5 2 funcoes de transferencia

Controle e Servomecanismo

1. Função de Transferência
Circuitos El
étricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Aula 5
Fonte:
Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR
- Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Depar
tamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, 03/012.
Cristiano, CuritibaSistema de Controle

2. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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3. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Função de Transferência
É uma função que relaciona algebricamente a saída de um
dado
sistema à sua entrada.
Considere a equação diferencial de ordemnabaixo:
an
∂
n
c(t)
∂t
n
+an−1
∂
n−1
c(t)
∂t
n−1
+∙ ∙
∙+a0c(t)
=bm
∂
m
r(t)
∂t
m
+bm−1
∂
m−1
r(t)
∂t
m
+∙ ∙
∙+b0r(t)
sendoc(t)a saída er(t)a entrada. Os coef cientesaiebi
formam a equação diferencial.
Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os lados
da equação anterior, temos:
ans
n
C(s) +an−1s
n−1
C(s) +∙ ∙ ∙+a0C(s) +C.I.
=bms
m
R(s) +bm−1s
m−1
R(s) +∙ ∙ ∙+b0R(s) +C.I. (1)
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4. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Reorganizando a expressão (1), obtém-se:
(ans
n
+an−1s
n−1
+∙ ∙
∙+a0)C(s) = (b ms
m
+bm−1s
m−1
+∙ ∙ ∙+b0)R(s)
Assim, podemos obter a função de transferência
manipulando-se a equação anterior:
C(s)
R(s)
=
(bms
m
+bm−1s
m−1
+∙ ∙
∙+b0)
(ans
n
+an−1s
n−1
+∙ ∙
∙+a0)
(2)
sendon≥m. Neste caso, foram considerado as condições
iniciais nulas para simplif cação da expressão.
Podemos ainda chamarC(s)/R(s) =G(s), então,
C(s) =R(s)G(s)
R(s) (bms
m
+bm−1s
m−1
+∙∙
∙+b0)
(ans
n
+an−1s
n−1
+∙ ∙ ∙+a0)
C(s)
G(s)
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5. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Exemplo
Obter a função de transferência da equação diferencial
representada
por:
˙c(t) +2c(t) =r(t). (3)
Aplicando-se a transformada de Laplace em (3), temos:
sC(s) +2C(s) =R(s),
G(s) =
C(s)
R(s)
=
1
s+2
,
neste
caso foi suposto condições iniciais nulas.
Para obter a resposta degrau da função de transferênciaG(s),
fazemos,
C(s) =
1
s
1
s+2
,sendoR(
s) =1/s. (4)
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6. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Expandindo em frações parciais a equação (4), obtém-se:
C(s) =
1
/2
s
−
1/2
s+2
. (5)
Aplicando
a transformada de Laplace inversa em (5),
c(t) =
1
2
−
1
2
e
−2t
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Step Response
Time (sec)
Amplitude
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7. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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8. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3
componentes:
resistor, capacitor e indutor.
Componente Tensão Corrente T
ensão Carga Z(s) =V(s)/R(s)
v(t) =
R
τ
0
i(τ)∂τi(t) =
C∂v(t)
∂t
v(t) =
1
C
q(t)
1
Cs
v(t) =Ri(
t) i(t) =
1
R
v(t) v(t)=R
∂q(
t)
∂t
R
v(t)=L
∂i(
t)
∂t
i(t)=
1
L
R
t
0
v(τ)∂τv(
t) =L
∂
2
q(t)
∂t
2
Ls
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9. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Exemplo 1: Considere
o circuito elétrico simples ilustrado a
seguir:
+
-
+
-
v(t)
L R
v
C(t)
i(t)
C
Aplicando-se
a lei de somatório de tensão de malha do circuito
ilustrado acima, temos:
v(t) =L
∂i(t)
∂t
+Ri(t)
+v
C(t). (6)
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10. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Aplicando-se a transformada de Laplace em (6),
consider
ando-se as condições iniciais nulas, tem-se:
V(s) =LsI(s) +RI(s) +V
C(s), (7)
masI(s) =V
C(s)/
1
Cs
, assim
temos,
V(s) =Ls
V
C(s)
1
Cs
+R
V
C(s)
1
Cs
+V
C(s). (8)
P
ortanto, de (8), a função de transferência entre a entrada e
saída do circuito elétrico abordado é:
V
C(s)
V(s)
=
1
LCs
2
+RCs+1
.
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11. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Agora, considere um circuito elétrico mais complexo,
+
-
+
-
v(t)
R1 R2
vC(t)CLi1(t) i2(t)
sendoi1(t)ei2(t)correntes
de malha.
As equações diferenciais do somatório de tensão de malha do
circuito elétrico ilustrado anteriormente são:
R
ii
1(t) +L
∂(i
1(t)−i
2(t))
∂t
=v(t), (9)
L
∂i
2(
t)
∂t
+R
2i
2(t)+
1
C
Z
t
0
i
2(τ)∂τ−L
∂i
1(
t)
∂t
=0. (10)
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12. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Aplicando-se a transformada de Laplace em (9) e (10),
consider
ando-se as condições iniciais nulas, obtém-se:
R1I1(s) +LsI1(s)−LsI2(s) =V(s),(11)
LsI2(s) +R2I2(s) +
1
Cs
I2(s)−LsI1(s)
=0. (12)
Organizando (11) e (12) na forma matricial,
1
R1+Ls −Ls
−Ls Ls+R2+
1
Cs
2 1
I1(s)
I2(s)
2
=
1
V(s)
0
2
.
Neste
exemplo podemos encontrar várias funções de
transferência, tais como:V
C(s)/I2(s),V
C(s)/I1(s)e
V
C(s)/V(s). Neste caso abordaremos a função de
transferência entre a entrada de tensão e a tensão no capacitor.
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13. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função
de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Inicialmente obteremosI2(s).
I2(s) =
det
1
R1+Ls
V(s)
−Ls 0
2
det
1
R1+Ls −Ls
−Ls
Ls+R2+
1
Cs
2
,
I2(s) =
LCs
2
(R1+R2)LCs
2
+
(R1R2C+L)s+R1
V(s),(13)
masI2(s) =
V
C(s)
1
Cs
,então
,
I2(s) =CsVc(s). (14)
Portanto, substituindo-se (14) em (13), obtém-se:
V
C(s)
V(s)
=
Ls
(R1+R2)LCs
2
+
(R1R2C+L)s+R1
.
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14. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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15. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o seguinte circuito eletrônico,
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16. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
O Circuito anterior também pode ser representado por:
A função de transferência da tensão de entradaVi(s)par
a a
tensão de saídaVo(s)é dada por:
Vo(s)
Vi(s)
=−
Z2
Z1
. (15)
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17. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado a
seguir
,
Inicialmente, calcula-se a impedânciaZ1(s),
Z1(s)=
R1
R1C1s+1
=
360×10
3
2,016s+1
.
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18. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
O próximo passo é determinar o valor deZ2(s),
Z2(s) =R2+
1
C2s
=220×10
3
+
10
7
s
.
Por
tanto, temos que:
Vo(s)
Vi(s)
=−
Z2(s)
Z1(s)
=−1,232
s
2
+45
,95s+22,55
s
. (16)
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19. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função
de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resposta
Vo(s)
Vi(s)
=
C2C1R2R1s
2
+ (C2R2+C1R2+C1R1)s+1
C2C1R2R1s
2
+ (C2R2+C1R1)s+1
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20. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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21. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
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22. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o circuito ilustrado abaixo:
Neste caso objetiva-se determinar a função de transferência
X(s)/F(s), assim
tem-se,
X
FM=0.
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23. Função de Transferência
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Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
A f gura seguinte ilustra a ação das forças no objeto de massaM, tanto
no
domínio do tempo quanto no domínio da frequência,
Então, podemos escrever,
Ms
2
X(
s) +fvsX(s) +KX(s) =F(s),
X(s)(Ms
2
+fvs+K) =F(s),
logo,
X(s)
F(s)
=
1
Ms
2
+fvs+K
.
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24. Função de Transferência
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Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere agora outro sistema mecânico, conforme ilustrado
abaixo:
Atuação das forças emM1:
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25. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Atuação das forças emM2
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26. Função de Transferência
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Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Da análise das forças emM1eM2temos:
[M1s
2
+
(fv1+fv3)s+ (K 1+K2)]X1(s)−(fv3s+K2)X2(s) =F(s),
−(fv3s+K2)X1(s) + [M2s
2
+ (fv2+fv3)s+ (K 2+K3)]X2(s) =0.
Organizando matricialmente as expressões acima,
"
[M
1s
2
+ (f
v1+f
v2)s+ (K
1+K2)] −(f
v3s+K
2)
−(f
v3s+K
2) [M
2s
2
+ (f
v2+f
v3)s+ (K
2+K
3)]
#
1
X
1(s)
X
2(s)
2
=
1
F(s)
0
2
.(17)
De (17) podemos, por exemplo, encontrar a função de
transferênciaX2(s)/F(s)da seguinte maneira:
X
2(s) =
det
1
[M
1s
2
+ (f
v1+f
v2)s+ (K
1+K2)]F(s)
−(f
v3s+K
2) 0
2
det
1
[M
1s
2
+(
f
v1+f
v2)s+ (K
1+K2)] −(f
v3s+K
2)
−(f
v3s+K
2) [M
2s
2
+ (f
v2+f
v3)s+ (K
2+K
3)]
2.
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27. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função
de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Portanto,
X2(s)
F(s)
=
(fv3s+K2)
Φ
, (18)
sendo
Φ
=det
1
[M1s
2
+ (fv1+fv2)s+ (K 1+K2)] −(fv3s+K2)
−(fv3s+K2) [M2s
2
+ (fv2+fv3)s+ (K 2+K3)]
2
.
Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamente
os blocos. Por exemplo, considereM2parado e movimenteM1
para direita, e depois realize a análise inversa.
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28. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
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Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
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2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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29. Função de Transferência
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30. Função de Transferência
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Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o seguinte exemplo: Obter a função de transferência,θ2(s)/T(s),
par
a o sistema de rotação ilustrado abaixo:
Observando-se a f gura acima, nota-se que o eixo elástico é
suspenso
por meio de mancais em cada uma das
extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à
esquerda e o deslocamento angular é medido à direita.
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31. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Outro modo de verif car a operação dos sistemas rotativos é
ilustr
ado a seguir:
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32. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Então, se submetemos um objeto na forma cilíndrica a um torque, o
mesmo
tende a ter deslocamento angular. Adicionalmente se existir
uma força de resistência ao movimento angular causado pela aplicação
do torque, consideramos que o objeto é submetido a torção
(movimentos angulares em um corpo cilíndrico com sentidos opostos
nas extremidades).
Para obter a função de transferência desejada, primeiramente devemos
obter
um diagrama esquemático do sistema físico ilustrado
anteriormente.
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramosque
ela ocorre como uma mola concentrada em um ponto
particular do eixo.
A mola que representa a torção no corpo cilíndricoapresenta
uma inérciaJ1a esquerda e uma inérciaJ2a
direita.
Admite-se que o amortecimento no interior do eixo elásticoéinsignif
cante.
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33. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Diagrama esquemático do sistema girante analisado,
Análise emJ1
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34. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Análise emJ2
O somatório de torques emJ1eJ2pode
ser descrito como,
(J1s
2
+D1s+K)θ1(s)−Kθ2(s) =T(s), (19)
−Kθ1(s) + (J2s
2
+D2s+K)θ2(s) =0.
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35. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
Reorganizando (19) na forma matricial, obtém-se:
1
(J1s
2
+D1s+K) −K
−K (J2s
2
+D2s+K)
2 1
θ1(
s)
θ2(s)
2
=
1
T(s)
0
2
.(20)
Logo,
θ2(s) =
det
1
(J1s
2
+D1s+K)T(s)
−K 0
2
det
1
(J1s
2
+D1s+K) −K
−K (J2s
2
+D2s+K)
2. (21)
Então
,
θ2(s)
T(s)
=
K
Ψ
,
sendo
,
Ψ =det
1
(J1s
2
+D1s+K) −K
−K (J2s
2
+D2s+K)
2
.
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36. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
DeterminemG(s) =θ2(s)/
T(s)para o seguinte sistema
ilustrado a seguir:
Resposta:
G(s)=
1
2s
2
+s+1
.
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37. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função
de Transferência de Sistema Eletromecânico
DeterminemG(s) =θ2(s)/
T(s)para o seguinte sistema
ilustrado a seguir:
Resposta:
G(s)=
1
2s
2
+s+1
.
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38. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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39. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Considere o sistema com engrenagens ilustrado a seguir:
Para o sistema ilustrado acima temos:
r1θ1=r2θ2,
ou
θ2
θ1
=
r1
r2
=
N1
N2
.
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40. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Observações
Sistemas acionados por motores raramente são vistos sem trens de
eng
renagens acionando a carga.
As engrenagens proporcionam vantagens mecânicas ao sistema derotação
. Ex: A bicicleta de macha, ladeira a cima, por meio de uma
troca de macha, fornece mais torque e menos velocidade. Em linha
reta pode-se obter menos torque e mais velocidade.
Em muitas aplicações, as engrenagens apresentam folgas (backlash),que
ocorrem devido a um ajustamento inadequado entre os dentes da
engrenagem.
Se admitirmos que as engrenagens não absorvam nem armazenam energia,
podemos escrever,
T1θ1=T2θ2,ou,
T2
T1
=
θ1
θ2
=
N2
N1
.
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41. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Exemplo: Considere o sistema girante baseado em
eng
renagens ilustrado a seguir:
Será possível ref etir as impedâncias da entrada do eixo nasaída?
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42. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos as
situações
ilustradas abaixo:
Assim, considerando-se o caso(b)da
f gura anterior, podemos ref etirT1na
saída multiplicando-se porN2/N1. O resultado é ilustrado a seguir:
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43. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
O sistema anterior é conhecido (já discutido anteriormente) e
as
equações de movimento são,
(Js
2
+Ds+K)θ2(s) =T1(s)
N2
N1
. (22)
Mas
podemos descreverθ2(s) =
N1
N2
θ1(s), deste
modo (22)
torna-se,
(Js
2
+Ds+K)
N1
N2
θ1(s)=T1(s)
N2
N1
. (23)
Simplif
cando-se (23), obtém-se;
"
J
/
N1
N2
0
2
s
2
+D
/
N1
N2
0
2
s+K
/
N1
N2
0
2
#
θ1(s)=T1(s).(24)
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44. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
A equação de movimento mostrada em (24) pode ser
representada
pela seguinte f gura.
Observação
As impedâncias mecânicas em rotação podem ser ref etidas
por
meio de trens de engrenagens multiplicando-se a
impedância mecânica pela relação,
/
Número de dentes da engrenagem do eixo de destino
0
2
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45. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Exemplo: Obter a função de transferência,θ2(s)/T1(s), par
a o sistema
ilustrado abaixo:
Ref itamos primeiramente as impedânciasJ1eD1e o
torqueT1do eixo de
entrada para a saída conforme mostrado a seguir:
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46. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode ser
descr
ita como,
(Jes
2
+D2s+Ke)θ2(s) =T1(s)
N2
N1
. (25)
sendo
,
Je=J1
/
N2
N1
0
2
+J2;De=D1
/
N2
N1
0
2
+D2;K=Ke.
De
(25), obtemos a função de transferência
θ
2(s)
T
1(s)
,
G(s)=
θ2(s)
T1(s)
=
N2/N1
Jes
2
+Des+Ke
.
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47. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Resumo
1Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2Circuitos Elétricos Análogos
2Não-Linearidade e Linearidade
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48. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Estes sistemas podem ser utilizado para controle de
posição
de uma antena em azimute, por exemplo.
Outras aplicações: controle de robôs, rastreadores de sole r
astreadores estelares, etc.
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49. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Motor Eletromecânico
Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento
de
saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada
por uma entrada elétrica. No curso iremos abordar um particular sistema
eletromecânico, o servomotor de corrente contínua controlada pela
armadura.
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50. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
O campo magnético é produzido por ímãs permanentes estacionários
ou
por meio de um eletroímã estacionário chamado de campo f xo.
um circuito rotativo denominado armadura, através do qual circula
a
correnteia(t), corta o campo magnético segundo um ângulo reto e
experimenta uma força,F=Blia(t), sendo B a intensidade do campo
magnético elo comprimento do condutor.
O torque resultante aciona o rotor, o qual é o elemento girante do motor
Par
a o motor CC temos,
vb(t) =Kb
∂θm(t)
∂t
, (26)
sendovb(
t)a força contra-eletromotriz (fcem),Kba constante de fcem e
∂θm(t)/∂t=ωm(t)é a velocidade angular.
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51. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Aplicando-se a transformada de Laplace em (26),
consider
ando-se as condições iniciais nulas, tem-se
Vb(s) =Kbsθm(s). (27)
A descrição da transformada de Laplace, considerando-se as
condições iniciais nulas, da equação de malha do circuito de
armadura é:
RaIa(s) +LasIa(s) +Vb(s) =Ea(s). (28)
Neste contexto, o torque produzido pelo motor é proporcional à
corrente de armadura, assim,
Tm(s) =KtIa(s). (29)
sendoKtuma constante de torque do motor.
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52. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Assim, podemos escrever a corrente de armadura como,
Ia(s) =
Tm(
s)
Kt
. (30)
Substituindo-se
(27) e (30) em (28), obtemos,
(Ra+Las)Tm(s)
Kt
+Kbsθm(s) =Ea(
s). (31)
A f gura a seguir mostra um carregamento típico de um motor
sendoJméo
momento de inércia equivalente na armadura e
Dmo amortecimento viscoso equivalente na armadura.
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53. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Como já discutidos anteriormente, a equação de movimento do
sistema
típico de um motor ilustrado anteriormente é,
Tm(s) = (Jms
2
+Dms)θm(s). (32)
Substituindo-se (32) em (31),
(Ra+Las)(Jms
2
+Dms)
Kt
θm(s) +Kbsθm(s)
=Ea(s).(33)
considerando-seRa>>La
1
Ra
Kt
(Jms+Dm) +Kb
2
sθm(s)
=Ea(s). (34)
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54. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Depois das simplif cações, determina-se a função de
transf
erência desejada,θm(s)/Ea(s),
θm(s)
Ea(s)
=
Kt/(RaJm)
s
h
s+
1
Jm
-
Dm+
KtK
b
Ra
i. (35)
A
equação (35) pode ser simplif cada por:
θm(s)
Ea(s)
=
K
s(s+α)
.
Considere
o caso,
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55. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Na f gura anterior é ilustrado um motor de inérciaJae de
amor
tecimentoDana armadura acionando uma carga de
inérciaJLe amortecimentoDL.
Ref etindo-se as impedâncias da carga para a entrada temos,
Jm=Ja+JL
/
N1
N2
0
2
;Dm=Da+DL
/
N1
N2
0
2
. (36)
Considere
novamente a expressão (31), comRa>>La:
Ra
Kt
Tm(s) +Kbsθm(s)
=Ea(s). (37)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (37)
obtemos,
Ra
Kt
Tm(t) +Kbωm(t)
=ea(t). (38)
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56. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Isolando-seTm(t)em
(38),
Tm(t) =−
K
bKt
Ra
ωm+
Kt
Ra
ea(t). (39)
De
(39) podemos ter,
T
bloq=
Kt
Ra
ea(t)⇒torque
de partida ou torque de rotor bloqueado
ω
vazio=
ea(t)
K
b
⇒velocidade
sem carga ou velocidade a vazio
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57. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
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nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
As constantes elétricas da função de transferência do motor
podem
ser determinadas a partir de,
Kt
Ra
=
Tbloq
ea(t)
.
e
Kb=
ea(t)
ωvazio
.
As
constantes elétricas,Kt/RaeKb, podem ser determinadas
como um teste dinamométrico do motor CC, o qual forneceria
Tbloqeωvaziopara um dado valor deea(t).
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58. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Exemplo: Considere o sistema abaixo,
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59. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Para o sistema ilustrado anteriormente, obter a função de
transf
erênciaθL(s)/Ea(s).
Inicialmente iremos referir as impedâncias da carga a
armadura do motor, assim,
Jm=Ja+JL
/
N1
N2
0
2
=5+700
/
1
700
0
2
=12
.
Dm=Da+DL
/
N1
N2
0
2
=2+800
/
1
10
0
2
=10
.
Do gráf co de torque versus velocidade,
Tbloq=500,
ωvazio=50,
ea(t) =100.
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60. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Li
nearidade e Linearidade
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função
de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
Portanto, as constantes elétricas são:
Kt
Ra
=
Tbloq
ea(t)
=
500
100
=5.
e
Kb=
ea(t)
ωvazio
=
100
50
=2.
Assim,
a função de transferênciaθm(s)/Ea(s)resulta,
θm(s)
Ea(s)
=
5/12
s

s+
1
12
(10+
(5)(2))
. (40)
Objetivando-se determinar
θ
L(s)
Ea(s)
, usamos
a relação
N
1
N
2
=1/10,
e
encontramos,
θL(s)
Ea(s)
=
0,0417
s(s+1,667)
.
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61. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Análogo Série
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62. Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Análogo Paralelo
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63. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Para um sistema linear temos as seguintes propriedades,
Aditividade:f(a+b) =f(
a) +f(b)
Homogeneidade:f(α1a+α2b) =α1f(
a) +α2f(b)
Abaixo apresentamos exemplos: (a) linear, (b) não-linear
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64. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Exemplos de Sistemas Não-lineares
Pergunta: Este sistema é linear?
0 2 4 6 8 10
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
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65. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Linearização
x0éum ponto de equilíbrio.Cristiano, CuritibaSistema de Controle

66. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Procedimento de linearização
No processo de linearização supõe que o sistema próximo
a um
ponto de um ponto de operação, também
denominado de ponto de equilíbrio (P.I.).(˙y(x) =0).
A idéia é expandiry=f(x)em
uma série de Taylor deste
ponto, assim teremos:
y=f(x) =f(x)|P.I.+
∂f(x)
∂x
|P.I.(x−xi) +
∂
2
f(
x)
∂x
2
2!
|P.I.(x−xi)
2
+∙ ∙
∙(41)
sendoP.I.= (xi,yi)
Comoxf cará próximo axi,
então(x−xi)será pequeno, e
quando elevado a 2, 3, 4,. . ., será menor ainda.
Logo a equação (41) torna-se,
y=f(x)=f(x)|P.
I.+
∂f(x)
∂x
|P.I.(x−xi) (42)
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67. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Procedimento de linearização
Podemos
escrever a expressão (42) da seguinte maneira,
y=f(x) =f(x)
|{z}
y
i
|P.I.+
∂f(x)
∂x
|P.I.
| {z }
m
(x−xi)
|{z}
∆x
(43)
logo
temos,
y=yi+m∆x
y−yi=m∆x
∆y=m∆x (44)
sendo∆y=y−yi
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68. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Análise Gráf ca do Procedimento de Linearização
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69. Função de Transferência
Ci
rcuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Exercícios
Linear
ize as seguintes funções abaixo em torno do ponto de
operaçãoxi=1
y(x) =5
x+2
y(x) =3
√
x+1
y(x)=2
x
3
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