8 MáXimo ComúN Divisor Y MíNimo ComúN MúLtiplo

1. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –1
Para hallar los divisores comunes a dos o más números:
Consideremos los números 24 y 60.
Divisores de 24:
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores de 60:
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Vamos a calcular los divisores de ambos:
Los divisores comunes a 24 y 60 son: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Se hallan los divisores de cada número.
Se toman los comunes.
Observa:El número 1 es divisor de todos los números.
Se dice que dos números son primos entre sí cuando su único
divisor común es el 1.3 y 19 son primos entre sí.
Divisores comunes a varios números

2. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –2
El máximo común divisor de varios números es el mayor de
los divisores comunes.
Calculamos los divisores comunes a 36 y 24
Divisores de 24:D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores de 36:D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
Suele designarse abreviadamente por m.c.d.
Divisores comunes (36, 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
El mayor de estos divisores comunes es 12. Por eso a 12 se le llama
máximo común divisor de 36 y 24.
Se escribe así: m.c.d. (36, 24 ) = 12
Otro ejemplo:
D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Calculemos el m.c.d. (45, 60)
D (45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
m.c.d. (45, 60) = 15
El máximo común divisor de varios números

3. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –3
El máximo común divisor de varios números
es el mayor de sus divisores comunes.
Consideremos los números 30 y 18.
Divisores de 30:1 2 3 5 6 15 30
Divisores de 18:1 2 3 6 9 18
Divisores comunes son:
1, 2, 3 y 6
El máximo común divisor de varios números es igual al producto
de los factores primos comunes elevados al menor exponente.
Escribimos: m.c.d. (30 y 18) = 6
El mayor de ellos es el 6.
Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos:
30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 3
2

Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es.
2 · 3 = 6
El máximo común divisor. m.c.d.

4. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –4
Para calcular el máximo común divisor de varios números:
Calculemos los divisores comunes a 36 y 24 a partir de la expresión de cada
número como producto de primos.
Se escribe cada número como producto de sus factores primos.
Otro ejemplo:Calculemos el m.c.d. (20, 90, 600)
m.c.d. (20, 90, 600) = 2 x 5 = 10
22
32332236 ´=´´´=
32322224
3
´=´´´=
2
2
y 3 son divisores comunes a 36 y 24.
Luego también es factor común a 36 y 24.32
2
´
es el mayor de los divisores comunes a 36 y 24.32
2
´
m.c.d. (36, 24 ) =1232
2
=´
El máximo común divisor es igual al producto de los factores
primos comunes elevados al menor exponente.
5252220
2
´=´´=
532533290
2
´´=´´´=
23
532553222600 ´´=´´´´´=
Factores comunes: 2 y 5
Menor exponente: 1
Cálculo del máximo común divisor de varios números

5. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –5
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor
de sus múltiplos comunes, excluido el cero.
Consideremos los números 35 y 25.
Múltiplos de 35:0 35 70 105 140 175 210 … 350 …525, ...
Múltiplos de 25:0 25 50 75 100 125 150 175 … 350 … 525, ...
Múltiplos comunes son:
0, 175, 350, 525 ...
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los
factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175
Factores comunes: 5
Mayor exponente: 2m.c.m(35 y 25) = 5
2
· 7 = 175
Factores no comunes: 7
El menor de ellos, excluido el 0, es 175
35 = 5 · 725 = 5
2
El mínimo común múltiplo. m.c.m.

6. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –6
Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c.m. de los números 780 y 600.
7802
3902
1953
655
13
Los descomponemos en factores primos:
3002
1502
753
255
5
1
13
1
5
m.c.d.(780, 600) = 2
2
· 3 · 5 = 60
m.c.m.(780, 600) = 2
3
· 3 · 5
2
·13 = 7800
Factores comunes: 2 3 5
Menor exponente respectivo: 2, 1 y 1
Mayor exponente respectivo: 3, 1 y 2

Factores no comunes: 13
6002
780 = 2
2
· 3 · 5 · 13
600 = 2
3
· 3 · 5
2
Máximo común divisor:
Mínimo común múltiplo:
Factores comunes: 2 3 5
780 = 2
2
· 3 · 5 · 13
600 = 2
3
· 3 · 5
2
Cálculo del mcd y del mcm

7. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –7
Problema: Una habitación rectangular de 7,8 m de largo por 3 m de ancho se
quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá
medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna?
Se da:
Largo y ancho: 780 y 300 cm.
Se pide:
La medida de las baldosas, lo más
grandes posibles, que cabe tanto a lo
largo como a lo ancho (sin
romperlas).
Para no romper ninguna, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300.
Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300).
La descomposición en factores primos es:780 = 2
2
· 3 · 5 · 13
600 = 2
3
· 3 · 5
2
m.c.d.(780, 600) = 2
2
· 3 · 5 = 60
El lado de cada baldosa debe ser de 60 cm.
Aplicación del máximo común divisor

8. DivisibilidadDivisibilidad
–11 de marzo de 2010 –8
Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy
curioso. Si se divide entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es 1.
Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo de Yolanda?
1º. Tantear para comprender mejor
¿Podrían ser 901 habitantes?
2º. Pensar un problema más fácil
Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos.
3º. Comprobar el resultado
100 : 9 da de resto es 1.100 : 11 da de resto 1.
Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · 9 +1. Podría ser
Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale.
Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11.
Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1.
¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1?
El número será: 9 · 11 + 1 = 100
¡Pues 1!
Resolución de problemas