9.1. TEORIA DE COLAS.pptx

teoria de colas

1. TEORIA DE COLAS

2. 2 TEORIA DE COLAS Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS , son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

3. 3 TEORIA DE COLAS Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio. Los Análisis de Colas relacionan : la longitud de la línea de espera , el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola , Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

4. 4 TEORIA DE COLAS Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

5. 5 TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos. Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

6. 6 TEORIA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio Costo por TIEMPO DE ESPERA Costo por proporcionar el SERVICIO Costo Costo Total Mínimo COSTO TOTAL ESPERADO

7. 7 TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO . Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes. En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario. En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

8. 8 TEORIA DE COLAS Cuando el servicio mejora , disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera. Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas. En ciertos servicios (IESS, Bancos, Cedulación) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto .

9. 9 TEORIA DE COLAS COLAS MAS COMUNES SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO Supermercado Compradores Pago en cajas Peaje Vehículos Pago de peaje Consultorio Pacientes Consulta Sistema de Cómputo Programas a ser corridos Proceso de datos Compañía de teléfonos Llamadas Efectuar comunicación Banco Clientes Depósitos y Cobros Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación Muelle Barcos Carga y descarga

10. 10 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA Una cola de espera está compuesta de tres elementos: Arribos o ingresos al sistema Disciplina en la cola Servicio Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

11. I.G. Andrade D. I.O. II - I.S. - U.D.A. 11 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO : La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales: Tamaño de la población que arriba Patrón de llegada a la cola Comportamiento de las llegadas. 1.a.Tamaño de la Población: El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o limitado (finito).

12. 12 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO : 1.a. Tamaño de la Población: Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado. LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO. Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consutorio médico

13. I.G. Andrade D. I.O. II - I.S. - U.D.A. 13 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO : 1.b. Patrón de arribo al sistema: Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria . Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente. Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.

14. 14 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1 . CARACTERISTICAS DE ARRIBO : DISTRIBUCION DE POISSON: P(x) = Probabilidad de x arribos .x= número de arribos por unidad de tiempo  = rata promedio de arribo .e = 2.71828

15. 15 TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO : 1.c. Comportamiento de los arribos : La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son pacientes o sea que esperan en la cola hasta ser servidos y no se pasan entre colas . Desafortunadamente, la vida es complicada y la gente se reniega. Aquellos que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin completar su transacción. Esta situación sirve para acentuar el estudio de la teoría de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.

16. 16 TEORIA DE COLAS 2 . CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA : La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA . Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender . Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita . Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban.

17. 17 TEORIA DE COLAS 2 . CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA : Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla P rimero En E ntrar P rimero En S alir ( F irst I n F irst O ut ) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS ( F irst I n F irst S erved ). En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico. En supermercados, personas con menos de 10 artículos tienen la caja express que atiende a este tipo de clientes. Pero en la cola se les atiende con la política PEPS.

18. 18 TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA 3. Características del Servicio El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO . En él son importantes dos propiedades básicas: La configuración del sistema de servicio. El patrón de tiempos de servicio 3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO: Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio). Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.

19. 19 TEORIA DE COLAS CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA 3.1. Configuraciones básicas para el Servicio Sistema de cola multi -canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas. Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase Sistema multifase : cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera

20. 20 TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones básicas para el Servicio SERVIDOR COLA SERVICIO FASE 2 COLA ARRIBOS SERVICIO FASE 1 SALIDAS SISTEMA UN CANAL, UNA FASE ARRIBOS UN SOLO CANAL, MULTIFASE SALIDAS

21. 21 TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones básicas para el Servicio SISTEMA MULTICANAL UNA FASE ARRIBOS COLA CANAL 1 CANAL 2 CANAL 3 SALIDAS

22. 22 SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE ARRIBOS COLA FASE 2 CANAL 1 FASE 1 CANAL 2 FASE 2 CANAL 2 SALIDAS FASE 1 CANAL 1 TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

23. 23 TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.2. Distribución del Tiempo de Servicio Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios. Si el tiempo de servicio es constante , toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente . Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros). Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e - x para x  0 . Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson .

24. 24 TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea. Los principales factores que se evalúan en estos modelos son: Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola Longitud de cola promedio Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio). Número de clientes promedio en el sistema. Probabilidad de que el servicio se quede vacío Factor de utilización del sistema Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

25. 25 TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953) propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que ha sido adoptado universalmente. Una versión resumida de esta convención está basada en el formato A/B/c/N/K . Estas letras representan las siguientes características del sistema: A = Distribución de tiempo entre arribos. B = Distribución del tiempo de servicio. Los siguientes son símbolos comunes para A y B : M = exponencial o Markov (1) D = constante o determinística

26. 26 TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas E k = Erlang de orden k P H = Tipo fase H = Hiperexponencial G = Arbitrario o general GI = General independiente . c = número de servidores paralelos N = Capacidad del sistema K = Tamaño de la población. Nota (1) : A causa de las suposiciones de distribución exponencial en los procesos de arribo, estos modelos son llamados MARKOVIANOS

27. 27 TEORIA DE COLAS Notación de los Modelos de Colas Por ejemplo: M/M/1/  /  significa un solo servidor , capacidad de cola ilimitada y población infinita de arribos potenciales. Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente . Cuando N y K son infinitos , pueden ser descartados de la notación. M/M/1/  /  es reducido a M/M/1 .

28. 28 TEORIA DE COLAS Variedad de Modelos de Colas Existe una cantidad enorme de Modelos de Colas que pueden utilizarse. Nos vamos a concentrar en 4 de los modelos más usados . Modelos más complejos pueden ser desarrollados mediante el uso de la Simulación y se los encuentra en textos especializados sobre el tema. Los 4 modelos de colas a estudiar asumen: Arribos según la Distribución de Poisson Disciplina PEPS Una sola fase de servicio. Modelo A : Un canal, Arribos según la Distribución de Poisson ; Tiempos de Servicio exponenciales

29. 29 TEORIA DE COLAS Variedad de Modelos de Colas Modelo B : Multicanal Modelo C : Tiempo de Servicio constante Modelo D : Población Limitada Modelo A: Modelo de Colas de un solo canal, con arribos que siguen la distribución de Poisson y Tiempos de Servicio Exponenciales: (Modelo M/M/1) Los casos más comunes de problemas de colas incluyen la línea de espera de canal único o servidor único. En este caso los arribos crean una sola cola a ser servida por una sola estación .

30. 30 TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1 Asumimos que existen las siguientes condiciones: Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola. Los arribos son i ndependientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de Poisson y proceden de una población muy grande o infinita. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son independientes entre sí, pero su rata promedio es conocida.

31. I.G. Andrde D. 31 TEORIA DE COLAS Modelo A: (M/M/1) – Modelo B: (M/M/S) Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa . La rata de servicio es más rápida que la rata de arribo. Tabla 5.3 Render Pág. 192 Modelo B: Modelo de cola multicanal (M/M/S) Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban. Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre . Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente .

32. 32 TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1) Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata. Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1) Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en lugar de exponencialmente distribuídos . Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.

33. 33 TEORIA DE COLAS Modelo D: Población limitada Modelo D: Modelo de Población limitada.- Este modelo puede ser usado por ejemplo si estamos considerando reparaciones de equipo en una fábrica que tiene 5 máquinas. Este modelo permite cualquier número de reparadores a ser considerados. La razón por la cual este modelo difiere de los otros tres es que ahora hay una relación de dependencia entre la longitud de la cola y la rata de arribo . La situación extrema sería si en la fábrica tenemos 5 máquinas, todas se han dañado y necesitan reparación; siendo en este caso la rata de arribo CERO . En general, si la línea de espera crece, la rata de llegada tiende a cero

34. 34 RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS MODELO NOMBRE N° DE CANALES N° DE FASES PATRÓN DE ARRIBO PATRÓN DE SERVICIO TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DISCIPLINA DE COLA A SIMPLE M/M/1 UNO UNA POISSON EXPONENCIAL INFINITA PEPS B MULTI- CANAL M/M/S MULTI CANAL UNA POISSON EXPONENCIAL INFINITA PEPS C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1) UNO UNA POISSON CONSTANTE INFINITA PEPS D POBLACION LIMITADA UNO UNA POISSON EXPONENCIAL FINITA PEPS

35. 35 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

36. 36 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

37. 37 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

38. 38 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO B: SISTEMA MULTICANAL O M/M/S

39. 39 FÓRMULAS PARA COLAS MODELO C: SERVICIO CONSTANTE O MODELO M/D/1

40. 40 FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

41. 41 FORMULAS PARA COLAS MODELO D: POBLACIÓN LIMITADA

42. Desempeño del sistema de colas Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales: El número de clientes que esperan en la cola El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema

43. http://www.auladeeconomia.com Medidas del desempeño del sistema de colas Número esperado de clientes en la cola L q Número esperado de clientes en el sistema L s Tiempo esperado de espera en la cola W q Tiempo esperado de espera en el sistema W s

44. http://www.auladeeconomia.com Medidas del desempeño del sistema de colas: fórmulas generales

45. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

46. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

47. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejemplo

48. Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema

49. Probabilidades como medidas del desempeño Beneficios: Permiten evaluar escenarios Permite establecer metas Notación: P n : probabilidad de tener n clientes en el sistema P ( W s ≤ t ) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

50. Factor de utilización del sistema Dada la tasa media de llegadas  y la tasa media de servicio , se define el factor de utilización del sistema . Generalmente se requiere que  < 1 Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:

51. Factor de utilización del sistema - ejemplo Con base en los datos del ejemplo anterior,  = 0.75,  = 1 El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con dos servidores ( s = 2):  = / s  = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

52. Modelos de una cola y un servidor M / M /1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M / G /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio M / D /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M / E k /1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

53. Modelo M/M/1

54. Modelo M/M/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

55. Modelo M/M/1: ejemplo

56. Modelo M/M/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

57. Modelo M/G/1

58. Modelo M/G/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2 min. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

59. Modelo M/G/1: ejemplo

60. Modelo M/G/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga  = 5 min Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

61. Modelo M/D/1

62. Modelo M/D/1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

63. Modelo M/D/1: ejemplo

64. Modelo M/D/1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

65. Modelo M/E k /1

66. Modelo M/E k /1: ejemplo Un lavacar puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga  = 3.5 min (aprox.) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/E k /1

67. Modelo M/E k /1: ejemplo

68. Modelo M/E k /1: ejercicio A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/ E k /1

69. Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo lavacar Modelo L s W s L q W q M/M/1 M/G/1 M/D/1 M/E k /1

70. Modelos de varios servidores M / M /s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales M / D /s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio M / E k /s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

71. M/M/s, una línea de espera

72. M/M/s, una línea de espera

73. Análisis económico de líneas de espera Costos Tasa de servicio Tasa óptima de servicio Costo de espera Costo del servicio Costo total

74. 74 Ejercicio 1 Los trabajos que deben realizarse en una máquina específica llegan según un proceso de entradas Poisson con tasa media de 2 por hora. Suponga que la máquina se descompone y su reparación tardará 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de trabajos que llegan durante este tiempo sea: 2 5 o más?

75. 75 Ejercicio 2 El tiempo requerido por un mecánico para reparar una máquina tiene una distribución exponencial con media de 4 horas. Sin embargo, una herramienta especial reduciría esta media a 2 horas. Si el mecánico repara una máquina en menos de 2 horas, se le pagan $100; de otra manera se le pagan $80. Determine el aumento esperado en el pago del mecánico si usa esta herramienta especial.

76. 76 Ejercicio 3 Un sistema de colas tiene tres servidores con tiempos de servicio esperados de 20, 15 y 10 minutos. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial. Cada servidor ha estado ocupado con el cliente actual durante cinco minutos. Determine el tiempo esperado que falta para la siguiente terminación de un servicio.

77. 77 Ejercicio 4 Considere un sistema de colas con dos tipos de clientes. Los clientes tipo 1 llegan según un proceso de Poisson con tasa media de 5/hora. Los clientes tipo 2 también llegan con un proceso de Poisson con tasa media de 5/hora. El sistema tiene dos servidores, que sirven a ambos tipos de clientes. Para los dos tipos, el tiempo de servicio tiene distribución exponencial con media de 10 minutos. El servicio es FIFO. a)¿Cuál es la distribución de probabilidad (y su media) del tiempo entre llegadas consecutivas de clientes de cualquier tipo? b) Cuando llega un cliente tipo 2, encuentra dos clientes tipo 1 en el proceso de ser servidos y ningún otro cliente en el sistema. ¿Cuál es la distribución de probabilidad (y su media) del tiempo de espera en la cola para este cliente tipo 2?

78. 78 Nº Cliente Tiempo entre llegadas Tiempo de Servicio 1 2 1 2 1 3 3 3 6 4 1 2 5 1 1 6 4 1 7 2 4 8 5 2 9 2 5 10 4 1 11 2 1 12 - 3 Determinar: Tiempo promedio de espera en la cola Tiempo promedio de espera en el sistema. Número esperado en el sistema. Número esperado en la cola EJERCICIO: SIMULANDO EVENTOS EN EL SISTEMA

79. 79

80. 80

81. 81

82. 82 EJERCICIO: SIMULANDO EVENTOS EN EL SISTEMA: RESULTADOS Estime la probabilidad de encontrar al servidor ocioso: ????? C 02

83. 83 Estacionamiento Un almacen tiene un pequeño estacionamiento adyacente con espacio para tres autos. Los autos entran y usan uno de los espacios a una tasa media de 2 por hora. Para n = 0,1,2,3, la probabilidad es Describa este ejemplo como un sistema de colas. Determine las medidas básicas , Use el resultado de b para determinar el tiempo promedio que un auto permanece en …el espacio de estacionamiento.

84. 84 Probabilidades----Sistema de Colas Un sistema de colas tiene dos servidores, una distribución del tiempo entre llegadas exponencial con una media de 2 horas, y una distribución de tiempo de servicio exponencial con una media de 2 horas para cada servidor. Suponga que justo a las 12 llegó un cliente . a.- Cuál es la probabilidad que la próxima llegada sea i) antes de la 1:00 PM, ii) Entre la 1:00 y las 2:00 PM y iii) después de las 2:00 PM b.- Suponga que ningún cliente adicional llega antes de la 1:00 PM. Ahora cuál es la probabilidad que la próxima llegada sea entre la 1:00 y las 2:00 PM . c.- Suponga que ambos servidores están sirviendo clientes a la 1:00 PM. Cuál es la probabilidad que ningún cliente ha completado servicios (i) Antes de las 2:00, (ii) Antes de la 1:10 PM y (iii) antes de las 1:01 PM.

85. 85 Lavado de Autos Un sistema de lavado automático de autos opera con una sola máquina. Los autos llegan de acuerdo a una distribución de poisson con una media de 4 autos por hora y pueden esperar en el estacionamiento del local si la máquina esta ocupada. El tiempo para limpiar y lavar el auto es exponencial con una media de 10 minutos. Los autos que no pueden estacionar en el espacio destinado por el local, pueden esperar en la calle. A.-El administrador desea estimar el tamaño del espacio de estacionamiento propio. ¿???????. B.-Determine la tasa de servicio que satisface la condición que el tiempo de espera en el sistema sea menos que 10 minutos.