8. ĐẠI SỐ TỔ HỢP (OTC)-CTST10.pdf

TAU LIEU VAT LI

1. TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: [phone]
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU
Chương VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
BÀI 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Quy tắc cộng
Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của
phương án A. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m n cách.
Tổng quát:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo k phương án. Phương án thứ nhất có
1
m cách thực hiện;
phương án thứ hai có
2
m cách thực hiện; ...; phương án thứ k có
k
m cách thực hiện. Hơn nữa, mỗi cách
thực hiện của phương án này không trùng với bất kì cách nào của phương án khác. Khi đó, có thể thực hiện
công việc theo
1 2
  
k
m m m cách.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có m cách thực hiện và ứng với
mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo m. n cách.
Tổng quát:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn. Công đoạn thứ nhất có
1
n cách thực hiện; công đoạn
thứ hai có
2
n cách thực hiện, ...; công đoạn thứ k có
k
n cách thực hiện. Khi đó, có thể hoàn thành công việc
theo
1 2
.. 
k
n n n cách.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Trên giá sách có 6 cuốn sách Ngữ Văn khác nhau, 7 cuốn sách Toán khác nhau và 8 cuốn sách Tiếng
Anh khác nhau. Từ giá sách này,
a) có bao nhiêu cách lấy một cuốn sách?
b) có bao nhiêu cách lấy ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn?
c) có bao nhiêu cách lấy hai cuốn sách từ hai môn khác nhau?
Giải
a) Công việc lấy ra một cuốn sách có ba phương án thực hiện:
Phương án 1: Lấy một quyển sách Ngữ Văn, có 6 cách thực hiện.
Phương án 2: Lấy một quyển sách Toán, có 7 cách thực hiện.
Phương án 3: Lấy một quyển sách Tiếng Anh, có 8 cách thực hiện.
Theo quy tắc cộng, có 6 7 8 21   cách chọn một cuốn sách từ giá sách.
b) Để chọn ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn, ta thực hiện thành ba công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn một cuốn sách Ngữ Văn, có 6 cách thực hiện.
Công đoạn 2: Chọn một cuốn sách Toán, có 7 cách thực hiện.
Công đoạn 3: Chọn một cuốn sách Tiếng Anh, có 8 cách thực hiện.
Từ đó, theo quy tắc nhân, có 6.7.8 336 cách chọn ba cuốn sách, mỗi môn một cuốn.
c) Để chọn hai cuốn sách từ hai môn khác nhau, ta có ba phương án thực hiện.
Phương án 1: Chọn một cuốn sách Ngũ̃ Văn và một cuốn sách Toán, ta có 6.7 42 cách thực hiện phương
án này.
Phương án 2: Chọn một cuốn sách Ngũ Văn và một cuốn sách Tiếng Anh, có 6.8 48 cách thực hiện
phương án này.
Phương án 3: Chọn một cuốn sách Toán và một cuốn sách Tiếng Anh, có 7.8 56 cách thực hiện phương
án này.
ÔN TẬP CHƯƠNG 8. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
•TOÁN 10
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương

2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Mỗi cách thực hiện của phương án này đều không trùng với cách thực hiện nào của phương án khác, nên
theo quy tắc cộng, số cách chọn hai cuốn sách từ hai môn khác nhau là 42 48 56 146   (cách).
Bài 2. Tung một con xúc xắc ba lần liên tiếp và ghi lại kết quả (chẳng hạn, 2 5 4  nếu số chấm xuất hiện
lần lượt là 2,5 và 4). Có tất cả bao nhiêu kết quả khác nhau có thể xảy ra?

Giải
Có thể coi việc tung con xúc xắc ba lần liên tiếp là công việc gồm ba công đoạn, mỗi công đoạn là một lần
tung. Mỗi lần tung đều có 6 khả năng khác nhau xảy ra (số chấm xuất hiện là 1;2; ;6 ). Do đó, theo quy tắc
nhân, ta có 6 6 6 216   kết quả khác nhau có thể xảy ra.
Bài 3. Dùng sáu chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu
a) mật khẩu có bốn chữ số khác nhau?
b) số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?
c) số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau?
Giải
a) Kí hiệu mật khẩu cần lập là abcd, trong đó , , ,a b c d là các chữ số khác nhau từ sáu chữ số đã cho. Coi
việc chọn mật khẩu là một công việc gồm bốn công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn chữ số a từ sáu chữ số đã cho, có 6 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn chữ số b từ năm chữ số còn lại, có 5 cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn chữ số c từ bốn chữ số còn lại, có 4 cách chọn.
Công đoạn 4: Chọn chữ số d từ ba chữ số còn lại, có 3 cách chọn.
Từ đó, theo quy tắc nhân, có thể lập được 6 5 4 3 360    mật khẩu theo yêu cầu.
b) Kí hiệu số tự nhiên cần lập là abcd, trong đó , , ,a b c d là các chữ số khác nhau từ sáu chữ số đã cho,
0a. Đầu tiên, có 5 cách chọn chữ số a. Tiếp theo, có 5 cách chọn chữ số b từ các chữ số còn lại. Tiếp
tục, có 4 cách chọn chữ số c và 3 cách chọn chữ số d. Từ đó, theo quy tắc nhân, có 5 5 4.3 300   số tự
nhiên có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho.
c) Kí hiệu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau như câu b. Đầu tiên, có 3 cách chọn chữ số d từ ba chữ số
lẻ 1;3;5. Tiếp theo, có 4 cách chọn chữ số a từ 4 chữ số khác 0 còn lại. Tiếp theo, có 4 cách chọn chữ số c
từ 4 số còn lại. Cuối cùng, có 3 cách chọn chữ số b từ các chữ số còn lại. Từ đó, theo quy tắc nhân, có
3.4.4.3 144 số tự nhiên lẻ có bốn chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho.
Bài 4. Trong một công viên, có các con đường nối bốn địa điểm , ,A B C, và D như Hình 2 . Có bao nhiêu
cách chọn một đường đi từ A đến D ?

Chỉ tính các đường đi qua mỗi địa điểm nhiều nhất một lần.
Giải
Có hai phương án để đi từ A đến D.
Phương án 1: Đi từ A qua B rồi đến D. Có 3 cách chọn đường đi từ A đến B, có 2 cách chọn đường đi từ
B đến D. Theo quy tắc nhân, có 3.2 6 cách chọn đường đi từ A qua B rồi đến D.
Phương án 2: Đi từ A qua C rồi đến D. Có 3 cách chọn đường đi từ A đến C, có 4 cách chọn đường đi từ
C đến D. Theo quy tắc nhân, có 3.4 12 cách chọn đường đi từ A qua C rồi đến D.
Áp dụng quy tắc cộng, có 6 12 18  cách chọn đường đi từ A đến D.

3. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Bài 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hoán vị
Khi sắp xếp n phần tử của một tập hợp theo một thứ tự, ta được một hoán vị của n phần tử đó.
Số các hoán vị của n phần tử ( 1)n bằng ( 1)( 2) 2.1   
n
P n n n .
2. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A có n phần tử ( 1)n và số nguyên k với 1 k n.
Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần
tử đó.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ) k n bằng
!
( 1)( 2) ( 1) .
( )!
k
n
n
A n n n n k
n k
      


3. Tổ hợp
Mỗi tập con gồm k phần tử (1 ) k n của một tập hợp gồm n phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của
n phần tử đó.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ) k n bằng
!
!( )!


k
n
n
C
k n k
.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Có 5 cuốn sách Toán học khác nhau và 3 cuốn sách Sinh học khác nhau.

a) Có bao nhiêu cách xếp các cuốn sách này thành một dãy trên giá sách?
b) Nếu yêu cầu thêm các cuốn sách cùng môn phải được xếp cạnh nhau thì có bao nhiêu Hinh 1 cách xếp?
Giải
a) Mỗi cách sắp xếp 8 cuốn sách thành một dãy trên giá là một hoán vị của 8 cuốn sách này. Do đó, có
8! 40320 cách sắp xếp.
b) Có 5 ! cách sắp xếp 5 cuốn sách Toán học cạnh nhau để thành một dãy. Có 3 ! cách sắp xếp 3 cuốn sách
Sinh học cạnh nhau để thành một dãy. Có 2 ! cách sắp xếp 2 dãy trên cạnh nhau để thành một dãy mới. Từ
đó, áp dụng quy tắc nhân, số cách sắp xếp các cuốn sách trên thành một dãy sao cho các sách cùng môn
được xếp cạnh nhau là 5!3!2! 1440 (cách xếp).
Bài 2. Một ga tàu hoả có 6 đường nhánh, mỗi nhánh chỉ đỗ được một đoàn tàu. Hiện các đường nhánh đều
đang trống và có 3 đoàn tàu sắp vào ga. Có bao nhiêu cách bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu?

Giải
Mỗi cách chọn 3 đường nhánh và bố trí nhánh đỗ cho 3 đoàn tàu là một chỉnh hợp chập 3 của 6 đường
nhánh. Do đó, số cách bố trí là
3
6
6 5.4 120  A (cách).
Bài 3. Một bệnh viện có 12 bác sĩ nội khoa và 10 bác sĩ ngoại khoa. Bệnh viện cần cử 5 bác sĩ tham gia vào
đội y tế cứu trợ thiên tai.
a) Cần cử 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn?
b) Cần cử ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa. Có bao nhiêu lựa chọn?
Giải

4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
a) Mỗi cách chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa là một tổ hợp chập 3 của 12 bác sĩ này. Do đó, có
3
12
C cách
chọn 3 trong 12 bác sĩ nội khoa. Có
2
10
C cách chọn 2 trong 10 bác sĩ ngoại khoa. Áp dụng quy tắc nhân, số
cách cử 5 bác sĩ trong đó có 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa là:
3 2
12 10
220.45 9900 C C (cách).
b) Có hai phương án thực hiện.
Phương án 1: Chọn 2 bác sĩ nội khoa và 3 bác sĩ ngoại khoa, có
2 3
12 10
C C cách chọn.
Phương án 2: Chọn 3 bác sĩ nội khoa và 2 bác sĩ ngoại khoa, có
3 2
12 10
C C cách chọn. Áp dụng quy tắc cộng, số
cách cử 5 bác sĩ trong đó có ít nhất 2 bác sĩ nội khoa và ít nhất 2 bác sĩ ngoại khoa là:
2 3 3 2
12 10 12 10
66.120 220.45 17820   C C C C (cách).
Bài 4. Trong một lô 100 sản phẩm, có 97 chính phẩm (sản phẩm đạt tiêu chuẩn) và 3 thứ phẩm (sản phẩm
không đạt tiêu chuẩn). Từ 100 sản phẩm này, có bao nhiêu cách lấy ra 3 sản phẩm mà
a) 3 sản phẩm được lấy bất kì?
b) trong đó có 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm?
c) trong đó có ít nhất một thứ phẩm?
Giải
a) Mỗi cách lấy 3 sản phẩm từ 100 sản phẩm là một tổ hợp chập 3 của 100 sản phẩm. Do đó, số cách lấy 3
sản phẩm bất kì là
3
100
161700C (cách).
b) Có
2
97
C cách lấy 2 chính phẩm từ 97 chính phẩm. Có
1
3
C cách lấy 1 thứ phẩm từ 3 thứ phẩm. Từ đó, áp
dụng quy tắc nhân, số cách lấy 2 chính phẩm và 1 thứ phẩm là
2 1
97 3
4656 3 13968  C C (cách).
c) Trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 thứ phẩm trong 3 trường hợp sau đây.
Trường hợp 1: Có đúng 1 thứ phẩm.
Trường hợp này có
2 1
97 3
4656.3 13968 C C cách lấy, như đã tính ở trên.
Trường hợp 2: Có đúng 2 thứ phẩm.
Trường hợp này có
1 2
97 3
97.3 291 C C cách lấy.
Trường hợp 3: Có đúng 3 thứ phẩm.
Trường hợp này có
3
3
1C cách lấy.
Áp dụng quy tắc cộng, số cách lấy 3 sản phẩm có ít nhất 1 thứ phẩm là 13968 291 1 14260   (cách).
Cách khác: Có thể giải bài toán bằng cách tìm phần bù. Số cách lấy 3 sản phẩm đều là chính phẩm là
3
97
C.
Từ đó, số cách lấy 3 sản phẩm trong đó có ít nhất một thứ phẩm là
3 3
100 97
161700 147440 14260   C C
(cách).
Bài 5 . Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) Có bốn chữ số khác nhau?
b) Có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
c) Có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 4500 ?
Giải
a) Để lập số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho, ta chọn 4 trong 6 chữ số đó và sắp xếp theo
một thứ tự. Do đó, có thể coi mỗi số đó là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đó. Do đó, có
4
6
6 5 4 3 360    A số như vậy.
b) Để số lập được chia hết cho 5 , chữ số tận cùng của nó phải chia hết cho 5 . Vậy chữ số tận cùng là 5. Có
3
5
A cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại để viết các chữ số còn lại. Một số chia hết cho 5 thì
3
5
5 4 3 60   A .
c) Kí hiệu abcd là số tự nhiên có bốn chữ số thoả mãn yêu cầu.
Vì 4500m nên 4a
Trường hợp 1: 4a. Khi đó, để 4500m điều kiện cần và đủ là 5b. Có hai cách chọn chữ số b (5 hoặc
6). Có
2
4
A cách chọn hai chữ số còn lại.
Do đó, trường hợp này có
2
4
2 2A . 4.3 24 số thoả mãn yêu cầu.
Trường hợp 2: 5a. Khi đó, đương nhiên 4500m . Có hai cách chọn chữ số a (5 hoặc 6). Có
3
5
A cách
chọn ba chữ số còn lại.

5. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Do đó, trường hợp này có
3
5
2 2 5 4 3 120    A số thoả mãn yêu cầu. Áp dụng quy tắc cộng, có
24 120 144  số tự nhiên thoả mãn yêu cầu.
Bài 3. NHỊ THỨC NEWTON
A. KIẾN THƯC CẦN NHỚ
Với
4 4 3 2 2 3 4
4:( ) 4 6 4      n a b a a b a b ab b .
Với
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5:( ) 5 10 10 5       n a b a a b a b a b ab b .
Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton với 0;1;2;3; n tạo thành tam giác Pascal.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Sử dụng công thức nhị thức Newton, hãy khai triển:
a)
4
1
2
 

 
 
x
x

b)
5
1 

 
 
x
x

Giải
a)
4 2 3 4
4 3 21 1 1 1 1
2 (2 ) 4(2 ) 6(2 ) 4(2 )
         
         
         
         
x x x x x
x x x x x

4 2
2 4
8 1
16 32 24 . x x
x x
    
b)
5 2 3 4 5
5 4 3 21 1 1 1 1 1
5 10 10 5
           
      
           
           
x x x x x x
x x x x x x

5 3 2
2
5 1
5 10 10 .x x x x x
xx x
     
Bài 2. Tìm hệ số của
4
x trong khai triển biểu thức
5
(2 1)( 1) x x .
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
5 5 4 3 2
( 1) 5 10 10 5 1x x x x x x      
Khi nhân biểu thức 2 1x với biểu thức bên phải của *, ta được hệ số của
4
x bằng 2 10 1 ( 5) 15     .
Vậy hệ số của
4
x trong khai triển biểu thức
5
(2 1)( 1) x x bằng 15 .
Nhận xét: Nếu tìm tất cả các số hạng của khai triển, ta được
 
5 5 4 3 2 6 5 4 3
(2 1)( 1) (2 1) 5 10 10 5 1 2 9 15 10 3 1.x x x x x x x x x x x x x              
Từ đó, cũng tìm được hệ số của
4
x bằng 15 .
Bài 3 . Khai triển biểu thức
4
( )a bx, viết các số hạng theo thứ tự bậc của x tăng dần, nhận được biểu thức
gồm hai số hạng đầu tiên là 16 96x. Hãy tìm giá trị của a và b.
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
4 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 2 3 3 4 4
( ) 4 6 ( ) 4 ( ) ( ) 4 6 4a bx a a bx a bx a bx bx a a bx a b x ab x b x          
Theo giả thiết, ta có:
4
3
216
34 96
  
 
   
aa
ba b
hoặc
2
3.
 


a
b
Vậy 2, 3  a b hoặc 2, 3  a b .
Bài 4. Khai triển và rút gọn biểu thức
5 5
(1 ) (1 )  x x .
Sử dụng kết quả đó, tính gần đúng
5 5
1,05 0,95 A .
Giải
5 2 3 4 5
(1 ) 1 5 10 10 5      x x x x x x (1)
5 2 3 4 5
(1 ) 1 5 10 10 5      x x x x x x (2)

6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Từ (1) và (2) ta có:
5 5 2 4
(1 ) (1 ) 2 20 10     x x x x .
Áp dụng công thức trên ta có:

 
5 5 5 5 2 4
4
1,05 0,95 (1 0,05) (1 0,05) 2 20 (0,05) 10 (0,05)
2 20 0,0025 do (0,05) raát beù 2 0,05 2,05.
A          
     



PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
CÂU HỎI TỰ LUẬN
Câu 1. Với các chữ số 0,1,2,3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số
không trùng nhau?
Câu 2. Với các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7?
Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x
 

 
 
.
Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu
cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể?
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6?
Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ , , ,a b c d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a?
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn?
Câu 11. Từ các chữ số 1,2,3, 4,5. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500?
Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn
hơn 6000?
Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3

chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6
trong đó các chữ số đều khác nhau?
Câu 14. Cho  , ,P x y z là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có
1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy?
Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi
với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự
giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu?
Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có
nhiều nhất là 2 nữ?
Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại
cây phải có ít nhất một cây được trồng?
Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số.
Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn
quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được
thỏa mãn?
Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức
3
2
n
x
x x
x
 
 
 
 
bằng 36. Hãy tìm số
hạng thứ 7.
Câu 20. Tìm hệ số của
31
x trong khai triển 
40
2
1
f x x
x
 
 
 
 
.

7. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển
6
1
4
4
2 2
4
x
x


 

 
 
bằng 240.
Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển
3
3
1
2
3
x
 

 
 
tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng
tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng
1
6
.
Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6

nam và 8

nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6người.
Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
Câu 24. Tính tổng

    

0 1 2
11 1
...
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n


Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm
nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho?
Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B, người ta chọn ra một ban đại diện
gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ
chối tham gia?
Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3
phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ?
Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất
2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp?
Câu 30. Cho  , , P x y z là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ
số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai
điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ?
Câu 31. Cho hai đường thẳng a và bcắt nhau tại M. Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác , trên lấy 10
điểm phân biệt khác M. Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác?
Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8
quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A
mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn?
Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2
lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho?
Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong
đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau?
Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt
chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5?
Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một
trong hai chữ số đầu tiên là 7?
Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc
đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván?
Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường
thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các
số trên.
Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu?
Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau?
Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này
không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường
thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm
trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã
cho, nhiều nhất là bao nhiêu?
M b

8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 43. Trong khai triển nhị thức
28
3 15
n
x x x
 
 
 
. Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
 
   .
Câu 44. Trong khai triển nhị thức
12
3
3
x
x
 

 
 
. Tìm hạng tử độc lập với x ?
Câu 45. Tính

1
1 2 3 4
2 3 4 ... 1

      
n
n
n n n n n
A C C C C C
.
Câu 46. Cho khai triển nhị thức
10
2 10
0 1 2 10
1 2
...
3 3
x a a x a x a x
 
     
 
 
. Tìm số hạng
k
a lớn nhất.
Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người
mà trong đó không có quá 1 nam.
Câu 48. Tính tổng
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 1
1 2 3 4 5 6 7
S C C C C C C C      
.
Câu 49. Cho khai triển
1
1 1 1
0 13 3 32 2 2
2 2 2 2 2 ... 2
n n n n
x x xx x x
n
n n n
C C C

  
         
           
      
(n là số nguyên
dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n nC C và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.


LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số
không trùng nhau?
Lời giải
Số cách chọn số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2.1 = 96.
Số cách chọn số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2 = 96.
Số cách chọn số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3 = 48.
Số cách chọn số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4 = 16.
Số cách chọn số tự nhiên có 1 chữ số là: 5.
Vậy có thể lập được 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Câu 2. Với các chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong
đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Lời giải
Gọi số cần tìm là  
1 2 3 4 1
0a a a a a.
- Chữ số 5 đứng đầu  
1
5a:
1
a có 1 cách chọn;
2 3 4
a a a

có
3
6
A cách.
Suy ra trường hợp này có
3
6
1. 120A số.
- Chữ số 5 không đứng đầu  
1
5a: có 3 vị trí để đặt chữ số 5, khi đó:
1
a có 5 cách (khác 0 và 5); hai chữ số còn lại có
2
5
A cách chọn.

9. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Suy ra trường hợp này có
2
5
3 5 300A   số.
Vậy có tất cả 120 300 420  số.
Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải
Gọi số cần tìm là  
1 2 3 1
0a a a a.
- Chữ số cuối cùng bằng 0  
3
0a:
3
a có 1 cách chọn;
1
a có 9 cách chọn;
2
a có 8 cách chọn.
Suy ra trường hợp này có 1 9 8 72   số.
- Chữ số cuối cùng khác  
3
0 0a:
3
a có 4 cách chọn;
1
a có 8 cách chọn;
2
a có 8 cách chọn.
Suy ra trường hợp này có 4 8 8 256   số.
Vậy có tất cả 72 256 328  số cần tìm.
Chọn đáp án A.
Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Lời giải
Có 5 chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Do đó có thể viết được
4
5
120A số tự nhiên có 4 chữ số đôi một
khác nhau.
Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao
cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7?
Lời giải
Giả sử số cần tìm là abcde trong đó 0a và ; ; ; ;a b c d e đôi một khác nhau.
Do một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7 nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 7a.
Do bcde đôi một khác nhau khác a và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có
4
7
Acách
chọn bcde. Vậy có
4
7
1.A số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao
cho chữ số đầu tiên bằng 7.
Trường hợp 2: 7b.
Do
0a
a b



và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn;
cde đôi một khác nhau khác a và b và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có
3
6
Acách
chọn cde.
Vậy có
3
6
6.A số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số
thứ 2 bằng 7.
Trường hợp 3: 7c.

10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Do
0a
a c



và a được chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên a có 6 cách chọn;
bde đôi một khác nhau khác a và c và được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 nên có
3
6
Acách
chọn bde.
Vậy có
3
6
6.A số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sao cho chữ số
thứ 3 bằng 7.
Vậy có
4 3
7 6
1. 1.2.6.A A số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên
phải bằng 7 được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x
 

 
 
.
Lời giải
Ta có


10
3
10 10
5
0
3
5
0
1
1 1
.


 

 

 

k
k
k
k
C
x
x x
x
.
Do
0 10
k
k


 

nên số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x
 

 
 
là số hạng ứng với 5k.
Suy ra số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x
 

 
 
là


5
35 5 2 3
10 10 5
5
1
C x C x
x
.
Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu
cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể?
Lời giải
Giả sử vị trí xếp chú rể, cô dâu và 4 người bạn được đánh số là 1 2 3 4 5 6 7.

Do cô dâu đứng bên trái chú rể nên chú rể chỉ được đứng ở các vị trí 2 3 4 5 6 7.
Giả sử chú rể đứng ở vị trí x với 2 ; 6x . Khi đó số cách xếp cô dâu sao cho cô dâu luôn đứng
bên trái chú rể 1x và 4 bạn còn lại đảo xếp trong 4 vị trí còn lại.
Vậy có 
6
2
4!. 1 360
x
x

  cách xếp vị trí chú rể, cô dâu và bốn bạn còn lại sao cho cô dâu đứng ở
phía bên trái chú rể.
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6?
Lời giải
Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 là 4k khi đó ta có:
0 4 100
k
k


 

0 25
k
k


 

  0;1;2;3;4;5 ; 6 ;7 ;8;9 ;10;11;12;...;25k .
Vậy có 26 số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4.
Gọi số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6 là 6p khi đó ta có:
0 6 100
p
p


 

50
0
3
k
p



 



  0;1;2;3;4;5 ; 6 ;7 ;8;9 ;10;11;12;13 ;14;15 ;16p . Vậy có 17 số
tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 6.
Do số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 thì chia hết cho 12. Nên gọi số tự nhiên
không lớn hơn 100 chia hết cho 4 và 6 là 12q khi đó ta có:

11. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
0 12 100
q
q


 

25
0
3
q
q



 



  0 ;1;2;3;4;5 ; 6 ; 7; 8q . Vậy có 9 số tự nhiên không lớn hơn
100 chia hết cho 6.
Vậy có 26 17 9 34   số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6.
Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ , , ,a b c d thành một dãy sao cho chữ b không đi liền sau chữ a?
Lời giải
Xếp bốn chữ thành một dãy có 4! 24 cách.
Ta đi tìm số cách xếp bốn chữ a, b, c, d thành một dãy sao cho b luôn đi liền sau chữ a
Ta coi ab là một nhóm còn 2 chữ số ,c d mỗi chữ cái một nhóm.
Xếp chỗ cho 3 nhóm này có 3! 6 cách.
Vậy có 24 6 18 cách xếp sao cho chữ b không đi liền sau chữ a.
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn?
Lời giải
Gọi số cần tìm là abcdefg
Vị trí a có 9 cách chọn.
Các vị trí , , , ,b c d e f mỗi vị trí có 10 cách chọn
Vị trí g
TH1: Nếu a b c d e f     là một số chẵn thì chọn g cũng phải là một số chẵn suy ra có 5
cách chọn g.
TH2: Nếu a b c d e f     là một số lẻ thì chọn g cũng phải là một số lẻ suy ra có 5 cách
chọn g.
Vậy chọn g có 5 cách chọn. Vậy có
5
9.10 .5 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 11. Từ các chữ số 1,2,3,4,5. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng  300;500?
Lời giải
Gọi số cần tìm là abc
Chọn 3;4a có 2 cách chọn.
Chọn bc có
2
4
A. Vậy có
2
4
2.A số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn
hơn 6000?
Lời giải:
+ TH1: Xét số có 4 chữ số dạng: abcd
Chọn a: 2 cách ( số 6 và 7)
Chọn bcd:
3
4
A cách.
Có
3
4
2Asố có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000.
+ TH2: Xét số có 5 chữ số dạng: abcde
Có 5! =
5
5
A cách chọn abcde
Có
5
5
A số có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000.
Vậy có thể lập
3 5
4 5
2A A số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn hơn 6000.
Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3

chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6
trong đó các chữ số đều khác nhau?
Lời giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcde. (0a)

12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
+ Chọn ab từ  6;7;8;9có
2
4
Acách.
+ Chọn cde từ  0;1;2;3;4;5có
3
6
Acách.
Vậy có
2
4
A.
3
6
A=1440 số thỏa đề.
Câu 14. Cho  , ,P x y z là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có
1 chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy?
Lời giải:
Vì  , ,P x y z là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có 1
chữ số.
Nên , ,x y zđược chọn từ  0;1;2;3;4;5;6;7;8;9.
+ Chọn x: 10 cách.
+ Chọn y: 10 cách.
+ Chọn z: 10 cách.
Vậy có 10.10.10 = 1000 ( điểm P thỏa đề).
Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi
với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự
giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi tổng số vận động viên là ( *, 2)n n n  .
Số vận đông viên nam là 2n.
Số ván các VĐV nam chơi với nhau là:
2
2
2.
n
C

=
( 2)!
2. ( 2)( 3)
2!( 4)!
n
n n
n

  

.
Số ván các VĐV nam chơi với 2 VĐV nữ là: 2.( 2).2 4( 2)n n   .
Theo đề bài ta có:
13
( 2)( 3) 4( 2) 66
4
n
n n n
n

     

 

Mà *, 2 13n n n    .
Số ván tất cả VĐV chơi là
2
13
2. 156C
Vậy có 13 VĐV và 156 ván.
Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có
nhiều nhất là 2 nữ?
Lời giải
TH1: 0 nữ 4 nam có
4
10
Ccách chọn.
TH2: 1 nữ 3 nam có
1 3
5 10
C C cách chọn.
TH3: 2 nữ 2 nam có
2 2
5 10
C C cách chọn.
Vậy có
4 1 3 2 2
10 5 10 5 10
1260C C C C C   cách chọn thỏa đề.
Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại
cây phải có ít nhất một cây được trồng?
Lời giải
Chọn loại cây trồng trong 2 hố có
1
3
3C cách.
Chọn 2 hố sẽ trồng cùng 1 loại cây có
2
4
6C cách.
Chọn 1 loại cây trồng ở hố tiếp theo có
1
2
2C cách.

13. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Vậy có 3.6.2 36 cách trồng cây.
Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số.
Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn
quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được
thỏa mãn?
Lời giải
Xếp 4 người ngồi quay mặt về hướng tàu đi có
4
5
A cách.
Xếp 3 người ngồi quay về hướng ngược lại có
3
5
A cách.
Xếp 3 người còn lại vào các vị trị còn lại có 3! cách.
Vậy có
4 3
5 5
3! 43200A A cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn các yếu tố được đưa ra.
Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức
3
2
n
x
x x
x
 
 
 
 
bằng 36. Hãy tìm số
hạng thứ 7.
Lời giải
Số hạng tổng quát của khai triển  
3
2
. .
k
n k
k
n
x
C x x
x
 
 
 
 
,  , ,2n k n 
Vì hệ số của số hạng thứ 3 bằng 36 nên ta được




2
9!
36 36 1 72
82! 2 !
n
n Nn
C n n
n Ln

       
 


Vậy số hạng thứ 7 là  
6
3
3
6 2 3
9
. . 84
x
C x x x x
x
 
 
 
 
.
Câu 20. Tìm hệ số của
31
x trong khai triển 
40
2
1
f x x
x
 
 
 
 
.
Lời giải
Số hạng tổng quát:
40
40 40 3
40 40 40 2 2
1
. . . .
k
k
k k k k k
k
x
C x C C x
x x

  
 
 
 
với
0 40k
k
 


Số hạng này chứa
31
x khi 40 3 31 3k k    (thỏa mãn)
Hệ số của số hạng chứa
31
xlà
3
40
C.
Câu 21. Tìm số nguyên dương x sao cho số hạng thứ 5 của khai triển
6
1
4
4
2 2
4
x
x


 

 
 
bằng 240.
Lời giải
Số h àng th ứ 5 của khai triển l à
 
4
4
44
4
2
24 42 111 1 4 4
4 4. 11 1 8
4 1 4 4 4 4 4
6 6 6 6 6 14
4 4
. . 2 2 . . 2.2 . 4 . 2 .2 .2 .2
4
4
x xx
x
x
x x x x
x
C C C C C



  
     
   

 
     
                    
 

Theo giả thiết:
4 4 4 4
8 8
4 4 4
6
4 4 4 4
.2 240 2 16 8 4 4 0
4 4
x x x x
C
x x x x
   
 
          
 


2
4 16 4 4 4 0 4 16 16 0 2x x x x x x x            .

14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 22. Tìm số nguyên dương x cho biết trong khai triển
3
3
1
2
3
x
 

 
 
tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ hạng
tử đầu và hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối bằng
1
6
.
Lời giải


  
    
 
   
1 1
3 3 3
3
1
2 2 3
3
xx

Điều kiện
*
6,x x 
Ta có:
6 6
1 1
6 3 3
6 6
1 1
6 3 3
2 3
1
6
2 3
x
x
x
x
x
C
C





   
   
   

   
   
   
12 12
1 1
3 3
1
2 . 3
6
x x 

   
    
   
12 12
1 1
3 3
1
2 . 3
6
x x 
   
    
   
12
1 1
3 3
1
2 .3
6
x
 
  
 
12
1 12
13 3
1 12
6 6 6 1 9
6 3
x
x
x
x



  
         
 
(nhận)
Vậy 9x.
Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6người.
Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
Lời giải
Số cách chọn 6 người tùy ý:
6
14
3003C
Số cách chọn 6 người chỉ có nam hoặc chỉ có nữ:
6 6
6 8
29C C 
Số cách chọn 6 người có cả nam lẫn nữ: 3003 29 2974  .
Câu 24. Tính tổng

    

0 1 2
11 1
...
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

Lời giải
Ta chứng minh công thức
1
1
1 1
1 1
k k
n n
C C
k n



 
với ,k n là các số tự nhiên và k n.
Ta có



1
1
1 !1 1 ! 1
.
1 1 !. ! 1 1 . 1 1 !. 1 !
k k
n n
nn
C C
k k k n k n n n k k



  
         
 
.
Áp dụng công thức trên ta được

0 1 2
11 1
...
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

    



1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
11 1 1 1
= ...
1 1 1 1 1
n
n
n n n n n
C C C C C
n n n n n

    

    
    


1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
1
= ... 1
1
n
n
n n n n n
C C C C C
n

    
      
 

Ta tính

15. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15



1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
1
1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
1
0 1 2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
... 1
... 1
1 ... 1
1 0
1.
n
n
n n n n n
n
n
n n n n n
n
n
n n n n n n
T C C C C C
T C C C C C
T C C C C C C
T
T

    


    


     
      
         
         
  
 

Vậy
1
.
1
S
n



Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm
nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho?
Lời giải
Số cách chọn 3 điểm từ 10 điểm là
3
10
C.
Số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm thẳng hàng là
3
4
C.
Số tam giác có đỉnh là 3 trong các điểm trên là
3 3
10 4
C C.
Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu A và cô B, người ta chọn ra một ban đại diện
gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu A và cô B từ
chối tham gia?
Lời giải
Trong nhóm có cậu A và cô B từ chối tham gia nên nhóm còn lại 9 nam và 4 nữ.
Số cách họn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ xảy ra các
trường hợp sau:
TH1: Chọn ra 2 nam và 3 nữ có
2 3
9 4
C C cách chọn.
TH2: Chọn ra 3 nam và 2 nữ có
3 2
9 4
C C cách chọn.
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là
2 3 3 2
9 4 9 4
C C C C cách chọn.
Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3
phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa q và v ?
Lời giải
Để chọn chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3 phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ
đó chứa q và v ta thực hiện các bước sau:
Chọn 3 nguyên âm từ 5 nguyên âm có
3
5
C cách chọn.
Chọn 1 phụ âm ( trừ qvà v) từ 19 phụ âm có
1
19
C cách chọn.
Hoán vị 6 kí tự có 6!.
Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là
3 1
5 19
. .6!C C .
Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất
2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
Lời giải
Giả sử các phiếu được chọn có số thứ tự là
1 2 3 4 5
, , , , a a a a a và
1 2 3 4 5
1 90a a a a a      .
Ta xét trường hợp không tồn tại hai phiếu nào có số thứ tự là hai số liên tiếp. Mỗi trường hợp như
vậy tương ứng với bộ  
1 2 3 4 5
, , , , a a a a a thỏa mãn

16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
1 2 3 4 5
1 90a a a a a      và 
1 2, 1,4 1
i ia a i
   .
Đặt
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
, 1, 2, 3, 4b a b a b a b a b a         , ta có
1 2 3 4 5
1 b 86b b b b      và 
1 2, 1,4 2
i ib b i
   .
Ta thấy số cách chọn bộ  
1 2 3 4 5
, , , , a a a a a thỏa mãn 1 bằng số cách chọn bộ
 
1 2 3 4 5
, , , , b b b b b thỏa mãn 2 và bằng
5
86
C. Vậy có
5 5
90 86
C Ccách rút phiếu.
Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp?
Lời giải
Thầy giáo thứ nhất có
2
6
C cách chọn lớp, thầy giáo thứ nhất có
2
4
C cách chọn 2 trong ách chọn 2
lớp còn lại. Vậy có tất cả
2
6
C
2
4
C cách chia lớp.
Câu 30. Cho  , , P x y z là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ
số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai
điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox ?
Lời giải
Hai điểm  
1 1 1
, , x y z và  
2 2 2
, , x y z không cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox khi
1 2
x x. Vậy mỗi hệ có nhiều nhất 10 điểm.
Câu 31. Cho hai đường thẳng a và bcắt nhau tại M. Trên a lấy 9 điểm phân biệt khác , trên lấy 10
điểm phân biệt khác M. Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác?
Lời giải
Có
3
20
C cách chọn 3 điểm trong 20 điểm đã cho, có
3
10
C cách chọn 3 điểm trên a, có
3
11
C cách
chọn 3 điểm trên b. Suy ra lập được
3 3 3
20 10 11
C C C  tam giác.
Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8
quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A
mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn?
Lời giải
Bước 1: Cho bạn A mượn 2 quyển trong đó có 1 cuốn tiểu thuyết: 1.
1
8
C cách
Bước 2: Cho bạn B mượn 2 quyển:
2
7
C cách
Bước 3: Cho bạn C mượn 3 quyển:
3
5
C cách
Vậy bạn D có:
1 2 3
8 7 5
C C C cách cho mượn
Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2
lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho?
Lời giải
Lấy 1 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 2 điểm trên đường thẳng thứ 2 có:
1 2
10 20
C .C tam giác
Lấy 2 điểm trên đường thẳng thứ nhất và 1 trên đường thẳng thứ hai có:
2 1
10 20
C .C tam giác
Vậy tổng cộng ta có
1 2
10 20
C .C+
2 1
10 20
C .C tam giác
Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong
đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau?
Lời giải
- Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Bước 1: Chọn a có 5 cách
Bước 2: Điền 5 chữ số vào bcdecó
4
5
A cách
M b

17. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Suy ra có
4
5
5. 600A số có 5 chữ số khác nhau.
- Đếm các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Coi chữ số 3, 4 là chữ số M.
TH1: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau abcd bất kì, có mặt chữ số M
Bước 1: Điền chữ số M có 4 cách
Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại khác M vào 3 vị trí có
3
4
A cách
Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3, 4 trong M có 2 cách
Suy ra có
3
4
4. .2 192A số
TH2: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau 0bcd bất kì, có mặt chữ số M
Bước 1: Điền chữ số M có 3 cách
Bước 2: Điền 3 chữ số còn lại khác M vào 2 vị trí có
2
3
A cách
Bước 3: Đảo vị trí chữ số 3,4 trong M có 2 cách
Suy ra có
2
3
3. .2 36A số
Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau 192 36 156 
Vậy số các số có 5 chữ số khác nhau abcde mà chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau
600 156 444  .
Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt
chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5?
Lời giải
Gọi số cần tìm là 5bcd
Bước 1: Điền chữ số 4 có 3 cách
Bước 2: Điền 4 chữ số còn lại vào 2 vị trí có
2
4
A cách.
Vậy số các số cần tìm là
2
4
3A
Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một
trong hai chữ số đầu tiên là 7?
Lời giải
TH1 : Chữ số cuối là chữ số0
Chọn vị trí cho số 7 có 2 cách và lấy 2 trong 4 chữ số còn lại sắp vào 2 vị trí còn lại số cách là
4.3= 12 suy ra TH1 có 2.12= 24 số
TH2 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đầu là 7
Chọn chữ số cuối có 2 cách, hai chữ số đứng giữa có 4.3= 12 cách suy ra TH2 có 2.12= 24 số
TH3 : Chữ số cuối là chữ số 2 hoặc 6 và chữ số đứng thứ hai là 7
Chọn chữ số cuối có 2 cách, chọn chữ số đứng đầu có 3 cách, chọn chữ số đứng thứ 3 có 3 cách
suy ra TH3 có 2.3.3 = 18 số.
Vậy có 24 +24 + 18 = 66 số.
Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc
đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván?
Lời giải
Giả sử số người tham gia là ( , 2)n n n  suy ra số ván cờ khi 2 người bỏ cuộc là
2
2n
C

. Do
trước khi 2 người bỏ cuộc đã chơi được 2.3 = 6 ván nên số ván cờ thực tế là
2
2n
C

+ 6 = 84 (theo gt
của đề bài), giải phương trình này được =15n .
Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường
thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Lời giải

18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Giả sử các đường thẳng đôi một cắt nhau và không có bất cứ 3 đường nào đồng quy thì số giao
điểm là
2
10
C. Do có 4 đường thẳng trong số 10 đường thẳng song song nên số giao điểm thức tế là
2 2
10 4
39C C  .
Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các
số trên.
Lời giải
Do ở các hàng thứ nhất, hai, ba, tư và năm các chữ số 1,2,3,4,5 đều xuất hiện 4 ! số nên suy ra
tổng các s ố cần tìm là :
4 3 2
(1 2 3 4 5).10 (1 2 3 4 5).10 (1 2 3 4 5).10
.4! 3999960.
(1 2 3 4 5).10 (1 2 3 4 5)
              
 
          

Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu?
Lời giải
Cả cậu Huy và cô Thục đều nằm trong ban cán sự. Ta chọn thêm 3 người làm cán sự (trong 49
người còn lại) có
3
49
C cách. Vậy số cách bầu được ban cán sự theo yêu cầu là
3
49
Ccách.
Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau?
Lời giải
Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người bất kì trong 51 người là
5
51
C cách.
Số cách bầu ban cán sự mà cậu Huy và cô Thục làm việc chung là
3
49
C cách.
Số cách bầu ban cán sự gồm 5 người mà cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau là
5 3
51 49
C C cách.
Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này
không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường
thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm
trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã
cho, nhiều nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Đường thẳng cần dựng là đường thẳng đi qua 2 điểm nên có
2
5
10C đường thẳng.
Qua mỗi điểm A chẳng hạn, có
1
4
4Cđường thẳng. Do đó có 6 đường thẳng không đi qua A.
Vậy từ A có
2 1
5 4
6C C  đường thẳng vuông góc.
Xét hai điểm bất kì B A. Các đường thẳng vuông góc từ B xuống các đường thẳng đi quaA cắt
tất cả các đường thẳng vuông góc hạ từ A. Có 3 đường thẳng qua A mà không qua B. Vậy từ
ta hạ được 3 đường thẳng vuông goc với 3 đường thẳng đó. Ba đường thẳng vuông góc này cắt 6
đường vuông góc hạ từ A tại 3.6 18 điểm.
Hạ từ B còn có ba đường vuông góc nữa, mỗi đường này sẽ cắt 5 đường vuông góc hạ từ A ( nó
song song với một đường còn lại).
Vậy có 3.5 15 giao điểm.
Vậy có tổng cộng  10. 18 15 330  giao điểm.
B

19. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Nhưng cứ mỗi 3 giao điểm lại tạo thành một tam giác mà 3 đường cao của nó là 3 đường vuông
góc đã xét. Vậy các trực tâm của các tam giác này được kể 3 lần. Số các tam giác được tạo thành
là
3
5
10C.
Vậy số giao điểm nhiều nhất có thể là 330 10 320  .
Câu 43. Trong khai triển nhị thức
28
3 15
n
x x x
 
 
 
. Hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
 
   .
Lời giải
Điều kiện:
*
n
Ta có 
1 2 ( 1)
79 1 79 12
2
n n n
n n n
n n
C C C n n tm
  
        
Xét khai triển 
 

12
28 28 12 12 4 48
12 16
3 15 15
3 15
12 12
0 0
.
k
k k
k k
k k
x x x C x x C x


 
 
 
   
 
 
Số hạng không phụ thuộc vào x ứng với k thỏa mãn
48
16 0 5.
15
k k   
Vậy số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển trên là
5
12
792C.
Câu 44. Trong khai triển nhị thức
12
3
3
x
x
 

 
 
. Tìm hạng tử độc lập với x ?
Lời giải
Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có:
12 12
12 12
2 12 12 2
12 12
0 0
3 3
. . .3 . ( , 12)
3 3

 
 
     
    
     
     
  
k k
k k k k
k k
x x
C C x k k
x x
.
Ta có số hạng tổng quát:
2 12 12 2
1 12.3 .
 

k k k
kT C x với ( , 12) k k .
Hạng tử độc lập với x ứng với 12 2 0 6   k k (thỏa mãn).
Vậy hạng tử không chứa x là
6
7 12
T C
Câu 45. Tính 
1
1 2 3 4
2 3 4 ... 1

      
n
n
n n n n n
A C C C C C .
Lời giải
Ta có:
 




1
1
. 1 ! 1 !! !
. . .
!. ! !. 1 ! !. 1 ! !. 1 !


 
    
      
k k
n n
n n nn n
kC k n n C
n k k n k k n k k n k k
.
Thay vào biểu thức A ta có:

1
1 2 3 4
2 3 4 ... 1
n
n
n n n n n
A C C C C C

      

1
0 1 2 3 1
1 1 1 1 1
... 1
n
n
n n n n n
nC nC nC nC nC


    
      

1
0 1 2 3 1
1 1 1 1 1
... 1
n
n
n n n n n
n C C C C C


    
       
 

20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

1
1 1 0
n
n

   .
Câu 46. Cho khai triển nhị thức
10
2 10
0 1 2 10
1 2
...
3 3
x a a x a x a x
 
     
 
 
. Tìm số hạng
k
a lớn nhất.
Lời giải
Khai triển theo nhị thức Niu tơn ta có:
10 10
10 10
10 10 10
0 0
1 2 1 2 2
. . . .
3 3 3 3 3

 
     
  
     
     
 
k k
k
k k k
k k
x C x C x với ( , 10) k k .
Ta có:
1010
2
.
3

k
k
k
a C
Xét
 
1
1 1
1 10 10 10 10 10 10
2 2 10! 10!
. . 2 2.
3 3 9 !. 1 ! 10 !. !

 

      
  
k k
k k k k
k k
a a C C C C
k k k k

2 1 19
20 2 1
1 10 3
       
 
k k k
k k
.
0 1 2 3 4 5 6 7
       a a a a a a a a .(1)
Xét
 
1
1 1
1 10 10 10 10 10 10
2 2 10! 10!
. . 2 2.
3 3 9 !. 1 ! 10 !. !

 

      
  
k k
k k k k
k k
a a C C C C
k k k k

2 1 19
20 2 1
1 10 3
       
 
k k k
k k

7 8 9 10
   a a a a .(2)
Từ (1) và (2) ta có số hạng
7
7
7 1010
2
.
3
a C là số hạng lớn nhất.
Câu 47. Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người
mà trong đó không có quá 1 nam.
Lời giải
+ Số cách chon ra 5 người mà không có nam là
5
6
C.
+ Số cách chọ ra 5người mà có 1 nam và 4 nữ là
4 1
6 4
.C C.
+ Vậy số cách chọn ra 5người mà trong đó không có quá 1 nam là
4 1 5 2 1 5
6 4 6 6 4 6
.C C C C C C  
Câu 48. Tính tổng
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 1
1 2 3 4 5 6 7
S C C C C C C C      
.
Lời giải
+ Một cách t ổng quát, ta
có
1
1
1 1 ! ! 1 ( 1)! 1
.
1 1 ( )! ! ( )!( 1)! 1 (( 1) ( 1))!( 1)! 1
k k
n n
n n n
C C
k k n k k n k k n n k k n



   
          
.
+ Do đó
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 1
1 2 3 4 5 6 7
S C C C C C C C      

21. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21
6 5 4 3 4
1 2 3 4 5 6 7
7 7 7 7 7 7 7
2 2 2 2 2 2 1
7 7 7 7 7 7 7
S C C C C C C C       
6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
7 7 7 7 7 7 77 2 2 2 2 2 2S C C C C C C C       
7 0 7 0 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 2 2 2 2 2 2 2 2S C C C C C C C C C         
7
7 0 7
7 7
0
7 2 2 1
k k k
k
S C C


   
7 7
3 2
7
S

  .
Câu 49. Cho khai triển
1
1 1 1
0 13 3 32 2 2
2 2 2 2 2 ... 2
n n n n
x x xx x x
n
n n n
C C C

  
         
           
      
(n là số nguyên
dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.
Lời giải
+ Ta có
3 1 ! !
5 5
3!( 3)! 1!( 1)!
n n
n n
C C
n n
   
 
, (điều kiện: , 3n n  ).
1
6( 3)! ( 3)!( 2)( 1)
5
n n n n
 
   

( 1)( 2) 30n n   
2
3 2 30 0n n    
2
3 28 0n n   
4(ktm)
7(tm)
n
n
 




+ Vì số hạng thứ tư bằng 20n nên
33
1
3 32
2 2 20
n
xx
n
C n


  
  
   

37 3
1
3 32
7
2 2 20.7
xx
C


  
    
   

2 ( 1)
35.2 2 140
x x 
  
2
2 4
x
 
2 2x  
4.x 
+ Vậy 4, 7.x n 

PHẦN 3. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Từ các số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Hãy chọn
phương án trả lời đúng nhất trong các phương án sau
A. 1260. B.
4 3
6 5
4 3A A.
C.   
5 4 4 3
7 6 6 5
3 3A A A A   . D. Cả ba đáp án trên đều đúng.
Câu 2. Trong một buổi dạ vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người ra khiêu vũ?
A.
2
22
A. B.
2
18
A. C.
2
40
C. D.
2
40
A.
Câu 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách theo thứ tự?
A.
5
P. B.
0
5
A. C.
1
5
A. D.
5
5
C.

22. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 4. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?
A.
3
52
C. B.
3
52
A. C.
3
52. D.
52
3.
Câu 5. Trong một ủy ban có 10 người, cần chọn ra 3 người để 1 người làm chủ tịch, 1 người làm phó chủ
tịch và 1 người làm thư ký. Hỏi có thể có bao nhiêu cách chọn?
A.
3
10
C. B.
3
10
3!C. C.
3
10
3!A. D.
3
10
3C.
Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
A.
5 4
10 9
A A. B.
5
10
A. C.
5 4
10 9
C C. D.
4
9
A.
Câu 7. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8?
A.
3 2
5 4
C C. B.
3
4. C.
3 2
5 4
A A. D.
3
5
A.
Câu 8. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay
biết rằng chỉ có 8 vị thẩm phán?
A.
2
8
A. B.
2
8
C. C.
1
8
C. D. 16.
Câu 9. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Biết rằng có 36 cái bắt tay được
thực hiện (hai vị thẩm phán bất kỳ chỉ bắt tay nhau đúng một lần). Hỏi đoàn thẩm phán có bao
nhiêu người?
A. 18. B. 10. C. 9. D. 8.
Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức
17
34
3 2
1
x
x
 
 
 
với 0x.
A.
7
17
C. B.
17
8
C. C. Không tồn tại. D.
8
17
C.
Câu 11. Có 8 vận động viên võ thuật tham gia thi đấu theo hình thức loại trực tiếp trong mỗi trận đấu,
người thắng cuộc sẽ tiếp tục đấu ở vòng sau. Kết thúc giải đấu, ba người xếp hạng ở vị trí nhất,
nhì và ba sẽ lần lượt được nhận huy chương vàng, huy chương bạc và huy chương đồng. Hỏi có
bao nhiêu khả năng trao huy chương cho các vận động viên biết rằng khả năng chiến thắng của
các vận động viên là như nhau?
A.
3
8
A. B.
3
8
C. C. 8!. D.
3
8.
Câu 12. Có 4 người nam và 3 người nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao
cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?
A. 4! 3!. B. 7!. C. 4! 5!. D. 4! 3!.
Câu 13. Một người sắp xếp thời khóa biểu cho 7 môn học. Do ngày Thứ Hai có tiết sinh hoạt tập thể nên
chỉ có 3 tiết học văn hóa. Người đó dự định sắp xếp 3 môn học cho ngày Thứ Hai, mỗi môn có 1
tiết học. Hỏi người đó có bao nhiêu khả năng xếp thời khóa biểu cho ngày Thứ Hai đó.
A.
3
7
C. B.
3
7
A . C. 3! . D. 7!
Câu 14. Có 10 viên bi kích thước hoàn toàn giống nhau, trong đó có 7 viên bi màu trắng và 3 viên bi màu
đen. Ta xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
A.
3
10
C. B.
3
10
A. C. 10!. D. 7!3!
Câu 15. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số
chẵn không đứng cạnh nhau?
A. 48. B. 72. C. 120. D. 150.
Câu 16. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9. Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau?
A. 120. B. 184. C. 288. D. 360.
Câu 17. Có 12 công nhân xây dựng. Người đội trưởng bố trí 3 người làm ở A, 4 người làm ở B và 5 người
làm ở C. Có bao nhiêu cách bố trí?
A. 19248. B. 19720. C. 20150. D. 27720.
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh?

23. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23
A.
5
26
C. B.
5
24
A. C.
5
26
A. D.
5
24
C.
Câu 19. Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam
bằng số ủy viên nữ?
A.
6
25
C. B.
3 3
10 15
.C C. C.
3 3
10 15
A A. D.
6 6
10 15
.C C.
Câu 20. Với các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 4 chữ số khác nhau
và trong đó nhất thiết phải có chữ số 1?
A.
3 3
5 4
4 3A A. B.   
4 3 4 3
6 5 5 4
A A A A   .
C.
3 2
5 4
4 4A A. D.
4 4
6 5
A A.
Câu 21. Kí hiệu C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử. Tính giá trị của tổng
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
C C 3 C 3 ... C 3 .
n n
n n n n
S    
A.  
2 1 2
2 2 1
n n
. B.  
2 2 1
2 2 1
n n 
. C.  
2 1 2
2 2 1
n n
. D.  
2 2 1
2 2 1
n n 
.
Câu 22. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó?
A.
3 2
10 11
C C. B.
3 2
12 11
C C. C.
2 3
10 10
C C. D.
3 4
12 12
C C.
Câu 23. Cho một tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau. Xét các tập con khác rỗng chứa một số chẵn các
phần tử rút ra từ tập hợp trên. Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy?
A.
10
2 1. B.
8
2 1. C.
11
2 1. D.
9
2 1.
Câu 24. Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp
đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu?
A.
4 4
7 8
C C. B.
4 4
8 7
C .C. C.
4 5
7 8
C C. D.
4 4 4
7 8 5
C C C  .
Câu 25. Cho đa giác đều
1 2 2
...
n
A A A nội tiếp đường tròn tâm O, với n là số nguyên dương, 2n. Biết
rằng số tam giác có các đỉnh là ba trong số 2n điểm
1 2 2
, ,...,
n
A A A nhiều gấp hai mươi lần số hình
chữ nhật có đỉnh là bốn trong 2n điểm đó, tìm n.
A. 7n . B. 8n . C. 9n . D. 10n .
Câu 26. Có 10 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác lồi?
A.
4
10
C . B.
4
10
A . C.
2
10
C . D.
2
10
A .
Câu 27. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự
gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?
A.
4
30
C . B.
4
20
C . C.
4 4
30 20
C C . D.
4 4
30 10
C C .
Câu 28. Từ các số 0, 4, 5, 7, 9. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
A. 96. B. 42. C. 60. D. 72.
Câu 29. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho
các số đó không tận cùng bằng chữ số 5?
A. 5160. B. 840. C. 120. D. 720.
Câu 30. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
A. 35. B. 210. C. 120. D. 6!.
Câu 31. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh đứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho các
bạn nữ đứng chung với nhau?
A. 3!.3!. B. 3!.3!.2!. C. 3!.4!. D. 6!.
Câu 32. Từ 9 nam và 6 nữ có bao nhiêu cách lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ?
A.
5
15
.C B.
2 2
9 6
. .C C C.
2 3 3 2
9 6 9 6
. . .C C C C D.
2 3
9 9
. .C C
Câu 33. Một toà án có 9 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào cửa này và ra bằng cửa khác?
A. 9. B. 72. C. 36. D. 9!.

24. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 34. Có 10 thực tập sinh, 4 vị trí công tác và chế độ làm việc hai ca. Nếu mỗi thực tập sinh phải tập
làm ở từng vị trí trong cả hai ca thì cuộc thực tập phải kéo dài trong mấy ngày?
A. 10. B. 15. C. 20. D. 5.
Câu 35. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có
mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
A.
8! 7!
3!

. B. 8! 7!. C.
8!
3!
. D.
6! 5!
3!

.
Câu 36. Có 6 công việc và 5 công nhân. Có mấy cách phân cho một người nào đó làm một việc?
A. 6. B. 5. C. 30. D. 11.
Câu 37. Mỗi khóa gồm 5 vòng số ghi từ 0 đến 9. Mỗi dãy 5 chữ số cho một cách để mở khóa. Có bao
nhiêu khóa ứng với các cách mở khác nhau?
A.
5
10
A . B.
5 4
10 10
A A . C.
5
10 . D.
5 4
10 10
C A .
Câu 38. Trong mặt phẳng có 15 điểm , , ,...A B C và không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam
giác chứa điểm A?
A.
3
15
C . B.
2
14
C . C.
3
14
C . D.
2
15
C .
Câu 39. Xếp 10 người thành một hàng ngang từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để hai người A
và B không đứng cạnh nhau?
A. 10! 9!. B. 10! 9! . 2! . C. 9! . 2!. D. 10! 9!.2!.
Câu 40. Trong mặt phẳng có 5 đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt 10 đường thẳng song song
khác. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên?
A.
2 2
5 10
.C C. B.
2 2
5 10
.A A. C.
2
15
C. D.
4
15
C.
Câu 41. Trong tập hợp các điểm  ; ;P x y z của không gian ba chiều. Có bao nhiêu điểm nếu 1;2;3x ,
2;5y ,  3;7;8;9 ?z
A. 20. B. 12. C. 36. D. 24.
Câu 42. Cho 20 điểm A, B, C... Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong cùng một mặt
phẳng. Có bao nhiêu tam giác nhận BC làm cạnh chung?
A.
1
18
C. B.
2
18
C. C.
2
20
C. D.
3
20
C.
Câu 43. Sau buổi tổng kết, có 5 công nhân của xí nghiệp A được khen thưởng. Công đoàn của nhà máy có
3 suất đi du lịch để thưởng cho 3 trong số 5 công nhân đó, 2 công nhân còn lại được thưởng tiền.
Có bao nhiêu cách phân phối các phiếu du lịch cho 3 trong số 5 công nhân nói trên với giả thiết
các phiếu du lịch khác nhau.
A.
3
5
C. B.
3
5
A. C.
3
5
3.C. D.
3
5
3.A.
Câu 44. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2
không đứng cạnh nhau.
A. 120. B. 72. C. 48. D. 16.
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 vật khác nhau vào 2 hộp có đánh số?
A. 16. B. 8. C. 42. D. 36.
Câu 46. Tìm hệ số của một hạng tử chứa
4
x trong khai triển  
10
2
1 2 3x x  .
A. 8085. B. 8086. C. 8014. D. 8055.
Câu 47. Xét khai triển
  
3
log 10 3 2 log 35
2 2
m
x  

 
 
. Cho biết hạng tử thứ sáu là 21 và các hệ số thứ hai, ba
và bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất, ba và năm của một cấp số cộng. Tìm giá trị của x
A. 0 2x x  . B. 2 1x x  . C. 2 3x x  . D. 1 3x x  .

25. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25
Câu 48. Tính
0 1 2 31 1 1 1
...
2 3 4 1
n
n n n n n
S C C C C C
n
     

.
A.
1
2 1
1
n
n



. B.
2 1
1
n
n


. C.
1
2 2
1
n
n



. D.
1
2 1
1
n
n



.
Câu 49. Tính
6 7 8 9 10 11
11 11 11 11 11 11
S C C C C C C      .
A.
9
2 2. B.
10
2 1. C.
10
2. D.
11
2 1.
Câu 50. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và 1 nữ trong 5 người đó?
A.
3 2 3 4 4 1
10 10 10 10 10 10
C C C C C C  . B.
3 2 4 1
10 10 10 10
2C C C C .
C.
2 3 4
10 10 10
2 9C C C . D.
3 4 2 3
10 10 10 10
C C C C .
– HẾT –

26. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

BẢNG ĐÁP ÁN
1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.C 8.B 9.C 10.D
11.A 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.D 18.A 19.B 20.A
21.A 22.C 23.D 24.D 25.B 26.A 27.D 28.B 29.A 30.A
31.C 32.C 33.B 34.A 35.A 36.A 37.C 38.B 39.B 40.A
41.D 42.A 43.B 44.B 45.A 46.A 47.A 48.A 49.C 50.B

Câu 1. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? Hãy chọn
phương án trả lời đúng nhất trong các phương án sau
A. 1260. B.
4 3
6 5
4 3A A.
C.   
5 4 4 3
7 6 6 5
3 3A A A A   . D. Cả ba đáp án trên đều đúng.
Lời giải
Gọi abcde là số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau.
TH1: 0e
Chọn a có 6cách.
Chọn b có 5 cách.
Chọn c có 4 cách.
Chọn d có 3 cách.
Vậy có : 6.5.4.3 360 số.
TH2: 0e
Chọn e có 3cách.
Chọn a có 5cách.
Chọn b có 5 cách.
Chọn c có 4 cách.
Chọn d có 3 cách.
Vậy có : 3.5.5.4.3 900 số.
Vậy có: 360 900 1260  số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2. Trong một buổi dạ vũ có 22 nam và 18 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 người ra khiêu vũ?
A.
2
22
A. B.
2
18
A. C.
2
40
C. D.
2
40
A.
Lời giải
Mỗi cách chọn 2 người khiêu vũ từ 40 người là một tổ hợp chập 2 của 40 phần tử.
Vậy có:
2
40
C cách chọn 2 người khiêu vũ.
Câu 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách theo thứ tự?
A.
5
P. B.
0
5
A. C.
1
5
A. D.
5
5
C.
Lời giải
Mỗi cách sắp xếp 5 quyển sách lên kệ sách là một hoán vị của 5 phần tử
Vậy có:
5
5! 120P  cách.
Câu 4. Có bao nhiêu cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con?
A.
3
52
C. B.
3
52
A. C.
3
52. D.
52
3.
Lời giải
Mỗi cách rút ra 3 quân bài từ bộ bài 52 con là một tổ hợp chập 3 của 52 phần tử.
Vậy có:
3
52
C cách .
Câu 5. Trong một ủy ban có 10 người, cần chọn ra 3 người để 1 người làm chủ tịch, 1 người làm phó chủ
tịch và 1 người làm thư ký. Hỏi có thể có bao nhiêu cách chọn?

27. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27
A.
3
10
C. B.
3
10
3!C. C.
3
10
3!A. D.
3
10
3C.
Lời giải
Chọn ra 3 người trong 10 người có
3
10
C cách chọn.
Mỗi cách chọn ra 3 người, có 3! cách phân vào 3 chức vụ chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký.
Vậy có
3
10
.3!C cách chọn thỏa yêu cầu.
Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
A.
5 4
10 9
A A. B.
5
10
A. C.
5 4
10 9
C C. D.
4
9
A.
Lời giải
Chọn ra 5 chữ số và xếp thứ tự có
5
10
A cách, trong đó có trường hợp chữ số 0 đứng đầu.
Chọn ra 4 chữ số khác 0 và xếp thứ tự có
4
9
A cách.
Vậy có
5 4
10 9
A A số thỏa yêu cầu.
Câu 7. Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8?
A.
3 2
5 4
C C. B.
3
4. C.
3 2
5 4
A A. D.
3
5
A.
Lời giải
Chọn ra 3 chữ số và xếp thứ tự có
3
5
A cách, trong đó có trường hợp chữ số 0 đứng đầu.
Chọn ra 2 chữ số khác 0 và xếp thứ tự có
2
4
A cách.
Vậy có
3 2
5 4
A A số thỏa yêu cầu.
Câu 8. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay
biết rằng chỉ có 8 vị thẩm phán?
A.
2
8
A. B.
2
8
C. C.
1
8
C. D. 16.
Lời giải
Hai thẩm phán có 1 cái bắt tay, do đó có
2
8
C cái bắt tay.
Câu 9. Trước phiên tòa, các vị thẩm phán bắt tay nhau từng đôi một. Biết rằng có 36 cái bắt tay được
thực hiện (hai vị thẩm phán bất kỳ chỉ bắt tay nhau đúng một lần). Hỏi đoàn thẩm phán có bao
nhiêu người?
A. 18. B. 10. C. 9. D. 8.
Lời giải
Giả sử đoàn thẩm phán có n người ( *)n. Hai vị thẩm phán bất kỳ bắt tay nhau đúng một lần.
Vậy số cái bắt tay là số tập con có 2 phần tử của tập n phần tử. Do đó có
2
n
C cái bắt tay được thực
hiện.
Theo bài ra ta có

2 2
9 (thoa man)
36 72 0
8a l i o
n
n
C n n
n
 
      
 

.

28. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức
17
34
3 2
1
x
x
 
 
 
với 0x.
A.
7
17
C. B.
17
8
C. C. Không tồn tại. D.
8
17
C.
Lời giải
Số hạng tổng quát của khai triển là

17 17
2 3 17 136
34 3 4 12
1 17 17 17
3 2
1
k k k
k
k
k k k
k
T C x C x x C x
x
 



     
         
   
.
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với số nguyên k thỏa mãn
17 136
0 8
12
k
k

   .
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là
8
17
C.
Câu 11. Có 8 vận động viên võ thuật tham gia thi đấu theo hình thức loại trực tiếp trong mỗi trận đấu,
người thắng cuộc sẽ tiếp tục đấu ở vòng sau. Kết thúc giải đấu, ba người xếp hạng ở vị trí nhất,
nhì và ba sẽ lần lượt được nhận huy chương vàng, huy chương bạc và huy chương đồng. Hỏi có
bao nhiêu khả năng trao huy chương cho các vận động viên biết rằng khả năng chiến thắng của
các vận động viên là như nhau?
A.
3
8
A. B.
3
8
C. C. 8!. D.
3
8.
Lời giải
Mỗi khả năng trao huy chương cho các vận động viên là kết quả của việc sắp thứ tự của 3 vận
động viên ở các vị trí nhất, thứ hai và thứ ba. Do đó số khả năng trao huy chương là số chỉnh hợp
chập 3 của 8.
Câu 12. Có 4 người nam và 3 người nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ngồi thành một hàng ngang sao
cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?
A. 4! 3!. B. 7!. C. 4! 5!. D. 4! 3!.
Lời giải
Sắp xếp 4 người nam thành một hàng khi đó có 4! cách sắp xếp, có 3 khoảng trống giữa những
người nam. Sau đó ta sắp xếp 3 ngừi nữ xen kẽ vào 3 vị trí giữa 4 người nam, số cách sắp xếp
là 3! cách.
Vậy có 4! 3! cách sắp xếp.
Câu 13. Một người sắp xếp thời khóa biểu cho 7 môn học. Do ngày Thứ Hai có tiết sinh hoạt tập thể nên
chỉ có 3 tiết học văn hóa. Người đó dự định sắp xếp 3 môn học cho ngày Thứ Hai, mỗi môn có
1 tiết học. Hỏi người đó có bao nhiêu khả năng xếp thời khóa biểu cho ngày Thứ Hai đó.
A.

3
7
C. B.

3
7
A . C. 3! . D. 7!
Lời giải
Chọn 3 môn từ 7 môn để xếp vào 3 tiết học của ngày thứ 2 là một chỉnh hợp chập 3 của 7.
Do vậy số cách xếp thời khoá biểu cho ngày thứ hai là
3
7
A

.
Câu 14. Có 10 viên bi kích thước hoàn toàn giống nhau, trong đó có 7 viên bi màu trắng và 3 viên bi màu
đen. Ta xếp chúng thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
A.
3
10
C. B.
3
10
A. C. 10!. D. 7!3!
Lời giải
Số cách xếp 10 bi thành một hàng ngang chính là số hoán vị của 10 phần tử :
10!
.

Câu 15. Với 5chữ số , 4, 51, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số
chẵn không đứng cạnh nhau?

29. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29
A. 48. B. 72. C. 120. D. 150.
Lời giải
Số con số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 1;2;3;4;5 là 5!
Số con số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 1;2;3;4;5sao cho chữ số 2 và chữ
số 4 luôn đứng cạnh nhau là 4!.2!.
Vậy số con số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 1;2;3;4;5sao cho chữ số 2 và
số 4 không đứng cạnh nhau là 5! 4!.2! 72  .
Câu 16. Từ các số 0, 1, 2, 7, 8, 9. Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau?
A. 120. B. 184. C.

288. D. 360.
Lời giải
Số cách chọn chữ số hàng đơn vị là 3 cách ( gồm các chữ số   1 ; 7 ; 9)
Số cách chọn chữ số hàng chục nghìn là 4 cách ( khác chữ số hàng đơn vị và số 0 )
Số cách chọn 3 chữ số còn lại là 4.3.2 24cách
Vậy số con số cần tìm là 3.4.24 288 số .
Câu 17. Có 12 công nhân xây dựng. Người đội trưởng bố trí 3 người làm ở A, 4 người làm ở B và 5 người
làm ở C. Có bao nhiêu cách bố trí?
A. 19248. B. 19720. C. 20150. D. 27720.
Lời giải
Có
3
12
C cách bố trí 3 người làm ở A,
4
9
C cách bố trí 4 người làm ở B và
5
5
C cách bố trí 5 người
làm ở C. Theo quy tắc nhân số cách bố trí bằng
3 4 5
12 9 5
27720C C C   .
Chọn đáp án D.
Câu 18. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh?
A.
5
26
C. B.
5
24
A. C.
5
26
A. D.
5
24
C.
Lời giải
Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 chữ số. Một tập hợp 5 chữ số từ bảng chữ cái tiếng Anh là một tổ
hợp chập 5 của 26. Do đó số cách chọn cần tìm bằng
5
26
C.
Chọn đáp án A.
Câu 19. Một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 6 ủy viên trong đó số ủy viên nam
bằng số ủy viên nữ?
A.
6
25
C. B.
3 3
10 15
.C C. C.
3 3
10 15
A A. D.
6 6
10 15
.C C.
Lời giải
Việc chọn 6 ủy viên gồm 3 nam và 3 nữ nên có số cách chọn là
3 3
10 15
C C.
Chọn đáp án B.
Câu 20. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 4 chữ số khác
nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 1?
A.
3 3
5 4
4 3A A. B.   
4 3 4 3
6 5 5 4
A A A A   .
C.
3 2
5 4
4 4A A. D.
4 4
6 5
A A.
Lời giải
Có
4
6
A cách lấy ra bốn chữ số và viết liền nhau theo thứ tư, trong đó có
3
5
A cách viết có chữ số 0
đứng ở đầu. Do đó, số các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được chọn từ tập các chữ số đã
cho là
4 3
6 5
A A.

30. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Nếu không có chữ số 1 thì tương tự như trên, số cách viết các số tự nhiên có bốn chữ số từ các
chữ số 0, 2, 3, 4,5 là
4 3
5 4
A A
Vậy kết quả là có   
4 3 4 3
6 5 5 4
A A A A   .
Câu 21. Kí hiệu C
k
n
là số tổ hợp chập k của n phần tử. Tính giá trị của tổng
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
C C 3 C 3 ... C 3 .
n n
n n n n
S    
A.  
2 1 2
2 2 1
n n
. B.  
2 2 1
2 2 1
n n
. C.  
2 1 2
2 2 1
n n
. D.  
2 2 1
2 2 1
n n
.
Lời giải
Ta có:


 
2
2 0 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 0 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 0 2 2 2 2
2 2 2
4 3 1 .3 .3 ... .3
2 3 1 .3 .3 ... .3
4 2 2 .3 ... .3
n
n n n
n n n n
n
n n n
n n n n
n n n n
n n n
C C C C
C C C C
C C C
      
      
     

 
 
2 2
0 2 2 2 2
2 2 2
0 2 2 2 2 2 1 2
2 2 2
2 2 1
.3 ... .3
2
.3 ... .3 2 2 1
n n
n n
n n n
n n n n
n n n
C C C
C C C


    
     

Câu 22: Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó?
A.
3 2
10 11
C C. B.
3 2
12 11
C C. C.
2 3
10 10
C C. D.
3 4
12 12
C C.
Lời giải
Ta có:
Số cách chọn 2 nam trong số 10 nam là
2
10
C.
Số cách chọn 3 nữ trong số 10 nữ là
3
10
C.
Số cách chọn ra 5 người sao cho có đúng 2 nam trong 5 người đó là:
2 3
10 10
C C.
Câu 23: Cho một tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau. Xét các tập con khác rỗng chứa một số chẵn các
phần tử rút ra từ tập hợp trên. Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy?
A.
10
2 1. B.
8
2 1. C.
11
2 1. D.
9
2 1.
Lời giải
Ta có:
Số tập con chứa k phần tử  1 10k  được rút ra từ 10 phần tử là
10
k
C.
Số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp gồm 10 phần tử là
2 4 6 8 10
10 10 10 10 10
T C C C C C     .
Ta xét các khai triển sau:


 
10
10 0 1 2 10
10 10 10 10
10
10 0 1 2 10
10 10 10 10
10 0 2 10
10 10 10
2 10 9
10 10
2 1 1 ...
0 1 1 ...
2 2 ...
... 2 1
C C C C
C C C C
C C C
C C
      
      
    
    

Số tập con khác rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp gồm 10 phần tử là
9
2 1T 
Câu 24: Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp
đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu?
A.
4 4
7 8
C C. B.
4 4
8 7
C .C. C.
4 5
7 8
C C. D.
4 4 4
7 8 5
C C C  .
Lời giải

31. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31
Để trong số 4 viên bi lấy ra không đủ cả ba màu thì có 3 trường hợp:
TH1: Lấy ra 4 viên bi không có màu đỏ có
4
8
C cách chọn.
TH1: Lấy ra 4 viên bi không có màu trắng có
4
7
C cách chọn.
TH1: Lấy ra 4 viên bi không có màu vàng có
4
5
C cách chọn.
Vậy có tất cả là
4 4 4
7 8 5
C C C  cách lấy ra 4 viên bi không đủ ba màu.
Câu 25. Cho đa giác đều
1 2 2
...
n
A A A nội tiếp đường tròn tâm O, với n là số nguyên dương, 2n. Biết
rằng số tam giác có các đỉnh là ba trong số 2n điểm
1 2 2
, ,...,
n
A A A nhiều gấp hai mươi lần số hình
chữ nhật có đỉnh là bốn trong 2n điểm đó, tìm n.
A.

7n . B.

8n . C. 9n . D. 10n .
Lời giải
Số tam giác được tạo thành là
3
2n
C.
Số đường chéo đi qua tâm O của đa giác là n. Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ 2 đường
chéo đi qua tâm O.
Số hình chữ nhật được tạo thành là
2
n
C.
Vì số tam giác gấp 20 lần số hình chữ nhật nên ta có phương trình:
3 2
2
2
(2 )! !
20 20.
3!(2n 3)! 2!( 2)!
2 (2 1)(2n 2) ( 1)
20.
6 2
4 36 32 0
1
8
n n
n n
C C
n
n n n n
n n
n
n
  
 
  
 
   





Câu 26. Có 10 điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tứ giác lồi?
A.

4
10
C . B.

4
10
A . C.
2
10
C . D.
2
10
A .
Lời giải
Cứ 4 điểm trên đường tròn tạo thành một tứ giác. Số tứ giác được tạo thành là
4
10
C.
Câu 27. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự
gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam?
A.

4
30
C . B.

4
20
C . C.
4 4
30 20
C C . D.
4 4
30 10
C C .
Lời giải
Số cách chọn 4 bạn bất kì vào ban cán sự lớp là:
4
30
C .
Số cách chọn ra ban cán sự mà cả 4 bạn đều là nữ là
4
10
C.
Số cách chọn ra ban cán sự gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam là
4 4
30 10
C C.
Câu 28. Từ các số 0,4,5,7,9. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
A.

96. B.

42. C. 60. D. 72.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng  
1 2 3 4 1
, , 0
i j
a a a a a a i j a   .
TH1:
4 4
0a a  có 1 cách chọn

1
a có 4cách chọn

2
a có 3 cách chọn

32. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

3
a có 2 cách chọn
Do đó có 1.4.3.2 24 số chia hết cho 5.
TH2:
4 45a a  có 1 cách chọn

1
a có 3cách chọn

2
a có 3 cách chọn

3
a có 2 cách chọn
Do đó có 1.3.3.2 18 số chia hết cho 5.
Vậy có tất cả 24 18 42  số chia hết cho 5.
Câu 29. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho
các số đó không tận cùng bằng chữ số 5?
A. 5160. B. 840. C. 120. D. 720.
Lời giải
Số cần tìm có dạng abcde với  , , , , 0;1;2;3;4;5;6;7a b c d e .
Trường hợp 1: 0;5a
Bước 1: Chọn a có 6 cách.
Bước 2: Chọn e có 6 cách  ;5e a .
Bước 3: Chọn 3 số trong 6 số còn lại  , , ;b c d a e và sắp vào 3 vị trí còn lại có
3
6
A cách.
Trường hợp 2: 5a
Bước 1: Chọn a có 1 cách.
Bước 2: Chọn e có 7 cách e a.
Bước 3: Chọn 3 số trong 6 số còn lại  , , ;b c d a e và sắp vào 3 vị trí còn lại có
3
6
A cách.
Theo quy tắc nhân, có
3 3
6 6
6.6. 1.7. 5160A A  số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 30. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
A. 35. B. 210. C. 120. D. 6!.
Lời giải
Số cần tìm có dạng abc với  , , 0;1;2;3;4;5;6a b c .
Trường hợp 1: 1a
Bước 1: Chọn a có 1 cách.
Bước 2: Chọn c có 2 cách  3;5c .
Bước 3: Chọn b có 5 cách.
Trường hợp 2: 2a

33. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33
Bước 1: Chọn a có 1 cách.
Bước 2: Chọn c có 3 cách   1;3;5c .
Bước 3: Chọn b có 5 cách.
Trường hợp 3: 3a
Bước 1: Chọn a có 1 cách.
Bước 2: Chọn c có 2 cách  1;5c .
Bước 3: Chọn b có 5 cách.
Theo quy tắc cộng, có 1.2.5 1.3.5 1.2.5 35   số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 31. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh và 3 nam sinh đứng thành một hàng dọc vào lớp sao cho các
bạn nữ đứng chung với nhau?
A. 3!.3!. B. 3!.3!.2!. C. 3!.4!. D. 6!.
Lời giải
Ta coi 3 bạn nữ là một phần tử.
Bước 1: Sắp 4 phần tử (3 bạn nam và 1 phần tử gồm 3 bạn nữ đã nêu ở trên) vào 4 vị trí của
hàng dọc có 4! cách.
Bước 2: Hoán vị các bạn nữ có 3! cách.
Theo quy tắc nhân, có 3!.4! số cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 32. Từ 9 nam và 6 nữ có bao nhiêu cách lập một nhóm gồm 5 người có ít nhất 2 nam và 2 nữ?
A.
5
15
.C B.
2 2
9 6
. .C C C.
2 3 3 2
9 6 9 6
. . .C C C C D.
2 3
9 9
. .C C
Lời giải
Trường hợp 1: Nhóm có 2 nam và 3 nữ
Bước 1: Chọn 2 nam trong 9 nam có
2
9
C cách.
Bước 2: Chọn 3 nữ trong 6 nữ có
3
6
C cách.
Trường hợp 2: Nhóm có 3 nam và 2 nữ
Bước 1: Chọn 3 nam trong 9 nam có
3
9
C cách.
Bước 2: Chọn 2 nữ trong 6 nữ có
2
6
C cách.
Theo quy tắc cộng, có
2 3 3 2
9 6 9 6
. .C C C C số cách lập nhóm thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 33. Một toàn án có 9 cửa ra vào. Hỏi có bao nhiêu cách vào cửa này và ra bằng cửa khác?
A. 9. B. 72. C. 36. D. 9!.
Lời giải
Chọn 1 cửa vào từ 9 cửa có 9 cách.

34. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chọn 1 cửa đi ra (khác cửa vào) có 8 cách.
Vậy có 9.8 72 cách vào cửa này và ra bằng cửa khác.
Câu 34. Có 10 thực tập sinh, 4 vị trí công tác và chế độ làm việc hai ca. Nếu mỗi thực tập sinh phải tập
làm ở từng vị trí trong cả hai ca thì cuộc thực tập phải kéo dài trong mấy ngày?
A. 10. B. 15. C. 20. D. 5.
Lời giải
Số công việc mỗi thực tập sinh phải làm là 4.2 8 (công việc).
Vậy cần 10 ngày để mỗi thực tập sinh phải tập làm ở từng vị trí trong cả hai ca.
Câu 35. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm có 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có
mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần?
A.
8! 7!
3!

. B. 8! 7!. C.
8!
3!
. D.
6! 5!
3!

.
Lời giải
Xếp ngẫu nhiên 8 số vào 8 vị trí có 8! cách.
Xét vị trí đầu xếp số 0. Xếp 7 số còn lại vào 7 vị trí liền kề có 7!cách.
Vậy có
8! 7!
3!

số được lập thỏa đề bài.
Câu 36. Có 6 công việc và 5 công nhân. Có mấy cách phân cho một người nào đó làm một việc?
A. 6. B. 5. C. 30. D. 11.
Lời giải
Số cách phân công một công việc là
5
6
6Ccách.
Câu 37. Mỗi khóa gồm 5 vòng số ghi từ 0 đến 9. Mỗi dãy 5 chữ số cho một cách để mở khóa. Có bao
nhiêu khóa ứng với các cách mở khác nhau?
A.
5
10
A . B.
5 4
10 10
A A . C.
5
10 . D.
5 4
10 10
C A .
Lời giải
Số khóa ứng với các cách mở khác nhau là số các dãy số có dạng:
1 2 3 4 5
.a a a a a
Trong đó:
1 2 3 4 5
, , , ,a a a a a

mỗi vị trí có 10

cách chọn.
Vậy có:
5
10 khóa ứng với các cách mở khác nhau.
Câu 38. Trong mặt phẳng có 15 điểm , , ,...A B C và không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam
giác chứa điểm A?
A.
3
15
C . B.
2
14
C . C.
3
14
C . D.
2
15
C .
Lời giải
Ta có:
Mỗi cách chọn ra 2 điểm trong số 14 điểm khác điểm A cho ta một tam giác thỏa mãn yêu cầu
đề bài.
Vậy có:
2
14
C

tam giác chứa điểm A.
Câu 39. Xếp 10 người thành một hàng ngang từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để hai anh A

và
B đứng không cạnh nhau?

35. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35
A. 10! 9!. B. 10! 9! . 2! . C. 9! . 2!. D. 10! 9!.2! .
Lời giải
Xếp 10 người thành một hàng ngang từ trái qua phải có 10!

cách.
Xếp 2 anh A

và B đứng cạnh nhau có 2!

cách.
Xếp cặp ,A B và 8 người còn lại có 9!cách.
Để xếp 10 người mà 2 anh ,A B luôn đứng cạnh nhau có: 9!.2!
cách.
Vậy để xếp 10 người mà hai anh ,A B đứng không cạnh nhau có: 10! 9!.2!

cách.
Câu 40. Trong mặt phẳng có 5 đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt 10 đường thẳng song song
khác. Có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên?
A.
2 2
5 10
C .C. B.
2 2
5 10
A . A. C.
2
15
C. D.
4
15
C.
Lời giải
Ta thấy:
Cứ hai đường thẳng song song lần lượt cắt hai đường thẳng song song khác thì tạo thành một
hình bình hành.
Chọn liên tiếp 2 trong số 5 đường thẳng song song và 2 trong số 10 đường thẳng song song
khác thì ta có:
2 2
5 10
.C C

hình bình hành được tạo nên.
Câu 41. Trong Tập hợp các điểm  ; ;Px y z của không gian ba chiều. Có bao nhiêu điểm nếu
 1;2;3x , 2;5y ,  3;7;8;9 ?z
A. 20. B. 12. C. 36. D. 24.
Lời giải
Chọn x từ  1;2;3 có 3 cách.
Chọn y từ 2;5 có 2 cách.
Chọn z từ  3;7;8;9 có 4 cách.
Số các điểm  ; ;Px y z là : 3.2.4 24 cách.
Câu 42. Cho 20 điểm A, B, C... Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng nằm trong cùng một mặt
phẳng. Có bao nhiêu tam giác nhận BC làm cạnh chung?
A.
1
18
C. B.
2
18
C. C.
2
20
C. D.
3
20
C.
Lời giải
Tam giác nhận BC làm cạnh chung.
Số cách chọn 1 đỉnh còn lại của tam giác từ 18 điểm còn lại là
1
18
C.
Vậy số tam giác cần tìm là
1
18
C.
Câu 43. Sau buổi tổng kết, có 5 công nhân của xí nghiệp A được khen thưởng. Công đoàn của nhà máy có
3 suất đi du lịch để thưởng cho 3 trong số 5 công nhân đó, 2 công nhân còn lại được thưởng tiền.
Có bao nhiêu cách phân phối các phiếu du lịch cho 3 trong số 5 công nhân nói trên với giả thiết
các phiếu du lịch khác nhau.
A.
3
5
C. B.
3
5
A. C.
3
5
3.C. D.
3
5
3.A.
Lời giải

36. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Vì mỗi cách phân phối các phiếu du lịch cho 3 trong số 5 công nhân nói trên với giả thiết các
phiếu du lịch khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử có:
3
5
A cách.
Câu 44. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1 và 2
không đứng cạnh nhau.
A. 120. B. 72. C. 48. D. 16.
Lời giải
Xếp chữ số 1 và 2 cạnh nhau có: 2! cách
Xếp 5 chữ số khác nhau, hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau có:  2!. 5 2 1 ! 2!.4!   cách
Xếp 5 chữ số khác nhau tùy ý có: 5! cách.
Xếp 5 chữ số khác nhau, hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau có: 5! 2!.4! 72  cách.
Câu 45. Có bao nhiêu cách xếp 4 vật khác nhau vào 2 hộp có đánh số?
A. 16. B. 8. C. 42. D. 36.
Lời giải
Mỗi một vật có 2 cách xếp vào hộp. Nên có
4
2 16 cách xếp 4 vật vào 2 hộp có đánh số.
Câu 46. Tìm hệ số của một hạng tử chứa
4
x trong khai triển  
10
2
1 2 3x x  .
A. 8085. B. 8086. C. 8014. D. 8055.
Lời giải
Ta có   
10 10
10 10
2 2 10 20
10 10
0 0 0 0
1 2 3 2 3 2 3
k k
kk i
k i k i k i k k i
k k
k i k i
x x C C x x C C x

   
   
    

Vậy hệ số của hạng tử chứa
4
x trong khai triển là
6 6 4 0 9 7 2 1 8 8 0 2
10 10 10 9 10 8
2 3 2 3 2 3 8085C C C C C C  
Câu 47. Xét khai triển
  
3
log 10 3
2 log 35
2 2
m
x

 

 
 
. Cho biết hạng tử thứ sáu là 21 và các hệ số thứ hai,
ba và bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất, ba và năm của một cấp số cộng. Tìm giá trị của
x
A. 0 2x x  . B. 2 1x x  . C. 2 3x x  . D. 1 3x x  .
Lời giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là
  
 
log 10 3
2 log 35
. 2 . 2
x
k
m k
xk
m
C


 
 
 

Ta có hệ số thứ hai, ba và bốn lần lượt là
1
m
C,
2
m
C,
3
m
C.
Do hệ số thứ hai, ba và bốn của khai triển cũng là số hạng thứ nhất, ba và năm của cấp số cộng
nên

37. Điện thoại: [phone] TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37

1 3 2 2
2
2 9 14 0
7
m m m
m L
C C C m m
m

       


Số hạng thức sáu của khai triển là
  
 
2
5
log 10 3
2 log 355
7
. 2 . 2 21
x
x
C

 

 
 

  
2
2
log 10 3 log3 0 3 10.3 9 0
x x x x 
       
3 1 0
23 2
x
x
x
x
 
  
 
.
Câu 48. Tính
0 1 2 31 1 1 1
...
2 3 4 1
n
n n n n n
S C C C C C
n
     

.
A.
1
2 1
1
n
n



. B.
2 1
1
n
n


. C.
1
2 2
1
n
n



. D.
1
2 1
1
n
n



.
Lời giải
Ta có với mọin,
*
k và 1n k  thì
1
1
k k
n n
kC nC


 .
Thật vậy, với n,
*
ksao cho 1n k  thì





1
1
. . 1 ! 1 !!
. .
! ! ! . 1 ! ! 1 !
k k
n n
k n n nn
kC k n nC
n k k n k k k n k k


 
   
    
.(điều phải chứng minh)
Suy ra ta có
1
1
1 1
1 1
k k
n n
C C
k n



 
.
Vì vậy
0 1 2 31 1 1 1
...
2 3 4 1
n
n n n n nS C C C C C
n
     

1 2 3
1 1 1 1
1 1 1 1
...
1 1 1 1
n
n n n nC C C C
n n n n
       
   

11
2 1
1
n
n

  
 

.
Câu 49. Tính
6 7 8 9 10 11
11 11 11 11 11 11
S C C C C C C      .
A.
9
2 2. B.
10
2 1. C.
10
2. D.
11
2 1.
Lời giải
Ta có:
k n k
n n
C C

 . Do đó xét khai triển:
 
11
0 1 10 11
11 11 11 11
1 11 ...C C C C       
11 6 7 11
11 11 11
2 2 ...C C C    
6 7 11 10
11 11 11
... 2C C C     .
Câu 50. Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5
người sao cho có ít nhất 2 nam và 1 nữ trong 5 người đó?
A.
3 2 3 4 4 1
10 10 10 10 10 10
C C C C C C  . B.
3 2 4 1
10 10 10 10
2C C C C .
C.
2 3 4
10 10 10
2 9C C C. D.
3 4 2 3
10 10 10 10
C C C C .
Lời giải
Chọn 2 nam, 3 nữ có
2 3
10 10
C C cách.

38. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Chọn 3 nam, 2 nữ có
3 2
10 10C C cách.
Chọn 4 nam, 1 nữ có
4 1
10 10
C C cách.
Vậy có
3 2 4 1
10 10 10 102C C C C cách chọn.
– HẾT –


Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/