(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas

Exercícios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmica.
Propriedades operatórios dos loagaritmos.

1. 1 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: [email protected]

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE LOGARITMOS

Elaborado por: Mathusso Jucuiana
1


Lembre-se antes da definição de logaritmo: xN
b
=log , com Nb
x
=.
1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
a) b) c)






d) e) f)







g) h)




2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a)

b) c)


d)

3. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b)


c)


d)




4. Calcule o valor:
a) b) c)



Continua
=>

1
Licenciado em ensino de Matemática pela Universidade Católica de Moçambique. Lecciona matemática desde 2010 (6ª à 10ª
Classe).
2
3
32
444)4(
4log64log
3232
3
416
2
=Û=Û
=Û=Û
=Û=
xx
xx
xx

8
1
4
1
2
1
2
1
4
2
1
)5(
5log5log
4
2
1
5625
4
=Û´=Û
=Û=Û
==
xx
x
x
x

61/661
5
1
5
1
10
2
log
1000000
64
log)000064,0(log
61
6
6
5
1
55
1
-=Û-=-Û=-Û





=














Û=Û
==
-






-
xxx
x
x
x

( )
6
1
2
1
3
1
3
1
277
7log7log
3
1
2
3
1
7
3
49
2
=Û´=Û
=Û=Û
==
xx
x
x
x

( )
( )
( )
3557
7
5
1
22
2log128log
7
5
1
7
2
2
5
15
=Û´=Û
=Û=






Û
==
xx
x
x
x

()
( )
4
3
2
3
2
2
1
13
3log33log33log
2
2
1
1
3
2
1
99
2
=Û
=Û+=Û
=´=
+
x
x
x

()
4
3
8
6
22
2log64log
8
6
8 6
2
8
2
=Û=Û=Û
==
xx
x
x

222
2
1
log
4
1
log
100
25
log25,0log
2
22
222
-=Û=Û=Û
=Û==
-
xx
xx
x

N
NN
=Û
=Û=
125
53log
3
5

N
NN
=Û
=Û=
256
28log
8
2

N
NN
=Û
=





Û-=
512
1
2
1
9log
9
2

() NNN =Û=Û= 332log
2
3

33481log
44
=Û=Û= aa
a

( )
5413log1
81log3log813log
4
3
333
=+=+=
+=´

3692log2log
64log512log
64
512
log
6
2
9
2
222
=-=-=
-=

( )
116321
2log2log2log1
64log8log4log2log
64842log
6
2
3
2
2
2
2222
2
=+++=
+++=
+++
=´´´

( )
33
3
3
3
33333333939
2
1
27log
2
1
2
1
223
2
1
9
=Û=Û
=Û=Û=´Û´=Û=Û=
aa
aaaaa
a

()
22
221024201024log
2
10
10
2102020
=Û=Û
=Û=Û=Û=
aa
aaa
a

1010210log
2
=Û=Û= aa
a

2. 2 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: [email protected]

Continuação
d) e) f)







5. Calcule o valor das expressões:
a) b)

















c)

d)







e) f)








6. Determinar o valor de x para o qual:

a) b)

c) d)


Continua =>

415132
17log7log
7log343log49log
7
34349
log
3
7
2
7
777
7
=-=-+=
-+=
-+=





´

2
3
2
58
2
5
432log16log
2
5
2log32log
42log16log
32log16log
42
5
24
4
22
42
2
=
-
=
-=-\
==
==
=-

( )
( )
1
3
1
3
1
3log125loglog
35log125log
125loglog
1
3
15
3
1
3
55
5
3
1
-=Û





=




Û=
==
=
-
x
x
( ) ( )
101033
10331024log
64
27
log8log
102log1024log
3
3
4
log
4
3
log
64
27
log
3
2
1
log2log8log
1024log
64
27
log8log
2
3
4
2
1
10
22
3
3
43
3
3
4
3
4
3
2
1
3
2
1
2
1
2
3
4
2
1
-=-+-=
----=--\
==
-=





==
-=





==
=--
-
-

6
17
6
8918
3
4
2
3
316log33log001,0log
3
4
2log16log
2
3
3log3log
27log27log33log33log
310log
10
1
log
1000
1
log001,0log
16log33log001,0log
)2()3(
)6(
8310
4
28
2
3
3
2
1
3
3
2
1
33
2
33
3
103101010
8310
3
-=
-+-
=
-+





-=-+\
==®
===
==´=®
-====®
=-+
´
-

3
4
5log
5log
3log
4log
555
555
3
5
4
5
5
53log
4log
3log
1
4log
3log
5log
4log
3log44log3log
4
5
5
5
5
5
5
4554
==
====
==
´
´
´´ lo

( )
7
5
3log
3log
7log
5log
333
333
7
3
5
3
1
3
37log
5log
7log
1
5log
7log
3log
5log
7log5log5log7log
1
3
3
1
3
3
1
3
3
3
5335
-
=
====
==
--
´
´
-´´-
--
-

10
522log22log
25log222
2
5
2
2
5log5log2
2
22
=
´=Û=Û
=Û=

( )
9
4
18
8
18
4
2
4
18
2
4
3
6
2
2
1
2
3
6
20
2log6
10log0
2log2log
100
1
log0
8log
64
1
log
01,0log1log
2
3
2
2
10
3
2
6
2
10
42
103
2
2
-=-=
-
´-=
-
-
=
´-
-
=





´´-
-+
=
´-
+
=
´
+
=
´
+
-
-

2
2
221287128log
777
=Û=Û=Û= xxx
x
322828log
3
2
=Û=Û=Û=xx
xx

() xxx=Û=Û= 6443log
3
4

( ) 1
2
1
2
1
2
2
1
2log
1
2
1
-=Û




=




Û=




Û=
-
xx
xx

3. 3 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: [email protected]

Continuação


e) f)




7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b:
a) Seja igual a 0. Solução: O valor de x deve ser 1. b) Seja igual a 1. Solução: O valor de x deve ser igual a
valor de b. c) Seja igual a -1. Solução: O valor de x deve ser inverso de b.


II PARTE

1. Calcule:
a) b) c)


d)




2. Calcule o valor de x:

a) b)


c) d)


e)



3. Calcule:
a) b) c) d)


e)

4. Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule








c
ba
2
.
log
.
Solução:
12214295235loglogloglog
22
2
=-=-+=-+=-+=








´
cba
c
ba

5. Sendo log
x 2 = a , logx 3 = b calcule
3
12logx .
Solução: ( ) 3log
3
1
2log
3
2
3log2log32log12log
3
1
3
2
3
1
23
xxxxxx
+=+=´=
6. Sendo log
a 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule 100log
a

Solução:
( ) 5log22log25log2log52log100log
2222
aaaaaa
+=+=´=
Continua =>



122
2
1
2
2
1
log
1
2
-=Û=Û=Û=
-
xx
xx

1
4
3
4
3
3
4
4
3
3
4
log
1
4
3
-=Û





=




Û=




Û=





-
x
x
xx

33log27log
3
33
==
3
5
1
log5log125log
3
5
1
3
5
1
5
1
=




==
4
5
2
1
2
5
2
2
5
2
5
2
222log
2log32log
2
5
22
5
2
5
24
2
2
=Û
´=Û¸=Û=Û
=Û=Û
==
x
xxx
x
x
x

3
3
2
log
3
2
log
27
8
log
3
3
23
3
3
2
3
2
=




==
2238log
33
=Û=Û= xx
x

4
1
4
1
16
1
2
16
1
log
2
22
=Û





=Û=Û= xxx
x

3225log
5
2
=Û=Û= xxx 2
3
32333log27log
323
39
2 =Û=Û=Û=Û= xxxx
x

5
2
1
2
1
2
2
1
32log
5
5
2
1
-=Û





=





Û=





Û=
-
xx
xx

32log
3
2
-=
-

2
1
7log7log
2
1
77
==
75
7log
5
=
2137
222
3log7log3log7log
2222
=´=
´=
+

40104522222
25log225log22
22
=´=´´=´=
+

4. 4 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: [email protected]

Continuação

7. Resolva as seguintes equações:

( ) ( )
{ }3
3
2
6
62610221022102log2102log
2
24
2
=
=Û-=Û-=Û+-=Û=+Û=+Û=+
S
xxxxxxx




()( )21loglog
32 =-x




( ) ()( )
60
17717127log
2
2222222
1
==
-=-Û+=+Û+=+Û=+
+
x
xxxxxxx
x



() () ( )
{ }3
33993363633
6log33log6log13log6log1log3log
2222222
=
=Û¸=Û=Û+=Û=-Û
=-Û=-Û=-+
S
xxxxx
xxx



() () ( )






-=
-=Û-=Û-=Û
=+Û=+Û=+Û=++
2
1
2
1
12212
122122log112log11log2log
3333
S
xxx
xxxx


f)
0222logloglog2loglog2
222
=-Û=Û=Û+= xxxxxxxx










( ) ( )
( )
0323274424472
14722
1
72
log21log72log
2222
22
2
22
2
2
=--Û=-Û+-=-+Û-=-+Û
-=-+Û=








-
-+
Û=---+
xxxxxxxxxx
xxx
x
xx
xxx









NB: Para as equações que são preciso recorrer a fórmula de Báskhara para achar a sua solução, apenas levamos o x com
o qual é possível tornar verdadeira a equação logaritmica. Daí termos apenas uma solução ao invés das duas soluções
obtidas. Isto não descarta a ideia de termos duas soluções numa equação como o caso do número que segue.

Continua =>

() ()
{ }10
1019913121log
2
3
=
=Û+=Û=-Û=-Û=-
S
xxxxx

d)
e)
( )
{ }2
02
2
0
2
4
2
22
2
22
2
22
2
42
12
01422
2
4
212121
22
=
=Ù=Û=Ù=Û
-
=Ù
+
=
Û
±
=Û
±
=Û
´
´´--±
=Û
-±-
=
S
xxxxxx
xxx
a
acbb
x

()
{ }3
13
2
2
2
6
2
42
2
42
2
42
2
162
12
31422
2
4
212121
22
=
-=Ù=Û
-
=Ù=Û
-
=Ù
+
=Û
±
=Û
±
=Û
´
-´´--±
=Û
-±-
=
S
xxxxxx
xxx
a
acbb
x

a)
b)
c)
g)
⇒Indeterminado

5. 5 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: [email protected]

Continuação

8. Determine a solução da equação: () () ( )72log13log2log
222 -+=-+- xxx



() () ( ) ()() ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
0209
0146451446572232
72log2log32log72log13log2log
2
22
222222
=+-Û
=++--Û-=+-Û-=--Û
-+=--Û-+=-+-
xx
xxxxxxxxx
xxxxxx
{ }4;5
4
2
8
5
2
10
2
19
2
19
1
19
2
19
12
201499
2
4
2121
22
=
==Ù==Û
-
=Ù
+
=Û
±
=Û
±
==
´
´´-±
=Û
-±-
=
S
xxxx
xxx
a
acbb
x