9 solidos de revolucion

1. APLICACIONES INTEGRAL
CAPÍTULO 6

2. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
•Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al
girar una región en un plano alrededor de un eje, o recta
que no corta la región.
•Larectasobrelacuallarotaciónsedenominaeje
revolución.
•Seaunafuncióncontinuaf(x)≥0paraa≤x≤b.Segenera
unaregiónplanaRbajolagráfica,porencimadedeleje
x,yentrex=ayx=b.

3. CÁLCULO DE VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
•ElvolumenVdeunsólidoderevoluciónobtenidoalgirarla
regiónRsobreelejexoyesposiblecalcularlo,mediante:
–MétododelDisco
–MétododeWasherodearandelas
–MétododeCapasCilíndricas
–MétododelasTajadas

4. MÉTODO DEL DISCO
•El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región
R sobre el eje x, está dado por:
•Cuandoelejederotacióneselejey,ylaregiónqueestá
girandoentreelejey,yunacurvax=g(y)entrey=cyy=d,el
volumendelsólidoderevoluciónestádadopor:

5. MÉTODO DE WASHER O DE ARANDELAS
•Seasumeque0≤g(x)≤f(x)paraa≤x≤b.Seconsiderala
regiónx=ayx=bquequedaentrey=g(x)yy=f(x).Entoncesel
volumenVdelsólidoderevoluciónobtenidoalgirarestá
regiónsobreelejex,estádadopor:
•Deformaanálogasecumplecuandolaregiónquedaentre
doscurvasx=f(y)yx=g(y),entrey=cyy=d,giraentornodel
ejey.Seasumeque0≤g(y)≤f(y)parac≤x≤d.

6. MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS
•Seconsideraelsólidoderevoluciónobtenidoalgirarentornodel
ejey,ylaregiónRenelprimercuadranteentreelejexylacurva
y=f(x),quequedaentrex=ayx=bgiraentornoalejey.Elvolumen
delsólidoestádadopor:
•Unafórmulasimilarsecumplecuandolospapelesdexyyse
invierten,esdecirlaregiónRenelprimercuadranteentreelejey
ylacurvax=f(x),quequedaentrey=cyy=d,giraentonodelejex.

7. •DIFERENCIADELAFÓRMULADECAPAS:
Seasumeque0≤g(x)≤f(x)enunintervalo[a,b]cona≥0.Sealaregión
Rdelprimercuadrantequeestáentrelascurvasy=g(x)yy=f(x)parax=a
yx=b.EntonceselvolumenVdelsólidoderevoluciónobtenidoalgirarR
entornoalejey,estádadopor:
SealaregiónRdelprimercuadrantequeestáentrelascurvasx=g(y)yx=
f(y)paray=cyy=d.EntonceselvolumenVdelsólidoderevolución
obtenidoalgirarRentornoalejex,estádadopor:

8. MÉTODO DE LAS TAJADAS
•Seasumequeunsólidoquedacompletamenteentreelplano
perpendicularalejexenx=ayelplanoperpendicularalejex
enx=b.Paracadaxtalquea≤x≤b.
•Seasumequeelplanoperpendicularalejexendichovalor
dexcortaelsólidoenunaregióndeáreaA(x).Entoncesel
volumendelsólidoestádadopor: