5 - Anti Turunan dan Integral Kalkulus Dasar .pdf

4 - Turunan dan Penggunaannya Kalkulus Dasar

1. 1

2. 2
Anti Turunan2
() 2Fxx '()2Fxx 2
() 7Fxx '()2Fxx 2
()FxxC
Turunan:
Untuk fungsi y=f(x) yang daerah asalnya selang I, fungsi Fyang
memenuhi ( ) ( )F x f x x I
dinamakan anti-turunanatau primitifdari f.

3. 3
Proses menentukan anti turunan/anti-diferensial dari fungsi f
pada selang Idinamakan integral tak tentudari fpada I, yaitu
kebalikan dari proses diferensial.
Istilah tak tentu (indefinite) digunakan karena melibatkan
konstanta sebarang, hasilnya tak tentu dengan satu sama lain
berbeda konstanta.
Integral tak tentu dari fpada Iditulis dengan lambang
Fsuatu anti-turunan dari fpada I.
Dalam notasi ini, ∫dinamakan tanda integraldan f(x) integran.( ) ( )f x dx F x C

4. 4
Aturan untuk menghitung Anti Turunan (Integral tak tentu):Cx
r
dxx
rr





1
1
1
1. Untuk r sebarang bilangan rasional kecuali -1,sin cos, cos sinxdx xC xdxxC 
3. Andaikan f dan g punya anti turunan, dan k adalah konstanta. dxxgdxxfdxxgxfiii
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxfkdxxkfi






)()()]()([)(
)()()]()([)(
)()()(
2. Untuk fungsi trigonometri:
Ciri: Tidak ada batas integral

5. 5
Contoh1:Hitunglah integral tak tentu 2
3 1
x
x x dx 1
2
2
1 1 13 3 1/ 2 2 4 3/ 2 1
41
124
43
1
1
1
()
.
x
x
x x dx x x x dx x x x C
x x x C
Pemeriksaan2
1 2 1 24 4 3/ 2 1 3
4 3 4 3
11dd
dx x dx x
x x x C x x x C x x

6. 6
Contoh2:Hitunglah integral tak tentu 2
( 1)x x dx .112 2 2 2 2 2
24
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) .x x dx x xdx x d x x C 112 2 2 2
44
( 1) 2( 1) 2 ( 1)
d
dx
x C x x x x
Pemeriksaan .
Contoh3:Hitunglah integral tak tentu cossinxxdx 1122
22
cossin cos(cos)
cos.
xxdx xdxudu
uC xC
 

  
112
22
cos 2cos(sin)cossin
d
dx
xC xxxx 
Pemeriksaan
.

7. 7
Contoh4:Hitunglah integral tak tentu sin2xdx .2
sin2 2sin cos 2sin (sin ) sin .xdx x x dx x d x x C 2
sin2 2cos sin 2cos (cos ) cos .xdx x x dx x d x x C 11
22
11
22
sin2 sin2(2)sin
cos cos2.
xdx xdx udu
uC xC
  
 

Cara 1:
Cara 2:
Cara 3:

8. 8
Contoh5:Hitunglahf(x)dari2
''()31fxxx .2 3 2 31
32
3231
32
4 3 2311 1 1
34 23 2
4 3 21 1 1
1212 2 2
'()''()(31)
()'()( )
fxfxdxxxdxxxxC
fxfxdxxxxCdx
xxxCxK
xxxCxC
 
 




Jawab:

9. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 9
Pengenalan Persamaan Diferensial

10. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 10

11. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 11

12. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 12

13. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 13

14. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 14

15. 15
Contoh3:Dekatpermukaanbumi, percepatanbenda
jatuhakibatgravitasiadalah9,8 meter per detikper detik.
Asumsikangayagesekudaradiabaikan. Jikasuatubenda
dilemparkeatasdariketinggian100 m dengankecepatan
awal50 m per detik, hitungkecepatandanketinggian
benda4 detikkemudian.
.
100
s

16. 16
Jawab:Misals : tinggiarahkeatasbernilaipositif.
??????=
��
��
di mana ??????
0=50>0artinyas monotonnaik.
??????=
�??????
��
arahnyakebawah??????<0berarti ??????monotonturun.
.
Persamaan diferensial:
&#3627408465;??????
&#3627408465;&#3627408481;
=−9,8.
??????= −9,8&#3627408465;&#3627408481;=−9,8&#3627408481;+??????
Saatt=0,??????=50, maka
50=−9,80+??????,
??????=50.
Jadi??????=−9,8&#3627408481;+50.

17. 17
Sedangkan
&#3627408465;&#3627408480;
&#3627408465;&#3627408481;
=−9,8&#3627408481;+50,
&#3627408480;= −9,8&#3627408481;+50&#3627408465;&#3627408481;=−4,9&#3627408481;
2
+50&#3627408481;+??????
Saatt=0,&#3627408480;=100, maka&#3627408480;=−4,9&#3627408481;
2
+50&#3627408481;+100.
.

18. 18
Jadisaatt=4,
&#3627408480;=−4,94
2
+504+100=221,6m
??????=−9,84+50=10,8??????/&#3627408465;&#3627408466;&#3627408481;????????????
.

19. 19
Contoh4:KeretabergerakdaristasiunA dengan
percepatan3
??????
&#3627408465;&#3627408466;&#3627408481;
2
selama8 detik. Lalukecepatantetap
sebesar??????
??????selama100 detik. Kemudiankeretadirem
denganpercepatan4
??????
&#3627408465;&#3627408466;&#3627408481;
2
agar dapatberhentidi stasiunB.
a.Hitunglah??????
??????.
b.HitungjarakantarastasiunA danstasiunB.
.

20. 20
TeoremaNilai
Antara
TeoremaDasarKalkulus
II
DefinisiIntegral
Integral
Tak
Tentu
Integral
Tentu
Luas•LuasBidang
Datar
AplikasiIntegral
TeoremaDasarKalkulusI

21. 21
Mencari Luas Lingkaran:i
x i
x ()
i
fx 1
()
i
fx
 1i
x
 1i
x

Mencari Luas Daerah: Poligon Dalam, PoligonLuar

22. 22
Luas Daerah
Akan dihitung luas daerah Dyang dibatasi kurva f, f(x) ≥0
pada [a,b], garis x=a, garis x=b, dan sumbu x. Secara singkat
ditulis{( , )| , 0 ( )}D x y a x b y f x

23. 23
Sketsa beberapa daerah yang dibatasi oleh garis dan fungsi
berikut:2
{(,)|12,02}
{(,)|01,02}
{(,)|2,02}
{(,)|01, }
Dxyx y
Dxyx yx
Dxyyx y
Dxyxxyx
 
 
 
 

24. 24
Integral Tentu dengan Limit Jumlah
Misalkan fungsi y=f(x) terdefinisi pada selang tutup [a,b].
Buatlah partisi 
01 n
P a x x x b     
dengan [x
i-1
,x
i
] selang bagian ke-i, i=1,2,…,n, ,
dan1i i i
x x x

   || || maks{ |1 }.
i
P x i n
Pilihlah c
i
є[x
i-1
,x
i
], i = 1, 2, …, n, dan bentuklah jumlah1
()
n
ii
i
f c x
yang dinamakan jumlah Riemanndari fpada [a,b].
Untuk c
i
=x
i-1
: jumlah RiemannKiri.
Untuk c
i
=x
i
: jumlah RiemannKanan.

25. 25
ContohDiberikan daerah berikut:
Hitunglah luas daerahnya menggunakan Jumlah Riemann
Kiri dengan partisi 3 selang.2
{( , )|0 3,0 }D x y x y x    
Daerah Ddibatasi kurva ,
0 ≤x≤3, garis x=3, dan sumbu x.2
()y f x x
Bagilahselang[0,3]atas3bagian
samapanjangdenganpanjangsetiap
selangbagiannya30
3
1
ba
n
x

   

26. 26
Aproksimasi daerah tersebut dengan persegipanjang dengan
-panjang alas:
-tinggi: (metode Riemann Kiri) 1
, 1,2,3
ii
x x x i

   
Luasdaerahdengann=3:0 0 1 1 2 2
2
( ) ( ) ( )
0 1 2.2 9
A x f x x f x x f x   
    1
( ),i 1,2,3
i
fx



27. 271i i i
ba
n
x x x


    || || maks{ |1 }
i
P x i n || ||
ba
n
P
Bagilah[a,b]atasnbagiansama
panjang,titikpembagian:
Panjang Padalah
Bila dibagi sama panjang, maka 01 n
a x x x b    
Himpunan titiknya dinamakan
partisiPuntuk [a,b]. Selang bagian
ke-idari Padalah , i = 1,
2, …, n,1
[ , ]
ii
xx
 dan panjangnya

28. 28()
ii
f c x ()
i i i
L f c x 1 1 2 2
1
Luas ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n i i
i
D f c x f c x f c x f c x
Pilihlahc
i
є[x
i-1
,x
i
],i=1,2,…,ndanbuatlahpersegi
panjangberukuran
Luaspersegipanjangke-iadalah
LuasdaerahDdihampiriolehjumlahluasnbuahpersegi
panjangini,yaitu1
|| || 0
Luas lim ( )
n
ii
i
P
D f c x 1
Luas lim ( )
n
i
i
n
ba
n
D f c
Nilai eksak luas Ddicapai bilamana ||P|| →0 (atau n→0
bila setiap selang bagian sama panjang). Kita mempunyai
atau

29. 291
, 0,1,2,
n
k
i
ik 1
1 1 1 1
n
i
n 1
1 2
1 2 ( 1)
n
i
i n n n 12
1 6
( 1)(2 1)
n
i
i n n n 2
13 2 2
11 4
( 1)
nn
ii
i n n i
CatatanDalamkasusfsuatusukubanyak,jumlahdiruas
palingkanandapatdinyatakansebagaifungsidarindengan
rumus

30. 30
ContohHitunglah luas daerah2
{( , )|0 3,0 }D x y x y x    
Daerah Ddibatasi kurva ,
0 ≤x≤3, garis x=3, dan sumbu x.2
()y f x x
Bagilahselang[0,3]atasnbagian
samapanjangdenganpanjangsetiap
selangbagiannya3 0 3
nn
x

  

31. 31
Titikpembagiannyaadalah0 1 2
3 6 3 3
0, , ,..., ,..., 3
in
n n n n
x x x x i x n      3
n 2
2
2239
i
n n
x i i
Pilihlah titik c
i
=x
i
=i, maka f(c
i
) =f(x
i
)=
.
Dengan menggunakan 12
1 6
( 1)(2 1)
n
i
i n n n
diperoleh23
33
22
1 1 1
3 3 9 27
( 1)(2 1)27 1 27 27
6 6 6
Luas lim ( ) lim lim
lim ( 1)(2 1) lim 2 9.
n n n
i
i i i
n n n
nn
nn nn
n n n
nn
D f c i i
n n n

32. 32
Fungsifdikatakanterintegralkanpada[a,b]jika1
|| || 0
lim ( )
n
ii
i
P
f c x
ada.()
b
a
f x dx 1
|| || 0
( ) lim ( )
b n
ii
ia P
f x dx f c x
Integral tentu dari fungsi fpada [a,b], ditulis
didefinisikan sebagai
.
Ciri: Ada batas integral

33. 331
|| || 0
( ) lim ( )
b n
ii
ia P
f x dx f c x

34. 34i
x i
x ()
i
fx 1
()
i
fx
 1i
x
 1i
x
 ()
i i i
A f x x   11
lim lim ( )
nn
i i i
nn
ii
A A f x x
 

   
Luas menurut poligon dalam Luas menurut poligon luar

35. 35
ContohHitunglah 3
2
1
( 4)x dx dengan limit jumlah Riemann.
Bagilahselang[-1,3]atasnbagiansama
panjangdengan
Titik pembagiannya adalah0 1 2
48
44
1, 1 , 1 ,...,
1 ,..., 1 3
in
nn
nn
x x x
x i x n
       
       2
2
4 16 8 2
( ) 1 4 3
i
nn n
f x i i i
Pilihlahc
i
=x
i
=-1+i
makauntukfungsif(x)=x
2
-4diperoleh4
i
n
xx 4
n

36. 363
11 || || 0
( ) lim ( )
n
ii
i
P
f x dx f x x 2
32
32
3
16 8 422
11 || || 0
64 32 122
1 1 1
64 1 32 1 12
62
64 1 2
3 3 3
( 4) lim 3
lim 1
lim ( 1)(2 1) ( 1)
16 12 21 28 6 .
n
i nnnP
n n n
i i i nnnn
nnnn
x dx i i
ii
n n n n n n
Dengan menggunakan
diperoleh

37. 372
22
11 || || 0
33
(4 ) lim (4 ) 9, 1 ,
n
i i i i
i
P
nn
x dx x x x i x 3
122
312 || || 0
11
( 4) lim ( 4) 2 , 2 ,
n
i i i i
i
P
nn
x dx x x x i x
CatatanHasil perhitungan integral ini negatif karena luas
D
1
lebih besar daripada luas D
2
.(lihat gambar!)Dengan limit
jumlah Riemann kita mempunyai
Untuk latihan, kerjakan teknis perhitungannya.1
Luas :D 2
Luas :D

38. 38
Sifat Integral Tentu()
b
a
f x dx ( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx ( ) 0
a
a
f x dx ( ) ( ) ()
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt
Padanotasi diandaikana≤b.Selanjutnyakondisia≤b
Jikaa=b,maka
Integral tentu tak bergantung pada peubah yang digunakan,
Jika fterintegralkan pada [a,b], maka integral tentunya tunggal.
inidihilangkandenganmendefinisikan

39. 39
Jika fungsi fkontinu pada [a,b], maka fterintegralkan pada [a,b].
Jika fdan gterintegralkan pada [a,b] dan kkonstanta, maka
dan
Jika fterintegralkan selang tutup Iyang memuat a, b, dan c,
maka
Jika fdan gterintegralkan pada [a,b] dan f(x) g(x) pada [a,b],
maka
Jikafterintegralkanpada[a,b],makafungsiy=|f(x)|juga
terintegralkanpada[a,b]dan( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( )
bb
aa
k f x dx k f x dx ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx ( ) ( )
bb
aa
f x dx g x dx ( ) | ( )|
bb
aa
f x dx f x dx

40. 40
Integral tak tentu dari fungsi f, adalah suatu
keluargakurva.
Integraltentudarifungsifpadaselang[a,b],
adalah suatu bilangan real asalkan adan btetap.
batas atasnya adalah peubah x, integral tentunya bergantung
dari xdan
dinamakan fungsi akumulasi.()
b
a
f x dx ()f x dx ()
x
a
f t dt ( ) ()
x
a
F x f t dt
Pada bentuk:

41. 41x
n
t i
x
n
ci 3
3
3
3
2
2
11
311
63
( ) lim lim
lim ( 1)(2 1) .
nn
ii
nn
n
x x x
nn n
x
n
D x i i
n n n x
Fenomena LuasdaerahD={(t,y)|0≤t≤x,0≤y≤t
2
}
bergantungdarix.Seperticontohsebelumnya,bagilah[0,x]atas
nbagiansamapanjangdanhitunglah
dengan dan ,diperoleh2
0
()
x
D x t dt 2
0
()
x
D x t dt 2
()D x x
Perhatikan bahwa
maka
.

42. 42( ) ()
x
a
F x f t dt ( ) ( )F x f x
TeoremaDasarKalkulusPertama
Jikafkontinupada[a,b]danx(a,b),makafungsi
terdiferensialkandan
(Laju akumulasi di xsama dengan nilai fungsi fdi x)
Bukti0 0 0
0 0 0
( ) ( ) 11
1
( ) lim lim () () lim ()
lim ( ) lim ( ) lim( ) ( ).()
x h x x h
a a xh h h
h h h
F x h F x
h h h
h
F x f t dt f t dt f t dt
f x h h f x h f x h f x

43. 43()
( ) ()
gx
a
H x f t dt ( ) ()
x
a
F x f t dt ( ) ( )F x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x F g x g x f g x g x ()
()
( ) ()
gx
hx
K x f t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K x f g x g x f h x h x
Turunanfungsi
dapat ditentukan dengan menuliskanH(x) =F(g(x)), di mana
dan
Gunakan aturan rantai, diperoleh
Hasil ini dapat dibuat umum dan dikenal sebagai aturan
Leibniz. Turunan fungsi
adalah

44. 44
Teorema Dasar Kalkulus Kedua
Jika fkontinu pada [a,b] dan Fsuatu anti-turunan dari f
pada [a,b], maka( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a Misalkan ( ) () , maka ( ) ( )
( ) ( )
suatu anti-turunan dari ( ) ( )
x
a
G x f t dt G x f x
C G x F x C
F f F x f x
Bukti :
Dari sini diperoleh G(a) =0 dan G(a) =F(a) +C, sehingga C=-F(a).
Aki-batnya G(x) F(x) F(a). Ganti xdengan b, diperoleh G(b) =F(b) -F(a).
Jadi
dan terbuktilah yang diinginkan.( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a

45. 45
Contoh 1:Carilah G’(x) jika3
0
( ) 2
x
G x t dt
a.
b.2
( ) sin
x
G x t dt 2
2
3
1
( )
1
x
G x dt
t



c.3
'( ) 2G x x 2
2
( ) sin sin , '( ) sin
x
x
G x t dt t dt G x x     2
2
2 4 4
3
1 1 2
'( ) ( )
1 1 1
x
d d x
G x dt x
dx t x dx x
  
  


46. 46
Contoh2:Jika fkontinu pada x≥0 dan 2
0
() ( 1)
x
f t dt x x
hitunglah f(2).32
0
()
x
f t dt x x 32
0
() ( )
x
dd
dx dx
f t dt x x 2
( ) 3 2f x x x
Dari diperoleh
Gunakan teorema dasar kalkulus pertama, diperoleh
sehingga f(2) =16.

47. 47
Contoh3:Jika fkontinu pada x≥0 dan 2
( 1)
2
0
()
xx
f t dt x x
hitunglah f(2).32
5/ 2
0
()
xx
f t dt x 32
5/ 2
0
() .
xx
dd
dx dx
f t dt x 53 2 2 3/2
2
( )(3 2 ) .f x x x x x 5
2 1
2
Dari
diperoleh
Gunakan aturan Leibniz, diperoleh
Untuk menghitung f(2), gantilah xdengan 1, diperoleh f(2) .5 =
Akibatnya f(2) =.

48. 482
0
( ) ( ) () ,
x
F x x t g t dt , F .F
Contoh4:Jika fkontinu pada
hitunglah dan 22
0 0 0
( ) () 2 () ()
x x x
F x x g t dt x tg t dt t g t dt 2 2 2
00
00
( ) ( ) 2 () 2 ( ) 2 () ( )
2 () 2 ()
xx
xx
F x x g x x g t dt x g x tg t dt x g x
x g t dt tg t dt 00
( ) 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 ()
xx
F x xg x g t dt xg x g t dt ( ) 2 ( )F x g x
Tulislah
Akibatnya,
Jadi
dan
.

49. 49
Misal g punya turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu
pada daerah hasil dari g. Maka

b
a
b
a
duufdxxgxgf )()('))((

50. 50
Misal g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah
suatu fungsi antiturunan dari f. Maka jika u = g(x), 
 CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()('))(( ( ) ( )f g x g x dx ()du g x dx ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
u du
f g x g x dx f u du F u C F g x C
CatatanIntegral dihitungdenganpenggantianu=g(x).
danintegralnyamenjadiAkibatnya

51. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 51
Contoh:
1.Carilah 
dx
x
x2sin
2.Hitunglah integral tak tentu 21
xdx
x .
3.Hitunglah integral tentu 4
021
xdx
x .
4.Hitunglah integral tak tentu 5
sinx dx .
5.Hitunglah integral tak tentu 4
tanx dx .

52. 52
Contoh 1:
Carilah 
dx
x
x2sin
Jawab: Gunakan substitusi sin 2
sin 2
2 sin 2( cos )
2cos2
x dx
dx x
xx
u du u c
xc

   
  

 1
2 , ,u x du dx
x


53. 53
Contoh2Hitunglah integral tak tentu 21
xdx
x .1
2
,dx du 1
2
( 1)xu 11
22 1 1 1
4 6 2
11
64
( 1)
21
(2 1) 2 1 2 1 .
u duxdx du
uux
u du u u u C
x x x C
Jadi
Gunakan penggantian u=2x+1, maka du=2dx,
dan

54. 54
Contoh3Hitunglah integral tentu 4
021
xdx
x .1
2
,dx du 1
2
( 1)xu 11
22
4 9 9
1
40 1 1
9
1 1 1 3 1 1 1
6 2 6 2 6 2 3
1
( 1) 1
21
27 3 .
u duxdx
uux
u du
u u u
Gunakanpenggantianu=2x+1,makadu=2dx, dan
Batasintegralnyaberubah,jikax=0,makau=1dan
jikax=4,makau=9.Jadi

55. 55
Contoh4Hitunglah integral tak tentu 5
sinx dx .5 2 2 2 2
42
1253
53
sin (sin ) sin (1 cos ) cos
(cos 2cos 1) cos
cos cos cos .
x dx x x dx x d x
x x d x
x x x C
Contoh5Hitunglah integral tak tentu 4
tanx dx
.4 2 2 2 2 2
12 2 3
3
tan tan (sec 1) tan sec tan
tan tan (sec 1) tan tan .
x dx x x dx x xdx xdx
xd x x dx x x x C

56. 56
Contoh6Hitunglah integral tentu 3
/2
0
sin2
(1 cos )
xdx
x .33
/ 2 / 2
00
sin2 cos sin
(1 cos ) (1 cos )
2
xdx x xdx
xx 1 cosux sindu xdx sinxdx du cos 1xu 3 3 3
2
/ 2 1 2 2 2
23
0 2 1 1 1
22
12
1 1
( 1)( )sin2 1
(1 cos )
1 2 1 1
44
2 2 2 2
2 1 1 2 .
u duxdx u
x u u
uu
du u du u du
uu
Tulislah
danmisalkan ,maka
,dan
Batasintegralnyaberubah,jikax=0,makau=2dan
jikax=π/2,makau=1.Jadi

57. 57
Contoh 7:Hitunglah/2
/4
2sin(2 )x dx



Jawab:/ 2 / 2 *
/ 4 / 4 *
2sin(2 ) sin(2 )(2 ) sin
b
a
x dx x dx udu


   * 2.
42
* 2.
2
a
b




 /2
/2
/ 4 / 2
2sin(2 ) sin cos cos( ) cos( / 2) 1x dx udu u




     

58. 58
Cara yang lain: Hitunglah integral taktentunya dahulu (tanpa batas)
lalu kenakan batas pada hasil integralnya.2sin(2 ) sin cosx dx udu u c    /2
/2
/4
/4
2sin(2 ) cos(2 ) cos( ) cos( / 2) 1x dx x




    

59. 59
Jika f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c
antara a dan b sedemikian sehingga))(()( abcfdxxf
b
a
 ()
()
b
a
f x dx
fc
ba




60. 60
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan
jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x dalam [a,b] maka( ) ( )
bb
aa
f x dx g x dx
Jika f terintegrasikan pada [a,b] dan m ≤ f(x) ≤ M untuk
semua x dalam [a,b] maka)()()( abMdxxfabm
b
a


61. 61
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan k konstanta,
maka kf dan f + g terintegrasikan dan





b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfiii
dxxgdxxfdxxgxfii
dxxfkdxxkfi
)()())()(()(
)()())()(()(
)()()(

62. 62
f fungsi genap jika f(-x) = f(x)
Jika f fungsi genap maka


aa
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
f fungsi ganjil jika f(-x)=-f(x)
Jika f fungsi ganjil maka 0)(

a
a
dxxf
f fungsi periodik jika f(a+p)=f(b+p)
Jika f fungsi periodik dengan periode p
maka



b
a
pb
pa
dxxfdxxf )()(

63. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 63


y

f




0 a xi1 b x
Hampiran dengan Jumlah Riemann Kiri
Luas kotak ke-i: 1( ) ( 1)
ii
b a b a
nn
L f x x f a i
Hampiran: 1
( ) ( 1)
b n
ia
b a b a
nn
f x dx f a i
Galat: 2
()
2
()
n
ba
n
E f c

 untuk suatu c  [a,b]
y

f




0 a xi b x
Hampiran dengan Jumlah Riemann Kanan
Luas kotak ke-i: ()
ii
b a b a
nn
L f x x f a i
Hampiran: 1
()
b n
ia
b a b a
nn
f x dx f a i
Galat: 2
()
2
()
n
ba
n
E f c

 untuk suatu c  [a,b]

64. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 64 y

f




0 a ci b x
Hampiran dengan Jumlah Riemann Titik-Tengah
Luas kotak ke-i: 11
1
22
()
i i i
b a b a
nn
L f x x x f a i
Hampiran: 1
21
()
b n
ia
b a b a
nn
f x dx f a i
Galat: 3
2
()
24
()
n
ba
n
E f c

 untuk suatu c  [a,b]
y

f




0 a b x
Hampiran dengan Aturan Trapesium
Luas trapesium ke-i:  
1
1
2
( ) ( )
i i i
ba
n
L f x f x


  
Hampiran:  
1
1
12
( ) ( ) ( )
b n
ii
ia
ba
n
f x dx f x f x




Galat: 3
2
()
12
()
n
ba
n
E f c

 untuk suatu c  [a,b]
y

f
parabol




0 a b x

Hampiran dengan Aturan Parabol ([a,b] dibagi n)
Luas parabol ke-i:  
21
3
( ) 4 ( ) ( )
i i i i
ba
n
L f x f x f x


  
Hampiran untuk [a,b] dibagi n bagian sama panjang:  
0 1 2
3
( ) ( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )
b
n
a
ba
n
f x dx f x f x f x f x

    

Galat: 5
4
(4)()
180
()
n
ba
n
E f c

 untuk suatu c  [a,b]

65. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 65

66. INHERENT K-1 ITB-UNHAS 2007 66