5.2 DERIVADAS PARCIALES (64RG45G45G45G).pptx

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1. Pregrado DERIVADAS PARCIALES

2. En esta sesión de clase aprenderás Calcular la derivada parcial de primer y segundo orden, mostrando orden y claridad en el manejo de la información. Resolver problemas relacionados con la especialidad, haciendo uso de la derivada parcial, mostrando una actitud analítica y colaborativa.

3. Contenidos: Caso aplicativo. Introducción. Derivadas parciales de una función en dos variables. Interpretación geométrica . Derivadas parciales de orden superior.

4. Caso aplicativo Una lata de bebida gaseosa tiene la forma de un cilindro de altura con un radio de centím etros. Su volumen está dado por la fórmula . Una lata en particular mide de alto con radio de . Calcula la razón de cambio del volumen con respecto al radio. Calcula el cambio de volumen que resulta si el radio aumenta en 1 cm mientras que la altura permanece en 12 cm. Calcula el cambio exacto del volumen.  

5. Saberes previos: La derivada de la función en , se define,   Siempre y cuando este limite exista.   Geométricamente, la derivada de en es la pendiente de la recta tangente a en , es decir:  

6. Derivadas parciales para una función en dos variables Si es una función en dos variables, entonces la derivada parcial de con respecto a en el punto , se denota:   Caso 1

7. Representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto perteneciente a la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la dirección del eje .   Interpretación geométrica

8. Si es una función en dos variables, entonces la derivada parcial de con respecto a en el punto , se denota:   Caso 2

9. Interpretación geométrica Representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto perteneciente a la gráfica, es decir, la inclinación de la superficie en la dirección del eje .  

10. Notación: Si , se tiene las siguientes notaciones:      

11. Ejemplo 1 Si , halle y .  

12. Ejemplo 2 Si , halle y .  

13. Ejemplo 3 Si , halle y .  

14. Ejemplo 4 Si , halle y .  

15. Si , halle , y .   Si , halle , y .   Ejercicios de reforzamiento

16. Derivadas parciales de orden superior Sea una función de dos variables, las derivadas de primer orden son:  

17. La derivadas parciales de segundo orden son:

18. Recuerda Sea una función definida en el abierto . Si las derivadas parciales y existen y son funciones continuas en , entonces  

19. Si , halle:   Ejemplo 5 a)   b)   c)  

20. Ejemplo 6 Si , halle:   a)   b)  

21. Ejemplo 7 Si , halle:    

22. Ejemplo 8 Si , halle .  

23. Ejemplo 9 Si , halle .  

24. Ejercicios de reforzamiento  

25. 2 . Verifique que la función satisface la ecuación de Laplace en tres dimensiones  

26. 3 . Halle una función talque y  

27. 4. La presi ón ejercida por un gas ideal encerrado está dada por , donde es una constante, es la temperatura y es el volumen. Determine:   La tasa de cambio de con respecto a . La tasa de cambio de con respecto a . La tasa de cambio de con respecto a  

28. ¡Ojo! Recuerda que debes resolver los ejercicios de la hoja de trabajo de la sesión 2 que esta en blackboard en la carpeta de nombre actividades de evaluación; esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en clase.