8 distribuição qui-quadrado

1. Distribuição de

(Qui-Quadrado) IC e TH
para a Variância de Populações Normais

A Estatística


=




)
2
=


, tem
distribuição Qui-Quadrada com grau de
liberdade.
:N(0,1)
Do fato de que (

) = 1
(


) =


) = (


) =
E


(


) = 2
Como a variável

resulta da soma de
variáveis independentes e igualmente
distribuídas → tende a distribuição normal
com o aumento dos graus de liberdade.
Outra propriedade importante das
distribuições

é sua aditividade. Essa
propriedade significa que a soma de duas

2. variáveis independentes com distribuições


com
e
graus de liberdade terá
também distribuição

com
+
graus
de liberdade (decorre diretamente da
definição).
O conhecimento das distribuições

nos
leva à determinação da distribuição
amostral da estatística

Pode-se
demonstrar que a estatística







=






,
Obtida por substituição de por na
definição da variável

tem distribuição


com n-1 graus de liberdade. Logo:



=






=



.





=





→



=



.

3. (

) =



. (


) =



. =


Interpolação no uso da Tabela
Para α%
Exemplo:
Determinar


tal que P (


≥


) = 0,40
Para
Exemplos:
= 31 determinar


≥


= 0,95
2) = 50 determinar





= 0,95

IC e TH para a variância

de uma
População Normal com Média
Conhecida
Retira-se uma amostra de tamanho n e
calcula-se

=





pois sendo a

4. média conhecida este resultado é mais
preciso do que se usasse .



=








=



↓





=


O IC para

ao nível α%:
P (








) = 1- α
P (





) =


e P (


≥


) =






=


e


=



P (












) = 1- α →
P (















) = 1- α
Como


=

temos:
P (











) = 1- α

5. Exemplo :
Sabe-se que a vida útil de uma certa
lâmpada tem distribuição normal, com
média de 500 horas e variância
desconhecida. Uma amostra de 25
lâmpadas forneceu


= 62500h.
Construir um IC para

ao nível de 5%.
Teste de Hipóteses :

:

=




:

≠


ou

>


ou

<






=









ou


=








Exemplo :
De uma população normal com média
300, levantou-se uma amostra de 26
elementos, obtendo-se :



= 129000

6. Ao nível de 5%, testar as hipóteses :

:

=

:

< 0

IC e TH para a

da População Normal
com Desconhecida

Distribuição de


pode ser
demonstrada como uma

com (n-1) graus
de liberdade.



=






como

=





- )
2

→


- )
2
= (

→





= (

→


=

7. IC para


P {











} = 1- α ou
P {















}
Exemplo:
Sabe-se que a vida útil de uma certa
válvula tem distribuição normal. Uma
amostra de 25 válvulas resultou = 500h e
= 50h. Construir um IC para

ao nível
de 2%.

TH para



:

=




:

≠


ou

>


ou

<






=









ou


=

8. Exemplo:
Avaliou-se em 240kg o desvio padrão das
tensões de ruptura de certos cabos
produzidos por uma fábrica. Depois de ter
sido introduzida uma mudança no processo
de fabricação destes cabos, as tensões de
ruptura de uma amostra de 8 cabos
apresentaram o desvio padrão de 300kg.
Investigar a significância do aumento
aparente da variância, ao nível de 5%.
Problemas
1. De uma população normal com média
= 20, levantou-se uma amostra de
24 elementos, obtendo-se



= 423,42. Ao nível de
10%, construir um IC para a variância
populacional.

9. 2. De uma população normal X com
média 1000, levanta-se uma amostra
de 15 elementos, obtendo-se



= 200. Ao nível de 1%,
testar.

:

=

:

>

3. De uma população normal levantou-
se uma amostra de 10 observações,
obtendo os seguintes valores: 10, 8,
15, 11, 13, 19, 21, 13, 15 e 14.
Sabendo-se que a população tem
média = 14, construir um IC para a


populacional ao nível de 5% e, ao
mesmo nível, testar :

:

=

:

≠

10. 4. A variância de 10 lâmpadas de uma
amostra é de 120 horas. Construir um
IC para a variância da população das
lâmpadas ao nível de 90%.

5. Observou-se durante vários anos a
produção mensal de uma indústria,
verificando-se que essa produção se
distribuía normalmente com variância
300. Foi adotada uma nova técnica e,
durante 24 meses, verificou-se a
produção mensal, constatando-se
que = 10000 e

= 400. Há razões
para se acreditar que a qualidade da
produção piorou, ao nível de 10%?

11. 6. De uma população normal com média
desconhecida, levantou-se uma
amostra casual de 21 elementos:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5,
5, 5, 5, 6, 6, 7
a)ao nível de 10%, construir um IC
para

;
b)e, ao mesmo nível, testar se a
variância populacional é menor que 4.