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Amortiguamiento

1. DM11 Dr. Jorge Hurel Ezeta Facultad de Ingeniería Mecánica y Ciencias de la Producción Amortiguamiento  Vibración libre amortiguada

2. En todo cuerpo el movimiento tiende a disminuir con el tiempo y esta asociado a la pérdida de energía presente en el sistema. Esta pérdida de energía es producida por fuerzas de amortiguamiento o de fricción que obran sobre el sistema. La energía, ya sea cinética o potencial, se transforma en otras formas de energías tales como el calor o ruido. Amortiguamiento

3. Amortiguamiento Las formas más utilizadas para describir los fenómenos de amortiguamiento son: - Amortiguamiento Viscoso - Amortiguamiento de Coulomb - Amortiguamiento Histerético

4. Amortiguamiento Viscoso Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energía cinética debido a su viscosidad que se opone al movimiento. Esta pérdida de energía es directamente asociada a la velocidad del movimiento.

5. Amortiguamiento de Coulomb Este amortiguamiento corresponde al fenómeno físico de fricción entre superficies secas. Esta fuerza se opone al movimiento, por lo que tiene signo contrario al de la velocidad Su tratamiento matemático no puede realizarse por medio de funciones continuas ya que dependen de la velocidad

6. Amortiguamiento Histerético Es causado por la fricción interna en el material cuando éste es deformado. Dependiendo del tipo de material la curva de carga es diferente a la curva de descarga, por lo que no toda la energía de deformación acumulada en el elemento se convierta en energía cinética en el ciclo de descarga.

7. Obtenemos las ecuaciones del movimiento asumiendo amortiguamiento viscoso: La solución de esta ecuación tiene dos partes. Si F(t) = 0 , tenemos la ecuación diferencial homogénea que corresponde a la vibración libre amortiguada . Con F(t) ≠ , obtenemos la solución particular que es causada por la fuerza excitadora que corresponde a la vibración forzada amortiguada . Examinaremos primero la solución homogénea la cual nos dará una comprensión del papel que desempeña el amortiguamiento.

8. Tabla de propiedades de la Transformada de Laplace

9. Continuación ...

10. • La ecuación dif . es: • Con C.I., x(0)=y o , x’(0)=v Aplicamos Laplace: El polinomio   q(s)  del denominador, cuando se iguala a cero, se denomina  ecuación característica , ya que las raíces de esta ecuación(polos) determinan el carácter de la respuesta temporal.

11. De la ecuación característica a=1, b=C/m y c= ω 2 . La solución es de la forma: • El factor de amortiguamiento crítico (c c) se tiene cuando la raíz es cero, Así: La relación de amortiguamiento ζ(zeta), es • Usando estas relaciones, obtenemos: frecuencia natural amortiguada

12. de la tabla de transformada de Laplace

13. La ecuación diferencial se puede expresar como: • Su solución general está dada por: • Dependiendo del valor de ζ , esta solución puede ser oscilatoria o no-oscilatoria. • la forma de la solución general es:

14. Amortiguamiento Supercrítico o Sobreamortiguamiento ( ζ > 1) Solución no-periódica, raíces reales de la ecuación característica. Ejemplos de este tipo de amortiguamiento son los mecanismos de retorno rápido como los de las puertas.

15. Amortiguamiento Crítico ( ζ = 1): • Solución no-periódica, raíces reales repetidas.

16. Amortiguamiento Subcrítico o Subamortiguamiento ( ζ < 1): • Raíces complejas conjugadas, solución oscilatoria. Haciendo: A ω A se le denomina Frecuencia Amortiguada.

17. Amortiguamiento Subcrítico o Subamortiguamiento ( ζ < 1):

18. MATLAB utiliza un método de Runge- Kutta para resolver ecuaciones diferenciales, que es válido solo para ecuaciones de primer orden . la ecuación (1) se reduce a dos ecuaciones diferenciales de primer orden Por lo tanto, para cinco ciclos de tiempo, t= 3,16 s

19. function yp = unforced1( t,y ) m=1; k=100 ;c=2; yp = [y(2);(-((c/m)*y(2))-((k/m)*y(1)))]; clear;clc ; tspan =0:0.001:3.5; y0=[0.02;0]; [ t,y ]=ode45( 'unforced1' ,tspan,y0); figure subplot (2,1,1); plot ( t,y (:,1)); grid on xlabel ( 'time [s]' ) ylabel ( ' Displacement [m]' ) subplot (2,1,2); plot ( t,y (:,2)); grid on xlabel ( 'time [s]' ) ylabel ( 'Velocidad [m/s]’ ) hold on ;

20. Por lo tanto, para cinco ciclos de tiempo, t= 3,16 s Para indicar la respuesta transiente y estable ampliamos el tiempo a 10s

21. function yp = funforced1MRA( t,y ) m=1;k=100;f=100;wf=20;c=2; yp = [y(2);(((f/m)*sin( wf *t))-((c/m)*y(2))-((k/m)*y(1)))]; clear ; clc ; tspan =0:0.001: 10; y0=[0.02;0]; [ t,y ]=ode45( 'funforced1MRA' ,tspan,y0); plot ( t,y (:,1)); grid on xlabel ( 'time' ) ylabel ( ' Displacement ' ) title ( ' Displacement Vs Time' ) hold on ;

22. Efectos del amortiguamiento: 1. Disminuye la frecuencia natural y aumenta el periodo natural de vibración. Este efecto es insignificante para los valores de amortiguamiento usuales. Valores tipicos de ζ : Amortiguadores de automóvil 0.1 – 0.5 Caucho 0.04 Estructuras de acero (remachadas) 0.03 Concreto 0.02 Madera 0.003 Acero (laminado en frío) 0.0006 Aluminio ( “ “ “ ) 0.0002 Bronce fosforoso 0.00007

23. Esto proporciona un método muy conveniente de estimar la cantidad de amortiguamiento, midiendo la rapidez de decaimiento de la vibración con el tiempo. Introducimos el concepto de decremento logarítmico δ , definido como el logaritmo natural de la relación de dos amplitudes consecutivas. Se obtiene entonces: 2. Disminuye la amplitud de vibración al pasar el tiempo. Este efecto es el que hace que la vibración libre finalmente desaparezca. Para ζ pequeño ( ), δ se puede aproximar por: Tanto δ como ζ son propiedades del sistema y dependen de los valores de las holguras, condiciones superficiales, temperaturas, tamaño, forma, etc. Así, por ejemplo, δ = 4 ( ζ =0.6) es un valor típico de un amortiguador nuevo de auto, pero este valor decrece rápidamente y un valor típico para un automóvil usado sería δ = 2 ( ζ =0.3). Este último valor corresponde a unas 3 oscilaciones cuando es desplazado de su posición de equilibrio.

24. Ejemplo: Para tener una idea del orden de magnitud de ζ conviene introducir el concepto de vida media como el número de ciclos requerido para que la amplitud de vibración decaiga al 50% de su valor inicial . Obtenga las vidas medias para ζ = 1 % ( ligero ), y para ζ = 10 % ( severo ) .

25. Vamos a calcular la respuesta de vibración libre para un sistema de masa-amortiguador de muelles con los siguientes parámetros: • m = 1 kg • c = 20 N-s / m • k = 1x 10 4 N / m • el desplazamiento inicial es x = 25 mm • la velocidad inicial es v = 1000 mm / s.

26. clc ; clear all ; close all % define variables A = 27.98; % Amplitud máxima del movimiento X0 mm omegan = 100; % rad/s zeta = 0.1; omegad = omegan * sqrt (1-zeta^2); % Se determina la frecuencia de amortiguamiento fd = omegad/2/pi; % Hz tau = 1/ fd ; % s % Se calcula el periodo de amortiguamiento phi = 1.105; % rad % angulo de desfasamiento t = 0:tau/100:6*tau; % se define el numero de ciclos a graficar x = A* exp (-zeta* omegan *t).*sin( omegad *t + phi); % define displacement mm plot (t, x) set( gca , ' FontSize ' , 14) xlabel ( 't (s)' ) ylabel ( 'x (mm)' ) grid axis([0 max(t) -29 29])

27. Considere el péndulo invertido en la figura con m = 0,5 kg, c = 1 N-s / m, y L = 0,3 m. La rigidez del muelle de limitación es klim = 32.7 N / m. Para las condiciones iniciales de θ o =0, ω o =0 vamos a determinar la respuesta θ (t).

28. clc close all clear all % Define parameters m = 0.5; % kg c = 1; % N-s/m g = 9.81; % m/s^2 l = 0.3; % m klim = 2*m*g/l; % N/m k = 10* klim ; % Define simulation variables dt = 0.005; % sec /step steps = 2000; % Euler integration initial conditions theta = 5*pi/180; % rad dtheta = 0; % rad/s % Initialize final theta vector and time vector th = zeros (1, steps ); time = zeros (1, steps ); for cnt = 1:steps ddtheta = (-(c*l^2/2)*dtheta-(k*l^2/2-m*g*l)*theta)/(m*l^2); % rad/s^2 dtheta = dtheta + ddtheta*dt; % rad/s theta = theta + dtheta*dt; % rad % Write results to vectors th ( cnt ) = theta; % rad time( cnt ) = cnt * dt ; % s end figure(1) plot(time, th *180/pi, 'k' ) xlim ([0 max (time)]) ylim ([-15 15]) set( gca , ' FontSize ' , 14) xlabel ( 't (s)' ) ylabel ( '\theta ( deg )' )

29. Ejemplo: Los grandes cañones son diseñados para que al disparar el cañón retroceda contra un resorte. Al final del retroceso, se engancha un amortiguador para que el cañón regrese a su posición inicial en el tiempo mínimo sin oscilar. Encuentre la rigidez apropiada del resorte y el coeficiente de amortiguamiento para un cañón de 1610 lb, si la velocidad inicial de retroceso del cañón es de 80 pies/s, y la distancia que retrocede es 5 pies. Solución: Durante el retroceso del cañón: Para que retorne los más rápidamente sin oscilar, ζ = 1:

30. Ejemplo: Determinar el factor de amortiguamiento del sistema de suspensión de una camioneta. Peso total W = 3400 lb Peso soportado por extremo trasero W/2 = 1700 lb 1 resorte k , 1 amortiguador c a cada lado ¿Qué valores tienen k y c ? Prueba #1: Aplicar fuerza de 100 lb: observar desplazamiento de 3” Prueba #2: Quitar fuerza, medir rebote: Sube y luego desciende hasta 0.5” bajo la posición de equilibrio, luego oscila hacia cero desplazamiento.

31. Sistema idealizado: Masa sobre dos resortes y dos amortiguadores viscosos Deflexión estática da el valor de k : 2 amortiguadores en paralelo:

32. Ejemplo: Se debe diseñar un sistema de suspensión para un vehículo. El amortiguamiento debe ser menor que el crítico y la amplitud debe reducirse en 1/3 en el primer medio ciclo. La masa del sistema es 450 kg y el periodo amortiguado debe ser 1 s. Determine la relación de amortiguamiento ζ y la rigidez k . También, si la holgura es 30 cm, obtenga la mínima velocidad inicial vertical que hará que el sistema golpee un tope de caucho

33. • x max ocurre cuando v(t) = 0. Es decir, cuando: