9-Математик.pdf 9-р ангид хэрэглэгдэх даалгавар
DuuriiDash
16 views
32 slides
May 18, 2025
Slide 1 of 32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
About This Presentation
9-Математик.pdf 9-р ангид
Slide Content
I ХЭСЭГ
АЛГЕБР
Алгебрийн үндсэн томъёонууд
Бүхэл илтгэгчтэй зэргийн чанар
Энд �,�∈ℕ
1. �
�
∙�
�
=�
�+�
Ижил суурьтай зэргүүдийг үржихдээ суурийг хэвээр нь бичиж
зэргийн илтгэгч дээр зэргийн илтгэгчийг нэмнэ.
2. �
�
:�
�
=�
�−�
Ижил суурьтай зэргүүдийг хуваахдаа суурийг хэвээр нь бичиж
зэргийн илтгэгчээс зэргийн илтгэгчийг хасна.
3. (�
�
)
�
=�
�∙�
Зэргийг зэрэгт дэвшүүлэхдээ зэргүүдийг хооронд нь үржинэ.
4. (��)
�
=�
�
�
�
Үржвэрийн зэрэг нь тус бүрийн зэргийн үржвэртэй тэнцүү байна.
5. (
�
�
)
�
=
�
�
�
�
Ноогдворын зэрэг нь тус бүрийн зэргийн ноогдвортой тэнцүү байна.
6. �
0
=1, �≠0 Тэгээс ялгаатай ямар ч тооны тэг зэрэг 1-тэй тэнцүү байна.
7. �
−�
=
1
�
�
Арифматик язгуур гаргах дүрэм
1. √�
2
=|�| Жишээ нь: √(−9)
2
=|−9|=9
2. √�∙√�=� Жишээ нь: √3∙√3=3
3. √��=√�∙√� (Энд �≥0,�≥0) Үржвэрийн язгуур нь тус бүрийн язгуурын
үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээ нь: √64∙9=√64∙√9=8∙3=24
4. √
�
�
=
√�
√�
(Энд �≥0,�>0) Ноогдворын язгуур нь тус бүрийн язгуурын
ноогдвортой тэнцүү байна. Жишээ нь: √
25
36
=
√25
√36
=
5
6
САНАМЖ: √�+�≠√�+√� √�−�≠√�−√�
(�−�)
3
=�
3
−3�
2
�+3��
2
−�
3
(�+�)(�
2
−��+�
2
)=�
3
+�
3
(�−�)(�
2
+��+�
2
)=�
3
−�
3
(�+�)(�−�)=�
2
−�
2
(�+�)
2
=�
2
+2��+�
2
(�−�)
2
=�
2
−2��+�
2
(�+�)
3
=�
3
+3�
2
�+3��
2
+�
3
1
АЛГЕБР
Алгебрийн үндсэн томъёонууд
Бүхэл илтгэгчтэй зэргийн чанар
Энд �,�∈ℕ
1. �
�
∙�
�
=�
�+�
Ижил суурьтай зэргүүдийг үржихдээ суурийг хэвээр нь бичиж
зэргийн илтгэгч дээр зэргийн илтгэгчийг нэмнэ.
2. �
�
:�
�
=�
�−�
Ижил суурьтай зэргүүдийг хуваахдаа суурийг хэвээр нь бичиж
зэргийн илтгэгчээс зэргийн илтгэгчийг хасна.
3. (�
�
)
�
=�
�∙�
Зэргийг зэрэгт дэвшүүлэхдээ зэргүүдийг хооронд нь үржинэ.
4. (��)
�
=�
�
�
�
Үржвэрийн зэрэг нь тус бүрийн зэргийн үржвэртэй тэнцүү байна.
5. (
�
�
)
�
=
�
�
�
�
Ноогдворын зэрэг нь тус бүрийн зэргийн ноогдвортой тэнцүү байна.
6. �
0
=1, �≠0 Тэгээс ялгаатай ямар ч тооны тэг зэрэг 1-тэй тэнцүү байна.
7. �
−�
=
1
�
�
Арифматик язгуур гаргах дүрэм
1. √�
2
=|�| Жишээ нь: √(−9)
2
=|−9|=9
2. √�∙√�=� Жишээ нь: √3∙√3=3
3. √��=√�∙√� (Энд �≥0,�≥0) Үржвэрийн язгуур нь тус бүрийн язгуурын
үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээ нь: √64∙9=√64∙√9=8∙3=24
4. √
�
�
=
√�
√�
(Энд �≥0,�>0) Ноогдворын язгуур нь тус бүрийн язгуурын
ноогдвортой тэнцүү байна. Жишээ нь: √
25
36
=
√25
√36
=
5
6
САНАМЖ: √�+�≠√�+√� √�−�≠√�−√�
(�−�)
3
=�
3
−3�
2
�+3��
2
−�
3
(�+�)(�
2
−��+�
2
)=�
3
+�
3
(�−�)(�
2
+��+�
2
)=�
3
−�
3
(�+�)(�−�)=�
2
−�
2
(�+�)
2
=�
2
+2��+�
2
(�−�)
2
=�
2
−2��+�
2
(�+�)
3
=�
3
+3�
2
�+3��
2
+�
3
1
Квадрат тэгшитгэл
Жишээ : �
2
+2�−8=0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд �=1,�=2,�=
−8 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал �
1,2=
−2±√2
2
−4∙1∙(−8)
2∙1
=
−2±√36
2
=
−2±6
2
болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь
бодон шийдүүдийг олно. �
1=
−2+6
2
=2; �
2=
−2−6
2
=−4 болно.
Жишээ : 2�
2
−5�+2=0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд �=2,�=−5,�=
2 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томь ёонд орлуулбал �
1,2=
−(−5)±√(−5)
2
−4∙2∙2
2∙2
=
5±√9
4
=
5±3
4
болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь бодон
шийдүүдийг олно. �
1=
5+3
4
=2; �
2=
5−3
4
=0.5 болно.
Жишээ : 2�
2
+�=0 тэгшитгэлийг бодъё. Эхлээд ерөнхий үржигдэхүүн болох �-г
хаалтнаас гарган үржигдэхүүн хэлбэрт тавина. �(2�+1)=0. Эндээс �=0 ба 2�+1=
0 болно. Ийнхүү �
1=0,�
2=−
1
2
.
Жишээ: 4�
2
−1=0 тэгшитгэлийг бодъё. 4�
2
=1 ⇒ �
2
=
1
4
болно. Эндээс
тэгшитгэлийн шийд нь �
1,2=±√
1
4
=±
1
2
“Квадрат тэгшитгэл” видео хичээлээ үзээрэй.
��
2
+��+�=0 (�≠0) хэлбэртэй тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэнэ. Квадрат
тэгшитгэлийн шийдийг дараах томьёогоор олдог.
�
1,2=
−�±√�
2
−4��
2�
�??????
??????
+�??????=?????? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох
�(��+�)=0. Эндээс �=0 ба ��+�=0 болно. Ийнхүү �
1=0,�
2=−
�
�
гэсэн хоёр
шийдтэй.
�??????
??????
+�=?????? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох
Тэгшитгэлээс �
2
-ийг ялган бичвэл �
2
=−
�
�
болно. Эндээс ажиглавал
а. Хэрэв �,� тоонууд эсрэг тэмдэгтэй байвал −
�
�
>0 болох ба тэгшитгэлийн шийд нь
�
1,2=±√−
�
�
болно.
б. Хэрэв �,� тоонууд ижил тэмдэгтэй байвал өгсөн тэгшитгэл шийдгүй байна.
2
Жишээ : �
2
+2�−8=0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд �=1,�=2,�=
−8 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томьёонд орлуулбал �
1,2=
−2±√2
2
−4∙1∙(−8)
2∙1
=
−2±√36
2
=
−2±6
2
болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь
бодон шийдүүдийг олно. �
1=
−2+6
2
=2; �
2=
−2−6
2
=−4 болно.
Жишээ : 2�
2
−5�+2=0 тэгшитгэлийг томьёо ашиглан бодъё. Энд �=2,�=−5,�=
2 байна. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох томь ёонд орлуулбал �
1,2=
−(−5)±√(−5)
2
−4∙2∙2
2∙2
=
5±√9
4
=
5±3
4
болно. Эндээс нэмэх, хасах тэмдгээр нь тус бүрд нь бодон
шийдүүдийг олно. �
1=
5+3
4
=2; �
2=
5−3
4
=0.5 болно.
Жишээ : 2�
2
+�=0 тэгшитгэлийг бодъё. Эхлээд ерөнхий үржигдэхүүн болох �-г
хаалтнаас гарган үржигдэхүүн хэлбэрт тавина. �(2�+1)=0. Эндээс �=0 ба 2�+1=
0 болно. Ийнхүү �
1=0,�
2=−
1
2
.
Жишээ: 4�
2
−1=0 тэгшитгэлийг бодъё. 4�
2
=1 ⇒ �
2
=
1
4
болно. Эндээс
тэгшитгэлийн шийд нь �
1,2=±√
1
4
=±
1
2
“Квадрат тэгшитгэл” видео хичээлээ үзээрэй.
��
2
+��+�=0 (�≠0) хэлбэртэй тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэнэ. Квадрат
тэгшитгэлийн шийдийг дараах томьёогоор олдог.
�
1,2=
−�±√�
2
−4��
2�
�??????
??????
+�??????=?????? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох
�(��+�)=0. Эндээс �=0 ба ��+�=0 болно. Ийнхүү �
1=0,�
2=−
�
�
гэсэн хоёр
шийдтэй.
�??????
??????
+�=?????? хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг бодох
Тэгшитгэлээс �
2
-ийг ялган бичвэл �
2
=−
�
�
болно. Эндээс ажиглавал
а. Хэрэв �,� тоонууд эсрэг тэмдэгтэй байвал −
�
�
>0 болох ба тэгшитгэлийн шийд нь
�
1,2=±√−
�
�
болно.
б. Хэрэв �,� тоонууд ижил тэмдэгтэй байвал өгсөн тэгшитгэл шийдгүй байна.
2
Виетийн теорем
Жишээ : 5�
2
+100�+18=0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба
үржвэрийг олъё. Энд �=5,�=100,�=18 байна.
�
1+�
2=−
�
�
=−
100
5
=−20
�
1∙�
2=
�
�
=
18
5
=3.6
Жишээ : �
2
−5�+6=0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба
үржвэрийг олъё. Энд �=1,�=−5,�=6 байна.
�
1+�
2=−
�
�
=−
−5
1
=5
�
1∙�
2=
�
�
=
6
1
=6
“Виетийн теорем” ведио хичээлээ үзээрэй.
Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох
Шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг орлуулах болон нэмэх аргаар бодож болдог.
Жишээ : {
3�−�=3
�+2�=8
тэгшитгэлийг оруулгын аргаар бодъё.
Эхний тэгшитгэлээс �-ийг олбол �=3�−3 болно. Олсон �-ээ хоёр дахь
тэгшитгэлийн �-ийн оронд орлуулбал �+2(3�−3)=8 гэсэн тэгшитгэл үүснэ. Энэ
тэгшитгэлээс �=2 гэж олдоно. �=3�−3=3∙2−3=3 болно. Тэгшитгэлийг шийд
�=2,�=3. Мөн адилаар хоёрдугаар тэгшитгэлээс �-ийг �-ээр илэрхийлэн бодож
болно.
Жишээ : {
−3�+2�=−2
5�−4�=2
тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бодъё.
Нэмэх аргаар бодохын тулд эхний тэгшитгэлийг 2 -оор үржүүлье.
{
−6�+4�=−4
5�−4�=2
болно. Одоо хоёр тэгшитгэлээ хооронд нь нэмье. +{
−6�+4�=−4
5�−4�=2
⇒
−�=−2 буюу �=2. Одоо аль нэг тэгшитгэлд нь �-ээ орлуулан �-г олъё. 5∙2−4�=2
⇒ �=2 болно. Тэгшитгэлийн шийд �=2,�=2
��
2
+��+�=0 (�≠0) хэлбэртэй квадрат тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь
−
�
�
-тай тэнцүү ба шийдүүдийн үржвэр нь
�
�
-тай тэнцүү байна.
�
1+�
2=−
�
�
�
1∙�
2=
�
�
3
Жишээ : 5�
2
+100�+18=0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба
үржвэрийг олъё. Энд �=5,�=100,�=18 байна.
�
1+�
2=−
�
�
=−
100
5
=−20
�
1∙�
2=
�
�
=
18
5
=3.6
Жишээ : �
2
−5�+6=0 тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба
үржвэрийг олъё. Энд �=1,�=−5,�=6 байна.
�
1+�
2=−
�
�
=−
−5
1
=5
�
1∙�
2=
�
�
=
6
1
=6
“Виетийн теорем” ведио хичээлээ үзээрэй.
Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем бодох
Шугаман тэнцэтгэл бишийн системийг орлуулах болон нэмэх аргаар бодож болдог.
Жишээ : {
3�−�=3
�+2�=8
тэгшитгэлийг оруулгын аргаар бодъё.
Эхний тэгшитгэлээс �-ийг олбол �=3�−3 болно. Олсон �-ээ хоёр дахь
тэгшитгэлийн �-ийн оронд орлуулбал �+2(3�−3)=8 гэсэн тэгшитгэл үүснэ. Энэ
тэгшитгэлээс �=2 гэж олдоно. �=3�−3=3∙2−3=3 болно. Тэгшитгэлийг шийд
�=2,�=3. Мөн адилаар хоёрдугаар тэгшитгэлээс �-ийг �-ээр илэрхийлэн бодож
болно.
Жишээ : {
−3�+2�=−2
5�−4�=2
тэгшитгэлийг нэмэх аргаар бодъё.
Нэмэх аргаар бодохын тулд эхний тэгшитгэлийг 2 -оор үржүүлье.
{
−6�+4�=−4
5�−4�=2
болно. Одоо хоёр тэгшитгэлээ хооронд нь нэмье. +{
−6�+4�=−4
5�−4�=2
⇒
−�=−2 буюу �=2. Одоо аль нэг тэгшитгэлд нь �-ээ орлуулан �-г олъё. 5∙2−4�=2
⇒ �=2 болно. Тэгшитгэлийн шийд �=2,�=2
��
2
+��+�=0 (�≠0) хэлбэртэй квадрат тэгшитгэлийн шийдүүдийн нийлбэр нь
−
�
�
-тай тэнцүү ба шийдүүдийн үржвэр нь
�
�
-тай тэнцүү байна.
�
1+�
2=−
�
�
�
1∙�
2=
�
�
3
Шугаман тэнцэтгэл биш
Жишээ бодлого: 5(�−1)+7≤1−3(�+2) тэнцэтгэл бишийг бодъё. Эхлээд хаалтаа
задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхтгээд ��+�≥0 хэлбэрт шилжүүлнэ.
5(�−1)+7≤1−3(�+2) /Хаалтыг задална./
5�−5+7≤1−3�−6 /Төсөөтэй гишүүдээ эмхтгэнэ. /
−8�−7≥0 / �-ийг ялгана./
�≤−
7
8
болно. Иймд өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞; −
7
8
] гэсэн тоон завсар
байна. Үүнийг товчлон �∈]−∞; −
7
8
] гэж бичдэг. Шийдийг тоон шулуун дээр
дүрсэлбэл:
“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлээ үзээрэй.
Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем
Жишээ бодлого: {
�+1>0
−2�+8>0
тэнцэтгэл бишийн системийг бодъё. Үүний тулд
тэнцэтгэл тус бүрээс �-г ялган хялбар тэнцэтгэл биш рүү шилжүүлнэ.
{
�>−1
�<4
энэ системийн шийд нь хоёр тэнцэтгэл бишийн шийдүүдийн огтлолцол байна.
Тоон шулуун дээр дүрсэлбэл:
Эндээс өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн системийн шийд нь ]−1;4[ гэсэн тоон завсар байна.
“Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем” видео хичээлийг үзээрэй.
��+�>0 эсвэл ��+�≥0 хэлбэрт шилждэг тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл
биш гэж нэрлэдэг.
4
Жишээ бодлого: 5(�−1)+7≤1−3(�+2) тэнцэтгэл бишийг бодъё. Эхлээд хаалтаа
задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхтгээд ��+�≥0 хэлбэрт шилжүүлнэ.
5(�−1)+7≤1−3(�+2) /Хаалтыг задална./
5�−5+7≤1−3�−6 /Төсөөтэй гишүүдээ эмхтгэнэ. /
−8�−7≥0 / �-ийг ялгана./
�≤−
7
8
болно. Иймд өгсөн тэнцэтгэл бишийн шийд нь ]−∞; −
7
8
] гэсэн тоон завсар
байна. Үүнийг товчлон �∈]−∞; −
7
8
] гэж бичдэг. Шийдийг тоон шулуун дээр
дүрсэлбэл:
“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлээ үзээрэй.
Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем
Жишээ бодлого: {
�+1>0
−2�+8>0
тэнцэтгэл бишийн системийг бодъё. Үүний тулд
тэнцэтгэл тус бүрээс �-г ялган хялбар тэнцэтгэл биш рүү шилжүүлнэ.
{
�>−1
�<4
энэ системийн шийд нь хоёр тэнцэтгэл бишийн шийдүүдийн огтлолцол байна.
Тоон шулуун дээр дүрсэлбэл:
Эндээс өгөгдсөн тэнцэтгэл бишийн системийн шийд нь ]−1;4[ гэсэн тоон завсар байна.
“Шугаман тэнцэтгэл бишийн систем” видео хичээлийг үзээрэй.
��+�>0 эсвэл ��+�≥0 хэлбэрт шилждэг тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл
биш гэж нэрлэдэг.
4
ГЕОМЕТР
Адил хажуут гурвалжин
Адил хажуут гурвалжны чанар:
1. Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгүүд тэнцүү /Зураг 1/
2. Адил хажуут гурвалжны оройгоос суурьт татсан өндөр, медиан, биссектрис
давхцана.
/Зураг 2/
Гурвалжны талбай
Мөрдлөгөө:
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай катетуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
2. Өндөр нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа, сууриудын харьцаатай тэнцүү
байна.
3. Суурь нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү
байна.
Зураг1 Зураг 2
Хэрэв гурвалжны талуудын хоёр нь тэнцүү бол уг
гурвалжныг адил хажуут гурвалжин гэнэ. Гурвуулаа тэнцүү
бол адил талт буюу зөв гурвалжин гэнэ.
Адил хажуут гурвалжин
Гурвалжны талбайг олохдоо суурийг түүнд татсан өндрөөр
үржүүлээд хоёрт хуваана.
??????=
��∙�??????
2
Гурвалжны талбай
5
Адил хажуут гурвалжин
Адил хажуут гурвалжны чанар:
1. Адил хажуут гурвалжны суурийн өнцгүүд тэнцүү /Зураг 1/
2. Адил хажуут гурвалжны оройгоос суурьт татсан өндөр, медиан, биссектрис
давхцана.
/Зураг 2/
Гурвалжны талбай
Мөрдлөгөө:
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай катетуудын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
2. Өндөр нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа, сууриудын харьцаатай тэнцүү
байна.
3. Суурь нь ижил хоёр гурвалжны талбайн харьцаа өндрүүдийн харьцаатай тэнцүү
байна.
Зураг1 Зураг 2
Хэрэв гурвалжны талуудын хоёр нь тэнцүү бол уг
гурвалжныг адил хажуут гурвалжин гэнэ. Гурвуулаа тэнцүү
бол адил талт буюу зөв гурвалжин гэнэ.
Адил хажуут гурвалжин
Гурвалжны талбайг олохдоо суурийг түүнд татсан өндрөөр
үржүүлээд хоёрт хуваана.
??????=
��∙�??????
2
Гурвалжны талбай
5
Тэгш өнцөгт гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжны чанар:
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90
о
-тай тэнцүү байна.
2. Тэгш өнцөгт гурвалжны 30
о
-ын эсрэг орших катет гипотенузын хагастай тэнцүү
байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометр харьцаа:
Тодорхойлолт Томьёо Зураг
� өнцгийн эсрэг катетыг
гипотенузад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
синус гэнэ.
sin�=
эсрэг катет
гипотенуз
=
�
�
� өнцгийн налсан катетыг
гипотенузад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
косинус гэнэ.
cos�=
налсан катет
гипотенуз
=
�
�
� өнцгийн эсрэг катетыг
налсан катетад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
тангенс гэнэ.
tg�=
эсрэг катет
налсан актет
=
�
�
� өнцгийн налсан катетыг
эсрэг катетад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
котангенс гэнэ.
�????????????�=
налсан катет
эсрэг катет
=
�
�
Параллелограмм
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь
катетуудын квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна.
�
2
=�
2
+�
2
Пифагорын теорем
Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллел байх дөрвөн
өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.
BC//AD, AB//CD
Параллелограмм
6
Тэгш өнцөгт гурвалжны чанар:
1. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90
о
-тай тэнцүү байна.
2. Тэгш өнцөгт гурвалжны 30
о
-ын эсрэг орших катет гипотенузын хагастай тэнцүү
байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометр харьцаа:
Тодорхойлолт Томьёо Зураг
� өнцгийн эсрэг катетыг
гипотенузад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
синус гэнэ.
sin�=
эсрэг катет
гипотенуз
=
�
�
� өнцгийн налсан катетыг
гипотенузад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
косинус гэнэ.
cos�=
налсан катет
гипотенуз
=
�
�
� өнцгийн эсрэг катетыг
налсан катетад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
тангенс гэнэ.
tg�=
эсрэг катет
налсан актет
=
�
�
� өнцгийн налсан катетыг
эсрэг катетад харьцуулсан
харьцааг өгсөн өнцгийн
котангенс гэнэ.
�????????????�=
налсан катет
эсрэг катет
=
�
�
Параллелограмм
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь
катетуудын квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна.
�
2
=�
2
+�
2
Пифагорын теорем
Эсрэг талууд нь хос хосоороо параллел байх дөрвөн
өнцөгтийг параллелограмм гэнэ.
BC//AD, AB//CD
Параллелограмм
6
Параллелограммын чанар:
1. Параллелограммын эсрэг талууд болон эсрэг өнцгүүд тэнцүү байна. /Зураг 3/
2. Параллелограммын диагоналууд огтлолцлын цэгээрээ хоёр тэнцүү хуваагдана.
/Зураг 4/
Трапец
Зураг 3 Зураг 4
Зураг 5: Тэгш өнцөгт трапец
Зураг 6: Адил хацуут трапец
Хоёр тал нь хоорондоо параллел, нөгөө хоёр тал нь
параллел биш байх дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ.
Трапецийн параллел талуудыг суурь, үлдсэн хоёр
талуудыг хажуу тал гэнэ. BC//AD
Трапец
Трапецийн талбайг олохдоо дундаж шугамыг өндрөөр
үржүүлнэ.
??????
���=
��+��
2
×ℎ
Трапецын талбай
Параллеграммын талбайг олохдоо суурийг өндрөөр үржинэ.
??????
����=��×ℎ
Параллеграммын талбай
7
1. Параллелограммын эсрэг талууд болон эсрэг өнцгүүд тэнцүү байна. /Зураг 3/
2. Параллелограммын диагоналууд огтлолцлын цэгээрээ хоёр тэнцүү хуваагдана.
/Зураг 4/
Трапец
Зураг 3 Зураг 4
Зураг 5: Тэгш өнцөгт трапец
Зураг 6: Адил хацуут трапец
Хоёр тал нь хоорондоо параллел, нөгөө хоёр тал нь
параллел биш байх дөрвөн өнцөгтийг трапец гэнэ.
Трапецийн параллел талуудыг суурь, үлдсэн хоёр
талуудыг хажуу тал гэнэ. BC//AD
Трапец
Трапецийн талбайг олохдоо дундаж шугамыг өндрөөр
үржүүлнэ.
??????
���=
��+��
2
×ℎ
Трапецын талбай
Параллеграммын талбайг олохдоо суурийг өндрөөр үржинэ.
??????
����=��×ℎ
Параллеграммын талбай
7
Тойргийн шүргэгч
Төв өнцөг, багтсан өнцөг
- Тойргийн төвд оройтой өнцгийг төв өнцөг гэнэ. (Зураг 7) дээр ∠��� төв өнцөг.
- �� нумын утга ∠��� төв өнцгийн градусан утгатай тэнцүү. ∠���=��̆ (Зураг7)
- Орой нь тойрог дээр оршдог, талууд нь тойргийг огтолдог өнцгийг багтсан өнцөг
гэнэ. (Зураг 8) дээр ∠��� багтсан өнцөг
- Багтсан өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү байна. ∠���=
��
2
̆
(Зураг 8)
Жишээ: Доорх зураг дээр ∠���=100
�
гэж өгөгдсөн бол ∠���-г олъё.
∠��� өнцөг ��̆ нумд тулсан байна. �� нумын утга ∠��� төв
өнцгийн градусан утгатай тэнцүү тул ��̆=100
�
болно. Багтсан
өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү тул ∠���=
��
2
=50
�
.
Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох
Жишээ бодлого: �(5,4),�(3,2) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол.
Бодолт: �,� хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, �=
5+3
2
=
4,�=
4+2
2
=3 болж, � цэгийн координат �(4,3) болно.
Зураг 7 Зураг 8
Теорем
Тойргийн шүргэгч шулуун нь тойргийн төвийг
шүргэлтийн цэгтэй холбосон радиуст перпендикуляр
байна. ��⊥� (�-шүргэгч шулуун)
Координатын хавтгайд �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүд өгөгдсөн байг. �,� цэгүүдийн
дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, � цэгийн координат �=
�1+�2
2
,�=
�1+�2
2
байна.
8
Төв өнцөг, багтсан өнцөг
- Тойргийн төвд оройтой өнцгийг төв өнцөг гэнэ. (Зураг 7) дээр ∠��� төв өнцөг.
- �� нумын утга ∠��� төв өнцгийн градусан утгатай тэнцүү. ∠���=��̆ (Зураг7)
- Орой нь тойрог дээр оршдог, талууд нь тойргийг огтолдог өнцгийг багтсан өнцөг
гэнэ. (Зураг 8) дээр ∠��� багтсан өнцөг
- Багтсан өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү байна. ∠���=
��
2
̆
(Зураг 8)
Жишээ: Доорх зураг дээр ∠���=100
�
гэж өгөгдсөн бол ∠���-г олъё.
∠��� өнцөг ��̆ нумд тулсан байна. �� нумын утга ∠��� төв
өнцгийн градусан утгатай тэнцүү тул ��̆=100
�
болно. Багтсан
өнцөг тулсан нумынхаа хагастай тэнцүү тул ∠���=
��
2
=50
�
.
Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох
Жишээ бодлого: �(5,4),�(3,2) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол.
Бодолт: �,� хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, �=
5+3
2
=
4,�=
4+2
2
=3 болж, � цэгийн координат �(4,3) болно.
Зураг 7 Зураг 8
Теорем
Тойргийн шүргэгч шулуун нь тойргийн төвийг
шүргэлтийн цэгтэй холбосон радиуст перпендикуляр
байна. ��⊥� (�-шүргэгч шулуун)
Координатын хавтгайд �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүд өгөгдсөн байг. �,� цэгүүдийн
дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, � цэгийн координат �=
�1+�2
2
,�=
�1+�2
2
байна.
8
Жишээ бодлого: �(2,4),�(4,−4) цэгүүдийн дундаж цэгийн координатыг ол.
Бодолт: �,� хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, �=
2+4
2
=
3,�=
4+(−4)
2
=0 болж, � цэгийн коордианат �(3,0) болно.
“Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох” видео хичээлээ үзээрэй.
Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох
Энэ томьёо нь та нарын мэддэг Пифагорын теоремоос мөрдөх тул эргэцүүлж
үзээрэй.
Жишээ бодлого: �(5,2),�(2,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (�
1=5,�
2=2,�
1=
2,�
2=6) ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
=√(2−5)
2
+(6−2)
2
=√(−3)
2
+4
2
=
√6+16=√25=5. Ингээд �,� цэгүүдийн хоорондох зай 5 гэж олдлоо.
Жишээ бодлого: �(5,−2),�(−1,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (�
1=5,�
2=
−1,�
1=−2,�
2=6) ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
=√(−1−5)
2
+(6−(−2))
2
=
√(−6)
2
+8
2
=√36+64=√100=10. Ингээд �,� цэгүүдийн хоорондох зай 10 гэж
олдлоо.
“Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох” ведио хичээлээ үзээрэй.
Вектор
Чиглэлтэй хэрчмийг вектор гэнэ.
Вектор
Векторыг 2 янзаар тэмдэглэдэг.
1.Том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь �� . Эхний цэг нь
векторын эхлэл, хоёр дахь цэг нь векторын төгсгөлийн
цэг болно. (Зураг 7)
2.Жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.
Векторын тэмдэглэгээ
Зураг 7
Координатын хавтгайд �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүд өгөгдсөн байг. �,� цэгүүдийн
хоорондох зай ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
байна.
9
Бодолт: �,� хоёр цэгүүдийн дундаж цэгийг �(�,�) гэж тэмдэглэвэл, �=
2+4
2
=
3,�=
4+(−4)
2
=0 болж, � цэгийн коордианат �(3,0) болно.
“Хоёр цэгийн дундаж цэгийн координатыг олох” видео хичээлээ үзээрэй.
Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох
Энэ томьёо нь та нарын мэддэг Пифагорын теоремоос мөрдөх тул эргэцүүлж
үзээрэй.
Жишээ бодлого: �(5,2),�(2,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (�
1=5,�
2=2,�
1=
2,�
2=6) ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
=√(2−5)
2
+(6−2)
2
=√(−3)
2
+4
2
=
√6+16=√25=5. Ингээд �,� цэгүүдийн хоорондох зай 5 гэж олдлоо.
Жишээ бодлого: �(5,−2),�(−1,6) цэгүүдийн хоорондох зайг ол.
Бодолт: Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томьёондоо орлуулбал (�
1=5,�
2=
−1,�
1=−2,�
2=6) ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
=√(−1−5)
2
+(6−(−2))
2
=
√(−6)
2
+8
2
=√36+64=√100=10. Ингээд �,� цэгүүдийн хоорондох зай 10 гэж
олдлоо.
“Хоёр цэгийн хоорондох зайг олох” ведио хичээлээ үзээрэй.
Вектор
Чиглэлтэй хэрчмийг вектор гэнэ.
Вектор
Векторыг 2 янзаар тэмдэглэдэг.
1.Том үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь �� . Эхний цэг нь
векторын эхлэл, хоёр дахь цэг нь векторын төгсгөлийн
цэг болно. (Зураг 7)
2.Жижиг үсгээр тэмдэглэдэг.
Векторын тэмдэглэгээ
Зураг 7
Координатын хавтгайд �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүд өгөгдсөн байг. �,� цэгүүдийн
хоорондох зай ��=√(�
2−�
1)
2
+(�
2−�
1)
2
байна.
9
Жишээ нь:
A цэгээс B цэгт шилжихэд � тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 3 нэгж,
� тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж учир координат нь �� =(
3
2
)
A цэгээс B цэгт шилжихэд � тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш 3 нэгж, �
тэнхлэгийн дагуу доош 1 нэгж учир координат нь �� =(
−3
−1
)
Жишээ: �� =(
−3
4
) бол |�� |=?
|�� |=√(−3)
2
+4
2
=√9+16=√25=5
Хэрэв векторууд ижил чиглэлтэй
бөгөөд тэнцүү урттай бол тэнцүү
векторууд болно.
Тэнцүү векторууд
Хэрэв векторууд тэнцүү урттай
бөгөөд чиглэл нь эсрэг байвал эсрэг
векторууд болно.
Эсрэг векторууд
A цэгийг B цэгт Ox ба Oy тэнхлэг тус бүрийн дагуу шилжүүлж байгаа �,� хос тоог
�� векторын координат гэнэ. Векторын координатыг (
�
�
) гэж тэмдэглэдэг.
Векторын координат
Векторыг дүрсэлж буй хэрчмийн уртыг векторын урт гэнэ. Векторын уртыг |�� | эсвэл
|� | гэж тэмдэглэнэ. �� =(
�
�
) бол |�� |=√�
2
+�
2
байна.
Векторын урт
10
A цэгээс B цэгт шилжихэд � тэнхлэгийн дагуу баруун тийш 3 нэгж,
� тэнхлэгийн дагуу дээш 2 нэгж учир координат нь �� =(
3
2
)
A цэгээс B цэгт шилжихэд � тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш 3 нэгж, �
тэнхлэгийн дагуу доош 1 нэгж учир координат нь �� =(
−3
−1
)
Жишээ: �� =(
−3
4
) бол |�� |=?
|�� |=√(−3)
2
+4
2
=√9+16=√25=5
Хэрэв векторууд ижил чиглэлтэй
бөгөөд тэнцүү урттай бол тэнцүү
векторууд болно.
Тэнцүү векторууд
Хэрэв векторууд тэнцүү урттай
бөгөөд чиглэл нь эсрэг байвал эсрэг
векторууд болно.
Эсрэг векторууд
A цэгийг B цэгт Ox ба Oy тэнхлэг тус бүрийн дагуу шилжүүлж байгаа �,� хос тоог
�� векторын координат гэнэ. Векторын координатыг (
�
�
) гэж тэмдэглэдэг.
Векторын координат
Векторыг дүрсэлж буй хэрчмийн уртыг векторын урт гэнэ. Векторын уртыг |�� | эсвэл
|� | гэж тэмдэглэнэ. �� =(
�
�
) бол |�� |=√�
2
+�
2
байна.
Векторын урт
10
Векторуудын үйлдлүүд
Векторын эхлэл цэгийг координатын эхтэй давхцуулахад үүсэх төгсгөлийн
цэгийн координатыг уг векторын координат гэж нэрлэнэ. Координат нь өгөгдсөн
векторуудыг нэмж, хасаж, тоогоор үржүүлж болно.
Жишээ: � =(
4
3
),� =(
2
−3
) � =� +� =(
4
3
)+(
2
−3
)=(
4+2
3+(−3)
)=(
6
0
)
Дүрсэлбэл:
Жишээ: � =(
4
3
),� =(
2
−3
) � −� =� +(−� )=(
4
3
)+(
−2
3
)=(
4−2
3+3
)=(
2
6
)
Дүрсэлбэл:
Векторуудын нийлбэрийн координат нь вектор тус бүрийн координатын нийлбэртэй
тэнцүү байна. � =(
�
�
), � =(
�
�
)
� =� +� =(
�
�
)+(
�
�
)=(
�+�
�+�
)
Векторуудын нэмэх үйлдэл
Векторуудыг хасахдаа хасагдагч вектор дээр хасагчийн эсрэг векторыг нэмнэ.
� =(
�
�
), � =(
�
�
)
� −� =� +(−� )=(
�
�
)+(
−�
−�
)=(
�−�
�−�
)
Векторуудын хасах үйлдэл
Векторыг тоогоор үржүүлэхдээ координат бүрийг уг тоогоор үржүүлнэ.
??????(
�
�
)=(
??????�
??????�
) , ?????? - тоо
Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл
11
Векторын эхлэл цэгийг координатын эхтэй давхцуулахад үүсэх төгсгөлийн
цэгийн координатыг уг векторын координат гэж нэрлэнэ. Координат нь өгөгдсөн
векторуудыг нэмж, хасаж, тоогоор үржүүлж болно.
Жишээ: � =(
4
3
),� =(
2
−3
) � =� +� =(
4
3
)+(
2
−3
)=(
4+2
3+(−3)
)=(
6
0
)
Дүрсэлбэл:
Жишээ: � =(
4
3
),� =(
2
−3
) � −� =� +(−� )=(
4
3
)+(
−2
3
)=(
4−2
3+3
)=(
2
6
)
Дүрсэлбэл:
Векторуудын нийлбэрийн координат нь вектор тус бүрийн координатын нийлбэртэй
тэнцүү байна. � =(
�
�
), � =(
�
�
)
� =� +� =(
�
�
)+(
�
�
)=(
�+�
�+�
)
Векторуудын нэмэх үйлдэл
Векторуудыг хасахдаа хасагдагч вектор дээр хасагчийн эсрэг векторыг нэмнэ.
� =(
�
�
), � =(
�
�
)
� −� =� +(−� )=(
�
�
)+(
−�
−�
)=(
�−�
�−�
)
Векторуудын хасах үйлдэл
Векторыг тоогоор үржүүлэхдээ координат бүрийг уг тоогоор үржүүлнэ.
??????(
�
�
)=(
??????�
??????�
) , ?????? - тоо
Векторыг тоогоор үржүүлэх үйлдэл
11
Жишээ: � =(
4
3
) 2� =2∙(
4
3
)=(
2∙4
2∙3
)=(
8
6
)
Жишээ: � =(
4
3
)
1
2
� =
1
2
∙(
4
3
)=(
1
2
∙4
1
2
∙3
)=(
2
1.5
)
Жишээ : � =(
4
3
) −2� =−2∙(
4
3
)=(
−2∙4
−2∙3
)=(
−8
−6
)
Дүрсэлбэл:
“Вектор” видео хичээлээ үзээрэй.
Нэг цэгээс эхлэлтэй хоёр векторийн
нийлбэр вектор нь уг хоёр вектороор
талуудаа хийсэн параллелограммын
диагонал байна. Үүнийг векторыг
нэмэх параллелограммын дүрэм гэдэг .
Векторыг нэмэх параллелограммын
дүрэм
� векторын төгсгөл дээр � векторын
эхлэл байрласан байвал � +� вектор
� векторын эхлэлээс � векторын
төгсгөлрүү чиглэсэн вектор байна.
Үүнийг векторыг нэмэх гурвалжны
дүрэм гэнэ.
Векторыг нэмэх гурвалжны
дүрэм
12
4
3
) 2� =2∙(
4
3
)=(
2∙4
2∙3
)=(
8
6
)
Жишээ: � =(
4
3
)
1
2
� =
1
2
∙(
4
3
)=(
1
2
∙4
1
2
∙3
)=(
2
1.5
)
Жишээ : � =(
4
3
) −2� =−2∙(
4
3
)=(
−2∙4
−2∙3
)=(
−8
−6
)
Дүрсэлбэл:
“Вектор” видео хичээлээ үзээрэй.
Нэг цэгээс эхлэлтэй хоёр векторийн
нийлбэр вектор нь уг хоёр вектороор
талуудаа хийсэн параллелограммын
диагонал байна. Үүнийг векторыг
нэмэх параллелограммын дүрэм гэдэг .
Векторыг нэмэх параллелограммын
дүрэм
� векторын төгсгөл дээр � векторын
эхлэл байрласан байвал � +� вектор
� векторын эхлэлээс � векторын
төгсгөлрүү чиглэсэн вектор байна.
Үүнийг векторыг нэмэх гурвалжны
дүрэм гэнэ.
Векторыг нэмэх гурвалжны
дүрэм
12
МАГАДЛАЛ
Моод, медиан, дундаж, далайц
Арифметик дундаж=
Утгуудын нийлбэр
утгуудын тоо
Өгөгдлийг их багаар нь эрэмбэлж эгнээ үүсгэсний дараа яг голд нь байдаг тоог
медиан гэдэг. Эгнээнд голын тоо байхгүй бол голын хоёр тооны арифметик
дундаж нь медиан болно.
Өгөгдөл дотор хамгийн олон давтагдаж байгаа утгыг моод гэнэ. Өгөгдөл хэдэн ч
моодтой байж болно. Моодгүй ч байж болно.
Өгөгдлийн хамгийн ихээс нь хамгийн багыг нь хассан ялгаварыг далайц гэнэ.
Хуримтлагдсан давтамж
Тухайн утгатай өгөгдлийн нийт тоог давтамж гэнэ.
Тухайн утгаас хэтрэхгүй өгөгдлийн нийт тоог хуримтлагдсан давтамж гэнэ.
Жишээ бодлого: Ангийн сурагчдын өндрөөр өгөгдөл цуглуулж, давтамжийг хүснэгтээр
өгчээ. Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт зохио.
Давтамжийн хүснэгт
Өндөр ℎ (см) Давтамж Өндөр ℎ см Хуримтлагдсан давтамж
155<ℎ≤160 2 ℎ≤160 2
160<ℎ≤165 6 ℎ<165 2+6=8
165<ℎ≤170 14 ℎ<170 8+14=22
170<ℎ≤175 19 ℎ<175 22+19=41
175<ℎ≤180 8 ℎ<180 41+8=49
180<ℎ≤185 1 ℎ<185 49+1=50
Хуримтлагдсан давтамжийн график
Жишээ: Сурагчдын зуны амралтаар уншсан номын тоог хүснэгтээр өгчээ.
Уншсан номын тоо 1 2 3 4 5 6 7 8
Давтамж 15 10 6 5 4 3 2 0
а. Нийт хэдэн сурагч байсан бэ?
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй.
в. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулж медианыг олоорой.
Бодолт:
а. Нийт сурагчийн тоо 15+10+6+5+4+3+2=45 байна.
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглэе.
Уншсан номын тоо 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8
Хуримтлагдсан давтамж 25 31 36 40 43 45 45
13
Моод, медиан, дундаж, далайц
Арифметик дундаж=
Утгуудын нийлбэр
утгуудын тоо
Өгөгдлийг их багаар нь эрэмбэлж эгнээ үүсгэсний дараа яг голд нь байдаг тоог
медиан гэдэг. Эгнээнд голын тоо байхгүй бол голын хоёр тооны арифметик
дундаж нь медиан болно.
Өгөгдөл дотор хамгийн олон давтагдаж байгаа утгыг моод гэнэ. Өгөгдөл хэдэн ч
моодтой байж болно. Моодгүй ч байж болно.
Өгөгдлийн хамгийн ихээс нь хамгийн багыг нь хассан ялгаварыг далайц гэнэ.
Хуримтлагдсан давтамж
Тухайн утгатай өгөгдлийн нийт тоог давтамж гэнэ.
Тухайн утгаас хэтрэхгүй өгөгдлийн нийт тоог хуримтлагдсан давтамж гэнэ.
Жишээ бодлого: Ангийн сурагчдын өндрөөр өгөгдөл цуглуулж, давтамжийг хүснэгтээр
өгчээ. Хуримтлагдсан давтамжийн хүснэгт зохио.
Давтамжийн хүснэгт
Өндөр ℎ (см) Давтамж Өндөр ℎ см Хуримтлагдсан давтамж
155<ℎ≤160 2 ℎ≤160 2
160<ℎ≤165 6 ℎ<165 2+6=8
165<ℎ≤170 14 ℎ<170 8+14=22
170<ℎ≤175 19 ℎ<175 22+19=41
175<ℎ≤180 8 ℎ<180 41+8=49
180<ℎ≤185 1 ℎ<185 49+1=50
Хуримтлагдсан давтамжийн график
Жишээ: Сурагчдын зуны амралтаар уншсан номын тоог хүснэгтээр өгчээ.
Уншсан номын тоо 1 2 3 4 5 6 7 8
Давтамж 15 10 6 5 4 3 2 0
а. Нийт хэдэн сурагч байсан бэ?
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглээрэй.
в. Хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулж медианыг олоорой.
Бодолт:
а. Нийт сурагчийн тоо 15+10+6+5+4+3+2=45 байна.
б. Өгөгдлийг тэнцүү завсарт бүлэглэе.
Уншсан номын тоо 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8
Хуримтлагдсан давтамж 25 31 36 40 43 45 45
13
в. Хуримтлагдсан давтамжийг график байгуулъя.
Медианыг олохын тулд
45+1=46, 46 ÷2=23-ыг
графиктай огтлолцуулж номын
тоог олно. Иймд медиан нь 1.7
буюу сурагчид дунджаар 2 ном
уншсан байна.
Цэгэн диаграмм
Хоёр хэмжигдэхүүний хамаарлыг тогтоох зорилгоор цэгэн диаграммыг
байгуулдаг. Хандлагын шулууныг байгуулахдаа өгсөн цэгүүдэд хамгийн ойр байхаар
баримжаалан татна. Цэгүүд хэт тарсан байрлалтай байвал хандлагын шулуун байгуулах
боломжгүй байдаг. Хандлагын шулууны налалт нь эерэг бол эерэг корреляцтай, сөрөг
бол сөрөг корреляцтай. Хандлагын шулуун татах боломжгүй байвал тэг корреляцтай гэж
үзнэ.
Жишээ: Математик, Физикийн хичээлийн 100 онооны тестээр 15 сурагчийн авсан оноог
өгчээ.
Математик 43 70 85 20 100 14 35 79 55 95 65 8 16 48 80
Физик 40 68 80 35 98 21 35 73 60 70 65 10 20 55 90
а. Хүснэгт ашиглан цэгэн диаграмм байгуул.
б. Дээрх 2 тестийн оноо ямар корреляцтай вэ? Хариултаа тайлбарла.
в. Хандлагын шулууныг баримжаалан тат.
Бодолт:
а. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу физикийн тестийн оноо, босоо тэнхлэгийн дагуу
математикийн тестийн оноог авч цэгэн диаграмм байгуулъя.
14
Медианыг олохын тулд
45+1=46, 46 ÷2=23-ыг
графиктай огтлолцуулж номын
тоог олно. Иймд медиан нь 1.7
буюу сурагчид дунджаар 2 ном
уншсан байна.
Цэгэн диаграмм
Хоёр хэмжигдэхүүний хамаарлыг тогтоох зорилгоор цэгэн диаграммыг
байгуулдаг. Хандлагын шулууныг байгуулахдаа өгсөн цэгүүдэд хамгийн ойр байхаар
баримжаалан татна. Цэгүүд хэт тарсан байрлалтай байвал хандлагын шулуун байгуулах
боломжгүй байдаг. Хандлагын шулууны налалт нь эерэг бол эерэг корреляцтай, сөрөг
бол сөрөг корреляцтай. Хандлагын шулуун татах боломжгүй байвал тэг корреляцтай гэж
үзнэ.
Жишээ: Математик, Физикийн хичээлийн 100 онооны тестээр 15 сурагчийн авсан оноог
өгчээ.
Математик 43 70 85 20 100 14 35 79 55 95 65 8 16 48 80
Физик 40 68 80 35 98 21 35 73 60 70 65 10 20 55 90
а. Хүснэгт ашиглан цэгэн диаграмм байгуул.
б. Дээрх 2 тестийн оноо ямар корреляцтай вэ? Хариултаа тайлбарла.
в. Хандлагын шулууныг баримжаалан тат.
Бодолт:
а. Хэвтээ тэнхлэгийн дагуу физикийн тестийн оноо, босоо тэнхлэгийн дагуу
математикийн тестийн оноог авч цэгэн диаграмм байгуулъя.
14
б. Эндээс харахад 2 хичээлийн оноо эерэг корреляцтай байна. Өөрөөр хэлбэл
математикийн тестэнд өндөр оноо авсан сурагч физикийн тестээр мөн өндөр оноо авсан
байна.
в. Хандлагын шулуун татахдаа эдгээр цэгүүдтэй хамгийн ойр байх шулууныг
барамжаалан татна. (Цэнхэр өнгөтэй шулуун)
Магадлал
Жишээ бодлого: 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар
сугалахад түүний дугаарт 5-ын цифр орсон байх магадлалыг ол.
Бодолт: Эхлээд 1-100 хүртлэх тоон дотроос 5-ын цифр орсон тоо хэд байгааг олъё. 5, 15,
25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95 гэсэн 19 тоо байна. Нийт 100
билетээс нэг билет сонгох боломж нь 100. Иймд илрэх боломжийн тоо 19, нийт
боломжийн тоо 100 байгаа тул магадлал нь �=
19
100
байна.
https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/909 “Дунджууд ба далайц” видео хичээл
https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/764 “Хуримтлагдсан давтамжийн
график” видео хичээл
Магадлал
Тухайн үзэгдлийн илрэх боломжийн тоон үзүүлэлтийг магадлал гэнэ. Магадлалыг
олохдоо үзэгдлийн илрэх боломжийн тоог нийт боломжийн тоонд харьцуулна.
Магадлалыг � үсгээр тэмдэглэнэ.
15
математикийн тестэнд өндөр оноо авсан сурагч физикийн тестээр мөн өндөр оноо авсан
байна.
в. Хандлагын шулуун татахдаа эдгээр цэгүүдтэй хамгийн ойр байх шулууныг
барамжаалан татна. (Цэнхэр өнгөтэй шулуун)
Магадлал
Жишээ бодлого: 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар
сугалахад түүний дугаарт 5-ын цифр орсон байх магадлалыг ол.
Бодолт: Эхлээд 1-100 хүртлэх тоон дотроос 5-ын цифр орсон тоо хэд байгааг олъё. 5, 15,
25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95 гэсэн 19 тоо байна. Нийт 100
билетээс нэг билет сонгох боломж нь 100. Иймд илрэх боломжийн тоо 19, нийт
боломжийн тоо 100 байгаа тул магадлал нь �=
19
100
байна.
https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/909 “Дунджууд ба далайц” видео хичээл
https://econtent.edu.mn/videoEBS/9rangi/mat/764 “Хуримтлагдсан давтамжийн
график” видео хичээл
Магадлал
Тухайн үзэгдлийн илрэх боломжийн тоон үзүүлэлтийг магадлал гэнэ. Магадлалыг
олохдоо үзэгдлийн илрэх боломжийн тоог нийт боломжийн тоонд харьцуулна.
Магадлалыг � үсгээр тэмдэглэнэ.
15
II ХЭСЭГ
ДАСГАЛ, ДААЛГАВАР
АЛГЕБР
Дасгал 1. Томьёогоор задал
а) (3�+1)
2
= б) (2�+3�)
2
= в) (2�−1)
2
=
г) (5�−2�)
2
= д) �
2
−�
2
= е) �
2
−16=
ж) (�+�)
3
= з) (2+�)
3
= и) (�−3)
3
=
к) �
3
−�
3
= л) �
3
−27= м) 64+8�
3
=
Дасгал 2. Илэрхийллийг хялбарчлаарай.
а) (
1
2
)
−1
(
1
8
)
−4
+(
3
7
)
0
(
1
2
)
1
б) (
1
9
)
−5
(
1
27
)
4
−(
1
3
)
10
(
1
81
)
−3
в) (
8�
−2
�
−3
)
3
(
�
−2
16�
−3
)
2
г) (−
9�
4
2�
3
)
−3
(
4�
4
27�
5
)
−2
Дасгал 3. Илэрхийллийн утгыг олоорой.
а) √144∙25 б) √100∙4∙16 в) √13
2
−12
2
г) √
9
16
д) √
64
49
е)
√99
√11
ж) 2√16+5√9 з) √36+3√49−√4
Дасгал 4. Дараах квадрат тэгшитгэлүүдийг бодоорой.
а) 5�
2
−15�=0
б) �
2
+10�−39=0
в) 2�
2
−5�+2=0
г) 4�
2
−12�+9=0
д) 5�
2
+4�−12=0
Дасгал 5. Дараах тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг
олоорой.
а) �
2
−11�+28=0
б) 2�
2
−5�+2=0
в) 3�
2
−�−70=0
г) 4�
2
−12�+9=0
д) 5�
2
+4�−12=0
Дасгал 6. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах болон нэмэх
аргуудаар бодоорой.
а) {
4�+3�=1
3�−2�=5
б) {
5�+2�=2
7�+3�=7
Дасгал 7. Тэнцэтгэл бишийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлийг
үзээрэй.)
а) 7�−24>4 б) 18−5�<12 в) 14≥6−�
г) 3+4�>17 д) 17−�>6−6� е) 5+12�≥8�
Дасгал 8. Тэнцэтгэл бишийн системийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл бишийн
систем” видео хичээл үзээрэй.)
а) {
2�−12>0
3�>0
б) {
3�−10<0
2�>0
в) {
2−�≤0
�−4≤0
16
ДАСГАЛ, ДААЛГАВАР
АЛГЕБР
Дасгал 1. Томьёогоор задал
а) (3�+1)
2
= б) (2�+3�)
2
= в) (2�−1)
2
=
г) (5�−2�)
2
= д) �
2
−�
2
= е) �
2
−16=
ж) (�+�)
3
= з) (2+�)
3
= и) (�−3)
3
=
к) �
3
−�
3
= л) �
3
−27= м) 64+8�
3
=
Дасгал 2. Илэрхийллийг хялбарчлаарай.
а) (
1
2
)
−1
(
1
8
)
−4
+(
3
7
)
0
(
1
2
)
1
б) (
1
9
)
−5
(
1
27
)
4
−(
1
3
)
10
(
1
81
)
−3
в) (
8�
−2
�
−3
)
3
(
�
−2
16�
−3
)
2
г) (−
9�
4
2�
3
)
−3
(
4�
4
27�
5
)
−2
Дасгал 3. Илэрхийллийн утгыг олоорой.
а) √144∙25 б) √100∙4∙16 в) √13
2
−12
2
г) √
9
16
д) √
64
49
е)
√99
√11
ж) 2√16+5√9 з) √36+3√49−√4
Дасгал 4. Дараах квадрат тэгшитгэлүүдийг бодоорой.
а) 5�
2
−15�=0
б) �
2
+10�−39=0
в) 2�
2
−5�+2=0
г) 4�
2
−12�+9=0
д) 5�
2
+4�−12=0
Дасгал 5. Дараах тэгшитгэлийг бодохгүйгээр шийдүүдийн нийлбэр ба үржвэрийг
олоорой.
а) �
2
−11�+28=0
б) 2�
2
−5�+2=0
в) 3�
2
−�−70=0
г) 4�
2
−12�+9=0
д) 5�
2
+4�−12=0
Дасгал 6. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг орлуулах болон нэмэх
аргуудаар бодоорой.
а) {
4�+3�=1
3�−2�=5
б) {
5�+2�=2
7�+3�=7
Дасгал 7. Тэнцэтгэл бишийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл биш” видео хичээлийг
үзээрэй.)
а) 7�−24>4 б) 18−5�<12 в) 14≥6−�
г) 3+4�>17 д) 17−�>6−6� е) 5+12�≥8�
Дасгал 8. Тэнцэтгэл бишийн системийг бодоорой. (“Шугаман тэнцэтгэл бишийн
систем” видео хичээл үзээрэй.)
а) {
2�−12>0
3�>0
б) {
3�−10<0
2�>0
в) {
2−�≤0
�−4≤0
16
ГЕОМЕТР
Дасгал 9. Суурь нь 7см, өндөр нь 11 см байх гурвалжны талбайг олоорой.
Дасгал 10. Зөв гурвалжны өндөр √27 бол талын уртыг олоорой.
Дасгал 11. Адил хажуут гурвалжны өндөр 8см, суурийн урт 12см бол хажуу талын
уртыг олоорой.
Дасгал 12. Төсөөтэй 2 гурвалжны талбайн харьцаа
1
4
бол төсөөгийн коеффициентийг
олоорой.
Дасгал 13. Адил хажуут гурвалжны өндөр 6см, суурийн урт 16см бол хажуу талын
уртыг олоорой.
Дасгал 14. Зөв гурвалжны талбай 27см
2
бол талын уртыг олоорой.
Дасгал 15. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4см, 11 см урттай бол уг гурвалжны
талбайг олоорой.
Дасгал 16. Параллелограммын суурь 15 см, өндөр нь 12 см бол талбайг олоорой.
Дасгал 17. AB, CD сууриудтай ABCD трапецын AB=21 см, CD=17 см, B оройгоос
татсан өндөр нь 7 см бол трапецын талбайг олоорой.
Дасгал 18. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4 см, 3 см бол гипотенузын уртыг
олоорой.
Дасгал 19. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 13 см, нэг катет нь 12 см бол нөгөө
катетыг олоорой.
Дасгал 20. Адил хажуут гурвалжны хажуу тал 17 см, суурь 16 см бол урттай. Уг
гурвалжны суурь руу буулгасан өндрийн уртыг олоорой.
Дасгал 21. Хэрэв зөв гурвалжны тал нь 6 см бол гурвалжны өндрийг олоорой.
Дасгал 22. Сууриуд нь AB, CD байх ABCD адил хажуут трапецын AB=10 см, CD=20
см, хажуу тал нь 13 см бол уг трапецын талбайг олоорой.
Дасгал 23. 24 см, 25 см, 7 см талуудтай гурвалжны бага өндрийн уртыг олоорой.
Дасгал 24. ABCD параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгийг O гэе.
Тэгвэл дараах векторууд тэнцүү векторууд төн үү? Яагаад?
а. �� ,�� б. �� ,�� в. ��,�� г. �� ,��
Дасгал 25. Дараах векторуудыг координатын хавтгайд дүрслээрэй.
а. �� =(
4
−2
) б. �� =(
−3
2
) в. �?????? =(
−5
−1
) г. �� =(
3
0
)
Дасгал 26. � =(
5
3
),� =(
−3
2
) бол дараах векторуудын координатыг олоорой.
а. � +� б. 3� в. � −� г. � −� д. 6� е. 3� +�
Дасгал 27. Зурагт өгөгдсөн векторуудын бүх боломжит нийлбэр векторыг
дүрслээрэй.
17
Дасгал 9. Суурь нь 7см, өндөр нь 11 см байх гурвалжны талбайг олоорой.
Дасгал 10. Зөв гурвалжны өндөр √27 бол талын уртыг олоорой.
Дасгал 11. Адил хажуут гурвалжны өндөр 8см, суурийн урт 12см бол хажуу талын
уртыг олоорой.
Дасгал 12. Төсөөтэй 2 гурвалжны талбайн харьцаа
1
4
бол төсөөгийн коеффициентийг
олоорой.
Дасгал 13. Адил хажуут гурвалжны өндөр 6см, суурийн урт 16см бол хажуу талын
уртыг олоорой.
Дасгал 14. Зөв гурвалжны талбай 27см
2
бол талын уртыг олоорой.
Дасгал 15. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4см, 11 см урттай бол уг гурвалжны
талбайг олоорой.
Дасгал 16. Параллелограммын суурь 15 см, өндөр нь 12 см бол талбайг олоорой.
Дасгал 17. AB, CD сууриудтай ABCD трапецын AB=21 см, CD=17 см, B оройгоос
татсан өндөр нь 7 см бол трапецын талбайг олоорой.
Дасгал 18. Тэгш өнцөгт гурвалжны катетууд 4 см, 3 см бол гипотенузын уртыг
олоорой.
Дасгал 19. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз 13 см, нэг катет нь 12 см бол нөгөө
катетыг олоорой.
Дасгал 20. Адил хажуут гурвалжны хажуу тал 17 см, суурь 16 см бол урттай. Уг
гурвалжны суурь руу буулгасан өндрийн уртыг олоорой.
Дасгал 21. Хэрэв зөв гурвалжны тал нь 6 см бол гурвалжны өндрийг олоорой.
Дасгал 22. Сууриуд нь AB, CD байх ABCD адил хажуут трапецын AB=10 см, CD=20
см, хажуу тал нь 13 см бол уг трапецын талбайг олоорой.
Дасгал 23. 24 см, 25 см, 7 см талуудтай гурвалжны бага өндрийн уртыг олоорой.
Дасгал 24. ABCD параллелограммын диагоналиудын огтлолцлын цэгийг O гэе.
Тэгвэл дараах векторууд тэнцүү векторууд төн үү? Яагаад?
а. �� ,�� б. �� ,�� в. ��,�� г. �� ,��
Дасгал 25. Дараах векторуудыг координатын хавтгайд дүрслээрэй.
а. �� =(
4
−2
) б. �� =(
−3
2
) в. �?????? =(
−5
−1
) г. �� =(
3
0
)
Дасгал 26. � =(
5
3
),� =(
−3
2
) бол дараах векторуудын координатыг олоорой.
а. � +� б. 3� в. � −� г. � −� д. 6� е. 3� +�
Дасгал 27. Зурагт өгөгдсөн векторуудын бүх боломжит нийлбэр векторыг
дүрслээрэй.
17
Дасгал 28. �(4,10),�� =(
6
2
),�� =(
8
−2
),�� =(
−2
6
) бол B, C, D цэгүүдийн
координатыг олоорой.
МАГАДЛАЛ, СТАТИСТИК
Дасгал 29. 10 хоногийн турш түргэн тусламжийн төвд ирсэн дуудлагын тоог өгчээ.
610, 720, 745, 580, 654, 626, 630, 594, 588, 630, 645
а. Өдөрт дунджаар хэдэн дуудлага ирдэг вэ?
б. Өгөгдлүүдийн моод, медеан, далайцыг олоорой.
Дасгал 30. Өгөгдлийг ажиглаарай.
8.6, 29.9, 7.4, 23.9, 5, 23.6
23.9, 9.5, 20.3, 22.7, 17.3, 23.6
23, 12.2, 20.3, 23, 22.4, 17.6
3.2, 8.9, 7.4, 17, 7.7, 6.8
17.6, 14, 12.8, 17.9, 12,2, 17,6
а. Өгөгдлийн арифматик дунджийг олоорой.
б. Өгөгдлийн [0,5[,[5,10[,[10,15[,[15,20[,[20,25[,[25,30[ завсруудад
бүлэглээрэй.
в. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дунджийг олоорой.
Дасгал 31. Цэгэн диаграммыг уншаарай.
а. Хандлагын шулууныг татаарай.
б. Ямар корреляцтай вэ?
Дасгал 32. 6 улаан, 4 цагаан бөмбөг байв. Таамгаар нэг бөмбөг сонгон авахад тэр
бөмбөг нь улаан өнгөтэй байх магадлалыг олоорой.
Дасгал 33. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь 3 ба 5-д хуваагддаг
тоо байх магадлалыг олоорой.
18
6
2
),�� =(
8
−2
),�� =(
−2
6
) бол B, C, D цэгүүдийн
координатыг олоорой.
МАГАДЛАЛ, СТАТИСТИК
Дасгал 29. 10 хоногийн турш түргэн тусламжийн төвд ирсэн дуудлагын тоог өгчээ.
610, 720, 745, 580, 654, 626, 630, 594, 588, 630, 645
а. Өдөрт дунджаар хэдэн дуудлага ирдэг вэ?
б. Өгөгдлүүдийн моод, медеан, далайцыг олоорой.
Дасгал 30. Өгөгдлийг ажиглаарай.
8.6, 29.9, 7.4, 23.9, 5, 23.6
23.9, 9.5, 20.3, 22.7, 17.3, 23.6
23, 12.2, 20.3, 23, 22.4, 17.6
3.2, 8.9, 7.4, 17, 7.7, 6.8
17.6, 14, 12.8, 17.9, 12,2, 17,6
а. Өгөгдлийн арифматик дунджийг олоорой.
б. Өгөгдлийн [0,5[,[5,10[,[10,15[,[15,20[,[20,25[,[25,30[ завсруудад
бүлэглээрэй.
в. Бүлэглэсэн өгөгдлийн дунджийг олоорой.
Дасгал 31. Цэгэн диаграммыг уншаарай.
а. Хандлагын шулууныг татаарай.
б. Ямар корреляцтай вэ?
Дасгал 32. 6 улаан, 4 цагаан бөмбөг байв. Таамгаар нэг бөмбөг сонгон авахад тэр
бөмбөг нь улаан өнгөтэй байх магадлалыг олоорой.
Дасгал 33. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь 3 ба 5-д хуваагддаг
тоо байх магадлалыг олоорой.
18
III ХЭСЭГ
НЭМЭЛТ БОДЛОГО, ТОДОРХОЙЛОЛТУУД
Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олох
Жишээ: 5�−4�+8=0 шулууны налалтыг олъё. Эхлээд өгөгдсөн шулууны
тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт тавих хэрэгтэй. Иймд өгөгдсөн шулууны
тэгшитгэлээс �-ийг ялгавал �=
5
4
�+2 болно. Өгөгдсөн шулууны налалт �=
5
4
.
Жишээ: Шулуун �(−2,−1),�(3,1) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн
коэффициентыг олж, шулууны тэгшитгэлийг бичье. Өнцгийн коэффициент нь �=
1−(−1)
3−(−2)
=
2
5
гарна. �=2 учир шулууны тэгшитгэл �=
2
5
�+� хэлбэртэй байна. �(3,1)
цэг энэ шулуун дээр оршдог учир цэгийн координатыг орлуулбал 1=
2
5
∙3+� болно.
Эндээс �=−
1
5
. Шулууны тэгшитгэл �=
2
5
�−
1
5
Модультай тэгшитгэл бодох
Жишээ 1: |�−2|=3 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:
|�−2|={
�−2,�−2≥0 ⇒ �≥2 буюу [2;+∞[
−(�−2),�−2<0 ⇒ �<2 буюу ]−∞;2[
Иймд ]−∞;2[,[2;+∞[ завсруудад хуваагдана.
]−∞;2[ үед −(�−2)=3 болно. Эндээс �=−1 гэж олдоно. −1 энэ завсарт байгаа
учир шийд мөн.
[2;+∞[ үед �−2=3 болно. Эндээс �=5 гэж олдоно. 5 нь энэ завсарт байгаа учир
шийд мөн.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд нь {−1,5} болно.
Модультай тэнцэтгэл биш бодох
Жишээ 1: |�−1|<4 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:
|�−1|={
�−1,�−1≥0 ⇒ �≥1 буюу [1;+∞[
−(�−1),�−1<0 ⇒ �<1 буюу ]−∞;1[
Иймд ]−∞;1[,[1;+∞[ завсруудад хуваагдана.
�=��+� (� ба � тогтмол тоонууд) хэлбэртэй аливаа хамаарлын график
шулуун гардаг. Энд �-ийг шулууны өнцгийн коэффициент буюу налалт, �-г сул
гишүүн гэдэг. Ямар ч шулууны тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт бичиж болно.
Шулуун �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн коэффициент
(налалт) нь �=
�
2−�
1
�
2−�
1
байна.
|�|={
�,�≥0
−�,�<0
Тооны модулийн тодорхойлолт
19
НЭМЭЛТ БОДЛОГО, ТОДОРХОЙЛОЛТУУД
Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олох
Жишээ: 5�−4�+8=0 шулууны налалтыг олъё. Эхлээд өгөгдсөн шулууны
тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт тавих хэрэгтэй. Иймд өгөгдсөн шулууны
тэгшитгэлээс �-ийг ялгавал �=
5
4
�+2 болно. Өгөгдсөн шулууны налалт �=
5
4
.
Жишээ: Шулуун �(−2,−1),�(3,1) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн
коэффициентыг олж, шулууны тэгшитгэлийг бичье. Өнцгийн коэффициент нь �=
1−(−1)
3−(−2)
=
2
5
гарна. �=2 учир шулууны тэгшитгэл �=
2
5
�+� хэлбэртэй байна. �(3,1)
цэг энэ шулуун дээр оршдог учир цэгийн координатыг орлуулбал 1=
2
5
∙3+� болно.
Эндээс �=−
1
5
. Шулууны тэгшитгэл �=
2
5
�−
1
5
Модультай тэгшитгэл бодох
Жишээ 1: |�−2|=3 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:
|�−2|={
�−2,�−2≥0 ⇒ �≥2 буюу [2;+∞[
−(�−2),�−2<0 ⇒ �<2 буюу ]−∞;2[
Иймд ]−∞;2[,[2;+∞[ завсруудад хуваагдана.
]−∞;2[ үед −(�−2)=3 болно. Эндээс �=−1 гэж олдоно. −1 энэ завсарт байгаа
учир шийд мөн.
[2;+∞[ үед �−2=3 болно. Эндээс �=5 гэж олдоно. 5 нь энэ завсарт байгаа учир
шийд мөн.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд нь {−1,5} болно.
Модультай тэнцэтгэл биш бодох
Жишээ 1: |�−1|<4 тэгшитгэлийг бодъё. Модулийн тодорхойлолт ёсоор:
|�−1|={
�−1,�−1≥0 ⇒ �≥1 буюу [1;+∞[
−(�−1),�−1<0 ⇒ �<1 буюу ]−∞;1[
Иймд ]−∞;1[,[1;+∞[ завсруудад хуваагдана.
�=��+� (� ба � тогтмол тоонууд) хэлбэртэй аливаа хамаарлын график
шулуун гардаг. Энд �-ийг шулууны өнцгийн коэффициент буюу налалт, �-г сул
гишүүн гэдэг. Ямар ч шулууны тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт бичиж болно.
Шулуун �(�
1,�
1
),�(�
2,�
2) цэгүүдийг дайрдаг бол шулууны өнцгийн коэффициент
(налалт) нь �=
�
2−�
1
�
2−�
1
байна.
|�|={
�,�≥0
−�,�<0
Тооны модулийн тодорхойлолт
19
]−∞;1[ үед −(�−1)<4 болно. Эндээс �>−3 буюу [−3; ∞[ завсар. ]−∞;1[ завсарт
харьяалагдах хэсэг нь ]−3;1[ завсар.
[1;+∞[ үед �−1<4 болно. Эндээс �<5 буюу . ]−∞;5[ завсар. [1;+∞[ завсарт
харьяалагдах хэсэг нь [1;5[ завсар.
Эндээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийд ]−3;5[ болно.
Квадрат тэгшитгэлийн шийд
ГЕОМЕТР
Гурвалжны медиан, биссектрис
Жишээ: Мэдэгдэхгүй байгаа талын уртыг олъё.
Биссектрисийн чанар ёсоор M оройгоос татсан биссектрис
буусан тал буюу NL талыг хажуу талуудад пропорционал
хэрчмүүдэд хуваана.
��
��
=
��
��
⇒
�
4
=
6
2
⇒ �=
4∙6
2
=12
��
2
+��+�=0 квадрат тэгшитгэлийн �=�
2
−4�� илэрхийллийг квадрат
тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэдэг. Дискриминантын тэмдгээс шалтгаалан
квардрат тэгшитгэлийн шийд дараах гурван тохиолдолтой.
1. �<0 үед тэгшитгэл шийдгүй байна.
2. �=0 үед тэгшитгэл нэг шийдтэй байна.
3. �>0 үед тэгшитгэл нь хоёр шийдтэй байна.
Гурвалжны биссектрисийн чанар
Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис нь буусан талаа
хажуу талуудад пропорционал хэрчмүүдэд хуваана.
(Гурвалжны биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг
гурвалжинд багтсан тойргийн төв байна.)
��
��
=
��
��
20
харьяалагдах хэсэг нь ]−3;1[ завсар.
[1;+∞[ үед �−1<4 болно. Эндээс �<5 буюу . ]−∞;5[ завсар. [1;+∞[ завсарт
харьяалагдах хэсэг нь [1;5[ завсар.
Эндээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийд ]−3;5[ болно.
Квадрат тэгшитгэлийн шийд
ГЕОМЕТР
Гурвалжны медиан, биссектрис
Жишээ: Мэдэгдэхгүй байгаа талын уртыг олъё.
Биссектрисийн чанар ёсоор M оройгоос татсан биссектрис
буусан тал буюу NL талыг хажуу талуудад пропорционал
хэрчмүүдэд хуваана.
��
��
=
��
��
⇒
�
4
=
6
2
⇒ �=
4∙6
2
=12
��
2
+��+�=0 квадрат тэгшитгэлийн �=�
2
−4�� илэрхийллийг квадрат
тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэдэг. Дискриминантын тэмдгээс шалтгаалан
квардрат тэгшитгэлийн шийд дараах гурван тохиолдолтой.
1. �<0 үед тэгшитгэл шийдгүй байна.
2. �=0 үед тэгшитгэл нэг шийдтэй байна.
3. �>0 үед тэгшитгэл нь хоёр шийдтэй байна.
Гурвалжны биссектрисийн чанар
Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектрис нь буусан талаа
хажуу талуудад пропорционал хэрчмүүдэд хуваана.
(Гурвалжны биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг
гурвалжинд багтсан тойргийн төв байна.)
��
��
=
��
��
20
Жишээ: AN, BL медианы уртыг олоорой.
Медианы чанар ёсоор
��
��
=2:1⇒��=2 см ,
��
��
=
2:1⇒��=1.5 см болно. Эндээс ��=3 см,��=
4.5 см болно.
Төсөөтэй гурвалжин
Шүргэгч, огтлогчийн чанар
Тодорхойлолт: Хэрэв хоёр гурвалжнуудын өнцгүүд нь харгалзан тэнцүү эсвэл
харгалзах талууд нь пропорционал харьцаатай бол эдгээр гурвалжнуудыг төсөөтэй
гурвалжнууд гэдэг.
∠�=∠�
1,∠�=∠�
1,∠�=∠�
1
��
�
1�
1
=
��
�
1�
1
=
��
�
1�
1
=??????
Энд ??????-г төсөөгийн коэффициент гэнэ.
Медианы чанар
Гурвалжны медиан бүр нь огтлолцлынхоо цэгэ эр
гурвалжны оройгоос 2:1 харьцаагаар хуваа гддаг.
Медианууд нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд уг цэг нь хүндийн
төвтэй давхацдаг.
AO:ON=2:1 CO:OM=2:1 BO:OL=2:1
21
Медианы чанар ёсоор
��
��
=2:1⇒��=2 см ,
��
��
=
2:1⇒��=1.5 см болно. Эндээс ��=3 см,��=
4.5 см болно.
Төсөөтэй гурвалжин
Шүргэгч, огтлогчийн чанар
Тодорхойлолт: Хэрэв хоёр гурвалжнуудын өнцгүүд нь харгалзан тэнцүү эсвэл
харгалзах талууд нь пропорционал харьцаатай бол эдгээр гурвалжнуудыг төсөөтэй
гурвалжнууд гэдэг.
∠�=∠�
1,∠�=∠�
1,∠�=∠�
1
��
�
1�
1
=
��
�
1�
1
=
��
�
1�
1
=??????
Энд ??????-г төсөөгийн коэффициент гэнэ.
Медианы чанар
Гурвалжны медиан бүр нь огтлолцлынхоо цэгэ эр
гурвалжны оройгоос 2:1 харьцаагаар хуваа гддаг.
Медианууд нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд уг цэг нь хүндийн
төвтэй давхацдаг.
AO:ON=2:1 CO:OM=2:1 BO:OL=2:1
21
Гурвалжны төсөөгийн шинжүүд
Жишээ бодлого: ABCD параллелограмын CD тал дээр E цэг тэмдэглэв. Тэгвэл AE, BC
шулуунууд F цэгт огтлолцоно. Хэрэв DE=8 см, EC=4 см, BC=7 см, AE=10 см бол EF ба
FC-г олоорой.
Бодолт: ∠���=∠��� босоо өнцгүүд учир
тэнцүү. ∠���=∠��� солбисон өнцгүүд учир
тэнцүү. Эндээс ӨӨ шинжээр △���~△���.
Йимд
��
��
=
��
��
байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя.
4
8
=
��
10
⇒ ��=5 см.
ABCD параллелограмм тул AB=CD=12 см. ∠���=∠���,∠�-ерөхий тул △���~△
���. Иймд
��
��
=
��
��
байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя.
4
12
=
��
��+7
⇒ ��=3.5 см
“Төсөөтэй гурвалжин” видео хичээлээ үзээрэй.
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа
Жишээ: △���≈△��� ба
??????��??????
??????���
=4 бол MP=?
Бодолт:
??????��??????
??????���
=4 тул төсөөгийн коэффициент
??????=2 байна. Иймд
��
��
=2. ⇒ ��=2∙��=2∙4=
8 см
Теорем
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь төсөөгийн коэффициентын квадраттай
тэнцүү байна.
Гурвалжны төсөөгийн I шинж
Хэрэв нэг гурвалжны хоёр өнцөг нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол эдгээр
гурвалжнууд төсөөтэй байна.
Гурвалжны төсөөгийн II шинж
Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорционал харьцаатай
бөгөөд эдгээр талуудад хашигдсан өнцгүүд хоорондоо тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд
төсөөтэй байна.
Гурвалжны төсөөгийн III шинж
Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нөгөө гурвалжны гурван талтай пропорционал бол
эдгээр гурвалжнууд төсөөтэй байна.
22
Жишээ бодлого: ABCD параллелограмын CD тал дээр E цэг тэмдэглэв. Тэгвэл AE, BC
шулуунууд F цэгт огтлолцоно. Хэрэв DE=8 см, EC=4 см, BC=7 см, AE=10 см бол EF ба
FC-г олоорой.
Бодолт: ∠���=∠��� босоо өнцгүүд учир
тэнцүү. ∠���=∠��� солбисон өнцгүүд учир
тэнцүү. Эндээс ӨӨ шинжээр △���~△���.
Йимд
��
��
=
��
��
байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя.
4
8
=
��
10
⇒ ��=5 см.
ABCD параллелограмм тул AB=CD=12 см. ∠���=∠���,∠�-ерөхий тул △���~△
���. Иймд
��
��
=
��
��
байна. Эндээс утгуудыг орлуулъя.
4
12
=
��
��+7
⇒ ��=3.5 см
“Төсөөтэй гурвалжин” видео хичээлээ үзээрэй.
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа
Жишээ: △���≈△��� ба
??????��??????
??????���
=4 бол MP=?
Бодолт:
??????��??????
??????���
=4 тул төсөөгийн коэффициент
??????=2 байна. Иймд
��
��
=2. ⇒ ��=2∙��=2∙4=
8 см
Теорем
Төсөөтэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь төсөөгийн коэффициентын квадраттай
тэнцүү байна.
Гурвалжны төсөөгийн I шинж
Хэрэв нэг гурвалжны хоёр өнцөг нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол эдгээр
гурвалжнууд төсөөтэй байна.
Гурвалжны төсөөгийн II шинж
Хэрэв нэг гурвалжны хоёр тал нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорционал харьцаатай
бөгөөд эдгээр талуудад хашигдсан өнцгүүд хоорондоо тэнцүү бол эдгээр гурвалжнууд
төсөөтэй байна.
Гурвалжны төсөөгийн III шинж
Хэрэв нэг гурвалжны гурван тал нөгөө гурвалжны гурван талтай пропорционал бол
эдгээр гурвалжнууд төсөөтэй байна.
22
Гурвалжны төсөөгийн чанар ашиглах
Жишээ бодлого: Мэдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.
Бодолт: Огтлолцсон хөвчүүдийн чанараар �∙5=6∙8
Эндээс �=
48
5
=9.6
Жишээ бодлого: MB=4, MC=16 бол MA=?
Бодолт: Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор ��
2
=��∙
��=16∙4 Эндээс ��=√16∙4=√64=8
Жишээ бодлого: MA=2, MD=12, MB=3 бол MC=?
Бодолт: Огтлогчуудын чанараар ��∙��=��∙��
2∙12=3∙�� Эндээс ��=
24
3
=8
“Шүргэгч, огтлогчуудын чанар” видео хичээлээ үзээрэй.
Огтлолцсон хөвчүүдийн чанар
Тойргийн MN, PL хөвчүүд K цэгт огтлолцсон бол
����=����
Шүргэгч ба огтлогчийн чанар
K цэгээс тойрогт KD шүргэгч болон тойргийг M ба L
цэгүүдэд огтлох KL огтлогч татсан бол ��
2
=����
байна.
Огтлогчуудын чанар
Тойргийн гадна орших K цэгээс тойрогт татсан хоёр огтлогч
харгалзан M, N ба E, F цэгүүдээр тойрогтой огтлолцсон бол ��×
��=��×�� байна.
23
Жишээ бодлого: Мэдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.
Бодолт: Огтлолцсон хөвчүүдийн чанараар �∙5=6∙8
Эндээс �=
48
5
=9.6
Жишээ бодлого: MB=4, MC=16 бол MA=?
Бодолт: Шүргэгч ба огтлогчийн теоремоор ��
2
=��∙
��=16∙4 Эндээс ��=√16∙4=√64=8
Жишээ бодлого: MA=2, MD=12, MB=3 бол MC=?
Бодолт: Огтлогчуудын чанараар ��∙��=��∙��
2∙12=3∙�� Эндээс ��=
24
3
=8
“Шүргэгч, огтлогчуудын чанар” видео хичээлээ үзээрэй.
Огтлолцсон хөвчүүдийн чанар
Тойргийн MN, PL хөвчүүд K цэгт огтлолцсон бол
����=����
Шүргэгч ба огтлогчийн чанар
K цэгээс тойрогт KD шүргэгч болон тойргийг M ба L
цэгүүдэд огтлох KL огтлогч татсан бол ��
2
=����
байна.
Огтлогчуудын чанар
Тойргийн гадна орших K цэгээс тойрогт татсан хоёр огтлогч
харгалзан M, N ба E, F цэгүүдээр тойрогтой огтлолцсон бол ��×
��=��×�� байна.
23
Дасгал
Дасгал 1. �
2
−��−12=0 тэгшитгэлийн нэг язгуур 4-тэй тэнцүү бол
тэгшитгэлийн нөгөө язгуур ба � коэффиециентийг олоорой.
Дасгал 2. 25�
2
−30�+�=0 тэгшитгэлийн язгууруудын ялгавар 2-той тэнцүү бол
� коэффициентийг олоорой.
Дасгал 3. Дараах модультай тэгшитгэлийг бодоорой.
а) |�+1|−3=5 б) |�−1|+�=5 в) |2−�|=2�+6
Дасгал 4. Модультай тэнцэтгэл бишийг бодоорой.
а) |�−1|≤1 б) |�+2|=3+� в) |3�−2|>8
Дасгал 5. �=
1
3
налалттай, (2,0) цэгийг дайрсан шулууны графикийг байгуулж,
шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.
Дасгал 6. Шулуун �(−2,−1) ба �(2,1) цэгүүдийг дайрна.
а) Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олоорой.
б) Шулууны тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт бичээрэй.
Дасгал 7. 3�
2
−2�+�=0 тэгшитгэл �-ийн ямар утгуудад шийдгүй байх вэ?
Дасгал 8. 10�
2
+40�+�=0 тэгшитгэл �-ийн ямар утгуудад хоёр шийдтэй байх
вэ?
Дасгал 9. 16�
2
+??????�+9=0 тэгшитгэл ??????-ийн ямар утганд нэг шийдтэй байх вэ?
Дасгал 10. Функцийн график коорди натын тэнхлэгтэй огтолоцох цэгийн
координатыг олоорой.
а) �=�
2
−10�+9 б) �=�
2
+2�+6
Геометр
Дасгал 11. Тойрогт багтсан ABCD дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд O цэгт огтлолцжээ.
а. △���~△��� ба △���≈△��� болохыг батлаарай.
б. ��∙��=��∙�� болохыг батлаарай.
Дасгал 12. AB тал, ��
1 өндөр ямар харьцаатай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?
Дасгал 13. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.
а. б. в.
Дасгал 14. Медианууд гурвалжныг тэнцүү талбайтай 6 хэсэгт хуваана гэж батал.
24
Дасгал 1. �
2
−��−12=0 тэгшитгэлийн нэг язгуур 4-тэй тэнцүү бол
тэгшитгэлийн нөгөө язгуур ба � коэффиециентийг олоорой.
Дасгал 2. 25�
2
−30�+�=0 тэгшитгэлийн язгууруудын ялгавар 2-той тэнцүү бол
� коэффициентийг олоорой.
Дасгал 3. Дараах модультай тэгшитгэлийг бодоорой.
а) |�+1|−3=5 б) |�−1|+�=5 в) |2−�|=2�+6
Дасгал 4. Модультай тэнцэтгэл бишийг бодоорой.
а) |�−1|≤1 б) |�+2|=3+� в) |3�−2|>8
Дасгал 5. �=
1
3
налалттай, (2,0) цэгийг дайрсан шулууны графикийг байгуулж,
шулууны тэгшитгэлийг бичээрэй.
Дасгал 6. Шулуун �(−2,−1) ба �(2,1) цэгүүдийг дайрна.
а) Шулууны өнцгийн коэффициентийг (налалтыг) олоорой.
б) Шулууны тэгшитгэлийг �=��+� хэлбэрт бичээрэй.
Дасгал 7. 3�
2
−2�+�=0 тэгшитгэл �-ийн ямар утгуудад шийдгүй байх вэ?
Дасгал 8. 10�
2
+40�+�=0 тэгшитгэл �-ийн ямар утгуудад хоёр шийдтэй байх
вэ?
Дасгал 9. 16�
2
+??????�+9=0 тэгшитгэл ??????-ийн ямар утганд нэг шийдтэй байх вэ?
Дасгал 10. Функцийн график коорди натын тэнхлэгтэй огтолоцох цэгийн
координатыг олоорой.
а) �=�
2
−10�+9 б) �=�
2
+2�+6
Геометр
Дасгал 11. Тойрогт багтсан ABCD дөрвөн өнцөгтийн диагоналиуд O цэгт огтлолцжээ.
а. △���~△��� ба △���≈△��� болохыг батлаарай.
б. ��∙��=��∙�� болохыг батлаарай.
Дасгал 12. AB тал, ��
1 өндөр ямар харьцаатай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?
Дасгал 13. Мэдэгдэхгүй байгаа хэрчмийн уртыг олоорой.
а. б. в.
Дасгал 14. Медианууд гурвалжныг тэнцүү талбайтай 6 хэсэгт хуваана гэж батал.
24
Дасгал 15. Медиануудын сууриар үүсэх гурвалжин анхны гурвалжинтай төсөөтэй
болохыг батал.
Дасгал 16. Адил хажуут гурвалжны суурьтай нь паралель хоёр шулуун талбайг нь
9:55:161 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол хажуу талууд нь ямар харьцаатай
хэсгүүдэд хуваагдах вэ?
Дасгал 17. Адил хажуут гурвалжны суурьтай паралель шулуун хажуу талыг орой
талаас нь 5:3 харьцаатай хэсгүүдэд хуваажээ. Хэрэв гурвалжны хуваагдсан
хэсгүүдийн талбайн ялгавар 56 см
2
бол гурвалжны талбайг олоорой.
Дасгал 18. ABC гурвалжинд ��
1 биссектрис татахад �
1�� гурвалжин өгсөн
гурвалжинтай төсөөтэй байсан бол өнцгүүдийн хамаарлыг олоорой. (∡���=�,
∡���=�,∡���=�)
Дасгал 19. ABC гурвалжны �� биссектрис, CM медиан P цэгт огтлолцжээ. Хэрэв
AC=4 см, AB=6 см бол ��:�� харьцааг олоорой.
Дасгал 20. AC=9 см, AB=12 см гурвалжинд �� биссектрис, CM медиан P цэгт
огтлолцжээ. ��:�� харьцааг олоорой.
25
болохыг батал.
Дасгал 16. Адил хажуут гурвалжны суурьтай нь паралель хоёр шулуун талбайг нь
9:55:161 харьцаатай хэсгүүдэд хуваасан бол хажуу талууд нь ямар харьцаатай
хэсгүүдэд хуваагдах вэ?
Дасгал 17. Адил хажуут гурвалжны суурьтай паралель шулуун хажуу талыг орой
талаас нь 5:3 харьцаатай хэсгүүдэд хуваажээ. Хэрэв гурвалжны хуваагдсан
хэсгүүдийн талбайн ялгавар 56 см
2
бол гурвалжны талбайг олоорой.
Дасгал 18. ABC гурвалжинд ��
1 биссектрис татахад �
1�� гурвалжин өгсөн
гурвалжинтай төсөөтэй байсан бол өнцгүүдийн хамаарлыг олоорой. (∡���=�,
∡���=�,∡���=�)
Дасгал 19. ABC гурвалжны �� биссектрис, CM медиан P цэгт огтлолцжээ. Хэрэв
AC=4 см, AB=6 см бол ��:�� харьцааг олоорой.
Дасгал 20. AC=9 см, AB=12 см гурвалжинд �� биссектрис, CM медиан P цэгт
огтлолцжээ. ��:�� харьцааг олоорой.
25
IV ХЭСЭГ
Сорилын хугацаа 60 минут. Сонгох 10 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар тус
бүр 2 оноотой. Задгай 5 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар бүр 4 оноотой. Нийт 40
оноотой. Амжилт хүсье.
Сорил 1
Сонгох даалгавар
1. �=√48, �=3√3 бол � ба � тоог жишээрэй.
A. �=� B. �>� C. �<� D. Жиших боломжгүй.
2. √18−3√8+2√2 илэрхийллийг хялбарчлаарай.
A. √2 B. 5√2 C. −2√2 D. −√2
3. (−2)
−2
+0.4
−1
−(√3)
0
илэрхийллийн утгыг олоорой.
A. 2.5 B. 1.25 C. 1.75 D. 2.75
4. 3�
2
−2−5=0 тэгшитгэлийг бодоорой.
A. 1
2
3
;−1 B. 1.5; −2.5 C. 1
3
4
;−
1
4
D. −1.5;2.5
5.
�
2
−1
3
=
2�−1
5
+2 тэгшитгэлийг бодоорой.
A. −2;3.2 B. −1;1.6 C. 1; −1.6 D. 2; −3.2
6. {
6�+2�=−4
5�−�=10
системээс �+�-ийг олоорой.
A. 0 B. −2 C. −4 D. −3
7. (−3;0), (0;−4) хоёр цэгийн хоорондох зай аль нь вэ?
А. 7 B. 5 C. 5.2 D. 6
8. �(−2;0),�(7;0),�(2;4). ��� гурвалжны �� суурьтай паралель дундаж шугамын
урт аль вэ?
А. 3 B. 2√3 C. √5 D. 2√2
9. 33; 34; 26; 24; 25; 20; 16; 17; 16; 14 өгөдлийн медианыг олоорой.
А. 34 B. 11 C. 22 D. 24
10. 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар сугалахад 5-т
хуваагддаг дугаартай билет байх магадлалыг олоорой.
А.
1
4
B.
1
5
C.
1
10
D.
1
3
Задгай даалгавар
11. Хэрэв адил талт гурвалжны тал нь 6 см бол өндрийг олоорой.
12. Талууд нь 5 см, 12 см, 13 см урттай гурвалжны их тал руу өндөр буулгав. Энэ өндөр
уг талыг хуваахад үүсэх хэрчмүүдийн уртыг олоорой.
13. Модультай тэгшитгэлийг бодоорой.
|6.5�+13|=25
14. Дараалсан хоёр натурал тооны квадратуудын ялгавар 23-тай тэнцүү. Тэдгээр тоог
олоорой.
15. Илэрхийллийн утгыг олоорой.
26
Сорилын хугацаа 60 минут. Сонгох 10 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар тус
бүр 2 оноотой. Задгай 5 даалгавар байгаа бөгөөд даалгавар бүр 4 оноотой. Нийт 40
оноотой. Амжилт хүсье.
Сорил 1
Сонгох даалгавар
1. �=√48, �=3√3 бол � ба � тоог жишээрэй.
A. �=� B. �>� C. �<� D. Жиших боломжгүй.
2. √18−3√8+2√2 илэрхийллийг хялбарчлаарай.
A. √2 B. 5√2 C. −2√2 D. −√2
3. (−2)
−2
+0.4
−1
−(√3)
0
илэрхийллийн утгыг олоорой.
A. 2.5 B. 1.25 C. 1.75 D. 2.75
4. 3�
2
−2−5=0 тэгшитгэлийг бодоорой.
A. 1
2
3
;−1 B. 1.5; −2.5 C. 1
3
4
;−
1
4
D. −1.5;2.5
5.
�
2
−1
3
=
2�−1
5
+2 тэгшитгэлийг бодоорой.
A. −2;3.2 B. −1;1.6 C. 1; −1.6 D. 2; −3.2
6. {
6�+2�=−4
5�−�=10
системээс �+�-ийг олоорой.
A. 0 B. −2 C. −4 D. −3
7. (−3;0), (0;−4) хоёр цэгийн хоорондох зай аль нь вэ?
А. 7 B. 5 C. 5.2 D. 6
8. �(−2;0),�(7;0),�(2;4). ��� гурвалжны �� суурьтай паралель дундаж шугамын
урт аль вэ?
А. 3 B. 2√3 C. √5 D. 2√2
9. 33; 34; 26; 24; 25; 20; 16; 17; 16; 14 өгөдлийн медианыг олоорой.
А. 34 B. 11 C. 22 D. 24
10. 1-ээс 100 хүртлэх тоогоор дугаарласан 100 билетээс нэгийг таамгаар сугалахад 5-т
хуваагддаг дугаартай билет байх магадлалыг олоорой.
А.
1
4
B.
1
5
C.
1
10
D.
1
3
Задгай даалгавар
11. Хэрэв адил талт гурвалжны тал нь 6 см бол өндрийг олоорой.
12. Талууд нь 5 см, 12 см, 13 см урттай гурвалжны их тал руу өндөр буулгав. Энэ өндөр
уг талыг хуваахад үүсэх хэрчмүүдийн уртыг олоорой.
13. Модультай тэгшитгэлийг бодоорой.
|6.5�+13|=25
14. Дараалсан хоёр натурал тооны квадратуудын ялгавар 23-тай тэнцүү. Тэдгээр тоог
олоорой.
15. Илэрхийллийн утгыг олоорой.
26
1
11−2√30
−
1
11+2√30
Сорил 2
Сонгох даалгавар
1. �
2
+2�+3−� тэгшитгэлийн язгуурууд �
1,�
2 ба �
1= �
2 бол �=?
А. 4 B. 0 C. 2 D. 3
2. Шийдүүд нь �
1=4; �
2=−3 байх квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?
А. �
2
+�−12=0 B. �
2
−�−12=0 C. �
2
−�+12=0 D. �
2
+�+12=0
3. A дүрс В дүрсэд ямар хувиргалтаар шилжсэн бэ?
А. Төвийн тэгш хэм
B. Эргүүлэлт
C. Гомотет
D. Тэнхлэгийн тэгш хэм
4. 1,3,5,6,6,8,10,10,10,11,13,14,14 өгөгдлийн моодыг олоорой.
А. 14 B. 10 C. 13 D. 12
5. 1; 4; 7; 10 … дарааллын 50 дугаар гишүүнийг олоорой.
А. 151 B. 150 C. 148 D. 149
6. �(3,0),�(0,−2) цэгүүдийг дайрсан шулууны налалтыг олоорой.
А.
2
3
B. −
2
3
C. 1.5 D. −1.5
7. �� =(
−3
2
) координаттай вектор аль нь вэ?
А. B. C. D.
8. Дараах зургаас ??????
�1�1�1
÷??????
��� –г олоорой.
27
11−2√30
−
1
11+2√30
Сорил 2
Сонгох даалгавар
1. �
2
+2�+3−� тэгшитгэлийн язгуурууд �
1,�
2 ба �
1= �
2 бол �=?
А. 4 B. 0 C. 2 D. 3
2. Шийдүүд нь �
1=4; �
2=−3 байх квадрат тэгшитгэл аль нь вэ?
А. �
2
+�−12=0 B. �
2
−�−12=0 C. �
2
−�+12=0 D. �
2
+�+12=0
3. A дүрс В дүрсэд ямар хувиргалтаар шилжсэн бэ?
А. Төвийн тэгш хэм
B. Эргүүлэлт
C. Гомотет
D. Тэнхлэгийн тэгш хэм
4. 1,3,5,6,6,8,10,10,10,11,13,14,14 өгөгдлийн моодыг олоорой.
А. 14 B. 10 C. 13 D. 12
5. 1; 4; 7; 10 … дарааллын 50 дугаар гишүүнийг олоорой.
А. 151 B. 150 C. 148 D. 149
6. �(3,0),�(0,−2) цэгүүдийг дайрсан шулууны налалтыг олоорой.
А.
2
3
B. −
2
3
C. 1.5 D. −1.5
7. �� =(
−3
2
) координаттай вектор аль нь вэ?
А. B. C. D.
8. Дараах зургаас ??????
�1�1�1
÷??????
��� –г олоорой.
27
А. 4
B. 8
C. 2
D.
1
4
9. Ангийн нийт сурагчдын 60% нь эмэгтэй сурагчид байдаг. Ангиас санамсаргүйгээр
нэг сурагч сонгоход эрэгтэй сурагч сонгогдох магадлалыг ол.
А.
3
5
B.
2
5
C.
4
5
D.
1
3
10. Паралелограммын талбай 54 см
2
, суурь нь 9 см урттай бол өндрийг олоорой.
А. 18 B. 3 C. 7 D. 6
Задгай даалгавар
11. 5�
2
+�−2=0 тэгшитгэлийн шийдүүд �
1,�
2 бол
2�1�
2
2
+2�
1
2
�2
�
1
2
+3�1�2+�
2
2 утгыг олоорой.
12. (
1
√3+2
−
1
√3−2
)÷(1+
2
√3
) илэрхийллийн утгыг олоорой.
13.
��//�� бол �=?
14. Гурвалжны нэг медиан 7.2 см урттай бол медиануудын огтлолын цэгээр уг медиан
нь ямар урттай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?
15.
(�−3)
2
20
−
1−�
2
=1 тэгшитгэлийг бодоорой.
28
B. 8
C. 2
D.
1
4
9. Ангийн нийт сурагчдын 60% нь эмэгтэй сурагчид байдаг. Ангиас санамсаргүйгээр
нэг сурагч сонгоход эрэгтэй сурагч сонгогдох магадлалыг ол.
А.
3
5
B.
2
5
C.
4
5
D.
1
3
10. Паралелограммын талбай 54 см
2
, суурь нь 9 см урттай бол өндрийг олоорой.
А. 18 B. 3 C. 7 D. 6
Задгай даалгавар
11. 5�
2
+�−2=0 тэгшитгэлийн шийдүүд �
1,�
2 бол
2�1�
2
2
+2�
1
2
�2
�
1
2
+3�1�2+�
2
2 утгыг олоорой.
12. (
1
√3+2
−
1
√3−2
)÷(1+
2
√3
) илэрхийллийн утгыг олоорой.
13.
��//�� бол �=?
14. Гурвалжны нэг медиан 7.2 см урттай бол медиануудын огтлолын цэгээр уг медиан
нь ямар урттай хэрчмүүдэд хуваагдах вэ?
15.
(�−3)
2
20
−
1−�
2
=1 тэгшитгэлийг бодоорой.
28
Сорил 3
Сонгох даалгавар
1. ХИЕХ (175, 216) нь аль вэ?
А. 7 B. 2 C. 27 D. 1
2. 1+
1
1∙3
+
1
3∙5
+⋯+
1
31∙33
= илэрхийллийн утга аль нь вэ?
А. 33 B.
49
33
C.
33
49
D. 49
3. (
81�
4�−1
25�
5
)
3
∙(−
5
2
∙�
3
27�
3�−1
)
4
илэрхийллийг хялбарчил.
А. 5��
3
B. 25��
−3
C. 25�� D. 25
4. �-р гишүүн нь �
�=
2�−1
4
томьёогоор өгөгдсөн арифматик прогрессийн ялгаврыг
олоорой.
А. −
1
2
B.
1
4
C.
1
2
D. −
1
4
5. ??????
�=1+3+5+⋯+(2�−1) нийлбэрийг олоорой.
А. (�−1)
2
B. (�+1)
2
C. �
2
D. �(�+1)
6. 1.2÷36+1
1
5
∙(0.25)
−1
−1.8(3) илэрхийллийн утгыг олоорой.
А. 3 B.
20
3
C. 2 D. 20
7. Суурь нь өндрөөсөө 4 см-аар бага байх гурвалжны талбай 96 см
2
бол уг гурвалжны
өндрийг олоорой.
А. 20 B. 18 C. 12 D. 16
8. Зөв 8 өнцөгт хичнээн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй вэ?
А. 8 B. Хязгааргүй олон C. 4 D. 10
9. ??????-ийн ямар утгуудад �
2
−(??????
2
−2??????)�+24=0 тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр
63 байх вэ?
А. −2,5 B. −7,9 C. −9,7 D. 7
10. 24 см периметртэй гурвалжны нэг өндөр түүнийг 12 см ба 24 см периметртэй хоёр
гурвалжинд хуваажээ. Уг өндрийн уртыг олоорой.
А. 12 B. 24 C. 6 D. 8
Задгай даалгавар
11. (2�−5)�
2
−2(�−1)�+3=0 тэгшитгэл �−ийн ямар утганд тэнцүү шийдтэй
байх вэ?
12. 1-ээс 100 хүртлэх тооноос
а. 3-т хуваагддаг тоо хэд байх вэ?
б. 3-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ?
в. 3-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ?
13. Тойргийн 10, 24 нэгж урттай паралель хоёр хөвчийн хоорондох зай 17 нэгж бол
радиусыг олоорой.
14. |2�−3|−|1−3�|=2� тэгшитгэлийг бодоорой.
15. Тэнцэтгэл бишийн системийн бүхэл шийдийг олоорой.
29
Сонгох даалгавар
1. ХИЕХ (175, 216) нь аль вэ?
А. 7 B. 2 C. 27 D. 1
2. 1+
1
1∙3
+
1
3∙5
+⋯+
1
31∙33
= илэрхийллийн утга аль нь вэ?
А. 33 B.
49
33
C.
33
49
D. 49
3. (
81�
4�−1
25�
5
)
3
∙(−
5
2
∙�
3
27�
3�−1
)
4
илэрхийллийг хялбарчил.
А. 5��
3
B. 25��
−3
C. 25�� D. 25
4. �-р гишүүн нь �
�=
2�−1
4
томьёогоор өгөгдсөн арифматик прогрессийн ялгаврыг
олоорой.
А. −
1
2
B.
1
4
C.
1
2
D. −
1
4
5. ??????
�=1+3+5+⋯+(2�−1) нийлбэрийг олоорой.
А. (�−1)
2
B. (�+1)
2
C. �
2
D. �(�+1)
6. 1.2÷36+1
1
5
∙(0.25)
−1
−1.8(3) илэрхийллийн утгыг олоорой.
А. 3 B.
20
3
C. 2 D. 20
7. Суурь нь өндрөөсөө 4 см-аар бага байх гурвалжны талбай 96 см
2
бол уг гурвалжны
өндрийг олоорой.
А. 20 B. 18 C. 12 D. 16
8. Зөв 8 өнцөгт хичнээн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй вэ?
А. 8 B. Хязгааргүй олон C. 4 D. 10
9. ??????-ийн ямар утгуудад �
2
−(??????
2
−2??????)�+24=0 тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр
63 байх вэ?
А. −2,5 B. −7,9 C. −9,7 D. 7
10. 24 см периметртэй гурвалжны нэг өндөр түүнийг 12 см ба 24 см периметртэй хоёр
гурвалжинд хуваажээ. Уг өндрийн уртыг олоорой.
А. 12 B. 24 C. 6 D. 8
Задгай даалгавар
11. (2�−5)�
2
−2(�−1)�+3=0 тэгшитгэл �−ийн ямар утганд тэнцүү шийдтэй
байх вэ?
12. 1-ээс 100 хүртлэх тооноос
а. 3-т хуваагддаг тоо хэд байх вэ?
б. 3-т хуваагддаг тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ?
в. 3-т үл хуваагдах тоонуудын нийлбэр хэд байх вэ?
13. Тойргийн 10, 24 нэгж урттай паралель хоёр хөвчийн хоорондох зай 17 нэгж бол
радиусыг олоорой.
14. |2�−3|−|1−3�|=2� тэгшитгэлийг бодоорой.
15. Тэнцэтгэл бишийн системийн бүхэл шийдийг олоорой.
29
{
17�−5(�+0.6)<3�
2(3.5−�)+5(2�−2.4)>�−26
Сорилын хугацаа 60 минут. Даалгавар тус бүр 4 оноотой. Нийт 40 оноотоы. Амжилт
хүсье.
Сорил 4
1. 2�
2
+3�−14=0 тэгшитгэлийн шийд нь �
1,�
2 бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг
олоорой.
а. �
1
2
+�
2
2
б. �
1
3
+�
2
3
в.
1
�1
+
1
�2
г.
1
�1
2
+
1
�2
2
д.
�1
�2
+
�2
�1
е.
1
�1
3
+
1
�2
3
2. Талууд нь {3;4;5;7} ологлогоос утгаа авах
а. Хэдэн зөв гурвалжин байх вэ?
б. Хэдэн адил хажуут гурвалжин байх вэ?
3. Гүдгэр 6 өнцөгтийн өнцгүүд 1:2:3:5:6:7 харьцаатай бол өнцгүүдийг олоорой.
4.
�+2
�+1
+
3
�−2
−1=
3
�
2
−�−2
тэгшитгэлийг бодоорой.
5. �=
3+√2
2
байхад �
2
−3�+5 илэрхийллийн утгыг олоорой.
6. Шатрын тэмцээнд оролцогчид нь тус бүр хоорондоо нэг удаа тоглоно. Хэрэв
тэмцээнд 231 өрөг тоглолт явагдаж дууссан бол хэдэн шатарчид өрсөлдсөн бэ?
7.
3−2�
4�−1
≥0 тэгшитгэл бишийг бодоорой.
8. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь
а. 3 ба 7-д хуваагддаг байх магадлал
б. 7-д хуваагдадгүй байх магадлал
в. 7-д хуваагддаг боловч 3-т хуваагддаггүй байх магадлал
г. 7-д ч 3-д ч хуваагдадгүй байх магадлалыг тус тус олоорой.
9. � дурын натурал тоо бол 4
�
+15�−1 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
10. “Шалгалт” гэдэг үгнээс 2 үсэг дарахад хоёулаа гийгүүлэгч үсэг байх магадлалыг
олоорой.
30
17�−5(�+0.6)<3�
2(3.5−�)+5(2�−2.4)>�−26
Сорилын хугацаа 60 минут. Даалгавар тус бүр 4 оноотой. Нийт 40 оноотоы. Амжилт
хүсье.
Сорил 4
1. 2�
2
+3�−14=0 тэгшитгэлийн шийд нь �
1,�
2 бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг
олоорой.
а. �
1
2
+�
2
2
б. �
1
3
+�
2
3
в.
1
�1
+
1
�2
г.
1
�1
2
+
1
�2
2
д.
�1
�2
+
�2
�1
е.
1
�1
3
+
1
�2
3
2. Талууд нь {3;4;5;7} ологлогоос утгаа авах
а. Хэдэн зөв гурвалжин байх вэ?
б. Хэдэн адил хажуут гурвалжин байх вэ?
3. Гүдгэр 6 өнцөгтийн өнцгүүд 1:2:3:5:6:7 харьцаатай бол өнцгүүдийг олоорой.
4.
�+2
�+1
+
3
�−2
−1=
3
�
2
−�−2
тэгшитгэлийг бодоорой.
5. �=
3+√2
2
байхад �
2
−3�+5 илэрхийллийн утгыг олоорой.
6. Шатрын тэмцээнд оролцогчид нь тус бүр хоорондоо нэг удаа тоглоно. Хэрэв
тэмцээнд 231 өрөг тоглолт явагдаж дууссан бол хэдэн шатарчид өрсөлдсөн бэ?
7.
3−2�
4�−1
≥0 тэгшитгэл бишийг бодоорой.
8. Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгож авахад тэр нь
а. 3 ба 7-д хуваагддаг байх магадлал
б. 7-д хуваагдадгүй байх магадлал
в. 7-д хуваагддаг боловч 3-т хуваагддаггүй байх магадлал
г. 7-д ч 3-д ч хуваагдадгүй байх магадлалыг тус тус олоорой.
9. � дурын натурал тоо бол 4
�
+15�−1 илэрхийлэл 9-д хуваагдана гэж батал.
10. “Шалгалт” гэдэг үгнээс 2 үсэг дарахад хоёулаа гийгүүлэгч үсэг байх магадлалыг
олоорой.
30
Сорилын хариу
Сорил 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C A A C B D C B
11. 3√3 12.
144
13
,
25
13
13. −
76
13
,
24
13
14. 11, 12 15. 4√30
Сорил 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D B C A C A B D
11. −
4
9
12. 8√3−12 13. 12.5 14. 4.8, 2.4 15. {-7; 3}
Сорил 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B B C C A D A B C
11. 4 12. а. 33 б. 1683 в. 3367 13. 13 14. шийдгүй 15. ]−3;
1
3
[
31
Сорил 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C A A C B D C B
11. 3√3 12.
144
13
,
25
13
13. −
76
13
,
24
13
14. 11, 12 15. 4√30
Сорил 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D B C A C A B D
11. −
4
9
12. 8√3−12 13. 12.5 14. 4.8, 2.4 15. {-7; 3}
Сорил 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B B C C A D A B C
11. 4 12. а. 33 б. 1683 в. 3367 13. 13 14. шийдгүй 15. ]−3;
1
3
[
31
Tags
Categories
GeneralDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 16
- Slides 32
- Age 206 days
Related Slideshows
22
Pray For The Peace Of Jerusalem and You Will Prosper
RodolfoMoralesMarcuc
36 views
26
Don_t_Waste_Your_Life_God.....powerpoint
chalobrido8
39 views
31
VILLASUR_FACTORS_TO_CONSIDER_IN_PLATING_SALAD_10-13.pdf
JaiJai148317
35 views
14
Fertility awareness methods for women in the society
Isaiah47
32 views
35
Chapter 5 Arithmetic Functions Computer Organisation and Architecture
RitikSharma297999
31 views
5
syakira bhasa inggris (1) (1).pptx.......
ourcommunity56
32 views