

42, Demostrar que xp (n= 1, 2, ... es infinitamente pequeña (0 sea,
que tiene limite, igual a 0), indicando, para cualquier e >0, un número
N=N (6) tal que sea lp |< eparan SN, si

9 x

1
at

Dani mtr.

a

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

Rellenar la tabla que se da a continuación en cada uno de estos casos:

eo | oo [oes |

PTT E

43. Demostrar que las sucesiones
Mia, b) x,

=, ete lem) nen

2). =t

tienen Limite infinito cuando n—+e (o sea, que son infinitamente
grandes o infinitas), hallando, para cualquier E>0, un número
N=N (E) tai que sea | x, | > E paran > N.

Rellenar la tabla que se da a continuación en cada uno de estos casos:

no está acotada, a pesar de que no es infinitamente grande cuando

45. Formular, mediante desigualdades, las siguientes afirmaciones:

a) lm x, b) mx, ce 0) lim ke.

Suponiendo que » recorre la sucesión natural de números, calcular
los valores de las siguientes expresiones:

47. MVA 9. im .

Teen

AAA
so E dal ct, IC,

3. TEORIA DE LAS SUCESIONES

sm ++.

55, (4 +

56. "tn (+ Fe:

57. in VEY EYE...

Demostrar las siguientes igualdades:

8. tim Ya=110>0.

CCE TENTE
65. im A
66.

67. ¿Qué expresión es mayor para valores suficientemente grandes
den:
3) 100n4-200 o Ola b) 2 0 m
oa

© 1000

68. Demostrar que

lim

mn
#5)
Indicación, Véase el ejercicio 10.

69. Demostrar que la sucesión

ml) era

CAPITULO 5, NTRODUCCIÓN AL ANALISIS

es monótona creciente y está acotada superiosmente, mientras que ta
sucesión

»

falo wenn.

es monótona decreciente y está acotada inferiormente. Deducir de esto
‘que estas sucesiones tienen un límite común.

OS

70. Demostrar que
osea mer 2.

¿Fara qué valores del exponente n 1 expresión (IH) aiferir de
ac

71, Sea pa Gre, 2,..) una sucesión arbtaia de números que
tiende hacia +, y E Qn (n=1, 2,...) una sucesión art ria de
ios dha an

72. Sabiendo que

demostrar que

DEN
2d ie

dgnqe0<On <1, y calcular el número e con una exactitd hasta
qo"

73, Demostrar que el número e es irracional

74, Demostrar la desigualdad

(EJ <a<e($)

2

75. Demostrarles despualdes
+),
onde meson nömero natural ario;
bita<e,
donde aes un número teal, distinto deceo

76. Demostrar que

na (@>0),

donde In a es el logaritmo del número a de base
Aplicando el teorema de la cxistencia de límite de una sucesión
monótona y acotada, demostrar la convergencia de las siguientes suce:
siones:
TT. a= pot od (n=l, 3

donde (= 0, 1, 2, ..) son números enteros no negativos, no superio-
res a 9, comentando desde pa

+)
81. meVT VIVE

Aplicando el criterio de Cauchy, demostrar la convergencia de las
siguientes sucesiones:

82. ta ang

donde
Tat, 1,2.) y WT
int cn? sine
IR
cos cost cost

en.
85. tte tet tr

25

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN AL ANALISIS

Indicación. Aplicar la desigualdad

86. Une sucesión x, (
da, si existe un número C tal que

nal
Demostrar que una sucesión de variación acotada ex convergente.
Dar un ejemplo de una sucesión convergente que no sea de variación
acotada.
87. Explicar qué significa que para una suce
eLriterio de Cauchy.
88. Aplicando el criterio de Cauchy, demostrar que la sucesión

bate

1 dada no se verifica

es divergente.

89. Demostrar que, si una sucesión xp (4 = 1, 2, ... es convergente,
entonces cualquier su bsucesión de la misma xp,, también es convergente
y tiene el mismo límite:

Mo p= Um xy.

90. Demostrar que una sucesión monótona es convergente, si es
convergente alguna subsucesión de la misma,

91. Demostrar que, si

lim x,=0,

se tiene
tal.

92, Six, —+ 0, ¿qué se puede afirmar respecto del limite
lim et?

93. Demostrar que una sucesión numérica convergente es acotada.

94. Demostrar que una sucesión numérica convergente, o bien alcan-
za el supremo, o bien alcanza el ínfimo, o bien el uno y el otro. Dar
ejemplos de sucesiones de los tres tipos.

95. Demostrar que una sucesión mumérica xy (1
de hacia + e», necesariamente alcanza el ínfimo.

1,2, .) que tien-

26

3. TEORIA DE LAS SUCESIONES.

Hallar el término máximo de le sucesión x, (1=1,2, ..), si
98, 5 — 100

inimo de la sucesión xp (n= 1, 2, ..., si

90100, 100, xy» 10

99. x,
Para la sucesión xq (2 = 1, 2, ..), hallar inf xq, SUP Xn

Wiz, y Ti xy si

103, 14

108.

109. = 1-H asin iz.
à

10. 3:

fins, y a,

sis

Uh

MT ER,

12. (147) paint, 115, 2 DER
13

2

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

11 2 5 4
EIA

5
a. (Hear
+[o+r9+— eo]

121. Dar un ejemplo de una sucesión numérica cuyos límites parcin-
les sean unos números dados

Oy Gp tp

122. Dar un ejemplo de una sucesión numérica para la cual, todos
los términos de una sucesión numérica dada

sean sus límites parciales, ¿Qué limites parciales más tiene necesaria:
mente la sucesión construida?

123. Dar un ejemplo de sucesión que:

4) no tenga limites parciales finitos,

b) tenga un límite parcial finito único, pero que no sea convergente;

©) tenga un conjunto infinito de límites parciales;

4) tenga como limite parcial cualquier número real.

124, Demostrar que las sucesiones xy € Ya = V AG = 1, 2...)
tienen unos mismos límites parciales.

125. Demostrar que de una sucesión acotada x (3 =1, 2,
pre se puede extraer una subsucesión convergente x, , (=, 2,

126, Demostrar que, si una sucesión x, (1= 1, 2, ..) no está acota-
da, entonces existe una subsucesiön xp, tal, que

lim += 60.
127. Supongamos que la sucesión xn (n= 1, 2, .) es convergente y
que la sucesión pp ("= 1, 2,..) es divergente,” ¿Qué se puede afirmar

respecto de la convergencia de Jas sucesiones:
a) EY Ener}

Poner ejemplos correspondientes.

128, Supongamos que las sucesiones x, € yn (= 1, 2,
gentes. ¿Se puede afirmar que las sucesiones

2) Ad 0) Ae

también son divergentes?
Poner ejemplos correspondientes.

son diver

28

2. TEORIA DE LAS SUCESIONES.

129. Supongamos que

Poner ejemplos correspondientes,
130. Supongamos que

¿Se deduce de aquí que, o bien
ny
LE,

Examinar el ejemplo: x.

131. Demostrar que
Sach ln yy lin (ud 10

b) lim x, lim y, Tim (eye lim x,4- fim y,.

Poner ejemplos para los cuales en estas relaciones se verifiquen las
desigualdades estrictas.
132. Supongamos que x, > D eyn >0 (1

2) UM qe ln ya lm (y) lin,

y

D lin a Po E Ge in das ny

Poner ejemplos para los cuales en estas relaciones se verifiquen las
desigualdades estrictas.

133. Demostrar que, si existe „Tim x, , entonces, para cualquier
sucesión pa (= 1, 2,...), se tiene:

ATEN
D = im x, TB, 9,6, 20.

2

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN AL ANALISIS

134. Demostrar que, si para una sucesión xy (m= 1, 2, ...) y para
cualquier sucesión Ya (n=1, 2,..), se verifica al menos una de las
igualdades:

a) Ta (+ is s+ img
o bien LT
Rey, >

DR

la sucesión xp es convergente.
135. Demostrar que, six, >0 (11, 2, ..) y

a x,
1a sucesión xq es convergente.
136. Demostrar que, sila sucesión x, (n=

2, ..) está acotada y

hn (aes 4410,

entonces los limites parciales de esta sucesión están situados densamen-
te entre sus límites inferior y superior:

yt

Tm sa,

es decir, cualquier número del segmento [1 L] es un limite parcial de la
Sucesión dada
137. Supongamos que la sucesión numérica x4, 235 Xi»
la condición
Van, Un RET 2e

cumple

Demostrar que existe Jim ==

138. Demostrar que, sila sucesión x, (= 1, 2, «.) es convergente, la

sucesión de las medias aritméticas

A aha
también es convergente y
tim tat + tim 2.

Lo recíproco no es justo, Poner un ejemplo.

30

|
|

2 TEORIA DE LAS SUCESIONES.
139, Demostrar que, si

lim pco,
tiene
se lin Shabby

140. Demostrar que, si la sucesión x, (= 1, 2, ..) es convergente y

Xn >0, entonces
li HA = im xy,

141. Demostrar que, si xn >0 (n= 1, 2,...); entonces

lia Y x= lin Sat,

suponiendo que el límite que figura en el segundo miembro existe,
142. Demostrar que

143. Demostrar el teorema de Stolz: si
D Janine, 2.3 D) Jim y,

entonces

tim 2 tim a
ada aos Leet Je

144, Calcular

à te Bas y

145. Demostrar que, si p es un número natural, se tiene

Witte ote
A
(rare e
ei

) lin BAB tn? 27
De en

31

CcANITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISHS
146. Demostrar que la sucesión
A mh

es convergente.
Por lo tanto, se verifica la fórmula.

O

CLI nb ee

donde C=0,577216... ‘es la llamada constante de Euler y En —0
cusndon — =.
147. Catcular

fea des ad)
dal agit apa t+ i)

148, La sucesión de números x, (= 1, 2,...) se determina por las
siguientes fórmulas:

Mate md, 4)

Calcular

lim ee

una sucesión de números, definida por la

149. Sea xn (1=1,2,
siguiente formula:

le) een La.
Demostrar que +
a x=

150. Demostrar que las sucesiones xn € In (1=1, 2, ..), definidas
por las siguientes formulas:

za yb

tienen un límite común

pla, D= Mim x

da media aritmético-geométrica de los números a y 5).

2

3. CONCEPTO DE FONCION
$3. Concepto de función

1°. Concepto de función. La variable y se llama función vniforme f
de la variable x en un campo dado de variación X= (x), si à cada
valor x €X se ha puesto en correspondencia un valor real determinado
» =f (3), perteneciente a cierto conjunto Y= {y}.

El conjunto X se denomina campo de definición o campo de existe
cla de ta función / (x); Y se llama conjunto de valores de esta función
En los casos más simples, el conjunto X representa o un Intervalo
abierto (intervalo) (a, b): a <x <b, o los intervalos semiabiertos (a, |;
2 EX SD y la b): a & x <b, o un intervalo cerrado (segmento) a. bi:
@<x <b, donde a y à son unos números reales o bien, los símbolos
— soy + (en este caso se excluyen las igualdades)

Si a cada valor x de X le corresponde uno o varios valores de
y =J,(x), entonces y se llama función multiforme de x.

2.> Función inversa, Si se entiende por x cualquier valor que satisfa-
ga a la ecuación

dea,

donde y es un número fijo, perteneciente al conjunto de valores Y de la
fuación f(x), entonces, gencralmente, esta correspondencia determina
en el conjunto Y, una función multiforme

AF,

denominada inversa con respecto a la función f(x). Si la función
=F) es monótona en sentido estricto, es decit, Le) > Qi) (a.
respectivamente, (12). <f(x,)) para x, >, entonces la función
inversa x =~? (y) es uniforme y monótona en el mismo sentido.

Problemas:
Determinar los campos de existencia de lus siguientes funciones:

187. ste (in),

8 yee V'

154, 9) yoga) m. E
a 18 en

158, ¿Y sin (7). 162. yolc+l2DV xe ae,

156, ya, 168. pen ctg ma arceos(2")

150, yonarcsin 2.

33

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

164, pare sin(l— x) +1608 2) 1652. y=V EE
165. y 05H 1653, y VENTE + VISE
165.1. y log logs log * 0:

Determina los campes de enstencia y los conjuntos de valore de las
senda canes:
MOTTE my
PTE

2

108, y=arccos Ea

171. En el triängulo ABC (fig. 1), cuya base AC=b y su altura
BD=h, está inscrito un rectángulo KLMN, cuya altura es NM =x.
Expresar el perímetro P del rectángulo KLMN y su área S en función de

" Construir las gráficas de las funciones P= P (x) y S=8 (0.

172. En el triángulo AAC, el lado AB = 6 cm, el lado AC=8 cm y el
ángulo BAC=x, Expresar BC=a y el área ABC=S en función de la
variable x. Construir las gráficas de las funciones a = (x) y S=S (x).

fx | —_
—
» N
N \
GAG
LEAN, ÈS

173. En un trapecio isosceles ABCD (fie. 2), cuyas bases son AD =
y BC = b (a > b),y le altura es HB = h, está trazada una recta MN HE
que pase e la distancia AM = x del vértice A. Expresar ei área S de la
figura ABNMA en función de la variable x. Construir la gráfica de
la función S = S (x).

174. En el segmento 0 < x < 1 del eje Ox está distribuida uniforme
mente una masa, igual a 2 g, y en los puntos x=2 y x=3 de este eje
estén situadas masas concentradas de 1 g cada una. Formar la expresión
analítica de la función m =m (x) (— © <x < + =), cuyo valor numéri-
So es igual a la masa situada en el intervalo (- 02, x), y construir la
gráfica de esta función.

>. CONCEPTO DE FUNCION

175. La función y = sen x se define del modo siguiente:

1a 0;
sen x 0, si 20:
1, si >,

; Construir la gráfica de esta función, Verificar que
| Ieisesenz.

176. La función y = [x] (la parte entera del número x) se define del
modo siguiente:

Si x=n +1, donde n es un número entero y Or <1, entonces
ban.

Construir la gráfica de esta función.

177. Supongamos que

5

ne (sO)

denota la cantidad de números primos que no son superiores al número
x Construir la gráfica de esta función. para los valores del argumento
O<x <20.

¿En qué conjunto E, transforma la función y =f (x) el conjunto E.

s
Lian

lee, Eatin er ET.
sex Eo Ca Co).

181, yocg DEEE

182 pal. Et <<.

La variable x recorre el intervalo 0 < x < 1, ¿Qué conjunto recorre la
variable y, si

183. ye poa) 186. SVG,

10 y 187. yen

166. yey 188, y=x+[2x).

189. Calcular 7 (0), f (1), f(2),f (8), f (4), si
Name bx,

35

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

190, Calcular f (- 1), 4 (— 0,001), (100), si

Heals.
191. Calcular f (0,9), f (0,99), £ (0,999), f (1), si
Kai]

192, Caleular f DS D, F(0),f (0), F2) si

1-42 para o <a 0,
TAS

193. Calcular 400, Ja, ii sooth (2). ye

si
des

fey

194. Hallar los valores de x, para los cuales: If) = 0; 21/(x) > 0;
3146) <0, si

a) SO) 5b) Agent) tab.
195. Hallar
nennt,
ET
196. Sea
1) marie
Verificar que

PEAD
197. Hallar una función lineal entera.
J= ax +b

sif@)=-2 y [@)=5.
¿A qué son iguales f (1) y £ (2) (interpolaciön lineal)?
198. Hallar una función racional entera de segundo grado:

dat bebe

10-5.
¿A qué son iguales f (- 1) y £ (0,5) (interpolaciön cuadrática)?

36

>. CONCEPTO DE FUNCION

199. Hallar una función racional entera de tercer grado:
Haber,

s
A-Y=0, /M=2 f=—3, 19-5,
200. Hallar una función de la forma
Ja 4e,

JO= 15, 79-30, /()=90,

201. Demostrar que, si para una funciôn lineal
JD ax 8
los valores del argumento x=x, (n= 1, 2, ..) forman una progresión

aritmética, entonces los valores correspondientes de la. función
Jn =f (a) (n= 1, 2, ..) también forman una progresión aritmética,

202. Demostrar que, si para la función exponencial

fee @>0)
los valores del argumento x=x_ (n= 1, 2,...} forman una progresión
aritmética, entonces los valores comespondientes de la funciön

Y =f (xn) (n= 1, 2, ..) forman una progresión geométrica,

203. Sea fu) una función definida para <u < 1. Hallar los cam-
pos de definición de las funciones:

Y 1 a E.
204, Sea
So=4@ta) (>
Verificar que
SAA NOS,
205. Supongamos que
ION
Determinar 2, si
Das 9 mag (ele
D) f= a) Aa)
Hallar 9 (0 (9) PIC) 01900] y He) si
208. ema? y VD

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS.

207. pape y vel.

mn a 5 Ev

209. Hallar Y/Y SUI) si

9 si zen
ri ru

210. Sea

m Veces
Hallar fy (x), si

211. Haltar f(x), si x
I+D RIC
212. Hallar (8), si
(aer dh isn
213. Hallarf (x), si
Lest VIER woo
213.1. Hallar f(x), si

Mer
Demostrar que las fanciones que siguen a continuación, son monéto-
nas crecientes en los intervalos indicados:

zu = PEx<+co)
215. Jan x (-3==<3).
210. fate (-3<«<9).
217. foraine (<<

Demostrar que las funciones que siguen a continuación, son mondto-
ns decrecientes en los intesvalos indicados:

218, fax 0 LAGO) 29. fleeces x (0 x SA),
200. eig ((<r<m
38

3. CONCEPTO DE FUNCION
221. Averiguaz si son monétonas las siguientes funciones:

a) far +6 a) Fete
D madero e) ma (>.

O feast

222. ¿Es posible pasar a logaritmos en una desigualdad?

223. Sean v(x), Y (x) y Y (x) unas funciones monótonas crecientes,
Demostrar que, si

TOS
entonces

PRISION tor
Determinar la función inversa x= ()) y su campo de existencia, si

DA. ya Pe $3 (coc 4 < +00),
225, y

a) ox DT
COS

a) —I<r<G bOGrer

Lo <x<+co)

229. yatız, donde ham (~coce<toop.

ws si ocre
gel ot si geass,
2 si ¿<<
231. Una función f(x), definida én un intervalo simétrico (- 1,1), se
llama par, si
SIS
e impar, si
== f(a

Determinar cuáles de las funciones dadas f (x) son pares y cuáles son
impares:

a} (mir

d =

+
DIOS TIVA y) mV TT,
©) arto" (a> 05

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

232. Demostrar que toda función f(x), definida en un i
simétrico (— 1, 1), puede expresarse como la suma de una función par y
una función impar.

233. Una función / (x), definida en un conjunto £, se llama periödi-
ca, si existe un número T>0 (período de la función, en sentido
amplio) tal que

J&+T=ft para SE

Averiguar cuáles de las funciones dadas son periódicas, y hallar sus
períodos mínimos, si:

a) FG) mA cos hx Bsir

sort fats hunde,

AE
d) fle) sie" = D fates
©) Myers, b) /GD= sta x si
234. Demostrar que la función de Dirichlet
a. six esracional,
ale irn,

cualquier número racional es un período.
235. Demostrar que la suma y el producto de dos funciones periódi-
cas, que están definidas en un conjunto común y cuyos períodos son
conmensurables, también son funciones periódicas.
235.1. Una función f (x) se lama antiperiódica, si

Je+n=—/ >

Demostrar que f (x) es periódica, de período 27.

236. Demostrar que, si para una función f(x) (- se <x < +e) se
verifica la igualdad f(x + 7)=K£G0, donde k y T son constantes
positivas, entonces f (x)= @* y (x), donde a es una constante y p(x) es
una función periódica de periodo 7.

$ 4. Representación gráfica de Jas funciones

12 Para la construcción de la gráfica de una función y =f (x) se
procede del modo siguiente: 1) se determina el campo de existencia de
la función X= (x }; 2) se toma en X una red suficientemente densa de

40

4. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES

valores del argumento x4, Ya, .. Xa Y Se forma la tabla de los valores
correspondientes de la función

Sd mi ah

3)se marcan los puntos Mr (xis y) @=1, 2,....m) en el plano de
coordenadas Oxy y se unen éstos mediante líneas, de modo que su
comportamiento coneuerde con la posición de Jos puntos intermedios.
2° Para obtener una gráfica perfecta de la función, se deben estudiar
las propiedades generales de la misma.
primer Jugar, es necesario: 1)una vez resuelta la ccuaciôn
£G)=0, hay que hallar los puntos de intersección de la gráfica de la
función con el eje Ox (los ceros de Ja función); 2) determinar las
regiones de variación del argumento, en las cuales la fanción sea positiva
© negativa; 3) si es posible, averiguar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función (en los cuales la función es monótona),
4) estuciar el comportamiento de la función cuendo el argumento se
aproxima indefinidamente a los puntos de la frontera del campo de
existencia de la función.

En este párrafo se supone que el lector conoce las propiedades de las
funciones elementales més simples: 1a función potencial, exponen
funciones trigonométricas, ete.

Aplicando estas propiedades se puede obtener inmediatamente el
diseño de la gráfica para muchas funciones, sin tener que realizar para
ello grandes cálculos, A veces se consigue reducir Otras gräfiche à
combinaciones (suma o producto, etc.) de estas gráficas elementales.

Probiemas:

237. Construir la gráfica de la función lineal homogénea
yaar
para

238. Construir la gráfica de la función lineal

para b=0, 1,2,
239. Construir las gráficas de las funciones lineales:
a) pt D) 922 0x0) yo Et,

240. El coeficiente térmico de dilatación lineal del hierro es
@=1,2 + 1075, Construir en una escala conveniente la gráfica de la
función

IN (APT 100,

4

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

donde T es fa temperatura en grados y I es la longitud de la varilla de
hierro a la temperatura 7, si /=100 em para T= 0°

241. Sobre el eje numérico se mueven dos puntos materiales. En el
instante (= 0, el primer punto estaba situado a 20 m a la izquierda del
origen de coordenadas y llevaba la velocidad v, = 10 m/s; en el mismo
instante ¢=0, el segundo punto estaba situado a 30 m ala derecha del
punto 0 y llevaba la velocidad », =~ 20 m/s. Construir las gráficas de
Jas ecuaciones de los movimientos de estos puntos y hallar el tiempo y
el lugar de su encuentro.

242, Construir las gráficas de las funciones racionales enteras de 2°
grado (parábolas):

2-5

Es

b) I=G—x*pama3,=0,1,2, —E

y= +e pare 60 1,2 —1.

243. Construir la gráfica del trinomio cuadrático
yoo

a) yeext para a:

soducióndolo a la forma
+ arr)

Examinar los ejemplos:
ya y
D) y PI d) y=

RR
hatt

244, Un punto material ha sido lanzado bajo el ángulo «= 45°
respecto del plano del horizonte y con la velocidad inicial vp = 600 m/s.
Construir la gráfica de la trayectoria del movimiento y calcular le altura
máxima y el alcance horizontal (considerar aproximadamente
1 10 m/s”; se desprecia la resistencia del aire).

Construir las gráficas de Jas funciones racionales enteras de grado
superior al segundo:

246, yon DAT, yt.
PAG y EA 248 yx lea (aa) (a > 0)

Construir las gráficas de las funciones lincales fraccionarias (funcio-
nes homogräficas; hiperbolas):

249, y=

250. y

2

4. REPRESENTACION GRAFICA DE LAS FUNCIONES.
251. Constmir la gráfica de la función homográfica

+,

a

=+

leide #0, 70,

reduciéndola a la forma

Examinar el ejemplo

252. Un gas a la presión pe = 1 atm. ocupa un volumen ve = 12m?
Construir la gráfica de la variación del volumen y det gas en función de
la presión p, si la temperatura del gas permanece constante (ey de
Boyle-Mariotie).

Construir las gráficas de las funciones racionales fraccionarias:

+2 hipérbols)
+4 (Tridente de Newton).

258. px 256. y=¡ ze (curva de Agnes)
352. y==5 2, (serpentina de Newton)

na
yet

es
von ee

263. Construir el diseño de la gráfica de la función

E (#0

reduciéndola a la forma

E
Examinar el ejemplo
fus
Eu
264. Construir la gráfica del valor absoluto de la fuerza de atracción
F de un punto material que está situado a la distancia x del centro de
atracción, si F = 10 kg para x = 1 m (ley de Newton).

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

265. Según la ley de Van der Waals, el volumen » de un gas real y su
presión p, a una temperatura constante, están ligados por Ja relación

Pre»

Construir la gráfica de la función p = p (4),
Construir las gráficas de las funciones irracionales:

266. y => ==? (parábola).
267. y=>+xVx (parábola de Neil).
268, ye LV TE (elipse.
269. ye VET (hipérbols).

mV

see Ve coito).

VEA

A

am.

273.
274, Construir la gráfica de la función potencial
yar
para: a)n=1,3,5;b)n=2,4,6.
275, Construir la gráfica de la función potencial

y
para; a)n= —1,- 350) n=-2,-4.
276. Construir la gráfica del radical
=

para: a) m= 2, 4;b)m=3, 5
277, Construir Ja gráfica del radical

4. REPRESENTACION GRAFICA DY LAS PUNCIONES

279. Construir la gráfica de la función exponencial compuesta

ym,

2) a=

mete) x
1

w= sh d) ne: Due
280. Construir la gráfica de la función logarítmica
logos

para, 2, e, 10,

281. Construir las gráficas de las funciones:
a) y=In(~2}b) y= In x.
282. Construir la gráfica de la función logarítmica compuests
310%

si

DARA) A Y A
1

tna

On ay, alte

283. Construir la gráfica de la función
dog?

284. Construir la gráfica de la función
yaasinz

para A=1, 10, 2.
285. Construir la gráfica de la función
yosin(e— x),

; a mm
is 7H

286. Construir la gráfica de ta función
pere
so muaa Ll
287. Construir la gráfica de la función
cotas,

reduciéndola a la forma

IAS ng)

Examinar el ejemplo: y = 6cos x + Ssen x.

Construir las gráficas de las funciones trigonométricas:
208. ÿ—sint x
294. sin
tg? x.
296. y=sinx sin 3x
207. ya Veosx.

298
20: pan.

asin

se pacos

sont, gases and

801. puta ho 308, yin (os x).

sous. yenes 300. putin

1 i
02, pue (2 ant one

903. yt VT
Construir las gráficas de las funciones circulares inversas
au. voue a poarcig L.
312, je arccos 2 318, y—aresin (i039
BIS parctg x 819. y aresto(cos 2).
B14, peorecle a 320. yearecos(cos 2)
315. parent. 321. parte (te x
210, per. fan. yes (2
323. Construir la gráfica de la función
ares yy,

si

dre O nm

O eet

46

si

A REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES

324. Construir la grafica de la función
A

DAHA DAR ASI) Y

324.1. Construir las gráficas de las funciones:
a) yd

DIS

i) y—aresin

DEZE
LRU PRES
D pirates.
325. Conociendo la gráfica de la función y=/(x), construir las
aráficas de las funciones:
a) — fk b) Sk €)
326. Conociendo la gráfica de la función y=f(x), constr las
arificas delas funciones:
a) pes f(x) ©) ye fx},
by rot fo) A) yor FAK +0)

1%

eo,

326.1. Sea

I—lx] si Irish
CES
Construir las gráficas de las funciones:
IU 4/40

TE
0

CAPITULO 1. ISTRODUCCION AL ANALISIS

327. Construir las gráficas de las funciones:

328. Conociendo la gráfica de la función y=f (+), construir las
gráficas de las funciones:

dy by y LUN à FUI

329. Conociendo la gráfica de la función y=f (x), construir las
gráficas de las funciones:

329.1. Sea
PORC ch

Construir las gráficas de las funciones:

dr VA
329.2. Construir las gráficas de las funciones:

arcos (cos {a}:
arte (16/60),

em D Jr OE

330. Conociendo las gráficas de las funciones y =f (x) e y=2 60,
construir las gráficas de las funciones:

Deren 9) y=/ME 0 0) PLE.
Aplicando la zegla de la suma de las gráficas, construir Jas gráficas de
las siguientes funciones:
tete 336. y
CENTER 957, paint x coste
Ella 38. yellzeltlikel
win Dexia
cos xf cos À cos Br

1 1
inx—tsin Ss «sins

48

4. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES.
340. Construir las gráficas de las funciones hiperbólicas:

Lie
a) yercha, donde che

b) y=shx, donde sh x:

© y=ths, donde thx

Aplicando la regla del producto de las gráficas, construir las gráficas
de las funciones:

an.

sing 345, Ben
342, y= x cose, 346, y= «sen (sin,
348. px alt $47. y=[4]]si0 xe],
tik pas ets, 248. y= vou x-tgn un)
349, Sen
lt si feted
10=( y, si [x11

Construir la gráfica de la función
ISI (MAA,

aJa=0; b)a=1; c)a
350, Construir la gráfica de la función
y=x+V Esquina.
Construir las gráficas delas funciones
1
var
lo). 354. {= In x.
lo. 355, fle) eet sin x,

353. {= x

yas te),
Lion sca
rie iss,

æ

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

357. Sea
pe Gex) y pe

nr
asi 420

Construir las gráficas de las funciones:

a) tek ch =
b) HG à) y= VVC}
358, Sea
(us ble
Oo i lest,
y

le
Construir las gráficas de las funciones:
a leo o
b) WO a)
359. Prolongar a la región negativa x < 0, la función f (x) definida

en la región positiva x > 0, de modo que la función que se obtenga sea:
1) par: 2) impar, sí:

bated
Ol

DES

Construir las gráficas correspondientes de Jas funciones.
360. Averiguar, respecto de qué ejes verticales son simétricas las
gráficas de las funciones:
adoro 0) Va FS + VIE O<a<dh
+b cos à.

361. Averiguar, respecto de qué centros son simétricas las gráficas de
las funciones:

a) part za
DI ) push

mast poet + cd;
50

A. REPRESENTACIÓN GRAFICA DR LAS FUNCIONES

362. Construir ias gráficas de las funciones periódicas:

2)ly=1sinzl: b) y =sgn cos x;
re,
donde /UI=AF(2—4), si Oey set mern:

o> |:
©) y =(x), donde (x) es la distancia del múmero x hasta el número
ie Sh a
363. Demostrar que, si la gráfica de una función yah lx)

Seca es meade sae act te ón 20
a ta 9
364, Demos aie dla gula de um función y= (0)
mee Tey e hatte aly E o fdo 70)
B(b, y,) (b>a), entonces la función f(x) es la suma de una función
Ue na Ara pr elo a me e on itn
Ban

365. Demostrar que, si la gráfica de una función y = f (x)

{= 29 <x < 4 00) es simétrica respecto del punto À (a, yo) y de la recta
x (à %a), la función f (x) es periódica.

366. Construir la gráfica de la función y=f (x) (— co <x < +00) si
Fe 41)= 2) y f@)=x (1 — x) para 0<x < 1.

367. Construir la gráfica de la función.

IaH (LL,

Left sin y =, para wren

369. Construir las gráficas de las funciones y = y (x), dadas en forma
paramétrica, si

cos 1) (cicloide):
TFT. u>0,
si

‘CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

370. Construir las gráficas de las funciones implícitas:

a) ¥—xyty'=1 (elipse); €) sinx==siny;

b) 4 y'— 3xy=0 (hoja de Descartes); £) cos {ax} = cos (ay);

© VELVF=1 (parábola); D Pr y>
FA (astroide); 1) +—lel=3— 11

370.1. Construir las gráficas de las funciones implícitas:

a) mia(s,3)=1; €) mex(]xl, Ly]
d) max(s )=1 d) mine’, el

371. Construir las gráficas de las funciones r=r (p) en un sistema
polar de coordenadas (7, y), si:

a) r=9 (espiral de Arquímedes);
D) r= (espiral hiperbölica);

9 CE p<+ oc)

2% (espiral logarítmica);
{1 + cos 9) (cardioide);
10 sin 3 (rosa de tres pétalos);

371.1. Construir en coordenadas polires r y y las gráficas de las

siguientes funciones:
ae orte

371.1. Construir en coordenadas polares 7 y w las gráficas de las
funciones dadas en forma paramétrica (¢ > 0 es el parámetro)

sn) OF rn.
Feist, rire

372. Resolver aproximadamente la ecuación
Par 4 1=0,
construyendo para ello la gráfica de la función y.

+
52

5. LIMITE DE UNA FUNCION

Resolver gráficamente las siguientes ecuaciones:
IM. mde TO, 878, 1g x 01e

37 rl 877. 100
818. 22“. 878. tgs x (xx 2m)
Resolver gráficamente los sistemas de ecuaciones:
37. e+ 9=1, en

980, xt Y= 100, ye 10 (et #7),

§ 5. Limite de una función

1° Funciones acotadas. Una función f(x) se llama acotada en un
intervalo dado (a, b), si existen unos números m y M tales que
malic
pare x Ela, D).
EL número ma = tnt 09} se lama limo de la función / (o,
st,

y al máimeco M, sup AN supremo de la función en el intervalo

considerado (a, b). La diferencia Mo — mg se llama oscilación de la fun-
ción en el intervalo (a, b).

2° Límite de una función én un punto. Supongamos que la función
fx) está definida en un conjunto X= (x) que tiene un punto de
acumulación a. La expresión

OS w

denota que, para cualquier múmero 2>0, existe un nümero
8 =6 (e) >0 tal que, para todos los valores de x, para los cuales f (x)
tiene sentido y cumplen la condición 0<|x—al <6, se verifica la
desigualdad.

We@-Al<e

Para la existencia del límite (1) de la función, es necesasio y suficien-
te que para cada sucesión xn a, x, Ha (n= 1, 2...) se cumpla la
igualdad (xa EX)

m na

Subsisten los dos limites notables:

ig SBE,

2 Hate,
Criterio de Cauchy. El limite de la función f(x) en el punto a existe
53

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

cuando, y sólo cuando, para cualquier e>0 existe un número
= 8 (e) > 0 tal que

11

si0<|x'- a] <8 y 0<|x"—a <5, donde x' y x” son dos puntos
cualesquiera del campo de definición dela función f (x).

3. Límites laterales. El número A’ se llama limite a la izquierda de
la función en el punto a:

Are ln, FO (eo
F Pr
[AN fe] <e para 0<0~ <6 (0).

Andlogamente, el número A” se llama limite a la derecha de la

función f(x) en el punto a:

im Fed =f (0+
Tato

“ Arte para 0<2—0< 800),

Para la existencia del límite de la función f(x) en el punto a, es
necesario y suficiente que
He-=He40).
4° Limite infinito. La expresión simbólica
lim {00

denota que para cualquier E > 0 se verifica la desigualdad
HIDE si O<jr-al<ötk)

5 Límite parcial. Si para alguna sucesión xp —a (in #a) se
verifica la igualdad

in eb,
el número B (o el símbolo cs) se lama límite parcial (finito 0 infinito,
Tespectivamente) de la función f(x) en el punto a.

Los límites parciales mínimo y máximo se denotan mediante

mr y Fo
y se llaman Mmite inferior y límite superior, respectivamente, de la

función / (x) en el punto a.
La igualdad

54

5. LIMITE DE UNA PUNCION

es condición necesaria y suficiente para la existencia del limite (Hi
infinito, respectivamente) de la función f(x) en el punto a.

Problemas:
381. Comprobar que la función, definida por las condiciones:
10)
donde m y n son números enteros, primos entre sí, y m > 0, y
/G9=0, si x esirracional,
es finita, pero no está acotada en cada punto x (es decir, no está
acotada en cualquier entorno de este punto).

382. Una función /(x), definida y localmente acotada en cada
punto: 2) de un intervalo, b) de un segmento, ¿estará acotada en el
intervalo dado o en el segmento dado, respectivamente?

383. Comprobar que la función

está acotada en el intervalo — > <x
384, Comprobar que la función

100:

no está acotada en todo entomo del punto x=0, sin embargo, no es
infinitamente grande cuando x —> 0.

385. Averiguar sia función

está acotada o no en el intervalo 0 <x <e.
386. Comprobar que la función
ASE
tiene en la región O <x < + eo el ínfimo m= 0 y el supremo M

387. Una función f(x) está definida y es monótona creciente en el
segmento [o, 5]. ¿A qué son iguales el Ínfimo y el supremo de dicha
función en este segmento?

Determinar el ínfimo y el supremo para las funciones:

383. ma en [—2, 5).

9, ¡=p nie, boot

ss

CAPITULO 1, INTRODUCCIÓN AL ANALISIS

00. nm en 00, +00)
391. ft en (0, foo},
sin en (0, + os)
sinx- cos En [0, 2x].
en (—1,2)
La a) en (0,2) y 9) en [0, 2].
x kx] en [0,1]

397. Caleular la oscilación de la función

Wr

en los intervalos: a) (1; 3); D) 0,9; 2,1); €) (1,99; 2,01); d) (1,999;
2,001).

398, Calcular le oscilación de Ja función

seg

1e)

en los intervalos: a) (~ 13 1); b) 0,1; 0,1); c) ( 0,01; 0,01); 4)
€ 0,001; 0,001).

399. Sean m (f} y M [f] el ínfimo y el supremo, respectivamente, de

la función f (x) en el intervalo (a, b).
Demostrar que, si f, (2) y f; (X) son funciones definidas en (a, 5),

entonces
a+ alt+s)
RATA MI

Construir ejemplos de funciones fı (x) y fa (x), para las cuales en las
últimas relaciones se verifica: a) la igualdad y b) la desigualdad.
400. Sea f(x) una función definida en la region [a, + =) y acotada en

cada segmento [a, 5).
Hagamos:

COR]
«ei

HG sup 1B.
estas

Construir las gráficas de las funciones y = m (x) cy =M (x) sí
DI=snx y D) Si

ss

5. LIMITE DE UNA FUNCION

401, Mediante un razonamiento «e - 8», demostrar que

MECA

||

402. Empleando el vocabulario «£ — dp, demostrar que

sim

tn.

Rellenar la tabla siguiente:

TER

403. Formular, mediante desigualdades, las siguientes afirmaciones.

mE O Ya Som.

Dar ejemplos correspondientes,
Formular, mediante desigualdades; las siguientes afirmaciones y dar

ejemplos correspondientes:

© im fa
¿ho

oz

404,2) Im [d=b D) im fee) —

405. a)
0
O
a (Mos 1) Im St on.
» Jin f D, tin Saat

37

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

406 0) Hu fen
by a co
©) fm (ee +s

Dm fda ox
9 Im JG) 00;

Din es
3) Tim f= + 00
Pe

407. Sea y=f (x). Formular mediante desigualdades el significado

de las expresiones siguientes:

2) y 0—0 cuando
b) yr #—0 cuando
€) y+ b—0 cuando
d) y > 5+0 cuando
e) y + 1-40 cuando
D 3840 cuando

8) y +b—0 cuando
À) p+ 6—0 cuando
1) Y b—0 cuando
à) y 040 cuando
K) 35-40 cuando
D 9840 cuando

a> He
zo
xo fos.

Dar ejemplos correspondientes,
408. Ses
Papas bas ft ay
donde a; (i= 0, 1, ..., 1) son números reales.
Demostrar que
let
409. Sea ‘
tun
Ran
donde ag #0 y bo #0.
Demostrar que

AS n>m
ce ER, ven
> 0 si n<m
410. Sea
RO

donde P (x) y Q (x) son polinomios en x, y
Plo)=0(0)=0.

ss

LIMITE DE UNA FUNCION

¿Qué valores puede tener la expresión
im 23

Hallar los valores de las siguientes expresiones:

411.0) Jim .
42 tim LES (04291439
Otto
DATES
414 tg ERARIO (son nômero nature,
MA
aus [DIG

ar. un AE

so

(CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

425. lim =} (m y n son números naturales).
en nate Ñ
420. lim CEDAR T= (eun mimero natural.

427. 2. (nes un múmero natural).

428. ) {m y n son números naturales).
e | (ob) (<4) He)
son am (Herd terre].
Indicación. Véase el ejercicio 2

A

92, im (2

a )-
Indicación. Véase el ejercicio 3.

de ES ET OY
498. Nn ETE On OP

434. Calcular el área del triángulo mixtilineo OAM 3), limitado.
pora parébo y =D(2), e je Ox y la recta x=, considerndola

Fig. 3
como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos inscritos de

base £, donde n= e

«a

|

S.LIMITE DE UNA FUNCION

Calcular les limites:

in PE 440. im

{n es un nämero entero).

445, im PEU gg,
E Ve "

446, tim VEA
ES
447. I
448,
450. lim TESTER On y à son números enteros).
459, im VERSE Om y son números enteroe).
454. Sea Plx)=0,x + a,x" +... aux” y sea m un número entero.
Demostrar que tin VEEP @—1

Calcular tos límites:
mz.

LL. (myn son némeros enteros).
7-1

a

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

457. tia WE+FDEF 1
in (VAT NS).

459. mx (VALVE TE +2).

me (VV AVIV EVEV

461. tim (VERE FT).
462. im RFI VFR).

te

463. in a [ee]

aut. AVIV TF VR
465. im WET

466, im EFT HERVE qm es un número natura)

She

er un CEB tH TEE os un nimero natura
468, Fstusiar el comportamiento de las races x, y x, de la ecus-

ción cuadrática ax? + bx +c=0, si el coeficiente 4 tiende 2 cero,

mientras que los coeficientes b y e son constantes, siendo à #0.

469. Hallar las constantes a y b de la condición

470. Hallar las constantes a, y b; (= 1, 2) de las condiciones:

lit VAT Ta 9 b,)=0

din (VEZEFT— a2)

Peres

e

Calcular los limites:

ATL. tim 25,
472. tim 82

473, tin MURS

(mm y n son números enteros)

al

474. lim !
erat im,

474.2, Im xeigär.

481. Demostrar las igualdades:

a) sm sia x

©) tie ig

Calcular los limites:

5. LAMITE DE UNA FUNCION

478, Im 8
e
416, tin AS ste
ATT. in SSE OE
fag Esta con
478, gg ¡dalt con
a

49. un 1301

480, tn i 2

b) lin cos x — cos a

482, im ea POTTER hes
489, Im Stone, PRET Zeta dd ge
484. im Wine, 492. im ACH inte +20) — site
55. lim Eee PRET
leg rn 498. Mo e *
486, lim SSR— SEO

m 494, tim = sos ES
487. tin SEE come a, E
498. tim Mat Boingo +) sna
489, im (OEP — Boos (0 Et eme

os a

6

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

n(x- 4) Im 2
495. m, a 800. pra VO

top VER
oi. in A
496, tim AE aire

497, im SIE
= = 508.

ps

498, 1
504.
499. tim YE = JE see a 505, m vih = Isny).

500.) im a 2

nai 616. lim GES)
au. ts es AE
17 im Ge

©) tim
aH

8) a GE

508. im Na ENT

een) 518. Hm (states
500. Jim (ur) 610. Im (SEES)
wu ET ate

sit. tim (S24) cs. tm (Es
Si, tn (52 sat im (SEP.

522. im (ig xe,

sie. im (2

514, tin TB 528. im (ina
ss aa (te). en ig ESP

64

525 m (sm Los 4]

ETA

528, lim cos”

529, im

530. lim x [ln (eL 1) im)

EAN

539. o inst

540, im fin

metre
Gi )

7 VA
He

Faso

561. Jim

542 tim

544. dia (+ et .

Pa

550. Mim >)

amo a
COM
661. nn CE ae

Ce

S- LITE DE UNA FUNCION

592 lim [soto sita),

A]

ne
535. lim
“lt, aot

in EVE
OS VEY”

ot)

netos

5451. im (Tree)

BT:
ern
545.3. lim ES

PO, m

eq)

de
pr

552 Jin n (/ 31) (> 0)

65

CAPITULO J. INTRODUCCION AL ANALISIS

558. tim e (> 0).

ssa ana ane

os ta (EU eso

50. m (re? (@>0, 6>0, e>0),
ee 20920 >9
558. tin (£ y @>0,6>0.

E

2 (0>0,0>0) 560. tin Se (> 0.

soie BEES, oy nt
56% lin mi 4291 42). 568. im (io 2.
564. Demostrar que

In AO @>1 2>0,

565. Demostrar que
Jim eked (> 1,>0

meo

Calcular los limites:

500. a) im EEE O tie See
Ine,
667. lim 2b se)
E

568, in + DH 2266 Dm Da
569. lim [peñas “(| >
P

soto nz

66

5. LIMITE DE UNA FUNCION

570, sn o
rer
sn. tn EE

572. im SES) cons

573. in (2e 7 ne. 574, lim(2— x3"

Le sine
75, ss >, BDO).
a O

516. a) iat; y

©) lim WE (véase el ejercicio 340).

576.1. lin zn (véase el ejercicio 340).

577.1. a) tim? .
6722. im ner.

578, dim (z— Inch»,
te

583, tm are.

684. in an E.

fin MRE — are tg
585, Yn REE actes

TE

8 TE US
697. a (FE)

a

CAPITULO 1. INTRODUCCION Al. ANALISIS

sos. gx (3 ec):

899, tim x (E —aresin

ven):

us
590, lim [+ = ae

GOL. tim je À. 592, im eins.
598. 2) tin (FER) im WETTEN.
594. a) tin (VT pape VERTE

Dia TRES VIE

5043. Glee
nn unser

Han EVER
595, à) im ag 7 Dim ie
596. 2) : Dan
ur He
697. a) Mo MEA, Bin Büren,

598. Demostrar que

2 240 cuando x

DIO cuando xt 00.

599. Demostrar que
210 cuando #——0;
b)2— 14-0 cuando 4-0.

600. Calcular f(1), FC — 0), £ (1 + 0), si fe) =x + et}
6s

3-LIMITE DE UNA FUNCION

$01, Calcular Fin), F0—D, [+0 (=O, Au, si
FG) = sgn (sin rx).

Cateulars

602, tin Y cos 605. tim sin? (Y

ges. im [1] 606. ln sito. st x

604. lim sin (x YH 1). teten

607. Silim p(x}= À y lim y (x)=8, ¿se deduce de aquí que

LAC
1

Examinar el ejemplo: ps
enteros, primos entre sí, y p(x}=
y Y CD =0 si x = 0 y x 0.

608, Demostrar los teoremas de Cauchy: si una función f(x) está
definida en el intervalo (a, + co) y está acotada en todo intervalo finito
(a, b), entonces

16

5, donde p y q son números
six es irracional; Y (x;

LsixR0

a) dim
ie

„im FEDS

tee
co FO)
suponiendo que existen los límites de los segundos miembros de las
jgualdades,

609. Demostcar que, si: a) la función f(x) está definida en la segión
x >a; b)estä acotada en toda región finitaa <x <b:
9 bm (fe + 1) ~F)] =e, entonces:

b) da 1/6" lim ((@Sc> 0.
En +

tin Mos
Au)
610, Demostrar que, si: 1) la función fe) et definida en a seión
x54} Denk acotada en toda toon Mía nenn en
mero natural nextel lite foto nat

entonces

CAVITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS
611, Demostrar que
2) ya (14 A a (tee tp he
612, Demostrar que

lia asin (Quen) = 2a.
Indicación. Utilizar a fórmula (*) del ejercicio 72.
Construir las gráficas de las funciones:
618. a) yt xl D) pes tim IU

614. a) ver C2 Oh b) y

im o

015 ya in BEET Gwe

616 ymin Vers.

612. gee tin VORP (e220)

ea y lin 14 GY 0
619. ym lim 2% (0)

620. a) pæsinl 6) y lm set

ext, y= tin BEN) o)

a whee
622, y— Sim (e Darcig e624, y lim ESE
a ee Duele Pt
628. y= tin VIFFTR 606 y tim pri
te HE
6251, pete (0),
een
625.2. y= lim xsgn|sint( ax) |

625.3. Construir la curva

2a VTT FD:

7

LITE DE UNA FUNCION

626. Se llama asintota (oblicua) de una cuiva y =f(x) la recta
y=kx +b, para la cual,

Jn (94010.

Utilizando esta retación, deducir las condiciones necesarias y suficien-
tes para la existencia de asfntotas.

627. Hallar las asíntotas y construir las siguientes curvas:

Dye
dy D ya arcos.

Calcular los Himites que siguen:

æ
608. tin fo gran te tem
620. lim (RNA do [xtc

630. lim (cos À cos... cs
631. Sea
Eine
donde ÿ (x) > 0 yamn 30 (m=1, 2,...) cuando n—+00, es decir,
lama | <e param=1,2,... y n >N le).
Demostrar que

lod 6 (tan) (an =
te

suponiendo que existe el ISmite del segundo miembro de la igualdad (1),
Aplicando el teorema anterior, calcular

a), 634 im

dle) (>.

n

modo siguiente:

n

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

686. tim JT eos

aod ave

637. La sucesión x, viene dada por las igualdades:

Va .=Y3FV8, x= V ety a+Ya... a>
Calcular Jim xq.

637.1. La sucesión x, viene dada del modo siguiente:

O)

Calcular lim xp.

6372. La sucesión y, se define mediante la sucesión xn por las
relaciones:

% SN: %
donde | a] <1. Calcular lim xp,

si lim Ye

637.3. La sucesión x, se define del modo siguiente:

1
en Wh
Calcular fim xq.

Indicación. Examinar la diferencia entre Xn y Ins raíces de la ecus-

638. La sucesión de funciones

Han) Oe)
se define del modo siguiente:

A
Calcular tim ya.

639. La sucesión de funciones yn =

x (2) (0 <x < 1) se define del

» 3 (a=, 8,
Calcular lim y.

5. LIMITE DE UNA FUNCION

Para = Xn} (n= 1, 2, ..). Demostrar
a sucesión y, es convergente y

=9, 1),
Le
Indicación, Estudiar la diferencia
Lo
639.2, Para calcular y =v/x, donde x>0, se aplica el siguiente
proce: ya > Dear

merite) Be
Demostrar que
tin VE
Indicación. Aplicar a fórmula
VE (VE)
PRA nz)
ls een
640. Para la resolución aproximada de la ecuación de Kepler
E) 0)

se hace

No My ey MASSING vey HAM PES ads en

(método de aproximaciones sucesivas).
Demostrar que existe “lim Xp y que & es la única rafz de la
ecuación (1), T°
641. Si con 1/1 es la oscilación de la función f(x) en el segmento
IX ER RG 20) cl mámero "+

wolle Him on

seTlama oscilación de la función f (x) en el punto £.
Determinar la oscilación de la función f (x) en el punto x=0, si:

a) (x) =sin À e) Fea LL,
DI0= ar: DR
mx (2 und): 144

1 à
Due A

B

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

642. Sea f @)=sen 4,

Demostrar que, cualquiera que sea el número a que satisfaga la
condición — 1 <a < 1, se puede elegir una sucesión x, —0 (n=,

2, an) tal, que
int Gd

643. Calcular
I=lim/(0 y L

a) 1000 Lp ateo

rato 114)"
644, Calcular

Lim y Linse,

CHE
b) (= a cost x; D = pe ED

$ 6. Orden infinitesimat
y orden de crecimiento de una función
Ossimbolismo

1% La expresión
POI=O (Pa) para x € X
denota que existe una constante A, tal que

[969141909] para x € X. o
Análogamente, se escribe
9620 (Pte) para xa, o

si la desigualdad (1) se verifica en un entorno U, del punto a (x #2).
En particular, si Y (x) #0 para x € U,, (x #a), se verifica la relación
(2) si existe y es finito el Jímite FÜ} +0, En este caso escribiremos:
¡mite E

e0=

u jim 0050
se de que $ (x) es un infinitésimo de orden p respecto del infinitésimo
x De un modo similar, si
tm zo >,

se dice que Y (x) es un infinito de orden p respecto del infinito x.
2° La expresión
F)=0(¥ (D cuando x 0

”

6. ORDEN IMTIMITESINAL Y ORDEN DE CRECIMIENTO DE UNA FUNCION

denota que

PAW (EU, x #0), o
donde a (x) —»0 cuando x —+a. Si ÿ(x} #0 para x EU, x #a, la
inwaldad (3) equivale a afirmar que

tim 208
FO
3.° Las funciones p(x) y (x) se llaman equivalentes
C6) = Ÿ 0) cuando — a, $
PUDO mot cuando 2. nm
Si Y (x) # 0 para x E Us, x xa, entonces, de (4) se tiene

0.

Cuando x — 0 se verifican las siguientes relaciones de equivatencia:

anses ga dl xine (050% tan PTFE

En general,
COTTON
Al caleuiar ei límite de la sazón de dos funciones infinitésimas (o
infinitas) cuando x —+a, las funciones dadas se pue-
ae. densustituir por sus equivalentes,
5 Problemas:
645. Considerando que el ángulo central AOB =x
(fig. 4) es un infinitésimo de 1.5 orden, determinar el
orden infinitesimal de las siguientes magnitudes: a) de
la cuerda AB; b) de la sagita CD; c) del área del sector
o AOB; d) del área del triángulo ABC; e) del área det
trapecio ABB, A, ;f) del área del segmento ABC.

646. Sea o (f(x) una función árbitraria que tenga un orden de
crecimiento menor que la función f(x) cuando x — 4, y sea O (7 (x)}
una función cualquiera que tenga el mismo orden de crecimiento que la
función f(x) cuando x —a, donde f (x) > 0.

Comprobar que

a) SE) (Meh d) OOF) =O FEY,

b) FM VOII)

©) OF) =0( FD}

647, Supongamos que x—> 0 y quem > 0. Comprobar que

a) CO(")=0(x') — (C7%0—esuna constante):

D) (+ OO Mm

©) 0@) ORO (am

os
xia

CAPITULO 1- INTRODUCCION AL ANALISIS

648. Supongamos que x —+ + es y que # > 0. Comprobar que
2) COM == OF"
b) 00400")
9) 0) ot”
649, Demostrar que el símbolo ~ posee las propiedades: 1) reflexi
va: ex) ~ PC); 2) simetría: si g(x) ~ Y (x), entonces y (1) ~ 960
3) transitiva si Ge) ~ Y (x) y Y 00) ~x 60, entonces A) x)
650. Supongamos que x —> 0, Demostrar las siguientes igualdades:

à 2e 0 (a oVstVerVe- Ya
Dat OU}

Lemp ota

> ms

DES RO (y
©) sin. 04 eh Du
Dhae(z) E>0k

651. Supongamos que x — +. Demostrar las siguientes igualda-
des

Dar 0 (0%
BE:

&) >

(x

D etai Of: D Vases eV
a rue (4)

652. Demostrar que para x suficientemente grande se verifican las
desigualdades:

DA OO ARI

D) x CV

652.1. Demostrar Ia formula asintótica

Vi + $+0 (2)
cuando x —+ +.

653. Supongamos que x—+0. Hallar el término principal de la
forma Cx" (C es una constante) y determinar el orden infinitesimal
respecto de la variable x para las funciones siguientes:

à) De a+ O VERTE

D VIS VI digan

%

6. ORDEN INTINITESIMAL Y ORDE DE CRECIMIENTO DE UNA FUNCION

654. Supongamos que x — 0. Comprobar que las funciones infinité-
simas

Bye} DE]

son incomparables con la función x" ( > 0), cualquiera que sea m, es

decir, nunca se verifica I igualdad tim LE)

tante, distinta de cero, yn es arbitrario.

655. Supongamos que x—+1. Hallar el término principal de la
forma C(x — 1)" y determinar el orden infinitesimal respecto de la
función infinitésima x — 1 para las funciones siguientes:

DEIA Dine) at
DS Dee

656. Supongamos que x —+ + oo, Hallar el término principal de la
forma Cx" y determinar el orden de crecimiento respecto de ia función.
infinita x para las funciones siguientes

2410041000: 0 IIA VE
=
DE DV AVIS.
657. Supongamos que x — +. Hallar el término principal de la
* forma G()" y determinar el orden infinitesimal respecto de la fun-

donde k es una cons-

ción ininitésima À para las funciones siguientes:
ay ett ©) VER -2 VERT EVE

FT
D VE FT VE a tin
658. Supongamos que x—+ 1. ‘Hallar el término principal de la

forma C(-L;)" y determinar el orden de crecimiento respecto dela
i

función infinita >, para las funciones siguientes.

DA

659. Supongamos que x— +00 y que fy (x}=x" (nel, 2,..),
Demostrar que: 1) cada una de las funciones fm (x) erece más rápida:
mente que la precedente f,_,(x); 2) la función e* crece más rápida.
mente que cada una de las funciones fy (X) (a =1, 2, ..).

”

(CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS
660. Supongamos que x —+ + y que
ASE =
Demostrar que: 1) cada una de las funciones fa (x) crece más lenta-
mente que la precedente fs (2); 2) la función Y (x) = In x crece más
lentamente que cada una de las fanciones fy (x) (1= 1, 2, ..).
661. Demostrar que, cualquiera que sea la sucesión de funciones
LO A fi Late),
siempre se puede construir una función 7 (x) que crezca más räpida-

mente que cada una de las funciones fy (x) (n=1, 2,...) cuando
x

$ 7. Continuidad de una función

12 Continuidad de una función, Una función f (x) se Hama continua
parax = 4 (o enel punto xo), si
TOS

es decir, si la función f(x) está definida en x=x, y para cualquier

£>0 existe un 8=8 (6, x9) >0 tal que, siendo [x xp | <6, para

todos los valores f (x) que tienen sentido se verifica la desigualdad:
ICETSES

Una función /(x) se Lama continua en un conjunto dado X= {x}
(en un intervalo, en un segmento, etc.), si esta función es continua en
‘cada punto del conjunto X.

Si, pasa cierto valor x =o, perteneciente al campo de definición
X= {x }de la función f(x) o que sea un punto de acumulación de este
Conjunto, no se cumple la igualdad (1) (es decir, o bien (a) no existe el
número / (xo), o sca, la función no está definida en el punto x = xe, 0
bien (b) no existe el limite ttm 769, o bien (c) ambos miembros de
la igualdad (1) tienen sentido, pero no se verifica la igualdad), en-
tonces x9 se llama punto de discontinuidad de la función f(x)

Se distinguen: 1) puntos xp de discontinuidad de primera especie,
para los cuales existen limites laterales finitos:

lue im fen y +

CRT

Fonte

y 2) puntos de discontinuidad de segunda especie, que son todos los
demás. La diferencia

170160
se llama salto de la función en el punto Xy

7

7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Si se cumple la igualdad
LD 7,40,
el punto de discontinuidad xp se llama evitable. Si al menos uno de los

limites laterales f (xo — 0) 0 (ke +0) es igual a eo, entonces x se
llama punto de discontinuidad init,

Si se verifica la igualdad

Hes =H) (0 bien Mn +n=tad
55 dice que la función f(x) es continua en el punto x, a la izquierda (a
la derecha). Para la continvidad de la función / (x) en el punto x, es
necesario y suficiente Ja igualdad de Jos tres números.

OSCAR ETES

2° Continuidad de las funciones elementales. Si las funciones f(x) y
8 (%) son conlinuas para x = x9, las funciones

Diaz ines DA ero

también son continuas para x = x9.
En particular: a) la función racional entera

POS be nb
ss continua para cualquier x; b) la función racional Fraccionaria

sta,
ro

es continua para todos los valores x que no anulan al denominador.

En general, las funciones elementales principales: x", sen x, cos x,
wx, al, loge x aresen x, arceos x, arctg.x, .., som continuas cn todos
sus puntos de definición.

Un resultado més’ general es el siguiente: si la función f(x) es
continua para x = Xe y la función g (y) es continua para y =/ (Xy), la
función £ (f (x) es continua para x= x,

3. Teoremas fundamentales sobre las funciones continuas, Si la
función f(x) es continua en el segmento {a, b], entonces: 1)/ (x) está
acotada en este segmento; 2) alcanza en el mismo el ínfimo m y el
supremo M (teorema de Weterstrass); 3) toma en cada intervalo
(a, 8) < la, b] todos los valores intermedios entre f(a) y f (8) (teorema
de Cauchy). En particular, si f(@)f(f)<0, existe un valor
(a <7 <6) tal que fq) = 0.

Re

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

Problemas:

662. Se da la gráfica de una función continua y=f (0). Para un
punto fijado a y un número £ > 0, indicar geom£tricumente un número
5 > 0 tal que seal f(x) — f(a) |<e para lx al <,

663. Se necesita hacer una placa metálica cuadrada de lado
xo = 10 cm. ¿Entre qué límites se puede alterar el lado x de esta placa,
SUsu área y =x? puede diferencias de la proyectada yy = 100 cm? no
más de: a) + 1 cm2;b) 20,1 em”; 0) 20,01 em’; d) £ rem? ?

664, El arista de un cubo está comprendida entre 2 m y 3 m. ¿Con
qué error absoluto A está permitido medir el área x de este cubo para
que pueda calcularse su volumen y con un error absoluto no superior
sem’, si a) e=0,1 m?;b) e=0,01 m*;c) e=0,00] m’?

665. ¿En qué entorno méximo del punto x, = 100 la ordenada de la
gráfica de la función y —v/x se diferencia de la ordenada yo = 10 en una
Cantidad menor que e= 30°" (n 30)? Calcular la amplitud de este
entomo paran = 0, 1, 2, 3.

666. Mediante razonamientos «ce — 8», demostrar que la función
FG) =x' es continua para x =

Kellerar la siguiente tabla:

667. Sea f(x)=4 y e=0,001. Para los valores xo =0,1; 0,0%;

0,001;... hallar los números positivos más grandes 8 = 6 (e, xp), tales
que dela desigualdad |x—x91<5 se deduzca la desigualdad
IF) = fo) I<e.

¿Es posible, para el número dado e = 0,001, elegir un 8 > O que sirva
para todos los valores xq del intervalo (0, 1), es decir, tal que, si
[x—x0 1<8, sea 1f0)=FCro)!<e cusiquiera que sea el valor
xo € (0, D?

668. Formular en términos de e - En, en sentido positivo, la afir
mación siguiente: la función f(x), detinida en el punto x, no cs
continua en este punto

669. Supongamos que para ciertos números s >0 se pueden hallar
los números correspondientes 5 = 5 (e,x»).>0, tales que
17010) 1 <e.sil x x9 |<,

¿Se puede afirmar que la función f (x) es continua en el punto xp, si

so

7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

a) los números & forman un conjunto Sito; h) los números + forman
un conjunto infinito de fracciones binarias el. (n= 1, 2...)
670. Sea dada la Función
169 = 840,001 1.

Comprobar que para cads *> 0,001 se puede hallar un número
8 =8 te, x) > 0, tal que 1/00) FGI <a si |x! — = 1-<5, mientras
que para 0-<e < 0,001 no se puede hacer esto para todos los valores de x

{En qué puntos deja de ser continua esta función?

671. Supongamos que para cada número 5 >0, suficientemente
pequefio, existe un número e=e (5, %9)>0, tat que se verifica la
desigualdad | f(x) —S (xo) 1 <e si 1x X, 1<5. ¿Se deduce de aquí
que la función f(x) es continua para x=xp? ¿Qué propiedad de la
función / (x) se describe por las desigualdades dadas?

672, Supongamos que para cada número ¢ > 0 existe un número
Le, o) 7 0 tal que, si UL Ce) = (x) |< ese tiene fx = xo |< 8,
¿Se deduce de aquí que la función f (x) es continua para el valor 22x91
¿Qué propiedad de la (unción se describe por estas desigualdades?

673. Supongamos que para cada número 8 > 0 existe un múmero

r (5,xa) >0 tal que, six) — ro) 1 use tiene |x = x91 <3,
¿Se deduce de aquí que la función / (x) es continua para X=
Bie prendas are asst Fi te desa por ts
dadas?

Examinar el ejemplo:

uf args, six es racional,
A a coal

674, Aplicando raconamientos «e ~ 8 », demostrar que las funcio-
nes que siguen son continuas: a) ax +0; b)x*; c} xt; 0) VS: e) Ya
D sen x; 8) cos x; À) arelg x.

Estudiar la continuidad y representar gráficamente las funciones
siguientes

675. wie.
= si
om ru
avs
677. =: si xg —1yfC- 1) es arbitrario
678. y= YE] si Hoy Lot
DA, i x0y 7,0

si

CAPITULO 1. RETRODUCCION AL ANALISIS

679. f()=énL, six #0 y £(0) es arbitrario.

680. fxjezxsint, Si 4360 y/70=0.
681. Se, si 540 y O0.
682, f(x) Li, six #1 yf (I) es arvitrario.

148
688. era, si 260 y S(O)

684, J (0) sgn.
685. f (3 tx].
686. 0/31 A.
Hallar los puntos de discontinuidad y estudiar el carácter de estos
puntos, sl

687. y

692, y.
693, y
Estudiar la continuidad y dibujar los diseños de las gráficas de las

siguientes funciones:

sgn (sto x). 708. y==x[x)

ta 704. y==[x] sa nx

701. y

702. y
82

2. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

705.

mr.
708.
78.
714.
115.

nie.

Estudiar la continuidad y construir las gráficas de las siguientes
funciones:

mo. 725. y=llm (ar (eg.
Tal.
me, 127. y= im MU HE
y PETER
228, pe costa 78. y= ln (Hate
nn do
PA A
729. ¿Es continua la función
2, si oral,
a E
730. Sea
#0,
+20.

¿Cómo se debe elegir el múmero a para que la función f(x) sea
continua?

83

CAPFTULO 1, INTRODUCCION AL ANALISIS

731. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y establecer
el carácter de los puntos de discontinuidad, si
* anderen,
li. am rca

TER

oral; pare lel>

orient mart Jt
[et] past

opens pr
para x entero;

y {soar para x racional,

LOZA 6 para irracional

732. La función d=d (x) representa la dis-
tancia minima del punto x, del Je numérico Ox,
al conjunto de sus puntos que está formado por
los segmentos 0<x <1 y 2<x <3, Hallar la
expresión analítica de la función d, construir su
lies y estudiar su continuidad.

733. La figura £ está formado por un triángu-
10 de base 1 y altura 1 y por dos rectángulos de
base 1 cada uno y de alturas 2 y 3 (fig. 5). La
función S=5 (9) (O<y <4.) representa el
Área de la parte dela figura £ que está compren
dida entre las rectas paralelas Y e Y:
(0< y < +00) es la longitud de la sección de la figura £ por la recta
Y= y, Hallar las expresiones analíticas de las funciones S y b, construir
sus grifices y estudiar la continuidad.

734. Demostrar que In función de Dirichlet

nn (men)

es discontinua para cada valor x.
735. Estudiar Ja continuidad de la función
az,

donde x(x) es la función de Dirichlet (véase el problema anterior).
Construir el diseño de la gráfica de esta función.

84

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
736, Demostrar que la función de Riemann

La
no | y

O, six esirracional,

‘©, donde m y n son números primos entes,

es discontinua pare cada valor racional de x y cs continua para cada
valor irracional de x. Construir el diseño de la gráfica de esta función.

737. Estudiar la continuidad de la función f(x), dada del modo
siguiente:

ES
six es una fracción racional irreducibie 2 M>D y
ei,

si x es un némero irracional, Construir el diseño de la gráfica de esta
función.

738. La función f(x) = 4=$* está definida para todos los valores

del argumento x, a excepción de x = 0. ¿Qué valor debe asignarse a la
función f(x) en el punto x =0, para que sea continua para x = 0?

739. Comprobar que, cualquiera que sea la elección del número
FC), la función f (x)

siempre será discontinua para x =

T

740. La función / (x) carece de sentido para x=0. Determinar el
número f (0) de tal modo que f(x) sea continua para x = 0, si

00040"

DA DE
9 ske

31
») fe) =,

Damn À;

741. ¿Es obligatoriamente discontinua en un punto dado xg la suma
de dos fünciones /(&) +8 (x), si: a) la función / (x) es continua y la
función g (x) es discontinua para x = x; b) ambas funciones Y (x) y
2.0 son discontinuas para <=?

742. ¿Es obligatoriamente discontinua en un punto dado xp el
producto de dos funciones f (x) g (x), si: a) la función f (x) es continua

ss

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS

y la función g (x) es discontinua en este punto; b) ambas funciones f (x)
y £ (x) son discontinuas para x = xq? Construir los ejemplos correspon
Sientes.

743. ¿Se puede afirmar que el cuadrado de una función discontinua
es también una función discontinua?

Construir un ejemplo de una función que sea discontinua en todos
tos puntos y cuyo cuadrado sea una función continua,

744, Estudiar la continuidad de las funciones lg (x)] y g LFW], sic

senx y Ela)
sent y gtx)
sgnx y gi

745. Estudiar Ja continuidad de 12 función compueste y =/(u), don-
dew = (x), si

para OC ue ly
para hac?

caí = parax racional,
rl Poe
@<x<1)

746. Demostrar que, si (x) es una función continua, la fanción

Fils
también es continua.

747. Demostraz que, s la función / (x) es continua, también lo cs la
función

—e si <a
Ka=ire. si las
4 § fade

donde e es un número positivo arbitrario.
748. Demostrar que, si la función f(x) es continua en el segmento
[a,b], las funciones
"am LOL y Ma sup 0)
también son continuas en a, b,

36

>. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION.

749. Demostrar que, si las funciones f (x) y £ (x} son continvas, las
funciones

et

mni/td, gle] y = maxi), gt]

también lo son

750. Supongamos que la función f(x) esta definida y acotada en el
segmento (a, 6). Demostrar que las funciones.

mi il (UD) y Mel sup (ON
estes e

son continuas a la izquierda en el segmento [a, 6}.

151. Demostrar que, si la función f(x) es continua en eb intervalo
a<x Story existe el mite finito
tin sin

entonces esta función está acotada en el intervalo dado,

752. Supongamos que la función f(x) es continua y está acotada en
el intervalo (Xo, + oe). Demostrar que, cualquiera que sea el múmero 7,
existe una sucesión xy —> + os, tal que

m PE =

153. Sean p(x) y y (x) funciones continuas periódicas, definidas
para oo <x <+ es, y

A
Demostrar que

LE]

754. Demostrar que todos los puntos de discontinuidad de una

función monótona acotada son puntos de discontimuidad de 1* especie.

755. Demostrar que, si la función f (x) posee las propiedades siguien-

tes: 1) está definida y es monótona errel segmento |a, D}; 2) toma todos

los valores comprendidos entre f(a) y f(b), entonces esta función es
continua enfe, 8}

756. Comprobar que la función f(x) =sen

q si xa y

£(a) =0, toma en cualquier segmento fa, 5] todos los valores compren
¿idos entre f (a) y f(b), sin embargo, no es continua en [a, b].

8

‘CAPLIO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS.

757. Demostrar que, si la función f(x) es continua en el intervalo
(a, B) Y Xu, ¥25 em Xn son valores arbitrarios de este intesvalo, entonces,
entre ellos, siempre existe un número & tal que

UI ES)
758. Sea f(x) continua en el intervalo (a, b) y

o y einst

Demostrar que, cualquiera que sea el nümero A, donde ¿<A <L,

existe una sucesión Xp —> 4 (a= 1, 2,..), tal que
da dh

$ 8. Función inversa. Funciones en forma paramétrica

© Existencia y continuidad de la función inversa, Si la función
y= (x) posee las siguientes propiedades: 1) está definida y es continua
en el intervalo (4,8); 2)es monótona en sentido estricto en este
intervalo, entonces existe una función inversa uniforme x=f*0),
definida, continua y, respectivamente, monótona en sentido estricto en
él intervalo (A, 8), donde A = lim f (x) y B=_lim/G0.

ol,

Se entiende por rama uniforme continua de la furicién multiforme
inverse de una función continua dada y=/ (x), cualquier función uni-
forme continua x =g (3), definida en la región máxima de su existencia
y que satisfaga en esta región a la ecuación fg (v)] =)

2. Continuidad de una función dada en forma paramétrica. Si las
Juacionos y (0) y Y (£) están definidas y son continuas en el intervalo
€ D) y la función 6 (1) es estrictamente monótona en este intervalo, el
Sistema de ecuaciones

50 =O)
determina a y como función uniforme y continua de x:
CAT

en el intervalo (a, 6), donde a

Problemas:
759. Hallar la función inversa dela función homográfica
spe
eu Me
¿ln qué caso la función inversa coincide con la función dada?

88

E. PUNCION INVERSA. SUNCIONES KN VORMA PARAMETRICA

760. Hallar la función inversa x = x (+), si
perl

761. Comprobar que existe una Función continua única y
(ce <x < + so) que satisface a la ecuación de Kepler

yresinyae ae
762. Comprobar que la ecuación
rk

para cada nümero real K(-=<k<+) tiene en el intervalo
0<x <7 una raíz continua única x =x (1).

763. ¿Puede tener función inversa unifonne vna función no mond-
tona y =f (x) (— ee <x <+ co)? Examinar el ejemplo:

a 5 RES on.

Six es racional

764, ¿En qué caso la función y=f(x) y la función inversa
x=f |) representan una misına función?

765. Comprobar que la función inversa de la función discontinua
a

sgae

esuna función continua.
766. Demostrar que, si la función f(x) está definida y es estricta-
mente inonótona en el segmento (a, b] y

in Hee f (e,

entonces

Determinar las ramas uniformes continuas de las funciones inversas
para las siguientes funciones:

167. year.

768. y.
be

8. y E

773. Comprobar que el conjunto de valores de la función continua
yaslfsias,
sorespondientes al intervalo (0 <x <2n), es un segmento.
9

774. Demostrar la igualdad
seas aan 2
775, Demostrar al
areig x aretg 4.
776. Demostrar torema de a om pr os secs tangents:
ar ang yang EEL ten
e 2 y) esuna función qe Tom uo de os tes aloe: 0,1

eme (0)

¿Para qué valores de y, para un valor dado de x, es posible una
discontinuidad de la función +? Construir en el plano Oxy las regiones
correspondientes de continuidad de la función e y determinar el valor
de esta función en cada una de las regiones obtenidas,

777. Demostrar el teorema de la suma para los arcos senos:
+ aresin y=(— If sin (eV TE +=

(lat), Iylé 1, donde
Sr,

tens, si ay Oy yD.

778. Demostrar el teorema de la suma para los arcos cosenos:
arccos eos y (1) arcos tay VIS VIF + Oe
(lel, Iyls D, donde

a si tyne,
T Nr.
779. Construir las gráficas de las funciones:

= arcsin x —aresin VT 5
sin (2x TP) 2 are sine,

a
Dr
780. Hallar la función y = y (x), dada por las ecuaciones:
artgl, parait (— 00 CHE + 00).
¿En qué región está definida esta función?
781. Sea

cht, yeesht (= 00 < ES fool,
so

8. FUNCION INVERSA. FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA

¿En qué regiones de variación del parámetro ¢ se puede considerar la
variable y como función uniforme de la variable x? Hallar las expresio-
nes de y para las diferentes regiones.

782, ¡Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para que el
sistema de ecuaciones

=p

PO <p

determine y como función uniforme de x?
Examinar el ejemplo: x = sent, y = cos.
783. ¿En qué condiciones dos sistemas de ecuaciones
2290 PERO acc

Em. pe GO) IA

determinan una misma fancion y = y (x)?

784. Supongamos que las funciones (x) y y (x) están definidas y
son continuas en el intervalo (a, b) y sean

A= tal pla, 8

¿En qué caso existe una función uniforme f (+), definida en el intecvalo
(A, B) y tal que

-PO=/ (06) pan acecer
§ 9. Continuidad oniforme de una función

1% Definición de continuidad uniforme, Una función f (x) se llama
uniformemente continua en un conjunto dado (en un intervalo, seamen
to, etc.) X=(x ), si f(x) está definida en X y para cada e > 0 existo
un número 5 = 5 (2) >0 tal que, para cualesquiera valores x. x” € X, la
desigualdad

kit
implica la desigualdad.
it rege

2° Teorema de Cantor. Una función f (x), definida y continua en un
segmento acotado [e, 6}, es uniformemente continua en este segmento.

9

CAPITULO 1, INTRODUCCION AL ANALISIS

Problemas:

785, En el taller de una fábrica se producen láminas cuadradas cuyos
lados x pueden tomar valores de 1 a 10 em. ¿Con qué tolerancia $ se
pueden fabricar los lados de estas láminas para que, independientemen-
te de sus longitudes (entre los limites indicados), sus áreas y se diferen-
cien de la proyectada menos de e? Efectuar el cálculo numérico, si
0,01 em? ; c) e=0,0001 em?

a) e=1 cm; b)

786. Un manguito cilíndrico de anchura € y longitud 5 está sujeto a
la curva y = VX y se desliza sobre ella de modo que su eje permancce
paralelo al eje Ox, ¿A qué tiene que ser igual 5, para que dicho
manguito recorre libremente el trozo de la curva determinado por las
desigualdades — 10<x < 10, si a) = 1;b) = 0,1;c)e=0,01;4) ees
arbitrariamente pequeño?

787. Formular en términos de «s — 6», en sentido positivo, la afir-
mación: la función f (x) es continua en cierto conjunto (en ten interva-
lo, segmento, etc.), pero no es uniformemente continua en este conjun-
to.

788. Comprobar que la función

se
es continua en el intervalo (0, 1), pero no es uniformemente continua
en este intervalo.
789. Comprobar que la función
Fi) sin +
es continua y está acotada en el intervalo (0, 1), pero no es uniforme-

mente continua en este intervalo.
790. Comprobar que Ja función

Masa

es continua y está acotada en el intervalo infinito — > <x < + es pero
no es uniformemente continua en este intervalo,

791, Demostrar que, si la función f (x) está definida y es continua en
la región a <x < + oo y existe el límite finito

lim fie),

at
entonces f (x) es uniformemente continua en esta región.
2

8. FUNCION INVERSA. FUNCIONES EN PORMA PARAMET RICA

792. Comprobar que le función no acotada
Na=stsnr
es uniformemente continua en todo el eje - = <x < + os,

193, ¿Es uniformemente continua la función f(r) =x? en el interva-
lo: a) (1, D), donde! es un número positivo cualquiera, arbitrariamente.
grande; b) en el intervalo (- 00, + =)!

Estudiar la continuidad uniforme de las funciones que siguen, en las
regiones dadas

(—t<exe I).
195. f(x) LEP
196. f(x) Ceres
m. = O<ecn.
798, 11x) Carto.
799. / (3) Ur <+ ce).
800. Zi) Oz C4 oo).
801. Comprobar que la función f(x) = [RE] es uniformemente

continua en cada intervalo

ARE LO y ROSES
Por separado, pero no es uniformemente continua en su suma
AALS 0< 1211p,

801.1. Demostrar que, sila función f (x) es uniformemente continua
en cada uno de los segmentos (a, €] y [c, b), entonces esta función es
uniformemente continua en el segmento total [a,b]

802. Para e >0 hallar 8 =5 (2) (uno cualquiera) que satisfaga a las
condiciones de continuidad uniforme para la función f(x) en el inter

valo ‘ndicado, si:

(x < + 0)
(21 5);
Ol ret);
O2 x < oo)
Zeinx-cosr (Lx < 4 os
asin L (240) y £0) Parar

93

CAPITULO 1 INTROPUCCION AL ANALISIS

803. ¿En cuántos segmentos, iguales entre sí, es suficiente dividir el
segmento (1, 10} para que la oscilación de la función f(x) =x? en cada
uno de estos segmentos sea menor que 0,0001?

804. Demostrar que la suma y el producto de un número acotado de
funciones uniformemente continuas en un intervalo (a, 6) son unifor-
memente continuas en este intervalo.

805. Demostrar que, si una función monótona y acotada f(x) es
continua en un intervalo finito o infinito (a, b), entonces esta función
esuniformemente continua en el intervalo (a, b).

806, Demostrar que, si una función f(x) es uniformemente continua
en un intervalo finito (@, 5), entonces existen los límites

Ac lim so y B= lin so
¿Es válido este teorema para un intervalo infinito (a, BY?

806.1. Demostrar que, para que una función f (x), definida y conti
ua en un intervalo finito (a, b), pueda prolongarse continuamente en el
segmento (a, b], es necesario y suficiente que la función f(x) sea
uniformemente Continua en el intervalo (a, 8).

807. Se llama módulo de continuidad de una función f(x) en el
intervalo (a, 5) la fanción

une
donde x, 3 son puntos arbitrarios de (a, b), ligados por la condición
Ixy 2 [<8

Demostrar que, para la continuidad uniforme de la función f (x) en el

intervalo (a, D), es necesario y suficiente que
im 0,90.
u 0,0)

808, Obtener una cota para el módulo de continuidad wy (6) (véase

el problema anterior) de la forma
0,0) 508,

donde Cy «son constantes, si

a) F(x) Pret
D GIVE Waxed n {a Ceres
9) Fe sine eus Ox = 2

§ 10. Ecuaciones funcionales

Problemas:
809. Demostrar que la única función continua f (x)

(oo <x < +e) que satisface a Ja ecuación
HET GE IO ao

94

5. SUNCION INVERSA, FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA

para todos los valores reales de x e y, es a función lineal homogénea.
FE ex,
donde a =f (1) es une constante azbitraria,

810. Demostrar que una función monótona f(x) que satisfaga a la
ecuación (1), es linea! homogénea.

811. Demostrar que una función / (x) que satisfaga a la ccuación (1)
y esté acotada en un intervalo (—e, e) arbitrariamente pequeño, es
lineal homogénea.

812. Demostrar que la única función continua f (x)
(++ <x < +e), no idénticamente nula, que satisface a la ecuación
ASAS a
para todos los valores de x e y, es la función exponencial
fase
donde a =f (1) es una constante positi

813. Demostrar que la función f (x), no idénticamente nuts, que está
acotada en el intervalo (0, e) y satisface a la ecuación (2), es la función
exponencial.

814. Demostrar que la única función continua f(x) (0 < x < + =), no
idénticamente nula, que satisface a la ecuación

He PUS),
para todos los valores positivos x e y, es la función logarítmica
29 =tog,x,
donde a es una constante positiva,

815. Demostrar que la única función continua f(x) (0 <x <+ =)
no idénticamente nula, que satisface a la ecuación

=, ®
para todos los valores positivos x e y, es la función potencial
sia,

donde a es una constante.

816. Hallar todas las funciones continuas f (x) oo <x < + =) que
satisfacen a la ecvación (3) para todos los valores reales de x e y.

817. Comprobar que fa función discontinua
Mo=sgx
satisface a la ecuación (3).

ss

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL ANALISIS
818. Hallar todas las funciones continuas / (x) — > <x < + ce) que
satisfacen a la ecuación
IEA NAS IIS
para todos los valores reales de x e y.
819. Hallar todas las funciones continuas acotadas f(x) y £ (x)
(= x < + 00) que satisfacen al sistema de ecuaciones

IEPS
Be ERDE DIE

para todos los valores reales de x e y, y también a las condiciones de
normalización:

AST y EO)

Indicación. Examinar Ia fonción
Foye eo,
820. Sean
Sse) =x) SO)
AY) =A Ofte}
las diferencias finitas de, Ja función f (x) de primero y segundo órdenes,

respectivamente,
Demostrar que, si Ja función f (x) (- = <x < + 0e) es continua y

ayes,
entonces esta función es lineal, es decir,
POELE

donde a y son constantes.

9

curiae 2 CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES
DEUNA VARIANLE

§ 1. Derivada de una función explícita

12 Definición de derivada. Si x y x, =x + Ax son valores de la
variable independiente, la diferencia

ay

«+91

se llama incremento de la función y = f (x) en el segmento fx, x; ).
La expresión

v=reomin à, o

si tiene sentido, se llama derivada, y la función misma f(x) se ama en
este caso derivable.

Geométricamente, el número f(x) representa el coeficiente angular
de ls tangente a la gráfica de la fuación y=f(x) en su punto
x (ig y= fd) (lig. 6).

2° Repas fundamental de derivación, 3 ex un constante y as
fanciones u = u (8), v =» Ge), w= w Ge
son derivables, se tiene

¿40 ur

eee ono; Fig. 6

ur” (1 es una constante);

1) Si las funciones y =f (u) y u = (x) son derivables, se tiene:
a

32 Fórmulas principales, Si x es la variable independiente, se tiene
fl

1.07

(n es una constante) Ve Tage
N ae a
I, (say we 7
Ww 1

vn. Grey;

”

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

L

vin, weh e
1X. mi. Kun ae
Ko ag
Kr (> 0)
wat.
4° Derivadas laterales, Las expresiones
L9= lim

se llamar derivada a la izguierda y a la derecha, respectivamente, dela
función f (x) en el punto x.
Para la existencia dela derivada f(x) es necesario y suficiente que

LE
52 Derivada infinita, Si la función f(x) es continua en el punto x y
Leas — 16
3x

se dice que la función f (x) tiene en el punto x derivada infinita. En este
caso, le tangente a la gráfica de Ja función y= f(x) en el punto x es
perpendicular al ee Ox.

Problemas:

821. Determinar el incremento Ax del argumento x y el incremento
correspondiente Ay de la función y=Igx, si x varíe desde 1 hasta
1000.

822. Determinar el incremento Ax del argumento x y el incremento
corespondiente Ay de la función y = à , six vara desde 0,01 hasta
0,001.

823. La variable x obtiene un incremento Ax. Determinar el incre-
mento Ay, si

D yat bye be oy

824. Demostrar que:

Ar = AF) + Arte

DAVE gt Ay f(x) 4 70) Ag).

825. Por los puntos 4 (2, 4) y A’ (2+ Ax, 44 Ay) de la curva
y = x? se ha trazado la stcante AA”. Hallar el coeficiente angular de esta

>

1 DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICITA

secante, si: a) Ax = 1; b) Ax=0,1; e) Ax =0,01; d) Ax es arbitraria-
mente pequeño.

¿A qué es igual el coeficiente angular de la tangente a la curve dada
enel punto A?

826. El segmento | <x <1 + À del eje Ox se aplica sobre el eje Oy
mediante la función y = x. Determinar el coeficiente medio de dilata.
ción y efectuar el cálculo numérico, si:

a) A=0,1; D} A=0,01: €) A=0,001.

¿A qué es igual el coeficiente de dilatación de esta aplicación en el
punto x = 17

827. La ley del movimiento de un punto sobre el eje Ox viene dada
por la fórmula

ots,

donde 1 es el tiempo en segundos y x es a distancia en metros, Hallar la
velocidad media en el intervalo de tiempo 20 <1 < 20 + Ary efectuar
el cálculo numérico, si: a) Af = 1; b) A£=0,1,0) Ar=0,01. ¿Cuál es la
velocidad del movimiento en el instante {= 20

828. Partiendo de la definición de derivada, hallar directamente las
derivadas de las siguientes funciones: a) 13; b} x3; e) Lid) Ro);
Dig x5) ctgx;h) arcsen x; i) arecos x;1) arctg x

829. Calcular (1, f' (2) y f° GB), si

Fame 1) x — 2)" (2 — 3),
830. Calcular f' (2), si
16)
831. Calcular f' (1), si

SEE x 441) arcsin Y/

Ain (9),

832. Hallar

sila función f (2) es derivable en el punto 2

833. Demostrar que, si la función f (x) es derivable y n es un número.
natural, se tiene ,

LOC ETES w

Reciprocamente, si para la función / (x) existe el límite (1), ¿se
puede afirmar que esta función admite derivada? Examinar el ejemplo
dela función de Dinchlet (véase el cap. I, problema 734)

Utilizando la tabla de derivadas, halar las derivadas de las siguientes
funciones

99

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

yet
¿Aqué esigual yo: y (3); y y (107
EA

Para qué valores de x: a) y" (x)=0; bj y" (x 2;c)y'(x)=10?
NN yea) (8)
rt. 89. p(x a etsy,
840. yo (sin a cos alles sina),
SAL. y= (1 ne") (1 ma).
842. y: — A Eee

8421. a(S 2(3 — 409",

844. Demostrar la formula

(Ed.
Hasta as derivadas els funciones

850. Pa
85 y En

852. y:

ve
a yes Tre.
860. yaV 14 Very

se. y= VIE Ids
802. yes 2e—2sine

855. y= + VERY
856. y.

868. yo (200) cos + 2esinx.

804. y= sin os" x)-cos sn" 2).

|
|

|, DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICHTA

866. y= sin" cos nr. site
868. y sin Sto sin}.

867. y Ez,

an y= gE.
STH. yon sect Sp conte,

875. = sinfeost (tg® x))
870. ye»

1 gos. E
AN A

819. yma A Yan erecta
"ne on gers
sen yme (tags) se yet
A merken
re ana sa
yous at tat a) 887 yn)
ie 888. yla),
POLI aE:
pa
+! EFT

er
atar

nt YE
ne O<R<D.

896. ym (+ VIRR)- VIFR.
897, y 1 (A VITA 2 VTE Bin (+ V TER) HR
898 re (AVI.

ESTOS

ve FE @>0, 2>0,

101

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

rn T
00. y ECT a VER,

905. vn + Y/ EEE,

Chem Ve: ejal<i).

+ am x4 Sin $6)
1

Es

IC -VTFRP Lam (EHRE

S11, y=x [Sm x) — cos fin a).

dy migr 015 yal,
91. y 91 ym pme VE
914, y=arccos Vx—arctg Y

918, y =x + VIE arecos xo

o. yon 5

om. sean ins
921. ym aresin (sin x), 924. y= arccos VIZEE
092, yenes (et), 925. ea,

926. ymearcetg

Bee).

pu Seg) >>

929. yee at a

80, ymarctgxt Lucie
S91, rm (Lan) cel asp

102

1. DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICITA

sain | by dee

940. y E

945, yumarccig ch

Ts

E
VTA testa

950. yor xaretge— Lin 24) —eh regs
951. yamine LYVT EH), 952, = arte (ch TFR).

103

CAMTULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

ya (SST):
A 11 | VERT
aya PER pe te ae .
Umag PVE VTE eye
ave ON ye Vier pave*

856, EZ

957. y =arccos (sin.x*— cos x}.

968, ÿ= aresin (sin x°}-f srecos (cos x").

rain eos Um acsin x) sl (ares).

ac (VERS) xtc

972, Hallar la derivada de la función
yan coe x VIE,

introduciendo la variable intermedia u = cos

104

1- DERIVADA DE UXA FUNCION EXPLICITA

Aplicando el método indicado en el ejerc
delas funciones:

972, hallar las desivadas

70. y= (recon [rien ue +

PAE

CYTED HEN

874. y

Ver

975. y Em,

976, y= are ger“.

re

977. Hallar las derivadas y construir las gráficas de las funciones y
sus derivadas, si:

a) y=lxk ya 0) pæinlal
978. Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
DIRAN o
D) y = {sin x Diles

Hailar las derivadas y construir las gráficas de las funciones y sus
Jerivadas:

m. | Is à rn
{
f

Venen 5 ler de;
eo si 2<Le<to.

EEN à usa

fuera del segmento (o, 6},
x si eco
ee) a +20.
acte sd let
(nat s [>
eer 8 [slat
nn s DL

984. La derivada del Jogaritmo de la función dada se llama derivada
logarítmica de dicha función:

10m
Aueh.
105

CARTULO 2. CALCUL PASFRENGIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIANCE
Hala derivada logarítmica dela función y, si
Dr Vi D ym aa
oye VE: 0er

985. Sean p(x) y y (x) funciones derivables de x, Hallar la derivada
dela función y, sh

DIV FITO yet

= YER) 0 Y)>0)

D Rob) (> >

986. Hallar y",

Dye DES HC

©) = fins) + floss: à) pfff Ch
donde (4) es una función derivable.

986.1. Hellar (0), si:

Sax (ED (22)... (4 1000),

987. Demostrar la siguiente regla de derivación de un determinante

de n-ésmo orden:

Fir) Fate)

PACA

Fan) «+ Saal) La 9 222 fan 2)

988. Hallar F" (x), si
et or 2
F@=|—-3 x 3

989. Hallar F' (x), si:
je tot
1 2e Art.
0 2 6x

F@=

990. Se da la gráfica de una función. Construir aproximadamente la
gráfica de su derivada,

106

1. DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICA

991. Comprobar que la fun

int
Mare

tiene derivada discontinua.
992, ¿Cuál esla condición para que la funci
fajedsind #0 Y 0-0

; b) derivable en x=0; c) admita derivada

sea: 3) continua en x=
continua en x = 0?

993, ¿Cuál esa con

1

HOME
admita: a) derivada acolada en un entomo del origen de coordenadas;

¡ón para que la función
@#9 y fad (m> 0)

b) derivada no acotada en dicho entomo?
994, Haltarf'(a), si
MOLI
y la función y (x) es continua en x =a.
995. Comprobar que la función
Se=le—aleee,
donde y (x) es una función continua y p (a) #0, no admite derivada en

el punto a
¿A qué son iguales las derivadas laterales f(a) y f (a)?
996. Construir un ejemplo de una función continua que no tenga

derivadas en los puntos dados a, 27, -., a.
997. Comprobar que en cualguiet entomo del punto x = 0, la fun-
(0 y f0=0

ción
Je x] os E]
tiene puntos en los cuales la función no es derivable, a pesar de que la
“misma es derivable en el propio punto x = 0.
Construir el diseño de la grafiea de esta función
998. Comprobar que la función
3%, sixes racional,
0, six os irracional.

1
107

admite derivada solamente para x = 0.

‘CAPITULO 2. CALCULO PIVERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
999. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones:
DEERE Ne] ata sinks
b) yeas x a) yo aresin (os 2

{ (EIR si felts
felis leal

Para la función FG), hallar la derivada a la izquierda 2 (+) y la
derivada a la derecha 5. (), si
1000. f(3)=] | 3001. f(s) (aan

1002 fymxfon Z| (60), O0
1008. (= Von“.

o

1904, Je EY, [=O

14e

VIE 1006. f(x) =I10| |] (020)
2e

1005. (>
1007. feo)==aresin 7
1008. Aw Hareie hy EI /0J=0.

1009. Comprobar que la función f (x)= x sen tsi x # 0 y £(0)

es continua en x = 0 pero no tiene en este punto derivada a la izquierda
y desivada a la desecha.

1009.1. Sea xo un punto de discontimuidad de 1* especie de la
función f(x). Las expresiones

3 Kun 09)
Fie) tim [th

* À HS st!
ham a tato

se Maman derivadas laterales generalizadas (a la izquierda y a la derecha,
respectivamente) de la función f (x) en el punto xo

Hallar £2 (xa) y /¿(to) en los puntos de discontinuidad x, de la
función £ (o, si

a. EE

oi sear
er
D) JO are wit Te:

108

1. DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICIT

1050. Sea

¿Cómo se deben elegir los coeficientes a y b para que la función f(x)
sea continua y derivable en el punto xo?

1001. Sea
af fla tore
Vert, sh xD,

FQ)

donde la función f (x) es derivable a la izquierda en x = xo,
¿Cuál debe ser la elección de los coeficientes a y 6 de la función
F (x) para que ésta sea continua y derivable en el punto x9?
1012. Construir en el segmento a Gx <b la conjugación de dos
semirrectas

PE) (Cao) € yl Ce Lo

mediante la parábola cúbica
IA MO,
donde los parámetros A y c deben ser elegidos adecuadamente.
1013. Completar la parte de la curva y = 2 (1x 1 > 6) mediante la
parábola
3040 (xd
(donde a y b son unos parámetros desconocidos), de tal modo que

resulte una curva lisa,
1014. ¿Se puede afirmar que la suma
PUR ss) bets)
no admite derivada en el punto x= xo, sit a) la función f(x) tiene
derivada en el punto xo, "y la función g (x) no tiene derivada en este
punto; b) ambas funciones Y (x) y £ (x) no tienen derivada en el punto
1015. ¿Se puede afirmar que el producto
Fis bebe
109

(CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

no admite derivada en el punto xg, si: a) le función f (x) tiene derivada
en el punto xo, y la función g (x) no tiene derivada en este punto; b)
ambas funciones f (x) y g (x) no tienen derivada en el punto x9?
Examinar los ejemplos: a) £@)=x, #@)=1x |; b) FC
g(x) =| x |, donde xo = 0.
1016. ¿Qué se puede decir de la derivabilidad de la función

en el punto dado x=x,, si: a) la función f(x) tiene derivada en el
punto x=5 (Xp), y la función £ (x) no tiene derivada en el punto
x=x9; b) la función no tiene derivada en el punto x= (Xp). y la
función g (x) tiene derivada en el punto x = x; c) la función f(x) no
tiene derivada en el punto x=g (te), y la función g(x) no tiene
derivada en el punto x =X?

Examinar los ejemplos!

a) fe)

D Fee leh eta 9 (=

1
+ let donde x, = 0.

1017. ¿En qué puntos la gráfica de la función
yeep m3

tiene tangente vertical?

Construir dicha gráfica.

1018. ¿Puede tener una función f(x) en un punto de discontinui-
dad: a) derivada finita; b) derivada infinita?

Examinar el ejemplo: f(z) = sen x

1019. Si una función f (x) es derivable en un intervalo acotado (a, b)
y

dim fig

¿necesariamente tiene que ser

y lim =

2) Fin | f(a) co?

Examinar el ejemplo: / (a)

2 +605 4 cuandox— 0.

1020. Si una función f (x) es derivable en un intervalo acotado (a, 6)

y
im f (=

no

DERIVADA DE UNA FUNCION EXPLICITA.

¿necesariamente tiene que ser

im =

Examinar el ejemplo: f(x) = YF cuando x — 0.

1021. Supongamos que la función / (x) es derivable en el intervalo
Go, +æ) y que existe lim f(x). ¿Se deduce de esto que existe

lim f° Ge)? =e
Examinar! ejemplo:
noni,

1022. Supongamos que una función acotada f(x) es derivable en el
intervalo (Xo, +) y que existe lim f(x); ¿Se deduce de esto que

existe lim f(x) finito o infinito?

Examinar el ejemplo:
re

cos (In)

1023. ¿Se puede derivar término a término una desigueldad entre las
funciones

1024. Deducir las fórmulas para las sumas:

Ap
” =U EME pr,
Indicación. Examinar (x 42? +... + 2")
1025. Deduci las fórmulas para las sumas:
, S¡=0mx- sind... pinar

08 #4 2 605 2x4. Ptos

1025.1. Deducir a fórmula para la suma.
S 0420204... Lucia,
Indicación. Sym sh 24. paa.
ni

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONLS DE UNA VARIABLE:
1026. Aplicando In identidad

cos cos E

deducir fa fórmula para la suma

s,

dea. Bye Lets
Pete taten

1027. Demostrar que la derivada de una función derivable par es una
función impar, y que Ja derivada de una función derivable impar es una
función par.

‘Dar una interpretación geométrica de este hecho.

1028. Demostrar que la derivada de una función derivable periódica
es de nuevo una función periódica del mismo período,

1029. {Con qué velocidad aumenta el área de un círculo en el
momento en que su radio se hace igual a R = 10 cm, si dicho radio crece
uniformemente con la velocidad 2 cm/s?

1030. ¿Con qué velocidad varían el área y la diagonal de un rectán-
gulo en el momento en que uno de sus lados x = 20 m, y otro de sus
lados y=15m, si el primer lado disminuye con la velocidad de 1 m/s
mientras que el segundo aumenta con la velocidad de 2 m/s?

1031. Desde un mismo puerto salicron simultáneamente un barco A
en dirección norte y un barco B en dirección este, ¿Con qué velocidad
erece la distancia entre ellos, si la velocidad dei barco 4 es igual a
30 km/h y la dei barco B es igual a 40 km/h?

1032. Sea

Ae { % si 0er?

22, si 2e,

y sea 5 (x) el área de la superficie limitada por la curva y =f (x) el je
Ox y la perpendicular aleje Ox, trazada por el punto x (x> 0).

Formar la expresión analítica de la función S (x), hallar la derivada
5") y construir la gráfica de la función y = 5" (x).

1033, La función S (x) es el ärea de la superficie limitada por el arco
de Ja circunferencia y = x7, el eje Ox y dos perpendiculares al eje
Ox, trazadas por los puntos O y x'( | x (<a).

Formar la expresión analítica de la función S (x), hallar la derivada
SG) y construir la gráfica de esta derivada.

na

2. DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA

§ 2. Derivada de la función inversa
Derivada de una función dada en forma paramétrien
Derivada de una función dada en forma implícita.

1% Derivada de la función inversa, Una función derivable y = f(x)
(a <x <6), con derivadaf'(x) #0, tiene función inversa uniforme y
continua x= '(), siendo también la función inversa derivable, y
verificándose la fórmula

2° Derivada de una función dada en forma paramétrica, El sistema
de ecuaciones

oO) wet
30) acıcn

donde (1) y Y (1) son funciones derivables y y! (1) +0, determina a y,
en cierta region, como función uniforme y derivable de x:

verein.

la derivada de esta función puede hallarse por la formula

a

Y

32 Derivada de una función dada en forma implicita, Si una función
derivable y = y (x) satisface a la ecuación

Fun

la derivada y'=y’ (x) de esta función implícita puede hallarse de la
ecuación

Elo m=,
donde F (x, y) se considera como función compuesta de la variable x,
(Véase más detalladamente respecto de las fanciones impticitas der.
vables en la parte IL, cap. VI, $ 3.)
Problemas:

1034. Comprobar que existe una función uniforme y
da pora ecuación
PH,

(©), defini

y hallar su derivada y.

13

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1035. Comprobar que existe una función uniforme y =» (x), defini:
da por la ecuación

yoesing: Oaecn,

y hallar la derivada ys
1036, Determinar los campos de existencia de las funciones inversos
x = x 9) y hallar sus derivadas, si

a) vx l0x(x>0 e) she
Dore detre,

1037. Separar las ramas uniformes y continuas de las funciones
inversas x= x (y), hallar sus derivados y construir las gráficas, si

dy Dis pee et,

1038. Construir el diseño de la gráfica de la función y = p (x) y
hallar la derivada y's, si: x = 14211, y=2 3241 LA que es
igual Y 60) enx = Oy enx== 17 ¿En qué punto A 6x, la denivada
=

Hallar las derivadas y’, (los parámetros son positives), si

VA >=

1039.

1040. sit, ost.
1041, x=acost, yebiint,

1042, x=achs, ydsht,

1043. x=acos"f, si,
1044. x=a(f—sing, cash.
1045. x=" cos", tt,
1048.

1047. Comprobar que la función y =» (x), definida por el sistema
de ecuaciones

bit, y= Sealey,

es derivable para a pesar de que su derivada en este punto no
puede hallarse por la fórmula ordinaria,

Hallar las derivadas y', de las siguientes funciones, dadas en forma
impli

14

2 SICNIFICADO GFOMETRICO DE LA DERIVADA.

1048, 24-4. Day y! = 2x,
LA qué es igual" pare x

1049. y*=2px (parábola).
1050. EL =1 (elipse).
1051. VE VI=V3 (parábola)

1052. py eo (astroide).

1058. arctg Lin PEF (espiral logarítmica).

1054. Babar y"y, si

ap (espiral de Arquímedes);

ati cos q) (cardioide)

©) rae (espiral logarítmica),

donde VAR y parc tg 2 son las coordenadas polares,

ey=A,yparax=2ey=

§ 3. Significado geométrico de la derivada

12 Ecuaciones de le tangente y de la normal. Las ecuaciones de la
tangente MT y de la normal MN a la gráfica de una función derivable

Figs 7.
3 = f(x en su punto M (x, y) (fig. 7), tienen la forma

ET En)

respectivamente, donde X, Y son las coordenadas variables de la tangen-
te o de la normal e y'=f" (x) es el valor de la derivada en cl punto de
contacto.

2° Segmentos tangente y normal, Para los segmentos tangente y
normal: PT es la subtangente, PN es la subnormal, MT es la tangente,

ns

(CAMTULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DEUNA VARIABLE

MN es la normal (fig. 7); como tgy=y', se obtienen los siguientes
valores:

or=|+|, Paw

HT: Her MN = (VV

32° Angulo formado por la tangente y el radio-vector en el punto de
contacto. Sir =f) es la ecuación de la curva en un sistema polar de

Fig. 8

coordenadas y $ es el ángulo formado por la tangente MT y el radio-vec-
tor OM en el punto de contacto M (fig, 8), se tiene

weh.

Problemas:

1055. Fseribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a le curva

JSON

en los puntos: a) À (- 1,0):8)8 (2, 3);€) CG, 0).

1056. ¿En qué puntos de la curva
re
la tangente à la misma: a) es paralela al eje Ox; b) es paralela a a
bisectriz del primer ángulo coordenado?

1057. Demostrar que la parábola

ISAZA 0 <x)

corta al eje Ox bajo unos ángulos a y plo <a<$,0<8<,
iguales entre si

ya

ns

3. SIONIFICADO GROMETAICO DE LA DERIVADA.

1058. Determinar en la curva
Jr (15:

aquellos trozos en que la pendiente de la curva (0 sea, | y 1) es superior
al

1059. Las funciones

ey 0,01 sin 1 000 xx

se diferencian entre sí no más de 0,01. ¿Qué se puede decir respecto del
valor máximo de la diferencia de las derivadas de estas funciones?
Construir las gráficas correspondientes

1060. {Bajo qué ángulo corta la curva

y=tax
eleje Ox?
1061. ¿Bajo qué ángulos se cortan las curvas
A
1062. ¿Bajo qué ángulos se cortan las curvas
pains a ent
1063. ¿Cómo debe de elegirse el parámetro » para que la curva
Jaune (0)
corte al eje Ox bajo un ángulo mayor que 89°?
1063.1. Comprobar que la curva
yet,
a) si OS a es tangente aleje Oy;
visi 1 aL few es tangente aleje Ox

1063.2. Comprobar que la curva

euer
yo {lh is

es tangente al eje Oy en el punto À (0, 1).

1064. Determinar el ángulo formado por las tangentes a la izquierda
y a la derecha à la curva: a) y=V e el punto x

7

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE.
1065. Comprobar que la tangente a la espiral logarítmica

em
(a y m son constantes) forma un ángulo constante con el radio-vector
en el punto de contacto.
1066. Determinar la longitud de la subtangente a la curva
yaar",

€ indicar después un método de construcción de Ia tangente a esta
curva,

1067. Demostrar que para la parábola

ys ope

a) la subtangente es igual al doble de la abscisa en el punto de
contacto; b) la subnormal es constante. Indicar un método de construc.
ción de la tangente a la parábola,

1068. Demostrar que la curva exponencial

>= (>

tiene subtangente constante, Indicar un método de construcción de la
tangente a la curva exponencial.
1069. Determinar ia longitud de la normal a a catenaria

¿=00%

en cualquiera de sus puntos M (xo, Yo),
1070. Demostrar que, para la astroide

ray u>o
la longitud del segmento de la tangente, comprendido entre los ejes de
coordenadas, es una cantidad constante.

1071. ¿Qué rela
para qué la parábola

sea tangente al eje Ox?

ne

3, SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LA DERIVADA
1072. ¿Cuál esta condición, para que la parábola cúbica
a te
sea tangente al eje Ox?
1073. ¿Para qué valor del parámetro a, la parábola
peat
es tangente a la curva y =/n x?
1074. Demostrar que las curvas
vor UDO
II Wenaz,

donde f(x) es una función derivable, son langentes entre sí en los
puntos comunes,

1075. Comprobar que las familias de hipórbolas

forman una red ortogonal, es decir, estas curvas se cortan bajo ángulos
rectos.

1076. Demostrar que las familias de parábolas
Stats) (>
FEES 0>0)

forman una red ortogonal.
1077. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

enlos puntos: a) ¢=0;b) ¢= 1
1078. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

entr ae
THE? PTE

en los puntos: a) t= 0, b) = 1, ¢) f=09,

us

‘CAPITULO 3. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1079. Escribirla ecuación de la tangente a la cicloide
alten, y=a(1 cos À

en un punto arbitrario 1= fg. Indicar un método de construcción de la
tangente a la cicloide.

1080. Demostrar qe, para late
(inte g-to01). pan Ua ocre
eisegment tamente sd ong constante

BET Le Mons de I ingente Y dea nomal en os puntos
dalora ls guió cams

1081. bE! M ca
1082, HD MO 1)

$ 4. Diferencial de una función

12 Diferencial de una función, Si el incremento de una función
76), de la variable independiente x, puede expresarse en la forma

ays 4 (dedo (do,

donde dx = Ax, entonces, la parte lineal de este incremento se Hama
diferencial de la función y
aye Aude.

Para la existencia de la diferencial de una función y =f (x) es necesario
y suficiente que exista derivada finita y’ = f(x), verificándose la igual-
dad:

y ds. o

La fórmula (1) conserva su validez también en el caso en que la
variable x es una función de una nueva variable independiente (propie-
dad de invariabilidad de le diferencial primera).

2.” Acotación de pequeños incrementos de una función, Para caleu-
lar pequeños incrementos de una función diferenciable f(x) puede
aplicarse la fórmula

Heeb APSF As

alores suficiente-

cuyo error relative es arbitrariamente pequeño para
mente pequeños de | Ax |, si f(x) # 0.

no

4. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

En particular, st la variable independiente x se determina con un
error absoluto limite | Ax 1, entonces dy y d,, que representan los
errores absoluto y relativo de la función y =/(&), se expresan aproxi
madamente por las fórmulas siguientes:

Problemas.
1083. Para la función
fu

calcular: 1) Af (1); 2) df) y compararlos entre sí, en los casos: a)
Ar=15b) Ax=0,1; c) Ax = 0,01.
1084. La ecuación del movimiento viene dada por la férmula.

AN

donde ¢ se mide en segundos y x en metros,
Para el instante {= 2 s, calcular Ax, que es el incremento del trayec-
to, y dx, que es la diferencial del trayecto, en los casos:

a) At= 1s; DAr=0,15 ©) Ar=0,001 5.

Bailar la diferencial de la función y, si

1088. y==lale+-V Pal.
(AO), 10. yacen (el).
1090. Hallar
a) due aa
b) diaz —xeot2) 0 4(
CRUE
#4 (arceos À

ES

m

canruro 2, er

LO MFENENCIAL DE LAS FUNCIONES DF TINA VARIABLE

Sean u, v, w funciones diferenciables de x, Hallar la diferencial de ta
función y, si:

1091. y eve. 1004. y= arte $.

108. y. 1095, yin Va FR.
ï

1098. y ee

1000. Hata: a) ft ei

a fans ae

Ban az

BETTER ey Heres
Hess: Foren"

1097. En un sector circular, À = 100 cm y e ángulo central a= 60°.
¿Cuánto variará el rea de este sector, si: a) se aumenta 1 cm su radio, A:
bj se disminuye 30° el ángulo 02

indicar la solución exacta y la solución aproximada,

1098, El período de oscilación del péndulo (en segundos) se deter-

mina por la formula
T
a VE,

donde 7 es la longitud del péndulo en centímetros y.
aceleración de la fuerza de gravedad.

¿Cuánto se debe alterar la longitud de un péndulo {= 20 cm, para
‘qué el período T aumente 0,05 segundos?

Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial, hallar
aproximadamente los siguientes valores;

T-

981 cm/s? esta

1099, ¿/T02. 1102. aretg 1,05.
1100. sin 29°. 1109, lg 11.
1101, cos 151%.

1104. Demostrar Ja fórmula de aproximación
VeFExctez (>0,
donde 1x | <a (la relación A <B entre las cantidades positivas A y B

denota que A es muy pequeño con respecto a 8).
Aplicando este fórmula, calcular aproximadamente:

a) V5; b) VIE c) VTZ0y compararlos con los datos de una tabla

1

$. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1104.1, Demostrar fa fórmula
VF=o+¿-r (a>0, 20,

donde

OC im
1108. Demostar la formula de aproximación
Va >

donde |x| <a
Aplicando esta fórmula, calcular aproximadamente:

a) VS b) 7B) 1/100; a) Yin.

1106, El lado de un cuadrado es x = 2,4 m + 0,05 m, ¿Con qué
errores absoluto y relativo límites se puede calcular el ärca de este
cuadrado?

1107. ¿Con qué error relativo se admite medir el radio R de una
bola, para que pueda determinarse su volumen con una exactitud. de
hasta el 1%?

1108. Para determinar la aceleración de la fuerza de gravedad me-
diante las oscilaciones de un péndulo se utiliza a fórmula

att
a

donde { es la longitud del péndulo y T es el período total de las
oscilaciones del mismo. ¿Cómo influirá en el valor de g el error relativo
8 al medir: a) la longitud /, b) el período 7?

1109, Determinar el error absoluto del logaritmo decimal del mime
10 x (x >0), si el error relativo de este número es igual 2 6

1110, Demostrar que los ángulos obtenidos ca una table logarítmica
de tangentes se determinan con mayor exactitud que los obtenidos en
una tabla logarítmica de senos que tenga el mismo número de cifras
decimales.

$ 5. Derivadas y diferenciales de orden superior

1.° Definiciones principales, Las derivadas de órdenes superiores de
una función y =f (x) se definen sucesivamente por las relaciones ( jsu-
poniendo que tienen sentido las operaciones correspondientes! ):

NA

123

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Si una función f (x) admite derivada continua ¿0 (+) en el intervalo
(a,b), se escribe abreviadamente: f G2) E COG, 6). En particular, si
F(x) admite derivadas continúas de cualquier orden en (a, 6), se emplea
la expresión: / (X) ECO) (a, 6),

Las diferenciales de órdenes superiores de una función y =f (x) se
definen sucesivamente por las fórmules

y= deg) pe,

“ax.
Six es la variable independiente, se hace:

donde se ha admitido que d' y = dy =

ia

o

En este caso se verifican las fórmulas

Pm e y

2° Fórmulas fundamentales
LM ete edo; (e

1. Gina. (x42).
(2).
In nenn.

vo (ingyen =a =

U. (cosa

© Fórmula de Leibniz. Si las funciones u = (+) y 9 = Y (x) admi
ten derivadas de n-ésimo orden (son x veces derivables), se tiene:

md ema,

donde 110) =u, v0 =v y Ch es el número de combinaciones farias de
n elementos,

Anélogamente, para la diferencial d" (uv), resulta:

=$ deta,

donde se ha hecho 4% =

124

5. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Froblemas
Hallar y”, si

My TER. 105. y=(1L arg
ma ins.

ins. 117. yarn.
116. 118. y=In fled,

1119, = fai (a 3 cos (ln xl.
1120. Hallar y (0), y” (0) e y" (0), si

“or cos sin x).

Sean u = (x) y » = ÿ (x) funciones que admiten derivadas hasta de
segundo orden. Hallar y", si:

1121. y 1123. ys VER,
1122, yin. 1124, ya (DO.

Sea f(x) una función que admite derivadas hasta de tercer orden.

Hallar ye y", si:
1138. y=/ (0). ur.
4). ins.

ne.
= (na),

. y =f (EA), donde y (x) es una función derivable una conti
dad suficiente de veces, Hallar y" ey”.

1130. Hallar d*y para la función

„=

en dos casos: a) x es la variable independiente; b) x es un argumento
intermedio,
Considerando a x como variable independiente, hallar dy, si:

ut. y= VT ER. 1132. y

1198, pas,

‘Sean u y » funciones de variable x, dos veces derivables, Hallar «y,
si

1134, ya, 1135.

1136,

4°" {m y son constantes)

125

CAPITULO 2. CALCULO PIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1100, yma,

Hallar las derivadas y%, y, ys de la función
forma paramétrica, st
1130,
un.
112.
naa,
1144,

= y (x) dada en

=P Oo.

1345. Supongamos que la función y =f (x) ¢s derivable una cantidad.
suficiente de veces. Hallar las derivadas x’, x”. x", x!V de la función
inversa x =f”*(y), suponiendo que estas derivadas existen,

Hallar pe. vi? e yx5 de la función y = y (X), dada en forms
implícita:

1146, x? +9? =25. ¿A que son iguales y', 3% e y
MG,

17. y

"" en el punto

px. 1188, x! xy yt,

Hallar yx e pi, si:

1149, y’+2iny

FDO.

1151. Sea f (x) una función definida y diferenciable dos veces para
x <xo. ¿Cómo deben elegirse los coeficientes a, b y € para que la
función de

o A
han

Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento. ¿A qué son iguales
la velocidad y le aceleración en el momento { = 27

126

5. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPPRIOR

1153. El punto AL (x, ») se mueve uniformemente sobre una circun-
ferencia x® + y =a", dando una vuelta en 7 segundos. Hallar la
velocidad » y la aceleración 7 de la proyección del punto M sobre el eje
Ox, si en el momento 1 = 0 el punto ocupaba la posición Mo (o, 0).

1154. Un punto material pesado M (x, y) se ha lanzado en el plano
vertical Oxy bajo un ángulo e respecto del plano del horizonte, con una
velocidad inicial v9. Formar la ecuación del movimiento (despreciando
la resistencia del aie) y determinar la magnitud de la velocidad v y la
aceleración j, así como la trayectoria del movimiento, ¿A qué son
iuales la altura máxima del punto y el alcanee?

1155. Las ecuaciones del movimiento de un punto son:

A 4smof— Scout, y=Bsinwl+4 cosat

(co es una constante).

Determinar la trayectoria del movimiento y la magnitud de la veloci-
dad y de la aceleración.

Hallar las derivadas del orden indicado.

1150, yes) hallar yo oo y,

1187. halle y
1158, hate
1169, hallar
1160, hallar
mé. hallar
1162, hallar
1163. hallar
1164. y aïe
1165. hallar
1108. hallar
ver. hallar
1168. alar
1168. llar
1170, hallar

En los ejercicios que siguen, hallas las diferenciales del orden indica-
do, considerando a x como variable independiente.

127

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

um. ya hallar dy.
Le hallar d'y.
1178, y =xco5 2e hallas a
1174. yeas; hallar ty,
1175. y cos rech hallar ay.

En los ejercicios que siguen, hallar las diferenciales del orden indica-
do, si u es una función de x que es diferenciable una cantidad suficiente
de veces.

1176, y: hallar dy
1177, y hallar ay.
1178, y= Ina hallar: d'y.

1379. Hallar dy, dy y d'y para la función y =f (x), considerando
ax como función de cierta variable independiente.

1180. Expresar las derivadas 31" e y"" de la función y =f (x) median-
te las diferenciales sucesivas de las variables x e y, sin Suponer que x sea
variable independiente.

1181. Comprobar que la función
€, 005% C,sinx,

y

donde C, y Cy son constantes arbitraias, satisface a In eeu
y+Hy=0

1182, Comprobar que la función

Cercs,

donde C, y C son constantes arbitrarias, satisface a la ecuación
y-3=0

1183. Comprobar que la fun
y

ehe,

donde C, y Cy son constantes arbitrarias y Ay, A, son constantes,
satisface à la ecuación

yA HAYA

128

5. DERIVADAS Y DIFERENCIALES Di: ORDEN SUPERIOR
1184. Comprobar que la función
y => [C, cos ln) +E, o in a)

donde €, y C; son constantes arbitrarias y » es una constante, satisface
a la ecuación

PAU bay

1185. Comprobar que le función

(org):

donde Cy, Ca, Cy y Ca son constantes arbitrarias, satisface a la
ecuación

Wier pay”

1187. Hallar PÉ (x), si
PO bab ob de

Af (ae 48).

Hallar 0, si

Indicación, Descomponer la función en Fracciones simples.

no. 1198, pee cost
1197. y =sin ax sin bx,
1192, 1198, y =cos ax cos bx,
1199. y =sin ax cos bx,
sh 1200. y — sin* ax cos x.
nu. 1201. y=sint x cost,
1196, y 1202, y=x cosas,

ms

‘CAPITULO 2, CALCULO DIERENCIAL DE LAS FUNCIONES II UNA VARIABLE

1203. y =>" sin ax.
1204. ya 2e he
1205. y=É

Pix}, donde P (x) es un polinomio.

1209. y.
1210, yate
Hallar a” y, si

Pit yare,

1213. Demostrar las igualdades:
(EON? norte)

1) {er sin (oe ey}

IN

2) {eos (bed ey
donde

sin p=,

1214, Haller yo); si

1215. Transformando la función f(x) = sen??x, donde p es un nû-
mero natural, en un polinomio trigonométrico, f(x) = Ÿ Ay cos 2kx
hallar F0 (x). tes a

Indicación. Hacer sen x

3 UD, donde r=cosx +isenx y
08 x ~ i sen x, y aplicar la Formule de Moivre.
1216. Hallar F0 (o,

donde p es un número entero positivo (véase el problema anterior),

Si
CCE

130

5. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

donde i es la unidad imaginaria y f, (x), fa (x) son funciones reales de
la variable x, entonces, por definición, se toma

AOS
1217. Aplicando la identidad.

demostrar que

4
Indicación. Aplicar la fórmula de Moivre.
1218. Hallar la derivada de n-ésimo orden de la función

MERE

Hallar (0), sit
1219.) Were WS

1220. a) = b) fl) arte:
1221. a) 7()=costrarcsin D) fe)

1222. a) Fle) larg; 6) fle) = (aresin 9
1223. Hallar 0 (0), si
T2 a" Y,

donde la función px) admite derivada continua de (1 — 1)-ésimo
orden en un entorno del punto a.

1224, Demostrar que la función

ref"

a si

(n es un número natural) EA en el punto x =0 derivadas hasta de
nésimo orden inclusive y carece de derivada de (n + 1)-£simo orden,

1225. Demostrar que la función

ra oF, si 20,
on

es infinitamente derivable en x =

131

CAPITULO. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Construir la gráfica de esta función.
1226. Demostrar que los polinomios de Chebichey

Ty (3)

cos (mare cos.)
pu

satisfacen a la ecuación

(Lax) Ta (eh 27e (x) oT, (x):
1227. Demostrar que los polinomios de Legendre

Pato

EIA (0, 3, 2, 00

satisfacen a la ecuación

EN Pate) — 2 PA (9 mm PG

Indicación, Derivar m + 1 veces la igualdad (x? — 1) u' =2mxu,
donde w=? — 1)",

1228. Los polinomios de Chebishew-Laguerre se definen por la fór-
mula

LOA m0, 1,2, ,

Hallar la expresión explícita del polinomio Lm (x).
Demostrar que Lm, (x) satisface a la ecuación

ALO (La) Lal) fom (x)

Indicación. Aplicar la igualdad xu’ +(x—m)u=0, donde

1229. Sean y =F(4) y u=y (x), donde f(x) y p (x) son funciones
derivables n veces.

Demostrar que

P=2Z40/%1,

donde los coeficientes Ax (x) (k=0, 1,.., n) no dependen de la

función fu),

132

5. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

1230. Demostrar que para la n-ésima derivada de la función com-
puesta y =/ (+?) se verifica la fórmula

yet

A

a
=

en.

1231. Los polinomios de Chebishey-Hermite se definen por la fór-
mula

HI

Hallar la expresión explícita de los polinomios Hy (x).
Demostrar que fl (x) satisface a ta ecuación

Ha) — 2H, 4) + 200, 1)

Indicación. Aplicar la igualdad u’ + 2xu = 0, donde u =e
1232. Demostrar la igualdad

Ca

Indicación. Aplicar el método de inducción matemática.
1232.1. Demostrar la fórmula

Eomama (mt St) 000.

1232.2, Demostrar la fórmula

$5 (282) = Bhoutan tee,

roa a

donde r
ar He

tem

1233. Sea ¿=D la notación de a operación de derivación y ea

Sr

FiO) = Enno

133

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DI LAS FUNCIONES DE UNA VARIAMLE

un polinomio diferencia! simbólico, donde pp (x) (k=0, 1,.... 11) son
ciertas funciones continuas de x,
Demostrar que

IDE =P OB,

donde A es constante.
1234, Demostrar que, sien la ecuación

Karo

se hace

donde 1 es una variable independiente, dicha ecuación toma la forma

A ep Ny.

donde D.

$ 6. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

1° Teorema de Rolle, Si: 1) la función f(x) está definida y es
continua en el segmento |a, b]; 2) f (x) tiene derivada finita f(x) en el
interior de este segmento; 3) (a) =f (b), entonces existe al menos un
número ¢, perteneciente al intervalo (a, D), tal que

roza
2.° Teorema de Lagrange, Si: 1) la función f (x) está definida y es

continua en el segmento (a, bj; 2) f (x) tiene derivada finita /* (x) en el
intervalo (a, 6), entonces

10) - = - ap] en donde ocecd

(formula de los incrementos finitos).

3.* Teorema de Cauchy. Si: 1) las funciones f(x) y g (x) están
definidas y son continuas en el segmento [a, b); 2) / (x) y g (x) tienen
derivadas finitas f'(x) y g'(x) en el intervalo (a,b); 3)
PO) +g 70920 para a <x <d; 4) g (a) Ee (6), entonces

EG. donde a<e<b.

134

6 TSOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE Y CAUCHY

Problemas:
1235. Comprobar que se ver!

ica el teorema de Rolle para ta función
A

1236. La función

Jai
se ama para M == 1 y xy=l, sin embargo, /'(1)%0 para
© Lx < Expliar con el teorema de Rolle la contradicción aparen-
te.

1237. Supongamos que la función f (x) tiene derivada finita f"<x) en
cada punto del intervalo finito: o infinito (a, b) y que

lim = lime
sake ae

ua.
Demostrar que

ro

donde e es un punto del intervalo (a, b),

1238. Supongamos que: 1) La función £09 gef definida y ene
derivada continua de (n = 1)ésimo orden J%%- 1) (x) en el segmento
Lo Xn]:2) x) tiene derivada de n-£simo orden f (x) en el intervalo
(eg, x.) y 3) se verifican las igualdades

Feder) Sed LALA <a
u ee
derivada continua de (p + q)ésimo Orden fi e >) em preto

a, 6]; 2) f(x) tiene derivada de (p + + 1)-&simo orden 0D (x) en
el intervalo (a, 5); 3) se verifican las igualdades

fa)
==

o.

o

Demóstrar que, entonces,
poro,
donde e es un punto del intervalo (a, 5).

135

CAFITULO? CALCULO DIYERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1240. Demostrar que, si todas las aces del polinomio
Pa ee he, (0)

1D son reales, entonces, sus
PAT (x) también tienen sola-

de coeficientes reales ag (k=0,
derivadas sucesivas Pj (x), By GO,
mente raíces reales.

1241. Demostrar que el polinomio de Legendre

Pen

tiene todas les rafees reales y están comprendidas en el interalo
ey
1242. Demostrar que el polinomio de Chebishev-Laguerre

Lee Brey
tiene todas las rafces positivas
1243, Demostrar que el polinomio de Chebishev-Hermite

At Net)

tiene todas las rafces reales.

1244, Hallar en la curva y=x* un punto, en el cual la tangente es
paralela a la cuerda que une los puntos À (— 1,- 1)y B (2,8).

1245. ¿Es válida la fórmula de los incrementos finitos para la fun-
ción

Ma

en el segmento la, 5), si ab <0?
1246. Hallar la función 0 +8 (x, Ax) tal que
E SS SOS

2) fax tbrte (#03 © 100

D) (9 ye
136

LE. LAGRANGE Y CAUCHY

1246.1. Supongamos que f (x) ECC) (— oo, + ce) y que para cuales-
quiera x y h se verifica la identidad

Seeks)

re)
Demostrar que

JD ax +b
donde a y b son constantes.

1246.2. Supongamos que f(x) EC?) (— es, + =) y que para cuales-
quiera x y he se venfica la identidad

1 ma (+4

Demostrar que
PORTE
donde, b, € son constantes.
1247. Demostrar que, si x > 0, se tiene

donde
siendo
1 1
tim o=4, tim =.
04 lin 0
1248. Sea
si ocre,

Je
Lo os i<r<too

Determinar el valor intermedio ¢ de la fórmula de los incrementos
finitos para la función f (x) en el segmento [0, 2].

1249. Sea f(x) — f (0) =xf" (E (4), donde O<E (x) <x. Demostrar
que, si

Se=zsin(ns) 5 330 y /0=,

entonces la función E=&(x) es discontinua en cualquier intervalo
«sbitrariamente pequeño (0, e), donde e > 0.

1250. Supongamos que la función f(x) tiene derivada continua
f(x) en el intervalo (a, b). ¿Es posible indicar, para cualquier punto E

197

‘CAPITULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DIS LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
de (a. b), dos puntos x; y x; de este intervalo, de modo que see

O <<

Examinar el ejemplo: f (x) =x? — 1 € x < 1), donde €=0.
1251. Demostrar las desigualdades.

a) isiox—siny |< lei:
RD SY p>
©) larctg a—arctgo |<!

1252. Explicar por qué no es válida la fórmula de Cauchy para las
funciones

en el segmento (— 1, 1],
1253. Sca f (x) derivable en el segmento bx,, x3], siendo xx, > 0.
Demostrar que

AL Se) Je

AOS

donde x, <t<m

1254. Demostrar que, si la función f(x) es derivable pero no está
acotada en un intervalo finito (a, B), entonces su derivada f'(x) tampo-
co está acotada en el intervalo (a, 8). El teorema recíproco no es válido
(construir un ejemplo).

1255. Demostrar que, si la función f (x) tiene derivada acotada f(x)
en un intervalo finito o infinito (a, b), entonces f (x) es uniformemente
continua en (a, D)

1256. Demostrar que, si la función f(x) es derivable en un intervalo
infinito (xg, +69) y

lis Se)
stg o,
osea, f (x) = 0 (x) cuando x — + mm.

138

6: TEORENAS DE ROLLE, LAGKANGE Y CAUCHY.

1257, Demostrar que, si la función f(x) es derivable en un intervalo
infinite (o, +=) y

o

(9 cuando ++

entonces.

ve

En particular, si existe, Im f° (32 k, entonces k= 0

1258. a) Demostrar que, si; 1) la función f(x) está definida y es
continua en el segmento [xo, X); 2) / (x) tiene derivada finita f'(0) en
el intervalo (x9, X); 3) existe el límite finito o infinito

lim Sf Got),

ET

entonces existe la derivada lateral f (to), finita o infinita, respectiva-
mente, y

FGF (ot 0

b)Comprobar que, para la función

O)

cost iit o
mo
a pesar de que la función f(x} no tiene derivadas laterales f' (1) y
KO.
Dr uns ntepstcon genética de ee estado
1159. Denaro que, 87") = Devando <a <b, entonces
14

const para a<x<b.

1260. Demostrar que la única función f(x) (- 0 <x € + es) que
tiene derivada constante

Soak,
es la función lineal
Sake th
139

‘CAPITULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1261. ¿Qué se puede afirmar respecto de la función Fo), si
Bars)
1261.1. Supongamos que FWIEC(-, + oc) Y que para
‘cualquier x existe un número natural ny (ny <n) tal que
HON a) m0.

Demostrar que la función f (x) es un polinomio.

1262, Demostrar que ia única función y=y (x) (-eo<x<+ 0)
que satisface a la ecuación

S'y const,
esla función exponencial
ces,

donde C es una constante arbitraria.
Indicación. Examinar (ye),
1263. Comprobar que las funciones

Amat
ET
tienen derivadas iguales en las regiones:
Det y Qedt
Deducir la dependencia entre estas funciones.
1264. Demostrar las identidades:
a) Qarclge-faresin amasar si jej
b) arecos x arcos (drá) =a si fell
1265. Demostrar que, si: 1) la función f(x) es continua en el
segmento la, 6): 2) tiene derivada finita f’ (x) en el interior del mismo;

3) no es lineal, entonces en el intervalo (a, b) existe al menos un punto
etal, que

rap pza

140

+. CRECIMIENTO Y DECHECIMIENTO DE UNA FUNCION. DESIGUALDADES

Dar una interpretación geométrica de este resultado,
„1266. Demostrar que si: 1) la función f(x) tiene derivada segunda
1.05) en el segmento fa, 6) y 2) f'{a)=f"(b)=0, entonces en el
intervalo (a, b) existe al menos un punto € tal que

VO.

1267. Un automóvil, que había comenzado su movimiento en un
punto inicial, terminó su camino en 7 segundos, habiendo recorrido s
metros. Demostrar que, en algún instante, el valor absoluto de la
aceleración del movimiento del automóvil no era menor que

“m

Fog

$ 7. Crecimiento y decrecimiento de una función
Desigualdades

12 Crecimiento y decrecimiento de una función, Una función f(x)
se llama creciente (decreciente) en el segmento fa, D], si

Hay > Hep para amy <x 50

Lo fa) <S (xy) paraa Ex, <x, <b, respectivamente),
Si una función derivable f (x) es creciente (decreciente) en el segmen-
to {a, 6}, entonces

PS0 para exo (0 PO para aus
2° Criterio suficiente de crecimiento (decrecimiento) de una fun-
ción, Si una función f(x) es continua en cl segmento [a,b] y en el
interior del mismo tiene derivada positiva (negativa) f(x), entonces la
función f (x) es creciente (decreciente) en (a, 5].
Problemas:

Determinar los intervalos de monotonía en sentido estricto (de
crecimiento o decrecimiento) de las siguientes funciones:

1268. y= Pema VE

un. ye ETES
oa a
e 1272. y x sin
120, y E SE
Fr 278, yet jene].

141

CAPITULO 2. CALCULO DIFVRENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1276. yaxe*(a>0, x= 0.

rs
vem, name ( VEtanus), à x>0y pore,

1279. Demostrar que, al aumentar el número de lados n, crece el
perimetro p, del polígono regular de n tados inscrito en la cireunferen-
cia y decrece el perímetro P, del polígono regular de n lados eireunseri-
to en la misma circunferencia. Aplicando esto, demostrar que pa y Py
tienen un límite común cuando n —> oe,

1280. Demos que la función
(+3)

es creciente en los intervalos (— ce, — 1) y (0, + 00).

1281. Demos que un unción ina ete

Pa dardo bo (ul, 0,0)

es monótona (en sentido estricto) en los intervalos «(—0%, xo) y
Go, +), donde xe es un número positivo suficientemente grande.

1282, Demostrar que una función racional
aborto he

pear rar Md
que no es idénticamente constante, es monótona (en sentido estricto)
en los intervalos (= e= — xa) y (Yo, +2), donde xa es un número
positivo suficientemente grande,

1283. ¿Es obligatoriamente monótona la derivada de una función
monótona? Examinar el ejemplo: $) =x + sen x

1284. Demostrar que, si y (x) es una función monótona creciente y
derivable y

Ri)

If Ch] <9" (2) para x= x,

entonces
VITRE (pie) para re x,

Dar una interpretación geométrica de esto.

142

2. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA LUNCION, DESIGUALDADES.

1285. Supongamos que Ja función f(x) es continua en el intervalo
a&x <4es y que, además, f (+) >k > 0 para x >a, donde k es una
constante,

Demostrar que, si (a) <0, la ecuación f (x)= 0 tiene una rafz real, y
sólo una, en el intervalo.

286. Una función / (x) se Lama creciente en el punto xy si en un
emomo lx=x91<8 el signo del incremento de la función
Af (0) =F (0) =F (xo) coincide con el signo del incremento del
argumento Áxo =x — Xp

Demostrar que, si F(X) (a <x <b) es creciente en cada punto del
intervalo finito o infinito (a, D), entonces también es creciente en este
intervalo.

1287. Comprobar que la fanción

er, soy si

se

es creciente en el punto x =, pero no es creciente en ningún intervalo
e, €) que encierre este punto, donde € > Des arbitrariamente peque.
ño,

Construir el diseño de la gráfica de esta función.

1288, Demostrar el teorema: st 1) las funciones 0) son n
eses deryables: DOGO (xy) eed D D, COR
7 (x) > WO) 6 para x > xp, entonces se Verifiea la desigualdad

I> 910 para xD xy

1289, Demostrar las siguientes desigualdades:

Depi+s “erh

DES <i pace des
De si x0;

DexDetS so<r<i
DiR a y y ocacs,

Dar una interpretación geométrica a las desigualdades ) — e).
143

CAPITULO. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1290. Demostrar le desigualdad

PET si En
Erlen si 0<xcH.
1291. Demostrar que para x > 0, se verfican las desigualdades
" un
(+7) <e<(14+ 4)".

1292, EI número de términos y los términos de los extremos de una
progresión aritmética y de una progresión geométrica son respectiva-
mente iguales, y todos los términos de las progresioncs son positives
Demostrar que, para la progresión aritmética la sara de los términos 6%

mayor que para la progresión geométrica.
1293, Valiéndose de la desigualdad

Ê +0 >0,

donde x, ax, by (K=1,...,.n) son reales, demostrar Ja desigualdad de

Cauchy

(Ey < Za Sn

1294. Demostrar que la media aritmética de unos números positivos
no es superior a la media cuadrática de los mismos números, es decir

¿En

1295. Demostrar que ia media geométrica de unos números positivos
no es superior a la media aritmética de los mismos números, es decir,

AN

Indicación. Aplicar el método de inducción matemática.
1296. Se llama media de orden s de dos números positivos a y b, a la
función determinada por la igualdad

EYE o,

Asta,

144

8. SENTIDO DE LA CONCAVIDAD. PUNTOS DE INELEXION

Ayla)

lim ,(6, 6).

En particular, se obtiene:
Para s=— 1, la media armónica; para s=0, la modia geométrica
(¡demostrarlo! ); para s= 1, la media aritmética; para s= 2, la media
cuadrática
Demostrar que:
1 min a, 01 < 4,10. D < maria, Di
3) la función A (a,b) para a # b es una función er
3) Nm Ste, = min (0,0);

lim. À, ta, 8

max (a, 6)
Indicación. Examinar

A

Ema, to, ón.
1297. Demostrar las desigualdades:

Ss 032%:

in>ı, x>0>%
Demers si <>

$ 8. Sentido de la concavidad, Puntos de inflexión

L? Condiciones suficientes de concavidad. Se dice que la gráfica de
una función derivable y = f (x) es cóncava hacia arriba (cóncava hacia
abajo) en el segmento [a, b), si el segmento de la curva

vorn asa

está situado por encima (por debajo, respectivamente) de la tangente
trazada en cualquier punto de este segmento. La condición suficiente
Para que la gráfica sea cóncava hacia arriba (hacia abajo), suponiendo
que existe la derivada segunda /" (x), es que se verifique la desigualdad

70>0 FO)<O para ezo
15

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DF UNA VARIABLE

Condición suficiente para el punto de inflexión, Los puntos en
los cuales se cambia el sentido de la concavidad de la gráfica de la
función, se Maman puntos de inflexión. Un punto xo, tal que
£' Go) = 0, o bien no existe f" (xg), es un punto de inflexión sif” (x)
cambia su signo al pasar por el valor Xy,

Problemas:
1298. Averiguar el sentido de la concavidad de la curva

Ir
en los puntos A (— 1, 0), B(1, 2) y C (0, 0).

'Hallar los intervalos de concavidad en un sentido determinado y los
puntos de inflexión de las siguientes funciones:

se 1509, yf sine.
we DO. 10 de,

e 1308, (e
kat 1306. y xn DO.

vir.

50.

tiene tres puntos de inflexión situados en una recta.
Construir la gráfica de esta función.
1309. ¿Cómo debe elegirse el parámetro h de la “curva de probabili-
dades”

= na
>= 0 >09

para que ésta tenga los puntos de inflexiôn x = + 0?
1310. Averiguar el sentido de la concavidad de la cicloide
Hat in, y=0 (1005) (a>0)
1311. Supongamos que la función f(x) es dos veces derivable en el
intervalo a<x<+e, y que: 1) f()=4>0; 2) £()<0; 3)
FG) <0parax >a

146

6. SENTIDO DE LA CONCAVIDAD. PUNTOS DE INFLSKION
Demostrar que la ceuaciôn f(x) = 0 tiene una raíz real, y sólo una, en

el intervalo (4, + 09).

1312. Se dice que una función f(x) es convexa por abajo (por
arriba) En el intervalo (a, 5) si, para cualesquiera puntos x, yx, de este
intervalo y para cualesquiera números Ay y Az Qy >0, A¿>0,
dy +A = 1), se verifica la desigualdad

105 PAVE ASE) EASED
(o la desigualdad inversa
Fe ERE) > af H re.

respectivamente),

Demostrar que: 3) la función f(x) es convexa por abai en (aD), si
£0)>0 para a Lx <b; 2) fx) es convexa por arriba en (a, D),
FG) <0 paraa <x <b,

1313. Comprobar que las funciones
# >»

ln
son convexas por abajo en el intervalo (0, +e), mientras que las
funciones

FSA, Ine
son convexas por arriba en el intervalo (0, +0)

1314. Demostrar las desigualdades y establecer su significado geomé-
rico:

Dr m> (EE) & D0. 20 #59 a>
yo

DET te

© xox tylny> ett! si x>0 yy 0.

1314.1, Seaf" (x) > 0 paraa <x <b.

Demostrar que

HERA) rr
para cualesquiera x), x, Elo, b}

1315. Demostrar que una función convexa acotada es siempre conti-
nua y tiene derivadas laterales a la izquierda y a la derecha.

17

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1316. Sea f (x) una función dos veces derivable en el intervalo (a, 6)
y tal ques" @ #0, donde a <t <b,

Demostrar que en el intervalo (a, b) hay dos valores x, y xa, tales
que

Lagat pg

1317. Demostrar que si una función f(x) es dos veces derivable en el
intervalo infinito (o, + =) y

lim sta
wont

him /(9=0,

te

phignees en el intemalo (o, +=) hay al menos un punto E al que
"os

$ 9. Cálculo de limites indeterminados
1. caso de la regla de L'Hópital (cálculo de límites indeterminados

de la forma 2),

Si: 1) las funciones. (+) y g(x) están definidas y son continuas en un
entomo U,") del punto a, donde a es un número 0 csel símbolo =;
y cuando x — a ambas tienden a cero:

in /09= lin 269 =

2) existen Jas derivadas f(x) y g' (x) en un entorno U, del punto a, a
excepción, posiblemente, del mismo punto a, y ésta no se anulan
simultáneamente para x #a; 3) existe el limite finito infinito

Li

entonces, se tiene

L ©
Ange" ere

or amo pe ene cogio de nero qu amp à
desea Diet ca e cui 21> hee imo

us

9.CALCULO DF LIMITES INDETERMINADOS
2? caso de la regla de L’1Opital (cálculo de limites indeterminados
dela forma 2),

Si 1) las funciones f(x} y g(x) tienden ambas hacia el infinito
cuando x — a

fin, 16) tim, et

donde a es ur. número o es el símbolo <>;

2) existen las derivadas f"(x)y 800) para todos los x pertenceientes
a un entomo U, del punto a y distintos de a, siendo

Feet) #0 para EU, y xa

3) existe el limite finito o infinito

entonces

Para los límites laterales son válidas unas reglas semejantes.

Fl cálculo de los límites indeterminados de las formas 0 + ee ce — ca,
17, 0°, etc,, se reduce al cálculo de los límites indeterminados de los dos
tipos principales

OLE
E
mediante transformaciones algebraicas y logaritmaciön.

Problemas:
Calcular los valores de las siguientes expresiones:
seo 123
1018. lin JE. 1822. ln BE,
1319, Jim SX EEE kann
| 1029. Im EE!
1320. lim LEE

ya-ı
Sigde —I2ige Er ee
BA Sara Toe Er

149

(CAPITULO 2. CALCULO DIFENENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1825. fim HEE USA SY 1926. In LEE.

1929, tim TE (ao, 1948, Km e"-
fe 1344, tin ern
1990, in (AA). 44. im
1991. tin lan, EURE
ta Go 09

1382. lim

1946, lime

J eos Dai la

css fin

1398. lim 1847, Dm 22)"
Dre 134s, lin eae,
Mesh (sh x}— Arsn (sin: *
O ae eg,
donde; Ant ete + VTE uo, (Io LY
1586, Im BE >
wong Bann, He (er)
CO
1853. lim (ER)

1354, lim

1341, Tim sting (eo) 1955 Jim
1342. din a“ 1356, lim

A 1
e es mara:

1388, lim === (e509, 1950. tim LE}

150

>. CALCULO DE LIMITES IMDETERMIMADOS

lim EXE ao >
10 e E a
so. ip (Zags) donde ana Line VER)
cin, (Zus) mes y TE
130, Im a vane, a (LÉ.
136, im (es
1363.1, im ($
1363. 2. tim (
ma (E de rae
1969. lin MN E RSE
so ip ler tie,
sam. Haar
LE
si la curva y =f(x) se introduce en el origen de coordenadas (0, 0)

(0) = 0) bajo un ángulo e.

cuando x — 0 (lim FG)
1372, Demostrar gue
lim A,

nh

si la curva continua y =f (x) se introduce en el origen de coordenadas
cuando x—> + 0 Clim, f (x)= 0) y para 0 <x <e se mantiene integra
mente en el interior del ángulo agudo formado por las rectas: y = kx
cy=k kee,
1373. Demostrar que, si para la función f(x) existe la derivada
segunda f" (x), entonces.
700 im LEN ENE AAN,

151

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1373.1, Averiguar si es derivable la función

Alias
rare 377

en el punto x = 0.
13732. Hallar la asintota de la curva

vo.

1374. Estudiar la posibilidad de la aplicación de la regla de L’Höpital
en los siguientes ejercicios:

ata e) tim

na

An me ie,
jim Lanz im amer
A 9 M German

1375, Hallar el límite de la razón del área de un segmento circutar de
cuerda b y sagita ht, al área del triángulo isösceles inscrito en este
segmento, si el arco del segmento tiende a cero manteniéndose constan-
te el radio R. Aplicando el resultado obtenido, deducir la formula
aproximada para el área del segmento:

2
sen.

§ 10. Fórmula de Taylor

1% Förmula local de Taylor. Si: 1) la función f(x) está definida en
un entemo | x —xo | <e del punto xo; 2) f(x) liene en este entomo

derivadas f' (x), .... 07 1) (x) hasta el orden (n — 1) inclusive; 3) en el
punto xo existe la derivada de n-ésimo orden f{") (xo), entonces
T= À toa o
donde
Le pe
= gun...

152

10, FORSULA DE TAYLOR
En particular, para x, = 0, se tiene:

102 Y toc a
Ha las condiciones indicadas, la representación (1) es única.
Si en el punto xo existe la derivada A" (xa), el término comple-
mentado en la fórmula (1) se puede tomar en la Forma O (Gx = x0)" )
De la fórmula local de Taylor (2) se obtienen los siguientes cinco
desarrollos importantes

so PRMD opa.

voit pane een pote

2° Fórmula de Taylor. Si: 1) la función f (x) está definida en el
segmento [a, b]; 2) f(x) tiene en este segmento derivadas continuas
A pas cach e rada a PE
qe

10=Y Pete Gers)

donde =

PRET re

(término complementario en forma de Lagrange), o

EN
=

Rat

dare or OK <D

(término complementario en forma de Cauchy).
Problemas!
1376. Desarrollar el polinomio
PULL Bx Sat 2
segiin las potencias enteras no negativas del binomio x + 1.
153

CAPITULO 2.CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Escribir los desarrollos en potencias enteras no negativas de la varia-
ble x hasta los términos del orden indicado inclusive para las siguientes
funciones:

its

LA hasta el término conx*. ¿A quéesigual ft? (0)?

hasta el término con x?

FER (10) hasta el término con x

1380. VIII TS — Y TI See hasta el término con x”
hasta el término con x*.

hasta el término con x“
1385. ¡/sinx" hasta el término con x'*
1884. In cos + hasta el término con x*

1395, sin (sin x) hasta el término con x

1388. tg x hasta el término con x5
1387, da 22 hasta el término con x*

1388, Hallar tres términos del desarrollo de la función f (x
potencias enteras no negativas de la diferencia x — 1.

Vx en

3389. Desarrollar la función f (x) =x* — 1 en potencias enteras posi-
tivas del binomio x — } hasta el término con (x — 1)?.

1390. Sustituir aproximadamente la función y = a ch F(a > 0) en un
entorno del punto x = 0 por una parábola de 2° orden.

1391. Desarrollar la función f (x)= V1 +x? — x (x > 0) en poten-
eins entras no negatives de la accion hasi el término con y

1392, Hallar el desarrollo de la función f (h) = In (x +h) (x > 0) en
potencias enteras no negativas del incremento À hasta el término con I"
(nes un número natural),

1393. Sea

Stern

(<8 <1), y F0 (RO.
BEE
wert

154

10. FORMULA PE TAYLOR
1393.1. Supongamos que, cuando x — 0, se tiene
Me) hp ket

«a
Demostrar que

put =

1393.2, Supongamos que / (x) ECC [0, 1] y que FO) =F (1)
siendo | f" (2) 1 < À pare x € (0, 1). Demostrar que

Wis? par oct
13933. Sea (x) (2 <x < + =) una función dos veces derivable y

M= 5 MISES k=

1, 2
Demostrar la desigualdad

MIM Ah
1394, Acotar el error absoluto de las fórmulas de aproximación;

D Ple EA tS panda

Y mah para Jal de
oo HSE pundits

D'ACTE para crest.
1395. ¿Para qué valores de x es válida le fórmula de aproximación

=
cose 1

con una exactitud de 0,00017
1395.1, Demostrar la fórmula

VPF mad

(132, 020, #0, donde orci

155

(CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1396. Aplicando la fórmula de Taylor, calcular aproximadamente:

9 8) are tg 0.8;
e) sin 18° Ri) ate sin 0,455
f} Int,2; Da,ıye

y acotar el error.
1397. Calcular:
ae con una exactitud de 107
b)sen I con una exactitud de 1079
£)cos9” con una exactitud de 1075;
VS con una exactitud de 107%;
OEL comuna exactitud de 1075
Aplicando los desarrollos 1 -- V, calcular los siguientes límites

1308. in SE

1399, fim Tanz

1400, Im TIRE
van im ear ee ors
1002. Im, (CPE UE

1408. tin LES (> 0},

tune im [e em(142)]. 1000. Im 2 (Lex).
1409.1. tim SOAP

vos m

Para el infinitésimo y cuando x — 0, determinar el término principal
dela forma Cx" (Ces una constante), si

1407, y= tg(sin x) — sin (2).

156

10. FORMULA DE TAYLOR

1408. ya

1410. ¿Para qué valores de los covficientesa y b,
x (afb c08 x) sin x
es un infinitésimo de 5° orden con respecto a x?

1410.1. Elegir los coeficientes A y B de tal modo que pars x — 0 se
verifique la igualdad asintotica

HAE Lou.

CES

1410.2. ¿Para qué valores de los coeficientes A, B, Cy D se verifica
la fórmula asintotica

NEAR BO On
PST pore ba + Ok

para x — 0?

1411. Considerando a Lx | pequeño, hallar fórmulas de aproxima-
ción sencillas para las siguientes expresiones

Da > lt)":

VIE_yT= ne
» VF E ia

1412. Considerando a x pequeño en valor absoluto, hallar una fór-
mula de aproximación de la forma

TA

con una exactitud hasta el término x

Aplicar esta fórmula para la rectificación aproximada de arcos de une
medida angular pequeña,

1413, Acotar el error relativo de la siguiente regla de Chebishev: un
arco circular es aproximadamente igual a la suma de los lados laterales

del triángulo isosceles construido sobre la cuerda de este arco y cuya

dures VE des avi

157

CAPITULO 2. CALCULO DIYERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

$ 11, Extremos de una función. Valores absolutos
máximo y mínimo de una función

1.° Condición necesaria para el extremo, Se dice que la función f (x)
tiene en el punto xo un extremo (un máximo o un mínimo), si le
función está definida en un entorno bilateral del punto xg y para todos
los puntos x de una región 0 <|x -- x9 1 <6 se verifica la desigualdad

le<it 0 ea >I.

respectivamente.

En el punto de extremo, la derivada f" (xg) = 0, si ésta existe.
* Condiciones suficientes de extremo. Primera regla. Si 1) la fun
¡ón f(x) está definida y es continua en un entorne |x — xp [<8 del
punto xo, y F'(x9)=0 o no existe (punto crítico); 2) f(x) Gene
derivada finita f" (x) en la región O < | x — x9 |<; 3) la derivada f' (x)
conserva un signo determinado a la izquierda del punto xy y a la
derecha de x9, entonces el comportamiento de la función f(x) se
caracteriza por la tabla siguiente:

Signo de la derivada

no hay extremo
máximo
mínimo

no hay extremo

u
u

Segunda regla. Si la función f (x) tiene derivada segunda f(x) y en
el punto xa se cumplen las condiciones

1 )=0y rege,
entonces en, este punto de función tiene un extremo, a saber: un
máximo si f” (xo) <0, y un mínimo sif" (x9) > 0.

Tercera regla. Supongamos que la función f(x) tiene en un intervalo
Lx — xo LG las derivadas J'(2),.., (x) y en el punto xo, la
derivada X”? (x), siendo

y (à rer

En estas condiciones: 1) sin es un número par, la función f (x) tiene un
extremo en el punto Xy, a saber: un máximo si f") (x9) <0, y un

158

11.EXTREMOS DE UNA FUNCION. VAL. ADSOLUTOS MAX. Y MIN. OF UNA FUNCION

mínimo si 6% (rq) >0; 2} si m es un número impar, la función f (x) no
tiene extremo en el punto Xy

3% Extremo absoluto, Una función (x), continua en el segmento
{a,b}, alcanza ei valor máximo absoluto (mínimo absoluto) en un
punto crítico de esta función (o sea, cn un punto en que la derivada
£ (3) es igual a cero o no existe) o en los puntos frontera a y b del
segmento dado.

Problemas
Averiguar los extremos de las siguientes funciones
Mie y 105, yet.
tite youn
MIT, y =x (1 — x)" (m y n son números enteros positivos)
HIS pn LE ae OS
va. ya (bp E+. ES tn es un número natural,
1401, y bel. 1922, ya (1 — x,
1423. Averiguar sa función
su vem x)" ta)

(1 es un múmero natural) tiene un extremo en el punto x», donde la
función y (x} es continua en x =x» y (re) #0.

124 Sea I= FB. JE
y sea xo Un punto estacionario de la función f (x), es decir,

Py (x0)=0, Oxo) #0,

Demostrar que
sen stu,

sen Pts).

1425. ¿Se puede afirmar que, si la función f (x) tiene máximo en el
punto x9, entonces en un entomo suficientemente pequeño de este
punto, a la izquierda del punto x, la función f(x) es creciente, mientras
que a la derecha del mismo es decreciente?

Examinar el ejemplo:

e(e4ont). 200 y 0

a=

1426, Demostrar que la función

Ma si 550, y /0)=0,

159

CAPITULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

tiene un mínimo en el punto x = 0, y la función
Mare, sl 2520, y go

no tiene extremo en el punto x =, a pesar de que
PO-, (OS te},

Construir las gráficas de estas funciones.
1427. Averiguar los extremos de las funciones:

Dm (VE) à 2240 y 10)

DB (PT boat) poy 020.

Construir las gráficas de estas funciones.
1428. Averiguar si la función

1

nasis(atort), à oy ro

tiene extremo en el punto x = 0.
Construir la gráfica de esta función.
Hallar los extremos de las siguientes funciones:

1429, y cd 87,

1490, y 29 — 1398,

1401, pate 1400,

igure à mae cerns
Ma. er.
1442. y= area da.
1443, yet sins,
1444, y peje,

Hallar los valores máximos y mínimos absolutos para las siguientes
funciones:

en el segmento [~ 1; 5),

en el segmento [— 3; 10].

+1. EXTREMOS DE UNA FUNCION. VAL. ABSOLUTOS MAX. Y MIN, DE UNA FUNCION
1347. fx = Lat — 8x4 2] enel segmento [- 10; 10]
1448, /1 en el segmento (0,01; 100).
1449, t= VEE enel segmento [— 15.1]

Hallar el ínfimo (inf) y el supremo (sup) para las siguientes funcio.
nes

1450, FL) =xe"0.01% en el intervalo (0, + 09)

st. 708 Eee Eos en literato (0, + =)
1482. fo) = [ES en el intervalo (0, + =).
1453, f(x} =e"" cosx* en el intervalo (— =, +09),

1454, Calcular el infimo y el supremo de la función f (£) =
en elintervalo x <E< + =.
Construir las gráficas de las funciones

Mi sup Sy mid int
were watch

le

1
1454.1, Sea

MPAA, 40,1, 2.

Haltar Mo, My y Ma, sif (2)
1455. Hallar el máximo término de la sucesión:

a at,
Van. 9 Vil

1456. Demostrar las desigualdades:
DSZ si [eles
SPO dl y pm

9 losin ben] <VEFR,
1450.4. Demostrar la desigualdad

20 +
“Ape?
Para << tes,
161

CAPITULO 2, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1457. Hallar la “desviación a cero” del polinomio
ee
en el segmento [— 2, 1], o sea, calcular
B= sup |P(s) |.

Pla

ha
1458. ¿Para qué valor del coeficiente q el polinomio
Patty
es de desviación minima a cero en el segmento [- 1, 1], 0 sea,

Fem sup Pi [min

1459. Se llama desviación absoluta de dos funciones f(x) y $ (x) en
el segmento la, D] al número

= su, El
Hallar la desviación absoluta de las funciones:
1

“y €)
en el segmento (0, 1)
1460. Sustituir aproximadamente la función
f=.
en el segmento [x,, x], por la función lineal
EEx Jide
de tal modo que la desviación absoluta de las funciones f(x) y 8 (4)
{véase el problema anterior) sea minima, y calcular esta desviación

absoluta mínima.
1461. Determinar el mínimo de la función

103 mar {2jxf, [Fell

Calcular el número de rafces reales de la ecuación y separar estas
raices, si:

1462. 62 9x— 100.

162

12: CONSTRUCTION DE LAS GRAF. DE LAS FUNC, POR SUS PUNTOS CARACT

1400, x! 3x! 05 0.
1464, Se —4e 5 4 12090.
1465. x — 5x

1486. la
1467. 0

1488. sin cos sa si daran.
1469. chx—áx,
1470. ¿Cuál es la condición para que la ecuación

pete
tenga: a) una riz real; b) tres raíces reales. Representar las regiones
Cortespondientes en el plano (», 9).

ón de las gráficas de las funciones

§ 12. Constra
or sus puntos caracte

Para construir la gráfica de una función y =f (x) es necesario: 1)
hallar el campo de existencia de esta función y averiguar el comporta-
miento de la misma en los puntos frontera; 2) establecer la simetría
de la gráfica y la periodicidad; 3) hallar los puntos de discontinuidad
de la función y los intervalos de continuidad; 4) determinar los ceros de
la función y las regiones en las que el signo de ésta es constante; 5)
hallar los puntos de extremo y determinar los intervalos de crecimiento
y decrecimiento de la función; 6) hallar los puntos de inflexión y
determinar los intervalos de concavidad de la gráfica en un sentido
determinado; 7) hallar las asíntotas, en caso de existencia de las mismas;
8) señalar tales o cuales particularidades de la gráfica.

En los ejercicios señalados con un asterisco, los puntos de inflexión
se determinan aproximadamente,

Problemas:
Constauir las gráficas de las siguientes funciones:
Man. year.

as
1472, y= $F.

17, ya ea
une. 52

163

CAPITULO 2, CALCULO DIFERENCIAL. DE LAS FUNCIONES DI: UNA VARIABLE:

max
8 1504.1. y= BE
1482", ya E en ater
1488. rae
1484, ya VE.
MB. yes VERSE.
4-2
Maes. y ARE
na. yak Ve TRES.
1487". y 1510. 35,
1498. =P iit, y=
z fi
1489. pe Lai ti. y DE
150, yalnc-H EFT,

1490,
1491. 3

1514. y= Ve Tin + VEN)

1515.

a
um. ker eh
1517. SL oncetg x
caos, te en
het. 1500, menge

1498. y 14 Y py @ >.

pay GE y Es
al (500, yen us ET.
mon. = Y EE. À

1497, yeaah eo
1488. JA em ae
1409, pan sh nd

121. y

1500.
1508.

1
cos x— 4 cose.
sint x feos x.

1502. yan: ind
1500, y

nes) ;
1004. 9. 1528. yup ai

164

2. CONSTRUCCION DE LAS GRAF. DE LAS FUNC. POR SUS PUNTOS CARACT.

cel] edo,

1530%, y= Ez (sin averiguar la concavidad).
Construir las curvas dadas en forma paraméitica

wor

+

1508. 0 poate! @>0.
150. real, y=alcht—1) (050)

Expresando las ecuaciones de las curvas en forma paramétrica, cons.

(ruin estas curvas, si
1541. hy day
Indicaciôn. Hacer y = fr.
1582, recht.
8.
154 Fey (SO, y>0.
1545. Constir a gráfica de la curva

cht x — chy

(>.

Construir las gráficas de las funciones dadas en un sistema polar de
coordenadas (4, 7) (r > 0}

1516, r=atheng (Cac)
157, mans (DO. 1618. re (90,
15408, 7 me >1 (a,

1650. @ 5
Construir las gráficas de las familias de curvas (a es un perámelro
variable):

165

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

$ 13. Problemas de máximos y mínimos de las funciones
1556. Demostrar que, sila función f (x) no es negativa, la función

FR= (a (0>9)
tiene exactamente los mismos puntos de extremo que Ja función f(x).

1557. Demostrar que, si una función y (x) es monótona creciente en
sentido estricto para — oe <x < + +, entonces las funciones

JU y PU
tienen los mismos puntos de extremo.

1558. Hallar el valor máximo del producto de la m-ésima y n—ésima
potencias (m >0, n > 0) de dos números positivos, si la suma de éstos
es constante e igual aa,

1559. Hallar el valor mínimo de la suma de la m-£sima y nr-ésima
potencias (m > 0, n > 0) de dos números positivos, si el producto de
éstos es constánte e igual a a

1560. ¿En qué sistemas de logaritmos existen números que son
iguales á su logaritmo?

1561. Entre todos los rectángulos de un área dada S, determinar
aquél cuyo perímetro sea minimo.

1562, Hallar el triéngalo rectángulo de área máxima, si la suma de
un cateto y la hipotenusa es constante,

1563. ¿Qué dimensiones lineales tiene que tener un bote cilíndrico
cesado de volumen Y para que el área total de Ja superficie sea
mínima?

1564. En un segmento circular dado, no superior al semicírculo, hay
que inscribir un rectángulo de área máxima,

1565. En la elipse

PA

ate

hay que inscribir un rectángulo con los lados paralelos a los ejes de la
slipse, de modo que su área sea máxima.

166

1, PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS DE LAS FUNCIONES

1566, En un triéngulo de base D y de altu hay que inserbir un
cectángalo de perimetro máximo,

Ester la posiolidad de resolución de este problema.

1567. De un tronco redondo, de diámetro d, hay que taller una viga.
con una sección transversal rectangular de babe By altura À ee
imensiones deberá tenes la viga para que la resistencia sea maxima da
resistencia es proporcional a bh??

1568. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralepípedo rec-
tangalar con la base cuadrada de volämen mba,

1569. Inscribir en una esfera de radio R un cilindro de volumen
máximo.

1570, Inseribir ea una esfera de radio R un cilináro cuya superficie
total sea maxima,

1571. Cireunseribir en tomo a una esfera dada un cono de volumen
mínimo.

1572. Hallar cl volumen máximo de un cono con una generatriz
dadal

1573. En un cono circular recto de ángulo 2a en le sección axial y
de radio de base R, hay que inscribir un cilindro cuya superficie total
sea máxima.

574. Hallar la distancia minima del punto M (p, p) a la parábola
y? = 2px.

1575. "Hallar las distancias mínima y máxima del punto A (2, 0) ala
circunferencia x? + y? =1.

1576, Hallar la cuerda máxima de la clips GPL
(0 <5 <a) que pasa por el vértice B (0, -- b).

1577, Trazar por el punto M (x,y) de la elipse

Le

++
tangente que forme con los ejes coordenados un triángulo de área
minime,

1578. Un cuerpo está formado por un cilindro circular recto que
termina por encima por una semiesfera, ¿Qué dimensiones lineales debe
tener este cuerpo para que el área de la superficie total sea minima, i
volumen es igual a Y?

1579. La sección transversal de un canal abierto tiene la forma de un
trapecio isósceles, ¿Cuál debe ser la inclinación de los costados para que
el “perímetro mojado” de la sección sea mínimo, si el área de la
“sección viva” del agua en el canal es igual a8 y el nivel del agua es
igual ah?

una

167

CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL Pl: LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

1580. Se llama “sinuosidad” de un circuito cerrado que limita un
área S, la razón del perímetro de este circuito a la longitud de la
circunferencia que limita un círculo de la misma área S,

¿Qué forma debe tener el trapecio isosceles ABCD (AD || BC) de
sinuosidad mínima, siJa base AD = 2a y el ángulo agudo BAD = a?

1581. ¿Qué sector se debe recortar de un circulo de radio R, de
modo que de la parte restante se pueda ensollar un embudo de capaci-
dad máxima?

1582. Una fábrica A está a a km de Ja vía férrea que va del sur al
norte y que pasa por la ciudad B, teniendo en cuenta la distancia mini-
ma. ¿Bajo qué ángulo Y respecto de la vía férrea se debe construir una
vía de acceso desde la fábrica para que el transporte del cargamento de
A a B sea el más económico, si los gastos del transporte de una tonelada
de cargamento ala distancia de 1 km son de p rublos por la vía de acceso
y q rublos (p > 4) por la vía fércca y la ciudad B está situada D km más
al norte que la fábrica 4?

1583. Dos barcos navegan con velocidades constantes u y ¥ por
líneas rectas que forman entre sí un ángulo 8. Hallar la distancia mínima
entre los barcos, si en un momento dado sus distancias hasta el punto
de intersección de sus rutas eran iguales a u y b, respectivamente.

1584. En los puntos A y 3 están situados unos focos luminosos de
S, y Sq bujías de intensidad, Hallar en el segmento AB = a el punto
‘menos iluminado.

1585. Un punto luminoso está situado én la línea de los centros de
dos esferas que no se cortan de radios À y r (R >1) y se encuentra fuera
de las esferas ¿Cuál debe ser la posición del punto para que la suma de
las partes iluminadas de las superficies de las esferas sea máxima?

1586. ¿A qué altura sobre el centro de una mesa redonda de radio a
se debe colocar una bombilla eléctrica para que la iluminación del
borde sea máxima?

Indicación. La iluminación se expresa por la fórmula

donde # es el ángulo de inclinacion de los rayos, r esla distancia del fo-
co luminoso a la superficie iluminada, Æ es la intensidad del foco
luminoso.

1587. A un río de anchura de a m se Je ha construido un canal de
anchura de b m, que forma con el mismo un ángulo recto. ¿Cuál es la
longitud máxima de los barcos que pueden navegar por este canal?

1588. Los gastos diarios en la navegación de un barco constan de dos
partes: una constante, igual a a rublos y otra variable que crece

168

14. CONTACTO DE CURVAS, CIRCULO OSCULADOR, EVOLUTA

proporcionalmente al cubo de la velocidad ¿Cuál debe ser la velocidad v
del barco para que la navegación sea la más ccondmica?

1589, Se necesita mover una carga de peso P, situada en un plano
horizontal áspero, mediante la aplicación de una fuerza. ¿Cuál debe ser
la inclinación de esta fuerza respecto del hosizonte para que su magni
tud sea mínima, si el coeficiente de rozamiento de la carga es igual à k?

1590. En una taza que tiene la forma de una semiesfera de radio a se
ha colocado una barra de longitud 1 > 2a Hallar la posición de equili
brio de la barra

$ 14. Contacto de curvas. Círculo osewlador. Evoluta
* Contacto de n-ésimo orden, Se dice que las curvas.

O)

tienen en el punto x» un contacto de mésimo orden ( en sentido
estricto), si p*) (x9) = p 4 Ces) u my
PCS à UA Cag) ete caso, paras rng e rome

PET EC
2° Círculo osculador. La circunferencia

OB uate

que tiene con la curva dada y =f (+) un contacto de orden no inferior al
2, se llama círculo osculador en el punto correspondiente, El radio de
este círculo

ee
211

se Mama radio de curvatura,y #2, curate

3° Evoluia. El lugar geométrico de los centros (E, 9) de los cfreulos
osculadores (los centros de curvatura)

TES
FO à

ihr
Er
se llama evoluta de la curva dada y =f (0).

169

‘CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE,

Problemas:
1591. Elegir los parámetros k y 6 de la recta

yoke

de tal modo que ésta tenga con la curva

yar 8042

un contacto de orden superior al primero,
1592, ¿Para qué valores de los coeficientesa, b y c la parábola

ne + bx

tiene en el punto x = Xe un contacto de 2° orden con la curva y =e?
1593. ¿Qué orden de contacto con el je Os tienen en el punto

DI y elo).

1594. Demostrar que la curva: y=e"# six#0ey=0six=0,
tiene un contacto con el eje Ox de orden infinito en el punto x = 0.
1595. Hallar el radio y el centro de curvatura de la hipérbola

x

en Jos puntos: a) M (1, 1); b) N (100; 0,01).
Hallar los radios de curvatura de las siguientes curvas:

1596. La parábola ÿ° += 2px.

1597. La elipse À +

@>d>0).

1509. La ipérbol <

1599, La astroide 27 + y
1600, La elipse x =a cos 1, y
1601. La cicloide x = a (t - sin 1), v= a (1 ~ cos 0).

1602. La evolvente del círculo x =a (cost4 Iso,
y=a (sent cost),

170

14. CONTACTO DE CURVAS. CIRCULO OSCULADOR. EVOLUTA

1603. Demostrat que el radio de curvatura de una línea de 2° orden
Yoma
es proporcional al cubo del segmento normal.

1604, Escribir Ja fórmula para el radio de curvatura de una curva
dada en coordenadas polares.

Hallar los radios de curvatura de las curvas dadas en coordenadas
polares (los parámetros son positivos):

1605. Espiral de Arqufmedes = ag.
1606. Espiral logarítmica = ae”?
1607. Cardioide r=a (1 + cos y),
1608. Lemniscata y” =a? cos 2 ya

1609. Hallar en la curva y =n x el punto en el que la curvatura es

1610. La cuvatur máxime de la partis cities yu te.
(0<x <+eo), E>) es igual a hs . Hallar el punto x en el que se

oo
alcanza esta curvatura máxima,
Hallar las ecuaciones de las siguientes curvas:

1611. Evoluta de la parábola y*=2px.
1612. Evoluta de la elipse + L=1.

1613. Evoluta de la astroide #7 fy? =a
1614, Lacvoluta dela tractriz x=a ln VERE yoy
161$. La evoluta de le espiral logarítmica r= ae"?

1616. Demostrar que la evoluta de la cicloide

a sind), y=a(1—cos0)

también es una cicloide, que se diferencia de la dada solamente por su
posición,

im

(CAPITULO. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3 15. Resolución aproximada de ecuaciones

1.2 Regla de las partes proporcionales (método de las cuerdas), Sila
Aunción f (x) es continua en el segmento [a, à] y

Haro
siendo f’(x) #0 para a <x <b, la ecuación
Fo)

tiene una raíz real en cl intervalo (a, b) y sólo una, Por primera
aproximación de esta raíz se puede tomar el valor

sat,
donde
to)
Tey ar

Aplicando luego este método a aquél de los intervalos (@,x,) o
(x1, D) en cuyos extremos la función f (x) tenga signos contrarios, se
Obtiene la segunda aproximación x, de la raíz E, ete. Para acotar la
arésime aproximación x es válida Ja fórmula

a dl, o

donde m =, inf | f' (x) 1, siendo

Am xo

2. Regla de Newton (método de las tangentes), Si f" (x) #0 en el
segmento [a, b] y f(a) f" (a) >0, Entonces por primera aproximación
E, dela raiz £ de la ecuación (1) sé puede tomar el valor

gerade.
been To

Reiterando este proceso se obtienen las aproximaciones sucesivas
En (1=1, 2,...) que convergen rápidamente hacia la raíz £ y cuyas
pPrecisionts pueden acotame, por ejemplo, por la fórmula (2)

Para obtener una orientación grosera, se puede dibujar un diseño de
la gráfica de la función y =/ (2).

m

16. CONTACTO DE CURVAS. CIRCULO OSCULADOR. EVOLUTA
Problemas

Aplicando el método de las partes proporcionales, calcular con exac-
tinud hasta 0,001 las raíces de las siguientes ecuaciones.

1617, 26x42 1619, 20,1 sia x=2,

1018. 1620. cose =e

Aplicando el método de Newton, calcular con la exactitud indicada
las raíces de las siguientes ecuaciones:

1600 GE Gon ex
162
1623
vas).
1624. x + & = 0 (con exactitud hasta 107 5),
1625. x th 1 (con exactitud hasta 107 6).
1626. Hallar as to primeras races polie de a ecciôn

ges

:d hasta 1073),
x Ig x = 1 (con exactitud hasta 107%),
con exactitud hasta 1073) (dos raíces positi-

con exactitud hasta 0,001,
1627. Hallar dosra

s positivas de la ecuación

des

con exactitud hasta 1072

DE

coin 3 INTEGRAL INDEFINIDA

$ 1. Integrales indefinidas elementales

1.° Concepto de integral indefinida, Si una función f (x) está defini.
da en el intervalo (a, b) y es continua y F'(x)=f (x) para a<x<b,
entonces

Prades G cree,
donde Ces una constante arbitraria.
2. Propiedades principales de la integral indefinida:
dfn] =104 m [tom =om4c
DSA orden a [rover (dci A 0
verte oy de {1 onde +f eras
3.° Tabla de las integrales ciementales:

Fate man.

nfEenjetrc am

DR.

Teen | arte
Foo.
proue
meh

Nolet VFS T+ CS

+0 wa en france

15

CAPITULO. INTEGRAL INDEFINIDA.

Vit fsa de core. u farra
1x. feorrar= start, xm Ferre
tte #

x [athe nate av. foe

ul igre. wef toe

42 Métodos fundamentales de integración.
2) Método de introducción de un nuevo parámetro, Si

fret
entonces

Pere

donde w= (x) es una función derivable,
b) Método de descomposición. Si

+ ht
Fret (rade

entonces

©) Método de sustitución. Sif (x) es continua, entonces, haciendo
00.
donde (0) es una función continus junto con su derivada y ( se
Joer.
d) Método de integración por partes. Si u y v son unas funciones
diferencinbles de x, entonces

Seco

Aplicando la tabla de las integrales elementales, ballar las siguientes
integrales:

1028. [a dx ie {
1629. | 2° (5 — a) dy,
1600. 001291 ann.

0 fue

1 INTESRALES (NDEFIMDAS ELEMENTALES

1007. [0 ain x em sde

1648. [VTT ax (0 < x <n),
(649, Su eax,

1650, fig" eae.

1651. Stashshöchnar.

1652. | za.

1044. Fam an. 1659, (et xa

1854. Demostrar que, si

Fu ds Freres,

entonces

fix 4-0) dx

Fast (a0)

Hallar las integrales:

vum. (24, som, EE
1650, [ts as. vest. Soe
1657, § T= as soa. fé.
1050, [gs

wo, pe

6-9"

u

(CAPITULO 2. INTEGRAL INDEFINIDA.

1005. Ltd ede, 1008. fr:
wes. [ions —snso}ds, sam [4

a
1e Sate ota) 1070, rating
1671. $ [shi2x4 1)-feh(2e— N] dx.

1672, ( 1673, (LE
an

Hallar las integrales que se dan a continuación, mediante una trans:
formación adecuada de la expresión subintegral:

un. (u 1686, (=

(er pan
vo. [TE zn

1676. {ne 1688. |

1008. Jen a.

soso, [Lt

191.

1692,

1693,

, “
si. font 100. [res
A

um. (in. 1605. J sint ecos ser.

1696.

1697.

1608, fag ede.

veo, fat

Eds

sin cos x
ru. fo Es

1700.

(rizo

12, [RE dr.
12 a

1790.3. f À 7

¢.

Jar

e [rene
mo. $2
im. [LL

1701.

de

1705. ||

eme (45,

scene
vor. [E ae,
nn

me Saree

soa, [ASE a,

un. {er Bey an.
ais. Sr arrax.
um, [tee
a. [rx
um. [zos

A

INTEGRALES INDSFIMIDAS ELEMENTALES

ime. fe
ine, [Ve
ina, [cbt an
Indicacion
(veh) ae
uns. (Est
ina (ty.
ms. | pti
wn, fin Eas,
un.

(a=

o

vus (an

uno. [Ea

um.

es or
1700. fa TG.

Indicación.
1 2
CETTE

179

CAPITULO 3. INTEGRAL INDEFINIDA

1731. és

me. [ey TER as,

a
we. frs.
Indicación.

2

ved eta
104 [aa
is. ple
1736, Smee
ve. frere
me. Gern

170. Sparen

D. See. 1760 fate

rman, Sit zax.

V2. Jerte,

1748. §sinxsin(x-bajde.

1744. [sn desi Seas

45, fou ecos Eds
j=

1746,

(een pre

1747, [sin ea,
1748, [cs eae

ig. Gant san.

1700. J costa.
1951, Sas xés.

1752. Jr eas.

1789, | si Bein Beds,
wet e

Indicación.

Le nt + co

1758. (or

vue, [Fae

sass, [4

1760. (ré
1760. f Le

Teer de

1761, fade,

INTEGRALES INDEFINIDAS ELEMENTALES

1162, fh az 1764. [ett dear
se

1760, §shxsh eax un. Sr

Aplicando sustituciones adecuadas, halla as siguientes integrales:

1766. $T ax. ECO

Paro

PATENT

100. (¡fas

os. |;

170. [esa 1776. Ye:

tn, Foster ax. 177, er.

Aplicando les sustituciones trigonométricas x=asent, x=a tet,
sen? £, etc., hallar las siguientes integrales (los parámetros son
positivos):

1778, [+
ae
= de
. [Veran vee. 7,
ime. [Va ==
vt, 5 Indicación, Aplicar la sustitución
pee

vas. [VETA az

Aplicando las sustituciones hiperbélicas x =a sh £ x =a che, elo,
hallar las siguientes integrales (los parámetros son positivos):

un. [VEEP e, 1782, [pes

151

CAPITULO 3. INCEGRAL INDEFINIDA.

ms. [VES

à
ms.
fes

Indicación, Hacer x a (— ashe

100. VF AE Ten.

Aplicando el método de integración por partes, hallar las siguientes
integrales

101. Sinzae. 1001. J stendeex
1702. [rtnxds en 1802, [agar

iron. (2) a, 1008. Y acens,

104. [Veta ae, 1804, [rang x dx.

1795, [seas 1805, {stars sd.

1796. [xe ax, 1806. [PRE dx

1797, (ate ae. 1807. Fine + VIF Far.
1108, [ecos ás. 1008. {in JE ax.

1799. J x*sindedx. 1609, § arctg VF dx.

1900. Sasızar. 100. Fan tag sé.

Hallar las integrales:

1851, [ax 1818, (Yaw ax.
1812. | (orcsin 0) dos. sero, [VI Ea ar.
1819, [etre de, 1500. [e VAR ae,
au. [tn fdo 1021, Great ras,

Yıza =
vos, [En m {Tan
1020. [ado Zee.

J

182

1825. f

ex. $
1827. $
182. |
1909. $
1820. |

| INTEGRALES INDFFINIDAS ELEMENTALES

ESPA 1001. (et cu a de
weet 1000, FEE ay,
sin x de, rss. ng q

cosa ar.

mn vom [ae
cronica me
enr ds. 1005. [ones
ex an sé

El cálculo de Jas siguientes integrales está basado en la reducción del
trinomio cuadrático a la forma canónica y en la aplicación de las

formulas
else wan
a [mieles ean

sa

in | A

fée mene (o> 0

re
va [VE Ra nr Vi

vi, [YFES

és

Mist VP ERIC @>0,

APH VOTE 40.

B+ FecinEtc ado.

nL VIER | pO.

vara

Hallar las integrales:

u. Sa obo,
nn E.

ñ
um. fo.
ws, fey

183

CAPITULO 2. RURAL INDEFINIDA

as
le. ee

18. lariat
1546, | E AO), 188. Sr

a
aan. | 1800, [a

1850. Demostrar que, si
Jette (220,

entonces

Pavo |4o à odo

Ey

+0 si aco,

Y

1858, ie
er
a

1650. (ey =.
860. [ge
cons x dx Per
1953.1. rte 1861. (View as.
1854, (en 1862. [VE FFP ax.
Pr
1956. (en 1868. (VE FB cee
&
1856. ¡mr
sr. (att

$ 2. Integración de funciones racionales

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados, hallar Jas
siguientes integrales

re
soo. | ata

184

2. INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES.

ps
PA

1080. | pe

A

sa |

ax
1989. (2.

1884,

sh

ine: ne carer 885. apt
% E

1995. ra 1000. $

em a E

en Sean
a de PA

nn 100 frere

A 180 .
Be re a

1890, ¿Cuál esla condición para que la integral
arde,
Fes
represente una función racional?

Aplicando el método de Ostrogradski, hallar las integrales

i var a
se aaa 895. Jar
pien?
ne Sam vo Sastre rote
A
von. Sa 1907, |

Sar

100. (rm:

185

CAPITULO 3, INTEGRAL INDEFINIDA.

Separar la parte algebraica de las siguientes integrales:

vum. [an ee (etre
on. [orme

1901. Hallar la integral
5 a
PRE
1902. ¿Cuál es la condición para que la integral

ont + et
Br

represente una función racional?
Aplicando diversos métodos, hallar Jas siguientes integrales:

vo, vu [op ae

1004. DRE

vi, ie rer

ne Jr 1005. [E ds

1907, Tees Le 1916. (mega de
sir. fée

1910. ee sao. [E as

som. (A as, 1920, de

1821. Deducir una fórmula de recurrencia para el cálculo de la
integral

a

lar (AO

186

3. INTEGRACION DE FUNCIONES IRRACIONALES

Aplicando esta fórmula, calcular

a
fer
indicación. Utilizar ia identidad

a (a b + = ar $d) + ae 6,

1922. Aplicar sustitución = LES. paral ccoo de a integral

o

(ory n son números naturales),
Valiéndose de esta sustitución, hallar

de
$
1923, Calcular
Pate
So ds,
si Pn (x) es un polinomio en x de grado x
Indicación. Aplicar la fórmula de Taylor.

1924. Sea R (x)=R* (x?) donde R* es una función racional, ¿Qué
particularidades posee la descomposición de la función R (x) en fa
ciones racionales?

1925. Calcular

donde 1 es un número entero positivo,

$ 3. Integración de funciones irracionales

Mediante reducción de las funciones subintegrales à funciones racio-
ales, hallar las siguientes integrales

1926. [ 1929, (SE de

EYES yaa

= de
freres |

EV EEE ys VELVET
1028. ee vos. EEE ae,

187

CAPITULO. INTEGRAL INDEFINIDA.

1982. ye E 1008, | (0>0

1934, al (u es un número natural).
a

vo ne

Indicación, Hacer +=

1936. Demostrar que la integral

ala (ea? ear ax,

donde R es una función racional y p, q, n. son números enteros, es unt
función elemental, si
pain,
donde k es un número entero.
Hallar las integrales de las irracionalidades cuadzáticas más simples:

= VIRE
on. (de VER gy,
von. [pt roe, E a
a =
PA A qe
nn (EE ae

indo la formula

fide a, E,

donde y=Vax? + bx te, Py (x) es un polinomio de grado m.
Qn-.ı (%) es un polinomio de grado m — 1 y À es un número, hallar las
siguientes integral

150. (ppt te
se [E
1065, {eV

2 Gi Ue

ax.

1946,

ee
az

188

à INTEGRACION E FUNCIONES He ActONALES
1951. ¿Cuétesla condición para que fa integral
mittee os
represente una función algebraica?
viata | 202, donde y VF TENTE. descomponiendo la

función racional £4 es fracciones simples.

oes
se es

1058. (os .
vs [VER

196 it VTP

se fe

Reduciendo los trinomios cuadráticos a la forma canónica, calculer
las siguientes integras
de
e yr

PA
wwe, (Keuter

we fn
1964. Vinton de sun homo wm SH cer
la integral te
nv”
1965. Hallar

y FTE TV ista si 0>%
DVRs Vds >
a Verleih

189

[CAPITULO 3. INTEGRACION INDEFINIDA.

hallar las siguientes integrales;

VD
u. (es

ms e"
1968. [x VPE Run.

Aplicando distintos métodos, hallar las siguientes integrales,

a)
av 198 (ehe
1974, jee 1979. $ mie

DAT DR
DE.
2 Tee

1980, Demostrar que el cálculo de ts integral

feu, VE, Vea as,

donde R es una función racional, se reduce a la integración de una

función racional.
La integral del binomio diferencial

frere,

donde m, n y p son números racionales, puede reducirse a la integración
de funciones racionales sotamente en los siguientes tres casos (teorema

de Chebichev):

Caso 1. Sea p entero. Hacemos x =2", donde N es el denominador

común de las fracciones mt y m,

Caso 2. Sea ME! un número entero, Hacemosa + bx" =2", donde

N es el denominador de la fracción p.

190

4. INTEGRACION DY FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Caso 3. Sea S445 entero. Aplicamos la sustitución

ax" £b=2", donde N és el denominador de la fracción p.

Sin = 1, entonces estos casos son equivalentes a los siguientes:
1) p es entero; 2) m es entero; 3)m + p es entero,

Hair as siguientes integrates
tout. (VEER aw,
ne [ex

1983.

1984.
Ps

ee
1990. ¿En qué casos la integral
[VIFF ae,

donde m es un número racional, representa una función elemental?

$ 4. Integración de funciones trigonométricas

Las integrales de la forma
Gr cou sé,

donde m y 1 son números enteros, sp calculan mediante transformacio-
nes artificiales o valiéndose de las fórmulas de reducción.

Hallar las integrales,

1991. (‘cost x dx. 1996. sin? x cos! xd.
1092, [sat wae, 100. Fae
1902. [cosas soon, [de

1094, [sik wenn ds, 1900. $
1606, fa =

scada m Sc.

191

CAPITULO 3. INTEGRACION INDEFINIDA.

2001. [rte

an. (ee,
ams. (re
2004. Sig as,

2008, Sagan.

2011. Deducir las fórmulas de reducción para las integrales:

a) 1,=5siwxdx b) = corde (>29

y valiéndose de ellas, calcular
Joss + faune.
2012. Deducir as fórmulas de reducción para ls integrale:

nee

y valiéndose de elas, calcular:
LES
Las siguientes integrales se calculan valiéndose de las fórmulas:
1. sina sto B= eos (@— 9) —cosle-+B-
I cos a ces == eos (a Moose HM}
ML, sin aeos $ =p (stato) sia (a BL
Hallar las integrales

2018. f sin5xcos x dr. 2016, $ sinxsin(s-fo)sin(x-todx,
ao {cos.ecos2 xeeeede. 2017, fcostazcos be dx,

2015. fune Zar, gore, Lautaro

192

* INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Las siguientes integrales se calculan valiéndose de las identi

des:
sala — Doa si 4-0) +00

ale Me eostlstho) HB).
Calcular las integrales:

e 2, de
a 20 [a

de e
ar 20 [iextgtet a dx.

Las integrales de la forma
Fate une

donde R es una función racional, e seducen en el caso geperal a la
integración de funcione racionales mediante a sustituion 163 2.

3) Si se verifica la igualdad
Risto, cos sun Ríslaz, cos)

Rae, —cosx)

Riz cos),
entonces es conveniente aplicar la sustitución cos x = 0 sen
respectivamente,
b) Sise verifica la igualdad
RC stax, — C082) me R (x; cos,
entonces es conveniente aplicar la sustitución tg x =.
Hallar las integrales: z

7 de de
20 Sm 200

mms. gran 20. fo

28. [ae erde
A se

200. | E 2038. ern

E Fane
wots Z

2029. Ft, 2088, fe

193

CAPITULO 3, INTEGRACIÓN INDEFINIDA

a Pen ox
sons. (Ex. 2089. Ea
AS 200. | caer

2008, | EEE as,
2041. Hallaria integral
ue
rra
reduciendo el denominador a a forma Jogarítmica.

2042. Demostrar que
[PETER

PERE Stare Ax Bn Jo sin e +b cos XI O,
donde A, B, C son constantes.
Indicación, Hacer
sin 8, conse À tatin boos x) + Bla cos — bain,

donde À y E son constantes,
Mallar las integrales:

sin x — cosx de
moe [Ré m [ee
poe. ee as, (ah

2046. Demostrar que
a
a

+ rar

donde 4, A, C son unos cocficientes constantes,

Hallar las integrates:
mar. [te 20. | siete ae

me. | pp ae

194

4. INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

2050. Demostrar que

¡AAA

PS

SS

donde A, B, Cson coeficientes constantes.

Hallar las integrales
slot x= Asin cos sf 3 cos! x
2051. $ get de

erre
nos, [cdt ay,

2053. Demostrarque,si (a — ©)? +5? #0, entonces

TES

donde A, 8 son coeficientes indeterminados, À;, A son las raícos de la
ecuación

ao
Dear Aa,
te Asinchdesr y et u

=i
Hallar las integrales:

ness. 22 >22

Warten ,
ost, Teer

sin = 2cosx
"Timer

2057. Demostrar que

a Asis} Bed PA
Con eee Cl gen

2066. de,

donde A, B, C son coeficientes indeterminados.
2058. Hallar
Sark
era.

195

(CAPITULO 3. INTEGRACION INDEFINIDA

2059. Demostrar que

ies 2
apap et naar

+l era

dal15),
y determinar los coeficientes A, & y C, sin es un número natural mayor
que la unidad,

Hallar las integrales:

awe [on [pee

2008. <<

ost. |

( es un número natural).

$ 5. Integración de diversas funciones transcendentes

2066. Demostrar que, si P (x) es un polinomio de grado n, entonces

A a

Je er dx.

196

3. INTEGRACION DE DIVERSAS FUNCIONES TRANSCENDENTES

2067. Demostrar que, si P (x) es un polinomio de grado n, entonces

J Pt) coserde=

A]

A Jae
Hallar las integrales:
2068. [tetas 2078, [eta bras,
mon. Jeep era 2008. Teens
207, | me ae 2077. | es cos as,
am. fueressan 2078 Stale cas,
ore. Jee" an am eee
am. [rare 2000. {cs

2014, {et cost bed,

2081. Demostrar que, si R es una función racional y los números a,
4%, ., son conmensurables, entonces la integral

FRI en, u em de

es una función clemental.
Hallar las sigujentes integrales:

de
zo. Spar: ER AE

= BER Ee
ae. | ar. =

197

CAPITULO 2, INTEGRACIÓN INDEFINIDA

soe, [y Ls ann (PFI an
0. [Y har. 2000. | aye
2091. Demostrar que la integral

Saueren,
donde R ss una función racional cuyo denominador solamente tiene
Falces reales, ov expresa mediante ls funciones elementales la función
Casseendente

[A
donde
és
mE
2092, ¿En qué caso la integra

Se) eax,
donde P(E) mo, 4241002 Y o, 01, au son constantes, repre-
o E

Hailar las integrales:

2009. (12)
ao. Ft

eo
2096. $ Tr dee

Hier Ue ine que sondes fondant. i oo led,
arcty f (x), arcsen f (x), arccos f(x), donde f(x) es una función alge-
oe

2006. Sin? x de (nes un mero natura,

2000, [arica 2100. [ (82) ax.
os. (ial bate ot tien
2102. (Int (4 VPP) ax,

2103. [TV TE er

198

20. [Epa

PES
207. | Epa.

6, DIVERSOS EJERCICIOS DE INTECRACION DE FUNCIONES

2005. [earogiep Nex,
2106. [Y Zag Vaux
2101. { zarsings sé.
2108, [usa Vax.
210. [acon ae.

ane, Jun? En

a. (ae
am
au, FA ae
una
2119. § eartgtats dear.
an, fete

ans, [ets
Qe

Hallar las integrates que contienen funciones hiperbólicas:

ans. [src car,
aun, fetes,

aus. [area

2119, [shiesh2eshSeae,
2120. fixe

2121. Sant ede,

2122. [VRE an

2123, Sr

a en

uns mt

2. [rer

2106, [starsinbs as,

2125. Ssraxcosdrés.

§ 6. Diversos ejercicios de integración de funciones

Halar as integrales:
2126, Lao
au. LÉ
as. [pla
am. (=
zo. fat Va

2181, [zas

a (—

199

CAPITULO 3. BITEGRACION INDEFINIDA

am (LEVER yy, mn Ste
dae e
mes. (dam zu. [Ea
ass, [LEA ge, 27 (LLEVE ae
Se u

na ra ya {TR Han
mai. faites.
aise, [xa + areas.
ma, (SIE. LE gy Verne
Vis

2160. (x(a) ae.
EINES Er

2168, es
2. arten
210. Ja VTT ET,
2102.

as. (az

mr
2164. [VI FT ex,

2146.

Serien

2147.

mes, (ses

nus. es
2149. 2166. [fx dx.
2160, 2107. {xizlen,
AN 2168. Sect japten,
ange
zn (ee 2109, [Axa
2150, [A a. feux.
Tp eora
na, (SEO a, ain. eset, hae

200

6. DIVERSOS EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

172. { 9 (x) dx, donde y (x) esla distancia del número x al número.
entero más próximo.

2173, [[xJisienelde 30)

2 os det

tye] si fx.
LoS —o<r<0

2075. (riad donde =] at, 0
Var si IL oo

2314. [760 de, donde Ai

2176. Hallar | x/*(2) ae.
2177. Hallar | 7 (2x) ae.
2179, Hallar fia), si zw

+ 49%
2179. Hallar f(x), si fico
2180. Hallar f(x}, si

pin OZ cb;
uml pare trees
y70=0.

2180.1. Sea f(x) una función monótona continua y f7* (x) su
función inverse.

Demostrar que, si
Sroaearete
entonces .
Gp adem FUE O.

Examinar los ejemplos: a) Sls" >O; 0) Aa=ei
©) Se) anesin x d) Fla} An

201

cio À INTEGRAL DEFINDA

8 1. La integral definida como el limite de una suma

17 Integral definida en sentido de Riemann. Si una función f(x)
está definida en fa, b] y a=xe <x, <xq <... <Xp =D, entoncés, se
Hama integral de la función f (x) en el segmento [a, D] al número

[rend im Draranı o

ce ay

donde x <8 <xe, Y A Xi — Xi
Para la existencia del limite (1) es necesario y suficiente que la suma.
integral inferior

y la suma integral superior

onde
maith JOY Me une, Jet
tengan un límite común cuando máx | Ax; | + 0.

Las funciones f (x), para las que existe el limite del segundo miembro
de la igualdad (1), se llaman (propiamente) integrables en el intervalo
correspondiente. En particular, a) una función continua; b) una función
acotada, con un número finito de puntos de discontinuidad; c) una
función monótona acotada, son integrables en cualquier segmento fini
to. Si la función f (x) no está acotada en el segmento [a,b], entonces no
es propiamente integrable en [a, b].

2.° Condición de integrabilidad. La condición necesaria y suficiente
de integrabilidad de la función f (x) en un segmento dado {a, b], es el
meno dea fund

im "Sexe,

n= oh

donde ces a oscilación de la función f(x) en el segmento [xi x ]

203

CAPITULO 4. INPEGRAL DEFIMIDA,

Problemas:
2181. Haller la suma integral S, para la función
JE
1, 4), dividiendo éste en n partes iguales y tomando
), Ls = 1) en los puntos medios de

en el segmento [
Jos valores del argumento E, (=
estas partes,

2182. Para las funciones dadas f(x), hallar las sumas integrales
inferior S, y superior S,, en los segmentos respectivos, dividiendo éstos
enm partes iguales, si

a) f(x) [-2<:<3)
D/0=V3 frei}
Wr Deren).

2183. Hallar la suma integral inferior para la función f(x) =x* en el
segmento [1, 2), dividiendo este segmento en n partes, cuyas lontitudes
formen una progresión geométrica. ¿A qué es igual el límite de esta
suma cuando n=» os?

2184. Partiendo de la definición de integral, hallar

Jee +E0 de,
donde vo y g son constantes, *

Calcular las integrales definidas, considerändolas como limites de las
sumas integrales correspondientes y efectuando adecuadamente la parti
ción del intervalo de integración:

2165. fees. 2187. | snxde

2186, ae (a>0. 2185. (cosıar.

aise. (4 o<eco,

Indicación, Hacer 3, ÓN

mu, fra Oe <a men.

Indicación. Tomar los puntos de partición de tal modo que sus
abscisas x; formen una progresión geométrica.

mor. féroce cn.

204

2192, Callar integra de Poison
pa tj

ISA
Indicación. Servirse de la descomposición del polinomio a?” — 1 en
factores cuadräticos.
2193. Sean f(x) y 6) funciones continuas en [a,b]. Demostrar
que

2 7 060900 dx,

donde LL ton
u eee, y mb)

2193.1. Sea (x) acotada y monótona en [0, 1), Demostrar que
fret $/(#)=0(1)
21932, Sea f(x) una función acotada y convexa por ariba (véase
1312) en él segmento [aD].
Demostrar que
Ba rar car (st
21953. Sea JDE Cr

Fad si relly po)
Demostrar que

Jagtaés,

Loa AD y Age

Hs) y /W20, Fo,

ud {ren de-+ 00

cuando n —» es.
21934. Sea EC" La, 8] y

Hallar Jim nA,
2194. Comprobar que la función discontinua
60 =sqn (sn

es integrable en el segmento [0, 1]

205

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFISIDA

2195. Comprobar que la función de Riemann

Y

0, six esirracional
ses ds
onde m yn (n> 1) son números enteros, primos entre sí, es integrable

en cualquier intervalo finito.
2196. Comprobar que la función

ro=3 [2]. si +60

Y F(0)=0, es integrable en el segmento [0, 1),
2197, Demostrar que la función de Dirichlet
o, six es iracional,
x= 1 accion,
es no integrable en cualquier interval.
2198, Sea f(x) una función integrable en [u, b] y

Fale) = 80 fi) para x Gr Ko
donde

at bo) elle u

Demostrar que

lin Vat ex

2199. Demostrar que, si la función f(x) es integrable en [a, 5),
entonces existe una sucesión de funciones continuas 9 (x) (n= 1,
2, ..) tal que

Irnar= Im fo.) de parao o.

2200. Demostrar que, si una función acotada f (x) es integrable en el
Paria la, b), su valor absoluto | f(x)| también es integrable en
a,b), y
[rex] (ire lax.

206

1.LA INTEGRAL DESINIDA COMO EL

sive DE va SNA

2201. Sea (x) una función absolutamente integrable en el segmento
la b}, o sea, que existe la integral | 1 f(x) Id. ¿Es integrable esta
funciôn en o, 6]? “

Examinar el ejemplo:

{2 x esnionl
PRET 1, si x es irracional
2202. Sea f (x) una función integrable en (a, b] y A <f (x) < 8 para

a Gx <b, y sea p(x) una función definida y continua en el segmento
(A. B]. Demostrar que la función y (f (x)) es integrable en (a, b]

2203. Siendo las funciones (x) y p (x) integrables. ¿Será necesaria:
mente integrable también la función f(y (x)?
Examinar el ejemplo:

0, si x=0
hake A
yy (x) es la función de Riemann (véase el problema 2195).
2204. Sea f(x) una función integrable en el segmento (A, B]. De-

mostrar que la función f (x) posee la propiedad de continuidad integral,
es decir,

ia, St sooés

donde [a, 8] (4, BJ.
2205, Sea f(x) una función integrable en el segmento (a, b]. Demos
trar que se verifica la jgualdad

fred

cuando, y sólo cuando, f (x) = 0 en todos los puntos de continuidad
de la función f(x), pertenecientes al segmento (a, b].

207

CAPUTULO +. INTEGRAL DEFINIDA

$ 2. Cálculo de integrales definidas mediante
integrales indefinidas

1° Fórmula de Newton-Leibniz*). Sila función f (x) está definida y
es continua en el segmento {2,5} y F(x) es su primitiva, © sea,
F'() =F), entonces

A

La integral definida | f(x) dx, siendo f(x) > 0, representa geome-

tricamente el área $ de Ia figura limitada por la curva y =f (x), el eje Ox
y las dos perpendiculares al ee Ox: x =a y x=b (fi. 9).

Tae
2° Formula de integración por partes. Si f(x), g (x) EC") (a, b),
entonces

Sree oem sio] - fer ea

3° Cambio de variable. Si: 1) la función f(x) es continua en el
segmento lo, Bj; 2) la función y Q) es continud sino con y dada
„(N en el segmento fa, 8], donde a=y{a), b= (8): 3) la función
Compuesta / (p (1)) está definida y es continua en [a, 8), entonces

. ,
fra (roue et.
Problemas:

Aplicando Ja fórmula de Newton-Leibniz, hallar las siguientes integra-
les definidas y dibujar Jas superficies curvilineas correspondientes.

2206. [Y zaz 2207. fans

1 Tamm such amar formula de Barrows (dl).

208

2, CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS MEDIANTE INTEGRALES INDEFINIDAS

an. [a cece,

ans, E Ocedn.
Tear

— da “
wit Tree WS <a

(0b 0),

2216, Explicar por qué la aplicación formal de la fórmula de
Newton-Leibniz conduce a resultados falsos, si

2218, Mala er Has.

Sirvindose de integrales definidas, hallar los límites de las siguientes

oe

ES

2210, ie (de

vaso tin (cd

+=):

E

+
cam (ae

222. im ee, han tabs

20.

(CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA

2208. tg PEM ke >

gant im Y AV at VE).

Hallar

se ge Ea se Ey (eats)

Despreciando infinitésimos de orden superior, hallar los limites de las
siguientes sumas:

2227, im [KC +3) + 142) PE

mes

SVarEH ETE
2224. tim Ht AA >

2291. Hallar
eii aa
Ef sonas Ef oros El ane as

2232, Hallar:

a rra Lt of Pesan

2258, Hallar:
fauve four ae (fer

OR et Er Om

a .

210

2. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS MEDIANTE INTEGRALES INDEFUNDAS
2253.1. Sea f(x) EC (0, + eo] y f(a) —+ A cuando x — +,
Hallar lim | tue) dx,

2234. Demostrar que
3 1
[rato

cuando x — eo.

2235. Hallar

2236. Sea f(x) una función positira continua. Demostrar que la
función
Same

es creciente para x > 0.
2237. Hallar:

apart OC,

2x paral xm

A [rpm art,
») Iren si 11 ds paratec ret.

a Srwan si sw

2238, Calcular y construir Jas gráficas de las integrales /=1 (a),
considerändolas como funciones del parámetro a, si

DE fatales D] ti as

sade

au

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFISIDA

Aplicando la fórmula de integración por partes, hallar las siguientes
integrales definidas:

2259, seas 220. Íllaepas.

2260. [saxo 208, acer xd
E vr

au [oo xa au fang eae,

Aplicando una sustitución adecuada, hallar Jas siguientes integrales
definidas:

220. (Vem ae.

2250. Calcular integral [Hee haciendo x

2251. Explicar, por qué la sustitución formal de x por y (£) conduce
a resultados falsos, sf:

a) | tx, donde re; D À rfi donde x

© frs donde tg
2252. ¿Se puede hacer en a integral
(ya
sono

212

>. CALCULO DE INTEGRALES DEFIMIDAS MEDIANTE INTEGRALES INOEFINDAS
2253, ¿Se pueden tomar en la integral. [Tex por limites
eves losmúmeros xy al hacerla sustitución x = son?

2254. Demostrar que, si f(x) es continua en (a, b), entonces

Varta [704-0011 ax.

2255. Demostrar a igualdad
fermant fous @>0,

2256. Sea f(x) una función continua en el segmento
14.215 (a, 6], Hallar

Alywtnay para 4er 8

2257. Demostrar que, si / (x) es continua en {0, 1], entonces

isin x) dee | (005 03d

sf (sin a) as

2258. Demostrar que, para una función f(x), continua en (1, 1) se
tiene

n Eros fre,

sila función f(x) es par, y

a Ira

213

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFIMIDA.

si la función f (x) es impar. Dar una interpretación geométrica de este
resultado.

2259. Demostrar que una de las primitivas de uns función par es una
función impar, y que cualquier primitiva de una función impar es una
función par,

2260. Calcular la integral

e

da,

introduciendo Ja nueva variable
4

++.

2261. Efectuar el cambio de variable sen x = en la integral

Treen nes

2262. Calcular la integral

donde es un número natural.

2263. Hallar
2264. Hala la integral

si

214

2. CALCULE DE INTEGRALES DEFINIDAS MEDIANTE INTEGRALES INOFPINIDAS

2265. Demostrar que, si {x) es una función periódica continua,
definida pare ~ co <x < + oy de período 7, entonces

ur

| finde

donde a es cualquier mimero,
2266. Demontrar que, para n impar, as funciones
rerafoureae y ote

son periódicas, de período 2, y, para n par, cada una de estas
funciones es la suma de una función lineal y una función periódica.

2267. Demostrar que la función

Fra=| 115) dx,

donde f (x) es una función periódica continua de período 7, en el caso
general, es una suma de una función lineal y una función periódica de
período T.

Calcular las integrales

208. fee a [u Pe EEE
2269. ¡nn an far.

same. Fear E
Siete 2277, | sinxsin ain dran,

am. Ja Ts are. Fran ares.

am. | po

SAVE am. frere.
ans. | VPP dx. ine

2200. | azar,

2274,

asin Y ta

cm

as

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINDA

Aplicando las fórmulas de reducción, calcular las integrales, las cuales
dependen de un parámetro n que toma valores enteros positivos:

2081. LÀ axé, fase.

2282. 1,= | cos" x dx,
ue

2283, 1,— fig x as.

Sertnaran

f(x) + ifa (x) es una función compleja de la variable real
x, donde f, x)= Re 00), fa G@)=Imf @) e Fe Ve 1, entonces, por
definición

From [harto {none

Es obvio que

Re Grande =f Rel de

in $09 60 =$ inform
2288, Aplicando la formuls de Buler

cordial,

comprobar que

Farm (ds

€ y m son enteros).

216

2. €ALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS MEDIANTE INTECRALES INDEFINIDAS
2289, Comprobar que

German

Jeunes

SE

(ay B son constantes),
Aplicando las fórmulas de Euler:

ee =

nee,

calcular las integrales (m y n son números enteros positivos):

2200, [iat cosas, 2200, § cost cose de.
ES 2204. | sur xsinax ce,

ne. [SED a,

Hallar las integrales (x es un número natural):

anus, Faint eosin} cds, 2207. coda,

2299. Aplicando varias veces la integración por partes, calcular la

integral de Euler: B (m.

números enteros positivos.

xP" (1 = xy"! de, donde m y m son

2300. Los polinomios de Legendre P, (x) se determinan por la
siguiente fórmula:

Be) =,

a7

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINDA

Demostrar que

¿ % si
Sm Pax { 2 ï
mir

2301. Sea f(x) una función propiamente integrable en la, Dl y F(x)
una función tal que F"(x)=f (x) en todo [a, b], a excepción, posible-
mente, de un número finito de puntos interiores ¢, (= 1, ... p) y de los
puntos a y b, en los cuales la función F (x) tiene discontinuidades de
12 especie (“primitiva generalizada”). Demostrar que

e z
Viga =F40—Fl40— Y [Fe + 0—Ftc 0).

2302. Sea f(x) una función propiamente integrable en el segmento
ably

Pact [sa
su integral indefinida.

Demostrar que la función F (x) es continua y que en todos los
puntos de continuidad de la función f (x) se verifica la igualdad

Pease.
¿Qué se puede afirmar respecto de la derivada de la función F (x) en os
Puntos de discontinuidad de la función (9)?
Examinar los ejemplos:
are
D

Hallar las integrables indefinidas de las funciones acotadas disconti-
suas:

I Wear. yF@)=0 part by
sen

2903. |senxas. 2300. fxljar 0)

2504. (sgnkinz)e 2307. Sm dx.

2905. [idée (30)

2008. À (x)ax, donde gl) Si Mel
ya cado asa

ns

a TROREMAS DE LA MEDIA

Calevlar les integrales definidas de las funciones acotadas disconti

2500, Sexe stax, 2810 (feras,
ET Y lesa ax 2912. ES
a

2319, À Ine] dx donde n es un número natural.

2816. Jogo [sn de

2315. Hallar J [sos [VIRE dx, donde E es el conjunto de valo-

res del segmento [0, dr] para los cuales tiene sentido la expresión
subintegral,

$ 3. Teoremas de la media

1% Valor medio de la función. El número

A TS
se lama valor medio de la función f(x) en el segmento (a, 0)
Sila función f(x) es continua én (a, 6], existe un punto e € (a, 5) tt
que
muro.

22 Primer teorema de la media. Si: 1) las funciones f(x) y gO)
están acotadas y son propiamente integrables en el segmento [o, bj; 2)
la función ¢ (x) no cambia de signo para a <x <b, entonces

: +
Voir | pd de

inf, FG0,M= sup £0033) si, además, la
función f(x) es continua en el segmento [a,b], entonces u=f(c),
dondea Ze <b,

donde m <p <M y

219

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFIMDA

3° Segundo teorema de la media, Si: 1) las funciones f(x) y p(x)
están acotadas y son propiamente integrables en el segmento (a, b]; 2)
Ja función 9 (x) es monótona para a <x <b, entonces

} N
Ira Wem oot A teen

donde a <t <b; 3)si, además, la función y (x) es monótona decrecien-
te (jen sentido amplio! ) y no es negativa, entonces

Trato t=pt to Wa <td:

3) sila función px) es monótona creciente (¡en sentido amplio!)
yo es negativa, anton

froiemesoe-o fe eaten.

i à

Problemas:

2316. Determinar los signos de las siguientes integrales definidas
o Temas o [rra
DE © feinzen

2317. ¿Qué integral es mayor:

a juas o fus
wy fora o Jeter

o ferré o Veran za

220

3. TEOREMAS DE LA MEDIA.

2318. Caleular los valores medios de las funciones dadas en los
intervalos indicados

ye en (O, ths
» sa VF en 0, 100};
©) x) 104 2sinx + 3cosx en [DR];
OS

2319, Hallar el valor medio del radio vector focal de la elipse

x <<.

mes

2320. Hallar el valor medio de la velocidad de la caída libre de un
cuerpo cuya velocidad inicial es igual a vo,

2321. La intensidad de la corriente altema varía según la ley

an (Fire),

donde ig es la amplitud, £ es el tiempo, 7 es el período y y es la fase
inicial. Hallar el valor medio del cuadrado de la intensidad.

2324.1, Seas) ECO, +) y lim, F6) À. Hallar

tim 26 100 de.
ter)

Examinar el ejemplo f (x)
2322. Sea

rete x.

iros.
Hair,
mr >
D) M0 =Inf c) 710):
¿A qué somiguces En @y sim 97
Aplicando el primer teorema de la media, acotar las integrales
me (ému fée

an

(CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA

ons. [aa

2326. Demostrar las igualdades:

2) tim [to

2326.1, Hallar:

a) im fe: » sta fre a

donde a > 0, b >0 y fx) EC (0, 1
2327. Sea f(x) continua en [a,b] y sea (x) continua en la, b] y
derivable en (a, b), siendo
#20 para ace <b.

Demostrar el segundo teorema de la media, aplicando la integración
por partes y sirviéndose del primer teorema de la media,
Sirviéndose del segundo teorema de la media, acotar las integrales:

oe, Ten ome oo co

2390. (sinstds O< gcd.

2331, Sean v (x) y (x) funciones integrables en el segmento |a, b)
junto con sus cuadrados. Demostrar la desigualdad de Cauchy-B
kowski

Lora] fot onde fuer.

22

4. INTEGRALES IMPROSIAS
2332. Sea f(x) una función continuamente derivable ca el segmento

la bly fía
Demostrar la desigualdad

oa ras,
donde
M= sup Il.
edles

2333. Demostrar la igualdad.
+

Sie

>,

$ 4. Integrales impropias

1. Integración impropia de las funciones, Si la función fx) es
propiamente integrable en cada segmento finito [a B], sntonces Par
detnicton

ts A
Sima e, fines o

Si la función f(x) no está acotada en un entomo del punto b y es
propiamente integrable en cada segmento {a, b — e] (e>0), exttonces se
hae

Si los limites (1) o (2) existen, entonces la integral correspondiente
se llame convergente, en caso contrario, se llama divergente.

2° Criterio de Cauchy. Para la convergencia de la integral (1) es
necesario y suficiente que, para cualquier.e >0, exista un número
b=b() tal que, para cualesquiera b'>b y b">b se verifique la
desigualdad

fria] <a

23

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA

El enunciado dei criterio de Cauchy para la integral del tipo (2) es
análogo.

3.” Criterio de convergencia absohuta, Sil /(e)les impropiamente
integrable, entonces la integral correspondiente (1) o (2) de la función
F(x) se llama absolutamente convergente y es una integral convergente.

Criterio de comparación I. Sea | f(x) | SF (x) para x > a.

40 +9
Si | F(x)dx es convergente, entonces la integral | f(x) dx es

absolutamente convergente,
Criterio de comparación II. Si y (x) > Oy p(x)=0*(Y (&)) cuando
42

pa
84m, entonces ls interates | dx y | vd sons
multéneamente convergentes o divergentes, En particular, estos ver
ca si p (x) ~ y (x) cuando x — + ce,

Criterio de comparación DI. a) Sea

109=0 (3) cuando se.
En este caso la integral (1) es convergent sp > 1, y es divegete
per
b) Sea

1190" (ph) eue» à

En este caso la integral (2) es convergente si p < 1, y es divergente si
pai

4 Criterio especial de convergencia. Si: 1) la función p(x) es
monótona y tiende a cero cuando x > +0» y 2) la función f(x} tiene
primitiva acotada

entonces la integral

+9
J ree ar

es convergente, pero, generalmente, no es absolutamente convergente.

224

4 INTEGRALES IMPROMAS

En particular, las integrales

+ ES
Pa y | Die ero

son comengentes sip >0.
52° Vator principal en sentido de Cauchy. Si a función f (3) es tal
ave, para cualquier € > O existen as integrales propias
Fins y | re aseo,
entonces, por valor principal en sentido de Cauchy (v. p.) se entiende el
nimero

wr jure [Pree {ros

De un modo similar,

we Lin ne fie
“

mu TE eo

2996, find,

rra

me Ÿ La.

ns

CAPITULO 4. INTEGRAL DESINIDA
+
2050, $ eds (>)

pon
ar. Sesinbrde (a>0)

Sirviéndose de las fórmulas de reducción, calculer las siguientes
integrales impropias (n es un número natural):

=
2348. | werd

Eo,
nn ee ere

— 1] FT
1 $e

ca
o

2858. a) | msinxdn b) | ncosxde

2354. Hallar

glo
5 Ta
donde E es el conjunto de aquellos valores de x del intervalo (0, + eo)

para los cuales tiene sentido la expresión subintegral.
2355. Demostrar la igualdad

Vier tered $ IV BFA) dx,

donde a > 0 y b > 0, suponiendo que la integral del primer miembro de
Ja igualdad tiene sentido,

2356. Se lama valor medio de la función f(x) en el intervalo
(0, +) al número

Miles dim À
fi nz vos

26

A INTEGRALES IMPROPAS.
Hallar los valores medios de las siguientes funciones:

a) JO) sin x con? (e V2),
eig €) Sm

donde «> Oy f (1) es una función continua en el segmento [0, 1)
Averiguar si son convergentes las integrales:
+0

2000, | e ao)

2002. frat as,

la
2 ts
we. [ner 030. aos Y ote

to fe.
2364. [Eds teo. 2871. | Ea

42,
2505, | PER as,

2

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFIUIDA.

= #8
asa, (AEE ae, ÉTRE
4e
a
+2
a
ame. | ear A U <A <<).
+0
2376.1. | xxi fax
+0
2377. | Zalar, donde Pr (x) y Py (x) son polinomios primos
Fe)

entre sí de grados m y n, respectivamente.
Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes
integrales:

es
zur. fans.

Indicación, | sen x | > sen? x.
+2,

zum. | adn.
te

2300. | vse ae art.

2960.1. fine a) de

lo
2880.2, enter.

OS

28

A INTEGRALES IMPROPIAS

donde Pm (x) y Py (x) son polinomios enteros y P, (x)>0, si x > 0.
te
2384. Si | Sax es convergente, ¿necesariamente será

SC) — 0 cuando x — +08?
Examinar los ejemplos:

te te
y fueses y) ye

2384.1, Sea f(s) E CU [o + coh IC) <C cuando

settee y stn comente Y 700160 Demo que
RE ce |
indicat: Brno eg

te
Freres
2385, ¿Se puedo considerarla integral impropia convergente
Venez

¿e una función no acotada f(x), definida en [a D], como el límite de la
suma integral correspondiente

e Axe

donde x <tr Xi Y Axe xp — x 2
2386. Supongamos que la integral

te
[ed wo

es convergente y que la función y (x) está acotada,

229

CAPITULO 4. INTEGRAL, DEFMANA

¿Necesariamente será convergente la integral
J IP cde? 15)

Poner un ejemplo correspondiente,
¿Qué se puede afirmar respecto de la convergencia de la integral (2),
si integral (1) es absolutamente convergente?

2387. Demostrar que, $ y Se dx es convergente y f(x) es una
función monótona, entonces (00 (L)

2388, Sea / (x) una función monótona en el intervalo 0 <x <1 que
no esti acotada en un entomo del punto x = 0

Demostrar que, si existe

Serer

entonces
O je [onde

2389, Demostrar que, sila función f (x) es monótona en el intervalo
O<x <a y existe

iris

entonces

im xf (x):

ate

2390. Comprobar que

Dur |

Own | staré

230

$.CALCULO DE AREAS

2391. Demostrar que, para x > 0, existe

Hallar las siguientes integrales:

Po.
nun Y ts

som wo 2, 2005. 0 | eig

$ 5. Cálculo de áreas

1% El £rea en coordenadas cartesianas. El área S de la figura plana
4142828, (fig. 10), de la figura limitada por dos curvas conUnvas
LLO y = ya @) Wa 00 >), (2)) y por las rectas x = a y x=b
(a<D),es igual a

isc moran

2° Area de una figura limitada por una cura dada en forma
paramétiica, Si x = x (0, y = (1) (0 <1 <7) son las ecuaciones para.
métricas de una curva simple cerrada C, lisa a trozos, recorrida en

” a
yes a
4 js 4 5

Fig. 10. Fig 11

sentido contrario al del movimiento de las agujas de un reloj, y que
limita a su izquierda una figura de área S (fig. 11) se tiene

231

sous brary a
y también x à

+ for ocre.

3.” El área en coordenadas polares. El área S del sector OAB (fie
12) imitado por una curva continua r=7 (9) y por dos semirrectas

Bela Fig. 13.
v=a y p= Bla <P) esiguala

s

:
ES

Problemas:
2396. Demostrar que el área de un segmento parabólico recto es
iguala

2
sho,

donde à es la base y A esla altura del segmento (fig. 13).
Hallar las áreas de las figuras limitadas por les curvas dadas en

coordenadas cartesianas”)

Bye.
CRETE

$.CALCULO DE AREAS

Lx)
x, Bayt = B(x — py
Bey Ly So, AC—8'>0).

5 FT.
a DS >
#[sinx}, y=0 (#20).

2411, En qué razón divide la parábola y?

Pare

2412. Expresar las coordenadas del punto MM (x, y) de la hipérbola
x? y? =1 en función del área del sector hiperbólico $=OM'M,

imitado por el arco de hipérbola MM y por los dos rayos OM y OM",
donde Af" (x, y) es el punto simétrico aM respecto del oje Ox.

Hallar las áreas de las figuras limitadas por curvas dadas en forma
paramétrica.

2413: salt —sing, pal — et) (Wate) (cicloide)
eye

2414. x pert,

2415. x—=alcost-+isin, y—alsial—feos) (Oct 2n)
(desarrollo del círculo) y x <a, y <0.

2416, x= 0 (2 cost—cos2l), ve a (2stni—sin 20.

=0 (tractriz).

2x el área del círcalo

Dain A cé (at Prot de lips)
atin, aus, ya

Hallar las áreas de las figuras limitadas por las curvas dadas en
coordenadas polares:

2418. rma? cos 2p (lemniscata).
2419. r = a(l 4 cos g) (cardioide),
2420. r=asin dq (rosa de tres pétalos).

zu yl cia y
nian r= pling Oi
deans, Te

? a
nme roto re (p< st

2
Es

233

jes).
2424. Halla ren del cor imitado por ua
—

zu. rc realore-tsog) (4(5

ypordos rayose=0 y

vi
2424.1. Hallar el área de la figura limitada por la curva

agil.
2424.2, Hallar el área de la figura limitada por un pétalo de le curva
OS
2424.3. Hallar el área de le figura limitada por las líneas

air, gt.

2424.4, Hallar el área de la figura limitada por las líneas

o nr gam

2425. Hallar ei área de la figura limitada por la curva cerrada

ot at
me PET

Pasando a coordenadas polares, hallar Tas áreas de las figuras limitadas.
por las curvas:

2426, 194 pa 3axy (folium de Descartes)

RN

2428, (+ y =2otxy (lemaiscata).

Reduciendo lus ecuaciones a la forma paramétrica, hallar las áreas de
las figuras limitadas por las curvas:

2420, xP 4 Tena? (ustroïde)

2490. + ym ay

Indicación. Hacer y

234

6: CALULO DL LONGITUDES DE ARCOS
$ 6. Cálculo de Zongitudes de azcos

1 Longitud de un arco en coordenadas cartesianas. La longitud del
arco de un segmento de una curva lisa (con derivada contínua)
3310 were)
esiguala
fie

2° Longitud del arco de una curva dada en forma paramétrica. Si la
curva C viene dada por las ecuaciones

ene, 3230 sten,

donde x (0), y (1) ECU fry, T], la longitud del arco de la curva C es
iguala

om | VEEP DA
3° Longitud de un arco en coordenadas polares. Si
CORTE

donde’ (4) ECU) [a, A], la longitud del arco del segmento correspon-
¿lente de la curva es igual a

so VTE de.
Las longitudes de los arcos de las curvas alabeadas se verán en el cap.
mi,

Problemas:
Hallar las longitudes de tos arcos de las siguientes curvas:

MU O MA Ocean
2138. yma ch (desde el punto A (0,6) hasta el punto B (bf).
AN

246 ing (ye

2498 y=al E (rea)

235

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA

2407, yaincos x (Oe <
En

2488. «=a ln y

fared

ON

2440, +9 a (astroide)

Dadi. x — # (evoluta de la elipse),

oe

yes.
za Wars)
Ciné feos 4 para 0 <t< Ir

{cos ai

(desarrollo dela circunferen
N, y=e(ht—1) Gated,

Pe yan o (ET

{esl de Aruieden pan 0 <<

2°" in >0) para 0 <r <a.

Eau + có 9)

ru
2449, re (tele

o sin
2450. rast}.

Us mad Darm.

an. eb (rel) oras,

252.1. ET (Sres

cuna y [dt percer

2452.8, r=1Ycost, pig lata).
2453. Demostrar que la longitud del arco de la elipse
bane

acost, y

es igual ala longitad de una onda dela sinuside yes, donde

Vane
2454. La parábola 42y =x? rueda sobre el eje Ox. Demostrar que el
foco de la paräbola desenbe una catenaria

26

T.CALCULO DE VOLUMENES.

2455. Hallar ja razón del área de la figura fimitada por el lazo de la
curva

Lv

el área del círculo, si la longitud de la circunferencia es igual a la
fongitud del contonto de esta curva,

$ 7. Cálculo de volúmenes

1.° Volumen de un cuerpo cuando se conocen las secciones transver-
sales, S existe el volumen Y de un euemo y 8 5 (2) a Gx 5D) es el
rea de la sección del cuerpo por un plano perpendicular a je Ox en el
punto x, entonces
va [soe
2.2 Volumen de un cuerpo de revolución. El volumen de un cuerpo.
formado por la rotación alrededor de je Ox del trapecio mixilineo

TON

donde y (x) es una función uniforme y continua, es igual a

v.

fra

En el caso més general el volumen del anillo formado por la rotacién
alrededor del eje Ox de Ja figura a <x <b, y, (x) <y < Ya (x), donde
Ja (x) e y, (x) son funciones no negativas continuas, es igual a

al utea—stenés,

v

Problemas:

2456, Hallar el volumen de una buhardilla cuya base es un rectängu-
lo de lados a y D, la arista superior es igual ac, y la altura es igual a À

2457. Hallar el volumen de un obelisco cuyas bases paralelas son
rectángulos con los lados 4, By a, b, y la altura es igual ak,

2458. Hallar el volumen de un cono truncado cuyas bases son elipses
de semiejes A, By a, b, y la altura es igual ah.

237

CAPITULO 4 INTEGRAL DEMISIDA
2459. Hallar el volumen de un paraboloide de revolución cuya base
5 $ y la altura es igual a A
2460. Supongamos que el área $= 5 (x) de la sección transversal de
un cuerpo, efectuada perpendicularmente al eje Ox, varia según la ley
cuadrática:
SWRA BEC faced},

donde 4, B y Cson constantes.
Demostrar que el volumen de este cuerpo es igual a

© [Seo+4s(*4$4) +0],

donde H = b — a (fórmula de Simpson).

2461, Un cuerpo representa el conjunto de puntos M (x,
de O<2<l, siendo O<x<1, O<y<!l si 2 es ricional,
~ 1<x<0,—1<y <0 siz es irracional. Demostrar que no existe el
volumen de este cuerpo, a pesar de que la integral correspondiente

y, 2), don-

ds

Hallar los volúmenes' de los cuerpos limitados por las siguientes
superficies

2462,
2468, À

2464,

2465,
2466.
2467.

EII

2460 y betel, m0, y

AE aye

2471. Demostrar que el volumen del cuerpo engendrado por la
rotación alrededor del eje Oy de la figura

1D 0

¿=0,

238

7.CALCULO DE VOLUMENES.

donde y (x) es una función uniforme y continua, es igual a
af ind

Hallar los volimenes de los cucrpos limitados por las superficies
obtenidas en a rotación de las siguientes Lineas
zum. yo $)i (ax a ven tomo del eje Ox (superficie de
Neil),
478,
wie Oy.
Mi, peu, ya (0x en sa) en tono del eje Ox; b) en
tomo del eje Oy.

au. y =o(2).

del eje Oy.
x, y=0 (05x<+ 00): a) en tomo del eje Ox; b) en

= xx, y=0: si en tomo del eje Ox; b) en tomo del

sa) en torno del eje Ox; b) en torno

2476. y
tomo del eje Oy.

2477. 2 {y — bat (0< 0h) en tomo del eje Ox,

2476. 2 ay + y =e" en lomo del eje Ox.

2478. ym Vina (0% 2< oo) en tomo del eje Ox

2480. Zap, Paoli (xtc In, y=0:
a) en torno del eje Ox; b) en tomo del eje Oy; c) en torno de la secta
y=20,

2481, xacasin' ty y=Ocor'e (0 1=52m) a) en tomo del eje Ox;
b) en tomo del eje Oy.

2481.1. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de
la superficie del lazo de la curva

same, year

en tomo: a) del eje Ox; b) del eje Oy.

2482. Demostrar que el volumen del cuerpo engendrado por la
rotación de la figura

Ocacpapen, (arg

(yr son coordenadas polares) alrededor del eje polar, es igual a

Pr (gisimg dg.

239

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA
Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de
Jas figuras, dadas en coordenadas polares:
2483. r=a (1 + cosy) (0 <p <2m); a) en tomo del eje polar, b) en
torno dela recta r cosp=--+

2484. (x? + y?) =a? (x? — y?): a) en tomo del eje Ox; b) en
tomo del eje OY; €) en torno de la recta y =x.

Indicación. Pasar a coordenadas polares.

2484.1, Hallar el volumen dei cuerpo engendrado por la rotación de
Ja figura Limitada por una semiespira de la espiral de Arquímedes

rap (> On

en tomo del eje polar,

2484.2, Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de
1a figura Limitada por las líneas:

par, q

en tomo del eje polar.
2485. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de la
superficie
wre

en tomo del eje polar.

$ 8. Cálculo de áreas de superficies de revolución

FA área de la superficie engendrada al girar una curva lisa AB altede-
dor del eje Ox, esigual a
pon le
donde ds esla diferencial de arco.
Problemas
Hallar is área de las superficies engendradas a gra ls siguientes
curas

2486. y=

# .
«VE (xcxca) en tomo del je Ox

Sc; (x <5) en tomo del eje Ox.

2487. x

240

9. CALCULO DE MOMENTOS. COORDENADAS DE CENTRO DE CRAVEDA

2408, pute » (ec) en tomo del eje Ox.
180, mp2 (DE <n 2) en tomo del ele Ox; b) en tomo del
sie Oy
2490. $14 Lot (<< ox a) en tomo del je Ox; 5) en torn de
sie Oy.

OL 4

{2 a) en torno del eje Ox,

2492. 4 y. en tomo del eje Ox,
299, yaach (| |<<: 3) en tomo del eje Ox; b) en tomo det
ele Oy.

2494. esa EV EE _ AHH on tomo del eje Ox
2406. em a(t—sind, “ya (10081) (0520) 3) en tomo
del eje “Ox; b) en tomo del eje Oy: ©) en tomo de la recta peda
2496. x 0084, yaasın ¢ en torno de la resta y
(1+-co89) en tomo del eje polar.
a¥cos 2g: a) en tomo del ee polar; b) en tomo del ej
19 en tomo del je, qu.

2499. Un cuerpo está engendrado por la rotación alrededor del eje
Ox de la figura limitada por la parábola ay =a? — x? y eleje Ox. Hallar
la razón del área de la superficie del cuerpo de revolución al área de la
superficie de una bola de igual volumen.

2500. La figura limitada por la parábola y? = 2px y la recta x =
gira en tomo de la recta y=p. Hallar el volumen y el área de
superficie del cuerpo de revolución.

8
7
la

$ 9. Cálculo de momentos, Coordenadas del centro de gravedad

12 Momentos Si, en el plano Oxy, una masa M de densidad
2 (y) ocupa todo un continuo acotado S2 (una tinea, una región
Plana) y @ = (y) es la medida correspondiente (la longitud del arco,
el área) de la parte de la región © cuyas ordenadas no son superiores à
3, entonces, se llama K-ésimo momento de la masa M respecto del eje
Ox al número

M din EIA etc) (1,2,
Como casos pasticulares, obtenemos, para k= O la masa M, parak = |
el momento estático, para k= 2 el momento de inercta.

241

CAPITULO. INTECHAL DREINIDA

De un modo similar se definen Jos momentos de la masa respecto de
los planos coordenados.

Si p = 1, el momento correspondiente se llama geométrico (momento
de una linea, de una figura plana, de un cuerpo, etc.)
* Centro de gravedad. Las coordenadas (xo, Yo) del centro de
gravedad de una figura plana homogénea de área S Se determinan por las
fórmulas

mp a
ee hms

donde MO), MX) son los momentos estáticos geométricos de la figura
respecto de los ejes Oy y Ox.

Problemas:
2501. Hallar el momento estático y el momento de inercia del arco
de una semicircunferencia de radio a, respecto del diámetro que pasa
por los extremos de este arco.
2501.1. Hallar el momento estático del arco de la parábola

ES

respecto de la recta x:

2502. Hallar el momento estático y el momento de inescía de una
placa triangular homogénca de base à y altura A, respecto de la base
w=).

Mallar los momentos de inercia fy = MS) e Jy = MY respecto de
los ejes Ox y Oy del segmento parabólico, limitado por lis curvas

yla DO) e
¿A qué son iguales los radios de inercia ry y ry, es decir, las magnitudes
definidas por las relaciones
LS,
donde S es cl área del segmento?

2503. Hallar los momentos de inercia de una placa elíptica homoge-
nea de semiejesa y b, respecto de sus ejes principales (p = 1).

2504. Hallar el momento estático y el momento de inercia de un
coño circular homogéneo de radio de la base r y de la altura h, respecto
del plano de la base de este cono (p= 1).

2504.1. Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de
radio R y masa M respecto de su diámetro.

242

10. PROBLEMAS DE MECANICA Y FISICA,

2505. Demostrar el primer teorema de Guldin: el área de la superfi-
cie engendrada por la rotación de un arco plano C alrededor de un cle,
que no se corta con la superficie y que está situado en el mismo plano
que el arco, es igual a la longitud de este arco, multiplicado por la
longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del arco
c

2506. Demostrar el segundo teorema de Guldin: el volumen del
cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana $ alrededor de
un eje, que no se corta con la figura y que está situado en el mismo
plano que la figura, es igual al producto del área S de dicha figura por la
longitud de la circenferencia que describe el centro de gravedad de la
figura

2507. Determinar las coordenadas del centro de gravedad del arco
circular! x = a cos y =asenp (lp Ica em.

2508, Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la
tegión limitada por los paraboloides: ax = y”, ay =x? (a > 0).

2509. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la

región HH E <1 <x <a, 0c <b).

2510. Hallar el centro de gravedad de un hemisferio homogéneo de
radio a.

2511. Determinar las coordenadas del centro de gravedad C (9, ro}
del arco OP de la espiral logarítmica r =ae"* (m > 0) desde el punto
0 (— so, 0) hasta el punto P (a 7). ¿Qué curva describe el punto Cen el
movimiento del punto P?

2512. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la
región limitada porla curva r=a (1 + cos y).

2513. Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la
región limitada por el primer arco de la cicloide x=a (+ sent)
»=a(1 — cos r) (0 <t<2m) y el eje Ox.

2514. Determinar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo
engendrado por la rotación de la figura O<x <a; y? < 2px alrededor
del eje Ox.

2515. Determinar las coordenadas del centro de gravedad del hemis-
feriox? +y? +2? =a? (2 > 0).

$ 10. Problemas de mecánica y física

Formar las sumas integrales correspondientes y una vez hallados sus
limites, resolver los siguientes problemas:

2516. Hallar la masa de una varilla de longitud

=10m, si la
243

CAPITULO 4, INTEGRAL DEPINIDA

densidad lineal de la misma varia según laley 6 = 6 + 0,3x kgm donde
es la distancia desde uno de los extremos de la varilla,

2517. ¿Qué trabajo es necesario realizar para elevar un cuerpo de
‘masa m'a da altura h de la superficie de la Tierra, cuyo radio es igual a
RT ¿A qué será igual este trabajo si el cuerpo se eleva al infinito?

2518, ¿Qué trabajo ‘es necesario realizar para alargar 10cm un
resorte elástico, sila fuerza de 1 kg alarga este resorte 1 em?

Indicación. Áplicar la ley de Hooke,

2519. Un cilindro de 20 cm de diámetro y 80 cm de longitud está
lleno de vapor bajo la presión de 10 kg/cm”. ¿Qué trabajo es necesario
realizar para disminuir dos veces el volumen del vapor, suponiendo que
la temperatura del mismo permanece constante?

2520. Determinar la fuerza de la presión del agua sobre una pared
vertical que tiene la forma de un semicírculo de radio a, cuyo diámetro
está situado en ta superficie del agua,

2521. Determinar la fuerza de la presión del agua sobre una pared
vertical que tiene la forma de un trapecio, cuya base inferior a = 10m,
la base superior = 6 m y la altura = 5 m, si el nivel de sumersión de
la base inferior c=20 m.

Formando les ecuaciones diferenciales, resolver Jos siguientes proble-
mas:

2522. La velocidad de un punto varía segin la ley:

at.
¿Qué trayecto recorrerá este punto en el intervalo de tiempo (0, 7]?

2523, Una bola homogénea de radio R y densidad 3 gira alrededor
de su diámetro con una velocidad angular w. Determinar la energía
cinética de la bola.

2524. ¿Con qué fuerza atrae una recta material infinita de densidad
lineal constante ug a un punto material de masa m, situado 2 la
distancia a de esta recta?

2525. Determinar la fuerza con que atrae una placa redonda de radi
a y de densidad superficial constante 6, a un punto material P de masa
m, situado en la perpendicular al plano de la placa, que pasa por su
centro Qala distancia mínima PO, igual a b.

2526. Según la ley de Torricelli, la velocidad con que sale un líquido
de una vasija es igual a

eV Eh,

donde y es la aceleración de la fuerza de gravedad, h es la altura del
líquido sobre el orificio y € = 0,6 es el coeficiente experimental.

2s

11.CALCULO APXOXI4ADO DE INTEGRALES DEFINIDAS

¿En cuánto tiempo se vaciará un tonel cilíndrico vertical, leno hasta
ariba, de diámetro D= | m y altura = 2m, si el orificio redondo en
el fondo tiene un diámetro d = 1 cm?

2527. ¿Qué foma tiene que tener una vasija, que representa un
cuerpo de revolución, para que el descenso del nivel del líquido durante
el derramamiento del mismo sea uniforme?

2528. La velocidad de desintegración del radio en cada momento es
proporcional a su cantidad existente. Hallar la ley de desintegración del
radio, si en el momento inicial 1=0 había O. gramos de radio y
durante ef tiempo T = 1600 años esta cantidad disminuirá dos veces.

2529. Para el caso de un proceso de segundo orden, la velocidad de
una reacción química que transforma la sustencia À en la sustancia B, es
proporcional al producto de les concentraciones de estas sustancias.
¿Qué tanto por ciento de la sustancia 3 habrá en una vasija dentro de

hora, si para 1=0 minutos había 20% de la sustancia 3 y para
5 minutos había ya 80 %?

2530, Según la ley de Hooke, la dilatación velativa e de una barra cs
proporcional a la intensidad de la fuerza 0 en la sección transversal
tomespondiente, 0 sea,

ex,
donde E es el modulo de Young.

Determinar la dilatación de una barra pesada de forma cónica, fijada
a la base y con el vértice invertido hacia abajo, si el radio de la base es
igual a R, la altura del cono es H y el peso específico es 7.

§ ti. Cálculo aproximado de integrales definidas

1.* Fórmula de los rectángulos. Sila función y = y (x) es continua y
derivable un número suficiente de veces en un segmento cerrado (a, 5] y

wate hm werte
tine
A Huit tun Ron
donde
Ayo eaten,
2.” Fórmula de los trapecios. Con las mismas notaciones, se tiene:
Y

A (SE tet te) tee

245

CAPITULO 4. INTEGRAL DEFINIDA

donde

CET

3° Fórmula parabólica (fórmula de Simpson). Haciendo n = 24, se
tiene:

Guide E trend tt
donde. Hat Ro
E essa
Problemas:

2531. Aplicando la fórmula de los rectángulos (n= 12), calcular

apodo
—

y compara el resultado con la respuesta exacta

Simiéndos de la Formula de los tapados calcular las integrales y
acotar lo erore, e
o. fae.
as, (8
MEA
aso. [La

a [y ¡TT ee mo)

Sirviéndose de la fórmula de Simpson, calcular las integrales:

2636. [Var n=) 2507. [as (10)

ass. [VEA eo,

206

15, CALCULO APKOXIMANO DE INTEGRALES DEFINIDAS.

2539. Tomando n = 10, calcular la constante de Katalan

Om Y ae,

2540. Sirviéndose de lá fórmula
+=

calcular el númeso m con una exactitud hasta 1075

2541. Calcular
fear

con una exactitud hasta 0,001.
2542. Calcular | (e* ~ 1) In + dx con una exactitud hasta 1079,

2543, Calcular con exactitud

+o

sta 0,001 la integral de probabilidad

2544. Haller aproximadamente ia longitud de la elipse cuyos se-
miejesson a=10 y 6=6.
2545. Construir por puntos la gráfica de la función

Ya vorm,

tomando

ami.

247

ie ses

§ 1. Series numéricas. Criterios de convergencia de las
series de téreninos de signo constante

12 Conceptos generales, Una serie numérica

EE baa Da, Y

se llama convergente, si existe
um S,

(suma de la serie),

donde Sq =a; +05
divergente

2. Criterio de Cauchy. Para la convergencia de la serie (1) es
necesario y suficiente que, para cualquier « >0 exista un número
N=N() tal que para 1 > N y p > 0 se verifique la desigualdad

+0. En caso contrario, la serie (1) se llama

ES

ice

En particular, sila serie es convergente, se tiene

tna,

3.° Criterio de comparación 1. Supongamos que, además de la serie
(1), se tiene la serie

AAA a
Si, para n > ig, se verifica la desigualdad
DS
entonces, 1) de la convergencia de la serie (2) se deduce la corivergencia
de la serie (1); 2) de la divergencia de la serie (1) se deduce la
divergencia de la serie (2).

249

CARLO 5. SERIES
En particular, si ay = by para n —> eo, las serios de términos positivos
(1) y (2) son convergentes o divergentes simultáneamente,
4° Criterio de comparación U. Si

(E
O(a)
entonces, a) si p>1 la serie (1) es convergente y b) si p<1, es

divergente.
5 Criterio de D'Alembert, Si ay >0(1=1,2,...) y

lim Lee,
entonces, 2) si 4 <I la serie (1) es convergente y b) si q> I, es
divergente.

62 Criterio de Cauchy. Si an > O(n

da Ve,

entonces, a) si q <1 la serie (1) es convergente y b) si g>1, es
divergente.
12 Criterio de Raabe. Si ay >0(2=1,2,...) y

aa

entonces, a) si p>1 la serie (1) es convergente y D) si p<1, es
divergente,

8° Criterio de Gauss. Si ay > O(n =

donde 19, LC y #>0, entonces.a)si A> 1 la serie (1) es convergen-
te y 6) AS, es divergente, €) sí A=1 la serie (1) es convergente para
HS Ly es divergente para ja < l.

92 Criterio integral de Cauchy. Si f(x) (x > 0) es una función no
negativa y no creciente, la serie

3/m

>) Ei significade del símbolo O° véase en a up. $ 6, 1.
250

1. SERIES NUMEIICAS. CR. DE CONV. DE LAS SERIES DE TEL. DE SIGNO CONSTANTE

es convergente o divergente simultáneamente con la integral
+
ECC

Problemas

Demostrar directamente ia convergencia de las siguientes series y
hallar sus sumas:

2545.
2547.
2543.
1 , 1
509. Totes tat tat
vs 1
2660 tt tet

2561. a) gsinat Y st028 +. fe sin na te.
b) geos0-f gees Da. fg" cos m0

2552. 3 VIVA EST

(lal.

2553, Averiguar la convergencia de la serie sen mx,

Indicación. Comprobar que para x # kr (k es un entero) es imposible
que sea sinnx—rO cuando n= en

2554, Demostrar que, sila serie DI a, es convergento, entonces la

Fa. donde A,

Bel, <p <.

obtenida como resultado de la agrupación de los términos de la serie
dada sin infringir cl orden que siguen, también es convergente y tiene la
misma suma. Lo recíproco no es justo; exponer un ejemplo.

2555. Demostrar que, si los términos de la serie $ ay son positi-

vos y la serie À An, obtenida por agrupación de los términos de esta
serie, es convergente, entonces la serie dada también es convergente,

251

CAPITULO s. series
Estudiar la convergencia de Las siguientes series
2656. 1-11-14 1-14...

2557, 0,001 4 VERTH YET...

00 Pt.

tr

BE tm +
BLAS EE ae
2582. Ie bar tt

:
y
Ly
we ret yet tement

2565. Demostrar que una serie de números, que son recíprocos a los
términos de una progresión aritmética, es divergente.

2668, ee

are tpt Hoya

2866, Demostrar que, si as seres À ay (4) y À , WM son

2,..), entonces la serie D cy

convergentes y an <en <br (

(C) también es convergente, ¿Qué se puede afirmar respecto de la
convergencia de la serie (C) si las series (A) y (3) son divergentes?

2567. Sean dadas dos series divergentes

Say do,

de términos no negativos.
¿Qué se puede afirmar respecto de la convergencia de las series:

3) B min. 9) y D) 3 maxte, 0

252

|. SERIFS NUMERICAS. CR. DE CONV. DE LAS SERIES DE TER. DB SIGNO CONSTANTE,

2568. Demostrar que, si ia serie À a, (9 >0) es convergente,

entonces la serie À 0h tambien lo es, Lo recíproco no es justo
poner ejemplos
2569. Demostrar que, si lasseries Has y 30) son conver

gentes, entonces también lo son las series

Stor Set Dll.

2570. Demostrar que, si

entonces a serie $ a, es divergente.

2571. Demostrar que, si la serie Y) ay de términos positivos

decrecientes, es convergente, entonces

lim na,

2572. {Sori convergente la serio Ÿ 0, si

en an eee

parap= 1,2, 3,...”
Aplicando el criterio de Cauchy, demostrar la convergencia de las

siguientes series;

2678. te do, |< 10)
nora, BEL. SE...
zum. SEE mies).

METRES

253

Se A

Indicación, Aplicar la desigualdad

2575.

Aplicando los criterios de comparación de, D’Alembert o Cauchy, es-
tudiar la convergencia de las series:

Hit
ÉCART

2676.14

L
Bm at

Aplicando los criterios de comparación de D'Alembert o Cauchy,
estudiar la convergencia de las series:

A RU,
om, EO |

2880. e HE

ga 2 gui

A HE,
E
ae, WIM, yuı.

2000 1000-1001 400-101-1009
ae ++

2581.

2588.

7-10

a SH.
25, VID YD... Va.
2585.1. À oy.

254

1. SERIES NUMERICAS. CK. DU CONV. DE LAS SERIES OE TER. DE SIGNO CONSTANTE

donde

ae. Y =p
y

2560.1. À pe.

se Syn.

aa, É(riye,

250. VI VIVE Va 24 V 94
za Va 24774...

Indicecion, VE à.
2591, Demostrar que, si
i

Steg (> 0)

ai), donde q, >.

entonces dy =
2591.1. Supongamos que para los términos de la serie de términos
positivos 31 an (an >0) se verifica la desigualdad

A

255

Canrruto 5. SERIES
Demostrar que para el resto de la serie
Ram tans gts

se verifica la acotación

Ro an sion
2591.2, ¿Cuántos términos de la serie
$ lema,

Tai

donde (2n)!! = 2 - 4...2n, cs suficiente tomar, para que la suma
parcial correspondiente S, difiera de la suma de la serie $ menos que

2592. Demostrar que, si

<1 >,

entonces la serie À a, es convergente.

Lo fecfproco no es justo, Examinar el ejemplo
Hr
2593. Demostrar que, si para la serie Da, (2, >0) existe el

mite ms
tim 224 ma, a

entonces también existe el límite
tim amg
wur (1)

Lo recíproco no es justo: existiendo el límite (8), puede no existir el
Hmite (4). Examinar el ejemplo

ten
HA

256

AL SPRIFS NUMERICAS. CR. DE CONV DE LAS SHRIES DE TEA DE SIGNO CONSTANTE

2594. ¡Demostrar que, si

entonces, a) si q<liasere Dar es convergente; b) si q > 1 esta

serie es divergente (criterio generalizado de Cauchy).
Estudiar la convergencia de las series

a zus se, Y
2000, D et. un.

Aplicando los criterios de Raabe y Gauss, estudiar la convergencia
de las siguientes series:
sy

2508. Gy+ (Ry +

Poda ete da 4-29
u rather

"+.

(2>0, 990, 420,
260. Y 25

ur CES TES CIE

e ¡Ms

ary

we. a wea >.

2603.

$ setnptaon, à
a

a. E A.

2006 > ¿>0,

gta]

257

CAMTULO 5 SERIES

2606. Demostrar que, si para la serie de términos posi

(@q > 0) se cumple la condición

cuando n —+ 0», entonces

donde ¢>0 es arbitrariamente pequeño; además, si p>0, se tiene
@n 4 0 cuando 7 — >, es decir, an para n > 79 es monótona decrecien-
te y Gende a cero cuando n =—+ de.

Determinando el orden de decrecimiento del término general ay,

estudiar la convergencia de la serie Sa, si

e EA Oe donde at byt!
2007, oy = EERE EEE, donde ht. he.
2608.

,
Hon

2009,

2610,

2611.

2612.

2614.1. Demostrar el criterio de Jame: unas series de términos

positivos $ ay (ay > 0) es convergente, si

Ga >> para >
y es divergente, si

0 Va) foal para aD.
258

LL SERIES NUMERICAS. CR. BE CONV. DE LAS SERIES DE TER. DE SICNO CONSTANTE

2615. Demostrar que la serie 3) aq {un > 0} es convergente, si

existe un @>0 tah, que pe > 1 +a para n>, y es divergent, si
LE < 1 paran > mg (rites logarítmico)
"averiguar a convergencia de as series con los términos generale:

2616. ans (> 0).

2017. = as >

2918. bm WD

Aplicando el criterio integral de Cauchy, averiguar la convergencia de
las series con los términos generales:

2619. da UD)

a

2020. amp MD

2620.1, Estudiar I convergencia dela serie
= An 2:10 3 im dr 4-1)

E Here PRES >.

2620.2, Estudiar la convergencia de la serie

donde » (n) es el número de cifras del número »,

2620.3, Sean An (1 = 1, 2, ..) las raíces positivas consecutivas de
la ecuación

tex

Estudiarla convergencia de la serie

3

259

CAPITULO $. SERIES

2621. Estudiar la convergencia de la serie
Sos
Er:

2622. Demostrar que una serie 3} aq, cuyos términos positivos
forman una sucesión monótona decreciente, es convergente o divergen-

te simultáneamente con la serie $) Pan.

2623. Sca f(x) una función positiva, monótona y no creciente.

Demostrur que, sí la serie Gr) es convrgnte, entonces para

su resto

se verifica la acotación
te

4s
1 Wa CRC Haden | poids,

nh

Aplicando esto, hallar la suma de le serie

con una exactitud hasta 0,01
2624. Demostrar el criterio de Ermakov: sea f(x) una función
positiva, monótona decreciente y

La serie À 50m) es convergente, si À < 1, y es divergente si À > 1
2625. Demostrar el criterio de Lobachevsa: una serio Da,

atiyos términos positivos forman una sucesión monótona que tiende a
cero, es convergente o divergente simultáneamente con la serie

En

260

1 SERIES NUMERICAS. CR. DE CONY. DE LAS SERIES DE TER. DE SIGNO CONSTANT!

donde Pm es el índice máximo de los términos a, que cumplen la
desigualdad

NN
Estudiar la convergencia de la siguientes series
se. À VER

2627. DIT Y FAT). 2607. Es =)

2. Y (ee;

200. À (

2540.

16>0, 050, e>0)

Sm

2642. Elohim (and).

200. da wo.

020 b>.
ness, À ue

Ma

261

Anm s seau
Averiguar la convergencia de as series 3 ay con los siguientes

términos generales:

2648. tye | Vida

2650. u À FE ax,
7 |
Sy FRA sige tal
: 2661, te,
2648, au Hz ae, ae
Ze E 2652. My

2, ...) por las series correspon-

Sustituyendo las sucesiones xq (1
dientes, estudiar la convergencia de éstas, si

2655. ¿Cuántos términos de la serie hay que tomer, aproximada:
‘mente, para hallar su suma con una exactitud hasta 1075, si

» la oir: o dao "pr
$ 2. Criterio de convergencia de series de términos
de cualquier signo
12 Convergencia absoluta de la sere, La serie
a o
se lama absolutamente convergente, es convergente la serie

Ë tot o

262

2. CRITERIO DE CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS DR CUALQUIER SIONO

En este caso, la serie (1) también es convergente, La suma de una serie
absolutamente convergente no depende del orden de los sumandos.

Para determinar la convergencia absoluta de la serie (1) es suficiente
aplicer a la serie (2) los criterios conocidos de convergencia de las series
de términos de signo constante.

Si la serie (1) es convergente y la serie (2) es divergente, la serie (1) se
llama condicionalmente (no absolutamente) convergente, Mediante una
permutación de los términos, la suma de una serie condicionalmente
convergente se puede hacer igual a cualguier número (teorema de
Riemann).

2° Criterio de Leibniz. La serie alternada

Dem bet HI a

(bn > 0}es convergeate (porlo general, no absolutamente) si2) By >, +4
(1,2...) y Din by = 0, Bn este caso, para el resto de a serie

Pam nt (A Ban

se tiene la cota
Ra

Waban OO <I,

32 Criterio de Abel. La serie
DE a

es convergente, si: 1) la serie , Y) a, es convergente; 2) los números

bn (n= 1, 2, ... Forman una sucesión monótona y acotada
45 Criterio de Dirichlet, La serie (3) es convergente,

i 1) las sumas

parciales A, = Da; están acotadas; 2) b, forman una sucesión

monótona que tiende a cero cuando m — co,

Problemas:

2656. Demostrar que los términos de una serie no absolutamente
convergente se pueden serupar, sin penmutarlos, de tal modo que la
nueva serio obtenida sea absolutamente convergente.

2657. Demostrar que la serie Ÿ an es convergente, si se cumplen
las condiciones: a) el término general ay de esta serie tiende a cero

cuando 7 — ce b) la serie 2 An, obtenida como resultado de la

263

‘CAPITULO 6. SERIES

agrupación de los términos de la serie dada sin alterar su orden, es
convergente; €) el múmero de términos aj que figuran en
An= Da; (=p; <p, <...), está acotado.

2658. Demostrar que la suma de una serie convergente no varia si se
permutan sus términos de tal modo que ninguno de ellos se aleje de su
posición inicial más de n sitios, donde m cs un número previamente
dado,

Demostrar la convergencia de las siguientes series y hallar sus sumas:

2661, 1—

aga
Hi

Indicación Aplicar a fórmula 1 44 a

C4 Inn +6, donde

C esla constante de Euler y „Im, 6,

2662. Sabiendo que PEN iz, , haar as sumas dels

series que se obtienen de la dada como resultado de la permutación de
sus términos

y

DÉ

es
NS

2663. Los términos de la serie convergente

Fo

se deben permutar de tal modo que se convert en una sere divergente
Estudiar la convergencia de lus soñe de ternunes de signe Venas
a aa
zu LE Seay (Bb

He

ee do

264

2. CRITERIO DE CONVERGENCIA DU SERIES DE TRRMINOS PF CUALQUIER SIGNO

2666.1, Sea

fie

Y bra a

onde by >0 y by —0 cuando no. ¿Se ceduce de aquí que le
sene (1) 45 convergente? Examinar el ejemplo

See atar,

2667. DE nr, 2671, Yantava FR,
rose, Dip se, an, IT
zum. Dry LR, así. $,

=
an. Pe aurea, E pocos

2674. Demostrar que una serie alternada

SN >09)
es convergente si

fet pha old),
donde p > 0 (véase 2606).

Estudiar a convergencia absoluta (a excepción del 2690) y condicio»
nal delas siguientes sens

$ eya
am, Y EY,

así, Piaf ar].

EPA Ss
2678. nm, 2082, PTAS
E rra

265

CAPITULO $. SERIES

2683. Ÿ rit 2086, Y 31

ar

2001. Ÿ sina,

Indicación, Demostrar que tim sin n? #0.

2692. Sea
OP EOP hey
RO Se mer
una función racional, donde ay #0, bo #0 y
Vox? + bx +. + bg 1>8 parax > no
Estudiar la convergencia 2bsoluta y condictonal de la serie

Beam

Estudiar la convergencia de las serios:

20%, rd

ji
2604. 144

tte

EIERN
tete-Steth—atet
2697. Demostrar que ls series

ES

D coh EE HO

son convergentes no absolutamente en el intervalo (0, m).

266,

2 CRITERIO DE CONVERGENCIA DE SERIES DE TERMINOS DE CUALQUIER SIGNO.

2698. Para las sesies

Fam, Van ocxcn

determinar pare el conjunto de parámetros (p, x); a) la región de
convergencia absoluta; b) la región de convergencia no absoluta,
2698.1. Estudiar la convergencia de las series

we Fromm“

o> Ye, o Ÿ sa

de roa)

mira
2699. Para la serie
DES

E tn

determinar: a) la región de convergencia absoluta: b) la región de
convergencia condicional.

2700. Estudiar la convergencia de la serie

donde (7

2701. Sila serie

¿se puede afirmar que la serie À by también es convergente?

Examinar los ejemplos:

267

CATITULO 5. SERIES

2702. Sea Ÿ an una serie no absolutamente convergente y

Demostrar que

2703. Demostrar que la suma de la serio

gee

gara cada p> 0 está comprendida ent} 1.

2703.1. ¿Cuántos términos de la serie se deben tomar para obtener
su suma con tina exactitud hasta e = 107, si:

se permutan de tal modo que a cada grupo de p términos positivos
consecutivos le sustituya un grupo de q términos negativos consectti=
vos, entonces la suma de la nueva serie será igual a

24h md.
2705. Demostrar que la serie armónica
Le
trtstrt
permanece divergente si, no permutando sus términos, se cambian sus
signos de tal modo que después de p términos positivos sucedan q

términos negativos (p # q). La convergencia solamente tiene Jugar para
P

268

2, OPRRACIONES CON LAS Sz

$ 3. Operaciones con las series
Suma y producto de series. Por definición

manos os

Eat bo te +de

La igualdad a) tene un sentido no formal si ambas series San y

$b, son convergentes yl inaldad 1) si además, menos e una

de estas series es absolutamente convergente.

Problemas:

2706. ¿Qué se puede afirmar respecto de la suma de dos serics, de
las cuales. 2) una es convergente y la otra divergente; b) ambas son
divergentes?

2707. Hallar la suma de las dos series:

E +E [pot

Hallar las sumas de las siguientes series:

am E [Ae].

2712, Conprobaraue (3,4)

ote dale

2713. Comprobar que el cuadrado de la serie convergente

es una serie divergente.

269

CAPITULO S.SERIES
2714. Demostrar que el producto de las dos series convergentes

Jeu @>0 y Fija 6>0

es una serie convergente si a +5 > 1 y es divergente si a +f <1
2718. Comprobar que el producto de las dos series divergentes

Er 4$ pe)

es una serie absolutamente convergente,

1

$ 4. Series funcionales.

14, Campo de convergencia. El conjunto Yo de aquellos valores dex.
para los que es convergente la serie funcional

TEEN" EE 0
se llama campo de convergencia de esta serie, y la función

So)—tin, En Wo wer

suma de la misma,
2° Convergencia uniforme, Una sucesión de funciones

Ho Ba) cas In)

se llama uniformemente convergente en el conjunto X, si
1) existe la función mite

Lee ta) Em:

2) Para cualquier » >0 se puede señalar un número N =) ta,
que
VO-h@l<e
para m>N y x € X En este caso, se escribe: fy (x)= f(x).
La serie funcional (1) se llama uniformemente convergente en el
conjunto X, st la sucesión de sus sumas parciales,

sulla Gar.

es uniformemente convergente en este conjunto,

270

4. SERIES FUNCIONALES

3.° Criterio de Cauchy. Para la convergencia uniforme de la serie (1)
en el conjunto X es necesario y suficiente que, para todo € > 0 exista
un número N2N(e) tal, que para n>N Y p>O se verifique la
desigualdad:

ne
1Sa+p ( | $ “|
Er

<a para todos x EX,

42 Criterio de Weierstrass, La serie (1) es absoluta y uniformemente
convergente en el conjunto X, si existe una serie numérica convergente

Ghérbecténte a
tal que
Hin tion para x EX (a=!

52 Criterio de Abel, La serte
E anto o

es uniformemente convergente en el conjunto X, si: 1) la serie
À an ©) es uniformemente convergente en el conjunto X; 2) las
funciones bn(x) (n= 1, 2, ... están acotadas en conjunto y para cada x

Forman una sucesión monótona.
6° Cniterio de Dirichlet. La serie (3) es uniformemente convergente

en el conjunto X, si: 1) las sumas parciales. $) a,(x) están acotadas

en conjunto; 2) la sucesión Dn (x) (x= 1, 2, ..) es monótona para cada
x y uniformemente tiende a cero en X cuándo n — se,

7° Propiedades de las series funcionales, a) La suma de una serie
uniformemente convergente de funciones continuas es una función
continua.

b) Si la serie funcional (1) es uniformemente convergente en el
intervalo (a, b) y existen límites finitos

Ti tn (mae meld

entonces, 1) la serie 2] dy es convergente y, 2) se verifica la
igualdad =
Im E a CS 5

inc}

an

Carros. sexes
©) Si los términos de una serie convergente (1) tienen derivada

continua para a@<x<b y la serie de las derivadas 2) un (x) es

uniformemente convergente en el intervalo (a,b), entonces

[3 ent] = $ 500 para x €.)

4) Si los términos de la serie (1) son funciones continuas y la serie es
uniformemente convergente en el segmento finito (a, 6], se tiene

| (Emule fase o

En general, la fórmula (4) es válida sí À Ry (dr —0 cuando
Mo, donde Ry ()= $), ui (x), Esta última condición sive tam-

bién para cl caso de limites infinitos de integración.
Problemas:
Determinar el campo de convergencia (absoluta y condicional) para
Jas siguientes series funcionales:
ne
ame, SS

am, pur,

am. SS,

say,

Fat sin nx
ma 2

CARE

UF

>: y>0.
So, ams. SUE oo,

ma. $

gente para x=x, y para xx (lx,[<lx,1), entonces esta serie es
convergente también para [x | < bx] <i]

2738. Detenminar el campo de convergencia de la serie de Laurent

y hallar su suma,

2739. Hallar los campos de convergencia (absoluta y condicional) de
las series de Newton:

EA

ang

donde

rei)

23

CAPITULO 5. SERIES

2740. Demostrar que, si le serie de Diichlet $ 22 es convergente
para x =xo, entonces también es convergente para x > Xo.
2741. Demostrar que para la convergencia uniforme en un conjunto
X de una sucesión f (x) (= 1, 2, .) hacia la función limite f(x), €s
necesario y suficiente que
la { sp rg (ey}=0,
ta an
donde rat) = x) - lol
2742. ¿Qué significa que la sucesión f(x) (1=1, 2,..): a) es
convergente en el intervalo (xo, + se); b) es uniformemente convergente
en cada intervalo finito (a, b) C (xp, + =); ©) es uniformemente conver-
gente en el intervalo (x9, + 00)?

2743. Hallar, para la sucesión
Flex am, 00) OSE)

el subindice mínimo N=N (e x), comenzando desde el cual, la desvia-
ción de los términos de la sucesión en el punto dado x de la función
1 1
oz
¿Es uniformemente convergente esta sucesión en el intervalo (0,1)?
2744. ¿Cuántos términos de la serie
Y San

var
se deben tomar para que la suma parcial S,(x) difiera de la suma de la
serie para — s <x < + «> menos que e? Efectuar el cäleulo numérico
para: a) €=0, 1;b) e =0,01;c) e — 0,001

2745, ¿Para qué valores de n puede garantizarse la validez de la
desigualdad

Jísite no es superior a 0,001

l-E4

Averiguar si son uniformemente convergentes las sucesiones en los
intervalos indicados:

<00 Mrs 10

2246. /, (2) a) O<xecd; wen.
27. LET ar.

a

4. SERIES FUNCIONALES

2148, (SW Darel.

209. ILL o
2950. [SS El
2781. = Las a) Or ie by lei

Diteer<+e donde e>0
2152. =p nr a) OST, bY LCL.

2753. Zid Vt

2754. Jon x

2785. a) at
sor

2750. 3) Pulsar mss OLLE) megas
Dares <+ se

BIBT. Jeu DL

2108. flee: ICH, donde és un número
positive arbitrariosb) — > <x <=

<<

(1 +8)": 2) en el intervalo Anito (a, 0); 8) en el

2789. „iin

2761, fte)
2762. J = VTE

2768. = at

U

enel segmento 0<x <1.
2764. Sea fx) una función arbitraria, definida en el segmento
bly

EN at, % 00h

25

CAPITULO $. SERIES

Demostrar que
LOB (05:50)

cuando 1 — ce.
2765. Supongamos que la función f(x) tiene derivada continua
Ge) en el intervalo (a, b) y

20—=a[r (247) 100].

Demostrar que fa(x)2? f(x) en el segmento @<x<ß, donde
a<a<p<b.

2766, Sea AWI=E E/(x+ 4), donde £6) es una función

continua, Demostrar que Ja sucesión f, (x) es uniformemente convergen-
te en cualquier segmento finito (a, 5).
Estudiar el carácter de convergencia de las si

entes series.

2767. À x", a) en el intervalo lxl <q, donde q <1; b) enelinter-

valo kl <i,

me Y

en el segmento — 1 <x <1,

2768. 1. Y © en cl intervalo (0, + ce).
a

2760. Ÿ (1 - x)x" en el segmento 0<x <1

3 contrary << te.
Fe 2 nee 0€ Sr

Yon _merepe,
me nr SF St

am: Zoe LEE
230 <xX<e, donde e > 0: b} 8 € x € & ve

né

4, SEIUES FUNCIONALES

2774. Aplicando el criterio de Weierstrass, demostrar la convergencia
uniforme en los intervalos indicados de las siguientes series funcionales:

D Due —e<r<tom

<<

CEE

4 Iri<too:
Miro ele

II <a, donde a es un número positivo arbitrario;

Bunt): Ice.

DÉ ve, ox Lo

D Eve ita Kite

Averiguar si son uniformemente convergentes las siguientes series
funcionales en los intervalos indicados:

277s, Das sn 4) en el segmento ecx <n e, donde e >0;

b) en el segmento 0 & x < 2.

am

esPITULO 5. sexes
2776. y Pain ges OC oo,

2777.

ALI

Indicación, Acotar el resto de la serie,

2778, Y Es Ort.

2783. ¿Puedo converger uniformemente hacia una función continua
una sucesión de funciones discontinuas?
Examinar el ejemplo

poate esha,
donde
0, six esinacional;
l= era ona

2784. Demostrar que, si la serie Y |fy (x)1 es uniformemente
convergente en [a,b], la serie À fy (x
convergente en [a, b)

también es uniformemente

276s, 5 ste Él j 0 0 about y nomment comer

gente en [a, 6}, entonces: ¿será también necesariamente uniformemente

convergente À fn (+) 1 en a, BJ?

278

A. SERIES FUNCIONALES

Examinar el ejemplo ¥ 1° (1 —x)x", donde 0<x <1.

2786. Demostrar que la serie absoluta y uniformemente convergente

$e bare,
donde >

0, Si ara,
Len (tir, si econ,
0, si Marat,

Jab

no puede mayorarse por una serie numérica convergente de términos no
negativos.
2787. Demostrar que, si la serie

PA

cuyos términos son funciones monótonas en el segmento la, b], es
absolutamente convergente en los extremos de este segmento, entonces
es absoluta y uniformemente convergente en el segmento (a, b].

2788. Demostrar que una serie de potencias
=
es uniformemente convergente en cualquier segmento comprendido en
el interior de su intervalo de convergencia.

2789. Supongamos que d,—re de tal modo que la serie

es convergente. Demostrar que la serie

Fa

es absoluta y uniformemente convergente en cualquier conjunto cerra-

do y acotado que no contenga puntos ay (1 = |, 2,...
2790. Demostrar que, si la serie $} a, es convergente, la serie de
Disichict &

es uniformemente convergente para x > 0.
279

CAPITULO 5. SERIES

2791. Sea Y) a una serie convergente, Demostrar que la serie

es uniformemente convergente en la región x > 0.
2792. Comprobar que la función

=P ee

es continua y tiene derivada continua en la región -- eo <x < $00,
2793. Comprobar que la función
40

a

wer

2) está definida y es continua en todos los puntos, a excepción de los
Puntos enteros: x = 0, + 1, # 2,... ;b) es periódica, de período igual a 1
2794. Comprobar que la serie

Ferne

es convergente, pero no uniformemente, en el segmento 0<x <1 a
Pesar de que su suma es una función continua en este segmento.

2795. Determinar los campos de existencia de las funciones f(x) y
estudiar la continuidad, si

DHE (Ji we
y ro=E

2796. Sean ra (k= 1, 2,...) los múmeros racionales det segmento
(0, 1]. Comprobar que la función

EA pare)

posee las siguientes propiedades: 1) es continua; 2) es derivable en Jos
Puntos irracionales y no derivable en los racionales.

280

4.SERCES FUNCIONALES

2797. Demostrar que la función Zeta de Riemann

Sa
=D a
es continua ca la región x > 1 y tiene en este región derivadas continus
de todos los órdenes,
2798, Demostrar que la función Theta

Eo

bun

está definida y es infinitamente derivable para x > 0.

2799, Determinar el campo de existencia de la función f(x) y
estudiar su derivabilidad, si:

area Ss Drums to
2800, Comprobar que la sucesión
1 0= hago (a=1, 2,0.)

es uniformemente convergente en el intervalo (- 0», + ©), pero
Lim fy ae Mn LD
2801. Comprobar que la sucesión
plomo + Lean (0-4)
es uniformemente convergente en el íhtervalo (- 0, + e), pero
pa LA 10.
2802. ¿Para qué valores del parámetro a: 2) la sucesión
pm 0)
(n=1, 2,...) es convergente en el segmento [0, 1]; b) la sucesión (1) es
uniformemente convergente en (0, 1]; c) es posible el paso al limite
bajo el signo de la integral

Im {rune

cAPMULO 5. ERIS
2803. Comprobar que la sucesión
LI (aml, 2)

es convergente en el segmento [0, 1), pero
$ tm 7.001 er tim Vr, Hae.

2804. Comprobar que la sucesión
La Y (21, 22.)

converge no uniformemente en el segmento (0, 1], a pesar de que

„in Sa; im 7, Cd.

2805, ¿Es lícito el paso al límite bajo el signo de la integral en la
expresión!

2808.1. Im Y ps

2809. ¿Eslícita la derivación término a término de la serie

2810. ¿Eslícita la integración término a término de la serie

en el segmento (0, LJ?

282

5.SERIES POTENCIALES

2811. Ses fla) (es <x € + se) una función infinitamente desire.
ble y sapongamos que la sucesión de sus derivadas f(x) (= 1, 2, .
es uniformemente convergente en todo intervalo finito (a, b) hacia una
función 9 (X), Demostrar que 1x) = Ce*, donde C es wna constante.
Examinar el ejemplo fy (x 2

2811.1. Supongamos que las funciones f, (x), m=1, 2,..., están
definidas y acotadas en (00, ++) y que fy (x) + 9 (3 en todo
segmento (a, 6], ¿Implica esto que

la, sup FCs) supe (xP
$ 5. Series potenciates
LL? intervalo de convergencia. Para cada serie de potencias
ES
existe un intervalo de convergencia: | x — a] <A tal que en el interior

dei mismo la serie es convergente y en el exterior es divergente, El radio
de convergencia R se determina por la formula de Cauchy-Hadamard

f= Vs

El radio de convergencia R también puede determinarse por la fórmula

R= Na,

si este límite existe,

2.2 Teorema de Abel. Si la serie de potencias
S@)= À aux" (|x 1<R) es convergente en el extremo x=R del
intervalo de convergencia, se tiene

SR= im Se.

32 Serie de Taylor. Una función f(x), analítica en el punto a, es
desarrollable en serie de potencias

10=E a

Bl resto de eta serio
ja
Ro Y er

283

CAPITULO 5. SERIES

Puede expresarse en la forma

ap)

GED eae 0<ıcH

Ry ml
(forma de Lagrange), o en la forma.
no EHRE.

(forma de Cauchy).
Es necesario recordar Jos cinco desarrollos fundamentales siguientes:

ES

Mest Pe ben tech

A Lee creer
Im. o <a cho

ren + ME

ere

Ve In pn

4° Operaciones con las series de potencias. En el interior del interva-
lo de convergencia común | x — a | <.R, se tiene:

Za

2) Saco atea

aan

Bean Pee
Ser] = D Un + ag e

0§ [Seeman] ames 8 ae.

5° Series de potencias en el campo complejo. Examinemos la serie
Lea

donde

ibn ame, Fertig

284

$. SERIES POTENCIALES

Para cada serie de éstas existe un círculo de convergencia 1¿ al <R,
tal que en el interior del mismo la serie es convergente (y, además,
absolutamente) y cn el exterior es divergente, El radio de convergencia
R es igual al radio de convergencia de la serie de potencias

Fer

en el campo real.
Problemas:
Determinar el radio y el intervalo de convergencia y estudiar el
comportamiento en los puntos de la frontera del intervalo de conver-
gencia de las siguientes series de potencias

mu. SE. 206. Bate Cac.

ms, SEHEN mn‘ (ria

a. Eo mr $e won.
au À [ROY (ety

2821. y (E 2 (>>
@>0, 5>0)

«>.

wens, Pe mn li tLe

285

‘CAPITULO $. SERIES.

as, Y BEEN

(420%

PA

as EE

as. À EU ri de Pringsheim).

asie O a, donde o m) es el nomero de cias de

IEA

Problemas:
2832. Determinar el campo de convergencia de la serie hipergeomé-
trica

A E pa

POE
LED... en BBD. Een
ee
Hallar el campo de convergencia de las series de potencias generalize:
das:

2838, Desarrollar la función
ar
en serie de potencias enteras no negativas del binomio x + 1.
2839. Desarrollar la función

Ma= 040

286

en serie de potens

: a) en potencias de x; b) en potencias del binomio
x= b, donde b #4; ©) en potencias deL. indicar los campos de
convergencia correspondientes.

2840. Desarrollar la función f(x) = In x en serio de potencias enteras
no negativas de la diferencia x — | y hallar el intervalo de convergencia
del desarrolio.

Hallar la suma de la serie

Ca

Escribir los desarrollos de las siguientes funciones en serie de poten-
cias enteras no negativas de la variable x y hallar los intervalos de
Convergencia correspondientes:

2841. /(0=shz. 2844. f(x): (e>0)

2845. f (x)= sin (parcs x).
2846. / (x) = cos Qu arsin x).

2847. Escribir tres términos del desarrollo de la Función f (x) = x“
en serie de potencias enteras no negativas de la diferencia x — Í.

2848. Escribir tres términos del desarollo de la función
169=(1 + HIF @ #0) y f(O)=e en serie de potencias enteras no
negativas de la variable x.

2849. Desarrollar las funciones sin (x + h) y cos (x + A} en serie de
potencias enteras no negativas de la variable h.

2850. Determinar el intervalo de convergencia del desarrollo en serie
de potencias de la función

SOS
2) en serie de potencias de x; b) en serie de potencias del binomio
x= 5, sin efectuar el desarrollo mismo.
2850.1. ¿Se puede afirmar que
Den mesa en (00, 4-00) cuando No?
Aplicando los desarrollos 1 — V, escribir los desarrollos en serie de
potencias respecto de x de las siguientes funciones:
2851.
2852. cos! x.

287

‘CAPITULO s SERIES

2859, sia’,

ién, Descomponer la fracción dada en fracciones simples.

12-3 ie

nese, pat 2563. pire,
2050. a
mee

Ada
1

ï LEE

FRERE 2867. in rs pe,

¿A qué es igual $ °°)? 2868. exter cus (x sin a).

Indicación. Aplicar las fórmulas de Euler.

Desarrollando previamente las derivadas e integrando Juego término a

término, obtener los desarrollos en serie de potencias de las siguientes
funciones

2869. £ (x) = arctg x, Hallar la suma dela serie I Ge

2866.

2882.1. Zi

ie
I

2870. Zi) ares x. 287. ent TER
2872. lat — 2x cos ad x).

2873. Aplicando diversos métodos, hallar los desarrollos en serie de
potencias de las siguientes funciones:

DA
9) fede bis | ate
2

©) Jin ss arey

=
© =p
€) Ad x aretg x— in VTP;
D Ste) = stecos (1 — 22"
aesin x + VI

xe VS TER

2874. Aplicando la unicidad del desarrollo

PARANA SO

hallar las derivadas de »-ésimo orden de las siguientes funciones:

0 Saga

2/M=" 0/0
2875. Desarrollar la función:
pla gees
en sete de potencias entras positivas del binomio & + 1.
2876. Desasolla la función

7

en serie de potencias negativas de is variable x.
2877. Desarrollar la función

faire

ar

en serie de potencias enteras positivas de la fracción
2878. Desarrollar la función

f=

Yi
en serie de polencias enteras positivas de la fracción ph
2879. Sea

NES
Demostras directamente que

Has)
2880, Sea por definicion

sine NÉE

we

259

CAPITULO Ss. SERIES
Demostrar que

sms hunde 1) ateo

2881. Escribir unos cuantos términos del desarrollo en serie de
potencias de la función

rom El”.

Efectuando las operaciones correspondientes con las series de poten-
cias, obtener los desarrollos en serie de potencias de las siguientes
funciones:

A 2887. f(x) =esin e,

zum TUE 2888, og BCE,
2884, f(x) ==In* (1— x), 2889. f(x) = (aretg xj%,
2885. JU esa Y
2880. 7 2800. 74 (YE Y,

Escribir tres términos del desarrollo (distinto de cero) en serie de
potencias positivas de la variable x de las siguientes funciones:

1

2898. J{x)= cg x —

2894. Supongamos que el desarrollo de la función sec x viene escrito
enla forma

St Ee a
sexy fi om,

Deducir una relación de recurrencia para los coeficientes £ (los
números de Euler)

2895. Desarrollar en serie de potencias la función

(x1<D.

1)

VERT
2896. Sea f(x)= $ ax”. Escribir cl desarrollo de la funciôn

2897, Sia see À aux tiens el radio de convergencia A, y la
sere À bux" tene oh radio de comergencia Ra, ¿qué radio de

290

SERIES POTENCLALES
convergencia R tienen las series
a) et td 2 a,b,

2898. Sea

Demostrar que el radio de convergencia R de la serie de potencias

D a,x" cumple las desigualdades
I5RGL

2899. Demostrar que, sif(x)= À anx”, siendo
[a oI (rt Qe

donde M es una constante, se tiene: 1) f (x) es infinitamente deriva:
ble en cualquier punto a; 2) se verifica el desarrollo

aa xt bo.

2899.8. Sea f(x) ECO, B) y 1K) Sc" (a = 0, 1, 2, ... para
x €(@, 8). Demostrar que la función f(x) es desarrollable en serie de
potencias

fam ar et Mh

que es convergente en el intervalo (a, b)

28992. Sea fx) EC (1, 1) y S0030 (1=0, 1,2... para
x €( 1, 1). Demostrar que la función f (x) es desarrollable en serie de
potencias

= Y ae".
en el intervalo (-- 1, 1).

Indicación. Teniendo en cuenta que las derivadas s(x} son mond
tonas, para el resto Ry(x) de la serie de Taylor de la función f(x)
obtener la cota

TOS
201

CAPITULO 5, sexes

2900. Demostrar que, si: 1) aq >0 y 2) existe

entonces

Desarrollar en serie de potencias las funciones:

[a 2000. int,

2904, FEE a,

2905. | irs (escribir cuatro términos)

Aplicando la derivación término a término, calcular las sumas de las
siguientes series:
eae eax
tt I.

en eee

fre Rei Lory
2910, re.

Indicación. Multiplicar la derivada de la serie por 1 — x.
Aplicando la integración término a término, caleular las sumas de las
series:

2. tr...

2912. art riet...
2913. 1.24 2.8 434
2914. Comprobar que la serie

satisface a fa ecuación

292

$ SERIES roi

INCIALES

2915. Comprobar que le serie

satisface a la ecuación

Determinar el radio y el círculo de convergencia de les series de

potencias en el campo complejo (2 =x + iy)
CET
2017. GENET

ant. Emir ER

2000, 9 ker.

2921. Aplicando la fórmula de Newton, calcular aprosimada-
mente }/3 y acotar el error que se obtiene al tomar tres términos del
desarrollo.

2922, Calcular aproximadamente:

a) arctg 1,2; b) 9/1000; e) 7 d) In1,25

y acotar los errores correspondientes.

Aplicando los desarrollos correspondientes, calcular con la precisión
indicada los valores siguientes de las funciones!

2923. sen 18° con exactitud hasta 107 5

2924. cos 1° con exactitud hasta 107,

2925. 189° con exactitud hasta 107 >

2926. e con exactitud hasta 1076

2927. In 1,2 con exactitud hasta 107.

2928. Aplicando la igualdad

Al
= ansin 5,

hallar el nümero y con exactitud hasta 10-*.
2929. Aplicando la identidad

Ape agp arde
calcular el número m con exactitud hasta 0,001.

293

CAPITULO 5. SERIES

2930. Aplicando la identidad

a

7

calcular in 2 y in 3 con exactitud hasta 107
2931. Aplicando la fórmula

:
menant et]
calcular In 2 y In 3 con exactitud hasta 1075

2932. Sirviéndose de los desarrollos de las funciones subintegrales en
serie, calcular con exactitud hasta 0,00) las siguientes integrales.

à fun

vita

o fees

o ferran

o (Bax

ho
of
2933, Hallar con exactitud hasta 0,01 la longitud del arco de una
semionda dela sinasoide

D Sede,

mis Dosen.
2934. Hollar con exactitud hasta 0,01 la longitud del arco de la
ge.

elipse de semiejes

2935. Un cable, suspendido de dos postes, que están a la distancia de
21= 20 m, tiene la forma de una parábola, Calculer con exactitud hasta
1 cm la longitud del cable si la sagita de la flexión es igual a I = 40 em.

29%

De KouRtE
§ 6. Series de Fourier
12 Teorema del desarrollo. Si una función f (x) es continua & trozos

y tiene derivada continua a trozos /(x) en el intervalo (- 1, 1), siendo
regulares todos sus puntos de discontimuidad (0 sea,

1 = UC 0) + (£ + OV), entonces, esta función puede expresarse
en este intervalo por la serie de Fourier

10 HE (note mi

0
donde

if max u
mt ont ie

by

2 e

; j Heys Bae 6

En particular:
a) sila función f (x) es par, se tiene:

a

donde

(nata a

b) si la función f (x) es impar, se tiene:
amd sat, e

donde

¿frame à

Una función f(x), definida en el intesvalo (0,1) y que posee en el
mismo las propiedades expuestas anteriormente de continuidad, puede
expresarse en este intervalo tanto por la fórmula (3) como por la
fórmula 4),

295

CAPITULO «serres

2.° Condición de complitud. Para toda función f (x), integrable en el
intervalo junto con su cuadrado, la serie (1) construida formalmente
con los coeficientes (2), (2'), satisface a la igualdad de Liapunoy*)

Fire

B43 ete

3.° Integración de las series de Fourier, La serie de Fourier (1),
incluso si es divergente, de una función f(x} que es integrable según
Riemann en el intervalo (— 1,1), puede integrarse término a término en
este intervalo.

Problemas:
2936. Desarrollar la función

Joe sint

en serie de Fourier.
2937. ¿Cuál será la serie de Fourier para un polinomio trigonométri-
co
Py (= À (arcos te + fin bo?
2938. Desarrollar en serie de Fourier la función *
Fee (cer
Dibujar la gráfica de la función y las gráficas de unas cuantas sumas

parciales de la serie de Fourier de esta función,
Aplicando el desarrollo, hallar la suma de la serie de Leibniz

Desarrollar las siguientes funciones en serie de Fourier en los interva-
los indicados:

2039. f(x

Ai 0<r<i
¡e
donde A es una constante, en el intervalo (0, 2).
2940, f(x) =x en elintervalo (- 7, M).
2041. [978 enel intervalo (0, 2).

>) Conocida frecuentemente como igualdad de Paseral (N. del To,

296

6 SERIES DE router
2942. fix
2943, ff) {

x Len ef intervalo (- mm).
ax, si nce co;
bx, si 0<x<w,

donde a y b son constantes, cn el intervalo (- x, m)

2944, Fee en interralo (= 1, x)
2945. f(x en el intervalo {— m, (a no es entero),
2946. Fo eel intervalo (~ x, x) (a no es entero),
2947. f(x) en el intervalo (~ mm)

2945, f(s en elintervalo (- hh).

2949, f(x) =x en elintervlo (a, a+ 20,

2950. f (x)= sin x en clintervalo (— x, x)

2951. f(x) =x cox enelinteralo (— :

Desarrollar en serie de Fourier tas siguientes funciones periódicas:
2952. f(x) =sgn (cos 2),

2956. f(x) = (x) que es la distancia de x hasta el número entero más
próximo.
2957. J(

deln.
2960. Desarrollar en serie de Fourier la función

As (<<p-

Indicación. Deducir una relación entre los coeficientes ap Y dy

2961. Desarrollar la función /(x)=x* en serie de Fourier: a) de
cosenos de arcos múltiples; b) de senos de arcos múltiples; €) en el
intervalo (0, 2m),

Dibujar la gráfica de la función y las gráficas de las sumas de las series
de Fourier para los casos a), b) y 0).

297

carro s.sumes
Aplicando estos desarolos hallar ls sumas dels series:
Sr Steet iad = 1
Em LY Ea

2962. Basándose en el desarrollo

PE a,

obtener por integración término a término los desarrollos en serie de
Fourier en el intervalo (- 1, m) de las funciones, x° ya
2963. Escribir la igualdad de Liapunoy para la función
fi vara tell;
Dm Pan isin
Basándose en la igualdad de Liapunov, halla las sumas de las series:
rm y Je

a m

2964. Desarrollar en serie de Fourier la función

% os Oneal
am 1 à 1x2
Ban do 20008

Sirviéndose de las fórmulas

ehrt, dore eo

donde t=eiX y T= e", obtener el desarrollo en serie de Fourier de las
siguientes funciones:

2965. cos?" x (m es un número entero positivo).

2000 er dal<mı
2007. ar dain
2908. oe dace
2060. tof) —2y cosz-Le") aai<n.

298

6. SERIES DE FOURIER

Desarrollar en serie de Fourier las funciones periódicas no acotadas:
2910. fie) =ta| sn.

asi. st) tafe.
2972, teen ile |.

2973. Desarrollar en serie de Fourier la función

rf Far (nce,

2974, Desarrollar en serie de Fourier las funciones
se Y=, (sto,

que dan la expresión paramétrica del contomo del cuadrado: 0 <x <a,
Ü<y<a donde s es la longitud del arco, tomado desde el
punto 6(0,0), en sentido contrario al del movimiento de las agujas del
reloj,

2975. ¿Cómo dede prolongarse al intervalo (- x, 7) una función
integrable f(x), dada en el intervalo (0.3), para que su desarrollo en
serie de Fourier tenga la forma

Homage x (ma<acıar

2976. ¿Cómo debe prolongarse al intervalo (— x, x) una funciön

integrable FG), dada en el intervalo

nas qi ra

10 psa

2977. Desarrollar la función

fax

ax

enctimeralo (0, $

4) en serie de cosenos de arcos impares; b) en serie de senos de arcos
impares.

299

CAPITULO s. SERIES

Dibujar las gráficas de las sumas de las series de Fourier para los casos
2 yb).

2978. La función f (x) es antiperiódica, de período m, o sea,

Jeter.

¿Qué particularidad posee la serie de Fourier de esta función en el
intervalo (- x, m)?

2979. ¿Qué particularidad posce la serie de Fourier de una función
F(x) en ef intervalo (7,1), si f(x + 2) =F 00)?

2980. ¿Qué particularidades poseen los cocficientes de Fourier ay,
ba (1=1,2,...) de una función f(x) de período 2m, si la gráfica de la
función: a) tiene centros de simetría en los puntos (0, 0), (4-3, 0% 8)
tiene un centro de simetría en el origen de coordenadas y los ejes de
simetría x

2981. ¿Cómo están feados entre sf los coeficientes de Fourier dp,
Ba Y Gq, By (n=0, 1,2,...) de las funciones 9 (x) y ¥ Ge), si

oa

2982, ¿Cómo están ligados entre si los coeficientes de Fourier 24,
Ba ¥ Oe, By (1 = 0, 1, 2, …) de las funciones p(x) y Y 60, si

m ver

2983. Conociendo los coeficientes de Fourier dy, Dy (
de una función integrable f(x), de período 2x, calcular los coeficientes
de Fourier ay, By (n=0, 1, 2...) de la función “desplazada” f (x + h)
(= const).

2984. Conociendo los coeficientes de Fourier dq, by (11=0, 1
de una función integrable / (x), de período 2n, calcular Jos cocfi
de Fourier An, 8, (n=0, 1, 2, ...) de la función de Steklov

dentes

n= Pros
2985. Sea f (x) una función continua de período 2x y ay, by (9 =0,
2,..., sus coeficientes de Fourier, Determinan los coclicientes de

Fourier An. By (= 0, 1, 2,...) de la función “convolucionada"

Feat rosa.

Basándose en el resultado obtenido, deducir la igualdad de Liapunow.

300

7. SUMACION DE SERVES,

5 7. Sumaciön de series

12 Sumación inmediata. Si

A On

se tiene

En particular, si
ne"

donde los números ay (= 1, 2, ... forman una progresión aritmética
‘con la diferencia d, se tiene:

Wind pres

En algunos casos se consigue expresar la serio dada en forma de una
combinación lineal de las series conocidas:

ps

2

fats a. jy.

Método de Abel. Si la serie À) a, es convergente, se tiene
Son Ser.

Eg los casos més elementales, la suma de la serie de potencias
Says" se halla mediante la derivación e integración término a

término.
>" Sumación de series trigonométricas. Al buscar las sumas de las
series

Sows y Bain

éstas se consideran como le parte seal y como el coeficiente de Ja parte
jmaginaria, respectivamente, de la suma de la serie de potencias en el

campo complejo 3) anz", donde z =e

301

‘CAPITULO s.srRtES

A menudo, suele ser útil la serie

Problemas:
Hallar las sumas de las series:

2086. ae

2067,

as.

we. Donne

20. St Omesun nero natura)

0, Lote.

a, e Song.

2009, 298, Enter:
NA

zu. mm Seite

2995. ao. Soll,

26.

3001. Sea Plx)=ap + aix +... +0, x". Hallar la suma de la serie

DES 20.0,

302

7-SUMACION DE SERIES

fallar las sumas de las siguientes series:

nn A or

sone, À thas ss, SM
(AT ty er

zu EA au, Sr.

Mediante la derivación término a término, hallar las sumas de las
series:
Se

u. EL. sus. DET

soon. LT

som, estate e (po,

Indicación. le la derivada de la serie por 1 — x.

wow. er

Mediante la gación término 2 término, hallar las sumas de las
series:

3013. Jene ESTE

sor, Saget

Aplicando el método de Abel, halla as sumas de las siguientes series:
A

1 1 yi
Ag. som et

Hallar las sumas de las siguientes series trigonométricas:

ors, Y 2 ow. Fa,

303

CAPITULO #. seRtES

om, $ eme,

ao. Y reno a

$ sia En = Ips

a

3022.

3023.

ot

suponiendo que x >0,a, >0
es divergente,

sat elt; D HD.

A SA) [1 <1: D) [xD

3 8. Cálculo de integrales definidas por medio de series

Desarro!
tes integrales:

aise. fn

304

8. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS POR MEDIO DE SERIES

0000. Finden yy,
soar, [arial Mar PO, 17

RS

xa

3039.

sw fs

FFT

+e +

3041. Desarrollar en serie de potencias enteras positivas del módulo
& (0k < 1) la integral elíptica completa de 1* especic.

de
F8 $ T= a

3042. Desarroliar en serie de potencias enteras positivas del módulo
4(0<k< 1) la integral elíptica completa de 2* especie,

Sy ag.

sm

3043. Expresar la longitud del arco de la elipse.

msn seit Meier
meant un serie de potencias enteras positivas dela excentricidad
Demonzariar dates
an. [S- 3.

aus. re

305

CAPITULO 5. SERIES

Hallar:

3047. fevomeas(asine—ns)de (1 es un número natura)

A
Indicación. Véase ejemplo 2864
som. int —2a cos ads,

3050. Demostrar la fórmula

rn

donde a>0 y 0<6, <1
¿Con qué precisión se expresará la integral
+0

Seren

sien la fórmula (1) se toman dos términos?

$ 9. Productos infinitos
1.2 Convergencia de un producto infinito, Un producto infinito
Mm

se llama convergente,

y es distinto de cero,

Si P=0 y ninguno de los factores p, es igual a cero, el producto (1)
se llama divergente hacia cero; en caso contrario, el producto se llama
convergente hacia cero,

306

9. sRopUCTOS INFINITOS.

La convergencia del producto (1) es equivalente a la convergencia de

ta serie

DE a

La condición necesaria de convergencia es:

Im pn

Si mato wei, 2) Y Gy no cambia de signo, para la
cael “El Soauste’ (i) ts ceca y suficente que sea
Sonvergente la seri

Za= Dod [57

En el caso general, cuando a no conserva el signo constante yla
a aio el producto (1) es convergente 0 divergente
fica Guo conjuntamente con la serie

das nr.

22 Convergencia absoluta. El producto (1) se liama absolutamente o
condicionalmente (no absolutamente) convergente según que sea abso-
e onalmente convergente la serio (2. La condición
o paca la convengenea absoluta del producto (1) es
e ergenci absolut de a seri ©).

3° Desarrolo de las funciones en productos infinitos. Para
a grey ase verifican os desamolls

slot) Bl]

En porton dla primer, tomaádo x =, e oben fórmula de

Wallis.

=

= ma
Us ar

Problemas:

Demostrar las siguientes igualdades:

ss. AG o Mn] ++

un ASIP en 40]

307

CAPITULO 5.SEXIES

8055. 305, Majes,
3050.
3058, del
2
3050. ei
VIVE

A. 2
soo. lp

Demostrar la convergencia y determinar los valores de los siguientes
productos infinitos:

an. ÎLE on fetes.
3062. Lt]. 3064. JE &>0)

„3065. ¿Se deduce de la convergencia de Jos productos IT pn y
Ha, 1a convergencia de los productos

o Teste » fhm o fous o fier

Averiguar si son convergentes los siguientes productos infinitos:

fi».

3069

son. FEN, donde m? 4an+d>0 para n > m9

E Mae ia,
A

son. YE Th pe

>. PRODUCTOS INFINITOS

so Ep ina

i m0 5

won. ge. e L048) 08.
sore. FE (sab), tonto «> 0

3079. üo- me sos À

ao. Tf (14). 3085. I PR.

3086. Demostrar que el producto Il cosxn es convergente si es

convergente la serie i dh

3087. Demostrar que el producto JŸ 1e (F+0,)(10,1< E)

es convergente sie absolutamente convergente la serie À a,

Estudiar la convergencia absoluta y condicional de los siguientes
productos infinitos:

an. [re]. a Hy
soso. Ti (+ 200. Ha
soo. [o]. oo Ï

ie

soot, HH [+]. 005. ]

vo. (1475) (175) (1 ns Le
seer A i

caruzo s sms
3098. Comprobar que el producto
Hallen
es convergente, a pesar de que la serie
a Geta)
es divergente, =
3099. Comprobar que el producto TE (1 + ay) donde

& convergente, a pour de que ambos series À ay y Da sn
divergentes. > u

3100. Sea
t= Do
¿función Zeta de Riemann) y sea py (n= 1, 2, ..) la sucesión de números
primos,

Demostrar que

y la serie

donde pa (n= 1, 2,... esla sucesión de números primos, es divergente
(Euler).

3102, Sea 4, >0(121,2,..) y
ol,

310

Demostrar que

a=0"(5).
inde, Examiner
de)
5103. Agicando fórmula Walls, domosta que
246.0 Van
3104, Domasar que la expen

tiene un limite A, distinto de cero, cuando» — ce.
Deducir de esto ja fórmula de Stirling

aa Te,

donde 1me,=0 y AV.

Indicación. Expresar el Jímite buscado en forma de un producto
infinito

Un 0,220, [| ts

Para determinar la constante A, aplicarla fórmula de Walls
3105. Según Euler, la función Gamma F (x) se define por la siguien-
te formule

= aint
O NA

Basándose en esta fórmula: a) expresar la función U (x) en forma de
un producto infinito; b) comprobar que T (x) tiene sentido para todos
los valores reales de x que no son iguales a un entero negativo; €)
deducir la propiedad

Det Sat
4) obtener el valor T(x) para m entero y positivo,

su

CAPITULO s, sens

3106, Supongamos que la función / (x) es propiamente integrable en
el segmento (2, bj y sea

e

Demostrar que

tio Î] «+8,

3107. Demostrar que

donde «>0 y b>0.
3108. Sean f (x) (n= 1, 2, ..) funciones continuas en el intervalo
(0,9) y 1% OI Sey (1=1, 2,..., donde la serie 3 cy es conver

gente,
Demostrar que la función

P= Uh 41.60

es continua en el intervalo (a, 6).
3109. Hallar la expresión para la derivada de la función

rom Dies

¿Cuáles son las condiciones suficientes para la existencia de F (x)?
3110. Demostrar que, si O <x < y, se tiene

lim HELD.
peed OF,

§ 10. Fórmula de Stirling

Para calcular m! para valores grandes de m es útil la fórmula de
Stirling

Vr cc.

312

11. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES CONTINUAS MEDIANTE POLINONIOS

Problemas.
Aplicando la fórmula de Stirling, calcular aproximadamente

sut. Ig 1008 :

3112, 1.33... 1999, 3156, JU eye
133, :
3113, £35.88 El
side, su. fot xae
5 1a ‘
CS

3118. Deducir una fórmula asintótica para el producto
(Cam fl 1-3-5...24 1)

3119, Calcular aproximadamente CA, sin es grande.
3120. Aplicando la fórmula de Stirling, hallar los siguientes limites:

2) ‚im Wa, int

se PE

b) im à im Bal,

$ 11. Aproximación de las funciones continuas mediante polinomios

1° Fórmula de interpolación de Lagrange. El polinomio de Lagrange

Ds 2). — aN ja.
POS Se Gad HDG Mee ey

posee la propiedad P, (6) y; F=0, 1, 1).

2° Polinomios de Bernstéin. Si f(x) es una función continua en el
segmento (0, 1], los polinomios de Bernstéin

EE) aaa

convergen uniformemente hacia la función f (x) en el segmento [0, 1],
cuando n — 2,

anto,

3

CAPITULO s.semss

3121. Construir el polinomio P, (x) de grado mínimo », que tome el
sistema dado de valores

¿A qué son aproximadamente iguales
PAN), 2,0) POP
3122, Esebi la scujôn del prdbol y = a + bx € que pasa
por los tres puntos: x9 = 1, yo =I; x = 100,3
3193, Deducir i formula pas la extracción aproximada de races

y =V 2 (1 <x € 100), aprovechando les valores =, POS
5,91 = 35 x = 100,9, = 10.

3124, Deducir una formula de aproximación de la forma
Sin 2° mar tie (Oro,

utilizando los valores

anne, m, una

Aplicando esta formula, calcular aproximadamente:
sin20%, ein40", sin 80%,

3125. Construir el polinomio de interpolación de Lagrange para la
función f(x) =x | en el segmento [- 1, 1}, tomando por nodos los

3126. Sustituyendo la función y (x) por el polinomio de Lagrange,
calcular aproximadamente

$ runas,
donde ’
x ° | os | Hi | 15 | +
a fs [els laut

314

11 APROXIMACIÓN DELAS FUNCIONES CONTWWUAS MEDIARTE NOLINOMIOS,
3127, Formar los polinomios de Bernstein By (x) para las funciones
x. x4, «3 enel segmento (0, 1].
3128. Escribir la fórmula de los polinomios de Bernstéin By (x) para
una función $ (x), dada en el segmento fa, 5]

3129. Aproximar la función (= ELE en el segmento (- 1, 1]
mediante el polinomio de Bernstéin Da (+),

Construir las gráficas de as funciones y= LEE 6 y = 2, (x)
3130. Aproximar la función /(s)=| | para — 1 <x <1 mediante
los polinomios de Bemstéin de orden par.

3131. Escribir el polinomio de Bernstéin B, (x) para la función

fae axed),

3132, Calcular el polinomio By (x) para la función / x) = cos x en el
segmento Pax E.
3133. Demostrar que |x |= lim P, (x) en el segmento [- 1, 1),

donde

ur gu

Pato

3133.1. Sea FE Ca b] y

a=) fu 4x=0

Demostrar que (x) =0 para x € [a bl.
Indicación. Aplicar el teorema de Weierstrass sobre la aproximación
de una función continua mediente polinomios.
3134, Sea f(x) una función continua y periódica, de período 2x y
sean dp, Dy (1=0, 1, 2, ..) sus coeficientes de Fourier. Demostrar que
los polinomios trigonométricos de Fejér

(1—£)tsconted tun

convergen uniformemente hacia la función f(x) en el segmento
Era).

3135. Construir el polinomio de Fejér 03n-¿ (x) para la función
eran

315

coso 6 CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES
DE VARIAS VARIABLES

$ 1. Límite de una fanción. Continuidad

1% Limite de una función. Sea f (P) =F(%;,Xa, ... Xn) una función
definida en un conjunto E que tiene un punto de acumulación Pa. Se
dice que

„In MPA,

si, para cualquier e > 0, existe un 5 = 8 (e, Py) >0 tal que
UP) Ale,

siempre que PEE y 0 <p (P, Ps) <6, donde p (P, Pa) es la distancia
entre los puntos P y Py

2.° Continuidad. Una función f (P) se Hama continua en el punto Po,
si

jis, 1=0 0

Una función f (P) es continua en un recinto dado, si es continua en ca-
da punto de éste recinto.

3.° Continuidad uniforme, Une función / (P) se llama uniformemente
continua en un recinto G, si para cada e > 0 existe un 8 >0, que depen-
de solamente de e, tal que, para cualesquiera puntos P' y P de € se
verifica la desigualdad

Me Ne,
siempre que sea
ee. mes

Una función que es continua en un recinto cerrado y acotado, es uni-
formemente continua en este recinto.

Problema
Determinar y representar los campos de existencia de las siguientes
funciones:
3136, wax Vy.
3137. a= VIF + VF —

317

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

A PSE

3141. Zo 3146. amarla Dares (ty),
3142. a= VIS py. 3147. ue VER.
3143, net 3148, wars GE
3144 sin, acs
x 3149. w= In(sy2)
3145, vum. 3150. nel jen,
FF

Construir tas Jincas de nivel de las siguientes funciones:
3151, 2x y, 3159. xl 94 lets
3152. 224 y. 3159.1. ¿=min(x, y)
3153. 2er,

3154, 2.

3155.

3156

3157
3158.

3164
3165. ¿=sgu(sio sin y).

Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones:
3166,

Ue
3170. u— sen + Hr)
Averiguar el carácter de Ja superficie por su ecuación:
3171. 2=/(y— ax) 3173. self).
3172. z= f VETS), 3174, 1=1(%).
3175. Construir la gráfica de la función
FiO=fleost, sia,
donde .
Los yx,
fes deal # yen

318

2: LIMITE DE UNA FUNCION, CONTINUIDAD:

) si ten

2
3176, Matas (1, HE

3177. Hallar 60, si
(y E >

3178, Sea
EI + WE.
Determinar las funciones f y z,si z=x para y=1
3179. Sea
2= yA

Hollar las funciones f y 2, si z =x? para y=0,
3180. Hallar (x 3), (ey, &

NO

e

mientras que lim /(x, y) no existe.

3182. Demostrar que, para la función

Me Natty

fi Ge Fs, 91 = lim (in 7, 3)

se tiene.

a posar de que sim f(x, y) no existe,

3183. Demostrar que, para la función

Te ety) sin and

319

‘CAPITULO 6. CALCULO DIPERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

ambos ímites Ma, {ln (=, 2 y Mm (ln 7s, 3)

o existen, a pesar de que existe Ilm f(s, y)

3183.1. ¿Existe el limite

by
in see?
3183.2. ¿A qué es igual el limite de la función
Fe y)
à lo largo de cualquier rayo.

Katee, y=tsina Otto
cuendo f+ + 0?

¿Se, puede llamar a esta función infinitésima cuando x > = €
ye

3184. Haller
Fe Lim 106) y im, Lin 66,

ae, b=00

DI Y

m
Ber
DE Er Zu

DS MMR ety, a

Hallar jos siguientes límites dobles:

im ERE in an
vr 3187, im at

im EE 8188. dm (een.
su nn sls

320

LIMITE DE UNA FUNCION. CONTINUIDAD.

cu. tim (o),

3190, tim (xt yy,

3193. ¿Sobre qué direcciones y existe el límite finito:

a) tm Fb) tim 27 sin 2
1. er »

Arms, yoigo
Hallas los puntos de discontimvidad delas siguientes funciones:

S108. u ENG

ia ay",

vere

8195. 4

ate EN
3198, w= SEY,

fi
3197, a sin à

3201. a

OVER TER

3202. Comprobar que la función

a
Kanal Fee À #4
U y

es continua respecto de cada variable x e y por separado (para un valor
fijado de la otra variable), pero no es continua respecto del conjunto
de estas variables.

3203. Comprobar que la función

M. di
pean {Ge étre

ay O,

es continua en el punto 0 (D, 0) Yo largo de cada rayo

ON

321

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VAKIAS VARIABLES

‘que pase por este punto, es decir, existe
Jm/(coso, #sla &)=7(0, 0);

sin embargo, esta función no es continua en el punto (0, 0).
3203.1. Estudiar la continuidad uniforme de la función lineal
Dee
en el plano infinito ss [y1<4 00}.
3203.2. Estudiar la continuidad uniforme de la función.
VE
enel plano E? = (lx |< +09 ly |< +00)
3203.3. ¿Es uniformemente continua la función

fe sin a
en el recinto x? 4 y? < 17
3208.4. ¿Es continua la funcién

resin
en su campo de definición E?

¿Será esta función uniformemente continua on el recinto £?

3204. Comprobar que el conjunto de puntos de discontinuidad de la
función. I. = x sen Lsiy#0 y JG, 0) 0, no es cerrado

3205. Demostrar que, si la función f(x, y) es continua respecto de Ja
variable x en un recinto G y es continua respecto de y unifofmemente
respecto de x en G, entonces esta función es continua en el recinto cone
siderado.

3206. Demostrar que, si en un recinto G la función f (x, y) es
tinua respecto de la variable x y satisface a la condición de Lipschitz,
respecto de la variable y, 0 sea,

PCT PESTE
donde (x, y) € G, (x, y") EG y Les una constante, entonces esta fun.
ción es continua en el recinto dado.

3207. Demostrar que, si la función f (x, y) es continua respecto de
cada variable x e y por separado y es monótona respecto de una de elas,
entonces esta función es continua respecto del conjunto de ls variables
(teorema de Young)

32

2. DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

3208. Supongamos que la función f (x, y) es continua en el recinto

a Sx <A D < y <B, y que la sucesión de las funciones 9, (x)

(1 = 1, 2,..) es uniformemente convergente en a, A] y cumple la con-

dición b <a (x) SB. Demostrar que la sucesión de funciones
FMM Ol) el.)

también es uniformemente convergente en la, A].

3209. Supongamos que: 1) la función / (x, y) es continua en el re-
cinto R la <x <A3b < y <2); 2) la función px) es continua en el i
tervalo (a, 4) y toma valores que pertenecen al intervalo (b, 8). Den
rar que la función

Pr) = ft ve
es continua en el intervalo (a, A).

3210. Supongamos que: 1) la función / (x, y) es continua en el re-
cinto À (a < x < A; b < y < B); 2) las funciones x = (u, ») e
Y fu, v) son continuas en el recinto R' (a <u <A':b <v<B)y
toman valores pertenecientes a los intervalos (a, 4) y (b, 8), respect
vamente. Demostrar que la función

Fla, I= Stal. oh, ple, 0)
es continua en el recinto R”

$ 2. Derivadas parciales. Diferencial de una función

1? Derivadas parciales. El resultado de la derivación parcial de una
función de varias variables no depende del orden de derivación, si todas
Jas derivadas que figuran en el cálculo son continuas.

2.° Diferencial de una función, Si el incremento total de una función
£3, y. 2), de las variables independientes x, y, z, puede expresarse en
la forma

IN

donde A, B, C no dependen de Ax, Ay, Ary o= VG EGF TIE!
la función f(x, y, 2) se llama diferenciable en el punto (x, y, 2) y la par
te lineal del incremento A Ax +B A y + C Az, iguala

AS AO)

donde dx = À x, dy = À y, de = Az, se llama diferencial de esta función

La fórmula (1) conserva su valor también en el caso en que las varia-
bles x, y. z son funciones diferenciables de otras variables independien.
tes,

33

CAPIYULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Six, y, z son variables independientes, entonces para las diferenciales
de orden superior se verifica la fórmula simbólica

Mam

adtazeegy ness

(x, y, 2), donde
& +) y las funciones f, y, Y, X son diferen»

3° Derivada de una función compuesta, Siw
u 0) =H le 0),
ciables, se tiene

de dede, dw dy do
Tae oat ayant Fa
do _ dw de , dw dy , de 08
ar ae
Para calcular las derivadas de segundo orden de la función w es con-
veniente utilizar las fórmulas simbólicas:

CIS AN
lr roger) arte

Pag (ara reget

CERTES
maté gt Hea
donde
= a
ang. wag
y

ak. nak,

4° Derivada en una dirección dada. Si la dirección I en el espacio
Oxpz se caracteriza por los cosenos directores: {cos a, cos $, cos y) y
la función u = f (x, y, z) es diferenciable, la derivada según la dirección
Tse calcula por la fórmula.
de

Borrar

La velocidad del crecimiento máximo de la función en un punto dado
se determina, en su valor absoluto así como su disección, por el vector,
denominado gradiente de la función.

ara

on
cuya magnitud es igual a

324

3. DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Problemas
3211. Comprobar que

Se Deere, dl.
3212. Kallar fy (x, 1), si
fle Ney Yarsin V7
3212.1. Hallar (0,0) y 4} (0,0),

Me ix.
¿Es esta función diferenciable en el punto 0 (0, 6)?

si

3212.2, ¿Es diferenciable la función /(x, = }/ FF en ol punto
00,09

3212.3, Averiguar si es diferenciable en el punto 0 (0, 0) la función

Sud si @4y'>0

Yf(0,0)=0

Hallar las derivadas parciales de primero y segundo órdenes de las si-
guientes funciones

SAS, ayy SR ama fet)

9214, ay hE 3222. eue 2
ans. 320. vg LÉ,
3 Te: 8224. u=arcsin E.
Per E (FF
SUT. aran ty). 8085. ame
aut. ani ren
3218. 3226. (5) à
3219. Y 3227. umx?,
3220. u. EAS
3229. Comprobar la igualdad
u du
Rap LE
ap Damon) umancns

325

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3230. Sea Senay TE, si ty 70 y /(0, 0
Comprobar que

LACET ACC
¿Existe FZ, (0, 0), si
de

re, a Frs
5

3230.

3231. Sea u =f (x, y, z) una función homogénea de grado #, Com-
probar el teorema de Euler de las funciones homogéneas en los siguien-
tes ejemplos:

Ver

3232. Demostrar que, si una función diferenciable u = f(x, y, 2) sa-
fisface aa ecuación

Bu Ot gt
lia

entonces ésta es una función homogénea de grado 1

Indicación. Examinar la función auxiliar

os

YY 438 D om

3233. Demostrar que, s f(x,y, 2) es una función diferenciable homo-
genen de grado n, sus derivadas parciales f° (x. y. 2), fy (3D,
F(x, y, 2) son funciones homogéneas de grado n—1

3234. Sea u = (x, y, 2) una función homogénea de grado n, dos ve-
ces diferenciable. Demostrar que

(tt)

Hallar las diferenciales de primero y segundo Órdenes de las siguientes
funciones (x, y, z son variables independientes):

na ju.

3235. uty" 3239, we.
3286, «= 8240. =p + peer
3241. z

3237. VIE
3298, ala Pp
3242. Haller df(1,1,1) y d?f(1, 1, 1), si

Jun nee.

ETS

26

2, DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DF UNA FUNCION.

3243. Comprobar que, si

+

se tiene d'u > 0.

3244. Suponiendo que x. y son pequeños en valor absoluto, deducir
unas fórmulas de aproximación para las siguientes expresiones

à (a
b) ln cinl ph
ets

©) aig GEE.

3245. Sustituyendo el incremento de la función por la diferencial,
calcular aproximadamente

3) 1,002.2,008".8,008; 0) VIDRIO

nos à) sin 29°-1g 46%
» 7 e) 0.97,
1,08

3246. ¿Cuánto variará la diagonal y el área de un rectángulo de lados
6 me y = 8 m, si el primer lado se aumenta en 2 mm y el segundo
se disminuye en 5 mm?

3247. El ángulo central de un sector & = 60° aumentó Aa
¿Cuánto hay que disminuir el radio del sector R = 20 cm, para que su
Área no varie?

3248. Demostrar que el error relativo del producto es aproximada-
‘mente igual a la suma de los errores relativos de los factores.

3249. Al medir el radio R de la base y la altura H de un cilindro se
obtuvieron los siguientes resultados:

R=2,5m+0,lm H=40m4+02m
¡Con qué error absoluto A y error relativo 8 se puede calcular el volu-
men del cilindro?

3250. Los lados de un triángulo son: a = 200 m # 2 m, b = 300 m +
+ $m, y el ángulo formado por elloses C= 60° + 1°. ¿Con qué error ab-
soluto puede calcularse el tercer lado ¢ del triángulo?

3251. Comprobar que la función

See, DVT

es continua en el punto (0, 0) y tiene en este punto ambas derivedas
parciales fz (0, 0) y fy (0, 0), sin embargo, no es diferenciable en el
punto (0, 0).

327

CAPITULO 6, CALCULO DIFEXENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Estudiar el comportamiento de las derivadas ££ (x, y) y ff (x y) en
un entorno del punto (0, 0).

3252. Comprobar que la función
eee A A
ee +50

J0,0=0,
es continua y tiene derivadas parciales acotadas f(x, y) y fy (x, y) en
Un entorno del punto (0, 0), sin embargo, esta función no es diferencia.
ble en el punto (0, 0).

3253. Comprobar que la función

Fe = + ps

70, 0)
tiene derivadas parciales fy (x, y) y fy (%, y) en un entorno del punto
(0, 0), las cuales son discontinuas en este punto y no están acotadas en
cualquier entomo del mismo; a peser de esto, la función es diferencia:
ble en el punto (0, 0).

3254. Demostrar que una función f(x, y) que tiene derivadas parcía-
Les acotadas fy (x, y) y fy (sy) en un recinto convexo E, es uniforme-
mente continua en este recinto

3255, Demostrar que, si una función f(x, y) es continua respecto de
la variable x para cada valor fijado de y, y tiene derivada acotada
8} 6. ») respecto de la variable y, entonces esta función es continua
Féspecto del conjunto de las variables x € y.

Hallar las derivadas parciales indicadas en los siguientes ejercicios:

du du du à
E gat. Si
émis te my +
usr. 2, sas

3258. 24

et
In (xy),

TEST

Era
oe dado ue 5
3050. a a EE
ve
30. ee, me,
oe 1
is o Sueh
Pe ata VIO
9262. Frage sOy

228

2 DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION.

3269. x war

ana. DE a ee
8265. age ae

3266. Hallar fESP10, 0), si Si. y)
3267. Comprobar que, si

ny.

ese flayed,
se tiene
En
HO
donde 1= xyz, y hallar la función F.

3268. Hallar du, si ya y —
SD ESS EE
LA qué son gates seras De oft y Sp

Hallar ls diferenciales totales del orden indicado en los siuientes
sjerccio:
200. own.
sn a
3271. a
ors
vom.
aon
in.
er.
Be.
in
| 275. Se Py GX D'un poimomi homogene de gado n Demos
rat que

Are A Fa.

EP y Bunt Pula dy, de)
3280. Sea
aa
Mut
Hallar Au y A?u=A (Au), si
Semi: DI PTA

3281. Sea
En

329

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Hallar A u, si
y rm Dam TFR.
3282. Sea oo
ee
y
tt:

Mallar Ayu y dau si
AI RO D em gel,

Hallar las derivadas de primero y segundo órdenes de las siguientes
funciones compuestas:

3283, ef ty +27). 3284, sats, =

3285. um fa 29x32}
286. Hallar Osi
wel >
3287. Hallar des deci
a t+ Gat a

aflora 24925)

Hallar las diferenciales totales de primero y segundo órdenes de las
siguientes funciones compuestas (x, y, z son variables independientes):
3288. ue f(t), donde {—x+y. 3291. u=f(0), donde f—xyz,

8289. w= f(0, donde £ 3292, we fahren,
VAT

(E D, donde Sax, y=by.

JE mM donde E=x 4, n=.

3296, uf) donde Ex m5 9296. (da 2
3297. ehrt Pt. 20 aff, 2),
3299. u=f(x, y, 2), donde x=1, yar, zer}.

3300. u=A(E, m, 2), donde & ax, m= by, Le cz
3901. un, £) donde & 224 2 me 2-32, fo 20:

330

3. DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DU UNA FUNCION

Haar d'u, si

3002 wm farkiyren 9808. am flex, dy, ea)

3904. w= SG q E, donde Laaxthytan n=axbbyy +
cd

3305. Sea u=f{r}, donde r=VFEFEZR y f es una función
dos veces diferenciable. Comprobar que

ds

donde au a 8 + Ps € Cese operador de Laplace, y alar la un
dr

3206. Sean a y funcions do veces difeencabesy el operador
de Laplace (dase! problema 3508) Dement que

A (oa) =u Aut oA + 2A (u,v),

donde
dedo y dude, dudo
tree

3307. Comprobar que la función
SS

(a y à son constantes) satisface a la ecuación de Laplace

3308. Demostrar que, si la función u = u (x, y) satisface a la ecua-
ción de Laplace (véase el problema 3307), la función

ond ake +)

también satisface a esta ecuación,
3309. Comprobar que la función

1
ar.
la y son constantes) satisface le ecuación del calor

au ste
Bad.

33)

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3310. Demostrar que, si la función u = u (x, 1) satisface a la ecua-
ción del calor (véase el problema 3309), la función

fa _i
ait (ra) wo
también satisface a esta ecuación.

3311. Demostrar que la función

donder VE FEV WEA, satisface alaccvación de

Laplace

2
ee

parar #0.

3312. Demostrar que, si la función u =u (x, y, z) satisface a la ecun-
ción de Laplace (véase el problema 3311), la función

e,
Gandesa conste y PV FTE, emi is ee

ta ecuación.
3313. Demostrar que la función

ett cee

donde = VENT y C,, Cy son constantes, satsace ala ecu
ción de Heimholz

3314. Supongamos que las funciones u, = uy (x. y, 2) y ua =
Zu (x. y. 2) satisfacen a la ecuación de Laplace Au = 0.
Demostrar que la función

HH Hy

332

3. DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

satisface a la ecuación biarmönica
Ad)

3315. Sea / Gt y, 2) una función homogénea, de grado m,y m veces
siferencisble
Demostrar que
ya)“
A ren nenn... mt nse
3316, Simphfiear a expresión

weht,

sin y (sie x — sin 3),

donde f es una función diferenciable.
3317. Comprobar que la función

ON

donde f es una función diferenciable arbitraria, satisface a la ecuación

Et ma
3318, Comprobar que
n= — 3%
donde f es una función diferenciable arbitraria, satisface a la ecuación
pe o
Ebola,
3319. Simplificer la expresión
dde de
Ñ abate
s

AN
donde fes una función diferenciable,
sn

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3320. Sea

ve, y

L,Y, =P, vw.
Demostrar que
Petites

Suponiendo que las funciones arbitrarias p, Y, etc., son diferenciables
un número suficiente de veces, comprobar las siguientes igualdades:

PERTE

ai % denn.
3922, Semoun.
3923. si

au. ‘posed a 5

à
9925, 4 y! ca

3926. Haat, si Ea.
du yg
3807. pa a SS

ES ed +=, si 2) pags),
ay TS op \ Ve

age ,
3009. 2 eb Day gray tI

nae
CE)

E, si ES CO

sia

Mediante la derivación sucesiva, eliminar les funciones arbitrarias y

yy:

3381. 2=x+ play) 3383, s= 9 VES
au. = (A) 334, ey. ÿ—2)

334

2 DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIAL DE UNA FUNCION.

a. o ( 5,4). PENADO
2098. 2= 960) + 40) Gin)
3887.22 p(x) UY) 8340.29 9) +9 (2).

3341. Hallar la derivada de la función

en el punto M (1, 1), en la dirección ! que forma el ángulo a= 60° con
la dirección positiva del eje Ox.

3342. Hallar la derivada de te función
ty

en el punto M (1, 1) en la dirección I que forma un ángulo « con la di-
rección positiva del eje Ox. ¿En qué dirección esta derivada: a) alcanza
el valor máximo; b) alcanza el valor mínimo; ©) es igual a 0,

3343. Hallar la derivada de la función

Inte

en el punto M (xo, yo) en la dirección que es perpendicular a la línea
de nivel que pasa por este punto,

3344. Hallar la derivada de la función

en el punto M

en este punto.
3345. Hallar la derivada de la función

enel punto Af (1,1, 1), en la dirección £00s 4, cos 8, cos y}
¿Aqui es igual a magnitud del gra

te de la función en este punto?

335

(CAPITULO 6. CALCULE DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3346. Hallar la magnitud y la dirección del gradiente de la función

en el punto Mo (to, yo, 20), donde r= VE FT

3347. Determinar el ángulo formado por los gradientes de la función

rios

en los puntos A (e, 0, 0) y B(0,c,0):
3348. ¿Cuánto se diferencia la magnitud del gradiente de la función

sete

en el punto M (1, 2, 2) de la magnitud del gradiente de la función
284 942-4000! sin (10 x VPP PAR

en el mismo punto?
3349. Comprobar que en el punto Ma (Xo, Yo, 20), el ángulo for
mado por los gradientes de las funciones

le
nob by" ce amet Day Ips

(a, 6, 6, m. n, p son constantes ya? +b? +.c? # 0) tiende a cero cuan-
do el punto Mg se aleja al infinito.
3350. Sea u =/ (x, y, 2) una función dos veces diferenciable. Hallar

Gr (ir). si cos a, cos 6, cos y son los cosenos directores de la di-

rección 1
3351. Sea u = f(x, y, z) una función dos veces diferenciable y

1 feos, cosy, con), 5 (cos, cos 8
1 {eosa,, cf, cosy.)

cosy},

tres direcciones perpendiculares entre sí,

336

Demos que
a a)

du du du du, du eu
aaa 20200

0]

3352. Sea u =u (x, y) una diferenciable, tal que para y = x? se tiene:

«yt y E

au en
Hall 35, pare y

3353. Supongamos que la función u-= u (x, y) satisface a la cou
ción

y también a las siguientes condiciones:

ut, 2%)

x We, 2x)

Hallas
EG 29 ee 29, We, 2

Suponiendo que

2 (x, y), resolver las siguientes ecuaciones:

asa, 22
ss E

a a

EN
Fe

3358. Hallar la solución z =2 (x, y) de la ecuación

242%,

que satisface a la condición: z (x, x?)

337

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
3359. Hallar ia solución z =z (x, y) de la ecuación

a

a

que cumple las condiciones: 2 (x, 0)=1, 2} (x, 0)=x.
3360. Hailar la solución z =z (x, y) de la ecuación

Oe

et

‘que cumpie las condiciones: z (x, 0)=x, z (0, y)=y?

§ 3. Derivación de las funciones implícitas

1? Teorema de existencia. Si: 1) la función F (x, y, 2) se anula en un
punto Ap (xo, Yo, 20); 2) F Gx, y, 2) y Es (x,), 2) eatin definidas y son
continuas en un entomo del punto Ag; 3) 2 (ko. Yo, 29) #0, entonces
en cierto entorno suficientemente pequeño del punto Ay Ge. Ye) exis
te una función uniforme continua única

USOS a
que satisface a la ecuación
Fand)
Go: Yo).
2.° Diferenciabilidad de la función implícita. Si, además, 4) la fun-

ción F (x, y, 2) es diferenciable en un entomo del punto Ag (Xo. Jo. Zo),
entonces la función (1) es diferenciable en un entorno del punto

Ao Co: Yo) y sus derivadas 92 y 22 pueden hallarse por las ccus-
ciones dx ay
E+E @

Si la función F (x, y, 2) es diferenciable un número suficiente de veces,
entonces, derivando sucesivamente las igualdades (2) pueden calcularse
también las derivadas de orden superior de la función z.

3.° Funciones implícitas definidas por un sistema de ecuaciones. Su-

338

3, DERIVACION DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS

pongamos que las funciones-f (a.
las condiciones siguientes:

el

+2... cumplen

1) se anulan en el punto As (tte, +... Ema! Yo + Uno).
2)son diferenciablos en un entorno del punto Ay

3) el determinante funcional = nr en el punto Ay

Entonces, el sistema de ecuaciones

Pila Sab due BRO 1,2, easy 6)

determina univocamente en un entomo del punto Astin a)
un sistema de funciones diferenciables

Wf eo Fm) CICR
que satisfacen a las ecuaciones (3) y a las condiciones
flew

Las diferenciales de estas funciones implícitas pueden hallarse me-
diante el sistema

rado (1.2.

$2 qa, Han
2 ont Yan o
= 12 un
Broblemas
3361. Comprobar que la función de Dirichlet
= (Las arin,
25 Vo, si x es irracional,
que es discontinua en cada punto, satisface a ia ecuaciön
pas
3362. Sea f (x) una función definida en el intervalo (a,b). ¿En qué
caso la ecuación

f@)y=o

tiene la solución continua única y =0 paraa <x <b?

À Ea los enunciados de a mayoría de los problemas de este capítulo e supone, sin rte.
vas, que = cumplen las condicions de existencia de ls funciones Map y de arduas
correspondientes.

338

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3363. Supongamos que las funciones f (x) y g (x) están definidas y
son continuas en el intervalo (a, 6). ¿En qué caso la ecuación

TR)

tiene una solución continua única en el intervalo (a, b)?
3364. Dada la ecuación

ay

ety

year) (“eect @

sea

una función uniforme que satisface a la ecuación (1).

1) ¿Cuántas funciones uniformes (2) satisfacen a Ja ecuación (1)?

2) ¿Cuántas funciones uniformes continuas (2) satisfacen a la ecua-
ción (I?

3) ¿Cuántas funciones uniformes continuas (2) satisfacen a la ceux
ción (1), si: y (0) = 1; b) y (1)= 0?

3365. Dada la ecuación

fay ay
JHA (Lech) @

una función uniforme que satisface a la ecuaciôn (1).

1) ¿Cuántas funciones uniformes (2) satisfacen a la ecuación (1)?

2) ¿Cuántas funciones uniformes continuas (2) satisfacen a la ecus-
ción (197

3) ¿Cuántas funciones uniformes diferenciables (2) satisfacen a la
ecuación (1)?

4) ¿Cuántas funciones uniformes continuas (2) satisfacen a la ecua
ción (1), si: a) y (1)=1; b) y (0)=02

5) ¿Cuántas funciones uniformes continuasy=y(x)(I — 8 <x <i+8)
satisfacen a la ecuación (1), si y (1)=1 y bes suficientemente peque
ño?

3366. La ecuaciön

Phys

determina a y como función multiforme de x. ¿En qué regiones esta
función: 1) es uniforme, 2) es biforme, 3) es triforme, 4) es tetraforme?
Determinar los puntos de ramificación de esta función y sus ramas uni-
formes continuas.

340

>. DERIVACION DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS
3367. Determinar los puntos de ramificación y las ramas uniformes

continuas y = y (©) C- | © x < 1) de la función multiforme y, definida
por la ecuación

CE
3368. Supongamos que f (x) es continua para a <x <b y que p (y)
es monótona creciente y continua para € < y <d. ¿En qué caso la ectie
ción
wre
determina la función uniforme
I=

Examinar los ejemplos: a) sen y + sh y=x;b) 79 = sen? x
3369. Sea

= 4090) Mm

donde p(0)=0 y 1 0) 1<E < 1 para - a <y <a. Demostrar que, pa:

1a e <x <e, existe una función diferenciable única y =y (x) que sa
tisface a la ecuacién (1) y tal que y (0)

(3370. Sea y = y (x) una función implicita determinada por la seua
ción

x=ky +90),

donde la constante k #0 y y (7) es una función diferenciable periódica,
de periodo w, tal que 19" 0 1<1% |, Demostrar que

ET vb

donde (x) es una función periódica, de período | # | w
Hallar y" e y” para las funciones >, determinadas por las siguientes

ETES ES 3572, VERF:
3373. y—esiny=x (Le.
3374, Pays (ÉD) 3875 y= race.

at.

341

CAPITULO 5, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DI: VARIAS VARIABLES

3376. Demostrar que, para
19 =
donde k es una constante, se verifica la igualdad

ay
eae
3377. Demostrar que, si
rt,
entonces, para xy >0 se veriica la igualdad
e e

0.

TA y
3378. Demostrar que, en un entorno del punto x=0, y
ción

la ecua-

E

determina dos funciones diferenciables: y
40) e yO).
3379, Hallar y' para x =0 e y=0,5i

CRE

Pe) e y = ys (0). Hallar

3380. Hallar y”, y", y", x? tay + y
3381. Hallar y", y”,

3382. Demostrar que para la curva de 2° orden
ax Dry Hey" 2x Dey tft

se verifica la igualdad

fiw

Hallar, para la función z =z (x, y), las derivadas parciales de primero
y segundo órdenes, si

3888. xt
9384, xyz

8385. ptet,

342

Hallar: a) fe, 1, 1), siz =z Ge») es la función
por la ecuación (1); b)f (1, 1, 1), si» = (x, 2)

3. DERIVACIÓN DF LAS FUNCIONES IMPLICITAS

A
> ++

ey

Ahr ar0 a

Le, day?

plicita determinada
la función impli

determinada por la ecuación (1). Explicar por qué estas derivadas son

distintas.

3389. Hallar $3, À a = 1 y =- 22
Hy +32 tay a2

mM

=0.

Hallar dz y dz, si

Pave
3300. 54845

1 8391. ps y fe.

am. Zeinitt. 339. 2= paro
3394, Haller du, si
vaste pe
3395. Mallar Loy, si Fedhyta et
3396. Hallar o D, si Fey yon zen
2090. Haar An ya
3398. bar À, si Plan
3399. Hallar dir, si
a) Flee, y 42) ë) A
„3399 See 2 = 2 (a 9) la función diferncibi, determinada por la
Pott,
que para x = 3, y == 2 toma el valor z = 2. Mallar dz (3, -2) y
#2G,-2).

3400. Sean x =x ( 2), » = y &, 2), 2 =2 (x, y) funciones definidas

por la ecuación F (x, y, 2)

343

‘CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL. DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Demostrar que
aaa,
CN
2401. Hala Ey E, i pre
3402, Hoar 2,2% y SE pan =
a Piola ety pene
A
3400. Hater 8, By, si

de de, d

3403.1. Fl sistema de ecuaciones

0200
e

determina unas funciones diferenciables u = u (x, y) y v=v (x, y) tales
que u (1, 23=0 y » (1, 2) = 0. Hallar du (1, 2) y db (1.2).
3404. Hallar du, dv, du, dv, si

Ehh

snu_x

apo.

3405. Hallar du, dv, d'u y d'y para

EA
vr
3406. Scan
ey
ua
Har A

3407. ¿En qué región del plano Oxy el sistema de ecuaciones
sue, ya, ra,
donde los parámetros u y » toman todos los valores reales posibles, de-

termina a Z como función de las variables x e y? Hallar las derivadas
az

8, DERIVACION Mi LAS FUNCIONES IMPLICITAS.

3407.1, ¿Hallar SE enclpuntou=1,v=1, st:
ay

ae
07.2. Hallas - enel punto u =2, v=1, si
34 Nas Soy em el punt 1,
eure,
Pe
20,

y
408. Hallar
E an

05 PCOS, Y= cos q sl,

m Oe m
3409. Hallar À, À y ga sit

ing.

cos, y=usiar, 2

3410. Supongamos que
por el sistema de ecuaciones:

se, y

x} es una función que se determina.

(u y » son parámetros). Hallar dz y dz para u =!

ay
3411. Hallar Ey E

24
donde y = y (x) se determina por la ecvaciön
E
du, au
3412. Lys
Maller u 7 Sos

ss
ree

345

CAMITULO 6, CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
donde z se determina por la ecuaciön
PA

3413. Supongamos que las ecuaciones

OS CP]

0,0), y

determina a como unción dex Mar E y À.
Mi. Sean

He Y= YH).

Hallar las derivadas parciales de primero y segundo órdenes de las fün-
ciones inversas: w =u (x, y) y ve» (x, y).

2415, Haar À, 2, de, €

si

mec, ymasnl; 6)

fusing,
3416. La función u=u (x) se determina por el sistema de ecuaciones
se, y, =0.

ANS
de du
Hallar Y y $8.

3417. La función u =u (x, y) se determina por el sistema de ecua-
ciones:

IA gts hf:
Hata Sy $.
3418, Sean

Au, 0, 0).

WoW), y= ete 0, 0),

de de oe
Hallar $2, u y de

3419. Supongamos que ls función 2 =2 (x, y) satisface al sistema de
ecuaciones

See,

0 nn
donde ¢ es un parémetro variable. Hallar dz.

346

3. DERIVACION DE LAS FUNCIONES IMPLICITAS

función implícita de las variables
ehe

3420. Sea u = f (2), donde z es u
x e y, determinada por la ecuación
Demostrar la fórmula de Lagrange

su 5
Far):
Indicación. Demostrar la formula para n= y aplicar el método de

inducción matemática
3421. Comprobar que la función z = z (x, y), determinada por la
ecuación

@ (x02, y—b2) a

donde ® (u, ») es una función diferenciable arbitraria de las variables
wy» (a y b son constantes), es solución de la ecuación

Averiguar las propiedades geométricas de la superficie (1)
3422. Comprobar que la función z = z (x, y), determinada por la
ecuación

@

donde © (u, ») es una función diferenciable arbitraria de las variables
wy », satisface a la ecuacion

x

EHO IF

Averiguar las propiedades geométricas de la superficie (2).
3423. Comprobar que la función z = z (x, y), determinada por la

ecuación
ae,

donde d () cs una función diferenciable arbitraria de la variable u, y
a, 8, ¢ son constantes, satisface a la ecuación

i A
Oe
Averiguar ls propedades geométricas dela superficie (5)

347

CAPITULO 6.CALEULO DIFERENCIAL DELAS FUNCIONES DE VARIAS VARLABLES
3424. La función z =z (x, y) viene dada por la ecuación
"rr (5).
Comprobar que
(tap an tay Si

=2 (x, ») viene dada por la ecuación

3425, La función
Fey
Comprobar que
a
tz

3426. Comprobar que la función 2 =z (x, y), determinada por el sis-
tema de ecuaciones
xesa-tysina-+ing==/{a), }
—rsinatycora

able y f (a) es una función dife-

donde & = a (x, y) es un parámetro va
renciable arbitraria, satisface a la ec

+=
3427. Comprobar que la función
246, Sh

dada por et sistema de ecvaciones
ox ++.)

satisface a la ecuación

3428. Comprobar que la función 2 =z (x, y), dada por las ecuaciones

estate"), }
Af (a)==ax',

248

S.CAMUIO DE VARIABLES

satisface a la ecuación
E73
EL

PR
3429. Comprobar que la función 2 =z (x, y), dada por las ecuaciones

zart yl) + Pa), }
O= x + yp (0149 (0),

satisface a la ecuaciön

ses (aay) >

3430. Comprobar que la función implícita 2 =z (x, y), determinada
por la ecuación

IN

satisface a la ecuación

Et

$ 4. Cambio de variables

1° Cambio de variables en una expresión que contiene derivadas or-
dinarios Supongamos que en la expresión diferencial

A

D Y de Le

se necesita pasar a las nuevas variables: £ será la variable independiente
yu la función, que están ligadas conc las variables anteriores x e y por
las ecuaciones

ETES

at oh a
Derivando las ecuaciones (1), se obtiene
de
„ara
ae,
ara
Análogamente so expresan ias derivadas superiores yx,
Defirativamente, resulta
AHO de en)

249

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VAKIAS VARIABLES

2.° Cambio de las variables independientes en una expresión que con
tiene derivadas parciales, Si en la expresión diferencial

mE.)

8 ee

(eno.

se hace

OS m
donde 1 y » son nuevas variables independientes, entonces las derivadas
„se hallan de las siguientes ceuaciones:

EE
parciales sucesivas 52, $

EMT
da ae ut By Ba
ERTAT
B97 TUE TE

etc.

3.° Cambio de las variables independientes y de la función en una ex-
presión que contiene derivadas parciales, En el caso más general, si se
tienen las ecuaciones

a,

Oh ee Ele, ow, THE u) @

donde u y » son nuevas variables independientes y w = w (u, v) es la

se

mueva función, entonces, para las derivadas parciales $f
¿obtienen las siguientes ecuaciones
de (8, 1 du y 80 TRIER
E EE RE
(A de) , él ère) ade
la)

ete,
En algunos casos de cambio de variables, es conveniente utilizar las
diferenciales totales.

Problemas:
3431. Transformar la ecuación
vy y
tomando y por nueva variable independiente.
3432. Transformar del mismo modo la ecuación

N ya”

350

4.CAMDIO DE VARIABLES

3433. Transformar la ecuación

Hi >

tomando x por función y 1 =xy por variable independiente.
Introduciendo nuevas variables, transformar 15 siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias.

a. Y day dy 0, si
3095, y Y,
3436. (Nay
Sur dy md ¿E

3438. Y pty 4 (y, si y:
ya, si

ETES
sat. (y y si

A yp@eco
ue, donde u

ix

sits yo, donde aut

to SEA EY si saute y donde
ton
343. pe ay y si xed» yet, donde

(0.
3444. Transformar la ecuación de Stokes

Ay,
PER

haciendo

y tomando u por función de la variable ¢
3445. Comprobar que si se transforma la ecuación

mediante la sustitución x = (£), enla ecuación
PO Ly,

En

‘CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

entonces

Beate alle".

(PE) QE + QE) IE)

3446. En la ecuación

Oy, y, y
donde 4 es una función homogénea de las variables y, y”,
foe
yo
3447. En la ecuación
POY, Y =O,

donde F es una función homogénea de sus argumentos, hacer

L.
3448, Demostrar que la ecuación
uhr"
no cambia de forma al hacer una transformación homográfica
bd bm te yothtiate
shape ‘ ELLES
Indicación. Expresar la transformación dada en forma de una compo-
sición de las transformaciones elementales
Beet ver:
x=. yok
+

o

x

tome Y GH

3449. Demostrar que el Schwarzisno

gosse

SAN ro

352

CAMBIO DE VARIABLES

no cambia su valor al hacer una transformación lineal fraccionaria

(ad — be 340)

Transformar a coordenadas polares r y +, haciendo x = r cos y,
y =r sin y, las siguientes ecuaciones:

so, EEE

a. rn)
3462. rt.

3453. Transformar a coordenadas polares la expresión.

sut

3454. Expresar la curvatura de una curva plana
PA]
04

en coordenadas polares? y y.
3455. Pasar a coordenadas polares en el sistema de ecuaciones

Eo, Yet

3456. Transformar la expresión

introduciendo nuevas funciones r = VF @

3487. En la transformación de Legendre, a cada punto (x, y) de la
curva y = y (x) se le pone en correspondencia el punto (X, Y), donde

Ney, YY

Hallar Y”, Y, Y".
Introduciendo nuevas variables independientes E y 7, resolver las six
guientes ecuaciones

se BE, à Enshy namen

353

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

00, Bai, a nos t
(0), si

Pr
3160. of 48
ust ken si be
Tomando u y » por muevas variables independientes, transformer las
siguientes ecuaciones:
3402 TES E a si
rey VEA

on

reme ,
2403. A NE ao, si
=n VER 5 omanty

ES
sah x24 y

ES
3465, x2 4 9%

MO. een

weeps» uy hz
3467. Transformar la expresión

E en,

tomando por nuevas variables independientes
Espa, naar

3468. Transformar la expresión

+

haciendo
u hr)

354

5. CAMBIO DE VARIABLES

3469. En la ecuaciön

du y du y du
ata tae

hacer

3470. Transformar la ecuación

ES

tomando x por función e y, z por variables independientes.
3471. Transformar la ecusciön

varo ta

tomando x por función y

y+.

por variables independientes.
3472. Transformar la expresión

a

tomando x por función y

por variables independientes.
3473. En la ecuaciôn

vt roy hoz

Sette

hacer
&

Pay

Pasar a las muevas variables u, », w, donde w = w (u, y), en las siguien-
tes ecuaciones:

355

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

um. parara 8

eax, very,

um (re, à

sau, y

3478. Transformar la expresió

wo
haciendo

"VEER 0
donde w=w (u, v).
3479. Transformar la expresión

haciendo u = xef, » = ye", w= ze", donde w = w (u, »).
3480. En la ecuación

day 00 a
rr sets

+ donde w=w(E, 1, Y)

Transformar a coordenadas polares 7 y y, haciendo x = r cos p,

ar ing, Ins siguientes expresiones:
an. u (MY (a).
EA
They A Tee

sun omy Bio de pei (Way à)

356

CAMBIO DR VARIABLES

3487. En ia expresión

2 80 _ dude
AUT
hacer x =7 cosy, y =r sin y.
3488. Resolver la ecuación
Oe de
A

introduciendo las nuevas variables independientes
B rat.

Tomando u y v por nuevas variables independientes, transformar las
siguientes ecuaciones.

3489. 2

at

ES

. 5

ae oes ey te
Laa tarta

He, oyo
mn or mo, si
TC , ny4VIEN

Pe CE
SOL où A Dy EE or SE

(a, b, e son constantes),

‚ oly.
3402,

Pay Ot
vn. Pme, si

200, y=

a. E—

3495.

357

CAPITULO 6.CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
2 RNCS
9408, Bip Set mo, si
xs

A si

=

ray ¿oy BE

whe

de de
gt RD yO, si

3501. Mediante el cambio lineal
Party, next
transformarla ecuación

AAA o

donde A, By C son constantes y AC—8* <0, ala forma

0

E

Hallar a forma general de una función que satisface ala ecuación (1)
3502. Demostrar que la forma de la covación de Laplace

o

no varía al hacer cualquier sustitución no degenerada de variables
zur, y= Vln a,

358

que cumpla las condiciones

3503. Transformar las ecuaciones

td
haciendo u =f{r), donde r-

3504. ¿Qué forma toma la ecuación

En
Ho
si se hace
waft,
donde II

3505. Transformar la expresión

du, da, de
A gy tae
haciendo
sh yk, yak.

3506. Comprobar que la ecuación
. & Pa
UN
o cambia su forma al hacer la transformación de variables

1
zu yo

3507. Comprobar que la ecuación
EZ
Br A
no cambia su forma al hacer el cambio de variables

axe à uy Hz

358

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
3508. Transformar la ecuación

» yin ie

haciendo

ME y=EL ein,

3509. Transformar la ecuación

mm, a &s
cag Pr aies tata
haciendo

E

3510. Transformar la ecuación

A pres Ph aye m0,

haciendo

ast, te,

Indicación. Escribir la ecuación en la forma 4%u — Au = 0, donde
hotes.
3511. Transformar las expresiones

(+

a coordenadas esféricas, haciendo
xe=rsinbeos@, y=rsinbeia,

Indicación. Expresar el cambio de variables en forma de la composi-
ción de dos sustituciones parciales

360

4. CAXDIO DE VARIABLES
3512. En la couación
te oe
(+H) =

introducir una nueva función w, haciendo w = 22
“Tomando u y » por nuevas Variables independientes y w =w (u. v)
por nueva función, transformar las siguientes ecuaciones.

=x, very.

a rt si ums

sats, He? Se Smo,
tg fe
ans. 242 re,
+.

asie. Hs à

NES fi
sn 2 + (+

sr

parsing, ae".

ES

dlc, si

(y harccos x), ve 4 (y —arccos x),w= 2 ÿ/T

aa. (a) Sh Bae
,

a

ae je
des de ut (x 2

3500, Dr de mo OA ey si

sty, Y, =>

3521. Demostrar que toda ecuación
ERBETEN
sata tégter

(a, b, e son constantes) mediante la sustitución
ue,

donde & y $ son constantes y u =u (x, y), se puede reducir a la forma
E
sept n=O te, const.

361

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIAMLES

3522. Comprobar que la ecuación

dde
=

no cambia su forma al hacer la sustitución de variables

donde u’ es una función de las variables x’, y".
3523. En Is ecuación

rt

ta

donde p= SE ya SE acer ta verte waxty4
considerando que w = w (ue, v).
3524. En la ecuación

¿Du

re lot

donde w="wtb 7, D.

hacer re, pe,

3525. Comprobar que la forma de la ecuación

E)

no varia, cualquiera que sea el papel que desempeñen las variables x,
2 entre si.
3526. Resolver la ecuación

ay

(5

tomando x po función delas vañables y 2
3527. Transformar la ecuaion

a ls

te) Be

a

362

5. APLICACIONES GEOMETRICAS

aplicando la transformación de Legendre

donde 2=Z(X, Y).

$ 5. Aplicaciones geométricas

1. Recta tangente y plano normal. Las ecuaciones de la recta tan-
gente a la curva.

an ve ©

en su punto M (x, y, 2), tienen la forma.

Kart
E
a a @

La ecuación del plano normal en este punto es
de ds de
Cao Eo +00

2° Plano tangente y recta normal. La ecuación del plano tangente a
la superficie 2 =/ (x, y) en su punto M (x, y, 2), tiene la forma.

or x
IA GW oe

Las ecuaciones de la normal en el punto M, son:

Si la ecuación de la superficie viene dada en forma implicita
F (x, y. 2) = 0, entonces, se tiene respectivamente: la ecuación del plano
tangente

ar oF Fe ga
Da He e 0=0

y las ecuaciones de la normal

363

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.° Curva envolvente de una familia de curvas planas. La curva envol
vente de una familia monoparamétrica de curvas f (x, y, a) =0 (ares un
parámetro), satisface al sistema de ecuaciones:

Ho, =O. fr y 0)

42 Superficie envolvente de una familia de superficies. La su-
Perficie envolvente de una familie monoparamétrica de superficies
Fc, y. 2, a) =0 satisface al sistema de ecuaciones:

Foo

Fle ne =O

En caso de una familia biparametzica de superficies (x, y, 2, a. $) = 0,
la superficie envolvente satisface a las siguientes ecuaciones:

ere ef
Problemas:

Lorna Met op

Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes y planos normales en los
puntos dados a las siguientes curvas

cos acosf, y =asinacost, ¿=asiaí; en el punto 1=10,

8628. x
3629. xexasin"t, y
3530. y =x, 2 = x? jen el punto M (1, 1,1).

3531. x? +2 = 10,32? +22 = 10jen el punto M (1, 1, 3,
3532. x +)" +27 = 6, x + y +2=0;enel punto M (1, 2, 1).
3533. Hallar un punto en la curva x =?, y = {?, z= 1°; de modo que

la recta tangente en éste sea paralela al plano x + 2y + 2 = 4
3534. Demostrar que la recta tangente a la hélice x = 2 cost £,
sin 1, z = bt forma un ángulo constante con el eje Oz,

3535. Demostrar que la curva

A=0é'cost,

sin feos, 2—=e cos" f; en el punto r

»

aesint, 200

Corta a todas las generatrices del cono x? + y? = 2? bajo un mismo än-
Agulo.

3536. Demostrar que la loxodrómica
e(243)=e" tens,

donde y es la longitud y ÿ la Jatitud del punto de la esfera, corta todos

los meridianos de la esfera bajo un ángulo constant.

3537. Haller la tangente del ángulo formado por la recta tangente a
la curva

vn ra = a

364

4. APLICACIONFS GEOMETRICAS

en el punto Mg (x9, Yo) Y el plano Oxy, donde f es una función dife-
renciable
3538. Hallar la derivada de ta función

TFR
en cl punto M (J, 2, -2) en disección de la recta tangente la curva
ar.

Lo yee,

en este punto.

Escribir las ecuaciones del plano tangente y de ia normal a las siguien-
tes superficies en los puntos indicados

3539. ¿=x" + y?;en el punto Ma (1,2, 5).

3540. x? + y? +2? = 169;en el punto My (3, 4, 12).

3541. z=arcig 2 ¡enc puntos (5, 1, €).

3542, ax? + by? + cz"
3543.

1; en el punto Ma (Xo, Yo, 20).
=y tin E ¡enel punto Ho (1, 1, 1).

3544. 97 4-27 8: en el punto Mo (2,2, 1.

3545. cos poso, yadeospsing, =
Mola, Vo}

3546. arg, parano, z==rcig en el punto Mo (yo, ro)

3547. x «en el punto Mg (tg, Yo)

3548. Hallar la posición límite del plano tangente a la superficie
PRO, ratte

cuando el punto de contacto M (u, ») (u # ») se aproxima indefinida-
mente hacia el punto Mo (to, wo) de la línca del borde u = » de la su-
perficie.

3549. Hallar en la superficie
APL Dy! Ba Day De y
los puntos en los que los planos tangentes son paralelos a los planos
coordenados.
3550. ¿En

sm en el punto

8

ué punto del elipsoide
++

la normal a éste forma ángulos iguales con los ejes coordenados?
365

CAPITULO €. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VANIAS VARIABLES

3551. Trazar los planos tangentes a la superficie
pen
que son paralelos al plano

<a +6

3552. Demostrar que los planos tangentes a la superficie xyz =
= a? (a > 0) forman con los planos coordenados un tetraedro de volu-
men constante,

3553. Demostrar que los plenos tangentes a la superficie
VE+Y5+Vz=Va (>
cortan en los ejes coordenados segmentos cuyas sumas son constantes.
3554. Demostrar que los planos tangentes al cono

asen por su vértice.
3555. Demostrar que las normales a la superficie de revolución

VERS
se cortan con el eje de rotación.
3556. Hallar las proyecciones del clipsoide
etre
sobre los planos coordenados.

3557. El cuadrado (0€ x < 1, 0 € y < 1) se ha dividido en un núme-
ro finito de partes 9 de diámetro <6. Acotar superiormente el número
5, si las direcciones de las normales a la superficie

Sly
en cualesquiera puntos P (x, y).y Py (tr, y), pertenecientes a una mis-
ma parte o, difieren menos de 1°.

3558. Sea
(e, yh donde (x, y) € D, Mm

ia ecuación de una superficie y y (P, , P) el ángulo formado por las nor
males a la superficie (1) en los puntos P (x, y) ED y PC. ¥3 JED.

366

Demostrar que, si el recinto D está acotado y es cerrado y la función
f(s, y) tiene derivadas acotados de 2° orden en el recinto D, entonces
se verifica la desigualdad de Liapunow
(E, PCR. P) a

donde C es una constante y p (P,, P) es la distancia entre los puntos P
yy

3559. {Bajo qué ángulo se cortan el cilindro x? + y”
perficie bz = xy en el punto común Mg (x9, Ya, Ze)?

3560, Comprobar que las superficies coordenadas respectivas a las
coordenadas esféricas

+
son ortogonales entre sí
3561. Comprobar que las esferas
AS
forman un sistema triortogonal.

3562. Por cada punto M (x, y, 2) pasan, para X=, A= Ar, A= Ay,
tres superficies de segundo orden

con a sue

sg

by, Ey at Des

Al (> >
Demostrar que éstas son ortogonales entr sí
3563. Hallar la derivada de la fanción u = x + y + z en la dirección
de la normal exterior ala esfera
Syste

en su punto M (xe. Yo, 20).
¿En qué puntos de la esfera la derivada normal de la función u tiene:
a) £l valor máximo, b) el valor minimo, c) es iguala cero?

3564, Hallar la derivada de la función u = x? + y? +27 en la direc»
ción de la normal exterior al elipsoide

PH
en su punto Mo (9, Y, 20)
3565. Sean ME y 2% tas derivadas normales delas funciones uy
ven un punto de la superficie F (x, y, 2)=0. Demostrar que
E

367

‘CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Hallar la envolventes de las familias monoparamétricas de las curves
planas:

3560. xcosa-+ysina=p (const)

2567. (ea) + ps

8668. he Æ (amconst. 9569. y ppp

3570. Hallar la curva envuelta por un segmento de longitud J, cu-
os extremos se deslizan sobre los ees coordenados.

3571. Halar la envolent de hs lipaes MF Bet, de dre conse
tante S.

3572. Hallar la envolvente de las trayectorias de un proyectil lanza
do al vacío con una velocidad inicial vp, al variar en el plano vertical el
ángulo de lanzamiento a.

3573. Demostrar que la envolvente de las normales de una curva plo
na es a cvoluta de esta curva

3574. Averiguar el carácter de las curvas discrirminantes de las fami-
lias de líneas siguientes (ces un parámetro variable)

4) parábolas cübicas y = (x. 0)%;

b) parábolas semivibicas y? = (x ~ c)?;

©) parábolas de Neil y° = (x - 0),

A)estrofoides (y — of = IE,

3575. Determinar ia envolvente de la familia de esferas de radios r,
suyos centrosestan situados en la circunferencia x =R cost, p= R ui de

Or os un parámetro, R >).
3576. Hallar la envolvente de la familia de esferas
Braten Pit een
donde costa + cos?ß-+ cos? y = 1 y res un parámetro variable.
3577. Determinar la envoivente de la familia de elipsoides

Pje
sem

de volumen constante Y.
3578, Mallas la envolvente de la familia de esferas de radio p, cuyos
centros están situados en la superficie del cono x? +)? =2?,

3579. Un punto luminoso está situado en el origen de coordenadas.
Determinar el cono de la sombra arrojada por la esfera

AA tem PR,
six ty} 423 >R?

268

6. FORMULA DE TAYLOR
3580. Hallar la envolvente de la fa
a +9 D

si los parámetros py 4 están ligados por la ecuación

Pt

ilia de planos

§ 6. Fórmula de Taylor

1. Fórmula de Taylor, Si la función f(x, y) tiene en un entomo del
punto (a, b) derivadas parciales continuas hasta el orden n + L inclusive,
Entonces en este entorno es válida la fórmula

© OF [eo] ner (0)

euch A 8] etes nn
O<m< I}

22 Serie de Taylor. Si la función f (x, y) es infinitamente diferéncia-
bie y Hm Ré, 99=0, entonces esta función admite uno expresión en

forma de serie de potencias

nett Y at Deere 0)
Ts

Los casos particulares de las fórmulas (1) y (2) para a =D =0 se Hae
man fórmula de Mac-Laurin y serie de Mac-Laurin, respectivamente.
Subsisten unas fórmulas análogas para las funciones de más de dos
variables
3° Puntos singulares de las curvas planas. Un punto Mo (xp, Yo) de

una curva diferenciable F (x, y) = 0 se llama singular, si

El WO Pla 20 Fyn WO

Sea Mo (to, 70) un punto singular sislado y supongamos que

ASF 0 BSF We OF

no son todos iguales a cero. Si

369

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1) AC- B? >0, M, es un punto aislado;

2) AC~ B? <0, Mp es un punto doble (nodo);

3) AC~ B? = 0, Mp es un punto de retroceso o un punto aislado.

En el caso A = B = C= 0, son posibles unos tipos más complicados de
puntos singulares. Para las curvas que no pertenecen a la clase C*}, pue-
den encontrarse singuleridades de naturaleza más complicada: puntos de
interrupción, puntos angulosos, ete.
Problemas:

3581. Desarrollar la función f(x, = — xp y" 61 —3y +5
según la fórmula de Taylor en un entorno del punto A (1, —2).

3582. Desarrollar ta función f(s y, aa" py" 3x2
según la fórmula de Taylor en un entorno del punto À (1,1, 1)
3583. Hallar cl incremento obtenido por la función f (x, y) =
5 y + xy? + 2 xp, al pasar de los valores x = 1, y =— | a los valores
ESA

3584. Desarrollar f (x + h, y +k, 2 + 1) según las potencias enteras
positivas de 4, de sí:

1 y DAS BYE CS Dry DE es + 2F Jo

3585. Escribir los términos hasta el segundo orden inclusive del de-
sarrollo de la función.

Je y?

en un entorno del punto 4 (1, 1).
3586. Desarrollar le función
Se, ye VINES
según la formula de Mac-Laurin hasta los términos de cuarto orden in-
clusive.

3587. Deducir unas formulas de aproximación con precisión hasta
los términos de segundo orden para las expresiones:

PEA are tet
TE pEEES

silx fe Ly 1 son pequeños en comparación con I.
3588. Simplificar la expresión

cos (+ ÿ42)— cos x cos y cos 2,
considerando que x, y, z son pequeños en valor absoluto,

370

6: FORMULA DE TAYLOR

3589. Desarrollar la función

Vets AS AR
ES NESE y MI Y)
según las potencias de h con precisión hasta h*

3590. Sea f (P} = (x, y) y Py Ov, y) = 1, 2, 3) los vértices de un
triángulo regular inscrito en una circunferencia con el centro en el pun-
to P (x, y) y de radio p, siendo xy = x + p, y, =y. Desarrollar la fune
ción

F(a)

FUEL TS PIF
en potencias enteras positivas de p con exactitud hasta p?.

3591. Desarrollar la función

Bel le tb, OI IS le ES N
según las potencias de À y ke

3592, Desarrollar la función
Fam: ffbecoso. y-esin gi de

según las potencias de p.
Desarrollar en serie de Mac-Laurin las siguientes funciones

TA

lady

3601. Escribir tres términos del desarrollo en serie de Mac-Laurin de
la función

3602. Desarrollar la función e**” en serie de potencias enteras posi-
tivas de los binomios x — 1 e y +1.

an

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3603. Escribir el desarrollo en serie de Taylor de la función / (x, y
- > en un entorno del punto M (1, 1).

3604. Sea z Ja función implícita de x e y, determinada por la ecua-
ción 2° — 2x2 +y=0, que para x= 1, y = À toma el valor z =1
Escribir unos cuantos términos del desarrollo de la función 2 en po-
tencias crecientes de los binomios x — 1 e y ~ 1
Estudiar los tipos de puntos singulares de las siguientes curvas y re-
presentar aproximadamente estas curvas"

8605. PE RO (E ety"),
3608, +. 3510. (y— x")

3607. Ly 8641. (a Ur,
3608. x {pt

3612. Estudiar la forma de la curva y? = (x — a) (x — b){x— eden
dependencia de los valores de los parámetros a, b, c (a Sb <c),
Estudiar los puntos singulares de las curvas transcendentes.

wie (Lo).

3618. sn E

+2

$ 7. Extremos de una función de varias variables

1° Definición de extremo. Sea f (P) =F(%;,x7, .. xa) una función
definida en un entomo del punto Pa. Sif (Po) > FM, 0 bien (Pa) <
EY (P), pare 0 < p (Po, P) <6, se dice que la función /(P) tiene un exe
tremo (un máximo o un mínimo, respectivamente) cn el punto Pp

2." Condición necesaria de extremo, Una función diferenciable f (P)
puede tener extremo solamente en un punto estacionario Po, 0 sea, en
un punto tal que df (Pg) = 0. Por consiguiente, los puntos de extremo
de la función Y (P) satisfacen al sistema de ecuaciones £., (1,4) =
=06

3° Condición suficientede extremo, La función f (P) tiene en el pun
toPy:

a) un máximo, si afr,

ES para à 1dx,] #0.
bun mínimo, ease ero pare $ ante

mm

La averiguación del signo de la diferencial de segundo orden d?f(Po)
puede efectuarse mediante una reducción de la forma cuadrática co
Hespondiente ala forma canónica.

En particular, para el caso de una función f (x, y) de dos variables
independientes x ¢ y, en el punto estacionario (xo, ya) (df (xo, Yo) = 0)
con la condición D = AC - B? # 0, donde A = fry (o, Yo),
B= fes (to. Jos CET zy (Xa, Yo), se tiene

Lun mínimo, siD > 0, A>0(C>0);

2)un máximo, si D>0, A <0(C <0);

3)no hay extremo, si D <0.

4° Extremos condicionados, El problema de la determinación de los
extremos de la función / (2) =/ (21... xa) habiendo una serie de rela-
iones y (P) = 0 (= 1, ..,mjm <n) se reduce ala búsqueda de los ex-
tremos ordinarios para la funcién de Lagrange

LPI D Math,
donde À ( } son factores constantes. EI problema de la exis-
tencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve en el caso más
elemental, basándose en el estudio del signo de la diferencial de segun-
do orden d*L (Po) en ei punto estacionario Py de la función L (P), con
la condición de que las variables dx... dx estén ligadas por las rela.
ciones

DE EN emo Um
a
5 Extremos absolutos, Una función f (P), que es diferenciable en
un fecinto cerrado y acotado, alcanza sus valores máximo y mínimo en
este recinto en un punto estacionario o en un punto de la frontera del
recinto
Problemas:
Averiguar los extremos de las siguientes funciones de varias variables
AI SOU A Dr
LOI anes. A
Ey as

2028, = EG Do yo}.
am. = / TEA (090,950.

37

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARUABLES

she pie
8630. en He

3631. 2=1—Y FE

Gt een,
ER 410 —10 a y.
SO, serene ferypenste—y) (ocre
3037. 2=sinzsioysin(xty) mem Oy <a.
3008, 22) PPS u 2.
3689. =p In qu? + y
Edic AAA
ze
StR tt
Pete tio em
EtG +7 #>0,3>0,2>0,.
8645. umexy's!(o—x—2y—82) (DO)
PEGE LE
w>0, y>0 2>0,0>0, 10)
3047, wee sin x y sing —sin (pe)
Ocean Ocyen, Iwan

3650. Problema de Huygens. Entre dos números positivos a y 5 hay
que introducir m números X, x2, .., Xy de tal modo que la fracción

TF

sea maxima.
Hallar los valores extremales de la función z de las variables x, y, da-

da en forma implicit
SA pay ae
3652. ar ag
Sa, GE

374

7. BXTREMOS DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.

Hallar los puntos de extremo condicionado para las siguientes fün-
clones:

3094. =, Sot)
oo set
3656. ety ii
3657. Ar Hy, si
NN EE
3658, msn im
3653. Dr yA
3600. es

ahy tiza (a >0, 150, 9>0, 020)
at. er si

Am > >
3662, ey, si x4+2432=a
>0.3>0,2>0, a>0),

3663. axe, À EL, y pr,
3668.1. y tye, Ey" 2(>0,3>0:>0

3668, wen sinesinysing, Si
(e>0.y>0, 2,
O en

acosa cos faz cos y
(a> b> cm 0, cota Hop pees y=.
3608, ue + EE
N si Ax pAy+Cz2=0, xy? RR,

Er donde or toc

as
Bab Bel te

2668 re E (PEI Si
ar hm (> 0

23

es

Bit Bent + Bata (i> 0, >, 3150, del, 2

315

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VAR

2670 rn matt
>>.

3671. Hallar los extremos de la forma cuadrática

va Bars mon

con la condición
Saat

3672. Demostrar la desigualdad

Ha 1 y 420 »>0
Indicación, Buscar el mínimo de la función _ 2.44) con la con-
din tes
3673. Demostrar la desigualdad de Holder

Eee

vat DL

(ao, «20,
Indicación. Baras el mínimo de a fención

as

con la condición
Box =A

3674. Demostrar la desigualdad de Hadamard para un determinante
A |ay [de orden ni

a 1 a).

e,

316

1 EXTREMOS DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

indicación. Examinar el extremo del determinante 4 = |ay | con las
condiciones

ah

Determinar los valores máximo (sup) y mínimo (inf) de ls siguientes
fonciones en los recintos indicados
9675. 2=2—2y—3, si

Dame, Oayal, Oaxtyal.
apy eb ily, NE
zes letal
hy, si Py pr 100.
byte, si year

3678,
3677.
3678,
3678.

3680. Hallar el ínfimo (inf) y el supremo (sup) de la función

a
enla región x >0, y>0, 2>0.

3681. Comprobar que la función z = (1 + €”) cos x — ye” tiene un
conjunto infinito de máximos y ningún mínimo.

3682. ¿Es suficiente para el mínimo de una función f (x, y) en un
punto Mg Gro, de) que esta función tenga mínimo a lo largo de cada
recta que pasa por el punto Mg?

Examinar el ejemplo f (x, y) = (xy?) (2 xy).

3683. Descomponer un número positivo dado a en n factores posi-
tivos de tal modo que la suma de sus inversos sea mínima.

3684. Descomponer un número positivo dado a en n sumandos de
tal modo que la suma de sus cuadrados sea minima,

3685. Descomponer un número positivo dado a en » factores post.
tivos de tal modo que la suma de unas potencias positivas dadas de di-
chos factores sea mínima.

3686. Se dan n puntos materiales en el plano, P, Ca, 91),
Pa (a, Ya): wns Pr Cn. Ja), Cuyas masas son iguales a #3, Ma, y Ma
respectivamente,

¿Cuál tiene que ser la posición del punto P (x. y) para que el mo-
mento de inercia del sistema respecto de este punto sea mínimo?

3687. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una bañera rectangular
abierta de una capacidad dada Y, para que su superficie sea minima?

3688. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una bañera cilíndrica

am

CAPITULO 6, CALCULO DIPERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

abierta, con una sección transversal semicircular, cuya superficie es igual
45, para que su capacidad sea máxima?

3689. Hallar un punto en la esfera x? + y? + 2? = 1 tal que la suma
de los cuadrados de sus distancias hasta m puntos dados My (x Je 2)
(€=1,2, ... n) sea mínima.

3690. Un cuerpo consta de un cilindro circular recto que termina
gon un cono circular recto. Dada la superficie total del cuerpo, igual a

determinar sus dimensiones de tal modo que su volumen sea máximo.

3691. Un cuerpo, cuyo volumen es igual a Y, representa un parale-
lepipedo rectangular recto, cuyas bases inferior y superior vienen ter
minadas por pirámides regulares y cuadrangulares iguales. ¿Cuál debe
ses cl ángulo de inclinación de las Caras laterales de las pirámides respec.
10 de sus bases, para que la superficie total del cuerpo sea minima?

3692. Hallar un rectángulo de un perímetro dado 2 p, de tal modo
que al girar alrededor de uno de sus Íados se forme un cuerpo de vou”
men máximo,

3693. Hallar un triángulo de un perímetro dado 2 p, de modo que
al girar alrededor de uno de sus lados se Forme un cuerpo de volumen
máximo.

3694. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepipedo rec-
tangular de volumen máximo.

3695. Inscribir en un cono circular recto un paralelepípedo rectan-
sular de volumen máximo.

3696. Inscribir en el elipsoide

Az
un partislepipedo de volumen máximo.
3697, inserii en un cono rulz rect, cuye generat 1 oma un
ángulo & cone plano de la base un pe ve hase
pal ss máxi

x
5 E
#57 +7 =<, un paralelepipedo rectangular de volumen máximo.
3699. Hallar la distancia minima del punto Mo (Xo, Yo, Zo) al plano
Axt+By #CE+D=0,
3700. Determinar la distancia mínima d entre dos rectas en el espa-
cio

3698. inscribir en el segmento de paraboloide eliptico = = +

378

>. EXTREMOS DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIAOLES

3701. Hallar la distancia minima entre la parábola y
x-y-2=0

3792. Hallar los semiejes de una curva central de segundo orden

Ast 2Bxy + Cy

3703. Hallar los semiejes de una superficie central de segundo orden

Art By Ce + 2D) Y 2By2 +2 Ex

3704. Determinar el área de la elipse formada en la intersección del
cilindro.

y la recta

1

ate

y plano

Az By Ce

3705. Determinar el área de la sección del elipsoide

E

atatäsl
por el plano

cos y co dry,

donde

costa co pd cost y=

3706. Según el principio de Fermat, la luz que sale del punto À y que
incide en el punto B se propaga por aquella curva, para cuyo recorrido
se invierts el tiempo mínimo.

Suponiendo que los puntos A y B están situados en distintos medios
ópticos, divididos por un plano, Siendo la velocidad de propagación de
ja luz en el primer medio igual a v; y en el segundo igual a v3, deducir
la ley de refracción de la lez.

3707. ¿Cuál debe ser el ángulo de incidencia para que la desviación
del rayo lüminoso (0 sea, el ángulo formado por el rayo incidente y el
tayo emergente) que past por un prisma, que tiene el ángulo de refrac-
ign a y el indice de refracción », sea mínima.

31

CAPITULO 6. CALCULO DIFERENCIAL DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLIS

3708. Las variables x e y satisfacen a una ecuación lineal
arto,

cuyos coeficientes se necesitan determinar. Como resultado de una s:-
He de mediciones de igual precisión de las magnitudes x e y se han ob-
tenido los valores x;, yy = 1, 2, wy 1).

Aplicando el método de los cuadrados mínimos, determinar los va-
lores més probables para los coeficientes a y à.

Indicación. Según el método de los cuadrados mínimos, los velores
més probables de los coeficientes a y à son aquellos para los que la s
ma de los cuadrados de los errores

Sate Betsy

es minima,
370%: En el plano se ha dado un sistema de m puntos M, (x
G51, 2am

¿Cuál debe ser la posición de la recta

x cos a+ jrsin à — p.

para que la suma de los cuadrados de las desviaciones de los puntos de-
dos de esta recta sea minima?

3710. Sustituir aproximadamente la función x? en el intervalo (1. 3)
por una función lineal ax + b, de tal modo que la desviación absoluta

A=splY—r+0] era)
sea minima.

380

-
Capito Í INTEGRALES PARAMETRICAS

$ 1. Integrales propias paramétricas

12 Continuidad de la integral Si la función f(x, y) está definida y
es continua en la región acotada R la < x <A: b <y < 8), entonces

representa una función continua en el segmento b < y <

2° Derivación bajo el signo de la integral. Si, además de lo indicado
en 1°, la derivada parcial fy (x, y) es continua en la región R, entonces,
para b'< y <A, se verifica la fórmula de Leibniz:

¿frene vu nu

En el easo más general, en que os límites de integración son fu
nes diferenciables p (y) y y () del parámetro y, y a <w (y) <A.
a<y (y) <A para b < y <B, se tiene:
e
ST rune

10094 OT. NTO | Kunde é<rcn.

3.” Integración bajo el signo de la integral En las condiciones 1°, se
tiene
La ft na

alte mé.

381

‘CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

Problemas
3711. Comprobar que la integral de la función discontinua

Ls, sen C= y)
FU)

=f fle, y ax

es una función continua. Construir la gráfica de la función u
3712. Estudiar Ja continuidad de la función

ror Las,

onde 7 (x) es una función continua y positiva en el segmento (0, 1)
3713. Hallar
AS A
Dl ga O [res

5 din, (vers o ST

3713.1, Hallar

ejem

3714. Sea f(z) una función continua en el segmento [4, 8]. Demos-
trar que

im ES VAN Aaron Lac,

3714.1. Supongamos que: 1) 9 0920 (= 1, 2...) en [1,153

a (0) 30 cuando n= eo en O<e<ixi<1; | md
cuando » —+ eo, >
Demostrar que, si f(x) € C[- 1, 1), entonces

an, 100,00 4=700)

382

1-ANTEGRALES PROPIAS FARAMETRICAS

3715. ¿Es posible efectuar el paso al límite bajo e! signo integral en
la expresión
Ha

3716. ¿Es posible calcular por la regla de Leibniz la derivada de la
función

Foy) VI FA

para y = 0?
3757. Calcular F* Go, si

3718. Calcular F' (a), si

» Fan | ema 9 Fea) MOE ae

» ren | mes

à FO fete aan

eo ste

9 tae lin add

3719. Hallar F" (x), si

Fw=fetafordn

donde f (x) es una función diferenciable,
3720. Hallar 2" (x), si

Lo =101:—y 18,
donde a <b y £(y) es una función continua en (a, b]

383

CAPITULO 2. INTEGRALES PARAMETIICAS

3721. Hallar F" (x), si

Sim 4>0

F(x) =;

donde f(x) es una función continua.
3722. Hallar Eo, si

S/o ear ae.

3722.1, Demostrar la fórmula

Fin

2) ruft) W120) m

Aplicando la formula (1), obtener la cota

part x€(—o0, boo).

3723. Sustituir aproximadamente la función f (x) =x? en el segmen-
to 1 <x <3 por la función lineal a + bx, de tal modo que

Stetoe— sae

3724. Obtener una fórmula de aproximación, de la forma
ViFE sot, Pere
de modo que Ja desviación media cuadrática de las funciones a + bx y

Y +27 en el segmento dado [0, 1) sea mínima.
3725. Hallar las derivadas de las integrales elípticas totales

Ea
rl o<ecn
y expresarlas mediante las funciones £ (&) y F (X)

384

l. INTEGRALES PROPIAS PARAMETRICAS

Comprobar que E (k) satisface a la ecuación diferencial

E

o.
3726. Demostrar que la función de Bessel de indice entero rn

4

2 eos ap — sto na

satisface a la ecuación de Bessel
Alapaha.) N)
3727. Sea

donde la función (x) es continua junto con su derivada y (x) en el
segmento 0 <x «a.
Demostrar que, para 0 <a <a, se tiene:

+ E ur.

Fa

Indicación. Hacer x = at,
3728. Comprobar que la función

a00=ÍK(x, No) dy.

donde .

Jal si zen

Lot, so aD

y » (9) es continua, satisface a la couación
IS

Kin =

3729. Hallar Fi (x, y), si

Fle, n=) eyes ads,

donde f (a) es una función diferenciable.
385

CAPITULO 7.INTEGRALES PARAMPTRICAS

3730. Sea f (x) una función dos veces diferenciable y 4? (x) una fün-
ción diferenciable,
Demostrar que la función
ster

2 SZ) | ré

satisface a la ecuación de las vibraciones de le onda

A
ES

y a las condiciones iniciales: u (x, 0) = (x), uf (x, 0) = F (x).
3731. Comprobar que, si da función f(x) es continua en el sezmento
10.1) y QE +y? +2? 40 para OSE KI, entonces la función

a, 3, a=

satisface a ls ecuación de Laplace

CEA

et ape tar

Aplicando la derivación respecto del parámetro, calcular las sisuien-
tes integrales

onan, {inetsnt porras ar. | ARO y,

amo. fire tien. 3785, {in BBE, de qui cn

3736. Aplicando Je formula

calcular la integral

pue

386

2 INTEGRALES IMPROPIAS PANAMETRICAS. CONV-UNIFORME DE LAS INTEORAT

3737. Aplicando el método de integración bajo el signo de la inte-
gral, calcular la integral

fa >, 50
3738. Calcuiar las as
a Salut) inte y Ja)

3739. Sean Fk) y E(%) las integrales elípticas totales (véase el
problema 3725). Demostrar las fórmulas

@>0,5>0.

2) J FU) kdb EG) AIF (ii

D) JE Ade gli ERDE),

donde 43 =1— KR.
3740, Demostrar la fórmula

facade ta,

donde Jy (x) y Jy (x) son las funciones de Bessel de índices O y 1 (véase
ei problema 3726).

$ 2. Integrales impropias paramétricas.
Convergencia uniforme de las integrales

17 Definición de convergencia umiforme. Una integral impropia
4
Tie pas w

donde la función f(x, y) es continua en la región a &x < +0,
33 < ya, se Mama uniformemente convergente en el intervalo

387

CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

Or. Ya), si para cualquier €>0 existe un número B=2 (6) tal que,
para cualquier b > B, se tiene

as
[Tr males w<vem

La convergencia uniforme de la integral (1) es equivalente a la
¡convergencia uniforme de todas las series de Ja forma

¿ene

donde a =p <a, <a, <... <an Lames <..y Jim, an = bom,
Si la integral (1) es uniformemente convergente en el intervalo
(1. Ya), ésta representa una función continua del parámetro y en este
interyalo,
2.° Criterio de Cauchy. Para la convergencia uniforme de ia integral
(D en el intervalo Gry, y) es necesario y suficiente que, para cualquier
> O exista un número B= B (€) ial que

Ie mél <e para ns cs

siempre que b'>B y b">B,

3.° Criterio de Weierstrass. Para la convergencia uniforme de la
integral (1) es suficiente que exista una función mayorante F (x), no
dependiente del parámetro y, tal que

1) Me M1SEG) para eme
2) | Féjar<+o.

4° Se verifican unos teoremas similares para las integrales impropias
de las funciones discontinuas

Problemas
Determinar los campos de convergencia delas integrates:
e e
EA sus (A ae
ama, [See ax, ama. | Le,

388

> INTEGRALES IMPROPIAS PARAMETRICAS, CONV. UNIFORME DE LAS INTEGRALES

integrales:

a

a Tune ae

351. Enunciar en sentido positivo qué significa que la intogral
Y fax

es convergente, pero no uniformemente, en el intervalo 1. y)
3752. Demostrar que, si 1) la integral

Y dde

es convergente y 2) la función p(x, y) está acotada y es monótona
respecto de x, entonces la integral

ts
POUCES

es uniformemente convergente (en la región correspondiente).
3753, Demostrar que la integral uniformemente convergente

de O<y<it)

no puede mayorarse por una integral convergente que dependa de un
parámetro.
3754. Comprobar que la integral

+9
Vacas

389

CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

1) es uniformemente convergente en cualquier segmento 0 <a <a <b:

2) es convergente, pero no uniformemente, en el segmento 0 <a <b,
3755. Demostrar que la integral de Dirichlet

Vas

de

1) es uniformemente convergente en cada segmento (a, b] que no
contenga el valor a= 0, y 2) es convergente, pero no uniformemente en
cada segmento (a, b] que contenga el valor «= 0.

3755.1. Estudiar la convergencia uniforme de la integral

te

El

en los siguientes intervalos: a) 1 a <a< +00; b) I<a<+ =.
3785.2. Averiguar si es uniformemente convergente la integral

VE par 0 <a cr.

3755.3. Comprobar que la integral

de
FF

es convergente, pero no uniformemente, en el intervalo | <a <+ en.
Averiguar si son uniformemente convergentes las siguientes integrales
en Jos intervalos indicados

te
3756, | eSsinxds (OC acac-foo).

an +e
3757. | send las ant). 3758, | ax (~coCac too}

le
mo. | orto

de

3760, “ae Oca <A)

390

>» INTEGRALES IMPROPIAS PARAMETRICAS. CONV. UNIFORME DE LAS INTEGRALES

sen. FE
sii. | ede aceon), donde p> 0 está Fado.

OS

on. | Vice: cu ce).

3763.

Wax; sa La Gb GE a 400.

js

ses. et sinedy (oe toh
to os

ans | bee RO.

3765.1. Elegir un número b > 0 de tai modo que

PCT reee pan 1101, done

3766. (rt des) pore. >0b)P>o (SM

won. | Waa took

LE o<r<a.

E sa 1
am. | Er (lal<4)
3770. ive Osea.

3771. Una integral se Hama uniformemente convergente pare un
valor dido del parámetro, si es uniformemente convergente en cierto
entorno de este valor. Demostrar que la integral

ade

Ter

391

CAPITULO 7, INTEGRALES PARAMETRICAS

es uniformemente convergente para cada valor a + 0 y no es uniforme-
‘mente convergente para a=0
3772. ¿Es lícito el paso al limite bajo el signo de la integral en la
expresión
+9
lo | eas?
Lx
3773. La función f(x) es integrable en el intervalo (0, + co). Demos
trar la fórmula

se +
im, Teens Frente

3773.1. Demostrar que, si f(x) es absolutamente integrable en

la, too}, Entonces existe tim F(x).
3774. Demostrar que

si f (+) es absolutamente integrable en el intervalo (D, + ce).
3775. Demostrar que, si 1) f(x») = f(x, yo) en cada intervalo

finito (a, 6), 21x y) 1 <P (2), donde | Fx) dx <+ eo, entonces

to to .
Bia, | fin seem | im ee yds

3776. Calcular la integral

Veran Te (042) Jos

sirviéndose del paso al limite bajo el signo de la integral.

3776.1. Sea f(x) una función continua y acotada en [0, + ce), De-
mostrar que

ts
mit Er,

vorn

392

3 INTEGRALES IMPROPIAS FARAMETRICAS. CONV. UNIFORME DE LAS INTEGRALES

3776.2, Hallar

3777. Demostrar que la integral
4e
IS

es una función continua del parámetro a,
3777.1. Comprobar que
¿an

Fee

es una función continua en el intervalo 0 < & < 1.
3778. Determinar los puntos de discontinuidad de la función

an

sind 21 ge

Construir la gráfica de la función y = F (a).
Averiguar si son continuas las siguientes funciones en los intervalos
indicados:

am, par a2.
sr. para 130.

781, pan cer.
ame. pin oa Zi.
an pue er un hen

393

CAPITULO. INTEGRALES PARAMETRICAS

$ 3. Derivación e integración de integrales impropias
bajo el signo integral
1° Derivación respecto del parámetro, Si 1) la función f(x, y) es
continue junto cop su desivada f(x,y) en la región acy < ton
V1 <Y<Y2, 2) | JG y)dx es convergente; 3) {vex es
uniformemente convergente en el intervalo (y,
40

te
Seem Thane

+), Entonces

para pı <y < ya (regla de Leibniz).
2° Fórmula de integración respecto del parámetro, Si 1) la función

£65 y) es continua para x > 2, y, Ey 3:52) | f(x, y) de es unifor
memente convergente en el segmento finito fy, js, entonces

ae a
Vir ce te pas

Si JG») > 0, entonces la fórmula (1) también es válida para un
intervalo infinito (7, y2), suponiendo que las integrales interiores en la
igualdad (1) son continuas y uno de los miembros de la igualdad (1)
existe,

Problemas:
3784. Aplicando Le fórmula

{oie taso,
calar a integra

1= ft nme ds, donde m es un nümero natural.

3785. Aplicando la formuts
ez.
Va waere

394

2. DER. EINTEG. DEINTRGRALES MPROPIAS BAJO EL SIGNO INTEGRAL

calcular la integral

{ de len vero natural
1 off, conten sun ier ua

3786. Demostrar que la integral de Dirichlet

10] See

admite derivada para a +0, sinembargo,no puede hallarse mediante la
regla de Leibniz,
indicación. Hacer ox

3787. Comprobar que la función

te

Fam |

es continua y diferenciable en la region
o <e<+oo

3788. Basándose en la igualdad

77

calcular la integral

de (@>0, 6> 0).

3789. Calcular la integral de Frullani

(ah (00,520,

te
feta as

+

donde f(x) es une función continua y la integral | 12 dx existe para

cualquier A > 0.
395

CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

Aplicando la formula de Frullani, calcular las integrates:
Pc. ba
8790, A >.

&
en. Tree, on,

ee

AN

Aplicando el método de derivación respecto del parámetro, calcular
las siguientes integrales:
q pe

ars. | E"

4e

ou P(E ap,

dz @>0,8>0),

3705, [SE amede (@>0, 60),
fo
9798. | EN ccsmeae ta >0,P>0)

Calcular las integrales:

ios te
A a,

é et) Ges
TE

40 te 5 .
E EEN

3803. Calcular la integral de Euler-Poisson
te

Î et ax,

396

3 DER. INTRG, DE INTEGRALES IMPROFIAS BAJO EL SIGNO INTEGRAL

basándose en la fórmula

to te
Vera ara

Sirviéndose de la integral de Fuler-Poisson, hallar los integrales
+

su, Peer (090, 0090)
=

ss. Tate Pelee de (a> ae —P D0}.

moe. are (050 so. Te Cue @>0,

FE nes nb
3808. (EE u>0,8>0)

=
00, “Ceeteondede o> 0. 8010. | are snde ata 0)

fo
san, Ver cos 260s (m esun némer natura)
8811.1. Demostrar que

im Ve feat VE e>00>0.

3012. Basándose en la integral

a
om [ento amo,

calcular ia integral de Dirichlet

ae
op | Mar.
3812.1. ¿Qué forma tiene, aproximadamente, la gráfica del seno
integral

dende

39

CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

Sirviéndose de las integrales de Dirichlet y Frullani, calcular las
integrates:

en Fetes au f(t) an
> sus (ue).
Foe
sai, fase,

den
820, | teste (ps)

te

an, fans

sen, | run, (40,50, do.
3823. Hallar cl factor discontinuo de Dirichlet

Tanne

2

Di)

para diversos valores de x. Construir la gráfica de la función y = D (x).
3824. Calcular las integrales

ann Pitan vus Tee

3825. Aplicando la fórmula

FF

calcular la integral de Laplace

298

5: DER, E RITAG, DE INTEGRALES IMPROMAS 3440 EL SIONO INTEGRAL

3826. Calcular la integral

+
4 =) Tee ae
Catear ls integrales!
WP ante cos ax
CRE 002. Tano

te
see. O a8 > 0}

3830. Aplicando la formula

Pera &>o,

calcular las integrales de Fresnel
19

Fooment Y

Hallar las integrales.

pS .
an. Tante tor podr (exe 0)

Fe) a
sear. A 9890, "| eon atin 2arde,
ass, Demostrar es formulas:

5 cosa,

nf tune genes Tat

donde «+0 y las integrales tienen el sentido del valor principal de
Cauchy,
399

CAPITULO. INTEGRALES PARAMETRICAS

3835. Hallar la transformada de Laplace
+=
Fos Ferre >

Para la función f (1), si:
a) fi (nes un número natural);
DOVE ©) JA e05

ort
d) 1 =te"", sina VE
3836. Demostrar ia fórmula (integral de Lipschitz)

(>,

donde Jp (x)= $ os (x sen y) dy es la función de Besse! de indice 0

(véase el problema 3726).
3837. Hallar la transformada de Weierstrass
+e
Serra,

9 forse:
4) Sy = cos ay.

3838. Los polinomios de Chébichev-Laguere se definen por las
fórmulas

Hut: et Sey a0, 1,2 0.

Demostrar que

te Ñ
REGEN. si msm
SA CAVE, à man

400

A. INTEGRALES EULERIANAS

3839. Caleuiar la integral

1
am je

& > o>,

de mucha importancia en la teoría de probabilidades.

3840. Sea f(x) una función continua y absolutamente integrable en
elintervalo (— es, + =)
Demostrar que Ja integral

Ps

al =

satisface a la ecuación de propagación del calor

ei
æ

y a la condición inicial

CITE
ate

$ 4. Integrales eulerianas

15 Función Gamma Para x > 0, se tiene:
4
Mos Jerte.
La propiedad fundamental de la función Gamma se expresa por la
formula de reducción
Pete)
Sin es un número entero positivo, se tiene:

RECENT

m (oad

401

‘CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETRICAS

2° Förmula de los complementos. Si x no es un nümero entero, se
tiene:
rra
Esta fórmula permite definir la función Gamma para valores negati-
vos del argumento.
3.* Función Beta, Para x > e y > 0, se tiene:

BS jane

Se verifica ta formula
rere

Bee, y= FOES

Problemas:
3841. Demostrar que la función Gamma, L (+), es continua y admite
derivadas continuas de todos los órdenes en la región x > 0.
3842. Demostrar que la función Beta, B (x, y), es continua y admite
derivadas continuas de todos los órdenes en la región x > 0, y > 0.
Aplicando Jas integrales eulerianas, calcular las siguientes integrales

sm. fre ur Ts.

380%, [PIPAS 9048, {ant costa,

9845. Free so. [E
te

>).

ord

“
so Te.

45
3850. {er @x (n es un número entero positive).

Determinar el campo de exsencia y expresa mediante a ingles
zulerianas las siguientes integrales:
se te
2 =
oo. Theo mn Ve

402

ds

u | Gimp (02002000

sass, (HEM OTe, e Vint ar.
0<a<b, c>0) +o
ann. | Venado (ad
ssss | o
: DRE
3050. Van x ent sr. e
¿ PESTO
ar. fia 7
je eset. (SIE ae
ss | UE Sm
A Fite
TETE ’
4 Wan
3859. jew a>9. 86 À Ring
Ae: (rear
3860. | xe de. secs. (E ET ax OS p cl).

Indicación. sta integral puede considerarse como
Am Bo. 080», 0)
+ on
3867. [er O<acp. 3889. | InTimar (a>0).

2868, fn ça. 080. Jar snm.

0871, Fin) cos ane de (n esun nómero natural

403

CAPITULO 7. INTEGRALES PARAMETIICAS

Demostrar las igualdades:

an Teta ee

sm y a Dar

ye
3876. Im | eax

L

* dt >). cal

Sirviéndose de la igualdad

cular las integrales:
Pr

vom. fer pence.
Fe

sn. Que

0<a<2.
3878. Demostrar las fórmulas de Euler:
Ll

im
2) J Fore eons cos (it sina dt IR cos cet

Mowe PO sna
sin (sin) dt sin

(a>0, :>0 —F<a <4):

3879. Hallar la longitud del arco de la curva

ae" cosmp (000, mes natural),

3880. Hallar el área de la figura limitada por la curva
lef +ist= w>0, ¿>

408

§ 5. Formula integral de Fourier

1.° Representación de una función mediante la integral de Fourier.
Si, 1) la función f(x) está definida en el eje —0o<x<+ os, 2) es
continua a trozos junto con su derivada f'(+) en cada intervalo finito y
3) es absolutamente integrable en el intervalo (— «=, + 0), entonces, en
todos sus puntos de continuidad, la función admite una representación
en forma de integral de Fourier:

+0
10 Lema, o
donde
+2 ts
em=z fra, od (route.

Fn los puntos de discontinuidad de la función f (x), el primer miembro
de la formula (1) debe ser sustituido por

IO

Para una función par (+), teniendo en cuenta la observación expues-
ta respecto de los puntos de discontinuidad, la fórmula (1) toma la
forma
42
CERCLE @

donde

ob

2 ome.

Similarmente, para una función impar f(x), resulta:
to
109 = rmac, o

donde

«e
2 Fromme.

405

CAPITULO. INTEGRALES PARAMETRICAS

2.” Representación de una función mediante la Integral de Fourier
en el intervalo (0, + =) Una función f (x), definida en el intervalo
(0, +) y continua a trozos junto con su derivada f(x) en cada
intervalo finito (a, b) C (0, + oo), absolutamente integrable en (0, + eo),
poco e lr ne CO
formula (2) (prolongación par), o bien mediante la fórmula (3) (prolon-
gación impar).
tens:

Lo een

AS

we Ulmen
AS
deroga ee OSs
à fes
à be
.
020. O

A

3885. f(x)

or à Hae
cose, Sich
3988, Juice 2
pl,
Asinat, si je 2
3889. (=. ie
o, si HIDE (x es un número natural).

el Do.
2 "11 cos Bx (a> 0) 8893. f(x) à
) “ls fixie > 0). 2894, fl) =xe"",
3895, Representar la función

Fa) O<e<+ 00)

mediante la integral de Fourier, prolongándola de tal modo que resulte
2) par; b) impar,

406

5. FORMULA INTEGRAL DE FOURIER

Hala ivstormada de Fourier
Pete

para la función 7 (0, st

3896. / (x) (>. 3808, ft.

3897. fx) =xe="Isi(a >0}. 3609. ie
3900. Hallar las funciones p (x) y y (x), sí

ds

a) (yo:

D) | pinsnayay

IES

407

captuto & INTEGRALES MULTIPLES Y CURVILINEAS

§ 1. Integrales dobles

1.° Cálculo directo de une integral doble, Se Mama integral doble de
una función continua f(x, y), extendida a un recinto cuadriculable
cerrado y acotado @, al número

{tus near i BM naar

aa th Ay,
valores de y j para los ut 5
Si el recinto 02 viene dado por las desigualdades

yjn= y la suma se extiende a aquellos

oz. 0

donde y, (x) e ya (x) son funciones continuas en el segmento {a, b],
entonees la integral doble correspondiente puede calcularse según la
formule

ero
fae Y tis nay
ère

{fre neces

2° Cambio de variables en la integral doble. Si las funciones, con
diferenciales continuas, *

CES

realizan una transformación biyectiva del recinto cerrado y acotado A
del plano Oxy en el recinto 2" del plano Ouv, y el jacobi:

entonces se verifica la fórmula

[Sto mára

Llao) yla, 0) Fée de

09

CAPITULO a. INTEGRALES MULTIPLES y CURVILINEAS

En particular, para el caso del paso a coordenadas polares r y y según
las fórmulas x =7 cos y, y =r Sin y, se tiene:

{Sree ren gprérae.

ren

Problemas:
3901. Calcular la integral
ST syaedy,

considerindola como el límite de las sumas integrales, dividiendo el
recinto de integración en cuadrados mediante las rectas

DER

y

4 own
y tomando los valores de la función subintegral en los vértices de la
derecha de estos cuadrados.

3902, Formar las sumas integrales, la inferior S y ta superior, para
la función f(x, y)=x? +y? en el recinto 1 <x <2, 1<y <3, divi
diendo éste en reclängulos mediante las rectas

==

hm

¿A qué son iguales los límites de estas sumas cuando n —
3903. Calcular aproximadamente la integral

era

sproximando el recinto de integración por un sistema de cuadrados
inscritos, cuyos vertices Ay estén situados en los puntos enteros, y
tomando los valores de la función subintegrat en los vértices de estos
Susdrados que están más alejados del origen de coordenadas, Comparar
el resaltado obtenido con el valor exacto de la integral

3904, Calcular aproximadamente la integral

vers,

410

donde S es el tejángulo limitado por las rectas x=0, y=0, x+y=1,
Gividiendo el recinto S por las rectas x = const, y = const, x + y = Const.
en cuatro triángulos iguales y tomando los valores de la función subinte:
gral en los centros de gravedad de estos triángulos.

3505. El recinto S (x? + y? <1) está dividido en un número finito
de partes cuadriculables AS; (i=, 2,....,n) de diámetro menor que à
¿Para qué valor de 5 puede garantizarse la validez de la desigualdad

IS sio eb 9 45— Zon eras <o0m,

donde (x, Yi) € ASI?
Calcular las integrales:

3000. {axjoctsrde 3907. fx aytaz

3000. fag) sit gar.
3909. Demostrar Ia igualdad
X rar ape | Xd] YODA,
SR es el rectángulo:
ara bay.

3910, Calcular:
=f def fx Dey,

She N= Fig Y

3911, Sea f(x) una función continua en el segmento a < x < b.
Demostrar la desigualdad

fre ex] «oir dx,
donde el signo de igualdad solamente se verifica si f(x) = const.

an

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