Основни геометрични фигури математика 5 клас.pdf

Основни геометрични фигури математика 5 клас

1. Основни
геометрични
фигури

2. Лъч 0C , 0 - началото, C - точка от
лъча.
Основни
геометрични фигури
Точка Q - точките се означават с
главни латински букви.
2
Права a или права AB (права през
точките A и B).
Отсечка PQ (QP или m), P и Q - краища
на отсечката.
Q
A B
a
O C
m
P
Q
1.
2.
3.
4.

3. Разстояние между
две отсечки
Разстояние между две точки е
дължината на отсечката, определена
от двете точки.
3
Ако дължината на ограда е 8 m,
то разстоянието между двете
дървета също е 8 m.
8 m

4. 4
Сбор и разлика на отсечки
Сбор на отсечки
Разлика на отсечки
| | | |
A B Q R
a
b
4 cm 8 cm
c = a + b
E T
| |
c
ET = AB + QR = 4 + 8 = 12 cm
| | | |
Q R A B
8 cm 3 cm
d = a - b KP = QR - AB = 8 - 3 = 5 cm
a b
|
aa bb
| |
aa
|
bb ddK P
c

5. За отсечките AB и CD, които са върху
перпендикулярните прави a и b, също се казва,
че са перпендикулярни. Записва се: AB | CD
Ъгъл <AOB (<BOA, <0) - означава се с гръцки
букви: (алфа), (бета), (гама) ... .
<AOB = = 60
0
0A
0B
-
Ъгъл. Перпендикулярни прави
5
b
През дадена точка може да се начертае само
една права, перпендикулярна на дадена права. !
a | b_
_ _
A B
_
_
C
D
_
Две прави a и b, които образуват прав ъгъл,
се наричат перпендикулярни прави.
Записва се: a | b
_
0
прав ъгъл остър ъгъл
тъп ъгъл
= 90 < 90 > 90
0 0 0
) ) )
)
0
A
B
рамо
рамо
връх
-
- рамо
рамо
връх
a

6. Разстояние от точка до права
6
Отсечката QE се нарича перпендикуляр от
точка Q до правата a, а дължината ѝ се нарича
разстояние от точката Q до правата a. То е по-
малко от разстоянието от Q до всяка друга
точка от правата a.
A B
Q
E
a
QE - разстоянието от точка Q до правата a
QE < QA QE < QB
Намиране на разстояние от точка Q до
права a:
Начертаваме перпендикулярна права
през точката Q към правата a.
1.
Измерваме разстоянието от точката Q
до пресечната точка E на двете прави.
2.

7. Ъгли - <CAB, <ABC, <BCA ;
<A, <B, <C или , , .
За означаване на триъгълник се използва знакът ( ABC).
Чете се ,,триъгълник ABC .
Триъгълник. Елементи
7
Върхове - A, B, C
A B
C
ab
c
) ) )
) ) )
Страни - AB, BC и CA
BC = a (срещу върха A)
AC = b (срещу върха B)
AB = c (срещу върха C)
Обиколка (периметър) - P = a + b + c
“

8. Видове триъгълници
според ъглите
В остроъгълния
триъгълник и трите
ъгъла са остри.
8
A
B
C
C A A B
B C
В правоъгълния
триъгълник единият ъгъл е
прав, а другите два са остри.
В тъпоъгълния триъгълник
единият ъгъл е тъп, а
другите два са остри.
70 80
30
90
30
60
120
20
40
0
0
0
0
0
0
0 0
0
хипотенуза
катет
катет
BC, AC -
AB -
катети
хипотенуза

9. В разностранния
триъгълник и трите страни
са с различни дължини.
A
В равнобедрения
триъгълник две от страните
са с равни дължини.
В равностранния
триъгълник и трите страни
са с равни дължини.
Видове триъгълници
според страните
9
A B
C
A B
C
B
C
-
-
-
-
-
4
4
4
cm
cm
cm
6
cm
6
cm
5
cm
8
cm
5
cm
9
cm
AC = BC -
AB -
бедра
основа
основа
бедро
бедро

10. Височини в триъгълник
A
10
Единият край на височините е връх на
триъгълника, а другият край лежи на
правата, върху която е
срещуположната страна.
A B
C
C
B
1
1
1
1 1 1
Перпендикулярите AA , BB , CC , спуснати
от връх на триъгълника към
срещуположната му страна, се наричат
височини на съответния триъгълник.
AA = h , BB = h , CC = h - височини
1 1
ABC - остроъгълен
Всеки триъгълник има три височини,
които се пресичат в една точка.
В остроъгълния триъгълник трите
височини са отсечки, вътрешни за
триъгълника.
1
c
a
b
a b c
h
h
h
c
b
a

11. ABC - правоъгълен
Q
P
AP = h
BQ = h
CH = h -
a
b
ABC - тъпоъгълен
H
11
A H B
C
A B
C
Две от височините на
правоъгълния триъгълник
съвпадат с катетите му, а третатата
е вътрешна за триъгълника.
Две от височините на тъпоъгълен
триъгълник са отсечки, външни за
триъгълника, а третата височина е
отсечка, вътрешна за триъгълника.
AC, CH, BC - височини AP, BQ, CH - височини
c
a = h
b = h
c
ab
AC = h = b
BC = h = a
CH = h
a
b
c
c
външни отсечки
вътрешна отсечка
a
b
h
c
h
c
hh
ba

12. Правоъгълник
12
Лице на правоъгълник: = a . b
S
A
Съседните страни на правоъгълника
са перпендикулярни.
Обиколка на правоъгълник:
P = 2 . a + 2 . b = 2 . (a + b)
a, b - измерения на правоъгълника
(a - дължина, b - широчина).
<A = <B = <C = <D = 90
) ) ) )
0
B
CD
a
a
b
b
AC, BD - диагонали
Срещуположните страни са успоредни и равни.
AB || CD, AB = CD AD || BC, AD = BC
Всички ъгли в правоъгълника са
прави.
a | b
_

13. Квадрат
A
C
13
Лице на квадрат: = a . a = a
S
2
a - измерение на квадрата
Обиколка на квадрат: P = 4 . a
Квадратът е вид правоъгълник.
Всички страни на квадрата са
равни.
AB = BC = CD = AD = a
B
D
AC, BD - диагонали
aa
a
a

14. Мерни единици за лице
14
Основната мерна единица за лице е
квадратен метър ( 1 m )
2
1 m = 10 dm 1 m = 10 . 10 dm
1 m = 100 cm 1 m = 100 . 100 cm
1 m = 1000 mm 1 m = 1000 . 1000 mm
1 km = 1000 m 1 km = 1000 . 1000 m
2 2
2
2
2 2
2
2
Връзката между мерните единици за лице може да се запише и така:
m dm cm mm
.10 .10 .10 .10 .10 .10
: ( 10 . 10) : ( 10 . 10) : ( 10 . 10)
2 2 2 2
1 a = 100 m 1 = 10 a
1 = 1000 m 1 ha = 10
1 ha = 10 000 m 1 km = 100 ha
2
2
2 2
дка
дка
дка

15. Лицето на правоъгълен триъгълник
с хипотенуза c и височина към нея h
е равно на:
15
Лице на правоъгълен
триъгълник
A B
C
ab
c
Лицето на правоъгълен триъгълник
с катети a и b е равно на:
s = =
a . b
2
H
s
= =
c . h
2
c
h
c
c
1
2
.a . b
1
2
.c . h
c

16. Лице на триъгълник
A B
C
P
Q
E
Лицето на триъгълник е равно на
половината от произведението на
дължината на негова страна и
дължината на височината към нея.
s
=
a . h
2
=
2
=
2
b . h c . h
a b c
h
h
h
c
a b
a
b
c
16
произволен триъгълник
Триъгълникът има 3 страни и 3
височини. Следователно лицето му
може да се намери по 3 начина.

17. M
N
b
A
B
B
Q
1
1
Правите a и b не се пресичат.
Казва се, че правите a и b са
успоредни.
Отсечки, които лежат на успоредни
прави, се наричат успоредни отсечки.
Успоредни прави
17
Ако две точки, намиращи се от
едната страна на дадената права, са
на равни разстояния от нея, то
правата през тях е успоредна на
дадената.
Две прави, перпендикулярни на
трета, са успоредни помежду си.
1
2
3
a
a || b => MN || AB
B
Q
BB = QQ =>
=> p || q
p
q
n
a
b
a | n , b | n =>
=> a || b
_ _
1 1

18. Четириъгълник, на който
срещуположните страни са
успоредни, се нарича успоредник.
AB || CD и AD || BC.
18
Успоредник
ABCD - успоредник
Във всеки успоредник
срещуположните страни са равни,
AB = CD = a ; BC = AD = b
Обиколката на успоредника е равна
на: P = 2 . ( a + b ) или P = 2 . a + 2 . b
Лицето на успоредник е равно на:
= a . h = b . h .
S
a b
A B
CD
a
a
b
b
H
Q
h
h
a
b
a , b - страни
h , h - височини
ba

19. Ромб
19
Успоредник с равни съседни страни
се нарича ромб.
A B
C
D
Обиколката на ромб е равна на:
P = 4 . a
Височините на ромба са равни.
Лицето на ромба е равно на:
= a . h
S
H
Q
DH = DQ = h - височина
a
a
a
a
h
h
AB = BC = CD = AD = a
ABCD - ромб
a - страна

20. Четириъгълник, на който две
срещуположни страни са успоредни,
а другите две не са успоредни, се
нарича трапец.
Трапец
20
A
CD
B
AD, BC - бедра
AB - голяма основа
CD - малка основа
DQ и CH (DQ = CH) - височини
AC и BD - диагонали
HQ
ABCD - трапец
AB || CD; AD и BC не са успоредни
Обиколката на трапеца е равна на:
P = a + b + c + d
a
b
c
d
hh
a, b, c, d - страни
DQ = CH = h - височина

21. Видове трапеци
Трапец, на който едното бедро е
перпендикулярно на основите, се
нарича правоъгълен трапец.
Трапец, чиито бедра са равни,
се нарича равнобедрен.
21
A B
C
D
A B
CD
ABCD - правоъгълен трапецABCD - равнобедрен трапец
a
b
cc
_
_
a
c
b
d = h
AD = BC = c
P = a + b + 2 . c
AD | AB , AD | CD
AD = d = h
_ _

22. Лице на трапец
Дължината на височината h на
трапеца е равна на разстоянието
между основите.
A
CD
BHQ
a
b
c
d
TL
h = AL = DQ = CH = BT
22
h h
Лицето на трапец е равно на
половината от произведението на
сбора от дължините на двете
основи и дължината на височината
му.
S
=
(a + b)
2
.
h