A-CONQUISTA-DA-MATEMATICA-MP-8_DIVULGACAO.pdf

Livro didático

2. 4˜ edição – São Paulo – 2018
JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR
Licenciado em Matemática pela Universidade
de São Paulo (USP).
Professor e assessor de Matemática em escolas
de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.
BENEDICTO CASTRUCCI
(Falecido em 2 de janeiro de 1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade
Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática em escolas públicas e
particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Ensino Fundamental – Anos Finais
Componente curricular: Matemática
MANUAL DO
PROFESSOR
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3. Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018.
Diretor editorial Antonio Luiz da Silva Rios
Diretora editorial adjunta Silvana Rossi Júlio
Gerente editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Editor João Paulo Bortoluci
Editores assistentes Alan Mazoni Alves, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves,
Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes,
Marcos Antônio Silva, Tatiana Ferrari D’Addio
Assessoria Cristiane Boneto, Francisco Mariani Casadore, Luciana de Oliveira
Gerzoschkowitz Moura, Marjorie M. H. Hirata, Willian Seigui Tamashiro
Gerente de produção editorial Mariana Milani
Coordenador de produção editorial Marcelo Henrique Ferreira Fontes
Gerente de arte Ricardo Borges
Coordenadora de arte Daniela Máximo
Projeto gráfico Carolina Ferreira, Juliana Carvalho
Projeto de capa Sergio Cândido
Foto de capa petefrone/Shutterstock.com
Supervisora de arte Isabel Cristina Ferreira Corandin
Editora de arte Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti
Diagramação Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin
Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti
Coordenadora de ilustrações e cartografia Marcia Berne
Ilustrações Alex Argozino, Alex Silva, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida,
Daniel Bogni, Dayane Raven, Dnepwu, Ilustra Cartoon,
Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado,
MW Editora e Ilustrações, Renato Bassani, Wandson Rocha
Cartografia Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz
Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin
Supervisora de preparação e revisão Maria Clara Paes
Revisão Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana,
Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Katia Cardoso,
Lilian Vismari, Lucila Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr.,
Solange Guerra, Yara Affonso
Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Elaine Bueno
Iconografia Rosa André
Licenciamento de textos Carla Marques, Vanessa Trindade
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Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
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Guarulhos-SP – CEP 07220-020
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista da matemática : 8
o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior,
Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD,
2018.
“Componente curricular: Matemática.”
ISBN 978-85-96-01917-0 (aluno)
ISBN 978-85-96-01918-7 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci,
Benedicto. II. Título.
18-20688 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à
EDITORA FTD.
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Em respeito ao meio ambiente, as folhas
deste livro foram produzidas com fibras
obtidas de árvores de florestas plantadas,
com origem certificada.
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4. apresentação
O intuito desta obra é oferecer aos alunos e professores um material que norteie o
trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa
etária a que se destina.
Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se
estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática,
pautada pela curiosidade e pela reflexão.
Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a
Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, ten-
do em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno crítico,
capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor.
Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em
que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações so-
ciais que vivenciam diariamente, nossos alunos precisam se apropriar dos conhecimentos
sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo
mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa aven-
tura que é o processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental,
foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas sugestões e bases
para o seu trabalho diário.
Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de
ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática no
Ensino Fundamental.
Aventure-se você também!
Os autores.
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5. CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR ...........................................V
Material impresso ..................................................................................................V
Material digital .....................................................................................................VI
CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA .................................VII
Modelagem........................................................................................................VIII
Resolução de problemas ......................................................................................IX
Tecnologias digitais: suas potencialidades no ensino e
na aprendizagem .................................................................................................XI
Comunicação nas aulas de Matemática ............................................................XII
A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA ...........................................................XIII
As competências ................................................................................................XIV
QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC .........................................................XVI
UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS .........XXV
O PAPEL DO PROFESSOR .................................................................................XXVI
AVALIAÇÃO ......................................................................................................XXVII
CONHEÇA A OBRA  ...........................................................................................XXX
As aberturas de unidades ...............................................................................XXX
Os capítulos ....................................................................................................XXXI
Os boxes e as seções desta obra ...................................................................XXXI
Quadros de conteúdos e habilidades da obra ...........................................XXXIV
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................XXXIX
DOCUMENTOS OFICIAIS ......................................................................................XLI
SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES
DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR .....................................................XLII
ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO
AO TRABALHO DO PROFESSOR ........................................................................XLIII
SITES .....................................................................................................................XLIV
ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS DO VOLUME 8
Unidade 1 – Números racionais ........................................................................12
Unidade 2 – Potências, raízes e números reais ................................................38
Unidade 3 – Ângulos e triângulos ....................................................................64
Unidade 4 – Expressões e cálculo algébrico ....................................................96
Unidade 5 – Equações .....................................................................................134
Unidade 6 – Polígonos e transformações no plano ......................................166
Unidade 7 – Contagem, probabilidade e estatística .....................................200
Unidade 8 – Área, volume e capacidade .......................................................230
Unidade 9 – Estudo de grandezas ..................................................................248
Resoluções .......................................................................................................289
sumário
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6. CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES
PARA O PROFESSOR
MATERIAL IMPRESSO
Estas Orientações buscam elucidar os caminhos por nós percorridos desde a idealiza-
ção desta obra até a efetivação das propostas apresentadas em cada volume.
Acreditamos ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que a
embasam para, a partir desses, perceber a estrutura e os elementos que a compõem.
Além da apresentação desses norteadores, buscamos promover reflexões acerca do
ensino e da aprendizagem da Matemática e as possíveis ações e estratégias utilizadas
em sala de aula. Não podemos deixar de mencionar que muitas explorações aqui apre-
sentadas ao professor trata-se de sugestões e, portanto, podem e devem ser adapta-
das sempre que necessário.
Durante a elaboração deste manual, procuramos utilizar uma linguagem clara e ob-
jetiva que permita uma fácil visualização das articulações por nós idealizadas.
Organizamos este material em duas partes:
• Na primeira parte, serão apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendiza-
gem da Matemática e dos possíveis instrumentos e ferramentas que podem favo-
recer a construção do conhecimento matemático nos anos finais do Ensino Fun-
damental e, como dissemos anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam
a elaboração desta obra. Dentre os documentos por nós utilizados está a Base
Nacional Comum Curricular (BNCC).
• Na segunda parte, disposta em formato de U, o professor encontrará o deta-
lhamento das situações e atividades propostas no livro do aluno, juntamente
com sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais
rico e proveitoso. Além dessas indicações, será possível visualizar as habilida-
des e competências a serem desenvolvidas. Nessa parte o professor encon-
trará as seções:
Competências
e Habilidades
No início de cada Unidade serão explicitadas as competências (gerais e específi-
cas) e as habilidades a serem exploradas e desenvolvidas.
ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O professor encontrará comentários e orientações específicas referentes a
cada página do livro do aluno; os comentários podem abordar o conteúdo prin-
cipal a ser desenvolvido e/ou ainda as seções e boxes existentes na página que
está sendo comentada. Acreditamos que essas indicações poderão favorecer o
trabalho do professor levando a um melhor aproveitamento dos conhecimentos
matemáticos a serem explorados.
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7. Ao final da segunda parte, já não disposto em U, o professor encontrará a resolução
das atividades propostas ao longo do volume.
Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor,
dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a
formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de forma
consciente, cooperativa e autônoma.
MATERIAL DIGITAL
Além dos quatro volumes impressos deste Manual do Professor, a coleção apresenta
quatro volumes de Manual do professor – Material digital. São recursos que aju-
dam a enriquecer o trabalho do professor e a potencializar as relações de ensino-aprendi-
zagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um
deles possui a composição a seguir.
Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão
trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento,
habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias
didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de
pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas
para os alunos.
Cada Plano de desenvolvimento apresenta um  Projeto integrador, cujo objetivo
é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes
curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio
dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das
competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes com-
ponentes curriculares.
Ampliando
Nesta Seção serão apresentadas atividades e leituras complementares que
podem enriquecer o trabalho do professor e permitir o aprofundamento, tanto
do professor quanto do aluno, das questões e abordagens apresentadas na re-
ferida Unidade.
NO DIGITAL
Indicações de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências di-
dáticas e propostas de acompanhamento de aprendizagem que podem ser encontra-
dos no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enrique-
cer a sua prática pedagógica.
NO AUDIOVISUAL
Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção.
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8. Sequências didáticas: são um conjunto de atividades estruturadas aula a aula que
relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, de
modo a ajudar o aluno a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências
didáticas, foram propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao
livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor
a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos.
Proposta de acompanhamento da aprendizagem: é um conjunto de dez ati-
vidades (e seus respectivos gabaritos) destinadas ao aluno, acompanhado de fichas que
podem ser preenchidas pelo professor. Esse material tem o objetivo de ajudar a verificar a
aprendizagem dos alunos, especialmente se houve domínio das habilidades previstas para
o período, e a mapear as principais dificuldades apresentadas pela turma, auxiliando o
trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da própria prática pedagógica.
Material digital audiovisual: são vídeos e videoaulas produzidos para os alu-
nos. Nesses materiais tivemos a preocupação de contextualizar os conteúdos, por vezes
utilizando conexões com as demais áreas e/ou a história da Matemática. Esses recursos
poderão complementar o trabalho do professor no desenvolvimento de habilidades e
competências previstas na BNCC.
CONSIDERAÇÕES SOBRE O
ENSINO DE MATEMÁTICA
A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela
vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode
oferecer à formação do indivíduo.
Considerando a importância do ensino da Matemática na esfera escolar, devemos ter
em mente que:
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande
aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos,
cientes de suas responsabilidades sociais.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 263. Disponível em:
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 13 ago. 2018.
Desse modo, durante seu estudo, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvi-
das visando capacitar o aluno a mobilizar as aprendizagens e solucionar situações do cotidiano.
O aprendizado durante esse processo certamente servirá ao aluno como exercício
para o desempenho de seu papel como cidadão em interação com o mundo que o cerca;
afinal, não queremos formar uma pessoa que apenas saiba, mas que, com seus conhe-
cimentos, possa estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e
modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente.
Podemos dizer que compreender a Matemática é uma tarefa ampla e repleta de
variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos
formular nossas hipóteses, escutar as dos outros, planejar a maneira de resolver determi-
nado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar
e validar resoluções. Portanto, dentre as várias habilidades que são adquiridas ao desen-
volver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo,
que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma
aprendizagem mais significativa e mais abrangente.
VII
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9. A possibilidade de analisar várias formas de resolver determinados problemas e de
confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensi-
no de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade,
que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções e não
se inibindo diante de questões complexas.
Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos men-
tais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequencia-
ção, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos
com base nas atividades da exploração matemática e também contribuem para que os
alunos se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as
diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados.
Temos assistido no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática a uma
forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como mo-
delagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, pedagogia de projetos e uso de
tecnologias digitais (TD) – e as justificativas educacionais que a sustentam, a tal ponto
que fica difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de
Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fa-
tor de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência.
(MALHEIROS, 2012)
A seguir apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências.
MODELAGEM
Para melhor compreendermos o significado da modelagem no contexto do ensino e
da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperá-lo no contexto da aplicabilidade
da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimen-
to humano.
Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática,
temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas
nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras. Para encami-
nhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa
ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos
modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características
e relações entre eles.
As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos
matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação-problema. Durante e depois da criação do
modelo o profissional verifica a coerência do modelo e a validade do modelo no contexto do problema original.
BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.
Segundo esse autor, uma transferência do método da modelagem, como exposto
anteriormente, vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de
dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento do
aluno na própria Matemática.
Essa transferência de método se dá apoiada na resolução de problemas aplicados, os
quais tratam de questões de relevância que motivem o aluno a buscar soluções.
Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas
surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a
modelagem como aprendizagem baseada em problemas.
VIII
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10. As duas pretendem focar situações de interesse do aluno. A primeira problematiza
uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada
de modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relaciona-
da ao conteúdo a ser ministrado.
Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quan-
do a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado pos-
teriormente nestas Orientações. Para Bean (2001),
A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de
um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representa-
das em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por
esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento.
BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.
Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um
resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolu-
ção de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática.
A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações
simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por
causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia muito
indicada para o Ensino Fundamental de Matemática na BNCC em detrimento da modelagem
matemática e da modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à so-
lução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja
primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por “resolução de
problemas” avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a
ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino da Matemática.
Onuchic (1999) nos traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evi-
denciando o trabalho realizado por Schoeder e Lester (1989) que aponta para diferentes
modos de abordá-la. Pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar
resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de resoluções constituem o
foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco nesse
caso é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na so-
lução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de
ensinar a Matemática por meio da resolução de problemas, na qual
[...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também,
como um primeiro passo para se fazer isto. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com
uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas
como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do
concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o
abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos).
ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.).
Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207.
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11. Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos
PCNs e estendemos aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os alunos “de-
senvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da Matemática para
resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções
e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, p. 263). Onuchic afirma
ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas
como aprende Matemática para resolver problemas” (p. 211).
Embora não haja uma forma rígida de ensinar por meio da resolução de problemas,
passaremos a descrever sucintamente um roteiro básico metodológico, que poderá ser
desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra.
O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes
etapas:
Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo ma-
temático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente em
sala de aula. A ideia é que mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir deles,
construir novos conhecimentos necessários para a resolução.
Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema,
seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas.
Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas
quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colabo-
rativo, buscam resolvê-lo.
Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto,
não tem mais o papel de transmissor do conhecimento.
Registro das resoluções no quadro de giz: representantes dos grupos são convi-
dados a registrar e socializar, no quadro de giz, suas resoluções independentemente de
estarem certas ou erradas.
Plenária: para essa etapa, são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as di-
ferentes resoluções registradas no quadro de giz pelos colegas, defenderem seus pontos
de vista e esclarecerem suas dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e
mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos.
Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e solu-
ções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consen-
so do resultado correto.
Formalização do conteúdo: neste momento, denominado formalização, o profes-
sor registra no quadro de giz uma apresentação formal – organizada e estruturada em
linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos
construídos por meio da resolução do problema.
Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem
sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos alunos dos conceitos que envol-
vem o problema proposto, possibilitando a você, professor, perceber o crescimento do
conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de
ensino-aprendizagem-avaliação.
Onuchic (1999) alerta para a importância de sua ação, professor, e de sua formação
ao aplicar essa metodologia.
Nisso vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que
irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho.
ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.).
Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 212.
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12. TECNOLOGIAS DIGITAIS: SUAS POTENCIALIDADES
NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM
É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) nas nossas vidas particulares, no
mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época em que
vivemos. Nossa intenção é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações exis-
tentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola pensando nos principais motivos
que podem levar ao fortalecimento dessa relação.
Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro intitulado Fases das tecnologias di-
gitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos
últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática.
As diferentes formas – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com
o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a
expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais
profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro.
A primeira fase, nos anos de 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou cien-
tíficas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se
referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que princi-
palmente caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o
potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programa-
ção e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de la-
boratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído
às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas.
A segunda fase teve início em 1990. Nela existiam muitas perspectivas de como os es-
tudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores em suas vidas pes-
soais e profissionais. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por
perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de
TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos
foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA;
GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o
ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâ-
mica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilida-
des didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e
construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores.
A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a in-
ternet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação.
Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats
e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em
termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza
do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em
ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores
colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece
nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, esti-
mulando a coautoria do estudante na atividade proposta.
Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação mate-
mática online, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados
termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento.
BORBA, M. C.; SCUCUGLIA, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias
digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2014, p. 16.
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13. Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a
banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefo-
nes celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD).
É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas
em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o
avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade.
O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as
tecnologias vão sendo implantadas nas nossas vidas e de como o uso delas nas escolas
não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na
formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação.
Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma
que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de traba-
lho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e
alunos na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada
ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando
um claro protagonismo do aluno na aprendizagem.
No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais
que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a sua prática,
professor, está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz de você também
um protagonista da construção escolar como um todo.
Não queremos deixar a impressão de que todos os embates do uso das TD na edu-
cação estejam resolvidos. Pesquisas atuais se debruçam em estudos sobre o ciberespaço
visando entendê-lo, bem como às possibilidades que se abrem para o mundo da educa-
ção e da Educação Matemática, os quais deixaremos como indicações bibliográficas para
estudo e aprofundamento.
COMUNICAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Na escola, todos os dias os alunos convivem com os colegas, professores e demais
funcionários, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar
de mencionar a relevância da comunicação, inclusive, nas aulas de matemática.
Os alunos precisam ser estimulados a se expressar de diferentes formas, por exemplo, fa-
lar, ouvir, registrar por escrito, por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal forma
que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc.
O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o
estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabeti-
zação tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um
aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como
aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E,
neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010, p. 17.
Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora
e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e
partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que
levem ao entendimento mútuo.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 9. Disponível em:
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.
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14. Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos desperta-
dos durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar, não ape-
nas o próprio aluno a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem,
como também favorecer os demais colegas a validar suas hipóteses ou a compreender
por que pensam diferente ou utilizam um caminho com estratégias distintas.
Nesse processo de socialização, os alunos são estimulados a desenvolver diferentes
habilidades e competências, inclusive socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais
colegas de maneira respeitosa e responsável.
A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional
Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática,
julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem
sua homologação.
Não podemos desprezar o tamanho do nosso país, seja em territorialidade ou em
diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e
dados estatísticos. Um de nossos desafios, na área da educação, é propiciar oportunida-
des iguais para todos os nossos estudantes sem perder a particularidade e singularidade
de cada região ou grupo.
Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava
os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mes-
mo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores
culturais e artísticos, nacionais e regionais.
Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece
as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino
Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegu-
rar formação básica comum salientando que os conteúdos deveriam ser complementados
com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.
No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014 essa necessidade é reafirmada, ou
seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar
uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os alunos do terri-
tório nacional as aprendizagens essenciais preservando-se as identidades étnicas, cultu-
rais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e
planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.
Desta forma, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto
de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os alunos da Educação Básica. Traz
uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação
escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os
alunos da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensi-
nado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências mínimas que devem ser
garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.
Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação,
tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 10. Disponível em:
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>.
Acesso em: 13 ago. 2018.
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15. Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a
educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz
respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a impor-
tância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e
utilização consciente da informação e da tecnologia.
AS COMPETÊNCIAS
O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimen-
tos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano,
dentro e fora dos espaços escolares.
Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações
que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, tam -
bém, voltada para a preservação da natureza”.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 8. Disponível em:
<http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>.
Acesso em: 13 ago. 2018.
São apresentadas 10 competências gerais que se inter-relacionam ao longo de todo
percurso escolar da Educação Básica, são estas:
1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para
entender e explicar a realidade, colaborando para a construção de uma sociedade solidária.
2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a
reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses,
formular e resolver problemas e inventar soluções.
3. Desenvolver o senso estético para reconhecer, valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais,
e para participar de práticas de produção artístico-cultural.
4. Utilizar conhecimentos das linguagens verbal, corporal, multimodal, artística, matemática, científica, tecno-
lógica e digital para expressar-se e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
5. Utilizar tecnologias digitais de comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas
diversas práticas do cotidiano.
6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que
lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu pro-
jeto de vida pessoal, profissional e social, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias,
pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência so-
cioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si
mesmo, dos outros e do planeta.
8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, reconhecendo suas emoções e as dos ou-
tros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas e com a pressão do grupo.
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o
respeito ao outro, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, reconhe-
cendo-se como parte de uma coletividade com a qual deve se comprometer.
10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação,
tomando decisões, com base nos conhecimentos construídos na escola, seguindo princípios éticos democrá-
ticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
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16. Como dissemos anteriormente, no desenvolvimento de competências é importante
uma indicação clara do que alunos devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitu-
des) e no que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e
atitudes) diante de cada situação.
Além dessas competências gerais, dentro das áreas do conhecimento, temos os compo-
nentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exem-
plo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa.
Cada área do conhecimento, em conformidade com as 10 competências gerais, tem
suas competências específicas da área e/ou do componente curricular.
Veja a seguir as competências específicas da Matemática.
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes
culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas
científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do
trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincen-
tes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritméti-
ca, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança
quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima
e a perseverança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e cultu-
rais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e
avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resol-
ver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente
relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando di-
ferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras
linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em prin-
cípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e
de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvi-
mento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a
identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de
pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Para garantir o desenvolvimento dessas competências específicas, a BNCC apresenta
um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhe-
cimento que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.
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17. QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC
6
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Números
Sistema de
numeração decimal:
características, leitura,
escrita e comparação
de números naturais e
de números racionais
representados na
forma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja
representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no
mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo
a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero),
utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números
racionais em sua representação decimal.
Operações
(adição, subtração,
multiplicação, divisão
e potenciação) com
números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos,
exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com
compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para
determinar a paridade
de um número natural
Múltiplos e divisores de
um número natural
Números primos e
compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que
indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer
é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações
entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e
estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,
100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados
(parte/todo,
quociente),
equivalência,
comparação, adição e
subtração; cálculo da
fração de um número
natural; adição e
subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de
inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas
formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de
uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma
quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com
números racionais positivos na representação fracionária.
Operações
(adição, subtração,
multiplicação, divisão
e potenciação) com
números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na
representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação,
por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a
razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de
números para
múltiplos de potências
de 10
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da
potência de 10 mais próxima.
Cálculo de
porcentagens por meio
de estratégias diversas,
sem fazer uso da
“regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia
de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais,
cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
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18. UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Álgebra
Propriedades da
igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar,
subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa
noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam
da partição de um
todo em duas partes
desiguais, envolvendo
razões entre as partes
e entre uma das partes
e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em
duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão
entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano:
associação dos vértices
de um polígono a
pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do
1
o
quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides:
planificações e relações
entre seus elementos
(vértices, faces e
arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas
de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e
desenvolver a percepção espacial.
Polígonos:
classificações quanto
ao número de
vértices, às medidas
de lados e ângulos
e ao paralelismo e
perpendicularismo dos
lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e
ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no
plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas
dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a
ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.
Construção de
figuras semelhantes:
ampliação e redução
de figuras planas em
malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução,
com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de
retas paralelas e
perpendiculares,
fazendo uso de réguas,
esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para
representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre
outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção
de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos
de referência e distâncias fornecidas etc.).
XVII
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19. UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Grandezas e
medidas
Problemas sobre medidas
envolvendo grandezas como
comprimento, massa, tempo,
temperatura, área, capacidade
e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento,
massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume
(sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre
que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras
áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras
geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes
contextos e em situações reais, como ângulo de visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor
e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas
(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e
vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado
como grandeza proporcional à
medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de
um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados,
para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não
ocorre com a área.
Probabilidade e
estatística
Cálculo de probabilidade como
a razão entre o número de
resultados favoráveis e o total
de resultados possíveis em um
espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por
meio de muitas repetições de
um experimento (frequências
de ocorrências e probabilidade
frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por
número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número
com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de
tabelas e gráficos (de colunas
ou barras simples ou múltiplas)
referentes a variáveis categóricas
e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos
(título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre
contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros,
apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos
escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e
registro
Construção de diferentes tipos
de gráficos para representá-los e
interpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais
escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro,
representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e
texto.
Diferentes tipos de
representação de informações:
gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações
entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as
estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
XVIII
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20. 7
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Números
Múltiplos e divisores de um
número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as
noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo
múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e
de acréscimos e decréscimos
simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que
lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo
mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história,
ordenação, associação com
pontos da reta numérica e
operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo
o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que
envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números
inteiros.
Fração e seus significados: como
parte de inteiros, resultado da
divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a
mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para
resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros,
resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração,
como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três
partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na
representação fracionária e na
decimal: usos, ordenação e
associação com pontos da reta
numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e
associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais,
a relação entre elas e suas propriedades operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números
racionais.
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e
incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para
expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que
o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas
artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas
em sequências numéricas.
Equivalência de expressões
algébricas: identificação da
regularidade de uma sequência
numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a
regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo
grandezas diretamente
proporcionais e grandezas
inversamente proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de
proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas,
utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do
1
o
grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por
equações polinomiais de 1
o
grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das
propriedades da igualdade.
XIX
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21. UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE CONHECIMENTO HABILIDADES
Geometria
Transformações geométricas de polígonos
no plano cartesiano: multiplicação das
coordenadas por um número inteiro e
obtenção de simétricos em relação aos
eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano,
decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em
relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação,
rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria
dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos
arquitetônicos, entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar
geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que
envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por
retas paralelas intersectadas por uma
transversal
(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas
por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de
existência e soma das medidas dos
ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de
existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas
dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na
construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas
artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a
construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo
equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso
de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos,
preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a
construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida
a medida de seu lado.
Grandezas e
medidas
Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas
inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do
conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
Cálculo de volume de blocos retangulares,
utilizando unidades de medida
convencionais mais usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos
retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e
centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas:
cálculo de áreas de figuras que podem
ser decompostas por outras, cujas áreas
podem ser facilmente determinadas como
triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras
planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos,
utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da
circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma
circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de
natureza histórica.
Probabilidade e
estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral
e estimativa de probabilidade por meio de
frequência de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem
cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um
conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística
como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo,
intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e
organização dos dados, construção de
tabelas e gráficos e interpretação das
informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social,
identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados
para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de
planilhas eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação,
pertinência e construção para representar
conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados
pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.
XX
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22. 8
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse
conhecimento na representação de números em notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e
radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da
contagem
(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a
aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens
(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens,
incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração
geratriz
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração
geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra
Valor numérico de expressões
algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico
de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.
Associação de uma equação
linear de 1
o
grau a uma reta no
plano cartesiano
(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1
o
grau com duas incógnitas a uma reta
no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais
de 1
o
grau: resolução algébrica
e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo,
que possam ser representados por sistemas de equações de 1
o
grau com duas
incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2
o
grau
do tipo ax² = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que
possam ser representados por equações polinomiais de 2
o
grau do tipo ax² = b.
Sequências recursivas e não
recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não
recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar
os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e
construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números
seguintes.
Variação de grandezas:
diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou
não proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente,
inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente
por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
Geometria
Congruência de triângulos e
demonstrações de propriedades
de quadriláteros
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da
congruência de triângulos.
Construções geométricas:
ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°
e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de
geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos
regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo
para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do
ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como
lugares geométricos: construção
e problemas
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos
na resolução de problemas.
Transformações geométricas:
simetrias de translação, reflexão
e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de
transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de
instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
XXI
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23. UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Grandezas e
medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento
de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras
geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e
círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação
entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de
recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de
recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e
estatística
Princípio multiplicativo da
contagem
Soma das probabilidades de
todos os elementos de um
espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do
espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das
probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas,
linhas ou setores e seus
elementos constitutivos e
adequação para determinado
conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um
conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma
variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em
classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de
decisões.
Medidas de tendência central e
de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa
estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e
relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de
pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica),
que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que
a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples,
sistemática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de
amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados
para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de
tendência central, a amplitude e as conclusões.
XXII
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24. 9
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
Números
Necessidade dos números reais
para medir qualquer segmento
de reta
Números irracionais:
reconhecimento e localização de
alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento,
existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional
(como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando
se toma a medida de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja
representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns
deles na reta numérica.
Potências com expoentes
negativos e fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes
fracionários.
Números reais: notação
científica e problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação
científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que
envolvem cálculo de percentuais
sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia
de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais,
preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação
financeira.
Álgebra
Funções: representações
numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca
entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar
esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas
variáveis.
Razão entre grandezas de
espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de
espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.
Grandezas diretamente
proporcionais e grandezas
inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de
proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais,
ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração
e produtos notáveis
Resolução de equações
polinomiais do 2
o
grau por meio
de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com
base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas
que possam ser representados por equações polinomiais do 2
o
grau.
XXIII
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25. Geometria
Demonstrações de relações entre
os ângulos formados por retas
paralelas intersectadas por uma
transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos,
ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de
softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois
triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo
retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por
transversais: teoremas de
proporcionalidade e verificações
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o
teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou
das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a
construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua
e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano
cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre
dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem
o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas
de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras
espaciais
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse
conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e
medidas
Unidades de medida para medir
distâncias muito grandes e muito
pequenas
Unidades de medida utilizadas na
informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito
grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares,
tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores,
entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de
prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações
cotidianas.
Probabilidade e
estatística
Análise de probabilidade de
eventos aleatórios: eventos
dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e
dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados
pela mídia: elementos que podem
induzir a erros de leitura ou de
interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos
que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas
inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações
importantes (fontes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e
representação de dados de
pesquisa expressos em tabelas de
dupla entrada, gráficos de colunas
simples e agrupadas, gráficos
de barras e de setores e gráficos
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas),
com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto
de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de
pesquisa amostral e apresentação
de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social
e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de
tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o
apoio de planilhas eletrônicas.
UNIDADES
TEMÁTICAS
OBJETOS DE
CONHECIMENTO
HABILIDADES
XXIV
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26. UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR
E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS
Um dos desafios mais urgentes do ensino da Matemática é fazer com que ela interaja
com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral do aluno, indo
além do conteúdo programático.
Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode
ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática
quanto das demais áreas.
Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que propor-
cionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras
áreas de conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos alunos dos anos
finais, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada
um deles.
Para que a prática docente seja organizada, de modo que desenvolva um trabalho
que possibilite a formação de um cidadão crítico, precisamos entender a contextualização
como um acontecimento ou situação pertencente a um encadeamento de elementos que
proporcionam relações com recursos disponíveis em cada área de conhecimento.
Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as
diferentes áreas, trazendo o cotidiano do aluno para a sala de aula e aproximando-o do
conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer com que os
alunos aprendam a relacioná-las. As experiências vivenciadas pelos alunos e pela escola
podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Dessa forma, é possível
abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam
obrigatoriamente ligados aos alunos, mas que possam estar relacionados aos seus fami-
liares ou a sua comunidade, por exemplo.
Por isso, fazer conexões entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências (da na-
tureza e humanas – Geografia e História), Educação Física, Inglês utilizando-se, inclusive,
os temas contemporâneos poderá contribuir para que a Matemática e todo o conheci-
mento envolvido ganhem maior sentido e significado aos alunos.
Não podemos nos esquecer das explorações que favoreçam a leitura e reflexões
sobre a História da Matemática (Etnomatemática). Até mesmo pesquisadores interna-
cionais têm reconhecido a importância da leitura e da escrita, inclusive nas aulas de
Matemática:
O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de regis-
trar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na com-
preensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de Matemática,
nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um processo que transforma
continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz.
POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático.
Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.
Os temas contemporâneos visam promover a difusão de valores fundamentais ao
interesse social.
Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os temas
descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos traba-
lhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser com-
XXV
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27. plementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo.
Para isso, se torna de fundamental importância o planejamento e estudos prévios por parte
do professor.
Dentre os temas contemporâneos descritos na BNCC e explorados nesta obra temos:
• direitos da criança e do adolescente;
• educação para o trânsito;
• educação ambiental;
• educação alimentar e nutricional;
• processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso;
• educação em direitos humanos;
• educação das relações étnico-raciais e ensino de história e cultura afro-brasileira,
africana e indígena;
• saúde;
• vida familiar e social;
• educação para o consumo;
• educação financeira e fiscal;
• trabalho;
• ciência e tecnologia;
• diversidade cultural.
O PAPEL DO PROFESSOR
Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus
alunos. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os alunos
já sabem e como eles aprendem.
Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo con-
teúdo, de uma nova estratégia ou ainda difusor de um termo específico desconhecido
pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas para quem está
ensinando.
Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos alunos sobre os
assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desen-
volvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam.
Quanto mais o professor ajudar os alunos a atribuir significados aos conteúdos estu-
dados, mais eles poderão compreender e se interessar pela Matemática. Daí a importân-
cia de relacionar a Matemática com o cotidiano.
Nesse sentido, é importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou
tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o car-
pinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas
do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por
meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o mate-
mático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros.
Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir
uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas formas
de compreender e resolver as situações-problema, os exercícios e as atividades por meio da
quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimen-
to de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.
XXVI
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28. O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes formas de se fazer
Matemática e dar suporte para que os alunos consigam adquirir habilidades e conheci-
mentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem
como reconhecer a beleza da Matemática em si.
Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe
a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os alunos,
incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade no
dia a dia escolar.
As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar o
aluno no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Dessa
forma, o foco não é mais o aluno, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação
desses três elementos.
Uma vez que as respostas dos alunos às situações-problema apresentadas desafiam
os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma par-
ceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma forma, os alunos são chama-
dos a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor.
Assim, o conhecimento matemático escolar é (re)definido constantemente.
Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor
atinja o objetivo de que seus alunos aprendam Matemática. Segundo os autores, é neces-
sário que os professores tenham:
[...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da
educação, pode resultar caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos
estudantes de forma efetiva e com significado.
PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais:
aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Ed. da UFSCar, 2011. p. 20.
Portanto, neste processo de parceria e interrelação existente entre alunos e profes-
sores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar,
as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis ca-
minhos a serem percorridos.
AVALIAÇÃO 
Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de
avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas con-
quistas pessoais dos alunos, como o ingresso nas universidades.
A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida
(que definia se o aluno tinha ou não condições de progredir com seus estudos). Hoje, é
quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se
o aluno atingiu os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhe
uma nota ou conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressig-
nificação em que assumem o papel de um potente instrumento que permite visualizar o
progresso do aluno e sinalizar possíveis desafios.
Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos
alunos como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos
profissionais da escola, inclusive o professor. Assim, para que haja um ensino de quali-
dade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principal-
XXVII
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29. mente no que se refere à vinculação do professor com seus alunos. Por isso, é essencial
compreender como esses alunos lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades,
as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar
uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas.
Nesse contexto, a avaliação diagnóstica é fundamental nos processos de ensino e
aprendizagem. O professor e o aluno precisam identificar os conhecimentos anteriores já
adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser
potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. Acreditamos
que a clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sa-
bendo aonde se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou a esse “lugar”;
portanto, é importante compartilhar com os alunos os objetivos de determinada atividade
ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar.
Avaliar o processo
Uma possibilidade é observar a estratégia que os alunos utilizam para resolver as
situações-problema em sala de aula; isso consiste em um recurso valioso para o profes-
sor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, a forma como produzem algo
demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente,
agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos alunos. Pedir a eles que
socializem com os colegas seus raciocínios e estratégias é mais uma forma de identificar
os caminhos e possíveis dificuldades de cada um.
Como dissemos anteriormente, é importante estimular os diferentes registros de re-
presentação. Muitas vezes, os alunos são capazes de compartilhar as estratégias utiliza-
das oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir que
registrem o mesmo processo de formas distintas para que possam, além de explorar os
diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais “tran-
quilo” ou “desafiador”.
Autoavaliação
O aluno precisa se responsabilizar por seu processo de aprendizagem e, para isso, é
preciso que perceba a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação
e, mais do que isso, utilize-os como molas propulsoras para novas conquistas. Além de
identificar e observar o número que representa a sua nota, o aluno precisa ser motivado
a identificar nos acertos as conquistas realizadas e nos erros, possíveis desvios de rota
ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto, o espaço/tempo para os alunos se
autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor.
Nesse processo de autoavaliação os alunos podem ser convidados a responder a al-
guns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê
da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e pos-
sível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros.
Nesta obra, os alunos encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retoma-
da dos conhecimentos explorados anteriormente para que possam perceber, por exemplo,
as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas per-
cepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações/estudos.
Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes
instrumentos como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelo
próprio aluno e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e
sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um
XXVIII
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30. aluno corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elabo-
ração de textos e seminários etc.
É importante que os alunos também tomem ciência de como poderão melhorar para
avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuan-
te. De acordo com Cuccioli (2010),
A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo
de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor,
propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e
participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas.
CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S.
O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.
Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os alunos podem perceber
estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas.
Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação
aos alunos, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias.
A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e
aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como dissemos anteriormente, é importante
que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos
ao longo do ano. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o de-
senvolvimento dos alunos.
A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensi-
no e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos alunos.
Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática,
descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na
interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da ava-
liação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem,
como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, 1997. p. 41.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: 22 ago. 2018.
Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações
sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvi-
mento de atitudes, que incluem questões como: Procura resolver problemas por seus
próprios meios? Faz perguntas? Usa estratégias criativas para solucionar problemas? Jus-
tifica as respostas obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos
em grupo? Ajuda os outros na resolução de problemas? Contesta pontos que não com-
preende ou com os quais não concorda?
Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, traba-
lhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser consi-
derados.
A tarefa do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais,
de indícios, com base nos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar
a atividade pedagógica.
XXIX
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31. CONHEÇA A OBRA 
No livro do aluno, cada volume desta obra divide-se em unidades e cada unidade em
capítulos.
AS ABERTURAS DE UNIDADES
Nesta obra, as aberturas de unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o
momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada volume, a unidade é
introduzida por uma abertura que traz:
• uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) – relacionada com temas que
serão estudados ao longo do capítulo e cujo objetivo é instigar os alunos a uma dis-
cussão inicial;
• algumas questões – para contextualizar os alunos no assunto da unidade e mo-
bilizar conhecimentos anteriores.
O uso de escala na Arquitetura
Você já viu a planta baixa de uma residência ou
alguma maquete que represente uma construção ou um
conjunto de construções, como um bairro, por exemplo?
Diante da impossibilidade de usar as medidas reais
em tais representações, profissionais que trabalham
com Arquitetura, Engenharia Civil, Design, entre outros,
usam o conceito de escala.
Com isso, podemos verificar a relação entre a
medida do comprimento de uma parede da sala de aula
e a medida do comprimento da representação corres-
pondente em uma planta baixa.
Estudo de
grandezas9
Observe a imagem, converse com os colegas e faça no caderno o que se pede nos itens
a seguir.
• Identifique na imagem o que nos permite afirmar que temos uma maquete que repre-
senta uma casa em construção.
• Você já viu uma maquete ou uma planta baixa? Junte-se a um colega e pesquise situ-
ações em que é comum o uso desses recursos.
• Meça as paredes da sua sala de aula e faça o esboço de uma delas para representá-la.
Use 1 cm, no desenho, para representar 1 metro de comprimento real. Nesse caso a
escala utilizada é de 1 para 100, indicada por 1 : 100.
Resposta possível: a proporção entre o lápis sobre o desenho da
planta baixa em relação à casa e os personagens.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal. Algumas situações que os alunos podem relatar: maquetes feitas para representar prédios
que serão construídos, localizadas em stands de vendas, planta baixa de apartamentos à venda em panfletos de
propaganda, planta baixa de feiras e exposições com a distribuição dos stands de cada expositor.
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32. OS CAPÍTULOS
Nos volumes desta obra, as unidades são compostas de
uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a deman-
da de cada tema.
Em cada capítulo, os alunos contarão com diferentes ex-
plorações e recursos, dentre estes textos, imagens e atividades.
Ao longo de cada capítulo, podem ser encontradas seções e
boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos
e articulações.
OS BOXES E AS SEÇÕES DESTA OBRA
pense e responda
Neste boxe, serão apresentadas questões que
buscam mobilizar conhecimentos e promover refle-
xões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem
explorados ou previamente vistos.
Neste boxe os alunos encontrarão a sistematização ou
a formalização de algum conceito explorado no capítulo.
DESCUBRA MAIS
NÓS
Aqui, o aluno encontra-
rá alguns textos e questões
que podem promover articu-
lações com outros conceitos
para além da Matemática.
Este boxe poderá propiciar
reflexões sobre valores. Pro-
põe-se que seja realizada em
duplas, trios ou grupos.
Neste boxe, os alunos en-
contrarão um texto curto que
fornecerá uma dica interessan-
te ou um recado importante.
Esta seção traz questões que podem favorecer o
debate e permitir a troca e o compartilhamento de
ideias e conhecimentos, fazendo com que os alunos
pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argu-
mentação. As propostas podem ou não ser realizadas
on-line, caso a escola possua uma ferramenta desse
tipo ou você opte por usar uma ferramenta de uso livre
na internet, criando um grupo fechado.
Uma seção contendo
sugestões de livros e links
para o aluno consultar infor-
mações complementares.
SAIBA QUE
FÓRUM
Teoria
UM NOVO OLHAR
Possibilita ao aluno retomar os conhecimentos
explorados na abertura das unidades e perceber, por
exemplo, as habilidades já desenvolvidas e as que pre-
cisam ser desenvolvidas.
ÁREA DE FIGURAS
PLANAS
pense e responda
1
CAPÍTULO
Ac ompanhe a situação.
A prefeitura de uma cidade atendeu as solicitações dos moradores e vai construir uma área
para as crianças brincarem na praça principal da cidade. Analisando a vista aérea da praça, a
equipe responsável optou por utilizar uma região em forma de trapézio que não estava com
gramado. Observe.
Problemas envolvendo área
de polígonos
Responda à questão no caderno.
Para cobrir um terreno com gra-
mado, Marcos vai utilizar placas
quadradas de grama com lados de
1 m. De quantas placas quadradas
ele vai precisar para fazer um gra-
mado retangular de 5 m por 3 m?
Ele vai precisar de 15 placas.
Resoluções a partir da p. 289
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
8 m
12 m
5 m
gira-gira escorregador
piso emborrachado
balançotanque de areia
EDITORIA DE ARTE
O arquiteto desenhou um esboço da área para crianças. Ele pretende fazer uma região
onde será colocada areia, de formato triangular, ampliar um pouco o espaço total e montar um
parquinho com piso emborrachado de formato retangular. Observe o esboço.
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33. É uma seção que apresenta textos, ima-
gens, gráficos, tabelas e atividades numeradas
que podem permitir ao aluno uma maior con-
textualização dos assuntos e explorações reali-
zadas na unidade.
POR TODA PARTE
Esta seção busca estabelecer um diálogo entre
tópicos de Matemática e de outras disciplinas ou
áreas do conhecimento.
PARA QUEM QUER MAIS
Nesta seção, os alunos encontrarão diferentes atividades que foram dispostas em
ordem crescente de complexidade para facilitar a visualização e a conferência. Eventual-
mente, surgirão atividades que desafiam os alunos.

Nesta seção, os alunos encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo,
controle de gastos, economia, entre outros. A partir de leituras e reflexões, serão esti-
mulados a ver e rever suas ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro.
ATIVIDADES
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Nesta seção, que reúne pro-
postas de trabalho com temas asso-
ciados à probabilidade e estatística,
os alunos encontrarão textos, ima-
gens, gráficos, tabelas e ativida-
des numeradas, sempre buscando
a contextualização desses temas.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará
incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de
fora, a próxima classe começará com o valor 1,58.
1. Observe as informações na tabela e responda no caderno:
a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos.
b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m.
c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m?
d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa?
e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m?
f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m?
g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m?
11 alunos.
75 alunos.
45 alunos.
5,56%
aproximadamente.
Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação
Vamos obser var a situação a seguir:
A academia Saúde realizou uma pes-
quisa para conhecer melhor seus alunos. Eles
responderam a um questionário com várias
perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi
a altura dos alunos. A gerente da academia
organizou os dados na seguinte tabela:
Resoluções a
partir da p. 289
Fonte: Alunos da academia Saúde.
Altura
(em metro)
Número
de alunos
1,50 ¿ 1,58 9
1,58 ¿ 1,66 11
1,66 ¿ 1,74 25
1,74 ¿ 1,82 30
1,82 ¿ 1,90 10
1,90 ¿ 1,98 5
Total 90
Altura dos alunos da
academia Saúde
Pessoas se exercitando.
Essa é uma tabela de distribuição de frequên-
cias com intervalos de classes. Ela apresenta, na
primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso,
a altura dos alunos; e na segunda coluna a quan-
tidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja,
a quantidade de alunos que apresentam aquela
altura. Na primeira coluna, os valores das alturas
estão divididos em intervalos numéricos que são
chamados de intervalos de classes.
1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior
que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m.
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Agora, tomemos a seguinte situação:
A professora do 8
o
ano de uma escola
listou as notas de seus 35 alunos na prova final
de Matemática. Os resultados estão mostrados
a seguir:
8 4,5 6 7 7, 52 6
5 9,54,5 3 3 7 8
8 8,5 9 5,55,52,5 6
6,5 7 8,5 5 4 1 3,5
1,53,5 7 7 6 9 8
Repare que os inter valos de classe
sempre possuem o mesmo tamanho, ou
seja, neste exemplo, cada intervalo corres-
ponde a 2 unidades.
Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não
esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro.
b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol?
c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores?
d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores.
e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg.
21 jogadores.
2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno.
a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos
intervalos de classe. Resposta no final do livro.
b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos.
c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram
nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos.
d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%.
3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em
quilogramas (kg).
76 99 10 6 83 80 80 87
81 95 85 89 93 72 76
101 107 99 80 83 85 75
Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018.
cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018.
Da forma como estão os dados, ela não
consegue visualizar rapidamente quantos alunos
ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então,
construir uma tabela de distribuição de fre-
quências, com os seguintes intervalos de classe:
Fonte: Professora do 8
o
ano.
Nota obtida na prova
final de Matemática
Número de
alunos
0 ¿ 2
2 ¿ 4
4 ¿ 6
6 ¿ 8
8 ¿ 10
Total 35
2
6
7
11
9
Notas dos alunos do 8
o
ano na
prova final de Matemática
De 79 kg a 86 kg.
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34. Explicita como usar ferramentas
tecnológicas na resolução de problemas
ou questões matemáticas.
Tecnologias

Nesta seção, os alunos serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na
unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

Nesta seção, os alunos encontra-
rão atividades que podem permitir
articulações entre os temas contem-
porâneos e as competências gerais e
específicas apresentadas na BNCC.
Um dos objetivos é promover a
articulação entre as diferentes áreas
do conhecimento e minimizar possí-
veis rupturas existentes nos processos
de ensino e aprendizagem. Nesta se-
ção, os alunos terão a oportunidade
de aprofundar e ampliar seus conhe-
cimentos e repertório cultural, passear
por diferentes temas contemporâneos
e perceber a Matemática em variadas
situações do cotidiano.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
ATUALIDADES EM FOCO
Tecnologias
Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos
Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção
de gráficos.
Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc
do LibreOffice.
Observe a tabela seguinte.
Número de irmãos dos alunos
do Ensino Médio
Número de
irmãos
Frequência
absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o
título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula
B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela.
Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas.
• Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e
clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico.
• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna”
e clicar em Próximo.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
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• No passo 2, Inter valo de dados, vamos selecionar
“Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.
• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.
• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos.
Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.
• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.
Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela-
tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de
gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o
botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.
1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de
gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.
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ATUALIDADES EM FOCO
Querer é poder? Mas, o que eu quero?
Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou
porque seus colegas já tinham e você ainda não?
O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa
sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses
bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas.
Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto
que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da
nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando.
O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois
retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo,
que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios.
Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça
um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do con-
sumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte
responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas.
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Responda no caderno:
1. A escola pode contribuir muito para a conscientização do consumo responsável e sus-
tentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas.
2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acordo com o tipo
de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo
banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas
as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo
com o Banco Central.
Resposta pessoal.
Responda à questão a seguir:
Vam o s sup o r qu e vo cê qu eira co m p rar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês.
Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor
e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma
boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que
o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de
sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se
utilizar o valor referente a abril ou a maio.)
3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo,
sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em dife-
rentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir.
a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto
e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você costuma consumir
durante o mês.
b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto
você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aplica o menor valor.
c) Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor e, juntos, descubram quanto
a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local
com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com o deslocamento, tempo etc.
d) Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa prática poderia trazer benefícios?
Por quê? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como
o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará
14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90.
Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em:
<http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018.
Estabelecimento:
Produto Valor 1 Valor 2 Valor 3
Taxas de Juros
Linha de crédito Taxa média março Taxa média abril Variação no mês
Juros do comércio 5,72% 5,77% 0,87%
Car tão de crédito 10 ,69% 10 ,69% 0%
Cheque especial 7, 3 4 % 7, 4 0 % 0,82%
CDC-bancos 2,33% 2,44% 3,00%
Empréstimo pessoal - bancos 4,74% 4,79% 1,0 5%
Empréstimo pessoal - financeiras 9,78% 9,87% 0,92%
Taxa média 6,77% 6,82% 0,74%
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XXXIII
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35. UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS
HABILIDADES DA BNCC
TRABALHADAS NA UNIDADE
1 – Sistemas de
numeração
• Sistemas de numeração
• Sistema de Numeração Decimal
• O conjunto dos números naturais
• Leitura e interpretação de tabelas
• Calculadoras
EF06MA01
EF06MA02
EF06MA31
EF06MA32
2 – Cálculos com
números naturais
• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação)
• Relações fundamentais
• Expressões numéricas
• Leitura e interpretação de gráfico de barras
EF06MA03
EF06MA31
3 – Figuras geométricas
• Ponto, reta e plano
• Semirreta e segmento de reta
• Figuras geométricas
• Estimativas e projeções
EF06MA17
EF06MA28
4 – Múltiplos e divisores
• Critérios de divisibilidade
• Divisores e múltiplos de um número natural
• Números primos
• Gráfico pictórico
EF06MA04
EF06MA05
EF06MA06
EF06MA32
5 – A forma fracionária
dos números racionais
• Fração (comparação, equivalência e formas)
• Adição e subtração de frações
• Fração e porcentagem
• Probabilidade
• Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas
EF06MA07
EF06MA08
EF06MA09
EF06MA10
EF06MA15
EF06MA32
QUADROS DE CONTEÚDOS E HABILIDADES DA OBRA
Disponibilizamos este quadro com a divisão dos conteúdos da obra, indicando a unidade, os
principais conteúdos abordados nela e quais as habilidades nela desenvolvidas.
6
o
ano
XXXIV
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36. UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS
HABILIDADES DA BNCC
TRABALHADAS NA UNIDADE
6 – A forma decimal dos
números racionais
• Número racional na forma decimal (transformações e comparação)
• Operações com números racionais na forma decimal (adição,
subtração, multiplicação, divisão e potenciação)
• Cálculo de porcentagens
• Probabilidade
• Tipos de calculadoras
EF06MA01
EF06MA08
EF06MA10
EF06MA11
EF06MA12
EF06MA13
EF06MA24
EF06MA30
7 – Ângulos e polígonos
• O ângulo
• Transferidor
• Construção de retas paralelas e perpendiculares
• Polígonos (definição, identificação e nomenclatura)
• Polígonos regulares
• Triângulos (elementos e classificação)
• Quadriláteros (elementos e classificação)
• Plano cartesiano
• Construção de polígonos no plano cartesiano
• Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de software
EF06MA16
EF06MA18
EF06MA19
EF06MA20
EF06MA21
EF06MA22
EF06MA23
EF06MA25
EF06MA26
EF06MA27
EF06MA32
8 – Comprimento e área
• O metro linear
• Transformação das unidades de medida de comprimento
• Perímetro de um polígono
• O metro quadrado
• Transformação das unidades de medida de superfície
• Medidas agrárias
• Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo
retângulo)
• Gráfico de segmentos
EF06MA24
EF06MA28
EF06MA29
EF06MA32
9 – Massa, volume e
capacidade
• O grama
• Transformação das unidades de massa
• Balança de dois pratos
• O metro cúbico
• Transformação das unidades de volume
• Volume do bloco retangular e do cubo
• O litro
• Transformação das unidades de capacidade
• Pesquisa e fluxograma
EF06MA14
EF06MA24
EF06MA33
EF06MA34
XXXV
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37. 7
o
ano
UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS
HABILIDADES DA BNCC
TRABALHADAS NA UNIDADE
1 – Números naturais
e operações
• M.M.C e M.D.C
• Leitura e interpretação de gráfico de barras/colunas simples
EF07MA01
2 – O conjunto dos
números inteiros
• Módulo de um número inteiro
• Operação com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e raiz quadrada)
• Expressões numéricas
EF07MA03
EF07MA04
3 – Transformações
geométricas e
simetria
• Transformações no plano
• Simetria
• Gráfico de setores
EF07MA19
EF07MA20
EF07MA21
EF07MA37
4 – O conjunto dos
números racionais
• Operações com números racionais na forma de fração (multiplicação,
divisão e potenciação)
• Raiz quadrada exata de números racionais
• Média aritmética
• Média aritmética ponderada
EF07MA05
EF07MA06
EF07MA07
EF07MA08
EF07MA09
EF07MA10
EF07MA11
EF07MA12
EF07MA35
5 – Linguagem
algébrica e equações
• Sequência
• Expressões algébricas
• Igualdade
• Equações (conjunto universo e solução; equivalência)
• Equações do 1
o
grau com uma incógnita
EF07MA13
EF07MA14
EF07MA15
EF07MA16
EF07MA18
6 – Figuras
geométricas planas
• Ângulos
• Retas paralelas cortadas por uma transversal
• Triângulos (construção, condição de existência e soma dos ângulos internos)
• Polígonos regulares (ângulos internos, externos e construção)
• Circunferência
EF07MA22
EF07MA23
EF07MA24
EF07MA25
EF07MA26
EF07MA27
EF07MA28
EF07MA33
7 – Grandezas
proporcionais
• Razão
• Proporção
• Regra de três
EF07MA17
8 – Porcentagem,
probabilidade e
pesquisa estatística
• Porcentagem
• Probabilidade
• Média
• Amplitude
• Pesquisa censitária e amostral
EF07MA02
EF07MA34
EF07MA36
9 – Área e volume
• Equivalência entre áreas
• Volume
EF07MA29
EF07MA30
EF07MA31
EF07MA32
XXXVI
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38. 8
o
ano
UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS
HABILIDADES DA BNCC
TRABALHADAS NA UNIDADE
1 – Números
racionais
• Porcentagem e juro simples
• Dízima periódica
EF08MA04
EF08MA05
2 – Potências, raízes
e números reais
• Potência de um número racional
• Números quadrados perfeitos
• Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo
• Números irracionais
• Números reais
EF08MA01
EF08MA02
3 – Ângulos e
triângulos
• Ângulos
• Altura, mediana e bissetriz de um triângulo
• Congruência de triângulos
• Propriedades nos triângulos
EF08MA15
EF08MA17
4 – Expressões e
cálculo algébrico
• Expressões algébricas
• Valor numérico de uma expressão algébrica
• Monômio (grau, semelhança e operações)
• Polinômios (grau e operações)
EF08MA06
5 – Equações
• Equação do 1
o
grau com uma incógnita
• Equação fracionária com uma incógnita
• Equação do 1
o
grau com duas incógnitas
• Sistema de equações do 1
o
grau com duas incógnitas
• Equação do 2
o
grau
EF08MA07
EF08MA08
EF08MA09
6 – Polígonos e
transformações no
plano
• Diagonais de um polígono convexo
• Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo
• Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo
• Propriedades dos quadriláteros
• Transformações no plano
EF08MA14
EF08MA16
EF08MA18
7 – Contagem,
probabilidade e
estatística
• Contagem
• Probabilidade
• População e amostra
• Média
• Moda
• Mediana
• Amplitude
EF08MA03
EF08MA22
EF08MA23
EF08MA24
EF08MA25
EF08MA26
EF08MA27
8 – Área, volume e
capacidade
• Área do círculo
• Volume do cubo e do bloco retangular
• Volume do cilindro
• Equivalência entre decímetro cúbico e litro
EF08MA19
EF08MA20
EF08MA21
9 – Variação de
grandezas
• Grandezas proporcionais e não-proporcionais
• Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica
• Grandezas diretamente proporcionais
• Grandezas inversamente proporcionais
• Regra de três simples e composta
EF08MA10
EF08MA11
EF08MA12
EF08MA13
XXXVII
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39. 9
o
ano
UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS
HABILIDADES DA BNCC
TRABALHADAS NA UNIDADE
1 – Números reais,
potências e radicais
• A Geometria e a descoberta do número irracional
• Números irracionais
• Os números reais
• Potências
• Notação científica
• Radicais
EF09MA01
EF09MA02
EF09MA03
EF09MA04
EF09MA18
2 – Produtos
notáveis e fatoração
• Os produtos notáveis
• Fatoração de polinômios
EF09MA09
3 – Equações do 2
o

grau
• Equação do 2
o
grau com uma incógnita --
4 – Relações entre
ângulos
• Ângulos determinados por retas transversais
• Circunferência e ângulos
EF09MA10
EF09MA11
5 – Proporção e
semelhança
• Segmentos proporcionais
• Figuras semelhantes
• Triângulos semelhantes
EF09MA07
EF09MA08
EF09MA12
6 – Porcentagem,
probabilidade e
estatística
• Juro simples e juro composto
• Probabilidade
• Análise de gráficos
• Elaboração de pesquisa
EF09MA05
EF09MA20
EF09MA21
EF09MA22
EF09MA23
7 – Relações métricas
no triângulo
retângulo e na
circunferência
• O teorema de Pitágoras
• Relações métricas no triângulo retângulo
• Comprimento de arco de circunferência
• Relações métricas na circunferência
EF09MA13
EF09MA14
8 – Figuras planas,
espaciais e vistas
• Polígono regular
• Representações no plano cartesiano
• Figuras espaciais
EF09MA15
EF09MA16
EF09MA17
EF09MA19
9 – Função
• Função polinomial de 1
o
grau
• Função polinomial de 2
o
grau
EF09MA06
XXXVIII
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40. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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BAZÍLIO, L. C.; KRAMER, S. Infância, educação e direitos humanos. São Paulo:
Cortez, 2011.
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inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobasefinal.pdf>.
Acesso em: 14 ago. 2018.
BEAN, D. O. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista,
São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.
BIGODE, A. J. L.; GIMÉNEZ, J. R. Metodologia para o ensino da aritmética:
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BORBA, M. C.; Scucuglia, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em
Educação Matemática. Belo Horizonte. Editora Autêntica, 2014, p. 16.
BRASIL, L. A. S. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio de
Janeiro: Forense Universitária, 1977.
CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo:
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CARRAHER, T. N. (Org.). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva
para a educação. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 1998.
CARRAHER, T. N. et al. Na vida dez, na escola zero. 16. ed. São Paulo: Cortez, 2011.
CENTURIÓN, M. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações.
2. ed. São Paulo: Scipione, 2002.
COLL, C.; MARTÍN, E. (Org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades.
Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004.
CORSINO, P. As crianças de seis anos e as áreas do conhecimento. In: BRASIL.
Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a
inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007.
CUCCIOLI, E. Superando desa#os ao avaliar a aprendizagem matemática . In: LOPES,
C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática.
Campinas: Mercado das Letras, 2010.
FERRÉS, J. Vídeo e educação. Porto Alegre: Artmed, 1996.
FONSECA, M. da C. F. R. Alfabetização matemática. In: BRASIL. Secretaria de Educação
Básica. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília,
DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/materiais-listagem/item/66-
apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018.
FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53.
ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.
GUIMARÃES, K. P.; BRENELLI, R. P. Abstração reflexiva e construção da noção de
multiplicação. In: BRITO, M. R. F. de (Org.). Psicologia da educação matemática:
teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001.
GUIMARÃES, K. P. et al. Educação matemática e jogos de regras: uma experiência em
estágio supervisionado na formação de professores. In: IX CONGRESSO ESTADUAL
PAULISTA SOBRE FORMAÇÃO DE EDUCADORES, 2007. Projetos e práticas de
formação de professores – relatos. São Paulo: Unesp, 2007. v. 1.
XXXIX
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41. HERNÁNDEZ, F. Cultura visual, mudança educativa e projetos de trabalho.
Porto Alegre: Artes Médicas, 2000.
HOFFMANN, J. Avaliação: mito e desafio: uma perspectiva construtivista. 44. ed.
Porto Alegre: Mediação, 2014.
HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à
universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.
KAMII, C. A criança e o número. Tradução: Regina A. de Assis. Campinas: Papirus,
2007.
KAMII, C; DECLARCK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de
Piaget. Campinas: Papirus, 2000.
LEAL, T. F.; ALBUQUERQUE, E. B. C. de; MORAIS, A. G. de. Avaliação e aprendizagem
na escola: a prática pedagógica como eixo da reflexão. In: BRASIL. Ministério da
Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da
criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007.
LOPES, A. J. Os saberes das crianças como ponto de partida para o trabalho peda-
gógico. In: BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização
na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://
wp.ufpel.edu.br/antoniomauricio/files/2017/11/0_Apresenta%C3%A7ao_pg001-
072.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018.
LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2011.
MACEDO, L. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.
NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática.
Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução
de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educacão Matemática:
concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207.
PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas.
Tradução Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artmed, 2006.
PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A matemática na formação de professores
dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar,
2010.
PERRENOUD, P. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens: entre duas
lógicas. Tradução: Patrícia Chittoni Ramos. Porto Alegre: Artmed, 2007.
PERRENOUD, P. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed,
2000.
PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas elementares. Tradução:
Álvaro Cabral. Brasília: Zahar, 1975.
POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas:
Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática).
RANGEL, A. C. S. Educação matemática e a construção do número pela criança:
uma experiência em diferentes contextos socioeconômicos. Porto Alegre: Artes
Médicas, 1992.
SCHOENFELD, A. Por que toda esta agitação acerca da resolução de problemas?
In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P. (Org.). Investigar para aprender
matemática. Lisboa: Universidade de Lisboa, 1996.
SISTO, F. F. (Org.). Atuação psicopedagógica e aprendizagem escolar. 10. ed.
Campinas: Papirus, 2005.
XL
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42. SISTO, F. F. (Org.). Leituras de Psicologia para formação de professores. 3. ed.
Petrópolis: Vozes; São Paulo: Edusf, 2004.
TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. São
Paulo: FTD, 2010. (Teoria e prática).
VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad. Ciudad de México: Editorial
Trillas, 1991.
VYGOTSKY, L. S. (Org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos
processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna
Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007.
ZUNINO, D. L. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Porto Alegre: Artes
Médicas, 2007.
DOCUMENTOS OFICIAIS
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a
base. Terceira versão final. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum.
mec.gov.br/a-base>. Acesso em: 14 ago. 2018.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino
fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de
idade. 2. ed. Brasília, DF, 2007.
BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações
para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2006.
BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade
Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/
materiais-listagem/item/66-apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF, 1997.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: ética. Brasília, DF:
1997. v. 8.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: meio ambiente e
saúde. Brasília, DF, 1997. v. 9.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: pluralidade cultural
e orientação sexual. Brasília, DF, 1997. v. 10.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Peda-
gógicas. Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 1.
SÃO PAULO (Estado). Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 2.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educacão. Proposta curricular para o ensino de
matemática: 1
o
grau. 4. ed. São Paulo: CENP, 1991.
XLI
D2-MAT-F2-2051-V8-GERAL-MP-G20.indd 41 11/19/18 12:01

43. SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS
PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO
DO PROFESSOR
A Educação Matemática em Revista Temas & Debates
Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM
Universidade Federal de Pernambuco (UFPE)
Departamento de Matemática – sala 108
Av. Prof. Luís Freire, s/n – Cidade Universitária
CEP 50740-540 – Recife – PE
Fone e Fax: (0XX81) 3272-7563
E-mail: [email protected]
Boletim GEPEM
Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática – GEPEM
Instituto de Educação da UFRRJ – sala 30
Rod. BR 465, km 7
CEP 23890-000 – Seropédica – RJ
Fone e fax: (0XX21) 2682-1841
E-mail: [email protected]
Site: <http://livro.pro/t2uk2m>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Cadernos de Prática de Ensino – Série Matemática – USP
Faculdade de Educação – Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Compa-
rada – Projeto USP/BID
Avenida da Universidade, 308 – CEP 05508-900
Cidade Universitária – São Paulo – SP
Fone: (0XX11) 3091-3099 – Fax: (0XX11) 3815-0297
Cadernos do CAEM
Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP
Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090
Cidade Universitária – São Paulo – SP
Fone e fax: (0XX11) 3091-6160
E-mail: [email protected]
Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Cadernos – Série Ideias da Fundação para o Desenvolvimento da Educação –
FDE
Av. São Luís, 99 – CEP 01046-001
República – São Paulo – SP
Fone: (0XX11) 3158-4000
Revista do Professor de Matemática – RPM
Sociedade Brasileira de Matemática
Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 – Jardim Botânico
CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ
Fone: (0XX21) 2529-5073
E-mail: [email protected]
Site: <http://livro.pro/a4amc2>. Acesso em: 14 ago. 2018.
XLII
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44. ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES
DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR
Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP
Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090
Cidade Universitária – São Paulo – SP
Fone e fax: (0XX11) 3091-6160
Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE
Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F
Brasília – DF – CEP 70070-929
Tel.: [phone]
Site: <http://livro.pro/foruai>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Laboratório de Ensino de Matemática – LEM
Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC
Caixa Postal 6065 – CEP 13083-970 – Campinas – SP
Fone: (0XX19) 3521-6017
Fax: (0XX19) 3521-5937
Site: <http://livro.pro/65jbqe>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA
Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática
Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA
Fone: (0XX71) 3263-6265
Site: <http://livro.pro/usuwug>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED
Universidade Estadual de Campinas – Unicamp
Cidade Universitária Zeferino Vaz
Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP
CEP 13083-970 – Tel.: (0XX19) 3788-7136
E-mail: [email protected]
Site: <http://livro.pro/fur7ka>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Projeto Fundão – Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Instituto de Matemática
Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108
Cidade Universitária
Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972
Rio de Janeiro – RJ
Fone e fax: (0XX21) 2562-7511
Site: <http://livro.pro/or6swh>. Acesso em: 14 ago. 2018.
Sociedade Brasileira de Matemática – SBM
Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109
Jardim Botânico
CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ
Fone: (0XX21) 2529-5073
Site: <http://livro.pro/c23hyf>. Acesso em: 14 ago. 2018.
XLIII
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A COR DA CULTURA. Disponível em: <http://livro.pro/jknmqu>.
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA: Ensino de Matemática e Formação para Cidada-
nia: Discussão de uma Possibilidade. Disponível em: <http://livro.pro/nv4p5b>.
EDUMATEC. Disponível em: <http://livro.pro/xt9vnq>.
ESCOLA DO FUTURO. Disponível em: <http://livro.pro/yuee2v>.
FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO
DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: <http://
livro.pro/icx2w8>.
INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática nas séries iniciais. Disponível em: <http://
livro.pro/iiknwe>.
INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: <http://livro.pro/kiubrz>.
LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: <http://
livro.pro/5pwpdo>.
LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: <http://livro.pro/7nrv5t>.
MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível
em: <http://livro.pro/jxi7cc>.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://livro.pro/fezagx>.
NOVA ESCOLA. Disponível em: <http://livro.pro/5rm6us>.
PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: <http://livro.pro/rd5qcz>.
PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação
necessária à cidadania. Disponível em: <http://livro.pro/p4rqd5>.
REDE DO SABER. Disponível em: <http://livro.pro/rtugtx>.
REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: <http://livro.pro/
woiu24>.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA – SBEM. Disponível em:
<http://livro.pro/3muqad>.
XLIV
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46. 4˜ edição – São Paulo – 2018
JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR
Licenciado em Matemática pela Universidade
de São Paulo (USP).
Professor e assessor de Matemática em escolas
de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.
BENEDICTO CASTRUCCI
(Falecido em 2 de janeiro de 1995)
Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela
Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade
Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP).
Foi professor de Matemática em escolas públicas e
particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
Ensino Fundamental – Anos Finais
Componente curricular: Matemática
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47. Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018.
Diretor editorial Antonio Luiz da Silva Rios
Diretora editorial adjunta Silvana Rossi Júlio
Gerente editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Editor João Paulo Bortoluci
Editores assistentes Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Diana Santos,
Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Janaina Bezerra Pereira,
Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva
Assessoria Cristiane Boneto, Francisco Mariani Casadore, Luciana de Oliveira
Gerzoschkowitz Moura, Marcelo Eduardo Pereira
Gerente de produção editorial Mariana Milani
Coordenador de produção editorial Marcelo Henrique Ferreira Fontes
Gerente de arte Ricardo Borges
Coordenadora de arte Daniela Máximo
Projeto gráfico Carolina Ferreira, Juliana Carvalho
Projeto de capa Sergio Cândido
Foto de capa Bob Sacha/Getty Images
Supervisora de arte Isabel Cristina Ferreira Corandin
Editora de arte Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti
Diagramação Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin
Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti
Coordenadora de ilustrações e cartografia Marcia Berne
Ilustrações Alex Argozino, Alex Silva, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida,
Daniel Bogni, Dayane Raven, Dnepwu, Ilustra Cartoon,
Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado,
MW Editora E Ilustrações, Renato Bassani, Wandson Rocha
Cartografia Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz
Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin
Supervisora de preparação e revisão Maria Clara Paes
Revisão Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana,
Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso,
Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr.,
Solange Guerra, Yara Affonso
Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Elaine Bueno
Iconografia Rosa André
Licenciamento de textos Carla Marques, Vanessa Trindade
Supervisora de arquivos de segurança Silvia Regina E. Almeida
Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300
Guarulhos-SP – CEP 07220-020
Tel. [phone] e Fax [phone]
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista da matemática : 8
o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior,
Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD,
2018.
“Componente curricular: Matemática.”
ISBN 978-85-96-01917-0 (aluno)
ISBN 978-85-96-01918-7 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci,
Benedicto. II. Título.
18-20688 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à
EDITORA FTD.
Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP
CEP 01326-010 – Tel. [phone]
Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970
www.ftd.com.br
[email protected]
Em respeito ao meio ambiente, as folhas
deste livro foram produzidas com fibras
obtidas de árvores de florestas plantadas,
com origem certificada.
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Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo
de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente
passaram ou vão passar por sua cabeça.
A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples conta-
gem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela
ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender
o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza
de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e
medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura.
Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das
nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não
têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você.
Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como
resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos
nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer
Matemática é necessário dedicação e estudo.
Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo
com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige.
Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a
Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte
do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do
mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática!
Os autores
apresentação
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48. Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018.
Diretor editorial Antonio Luiz da Silva Rios
Diretora editorial adjunta Silvana Rossi Júlio
Gerente editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Editor João Paulo Bortoluci
Editores assistentes Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Diana Santos,
Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Janaina Bezerra Pereira,
Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva
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Projeto gráfico Carolina Ferreira, Juliana Carvalho
Projeto de capa Sergio Cândido
Foto de capa Bob Sacha/Getty Images
Supervisora de arte Isabel Cristina Ferreira Corandin
Editora de arte Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti
Diagramação Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin
Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti
Coordenadora de ilustrações e cartografia Marcia Berne
Ilustrações Alex Argozino, Alex Silva, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida,
Daniel Bogni, Dayane Raven, Dnepwu, Ilustra Cartoon,
Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado,
MW Editora E Ilustrações, Renato Bassani, Wandson Rocha
Cartografia Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz
Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin
Supervisora de preparação e revisão Maria Clara Paes
Revisão Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana,
Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso,
Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr.,
Solange Guerra, Yara Affonso
Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Elaine Bueno
Iconografia Rosa André
Licenciamento de textos Carla Marques, Vanessa Trindade
Supervisora de arquivos de segurança Silvia Regina E. Almeida
Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
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Guarulhos-SP – CEP 07220-020
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista da matemática : 8
o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior,
Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD,
2018.
“Componente curricular: Matemática.”
ISBN 978-85-96-01917-0 (aluno)
ISBN 978-85-96-01918-7 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci,
Benedicto. II. Título.
18-20688 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427
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de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à
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deste livro foram produzidas com fibras
obtidas de árvores de florestas plantadas,
com origem certificada.
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Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo
de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente
passaram ou vão passar por sua cabeça.
A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples conta-
gem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela
ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender
o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza
de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e
medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura.
Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das
nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não
têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você.
Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como
resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos
nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer
Matemática é necessário dedicação e estudo.
Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo
com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige.
Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a
Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte
do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do
mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática!
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apresentação
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49. Abertura de unidade
As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade.
Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus
conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.
conheça seu livro
Atividades
Os exercícios apresentados
são variados e visam
à pratica do conteúdo
aprendido. Por vezes você
se deparará com exercícios
mais desafiadores, inclusive
o de elaborar seus próprios
exercícios e compartilhá-los
com seus colegas.
A necessidade de determinar as
medidas de superfície, volume e capa-
cidade é algo que faz parte da vida
das pesssoas há muito tempo.
Alguns povos da Antiguidade,
como os babilônios, os chineses, os
egípcios, os hindus e os gregos, cal-
culavam as áreas de algumas figuras
geométricas com muita precisão em
seus cálculos. Por exemplo, no Egito
antigo os agricultores das margens
do Rio Nilo pagavam ao faraó um
imposto pelo uso da terra, que era
proporcional à área cultivada.
Atualmente, costuma-se ficar
atento à capacidade de água dos
reservatórios que abastecem a popu-
lação. Esse monitoramento é feito
por empresas especializadas e nos
ajuda a compreender a situação dos
reservatórios.
SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Nível em 24/02/2015
Nível em 23/02/2015
Nível em 24/02/2014
Área, volume e
capacidade8
Responda no caderno.
• Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compa-
rarmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão
podemos chegar sobre os reservatórios apresentados?
• Você sabe como está a situação atual dos reservató-
rios de água da região onde você mora?
Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil
sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples
no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício.
Todos os reservatórios tiveram queda em
seus níveis em 2015 em comparação a 2014.
SITUAÇÃO DOS
RESERVATÓRIOS
QUE ABASTECEM A
GRANDE SÃO PAULO
1 164**
Cantareira
521
Alto Tietê
171
Guarapiranga
112
Rio Grande
16,5
Alto Cotia
13
Rio Claro
Capacidade total
dos reservatórios
Em bilhões de litros
(Dados de 21/10/2014)
Capacidade máxima
TOTAL
1 998*
* Cálculo feito sobre a capacidade máxima
acrescida do volume morto
** Inclui primeira cota do volume morto,
de 182,5 bilhões de litros
ALEX SILVA
BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM
230
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SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7%
e recupera reserva retirada do 2
o

volume morto. G1. Disponível em:
<http://g1.globo.com/sao-paulo/
noticia/2015/02/cantareira-sobe-
107-e-recupera-reserva-retirada-
do-2-volume-morto.html>.
Acesso em: 10 nov. 2018.
231
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Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades
do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas , por ser um dos fatores que
pioram a qualidade de vida da população, pois diminui o tempo para descanso e lazer e
para se dedicar à saúde e aumenta o estresse.
Uma pesquisa divulgada em 2016, que estudou áreas metropolitanas com mais de 1,6
milhão de habitantes, situou os tráfegos das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo
como o sex to e sétimos piores tráfegos do mundo, respec tivamente.
Es s a co m bina ç ão, tráfe g o inte n s o co m e s tre s s e , re sul t a e m um da d o div ulga d o
pela A s sociação Brasileira de Medicina do Tráfego (Abramet) de que entre 13% e 17%
dos motoris t as brasileiros apre sent am algum dis túrbio compor t ament al no trânsito,
de t al forma que e s se s dis túrbios podem acarret ar brigas , dis cu s sõe s , acidente s e até
mesmo mortes.
Dessa forma, os Depar tamentos Estaduais de Trânsito (Detran) buscam conscientizar
os motoristas para que estes pratiquem a gentileza no trânsito, lembrando sempre que
as ruas são um espaço coletivo.
Informações obtidas em: DETRAN dá dicas de como evitar o estresse no trânsito. Semana On. Disponível em:
<http://www.semanaon.com.br/conteudo/4135/detran-da-dicas-de-como-evitar-o-estresse-no-transito> e ABAD
LIÑÁN, J. M.; ALAMEDA, D.; GALÁN, J. Trânsito piora nas grandes cidades latino-americanas. El País. Disponível
em: <http://brasil.elpais.com/brasil/2016/09/15/tecnologia/1473950908_051813.html>. Acessos em: 22 mar. 2017.
• Debata com seus colegas possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes
cidades.
• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências, e técnicas de
como tratar esse problema no cotidiano.
FÓRUM
Escala
Uma das aplicações da ideia de razão entre duas
grandezas encontra-se na escala de redução e na
escala de ampliação, conhecidas simplesmente
como escala.
Profissionais de diversas áreas usam uma deter-
minada escala de redução, por exemplo, ao construir
a maquete de um prédio, fazer a planta de um imóvel
ou desenhar um novo modelo de carro.
Denomina-se escala de um desenho a razão entre
o comprimento considerado nele e o correspondente
comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para
determinar uma escala.
A escala de ampliação é um dado importante
em análises científicas. Na foto, a bactéria
Brucella abor tus. Aumento aproximado de
14 16 0 v e z e s e c o l o r i d o a r t i f i c i a l .
!escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
DENNIS KUNKEL/PHOTOTAKE/GLOW IMAGES
256
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A escala 1 : 50 000 000 significa que 1 cm no desenho
corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se
a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância
real entre essas cidades é de 1 250 km (2,5 ! 500).
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar.
Rio de Janeiro, 2007. p. 94. SONIA VAZ
Brasil: Político
0 500
50°O
Equador
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
0°
Escala 1:50000000
No mapa, vemos que a escala é de
1 : 50 000 000.
Considere a seguinte situação:
• A distância entre duas cidades é
de 6 cm. Sabendo a escala e a dis-
tância no mapa, qual é a distância
real entre as cidades?
comprimento no desenho: 6 cm
escala: 1 : 50 000 000
⇒
⇒
"
"
escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
1
50000000
6
x
x = 30 0 0 0 0 0 0 0 cm ⇒ x = 3 0 0 0 km
A distância entre os dois pontos é
3 000 km.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um automóvel percorreu uma distância de
455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade
média desse automóvel nesse percurso?
2. Leia as informações:
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150 000 000 km; A luz
do Sol, para atingir a Terra, leva em torno
de 500 segundos.
Responda:
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. A Praça de Tian’anmen, na China, é mun-
dialmente conhecida pelo seu enorme
tamanho. Ela foi representada, em uma
folha de papel, com 5,5 cm de comprimento
65 km/h
300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
por 3,125 cm de largura. Sabendo que a
escala utilizada foi 1 : 16 000, determine
as dimensões reais da praça.
4. (ENEM / 2015) Na construção de um con-
junto habitacional de casas populares,
todas serão feitas num mesmo modelo,
ocupando, cada uma delas, terrenos cujas
dimensões são iguais a 20 m de com-
primento por 8 m de largura. Visando
a comercialização dessas casas, antes
do início das obras, a empresa resolveu
apresentá-las por meio de maquetes
construídas numa escala de 1 : 200. As
medidas do comprimento e da largura
dos terrenos, respectivamente, em centí-
metros, na maquete construída, foram de
a) 4 e 10.
b) 5 e 2.
c) 10 e 4.
d) 20 e 8.
e) 50 e 20.
880 m por 500 m
Alternativa c.
Resoluções a par tir da p. 289
257
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Fórum
Traz questões
para debate,
em que você
e os colegas
poderão praticar
estratégias de
argumentação.
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Juro simples
pense e responda
Agora, responda às questões no caderno.
1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.
2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da T V? Nesse
caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00.
3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto
sai a T V? R$ 1.080,00
Resoluções a par tir da p. 289
WANDSON ROCHA
Esta T V é o último
lançamento. Vale
R$ 1.200,00.
Em 3 vezes sem juro,
divido 600 : 3 5 200.
É isso?
E se eu quiser
pagar 30% de entrada
e o restante em
10 vezes, posso?
Mas, no caso de dividir
o restante em 10 vezes,
há um juro de 5% em
cada parcela.
50% é metade, né?
Metade de
R$ 1.200,00 é
R$ 600,00.
Então, em vez
de R$ 84,00, eu vou pagar
R$ 88,20 por mês.
Como eu
posso pagar?
Falta pagar
R$ 840,00.
Você paga
50% de entrada,
e o restante
em 3 vezes
sem juro.
Fica faltando
a outra metade.
R$ 600,00.
Nesse caso,
30% de R$ 1.200,00
são R$ 360,00.
Isso
mesmo!
23
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Densidade demográfica
O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grande-
zas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade
demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:
!densidadedemográfica
númerodehabitantes
áreaderegiãoocupada
Considere a seguinte situação:
1 O estado de Tocantins, situado na região
Norte e criado em 5 de outubro de 1988,
ocupa uma área de 277 621 km
2
. De
acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha
uma população de 1 383 4 45 habitantes.
Qual era, então, a densidade demográfica
aproximada desse estado nesse ano?
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
PARÁ
MARANHÃO
TOCANTINS
PIAUÍ
BAHIA
GOIÁS
MATO
GROSSO
Palmas
50°O
10°S
0 160
GOIÁS
SONIA VAZ
Tocantins: localização
A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa
realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que
o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade.
O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por
meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam
censos séculos antes de Cristo.
O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a
população brasileira.
SAIBA QUE
De acordo com os dados apresentados, temos:
densidade demográfica !
1 383 445 hab
277 621 km
2
! 4,9 hab/km
2
Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km
2
, aproximadamente.
260
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DO 1
O
GRAU COM DUAS
INCÓGNITAS
5
CAPÍTULO
Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira:
São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.
Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos
por carros até completar 48 rodas e 14 veículos.
Quantidade de veículos de 4 rodas: 10
14 veículos e 48 rodas
Quantidade de veículos de 2 rodas: 4
Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos.
Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado
quando as quantidades forem muito grandes.
FOTOS: HEMERA
4 ! 2 " 8
10 ! 4 " 4 0
Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora
Ática, 2011.
Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1
o
grau. Entre um problema
e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar.
Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli
Neto, Editora FTD, 1999.
O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas,
os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da
disciplina e da perseverança na vida dos atletas.
DESCUBRA MAIS
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Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como
também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação
e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência
de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de
números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas.
Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi
possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números
quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro -
ximada e os números irracionais.
Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de
Sissa, apresentada na aber tura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para
representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos.
Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta
Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.
• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada
para representar números e resultados? Resposta pessoal.
• Quantos bits tem um quiloby te (KB)? 8 000 bits ou 8 x 10
3

bits.
• O que são os números quadrados perfeitos?
• Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada?
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais.
Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado,
tem como resultado o número X.
UM NOVO OLHAR
18. S ab e n d o qu e x
2
_ y
2
= (x + y)(x _ y),
calcule o valor de 999
2
_ 1. Alternativa d.
a) 1 000 000
b) 999 999
c) 998 999
d) 998 000
e) 990 000
19. Por qual número devemos dividir 105 125
para que o quociente tenha uma raiz
quadrada exata? Alternativa b.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 15
e) 21
20. O número p é classificado como:
a) um número natural. Alternativa d.
b) uma dízima periódica.
c) um número racional.
d) uma dízima não periódica.
e) um número inteiro.
21. A o c a l c u l a r
+33
10
10 8
o b te m o s co m o
respos ta: Alternativa b.
a) um número irracional maior que 50.
b) o número natural 81.
c) um número irracional menor que 100.
d) a potenciação 3
7
.
e) um número racional.
Resoluções a par tir da p. 289
63
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Para quem quer mais
Nesta seção você encontra
informações complementares rela-
cionadas ao conteúdo estudado.
Um novo olhar
É o momento de você refletir sobre os
conhecimentos que adquiriu ao longo
da Unidade e analisar sua produção nas
propostas de trabalho, ampliando seu
comprometimento com a aprendizagem.
Densidade de um corpo
Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas gran-
dezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo.
!densidade
massadocorpo
volumedocorpo
Consideremos a seguinte situação:
1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm
3
. Qual é a densidade
dessa escultura?
densidade !
massa do corpo
volume do corpo
!
3,5 kg
400 cm
3
!
350 0 g
400 cm
3
! 8,75 g/cm
3
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm
3
.
Eureka! Eureka!
Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na
ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava
de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar
em Alexandria, templo do saber da época.
Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma
delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria
moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata
oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a
coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes.
Conta- se que, quando estava em um banho público,
Arquimedes obser vara a elevação da água à medida que
mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia
resolver o problema da coroa. Feliz com a descober ta,
Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra
para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”).
Veja como ele fez:
1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa
da coroa, e recolheu a água que transbordou.
2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura,
também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou.
3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o
volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na
1
a
e 2
a
op eraçõ e s . Ficou , ent ão, con s t at ado qu e a coroa não era tot alm ente d e ouro puro!
• Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro
e da prata. d
ouro
! 19,32 g/cm
3
e d
prata
! 10,49 g/cm
3
PARA QUEM QUER MAIS
SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES
Arquimedes saindo da água,
em xilogravura de 1547, de
autoria desconhecida.
259
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Pense e responda
As atividades apresentadas
valorizam a construção e
a experimentação de suas
próprias hipóteses.
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50. Abertura de unidade
As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade.
Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus
conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.
conheça seu livro
Atividades
Os exercícios apresentados
são variados e visam
à pratica do conteúdo
aprendido. Por vezes você
se deparará com exercícios
mais desafiadores, inclusive
o de elaborar seus próprios
exercícios e compartilhá-los
com seus colegas.
A necessidade de determinar as
medidas de superfície, volume e capa-
cidade é algo que faz parte da vida
das pesssoas há muito tempo.
Alguns povos da Antiguidade,
como os babilônios, os chineses, os
egípcios, os hindus e os gregos, cal-
culavam as áreas de algumas figuras
geométricas com muita precisão em
seus cálculos. Por exemplo, no Egito
antigo os agricultores das margens
do Rio Nilo pagavam ao faraó um
imposto pelo uso da terra, que era
proporcional à área cultivada.
Atualmente, costuma-se ficar
atento à capacidade de água dos
reservatórios que abastecem a popu-
lação. Esse monitoramento é feito
por empresas especializadas e nos
ajuda a compreender a situação dos
reservatórios.
SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Nível em 24/02/2015
Nível em 23/02/2015
Nível em 24/02/2014
Área, volume e
capacidade8
Responda no caderno.
• Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compa-
rarmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão
podemos chegar sobre os reservatórios apresentados?
• Você sabe como está a situação atual dos reservató-
rios de água da região onde você mora?
Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil
sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples
no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício.
Todos os reservatórios tiveram queda em
seus níveis em 2015 em comparação a 2014.
SITUAÇÃO DOS
RESERVATÓRIOS
QUE ABASTECEM A
GRANDE SÃO PAULO
1 164**
Cantareira
521
Alto Tietê
171
Guarapiranga
112
Rio Grande
16,5
Alto Cotia
13
Rio Claro
Capacidade total
dos reservatórios
Em bilhões de litros
(Dados de 21/10/2014)
Capacidade máxima
TOTAL
1 998*
* Cálculo feito sobre a capacidade máxima
acrescida do volume morto
** Inclui primeira cota do volume morto,
de 182,5 bilhões de litros
ALEX SILVA
BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM
230
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SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7%
e recupera reserva retirada do 2
o

volume morto. G1. Disponível em:
<http://g1.globo.com/sao-paulo/
noticia/2015/02/cantareira-sobe-
107-e-recupera-reserva-retirada-
do-2-volume-morto.html>.
Acesso em: 10 nov. 2018.
231
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Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades
do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas , por ser um dos fatores que
pioram a qualidade de vida da população, pois diminui o tempo para descanso e lazer e
para se dedicar à saúde e aumenta o estresse.
Uma pesquisa divulgada em 2016, que estudou áreas metropolitanas com mais de 1,6
milhão de habitantes, situou os tráfegos das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo
como o sex to e sétimos piores tráfegos do mundo, respec tivamente.
Es s a co m bina ç ão, tráfe g o inte n s o co m e s tre s s e , re sul t a e m um da d o div ulga d o
pela A s sociação Brasileira de Medicina do Tráfego (Abramet) de que entre 13% e 17%
dos motoris t as brasileiros apre sent am algum dis túrbio compor t ament al no trânsito,
de t al forma que e s se s dis túrbios podem acarret ar brigas , dis cu s sõe s , acidente s e até
mesmo mortes.
Dessa forma, os Depar tamentos Estaduais de Trânsito (Detran) buscam conscientizar
os motoristas para que estes pratiquem a gentileza no trânsito, lembrando sempre que
as ruas são um espaço coletivo.
Informações obtidas em: DETRAN dá dicas de como evitar o estresse no trânsito. Semana On. Disponível em:
<http://www.semanaon.com.br/conteudo/4135/detran-da-dicas-de-como-evitar-o-estresse-no-transito> e ABAD
LIÑÁN, J. M.; ALAMEDA, D.; GALÁN, J. Trânsito piora nas grandes cidades latino-americanas. El País. Disponível
em: <http://brasil.elpais.com/brasil/2016/09/15/tecnologia/1473950908_051813.html>. Acessos em: 22 mar. 2017.
• Debata com seus colegas possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes
cidades.
• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências, e técnicas de
como tratar esse problema no cotidiano.
FÓRUM
Escala
Uma das aplicações da ideia de razão entre duas
grandezas encontra-se na escala de redução e na
escala de ampliação, conhecidas simplesmente
como escala.
Profissionais de diversas áreas usam uma deter-
minada escala de redução, por exemplo, ao construir
a maquete de um prédio, fazer a planta de um imóvel
ou desenhar um novo modelo de carro.
Denomina-se escala de um desenho a razão entre
o comprimento considerado nele e o correspondente
comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para
determinar uma escala.
A escala de ampliação é um dado importante
em análises científicas. Na foto, a bactéria
Brucella abor tus. Aumento aproximado de
14 16 0 v e z e s e c o l o r i d o a r t i f i c i a l .
!escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
DENNIS KUNKEL/PHOTOTAKE/GLOW IMAGES
256
D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 256 11/15/18 20:15
A escala 1 : 50 000 000 significa que 1 cm no desenho
corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se
a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância
real entre essas cidades é de 1 250 km (2,5 ! 500).
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar.
Rio de Janeiro, 2007. p. 94. SONIA VAZ
Brasil: Político
0 500
50°O
Equador
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
0°
Escala 1:50000000
No mapa, vemos que a escala é de
1 : 50 000 000.
Considere a seguinte situação:
• A distância entre duas cidades é
de 6 cm. Sabendo a escala e a dis-
tância no mapa, qual é a distância
real entre as cidades?
comprimento no desenho: 6 cm
escala: 1 : 50 000 000
⇒
⇒
"
"
escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
1
50000000
6
x
x = 30 0 0 0 0 0 0 0 cm ⇒ x = 3 0 0 0 km
A distância entre os dois pontos é
3 000 km.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um automóvel percorreu uma distância de
455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade
média desse automóvel nesse percurso?
2. Leia as informações:
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150 000 000 km; A luz
do Sol, para atingir a Terra, leva em torno
de 500 segundos.
Responda:
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. A Praça de Tian’anmen, na China, é mun-
dialmente conhecida pelo seu enorme
tamanho. Ela foi representada, em uma
folha de papel, com 5,5 cm de comprimento
65 km/h
300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
por 3,125 cm de largura. Sabendo que a
escala utilizada foi 1 : 16 000, determine
as dimensões reais da praça.
4. (ENEM / 2015) Na construção de um con-
junto habitacional de casas populares,
todas serão feitas num mesmo modelo,
ocupando, cada uma delas, terrenos cujas
dimensões são iguais a 20 m de com-
primento por 8 m de largura. Visando
a comercialização dessas casas, antes
do início das obras, a empresa resolveu
apresentá-las por meio de maquetes
construídas numa escala de 1 : 200. As
medidas do comprimento e da largura
dos terrenos, respectivamente, em centí-
metros, na maquete construída, foram de
a) 4 e 10.
b) 5 e 2.
c) 10 e 4.
d) 20 e 8.
e) 50 e 20.
880 m por 500 m
Alternativa c.
Resoluções a par tir da p. 289
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Fórum
Traz questões
para debate,
em que você
e os colegas
poderão praticar
estratégias de
argumentação.
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 4 11/17/18 15:41
Juro simples
pense e responda
Agora, responda às questões no caderno.
1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.
2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da T V? Nesse
caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00.
3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto
sai a T V? R$ 1.080,00
Resoluções a par tir da p. 289
WANDSON ROCHA
Esta T V é o último
lançamento. Vale
R$ 1.200,00.
Em 3 vezes sem juro,
divido 600 : 3 5 200.
É isso?
E se eu quiser
pagar 30% de entrada
e o restante em
10 vezes, posso?
Mas, no caso de dividir
o restante em 10 vezes,
há um juro de 5% em
cada parcela.
50% é metade, né?
Metade de
R$ 1.200,00 é
R$ 600,00.
Então, em vez
de R$ 84,00, eu vou pagar
R$ 88,20 por mês.
Como eu
posso pagar?
Falta pagar
R$ 840,00.
Você paga
50% de entrada,
e o restante
em 3 vezes
sem juro.
Fica faltando
a outra metade.
R$ 600,00.
Nesse caso,
30% de R$ 1.200,00
são R$ 360,00.
Isso
mesmo!
23
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Densidade demográfica
O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grande-
zas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade
demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:
!densidadedemográfica
númerodehabitantes
áreaderegiãoocupada
Considere a seguinte situação:
1 O estado de Tocantins, situado na região
Norte e criado em 5 de outubro de 1988,
ocupa uma área de 277 621 km
2
. De
acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha
uma população de 1 383 4 45 habitantes.
Qual era, então, a densidade demográfica
aproximada desse estado nesse ano?
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
PARÁ
MARANHÃO
TOCANTINS
PIAUÍ
BAHIA
GOIÁS
MATO
GROSSO
Palmas
50°O
10°S
0 160
GOIÁS
SONIA VAZ
Tocantins: localização
A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa
realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que
o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade.
O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por
meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam
censos séculos antes de Cristo.
O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a
população brasileira.
SAIBA QUE
De acordo com os dados apresentados, temos:
densidade demográfica !
1 383 445 hab
277 621 km
2
! 4,9 hab/km
2
Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km
2
, aproximadamente.
260
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DO 1
O
GRAU COM DUAS
INCÓGNITAS
5
CAPÍTULO
Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira:
São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.
Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos
por carros até completar 48 rodas e 14 veículos.
Quantidade de veículos de 4 rodas: 10
14 veículos e 48 rodas
Quantidade de veículos de 2 rodas: 4
Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos.
Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado
quando as quantidades forem muito grandes.
FOTOS: HEMERA
4 ! 2 " 8
10 ! 4 " 4 0
Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora
Ática, 2011.
Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1
o
grau. Entre um problema
e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar.
Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli
Neto, Editora FTD, 1999.
O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas,
os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da
disciplina e da perseverança na vida dos atletas.
DESCUBRA MAIS
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D2-MAT-F2-2051-V8-U05-134-165-LA-G20.indd 151 11/14/18 16:21
Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como
também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação
e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência
de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de
números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas.
Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi
possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números
quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro -
ximada e os números irracionais.
Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de
Sissa, apresentada na aber tura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para
representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos.
Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta
Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.
• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada
para representar números e resultados? Resposta pessoal.
• Quantos bits tem um quiloby te (KB)? 8 000 bits ou 8 x 10
3

bits.
• O que são os números quadrados perfeitos?
• Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada?
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais.
Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado,
tem como resultado o número X.
UM NOVO OLHAR
18. S ab e n d o qu e x
2
_ y
2
= (x + y)(x _ y),
calcule o valor de 999
2
_ 1. Alternativa d.
a) 1 000 000
b) 999 999
c) 998 999
d) 998 000
e) 990 000
19. Por qual número devemos dividir 105 125
para que o quociente tenha uma raiz
quadrada exata? Alternativa b.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 15
e) 21
20. O número p é classificado como:
a) um número natural. Alternativa d.
b) uma dízima periódica.
c) um número racional.
d) uma dízima não periódica.
e) um número inteiro.
21. A o c a l c u l a r
+33
10
10 8
o b te m o s co m o
respos ta: Alternativa b.
a) um número irracional maior que 50.
b) o número natural 81.
c) um número irracional menor que 100.
d) a potenciação 3
7
.
e) um número racional.
Resoluções a par tir da p. 289
63
D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 63 11/15/18 12:45
Para quem quer mais
Nesta seção você encontra
informações complementares rela-
cionadas ao conteúdo estudado.
Um novo olhar
É o momento de você refletir sobre os
conhecimentos que adquiriu ao longo
da Unidade e analisar sua produção nas
propostas de trabalho, ampliando seu
comprometimento com a aprendizagem.
Densidade de um corpo
Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas gran-
dezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo.
!densidade
massadocorpo
volumedocorpo
Consideremos a seguinte situação:
1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm
3
. Qual é a densidade
dessa escultura?
densidade !
massa do corpo
volume do corpo
!
3,5 kg
400 cm
3
!
3500 g
400 cm
3
! 8,75 g/cm
3
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm
3
.
Eureka! Eureka!
Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na
ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava
de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar
em Alexandria, templo do saber da época.
Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma
delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria
moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata
oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a
coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes.
Conta- se que, quando estava em um banho público,
Arquimedes obser vara a elevação da água à medida que
mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia
resolver o problema da coroa. Feliz com a descober ta,
Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra
para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”).
Veja como ele fez:
1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa
da coroa, e recolheu a água que transbordou.
2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura,
também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou.
3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o
volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na
1
a
e 2
a
op eraçõ e s . Ficou , ent ão, con s t at ado qu e a coroa não era tot alm ente d e ouro puro!
• Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro
e da prata. d
ouro
! 19,32 g/cm
3
e d
prata
! 10,49 g/cm
3
PARA QUEM QUER MAIS
SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES
Arquimedes saindo da água,
em xilogravura de 1547, de
autoria desconhecida.
259
D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 259 11/15/18 20:15
Pense e responda
As atividades apresentadas
valorizam a construção e
a experimentação de suas
próprias hipóteses.
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 5 11/17/18 15:41 5
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 5 11/19/18 12:01

51. Por toda parte
Esta seção apresenta diversas
situações que possibilitam ainda
mais a conexão da Matemática com
diversas áreas do conhecimento.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
EDITORIA DE ARTE
População de cada região brasileira
(Censo 2010)
Centro-Oeste
Nordeste
Sudeste
Sul
Norte
42,1%
27,8%
14,4%
7,4%
8,3%
Observe o gráfico de setores representado:
Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação
à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE.
Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de
190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa
e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe.
Região Sudeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
42,1% x
! ⇒x
42,1190755799
100
x80308191!
"
Região Nordeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
27,8% x
! ⇒x
27,8190755799
100
x53030112!
"
Informações obtidas
em: IBGE. Sinopse do
Censo Demográfico
2010. Disponível em:
<www.censo2010.ibge.
gov.br/sinopse/index.
php?dados=5&uf=00>.
Acesso em: 19 out. 2018.
Interpretando um gráfico de setores
Responda às questões no caderno.
1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre-
senta? Região Sudeste. 42,1%.
2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem?
3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê?
Região Centro-Oeste. 7,4%.
Resoluções a par tir da p. 289
Não, porque não temos a informação da população total.
188
D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 188 11/16/18 7:38 PM
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
O que são os bancos?
Banco Central do Brasil
Editada em dez. 2002
Existe um g r upo de pessoas que tem dinheiro e quer g uardá-lo. Há outro g r upo que
precisa de dinheiro para invest i-lo ou usá-lo em negócios, como constr uir prédios, abr ir
comércio e instalar novas fábr icas.
Se esses g r upos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo
que se conhecessem, poder ia não haver conf iança ent re as pessoas, a ponto de umas
pedirem dinheiro emprestado às outras.
Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma for ma seg ura de g uar-
dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos.
E, às pessoas que precisam de d inheiro para invest imentos, os bancos fazem-lhes
emprést imos e recebem juros pelo ser v iço.
Dessa maneira, os bancos mov imentam o dinheiro. Usam as economias de uns para
emprestar a outros.
[...]
A lém do mais, acontece algo que pode parecer cur ioso: os bancos fazem com que o
dinheiro se mult iplique.
Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum
tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo
aqu i lo que recebem, par a atender aos cl ientes que sol ic it arem a lg u ma qua nt ia. A out r a par te,
bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das
pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em
uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros.
Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquir ir bens, como um carro ou uma casa,
sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso
de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por conf iarem neles, garantem o negócio. [...]
Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos?
Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.
1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos?
2. U m a p e s s o a f ez u m a a p li c a ç ã o d e
R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês.
Quanto receberá de juro em 1 ano?
3. As aplicações financeiras nos auxiliam
a capitalizar nosso dinheiro. Discuta
com seus colegas as situações a seguir
indicando se a aplicação financeira pode
ou não contribuir para:
a) Ter um dinheiro ex tra para aproveitar
mais a vida.
b) Comprar uma máquina que vai aumentar
a produtividade de um negócio.
c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren-
dimento seja maior que o juro pago.
d) Completar o orçamento doméstico.
e) Comprar um objeto cujo valor não está
disponível.
R$ 360,00
Respostas pessoais.
Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e
entenda melhor como os bancos funcionam.
1. O s b a n c o s o f e r e c e m , p a r a q u e m t e m d i n h e i r o e q u e r g u a r d á - l o , u m a f o r m a s e g u r a d e f a z ê - l o . J á p a r a a s p e s s o a s q u e p r e c i s a m
de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço.
Resoluções a par tir da p. 289
28
D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 28 11/14/18 5:39 PM
A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto:
1 Qual a área do terreno que não está com gramado?
2 Qual a área da região onde será colocada areia?
3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado?
Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial,
antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado.
Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio:
=
+?
=
+?
=A
(Bb)h
2
(128)5
2
50
i
Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o
espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo.
=
?
=
?
=A
bh
2
25
2
5
t e =?= ?=Ab h105 50
p
Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m
2
, a área da
região destinada ao tanque de areia é de 5 m
2
e a área da região destinada ao parquinho com piso
emborrachado é de 50 m
2
.
A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se
uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia
do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura.
pense e responda
Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada
à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região
triangular de 2 m de base e 5 m de altura.Resposta pessoal.
Resoluções a par tir da p. 289
Cultivar em locais pequenos
Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas
podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos.
Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira
de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para
download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para
cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las.
• Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira?
NÓS
Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência.
12 m
8 m
8 m2 m 2 m
5 m5 m
10 m
10 m2 m
5 m 5 m
EDITORIA DE ARTE
Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico.
233
D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 233 11/14/18 8:47 PM
Tratamento
da informação
Esta seção trabalha de forma
organizada com propostas
de tratamento e organização
de dados, probabilidade e
Estatística.
População de cada região brasileira (Censo 2010)
35%
15%
20%
30%
Basquete
Futebol
Tênis
Vôlei
Preferência esportiva dos alunos da escola X
A ssim, podemos dizer que a
região Sudeste tem aproximada-
mente 80 308 191 habitantes.
Da mesma maneira, conse -
guimos encontrar a p opulaç ão
aproximada de cada região bra-
sileira, a par tir da porcentagem
apresentada no gráfico de setores.
Esta tabela foi elaborada com os
dados encontrados.
Região Sul:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
14,4% x
! ⇒x
14,4190755799
100
x27468835!
"
Região Norte:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
8,3% x
! ⇒x
8,3190755799
100
x15832732!
"
Região Centro- Oeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
7,4% x
! ⇒x
7,4190755799
100
x14115929!
"
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Responda às questões no caderno.
4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência espor tiva
dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos,
construa uma tabela relacionando o espor te com a quantidade de alunos que preferiu
cada um deles.
a) Qual o espor te favorito
dos alunos da escola X?
b) Quantos alunos respon-
deram que preferem o
basquete? 10 8
c) V o c ê a c h a m e l h o r
analisar os dados repre-
sentados em um gráfico
de setores ou em uma
tabela?
Resposta pessoal.
Futebol.
Espor tePercentual (%)
Número de
alunos
Basquete30% 10 8
Futebol 35% 12 6
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
To t a l10 0 % 360
Fonte: Alunos da escola X.
EDITORIA DE ARTE
Preferência espor tiva dos alunos
da escola X
1. Resposta:
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Região
Porcentagem
(%)
Número de
habitantes
Norte 8,3 15 832 732
Nordeste 27,8 53 030 112
Centro-Oeste 7,4 14 115 929
Sudeste 42,1 80 308 191
Sul 14,4 27 468 835
Total 100 190 755 799
Fonte: Alunos da escola x.
189
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Educação
financeira
Com o objetivo de desenvolver
reflexões sobre atitudes
como hábitos conscientes de
consumo, a seção trata tópicos
como controle de gastos,
economia etc.
Áreas pelo Brasil
Responda às questões no caderno.
1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões:
2 m
1,4 m
a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen-
tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira.
b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros
quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira?
2. Uma maneira muito prática de calcu-
lar áreas aproximadas de regiões com
formas complexas é dividir essas regiões
por polígonos simples, como triângulos,
retângulos e até trapézios. Esse processo
é muito utilizado ainda nos dias de hoje.
Usando esse método, vamos calcular a
área de alguns estados brasileiros, con-
forme o esquema apresentado do mapa
do Brasil, que traz os estados aproxima-
dos por polígonos.
a) A região ocupada pelo estado de São
Paulo foi aproximada por dois trapézios
isósceles congruentes. Obser ve a figura,
com as medidas em quilômetros, e calcule
a área aproximada desse estado.
400
20 0
20 0
800
480
b) A p r o x i m a n d o a r e g i ã o o c u p a d a p e l o e s -
tado de Sergipe por um triângulo retângulo
isósceles, calcule essa área aproximada.
1,9202 m²
0,4948 m²
240000 km²
20 000 km²
POR TODA PARTE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
RR
AM
RO
AC
PA
AP
PI
CE
MA
TO
GO
BA
MG
ES
RJ
RN
PB
PE
SE
AL
SP
PR
SC
RS
MS
MT
DF
200 km
200 km
Resoluções a par tir da p. 289
237
D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 237 11/14/18 8:51 PM
Nós
Propicia a reflexão
sobre valores, que
será feita sempre
em duplas, trios
ou grupos.
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 6 11/17/18 15:41
Retomando
o que aprendeu
Esta seção visa sistematizar os
temas trabalhados por meio de
atividades de todos os conteúdos
estudados na Unidade.
Atualidades
em foco
Nesta seção você encontrará
o trabalho com temas atuais
e de importância social.
Será um momento de refletir
sobre esses assuntos e de
perceber como a Matemática
ajuda a entender o mundo
em que vivemos.
Tecnologias
Nesta seção você verá
como utilizar ferramentas
tecnológicas na resolução
de problemas ou questões
matemáticas.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (Saresp -SP) Amélia deseja ladrilhar sua
cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m
com ladrilhos quadrados de 30 cm de
la d o. Q ual é o núm e ro d e la drilho s
necessários?
a) 49
b) 51
c) 161
d) 483
2. (Saresp -SP) Na figura
h á d o i s q u a d r a d o s .
A área d o qua dra d o
maior é 25 m² e BG
mede 2 m.
A área da re gião
pint a da d e azul é:
a) 16 m²
b) 21 m²
c) 9 m²
d) 18 m²
3. ( Vunesp -SP) O menor país do mundo
em ex tensão é o es tado do Vaticano,
com uma área de 0,4 km². Se o territó-
rio do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados
estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
4. A, B, C e D s ã o o s v é r t i c e s
de uma região retangu-
lar, conforme mostra a
figura. Considere que
a s m e di d a s in di c a d a s
são dadas em quilômetros.
S e a d e n s i d a d e d e m o g rá f i c a d e s s a
região é de 72 habitantes por km², qual
é a população dessa região?
a) 17 100 habitantes.
b) 17 200 habitantes.
c) 17 280 habitantes.
d) 17 300 habitantes.
e) 17 380 habitantes.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
5. A divisão do número 0,5 por x te m
o me smo re sult ado que a adiç ão do
número 0,5 a x. Se x é um número real
positivo e considerando p = 3,14, qual é
a área do círculo cujo raio mede x cm?
a) 0,685 cm²
b) 0,785 cm²
c) 0,885 cm²
d) 0,875 cm²
e) 0,578 cm²
6. Observe esta figura:
2
2
2
2
2
2
A área dessa figura, em centímetro qua-
drado, é: (Use p = 3,14)
a) 11
b) 11,04
c) 11,14
d) 11,24
e) 12,14
7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm.
Sabendo que BC é o diâmetro do círculo,
qual é a área da região colorida de roxo?
A
O
BC
a) 63 cm²
b) 63,25 cm²
c) 63,50 cm²
d) 63,75 cm²
e) 64,25 cm²
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa b.
AG
B
E
DC
F
20DC
BA
12
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a par tir da p. 289
246
D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 246 11/14/18 9:00 PM
Respostas
No final do livro estão
todas as respostas das
atividades propostas.
278
respostasrespostas
UNIDADE 1
Números racionais
Atividades p. 18
1.
_2 _1
_
0 7
5
3
4
1 2
1, 6
2. a) .
b) ,
c) ,
d) ,
e) =
f) .
3. a)
29
8
b)
141
20
c) _
79
33
d) 66,65
e)
457
4
f) 1 479,87
g) 1
h) 45,01
4. a) 16,74
b) _
120
49
c) 10,875
d) 10
e) 3,22
f)
209
7
g) _44,2
h) 7,878
5. a) _12,6
b) 12
c) Aproximadamente 68,14.
d) _
5
26
e) 66,84
f) 32,1
g) 60,3
6. Alternativa b.
7. Alternativa a.
Atividades p. 21
1. 8%
2. 60%
3. 76%
4. 12,5%
5. a) 42%
b) 40%
c) 12%
d) 6%
6. Aproximadamente 16,6%.
7. a) 450 kg
b) 88%
8. 55%
Por toda parte p. 22
1. 8 500 000 km²
2. A área aproximada é de 16 250 000 km².
3. Pesquisa do aluno.
4. 6 630,12 km²
Pense e Responda p. 23
1. Resposta pessoal.
2. R$ 480,00; R$ 720,00
3. R$ 1 080,00
Atividades p. 25
1. a) 207 reais.
b) 96,04 reais.
2. 2,5%
3. 760 reais.
4. Alternativa a.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. 4%
8. Alternativa c.
9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
Tratamento da informação p. 26
1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de
múltiplas colunas.
b) Região Norte: 45,30%; Região Norte:
68,50%; Região Norte: 6,98%.
c) Região Nordeste: 3,30%.
d) Região Sudeste: 42,65%.
e) Não. Resposta pessoal.
f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Não.
2. a) Resposta pessoal.
b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%.
3.
Cé r e b r o
Fíg a d o
Pulmões Músculos
Co raç ã o
Rins
Sa
ngue
Percentual
Órgão
10 %
0%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%75% 75%75%
86%86%
83%
81%
90%
10 0 %
Percentual de água nos órgãos do corpo humano
Fo n t e : N Ú C L E O D E T E C N O L O G I A E D U C A C I O N A L M U N I C I PA L .
Curiosidades sobre a água. D i s p o n í v e l e m : < h t t p s : / / e a d . p t i .
org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>.
Educação Financeira p. 28
1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e
quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já
para as pessoas que precisam de dinheiro para
investimentos, os bancos fazem empréstimos,
recebendo uma compensação na forma de juro
pelo serviço.
2. R$ 360,00
3. Resposta pessoal.
Pense e responda p. 30
1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13;
3; 13.
3. A quantidade de algarismos do período de
cada uma das dízimas é igual à quantidade
de algarismos do denominador da respectiva
fração; os denominadores são formados
somente pelo algarismo 9.
Atividades p. 30
1. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 1,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
k) 4,27
l) 1,104
2. a) 0,5
b) 2,333...
c) 1,8
d) 1,85
e) 3,1818...
f) 1,2222...
g) 1,375
h) 1,32
i) 0,15
j) 0,1444...
k) 8,25
l) 4,1666...
3. a) DE
b) DP
c) DE
d) DE
e) DP
f) DP
g) DE
h) DE
i) DE
j) DP
k) DE
l) DP
4. a) Período: 2
b) Período: 7
c) Período: 01
d) Período: 3
e) Período: 56
f) Período: 034
Atividades p. 32
1. a) _
22
9
b)
1
9
c)
161
9
d) _
629
99
e)
29
99
f)
700
333
2. Alternativa d. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 278 11/17/18 13:29
Tecnologias
Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos
Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção
de gráficos.
Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc
do LibreOffice.
Observe a tabela seguinte.
Número de irmãos dos alunos
do Ensino Médio
Número de
irmãos
Frequência
absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o
título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula
B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela.
Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas.
• Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e
clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico.
• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna”
e clicar em Próximo.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
226
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 226 11/15/18 4:59 PM
ATUALIDADES EM FOCO
Dois jovens brasileiros ganharam a
Olimpíada Inter nacional de Tecnolog ia
e Inovação, conquistando pela pr imeira
vez o t ítulo para o país. Eles também
levaram para casa o prêm io de cinco
mil francos suíços, visto que a com-
pet ição aconteceu no Id iap Research
Inst itute, em Mar t ig ny, na Suíça.
O s c o n s a g r ad o s f o r a m Fá b i e n
G io v a n n i de Ol i v e i r a , de 2 2 a no s ,
estudante do 4
o
ano de Engenhar ia de
Controle e Automação da Universidade
Federal de Itajubá ( U N IFEI), e Renato
Rodr ig ues, de 27 anos, mest rando em
Est ratég ia e Inovação em Engenhar ia
de P rodução na Un iver sidade Federal
de São Carlos (UFSCar). 
E le s de s e nv olv e r a m o “ M i lê n io
Bus”, projeto que integ ra a Inter net das
Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o
t r a n sp or te públ ico p or me io de u m
hardware e um aplicat ivo de celular. “O
objet ivo é t rabalhar com pagamentos
d ig itais, i nfor mações ao passageiro e
geração de dados com Big Data”, e x p l i c a
Oliveira em entrev ista à GA LILEU. 
Para ganhar a olimpíada, foi neces-
sár io muito mais do que apenas uma
boa proposta. A competição durou três
semanas, e nesse per íodo os jovens
assist iram aulas de negócios, e ve nt ure
capital, por exemplo, com professores e
especialistas. Eles tiveram que usar esse
tempo para apr imorar o projeto para
que ele pudesse se tor nar u ma star tup
com potencial de aplicação no mercado.
Ao todo, 40 pessoas par t icipa-
ram da disputa, sendo que elas foram
divididas em sete equipes. No dia de
encer ramento da olimpíada, os g r upos
tiveram que se apresentar por quatro
horas para uma banca de avaliadores
e invest idores. “Se eu pudesse mensu-
rar o dia mais dif ícil, eu dir ia que é o
ú lt i mo”, af i r ma Ol ivei r a. “Porque a l i
você coloca em jogo toda ded icação e
esforço de três semanas.”
Para Rod r ig ues, a adapt ação ao
id ioma e ao f u so hor á r io t a mb ém
foram compl icados. “A gente g ravava os
feedbacks dos jurados no celular e escutava
várias vezes no quarto até entender o que
eles estavam falando”, revela Rodrigues. 
Ap esa r d i sso, ele se or g u l ha do
pr ê m io, pr i nc ip a l me nt e p orque d i z
ter trabalhado com poucos recursos e
condições adversas. “O brasileiro é um
povo bem cr iat ivo, temos que valor izar
nossa resiliência”, opina.
Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio
inédito na Olimpíada Internacional de
Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https://
revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/
brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada-
internacional-de-tecnologia.html>.
Acesso em: 4 set. 2018.
Ciência e tecnologia
Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.
• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça
uma pesquisa sobre o significado dessas expressões.Resposta pessoal.
Brasileiros ganham prêmio inédito na
Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação
94
D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 94 11/14/18 20:38
• N o passo 2, Inter valo de dados, vamos selecionar
“Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.
• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.
• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos.
Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.
• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.
Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela-
tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de
gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o
botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.
1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de
gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
227
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 227 11/15/18 4:59 PM
Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados
com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a
melhorar sua região, o nosso país e até o mundo.
Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos
existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo
melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público.
Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a
capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase
impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume
de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade.
• Os componentes do seu grupo já ouviram falar em  kilo, mega, giga ou tera? Sabem
o que essas palavras significam?
Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza
padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI)
e, normalmente, são operados com a base decimal (10
X
).
No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a
unidade padrão utilizada é o by te.
Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais:
Resposta pessoal.
Unidade Símbolo
Valor
equivalente
Ordem de
grandeza
Byte B − 1 x 10
0
byte
Kilobyte KB 1024 B 1 x 10
3
byte
Megabyte MB 1024 KB 1 x 10
6
byte
Gigaby te GB 1024 MB 1 x 10
9
byte
Te r a b y t eTB 1024 GB 1 x 10
12
byte
Petaby te PB 1024 TB 1 x 10
15
byte
Exabyte EB 1024 PB 1 x 10
18
byte
Zettaby te ZB 1024 EB 1 x 10
21
byte
Yo t t a b y t eYB 1024 ZB 1 x 10
24
byte
• Fa ç am uma p e s quis a s ob re a his tória da informátic a e d o armaze nam e nto digit al, p ro -
curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de
grandeza mudou?
• Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida
que usam os prefixos mos trados anteriormente. Dica: lembrem - se das unidades já
estudadas por vocês.
• Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa
pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será
gratuito ou pago, suas funcionalidades etc.
Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
95
D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 95 11/14/18 6:22 PM
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 7 11/17/18 15:416
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 6 11/19/18 12:01

52. Por toda parte
Esta seção apresenta diversas
situações que possibilitam ainda
mais a conexão da Matemática com
diversas áreas do conhecimento.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
EDITORIA DE ARTE
População de cada região brasileira
(Censo 2010)
Centro-Oeste
Nordeste
Sudeste
Sul
Norte
42,1%
27,8%
14,4%
7,4%
8,3%
Observe o gráfico de setores representado:
Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação
à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE.
Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de
190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa
e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe.
Região Sudeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
42,1% x
! ⇒x
42,1190755799
100
x80308191!
"
Região Nordeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
27,8% x
! ⇒x
27,8190755799
100
x53030112!
"
Informações obtidas
em: IBGE. Sinopse do
Censo Demográfico
2010. Disponível em:
<www.censo2010.ibge.
gov.br/sinopse/index.
php?dados=5&uf=00>.
Acesso em: 19 out. 2018.
Interpretando um gráfico de setores
Responda às questões no caderno.
1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre-
senta? Região Sudeste. 42,1%.
2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem?
3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê?
Região Centro-Oeste. 7,4%.
Resoluções a par tir da p. 289
Não, porque não temos a informação da população total.
188
D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 188 11/16/18 7:38 PM
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
O que são os bancos?
Banco Central do Brasil
Editada em dez. 2002
Existe um g r upo de pessoas que tem dinheiro e quer g uardá-lo. Há outro g r upo que
precisa de dinheiro para invest i-lo ou usá-lo em negócios, como constr uir prédios, abr ir
comércio e instalar novas fábr icas.
Se esses g r upos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo
que se conhecessem, poder ia não haver conf iança ent re as pessoas, a ponto de umas
pedirem dinheiro emprestado às outras.
Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma for ma seg ura de g uar-
dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos.
E, às pessoas que precisam de d inheiro para invest imentos, os bancos fazem-lhes
emprést imos e recebem juros pelo ser v iço.
Dessa maneira, os bancos mov imentam o dinheiro. Usam as economias de uns para
emprestar a outros.
[...]
A lém do mais, acontece algo que pode parecer cur ioso: os bancos fazem com que o
dinheiro se mult iplique.
Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum
tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo
aqu i lo que recebem, par a atender aos cl ientes que sol ic it arem a lg u ma qua nt ia. A out r a par te,
bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das
pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em
uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros.
Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquir ir bens, como um carro ou uma casa,
sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso
de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por conf iarem neles, garantem o negócio. [...]
Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos?
Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.
1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos?
2. U m a p e s s o a f ez u m a a p li c a ç ã o d e
R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês.
Quanto receberá de juro em 1 ano?
3. As aplicações financeiras nos auxiliam
a capitalizar nosso dinheiro. Discuta
com seus colegas as situações a seguir
indicando se a aplicação financeira pode
ou não contribuir para:
a) Ter um dinheiro ex tra para aproveitar
mais a vida.
b) Comprar uma máquina que vai aumentar
a produtividade de um negócio.
c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren-
dimento seja maior que o juro pago.
d) Completar o orçamento doméstico.
e) Comprar um objeto cujo valor não está
disponível.
R$ 360,00
Respostas pessoais.
Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e
entenda melhor como os bancos funcionam.
1. O s b a n c o s o f e r e c e m , p a r a q u e m t e m d i n h e i r o e q u e r g u a r d á - l o , u m a f o r m a s e g u r a d e f a z ê - l o . J á p a r a a s p e s s o a s q u e p r e c i s a m
de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço.
Resoluções a par tir da p. 289
28
D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 28 11/14/18 5:39 PM
A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto:
1 Qual a área do terreno que não está com gramado?
2 Qual a área da região onde será colocada areia?
3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado?
Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial,
antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado.
Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio:
=
+?
=
+?
=A
(Bb)h
2
(128)5
2
50
i
Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o
espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo.
=
?
=
?
=A
bh
2
25
2
5
t e =?= ?=Ab h105 50
p
Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m
2
, a área da
região destinada ao tanque de areia é de 5 m
2
e a área da região destinada ao parquinho com piso
emborrachado é de 50 m
2
.
A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se
uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia
do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura.
pense e responda
Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada
à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região
triangular de 2 m de base e 5 m de altura.Resposta pessoal.
Resoluções a par tir da p. 289
Cultivar em locais pequenos
Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas
podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos.
Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira
de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para
download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para
cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las.
• Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira?
NÓS
Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência.
12 m
8 m
8 m2 m 2 m
5 m5 m
10 m
10 m2 m
5 m 5 m
EDITORIA DE ARTE
Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico.
233
D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 233 11/14/18 8:47 PM
Tratamento
da informação
Esta seção trabalha de forma
organizada com propostas
de tratamento e organização
de dados, probabilidade e
Estatística.
População de cada região brasileira (Censo 2010)
35%
15%
20%
30%
Basquete
Futebol
Tênis
Vôlei
Preferência esportiva dos alunos da escola X
A ssim, podemos dizer que a
região Sudeste tem aproximada-
mente 80 308 191 habitantes.
Da mesma maneira, conse -
guimos encontrar a p opulaç ão
aproximada de cada região bra-
sileira, a par tir da porcentagem
apresentada no gráfico de setores.
Esta tabela foi elaborada com os
dados encontrados.
Região Sul:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
14,4% x
! ⇒x
14,4190755799
100
x27468835!
"
Região Norte:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
8,3% x
! ⇒x
8,3190755799
100
x15832732!
"
Região Centro- Oeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
7,4% x
! ⇒x
7,4190755799
100
x14115929!
"
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Responda às questões no caderno.
4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência espor tiva
dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos,
construa uma tabela relacionando o espor te com a quantidade de alunos que preferiu
cada um deles.
a) Qual o espor te favorito
dos alunos da escola X?
b) Quantos alunos respon-
deram que preferem o
basquete? 10 8
c) V o c ê a c h a m e l h o r
analisar os dados repre-
sentados em um gráfico
de setores ou em uma
tabela?
Resposta pessoal.
Futebol.
Espor tePercentual (%)
Número de
alunos
Basquete30% 10 8
Futebol 35% 12 6
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
To t a l10 0 % 360
Fonte: Alunos da escola X.
EDITORIA DE ARTE
Preferência espor tiva dos alunos
da escola X
1. Resposta:
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Região
Porcentagem
(%)
Número de
habitantes
Norte 8,3 15 832 732
Nordeste 27,8 53 030 112
Centro-Oeste 7,4 14 115 929
Sudeste 42,1 80 308 191
Sul 14,4 27 468 835
Total 100 190 755 799
Fonte: Alunos da escola x.
189
D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 189 11/16/18 20:54
Educação
financeira
Com o objetivo de desenvolver
reflexões sobre atitudes
como hábitos conscientes de
consumo, a seção trata tópicos
como controle de gastos,
economia etc.
Áreas pelo Brasil
Responda às questões no caderno.
1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões:
2 m
1,4 m
a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen-
tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira.
b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros
quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira?
2. Uma maneira muito prática de calcu-
lar áreas aproximadas de regiões com
formas complexas é dividir essas regiões
por polígonos simples, como triângulos,
retângulos e até trapézios. Esse processo
é muito utilizado ainda nos dias de hoje.
Usando esse método, vamos calcular a
área de alguns estados brasileiros, con-
forme o esquema apresentado do mapa
do Brasil, que traz os estados aproxima-
dos por polígonos.
a) A região ocupada pelo estado de São
Paulo foi aproximada por dois trapézios
isósceles congruentes. Obser ve a figura,
com as medidas em quilômetros, e calcule
a área aproximada desse estado.
400
20 0
20 0
800
480
b) A p r o x i m a n d o a r e g i ã o o c u p a d a p e l o e s -
tado de Sergipe por um triângulo retângulo
isósceles, calcule essa área aproximada.
1,9202 m²
0,4948 m²
240000 km²
20 000 km²
POR TODA PARTE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
RR
AM
RO
AC
PA
AP
PI
CE
MA
TO
GO
BA
MG
ES
RJ
RN
PB
PE
SE
AL
SP
PR
SC
RS
MS
MT
DF
200 km
200 km
Resoluções a par tir da p. 289
237
D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 237 11/14/18 8:51 PM
Nós
Propicia a reflexão
sobre valores, que
será feita sempre
em duplas, trios
ou grupos.
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 6 11/17/18 15:41
Retomando
o que aprendeu
Esta seção visa sistematizar os
temas trabalhados por meio de
atividades de todos os conteúdos
estudados na Unidade.
Atualidades
em foco
Nesta seção você encontrará
o trabalho com temas atuais
e de importância social.
Será um momento de refletir
sobre esses assuntos e de
perceber como a Matemática
ajuda a entender o mundo
em que vivemos.
Tecnologias
Nesta seção você verá
como utilizar ferramentas
tecnológicas na resolução
de problemas ou questões
matemáticas.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (Saresp -SP) Amélia deseja ladrilhar sua
cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m
com ladrilhos quadrados de 30 cm de
la d o. Q ual é o núm e ro d e la drilho s
necessários?
a) 49
b) 51
c) 161
d) 483
2. (Saresp -SP) Na figura
h á d o i s q u a d r a d o s .
A área d o qua dra d o
maior é 25 m² e BG
mede 2 m.
A área da re gião
pint a da d e azul é:
a) 16 m²
b) 21 m²
c) 9 m²
d) 18 m²
3. ( Vunesp -SP) O menor país do mundo
em ex tensão é o es tado do Vaticano,
com uma área de 0,4 km². Se o territó-
rio do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados
estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
4. A, B, C e D s ã o o s v é r t i c e s
de uma região retangu-
lar, conforme mostra a
figura. Considere que
a s m e di d a s in di c a d a s
são dadas em quilômetros.
S e a d e n s i d a d e d e m o g rá f i c a d e s s a
região é de 72 habitantes por km², qual
é a população dessa região?
a) 17 100 habitantes.
b) 17 200 habitantes.
c) 17 280 habitantes.
d) 17 300 habitantes.
e) 17 380 habitantes.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
5. A divisão do número 0,5 por x te m
o me smo re sult ado que a adiç ão do
número 0,5 a x. Se x é um número real
positivo e considerando p = 3,14, qual é
a área do círculo cujo raio mede x cm?
a) 0,685 cm²
b) 0,785 cm²
c) 0,885 cm²
d) 0,875 cm²
e) 0,578 cm²
6. Observe esta figura:
2
2
2
2
2
2
A área dessa figura, em centímetro qua-
drado, é: (Use p = 3,14)
a) 11
b) 11,04
c) 11,14
d) 11,24
e) 12,14
7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm.
Sabendo que BC é o diâm e tro do círculo,
qual é a área da região colorida de roxo?
A
O
BC
a) 63 cm²
b) 63,25 cm²
c) 63,50 cm²
d) 63,75 cm²
e) 64,25 cm²
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa b.
AG
B
E
DC
F
20DC
BA
12
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a par tir da p. 289
246
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Respostas
No final do livro estão
todas as respostas das
atividades propostas.
278
respostasrespostas
UNIDADE 1
Números racionais
Atividades p. 18
1.
_2 _1
_
0 7
5
3
4
1 2
1, 6
2. a) .
b) ,
c) ,
d) ,
e) =
f) .
3. a)
29
8
b)
141
20
c) _
79
33
d) 66,65
e)
457
4
f) 1 479,87
g) 1
h) 45,01
4. a) 16,74
b) _
120
49
c) 10,875
d) 10
e) 3,22
f)
209
7
g) _44,2
h) 7,878
5. a) _12,6
b) 12
c) Aproximadamente 68,14.
d) _
5
26
e) 66,84
f) 32,1
g) 60,3
6. Alternativa b.
7. Alternativa a.
Atividades p. 21
1. 8%
2. 60%
3. 76%
4. 12,5%
5. a) 42%
b) 40%
c) 12%
d) 6%
6. Aproximadamente 16,6%.
7. a) 450 kg
b) 88%
8. 55%
Por toda parte p. 22
1. 8 500 000 km²
2. A área aproximada é de 16 250 000 km².
3. Pesquisa do aluno.
4. 6 630,12 km²
Pense e Responda p. 23
1. Resposta pessoal.
2. R$ 480,00; R$ 720,00
3. R$ 1 080,00
Atividades p. 25
1. a) 207 reais.
b) 96,04 reais.
2. 2,5%
3. 760 reais.
4. Alternativa a.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. 4%
8. Alternativa c.
9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
Tratamento da informação p. 26
1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de
múltiplas colunas.
b) Região Norte: 45,30%; Região Norte:
68,50%; Região Norte: 6,98%.
c) Região Nordeste: 3,30%.
d) Região Sudeste: 42,65%.
e) Não. Resposta pessoal.
f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Não.
2. a) Resposta pessoal.
b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%.
3.
Cé r e b r o
Fíg a d o
Pulmões Músculos
Co raç ã o
Rins
Sangue
Percentual
Órgão
10 %
0%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%75% 75%75%
86%86%
83%
81%
90%
10 0 %
Percentual de água nos órgãos do corpo humano
Fo n t e : N Ú C L E O D E T E C N O L O G I A E D U C A C I O N A L M U N I C I PA L .
Curiosidades sobre a água. D i s p o n í v e l e m : < h t t p s : / / e a d . p t i .
org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>.
Educação Financeira p. 28
1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e
quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já
para as pessoas que precisam de dinheiro para
investimentos, os bancos fazem empréstimos,
recebendo uma compensação na forma de juro
pelo serviço.
2. R$ 360,00
3. Resposta pessoal.
Pense e responda p. 30
1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13;
3; 13.
3. A quantidade de algarismos do período de
cada uma das dízimas é igual à quantidade
de algarismos do denominador da respectiva
fração; os denominadores são formados
somente pelo algarismo 9.
Atividades p. 30
1. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 1,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
k) 4,27
l) 1,104
2. a) 0,5
b) 2,333...
c) 1,8
d) 1,85
e) 3,1818...
f) 1,2222...
g) 1,375
h) 1,32
i) 0,15
j) 0,1444...
k) 8,25
l) 4,1666...
3. a) DE
b) DP
c) DE
d) DE
e) DP
f) DP
g) DE
h) DE
i) DE
j) DP
k) DE
l) DP
4. a) Período: 2
b) Período: 7
c) Período: 01
d) Período: 3
e) Período: 56
f) Período: 034
Atividades p. 32
1. a) _
22
9
b)
1
9
c)
161
9
d) _
629
99
e)
29
99
f)
700
333
2. Alternativa d. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Tecnologias
Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos
Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção
de gráficos.
Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc
do LibreOffice.
Observe a tabela seguinte.
Número de irmãos dos alunos
do Ensino Médio
Número de
irmãos
Frequência
absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o
título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula
B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela.
Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas.
• Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e
clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico.
• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna”
e clicar em Próximo.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
226
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 226 11/15/18 4:59 PM
ATUALIDADES EM FOCO
Dois jovens brasileiros ganharam a
Olimpíada Inter nacional de Tecnolog ia
e Inovação, conquistando pela pr imeira
vez o t ítulo para o país. Eles também
levaram para casa o prêm io de cinco
mil francos suíços, visto que a com-
pet ição aconteceu no Id iap Research
Inst itute, em Mar t ig ny, na Suíça.
O s c o n s a g r ad o s f o r a m Fá b i e n
G io v a n n i de Ol i v e i r a , de 2 2 a no s ,
estudante do 4
o
ano de Engenhar ia de
Controle e Automação da Universidade
Federal de Itajubá ( U N IFEI), e Renato
Rodr ig ues, de 27 anos, mest rando em
Estratég ia e Inovação em Engenhar ia
de P rodução na Un iver sidade Federal
de São Carlos (UFSCar). 
E le s de s e nv olv e r a m o “ M i lê n io
Bus”, projeto que integ ra a Inter net das
Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o
t r a n sp or te públ ico p or me io de u m
hardware e um aplicat ivo de celular. “O
objet ivo é t rabalhar com pagamentos
d ig itais, i nfor mações ao passageiro e
geração de dados com Big Data”, e x p l i c a
Oliveira em entrev ista à GA LILEU. 
Para ganhar a olimpíada, foi neces-
sár io muito mais do que apenas uma
boa proposta. A competição durou três
semanas, e nesse per íodo os jovens
assist iram aulas de negócios, e ve nt ure
capital, por exemplo, com professores e
especialistas. Eles tiveram que usar esse
tempo para apr imorar o projeto para
que ele pudesse se tor nar u ma star tup
com potencial de aplicação no mercado.
Ao todo, 40 pessoas par t icipa-
ram da disputa, sendo que elas foram
divididas em sete equipes. No dia de
encer ramento da olimpíada, os g r upos
tiveram que se apresentar por quatro
horas para uma banca de avaliadores
e invest idores. “Se eu pudesse mensu-
rar o dia mais dif ícil, eu dir ia que é o
ú lt i mo”, af i r ma Ol ivei r a. “Porque a l i
você coloca em jogo toda ded icação e
esforço de três semanas.”
Para Rod r ig ues, a adapt ação ao
id ioma e ao f u so hor á r io t a mb ém
foram compl icados. “A gente g ravava os
feedbacks dos jurados no celular e escutava
várias vezes no quarto até entender o que
eles estavam falando”, revela Rodrigues. 
Ap esa r d i sso, ele se or g u l ha do
pr ê m io, pr i nc ip a l me nt e p orque d i z
ter trabalhado com poucos recursos e
condições adversas. “O brasileiro é um
povo bem cr iat ivo, temos que valor izar
nossa resiliência”, opina.
Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio
inédito na Olimpíada Internacional de
Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https://
revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/
brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada-
internacional-de-tecnologia.html>.
Acesso em: 4 set. 2018.
Ciência e tecnologia
Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.
• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça
uma pesquisa sobre o significado dessas expressões.Resposta pessoal.
Brasileiros ganham prêmio inédito na
Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação
94
D2-MAT-F2-2051-V8-U03-064-095-LA-G20.indd 94 11/14/18 20:38
• N o passo 2, Inter valo de dados, vamos selecionar
“Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.
• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.
• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos.
Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.
• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.
Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela-
tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de
gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o
botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.
1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de
gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
227
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 227 11/15/18 4:59 PM
Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados
com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a
melhorar sua região, o nosso país e até o mundo.
Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos
existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo
melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público.
Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a
capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase
impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume
de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade.
• Os componentes do seu grupo já ouviram falar em  kilo, mega, giga ou tera? Sabem
o que essas palavras significam?
Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza
padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI)
e, normalmente, são operados com a base decimal (10
X
).
No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a
unidade padrão utilizada é o by te.
Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais:
Resposta pessoal.
Unidade Símbolo
Valor
equivalente
Ordem de
grandeza
Byte B − 1 x 10
0
byte
Kilobyte KB 1024 B 1 x 10
3
byte
Megabyte MB 1024 KB 1 x 10
6
byte
Gigaby te GB 1024 MB 1 x 10
9
byte
Te r a b y t eTB 1024 GB 1 x 10
12
byte
Petaby te PB 1024 TB 1 x 10
15
byte
Exabyte EB 1024 PB 1 x 10
18
byte
Zettaby te ZB 1024 EB 1 x 10
21
byte
Yo t t a b y t eYB 1024 ZB 1 x 10
24
byte
• Fa ç am uma p e s quis a s ob re a his tória da informátic a e d o armaze nam e nto digit al, p ro -
curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de
grandeza mudou?
• Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida
que usam os prefixos mos trados anteriormente. Dica: lembrem - se das unidades já
estudadas por vocês.
• Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa
pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será
gratuito ou pago, suas funcionalidades etc.
Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
95
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53. sumário
1. Conjunto dos números racionais ............14
A reta numérica ..........................................15
2. Operações com números racionais ........16
Adição e subtração .....................................16
Multiplicação de números racionais .............17
Divisão de números racionais ......................17
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3. Porcentagem ................................................19
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Por toda parte • Amazônia ocupa
quase 50% do território nacional . . . . . . . . . . . . . . .22
Juro simples ................................................23
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
Tratamento da informação • Recursos
hídricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Educação financeira • O que são
os bancos? ..................................................28
4. Dízimas periódicas ...................................29
Atividades ...............................................30
Fração geratriz de dízimas
periódicas simples......................................31
Atividades ...............................................32
Fração geratriz de dízimas periódicas
compostas ..................................................33
Atividades .................................................33
Tecnologias • Investigando com
a calculadora...............................................34
Retomando o que aprendeu........................36
Por toda parte • Do disquete ao
pen drive ....................................................46
Atividades .................................................47
3. Números quadrados perfeitos ................48
Como reconhecer se um número
é quadrado perfeito ....................................49
Atividades .................................................49
4. Raiz quadrada exata de um
número racional não negativo ...............50
Atividades .................................................51
5. Raiz quadrada aproximada de
um número racional não negativo .........52
Atividades .................................................53
Tratamento da informação • Tabelas
com intervalos de classes: leitura e
interpretação ..............................................54
Tecnologias • Calculadora científica ..........56
6. Números reais ..........................................58
Números irracionais .....................................58
Atividades .................................................58
O conjunto dos números reais .....................59
Atividades .................................................60
Retomando o que aprendeu........................61
1. Ângulos .........................................................66
Ângulos adjacentes ........................................67
Bissetriz de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Ângulos complementares ..............................68
Ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Ângulos opostos pelo vértice ........................68
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2. Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Elementos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Classificação de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Ângulos no triângulo .....................................71
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
Altura de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
Mediana de um triângulo ..............................75
Bissetriz de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
Unidade 1
NÚMEROS RACIONAIS ...............................12
Unidade 2
POTÊNCIAS, RAÍZES E NÚMEROS REAIS . . . .38
1. Potência de um número racional ...........40
Descobrindo a potência de um número real . . . .40
Atividades .................................................42
2. Propriedades da potenciação .................43
Explorando a calculadora ............................43
Conhecendo as propriedades
da potenciação ...........................................44
Potências de base dez .................................45
Unidade 3
ÂNGULOS E TRIÂNGULOS ..........................64
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 8 11/17/18 18:30
3. Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Figuras congruentes .......................................80
Triângulos congruentes ..................................81
Casos de congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . .82
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
4. Propriedades dos triângulos ....................86
Propriedades do triângulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . .86
Propriedade do triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . .87
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
5. Construções geométricas ..........................89
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Atualidades em foco • Ciência e tecnologia . . . . . .94
Divisão de polinômios por um monômio . . .129
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
Tratamento da informação •
Interpretando dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Retomando o que aprendeu......................132
1. O uso de letras para representar
números .......................................................98
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
2. Expressões algébricas ou literais . . . . . . . . . .100
Mais expressões algébricas .........................101
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Educação financeira • Juros
contra x juros a favor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
3. Valor numérico de uma
expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
4. Monômio ou termo algébrico ...............107
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Grau de um monômio ................................110
Monômios semelhantes ..............................110
Adição algébrica de monômios ..................111
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
Multiplicação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Divisão de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Potenciação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Por toda parte • A bicicleta ......................117
5. Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Polinômio reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Grau de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Polinômios com uma só variável real . . . . . . . . . .121
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Adição algébrica de polinômios..................123
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Multiplicação de polinômios .......................125
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
1. Equação do 1
o
grau com
uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Como resolver uma equação
do 1
o
grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Resolvendo problemas ................................140
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
2. Equação fracionária com
uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Como resolver uma equação fracionária .....143
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Por toda parte • Projeto Tamar ................145
3. Equações literais do 1
o
grau
na incógnita x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Como resolver uma equação literal
do 1
o
grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Educação financeira • Juro zero e
estratégia de marketing ..............................147
4. Equação do 1
o
grau com
duas incógnitas ........................................148
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
Representação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
5. Sistemas de equações do 1
o
grau
com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Solução de um sistema de equações do
1
o
grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
6. Resolução de sistema de duas equações
do 1
o
grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . .155
Método da substituição ..............................155
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
Método da adição .......................................158
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
7. Equação do 2
o
grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Resolvendo equações da forma
ax² + b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
Retomando o que aprendeu ....................163
Unidade 4
EXPRESSÕES E CÁLCULO ALGÉBRICO ......96
Unidade 5
EQUAÇÕES ................................................134
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D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 8 11/19/18 12:01

54. sumário
1. Conjunto dos números racionais ............14
A reta numérica ..........................................15
2. Operações com números racionais ........16
Adição e subtração .....................................16
Multiplicação de números racionais .............17
Divisão de números racionais ......................17
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
3. Porcentagem ................................................19
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
Por toda parte • Amazônia ocupa
quase 50% do território nacional . . . . . . . . . . . . . . .22
Juro simples ................................................23
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
Tratamento da informação • Recursos
hídricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
Educação financeira • O que são
os bancos? ..................................................28
4. Dízimas periódicas ...................................29
Atividades ...............................................30
Fração geratriz de dízimas
periódicas simples......................................31
Atividades ...............................................32
Fração geratriz de dízimas periódicas
compostas ..................................................33
Atividades .................................................33
Tecnologias • Investigando com
a calculadora...............................................34
Retomando o que aprendeu........................36
Por toda parte • Do disquete ao
pen drive ....................................................46
Atividades .................................................47
3. Números quadrados perfeitos ................48
Como reconhecer se um número
é quadrado perfeito ....................................49
Atividades .................................................49
4. Raiz quadrada exata de um
número racional não negativo ...............50
Atividades .................................................51
5. Raiz quadrada aproximada de
um número racional não negativo .........52
Atividades .................................................53
Tratamento da informação • Tabelas
com intervalos de classes: leitura e
interpretação ..............................................54
Tecnologias • Calculadora científica ..........56
6. Números reais ..........................................58
Números irracionais .....................................58
Atividades .................................................58
O conjunto dos números reais .....................59
Atividades .................................................60
Retomando o que aprendeu........................61
1. Ângulos .........................................................66
Ângulos adjacentes ........................................67
Bissetriz de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Ângulos complementares ..............................68
Ângulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Ângulos opostos pelo vértice ........................68
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
2. Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Elementos de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Classificação de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
Ângulos no triângulo .....................................71
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
Altura de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
Mediana de um triângulo ..............................75
Bissetriz de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
Unidade 1
NÚMEROS RACIONAIS ...............................12
Unidade 2
POTÊNCIAS, RAÍZES E NÚMEROS REAIS . . . .38
1. Potência de um número racional ...........40
Descobrindo a potência de um número real . . . .40
Atividades .................................................42
2. Propriedades da potenciação .................43
Explorando a calculadora ............................43
Conhecendo as propriedades
da potenciação ...........................................44
Potências de base dez .................................45
Unidade 3
ÂNGULOS E TRIÂNGULOS ..........................64
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 8 11/17/18 18:30
3. Congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Figuras congruentes .......................................80
Triângulos congruentes ..................................81
Casos de congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . .82
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
4. Propriedades dos triângulos ....................86
Propriedades do triângulo isósceles . . . . . . . . . . . . . . .86
Propriedade do triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . .87
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
5. Construções geométricas ..........................89
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
Atualidades em foco • Ciência e tecnologia . . . . . .94
Divisão de polinômios por um monômio . . .129
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
Tratamento da informação •
Interpretando dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Retomando o que aprendeu......................132
1. O uso de letras para representar
números .......................................................98
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
2. Expressões algébricas ou literais . . . . . . . . . .100
Mais expressões algébricas .........................101
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
Educação financeira • Juros
contra x juros a favor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
3. Valor numérico de uma
expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
4. Monômio ou termo algébrico ...............107
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Grau de um monômio ................................110
Monômios semelhantes ..............................110
Adição algébrica de monômios ..................111
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
Multiplicação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Divisão de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Potenciação de monômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Por toda parte • A bicicleta ......................117
5. Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
Polinômio reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Grau de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Polinômios com uma só variável real . . . . . . . . . .121
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Adição algébrica de polinômios..................123
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Multiplicação de polinômios .......................125
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
1. Equação do 1
o
grau com
uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Como resolver uma equação
do 1
o
grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
Resolvendo problemas ................................140
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
2. Equação fracionária com
uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
Como resolver uma equação fracionária .....143
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Por toda parte • Projeto Tamar ................145
3. Equações literais do 1
o
grau
na incógnita x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Como resolver uma equação literal
do 1
o
grau com uma incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
Educação financeira • Juro zero e
estratégia de marketing ..............................147
4. Equação do 1
o
grau com
duas incógnitas ........................................148
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
Representação geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
5. Sistemas de equações do 1
o
grau
com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Solução de um sistema de equações do
1
o
grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
6. Resolução de sistema de duas equações
do 1
o
grau com duas incógnitas . . . . . . . . . . . .155
Método da substituição ..............................155
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
Método da adição .......................................158
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
7. Equação do 2
o
grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Resolvendo equações da forma
ax² + b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
Retomando o que aprendeu ....................163
Unidade 4
EXPRESSÕES E CÁLCULO ALGÉBRICO ......96
Unidade 5
EQUAÇÕES ................................................134
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 9 11/17/18 18:38 9
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 9 11/19/18 12:01

55. 1. Polígonos e seus elementos ..................168
Elementos de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
Nomenclatura ..............................................170
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
2. Diagonais de um polígono convexo . . . . . .171
Cálculo do número de diagonais
de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
3. Ângulos de um polígono convexo .......173
Ângulo interno e ângulo externo ...............173
Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo . . . . . . . . . . . . . .173
Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo .............175
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
4. Ângulos de um polígono regular .........177
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
5. Construções geométricas .......................179
Triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
Hexágono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
6. Propriedades dos quadriláteros . . . . . . . . . . . .182
Paralelogramos ............................................182
Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Trapézios ......................................................186
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Tratamento da informação •
Interpretando um gráfico de setores . . . . . . . . . .188
7. Transformações no plano .......................190
Reflexão .......................................................190
Translação ....................................................190
Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Composição de transformações .................192
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Tecnologias • Transformações
no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
Atualidades em foco • Querer é poder?
Mas, o que eu quero? ....................................198
1. Contagem ..................................................202
Princípio fundamental da contagem
ou princípio multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
Outros problemas de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . .204
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
2. Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Experimento aleatório .................................206
Espaço amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Evento ..........................................................206
Probabilidade ...............................................207
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
3. Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Conceitos básicos de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Variáveis .......................................................213
Organização dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
4. Medidas em Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Média aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
Amplitude ....................................................222
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
5. Realizando pesquisas estatísticas . . . . . . . . .224
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
Tecnologias • Utilizando planilha
eletrônica para construção de gráficos ........226
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
Unidade 6
POLÍGONOS E TRANSFORMAÇÕES
NO PLANO ...............................................166
Unidade 7
CONTAGEM, PROBABILIDADE
E ESTATÍSTICA ..........................................200
D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 10 11/17/18 17:54
Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278
Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
1. Grandezas ...............................................250
Razão e proporção ....................................250
Grandezas proporcionais ...........................251
Grandezas não proporcionais ....................252
Representação gráfica ...............................253
Atividades ...............................................254
2. Algumas razões especiais .....................255
Velocidade média ......................................255
Escala .......................................................256
Atividades ...............................................257
Por toda parte • Distâncias aproximadas
entre algumas cidades ...............................258
Densidade de um corpo ............................259
Densidade demográfica .............................260
Atividades ...............................................261
3. Grandezas diretamente proporcionais ...262
Atividades ...............................................264
4. Grandezas inversamente
proporcionais .........................................265
Atividades ...............................................267
5. Regra de três ..........................................268
Regra de três simples ................................268
Atividades ...............................................269
Regra de três composta ............................270
Atividades ...............................................271
Tratamento da informação • Interpretando
os significados das informações....................272
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . .274
Atualidades em foco • Diversidade
cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
1. Área de figuras planas ..........................232
Problemas envolvendo área de polígonos . . . .232
A circunferência e o círculo .......................234
Atividades ...............................................236
Por toda parte • Áreas pelo Brasil ...........237
2. Volume de sólidos geométricos ...........238
Unidades de medida de volume ................238
Cubo e bloco retangular ...........................239
Cilindro .....................................................240
Atividades ...............................................241
3. Capacidade .............................................242
Unidades de medida de capacidade ..........242
Equivalência entre o decímetro
cúbico e o litro ..........................................243
Tratamento da informação • Gráfico
de linhas ...................................................244
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
Unidade 9
ESTUDO DE GRANDEZAS .......................248
Unidade 8
ÁREA, VOLUME E CAPACIDADE..............230
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56. 1. Polígonos e seus elementos ..................168
Elementos de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
Nomenclatura ..............................................170
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
2. Diagonais de um polígono convexo . . . . . .171
Cálculo do número de diagonais
de um polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
3. Ângulos de um polígono convexo .......173
Ângulo interno e ângulo externo ...............173
Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo . . . . . . . . . . . . . .173
Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo .............175
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
4. Ângulos de um polígono regular .........177
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
5. Construções geométricas .......................179
Triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
Hexágono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
6. Propriedades dos quadriláteros . . . . . . . . . . . .182
Paralelogramos ............................................182
Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Trapézios ......................................................186
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
Tratamento da informação •
Interpretando um gráfico de setores . . . . . . . . . .188
7. Transformações no plano .......................190
Reflexão .......................................................190
Translação ....................................................190
Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Composição de transformações .................192
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
Tecnologias • Transformações
no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
Atualidades em foco • Querer é poder?
Mas, o que eu quero? ....................................198
1. Contagem ..................................................202
Princípio fundamental da contagem
ou princípio multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
Outros problemas de contagem . . . . . . . . . . . . . . . . .204
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
2. Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Experimento aleatório .................................206
Espaço amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206
Evento ..........................................................206
Probabilidade ...............................................207
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
3. Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Conceitos básicos de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Variáveis .......................................................213
Organização dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
4. Medidas em Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Média aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
Amplitude ....................................................222
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
5. Realizando pesquisas estatísticas . . . . . . . . .224
Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
Tecnologias • Utilizando planilha
eletrônica para construção de gráficos ........226
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
Unidade 6
POLÍGONOS E TRANSFORMAÇÕES
NO PLANO ...............................................166
Unidade 7
CONTAGEM, PROBABILIDADE
E ESTATÍSTICA ..........................................200
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Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278
Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
1. Grandezas ...............................................250
Razão e proporção ....................................250
Grandezas proporcionais ...........................251
Grandezas não proporcionais ....................252
Representação gráfica ...............................253
Atividades ...............................................254
2. Algumas razões especiais .....................255
Velocidade média ......................................255
Escala .......................................................256
Atividades ...............................................257
Por toda parte • Distâncias aproximadas
entre algumas cidades ...............................258
Densidade de um corpo ............................259
Densidade demográfica .............................260
Atividades ...............................................261
3. Grandezas diretamente proporcionais ...262
Atividades ...............................................264
4. Grandezas inversamente
proporcionais .........................................265
Atividades ...............................................267
5. Regra de três ..........................................268
Regra de três simples ................................268
Atividades ...............................................269
Regra de três composta ............................270
Atividades ...............................................271
Tratamento da informação • Interpretando
os significados das informações....................272
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . .274
Atualidades em foco • Diversidade
cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
1. Área de figuras planas ..........................232
Problemas envolvendo área de polígonos . . . .232
A circunferência e o círculo .......................234
Atividades ...............................................236
Por toda parte • Áreas pelo Brasil ...........237
2. Volume de sólidos geométricos ...........238
Unidades de medida de volume ................238
Cubo e bloco retangular ...........................239
Cilindro .....................................................240
Atividades ...............................................241
3. Capacidade .............................................242
Unidades de medida de capacidade ..........242
Equivalência entre o decímetro
cúbico e o litro ..........................................243
Tratamento da informação • Gráfico
de linhas ...................................................244
Retomando o que aprendeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246
Unidade 9
ESTUDO DE GRANDEZAS .......................248
Unidade 8
ÁREA, VOLUME E CAPACIDADE..............230
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57. CO MPETÊNCIAS
GERAIS
2. Exercitar a curiosidade
intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a re-
flexão, a análise crítica, a ima-
ginação e a criatividade, para
investigar causas, elaborar e
testar hipóteses, formular e
resolver problemas e inventar
soluções.
7. Argumentar com base
em fatos, dados e informações
confiáveis, para formular, ne-
gociar e defender ideias, pon-
tos de vista e decisões comuns
que respeitem e promovam os
direitos humanos e a consci-
ência socioambiental em âm-
bito local, regional e global,
com posicionamento ético em
relação ao cuidado de si mes-
mo, dos outros e do planeta.
ESPECÍFICAS
5. Utilizar processos e ferra-
mentas matemáticas, inclusive
tecnologias digitais disponí-
veis, para modelar e resolver
problemas cotidianos, sociais
e de outras áreas de conheci-
mento, validando estratégias e
resultados.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Números
• EF08MA04
• EF08MA05
A Educação financeira é um tema
importante para ser pensado em qual-
quer idade, pois, além de planejar
gastos, é importante saber lidar com a
quantidade excessiva de propagandas
que oferecem produtos e serviços.
Atualmente, porém, além das pro-
pagandas dos produtos, muitas lojas
aderiram à divulgação das opções de
pagamento: parcelado sem juro, par-
celado com juro e pagamento à vista.
Muitas vezes, há um bom des-
conto se o produto for pago à vista.
Entendemos que consumir é
preciso, mas a grande questão é veri-
ficar se somos capazes de adquirir o
necessário e gastar somente o dinheiro
que temos.
Agora, responda no caderno:
• O que significa equilíbrio financeiro? Resposta pessoal.
• Qual é a diferença entre comprar algo à vista e comprar
a prazo?
• Você sabe o que é juro? Você sabe explicar como fun-
ciona o juro?Resposta pessoal.
Números
racionais1
Comprar à vista significa fazer o pagamento do valor integral
(ou com desconto) no ato da compra. Comprar a prazo significa
pagar o valor em parcelas.
MARCOS GUILHERME
12
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58. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Promover, inicialmente,
uma conversa com os alunos
sobre Educação financeira e
qual é o papel da Matemática
nessa área. É interessante dis-
cutir com a turma a diferença
entre “desejo e necessidade”
de compra de produtos e as
possibilidades de planejamen-
to para alcançá-los. Com essa
discussão, levar os alunos a
perceberem que o planeja-
mento do tempo (curto, mé-
dio e longo prazos), dos rece-
bimentos e dos gastos poderá
auxiliá-los na realização de
seus objetivos, mas para isso é
importante que haja um equi-
líbrio financeiro.
Um dos cálculos a ser ex-
plorado é o que envolve o
comprometimento de renda.
Apresentar aos alunos uma
ideia de distribuição dos gas-
tos, por exemplo: 30% da ren-
da comprometida em compras
a prazo, 50% em necessidades
básicas e 20% em lazer e pou-
pança. Uma sugestão é fazer
algumas simulações com dife-
rentes níveis de renda, inician-
do com valores inteiros, como:
R$ 500,00; R$ 1 000,00;
R$ 2 000,00 e R$ 2 500,00.
Na discussão sobre equi-
líbrio financeiro é possível
conversar sobre a importân-
cia de não dever mais do que
se ganha e os riscos que uma
compra parcelada pode ofere-
cer ao concluir que a parcela,
por ser baixa, não atrapalhará
o planejamento financeiro fa-
miliar. Pode-se ainda discutir
a diferença entre poupar para
comprar à vista e comprar
imediatamente a prazo, com
foco no desconto, geralmen-
te, oferecido pelas lojas no
pagamento à vista.
Comentar que em dívidas
ou poupança a aplicação é de
juro composto, e não simples
(essa variação será aprofun-
dada mais adiante, no Ensino
Médio). Se achar interessante,
estabelecer uma simulação
com juro composto (juro sobre
juro) em curto prazo e compa-
rar com juro simples.
A Educação financeira é um tema
importante para ser pensado em qual-
quer idade, pois, além de planejar
gastos, é importante saber lidar com a
quantidade excessiva de propagandas
que oferecem produtos e serviços.
Atualmente, porém, além das pro-
pagandas dos produtos, muitas lojas
aderiram à divulgação das opções de
pagamento: parcelado sem juro, par-
celado com juro e pagamento à vista.
Muitas vezes, há um bom des-
conto se o produto for pago à vista.
Entendemos que consumir é
preciso, mas a grande questão é veri-
ficar se somos capazes de adquirir o
necessário e gastar somente o dinheiro
que temos.
Agora, responda no caderno:
• O que significa equilíbrio financeiro? Resposta pessoal.
• Qual é a diferença entre comprar algo à vista e comprar
a prazo?
• Você sabe o que é juro? Você sabe explicar como fun-
ciona o juro?Resposta pessoal.
Números
racionais1
Comprar à vista significa fazer o pagamento do valor integral
(ou com desconto) no ato da compra. Comprar a prazo significa
pagar o valor em parcelas.
MARCOS GUILHERME
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NO DIGITAL – 1˙ bimestre
• Ver o plano de desenvolvimen-
to para as Unidades 1, 2 e 3.
• Desenvolver o projeto integra-
dor sobre crescimento popula-
cional no Brasil.
• Explorar as sequências didáti-
cas do bimestre, que trabalham
as habilidades EF08MA01,
EF08MA02, EF08MA04,
EF08MA05, EF08MA15,
EF08MA16 e EF08MA17.
• Acessar a proposta de acom-
panhamento da aprendizagem.
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59. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Conjunto dos números
racionais
O conjunto dos números
racionais é retomado neste
momento para que, na se-
quência, os alunos possam ex-
plorar os números irracionais e
um novo conjunto numérico:
o conjunto dos números re-
ais. Para que essa progressão
aconteça, é fundamental que
eles tenham compreendido os
demais conjuntos numéricos
(naturais, inteiros e racionais)
e as operações fundamentais
possíveis nesses conjuntos.
Além disso, é relevante que
os alunos sejam capazes de
localizar um número racional
na reta numérica, usando o
recurso apresentado no livro
do aluno e outros que por
ventura souber, para realizar
comparações entre números.
Discutir com a turma sobre
os significados de cada um
dos números que aparece nas
três situações propostas. Na si-
tuação 1, há a presença de nú-
mero indicando tempo (data)
e temperatura. Na situação 2,
os números estão indicando
preço, medida e quantidade.
Na situação 3, podem identi-
ficar quantidade e porcenta-
gem. O importante é que os
alunos percebam que todas as
situações propostas apresen-
tam números racionais.
1
CAPÍTULO
CONJUNTO DOS
NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são encontrados em diversas situações cotidianas. Vamos
ver algumas dessas situações:
Nas situações apresentadas, temos diversos números: 3; 2018; !3; 40; 1133,99;
5; 8; 30;
2
3
e 20%. Todos esses números pertencem ao conjunto dos números
racionais. Os números racionais podem ser positivos ou negativos.
Todo número racional é o resultado de uma divisão de números inteiros,
sendo o divisor diferente de zero, ou seja, todo número racional pode ser escrito
na forma
a
b
, com a e b inteiros e b 5 0.
Os números racionais positivos, negativos e o zero formam o conjunto numé-
rico denominado conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado
pela letra Q (letra inicial da palavra Quociente).
Mariana viajou com sua família
para o Chile e, no dia 3 de
julho de 2018, experimentou
uma temperatura de –3 °C.
Paula está no 8
o
ano. Em
sua classe há 30 alunos. As
meninas correspondem a
2
3
da
turma. Dessa quantidade, 2
0%
usam óculos.
Pedro precisava de uma tevê
nova. Pesquisou e encontrou
uma tevê de 40 polegadas
por R$ 1
133,99. Ele negociou
e conseguiu comprá-la em 5
vezes sem juros.
WANDSON ROCHA
14
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A reta numérica
Vamos relembrar como localizamos números racionais na reta numérica observando os exem-
plos a seguir.
1 Representar na reta numérica o número racional !
1
4
.
Sabemos que o número !
1
4
está localizado entre os números inteiros 0 e !1. Então, vamos
dividir o segmento AB, que vai de 0 até !1, em quatro partes iguais e considerar uma dessas
partes, a partir do ponto A, para a direita.
2 Representar na reta numérica o número racional "
11
3
.
Vamos escrever o número "
11
3
na forma mista: "
11
3
# "3
2
3
.
Esse número está localizado entre os números inteiros "3 e "4. Então, vamos dividir o
segmento MN, que vai de "3 até "4, em 3 partes iguais e considerar duas dessas partes, a partir
do ponto M, para a esquerda.
1 2 3"1
"1,4 "0,2
"2 0
Comparação de números racionais
Comparar dois números racionais significa dizer se um é maior que o outro, ou se é menor
ou, ainda, se é igual. Vamos rever como comparar dois números racionais.
• Todo número racional negativo é menor que todo número racional positivo.
"4,6 , 7,8 "
1
3
, 13 "
1
5
,
3
4
• Todo número racional negativo é menor que zero.
"5 , 0 "12,4 , 0 "
6
11
, 0
• Na comparação de números racionais negativos, será maior aquele que possuir o menor módulo.
Vamos comparar "1,4 e "0,2. Sabemos que |"1,4| # 1,4 e |"0,2| # 0,2. Assim, "0,2 possui
o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero.
Dessa maneira "1,4 , "0,2.
• Na comparação de números racionais positivos, será maior aquele que possuir o maior módulo.
Vamos comparar 12,9 e 19,2. Sabemos que |12,9| # 12,9 e |19,2| # 19,2. Assim, 12,9 possui
o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero.
Dessa maneira 12,9 , 19,2.
1"1"2"3"4
N M
0
"3
2
3
1
B
20
A
1
4
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60. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
A reta numérica
A localização de números
racionais na reta numérica
pode trazer algumas dificul-
dades para os alunos, princi-
palmente relacionadas à sub-
divisão em partes iguais. Ao
perceber dificuldades em loca-
lizar pontos na reta numérica,
propor a seguinte atividade:
distribuir papel quadriculado
para os alunos e pedir que,
com o auxílio de uma régua,
tracem um segmento de reta
de 11 centímetros. Em segui-
da, marcar na extremidade es-
querda um ponto e indicar o
número 0. A 10 cm deste pon-
to, marcar outro ponto e indi-
car o valor 1. Na extremidade
direita do segmento, desenhar
a ponta de seta para indicar
que a reta numérica continua.
Depois, subdividir o segmento
de reta entre os pontos 0 e 1
em quatro partes iguais e ano-
tar as frações
1
4
,
2
4
e
3
4
nos
pontos correspondentes.
0 11
4
2
4
3
4
Repetir essa atividade, sub-
dividindo o segmento de reta
em 5 partes iguais.
Questionar os alunos sobre
qual deveria ser a medida de
um segmento de reta constru-
ído para representar frações
com denominadores que não
são divisores de 10, como 3
por exemplo. Discutir com a
turma sobre as respostas da-
das pelos alunos. Espera-se
que algum dos alunos diga,
por exemplo, que 12 centíme-
tros seria uma boa medida.
1
CAPÍTULO
CONJUNTO DOS
NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais são encontrados em diversas situações cotidianas. Vamos
ver algumas dessas situações:
Nas situações apresentadas, temos diversos números: 3; 2 018; !3,40; 1 133,99;
5; 8; 30;
2
3
e 20%. Todos esses números pertencem ao conjunto dos números
racionais. Os números racionais podem ser positivos ou negativos.
Todo número racional é o resultado de uma divisão de números inteiros,
sendo o divisor diferente de zero, ou seja, todo número racional pode ser escrito
na forma
a
b
, com a e b inteiros e b 5 0.
Os números racionais positivos, negativos e o zero formam o conjunto numé-
rico denominado conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado
pela letra Q (letra inicial da palavra Quociente).
Mariana viajou com sua família
para o Chile e, no dia 3 de
julho de 2018, experimentou
uma temperatura de –3 °C.
Paula está no 8
o
ano. Em
sua classe há 30 alunos. As
meninas correspondem a
2
3
da
turma. Dessa quantidade, 2
0%
usam óculos.
Pedro precisava de uma tevê
nova. Pesquisou e encontrou
uma tevê de 40 polegadas
por R$ 1
133,99. Ele negociou
e conseguiu comprá-la em 5
vezes sem juros.
WANDSON ROCHA
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A reta numérica
Vamos relembrar como localizamos números racionais na reta numérica observando os exem-
plos a seguir.
1 Representar na reta numérica o número racional !
1
4
.
Sabemos que o número !
1
4
está localizado entre os números inteiros 0 e !1. Então, vamos
dividir o segmento AB, que vai de 0 até !1, em quatro partes iguais e considerar uma dessas
partes, a partir do ponto A, para a direita.
2 Representar na reta numérica o número racional "
11
3
.
Vamos escrever o número "
11
3
na forma mista: "
11
3
# "3
2
3
.
Esse número está localizado entre os números inteiros "3 e "4. Então, vamos dividir o
segmento MN, que vai de "3 até "4, em 3 partes iguais e considerar duas dessas partes, a partir
do ponto M, para a esquerda.
1 2 3"1
"1,4 "0,2
"2 0
Comparação de números racionais
Comparar dois números racionais significa dizer se um é maior que o outro, ou se é menor
ou, ainda, se é igual. Vamos rever como comparar dois números racionais.
• Todo número racional negativo é menor que todo número racional positivo.
"4,6 , 7,8 "
1
3
, 13 "
1
5
,
3
4
• Todo número racional negativo é menor que zero.
"5 , 0 "12,4 , 0 "
6
11
, 0
• Na comparação de números racionais negativos, será maior aquele que possuir o menor módulo.
Vamos comparar "1,4 e "0,2. Sabemos que |"1,4| # 1,4 e |"0,2| # 0,2. Assim, "0,2 possui
o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero.
Dessa maneira "1,4 , "0,2.
• Na comparação de números racionais positivos, será maior aquele que possuir o maior módulo.
Vamos comparar 12,9 e 19,2. Sabemos que |12,9| # 12,9 e |19,2| # 19,2. Assim, 12,9 possui
o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero.
Dessa maneira 12,9 , 19,2.
1"1"2"3"4
N M
0
"3
2
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B
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A
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61. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Operações com números
racionais
Inicialmente, é feita uma
recapitulação sobre operações
com números racionais de
acordo com o que os alunos
estudaram em anos anterio-
res. Verificar se as operações,
na forma fracionária e na for-
ma decimal, estão bem com-
preendidas pelos alunos.
Na adição e subtração de
números racionais na forma
fracionária, pode ser que os
alunos cometam um erro bas-
tante comum, que é somar
(ou subtrair) independente-
mente os numeradores e os
denominadores das frações.
Caso esse erro ocorra, reto-
mar os procedimentos usados
para o cálculo de cada opera-
ção vista anteriormente.
Apontar que a adição e a
subtração de números racio-
nais na forma decimal seguem
o mesmo algoritmo que os dos
números naturais, portanto, é
preciso que os alunos posicio-
nem corretamente os algaris-
mos nas respectivas ordens.
Verificar como os alunos re-
solvem problemas que envol-
vem unidades de medida de
tempo. Pode ser que, alguns
alunos escrevam, por exem-
plo, 3h15min como 3,15, por
não compreenderem que se
trata de um sistema sexage-
simal. Auxiliá-los com as dúvi-
das, caso isso ocorra.
Vamos relembrar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com
números racionais, tanto na forma fracionária quanto na forma decimal.
Adição e subtração
• Na forma fracionária
Temos que estudar dois casos distintos: o primeiro deles refere-se às frações
com denominadores iguais. O segundo, às frações com denominadores diferentes.
1
o
caso: Frações de mesmo denominador.
Para somarmos (ou subtrairmos) frações de mesmo denominador, mantemos o
denominador e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja um exemplo:
!
34
11
!
1
11
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ " !
34
11
#
1
11
" !
33
11
" !3
2
o
caso: Frações com denominadores diferentes.
Para somarmos (ou subtrairmos) frações com denominadores diferentes, devemos
obter frações equivalentes às frações dadas, de mesmo denominador. Em seguida,
mantemos o denominador comum e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja
o exemplo a seguir:
!
3
5
#
1
6
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟" !
18
30
!
5
30
"
!23
30
• Na forma decimal
Para a adição (ou subtração) de números representados na forma decimal,
devemos observar que:
– algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com
uma vírgula alinhada à outra.
– adicionamos (ou subtraímos) as unidades de mesma ordem entre si.
– colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais.
Veja os exemplos a seguir:
2
CAPÍTULO
OPERAÇÕES COM
NÚMEROS RACIONAIS
U dc
7,88 7 , 8 8
!3,50 !3 , 5 0
4,38 4 , 3 8
DU dc
13,49 1 3 , 4 9
! 0,25 ! 0 , 2 5
13,24 1 3 , 2 4
a) b)
EDITORIA DE ARTE
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Multiplicação de números racionais
• Na forma fracionária
Para multiplicarmos dois números racionais na forma fracionária, multiplicamos os numera-
dores entre si e, em seguida, os denominadores. Caso seja necessário, simplificamos o resultado
até obter a fração irredutível. Veja o exemplo:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!" !
4
9
15
7
5
60
63
5
20
21
• Na forma decimal
Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:
– multiplicar os números como se fossem números naturais.
– colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à
soma da quantidade de casas decimais dos fatores.
Veja um exemplo:
4,2 1 algarismo na parte decimal
# 2,1 1 algarismo na parte decimal
4 2
$8 4
8,8 2 2 algarismos na parte decimal
Divisão de números racionais
• Na forma fracionária
Para dividirmos dois números racionais na forma fracionária, mantemos a primeira fração e
multiplicamos pelo inverso da segunda. Veja o exemplo:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!% "! %!
12
7
:
1
4
12
7
4
1
48
7
• Na forma decimal
Para obtermos o quociente entre dois números racionais na forma decimal, podemos multi-
plicar os dois termos por uma mesma potência de 10 conveniente a fim de obtermos um número
natural como divisor. Veja:
12,66 ' 0,3 % 126,6 ' 3
# 10
# 10
Então, dividir 12,66 por 0,3 é o mesmo que dividir 126,6 por 3. Efetuando os cálculos, temos
que 12,66 dividido por 0,3 é igual a 42,2.
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62. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Multiplicação e divisão
de números racionais
Na multiplicação de núme-
ros racionais, pode acontecer
um erro comum entre os alu-
nos: realizar a multiplicação
entre numerador e denomi-
nador. Portanto, observar a
maneira que os alunos estão
realizando a operação é im-
portante para colher possíveis
erros envolvendo o algoritmo
da multiplicação de frações.
Na divisão, verificar se os
alunos compreendem que di-
visões equivalentes possuem
quocientes iguais, ou seja, se
multiplicar (ou dividir) o divi-
dendo e o divisor por um mes-
mo número, o quociente não
vai ser alterado.
Outro erro frequente apre-
sentado pelos alunos é a inser-
ção (ou não) de zeros no quo-
ciente. Para explorar essa difi-
culdade, propor alguns cálculos
que envolvam esses casos.
Vamos relembrar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com
números racionais, tanto na forma fracionária quanto na forma decimal.
Adição e subtração
• Na forma fracionária
Temos que estudar dois casos distintos: o primeiro deles refere-se às frações
com denominadores iguais. O segundo, às frações com denominadores diferentes.
1
o
caso: Frações de mesmo denominador.
Para somarmos (ou subtrairmos) frações de mesmo denominador, mantemos o
denominador e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja um exemplo:
!
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11
!
1
11
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ " !
34
11
#
1
11
" !
33
11
" !3
2
o
caso: Frações com denominadores diferentes.
Para somarmos (ou subtrairmos) frações com denominadores diferentes, devemos
obter frações equivalentes às frações dadas, de mesmo denominador. Em seguida,
mantemos o denominador comum e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja
o exemplo a seguir:
!
3
5
#
1
6
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟" !
18
30
!
5
30
"
!23
30
• Na forma decimal
Para a adição (ou subtração) de números representados na forma decimal,
devemos observar que:
– algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com
uma vírgula alinhada à outra.
– adicionamos (ou subtraímos) as unidades de mesma ordem entre si.
– colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais.
Veja os exemplos a seguir:
2
CAPÍTULO
OPERAÇÕES COM
NÚMEROS RACIONAIS
U dc
7,88 7 , 8 8
!3,50 !3 , 5 0
4,38 4 , 3 8
DU dc
13,49 1 3 , 4 9
! 0,25 ! 0 , 2 5
13,24 1 3 , 2 4
a) b)
EDITORIA DE ARTE
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Multiplicação de números racionais
• Na forma fracionária
Para multiplicarmos dois números racionais na forma fracionária, multiplicamos os numera-
dores entre si e, em seguida, os denominadores. Caso seja necessário, simplificamos o resultado
até obter a fração irredutível. Veja o exemplo:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!" !
4
9
15
7
5
60
63
5
20
21
• Na forma decimal
Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:
– multiplicar os números como se fossem números naturais.
– colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à
soma da quantidade de casas decimais dos fatores.
Veja um exemplo:
4,2 1 algarismo na parte decimal
# 2,1 1 algarismo na parte decimal
4 2
$8 4
8,8 2 2 algarismos na parte decimal
Divisão de números racionais
• Na forma fracionária
Para dividirmos dois números racionais na forma fracionária, mantemos a primeira fração e
multiplicamos pelo inverso da segunda. Veja o exemplo:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!% "! %!
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7
:
1
4
12
7
4
1
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• Na forma decimal
Para obtermos o quociente entre dois números racionais na forma decimal, podemos multi-
plicar os dois termos por uma mesma potência de 10 conveniente a fim de obtermos um número
natural como divisor. Veja:
12,66 ' 0,3 % 126,6 ' 3
# 10
# 10
Então, dividir 12,66 por 0,3 é o mesmo que dividir 126,6 por 3. Efetuando os cálculos, temos
que 12,66 dividido por 0,3 é igual a 42,2.
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63. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Depois de realizar a ativida-
de 5, os alunos podem verificar
a resposta realizando as opera-
ções por meio do algoritmo ou
usando alguma calculadora.
Caso julgue necessário, am-
pliar essa atividade variando a
posição da vírgula nos núme-
ros de cada item para que os
alunos percebam a diferença
nos resultados.
Para a atividade 6, dis-
cutir com os alunos sobre os
métodos usados por eles para
a resolução. Verificar os dife-
rentes raciocínios usados e se
foi cometido algum equívoco.
Ao usar equação para resolver,
temos:
2
5
x +
1
4
x + 70 = x
Portanto, a resposta encon-
trada é x = 200 g.
A atividade 7, da Prova
Brasil, solicita que os alunos
subtraiam dois números racio-
nais na forma decimal. É uma
questão simples, que avalia,
exatamente, a aplicação do
algoritmo da subtração.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Construa um segmento de reta de 8 cm.
Subdivida-o partes iguais e numere-as
de !2 a 2. Em seguida, localize os se-
guintes pontos:
!
3
7
1,6
7
5
!1 0
2. Compare os números racionais a seguir,
usando os símbolos ., , e ":
a) 4,9 4,09 .
b) !15,3 15,3 ,
c)
19
3

23
3
,
d) !
89
7
!
63
4
,
e) !
7
5
!1,4 "
f) 23,98 23,89
3. Efetue as adições e as subtrações:
Podemos transformar em fração um número na
forma decimal e vice-versa.
SAIBA QUE
a) !
7
8
# 4,5 e) 123 !
35
4

b)
13
4
#
19
5
f) 1 347,01 # 132,86
c) !
8
11
!
5
3
g)
49
7
18
3
#!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 79,05 ! 12, 4 h) 50 ! 4,99
4. Efetue as multiplicações a seguir:
a) 5,4 $ 3,1 16,74
b)
45
49
48
18
!$
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
.
29
8
457
4
141
20
1 479,87
!
79
33
1
66,65 45,01
!
120
49
c) 8,7 $
5
4
d)
36
15
50
12
!$ !
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
e) (!4,6) $ (!0,7)
f)
19
3
$
33
7
g) 11,05 $ (!4)
h) 3,9 $ 2,02
5. Encontre os quocientes das divisões a
seguir:
a) 16,38 : (!1,3) e) 501,3 : 7,5
b)
42
13
:
7
26
!!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ f) 6 4 3 , 2 8 4 : 2 0 , 0 4
c) !1 397 : (!20,5) g) 18 331,2 : 304
d) 5:
78
3
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
6. (OBM) Uma barra de chocolate é dividida
entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que
Nelly ganha
2
5
da barra, Penha ganha
1
4
e Sônia ganha 70 gramas, o peso da
barra, em gramas, é: Alternativa b.
a) 160
b) 200
c) 240
d) 280
e) 400
7. (Prova Brasil) Uma casa tem 3,88 metros
de altura. Um engenheiro foi contratado
para projetar um segundo andar e foi
informado que a prefeitura só permite
construir casas de dois andares com altura
de até 7,80 metros. Qual deve ser a altura
máxima, em metros, do segundo andar?
a) 3,92
b) 4,00
c) 4,92
d) 11,68
10,875
10
3,22
209
7
!44,2
7,878
!12,6
66,84
12
32,1
Aproximadamente 68,14.60,3
!
5
26
Alternativa a.
!2
!1 0 7
5
1 21,6
!
3
4
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3
CAPÍTULO
PORCENTAGEM
A expressão por cento faz parte de nosso dia a dia. Podemos encontrá-la
facilmente em notícias ao ler jornais, revistas ou assistir à televisão. Nas compras
em lojas e supermercados, nas aplicações e nos empréstimos em bancos, enfim, em
tudo que se relaciona à economia e às finanças encontramos a expressão por cento.
Também usamos comumente essa expressão para fazer
comparações, como você já pôde observar em muitos
dos gráficos e tabelas estudados anteriormente.
A expressão por cento vem do latim per centum
e quer dizer “por um cento”. Pode ser representada
pelo símbolo %.
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “A região Norte ocupa uma
superfície que corresponde a 45% da superfície do Brasil”, isso significa que a região
Norte ocupa uma área de 45 km² para cada 100 km² da área ocupada pelo Brasil.
Então, podemos estabelecer a seguinte relação:
FABIO COLOMBINI
!!45%
45
100
0,45 representação decimal
razão centesimal
representação percentual
Quando dizemos que “Quase 85% da população brasileira vive em áreas
urbanas”, isso significa que cerca de 85 em cada grupo de 100 brasileiros vivem em
áreas urbanas.
85%
85
100
0,85!! representação decimal
razão centesimal
representação percentual
Veja como podemos calcular a taxa ou índice percentual nas situações a seguir.
1 Como escrever
1
2
50
100
50%!! na forma de taxa percentual?
Devemos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denomi-
nador 100.
Nos exemplos anteriores,
45% e 85% são chamados
de taxas percentuais.
SAIBA QUE
1
2
50
100
50%!!
1
2
50%!
" 5 0
" 5 0
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64. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Porcentagem
Retomar, com os alunos,
o conceito de porcentagem e
solicitar exemplos do cotidia-
no em que o uso de porcenta-
gem possa ser percebido.
Os alunos vão ter contato
com diferentes registros de
representação (decimal, cen-
tesimal e percentual). Propor,
como atividade de retomada,
que os alunos copiem o qua-
dro a seguir e completem os
espaços em branco.
Representação
percentual
10%
Razão
centesimal
12
100
Representação
decimal
0,45
Comentar que o símbolo
utilizado para representar a
porcentagem – % – é relativa-
mente recente. Registros his-
tóricos apresentam informa-
ções sobre os cálculos percen-
tuais utilizando as frações cen-
tesimais; utilizavam-se siglas
como “Xpcento” ou “Xpc”,
mas com a intensificação do
comércio sentiu-se a necessi-
dade de fixar uma base (100).
Na situação 1, destacar
que, para representar uma
fração na forma percentual,
busca-se a fração equivalen-
te de denominador 100. No
caso da fração original não ser
equivalente a uma fração com
denominador 100, por exem-
plo,
1
3
, determina-se a forma
decimal correspondente (divi-
dindo numerador por denomi-
nador) para depois expressar
na forma percentual (mesmo
que aproximada).
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Construa um segmento de reta de 8 cm.
Subdivida-o partes iguais e numere-as
de !2 a 2. Em seguida, localize os se-
guintes pontos:
!
3
7
1,6
7
5
!1 0
2. Compare os números racionais a seguir,
usando os símbolos ., , e ":
a) 4,9 4,09 .
b) !15,3 15,3 ,
c)
19
3

23
3
,
d) !
89
7
!
63
4
,
e) !
7
5
!1,4 "
f) 23,98 23,89
3. Efetue as adições e as subtrações:
Podemos transformar em fração um número na
forma decimal e vice-versa.
SAIBA QUE
a) !
7
8
# 4,5 e) 123 !
35
4

b)
13
4
#
19
5
f) 1 347,01 # 132,86
c) !
8
11
!
5
3
g)
49
7
18
3
#!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 79,05 ! 12, 4 h) 50 ! 4,99
4. Efetue as multiplicações a seguir:
a) 5,4 $ 3,1 16,74
b)
45
49
48
18
!$
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
.
29
8
457
4
141
20
1 479,87
!
79
33
1
66,65 45,01
!
120
49
c) 8,7 $
5
4
d)
36
15
50
12
!$ !
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
e) (!4,6) $ (!0,7)
f)
19
3
$
33
7
g) 11,05 $ (!4)
h) 3,9 $ 2,02
5. Encontre os quocientes das divisões a
seguir:
a) 16,38 : (!1,3) e) 501,3 : 7,5
b)
42
13
:
7
26
!!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ f) 6 4 3 , 2 8 4 : 2 0 , 0 4
c) !1 397 : (!20,5) g) 18 331,2 : 304
d) 5:
78
3
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
6. (OBM) Uma barra de chocolate é dividida
entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que
Nelly ganha
2
5
da barra, Penha ganha
1
4
e Sônia ganha 70 gramas, o peso da
barra, em gramas, é: Alternativa b.
a) 160
b) 200
c) 240
d) 280
e) 400
7. (Prova Brasil) Uma casa tem 3,88 metros
de altura. Um engenheiro foi contratado
para projetar um segundo andar e foi
informado que a prefeitura só permite
construir casas de dois andares com altura
de até 7,80 metros. Qual deve ser a altura
máxima, em metros, do segundo andar?
a) 3,92
b) 4,00
c) 4,92
d) 11,68
10,875
10
3,22
209
7
!44,2
7,878
!12,6
66,84
12
32,1
Aproximadamente 68,14.60,3
!
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Alternativa a.
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3
CAPÍTULO
PORCENTAGEM
A expressão por cento faz parte de nosso dia a dia. Podemos encontrá-la
facilmente em notícias ao ler jornais, revistas ou assistir à televisão. Nas compras
em lojas e supermercados, nas aplicações e nos empréstimos em bancos, enfim, em
tudo que se relaciona à economia e às finanças encontramos a expressão por cento.
Também usamos comumente essa expressão para fazer
comparações, como você já pôde observar em muitos
dos gráficos e tabelas estudados anteriormente.
A expressão por cento vem do latim per centum
e quer dizer “por um cento”. Pode ser representada
pelo símbolo %.
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “A região Norte ocupa uma
superfície que corresponde a 45% da superfície do Brasil”, isso significa que a região
Norte ocupa uma área de 45 km² para cada 100 km² da área ocupada pelo Brasil.
Então, podemos estabelecer a seguinte relação:
FABIO COLOMBINI
!!45%
45
100
0,45 representação decimal
razão centesimal
representação percentual
Quando dizemos que “Quase 85% da população brasileira vive em áreas
urbanas”, isso significa que cerca de 85 em cada grupo de 100 brasileiros vivem em
áreas urbanas.
85%
85
100
0,85!! representação decimal
razão centesimal
representação percentual
Veja como podemos calcular a taxa ou índice percentual nas situações a seguir.
1 Como escrever
1
2
50
100
50%!! na forma de taxa percentual?
Devemos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denomi-
nador 100.
Nos exemplos anteriores,
45% e 85% são chamados
de taxas percentuais.
SAIBA QUE
1
2
50
100
50%!!
1
2
50%!
" 5 0
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65. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Na situação 2, mostrar que
para expressar na forma per-
centual um número que está
na forma decimal basta multi-
plicá-lo por 100 e acrescentar
o símbolo de porcentagem
(%). Por exemplo:
• 0,375 = 37,5%
(0,375 ? 100 = 37,5)
• 2,4 = 240%
(2,4 ? 100 = 240)
Na situação 3, destacar
que existe mais de uma ma-
neira de resolver um proble-
ma. No caso, são apresenta-
dos dois modos de fazer o
cálculo.
Na situação 4, mostrar que
as 15 cestas representam o
total de arremessos. Portanto,
correspondem a 100% dos
arremessos, dos quais apenas
12 cestas foram convertidas.
Nós
• Espera-se que os alunos
respondam à questão com si-
tuações cotidianas que mos-
trem ações que combatam o
desperdício de água e ajudem
a não poluir o meio ambiente,
como: fechar bem a torneira,
escovar os dentes com a tor-
neira fechada, não jogar o lixo
no chão etc.
• O site a seguir trata de um
tipo específico de lixo, o ele-
trônico, cuja produção tem au-
mentado de maneira significa-
tiva: <http://livro.pro/fqjjt3>.
Acesso em: 6 nov. 2018.
2 Como escrever a razão
3
8
na forma de taxa percentual?
Observando que 8 não é divisor de 100, vamos escrever a forma decimal de
3
8
(dividindo
3 por 8):
!! !!
"3
8
0,375
0,375100
100
37,5
100
37,5%

3
8
37,5%!
3 Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa quantos por cento
de desconto?
Inicialmente, temos a razão !
7000
25000
7
25
Podemos fazer o cálculo de dois modos.
1
o
modo
Usando razões equivalentes:
!!
7
25
28
100
28%
# 4
# 4
Representa 28% de desconto.
4 Em uma partida de basquetebol, obtemos o índice de
aproveitamento de lances livres de um jogador calcu-
lando a razão percentual entre o número de acertos e o
total de lances livres cobrados por esse jogador.
Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou
12 dos 15 lances livres que cobrou em uma partida?
12
15
0,80,80
80
100
80%!! !!
O índice de aproveitamento desse jogador foi de 80%.
Consumo sustentável
Consumo sustentável é um conjunto de práticas adotadas na escolha de um produto ou serviço,
cujo objetivo é causar menor impacto sobre os recursos naturais ou até mesmo eliminá-lo. O consumo
sustentável também está relacionado com a escolha consciente das compras, ou seja, evitando as
compras por impulso, compra-se apenas o que realmente é necessário. Respostas pessoais.
• Você já parou para pensar se tem hábitos de consumo sustentável? Cite algumas ações que podem ser
adotadas no dia a dia que evitam desperdício.
• Pesquise a taxa percentual referente à reciclagem do lixo na sua cidade.
NÓS
Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou
2
o
modo
Escrevendo na forma decimal:
!! !
7
25
0,28
28
100
28%
Veja no material audiovisual o
vídeo sobre movimentos migratórios
no mundo.
Jogador de basquete
acertando a bola na cesta.
IMAGE SOURCE/GLOW IMAGES
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Na venda de um tênis de 150 reais,
um vendedor obteve uma comissão de
12 reais. Essa comissão representa
quantos por cento do preço do produto?
2. Rafael prepara um copo de suco mistu-
rando 120 mililitros de água e 80 mililitros
de suco de fruta concentrado. Qual é a
taxa percentual de água nessa mistura?
3. Vilma acertou 38 das 50 questões da prova
de Matemática de um vestibular. Quantos
por cento dessa prova ela acertou? 76%
4. Quinta-feira passada, 5 dos 40 alunos de
uma classe faltaram na aula de Educação
Física. Nesse dia, o professor registrou
quantos por cento de faltas? 12,5%
5. Após uma apresentação de música,
250 espectadores foram entrevistados e
opinaram sobre o show. Veja o resultado
dessa pesquisa:
Opinião Número de pessoas
Ótimo 105
Bom 100
Regular 30
Ruim 15
Opinião sobre o show
Fonte: Dados fictícios.
Observando a tabela e considerando o
total de entrevistados, escreva a taxa per-
centual correspondente a cada opinião.
a) Ótimo
b) Bom
c) Regular
d) Ruim
8%
60%
42%
40%
12%
6%
6. O primeiro Campeonato Mundial de
Voleibol Masculino foi realizado em
1949. Desse ano até 2014, já foram rea-
lizados 18 torneios, e o Brasil ganhou
3 deles. O número de conquistas brasi-
leiras representa quantos por cento do
número de torneios realizados?
CC. 2.5 BY KIBBUTZ GAN SHMUEL ARCHIVE
Campeonato Mundial de Voleibol
Masculino, em Moscou, 1952.
7. No verão de 2018, foi realizada uma
análise do lixo deixado em uma praia
do litoral brasileiro. O lixo foi separado
e classificado, e os resultados foram:
Tipo de materialMassa (em kg)
Plástico 396
Vidro 9
Metal 18
Papel 27
Análise do lixo encontrado na praia
Fonte: Dados fictícios.
Com base nessa tabela, responda:
a) Quantos quilogramas de lixo foram reco-
lhidos nessa praia? 450 kg
b) Os materiais de plástico recolhidos repre-
sentam quantos por cento desse total?
8. No colégio do meu bairro estudam 1 600
alunos, dos quais 720 são meninos. O
número de meninas representa quantos
por cento do total de alunos que estudam
nesse colégio? 55%
Aproximadamente 16,6%.
88%
Resoluções a partir da p. 289
21
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NO AUDIOVISUAL
Um dos materiais audiovisuais disponíveis
nesta coleção é um vídeo sobre movimen-
tos migratórios no mundo. Nesse vídeo,
abordam-se algumas questões políticas e
sociais que causam esses movimentos, bem
como alguns impactos econômicos e sociais
causados por eles. O cálculo de porcentagem
é abordado com o intuito de analisar razões
entre quantidades.
20
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66. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo levar os alunos a
reconhecer o significado do sím-
bolo % (por cento), representar
razões em forma percentual e
explorar taxas percentuais.
Mostrar aos alunos diferen-
tes relações que podem ser
usadas para encontrar a taxa
percentual, como transformá-
-la em fração ou expressá-la
na forma decimal.
Desenvolver com os alunos
atividades que utilizam dados
que fazem parte do cotidiano
deles. Uma sugestão é fazer a
análise do consumo de ener-
gia elétrica. Usar uma conta
de luz para propor que relacio-
nem o consumo de cada mês
e verifiquem o aumento ou a
diminuição de consumo em
relação ao mês anterior (em
porcentagem).
Aproveitar a atividade 5,
para comentar com os alunos
que a porcentagem aparece
com bastante frequência em
pesquisas de opinião e aná-
lises de pesquisas realizadas.
Na atividade, a partir da por-
centagem de cada opinião,
é possível concluir, de modo
mais direto, que a maioria das
pessoas considerou o show
como ótimo ou bom.
2 Como escrever a razão
3
8
na forma de taxa percentual?
Observando que 8 não é divisor de 100, vamos escrever a forma decimal de
3
8
(dividindo
3 por 8):
!! !!
"3
8
0,375
0,375100
100
37,5
100
37,5%

3
8
37,5%!
3 Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa quantos por cento
de desconto?
Inicialmente, temos a razão !
7000
25000
7
25
Podemos fazer o cálculo de dois modos.
1
o
modo
Usando razões equivalentes:
!!
7
25
28
100
28%
# 4
# 4
Representa 28% de desconto.
4 Em uma partida de basquetebol, obtemos o índice de
aproveitamento de lances livres de um jogador calcu-
lando a razão percentual entre o número de acertos e o
total de lances livres cobrados por esse jogador.
Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou
12 dos 15 lances livres que cobrou em uma partida?
12
15
0,80,80
80
100
80%!! !!
O índice de aproveitamento desse jogador foi de 80%.
Consumo sustentável
Consumo sustentável é um conjunto de práticas adotadas na escolha de um produto ou serviço,
cujo objetivo é causar menor impacto sobre os recursos naturais ou até mesmo eliminá-lo. O consumo
sustentável também está relacionado com a escolha consciente das compras, ou seja, evitando as
compras por impulso, compra-se apenas o que realmente é necessário. Respostas pessoais.
• Você já parou para pensar se tem hábitos de consumo sustentável? Cite algumas ações que podem ser
adotadas no dia a dia que evitam desperdício.
• Pesquise a taxa percentual referente à reciclagem do lixo na sua cidade.
NÓS
Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou
2
o
modo
Escrevendo na forma decimal:
!! !
7
25
0,28
28
100
28%
Veja no material audiovisual o
vídeo sobre movimentos migratórios
no mundo.
Jogador de basquete
acertando a bola na cesta.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Na venda de um tênis de 150 reais,
um vendedor obteve uma comissão de
12 reais. Essa comissão representa
quantos por cento do preço do produto?
2. Rafael prepara um copo de suco mistu-
rando 120 mililitros de água e 80 mililitros
de suco de fruta concentrado. Qual é a
taxa percentual de água nessa mistura?
3. Vilma acertou 38 das 50 questões da prova
de Matemática de um vestibular. Quantos
por cento dessa prova ela acertou? 76%
4. Quinta-feira passada, 5 dos 40 alunos de
uma classe faltaram na aula de Educação
Física. Nesse dia, o professor registrou
quantos por cento de faltas? 12,5%
5. Após uma apresentação de música,
250 espectadores foram entrevistados e
opinaram sobre o show. Veja o resultado
dessa pesquisa:
Opinião Número de pessoas
Ótimo 105
Bom 100
Regular 30
Ruim 15
Opinião sobre o show
Fonte: Dados fictícios.
Observando a tabela e considerando o
total de entrevistados, escreva a taxa per-
centual correspondente a cada opinião.
a) Ótimo
b) Bom
c) Regular
d) Ruim
8%
60%
42%
40%
12%
6%
6. O primeiro Campeonato Mundial de
Voleibol Masculino foi realizado em
1949. Desse ano até 2014, já foram rea-
lizados 18 torneios, e o Brasil ganhou
3 deles. O número de conquistas brasi-
leiras representa quantos por cento do
número de torneios realizados?
CC. 2.5 BY KIBBUTZ GAN SHMUEL ARCHIVE
Campeonato Mundial de Voleibol
Masculino, em Moscou, 1952.
7. No verão de 2018, foi realizada uma
análise do lixo deixado em uma praia
do litoral brasileiro. O lixo foi separado
e classificado, e os resultados foram:
Tipo de materialMassa (em kg)
Plástico 396
Vidro 9
Metal 18
Papel 27
Análise do lixo encontrado na praia
Fonte: Dados fictícios.
Com base nessa tabela, responda:
a) Quantos quilogramas de lixo foram reco-
lhidos nessa praia? 450 kg
b) Os materiais de plástico recolhidos repre-
sentam quantos por cento desse total?
8. No colégio do meu bairro estudam 1 600
alunos, dos quais 720 são meninos. O
número de meninas representa quantos
por cento do total de alunos que estudam
nesse colégio? 55%
Aproximadamente 16,6%.
88%
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67. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Por toda parte
Ao realizar as atividades
propostas nessa seção, os
alunos terão coletado dados
sobre os biomas do Brasil.
Essas explorações podem ser
ampliadas em outras áreas do
conhecimento, como Geogra-
fia e Ciências.
Depois de realizarem as
atividades, propor aos alunos
que façam uma pesquisa so-
bre o desmatamento e suas
consequências. Selecionar pre-
viamente fontes de pesquisa
que eles possam usar na sala
de aula. Ao terminar, realizar
um debate com a turma e criar
um texto único sobre as atitu-
des que podem ajudar a cons-
cientizar as pessoas a respeito
do tema.
No site do Instituto de Pes-
quisa Ambiental da Amazônia
(IPAM), é possível encontrar
mapas que mostram áreas
desmatadas. No site a seguir,
há o mapa das áreas desmata-
das na região amazônica, com
dados coletados até 2014 –
<http://livro.pro/o6vrbc>. Aces-
so em: 6 nov. 2018.
Amazônia ocupa quase 50% do território nacional
Maior reserva de diversidade biológica do mundo,
a Amazônia é também o maior bioma brasileiro em
extensão. Com a área aproximada de 4 196 943 km²,
o Bioma Amazônia ocupa quase metade do território
nacional (49,29%).
A bacia amazônica ocupa
2
5
da América do Sul e 5%
da superfície terrestre. Sua área, de aproximadamente
6,5 milhões de quilômetros quadrados, abriga a maior
rede hidrográfica do planeta, que escoa cerca de
1
5

do
volume de água doce do mundo. Sessenta por cento da
bacia amazônica encontra-se em território brasileiro,
onde o Bioma Amazônia ocupa a totalidade de cinco unidades da federação (Acre, Amapá,
Amazonas, Pará e Roraima), grande parte de Rondônia (98,8%), mais da metade do Mato
Grosso (54%), além de parte do Maranhão (34%) e de Tocantins (9%).
Informações obtidas em: IBGE. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2013-
agencia-de-noticias/releases/12789-asi-ibge-lanca-o-mapa-de-biomas-do-brasil-e-o-mapa-de-vegetacao-do-brasil-
em-comemoracao-ao-dia-mundial-da-biodiversidade.html>. Acesso em: 1 jul. 2018.
De acordo com o texto apresentado, responda às questões a seguir, no caderno, usando
uma calculadora.
1. Qual a área aproximada do território brasileiro? 8 500 000 km²
2. Qual a área aproximada da superfície da América do Sul?
3. Faça uma pesquisa e descubra quantos biomas há no Brasil e quantos por cento
cada um deles representa do território nacional. Pesquisa do aluno.
4. O Programa de Monitoramento do Desmatamento na Amazônia (Prodes) é o sistema
responsável pelas taxas oficiais do desmatamento na Amazônia Legal, cujo saté-
lite opera com imagens de 30 metros de resolução. A apuração do Inpe (Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais) com esse sistema, referente ao período de agosto
de 2016 a julho de 2017, apontou uma queda de 16% no desmatamento da floresta.
Essa é a segunda menor taxa de toda a história do monitoramento.
Informações obtidas em: INPE. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/OBT/noticias/INPE-estima-
desmatamento-por-corte-raso-na-Amazonia-em-2017>. Acesso em: 1 jul. 2018.
• Sabendo que a área desmatada registrada de agosto de 2015 a julho de 2016 foi
cerca de 7 893 km², calcule e registre a área desmatada no mesmo período entre
2016 e 2017. 6 630,12 km²
A área aproximada
é 16 250 000 km².
POR TODA PARTE
Bioma é conceituado como um
conjunto de vida (vegetal e animal),
constituído pelo agrupamento de
tipos de vegetação contíguos e
identificáveis em escala regional,
com condições geoclimáticas
similares e história compartilhada
de mudanças, o que resulta em uma
diversidade biológica própria.
SAIBA QUE
Vista aérea de desmatamento
no município de Altamira, PA.
Resoluções a partir da p. 289
RICARDO LIMA/MOMENT OPEN/GETTY IMAGES
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Juro simples
pense e responda
Agora, responda às questões no caderno.
1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.
2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse
caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00.
3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto
sai a TV? R$ 1.080,00
Resoluções a partir da p. 289
WANDSON ROCHA
Esta TV é o último
lançamento. Vale
R$ 1.200,00.
Em 3 vezes sem juro,
divido 600 : 3 5 200.
É isso?
E se eu quiser
pagar 30% de entrada
e o restante em
10 vezes, posso?
Mas, no caso de dividir
o restante em 10 vezes,
há um juro de 5% em
cada parcela.
50% é metade, né?
Metade de
R$ 1.200,00 é
R$ 600,00.
Então, em vez
de R$ 84,00, eu vou pagar
R$ 88,20 por mês.
Como eu
posso pagar?
Falta pagar
R$ 840,00.
Você paga
50% de entrada,
e o restante
em 3 vezes
sem juro.
Fica faltando
a outra metade.
R$ 600,00.
Nesse caso,
30% de R$ 1.200,00
são R$ 360,00.
Isso
mesmo!
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68. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
As atividades dessa seção
têm como objetivo preparar
os alunos para o trabalho com
juro simples e verificar os co-
nhecimentos prévios sobre
o assunto. Pedir aos alunos
que tragam de casa diferentes
panfletos com propaganda de
mercadorias que contenham
ofertas e situações de compra
à vista e a prazo.
É importante o aluno com-
preender as duas maneiras
mais comuns de efetuar o pa-
gamento de uma compra: o
pagamento à vista, em que o
cliente paga o preço total da
mercadoria no ato da com-
pra (com algum desconto ou
não); pagamento a prazo (em
prestações), em que o valor
da compra é dividido em pa-
gamentos mensais e conse-
cutivos. Nessa modalidade o
cliente pode ou não pagar
parte do valor no ato da com-
pra (entrada).
Na modalidade de paga-
mento à vista, o vendedor pode
oferecer um desconto para o
cliente; na compra a prazo, ge-
ralmente, é cobrado um acrésci-
mo (juro) pelo tempo de espera
para receber o pagamento inte-
gral da mercadoria.
Se achar pertinente, propor
a série de atividades disponível
no link <http://livro.pro/qjrrhp>.
Acesso em: 18 nov. 2018.
Na atividade 1, os alunos
poderão concluir que juro é
uma espécie de “aluguel”
que se paga pelo uso de di-
nheiro emprestado ou quando
se paga uma mercadoria em
prestações.
Amazônia ocupa quase 50% do território nacional
Maior reserva de diversidade biológica do mundo,
a Amazônia é também o maior bioma brasileiro em
extensão. Com a área aproximada de 4 196 943 km²,
o Bioma Amazônia ocupa quase metade do território
nacional (49,29%).
A bacia amazônica ocupa
2
5
da América do Sul e 5%
da superfície terrestre. Sua área, de aproximadamente
6,5 milhões de quilômetros quadrados, abriga a maior
rede hidrográfica do planeta, que escoa cerca de
1
5

do
volume de água doce do mundo. Sessenta por cento da
bacia amazônica encontra-se em território brasileiro,
onde o Bioma Amazônia ocupa a totalidade de cinco unidades da federação (Acre, Amapá,
Amazonas, Pará e Roraima), grande parte de Rondônia (98,8%), mais da metade do Mato
Grosso (54%), além de parte do Maranhão (34%) e de Tocantins (9%).
Informações obtidas em: IBGE. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2013-
agencia-de-noticias/releases/12789-asi-ibge-lanca-o-mapa-de-biomas-do-brasil-e-o-mapa-de-vegetacao-do-brasil-
em-comemoracao-ao-dia-mundial-da-biodiversidade.html>. Acesso em: 1 jul. 2018.
De acordo com o texto apresentado, responda às questões a seguir, no caderno, usando
uma calculadora.
1. Qual a área aproximada do território brasileiro? 8 500 000 km²
2. Qual a área aproximada da superfície da América do Sul?
3. Faça uma pesquisa e descubra quantos biomas há no Brasil e quantos por cento
cada um deles representa do território nacional. Pesquisa do aluno.
4. O Programa de Monitoramento do Desmatamento na Amazônia (Prodes) é o sistema
responsável pelas taxas oficiais do desmatamento na Amazônia Legal, cujo saté-
lite opera com imagens de 30 metros de resolução. A apuração do Inpe (Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais) com esse sistema, referente ao período de agosto
de 2016 a julho de 2017, apontou uma queda de 16% no desmatamento da floresta.
Essa é a segunda menor taxa de toda a história do monitoramento.
Informações obtidas em: INPE. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/OBT/noticias/INPE-estima-
desmatamento-por-corte-raso-na-Amazonia-em-2017>. Acesso em: 1 jul. 2018.
• Sabendo que a área desmatada registrada de agosto de 2015 a julho de 2016 foi
cerca de 7 893 km², calcule e registre a área desmatada no mesmo período entre
2016 e 2017. 6 630,12 km²
A área aproximada
é 16 250 000 km².
POR TODA PARTE
Bioma é conceituado como um
conjunto de vida (vegetal e animal),
constituído pelo agrupamento de
tipos de vegetação contíguos e
identificáveis em escala regional,
com condições geoclimáticas
similares e história compartilhada
de mudanças, o que resulta em uma
diversidade biológica própria.
SAIBA QUE
Vista aérea de desmatamento
no município de Altamira, PA.
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Juro simples
pense e responda
Agora, responda às questões no caderno.
1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.
2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse
caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00.
3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto
sai a TV? R$ 1.080,00
Resoluções a partir da p. 289
WANDSON ROCHA
Esta TV é o último
lançamento. Vale
R$ 1.200,00.
Em 3 vezes sem juro,
divido 600 : 3 5 200.
É isso?
E se eu quiser
pagar 30% de entrada
e o restante em
10 vezes, posso?
Mas, no caso de dividir
o restante em 10 vezes,
há um juro de 5% em
cada parcela.
50% é metade, né?
Metade de
R$ 1.200,00 é
R$ 600,00.
Então, em vez
de R$ 84,00, eu vou pagar
R$ 88,20 por mês.
Como eu
posso pagar?
Falta pagar
R$ 840,00.
Você paga
50% de entrada,
e o restante
em 3 vezes
sem juro.
Fica faltando
a outra metade.
R$ 600,00.
Nesse caso,
30% de R$ 1.200,00
são R$ 360,00.
Isso
mesmo!
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69. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ressaltar que no regime
de juro simples a taxa de juro
sempre é aplicada no capital
(valor inicial da transação).
Antes de apresentar as si-
tuações propostas no livro, é
interessante fazer uma simula-
ção de juro simples na lousa.
Por exemplo, uma aplicação
de R$ 10 000,00 a uma taxa
mensal de 1% a juro simples.
Pedir aos alunos que calculem
o montante (capital + juro) a
cada mês de um trimestre. O
importante é eles perceberem
que o cálculo do juro de cada
mês é obtido tomando-se
sempre 1% de 10 000 reais.
Propor aos alunos que fa-
çam modificações nas condi-
ções de cada situação apre-
sentada para que observem o
que ocorre. Por exemplo, eles
podem alterar a taxa e o prazo.
Ressaltar que a taxa de juro
sempre deve estar na mesma
unidade de tempo que o pe-
ríodo de tempo considerado.
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a um banco, ela paga uma compensação
pelo tempo que fica com a quantia emprestada.
Às vezes, quando se compra uma mercadoria à prestação, paga-se um acréscimo pelo tempo
correspondente ao número de prestações.
Quando alguém aplica dinheiro em um banco, recebe uma compensação pelo tempo em
que está emprestando a quantia ao banco.
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo se chama juro e corres-
ponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Assim, podemos dizer que:
Quando falamos em juro, devemos considerar:
• O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital.
• A taxa de porcentagem que se paga pelo “aluguel” do dinheiro chama-se taxa de juro.
• O total que se paga no fim do empréstimo (capital ! juro) chama-se montante.
Vejamos, a seguir, algumas situações que envolvem juro.
1 Regina vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por 3 meses com uma taxa de
juro simples de 2,7% ao mês. Qual a quantia que ela deverá pagar de juro e qual o total que
Regina terá de pagar no fim do empréstimo?
Vamos indicar por x a quantia que ela deverá pagar de juro e teremos:
x " (2,7% de 12 000) · 3
x " 0,027 · 12 000 · 3 " 972
Ao todo, ela deverá pagar ao banco a quantia de:
12 000 ! 972 " 12 972
Regina deverá pagar 972 reais de juro e pagará, no total, 12 972 reais.
2 Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 12% ao ano,
rendeu 1 800 reais de juro simples. Qual foi a quantia aplicada?
Vamos, inicialmente, determinar quanto a aplicação rendeu de juro
por ano: 1 800 : 2 " 900
Representando a quantia aplicada por x, podemos escrever:
12% · x " 900
0,12x " 900
x "
900
0,12
" 7 500
A quantia aplicada foi 7 500 reais.
Toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pela quantia
em dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado, é chamada juro.
WANDSON ROCHA
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno, con-
siderando juro simples.
1. Quanto renderá de juro:
a) a quantia de 1 800 reais, aplicada durante
5 meses, a uma taxa de 2,3% ao mês?
b) a quantia de 2 450 reais, aplicada durante
2 meses, a uma taxa de 1,96% ao mês?
2. Uma aplicação de 40 000 reais rendeu,
em 3 meses, 3 000 reais de juro. Qual é
a taxa mensal de juro? 2,5%
3. Luís Roberto colocou parte de seu
13
o
salário em uma aplicação que rendia
25,6% de juro ao ano. Sabendo-se que
após dois anos ele recebeu 389,12 reais
de juro, qual foi a quantia que ele aplicou?
4. (UFPB) Katienne tem duas opções de pa-
gamento na compra de um fogão: sem
juros, em quatro parcelas mensais iguais
de R$ 350,00; ou à vista, com 15% de
desconto. Nesse contexto, o preço desse
fogão, à vista, é: Alternativa a.
a) R$ 1 190,00
b) R$ 1 110,00
c) R$ 1 210,00
d) R$ 1 090,00
e) R$ 1 290,00
5. (Saresp-SP) Certo banco cobra juros
simples de 0,3% ao dia para contas pagas
com atraso de até 30 dias. Pedro pagou
uma conta de R$ 50,00 com atraso de
12 dias. O valor pago por Pedro foi de:
a) R$ 51,00
b) R$ 51,40
c) R$ 51,80
d) R$ 52,20
6. (Saresp-SP) Marcos fez um empréstimo
de R$ 120 000,00 que deverá ser pago
com juros de 1% ao mês sobre o valor
207 reais.
96,04 reais.
760 reais.
Alternativa c.
emprestado a cada mês. Sabendo que
pagou R$ 6 000,00 de juros, quantos
meses levou para pagar o empréstimo?
a) 3 meses
b) 4 meses
c) 5 meses
d) 6 meses
7. Uma loja do meu bairro colocou o se-
guinte anúncio na vitrine:
EDITORIA DE ARTE
APARELHO DE SOM
150 REAIS
À VISTA
156 REAIS
COM CHEQUE
PARA 30 DIAS
Qual é a taxa mensal de juro que essa loja
está cobrando para pagamento a prazo?
8. (Fuvest-SP) Há um ano, Bruno comprou
uma casa por R$ 50 000,00. Para isso,
tomou emprestados R$ 10 000,00 de
Edson e R$ 10 000,00 de Carlos, pro-
metendo devolver-lhes o dinheiro,
após um ano, acrescido de 5% e 4% de
juros, respectivamente. A casa valorizou
3% durante este período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa
hoje e pagou o combinado a Edson e
Carlos, o seu lucro foi de: Alternativa c.
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
9. Mariana precisa comprar um fogão.
Depois de pesquisar bastante, ela en-
controu um fogão com duas opões
de pagamento: R$ 700,00 à vista ou
R$ 800,00 em 4 parcelas de R$ 200,00,
pagando a primeira parcela no ato da
compra. Sabendo-se que Mariana tem
os R$ 800,00 e pretende aplicá-los a
juro simples de 4% ao mês, qual tipo de
pagamento será mais vantajoso financei-
ramente? Por quê?
Alternativa c.
4%
À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
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70. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Espera-se que com essas
atividades os alunos tenham
compreendido juro como a
compensação em dinheiro
que se recebe ou que se paga
por uma quantia aplicada ou
emprestada, além de aplica-
rem os conhecimentos adqui-
ridos para resolver problemas
de juro simples que envolve o
tempo dado em anos, meses
ou dias.
Na atividade 1, orientar
os alunos a realizar os cálcu-
los formalmente e, depois,
refazê-los com a calculadora,
verificando os resultados en-
contrados.
No item a, para calcular o
juro simples relativo aos 5 me-
ses, basta multiplicar o valor
obtido em um mês (R$ 41,40)
pela quantidade de meses que
renderá juro. Portanto, em
5 meses, renderá: R$ 207,00 (5 ?
? 41,40).
Vale ressaltar que o juro
simples não costuma ser pra-
ticado no mercado. Mas, em
termos didáticos, é bastante
útil discuti-lo, pois permite aos
alunos compreender o concei-
to de juro como acréscimo de
um valor.
Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a um banco, ela paga uma compensação
pelo tempo que fica com a quantia emprestada.
Às vezes, quando se compra uma mercadoria à prestação, paga-se um acréscimo pelo tempo
correspondente ao número de prestações.
Quando alguém aplica dinheiro em um banco, recebe uma compensação pelo tempo em
que está emprestando a quantia ao banco.
Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo se chama juro e corres-
ponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra.
Assim, podemos dizer que:
Quando falamos em juro, devemos considerar:
• O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital.
• A taxa de porcentagem que se paga pelo “aluguel” do dinheiro chama-se taxa de juro.
• O total que se paga no fim do empréstimo (capital ! juro) chama-se montante.
Vejamos, a seguir, algumas situações que envolvem juro.
1 Regina vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por 3 meses com uma taxa de
juro simples de 2,7% ao mês. Qual a quantia que ela deverá pagar de juro e qual o total que
Regina terá de pagar no fim do empréstimo?
Vamos indicar por x a quantia que ela deverá pagar de juro e teremos:
x " (2,7% de 12 000) · 3
x " 0,027 · 12 000 · 3 " 972
Ao todo, ela deverá pagar ao banco a quantia de:
12 000 ! 972 " 12 972
Regina deverá pagar 972 reais de juro e pagará, no total, 12 972 reais.
2 Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 12% ao ano,
rendeu 1 800 reais de juro simples. Qual foi a quantia aplicada?
Vamos, inicialmente, determinar quanto a aplicação rendeu de juro
por ano: 1 800 : 2 " 900
Representando a quantia aplicada por x, podemos escrever:
12% · x " 900
0,12x " 900
x "
900
0,12
" 7 500
A quantia aplicada foi 7 500 reais.
Toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pela quantia
em dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado, é chamada juro.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno, con-
siderando juro simples.
1. Quanto renderá de juro:
a) a quantia de 1 800 reais, aplicada durante
5 meses, a uma taxa de 2,3% ao mês?
b) a quantia de 2 450 reais, aplicada durante
2 meses, a uma taxa de 1,96% ao mês?
2. Uma aplicação de 40 000 reais rendeu,
em 3 meses, 3 000 reais de juro. Qual é
a taxa mensal de juro? 2,5%
3. Luís Roberto colocou parte de seu
13
o
salário em uma aplicação que rendia
25,6% de juro ao ano. Sabendo-se que
após dois anos ele recebeu 389,12 reais
de juro, qual foi a quantia que ele aplicou?
4. (UFPB) Katienne tem duas opções de pa-
gamento na compra de um fogão: sem
juros, em quatro parcelas mensais iguais
de R$ 350,00; ou à vista, com 15% de
desconto. Nesse contexto, o preço desse
fogão, à vista, é: Alternativa a.
a) R$ 1 190,00
b) R$ 1 110,00
c) R$ 1 210,00
d) R$ 1 090,00
e) R$ 1 290,00
5. (Saresp-SP) Certo banco cobra juros
simples de 0,3% ao dia para contas pagas
com atraso de até 30 dias. Pedro pagou
uma conta de R$ 50,00 com atraso de
12 dias. O valor pago por Pedro foi de:
a) R$ 51,00
b) R$ 51,40
c) R$ 51,80
d) R$ 52,20
6. (Saresp-SP) Marcos fez um empréstimo
de R$ 120 000,00 que deverá ser pago
com juros de 1% ao mês sobre o valor
207 reais.
96,04 reais.
760 reais.
Alternativa c.
emprestado a cada mês. Sabendo que
pagou R$ 6 000,00 de juros, quantos
meses levou para pagar o empréstimo?
a) 3 meses
b) 4 meses
c) 5 meses
d) 6 meses
7. Uma loja do meu bairro colocou o se-
guinte anúncio na vitrine:
EDITORIA DE ARTE
APARELHO DE SOM
150 REAIS
À VISTA
156 REAIS
COM CHEQUE
PARA 30 DIAS
Qual é a taxa mensal de juro que essa loja
está cobrando para pagamento a prazo?
8. (Fuvest-SP) Há um ano, Bruno comprou
uma casa por R$ 50 000,00. Para isso,
tomou emprestados R$ 10 000,00 de
Edson e R$ 10 000,00 de Carlos, pro-
metendo devolver-lhes o dinheiro,
após um ano, acrescido de 5% e 4% de
juros, respectivamente. A casa valorizou
3% durante este período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa
hoje e pagou o combinado a Edson e
Carlos, o seu lucro foi de: Alternativa c.
a) R$ 400,00
b) R$ 500,00
c) R$ 600,00
d) R$ 700,00
e) R$ 800,00
9. Mariana precisa comprar um fogão.
Depois de pesquisar bastante, ela en-
controu um fogão com duas opões
de pagamento: R$ 700,00 à vista ou
R$ 800,00 em 4 parcelas de R$ 200,00,
pagando a primeira parcela no ato da
compra. Sabendo-se que Mariana tem
os R$ 800,00 e pretende aplicá-los a
juro simples de 4% ao mês, qual tipo de
pagamento será mais vantajoso financei-
ramente? Por quê?
Alternativa c.
4%
À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
Resoluções a partir da p. 289
25
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71. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
Propor aos alunos que se
reúnam em duplas, incenti-
vando a troca de ideias e de
estratégias de resolução. As
questões que eles tiverem
mais dificuldades podem ser
resolvidas na lousa.
Esta seção aborda o tema
água com vários enfoques: re-
cursos hídricos, distribuição da
água no planeta e distribuição
de água nos órgãos do corpo
humano. Para tanto, solicitar
que os alunos realizem uma
pesquisa sobre a importância
do consumo diário de água de
maneira consciente, os benefí-
cios desse hábito e os malefícios
quando não há preocupação
com essa recomendação. To-
das essas informações poderão
ser apresentadas em cartazes a
serem expostos na escola para
que as informações pesquisa-
das sejam compartilhadas.
Explorar o gráfico de colunas
triplas com os alunos para que
respondam à atividade 1, de
modo a verificar possíveis dúvi-
das. Perguntar a diferença entre
as colunas, o que significa cada
cor, o que indica a legenda e
fazer algumas leituras de dados
de colunas diferentes.
Se julgar pertinente, aces-
sar o site do Instituto Brasilei-
ro de Geografia e Estatística
(IBGE), na área IBGE Educa
(<http://livro.pro/brkfs4>,
acesso em: 6 nov. 2018), pois
é possível encontrar material
para alunos e professores. Há
diversas representações gráfi-
cas apresentadas com dados
reais e atuais da população
brasileira.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Recursos hídricos
A água é uma substância fundamental para a manutenção da vida animal e da vida vegetal.
É um recurso natural de extrema importância no desenvolvimento de diversas atividades, como
no setor agrícola, industrial, econômico, entre outros.
As atividades a seguir trazem algumas pesquisas estatísticas sobre a importância da água.
Para resolver essas atividades, é necessário interpretar e construir diferentes tipos de gráfico.
1. O Brasil possui cerca de 13,7% do total de água doce do mundo, sendo considerado um
território rico em termos hídricos. No entanto, o país vive sérios problemas, relacionados tanto
à degradação da qualidade das águas, principalmente nas proximidades das áreas urbanas,
quanto à falta de controle do excesso e da insuficiência de água, que atingem várias locali-
dades brasileiras. Não são somente as enchentes que afetam as cidades brasileiras: a escassez
hídrica também impõe sérias restrições e elevados custos ao desenvolvimento econômico e
social de grandes cidades do Brasil.
Observando o gráfico a seguir, responda no caderno:
Informações obtidas em: MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE. Disponível em: <http://www.mma.gov.br/estruturas/
sedr_proecotur/_publicacao/140_publicacao09062009025910.pdf>. Acesso em: 1
o
jul. 2018.
a) Que tipo de gráfico é este? Gráfico de colunas triplas ou gráfico de múltiplas colunas.
b) Indique a região brasileira:
• com a maior superfície; Região Norte: 45,30%.
• com mais recursos hídricos; Região Norte: 68,50%.
• com a segunda menor concentração de população. Região Norte: 6,98%.
c) Que região tem a menor taxa percentual de recursos hídricos do nosso país?
d) Em qual região há maior concentração de população? Região Sudeste: 42,65%.
e) Pode-se dizer que quanto maior a superfície da região, maior é o número de habitantes?
Justifique sua resposta.
f) Quantos por cento da água doce do mundo estão na região Sudeste brasileira? Explique como
você pensou para responder. Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Pode-se dizer que a região que dispõe de mais recursos hídricos é a que possui a maior população?
Região Nordeste:
3,30%.
Não.
Resoluções a partir da p. 289
Recursos hídricos
Superfície
População
Distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população do Brasil (em %)
EDITORIA DE ARTE
0
Norte Centro-Oeste Sul Sudeste Nordeste
10
20
30
40
50
60
70
80
Região
%
68,5
45,3
18,8
6,8
3,3
6,5
15,05
42,65
28,91
10,8
18,3
15,7
6,98 6,41 6
Não. O Sudeste possui a maior população, porém possui a segunda
menor superfície do Brasil.
26
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Cerca de 70% da superfície da Terra está coberta de água. Desse total, 97,5% constituem
os oceanos e mares, e somente 2,5% são de água doce. Observe, no gráfico, como essa água
é distribuída.
Água no planeta
EDITORIA DE ARTE
Informações obtidas em: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS . A água no planeta
para crianças. Disponível em: <http://arquivos.ana.gov.br/institucional/sge/CEDOC/
Catalogo/2014/AAguaNoPlanetaParaCriancas2014.pdf>. Acesso em: 1
o
jul. 2018.
97,5%
29,9%
68,9%
0,9%0,3%
Total global
(água)
2,5% do total global
(água doce)
Água doce
Água salgada
Geleiras e coberturas
permanentes de neve
Solos, pântanos e geadas
Águas subterrâneas
Rios e lagos
2,5%
Total global (água)
2,5% do total global (água doce)
2. Responda no caderno, ao que se pede.
a) Explique o significado de cada taxa percentual representada no gráfico. Resposta pessoal.
b) Determine qual taxa percentual, aproximada, de água do planeta corresponde:
• às geleiras e coberturas permanentes de neve; 1,72%
• aos rios e lagos; 0,0075%
• às águas subterrâneas; 0,75%
• aos solos, aos pântanos e às geadas. 0,02%
Você pode utilizar uma calculadora para fazer os cálculos.
3. Você sabia que o total de água no corpo humano
é 70%, a mesma taxa percentual de água da
superfície terrestre? Veja, na tabela, quantos por
cento de água há nos órgãos do corpo humano.
Faça um gráfico de barras com os dados da tabela.
Resposta no gabarito ao final do livro.
Informações obtidas em: NÚCLEO DE TECNOLOGIA
EDUCACIONAL MUNICIPAL Curiosidades sobre a água.
Disponível em: <https://ead.pti.org.br/ntm/mod/forum/
discuss.php?d=32>. Acesso em: 3 ago. 2018.
Percentual de água nos órgãos
do corpo humano
Órgão Percentual
Cérebro 75%
Pulmões 86%
Fígado 86%
Músculos 75%
Coração 75%
Rins 83%
Sangue 81%
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72. Para a atividade 2, explo-
rar os gráficos que mostram
a distribuição da água no pla-
neta. O segundo gráfico dessa
atividade apresenta um deta-
lhamento da parte referente à
água doce do primeiro gráfico.
Para realizar uma abor-
dagem interdisciplinar com
Ciências, é possível explorar
o infográfico apresentado
em: <http://livro.pro/wyqyhj>
(acesso em: 6 nov. 2018). Ele
oferece riqueza de informa-
ções sobre a questão da água
no planeta.
Conversar com os alunos so-
bre como devem ser as barras
no gráfico a ser feito na ativi-
dade 3. Espera-se que eles con-
cluam que os comprimentos
das barras devem ser proporcio-
nais aos percentuais relativos a
cada órgão da tabela.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Recursos hídricos
A água é uma substância fundamental para a manutenção da vida animal e da vida vegetal.
É um recurso natural de extrema importância no desenvolvimento de diversas atividades, como
no setor agrícola, industrial, econômico, entre outros.
As atividades a seguir trazem algumas pesquisas estatísticas sobre a importância da água.
Para resolver essas atividades, é necessário interpretar e construir diferentes tipos de gráfico.
1. O Brasil possui cerca de 13,7% do total de água doce do mundo, sendo considerado um
território rico em termos hídricos. No entanto, o país vive sérios problemas, relacionados tanto
à degradação da qualidade das águas, principalmente nas proximidades das áreas urbanas,
quanto à falta de controle do excesso e da insuficiência de água, que atingem várias locali-
dades brasileiras. Não são somente as enchentes que afetam as cidades brasileiras: a escassez
hídrica também impõe sérias restrições e elevados custos ao desenvolvimento econômico e
social de grandes cidades do Brasil.
Observando o gráfico a seguir, responda no caderno:
Informações obtidas em: MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE. Disponível em: <http://www.mma.gov.br/estruturas/
sedr_proecotur/_publicacao/140_publicacao09062009025910.pdf>. Acesso em: 1
o
jul. 2018.
a) Que tipo de gráfico é este? Gráfico de colunas triplas ou gráfico de múltiplas colunas.
b) Indique a região brasileira:
• com a maior superfície; Região Norte: 45,30%.
• com mais recursos hídricos; Região Norte: 68,50%.
• com a segunda menor concentração de população. Região Norte: 6,98%.
c) Que região tem a menor taxa percentual de recursos hídricos do nosso país?
d) Em qual região há maior concentração de população? Região Sudeste: 42,65%.
e) Pode-se dizer que quanto maior a superfície da região, maior é o número de habitantes?
Justifique sua resposta.
f) Quantos por cento da água doce do mundo estão na região Sudeste brasileira? Explique como
você pensou para responder. Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Pode-se dizer que a região que dispõe de mais recursos hídricos é a que possui a maior população?
Região Nordeste:
3,30%.
Não.
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Recursos hídricos
Superfície
População
Distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população do Brasil (em %)
EDITORIA DE ARTE
0
Norte Centro-Oeste Sul Sudeste Nordeste
10
20
30
40
50
60
70
80
Região
%
68,5
45,3
18,8
6,8
3,3
6,5
15,05
42,65
28,91
10,8
18,3
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6,98 6,41 6
Não. O Sudeste possui a maior população, porém possui a segunda
menor superfície do Brasil.
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Cerca de 70% da superfície da Terra está coberta de água. Desse total, 97,5% constituem
os oceanos e mares, e somente 2,5% são de água doce. Observe, no gráfico, como essa água
é distribuída.
Água no planeta
EDITORIA DE ARTE
Informações obtidas em: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS . A água no planeta
para crianças. Disponível em: <http://arquivos.ana.gov.br/institucional/sge/CEDOC/
Catalogo/2014/AAguaNoPlanetaParaCriancas2014.pdf>. Acesso em: 1
o
jul. 2018.
97,5%
29,9%
68,9%
0,9%0,3%
Total global
(água)
2,5% do total global
(água doce)
Água doce
Água salgada
Geleiras e coberturas
permanentes de neve
Solos, pântanos e geadas
Águas subterrâneas
Rios e lagos
2,5%
Total global (água)
2,5% do total global (água doce)
2. Responda no caderno, ao que se pede.
a) Explique o significado de cada taxa percentual representada no gráfico. Resposta pessoal.
b) Determine qual taxa percentual, aproximada, de água do planeta corresponde:
• às geleiras e coberturas permanentes de neve; 1,72%
• aos rios e lagos; 0,0075%
• às águas subterrâneas; 0,75%
• aos solos, aos pântanos e às geadas. 0,02%
Você pode utilizar uma calculadora para fazer os cálculos.
3. Você sabia que o total de água no corpo humano
é 70%, a mesma taxa percentual de água da
superfície terrestre? Veja, na tabela, quantos por
cento de água há nos órgãos do corpo humano.
Faça um gráfico de barras com os dados da tabela.
Resposta no gabarito ao final do livro.
Informações obtidas em: NÚCLEO DE TECNOLOGIA
EDUCACIONAL MUNICIPAL Curiosidades sobre a água.
Disponível em: <https://ead.pti.org.br/ntm/mod/forum/
discuss.php?d=32>. Acesso em: 3 ago. 2018.
Percentual de água nos órgãos
do corpo humano
Órgão Percentual
Cérebro 75%
Pulmões 86%
Fígado 86%
Músculos 75%
Coração 75%
Rins 83%
Sangue 81%
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73. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Educação financeira
O texto proposto nesta se-
ção procura explicar o que são
corretoras de valores, sua im-
portância e como fazem para
guardar e capitalizar dinheiro
aos seus clientes. Pedir aos
alunos que leiam o texto e
façam um resumo com as in-
formações que considerarem
mais importantes.
Ler, em seguida, coletiva-
mente, e discutir com os alu-
nos os pontos levantados em
seus resumos. Explorar as in-
formações destacadas por eles
e explicar como as corretoras
ganham dinheiro, mostrando
que há uma diferença entre o
juro pago pelo tomador e o juro
recebido por quem investe.
Após a discussão do tema,
solicitar aos alunos que façam
as atividades propostas.
Discutir as respostas da ati-
vidade 3. Espera-se que os
alunos concluam que as situa-
ções dos itens a e d podem ser
desvantajosas e que a solução,
nesses casos, é adequar gastos
e ganhos. Nas situações rela-
tivas a negócios, apresentadas
nos itens b e c, comentar que
muitas vezes essa é a principal
escolha para quem está desen-
volvendo um negócio, mesmo
com o risco do lucro demorar
mais que o previsto ou não
acontecer, podendo gerar pre-
juízos. No item e, discutir a rela-
ção entre necessidade e desejo.
Nessa situação, uma alternativa
é poupar dinheiro durante um
tempo para comprar o objeto
posteriormente, se for possível
aguardar.
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
O que são os bancos?
Banco Central do Brasil
Editada em dez. 2002
Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que
precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir
comércio e instalar novas fábricas.
Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo
que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas
pedirem dinheiro emprestado às outras.
Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guar-
dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos.
E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes
empréstimos e recebem juros pelo serviço.
Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para
emprestar a outros.
[...]
Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o
dinheiro se multiplique.
Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum
tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo
aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte,
bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das
pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em
uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros.
Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa,
sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso
de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...]
Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos?
Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.
1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos?
2. Uma pessoa fez uma aplicação de
R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês.
Quanto receberá de juro em 1 ano?
3. As aplicações financeiras nos auxiliam
a capitalizar nosso dinheiro. Discuta
com seus colegas as situações a seguir
indicando se a aplicação financeira pode
ou não contribuir para:
a) Ter um dinheiro extra para aproveitar
mais a vida.
b) Comprar uma máquina que vai aumentar
a produtividade de um negócio.
c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren-
dimento seja maior que o juro pago.
d) Completar o orçamento doméstico.
e) Comprar um objeto cujo valor não está
disponível.
R$ 360,00
Respostas pessoais.
Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e
entenda melhor como os bancos funcionam.
1. O s b a n c o s o f e r e c e m , p a r a q u e m t e m d i n h e i r o e q u e r g u a r d á - l o , u m a f o r m a s e g u r a d e f a z ê - l o . J á p a r a a s p e s s o a s q u e p r e c i s a m
de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço.
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4
CAPÍTULO
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais, expressos por
meio de frações, na forma decimal. Para isso, basta dividir o numerador pelo denominador.
Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Por exemplo, a fração
9
20
:
9 20
900,45
100
0
Ou seja,
9
20
! 0,45
Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Vamos ver a fração "
7
11
:
7 11
70 0,636363...
40
70
40
70
40
7
Ou seja, "
7
11
! "0,636363...
No segundo exemplo, o resto nunca se anula e fica alternando entre 7 e 4. O
quociente tem a parte decimal infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica.
No caso de "0,636363..., os algarismos 6 e 3, respectivamente, continuarão se repe-
tindo indefinidamente.
Dizemos que:
Na dízima periódica "0,636363..., o período é o grupo 63, que se repete, e a
representação abreviada desse número é "0,63. Essa dízima é uma dízima periódica
dita simples.
Vamos observar a seguinte dízima periódica: 12,1454545...
Nela o período é 45 e o algarismo 1, que ocupa a casa dos décimos, não se repete.
Portanto não pertence ao período. Nesse caso, a dízima periódica é chamada de composta.
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74. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Dízimas periódicas
Apresentar outros exem-
plos em que os alunos tenham
que determinar a representa-
ção decimal de um número
racional e reconhecer quando
essa representação é decimal
finita ou infinita periódica.
Pedir que efetuem, em um
papel à parte, uma divisão
cujo resultado seja uma dízima
periódica. Por exemplo, 10 di-
vidido por 3, cujo resultado é
3,333... Haverá um momento
em que não será mais possível
continuar essa divisão no pa-
pel, pois não terá mais espaço
disponível. É importante cha-
mar a atenção dos alunos para
o fato de que a divisão nunca
termina, pois é infinita.
Enfatizar a diferença entre
uma dízima periódica simples
e uma dízima periódica com-
posta, pois, posteriormente, os
alunos terão que encontrar a
fração geratriz dessas dízimas.
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
O que são os bancos?
Banco Central do Brasil
Editada em dez. 2002
Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que
precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir
comércio e instalar novas fábricas.
Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo
que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas
pedirem dinheiro emprestado às outras.
Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guar-
dá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos.
E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes
empréstimos e recebem juros pelo serviço.
Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para
emprestar a outros.
[...]
Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o
dinheiro se multiplique.
Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum
tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo
aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte,
bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das
pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em
uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros.
Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa,
sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso
de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...]
Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos?
Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.
1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos?
2. Uma pessoa fez uma aplicação de
R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês.
Quanto receberá de juro em 1 ano?
3. As aplicações financeiras nos auxiliam
a capitalizar nosso dinheiro. Discuta
com seus colegas as situações a seguir
indicando se a aplicação financeira pode
ou não contribuir para:
a) Ter um dinheiro extra para aproveitar
mais a vida.
b) Comprar uma máquina que vai aumentar
a produtividade de um negócio.
c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren-
dimento seja maior que o juro pago.
d) Completar o orçamento doméstico.
e) Comprar um objeto cujo valor não está
disponível.
R$ 360,00
Respostas pessoais.
Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e
entenda melhor como os bancos funcionam.
1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam
de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço.
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4
CAPÍTULO
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais, expressos por
meio de frações, na forma decimal. Para isso, basta dividir o numerador pelo denominador.
Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Por exemplo, a fração
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:
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900,45
100
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Ou seja,
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Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Vamos ver a fração "
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Ou seja, "
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! "0,636363...
No segundo exemplo, o resto nunca se anula e fica alternando entre 7 e 4. O
quociente tem a parte decimal infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica.
No caso de "0,636363..., os algarismos 6 e 3, respectivamente, continuarão se repe-
tindo indefinidamente.
Dizemos que:
Na dízima periódica "0,636363..., o período é o grupo 63, que se repete, e a
representação abreviada desse número é "0,63. Essa dízima é uma dízima periódica
dita simples.
Vamos observar a seguinte dízima periódica: 12,1454545...
Nela o período é 45 e o algarismo 1, que ocupa a casa dos décimos, não se repete.
Portanto não pertence ao período. Nesse caso, a dízima periódica é chamada de composta.
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75. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
As questões propostas pre-
param os alunos para a ideia
de como encontrar a fração
geratriz de uma dízima peri-
ódica simples. Por meio delas,
é possível verificar alguns pa-
drões de repetição ao trans-
formar um número racional
para a representação decimal.
Para encontrar a fração
geratriz de uma dízima perió-
dica simples, os alunos terão,
inicialmente, que identificar o
período dessa dízima. Em se-
guida, deverão equacionar o
problema. É possível que alguns
alunos apresentem dúvidas no
momento de subtrair as equa-
ções construídas. Se necessário,
retome essa passagem na lousa.
Atividades
Espera-se que os alunos re-
solvam a atividade 1 (divisões
por 10, 100 e 1 000) mental-
mente. Para a atividade 2,
eles devem efetuar as divisões
pelo algoritmo usual.
Na atividade 4, os alunos
devem identificar o período
de cada dízima periódica. Isso
deve estar bem compreendido
por eles, pois o próximo assun-
to a ser trabalhado será deter-
minar a fração geratriz de uma
dízima periódica.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Os números racionais a seguir são cha-
mados frações decimais. Escreva cada
um deles na forma decimal.
a)
7
10
0,7
b)
31
10
3,1
c)
6
100
0,06
d)
11
100
0,11
e)
162
100
1,62
f)
9
1 000
0,009
g)
29
1 000
0,029
h)
385
1 000
0,385
i)
82
10
8,2
j)
163
10
16,3
k)
427
100
4,27
l)
1 104
1 000
1,104
2. Qual é a representação decimal de cada
um dos seguintes números racionais?
a)
1
2
0,5 b)
7
3
2,333...
c)
9
5
1,8
d)
37
20
1,85
e)
35
11
3,1818...
f)
11
9
1,2222...
g)
11
8
1,375
h)
33
25
1,32
i)
3
20
0,15
j)
13
90
0,1444...
k)
33
4
8,25
l)
25
6
4,1666...
3. Classifique os números decimais do exer-
cício anterior em decimais exatos (DE) ou
dízimas periódicas (DP).
4. Para cada uma das dízimas periódicas a
seguir, identifique o período:
a) 0,02222...
b) 1,77777...
c) 12,0101...
d) !56,3333...
e) !3,4565656...
f) 1,034034034...
2
7
01
3
56
034
3. a) DE; b) DP; c) DE; d) DE; e) DP; f) DP; g) DE; h) DE; i) DE; j) DP; k) DE; l) DP
Observe as frações e, usando uma calculadora, transforme-as em números racionais na
forma decimal.
•
7
9
•
13
99
•
3
9
•
211
99
Agora, no caderno, faça o que se pede.
1. Quais os valores encontrados? 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Quais dos números obtidos são dízimas periódicas? Quais os períodos delas?
3. Observando os números na forma de fração e as dízimas periódicas, quais relações
podemos identificar?
Todos os números são dízimas periódicas; 7; 13; 3; 13.
pense e responda
A quantidade de algarismos do período de cada uma das dízimas é igual à
quantidade de algarismos do denominador da respectiva fração; os denominadores são formados somente
pelo algarismo 9.
Em uma dízima periódica, a parte que fica à direita da vírgula e não compõe o período
pode ou não existir. Caso exista, ela determina uma dízima periódica composta. Caso
contrário, trata-se de uma dízima periódica simples.
Resoluções a partir da p. 289
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Fração geratriz de dízimas
periódicas simples
Veja os casos a seguir.
1 Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,5555..., ou seja, encontrar qual
fração, quando transformada em número racional na forma decimal, gera essa dízima.
Para isso, montamos a equação x ! 0,5555... (que chamaremos de I) em que x é a fração
geratriz procurada. Depois, multiplicamos os dois termos dessa equação por 10, ou seja,
10x ! 5,5555... (que chamaremos de II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
10x ! 5,5555... (II)
" x ! 0,5555... (I)
9x ! 5
Resolvendo a equação temos que:
9x ! 5
x !
5
9
A fração geratriz da dízima periódica 0,5555... é
5
9
.
2 Dada a dízima periódica 3,2727..., vamos encontrar a fração geratriz dela.
Para encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica, montamos a equação y ! 3,2727...
(que chamaremos de I) em que y é a fração geratriz que desejamos. Em seguida, multiplicamos
os dois termos dessa equação por 100 e obtemos 100y ! 327,2727... (que chamaremos de II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
100y ! 327,2727... (II)
" y ! 3,2727... (I)
99y ! 324
99y ! 324 h y !
324
99
!
36
11
A fração geratriz procurada é
36
11
.
31
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76. ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Os números racionais a seguir são cha-
mados frações decimais. Escreva cada
um deles na forma decimal.
a)
7
10
0,7
b)
31
10
3,1
c)
6
100
0,06
d)
11
100
0,11
e)
162
100
1,62
f)
9
1 000
0,009
g)
29
1 000
0,029
h)
385
1 000
0,385
i)
82
10
8,2
j)
163
10
16,3
k)
427
100
4,27
l)
1 104
1 000
1,104
2. Qual é a representação decimal de cada
um dos seguintes números racionais?
a)
1
2
0,5 b)
7
3
2,333...
c)
9
5
1,8
d)
37
20
1,85
e)
35
11
3,1818...
f)
11
9
1,2222...
g)
11
8
1,375
h)
33
25
1,32
i)
3
20
0,15
j)
13
90
0,1444...
k)
33
4
8,25
l)
25
6
4,1666...
3. Classifique os números decimais do exer-
cício anterior em decimais exatos (DE) ou
dízimas periódicas (DP).
4. Para cada uma das dízimas periódicas a
seguir, identifique o período:
a) 0,02222...
b) 1,77777...
c) 12,0101...
d) !56,3333...
e) !3,4565656...
f) 1,034034034...
2
7
01
3
56
034
3. a) DE; b) DP; c) DE; d) DE; e) DP; f) DP; g) DE; h) DE; i) DE; j) DP; k) DE; l) DP
Observe as frações e, usando uma calculadora, transforme-as em números racionais na
forma decimal.
•
7
9
•
13
99
•
3
9
•
211
99
Agora, no caderno, faça o que se pede.
1. Quais os valores encontrados? 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Quais dos números obtidos são dízimas periódicas? Quais os períodos delas?
3. Observando os números na forma de fração e as dízimas periódicas, quais relações
podemos identificar?
Todos os números são dízimas periódicas; 7; 13; 3; 13.
pense e responda
A quantidade de algarismos do período de cada uma das dízimas é igual à
quantidade de algarismos do denominador da respectiva fração; os denominadores são formados somente
pelo algarismo 9.
Em uma dízima periódica, a parte que fica à direita da vírgula e não compõe o período
pode ou não existir. Caso exista, ela determina uma dízima periódica composta. Caso
contrário, trata-se de uma dízima periódica simples.
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Fração geratriz de dízimas
periódicas simples
Veja os casos a seguir.
1 Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,5555..., ou seja, encontrar qual
fração, quando transformada em número racional na forma decimal, gera essa dízima.
Para isso, montamos a equação x ! 0,5555... (que chamaremos de I) em que x é a fração
geratriz procurada. Depois, multiplicamos os dois termos dessa equação por 10, ou seja,
10x ! 5,5555... (que chamaremos de II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
10x ! 5,5555... (II)
" x ! 0,5555... (I)
9x ! 5
Resolvendo a equação temos que:
9x ! 5
x !
5
9
A fração geratriz da dízima periódica 0,5555... é
5
9
.
2 Dada a dízima periódica 3,2727..., vamos encontrar a fração geratriz dela.
Para encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica, montamos a equação y ! 3,2727...
(que chamaremos de I) em que y é a fração geratriz que desejamos. Em seguida, multiplicamos
os dois termos dessa equação por 100 e obtemos 100y ! 327,2727... (que chamaremos de II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
100y ! 327,2727... (II)
" y ! 3,2727... (I)
99y ! 324
99y ! 324 h y !
324
99
!
36
11
A fração geratriz procurada é
36
11
.
31
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77. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explorar o esquema apre-
sentado que resume os pro-
cedimentos para encontrar a
fração geratriz de uma dízima
periódica simples. Aproveitar
o momento para colher possí-
veis dúvidas e apresentar ou-
tros exemplos que os alunos
podem trazer.
Atividades
Para resolver a atividade 2,
os alunos podem encontrar a
fração geratriz de 1,88888...
e, em seguida, somar com
1
9
,
pois a resposta aparece em
forma de fração. Destacar que
a fração da resposta está em
sua forma irredutível, portan-
to, é preciso que os alunos
cheguem até esse ponto. As-
sim, temos:
1,88888...+
1
9
=
17
9
+
1
9
=
=
18
9
= 2
No primeiro caso, multiplicamos a dízima por 10, pois o período continha apenas um alga-
rismo que se repetia: o algarismo 5. Ao fazermos a subtração, as casas decimais, por serem iguais,
se eliminam.
O mesmo raciocínio foi aplicado ao exemplo 2, mas dessa vez foi necessário multiplicar-
mos por 100, pois o período era composto por 2 algarismos que se repetiam: os algarismos
2 e 7.
Observe um fluxograma do processo para encontrar frações geratrizes de dízimas perió-
dicas simples:
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas simples a seguir:
a) −2,4444... –
22
9
b) 0,11111...
1
9
c) 17,8888...
161
9
d) −6,353535... –
629
99
e) 0,292929...
29
99
f) 2,102102102...
700
333
2. (UFPI) Marque a alternativa que contém o valor da expressão numérica 1,88888... +
1
9
.
a)
33
50
b)
10
9
c)
10
19
d) 2 e)
7
55
Alternativa d.
Escolher a dízima
periódica simples que
se quer determinar a
fração geratriz
A fração geratriz foi
encontrada
Multiplicar a dízima
pela potência de
10 cujo expoente
é a quantidade de
algarismos do período
Subtrair a dízima do
resultado obtido na
etapa anterior. O
valor obtido será o
numerador da fração
Compor o denominador
como um número de n
algarismos 9, em que n é
o número de algarismos
do período da dízima
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Faça um fluxograma do processo de ob-
tenção da fração geratriz de uma dízima
periódica composta.
2. Encontre a fração geratriz das dízimas
periódicas compostas a seguir:
a) 7,15555...
322
45
b) !0,53333...
c) 69,0333...
d) !1,17474...
3. (OBM) Sabendo-se que 0,333... !
1
3
, qual é
a fração irredutível equivalente a 0,1333...?
a)
1
13
b)
1
15
c)
1
30
d)
2
15
e)
1 333
10 000
Resposta no final
do livro.
24
45
!
2 071
30
1 163
990
!
Alternativa d.
Fração geratriz de dízimas
periódicas compostas
Assim como é possível determinar a fração geratriz das dízimas periódicas simples, também
podemos determinar as frações geratrizes de dízimas periódicas compostas.
Veja o caso a seguir.
1 Dada a dízima periódica composta !5,6707070..., vamos encontrar sua fração geratriz.
Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação x " !5,6707070..., em que x
é a fração que queremos encontrar. Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação
por 10 (equação I) e também por 1 000 (equação II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
1 000x " !5670,707070... (II)
! 10x " ! 56,707070... (I)
990x " !5 614
h 990x " !5 614 h x " !
5 614
990
" !
2 807
495
A fração geratriz que procurávamos é !
2 807
495
.
Nesse exemplo, multiplicamos a dízima por 10, pois havia um algarismo que não pertencia ao
período (o algarismo 6). Em seguida, multiplicamos a dízima por 1 000, pois tínhamos 3 algarismos
até a repetição do período (6, 7 e 0). Em seguida, subtraímos as duas equações, eliminando as
casas decimais e encontrando a fração procurada.
4. (UFPI) Sabendo-se que 0,6666... !
2
3
,
qual das frações irredutíveis abaixo equi-
vale a 1,5666...?
a)
1
30
b)
2
15
c)
133
300
d)
43
330
e)
47
30
5. (Ufop-MG) A respeito dos números
a ! 0,499999... e b ! 0,5, é correto afirmar:
a) b " a # 0,011111...
b) a " b
c) a é irracional e b é racional.
d) a , b
6. (PUC-RJ) Escreva na forma de fração
m
n
,

a soma 0,2222... # 0,23333...
41
90
Alternativa e.
Alternativa b.
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78. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explorar os procedimentos
usados para determinar as fra-
ções geratrizes de dízimas pe-
riódicas compostas. Comentar
com os alunos que os proce-
dimentos são similares aos
utilizados no caso de dízimas
periódicas simples com uma
nova etapa.
Atividades
Na atividade 1, é impor-
tante que os alunos comparti-
lhem os fluxogramas que cria-
ram, a fim de verificarem pon-
tos em comuns ou divergentes
no momento de sintetizar os
procedimentos para encontrar
a fração geratriz de uma dízi-
ma periódica.
Uma estratégia para resol-
ver a atividade 3 é decom-
por o número 0,1333... como
0,1 + 0,03333.... e, com isso,
observar a relação 0,03333 =
= 0,3333.... : 10. Com isso,
temos:
0,1333... = 0 , 1 + 0 , 0 3 3 3 3 . . . =
= 0,1 +
0,333...
10
=
1
10
+
3
90
=
=
12
90
=
2
15
No primeiro caso, multiplicamos a dízima por 10, pois o período continha apenas um alga-
rismo que se repetia: o algarismo 5. Ao fazermos a subtração, as casas decimais, por serem iguais,
se eliminam.
O mesmo raciocínio foi aplicado ao exemplo 2, mas dessa vez foi necessário multiplicar-
mos por 100, pois o período era composto por 2 algarismos que se repetiam: os algarismos
2 e 7.
Observe um fluxograma do processo para encontrar frações geratrizes de dízimas perió-
dicas simples:
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas simples a seguir:
a) −2,4444... –
22
9
b) 0,11111...
1
9
c) 17,8888...
161
9
d) −6,353535... –
629
99
e) 0,292929...
29
99
f) 2,102102102...
700
333
2. (UFPI) Marque a alternativa que contém o valor da expressão numérica 1,88888... +
1
9
.
a)
33
50
b)
10
9
c)
10
19
d) 2 e)
7
55
Alternativa d.
Escolher a dízima
periódica simples que
se quer determinar a
fração geratriz
A fração geratriz foi
encontrada
Multiplicar a dízima
pela potência de
10 cujo expoente
é a quantidade de
algarismos do período
Subtrair a dízima do
resultado obtido na
etapa anterior. O
valor obtido será o
numerador da fração
Compor o denominador
como um número de n
algarismos 9, em que n é
o número de algarismos
do período da dízima
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Faça um fluxograma do processo de ob-
tenção da fração geratriz de uma dízima
periódica composta.
2. Encontre a fração geratriz das dízimas
periódicas compostas a seguir:
a) 7,15555...
322
45
b) !0,53333...
c) 69,0333...
d) !1,17474...
3. (OBM) Sabendo-se que 0,333... !
1
3
, qual é
a fração irredutível equivalente a 0,1333...?
a)
1
13
b)
1
15
c)
1
30
d)
2
15
e)
1 333
10 000
Resposta no final
do livro.
24
45
!
2 071
30
1 163
990
!
Alternativa d.
Fração geratriz de dízimas
periódicas compostas
Assim como é possível determinar a fração geratriz das dízimas periódicas simples, também
podemos determinar as frações geratrizes de dízimas periódicas compostas.
Veja o caso a seguir.
1 Dada a dízima periódica composta !5,6707070..., vamos encontrar sua fração geratriz.
Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação x " !5,6707070..., em que x
é a fração que queremos encontrar. Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação
por 10 (equação I) e também por 1 000 (equação II).
Em seguida, subtraímos (I) de (II):
1 000x " !5670,707070... (II)
! 10x " ! 56,707070... (I)
990x " !5 614
h 990x " !5 614 h x " !
5 614
990
" !
2 807
495
A fração geratriz que procurávamos é !
2 807
495
.
Nesse exemplo, multiplicamos a dízima por 10, pois havia um algarismo que não pertencia ao
período (o algarismo 6). Em seguida, multiplicamos a dízima por 1 000, pois tínhamos 3 algarismos
até a repetição do período (6, 7 e 0). Em seguida, subtraímos as duas equações, eliminando as
casas decimais e encontrando a fração procurada.
4. (UFPI) Sabendo-se que 0,6666... !
2
3
,
qual das frações irredutíveis abaixo equi-
vale a 1,5666...?
a)
1
30
b)
2
15
c)
133
300
d)
43
330
e)
47
30
5. (Ufop-MG) A respeito dos números
a ! 0,499999... e b ! 0,5, é correto afirmar:
a) b " a # 0,011111...
b) a " b
c) a é irracional e b é racional.
d) a , b
6. (PUC-RJ) Escreva na forma de fração
m
n
,

a soma 0,2222... # 0,23333...
41
90
Alternativa e.
Alternativa b.
Resoluções a partir da p. 289
33
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79. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tecnologias
Reservar uma aula para rea-
lizar essa investigação com os
alunos. Em duplas, eles devem
encontrar a representação de
todas as frações propostas. Se
tratam de frações unitárias,
pois isso faz que o numerador
não seja um fator dificultador
da atividade. Dessa maneira, o
foco da investigação fica cen-
trado na mudança do denomi-
nador e sua relação com o quo-
ciente encontrado.
Durante essa investigação,
pode ocorrer de os alunos le-
vantarem hipóteses como:
• as dízimas periódicas são
geradas por números primos.
Isso é falso, pois 2 e 5 são pri-
mos e
1
2
e
1
5
geram decimais
exatos; 18 não é primo e
1
18

gera dízima periódica.
• os múltiplos de 2 e 5 geram
decimais exatos. Essa afirma-
ção também não se verifica,
pois 15 é múltiplo de 5 e
1
15

gera uma dízima periódica.
Tecnologias
Investigando com a calculadora
Dado um número racional na forma fracionária, temos como saber se sua representação
decimal será exata ou periódica sem transformá-lo em um número racional na forma decimal?
Vamos investigar.
• Primeiro, vamos tentar fazer essa análise com algumas frações. Anote em seu caderno quais
das frações a seguir você supõe serem, ou tem certeza que são, dízimas periódicas. Em
seguida, justifique as escolhas. Alternativas b, c e d; resposta pessoal.
• Agora, vamos iniciar nossa investigação. Junte-se a um colega para realizá-la. Para isso, vocês
precisarão reproduzir o quadro a seguir em seu caderno e ter em mãos uma calculadora.
Com o auxílio da calculadora, divida o numerador pelo denominador e vá assinalando em
seu quadro se o resultado encontrado é um número decimal exato ou uma dízima periódica.
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
1
2
X
1
9
X
1
16
X
1
3
X
1
10
X
1
17
X
1
4
X
1
11
X
1
18
X
1
5
X
1
12
X
1
19
X
1
6
X
1
13
X
1
20
X
1
7
X
1
14
X
1
21
X
1
8
X
1
15
X
1
22
X
Resoluções a partir da p. 289
17
25
a)
37
33
b)
109
40
c)
46
81
d)
12
7
e)
90
16
f)
34
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• O que você observa com relação aos denominadores de frações correspondentes a números
decimais exatos? E de frações correspondentes a dízimas periódicas? Anote suas hipóteses
no caderno e debata com seus colegas e com seu professor.
• Com base nas suas observações, diga se os números racionais a seguir, ao serem escritos
na forma decimal, serão decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP), sem realizar a
transformação para a forma decimal.
11
21
a)
44
80
e)
57
8
b)
108
30
f)
72
24
c)
7
13
d)
A fração geratriz da dízima 0,999...
Ao analisar o número 0,9999..., independentemente da quantidade de casas que
vamos analisar, pode passar a impressão de ser um número menor que 1.
Porém, ao determinar a fração geratriz da dízima 0,999..., nos deparamos com o
seguinte resultado:
PARA QUEM QUER MAIS
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x _ x = 9,999... _0,999...
9x = 9
x = 1
• Retome as primeiras frações apresentadas nesta seção e verifique se suas hipóteses iniciais
estavam corretas.
DP DE DE
DE DP DE
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34
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80. Explorar as hipóteses le-
vantadas pelos alunos e dis-
cutir com a turma a validade
das hipóteses levantadas. Isso
é muito importante durante
uma investigação matemática.
Entre as conclusões possí-
veis nessa investigação, espe-
ra-se que os alunos concluam
que os denominadores que
correspondem a divisores de
potências de 10 geram deci-
mais exatos.
Ao finalizar a investigação,
é importante que os alunos
revejam suas hipóteses iniciais
e consigam reconhecer, rapida-
mente, quando um número ra-
cional na forma fracionária terá
uma representação exata ou
uma representação decimal.
Tecnologias
Investigando com a calculadora
Dado um número racional na forma fracionária, temos como saber se sua representação
decimal será exata ou periódica sem transformá-lo em um número racional na forma decimal?
Vamos investigar.
• Primeiro, vamos tentar fazer essa análise com algumas frações. Anote em seu caderno quais
das frações a seguir você supõe serem, ou tem certeza que são, dízimas periódicas. Em
seguida, justifique as escolhas. Alternativas b, c e d; resposta pessoal.
• Agora, vamos iniciar nossa investigação. Junte-se a um colega para realizá-la. Para isso, vocês
precisarão reproduzir o quadro a seguir em seu caderno e ter em mãos uma calculadora.
Com o auxílio da calculadora, divida o numerador pelo denominador e vá assinalando em
seu quadro se o resultado encontrado é um número decimal exato ou uma dízima periódica.
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
1
2
X
1
9
X
1
16
X
1
3
X
1
10
X
1
17
X
1
4
X
1
11
X
1
18
X
1
5
X
1
12
X
1
19
X
1
6
X
1
13
X
1
20
X
1
7
X
1
14
X
1
21
X
1
8
X
1
15
X
1
22
X
Resoluções a partir da p. 289
17
25
a)
37
33
b)
109
40
c)
46
81
d)
12
7
e)
90
16
f)
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• O que você observa com relação aos denominadores de frações correspondentes a números
decimais exatos? E de frações correspondentes a dízimas periódicas? Anote suas hipóteses
no caderno e debata com seus colegas e com seu professor.
• Com base nas suas observações, diga se os números racionais a seguir, ao serem escritos
na forma decimal, serão decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP), sem realizar a
transformação para a forma decimal.
11
21
a)
44
80
e)
57
8
b)
108
30
f)
72
24
c)
7
13
d)
A fração geratriz da dízima 0,999...
Ao analisar o número 0,9999..., independentemente da quantidade de casas que
vamos analisar, pode passar a impressão de ser um número menor que 1.
Porém, ao determinar a fração geratriz da dízima 0,999..., nos deparamos com o
seguinte resultado:
PARA QUEM QUER MAIS
x = 0,999...
10x = 9,999...
10x _ x = 9,999... _0,999...
9x = 9
x = 1
• Retome as primeiras frações apresentadas nesta seção e verifique se suas hipóteses iniciais
estavam corretas.
DP DE DE
DE DP DE
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81. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
As questões dessa seção
visam retomar o trabalho com
números racionais, porcen-
tagem, juro simples e fração
geratriz.
Propor aos alunos que tra-
gam algumas questões de casa
e desenvolvam em sala de aula
com os colegas para que seja
realizada uma troca de conheci-
mento e discussão de diferentes
raciocínios utilizados para resol-
ver um mesmo problema.
Após as atividades dessa
seção, realizar uma discussão
com a turma sobre como os
conceitos estudados ao longo
das aulas podem ser aplicados
no dia a dia. Ao tratar desses
assuntos, uma possibilidade é
levar os alunos a perceber a
necessidade de realizar uma
pesquisa de mercado e de
avaliar todas as condições de
pagamento e seus benefícios
ou prejuízos.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. Cop ie a frase a seguir e, usando as pala-
vras indicadas, complete a frase:
equivalentes numeradores
denominadores mantemos
irredutível
Para somarmos frações de dife-
rentes, encontramos as frações às
frações dadas, os denominadores
e somamos os . Se necessário, sim-
plificamos o resultado a fim de obter a
fração .
2. A quantidade de casas decimais do
produto !3,4 por !1,56 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Uma pesquisa de “boca de urna”, reali-
zada no primeiro turno das eleições para
prefeito de uma cidade, indicou que um
dos candidatos tinha
1
5
das intenções de
voto. Esse número representa quantos
por cento das intenções de voto dessa
pesquisa?
a) 5%
b) 10%
c) 20%
d) 25%
e) 50%
4. Uma pesquisa mostrou que uma área
de 4 hectares de floresta, na região
tropical, pode conter cerca de 375 es-
pécies diferentes de plantas, enquanto
uma área florestal do mesmo tamanho,
na região temperada, pode apresen-
tar cerca de 15 espécies. O número de
espécies em uma floresta de região
denominadores; equivalentes;
mantemos; numeradores;
irredutível.
Alternativa c.
Alternativa c.
temperada representa quantos por
cento do número de espécies em uma
floresta de região tropical?
a) 1%
b) 2%
c) 4%
d) 5%
e) 6%
5. 30% de 40% de 50% de um número re-
presenta quantos por cento do número?
a) 4%
b) 8%
c) 5%
d) 6%
e) 10%
6. Tarcísio tomou emprestados R$ 2.400,00
do banco e vai pagar o empréstimo em
6 vezes, com juro simples de 4% ao mês.
A quantia que Tarcísio pagará de juro
por mês será:
a) R$ 16,00
b) R$ 32,00
c) R$ 96,00
d) R$ 160,00
e) R$ 300,00
7. Encontre as frações geratrizes das
dízimas periódicas a seguir:
a) 3,777...
34
9
b) 0,2555...
23
90
c) !12,181818...
1 206
99
!
d) 4,01313....
3 973
990
8. Elabore uma atividade envolvendo o
tema porcentagem de tal modo que,
para resolvê-lo será necessário aplicar
os conhecimentos adquiridos nessa
unidade. Utilize tabelas e gráficos para
compor a atividade e, se achar necessá-
rio, aconselhe o uso da calculadora ou
de uma planilha eletrônica.
Em seguida, troque sua atividade com a
de um colega, resolva a atividade dele
e, juntos, corrijam e debatam as duas
atividades.
Alternativa c.
Alternativa d.
Alternativa c.
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36
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9. (UFMG) No período de um ano, certa apli-
cação financeira obteve um rendimento
de 26%. No mesmo período, porém,
ocorreu uma inflação de 20%. Então, é
correto afirmar que o rendimento efetivo
da referida aplicação foi de:
a) 3%
b) 5%
c) 5,2%
d) 6%
1 0 . (PUC-RJ) Em um viveiro há várias araras.
• 60% das araras são azuis,
• 40% das araras são vermelhas,
• 40% das araras azuis têm bico branco,
• 30% das araras vermelhas têm bico
branco.
Que porcentagem das araras do viveiro
tem bico branco?
a) 10%
b) 12%
c) 24%
d) 36%
e) 40%
Alternativa b.
Alternativa d.
11. (Saresp-SP) Uma pesquisa publicada
pelo jornal Folha de S.Paulo levantou a
parcela da população chamada de “ex-
cluída”. (São pessoas que, em geral, não
completaram o 1
o
grau e vivem em famí-
lias com renda inferior a R$ 1 200,00.)
Constatou-se que essa parcela corres-
ponde a 60% da população.
Qual é o gráfico que melhor representa
essa situação?
a)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
b)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
c)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
d)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Alternativa a.
EDITORIA DE ARTE
Nesta Unidade, revimos o conjunto dos números racionais e suas operações e estu-
damos a porcentagem e o sistema de juro simples, com enfoque em aplicações na vida
cotidiana e, por consequência, na cidadania.
Entre os conceitos estudados, destacamos: o entendimento da porcentagem como taxa,
os descontos e acréscimos, as aplicações de porcentagem e o juro simples e suas aplicações
como rendimento ou dívida.
Além disso, aprendemos a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica.
• Imagine que um colega de classe tenha faltado na aula de revisão das operações
com números racionais. Escreva um bilhete para ele, explicando como somar,
subtrair, multiplicar e dividir números racionais. Aproveite para contar-lhe quais
dificuldades você enfrentou nessa aula e o que fez para saná-las.
• Ao se deparar com uma dízima periódica, você é capaz de identificar seu período?
• O número racional !
6
11
ao ser escrito na representação decimal será exato ou
será periódico? Explique sua resposta, com argumentos matemáticos.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Será uma dízima periódica. Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
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82. As atividades 9 e 10 são
mais desafiadoras e podem
gerar maiores dificuldades por
parte dos alunos. Em ambas as
questões, é preciso calcular a
porcentagem de uma porcen-
tagem, ou seja, é preciso mul-
tiplicar as porcentagens dadas
no enunciado. Caso os alunos
questionem, dar essa dica pode
auxiliá-los na resolução.
Um novo olhar
É importante que os alu-
nos respondam individual-
mente a cada uma das ques-
tões para que possam refletir
sobre as aprendizagens e
possíveis dúvidas a respeito
dos assuntos estudados. São
questões que permitem o pa-
pel ativo dos alunos diante
de seu conhecimento.
A primeira questão pede
aos alunos que escrevam um
bilhete a um colega, explican-
do como resolver as operações
com números racionais. Ao
pensar em como explicar as
operações para um colega, o
aluno é convidado a verificar
os pontos que ainda trazem
dificuldade para expressar o
seu raciocínio.
A segunda questão 2 abor-
da o período de uma dízima
periódica. Espera-se que os alu-
nos consigam identificar qual é
o período de uma dízima.
A terceira questão leva os
alunos a refletir sobre como
decidir se um número racio-
nal terá representação decimal
exata ou periódica.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. Cop ie a frase a seguir e, usando as pala-
vras indicadas, complete a frase:
equivalentes numeradores
denominadores mantemos
irredutível
Para somarmos frações de dife-
rentes, encontramos as frações às
frações dadas, os denominadores
e somamos os . Se necessário, sim-
plificamos o resultado a fim de obter a
fração .
2. A quantidade de casas decimais do
produto !3,4 por !1,56 é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. Uma pesquisa de “boca de urna”, reali-
zada no primeiro turno das eleições para
prefeito de uma cidade, indicou que um
dos candidatos tinha
1
5
das intenções de
voto. Esse número representa quantos
por cento das intenções de voto dessa
pesquisa?
a) 5%
b) 10%
c) 20%
d) 25%
e) 50%
4. Uma pesquisa mostrou que uma área
de 4 hectares de floresta, na região
tropical, pode conter cerca de 375 es-
pécies diferentes de plantas, enquanto
uma área florestal do mesmo tamanho,
na região temperada, pode apresen-
tar cerca de 15 espécies. O número de
espécies em uma floresta de região
denominadores; equivalentes;
mantemos; numeradores;
irredutível.
Alternativa c.
Alternativa c.
temperada representa quantos por
cento do número de espécies em uma
floresta de região tropical?
a) 1%
b) 2%
c) 4%
d) 5%
e) 6%
5. 30% de 40% de 50% de um número re-
presenta quantos por cento do número?
a) 4%
b) 8%
c) 5%
d) 6%
e) 10%
6. Tarcísio tomou emprestados R$ 2.400,00
do banco e vai pagar o empréstimo em
6 vezes, com juro simples de 4% ao mês.
A quantia que Tarcísio pagará de juro
por mês será:
a) R$ 16,00
b) R$ 32,00
c) R$ 96,00
d) R$ 160,00
e) R$ 300,00
7. Encontre as frações geratrizes das
dízimas periódicas a seguir:
a) 3,777...
34
9
b) 0,2555...
23
90
c) !12,181818...
1 206
99
!
d) 4,01313....
3 973
990
8. Elabore uma atividade envolvendo o
tema porcentagem de tal modo que,
para resolvê-lo será necessário aplicar
os conhecimentos adquiridos nessa
unidade. Utilize tabelas e gráficos para
compor a atividade e, se achar necessá-
rio, aconselhe o uso da calculadora ou
de uma planilha eletrônica.
Em seguida, troque sua atividade com a
de um colega, resolva a atividade dele
e, juntos, corrijam e debatam as duas
atividades.
Alternativa c.
Alternativa d.
Alternativa c.
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9. (UFMG) No período de um ano, certa apli-
cação financeira obteve um rendimento
de 26%. No mesmo período, porém,
ocorreu uma inflação de 20%. Então, é
correto afirmar que o rendimento efetivo
da referida aplicação foi de:
a) 3%
b) 5%
c) 5,2%
d) 6%
1 0 . (PUC-RJ) Em um viveiro há várias araras.
• 60% das araras são azuis,
• 40% das araras são vermelhas,
• 40% das araras azuis têm bico branco,
• 30% das araras vermelhas têm bico
branco.
Que porcentagem das araras do viveiro
tem bico branco?
a) 10%
b) 12%
c) 24%
d) 36%
e) 40%
Alternativa b.
Alternativa d.
11. (Saresp-SP) Uma pesquisa publicada
pelo jornal Folha de S.Paulo levantou a
parcela da população chamada de “ex-
cluída”. (São pessoas que, em geral, não
completaram o 1
o
grau e vivem em famí-
lias com renda inferior a R$ 1 200,00.)
Constatou-se que essa parcela corres-
ponde a 60% da população.
Qual é o gráfico que melhor representa
essa situação?
a)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
b)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
c)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
d)
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Excluídos
Outros
Alternativa a.
EDITORIA DE ARTE
Nesta Unidade, revimos o conjunto dos números racionais e suas operações e estu-
damos a porcentagem e o sistema de juro simples, com enfoque em aplicações na vida
cotidiana e, por consequência, na cidadania.
Entre os conceitos estudados, destacamos: o entendimento da porcentagem como taxa,
os descontos e acréscimos, as aplicações de porcentagem e o juro simples e suas aplicações
como rendimento ou dívida.
Além disso, aprendemos a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica.
• Imagine que um colega de classe tenha faltado na aula de revisão das operações
com números racionais. Escreva um bilhete para ele, explicando como somar,
subtrair, multiplicar e dividir números racionais. Aproveite para contar-lhe quais
dificuldades você enfrentou nessa aula e o que fez para saná-las.
• Ao se deparar com uma dízima periódica, você é capaz de identificar seu período?
• O número racional !
6
11
ao ser escrito na representação decimal será exato ou
será periódico? Explique sua resposta, com argumentos matemáticos.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Será uma dízima periódica. Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
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83. COMPETÊNCIAS
GERAIS
1. Valorizar e utilizar os co-
nhecimentos historicamente
construídos sobre o mundo
físico, social, cultural e digital
para entender e explicar a rea-
lidade, continuar aprendendo
e colaborar para a construção
de uma sociedade justa, de-
mocrática e inclusiva.
2. Exercitar a curiosidade
intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a re-
flexão, a análise crítica, a ima-
ginação e a criatividade, para
investigar causas, elaborar e
testar hipóteses, formular e
resolver problemas e criar so-
luções (inclusive tecnológicas)
com base nos conhecimentos
das diferentes áreas.
ESPECÍFICAS
1. Reconhecer que a Mate-
mática é uma ciência humana,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes cultu-
ras, em diferentes momentos
históricos, e é uma ciência
viva, que contribui para solu-
cionar problemas científicos e
tecnológicos e para alicerçar
descobertas e construções, in-
clusive com impactos no mun-
do do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investiga-
ção e a capacidade de produ-
zir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimen-
tos matemáticos para compre-
ender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações
entre conceitos e procedimen-
tos dos diferentes campos da
Matemática (Aritmética, Álge-
bra, Geometria, Estatística e
Probabilidade) e de outras áre-
as do conhecimento, sentindo
segurança quanto à própria
capacidade de construir e apli-
car conhecimentos matemáti-
cos, desenvolvendo a autoesti-
ma e a perseverança na busca
de soluções.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Números
• EF08MA01
• EF08MA02
Lendas são narrativas ligadas à
tradição oral que contam fatos histó-
ricos combinados a outros de origem
fantástica.
Ao lado, apresentamos resumida-
mente uma lenda de como o jogo de
xadrez teria sido inventado.
Potências, raízes
e números reais2
Mas, feitos os cálculos,
verificou-se que se
juntassem todo o trigo
do mundo ainda não
seria possível coletar a
quantia que Sissa pediu
como recompensa.
Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira
casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4
pela terceira, 8 pela quarta e assim
sucessivamente, até chegar à 64sucessivamente, até chegar à 64
a
casa.
Leia a lenda e responda no caderno às questões a seguir:
• Sissa faz um pedido que se mostra impossível de ser
atendido. Qual foi esse pedido?
• Que estratégias você utilizaria para calcular quantos
grãos Sissa deveria receber?
• Uma das lendas diz que os matemáticos do rei levaram
um grande tempo para calcular a quantidade de grãos
que deveria ser paga a Sissa. Hoje existem ferramentas
tecnológicas, além da calculadora, que ajudam a rea-
lizar esses cálculos com mais facilidade. Você conhece
alguma dessas ferramentas tecnológicas?
Sissa pediu grãos de trigo pelas casas de um tabuleiro da seguinte maneira:
1 grão pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira,
8 pela quarta, e assim sucessivamente, dobrando a quantidade de grãos até
chegar à 64
a
casa. O pedido se mostra impossível pela quantidade de grãos
que Sissa teria que receber ao todo.
Espera-se que os alunos percebam que, para cada casa do tabuleiro,
eles precisarão calcular uma potência de base 2. O expoente vai
variar de 0 a 63.
Para essa questão, uma resposta provável será o computador. Mas ele não faz o
cálculo sozinho. Para isso, você poderá apresentar aos alunos as planilhas eletrônicas.
38
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Segundo a lenda, Segundo a lenda,
Sissa, um sábio Sissa, um sábio
indiano, inventou o indiano, inventou o
jogo de xadrez para jogo de xadrez para
curar o tédio do rei.curar o tédio do rei.
Indicando por Q a soma dos Q a soma dos Q
grãos, temos:
Q = 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
Tendo gostado do jogo, o rei
prometeu uma recompensa: daria
qualquer coisa que Sissa pedisse.
O rei ficou espantado perante um pedido que
pareceu tão humilde e cedeu imediatamente
à sua aparente insignificância.
WANDSON ROCHA
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84. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Estimular os alunos a obser-
var e ler atentamente a lenda
que foi relatada por meio da
história em quadrinhos. Em
seguida, discutir com eles o
papel das lendas na tradição
oral e escrita. É interessante
que percebam que a narrativa
não retrata um fato, mas con-
ta uma história a respeito do
jogo de xadrez.
Se houver possibilidade, le-
var tabuleiros de xadrez para a
sala de aula e alguns grãos de
feijão ou de arroz para repre-
sentar um trecho da história
retratada. Os alunos ainda po-
dem ser convidados a avaliar o
pedido de Sissa.
Na primeira questão, po-
de-se perguntar aos alunos o
que eles pediriam se estives-
sem no lugar de Sissa, como
eles entendem o fim da his-
tória, entre outras questões.
Se achar conveniente, resga-
tar outras lendas conhecidas
pelos alunos.
Na segunda questão, veri-
ficar se os alunos compreen-
dem que a quantidade total
de grãos é muito grande e que
seu cálculo é inviável. Para que
eles cheguem a essa conclu-
são, é interessante fazer algu-
mas perguntas como: “Quan-
tos grãos de trigo haveria na 6ª
casa do tabuleiro?”; “Quantos
grãos seriam necessários para
preencher até a 10ª casa?”;
“Vocês conseguem desco-
brir alguma regularidade nas
quantidades referentes a cada
casa do tabuleiro? Qual?”.
Outra opção é construir uma
tabela com a quantidade de
grãos referentes às 10 primei-
ras casas do tabuleiro.
Caso os alunos desejem sa-
ber a quantidade total, uma
possibilidade é elaborar uma
tabela com a quantidade de
grãos de cada casa utilizando
uma planilha eletrônica.
Lendas são narrativas ligadas à
tradição oral que contam fatos histó-
ricos combinados a outros de origem
fantástica.
Ao lado, apresentamos resumida-
mente uma lenda de como o jogo de
xadrez teria sido inventado.
Potências, raízes
e números reais2
Mas, feitos os cálculos,
verificou-se que se
juntassem todo o trigo
do mundo ainda não
seria possível coletar a
quantia que Sissa pediu
como recompensa.
Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira
casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4
pela terceira, 8 pela quarta e assim
sucessivamente, até chegar à 64sucessivamente, até chegar à 64
a
casa.
Leia a lenda e responda no caderno às questões a seguir:
• Sissa faz um pedido que se mostra impossível de ser
atendido. Qual foi esse pedido?
• Que estratégias você utilizaria para calcular quantos
grãos Sissa deveria receber?
• Uma das lendas diz que os matemáticos do rei levaram
um grande tempo para calcular a quantidade de grãos
que deveria ser paga a Sissa. Hoje existem ferramentas
tecnológicas, além da calculadora, que ajudam a rea-
lizar esses cálculos com mais facilidade. Você conhece
alguma dessas ferramentas tecnológicas?
Sissa pediu grãos de trigo pelas casas de um tabuleiro da seguinte maneira:
1 grão pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira,
8 pela quarta, e assim sucessivamente, dobrando a quantidade de grãos até
chegar à 64
a
casa. O pedido se mostra impossível pela quantidade de grãos
que Sissa teria que receber ao todo.
Espera-se que os alunos percebam que, para cada casa do tabuleiro,
eles precisarão calcular uma potência de base 2. O expoente vai
variar de 0 a 63.
Para essa questão, uma resposta provável será o computador. Mas ele não faz o
cálculo sozinho. Para isso, você poderá apresentar aos alunos as planilhas eletrônicas.
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Segundo a lenda, Segundo a lenda,
Sissa, um sábio Sissa, um sábio
indiano, inventou o indiano, inventou o
jogo de xadrez para jogo de xadrez para
curar o tédio do rei.curar o tédio do rei.
Indicando por Q a soma dos Q a soma dos Q
grãos, temos:
Q = 2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ ... + 2
63
Tendo gostado do jogo, o rei
prometeu uma recompensa: daria
qualquer coisa que Sissa pedisse.
O rei ficou espantado perante um pedido que
pareceu tão humilde e cedeu imediatamente
à sua aparente insignificância.
WANDSON ROCHA
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85. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Nessa seção, a atividade
proposta utiliza o processo in-
vestigativo com levantamento
de hipóteses e de sua consta-
tação, da dedução até chegar
à generalização. Essa proposta
poderá levar os alunos a com-
preender as ideias que envol-
vem a operação potenciação.
Além disso, eles poderão
determinar, por meio dessa
atividade, as sequências numé-
ricas das potências de base 2.
Para isso, os alunos precisarão
de folhas de papel sulfite. É
conveniente que a atividade
dessa seção seja resolvida co-
letivamente.
Descobrindo a potência
de um número racional
Os alunos serão convidados
a dobrar e desdobrar as folhas
de papel sulfite, mas antes é
interessante que levantem hi-
póteses a respeito da quanti-
dade de dobras e vincos feitos
no papel.
POTÊNCIA DE UM
NÚMERO RACIONAL
Pegue algumas folhas de papel sulfite e siga as orientações:
1. Dobre uma das folhas ao meio, sucessivamente, por 3 vezes, como
mostram as ilustrações.
A seguir, desdobre a folha. Depois responda às questões no caderno.
a) Em quantas partes iguais a folha ficou dividida?
b) Dobre outra folha de papel sulfite ao meio, sucessivamente, por 4 vezes.
Desdobre-a e responda: Em quantas partes a folha ficou dividida?
c) Você é capaz de dizer em quantas partes uma folha de papel sulfite vai ficar
dividida se for dobrada, sucessivamente, por 5 vezes?
d) Explique como você chegou a essas respostas.
8
16
32
Resposta pessoal.
pense e responda
1
CAPÍTULO
2
a
dobra1
a
dobra 3
a
dobra
Descobrindo a potência de
um número racional
Agora, observe uma folha de papel e as dobras nela feitas.
2 dobras 4 partes
2
2
= 2 x 2 = 4
3 dobras 8 partes
2
3
= 2 x 2 x 2 = 8
4 dobras 16 partes
2
4
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
0 dobra 1 parte
2
0
= 1
1 dobra 2 partes
2
1
= 2
ILUSTRAÇÕES: MARCOS GUILHERME
WANDSON ROCHA
Resoluções a partir da p. 289
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• 5 dobras 32 partes
2
5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
• 6 dobras 64 partes
2
6
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
• 7 dobras 128 partes
2
7
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
• 8 dobras 256 partes
2
8
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
Dado um número racional a e um número natural n, a expressão a
n
chama-se potência
e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a.
a
n
= a x a x a x a x a x ... x a
n fatores
Essa operação é chamada potenciação.
Assim, pela definição:
• 10
3
= 10 x 10 x 10 = 1000
3 fatores
• (0,5)
4
= 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625
4 fatores
• =x=
1
3
1
3
1
3
1
9
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 fatores
Em uma potenciação, temos os seguintes termos:
2
5
= 32
expoente
potência (resultado da operação)
base
Lê-se: dois elevado à quinta é igual a 32.
Observações:
Dado um número racional a, define-se a
1
= a.
• 6
1
= 6 • !
1
9
1
9
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ • (1,7)
1
= 1,7
Dado um número racional a, com a 5 0, define-se a
0
= 1.
• 5
0
= 1 • !
2
3
1
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ • (2,4)
0
= 1
41
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40
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86. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Estimular os alunos a ela-
borar coletivamente um car-
taz, que deverá ficar exposto
na sala de aula e poderá ser
completado ao longo do ano
com informações e exemplos
de conceitos e conteúdos vis-
tos ao longo da Unidade e que
julgarem pertinentes como,
por exemplo, o conceito de
potenciação apresentado aqui. 
POTÊNCIA DE UM
NÚMERO RACIONAL
Pegue algumas folhas de papel sulfite e siga as orientações:
1. Dobre uma das folhas ao meio, sucessivamente, por 3 vezes, como
mostram as ilustrações.
A seguir, desdobre a folha. Depois responda às questões no caderno.
a) Em quantas partes iguais a folha ficou dividida?
b) Dobre outra folha de papel sulfite ao meio, sucessivamente, por 4 vezes.
Desdobre-a e responda: Em quantas partes a folha ficou dividida?
c) Você é capaz de dizer em quantas partes uma folha de papel sulfite vai ficar
dividida se for dobrada, sucessivamente, por 5 vezes?
d) Explique como você chegou a essas respostas.
8
16
32
Resposta pessoal.
pense e responda
1
CAPÍTULO
2
a
dobra1
a
dobra 3
a
dobra
Descobrindo a potência de
um número racional
Agora, observe uma folha de papel e as dobras nela feitas.
2 dobras 4 partes
2
2
= 2 x 2 = 4
3 dobras 8 partes
2
3
= 2 x 2 x 2 = 8
4 dobras 16 partes
2
4
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
0 dobra 1 parte
2
0
= 1
1 dobra 2 partes
2
1
= 2
ILUSTRAÇÕES: MARCOS GUILHERME
WANDSON ROCHA
Resoluções a partir da p. 289
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• 5 dobras 32 partes
2
5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
• 6 dobras 64 partes
2
6
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
• 7 dobras 128 partes
2
7
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
• 8 dobras 256 partes
2
8
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256
Dado um número racional a e um número natural n, a expressão a
n
chama-se potência
e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a.
a
n
= a x a x a x a x a x ... x a
n fatores
Essa operação é chamada potenciação.
Assim, pela definição:
• 10
3
= 10 x 10 x 10 = 1000
3 fatores
• (0,5)
4
= 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625
4 fatores
• =x=
1
3
1
3
1
3
1
9
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 fatores
Em uma potenciação, temos os seguintes termos:
2
5
= 32
expoente
potência (resultado da operação)
base
Lê-se: dois elevado à quinta é igual a 32.
Observações:
Dado um número racional a, define-se a
1
= a.
• 6
1
= 6 • !
1
9
1
9
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ • (1,7)
1
= 1,7
Dado um número racional a, com a 5 0, define-se a
0
= 1.
• 5
0
= 1 • !
2
3
1
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ • (2,4)
0
= 1
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87. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Orientar os alunos a realizar
as atividades tentando identi-
ficar os conhecimentos neces-
sários para a compreensão e a
resolução de cada uma delas.
Isso auxilia a turma a identificar
a relação de coerência entre as
atividades e a perceber a apli-
cação dos conceitos estudados.
Na atividade 6, os alunos
podem construir o cubo ilus-
trado na atividade antes de
resolvê-la, utilizando peças do
Material Dourado ou dados de
mesmo tamanho. A utilização
de material manipulável facili-
ta a compreensão do conceito
de potência e ajuda os alunos
a perceber que o volume do
objeto que está sendo medi-
do pode ser determinado por
meio de uma multiplicação.
Para a atividade 12, uma
sugestão é que ela seja resol-
vida coletivamente, favorecen-
do a troca de informações. Os
alunos devem perceber que,
nessa situação-problema, eles
precisaram primeiro interpretar
os dados e determinar os valo-
res de x e y, para só depois cal-
cular o valor da expressão x + y.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe as multiplicações e escreva cada
uma na forma de potência.
a) 6 x 6 x 6
b) 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5
c)
3
10
x
3
10
d) 1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2
e) 9 x 9 x 9 x ... x 9
10 fatores
f) 1,1 x 1,1 x 1,1 x ... x 1,1
20 fatores
g) 2 x 2 x 2 x ... x 2
25 fatores
h) 1 x 1 x 1 x ... x 1
100 fatores
2. Escreva na forma de multiplicação as
potências a seguir.
a) 2
5
b) (0,8)
3
c)
1
4
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 10
6
e) (2,8)
2

f) (0,7)³
3. Cada figura a seguir sugere uma potência.
Escreva a potência sugerida.
a) b)
4. Calcule as potências a seguir.
a) 5
3
b) 10
5

c) 2
7
d) 3
4
e) 11
2

f) 20
0

g) (1,8)
2
h) (0,4)
3
i)
2
3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
j) (2,5)
2
k)
1
2
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l) (3,7)
0

Resoluções a
partir da p. 289
6
3
0,5
5
3
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1,2
4
9
10
1,1
20
2
25
1
100
2 x 2 x 2 x 2 x 2
0,8 x 0,8 x 0,8
2. c) xxx
1
4
1
4
1
4
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
2,8 x 2,8
f) 0,7 x 0,7 x 0,7
5
2
Cubo.
Quadrado.
2
3
125
100 000
128
81
121
1
3,24
0,064
8
27
6,25
1
16
1
5. Considerando o como unidade de
medida de superfície, use a potenciação
para calcular a área da figura a seguir.
6. Com cubinhos iguais a este , Lucca
compôs o cubo a seguir. Use a potenciação
para descobrir quantos cubinhos ele usou.
7. Verifique se a expressão (10 + 7)
2
é dife-
rente da expressão 10
2
+ 7
2
.
8. Considerando que 50% = 0,5, qual é o
número decimal que representa o cubo
de 50%?
9. Sabe-se que o número decimal A repre-
senta o dobro de 1,1 e o número decimal
B representa o quadrado de 1,1. Qual é
o valor de A _ B?
10. Escreva a expressão (0,5)
2
na forma:
a) decimal. b) percentual (%).
11. Compare os números a e b usando o
sinal =, . ou ,.
a) a = 2
3
x 2
2
e b = 2
6

b) a = 3
2
x 5
2
e b = (3 x 5)
2

12. Sabendo que 10
x
= 100 e 10
0
= y, calcule
o valor de x + y.
13
2
= 13 x 13, ou seja, 169 quadrados.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
8
3
= 8 x 8 x 8, ou seja, 512 cubinhos.
Sim, pois
(10 + 7)
2
= 17
2
= 289 e 10
2
+ 7
2
= 100 + 49 = 149.
0,125
0,99
0,25
25%
a = 32; b = 64;
a , b.
a = 225;
b = 225; a = b.
x + y = 2 + 1 = 3
42
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Explorando a calculadora
Para calcular o valor de uma potência, por exemplo, 3
5
, usando uma calculadora simples,
podemos fazer assim:
243.
3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
Ou assim:
243.
3 x 3 = = = =
PROPRIEDADES DA
POTENCIAÇÃO2
CAPÍTULO
pense e responda
Veja as potências que Thiago calculou:
1. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades a seguir no caderno.
a) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• 2
2
x 2
3
e 2
5
• 3
4
x 3
2
e 3
6

b) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• 2
5
: 2
3
e 2
2
• 3
5
: 3
2
e 3
3

c) Encontre o resultado de:
• (2
3
)
2
2
6
= 64 • (2
2
)
3
2
6
= 64 • 3
4
d) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• (2
3
)
2
e 2
6
• (3
2
)
2
e 3
4
• (2
2
)
3
e 2
6
2
2
x 2
3
= 2
5
3
4
x 3
2
= 3
6
2
5
: 2
3
= 2
2
3
5
: 3
2
= 3
3
81
(2
3
)
2
= 2
6
(3
2
)
2
= 3
4
(2
2
)
3
= 2
6
Resoluções a partir da p. 289
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
1
= 2
2
2
= 2 x 2 = 4
2
3
= 2 x 2 x 2 = 8
2
4
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
2
5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
2
6
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
3
1
= 3
3
2
= 3 x 3 = 9
3
3
= 3 x 3 x 3 = 27
3
4
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
3
5
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
3
6
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729
WANDSON ROCHA
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88. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Com base nas potências de
2 e 3, são propostos diversos
cálculos que se relacionam
com as propriedades a serem
estudadas.
No item a, por exemplo,
pode-se perguntar aos alunos:
• O que vocês acham que
aconteceu com as potências
nessa igualdade? Há alguma
maneira prática de efetuar es-
se cálculo?
• Essa maneira é sempre
válida?
Permitir aos alunos que
utilizem as estratégias que
julgarem mais interessantes e,
após um tempo de exploração
(pode ser em duplas), eles de-
vem ser incentivados a verbali-
zar as hipóteses e conjecturas
realizadas durante a atividade
proposta. Muitas vezes, eles
intuitivamente conseguem
chegar às propriedades da
potenciação.
Nessa seção, explorar todas
as relações com potências de
2 e 3 e ampliar, por exemplo,
para as potências de 5.
Explorando a
calculadora
Retomar com os alunos
o uso da calculadora no cál-
culo de potências, utilizando
a multiplicação de fatores
iguais, mesmo que exista a te-
cla específica para a potência
(no caso de estarem utilizando
uma calculadora científica).
É importante ressaltar que
os equipamentos tecnológicos
são auxiliares na resolução dos
cálculos, mas não substituem o
raciocínio nem a compreensão
da situação ou do problema.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe as multiplicações e escreva cada
uma na forma de potência.
a) 6 x 6 x 6
b) 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5
c)
3
10
x
3
10
d) 1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2
e) 9 x 9 x 9 x ... x 9
10 fatores
f) 1,1 x 1,1 x 1,1 x ... x 1,1
20 fatores
g) 2 x 2 x 2 x ... x 2
25 fatores
h) 1 x 1 x 1 x ... x 1
100 fatores
2. Escreva na forma de multiplicação as
potências a seguir.
a) 2
5
b) (0,8)
3
c)
1
4
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 10
6
e) (2,8)
2

f) (0,7)³
3. Cada figura a seguir sugere uma potência.
Escreva a potência sugerida.
a) b)
4. Calcule as potências a seguir.
a) 5
3
b) 10
5

c) 2
7
d) 3
4
e) 11
2

f) 20
0

g) (1,8)
2
h) (0,4)
3
i)
2
3
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
j) (2,5)
2
k)
1
2
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
l) (3,7)
0

Resoluções a
partir da p. 289
6
3
0,5
5
3
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1,2
4
9
10
1,1
20
2
25
1
100
2 x 2 x 2 x 2 x 2
0,8 x 0,8 x 0,8
2. c) xxx
1
4
1
4
1
4
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
2,8 x 2,8
f) 0,7 x 0,7 x 0,7
5
2
Cubo.
Quadrado.
2
3
125
100 000
128
81
121
1
3,24
0,064
8
27
6,25
1
16
1
5. Considerando o como unidade de
medida de superfície, use a potenciação
para calcular a área da figura a seguir.
6. Com cubinhos iguais a este , Lucca
compôs o cubo a seguir. Use a potenciação
para descobrir quantos cubinhos ele usou.
7. Verifique se a expressão (10 + 7)
2
é dife-
rente da expressão 10
2
+ 7
2
.
8. Considerando que 50% = 0,5, qual é o
número decimal que representa o cubo
de 50%?
9. Sabe-se que o número decimal A repre-
senta o dobro de 1,1 e o número decimal
B representa o quadrado de 1,1. Qual é
o valor de A _ B?
10. Escreva a expressão (0,5)
2
na forma:
a) decimal. b) percentual (%).
11. Compare os números a e b usando o
sinal =, . ou ,.
a) a = 2
3
x 2
2
e b = 2
6

b) a = 3
2
x 5
2
e b = (3 x 5)
2

12. Sabendo que 10
x
= 100 e 10
0
= y, calcule
o valor de x + y.
13
2
= 13 x 13, ou seja, 169 quadrados.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
8
3
= 8 x 8 x 8, ou seja, 512 cubinhos.
Sim, pois
(10 + 7)
2
= 17
2
= 289 e 10
2
+ 7
2
= 100 + 49 = 149.
0,125
0,99
0,25
25%
a = 32; b = 64;
a , b.
a = 225;
b = 225; a = b.
x + y = 2 + 1 = 3
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Explorando a calculadora
Para calcular o valor de uma potência, por exemplo, 3
5
, usando uma calculadora simples,
podemos fazer assim:
243.
3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
Ou assim:
243.
3 x 3 = = = =
PROPRIEDADES DA
POTENCIAÇÃO2
CAPÍTULO
pense e responda
Veja as potências que Thiago calculou:
1. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades a seguir no caderno.
a) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• 2
2
x 2
3
e 2
5
• 3
4
x 3
2
e 3
6

b) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• 2
5
: 2
3
e 2
2
• 3
5
: 3
2
e 3
3

c) Encontre o resultado de:
• (2
3
)
2
2
6
= 64 • (2
2
)
3
2
6
= 64 • 3
4
d) Usando o símbolo = ou 5, compare:
• (2
3
)
2
e 2
6
• (3
2
)
2
e 3
4
• (2
2
)
3
e 2
6
2
2
x 2
3
= 2
5
3
4
x 3
2
= 3
6
2
5
: 2
3
= 2
2
3
5
: 3
2
= 3
3
81
(2
3
)
2
= 2
6
(3
2
)
2
= 3
4
(2
2
)
3
= 2
6
Resoluções a partir da p. 289
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
1
= 2
2
2
= 2 x 2 = 4
2
3
= 2 x 2 x 2 = 8
2
4
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16
2
5
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
2
6
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
3
1
= 3
3
2
= 3 x 3 = 9
3
3
= 3 x 3 x 3 = 27
3
4
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
3
5
= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
3
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= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729
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89. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Conhecendo as
propriedades da
potenciação
Nesse tópico, o objetivo é
levar os alunos a conhecer e
aplicar as quatro proprieda-
des da potenciação: produto
de potências de mesma base;
quociente de potências de
mesma base; potência de uma
potência; e potência de um
produto.
Ao final, convidar os alunos
a observar todas as proprieda-
des da potenciação e propor
a eles que resolvam algumas
atividades simples envolvendo
a multiplicação e a divisão de
potências de mesma base.
Se achar interessante, as
propriedades da potenciação
também poderão compor o
cartaz proposto na página 41.
Conhecendo as propriedades
da potenciação
1
a
propriedade: Produto de potências de mesma base.
Consideremos, por exemplo, o quociente de potências de mesma base 7
5
: 7
2
.
7
5
! 7
2
! (7 " 7 " 7 " 7 " 7) ! (7 " 7) !
777 77
77
××××
×
! 7 " 7 " 7 ! 7
3
7
5
7
2
7
5
: 7
2
= 7
5 _ 2
ou 7
3
Assim:
• 11
5
: 11
5
= 11
5 _ 5
= 11
0
• (2,3)
6
: (2,3)
5
= (2,3)
6 _ 5
= (2,3)
1
3
a
propriedade: Potência de uma potência.
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência:
conservamos a base e adicionamos os expoentes.
a
m
x a
n
= a
m + n
Um quociente de potências de mesma base, em que o expoente do dividendo é maior ou
igual ao expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos
a base e subtraímos os expoentes.
a
m
: a
n
= a
m _ n
, com a 5 0 e m > n.
Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência: conser-
vamos a base e multiplicamos os expoentes.
(a
m
)
n
= a
m x n
Consideremos, por exemplo, o produto de potências de mesma base 2
3
x 2
7
.
2
3
" 2
7
! (2 " 2 " 2) " (2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2)
2
3
2
7
potências de mesma base
2
3
" 2
7
! 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 ! 2
10
2
3
" 2
7
! 2
3 ! 7
ou 2
10
10 fatores
Assim:
• 3
5
x 3
2
= 3
5 + 2
= 3
7
•
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
23 213 6

⎛
⎝
⎞
⎠
×
⎛
⎝
⎞
⎠
×
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
++

2
a
propriedade: Quociente de potências de mesma base.
Consideremos, por exemplo, a seguinte potência de potência (5
2
)
3
.
(5
2
)
3
= 5
2
x 5
2
x 5
2
= 5
2 + 2 + 2
= 5
6
(5
2
)
3
= 5
2 x 3
ou 5
6
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4
a
propriedade: Potência de um produto.
Consideremos, por exemplo, a potência de um produto (2 x 7)
3
.
(2 x 7)
3
= 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 7 = 2
3
x 7
3
(2 x 7)
3
= (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7) = 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7
3 fatores
Assim:
•
1
3
1
2
1
3
1
2
6 66
!" !
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠

• (5
2
x 7
3
)
2
= (5
2
)
2
x (7
3
)
2
= 5
4
x 7
6
Observação:
Essa propriedade também pode ser aplicada quando temos uma potência de um quociente. Veja:
• (7 : 6)
3
= 7
3
: 6
3
• (3 ! 5
2
)
4
" 3
4
! (5
2
)
4
" 3
4
! 5
8
Potências de base dez
Você deve saber que 10
n
, para n natural, escreve-se:
10
n
= 1 000...0
n zeros
Assim, a potência de base 10, com expoente natural, é uma maneira de se escrever o número
que, no Sistema de Numeração Decimal, é representado por 1 seguido de n zeros. Observe:
• 10
5
= 100 000 • 10
2
= 100 • 10
1
= 10
5 zeros 2 zeros 1 zero
As potências de base 10 são úteis para escrever números muito grandes.
Por exemplo, 1 200 000 pode ser escrito na forma:
1 200 000 = 1,2 x 1 000 000 = 1,2 x 10
6
Veja outros exemplos:
• A distância de Marte ao Sol é aproximadamente 228 000 000 km e pode ser indicada assim:
2,28 x 100 000 000 km = 2,28 x 10
8
km.
• Netuno encontra-se a cerca de 4 500 000 000 km do Sol. Podemos escrever essa distância
assim: 4,5 x 1 000 000 000 km = 4,5 x 10
9
km.
Dizemos que os números 1,2 x 10
6
, 2,28 x 10
8
e 4,5 x 10
9
estão representados em notação
científica. Nesse tipo de representação, o número que multiplica a potência de base dez deve
estar entre o número 1 e o 10.
Para elevar um produto de dois ou mais números racionais a um expoente, elevamos
cada fator a esse expoente.
(a x b)
n
= a
n
x b
n
Assim:
• (6
2
)
5
= 6
2 x 5
= 6
10
•
1
3
1
3
1
3
4
6
46 24
⎛
⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
×
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90. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Potências de base dez
Nesse tópico, os alunos
serão levados a identificar as
potências de base dez e reco-
nhecer sua utilidade na reali-
zação de cálculos e escrita de
números muito grandes, como
a distância entre planetas me-
dida em quilômetros. O uso de
notação científica, tanto para
representar números quanto
para efetuar cálculos, é bas-
tante importante para o estu-
do em outras disciplinas como
Física e Química.
Realizar a leitura do texto
apresentado no livro do aluno,
estabelecendo uma relação
com as estratégias e os pen-
samentos desenvolvidos pelo
grupo durante a resolução da
atividade proposta anterior-
mente na seção Pense e res-
ponda da página 43.
Conhecendo as propriedades
da potenciação
1
a
propriedade: Produto de potências de mesma base.
Consideremos, por exemplo, o quociente de potências de mesma base 7
5
: 7
2
.
7
5
! 7
2
! (7 " 7 " 7 " 7 " 7) ! (7 " 7) !
777 77
77
××××
×
! 7 " 7 " 7 ! 7
3
7
5
7
2
7
5
: 7
2
= 7
5 _ 2
ou 7
3
Assim:
• 11
5
: 11
5
= 11
5 _ 5
= 11
0
• (2,3)
6
: (2,3)
5
= (2,3)
6 _ 5
= (2,3)
1
3
a
propriedade: Potência de uma potência.
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência:
conservamos a base e adicionamos os expoentes.
a
m
x a
n
= a
m + n
Um quociente de potências de mesma base, em que o expoente do dividendo é maior ou
igual ao expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos
a base e subtraímos os expoentes.
a
m
: a
n
= a
m _ n
, com a 5 0 e m > n.
Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência: conser-
vamos a base e multiplicamos os expoentes.
(a
m
)
n
= a
m x n
Consideremos, por exemplo, o produto de potências de mesma base 2
3
x 2
7
.
2
3
" 2
7
! (2 " 2 " 2) " (2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2)
2
3
2
7
potências de mesma base
2
3
" 2
7
! 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 ! 2
10
2
3
" 2
7
! 2
3 ! 7
ou 2
10
10 fatores
Assim:
• 3
5
x 3
2
= 3
5 + 2
= 3
7
•
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
23 213 6

⎛
⎝
⎞
⎠
×
⎛
⎝
⎞
⎠
×
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
++

2
a
propriedade: Quociente de potências de mesma base.
Consideremos, por exemplo, a seguinte potência de potência (5
2
)
3
.
(5
2
)
3
= 5
2
x 5
2
x 5
2
= 5
2 + 2 + 2
= 5
6
(5
2
)
3
= 5
2 x 3
ou 5
6
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4
a
propriedade: Potência de um produto.
Consideremos, por exemplo, a potência de um produto (2 x 7)
3
.
(2 x 7)
3
= 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 7 = 2
3
x 7
3
(2 x 7)
3
= (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7) = 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7
3 fatores
Assim:
•
1
3
1
2
1
3
1
2
6 66
!" !
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠

• (5
2
x 7
3
)
2
= (5
2
)
2
x (7
3
)
2
= 5
4
x 7
6
Observação:
Essa propriedade também pode ser aplicada quando temos uma potência de um quociente. Veja:
• (7 : 6)
3
= 7
3
: 6
3
• (3 ! 5
2
)
4
" 3
4
! (5
2
)
4
" 3
4
! 5
8
Potências de base dez
Você deve saber que 10
n
, para n natural, escreve-se:
10
n
= 1 000...0
n zeros
Assim, a potência de base 10, com expoente natural, é uma maneira de se escrever o número
que, no Sistema de Numeração Decimal, é representado por 1 seguido de n zeros. Observe:
• 10
5
= 100 000 • 10
2
= 100 • 10
1
= 10
5 zeros 2 zeros 1 zero
As potências de base 10 são úteis para escrever números muito grandes.
Por exemplo, 1 200 000 pode ser escrito na forma:
1 200 000 = 1,2 x 1 000 000 = 1,2 x 10
6
Veja outros exemplos:
• A distância de Marte ao Sol é aproximadamente 228 000 000 km e pode ser indicada assim:
2,28 x 100 000 000 km = 2,28 x 10
8
km.
• Netuno encontra-se a cerca de 4 500 000 000 km do Sol. Podemos escrever essa distância
assim: 4,5 x 1 000 000 000 km = 4,5 x 10
9
km.
Dizemos que os números 1,2 x 10
6
, 2,28 x 10
8
e 4,5 x 10
9
estão representados em notação
científica. Nesse tipo de representação, o número que multiplica a potência de base dez deve
estar entre o número 1 e o 10.
Para elevar um produto de dois ou mais números racionais a um expoente, elevamos
cada fator a esse expoente.
(a x b)
n
= a
n
x b
n
Assim:
• (6
2
)
5
= 6
2 x 5
= 6
10
•
1
3
1
3
1
3
4
6
46 24
⎛
⎝
⎞
⎠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
⎛
⎝
⎞
⎠
=
⎛
⎝
⎞
⎠
×
45
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91. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Por toda parte
Para fazer a leitura desse
texto, os alunos podem se or-
ganizar em duplas ou peque-
nos grupos. Depois, pedir a
alguns alunos que relatem as
principais ideias do texto aos
colegas e propor um debate a
respeito do assunto. É impor-
tante que eles expressem suas
opiniões e apresentem argu-
mentos para validá-las.
Se for possível, levar para
a sala de aula um disquete,
um CD-ROM e um pen drive
para que os alunos possam
manipular e conhecer melhor
esses objetos. A comparação
física é bastante interessante
e, normalmente, surpreende
os alunos.
Ainda em duplas ou gru-
pos, eles podem resolver a
atividade 1 e elaborar estra-
tégias de resolução.
POR TODA PARTE
7 x 10
8
bytes; 1,23 x 10
8
bytes; 7 x 10
5
quilobytes; 1,23 x 10
5
quilobytes; 5,6 x 10
9
bits; 9,84 x 10
8
bits.
Do disquete ao pen drive
No fim dos anos 1990 e início dos anos 2000,
usávamos corriqueiramente os disquetes para
armazenar arquivos de computadores e transpor-
tá-los a todos os lugares. Eram aqueles disquetes
de 3,5 polegadas, revestidos por uma capinha de
plástico e com capacidade de 1,44 MB (megabytes).
Além da pequena capacidade de armazenamento
desses dispositivos removíveis, havia alguns
inconvenientes relacionados ao seu uso, como a
desmagnetização, a quebra e a grande facilidade
de os arquivos neles armazenados serem “corrom-
pidos”. Devido a essas limitações, o CD-ROM entrou
em cena, armazenando quase 500 vezes mais dados
que os disquetes.
Depois do CD-ROM surgiu o DVD com capacida-
des de 4,7 GB (gigabytes) (DVD de uma camada) a
8,5 GB (DVD de dupla camada).
Contudo, o dispositivo que veio revolucionar
o armazenamento de arquivos foi o pen drive,
também chamado de memória USB Flash. Entre
os diferenciais do novo dispositivo, podem-se
destacar: a capacidade de armazenamento, que
inicialmente era de 8 MB (atualmente há modelos
com capacidade maior de 512 GB), a facilidade de
transporte, manuseio e de transferência de dados
e a durabilidade (se bem cuidado, pode durar até
dez anos).
CD-ROM.
Disquete.
Você sabe o que é o byte?
O byte é uma unidade de quantidade de infor-
mações usada para especificar a capacidade de
memórias de computadores, tamanhos de arquivos
e discos, entre outros. Um byte equivale a 8 bits.
Veja alguns múltiplos do byte:
• 1 quilobyte (KB) é aproximadamente igual a 1 000 bytes ou 10
3
bytes;
• 1 megabyte (MB) é aproximadamente igual a 1 000 000 bytes ou 10
6
bytes;
• 1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 bytes ou 10
9
bytes.
1. Um CD-ROM com capacidade de 700 MB foi usado para gravar dados que ocupa-
vam 123 MB. Escreva, no caderno, esses valores em quilobyte, byte e bit, utilizando
potências de base 10.
Pen drive.
Resoluções a partir da p. 289
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. A p l i c a n d o a s p r o p r i e d a d e s d a p o t e n -
ciação, escreva cada expressão em uma
única potência:
a) 9
6
x 9
2

b) (20
3
)
2

c) 10
7
: 10
5

d) (8
10
)
3
e) (0,7)
4
: (0,7)
f) [(2,5)
4
]
5
g) (1,9)
12
: (1,9)
10

h)
1
2
1
2
1
2
64
!!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i)
2
5
2
5
14 9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2. Sabendo que a = 2
13
, b = 2
7
, c = 2
5
, de-
termine na forma de potência o valor
das expressões:
a) a x b
b) b : c
c) a x c
d) a : b
e) a
2

f) b
3

g) a x b x c
h) a : c
i) c
4

3. Dados x = 10
2
e y = 10
5
, compare as po-
tências x
5
e y
2
usando o sinal = ou 5.
4. Transforme cada expressão em um
produto de potências:
a) [(0,6) x (1,1)]
4

b) (3
2
x 10)
2

c) [(1,6)
3
! (2,4)
2
]
2

d)
1
2
1
3
5
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

5. C a l c u l e o v a l o r d a e x p r e s s ã o
(10
4
)
7
(10
8
! 10)
3
.
6. V o c ê j á s a b e q u e 9 = 3
2
, 27 = 3
3
e
729 = 3
6
. Usando as propriedades das
potências de mesma base, calcule o valor
da expressão (9 x 729) : 27.
9
8
20
6
10
2
8
30
(0,7)
3
(2,5)
20

(1,9)
2
1
2
11
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
20
2
2
2
18
2
6
2
26
2
21
2
25
2
8
2
20
x
5
= y
2
(0,6)
4
x (1,1)
4
3
4
x 10
2
(1,6)
6
x (2,4)
4
1
2
1
3
55
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
10
243
7. S e a = 2
7
x 3
4
x 7
2
, b = 2
5
x 3
2
x 7 e
c = 2
5
x 3 x 7, calcule o quociente indi-
cado em cada item a seguir:
a) a : b b) a : c c) b : c
8. A p l i c a n d o a s p r o p r i e d a d e s d a p o t e n -
ciação, calcule o valor das expressões
numéricas:
a) (2
9
! 2
11
! 2
3
) ! (2
7
)
3

b) [(0,4)
2
]
10
! [(0,4)
9
! (0,4)
7
! (0,4)]
9. D e t e r m i n e o q u o c i e n t e d e 1 0 2 4
2
por 64
3
.
10. Considerando que a x b = 20, calcule o
valor de:
a) a
2
x b
2
b) a
3
x b
3

11. Algumas unidades de medida muito uti-
lizadas são o metro, o grama e o litro.
Seus múltiplos possuem prefixos que
equivalem a:
giga K 1 000 000 000
mega K 1 000 000
miria K 10 000
quilo K 1 000
hecto K 100
deca K 10
Escreva esses prefixos e indique as potências
de base 10 que correspondem às equiva-
lências apresentadas anteriormente.
12. Escreva os números a seguir em notação
científica:
a) 1 350 000
b) 689 000
c) 543 000 000
d) 82 760 000
13. Escreva os números dados em notação
científica com todos os seus algarismos:
a) 6,3 x 10
9

b) 9,23 x 10
4

c) 4,608 x 10
5

d) 1,6 x 10
7
252 756 3
2
2
= 4
(0,4)
3
= 0,064
4
400 8 000
Giga = 10
9
;
mega = 10
6
;
miria = 10
4
;
quilo = 10
3
;
hecto = 10
2
;
deca = 10
1
.
1,35 x 10
6
6,89 x 10
5
5,43 x 10
8
8,276 x 10
7
6 300 000 000
92 300
460 800
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92. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Nessas atividades, os alu-
nos terão a oportunidade de
aplicar as propriedades da po-
tenciação. Eles devem identifi-
car as propriedades envolvidas
em cada atividade. É essencial
que percebam a importância
das propriedades das potên-
cias como um facilitador dos
cálculos.
Propor a seguinte discus-
são: “O que vocês acham mais
simples: resolver as potências
e depois efetivar os cálcu-
los ou simplificar a expressão
utilizando as propriedades da
potenciação antes de efetuar
os cálculos?”. É importante
salientar que não há certo ou
errado nessa discussão, mas
espera-se que os alunos con-
cluam que utilizar as proprie-
dades na simplificação antes
de efetuar os cálculos facilita a
resolução das atividades.
Por exemplo, na ativida-
de 5, propor aos alunos que
realizem a atividade das duas
maneiras e comparem as reso-
luções ao final.
Na atividade 11, ajudar os
alunos a perceber que as po-
tências de base 10 facilitam
o registro escrito de números
com valores muito grandes.
Solicitar aos alunos que
relacionem as potências de
10 com as correspondências
entre as unidades de medida.
Assim, utilizando as potências
de 10, como podemos escre-
ver 38 km em metros? E em
centímetros.
POR TODA PARTE
7 x 10
8
bytes; 1,23 x 10
8
bytes; 7 x 10
5
quilobytes; 1,23 x 10
5
quilobytes; 5,6 x 10
9
bits; 9,84 x 10
8
bits.
Do disquete ao pen drive
No fim dos anos 1990 e início dos anos 2000,
usávamos corriqueiramente os disquetes para
armazenar arquivos de computadores e transpor-
tá-los a todos os lugares. Eram aqueles disquetes
de 3,5 polegadas, revestidos por uma capinha de
plástico e com capacidade de 1,44 MB (megabytes).
Além da pequena capacidade de armazenamento
desses dispositivos removíveis, havia alguns
inconvenientes relacionados ao seu uso, como a
desmagnetização, a quebra e a grande facilidade
de os arquivos neles armazenados serem “corrom-
pidos”. Devido a essas limitações, o CD-ROM entrou
em cena, armazenando quase 500 vezes mais dados
que os disquetes.
Depois do CD-ROM surgiu o DVD com capacida-
des de 4,7 GB (gigabytes) (DVD de uma camada) a
8,5 GB (DVD de dupla camada).
Contudo, o dispositivo que veio revolucionar
o armazenamento de arquivos foi o pen drive,
também chamado de memória USB Flash. Entre
os diferenciais do novo dispositivo, podem-se
destacar: a capacidade de armazenamento, que
inicialmente era de 8 MB (atualmente há modelos
com capacidade maior de 512 GB), a facilidade de
transporte, manuseio e de transferência de dados
e a durabilidade (se bem cuidado, pode durar até
dez anos).
CD-ROM.
Disquete.
Você sabe o que é o byte?
O byte é uma unidade de quantidade de infor-
mações usada para especificar a capacidade de
memórias de computadores, tamanhos de arquivos
e discos, entre outros. Um byte equivale a 8 bits.
Veja alguns múltiplos do byte:
• 1 quilobyte (KB) é aproximadamente igual a 1 000 bytes ou 10
3
bytes;
• 1 megabyte (MB) é aproximadamente igual a 1 000 000 bytes ou 10
6
bytes;
• 1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 bytes ou 10
9
bytes.
1. Um CD-ROM com capacidade de 700 MB foi usado para gravar dados que ocupa-
vam 123 MB. Escreva, no caderno, esses valores em quilobyte, byte e bit, utilizando
potências de base 10.
Pen drive.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. A p l i c a n d o a s p r o p r i e d a d e s d a p o t e n -
ciação, escreva cada expressão em uma
única potência:
a) 9
6
x 9
2

b) (20
3
)
2

c) 10
7
: 10
5

d) (8
10
)
3
e) (0,7)
4
: (0,7)
f) [(2,5)
4
]
5
g) (1,9)
12
: (1,9)
10

h)
1
2
1
2
1
2
64
!!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
i)
2
5
2
5
14 9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟:
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2. Sabendo que a = 2
13
, b = 2
7
, c = 2
5
, de-
termine na forma de potência o valor
das expressões:
a) a x b
b) b : c
c) a x c
d) a : b
e) a
2

f) b
3

g) a x b x c
h) a : c
i) c
4

3. Dados x = 10
2
e y = 10
5
, compare as po-
tências x
5
e y
2
usando o sinal = ou 5.
4. Transforme cada expressão em um
produto de potências:
a) [(0,6) x (1,1)]
4

b) (3
2
x 10)
2

c) [(1,6)
3
! (2,4)
2
]
2

d)
1
2
1
3
5
!
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

5. C a l c u l e o v a l o r d a e x p r e s s ã o
(10
4
)
7
(10
8
! 10)
3
.
6. V o c ê j á s a b e q u e 9 = 3
2
, 27 = 3
3
e
729 = 3
6
. Usando as propriedades das
potências de mesma base, calcule o valor
da expressão (9 x 729) : 27.
9
8
20
6
10
2
8
30
(0,7)
3
(2,5)
20

(1,9)
2
1
2
11
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
20
2
2
2
18
2
6
2
26
2
21
2
25
2
8
2
20
x
5
= y
2
(0,6)
4
x (1,1)
4
3
4
x 10
2
(1,6)
6
x (2,4)
4
1
2
1
3
55
x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
10
243
7. S e a = 2
7
x 3
4
x 7
2
, b = 2
5
x 3
2
x 7 e
c = 2
5
x 3 x 7, calcule o quociente indi-
cado em cada item a seguir:
a) a : b b) a : c c) b : c
8. A p l i c a n d o a s p r o p r i e d a d e s d a p o t e n -
ciação, calcule o valor das expressões
numéricas:
a) (2
9
! 2
11
! 2
3
) ! (2
7
)
3

b) [(0,4)
2
]
10
! [(0,4)
9
! (0,4)
7
! (0,4)]
9. D e t e r m i n e o q u o c i e n t e d e 1 0 2 4
2
por 64
3
.
10. Considerando que a x b = 20, calcule o
valor de:
a) a
2
x b
2
b) a
3
x b
3

11. Algumas unidades de medida muito uti-
lizadas são o metro, o grama e o litro.
Seus múltiplos possuem prefixos que
equivalem a:
giga K 1 000 000 000
mega K 1 000 000
miria K 10 000
quilo K 1 000
hecto K 100
deca K 10
Escreva esses prefixos e indique as potências
de base 10 que correspondem às equiva-
lências apresentadas anteriormente.
12. Escreva os números a seguir em notação
científica:
a) 1 350 000
b) 689 000
c) 543 000 000
d) 82 760 000
13. Escreva os números dados em notação
científica com todos os seus algarismos:
a) 6,3 x 10
9

b) 9,23 x 10
4

c) 4,608 x 10
5

d) 1,6 x 10
7
252 756 3
2
2
= 4
(0,4)
3
= 0,064
4
400 8 000
Giga = 10
9
;
mega = 10
6
;
miria = 10
4
;
quilo = 10
3
;
hecto = 10
2
;
deca = 10
1
.
1,35 x 10
6
6,89 x 10
5
5,43 x 10
8
8,276 x 10
7
6 300 000 000
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93. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Números quadrados
perfeitos
O objetivo nesse tópico é
preparar os alunos para fazer
a associação entre a Geome-
tria e os números quadrados
perfeitos. Pode-se discutir essa
relação e começar a identificar
quadrados perfeitos com base
na variação da medida do lado
do quadrado.
Ao iniciar a reflexão a res-
peito dos quadrados perfeitos,
levar os alunos a pensar no
significado do nome utilizado,
ou seja, por que eles acredi-
tam que se chama quadrado
perfeito e que números pode-
riam se encaixar nesse concei-
to. Nesse momento, deverão
explicitar o porquê da escolha
desses números, pois assim os
alunos serão levados a refletir
a respeito do conteúdo e com-
preender melhor o conceito
apresentado.
Levar os alunos a perceber
que o processo geométrico
para o reconhecimento de um
número quadrado perfeito
pode ser demorado, principal-
mente se o número for muito
grande. Outro aspecto impor-
tante é que os alunos perce-
bam a relação que existe entre
um número quadrado perfeito
e a sua raiz quadrada.
O número 16, que equivale a 4 ao qua-
drado, é chamado quadrado perfeito.
É possível mostrar geometricamente
que 16 é um número quadrado perfeito.
Consideremos um quadrado com 1 cm
de lado. Se usarmos 16 desses quadrados,
poderemos formar um novo quadrado.
Veja, a seguir, o quadro com alguns números naturais que são quadrados
perfeitos:
n 1234 5 6 7 8 910
n
2
(números quadrados
perfeitos)
149162536496481100
NÚMEROS QUADRADOS
PERFEITOS3
CAPÍTULO
4
2
!
4
2
! 4 " 4 ! 16
Qual é o
número obtido
quando elevamos 4
ao quadrado?
É um
quadrado
perfeito!
Representando
esse número
geometricamente...
1 cm
1 cm
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são deno-
minados números quadrados perfeitos.
Dezesseis!
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Como reconhecer se um número é
quadrado perfeito
Reconhecer se um número é quadrado perfeito pelo processo geométrico é demorado,
principalmente se o número for grande. Vamos agora aprender outro processo. Primeiro devemos
fatorar na forma completa um número. Se todos os fatores tiverem expoente par, o número será
um quadrado perfeito. Caso um dos fatores não apresente expoente par, o número não será um
quadrado perfeito. Acompanhe os exemplos:
4502
2253
753
255 450 = 2
1
x 3
2
x 5
2
55
1
• Verificar se 450 é um quadrado perfeito.
Como o fator 2 não apresenta ex -
poen te par, 450 não é um número quadrado
perfeito.
1442
722
362
182 144 = 2
4
x 3
2
93
33
1
• Verificar se 144 é um quadrado perfeito.
Como todos os fatores encontrados
apresentam expoente par, 144 é um número
quadrado perfeito.
ATIVIDADES
Resoluções a
partir da p. 289
Responda às questões no caderno.
1. Desenhe um quadrado de 1 cm de lado
e depois responda:
a) Você pode formar um novo quadrado
usando 25 desses quadrados?
Então 25 é um quadrado perfeito?
b) Se usar 29 desses quadrados, você poderá
formar um novo quadrado? Não.
Então 29 é um quadrado perfeito?
2. Fazendo a fatoração dos números natu-
rais a seguir, verifique quais deles são
números quadrados perfeitos.
a) 225
b) 300
c) 400
d) 729
e) 1 000
f) 1 024
g) 2 000
h) 1 600
Sim.
Sim, 25 é um quadrado perfeito.
Não, 29 não é um quadrado perfeito.
e) Não é quadrado perfeito.
f) É quadrado perfeito.
g) Não é quadrado perfeito.
h) É quadrado perfeito.
a) É quadrado perfeito.
b) Não é quadrado perfeito.
c) É quadrado perfeito.
d) É quadrado perfeito.
2.
3. O número natural A é expresso por:
A = 2
x
x 11
6
Dê um algarismo que possa ser colocado
no lugar do expoente x para que A não
seja um número quadrado perfeito.
4. Quantos números naturais quadrados
perfeitos há entre 100 e 300? Sugestão:
para achar os números, faça 11
2
, 12
2
, ...
5. Q u a l é o m e n o r n ú m e r o i n t e i r o p e l o
qual devemos multiplicar 2
4
x 3
2
x 5
3

para que esse número se torne qua-
drado perfeito?
a) 2 b) 5 c) 3 d) 10 e) 0
6. O n ú m e r o n a t u r a l B, cujo algarismo da
unidade é 5, é um número quadrado
perfeito e está entre 600 e 700. Descubra
o valor de B.
Qualquer algarismo que represente um número ímpar.
7 números: 121; 144; 169; 196; 225; 256 e 289.
Alternativa b.
O valor de B é 625.
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94. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Como reconhecer se
um número é quadrado
perfeito
É importante que os alunos
saibam utilizar o processo de
fatoração de um número para
verificar se um número é qua-
drado perfeito ou não. Nesse
momento, talvez seja neces-
sário relembrar o processo de
decomposição de um número
em fatores primos.
Atividades
Na atividade 1, propor
aos alunos que utilizem uma
folha de papel quadriculado,
pois isso auxilia a construção
da ideia de quadrado perfei-
to. Solicitar aos alunos que
formem um quadrado com 25
quadradinhos recortados para
a proposta no item a. Para o
item b, pedir a eles que tentem
formar um quadrado, usando
29 quadradinhos. Nesse caso,
os alunos perceberão que não
há como montar esse quadra-
do. Esse trabalho pode ser am-
pliado para outros números.
Na atividade 2, os alunos
vão verificar se um número é
quadrado perfeito quando to-
dos os expoentes encontrados
em sua fatoração forem pares.
Realizar a fatoração dos nú-
meros apresentados nos itens
a e b coletivamente, na lousa.
Depois , solicitar que os alunos
façam individualmente a fato-
ração dos números dos itens
seguintes.
O número 16, que equivale a 4 ao qua-
drado, é chamado quadrado perfeito.
É possível mostrar geometricamente
que 16 é um número quadrado perfeito.
Consideremos um quadrado com 1 cm
de lado. Se usarmos 16 desses quadrados,
poderemos formar um novo quadrado.
Veja, a seguir, o quadro com alguns números naturais que são quadrados
perfeitos:
n 1234 5 6 7 8 910
n
2
(números quadrados
perfeitos)
149162536496481100
NÚMEROS QUADRADOS
PERFEITOS3
CAPÍTULO
4
2
!
4
2
! 4 " 4 ! 16
Qual é o
número obtido
quando elevamos 4
ao quadrado?
É um
quadrado
perfeito!
Representando
esse número
geometricamente...
1 cm
1 cm
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são deno-
minados números quadrados perfeitos.
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Como reconhecer se um número é
quadrado perfeito
Reconhecer se um número é quadrado perfeito pelo processo geométrico é demorado,
principalmente se o número for grande. Vamos agora aprender outro processo. Primeiro devemos
fatorar na forma completa um número. Se todos os fatores tiverem expoente par, o número será
um quadrado perfeito. Caso um dos fatores não apresente expoente par, o número não será um
quadrado perfeito. Acompanhe os exemplos:
4502
2253
753
255 450 = 2
1
x 3
2
x 5
2
55
1
• Verificar se 450 é um quadrado perfeito.
Como o fator 2 não apresenta ex -
poen te par, 450 não é um número quadrado
perfeito.
1442
722
362
182 144 = 2
4
x 3
2
93
33
1
• Verificar se 144 é um quadrado perfeito.
Como todos os fatores encontrados
apresentam expoente par, 144 é um número
quadrado perfeito.
ATIVIDADES
Resoluções a
partir da p. 289
Responda às questões no caderno.
1. Desenhe um quadrado de 1 cm de lado
e depois responda:
a) Você pode formar um novo quadrado
usando 25 desses quadrados?
Então 25 é um quadrado perfeito?
b) Se usar 29 desses quadrados, você poderá
formar um novo quadrado? Não.
Então 29 é um quadrado perfeito?
2. Fazendo a fatoração dos números natu-
rais a seguir, verifique quais deles são
números quadrados perfeitos.
a) 225
b) 300
c) 400
d) 729
e) 1 000
f) 1 024
g) 2 000
h) 1 600
Sim.
Sim, 25 é um quadrado perfeito.
Não, 29 não é um quadrado perfeito.
e) Não é quadrado perfeito.
f) É quadrado perfeito.
g) Não é quadrado perfeito.
h) É quadrado perfeito.
a) É quadrado perfeito.
b) Não é quadrado perfeito.
c) É quadrado perfeito.
d) É quadrado perfeito.
2.
3. O número natural A é expresso por:
A = 2
x
x 11
6
Dê um algarismo que possa ser colocado
no lugar do expoente x para que A não
seja um número quadrado perfeito.
4. Quantos números naturais quadrados
perfeitos há entre 100 e 300? Sugestão:
para achar os números, faça 11
2
, 12
2
, ...
5. Qual é o menor número inteiro pelo
qual devemos multiplicar 2
4
x 3
2
x 5
3

para que esse número se torne qua-
drado perfeito?
a) 2 b) 5 c) 3 d) 10 e) 0
6. O n ú m e r o n a t u r a l B, cujo algarismo da
unidade é 5, é um número quadrado
perfeito e está entre 600 e 700. Descubra
o valor de B.
Qualquer algarismo que represente um número ímpar.
7 números: 121; 144; 169; 196; 225; 256 e 289.
Alternativa b.
O valor de B é 625.
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95. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Raiz quadrada exata de
um número racional não
negativo
Na primeira situação, co-
mentar com os alunos que,
para determinar a raiz quadra-
da de 576, devemos procurar
um número positivo que, mul-
tiplicado por ele mesmo, terá
como produto um número
cujo algarismo das unidades é
6. Assim, ao analisarmos o re-
sultado de 21 x 21, já é pos-
sível perceber que o algarismo
das unidades desse produto
será 1. Logo, 21 não pode
ser a raiz quadrada de 576.
Analogamente, o resultado de
22 x 22 terá como algarismo
das unidades 4. Portanto, 22
também não é raiz quadrada
de 576.
Seguindo esse raciocínio,
as únicas possibilidades seriam
24 e 26 (pois 4 x 4 = 16 e
6 x 6 = 36).
4
CAPÍTULO
RAIZ QUADRADA EXATA
DE UM NÚMERO RACIONAL
NÃO NEGATIVO
Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos,
então cada fator é a raiz quadrada desse número. Por exemplo:
• A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 x 5 = 5
2
= 25. Indica-se: 255=.
• A raiz quadrada de 49 é 7, pois 7 x 7 = 7
2
= 49. Indica-se: 497=.
Observamos, então, que todo número quadrado perfeito tem uma raiz qua-
drada exata.
Veja, agora, como fazer para determinar a raiz quadrada exata de outros números
quadrados perfeitos, acompanhando as situações a seguir.
1 Veja a conversa de Luana e Renato.
O número 576 está entre os números quadrados perfeitos 400 e 900.
A raiz quadrada do número 400 é 20, pois:
400 = 20 x 20 = 20
2
A raiz quadrada do número 900 é 30, pois:
900 = 30 x 30 = 30
2
Então, o número que procuramos está entre os números 20 e 30.
Por tentativas, fazemos:
21
2
= 441 22
2
= 484 23
2
= 529 24
2
= 576
Então, pela definição, temos:
576 = 24, pois 24
2
= 24 x 24 = 576.
Para conferir com a calculadora, digite o número 576 e aperte a tecla .
Renato,
você sabe como
podemos fazer para
calcular a raiz exata
do número
576?
Podemos
usar o que já sabemos!
Vamos procurar por tentativas,
um número que elevado ao
quadrado dê 576.
ROBERTO ZOELLNER
Vamos procurar por tentativas,
um número que elevado ao
ROBERTO ZOELLNER
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2 Observe a pergunta que a professora
escreveu para os alunos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O s n ú m e r o s n a t u r a i s a s e g u i r s ã o q u a -
drados perfeitos. Determine a raiz
quadrada exata de cada um deles.
a) 484
b) 625
c) 729
d) 1 156
e) 1 296
f) 1 849
g) 3 025
h) 4 096
2. Os números na forma decimal a seguir
têm a raiz quadrada exata. Determine
essa raiz.
a) 2,56
b) 3,61
c) 5,29
d) 7,84
e) 10,24
f) 12,25
g) 37,21
h) 51,84
Resoluções a
partir da p. 289
22
25
27
34
36
43
55
64
1,6
1,9
2,3
2,8
3,2
3,5
6,1
7,2
3. A área de um terreno quadrado mede
1 764 m
2
. A medida do lado desse
terreno representa a raiz quadrada
exata desse número. Quanto mede o
lado desse terreno? 42 m
1 764 m
2
EDITORIA DE ARTE
Nesse caso, sabemos que o número 42,25 está entre 36 e 49.
36 = 6 x 6 = 6
2
49 = 7 x 7 = 7
2
Logo, o número que procuramos é um número na forma decimal entre 6 e 7. Daí, temos:
(6,1)
2
= 6,1 x 6,1 = 37,21
(6,2)
2
= 6,2 x 6,2 = 38,44
(6,3)
2
= 6,3 x 6,3 = 39,69
(6,4)
2
= 6,4 x 6,4 = 40,96
(6,5)
2
= 6,5 x 6,5 = 42,25
Então, pela definição: 42,256,5!, pois (6,5)
2
= 6,5 x 6,5 = 42,25.
ESTÚDIO ORNITORRINCO ESTÚDIO ORNITORRINCO
QUAL É O NÚMERO NA FORMA
DECIMAL QUE REPRESENTA
A RAIZ QUADRADA EXATA
DO NÚMERO 42,25?
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96. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Na segunda situação, incen-
tivar os alunos a verificarem o
resultado usando uma calcula-
dora simples.
Atividades
Conduzir os alunos a iden-
tificar e reconhecer números
que são quadrados perfeitos e
a determinar a raiz quadrada
exata de um número racional.
Na atividade 2, organizar
a turma em duplas para que
possam trocar informações a
respeito dos procedimentos a
serem adotados para determi-
nar a raiz quadrada exata dos
números apresentados. Orien-
tar os alunos a encontrar a raiz
quadrada exata desses números
utilizando a calculadora como
suporte para a realização dos
cálculos.
No item a, pedir aos alu-
nos que determinem os dois
números inteiros consecutivos
que são quadrados perfeitos
e têm entre eles o número
2,56. Se necessário, auxiliá-los
a concluir que esses números
são 1 e 4. Depois de perceber
isso, e sabendo que 1 = 1 e
4 = 2, os alunos devem, por
tentativas, determinar um nú-
mero entre 1 e 2 que, elevado
ao quadrado, resulte em 2,56.
(1,1)
2
= 1,21
(1,2)
2
= 1,44
(1,3)
2
= 1,69
(1,4)
2
= 1,96
(1,5)
2
= 2,25
(1,6)
2
= 2,56
Assim, 1,6 é o número de-
cimal que, elevado ao quadra-
do, resulta em 2,56. Portanto:
2,56 = 1,6.
Outra maneira de determi-
nar a raiz quadrada de um nú-
mero decimal é escrevê-lo como
uma fração decimal e fatorar o
numerador e o denominador.
2,56 =
256
100
Então, 2,56 =
256
100
=
=
2
8
2
2
? 5
2
=
2
4
2 ? 5
=
=
16
10
= 1,6.
Se julgar oportuno, mostrar
essa estratégia na lousa.
4
CAPÍTULO
RAIZ QUADRADA EXATA
DE UM NÚMERO RACIONAL
NÃO NEGATIVO
Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos,
então cada fator é a raiz quadrada desse número. Por exemplo:
• A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 x 5 = 5
2
= 25. Indica-se: 255=.
• A raiz quadrada de 49 é 7, pois 7 x 7 = 7
2
= 49. Indica-se: 497=.
Observamos, então, que todo número quadrado perfeito tem uma raiz qua-
drada exata.
Veja, agora, como fazer para determinar a raiz quadrada exata de outros números
quadrados perfeitos, acompanhando as situações a seguir.
1 Veja a conversa de Luana e Renato.
O número 576 está entre os números quadrados perfeitos 400 e 900.
A raiz quadrada do número 400 é 20, pois:
400 = 20 x 20 = 20
2
A raiz quadrada do número 900 é 30, pois:
900 = 30 x 30 = 30
2
Então, o número que procuramos está entre os números 20 e 30.
Por tentativas, fazemos:
21
2
= 441 22
2
= 484 23
2
= 529 24
2
= 576
Então, pela definição, temos:
576 = 24, pois 24
2
= 24 x 24 = 576.
Para conferir com a calculadora, digite o número 576 e aperte a tecla .
Renato,
você sabe como
podemos fazer para
calcular a raiz exata
do número
576?
Podemos
usar o que já sabemos!
Vamos procurar por tentativas,
um número que elevado ao
quadrado dê 576.
ROBERTO ZOELLNER
Vamos procurar por tentativas,
um número que elevado ao
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2 Observe a pergunta que a professora
escreveu para os alunos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O s n ú m e r o s n a t u r a i s a s e g u i r s ã o q u a -
drados perfeitos. Determine a raiz
quadrada exata de cada um deles.
a) 484
b) 625
c) 729
d) 1 156
e) 1 296
f) 1 849
g) 3 025
h) 4 096
2. Os números na forma decimal a seguir
têm a raiz quadrada exata. Determine
essa raiz.
a) 2,56
b) 3,61
c) 5,29
d) 7,84
e) 10,24
f) 12,25
g) 37,21
h) 51,84
Resoluções a
partir da p. 289
22
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34
36
43
55
64
1,6
1,9
2,3
2,8
3,2
3,5
6,1
7,2
3. A área de um terreno quadrado mede
1 764 m
2
. A medida do lado desse
terreno representa a raiz quadrada
exata desse número. Quanto mede o
lado desse terreno? 42 m
1 764 m
2
EDITORIA DE ARTE
Nesse caso, sabemos que o número 42,25 está entre 36 e 49.
36 = 6 x 6 = 6
2
49 = 7 x 7 = 7
2
Logo, o número que procuramos é um número na forma decimal entre 6 e 7. Daí, temos:
(6,1)
2
= 6,1 x 6,1 = 37,21
(6,2)
2
= 6,2 x 6,2 = 38,44
(6,3)
2
= 6,3 x 6,3 = 39,69
(6,4)
2
= 6,4 x 6,4 = 40,96
(6,5)
2
= 6,5 x 6,5 = 42,25
Então, pela definição: 42,256,5!, pois (6,5)
2
= 6,5 x 6,5 = 42,25.
ESTÚDIO ORNITORRINCO ESTÚDIO ORNITORRINCO
QUAL É O NÚMERO NA FORMA
DECIMAL QUE REPRESENTA
A RAIZ QUADRADA EXATA
DO NÚMERO 42,25?
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97. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Raiz quadrada
aproximada de um
número racional não
negativo
A atividade proposta no
exemplo 1 pode ser amplia-
da com o uso de uma calcu-
ladora simples, que agiliza os
cálculos e permite que os alu-
nos foquem na compreensão
do conceito de raiz quadrada
aproximada.
RAIZ QUADRADA APROXIMADA
DE UM NÚMERO RACIONAL
NÃO NEGATIVO
5
CAPÍTULO
1 Acompanhe as seguintes situações.
• Aproximação até décimos: 5,5 (a diferença entre o valor encontrado e o apro-
ximado é menor que 0,1).
• Aproximação até centésimos: 5,48 (a diferença entre o valor encontrado e
o aproximado é menor que 0,01).
• Aproximação até milésimos: 5,477 (a diferença entre o valor encontrado e o
aproximado é menor que 0,001).
É possível, então, determinar a raiz quadrada de 30 com a aproximação
conveniente.
Porém, nem sempre dispomos de uma calculadora. Como podemos calcular,
nesse caso?
Podemos determinar o número que expressa a raiz quadrada, com apro-
ximação de uma ou mais casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor.
Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30 com os conhecimentos
que já temos sobre os números quadrados perfeitos.
• 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36.
• Como 25 = 5
2
e 36 = 6
2
, o número procurado está entre 5 e 6.
• Vamos descobrir que número é esse fazendo tentativas:
(5,1)
2
= 5,1 x 5,1 = 26,01 26,01 , 30
(5,2)
2
= 5,2 x 5,2 = 27,04 27,04 , 30
(5,3)
2
= 5,3 x 5,3 = 28,09 28,09 , 30
(5,4)
2
= 5,4 x 5,4 = 29,16 29,16 , 30
(5,5)
2
= 5,5 x 5,5 = 30,25 30,25 . 30
Para obter uma
aproximação da raiz quadrada
de 30, usei uma calculadora com
a tecla e o valor encontrado
foi 5,477225575051661.Eu preciso saber
qual é a raiz quadrada do
número 30.
Notei que o 30
não é quadrado perfeito.
Portanto, a raiz quadrada
de 30 não é exata. WANDSON ROCHA
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Observando os cálculos anteriores, verificamos que:
• O número que expressa 30 é maior que 5,4 e menor que 5,5.
• 5,4 e 5,5 são os números que representam uma aproximação para 30 até décimos.
Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao
menor valor e escrevemos: 30 1 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual
a 5,4 se a aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1). Caso haja necessidade de uma
aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que 0,01), fazemos mais tentativas com
números entre 5,4 e 5,5.
Pela convenção já estabelecida, podemos
escrever que 30 1 5,47, ou seja, a raiz qua-
drada de 30 é aproximadamente 5,47 se a
aproximação for de duas casas decimais (menor
que 0,01).
2 Um número positivo x representa a raiz quadrada
aproximada, com uma casa decimal, do número
11,3. Vamos descobrir o valor desse número x?
Sabemos que o número 11,3 está entre 9 e 16. Como 9 = 3
2
e 16 = 4
2
, o número
procurado está entre 3 e 4. Vamos, então, fazer os cálculos:
(3,1)
2
= 9,61 9,61 , 11,3
(3,2)
2
= 10,24 10,24 , 11,3
(3,3)
2
= 10,89 10,89 , 11,3
(3,4)
2
= 11,56 11,56 . 11,3
Então, considerando sempre o menor valor, podemos dizer que a raiz quadrada de 11,3
é aproximadamente 3,3, ou seja, 11,3 1 3,3 (aproximação menor que 0,1).
O valor do número x é 3,3.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Obtenha um valor inteiro aproximado
que expresse a raiz quadrada de:
a) 172
b) 200
c) 360
d) 500
2. Com aproximação até a primeira casa
decimal, calcule a raiz quadrada de:
a) 2,9
b) 6,9
c) 13,1
d) 18,5
e) 51,2
f) 66,21
Resoluções a
partir da p. 289
13
14
19
22
1,7
2,6
3,6
4,3
7,1
8,1
3. C a l c u l e a r a i z q u a d r a d a , c o m v a l o r a p r o -
ximado até a primeira casa decimal, de
cada um dos seguintes números:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 10
e) 20
f) 55
g) 150
h) 450
4. Com valor aproximado até a primeira
casa decimal, calcule o valor da 5. 2,2
1,4
1,7
2,4
3,1
4,4
7,4
12,2
21,2
(5,41)
2
= 29,2681 29,2681 , 30
(5,42)
2
= 29,3764 29,3764 , 30
(5,43)
2
= 29,4849 29,4849 , 30
(5,44)
2
= 29,5936 29,5936 , 30
(5,45)
2
= 29,7025 29,7025 , 30
(5,46)
2
= 29,8116 29,8116 , 30
(5,47)
2
= 29,9209 29,9209 , 30
(5,48)
2
= 30,0304 30,0304 . 30
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98. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
A estratégia apresentada
no exemplo 2 será retomada
na seção de atividades. Fazer
a apresentação desse exemplo
na lousa e certificar-se de que
todos os alunos tenham com-
preendido que o valor da raiz
quadrada procurada será sem-
pre uma aproximação.
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo levar os alunos
a calcular raízes quadradas
aproximadas de números ra-
cionais. Ao trabalhar com as
atividades, os alunos podem
elaborar uma lista com os qua-
drados perfeitos para utilizá-la
no processo de obtenção das
raízes quadradas aproxima-
das que terão de determinar.
Se julgar conveniente, montar
uma lista com os quadrados
perfeitos de 1 a 100 na lousa.
RAIZ QUADRADA APROXIMADA
DE UM NÚMERO RACIONAL
NÃO NEGATIVO
5
CAPÍTULO
1 Acompanhe as seguintes situações.
• Aproximação até décimos: 5,5 (a diferença entre o valor encontrado e o apro-
ximado é menor que 0,1).
• Aproximação até centésimos: 5,48 (a diferença entre o valor encontrado e
o aproximado é menor que 0,01).
• Aproximação até milésimos: 5,477 (a diferença entre o valor encontrado e o
aproximado é menor que 0,001).
É possível, então, determinar a raiz quadrada de 30 com a aproximação
conveniente.
Porém, nem sempre dispomos de uma calculadora. Como podemos calcular,
nesse caso?
Podemos determinar o número que expressa a raiz quadrada, com apro-
ximação de uma ou mais casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor.
Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30 com os conhecimentos
que já temos sobre os números quadrados perfeitos.
• 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36.
• Como 25 = 5
2
e 36 = 6
2
, o número procurado está entre 5 e 6.
• Vamos descobrir que número é esse fazendo tentativas:
(5,1)
2
= 5,1 x 5,1 = 26,01 26,01 , 30
(5,2)
2
= 5,2 x 5,2 = 27,04 27,04 , 30
(5,3)
2
= 5,3 x 5,3 = 28,09 28,09 , 30
(5,4)
2
= 5,4 x 5,4 = 29,16 29,16 , 30
(5,5)
2
= 5,5 x 5,5 = 30,25 30,25 . 30
Para obter uma
aproximação da raiz quadrada
de 30, usei uma calculadora com
a tecla e o valor encontrado
foi 5,477225575051661.Eu preciso saber
qual é a raiz quadrada do
número 30.
Notei que o 30
não é quadrado perfeito.
Portanto, a raiz quadrada
de 30 não é exata. WANDSON ROCHA
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Observando os cálculos anteriores, verificamos que:
• O número que expressa 30 é maior que 5,4 e menor que 5,5.
• 5,4 e 5,5 são os números que representam uma aproximação para 30 até décimos.
Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao
menor valor e escrevemos: 30 1 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual
a 5,4 se a aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1). Caso haja necessidade de uma
aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que 0,01), fazemos mais tentativas com
números entre 5,4 e 5,5.
Pela convenção já estabelecida, podemos
escrever que 30 1 5,47, ou seja, a raiz qua-
drada de 30 é aproximadamente 5,47 se a
aproximação for de duas casas decimais (menor
que 0,01).
2 Um número positivo x representa a raiz quadrada
aproximada, com uma casa decimal, do número
11,3. Vamos descobrir o valor desse número x?
Sabemos que o número 11,3 está entre 9 e 16. Como 9 = 3
2
e 16 = 4
2
, o número
procurado está entre 3 e 4. Vamos, então, fazer os cálculos:
(3,1)
2
= 9,61 9,61 , 11,3
(3,2)
2
= 10,24 10,24 , 11,3
(3,3)
2
= 10,89 10,89 , 11,3
(3,4)
2
= 11,56 11,56 . 11,3
Então, considerando sempre o menor valor, podemos dizer que a raiz quadrada de 11,3
é aproximadamente 3,3, ou seja, 11,3 1 3,3 (aproximação menor que 0,1).
O valor do número x é 3,3.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Obtenha um valor inteiro aproximado
que expresse a raiz quadrada de:
a) 172
b) 200
c) 360
d) 500
2. Com aproximação até a primeira casa
decimal, calcule a raiz quadrada de:
a) 2,9
b) 6,9
c) 13,1
d) 18,5
e) 51,2
f) 66,21
Resoluções a
partir da p. 289
13
14
19
22
1,7
2,6
3,6
4,3
7,1
8,1
3. C a l c u l e a r a i z q u a d r a d a , c o m v a l o r a p r o -
ximado até a primeira casa decimal, de
cada um dos seguintes números:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 10
e) 20
f) 55
g) 150
h) 450
4. C o m v a l o r a p r o x i m a d o a t é a p r i m e i r a
casa decimal, calcule o valor da 5. 2,2
1,4
1,7
2,4
3,1
4,4
7,4
12,2
21,2
(5,41)
2
= 29,2681 29,2681 , 30
(5,42)
2
= 29,3764 29,3764 , 30
(5,43)
2
= 29,4849 29,4849 , 30
(5,44)
2
= 29,5936 29,5936 , 30
(5,45)
2
= 29,7025 29,7025 , 30
(5,46)
2
= 29,8116 29,8116 , 30
(5,47)
2
= 29,9209 29,9209 , 30
(5,48)
2
= 30,0304 30,0304 . 30
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99. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
Nesta seção, os alunos são
apresentados a uma tabela de
distribuição de frequência com
intervalos de classes. Nesse
momento, é importante que
eles aprendam a ler e interpre-
tar esse tipo de representação.
Além disso, é importante
que reflitam a respeito de pos-
síveis encaminhamentos que
a gerência da academia pode
fazer com base nos dados co-
letados, como, por exemplo,
adequação dos equipamentos
às diferentes faixas de altura.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará
incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de
fora, a próxima classe começará com o valor 1,58.
1. Observe as informações na tabela e responda no caderno:
a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos.
b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m.
c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m?
d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa?
e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m?
f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m?
g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m?
11 alunos.
75 alunos.
45 alunos.
5,56%
aproximadamente.
Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação
Vamos observar a situação a seguir:
A academia Saúde realizou uma pes-
quisa para conhecer melhor seus alunos. Eles
responderam a um questionário com várias
perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi
a altura dos alunos. A gerente da academia
organizou os dados na seguinte tabela:
Resoluções a
partir da p. 289
Fonte: Alunos da academia Saúde.
Altura
(em metro)
Número
de alunos
1,50 ¿ 1,58 9
1,58 ¿ 1,66 11
1,66 ¿ 1,74 25
1,74 ¿ 1,82 30
1,82 ¿ 1,90 10
1,90 ¿ 1,98 5
Total 90
Altura dos alunos da
academia Saúde
Pessoas se exercitando.
Essa é uma tabela de distribuição de frequên-
cias com intervalos de classes. Ela apresenta, na
primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso,
a altura dos alunos; e na segunda coluna a quan-
tidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja,
a quantidade de alunos que apresentam aquela
altura. Na primeira coluna, os valores das alturas
estão divididos em intervalos numéricos que são
chamados de intervalos de classes.
1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior
que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m.
STEFANOLUNARDI//SHUTTERSTOCK.COM
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Agora, tomemos a seguinte situação:
A professora do 8
o
ano de uma escola
listou as notas de seus 35 alunos na prova final
de Matemática. Os resultados estão mostrados
a seguir:
8 4,5 6 7 7,5 2 6
5 9,54,5 3 3 7 8
8 8,5 9 5,55,52,5 6
6,5 7 8,5 5 4 1 3,5
1,53,5 7 7 6 9 8
Repare que os intervalos de classe
sempre possuem o mesmo tamanho, ou
seja, neste exemplo, cada intervalo corres-
ponde a 2 unidades.
Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não
esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro.
b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol?
c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores?
d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores.
e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg.
21 jogadores.
2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno.
a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos
intervalos de classe. Resposta no final do livro.
b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos.
c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram
nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos.
d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%.
3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em
quilogramas (kg).
76 99 106 83 80 80 87
81 95 85 89 93 72 76
101 107 99 80 83 85 75
Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018.
cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018.
Da forma como estão os dados, ela não
consegue visualizar rapidamente quantos alunos
ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então,
construir uma tabela de distribuição de fre-
quências, com os seguintes intervalos de classe:
Fonte: Professora do 8
o
ano.
Nota obtida na prova
final de Matemática
Número de
alunos
0 ¿ 2
2 ¿ 4
4 ¿ 6
6 ¿ 8
8 ¿ 10
Total 35
2
6
7
11
9
Notas dos alunos do 8
o
ano na
prova final de Matemática
De 79 kg a 86 kg.
55
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100. As questões 2 e 3 permi-
tem que os alunos construam
a tabela de frequências com in-
tervalos de classe, percebendo
que o tamanho de cada classe
de frequência precisa ser cons-
tante. Além disso, as atividades
exigem que os alunos interpre-
tem dados coletados, categori-
zando-os conforme a classe de
frequência escolhida, antes de
conseguir elaborar as tabelas.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará
incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de
fora, a próxima classe começará com o valor 1,58.
1. Observe as informações na tabela e responda no caderno:
a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos.
b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m.
c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m?
d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa?
e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m?
f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m?
g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m?
11 alunos.
75 alunos.
45 alunos.
5,56%
aproximadamente.
Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação
Vamos observar a situação a seguir:
A academia Saúde realizou uma pes-
quisa para conhecer melhor seus alunos. Eles
responderam a um questionário com várias
perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi
a altura dos alunos. A gerente da academia
organizou os dados na seguinte tabela:
Resoluções a
partir da p. 289
Fonte: Alunos da academia Saúde.
Altura
(em metro)
Número
de alunos
1,50 ¿ 1,58 9
1,58 ¿ 1,66 11
1,66 ¿ 1,74 25
1,74 ¿ 1,82 30
1,82 ¿ 1,90 10
1,90 ¿ 1,98 5
Total 90
Altura dos alunos da
academia Saúde
Pessoas se exercitando.
Essa é uma tabela de distribuição de frequên-
cias com intervalos de classes. Ela apresenta, na
primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso,
a altura dos alunos; e na segunda coluna a quan-
tidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja,
a quantidade de alunos que apresentam aquela
altura. Na primeira coluna, os valores das alturas
estão divididos em intervalos numéricos que são
chamados de intervalos de classes.
1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior
que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m.
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Agora, tomemos a seguinte situação:
A professora do 8
o
ano de uma escola
listou as notas de seus 35 alunos na prova final
de Matemática. Os resultados estão mostrados
a seguir:
8 4,5 6 7 7,5 2 6
5 9,54,5 3 3 7 8
8 8,5 9 5,55,52,5 6
6,5 7 8,5 5 4 1 3,5
1,53,5 7 7 6 9 8
Repare que os intervalos de classe
sempre possuem o mesmo tamanho, ou
seja, neste exemplo, cada intervalo corres-
ponde a 2 unidades.
Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas.
a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não
esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro.
b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol?
c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores?
d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores.
e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg.
21 jogadores.
2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno.
a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos
intervalos de classe. Resposta no final do livro.
b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos.
c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram
nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos.
d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%.
3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em
quilogramas (kg).
76 99 106 83 80 80 87
81 95 85 89 93 72 76
101 107 99 80 83 85 75
Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018.
cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018.
Da forma como estão os dados, ela não
consegue visualizar rapidamente quantos alunos
ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então,
construir uma tabela de distribuição de fre-
quências, com os seguintes intervalos de classe:
Fonte: Professora do 8
o
ano.
Nota obtida na prova
final de Matemática
Número de
alunos
0 ¿ 2
2 ¿ 4
4 ¿ 6
6 ¿ 8
8 ¿ 10
Total 35
2
6
7
11
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Notas dos alunos do 8
o
ano na
prova final de Matemática
De 79 kg a 86 kg.
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101. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tecnologias
Essa seção permite aos
alunos conhecer um pouco
a respeito do funcionamento
de uma calculadora científica.
Caso os alunos não possuam
uma, comentar que muitos
celulares hoje em dia apresen-
tam as funções de uma calcu-
ladora científica. Além disso,
também há sites na internet
que apresentam calculadoras
científicas online. Veja a se-
guir alguns exemplos:
• Calculadora Online: <http:
//livro.pro/idajs7>. Acesso em:
10 nov. 2018.
• Web 2.0 Calc.com: <http://
livro.pro/895xvo>. Acesso em:
10 nov. 2018.
Se necessário, retomar com
os alunos como inserir na cal-
culadora um número negativo.
Por exemplo, para inserir
_7 na Web 2.0 Calc.com,
pode-se digitar o 7 e clicar na
tecla +/_, que troca o sinal do
número que está no visor. Vale
lembrar que algumas calcula-
doras possuem uma tecla es-
pecífica para o sinal negativo.
Tecnologias
A calculadora foi um dos primeiros instrumen-
tos tecnológicos de fácil acesso e, hoje, pode ser
encontrada em diversos modelos. Nesta seção,
exploraremos o uso da calculadora científica.
Vale a pena destacar que a calculadora é
um instrumento que nos auxilia a entender e a
desenvolver nossa capacidade crítica de avaliar um
problema; por essa razão, não deve ser utilizada
para fazer cálculos simples.
Existem diversas marcas de calculadora cientí-
fica; por isso, é possível que o visor e/ou as teclas
tenham algumas diferenças nos comandos para
determinada função. Para verificar se há diferença,
basta executar alguns cálculos cujas respostas você
já conhece.
Calculadora científica
Resoluções a
partir da p. 289
A tecla x
2
é utilizada para calcular o valor da potência de um número
elevado ao quadrado (expoente 2).
Por exemplo: 27
2
. Para realizar esse cálculo, digitamos o valor 27; em
seguida, pressionamos a tecla x
2
. Para finalizar, pressionamos =, e na
calculadora aparecerá 729.
A tecla
^
é utilizada para calcular o valor da potência de um número
elevado a um valor qualquer.
Por exemplo: 3
11
. Para fazer esse cálculo, digitamos o 3; em seguida,
pressionamos a tecla
^
e digitamos o valor do expoente, 11. Para finalizar,
pressionamos =, e aparecerá o valor 177 147.
Há calculadoras em que essa tecla é mostrada assim: [x
y
].
JUST KEEP DRAWING//SHUTTERSTOCK.COM
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A tecla
log
10
x
tem como função secundária o cálculo de potências de base 10. Então,
será necessário utilizar a tecla Shift, que dá acesso às funções auxiliares.
Por exemplo: 10
_7
.
Para realizar esse cálculo, fazemos o procedimento a seguir. Por meio da tecla Shift,
habilitamos a função secundária do teclado. Em seguida, pressionamos
log
10
x
. Aparecerá o
número 10 no visor. Então, digitamos o expoente, que nesse caso é _7, e, em seguida,
pressionamos =, e aparecerá o valor 0,0000001.
Algumas calculadoras apresentam diretamente a tecla 10
x
. Nesse caso, basta colocar o
valor do expoente e acionar a tecla para obter a potência de 10 que se quer.
1. A g o r a q u e j á f o r a m v i s t o s a l g u n s r e -
cursos da calculadora científica para o
cálculo de potências, usando uma calcu-
ladora científica, descreva no caderno
que procedimento você pode usar para
o cálculo das potências a seguir.
a) 235
2
b) 117
3
c) 39
7
d) 10
_11
2. T r o q u e i d e i a s c o m u m c o l e g a e e x p l i q u e m
como vocês fariam o cálculo da potência
5
5
, usando uma calculadora simples, sem
teclas especiais de potência.
3. A l é m d a s t e c l a s a p r e s e n t a d a s a n t e r i o r -
mente, a calculadora científica também
apresenta uma tecla para calcular a
raiz quadrada de um número qualquer.
Por exemplo: calcular a raiz quadrada
de 5. Para esse cálculo, pressionamos a
tecla , depois o número que se deseja
obter a raiz quadrada (nesse caso, 5) e,
em seguida, pressionamos
=
. Aparecerá
o valor 2,236067978.
Agora, vamos fazer uma investigação.
Para isso, junte-se com um colega e
usem duas calculadoras científicas, uma
para cada integrante da dupla.
Um dos integrantes deverá, usando a
tecla da calculadora, obter a raiz qua-
drada dos números a seguir, enquanto o
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
outro deverá usar a tecla
^
da calcula-
dora para elevar esses mesmos números
ao expoente
1
2
(dica: use 0,5 na calcula-
dora). Anotem no caderno os resultados
obtidos.
a) Agora, comparem os resultados obtidos
pelos dois. Com base nessa comparação,
qual relação é possível fazer entre os dois
tipos de cálculos efetuados? Caso seja
necessário, escolham outros números para
dar prosseguimento à investigação.
b) Caso vocês precisassem calcular a raiz
quadrada de 258, mas a tecla das
calculadoras de vocês não estives-
sem funcionando, qual procedimento
adotariam?
c) Elabore uma atividade que deverá ser resol-
vida pelo seu colega de dupla com o uso
da calculadora. Para solucioná-la, deverá
ser necessário o uso de algumas das teclas
apresentadas e das relações existentes
entre elas. Em seguida, corrijam a atividade,
verificando não só a resposta final, mas
se o raciocínio aplicado está correto.
92 3,7 15
22,2 45,7 50
113 146,3 305,1
Resposta pessoal.
Calcular a raiz quadrada de um número é o mesmo que elevar esse número ao expoente
1
2
.
Usar a tecla
^
e elevar o número 258 ao expoente
1
2
.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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102. Propor aos alunos outros
desafios com a calculadora
científica e reservar um tempo
de aula para que eles explorem
outras funcionalidades, ou seja,
um tempo para que eles perce-
bam que as calculadoras cien-
tíficas realizam muitos outros
cálculos além das quatro ope-
rações básicas da aritmética.
Tecnologias
A calculadora foi um dos primeiros instrumen-
tos tecnológicos de fácil acesso e, hoje, pode ser
encontrada em diversos modelos. Nesta seção,
exploraremos o uso da calculadora científica.
Vale a pena destacar que a calculadora é
um instrumento que nos auxilia a entender e a
desenvolver nossa capacidade crítica de avaliar um
problema; por essa razão, não deve ser utilizada
para fazer cálculos simples.
Existem diversas marcas de calculadora cientí-
fica; por isso, é possível que o visor e/ou as teclas
tenham algumas diferenças nos comandos para
determinada função. Para verificar se há diferença,
basta executar alguns cálculos cujas respostas você
já conhece.
Calculadora científica
Resoluções a
partir da p. 289
A tecla x
2
é utilizada para calcular o valor da potência de um número
elevado ao quadrado (expoente 2).
Por exemplo: 27
2
. Para realizar esse cálculo, digitamos o valor 27; em
seguida, pressionamos a tecla x
2
. Para finalizar, pressionamos =, e na
calculadora aparecerá 729.
A tecla
^
é utilizada para calcular o valor da potência de um número
elevado a um valor qualquer.
Por exemplo: 3
11
. Para fazer esse cálculo, digitamos o 3; em seguida,
pressionamos a tecla
^
e digitamos o valor do expoente, 11. Para finalizar,
pressionamos =, e aparecerá o valor 177 147.
Há calculadoras em que essa tecla é mostrada assim: [x
y
].
JUST KEEP DRAWING//SHUTTERSTOCK.COM
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A tecla
log
10
x
tem como função secundária o cálculo de potências de base 10. Então,
será necessário utilizar a tecla Shift, que dá acesso às funções auxiliares.
Por exemplo: 10
_7
.
Para realizar esse cálculo, fazemos o procedimento a seguir. Por meio da tecla Shift,
habilitamos a função secundária do teclado. Em seguida, pressionamos
log
10
x
. Aparecerá o
número 10 no visor. Então, digitamos o expoente, que nesse caso é _7, e, em seguida,
pressionamos =, e aparecerá o valor 0,0000001.
Algumas calculadoras apresentam diretamente a tecla 10
x
. Nesse caso, basta colocar o
valor do expoente e acionar a tecla para obter a potência de 10 que se quer.
1. A g o r a q u e j á f o r a m v i s t o s a l g u n s r e -
cursos da calculadora científica para o
cálculo de potências, usando uma calcu-
ladora científica, descreva no caderno
que procedimento você pode usar para
o cálculo das potências a seguir.
a) 235
2
b) 117
3
c) 39
7
d) 10
_11
2. T r o q u e i d e i a s c o m u m c o l e g a e e x p l i q u e m
como vocês fariam o cálculo da potência
5
5
, usando uma calculadora simples, sem
teclas especiais de potência.
3. A l é m d a s t e c l a s a p r e s e n t a d a s a n t e r i o r -
mente, a calculadora científica também
apresenta uma tecla para calcular a
raiz quadrada de um número qualquer.
Por exemplo: calcular a raiz quadrada
de 5. Para esse cálculo, pressionamos a
tecla , depois o número que se deseja
obter a raiz quadrada (nesse caso, 5) e,
em seguida, pressionamos
=
. Aparecerá
o valor 2,236067978.
Agora, vamos fazer uma investigação.
Para isso, junte-se com um colega e
usem duas calculadoras científicas, uma
para cada integrante da dupla.
Um dos integrantes deverá, usando a
tecla da calculadora, obter a raiz qua-
drada dos números a seguir, enquanto o
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
outro deverá usar a tecla
^
da calcula-
dora para elevar esses mesmos números
ao expoente
1
2
(dica: use 0,5 na calcula-
dora). Anotem no caderno os resultados
obtidos.
a) Agora, comparem os resultados obtidos
pelos dois. Com base nessa comparação,
qual relação é possível fazer entre os dois
tipos de cálculos efetuados? Caso seja
necessário, escolham outros números para
dar prosseguimento à investigação.
b) Caso vocês precisassem calcular a raiz
quadrada de 258, mas a tecla das
calculadoras de vocês não estives-
sem funcionando, qual procedimento
adotariam?
c) Elabore uma atividade que deverá ser resol-
vida pelo seu colega de dupla com o uso
da calculadora. Para solucioná-la, deverá
ser necessário o uso de algumas das teclas
apresentadas e das relações existentes
entre elas. Em seguida, corrijam a atividade,
verificando não só a resposta final, mas
se o raciocínio aplicado está correto.
92 3,7 15
22,2 45,7 50
113 146,3 305,1
Resposta pessoal.
Calcular a raiz quadrada de um número é o mesmo que elevar esse número ao expoente
1
2
.
Usar a tecla
^
e elevar o número 258 ao expoente
1
2
.
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103. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas
nessa seção têm como obje-
tivo fixar os conceitos de nú-
meros irracionais e explorar o
cálculo de raiz quadrada apro-
ximada de números racionais.
Na atividade 2, o aluno
deve reconhecer um número
irracional, observando se há ou
não um período que se repete.
NÚMEROS REAIS6
CAPÍTULO
Números irracionais
Número irracional é todo número cuja representação decimal é sempre
infinita e não periódica.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. ( S a r e s p - S P ) C a l c u l a n d o - s e 30, obtém-se
5,4772255..., número que tem represen-
tação decimal infinita, mas não é dízima
periódica.
Resoluções a
partir da p. 289
São exemplos de números irracionais:
• 2 = 1,414213562373... • p = 3,1415926535... • 1,7070070007...
Observe o seguinte número racional: 0,4545454545...
Vimos que ele é uma dízima periódica, pois possui um número infinito de casas decimais e
período igual a 45. Podemos representá-lo também por 0,45. Esse número pode ser escrito na
forma
a
b
, em que a e b são números inteiros, com b 5 0. Nesse caso, 0,4545454545... =
5
11
.
Agora, veja outro exemplo:
3,8687888990...
Observando a formação desse número, podemos dar continuidade do seguinte modo:
3,868788899091...; 3,86878889909192...; 3,8687888990919293...; e assim por diante. Se con-
tinuarmos a preencher as casas decimais nessa sequência, teremos um número com infinitas casas
decimais e sem um período que se repita.
Números como esse não podem ser escritos na forma
a
b
, em que a e b são números inteiros,
com b 5 0. Assim, esses números não são números racionais.
Ao conjunto de números que apresentam essas características (número infinito de casas
decimais e não periódicos) damos o nome de conjunto dos números irracionais. E representamos
esse conjunto por I.
Conclui-se então que 30 é um número:
a) natural.
b) inteiro.
c) racional.
d) irracional.
Alternativa d.
58
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O conjunto dos números reais
Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números
irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por R.
Os conjuntos numéricos n, z, Q e I são subconjuntos de R, pois todos os elementos de cada
um deles pertencem também a R. Observe que alguns números pertencem a um conjunto e não
a outro. Por exemplo, _5 [ R, _5 [ z, mas _5 { n.
Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados:
R
*
conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)
R
+
conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores que ou iguais a 0)
R
_
conjunto dos números reais não positivos (números reais menores que ou iguais a 0)
R
*
+
conjunto dos números reais positivos (números reais maiores que 0)
R
*
_
conjunto dos números reais negativos (números reais menores que 0)
Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os
números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa
reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional.
Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta:
!2
!3 !2 !1 10 234
!
1
4
!
8
3
1
4
8
3
2
_
1
6
[ R
3
4
[ R
10 [ R
_3 [ R
2 [ R _5 [ R
p [ R
_0,48 [ R
1,25 [ R
1,666... [ R _2,1333... [ R
2,030030003... [ R
2. (Saresp-SP) Um exemplo de número
irracional é: Alternativa d.
a) 3,12121212...
b) 3,501501501...
c) 3,321321321...
d) 3,290291292293...
3. ( S a r e s p - S P ) A p a r t e d e c i m a l d a r e p r e s e n -
tação de um número segue o padrão de
regularidade indicado: 0,12112111211112...
Este número é:
a) racional não inteiro.
b) inteiro negativo.
c) irracional negativo.
d) irracional positivo.
Alternativa d.
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104. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O conjunto dos números
reais
Se desejar, desenhar o dia-
grama que representa a rela-
ção de inclusão dos conjuntos
numéricos já estudados na
lousa e orientar os alunos a
reproduzi-lo no caderno. Ex-
plorar com eles o significado
desse diagrama, pedir a eles
que relatem o que interpretam
nessa representação dos con-
juntos numéricos.
Q
N
Z
R
I
Eles podem verificar a re-
lação de inclusão entre esses
conjuntos e perceber que não
há um número irracional que
também seja racional, simul-
taneamente. Além disso, eles
também podem observar que,
reunindo-se todos os números
racionais aos números irracio-
nais, formamos o conjunto
dos números reais.
EDITORIA DE ARTE
NÚMEROS REAIS6
CAPÍTULO
Números irracionais
Número irracional é todo número cuja representação decimal é sempre
infinita e não periódica.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. ( S a r e s p - S P ) C a l c u l a n d o - s e 30, obtém-se
5,4772255..., número que tem represen-
tação decimal infinita, mas não é dízima
periódica.
Resoluções a
partir da p. 289
São exemplos de números irracionais:
• 2 = 1,414213562373... • p = 3,1415926535... • 1,7070070007...
Observe o seguinte número racional: 0,4545454545...
Vimos que ele é uma dízima periódica, pois possui um número infinito de casas decimais e
período igual a 45. Podemos representá-lo também por 0,45. Esse número pode ser escrito na
forma
a
b
, em que a e b são números inteiros, com b 5 0. Nesse caso, 0,4545454545... =
5
11
.
Agora, veja outro exemplo:
3,8687888990...
Observando a formação desse número, podemos dar continuidade do seguinte modo:
3,868788899091...; 3,86878889909192...; 3,8687888990919293...; e assim por diante. Se con-
tinuarmos a preencher as casas decimais nessa sequência, teremos um número com infinitas casas
decimais e sem um período que se repita.
Números como esse não podem ser escritos na forma
a
b
, em que a e b são números inteiros,
com b 5 0. Assim, esses números não são números racionais.
Ao conjunto de números que apresentam essas características (número infinito de casas
decimais e não periódicos) damos o nome de conjunto dos números irracionais. E representamos
esse conjunto por I.
Conclui-se então que 30 é um número:
a) natural.
b) inteiro.
c) racional.
d) irracional.
Alternativa d.
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O conjunto dos números reais
Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números
irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por R.
Os conjuntos numéricos n, z, Q e I são subconjuntos de R, pois todos os elementos de cada
um deles pertencem também a R. Observe que alguns números pertencem a um conjunto e não
a outro. Por exemplo, _5 [ R, _5 [ z, mas _5 { n.
Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados:
R
*
conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)
R
+
conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a 0)
R
_
conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a 0)
R
*
+
conjunto dos números reais positivos (números reais maiores que 0)
R
*
_
conjunto dos números reais negativos (números reais menores que 0)
Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os
números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa
reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional.
Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta:
!2
!3 !2 !1 10 234
!
1
4
!
8
3
1
4
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_
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[ R
3
4
[ R
10 [ R
_3 [ R
2 [ R _5 [ R
p [ R
_0,48 [ R
1,25 [ R
1,666... [ R _2,1333... [ R
2,030030003... [ R
2. (Saresp-SP) Um exemplo de número
irracional é: Alternativa d.
a) 3,12121212...
b) 3,501501501...
c) 3,321321321...
d) 3,290291292293...
3. ( S a r e s p - S P ) A p a r t e d e c i m a l d a r e p r e s e n -
tação de um número segue o padrão de
regularidade indicado: 0,12112111211112...
Este número é:
a) racional não inteiro.
b) inteiro negativo.
c) irracional negativo.
d) irracional positivo.
Alternativa d.
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105. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades apresentadas
nessa seção têm como princi-
pal objetivo levar os alunos a
aplicar os conhecimentos ad-
quiridos a respeito do conjun-
to dos números reais.
Amplie a atividade 1 com
alguns questionamentos como:
• Que números pertencem ao
conjunto dos números reais,
mas não pertencem ao conjun-
to dos números racionais? Res-
posta: Os números irracionais.
• Que números pertencem
ao conjunto dos números in-
teiros não negativos, mas não
pertencem ao conjunto dos
números inteiros positivos?
Resposta: Apenas o zero.
Na atividade 4, depois de
os alunos responderem em
seu caderno, pedir a eles que
troquem ideia com um colega,
comparem suas respostas e
discutam a respeito daquelas
que são diferentes, se houver.
Na atividade 6, observar
se os alunos conseguem criar
uma escala apropriada para
subdividir a reta numérica, de
forma a localizar corretamente
os números solicitados.
Na atividade 7 promover o
debate e a construção coletiva
de uma solução para um pro-
blema. Ao fim desta atividade,
pedir aos alunos que digam os
números escolhidos e verifi-
que se acertaram.
As operações com números reais
Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n, z e Q.
Assim:
• no conjunto n, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada
e encontrar um número natural;
• no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e
encontrar um número inteiro;
• no conjunto Q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número
racional.
Porém, no conjunto dos números reais efetuamos qualquer adição, subtração, multiplicação
e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz quadrada de
qualquer número não negativo e encontramos números reais.
Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não
representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, tenha como
resultado um número real negativo. Então, por exemplo, 4! { R.
Responda às questões no caderno.
1. Observe os números a seguir.
_4_2,3_
1
4
00,61 8
Quais deles pertencem ao conjunto:
a) n? 0; 1.
b) Z?
c) Z, mas não pertencem a n?
d) Q, mas não pertencem a z?
2. Observe os números a seguir.
6 _66,66
Identifique quais deles são:
a) reais e naturais.
b) reais e inteiros.
c) reais e racionais.
d) reais e irracionais.
3. Qual destes números reais é o maior:
5 ou
22
9
.
Resoluções a
partir da p. 289
_4; 0; 1.
_2,3; _
1
4
; 0,6.
6
6; _6.
6; _6; 6,6.
6
22
9
4. Usando o símbolo [ ou {, estabeleça a
relação entre:
a) 100 e R
*
b) 100 e R
+
c) 100 e R
_
d) 9 e R
e) _9 e R
f) 9_ e R
g) 2,6 e R
+

5. (Saresp-SP) José, com sua calculadora,
determinou o valor de 50 e obteve
como resultado 7,0710678... Pode-se
provar que esse número tem infinitas
casas decimais e não é dízima periódica.
É, portanto, um número:
a) irracional.
b) natural.
c) racional.
d) inteiro relativo.
6. Construa uma reta real e, nela, localize
os seguintes números reais: _5;
7
2
; 9;
_0,4; _
5
4
.
7. Junte-se a um colega e criem um exemplo
de um número real que seja também
racional e esteja escrito na forma fracioná-
ria. Esse número é uma dízima periódica?
Expliquem. Resposta pessoal.
[
[
{
[
[
{
[
Alternativa a.
ATIVIDADES
_4.
_5 _0,4
_
5
4
7
2
9
60
D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 60 11/14/18 4:16 PM
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (PUC-RJ) O maior número abaixo é:
a) 3
31
b) 8
10
c) 16
8
d) 81
6
e) 243
4
2. (FGV-SP) Se calcularmos o valor de 2
95
,
iremos obter um número natural N.
O algarismo final (das unidades) desse
número N vale:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
3. (OBM) Quantos dos números a seguir são
maiores que 10?
311,47,55,63,72
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
DESAFIO
4. (UERJ) Um evento está sendo realizado
em uma praia cuja faixa de areia tem
cerca de 3 km de extensão e 100 m de
largura.
A ordem de grandeza do maior número
possível de adultos que podem assistir a
esse evento sentados na areia é de:
a) 10
4
b) 10
5
c) 10
6
d) 10
7
Resoluções a
partir da p. 289
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa c.
Alternativa c.
5. (OBM) Dividindo-se o número
()
4
4
2
por
4
4
obtemos o número:
a) 2
b) 4
3
c) 4
4
d) 4
8
e) 4
12
6. (OBM) A razão
()
()
2
4
4
8
8
2 é igual a:
a)
1
4
b)
1
2
c) 1
d) 2
e) 8
7. (OBM) O valor da soma
2
2003
? 9
1001
4
1001
? 3
2003
+
2
2002
? 9
1001
4
1001
? 3
2003
é:
a)
1
3
b)
2
3
c) 1
d)
4
3
e) 2
8. (Enem/MEC-Simulado) No depósito
de uma biblioteca há caixas contendo
folhas de papel de 0,1 mm de espessura,
e em cada uma delas estão anotados 10
títulos de livros diferentes. Essas folhas
foram empilhadas formando uma torre
vertical de 1 m de altura.
Qual a representação, em potência
de 10, correspondente à quantidade
de títulos de livros registrados nesse
empilhamento?
a) 10
2
b) 10
4
c) 10
5
d) 10
6
e) 10
7
Alternativa e.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa c.
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106. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
O objetivo das atividades
dessa seção é propiciar aos alu-
nos que retomem os conteú dos
estudados na Unidade e caso
seja necessário, façam reto-
madas para sanar as dúvidas
que podem surgir.
Os alunos podem fazer esse
bloco de questões como uma
autoavaliação, por isso, eles
devem respondê-las individu-
almente. É interessante suge-
rir que realizem essa atividade
em sala de aula, assim pode-
rão discutir eventuais dúvidas
com os colegas, por exemplo.
Enfatizar a necessidade de
resolverem os exercícios indi-
vidualmente, buscando infor-
mações de forma autônoma,
escolhendo suas fontes para
chegar aos resultados. Conver-
sar com os alunos a respeito de
seus acertos e erros, indicando
a correção com intervenções
pontuadas, isto é, dando pistas
de quais caminhos eles pode-
rão buscar para encontrar o
resultado esperado.
Se ainda persistirem dúvi-
das, orientar a trocar ideias
com os colegas e a buscar no
livro do aluno os conceitos
que precisarem lembrar.
Dar oportunidade para os
alunos mostrarem como pensa-
ram para resolver as questões,
tirando as dúvidas dos colegas.
As operações com números reais
Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n, z e Q.
Assim:
• no conjunto n, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada
e encontrar um número natural;
• no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e
encontrar um número inteiro;
• no conjunto Q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número
racional.
Porém, no conjunto dos números reais efetuamos qualquer adição, subtração, multiplicação
e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz quadrada de
qualquer número não negativo e encontramos números reais.
Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não
representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, tenha como
resultado um número real negativo. Então, por exemplo, 4! { R.
Responda às questões no caderno.
1. Observe os números a seguir.
_4_2,3_
1
4
00,61 8
Quais deles pertencem ao conjunto:
a) n? 0; 1.
b) Z?
c) Z, mas não pertencem a n?
d) Q, mas não pertencem a z?
2. Observe os números a seguir.
6 _66,66
Identifique quais deles são:
a) reais e naturais.
b) reais e inteiros.
c) reais e racionais.
d) reais e irracionais.
3. Qual destes números reais é o maior:
5 ou
22
9
.
Resoluções a
partir da p. 289
_4; 0; 1.
_2,3; _
1
4
; 0,6.
6
6; _6.
6; _6; 6,6.
6
22
9
4. Usando o símbolo [ ou {, estabeleça a
relação entre:
a) 100 e R
*
b) 100 e R
+
c) 100 e R
_
d) 9 e R
e) _9 e R
f) 9_ e R
g) 2,6 e R
+

5. (Saresp-SP) José, com sua calculadora,
determinou o valor de 50 e obteve
como resultado 7,0710678... Pode-se
provar que esse número tem infinitas
casas decimais e não é dízima periódica.
É, portanto, um número:
a) irracional.
b) natural.
c) racional.
d) inteiro relativo.
6. Construa uma reta real e, nela, localize
os seguintes números reais: _5;
7
2
; 9;
_0,4; _
5
4
.
7. Junte-se a um colega e criem um exemplo
de um número real que seja também
racional e esteja escrito na forma fracioná-
ria. Esse número é uma dízima periódica?
Expliquem. Resposta pessoal.
[
[
{
[
[
{
[
Alternativa a.
ATIVIDADES
_4.
_5 _0,4
_
5
4
7
2
9
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RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (PUC-RJ) O maior número abaixo é:
a) 3
31
b) 8
10
c) 16
8
d) 81
6
e) 243
4
2. (FGV-SP) Se calcularmos o valor de 2
95
,
iremos obter um número natural N.
O algarismo final (das unidades) desse
número N vale:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
3. (OBM) Quantos dos números a seguir são
maiores que 10?
311,47,55,63,72
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
DESAFIO
4. (UERJ) Um evento está sendo realizado
em uma praia cuja faixa de areia tem
cerca de 3 km de extensão e 100 m de
largura.
A ordem de grandeza do maior número
possível de adultos que podem assistir a
esse evento sentados na areia é de:
a) 10
4
b) 10
5
c) 10
6
d) 10
7
Resoluções a
partir da p. 289
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa c.
Alternativa c.
5. (OBM) Dividindo-se o número
()
4
4
2
por
4
4
obtemos o número:
a) 2
b) 4
3
c) 4
4
d) 4
8
e) 4
12
6. (OBM) A razão
()
()
2
4
4
8
8
2 é igual a:
a)
1
4
b)
1
2
c) 1
d) 2
e) 8
7. (OBM) O valor da soma
2
2003
? 9
1001
4
1001
? 3
2003
+
2
2002
? 9
1001
4
1001
? 3
2003
é:
a)
1
3
b)
2
3
c) 1
d)
4
3
e) 2
8. (Enem/MEC-Simulado) No depósito
de uma biblioteca há caixas contendo
folhas de papel de 0,1 mm de espessura,
e em cada uma delas estão anotados 10
títulos de livros diferentes. Essas folhas
foram empilhadas formando uma torre
vertical de 1 m de altura.
Qual a representação, em potência
de 10, correspondente à quantidade
de títulos de livros registrados nesse
empilhamento?
a) 10
2
b) 10
4
c) 10
5
d) 10
6
e) 10
7
Alternativa e.
Alternativa c.
Alternativa c.
Alternativa c.
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107. 9. Se um quadrado tem 7,7 cm de lado, a
sua área é de:
a) 50,29 cm
2
b) 59,29 cm
2
c) 59,19 cm
2
d) 51,09 cm
2
e) 50,09 cm
2
10. Sabe-se que a área de um terreno qua-
drado é 1 764 m
2
. Qual é o perímetro
desse terreno?
a) 158 m
b) 168 m
c) 178 m
d) 186 m
e) 196 m
11. Os números x e y representam, respecti-
vamente, as raízes quadradas exatas dos
números 51,84 e 40,96. Com o auxílio de
uma calculadora, descubra quanto vale
x _ y.
a) 0,08
b) 8
c) 1,8
d) 0,8
e) 2,8
12. Dos números a seguir, qual deles é qua-
drado perfeito?
a) 151
b) 453
c) 20,44
d) 24 964
e) 3 804
13. O valor aproximado com uma casa
decimal da raiz quadrada de 10 é:
a) 3,2
b) 3,4
c) 3,3
d) 3,1
e) 3,5
Alternativa b.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa d.
Alternativa d.
14. Todo número cuja representação decimal
é infinita e não periódica é um número:
a) natural.
b) inteiro positivo.
c) racional.
d) fracionário.
e) irracional.
15. A representação decimal de um número
pode ser: finita, infinita e periódica ou,
ainda, infinita e não periódica. Escreva
qual é o caso de cada um dos números
a seguir.
a)
27
6
b) 0,23
c) 2
16. Observe os números a seguir e responda
às questões:
_97
49
7
_3
3
5
1,25
a) Alguns desses números pertencem ao
conjunto dos números naturais? Qual?
b) Quais números pertencem ao conjunto
dos números inteiros?
c) Quais números são irracionais?
d) Quais números são reais, mas não são
racionais?
e) Quais números são reais, mas não são
irracionais?
17. Qual é o menor número natural que
devemos multiplicar pelo número 60
para que o produto seja um número
quadrado perfeito? Alternativa d.
a) 2
b) 3
c) 5
d) 15
e) 60
Alternativa e.
Finita.
Infinita e periódica.
Infinita e não periódica.
Sim;
49
7
.
_97;
49
7
.
_3
_3
1,25;
49
7
; _97;
3
5
.
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Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como
também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação
e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência
de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de
números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas.
Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi
possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números
quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro-
ximada e os números irracionais.
Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de
Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para
representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos.
Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta
Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.
• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada
para representar números e resultados? Resposta pessoal.
• Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 10
3

bits.
• O que são os números quadrados perfeitos?
• Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada?
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais.
Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado,
tem como resultado o número X.
UM NOVO OLHAR
18. Sabendo que x
2
_ y
2
= (x + y)(x _ y),
calcule o valor de 999
2
_ 1. Alternativa d.
a) 1 000 000
b) 999 999
c) 998 999
d) 998 000
e) 990 000
19. Por qual número devemos dividir 105 125
para que o quociente tenha uma raiz
quadrada exata? Alternativa b.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 15
e) 21
20. O número p é classificado como:
a) um número natural. Alternativa d.
b) uma dízima periódica.
c) um número racional.
d) uma dízima não periódica.
e) um número inteiro.
21. Ao calcular
+33
10
10 8
obtemos como
resposta: Alternativa b.
a) um número irracional maior que 50.
b) o número natural 81.
c) um número irracional menor que 100.
d) a potenciação 3
7
.
e) um número racional.
Resoluções a partir da p. 289
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108. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento des-
sa Unidade poderão permitir,
além de uma breve retomada
dos conteúdos apresentados,
reflexões a respeito das apren-
dizagens individuais. É interes-
sante que os alunos respondam
individualmente a cada uma
das questões para que, dessa
forma, possam perceber suas
aprendizagens e possíveis dúvi-
das a respeito de cada conteú-
do apresentado.
9. Se um quadrado tem 7,7 cm de lado, a
sua área é de:
a) 50,29 cm
2
b) 59,29 cm
2
c) 59,19 cm
2
d) 51,09 cm
2
e) 50,09 cm
2
10. Sabe-se que a área de um terreno qua-
drado é 1 764 m
2
. Qual é o perímetro
desse terreno?
a) 158 m
b) 168 m
c) 178 m
d) 186 m
e) 196 m
11. Os números x e y representam, respecti-
vamente, as raízes quadradas exatas dos
números 51,84 e 40,96. Com o auxílio de
uma calculadora, descubra quanto vale
x _ y.
a) 0,08
b) 8
c) 1,8
d) 0,8
e) 2,8
12. Dos números a seguir, qual deles é qua-
drado perfeito?
a) 151
b) 453
c) 20,44
d) 24 964
e) 3 804
13. O valor aproximado com uma casa
decimal da raiz quadrada de 10 é:
a) 3,2
b) 3,4
c) 3,3
d) 3,1
e) 3,5
Alternativa b.
Alternativa b.
Alternativa d.
Alternativa d.
Alternativa d.
14. Todo número cuja representação decimal
é infinita e não periódica é um número:
a) natural.
b) inteiro positivo.
c) racional.
d) fracionário.
e) irracional.
15. A representação decimal de um número
pode ser: finita, infinita e periódica ou,
ainda, infinita e não periódica. Escreva
qual é o caso de cada um dos números
a seguir.
a)
27
6
b) 0,23
c) 2
16. Observe os números a seguir e responda
às questões:
_97
49
7
_3
3
5
1,25
a) Alguns desses números pertencem ao
conjunto dos números naturais? Qual?
b) Quais números pertencem ao conjunto
dos números inteiros?
c) Quais números são irracionais?
d) Quais números são reais, mas não são
racionais?
e) Quais números são reais, mas não são
irracionais?
17. Qual é o menor número natural que
devemos multiplicar pelo número 60
para que o produto seja um número
quadrado perfeito? Alternativa d.
a) 2
b) 3
c) 5
d) 15
e) 60
Alternativa e.
Finita.
Infinita e periódica.
Infinita e não periódica.
Sim;
49
7
.
_97;
49
7
.
_3
_3
1,25;
49
7
; _97;
3
5
.
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Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como
também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação
e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência
de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de
números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas.
Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi
possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números
quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e apro-
ximada e os números irracionais.
Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de
Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para
representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos.
Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta
Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.
• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada
para representar números e resultados? Resposta pessoal.
• Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 10
3

bits.
• O que são os números quadrados perfeitos?
• Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada?
Os números naturais que são quadrados de outros números naturais.
Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado,
tem como resultado o número X.
UM NOVO OLHAR
18. Sabendo que x
2
_ y
2
= (x + y)(x _ y),
calcule o valor de 999
2
_ 1. Alternativa d.
a) 1 000 000
b) 999 999
c) 998 999
d) 998 000
e) 990 000
19. Por qual número devemos dividir 105 125
para que o quociente tenha uma raiz
quadrada exata? Alternativa b.
a) 3
b) 5
c) 7
d) 15
e) 21
20. O número p é classificado como:
a) um número natural. Alternativa d.
b) uma dízima periódica.
c) um número racional.
d) uma dízima não periódica.
e) um número inteiro.
21. Ao calcular
+33
10
10 8
obtemos como
resposta: Alternativa b.
a) um número irracional maior que 50.
b) o número natural 81.
c) um número irracional menor que 100.
d) a potenciação 3
7
.
e) um número racional.
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109. COMPETÊNCIAS
GERAIS
2. Exercitar a curiosidade
intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a refle-
xão, a análise crítica, a imagina-
ção e a criatividade, para inves-
tigar causas, elaborar e testar
hipóteses, formular e resolver
problemas e criar soluções (in-
clusive tecnológicas) com base
nos conhecimentos das diferen-
tes áreas.
7. Argumentar com base
em fatos, dados e informações
confiáveis, para formular, ne-
gociar e defender ideias, pon-
tos de vista e decisões comuns
que respeitem e promovam os
direitos humanos, a consciên-
cia socioambiental e o con-
sumo responsável em âmbito
local, regional e global, com
posicionamento ético em rela-
ção ao cuidado de si mesmo,
dos outros e do planeta.
ESPECÍFICAS
1. Reconhecer que a Mate-
mática é uma ciência humana,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes culturas,
em diferentes momentos histó-
ricos, e é uma ciência viva, que
contribui para solucionar pro-
blemas científicos e tecnológi-
cos e para alicerçar descobertas
e construções, inclusive com im-
pactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investiga-
ção e a capacidade de produ-
zir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimen-
tos matemáticos para compre-
ender e atuar no mundo.
8. Interagir com seus pares
de forma cooperativa, traba-
lhando coletivamente no pla-
nejamento e desenvolvimento
de pesquisas para responder a
questionamentos e na busca
de soluções para problemas,
de modo a identificar aspec-
tos consensuais ou não na
discussão de uma determi-
nada questão, respeitando o
modo de pensar dos colegas e
aprendendo com eles.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Geometria
• EF08MA15
• EF08MA17
Os triângulos dão resistência
às estruturas.
No passado
Atualmente
Triângulo de descarga: construção
que permitia descarregar as pressões
exercidas por grandes pesos que se
encontravam por cima das portas
dos túmulos e das cidadelas.
Agora, segurando em dois vértices do triângulo, puxe-
-os e empurre-os em sentidos opostos. Faça o mesmo
com o quadrado.
• O que você pôde notar? O que aconteceu com o triân-
gulo? E com o quadrado?
O triângulo não pôde ser deformado, diferentemente do quadrado.
O triângulo é conhecido e usado
há milênios pelo ser humano por
conta de suas diversas aplicações. Por
exemplo, a utilização de um triângulo
retângulo para verificar se o ângulo
de uma parede com o chão é 90°. Se
a medida do ângulo for essa, dizemos
que a parede está subindo “reta”, ou
seja, perpendicular ao chão.
Além disso, triângulos dão sus-
tentação a construções, sejam elas
metálicas ou de pedras, como você
pode ver nas fotografias ao lado.
Vamos entender o porquê disso?
Construa com palitos de sorvete
e percevejos um triângulo e um qua-
drado, tomando cuidado para deixar
os vértices livres para girarem. Veja:
Ângulos e
triângulos3
ALBUM ART/LATINSTOCK
STUART MAC FARLANE/ARSENAL FC/GETTY IMAGES
EDITORIA DE ARTE
S_MARIA/SHUTTERSTOCK.COM
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Repare no guindaste: sua estrutura permite a ele
levantar massas maiores do que sua base de apoio.
Os triângulos são muito utilizados, por
exemplo, na construção civil.
E scrita cuneiforme gravada em
pedra, feita pelos sumérios por
volta de 3200 a.C. Repare na
decomposição de triângulos.
Vela triangular: apareceu pela primeira vez
na Idade Média. Não se sabe que nação foi
a primeira a utilizá-la.
RUBENS CHAVES/PULSAR
ONEJOTA/SHUTTERSTOCK.COM
IRAQ MUSEUM, BAGHDAD/BRIDGEMAN/EASYPIX
ROYAL EXCHANGE ART ROYAL EXCHANGE ART GALLERY AT CORK STREET, LONDON/BRIDGEMAN/EASY PIX
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110. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Essa abertura leva os alu-
nos a realizar uma reflexão a
respeito da utilização dos tri-
ângulos no cotidiano, mais
especificamente na área da
construção civil (reforço e es-
tabilidade de estruturas). Ini-
ciar a aula discutindo com a
turma que estrutura pode ser
considerada firme e algumas
características de estruturas
que suportam muito mais do
que pesam.
Em seguida, pedir aos alunos
para observar as imagens refe-
rentes ao uso do triângulo em
outros contextos históricos.
AMPLIANDO
Link
Para auxiliar os alunos na
compreensão do conceito de
rigidez do triângulo, apre-
sentar a eles um simulador,
feito com o software de ge-
ometria dinâmica GeoGebra
e disponível no site: <www.
geogebra.org/m/BaEHfS85>.
Acesso em: 12 nov. 2018.
Os triângulos dão resistência
às estruturas.
No passado
Atualmente
Triângulo de descarga: construção
que permitia descarregar as pressões
exercidas por grandes pesos que se
encontravam por cima das portas
dos túmulos e das cidadelas.
Agora, segurando em dois vértices do triângulo, puxe-
-os e empurre-os em sentidos opostos. Faça o mesmo
com o quadrado.
• O que você pôde notar? O que aconteceu com o triân-
gulo? E com o quadrado?
O triângulo não pôde ser deformado, diferentemente do quadrado.
O triângulo é conhecido e usado
há milênios pelo ser humano por
conta de suas diversas aplicações. Por
exemplo, a utilização de um triângulo
retângulo para verificar se o ângulo
de uma parede com o chão é 90°. Se
a medida do ângulo for essa, dizemos
que a parede está subindo “reta”, ou
seja, perpendicular ao chão.
Além disso, triângulos dão sus-
tentação a construções, sejam elas
metálicas ou de pedras, como você
pode ver nas fotografias ao lado.
Vamos entender o porquê disso?
Construa com palitos de sorvete
e percevejos um triângulo e um qua-
drado, tomando cuidado para deixar
os vértices livres para girarem. Veja:
Ângulos e
triângulos3
ALBUM ART/LATINSTOCK
STUART MAC FARLANE/ARSENAL FC/GETTY IMAGES
EDITORIA DE ARTE
S_MARIA/SHUTTERSTOCK.COM
64
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Repare no guindaste: sua estrutura permite a ele
levantar massas maiores do que sua base de apoio.
Os triângulos são muito utilizados, por
exemplo, na construção civil.
E scrita cuneiforme gravada em
pedra, feita pelos sumérios por
volta de 3200 a.C. Repare na
decomposição de triângulos.
Vela triangular: apareceu pela primeira vez
na Idade Média. Não se sabe que nação foi
a primeira a utilizá-la.
RUBENS CHAVES/PULSAR
ONEJOTA/SHUTTERSTOCK.COM
IRAQ MUSEUM, BAGHDAD/BRIDGEMAN/EASYPIX
ROYAL EXCHANGE ART ROYAL EXCHANGE ART GALLERY AT CORK STREET, LONDON/BRIDGEMAN/EASY PIX
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111. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ângulos
Retomar com os alunos
onde podemos identificar ân-
gulos no ambiente e pedir a
eles que citem outras situa-
ções em que o ângulo aparece
no cotidiano, por exemplo, o
ângulo formado pela perna
(o joelho seria o “vértice” do
ângulo) ao se sentar em uma
cadeira. Aproveitar a situação
para comentar com os alunos
os cuidados de postura que
devem ser observados quan-
do se sentam para estudar ou
passam algum tempo utilizan-
do o computador.
Algumas dessas orienta-
ções estão no texto a seguir.
Braços
Os cotovelos devem ser
mantidos sempre junto ao
corpo, ou seja, nem projeta-
dos para frente (braços es-
ticados) e nem em posição
de voo (cotovelos erguidos).
Alinhe seus antebraços em
um ângulo entre 100 e 110
graus com o teclado. Pense
assim: se o seu cotovelo fos-
se o centro de um relógio, es-
ses graus equivaleriam com
o horário 12h20. Já os pulsos
devem permanecer sempre
retos (relaxados) e alinhados
com o resto do braço.
[...]
Fonte: VALIN, A. Como fazer para
se posicionar corretamente em
frente ao computador.
Disponível em: <https://www.
tecmundo.com.br/educacao/1361-
ergonomia-como-fazer-para-
se-posicionar-corretamente-
em-frente-ao-pc.htm>.
Acesso em: 12 nov. 2018.
Caso julgar pertinente, ler a
reportagem completa com os
alunos.
Em seguida, solicitar a um
aluno para seguir alguns co-
mandos como se fosse um
robô. Essa brincadeira ajuda
a desenvolver e retomar as
noções de lateralidade. Por
exemplo: com o braço estica-
do para a frente, pedir a ele
que gire 90° à direita, depois
que gire 180° à esquerda e
assim por diante. Dar oportu-
nidade para que outros alunos
vivenciem o papel do robô e
outros a voz de comando. Si-
tuações como essas podem
levar os alunos a associar a de-
finição de ângulo com a ideia
de giro que é importante para
o seu aprendizado.
Retomar a classificação de
ângulos, com relação às me-
didas, junto aos alunos. Se
julgar pertinente, fazer uma
atividade rápida de constru-
ção de ângulos usando régua
e transferidor.
ÂNGULOS1
CAPÍTULO
Vamos relembrar o conceito e as classificações de ângulos. Ângulo é toda região
do plano, convexa ou não, determinada por duas semirretas de mesma origem.
região convexa
região
não convexa
Os ângulos podem ser classificados conforme suas medidas. Vamos rever nos
quadros a seguir essas classificações.
No ângulo desta figura, destacamos os
seguintes elementos:
• O ponto O, origem das semirretas, deno-
minado vértice do ângulo.
• As semirretas OA e OB denominadas lados
do ângulo.
Para identificar esse ângulo, utilizamos a nota-
ção A
ˆ
OB.
A
B
O
vértice do ângulo
Ângulo nulo
med (AÔB) = 0°
Ângulo de meia-volta ou
ângulo raso med (AÔB) = 180°
Ângulo de uma volta
med (AÔB) = 360°
BAO AB O BAO
Ângulo reto
med (AÔB) = 90°
Ângulo agudo
0° , med (AÔB) , 90°
Ângulo obtuso
90° , med (AÔB) , 180°
A
O B
A
O
B
A
O
B
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Ângulos adjacentes
Vamos relembrar: dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são
denominados ângulos consecutivos.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são consecutivos. Eles têm em comum apenas um lado (OB),
não tendo pontos internos comuns.
O
B
C
A
Bissetriz de um ângulo
Seja o ângulo AOB da figura e med (AÔB) = 50°.
A partir do vértice O, traçamos
!"!
OP que divide AÔB em dois ângulos adjacentes de mesma
medida. A
!"!
OP damos o nome de bissetriz de AÔB. Observe:
Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são denominados
ângulos adjacentes.
Então, em nosso exemplo, AÔB e BÔC são adjacentes.
Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice desse ângulo que
determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
B
O
25°
25°
P
A
B
O
50°
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112. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ângulos adjacentes
Relembrar o conceito de
ângulos adjacentes com os
alunos e auxiliá-los a iden-
tificar quando dois ângulos
são consecutivos e quando
são adjacentes e a represen-
tar dois ângulos consecutivos
adjacentes. Por exemplo, na
figura apresentada no livro do
aluno, os ângulos AOB e AOC
são consecutivos, mas não são
adjacentes.
Pedir aos alunos que façam
a leitura do texto do livro do
aluno de forma atenta e indi-
vidual. Depois, perguntar se
compreendem as nomenclatu-
ras “ângulos consecutivos” e
“ângulos adjacentes”. Estimu-
lar os alunos a expor suas dú-
vidas e a tentar esclarecer as
dúvidas dos colegas. Valorizar
a troca de informação e co-
nhecimento para que efetiva-
mente ocorra o aprendizado.
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo
pode ser construída usando-
-se um software de geometria
dinâmica como o GeoGebra.
Para isso, construir um ângulo
(pode ser uma medida qual-
quer ou uma medida pré-de-
terminada pelo usuário), e, uti-
lizando a ferramenta bissetriz,
selecionar um ponto em um
lado do ângulo, o vértice do
ângulo e outro ponto no outro
lado do ângulo.
Caso julgue interessante, le-
var os alunos ao laboratório de
informática para que eles pos-
sam realizar esse experimento
na prática, utilizando o software
de geometria dinâmica.
ÂNGULOS1
CAPÍTULO
Vamos relembrar o conceito e as classificações de ângulos. Ângulo é toda região
do plano, convexa ou não, determinada por duas semirretas de mesma origem.
região convexa
região
não convexa
Os ângulos podem ser classificados conforme suas medidas. Vamos rever nos
quadros a seguir essas classificações.
No ângulo desta figura, destacamos os
seguintes elementos:
• O ponto O, origem das semirretas, deno-
minado vértice do ângulo.
• As semirretas OA e OB denominadas lados
do ângulo.
Para identificar esse ângulo, utilizamos a nota-
ção A
ˆ
OB.
A
B
O
vértice do ângulo
Ângulo nulo
med (AÔB) = 0°
Ângulo de meia-volta ou
ângulo raso med (AÔB) = 180°
Ângulo de uma volta
med (AÔB) = 360°
BAO AB O BAO
Ângulo reto
med (AÔB) = 90°
Ângulo agudo
0° , med (AÔB) , 90°
Ângulo obtuso
90° , med (AÔB) , 180°
A
O B
A
O
B
A
O
B
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Ângulos adjacentes
Vamos relembrar: dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são
denominados ângulos consecutivos.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são consecutivos. Eles têm em comum apenas um lado (OB),
não tendo pontos internos comuns.
O
B
C
A
Bissetriz de um ângulo
Seja o ângulo AOB da figura e med (AÔB) = 50°.
A partir do vértice O, traçamos
!"!
OP que divide AÔB em dois ângulos adjacentes de mesma
medida. A
!"!
OP damos o nome de bissetriz de AÔB. Observe:
Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são denominados
ângulos adjacentes.
Então, em nosso exemplo, AÔB e BÔC são adjacentes.
Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice desse ângulo que
determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.
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A
B
O
25°
25°
P
A
B
O
50°
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113. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ângulos
complementares,
suplementares e ângulos
opostos pelo vértice
Dando continuidade ao es-
tudo a respeito de ângulos, o
objetivo desta página é levar
os alunos a reconhecer, re-
presentar e relacionar ângulos
complementares, ângulos su-
plementares e ângulos opos-
tos pelo vértice. Pretende-se,
também, que eles compreen-
dam como determinar, a partir
da medida de um ângulo, a
medida de seu complemento
e de seu suplemento.
Solicitar aos alunos que
façam a leitura individual do
texto e relatem o que com-
preenderam. Pedir a eles que
anotem a definição de ângu-
los complementares e suple-
mentares. É interessante que
alguns alunos sejam convi-
dados para ir à lousa explicar
como calcular a medida do
complemento de um ângulo
e a medida do suplemento de
um ângulo. Estimular a troca
de ideias nesse momento.
Depois, apresentar dois
ângulos adjacentes quaisquer
na lousa e solicitar aos alunos
que verifiquem se os ângulos
dados são complementares e/
ou suplementares.
No estudo de ângulos opos-
tos pelo vértice, importante res-
saltar a congruência entre eles.
Observe a figura a seguir, em
que AÅOD e BÅOC são ângulos
opostos pelo vértice.
yx
m
D
O
A B
C
Indicando por:
x = med (BÅOC)
y = med (AÅOD)
m = med (AÅOB)
• Como AÅOB e AÅOD são ad-
jacentes suplementares, te-
mos que m + y = 180° (1).
y
m
D
O
A B
• Como AÅOB e BÅOC são adja-
centes suplementares, temos
que m + x = 180° (2).
x
m
O
A B
C
• Comparando (1) e (2), temos:
m + y = 180°
m + x = 180°
m + y = m + x
y = x
Portanto, AÔD e BÔC têm
a mesma medida.
De modo análogo, é pos-
sível concluir que AÔB e CÔD
são ângulos de medidas iguais.
Ângulos complementares
Dois ângulos adjacentes são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e complementares, e cada ângulo é chamado
complemento do outro.
O
B
C
A
Assim, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu complemento (BÔC) será 90° _ x.
Ângulos suplementares
Dois ângulos adjacentes são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares, e cada ângulo é chamado
suplemento do outro.
O
B
CA
Dessa forma, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu suplemento (BÔC) será 180° _ x.
Ângulos opostos pelo vértice
Consideremos duas retas r e s, que se cruzam em um único ponto V, formando quatro
ângulos de medidas a, x, b e y, conforme mostra a figura a seguir.
Os ângulos de medidas x e y são chamados ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também
são opostos pelo vértice os ângulos de medida a e b.
r
s
V
a
xy
b
Se você usar um transferidor, verá que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
ou seja, têm a mesma medida.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe os pares de ângulos suplemen-
tares destacados na figura e determine
as medidas x e y indicadas.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
x
y
100°
50°
2. Determine a medida do complemento
de um ângulo de:
a) 66°
b) 74°
c) 22°
d) 47°
3. Determine a medida do suplemento de
um ângulo de:
a) 78°
b) 67°
c) 135°
d) 139°
4. A medida de um ângulo é igual à medida
do seu complemento, aumentada de 70°.
Qual é a medida desse ângulo?
5. A medida de um ângulo é igual à terça
parte da medida do seu suplemento.
Qual a medida desse ângulo?
6. Sabendo que a medida de um ângulo
é igual ao quádruplo da medida do
seu complemento, determine a medida
desse ângulo.
7. O triplo da medida de um ângulo é igual
ao dobro da medida do seu suplemento.
Qual é a medida desse ângulo?
8. A medida do suplemento de um ângulo
é igual ao quádruplo da medida do com-
plemento desse mesmo ângulo. Quanto
mede esse ângulo?
y = 80°; x = 130°.
24°
16°
68°
43°
102°
113°
45°
41°
80°
45°
72°
72°
60°
9. Observe a figura e dê as medidas x e y
indicadas.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
x
yy
80°
10. Na figura abaixo, calcule as medidas x, y
e z indicadas.
x
40°y
z
11. Determine as medidas x e y indicadas na
figura a seguir.
2x _ 100°
y
x + 30°
12. Duas retas,
!"##
AB e
!"#
CD, são concorren-
tes em um ponto M, de tal modo que
a medida de AˆM D representa a terça
parte da medida de AˆM C. Determine
as medidas dos quatro ângulos adjacen-
tes, indicados na figura, formados com
vértice no ponto M.
D
M
C
B
A
x = 80° e y = 100°.
x = 140°, y = 40° e z = 140°.
x = 130° e y = 20°.
45°, 45°, 135° e 135°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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114. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades deste bloco
exploram a aplicação dos con-
ceitos de ângulos complemen-
tares, suplementares e opos-
tos pelo vértice.
No estudo com ângulos,
verificar as dificuldades que os
alunos ainda apresentam em
relação à resolução de equa-
ções, instrumento para obter
as medidas de ângulos desco-
nhecidos usando as proprie-
dades estudadas a respeito
desse tema. Desenvolver reso-
luções coletivas, propondo a
alguns alunos que façam seus
registros na lousa, enquanto
o restante da sala descreve o
que é exposto.
Ângulos complementares
Dois ângulos adjacentes são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e complementares, e cada ângulo é chamado
complemento do outro.
O
B
C
A
Assim, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu complemento (BÔC) será 90° _ x.
Ângulos suplementares
Dois ângulos adjacentes são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.
Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares, e cada ângulo é chamado
suplemento do outro.
O
B
CA
Dessa forma, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu suplemento (BÔC) será 180° _ x.
Ângulos opostos pelo vértice
Consideremos duas retas r e s, que se cruzam em um único ponto V, formando quatro
ângulos de medidas a, x, b e y, conforme mostra a figura a seguir.
Os ângulos de medidas x e y são chamados ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também
são opostos pelo vértice os ângulos de medida a e b.
b
r
a
y x
s
V
Se você usar um transferidor, verá que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
ou seja, têm a mesma medida.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe os pares de ângulos suplemen-
tares destacados na figura e determine
as medidas x e y indicadas.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
x
y
100°
50°
2. Determine a medida do complemento
de um ângulo de:
a) 66°
b) 74°
c) 22°
d) 47°
3. Determine a medida do suplemento de
um ângulo de:
a) 78°
b) 67°
c) 135°
d) 139°
4. A medida de um ângulo é igual à medida
do seu complemento, aumentada de 70°.
Qual é a medida desse ângulo?
5. A medida de um ângulo é igual à terça
parte da medida do seu suplemento.
Qual a medida desse ângulo?
6. Sabendo que a medida de um ângulo
é igual ao quádruplo da medida do
seu complemento, determine a medida
desse ângulo.
7. O triplo da medida de um ângulo é igual
ao dobro da medida do seu suplemento.
Qual é a medida desse ângulo?
8. A medida do suplemento de um ângulo
é igual ao quádruplo da medida do com-
plemento desse mesmo ângulo. Quanto
mede esse ângulo?
y = 80°; x = 130°.
24°
16°
68°
43°
102°
113°
45°
41°
80°
45°
72°
72°
60°
9. Observe a figura e dê as medidas x e y
indicadas.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
x
yy
80°
10. Na figura abaixo, calcule as medidas x, y
e z indicadas.
x
40°y
z
11. Determine as medidas x e y indicadas na
figura a seguir.
2x _ 100°
y
x + 30°
12. Duas retas,
!"##
AB e
!"#
CD, são concorren-
tes em um ponto M, de tal modo que
a medida de AˆM D representa a terça
parte da medida de AˆM C. Determine
as medidas dos quatro ângulos adjacen-
tes, indicados na figura, formados com
vértice no ponto M.
D
M
C
B
A
x = 80° e y = 100°.
x = 140°, y = 40° e z = 140°.
x = 130° e y = 20°.
45°, 45°, 135° e 135°.
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115. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Triângulos
A definição de triângulo e
seus elementos é retomada
nesta página. Relembrar com
os alunos como nomear lados,
vértices e ângulos de um triân-
gulo. Verificar se eles percebem
que o triângulo é um polígono
que não possui diagonais.
Em seguida, a classificação
de triângulos em relação às
medidas dos lados e em rela-
ção às medidas dos ângulos
também é relembrada. Verifi-
car se os alunos ainda apre-
sentam alguma dúvida a res-
peito dessas nomenclaturas e
saná-las.
Para aprofundar a explora-
ção a respeito dos triângulos,
fazer alguns questionamen-
tos, como: “É possível existir
um triângulo com dois ângu-
los retos?”; “Um triângulo
equilátero pode ser obtusân-
gulo?”. Espera-se que os alu-
nos respondam que não em
ambos os casos. Na primeira
questão, não é possível que
um triângulo tenha dois ân-
gulos retos, pois apenas esses
dois ângulos somariam 180°,
que é a soma total de todos
os ângulos internos de um
triângulo. Do mesmo modo,
um triângulo equilátero não
pode ser obtusângulo, pois
um triângulo equilátero pos-
sui todos os ângulos de mes-
ma medida. Como a soma
dos ângulos internos de um
triângulo é 180°, cada ângulo
interno de um triângulo equi-
látero mede 60° (180° : 3).
Portanto, o triângulo equiláte-
ro é um triângulo acutângulo.
TRIÂNGULOS2
CAPÍTULO
Elementos de um triângulo
Vamos destacar os seguintes elementos de um triângulo:
Classificação de triângulos
Classificamos os triângulos em relação às medidas de seus lados ou às medidas
de seus ângulos internos. Em relação às medidas dos lados, um triângulo é classi-
ficado como:
Equilátero Isósceles Escaleno
Quando os
três lados têm
medidas iguais.
Quando dois lados
têm medidas iguais.
Quando os três
lados têm medidas
diferentes.
Em relação às medidas dos ângulos, um triângulo é classificado como:
Acutângulo Retângulo Obtusângulo
Quando os três
ângulos internos
são agudos
(menores que 90º).
Quando um dos
ângulos internos
é reto (medida
igual a 90º).
Quando um dos
ângulos internos é
obtuso (a medida
é maior que 90º e
menor que 180º).
B
A
C
a
c
b
A
B C
• Vértices pontos A, B e C
• Lados AB, AC e BC
• Ângulos internos Â, ˆB e ˆC
• Ângulos externos â, ˆb e ˆc
Representação: *ABC
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pense e responda
Agora, faça o que se pede:
1. Utilizando uma folha de papel sulfite, uma tesoura de pontas arredondadas e lápis
de cor, faça o mesmo trabalho de Núbia. Resposta pessoal.
2. Com o trabalho finalizado, responda no caderno: qual a soma dos ângulos internos
de um triângulo?Pela montagem é possível verificar que, juntos, os três ângulos internos do
triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta.
Então: a + b + c = 180°.
Agora, vamos usar os conhecimentos que adquirimos sobre ângulos formados por uma
transversal com duas retas paralelas para demonstrar essa relação.
• Consideremos a representação do triângulo ABC seguinte:
Tracemos uma reta r, paralela à reta que contém
o lado BC, passando por A. Essa paralela vai formar
com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas
indicaremos por m e n, respectivamente.
Ângulos no triângulo
Veja como Núbia determinou a soma dos ângulos internos de um triângulo.
1
o
passo: Núbia, com uma tesoura de pontas
arredondadas, recortou um papel em um
formato que lembra um triângulo.
3
o
passo: Depois, usando a mesma tesoura,
recortou o triângulo, dividindo-o em três partes.
4
o
passo: Por último, juntou os três
vértices em um único ponto.
2
o
passo: Em seguida, usou lápis de
diferentes cores para destacar os três
ângulos internos e os nomeou como a, b e c.
WANDSON ROCHA
A
BC
a
b c
a = med (
ˆ
A)
b = med (
ˆ
B)
c = med (
ˆ
C)
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116. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Se possível, realizar com
os alunos o experimento feito
por Núbia para que eles re-
lembrem, de forma intuitiva, a
soma das medidas dos ângulos
internos de um triângulo. Esse
assunto já foi abordado em
anos anteriores, a ideia é que
seja retomado por meio desta
atividade prática para que, em
seguida, eles possam acompa-
nhar a demonstração matemá-
tica desta propriedade.
Ângulos no triângulo
Se julgar necessário, reto-
mar os conceitos de ângulos
formados por retas paralelas
cortadas por uma transversal:
ângulos correspondentes, al-
ternos internos, alternos ex-
ternos, colaterais internos e
colaterais externos. Esses con-
ceitos serão utilizados na de-
monstração de que a soma das
medidas dos ângulos internos
de um triângulo é igual a 180°.
TRIÂNGULOS2
CAPÍTULO
Elementos de um triângulo
Vamos destacar os seguintes elementos de um triângulo:
Classificação de triângulos
Classificamos os triângulos em relação às medidas de seus lados ou às medidas
de seus ângulos internos. Em relação às medidas dos lados, um triângulo é classi-
ficado como:
Equilátero Isósceles Escaleno
Quando os
três lados têm
medidas iguais.
Quando dois lados
têm medidas iguais.
Quando os três
lados têm medidas
diferentes.
Em relação às medidas dos ângulos, um triângulo é classificado como:
Acutângulo Retângulo Obtusângulo
Quando os três
ângulos internos
são agudos
(menores que 90º).
Quando um dos
ângulos internos
é reto (medida
igual a 90º).
Quando um dos
ângulos internos é
obtuso (a medida
é maior que 90º e
menor que 180º).
B
A
C
a
c
b
A
B C
• Vértices pontos A, B e C
• Lados AB, AC e BC
• Ângulos internos Â, ˆB e ˆC
• Ângulos externos â, ˆb e ˆc
Representação: *ABC
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pense e responda
Agora, faça o que se pede:
1. Utilizando uma folha de papel sulfite, uma tesoura de pontas arredondadas e lápis
de cor, faça o mesmo trabalho de Núbia. Resposta pessoal.
2. Com o trabalho finalizado, responda no caderno: qual a soma dos ângulos internos
de um triângulo?Pela montagem é possível verificar que, juntos, os três ângulos internos do
triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta.
Então: a + b + c = 180°.
Agora, vamos usar os conhecimentos que adquirimos sobre ângulos formados por uma
transversal com duas retas paralelas para demonstrar essa relação.
• Consideremos a representação do triângulo ABC seguinte:
Tracemos uma reta r, paralela à reta que contém
o lado BC, passando por A. Essa paralela vai formar
com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas
indicaremos por m e n, respectivamente.
Ângulos no triângulo
Veja como Núbia determinou a soma dos ângulos internos de um triângulo.
1
o
passo: Núbia, com uma tesoura de pontas
arredondadas, recortou um papel em um
formato que lembra um triângulo.
3
o
passo: Depois, usando a mesma tesoura,
recortou o triângulo, dividindo-o em três partes.
4
o
passo: Por último, juntou os três
vértices em um único ponto.
2
o
passo: Em seguida, usou lápis de
diferentes cores para destacar os três
ângulos internos e os nomeou como a, b e c.
WANDSON ROCHA
A
BC
a
c
b
a = med (
ˆ
A)
b = med (
ˆ
B)
c = med (
ˆ
C)
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117. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Nesta página é apresentada
a demonstração da proprieda-
de de que em qualquer triân-
gulo, a medida de um ângulo
externo é igual à soma das
medidas dos ângulos internos
não adjacentes a ele. É im-
portante que os alunos com-
preendam essa demonstração
e a necessidade de realizá-la.
Desse modo, aos poucos, os
alunos vão se familiarizando
com a linguagem matemática
e abstração necessárias para
realizar demonstrações.
Como complemento ao
conteúdo desta página e da
anterior, entregar aos alunos
uma folha com alguns triân-
gulos desenhados, deixando
espaço suficiente para que
possam fazer os prolonga-
mentos de seus lados, e pedir
a eles que marquem os ângu-
los internos e tracem seus res-
pectivos ângulos externos.
Em seguida, nesta mesma
folha com os triângulos de-
senhados, solicitar a eles que
destaquem cada ângulo for-
mado por um ângulo interno
e o ângulo externo adjacente
a ele, e respondam: “Que ti-
pos de ângulos foram destaca-
dos?” (Resposta esperada: To-
dos são ângulos rasos (180°)).
Além dos ângulos internos, um polígono, como o triângulo, possui ângulos externos.
Os ângulos externos são aqueles formados por um lado do polígono e pelo
prolongamento de um lado consecutivo a ele.
Considerando o triângulo ABC da figura a seguir, temos:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
rA
BC
m n
a
b
c
r⁄BC h
m = b (alternos internos)
n = c (alternos internos)
Assim: m + a + n = 180°
b + a + c = 180°
B
A
C
c
x
b
a
y
z
• a, b, c são as medidas dos ângulos internos;
• x, y, z são as medidas dos ângulos externos.
Através da imagem, podemos observar que
os ângulos a e z são adjacentes suplementares.
O mesmo ocorre com os ângulos b e y e c e x.
Para o triângulo, existe uma relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos dois
ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos observar a figura seguinte, da qual estabelecemos que:
Assim, temos:
x + c = 180°
x + c = a + b + c h x = a + b

a + b + c = 180°
medida do ângulo externo soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das
medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
B
A
C
b
a
c
x
• x + c = 180° (adjacentes suplementares);
• a + b + c = 180° (soma das medidas dos
ângulos internos).
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em cada uma das representações dos
triângulos, identifique o maior lado:
a) A
BC
80°
60° 40°

BC
b)
P M
N
30°
40°
110°

PN
5. Calcule o valor de a na representação
deste triângulo. 58°
aa
116°
6. Considerando a representação do tri-
ângulo ABC da figura, determine o
valor de x.
A
B
C
2x + 10°
60°
x
7. Em um triângulo ABC, med (Â) = 72°.
Sabendo que a medida do ângulo
externo no vértice B é 125°, qual a
medida do ângulo interno C?
8. Considere um triângulo ABC, em que
o ângulo externo no vértice A mede
116°, med (ˆB ) = x e med (ˆC ) = x _ 20°.
Determine as medidas dos três ângulos
internos desse triângulo.
DESAFIO
9. Observe a figura a seguir e calcule o valor
da expressão dada, utilizando todas as
propriedades que forem necessárias:
x + y + a + b
50°
53°
68°, 48° e 64°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
110°
75°
70°
135°
x
a
b
y
x + y + a + b = 180°
Em qualquer triângulo, o maior
ângulo opõe-se ao maior lado, e o
maior lado opõe-se ao maior ângulo.
SAIBA QUE
2. Considerando as medidas a, b, c e d in-
dicadas na representação do triângulo,
qual relação de igualdade podemos
formar entre:
T
S
R
a
b
d
c
a) b, c e d? b) a e b? c) a, c e d?
3. Num triângulo, as medidas de dois de
seus ângulos internos são 72° e 81°. Qual
é a medida do terceiro ângulo interno?
4. As medidas, em graus, dos ângulos inter-
nos de um triângulo são expressas por
(3x _ 48°), (2x + 10°) e (x _ 10°). Quanto
mede o maior ângulo desse triângulo?
b + c + d = 180°a + b = 180°c + d = a
27°
86°
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118. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco
têm como objetivo levar os
alunos a utilizar as relações da
soma das medidas dos ângu-
los internos e das medidas dos
ângulos externos de um triân-
gulo, verificar que cada ângulo
interno de um triângulo é su-
plementar ao ângulo externo
adjacente a ele, e que a medida
de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos dois ân-
gulos internos não adjacentes
a ele; e estabelecer as relações
de desigualdade entre ângulos
e lados de um triângulo.
Desafio
Para o desafio da atividade
9, se preferir, propor aos alunos
que se organizem em duplas
para discutir como encontrarão
as medidas a, b, x e y. Propor
aos alunos que reproduzam a
figura no caderno. Em seguida,
que a observem e descrevam os
conceitos que podem ser usa-
dos para determinar as medidas
solicitadas. Em seguida, pedir a
eles que marquem na figura os
triângulos que a compõem.
Resolução do Desafio
Os ângulos de medidas x e
135° são ângulos suplementa-
res, então x + 135° = 180°.
Portanto, x = 45°.
Os ângulos de medidas x,
y e 110° são ângulos internos
de um triângulo, então a soma
dessas medidas é 180°. Como
já calculamos o valor do ângulo
x, temos:
x + y + 110° = 180°
45° + y +110° = 180°
y = 25°
Os ângulos de medidas y,
75° e a formam um ângulo
raso, então:
y + 75° + a = 180°
25° + 75° + a = 180°
a = 80°
Por último, os ângulos de
medidas a, b e 70° são ângulos
internos de um triângulo, então:
a + b + 70° = 180°
80° + b + 70° = 180°
b = 30°
Calculando o valor da ex-
pressão solicitada, temos:
x + y + a + b = 45° +
+ 25° + 80° + 30° = 180°
Além dos ângulos internos, um polígono, como o triângulo, possui ângulos externos.
Os ângulos externos são aqueles formados por um lado do polígono e pelo
prolongamento de um lado consecutivo a ele.
Considerando o triângulo ABC da figura a seguir, temos:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
m
n
rA
BC
a
b c
r⁄BC h
m = b (alternos internos)
n = c (alternos internos)
Assim: m + a + n = 180°
b + a + c = 180°
y
B
A
C
a
b c
x
z
• a, b, c são as medidas dos ângulos internos;
• x, y, z são as medidas dos ângulos externos.
Através da imagem, podemos observar que
os ângulos a e z são adjacentes suplementares.
O mesmo ocorre com os ângulos b e y e c e x.
Para o triângulo, existe uma relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos dois
ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos observar a figura seguinte, da qual estabelecemos que:
Assim, temos:
x + c = 180°
x + c = a + b + c h x = a + b

a + b + c = 180°
medida do ângulo externo soma das medidas dos
ângulos internos não adjacentes
Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das
medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
B
A
C
a
b c
x
• x + c = 180° (adjacentes suplementares);
• a + b + c = 180° (soma das medidas dos
ângulos internos).
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em cada uma das representações dos
triângulos, identifique o maior lado:
a) A
BC
80°
60° 40°

BC
b)
P M
N
30°
40°
110°

PN
5. Calcule o valor de a na representação
deste triângulo. 58°
aa
116°
6. Considerando a representação do tri-
ângulo ABC da figura, determine o
valor de x.
A
B
C
2x + 10°
60°
x
7. Em um triângulo ABC, med (Â) = 72°.
Sabendo que a medida do ângulo
externo no vértice B é 125°, qual a
medida do ângulo interno C?
8. Considere um triângulo ABC, em que
o ângulo externo no vértice A mede
116°, med (ˆB ) = x e med (ˆC ) = x _ 20°.
Determine as medidas dos três ângulos
internos desse triângulo.
DESAFIO
9. Observe a figura a seguir e calcule o valor
da expressão dada, utilizando todas as
propriedades que forem necessárias:
x + y + a + b
50°
53°
68°, 48° e 64°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
110°
75°
70°
135°
x
a
b
y
x + y + a + b = 180°
Em qualquer triângulo, o maior
ângulo opõe-se ao maior lado, e o
maior lado opõe-se ao maior ângulo.
SAIBA QUE
2. Considerando as medidas a, b, c e d in-
dicadas na representação do triângulo,
qual relação de igualdade podemos
formar entre:
T
S
R
a
b
d
c
a) b, c e d? b) a e b? c) a, c e d?
3. Num triângulo, as medidas de dois de
seus ângulos internos são 72° e 81°. Qual
é a medida do terceiro ângulo interno?
4. As medidas, em graus, dos ângulos inter-
nos de um triângulo são expressas por
(3x _ 48°), (2x + 10°) e (x _ 10°). Quanto
mede o maior ângulo desse triângulo?
b + c + d = 180°a + b = 180°c + d = a
27°
86°
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119. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Altura de um triângulo
A partir daqui os alunos
verão alguns elementos do
triângulo, suas definições e
suas características. Esses ele-
mentos serão muito úteis no
desenvolvimento de outros as-
suntos dentro da Matemática
nos anos seguintes de estudo.
É importante que os alunos
compreendam o conceito de
cada um dos elementos, para
que estejam aptos a construí-los
em qualquer triângulo dado.
No caso da altura, reforçar
com os alunos que nem sem-
pre a altura está na região in-
terna do triângulo.
Se possível, levar os alunos
ao laboratório de informática
para que eles realizem a cons-
trução das alturas de um triân-
gulo utilizando o software de
geometria dinâmica GeoGebra.
Verificar se eles compreendem
que é necessário entender o
conceito de altura de um triân-
gulo para realizar a construção.
Para complementar, sugerir
aos alunos que acessem o site
<https://www.geogebra.org/m/
QvcF2vcb> (acesso em: 14 nov.
2018), que disponibiliza um si-
mulador em que é possível visu-
alizar as alturas e o ortocentro
de um triângulo, alterando as
posições de seus vértices.
Altura de um triângulo
Utilizamos o símbolo À para relacionar
segmentos ou retas que formam um ângulo
de 90°, ou seja, que são perpendiculares.
SAIBA QUE
B
A
C
H
AH À BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
AH À BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
A
B
C H
Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado orto-
centro. Observe as alturas e o ortocentro nos diferentes triângulos:
• Triângulo acutângulo
Note que, nesse caso, o ortocentro pertence à região interna do triângulo e não coincide
com nenhum de seus vértices.
AH altura relativa ao lado BC
BH‘ altura relativa ao lado AC
CH“ altura relativa ao lado AB
O ortocentro: ponto de encontro
das alturas do *ABC
B
A
O
C
H
H‘
H’
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao
seu prolongamento), formando um ângulo de 90° com esse lado (ou com seu prolongamento).
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• Triângulo obtusângulo
B
A
O
C
H
H‘
H’
AH altura relativa ao lado BC
BH‘ altura relativa ao lado AC
CH“ altura relativa ao lado AB
O ortocentro do *ABC
AH altura relativa ao lado BC
CA altura relativa ao lado AB
BA altura relativa ao lado AC
A ortocentro do *ABC
B A
C
H
Note que, nesse caso, o ortocentro não pertence à região interna do triângulo.
• Triângulo retângulo
Note que, nesse caso, duas das alturas coincidem com os lados AC e AB, e o ortocentro
coincide com o vértice A.
Mediana de um triângulo
Antes de iniciarmos o estudo de mediana, precisamos entender o que é o ponto médio de
um segmento.
Um ponto M, pertencente a AB, é denominado ponto médio deste segmento se M divide
AB em dois segmentos congruentes.
A M B
Nesta figura, M é o ponto médio do segmento AB. Então AM 2 MB.
Agora que sabemos o que é o ponto médio de um segmento, vamos estudar a mediana.
A
B C
M
BM 2 MC h M é o ponto médio de BC.
AM é a mediana relativa ao lado BC do *ABC.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do
lado oposto.
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120. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Mediana de um
triângulo
Inicialmente, apresentar aos
alunos o conceito de ponto
médio. Em seguida, explicar a
definição e construção da me-
diana de um triângulo. Verifi-
car se os alunos compreendem
o conceito e apresentam algu-
ma dúvida.
Novamente, utilizar o re-
curso do software de geome-
tria dinâmica pode auxiliar no
processo de aprendizagem do
aluno.
Outra opção é solicitar
aos alunos que acessem o
site <https://www.geogebra.
org/m/fQFRXaaF> (acesso em:
14 nov. 2018), que apresenta
um simulador em que é possí-
vel visualizar as medianas e o
baricentro do triângulo, alte-
rando a posição dos vértices.
Caso julgar interessante,
comentar com os alunos que
o baricentro de um triângulo é
também o seu centro de mas-
sa. Essa abordagem pode ser
feita em conjunto com o pro-
fessor de Ciências.
Altura de um triângulo
Utilizamos o símbolo À para relacionar
segmentos ou retas que formam um ângulo
de 90°, ou seja, que são perpendiculares.
SAIBA QUE
B
A
C
H
AH À BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
AH À BC
AH é a altura relativa ao lado BC.
A
B
C H
Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado orto-
centro. Observe as alturas e o ortocentro nos diferentes triângulos:
• Triângulo acutângulo
Note que, nesse caso, o ortocentro pertence à região interna do triângulo e não coincide
com nenhum de seus vértices.
AH altura relativa ao lado BC
BH‘ altura relativa ao lado AC
CH“ altura relativa ao lado AB
O ortocentro: ponto de encontro
das alturas do *ABC
B
A
O
C
H
H‘
H’
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao
seu prolongamento), formando um ângulo de 90° com esse lado (ou com seu prolongamento).
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• Triângulo obtusângulo
B
A
O
C
H
H‘
H’
AH altura relativa ao lado BC
BH‘ altura relativa ao lado AC
CH“ altura relativa ao lado AB
O ortocentro do *ABC
AH altura relativa ao lado BC
CA altura relativa ao lado AB
BA altura relativa ao lado AC
A ortocentro do *ABC
B A
C
H
Note que, nesse caso, o ortocentro não pertence à região interna do triângulo.
• Triângulo retângulo
Note que, nesse caso, duas das alturas coincidem com os lados AC e AB, e o ortocentro
coincide com o vértice A.
Mediana de um triângulo
Antes de iniciarmos o estudo de mediana, precisamos entender o que é o ponto médio de
um segmento.
Um ponto M, pertencente a AB, é denominado ponto médio deste segmento se M divide
AB em dois segmentos congruentes.
A M B
Nesta figura, M é o ponto médio do segmento AB. Então AM 2 MB.
Agora que sabemos o que é o ponto médio de um segmento, vamos estudar a mediana.
A
B C
M
BM 2 MC h M é o ponto médio de BC.
AM é a mediana relativa ao lado BC do *ABC.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do
lado oposto.
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121. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Bissetriz de um
triângulo
Assim como foi feito para
os elementos anteriores, ex-
plicar aos alunos o conceito
e a construção da bissetriz de
um triângulo e verificar se eles
apresentam alguma dificul-
dade. Neste caso, comentar
com os alunos que a definição
de bissetriz de um triângulo é
bastante parecida com a defi-
nição de bissetriz de um ângu-
lo, vista na página 67. A ideia é
a mesma, dividir o ângulo em
duas partes de mesma medida.
Para complementar, suge-
rir que os alunos acessem o
site <https://www.geogebra.
org/m/BhZqWYgt> (acesso
em: 14 nov. 2018) para reali-
zar explorações no GeoGebra
envolvendo as bissetrizes e o
encentro de um triângulo.
Para auxiliar os alunos a
visualizarem a propriedade
do triângulo isósceles men-
cionada, apresentar a eles
o simulador disponível em:
<https://www.geogebra.
org/m/dfpXWbxM> (acesso
em: 14 nov. 2018.). Nele é pos-
sível movimentar os vértices de
um triângulo isósceles e verifi-
car que a altura, a mediana e a
bissetriz relativas à base desse
triângulo coincidem.
Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado
baricentro.
AM“ mediana relativa ao lado BC
BM‘ mediana relativa ao lado AC
CM mediana relativa ao lado AB
G baricentro: ponto de encontro das
medianas do *ABCM’
M‘M
A
BC
G
O baricentro, diferentemente do ortocentro, é sempre um ponto interno do triângulo.
Bissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice do triângulo ao seu
respectivo lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
BÂS 2 CÂS
AS

é a bissetriz relativa ao ângulo A.
BˆC S 2 SˆC A
CS

é a bissetriz relativa ao ângulo C.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
BC
S
A
B
C
S
Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado
incentro.
AS bissetriz relativa ao ângulo A
BS‘ bissetriz relativa ao ângulo B
CS“ bissetriz relativa ao ângulo C
I incentro: ponto de encontro das
bissetrizes do *ABC
S
A
BC
S”
S‘
I
Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de um triângulo não coincidem, a não ser
nos triângulos isósceles e equiláteros.
AH a altura, a mediana e
a bissetriz relativas ao
lado BC coincidem
A
BC
H
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Mediatriz
Já sabemos que o ponto médio de um segmento o divide em dois segmentos congruentes.
Na figura a seguir o ponto M, pertencente a AB, é o ponto médio deste segmento, pois
AM 2 MB.
A reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo
ponto M é chamada reta mediatriz de AB.
Qualquer ponto da reta mediatriz tem a mesma distância
de A e de B. Assim, a mediatriz é o lugar geométrico de
todos os pontos equidistantes de A e de B.
SAIBA QUE
Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu
ponto médio.
A reta r é a mediatriz do lado BC no triângulo ABC.
r
CBP
A
r
C
BP
A
M
t N
O
s
Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um único ponto denominado
circuncentro.
r mediatriz do lado BC
s mediatriz do lado AC
t mediatriz do lado AB
O circuncentro: ponto de encontro das
mediatrizes do *ABC
A M B
AB
M
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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122. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Mediatriz
Inicialmente, apresentar o
conceito de reta mediatriz. A
partir daí, explicar o conceito
e a construção da mediatriz de
um triângulo.
Verificar se os alunos com-
preendem a diferença entre a
definição de mediana de um
triângulo e de mediatriz de um
triângulo. Se julgar necessário,
promover um debate com a
turma para que eles possam
explicar aos colegas essa di-
ferença. Alguns pontos que
podem auxiliar para o desen-
volvimento dessa discussão:
• A mediatriz é uma reta; já
a mediana é um segmento de
reta.
• A mediatriz não passa ne-
cessariamente pelo vértice
oposto do lado a que ela se
refere. Já o vértice e o ponto
médio do lado oposto são ne-
cessariamente as extremida-
des da mediana.
• A mediatriz necessariamen-
te passa pelo ponto médio do
lado do triângulo e forma um
ângulo reto com esse lado. Já a
mediana, também passa pelo
ponto médio do lado do triân-
gulo, mas pode ou não formar
um ângulo reto com esse lado.
Observando os triângulos
que os alunos já trabalharam,
discutir em que condições a
reta mediatriz contém a media-
na relativa ao mesmo lado. Es-
pera-se que os alunos respon-
dam que isso ocorre quando o
triângulo é isósceles e, em par-
ticular, quando ele é equilátero.
Solicitar aos alunos que
acessem o site <https://www.
geogebra.org/m/bePR4ACr>
(acesso em: 14 nov. 2018)
para que explorem as media-
trizes e o circuncentro de um
triângulo, alterando a posição
dos vértices.
Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado
baricentro.
AM“ mediana relativa ao lado BC
BM‘ mediana relativa ao lado AC
CM mediana relativa ao lado AB
G baricentro: ponto de encontro das
medianas do *ABCM’
M‘M
A
BC
G
O baricentro, diferentemente do ortocentro, é sempre um ponto interno do triângulo.
Bissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice do triângulo ao seu
respectivo lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida.
BÂS 2 CÂS
AS

é a bissetriz relativa ao ângulo A.
BˆC S 2 SˆC A
CS

é a bissetriz relativa ao ângulo C.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
BC
S
A
B
C
S
Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado
incentro.
AS bissetriz relativa ao ângulo A
BS‘ bissetriz relativa ao ângulo B
CS“ bissetriz relativa ao ângulo C
I incentro: ponto de encontro das
bissetrizes do *ABC
S
A
BC
S”
S‘
I
Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de um triângulo não coincidem, a não ser
nos triângulos isósceles e equiláteros.
AH a altura, a mediana e
a bissetriz relativas ao
lado BC coincidem
A
BC
H
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Mediatriz
Já sabemos que o ponto médio de um segmento o divide em dois segmentos congruentes.
Na figura a seguir o ponto M, pertencente a AB, é o ponto médio deste segmento, pois
AM 2 MB.
A reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo
ponto M é chamada reta mediatriz de AB.
Qualquer ponto da reta mediatriz tem a mesma distância
de A e de B. Assim, a mediatriz é o lugar geométrico de
todos os pontos equidistantes de A e de B.
SAIBA QUE
Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu
ponto médio.
A reta r é a mediatriz do lado BC no triângulo ABC.
r
CBP
A
r
C
BP
A
M
t N
O
s
Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um único ponto denominado
circuncentro.
r mediatriz do lado BC
s mediatriz do lado AC
t mediatriz do lado AB
O circuncentro: ponto de encontro das
mediatrizes do *ABC
A M B
AB
M
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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123. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para quem quer mais
Com antecedência, pedir aos
alunos que levem os materiais
necessários para desenvolver a
atividade proposta nessa seção.
Por meio da manipulação e da
observação de cada etapa, será
possível perceber os conceitos
abordados anteriormente.
Caso julgue interessante, so-
licitar aos alunos que realizem
dobraduras para representar os
demais elementos do triângulo
vistos anteriormente. As orien-
tações para realizar essa ativida-
de estão na atividade comple-
mentar a seguir.
Após o estudo desses ele-
mentos, realizar alguns ques-
tionamentos como: “Em quais
condições a mediana, a altura
e a bissetriz, relativas ao mesmo
lado, coincidem?”. Espera-se
que os alunos cheguem à con-
clusão de que isso acontece nos
triângulos isósceles e equiláteros.
Se julgar conveniente, co-
mentar com os alunos que o
ortocentro, o baricentro, o
incentro e o circuncentro são
chamados de pontos notáveis
do triângulo.
Dobradura 1: Representando alturas/ortocentro:
pé da altura
pé da altura
altura altura
• Recorte um triângulo como esse e, por dobradura, represen-
te as três alturas desse triângulo.
• Marque o ponto O onde as três alturas se encontram. Esse
ponto é o ortocentro do triângulo.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Usando dobraduras
É possível representar os elementos de um triângulo usando dobraduras. Nesta ativi-
dade vamos obter as bissetrizes e o incentro de um triângulo.
Você vai precisar de:
• papel sulfite
• tesoura com pontas arredondadas
• lápis
• esquadro
• transferidor
1
o
passo: Recorte um triângulo qualquer.
2
o
passo: Para obter a bissetriz de um ângulo do triângulo, dobre-o sobrepondo dois lados.
bissetrizbissetriz
3
o
passo: Obtenha, da mesma maneira, as três bissetrizes dos ângulos internos.
4
o
passo: Marque o ponto I onde elas se encontram. Esse ponto é o incentro do
triângulo.
Investigação 1: Pegue um compasso, coloque a ponta-seca no incentro, abra-o até o
ponto mais próximo de um dos lados e trace a circunferência. A circunferência toca cada
lado do triângulo em um só ponto? Registre no caderno. Sim.
a = 90°
Investigação 2: Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha uma das bissetrizes
dos ângulos internos. De um ponto qualquer da bissetriz, trace um segmento de reta até
um dos lados que formam o ângulo dividido pela bissetriz de forma que esse segmento
de reta seja perpendicular ao lado escolhido (dica: use esquadro e régua).
Partindo do mesmo ponto escolhido anteriormente, faça o mesmo com o outro lado
que forma o ângulo. Dobre novamente o triângulo na bissetriz. Os dois segmentos traça-
dos têm o mesmo comprimento? Repita o processo em diferentes pontos da bissetriz. O
que é possível observar? Sim. Os dois segmentos traçados possuem sempre o mesmo comprimento.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
PARA QUEM QUER MAIS
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Sendo AH a altura do *ABC, determine
as medidas x e y.
A
B C
H
x
y
70°
40°
2. No *MNP, MA é a bissetriz relativa ao
lado PN. Qual a medida de PˆMA?
P
A
M
N45°
35°
3. Na figura, AH é uma altura, e BI é outra
altura. Determine as medidas a, b e c
indicadas.
A
I
H
BC
a
b
c
60°

4. No *ABC a seguir, med (ˆB ) = 60° e
med (ˆC ) = 40°. Sabendo que BD e CE são
as bissetrizes relativas aos lados AC e AB,
respectivamente, determine as medidas
x e y.
A
D
E
B C
x
y

x = 20° e y = 50°.
50°
a = 30°,
b = 30° e
c = 60°.
x = 80° e y = 130°.
5. No *MPQ, MX e PY são bissetrizes.
Calcule as medidas a, b e c.
M
P
Y
X
Q
a
b
c
35°
30°

6. Em um *ABC, o ângulo B mede 60°, e
o ângulo C mede 20°. Calcule a medida
do ângulo formado pela altura relativa
ao lado BC e a bissetriz do ângulo A.
7. Considere duas retas paralelas, r e s.
Destacamos um segmento AB em uma
das retas e traçamos vários triângulos
com base AB e um vértice na outra reta
paralela. Veja:
AB
CD EF GH Ir
s
Usando a régua, responda:
a) Qual a medida do lado comum AB?
b) Qual a medida da altura relativa ao lado
AB de todos os triângulos traçados?
O que você observou?
c) Qual dos triângulos traçados tem:
• o menor perímetro?
• o maior perímetro?
8. Na figura, AD é bissetriz relativa ao ângulo
A, e AH é altura relativa ao lado BC.
Determine as medidas a, b e c indicadas.
A
BC
HD
45° 35°
a
b
c

a = 115°,
b = 80° e
c = 65°.
20°
1,5 cm
2,6 cm; todos possuem a mesma medida de altura.
*AFB; *ACB e *AIB.
a = 90°,
b = 50° e
c = 95°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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AMPLIANDO
Atividade complementar
Veja, em cada sequência a
seguir, como representar, por
dobradura, vários elementos de
um triângulo. Para fazer estas
atividades, você vai precisar de:
• papel sulfite;
• tesoura com ponta arredon-
dada;
• lápis;
• esquadro;
• transferidor.
Investigação: Meça os ângulos que cada altura forma com o
lado que contém o seu pé. Quanto mede cada um desses ângulos?
Registre no caderno. (Resposta: 90°)
Dobradura 2: Representando medianas/baricentro:
ponto médio
do lado
ponto médio do lado
mediana mediana
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124. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo das atividades
propostas é levar os alunos a
identificar e representar a me-
diana, a altura e a bissetriz de
um triângulo, revelando o pon-
to de encontro entre elas e re-
solvendo problemas em que es-
ses elementos estão envolvidos.
Na atividade 4, organizar
os alunos em duplas e pedir a
eles que desenhem no caderno
o triângulo apresentado, com
suas bissetrizes e ângulos. A
troca de ideias entre eles é bas-
tante importante para determi-
narem a solução do problema.
Na atividade 7, pode ha-
ver pequena variação nas me-
didas, conforme a precisão da
régua usada e das medições
efetuadas.
• Recorte um triângulo e, por
dobradura, represente as três
medianas.
• Marque o ponto G onde elas
se encontram. Esse ponto é o
baricentro do triângulo.
Investigação: Para cada
mediana, meça as distâncias do
ponto médio do lado ao bari-
centro e do baricentro ao vérti-
ce. Qual é, nessa ordem, a razão
Usando dobraduras
É possível representar os elementos de um triângulo usando dobraduras. Nesta ativi-
dade vamos obter as bissetrizes e o incentro de um triângulo.
Você vai precisar de:
• papel sulfite
• tesoura com pontas arredondadas
• lápis
• esquadro
• transferidor
1
o
passo: Recorte um triângulo qualquer.
2
o
passo: Para obter a bissetriz de um ângulo do triângulo, dobre-o sobrepondo dois lados.
bissetrizbissetriz
3
o
passo: Obtenha, da mesma maneira, as três bissetrizes dos ângulos internos.
4
o
passo: Marque o ponto I onde elas se encontram. Esse ponto é o incentro do
triângulo.
Investigação 1: Pegue um compasso, coloque a ponta-seca no incentro, abra-o até o
ponto mais próximo de um dos lados e trace a circunferência. A circunferência toca cada
lado do triângulo em um só ponto? Registre no caderno. Sim.
a = 90°
Investigação 2: Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha uma das bissetrizes
dos ângulos internos. De um ponto qualquer da bissetriz, trace um segmento de reta até
um dos lados que formam o ângulo dividido pela bissetriz de forma que esse segmento
de reta seja perpendicular ao lado escolhido (dica: use esquadro e régua).
Partindo do mesmo ponto escolhido anteriormente, faça o mesmo com o outro lado
que forma o ângulo. Dobre novamente o triângulo na bissetriz. Os dois segmentos traça-
dos têm o mesmo comprimento? Repita o processo em diferentes pontos da bissetriz. O
que é possível observar? Sim. Os dois segmentos traçados possuem sempre o mesmo comprimento.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
PARA QUEM QUER MAIS
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Sendo AH a altura do *ABC, determine
as medidas x e y.
A
B C
H
x
y
70°
40°
2. No *MNP, MA é a bissetriz relativa ao
lado PN. Qual a medida de PˆMA?
P
A
M
N45°
35°
3. Na figura, AH é uma altura, e BI é outra
altura. Determine as medidas a, b e c
indicadas.
A
I
H
BC
a
b
c
60°

4. No *ABC a seguir, med (ˆB ) = 60° e
med (ˆC ) = 40°. Sabendo que BD e CE são
as bissetrizes relativas aos lados AC e AB,
respectivamente, determine as medidas
x e y.
A
D
E
B C
x
y

x = 20° e y = 50°.
50°
a = 30°,
b = 30° e
c = 60°.
x = 80° e y = 130°.
5. No *MPQ, MX e PY são bissetrizes.
Calcule as medidas a, b e c.
M
P
Y
X
Q
a
b
c
35°
30°

6. Em um *ABC, o ângulo B mede 60°, e
o ângulo C mede 20°. Calcule a medida
do ângulo formado pela altura relativa
ao lado BC e a bissetriz do ângulo A.
7. Considere duas retas paralelas, r e s.
Destacamos um segmento AB em uma
das retas e traçamos vários triângulos
com base AB e um vértice na outra reta
paralela. Veja:
AB
CD EF GH Ir
s
Usando a régua, responda:
a) Qual a medida do lado comum AB?
b) Qual a medida da altura relativa ao lado
AB de todos os triângulos traçados?
O que você observou?
c) Qual dos triângulos traçados tem:
• o menor perímetro?
• o maior perímetro?
8. Na figura, AD é bissetriz relativa ao ângulo
A, e AH é altura relativa ao lado BC.
Determine as medidas a, b e c indicadas.
A
BC
HD
45° 35°
a
b
c

a = 115°,
b = 80° e
c = 65°.
20°
1,5 cm
2,6 cm; todos possuem a mesma medida de altura.
*AFB; *ACB e *AIB.
a = 90°,
b = 50° e
c = 95°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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entre essas distâncias? Registre
no caderno. [Resposta:
1
2
]
Dobradura 3: Obtendo
mediatrizes/circuncentro:
• Recorte um triângulo e, por
dobradura, represente as suas
três mediatrizes.
• Marque o ponto C onde
elas se encontram. Esse ponto
é chamado circuncentro do
triângulo.
Investigação: Cole o triân-
gulo no caderno e, em seguida,
pegue o compasso, coloque a
ponta seca no circuncentro,
abra-o até um dos vértices e
trace a circunferência. Ela passa
pelos outros vértices? Registre
no caderno. (Resposta: Sim.)
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125. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Figuras congruentes
Nesta página, o conceito
de figuras congruentes e po-
lígonos congruentes é apre-
sentado brevemente para que
o conceito de triângulos con-
gruentes possa ser apresenta-
do em seguida aos alunos.
Verificar se os alunos assi-
milam o conteúdo apresen-
tado, pois ele será utilizado
como base para a explanação
de triângulos congruentes.
CONGRUÊNCIA DE
TRIÂNGULOS3
CAPÍTULO
Figuras congruentes
Observe as figuras geométricas:
Vamos sobrepor uma figura à outra:
Notamos que as duas figuras, quando sobrepostas, coincidem exatamente. Nesse
caso, dizemos que as figuras são congruentes.
O mesmo ocorre com polígonos, ou seja, dois polígonos com o mesmo número
de lados são congruentes quando podemos sobrepor um ao outro exatamente,
fazendo que coincidam.
Os polígonos representados se sobrepõem exatamente; logo, são congruentes
e apresentam lados com a mesma identificação congruentes e ângulos de mesma
cor congruentes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Triângulos congruentes
Considere os triângulos abaixo:
A
B C
M
N
P
Nesses triângulos, temos:
ˆA 2 ˆM ˆA e ˆM são ângulos correspondentes
ˆB 2 ˆN ˆB e ˆN são ângulos correspondentes
ˆC 2 ˆP ˆC e ˆP são ângulos correspondentes
BC 2 NP BC e NP são lados correspondentes
AC 2 MP AC e MP são lados correspondentes
AB 2 MN AB e MN são lados correspondentes
Dois triângulos são congruentes quando têm os lados e os ângulos correspondentes
congruentes.
Observe os triângulos ABC e MNP:
A
BC
M
NP
*ABC 2 *MNP
símbolo de congruência
h
AB 2 MN
AC 2 MP
BC 2 NP
ˆA 2 ˆM
ˆB 2 ˆN
ˆC 2 ˆP
e
Como todos os lados correspondentes e todos os ângulos correspondentes são congruentes,
os triângulos ABC e MNP também são congruentes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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126. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Triângulos congruentes
Nesta página, é apresen-
tado o conceito de triângulos
congruentes. Verificar se os
alunos compreendem o con-
ceito, pois ele será bastante
utilizado em vários momentos
de seu aprendizado nos próxi-
mos anos.
Se possível, como atividade
complementar, levar os alunos
ao laboratório de informática e
solicitar que eles resolvam, em
duplas, as atividades propostas
no site <https://www.geoge
bra.org/m/fBy4dZmC> (acesso
em: 14 nov. 2018). É interes-
sante notar que os alunos terão
a oportunidade de testar suas
conjecturas utilizando simula-
dores feitos com o GeoGebra
antes de elaborar as respostas
para as perguntas feitas.
CONGRUÊNCIA DE
TRIÂNGULOS3
CAPÍTULO
Figuras congruentes
Observe as figuras geométricas:
Vamos sobrepor uma figura à outra:
Notamos que as duas figuras, quando sobrepostas, coincidem exatamente. Nesse
caso, dizemos que as figuras são congruentes.
O mesmo ocorre com polígonos, ou seja, dois polígonos com o mesmo número
de lados são congruentes quando podemos sobrepor um ao outro exatamente,
fazendo que coincidam.
Os polígonos representados se sobrepõem exatamente; logo, são congruentes
e apresentam lados com a mesma identificação congruentes e ângulos de mesma
cor congruentes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Triângulos congruentes
Considere os triângulos abaixo:
A
B C
M
N
P
Nesses triângulos, temos:
ˆA 2 ˆM ˆA e ˆM são ângulos correspondentes
ˆB 2 ˆN ˆB e ˆN são ângulos correspondentes
ˆC 2 ˆP ˆC e ˆP são ângulos correspondentes
BC 2 NP BC e NP são lados correspondentes
AC 2 MP AC e MP são lados correspondentes
AB 2 MN AB e MN são lados correspondentes
Dois triângulos são congruentes quando têm os lados e os ângulos correspondentes
congruentes.
Observe os triângulos ABC e MNP:
A
BC
M
NP
*ABC 2 *MNP
símbolo de congruência
h
AB 2 MN
AC 2 MP
BC 2 NP
ˆA 2 ˆM
ˆB 2 ˆN
ˆC 2 ˆP
e
Como todos os lados correspondentes e todos os ângulos correspondentes são congruentes,
os triângulos ABC e MNP também são congruentes.
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127. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Casos de congruência de
triângulos
Para que os alunos com-
preendam os casos de con-
gruência de triângulos, propor
atividades de construção e
demonstrações geométricas,
levantando algumas hipóte-
ses para serem verificadas por
eles. Por exemplo:
a) Se apenas um par de ele-
mentos correspondentes de
dois triângulos for conhecido,
poderemos afirmar que esses
triângulos são congruentes?
Para responder a essa ati-
vidade, pedir aos alunos que
construam dois triângulos
que tenham:
• conhecida apenas a medida
de um lado, de medida 4,5 cm;
• conhecida apenas a medida
de um ângulo interno, de me-
dida 45°.
Após a construção dos tri-
ângulos pedidos e a discussão
em grupo a respeito das ob-
servações que fizeram na ati-
vidade, eles deverão perceber
que há a possibilidade de se
construir infinitos triângulos
não congruentes.
b) Saber apenas que dois
elementos de um triângulo
são congruentes a dois ele-
mentos correspondentes de
outro triângulo é suficiente
para determinar que dois tri-
ângulos são congruentes?
Para responder a essa ati-
vidade, pedir aos alunos que,
organizados em grupos, cons-
truam dois triângulos.
• Conhecidos apenas dois
lados correspondentes con-
gruentes, de medidas 3,0 cm e
5,0 cm, respectivamente.
• Conhecidos apenas dois ân-
gulos internos corresponden-
tes congruentes, de medidas
45° e 80°, respectivamente.
• Conhecidos apenas um lado
e um ângulo interno respecti-
vamente congruentes, de me-
didas 3 cm e 30°.
Eles deverão concluir que é
possível construir infinitos triân-
gulos não congruentes saben-
do apenas que dois elementos
de um triângulo são congruen-
tes a dois elementos correspon-
dentes de outro triângulo.
Casos de congruência de triângulos
Para saber se dois triângulos são congruentes, verificamos se os seus lados e seus ângulos
correspondentes são congruentes.
No entanto, existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triângulos
sem a necessidade de verificar a congruência entre os seis elementos (3 ângulos e 3 lados). Essas
condições são chamadas casos de congruência de triângulos. Vejamos quais são esses casos.
1
o
caso: Lado, Lado, Lado (LLL).
São congruentes dois triângulos que possuem os três lados correspondentes congruentes.
A
B C
M
N P
AB 2 MN
AC 2 MP
BC 2 NP
(L)
(L)
(L)
h*ABC 2 *MNP
2
o
caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL).
São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre
esses lados correspondentes congruentes.
A
BC
M
N P
AB 2 MN
ˆB 2 ˆN
BC 2 NP
(L)
(A)
(L)
h*ABC 2 *MNP
3
o
caso: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA).
São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre
esses ângulos correspondentes congruentes.
A
BC
M
NP
ˆB 2 ˆN
BC 2 NP
ˆC 2 ˆP
(A)
(L)
(A)
h*ABC 2 *MNP
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82
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4
o
caso: Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto (LAA
O
).
São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e
o ângulo oposto a esse lado correspondentes congruentes.
A
BC
M
NP
BC 2 NP
ˆB 2 ˆN
ˆA 2 ˆM
(L)
(A)
(A
O
)
h*ABC 2 *MNP
Caso de congruência no triângulo retângulo
Já vimos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto (medida
igual a 90°).
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais:
• O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.
• Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos.
BA
C
cateto
cateto
hipotenusa
med (ˆA ) = 90°
med (ˆB ) , 90°
med (ˆC ) , 90°
São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos
respectivamente congruentes.
A
BC
M
NP
ˆA 2 ˆM
AB 2 MN
BC 2 NP
h*ABC 2 *MNP
ângulos retos
catetos
hipotenusas
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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128. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Caso de congruência no
triângulo retângulo
Após a apresentação dos
casos de congruência de tri-
ângulos, apresentar o caso
da congruência no triângulo
retângulo.
Como aprofundamento, ve-
rificar se os alunos conseguem
explicar por que esse caso de
congruência só vale para triân-
gulos retângulos. Estimule-os
a apresentar um exemplo que
mostre esse fato.
Casos de congruência de triângulos
Para saber se dois triângulos são congruentes, verificamos se os seus lados e seus ângulos
correspondentes são congruentes.
No entanto, existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triângulos
sem a necessidade de verificar a congruência entre os seis elementos (3 ângulos e 3 lados). Essas
condições são chamadas casos de congruência de triângulos. Vejamos quais são esses casos.
1
o
caso: Lado, Lado, Lado (LLL).
São congruentes dois triângulos que possuem os três lados correspondentes congruentes.
A
B C
M
N P
AB 2 MN
AC 2 MP
BC 2 NP
(L)
(L)
(L)
h*ABC 2 *MNP
2
o
caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL).
São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre
esses lados correspondentes congruentes.
A
BC
M
N P
AB 2 MN
ˆB 2 ˆN
BC 2 NP
(L)
(A)
(L)
h*ABC 2 *MNP
3
o
caso: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA).
São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre
esses ângulos correspondentes congruentes.
A
BC
M
NP
ˆB 2 ˆN
BC 2 NP
ˆC 2 ˆP
(A)
(L)
(A)
h*ABC 2 *MNP
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4
o
caso: Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto (LAA
O
).
São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e
o ângulo oposto a esse lado correspondentes congruentes.
A
BC
M
NP
BC 2 NP
ˆB 2 ˆN
ˆA 2 ˆM
(L)
(A)
(A
O
)
h*ABC 2 *MNP
Caso de congruência no triângulo retângulo
Já vimos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto (medida
igual a 90°).
No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais:
• O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.
• Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos.
BA
C
cateto
cateto
hipotenusa
med (ˆA ) = 90°
med (ˆB ) , 90°
med (ˆC ) , 90°
São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos
respectivamente congruentes.
A
BC
M
NP
ˆA 2 ˆM
AB 2 MN
BC 2 NP
h*ABC 2 *MNP
ângulos retos
catetos
hipotenusas
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129. Utilização dos casos de congruência
Podemos utilizar os casos de congruência para determinar elementos desconhecidos nos
triângulos e demonstrar propriedades importantes da Geometria.
Acompanhe a situação a seguir.
1 Na figura, AB//DE, e C é ponto médio de AD. Determinar os valores de x e y.
Pelo caso ALA, temos que *ABC 2 *DEC. Logo, os lados correspondentes são congruentes,
ou seja, BC 2 EC e AB 2 DE.
Portanto, x = 5 cm e y = 7 cm.
7 cm
x y
5 cm
60°
60°
B
A
C
E
D
Como C é ponto médio de AD, AC 2 CD.
Como AˆC B e DˆC E são ângulos opostos pelo vértice (opv), AˆC B 2 DˆC E.
Vamos, então, comparar os triângulos ABC e DEC.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
7 cm
x
y
5 cm
60°
60°
B
A
C
E
D
Observamos que:
• ˆA 2 ˆD (60°) (A)
• AC 2 CD (C é ponto médio) (L)
• AˆC B 2 DˆC E (o.p.v.) (A)
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Os triângulos ABC e MNP são congruen-
tes. Pelas indicações, determine o caso
de congruência e as medidas x e y.
A
BC
60°
30°
M
N
P
y
x
2. Na figura, ˆB 2 Ê e AB 2 DE. Nessas con-
dições, determine as medidas x e y.
A
B
C
D
E
x
y
4 cm
5 cm
3. No *ABC, AB 2 AC e
BD 2 DC. Nessas condi-
ções, mostre que:
a) x = y
b) ˆB 2 ˆC
4. Na figura, AC 2 MN e ˆC 2 ˆN. Prove que
AB 2 MP.
A
B
C
M
N
P
5. Os triângulos ABC e DBC da figura
apresentam os ângulos congruentes
assinalados com marcas iguais. Nessas
condições, mostre que os triângulos ABC
e DBC são congruentes.
AD
B
C
Caso LAL; x = 60° e y = 30°.
x = 4 cm e y = 5 cm.
São congruentes
pelo cao LAA
O
.
6. (Saresp-SP) Nos triângulos LUA e AMO
os elementos congruentes estão assina-
lados com marcas iguais.
LO
U
A
M
Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm,
pode-se dizer que AO e MO medem,
respectivamente:
a) 10 cm e 10 cm
b) 10 cm e 8 cm
c) 8 cm e 10 cm
d) 8 cm e 8 cm
7. Na figura, ˆA 2 ˆB e AM 2 MB. Prove que
M é ponto médio de CD.
B
A M
C
D
8. A figura mostra um retângulo no qual M
é o ponto médio do lado BC. Prove que
o triângulo AMD é isósceles.
A
BC
D
M
Alternativa c.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
BC
D
xy
Resoluções a partir da p. 289
Resposta no
final do livro.
Resposta no final do livro.
Resposta no final do livro.
Resposta no
final do livro.
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130. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Esse bloco de atividades tem
como objetivo levar os alunos
a reconhecer triângulos con-
gruentes e a aplicar os casos de
congruência de triângulos.
Utilização dos casos de congruência
Podemos utilizar os casos de congruência para determinar elementos desconhecidos nos
triângulos e demonstrar propriedades importantes da Geometria.
Acompanhe a situação a seguir.
1 Na figura, AB//DE, e C é ponto médio de AD. Determinar os valores de x e y.
Pelo caso ALA, temos que *ABC 2 *DEC. Logo, os lados correspondentes são congruentes,
ou seja, BC 2 EC e AB 2 DE.
Portanto, x = 5 cm e y = 7 cm.
7 cm
x y
5 cm
60°
60°
B
A
C
E
D
Como C é ponto médio de AD, AC 2 CD.
Como AˆC B e DˆC E são ângulos opostos pelo vértice (opv), AˆC B 2 DˆC E.
Vamos, então, comparar os triângulos ABC e DEC.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
7 cm
x
y
5 cm
60°
60°
B
A
C
E
D
Observamos que:
• ˆA 2 ˆD (60°) (A)
• AC 2 CD (C é ponto médio) (L)
• AˆC B 2 DˆC E (o.p.v.) (A)
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Os triângulos ABC e MNP são congruen-
tes. Pelas indicações, determine o caso
de congruência e as medidas x e y.
A
BC
60°
30°
M
N
P
y
x
2. Na figura, ˆB 2 Ê e AB 2 DE. Nessas con-
dições, determine as medidas x e y.
A
B
C
D
E
x
y
4 cm
5 cm
3. No *ABC, AB 2 AC e
BD 2 DC. Nessas condi-
ções, mostre que:
a) x = y
b) ˆB 2 ˆC
4. Na figura, AC 2 MN e ˆC 2 ˆN. Prove que
AB 2 MP.
A
B
C
M
N
P
5. Os triângulos ABC e DBC da figura
apresentam os ângulos congruentes
assinalados com marcas iguais. Nessas
condições, mostre que os triângulos ABC
e DBC são congruentes.
AD
B
C
Caso LAL; x = 60° e y = 30°.
x = 4 cm e y = 5 cm.
São congruentes
pelo cao LAA
O
.
6. (Saresp-SP) Nos triângulos LUA e AMO
os elementos congruentes estão assina-
lados com marcas iguais.
LO
U
A
M
Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm,
pode-se dizer que AO e MO medem,
respectivamente:
a) 10 cm e 10 cm
b) 10 cm e 8 cm
c) 8 cm e 10 cm
d) 8 cm e 8 cm
7. Na figura, ˆA 2 ˆB e AM 2 MB. Prove que
M é ponto médio de CD.
B
A M
C
D
8. A figura mostra um retângulo no qual M
é o ponto médio do lado BC. Prove que
o triângulo AMD é isósceles.
A
BC
D
M
Alternativa c.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
BC
D
xy
Resoluções a partir da p. 289
Resposta no
final do livro.
Resposta no final do livro.
Resposta no final do livro.
Resposta no
final do livro.
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131. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Propriedades do
triângulo isósceles
Explorar as propriedades do
triângulo isósceles, construin-
do a altura, a mediana e a
bissetriz usando um software
de geometria dinâmica. Com
o auxílio do computador, esse
trabalho de constatação das
propriedades é mais facilmen-
te visualizado pelos alunos
para melhor apropriação por
parte deles.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
PROPRIEDADES DOS
TRIÂNGULOS4
CAPÍTULO
Propriedades do triângulo isósceles
Já estudamos que um triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Agora,
vamos ver que alguns elementos desses triângulos recebem nomes especiais:
• O lado com medida diferente é chamado base.
• Os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos
da base.
• O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice.
Os triângulos isósceles possuem duas propriedades
importantes:
1
a
propriedade: em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base
e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
Seja o *ABC isósceles, com AB 2 AC, e a mediana AM relativa à base BC.
Queremos demonstrar que AM é também a altura relativa à base BC e a bissetriz
do ângulo A.
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
• AB 2 AC (lados congruentes do triângulo isósceles) (L)
• BM 2 MC (M é ponto médio de BC) (L)
• AM 2 AM (lado comum) (L)
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM.
Como *ABM 2 *ACM, temos:
a
1
= a
2
h BˆA M 2 MˆA C h AM é bissetriz de ˆA (ângulo do vértice).
m
1
= m
2
e m
1
+ m
2
= 180° h m
1
= m
2
= 90° h AM é altura relativa a BC (base).
2
a
propriedade: em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB 2 AC, e AM é a mediana
relativa ao lado BC.
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM.
Então, todos os elementos do *ABM são congruentes
com seus correspondentes no *ACM.
Em particular: ˆB 2 ˆC (ângulos da base do triângulo
isósceles).
A
BC
a
1
m
1
m
2
a
2
A
B
M
C
A
B
M
C
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Propriedade do triângulo equilátero
Agora vamos estudar uma propriedade do triângulo equilátero: em todo triângulo equilátero
os três ângulos internos são congruentes, medindo 60° cada um.
Vamos demonstrar essa propriedade.
Seja um triângulo ABC equilátero (AB ! AC ! BC) e a mediana AM relativa à base BC.
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
• AB ! AC (lados do triângulo equilátero) (L)
• BM ! MC (M é ponto médio de BC) (L)
• AM ! AM (lado comum) (L)
A
BC
M
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Traçamos a mediana BM‘. Comparando os triângulos
BAM’ e BCM’, temos:
• BA ! BC (lados do triângulo equilátero) (L)
• AM‘ ! M‘C (M’ é ponto médio de AC) (L)
• BM‘ ! BM‘ (lado comum) (L)
M‘
A
BC
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, ˆB 2 ˆC. 1
De 1 e 2 vem:
ˆB 2 ˆC
ˆA 2 ˆC
hˆA 2 ˆB 2 ˆC
Como med (ˆA ) + med (ˆB ) + med (ˆC ) = 180° (soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo), temos:
med (ˆA ) ! med (ˆB ) ! med (ˆC ) !
180°
3
! 60°
Portanto, os três ângulos internos são congruentes, medindo 60º cada um.
Pelo caso LLL, temos que *BAM’ ! *BCM’. Então, ˆA 2 ˆC. 2
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132. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Propriedade do
triângulo equilátero
O triângulo equilátero é o
mais particular de todos os
triângulos, pois a altura, a
mediana e a bissetriz referen-
tes a todos os seus ângulos
internos coincidem, além de
todos os ângulos internos se-
rem congruentes.
Para ampliar e enriquecer o
trabalho com triângulos, pro-
por uma atividade em que os
alunos terão a oportunidade
de rever, discutir e registrar
o que aprenderam até esse
momento. Organizar a turma
em grupos de quatro ou cinco
alunos e pedir a eles que ela-
borem uma lista, descrevendo
tudo o que sabem a respeito
dos triângulos. Eles poderão,
por exemplo, apresentar nessa
lista os diversos tipos de triân-
gulo que conhecem e as res-
pectivas propriedades.
Assim que terminarem de
organizar a lista, pedir a um
aluno de cada grupo que re-
lacione na lousa os triângulos
que conhecem, bem como
suas propriedades já estuda-
das, comentando e registran-
do as conclusões do grupo.
Com essa atividade, os alu-
nos podem refletir a respeito
do que sabem, trocando co-
nhecimento com os colegas.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
PROPRIEDADES DOS
TRIÂNGULOS4
CAPÍTULO
Propriedades do triângulo isósceles
Já estudamos que um triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Agora,
vamos ver que alguns elementos desses triângulos recebem nomes especiais:
• O lado com medida diferente é chamado base.
• Os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos
da base.
• O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice.
Os triângulos isósceles possuem duas propriedades
importantes:
1
a
propriedade: em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base
e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem.
Seja o *ABC isósceles, com AB 2 AC, e a mediana AM relativa à base BC.
Queremos demonstrar que AM é também a altura relativa à base BC e a bissetriz
do ângulo A.
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
• AB 2 AC (lados congruentes do triângulo isósceles) (L)
• BM 2 MC (M é ponto médio de BC) (L)
• AM 2 AM (lado comum) (L)
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM.
Como *ABM 2 *ACM, temos:
a
1
= a
2
h BˆA M 2 MˆA C h AM é bissetriz de ˆA (ângulo do vértice).
m
1
= m
2
e m
1
+ m
2
= 180° h m
1
= m
2
= 90° h AM é altura relativa a BC (base).
2
a
propriedade: em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.
O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB 2 AC, e AM é a mediana
relativa ao lado BC.
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM.
Então, todos os elementos do *ABM são congruentes
com seus correspondentes no *ACM.
Em particular: ˆB 2 ˆC (ângulos da base do triângulo
isósceles).
A
BC
a
1
m
1
m
2
a
2
A
B
M
C
A
B
M
C
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Propriedade do triângulo equilátero
Agora vamos estudar uma propriedade do triângulo equilátero: em todo triângulo equilátero
os três ângulos internos são congruentes, medindo 60° cada um.
Vamos demonstrar essa propriedade.
Seja um triângulo ABC equilátero (AB ! AC ! BC) e a mediana AM relativa à base BC.
Comparando os triângulos ABM e ACM, temos:
• AB ! AC (lados do triângulo equilátero) (L)
• BM ! MC (M é ponto médio de BC) (L)
• AM ! AM (lado comum) (L)
A
BC
M
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Traçamos a mediana BM‘. Comparando os triângulos
BAM’ e BCM’, temos:
• BA ! BC (lados do triângulo equilátero) (L)
• AM‘ ! M‘C (M’ é ponto médio de AC) (L)
• BM‘ ! BM‘ (lado comum) (L)
M‘
A
BC
Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, ˆB 2 ˆC. 1
De 1 e 2 vem:
ˆB 2 ˆC
ˆA 2 ˆC
hˆA 2 ˆB 2 ˆC
Como med (ˆA ) + med (ˆB ) + med (ˆC ) = 180° (soma das medidas dos ângulos internos de um
triângulo), temos:
med (ˆA ) ! med (ˆB ) ! med (ˆC ) !
180°
3
! 60°
Portanto, os três ângulos internos são congruentes, medindo 60º cada um.
Pelo caso LLL, temos que *BAM’ ! *BCM’. Então, ˆA 2 ˆC. 2
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133. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco
têm como objetivo levar os alu-
nos a aplicar as propriedades
estudadas para triângulos isós-
celes e equiláteros. Observar se
eles compreenderam as pro-
priedades e, se julgar necessá-
rio, retomar alguns conceitos.
Você poderá ainda solicitar
a algum aluno que tenha com-
preendido tais conceitos para
ser tutor de seus colegas.
Desafio
No desafio da atividade 8,
pedir aos alunos que reprodu-
zam a figura no caderno e re-
gistrem cada etapa necessária
para se chegar ao valor da ex-
pressão dada. Se preciso, pedir
a eles que revejam os concei-
tos e as propriedades dadas.
Resolução do Desafio
Como x é um ângulo inter-
no de um triângulo equilátero,
então x = 60°.
Observando a figura, sa-
bemos que x e y são ângulos
complementares, então temos:
x + y = 90°
60° + y = 90°
y = 30°
Como o triângulo ADE é
isósceles, então os ângulos da
base são congruentes. Consi-
derando esse triângulo, temos:
y + z + z = 180°
30° + 2z = 180°
z = 75°
Portanto, x + y + z = 60° +
+ 30° + 75° = 165°.
ATIVIDADES
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. E m u m t r i â n g u l o i s ó s c e l e s , u m d o s
ângulos internos mede 106°. Quanto
medem os outros dois ângulos desse
triângulo?
2. Na figura, a representação do triângulo
ABC é isósceles, com AB 2 BC. Calcule as
medidas x e y indicadas na figura.
A
y
x
BC
67°
3. A figura mostra dois trechos de 600 km
cada um (linha cheia) percorridos por
um avião. Qual é o valor de x, medida
do ângulo BCA?
C
135°
x
A
B
4. Caio saiu de um ponto A, passou pelo
ponto B, caminhou de B até C e retor-
nou ao ponto A, conforme mostra o
esquema. Considerando que as distân-
cias AB e AC são iguais, calcule a medida
x do ângulo BAC.
65°
A
B
x
C
37° cada um.
x = 67° e y = 46.
22°30’
50°
5. Você já sabe que, em
um triângulo isósceles,
a altura e a mediana
relativas à base e a
bissetriz do ângulo
do vértice coincidem.
No triângulo isósceles
ABC da figura, no qual
os lados BA e BC são
congruentes, BM é a
mediana relativa à base AC. Qual é o
valor da medida x indicada?
6. Sabe-se que a representação do pen-
tágono ABCDE da figura é regular (os
5 lados e os 5 ângulos internos são con-
gruentes). Sabendo
que a medida do
ângulo EAB é 108°,
qual é o valor de x,
medida do ângulo
AEB indicado na
figura?
7. N a f i g u r a , t e m o s q u e AB e CD são pa-
ralelos, e o triângulo ACD é isósceles.
Determine as medidas a, b e c indicadas
na figura.
B
D
E
a
b
c
a
20°
110°
AC
DESAFIO
8. O quadrilátero ABCD
é um quadrado, e o
triângulo ABE é equilá-
tero. Nessas condições,
calcule o valor da
expressão x + y + z.
Registre no caderno.
17°
36°
a = 20°, b = 40° e c = 50°.
165°
73°
x
B
MCA
A
x
BE
CD
A
x
B
E
CD
z
y
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CONSTRUÇÕES
GEOMÉTRICAS5
CAPÍTULO
1
o
passo: Desenhe um ângulo qualquer. 2
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no vértice O, trace um arco com uma
abertura qualquer e determine os pontos C
e D.
3
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no ponto C, trace um arco de abertura
qualquer, entre as duas semirretas que
formam o ângulo.
4
o
passo: Com a mesma abertura do
passo anterior, coloque a ponta-seca do
compasso no ponto D, trace um arco que se
encontre com o arco formado no passo 3,
marcando o ponto E.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, ALEX ARGOZINO
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
E
B
O
A
B
Construção 1:
Faça, em seu caderno, as etapas indicados a seguir, de uma construção geomé-
trica. Para isso, você precisará de lápis, compasso, borracha e régua.
Veja no material
audiovisual o vídeo sobre
bissetriz e mediatriz.
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134. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Construções geométricas
Para realizar uma aula de
construções geométricas, so-
licitar previamente aos alunos
que tragam régua e compasso
para a sala de aula. Antes de
iniciar o trabalho, certificar-se
de que o grafite do compas-
so esteja na mesma altura da
ponta-seca. Além disso, o ide-
al é trabalhar com a ponta do
compasso chanfrada, ou seja,
lixada a 45° para fora. Se pre-
ferir, distribuir folhas de papel
sulfite para que os alunos rea-
lizem as construções.
AMPLIANDO
Link
No site “Portal do saber”,
desenvolvido pela OBMEP, há
diversos vídeos que ensinam
construções geométricas bá-
sicas. A aula 1 trata da cons-
trução de ângulos. Disponível
em: <http://livro.pro/upoi2z>.
Acesso em: 10 nov. 2018.
NO AUDIOVISUAL
Um dos materiais audiovisu-
ais disponíveis nesta coleção
é um vídeo a respeito de bis-
setriz e mediatriz. Nesse vídeo
abordam-se os conceitos de
bissetriz de um ângulo e me-
diatriz de um segmento de
reta, bem como a construção
geométrica dessas figuras com
o auxílio de régua e compasso.
ATIVIDADES
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. E m u m t r i â n g u l o i s ó s c e l e s , u m d o s
ângulos internos mede 106°. Quanto
medem os outros dois ângulos desse
triângulo?
2. Na figura, a representação do triângulo
ABC é isósceles, com AB 2 BC. Calcule as
medidas x e y indicadas na figura.
A
y
x
BC
67°
3. A figura mostra dois trechos de 600 km
cada um (linha cheia) percorridos por
um avião. Qual é o valor de x, medida
do ângulo BCA?
C
135°
x
A
B
4. Caio saiu de um ponto A, passou pelo
ponto B, caminhou de B até C e retor-
nou ao ponto A, conforme mostra o
esquema. Considerando que as distân-
cias AB e AC são iguais, calcule a medida
x do ângulo BAC.
65°
A
B
x
C
37° cada um.
x = 67° e y = 46.
22°30’
50°
5. Você já sabe que, em
um triângulo isósceles,
a altura e a mediana
relativas à base e a
bissetriz do ângulo
do vértice coincidem.
No triângulo isósceles
ABC da figura, no qual
os lados BA e BC são
congruentes, BM é a
mediana relativa à base AC. Qual é o
valor da medida x indicada?
6. Sabe-se que a representação do pen-
tágono ABCDE da figura é regular (os
5 lados e os 5 ângulos internos são con-
gruentes). Sabendo
que a medida do
ângulo EAB é 108°,
qual é o valor de x,
medida do ângulo
AEB indicado na
figura?
7. N a f i g u r a , t e m o s q u e AB e CD são pa-
ralelos, e o triângulo ACD é isósceles.
Determine as medidas a, b e c indicadas
na figura.
B
D
E
a
b
c
a
20°
110°
AC
DESAFIO
8. O quadrilátero ABCD
é um quadrado, e o
triângulo ABE é equilá-
tero. Nessas condições,
calcule o valor da
expressão x + y + z.
Registre no caderno.
17°
36°
a = 20°, b = 40° e c = 50°.
165°
73°
x
B
MCA
A
x
BE
CD
A
x
B
E
CD
z
y
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CONSTRUÇÕES
GEOMÉTRICAS5
CAPÍTULO
1
o
passo: Desenhe um ângulo qualquer. 2
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no vértice O, trace um arco com uma
abertura qualquer e determine os pontos C
e D.
3
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no ponto C, trace um arco de abertura
qualquer, entre as duas semirretas que
formam o ângulo.
4
o
passo: Com a mesma abertura do
passo anterior, coloque a ponta-seca do
compasso no ponto D, trace um arco que se
encontre com o arco formado no passo 3,
marcando o ponto E.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, ALEX ARGOZINO
C
O
D
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
E
B
O
A
B
Construção 1:
Faça, em seu caderno, as etapas indicados a seguir, de uma construção geomé-
trica. Para isso, você precisará de lápis, compasso, borracha e régua.
Veja no material
audiovisual o vídeo sobre
bissetriz e mediatriz.
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135. 5
o
passo: Com a régua, trace a
semirreta, com origem no ponto O
e passe pelo ponto E.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
1
o
passo: Construa um segmento de
reta AB qualquer.
2
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no ponto A e uma abertura maior que
a metade da medida AB, trace dois arcos.
AB
Construção 2:
AB
Agora vamos fazer uma investigação. Para isso, vamos
observar a construção final sem os arcos e vamos marcar o
*OCE e o *ODE.
Dessa construção podemos afirmar que:
• OC ! OD, pois os pontos C e D foram marcados através
de um mesmo arco de uma circunferência com centro
em O.
• CE ! DE, pois o ponto E foi marcado usando o compasso sem modificar sua abertura.
• OE é lado comum aos dois triângulos.
Dessa forma, pelo critério LLL o *OCE e o *ODE são congruentes. Portanto, podemos
afirmar que CˆO E 2 DˆO E.
A semirreta OE tem sua origem no vértice O (vértice do ângulo COD) e divide o ângulo COD
em dois ângulos congruentes (COE e DOE). Assim, podemos dizer que a semirreta OE é a bissetriz
do ângulo COD.
Portanto, os passos acima permitem construir a bissetriz de um ângulo qualquer.
C
O
D
A
B
E
C
O
D
E
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Agora vamos fazer uma nova investigação. Para isso, vamos obser-
var a construção final sem os arcos e vamos marcar o *CAD e o *CBD.
Dessa construção podemos afirmar que:
• CA ! CB ! AD ! BD, pois os pontos C e D foram marcados
com arcos de duas circunferências de mesmo raio, uma com
centro em A e outra com centro em B.
• CD é lado comum aos dois triângulos.
Dessa forma, pelo critério LLL, o *CAD e o *CBD são congruen-
tes. Portanto, podemos afirmar que AˆC D 2 BˆC D.
Vamos agora analisar outros dois triângulos: *CAE e *CBE.
Além de sabermos que CA ! CB e que AˆC D 2 BˆC D (da análise
anterior), também podemos afirmar que CE é lado comum aos dois
triângulos.
Então, pelo critério LAL, temos que o *CAE e o *CBE são
congruentes. Desse fato, podemos afirmar:
• AE ! BE.
• AˆE C 2 BˆE C.
Como med (AˆE C) + med (BˆE C) = 180°, então
med (AˆE C) = 90° e med (BˆE C) = 90°.
Assim, podemos afirmar que a reta CD divide o segmento de reta AB em duas partes
de mesma medida e é perpendicular a ele. Dessa forma, a reta CD é mediatriz do segmento
de reta AB.
Assim, os passos acima permitem construir a mediatriz de um segmento de reta qualquer.
A B
C
D
E
3
o
passo: Com a mesma abertura do
passo anterior, coloque a ponta-seca do com-
passo no ponto B, trace arcos que cortam os
anteriores e marque os pontos C e D.
4
o
passo: Trace uma reta pelos pontos
C e D.
AB
C
D
AB
C
D
M
s
AB
C
D
E
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, COSTTA EDITORAÇÃO
91
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136. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Fazer a construção da me-
diatriz com os alunos e solicitar
a eles que verifiquem se a reta
construída passa pelo ponto
médio do segmento de reta
dado, usando uma régua. Em
seguida, com o transferidor,
solicitar a eles que verifiquem
se, de fato, a reta construída é
perpendicular ao segmento de
reta AB. Essa construção tam-
bém pode ser feita com o uso
de um software de geometria
dinâmica.
5
o
passo: Com a régua, trace a
semirreta, com origem no ponto O
e passe pelo ponto E.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
1
o
passo: Construa um segmento de
reta AB qualquer.
2
o
passo: Com a ponta-seca do com-
passo no ponto A e uma abertura maior que
a metade da medida AB, trace dois arcos.
AB
Construção 2:
AB
Agora vamos fazer uma investigação. Para isso, vamos
observar a construção final sem os arcos e vamos marcar o
*OCE e o *ODE.
Dessa construção podemos afirmar que:
• OC ! OD, pois os pontos C e D foram marcados através
de um mesmo arco de uma circunferência com centro
em O.
• CE ! DE, pois o ponto E foi marcado usando o compasso sem modificar sua abertura.
• OE é lado comum aos dois triângulos.
Dessa forma, pelo critério LLL o *OCE e o *ODE são congruentes. Portanto, podemos
afirmar que CˆO E 2 DˆO E.
A semirreta OE tem sua origem no vértice O (vértice do ângulo COD) e divide o ângulo COD
em dois ângulos congruentes (COE e DOE). Assim, podemos dizer que a semirreta OE é a bissetriz
do ângulo COD.
Portanto, os passos acima permitem construir a bissetriz de um ângulo qualquer.
C
O
D
A
B
E
C
O
D
E
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Agora vamos fazer uma nova investigação. Para isso, vamos obser-
var a construção final sem os arcos e vamos marcar o *CAD e o *CBD.
Dessa construção podemos afirmar que:
• CA ! CB ! AD ! BD, pois os pontos C e D foram marcados
com arcos de duas circunferências de mesmo raio, uma com
centro em A e outra com centro em B.
• CD é lado comum aos dois triângulos.
Dessa forma, pelo critério LLL, o *CAD e o *CBD são congruen-
tes. Portanto, podemos afirmar que AˆC D 2 BˆC D.
Vamos agora analisar outros dois triângulos: *CAE e *CBE.
Além de sabermos que CA ! CB e que AˆC D 2 BˆC D (da análise
anterior), também podemos afirmar que CE é lado comum aos dois
triângulos.
Então, pelo critério LAL, temos que o *CAE e o *CBE são
congruentes. Desse fato, podemos afirmar:
• AE ! BE.
• AˆE C 2 BˆE C.
Como med (AˆE C) + med (BˆE C) = 180°, então
med (AˆE C) = 90° e med (BˆE C) = 90°.
Assim, podemos afirmar que a reta CD divide o segmento de reta AB em duas partes
de mesma medida e é perpendicular a ele. Dessa forma, a reta CD é mediatriz do segmento
de reta AB.
Assim, os passos acima permitem construir a mediatriz de um segmento de reta qualquer.
A B
C
D
E
3
o
passo: Com a mesma abertura do
passo anterior, coloque a ponta-seca do com-
passo no ponto B, trace arcos que cortam os
anteriores e marque os pontos C e D.
4
o
passo: Trace uma reta pelos pontos
C e D.
AB
C
D
AB
C
D
M
s
AB
C
D
E
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, COSTTA EDITORAÇÃO
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137. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
O objetivo das atividades
dessa seção é propiciar aos
alunos que retomem os conte-
údos estudados na Unidade e,
caso seja necessário, façam re-
tomadas para sanar as dúvidas
que podem surgir.
Os alunos podem fazer esse
bloco de questões como uma
autoavaliação, por isso, eles
devem respondê-las individu-
almente. É interessante sugerir
que realizem essas atividades
em sala de aula, assim pode-
rão discutir eventuais dúvidas
com os colegas, por exemplo.
Orientá-los a consultar o livro
para tirar dúvidas e buscar in-
formações.
Enfatizar a necessidade de
resolverem os exercícios indi-
vidualmente, buscando infor-
mações de forma autônoma,
escolhendo suas fontes para
chegar aos resultados. Conver-
sar com os alunos a respeito de
seus acertos e erros, indicando
a correção com intervenções
pontuadas, isto é, dando pis-
tas de quais caminhos eles po-
derão buscar para encontrar o
resultado esperado.
Se ainda persistirem dúvi-
das, orientar a trocar ideias
com os colegas e a buscar no
livro os conceitos que precisa-
rem lembrar.
Dar oportunidade para os
alunos mostrarem como pen-
saram para resolver as ques-
tões, tirando as dúvidas dos
colegas.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo
vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um
deles mede:
a) 20°
b) 70°
c) 30°
d) 80°
e) 50°
2. (Saresp-SP) Na figura abaixo as retas
paralelas r e s são cortadas pelas trans-
versais t e v.
r
s
t
!
b
"
a
y
v
É correto afirmar que:
a) a + b = € + 0
b) y + b = 90°
c) b + y + 0 = 180°
d) y + 0 = b
3. Em um triângulo isósceles ABC, em que
AB 2 AC, o ângulo A mede o dobro da
soma dos outros dois ângulos. Então, a
medida do ângulo A é:
a) 90°
b) 30°
c) 60°
d) 100°
e) 120°

4. Na figura a seguir, a representação
do triângulo ABC é isósceles (com
AB 2 BC). Determine o valor da medida
x em graus.
A
x
B
M
C
155°
a) 130°
b) 100°
c) 65°
d) 50°
e) 75°
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa c.
5. O triângulo BDC é equilátero. Determine
o valor da medida x.
A
C
B
D
x
20°
15°
a) 15°
b) 18°
c) 20°
d) 25°
e) 27°
6. O triângulo ABC é
equilátero e M, N e P
são, respectivamente,
os pontos médios dos
lados AB, AC e BC
desse triângulo.
a) Quais as medidas
dos ângulos internos do triângulo MNP?
b) Qual a classificação do triângulo MNP
quanto às medidas dos lados?
7. O ângulo BAC de um triângulo isósceles
é reto. Sendo CP a bissetriz do ângulo
ACB do triângulo, a medida do ângulo
BPC é igual a:
a) 22,5°
b) 45°
c) 67,5°
d) 112,5°
e) 135°
8. Na figura seguinte, as retas t e s são
paralelas. Qual é o valor, em graus, da
expressão x _ y?
x = 70°
y
t
s
150°
130°
a) 40°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
Alternativa d.
60° cada um.
Equilátero.
Alternativa d.
Alternativa b.
C
P
N
M
B
A
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92
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9. Na figura a seguir, os triângulos ABP e
APC são isósceles (AB 2 AP e AP 2 PC ).
Sabendo que PQ é a bissetriz relativa ao
ângulo APC, determine o valor de x + y.
a) 90°
b) 70°
c) 100°
d) 80°
e) 60°
1 0 . Entre duas cidades (A e B) será instalada
uma antena de celular em um ponto
C, de tal forma que ela deverá ficar à
mesma distância das duas cidades. No
entanto, traçando-se o segmento de
reta que liga as duas cidades (AB), perce-
be-se que onde está o ponto médio do
segmento há um lago que impede essa
instalação. Dessa forma, a instalação
EDITORIA DE ARTE
A
x
y
BC
P
Q
20°
Alternativa a.
precisará ser deslocada para um novo
local (C’) que deverá, ainda, atender o
mesmo critério da distância.
O novo ponto de instalação está
localizado:
a) na bissetriz do ângulo formado pelo lado
AB e o lado AC’.
b) na altura de um triângulo definido pelos
pontos A , B e C’.
c) na mediatriz do segmento AB.
d) em um outro ponto qualquer.
Alternativa c.
Nesta Unidade, retomamos a definição de triângulo, a soma de seus ângulos internos
e as classificações com relação às medidas dos lados e dos ângulos. Vimos o que é ângulo
externo, altura, mediana, bissetriz, mediatriz, além da congruência de triângulos, casos
de congruência e as propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros.
Abordamos, ainda, a construção de bissetriz e mediatriz usando régua e compasso.
Devido ao grande número de conceitos estudados, sugerimos que faça um fichamento
de cada tópico, apontando, de maneira sucinta, as definições. É interessante inserir exem-
plos para complementar seus registros.
Na abertura da Unidade, foram apresentadas algumas estruturas do passado e do
presente nas quais o triângulo foi utilizado para aumentar a estabilidade e, por conse-
quência, aumentar a carga de sustentação. É claro que, quanto mais aprofundado for
nosso conhecimento sobre triângulos, maiores serão nossas possibilidades de perceber a
aplicação deles ao nosso redor.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no
caderno às questões a seguir.
• Qual o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo? Você saberia provar
sua resposta?
• Como os triângulos podem ser classificados?
• Quais são os casos de congruência de triângulos que foram abordados nesta
Unidade?
• Descreva como construir a mediatriz de um segmento de reta?
180°. Resposta pessoal.
De acordo com as medidas de seus ângulos internos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou
triângulo obtusângulo. De acordo com as medidas de seus lados: triângulo equilátero, triângulo
isósceles ou triângulo escaleno.
LLL, LAL, ALA, LAA
O
.
Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
MARCOS MACHADO
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138. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento desta
Unidade poderão permitir re-
flexões a respeito das apren-
dizagens individuais, além de
uma breve retomada dos con-
teúdos apresentados. É impor-
tante que os alunos respondam
individualmente a cada uma
das questões para que, dessa
forma, possam perceber o que
aprenderam e as possíveis dú-
vidas que ainda tenham. Nesta
Unidade, pedir aos alunos que
façam um registro dos concei-
tos abordados em razão das su-
tilezas inerentes principalmente
em relação a alturas, medianas,
bissetrizes e mediatrizes do tri-
ângulo e, por consequência,
seus pontos notáveis.
A primeira questão busca
retomar com os alunos o valor
da soma dos ângulos internos
de um triângulo; a segunda
questão resgata a classificação
dos triângulos (observadas as
medidas de seus ângulos in-
ternos ou as medidas de seus
lados). A terceira questão soli-
cita que os alunos relembrem
os casos de congruência de
triângulos. A última questão
proposta solicita que os alu-
nos retomem o procedimento
de construção da mediatriz de
um segmento de reta.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo
vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um
deles mede:
a) 20°
b) 70°
c) 30°
d) 80°
e) 50°
2. (Saresp-SP) Na figura abaixo as retas
paralelas r e s são cortadas pelas trans-
versais t e v.
r
s
t
!
b
"
a
y
v
É correto afirmar que:
a) a + b = € + 0
b) y + b = 90°
c) b + y + 0 = 180°
d) y + 0 = b
3. Em um triângulo isósceles ABC, em que
AB 2 AC, o ângulo A mede o dobro da
soma dos outros dois ângulos. Então, a
medida do ângulo A é:
a) 90°
b) 30°
c) 60°
d) 100°
e) 120°

4. Na figura a seguir, a representação
do triângulo ABC é isósceles (com
AB 2 BC). Determine o valor da medida
x em graus.
A
x
B
M
C
155°
a) 130°
b) 100°
c) 65°
d) 50°
e) 75°
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa c.
5. O triângulo BDC é equilátero. Determine
o valor da medida x.
A
C
B
D
x
20°
15°
a) 15°
b) 18°
c) 20°
d) 25°
e) 27°
6. O triângulo ABC é
equilátero e M, N e P
são, respectivamente,
os pontos médios dos
lados AB, AC e BC
desse triângulo.
a) Quais as medidas
dos ângulos internos do triângulo MNP?
b) Qual a classificação do triângulo MNP
quanto às medidas dos lados?
7. O ângulo BAC de um triângulo isósceles
é reto. Sendo CP a bissetriz do ângulo
ACB do triângulo, a medida do ângulo
BPC é igual a:
a) 22,5°
b) 45°
c) 67,5°
d) 112,5°
e) 135°
8. Na figura seguinte, as retas t e s são
paralelas. Qual é o valor, em graus, da
expressão x _ y?
x = 70°
y
t
s
150°
130°
a) 40°
b) 50°
c) 55°
d) 60°
e) 65°
Alternativa d.
60° cada um.
Equilátero.
Alternativa d.
Alternativa b.
C
P
N
M
B
A
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9. Na figura a seguir, os triângulos ABP e
APC são isósceles (AB 2 AP e AP 2 PC ).
Sabendo que PQ é a bissetriz relativa ao
ângulo APC, determine o valor de x + y.
a) 90°
b) 70°
c) 100°
d) 80°
e) 60°
1 0 . Entre duas cidades (A e B) será instalada
uma antena de celular em um ponto
C, de tal forma que ela deverá ficar à
mesma distância das duas cidades. No
entanto, traçando-se o segmento de
reta que liga as duas cidades (AB), perce-
be-se que onde está o ponto médio do
segmento há um lago que impede essa
instalação. Dessa forma, a instalação
EDITORIA DE ARTE
A
x
y
BC
P
Q
20°
Alternativa a.
precisará ser deslocada para um novo
local (C’) que deverá, ainda, atender o
mesmo critério da distância.
O novo ponto de instalação está
localizado:
a) na bissetriz do ângulo formado pelo lado
AB e o lado AC’.
b) na altura de um triângulo definido pelos
pontos A , B e C’.
c) na mediatriz do segmento AB.
d) em um outro ponto qualquer.
Alternativa c.
Nesta Unidade, retomamos a definição de triângulo, a soma de seus ângulos internos
e as classificações com relação às medidas dos lados e dos ângulos. Vimos o que é ângulo
externo, altura, mediana, bissetriz, mediatriz, além da congruência de triângulos, casos
de congruência e as propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros.
Abordamos, ainda, a construção de bissetriz e mediatriz usando régua e compasso.
Devido ao grande número de conceitos estudados, sugerimos que faça um fichamento
de cada tópico, apontando, de maneira sucinta, as definições. É interessante inserir exem-
plos para complementar seus registros.
Na abertura da Unidade, foram apresentadas algumas estruturas do passado e do
presente nas quais o triângulo foi utilizado para aumentar a estabilidade e, por conse-
quência, aumentar a carga de sustentação. É claro que, quanto mais aprofundado for
nosso conhecimento sobre triângulos, maiores serão nossas possibilidades de perceber a
aplicação deles ao nosso redor.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no
caderno às questões a seguir.
• Qual o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo? Você saberia provar
sua resposta?
• Como os triângulos podem ser classificados?
• Quais são os casos de congruência de triângulos que foram abordados nesta
Unidade?
• Descreva como construir a mediatriz de um segmento de reta?
180°. Resposta pessoal.
De acordo com as medidas de seus ângulos internos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou
triângulo obtusângulo. De acordo com as medidas de seus lados: triângulo equilátero, triângulo
isósceles ou triângulo escaleno.
LLL, LAL, ALA, LAA
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Resposta pessoal.
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139. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atualidades em foco
Solicitar aos alunos que
leiam a reportagem e per-
guntar a eles o que acharam
da fala dos ganhadores, da
maneira como a competição
acontece e outros detalhes
que julgar convenientes.
Discutir com a turma o sig-
nificado da palavra resiliência
e verificar se acreditam que
a parceria escola-tecnologia
pode ser interessante. A ideia
é fazê-los pensar nas possíveis
relações existentes entre os di-
ferentes conteúdos escolares e
os recursos tecnológicos dispo-
níveis. Podemos pensar em al-
gumas possibilidades de explo-
rações nas diferentes áreas do
conhecimento, por exemplo:
• Na disciplina de Língua Por-
tuguesa, poderíamos trabalhar
a escrita correta de um e-mail e
a utilização de suas ferramen-
tas ou, ainda, o uso do bloco
de notas de maneira eficiente.
• Na disciplina de Ciências,
poderíamos dar maior ênfase
nas unidades de medidas uti-
lizadas na informática como
“giga”, “mega”, “tera”, além
de esclarecimentos a respeito
das configurações dos equi-
pamentos, juntamente com
as inovações tecnológicas nos
campos da medicina e saúde.
• Na disciplina de Inglês, po-
deríamos trabalhar as ferra-
mentas de tradução existen-
tes, que nos permitem com-
preender os idiomas e dialetos
do mundo todo, a fim de ter-
mos acesso às outras informa-
ções e culturas.
• Na disciplina de Geografia,
poderíamos aprender mais a
respeito de softwares de geo-
localização ou a simplesmente
utilizá-los de maneira eficiente
no dia a dia.
• Na disciplina de Matemática,
poderíamos aprender a desen-
volver softwares e aplicativos
que nos ajudariam nos cálculos
e na resolução de problemas do
dia a dia. Isso sem falar em áre-
as que poderiam ser agregadas
à educação, como economia,
contabilidade e direito.
ATUALIDADES EM FOCO
Dois jovens brasileiros ganharam a
Olimpíada Internacional de Tecnologia
e Inovação, conquistando pela primeira
vez o título para o país. Eles também
levaram para casa o prêmio de cinco
mil francos suíços, visto que a com-
petição aconteceu no Idiap Research
Institute, em Martigny, na Suíça.
Os consagrados foram Fábien
Giovanni de Oliveira, de 22 anos,
estudante do 4
o
ano de Engenharia de
Controle e Automação da Universidade
Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato
Rodrigues, de 27 anos, mestrando em
Estratégia e Inovação em Engenharia
de Produção na Universidade Federal
de São Carlos (UFSCar). 
Eles desenvolveram o “Milênio
Bus”, projeto que integra a Internet das
Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o
transporte público por meio de um
hardware e um aplicativo de celular. “O
objetivo é trabalhar com pagamentos
digitais, informações ao passageiro e
geração de dados com Big Data”, explica
Oliveira em entrevista à GALILEU. 
Para ganhar a olimpíada, foi neces-
sário muito mais do que apenas uma
boa proposta. A competição durou três
semanas, e nesse período os jovens
assistiram aulas de negócios, e venture
capital, por exemplo, com professores e
especialistas. Eles tiveram que usar esse
tempo para aprimorar o projeto para
que ele pudesse se tornar uma startup
com potencial de aplicação no mercado.
Ao todo, 40 pessoas participa-
ram da disputa, sendo que elas foram
divididas em sete equipes. No dia de
encerramento da olimpíada, os grupos
tiveram que se apresentar por quatro
horas para uma banca de avaliadores
e investidores. “Se eu pudesse mensu-
rar o dia mais difícil, eu diria que é o
último”, afirma Oliveira. “Porque ali
você coloca em jogo toda dedicação e
esforço de três semanas.”
Para Rodrigues, a adaptação ao
idioma e ao fuso horário também
foram complicados. “A gente gravava os
feedbacks dos jurados no celular e escutava
várias vezes no quarto até entender o que
eles estavam falando”, revela Rodrigues. 
Apesar disso, ele se orgulha do
prêmio, principalmente porque diz
ter trabalhado com poucos recursos e
condições adversas. “O brasileiro é um
povo bem criativo, temos que valorizar
nossa resiliência”, opina.
Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio
inédito na Olimpíada Internacional de
Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https://
revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/
brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada-
internacional-de-tecnologia.html>.
Acesso em: 4 set. 2018.
Ciência e tecnologia
Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.
• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça
uma pesquisa sobre o significado dessas expressões.Resposta pessoal.
Brasileiros ganham prêmio inédito na
Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação
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Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados
com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a
melhorar sua região, o nosso país e até o mundo.
Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos
existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo
melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público.
Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a
capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase
impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume
de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade.
• Os componentes do seu grupo já ouviram falar em  kilo, mega, giga ou tera? Sabem
o que essas palavras significam?
Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza
padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI)
e, normalmente, são operados com a base decimal (10
X
).
No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a
unidade padrão utilizada é o byte.
Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais:
Resposta pessoal.
Unidade Símbolo
Valor
equivalente
Ordem de
grandeza
Byte B − 1 x 10
0
byte
Kilobyte KB 1024 B 1 x 10
3
byte
Megabyte MB 1024 KB 1 x 10
6
byte
Gigabyte GB 1024 MB 1 x 10
9
byte
Terabyte TB 1024 GB 1 x 10
12
byte
Petabyte PB 1024 TB 1 x 10
15
byte
Exabyte EB 1024 PB 1 x 10
18
byte
Zettabyte ZB 1024 EB 1 x 10
21
byte
Yottabyte YB 1024 ZB 1 x 10
24
byte
• Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, pro-
curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de
grandeza mudou?
• Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida
que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já
estudadas por vocês.
• Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa
pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será
gratuito ou pago, suas funcionalidades etc.
Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
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140. Na primeira questão, reco-
lher as informações pesquisadas
pelos alunos acerca do assunto
e, se julgar conveniente, reto-
mar as explorações realizadas
em aula durante o estudo de
potências.
Estipular com a turma a for-
ma de organização dos grupos
para a concepção da ideia de
um aplicativo solicitado no final
da seção. Comentar com eles a
respeito da importância de se
conhecer mais sobre o assunto
antes de propor qualquer ativi-
dade. Depois, agendar um dia
para que os alunos apresentem
suas ideias.
ATUALIDADES EM FOCO
Dois jovens brasileiros ganharam a
Olimpíada Internacional de Tecnologia
e Inovação, conquistando pela primeira
vez o título para o país. Eles também
levaram para casa o prêmio de cinco
mil francos suíços, visto que a com-
petição aconteceu no Idiap Research
Institute, em Martigny, na Suíça.
Os consagrados foram Fábien
Giovanni de Oliveira, de 22 anos,
estudante do 4
o
ano de Engenharia de
Controle e Automação da Universidade
Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato
Rodrigues, de 27 anos, mestrando em
Estratégia e Inovação em Engenharia
de Produção na Universidade Federal
de São Carlos (UFSCar). 
Eles desenvolveram o “Milênio
Bus”, projeto que integra a Internet das
Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o
transporte público por meio de um
hardware e um aplicativo de celular. “O
objetivo é trabalhar com pagamentos
digitais, informações ao passageiro e
geração de dados com Big Data”, explica
Oliveira em entrevista à GALILEU. 
Para ganhar a olimpíada, foi neces-
sário muito mais do que apenas uma
boa proposta. A competição durou três
semanas, e nesse período os jovens
assistiram aulas de negócios, e venture
capital, por exemplo, com professores e
especialistas. Eles tiveram que usar esse
tempo para aprimorar o projeto para
que ele pudesse se tornar uma startup
com potencial de aplicação no mercado.
Ao todo, 40 pessoas participa-
ram da disputa, sendo que elas foram
divididas em sete equipes. No dia de
encerramento da olimpíada, os grupos
tiveram que se apresentar por quatro
horas para uma banca de avaliadores
e investidores. “Se eu pudesse mensu-
rar o dia mais difícil, eu diria que é o
último”, afirma Oliveira. “Porque ali
você coloca em jogo toda dedicação e
esforço de três semanas.”
Para Rodrigues, a adaptação ao
idioma e ao fuso horário também
foram complicados. “A gente gravava os
feedbacks dos jurados no celular e escutava
várias vezes no quarto até entender o que
eles estavam falando”, revela Rodrigues. 
Apesar disso, ele se orgulha do
prêmio, principalmente porque diz
ter trabalhado com poucos recursos e
condições adversas. “O brasileiro é um
povo bem criativo, temos que valorizar
nossa resiliência”, opina.
Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio
inédito na Olimpíada Internacional de
Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https://
revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/
brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiada-
internacional-de-tecnologia.html>.
Acesso em: 4 set. 2018.
Ciência e tecnologia
Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.
• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça
uma pesquisa sobre o significado dessas expressões.Resposta pessoal.
Brasileiros ganham prêmio inédito na
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Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados
com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a
melhorar sua região, o nosso país e até o mundo.
Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos
existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo
melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público.
Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a
capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase
impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume
de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade.
• Os componentes do seu grupo já ouviram falar em  kilo, mega, giga ou tera? Sabem
o que essas palavras significam?
Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza
padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI)
e, normalmente, são operados com a base decimal (10
X
).
No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a
unidade padrão utilizada é o byte.
Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais:
Resposta pessoal.
Unidade Símbolo
Valor
equivalente
Ordem de
grandeza
Byte B − 1 x 10
0
byte
Kilobyte KB 1024 B 1 x 10
3
byte
Megabyte MB 1024 KB 1 x 10
6
byte
Gigabyte GB 1024 MB 1 x 10
9
byte
Terabyte TB 1024 GB 1 x 10
12
byte
Petabyte PB 1024 TB 1 x 10
15
byte
Exabyte EB 1024 PB 1 x 10
18
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Zettabyte ZB 1024 EB 1 x 10
21
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Yottabyte YB 1024 ZB 1 x 10
24
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• Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, pro-
curando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de
grandeza mudou?
• Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida
que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já
estudadas por vocês.
• Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa
pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será
gratuito ou pago, suas funcionalidades etc.
Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
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141. COMPETÊNCIAS
GERAIS
1. Valorizar e utilizar os co-
nhecimentos historicamente
construídos sobre o mundo
físico, social, cultural e digital
para entender e explicar a rea-
lidade, continuar aprendendo
e colaborar para a construção
de uma sociedade justa, de-
mocrática e inclusiva.
4. Utilizar diferentes lingua-
gens − verbal (oral ou visual-
-motora, como Libras, e es-
crita), corporal, visual, sonora
e digital −, bem como conhe-
cimentos das linguagens artís-
tica, matemática e científica,
para se expressar e partilhar in-
formações, experiências, ideias
e sentimentos em diferentes
contextos e produzir sentidos
que levem ao entendimento
mútuo.
ESPECÍFICAS
1. Reconhecer que a Mate-
mática é uma ciência humana,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes cultu-
ras, em diferentes momentos
históricos, e é uma ciência
viva, que contribui para solu-
cionar problemas científicos e
tecnológicos e para alicerçar
descobertas e construções, in-
clusive com impactos no mun-
do do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investiga-
ção e a capacidade de produ-
zir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimen-
tos matemáticos para compre-
ender e atuar no mundo.
6. Enfrentar situações-pro-
blema em múltiplos contextos,
incluindo-se situações imagina-
das, não diretamente relacio-
nadas com o aspecto prático-
-utilitário, expressar suas res-
postas e sintetizar conclusões,
utilizando diferentes registros
e linguagens (gráficos, tabelas,
esquemas, além de texto escri-
to na língua materna e outras
linguagens para descrever al-
goritmos, como fluxogramas,
e dados).
HABILIDADES p. XXI e XXII
Álgebra
• EF08MA06
• EF08MA08
• EF08MA09
Probabilidade e Estatística
• EF08MA23
• EF08MA25
Você consegue imaginar como seria “fazer”
Matemática sem utilizar a simbologia matemática?
Eduardo questionou-se por que eram usados letras
e símbolos para expressar cálculos que ele acreditava
poderiam ser descritos com palavras. Observe, na tirinha
a seguir, como Eduardo imaginou se um matemático do
século XVI lhe mostrasse um exemplo de cálculo que não
utilizava símbolos.
Vamos rever esse exemplo: Duas vezes um número
desconhecido adicionado de um inteiro determina qual-
quer número ímpar, desde que esse número desconhecido
pertença ao conjunto dos números inteiros.
Expressões e
cálculo algébrico4
Agora, pense e responda no caderno:
• A expressão apresentada como exem-
plo por François Viète na imaginação de
Eduardo descreve que tipo de número?
Passe para a linguagem matemática o
exemplo apresentado na tirinha.
• Escreva literal e matematicamente uma
sentença matemática. Qual das duas
maneiras foi a mais simples para você
escrever? Resposta pessoal.
Descreve qualquer número ímpar; 2n + 1 com n [ Ω.
É MUITO SIMPLES.
ANTES, A DESCRIÇÃO DE
UM CÁLCULO MATEMÁTICO
ERA MUITO LONGA,
PRECISAVA-SE ESCREVER
MUITO, POR ISSO VÁRIAS
PESSOAS SE DEDICARAM
A SIMPLIFICÁ-LA, ATÉ
QUE FRANÇOIS VIÈTE
SISTEMATIZOU O USO.
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A EXPRESSÃO QUE DETERMINA
OS NÚMEROS ÍMPARES É: DUAS
VEZES UM NÚMERO
DESCONHECIDO ADICIONADO
DE UM INTEIRO DETERMINA
QUALQUER NÚMERO ÍMPAR,
DESDE QUE ESSE NÚMERO
DESCONHECIDO PERTENÇA
AO CONJUNTO DOS
NÚMEROS INTEIROS.
3x
t
3
y !ab
EU SEMPRE ME PERGUNTEI POR QUE
USAMOS LETRAS E SÍMBOLOS NAS
OPERAÇÕES PARA EXPRESSAR
COISAS QUE PODIAM SER DITAS COM
PALAVRAS, E EU ACABEI DE
DESCOBRIR O MOTIVO.
WANDSON ROCHA
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142. NO DIGITAL – 2˙ bimestre
• Ver o plano de desenvolvimen-
to para as Unidades 4 e 5.
• Desenvolver o projeto integra-
dor sobre eficiência energética.
• Explorar as sequências didáti-
cas do bimestre, que trabalham
as habilidades
EF08MA06, EF08MA07,
EF08MA08, EF08MA09,
EF08MA10 e EF08MA11.
• Acessar a proposta de acom-
panhamento da aprendizagem.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Em diversos momentos, os
alunos encontram e utilizam a
simbologia matemática sem se
preocupar ou se dar conta de
que ela nem sempre foi assim.
É interessante propor que eles
reflitam a respeito da evolução
da simbologia na tentativa de
“economizar” e “agilizar” os
cálculos. Aqui a intenção é
propiciar a comparação de al-
gumas possibilidades de escri-
ta matemática.
Na abertura, Eduardo se
questiona por que a escrita
matemática utiliza símbolos
e letras.
Ao comparar as regras ma-
temáticas que lhe são conheci-
das em outra linguagem, per-
cebe que, na verdade, as sim-
bologias utilizadas atualmente
passaram por transformações
e hoje propiciam uma escrita
tida como “mais econômica”.
Para que os alunos percebam
isso, apresentar alguns exem-
plos de expressões matemáti-
cas e sugerir que tentem me-
lhorá-las.
Acredita-se que não é neces-
sário contextualizar a teoria dos
números, mas é necessário que
testem suas operações a fim de
verificar sua validade. Por ser
uma atividade dinâmica, é ne-
cessário questioná-los o tempo
todo, de forma que, se os alu-
nos perceberam que a simbo-
logia criada vale para a adição,
descubram se ela também é vá-
lida para a multiplicação.
Ao fim dessa parte, discutir
com eles a dificuldade inerente
ao criar um novo sistema que
funcione de maneira univer-
sal e explicar-lhes que o atual
sistema é um conjunto de pe-
quenas criações de muitos ma-
temáticos ao longo da história.
Você consegue imaginar como seria “fazer”
Matemática sem utilizar a simbologia matemática?
Eduardo questionou-se por que eram usados letras
e símbolos para expressar cálculos que ele acreditava
poderiam ser descritos com palavras. Observe, na tirinha
a seguir, como Eduardo imaginou se um matemático do
século XVI lhe mostrasse um exemplo de cálculo que não
utilizava símbolos.
Vamos rever esse exemplo: Duas vezes um número
desconhecido adicionado de um inteiro determina qual-
quer número ímpar, desde que esse número desconhecido
pertença ao conjunto dos números inteiros.
Expressões e
cálculo algébrico4
Agora, pense e responda no caderno:
• A expressão apresentada como exem-
plo por François Viète na imaginação de
Eduardo descreve que tipo de número?
Passe para a linguagem matemática o
exemplo apresentado na tirinha.
• Escreva literal e matematicamente uma
sentença matemática. Qual das duas
maneiras foi a mais simples para você
escrever? Resposta pessoal.
Descreve qualquer número ímpar; 2n + 1 com n [ Ω.
É MUITO SIMPLES.
ANTES, A DESCRIÇÃO DE
UM CÁLCULO MATEMÁTICO
ERA MUITO LONGA,
PRECISAVA-SE ESCREVER
MUITO, POR ISSO VÁRIAS
PESSOAS SE DEDICARAM
A SIMPLIFICÁ-LA, ATÉ
QUE FRANÇOIS VIÈTE
SISTEMATIZOU O USO.
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A EXPRESSÃO QUE DETERMINA
OS NÚMEROS ÍMPARES É: DUAS
VEZES UM NÚMERO
DESCONHECIDO ADICIONADO
DE UM INTEIRO DETERMINA
QUALQUER NÚMERO ÍMPAR,
DESDE QUE ESSE NÚMERO
DESCONHECIDO PERTENÇA
AO CONJUNTO DOS
NÚMEROS INTEIROS.
3x
t
3
y !ab
EU SEMPRE ME PERGUNTEI POR QUE
USAMOS LETRAS E SÍMBOLOS NAS
OPERAÇÕES PARA EXPRESSAR
COISAS QUE PODIAM SER DITAS COM
PALAVRAS, E EU ACABEI DE
DESCOBRIR O MOTIVO.
WANDSON ROCHA
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AMPLIANDO
Link
No site <http://livro.pro/
nu92q8>, é possível encontrar
uma pequena biografia a res-
peito de François Viète. Aces-
so em: 4 nov. 2018.
97
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143. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O uso de letras para
representar números
O texto inicial traz uma visão
simples do desenvolvimento
histórico do uso de palavras e
letras para expressar a solução
de um problema. Em uma dis-
cussão coletiva, pedir que com-
partilhem o que entenderam.
No hotsite da TV Escola, é
possível acessar alguns percur-
sos educativos. Em um deles
é possível acessar o conteúdo
de expressões algébricas e ter
acesso a algumas questões re-
lacionadas ao tema.
Disponível em: <http://livro.
pro/4n5wtn>. Acesso em: 4
nov. 2018.
Pense e responda
As questões desta seção
têm o objetivo de verificar os
conhecimentos prévios dos
alunos a respeito das expres-
sões algébricas e o uso de le-
tras. Por meio de argumentos
geométricos e de apresentação
de fórmulas, eles podem lidar
um pouco com esse tema.
Na atividade 2, se julgar
pertinente, comentar com os
alunos que uma expressão
algébrica é necessariamente
composta por números, letras
e operações. Já uma expressão
numérica não contém letras
(como a expressão matemáti-
ca expressa no item a).
AMPLIANDO
Atividade complementar
• (Enem) Num campeona-
to de futebol de 2012, um ti-
me sagrou-se campeão com
um total de 77 pontos (P) em
38 jogos, tendo 22 vitórias (V),
11 empates (E) e 5 derrotas (D).
No critério adotado para esse
ano, somente as vitórias e em-
pates têm pontuações positivas
e inteiras. As derrotas têm va-
lor zero e o valor de cada vitó-
ria é maior que o valor de cada
empate.
Um torcedor, considerando
a fórmula da soma de pontos
injusta, propôs aos organiza-
dores do campeonato que,
para o ano de 2013, o time
derrotado em cada partida
perca 2 pontos, privilegiando
os times que perdem menos
ao longo do campeonato.
Cada vitória e cada empate
continuariam com a mesma
pontuação de 2012.
Qual a expressão que forne-
ce a quantidade de pontos (P),
em função do número de vitó-
rias (V), do número de empa-
tes (E) e do número de derrotas
(D), no sistema de pontuação
proposto pelo torcedor para o
ano de 2013?
a) P = 3V + E
b) P = 3V _ 2D
c) P = 3V + E _ D
d) P = 3V + E _ 2D
e) P = 3V + E + 2D
Resolução de atividade
Resolvendo o sistema para
2012 ou mesmo analisando as
alternativas é possível perce-
ber que A pontuação em caso
de vitória é 3 e a pontuação
em caso de empate é 1.
Para 2013, mantêm-se as
pontuações para vitórias e em-
pates. Como a pontuação em
caso de derrota é _2, a expres-
são correta para a pontuação é:
P = 3V + E _ 2D
Alternativa d.
O USO DE LETRAS PARA
REPRESENTAR NÚMEROS1
CAPÍTULO
Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o
ser humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado.
Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que
deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e
expressar a solução de um problema.
Entretanto, muito tempo se passou até as letras serem amplamente usadas para
indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, principalmente, ao alemão
Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raffaelle
Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável interesse, intitulada L’Algebra e
publicada em 1572.
Foi, porém, um advogado e matemático francês, François Viète (1540-1603),
quem introduziu o uso sistemático das letras para indicar os números desconhecidos
e os símbolos das operações usados até hoje.
Responda às questões no caderno.
1. Você já sabe que:
• a área de um retângulo equivale ao produto do comprimento pela
largura;
• a área de um quadrado equivale ao quadrado da medida do lado do
quadrado.
Como você faria para calcular a área de cada figura a seguir?
a)
3
3
b)
b
a
c)
y
2x
Das expressões que você escreveu para representar as áreas das figuras,
quais foram escritas usando-se:
I) apenas números? II) números e letras?III) apenas letras?
2. Observe as expressões matemáticas a seguir:
a) 3 + 2 + 5 ? 4
b) x + y + z
c) 3x
2
+ 2y + 4
d) (5 _ 1)
2
+ 18 : 3 _ 43
Que diferenças você observa entre elas?
3
2
a ? b
2x ? y
Expressão a. Expressão c. Expressão b.
Resposta pessoal.
Espera-se que os alunos observem que as expressões a e d apresentam somente números e as
expressões c e b apresentam letras e números.
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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O objetivo de representar números desconhecidos por meio de letras era indicar as operações
matemáticas de forma mais simples e sintética.
Assim:
indica o quadrado
de um número
x
2
indica a metade
de um número
4y
indica o quádruplo
de um número
c
2
Da mesma forma, se a e b representam dois números reais quaisquer, temos que:
• a + b ou b + a representa a soma desses dois números;
• a _ b representa a diferença entre esses dois números;
• a ? b ou b ? a representa o produto desses dois números;
• a : b ou
a
b
, com b 5 0, representa a divisão de a por b.
Na Geometria, se a representa a medida do lado de um quadrado qualquer, temos que:
a
a
aa
• 4 ! a ou 4a indica o perímetro desse quadrado;
• a
2
indica a área desse quadrado.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva as operações de forma sintética:
a) o quadrado do número real x. x
2
b) o cubo do número real y. y
3
c) a raiz quadrada do número real a. a
d) a quinta potência do número real b. b
5
e) a adição dos números reais b e c. b + c
f) o produto dos números reais a e x. ax
g) o dobro do número real y. 2y
h) a sexta parte do número real m.
1
6
m
i) o quociente entre os números reais z e w,
com w 5 0.
j) a metade do número real x.
1
2
x
k) a diferença entre os números reais x e y.
l) o quíntuplo do número real z. 5z
Resoluções a
partir da p. 289
z
w
x _ y
2. Usando duas letras (por exemplo, x e y),
escreva uma expressão que represente:
a) o dobro de um número real adicionado
ao dobro de outro número real. 2x + 2y
b) o produto da soma pela diferença de
dois números reais quaisquer.
c) a adição dos quadrados de dois números
reais quaisquer. x
2
+

y
2
d) a diferença dos quadrados de dois nú-
meros reais quaisquer. x
2
_

y
2
e) o quadrado da soma de dois números
reais quaisquer. (x + y)
2
f) a adição da raiz quadrada de um nú-
mero real com a quinta parte de outro
número real.
(x + y)(x _ y)
x
1
5
y+
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144. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Antes de iniciar as ativida-
des, propor algumas escritas
matemáticas e solicitar que
os alunos, em duplas, façam
a tradução para a linguagem
natural. Por exemplo, escre-
ver na lousa 3 ? n. Os alunos
devem escrever: o triplo de
um número qualquer. Outra
possibilidade é trabalhar com
números consecutivos. Pedir
que representem um número
qualquer (x). Em seguida, pe-
dir que indiquem o consecu-
tivo desse número. Os alunos
devem escrever x + 1.
Atividades
Após a resolução das ques-
tões, propor aos alunos que
confrontem suas respostas
com as de um colega. Socia-
lizar as diferentes expressões
de um mesmo item para vali-
dá-las (ou não) coletivamente.
Por exemplo, na ativida-
de 1, podemos ter:
i) z : w ou
Z
W
j)
1
2
x ou
x
2
ou x : 2
Aproveitar a atividade 2
para discutir com os alunos al-
gumas situações, por exemplo:
• A igualdade x
2
+ y
2
= (x +
+ y)
2
é sempre verdadeira, pa-
ra x e y reais quaisquer?
• A igualdade x
2
+ y
2
= (x +
+ y)
2
é válida para quais nú-
meros reais x e y?
• Qual é a expressão geral de
um número natural (n) par? E
de um número natural ímpar?
Espera-se que os alunos identi-
fiquem 2n como par e 2n + 1
como ímpar.
Discutir com os alunos o
significado de uma generaliza-
ção e sua importância para a
Matemática, e como a lingua-
gem algébrica foi determinan-
te nesse contexto.
O USO DE LETRAS PARA
REPRESENTAR NÚMEROS1
CAPÍTULO
Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o
ser humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado.
Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que
deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e
expressar a solução de um problema.
Entretanto, muito tempo se passou até as letras serem amplamente usadas para
indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, principalmente, ao alemão
Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raffaelle
Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável interesse, intitulada L’Algebra e
publicada em 1572.
Foi, porém, um advogado e matemático francês, François Viète (1540-1603),
quem introduziu o uso sistemático das letras para indicar os números desconhecidos
e os símbolos das operações usados até hoje.
Responda às questões no caderno.
1. Você já sabe que:
• a área de um retângulo equivale ao produto do comprimento pela
largura;
• a área de um quadrado equivale ao quadrado da medida do lado do
quadrado.
Como você faria para calcular a área de cada figura a seguir?
a)
3
3
b)
b
a
c)
y
2x
Das expressões que você escreveu para representar as áreas das figuras,
quais foram escritas usando-se:
I) apenas números? II) números e letras?III) apenas letras?
2. Observe as expressões matemáticas a seguir:
a) 3 + 2 + 5 ? 4
b) x + y + z
c) 3x
2
+ 2y + 4
d) (5 _ 1)
2
+ 18 : 3 _ 43
Que diferenças você observa entre elas?
3
2
a ? b
2x ? y
Expressão a. Expressão c. Expressão b.
Resposta pessoal.
Espera-se que os alunos observem que as expressões a e d apresentam somente números e as
expressões c e b apresentam letras e números.
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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O objetivo de representar números desconhecidos por meio de letras era indicar as operações
matemáticas de forma mais simples e sintética.
Assim:
indica o quadrado
de um número
x
2
indica a metade
de um número
4y
indica o quádruplo
de um número
c
2
Da mesma forma, se a e b representam dois números reais quaisquer, temos que:
• a + b ou b + a representa a soma desses dois números;
• a _ b representa a diferença entre esses dois números;
• a ? b ou b ? a representa o produto desses dois números;
• a : b ou
a
b
, com b 5 0, representa a divisão de a por b.
Na Geometria, se a representa a medida do lado de um quadrado qualquer, temos que:
a
a
aa
• 4 ! a ou 4a indica o perímetro desse quadrado;
• a
2
indica a área desse quadrado.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva as operações de forma sintética:
a) o quadrado do número real x. x
2
b) o cubo do número real y. y
3
c) a raiz quadrada do número real a. a
d) a quinta potência do número real b. b
5
e) a adição dos números reais b e c. b + c
f) o produto dos números reais a e x. ax
g) o dobro do número real y. 2y
h) a sexta parte do número real m.
1
6
m
i) o quociente entre os números reais z e w,
com w 5 0.
j) a metade do número real x.
1
2
x
k) a diferença entre os números reais x e y.
l) o quíntuplo do número real z. 5z
Resoluções a
partir da p. 289
z
w
x _ y
2. Usando duas letras (por exemplo, x e y),
escreva uma expressão que represente:
a) o dobro de um número real adicionado
ao dobro de outro número real. 2x + 2y
b) o produto da soma pela diferença de
dois números reais quaisquer.
c) a adição dos quadrados de dois números
reais quaisquer. x
2
+

y
2
d) a diferença dos quadrados de dois nú-
meros reais quaisquer. x
2
_

y
2
e) o quadrado da soma de dois números
reais quaisquer. (x + y)
2
f) a adição da raiz quadrada de um nú-
mero real com a quinta parte de outro
número real.
(x + y)(x _ y)
x
1
5
y+
EDITORIA DE ARTE
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AMPLIANDO
Link
No artigo “Matemática e
língua materna: uma apro-
ximação necessária”, Nílson
José Machado discute a rela-
ção entre as duas disciplinas
presentes no currículo escolar
e tratadas, muitas vezes, de
forma independente. Dispo-
nível em: <http://livro.pro/
h26ouh>. Acesso em: 4 nov.
2018.
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145. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Expressões algébricas ou
literais
É importante que os alunos
se deparem com diversas situ-
ações que envolvam expres-
sões algébricas.
Uma situação que possi-
bilita desenvolver expressões
algébricas e generalizações é
o trabalho com sequências nu-
méricas ou geométricas. A se-
guir, sugerimos uma atividade
com uma sequência de figuras
recursivas, ou seja, cada nova
figura está relacionada com a
figura anterior.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
OU LITERAIS2
CAPÍTULO
Sabemos que é possível usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., m, n, ..., w, y, z)
para representar números reais.
Consideremos, então, as seguintes situações:
O comprimento da piscina é expresso pelo número real x.
A largura da piscina é expressa pelo número real y.
O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura.
Então, a expressão que representa o perímetro da piscina retangular é:
2 ? x + 2 ? y ou 2x + 2y
2 Qual é a expressão que representa a área total do
terreno da figura?
A área total do terreno é igual à soma das áreas das
partes 1 e 2.
C o m o a p a r t e 1 é um retângulo, a sua área é expressa
por ab.
C o m o a p a r t e 2 é um quadrado, a sua
área é expressa por c
2
.
Então, a expressão que representa a
área total do terreno é:
ab + c
2
1 Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a seguir?
ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI
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3 Para fazer um carreto, Geraldo cobra uma
taxa fixa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 por
quilômetro rodado. Qual é a expressão que
representa o valor que ele cobra para fazer
um carreto num percurso (ida e volta) de
x quilômetros?
C o m o c a d a q u i l ô m e t r o r o d a d o c u s t a R $ 1 , 5 0 ,
então para x quilômetros o custo é 1,50x reais.
Logo, o preço P do carreto é dado por:
P = 40 + 1,50x
Nas três situações apresentadas, escrevemos
expressões matemáticas nas quais aparecem números
e letras, ou somente letras. Essas expressões mate-
máticas são chamadas algébricas ou literais.
A palavra literal vem do latim litteralis,
que significa “letra”.
A palavra álgebra vem do árabe al jabr
e representa uma regra para transformar
uma igualdade em outra equivalente.
SAIBA QUE
Uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente
letras, é denominada expressão algébrica ou literal. As letras, que normalmente
representam números reais, são chamadas variáveis.
Assim, são exemplos de expressões algébricas ou literais:
• 2x + 2y • ab + c
2
• 40 + 1,50x
Mais expressões algébricas
Quando uma expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador, ela é
chamada expressão algébrica inteira.
• 2x + 3y •
1
2
x •
xy
5
2
•
_3a2c
10
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada
expressão algébrica fracionária.
•
2a
b
•
1
x
•
bc
5a
•
_
2a
xy
•
+
1
aax
2
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no interior de um radical, ela
é chamada expressão algébrica irracional.
• ab •
a
2x

• xy
22
+
Essas expressões não possuem valor numérico quando os valores atribuídos às varáveis anulam o denominador.
DANIEL BOGNI
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146. AMPLIANDO
Atividade complementar
Considere a seguinte sequên-
cia de figuras:
Pedir que observem o pa-
drão de formação dessa se-
quência.
A partir da 2
a
figura, foram
acrescentados 4 quadrados
(um em cada ponta), ou seja,
cada figura é a anterior mais 4
quadrados. Assim:
• a 1
a
figura é composta de 1
quadrado;
• a 2
a
, de 5 quadrados (1 + 4);
• a 3
a
, de 9 quadrados (5 + 4
ou 1 + 4 + 4)
• a 4
a
, de 13 quadrados (9 + 4
ou 1 + 4 + 4 + 4)
Mantendo esse mesmo pa-
drão:
a) Quantos quadrados
compõem a 10
a
figura?
b) Qual é a expressão geral
que determina a quantidade
de quadrados da enésima fi-
gura (a figura de posição n)?
Resolução de atividade:
a) Conforme aumenta a
posição da figura na sequência,
fica muito trabalhoso determi-
nar a quantidade de quadrados
dela a partir da figura anterior.
Explicar que é possível obter
a quantidade de quadrados de
uma figura dessa sequência,
dependendo apenas de sua
posição e da 1
a
figura.
1
a
H 1
2
a
H 5 = 1 + 4 = 1 + 1 ? 4
3
a
H 9 = 5 + 4 = 1 + 4 +
+ 4 = 1 + 2 ? 4
4
a
H 13 = 9 + 4 = 1 + 4 +
+ 4 + 4 = 1 + 3 ? 4
5
a
H 17 = 13 + 4 = 1 + 4 +
+ 4 + 4 + 4 = 1 + 4 ? 4
Verifica-se que a quantida-
de de parcelas 4 é uma unida-
de a menos que a posição da
figura. Então:
10
a
figura H 1 + 9 ? 4 = 1 +
+ 36 = 37
Logo, a 10
a
figura é com-
posta de 37 quadrados.
b) A expressão geral que
determina quantos quadra-
dos compõem a enésima fi-
gura (posição n) é dada por:
1 + (n − 1) ? 4
Ao final dessa atividade,
propor a leitura do livro do
aluno. Se possível, construir
um mapa conceitual, com os
tipos de expressões algébricas
citadas no texto.
4
a
figura3
a
figura2
a
figura1
a
figura
EDITORIA DE ARTE
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
OU LITERAIS2
CAPÍTULO
Sabemos que é possível usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., m, n, ..., w, y, z)
para representar números reais.
Consideremos, então, as seguintes situações:
O comprimento da piscina é expresso pelo número real x.
A largura da piscina é expressa pelo número real y.
O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura.
Então, a expressão que representa o perímetro da piscina retangular é:
2 ? x + 2 ? y ou 2x + 2y
2 Qual é a expressão que representa a área total do
terreno da figura?
A área total do terreno é igual à soma das áreas das
partes 1 e 2.
C o m o a p a r t e 1 é um retângulo, a sua área é expressa
por ab.
C o m o a p a r t e 2 é um quadrado, a sua
área é expressa por c
2
.
Então, a expressão que representa a
área total do terreno é:
ab + c
2
1 Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a seguir?
ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI
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3 Para fazer um carreto, Geraldo cobra uma
taxa fixa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 por
quilômetro rodado. Qual é a expressão que
representa o valor que ele cobra para fazer
um carreto num percurso (ida e volta) de
x quilômetros?
C o m o c a d a q u i l ô m e t r o r o d a d o c u s t a R $ 1 , 5 0 ,
então para x quilômetros o custo é 1,50x reais.
Logo, o preço P do carreto é dado por:
P = 40 + 1,50x
Nas três situações apresentadas, escrevemos
expressões matemáticas nas quais aparecem números
e letras, ou somente letras. Essas expressões mate-
máticas são chamadas algébricas ou literais.
A palavra literal vem do latim litteralis,
que significa “letra”.
A palavra álgebra vem do árabe al jabr
e representa uma regra para transformar
uma igualdade em outra equivalente.
SAIBA QUE
Uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente
letras, é denominada expressão algébrica ou literal. As letras, que normalmente
representam números reais, são chamadas variáveis.
Assim, são exemplos de expressões algébricas ou literais:
• 2x + 2y • ab + c
2
• 40 + 1,50x
Mais expressões algébricas
Quando uma expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador, ela é
chamada expressão algébrica inteira.
• 2x + 3y •
1
2
x •
xy
5
2
•
_3a2c
10
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada
expressão algébrica fracionária.
•
2a
b
•
1
x
•
bc
5a
•
_
2a
xy
•
+
1
aax
2
Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no interior de um radical, ela
é chamada expressão algébrica irracional.
• ab •
a
2x

• xy
22
+
Essas expressões não possuem valor numérico quando os valores atribuídos às varáveis anulam o denominador.
DANIEL BOGNI
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147. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Essas questões têm como
objetivo levar os alunos a re-
conhecer e utilizar expressões
algébricas para representar di-
ferentes situações.
É importante trabalhar com
exercícios que relacionem a Ge-
ometria (perímetro e áreas de
figuras) com expressões algé-
bricas, reforçando a integração
da Álgebra com a Geometria.
Incentivar os alunos a de-
senvolver diferentes estratégias
para a resolução dos problemas.
Na atividade 3, por exemplo,
os alunos podem fazer:
• Na figura, cada retângulo
pequeno tem área x ? y. Como
são 12 retângulos pequenos
idênticos, a área do retângulo
maior é dada por 12xy;
ou
• O retângulo maior tem la-
dos medindo 4 ? x e 3 ? y. As-
sim, sua área é igual a 4x ? 3y.
Pedir que comparem os re-
sultados obtidos: 12xy e 4x ?
? 3y e digam que conclusões
podem tirar.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em certa loja um livro custa x reais e um
caderno custa y reais. Qual é a expressão
algébrica que representa o valor total
pago por Caio ao comprar 5 livros e
8 cadernos iguais a esses nessa loja?
2. Em uma empresa trabalham h homens
e m mulheres.
a) Qual é a expressão algébrica que vai
representar:
• o total de pessoas que trabalham nessa
empresa? h + m
• a diferença entre o número de
homens e o número de mulheres que
trabalham nessa empresa? h _ m
• a razão entre o número de homens e
o número de mulheres que trabalham
nessa empresa?
b) Alguma das expressões algébricas que
você escreveu é fracionária? Qual?
3. A área de um retângulo pode ser dada
pelo produto das medidas de dois
lados consecutivos. Qual é a expressão
algébrica que você pode escrever para
representar a área da figura a seguir?
y
x
4. Suponha que um
terreno tenha a
forma da figura
aqui mostrada
e suas medidas
sejam representadas, em unidades de
comprimento, pelas letras x e y.
Qual é a expressão algébrica que repre-
senta o perímetro desse terreno? 5x + 3y
Resoluções a
partir da p. 289
5x + 8y
h
m
Sim;
h
m
12xy
5. Escreva a expressão algébrica que repre-
senta a área da figura a seguir.
x
yy
xx
a
6. Caio tinha x reais. Foi a uma loja de es-
portes e comprou 2 pares de tênis. Cada
par custou y reais. Qual expressão algé-
brica pode representar a quantia que
sobrou para Caio, depois de comprar os
pares de tênis? x _ 2y
7. Qual é a expressão algébrica que re-
presenta a soma do quadrado de
um número x com o triplo do mesmo
número x?
8. Um alvo é composto
de duas regiões, A e
B, conforme mostra a
figura.
Nesse alvo, cada
flecha que atinge a
região A vale x pontos e cada flecha que
atinge a região B vale y pontos. Fernando
atingiu a região A com 7 flechas e a
região B com 10 flechas. Escreva a ex-
pressão algébrica que representa o total
de pontos que Fernando marcou.
9. Use uma expressão algébrica para
responder.
a) Quantos dias há em um período de x
semanas mais 20 dias? 7x + 20
b) Quantos meses há em um período de y
anos mais 10 meses? 12y + 10
x
2
+ ay
x
2
+ 3x
7x + 10y
A
B
y
yx
xx
xx
y
I L
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EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Os juros são o ponto central do sucesso
financeiro. Trata-se de uma questão de
escolha: você pode usar os juros contra
ou a favor de você! Em síntese, antecipar
custa e retardar rende.
Se você antecipa com o banco um valor
x para pagar por algo que deseja ter, devol-
verá ao banco x + os juros. Se, ao contrário,
retarda o uso de um valor x, deixando-o guar-
dado no banco, receberá do banco x + juros
quando decidir utilizá-lo. A questão é que
esse é um processo por trás do qual existe
uma lógica matemática de acumulação, os
chamados juros compostos, popularmente
definidos como “juros sobre juros”.
[...]
O problema é que essa é uma moeda
de dois lados. Os juros contra você têm um
efeito semelhante. Se você faz uma anteci-
pação com o banco, por meio do cartão de
crédito, para pagar por um desejo imediato,
e não consegue quitar na data, pagará juros
sobre juros, e o valor da dívida se multipli-
cará. Pior ainda, porque a taxa de juros do
cartão é, no mínimo, 13 vezes maior do que
a taxa de rendimento de uma poupança.
Para se ter uma ideia, uma única dívida
de R$ 150,00 no cartão de crédito, a uma
taxa de 9% ao mês, transforma-se em uma
dívida de aproximadamente R$ 4 600 000,00
em dez anos. São os juros contra você!
[...]
Fonte: DOMINGOS, R. Ter dinheiro não tem segredo:
educação financeira para jovens. São Paulo:
DSOP Educação Financeira, 2011. p. 83.
Lígia tem uma conta bancária com cheque especial. Isso significa que ela tem um limite e
que pode utilizar um valor superior ao seu saldo, ficando, assim, com saldo negativo. Esse saldo
negativo é um empréstimo automático e já aprovado, pelo qual se cobram juros. Para o banco
não cobrar mais os juros, é necessário que o cliente deposite um valor igual ao da dívida.
O gráfico a seguir representa o saldo da conta bancária de Lígia, que inicialmente era devedor
em R$ 200,00, e que incidiu juro composto de 10% ao mês.
Responda às questões no caderno.
1. Em quanto tempo a dívida de Lígia dobrará?
2. O gráfico representado pela expressão
v = 200 ? (1,1)
n
, em que v é o valor devido
depois de n meses. Utilizando a expressão
e uma calculadora, calcule o valor da dívida
de Lígia depois de 5 anos.
Entre 7 e 8 meses.
Aproximadamente R$ 60 896,33.
EDITORIA DE ARTE
Valor da dívida
100
1234 5
0
300
200
500
400
700
V
alor da dívida em r
eais
Meses decorridos
600
6789 101112
Juros contra × juros a favor
Fonte: Dados fictícios.
Resoluções a
partir da p. 289
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148. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Educação financeira
O objetivo dessa seção é
despertar nos alunos a refle-
xão sobre como é possível usar
os juros a seu favor ou contra.
Levá-los a perceber que isso
pode ocorrer quando aplica-
dos sobre uma dívida ou a um
investimento.
Pode-se ainda conversar
a respeito da necessidade e
importância de planejamento
financeiro.
Comentar que o cheque
especial tem um limite que,
depois de atingido, o banco
modifica a ação em relação à
dívida. Pedir aos alunos que
façam também a interpre-
tação do gráfico de linhas
apresentado.
O cálculo pedido na ativi-
dade 2 é apenas ilustrativo da
tendência matemática desse
tipo de juro. Ressaltar a im-
portância de se manter um
controle da vida financeira de
modo que esse comportamen-
to dos juros funcione a favor
do indivíduo e não contra.
Lembrar os alunos que 5 anos
são 60 meses.
Ressaltar a importância
crescente do tempo numa
aplicação a juro composto. No
exemplo dado, se a mesma dí-
vida evoluísse a juro simples, o
montante após 5 anos seria de
R$ 1 400,00. Aproveitar para
explorar o uso da calculadora.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em certa loja um livro custa x reais e um
caderno custa y reais. Qual é a expressão
algébrica que representa o valor total
pago por Caio ao comprar 5 livros e
8 cadernos iguais a esses nessa loja?
2. Em uma empresa trabalham h homens
e m mulheres.
a) Qual é a expressão algébrica que vai
representar:
• o total de pessoas que trabalham nessa
empresa? h + m
• a diferença entre o número de
homens e o número de mulheres que
trabalham nessa empresa? h _ m
• a razão entre o número de homens e
o número de mulheres que trabalham
nessa empresa?
b) Alguma das expressões algébricas que
você escreveu é fracionária? Qual?
3. A área de um retângulo pode ser dada
pelo produto das medidas de dois
lados consecutivos. Qual é a expressão
algébrica que você pode escrever para
representar a área da figura a seguir?
y
x
4. Suponha que um
terreno tenha a
forma da figura
aqui mostrada
e suas medidas
sejam representadas, em unidades de
comprimento, pelas letras x e y.
Qual é a expressão algébrica que repre-
senta o perímetro desse terreno? 5x + 3y
Resoluções a
partir da p. 289
5x + 8y
h
m
Sim;
h
m
12xy
5. Escreva a expressão algébrica que repre-
senta a área da figura a seguir.
x
yy
xx
a
6. Caio tinha x reais. Foi a uma loja de es-
portes e comprou 2 pares de tênis. Cada
par custou y reais. Qual expressão algé-
brica pode representar a quantia que
sobrou para Caio, depois de comprar os
pares de tênis? x _ 2y
7. Qual é a expressão algébrica que re-
presenta a soma do quadrado de
um número x com o triplo do mesmo
número x?
8. Um alvo é composto
de duas regiões, A e
B, conforme mostra a
figura.
Nesse alvo, cada
flecha que atinge a
região A vale x pontos e cada flecha que
atinge a região B vale y pontos. Fernando
atingiu a região A com 7 flechas e a
região B com 10 flechas. Escreva a ex-
pressão algébrica que representa o total
de pontos que Fernando marcou.
9. Use uma expressão algébrica para
responder.
a) Quantos dias há em um período de x
semanas mais 20 dias? 7x + 20
b) Quantos meses há em um período de y
anos mais 10 meses? 12y + 10
x
2
+ ay
x
2
+ 3x
7x + 10y
A
B
y
yx
xx
xx
y
I L
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EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Os juros são o ponto central do sucesso
financeiro. Trata-se de uma questão de
escolha: você pode usar os juros contra
ou a favor de você! Em síntese, antecipar
custa e retardar rende.
Se você antecipa com o banco um valor
x para pagar por algo que deseja ter, devol-
verá ao banco x + os juros. Se, ao contrário,
retarda o uso de um valor x, deixando-o guar-
dado no banco, receberá do banco x + juros
quando decidir utilizá-lo. A questão é que
esse é um processo por trás do qual existe
uma lógica matemática de acumulação, os
chamados juros compostos, popularmente
definidos como “juros sobre juros”.
[...]
O problema é que essa é uma moeda
de dois lados. Os juros contra você têm um
efeito semelhante. Se você faz uma anteci-
pação com o banco, por meio do cartão de
crédito, para pagar por um desejo imediato,
e não consegue quitar na data, pagará juros
sobre juros, e o valor da dívida se multipli-
cará. Pior ainda, porque a taxa de juros do
cartão é, no mínimo, 13 vezes maior do que
a taxa de rendimento de uma poupança.
Para se ter uma ideia, uma única dívida
de R$ 150,00 no cartão de crédito, a uma
taxa de 9% ao mês, transforma-se em uma
dívida de aproximadamente R$ 4 600 000,00
em dez anos. São os juros contra você!
[...]
Fonte: DOMINGOS, R. Ter dinheiro não tem segredo:
educação financeira para jovens. São Paulo:
DSOP Educação Financeira, 2011. p. 83.
Lígia tem uma conta bancária com cheque especial. Isso significa que ela tem um limite e
que pode utilizar um valor superior ao seu saldo, ficando, assim, com saldo negativo. Esse saldo
negativo é um empréstimo automático e já aprovado, pelo qual se cobram juros. Para o banco
não cobrar mais os juros, é necessário que o cliente deposite um valor igual ao da dívida.
O gráfico a seguir representa o saldo da conta bancária de Lígia, que inicialmente era devedor
em R$ 200,00, e que incidiu juro composto de 10% ao mês.
Responda às questões no caderno.
1. Em quanto tempo a dívida de Lígia dobrará?
2. O gráfico representado pela expressão
v = 200 ? (1,1)
n
, em que v é o valor devido
depois de n meses. Utilizando a expressão
e uma calculadora, calcule o valor da dívida
de Lígia depois de 5 anos.
Entre 7 e 8 meses.
Aproximadamente R$ 60 896,33.
EDITORIA DE ARTE
Valor da dívida
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0
300
200
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Meses decorridos
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Juros contra × juros a favor
Fonte: Dados fictícios.
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149. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Valor numérico de uma
expressão algébrica
As generalizações algébricas
tratam de modo consistente as
situações em que Aritmética
e Geometria estão envolvidas.
Dessa forma, o valor numérico
de uma expressão algébrica
permite também avaliar situa-
ções mais concretas ou particu-
lares. Por exemplo:
Um doce custa x reais. Se
forem comprados 3 doces, a
expressão algébrica que re-
presenta a quantia que deve
ser paga, em reais, é 3x. Qual
é essa quantia, se cada doce
custa 5 reais?
Nesse caso, 3x = 3 ? 5 =
= 15, isto é, 15 reais. Diz-se
que 15 é o valor numérico da
expressão algébrica 3x quan-
do x = 5.
AMPLIANDO
Atividade complementar
• Dobrando a medida a do
lado de um quadrado, o que
ocorre com a área do novo
quadrado obtido? Se esse qua-
drado tem lado de 5 cm, qual
será a área do novo quadrado?
Resolução de atividade
Permitir que os alunos ex-
plorem essa situação. Sugerir
que construam um quadro
para organizar os dados obti-
dos. Convidar algumas duplas
para irem à lousa anotar a
medida de lado escolhida. Ao
final, construir coletivamente
uma síntese a respeito da situ-
ação proposta.
Logo, a área do novo qua-
drado é o quádruplo da área
do quadrado original (do-
brando a medida do lado, a
área se quadruplica).
Se a = 5, então a expressão
algébrica 4 ? a² tem valor nu-
mérico dado por:
4 ? (5)² = 4 ? 25 = 100
Ou seja, a área do novo
quadrado é 100 cm².
Quadrado
original
Novo
quadrado
lado a 2a
área a
2
(2a)
2
= 4a
2
VALOR NUMÉRICO DE UMA
EXPRESSÃO ALGÉBRICA3
CAPÍTULO
Vamos analisar duas situações.
1 Ângela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema.
Supondo que cada entrada para o cinema custe x reais, a expressão algébrica
que representa o gasto delas com as entradas é 3x.
• Supondo que, no domingo, cada entrada custe 18 reais, elas deverão pagar
54 reais pelas três entradas:
3x = 3 ? 18 = 54
Dizemos que 54 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 18.
• Supondo que, na quarta-feira, cada entrada custe 15 reais, elas deverão pagar
pelas três entradas 45 reais:
3x = 3 ? 15 = 45
Dizemos que 45 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 15.
2 A forma e as medidas de um terreno estão representadas na figura a seguir:
a
b
c
a a
2
! bc
área do retângulo de lados b e c
área do quadrado de lado a
A área desse terreno é dada pela expressão
algébrica:
Vamos supor que:
• o lado do quadrado meça 20 unidades de comprimento;
• as medidas dos lados b e c do retângulo sejam 16 e 12 unidades de compri-
mento, respectivamente.
Nessas condições, vamos calcular a área desse terreno:
a
2
+ bc = 20
2
+ 16 ? 12 = 400 + 192 = 592
A área desse terreno será 592 unidades de área.
O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica
a
2
+ bc para a = 20, b = 16 e c = 12.
Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica
por números e efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor
numérico da expressão algébrica dada para esses números.
EDITORIA DE ARTE
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Veja esta outra situação:
3 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) ? (x _ y) quando x = 1,1 e y = _0,8?
(x + y) ? (x _ y) =
= [1,1 + (_0,8)] ? [1,1 _ (_0,8)] = substituímos as letras pelos números dados
= [1,1 _ 0,8] ? [1,1 + 0,8] =
= [+0,3] ? [+1,9] =
= 0,57 valor numérico procurado
Uma consideração importante
Em algumas expressões algébricas fracionárias não é possível obter o valor numérico da
expressão. Isso acontece quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador da
expressão, e, como sabemos, não existe divisão por zero.
Assim:
• A expressão
a
x
não tem valor numérico quando x = 0.
• A expressão
+
_
a2
a1
não tem valor numérico quando a = 1.
Na prática, determinamos o valor para o qual uma expressão fracionária não tem valor
numérico igualando o denominador dessa expressão a zero e resolvendo a equação obtida. Vamos
ver duas situações:
1 Para qual valor de x a expressão algébrica
_
_
x3
2x1
não tem valor numérico?
2x ! 1 " 0 h 2x " 1 h =x
1
2

Dizemos que a expressão não tem valor numérico quando x
1
2
=.
2 Qual deve ser o valor de x, em função de y, para que a expressão algébrica
+
_
xy
xy
não tenha
valor numérico? Igualando o denominador da expressão a zero, temos:
x _ y = 0 h x = y
Dizemos que a expressão algébrica dada não tem valor numérico quando x = y.
Investimento
Investimento é a aplicação de algum tipo de recurso, como o dinheiro, com a expectativa de receber no
futuro um valor superior ao aplicado. Ao deixar dinheiro em um banco, essa instituição financeira paga ao
aplicador juros, que são como um “prêmio”, sobre o valor investido.
Os investimentos financeiros são formas interessantes de poupar ou assegurar dinheiro para o futuro.
É necessário criar, no Brasil, uma cultura de investimento, pois boa parte das pessoas está mais habituada
a lidar com empréstimos e financiamentos.
• Você conhece algum tipo de investimento? Qual? Respostas pessoais.
• Para que você acredita que seja importante investir?
NÓS
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150. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Explorar a expressão algé-
brica dada no exemplo 3, pe-
dindo que os alunos calculem
o valor numérico da expressão
x
2
_ y
2
, para x = 1,1 e y =
= _0,8.
A ideia é que percebam que
o resultado será o mesmo.
Nós
Incentivar os alunos a con-
versar a respeito da questão
e se possível pesquisar como
funciona algum tipo de inves-
timento. Sugestões de sites a
respeito do tema. Disponível
em: <http://livro.pro/s7yp5v> e
<http://livro.pro/9e3ctg>. Aces-
sos em: 6 nov. 2018.
VALOR NUMÉRICO DE UMA
EXPRESSÃO ALGÉBRICA3
CAPÍTULO
Vamos analisar duas situações.
1 Ângela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema.
Supondo que cada entrada para o cinema custe x reais, a expressão algébrica
que representa o gasto delas com as entradas é 3x.
• Supondo que, no domingo, cada entrada custe 18 reais, elas deverão pagar
54 reais pelas três entradas:
3x = 3 ? 18 = 54
Dizemos que 54 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 18.
• Supondo que, na quarta-feira, cada entrada custe 15 reais, elas deverão pagar
pelas três entradas 45 reais:
3x = 3 ? 15 = 45
Dizemos que 45 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 15.
2 A forma e as medidas de um terreno estão representadas na figura a seguir:
a
b
c
a a
2
! bc
área do retângulo de lados b e c
área do quadrado de lado a
A área desse terreno é dada pela expressão
algébrica:
Vamos supor que:
• o lado do quadrado meça 20 unidades de comprimento;
• as medidas dos lados b e c do retângulo sejam 16 e 12 unidades de compri-
mento, respectivamente.
Nessas condições, vamos calcular a área desse terreno:
a
2
+ bc = 20
2
+ 16 ? 12 = 400 + 192 = 592
A área desse terreno será 592 unidades de área.
O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica
a
2
+ bc para a = 20, b = 16 e c = 12.
Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica
por números e efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor
numérico da expressão algébrica dada para esses números.
EDITORIA DE ARTE
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Veja esta outra situação:
3 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) ? (x _ y) quando x = 1,1 e y = _0,8?
(x + y) ? (x _ y) =
= [1,1 + (_0,8)] ? [1,1 _ (_0,8)] = substituímos as letras pelos números dados
= [1,1 _ 0,8] ? [1,1 + 0,8] =
= [+0,3] ? [+1,9] =
= 0,57 valor numérico procurado
Uma consideração importante
Em algumas expressões algébricas fracionárias não é possível obter o valor numérico da
expressão. Isso acontece quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador da
expressão, e, como sabemos, não existe divisão por zero.
Assim:
• A expressão
a
x
não tem valor numérico quando x = 0.
• A expressão
+
_
a2
a1
não tem valor numérico quando a = 1.
Na prática, determinamos o valor para o qual uma expressão fracionária não tem valor
numérico igualando o denominador dessa expressão a zero e resolvendo a equação obtida. Vamos
ver duas situações:
1 Para qual valor de x a expressão algébrica
_
_
x3
2x1
não tem valor numérico?
2x ! 1 " 0 h 2x " 1 h =x
1
2

Dizemos que a expressão não tem valor numérico quando x
1
2
=.
2 Qual deve ser o valor de x, em função de y, para que a expressão algébrica
+
_
xy
xy
não tenha
valor numérico? Igualando o denominador da expressão a zero, temos:
x _ y = 0 h x = y
Dizemos que a expressão algébrica dada não tem valor numérico quando x = y.
Investimento
Investimento é a aplicação de algum tipo de recurso, como o dinheiro, com a expectativa de receber no
futuro um valor superior ao aplicado. Ao deixar dinheiro em um banco, essa instituição financeira paga ao
aplicador juros, que são como um “prêmio”, sobre o valor investido.
Os investimentos financeiros são formas interessantes de poupar ou assegurar dinheiro para o futuro.
É necessário criar, no Brasil, uma cultura de investimento, pois boa parte das pessoas está mais habituada
a lidar com empréstimos e financiamentos.
• Você conhece algum tipo de investimento? Qual? Respostas pessoais.
• Para que você acredita que seja importante investir?
NÓS
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151. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo dessas questões
é levar os alunos a calcular o
valor numérico de uma ex-
pressão algébrica quando se
atribuem valores às variáveis,
bem como utilizar os conhe-
cimentos de cálculo algébrico
para resolver problemas.
Ao resolverem as questões
envolvendo números racionais
na forma fracionária os alunos
podem encontrar algumas
dificuldades. Caso seja neces-
sário, retomar as operações
de adição, subtração, multipli-
cação e divisão com números
racionais na forma fracionária.
Enquanto fazem os exercí-
cios propostos em sala de aula
ou no momento em que for
corrigi-los (caso eles tenham
resolvido as atividades em
casa), orientá-los a identificar
o uso da expressão algébrica
no dia a dia, citando situações
do cotidiano em que usamos
esse tipo de expressão. Eles
podem dizer, por exemplo,
que utilizamos expressões al-
gébricas quando:
• fazemos a relação para a
compra do material escolar;
• fazemos o planejamento
de gastos para determinado
passeio;
• tentamos prever o consu-
mo de energia elétrica em um
mês.
Na atividade 2, após terem
calculado o número do calça-
do correspondente ao pé de
24 cm, propor a cada aluno que
use a fórmula dada na ativida-
de para determinar o número
do próprio calçado. Essa ativi-
dade pode contribuir para que
os alunos atribuam significado
à ideia de valor numérico de
uma expressão algébrica, já
que eles terão a oportunida-
de de utilizar dados reais nos
cálculos. Além disso, como já
devem saber a numeração dos
próprios calçados, podem veri-
ficar a fórmula. Discutir com os
alunos a necessidade de apro-
ximar os valores para números
inteiros quando eles obtêm
números na forma fracionária
para o número (S) do sapato.
Uma fórmula bastante
comum nos dias de hoje é a
que calcula o Índice de Massa
Corpórea (IMC). O IMC é dado
pelo quociente entre a massa
de uma pessoa (em kg) e a
altura ao quadrado (em m). É
possível encontrar diversas cal-
culadoras de IMC na Internet.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o valor numérico, na forma
decimal, da expressão algébrica
1
x
xx_+ quando x = 4. _1,75
2. As fábricas de calçados utilizam a
fórmula matemática S = S
5p28
4
=
+
para
determinar a numeração dos calçados,
na qual S é o número do sapato e p é
o comprimento do pé, em centímetros.
Qual é o número do sapato de uma
pessoa cujo pé tem 24 centímetros de
comprimento? 37
3. Um modelo matemático mostra que
o número N de pessoas que compram
determinado produto após t dias de vei-
culação publicitária é dado por N = 10
3
+
+ 2 ? 10
t
. De acordo com esse modelo,
quantas pessoas comprarão o produto
após 5 dias de veiculação?
4. Na igualdade V = V
T
M3
=
+
, temos que
T = 43,2 e M = 1,5. Qual é o valor de V?
5. Determine o valor de y na igualdade
y = y
6
x
x3,2=+ _ , para x = 1,5. 2,3
6. Sabe-se que p  = p
ab c
2
=
++
e que a = 5,
b = 13 e c = 10.
Nessas condições:
a) Qual é o valor de p? 14
b) Qual é o valor numérico da expressão
algébrica p ? (p _ a) ? (p _ b) ? (p _ c)?
7. Determine o valor numérico de cada
uma das seguintes expressões algébricas:
a)
a2a
a
2
_
, quando a = 4. 4
b) m
2
_ 2mn + n
2
, quando m = _1 e
n =
1
4
.
Resoluções a
partir da p. 289
201 000 pessoas.
9,6
504
25
16
c)
aax
m
2
+
, quando a = 8, x = 10 e
m = 9. 4
d) 3(x
2
_ y
2
) _ 10(x + y) ? (x _ y), quando
x = _2 e y = _2.
e) (a _ b)
2
_ c
2
, quando a =
2
3
, b = 1 e
c = _1.
f)
_
+
1x
xy1
2
, quando x = 0,5 e y = _8.
g)
_
+
xy
xy
33
33 , quando =x
1
2
e y = _2.
h)
y
1
x
x
1
y
+
+
, quando x = 10 e y = 5.

8. Considere a igualdade
A = =? +Ap 1
r
100
n
.
Quando p = 10
4
, r = 250 e n = 2, qual é
o valor de A? 122 500
9. Determine os valores das variáveis para
que as expressões algébricas a seguir não
representem números reais.
a)
x5
x4
_
_
b)
ab
13a
+
_

c)
2x
25 x+

d)
ab
22b
_
_
1 0 . Determine o valor de x, em função de y,
para o qual cada expressão algébrica a
seguir não representa número real.
a)
x
xy+

b)
x2y
x2y
+
_
c)
xy
2xy
_
+
11. Dividindo-se o número 34 em partes in-
versamente proporcionais aos números
1, 2 e 5, obtém-se os valores x, y e z, res-
pectivamente. Qual é o valor numérico
da expressão algébrica 5x _ 3yz? _20
zero
_
8
9
_0,25
_
65
63
1
2
x = 4
a
1
3
=
x
2
5
=_
b = 1
x = _y
x = 2y
x
y
2
=_
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4
CAPÍTULO
MONÔMIO OU
TERMO ALGÉBRICO
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Esta figura é uma representação de um re-
tângulo, cujas medidas dos lados, expressas
em unidades de comprimento, são x e y.
a) Qual é a expressão algébrica que representa
a área desse retângulo? xy
b) Qual é a expressão algébrica que representa
o perímetro do retângulo da figura? 2x + 2y
c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b
existe uma diferença. Qual é essa diferença? Resposta pessoal.
2. Suponha um número real x. Como você representaria:
a) o dobro desse número? 2x
b) o quadrado do número acrescido do próprio número? x
2
+ x
Veja as situações a seguir.
1 A figura ao lado é uma representação de um triângulo equilátero. Seu lado
mede d unidades de comprimento.
A expressão algébrica que representa o perímetro desse triângulo é 3d.
2 A caixa de presente lembra um bloco retangular.
a
c
b
As dimensões desse bloco retangular são: comprimento (a), altura (b) e largura (c). A expressão
algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc.
Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicação de
números e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis.
dd
d
x
y
OLHA UKHAL/SHUTTERSTOCK
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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152. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Nas atividades propostas,
explora-se a relação de concei-
tos geométricos, principalmen-
te perímetros e áreas com o cál-
culo algébrico. Procurar explo-
rar outras figuras conhecidas
pelos alunos, como quadrados,
triângulos, losangos e outros
polígonos. A discussão a res-
peito dessas questões prepara
os alunos para a compreensão
dos conceitos que serão traba-
lhados nos capítulos seguintes
dessa Unidade. Inicia-se com o
estudo dos monômios (concei-
to e operações); em seguida,
trata-se sobre polinômios (con-
ceito e operações); para depois
apresentar produtos notáveis e
fatoração (com aplicações des-
ses casos) e trabalhar com eles.
Ressaltar para os alunos que
os conceitos e algoritmos ma-
temáticos (e, portanto, a Álge-
bra) são fundamentais para o
desenvolvimento das tecno-
logias e principalmente dos
softwares que fazem os apa-
relhos tecnológicos funcionar.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o valor numérico, na forma
decimal, da expressão algébrica
1
x
xx_+ quando x = 4. _1,75
2. As fábricas de calçados utilizam a
fórmula matemática S = S
5p28
4
=
+
para
determinar a numeração dos calçados,
na qual S é o número do sapato e p é
o comprimento do pé, em centímetros.
Qual é o número do sapato de uma
pessoa cujo pé tem 24 centímetros de
comprimento? 37
3. Um modelo matemático mostra que
o número N de pessoas que compram
determinado produto após t dias de vei-
culação publicitária é dado por N = 10
3
+
+ 2 ? 10
t
. De acordo com esse modelo,
quantas pessoas comprarão o produto
após 5 dias de veiculação?
4. Na igualdade V = V
T
M3
=
+
, temos que
T = 43,2 e M = 1,5. Qual é o valor de V?
5. Determine o valor de y na igualdade
y = y
6
x
x3,2=+ _ , para x = 1,5. 2,3
6. Sabe-se que p  = p
ab c
2
=
++
e que a = 5,
b = 13 e c = 10.
Nessas condições:
a) Qual é o valor de p? 14
b) Qual é o valor numérico da expressão
algébrica p ? (p _ a) ? (p _ b) ? (p _ c)?
7. Determine o valor numérico de cada
uma das seguintes expressões algébricas:
a)
a2a
a
2
_
, quando a = 4. 4
b) m
2
_ 2mn + n
2
, quando m = _1 e
n =
1
4
.
Resoluções a
partir da p. 289
201 000 pessoas.
9,6
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c)
aax
m
2
+
, quando a = 8, x = 10 e
m = 9. 4
d) 3(x
2
_ y
2
) _ 10(x + y) ? (x _ y), quando
x = _2 e y = _2.
e) (a _ b)
2
_ c
2
, quando a =
2
3
, b = 1 e
c = _1.
f)
_
+
1x
xy1
2
, quando x = 0,5 e y = _8.
g)
_
+
xy
xy
33
33 , quando =x
1
2
e y = _2.
h)
y
1
x
x
1
y
+
+
, quando x = 10 e y = 5.

8. Considere a igualdade
A = =? +Ap 1
r
100
n
.
Quando p = 10
4
, r = 250 e n = 2, qual é
o valor de A? 122 500
9. Determine os valores das variáveis para
que as expressões algébricas a seguir não
representem números reais.
a)
x5
x4
_
_
b)
ab
13a
+
_

c)
2x
25 x+

d)
ab
22b
_
_
1 0 . Determine o valor de x, em função de y,
para o qual cada expressão algébrica a
seguir não representa número real.
a)
x
xy+

b)
x2y
x2y
+
_
c)
xy
2xy
_
+
11. Dividindo-se o número 34 em partes in-
versamente proporcionais aos números
1, 2 e 5, obtém-se os valores x, y e z, res-
pectivamente. Qual é o valor numérico
da expressão algébrica 5x _ 3yz? _20
zero
_
8
9
_0,25
_
65
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1
2
x = 4
a
1
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=
x
2
5
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b = 1
x = _y
x = 2y
x
y
2
=_
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4
CAPÍTULO
MONÔMIO OU
TERMO ALGÉBRICO
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Esta figura é uma representação de um re-
tângulo, cujas medidas dos lados, expressas
em unidades de comprimento, são x e y.
a) Qual é a expressão algébrica que representa
a área desse retângulo? xy
b) Qual é a expressão algébrica que representa
o perímetro do retângulo da figura? 2x + 2y
c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b
existe uma diferença. Qual é essa diferença? Resposta pessoal.
2. Suponha um número real x. Como você representaria:
a) o dobro desse número? 2x
b) o quadrado do número acrescido do próprio número? x
2
+ x
Veja as situações a seguir.
1 A figura ao lado é uma representação de um triângulo equilátero. Seu lado
mede d unidades de comprimento.
A expressão algébrica que representa o perímetro desse triângulo é 3d.
2 A caixa de presente lembra um bloco retangular.
a
c
b
As dimensões desse bloco retangular são: comprimento (a), altura (b) e largura (c). A expressão
algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc.
Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicação de
números e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis.
dd
d
x
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OLHA UKHAL/SHUTTERSTOCK
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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153. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
A leitura do item Investiga-
ções relativas à Álgebra no
documento Orientações cur-
riculares e proposição de ex-
pectativas de aprendizagem
para o Ensino Fundamental:
ciclo II: Matemática, que traz
informações e orientações a
respeito do processo de ensino
e aprendizagem relativos à Ál-
gebra, pode trazer informações
importantes e suscitar reflexões
relevantes para a organização
e o planejamento do trabalho
com Álgebra a ser desenvolvi-
do com os alunos.
Um dos pontos a ser des-
tacado desse documento é o
que se refere às categorias de
erros cometidos pelos alunos
quando estudam Álgebra.
Categorização de erros na
álgebra
Já os estudos de Cortés &
Kava! an (1999) apresentam
uma classi! cação de erros e
as constatações referentes à
persistência deles, que ocor-
rem no trabalho com a álge-
bra. O referido estudo levan-
ta por meio de uma pesquisa
empírica, os erros cometidos
por alunos franceses (no ní-
vel correspondente à 7
a
e 8
a

séries no Brasil), quando da
resolução de equações. Es-
ses erros são classi! cados
em cinco categorias, cons-
truídas a partir da utilização
incorreta de determinadas
propriedades matemáticas.
Os autores utilizam-se
do quadro teórico Inva-
riantes Operacionais, de
Gérard Vergnaud (1990),
para a elaboração, aplica-
ção e análise da pesquisa.
Foram propostas aos alu-
nos cinco tipos de tarefas, as
quais, segundo os autores,
são a origem dos erros na
aprendizagem da álgebra:
• tarefas envolvendo trans-
formações algébricas com
números/coeficientes nega-
tivos;
• tarefas envolvendo cál-
culo numérico com núme-
ros negativos;
• tarefas envolvendo fato-
ração e redução de termos
semelhantes;
• tarefas envolvendo o
tratamento de produto de
fatores;
• tarefas envolvendo a
passagem dos termos algé-
bricos, de um membro pa-
ra o outro da equação (na
resolução de equações do
tipo ax + b = cx + d).
Para os autores, a passa-
gem por um erro durante a
aprendizagem da resolução
de equações algébricas, é
quase que necessária para o
aluno, principalmente quan-
do ele se depara com uma
situação nova, como equa-
ções com incógnitas nos
dois membros ou quando as
equações envolvem produto
de fatores.
[...]
Fonte: SÃO PAULO. Orientações
curriculares e proposição de
expectativas de aprendizagem
para o Ensino Fundamental: ciclo II:
Matemática. Secretaria Municipal de
Educação. São Paulo: SME/DOT, 2007.
p. 114. Disponível em: <www.cdcc.usp.
br/cda/PARAMETROS-CURRICULARES/
Portal-Secretaria-Municipal-De-
Educacao-Sao-Paulo-Capital/
EF-CICLOII/OrientacpesCurriculares_
proposicao_expectativas_de_
aprendizagem_EnsFundII_mat.pdf>.
Acesso em: 6 nov. 2018.
EDITORIA DE ARTE
3 Uma torneira gotejando desperdiça y litros de água em 1 hora.
A expressão algébrica que representa a quantidade de água desperdiçada
por essa torneira gotejando por 4 horas é 4y.
Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou
termos algébricos.
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica represen-
tada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de
números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical.
Assim, são exemplos de monômios:
• 3x • 7y • x
2
• abc •
4x
3
Não se
esqueçam de que
todo número real é
considerado um
monômio.
Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente
do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus
expoentes), chamada parte literal.
Observe os exemplos de monômios:
Observações:
• Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, temos que:
a) 1x = x; 1a
4
x
3
= a
4
x
3
; 1mn
2
= mn
2
o coeficiente desses monômios é 1
b) _1x = _x; _1a
4
x
3
= _a
4
x
3
; _1mn
2
= _mn
2
o coeficiente desses monômios é _1
• Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa sempre o número real
zero e é chamado monômio nulo. Exemplos:
• 0x = 0 • 0a
4
x
3
= 0 • 0mn
2
= 0
• • • 3x
coeficiente
parte literal
!10a
3
b
coeficiente
parte literal
!18 coeficiente
(não tem parte
literal)
WANDSON ROCHA
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Mariana vende carrinhos em miniatura
ao preço de x reais cada um. Qual o
monômio que representa o preço de
9 desses carrinhos? 9x
2. Em uma rodovia, o preço de um dos pedá-
gios é R$ 9,20. Se nesse pedágio passaram
x carros em determinado dia, qual é o
monômio que expressa a arrecadação,
em reais nesse dia? 9,20x
Posto de pedágio na rodovia Castello Branco
em São Paulo, SP.
3. Um prédio possui x apartamentos por
andar. Se esse prédio tem 20 andares,
qual é o monômio que representa a
quantidade de apartamentos? 20x
4. Na Viação Graviola, a viagem de Campina
Grande a João Pessoa custa R$ 22,50.
Qual é o monômio que representa o
valor arrecadado com y passageiros que
fazem esse trajeto? 22,50y
Lagoa do Parque Solon de Lucena em João Pessoa, PB.
5. Qual é o monômio que representa o
produto de 7, a e b? 7ab
Resoluções a
partir da p. 289
6. Para gastar 100 calorias, Caio deve correr
x minutos em um terreno plano ou fazer
ginástica aeróbica por y minutos. Se
Caio quiser perder 800 calorias, qual é
o monômio que representa o tempo, em
minutos, que ele deve:
a) correr em um terreno plano? 8x
b) fazer ginástica aeróbica? 8y
7. Identifique quais das expressões algébri-
cas a seguir são monômios.
a) x
2

b) _10
c) x + 2y
d) _2,1bx
2
e) 3a _ 2b Não.
f)
5
8
xy
2

Sim.
g)
x
y
Não.
h) y
3
i)
1
xy
Não.
j) x
8. Identifique o coeficiente e a parte literal
dos monômios a seguir.
a) 7b
3
b) _x
2
y
c) 0,9c
4
d) a
5
x
3
e) _6,2a
4
b
2
c

f)
4
5
9. O volume de um cubo é dado pelo
cubo da medida de sua aresta. Qual é
o monômio que expressa o volume do
cubo da figura?

a
a
a
10. Considere a sequência numérica (x, 5x,
25x, ..., 15 625x). Quais são os monômios
que estão faltando nessa sequência?
Sim.
Sim.
Não.
Sim.
Sim.
Não.
7; b
3
.
_1; x
2
y.
0,9; c
4
.
1; a
5
x
3
.
_6,2; a
4
b
2
c.
4
5
; não tem.
8a
3
EDITORIA DE ARTE
125x, 625x, 3 125x.
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154. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo fixar a ideia de
monômio e verificar o que os
alunos compreenderam, além
de levantar possíveis dúvidas
para serem sanadas.
Eles devem reconhecer um
monômio, utilizá-lo para des-
crever as situações e identifi-
car o coeficiente numérico e
a parte literal desse monômio.
Na atividade 7, se neces-
sário, lembrá-los de que geral-
mente um monômio é forma-
do por duas partes: coeficiente
(numérico) e parte literal, que
compõem uma multiplicação
(formando um termo), sem
que estejam envolvidas adi-
ções e subtrações. Ressaltar
que existem monômios que
não têm parte literal (como no
caso do monômio apresentado
no item b. Chamar a atenção
deles também para o fato de
que, quando o coeficiente é
1 ou _1, ele não aparece ex-
presso no monômio (é o caso,
por exemplo, dos monômios
apresentados nos itens b e d).
Pedir a eles que indiquem oral-
mente o coeficiente e a parte
literal de cada monômio que
identificaram.
É importante lembrá-los de
que o número real zero tam-
bém é um monômio chamado
de monômio nulo.
EDITORIA DE ARTE
3 Uma torneira gotejando desperdiça y litros de água em 1 hora.
A expressão algébrica que representa a quantidade de água desperdiçada
por essa torneira gotejando por 4 horas é 4y.
Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou
termos algébricos.
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica represen-
tada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de
números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical.
Assim, são exemplos de monômios:
• 3x • 7y • x
2
• abc •
4x
3
Não se
esqueçam de que
todo número real é
considerado um
monômio.
Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente
do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus
expoentes), chamada parte literal.
Observe os exemplos de monômios:
Observações:
• Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, temos que:
a) 1x = x; 1a
4
x
3
= a
4
x
3
; 1mn
2
= mn
2
o coeficiente desses monômios é 1
b) _1x = _x; _1a
4
x
3
= _a
4
x
3
; _1mn
2
= _mn
2
o coeficiente desses monômios é _1
• Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa sempre o número real
zero e é chamado monômio nulo. Exemplos:
• 0x = 0 • 0a
4
x
3
= 0 • 0mn
2
= 0
• • • 3x
coeficiente
parte literal
!10a
3
b
coeficiente
parte literal
!18 coeficiente
(não tem parte
literal)
WANDSON ROCHA
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Mariana vende carrinhos em miniatura
ao preço de x reais cada um. Qual o
monômio que representa o preço de
9 desses carrinhos? 9x
2. Em uma rodovia, o preço de um dos pedá-
gios é R$ 9,20. Se nesse pedágio passaram
x carros em determinado dia, qual é o
monômio que expressa a arrecadação,
em reais nesse dia? 9,20x
Posto de pedágio na rodovia Castello Branco
em São Paulo, SP.
3. Um prédio possui x apartamentos por
andar. Se esse prédio tem 20 andares,
qual é o monômio que representa a
quantidade de apartamentos? 20x
4. Na Viação Graviola, a viagem de Campina
Grande a João Pessoa custa R$ 22,50.
Qual é o monômio que representa o
valor arrecadado com y passageiros que
fazem esse trajeto? 22,50y
Lagoa do Parque Solon de Lucena em João Pessoa, PB.
5. Qual é o monômio que representa o
produto de 7, a e b? 7ab
Resoluções a
partir da p. 289
6. Para gastar 100 calorias, Caio deve correr
x minutos em um terreno plano ou fazer
ginástica aeróbica por y minutos. Se
Caio quiser perder 800 calorias, qual é
o monômio que representa o tempo, em
minutos, que ele deve:
a) correr em um terreno plano? 8x
b) fazer ginástica aeróbica? 8y
7. Identifique quais das expressões algébri-
cas a seguir são monômios.
a) x
2

b) _10
c) x + 2y
d) _2,1bx
2
e) 3a _ 2b Não.
f)
5
8
xy
2

Sim.
g)
x
y
Não.
h) y
3
i)
1
xy
Não.
j) x
8. Identifique o coeficiente e a parte literal
dos monômios a seguir.
a) 7b
3
b) _x
2
y
c) 0,9c
4
d) a
5
x
3
e) _6,2a
4
b
2
c

f)
4
5
9. O volume de um cubo é dado pelo
cubo da medida de sua aresta. Qual é
o monômio que expressa o volume do
cubo da figura?

a
a
a
10. Considere a sequência numérica (x, 5x,
25x, ..., 15 625x). Quais são os monômios
que estão faltando nessa sequência?
Sim.
Sim.
Não.
Sim.
Sim.
Não.
7; b
3
.
_1; x
2
y.
0,9; c
4
.
1; a
5
x
3
.
_6,2; a
4
b
2
c.
4
5
; não tem.
8a
3
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155. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grau de um monômio
O estudo de monômios
serve como referência para
o estudo que vem logo a se-
guir, com os polinômios. A
determinação do grau de um
monômio assim como a iden-
tificação de sua parte literal e
de sua parte numérica contri-
buem para a construção das
noções algébricas.
Grau de um monômio
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das
variáveis. Exemplos:
• O monômio 6x
2
y
5
é do 7
o
grau. (2 + 5 = 7)
• O monômio
1
3
ab! é do 2
o
grau. (ab = a
1
b
1
h 1 + 1 = 2)
• O monômio 5,1y
6
é do 6
o
grau.
• O monômio 10 é de grau zero.
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Nesse
caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos:
• O monômio 3x
2
y
5
é do 2
o
grau em relação à variável x.
• O monômio
1
2
ab
3
! é do 1
o
grau em relação à variável b.
Monômios semelhantes
Acompanhe:
• 10x
2
y e
2
3
xy
2
! possuem a mesma parte literal: x
2
y.
• 2,5x
3
,
1
2
x
3
e _4x
3
possuem a mesma parte literal: x
3
.
Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma
parte literal, eles são denominados monômios semelhantes
ou termos semelhantes.
Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes:
• 10x
2
y e
2
3
xy
2
! .
• _4a
2
b
2
e 7a
2
b
2
.
• 2,5x
3
;
1
2
x
3
e _4x
3
.
Não são semelhantes, por exemplo, os monômios:
• 6x
2
y e _4xy
2
.
• 2x
3
;
1
2
x
2
! e
5
4
x! .
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Adição algébrica de monômios
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura?
Para resolver o problema, podemos representar:
• a área do retângulo 1 pelo monômio 5x;
• a área do retângulo 2 pelo monômio 3x.
Então, a área do retângulo ABCD, que é dada pela soma das áreas dos
retângulos 1 e 2, pode ser representada por 5x + 3x. Podemos, também,
considerar o retângulo ABCD, cujos lados medem (5 + 3) = 8 e x, e a
área será dada por 8x.
C o m p a r a n d o o s d o i s p r o c e s s o s , t e m o s : 5 x + 3x = 8x ou, ainda, 5x + 3x =
= (5 + 3)x = 8x.
A s s i m , 8x é o monômio que representa a área do retângulo ABCD
da figura.
2 Esta figura ilustra a superfície lateral de uma escada,
com a indicação das medidas dos degraus.
Qual é a área dessa superfície?
Para resolver o problema, podemos considerar que:
• a área da figura 1 é dada por x ? 6y ou 6xy;
• a área da figura 2 é dada por x ? 4y ou 4xy;
• a área da figura 3 é dada por x ? 2y ou 2xy.
Então, a área da figura toda é dada por:
6xy + 4xy + 2xy = (6 + 4 + 2)xy = 12xy
Assim, a área dessa superfície é dada por 12xy.
Generalizando, podemos dizer que:
5
3
x
D
F
C
A
E
B
1
2
4y
2y
6y
x
x
x3
2
1
Observe os exemplos:
• 5ax ! 7ax " !2ax •
2
3
ay
7
6
ay
1
2
ay
22 2
!" ! • 9mn ! 15mn # 6mn " 0mn " 0
(5 ! 7)
2
3
7
6
3
6
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!" !" ! (9 ! 15 # 6)
Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são
semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebri-
camente os coeficientes e mantendo a parte literal. Essa operação também
pode ser chamada de redução de termos semelhantes.
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156. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Adição algébrica de
monômios
Um dos principais erros co-
metidos pelos alunos está na
redução de termos semelhan-
tes. Isso se agrava se os coefi-
cientes dos monômios forem
números racionais na forma
fracionária. Fazer algumas
abordagens na lousa, solici-
tando que os alunos efetuem
diversos cálculos envolvendo
monômios.
Grau de um monômio
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das
variáveis. Exemplos:
• O monômio 6x
2
y
5
é do 7
o
grau. (2 + 5 = 7)
• O monômio
1
3
ab! é do 2
o
grau. (ab = a
1
b
1
h 1 + 1 = 2)
• O monômio 5,1y
6
é do 6
o
grau.
• O monômio 10 é de grau zero.
O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Nesse
caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos:
• O monômio 3x
2
y
5
é do 2
o
grau em relação à variável x.
• O monômio
1
2
ab
3
! é do 1
o
grau em relação à variável b.
Monômios semelhantes
Acompanhe:
• 10x
2
y e
2
3
xy
2
! possuem a mesma parte literal: x
2
y.
• 2,5x
3
,
1
2
x
3
e _4x
3
possuem a mesma parte literal: x
3
.
Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma
parte literal, eles são denominados monômios semelhantes
ou termos semelhantes.
Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes:
• 10x
2
y e
2
3
xy
2
! .
• _4a
2
b
2
e 7a
2
b
2
.
• 2,5x
3
;
1
2
x
3
e _4x
3
.
Não são semelhantes, por exemplo, os monômios:
• 6x
2
y e _4xy
2
.
• 2x
3
;
1
2
x
2
! e
5
4
x! .
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Adição algébrica de monômios
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura?
Para resolver o problema, podemos representar:
• a área do retângulo 1 pelo monômio 5x;
• a área do retângulo 2 pelo monômio 3x.
Então, a área do retângulo ABCD, que é dada pela soma das áreas dos
retângulos 1 e 2, pode ser representada por 5x + 3x. Podemos, também,
considerar o retângulo ABCD, cujos lados medem (5 + 3) = 8 e x, e a
área será dada por 8x.
C o m p a r a n d o o s d o i s p r o c e s s o s , t e m o s : 5 x + 3x = 8x ou, ainda, 5x + 3x =
= (5 + 3)x = 8x.
A s s i m , 8x é o monômio que representa a área do retângulo ABCD
da figura.
2 Esta figura ilustra a superfície lateral de uma escada,
com a indicação das medidas dos degraus.
Qual é a área dessa superfície?
Para resolver o problema, podemos considerar que:
• a área da figura 1 é dada por x ? 6y ou 6xy;
• a área da figura 2 é dada por x ? 4y ou 4xy;
• a área da figura 3 é dada por x ? 2y ou 2xy.
Então, a área da figura toda é dada por:
6xy + 4xy + 2xy = (6 + 4 + 2)xy = 12xy
Assim, a área dessa superfície é dada por 12xy.
Generalizando, podemos dizer que:
5
3
x
D
F
C
A
E
B
1
2
4y
2y
6y
x
x
x3
2
1
Observe os exemplos:
• 5ax ! 7ax " !2ax •
2
3
ay
7
6
ay
1
2
ay
22 2
!" ! • 9mn ! 15mn # 6mn " 0mn " 0
(5 ! 7)
2
3
7
6
3
6
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟!" !" ! (9 ! 15 # 6)
Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são
semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebri-
camente os coeficientes e mantendo a parte literal. Essa operação também
pode ser chamada de redução de termos semelhantes.
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157. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Algumas das questões apre-
sentadas têm como objetivo
levar os alunos a determinar o
grau de monômios não nulos e
o grau de um monômio em re-
lação a uma de suas variáveis.
Na atividade 4, pedir a eles
que registrem os seis monômios
apresentados, determinando o
grau de cada um. Espera-se que
os alunos percebam que a or-
dem, tanto crescente quanto de-
crescente, deve ser estabelecida
considerando-se os expoentes
das partes literais dos monômios
apresentados.
É importante que eles per-
cebam que o monômio 20
não tem parte literal e, como
é não nulo, seu grau é zero.
Procurar explorar mais
essa situação fazendo outros
exemplos.
Portanto, para colocar es-
ses monômios em ordem de-
crescente, os alunos podem
primeiro organizar decrescen-
temente no caderno os graus
desses monômios, para depois
escrever os monômios de acor-
do com a ordem estabelecida.
Outras questões propostas
nesse bloco têm como objetivo
levar os alunos a identificar mo-
nômios semelhantes e efetuar
a adição algébrica de dois ou
mais monômios semelhantes.
Na atividade 7, propor que
eles se organizem em duplas
para resolver as adições algébri-
cas, trocar ideias com o colega e
confrontar suas hipóteses a res-
peito da adição de monômios.
É importante que eles com-
preendam o conceito e identi-
fiquem monômios semelhan-
tes, concluindo que esse fato
possibilita a redução desses
monômios a um único termo.
Quando os alunos se sen-
tirem confiantes, mostrar que
eles podem fazer o cálculo da
soma algébrica dos coeficien-
tes mentalmente, registrando,
se houver necessidade, apenas
os cálculos intermediários.
Dê atenção especial às ope-
rações de monômios com coe-
ficientes racionais não inteiros
(na forma de fração ou na for-
ma decimal), sanando dúvidas
quanto às operações com nú-
meros na forma de fração ou
na forma decimal.
Nas atividades 10, 11 e 12,
discutir com os alunos a or-
dem de eliminação de parên-
teses e colchetes.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Entre os monômios a seguir, quais são os
que apresentam grau 4?
9x
3
y 0,5ax
2
_
2
3
m
2
n
2_1,6ac
4
2. Qual é o grau do monômio _15a
3
x
5
y?
3. Qual é o valor que se deve colocar no
lugar do expoente x para que o monômio
7,5a
2
b
x
c
5
seja do 10
o
grau? x = 3
4. Observe os monômios:
7x
3
10x
4
_2x
5
8x
2
_2,5x
20
a) Qual é o monômio de maior grau? _2x
5
b) Escreva os monômios na ordem decres-
cente, de acordo com o grau.
5. Os monômios 10a
n
b
2
e 20x
7
y
m
são do
8
o
 grau. Qual é o valor numérico da ex-
pressão m + n? 7
6. Observe os monômios:
10ax
5a
2
x _
1
2
ax 0,7ax
2
_0,5a
2
x 20a
2
x
2
Entre os monômios apresentados, iden-
tifique aqueles que são semelhantes a:
a) 5ax
2

b) _1,2a
2
x
2

c)
3
4
a
2
x
d) _0,9ax
7. Efetue as adições algébricas dos monô-
mios a seguir.
a) 7x
2
+ 2x
2
_ 6x
2
3x
2
Resoluções a
partir da p. 289
9x
3
y; _
2
3
m
2
n
2
9
o
grau.
_2x
5
; 10x
4
; 7x
3
; 8x
2
; _2,5x; 20
0,7ax
2
20a
2
x
2
5a
2
x; _0,5a
2
x.
10ax; _
1
2
ax.
b) 20xy _ 17xy _ 5xy _2xy
c) 2ab + 1,5ab _ 2,3ab 1,2ab
d) _3,1x
2
y + 4,5x
2
y _ 2,7x
2
y _1,3x
2
y
e) 10bc _ 12bc + 7bc _ 3bc 2bc
f) 1,1ab
3
_ 3,5ab
3
_ 0,9ab
3
+ 2,8ab
3
g)
1
3
x
2
y
2
_
5
6
x
2
y
2
+
4
9
x
2
y
2
_
1
18
x
2
y
2

8. Qual é o monômio que devemos adicio-
nar a 7x
3
y
3
para obter _2x
3
y
3
? _9x
3
y
3
9. Escreva o monômio que adicionado a
_2x
2
resulta em:
a) 5x
2
b) _4x
2
c) x
2
d) 0
1 0 . Fazendo a redução dos termos seme-
lhantes, escreva as expressões algébricas
a seguir na forma mais simples.
a) 7x _ (_2x + x) + (_3x + 5x) 10x
b) 5y
2
_ (_4y
2
+ 7y
2
) + (_y
2
+ 9y
2
_ 11y
2
)
c) 10ab _ [3ab _ (ab + 2ab _ 5ab) _ 8ab]
d) 2xy + [_5xy + 2xy _ (xy +
+ 4xy _ 2xy) _ 8xy] _12xy
11. Observe a expressão algébrica a seguir.
20bc _ [_7bc _ (11bc _ 40bc _ 6bc) + 5bc]
a) Escreva o monômio que pode representar
essa expressão. _13bc
b) Determine o monômio que se deve adi-
cionar ao monômio obtido no item a para
se obter 5bc. 18bc
12. Obtenha a forma mais simples de escrita
da expressão algébrica a seguir:
3,4a
2
x
2
_ (_1,6a
2
x
2
+
+ 5,8a
2
x
2
_ 3,7a
2
x
2
) _ (8,1a
2
x
2
_ 1,9a
2
x
2
)
13. Considere a expressão algébrica
0,6ay _ ay + 0,3ay + 0,5ay.
a) Escreva essa expressão na forma mais
simples. 0,4ay
b) Qual o valor numérico dessa expressão
quando a = 1,4 e y = _0,9? _0,504
_0,5ab
3
7x
2
_2x
2
3x
2
2x
2
_y
2
13ab
_3,3a
2
x
2
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Multiplicação de monômios
Veja o monômio que representa o volume de cada sólido:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTEaa
a
volume: a ! a ! a " a
3
a
2a 2a
volume: 2a ! 2a ! a " 4a
3
a
a
2a
volume: 2a ! a ! a " 2a
3
1. No caderno, represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos:
a) b) c) d)
3a
3
7a
3
14a
3
14a
3
pense e responda
Inicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade: a
m
? a
n
= a
m + n
.
Agora, por meio do cálculo de área e de volume vamos verificar como podemos efetuar a
multiplicação entre monômios.
1
3x
7x
Área: (7x) ! (3x) " 7 ! 3 ! x ! x " 21x
2

21 x
2
o monômio
que representa
a área desse
retângulo é 21x
2
Resoluções a partir da p. 289
2
6x
3y
2x
Volume: (6x) ! (2x) ! (3y) " 6 ! 2 ! 3 ! x ! x ! y " 36x
2
y
O monômio que representa o volume desse
paralelepípedo retângulo é 36x
2
y
36 x
2
Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os
coeficientes entre si e multiplicamos as partes literais entre si.
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158. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Essa seção tem como obje-
tivo levar os alunos a perceber
o processo da multiplicação
entre monômios. Pedir a eles
que expliquem oralmente o
que foi feito para determinar
o volume do sólido verde, do
laranja e do roxo. Verificar se
eles descrevem a propriedade
de potências de mesma base.
A atividade proposta tam-
bém retoma a soma algébrica
de monômios.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Entre os monômios a seguir, quais são os
que apresentam grau 4?
9x
3
y 0,5ax
2
_
2
3
m
2
n
2_1,6ac
4
2. Qual é o grau do monômio _15a
3
x
5
y?
3. Qual é o valor que se deve colocar no
lugar do expoente x para que o monômio
7,5a
2
b
x
c
5
seja do 10
o
grau? x = 3
4. Observe os monômios:
7x
3
10x
4
_2x
5
8x
2
_2,5x
20
a) Qual é o monômio de maior grau? _2x
5
b) Escreva os monômios na ordem decres-
cente, de acordo com o grau.
5. Os monômios 10a
n
b
2
e 20x
7
y
m
são do
8
o
 grau. Qual é o valor numérico da ex-
pressão m + n? 7
6. Observe os monômios:
10ax
5a
2
x _
1
2
ax 0,7ax
2
_0,5a
2
x 20a
2
x
2
Entre os monômios apresentados, iden-
tifique aqueles que são semelhantes a:
a) 5ax
2

b) _1,2a
2
x
2

c)
3
4
a
2
x
d) _0,9ax
7. Efetue as adições algébricas dos monô-
mios a seguir.
a) 7x
2
+ 2x
2
_ 6x
2
3x
2
Resoluções a
partir da p. 289
9x
3
y; _
2
3
m
2
n
2
9
o
grau.
_2x
5
; 10x
4
; 7x
3
; 8x
2
; _2,5x; 20
0,7ax
2
20a
2
x
2
5a
2
x; _0,5a
2
x.
10ax; _
1
2
ax.
b) 20xy _ 17xy _ 5xy _2xy
c) 2ab + 1,5ab _ 2,3ab 1,2ab
d) _3,1x
2
y + 4,5x
2
y _ 2,7x
2
y _1,3x
2
y
e) 10bc _ 12bc + 7bc _ 3bc 2bc
f) 1,1ab
3
_ 3,5ab
3
_ 0,9ab
3
+ 2,8ab
3
g)
1
3
x
2
y
2
_
5
6
x
2
y
2
+
4
9
x
2
y
2
_
1
18
x
2
y
2

8. Qual é o monômio que devemos adicio-
nar a 7x
3
y
3
para obter _2x
3
y
3
? _9x
3
y
3
9. Escreva o monômio que adicionado a
_2x
2
resulta em:
a) 5x
2
b) _4x
2
c) x
2
d) 0
1 0 . Fazendo a redução dos termos seme-
lhantes, escreva as expressões algébricas
a seguir na forma mais simples.
a) 7x _ (_2x + x) + (_3x + 5x) 10x
b) 5y
2
_ (_4y
2
+ 7y
2
) + (_y
2
+ 9y
2
_ 11y
2
)
c) 10ab _ [3ab _ (ab + 2ab _ 5ab) _ 8ab]
d) 2xy + [_5xy + 2xy _ (xy +
+ 4xy _ 2xy) _ 8xy] _12xy
11. Observe a expressão algébrica a seguir.
20bc _ [_7bc _ (11bc _ 40bc _ 6bc) + 5bc]
a) Escreva o monômio que pode representar
essa expressão. _13bc
b) Determine o monômio que se deve adi-
cionar ao monômio obtido no item a para
se obter 5bc. 18bc
12. Obtenha a forma mais simples de escrita
da expressão algébrica a seguir:
3,4a
2
x
2
_ (_1,6a
2
x
2
+
+ 5,8a
2
x
2
_ 3,7a
2
x
2
) _ (8,1a
2
x
2
_ 1,9a
2
x
2
)
13. Considere a expressão algébrica
0,6ay _ ay + 0,3ay + 0,5ay.
a) Escreva essa expressão na forma mais
simples. 0,4ay
b) Qual o valor numérico dessa expressão
quando a = 1,4 e y = _0,9? _0,504
_0,5ab
3
7x
2
_2x
2
3x
2
2x
2
_y
2
13ab
_3,3a
2
x
2
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Multiplicação de monômios
Veja o monômio que representa o volume de cada sólido:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTEaa
a
volume: a ! a ! a " a
3
a
2a 2a
volume: 2a ! 2a ! a " 4a
3
a
a
2a
volume: 2a ! a ! a " 2a
3
1. No caderno, represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos:
a) b) c) d)
3a
3
7a
3
14a
3
14a
3
pense e responda
Inicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade: a
m
? a
n
= a
m + n
.
Agora, por meio do cálculo de área e de volume vamos verificar como podemos efetuar a
multiplicação entre monômios.
1
3x
7x
Área: (7x) ! (3x) " 7 ! 3 ! x ! x " 21x
2

21 x
2
o monômio
que representa
a área desse
retângulo é 21x
2
Resoluções a partir da p. 289
2
6x
3y
2x
Volume: (6x) ! (2x) ! (3y) " 6 ! 2 ! 3 ! x ! x ! y " 36x
2
y
O monômio que representa o volume desse
paralelepípedo retângulo é 36x
2
y
36 x
2
Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os
coeficientes entre si e multiplicamos as partes literais entre si.
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159. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo levar os alunos a
efetuar a multiplicação de mo-
nômios utilizando as proprie-
dades da multiplicação no con-
junto dos números reais e as
propriedades da potenciação.
Na atividade 4, que pode
ser realizada em duplas, os
alunos devem descobrir o pa-
drão de montagem, ou seja, que
cada monômio da sequência, a
partir do segundo, é igual ao
anterior multiplicado por x
2
y, e
achar o 6
o
termo (x
11
y
6
).
Apesar de o tema potencia-
ção de monômios vir a seguir,
se julgar conveniente, o estudo
desse tema pode ser antecipa-
do, associando-o à multiplica-
ção de monômios e retomando
as propriedades da potencia-
ção com números reais.
Pode-se, então, propor aos
alunos que, em duplas, descu-
bram quais seriam o 10
o
e o
20
o
termos dessa sequência,
caso ela continuasse. Após a
resolução, pedir a cada dupla
que apresente o processo que
desenvolveu para encontrar
esses termos.
No caso do 10
o
termo
(x
19
y
10
), muitas duplas farão o
cálculo da mesma maneira que
fizeram para o 6
o
termo, ou
seja, multiplicando cada ter-
mo por x
2
y e determinando o
seguinte.
Mas para o 20
o
termo (x
39
y
20
),
esse é um processo demorado.
Incentivá-los a buscar outros
procedimentos para resolver a
questão.
Discutir processos, como a
observação do comportamen-
to dos termos da sequência: se
no 1
o
termo tem-se y
1
, no 2
o

termo, y
2
, no 3
o
termo, y
3
, o
20
o
termo será y
20
.
Veja outro exemplo:
3 A sequência (5xy, 10x
3
y
2
, 20x
5
y
3
, ..., A) tem 6 termos. Descubra o padrão dessa sequência e
escreva o 6
o
termo.
Vamos analisar o 1
o
e o 2
o
termos da sequência:
5xy 10x
3
y
2
? x
2
? 2
? y
Observamos que o 2
o
termo é o produto do monômio 5xy (1
o
termo) pelo monômio 2x
2
y.
A n a l i s a n d o o 2
o
e o 3
o
termos, temos que o 3
o
termo é o produto do monômio 10x
3
y
2
(2
o
 termo)
pelo monômio 2x
2
y. Assim, essa é uma sequência recursiva.
Vamos representar a geração de uma sequência desse tipo em um fluxograma:
Início
Escolher o primeiro termo.
Fim do processo
Multiplicar o termo
anterior pelo padrão e obter
o novo termo.
Deseja
determinar o
próximo termo?
Sim
Não
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Efetue as seguintes multiplicações:
a) a
4
! a
6
a
10
b) (1,5x
2
y) ! ("0,3xy
2
) _0,45x
3
y
3
c) ("2,6abc) ! ("1,2ab) 3,12a
2
b
2
c
d) ("ac) ! ("a
4
bc
2
) a
5
bc
3
e) ("0,1y
3
) ! (#0,2y
4
) _0,02y
7
2. Calcule o resultado das multiplicações:
a) (5a
4
bc
3
) ! ("b
2
c) ! (#4a
2
c) _20a
6
b
3
c
5
b) (4,5y
2
) ! ("0,3y) ! ("y
4
) 1,35y
7
c) (0,1xy) ! (100xy
2
) ! (0,01x
3
) 0,1x
5
y
3
d) ("12mnp) !
2
3
mn
2
"
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ! (5np) 40m
3
n
3
p
2
3. Cada ladrilho retangular da figura a
seguir tem x unidades de comprimento
por 0,5x unidades de largura.
Resoluções a
partir da p. 289
Escreva o monômio que representa a área:
a) de cada ladrilho.
1
2
x
2
ou 0,5x
2
b) ocupada pelos ladrilhos amarelos. 6x
2
c) ocupada pelos ladrilhos azuis. 6x
2
d) total da figura. 12x
2
4. A sequência (xy, x
3
y
2
, x
5
y
3
, ..., A) tem 6
termos. Descubra o padrão de montagem
dessa sequência e escreva o monômio
representado por A. A = x
11
y
6
.
EDITORIA DE ARTE
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Divisão de monômios
Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade: a
m
: a
n
= a
m _ n
.
Agora, consideremos alguns exemplos para verificar como podemos realizar a divisão entre
dois monômios.
1 Calcular 12y
5
: 4y
3
.
12y4y
12y
4y
12
4
y
y
3y
53
5
3
5
3
2
:= =? =
3 y
5 ! 3
2 Calcular (20a
4
b
2
) ! (!5ab).
!(20ab)(5ab)
20ab
5ab
20
5
a
a
b
b
4ab
42
42 42
3
!"
!
"
!
## "!
!4 a
4 ! 1
b
2 ! 1
3 Calcular (!2a
4
xy) ! (!0,5a
2
x).
!!! "
!
!
## #"$(2axy)(0,5ax)
2
0,5
a
a
x
x
y4 ay
42
4
2
2
$4 a
4 ! 2
1
Para dividir um monômio por outro, dividimos
os coeficientes entre si e as partes literais entre si.
Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:
(15xy)(5xy)
15xy
5xy
15
5
x
x
y
y
3
xy
32 55
32
55
3
5
2
52 3
"" ##"!
3 x
3 ! 5
y
2 ! 5
Nem sempre a divisão de um monômio por outro vai resultar em um monômio, como vimos
antes. No entanto, ao longo dos nossos estudos veremos apenas a divisão de monômios que
tenha como resultado um monômio.
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160. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Divisão de monômios
O estudo da divisão entre
monômios retoma o estudo
realizado anteriormente, en-
volvendo potências de mesma
base e as operações de mul-
tiplicação, divisão e poten-
ciação. Se sentir necessidade,
fazer um pequeno registro na
lousa, resgatando esses con-
ceitos e trazendo exemplos
envolvendo expressões literais.
Veja outro exemplo:
3 A sequência (5xy, 10x
3
y
2
, 20x
5
y
3
, ..., A) tem 6 termos. Descubra o padrão dessa sequência e
escreva o 6
o
termo.
Vamos analisar o 1
o
e o 2
o
termos da sequência:
5xy 10x
3
y
2
? x
2
? 2
? y
Observamos que o 2
o
termo é o produto do monômio 5xy (1
o
termo) pelo monômio 2x
2
y.
A n a l i s a n d o o 2
o
e o 3
o
termos, temos que o 3
o
termo é o produto do monômio 10x
3
y
2
(2
o
 termo)
pelo monômio 2x
2
y. Assim, essa é uma sequência recursiva.
Vamos representar a geração de uma sequência desse tipo em um fluxograma:
Início
Escolher o primeiro termo.
Fim do processo
Multiplicar o termo
anterior pelo padrão e obter
o novo termo.
Deseja
determinar o
próximo termo?
Sim
Não
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Efetue as seguintes multiplicações:
a) a
4
! a
6
a
10
b) (1,5x
2
y) ! ("0,3xy
2
) _0,45x
3
y
3
c) ("2,6abc) ! ("1,2ab) 3,12a
2
b
2
c
d) ("ac) ! ("a
4
bc
2
) a
5
bc
3
e) ("0,1y
3
) ! (#0,2y
4
) _0,02y
7
2. Calcule o resultado das multiplicações:
a) (5a
4
bc
3
) ! ("b
2
c) ! (#4a
2
c) _20a
6
b
3
c
5
b) (4,5y
2
) ! ("0,3y) ! ("y
4
) 1,35y
7
c) (0,1xy) ! (100xy
2
) ! (0,01x
3
) 0,1x
5
y
3
d) ("12mnp) !
2
3
mn
2
"
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ! (5np) 40m
3
n
3
p
2
3. Cada ladrilho retangular da figura a
seguir tem x unidades de comprimento
por 0,5x unidades de largura.
Resoluções a
partir da p. 289
Escreva o monômio que representa a área:
a) de cada ladrilho.
1
2
x
2
ou 0,5x
2
b) ocupada pelos ladrilhos amarelos. 6x
2
c) ocupada pelos ladrilhos azuis. 6x
2
d) total da figura. 12x
2
4. A sequência (xy, x
3
y
2
, x
5
y
3
, ..., A) tem 6
termos. Descubra o padrão de montagem
dessa sequência e escreva o monômio
representado por A. A = x
11
y
6
.
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Divisão de monômios
Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade: a
m
: a
n
= a
m _ n
.
Agora, consideremos alguns exemplos para verificar como podemos realizar a divisão entre
dois monômios.
1 Calcular 12y
5
: 4y
3
.
12y4y
12y
4y
12
4
y
y
3y
53
5
3
5
3
2
:= =? =
3 y
5 ! 3
2 Calcular (20a
4
b
2
) ! (!5ab).
!(20ab)(5ab)
20ab
5ab
20
5
a
a
b
b
4ab
42
42 42
3
!"
!
"
!
## "!
!4 a
4 ! 1
b
2 ! 1
3 Calcular (!2a
4
xy) ! (!0,5a
2
x).
!!! "
!
!
## #"$(2axy)(0,5ax)
2
0,5
a
a
x
x
y4 ay
42
4
2
2
$4 a
4 ! 2
1
Para dividir um monômio por outro, dividimos
os coeficientes entre si e as partes literais entre si.
Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:
(15xy)(5xy)
15xy
5xy
15
5
x
x
y
y
3
xy
32 55
32
55
3
5
2
52 3
"" ##"!
3 x
3 ! 5
y
2 ! 5
Nem sempre a divisão de um monômio por outro vai resultar em um monômio, como vimos
antes. No entanto, ao longo dos nossos estudos veremos apenas a divisão de monômios que
tenha como resultado um monômio.
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161. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo levar os alunos
a efetuar a divisão entre dois
monômios aplicando, para
isso, as propriedades da divi-
são de números reais e as pro-
priedades da potenciação.
Em algumas atividades tra-
balha-se a divisão de monô-
mios combinada com a adição
e a multiplicação, já vista ante-
riormente.
Na atividade 1, os alunos
terão a oportunidade de cal-
cular alguns quocientes, o que
lhes permitirá verificar se com-
preenderam o processo e expe-
rimentar formas diferentes de
organizar e realizar os cálculos,
podendo, assim, encontrar o
caminho que consideram mais
rápido e prático para a divisão
de monômios.
Enfatizar a seguinte estra-
tégia de divisão:
• Dividir os coeficientes en-
tre si.
• Dividir as partes literais en-
tre si, relembrando a seguinte
propriedade da potenciação
com números: para dividir po-
tências de mesma base dife-
rente de zero, basta manter a
base e subtrair os expoentes.
Caso sinta necessidade,
apresentar na lousa a resolu-
ção de alguns exemplos:
a) a
9
: a
5
= a
9−5
= a
4
b) x
6
: x
5
= x
6−5
= x
1
= x H
H Relembrar que todo núme-
ro elevado a 1 é ele mesmo.
c) b
5
: b
5
= 1 H Relembrar
que todo número (não nulo)
dividido por ele mesmo é igual
a 1.
Na atividade 2, os alunos
devem calcular quocientes en-
tre monômios que têm coefi-
cientes racionais não inteiros
(na forma de fração ou deci-
mal) ou que têm coeficientes
inteiros cujo quociente não é
inteiro. Se necessário, relem-
brar com eles esses tipos de
quociente entre dois números.
Apresentar na lousa a resolu-
ção, por exemplo, do item a.
Potenciação de monômios
Considere as situações a seguir.
1 Qual é o quadrado do monômio _10a
3
?
(!10a
3
)
2
" (!10a
3
) # (!10a
3
) " (!10) # (!10) # a
3
# a
3
" 100a
6
$100 a
3 $ 3
2 Qual é a 5
a
potência do monômio 2x
2
?
32 x
2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2
(2x
2
)
5
" (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) " 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # x
2
# x
2
# x
2
# x
2
# x
2
" 32x
10
Para tornar mais simples esses cálculos, podemos usar as propriedades das potências:
(a
m
)
n
= a
m ? n
(a ? b)
n
= a
n
? b
n
Observe, nos exemplos, como o cálculo se torna mais simples:
• (!10a
3
)
2
" (!10)
2
# (a
3
)
2
" $100a
6
• (2x
2
)
5
" (2)
5
# (x
2
)
5
" 32x
10
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o quociente dos monômios:
a) (_32abc) : (+8ac) _4b
b) (+40x
7
y
2
) : (_10x
4
y
2
) _4x
3
c) (_100a
3
) : (_25a
3
) +4
d) (+55a
4
bc
2
) : (_11a
2
bc) _5a
2
c
2. Efetue as seguintes divisões:
a) !$$
2
7
ax
4
7
ax
43 2⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠

1
2
a
3
x
b) !!$
1
2
an
1
8
an
27 6⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
_4an
3. Multiplique o monômio _40ax pelo
monômio _0,5ax
2
. A seguir, divida o
resultado pelo monômio _10ax. Qual é
o monômio que você vai obter? _2ax
2
4. Núbia dividiu o monômio +60x
6
y
3
pelo
monômio _12x
4
y
2
. Ao resultado obtido,
Resoluções a
partir da p. 289
ela adicionou o monômio +7x
2
y e obteve
M. Qual é o monômio M? M = +2x
2
y
5. Se você dividir a expressão _27a
4
b
2
+
+ 7a
4
b
2
pela expressão _10ab + 6ab, qual
monômio obterá? +5a
3
b
6. Edu efetuou a divisão _10x
3
y por _2xy
e obteve como resposta 5x
3
. A resposta
de Edu está correta?
7. Se você dividir o cubo da soma (_7y +
+ 10y + 2y) pela soma (_10y
2
_ 15y
2
),
que monômio encontrará? _5y
8. Efetue a divisão de
1
2
ac
25
4
!
⎛
⎝
⎞
⎠
por
1
4
ac
49
2
!
⎛
⎝
⎞
⎠
.
Em seguida, adicione o monômio c
2
ao
resultado. Que monômio você obteve?
Não, pois a resposta correta é 5x
2
.
2c
2
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A bicicleta
A bicicleta do barão alemão Karl von Drais, de 1817, é considerada a pioneira. Ele a batizou
de “máquina corredora” (laufmaschine em alemão) e a imprensa a chamou de Draisine ou
velocípede. Era feita de madeira e funcionava com o impulso dos pés. O objetivo de Von Drais
era oferecer um meio de transporte mais barato e fácil de manter que os cavalos. [...]
Nos anos 1860, ficou popular o modelo vendido como velocípede, mas chamado  bone
shaker (“agita ossos”), por causa do que ocorria quando circulava por ruas de paralelepípedos.
Os pedais ficavam na roda dianteira. [...]
Em 1870, começa a ser produzida a bicicleta de roda alta, sendo um dos modelos mais
conhecidos (e caros) a Ariel, de James Starley. Apesar de agora soar estranho, essas bicicletas
eram mais cômodas do que suas predecessoras, mas sua popularidade foi limitada porque
“precisavam de um acrobata” para conduzi-las [...]
A partir da década de 1880, surgem as chamadas “bicicletas de segurança”, exatamente
porque diminuíam o risco de quedas em relação aos modelos anteriores. A primeira foi a
Rover, obra do engenheiro J. K. Starkley. São bicicletas muito parecidas com as atuais, com
duas rodas do mesmo tamanho e o quadro em forma de diamante. Em 1888, John Dunlop
acrescentou as rodas com pneus, tornando os trajetos mais cômodos. [...]
Fonte: HANCOCK, J. R. Há 200 anos foi criada a primeira bicicleta: estes foram os primeiros modelos. El País. Disponível
em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/04/19/deportes/1492597692_626497.html>. Acesso em: 11 set. 2018.
Atualmente cresce o número de usuários de bicicletas motivados, principalmente, pelo
trânsito crescente nas grandes cidades e o aumento dos valores dos combustíveis fósseis.
Ainda sobre a bicicleta, veja alguns dados sobre a produção mundial e a distribuição da
frota nacional desse meio de transporte não poluidor.
POR TODA PARTE
Informações obtidas em: TRANSPORTE ATIVO. Introdução
ao mundo cicloviário. Disponível em: <www.ta.org.br/
educativos/imc/IMG/IMC_02.pdf.>. Acesso em: 3 fev. 2018.
Gráfico 1 Gráfico 2
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
Informações obtidas em: LOBO, J. A bicicleta.
Disponível em: <www.ta.org.br/temp/2013/smtr_ta.pdf>.
Acesso em: 3 fev. 2018.
Produção mundial de bicicletas* Frota brasileira de bicicletas*
* Dados de 2010.
China
Índia
Brasil
Outros países
65%
10%
5%
20%
* Dados de 2010.
Sudeste
Nordeste
Sul
Centro-Oeste
Norte
44%
26%
14%
8%
8%
Com base nos gráficos apresentados, responda no caderno:
a) Qual é o país que produz mais bicicletas no mundo? China
b) Se representarmos por x a produção mundial de bicicletas, qual monômio corresponderá
à produção:
• da China? • da Índia? • do Brasil? • da China e do Brasil juntos?
c) Se representarmos por y o total da frota nacional (Gráfico 2), qual monômio representará
a frota da região:
• Centro-Oeste? • Nordeste? • 0,08y • 0,26y
d) Junte-se a um colega e elaborem outras questões sobre os dois gráficos apresentados.
Troquem as perguntas com outras duplas (uma responde às questões elaboradas pela outra).
0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x (China e Brasil).
Resposta pessoal.
Resoluções a partir da p. 289
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162. Potenciação de monômios
Considere as situações a seguir.
1 Qual é o quadrado do monômio _10a
3
?
(!10a
3
)
2
" (!10a
3
) # (!10a
3
) " (!10) # (!10) # a
3
# a
3
" 100a
6
$100 a
3 $ 3
2 Qual é a 5
a
potência do monômio 2x
2
?
32 x
2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2
(2x
2
)
5
" (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) # (2x
2
) " 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # x
2
# x
2
# x
2
# x
2
# x
2
" 32x
10
Para tornar mais simples esses cálculos, podemos usar as propriedades das potências:
(a
m
)
n
= a
m ? n
(a ? b)
n
= a
n
? b
n
Observe, nos exemplos, como o cálculo se torna mais simples:
• (!10a
3
)
2
" (!10)
2
# (a
3
)
2
" $100a
6
• (2x
2
)
5
" (2)
5
# (x
2
)
5
" 32x
10
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o quociente dos monômios:
a) (_32abc) : (+8ac) _4b
b) (+40x
7
y
2
) : (_10x
4
y
2
) _4x
3
c) (_100a
3
) : (_25a
3
) +4
d) (+55a
4
bc
2
) : (_11a
2
bc) _5a
2
c
2. Efetue as seguintes divisões:
a) !$$
2
7
ax
4
7
ax
43 2⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠

1
2
a
3
x
b) !!$
1
2
an
1
8
an
27 6⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
_4an
3. Multiplique o monômio _40ax pelo
monômio _0,5ax
2
. A seguir, divida o
resultado pelo monômio _10ax. Qual é
o monômio que você vai obter? _2ax
2
4. Núbia dividiu o monômio +60x
6
y
3
pelo
monômio _12x
4
y
2
. Ao resultado obtido,
Resoluções a
partir da p. 289
ela adicionou o monômio +7x
2
y e obteve
M. Qual é o monômio M? M = +2x
2
y
5. Se você dividir a expressão _27a
4
b
2
+
+ 7a
4
b
2
pela expressão _10ab + 6ab, qual
monômio obterá? +5a
3
b
6. Edu efetuou a divisão _10x
3
y por _2xy
e obteve como resposta 5x
3
. A resposta
de Edu está correta?
7. Se você dividir o cubo da soma (_7y +
+ 10y + 2y) pela soma (_10y
2
_ 15y
2
),
que monômio encontrará? _5y
8. Efetue a divisão de
1
2
ac
25
4
!
⎛
⎝
⎞
⎠
por
1
4
ac
49
2
!
⎛
⎝
⎞
⎠
.
Em seguida, adicione o monômio c
2
ao
resultado. Que monômio você obteve?
Não, pois a resposta correta é 5x
2
.
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A bicicleta
A bicicleta do barão alemão Karl von Drais, de 1817, é considerada a pioneira. Ele a batizou
de “máquina corredora” (laufmaschine em alemão) e a imprensa a chamou de Draisine ou
velocípede. Era feita de madeira e funcionava com o impulso dos pés. O objetivo de Von Drais
era oferecer um meio de transporte mais barato e fácil de manter que os cavalos. [...]
Nos anos 1860, ficou popular o modelo vendido como velocípede, mas chamado  bone
shaker (“agita ossos”), por causa do que ocorria quando circulava por ruas de paralelepípedos.
Os pedais ficavam na roda dianteira. [...]
Em 1870, começa a ser produzida a bicicleta de roda alta, sendo um dos modelos mais
conhecidos (e caros) a Ariel, de James Starley. Apesar de agora soar estranho, essas bicicletas
eram mais cômodas do que suas predecessoras, mas sua popularidade foi limitada porque
“precisavam de um acrobata” para conduzi-las [...]
A partir da década de 1880, surgem as chamadas “bicicletas de segurança”, exatamente
porque diminuíam o risco de quedas em relação aos modelos anteriores. A primeira foi a
Rover, obra do engenheiro J. K. Starkley. São bicicletas muito parecidas com as atuais, com
duas rodas do mesmo tamanho e o quadro em forma de diamante. Em 1888, John Dunlop
acrescentou as rodas com pneus, tornando os trajetos mais cômodos. [...]
Fonte: HANCOCK, J. R. Há 200 anos foi criada a primeira bicicleta: estes foram os primeiros modelos. El País. Disponível
em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/04/19/deportes/1492597692_626497.html>. Acesso em: 11 set. 2018.
Atualmente cresce o número de usuários de bicicletas motivados, principalmente, pelo
trânsito crescente nas grandes cidades e o aumento dos valores dos combustíveis fósseis.
Ainda sobre a bicicleta, veja alguns dados sobre a produção mundial e a distribuição da
frota nacional desse meio de transporte não poluidor.
POR TODA PARTE
Informações obtidas em: TRANSPORTE ATIVO. Introdução
ao mundo cicloviário. Disponível em: <www.ta.org.br/
educativos/imc/IMG/IMC_02.pdf.>. Acesso em: 3 fev. 2018.
Gráfico 1 Gráfico 2
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
Informações obtidas em: LOBO, J. A bicicleta.
Disponível em: <www.ta.org.br/temp/2013/smtr_ta.pdf>.
Acesso em: 3 fev. 2018.
Produção mundial de bicicletas* Frota brasileira de bicicletas*
* Dados de 2010.
China
Índia
Brasil
Outros países
65%
10%
5%
20%
* Dados de 2010.
Sudeste
Nordeste
Sul
Centro-Oeste
Norte
44%
26%
14%
8%
8%
Com base nos gráficos apresentados, responda no caderno:
a) Qual é o país que produz mais bicicletas no mundo? China
b) Se representarmos por x a produção mundial de bicicletas, qual monômio corresponderá
à produção:
• da China? • da Índia? • do Brasil? • da China e do Brasil juntos?
c) Se representarmos por y o total da frota nacional (Gráfico 2), qual monômio representará
a frota da região:
• Centro-Oeste? • Nordeste? • 0,08y • 0,26y
d) Junte-se a um colega e elaborem outras questões sobre os dois gráficos apresentados.
Troquem as perguntas com outras duplas (uma responde às questões elaboradas pela outra).
0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x (China e Brasil).
Resposta pessoal.
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163. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Polinômios
Uma sugestão é trabalhar
com uma atividade mais con-
textualizada, cujo tema este-
ja próximo ao cotidiano dos
alunos.
Para isso, solicitar que tra-
gam para a sala de aula uma
conta de água e analisar a ex-
pressão utilizada para o cálcu-
lo do consumo. Esta deve ser
uma atividade voluntária, ou
seja, é importante que os alu-
nos se sintam à vontade para
trazer ou não a conta de água,
pois sabe-se que algumas famí-
lias não se sentem confortáveis
em socializar essas informa-
ções. Por isso, se possível, pro-
videnciar cópias de uma conta
de água e levar para a aula,
para que todos possam parti-
cipar da atividade.
Assim, além de contextuali-
zar os conhecimentos, os alu-
nos poderão refletir a respeito
de questões importantes, como
a escassez de água. Perceberão
também, observando a conta,
que há um escalonamento de
cobrança de água de acordo
com o consumo, indicado em
metros cúbicos (m
3
). Entenden-
do esse escalonamento como
um incentivo ao racionamento,
eles podem começar a refletir a
respeito do consumo conscien-
te de água.
Apresentar um exemplo de
cálculo da conta de água.
• Conta da casa de João.
Gasto mensal de 14 m
3
.
Considerando os valores
até 10 m
3
como consumo
mensal mínimo, o valor a ser
pago é: R$ 13,06.
Para valores de 11 m
3
a
20 m
3
paga-se R$ 2,04 por m
3

que ultrapassou o consumo
mínimo.
Como o consumo da casa
de João ultrapassou 4 m
3
do
consumo mínimo, o valor da
conta de água será dado por:
13,06 + 4 ? 2,04 = 21,22 H
H R$ 21,22
Em seguida, orientar os alu-
nos a confirmar o cálculo da
conta de suas residências.
Depois, pedir a eles que in-
diquem algebricamente o valor
de outra conta, supondo que
o consumo de água esteja na
classe de consumo de 11 m
3
a
20 m
3
e que ultrapassou em x
m
3
o consumo mensal mínimo.
O polinômio que represen-
ta o valor da conta de água
nesse caso é 13,06 + 2,04x
(em reais).
1 Qual é a expressão algébrica que repre-
senta a área da figura a seguir?
A área da figura é dada pela soma das
áreas das figuras 1 e 2. Adicionamos, então,
as áreas das duas figuras:
ab + x
2
a área dessa figura é dada pela soma ab + x
2
2 O desenho a seguir representa o
esboço de uma rodovia que passa
pelas cidades A, B, C e D. A distância
de A a B é igual à distância de B a C,
e ambas podem ser representadas
por x quilômetros. Sabendo que a
distância de A a D é de y quilôme-
tros, qual é a expressão algébrica
que representa a distância de C a D?
POLINÔMIOS5
CAPÍTULO
Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expressões
algébricas chamadas monômios.
Acompanhe as seguintes situações:
bx
x
a 1
2
DANIEL BOGNI
Observando o esboço, podemos concluir que a distância de C a D é dada pela diferença
entre as distâncias de A a D e de A a C:
y _ 2x A expressão algébrica y _ 2x representa a distância entre as cidades C e D.
As situações que acabamos de apresentar nos
mostram expressões algébricas que indicam, respecti-
vamente, uma adição ou uma subtração de monômios,
ou seja, indicam uma adição algébrica de monômios.
São exemplos de polinômios as seguintes expressões:
• ab + x
2
• 9z + 3y • 3x + 2y • y _ 2x
Observações:
• Qualquer monômio é considerado um polinômio.
• Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio.
Assim:
2xy é um polinômio de um só termo (monômio)
100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2
Qualquer adição algébrica de
monômios denomina-se polinômio.
EDITORIA DE ARTE
118
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em uma partida de basquete, uma jo-
gadora acertou x cestas de 2 pontos e
y cestas de 3
pontos. Escreva
o polinômio
que representa
a quantidade
de pontos que
essa jogadora
marcou nessa
partida. 2x + 3y
2. Na bicicleta reclinada da figura a seguir,
temos que: d + 5r
• a medida do raio da roda maior é 3r;
• a medida do raio da roda menor é 2r;
• a distância entre os pontos A e B é d.
Resoluções a
partir da p. 289
LÉO TEIXEIRA
Cesta de basquete.
• Escreva o polinômio que expressa a dis-
tância entre os centros C
1
e C
2
das rodas.
3. Escreva o polinômio que representa a
área da região colorida de amarelo na
figura a seguir. x
2
_ y
2
x
y
x
y
4. Em um estacionamento, há x carros e
y motos.
Escreva o polinômio que representa:
a) a quantidade de veículos estacionados.
b) a quantidade de rodas dos veículos.
5. Escreva o polinômio que representa um
número formado por:
a) x dezenas e y unidades. 10x + y
b) y dezenas e x unidades. 10y + x
6. Escreva o polinômio que expressa a
medida do segmento AB em cada figura:
a)
2a b
AC B
b)
2a
b
AB C
7. Escreva o polinômio que representa a
área da figura a seguir. a
2
+ 2ab + b
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
ab
a
b
8. Uma empresa de aluguel de carros cobra
uma taxa fixa de R$ 200,00 mais R$ 3,00
por quilômetro rodado. Qual polinômio
vai expressar o valor a ser pago por uma
pessoa que percorre x quilômetros com
um carro dessa empresa? 200 + 3x
x + y
4x + 2y
2a + b
2a _ b
STOCKBYTE/GETTY IMAGES
A
B
C
2
C
1
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164. AMPLIANDO
Atividade complementar
1. Com base nas atividades
3 e 7 desta página do livro do
aluno, faça o desenho de um
polígono em uma malha qua-
driculada e represente suas
medidas utilizando monômios.
Em seguida, troque com um
colega e solicite a ele que de-
termine as expressões que re-
presentam a área e o perímetro
da figura desenhada.
Resposta pessoal.
1 Qual é a expressão algébrica que repre-
senta a área da figura a seguir?
A área da figura é dada pela soma das
áreas das figuras 1 e 2. Adicionamos, então,
as áreas das duas figuras:
ab + x
2
a área dessa figura é dada pela soma ab + x
2
2 O desenho a seguir representa o
esboço de uma rodovia que passa
pelas cidades A, B, C e D. A distância
de A a B é igual à distância de B a C,
e ambas podem ser representadas
por x quilômetros. Sabendo que a
distância de A a D é de y quilôme-
tros, qual é a expressão algébrica
que representa a distância de C a D?
POLINÔMIOS5
CAPÍTULO
Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expressões
algébricas chamadas monômios.
Acompanhe as seguintes situações:
bx
x
a 1
2
DANIEL BOGNI
Observando o esboço, podemos concluir que a distância de C a D é dada pela diferença
entre as distâncias de A a D e de A a C:
y _ 2x A expressão algébrica y _ 2x representa a distância entre as cidades C e D.
As situações que acabamos de apresentar nos
mostram expressões algébricas que indicam, respecti-
vamente, uma adição ou uma subtração de monômios,
ou seja, indicam uma adição algébrica de monômios.
São exemplos de polinômios as seguintes expressões:
• ab + x
2
• 9z + 3y • 3x + 2y • y _ 2x
Observações:
• Qualquer monômio é considerado um polinômio.
• Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio.
Assim:
2xy é um polinômio de um só termo (monômio)
100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2
Qualquer adição algébrica de
monômios denomina-se polinômio.
EDITORIA DE ARTE
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em uma partida de basquete, uma jo-
gadora acertou x cestas de 2 pontos e
y cestas de 3
pontos. Escreva
o polinômio
que representa
a quantidade
de pontos que
essa jogadora
marcou nessa
partida. 2x + 3y
2. Na bicicleta reclinada da figura a seguir,
temos que: d + 5r
• a medida do raio da roda maior é 3r;
• a medida do raio da roda menor é 2r;
• a distância entre os pontos A e B é d.
Resoluções a
partir da p. 289
LÉO TEIXEIRA
Cesta de basquete.
• Escreva o polinômio que expressa a dis-
tância entre os centros C
1
e C
2
das rodas.
3. Escreva o polinômio que representa a
área da região colorida de amarelo na
figura a seguir. x
2
_ y
2
x
y
x
y
4. Em um estacionamento, há x carros e
y motos.
Escreva o polinômio que representa:
a) a quantidade de veículos estacionados.
b) a quantidade de rodas dos veículos.
5. Escreva o polinômio que representa um
número formado por:
a) x dezenas e y unidades. 10x + y
b) y dezenas e x unidades. 10y + x
6. Escreva o polinômio que expressa a
medida do segmento AB em cada figura:
a)
2a b
AC B
b)
2a
b
AB C
7. Escreva o polinômio que representa a
área da figura a seguir. a
2
+ 2ab + b
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
ab
a
b
8. Uma empresa de aluguel de carros cobra
uma taxa fixa de R$ 200,00 mais R$ 3,00
por quilômetro rodado. Qual polinômio
vai expressar o valor a ser pago por uma
pessoa que percorre x quilômetros com
um carro dessa empresa? 200 + 3x
x + y
4x + 2y
2a + b
2a _ b
STOCKBYTE/GETTY IMAGES
A
B
C
2
C
1
119
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165. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Polinômio reduzido
Um dos principais erros co-
metidos pelos alunos está na
redução de termos semelhan-
tes. Isso se agrava se os coe-
ficientes dos monômios forem
números racionais na forma
fracionária. Fazer algumas
abordagens na lousa, solici-
tando que os alunos efetuem
diversos cálculos envolvendo
monômios.
Polinômio reduzido
Consideremos o polinômio x
2
+ xy + xy + x
2
+ xy.
Observe que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes.
Sabendo que esses termos semelhantes podem ser reduzidos, temos:
x
2
! xy ! xy ! x
2
! xy "
" x
2
! x
2
! xy ! xy ! xy " pela propriedade comutativa

" 2x
2
! 3xy soma algébrica de monômios semelhantes
Dizemos que:
2x
2
+ 3xy é a forma reduzida do polinômio x
2
+ xy + xy + x
2
+ xy.
Veja estas outras situações:
1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a _ 5ab + 8b _ 2a + 3ab + b.
3a # 5ab ! 8b # 2a ! 3ab ! b "
" 3a # 2a # 5ab ! 3ab ! 8b ! b " pela propriedade comutativa

" a # 2ab ! 9b forma reduzida
2 Escrever na forma reduzida o polinômio 3x
2
_ (_9x + 4) + (_7x + x
2
_ 3).
3x
2
# (#9x ! 4) ! (#7x ! x
2
# 3) "
" 3x
2
! 9x # 4 # 7x ! x
2
# 3 " eliminando os parênteses
" 3x
2
! x
2
! 9x # 7x # 4 # 3 " pela propriedade comutativa

" 4x
2
! 2x # 7 forma reduzida
Observações:
• Os polinômios de um só termo são chamados monômios.
• Um polinômio reduzido de dois termos também recebe o nome de binômio.
3x + 2y
4a _ b
xy + 5y
2
• Um polinômio reduzido de três termos também é chamado trinômio.
x
2
_ 2xy + y
2
x
2
_ 7x + 10
a + 2b _ bc
• Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular.
120
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Grau de um polinômio
O grau de um polinômio reduzido não nulo é dado por seu termo de maior grau.
• O polinômio a
3
x ! 2a
4
x
3
" 9ax
2
4
o
grau7
o
grau3
o
grau
é do 7
o
grau.
• O polinômiox
3
! 6x
2
y
2
! 2xy
3
o
grau4
o
grau2
o
grau
é do 4
o
grau.
O grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relação a determinada
variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável considerada aparece
nos termos não nulos do polinômio. Assim:
O polinômio x
3
y " 3x
2
y
4
é do
3
o
grau em relação à variável x
4
o
grau em relação à variável y
Polinômios com uma só variável real
Considere os polinômios reduzidos:
• x
2
+ 7x _ 10 • x
3
_ 2x
2
+ 4x _ 1
Polinômios como esses, muito importantes para estudos futuros, são denominados polinô-
mios na variável x.
É costume, em Matemática, escrever polinômios com os termos em ordem, segundo as
potências decrescentes da variável x. Veja os exemplos:
• 6x
2
_ 5x _ 1
• x
3
_ x _ 7
• 5x
4
_ 7x
3
_ x
2
+ 2x _ 10
Quando um polinômio está assim ordenado, e nele não aparecem uma ou mais potências
da variável x, dizemos que o polinômio é incompleto. Nesse caso, os coeficientes dos termos que
não aparecem no polinômio são zeros. Veja os exemplos:
• x
3
_ 7x _ 1 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x
3
+ 0x
2
_ 7x _ 1
(forma geral).
• x
4
_ 9 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x
4
+ 0x
3
+ 0x
2
+ 0x _ 9
(forma geral).
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166. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grau de um polinômio
Ressaltar para os alunos
que:
• um polinômio na forma re-
duzida não apresenta termos
semelhantes;
• não se define grau para o
polinômio nulo (aquele que
tem todos os coeficientes
iguais a zero ou que em sua
forma reduzida é igual a zero);
• se o polinômio for de uma
única variável, o grau do po-
linômio é o maior expoente
dessa variável;
• se o polinômio tiver mais de
uma variável, é preciso verifi-
car o grau de todos os monô-
mios e o maior deles é o grau
do polinômio.
É importante destacar que
o grau de um polinômio só
pode ser determinado se esse
polinômio estiver na forma
reduzida. Discutir com eles o
exemplo a seguir.
O polinômio P = 2x
5
+
+ 3x
4
_ 2x
2
_ x
2
+ x
3
_ 2x
5

aparentemente tem grau 5,
mas, depois de reduzir seus
termos semelhantes, obtém-
-se 3x
4
+ x
3
_ 3x
2
, que é a
forma reduzida do polinô-
mio P.
Observando P em sua for-
ma reduzida, verifica-se que
ele tem grau 4 e não 5 como
aparentava.
Quase todas as situações
modeladas com polinômios
recaem em polinômios de
uma única variável.
Comentar também com os
alunos que, para escrever po-
linômios de uma só variável na
sua forma completa, eles de-
vem estar na sua forma redu-
zida e ordenados segundo as
potências decrescentes de sua
variável. Esse fato é bastante
utilizado na divisão de polinô-
mios (assunto que será visto
mais adiante) em que se preci-
sa expressar o polinômio divi-
dendo na sua forma completa.
Polinômio reduzido
Consideremos o polinômio x
2
+ xy + xy + x
2
+ xy.
Observe que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes.
Sabendo que esses termos semelhantes podem ser reduzidos, temos:
x
2
! xy ! xy ! x
2
! xy "
" x
2
! x
2
! xy ! xy ! xy " pela propriedade comutativa

" 2x
2
! 3xy soma algébrica de monômios semelhantes
Dizemos que:
2x
2
+ 3xy é a forma reduzida do polinômio x
2
+ xy + xy + x
2
+ xy.
Veja estas outras situações:
1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a _ 5ab + 8b _ 2a + 3ab + b.
3a # 5ab ! 8b # 2a ! 3ab ! b "
" 3a # 2a # 5ab ! 3ab ! 8b ! b " pela propriedade comutativa

" a # 2ab ! 9b forma reduzida
2 Escrever na forma reduzida o polinômio 3x
2
_ (_9x + 4) + (_7x + x
2
_ 3).
3x
2
# (#9x ! 4) ! (#7x ! x
2
# 3) "
" 3x
2
! 9x # 4 # 7x ! x
2
# 3 " eliminando os parênteses
" 3x
2
! x
2
! 9x # 7x # 4 # 3 " pela propriedade comutativa

" 4x
2
! 2x # 7 forma reduzida
Observações:
• Os polinômios de um só termo são chamados monômios.
• Um polinômio reduzido de dois termos também recebe o nome de binômio.
3x + 2y
4a _ b
xy + 5y
2
• Um polinômio reduzido de três termos também é chamado trinômio.
x
2
_ 2xy + y
2
x
2
_ 7x + 10
a + 2b _ bc
• Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular.
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Grau de um polinômio
O grau de um polinômio reduzido não nulo é dado por seu termo de maior grau.
• O polinômio a
3
x ! 2a
4
x
3
" 9ax
2
4
o
grau7
o
grau3
o
grau
é do 7
o
grau.
• O polinômiox
3
! 6x
2
y
2
! 2xy
3
o
grau4
o
grau2
o
grau
é do 4
o
grau.
O grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relação a determinada
variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável considerada aparece
nos termos não nulos do polinômio. Assim:
O polinômio x
3
y " 3x
2
y
4
é do
3
o
grau em relação à variável x
4
o
grau em relação à variável y
Polinômios com uma só variável real
Considere os polinômios reduzidos:
• x
2
+ 7x _ 10 • x
3
_ 2x
2
+ 4x _ 1
Polinômios como esses, muito importantes para estudos futuros, são denominados polinô-
mios na variável x.
É costume, em Matemática, escrever polinômios com os termos em ordem, segundo as
potências decrescentes da variável x. Veja os exemplos:
• 6x
2
_ 5x _ 1
• x
3
_ x _ 7
• 5x
4
_ 7x
3
_ x
2
+ 2x _ 10
Quando um polinômio está assim ordenado, e nele não aparecem uma ou mais potências
da variável x, dizemos que o polinômio é incompleto. Nesse caso, os coeficientes dos termos que
não aparecem no polinômio são zeros. Veja os exemplos:
• x
3
_ 7x _ 1 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x
3
+ 0x
2
_ 7x _ 1
(forma geral).
• x
4
_ 9 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x
4
+ 0x
3
+ 0x
2
+ 0x _ 9
(forma geral).
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AMPLIANDO
Link
O Portal do Saber, criado pela
OBMEP, disponibiliza alguns ví-
deos a respeito de expressões
algébricas e polinômios.
Disponível em: <http://livro.
pro/2ms5i9>. Acesso em: 6 nov.
2018.
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167. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de questões
os alunos vão aplicar a escrita
da forma reduzida de um po-
linômio e, ainda, determinar
o grau de um polinômio e es-
crever um polinômio de uma
variável na sua forma geral (ou
completa).
Na atividade 4, ressaltar
que para obter o grau de um
polinômio em relação a uma
determinada variável deve-se
observar o expoente dessa va-
riável em todos os termos do
polinômio em que ela apare-
ce. O maior expoente é o grau
procurado. No caso do polinô-
mio apresentado, o grau em
relação à variável x é 5, maior
expoente dessa variável. Per-
guntar também qual é o grau
em relação às demais variáveis
do polinômio.
Na atividade 6, inicialmen-
te pergunte:
• O polinômio tem quantas
variáveis? Resposta: Uma.
• O polinômio está na forma
reduzida? Por quê? Resposta:
Sim, porque não há termos se-
melhantes.
• O polinômio é completo ou
incompleto?
Resposta: Incompleto.
Assim, os alunos perceberão
o que devem observar para ob-
ter a forma geral de um polinô-
mio de uma variável.
Desafios
Para os desafios, ativida-
des 8 e 9, retomar o concei-
to de polígono regular com
os alunos. Propor a eles que
se reúnam em duplas para
resolver as questões. Sociali-
zar as diferentes estratégias
que surjam e faça a correção
coletivamente. Alguns alunos
podem explicar para a classe,
oralmente, como pensaram.
Resolução dos Desafios
8. a) Representa o períme-
tro de cada polígono.
b) 6 ? x = 6x
9. Hexágono lilás: 6 ? x = 6x
Hexágono verde:
6 ? (x + 1) = 6x + 6
Hexágono salmão:
6 ? (x + 2) = 6x + 12
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva os polinômios a seguir, na forma
reduzida:
a) 2a
2
x ! 5a
2
x
2
" 3a
2
x ! 7ax
2
"
" a
2
x
2
! 2a
2
x " 5ax
2
3a
2
x _ 4a
2
x
2
_ 2ax
2
b) 6x _ 5y + 3xy + 2xy _ 5x +
+ 9y + 4x _ xy _ y 5x + 3y + 4xy
2. Ao resolver uma questão, Fernando
chegou ao seguinte polinômio:
0,5a _ (0,7b _ 1,2ab) _ 1,3b + (0,8a +
+ 2b _ 0,6ab)
a) Qual é a forma reduzida desse polinômio?
b) O polinômio é um trinômio ou binômio?
3. Qual é a forma reduzida de cada um dos
polinômios?
a) 8ab _ (a + 7b _ 5) + (_5ab + 2 _ b) +
+ (+4a + 2ab _ 6b) 5ab + 3a _ 14b + 7
b) 2x
2
_ [2xy + x
2
_ (3xy + y
2
) + 2y
2
] – xy

Resoluções a
partir da p. 289
1,3a + 0,6ab
É um binômio.
x
2
_ y
2
4. Em relação à variável x, qual é o grau do
polinômio a seguir? 5
o
grau.
2bx
2
_ 7ax
5
_ 3cx + abx
3

5. Considere o polinômio:
10 _ 6x
3
+ x _ 9x
4
+ x
5
_ 5x
2
Escreva-o na forma ordenada e dê o
grau do polinômio.
6. Escreva a forma geral do polinômio c
5
_ 1.

7. Qual é o polinômio reduzido que ex-
pressa a área da figura a seguir?
x
x
x
x
a
a
a
13
4 5
2
x
5
_ 9x
4
_ 6x
3
_ 5x
2
+ x + 10; 5
o
grau.
c
5
+ 0c
4
+ 0c
3
+ 0c
2
+ 0c _ 1
2x
2
+ 3ax
DESAFIO
8. Todos estes polígonos são regulares e têm lados com a mesma medida x.
x x x x
3x
4x
5x
a) O que representa a expressão algébrica escrita dentro de cada figura dos três primeiros polígonos?
b) Qual expressão algébrica deve ser escrita dentro da figura do hexágono? 6x
9. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro de cada um dos hexágonos
regulares da figura a seguir. 6x; 6x + 6; 6x + 12
O perímetro.
x11
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Adição algébrica de polinômios
Considere as situações a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura?
Como o perímetro representa a soma das medidas dos
lados, temos:
(2a + 1) + (a + 10) + (a _ 3) = adição de polinômios
= 2a + 1 + a + 10 + a _ 3 =
= 2a + a + a + 1 + 10 _ 3 =
= 4a + 8 reduzindo os termos semelhantes
O polinômio que representa o perímetro da figura é 4a + 8.
2 Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições:
a ! 3
a " 10
2a " 1
Como podemos observar, os preços são expressos de maneiras diferentes. Nessas condições,
qual é o polinômio que expressa a diferença entre os preços das duas lojas?
Na loja 1, o preço é representado pelo polinômio 2x ! 5y.
Na loja 2, o preço é representado pelo polinômio x ! 3y.
A diferença entre os preços das duas lojas pode ser assim escrita:
(2x ! 5y) " (x ! 3y) # subtração de polinômios
# 2x ! 5y " x " 3y # 2x " x ! 5y " 3y # x ! 2y
A diferença entre os preços é expressa pelo polinômio x ! 2y.
3 Dados P
1
# x
3
! 4x
2
" 3x ! 7, P
2
# 3x
3
! 6x " 5 e P
3
# x
2
! 2x ! 3, determinar
P
1
! P
2
" P
3
.
P
1
! P
2
" P
3
# (x
3
! 4x
2
" 3x ! 7) ! (3x
3
! 6x " 5) " (x
2
! 2x ! 3) #
# x
3
! 4x
2
" 3x ! 7 ! 3x
3
! 6x " 5 " x
2
" 2x " 3 #
# x
3
! 3x
3
! 4x
2
" x
2
" 3x ! 6x " 2x ! 7 " 5 " 3 #
# 4x
3
! 3x
2
! x " 1
O polinômio resultante de P
1
! P
2
" P
3
é 4x
3
! 3x
2
! x " 1.
EDITORIA DE ARTE
ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI
OFERTA
2x reais de entrada
e 5 prestações
iguais de y reais
OFERTA
x reais de entrada
e 3 prestações
iguais de y reais
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168. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Adição algébrica de
polinômios
No estudo da adição algé-
brica de polinômios, os alu-
nos perceberão que grande
parte dos procedimentos arit-
méticos são válidos no campo
algébrico.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva os polinômios a seguir, na forma
reduzida:
a) 2a
2
x ! 5a
2
x
2
" 3a
2
x ! 7ax
2
"
" a
2
x
2
! 2a
2
x " 5ax
2
3a
2
x _ 4a
2
x
2
_ 2ax
2
b) 6x _ 5y + 3xy + 2xy _ 5x +
+ 9y + 4x _ xy _ y 5x + 3y + 4xy
2. Ao resolver uma questão, Fernando
chegou ao seguinte polinômio:
0,5a _ (0,7b _ 1,2ab) _ 1,3b + (0,8a +
+ 2b _ 0,6ab)
a) Qual é a forma reduzida desse polinômio?
b) O polinômio é um trinômio ou binômio?
3. Qual é a forma reduzida de cada um dos
polinômios?
a) 8ab _ (a + 7b _ 5) + (_5ab + 2 _ b) +
+ (+4a + 2ab _ 6b) 5ab + 3a _ 14b + 7
b) 2x
2
_ [2xy + x
2
_ (3xy + y
2
) + 2y
2
] – xy

Resoluções a
partir da p. 289
1,3a + 0,6ab
É um binômio.
x
2
_ y
2
4. Em relação à variável x, qual é o grau do
polinômio a seguir? 5
o
grau.
2bx
2
_ 7ax
5
_ 3cx + abx
3

5. Considere o polinômio:
10 _ 6x
3
+ x _ 9x
4
+ x
5
_ 5x
2
Escreva-o na forma ordenada e dê o
grau do polinômio.
6. Escreva a forma geral do polinômio c
5
_ 1.

7. Qual é o polinômio reduzido que ex-
pressa a área da figura a seguir?
x
x
x
x
a
a
a
13
4 5
2
x
5
_ 9x
4
_ 6x
3
_ 5x
2
+ x + 10; 5
o
grau.
c
5
+ 0c
4
+ 0c
3
+ 0c
2
+ 0c _ 1
2x
2
+ 3ax
DESAFIO
8. Todos estes polígonos são regulares e têm lados com a mesma medida x.
x x x x
3x
4x
5x
a) O que representa a expressão algébrica escrita dentro de cada figura dos três primeiros polígonos?
b) Qual expressão algébrica deve ser escrita dentro da figura do hexágono? 6x
9. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro de cada um dos hexágonos
regulares da figura a seguir. 6x; 6x + 6; 6x + 12
O perímetro.
x11
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
122
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Adição algébrica de polinômios
Considere as situações a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura?
Como o perímetro representa a soma das medidas dos
lados, temos:
(2a + 1) + (a + 10) + (a _ 3) = adição de polinômios
= 2a + 1 + a + 10 + a _ 3 =
= 2a + a + a + 1 + 10 _ 3 =
= 4a + 8 reduzindo os termos semelhantes
O polinômio que representa o perímetro da figura é 4a + 8.
2 Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições:
a ! 3
a " 10
2a " 1
Como podemos observar, os preços são expressos de maneiras diferentes. Nessas condições,
qual é o polinômio que expressa a diferença entre os preços das duas lojas?
Na loja 1, o preço é representado pelo polinômio 2x ! 5y.
Na loja 2, o preço é representado pelo polinômio x ! 3y.
A diferença entre os preços das duas lojas pode ser assim escrita:
(2x ! 5y) " (x ! 3y) # subtração de polinômios
# 2x ! 5y " x " 3y # 2x " x ! 5y " 3y # x ! 2y
A diferença entre os preços é expressa pelo polinômio x ! 2y.
3 Dados P
1
# x
3
! 4x
2
" 3x ! 7, P
2
# 3x
3
! 6x " 5 e P
3
# x
2
! 2x ! 3, determinar
P
1
! P
2
" P
3
.
P
1
! P
2
" P
3
# (x
3
! 4x
2
" 3x ! 7) ! (3x
3
! 6x " 5) " (x
2
! 2x ! 3) #
# x
3
! 4x
2
" 3x ! 7 ! 3x
3
! 6x " 5 " x
2
" 2x " 3 #
# x
3
! 3x
3
! 4x
2
" x
2
" 3x ! 6x " 2x ! 7 " 5 " 3 #
# 4x
3
! 3x
2
! x " 1
O polinômio resultante de P
1
! P
2
" P
3
é 4x
3
! 3x
2
! x " 1.
EDITORIA DE ARTE
ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI
OFERTA
2x reais de entrada
e 5 prestações
iguais de y reais
OFERTA
x reais de entrada
e 3 prestações
iguais de y reais
123
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169. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões apresenta-
das propõem que os alunos
apliquem a adição algébrica
de polinômios. Algumas das
questões retomam conceitos
já vistos, como é o caso do va-
lor numérico de uma expres-
são algébrica.
Na atividade 4, discutir
com os alunos o conceito de
oposto. Comentar que todo
polinômio adicionado ao seu
oposto resulta no polinômio
nulo.
Resolver, caso julgue ne-
cessário, algumas questões na
lousa, como a atividade 2.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe as medidas dos lados da figura
e escreva o polinômio que expressa o
perímetro desta figura. 13x + 3,1a
3x ! a
3x ! a
3x ! 0,5a
4x ! 0,6a
2. Quando adicionamos os polinômios
17x
2
_ 15x + 20 e _13x
2
+ 20x _ 31,
obtemos a soma: ax
2
+ bx + c. Qual é o
valor numérico da expressão a + b + c? _2
3. Em uma partida de basquete, Tiago fez
x arremessos de lances livres e acertou
60% menos 3 desses lances livres. Seu com-
panheiro de equipe, Fernando, também
arremessou x lances livres, acertando 40%
mais 1 desses lances.
Escreva o polinômio que representa:
a) a quantidade de lances livres que Tiago
acertou. 0,6x _ 3
b) a quantidade de lances livres que
Fernando acertou. 0,4x + 1
c) a quantidade de lances livres que os dois
acertaram juntos. x _ 2
d) a diferença entre o número de lances
livres que Tiago acertou e o número de
lances livres que Fernando acertou.
4. Você sabia que um polinômio tem
oposto? Veja as seguintes afirmações.
• _x é o oposto de +x.
• 2xy
2
é o oposto de _2xy
2
.
• (2a + b) é o oposto de _(2a + b).
• _(x
2
_ 3x + 1) é o oposto de
(x
2
_ 3x + 1).
Dado o polinômio A = 9a
2
x
2
_ 7ax _ 11a +
+ 6x, responda:
Resoluções a
partir da p. 289
0,2x _ 4
a) Qual é o oposto do polinômio A?
b) Qual é o resultado da soma de A com o
seu oposto? 0
c) Subtraindo de A o seu oposto, que poli-
nômio obtemos?
5. Considere os polinômios P
1
= a + b + c,
P
2
= a _ b + c e P
3
= a + b _ c. Determine:
a) P
1
! P
2
! P
3
3a + b + c
b) P
1
! P
2
" P
3
a _ b + 3c
c) P
1
" P
2
! P
3
a + 3b _ c
d) P
1
" P
2
" P
3
_a + b + c
6. Um polinômio A adicionado ao polinômio
9x + 3y _ 10xy _ x
2
y
2
tem como resultado
o polinômio 3x
2
y
2
_ 7x + 5y _ xy. Qual é
o polinômio A?
7. Dados os polinômios P = x
2
+ y
2
_ 5xy e
Q = 2x
2
+ 8xy _ 3y
2
, determine:
a) P + Q b) P – Q
8. Determine os polinômios que
representam:
a) (15a _ 7b + 4c) + (_8b + 3c _ 9a)
b) (2y
2
_ 3ay + 4a
2
) _ (ay _ 5y
2
_ a
2
)
c) (3a
3
_ 2a
2
b + 5ab
2
_ 6b
3
) + (7a
2
b _ 5a
3
+
+ b
3
_ 6ab
2
)

d) (x
2
_ 3xy + y
2
_ x
2
y
2
) + (+x
2
+ 5x
2
y
2
+
+ y
2
+ 3xy)

2x
2
+ 2y
2
+ 4x
2
y
2
e) (a
2
_ 1,6b
2
+ 0,9c
2
) _ (0,8a
2
_ b
2
+ 1,7c
2
)
f) (7a
2
_ 3 a b + 2b
2
) _ ( 3 a
2
_ 5 a b _ c
2
_ 3 b
2
) +
+ (_6ab + c
2
) 4a
2
_ 4ab + 5b
2
+ 2c
2
g) (0,9x
3
_ 1,8x + 1) + (_1,3x
2
+
+ 2,6x _ 2) _ (0,7x
3
_ 1,6x
2
+ 0,4x + 5)
h) (ab + a
2
b
2
_ 7a _ b) _ (4a
2
b
2
_ 7a +
+ 3b _ ab) + (4b + 5a
2
b
2
)

2a
2
b
2
+ 2ab
i) (7y
3
_ 2y
2
+ 3y _ 5) + (y
3
_ 4y +
+ 9) _ (5y
3
+ 4y
2
_ y + 1) 3y
3
_ 6y
2
+ 3
_9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x
18a
2
x
2
_ 14ax _ 22a + 12x
4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
3x
2
+ 3xy _ 2y
2
_x
2
_ 13xy + 4y
2
6a _ 15b + 7c
7y
2
_ 4ay + 5a
2
_2a
3
+ 5a
2
b _ ab
2
_ 5b
3
0,2a
2
_ 0,6b
2
_ 0,8c
2
0,2x
3
+ 0,3x
2
+ 0,4x _ 6
EDITORIA DE ARTE
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Multiplicação de polinômios
Multiplicando um monômio por um polinômio
De que maneira podemos representar a área desta figura?
2x y
x 1 2
Uma das maneiras de representar a área é:
x ! (2x " y)
medida da largura
medida do comprimento
A expressão x ? (2x + y) representa, algebricamente, a multiplicação do monômio x pelo
polinômio 2x + y.
Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das figuras que a
compõem, ou seja:
x ! (2x " y) # x ! 2x " x ! y # 2x
2
" xy

área da área da
figura 1 figura 2
Observe que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica:
x ! (2x " y) # 2x
2
" xy
Podemos dizer que:
A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita
multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o produto 5a
2
m ! (3a $ 2am)?
5a
2
m ! (3a $ 2am) #
# 5a
2
m ! 3a $ 5a
2
m ! 2am #
# 15a
3
m $ 10a
3
m
2
Nesse caso:
• Multiplicamos 5a
2
m por 3a: 5a
2
m ? 3a = 5 ? 3 ? a
2
? a ? m = 15a
3
m.
• Multiplicamos 5a
2
m por $2am: 5a
2
m ? (_2am) = 5 ? (_2) ? a
2
? a ? m ? m = _10a
3
m
2
.
• Somando algebricamente ambos os resultados obtivemos o polinômio 15a
3
m $ 10a
3
m
2
.
EDITORIA DE ARTE
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170. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Multiplicação de
polinômios
Ao abordar a multiplicação
de polinômios, retomar com
os alunos a propriedade distri-
butiva.
AMPLIANDO
Link
Uma possibilidade é pedir
aos alunos para explorarem
atividades em que se faz a
multiplicação de monômios
por polinômios, acessando a
plataforma Khan Academy.
Disponível em: <http://livro.
pro/8jjh9k>. Acesso em: 4 nov.
2018.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observe as medidas dos lados da figura
e escreva o polinômio que expressa o
perímetro desta figura. 13x + 3,1a
3x ! a
3x ! a
3x ! 0,5a
4x ! 0,6a
2. Quando adicionamos os polinômios
17x
2
_ 15x + 20 e _13x
2
+ 20x _ 31,
obtemos a soma: ax
2
+ bx + c. Qual é o
valor numérico da expressão a + b + c? _2
3. Em uma partida de basquete, Tiago fez
x arremessos de lances livres e acertou
60% menos 3 desses lances livres. Seu com-
panheiro de equipe, Fernando, também
arremessou x lances livres, acertando 40%
mais 1 desses lances.
Escreva o polinômio que representa:
a) a quantidade de lances livres que Tiago
acertou. 0,6x _ 3
b) a quantidade de lances livres que
Fernando acertou. 0,4x + 1
c) a quantidade de lances livres que os dois
acertaram juntos. x _ 2
d) a diferença entre o número de lances
livres que Tiago acertou e o número de
lances livres que Fernando acertou.
4. Você sabia que um polinômio tem
oposto? Veja as seguintes afirmações.
• _x é o oposto de +x.
• 2xy
2
é o oposto de _2xy
2
.
• (2a + b) é o oposto de _(2a + b).
• _(x
2
_ 3x + 1) é o oposto de
(x
2
_ 3x + 1).
Dado o polinômio A = 9a
2
x
2
_ 7ax _ 11a +
+ 6x, responda:
Resoluções a
partir da p. 289
0,2x _ 4
a) Qual é o oposto do polinômio A?
b) Qual é o resultado da soma de A com o
seu oposto? 0
c) Subtraindo de A o seu oposto, que poli-
nômio obtemos?
5. Considere os polinômios P
1
= a + b + c,
P
2
= a _ b + c e P
3
= a + b _ c. Determine:
a) P
1
! P
2
! P
3
3a + b + c
b) P
1
! P
2
" P
3
a _ b + 3c
c) P
1
" P
2
! P
3
a + 3b _ c
d) P
1
" P
2
" P
3
_a + b + c
6. Um polinômio A adicionado ao polinômio
9x + 3y _ 10xy _ x
2
y
2
tem como resultado
o polinômio 3x
2
y
2
_ 7x + 5y _ xy. Qual é
o polinômio A?
7. Dados os polinômios P = x
2
+ y
2
_ 5xy e
Q = 2x
2
+ 8xy _ 3y
2
, determine:
a) P + Q b) P – Q
8. Determine os polinômios que
representam:
a) (15a _ 7b + 4c) + (_8b + 3c _ 9a)
b) (2y
2
_ 3ay + 4a
2
) _ (ay _ 5y
2
_ a
2
)
c) (3a
3
_ 2a
2
b + 5ab
2
_ 6b
3
) + (7a
2
b _ 5a
3
+
+ b
3
_ 6ab
2
)

d) (x
2
_ 3xy + y
2
_ x
2
y
2
) + (+x
2
+ 5x
2
y
2
+
+ y
2
+ 3xy)

2x
2
+ 2y
2
+ 4x
2
y
2
e) (a
2
_ 1,6b
2
+ 0,9c
2
) _ (0,8a
2
_ b
2
+ 1,7c
2
)
f) (7a
2
_ 3 a b + 2b
2
) _ ( 3 a
2
_ 5 a b _ c
2
_ 3 b
2
) +
+ (_6ab + c
2
) 4a
2
_ 4ab + 5b
2
+ 2c
2
g) (0,9x
3
_ 1,8x + 1) + (_1,3x
2
+
+ 2,6x _ 2) _ (0,7x
3
_ 1,6x
2
+ 0,4x + 5)
h) (ab + a
2
b
2
_ 7a _ b) _ (4a
2
b
2
_ 7a +
+ 3b _ ab) + (4b + 5a
2
b
2
)

2a
2
b
2
+ 2ab
i) (7y
3
_ 2y
2
+ 3y _ 5) + (y
3
_ 4y +
+ 9) _ (5y
3
+ 4y
2
_ y + 1) 3y
3
_ 6y
2
+ 3
_9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x
18a
2
x
2
_ 14ax _ 22a + 12x
4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
3x
2
+ 3xy _ 2y
2
_x
2
_ 13xy + 4y
2
6a _ 15b + 7c
7y
2
_ 4ay + 5a
2
_2a
3
+ 5a
2
b _ ab
2
_ 5b
3
0,2a
2
_ 0,6b
2
_ 0,8c
2
0,2x
3
+ 0,3x
2
+ 0,4x _ 6
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Multiplicação de polinômios
Multiplicando um monômio por um polinômio
De que maneira podemos representar a área desta figura?
2x y
x 1 2
Uma das maneiras de representar a área é:
x ! (2x " y)
medida da largura
medida do comprimento
A expressão x ? (2x + y) representa, algebricamente, a multiplicação do monômio x pelo
polinômio 2x + y.
Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das figuras que a
compõem, ou seja:
x ! (2x " y) # x ! 2x " x ! y # 2x
2
" xy

área da área da
figura 1 figura 2
Observe que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica:
x ! (2x " y) # 2x
2
" xy
Podemos dizer que:
A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita
multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o produto 5a
2
m ! (3a $ 2am)?
5a
2
m ! (3a $ 2am) #
# 5a
2
m ! 3a $ 5a
2
m ! 2am #
# 15a
3
m $ 10a
3
m
2
Nesse caso:
• Multiplicamos 5a
2
m por 3a: 5a
2
m ? 3a = 5 ? 3 ? a
2
? a ? m = 15a
3
m.
• Multiplicamos 5a
2
m por $2am: 5a
2
m ? (_2am) = 5 ? (_2) ? a
2
? a ? m ? m = _10a
3
m
2
.
• Somando algebricamente ambos os resultados obtivemos o polinômio 15a
3
m $ 10a
3
m
2
.
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171. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Representação geométrica:
10
10
2
10 ? 10
2 ? 10 2 ? 6
10 ? 6
6
Depois de discutir com os
alunos as maneiras apresen-
tadas anteriormente, propor
que eles façam a seguinte
multiplicação envolvendo dois
binômios:
(x + 2) ? (x + 6)
Espera-se que eles possam,
por analogia, obter esse pro-
duto.
Os alunos podem fazer essa
parte reunidos em duplas, sob
sua orientação.
Eles podem começar pela
representação geométrica:
x
x
2
x ? x
2 ? x2 ? 6
x ? 6
6
x+2
x x+6
6x+12
x
2
+2x +
x
2
+8x+12
EDITORIA DE ARTE
EDITORIA DE ARTE
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se
cada termo (ou monômio) de um deles por cada termo (ou monômio) do outro e
reduzindo-se os termos semelhantes (se houver).
Multiplicando um polinômio por outro polinômio
De que maneira podemos representar a área da figura seguinte?
xa
x
b
1 2
3 4
Como a figura representada é um retângulo de lados (x + a) e (x + b), uma das maneiras
de representar a área é:
(x ! a) " (x ! b)
medida da largura
medida do comprimento
Note que, algebricamente, a expressão (x + a) ? (x + b) representa a multiplicação de um
polinômio por outro polinômio.
Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das quatro figuras que a
compõem, ou seja:
x " x ! x " a ! b " x ! b " a # x
2
! ax ! bx ! ab
área 1área 2 área 3 área 4
Então:
(x ! a) " (x ! b) # x " x ! x " b ! a " x ! a " b # x
2
! ax ! bx ! ab

polinômio
polinômio
Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica:
• Multiplicamos x por x, o que resultou em x
2
.
• Multiplicamos a por x, o que resultou em ax.
• Multiplicamos x por b, o que resultou em bx.
• Multiplicamos a por b, o que resultou em ab.
Podemos dizer que:
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Acompanhe as questões a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o produto (3a ! 2b) (2a " 5b)?
(3a ! 2b) # (2a " 5b) $ Também podemos fazer assim:
$ 3a # 2a ! 3a # ("5)b ! 2b # 2a ! 2b # ("5)b $
$ 6a
2
" 15ab ! 4ab " 10b
2
$
$ 6a
2
" 11ab " 10b
2
O polinômio procurado é 6a
2
" 11ab " 10b
2
.
2 Vamos calcular o produto de x ! 2 por x
2
" x " 2.
(x ! 2) # (x
2
" x " 2) $ Também podemos fazer assim:
$ x # x
2
! x # ("x) ! x # ("2) !
! 2 # x
2
! 2 # ("x) ! 2 # ("2) $
$ x
3
" x
2
" 2x ! 2x
2
" 2x " 4 $
$ x
3
" x
2
! 2x
2
" 2x " 2x " 4 $
$ x
3
! x
2
" 4x " 4
O produto é expresso por x
3
! x
2
" 4x " 4.
3a ! 2b
% 2a " 5b
6a
2
! 4ab 2a(3a ! 2b)
"15ab " 10b
2
"5b(3a ! 2b)
6a
2
" 11ab " 10b
2
x
2
" x " 2
% x ! 2
x
3
" x
2
" 2x x(x
2
" x " 2)
!2x
2
" 2x " 4 2(x
2
" x " 2)
x
3
! x
2
" 4x " 4
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva o polinômio que representa a
área da região verde da figura.
2x
1,2y
y
2. As dimensões de um paralelepípedo re-
tângulo são 3x, 2y e (2x _ y). Se o volume
de um paralelepípedo é dado pelo
produto de suas três dimensões, escreva
o polinômio que represente o volume.
3. Escreva os polinômios na forma reduzida:
a) 2bx(1 _ a) + 2x(a _ b _ c) _ 2x(a _ c)
b) 3a(2a _ b) _ [a(6a _ 3b) _ b(3a _ 5b)]
Resoluções a
partir da p. 289
2xy _ 1,2y
2
12x
2
y _ 6xy
2
_2abx
3ab _ 5b
2
4. Na loja Só Computadores, havia a se-
guinte oferta: xy + 4xz

PROMOÇÃO
Computador e estabilizador
Entrada de y reais
e 4 prestações mensais de z reais.
Sabendo que foram vendidos x desses
computadores ontem, escreva o polinô-
mio que representa a quantia que a loja
faturou com as vendas desse dia.
5. Escreva o polinômio P = a(a
2
_ ab + b
2
) +
+ b(a
2
_ ab + b
2
) na sua forma reduzida.
a
3
+ b
3
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172. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões desse bloco
exploram a multiplicação de
monômio por polinômio.
Na atividade 2, se neces-
sário, esclareça que deve ser
efetuada primeiro a multipli-
cação entre os monômios e,
depois, a multiplicação entre
o monômio resultante e o
polinômio.
Na atividade 5, antes de os
alunos determinarem a forma
reduzida, perguntar qual é o
grau do polinômio P. Discutir
com eles as possíveis respos-
tas, que serão validadas ao se
obter a forma reduzida.
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se
cada termo (ou monômio) de um deles por cada termo (ou monômio) do outro e
reduzindo-se os termos semelhantes (se houver).
Multiplicando um polinômio por outro polinômio
De que maneira podemos representar a área da figura seguinte?
xa
x
b
1 2
3 4
Como a figura representada é um retângulo de lados (x + a) e (x + b), uma das maneiras
de representar a área é:
(x ! a) " (x ! b)
medida da largura
medida do comprimento
Note que, algebricamente, a expressão (x + a) ? (x + b) representa a multiplicação de um
polinômio por outro polinômio.
Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das quatro figuras que a
compõem, ou seja:
x " x ! x " a ! b " x ! b " a # x
2
! ax ! bx ! ab
área 1área 2 área 3 área 4
Então:
(x ! a) " (x ! b) # x " x ! x " b ! a " x ! a " b # x
2
! ax ! bx ! ab

polinômio
polinômio
Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica:
• Multiplicamos x por x, o que resultou em x
2
.
• Multiplicamos a por x, o que resultou em ax.
• Multiplicamos x por b, o que resultou em bx.
• Multiplicamos a por b, o que resultou em ab.
Podemos dizer que:
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Acompanhe as questões a seguir.
1 Qual é o polinômio que representa o produto (3a ! 2b) (2a " 5b)?
(3a ! 2b) # (2a " 5b) $ Também podemos fazer assim:
$ 3a # 2a ! 3a # ("5)b ! 2b # 2a ! 2b # ("5)b $
$ 6a
2
" 15ab ! 4ab " 10b
2
$
$ 6a
2
" 11ab " 10b
2
O polinômio procurado é 6a
2
" 11ab " 10b
2
.
2 Vamos calcular o produto de x ! 2 por x
2
" x " 2.
(x ! 2) # (x
2
" x " 2) $ Também podemos fazer assim:
$ x # x
2
! x # ("x) ! x # ("2) !
! 2 # x
2
! 2 # ("x) ! 2 # ("2) $
$ x
3
" x
2
" 2x ! 2x
2
" 2x " 4 $
$ x
3
" x
2
! 2x
2
" 2x " 2x " 4 $
$ x
3
! x
2
" 4x " 4
O produto é expresso por x
3
! x
2
" 4x " 4.
3a ! 2b
% 2a " 5b
6a
2
! 4ab 2a(3a ! 2b)
"15ab " 10b
2
"5b(3a ! 2b)
6a
2
" 11ab " 10b
2
x
2
" x " 2
% x ! 2
x
3
" x
2
" 2x x(x
2
" x " 2)
!2x
2
" 2x " 4 2(x
2
" x " 2)
x
3
! x
2
" 4x " 4
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Escreva o polinômio que representa a
área da região verde da figura.
2x
1,2y
y
2. As dimensões de um paralelepípedo re-
tângulo são 3x, 2y e (2x _ y). Se o volume
de um paralelepípedo é dado pelo
produto de suas três dimensões, escreva
o polinômio que represente o volume.
3. Escreva os polinômios na forma reduzida:
a) 2bx(1 _ a) + 2x(a _ b _ c) _ 2x(a _ c)
b) 3a(2a _ b) _ [a(6a _ 3b) _ b(3a _ 5b)]
Resoluções a
partir da p. 289
2xy _ 1,2y
2
12x
2
y _ 6xy
2
_2abx
3ab _ 5b
2
4. Na loja Só Computadores, havia a se-
guinte oferta: xy + 4xz

PROMOÇÃO
Computador e estabilizador
Entrada de y reais
e 4 prestações mensais de z reais.
Sabendo que foram vendidos x desses
computadores ontem, escreva o polinô-
mio que representa a quantia que a loja
faturou com as vendas desse dia.
5. Escreva o polinômio P = a(a
2
_ ab + b
2
) +
+ b(a
2
_ ab + b
2
) na sua forma reduzida.
a
3
+ b
3
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AMPLIANDO
Atividade complementar
Propor a seguinte atividade
para ampliar o trabalho com
multiplicação de polinômios.
Solicitar aos alunos que
calculem 16 ? 12. Orientá-los
a observar que a propriedade
distributiva da multiplicação
em relação à adição é a base
para o cálculo do algoritmo da
multiplicação com os números
decompostos.
Resolução de atividade:
Efetuando o cálculo 16 ? 12:
Algoritmo:
10+6
x10+2
12
20
60
+ 100
192
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173. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Desafio
Você pode enriquecer esse
trabalho de integração com
Geometria propondo aos alu-
nos que, depois de resolve-
rem o desafio, atividade 13,
construam um dominó com
20 peças (aproveitando as
nove já expostas na ativida-
de), que relacionem polinô-
mios com perímetros e áreas
de figuras planas e até volu-
mes de sólidos conhecidos.
Organizar a classe em gru-
pos para que cada um deles
construa o seu dominó. Discu-
tir com eles se todos os domi-
nós construídos completam o
jogo.
Esses jogos podem ficar na
escola para serem aproveita-
dos em outros anos.
Resolução do Desafio
Na ponta da esquerda do
dominó, precisamos da figura
de um polígono cujo períme-
tro seja dado por 2x + 2y. Esse
polígono é uma das pontas da
peça B. Seguindo esse raciocí-
nio, as próximas peças serão
C, D e A.
Na ponta da direita do
dominó, precisamos de uma
peça que expresse o perímetro
(6x) ou a área (2x
2
) desse po-
lígono. Essa expressão é uma
das pontas da peça A. Seguin-
do esse raciocínio, as próximas
peças serão D, C e B.
6. Observe esta figura:
3x y
y
2x
a) Escreva o polinômio que representa a
área da região verde. 6x
2
_ xy _ y
2
b) Calcule o valor numérico do polinômio
obtido para x = 20 e y = 10. 2 100
7. Multiplicando o polinômio 1,2x + 0,5y
por 1,5x _ 0,5y, obtém-se um polinômio P.
Escreva P. P = 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
8. Quando você multiplica 5x
2
_ x _ 1 por
2x
2
+ x _ 5, obtém como produto o
polinômio ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e.
Qual é o valor numérico da expressão
a + b + c + d + e? _6
9. Escreva o polinômio que representa cada
produto.
a) (3a _ 1,5x)(0,7a _ 5x)
b) (a
2
_ 1)(2a
2
_ 2a + 1)
c) (a + x)(a
2
_ ax + x
2
)

a
3
+ x
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2,1a
2
_ 16,05ax + 7,5x
2
2a
4
_ 2a
3
_ a
2
+ 2a _ 1
1 0 . Usando a multiplicação, escreva o po-
linômio que representa cada uma das
potências a seguir.
a) (x _ 5y)
2
x
2
_ 10xy + 25y
2
b) (0,6 + 2ax)
2
0,36 + 2,4ax + 4a
2
x
2
c) (b + y)
3
b
3
+ 3b
2
y + 3by
2
+ y
3
11. Você sabe que o volume de um para-
lelepípedo é dado pelo produto das
medidas das três dimensões desse sólido.
Determine o polinômio que representa
a soma dos volumes das figuras a seguir.
x
3x ! 1
2x
1
x ! 3
x ! 1
x
2
12. Escreva na forma mais simples os
polinômios:
a) (a
3
_ b
3
)(a + b) _ (a
2
+ b
2
)(a
2
_ b
2
)
b) (a _ 2b)[a(b _ 3) + b(1 _ a)]
7x
3
+ 6x
2
+ 3x
a
3
b _ ab
3
_3a
2
+ 7ab _ 2b
2
DESAFIO
13. Você sabe jogar dominó?
No dominó que aparece aqui,
também devemos encostar as peças
em uma das extremidades abertas. A
parte de uma peça em que aparece
um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça
uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono.
Vendo este jogo já começado, como você o continuaria? Indique em qual
sequência você colocaria as seguintes peças.
Pela porta da esquerda: B, C, D, A. Pela ponta da direita: A, D, C, B.
x
x
x
x
x
x
área
2x
2
A
perímetro
8x
x
xx
x
x
2x
2x3x
C
x
x
y
y
perímetro 12 x
B D
x
2x
2x
3x
perímetro
6x
um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça
uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono.
x x
yy yy
x
x
y
y
x
y
x
y
x
2x
perímetro
2x
!
2y
perímetro
2x ! 4y
área
x
2
" y
2
área
xy
2
área
xy
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
WANDSON ROCHA
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Divisão de polinômios por um monômio
Considere as seguintes situações:
1 Dividir 9x
5
! 21x
4
" 12x
3
por 3x
3
.
(9x
5
! 21x
4
" 12x
3
) ! (3x
3
) #
#! "$ #(9x21x12x)
1
3x
54 3
3
!" #
9x
3x
21x
3x
12x
3x
5
3
4
3
3
3
# (9x
5
! 3x
3
) ! (21x
4
! 3x
3
) " (12x
3
! 3x
3
) #

# 3x
2
! 7x " 4 # 3x
2
! 7x " 4
2 Calcular (40x
3
y
2
" 5x
2
y
3
) ! ("10xy).
(40x
3
y
2
" 5x
2
y
3
) ! ("10xy) #
#" $" #(40xy5xy)
1
10xy
32 23⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
#" !#
40xy
10xy
5xy
10xy
32 23
# "(40x
3
y
2
! 10xy) ! (5x
2
y
3
! 10xy) #

# "4x
2
y !
1
2
xy
2
# "4x
2
y ! 0,5 xy
2
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo
fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Veja outra situação:
3 Calcular (12a
4
b
2
" 28a
2
b
2
! 4ab
3
) ! (4ab).
(12a
4
b
2
" 28a
2
b
2
! 4ab
3
) ! (4ab) #
# (12a
4
b
2
) ! (4ab) " (28a
2
b
2
) ! (4ab) ! (4ab
3
) ! (4ab) #
# 3a
3
b " 7ab ! b
2
Responda às questões no caderno.
1. Efetue cada uma das seguintes divisões:
a) (2,5a
4
b " 4,5a
5
b
3
) ! ("5ab) _0,5a
3
+ 0,9a
4
b
2
c) (a
2
b
2
c
2
! a
3
bc " abc
2
) ! (abc)
b) !""
1
6
xy
5
8
xy
1
2
xy
44 33 33⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
_
1
3
xy +
5
4
2. Ao multiplicar um polinômio P por um monômio, você vai encontrar
18a
2
x
5
! 42a
3
x
4
" 72a
4
x
3
. Se o monômio é 6a
2
x
3
, qual é esse polinômio? 3x
2
+ 7ax _ 12a
2
Resoluções a
partir da p. 289
abc + a
2
_ c
ATIVIDADES
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174. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo levar os alunos
a efetuar a divisão de um po-
linômio por um monômio não
nulo ou de um polinômio por
outro polinômio não nulo e
aplicar a relação fundamental
da divisão:
dividendo = quociente x di-
visor + resto
Nos exercícios que envol-
vem divisão de polinômios por
monômios, sugerir aos alunos
que façam a representação
das divisões em forma de fra-
ção antes de realizar os cálcu-
los, por exemplo:
(_45a
6
+ 27a
2
) : (9a
2
) =
=
_45a
2
+ 27a
2
9a
2
=
=
45a
6
9a
2
+
27a
6
9a
2
=
= _5a
4
+ 3
6. Observe esta figura:
3x y
y
2x
a) Escreva o polinômio que representa a
área da região verde. 6x
2
_ xy _ y
2
b) Calcule o valor numérico do polinômio
obtido para x = 20 e y = 10. 2 100
7. Multiplicando o polinômio 1,2x + 0,5y
por 1,5x _ 0,5y, obtém-se um polinômio P.
Escreva P. P = 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
8. Quando você multiplica 5x
2
_ x _ 1 por
2x
2
+ x _ 5, obtém como produto o
polinômio ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e.
Qual é o valor numérico da expressão
a + b + c + d + e? _6
9. Escreva o polinômio que representa cada
produto.
a) (3a _ 1,5x)(0,7a _ 5x)
b) (a
2
_ 1)(2a
2
_ 2a + 1)
c) (a + x)(a
2
_ ax + x
2
)

a
3
+ x
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2,1a
2
_ 16,05ax + 7,5x
2
2a
4
_ 2a
3
_ a
2
+ 2a _ 1
1 0 . Usando a multiplicação, escreva o po-
linômio que representa cada uma das
potências a seguir.
a) (x _ 5y)
2
x
2
_ 10xy + 25y
2
b) (0,6 + 2ax)
2
0,36 + 2,4ax + 4a
2
x
2
c) (b + y)
3
b
3
+ 3b
2
y + 3by
2
+ y
3
11. Você sabe que o volume de um para-
lelepípedo é dado pelo produto das
medidas das três dimensões desse sólido.
Determine o polinômio que representa
a soma dos volumes das figuras a seguir.
x
3x ! 1
2x
1
x ! 3
x ! 1
x
2
12. Escreva na forma mais simples os
polinômios:
a) (a
3
_ b
3
)(a + b) _ (a
2
+ b
2
)(a
2
_ b
2
)
b) (a _ 2b)[a(b _ 3) + b(1 _ a)]
7x
3
+ 6x
2
+ 3x
a
3
b _ ab
3
_3a
2
+ 7ab _ 2b
2
DESAFIO
13. Você sabe jogar dominó?
No dominó que aparece aqui,
também devemos encostar as peças
em uma das extremidades abertas. A
parte de uma peça em que aparece
um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça
uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono.
Vendo este jogo já começado, como você o continuaria? Indique em qual
sequência você colocaria as seguintes peças.
Pela porta da esquerda: B, C, D, A. Pela ponta da direita: A, D, C, B.
x
x
x
x
x
x
área
2x
2
A
perímetro
8x
x
xx
x
x
2x
2x3x
C
x
x
y
y
perímetro 12 x
B D
x
2x
2x
3x
perímetro
6x
um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça
uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono.
x x
yy yy
x
x
y
y
x
y
x
y
x
2x
perímetro
2x
!
2y
perímetro
2x ! 4y
área
x
2
" y
2
área
xy
2
área
xy
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
WANDSON ROCHA
128
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Divisão de polinômios por um monômio
Considere as seguintes situações:
1 Dividir 9x
5
! 21x
4
" 12x
3
por 3x
3
.
(9x
5
! 21x
4
" 12x
3
) ! (3x
3
) #
#! "$ #(9x21x12x)
1
3x
54 3
3
!" #
9x
3x
21x
3x
12x
3x
5
3
4
3
3
3
# (9x
5
! 3x
3
) ! (21x
4
! 3x
3
) " (12x
3
! 3x
3
) #

# 3x
2
! 7x " 4 # 3x
2
! 7x " 4
2 Calcular (40x
3
y
2
" 5x
2
y
3
) ! ("10xy).
(40x
3
y
2
" 5x
2
y
3
) ! ("10xy) #
#" $" #(40xy5xy)
1
10xy
32 23⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
#" !#
40xy
10xy
5xy
10xy
32 23
# "(40x
3
y
2
! 10xy) ! (5x
2
y
3
! 10xy) #

# "4x
2
y !
1
2
xy
2
# "4x
2
y ! 0,5 xy
2
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo
fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Veja outra situação:
3 Calcular (12a
4
b
2
" 28a
2
b
2
! 4ab
3
) ! (4ab).
(12a
4
b
2
" 28a
2
b
2
! 4ab
3
) ! (4ab) #
# (12a
4
b
2
) ! (4ab) " (28a
2
b
2
) ! (4ab) ! (4ab
3
) ! (4ab) #
# 3a
3
b " 7ab ! b
2
Responda às questões no caderno.
1. Efetue cada uma das seguintes divisões:
a) (2,5a
4
b " 4,5a
5
b
3
) ! ("5ab) _0,5a
3
+ 0,9a
4
b
2
c) (a
2
b
2
c
2
! a
3
bc " abc
2
) ! (abc)
b) !""
1
6
xy
5
8
xy
1
2
xy
44 33 33⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
_
1
3
xy +
5
4
2. Ao multiplicar um polinômio P por um monômio, você vai encontrar
18a
2
x
5
! 42a
3
x
4
" 72a
4
x
3
. Se o monômio é 6a
2
x
3
, qual é esse polinômio? 3x
2
+ 7ax _ 12a
2
Resoluções a
partir da p. 289
abc + a
2
_ c
ATIVIDADES
129
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129
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175. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
Nessa seção, os alunos en-
trarão em contato com um
infográfico que apresenta a
esperança de vida ao nascer
em países membros do G-8 e
de cinco países em desenvol-
vimento. Além da leitura de-
talhada de cada informação,
é importante que percebam
que essa forma de apresentar
informações é muito utilizada,
por exemplo, em jornais e re-
vistas. Conversar com a turma
a respeito das “vantagens” e
“desvantagens” desse tipo
de gênero textual e ainda as
particularidades existentes na
formatação e na organização
dos dados.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Interpretando dados
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador geral do desenvolvimento humano
apoiado sob três aspectos: saúde, educação e renda. Ele surgiu com o intuito de oferecer um
contraponto ao Produto Interno Bruto (PIB) per capita, que é uma medida econômica e que não
reflete a qualidade de vida de uma população. O pilar da saúde utiliza a esperança de vida ao
nascer como parâmetro de cálculo.
A tabela a seguir mostra a situação, em 2016, de 13 países em relação a esse indicador:
os países membros do Grupo dos 8 (G-8), composto das sete nações mais industrializadas do
mundo (Estados Unidos, Japão, Alemanha, Reino Unido, França, Itália e Canadá) e pela Federação
Russa, além de cinco países em desenvolvimento (China, Índia, México, Brasil e África do Sul), que
participam como convidados das reuniões anuais do G-8.
Resoluções a
partir da p. 289
Fonte: COUNTRYECONOMY.COM . Disponível em:
<https://pt.countryeconomy.com/demografia/
esperanca-vida>. Acesso em: 7 set. 2018.
País
Esperança de vida ao
nascer (em anos)
Japão 83,98
Canadá 82,20
Itália 83,40
França 82,70
Alemanha 81,00
Reino Unido 81,20
Estados Unidos 78,69
México 77,12
China 76,25
Brasil 75,51
Rússia 71,59
Índia 68,56
África do Sul 62,77
Esperança de vida ao nascer – 2016
130
D2-MAT-F2-2051-V8-U04-096-133-LA-G20.indd 130 11/13/18 18:14
Fontes: COUNTRYECONOMY.COM . Disponível em: <https://
pt.countryeconomy.com/demografia/natalidade?anio=2016>
e PORDATA. Disponível em: <https://www.pordata.pt/Europa/
Taxa+bruta+de+natalidade-1605>. Acessos em: 11 set. 2018.
País Taxa de natalidade (‰)
Japão 7,80
Canadá 10,80
Itália 7,80
França 11,70
Alemanha 9,60
Reino Unido 11,80
Estados Unidos 12,40
México 18,17
China 12,00
Brasil 14,16
Rússia 12,90
Índia 19,01
África do Sul 20,98
Taxa de natalidade – 2016
Responda às questões no caderno.
1. Qual era a média, aproximada, de esperança de vida ao nascer, nos países indicados,
em 2016? 77,30 anos.
2. Qual é a variação da esperança de vida ao nascer entre o país que ocupa a primeira e
o que ocupa a última colocação no infográfico? Identifique quais são esses países.
3. Comparando o Brasil com o Japão, quanto os brasileiros viviam menos que os japoneses?
4. Em 2005, a esperança de vida ao nascer no Brasil era de 71,9 anos. Já em 2013 ela subiu
para 73,9. Quantos anos aumentou a esperança de vida ao nascer no Brasil em 2013 em
relação a 2005? 2,0 anos.
No entanto, o IDH não contempla todos os índices de desenvolvimento de um país. Por
exemplo, ele não contempla a taxa de natalidade do país. Essa taxa é o indicativo do
número de nascidos vivos a cada 1 000 habitantes. Veja a tabela com esse índice para
os mesmos países que vimos antes.
Resoluções a partir da p. 289
2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África do Sul; maior esperança
de vida: 83,98 anos, no Japão; variação da esperança de vida: 21,21 anos.
8,47 anos.
O símbolo ‰ deve ser lido “por mil”.
SAIBA QUE
Responda às questões no caderno.
5. O Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE) é o órgão, no
Brasil, responsável pela coleta, pelo
tratamento e armazenamento dos
dados relativos à população brasi-
leira. Debata com seus colegas de
classe a importância desse trabalho.
A que ele se destina?
6. Os dados mostrados estão or-
ganizados em forma de tabela.
Organize-os em gráficos e, em
seguida, faça um texto explicando
a escolha pelo tipo de gráfico
utilizado. Destaque pontos como
adequação aos dados, facilidade
de leitura, de comparação etc.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
131
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176. AMPLIANDO
Link
Sugerir aos alunos que
consultem a seção Respon-
dendo do site do IBGE para
obter informações sobre para
que servem as pesquisas so-
bre população:
• IBGE. Para que servem
as pesquisas do IBGE? Dis-
ponível em: <http://livro.pro/
ibhigg>. Acesso em: 6 nov.
2018.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Interpretando dados
O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador geral do desenvolvimento humano
apoiado sob três aspectos: saúde, educação e renda. Ele surgiu com o intuito de oferecer um
contraponto ao Produto Interno Bruto (PIB) per capita, que é uma medida econômica e que não
reflete a qualidade de vida de uma população. O pilar da saúde utiliza a esperança de vida ao
nascer como parâmetro de cálculo.
A tabela a seguir mostra a situação, em 2016, de 13 países em relação a esse indicador:
os países membros do Grupo dos 8 (G-8), composto das sete nações mais industrializadas do
mundo (Estados Unidos, Japão, Alemanha, Reino Unido, França, Itália e Canadá) e pela Federação
Russa, além de cinco países em desenvolvimento (China, Índia, México, Brasil e África do Sul), que
participam como convidados das reuniões anuais do G-8.
Resoluções a
partir da p. 289
Fonte: COUNTRYECONOMY.COM . Disponível em:
<https://pt.countryeconomy.com/demografia/
esperanca-vida>. Acesso em: 7 set. 2018.
País
Esperança de vida ao
nascer (em anos)
Japão 83,98
Canadá 82,20
Itália 83,40
França 82,70
Alemanha 81,00
Reino Unido 81,20
Estados Unidos 78,69
México 77,12
China 76,25
Brasil 75,51
Rússia 71,59
Índia 68,56
África do Sul 62,77
Esperança de vida ao nascer – 2016
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Fontes: COUNTRYECONOMY.COM . Disponível em: <https://
pt.countryeconomy.com/demografia/natalidade?anio=2016>
e PORDATA. Disponível em: <https://www.pordata.pt/Europa/
Taxa+bruta+de+natalidade-1605>. Acessos em: 11 set. 2018.
País Taxa de natalidade (‰)
Japão 7,80
Canadá 10,80
Itália 7,80
França 11,70
Alemanha 9,60
Reino Unido 11,80
Estados Unidos 12,40
México 18,17
China 12,00
Brasil 14,16
Rússia 12,90
Índia 19,01
África do Sul 20,98
Taxa de natalidade – 2016
Responda às questões no caderno.
1. Qual era a média, aproximada, de esperança de vida ao nascer, nos países indicados,
em 2016? 77,30 anos.
2. Qual é a variação da esperança de vida ao nascer entre o país que ocupa a primeira e
o que ocupa a última colocação no infográfico? Identifique quais são esses países.
3. Comparando o Brasil com o Japão, quanto os brasileiros viviam menos que os japoneses?
4. Em 2005, a esperança de vida ao nascer no Brasil era de 71,9 anos. Já em 2013 ela subiu
para 73,9. Quantos anos aumentou a esperança de vida ao nascer no Brasil em 2013 em
relação a 2005? 2,0 anos.
No entanto, o IDH não contempla todos os índices de desenvolvimento de um país. Por
exemplo, ele não contempla a taxa de natalidade do país. Essa taxa é o indicativo do
número de nascidos vivos a cada 1 000 habitantes. Veja a tabela com esse índice para
os mesmos países que vimos antes.
Resoluções a partir da p. 289
2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África do Sul; maior esperança
de vida: 83,98 anos, no Japão; variação da esperança de vida: 21,21 anos.
8,47 anos.
O símbolo ‰ deve ser lido “por mil”.
SAIBA QUE
Responda às questões no caderno.
5. O Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística (IBGE) é o órgão, no
Brasil, responsável pela coleta, pelo
tratamento e armazenamento dos
dados relativos à população brasi-
leira. Debata com seus colegas de
classe a importância desse trabalho.
A que ele se destina?
6. Os dados mostrados estão or-
ganizados em forma de tabela.
Organize-os em gráficos e, em
seguida, faça um texto explicando
a escolha pelo tipo de gráfico
utilizado. Destaque pontos como
adequação aos dados, facilidade
de leitura, de comparação etc.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
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177. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
Essas questões visam reto-
mar o trabalho com expres-
sões numéricas e seus valores
numéricos. Você pode propor
aos alunos que tragam de casa
algumas questões já resolvidas
e desenvolvam outras na sala,
com os colegas, fazendo uma
autocorreção das questões fei-
tas individualmente. As ques-
tões em que os alunos tiverem
mais dificuldades podem ser
resolvidas na lousa.
Retomar com os alunos
alguns dos tópicos tratados
nessa Unidade, dando ênfase
para a Educação financeira
e o Tratamento da infor-
mação. Questionar os alunos
se o tema cálculo algébrico e
expressões algébricas se re-
laciona com esses tópicos. A
ideia é fazê-los perceber que
os modelos matemáticos utili-
zados na situação do cotidia-
no dependem da Álgebra para
serem formulados.
Explicar que existem mo-
delos matemáticos que fazem
parte do dia a dia de maneira
implícita, por exemplo, algorit-
mos computacionais, fórmulas
de juros compostos, entre ou-
tras possibilidades.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. Determine o valor numérico da expres-
são 3x
2
_ 5x _ 1 quando:
a) x = 0 _1
b) x = _1 7
c) x = 1,2 _2,68
2. Considere a seguinte expressão
algébrica:
(_a _ b)(a + b) + ab
3
_
a
2
b
Sendo a = b = _2, o valor numérico
dessa expressão é: Alternativa a.
a) 2
b) _2
c) 1
d) _1
e) 4
3. Considere a expressão algébrica
xy
x _ y
.
O valor numérico dessa expressão
quando x = 0,4 e y = 0,5 é:
a) _4
b) _1
c) 1
d) 2
e) _2
4. (Saresp-SP) Uma locadora cobra R$ 20,00
por dia pelo aluguel de uma bicicleta.
Além disso, ela também cobra, apenas
no primeiro dia, uma taxa de R$ 30,00.
Chamando de x o número de dias que
a bicicleta permanece alugada e de y o
valor total do aluguel, é correto afirmar
que:
a) y = 600x
b) y = 50x
c) y = 30x + 20
d) y = 20x + 30
5. (Saresp-SP) O valor numérico da expres-
são x
3
+ 2x
2
, para x igual a _2, é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) 16
6. O presidente de uma empresa resol-
veu anunciar um de seus produtos na
Resoluções a
partir da p. 289
Alternativa e.
Alternativa d.
Alternativa c.
televisão. Constatou-se que houve um
aumento nas vendas a partir de então. O
diretor de marketing dessa empresa ve-
rificou que a quantidade vendida desse
produto no mês podia ser represen-
tada pela expressão algébrica
3
2
x + 40,
em que x representa o número de anún-
cios na televisão durante o mês. Se, em
determinado mês, foram feitas 50 apari-
ções na televisão, então foram vendidas
nesse mês: Alternativa c.
a) 125 unidades.
b) 120 unidades.
c) 115 unidades.
d) 110 unidades.
e) 105 unidades.
7. (Fuvest-SP) Se A =
x _ y
xy
, x =
2
5
e y =
1
2
,
então A é igual a:
a) _0,1
b) 0,2
c) _0,3
d) 0,4
e) _0,5
8. Um grupo de estudantes de meteorologia
pesquisou as variações de temperatura em
certa cidade. Após longa coleta de dados,
o grupo concluiu que a temperatura podia
ser calculada por meio da fórmula mate-
mática T = _
1
6
t
2
+ 4t + 10, na qual T
representa a temperatura, e t representa
a hora do dia. O grupo calculou a tempe-
ratura na cidade às 12 horas e às 18 horas.
Nesse período, a temperatura diminuiu
quantos graus Celsius? Alternativa d.
a) 9 °C
b) 8 °C
c) 7 °C
d) 6 °C
e) 5 °C
9. (FCMSC-SP) Para x = 0,1, o valor da ex-
pressão
x
3
_ 1
1 _ x
é: Alternativa b.
a) _11,11
b) _1,11
c) _0,111
d) 1,11
e) 11,1
Alternativa e.
132
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1 0 . Considerando uma bola com 10 cm de
diâmetro e se o volume da esfera é dado
por
4
3
pr
3
(em que r é o raio da esfera),
o volume correspondente a uma bola é:
a) 4186,66 cm
3
b) 500 cm
3
c) 5233,33 cm
3
d) 418,64 cm
3
e) 523,33 cm
3
11. Sabe-se que a
x
= 10. Então, qual é o valor
de A, se A = 4 ? a
x
_ 2a
2x
? Alternativa b.
a) _200
b) _160
c) _120
d) _60
e) 240
12. A área do triângulo colorido dentro do
retângulo a seguir pode ser represen-
tada pelo monômio: Alternativa d.
EDITORIA DE ARTE
5x
2,5x
a) 12,5x
b) 6,25x
c) 12,5x
2
d) 6,25x
2
e) 6,25
Alternativa e.
13. São dados dois números reais, dos quais
o maior vale o triplo do menor. Se o
menor dos números é expresso por 3,5x,
o monômio que representa o produto
desses dois números é: Alternativa b.
a) 36x
2
b) 36,75x
2
c) 36x
d) 36,75x
e) 24,5x
2
14. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da
expressão n
2
+ 3n + 1 para n valendo 1,
2, 3 etc., obtém-se uma das sequências
a seguir. Qual delas? Alternativa b.
a) 5, 11, 17, 23, ...
b) 5, 11, 19, 29, ...
c) 5, 7, 9, 11, ...
d) 1, 5, 9, 13, ...
15. A sequência
xy
4
,
x
2
y
2
, x
3
y, ... tem 7 termos.
Qual é o último termo dessa sequência?
a) 16x
7
y
b) 8x
7
y
c) 16x
6
y
d) 16x
5
y
e) 32x
7
y
Alternativa a.
Nesta Unidade, abordamos a introdução ao cálculo algébrico, as expressões algébricas
ou literais e o valor numérico das expressões algébricas. Também estudamos os conceitos
de monômios, polinômios e suas operações.
Na seção Educação financeira, foi estabelecida uma discussão sobre juros e na seção
Tratamento da informação continuamos o trabalho de análise de dados, determinando
qual o melhor tipo de gráfico a ser utilizado.
Na abertura desta Unidade, buscou-se fazer uma reflexão sobre a simbologia utilizada
na escrita matemática, de modo que você pudesse entender que as construções utilizadas
nesta Unidade são uma maneira simplificada de se escrever uma expressão matemática.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às
questões seguintes no caderno:
• Qual é a importância das expressões algébricas no cotidiano e na Matemática?
• De acordo com a abertura da Unidade, além de François Viète, quais outros matemáticos
e filósofos tiveram influência na utilização de letras e símbolos na Matemática? Pesquise.
• Faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios,
garantindo um exemplo para cada operação. Resposta pessoal.
• Qual é a importância do estudo de monômios e polinômios? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
Aristóteles, Euclides, Michael Stifel, Girolamo Cardano, Raffaele Bombelli e Leonhard Euler são os mais notórios
personagens dessa longa história.
Resoluções a partir da p. 289
133
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178. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento des-
sa Unidade poderão permitir,
além da retomada dos conte-
údos apresentados, reflexões
a respeito das aprendizagens
individuais e sistematizações.
Por isso, é importante que os
alunos respondam individual-
mente a cada uma das ques-
tões para que possam perceber
suas próprias conquistas e pos-
síveis dúvidas em cada conteú-
do estudado na Unidade.
A proposta de resumo deve-
-se à quantidade de conceitos
que são trabalhadas. Para os
alunos, é uma importante reto-
mada de diversos conceitos. Se
julgar conveniente, pode-se ini-
ciar esse trabalho em sala, com
a sua mediação, e propondo
que o finalizem em casa.
Depois de os alunos res-
ponderem às questões, em
uma roda de conversa, pedir
que alguns alunos exponham
o que fizeram para iniciar uma
discussão a respeito de cada
questão. Em seguida é possível
propor a elaboração coletiva
de um diagrama organizando
o que foi estudado.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. Determine o valor numérico da expres-
são 3x
2
_ 5x _ 1 quando:
a) x = 0 _1
b) x = _1 7
c) x = 1,2 _2,68
2. Considere a seguinte expressão
algébrica:
(_a _ b)(a + b) + ab
3
_
a
2
b
Sendo a = b = _2, o valor numérico
dessa expressão é: Alternativa a.
a) 2
b) _2
c) 1
d) _1
e) 4
3. Considere a expressão algébrica
xy
x _ y
.
O valor numérico dessa expressão
quando x = 0,4 e y = 0,5 é:
a) _4
b) _1
c) 1
d) 2
e) _2
4. (Saresp-SP) Uma locadora cobra R$ 20,00
por dia pelo aluguel de uma bicicleta.
Além disso, ela também cobra, apenas
no primeiro dia, uma taxa de R$ 30,00.
Chamando de x o número de dias que
a bicicleta permanece alugada e de y o
valor total do aluguel, é correto afirmar
que:
a) y = 600x
b) y = 50x
c) y = 30x + 20
d) y = 20x + 30
5. (Saresp-SP) O valor numérico da expres-
são x
3
+ 2x
2
, para x igual a _2, é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) 16
6. O presidente de uma empresa resol-
veu anunciar um de seus produtos na
Resoluções a
partir da p. 289
Alternativa e.
Alternativa d.
Alternativa c.
televisão. Constatou-se que houve um
aumento nas vendas a partir de então. O
diretor de marketing dessa empresa ve-
rificou que a quantidade vendida desse
produto no mês podia ser represen-
tada pela expressão algébrica
3
2
x + 40,
em que x representa o número de anún-
cios na televisão durante o mês. Se, em
determinado mês, foram feitas 50 apari-
ções na televisão, então foram vendidas
nesse mês: Alternativa c.
a) 125 unidades.
b) 120 unidades.
c) 115 unidades.
d) 110 unidades.
e) 105 unidades.
7. (Fuvest-SP) Se A =
x _ y
xy
, x =
2
5
e y =
1
2
,
então A é igual a:
a) _0,1
b) 0,2
c) _0,3
d) 0,4
e) _0,5
8. Um grupo de estudantes de meteorologia
pesquisou as variações de temperatura em
certa cidade. Após longa coleta de dados,
o grupo concluiu que a temperatura podia
ser calculada por meio da fórmula mate-
mática T = _
1
6
t
2
+ 4t + 10, na qual T
representa a temperatura, e t representa
a hora do dia. O grupo calculou a tempe-
ratura na cidade às 12 horas e às 18 horas.
Nesse período, a temperatura diminuiu
quantos graus Celsius? Alternativa d.
a) 9 °C
b) 8 °C
c) 7 °C
d) 6 °C
e) 5 °C
9. (FCMSC-SP) Para x = 0,1, o valor da ex-
pressão
x
3
_ 1
1 _ x
é: Alternativa b.
a) _11,11
b) _1,11
c) _0,111
d) 1,11
e) 11,1
Alternativa e.
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1 0 . Considerando uma bola com 10 cm de
diâmetro e se o volume da esfera é dado
por
4
3
pr
3
(em que r é o raio da esfera),
o volume correspondente a uma bola é:
a) 4186,66 cm
3
b) 500 cm
3
c) 5233,33 cm
3
d) 418,64 cm
3
e) 523,33 cm
3
11. Sabe-se que a
x
= 10. Então, qual é o valor
de A, se A = 4 ? a
x
_ 2a
2x
? Alternativa b.
a) _200
b) _160
c) _120
d) _60
e) 240
12. A área do triângulo colorido dentro do
retângulo a seguir pode ser represen-
tada pelo monômio: Alternativa d.
EDITORIA DE ARTE
5x
2,5x
a) 12,5x
b) 6,25x
c) 12,5x
2
d) 6,25x
2
e) 6,25
Alternativa e.
13. São dados dois números reais, dos quais
o maior vale o triplo do menor. Se o
menor dos números é expresso por 3,5x,
o monômio que representa o produto
desses dois números é: Alternativa b.
a) 36x
2
b) 36,75x
2
c) 36x
d) 36,75x
e) 24,5x
2
14. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da
expressão n
2
+ 3n + 1 para n valendo 1,
2, 3 etc., obtém-se uma das sequências
a seguir. Qual delas? Alternativa b.
a) 5, 11, 17, 23, ...
b) 5, 11, 19, 29, ...
c) 5, 7, 9, 11, ...
d) 1, 5, 9, 13, ...
15. A sequência
xy
4
,
x
2
y
2
, x
3
y, ... tem 7 termos.
Qual é o último termo dessa sequência?
a) 16x
7
y
b) 8x
7
y
c) 16x
6
y
d) 16x
5
y
e) 32x
7
y
Alternativa a.
Nesta Unidade, abordamos a introdução ao cálculo algébrico, as expressões algébricas
ou literais e o valor numérico das expressões algébricas. Também estudamos os conceitos
de monômios, polinômios e suas operações.
Na seção Educação financeira, foi estabelecida uma discussão sobre juros e na seção
Tratamento da informação continuamos o trabalho de análise de dados, determinando
qual o melhor tipo de gráfico a ser utilizado.
Na abertura desta Unidade, buscou-se fazer uma reflexão sobre a simbologia utilizada
na escrita matemática, de modo que você pudesse entender que as construções utilizadas
nesta Unidade são uma maneira simplificada de se escrever uma expressão matemática.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às
questões seguintes no caderno:
• Qual é a importância das expressões algébricas no cotidiano e na Matemática?
• De acordo com a abertura da Unidade, além de François Viète, quais outros matemáticos
e filósofos tiveram influência na utilização de letras e símbolos na Matemática? Pesquise.
• Faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios,
garantindo um exemplo para cada operação. Resposta pessoal.
• Qual é a importância do estudo de monômios e polinômios? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
Aristóteles, Euclides, Michael Stifel, Girolamo Cardano, Raffaele Bombelli e Leonhard Euler são os mais notórios
personagens dessa longa história.
Resoluções a partir da p. 289
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179. COMPETÊNCIAS
GERAIS
1. Valorizar e utilizar os co-
nhecimentos historicamente
construídos sobre o mundo
físico, social, cultural e digital
para entender e explicar a rea-
lidade, continuar aprendendo
e colaborar para a construção
de uma sociedade justa, de-
mocrática e inclusiva.
7. Argumentar com base
em fatos, dados e informações
confiáveis, para formular, ne-
gociar e defender ideias, pon-
tos de vista e decisões comuns
que respeitem e promovam os
direitos humanos, a consciên-
cia socioambiental e o con-
sumo responsável em âmbito
local, regional e global, com
posicionamento ético em rela-
ção ao cuidado de si mesmo,
dos outros e do planeta.
ESPECÍFICAS
1. Reconhecer que a Mate-
mática é uma ciência humana,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes cultu-
ras, em diferentes momentos
históricos, e é uma ciência viva,
que contribui para solucionar
problemas científicos e tecno-
lógicos e para alicerçar desco-
bertas e construções, inclusive
com impactos no mundo do
trabalho.
3. Compreender as rela-
ções entre conceitos e pro-
cedimentos dos diferentes
campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria,
Estatística e Probabilidade) e
de outras áreas do conheci-
mento, sentindo segurança
quanto à própria capacidade
de construir e aplicar conhe-
cimentos matemáticos, de-
senvolvendo a autoestima e
a perseverança na busca de
soluções.
8. Interagir com seus pares
de forma cooperativa, traba-
lhando coletivamente no pla-
nejamento e desenvolvimento
de pesquisas para responder
a questionamentos e na busca
de soluções para problemas,
de modo a identificar aspec-
tos consensuais ou não na dis-
cussão de uma determinada
questão, respeitando o modo
de pensar dos colegas e apren-
dendo com eles.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Álgebra
• EF08MA07
• EF08MA08
• EF08MA09
Agora, pense e responda no caderno:
• A qual trecho do diálogo você associaria a equação
v + g = 112?
• E a qual trecho você associaria a equação
4v + 2g = 384?
• Observando a equação anterior, o que você acha
que representa o termo 4v? E o termo 2g?
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das
vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna
das galinhas.
Agora, pense e responda no caderno:
• A qual trecho do diálogo você associaria a equação
v + g = 112?
• E a qual trecho você associaria a equação
4v + 2g = 384?
• Observando a equação anterior, o que você acha
que representa o termo 4v? E o termo 2g?
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
g
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
g g
E a qual trecho você associaria a equação
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
E a qual trecho você associaria a equaçãoE a qual trecho você associaria a equação
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
2g
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
2g 2g
Observando a equação anterior, o que você acha
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
Observando a equação anterior, o que você acha Observando a equação anterior, o que você acha
Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das
vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna
das galinhas.das galinhas.
MANZI
Equações5
Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem dezenove!
Esse problema aparece em um papiro egípcio escrito
há 3 000 anos. Desde essa época, o ser humano já se aven-
turava no campo das equações.
Muitas vezes, as equações são usadas para fazer previ-
sões e projetos e toda equação possui sempre, pelo menos,
um valor que não conhecemos.
Em Matemática, é comum utilizarmos uma letra para
identificar esse valor.
PRIMOPIANO/SHUTTERSTOCK.COM
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Mãe,
quantas vacas e
galinhas há aqui na
fazenda?
Entre vacas e
galinhas, são 112 animais, em
um total de 384 pernas. E então,
quantas vacas e quantas galinhas
há aqui?
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180. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Nessas páginas os alunos
serão convidados a resolver
uma situação que envolve
um sistema de equações. Su-
gere-se que, nesse momento,
sejam reunidos em duplas e,
juntos, tentem encontrar a so-
lução para o questionamento
apresentado no diálogo entre
a mãe e a filha.
Incentivar os alunos a re-
gistrar todas as estratégias e
hipóteses por eles levantadas
e, em seguida, construir com a
turma um cartaz de soluções,
em que cada dupla deverá re-
gistrar sua forma de resolver
o problema e apresentar oral-
mente aos demais as estraté-
gias utilizadas.
Nesse momento, não há
necessidade de apresentar de
forma sistemática o sistema
de equações. Os alunos serão
incentivados a investigar essa
atividade novamente no en-
cerramento desta Unidade, na
seção Um novo olhar, após o
estudo formal desse conteú-
do. Nessa seção, eles serão es-
timulados a tentar solucionar
um problema parecido com
esse, mas com alguns dados
modificados.
Se julgar necessário, propor
outros problemas cuja resolu-
ção também envolva a formula-
ção e solução de equações.
AMPLIANDO
Atividade complementar
• José nasceu 5 anos depois
de seu irmão Pedro. Quantos
anos tinha Pedro quando ele ti-
nha o dobro da idade de José?
Resolução da atividade:
Indicando por J a idade de
José e por P a idade de Pedro,
podemos escrever duas equa-
ções para representar as infor-
mações do problema:
J + 5 = P h J = P _ 5
P = 2J
Substituindo a expressão
que representa J na equação
P = 2J, temos:
P = 2J
P = 2(P _ 5)
P = 2P _ 10
P = 10
Assim, pode-se concluir
que Pedro tinha 10 anos
quando tinha o dobro da ida-
de de José.Agora, pense e responda no caderno:
• A qual trecho do diálogo você associaria a equação
v + g = 112?
• E a qual trecho você associaria a equação
4v + 2g = 384?
• Observando a equação anterior, o que você acha
que representa o termo 4v? E o termo 2g?
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das
vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna
das galinhas.
Agora, pense e responda no caderno:
• A qual trecho do diálogo você associaria a equação
v + g = 112?
• E a qual trecho você associaria a equação
4v + 2g = 384?
• Observando a equação anterior, o que você acha
que representa o termo 4v? E o termo 2g?
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
g
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
g g
E a qual trecho você associaria a equação
Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”.
E a qual trecho você associaria a equaçãoE a qual trecho você associaria a equação
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
2g
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
2g 2g
Observando a equação anterior, o que você acha
Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.”
Observando a equação anterior, o que você acha Observando a equação anterior, o que você acha
Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das
vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna
das galinhas.das galinhas.
MANZI
Equações5
Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem dezenove!
Esse problema aparece em um papiro egípcio escrito
há 3 000 anos. Desde essa época, o ser humano já se aven-
turava no campo das equações.
Muitas vezes, as equações são usadas para fazer previ-
sões e projetos e toda equação possui sempre, pelo menos,
um valor que não conhecemos.
Em Matemática, é comum utilizarmos uma letra para
identificar esse valor.
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Mãe,
quantas vacas e
galinhas há aqui na
fazenda?
Entre vacas e
galinhas, são 112 animais, em
um total de 384 pernas. E então,
quantas vacas e quantas galinhas
há aqui?
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181. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Equação do 1
o
grau com
uma incógnita
Os alunos já tiveram um pri-
meiro contato com o estudo
das equações de 1
o
grau no 7
o

ano. No 8
o
ano, retoma-se esse
estudo e aprofunda-se o tema,
abordando as equações literais,
fracionárias e as equações do 1
o

grau com duas incógnitas. Com
isso, é possível o estudo da re-
presentação geométrica desse
tipo de equação no plano car-
tesiano e sua utilização como
método para resolução de um
sistema de equações.
Pense e responda
Os alunos devem usar o
método apresentado anterior-
mente para resolver os pro-
blemas. Depois, pedir a eles
que, com os conhecimentos
já adquiridos, representem as
situações de forma algébri-
ca, esperando que obtenham
equações do 1
o
grau com uma
incógnita.
Ao resolverem essas equa-
ções, propor uma discussão
a respeito de qual processo
sentiram mais facilidade para
determinar a resposta. É inte-
ressante notar que, nesse caso,
não há uma única resposta cor-
reta, o mais importante é que
os alunos consigam justificar
suas escolhas, analisando os
pontos positivos e negativos
de cada método. Algumas
perguntas que podem orien-
tar esse raciocínio são: “Qual
é a dificuldade que pode apre-
sentar o processo dos antigos
egípcios?”; “Qual é a possível
vantagem de representar pro-
blemas como esses por meio
de uma equação?”.
1
CAPÍTULO
EQUAÇÃO DO 1
O
GRAU COM
UMA INCÓGNITA
Alguns documentos antigos, como os papiros egípcios, traziam inúmeros e curiosos
problemas matemáticos.
Veja a tradução de um problema que aparece no famoso Papiro de Rhind.
Uma quantidade, sua metade,
seus dois terços, todos juntos são 26.
Diga-me: qual é essa quantidade?
EDITORIA DE ARTE
Como os egípcios não usavam a linguagem algébrica das equações, para resolver
esse tipo de problema, eles atribuíam à quantidade procurada um valor arbitrário, que fosse
divisível, ao mesmo tempo, pelos denominadores das frações que apareciam no problema;
nesse caso específico, um valor que fosse divisível por 2 (sua metade) e por 3 (seus dois
terços) ao mesmo tempo. Esse valor pode ser 6, 12, 18, 24 ou qualquer múltiplo de 6, pois
qualquer um desses números é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Usando o valor 6, por exemplo, e de acordo com o problema, temos:
6 !
1
2
" (6) !
2
3
" (6) # 6 ! 3 ! 4 # 13
Como 13 não é a soma dada no problema, vamos fazer como os egípcios e usar
a ideia de proporção. Com os valores 6, 13 e 26 montamos a proporção:
• Ao valor arbitrário 6 corresponde a soma 13.
• A qual valor vai corresponder à soma 26?
Como 26 representa o dobro de 13, que foi o valor encontrado, então, pela
proporção, a quantidade procurada representará o dobro do valor arbitrário 6. Assim,
a quantidade procurada será 2 ? 6, ou seja, 12.
Comprovando, temos:
+⋅ +⋅ =+ +=12
1
2
(12)
2
3
(12)1268 26

Conheça, a seguir, a tradução de outros problemas encontrados no Papiro de Rhind e
tente resolvê-los, no caderno, usando o processo utilizado pelos egípcios.
1. U m a q u a n t i d a d e a u m e n t a d a d o s e u u m s é t i m o r e s u l t a e m 4 0 . Q u a l é e s s a q u a n t i d a d e ?
2. Uma quantidade, sua metade e sua quarta parte, adicionadas, resultam em 56. Qual
é essa quantidade? 32
3. Uma quantidade, seus dois terços e seus três quartos são adicionados, e a soma é 145.
Qual é essa quantidade? 60
35
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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A grande importância da Álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números
desconhecidos e possibilitar fazer generalizações.
Ao representar o número desconhecido (ou incógnita) usando uma letra do alfabeto, podemos
estabelecer uma relação entre os números conhecidos e os desconhecidos por meio de uma
sentença matemática, por exemplo, uma equação.
Usando técnicas matemáticas, podemos manipular essa equação até torná-la a mais simples
possível, permitindo, assim, que se estabeleça o valor do número desconhecido.
Considere a seguinte situação:
Desenvolvendo certa velocidade média, um motorista percorreu, de carro, a distância entre
as cidades baianas de Salvador e Mangue Seco em 4 horas. Se o motorista tivesse aumentado
em 20 km/h a velocidade média, teria percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou
seja, em 3 horas. Como calcular a distância percorrida?
Distância entre Salvador e Mangue Seco
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: 2012.
SONIA VAZ
!"
x
4
20
x
3
velocidade média que
supostamente o veículo teria
desenvolvido no percurso
aumento da velocidade média
velocidade média com a qual
o carro fez o percurso
Vamos representar por x a
distância percorrida.
Considerando que: velocidade
média =
distânciapercorrida
tempogasto
,
podemos montar a equação a
seguir para o problema.
Centro histórico, Salvador,
Bahia, 2018.
INES SACRAMENTO/SHUTTERSTOCK.COM
12° S
37° O
0 30
OCEANO
ATLÂNTICO
BAHIA
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182. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Resolver na lousa o proble-
ma proposto no livro do aluno.
Observar se os alunos equacio-
nam o problema, com base na
situação dada. A transição da
linguagem verbal para a lingua-
gem matemática é um ponto a
ser observado na sala de aula,
pois muitos alunos costumam
apresentar dificuldades nessa
mudança de registro.
Se julgar pertinente, levar
para a sala de aula um conjun-
to de problemas, que não serão
resolvidos neste momento, para
serem apenas equacionados.
1
CAPÍTULO
EQUAÇÃO DO 1
O
GRAU COM
UMA INCÓGNITA
Alguns documentos antigos, como os papiros egípcios, traziam inúmeros e curiosos
problemas matemáticos.
Veja a tradução de um problema que aparece no famoso Papiro de Rhind.
Uma quantidade, sua metade,
seus dois terços, todos juntos são 26.
Diga-me: qual é essa quantidade?
EDITORIA DE ARTE
Como os egípcios não usavam a linguagem algébrica das equações, para resolver
esse tipo de problema, eles atribuíam à quantidade procurada um valor arbitrário, que fosse
divisível, ao mesmo tempo, pelos denominadores das frações que apareciam no problema;
nesse caso específico, um valor que fosse divisível por 2 (sua metade) e por 3 (seus dois
terços) ao mesmo tempo. Esse valor pode ser 6, 12, 18, 24 ou qualquer múltiplo de 6, pois
qualquer um desses números é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Usando o valor 6, por exemplo, e de acordo com o problema, temos:
6 !
1
2
" (6) !
2
3
" (6) # 6 ! 3 ! 4 # 13
Como 13 não é a soma dada no problema, vamos fazer como os egípcios e usar
a ideia de proporção. Com os valores 6, 13 e 26 montamos a proporção:
• Ao valor arbitrário 6 corresponde a soma 13.
• A qual valor vai corresponder à soma 26?
Como 26 representa o dobro de 13, que foi o valor encontrado, então, pela
proporção, a quantidade procurada representará o dobro do valor arbitrário 6. Assim,
a quantidade procurada será 2 ? 6, ou seja, 12.
Comprovando, temos:
+⋅ +⋅ =+ +=12
1
2
(12)
2
3
(12)1268 26

Conheça, a seguir, a tradução de outros problemas encontrados no Papiro de Rhind e
tente resolvê-los, no caderno, usando o processo utilizado pelos egípcios.
1. U m a q u a n t i d a d e a u m e n t a d a d o s e u u m s é t i m o r e s u l t a e m 4 0 . Q u a l é e s s a q u a n t i d a d e ?
2. Uma quantidade, sua metade e sua quarta parte, adicionadas, resultam em 56. Qual
é essa quantidade? 32
3. Uma quantidade, seus dois terços e seus três quartos são adicionados, e a soma é 145.
Qual é essa quantidade? 60
35
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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A grande importância da Álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números
desconhecidos e possibilitar fazer generalizações.
Ao representar o número desconhecido (ou incógnita) usando uma letra do alfabeto, podemos
estabelecer uma relação entre os números conhecidos e os desconhecidos por meio de uma
sentença matemática, por exemplo, uma equação.
Usando técnicas matemáticas, podemos manipular essa equação até torná-la a mais simples
possível, permitindo, assim, que se estabeleça o valor do número desconhecido.
Considere a seguinte situação:
Desenvolvendo certa velocidade média, um motorista percorreu, de carro, a distância entre
as cidades baianas de Salvador e Mangue Seco em 4 horas. Se o motorista tivesse aumentado
em 20 km/h a velocidade média, teria percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou
seja, em 3 horas. Como calcular a distância percorrida?
Distância entre Salvador e Mangue Seco
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: 2012.
SONIA VAZ
!"
x
4
20
x
3
velocidade média que
supostamente o veículo teria
desenvolvido no percurso
aumento da velocidade média
velocidade média com a qual
o carro fez o percurso
Vamos representar por x a
distância percorrida.
Considerando que: velocidade
média =
distânciapercorrida
tempogasto
,
podemos montar a equação a
seguir para o problema.
Centro histórico, Salvador,
Bahia, 2018.
INES SACRAMENTO/SHUTTERSTOCK.COM
12° S
37° O
0 30
OCEANO
ATLÂNTICO
BAHIA
137
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183. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Como resolver uma
equação do 1
o
grau com
uma incógnita
Apresentar, na lousa, os
passos utilizados na resolução
da equação da situação 1:
x
4
+ 20 =
x
3
1
o
: Escrever todos os ter-
mos como frações de mesmo
denominador, usando a equi-
valência de frações:
3x
12
+
240
12
=
4x
12
2
o
: Efetuar as operações
(adições ou subtrações) nos
numeradores em cada mem-
bro (quando houver):
(3x + 240)
12
=
4x
12
3
o
: Utilizar o princípio mul-
tiplicativo e eliminar os deno-
minadores (multiplicando os
dois membros por 12):
(3x + 240)
12
? 12 =
4x
12
? 12
3x + 240 = 4x
4
o
: Utilizar o princípio aditi-
vo da igualdade:
3x + 240 = 4x
3x _ 3x + 240 = 4x _ 3x
240 = x
x = 240
Em seguida, propor ou-
tras equações similares para
os alunos resolverem passo a
passo. Depois, pedir a alguns
deles que mostrem, na lousa,
como fizeram. Discutir com a
turma a respeito de diferentes
resoluções para validá-las.
Nessa equação, observamos que:
• O primeiro membro, +
x
4
20, é uma expressão algébrica inteira.
• O segundo membro,
x
3
, também é uma expressão algébrica inteira.
Equações desse tipo são chamadas equações inteiras do 1
o
grau na incógnita x.
Aplicando os princípios de equivalência das equações, chegamos à forma reduzida ax = b,
com a, b [ R e a 5 0, o que simplifica a resolução.
Veja outras equações desse tipo:
• x + 1 = 7, que pode ser reduzida à forma x = 6.
• 3x + 10 = 5x, que pode ser reduzida à forma 2x = 10.
• 2 ? (3x _ 1) + 5x = 0, que pode ser reduzida à forma 11x = 2.
Como resolver uma equação do
1
o
grau com uma incógnita
Resolver uma equação consiste em encontrar o valor da incógnita que torna a sentença
verdadeira, ou seja, encontrar a solução ou a raiz da equação.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Considerando a situação apresentada anteriormente, vamos calcular a distância percorrida
pelo motorista entre as cidades de Salvador e Mangue Seco.
Para isso, calculamos a raiz da equação !"
x
4
20
x
3
no conjunto R.
!"
x
4
20
x
3

!
"
3x240
12
4x
12
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
3x ! 240 " 4x usamos o princípio multiplicativo para eliminar os
denominadores (multiplicando os dois membros por 12)
3x # 4x " #240 usamos o princípio aditivo (adicionamos _4 aos dois membros)
x " 240
O número real 240 é raiz da equação. Portanto, o motorista percorreu 240 km.
2 Resolver a equação 5 ? (x + 2) _ 3 ? (x + 6) = 40 no conjunto R.
5(x ! 2) # 3(x ! 6) " 40
5x ! 10 # 3x # 18 " 40 Eliminamos os parênteses
2x # 8 " 40
2x " 40 ! 8 Usamos o princípio aditivo (adicionamos
8 aos dois membros)
2x " 48
"x
48
2
Usamos o princípio multiplicativo
multiplicamososdoismembrospor
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x = 24
O número real 24 é a solução da equação.
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3 Resolver a equação
−−y3
4
y1
6
y1
12
+
+
= , em que U = R.

−−y3
4
y1
6
y1
12
+
+
=

3(y3)2(y1)
12
1(y1)
12
!" "
#
!
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
3(y ! 3) " 2(y " 1) # 1(y ! 1) usamos o princípio multiplicativo para eliminar
os denominadores
3y ! 9 " 2y " 2 # y ! 1 eliminamos os parênteses
5y ! 7 # y ! 1
5y # y ! 1 " 7 usamos o princípio aditivo
5y # y " 6
5y ! y # 6 usamos o princípio aditivo
4y # 6
y
6
4
# usamos o princípio multiplicativo
y
3
2
# simplificamos a fração
A solução da equação é o número real
3
2
.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Considerando U = R, determine a solução
das seguintes equações do 1
o
grau com
uma incógnita:
a) 21x _ 17 = 109 6
b) 73x + 100 = 53x _5
c) 1,7 + 2,5x = 4,2 1
d) 23x _ 22 = 19x + 6 7
e) 12x _ 16 = _21 + 10x
f) 1,9x _ 3,6 = x _ 10,8 _8
g) 10 (x + 1) _ 5 (x _ 2) = 70 10
h) 5 (x + 2) _ 13 = 2 (3x _ 1) _1
i) 7 (2 + x) = 5 (x _ 1,2) + 35 7,5
j) 3 (x + 1) _ 2 (x _ 1) = _(x + 5) _5
2. Qual é o valor de x, no conjunto R, na ex-
pressão (3 + x) _ 1 = (17 _ 4x) _ (3 + x)?
Resoluções a
partir da p. 289
5
2
_
2
3. Considerando o conjunto R dos números
reais, determine a raiz ou solução de
cada uma das seguintes equações do
1
o
grau com uma incógnita:
a)
x
4
20
x
3
+= 240
b)
2
5
y
3
4
3
20
y_= 3
c) 1
x
2
1
3
x2_= _+ _6
d)
x10
9
x
6
10
_
+= 40
e)
x3
4
x1
3
7
2
+
_
_
= _29
f)
4x1
10
2
4
5
2x
4
_
_= _
_
16
4. Qual deve ser o número real x para que a
expressão
+
_
_x2
4
x1
5
seja igual a 1?
5. As expressões (x _ 5), (2x _ 9), (3x _ 13) e
(4x _ 3) representam números, cuja soma
é 90. Qual é o maior desses números? 45
O número 6.
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184. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se possível, desenvolver a
situação 3 na lousa. Solici-
tar aos alunos que, em cada
etapa efetuada, descrevam o
conceito matemático associa-
do à operação. O uso dos ter-
mos corretos auxilia na com-
preensão dos procedimentos.
Assim, “determinar a fração
equivalente”, “aplicar o prin-
cípio aditivo e/ou multiplicati-
vo”, entre outras, são expres-
sões que devem fazer parte
do vocabulário matemático do
aluno de 8
o
ano.
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo aplicar os co-
nhecimentos adquiridos a res-
peito de equações do 1
o
grau
e socializar os diferentes proce-
dimentos desenvolvidos pelos
alunos.
Na atividade 4, observar
se os alunos efetuam corre-
tamente a resolução, pois há
uma subtração entre os ter-
mos fracionários. É comum
que esse tipo de equação seja
resolvido de forma incorreta,
pois os alunos podem vir a con-
siderar que o sinal de menos
refere-se apenas ao primeiro
termo do numerador e não ao
numerador como um todo.
Na atividade 5, espera-se
que os alunos identifiquem
cada expressão entre parên-
teses como uma parcela da
soma que resulta em 90. Além
disso, eles também devem
perceber que para identificar
qual expressão representa o
maior número é preciso, de-
pois de obter o valor de x, de-
terminar o valor de cada uma
dessas expressões.
Nessa equação, observamos que:
• O primeiro membro, +
x
4
20, é uma expressão algébrica inteira.
• O segundo membro,
x
3
, também é uma expressão algébrica inteira.
Equações desse tipo são chamadas equações inteiras do 1
o
grau na incógnita x.
Aplicando os princípios de equivalência das equações, chegamos à forma reduzida ax = b,
com a, b [ R e a 5 0, o que simplifica a resolução.
Veja outras equações desse tipo:
• x + 1 = 7, que pode ser reduzida à forma x = 6.
• 3x + 10 = 5x, que pode ser reduzida à forma 2x = 10.
• 2 ? (3x _ 1) + 5x = 0, que pode ser reduzida à forma 11x = 2.
Como resolver uma equação do
1
o
grau com uma incógnita
Resolver uma equação consiste em encontrar o valor da incógnita que torna a sentença
verdadeira, ou seja, encontrar a solução ou a raiz da equação.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Considerando a situação apresentada anteriormente, vamos calcular a distância percorrida
pelo motorista entre as cidades de Salvador e Mangue Seco.
Para isso, calculamos a raiz da equação !"
x
4
20
x
3
no conjunto R.
!"
x
4
20
x
3

!
"
3x240
12
4x
12
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
3x ! 240 " 4x usamos o princípio multiplicativo para eliminar os
denominadores (multiplicando os dois membros por 12)
3x # 4x " #240 usamos o princípio aditivo (adicionamos _4 aos dois membros)
x " 240
O número real 240 é raiz da equação. Portanto, o motorista percorreu 240 km.
2 Resolver a equação 5 ? (x + 2) _ 3 ? (x + 6) = 40 no conjunto R.
5(x ! 2) # 3(x ! 6) " 40
5x ! 10 # 3x # 18 " 40 Eliminamos os parênteses
2x # 8 " 40
2x " 40 ! 8 Usamos o princípio aditivo (adicionamos
8 aos dois membros)
2x " 48
"x
48
2
Usamos o princípio multiplicativo
multiplicamososdoismembrospor
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x = 24
O número real 24 é a solução da equação.
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3 Resolver a equação
−−y3
4
y1
6
y1
12
+
+
= , em que U = R.

−−y3
4
y1
6
y1
12
+
+
=

3(y3)2(y1)
12
1(y1)
12
!" "
#
!
reduzimos todos os termos ao mesmo denominador
3(y ! 3) " 2(y " 1) # 1(y ! 1) usamos o princípio multiplicativo para eliminar
os denominadores
3y ! 9 " 2y " 2 # y ! 1 eliminamos os parênteses
5y ! 7 # y ! 1
5y # y ! 1 " 7 usamos o princípio aditivo
5y # y " 6
5y ! y # 6 usamos o princípio aditivo
4y # 6
y
6
4
# usamos o princípio multiplicativo
y
3
2
# simplificamos a fração
A solução da equação é o número real
3
2
.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Considerando U = R, determine a solução
das seguintes equações do 1
o
grau com
uma incógnita:
a) 21x _ 17 = 109 6
b) 73x + 100 = 53x _5
c) 1,7 + 2,5x = 4,2 1
d) 23x _ 22 = 19x + 6 7
e) 12x _ 16 = _21 + 10x
f) 1,9x _ 3,6 = x _ 10,8 _8
g) 10 (x + 1) _ 5 (x _ 2) = 70 10
h) 5 (x + 2) _ 13 = 2 (3x _ 1) _1
i) 7 (2 + x) = 5 (x _ 1,2) + 35 7,5
j) 3 (x + 1) _ 2 (x _ 1) = _(x + 5) _5
2. Qual é o valor de x, no conjunto R, na ex-
pressão (3 + x) _ 1 = (17 _ 4x) _ (3 + x)?
Resoluções a
partir da p. 289
5
2
_
2
3. Considerando o conjunto R dos números
reais, determine a raiz ou solução de
cada uma das seguintes equações do
1
o
grau com uma incógnita:
a)
x
4
20
x
3
+= 240
b)
2
5
y
3
4
3
20
y_= 3
c) 1
x
2
1
3
x2_= _+ _6
d)
x10
9
x
6
10
_
+= 40
e)
x3
4
x1
3
7
2
+
_
_
= _29
f)
4x1
10
2
4
5
2x
4
_
_= _
_
16
4. Qual deve ser o número real x para que a
expressão
+
_
_x2
4
x1
5
seja igual a 1?
5. As expressões (x _ 5), (2x _ 9), (3x _ 13) e
(4x _ 3) representam números, cuja soma
é 90. Qual é o maior desses números? 45
O número 6.
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185. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Resolvendo problemas
A resolução de problemas
envolvendo o uso de equações
é um tema no qual alguns alu-
nos podem vir a apresentar di-
ficuldades. Propor que os alu-
nos, organizados em duplas,
tentem resolver os problemas
propostos nesta página.
É possível que alguns tentem
resolver os problemas por ten-
tativa e erro. No problema 1,
alguns alunos podem concluir
que 35% do total de partidas
correspondem a 21 partidas e,
assim, concluir que 5% do total
de partidas são 3. Logo, 100%
correspondem a 60 partidas.
Observar que, com este racio-
cínio, os alunos não utilizaram
a equação como estratégia de
resolução. O salto aqui é fazê-
-los construir a equação que
traduz a situação-problema. Da
mesma forma, é possível deter-
minar uma solução para o pro-
blema 2, usando o raciocínio
lógico.
Confrontar a resolução dos
alunos e apresentar a resolu-
ção algébrica.
Resolvendo problemas
Usando a linguagem das equações, podemos resolver problemas. Acompanhe a resolução
dos problemas a seguir.
1 Uma equipe de futebol disputou algumas partidas em 2019 e obteve o seguinte desempenho:
venceu 45% dessas partidas, perdeu 20% e empatou 21 partidas. Quantas partidas essa
equipe disputou em 2019?
Vamos representar por x o número de partidas disputadas pela equipe.
Lembre-se: 45% = 0,45 e 20% = 0,20.
Assim, podemos escrever esta equação:
0,45x ! 0,20x ! 21 " x
quantidade de partidas disputadas
quantidade de derrotas
quantidade de empates
quantidade de vitórias
0,45x + 0,20x + 21 = x
0,45x + 0,20x _ x = _21
_0,35x = _21
0,35x = 21
==x
21
0,35
60
Logo, essa equipe disputou 60 partidas.
2 Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Vamos indicar por x a quantidade de carros.
A quantidade de motos será indicada por 14 _ x.
A equação correspondente ao problema é:

4x ! 2 # (14 $ x) " 48
quantidade
de rodas
dos carros
quantidade
total de rodas
quantidade
de rodas
das motos
4x + 2(14 _ x) = 48
4x + 28 _ 2x = 48
2x + 28 = 48
2x = 48 _ 28
2x = 20
x
20
2
" " 10 quantidade de carros
14 $ x " 14 $ 10 " 4 quantidade de motos
Nesse estacionamento, há 10 carros e 4 motos.
OLYA N./SHUTTERSTOCK.COM
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observando a figura seguinte e supondo
que todas as maçãs que estão na balança
tenham a mesma massa, determine
quantos gramas tem cada maçã. 100 g
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
quantos gramas tem cada maçã. 100 g100 g
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
2. Karina participou de um concurso di-
vidido em duas fases. Na 1
a
fase, ela
obteve uma nota e, na 2
a
fase, obteve
3 pontos a mais que na 1
a
. A nota final
dos candidatos desse concurso foi calcu-
lada assim:
(1
a
nota) + 2 ? (2
a
nota)
3
.
Sabendo que a nota final de Karina foi 8,
que nota ela tirou em cada fase?
ELIZABETH KNOX/MASTERFILE/LATINSTOCK
Estudante em sala de aula.
3. Um prêmio de R$ 165 000,00 deve ser
dividido entre Caio, Lucca e Theo. Lucca
deve receber a metade do valor de
Caio, e Theo vai receber R$ 20 000,00
a mais que Caio. Qual quantia cada
um receberá?
4. Para comprar um computador, Valdir
precisa de 200 reais a mais do que tem.
Se ele tivesse o dobro da quantia que
tem, compraria esse computador e ainda
ficaria com 300 reais.
a) Qual a quantia que Valdir tem? 500 reais.
b) Qual o preço do computador? 700 reais.
Resoluções a
partir da p. 289
1ª fase: 6; 2ª fase: 9.
Caio: R$ 58 000,00; Lucca:
R$ 29 000,00; Theo: R$ 78 000,00.
5. A produção e as vendas de dezembro das
três montadoras de automóveis de uma
cidade foram registradas nesta tabela:
Produção e vendas
(dezembro de 2015)
Montadora
Unidades
produzidas
Taxa
percentual
vendida da
produção
Azul 3 000 80%
Branca 5 000 60%
Vermelha 2 000 x%
Fonte: Dados fictícios.
Sabendo que nesse mês as três monta-
doras venderam 7 000 dos 10 000 carros
produzidos, qual é o valor de x? x = 80
6. Humberto trabalha de segunda a sex-
ta-feira e recebe mensalmente um
auxílio-alimentação de R$ 380,00. Ele
tem duas opções para almoçar: em um
restaurante, onde paga cerca de R$ 15,00
por refeição, ou levando a refeição de
sua casa, ao custo aproximado de R$ 7,00.
Sabendo que às sextas-feiras Humberto
nunca pode levar sua refeição para o
trabalho e considerando que 1 mês tem
4 semanas, responda às questões.
a) O auxílio-alimentação é suficiente para
Humberto almoçar todos os dias no
restaurante?
b) Em um mês, quantos reais, no mínimo,
ele gasta com o almoço no seu trabalho?
DESAFIO
7. Uma tabela tem quatro valores numé-
ricos. Observa-se que, com exceção do
primeiro, cada valor corresponde a
2
3

do valor numérico anterior. Sabendo
que a soma desses quatro valores é 195,
qual é o primeiro valor dessa tabela?
E o último? 81 (primeiro valor) e 24 (último valor).
Sim, pois gastaria R$ 300,00.
R$ 172,00 no mínimo.
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186. Desafio
Sugere-se que o desafio da
atividade 7 seja realizado pri-
meiro individualmente. Em se-
guida, organizar os alunos em
duplas ou trios para que con-
tem aos colegas as estratégias
que utilizaram na resolução
e quais foram as dificuldades
encontradas.
Resolução do Desafio
Seja x o primeiro valor:
x +
2
3
x +
2
3
?
2
3
x +
2
3
?
?
2
3
?
2
3
x = 195 h
h x +
2
3
x +
4
9
x +
8
27
x =
= 195 h
65x
27
= 195 h
h x = 81
Assim, o primeiro valor será
81 e o último valor é calculado
assim:
8
27
x =
8
27
? 81 = 24.
Portanto o primeiro valor
será 81 e o último valor será 24.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo que os alunos
apliquem a equação do 1
o
grau
em situações variadas.
Nas situações-problema
apresentadas, reforçar o tra-
balho com leitura e interpre-
tação dos enunciados, para
que os alunos traduzam cor-
retamente as situações para
linguagem matemática (neste
caso, as equações). Um traba-
lho interessante pode ser con-
frontar as equações construí-
das pelos alunos e verificar no
que se assemelham e no que
diferem. Discutir coletivamente
os erros cometidos é uma es-
tratégia que contribui para a
aprendizagem.
Se sentir necessidade, ex-
plorar alguns desses proble-
mas oralmente.
Para finalizar, propor que
cada aluno escreva um texto
contando as estratégias utili-
zadas por ele e pelos colegas e
qual estratégia eles julgam ser
a melhor para a resolução de
cada atividade.
Observar quais alunos ain-
da cometem erros na resolu-
ção das equações, como na
troca de sinais ou na divisão,
e propor a eles outras estraté-
gias de aprendizagem.
Resolvendo problemas
Usando a linguagem das equações, podemos resolver problemas. Acompanhe a resolução
dos problemas a seguir.
1 Uma equipe de futebol disputou algumas partidas em 2019 e obteve o seguinte desempenho:
venceu 45% dessas partidas, perdeu 20% e empatou 21 partidas. Quantas partidas essa
equipe disputou em 2019?
Vamos representar por x o número de partidas disputadas pela equipe.
Lembre-se: 45% = 0,45 e 20% = 0,20.
Assim, podemos escrever esta equação:
0,45x ! 0,20x ! 21 " x
quantidade de partidas disputadas
quantidade de derrotas
quantidade de empates
quantidade de vitórias
0,45x + 0,20x + 21 = x
0,45x + 0,20x _ x = _21
_0,35x = _21
0,35x = 21
==x
21
0,35
60
Logo, essa equipe disputou 60 partidas.
2 Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Vamos indicar por x a quantidade de carros.
A quantidade de motos será indicada por 14 _ x.
A equação correspondente ao problema é:

4x ! 2 # (14 $ x) " 48
quantidade
de rodas
dos carros
quantidade
total de rodas
quantidade
de rodas
das motos
4x + 2(14 _ x) = 48
4x + 28 _ 2x = 48
2x + 28 = 48
2x = 48 _ 28
2x = 20
x
20
2
" " 10 quantidade de carros
14 $ x " 14 $ 10 " 4 quantidade de motos
Nesse estacionamento, há 10 carros e 4 motos.
OLYA N./SHUTTERSTOCK.COM
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Observando a figura seguinte e supondo
que todas as maçãs que estão na balança
tenham a mesma massa, determine
quantos gramas tem cada maçã. 100 g
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
quantos gramas tem cada maçã. 100 g100 g
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
2. Karina participou de um concurso di-
vidido em duas fases. Na 1
a
fase, ela
obteve uma nota e, na 2
a
fase, obteve
3 pontos a mais que na 1
a
. A nota final
dos candidatos desse concurso foi calcu-
lada assim:
(1
a
nota) + 2 ? (2
a
nota)
3
.
Sabendo que a nota final de Karina foi 8,
que nota ela tirou em cada fase?
ELIZABETH KNOX/MASTERFILE/LATINSTOCK
Estudante em sala de aula.
3. Um prêmio de R$ 165 000,00 deve ser
dividido entre Caio, Lucca e Theo. Lucca
deve receber a metade do valor de
Caio, e Theo vai receber R$ 20 000,00
a mais que Caio. Qual quantia cada
um receberá?
4. Para comprar um computador, Valdir
precisa de 200 reais a mais do que tem.
Se ele tivesse o dobro da quantia que
tem, compraria esse computador e ainda
ficaria com 300 reais.
a) Qual a quantia que Valdir tem? 500 reais.
b) Qual o preço do computador? 700 reais.
Resoluções a
partir da p. 289
1ª fase: 6;
2ª fase: 9.
Caio: R$ 58 000,00; Lucca:
R$ 29 000,00; Theo: R$ 78 000,00.
5. A produção e as vendas de dezembro das
três montadoras de automóveis de uma
cidade foram registradas nesta tabela:
Produção e vendas
(dezembro de 2015)
Montadora
Unidades
produzidas
Taxa
percentual
vendida da
produção
Azul 3 000 80%
Branca 5 000 60%
Vermelha 2 000 x%
Fonte: Dados fictícios.
Sabendo que nesse mês as três monta-
doras venderam 7 000 dos 10 000 carros
produzidos, qual é o valor de x? x = 80
6. Humberto trabalha de segunda a sex-
ta-feira e recebe mensalmente um
auxílio-alimentação de R$ 380,00. Ele
tem duas opções para almoçar: em um
restaurante, onde paga cerca de R$ 15,00
por refeição, ou levando a refeição de
sua casa, ao custo aproximado de R$ 7,00.
Sabendo que às sextas-feiras Humberto
nunca pode levar sua refeição para o
trabalho e considerando que 1 mês tem
4 semanas, responda às questões.
a) O auxílio-alimentação é suficiente para
Humberto almoçar todos os dias no
restaurante?
b) Em um mês, quantos reais, no mínimo,
ele gasta com o almoço no seu trabalho?
DESAFIO
7. Uma tabela tem quatro valores numé-
ricos. Observa-se que, com exceção do
primeiro, cada valor corresponde a
2
3

do valor numérico anterior. Sabendo
que a soma desses quatro valores é 195,
qual é o primeiro valor dessa tabela?
E o último? 81 (primeiro valor) e 24 (último valor).
Sim, pois gastaria R$ 300,00.
R$ 172,00 no mínimo.
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187. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Equação fracionária com
uma incógnita
Neste momento os con-
ceitos de fração algébrica e
equação algébrica fracionária
são retomados e aprofunda-
dos, bem como o estudo de
fatoração, como por exemplo,
a redução ao denominador
comum.
Ressaltar a importância de
se determinar quais valores a
incógnita pode assumir, isto é,
o seu conjunto universo. Para
as equações fracionárias a res-
trição são os valores reais que
anulam os denominadores.
Tais valores não podem per-
tencer ao conjunto universo
da equação original.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Determinar o conjunto uni-
verso e o conjunto solução da
seguinte equação fracionária:
x
2
_ 9
x _ 3
= 6
Resolução da atividade
É necessário determinar o
conjunto universo, buscando
os números reais que anulam
o denominador, para excluir
esses valores.
Observe que 3 torna o de-
nominador x _ 3 nulo, isto
é, x deve ser diferente de 3.
Portanto o conjunto universo
dessa equação é U = r _ {3}.
Depois disso, resolve-se a
equação:
(x + 3)(x _ 3)
x _ 3
= 6
Para x 5 3, a equação fra-
cionária acima é equivalente à
equação x + 3 = 6. No en-
tanto, a raiz dessa equação
do 1
o
grau é x = 3, que para
a equação fracionária não é
possível. Por isso, o conjunto
solução dessa equação fracio-
nária é o conjunto vazio, ou
seja:
S = @
2
CAPÍTULO
EQUAÇÃO FRACIONÁRIA COM
UMA INCÓGNITA
Um ônibus, desenvolvendo certa velocidade, percorreu os 240 km que separam
as cidades de Campo Grande e Bonito em x horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h
a sua velocidade média, teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x _ 1) horas
para percorrer a mesma distância. Qual foi a quantidade x de horas que o ônibus
gastou para percorrer os 240 km?
Vista da avenida Afonso Pena,
Campo Grande, Mato Grosso do Sul.
Foto tirada em março de 2018.
Cachoeira do desejo, Bonito, Mato
Grosso do Sul. Foto tirada em outubro
de 2017.
Considerando: velocidade média =
distânciapercorrida
tempogasto
, temos a seguinte
equação para o problema.
240
x
20
240
x1
!"
#
aumento da velocidade média
velocidade média com a qual o ônibus fez o percurso
velocidade média que supostamente o
ônibus teria desenvolvido no percurso
Nessa equação, observamos que:
• O primeiro membro, +
240
x
20, é uma expressão algébrica fracionária, pois o
termo
240
x
contém a incógnita no denominador.
• O segundo membro
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
240
x1_
também é uma expressão algébrica fracionária,
pois a incógnita aparece no denominador.
Equações desse tipo são chamadas equações fracionárias na incógnita x.
Uma equação é fracionária quando tem pelo menos uma incógnita no
denominador, sempre fora de radical.
CESAR DINIZ/PULSAR IMAGES MARCOS AMEND/PULSAR IMAGES
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Como resolver uma equação fracionária
Resolveremos as equações fracionárias de forma similar à maneira como resolvemos as outras
equações. Devemos, contudo, excluir do conjunto solução da equação fracionária os valores da
incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação.
Vamos resolver algumas equações fracionárias. Acompanhe os exemplos a seguir.
1 Determinar o número real x que seja a solução da equação
_
=+
2x
x3
3
x
2.

2x
x3
3
x
2
!
"# m.m.c. (x, x !3) " x(x ! 3)

2x
x(x3)
3(x3)2x(x3)
x(x3)
2
!
"
!# !
!
2x
2
" 3(x ! 3) # 2x(x ! 3)
2x
2
" 3x ! 9 # 2x
2
! 6x
2x
2
" 2x
2
! 3x ! 9
2x
2
! 2x
2
" !3x ! 9
0 " !3x ! 9
0 # 3x " !9
3x " !9
x
9
3
"
!
x " !3
como !3 não anula nenhum denominador da
equação, ele é a raiz ou a solução da equação
O valor procurado é o número real _3.
2 Encontrar a solução da equação
1t
1t
3t
1t
2
2
+
_
=
+
_
.
Veja o que ocorre com essa equação:

1t
1t
3t
(1t)(1t)
2
#
!
"
#
#!
m.m.c. (1 ! t, 1 ! t
2
) " (1 # t)(1 ! t)

(1t)(1t)
(1t)(1t)
3t
(1t)(1t)
2
##
#!
"
#
#!
(1 # t)(1 # t) " 3 # t
2
1 # 2t # t
2
" 3 # t
2
1 # 2t # t
2
! t
2
" 3
1 # 2t " 3
2t " 3 ! 1
2t " 2
t
2
2
"
t " 1
Como o número 1 anula os denominadores da equação, o número 1 não é raiz ou solução da
equação e, portanto, podemos dizer que essa equação não tem raiz ou solução.
Note que x deve ser diferente
de 0 e de 3, pois esses valores
anulam algum denominador
da equação.
Note que t deve ser diferente
de 1 e de _1, pois esses valores
anulam algum denominador
da equação.
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188. AMPLIANDO
Atividade complementar
Determinar o conjunto uni-
verso e resolver a equação fra-
cionária:
x
2
_ 9
x _ 3
= 10
Resolução da atividade
O conjunto universo é o
mesmo da equação da ativi-
dade anterior, ou seja, U =
= r _ {3}.
x
2
_ 9
x _ 3
= 10
(x _ 3)(x + 3)
x _ 3
= 10
x + 3 = 10 (para x 5 3)
x = 7
Como 7 pertence ao con-
junto universo da equação fra-
cionária original (7 não anula
o denominador), x = 7.
O conjunto solução dessa
equação fracionária é S = {7}.
2
CAPÍTULO
EQUAÇÃO FRACIONÁRIA COM
UMA INCÓGNITA
Um ônibus, desenvolvendo certa velocidade, percorreu os 240 km que separam
as cidades de Campo Grande e Bonito em x horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h
a sua velocidade média, teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x _ 1) horas
para percorrer a mesma distância. Qual foi a quantidade x de horas que o ônibus
gastou para percorrer os 240 km?
Vista da avenida Afonso Pena,
Campo Grande, Mato Grosso do Sul.
Foto tirada em março de 2018.
Cachoeira do desejo, Bonito, Mato
Grosso do Sul. Foto tirada em outubro
de 2017.
Considerando: velocidade média =
distânciapercorrida
tempogasto
, temos a seguinte
equação para o problema.
240
x
20
240
x1
!"
#
aumento da velocidade média
velocidade média com a qual o ônibus fez o percurso
velocidade média que supostamente o
ônibus teria desenvolvido no percurso
Nessa equação, observamos que:
• O primeiro membro, +
240
x
20, é uma expressão algébrica fracionária, pois o
termo
240
x
contém a incógnita no denominador.
• O segundo membro
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
240
x1_
também é uma expressão algébrica fracionária,
pois a incógnita aparece no denominador.
Equações desse tipo são chamadas equações fracionárias na incógnita x.
Uma equação é fracionária quando tem pelo menos uma incógnita no
denominador, sempre fora de radical.
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Como resolver uma equação fracionária
Resolveremos as equações fracionárias de forma similar à maneira como resolvemos as outras
equações. Devemos, contudo, excluir do conjunto solução da equação fracionária os valores da
incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação.
Vamos resolver algumas equações fracionárias. Acompanhe os exemplos a seguir.
1 Determinar o número real x que seja a solução da equação
_
=+
2x
x3
3
x
2.

2x
x3
3
x
2
!
"# m.m.c. (x, x !3) " x(x ! 3)

2x
x(x3)
3(x3)2x(x3)
x(x3)
2
!
"
!# !
!
2x
2
" 3(x ! 3) # 2x(x ! 3)
2x
2
" 3x ! 9 # 2x
2
! 6x
2x
2
" 2x
2
! 3x ! 9
2x
2
! 2x
2
" !3x ! 9
0 " !3x ! 9
0 # 3x " !9
3x " !9
x
9
3
"
!
x " !3
como !3 não anula nenhum denominador da
equação, ele é a raiz ou a solução da equação
O valor procurado é o número real _3.
2 Encontrar a solução da equação
1t
1t
3t
1t
2
2
+
_
=
+
_
.
Veja o que ocorre com essa equação:

1t
1t
3t
(1t)(1t)
2
#
!
"
#
#!
m.m.c. (1 ! t, 1 ! t
2
) " (1 # t)(1 ! t)

(1t)(1t)
(1t)(1t)
3t
(1t)(1t)
2
##
#!
"
#
#!
(1 # t)(1 # t) " 3 # t
2
1 # 2t # t
2
" 3 # t
2
1 # 2t # t
2
! t
2
" 3
1 # 2t " 3
2t " 3 ! 1
2t " 2
t
2
2
"
t " 1
Como o número 1 anula os denominadores da equação, o número 1 não é raiz ou solução da
equação e, portanto, podemos dizer que essa equação não tem raiz ou solução.
Note que x deve ser diferente
de 0 e de 3, pois esses valores
anulam algum denominador
da equação.
Note que t deve ser diferente
de 1 e de _1, pois esses valores
anulam algum denominador
da equação.
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189. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões desse bloco
têm como objetivo levar os
alunos a reconhecer e resolver
equações fracionárias, além de
compreender que os valores
que anulam os denominado-
res de uma equação fracioná-
ria não podem ser solução da
equação.
Procurar resolver algumas
questões com e sem a utiliza-
ção de equações, para poder
compará-las.
A atividade 8 trata do cus-
to médio de determinado pro-
duto. Ler o problema com os
alunos e verificar se eles com-
preendem o que cada uma
das variáveis dadas significa.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Determine o valor que x não pode assumir
nas equações fracionárias a seguir:
a)
3
4
1
x
11
12
+= 0
b) !
x3
x
1
1x
2x
+
+
_
0
c)
1
6x
3
2x
x1
4x
2
+=
_
0
d)
x3
x3
3
5
_
+
= _3
e)
2
2x1
5
x1_
=
+

1
2
ou _1
f) 1
3
2x
1
2
+
_
= 2
2. Qual é o valor real de x que torna verda-
deira a igualdade
_
_
=+
_
x1
1x
1
2
x
1x
?
3. Determine o valor real de y para que
as expressões
_
3y
y4
e +3
2
y
sejam
iguais, sabendo que y 5 0 e y 5 4.
4. No conjunto R, qual é a solução da
equação
_
=
_
_
_
1
x1
3
x2
2
x3
, com
x 5 1, x 5 2 e x 5 3? _1
5. Determine o conjunto solução das se-
guintes equações fracionárias:
a)
5
x9
3
x3
2
_
=_
+
(x 5 3, x 5 _ 3)
b)
"
#
#
!
4
x4
1
x2
1
x
2
(x 5 2, x 5 _2, x 5 0) @
c)
#" "
1
y5
2
y5
7
y25
2
+=
(y 5 _ 5, y 5 5)
d)
"
#
#
"
"
!
−5x2
9x
2
x3
1
3x
0
2

(x 5 _ 3, x 5 3)
Resoluções a
partir da p. 289
3
"
4
5
{}
4
3
{}
2
3
{}
1
2
_
6. Sabendo que
"
#
"
"
#
!
5x
x1
1
x1
1
x1
0
2
,
em que x 5 1 e x 5 _1, determine o
valor real de x que torna verdadeira
essa igualdade.
7. Em uma colônia de férias A, 128 crianças
são distribuídas em x grupos de ativida-
des, e, na colônia B, 224 crianças são
distribuídas em (x + 6) grupos de ati-
vidades. Sabendo que a quantidade de
crianças, em todos os grupos, é a mesma
para ambas as colônias de férias, qual é
a quantidade de grupos de atividades na
colônia de férias B? 14 grupos.
8. Chama-se custo médio de produção o
custo total dividido pela quantidade
produzida. Uma fábrica de camisetas
tem um custo total mensal C dado pela
fórmula C = F + 8x, em que F representa
o custo fixo, e x é a quantidade de ca-
misetas produzidas. Quantas camisetas
devem ser produzidas nessa fábrica para
se ter um custo médio de R$ 12,00 para
um custo fixo de R$ 2 000,00?
9. O 8
o
ano A tem x alunos. Nessa classe
foram distribuídos 320 livros, de forma que
todos receberam a mesma quantidade. O
8
o
ano B tem (x _ 2) alunos. Nessa classe,
foram distribuídos 300 livros, e todos os
alunos receberam a mesma quantidade.
ILUSTRA CARTOON
Quantos alunos há em cada classe, se
cada aluno das duas classes recebeu a
mesma quantidade de livros?
"
2
5
500 camisetas.
32 alunos no 8
o
ano A e 30 alunos no 8
o
ano B.
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Projeto Tamar
O projeto Tamar foi criado em 1980 e tem como missão o
trabalho de pesquisa, conservação e manejo das cinco espé-
cies de tartarugas marinhas que ocorrem no Brasil, todas
ameaçadas de extinção.
O Tamar está presente em cerca de 1 100 km de praias,
com bases localizadas no litoral e em ilhas oceânicas, em nove
estados brasileiros.
Hoje, o projeto é reconhecido internacionalmente como
uma das mais bem-sucedidas experiências de conservação
marinha e serve de modelo para outros países, sobretudo
porque envolve as comunidades costeiras diretamente no seu
trabalho socioambiental.
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Missão. Disponível em:
<www.tamar.org.br/interna.php?cod=63>. Acesso em: 18 out. 2018.
Mangue Seco e o projeto Tamar
O projeto Tamar tem uma base no Sítio do Conde, na
divisa entre Sergipe e Bahia, em Mangue Seco.
Essa base protege aproximadamente 1 500 desovas e 100 mil
filhotes por temporada, dos quais quase metade (47,32%) da
espécie oliva (Lepidochelys olivacea) e o restante de cabeçuda
(Caretta caretta) e de pente (Eretmochelys imbricata).
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Sítio do Conde. Disponível em:
<www.tamar.org.br/base.php?cod=34>. Acesso em: 18 out. 2018.
Tartaruga-oliva
A tartaruga-oliva tem carapaça de coloração cinzenta
(quando jovem) e verde-cinzento-escura (quando adulta). Pode
atingir até 82 cm de comprimento curvilíneo de carapaça e
possui, em média, 40 kg.
É uma espécie carnívora e alimenta-se de salpas, peixes,
moluscos, crustáceos, briozoários, tunicados, águas-vivas, ovos
de peixe e, eventualmente, algas.
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Oliva. Disponível em:
<www.tamar.org.br/tartaruga.php?cod=21>. Acesso em: 18 out. 2018.
Resolva as equações a seguir no caderno.
1. O projeto Tamar tem x bases mantidas em áreas de alimentação, desova, crescimento
e descanso das tartarugas marinhas. 23; 23 bases.
!" !
3x
10
155
7
10
3x
5
2. Instalada em 1991, a base de Sítio do Conde monitora y quilômetros de praia, entre
a foz do rio Inhambupe, ao sul, e a foz do rio Real, ao norte. y = 81; 81 km.
!
!
"!
!
1
4
4
y11
1
2
129
6y66
POR TODA PARTE
Tartaruga-cabeçuda.
Tartaruga-de-pente.
FOTOS: BANCO DE IMAGENS - PROJETO TAMAR
Tartaruga-verde.
Tartaruga-oliva.
Resoluções a
partir da p. 289
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190. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Por toda parte
Nessa seção os alunos apli-
carão equações fracionárias
que resultarão em valores rela-
cionados a situações reais.
Ler o texto com os alunos,
discutir com eles a respeito
do que acham desse projeto
e como devemos proteger os
animais. Se quiser ampliar a
atividade, propor aos alunos
uma pesquisa mais detalhada
a respeito das instituições exis-
tentes no estado onde moram
e que trabalham com a preser-
vação de animais e do meio
ambiente em geral.
AMPLIANDO
Link
No site do Projeto Tamar,
<http://livro.pro/38cet6> (aces-
so em: 7 nov. 2018) é possível
encontrar informações adicio-
nais sobre o projeto, além de
fotos de tartarugas e dos locais
nos quais o projeto funciona.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Determine o valor que x não pode assumir
nas equações fracionárias a seguir:
a)
3
4
1
x
11
12
+= 0
b) !
x3
x
1
1x
2x
+
+
_
0
c)
1
6x
3
2x
x1
4x
2
+=
_
0
d)
x3
x3
3
5
_
+
= _3
e)
2
2x1
5
x1_
=
+

1
2
ou _1
f) 1
3
2x
1
2
+
_
= 2
2. Qual é o valor real de x que torna verda-
deira a igualdade
_
_
=+
_
x1
1x
1
2
x
1x
?
3. Determine o valor real de y para que
as expressões
_
3y
y4
e +3
2
y
sejam
iguais, sabendo que y 5 0 e y 5 4.
4. No conjunto R, qual é a solução da
equação
_
=
_
_
_
1
x1
3
x2
2
x3
, com
x 5 1, x 5 2 e x 5 3? _1
5. Determine o conjunto solução das se-
guintes equações fracionárias:
a)
5
x9
3
x3
2
_
=_
+
(x 5 3, x 5 _ 3)
b)
"
#
#
!
4
x4
1
x2
1
x
2
(x 5 2, x 5 _2, x 5 0) @
c)
#" "
1
y5
2
y5
7
y25
2
+=
(y 5 _ 5, y 5 5)
d)
"
#
#
"
"
!
−5x2
9x
2
x3
1
3x
0
2

(x 5 _ 3, x 5 3)
Resoluções a
partir da p. 289
3
"
4
5
{}
4
3
{}
2
3
{}
1
2
_
6. Sabendo que
"
#
"
"
#
!
5x
x1
1
x1
1
x1
0
2
,
em que x 5 1 e x 5 _1, determine o
valor real de x que torna verdadeira
essa igualdade.
7. Em uma colônia de férias A, 128 crianças
são distribuídas em x grupos de ativida-
des, e, na colônia B, 224 crianças são
distribuídas em (x + 6) grupos de ati-
vidades. Sabendo que a quantidade de
crianças, em todos os grupos, é a mesma
para ambas as colônias de férias, qual é
a quantidade de grupos de atividades na
colônia de férias B? 14 grupos.
8. Chama-se custo médio de produção o
custo total dividido pela quantidade
produzida. Uma fábrica de camisetas
tem um custo total mensal C dado pela
fórmula C = F + 8x, em que F representa
o custo fixo, e x é a quantidade de ca-
misetas produzidas. Quantas camisetas
devem ser produzidas nessa fábrica para
se ter um custo médio de R$ 12,00 para
um custo fixo de R$ 2 000,00?
9. O 8
o
ano A tem x alunos. Nessa classe
foram distribuídos 320 livros, de forma que
todos receberam a mesma quantidade. O
8
o
ano B tem (x _ 2) alunos. Nessa classe,
foram distribuídos 300 livros, e todos os
alunos receberam a mesma quantidade.
ILUSTRA CARTOON
Quantos alunos há em cada classe, se
cada aluno das duas classes recebeu a
mesma quantidade de livros?
"
2
5
500 camisetas.
32 alunos no 8
o
ano A e 30 alunos no 8
o
ano B.
144
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Projeto Tamar
O projeto Tamar foi criado em 1980 e tem como missão o
trabalho de pesquisa, conservação e manejo das cinco espé-
cies de tartarugas marinhas que ocorrem no Brasil, todas
ameaçadas de extinção.
O Tamar está presente em cerca de 1 100 km de praias,
com bases localizadas no litoral e em ilhas oceânicas, em nove
estados brasileiros.
Hoje, o projeto é reconhecido internacionalmente como
uma das mais bem-sucedidas experiências de conservação
marinha e serve de modelo para outros países, sobretudo
porque envolve as comunidades costeiras diretamente no seu
trabalho socioambiental.
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Missão. Disponível em:
<www.tamar.org.br/interna.php?cod=63>. Acesso em: 18 out. 2018.
Mangue Seco e o projeto Tamar
O projeto Tamar tem uma base no Sítio do Conde, na
divisa entre Sergipe e Bahia, em Mangue Seco.
Essa base protege aproximadamente 1 500 desovas e 100 mil
filhotes por temporada, dos quais quase metade (47,32%) da
espécie oliva (Lepidochelys olivacea) e o restante de cabeçuda
(Caretta caretta) e de pente (Eretmochelys imbricata).
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Sítio do Conde. Disponível em:
<www.tamar.org.br/base.php?cod=34>. Acesso em: 18 out. 2018.
Tartaruga-oliva
A tartaruga-oliva tem carapaça de coloração cinzenta
(quando jovem) e verde-cinzento-escura (quando adulta). Pode
atingir até 82 cm de comprimento curvilíneo de carapaça e
possui, em média, 40 kg.
É uma espécie carnívora e alimenta-se de salpas, peixes,
moluscos, crustáceos, briozoários, tunicados, águas-vivas, ovos
de peixe e, eventualmente, algas.
Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Oliva. Disponível em:
<www.tamar.org.br/tartaruga.php?cod=21>. Acesso em: 18 out. 2018.
Resolva as equações a seguir no caderno.
1. O projeto Tamar tem x bases mantidas em áreas de alimentação, desova, crescimento
e descanso das tartarugas marinhas. 23; 23 bases.
!" !
3x
10
155
7
10
3x
5
2. Instalada em 1991, a base de Sítio do Conde monitora y quilômetros de praia, entre
a foz do rio Inhambupe, ao sul, e a foz do rio Real, ao norte. y = 81; 81 km.
!
!
"!
!
1
4
4
y11
1
2
129
6y66
POR TODA PARTE
Tartaruga-cabeçuda.
Tartaruga-de-pente.
FOTOS: BANCO DE IMAGENS - PROJETO TAMAR
Tartaruga-verde.
Tartaruga-oliva.
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191. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Equações literais do
1
o
grau na incógnita x
Esse é um assunto que pode
trazer alguma dificuldade aos
alunos, pois eles não estão
acostumados a ter como solu-
ção de uma equação uma ex-
pressão que contém também
letras. Auxilie-os nesse proces-
so de aprendizagem, a fim de
que adquiram a maturidade
matemática necessária para a
compreensão do conceito.
Analisar com os alunos os
exemplos apresentados e resol-
ver os exemplos 1 e 2 na lou-
sa, solicitando a contribuição
deles durante a resolução. Em
seguida, comparar a estratégia
adotada na resolução na lousa
com a apresentada no livro.
Atividades
As atividades propostas
têm como objetivo levar os
alunos a reconhecer e resolver
equações literais, além de am-
pliar a compreensão de que
a solução de uma equação
literal é dada em função das
letras consideradas constan-
tes e, por isso, depende dos
valores que essas constantes
podem assumir.
Reforçar a necessidade de
excluir alguns valores para es-
sas constantes para que não
tenhamos um denominador
nulo, como por exemplo nos
itens a, b e c da atividade 1.
Propor um desafio para os
alunos, perguntando: “E se
trocássemos a incógnita pela
constante e vice-versa? Como
ficaria a solução da equação?”.
3
CAPÍTULO
EQUAÇÕES LITERAIS DO
1
O
GRAU NA INCÓGNITA X
Observe as seguintes equações, todas do 1
o
grau na incógnita x:
• 3ax = 9 • 2a _ ax = bx • px _ 1 = p
2
Nessas equações, aparecem outras letras, além da incógnita x. Essas letras figuram
na equação como constantes que representam números reais.
Equações desse tipo são denominadas equações literais do 1
o
grau na incógnita x.
Como resolver uma equação literal
do 1
o
grau com uma incógnita
Resolveremos as equações literais do 1
o
grau na incógnita x da mesma maneira
que resolvemos as outras equações do 1
o
grau. Observe:
1 Considerando x a incógnita, resol-
ver a equação 8x + 7a = 2x + 25a.
8x + 7a = 2x + 25a
8x = 2x + 25a _ 7a
8x = 2x + 18a
8x _ 2x = 18a
6x = 18a
!!x
18a
6
3a

A solução da equação é 3a.
2 Considerando x a incógnita, vamos
resolver a equação
3(mx + n) _ 2mx = 5n.
3(mx + n) _ 2mx = 5n
3mx + 3n _ 2mx = 5n
mx + 3n = 5n
mx = 2n h x =
2n
m

A solução é o número real
2n
m
,
para m 5 0.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Sendo x a incógnita e supondo que os
resultados representem números reais,
resolva as seguintes equações literais no
conjunto R:
a) 5bx + 2a = bx + 3a
b) 3(ax + b) = 2(ax _ b)
c) (x + b)(x _ b) = x ? (x _ b
3
)
Resoluções a
partir da p. 289
"{}
a
4b
,comb0
d) (a _ b)x + (a + b)x = 2a {1}
e) !#
x
a
c
x
2a
(a 5 0) {2ac}
2. Qual é o conjunto solução da equação
6hx + 14 = 18 + 2hx, em que x é a
incógnita?
3. Qual deve ser o número real x para que
a soma
#
#
$bx
5
bx
3
resulte em $
x
10
?
"{}
1
h
,comh0
16b
$"
5b
a
,coma0{}
1.b) c) "
1
b
,comb0{}
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EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Juro zero e estratégia de marketing
Atenção, consumidor: “juro zero” é
estratégia de marketing
Bruno Rosa
Publicado em 23 jul. 2011.
RIO – Entre uma promoção e outra
no comércio, é difícil não aderir a um
parcelamento alardeado como juro zero.
Impulsionada pelo aumento da renda e
pelo avanço no nível de emprego no país, a
armadilha dos juros embutidos, escondida
no desconto à vista, ganha força no comér-
cio. As lojas costumam anunciar o mesmo
preço à vista e para parcelamento sem juros,
mas é só chorar um pouquinho que o cliente
consegue um desconto se comprar em uma
vez só. Isso mostra que esse valor menor
é o preço real do produto, e o preço cheio
embute juros.
[...]
O grande risco que o consumidor corre
é de fazer das compras a prazo um hábito,
pagando juros sem saber e, assim, compro-
metendo seu orçamento e fazendo dívidas
financeiras, em que os juros são mais altos.
É melhor juntar e comprar por um preço
melhor, já que o juro zero é uma estratégia
de marketing do comércio [...].
[...]
Fonte: ROSA, B. Atenção consumidor: “juro zero” é estratégia de marketing.
Extra 20. Disponível em: <http://extra.globo.com/noticias/economia/atencao-
consumidor-juro-zero-estrategia-demarketing-2294212.html>. Acesso em: 18 out. 2018.
Para entender melhor como são calculados os preços com juro embutido, acompanhe a
situação a seguir.
Em uma loja, há duas opções de pagamento na compra de uma bolsa no valor de R$ 300,00:
parcelar em duas vezes sem juro, com uma parcela sendo paga no momento da compra e a outra,
após 30 dias; ou pagar à vista e em dinheiro, obtendo um desconto de 5% sobre o valor da bolsa.
Vamos analisar essa situação.
Se a loja deu um desconto no pagamento à vista em dinheiro, então os valores da compra
a prazo e da compra à vista são diferentes, ou seja, existe juro embutido no valor da compra a
prazo. Vamos calcular o valor e a taxa de juro dessa compra a prazo.
O valor da bolsa é R$ 300,00 e pode ser pago em duas parcelas iguais de R$ 150,00.
Com o desconto de 5%, o cliente pode pagar R$ 285,00 à vista, em dinheiro.
Para calcular a taxa de juro embutido cobrada pela loja, vamos subtrair de R$ 285,00 os
R$ 150,00, que correspondem ao valor da primeira parcela. Essa parcela não tem juro, pois foi paga
no ato da compra. Os restantes R$ 135,00, após um mês, com o juro, resultarão em uma dívida
de R$ 150,00. Portanto, podemos dizer que o juro embutido dessa compra é R$ 15,00 e a taxa de
juro é aproximadamente 11%.
• No caderno, calcule qual seria a taxa de juro embutido no pagamento em duas vezes de
R$ 150,00 caso o desconto do pagamento à vista fosse de 8%. Aproximadamente 19%.
Resoluções a
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192. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Educação financeira
O texto apresentado nessa
seção tenta alertar o consumi-
dor a respeito da inexistência
do “juro zero” quando existe
um desconto para pagamen-
to à vista. É apresentada uma
situação para explicar melhor
como são calculados os pre-
ços com juro embutido. Nela,
o consumidor pode pagar em
duas vezes (uma no ato da
compra e outra depois de um
mês) ou à vista com 5% de
desconto. Explicar aos alunos
que, quando pagamos uma
parcela no ato da compra, ela
não tem juro embutido e que
o valor real da mercadoria é o
valor com desconto à vista.
Se julgar interessante,
apresentar a situação a seguir:
Um comerciante tem um
produto cujo preço real é
R$ 100,00 e, para vendê-lo
em duas parcelas iguais a serem
pagas em 30 e 60 dias, vai
embutir uma taxa de juro de
5% ao mês. Para isso, ele
deve calcular o valor das par-
celas com essa taxa.
Vamos representar o valor
das parcelas com a incógnita x.
Dívida atualizada após 1
mês: 100 ? 1,05 = 105
Primeira parcela: x
Após o pagamento da pri-
meira parcela, a dívida restan-
te será 105 _ x.
Para calcular o valor da se-
gunda parcela, aplicamos o
juro de 5% sobre a dívida res-
tante, que é (105 _ x) ? (1,05).
Como a segunda parcela deve
ser igual à primeira, temos a
equação x = (105 _ x) ? (1,05).
Nessa, é apresentada a
equação matemática para de-
terminar o valor das parcelas
de uma compra que pode ser
paga em duas vezes (30 e 60
dias após a compra), com juro
embutido.
Promover uma discussão a
respeito do tema e questionar
se eles já passaram por situ-
ações nas quais perceberam
que comprar à vista era mais
vantajoso.
3
CAPÍTULO
EQUAÇÕES LITERAIS DO
1
O
GRAU NA INCÓGNITA X
Observe as seguintes equações, todas do 1
o
grau na incógnita x:
• 3ax = 9 • 2a _ ax = bx • px _ 1 = p
2
Nessas equações, aparecem outras letras, além da incógnita x. Essas letras figuram
na equação como constantes que representam números reais.
Equações desse tipo são denominadas equações literais do 1
o
grau na incógnita x.
Como resolver uma equação literal
do 1
o
grau com uma incógnita
Resolveremos as equações literais do 1
o
grau na incógnita x da mesma maneira
que resolvemos as outras equações do 1
o
grau. Observe:
1 Considerando x a incógnita, resol-
ver a equação 8x + 7a = 2x + 25a.
8x + 7a = 2x + 25a
8x = 2x + 25a _ 7a
8x = 2x + 18a
8x _ 2x = 18a
6x = 18a
!!x
18a
6
3a

A solução da equação é 3a.
2 Considerando x a incógnita, vamos
resolver a equação
3(mx + n) _ 2mx = 5n.
3(mx + n) _ 2mx = 5n
3mx + 3n _ 2mx = 5n
mx + 3n = 5n
mx = 2n h x =
2n
m

A solução é o número real
2n
m
,
para m 5 0.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Sendo x a incógnita e supondo que os
resultados representem números reais,
resolva as seguintes equações literais no
conjunto R:
a) 5bx + 2a = bx + 3a
b) 3(ax + b) = 2(ax _ b)
c) (x + b)(x _ b) = x ? (x _ b
3
)
Resoluções a
partir da p. 289
"{}
a
4b
,comb0
d) (a _ b)x + (a + b)x = 2a {1}
e) !#
x
a
c
x
2a
(a 5 0) {2ac}
2. Qual é o conjunto solução da equação
6hx + 14 = 18 + 2hx, em que x é a
incógnita?
3. Qual deve ser o número real x para que
a soma
#
#
$bx
5
bx
3
resulte em $
x
10
?
"{}
1
h
,comh0
16b
$"
5b
a
,coma0{}
1.b) c) "
1
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,comb0{}
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EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Juro zero e estratégia de marketing
Atenção, consumidor: “juro zero” é
estratégia de marketing
Bruno Rosa
Publicado em 23 jul. 2011.
RIO – Entre uma promoção e outra
no comércio, é difícil não aderir a um
parcelamento alardeado como juro zero.
Impulsionada pelo aumento da renda e
pelo avanço no nível de emprego no país, a
armadilha dos juros embutidos, escondida
no desconto à vista, ganha força no comér-
cio. As lojas costumam anunciar o mesmo
preço à vista e para parcelamento sem juros,
mas é só chorar um pouquinho que o cliente
consegue um desconto se comprar em uma
vez só. Isso mostra que esse valor menor
é o preço real do produto, e o preço cheio
embute juros.
[...]
O grande risco que o consumidor corre
é de fazer das compras a prazo um hábito,
pagando juros sem saber e, assim, compro-
metendo seu orçamento e fazendo dívidas
financeiras, em que os juros são mais altos.
É melhor juntar e comprar por um preço
melhor, já que o juro zero é uma estratégia
de marketing do comércio [...].
[...]
Fonte: ROSA, B. Atenção consumidor: “juro zero” é estratégia de marketing.
Extra 20. Disponível em: <http://extra.globo.com/noticias/economia/atencao-
consumidor-juro-zero-estrategia-demarketing-2294212.html>. Acesso em: 18 out. 2018.
Para entender melhor como são calculados os preços com juro embutido, acompanhe a
situação a seguir.
Em uma loja, há duas opções de pagamento na compra de uma bolsa no valor de R$ 300,00:
parcelar em duas vezes sem juro, com uma parcela sendo paga no momento da compra e a outra,
após 30 dias; ou pagar à vista e em dinheiro, obtendo um desconto de 5% sobre o valor da bolsa.
Vamos analisar essa situação.
Se a loja deu um desconto no pagamento à vista em dinheiro, então os valores da compra
a prazo e da compra à vista são diferentes, ou seja, existe juro embutido no valor da compra a
prazo. Vamos calcular o valor e a taxa de juro dessa compra a prazo.
O valor da bolsa é R$ 300,00 e pode ser pago em duas parcelas iguais de R$ 150,00.
Com o desconto de 5%, o cliente pode pagar R$ 285,00 à vista, em dinheiro.
Para calcular a taxa de juro embutido cobrada pela loja, vamos subtrair de R$ 285,00 os
R$ 150,00, que correspondem ao valor da primeira parcela. Essa parcela não tem juro, pois foi paga
no ato da compra. Os restantes R$ 135,00, após um mês, com o juro, resultarão em uma dívida
de R$ 150,00. Portanto, podemos dizer que o juro embutido dessa compra é R$ 15,00 e a taxa de
juro é aproximadamente 11%.
• No caderno, calcule qual seria a taxa de juro embutido no pagamento em duas vezes de
R$ 150,00 caso o desconto do pagamento à vista fosse de 8%. Aproximadamente 19%.
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193. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Equação do 1
o
grau com
duas incógnitas
Aqui, os alunos entrarão
em contato com problemati-
zações que envolvem equa-
ções do 1
o
grau com duas
incógnitas. A ideia é verificar
quais estratégias são utilizadas
pelos alunos na busca das so-
luções e se fazem uso de fer-
ramentas algébricas.
Propor aos alunos que de-
terminem soluções distintas
para uma mesma equação do
1
o
grau com duas incógnitas.
Espera-se que eles percebam
que para obter tais soluções
devem escolher um valor para
uma das incógnitas, substituir
esse valor na equação e, assim,
determinar o valor da outra
incógnita, sempre respeitan-
do as condições dadas sobre
os valores que as incógnitas
podem assumir. Por exemplo,
se as incógnitas representam
idades ou quantidades, elas
podem assumir somente valo-
res positivos e inteiros, ou seja,
devem ser números naturais.
4
CAPÍTULO
EQUAÇÃO DO 1
O
GRAU COM
DUAS INCÓGNITAS
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Vamos considerar que as figuras representadas a seguir têm perímetro
iguais:
8
x
y
y
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
a) Qual é a equação do 1
o
grau com duas incógnitas que representa esse fato?
b) Se você atribuir para a incógnita x o valor 6 e para a incógnita y o valor 7,
esses dois valores verificam a equação que você escreveu?
2. Em um estacionamento, há x carros e y motos, totalizando 60 rodas.
a) Qual é a equação nas incógnitas x e y que representa esse fato?
b) Considerando 12 carros e 6 motos, esses valores (12 e 6) verificam a equação
que você escreveu? Sim, pois 4 ? (12) + 2 ? (6) = 60, ou seja, 48 + 12 = 60.
Sim, pois 2 ? (6) + 16 = 4 ? (7), ou seja, 12 + 16 = 28.
4x + 2y = 60
2x + 16 = 4y
Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente na forma ax + by = c,
com a, b e c [ R e a 5 0, b 5 0, é denominada equação do 1
o
grau com duas incógnitas.
São equações do 1
o
grau com duas incógnitas:

• x ! y " 10
incógnitas x e y
• 3x ! 2y " 16
incógnitas x e y
• 7x # 5y " 9
incógnitas x e y
Dependendo do conjunto universo, uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas, x e y, por
exemplo, pode ter infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números:
o primeiro número representa o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da
incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada. Daí o nome par ordenado.
Indica-se: (x, y).
Vamos verificar isso analisando as situações seguintes.
1 O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16
3 ? (2) + 2 ? (5) = 16
6 + 10 = 16 (verdadeira)
O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16.
Resoluções a partir da p. 289
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2 O par ordenado (5, 2) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16
3 ? (5) + 2 ? (2) = 16
15 + 4 = 16 (falsa)
O par ordenado (5, 2) não é solução da equação 3x + 2y = 16.
3 Determinar a solução da equação 3x + 2y = 16 quando y = _1.
3x + 2y = 16
3x + 2 ? (_1) = 16
3x _ 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
!x
18
3
x = 6
O par ordenado (6, _1) é solução da equação quando y = _1.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Verifique se o par ordenado (5, _2) é uma
das soluções das seguintes equações:
a) 5x + 2y = 21 Sim.
b) x _ 9y = 23 Sim.
c) 10x _ y = 48 Não.
d) 6x + 6y = 18 Sim.
e) 3x _ 4y = _23 Não.
f) 0,5x _ 0,3y = 1,9 Não.
2. Considerando que y = 7x _ 3, determine
o valor da incógnita x nas equações:
a) 2x + 5y = 59 2
b) 3x _ y = 21
c) 5x _ 3y = _2
d) 0,3x _ 0,2y = 1,7 _1
3. Determine uma das soluções da equação
0,6x _ 1,5y = _1,5 quando:
a) y = 0,8
b) y = 1,2
Resoluções a
partir da p. 289
"
9
211
16
(_0,5; 0,8)
(0,5; 1,2)
4. Apresente uma solução para a equação
9x _ 5y = 21 quando:
a) y vale 3 (4, 3)
b) x vale _6 (_6, _15)
5. Dada a equação 6x _ y = 42, encontre
a solução dessa equação quando:
a) x = 8 (8, 6)
b) y = 30 (12, 30)
6. Considere a afirmação: “O par ordenado
(_1, 10) é solução, ao mesmo tempo, das
equações 10x _ y = _20 e 5x + 2y = 15”.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa?
DESAFIO
7. Agora, junte-se com um amigo. Fazendo
tentativas e usando apenas números na-
turais, descubra um par ordenado (x, y)
que seja solução, ao mesmo tempo, das
equações x + y = 7 e x _ y = 1.
É verdadeira.
O par ordenado é (4, 3).
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194. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas
têm como objetivo que os alu-
nos apresentem uma solução
para equações do 1
o
grau com
duas incógnitas e verificar se
um par ordenado (x, y) é ou
não uma das soluções de uma
equação do 1
o
grau com duas
incógnitas.
Desafio
Resolução do Desafio
Na atividade 7, o sistema
apresentado é bem simples.
Com algumas tentativas, até
mentalmente, os alunos po-
dem chegar ao par (4, 3). Eles
devem perceber que procurar,
por tentativas, uma solução de
uma equação do 1º grau com
duas incógnitas exige que se
atribua um valor a uma in-
cógnita e, com isso, se calcu-
le a outra. No caso, a solução
deve ser a mesma para as duas
equações. Assim, é necessário
procurar um valor para uma
das incógnitas que forneça,
nas duas equações, valores
iguais para a outra incógnita.
Incentivar os alunos a pro-
curar mais de um par que seja
solução das duas equações
simultaneamente. A impossibi-
lidade de encontrar outros pa-
res leva à discussão a respeito
da solução de um sistema de
equações do 1
o
grau com duas
incógnitas, tema que será es-
tudado na sequência.
4
CAPÍTULO
EQUAÇÃO DO 1
O
GRAU COM
DUAS INCÓGNITAS
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Vamos considerar que as figuras representadas a seguir têm perímetro
iguais:
8
x
y
y
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
a) Qual é a equação do 1
o
grau com duas incógnitas que representa esse fato?
b) Se você atribuir para a incógnita x o valor 6 e para a incógnita y o valor 7,
esses dois valores verificam a equação que você escreveu?
2. Em um estacionamento, há x carros e y motos, totalizando 60 rodas.
a) Qual é a equação nas incógnitas x e y que representa esse fato?
b) Considerando 12 carros e 6 motos, esses valores (12 e 6) verificam a equação
que você escreveu? Sim, pois 4 ? (12) + 2 ? (6) = 60, ou seja, 48 + 12 = 60.
Sim, pois 2 ? (6) + 16 = 4 ? (7), ou seja, 12 + 16 = 28.
4x + 2y = 60
2x + 16 = 4y
Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente na forma ax + by = c,
com a, b e c [ R e a 5 0, b 5 0, é denominada equação do 1
o
grau com duas incógnitas.
São equações do 1
o
grau com duas incógnitas:

• x ! y " 10
incógnitas x e y
• 3x ! 2y " 16
incógnitas x e y
• 7x # 5y " 9
incógnitas x e y
Dependendo do conjunto universo, uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas, x e y, por
exemplo, pode ter infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números:
o primeiro número representa o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da
incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada. Daí o nome par ordenado.
Indica-se: (x, y).
Vamos verificar isso analisando as situações seguintes.
1 O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16
3 ? (2) + 2 ? (5) = 16
6 + 10 = 16 (verdadeira)
O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16.
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2 O par ordenado (5, 2) é solução da equação 3x + 2y = 16?
3x + 2y = 16
3 ? (5) + 2 ? (2) = 16
15 + 4 = 16 (falsa)
O par ordenado (5, 2) não é solução da equação 3x + 2y = 16.
3 Determinar a solução da equação 3x + 2y = 16 quando y = _1.
3x + 2y = 16
3x + 2 ? (_1) = 16
3x _ 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
!x
18
3
x = 6
O par ordenado (6, _1) é solução da equação quando y = _1.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Verifique se o par ordenado (5, _2) é uma
das soluções das seguintes equações:
a) 5x + 2y = 21 Sim.
b) x _ 9y = 23 Sim.
c) 10x _ y = 48 Não.
d) 6x + 6y = 18 Sim.
e) 3x _ 4y = _23 Não.
f) 0,5x _ 0,3y = 1,9 Não.
2. Considerando que y = 7x _ 3, determine
o valor da incógnita x nas equações:
a) 2x + 5y = 59 2
b) 3x _ y = 21
c) 5x _ 3y = _2
d) 0,3x _ 0,2y = 1,7 _1
3. Determine uma das soluções da equação
0,6x _ 1,5y = _1,5 quando:
a) y = 0,8
b) y = 1,2
Resoluções a
partir da p. 289
"
9
211
16
(_0,5; 0,8)
(0,5; 1,2)
4. Apresente uma solução para a equação
9x _ 5y = 21 quando:
a) y vale 3 (4, 3)
b) x vale _6 (_6, _15)
5. Dada a equação 6x _ y = 42, encontre
a solução dessa equação quando:
a) x = 8 (8, 6)
b) y = 30 (12, 30)
6. Considere a afirmação: “O par ordenado
(_1, 10) é solução, ao mesmo tempo, das
equações 10x _ y = _20 e 5x + 2y = 15”.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa?
DESAFIO
7. Agora, junte-se com um amigo. Fazendo
tentativas e usando apenas números na-
turais, descubra um par ordenado (x, y)
que seja solução, ao mesmo tempo, das
equações x + y = 7 e x _ y = 1.
É verdadeira.
O par ordenado é (4, 3).
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195. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Representação
geométrica
A construção da represen-
tação geométrica de equações
do 1
o
grau com duas incógni-
tas pode ser feita utilizando
software de geometria dinâ-
mica. É importante ressaltar
que a construção feita usando
papel quadriculado, régua e
lápis é fundamental para que
os alunos compreendam o
conceito envolvido. A utiliza-
ção da ferramenta software
deve ser feita posteriormente,
com o objetivo de auxiliar no
processo de aprendizagem.
Se sua escola dispuser de
computadores, sugerimos que
as construções sejam feitas em
papel e, em seguida, usando o
software. Questionar os alu-
nos a respeito da inclinação das
retas, dos pontos em que a reta
cruza o eixo das ordenadas e o
eixo das abscissas. Registrar na
lousa as hipóteses dos alunos.
Representação geométrica
Veja como podemos representar uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas no plano cartesiano.
1 Representar a equação x + y = 3 no plano cartesiano.
I n i c i a l m e n t e , c o n s t r u í m o s u m q u a d r o e e s c o l h e m o s a l g u n s v a l o r e s p a r a x e calculamos o
valor de y correspondente. Assim, encontramos alguns pares ordenados que são solução
dessa equação.
x y Par ordenado (x,y)
_1_1 + y = 3 h y = 3 + 1 = 4 (_1, 4)
0 0 + y = 3 h y = 3 + 0 = 3 (0, 3)
1 1 + y = 3 h y = 3 _ 1 = 2 (1, 2)
Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta
que passa por esses pontos.
1234 5
x0
y
_1
_1
_2_3_4
1
2
3
(_1, 4)
(1, 2)
(0, 3)
6
4
1234 5
x0
y
_1
_1
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
A representação geométrica de uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas é uma reta.
ATIVIDADES
Resolva as atividades a seguir no caderno.
1. Considerando que x assume os valores
{_1, 0, 1, 2}, encontre os pares ordena-
dos das equações a seguir:
a) _2x + y = 2
b) x _ 3y = _1
Resoluções a
partir da p. 289
2. Represente no plano cartesiano as equa-
ções a seguir, usando uma folha de papel
quadriculado. Resposta no final do livro.
a) x _ y = 2
b) 2x _ y = 5
c) _x _ 3y = 1
Resposta no final do livro.
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DO 1
O
GRAU COM DUAS
INCÓGNITAS
5
CAPÍTULO
Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira:
São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.
Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos
por carros até completar 48 rodas e 14 veículos.
Quantidade de veículos de 4 rodas: 10
14 veículos e 48 rodas
Quantidade de veículos de 2 rodas: 4
Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos.
Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado
quando as quantidades forem muito grandes.
FOTOS: HEMERA
4 ! 2 " 8
10 ! 4 " 40
Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora
Ática, 2011.
Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1
o
grau. Entre um problema
e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar.
Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli
Neto, Editora FTD, 1999.
O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas,
os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da
disciplina e da perseverança na vida dos atletas.
DESCUBRA MAIS
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196. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Sistemas de equações
do 1
o
grau com duas
incógnitas
Retomar com os alunos o
problema 2 da página 140
e as estratégias de resolução
adotadas naquele momento.
Em seguida, apresentar a re-
solução proposta nesta página
e compará-las.
Promover um debate a
respeito dessas estratégias e
seus pontos positivos e nega-
tivos. Espera-se que os alunos
concluam que o método de
tentativa e erro pode ser bas-
tante trabalhoso dependendo
da situação e que, por isso, é
necessário um novo método
para a resolução de sistemas
de equações do 1
o
grau com
duas incógnitas, que é o tema
que será estudado em seguida.
Descubra mais
Com os livros indicados é
possível apresentar novas situa-
ções que incentivem os alunos
no trabalho com equações e
sistemas, enriquecendo o estu-
do desse tema. Em Encontros
do primeiro grau, é possível
tratar do conteúdo de equação
do 1
o
grau; e em Os olímpi-
cos, é possível tratar do conte-
údo de equação do 1
o
grau e
sistemas de equações.
Verificar se esses livros es-
tão disponíveis na biblioteca
da escola e, em caso afirmati-
vo, organizar um momento de
leitura, levando os alunos até
esse espaço escolar.
Representação geométrica
Veja como podemos representar uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas no plano cartesiano.
1 Representar a equação x + y = 3 no plano cartesiano.
I n i c i a l m e n t e , c o n s t r u í m o s u m q u a d r o e e s c o l h e m o s a l g u n s v a l o r e s p a r a x e calculamos o
valor de y correspondente. Assim, encontramos alguns pares ordenados que são solução
dessa equação.
x y Par ordenado (x,y)
_1_1 + y = 3 h y = 3 + 1 = 4 (_1, 4)
0 0 + y = 3 h y = 3 + 0 = 3 (0, 3)
1 1 + y = 3 h y = 3 _ 1 = 2 (1, 2)
Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta
que passa por esses pontos.
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x0
y
_1
_1
_2_3_4
1
2
3
(_1, 4)
(1, 2)
(0, 3)
6
4
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x0
y
_1
_1
_2_3_4
1
2
3
6
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4
A representação geométrica de uma equação do 1
o
grau com duas incógnitas é uma reta.
ATIVIDADES
Resolva as atividades a seguir no caderno.
1. Considerando que x assume os valores
{_1, 0, 1, 2}, encontre os pares ordena-
dos das equações a seguir:
a) _2x + y = 2
b) x _ 3y = _1
Resoluções a
partir da p. 289
2. Represente no plano cartesiano as equa-
ções a seguir, usando uma folha de papel
quadriculado. Resposta no final do livro.
a) x _ y = 2
b) 2x _ y = 5
c) _x _ 3y = 1
Resposta no final do livro.
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DO 1
O
GRAU COM DUAS
INCÓGNITAS
5
CAPÍTULO
Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros
e quantas motos há nesse estacionamento?
Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira:
São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.
Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos
por carros até completar 48 rodas e 14 veículos.
Quantidade de veículos de 4 rodas: 10
14 veículos e 48 rodas
Quantidade de veículos de 2 rodas: 4
Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos.
Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado
quando as quantidades forem muito grandes.
FOTOS: HEMERA
4 ! 2 " 8
10 ! 4 " 40
Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora
Ática, 2011.
Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1
o
grau. Entre um problema
e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar.
Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli
Neto, Editora FTD, 1999.
O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas,
os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da
disciplina e da perseverança na vida dos atletas.
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197. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As questões propostas têm
como objetivo levar os alunos
a representar uma situação
por meio de um sistema de
duas equações do 1
o
grau com
duas incógnitas.
Na atividade 1, enfatizar a
necessidade de associar cada
valor desconhecido a uma in-
cógnita, x ou y, deixando clara
essa associação. Por exemplo,
no item a podemos fazer:
• Preço de um livro: x
• Preço do outro livro: y
Sistema:
x + y = 60
x = 2y
{
Assim, é importante que
os alunos, na resolução de
problemas por meio de siste-
mas de equações do 1
o
grau
com duas incógnitas, deixem
claro qual valor desconhe-
cido está associado a cada
uma das incógnitas.
Vamos, agora, usar os conhecimentos de cálculo algébrico para resolver o problema de outro
modo. Inicialmente, indicamos:
• a quantidade de carros que há no estacionamento com x;
• a quantidade de motos que há no estacionamento com y.
Em seguida, com base nos dados do problema, montamos duas equações:
x ! y " 14 e 4x ! 2y " 48
Quando duas equações de 1
o
grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e,
dizemos que há um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas (no caso, x e y).
Esse sistema pode ser representado assim:
xy 14
4x2y48
!"
!"
⎧
⎨
⎩

quantidade de carros
quantidade de motos
quantidade de veículos
quantidade total de rodas
cada moto tem 2 rodas
cada carro tem 4 rodas
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Usando as letras x e y para representar
as incógnitas (números desconhecidos),
estabeleça um sistema de duas equações
do 1
o
grau associado a cada uma das si-
tuações a seguir:
a) Dois livros custam juntos 60 reais e o preço
de um deles é igual ao dobro do preço do
outro.
b) A soma das idades de Theo e Fernanda é
9 anos, enquanto a diferença entre essas
idades é 3 anos, sendo Theo o mais velho.
c) Uma tábua de 3,5 metros de comprimento
deve ser cortada em dois pedaço de tal
forma que o comprimento do pedaço
maior seja igual ao triplo do comprimento
do menor menos 0,5 metro.
d) Gabriela tem 10 cédulas, umas de 20 reais
e outras de 10 reais, perfazendo um total
de 130 reais.
e) A soma de dois números é 100, e o maior
deles é igual ao dobro do menor mais 4.
Resoluções a
partir da p. 289
f) Em um jogo de basquete, a cestinha do
time vencedor fez 24 cestas, algumas
valendo 3 pontos, e outras, 2 pontos,
num total de 56 pontos.
g) O perímetro de um terreno retangular é
22 m, e a medida da frente é 5 m maior
que a medida do fundo.
2. Em um sítio há bois e patos, totalizando
23 animais e 82 pernas. Usando as letras
x e y, escreva um sistema de duas equa-
ções associado a esse fato.
!"
"!
2x2y22
xy5
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy23
2x4y82
⎧
⎨
⎩
2.
!"
"
xy60
x2y
⎧
⎨
⎩
!"
#"
xy9
xy3
⎧
⎨
⎩
1. a) b) c) d) e) f)
!"
"#
xy3,5
x3y0,5
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy10
20x10y130
⎧
⎨
⎩
!"
"!
xy100
x2y4
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy24
3x2y56
⎧
⎨
⎩
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Solução de um sistema de equações
do 1
o
grau com duas incógnitas
Quando duas equações formam um sistema, embora cada equação tenha infinitas soluções,
devemos procurar a solução que verifica as duas equações simultaneamente.
Voltemos ao sistema de equações que representa o problema dos veículos da página 140:
xy 14
4x2y48
!"
!"
⎧
⎨
⎩
• O par ordenado (10, 4) é solução desse sistema, pois os valores verificam as duas equações
ao mesmo tempo:
x + y = 14
10 + 4 = 14 (verdadeira)
4x + 2y = 48
4 ? 10 + 2 ? 4 = 48
40 + 8 = 48 (verdadeira)
• O par ordenado (6, 8) não é solução desse sistema, pois verifica a equação x + y = 14, mas
não verifica a equação 4x + 2y = 48:
x + y = 14
6 + 8 = 14 (verdadeira)
4x + 2y = 48
4 ? 6 + 2 ? 8 = 48 (falsa)
24 + 16 5 48
Esse sistema pode ser resolvido
geometricamente. Para isso, vamos
representar cada uma das equações
que compõem o sistema em um
mesmo plano cartesiano.
A solução do sistema de equações
é o ponto de intersecção das duas
retas no plano cartesiano.
A solução de um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas, x e y, por
exemplo, é um par ordenado (x, y) que é solução tanto da primeira equação como da segunda.
1234 5678 9101112131415
x0
y
_1
_1
_2
_3
_4
1
2
3
6
7
8
x + y = 14
4x + 2y = 48
(10, 4)
5
4
Não faz muito tempo que, para pegar um táxi, era necessário ir até a rua e balançar o dedo indicador
ou ligar para alguma cooperativa de táxis. Mas isso mudou com a popularização dos smartphones e o
desenvolvimento de novos aplicativos, desde alguns específicos para táxis até novas opções de transporte,
como caronas e mesmo o transporte particular por geolocalização, o qual, em alguns casos, permite o
compartilhamento da corrida com outros passageiros, o que acaba barateando o preço final.
• Você acredita que a criação de novas opções de transporte pode ser benéfica para a população?
Resposta pessoal.
NÓS
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198. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Solução de um sistema
de equações do 1
o
grau
com duas incógnitas
Ler o texto apresentado aos
alunos e verificar se eles com-
preendem que, como cada
uma das equações do siste-
ma pode ser representada por
uma reta do plano cartesiano,
o ponto de intersecção das
duas retas é a solução do sis-
tema, pois é solução tanto de
uma como da outra equação.
Se possível, propor outros
sistemas de equações do
1
o
grau com duas incógnitas
e mostrar a resolução geomé-
trica usando um software de
geometria dinâmica.
Nós
Propor aos alunos que dis-
cutam a respeito do tema em
pequenos grupos. Em segui-
da, promover um debate com
a turma toda. Apresentar os
seguintes questionamentos
para auxiliá-los na reflexão:
• Diferentes tipos de trans-
porte atendem mais satisfato-
riamente às necessidades de
cada indivíduo?
• Como uma nova modalida-
de de transporte pode impac-
tar no trânsito, na sociedade e
nas famílias das pessoas que
trabalham com modalidades
de transporte já existentes?
Vamos, agora, usar os conhecimentos de cálculo algébrico para resolver o problema de outro
modo. Inicialmente, indicamos:
• a quantidade de carros que há no estacionamento com x;
• a quantidade de motos que há no estacionamento com y.
Em seguida, com base nos dados do problema, montamos duas equações:
x ! y " 14 e 4x ! 2y " 48
Quando duas equações de 1
o
grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e,
dizemos que há um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas (no caso, x e y).
Esse sistema pode ser representado assim:
xy 14
4x2y48
!"
!"
⎧
⎨
⎩

quantidade de carros
quantidade de motos
quantidade de veículos
quantidade total de rodas
cada moto tem 2 rodas
cada carro tem 4 rodas
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Usando as letras x e y para representar
as incógnitas (números desconhecidos),
estabeleça um sistema de duas equações
do 1
o
grau associado a cada uma das si-
tuações a seguir:
a) Dois livros custam juntos 60 reais e o preço
de um deles é igual ao dobro do preço do
outro.
b) A soma das idades de Theo e Fernanda é
9 anos, enquanto a diferença entre essas
idades é 3 anos, sendo Theo o mais velho.
c) Uma tábua de 3,5 metros de comprimento
deve ser cortada em dois pedaço de tal
forma que o comprimento do pedaço
maior seja igual ao triplo do comprimento
do menor menos 0,5 metro.
d) Gabriela tem 10 cédulas, umas de 20 reais
e outras de 10 reais, perfazendo um total
de 130 reais.
e) A soma de dois números é 100, e o maior
deles é igual ao dobro do menor mais 4.
Resoluções a
partir da p. 289
f) Em um jogo de basquete, a cestinha do
time vencedor fez 24 cestas, algumas
valendo 3 pontos, e outras, 2 pontos,
num total de 56 pontos.
g) O perímetro de um terreno retangular é
22 m, e a medida da frente é 5 m maior
que a medida do fundo.
2. Em um sítio há bois e patos, totalizando
23 animais e 82 pernas. Usando as letras
x e y, escreva um sistema de duas equa-
ções associado a esse fato.
!"
"!
2x2y22
xy5
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy23
2x4y82
⎧
⎨
⎩
2.
!"
"
xy60
x2y
⎧
⎨
⎩
!"
#"
xy9
xy3
⎧
⎨
⎩
1. a) b) c) d) e) f)
!"
"#
xy3,5
x3y0,5
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy10
20x10y130
⎧
⎨
⎩
!"
"!
xy100
x2y4
⎧
⎨
⎩
!"
!"
xy24
3x2y56
⎧
⎨
⎩
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Solução de um sistema de equações
do 1
o
grau com duas incógnitas
Quando duas equações formam um sistema, embora cada equação tenha infinitas soluções,
devemos procurar a solução que verifica as duas equações simultaneamente.
Voltemos ao sistema de equações que representa o problema dos veículos da página 140:
xy 14
4x2y48
!"
!"
⎧
⎨
⎩
• O par ordenado (10, 4) é solução desse sistema, pois os valores verificam as duas equações
ao mesmo tempo:
x + y = 14
10 + 4 = 14 (verdadeira)
4x + 2y = 48
4 ? 10 + 2 ? 4 = 48
40 + 8 = 48 (verdadeira)
• O par ordenado (6, 8) não é solução desse sistema, pois verifica a equação x + y = 14, mas
não verifica a equação 4x + 2y = 48:
x + y = 14
6 + 8 = 14 (verdadeira)
4x + 2y = 48
4 ? 6 + 2 ? 8 = 48 (falsa)
24 + 16 5 48
Esse sistema pode ser resolvido
geometricamente. Para isso, vamos
representar cada uma das equações
que compõem o sistema em um
mesmo plano cartesiano.
A solução do sistema de equações
é o ponto de intersecção das duas
retas no plano cartesiano.
A solução de um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas, x e y, por
exemplo, é um par ordenado (x, y) que é solução tanto da primeira equação como da segunda.
1234 5678 9101112131415
x0
y
_1
_1
_2
_3
_4
1
2
3
6
7
8
x + y = 14
4x + 2y = 48
(10, 4)
5
4
Não faz muito tempo que, para pegar um táxi, era necessário ir até a rua e balançar o dedo indicador
ou ligar para alguma cooperativa de táxis. Mas isso mudou com a popularização dos smartphones e o
desenvolvimento de novos aplicativos, desde alguns específicos para táxis até novas opções de transporte,
como caronas e mesmo o transporte particular por geolocalização, o qual, em alguns casos, permite o
compartilhamento da corrida com outros passageiros, o que acaba barateando o preço final.
• Você acredita que a criação de novas opções de transporte pode ser benéfica para a população?
Resposta pessoal.
NÓS
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199. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas
têm o objetivo de aplicação
dos conhecimentos adquiridos
a respeito de um sistema de
equações, verificando se um
par ordenado é ou não solu-
ção de determinado sistema
de duas equações do 1
o
grau
com duas incógnitas.
A atividade 5 vai além do
que simplesmente uma verifi-
cação. Nela os alunos devem
determinar o par ordenado
que é a solução do sistema.
Verificar que procedimentos os
alunos usam para resolver essa
questão. Ela pode ser feita em
duplas ou pequenos grupos.
Socializar e validar com a tur-
ma os diferentes procedimen-
tos que aparecerem.
Desafio
No desafio da ativida-
de 6, incentivar os alunos
a criar estratégias próprias
para resolução. Pedir que
descrevam como pensaram e
socializem as respostas. Dis-
cutir com eles a necessidade
de uma estratégia eficaz para
a resolução de um sistema de
equações. Deixar que refli-
tam um pouco sobre isso.
Resolução do Desafio
a) Alternativa b.
b) A incógnita x representa
a quantia economizada por
Bento; a incógnita y, a quantia
economizada por Antônio.
c)
x +
y
3
= 110
y +
x
4
= 110
Substituindo os valores de
x e y no sistema identificado,
temos:
80 +
90
3
= 110
90 +
80
4
= 110
Portanto, alternativa a.
d) x = 80 reais (quantia
economizada por Bento) e y =
= 90 reais (quantia economi-
zada por Antônio).
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O par ordenado (10, 7) é a solução do
sistema
!"
#"
3x2y16
2x3y41
⎧
⎨
⎩
? Sim.
2. Verifique se o par ordenado (_3, 5)
é a solução do sistema de equações:
#"
!" !
⎧
⎨
⎩
4x3y3
2x5y 31
. Sim, é solução.
3. Entre os pares ordenados (1, 2) e (2, 1),
qual deles é a solução do sistema
!"
#"
2xy3
3x2y8
⎧
⎨
⎩
? (2, 1)
Resoluções a
partir da p. 289
4. Verifique se o par ordenado (_2, 2) é a
solução do sistema.
#"
!"
x
2
4y7
x
y
2
3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

Não é solução.
5. Descubra o par ordenado de números
naturais que é a solução do sistema.
#"
!"
xy 6
xy 2
⎧
⎨
⎩
. (4, 2)
DESAFIO
6. Agora, junte-se com um amigo para resolver o desafio a seguir. Dois irmãos acabam de
contar a quantia que cada um conseguiu economizar.
Bento,
eu preciso de menos. Basta que
você me dê um quarto das suas
economias para que eu fique
com 110 reais.
Antônio,
se você me der um terço do
que você economizou, eu
ficarei com 110 reais.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Para descobrir quantos reais cada irmão conseguiu economizar, responda às questões
no caderno.
a. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação apresentada? Alternativa b.
a)
#"
!"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
4
y
3
110
xy 10
b)
#"
#"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
y
3
110
y
x
4
110
c)
!"
!"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
y
3
110
y
x
4
110
b. No sistema correto de equações, o que representa a incógnita x? E a incógnita y?
c. Verifique qual dos pares ordenados a seguir é a solução do sistema de equações correto.
a) (80, 90) b) (90, 80) c) (85, 95)
d. Qual é a quantia que cada irmão conseguiu economizar?
A incógnita x representa a quantia economizada por Bento; a incógnita y, a quantia economizada por Antônio.
Alternativa a.
x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = 90 reais (quantia economizada por Antônio).
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RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE
DUAS EQUAÇÕES DO 1
O
GRAU
COM DUAS INCÓGNITAS
6
CAPÍTULO
Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado (x, y), que é
a solução de um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas.
Neste capítulo, estudaremos dois desses métodos: o da substituição e o
da adição.
Método da substituição
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas.
Quantos carros e quantas motos há
nesse estacionamento?
Inicialmente, indicamos:
• a quantidade de carros que há no estacionamento por x;
• a quantidade de motos que há no estacionamento por y.
De acordo com os dados do problema, formamos o sistema de equações:
!"
!"{
xy 14
4x2y48
Para resolver esse sistema pelo método da substituição, seguimos os passos:
1
o
passo: Na 1
a
equação, isolamos a incógnita x.
x + y = 14
x = 14 _ y
2
o
passo: Na 2
a
equação, vamos substituir x por 14 _ y.
4x + 2y = 48
4(14 _ y)+ 2y = 48 equação do 1
o
grau na incógnita y
56 _ 4y + 2y = 48
56 _ 2y = 48
_2y = 48 _ 56
_2y = _8
2y = 8
y
8
2
=

y = 4 quantidade de motos
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200. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Método da substituição
Nesta e na próxima página
é apresentado o método da
substituição para a resolução
de sistemas de duas equações
do 1
o
grau com duas incógni-
tas. Ler com os alunos a expli-
cação e reproduzi-la na lousa,
explicando cada passo. Veri-
ficar se os alunos compreen-
dem o que é feito de um passo
para outro.
Comentar que esse método
é bastante utilizado para a re-
solução de sistemas desse tipo
e que será uma ferramenta
muito útil para diversos assun-
tos que verão em anos poste-
riores, tanto na Matemática
como em outras disciplinas.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O par ordenado (10, 7) é a solução do
sistema
!"
#"
3x2y16
2x3y41
⎧
⎨
⎩
? Sim.
2. Verifique se o par ordenado (_3, 5)
é a solução do sistema de equações:
#"
!" !
⎧
⎨
⎩
4x3y3
2x5y 31
. Sim, é solução.
3. Entre os pares ordenados (1, 2) e (2, 1),
qual deles é a solução do sistema
!"
#"
2xy3
3x2y8
⎧
⎨
⎩
? (2, 1)
Resoluções a
partir da p. 289
4. Verifique se o par ordenado (_2, 2) é a
solução do sistema.
#"
!"
x
2
4y7
x
y
2
3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

Não é solução.
5. Descubra o par ordenado de números
naturais que é a solução do sistema.
#"
!"
xy 6
xy 2
⎧
⎨
⎩
. (4, 2)
DESAFIO
6. Agora, junte-se com um amigo para resolver o desafio a seguir. Dois irmãos acabam de
contar a quantia que cada um conseguiu economizar.
Bento,
eu preciso de menos. Basta que
você me dê um quarto das suas
economias para que eu fique
com 110 reais.
Antônio,
se você me der um terço do
que você economizou, eu
ficarei com 110 reais.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Para descobrir quantos reais cada irmão conseguiu economizar, responda às questões
no caderno.
a. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação apresentada? Alternativa b.
a)
#"
!"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
4
y
3
110
xy 10
b)
#"
#"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
y
3
110
y
x
4
110
c)
!"
!"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x
y
3
110
y
x
4
110
b. No sistema correto de equações, o que representa a incógnita x? E a incógnita y?
c. Verifique qual dos pares ordenados a seguir é a solução do sistema de equações correto.
a) (80, 90) b) (90, 80) c) (85, 95)
d. Qual é a quantia que cada irmão conseguiu economizar?
A incógnita x representa a quantia economizada por Bento; a incógnita y, a quantia economizada por Antônio.
Alternativa a.
x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = 90 reais (quantia economizada por Antônio).
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RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE
DUAS EQUAÇÕES DO 1
O
GRAU
COM DUAS INCÓGNITAS
6
CAPÍTULO
Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado (x, y), que é
a solução de um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas.
Neste capítulo, estudaremos dois desses métodos: o da substituição e o
da adição.
Método da substituição
PHOTODISC/GETTY IMAGES
Em um estacionamento, há carros e motos,
totalizando 14 veículos e 48 rodas.
Quantos carros e quantas motos há
nesse estacionamento?
Inicialmente, indicamos:
• a quantidade de carros que há no estacionamento por x;
• a quantidade de motos que há no estacionamento por y.
De acordo com os dados do problema, formamos o sistema de equações:
!"
!"{
xy 14
4x2y48
Para resolver esse sistema pelo método da substituição, seguimos os passos:
1
o
passo: Na 1
a
equação, isolamos a incógnita x.
x + y = 14
x = 14 _ y
2
o
passo: Na 2
a
equação, vamos substituir x por 14 _ y.
4x + 2y = 48
4(14 _ y)+ 2y = 48 equação do 1
o
grau na incógnita y
56 _ 4y + 2y = 48
56 _ 2y = 48
_2y = 48 _ 56
_2y = _8
2y = 8
y
8
2
=

y = 4 quantidade de motos
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201. 3
o
passo: Substituímos y por 4 na equação x = 14 _ y.
x = 14 _ y
x = 14 _ 4
x = 10 quantidade de carros
Então, a solução do sistema
!"
!"
xy 14
4x2y48
⎧
⎨
⎩
é o par ordenado (10, 4).
Há 10 carros e 4 motos no estacionamento.
Considere agora estas outras situações:
1 Vamos resolver o sistema:
#"
#! "#
x
2
1
y
3
x3y2 4()
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

1
o
passo: Inicialmente, devemos preparar as equações, isto é, devemos escrevê-las na forma
ax + by = c.
• #"
x
2
1
y
3

#
"
3x6
6
2y
6
3x _ 6 = 2y
3x = 2y + 6
3x _ 2y = 6
• x _ 3(y + 2) = _ 4
x _ 3y _ 6 = _4
x _ 3y = _4 + 6
x _ 3y = 2
2
o
passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente:
#"
#"
3x2y6
x3y2
⎧
⎨
⎩
• Nesse sistema, é mais simples iniciarmos pela 2
a
equação:
x _ 3y = 2
x = 2 + 3y
• Substituímos o valor de x na 1
a
equação:
3x _ 2y = 6
3(2 + 3y) _ 2y = 6
6 + 9y _ 2y = 6
6 + 7y = 6
7y = 6 _ 6
7y = 0
y
0
7
=
y = 0
• Determinamos o valor de x para y = 0:
x = 2 + 3y
x = 2 + 3 ? (0)
x = 2 + 0
x = 2
A solução do sistema é o par ordenado (2, 0).
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Responda às questões no caderno.
1. Determine a solução de cada um dos se-
guintes sistemas de equações do 1
o
grau
nas incógnitas x e y:
a)
!"
#"
xy 22
xy 8
⎧
⎨
⎩

b)
!"
#"
2xy26
xy 4
⎧
⎨
⎩

c)
!"#
#" #
3xy5
5x2y 1
⎧
⎨
⎩

d)
!" #
#"
x2y4
3x2y20
⎧
⎨
⎩

e)
!"
#"
x3y3
2xy1,8
⎧
⎨
⎩

f)
"#
#"
x
5
10
y
2
xy 8
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

(15, 7)
(10, 6)
(−1, −2)
(4, −4)
(1,2; 0,6)
(20, 12)
2 Determinar o par (x, y) que é a solução do sistema:
"
"
#
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
3x
y
1
2
x
5
y1
1
o
passo: Nesse sistema, devemos ter y 5 0, y 5 1 e x 5 0. Vamos, então, reduzir as equa-
ções à sua forma mais simples.
• "
3x
y
1
"
3x
y
y
y

3x = y
y = 3x
• "
#
2
x
5
y1

#
##
2(y1)
x(y1)
5x
x(y1)
=
2(y _ 1) = 5x
2y _ 2 = 5x
_5x + 2y = 2
2
o
passo: Depois, resolvemos o sistema:
"
#! "
y3x
5x2y2
⎧
⎨
⎩
Nesse caso, é mais simples iniciarmos pela primeira equação.
• y = 3x
• _5x + 2y = 2
_ 5x + 2 ? (3x) = 2
_5x + 6x = 2
x = 2
• y = 3x
y = 3 ? (2)
y = 6
A solução do sistema é o par ordenado (2, 6).
ATIVIDADES
g)
#" #!
## !"#
3x5y2(xy)1
6y3(x3y)2x
⎧
⎨
⎩

h)
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
xy 9
x
2y
1
!"
"

i)
"!
#
"
#
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2x23y
1
y1
1
x3

2. Uma fração é equivalente a
7
4
. Se
adicionarmos 2 ao denominador dessa
fração, ela se tornará equivalente a
3
2
.
Qual é a fração pedida?
(1, 0)
(6, 3)
(4, 2)
21
12
Resoluções a
partir da p. 289
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202. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Apresentar o exemplo 2 na
lousa e propor aos alunos que
o resolvam antes de observar
a resolução apresentada no
livro. Em seguida, explorar o
exemplo na lousa solicitando
que os alunos comparem com
a resolução feita por eles e co-
mentem a respeito dos pontos
em que identificaram alguma
dificuldade.
Atividades
Nesse bloco as questões
têm como objetivo levar os
alunos a resolver um sistema
de equações do 1
o
grau com
duas incógnitas utilizando o
método da substituição.
3
o
passo: Substituímos y por 4 na equação x = 14 _ y.
x = 14 _ y
x = 14 _ 4
x = 10 quantidade de carros
Então, a solução do sistema
!"
!"
xy 14
4x2y48
⎧
⎨
⎩
é o par ordenado (10, 4).
Há 10 carros e 4 motos no estacionamento.
Considere agora estas outras situações:
1 Vamos resolver o sistema:
#"
#! "#
x
2
1
y
3
x3y2 4()
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

1
o
passo: Inicialmente, devemos preparar as equações, isto é, devemos escrevê-las na forma
ax + by = c.
• #"
x
2
1
y
3

#
"
3x6
6
2y
6
3x _ 6 = 2y
3x = 2y + 6
3x _ 2y = 6
• x _ 3(y + 2) = _ 4
x _ 3y _ 6 = _4
x _ 3y = _4 + 6
x _ 3y = 2
2
o
passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente:
#"
#"
3x2y6
x3y2
⎧
⎨
⎩
• Nesse sistema, é mais simples iniciarmos pela 2
a
equação:
x _ 3y = 2
x = 2 + 3y
• Substituímos o valor de x na 1
a
equação:
3x _ 2y = 6
3(2 + 3y) _ 2y = 6
6 + 9y _ 2y = 6
6 + 7y = 6
7y = 6 _ 6
7y = 0
y
0
7
=
y = 0
• Determinamos o valor de x para y = 0:
x = 2 + 3y
x = 2 + 3 ? (0)
x = 2 + 0
x = 2
A solução do sistema é o par ordenado (2, 0).
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Responda às questões no caderno.
1. Determine a solução de cada um dos se-
guintes sistemas de equações do 1
o
grau
nas incógnitas x e y:
a)
!"
#"
xy 22
xy 8
⎧
⎨
⎩

b)
!"
#"
2xy26
xy 4
⎧
⎨
⎩

c)
!"#
#" #
3xy5
5x2y 1
⎧
⎨
⎩

d)
!" #
#"
x2y4
3x2y20
⎧
⎨
⎩

e)
!"
#"
x3y3
2xy1,8
⎧
⎨
⎩

f)
"#
#"
x
5
10
y
2
xy 8
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

(15, 7)
(10, 6)
(−1, −2)
(4, −4)
(1,2; 0,6)
(20, 12)
2 Determinar o par (x, y) que é a solução do sistema:
"
"
#
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
3x
y
1
2
x
5
y1
1
o
passo: Nesse sistema, devemos ter y 5 0, y 5 1 e x 5 0. Vamos, então, reduzir as equa-
ções à sua forma mais simples.
• "
3x
y
1
"
3x
y
y
y

3x = y
y = 3x
• "
#
2
x
5
y1

#
##
2(y1)
x(y1)
5x
x(y1)
=
2(y _ 1) = 5x
2y _ 2 = 5x
_5x + 2y = 2
2
o
passo: Depois, resolvemos o sistema:
"
#! "
y3x
5x2y2
⎧
⎨
⎩
Nesse caso, é mais simples iniciarmos pela primeira equação.
• y = 3x
• _5x + 2y = 2
_ 5x + 2 ? (3x) = 2
_5x + 6x = 2
x = 2
• y = 3x
y = 3 ? (2)
y = 6
A solução do sistema é o par ordenado (2, 6).
ATIVIDADES
g)
#" #!
## !"#
3x5y2(xy)1
6y3(x3y)2x
⎧
⎨
⎩

h)
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
xy 9
x
2y
1
!"
"

i)
"!
#
"
#
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2x23y
1
y1
1
x3

2. Uma fração é equivalente a
7
4
. Se
adicionarmos 2 ao denominador dessa
fração, ela se tornará equivalente a
3
2
.
Qual é a fração pedida?
(1, 0)
(6, 3)
(4, 2)
21
12
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partir da p. 289
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203. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Método da adição
Para o método da adição,
retomar a aplicação do princí-
pio multiplicativo da igualdade
com os alunos: multiplicando
(ou dividindo) os dois membros
de uma equação por um mes-
mo número não nulo, obtemos
outra equação equivalente à
equação original.
Ressaltar que, para determi-
nar por qual número se deve
multiplicar cada equação do
sistema ao utilizar o método da
adição, deve-se buscar eliminar
uma das incógnitas ao se fazer
a adição, membro a membro,
das duas equações. Facilita eli-
minar incógnitas que tenham
sinais diferentes nas duas
equações, em particular, se ti-
verem coeficientes opostos.
Método da adição
Veremos a seguir como resolver um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas
usando o método algébrico da adição.
Consideremos as situações:
1 Determinar a solução (x, y) do sistema:
!"
#"
5x3y21
2x3y14
⎧
⎨
⎩
1
o
passo: Como as duas equações apresentam termos opostos (+3y na primeira e _3y na
segunda), adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única
equação, equivalente às equações dadas, sem a incógnita y.
5x3y21
2x3y14
7x035
+=
_=
+=
+ h
7x = 35
"x
35
7
x = 5
2
o
passo: Substituindo x por 5 em uma das equações do sistema, temos:
5x + 3y = 21
5 ? 5 + 3y = 21
25 + 3y = 21
3y = 21 _ 25
3y = _4
=_y
4
3

A solução do sistema é o par ordenado {}
S5,
4
3
=_ .
2 Resolver o sistema:
!"
#"
5x3y2
4x2y6
⎧
⎨
⎩
1
o
passo: Observando as equações do sistema, vemos que não é viável adicionar membro a
membro as duas equações, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai
“desaparecer”. Vamos, então, usar um recurso que é uma aplicação do princípio multiplicativo
para deixar o sistema com termos opostos.
Primeiro, devemos escolher uma das incógnitas, por exemplo, y. Observe que o coeficiente
de y na primeira equação é 3 e o coeficiente de y na segunda equação é _2.
Assim, como os sinais dos coeficientes de y já estão trocados, se quisermos deixar os termos
na forma de opostos, basta multiplicar a primeira equação (5x + 3y = 2) pelo coeficiente
de y da segunda equação (2) e, também, multiplicar a segunda equação (4x _ 2y = 6) pelo
coeficiente de y da primeira equação (3). Veja o esquema a seguir:
!"
#"
!"
#"
h
x
x
5x3y2
4x2y6
10x6y4
12x6y18
2
3
()
()
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎧
⎨
⎩
Não se esqueça
de que o par ordenado que
é solução do sistema é solução
tanto da primeira equação
quanto da segunda.
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2
o
passo: Agora, temos dois termos opostos: +6y e _6y. Por esse motivo, podemos adicionar
membro a membro as equações para obter uma única equação sem a incógnita y.
+=
_=
+=
10x6y4
12x6y18
22x022
+ h
22x = 22
x = 1
3
o
passo: Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema.
5x + 3y = 2
5 ? 1 + 3y = 2
5 + 3y = 2
3y = 2 _ 5
3y = _3
y = _1
A solução do sistema é o par ordenado (1, _1).
3 Dado que xy = 24 e
!"
!"
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
8
x
6
y
3
2
x
3
y
1
, determinar o par (x, y) com x 5 0 e y 5 0, que é a solução
do sistema.
1
o
passo: Vamos reduzir as equações à sua forma mais simples.
• !"
8
x
6
y
3
!
"
8y6x
xy
3xy
xy

8y + 6x = 3xy
Como xy = 24, temos:
8y + 6x = 3 ? (24)
8y + 6x = 72
• !"
2
x
3
y
1
!
"
2y3x
xy
1xy
xy

2y + 3x = xy
Como xy = 24, temos:
2y + 3x = 24
2
o
passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente:
!"
!"
8y6x72
2y3x24
⎧
⎨
⎩
Observe que o sistema não apresenta termos opostos, porém, ao analisar a incógnita x, temos
que a primeira equação possui coeficiente +6 e a segunda equação possui o coeficiente +3.
Portanto, para deixar o sistema com termos opostos na incógnita x, basta multiplicarmos a
segunda equação por _2.
Observação: se quiséssemos deixar os termos opostos na variável y, bastaria multiplicar a
segunda equação (2y + 3x = 24) por _4.
Veja a resolução a seguir.
!"
!"
!"
## "#
h
x_
8y6x72
2y3x24
8y6x72
4y6x482()
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎧
⎨
⎩
• +=
__ =_ +
+=
8y6x72
4y6x 48
4y024
4y = 24
y = 6
• 2y + 3x = 24
2 ? (6) + 3x = 24
12 + 3x = 24
3x = 24 _ 12
3x = 12
x = 4
A solução do sistema é o par ordenado (4, 6).
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204. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Depois que os alunos
acompanharem os exemplos
apresentados no livro, forne-
cer outros na lousa para que
eles possam analisar qual dos
dois métodos estudados (mé-
todo da adição ou da substitui-
ção) é mais adequado utilizar
em cada sistema. Pedir que
justifiquem suas escolhas, dis-
cutindo a respeito disso com
toda a turma.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Resolva o sistema a seguir
pelo método da adição e pelo
método da substituição.
x = 3y
2x _ 5y = 4
{
Resolução da atividade
• Utilizando o método da
adição:
Para resolver o sistema apli-
cando o método da adição, é
preciso ter os dois coeficientes
opostos no mesmo membro
de cada equação. Assim:
h
x _ 3y = 0 x(_2)
2x _ 5y = 4
{
h
_ 2x + 6y = 0
2x _ 5y = 4
{
Adicionando membro a
membro as duas equações,
obtemos: 0 + y = 4 h y = 4
Substituindo y por 4 na
equação x _ 3y = 0, temos:
x _ 3 ? 4 = 0 h x = 12.
Logo, (12, 4) é a solução
desse sistema.
• Utilizando o método da
substituição:
Observando o sistema origi-
nal, verifica-se que na primeira
equação a incógnita x já está
isolada. Assim, basta substituir
x por 3y na segunda equação:
2 ? 3y _ 5y = 4 h 6y _ 5y =
= 4 h y = 4
Substituindo o valor de y na
primeira equação, temos:
x = 3y h x = 3 ? 4 h
h x = 12
Desse modo, obtemos a so-
lução (12, 4) para o sistema.
Método da adição
Veremos a seguir como resolver um sistema de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas
usando o método algébrico da adição.
Consideremos as situações:
1 Determinar a solução (x, y) do sistema:
!"
#"
5x3y21
2x3y14
⎧
⎨
⎩
1
o
passo: Como as duas equações apresentam termos opostos (+3y na primeira e _3y na
segunda), adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única
equação, equivalente às equações dadas, sem a incógnita y.
5x3y21
2x3y14
7x035
+=
_=
+=
+ h
7x = 35
"x
35
7
x = 5
2
o
passo: Substituindo x por 5 em uma das equações do sistema, temos:
5x + 3y = 21
5 ? 5 + 3y = 21
25 + 3y = 21
3y = 21 _ 25
3y = _4
=_y
4
3

A solução do sistema é o par ordenado {}
S5,
4
3
=_ .
2 Resolver o sistema:
!"
#"
5x3y2
4x2y6
⎧
⎨
⎩
1
o
passo: Observando as equações do sistema, vemos que não é viável adicionar membro a
membro as duas equações, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai
“desaparecer”. Vamos, então, usar um recurso que é uma aplicação do princípio multiplicativo
para deixar o sistema com termos opostos.
Primeiro, devemos escolher uma das incógnitas, por exemplo, y. Observe que o coeficiente
de y na primeira equação é 3 e o coeficiente de y na segunda equação é _2.
Assim, como os sinais dos coeficientes de y já estão trocados, se quisermos deixar os termos
na forma de opostos, basta multiplicar a primeira equação (5x + 3y = 2) pelo coeficiente
de y da segunda equação (2) e, também, multiplicar a segunda equação (4x _ 2y = 6) pelo
coeficiente de y da primeira equação (3). Veja o esquema a seguir:
!"
#"
!"
#"
h
x
x
5x3y2
4x2y6
10x6y4
12x6y18
2
3
()
()
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎧
⎨
⎩
Não se esqueça
de que o par ordenado que
é solução do sistema é solução
tanto da primeira equação
quanto da segunda.
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2
o
passo: Agora, temos dois termos opostos: +6y e _6y. Por esse motivo, podemos adicionar
membro a membro as equações para obter uma única equação sem a incógnita y.
+=
_=
+=
10x6y4
12x6y18
22x022
+ h
22x = 22
x = 1
3
o
passo: Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema.
5x + 3y = 2
5 ? 1 + 3y = 2
5 + 3y = 2
3y = 2 _ 5
3y = _3
y = _1
A solução do sistema é o par ordenado (1, _1).
3 Dado que xy = 24 e
!"
!"
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
8
x
6
y
3
2
x
3
y
1
, determinar o par (x, y) com x 5 0 e y 5 0, que é a solução
do sistema.
1
o
passo: Vamos reduzir as equações à sua forma mais simples.
• !"
8
x
6
y
3
!
"
8y6x
xy
3xy
xy

8y + 6x = 3xy
Como xy = 24, temos:
8y + 6x = 3 ? (24)
8y + 6x = 72
• !"
2
x
3
y
1
!
"
2y3x
xy
1xy
xy

2y + 3x = xy
Como xy = 24, temos:
2y + 3x = 24
2
o
passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente:
!"
!"
8y6x72
2y3x24
⎧
⎨
⎩
Observe que o sistema não apresenta termos opostos, porém, ao analisar a incógnita x, temos
que a primeira equação possui coeficiente +6 e a segunda equação possui o coeficiente +3.
Portanto, para deixar o sistema com termos opostos na incógnita x, basta multiplicarmos a
segunda equação por _2.
Observação: se quiséssemos deixar os termos opostos na variável y, bastaria multiplicar a
segunda equação (2y + 3x = 24) por _4.
Veja a resolução a seguir.
!"
!"
!"
## "#
h
x_
8y6x72
2y3x24
8y6x72
4y6x482()
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎧
⎨
⎩
• +=
__ =_ +
+=
8y6x72
4y6x 48
4y024
4y = 24
y = 6
• 2y + 3x = 24
2 ? (6) + 3x = 24
12 + 3x = 24
3x = 24 _ 12
3x = 12
x = 4
A solução do sistema é o par ordenado (4, 6).
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205. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco as questões
têm como objetivo levar os
alunos a resolver um sistema
de equações do 1
o
grau com
duas incógnitas utilizando o
método que julgarem mais
adequado, da adição ou da
substituição.
Verificar se os alunos com-
preendem que usando o méto-
do da substituição ou o método
da adição chegarão ao mesmo
resultado. Além disso, é interes-
sante fazê-los experimentar a
resolução pelos dois métodos,
até que identifiquem em qual
deles se sentem mais confor-
táveis para realizar a resolução.
Outro ponto a ser considerado
é que, além da preferência pes-
soal para a escolha do método
de resolução, em alguns casos,
utilizar um ou outro método
facilita bastante os cálculos.
Auxiliar os alunos no desenvol-
vimento dessa habilidade de
identificação ao analisar o siste-
ma de equações dado.
Desafio
Resolução do De safio
a) Considere:
= x
= y
= z
= t
= t
Da 4
a
linha, tem-se: 4 + 4 +
+ 4 + x = 20 h x = 8
Da 1
a
coluna, tem-se: z +
+ 8 + 4 + 4 = 30 h z = 14
Da 3
a
coluna, tem-se: y +
+ y + 14 + 4 = 22 h y = 2
Da 2
a
linha, tem-se: 8 + k +
+ 2 + 2 = 18 h k = 6
Da 2
a
coluna, tem-se: 4 +
+ 6 + t + 4 = 28 h t = 12
= 8
= 2
= 6
= 12
= 14
b)
C + B = 87 (I)
C + A = 123 (II)
A + B = 66 (III)
Subtraindo (I) de (II):
A – B = 36 (IV)
Somando (III) e (IV):
2A = 102 h A = 51
Substituindo A em (IV):
51 _ B = 36 h B = 15
Substituindo A em (II):
C + 51 = 123 h C = 72
Portanto, Carlos tem 72 kg,
Andrea tem 51 kg e Balu tem
15 kg.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Determine a solução de cada um dos se-
guintes sistemas de equações do 1
o
grau
nas incógnitas x e y:
a)
!"
#"
xy 42
xy 8
⎧
⎨
⎩

b)
!"
#! "#
2x7y1
2x3y 11
⎧
⎨
⎩

c)
#"
#" #
7x4y22
2x4y 8
⎧
⎨
⎩

d)
!"
#! "#
8x6y10
3x6y 12
⎧
⎨
⎩

e)
!" #
!" #
4x2y 7
2x3y 0,5
⎧
⎨
⎩

f)
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2xy12
x
3
y
2
6
#"
!"
, com y 5 0
g)
#
"
#
"#
xy
5
xy
2
2x25y
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

h)
#" #
#! "!
3(x2)2(y3)
18(y2)y 3(2x3)
⎧
⎨
⎩

2. Dois números reais x e y são tais que
!
!
"
x4
y3
1 e
!
"
2y
x2
4.
Nessas condições, sendo x 5 _2 e y 5 _3,
determine o valor de:
a) y _ x b) x : y c) (x + y)(x _ y)
3. Quando adicionamos 2 aos dois termos
de uma fração, ela se torna equivalente a
5
6
; quando subtraímos 2 dos dois termos
da mesma fração, ela se torna equiva-
lente a
1
2
. Qual é a fração considerada?
4. Carlos pensou em dois números. A soma
entre esses números é 175, e a diferença
entre eles é 43. Quais são os números em
que Carlos pensou?
Resoluções a
partir da p. 289
5. Num sorteio, dois números foram pre-
miados. A soma desses dois números é
170, e o maior deles é igual ao triplo do
menor mais 2 unidades. Quais foram os
números sorteados?
6. Caio e Pedro são irmãos. Em 2011, a
soma das idades dos dois era 22 anos.
Como Caio é dois anos mais velho que
Pedro, qual era a idade de Caio em 2011?
7. Em um terreno há
galinhas e ovelhas.
São 31 animais e
82 pernas. Quantas
galinhas e quantas
ovelhas estão nesse
terreno? 21 galinhas e
10 ovelhas.
(25, 17)
(4, _1)
(6, 5)
(2, _1)
(_2,5; 1,5)
(9, 6)
(2, 3)
1
3
2 5
3
4
109 e 66.
128 e 42.
12 anos.
Carlos tem 72 kg, Andrea
tem 51 kg e Balu tem 15 kg.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
STOCKBYTE/GETTY IMAGES
DESAFIO
8. Agora, junte-se com um amigo para resol-
ver os desafios a seguir.
a) Observe, no qua-
dro, a soma dos
valores com figu-
ras, em cada linha
e em cada coluna.
Descubra os valo-
res “escondidos”
pelas figuras.
b) Carlos e sua irmã Andrea levaram seu
cachorro Balu ao veterinário. Lá, encon-
traram uma balança com defeito, que só
indicava corretamente valores superiores
a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a
dois e obtiveram os seguintes valores:
• Carlos e Balu,
juntos, 87 kg.
• Carlos e Andrea,
juntos, 123 kg.
• Andrea e Balu,
juntos, 66 kg.
Quantos quilogra-
mas tem cada um?
EDITORIA DE ARTE
4
4
44 4
2630 2226
28
18
38
20
= 8 = 2 = 6 = 12 = 14
Resposta: 
2
7
,
2
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Galinhas
alimentando.
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EQUAÇÃO DO
2
O
GRAU7
CAPÍTULO
Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores
que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado.
Na resolução das equações do 2
o
grau, usaremos a fatoração e esta propriedade
importante dos números reais:
• Sendo x e y dois números reais quaisquer e x
2
= y, então !"xy ou !#xy .
Resolvendo equações da forma
ax
2
 + b = 0
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é a solução da equação x
2
_ 9 = 0, no conjunto R?
x
2
_ 9 = 0
x
2
= 9 usamos o princípio aditivo
!x9± h !x3±
Logo, os números _3 e 3 são as raízes da equação. Assim, !#{}S3 ,3.
2 Resolver a equação 16x
2
_ 1 = 0 no conjunto R.
16x
2
_ 1 = 0
16x
2
= 1 usamos o princípio aditivo
!x
1
16
2

usamos o princípio multiplicativo
!±x
1
16
h !x
1
4
±
Logo, os números #
1
4
e
1
4
são as raízes da equação. Assim, !#S
1
4
,
1
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
3 Determinar os valores reais de x para que se tenha 3x
2
_ 60 = 0.
Como todos os termos da equação são divisíveis por 3, podemos dividir cada
termo da equação por 3, para depois determinar os valores de x:
3x
2
_ 60 = 0
#! #!h
3x
3
60
3
0
3
x200
2
2
!!h±x20x 20
2

Como 20 não apresenta raiz quadrada exata, os números#20 e "20são
as raízes da equação. Assim, !#{}S2 0,20.
Utilizamos a notação
!xa± para representar
!"xa ou !#xa .
SAIBA QUE
161
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160
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206. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Equação do 2
o
grau
Esse é o primeiro contato
dos alunos com as equações
de 2
o
grau. Aqui serão apre-
sentadas apenas as equações
do tipo ax
2
+ b = 0. Caso os
alunos demonstrem interesse,
apresentar, apenas a título de
curiosidade, os demais tipos
de equações do 2
o
grau e co-
mentar que essas equações
serão estudadas de maneira
mais aprofundada no ano se-
guinte e no Ensino Médio.
Verificar se os alunos reco-
nhecem que as estratégias uti-
lizadas para resolver esse tipo
de equação do 2
o
grau são
similares às estratégias utiliza-
das para a resolução de equa-
ções do 1
o
grau.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Determine a solução de cada um dos se-
guintes sistemas de equações do 1
o
grau
nas incógnitas x e y:
a)
!"
#"
xy 42
xy 8
⎧
⎨
⎩

b)
!"
#! "#
2x7y1
2x3y 11
⎧
⎨
⎩

c)
#"
#" #
7x4y22
2x4y 8
⎧
⎨
⎩

d)
!"
#! "#
8x6y10
3x6y 12
⎧
⎨
⎩

e)
!" #
!" #
4x2y 7
2x3y 0,5
⎧
⎨
⎩

f)
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2xy12
x
3
y
2
6
#"
!"
, com y 5 0
g)
#
"
#
"#
xy
5
xy
2
2x25y
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

h)
#" #
#! "!
3(x2)2(y3)
18(y2)y 3(2x3)
⎧
⎨
⎩

2. Dois números reais x e y são tais que
!
!
"
x4
y3
1 e
!
"
2y
x2
4.
Nessas condições, sendo x 5 _2 e y 5 _3,
determine o valor de:
a) y _ x b) x : y c) (x + y)(x _ y)
3. Quando adicionamos 2 aos dois termos
de uma fração, ela se torna equivalente a
5
6
; quando subtraímos 2 dos dois termos
da mesma fração, ela se torna equiva-
lente a
1
2
. Qual é a fração considerada?
4. Carlos pensou em dois números. A soma
entre esses números é 175, e a diferença
entre eles é 43. Quais são os números em
que Carlos pensou?
Resoluções a
partir da p. 289
5. Num sorteio, dois números foram pre-
miados. A soma desses dois números é
170, e o maior deles é igual ao triplo do
menor mais 2 unidades. Quais foram os
números sorteados?
6. Caio e Pedro são irmãos. Em 2011, a
soma das idades dos dois era 22 anos.
Como Caio é dois anos mais velho que
Pedro, qual era a idade de Caio em 2011?
7. Em um terreno há
galinhas e ovelhas.
São 31 animais e
82 pernas. Quantas
galinhas e quantas
ovelhas estão nesse
terreno? 21 galinhas e
10 ovelhas.
(25, 17)
(4, _1)
(6, 5)
(2, _1)
(_2,5; 1,5)
(9, 6)
(2, 3)
1
3
2 5
3
4
109 e 66.
128 e 42.
12 anos.
Carlos tem 72 kg, Andrea
tem 51 kg e Balu tem 15 kg.
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STOCKBYTE/GETTY IMAGES
DESAFIO
8. Agora, junte-se com um amigo para resol-
ver os desafios a seguir.
a) Observe, no qua-
dro, a soma dos
valores com figu-
ras, em cada linha
e em cada coluna.
Descubra os valo-
res “escondidos”
pelas figuras.
b) Carlos e sua irmã Andrea levaram seu
cachorro Balu ao veterinário. Lá, encon-
traram uma balança com defeito, que só
indicava corretamente valores superiores
a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a
dois e obtiveram os seguintes valores:
• Carlos e Balu,
juntos, 87 kg.
• Carlos e Andrea,
juntos, 123 kg.
• Andrea e Balu,
juntos, 66 kg.
Quantos quilogra-
mas tem cada um?
EDITORIA DE ARTE
4
4
44 4
2630 2226
28
18
38
20
= 8 = 2 = 6 = 12 = 14
Resposta: 
2
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,
2
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⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
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Galinhas
alimentando.
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EQUAÇÃO DO
2
O
GRAU7
CAPÍTULO
Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores
que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado.
Na resolução das equações do 2
o
grau, usaremos a fatoração e esta propriedade
importante dos números reais:
• Sendo x e y dois números reais quaisquer e x
2
= y, então !"xy ou !#xy .
Resolvendo equações da forma
ax
2
 + b = 0
Acompanhe as situações a seguir.
1 Qual é a solução da equação x
2
_ 9 = 0, no conjunto R?
x
2
_ 9 = 0
x
2
= 9 usamos o princípio aditivo
!x9± h !x3±
Logo, os números _3 e 3 são as raízes da equação. Assim, !#{}S3 ,3.
2 Resolver a equação 16x
2
_ 1 = 0 no conjunto R.
16x
2
_ 1 = 0
16x
2
= 1 usamos o princípio aditivo
!x
1
16
2

usamos o princípio multiplicativo
!±x
1
16
h !x
1
4
±
Logo, os números #
1
4
e
1
4
são as raízes da equação. Assim, !#S
1
4
,
1
4
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
3 Determinar os valores reais de x para que se tenha 3x
2
_ 60 = 0.
Como todos os termos da equação são divisíveis por 3, podemos dividir cada
termo da equação por 3, para depois determinar os valores de x:
3x
2
_ 60 = 0
#! #!h
3x
3
60
3
0
3
x200
2
2
!!h±x20x 20
2

Como 20 não apresenta raiz quadrada exata, os números#20 e "20são
as raízes da equação. Assim, !#{}S2 0,20.
Utilizamos a notação
!xa± para representar
!"xa ou !#xa .
SAIBA QUE
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207. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades têm como ob-
jetivo levar os alunos a deter-
minar o conjunto solução de
equações do 2
o
grau do tipo
ax
2
+ b = 0.
Nas atividades 2 e 3, ve-
rificar se os alunos percebem
que precisam realizar algu-
mas manipulações algébricas
para que a equação chegue à
forma ax
2
+ b = 0 e possam
resolvê-la com as estratégias
estudadas.
Por ser um assunto novo
para os alunos, verificar se,
durante a execução das ativi-
dades, alguém propõe estraté-
gias diferentes da apresentada.
Caso isso aconteça, solicitar
que o aluno explique sua estra-
tégia para que o resto da turma
possa validá-la. Desse modo, a
construção do conhecimento é
feita de maneira coletiva, sem-
pre respeitando a opinião e as
ideias dos colegas.
4 Determinar a solução da equação x
2
+ 4 = 0 no conjunto R.
x
2
+ 4 = 0
x² = _4
!"x4±
Como "4 não existe no conjunto R, não temos valores reais para x.
Logo, a equação não tem raízes reais. Assim, S = @.
5 Resolver, no conjunto R, a equação (2y + 1)
2
= 8 + 2(2y + 1).
Inicialmente, vamos multiplicar os polinômios e deixar a equação na forma ax² + b = 0 para,
depois, resolvê-la:
(2y + 1)² = 8 + 2(2y + 1)
(2y + 1)(2y + 1) = 8 + 2(2y + 1)
4y² + 2y + 2y + 1 = 8 + 4y + 2
4y² + 4y + 1 = 10 + 4y
4y² + 4y _ 4y + 1 _ 10 = 0 usamos o princípio aditivo
4y² _ 9 = 0 forma ax² + b = 0
4y² = 9 usamos o princípio aditivo
!y
9
4
2

usamos o princípio multiplicativo
!#y
9
4
!#y
3
2
Logo, os números "
3
2
e
3
2
são as raízes da equação. Assim, !"S
3
2
,
3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
1. Determine o conjunto solução de cada
uma das seguintes equações do 2
o
grau,
no conjunto R:
a) x
2
_ 1 = 0
b) x
2
_ 16 = 0
c) x
2
_ 64 = 0
d) x
2
+ 16 = 0
e) 9x
2
= 25
f) x
2
_ 20 = 0
Resoluções a
partir da p. 289
{_1, 1}
{_4, 4}
{_8, 8}
@
"
5
3
,
5
3{}
25,25{}−
ATIVIDADES
2. Qual é o conjunto solução de cada uma
das seguintes equações do 2
o
grau,
sendo U = R?
a) (x + 5)(x _ 6) = 51 _ x
b) 2x(x + 1) _ x(x + 5) = 3(12 _ x)
3. Calcule o conjunto solução de cada
equação:
a) "!3x
1
3x
0, x 5 0, U = R
b)"! "
x
4
5
2
1
2
, U = R
{_9, 9}
{_6, 6}
1
3
,
1
3{}
−
6,6{}−
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Responda às questões no caderno.
1. Qual é o número real representado pela
letra x que torna verdadeira a igualdade
7x _ [5x + 3 _ (2x + 1) _ 10] =
= _(_ x + 3)?
a)
11
2

b) !
11
3
c)
3
11

d) !
3
11
e) !
7
3
2. Observe as equações:
!
"#
3x
x4
3
2
x
(x 5 0, x 5 4)
!
"
!
#
5
y9
3
y3
2
(y 5 _3, y 5 3)
Resolvendo cada uma dessas equações,
o quociente x : y é:
a) !
3
5
b) !
5
3

c)
3
5

d)
5
3
e) !
2
5
3. O aluguel de uma moto em uma agência
A é 280 reais, acrescido de 3 reais por
quilômetro rodado. Em uma agência B,
o aluguel da mesma moto é 400 reais,
acrescido de 1 real por quilômetro
rodado.
Qual deve ser a quantidade de quilôme-
tros rodados para que o valor do aluguel
seja o mesmo em ambas as agências?
a) 60 km
b) 64 km
c) 68 km
d) 70 km
e) 72 km
4. Um número natural n é tal que:
#
#
"
#
#
n3
n7
n7
n12
.
Qual é o valor numérico da expressão
#n3?
a) 16
b) 25
c) 5
d) 4
e) 3
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa a.
Alternativa d.
5. A altura de uma árvore, em metros, é
dada por "!
#
h10
100
10t
, sendo t a
idade da árvore em anos. Se essa árvore
tem 6 metros de altura, quantos anos
ela tem?
a) 12 anos.
b) 13 anos.
c) 14 anos.
d) 15 anos.
e) 16 anos.
6. Segundo pesquisa realizada em um
grupo de pessoas, foi constatado que,
ao longo de x meses, a quantidade de
pessoas que contrairá certo tipo de
gripe é dada pela expressão matemática
#
13000
10
x
2
. Após quantos meses a quanti-
dade de pessoas infectadas por esse tipo
de gripe será de 4 000?
a) 6 meses.
b) 7 meses.
c) 8 meses.
d) 9 meses.
e) 10 meses.
7. Considere o sistema de equações:
!
#"
!
!
"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x2
3
y
2
1
2
x
y1
2
2

Qual é o valor da razão
x
y
?
a) 0,5
b) 2
c) 0,2
d) 5
e) 0,05
8. Em uma loja, a diferença entre o preço de
venda e o preço de custo de um produto
é R$ 5 000,00. Se o preço de custo repre-
senta 75% do preço de venda, então o
preço de custo desse produto é:
a) R$ 10 000,00
b) R$ 12 000,00
c) R$ 15 000,00
d) R$ 16 000,00
e) R$ 20 000,00
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa c.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Resoluções a
partir da p. 289
163
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208. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
O objetivo das atividades
dessa seção é propiciar aos alu-
nos que retomem os conteúdos
estudados na Unidade e, caso
seja necessário, façam retoma-
das para sanar as dúvidas que
podem surgir.
Se achar conveniente, an-
tes de iniciar as atividades,
propor aos alunos que façam
um fluxograma dos conteúdos
trabalhados no decorrer dessa
Unidade, com o objetivo de
retomar, organizar e sistemati-
zar as ideias e definições.
Os alunos podem fazer
esse bloco de questões como
uma autoavaliação; por isso,
eles devem respondê-las in-
dividualmente. É interessante
sugerir que realizem essa ati-
vidade em sala de aula, assim
poderão discutir eventuais
dúvidas com os colegas, por
exemplo. Orientá-los a con-
sultar o livro para tirar dúvidas
e buscar informações.
Enfatizar a necessidade de
resolverem os exercícios indi-
vidualmente, buscando infor-
mações de forma autônoma,
escolhendo suas fontes para
chegar aos resultados. Con-
versar com os alunos a res-
peito de seus acertos e erros,
indicando a correção com
intervenções pontuadas, isto
é, dando pistas de quais ca-
minhos eles poderão buscar
para encontrar o resultado
esperado.
Outra possibilidade é propor
aos alunos que resolvam algu-
mas das questões previamente
em casa e que desenvolvam
outras em aula, formando du-
plas ou grupos com os colegas.
Nessa interação devem apro-
veitar para fazer a autocorre-
ção daquelas que trouxeram
prontas.
Sugerir também que os
alunos refaçam algumas ativi-
dades anteriores dos assuntos
que tiverem dúvidas. Ressaltar
tais temas ao corrigir as ativida-
des. Procurar trabalhar em sala
com o conteúdo no qual os
alunos mais tiveram dificulda-
de durante o desenvolvimento
da Unidade também pode con-
tribuir nesse momento.
Será valioso para o desen-
volvimento da autonomia
intelectual dos alunos que
percebam seus processos de
aprendizagem, suas dificulda-
des e a busca de informações.
Se ainda persistirem dúvi-
das, orientar a trocar ideias
com os colegas e a buscar no
livro os conceitos que precisa-
rem retomar.
Dar oportunidade para os
alunos mostrarem como pen-
saram para resolver as ques-
tões, tirando as dúvidas dos
colegas.
4 Determinar a solução da equação x
2
+ 4 = 0 no conjunto R.
x
2
+ 4 = 0
x² = _4
!"x4±
Como "4 não existe no conjunto R, não temos valores reais para x.
Logo, a equação não tem raízes reais. Assim, S = @.
5 Resolver, no conjunto R, a equação (2y + 1)
2
= 8 + 2(2y + 1).
Inicialmente, vamos multiplicar os polinômios e deixar a equação na forma ax² + b = 0 para,
depois, resolvê-la:
(2y + 1)² = 8 + 2(2y + 1)
(2y + 1)(2y + 1) = 8 + 2(2y + 1)
4y² + 2y + 2y + 1 = 8 + 4y + 2
4y² + 4y + 1 = 10 + 4y
4y² + 4y _ 4y + 1 _ 10 = 0 usamos o princípio aditivo
4y² _ 9 = 0 forma ax² + b = 0
4y² = 9 usamos o princípio aditivo
!y
9
4
2

usamos o princípio multiplicativo
!#y
9
4
!#y
3
2
Logo, os números "
3
2
e
3
2
são as raízes da equação. Assim, !"S
3
2
,
3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
.
1. Determine o conjunto solução de cada
uma das seguintes equações do 2
o
grau,
no conjunto R:
a) x
2
_ 1 = 0
b) x
2
_ 16 = 0
c) x
2
_ 64 = 0
d) x
2
+ 16 = 0
e) 9x
2
= 25
f) x
2
_ 20 = 0
Resoluções a
partir da p. 289
{_1, 1}
{_4, 4}
{_8, 8}
@
"
5
3
,
5
3{}
25,25{}−
ATIVIDADES
2. Qual é o conjunto solução de cada uma
das seguintes equações do 2
o
grau,
sendo U = R?
a) (x + 5)(x _ 6) = 51 _ x
b) 2x(x + 1) _ x(x + 5) = 3(12 _ x)
3. Calcule o conjunto solução de cada
equação:
a) "!3x
1
3x
0, x 5 0, U = R
b)"! "
x
4
5
2
1
2
, U = R
{_9, 9}
{_6, 6}
1
3
,
1
3{}
−
6,6{}−
162
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Responda às questões no caderno.
1. Qual é o número real representado pela
letra x que torna verdadeira a igualdade
7x _ [5x + 3 _ (2x + 1) _ 10] =
= _(_ x + 3)?
a)
11
2

b) !
11
3
c)
3
11

d) !
3
11
e) !
7
3
2. Observe as equações:
!
"#
3x
x4
3
2
x
(x 5 0, x 5 4)
!
"
!
#
5
y9
3
y3
2
(y 5 _3, y 5 3)
Resolvendo cada uma dessas equações,
o quociente x : y é:
a) !
3
5
b) !
5
3

c)
3
5

d)
5
3
e) !
2
5
3. O aluguel de uma moto em uma agência
A é 280 reais, acrescido de 3 reais por
quilômetro rodado. Em uma agência B,
o aluguel da mesma moto é 400 reais,
acrescido de 1 real por quilômetro
rodado.
Qual deve ser a quantidade de quilôme-
tros rodados para que o valor do aluguel
seja o mesmo em ambas as agências?
a) 60 km
b) 64 km
c) 68 km
d) 70 km
e) 72 km
4. Um número natural n é tal que:
#
#
"
#
#
n3
n7
n7
n12
.
Qual é o valor numérico da expressão
#n3?
a) 16
b) 25
c) 5
d) 4
e) 3
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa a.
Alternativa d.
5. A altura de uma árvore, em metros, é
dada por "!
#
h10
100
10t
, sendo t a
idade da árvore em anos. Se essa árvore
tem 6 metros de altura, quantos anos
ela tem?
a) 12 anos.
b) 13 anos.
c) 14 anos.
d) 15 anos.
e) 16 anos.
6. Segundo pesquisa realizada em um
grupo de pessoas, foi constatado que,
ao longo de x meses, a quantidade de
pessoas que contrairá certo tipo de
gripe é dada pela expressão matemática
#
13000
10
x
2
. Após quantos meses a quanti-
dade de pessoas infectadas por esse tipo
de gripe será de 4 000?
a) 6 meses.
b) 7 meses.
c) 8 meses.
d) 9 meses.
e) 10 meses.
7. Considere o sistema de equações:
!
#"
!
!
"
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x2
3
y
2
1
2
x
y1
2
2

Qual é o valor da razão
x
y
?
a) 0,5
b) 2
c) 0,2
d) 5
e) 0,05
8. Em uma loja, a diferença entre o preço de
venda e o preço de custo de um produto
é R$ 5 000,00. Se o preço de custo repre-
senta 75% do preço de venda, então o
preço de custo desse produto é:
a) R$ 10 000,00
b) R$ 12 000,00
c) R$ 15 000,00
d) R$ 16 000,00
e) R$ 20 000,00
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa c.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Resoluções a
partir da p. 289
163
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209. 9. Em uma caixa, a quantidade de bolas
vermelhas é o triplo da quantidade de
bolas pretas. Se tirarmos 2 bolas pretas e
26 bolas vermelhas, a quantidade de bolas
de cada cor ficará igual. Quantas bolas
vermelhas há na caixa? Alternativa d.
a) 8
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
10. As revistas A e B são publicadas por uma
mesma editora. A assinatura anual da
revista A custa o quádruplo da assina-
tura anual da revista B, e a assinatura
anual das duas revistas juntas custa
R$ 260,00. A diferença entre os valores
das assinaturas das duas revistas é:
a) R$ 52,00
b) R$ 156,00
c) R$ 208,00
d) R$ 212,00
e) R$ 218,00
11. Juca pegou um pote cheio de amendoins,
que estava pesando 420 gramas, e comeu
a metade deles. Verificou que o pote
passou a pesar 235 gramas. Quantos
gramas tem o pote vazio?
a) 25 g
b) 32 g
c) 40 g
d) 45 g
e) 50 g
12. São dadas as equações
!
"
!
1
x3
1
y1

e 3y = 2(x _ 1). Sabendo que x 5 3 e
y 5 1, a expressão !
x
y
y
x
vale:
a) !
3
2
b)
3
2
c)
5
2
d) !
2
3
e)
2
3
13. A bilheteria de um cinema apurou 620 reais
vendendo ingressos para 100 pessoas
durante uma sessão. O preço de cada
ingresso é 8 reais, e estudante paga a
metade desse preço. Quantos estudantes
compraram ingressos nessa sessão?
a) 45 b) 48 c) 50 d) 54 e) 55
Alternativa b.
Alternativa e.
Alternativa b.
Alternativa a.
14. Considere dois números reais x e y.
Multiplicando o número x por
3
4
, ele
diminui 5 unidades, e multiplicando o
número y por
5
3
, ele aumenta 6 uni-
dades. Nessas condições, podemos dizer
que x _ y vale:
a) 38
b) 29
c) 21
d) 11
e) 7
15. Em um grupo de jovens, 25% têm esta-
tura superior a 1,70 m; 45% têm estatura
entre 1,65 m e 1,70 m; e 12 desses jovens
têm estatura inferior a 1,65 m.
Quantos desses jovens têm altura que
varia entre 1,65 m e 1,70 m?
a) 40 b) 32 c) 27 d) 25 e) 18
16. Uma motocicleta, desenvolvendo certa
velocidade, percorre 240 km em t horas.
Mantendo essa mesma velocidade média,
percorrerá 400 km em (t  + 2) horas. Qual
é essa quantidade t de horas?
17. Em um jogo de decisão de campeonato
de futebol, os preços dos ingressos foram
aumentados: a arquibancada passou a
custar 70 reais, e a numerada, 90 reais.
Como o estádio só oferecia esses dois tipos
de ingressos, a renda foi de 1 540 000 reais.
Bilheteria.
FERNANDO DONASCI/FOLHAPRESS
Se os preços dos ingressos fossem os
de sempre (50 reais para arquibancada
e 80 reais para numerada), a renda
do jogo teria sido de 1 210 000 reais.
Quantas pessoas compraram ingressos
para a arquibancada? 13 000 pessoas.
Alternativa d.
Alternativa e.
3 horas.
164
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1 8 . Pelo regulamento de um torneio de
basquete, cada partida que a equipe
ganha vale 2 pontos, e cada partida
que perde vale 1 ponto. A equipe de
basquete do nosso colégio disputou um
torneio jogando 12 partidas e somando
18 pontos. Quantas partidas a equipe do
nosso colégio venceu no torneio?
19. Para embalar 1 650 livros, uma editora
usou 27 caixas, umas com capacidade
para 50 livros, e outras, para 70 livros.
Quantas caixas de cada tipo a editora
utilizou?
20. Em uma competição esportiva, foram
distribuídas apenas medalhas de ouro
e de prata. Cada medalha de ouro vale
3 pontos, e cada medalha de prata vale
2 pontos, para efeito de classificação.
Se a equipe A conquistou 11 medalhas
e somou 29 pontos, quantas medalhas
de ouro a equipe A ganhou?
10 partidas.
12 caixas para 50 livros e 15 caixas
para 70 livros.
7 medalhas de ouro.
21. Um treinador propôs a um de seus joga-
dores que arremessasse, sucessivamente,
uma bola à cesta, informando-lhe que
ganharia 5 pontos a cada acerto e
perderia 2 pontos a cada erro. Ao fim
dessa parte do treinamento, o jogador
havia feito 50 arremessos e acumulara
194 pontos. Quantos arremessos o
jogador acertou?
22. Fernando tem em
seu cofre 78 moedas,
umas de 1 real e
outras de 50 centa-
vos, num total de
49 reais.
Qual é a quanti-
dade de moedas
de 50 centavos? E
a quantidade de
moedas de 1 real?
42 arremessos.
58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real.
STOCKDISC/GETTY IMAGES
Nesta Unidade, realizamos estudos sobre as equações do 1
o
grau com uma incógnita,
equações fracionárias com uma incógnita, equações literais do 1
o
grau na incógnita x,
equações do 1
o
grau com duas incógnitas, sistemas de equações do 1
o
grau com duas incóg-
nitas, tipos de resoluções para esse modelo de sistema e equação do 2
o
grau incompleta,
do tipo ax
2
_ b = 0.
Na Educação Financeira, foi abordado o “juro zero” como uma estratégia de marketing,
pois o juro, muitas vezes, pode estar embutido no preço.
Para que possa perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas, sugerimos a você
que faça um roteiro contendo os conceitos abordados nesta Unidade e não se esqueça de
acrescentar alguns exemplos.
Na abertura da Unidade, pudemos ver um uso do sistema de equações do 1
o
grau.
Vamos retomar as aprendizagens e refletir sobre elas. Responda no caderno.
• O que devemos excluir do conjunto universo de uma equação fracionária?
• Nesta Unidade, quais foram os métodos estudados que podem ser usados para
calcular a resolução de um sistema de equações do 1
o
grau com duas incógnitas?
• Na abertura da Unidade, você foi questionado sobre a interpretação de um problema.
Represente o sistema que resolve o problema da abertura desta Unidade.
• Se, na situação da abertura da Unidade, o número de animais fosse 122 e o número
de pernas fosse 418, quantos animais de cada espécie haveria?
Os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos
da equação, pois, se isso ocorrer, teremos uma divisão por zero, o que já
sabemos que é impossível.
Método da substituição e método da adição.
Possível sistema:
!"
!"
xy112
4x2y384
⎧
⎨
⎩
. 87 vacas e 35 galinhas.
UM NOVO OLHAR
165
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210. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento dessa
Unidade poderão permitir re-
flexões a respeito das apren-
dizagens individuais, além
de uma breve retomada dos
conteúdos apresentados. É im-
portante que os alunos respon-
dam individualmente a cada
uma das questões para que,
desse modo, possam perceber
o que aprenderam e as possí-
veis dúvidas que ainda tenham.
Sugerir que eles façam um
resumo dos conceitos abor-
dados em razão das sutilezas
inerentes, principalmente nos
métodos de resolução apre-
sentados para sistemas de
equação. Recomenda-se tam-
bém a seleção de exemplos
pertinentes a cada um dos
conceitos.
A primeira questão aborda
o conjunto universo de uma
equação fracionária e é pre-
ciso ter um cuidado especial
com a exclusão dos itens que
anulam o denominador.
A segunda questão propicia
que os alunos retomem os mé-
todos de resolução estudados
para sistemas de equações do
1
o
grau com duas incógnitas.
Na terceira e na quarta
questões, os alunos são con-
vidados a rever as páginas de
abertura da Unidade e ten-
tar reformular as estratégias
criadas anteriormente, ou
perceber se suas hipóteses e
soluções se aproximaram das
estratégias de soluções apre-
sentadas ao longo da Unidade.
9. Em uma caixa, a quantidade de bolas
vermelhas é o triplo da quantidade de
bolas pretas. Se tirarmos 2 bolas pretas e
26 bolas vermelhas, a quantidade de bolas
de cada cor ficará igual. Quantas bolas
vermelhas há na caixa? Alternativa d.
a) 8
b) 12
c) 24
d) 36
e) 48
10. As revistas A e B são publicadas por uma
mesma editora. A assinatura anual da
revista A custa o quádruplo da assina-
tura anual da revista B, e a assinatura
anual das duas revistas juntas custa
R$ 260,00. A diferença entre os valores
das assinaturas das duas revistas é:
a) R$ 52,00
b) R$ 156,00
c) R$ 208,00
d) R$ 212,00
e) R$ 218,00
11. Juca pegou um pote cheio de amendoins,
que estava pesando 420 gramas, e comeu
a metade deles. Verificou que o pote
passou a pesar 235 gramas. Quantos
gramas tem o pote vazio?
a) 25 g
b) 32 g
c) 40 g
d) 45 g
e) 50 g
12. São dadas as equações
!
"
!
1
x3
1
y1

e 3y = 2(x _ 1). Sabendo que x 5 3 e
y 5 1, a expressão !
x
y
y
x
vale:
a) !
3
2
b)
3
2
c)
5
2
d) !
2
3
e)
2
3
13. A bilheteria de um cinema apurou 620 reais
vendendo ingressos para 100 pessoas
durante uma sessão. O preço de cada
ingresso é 8 reais, e estudante paga a
metade desse preço. Quantos estudantes
compraram ingressos nessa sessão?
a) 45 b) 48 c) 50 d) 54 e) 55
Alternativa b.
Alternativa e.
Alternativa b.
Alternativa a.
14. Considere dois números reais x e y.
Multiplicando o número x por
3
4
, ele
diminui 5 unidades, e multiplicando o
número y por
5
3
, ele aumenta 6 uni-
dades. Nessas condições, podemos dizer
que x _ y vale:
a) 38
b) 29
c) 21
d) 11
e) 7
15. Em um grupo de jovens, 25% têm esta-
tura superior a 1,70 m; 45% têm estatura
entre 1,65 m e 1,70 m; e 12 desses jovens
têm estatura inferior a 1,65 m.
Quantos desses jovens têm altura que
varia entre 1,65 m e 1,70 m?
a) 40 b) 32 c) 27 d) 25 e) 18
16. Uma motocicleta, desenvolvendo certa
velocidade, percorre 240 km em t horas.
Mantendo essa mesma velocidade média,
percorrerá 400 km em (t  + 2) horas. Qual
é essa quantidade t de horas?
17. Em um jogo de decisão de campeonato
de futebol, os preços dos ingressos foram
aumentados: a arquibancada passou a
custar 70 reais, e a numerada, 90 reais.
Como o estádio só oferecia esses dois tipos
de ingressos, a renda foi de 1 540 000 reais.
Bilheteria.
FERNANDO DONASCI/FOLHAPRESS
Se os preços dos ingressos fossem os
de sempre (50 reais para arquibancada
e 80 reais para numerada), a renda
do jogo teria sido de 1 210 000 reais.
Quantas pessoas compraram ingressos
para a arquibancada? 13 000 pessoas.
Alternativa d.
Alternativa e.
3 horas.
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1 8 . Pelo regulamento de um torneio de
basquete, cada partida que a equipe
ganha vale 2 pontos, e cada partida
que perde vale 1 ponto. A equipe de
basquete do nosso colégio disputou um
torneio jogando 12 partidas e somando
18 pontos. Quantas partidas a equipe do
nosso colégio venceu no torneio?
19. Para embalar 1 650 livros, uma editora
usou 27 caixas, umas com capacidade
para 50 livros, e outras, para 70 livros.
Quantas caixas de cada tipo a editora
utilizou?
20. Em uma competição esportiva, foram
distribuídas apenas medalhas de ouro
e de prata. Cada medalha de ouro vale
3 pontos, e cada medalha de prata vale
2 pontos, para efeito de classificação.
Se a equipe A conquistou 11 medalhas
e somou 29 pontos, quantas medalhas
de ouro a equipe A ganhou?
10 partidas.
12 caixas para 50 livros e 15 caixas
para 70 livros.
7 medalhas de ouro.
21. Um treinador propôs a um de seus joga-
dores que arremessasse, sucessivamente,
uma bola à cesta, informando-lhe que
ganharia 5 pontos a cada acerto e
perderia 2 pontos a cada erro. Ao fim
dessa parte do treinamento, o jogador
havia feito 50 arremessos e acumulara
194 pontos. Quantos arremessos o
jogador acertou?
22. Fernando tem em
seu cofre 78 moedas,
umas de 1 real e
outras de 50 centa-
vos, num total de
49 reais.
Qual é a quanti-
dade de moedas
de 50 centavos? E
a quantidade de
moedas de 1 real?
42 arremessos.
58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real.
STOCKDISC/GETTY IMAGES
Nesta Unidade, realizamos estudos sobre as equações do 1
o
grau com uma incógnita,
equações fracionárias com uma incógnita, equações literais do 1
o
grau na incógnita x,
equações do 1
o
grau com duas incógnitas, sistemas de equações do 1
o
grau com duas incóg-
nitas, tipos de resoluções para esse modelo de sistema e equação do 2
o
grau incompleta,
do tipo ax
2
_ b = 0.
Na Educação Financeira, foi abordado o “juro zero” como uma estratégia de marketing,
pois o juro, muitas vezes, pode estar embutido no preço.
Para que possa perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas, sugerimos a você
que faça um roteiro contendo os conceitos abordados nesta Unidade e não se esqueça de
acrescentar alguns exemplos.
Na abertura da Unidade, pudemos ver um uso do sistema de equações do 1
o
grau.
Vamos retomar as aprendizagens e refletir sobre elas. Responda no caderno.
• O que devemos excluir do conjunto universo de uma equação fracionária?
• Nesta Unidade, quais foram os métodos estudados que podem ser usados para
calcular a resolução de um sistema de equações do 1
o
grau com duas incógnitas?
• Na abertura da Unidade, você foi questionado sobre a interpretação de um problema.
Represente o sistema que resolve o problema da abertura desta Unidade.
• Se, na situação da abertura da Unidade, o número de animais fosse 122 e o número
de pernas fosse 418, quantos animais de cada espécie haveria?
Os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos
da equação, pois, se isso ocorrer, teremos uma divisão por zero, o que já
sabemos que é impossível.
Método da substituição e método da adição.
Possível sistema:
!"
!"
xy112
4x2y384
⎧
⎨
⎩
. 87 vacas e 35 galinhas.
UM NOVO OLHAR
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211. COMPETÊNCIAS
GERAIS
7. Argumentar com base
em fatos, dados e informações
confiáveis, para formular, ne-
gociar e defender ideias, pon-
tos de vista e decisões comuns
que respeitem e promovam os
direitos humanos, a consciên-
cia socioambiental e o con-
sumo responsável em âmbito
local, regional e global, com
posicionamento ético em rela-
ção ao cuidado de si mesmo,
dos outros e do planeta.
ESPECÍFICAS
2. Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investiga-
ção e a capacidade de produ-
zir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimen-
tos matemáticos para compre-
ender e atuar no mundo.
5. Utilizar processos e ferra-
mentas matemáticas, inclusive
tecnologias digitais disponí-
veis, para modelar e resolver
problemas cotidianos, sociais
e de outras áreas de conheci-
mento, validando estratégias e
resultados.
6. Enfrentar situações-pro-
blema em múltiplos contex-
tos, incluindo-se situações
imaginadas, não diretamente
relacionadas com o aspecto
prático-utilitário, expressar
suas respostas e sintetizar con-
clusões, utilizando diferentes
registros e linguagens (gráfi-
cos, tabelas, esquemas, além
de texto escrito na língua ma-
terna e outras linguagens para
descrever algoritmos, como
fluxogramas, e dados).
HABILIDADES p. XXI e XXII
Geometria
• EF08MA14
• EF08MA15
• EF08MA16
• EF08MA18
AMPLIANDO
Links
Para saber mais a respeito
do pixel e das resoluções das
câmeras digitais e monito-
res, acessar os sites a seguir.
Acessos em: 6 nov. 2018.
• <http://livro.pro/bv29qh>.
• <http://livro.pro/pg436n>.
• <http://livro.pro/x9hdi3>.
Podemos ver facilmente um pixel
em um computador ao ampliar
uma imagem.
Esta é a visualização de um
pixel. Podemos entender
que a imagem é formada
por figuras quadradas bem
pequenas que, juntas,
formam uma imagem nítida.
REINHARD DIRSCHERL/ EASYPIX BRASIL
EDITORIA DE ARTE
Polígonos e
transformações
no plano
6
Toda imagem digital do tipo bitmap é com-
posta de pixels.
Um pixel é a menor unidade de uma imagem
representada na tela de um computador.
É na ampliação ou na impressão de uma
foto que podemos perceber a principal impor-
tância da quantidade de pixels que a compõem.
Em uma máquina fotográfica, essa quantidade
é o que conhecemos pelo nome de megapixel.
O valor de megapixels de uma máquina
fotográfica diz quantos pixels vão compor uma
fotografia tirada pela máquina.
Como um pixel não possui um tamanho
definido, quanto mais megapixels tiver uma
foto, menor será o tamanho do pixel e mais ela
poderá ser ampliada, pois o pixel sofrerá menos
distorção.
Observe ao lado um exemplo de imagem
no qual ampliamos uma parte da foto para ser
possível ver os pixels e sua formação poligonal.
166
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REINHARD DIRSCHERL/EASYPIX BRASIL
Agora, pense e responda no caderno:
• Os pixels possuem a forma de quadrados e de retângulos,
mas podemos compor imagens no cotidiano com outras
figuras figuras poligonais. Onde você já viu imagens for-
madas por outras figuras poligonais? Resposta pessoal.
• De que outras maneiras podemos compor imagens
utilizando essas outras figuras?
• De acordo com o texto, maior quantidade de megapixels
significa maior qualidade da imagem de uma foto?
Resposta possível: Podemos
justapor figuras poligonais para compor mosaicos.
Sim, pois poderá ser ampliada sem sofrer distorção.
Recife de corais no Mar Vermelho.
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212. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Essa abertura envolve um
tema que pode ser de grande
interesse para a maioria dos
alunos: a fotografia, hoje am-
plamente divulgada e presen-
te nas redes sociais. Aqui há
o enfoque na ampliação e na
redução de imagens, mais es-
pecificamente na qualidade de
imagem que se obtém e no sig-
nificado da palavra megapixel
(visto com frequência nas ca-
racterísticas de câmeras digitais,
sejam elas de celulares ou não).
O pixel é um pequeno qua-
drado ou retângulo, portanto
um polígono que é utilizado
para a formação de imagens,
e quanto mais megapixel uma
câmera tem, mais qualidade a
imagem pode ter, pois meno-
res serão os pixels utilizados na
formação da imagem. Essa dife-
rença é mais visível em fotos im-
pressas, principalmente quando
deseja-se uma ampliação.
Observando a imagem da
abertura, pode-se notar algu-
mas características de fotos
ampliadas, por exemplo: é
possível identificar o pixel que
compõe a imagem do peixe
em virtude da ampliação ex-
cessiva da imagem original.
O segundo questionamento
proposto leva os alunos a re-
fletir sobre outras maneiras de
formar imagens utilizando po-
lígonos. Eles podem responder
algo relacionado ao tangram ou
a mosaicos.
Se julgar oportuno, comentar
com os alunos sobre o trabalho
de Adam Lister, artista america-
no nascido em 1978 e formado
pela Escola de Artes Visuais de
Nova York. Adam recriou diver-
sas obras de arte clássicas na
forma de pixels, trabalho que
originou a série Art History 101
(História da Arte 101, em tradu-
ção livre). Para saber mais a res-
peito de seu trabalho, acessar os
sites: <http://livro.pro/824guy>
e <http://livro.pro/nv73bi>.
Acessos em: 18 nov. 2018.
Por exemplo, ao lado apre-
sentamos a obra feita por Adam
Lister com base na famosa obra
“Criação de Adão”, pintura ori-
ginal de Michelangelo, 1512.
Podemos ver facilmente um pixel
em um computador ao ampliar
uma imagem.
Esta é a visualização de um
pixel. Podemos entender
que a imagem é formada
por figuras quadradas bem
pequenas que, juntas,
formam uma imagem nítida.
REINHARD DIRSCHERL/ EASYPIX BRASIL
EDITORIA DE ARTE
Polígonos e
transformações
no plano
6
Toda imagem digital do tipo bitmap é com-
posta de pixels.
Um pixel é a menor unidade de uma imagem
representada na tela de um computador.
É na ampliação ou na impressão de uma
foto que podemos perceber a principal impor-
tância da quantidade de pixels que a compõem.
Em uma máquina fotográfica, essa quantidade
é o que conhecemos pelo nome de megapixel.
O valor de megapixels de uma máquina
fotográfica diz quantos pixels vão compor uma
fotografia tirada pela máquina.
Como um pixel não possui um tamanho
definido, quanto mais megapixels tiver uma
foto, menor será o tamanho do pixel e mais ela
poderá ser ampliada, pois o pixel sofrerá menos
distorção.
Observe ao lado um exemplo de imagem
no qual ampliamos uma parte da foto para ser
possível ver os pixels e sua formação poligonal.
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REINHARD DIRSCHERL/EASYPIX BRASIL
Agora, pense e responda no caderno:
• Os pixels possuem a forma de quadrados e de retângulos,
mas podemos compor imagens no cotidiano com outras
figuras figuras poligonais. Onde você já viu imagens for-
madas por outras figuras poligonais? Resposta pessoal.
• De que outras maneiras podemos compor imagens
utilizando essas outras figuras?
• De acordo com o texto, maior quantidade de megapixels
significa maior qualidade da imagem de uma foto?
Resposta possível: Podemos
justapor figuras poligonais para compor mosaicos.
Sim, pois poderá ser ampliada sem sofrer distorção.
Recife de corais no Mar Vermelho.
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ADAM LISTER GALLERY
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213. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Polígonos e seus
elementos
Esta página retoma o concei-
to de polígono visto nos anos
anteriores por meio da visuali-
zação e interpretação de uma
das obras do artista Paul Klee.
Caso julgue interessante,
solicitar aos alunos que pesqui-
sem outras obras desse artista
e verifiquem se é possível iden-
tificar polígonos nelas também.
A seguir, apresentamos
uma possibilidade de trabalho
para a retomada do conceito
de polígono.
AMPLIANDO
Atividade complementar
• Organizar os alunos em
grupos para desenvolver uma
atividade pela escola levando
caderno e lápis. A tarefa será
anotar no caderno objetos que
identifiquem ter a forma de
diversos polígonos. Algumas
possibilidades de observação:
• no chão, o tipo de piso;
• no jardim, as formas que
encontram na natureza;
• nas paredes, quadros e
painéis;
• no teto, o tipo de luminária;
• nos móveis, os diversos
formatos.
Ao retornarem à sala de
aula, cada grupo fará um re-
latório com o desenho dos di-
versos tipos de polígono que
seus integrantes observaram.
Se tiverem acesso à internet,
eles poderão acessar sites
para realizar pesquisas a res-
peito do uso dos polígonos em
nosso cotidiano.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Outro assunto de grande
interesse dos alunos e que está
relacionado a polígonos são os
jogos de videogame. Ler para
os alunos a reportagem a se-
guir, que fala um pouco a res-
peito dessa relação.
Você sabe por que al-
guns jogos são tão pesados
e outros não? Existem algu-
mas razões para isso, mas
a principal é a quantidade
dos polígonos para videoga-
mes que são utilizados em
sua criação.
[...]
O que são polígonos para
videogames?
Se você não sabe muito
sobre o assunto, entenda
que polígonos são ! guras
planas, formadas pelo mes-
mo número de ângulos e
lados e sua função nos ga-
mes é contribuir como prin-
cipal ferramenta na hora
de criar grá! cos detalhados
para jogos 3d. Ou seja, é a
utilização de polígonos que
torna possível criar jogos
com grá! cos incríveis [...],
mas sua contribuição na
indústria dos jogos vai mui-
to além disso.
Você sabia que os po-
lígonos tiveram um papel
muito importante em toda
a evolução dos jogos 3d?
Quando os videogames
surgiram, os jogos eram
simples e tinham foco na
1
CAPÍTULO
POLÍGONOS E
SEUS ELEMENTOS
O pintor e poeta Paul Klee nasceu em 18 de dezembro de 1879, em
Münchenbuchsee, na Suíça. Em 1898, partiu para Munique, na Alemanha, a fim de
estudar Arte. Foi professor da escola de Arte Moderna Bauhaus e da Academia
de Belas-Artes de Dusseldorf.
Em 28 de junho de 1940, Paul Klee morreu em decorrência de um câncer de pele.
Observe a obra Small town among the rocks, de sua autoria:
KUNSTMUSEUM BERN, BERN
Small town among the rocks (1932), Paul Klee. Óleo sobre
tela. 64 cm × 80 cm.
Nesse quadro, estão representadas figuras geométricas planas formadas apenas
por linhas fechadas simples, segmentos de reta e respectivas regiões internas.
Cada uma dessas figuras é chamada polígono. No quadro anterior, por exemplo,
lembram polígonos as seguintes figuras:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Polígono é uma figura plana formada por uma linha fechada simples, com-
posta apenas de segmentos de reta, reunida com a sua região interna.
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Elementos de um polígono
No polígono representado pela figura a seguir, podemos destacar os seguintes elementos:
• Os vértices, que são os pontos A, B, C, D e E. Nomeamos os polígo-
nos por meio de seus vértices: no caso, temos o polígono ABCDE.
• Os lados, que são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA.
• Os ângulos internos, que são os ângulos formados por dois lados
consecutivos: AåBC, BåCD, CåDE, DåEA e EåAB. Também usamos as
letras que indicam os vértices para representar os ângulos internos:
åA, åB, åC, åD e åE.
Em um polígono, também devemos destacar:
• As diagonais, que são segmentos que unem um vértice a outro
vértice não consecutivo a ele. Na figura a seguir, são diagonais AC, AD, BD, BE e CE.
A
B
CD
E
• Os ângulos externos, que são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo
prolongamento de um lado consecutivo a ele. No polígono da figura a seguir, temos: PåAB,
QåBC, RåCD, SåDE e TåEA.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
P
Q
R
S
T
B
C
D
E
a
e
b
d
c
Convém destacar que, em um mesmo polígono, o número de vértices, de lados e de ângulos
internos é sempre o mesmo.
A
B
CD
E
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214. diversão, e não em histórias
elaboradas e grá! cos realis-
tas. A parte visual dos títu-
los sofriam com limitações
causadas pelas con! gura-
ções de hardware disponí-
veis na época.
Com o tempo a indústria
dos games passou a explorar
e desenvolver a parte grá! -
ca com novas tecnologias,
permitindo que jogos mais
detalhados surgissem. Foi
nesse momento que jogos
– que até então eram de-
senvolvidos em pixels – pas-
saram a ser desenvolvidos
com a utilização polígonos e
a oferecer uma experiência
mais rica para os jogadores.
Por que alguns jogos são
mais pesados que outros?
Utilizar uma grande
quantidade de polígonos na
arquitetura dos videogames
não é a única razão para
tornar um jogo pesado.
Existem situações na pró-
pria programação que con-
tribuem para isso, porém
utilizar muitos polígonos
na programação contribui
para tornar um game mais
leve ou mais pesado.
Veja que:
Quanto mais riqueza de
detalhes um jogo apresentar
em seu grá! co, mais polígo-
nos ele precisará utilizar em
sua con! guração. Ao mesmo
tempo, para tornar esses de-
talhes possíveis, mais pesa-
do o jogo será.
[...]
BLOG AVELL. Polígonos para
videogames: descubra a
arquitetura por trás de jogos 3d.
21 fev. 2018. Disponível em: <http://
blog.avell.com.br/poligonos-para-
videogames-jogos-3d/>. Acesso em:
3 nov. 2018.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Elementos de um
polígono
Nesta página os elemen-
tos de um polígono são reto-
mados. Verificar se os alunos
apresentam dúvidas e saná-las.
Uma possibilidade é utilizar
jogos para explorar o conceito
de polígonos e identificar seus
elementos. Os alunos podem,
por exemplo, montar um jogo
de dominó relacionando os
polígonos, seus elementos e a
nomenclatura (que será reto-
mada na página seguinte).
Comentar com os alunos
que as manifestações artísti-
cas como pintura e escultura
são propícias ao desenvolvi-
mento de conceitos geomé-
tricos. Propor um trabalho de
observação e identificação de
polígonos em obras de artis-
tas brasileiros. É interessante
realizar esse trabalho integra-
do com as aulas de Arte para
que os alunos possam conhe-
cer um pouco mais das obras
envolvidas. Pesquisas, visitas a
museus e desenhos podem fa-
zer parte da atividade.
1
CAPÍTULO
POLÍGONOS E
SEUS ELEMENTOS
O pintor e poeta Paul Klee nasceu em 18 de dezembro de 1879, em
Münchenbuchsee, na Suíça. Em 1898, partiu para Munique, na Alemanha, a fim de
estudar Arte. Foi professor da escola de Arte Moderna Bauhaus e da Academia
de Belas-Artes de Dusseldorf.
Em 28 de junho de 1940, Paul Klee morreu em decorrência de um câncer de pele.
Observe a obra Small town among the rocks, de sua autoria:
KUNSTMUSEUM BERN, BERN
Small town among the rocks (1932), Paul Klee. Óleo sobre
tela. 64 cm × 80 cm.
Nesse quadro, estão representadas figuras geométricas planas formadas apenas
por linhas fechadas simples, segmentos de reta e respectivas regiões internas.
Cada uma dessas figuras é chamada polígono. No quadro anterior, por exemplo,
lembram polígonos as seguintes figuras:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Polígono é uma figura plana formada por uma linha fechada simples, com-
posta apenas de segmentos de reta, reunida com a sua região interna.
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Elementos de um polígono
No polígono representado pela figura a seguir, podemos destacar os seguintes elementos:
• Os vértices, que são os pontos A, B, C, D e E. Nomeamos os polígo-
nos por meio de seus vértices: no caso, temos o polígono ABCDE.
• Os lados, que são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA.
• Os ângulos internos, que são os ângulos formados por dois lados
consecutivos: AåBC, BåCD, CåDE, DåEA e EåAB. Também usamos as
letras que indicam os vértices para representar os ângulos internos:
åA, åB, åC, åD e åE.
Em um polígono, também devemos destacar:
• As diagonais, que são segmentos que unem um vértice a outro
vértice não consecutivo a ele. Na figura a seguir, são diagonais AC, AD, BD, BE e CE.
A
B
CD
E
• Os ângulos externos, que são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo
prolongamento de um lado consecutivo a ele. No polígono da figura a seguir, temos: PåAB,
QåBC, RåCD, SåDE e TåEA.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
P
Q
R
S
T
B
C
D
E
a
e
b
d
c
Convém destacar que, em um mesmo polígono, o número de vértices, de lados e de ângulos
internos é sempre o mesmo.
A
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215. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Nomenclatura
A nomenclatura dos polígo-
nos foi trabalhada no 6
o
ano e
é retomada agora no 8
o
ano.
Comentar com os alunos a
respeito dos prefixos que no-
meiam cada um dos polígo-
nos do quadro e questionar
se eles já viram esses prefixos
em outros contextos. Eles po-
dem responder a respeito da
quantidade de vezes que de-
terminada equipe ganhou al-
guma competição esportiva.
Por exemplo, a seleção bra-
sileira masculina de futebol é
pentacampeã mundial, pois
ganhou 5 vezes a Copa do
Mundo (nos anos de 2002,
1994, 1970, 1962 e 1958).
Atividade
A atividade 1 trata do la-
drilhamento do plano. A res-
peito desse assunto, sugerimos
o texto escrito pela professora
Élvia Mureb Sallum, do Institu-
to de Matemática e Estatística
da Universidade de São Pau-
lo, que pode ser acessado no
site <http://livro.pro/b4zhex>.
Acesso em: 3 nov. 2018.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Propor um desafio, para en-
riquecer e ampliar o trabalho
com polígonos. Reproduzir a
figura a seguir na lousa e pe-
dir aos alunos que montem
a figura utilizando palitos de
fósforos usados e de mesmo
comprimento.
Depois, eles devem resolver
as questões propostas. Orien-
tá-los sobre alguns cuidados
com o manuseio de palitos de
fósforos.
• Que polígonos formam es-
sa figura? Resposta: Triângulos.
• O que podemos dizer a
respeito da medida dos lados
desses triângulos? Respos-
ta: Os lados de cada triângulo
têm a mesma medida.
• Que nome recebe esse tipo
de triângulo? Resposta: Triân-
gulo equilátero.
• Deslocando apenas 3 pali-
tos, monte uma figura com
6 triângulos equiláteros.
Resposta:
• Com base na figura origi-
nal, tente formar 6 triângulos
equiláteros deslocando exata-
mente 4 palitos. A figura obti-
da, com 6 triângulos equiláte-
ros, forma um novo polígono?
Se sim, qual é esse polígono?
Resposta: Sim, forma um
hexágono.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Nomenclatura
Apesar de a origem da palavra polígono ser relacionada a “vários ângulos”, também
podemos nomear polígonos considerando o número de lados que possuem.
Por serem utilizados com mais frequência, alguns polígonos recebem nomes especiais. Veja
o quadro:
PolígonoNúmero de lados Nome
3 triângulo (tri = três)
4 quadrilátero (quadri = quatro)
5 pentágono (penta = cinco)
6 hexágono (hexa = seis)
7 heptágono (hepta = sete)
8 octógono (octo = oito)
9 eneágono (enea = nove)
10 decágono (deca = dez)
Existem, ainda, outros polígonos com nomes especiais:
• 11 lados – undecágono
• 12 lados – dodecágono
• 15 lados – pentadecágono
• 20 lados – icoságono
Os demais polígonos, como o polígono de 13 lados, o de 18 lados, o de 25 lados, entre
outros, não recebem nomes particulares.
Responda à questão no caderno.
1. A figura corresponde a um ladrilhamento. Observe que os
polígonos representados nesse ladrilhamento são diferentes na
forma e no tamanho, porém todos se encaixam muito bem!
a) Quantos tipos diferentes de figuras poligonais você observa
nesse ladrilhamento? 3 tipos.
b) Como se chamam esses polígonos?
Triângulos, quadriláteros e octógonos.
ATIVIDADE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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Você já sabe que todo segmento de reta
que une dois vértices não consecutivos de um
polígono é chamado diagonal do polígono.
No polígono da figura ao lado, os seg-
mentos AC, AD, BD, BE e CE são as suas
diagonais.
Devemos observar que:
• se quisermos traçar as diagonais a partir do vértice A, não podemos ligá-lo a 3
vértices do polígono, que sejam a ele mesmo (A) e aos vértices consecutivos (B e E);
• o segmento CA, por exemplo, indica a mesma diagonal que o segmento AC.
Em geral, o número de diagonais não coincide com o número de lados do
polígono. A única exceção é o pentágono, que, como acabamos de ver na figura,
possui 5 lados e 5 diagonais.
Cálculo do número de diagonais
de um polígono
A representação do polígono a seguir é um octógono (8 lados), no qual estão
traçadas todas as suas diagonais.
A
B
C
D
E
F
G
H
Você seria capaz de contar quantas diagonais tem esse octógono?
Traçar uma a uma ou contar as diagonais de um polígono é um processo traba-
lhoso, principalmente se ele tiver um número grande de lados.
Vamos, então, aprender a determinar o número de diagonais de um polígono
sem traçá-las.
Note que, em um polígono qualquer de n lados (ou n vértices):
• de qualquer vértice do polígono partem diagonais para todos os vértices (n), menos
para 3 deles (ele mesmo e os vértices consecutivos a ele); portanto, (n _ 3) diagonais;
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
CAPÍTULO
DIAGONAIS DE UM
POLÍGONO CONVEXO
A
B
CD
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216. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Diagonais de um
polígono convexo
Para ampliar o trabalho
com diagonais de um polígo-
no, pode-se colocar na lousa o
seguinte quadro:
Número de
lados do
polígono
8151028
Número de
diagonais
Pedir aos alunos que repro-
duzam o quadro no caderno
e que o preencham. Como
os polígonos do quadro têm
muitos lados, espera-se que os
alunos compreendam que o
modo mais prático de realizar
a tarefa é utilizando a fórmula
apresentada nesta página. No
entanto, reforçar que, caso de-
sejassem desenhar o polígono
e contar suas diagonais uma
a uma também seria possível,
apesar de mais trabalhoso.
Caso tenham dificuldade
para manipular a fórmula na
realização dos cálculos, ajudá-
-los a identificar cada uma das
incógnitas, a saber:
• d indica o número de dia-
gonais;
• n indica o número de lados
do polígono.
Discutir com os alunos que
esses dois números devem ser
naturais não nulos, pois indicam
quantidades (de diagonais ou
de lados).
Nomenclatura
Apesar de a origem da palavra polígono ser relacionada a “vários ângulos”, também
podemos nomear polígonos considerando o número de lados que possuem.
Por serem utilizados com mais frequência, alguns polígonos recebem nomes especiais. Veja
o quadro:
PolígonoNúmero de lados Nome
3 triângulo (tri = três)
4 quadrilátero (quadri = quatro)
5 pentágono (penta = cinco)
6 hexágono (hexa = seis)
7 heptágono (hepta = sete)
8 octógono (octo = oito)
9 eneágono (enea = nove)
10 decágono (deca = dez)
Existem, ainda, outros polígonos com nomes especiais:
• 11 lados – undecágono
• 12 lados – dodecágono
• 15 lados – pentadecágono
• 20 lados – icoságono
Os demais polígonos, como o polígono de 13 lados, o de 18 lados, o de 25 lados, entre
outros, não recebem nomes particulares.
Responda à questão no caderno.
1. A figura corresponde a um ladrilhamento. Observe que os
polígonos representados nesse ladrilhamento são diferentes na
forma e no tamanho, porém todos se encaixam muito bem!
a) Quantos tipos diferentes de figuras poligonais você observa
nesse ladrilhamento? 3 tipos.
b) Como se chamam esses polígonos?
Triângulos, quadriláteros e octógonos.
ATIVIDADE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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Você já sabe que todo segmento de reta
que une dois vértices não consecutivos de um
polígono é chamado diagonal do polígono.
No polígono da figura ao lado, os seg-
mentos AC, AD, BD, BE e CE são as suas
diagonais.
Devemos observar que:
• se quisermos traçar as diagonais a partir do vértice A, não podemos ligá-lo a 3
vértices do polígono, que sejam a ele mesmo (A) e aos vértices consecutivos (B e E);
• o segmento CA, por exemplo, indica a mesma diagonal que o segmento AC.
Em geral, o número de diagonais não coincide com o número de lados do
polígono. A única exceção é o pentágono, que, como acabamos de ver na figura,
possui 5 lados e 5 diagonais.
Cálculo do número de diagonais
de um polígono
A representação do polígono a seguir é um octógono (8 lados), no qual estão
traçadas todas as suas diagonais.
A
B
C
D
E
F
G
H
Você seria capaz de contar quantas diagonais tem esse octógono?
Traçar uma a uma ou contar as diagonais de um polígono é um processo traba-
lhoso, principalmente se ele tiver um número grande de lados.
Vamos, então, aprender a determinar o número de diagonais de um polígono
sem traçá-las.
Note que, em um polígono qualquer de n lados (ou n vértices):
• de qualquer vértice do polígono partem diagonais para todos os vértices (n), menos
para 3 deles (ele mesmo e os vértices consecutivos a ele); portanto, (n _ 3) diagonais;
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
CAPÍTULO
DIAGONAIS DE UM
POLÍGONO CONVEXO
A
B
CD
E
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NO DIGITAL – 3˙ bimestre
• Ver o plano de desenvolvimen-
to para as Unidades 6 e 7.
• Desenvolver o projeto integra-
dor sobre consumo de energia
elétrica.
• Explorar as sequências didáticas
do bimestre, que trabalham
as habilidades EF08MA03,
EF08MA14, EF08MA18,
EF08MA22, EF08MA23,
EF08MA24 e EF08MA25.
• Acessar a proposta de acom-
panhamento da aprendizagem.
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217. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Caso julge necessário, an-
tes de iniciar as atividades,
propor o problema a seguir na
lousa e realizar a resolução em
conjunto com os alunos.
• Existe um único polígono
cujo número de diagonais é
igual ao dobro do número de
lados. Qual é esse polígono?
Resolução
• número de lados: n
• número de diagonais:
d =
n ? (n _ 3)
2
• dado do problema: d = 2n
Igualando as expressões
para d, temos:
2n =
n ? (n _ 3)
2
4n = n ? (n _ 3)
n _ 3 = 4
n = 4 + 3
n = 7
Logo, o polígono procura-
do é o heptágono.
Atividades
Para as atividades 7 e 8,
verificar se os alunos perce-
bem que, com a fórmula de
determinação do número de
diagonais também é possível
determinar o número de lados
do polígono, se conhecido o
número de diagonais.
Consideremos, então, a situação a seguir.
1 Quantas diagonais possui o decágono?
decágono: 10 lados
n = 10
d =
n ? (n _ 3)
2
=
10 ? (10 _ 3)
2
=
10 ? 7
2
=
70
2
= 35
O decágono possui 35 diagonais.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Responda às questões a seguir.
a) Há um polígono que não possui diago-
nais. Qual é esse polígono? Triângulo.
b) Qual é o polígono que possui 2 diagonais?
2. Quantas diagonais tem um polígono de:
a) 5 lados? 5 diagonais.
b) 8 lados? 20 diagonais.
c) 11 lados? 44 diagonais.
d) 16 lados? 104 diagonais.
e) 18 lados? 135 diagonais
3. O número de diagonais de um octó-
gono é: Alternativa c.
a) 13
b) 18
c) 20
d) 23
4. Um polígono tem 60 cm de perímetro,
e todos os lados têm a mesma medida:
5 cm. Calcule o número de lados e o
número de diagonais desse polígono.
Quadrilátero.
12 lados; 54 diagonais.
5. (Saresp-SP) Observe as diagonais dos
polígonos regulares de 4, 5 e 6 lados.
Quantas diagonais tem um polígono
regular de 7 lados? Alternativa b.
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16
6. Qual é o polígono cujo número de diago-
nais é o quádruplo do número de lados?
7. (UFSCar-SP) Um polígono regular com
exatamente 35 diagonais tem:
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
8. (PUC-RJ) Um polígono regular de n lados
tem 90 diagonais. O valor de n é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 21
Undecágono.
Alternativa c.
Alternativa c.
• como são n vértices, e de cada um partem (n _ 3) diagonais, o número total de diagonais
seria n · (n _ 3). Mas, dessa forma, estaríamos contando cada diagonal duas vezes (lembre-se
de que AC e CA, por exemplo, são a mesma diagonal). Então, o número de diagonais (d) é
dado pela metade de n · (n _ 3).
Assim:
Em um polígono de n lados (ou n vértices), o número de
diagonais (d) é dado por:
d =
n ? (n _ 3)
2
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EDITORIA DE ARTE
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3
CAPÍTULO
ÂNGULOS DE UM
POLÍGONO CONVEXO
Ângulo interno e ângulo externo
Consideremos o polígono da figura seguinte. Nele podemos observar que:
a
c
e
b
d
A
B
CD
E
A
E B
D C
• No vértice A med(åA ) ! med(åa ) " 180°
• No vértice B med(åB ) ! med(åb ) " 180°
• No vértice C med(åC ) ! med(åc ) " 180°
• No vértice D med(åD ) ! med(åd ) " 180°
• No vértice E med(åE ) ! med(åe ) " 180°
Um ângulo interno e um ângulo externo de mesmo vértice de um polígono
são sempre adjacentes suplementares.
Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo
Vejamos, agora, como podemos fazer para calcular a soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo. Vamos partir do conhecimento de que a soma das
medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°.
Quando queremos determinar a soma das medidas dos ângulos internos (S
i
) de
um polígono convexo, podemos decompor o polígono em triângulos, uma vez que a
soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo já é conhecida e igual a 180°.
Fazemos isso traçando as diagonais que partem de um único vértice do polígono.
Observe:
• Traçando todas as diagonais a partir de um mesmo vértice, dividimos um pen-
tágono em 3 triângulos.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o valor
da soma dos ângulos internos de um pentágono é 3 ? 180°, ou seja, 540°.
Esse processo, porém, pode ser longo e demorado, principalmente quando o
polígono tiver muitos lados.
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218. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ângulos de um polígono
convexo
Para determinar a soma das
medidas dos ângulos internos
de um polígono convexo é
utilizada a soma das medidas
dos ângulos internos do tri-
ângulo, que já foi trabalhada
na Unidade 3 deste volume.
Se julgar pertinente, retomar
a atividade da seção Pense e
Responda da página 71, que
mostra uma maneira de deter-
minar a soma das medidas dos
ângulos internos de um triân-
gulo. Veja a seguir:
• Com uma tesoura de pon-
tas arredondadas, recortar um
papel em um formato que
lembra um triângulo.
• Em seguida, usar lápis de
diferentes cores para destacar
os três ângulos internos e no-
meá-los como a, b e c.
• Depois, usando a mesma
tesoura, recortar o triângulo,
dividindo-o em três partes.
• Por último, juntar os três
vértices em um único ponto.
Pela figura, podemos veri-
ficar que, juntos, os três ân-
gulos internos do triângulo
formam um ângulo raso ou de
meia-volta.
Então: a + b + c = 180°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Consideremos, então, a situação a seguir.
1 Quantas diagonais possui o decágono?
decágono: 10 lados
n = 10
d =
n ? (n _ 3)
2
=
10 ? (10 _ 3)
2
=
10 ? 7
2
=
70
2
= 35
O decágono possui 35 diagonais.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Responda às questões a seguir.
a) Há um polígono que não possui diago-
nais. Qual é esse polígono? Triângulo.
b) Qual é o polígono que possui 2 diagonais?
2. Quantas diagonais tem um polígono de:
a) 5 lados? 5 diagonais.
b) 8 lados? 20 diagonais.
c) 11 lados? 44 diagonais.
d) 16 lados? 104 diagonais.
e) 18 lados? 135 diagonais
3. O número de diagonais de um octó-
gono é: Alternativa c.
a) 13
b) 18
c) 20
d) 23
4. Um polígono tem 60 cm de perímetro,
e todos os lados têm a mesma medida:
5 cm. Calcule o número de lados e o
número de diagonais desse polígono.
Quadrilátero.
12 lados; 54 diagonais.
5. (Saresp-SP) Observe as diagonais dos
polígonos regulares de 4, 5 e 6 lados.
Quantas diagonais tem um polígono
regular de 7 lados? Alternativa b.
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16
6. Qual é o polígono cujo número de diago-
nais é o quádruplo do número de lados?
7. (UFSCar-SP) Um polígono regular com
exatamente 35 diagonais tem:
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
8. (PUC-RJ) Um polígono regular de n lados
tem 90 diagonais. O valor de n é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 20
e) 21
Undecágono.
Alternativa c.
Alternativa c.
• como são n vértices, e de cada um partem (n _ 3) diagonais, o número total de diagonais
seria n · (n _ 3). Mas, dessa forma, estaríamos contando cada diagonal duas vezes (lembre-se
de que AC e CA, por exemplo, são a mesma diagonal). Então, o número de diagonais (d) é
dado pela metade de n · (n _ 3).
Assim:
Em um polígono de n lados (ou n vértices), o número de
diagonais (d) é dado por:
d =
n ? (n _ 3)
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CAPÍTULO
ÂNGULOS DE UM
POLÍGONO CONVEXO
Ângulo interno e ângulo externo
Consideremos o polígono da figura seguinte. Nele podemos observar que:
a
c
e
b
d
A
B
CD
E
A
E B
D C
• No vértice A med(åA ) ! med(åa ) " 180°
• No vértice B med(åB ) ! med(åb ) " 180°
• No vértice C med(åC ) ! med(åc ) " 180°
• No vértice D med(åD ) ! med(åd ) " 180°
• No vértice E med(åE ) ! med(åe ) " 180°
Um ângulo interno e um ângulo externo de mesmo vértice de um polígono
são sempre adjacentes suplementares.
Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo
Vejamos, agora, como podemos fazer para calcular a soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo. Vamos partir do conhecimento de que a soma das
medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°.
Quando queremos determinar a soma das medidas dos ângulos internos (S
i
) de
um polígono convexo, podemos decompor o polígono em triângulos, uma vez que a
soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo já é conhecida e igual a 180°.
Fazemos isso traçando as diagonais que partem de um único vértice do polígono.
Observe:
• Traçando todas as diagonais a partir de um mesmo vértice, dividimos um pen-
tágono em 3 triângulos.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o valor
da soma dos ângulos internos de um pentágono é 3 ? 180°, ou seja, 540°.
Esse processo, porém, pode ser longo e demorado, principalmente quando o
polígono tiver muitos lados.
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219. AMPLIANDO
Atividades
complementares
1. Pedir aos alunos que,
usando o mesmo raciocínio do
quadro apresentado no livro
do aluno, determinem a soma
dos ângulos internos do octó-
gono (8 lados) e do eneágono
(9 lados).
Resolução da atividade
• Octógono
O polígono tem 8 lados.
Assim, é possível dividir o oc-
tógono em (8 _ 2) triângu-
los, ou seja, em 6 triângulos.
Logo, a soma das medidas dos
ângulos internos do octógono
é dada por 6 ? 180° = 1 080°
• Eneágono
O polígono tem 9 lados.
Assim, é possível dividir o ene-
ágono em (9 _ 2) triângulos,
ou seja, em 7 triângulos. Logo,
a soma das medidas dos ân-
gulos internos do eneágono é
dada por 7 ? 180° = 1 260°
2. Mostrar que quando o nú-
mero de lados de dois polígonos
diferem de 1 unidade, as somas
das medidas de seus ângulos in-
ternos diferem de 180°.
Resolução da atividade
Considere dois polígonos
com n e n + 1 lados.
• Soma das medidas dos ân-
gulos internos do polígono de
n lados:
S
i(1)
= (n _ 2) ? 180°
• Soma das medidas dos ân-
gulos internos do polígono de
(n + 1) lados:
S
i(2)
= (n + 1 _ 2) ? 180° =
= (n _ 1) ? 180°
Obtendo a diferença entre
essas duas somas:
S
i(2)
_ S
i(1)
= (n _ 1) ?
? 180° _ (n _ 2) ? 180°
S
i(2)
_ S
i(1)
= 180° n _ 180°
_ 180°n + 2 ? 180°
S
i(2)
_ S
i(1)
= 2 ? 180° _ 180°
S
i(2)
_ S
i(1)
= 180°
Portanto, a diferença entre
as somas das medidas dos ân-
gulos internos desses polígo-
nos é 180°.
O quadro seguinte vai nos ajudar a obter mais rapidamente essa soma.
Nome Polígono N
o
de lados
N
o
de triângulos
formados
Soma das
medidas dos
ângulos internos
(S
i
)
Quadrilátero
A
B
C
D
1
2
4
2 = (4 _ 2)
cada triângulo
2 ? 180° = 360°
Pentágono
A B
C
D
E
1
23 5
3 = (5 _ 2)
3 ? 180° = 540°
Hexágono
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
6
4 = (6 _ 2)
4 ? 180° = 720°
Heptágono
A
B
C
D
G
F
E
1
2
3
4
5
7
5 = (7 _ 2)
5 ? 180° = 900°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Desse modo, verificamos que é possível dividir o polígono em um número de triângulos que
coincide sempre com o número de lados do polígono menos 2.
Um decágono, por exemplo, pode ser dividido em 8 (ou seja, 10 _ 2) triângulos. Então, a
soma das medidas dos ângulos internos do decágono é:
8 ! 180° " 1 440°
número de
triângulos traçados
soma das medidas dos ângulos
internos de cada triângulo
Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados:
• número de lados n
• número de triângulos n # 2 (2 a menos que o número de lados do polígono)
• soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo 180°
• soma das medidas dos ângulos internos do polígono (n # 2) ? 180°
Sendo S
i
a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, temos:
S
i
= (n _ 2) ? 180°
174
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Veja como podemos usar a fórmula matemática S
i
= (n – 2) ? 180° para resolver problemas:
1 Um polígono tem 13 lados. Qual é a soma de seus ângulos internos?
13 lados n = 13
S
i
= (n _ 2) ? 180°
S
i
= (13 _ 2) ? 180° = 11 ? 180° = 1 980°
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 13 lados é 1 980°.
2 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 900°. Qual é esse polígono?
Nesse caso, temos S
i
= 900°.
Como S
i
= (n _ 2) ? 180°, temos: (n _ 2) ? 180° = 900°
n ? 180° _ 360° = 900° h n ? 180° = 900° + 360° h n ? 180° = 1 260° h !!n
1260°
180°
7
O polígono é o heptágono (7 lados).
Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo
Assim como fizemos para os ângulos internos, vamos calcular a soma das medidas dos
ângulos externos (S
e
) de um polígono convexo.
• Triângulo
Sabemos que:
a " m ! 180°
b " n ! 180°
c " p ! 180°
⇒ a " b " c " m " n " p ! 3 # 180°


S
i
! 180° S
e
Daí:
180° " S
e
! 540° ⇒ S
e
! 360° soma das medidas dos
ângulos externos de
um triângulo
• Quadrilátero
m
n
p
q
A
C
D
B
a
b
cd
Sabemos que:
a " m ! 180°
⇒ a " b " c " d " m " n " p " q ! 4 # 180°


S
i
! 360° S
e
b " n ! 180°
c " p ! 180°
d " q ! 180°
Daí:
360° " S
e
! 720° ⇒ S
e
! 360° soma das medidas dos
ângulos externos de
um quadrilátero
A
C
B
m
n
p
a
c b
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220. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Soma das medidas dos
ângulos externos de um
polígono convexo
Realizar na lousa os cálculos
para a determinação da soma
das medidas dos ângulos ex-
ternos de um triângulo, de um
quadrilátero e de um pentágo-
no, com mostrado no livro do
aluno. Em seguida, apresentar
o raciocínio para um polígono
de n lados. Com isso, espera-
-se que o aprendizado seja sig-
nificativo, de maneira que os
alunos compreendam o que
estão fazendo.
O quadro seguinte vai nos ajudar a obter mais rapidamente essa soma.
Nome Polígono N
o
de lados
N
o
de triângulos
formados
Soma das
medidas dos
ângulos internos
(S
i
)
Quadrilátero
A
B
C
D
1
2
4
2 = (4 _ 2)
cada triângulo
2 ? 180° = 360°
Pentágono
A B
C
D
E
1
23 5
3 = (5 _ 2)
3 ? 180° = 540°
Hexágono
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
6
4 = (6 _ 2)
4 ? 180° = 720°
Heptágono
A
B
C
D
G
F
E
1
2
3
4
5
7
5 = (7 _ 2)
5 ? 180° = 900°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Desse modo, verificamos que é possível dividir o polígono em um número de triângulos que
coincide sempre com o número de lados do polígono menos 2.
Um decágono, por exemplo, pode ser dividido em 8 (ou seja, 10 _ 2) triângulos. Então, a
soma das medidas dos ângulos internos do decágono é:
8 ! 180° " 1 440°
número de
triângulos traçados
soma das medidas dos ângulos
internos de cada triângulo
Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados:
• número de lados n
• número de triângulos n # 2 (2 a menos que o número de lados do polígono)
• soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo 180°
• soma das medidas dos ângulos internos do polígono (n # 2) ? 180°
Sendo S
i
a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, temos:
S
i
= (n _ 2) ? 180°
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Veja como podemos usar a fórmula matemática S
i
= (n – 2) ? 180° para resolver problemas:
1 Um polígono tem 13 lados. Qual é a soma de seus ângulos internos?
13 lados n = 13
S
i
= (n _ 2) ? 180°
S
i
= (13 _ 2) ? 180° = 11 ? 180° = 1 980°
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 13 lados é 1 980°.
2 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 900°. Qual é esse polígono?
Nesse caso, temos S
i
= 900°.
Como S
i
= (n _ 2) ? 180°, temos: (n _ 2) ? 180° = 900°
n ? 180° _ 360° = 900° h n ? 180° = 900° + 360° h n ? 180° = 1 260° h !!n
1260°
180°
7
O polígono é o heptágono (7 lados).
Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo
Assim como fizemos para os ângulos internos, vamos calcular a soma das medidas dos
ângulos externos (S
e
) de um polígono convexo.
• Triângulo
Sabemos que:
a " m ! 180°
b " n ! 180°
c " p ! 180°
⇒ a " b " c " m " n " p ! 3 # 180°


S
i
! 180° S
e
Daí:
180° " S
e
! 540° ⇒ S
e
! 360° soma das medidas dos
ângulos externos de
um triângulo
• Quadrilátero
m
n
p
q
A
C
D
B
a
b
cd
Sabemos que:
a " m ! 180°
⇒ a " b " c " d " m " n " p " q ! 4 # 180°


S
i
! 360° S
e
b " n ! 180°
c " p ! 180°
d " q ! 180°
Daí:
360° " S
e
! 720° ⇒ S
e
! 360° soma das medidas dos
ângulos externos de
um quadrilátero
A
C
B
m
n
p
a
c b
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221. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de questões os
alunos aplicarão a soma das
medidas dos ângulos internos
e a soma das medidas dos ân-
gulos externos de um polígo-
no convexo qualquer.
Caso os alunos apresentem
dificuldades, auxiliá-los, sa-
nando eventuais dúvidas.
3. Como se chama o polígono cuja soma das
medidas dos ângulos internos é 1 620°?
4. Em um polígono, temos que S
i
+ S
e
=
= 1 080°. Qual é esse polígono?
5. A figura ao lado
é um pentágono
não regular. Calcule
as medidas dos
ângulos EåAB e AåBC.
6. Copie o quadro se-
guinte e complete-o.
Soma das
medidas
dos ângulos
internos
1 440°1 800°2 160°2 340°
Número de
lados do
polígono
Undecágono.
Hexágono.
A
E
B
CD
2x
3x
150°
120°
135°
med(EåAB) = 54º e med(AåBC) = 81º
10 12 14 15
A
B
C
D
E
m
n
p
q
r
a
b
cd
e
• Pentágono
Sabemos que:
a ! m " 180°
⇒ a ! b ! c ! d ! e ! m ! n ! p ! q ! r " 5 # 180°


S
i
" 540° S
e
b ! n " 180°
c ! p " 180°
d ! q " 180°
e ! r " 180°
Se tomarmos um polígono de n lados, temos que, em cada vértice, a soma da medida do
ângulo interno com a medida do ângulo externo é igual a 180°.
Assim, podemos enunciar a propriedade:
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360°.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um polígono qualquer de n lados,
quando traçamos as diagonais que
partem de um único vértice, decompo-
mos o polígono em (n _ 2) triângulos.
Sabendo que, em determinado po-
lígono, obtivemos 8 triângulos nessa
decomposição, quantos lados tem esse
polígono? Qual o seu nome?
2. Copie o quadro seguinte e preencha-o
corretamente.
Pentágono Eneágono Icoságono
Soma das
medidas
dos ângulos
internos
10 lados; decágono.
540° 1 260°3 240°
Temos: 540° ! S
e
" 900° ⇒ S
e
" 360°
soma das medidas dos ângulos
externos de um pentágono

180° # (n $ 2) ! S
e
" 180°n
S
i
! S
e
" 180°n
180°n $ 360° ! S
e
" 180°n
S
e
" 180°n $ 180°n ! 360°
S
e
" 360°
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4
CAPÍTULO
ÂNGULOS DE UM
POLÍGONO REGULAR
Sabemos que, em um polígono regular:
• todos os lados são congruentes;
• todos os ângulos internos são congruentes.
Como em cada vértice de um polígono a soma das medidas do ângulo interno
e seu ângulo externo é 180°, podemos concluir que os ângulos externos de um
polígono regular também são congruentes entre si.
Indicamos:
• a medida de cada ângulo interno de um polígono regular por a
i
;
• a medida de cada ângulo externo de um polígono regular por a
e
.
Para um polígono regular de n lados, temos:
⋅
a
S
n
(n2)180º
n
i
i
==
_
e a
S
n
360º
n
e
e
==
Consideremos, então, as seguintes situações:
1 Qual a medida do ângulo interno e a do ângulo externo
de um hexágono regular?
Hexágono regular: 6 lados.
Cálculo da soma das medidas dos ângulos internos:
⋅° ⇒⋅ °°S(62)180S4 180720
ii=_ ==
Como o hexágono é regular:
°
°a
S
n
720
6
120
i
== =
°
°a
S
n
360
6
60
e
e
== =
O ângulo interno mede 120°, e o ângulo externo mede 60°.
2 Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144°?
Como o polígono é regular: a
S
n
i
i
=
número de lados do polígono
Se a
i
= 144°, então:
•
S
n
144º
i
=
()°
°
180n2
n
144
_
=
°°180(n2)
n
144n
n
_
=
• 180°n _ 360° = 144°n
180°n _ 144°n = 360°
36°n = 360°
°
°
n
360
36
10==
Portanto, o polígono é o decágono (10 lados).
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222. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ângulos de um polígono
regular
Nesta página é apresenta-
do como determinar a medida
dos ângulos internos e exter-
nos de um polígono regular.
Se necessário, retomar com os
alunos o conceito de polígono
regular e suas características.
Reproduzir na lousa as situ-
ações apresentadas, verifican-
do se os alunos apresentam
alguma dúvida a respeito do
assunto tratado.
3. Como se chama o polígono cuja soma das
medidas dos ângulos internos é 1 620°?
4. Em um polígono, temos que S
i
+ S
e
=
= 1 080°. Qual é esse polígono?
5. A figura ao lado
é um pentágono
não regular. Calcule
as medidas dos
ângulos EåAB e AåBC.
6. Copie o quadro se-
guinte e complete-o.
Soma das
medidas
dos ângulos
internos
1 440°1 800°2 160°2 340°
Número de
lados do
polígono
Undecágono.
Hexágono.
A
E
B
CD
2x
3x
150°
120°
135°
med(EåAB) = 54º e med(AåBC) = 81º
10 12 14 15
A
B
C
D
E
m
n
p
q
r
a
b
cd
e
• Pentágono
Sabemos que:
a ! m " 180°
⇒ a ! b ! c ! d ! e ! m ! n ! p ! q ! r " 5 # 180°


S
i
" 540° S
e
b ! n " 180°
c ! p " 180°
d ! q " 180°
e ! r " 180°
Se tomarmos um polígono de n lados, temos que, em cada vértice, a soma da medida do
ângulo interno com a medida do ângulo externo é igual a 180°.
Assim, podemos enunciar a propriedade:
A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360°.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um polígono qualquer de n lados,
quando traçamos as diagonais que
partem de um único vértice, decompo-
mos o polígono em (n _ 2) triângulos.
Sabendo que, em determinado po-
lígono, obtivemos 8 triângulos nessa
decomposição, quantos lados tem esse
polígono? Qual o seu nome?
2. Copie o quadro seguinte e preencha-o
corretamente.
Pentágono Eneágono Icoságono
Soma das
medidas
dos ângulos
internos
10 lados; decágono.
540° 1 260°3 240°
Temos: 540° ! S
e
" 900° ⇒ S
e
" 360°
soma das medidas dos ângulos
externos de um pentágono

180° # (n $ 2) ! S
e
" 180°n
S
i
! S
e
" 180°n
180°n $ 360° ! S
e
" 180°n
S
e
" 180°n $ 180°n ! 360°
S
e
" 360°
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4
CAPÍTULO
ÂNGULOS DE UM
POLÍGONO REGULAR
Sabemos que, em um polígono regular:
• todos os lados são congruentes;
• todos os ângulos internos são congruentes.
Como em cada vértice de um polígono a soma das medidas do ângulo interno
e seu ângulo externo é 180°, podemos concluir que os ângulos externos de um
polígono regular também são congruentes entre si.
Indicamos:
• a medida de cada ângulo interno de um polígono regular por a
i
;
• a medida de cada ângulo externo de um polígono regular por a
e
.
Para um polígono regular de n lados, temos:
⋅
a
S
n
(n2)180º
n
i
i
==
_
e a
S
n
360º
n
e
e
==
Consideremos, então, as seguintes situações:
1 Qual a medida do ângulo interno e a do ângulo externo
de um hexágono regular?
Hexágono regular: 6 lados.
Cálculo da soma das medidas dos ângulos internos:
⋅° ⇒⋅ °°S(62)180S4 180720
ii=_ ==
Como o hexágono é regular:
°
°a
S
n
720
6
120
i
== =
°
°a
S
n
360
6
60
e
e
== =
O ângulo interno mede 120°, e o ângulo externo mede 60°.
2 Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144°?
Como o polígono é regular: a
S
n
i
i
=
número de lados do polígono
Se a
i
= 144°, então:
•
S
n
144º
i
=
()°
°
180n2
n
144
_
=
°°180(n2)
n
144n
n
_
=
• 180°n _ 360° = 144°n
180°n _ 144°n = 360°
36°n = 360°
°
°
n
360
36
10==
Portanto, o polígono é o decágono (10 lados).
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223. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Neste bloco de questões
os alunos devem calcular as
medidas do ângulo interno
e do ângulo externo de um
polígono regular. Caso apre-
sentem dificuldade na resolu-
ção orientá-los a consultar no
livro os conceitos e as relações
adequadas para cada item das
questões.
Na questão 9, propor que
os alunos resolvam os itens pro-
postos em duplas. A troca de
ideias amplia as interpretações
de cada um, contribuindo para
um melhor entendimento e en-
riquecimento da aprendizagem.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um polígono qualquer de n lados,
podem ser traçadas (n _ 3) diagonais par-
tindo de cada vértice. Sabendo que, em um
determinado polígono, podem ser traçadas
7 diagonais de cada vértice, responda:
a) Qual é a soma das medidas dos ângulos
internos desse polígono? 1 440°
b) Qual é a medida de cada ângulo interno,
caso o polígono seja regular? 144°
2. Considerando a representação do hexá-
gono da figura, determine a medida x.
78°
x
x
x
x
78°
3. Na figura, ABCDE é a
representação de um
pentágono regular.
Calcule o valor de y _ x.
4. Na figura, ABCDE é a representação de
um pentágono regular. Qual é a medida
x do ângulo DFE do triângulo DFE? 36°
B
A
CD
E
F
x
5. É dado um polígono regular, no qual
a soma das medidas dos ângulos inter-
nos é igual ao quádruplo da soma das
medidas dos ângulos externos. Qual é
esse polígono regular? Decágono regular.
6. Em um polígono, a razão entre a soma das
medidas dos ângulos internos e a soma
das medidas dos ângulos externos é igual
a
7
2
. Quantos lados tem esse polígono?
141°
72°
9 lados.
7. Considerando a figura,
em que ABC é a re-
presentação de um
triângulo equilátero,
calcule a medida x. 165°
8. Na figura seguinte, o segmento AB
representa um lado de um hexágono
regular, e o segmento AC representa um
lado de um octógono regular. Qual é a
medida de x do ângulo BAC? 105°
x
A
C
B
9. A figura seguinte descreve, em esboço,
de que maneira uma pessoa se desloca.
AB
C
D
120 m
120 m
120 m
36°
36°
Partindo do ponto A, ela avança 120 m e
gira 36° para a esquerda. A seguir, avança
outros 120 m e gira 36° para a esquerda.
Repete esse movimento até que retorna
ao ponto A, fechando a trajetória.
a) Qual é o polígono regular que essa tra-
jetória limita? Decágono regular.
b) Quantos quilômetros essa pessoa cami-
nha na trajetória toda? 1,2 km
c) Se, em média, essa pessoa der 11 passos
a cada 8 m, quantos passos ela dará em
toda a trajetória? 1 650 passos.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
B
CD
E
xx
y
FG
B
C
DI
EH
A
x
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5
CAPÍTULO
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Neste capítulo, vamos aprender a construir, com régua e compasso, dois polígo-
nos regulares.
Triângulo equilátero
Já sabemos que o triângulo equilátero é um polígono regular de três lados;
portanto, ele apresenta todos os lados e todos os ângulos internos congruentes entre
si. Assim, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo
do triângulo equilátero mede 60°.
Siga, em seu caderno, as etapas da construção:
1
o
passo: Definimos o comprimento do lado do triângulo que desejamos cons-
truir. Nesse caso, vamos construir um triângulo equilátero de lado 4 cm.
2
o
passo: Construímos um segmento de reta AB de 4 cm de comprimento.
AB
4 cm
3
o
passo: Colocamos a ponta-seca do compasso em A, abrimos até o ponto B
e traçamos um arco.
4
o
passo: Repetimos o procedimento anterior, mas, agora, a ponta-seca deve
estar em B.
ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES
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224. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Construções geométricas
A construção de polígonos
regulares, seja com régua e
compasso seja com softwares
de geometria dinâmica é uma
habilidade que deve ser desen-
volvida, pois auxilia na compre-
ensão das relações e proprieda-
des dos polígonos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um polígono qualquer de n lados,
podem ser traçadas (n _ 3) diagonais par-
tindo de cada vértice. Sabendo que, em um
determinado polígono, podem ser traçadas
7 diagonais de cada vértice, responda:
a) Qual é a soma das medidas dos ângulos
internos desse polígono? 1 440°
b) Qual é a medida de cada ângulo interno,
caso o polígono seja regular? 144°
2. Considerando a representação do hexá-
gono da figura, determine a medida x.
78°
x
x
x
x
78°
3. Na figura, ABCDE é a
representação de um
pentágono regular.
Calcule o valor de y _ x.
4. Na figura, ABCDE é a representação de
um pentágono regular. Qual é a medida
x do ângulo DFE do triângulo DFE? 36°
B
A
CD
E
F
x
5. É dado um polígono regular, no qual
a soma das medidas dos ângulos inter-
nos é igual ao quádruplo da soma das
medidas dos ângulos externos. Qual é
esse polígono regular? Decágono regular.
6. Em um polígono, a razão entre a soma das
medidas dos ângulos internos e a soma
das medidas dos ângulos externos é igual
a
7
2
. Quantos lados tem esse polígono?
141°
72°
9 lados.
7. Considerando a figura,
em que ABC é a re-
presentação de um
triângulo equilátero,
calcule a medida x. 165°
8. Na figura seguinte, o segmento AB
representa um lado de um hexágono
regular, e o segmento AC representa um
lado de um octógono regular. Qual é a
medida de x do ângulo BAC? 105°
x
A
C
B
9. A figura seguinte descreve, em esboço,
de que maneira uma pessoa se desloca.
AB
C
D
120 m
120 m
120 m
36°
36°
Partindo do ponto A, ela avança 120 m e
gira 36° para a esquerda. A seguir, avança
outros 120 m e gira 36° para a esquerda.
Repete esse movimento até que retorna
ao ponto A, fechando a trajetória.
a) Qual é o polígono regular que essa tra-
jetória limita? Decágono regular.
b) Quantos quilômetros essa pessoa cami-
nha na trajetória toda? 1,2 km
c) Se, em média, essa pessoa der 11 passos
a cada 8 m, quantos passos ela dará em
toda a trajetória? 1 650 passos.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
B
CD
E
xx
y
FG
B
C
DI
EH
A
x
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5
CAPÍTULO
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS
Neste capítulo, vamos aprender a construir, com régua e compasso, dois polígo-
nos regulares.
Triângulo equilátero
Já sabemos que o triângulo equilátero é um polígono regular de três lados;
portanto, ele apresenta todos os lados e todos os ângulos internos congruentes entre
si. Assim, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo
do triângulo equilátero mede 60°.
Siga, em seu caderno, as etapas da construção:
1
o
passo: Definimos o comprimento do lado do triângulo que desejamos cons-
truir. Nesse caso, vamos construir um triângulo equilátero de lado 4 cm.
2
o
passo: Construímos um segmento de reta AB de 4 cm de comprimento.
AB
4 cm
3
o
passo: Colocamos a ponta-seca do compasso em A, abrimos até o ponto B
e traçamos um arco.
4
o
passo: Repetimos o procedimento anterior, mas, agora, a ponta-seca deve
estar em B.
ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES
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225. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Uma possibilidade para o
trabalho com construções ge-
ométricas e propriedades dos
polígonos é o uso do geopla-
no. Se possível, providenciar
alguns e levá-los à sala de
aula. Também é possível cons-
truir o seu próprio geoplano.
A construção não é complexa,
mas exige material específico.
Há também placas prontas
com furinhos e hastes de plás-
tico para serem encaixadas.
Pode-se também construir um
geoplano com madeira e pre-
gos. Dentro da possibilidade
de cada escola, pode-se pedir
aos alunos que construam um
em sala de aula ou sugerir que
façam em casa, com o auxílio
de um adulto.
A seguir está o material e o
procedimento para construir
o geoplano. Apresentar essas
orientações aos alunos para
que possam efetuar a tarefa.
Material necessário
• Uma placa de madeira com
forma quadrada e pouco mais
de 20 cm de lado;
• Um lápis de carpinteiro ou
lápis preto com grafite mais
grossa para traçar uma malha
sobre a placa de madeira;
• 64 pregos com cabeça (ca-
da prego medindo cerca de
15 mm de comprimento);
• Um martelo;
• Elásticos de diversas cores.
Procedimentos
1. Forme uma malha 8  x 8
sobre a placa de madeira, mar-
cando 64 pontos equidistantes
2,5 cm, tanto horizontal quanto
verticalmente.
2. Fixe um prego em cada
ponto marcado: você formará
8 filas com 8 pregos em cada
uma.
3. Com o auxílio de um
adulto, fixe os pregos na placa
utilizando o martelo: cada pre-
go deve entrar 5 mm na ma-
deira, ficando 10 mm de altura
para fora dela, o que permitirá
o manuseio dos elásticos.
Depois de construir o ge-
oplano, os alunos devem for-
mar contornos de polígonos
com os elásticos e refletir so-
bre as propriedades e caracte-
rísticas de cada polígono for-
mado. Proponha-lhes a:
• Observar os vértices, os la-
dos, os ângulos internos e os
ângulos externos dos polígo-
nos formados;
• Usar elásticos de cores di-
ferentes para indicar as diago-
nais dos polígonos formados.
Os alunos devem compa-
rar os perímetros das figuras
formadas no geoplano e per-
ceber que há polígonos dife-
rentes com perímetros iguais.
Se necessário, recorde a noção
de perímetro.
5
o
passo: Marcamos o ponto de intersecção dos arcos e nomeamos como C. Unimos o ponto
C, com uma régua, aos vértices A e B, determinando o triângulo equilátero.
Depois de traçado o contorno, basta colorir a parte interna da figura.
Para essa construção anterior, utilizamos arcos de circunferências de mesmo raio a fim de
garantir que todos os lados do triângulo sejam congruentes. Já vimos que a circunferência é o lugar
geométrico de todos os pontos equidistantes ao centro dessa circunferência. Assim, ao construir
os arcos, estamos encontrando todos os pontos que distam 4 cm de A e todos os pontos que
distam 4 cm de B. O ponto de intersecção desses arcos é aquele que dista, ao mesmo tempo,
4 cm de A e de B.
MARCEL BORGES
Responda às questões no caderno.
1. Na construção anterior, utilizamos qual propriedade do triângulo equilátero?
2 . Existe outra propriedade dos triângulos equiláteros que pode ser utilizada na sua
construção? Sim, três ângulos congruentes entre si.
Três lados congruentes entre si.
pense e responda
Hexágono regular
O hexágono regular é o polígono de 6 lados que apresenta todos os lados e todos os ângulos
congruentes entre si.
Como a soma dos ângulos internos de um hexágono é 720° ⋅° °(S(62)180720)
i=_ = , cada
ângulo interno mede 120° (
°
°a
720
6
120== ).
Siga, em seu caderno, as etapas da construção:
1
o
passo: Definimos o comprimento do lado do hexágono que desejamos construir. Nesse
caso, vamos construir um hexágono de lado 1,2 cm.
2
o
passo: Construímos um segmento de reta OA de 1,2 cm de comprimento.
OA

3
o
passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura igual à med
(OA) traçamos uma circunferência.
Resoluções a partir da p. 289
O A
180
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4
o
passo: Ainda com a mesma abertura e com a ponta-seca do compasso no ponto A,
determinamos o ponto B.
OA
B
5
o
passo: Com a mesma abertura e a ponta-seca em B determinamos o ponto C na circunfe-
rência. E com a ponta-seca em C e mesma abertura, determinamos o ponto D. E assim seguimos por
toda a circunferência, até determinar todos os pontos que correspondem aos vértices do hexágono.
O AD
BC
FE
6
o
passo: Traçamos os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA. Para finalizar, colorimos a região
interna da figura.
O A
BC
E
D
F
Esse processo garante a construção do hexágono regular desejado, pois:
• o triângulo formado pelos pontos OAB é um triângulo equilátero.
• em um triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes e medem 60°. Assim,
construindo dois triângulos equiláteros consecutivos, obtemos o ângulo de 120° que é a
medida do ângulo interno do hexágono regular.
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Podemos dividir o hexágono em quantos triângulos equiláteros?
6 triângulos equiláteros.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. A partir da construção de um triângulo
equilátero de 5 cm de lado, construa um
hexágono regular de lado 5 cm.
DESAFIO
2. Utilizando régua e compasso, construa
um polígono regular de 4 lados.
2. Os alunos devem construir um quadrado. Eles podem
construir ângulos de 90º e utilizar arcos de circunferência
para transportar a medida do lado.
1. CF
IH
GA B
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a
partir da p. 289
O
A
BC
FE
60°
120°
D
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226. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Se possível, solicitar aos alu-
nos que realizem as constru-
ções com régua e compasso
apresentadas nessas páginas.
Fazendo na prática, os alunos
conseguem compreender me-
lhor o que está sendo proposto
e perceber eventuais dúvidas
que surgirem.
Caso julgue oportuno,
orientar os alunos a resolver
as atividades em duplas, assim
um auxilia o outro no processo
de aquisição do conhecimento.
Resolução do Desafio
Os alunos deverão construir
um quadrado, que é o polígo-
no regular de 4 lados.
Para isso, traçar um seg-
mento AB qualquer. Esse é um
dos lados do quadrado. Em
seguida, construir a perpendi-
cular desse segmento que pas-
sa pelo ponto B. Determinar o
ponto C, pertencente à per-
pendicular traçada de modo
que o segmento BC tenha a
mesma medida do segmento
AB. Para isso, realizar o trans-
porte da medida utilizando o
compasso. Repetir esse pro-
cedimento para determinar o
ponto D, pertencente à reta
perpendicular ao segmento
BC e que passa pelo ponto C.
Por fim, traçar os segmentos
CD e DA e o quadrado estará
construído.
5
o
passo: Marcamos o ponto de intersecção dos arcos e nomeamos como C. Unimos o ponto
C, com uma régua, aos vértices A e B, determinando o triângulo equilátero.
Depois de traçado o contorno, basta colorir a parte interna da figura.
Para essa construção anterior, utilizamos arcos de circunferências de mesmo raio a fim de
garantir que todos os lados do triângulo sejam congruentes. Já vimos que a circunferência é o lugar
geométrico de todos os pontos equidistantes ao centro dessa circunferência. Assim, ao construir
os arcos, estamos encontrando todos os pontos que distam 4 cm de A e todos os pontos que
distam 4 cm de B. O ponto de intersecção desses arcos é aquele que dista, ao mesmo tempo,
4 cm de A e de B.
MARCEL BORGES
Responda às questões no caderno.
1. Na construção anterior, utilizamos qual propriedade do triângulo equilátero?
2 . Existe outra propriedade dos triângulos equiláteros que pode ser utilizada na sua
construção? Sim, três ângulos congruentes entre si.
Três lados congruentes entre si.
pense e responda
Hexágono regular
O hexágono regular é o polígono de 6 lados que apresenta todos os lados e todos os ângulos
congruentes entre si.
Como a soma dos ângulos internos de um hexágono é 720° ⋅° °(S(62)180720)
i=_ = , cada
ângulo interno mede 120° (
°
°a
720
6
120== ).
Siga, em seu caderno, as etapas da construção:
1
o
passo: Definimos o comprimento do lado do hexágono que desejamos construir. Nesse
caso, vamos construir um hexágono de lado 1,2 cm.
2
o
passo: Construímos um segmento de reta OA de 1,2 cm de comprimento.
OA

3
o
passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura igual à med
(OA) traçamos uma circunferência.
Resoluções a partir da p. 289
O A
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4
o
passo: Ainda com a mesma abertura e com a ponta-seca do compasso no ponto A,
determinamos o ponto B.
OA
B
5
o
passo: Com a mesma abertura e a ponta-seca em B determinamos o ponto C na circunfe-
rência. E com a ponta-seca em C e mesma abertura, determinamos o ponto D. E assim seguimos por
toda a circunferência, até determinar todos os pontos que correspondem aos vértices do hexágono.
O AD
BC
FE
6
o
passo: Traçamos os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA. Para finalizar, colorimos a região
interna da figura.
O A
BC
E
D
F
Esse processo garante a construção do hexágono regular desejado, pois:
• o triângulo formado pelos pontos OAB é um triângulo equilátero.
• em um triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes e medem 60°. Assim,
construindo dois triângulos equiláteros consecutivos, obtemos o ângulo de 120° que é a
medida do ângulo interno do hexágono regular.
pense e responda
Responda às questões no caderno.
1. Podemos dividir o hexágono em quantos triângulos equiláteros?
6 triângulos equiláteros.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. A partir da construção de um triângulo
equilátero de 5 cm de lado, construa um
hexágono regular de lado 5 cm.
DESAFIO
2. Utilizando régua e compasso, construa
um polígono regular de 4 lados.
2. Os alunos devem construir um quadrado. Eles podem
construir ângulos de 90º e utilizar arcos de circunferência
para transportar a medida do lado.
1. CF
IH
GA B
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a
partir da p. 289
O
A
BC
FE
60°
120°
D
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227. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Propriedades dos
quadriláteros
A congruência de triângu-
los foi estudada na Unidade
3 deste volume e dá subsídio
para que as propriedades dos
quadriláteros, apresentadas
aqui, possam ser compreendi-
das pelos alunos. Se necessá-
rio, retomar os casos de con-
gruência de triângulos.
Uma possibilidade de ativi-
dade é solicitar aos alunos que,
utilizando o geoplano constru-
ído anteriormente, construam
os diferentes tipos de paralelo-
gramo estudados e observem
as características de cada um.
Espera-se que os alunos re-
conheçam o retângulo como
um paralelogramo de ângulos
internos congruentes; o lo-
sango como um paralelogra-
mo de lados congruentes e o
quadrado como um paralelo-
gramo que também é um re-
tângulo e um losango, ou seja,
tem os lados e os ângulos in-
ternos congruentes.
6
CAPÍTULO
PROPRIEDADES DOS
QUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Considere os quadriláteros seguintes:
AB
CD
AB // CD
AD // BC
Figura 3
P
M
N
O
MN // OP
PM // NO
Figura 4
QT
SR
RS // TQ
QR // ST
Figura 2
EF // GH
EH // FG
G H
EF
Todos esses quadriláteros apresentam, em comum, o fato de terem os lados opostos paralelos.
Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo.
Observe:
• O paralelogramo EFGH, da figura 2, que tem os quatro ângulos internos retos, é denominado
retângulo.
• O paralelogramo MNOP, da figura 3, que tem os quatro lados congruentes, é chamado
losango ou rombo.
• O paralelogramo RSTQ, da figura 4, que tem os quatro lados congruentes e os quatro
ângulos internos retos, é chamado quadrado. Os paralelogramos apresentam as seguintes
propriedades:
1
a
propriedade:
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
• Como a e d são medidas de ângulos colaterais internos,
temos: a + d = 180° a = 180° _ d (1)
• Como c e d são medidas de ângulos colaterais inter-
nos, temos: c + d = 180° c = 180° _ d (2)
Comparando (1) e (2), temos: a = c !AC
!"
Usando o mesmo raciocínio, mostramos que !BD

.
AB
CD
a
b
c
d
Figura 1
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Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
2
a
propriedade:
Traçando a diagonal AC, obtemos os triângulos ABC e CDA, em que:
• a = c (ângulos alternos internos)
• AC ! AC (lado comum)
• b = d (ângulos alternos internos)
Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos,
temos que !ABC ! !CDA. Como consequência, AB ! CD
e BC ! DA.
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
• a = c (ângulos alternos internos)
• AB ! CD (lados opostos)
• b = d (ângulos alternos internos).
Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos,
temos que !AMB ! !CMD.
Como consequência, AM ! CM e BM ! DM.
Portanto, o ponto M é ponto médio tanto da diagonal
AC como da diagonal BD.
Agora, vamos estudar os paralelogramos que recebem nomes especiais: retângulo, losango
e quadrado.
Retângulo
Além das propriedades dos paralelogramos, o retângulo apresenta uma propriedade carac-
terística: as suas diagonais são congruentes.
Decompondo o retângulo nos triângulos ABC e ABD, temos:
• AB ! AB (lado comum)
• !
ˆ
A
ˆ
B (ângulos retos)
• BC ! AD (lados opostos do retângulo)
Pelo caso LAL da congruência de triângulos, temos que !ABC
! !BAD. Como consequência: AC ! BD.
a
b
c
d
AB
CD
a b
cd
AB
CD
M
3
a
propriedade:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
AB
DC
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228. AMPLIANDO
Atividade complementar
Para sistematizar esse con-
teúdo, propor um exercício do
tipo Verdadeiro ou Falso. Pe-
dir que os alunos justifiquem
as afirmações que julgarem
falsas. A construção de argu-
mentos é uma habilidade im-
portante a ser desenvolvida.
• Associe V ou F a cada uma
das afirmações a seguir.
a) As diagonais de qualquer
retângulo são congruentes.
b) As diagonais de qual-
quer losango são congruentes.
c) As diagonais de um
quadrado são congruentes.
d) As diagonais de qual-
quer retângulo são perpendi-
culares entre si.
e) As diagonais de qual-
quer losango são perpendicu-
lares entre si.
f) As diagonais de um
quadrado são perpendiculares
entre si.
Resposta da atividade
a) V
b) F
c) V
d) F
e) V
f) V
6
CAPÍTULO
PROPRIEDADES DOS
QUADRILÁTEROS
Paralelogramos
Considere os quadriláteros seguintes:
AB
CD
AB // CD
AD // BC
Figura 3
P
M
N
O
MN // OP
PM // NO
Figura 4
QT
SR
RS // TQ
QR // ST
Figura 2
EF // GH
EH // FG
G H
EF
Todos esses quadriláteros apresentam, em comum, o fato de terem os lados opostos paralelos.
Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo.
Observe:
• O paralelogramo EFGH, da figura 2, que tem os quatro ângulos internos retos, é denominado
retângulo.
• O paralelogramo MNOP, da figura 3, que tem os quatro lados congruentes, é chamado
losango ou rombo.
• O paralelogramo RSTQ, da figura 4, que tem os quatro lados congruentes e os quatro
ângulos internos retos, é chamado quadrado. Os paralelogramos apresentam as seguintes
propriedades:
1
a
propriedade:
Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
• Como a e d são medidas de ângulos colaterais internos,
temos: a + d = 180° a = 180° _ d (1)
• Como c e d são medidas de ângulos colaterais inter-
nos, temos: c + d = 180° c = 180° _ d (2)
Comparando (1) e (2), temos: a = c !AC
!"
Usando o mesmo raciocínio, mostramos que !BD

.
AB
CD
a
b
c
d
Figura 1
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Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
2
a
propriedade:
Traçando a diagonal AC, obtemos os triângulos ABC e CDA, em que:
• a = c (ângulos alternos internos)
• AC ! AC (lado comum)
• b = d (ângulos alternos internos)
Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos,
temos que !ABC ! !CDA. Como consequência, AB ! CD
e BC ! DA.
Traçando as diagonais AC e BD, temos:
• a = c (ângulos alternos internos)
• AB ! CD (lados opostos)
• b = d (ângulos alternos internos).
Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos,
temos que !AMB ! !CMD.
Como consequência, AM ! CM e BM ! DM.
Portanto, o ponto M é ponto médio tanto da diagonal
AC como da diagonal BD.
Agora, vamos estudar os paralelogramos que recebem nomes especiais: retângulo, losango
e quadrado.
Retângulo
Além das propriedades dos paralelogramos, o retângulo apresenta uma propriedade carac-
terística: as suas diagonais são congruentes.
Decompondo o retângulo nos triângulos ABC e ABD, temos:
• AB ! AB (lado comum)
• !
ˆ
A
ˆ
B (ângulos retos)
• BC ! AD (lados opostos do retângulo)
Pelo caso LAL da congruência de triângulos, temos que !ABC
! !BAD. Como consequência: AC ! BD.
a
b
c
d
AB
CD
a b
cd
AB
CD
M
3
a
propriedade:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
AB
DC
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229. Losango
Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o losango apresenta uma propriedade
característica: as suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos
ângulos internos do losango.
Considerando a diagonal DB do losango a seguir, pelo caso LLL de congruência de triân-
gulos, temos que !ABD ! !CBD.
A
B
C
D
M
Podemos concluir também que esses triângulos são isósceles, portanto, os ângulos ADB e
ABD e os ângulos CDB e CBD são congruentes.
Como os triângulos são congruentes, concluímos que os ângulos ADB, ABD, CDB e CBD são
congruentes, assim, DB é bissetriz de åD e åB.
Analogamente, podemos concluir que AC é bissetriz de åA e åC.
Agora, vamos demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares. Considerando
os triângulos AMB e AMD, temos que:
• AB ! AD (lados do losango)
• BåAM ! DåAM (AC é bissetriz)
• AM é comum aos triângulos ABM e ADM.
Então, pelo caso LAL de congruência de triângulos, temos que !ABM ! !ADM. Logo,
os ângulos AMB e AMD também são congruentes e, como eles são suplementares, temos que
med(AåMB) ! med(AåMD) ! 90º. Portanto, AC e DB são perpendiculares (AC C DB).
Quadrado
O quadrado reúne as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos e
não serão demonstradas, pois são análogas às demonstrações anteriores.
DC
BA
M
AC ! BD
AC C BD
AC
!"!!
é bissetriz de
ˆ
A e CA
!"!!
é bissetriz de
ˆ
C.
BD
!"!
é bissetriz de ˆ
B e DB
!"!
é bissetriz de D
!.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Considere o paralelogramo da figura a
seguir. Nela, estão expressas as medidas
de dois ângulos opostos. Quais são
as medidas dos quatro ângulos desse
paralelogramo?
6x _ 21°
4x + 1°
2. Determine a medida x no paralelogramo
da figura a seguir. x = 47°
AB
CD
x
82°
35°
3. A figura seguinte é um retângulo.
3x + 2y
2x + y
De acordo com as indicações, escreva o
polinômio que indica:
a) o perímetro do retângulo. 10x + 6y
b) a área do retângulo. 6x
2
+ 7xy + 2y
2
4. Esta figura é um
quadrado.
De acordo com as
indicações, escreva
o polinômio que
indica:
a) o perímetro do quadrado. 20x _ 4y
b) a área do quadrado. 25x
2
_ 10xy + y
2
45°, 45°, 135° e 135°
5. Observando o losango ABCD, determine:
A
B
C
M
D
12
y
x1 6
20
a) as medidas x e y indicadas. x = 16 e y = 12
b) os perímetros dos seguintes triângulos:
*AMB, *ABC e *ABD. 48, 64 e 72
6. Sabendo que a figura a seguir é um qua-
drado, dê as medidas x e y indicadas.
x
y
7. Se as diagonais de um retângulo formam
um ângulo de 114° entre si, quais são as
medidas dos ângulos que as diagonais
formam com os lados do retângulo?
8. A medida de cada ângulo obtuso de
um losango é expressa por 2x + 5°, en-
quanto a medida de cada ângulo agudo
é expressa por x + 40°. Nessas condi-
ções, determine as medidas dos quatro
ângulos desse losango. 95°, 95°, 85° e 85°
9. Na figura seguinte, ABCDEF é um he-
xágono regular, e AFGH é um losango.
Determine as medidas x e y indicadas.
y
x
F
G
H
A
B
C
D
E
x = 90° e y = 45°
33° e 57°
x = 60° e y = 120°
5x _ y
5x _ y
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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230. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Neste bloco de questões,
os alunos deverão identificar
os paralelogramos e aplicar
as propriedades características
destes.
Para o trabalho com parale-
logramos como os retângulos,
losangos e quadrados, pode-
-se utilizar o tangram.
Pedir aos alunos que cons-
truam quadriláteros com vá-
rias peças do tangram.
Levantar questões como:
• É possível construir um
quadrado com 5 peças do tan-
gram? E com 6 peças? Respos-
tas: Sim; não.
• É possível construir um pa-
ralelogramo com 7 peças do
tangram? Resposta: Sim.
• É possível construir um tra-
pézio com 5 peças do tan-
gram? Resposta: Sim.
Resolver com os alunos a
questão 4, verificando se os
alunos utilizam produto notá-
vel ou a propriedade distribu-
tiva para o cálculo da área. Se
julgar necessário, aproveitar
o momento para recordar os
produtos notáveis quadrado
da soma e quadrado da dife-
rença de dois termos.
Para a questão 9, se ne-
cessário, retomar com os alu-
nos o cálculo da medida do
ângulo interno de um polígo-
no regular.
Losango
Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o losango apresenta uma propriedade
característica: as suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos
ângulos internos do losango.
Considerando a diagonal DB do losango a seguir, pelo caso LLL de congruência de triân-
gulos, temos que !ABD ! !CBD.
A
B
C
D
M
Podemos concluir também que esses triângulos são isósceles, portanto, os ângulos ADB e
ABD e os ângulos CDB e CBD são congruentes.
Como os triângulos são congruentes, concluímos que os ângulos ADB, ABD, CDB e CBD são
congruentes, assim, DB é bissetriz de åD e åB.
Analogamente, podemos concluir que AC é bissetriz de åA e åC.
Agora, vamos demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares. Considerando
os triângulos AMB e AMD, temos que:
• AB ! AD (lados do losango)
• BåAM ! DåAM (AC é bissetriz)
• AM é comum aos triângulos ABM e ADM.
Então, pelo caso LAL de congruência de triângulos, temos que !ABM ! !ADM. Logo,
os ângulos AMB e AMD também são congruentes e, como eles são suplementares, temos que
med(AåMB) ! med(AåMD) ! 90º. Portanto, AC e DB são perpendiculares (AC C DB).
Quadrado
O quadrado reúne as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos e
não serão demonstradas, pois são análogas às demonstrações anteriores.
DC
BA
M
AC ! BD
AC C BD
AC
!"!!
é bissetriz de
ˆ
A e CA
!"!!
é bissetriz de
ˆ
C.
BD
!"!
é bissetriz de ˆ
B e DB
!"!
é bissetriz de D
!.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Considere o paralelogramo da figura a
seguir. Nela, estão expressas as medidas
de dois ângulos opostos. Quais são
as medidas dos quatro ângulos desse
paralelogramo?
6x _ 21°
4x + 1°
2. Determine a medida x no paralelogramo
da figura a seguir. x = 47°
AB
CD
x
82°
35°
3. A figura seguinte é um retângulo.
3x + 2y
2x + y
De acordo com as indicações, escreva o
polinômio que indica:
a) o perímetro do retângulo. 10x + 6y
b) a área do retângulo. 6x
2
+ 7xy + 2y
2
4. Esta figura é um
quadrado.
De acordo com as
indicações, escreva
o polinômio que
indica:
a) o perímetro do quadrado. 20x _ 4y
b) a área do quadrado. 25x
2
_ 10xy + y
2
45°, 45°, 135° e 135°
5. Observando o losango ABCD, determine:
A
B
C
M
D
12
y
x1 6
20
a) as medidas x e y indicadas. x = 16 e y = 12
b) os perímetros dos seguintes triângulos:
*AMB, *ABC e *ABD. 48, 64 e 72
6. Sabendo que a figura a seguir é um qua-
drado, dê as medidas x e y indicadas.
x
y
7. Se as diagonais de um retângulo formam
um ângulo de 114° entre si, quais são as
medidas dos ângulos que as diagonais
formam com os lados do retângulo?
8. A medida de cada ângulo obtuso de
um losango é expressa por 2x + 5°, en-
quanto a medida de cada ângulo agudo
é expressa por x + 40°. Nessas condi-
ções, determine as medidas dos quatro
ângulos desse losango. 95°, 95°, 85° e 85°
9. Na figura seguinte, ABCDEF é um he-
xágono regular, e AFGH é um losango.
Determine as medidas x e y indicadas.
y
x
F
G
H
A
B
C
D
E
x = 90° e y = 45°
33° e 57°
x = 60° e y = 120°
5x _ y
5x _ y
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231. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Trapézios
Os trapézios compõem o
grupo dos quadriláteros for-
mados por apenas um par de
lados paralelos. Estudos mos-
tram que os egípcios já estu-
davam essa figura.
No Papiro de Rhind, do-
cumento egípcio datado de
aproximadamente 1650 a.C.,
encontramos a figura de um
trapézio (observe-o na parte
esquerda da imagem abaixo).
A base maior era designada
por um vocábulo cuja tra-
dução seria “boca”; a base
menor era a “truncadura”;
os lados não paralelos, as
“larguras”.
Os romanos denominavam
o trapézio de mensa, pois
achavam que a figura desse
quadrilátero lembrava uma
mesa.
Somente a partir de mea-
dos do século XVII é que o
termo trapézio foi adotado
definitivamente.
Entre os trapézios, devemos destacar dois casos particulares:
• Trapézio retângulo
É o trapézio no qual um dos lados não para-
lelos é perpendicular às bases.
O lado AD é perpendicular às bases.
• Trapézio isósceles
É o trapézio no qual os lados não paralelos são
congruentes.
Vamos apresentar duas propriedades dos tra-
pézios isósceles.
1
a
propriedade:
DC
BA
ab
dc a ! b
ˆ
A
ˆ
B!
c ! d ˆ
C
ˆ
D!
Em um trapézio isósceles,
os ângulos da mesma base são
congruentes.
AB
CD
P
Q
R
S
M
N
OP
altura
Trapézios
Observe os quadriláteros das figuras seguintes. Eles apresentam apenas dois lados paralelos.
Quadriláteros com essa característica são chamados trapézios.
Os lados paralelos são as bases do trapézio.
AB // CD.
AB é a base maior.
CD é a base menor.
PS // QR.
PS é a base maior.
QR é a base menor.
A distância entre as bases é a medida da
altura do trapézio.
DC
BA
AC 2 BD
2
a
propriedade:
Em um trapézio isósceles,
as diagonais são congruentes.
SR
QP
PS 2 QR
DC
BA
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
186
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D
MN
C
BA
M ponto médio do lado AD
N ponto médio do lado BC
MN base média do trapézio
MN // AB e MN // CD
Base média de um trapézio
O segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados não paralelos é denominado
base média do trapézio. A base média de um trapézio é um segmento paralelo às bases do trapézio.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um trapézio, três de seus ângulos
medem 78°, 102° e 98°. Determine a
medida do quarto ângulo. 82°
2. No trapézio isósceles, os ângulos da mesma
base são congruentes. Se em um trapézio
isósceles um dos ângulos mede 74°, deter-
mine as medidas dos outros três ângulos.
3. Determine a medida x indicada na figura.
118°
x
A B
CD
4. Determine as
medidas x e y
indicadas na
figura.
5. Em um trapézio isósceles, a medida de
cada ângulo agudo corresponde a
4
5
da
medida de cada ângulo obtuso. Nessas
condições, determine as medidas dos
quatro ângulos desse trapézio.
74°, 106° e 106°
x = 62°
x = 80º e y = 50º.
100°, 100°, 80° e 80°
6. A figura a seguir é um trapézio isósce-
les. Sabendo que AM está contido na
bissetriz do ângulo A, e BM está contido
na bissetriz do ângulo B, determine a
medida x indicada.
x
106° 106°
A B
CD
M
7. No trapézio ABCD, EF é a base média.
Determine a medida x da base maior AB.
12,9 cm
x
AB
E F
DC
16,7 cm
8. Em um trapézio, denominamos x a medida
da base maior e y, a medida da base
menor. Sabendo que a base média mede
25 cm e que x _ y = 14 cm, determine as
medidas das bases desse trapézio.
x = 106°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
20,5 cm
x = 32 cm e y = 18 cm
x + 30°x + y
70° 50°
A medida da base média de um trapézio é igual à metade da soma das medidas
das bases do trapézio.
()
() ()+
medMN
medABmedCD
2
!
Resoluções a partir da p. 289
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Fragmento do Papiro de
Rhind, de c. 1650 a.C.PRINT COLLECTOR/GETTY IMAGES
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232. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
O uso do vocabulário ade-
quado é importante na iden-
tificação dos quadriláteros.
Assim, nos exercícios, solici-
tar que os alunos destaquem
a respeito de qual trapézio a
questão se refere.
Atividades
As questões desse bloco
exploram reconhecimento de
trapézios, suas classificações
e aplicação das propriedades
dos trapézios.
Incentivar os alunos a repre-
sentar a situação descrita por
figuras, sempre que possível.
Entre os trapézios, devemos destacar dois casos particulares:
• Trapézio retângulo
É o trapézio no qual um dos lados não para-
lelos é perpendicular às bases.
O lado AD é perpendicular às bases.
• Trapézio isósceles
É o trapézio no qual os lados não paralelos são
congruentes.
Vamos apresentar duas propriedades dos tra-
pézios isósceles.
1
a
propriedade:
DC
BA
ab
dc a ! b
ˆ
A
ˆ
B!
c ! d ˆ
C
ˆ
D!
Em um trapézio isósceles,
os ângulos da mesma base são
congruentes.
AB
CD
P
Q
R
S
M
N
OP
altura
Trapézios
Observe os quadriláteros das figuras seguintes. Eles apresentam apenas dois lados paralelos.
Quadriláteros com essa característica são chamados trapézios.
Os lados paralelos são as bases do trapézio.
AB // CD.
AB é a base maior.
CD é a base menor.
PS // QR.
PS é a base maior.
QR é a base menor.
A distância entre as bases é a medida da
altura do trapézio.
DC
BA
AC 2 BD
2
a
propriedade:
Em um trapézio isósceles,
as diagonais são congruentes.
SR
QP
PS 2 QR
DC
BA
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D
MN
C
BA
M ponto médio do lado AD
N ponto médio do lado BC
MN base média do trapézio
MN // AB e MN // CD
Base média de um trapézio
O segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados não paralelos é denominado
base média do trapézio. A base média de um trapézio é um segmento paralelo às bases do trapézio.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em um trapézio, três de seus ângulos
medem 78°, 102° e 98°. Determine a
medida do quarto ângulo. 82°
2. No trapézio isósceles, os ângulos da mesma
base são congruentes. Se em um trapézio
isósceles um dos ângulos mede 74°, deter-
mine as medidas dos outros três ângulos.
3. Determine a medida x indicada na figura.
118°
x
A B
CD
4. Determine as
medidas x e y
indicadas na
figura.
5. Em um trapézio isósceles, a medida de
cada ângulo agudo corresponde a
4
5
da
medida de cada ângulo obtuso. Nessas
condições, determine as medidas dos
quatro ângulos desse trapézio.
74°, 106° e 106°
x = 62°
x = 80º e y = 50º.
100°, 100°, 80° e 80°
6. A figura a seguir é um trapézio isósce-
les. Sabendo que AM está contido na
bissetriz do ângulo A, e BM está contido
na bissetriz do ângulo B, determine a
medida x indicada.
x
106° 106°
A B
CD
M
7. No trapézio ABCD, EF é a base média.
Determine a medida x da base maior AB.
12,9 cm
x
AB
E F
DC
16,7 cm
8. Em um trapézio, denominamos x a medida
da base maior e y, a medida da base
menor. Sabendo que a base média mede
25 cm e que x _ y = 14 cm, determine as
medidas das bases desse trapézio.
x = 106°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
20,5 cm
x = 32 cm e y = 18 cm
x + 30°x + y
70° 50°
A medida da base média de um trapézio é igual à metade da soma das medidas
das bases do trapézio.
()
() ()+
medMN
medABmedCD
2
!
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233. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
As atividades desenvolvidas
ajudam a ampliar os conheci-
mentos sobre gráficos e inter-
pretação de tabelas.
Apresentar aos alunos ou-
tros gráficos de setores, mui-
to comuns na mídia escrita e
televisiva. Caso ache interes-
sante e seja possível, orien-
tá-los a pensar em um tema
de interesse comum que pos-
sibilite uma coleta de dados
para uma pesquisa e que pos-
sa gerar ações importantes e
informações pertinentes. Em
seguida, eles deverão organi-
zar os dados em uma tabela e
apresentá-los em um gráfico
de setores. Lembre a turma de
que é interessante pensar em
um tema cujos dados coleta-
dos possam ser representados
em um gráfico de setores, que
é o tema desta seção.
Comentar com os alunos
que também é possível cons-
truir um gráfico de setores
utilizando uma planilha ele-
trônica. Se julgar interessante,
levar os alunos ao laboratório
de informática para que, em
duplas, construam os gráficos
apresentados nesta seção.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
EDITORIA DE ARTE
População de cada região brasileira
(Censo 2010)
Centro-Oeste
Nordeste
Sudeste
Sul
Norte
42,1%
27,8%
14,4%
7,4%
8,3%
Observe o gráfico de setores representado:
Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação
à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE.
Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de
190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa
e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe.
Região Sudeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
42,1% x
! ⇒x
42,1190755799
100
x80308191!
"
Região Nordeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
27,8% x
! ⇒x
27,8190755799
100
x53030112!
"
Informações obtidas
em: IBGE. Sinopse do
Censo Demográfico
2010. Disponível em:
<www.censo2010.ibge.
gov.br/sinopse/index.
php?dados=5&uf=00>.
Acesso em: 19 out. 2018.
Interpretando um gráfico de setores
Responda às questões no caderno.
1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre-
senta? Região Sudeste. 42,1%.
2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem?
3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê?
Região Centro-Oeste. 7,4%.
Resoluções a partir da p. 289
Não, porque não temos a informação da população total.
188
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População de cada região brasileira (Censo 2010)
35%
15%
20%
30%
Basquete
Futebol
Tênis
Vôlei
Preferência esportiva dos alunos da escola X
Assim, podemos dizer que a
região Sudeste tem aproximada-
mente 80 308 191 habitantes.
Da mesma maneira, conse-
guimos encontrar a população
aproximada de cada região bra-
sileira, a partir da porcentagem
apresentada no gráfico de setores.
Esta tabela foi elaborada com os
dados encontrados.
Região Sul:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
14,4% x
! ⇒x
14,4190755799
100
x27468835!
"
Região Norte:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
8,3% x
! ⇒x
8,3190755799
100
x15832732!
"
Região Centro-Oeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
7,4% x
! ⇒x
7,4190755799
100
x14115929!
"
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Responda às questões no caderno.
4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva
dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos,
construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu
cada um deles.
a) Qual o esporte favorito
dos alunos da escola X?
b) Quantos alunos respon-
deram que preferem o
basquete? 108
c) Você acha melhor
analisar os dados repre-
sentados em um gráfico
de setores ou em uma
tabela?
Resposta pessoal.
Futebol.
EsportePercentual (%)
Número de
alunos
Basquete30% 108
Futebol 35% 126
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
Total 100% 360
Fonte: Alunos da escola X.
EDITORIA DE ARTE
Preferência esportiva dos alunos
da escola X
1. Resposta:
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Região
Porcentagem
(%)
Número de
habitantes
Norte 8,3 15 832 732
Nordeste 27,8 53 030 112
Centro-Oeste 7,4 14 115 929
Sudeste 42,1 80 308 191
Sul 14,4 27 468 835
Total 100 190 755 799
Fonte: Alunos da escola x.
189
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234. TRATAMENTO DA INFORMAÇão
EDITORIA DE ARTE
População de cada região brasileira
(Censo 2010)
Centro-Oeste
Nordeste
Sudeste
Sul
Norte
42,1%
27,8%
14,4%
7,4%
8,3%
Observe o gráfico de setores representado:
Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação
à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE.
Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de
190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa
e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe.
Região Sudeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
42,1% x
! ⇒x
42,1190755799
100
x80308191!
"
Região Nordeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
27,8% x
! ⇒x
27,8190755799
100
x53030112!
"
Informações obtidas
em: IBGE. Sinopse do
Censo Demográfico
2010. Disponível em:
<www.censo2010.ibge.
gov.br/sinopse/index.
php?dados=5&uf=00>.
Acesso em: 19 out. 2018.
Interpretando um gráfico de setores
Responda às questões no caderno.
1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a repre-
senta? Região Sudeste. 42,1%.
2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem?
3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê?
Região Centro-Oeste. 7,4%.
Resoluções a partir da p. 289
Não, porque não temos a informação da população total.
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População de cada região brasileira (Censo 2010)
35%
15%
20%
30%
Basquete
Futebol
Tênis
Vôlei
Preferência esportiva dos alunos da escola X
Assim, podemos dizer que a
região Sudeste tem aproximada-
mente 80 308 191 habitantes.
Da mesma maneira, conse-
guimos encontrar a população
aproximada de cada região bra-
sileira, a partir da porcentagem
apresentada no gráfico de setores.
Esta tabela foi elaborada com os
dados encontrados.
Região Sul:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
14,4% x
! ⇒x
14,4190755799
100
x27468835!
"
Região Norte:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
8,3% x
! ⇒x
8,3190755799
100
x15832732!
"
Região Centro-Oeste:
−
−
PorcentagemNúmerodehabitantes
100% 190755799
7,4% x
! ⇒x
7,4190755799
100
x14115929!
"
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Responda às questões no caderno.
4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva
dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos,
construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu
cada um deles.
a) Qual o esporte favorito
dos alunos da escola X?
b) Quantos alunos respon-
deram que preferem o
basquete? 108
c) Você acha melhor
analisar os dados repre-
sentados em um gráfico
de setores ou em uma
tabela?
Resposta pessoal.
Futebol.
EsportePercentual (%)
Número de
alunos
Basquete30% 108
Futebol 35% 126
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
Total 100% 360
Fonte: Alunos da escola X.
EDITORIA DE ARTE
Preferência esportiva dos alunos
da escola X
1. Resposta:
Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.
Região
Porcentagem
(%)
Número de
habitantes
Norte 8,3 15 832 732
Nordeste 27,8 53 030 112
Centro-Oeste 7,4 14 115 929
Sudeste 42,1 80 308 191
Sul 14,4 27 468 835
Total 100 190 755 799
Fonte: Alunos da escola x.
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235. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Transformações no plano
Os alunos já viram o con-
teúdo de transformações no
plano no 7
o
ano, então, apro-
veitar este momento para
retomar os conceitos e tirar
eventuais dúvidas.
Caso deseje que os alunos
realizem as situações apre-
sentadas nestas páginas, pe-
dir a eles que providenciem
régua, compasso e o papel
quadriculado.
7
CAPÍTULO
TRANSFORMAÇÕES
NO PLANO
Já vimos que, em polígonos e em outras figuras geométricas, podem ser apli-
cadas transformações geométricas. As figuras obtidas por essas transformações
são imagens do original e podem ter suas medidas dos lados alteradas, assim como
sua posição no plano.
B
C
B’
C’
A
H
E
G
F
D
A’
H’
E’
G’
F’
D’
I II
A
E
u
D
C
B A’
E’
D’C’
B’
I
II
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Reflexão
Considere a figura representada a seguir. Podemos dizer que
II é a reflexão de
I em relação à linha vermelha.
Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse reflexo se dá em
relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão ou simetria axial
e a linha é seu eixo de reflexão ou eixo de simetria.
A translação é a transformação no plano que desloca todos
os pontos de uma figura na mesma direção e sentido, preservando
suas dimensões originais.
Translação
O pentágono regular
I foi transladado na direção e
sentido do vetor u, gerando o pentágono
II. Para transladar o
pentágono, deslocamos os vértices A, B, C, D e E dois quadradi-
nhos para a direita e, em seguida, dois quadradinhos para baixo,
obtendo os pontos A’, B’, C’, D’ e E’. Observe a figura ao lado:
Transladar: transferir
para outro lugar.
SAIBA QUE
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90º
O I
II
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Rotação
Considere a figura a seguir. Nela,
I foi rotacionada em
torno do ponto O, em 90° no sentido anti-horário, obtendo-se
a figura
II.
Para construir a rotação de uma figura, é preciso definir o
ponto em torno do qual essa figura girará, ou seja, um centro
de rotação. Também é preciso definir um ângulo e um sentido de
rotação.
Abaixo temos a rotação do triângulo IJK, construído passo a
passo, em torno do ponto O, com um ângulo de rotação de 45°,
no sentido horário.
Observe como cada um dos vértices do triângulo foi unido ao centro de rotação e
definiu, de acordo com a medida do ângulo de rotação e o sentido definido, os vértices
da imagem I’J’K’.
A transformação geométrica rotação consiste em girar determinada
figura, em torno de um ponto do plano, mantendo o ângulo de deslocamento.
Na figura acima, qual o ponto fixo desta rotação?
pense e responda
O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro de rotação.
I’
1
J
J’
1
K’
1
K
I
45°
O centro de rotação também pode ser um dos pontos da
figura. Agora, vamos rotacionar o triângulo IJK, considerando o
vértice K como centro de rotação. Faremos um giro de 45° no
sentido horário:
I J I J I J I
I’
I’ I’
J’
J’
K’ K’ K’
K’
KKKK45º 45º 45º 45ºOOOO
J
191
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190
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236. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Aproveitar o contexto e
questionar os alunos sobre
onde podemos ver exemplos
de transformações do plano
em nosso cotidiano. Alguns
exemplos que os alunos po-
dem mencionar: obras de arte,
mosaicos, ladrilhos e pisos, lo-
gomarcas, entre outros.
7
CAPÍTULO
TRANSFORMAÇÕES
NO PLANO
Já vimos que, em polígonos e em outras figuras geométricas, podem ser apli-
cadas transformações geométricas. As figuras obtidas por essas transformações
são imagens do original e podem ter suas medidas dos lados alteradas, assim como
sua posição no plano.
B
C
B’
C’
A
H
E
G
F
D
A’
H’
E’
G’
F’
D’
I II
A
E
u
D
C
B A’
E’
D’C’
B’
I
II
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Reflexão
Considere a figura representada a seguir. Podemos dizer que
II é a reflexão de
I em relação à linha vermelha.
Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse reflexo se dá em
relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão ou simetria axial
e a linha é seu eixo de reflexão ou eixo de simetria.
A translação é a transformação no plano que desloca todos
os pontos de uma figura na mesma direção e sentido, preservando
suas dimensões originais.
Translação
O pentágono regular
I foi transladado na direção e
sentido do vetor u, gerando o pentágono
II. Para transladar o
pentágono, deslocamos os vértices A, B, C, D e E dois quadradi-
nhos para a direita e, em seguida, dois quadradinhos para baixo,
obtendo os pontos A’, B’, C’, D’ e E’. Observe a figura ao lado:
Transladar: transferir
para outro lugar.
SAIBA QUE
190
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90º
O I
II
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Rotação
Considere a figura a seguir. Nela,
I foi rotacionada em
torno do ponto O, em 90° no sentido anti-horário, obtendo-se
a figura
II.
Para construir a rotação de uma figura, é preciso definir o
ponto em torno do qual essa figura girará, ou seja, um centro
de rotação. Também é preciso definir um ângulo e um sentido de
rotação.
Abaixo temos a rotação do triângulo IJK, construído passo a
passo, em torno do ponto O, com um ângulo de rotação de 45°,
no sentido horário.
Observe como cada um dos vértices do triângulo foi unido ao centro de rotação e
definiu, de acordo com a medida do ângulo de rotação e o sentido definido, os vértices
da imagem I’J’K’.
A transformação geométrica rotação consiste em girar determinada
figura, em torno de um ponto do plano, mantendo o ângulo de deslocamento.
Na figura acima, qual o ponto fixo desta rotação?
pense e responda
O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro de rotação.
I’
1
J
J’
1
K’
1
K
I
45°
O centro de rotação também pode ser um dos pontos da
figura. Agora, vamos rotacionar o triângulo IJK, considerando o
vértice K como centro de rotação. Faremos um giro de 45° no
sentido horário:
I J I J I J I
I’
I’ I’
J’
J’
K’ K’ K’
K’
KKKK45º 45º 45º 45ºOOOO
J
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237. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Composição de
transformações
Verificar se os alunos com-
preendem que a composição
de transformações são duas
ou mais transformações fei-
tas em seguida. É importante
que eles percebam que não
é uma nova transformação,
apenas uma composição das
já conhecidas.
Salientar também que tendo
a figura inicial e a final, é pos-
sível que mais de uma compo-
sição de transformações resulte
naquela imagem final.
Se julgar oportuno, reunir
os alunos em duplas, distribuir
papel quadriculado e solicitar
que os alunos tentem repro-
duzir as figuras presentes no
texto. Esse exercício faz com
que compreendam as etapas
necessárias para a obtenção
da figura final.
Composição de transformações
Algumas figuras podem ser obtidas por meio da composição de transformações geométricas
no plano. Vejamos alguns exemplos.
1 Observe a figura.
A
B B’
C’
A’
C
Figura final.Figura inicial.
O triângulo ABC (Figura inicial) passou por duas transformações geométricas para chegar ao
triângulo A'B'C' (Figura final). Acompanhe o passo a passo:
1
o
) Reflexão em relação à reta r. 2
o
) Rotação de 45° no sentido anti horário,
com centro de rotação o vértice A’.
A
B
CA ’
B
1
C
1
Figura inicial.
r
A
B
CA ’B’
C’
B
1
C
1
Figura inicial.
r
Figura final.
45°
2 A figura inicial do peixe a seguir sofreu uma translação horizontal de 3 unidades para a direita
e em seguida uma rotação de 180° em relação ao ponto O.
180°
O
Figura inicial.
Ju K
Figura final.
Responda à questão no caderno.
Na figura do peixe, é possível chegar à figura final fazendo outros tipos de composição
de transformações? Resposta no final do livro.
pense e responda
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ATIVIDADES
1. Copie o polígono
ABCDE em uma
folha de papel
quadriculado
e, em seguida,
construa sua
reflexão em
relação à reta r.
2. Construa, em uma folha de papel quadri-
culado, um plano cartesiano e marque os
pares ordenados A (3, 2), B (7, 2) e C (5, 5).
Em seguida, construa o polígono A’B’C’,
refletido em relação ao eixo das orde-
nadas (eixo y).
a) Quais as coordenadas dos pontos A’, B’
e C’? A’(-3, 2), B’(-7, 2) e C’(-5, 5)
b) O que você observa com relação às co-
ordenadas dos pontos A’, B’ e C’?
3. Os pentágonos ABCDE E A’B’C’D’E’ são
simétricos em relação a uma reta t. Copie
os pentágonos em uma folha de papel
quadriculado e desenhe a reta t.
AE
D
C
B
B’A’
C’
D’E’
4. Copie as figuras a seguir em uma folha
de papel quadriculado. Em seguida, faça
a translação de cada uma delas, obede-
cendo o vetor dado.
a)
u
Resposta no final do livro
Resposta no final do livro
Resposta no
final do livro
r
E
AB
C
D
b)
u
DESAFIO
5. Copie a figura em
uma folha de papel
quadriculado e,
em seguida, com-
plete sua rotação
em torno do ponto
O no sentido anti-horário, de um ângulo
de 90
!
. Use régua e jogo de esquadros.
6. Escher (1898-1972), artista holandês de
grande renome, utilizou duas transforma-
ções no plano para compor a obra a seguir.
Pássaros/Peixes (N
o
22), de
Maurits Cornelis Escher, 1941.
Quais transformações você identifica no
quadro?
7. Em uma folha de papel quadriculado,
construa um plano cartesiano e uma
figura geométrica qualquer. Em seguida,
aplique uma reflexão em relação ao eixo
das ordenadas, seguida de uma translação
vertical de 3 unidades. Resposta pessoal.
90°
A
B F
F’
B’
A’
O
Resposta no final do livro
M.C. ESCHER'S BIRD/FISH (N
O
22) © 2018 THE M.C.
ESCHER COMPANY. THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED. WWW.MESCHER.COM
Espera-se que os alunos identifiquem
a translação.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
Resposta no final do livro
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238. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas
pretendem que o aluno possa,
utilizando seus instrumentos
geométricos, trabalhar com as
transformações geométricas
no plano, percebendo as dife-
renças na construção de cada
uma delas.
O uso de softwares de geo-
metria dinâmica pode auxiliar
na construção das isometrias.
Mas, é importante que essa
etapa de construção, usando
papel quadriculado, régua,
compasso e esquadros, seja
trabalhada em sala de aula.
O artista holandês M.C.
Escher trabalhou muito com
isometrias em suas obras de
mosaicos.
Caso julgue interessante,
apresentar algumas obras do
artista, disponíveis em seu site
oficial: <http://livro.pro/c4njps>
(site em inglês). Acesso em:
5 nov. 2018.
Para que os alunos com-
preendam melhor a rotação
de uma figura em torno de
um ponto, sugerimos a apre-
sentação de um simulador de
rotação, desenvolvido pela
Universidade Federal do Rio de
Janeiro (UFRJ). Nele, o aluno
pode manipular alguns pontos
e construir diversas figuras.
Disponível em: <http://livro.
pro/jqwwmu>. Acesso em: 5
nov. 2018.
Resolução do Desafio
Os alunos devem realizar
a rotação da figura em torno
do ponto O por um ângulo de
90°. A figura final será a re-
produzida a seguir.
A
BF
F’
A’
B’
O
Composição de transformações
Algumas figuras podem ser obtidas por meio da composição de transformações geométricas
no plano. Vejamos alguns exemplos.
1 Observe a figura.
A
B B’
C’
A’
C
Figura final.Figura inicial.
O triângulo ABC (Figura inicial) passou por duas transformações geométricas para chegar ao
triângulo A'B'C' (Figura final). Acompanhe o passo a passo:
1
o
) Reflexão em relação à reta r. 2
o
) Rotação de 45° no sentido anti horário,
com centro de rotação o vértice A’.
A
B
CA ’
B
1
C
1
Figura inicial.
r
A
B
CA ’B’
C’
B
1
C
1
Figura inicial.
r
Figura final.
45°
2 A figura inicial do peixe a seguir sofreu uma translação horizontal de 3 unidades para a direita
e em seguida uma rotação de 180° em relação ao ponto O.
180°
O
Figura inicial.
Ju K
Figura final.
Responda à questão no caderno.
Na figura do peixe, é possível chegar à figura final fazendo outros tipos de composição
de transformações? Resposta no final do livro.
pense e responda
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ATIVIDADES
1. Copie o polígono
ABCDE em uma
folha de papel
quadriculado
e, em seguida,
construa sua
reflexão em
relação à reta r.
2. Construa, em uma folha de papel quadri-
culado, um plano cartesiano e marque os
pares ordenados A (3, 2), B (7, 2) e C (5, 5).
Em seguida, construa o polígono A’B’C’,
refletido em relação ao eixo das orde-
nadas (eixo y).
a) Quais as coordenadas dos pontos A’, B’
e C’? A’(-3, 2), B’(-7, 2) e C’(-5, 5)
b) O que você observa com relação às co-
ordenadas dos pontos A’, B’ e C’?
3. Os pentágonos ABCDE E A’B’C’D’E’ são
simétricos em relação a uma reta t. Copie
os pentágonos em uma folha de papel
quadriculado e desenhe a reta t.
AE
D
C
B
B’A’
C’
D’E’
4. Copie as figuras a seguir em uma folha
de papel quadriculado. Em seguida, faça
a translação de cada uma delas, obede-
cendo o vetor dado.
a)
u
Resposta no final do livro
Resposta no final do livro
Resposta no
final do livro
r
E
AB
C
D
b)
u
DESAFIO
5. Copie a figura em
uma folha de papel
quadriculado e,
em seguida, com-
plete sua rotação
em torno do ponto
O no sentido anti-horário, de um ângulo
de 90
!
. Use régua e jogo de esquadros.
6. Escher (1898-1972), artista holandês de
grande renome, utilizou duas transforma-
ções no plano para compor a obra a seguir.
Pássaros/Peixes (N
o
22), de
Maurits Cornelis Escher, 1941.
Quais transformações você identifica no
quadro?
7. Em uma folha de papel quadriculado,
construa um plano cartesiano e uma
figura geométrica qualquer. Em seguida,
aplique uma reflexão em relação ao eixo
das ordenadas, seguida de uma translação
vertical de 3 unidades. Resposta pessoal.
90°
A
B F
F’
B’
A’
O
Resposta no final do livro
M.C. ESCHER'S BIRD/FISH (N
O
22) © 2018 THE M.C.
ESCHER COMPANY. THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED. WWW.MESCHER.COM
Espera-se que os alunos identifiquem
a translação.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Resposta no final do livro
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239. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tecnologias
Reservar com antecedência
computadores para os alunos.
O ideal é que seja em quanti-
dade suficiente para que eles
trabalhem em duplas.
É importante salientar que
a escolha do software de geo-
metria dinâmica foi feita, entre
vários possíveis, por ele ser gra-
tuito e de fácil utilização.
O GeoGebra, além das fer-
ramentas geométricas, também
permite a análise algébrica em
diversas situações, como no cál-
culo de áreas, perímetros etc.
Tecnologias
Depois do estudo das transformações geométricas no plano, vamos usar ferramentas do
software Geogebra para fazer composições envolvendo simetrias de reflexão, translação e rotação.
Transformações no plano
Talita e Fernando estavam usando o software de geometria dinâmica para estudar trans-
formações no plano. Eles receberam um desafio para compor um padrão geométrico usando
as simetrias de reflexão, translação e rotação. Nesse desafio, eles poderiam usar apenas as
seguintes ferramentas:
Mover Reta
Reflexão em relação a uma reta Ponto
Polígono Translação por um vetor
Vetor Intersecção entre dois objetos
Rotação em torno de um ponto
Além disso, eles poderiam usar a ferramenta apenas duas vezes. Observe algumas etapas
das construções realizadas por Talita e Fernando.
1º) Inicialmente eles construíram dois triângulos. Em seguida, os triângulos BCD e CEF foram
refletidos em relação ao eixo y. Depois, refletiram os triângulos CEF e F’E’C
1
’em relação ao eixo x.
ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018
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3º) Em seguida, foi realizada uma translação do triângulo JKI, obtendo o triângulo J’K’I’. Para
finalizar, Talita refletiu os triângulos JKI e J’K’I’ em relação ao eixo x, obtendo o padrão geométrico
que desejava.
2º) Foi realizada uma translação do triângulo BCD, obtendo o triângulo B
1
’ C
3
’D
1
’. Em seguida,
foi feita uma rotação desse último triângulo, de centro em A e 90° no sentido horário.
1 No Geogebra, construa o padrão geométrico apresentado anteriormente. Você pode seguir
o passo a passo que Talita e Fernando usaram, ou realizar as transformações geométricas
em outra ordem. Resposta pessoal.
2 Depois de construído o padrão geométrico, usando a ferramenta clique sobre um vértice
de um dos primeiros polígonos construídos e arraste. Veja a seguir um exemplo.
Resposta p ossível: As alterações realizadas nos primeiros polígonos constru-
ídos acontecem nos demais polígonos obtidos como transformação no plano
dos primeiros.
O que você verificou?
ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018
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240. O uso do software para rea-
lizar as transformações vistas
anteriormente auxilia o aluno
no processo de compreensão
dos conceitos.
Após a realização das ati-
vidades propostas, incentivar
os alunos a testarem outras
composições de transforma-
ções com outras figuras. Desse
modo, o raciocínio e o desen-
volvimento de novas habilida-
des são estimulados.
Tecnologias
Depois do estudo das transformações geométricas no plano, vamos usar ferramentas do
software Geogebra para fazer composições envolvendo simetrias de reflexão, translação e rotação.
Transformações no plano
Talita e Fernando estavam usando o software de geometria dinâmica para estudar trans-
formações no plano. Eles receberam um desafio para compor um padrão geométrico usando
as simetrias de reflexão, translação e rotação. Nesse desafio, eles poderiam usar apenas as
seguintes ferramentas:
Mover Reta
Reflexão em relação a uma reta Ponto
Polígono Translação por um vetor
Vetor Intersecção entre dois objetos
Rotação em torno de um ponto
Além disso, eles poderiam usar a ferramenta apenas duas vezes. Observe algumas etapas
das construções realizadas por Talita e Fernando.
1º) Inicialmente eles construíram dois triângulos. Em seguida, os triângulos BCD e CEF foram
refletidos em relação ao eixo y. Depois, refletiram os triângulos CEF e F’E’C
1
’em relação ao eixo x.
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3º) Em seguida, foi realizada uma translação do triângulo JKI, obtendo o triângulo J’K’I’. Para
finalizar, Talita refletiu os triângulos JKI e J’K’I’ em relação ao eixo x, obtendo o padrão geométrico
que desejava.
2º) Foi realizada uma translação do triângulo BCD, obtendo o triângulo B
1
’ C
3
’D
1
’. Em seguida,
foi feita uma rotação desse último triângulo, de centro em A e 90° no sentido horário.
1 No Geogebra, construa o padrão geométrico apresentado anteriormente. Você pode seguir
o passo a passo que Talita e Fernando usaram, ou realizar as transformações geométricas
em outra ordem. Resposta pessoal.
2 Depois de construído o padrão geométrico, usando a ferramenta clique sobre um vértice
de um dos primeiros polígonos construídos e arraste. Veja a seguir um exemplo.
Resposta p ossível: As alterações realizadas nos primeiros polígonos constru-
ídos acontecem nos demais polígonos obtidos como transformação no plano
dos primeiros.
O que você verificou?
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241. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
Orientar os alunos a reto-
mar no livro os conceitos e as
propriedades que precisarem
lembrar para a realização das
atividades. Fazer a correção co-
letivamente, retomando expli-
cações na lousa, quando julgar
necessário.
Responda às questões no caderno.
1. Calcule quantas diagonais possui a re-
presentação do polígono ao lado.
a) 22
b) 34
c) 44
d) 55
e) 66
2. (Saresp-SP) Seis cidades estão localizadas
nos vértices de um hexágono regular,
como mostra a figura. Há um projeto
para interligá-las, duas a duas, por meio
de estradas. Algumas dessas estradas
correspondem aos lados do polígono, e
as demais correspondem às diagonais.
Desse modo, o número de estradas a
serem construídas é:
a) 9
b) 15
c) 21
d) 24
e) 27
3. Quantos lados tem o polígono cuja
soma das medidas dos ângulos internos
é 2 160º?
a) 14
b) 16
c) 17
d) 18
e) 20
4. Esta figura é a representação de um hexá-
gono não regular. O valor de x é:
a) 105°
b) 100°
c) 110°
d) 120°
e) 108°
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa b.
5. Em um polígono regular, a medida de
cada ângulo externo é 24°. Esse polígono
tem:
a) 90 diagonais.
b) 105 diagonais.
c) 119 diagonais.
d) 135 diagonais.
e) 170 diagonais.
6. Um retângulo e um quadrado têm o
mesmo perímetro. No retângulo, um
dos lados mede 15 cm, e a medida do
outro corresponde a 60% dessa medida.
O lado do quadrado mede:
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 20 cm
7. No losango ABCD a seguir, temos que:
A C
B
M
D
• med (AM) = 40 cm
• med (MC) = x + 3y
• med (BM) = x + y
• med (MD) = 30 cm
Qual é o valor da expressão x _ y?
a) 16 cm
b) 18 cm
c) 20 cm
d) 25 cm
e) 30 cm
8. Na figura a seguir, o triângulo MBN é
isósceles (BM ! BN). Qual é, em graus,
o valor da medida y?
a) 12°
b) 14°
c) 15°
d) 18°
e) 20°
Alternativa a.
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa d.
D
N
M
B
C
A
x
y
2x
3x
2
x
2
A
B
C
E
D
FG
H
I
J
K
AB
E
FC
D
160°
160°
xx
xx
RETOMANDO O QUE APRENDEU
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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9. Na figura abaixo, ABCD é um quadri-
látero qualquer e CD ! CB. Então, a
medida y do ângulo CBD é.
a) 31°
b) 32°
c) 33°
d) 34°
e) 35°
1 0 . (OBM)
AB
DC
E
x
a) A figura ABCD é um quadrado e CE ! CB.
Determine a medida do ângulo x.
b) Resolva a equação
!
!"
3x
x4
2
x
3..
Alternativa c.
72°
C
x
y
21°
21°
B
DA
x = 22°30’
x = _
4
5
11. (OBM) Na figura, ABCDE é um pentá-
gono regular, CDFG é um quadrado e
DFH é um triângulo equilátero. O valor
do ângulo b é: Alternativa c.
a) 30°
b) 36°
c) 39°
d) 45°
e) 60°
12. (Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor
em graus de a + b é: Alternativa d.
40º
a
b
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
Nesta Unidade, estudamos os polígonos e, em especial, os quadriláteros. Nosso estudo
sobre polígonos foi dividido em: elementos de um polígono, nomenclatura utilizada, dia-
gonais de um polígono, relação entre os ângulos internos e externos de um polígono, soma
das medidas dos ângulos internos de um triângulo, soma das medidas dos ângulos internos
de um polígono convexo, soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
Com relação aos quadriláteros, foram abordados: as propriedades de um quadrilátero, os
paralelogramos, os trapézios e a base média de um trapézio.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no
caderno às questões a seguir.
• Na abertura da Unidade, citamos que a quantidade de pixels de uma foto é muito
importante para a ampliação dela. Faça uma pesquisa e verifique qual a relação
entre a quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia.
• Qual é a relação entre o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele de
um polígono regular? A soma das medidas desses ângulos é igual a 180°.
• Que características tem um polígono regular?
• Quais quadriláteros estudados são paralelogramos? O retângulo, o losango e o quadrado.
• Que tipos de trapézios foram estudados? Trapézio isósceles e trapézio retângulo.
• Que transformações geométricas no plano você conheceu?
Um polígono regular tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes
entre si (o que acarreta que também todos os ângulos externos são congruentes entre si).
Reflexão, translação e rotação.
UM NOVO OLHAR
AB
FH
EC
G
D
!
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Espera-se que o aluno encontre em sua pesquisa que a relação entre a
quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia (conhecido como
mito do megapixel) não é o que importa. O mais importante para se
ter uma foto de qualidade são as lentes e os sensores da máquina.
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242. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento des-
ta Unidade poderão permitir
reflexões sobre as aprendiza-
gens individuais, além de uma
breve retomada dos conteú-
dos apresentados. É importan-
te que os alunos respondam
individualmente a cada uma
das questões para que, des-
sa forma, possam perceber o
que aprenderam, as dúvidas
que ainda tenham e retomar
alguns pontos que julguem
necessários. Ajudá-los, caso
isso ocorra.
A primeira questão busca
fazer uma revisita à abertura
desta Unidade, retomando a
relação entre a quantidade de
pixels e a resolução de uma
fotografia.
A segunda questão aborda
a relação entre o ângulo in-
terno e o ângulo externo ad-
jacente a ele de um polígono
qualquer.
A terceira questão busca le-
var os alunos a refletir sobre as
características que fazem um
polígono receber a nomen-
clatura de polígono regular
(todos os lados congruentes
entre si e todos os ângulos in-
ternos congruentes entre si).
A quarta questão aborda
os três tipos de paralelogra-
mos que recebem nomes es-
peciais, levando a observação
da relação mais intrínseca
existente entre eles, pois todo
quadrado também pode ser
classificado como losango ou
retângulo, sendo a recíproca
não verdadeira.
A quinta questão retoma os
tipos de trapézios estudados
(ressaltamos que os trapézios
escalenos não são menciona-
dos, tratamos apenas dos ca-
sos especiais de trapézios).
A última questão permite
que os alunos se lembrem das
isometrias estudadas na Uni-
dade: reflexão, translação e
rotação.
Responda às questões no caderno.
1. Calcule quantas diagonais possui a re-
presentação do polígono ao lado.
a) 22
b) 34
c) 44
d) 55
e) 66
2. (Saresp-SP) Seis cidades estão localizadas
nos vértices de um hexágono regular,
como mostra a figura. Há um projeto
para interligá-las, duas a duas, por meio
de estradas. Algumas dessas estradas
correspondem aos lados do polígono, e
as demais correspondem às diagonais.
Desse modo, o número de estradas a
serem construídas é:
a) 9
b) 15
c) 21
d) 24
e) 27
3. Quantos lados tem o polígono cuja
soma das medidas dos ângulos internos
é 2 160º?
a) 14
b) 16
c) 17
d) 18
e) 20
4. Esta figura é a representação de um hexá-
gono não regular. O valor de x é:
a) 105°
b) 100°
c) 110°
d) 120°
e) 108°
Alternativa c.
Alternativa b.
Alternativa a.
Alternativa b.
5. Em um polígono regular, a medida de
cada ângulo externo é 24°. Esse polígono
tem:
a) 90 diagonais.
b) 105 diagonais.
c) 119 diagonais.
d) 135 diagonais.
e) 170 diagonais.
6. Um retângulo e um quadrado têm o
mesmo perímetro. No retângulo, um
dos lados mede 15 cm, e a medida do
outro corresponde a 60% dessa medida.
O lado do quadrado mede:
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 20 cm
7. No losango ABCD a seguir, temos que:
A C
B
M
D
• med (AM) = 40 cm
• med (MC) = x + 3y
• med (BM) = x + y
• med (MD) = 30 cm
Qual é o valor da expressão x _ y?
a) 16 cm
b) 18 cm
c) 20 cm
d) 25 cm
e) 30 cm
8. Na figura a seguir, o triângulo MBN é
isósceles (BM ! BN). Qual é, em graus,
o valor da medida y?
a) 12°
b) 14°
c) 15°
d) 18°
e) 20°
Alternativa a.
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa d.
D
N
M
B
C
A
x
y
2x
3x
2
x
2
A
B
C
E
D
FG
H
I
J
K
AB
E
FC
D
160°
160°
xx
xx
RETOMANDO O QUE APRENDEU
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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9. Na figura abaixo, ABCD é um quadri-
látero qualquer e CD ! CB. Então, a
medida y do ângulo CBD é.
a) 31°
b) 32°
c) 33°
d) 34°
e) 35°
1 0 . (OBM)
AB
DC
E
x
a) A figura ABCD é um quadrado e CE ! CB.
Determine a medida do ângulo x.
b) Resolva a equação
!
!"
3x
x4
2
x
3..
Alternativa c.
72°
C
x
y
21°
21°
B
DA
x = 22°30’
x = _
4
5
11. (OBM) Na figura, ABCDE é um pentá-
gono regular, CDFG é um quadrado e
DFH é um triângulo equilátero. O valor
do ângulo b é: Alternativa c.
a) 30°
b) 36°
c) 39°
d) 45°
e) 60°
12. (Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor
em graus de a + b é: Alternativa d.
40º
a
b
a) 50
b) 90
c) 120
d) 130
e) 220
Nesta Unidade, estudamos os polígonos e, em especial, os quadriláteros. Nosso estudo
sobre polígonos foi dividido em: elementos de um polígono, nomenclatura utilizada, dia-
gonais de um polígono, relação entre os ângulos internos e externos de um polígono, soma
das medidas dos ângulos internos de um triângulo, soma das medidas dos ângulos internos
de um polígono convexo, soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.
Com relação aos quadriláteros, foram abordados: as propriedades de um quadrilátero, os
paralelogramos, os trapézios e a base média de um trapézio.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no
caderno às questões a seguir.
• Na abertura da Unidade, citamos que a quantidade de pixels de uma foto é muito
importante para a ampliação dela. Faça uma pesquisa e verifique qual a relação
entre a quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia.
• Qual é a relação entre o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele de
um polígono regular? A soma das medidas desses ângulos é igual a 180°.
• Que características tem um polígono regular?
• Quais quadriláteros estudados são paralelogramos? O retângulo, o losango e o quadrado.
• Que tipos de trapézios foram estudados? Trapézio isósceles e trapézio retângulo.
• Que transformações geométricas no plano você conheceu?
Um polígono regular tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes
entre si (o que acarreta que também todos os ângulos externos são congruentes entre si).
Reflexão, translação e rotação.
UM NOVO OLHAR
AB
FH
EC
G
D
!
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Espera-se que o aluno encontre em sua pesquisa que a relação entre a
quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia (conhecido como
mito do megapixel) não é o que importa. O mais importante para se
ter uma foto de qualidade são as lentes e os sensores da máquina.
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243. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atualidades em foco
O tema desta seção é a
educação para o consumo.
Com o acesso facilitado a
propagandas que induzem as
pessoas a consumir itens que
não são necessários, torna-se
primordial uma educação vi-
sando o consumo adequado
de produtos em geral.
Ler o texto de sensibilização
com os alunos e estimular o
debate a respeito das facilida-
des que existem hoje em dia
para o consumo desenfreado
e o que pode ser feito para
combatê-lo.
Pode ser levantado pelos
alunos os diversos tipos de
persuasão a que somos expos-
tos em nosso cotidiano para
realizar compras desnecessá-
rias. Em seguida, elencar na
lousa os exemplos apresenta-
dos pelos alunos. Uma outra
possibilidade é trazer para a
sala de aula slogans publici-
tários, abordagens ou mesmo
material visual com imagens
como cartazes e outdoors
para contribuir com o debate.
ATUALIDADES EM FOCO
Querer é poder? Mas, o que eu quero?
Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou
porque seus colegas já tinham e você ainda não?
O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa
sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses
bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas.
Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto
que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da
nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando.
O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois
retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo,
que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios.
Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça
um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do con-
sumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte
responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas.
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Responda no caderno:
1. A escola pode contribuir muito para a conscientização do consumo responsável e sus-
tentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas.
2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acordo com o tipo
de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo
banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas
as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo
com o Banco Central.
Resposta pessoal.
Responda à questão a seguir:
Vamos supor que você queira comprar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês.
Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor
e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma
boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que
o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de
sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se
utilizar o valor referente a abril ou a maio.)
3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo,
sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em dife-
rentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir.
a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto
e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você costuma consumir
durante o mês.
b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto
você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aplica o menor valor.
c) Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor e, juntos, descubram quanto
a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local
com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com o deslocamento, tempo etc.
d) Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa prática poderia trazer benefícios?
Por quê? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como
o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará
14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90.
Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em:
<http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018.
Estabelecimento:
Produto Valor 1 Valor 2 Valor 3
Taxas de Juros
Linha de crédito Taxa média março Taxa média abril Variação no mês
Juros do comércio 5,72% 5,77% 0,87%
Cartão de crédito 10,69% 10,69% 0%
Cheque especial 7,34% 7,4 0% 0,82%
CDC-bancos 2,33% 2,44% 3,00%
Empréstimo pessoal - bancos 4,74% 4,79% 1,05%
Empréstimo pessoal - financeiras 9,78% 9,87% 0,92%
Taxa média 6,77% 6,82% 0,74%
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244. Na atividade 2, aproveitar
para explicar aos alunos que,
se eles esperassem um mês
para comprar o brinquedo,
teriam economizado o valor
de R$ 146,90 e que poderiam
utilizar esse dinheiro para ou-
tra coisa. Explicar ainda que,
se ao final dos 30 dias eles
não tiverem o dinheiro para
pagar o brinquedo, o banco
calculará novamente os juros,
só que dessa vez sobre o valor
do brinquedo mais o valor dos
juros. Comentar que, neste
caso, as demais possíveis taxas
cobradas pela operadora do
cartão não foram consideradas.
Na atividade 3, orientar os
alunos na construção da tabe-
la e na escolha dos produtos
para a realização da pesquisa.
Estimulá-los a pesquisarem
nos locais onde costumam
frequentar para que tenham,
de fato, um parâmetro dos
preços aplicados que reflitam
seus hábitos de consumo. Se
necessário, fazer intervenções
na realização dos cálculos.
Para essa atividade, pode-
-se utilizar a calculadora, com
o objetivo de que os alunos se
preocupem mais com a pes-
quisa, o processo e a consta-
tação dos valores do que com
os cálculos. Se possível, elabo-
rar uma pesquisa a respeito de
compra por atacado e aplicati-
vos de compra coletiva.
ATUALIDADES EM FOCO
Querer é poder? Mas, o que eu quero?
Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou
porque seus colegas já tinham e você ainda não?
O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa
sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses
bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas.
Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto
que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da
nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando.
O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois
retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo,
que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios.
Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça
um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do con-
sumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte
responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas.
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Responda no caderno:
1. A escola pode contribuir muito para a conscientização do consumo responsável e sus-
tentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas.
2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acordo com o tipo
de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo
banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas
as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo
com o Banco Central.
Resposta pessoal.
Responda à questão a seguir:
Vamos supor que você queira comprar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês.
Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor
e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma
boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que
o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de
sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se
utilizar o valor referente a abril ou a maio.)
3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo,
sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em dife-
rentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir.
a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto
e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você costuma consumir
durante o mês.
b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto
você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aplica o menor valor.
c) Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor e, juntos, descubram quanto
a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local
com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com o deslocamento, tempo etc.
d) Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa prática poderia trazer benefícios?
Por quê? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como
o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará
14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90.
Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em:
<http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018.
Estabelecimento:
Produto Valor 1 Valor 2 Valor 3
Taxas de Juros
Linha de crédito Taxa média março Taxa média abril Variação no mês
Juros do comércio 5,72% 5,77% 0,87%
Cartão de crédito 10,69% 10,69% 0%
Cheque especial 7,34% 7,4 0% 0,82%
CDC-bancos 2,33% 2,44% 3,00%
Empréstimo pessoal - bancos 4,74% 4,79% 1,05%
Empréstimo pessoal - financeiras 9,78% 9,87% 0,92%
Taxa média 6,77% 6,82% 0,74%
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245. COMPETÊNCIAS
GERAIS
2. Exercitar a curiosidade
intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a re-
flexão, a análise crítica, a ima-
ginação e a criatividade, para
investigar causas, elaborar e
testar hipóteses, formular e
resolver problemas e criar so-
luções (inclusive tecnológicas)
com base nos conhecimentos
das diferentes áreas.
7. Argumentar com base
em fatos, dados e informações
confiáveis, para formular, ne-
gociar e defender ideias, pon-
tos de vista e decisões comuns
que respeitem e promovam os
direitos humanos, a consciên-
cia socioambiental e o con-
sumo responsável em âmbito
local, regional e global, com
posicionamento ético em rela-
ção ao cuidado de si mesmo,
dos outros e do planeta.
ESPECÍFICAS
2. Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investiga-
ção e a capacidade de produ-
zir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimen-
tos matemáticos para compre-
ender e atuar no mundo.
4. Fazer observações siste-
máticas de aspectos quantita-
tivos e qualitativos presentes
nas práticas sociais e culturais,
de modo a investigar, organi-
zar, representar e comunicar
informações relevantes, para
interpretá-las e avaliá-las crí-
tica e eticamente, produzindo
argumentos convincentes.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Números
• EF08MA03
Probabilidade e
estatística
• EF08MA22
• EF08MA23
• EF08MA24
• EF08MA25
• EF08MA26
• EF08MA27
Contagem,
probabilidade e
estatística
7
Na imagem está representada uma linha
de produção fabril em que há um setor cuja
atividade consiste em reparar produtos com
defeitos, os quais precisam de melhorias, o que
gera retrabalho.
Mas como definir em quais peças há
defeito? Para isso, existe um setor de inspeção,
que é o responsável por avaliar a qualidade
dos itens produzidos. Esse setor também é
responsável por fazer uma análise estatística da
produção.
Agora, observando a imagem, pense e res-
ponda no caderno.
• O retrabalho (melhorias) acontece em que
momento da produção?
• O que você entende por retrabalho? Você
acha que para uma fábrica é melhor que
muitos ou poucos itens passem por esse
setor?
• Quais procedimentos podem ser adotados
para evitar o retrabalho e diagnosticar suas
causas? Como esses dados podem ser
organizados?
• Que tipo de gráfico você acha que seria
melhor para representar os problemas que
causam o retrabalho? Por quê?
Depois da inspeção.
Respostas pessoais.
Possível resposta: analisar o processo de produção para
orientar os funcionários e promover condições para que
fiquem atentos aos pontos mais frágeis da produção.
Resposta pessoal.
MANZI
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246. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Para iniciar, explorar a ima-
gem de abertura. Conversar
com os alunos a respeito dos
trabalhos que são feitos em
linha de produção, por exem-
plo, na montagem de auto-
móveis e na usinagem de pe-
ças industriais. Questioná-los
a respeito da relação que há
entre os ambientes em que
ocorrem esses trabalhos com
Probabilidade e Estatística.
Espera-se que eles compreen-
dam que as ferramentas esta-
tísticas servem para analisar,
por exemplo, a quantidade de
peças produzidas em relação
à quantidade de peças vendi-
das em diferentes períodos do
ano.
Após analisar a imagem de
abertura desta Unidade, verifi-
car se os alunos conhecem o
significado do termo retraba-
lho. Espera-se que eles com-
preendam que retrabalho é
uma ação reparadora tomada
no produto que não está de
acordo com os requisitos exi-
gidos. Comentar que o retra-
balho demanda maior tempo
e custo de produção, uma vez
que o produto deve passar
novamente por um processo
anterior, gerando mais gastos.
Aproveitar o tema da aber-
tura da Unidade para propor
situações que envolvam a
ideia do princípio fundamen-
tal da contagem. Por exemplo:
em uma fábrica de automó-
veis, há três modelos de carro-
ceria e dois modelos de rodas.
Como é possível determinar a
quantidade de combinações
possíveis entre elas para mon-
tar carros? Espera-se que os
alunos consigam concluir que
há 6 combinações possíveis.
Contagem,
probabilidade e
estatística
7
Na imagem está representada uma linha
de produção fabril em que há um setor cuja
atividade consiste em reparar produtos com
defeitos, os quais precisam de melhorias, o que
gera retrabalho.
Mas como definir em quais peças há
defeito? Para isso, existe um setor de inspeção,
que é o responsável por avaliar a qualidade
dos itens produzidos. Esse setor também é
responsável por fazer uma análise estatística da
produção.
Agora, observando a imagem, pense e res-
ponda no caderno.
• O retrabalho (melhorias) acontece em que
momento da produção?
• O que você entende por retrabalho? Você
acha que para uma fábrica é melhor que
muitos ou poucos itens passem por esse
setor?
• Quais procedimentos podem ser adotados
para evitar o retrabalho e diagnosticar suas
causas? Como esses dados podem ser
organizados?
• Que tipo de gráfico você acha que seria
melhor para representar os problemas que
causam o retrabalho? Por quê?
Depois da inspeção.
Respostas pessoais.
Possível resposta: analisar o processo de produção para
orientar os funcionários e promover condições para que
fiquem atentos aos pontos mais frágeis da produção.
Resposta pessoal.
MANZI
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247. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
O problema proposto reto-
ma os conhecimentos prévios
que os alunos têm a respeito
de possibilidades. Ele pode ser
resolvido por meio de esque-
ma: desenhar as rodovias que
partem da cidade A e chegam
à B e, em seguida, desenhar
as rodovias que partem de B e
chegam à C.
cidade A
cidade B
cidade C
Outro modo de resolver
o problema é descrever os
elementos dos conjuntos E
1

e E
2
, em que E
1
corresponde
ao conjunto das estradas que
ligam as cidades A e B e E
2

ao conjunto das estradas que
ligam B a C:
E
1
= {x
1
, x
2
, x
3
, x
4
} e E
2
=
= {y
1
, y
2
, y
3
}
Há 12 possibilidades (4 x
x 3) de sair da cidade A e
chegar à cidade C, passando
pela cidade B.
Princípio Fundamental
da Contagem ou
Princípio Multiplicativo
O diagrama de árvore,
apresentado na situação de
escolha de um suco e um
lanche, é um bom recurso
para resolução dos primeiros
problemas apresentados aos
alunos. Comentar que esse
recurso fica inviável em situa-
ções que apresentam número
grande de possibilidades.
Apresentar exemplos que
mostram um número maior de
possibilidades. Uma sugestão
é a formação de números com
4 algarismos distintos escolhi-
dos entre 2, 3, 7 e 9. Resolver
essa situação, usando um qua-
dro em que seja possível variar
as posições dos algarismos.
Exemplo:
2 3793 2797 2399 237
2 3973 2977 2939 273
2 7393 7297 3299 327
2 7933 7927 3929 372
2 9373 9277 9239 723
2 9733 9727 9329 732
1
CAPÍTULO
CONTAGEM
Princípio Fundamental da Contagem ou
Princípio Multiplicativo
Bárbara e Giovana foram a uma lanchonete para cada uma delas tomar um suco e comer
um lanche natural. Pediram o cardápio e verificaram que podiam escolher entre três tipos de suco
(laranja, melancia e uva) e dois tipos de lanche natural (simples ou completo).
De quantas maneiras diferentes cada uma delas pode escolher um suco e um lanche?
Para responder a essa questão, vamos organizar todas as opções em um diagrama, que é
chamado árvore de possibilidades.
Observando o diagrama a seguir, percebemos que as meninas podem escolher um suco e
um lanche de 6 maneiras diferentes.
De uma cidade A, saem 4 rodovias para a cidade B e, de B, partem 3
rodovias para a cidade C. De quantas maneiras distintas (ou diferen-
tes) é possível sair da cidade A e chegar à cidade C, passando pela
cidade B?
De 12 maneiras distintas.
pense e responda
Opções
de suco
Opções de
lanche natural
Possibilidades
ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
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número de
opções de suco
número de
possibilidades
número de opções de
lanche natural
3 ! 2 " 6
Portanto, é possível escolher um lanche e um suco de 6 maneiras diferentes.
Observe outras situações em que podemos aplicar o princípio multiplicativo.
1 Um restaurante oferece em seu cardápio quatro tipos diferentes de carnes (boi, porco, frango
e peixe), que podem ser servidos com três tipos de acompanhamentos: arroz branco, massa
e salada. De quantas maneiras diferentes se pode escolher um prato formado por uma
carne e um acompanhamento?
Para cada tipo de carne, temos 3 possibilidades de escolha do acompanhamento. Assim,
podemos determinar o número de possibilidades de formar um prato, utilizando uma
multiplicação.
número de
opções de carne
número de
possibilidades
número de opções de
acompanhamento
4 ! 3 " 12
número de
opções para
representante
de classe
número de
possibilidades
número de opções
para suplente
25 ! 24 " 600
Assim, temos 12 maneiras diferentes de formar um prato.
2 Em uma sala de aula de 8
o
ano com 25 alunos, dois alunos serão escolhidos para assumir
os cargos de representante de sala e de suplente. De quantas maneiras distintas essa dupla
poderá ser formada?
Qualquer um dos 25 alunos da sala pode ser o representante; portanto, temos 25 possibili-
dades para o cargo de representante. Escolhido esse aluno, restam 24 alunos para assumir
a posição de suplente. Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos:
Existem 600 possibilidades de formarmos uma dupla, na qual um dos escolhidos é represen-
tante de sala e o outro, suplente.
Cada opção de suco pode ser combinada com cada opção de lanche natural. Como são
3 tipos de suco e 2 tipos de lanche natural, fazemos a seguinte multiplicação para encontrar
todas as possibilidades:
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248. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao trabalhar o princípio
fundamental da contagem,
apresentar situações do dia
a dia em que é possível reco-
nhecer a utilização desse prin-
cípio. Como sugestão, acessar
o vídeo disponível em <http://
livro.pro/qbnzv8> (acesso em:
8 nov. 2018).
Na situação 2, enfatizar
que um aluno ser escolhido
como representante é dife-
rente de ser escolhido como
suplente. Essa informação é
importante ao considerar a
resolução, pois influencia a
ordem da escolha dos elemen-
tos. Ao usar o princípio multi-
plicativo, concluir que há 600
possibilidades de escolha para
essa situação.
Propor a seguinte situação:
escolher 2 alunos em 25 para
formar uma dupla. Neste caso,
a dupla formada pelos alunos
A e B é a mesma dupla for-
mada pelos alunos B e A. Ao
aplicar o princípio multiplica-
tivo, as duplas AB e BA são
contadas duas vezes, como se
fossem distintas. Nesse caso,
em que a ordem dos elemen-
tos não importa, é necessário
descontar os casos repetidos,
portanto, há 300 possibilida-
des de escolha. Essa situação
ilustra a diferença entre os
problemas quando se consi-
dera a ordem de escolha dos
elementos.
1
CAPÍTULO
CONTAGEM
Princípio Fundamental da Contagem ou
Princípio Multiplicativo
Bárbara e Giovana foram a uma lanchonete para cada uma delas tomar um suco e comer
um lanche natural. Pediram o cardápio e verificaram que podiam escolher entre três tipos de suco
(laranja, melancia e uva) e dois tipos de lanche natural (simples ou completo).
De quantas maneiras diferentes cada uma delas pode escolher um suco e um lanche?
Para responder a essa questão, vamos organizar todas as opções em um diagrama, que é
chamado árvore de possibilidades.
Observando o diagrama a seguir, percebemos que as meninas podem escolher um suco e
um lanche de 6 maneiras diferentes.
De uma cidade A, saem 4 rodovias para a cidade B e, de B, partem 3
rodovias para a cidade C. De quantas maneiras distintas (ou diferen-
tes) é possível sair da cidade A e chegar à cidade C, passando pela
cidade B?
De 12 maneiras distintas.
pense e responda
Opções
de suco
Opções de
lanche natural
Possibilidades
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número de
opções de suco
número de
possibilidades
número de opções de
lanche natural
3 ! 2 " 6
Portanto, é possível escolher um lanche e um suco de 6 maneiras diferentes.
Observe outras situações em que podemos aplicar o princípio multiplicativo.
1 Um restaurante oferece em seu cardápio quatro tipos diferentes de carnes (boi, porco, frango
e peixe), que podem ser servidos com três tipos de acompanhamentos: arroz branco, massa
e salada. De quantas maneiras diferentes se pode escolher um prato formado por uma
carne e um acompanhamento?
Para cada tipo de carne, temos 3 possibilidades de escolha do acompanhamento. Assim,
podemos determinar o número de possibilidades de formar um prato, utilizando uma
multiplicação.
número de
opções de carne
número de
possibilidades
número de opções de
acompanhamento
4 ! 3 " 12
número de
opções para
representante
de classe
número de
possibilidades
número de opções
para suplente
25 ! 24 " 600
Assim, temos 12 maneiras diferentes de formar um prato.
2 Em uma sala de aula de 8
o
ano com 25 alunos, dois alunos serão escolhidos para assumir
os cargos de representante de sala e de suplente. De quantas maneiras distintas essa dupla
poderá ser formada?
Qualquer um dos 25 alunos da sala pode ser o representante; portanto, temos 25 possibili-
dades para o cargo de representante. Escolhido esse aluno, restam 24 alunos para assumir
a posição de suplente. Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos:
Existem 600 possibilidades de formarmos uma dupla, na qual um dos escolhidos é represen-
tante de sala e o outro, suplente.
Cada opção de suco pode ser combinada com cada opção de lanche natural. Como são
3 tipos de suco e 2 tipos de lanche natural, fazemos a seguinte multiplicação para encontrar
todas as possibilidades:
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249. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Outros problemas de
contagem
O primeiro exemplo envol-
vendo anagrama mostra uma
situação em que não há letras
repetidas: ROSA. Isso ocor-
re para que, inicialmente, os
alunos possam compreender
como permutar as letras de
posição.
Apresentar exemplos de
anagramas com letras repe-
tidas. Ao escolher CASA, há
duas letras repetidas que,
quando permutadas, figuram
como se fossem letras diferen-
tes, mas se tratam da mesma
letra (A). Desse modo, a con-
tagem do número de anagra-
mas vai precisar levar em con-
sideração esses casos. Uma su-
gestão é propor que os alunos
escrevam alguns anagramas
de CASA (ou outro qualquer
que contenha uma repetição
de letras) e tentem determinar
a quantidade de anagramas
possíveis.
Os anagramas geram boas
reflexões para escritores e li-
teratos, que buscam, nas pa-
lavras escritas, visualizar essas
ocorrências. Propor que os
alunos usem a criatividade
para formar diferentes pala-
vras com base em algumas le-
tras e para construir versos ou
frases com essas palavras. Por
exemplo, com os anagramas
ATOR e ROTA pode-se cons-
truir frase do tipo “Na rota
em que seguia, encontrei um
ator.”, “O ator seguiu a rota
de seu coração.”.
Outros problemas de contagem
Diversos problemas envolvem a noção de contagem. Veja alguns exemplos.
1 Quantos anagramas possui a palavra ROSA?
A palavra ROSA tem 4 letras e qualquer uma dessas
letras pode assumir a primeira posição na palavra.
Escolhida essa letra, sobram outras 3 letras para a
segunda posição. Em seguida, há 2 letras disponíveis e,
escolhida essa 3
a
letra, restará apenas 1 para a 4
a
letra.
Veja:
Anagramas são permutações
das letras de uma palavra, formando
novas palavras, com ou sem sentido.
SAIBA QUE
4 x x x =
número de
opções para
a 1
a
letra
número de
opções para
a 3
a
letra
número de
opções para
a 2
a
letra
número de
opções para
a 4
a
letra
23 1 24
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10=
possibilidades
de letras
possibilidades
de números
175 760 000
Assim, temos 24 anagramas da palavra ROSA.
2 Quantas são as placas de automóveis que podem ser formadas por três letras e quatro
algarismos?
O nosso alfabeto é constituído de 26 letras (incluindo K, Y e W) e temos disponíveis
10 algarismos (de 0 a 9). Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos:
Assim, existem 175 760 000 placas diferentes usando 3 letras e 4 algarismos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Bernardo é o técnico do time masculino
de handebol da escola de Mari. Ele tem
de mandar confeccionar os uniformes
do time para o campeonato que vai
acontecer no fim do ano. Como as cores
da escola são azul, amarela, vermelha e
branca, a empresa que vai confeccionar
os uniformes deu as seguintes opções de
escolha para Bernardo: 3 cores de cami-
setas (vermelho, amarelo e branco) e
2 cores de shorts (branco com listra azul
e todo azul).
Organize essas opções em uma árvore
de possibilidades e responda:
a) De quantas maneiras diferentes Bernardo
pode montar um uniforme com uma ca-
miseta e um shorts? 6 maneiras diferentes.
b) Do total de possibilidades, quantos
uniformes podem ser formados com a
camiseta branca? 2 uniformes.
ABC-1234
SP-SÃO PAULO
EDITORIA DE ARTE
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2. Uma sorveteria dispõe de 16 sabores de
sorvete que podem ser combinados com
3 caldas diferentes (morango, chocolate
e caramelo). De quantas maneiras é
possível combinar uma bola de sorvete
e uma calda? 48 maneiras.
3. Quantos números de 4 algarismos distin-
tos podemos formar? 4 536 números.
4. As turmas do 8
o
ano de certa escola, já
pensando na formatura no ano seguinte,
farão uma eleição entre os 93 alunos
para a escolha do presidente e do vice-
-presidente da comissão de formatura.
Considere que qualquer aluno, entre
os 93, pode ser escolhido. De quantas
maneiras distintas é possível formar essa
dupla de representantes?
5. Uma senha bancária é formada por
4 dígitos seguidos de 3 símbolos (#, & e *).
De quantas maneiras Ana pode escolher
uma senha, se ela não pretende usar nem
o algarismo 0 nem o símbolo #?
6. Desde 2016, na Argentina, as placas de
carros (chamadas chapas patentes) estão
sendo formadas no padrão Mercosul:
duas letras do alfabeto de 26 letras,
seguidas de 3 algarismos, seguidos de
duas letras. Quantas placas podemos
formar com esse padrão? 456 976 000
AB 123 CD
REPÚBLICA DA ARGENTINA
7. Quantos números ímpares podemos
formar usando uma única vez cada um
dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9? 72 números.
8. (Enem/2017) Uma empresa construirá sua
página na internet e espera atrair um
público de aproximadamente um milhão
de clientes. Para acessar essa página, será
necessária uma senha com formato a ser
definido pela empresa. Existem cinco
opções de formato oferecidas pelo pro-
gramador, descritas no quadro, em que
8 556 maneiras.
52 488 maneiras.
EDITORIA DE ARTE
“L” e “D” representam, respectivamente,
letra maiúscula e dígito.
Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis,
bem como os dígitos, entre os 10 possíveis,
podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de
formato cujo número de senhas distintas
possíveis seja superior ao número espe-
rado de clientes, mas que esse número
não seja superior ao dobro do número
esperado de clientes.
A opção que mais se adéqua às condi-
ções da empresa é Alternativa e.
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
9. (OBMEP) Os ciclistas têm aversão ao
número zero (porque é oval) e ao número
oito (porque assim ficam as rodas após
os acidentes). Quantos sócios podem se
inscrever num clube de ciclistas se cada
um deve possuir uma identificação de
três dígitos, sem usar o dígito zero nem
o dígito oito? 512
10. (OBMEP) Um estacionamento tem 10
vagas, uma ao lado da outra, inicial-
mente todas livres. Um carro preto e
um carro rosa chegam a esse estaciona-
mento. De quantas maneiras diferentes
esses carros podem ocupar duas vagas
de forma que haja pelo menos uma vaga
livre entre eles? Alternativa d.
3
NÍVEL 3OBMEP 2018
10. Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro
rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras
diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma
que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
A) 56
B) 70
C) 71
D) 72
E) 80
11. Qual é o maior valor possível para o máximo divisor
comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
12. A fi gura mostra um quadrilátero convexo ABCD de
área 1 e pontos P, Q, R e S tais que
3
AB
AP= ,
3
BC
BQ= ,
3
CD
CR= e
3
DA
DS= .
Qual é a área do quadrilátero PQRS?
A) 1/3
B) 5/9
C) 2/3
D) 7/9
E) 6/7
A
P
B
Q
C
R
D
S
13. Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150
as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas
maneiras podemos escrever 360 como a soma de três
parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a
três números inteiros positivos consecutivos?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 60
E) 120
14. Vovó Vera quis saber
qual de suas cinco netinhas
tinha feito um desenho
na parede de sua sala.
As netinhas fi zeram as
seguintes declarações:
• Emília: Não fui eu.
• Luísa: Quem desenhou foi a Marília ou a Rafaela.
• Marília: Não foi a Rafaela nem a Vitória.
• Rafaela: Não foi a Luísa.
• Vitória: Luísa não está dizendo a verdade.
Se apenas uma das netinhas mentiu, quem fez o desenho?
A) Emília
B) Luísa
C) Marília
D) Rafaela
E) Vitória
15. Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a
partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum
vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado,
e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do
polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que
pode corresponder ao número de intersecções entre lados
do quadrado e lados do polígono?
A) 816
B) 911
C) 1015
D) 2017
E) 4036
A
P
D
B
C
Um polígono é
simples quando
não há intersecção
de lados não
adjacentes.
a) 56
b) 70
c) 71
d) 72
e) 80
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250. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Caso considere necessário,
indicar que algumas atividades
sejam feitas em duplas para os
alunos trocarem ideias sobre
como raciocinaram a respeito
de cada situação.
Na atividade 8, é preciso
calcular o número de possi-
bilidades de cada uma das
opções de formato de senha
para ver qual se adapta às
condições dadas: o número
desejado de senhas deve estar
entre 1 milhão e 2 milhões.
Para cada opção, temos:
Opção I: 26 x 10
5
=
= 2 600 000 . 2 000 000
Opção II: 10
6
= 1 000 000 =
=1 000 000
Opção III: 26
2
x 10
4
=
= 6 760 000 . 2 000 000
Opção IV: 10
5
= 100 000 ,
, 1 000 000
Opção V: 26
3
x 10
2
=
= 1 757 600
Portanto, a opção V é corre-
ta, pois 1 000 000 , 1 757 600
, 2 000 000.
Na atividade 9, como os ci-
clistas tem aversão aos números
0 e 8, dos 10 algarismos dispo-
níveis, restam apenas 8. Como
não há restrição quanto à repe-
tição dos algarismos, é possível
calcular o total de combinações,
assim: 8 x 8 x 8 = 512.
A atividade 10 impõe uma
restrição importante: é preciso
existir uma vaga vazia entre os
carros preto e rosa. Uma ma-
neira de resolver esse proble-
ma é considerar que o carro
preto se encontra estacionado
na primeira vaga. Desse modo,
há 8 possibilidades de lugar
para estacionar o carro rosa.
Isso acontecerá também quan-
do o carro preto estiver na úl-
tima vaga. Quando o carro es-
tiver em qualquer uma das va-
gas entre a segunda e a nona,
sempre teremos 7 possibilida-
des de lugar para o carro rosa.
Então, há 2 x 8 + 8 x 7 =
= 16 + 56 = 72 possibilida-
des de estacionar o carro pre-
to e o carro rosa, respeitando
a condição dada.
Outros problemas de contagem
Diversos problemas envolvem a noção de contagem. Veja alguns exemplos.
1 Quantos anagramas possui a palavra ROSA?
A palavra ROSA tem 4 letras e qualquer uma dessas
letras pode assumir a primeira posição na palavra.
Escolhida essa letra, sobram outras 3 letras para a
segunda posição. Em seguida, há 2 letras disponíveis e,
escolhida essa 3
a
letra, restará apenas 1 para a 4
a
letra.
Veja:
Anagramas são permutações
das letras de uma palavra, formando
novas palavras, com ou sem sentido.
SAIBA QUE
4 x x x =
número de
opções para
a 1
a
letra
número de
opções para
a 3
a
letra
número de
opções para
a 2
a
letra
número de
opções para
a 4
a
letra
23 1 24
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10=
possibilidades
de letras
possibilidades
de números
175 760 000
Assim, temos 24 anagramas da palavra ROSA.
2 Quantas são as placas de automóveis que podem ser formadas por três letras e quatro
algarismos?
O nosso alfabeto é constituído de 26 letras (incluindo K, Y e W) e temos disponíveis
10 algarismos (de 0 a 9). Assim, aplicando o princípio multiplicativo, temos:
Assim, existem 175 760 000 placas diferentes usando 3 letras e 4 algarismos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Bernardo é o técnico do time masculino
de handebol da escola de Mari. Ele tem
de mandar confeccionar os uniformes
do time para o campeonato que vai
acontecer no fim do ano. Como as cores
da escola são azul, amarela, vermelha e
branca, a empresa que vai confeccionar
os uniformes deu as seguintes opções de
escolha para Bernardo: 3 cores de cami-
setas (vermelho, amarelo e branco) e
2 cores de shorts (branco com listra azul
e todo azul).
Organize essas opções em uma árvore
de possibilidades e responda:
a) De quantas maneiras diferentes Bernardo
pode montar um uniforme com uma ca-
miseta e um shorts? 6 maneiras diferentes.
b) Do total de possibilidades, quantos
uniformes podem ser formados com a
camiseta branca? 2 uniformes.
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SP-SÃO PAULO
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2. Uma sorveteria dispõe de 16 sabores de
sorvete que podem ser combinados com
3 caldas diferentes (morango, chocolate
e caramelo). De quantas maneiras é
possível combinar uma bola de sorvete
e uma calda? 48 maneiras.
3. Quantos números de 4 algarismos distin-
tos podemos formar? 4 536 números.
4. As turmas do 8
o
ano de certa escola, já
pensando na formatura no ano seguinte,
farão uma eleição entre os 93 alunos
para a escolha do presidente e do vice-
-presidente da comissão de formatura.
Considere que qualquer aluno, entre
os 93, pode ser escolhido. De quantas
maneiras distintas é possível formar essa
dupla de representantes?
5. Uma senha bancária é formada por
4 dígitos seguidos de 3 símbolos (#, & e *).
De quantas maneiras Ana pode escolher
uma senha, se ela não pretende usar nem
o algarismo 0 nem o símbolo #?
6. Desde 2016, na Argentina, as placas de
carros (chamadas chapas patentes) estão
sendo formadas no padrão Mercosul:
duas letras do alfabeto de 26 letras,
seguidas de 3 algarismos, seguidos de
duas letras. Quantas placas podemos
formar com esse padrão? 456 976 000
AB 123 CD
REPÚBLICA DA ARGENTINA
7. Quantos números ímpares podemos
formar usando uma única vez cada um
dos algarismos 3, 4, 7, 8 e 9? 72 números.
8. (Enem/2017) Uma empresa construirá sua
página na internet e espera atrair um
público de aproximadamente um milhão
de clientes. Para acessar essa página, será
necessária uma senha com formato a ser
definido pela empresa. Existem cinco
opções de formato oferecidas pelo pro-
gramador, descritas no quadro, em que
8 556 maneiras.
52 488 maneiras.
EDITORIA DE ARTE
“L” e “D” representam, respectivamente,
letra maiúscula e dígito.
Opção Formato
I LDDDDD
II DDDDDD
III LLDDDD
IV DDDDD
V LLLDD
As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis,
bem como os dígitos, entre os 10 possíveis,
podem se repetir em qualquer das opções.
A empresa quer escolher uma opção de
formato cujo número de senhas distintas
possíveis seja superior ao número espe-
rado de clientes, mas que esse número
não seja superior ao dobro do número
esperado de clientes.
A opção que mais se adéqua às condi-
ções da empresa é Alternativa e.
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
9. (OBMEP) Os ciclistas têm aversão ao
número zero (porque é oval) e ao número
oito (porque assim ficam as rodas após
os acidentes). Quantos sócios podem se
inscrever num clube de ciclistas se cada
um deve possuir uma identificação de
três dígitos, sem usar o dígito zero nem
o dígito oito? 512
10. (OBMEP) Um estacionamento tem 10
vagas, uma ao lado da outra, inicial-
mente todas livres. Um carro preto e
um carro rosa chegam a esse estaciona-
mento. De quantas maneiras diferentes
esses carros podem ocupar duas vagas
de forma que haja pelo menos uma vaga
livre entre eles? Alternativa d.
3
NÍVEL 3OBMEP 2018
10. Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro
rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras
diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma
que haja pelo menos uma vaga livre entre eles?
A) 56
B) 70
C) 71
D) 72
E) 80
11. Qual é o maior valor possível para o máximo divisor
comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
12. A fi gura mostra um quadrilátero convexo ABCD de
área 1 e pontos P, Q, R e S tais que
3
AB
AP= ,
3
BC
BQ= ,
3
CD
CR= e
3
DA
DS= .
Qual é a área do quadrilátero PQRS?
A) 1/3
B) 5/9
C) 2/3
D) 7/9
E) 6/7
A
P
B
Q
C
R
D
S
13. Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150
as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas
maneiras podemos escrever 360 como a soma de três
parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a
três números inteiros positivos consecutivos?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 60
E) 120
14. Vovó Vera quis saber
qual de suas cinco netinhas
tinha feito um desenho
na parede de sua sala.
As netinhas fi zeram as
seguintes declarações:
• Emília: Não fui eu.
• Luísa: Quem desenhou foi a Marília ou a Rafaela.
• Marília: Não foi a Rafaela nem a Vitória.
• Rafaela: Não foi a Luísa.
• Vitória: Luísa não está dizendo a verdade.
Se apenas uma das netinhas mentiu, quem fez o desenho?
A) Emília
B) Luísa
C) Marília
D) Rafaela
E) Vitória
15. Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a
partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum
vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado,
e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do
polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que
pode corresponder ao número de intersecções entre lados
do quadrado e lados do polígono?
A) 816
B) 911
C) 1015
D) 2017
E) 4036
A
P
D
B
C
Um polígono é
simples quando
não há intersecção
de lados não
adjacentes.
a) 56
b) 70
c) 71
d) 72
e) 80
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251. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Experimento aleatório
Discutir com os alunos a res-
peito do que eles sabem sobre
experimento aleatório. Esse
conceito precisa ser trabalha-
do cuidadosamente para que
os alunos compreendam que,
apesar de não se saber qual
será o resultado obtido, é pos-
sível descrever todas as possibi-
lidades do experimento.
Evento
A ideia de evento é inserida
a partir da construção de sub-
conjuntos de um experimento
aleatório. Comentar que o es-
tudo de problemas de conta-
gem auxilia na construção de
espaços amostrais.
Experimento aleatório
No estudo da probabilidade, um experimento é considerado aleatório se, mesmo
ao repeti-lo um número considerável de vezes, da mesma maneira, o resultado obtido
é sempre imprevisível.
O lançamento de um dado e o de uma moeda são exemplos de experimentos alea-
tórios, pois em cada repetição do experimento o resultado obtido não pode ser previsto.
Espaço amostral
Para cada experimento aleatório existe um conjunto de possibilidades de resultados.
Ao lançar um dado e observar a face de cima, é possível obter um de seis resultados diferentes.
Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Já para o lançamento de uma moeda “honesta”, é
possível obter um de dois resultados diferentes: cara ou coroa.
2
CAPÍTULO
PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, o espaço amostral S é o conjunto de
todas as possibilidades de resultado daquele experimento.
Evento
Vamos imaginar agora que, a partir do lançamento de um dado honesto, vamos observar os
resultados obtidos na face superior.
Desejamos saber, por exemplo, qual é a chance de sair o número 2 no lançamento desse
dado. Ou, ainda, qual é a chance de ocorrer um número primo. Essas duas situações descrevem
subconjuntos do espaço amostral e são denominadas eventos.
No primeiro caso, ao lançar o dado e sair número 2, temos que E = {2} e, assim, o número
de elementos de E é representado por n(E) = 1. No segundo, ao lançar o dado e ocorrer número
primo, temos que E = {2, 3, 5} e, assim, o número de elementos de E é representado por n(E) = 3.
Se o conjunto formado pelos elementos de um evento é vazio, dizemos que esse evento é
impossível. Por exemplo, no experimento “Lançamento de um dado de 6 faces”, o evento “Sair
o número 7” é um evento impossível.
Quando o número de elementos do evento coincide com o número de elementos do espaço
amostral, o evento é chamado evento certo. No experimento “Lançamento de um dado de 6
faces”, o evento “Sair um número menor ou igual a 6” é um evento certo, pois n(S) = 6 e n(E) = 6.
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Considere a situação a seguir.
1 Uma urna tem 20 bolinhas, numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida ao acaso e
observa-se seu número.
Nesse caso, o espaço amostral é dado por:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Como vimos, todo evento é um subconjunto do espaço amostral.
O evento “Obter um número maior que 11” dado por E = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
O evento “Obter um número múltiplo de 4” corresponde ao subconjunto E = {4, 8, 12, 16, 20}.
Probabilidade
Vimos que, em um experimento aleatório, a probabilidade (P) de um evento acontecer é
dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis ao evento e o número total de
possibilidades que podem ocorrer no experimento. Agora, vamos realizar esse cálculo analisando
o espaço amost ral.
No experimento aleatório “Retirar uma bola, ao acaso, de uma urna com bolas numeradas de
1 a 15”, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. A probabilidade
de o evento “Sair a bola de número 8” acontecer é de 1 em 15, pois só existe um número 8 no
espaço amostral.
Nesse caso, para determinar a probabilidade de um evento ocorrer, podemos determinar o
número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento.
n(S)15
n(E)1
P(E)
1
15
=
=
⎫
⎬
⎭
→ !
A probabilidade (P) de um evento (E) acontecer, a partir de
um experimento aleatório, é dada pela razão entre o número de
elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.
P(E)
n(E)
n(S)
!
Veja outros exemplos.
1 A professora de música vai escolher duas de suas alunas para um teste: uma para tocar violão
e outra para cantar. Ela vai escolher entre Gabriela, Helena, Luma, Leila, Bárbara e Lorena.
Sabendo que todas tocam violão e cantam, qual é a probabilidade de a professora escolher
Helena para tocar violão e Gabriela para cantar?
Há 30 maneiras diferentes de a professora escolher as duplas, uma para tocar violão e outra
para cantar. Assim, n(S) = 30. Além disso, E = {(Helena, Gabriela)}
n(S)30
n(E)1
P(E)
1
30
=
=
⎫
⎬
⎭
→ !
Portanto, a probabilidade de a professora escolher Helena para tocar violão e Gabriela para
cantar é de uma em trinta, ou seja,
1
30
.
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252. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao apresentar o exemplo
da urna com bolinhas, veri-
ficar se os alunos compreen-
dem a construção do conjun-
to de elementos de cada um
dos espaços amostrais dados.
Após explorar os itens a e b,
propor outras situações, como
construir o espaço amostral
dos números menores que 3
ou maiores que 17. Essa ideia
da união de eventos será de-
senvolvida no Ensino Médio,
mas é possível apresentar situ-
ações iniciais a respeito desse
conteúdo.
Probabilidade
O estudo das probabili-
dades será desenvolvido em
espaços amostrais equiprová-
veis, ou seja, em que as pro-
babilidades de ocorrência dos
eventos são iguais. Essa ideia
vem sendo construída desde
os anos finais do Ensino Fun-
damental I.
Considerando os espaços
equiprováveis, a soma das
probabilidades de ocorrência
de todos os eventos de um es-
paço amostral é sempre igual
a 1. Isso será apresentado
mais adiante.
Experimento aleatório
No estudo da probabilidade, um experimento é considerado aleatório se, mesmo
ao repeti-lo um número considerável de vezes, da mesma maneira, o resultado obtido
é sempre imprevisível.
O lançamento de um dado e o de uma moeda são exemplos de experimentos alea-
tórios, pois em cada repetição do experimento o resultado obtido não pode ser previsto.
Espaço amostral
Para cada experimento aleatório existe um conjunto de possibilidades de resultados.
Ao lançar um dado e observar a face de cima, é possível obter um de seis resultados diferentes.
Os resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Já para o lançamento de uma moeda “honesta”, é
possível obter um de dois resultados diferentes: cara ou coroa.
2
CAPÍTULO
PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, o espaço amostral S é o conjunto de
todas as possibilidades de resultado daquele experimento.
Evento
Vamos imaginar agora que, a partir do lançamento de um dado honesto, vamos observar os
resultados obtidos na face superior.
Desejamos saber, por exemplo, qual é a chance de sair o número 2 no lançamento desse
dado. Ou, ainda, qual é a chance de ocorrer um número primo. Essas duas situações descrevem
subconjuntos do espaço amostral e são denominadas eventos.
No primeiro caso, ao lançar o dado e sair número 2, temos que E = {2} e, assim, o número
de elementos de E é representado por n(E) = 1. No segundo, ao lançar o dado e ocorrer número
primo, temos que E = {2, 3, 5} e, assim, o número de elementos de E é representado por n(E) = 3.
Se o conjunto formado pelos elementos de um evento é vazio, dizemos que esse evento é
impossível. Por exemplo, no experimento “Lançamento de um dado de 6 faces”, o evento “Sair
o número 7” é um evento impossível.
Quando o número de elementos do evento coincide com o número de elementos do espaço
amostral, o evento é chamado evento certo. No experimento “Lançamento de um dado de 6
faces”, o evento “Sair um número menor ou igual a 6” é um evento certo, pois n(S) = 6 e n(E) = 6.
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Considere a situação a seguir.
1 Uma urna tem 20 bolinhas, numeradas de 1 a 20. Uma bolinha é escolhida ao acaso e
observa-se seu número.
Nesse caso, o espaço amostral é dado por:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Como vimos, todo evento é um subconjunto do espaço amostral.
O evento “Obter um número maior que 11” dado por E = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.
O evento “Obter um número múltiplo de 4” corresponde ao subconjunto E = {4, 8, 12, 16, 20}.
Probabilidade
Vimos que, em um experimento aleatório, a probabilidade (P) de um evento acontecer é
dada pela razão entre o número de possibilidades favoráveis ao evento e o número total de
possibilidades que podem ocorrer no experimento. Agora, vamos realizar esse cálculo analisando
o espaço amost ral.
No experimento aleatório “Retirar uma bola, ao acaso, de uma urna com bolas numeradas de
1 a 15”, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. A probabilidade
de o evento “Sair a bola de número 8” acontecer é de 1 em 15, pois só existe um número 8 no
espaço amostral.
Nesse caso, para determinar a probabilidade de um evento ocorrer, podemos determinar o
número de elementos do espaço amostral e o número de elementos do evento.
n(S)15
n(E)1
P(E)
1
15
=
=
⎫
⎬
⎭
→ !
A probabilidade (P) de um evento (E) acontecer, a partir de
um experimento aleatório, é dada pela razão entre o número de
elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.
P(E)
n(E)
n(S)
!
Veja outros exemplos.
1 A professora de música vai escolher duas de suas alunas para um teste: uma para tocar violão
e outra para cantar. Ela vai escolher entre Gabriela, Helena, Luma, Leila, Bárbara e Lorena.
Sabendo que todas tocam violão e cantam, qual é a probabilidade de a professora escolher
Helena para tocar violão e Gabriela para cantar?
Há 30 maneiras diferentes de a professora escolher as duplas, uma para tocar violão e outra
para cantar. Assim, n(S) = 30. Além disso, E = {(Helena, Gabriela)}
n(S)30
n(E)1
P(E)
1
30
=
=
⎫
⎬
⎭
→ !
Portanto, a probabilidade de a professora escolher Helena para tocar violão e Gabriela para
cantar é de uma em trinta, ou seja,
1
30
.
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253. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
No exemplo envolvendo a
professora de música, indicar
a utilização do princípio mul-
tiplicativo para o cálculo da
probabilidade pedida. Com
isso, mostrar aos alunos que
a análise das possibilidades
de ocorrência de um evento é
importante antes de pensar no
cálculo da probabilidade.
Para que os alunos pensem
mais nas possibilidades, pro-
por o jogo Jokenpô (pedra,
papel e tesoura). Em duplas,
cada jogador deve escolher
entre papel, pedra e tesoura.
As regras são: papel ganha de
pedra (pois embrulha a pe-
dra), tesoura ganha de papel
(pois tesoura corta o papel) e
pedra ganha de tesoura (pois
amassa a tesoura). Deixar um
tempo para os alunos jogarem
algumas rodadas e, em segui-
da, anotar e analisar as pos-
sibilidades de jogadas. Veja o
quadro a seguir de exemplo.
Jogador
1
Jogador
2
Resultado
PedraPedraEmpate
PedraTesoura
Jogador 1
vence
PedraPapel
Jogador 2
vence
TesouraPedra
Jogador 2
vence
TesouraTesouraEmpate
TesouraPapel
Jogador 1
vence
PapelPedra
Jogador 1
vence
PapelTesoura
Jogador 2
vence
PapelPapelEmpate
Com esse quadro é possível
calcular, por exemplo, a pro-
babilidade de dar empate en-
tre dois jogadores. Como, no
quadro, há 3 casos de empate
entre 9 disponíveis, a probabi-
lidade em questão é
3
9
=
1
3
.
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
A primeira parte das ativi-
dades propostas trabalham a
construção do espaço amos-
tral e dos subconjuntos rela-
tivos a diferentes eventos. Em
seguida, é aplicado o cálculo
de probabilidades.
Na atividade 7, verificar se
os alunos retomam o concei-
to de múltiplo de um número
natural para concluir que se
um número é múltiplo de 3 e
múltiplo de 5 então ele é múl-
tiplo de 15. Com isso, no item
b será preciso contar a quanti-
dade de múltiplos de 15 entre
1 e 100.
Dos 720 anagramas de FLE-
CHA (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x
1 = 720), calculados na ativi-
dade 8, 480 começam com
consoantes (4 x 5 x 4 x 3 x
2 x 1 = 480). Assim, a P(E) =
=
480
720
=
2
3
.
2 No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de:
a) sair a face com o número 4?
Para calcular a probabilidade de esse evento ocorrer, determinamos o número de elementos
do espaço amostral e o número de elementos do evento. Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {4}
n(S)6
n(E)1
P(E)
1
6
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
=
=
→ !

Assim, PE!()
1
6
.
b) não sair a face com o número 4?
Para esse evento, temos o mesmo espaço amostral anterior, porém o número de elementos
do evento muda. Vejamos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2, 3, 5, 6}
n(S)6
n(E)
P(E)
5
65
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
→ !
Assim, a probabilidade de “não sair a face com o número 4”
é igual a P(E)
5
6
!.
Observe que a soma das probabilidades calculadas nos itens a e b é igual a 1.
1
6
5
6
6
6
1
Sairaface4Nãosairaface4 Sairqualquerface
!"#! "#! "##
="!
Observe que, para cada face do dado, a probabilidade de que ela seja retirada é sempre igual
a
1
6
. Assim, a soma de todas as probabilidades será igual a 1.
=
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
6
6
1"" "" "!
Sairaface1Sairaface2Sairaface3Sairaface4Sairaface5Sairaface6 Sairqualquerface
!"#! "#! "#! "#! "#! "#! "##
ATIVIDADES
A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é sempre 1.
1. b) S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1);
(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3);
(3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5);
(4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1);
(6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}.
1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}.
1. c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M),
(M, F, F), (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M)}.
Resoluções a partir da p. 289
Responda às questões no caderno.
1. Escreva o espaço amostral para cada um
dos experimentos a seguir:
a) lançar uma moeda duas vezes e observar
a sequência de caras e coroas.
b) lançar dois dados de cores distintas e
observar as faces de cima.
c) a sequência dos sexos possíveis para o
nascimento de 3 filhos de um casal.
2. Considerando os experimentos e os
espaços amostrais do exercício anterior,
indique os subconjuntos referentes aos
eventos a seguir:
a) sair duas moedas com 2 faces iguais.
b) sair dois dados, cuja soma seja 5.
c) o casal ter 2 meninos e 1 menina.
E = {(cara, cara); (coroa, coroa)}.
S = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}.
S = {(M, M, F); (M, F, M), (F, M, M)}.
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3. Um experimento consiste em retirar uma
bolinha numerada de uma urna com
25 bolinhas, numeradas de 1 a 25, e ob-
servar seu número.
a) Dê o espaço amostral desse experimento.
b) Escreva os elementos do evento A, sendo
A “o número obtido ser múltiplo de 9”.
c) Escreva os elementos do evento B, sendo
B “o número obtido ser maior que 23”.
4. Uma urna contém 2 bolas amarelas, 4
bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Ao re-
tirarmos uma bola ao acaso, qual é a
probabilidade de ela ser azul? E vermelha?
5. Um baralho possui 52 cartas, distribuídas
em 4 naipes: ouro, copas, paus e espada.
Sorteando-se uma carta ao acaso, qual é
a probabilidade de:
a) ser um rei de paus?
b) uma dama?
c) uma figura? (dama, valete, rei e às)
6. Qual é a probabilidade de, ao sortearmos
um número de 2 algarismos distintos,
ele ser par?
7. Considere os números de 1 a 100.
Sorteando um número ao acaso, qual é
a probabilidade de o número:
a) ser múltiplo de 6?
b) ser múltiplo de 3 e de 5?
A = {9, 18}.
B = {24, 25}.
!!P(V)
3
9
1
3
.
!()PA
4
9
;
5. c) P(C)
12
52
3
13
!!
a) !P(A)
1
52
!!P(B)
4
52
1
13
!P(E)
41
81
P(E)
16
100
4
25
!!
!!P(E)
6
100
3
50
8. Escolhido um entre todos os anagramas
da palavra FLECHA, qual é a probabili-
dade de ele começar com uma consoante?
DESAFIO
Junte-se a um colega para resolver os
desafios a seguir.
9. Em um grupo de 5 adolescentes, há 3
garotas e 2 rapazes.
a) Quantas são as possibilidades de duplas
formadas por esses adolescentes?
b) Qual é a probabilidade de essa dupla ser
formada apenas por meninas?
10. Com os algarismo 2, 3, 6, 7 e 8 formam-
-se números de 4 algarismos distintos.
Escolhido um desses números ao acaso,
qual é a probabilidade de ele ser:
a) par?
b) ímpar?
11. (FCMSC-SP) Um hospital fez um estudo
com 181 pacientes, vítimas de ferimen-
tos provocados por projétil de arma de
fogo, cujos dados foram organizados de
acordo com o estado de admissão do pa-
ciente e o desfecho do caso, conforme
apresentado na tabela.
Estado de
admissão
Desfecho do caso
Total
SatisfatórioRuim
Grave 26 77103
Moderado 15 5 20
Leve 50 8 58
Total 91 90181
Um grupo de estudantes de medi -
cina decidiu escolher aleatoriamente
um dos casos de desfecho satisfató-
rio para estudo. A probabilidade de o
caso escolhido ser de um paciente cujo
estado de admissão era grave é de,
aproximadamente,
a) 33,7%.
b) 28,5%.
c) 25,2%.
d) 14,3%.
e) 56,9%.
!P(E)
2
3
10 duplas.
!P(E)
3
10
!P(E)
3
5
!P(E)
2
5
Alternativa b.
3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.
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254. Desafios
Na atividade 9, espera-se
que os alunos usem o princípio
multiplicativo para resolver o
item a e, depois, calculem a pro-
babilidade no item b a partir do
resultado obtido anteriormente.
Na atividade 10, uma pos-
sibilidade de resolução é cons-
truir o espaço amostral, ou seja,
encontrar a quantidade de nú-
meros de 4 algarismos distintos
formados a partir de 5 alga-
rismos. Em seguida, contar a
quantidade de números pares.
Resolução dos Desafios
9. a) Utilizando o princípio
multiplicativo, há 5 possibilida-
des para a primeira pessoa da
dupla e 4 possibilidades para a
segunda pessoa da dupla. As-
sim, teríamos 20 (4 x 5) pos-
sibilidades. Mas, desse modo,
cada dupla está sendo contada
duas vezes, pois a dupla AB é a
mesma da dupla BA. Assim, o
número de possibilidades são
10 duplas.
b) Vamos elencar as duplas
que contêm apenas meninas
para verificar quantas dessas
duplas são formadas apenas
por meninas. Sendo G
1
, G
2
e G
3

cada uma das meninas, temos:
G
1
G
2
G
1
G
3
G
2
G
3
Portanto, 3 das 10 duplas
são formadas apenas por me-
ninas. Assim:
P(E) =
3
10
10. a) Primeiramente, va-
mos determinar, pelo princípio
multiplicativo, quantos núme-
ros podem ser formados com
as regras dadas.
5 x 4 x 3 x 2 = 120
Agora, vamos determinar
quantas dessas possibilidades
são números pares. Para isso,
o último algarismo precisa ser
2, 6 ou 8. Então, pelo princípio
multiplicativo:
Números terminados em 2:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Números terminados em 6:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Números terminados em 8:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Total: 24 + 24 + 24 = 72
Então, a probabilidade de
um número desses, ao acaso,
ser par é:
P(E) =
72
120
=
3
5
b) Já sabemos que o total
de possibilidades é 120. Agora
vamos calcular o número de
possibilidades em que o nú-
mero é ímpar, ou seja, o alga-
rismo das unidades deve ser 3
ou 7. Pelo princípio multiplica-
tivo, temos:
Números terminados em 3:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Números terminados em 7:
4 x 3 x 2 x 1 = 24
Total: 24 + 24 = 48
Então, a probabilidade de
um número desses, ao acaso,
ser ímpar é:
P(E) =
48
120
=
2
5
2 No lançamento de um dado honesto, qual é a probabilidade de:
a) sair a face com o número 4?
Para calcular a probabilidade de esse evento ocorrer, determinamos o número de elementos
do espaço amostral e o número de elementos do evento. Temos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {4}
n(S)6
n(E)1
P(E)
1
6
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
=
=
→ !

Assim, PE!()
1
6
.
b) não sair a face com o número 4?
Para esse evento, temos o mesmo espaço amostral anterior, porém o número de elementos
do evento muda. Vejamos:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2, 3, 5, 6}
n(S)6
n(E)
P(E)
5
65
=
=
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
→ !
Assim, a probabilidade de “não sair a face com o número 4”
é igual a P(E)
5
6
!.
Observe que a soma das probabilidades calculadas nos itens a e b é igual a 1.
1
6
5
6
6
6
1
Sairaface4Nãosairaface4 Sairqualquerface
!"#! "#! "##
="!
Observe que, para cada face do dado, a probabilidade de que ela seja retirada é sempre igual
a
1
6
. Assim, a soma de todas as probabilidades será igual a 1.
=
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
6
6
1"" "" "!
Sairaface1Sairaface2Sairaface3Sairaface4Sairaface5Sairaface6 Sairqualquerface
!"#! "#! "#! "#! "#! "#! "##
ATIVIDADES
A soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é sempre 1.
1. b) S = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1);
(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3);
(3, 4); (3, 5); (3, 6); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5);
(4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1);
(6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}.
1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}.
1. c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M),
(M, F, F), (F, F, F), (F, F, M), (F, M, F), (F, M, M)}.
Resoluções a partir da p. 289
Responda às questões no caderno.
1. Escreva o espaço amostral para cada um
dos experimentos a seguir:
a) lançar uma moeda duas vezes e observar
a sequência de caras e coroas.
b) lançar dois dados de cores distintas e
observar as faces de cima.
c) a sequência dos sexos possíveis para o
nascimento de 3 filhos de um casal.
2. Considerando os experimentos e os
espaços amostrais do exercício anterior,
indique os subconjuntos referentes aos
eventos a seguir:
a) sair duas moedas com 2 faces iguais.
b) sair dois dados, cuja soma seja 5.
c) o casal ter 2 meninos e 1 menina.
E = {(cara, cara); (coroa, coroa)}.
S = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}.
S = {(M, M, F); (M, F, M), (F, M, M)}.
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3. Um experimento consiste em retirar uma
bolinha numerada de uma urna com
25 bolinhas, numeradas de 1 a 25, e ob-
servar seu número.
a) Dê o espaço amostral desse experimento.
b) Escreva os elementos do evento A, sendo
A “o número obtido ser múltiplo de 9”.
c) Escreva os elementos do evento B, sendo
B “o número obtido ser maior que 23”.
4. Uma urna contém 2 bolas amarelas, 4
bolas azuis e 3 bolas vermelhas. Ao re-
tirarmos uma bola ao acaso, qual é a
probabilidade de ela ser azul? E vermelha?
5. Um baralho possui 52 cartas, distribuídas
em 4 naipes: ouro, copas, paus e espada.
Sorteando-se uma carta ao acaso, qual é
a probabilidade de:
a) ser um rei de paus?
b) uma dama?
c) uma figura? (dama, valete, rei e às)
6. Qual é a probabilidade de, ao sortearmos
um número de 2 algarismos distintos,
ele ser par?
7. Considere os números de 1 a 100.
Sorteando um número ao acaso, qual é
a probabilidade de o número:
a) ser múltiplo de 6?
b) ser múltiplo de 3 e de 5?
A = {9, 18}.
B = {24, 25}.
!!P(V)
3
9
1
3
.
!()PA
4
9
;
5. c) P(C)
12
52
3
13
!!
a) !P(A)
1
52
!!P(B)
4
52
1
13
!P(E)
41
81
P(E)
16
100
4
25
!!
!!P(E)
6
100
3
50
8. Escolhido um entre todos os anagramas
da palavra FLECHA, qual é a probabili-
dade de ele começar com uma consoante?
DESAFIO
Junte-se a um colega para resolver os
desafios a seguir.
9. Em um grupo de 5 adolescentes, há 3
garotas e 2 rapazes.
a) Quantas são as possibilidades de duplas
formadas por esses adolescentes?
b) Qual é a probabilidade de essa dupla ser
formada apenas por meninas?
10. Com os algarismo 2, 3, 6, 7 e 8 formam-
-se números de 4 algarismos distintos.
Escolhido um desses números ao acaso,
qual é a probabilidade de ele ser:
a) par?
b) ímpar?
11. (FCMSC-SP) Um hospital fez um estudo
com 181 pacientes, vítimas de ferimen-
tos provocados por projétil de arma de
fogo, cujos dados foram organizados de
acordo com o estado de admissão do pa-
ciente e o desfecho do caso, conforme
apresentado na tabela.
Estado de
admissão
Desfecho do caso
Total
SatisfatórioRuim
Grave 26 77103
Moderado 15 5 20
Leve 50 8 58
Total 91 90181
Um grupo de estudantes de medi -
cina decidiu escolher aleatoriamente
um dos casos de desfecho satisfató-
rio para estudo. A probabilidade de o
caso escolhido ser de um paciente cujo
estado de admissão era grave é de,
aproximadamente,
a) 33,7%.
b) 28,5%.
c) 25,2%.
d) 14,3%.
e) 56,9%.
!P(E)
2
3
10 duplas.
!P(E)
3
10
!P(E)
3
5
!P(E)
2
5
Alternativa b.
3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.
OLGA POPOVA/ SHUTTERSTOCK.COM
SELMA CAPARROZ
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255. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Conceitos básicos da
Estatística
Apresentar a definição de
população e amostra e ex-
plorar a imagem que ilustra
essa definição. Para ampliar
o entendimento dos alunos,
é interessante assistir ao vídeo
disponível no link <http://li
vro.pro/qtqmbh> (acesso em:
8 nov. 2018), que apresenta
um experimento que ajuda a
discutir os conceitos de po-
pulação e amostra. Além das
orientações para o professor,
há a descrição da atividade
para os alunos, os materiais
necessários para a realização e
as discussões que a atividade
suscita.
Para complementar o es-
tudo a respeito de pesquisa
censitária, apresentar o trecho
a seguir, extraído do site do
IBGE.
[...]
Para que serve o Censo?
– O Censo é a principal fon-
te de dados sobre a situação
de vida da população nos
municípios e localidades.
São coletadas informações
para a de! nição de políticas
públicas em nível nacional,
estadual e municipal. Os re-
sultados do Censo também
ajudam a iniciativa priva-
da a tomar decisões sobre
investimentos. Além disso,
a partir deles, é possível
acompanhar o crescimento,
a distribuição geográ! ca e
a evolução de outras carac-
terísticas da população ao
longo do tempo.
[...]
Fonte: GUIA DO CENSO. Apresen-
tação. Disponível em: <https://
censo2010.ibge.gov.br/materiais/
guia-do-censo/apresentacao.html>.
Acesso em: 8 nov. 2018.Pense e responda
Ao questionar os alunos a
respeito do porquê de todas
as pesquisas não serem cen-
sitárias, espera-se que eles
percebam que esse tipo de
3
CAPÍTULO
ESTATÍSTICA
Conceitos básicos da Estatística
A Estatística é uma parte da Matemática em que são estudados métodos para coleta,
organização e análise de dados de diferentes áreas, visando a tomada de decisões.
Realizamos uma pesquisa estatística quando pretendemos estudar alguma carac-
terística de determinado conjunto de elementos, que pode ser de pessoas, resultados,
objetos etc. O conjunto de todos os elementos que têm a característica do interesse
da pesquisa é chamado população.
Quando temos muitos elementos na população que queremos estudar, podemos
realizar a pesquisa por meio de uma amostra que represente essa população.
População é o conjunto de elementos que queremos pesquisar e apresenta
alguma característica comum.
Amostra é um subconjunto, uma parte da população, que apresenta as
mesmas características da população.
população
amostra
Algumas pesquisas necessitam que toda a população seja investigada. Esse tipo
de pesquisa é chamada censitária. No Brasil, a cada 10 anos, é realizado o Censo
Demográfico pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que tem como
objetivo constituir a principal fonte de referência para o conhecimento das condições
de vida da população em todos os municípios do país. O próximo censo está previsto
para acontecer em julho de 2020.
Nem todas as pesquisas são censitárias. Em muitos casos, são feitas pesqui-
sas com amostra da população. Em sua opinião porque isso acontece?
Resposta pessoal. Respostas possíveis: Dificuldade em levantar os dados,
custos envolvidos nas pesquisas etc.
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
BAKHTIAR ZEIN/ SHUTTERSTOCK.COM
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Amostragem é o processo para recolher amostras de uma população,
de maneira que se possa garantir o acaso na escolha. Cada elemento da
população deve ter a mesma chance de ser selecionado.
O processo de coleta de dados de uma população pode ser muito dispendioso e demorado.
Por essa razão, a escolha da amostra é de fundamental importância no processo de realização
de uma pesquisa. O censo é indicado quando a população é pequena ou quando se necessita
do resultado exato.
Por exemplo, em uma campanha eleitoral para presidente do Brasil, as pesquisas de intenções
de voto são atualizadas toda semana. Para que isso ocorra, é necessário pesquisar uma parte dos
eleitores brasileiros, pois, se a pesquisa fosse realizada com toda a população, é muito provável
que, no dia da eleição, ainda não tivesse sido finalizada a primeira pesquisa.
Ao escolher uma amostra, é muito importante garantir que ela seja representativa, ou seja,
que tenha as mesmas características da população, uma vez que as conclusões são feitas de acordo
com os resultados obtidos da amostra. Existem algumas maneiras de escolher uma amostra,
processos conhecidos como amostragem. Entre os métodos de amostragem, vamos estudar três:
casual simples; sistemático e estratificado.
Amostra casual simples
A amostra casual simples é caracterizada por um sorteio aleatório. Os elementos de uma
população podem ser enumerados e, em seguida, sorteados entre uma quantidade estabelecida
previamente.
Veja um exemplo:
O professor de Educação Física vai fazer uma pesquisa sobre esporte favorito com todos os
alunos do 8
o
ano para decidir os esportes que vai incluir na competição entre turmas. Como a
característica da população é ser aluno do 8
o
ano, independentemente de outras características,
como sexo, idade e estatura, ele vai fazer uma amostra casual simples de 30 dos 300 alunos dos
8
o
anos. Para isso, ele vai numerar os alunos de 1 a 300, escrever esses números em pedaços de
papel, colocá-los em uma urna e depois realizar o sorteio.
Amostra sistemática
No caso da amostra sistemática, os elementos da população a ser estudada já se encontram
ordenados. São exemplos: produtos de uma linha de produção, prontuários médicos, prédios de
uma rua etc. Para a seleção dos elementos que farão parte da amostra, é elaborado um sistema
pelo pesquisador.
Veja um exemplo:
Uma empresa que fabrica parafusos pretende fazer uma pesquisa para verificar se o com-
primento dos parafusos está dentro do padrão. Para a amostra dessa pesquisa, será retirado,
periodicamente, um elemento para a amostra, durante uma semana.
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pesquisa tem uma grande
vantagem que é a coleta de
dados gerais, porém o custo
para isso é muito alto, além de
um tempo maior para que a
pesquisa seja realizada.
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256. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Amostras
Comentar a respeito dos
exemplos de pesquisas feitas
por amostragem e a impor-
tância delas para realizar pro-
jeções. Discorrer a respeito
das pesquisas realizadas nas
eleições para descobrir a in-
tenção de voto da população.
É importante que os alunos
compreendam que esse tipo
de pesquisa precisa seguir cri-
térios rígidos preestabelecidos
para que o resultado delas não
seja enviesado, ou seja, não
beneficie candidato X ou Y.
Comentar, por exemplo, que
se a pesquisa tiver uma amos-
tra de 200 pessoas e todas
foram entrevistadas em um
único bairro, não é possível
concluir que aquela é a opi-
nião da maioria das pessoas
daquele Estado.
Expor aos alunos que quan-
to maior for o tamanho da
amostra, melhor serão os da-
dos projetados. Para exempli-
ficar isso, é possível realizar
uma pesquisa na própria sala
de aula obtendo respostas
com diferentes amostragens.
3
CAPÍTULO
ESTATÍSTICA
Conceitos básicos da Estatística
A Estatística é uma parte da Matemática em que são estudados métodos para coleta,
organização e análise de dados de diferentes áreas, visando a tomada de decisões.
Realizamos uma pesquisa estatística quando pretendemos estudar alguma carac-
terística de determinado conjunto de elementos, que pode ser de pessoas, resultados,
objetos etc. O conjunto de todos os elementos que têm a característica do interesse
da pesquisa é chamado população.
Quando temos muitos elementos na população que queremos estudar, podemos
realizar a pesquisa por meio de uma amostra que represente essa população.
População é o conjunto de elementos que queremos pesquisar e apresenta
alguma característica comum.
Amostra é um subconjunto, uma parte da população, que apresenta as
mesmas características da população.
população
amostra
Algumas pesquisas necessitam que toda a população seja investigada. Esse tipo
de pesquisa é chamada censitária. No Brasil, a cada 10 anos, é realizado o Censo
Demográfico pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que tem como
objetivo constituir a principal fonte de referência para o conhecimento das condições
de vida da população em todos os municípios do país. O próximo censo está previsto
para acontecer em julho de 2020.
Nem todas as pesquisas são censitárias. Em muitos casos, são feitas pesqui-
sas com amostra da população. Em sua opinião porque isso acontece?
Resposta pessoal. Respostas possíveis: Dificuldade em levantar os dados,
custos envolvidos nas pesquisas etc.
pense e responda
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Amostragem é o processo para recolher amostras de uma população,
de maneira que se possa garantir o acaso na escolha. Cada elemento da
população deve ter a mesma chance de ser selecionado.
O processo de coleta de dados de uma população pode ser muito dispendioso e demorado.
Por essa razão, a escolha da amostra é de fundamental importância no processo de realização
de uma pesquisa. O censo é indicado quando a população é pequena ou quando se necessita
do resultado exato.
Por exemplo, em uma campanha eleitoral para presidente do Brasil, as pesquisas de intenções
de voto são atualizadas toda semana. Para que isso ocorra, é necessário pesquisar uma parte dos
eleitores brasileiros, pois, se a pesquisa fosse realizada com toda a população, é muito provável
que, no dia da eleição, ainda não tivesse sido finalizada a primeira pesquisa.
Ao escolher uma amostra, é muito importante garantir que ela seja representativa, ou seja,
que tenha as mesmas características da população, uma vez que as conclusões são feitas de acordo
com os resultados obtidos da amostra. Existem algumas maneiras de escolher uma amostra,
processos conhecidos como amostragem. Entre os métodos de amostragem, vamos estudar três:
casual simples; sistemático e estratificado.
Amostra casual simples
A amostra casual simples é caracterizada por um sorteio aleatório. Os elementos de uma
população podem ser enumerados e, em seguida, sorteados entre uma quantidade estabelecida
previamente.
Veja um exemplo:
O professor de Educação Física vai fazer uma pesquisa sobre esporte favorito com todos os
alunos do 8
o
ano para decidir os esportes que vai incluir na competição entre turmas. Como a
característica da população é ser aluno do 8
o
ano, independentemente de outras características,
como sexo, idade e estatura, ele vai fazer uma amostra casual simples de 30 dos 300 alunos dos
8
o
anos. Para isso, ele vai numerar os alunos de 1 a 300, escrever esses números em pedaços de
papel, colocá-los em uma urna e depois realizar o sorteio.
Amostra sistemática
No caso da amostra sistemática, os elementos da população a ser estudada já se encontram
ordenados. São exemplos: produtos de uma linha de produção, prontuários médicos, prédios de
uma rua etc. Para a seleção dos elementos que farão parte da amostra, é elaborado um sistema
pelo pesquisador.
Veja um exemplo:
Uma empresa que fabrica parafusos pretende fazer uma pesquisa para verificar se o com-
primento dos parafusos está dentro do padrão. Para a amostra dessa pesquisa, será retirado,
periodicamente, um elemento para a amostra, durante uma semana.
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257. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Dar um tempo para que os
alunos pensem sobre o me-
lhor tipo de amostragem para
o caso de saber o aplicativo de
celular preferido dos alunos.
Colher as diferentes respostas
e compartilhar entre a turma
para que os próprios alunos
avaliem o que consideram
mais adequado.
Amostra proporcional estratificada
Na amostra estratificada, a população é dividida em subpopulações chamadas estratos. Esse
tipo de amostra é realizado quando outras características da população devem ser levadas em
conta. Por exemplo, nas pesquisas de intenção de voto para presidente do Brasil, a população
são os eleitores brasileiros, mas a região do país onde reside, o sexo, a faixa etária e a faixa de
renda do eleitor são importantes para essa pesquisa. Assim, o pesquisador deve selecionar uma
amostra aleatória de cada estrato.
Observe a situação.
Em um congresso para médicos, 110 se inscreveram para a palestra de cardiologia, 140 para
a de obstetrícia e 150 para a de ortopedia. A equipe organizadora do congresso quer fazer uma
pesquisa com 40 pessoas que participaram das palestras sobre a importância do tema tratado
em cada uma delas.
Se for realizada uma amostra simples, existe a probabilidade de os 40 selecionados terem
assistido à mesma palestra. Assim, é necessário fazer uma amostra proporcional de cada palestra
(estrato). Para isso, a equipe organizadora montou o quadro:
Palestra População Amostra
Cardiologia 110 11
Obstetrícia 140 14
Ortopedia 150 15
Total 400 40
Para determinar a amostra proporcional de cada estrato, eles utilizaram o total de inscritos
no congresso (400), o total de inscritos em cada estrato, o total de pessoas que participarão da
amostra (40) e fizeram os seguintes cálculos:
Cardiologia: Obstetrícia: Ortopedia:
→
→
=
×
=
40040
110x
x
11040
400
11
→
→
=
×
=
40040
110x
x
11040
400
11

→
→
=
×
=
x
x
40040
140
14040
400
14
→
→
=
×
=
x
x
40040
140
14040
400
14

→
→
=
×
=
40040
150x
x
15040
400
15
→
→
=
×
=
40040
150x
x
15040
400
15
Assim, dos 110 inscritos em cardiologia serão sorteados 11 para a amostra, dos 140 de
obstetrícia serão sorteados 14 e dos 150 de ortopedia serão sorteados 15.
Em sua opinião, em uma pesquisa sobre o aplicativo de celular preferido
dos alunos do 8º ano de uma escola, qual é o melhor tipo de amostragem
a ser realizada?
Resposta pessoal. Resposta possível: se considerarmos que todos
os alunos usam aplicativos e que tenham características parecidas,
podemos escolher uma amostra casual simples.
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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As variáveis são as características que estão sendo analisadas em uma
amostra ou população. Podem assumir valores numéricos e não numéricos.
São classificadas em qualitativas e quantitativas.
Variáveis
Quando nos referimos a certas características da população (e da amostra), como sexo, faixa
etária, escolaridade etc., estamos nos referindo ao que chamamos, em Estatística, de variáveis.
As variáveis quantitativas podem ser medidas usando uma escala numérica. São classi-
ficadas em discretas ou contínuas. As variáveis quantitativas discretas podem ser contadas
e, em geral, são representadas com números inteiros. Por exemplo: número de filhos, copos de
água ingeridos em um dia. Por outro lado, as variáveis quantitativas contínuas representam
resultados de medidas, como a massa de um indivíduo (em quilogramas), o tempo gasto em
determinada atividade (em horas) etc.
Já as variáveis qualitativas são as características que não possuem valores numéricos; são
definidas por categorias ou atributos, ou seja, representam uma classificação dos elementos da
população. São designadas como nominais ou ordinais. As variáveis qualitativas nominais
não requerem ordenação, como cor dos olhos, região onde mora. Já as variáveis qualitativas
ordinais pressupõem uma ordenação, como grau de escolaridade ou estágio de crescimento de
uma planta.
O esquema a seguir sintetiza as variáveis e suas classificações.
Variáveis
Quantitativas
Discreta
Ordinal
Contínua
Nominal
Qualitativas
Organização dos dados
Para organizar os dados obtidos por meio de uma pesquisa, podemos construir tabelas e
gráficos. O tipo de tabela e de gráfico que vamos utilizar depende da variável que está sendo
analisada. Observe as tabelas a seguir.
213
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258. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Variáveis
O estudo a respeito de va-
riáveis será feito de maneira
bastante detalhada, abordan-
do as variáveis qualitativas e as
variáveis quantitativas. A par-
tir da compreensão dos tipos
de variáveis, os alunos podem
construir melhor a ideia de
grandezas discretas e grande-
zas contínuas.
Pedir aos alunos que deem
outros exemplos de cada tipo
de variável estudada. Verificar
se eles tiveram contato com
algum tipo de situação no dia
a dia em que é possível iden-
tificar uma variável: quando
pedem para avaliar um filme
como ótimo, bom, regular ou
ruim, por exemplo, há a pre-
sença de uma variável qualita-
tiva ordinal.
Amostra proporcional estratificada
Na amostra estratificada, a população é dividida em subpopulações chamadas estratos. Esse
tipo de amostra é realizado quando outras características da população devem ser levadas em
conta. Por exemplo, nas pesquisas de intenção de voto para presidente do Brasil, a população
são os eleitores brasileiros, mas a região do país onde reside, o sexo, a faixa etária e a faixa de
renda do eleitor são importantes para essa pesquisa. Assim, o pesquisador deve selecionar uma
amostra aleatória de cada estrato.
Observe a situação.
Em um congresso para médicos, 110 se inscreveram para a palestra de cardiologia, 140 para
a de obstetrícia e 150 para a de ortopedia. A equipe organizadora do congresso quer fazer uma
pesquisa com 40 pessoas que participaram das palestras sobre a importância do tema tratado
em cada uma delas.
Se for realizada uma amostra simples, existe a probabilidade de os 40 selecionados terem
assistido à mesma palestra. Assim, é necessário fazer uma amostra proporcional de cada palestra
(estrato). Para isso, a equipe organizadora montou o quadro:
Palestra População Amostra
Cardiologia 110 11
Obstetrícia 140 14
Ortopedia 150 15
Total 400 40
Para determinar a amostra proporcional de cada estrato, eles utilizaram o total de inscritos
no congresso (400), o total de inscritos em cada estrato, o total de pessoas que participarão da
amostra (40) e fizeram os seguintes cálculos:
Cardiologia: Obstetrícia: Ortopedia:
→
→
=
×
=
40040
110x
x
11040
400
11
→
→
=
×
=
40040
110x
x
11040
400
11

→
→
=
×
=
x
x
40040
140
14040
400
14
→
→
=
×
=
x
x
40040
140
14040
400
14

→
→
=
×
=
40040
150x
x
15040
400
15
→
→
=
×
=
40040
150x
x
15040
400
15
Assim, dos 110 inscritos em cardiologia serão sorteados 11 para a amostra, dos 140 de
obstetrícia serão sorteados 14 e dos 150 de ortopedia serão sorteados 15.
Em sua opinião, em uma pesquisa sobre o aplicativo de celular preferido
dos alunos do 8º ano de uma escola, qual é o melhor tipo de amostragem
a ser realizada?
Resposta pessoal. Resposta possível: se considerarmos que todos
os alunos usam aplicativos e que tenham características parecidas,
podemos escolher uma amostra casual simples.
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
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As variáveis são as características que estão sendo analisadas em uma
amostra ou população. Podem assumir valores numéricos e não numéricos.
São classificadas em qualitativas e quantitativas.
Variáveis
Quando nos referimos a certas características da população (e da amostra), como sexo, faixa
etária, escolaridade etc., estamos nos referindo ao que chamamos, em Estatística, de variáveis.
As variáveis quantitativas podem ser medidas usando uma escala numérica. São classi-
ficadas em discretas ou contínuas. As variáveis quantitativas discretas podem ser contadas
e, em geral, são representadas com números inteiros. Por exemplo: número de filhos, copos de
água ingeridos em um dia. Por outro lado, as variáveis quantitativas contínuas representam
resultados de medidas, como a massa de um indivíduo (em quilogramas), o tempo gasto em
determinada atividade (em horas) etc.
Já as variáveis qualitativas são as características que não possuem valores numéricos; são
definidas por categorias ou atributos, ou seja, representam uma classificação dos elementos da
população. São designadas como nominais ou ordinais. As variáveis qualitativas nominais
não requerem ordenação, como cor dos olhos, região onde mora. Já as variáveis qualitativas
ordinais pressupõem uma ordenação, como grau de escolaridade ou estágio de crescimento de
uma planta.
O esquema a seguir sintetiza as variáveis e suas classificações.
Variáveis
Quantitativas
Discreta
Ordinal
Contínua
Nominal
Qualitativas
Organização dos dados
Para organizar os dados obtidos por meio de uma pesquisa, podemos construir tabelas e
gráficos. O tipo de tabela e de gráfico que vamos utilizar depende da variável que está sendo
analisada. Observe as tabelas a seguir.
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259. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao explorar a diferença
entre frequência absoluta e
frequência relativa, propor a
seguinte questão: “Qual é a
diferença de uma pesquisa
apresentar os resultados ape-
nas em frequência relativa
e outra pesquisa apresentar
os dados obtidos usando os
dois tipos de frequência?”.
Espera-se que os alunos per-
cebam que tendo apenas a
frequência relativa, é possível
realizar conclusões a respeito
das porcentagens para cada
tipo de resultado, entretanto
ficam faltando informações a
respeito da quantidade de ele-
mentos da amostra.
Tabela 1
Tabela 3
Tabela 2
Tabela 4
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Esporte preferido dos alunos do 8
o
ano A
Esporte
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
Futebol 9 30
Vôlei 12 40
Basquete 9 30
Total 30 100
Grau de escolaridade dos funcionários da empresa X
Grau de escolaridade
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
Ensino Fundamental 6 5
Ensino Médio 30 25
Ensino Superior 48 40
Pós-graduação 36 30
Total 120 100
Número de filhos dos funcionários da empresa X
Número
de filhos
Frequência
absoluta
Frequência relativa
(%)
0 10 20
1 5 10
2 25 50
3 10 20
Total 50 100
Altura dos alunos de uma academia
de ginástica
Altura
(em metros)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
1,65 ¿ 1,69 20 10
1,69 ¿ 1,73 70 35
1,73 ¿ 1,77 40 20
1,77 ¿ 1,81 50 25
1,81 ¿ 1,85 20 10
Total 200 100
Frequência absoluta é o número de vezes em que cada
elemento aparece na amostra ou em um intervalo da amostra.
Frequência relativa é a porcentagem da frequência de
cada elemento ou intervalo da amostra.
SAIBA QUE
Qual é o tipo de variável estudada em cada uma das pesquisas repre-
sentadas nas tabelas?
pense e responda
Tabela 1: Qualitativa nominal; tabela 2: qualitativa ordinal;
tabela 3: quantitativa discreta; tabela 4: quantitativa contínua.
Observe que na primeira coluna de cada uma das tabelas acima estão representados os dados
da variável de cada pesquisa.
As tabelas 1 e 2 organizam pesquisas que apresentam variáveis qualitativas. Esporte preferido
é uma variável qualitativa nominal, e os dados podem ser organizados da forma que o pesquisador
preferir. Grau de escolaridade é uma variável qualitativa ordinal, e os dados apresentam uma
hierarquia; assim, devem ser organizados em ordem.
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Considerando os exemplos apresentados, que correspondência
podemos fazer entre o tipo de variável e sua representação gráfica?
pense e responda
Resposta possível: As variáveis qualitativas e quantitativa discreta são representadas em grá-
ficos de barras ou colunas separadas. A variável quantitativa contínua é representada em
colunas agrupadas.
As tabelas 3 e 4 organizam pesquisas que apresentam variáveis quantitativas. Número de
filhos é uma variável quantitativa discreta e os dados são organizados em ordem crescente.
Altura é uma variável quantitativa contínua e os dados são organizados em ordem crescente e
em intervalos de classe.
Observe que na tabela 4 os intervalos de classe apresentam o símbolo ¿ . Esse símbolo inclui
o valor inicial e não inclui o valor final. Ou seja, por exemplo, no intervalo 1,65 ¿1,69, contamos
todos os alunos com alturas de 1,65 m (inclusive) e menor que 1,69 m. Quem tem 1,69 m de
altura entra no intervalo seguinte 1,69 ¿ 1,73.
Agora, observe os dados das tabelas organizados em gráficos.
Gráfico 2
Gráfico 4
Gráfico 1
Gráfico 3
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
0
2
4
6
8
10
12
Frequência
absoluta
Esporte
99
Futebol
12
Vôlei Basquete
Esporte preferido dos
alunos do 8
o
ano A
Grau de
escolaridade
Frequência
absoluta
0
Grau de escolaridade dos
funcionários da empresa X
1020304050
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Pós-graduação
5
10
15
20
25
Frequência
absoluta
Número
de filhos
10
0
5
25
9
123
Número de filhos dos
funcionários da empresa X
0
10
20
30
40
50
60
70
Frequência
absoluta
Altura
(em metro)
20
1,65
70
40
50
20
Altura dos alunos de uma academia
de ginástica
0
1,691,731,771,811,85
Os gráficos 1 e 3 são gráficos de colunas e o gráfico 2 é um gráfico de barras, que já
conhecemos. Eles são adequados para representar variáveis qualitativas e variáveis quantitativas
discretas. Neles, as barras são separadas e relacionam cada valor com sua frequência absoluta.
O gráfico 4 representa a variável quantitativa contínua e é chamado de histograma. Cada
barra representa um intervalo de valores e como eles são contínuos, as barras são agrupadas.
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260. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
A construção de um gráfico
de setores envolve, além do
conhecimento de proporcio-
nalidade, o uso de instrumen-
tos geométricos, como o com-
passo, a régua e o transferidor.
Se julgar oportuno, propor
a construção de gráfico de
setores simples, usando ins-
trumentos geométricos, para
que os alunos possam retomar
esse procedimento e calcular
os ângulos correspondentes
às frequências relativas.
Essa construção também
pode ser feita a partir de um
software de planilha eletrôni-
ca. Caso escolha essa opção,
acompanhar como os alunos
raciocinam para realizar essa
construção. É importante que
eles percebam que os softwa-
res nos ajudam a obter resul-
tados mais rápidos, porém é
preciso saber o conceito que
há por trás da execução dos
programas.
Tabela 1
Tabela 3
Tabela 2
Tabela 4
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Esporte preferido dos alunos do 8
o
ano A
Esporte
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
Futebol 9 30
Vôlei 12 40
Basquete 9 30
Total 30 100
Grau de escolaridade dos funcionários da empresa X
Grau de escolaridade
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
Ensino Fundamental 6 5
Ensino Médio 30 25
Ensino Superior 48 40
Pós-graduação 36 30
Total 120 100
Número de filhos dos funcionários da empresa X
Número
de filhos
Frequência
absoluta
Frequência relativa
(%)
0 10 20
1 5 10
2 25 50
3 10 20
Total 50 100
Altura dos alunos de uma academia
de ginástica
Altura
(em metros)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
1,65 ¿ 1,69 20 10
1,69 ¿ 1,73 70 35
1,73 ¿ 1,77 40 20
1,77 ¿ 1,81 50 25
1,81 ¿ 1,85 20 10
Total 200 100
Frequência absoluta é o número de vezes em que cada
elemento aparece na amostra ou em um intervalo da amostra.
Frequência relativa é a porcentagem da frequência de
cada elemento ou intervalo da amostra.
SAIBA QUE
Qual é o tipo de variável estudada em cada uma das pesquisas repre-
sentadas nas tabelas?
pense e responda
Tabela 1: Qualitativa nominal; tabela 2: qualitativa ordinal;
tabela 3: quantitativa discreta; tabela 4: quantitativa contínua.
Observe que na primeira coluna de cada uma das tabelas acima estão representados os dados
da variável de cada pesquisa.
As tabelas 1 e 2 organizam pesquisas que apresentam variáveis qualitativas. Esporte preferido
é uma variável qualitativa nominal, e os dados podem ser organizados da forma que o pesquisador
preferir. Grau de escolaridade é uma variável qualitativa ordinal, e os dados apresentam uma
hierarquia; assim, devem ser organizados em ordem.
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Considerando os exemplos apresentados, que correspondência
podemos fazer entre o tipo de variável e sua representação gráfica?
pense e responda
Resposta possível: As variáveis qualitativas e quantitativa discreta são representadas em grá-
ficos de barras ou colunas separadas. A variável quantitativa contínua é representada em
colunas agrupadas.
As tabelas 3 e 4 organizam pesquisas que apresentam variáveis quantitativas. Número de
filhos é uma variável quantitativa discreta e os dados são organizados em ordem crescente.
Altura é uma variável quantitativa contínua e os dados são organizados em ordem crescente e
em intervalos de classe.
Observe que na tabela 4 os intervalos de classe apresentam o símbolo ¿ . Esse símbolo inclui
o valor inicial e não inclui o valor final. Ou seja, por exemplo, no intervalo 1,65 ¿1,69, contamos
todos os alunos com alturas de 1,65 m (inclusive) e menor que 1,69 m. Quem tem 1,69 m de
altura entra no intervalo seguinte 1,69 ¿ 1,73.
Agora, observe os dados das tabelas organizados em gráficos.
Gráfico 2
Gráfico 4
Gráfico 1
Gráfico 3
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
0
2
4
6
8
10
12
Frequência
absoluta
Esporte
99
Futebol
12
Vôlei Basquete
Esporte preferido dos
alunos do 8
o
ano A
Grau de
escolaridade
Frequência
absoluta
0
Grau de escolaridade dos
funcionários da empresa X
1020304050
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Ensino Superior
Pós-graduação
5
10
15
20
25
Frequência
absoluta
Número
de filhos
10
0
5
25
9
123
Número de filhos dos
funcionários da empresa X
0
10
20
30
40
50
60
70
Frequência
absoluta
Altura
(em metro)
20
1,65
70
40
50
20
Altura dos alunos de uma academia
de ginástica
0
1,691,731,771,811,85
Os gráficos 1 e 3 são gráficos de colunas e o gráfico 2 é um gráfico de barras, que já
conhecemos. Eles são adequados para representar variáveis qualitativas e variáveis quantitativas
discretas. Neles, as barras são separadas e relacionam cada valor com sua frequência absoluta.
O gráfico 4 representa a variável quantitativa contínua e é chamado de histograma. Cada
barra representa um intervalo de valores e como eles são contínuos, as barras são agrupadas.
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261. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Após os alunos realizarem a
atividade 1, propor que com-
partilhem as respostas para
que a turma conclua qual seria
o melhor tipo de pesquisa es-
colhida. É importante notar se
os argumentos usados pelos
alunos na defesa de sua esco-
lha são consistentes ou se há
algum erro matemático ao se
expressarem.
A atividade 3 mostra aos
alunos que uma pesquisa feita
com uma amostra específica
da população não permite re-
alizar conclusões a respeito de
toda a população. Nesse caso,
seria melhor que a diretora da
escola anotasse as respostas
de meninos e meninas.
Gráfico 2
Gráfico 4
Gráfico 1
Gráfico 3
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Esporte preferido dos
alunos do 8
o
ano A
Esporte
Futebol
30%
30%
Vôlei
Basquete
40%
30 alunos pesquisados
Grau de escolaridade dos
funcionários da empresa X
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Grau de
escolaridade
Ensino Superior
Pós-graduação
25%
5%
30%
40%
120 funcionários pesquisados
Número de filhos dos
funcionários da empresa X
0
1
Número
de filhos
2
3
50%
20%
20%
10%
50 funcionários pesquisados
Altura dos alunos de uma
academia de ginástica
1,65 ¿ 1,69
1,69 ¿ 1,73
Altura
(em metros)
1,73 ¿ 1,77
1,81 ¿ 1,85
1,77 ¿ 1,81
10%10%
25%
35%
20%
200 alunos pesquisados
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Uma fábrica de chocolates decide fazer
uma pesquisa para descobrir se seu
público prefere os chocolates ao leite ou
os chocolates amargos. Na sua opinião, a
pesquisa deverá ser censitária ou amos-
tral? Explique. Resposta pessoal.
2. Uma empresa está verificando a
pertinência da implantação de uma
consultoria nutricional para seus fun-
cionários. Uma das pesquisas realizadas
foi com relação à massa (em quilogra-
mas) de seus funcionários. Para isso,
pesquisaram 50 trabalhadores dos 250
funcionários registrados na empresa.
Com base nas informações anteriores,
responda:
a) Qual a população dessa pesquisa?
b) Qual é a sua amostra?
c) Qual é a variável nessa pesquisa?
Classifique-a.
3. A diretora de uma escola deseja saber
qual é o esporte preferido pelos alunos
de sua escola. Para isso, selecionou uma
amostra dos alunos, contendo apenas
meninos. O que podemos dizer sobre o
resultado dessa pesquisa?
250 funcionários da empresa.
50 funcionários da empresa.
Massa, em quilograma.
Variável quantitativa contínua.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que essa amostra refletirá a opinião de uma parte
dos alunos, já que as meninas não foram representadas na amostra e podem ter opiniões divergentes.
Já o gráfico de setores, que relaciona cada valor da variável com sua porcentagem, pode ser
utilizado para todos os tipos de variáveis. Observe os gráficos referentes às pesquisas das tabelas
apresentadas anteriormente.
Resoluções a partir da p. 289
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4. Em uma pesquisa, 100 jovens universi-
tários foram entrevistados para saber o
consumo diário de água. Copie a tabela
de dados a seguir em seu caderno, com-
pletando a coluna da frequência relativa
em %. Depois responda às questões.
Consumo de água
Fonte: Dados fictícios.
Quantidade de copos
de água (por dia)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
3 23
6 56
9 14
12 7
Total 100
a) Quantos jovens ingerem 6 ou menos
copos de água por dia? 79 jovens.
b) Considerando a recomendação de se
ingerir, no mínimo, 8 copos de água
por dia, qual o percentual de jovens que
cumprem essa recomendação? 21%
5. A tabela apresenta os salários dos 15 fun-
cionários de uma pequena empresa de
informática:
Salários dos funcionários de uma empresa
Fonte: Dados fictícios.
Salários (em reais)Frequência absoluta
954 ¿ 1 443 9
1 443 ¿ 1 932 2
1 932 ¿ 2 421 1
2 421 ¿ 2 910 1
2 910 ¿ 3 399 2
Total 15
a) Quantos funcionários recebem menos
que R$1 932,00? 11 funcionários.
b) Quantos funcionários recebem salário
maior ou igual a R$ 2 421,00?
6. Em uma escola, foi realizada uma pes-
quisa para saber a quantidade de irmãos
de cada um dos 30 alunos do 8
o
ano. A
quantidade de irmãos, por aluno, está
registrada a seguir:
3140221100
0223410231
0243110202
3 funcionários
a) Construa uma tabela que dê a frequên-
cia absoluta e a frequência relativa da
quantidade de irmãos.
b) Quantos alunos possuem 2 ou mais
irmãos? 15 alunos.
7. Os gastos dos clientes de uma padaria
em um sábado, no período da manhã,
estão registrados no histograma.
Número de
clientes
Gastos
(em reais)
7
14
10
12
5
9
5
Gastos dos clientes da padaria
10 15 20 25 3035
Fonte: Dados fictícios.
a) Construa uma tabela de frequências com
os dados apresentados no gráfico.
b) Quantos clientes foram à padaria no pe-
ríodo da pesquisa? 57 clientes.
c) Quantos clientes gastaram menos de
R$ 20,00? 31 clientes.
8. O gráfico mostra o resultado de uma
pesquisa socioeconômica, na qual foi
perguntado a cada um dos 600 entre-
vistados: Quantos aparelhos de TV há
em sua casa?
EDITORIA DE ARTE
Aparelhos de TV nas residências
600 pessoas entrevistadas
0
1
Número de
aparelhos de TV
2
4
3
20%
4%
2%
14%
60%
a) A maioria das pessoas entrevistadas tem
quantos aparelhos de TV em casa? 2.
b) Qual a porcentagem de pessoas que têm
três ou mais aparelhos de TV? 16%
c) Construa uma tabela com os dados do
gráfico, apresentando as frequências ab-
soluta e relativa.
Resposta no final
do livro.
Fonte: Dados fictícios.
EDITORIA DE ARTE
Resposta no final do livro.
Resposta no final do livro.
4. Resposta no final do livro.
23%
56%
14%
7%
100%
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262. A atividade 7 apresenta
um histograma dos gastos
de clientes de uma padaria.
No item a, espera-se que os
alunos percebam que não é
fácil concluir, a partir da leitu-
ra direta do gráfico, quais são
as frequências relativas, por-
tanto, é preciso calcular cada
uma delas.
Gráfico 2
Gráfico 4
Gráfico 1
Gráfico 3
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Fonte: Dados fictícios.
Esporte preferido dos
alunos do 8
o
ano A
Esporte
Futebol
30%
30%
Vôlei
Basquete
40%
30 alunos pesquisados
Grau de escolaridade dos
funcionários da empresa X
Ensino Fundamental
Ensino Médio
Grau de
escolaridade
Ensino Superior
Pós-graduação
25%
5%
30%
40%
120 funcionários pesquisados
Número de filhos dos
funcionários da empresa X
0
1
Número
de filhos
2
3
50%
20%
20%
10%
50 funcionários pesquisados
Altura dos alunos de uma
academia de ginástica
1,65 ¿ 1,69
1,69 ¿ 1,73
Altura
(em metros)
1,73 ¿ 1,77
1,81 ¿ 1,85
1,77 ¿ 1,81
10%10%
25%
35%
20%
200 alunos pesquisados
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Uma fábrica de chocolates decide fazer
uma pesquisa para descobrir se seu
público prefere os chocolates ao leite ou
os chocolates amargos. Na sua opinião, a
pesquisa deverá ser censitária ou amos-
tral? Explique. Resposta pessoal.
2. Uma empresa está verificando a
pertinência da implantação de uma
consultoria nutricional para seus fun-
cionários. Uma das pesquisas realizadas
foi com relação à massa (em quilogra-
mas) de seus funcionários. Para isso,
pesquisaram 50 trabalhadores dos 250
funcionários registrados na empresa.
Com base nas informações anteriores,
responda:
a) Qual a população dessa pesquisa?
b) Qual é a sua amostra?
c) Qual é a variável nessa pesquisa?
Classifique-a.
3. A diretora de uma escola deseja saber
qual é o esporte preferido pelos alunos
de sua escola. Para isso, selecionou uma
amostra dos alunos, contendo apenas
meninos. O que podemos dizer sobre o
resultado dessa pesquisa?
250 funcionários da empresa.
50 funcionários da empresa.
Massa, em quilograma.
Variável quantitativa contínua.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que essa amostra refletirá a opinião de uma parte
dos alunos, já que as meninas não foram representadas na amostra e podem ter opiniões divergentes.
Já o gráfico de setores, que relaciona cada valor da variável com sua porcentagem, pode ser
utilizado para todos os tipos de variáveis. Observe os gráficos referentes às pesquisas das tabelas
apresentadas anteriormente.
Resoluções a partir da p. 289
EDITORIA DE ARTE
216
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 216 11/16/18 11:35
4. Em uma pesquisa, 100 jovens universi-
tários foram entrevistados para saber o
consumo diário de água. Copie a tabela
de dados a seguir em seu caderno, com-
pletando a coluna da frequência relativa
em %. Depois responda às questões.
Consumo de água
Fonte: Dados fictícios.
Quantidade de copos
de água (por dia)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa (%)
3 23
6 56
9 14
12 7
Total 100
a) Quantos jovens ingerem 6 ou menos
copos de água por dia? 79 jovens.
b) Considerando a recomendação de se
ingerir, no mínimo, 8 copos de água
por dia, qual o percentual de jovens que
cumprem essa recomendação? 21%
5. A tabela apresenta os salários dos 15 fun-
cionários de uma pequena empresa de
informática:
Salários dos funcionários de uma empresa
Fonte: Dados fictícios.
Salários (em reais)Frequência absoluta
954 ¿ 1 443 9
1 443 ¿ 1 932 2
1 932 ¿ 2 421 1
2 421 ¿ 2 910 1
2 910 ¿ 3 399 2
Total 15
a) Quantos funcionários recebem menos
que R$1 932,00? 11 funcionários.
b) Quantos funcionários recebem salário
maior ou igual a R$ 2 421,00?
6. Em uma escola, foi realizada uma pes-
quisa para saber a quantidade de irmãos
de cada um dos 30 alunos do 8
o
ano. A
quantidade de irmãos, por aluno, está
registrada a seguir:
3140221100
0223410231
0243110202
3 funcionários
a) Construa uma tabela que dê a frequên-
cia absoluta e a frequência relativa da
quantidade de irmãos.
b) Quantos alunos possuem 2 ou mais
irmãos? 15 alunos.
7. Os gastos dos clientes de uma padaria
em um sábado, no período da manhã,
estão registrados no histograma.
Número de
clientes
Gastos
(em reais)
7
14
10
12
5
9
5
Gastos dos clientes da padaria
10 15 20 25 3035
Fonte: Dados fictícios.
a) Construa uma tabela de frequências com
os dados apresentados no gráfico.
b) Quantos clientes foram à padaria no pe-
ríodo da pesquisa? 57 clientes.
c) Quantos clientes gastaram menos de
R$ 20,00? 31 clientes.
8. O gráfico mostra o resultado de uma
pesquisa socioeconômica, na qual foi
perguntado a cada um dos 600 entre-
vistados: Quantos aparelhos de TV há
em sua casa?
EDITORIA DE ARTE
Aparelhos de TV nas residências
600 pessoas entrevistadas
0
1
Número de
aparelhos de TV
2
4
3
20%
4%
2%
14%
60%
a) A maioria das pessoas entrevistadas tem
quantos aparelhos de TV em casa? 2.
b) Qual a porcentagem de pessoas que têm
três ou mais aparelhos de TV? 16%
c) Construa uma tabela com os dados do
gráfico, apresentando as frequências ab-
soluta e relativa.
Resposta no final
do livro.
Fonte: Dados fictícios.
EDITORIA DE ARTE
Resposta no final do livro.
Resposta no final do livro.
4. Resposta no final do livro.
23%
56%
14%
7%
100%
217
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263. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Média aritmética
simples
Ao explorar o cálculo da
média aritmética simples,
apresentar outras situações
em que ela está presente: de-
terminar a altura média dos
jogadores de um time de bas-
quete, calcular o tempo médio
do deslocamento de casa até
um local ao longo de uma se-
mana, são alguns exemplos.
Comentar que muitas pes-
soas utilizam o termo mé-
dia sem o rigor matemático.
Quando pedem uma pizza,
por exemplo, e o atendente
diz que ela será entregue em
média em 30 minutos, a ideia
por trás disso é que, a partir da
experiência de entrega de piz-
zas daquele estabelecimento,
o tempo costuma ser em tor-
no de 30 minutos.
4
CAPÍTULO
MEDIDAS EM ESTATÍSTICA
As medidas estatísticas existem para nos ajudar a verificar se determinado valor
representa bem uma série de dados. As medidas estatísticas que vamos estudar agora
são a média aritmética simples e a ponderada, a moda e a mediana.
Média aritmética
Média aritmética simples
Veja a situação a seguir.
Marina acompanha a previsão do tempo na cidade onde mora. A tabela mostra
as temperaturas mínimas previstas para a semana de 27 a 31 de agosto de 2018.
Data 27/08 28/08 29/08 30/08 31/08
Temperaturas
mínimas (em
o
C)
10 11 14 15 15
Fonte: Dados fictícios.
Temperaturas mínimas previstas para a semana de
27 a 31 de agosto de 2018
Podemos calcular a temperatura mínima média desses 5 dias, adicionando todas as
temperaturas e dividindo o resultado por 5, ou seja, pela quantidade de dados da tabela.
!
"" ""
! =T
1011141515
5
65
5
13
min
Dessa maneira, a temperatura mínima média prevista para os cinco dias de
agosto foi de 13 °C.
A média apresenta de forma resumida um conjunto de dados, e o valor encon-
trado representa todos os valores desse conjunto.
A média aritmética simples de uma série de dados é determinada pela
soma de todos os dados dividida pela quantidade de dados.
Média aritmética ponderada
Algumas situações pressupõem o cálculo da média aritmética ponderada.
Veja o exemplo a seguir.
Na disciplina de Matemática, Marcos foi avaliado de diferentes maneiras: um traba-
lho individual com peso 1; duas provas mensais, cada uma com peso 2; e uma prova
218
D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 218 16/11/18 18:56
O símbolo ∑ significa somatório.
SAIBA QUE
Quando uma prova tem peso 2, é como se a nota obtida nessa prova fosse contada duas
vezes. Veja como podemos organizar as notas de Marcos:
!"####$#### !"####$#### !"###########$###########%
7,74 ,84,88 ,48,46 ,16,16,16,1
peso1 peso2p eso2 peso4
Assim, é como se Marcos tivesse realizado 9 provas e sua média é dada por:
== =
++ ++ ++++
M
7,74,84,88,48,46,16,16,16,1
9
58,5
9
6,5
Outra maneira de calcular a média de notas de Marcos é multiplicar a nota obtida em cada
um dos instrumentos avaliativos por seu respectivo peso. Em seguida, dividir pela soma dos pesos:
M
7,714,828,426,14
1224
7,79,616,824,4
9
58,5
9
6,5!
"" "
"""
!
"" "
!
⋅⋅ ⋅⋅
=
A média aritmética ponderada de uma série de dados é determinada pela
soma de todos os produtos de cada valor multiplicado pelo seu peso e dividido
pela soma dos pesos.
A média aritmética ponderada também é utilizada quando os dados estão representados
em tabelas. Assim, os pesos são indicados pela frequência absoluta, que apresenta a quantidade
de vezes em que o valor aparece. Podemos organizar as notas de Marcos da seguinte maneira:
Notas de Marcos em Matemática
Nota
Frequência
absoluta (peso)
Nota
x
frequência
4,8 2 9,6
6,1 4 24,4
7,7 1 7,7
8,4 2 16,8
Total 9 58,5
Fonte: Boletim de Marcos.
== =
∑
∑
×
M
(NotaFrequênciaabsoluta)
Frequênciaabsoluta
58,5
9
6,5
final, com peso 4. Marcos obteve nota 7,7 no trabalho, 4,8 e 8,4 nas provas mensais e 6,1 na
avaliação final. Qual foi a média de notas obtida por Marcos?
219
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264. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao explorar a situação
apresentada no cálculo da
média aritmética ponderada,
notas escolares, discutir com
a turma como seria possível
descobrir a nota mínima que é
necessário obter em uma pro-
va a partir de outras notas já
obtidas para ser aprovado. Por
exemplo, se a nota mínima de
aprovação em Matemática de
uma escola é 7 e determinado
aluno obteve notas 4 e 6, res-
pectivamente, em provas com
pesos 1 e 2, qual deverá ser a
nota mínima que ele deve tirar
na terceira prova desse siste-
ma de avaliação para ser apro-
vado, sabendo que a terceira
prova tem peso 2? Espera-se
que os alunos elaborem uma
equação para resolver essa si-
tuação e concluam que a nota
mínima, nesse caso, é 9,5.
4
CAPÍTULO
MEDIDAS EM ESTATÍSTICA
As medidas estatísticas existem para nos ajudar a verificar se determinado valor
representa bem uma série de dados. As medidas estatísticas que vamos estudar agora
são a média aritmética simples e a ponderada, a moda e a mediana.
Média aritmética
Média aritmética simples
Veja a situação a seguir.
Marina acompanha a previsão do tempo na cidade onde mora. A tabela mostra
as temperaturas mínimas previstas para a semana de 27 a 31 de agosto de 2018.
Data 27/08 28/08 29/08 30/08 31/08
Temperaturas
mínimas (em
o
C)
10 11 14 15 15
Fonte: Dados fictícios.
Temperaturas mínimas previstas para a semana de
27 a 31 de agosto de 2018
Podemos calcular a temperatura mínima média desses 5 dias, adicionando todas as
temperaturas e dividindo o resultado por 5, ou seja, pela quantidade de dados da tabela.
!
"" ""
! =T
1011141515
5
65
5
13
min
Dessa maneira, a temperatura mínima média prevista para os cinco dias de
agosto foi de 13 °C.
A média apresenta de forma resumida um conjunto de dados, e o valor encon-
trado representa todos os valores desse conjunto.
A média aritmética simples de uma série de dados é determinada pela
soma de todos os dados dividida pela quantidade de dados.
Média aritmética ponderada
Algumas situações pressupõem o cálculo da média aritmética ponderada.
Veja o exemplo a seguir.
Na disciplina de Matemática, Marcos foi avaliado de diferentes maneiras: um traba-
lho individual com peso 1; duas provas mensais, cada uma com peso 2; e uma prova
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O símbolo ∑ significa somatório.
SAIBA QUE
Quando uma prova tem peso 2, é como se a nota obtida nessa prova fosse contada duas
vezes. Veja como podemos organizar as notas de Marcos:
!"####$#### !"####$#### !"###########$###########%
7,74 ,84,88 ,48,46 ,16,16,16,1
peso1 peso2p eso2 peso4
Assim, é como se Marcos tivesse realizado 9 provas e sua média é dada por:
== =
++ ++ ++++
M
7,74,84,88,48,46,16,16,16,1
9
58,5
9
6,5
Outra maneira de calcular a média de notas de Marcos é multiplicar a nota obtida em cada
um dos instrumentos avaliativos por seu respectivo peso. Em seguida, dividir pela soma dos pesos:
M
7,714,828,426,14
1224
7,79,616,824,4
9
58,5
9
6,5!
"" "
"""
!
"" "
!
⋅⋅ ⋅⋅
=
A média aritmética ponderada de uma série de dados é determinada pela
soma de todos os produtos de cada valor multiplicado pelo seu peso e dividido
pela soma dos pesos.
A média aritmética ponderada também é utilizada quando os dados estão representados
em tabelas. Assim, os pesos são indicados pela frequência absoluta, que apresenta a quantidade
de vezes em que o valor aparece. Podemos organizar as notas de Marcos da seguinte maneira:
Notas de Marcos em Matemática
Nota
Frequência
absoluta (peso)
Nota
x
frequência
4,8 2 9,6
6,1 4 24,4
7,7 1 7,7
8,4 2 16,8
Total 9 58,5
Fonte: Boletim de Marcos.
== =
∑
∑
×
M
(NotaFrequênciaabsoluta)
Frequênciaabsoluta
58,5
9
6,5
final, com peso 4. Marcos obteve nota 7,7 no trabalho, 4,8 e 8,4 nas provas mensais e 6,1 na
avaliação final. Qual foi a média de notas obtida por Marcos?
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265. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Saiba que
Ao apresentar essa infor-
mação aos alunos, verificar
se eles não trazem uma ideia
errada a respeito da moda, ao
considerar que uma série de
dados não apresenta moda,
registrar que a moda é igual
a 0.
Pedir que os alunos deem
exemplos de situações que
podem apresentar mais de
uma moda. Por exemplo,
uma pesquisa que pergunta
a quantidade de moradores
da residência. Quanto maior o
número de residências investi-
gadas, maiores são as chances
de ter modas diferentes.
Moda
A moda também é uma medida utilizada na análise de dados estatísticos. Ela indica o valor
que mais se repete entre os dados. Veja os exemplos a seguir.
1 Em um condomínio de casas, foi realizada uma pesquisa sobre o número de habitantes por
residência. Observe os resultados:
1 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5
O número que mais apareceu, ou seja, que teve a maior frequência, foi de 3 habitantes por
residência. Assim, a moda dessa pesquisa é 3 habitantes.
2. A tabela mostra uma pesquisa realizada com alunos do Ensino Médio de uma escola sobre
o número de irmãos. Observe.
Número de irmãos dos alunos do Ensino Médio
Número de irmãosFrequência absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Para determinar a moda do número de irmãos dessa pesquisa, basta olhar o dado que
apresenta maior frequência. O número 35 é maior número na frequência absoluta, indicando
que 35 alunos têm 2 irmãos. Assim, a moda dessa pesquisa é 2 irmãos.
Uma série de dados pode ter mais de uma moda, quando diferentes valores possuem
a mesma frequência; ou ainda, pode não ter moda, quando nenhum valor se repete.
SAIBA QUE
A moda de uma série de dados é determinada pelo valor que apresenta
a maior frequência.
Mediana
A mediana é a medida estatística que divide o conjunto de dados em duas partes com a
mesma quantidade de termos, na qual a primeira parte apresenta valores menores ou iguais a
ela e, na segunda parte, valores maiores ou iguais a ela.
Veja o exemplo a seguir.
A joalheria Gema Pura vende algumas pedras preciosas. Observe, na tabela a seguir, os preços
unitários de venda das pedras preciosas dessa joalheria.
220
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Se uma série de dados possui uma quantidade ímpar de dados, a mediana
é o termo central da série, organizada em ordem crescente (ou decrescente).
Podemos organizar todos os valores em ordem crescente e buscar o preço unitário de venda
que separa os demais preços em duas partes iguais.
Veja como fizemos:
Pedra Preço unitário (R$)
Ágata 80,00
Ametista 10,00
Berilo 30,00
Diamante 190,00
Esmeralda 40,00
Rubi 700,00
Topázio 2,00
Tabela de preços
Fonte: Joalheria Gema Pura.
O dono da joalheria Gema Pura adquiriu uma pedra de Jade. Veja como ficou a tabela de
preços com a compra dessa pedra:
Pedra
Preço unitário
(R$)
Ágata 80,00
Ametista 10,00
Berilo 30,00
Diamante 190,00
Esmeralda 40,00
Jade 85,00
Rubi 700,00
Topázio 2,00
Tabela de preços
Fonte: Joalheria Gema Pura.
2 10 30 40 80190700
termo central

(Os preços estão em reais.)
Nesse caso, dizemos que a quantidade de preços
unitários de venda das pedras da joalheria Gema Pura
que são menores ou iguais ao termo central é igual
à quantidade de preços unitários de venda que são
maiores ou iguais ao termo central. Esse termo central
é a mediana desse conjunto de dados.
A mediana dos preços das pedras preciosas dessa joalheria é R$ 40,00, ou seja, metade
das pedras preciosas tem preços menores ou iguais a R$ 40,00 e outra metade das pedras
preciosas tem preços maiores ou iguais a R$ 40,00.
A joalheria passou a ter 8 pedras, um número par de
itens (e não ímpar, como na tabela anterior, em que foram
relacionados 7 preços). Nesse caso, a mediana é calculada por
meio da média aritmética dos termos centrais, de modo que a
quantidade de valores que são menores ou iguais à mediana
seja igual à quantidade de valores que são maiores ou iguais
à mediana.
Com a aquisição da nova pedra, os preços unitários de venda
(em reais), em ordem crescente, foram organizados assim:
2 10 30 40 80 19070085
termos centrais
A mediana dos preços de venda passou a ser R$ 60,00
⎛
⎝
⎞
⎠
!4080
2
.
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220
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266. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
É importante enfatizar que
é preciso ordenar os valores
de uma série de dados para
obter a mediana. Caso os alu-
nos não façam isso, podem
realizar conclusões erradas a
respeito do conjunto de dados
analisado.
Propor aos alunos um exer-
cício prático usando tecno-
logia. Em um conjunto com
muitos valores, por exemplo,
200 ocorrências coletadas,
como é possível determinar
a mediana deles usando uma
planilha eletrônica? Construir,
com a turma, essa situação em
uma planilha eletrônica e mos-
trar como é possível ordenar
os valores do menor para o
maior e desse modo descobrir
a mediana desejada.
Moda
A moda também é uma medida utilizada na análise de dados estatísticos. Ela indica o valor
que mais se repete entre os dados. Veja os exemplos a seguir.
1 Em um condomínio de casas, foi realizada uma pesquisa sobre o número de habitantes por
residência. Observe os resultados:
1 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5
O número que mais apareceu, ou seja, que teve a maior frequência, foi de 3 habitantes por
residência. Assim, a moda dessa pesquisa é 3 habitantes.
2. A tabela mostra uma pesquisa realizada com alunos do Ensino Médio de uma escola sobre
o número de irmãos. Observe.
Número de irmãos dos alunos do Ensino Médio
Número de irmãosFrequência absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Para determinar a moda do número de irmãos dessa pesquisa, basta olhar o dado que
apresenta maior frequência. O número 35 é maior número na frequência absoluta, indicando
que 35 alunos têm 2 irmãos. Assim, a moda dessa pesquisa é 2 irmãos.
Uma série de dados pode ter mais de uma moda, quando diferentes valores possuem
a mesma frequência; ou ainda, pode não ter moda, quando nenhum valor se repete.
SAIBA QUE
A moda de uma série de dados é determinada pelo valor que apresenta
a maior frequência.
Mediana
A mediana é a medida estatística que divide o conjunto de dados em duas partes com a
mesma quantidade de termos, na qual a primeira parte apresenta valores menores ou iguais a
ela e, na segunda parte, valores maiores ou iguais a ela.
Veja o exemplo a seguir.
A joalheria Gema Pura vende algumas pedras preciosas. Observe, na tabela a seguir, os preços
unitários de venda das pedras preciosas dessa joalheria.
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Se uma série de dados possui uma quantidade ímpar de dados, a mediana
é o termo central da série, organizada em ordem crescente (ou decrescente).
Podemos organizar todos os valores em ordem crescente e buscar o preço unitário de venda
que separa os demais preços em duas partes iguais.
Veja como fizemos:
Pedra Preço unitário (R$)
Ágata 80,00
Ametista 10,00
Berilo 30,00
Diamante 190,00
Esmeralda 40,00
Rubi 700,00
Topázio 2,00
Tabela de preços
Fonte: Joalheria Gema Pura.
O dono da joalheria Gema Pura adquiriu uma pedra de Jade. Veja como ficou a tabela de
preços com a compra dessa pedra:
Pedra
Preço unitário
(R$)
Ágata 80,00
Ametista 10,00
Berilo 30,00
Diamante 190,00
Esmeralda 40,00
Jade 85,00
Rubi 700,00
Topázio 2,00
Tabela de preços
Fonte: Joalheria Gema Pura.
2 10 30 40 80190700
termo central

(Os preços estão em reais.)
Nesse caso, dizemos que a quantidade de preços
unitários de venda das pedras da joalheria Gema Pura
que são menores ou iguais ao termo central é igual
à quantidade de preços unitários de venda que são
maiores ou iguais ao termo central. Esse termo central
é a mediana desse conjunto de dados.
A mediana dos preços das pedras preciosas dessa joalheria é R$ 40,00, ou seja, metade
das pedras preciosas tem preços menores ou iguais a R$ 40,00 e outra metade das pedras
preciosas tem preços maiores ou iguais a R$ 40,00.
A joalheria passou a ter 8 pedras, um número par de
itens (e não ímpar, como na tabela anterior, em que foram
relacionados 7 preços). Nesse caso, a mediana é calculada por
meio da média aritmética dos termos centrais, de modo que a
quantidade de valores que são menores ou iguais à mediana
seja igual à quantidade de valores que são maiores ou iguais
à mediana.
Com a aquisição da nova pedra, os preços unitários de venda
(em reais), em ordem crescente, foram organizados assim:
2 10 30 40 80 19070085
termos centrais
A mediana dos preços de venda passou a ser R$ 60,00
⎛
⎝
⎞
⎠
!4080
2
.
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267. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Amplitude
Apresentar o conceito de
amplitude e pedir aos alunos
que calculem a amplitude de
situações apresentadas ante-
riormente. No caso da tabela
com os preços das pedras de
uma joalheria, apresentada na
página anterior, a amplitude
é R$ 698,00. Questionar os
alunos a respeito do que sig-
nifica esse valor. Espera-se que
eles concluam que isso mostra
uma diferença grande entre
elementos de um mesmo con-
junto de dados, no caso, dife-
rença grande entre os valores
cobrados pelas pedras. Se a
amplitude, nessa situação,
fosse R$ 20,00, a diferença
entre os valores das pedras se-
ria bem menor.
Comentar que a amplitude
nos ajuda a realizar conclusões
mais precisas a respeito dos
dados de um conjunto, junto
a média, a mediana e a moda.
Amplitude
A amplitude de uma série de dados é uma medida que nos auxilia na análise das medidas
que acabamos de estudar.
Os dados a seguir apresentam as notas de Lucas e de Mariana na disciplina Língua Portuguesa:
A amplitude de uma série de dados é a diferença entre o maior valor e o
menor valor observados.
Podemos dizer que, quanto menor a amplitude dos dados, mais próximos eles estão da média,
da moda e da mediana.
Como a amplitude das notas de Lucas é bem maior que a amplitude das notas de Mariana,
podemos dizer que as notas de Lucas estão “mais espalhadas” que as de Mariana, ou seja, as
notas de Mariana ficam mais próximas das medidas que encontramos.
Calculando a média, a moda e a mediana das notas de cada um, temos:
Lucas
== =
=
!"###
++++ +
→
+
Média
3,54,06,56,59,09,5
6
39
6
6,5
Mediana:3,54,06,56,59,09,5
6,56,5
2
6,5
Moda:6,5
termoscentrais
Mariana
== =
=
!"###
++++ +
→
+
Média
5,56,06,56,57,07,5
6
39
6
6,5
Mediana:5,56,06,56,57,07,5
6,56,5
2
6,5
Moda:6,5
termoscentrais
Observando esses cálculos, temos a impressão de que as duas séries de dados são muito
parecidas, pois a média, a moda e a mediana das notas de Lucas são iguais às de Mariana. Porém,
ao olhar os dados de forma mais cuidadosa, verificamos que os dois grupos são diferentes.
Para analisar melhor essas notas, vamos considerar a diferença entre a maior e a menor nota
de cada um.
Lucas
Maior nota: 9,5 Menor nota: 3,5
Diferença: 9,5 _ 3,5 = 6,0
Mariana
Maior nota: 7,5 Menor nota: 5,5
Diferença: 7,5 _ 5,5 = 2,0
Lucas: 3,5 – 4,0 – 6,5 – 6,5 – 9,0 – 9,5 Mariana: 5,5 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0 – 7,5
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O quadro mostra as notas de quatro
alunos do 8
o
ano na disciplina de Ciências.
Observe:
Bruno6,57,57,07,56,0
Camila8,08,07,06,57,5
Marcela5,05,54,55,56,0
Roberto4,57,55,05,08,0
a) Determine a média de notas de cada um
dos alunos.
b) Para serem aprovados nessa disciplina,
os alunos precisam de média maior ou
igual a 6,0. Quais dos alunos acima
foram aprovados?
2. O quadro a seguir apresenta a altura
dos jogadores de basquete do time do
9
o
ano do Colégio Y.
Nome ArturBernardoFernando
Altura (em m)1,65 1,69 1,79
GuilhermeMarceloOtávioWilson
1,75 1,63 1,69 1,76
a) Determine a altura média dos jogadores
desse time. A altura média é 1,71 m.
b) Qual é a mediana das alturas dos joga-
dores desse time? Explique o significado
desse valor.
c) Gustavo também vai fazer parte do time
de basquete do 9
o
ano do Colégio Y. Se
sua altura é 1,78 m, qual será a altura
média e a mediana das alturas do time
considerando o novo integrante?
3. No curso de sapateado de Marina, são
6 meninas e 4 meninos, de diferentes
idades, que compõem a companhia de
dança. Na tabela a seguir, registraram-se
as idades dos integrantes desse grupo:
1217151412199111410
a) Qual é a idade média dos participantes
desse grupo de dança? 13,3 anos.
1. Bruno teve média 6,9; Camila,
7,4; Marcela, 5,3 e Roberto, 6,0.
Bruno, Camila e Roberto
foram aprovados.
b) Esse conjunto de dados possui uma moda?
Em caso afirmativo, qual é essa moda?
c) Determine a mediana dessa série de
dados. Não se esqueça de organizá-las
em ordem crescente ou decrescente.
d) Determine a amplitude desses dados.
4. (Enem/MEC) Uma pessoa, ao fazer uma
pesquisa com alguns alunos de um curso,
coletou as idades dos entrevistados e or-
ganizou esses dados em um gráfico.
12
15
21
Fr
equência de ocorrência
Idade (ano)9 12 18
Qual a moda das idades, em anos, dos
entrevistados? Alternativa a.
a) 9
b) 12
c) 13
d) 15
e) 21
5. No quadro seguinte, temos as notas
obtidas por dois alunos do 8
o
ano de
certa escola, acompanhadas dos respec-
tivos pesos de cada uma das avaliações.
AvaliaçãoPeso
Notas do
aluno 1
Notas do
aluno 2
Prova
mensal
3 5,5 6,3
Trabalho
em grupo
2 9,2 8,7
Lista de
exercícios
1 10,0 9,8
Prova
trimestral
4 5,4 4,9
Sabendo que a média para aprovação
nessa escola é 6,0, verifique se os alunos
1 e 2 estão aprovados.
13
19 – 9 = 10
Possui duas modas: 12 anos e 14 anos.
Fr Idade (ano)
2. b) A mediana é 1,69 m. Metade dos jogadores tem
altura menor ou igual a 1,69 m e a outra metade tem
altura maior ou igual a 1,69 m.
2. c) A altura média será 1,72 m e a mediana, 1,72 m.
Resoluções a partir da p. 289
Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57. Os dois alunos
estão aprovados.
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268. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Na atividade 4, os alunos
devem ler o gráfico proposto
no enunciado e retirar dele
as informações necessárias
para determinar a moda. Pelo
gráfico, é possível identificar
que 21 pessoas entrevistadas
tinham 9 anos, 15 pessoas ti-
nham 12 anos, e 12 pessoas
tinham 18 anos. Como foram
48 pessoas entrevistadas e
a idade com maior número
de ocorrência foi 9, então a
moda é 9.
Amplitude
A amplitude de uma série de dados é uma medida que nos auxilia na análise das medidas
que acabamos de estudar.
Os dados a seguir apresentam as notas de Lucas e de Mariana na disciplina Língua Portuguesa:
A amplitude de uma série de dados é a diferença entre o maior valor e o
menor valor observados.
Podemos dizer que, quanto menor a amplitude dos dados, mais próximos eles estão da média,
da moda e da mediana.
Como a amplitude das notas de Lucas é bem maior que a amplitude das notas de Mariana,
podemos dizer que as notas de Lucas estão “mais espalhadas” que as de Mariana, ou seja, as
notas de Mariana ficam mais próximas das medidas que encontramos.
Calculando a média, a moda e a mediana das notas de cada um, temos:
Lucas
== =
=
!"###
++++ +
→
+
Média
3,54,06,56,59,09,5
6
39
6
6,5
Mediana:3,54,06,56,59,09,5
6,56,5
2
6,5
Moda:6,5
termoscentrais
Mariana
== =
=
!"###
++++ +
→
+
Média
5,56,06,56,57,07,5
6
39
6
6,5
Mediana:5,56,06,56,57,07,5
6,56,5
2
6,5
Moda:6,5
termoscentrais
Observando esses cálculos, temos a impressão de que as duas séries de dados são muito
parecidas, pois a média, a moda e a mediana das notas de Lucas são iguais às de Mariana. Porém,
ao olhar os dados de forma mais cuidadosa, verificamos que os dois grupos são diferentes.
Para analisar melhor essas notas, vamos considerar a diferença entre a maior e a menor nota
de cada um.
Lucas
Maior nota: 9,5 Menor nota: 3,5
Diferença: 9,5 _ 3,5 = 6,0
Mariana
Maior nota: 7,5 Menor nota: 5,5
Diferença: 7,5 _ 5,5 = 2,0
Lucas: 3,5 – 4,0 – 6,5 – 6,5 – 9,0 – 9,5 Mariana: 5,5 – 6,0 – 6,5 – 6,5 – 7,0 – 7,5
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. O quadro mostra as notas de quatro
alunos do 8
o
ano na disciplina de Ciências.
Observe:
Bruno6,57,57,07,56,0
Camila8,08,07,06,57,5
Marcela5,05,54,55,56,0
Roberto4,57,55,05,08,0
a) Determine a média de notas de cada um
dos alunos.
b) Para serem aprovados nessa disciplina,
os alunos precisam de média maior ou
igual a 6,0. Quais dos alunos acima
foram aprovados?
2. O quadro a seguir apresenta a altura
dos jogadores de basquete do time do
9
o
ano do Colégio Y.
Nome ArturBernardoFernando
Altura (em m)1,65 1,69 1,79
GuilhermeMarceloOtávioWilson
1,75 1,63 1,69 1,76
a) Determine a altura média dos jogadores
desse time. A altura média é 1,71 m.
b) Qual é a mediana das alturas dos joga-
dores desse time? Explique o significado
desse valor.
c) Gustavo também vai fazer parte do time
de basquete do 9
o
ano do Colégio Y. Se
sua altura é 1,78 m, qual será a altura
média e a mediana das alturas do time
considerando o novo integrante?
3. No curso de sapateado de Marina, são
6 meninas e 4 meninos, de diferentes
idades, que compõem a companhia de
dança. Na tabela a seguir, registraram-se
as idades dos integrantes desse grupo:
1217151412199111410
a) Qual é a idade média dos participantes
desse grupo de dança? 13,3 anos.
1. Bruno teve média 6,9; Camila,
7,4; Marcela, 5,3 e Roberto, 6,0.
Bruno, Camila e Roberto
foram aprovados.
b) Esse conjunto de dados possui uma moda?
Em caso afirmativo, qual é essa moda?
c) Determine a mediana dessa série de
dados. Não se esqueça de organizá-las
em ordem crescente ou decrescente.
d) Determine a amplitude desses dados.
4. (Enem/MEC) Uma pessoa, ao fazer uma
pesquisa com alguns alunos de um curso,
coletou as idades dos entrevistados e or-
ganizou esses dados em um gráfico.
12
15
21
Fr
equência de ocorrência
Idade (ano)9 12 18
Qual a moda das idades, em anos, dos
entrevistados? Alternativa a.
a) 9
b) 12
c) 13
d) 15
e) 21
5. No quadro seguinte, temos as notas
obtidas por dois alunos do 8
o
ano de
certa escola, acompanhadas dos respec-
tivos pesos de cada uma das avaliações.
AvaliaçãoPeso
Notas do
aluno 1
Notas do
aluno 2
Prova
mensal
3 5,5 6,3
Trabalho
em grupo
2 9,2 8,7
Lista de
exercícios
1 10,0 9,8
Prova
trimestral
4 5,4 4,9
Sabendo que a média para aprovação
nessa escola é 6,0, verifique se os alunos
1 e 2 estão aprovados.
13
19 – 9 = 10
Possui duas modas: 12 anos e 14 anos.
Fr Idade (ano)
2. b) A mediana é 1,69 m. Metade dos jogadores tem
altura menor ou igual a 1,69 m e a outra metade tem
altura maior ou igual a 1,69 m.
2. c) A altura média será 1,72 m e a mediana, 1,72 m.
Resoluções a partir da p. 289
Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57. Os dois alunos
estão aprovados.
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269. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Realizando pesquisas
estatísticas
É importante que os alu-
nos compreendam que toda
pesquisa estatística tem um
objetivo definido e que con-
clusões podem ser realizadas
a partir dos dados obtidos.
Por isso, a pesquisa deve se-
guir critérios definidos antes
de ser executada.
Depois do objetivo defini-
do, é preciso pensar nas vari-
áveis a serem analisadas, no
tamanho da amostra, quais
perguntas serão elaboradas.
Após a pesquisa, definir como
os dados serão apresentados:
se apenas em tabelas ou, tam-
bém, em gráficos. Com os da-
dos organizados, calcular as
medidas de tendência central,
se possível e pertinente, e rea-
lizar possíveis conclusões.
5
CAPÍTULO
REALIZANDO PESQUISAS
ESTATÍSTICAS
Para realizar uma pesquisa, precisamos de um objetivo que nos possibilita iden-
tificar a população a ser pesquisada, a necessidade de fazer uma amostragem e a
variável a ser estudada. Depois, é necessário um planejamento de como será feita a
coleta dos dados.
Veja a seguinte situação.
Uma escola pretende levar os alunos dos 8
o
e 9
o
anos para assistir a uma peça
de teatro (objetivo). Para isso, a coordenadora resolveu fazer uma pesquisa sobre
qual peça eles gostariam de assistir (variável). Ela entrevistou 60 alunos (amostra)
dos 200 alunos matriculados nos 8
o
e 9
o
anos (população).
A coordenadora selecionou 3 peças para os alunos escolherem, que vamos chamar
de Peça 1, Peça 2 e Peça 3. Como a população a ser pesquisada tem 120 meninas e
80 meninos, ela selecionou uma amostra proporcional estratificada. Observe:
PopulaçãoAmostra
Meninos 80 24
Meninas 120 36
Total 200 60
!
!
=
⋅
=
200 80
60 x
x
6080
2000
24
!
!
=
⋅
=
200 120
60 x
x
60120
2000
36
e
Nome:
Idade: Sexo: M ( ) F ( )
Qual peça de teatro você gostaria de assistir? Escolha somente 1 opção.
( ) Peça 1 ( ) Peça 2 ( ) Peça 3
Depois de selecionada a amostra, ela elaborou um questionário para os alunos responderem:
!
!
=
⋅
=
200 80
60 x
x
6080
2000
24
!
!
=
⋅
=
200 120
60 x
x
60120
2000
36
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Ela organizou os dados coletados em uma tabela e um gráfico:
Peça de teatro preferida
5
10
15
20
25
30
Frequência
absoluta
Peça
28
17
Peça 1
15
Peça 2 Peça 3
Peça de teatro preferida
0
Peça
Frequência
absoluta
Peça 1 28
Peça 2 15
Peça 3 17
Total 60
Fonte: Alunos dos 8
o
e 9
o
anos.
Após analisar os dados da pesquisa, a coordenadora tomou a decisão de levar os alunos ao
teatro para assistirem à Peça 1.
É possível calcular a média dos dados dessa pesquisa?
Explique sua resposta.Não, pois essa pesquisa trabalhou com
uma variável qualitativa.
pense e responda
ATIVIDADE
Responda às questões no caderno.
1. Agora é sua vez! Junte-se a um colega e façam duas pesquisas seguindo as
orientações a seguir:
a) Pesquisa com uma variável qualitativa nominal
Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável.
Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela,
gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores.
Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa.
b) Pesquisa com uma variável quantitativa discreta
Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável.
Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela,
gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores.
Determinem a média, a moda, a mediana e a amplitude dos dados da pesquisa.
Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa, relacionando essas medidas.
Resoluções a partir da p. 289
Resoluções a partir da p. 289
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270. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Verificar se os alunos con-
cluem que não é possível cal-
cular a média dos dados da
pesquisa apresentada, pois
eles foram obtidos a partir de
uma variável qualitativa: os
alunos da situação precisavam
escolher uma peça entre três
oferecidas. Nesse ponto, é es-
perado que os alunos treinem
o olhar crítico a respeito da
Estatística e avaliem quando
uma ou outra medida de ten-
dência central será utilizada.
Atividade
A atividade proposta leva
os alunos a terem uma pos-
tura ativa, pois eles terão que
definir as pesquisas que vão
realizar a partir do tipo indi-
cado de variável. Acompanhar
o processo realizado por eles
ao longo dessas pesquisas. A
respeito do relatório final, é
importante que esteja bem
escrito e consiga transmitir ao
leitor, que não fez parte da
pesquisa, o que pode ser con-
cluído a respeito dela.
5
CAPÍTULO
REALIZANDO PESQUISAS
ESTATÍSTICAS
Para realizar uma pesquisa, precisamos de um objetivo que nos possibilita iden-
tificar a população a ser pesquisada, a necessidade de fazer uma amostragem e a
variável a ser estudada. Depois, é necessário um planejamento de como será feita a
coleta dos dados.
Veja a seguinte situação.
Uma escola pretende levar os alunos dos 8
o
e 9
o
anos para assistir a uma peça
de teatro (objetivo). Para isso, a coordenadora resolveu fazer uma pesquisa sobre
qual peça eles gostariam de assistir (variável). Ela entrevistou 60 alunos (amostra)
dos 200 alunos matriculados nos 8
o
e 9
o
anos (população).
A coordenadora selecionou 3 peças para os alunos escolherem, que vamos chamar
de Peça 1, Peça 2 e Peça 3. Como a população a ser pesquisada tem 120 meninas e
80 meninos, ela selecionou uma amostra proporcional estratificada. Observe:
PopulaçãoAmostra
Meninos 80 24
Meninas 120 36
Total 200 60
!
!
=
⋅
=
200 80
60 x
x
6080
2000
24
!
!
=
⋅
=
200 120
60 x
x
60120
2000
36
e
Nome:
Idade: Sexo: M ( ) F ( )
Qual peça de teatro você gostaria de assistir? Escolha somente 1 opção.
( ) Peça 1 ( ) Peça 2 ( ) Peça 3
Depois de selecionada a amostra, ela elaborou um questionário para os alunos responderem:
!
!
=
⋅
=
200 80
60 x
x
6080
2000
24
!
!
=
⋅
=
200 120
60 x
x
60120
2000
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Ela organizou os dados coletados em uma tabela e um gráfico:
Peça de teatro preferida
5
10
15
20
25
30
Frequência
absoluta
Peça
28
17
Peça 1
15
Peça 2 Peça 3
Peça de teatro preferida
0
Peça
Frequência
absoluta
Peça 1 28
Peça 2 15
Peça 3 17
Total 60
Fonte: Alunos dos 8
o
e 9
o
anos.
Após analisar os dados da pesquisa, a coordenadora tomou a decisão de levar os alunos ao
teatro para assistirem à Peça 1.
É possível calcular a média dos dados dessa pesquisa?
Explique sua resposta.Não, pois essa pesquisa trabalhou com
uma variável qualitativa.
pense e responda
ATIVIDADE
Responda às questões no caderno.
1. Agora é sua vez! Junte-se a um colega e façam duas pesquisas seguindo as
orientações a seguir:
a) Pesquisa com uma variável qualitativa nominal
Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável.
Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela,
gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores.
Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa.
b) Pesquisa com uma variável quantitativa discreta
Escolham um objetivo, definam a população, a amostra e a variável.
Façam a pesquisa e escrevam um relatório com os resultados, organizando-os em tabela,
gráfico de colunas ou de barras e gráfico de setores.
Determinem a média, a moda, a mediana e a amplitude dos dados da pesquisa.
Não esqueçam de colocar a conclusão de sua pesquisa, relacionando essas medidas.
Resoluções a partir da p. 289
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271. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tecnologias
Ao longo da Unidade, os
alunos tiveram contato com
diferentes situações que apre-
sentaram dados possíveis de
analisar e calcular, manual-
mente, as medidas de tendên-
cia central relacionado a eles.
Como dito anteriormente, na
maioria das situações de pes-
quisas estatísticas a quantida-
de de dados pode ser enorme;
portanto, é necessário fazer
uso de planilhas eletrônicas
para auxiliar a organização e a
análise dos dados.
Comentar que existem di-
ferentes tipos de planilha ele-
trônica, mas que nessa seção
será desenvolvido o trabalho
com a planilha Calc do Libre
Office. Portanto, antes de ini-
ciar esse trabalho, dialogar
com os alunos a respeito do
que eles conhecem dessa fer-
ramenta, uma vez que ela já
foi utilizada anteriormente na
coleção.
Tecnologias
Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos
Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção
de gráficos.
Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc
do LibreOffice.
Observe a tabela seguinte.
Número de irmãos dos alunos
do Ensino Médio
Número de
irmãos
Frequência
absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o
título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula
B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela.
Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas.
• Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e
clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico.
• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna”
e clicar em Próximo.
GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018
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• No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar
“Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.
• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.
• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos.
Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.
• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.
Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela-
tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de
gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o
botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.
1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de
gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.
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272. Ao final da seção de tec-
nologia, verificar se os alunos
ainda têm alguma dúvida a
respeito dos procedimentos
indicados nesta Unidade.
Para resolverem a ativida-
de proposta, eles precisam
fazer uma seleção de quais
tabelas da Unidade vão utili-
zar para construir gráficos no
programa indicado. Durante
o desenvolvimento da ativida-
de, acompanhar se os alunos
fazem escolhas de modo que
construam diferentes gráficos.
Propor aos alunos que criem
o hábito de investigar o fun-
cionamento de qualquer tec-
nologia que utilizam. Como
eles já estudaram a respeito
desses gráficos e os procedi-
mentos manuais para cons-
truí-los, agora, podem utilizar
as ferramentas de construção
de gráficos para agilizar os
procedimentos de análise de
pesquisas estatísticas.
Tecnologias
Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos
Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção
de gráficos.
Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc
do LibreOffice.
Observe a tabela seguinte.
Número de irmãos dos alunos
do Ensino Médio
Número de
irmãos
Frequência
absoluta
0 20
1 15
2 35
3 10
Total 80
Fonte: Dados fictícios.
Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o
título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula
B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela.
Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas.
• Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e
clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico.
• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna”
e clicar em Próximo.
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• No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar
“Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.
• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.
• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos.
Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.
• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.
Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências rela-
tivas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de
gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o
botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.
1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de
gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.
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273. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
Na atividade 1, a secretária
vai usar um tipo de cada peça
de roupa; portanto, conside-
rando que ela tem 6 camisas,
4 saias e 3 pares de sapatos,
basta calcular o número de
maneiras distintas de se arru-
mar, assim: 6 x 4 x 3 = 72.
Na atividade 2, primeiro,
é preciso calcular o total de
possibilidades do lançamento
dos dois dados de seis faces:
6 x 6 = 36. Depois, analisar
os palpites de cada pessoa:
para José, a soma deve ser 7;
portanto, os casos possíveis
são (1,6), (6,1), (2,5), (5,2),
(3,4), (4,3), ou seja, 6 casos;
para Paulo, a soma deve ser 4;
portanto, são possíveis os ca-
sos (1,3), (3,1), (2,2), ou seja,
3 casos; para Antônio, a soma
deve ser 8; portanto, os casos
possíveis são (2,6), (6,2), (3,5),
(5,3), (4,4), com total de 5 ca-
sos. Como a probabilidade é
calculada pela razão dos casos
possíveis pelo total de possibi-
lidades, José tem maior proba-
bilidade de acertar o palpite.
Na atividade 3, os alunos
precisam calcular a média
ponderada a partir dos dados
do tempo de escolaridade in-
dicado nas duas tabelas. Veri-
ficar se eles calculam a média
colocando no denominador
o número de candidatos. No
item a, vão obter 8,2; no item
b, 10. Para o item c, basta
calcular a razão entre as duas
médias, obtendo 0,82.
Na atividade 4, verificar
se os alunos não confundem
média com mediana. Como a
atividade pede a maior media-
na nas quatro notas obtidas, é
preciso escrever as notas dos
candidatos em ordem e calcu-
lar a média dos termos cen-
trais. Depois, observar a me-
diana obtida: K – 33; L – 33,5;
M – 35; N – 36; P – 31.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (UEMG) Uma secretária possui 6 camisas,
4 saias e 3 pares de sapatos. O número
de maneiras distintas com que a secretá-
ria poderá se arrumar usando 1 camisa,
1 saia e 1 par de sapatos corresponde a:
a) 13
b) 126
c) 72
d) 54
2. (Enem/MEC) José, Paulo e Antônio estão
jogando dados não viciados, nos quais,
em cada uma das seis faces, há um
número de 1 a 6. Cada um deles jogará
dois dados simultaneamente. José acre-
dita que, após jogar seus dados, os
números das faces voltadas para cima
lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo
acredita que sua soma será igual a 4
e Antônio acredita que sua soma será
igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior
probabilidade de acertar sua respectiva
soma é Alternativa d.
a) Antônio, já que sua soma é a maior de
todas as escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilida-
des tanto para escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas
4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilida-
des tanto para a escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas
2 possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar
sua soma, 5 possibilidades para formar a
soma de Antônio e apenas 3 possibilidades
para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
Alternativa c.
3. As tabelas a seguir mostram o tempo de
escolaridade de candidatos a uma vaga
de vendedor de uma empresa nos anos
2013 e 2014.
Tempo de escolaridade
dos candidatos em 2013
Tempo de escolaridade dos
candidatos em 2014
Tempo de escolaridade
(em anos)
Número de
candidatos
4 8
8 4
11 5
15 3
Fonte: Dados fictícios.
Tempo de escolaridade
(em anos)
Número de
candidatos
4 10
8 5
11 10
15 12
Fonte: Dados fictícios.
a) Em 2013, qual foi o valor modal do
tempo de escolaridade dos candidatos à
vaga de vendedor nessa empresa? Qual
foi esse valor em 2014?
b) Considere M
1
a média, em anos, do
tempo de escolaridade entre os candi-
datos de 2013 e M
2
a média, em anos,
do tempo de escolaridade entre os
candidatos de 2014. Calcule:
• M
1
8,2
• M
2
10
•
M
M
1
2
0,82
c) Determine a mediana do tempo de
escolaridade dos candidatos à vaga de
vendedor nessa empresa em 2013. Faça
o mesmo considerando o ano de 2014.
4 anos; 15 anos.
8 anos; 11 anos.
Resoluções a partir da p. 289
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4. (Enem/MEC) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego
em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A
tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.
Candidatos Português Matemática Direito Informática
K 33 33 33 34
L 32 39 33 34
M 35 35 36 34
N 24 37 40 35
P 36 16 26 41
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana
das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for maior.
O candidato aprovado será
a) K b) L c) M d) N e) P
5. (Enem/MEC) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olim-
píada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:
Raia 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo (segundo)20,9020,9020,5020,8020,6020,6020,9020,96
A mediana dos tempos apresentados no quadro é Alternativa d.
a) 20,70. b) 20,77. c) 20,80. d) 20,85. e) 20,90.
Alternativa d.
Nesta Unidade, estudamos o princípio multiplicativo da contagem, probabilidade e
Estatística. Você conheceu um pouco os conceitos básicos de Estatística e como eles estão
relacionados com a organização dos dados em tabelas e gráficos.
Você percebeu como a Estatística é importante para a tomada de decisões? Com ela
conseguimos analisar as características de séries de dados para entender seu comporta-
mento e decidir a melhor forma de utilizar esses dados.
Na seção Tecnologias, você pôde aprender como utilizar uma planilha eletrônica para
construir gráficos de colunas e de setores.
A abertura teve como tópico principal o retrabalho e como podemos, com o uso de
técnicas, investigar e diagnosticar os motivos que levam ao retrabalho.
Vamos retomar as aprendizagens adquiridas nesta Unidade e refletir sobre elas, resol-
vendo as questões a seguir no caderno:
• Como o princípio multiplicativo pode nos auxiliar a resolver problemas de
probabilidade?
• Que técnicas você aprendeu para facilitar a organização de dados?
• Quais foram as medidas estatísticas que você aprendeu?
• Qual é a diferença entre média, moda e mediana?
• Você foi convidado na abertura desta Unidade a opinar sobre que tipo de gráfico
seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho de deter-
minada tarefa. Após concluir esta Unidade, sua resposta permanece a mesma?
Por quê? Resposta pessoal.
UM NOVO OLHAR
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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
A atividade 5 solicita que,
a partir dos dados da tabela,
o aluno determine a mediana
da série de dados. Para isso, é
preciso organizar os dados em
ordem: 20,50 – 20,60 – 20,60
– 20,80 – 20,90 – 20,90 –
20,90 – 20,96. Como a quan-
tidade de dados na tabela é
par, deve-se calcular a média
aritmética dos termos centrais:
20,80 + 20,90
2
=
=
41,70
2
= 20,85.
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274. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Este é o momento de os
alunos refletirem a respeito
dos assuntos explorados ao
longo da Unidade. Propor que
eles respondam às questões
no caderno e, depois, fazer
uma roda de conversa para
que compartilhem as reflexões
realizadas.
Espera-se que os alunos
tenham compreendido como
usar o princípio multiplicativo
no cálculo de probabilidades,
calcular e analisar algumas
medidas de tendência central,
bem como utilizá-las no de-
senvolvimento de uma pesqui-
sa estatística.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (UEMG) Uma secretária possui 6 camisas,
4 saias e 3 pares de sapatos. O número
de maneiras distintas com que a secretá-
ria poderá se arrumar usando 1 camisa,
1 saia e 1 par de sapatos corresponde a:
a) 13
b) 126
c) 72
d) 54
2. (Enem/MEC) José, Paulo e Antônio estão
jogando dados não viciados, nos quais,
em cada uma das seis faces, há um
número de 1 a 6. Cada um deles jogará
dois dados simultaneamente. José acre-
dita que, após jogar seus dados, os
números das faces voltadas para cima
lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo
acredita que sua soma será igual a 4
e Antônio acredita que sua soma será
igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior
probabilidade de acertar sua respectiva
soma é Alternativa d.
a) Antônio, já que sua soma é a maior de
todas as escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilida-
des tanto para escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas
4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilida-
des tanto para a escolha de José quanto
para a escolha de Antônio, e há apenas
2 possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar
sua soma, 5 possibilidades para formar a
soma de Antônio e apenas 3 possibilidades
para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
Alternativa c.
3. As tabelas a seguir mostram o tempo de
escolaridade de candidatos a uma vaga
de vendedor de uma empresa nos anos
2013 e 2014.
Tempo de escolaridade
dos candidatos em 2013
Tempo de escolaridade dos
candidatos em 2014
Tempo de escolaridade
(em anos)
Número de
candidatos
4 8
8 4
11 5
15 3
Fonte: Dados fictícios.
Tempo de escolaridade
(em anos)
Número de
candidatos
4 10
8 5
11 10
15 12
Fonte: Dados fictícios.
a) Em 2013, qual foi o valor modal do
tempo de escolaridade dos candidatos à
vaga de vendedor nessa empresa? Qual
foi esse valor em 2014?
b) Considere M
1
a média, em anos, do
tempo de escolaridade entre os candi-
datos de 2013 e M
2
a média, em anos,
do tempo de escolaridade entre os
candidatos de 2014. Calcule:
• M
1
8,2
• M
2
10
•
M
M
1
2
0,82
c) Determine a mediana do tempo de
escolaridade dos candidatos à vaga de
vendedor nessa empresa em 2013. Faça
o mesmo considerando o ano de 2014.
4 anos; 15 anos.
8 anos; 11 anos.
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4. (Enem/MEC) Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego
em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A
tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.
Candidatos Português Matemática Direito Informática
K 33 33 33 34
L 32 39 33 34
M 35 35 36 34
N 24 37 40 35
P 36 16 26 41
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana
das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for maior.
O candidato aprovado será
a) K b) L c) M d) N e) P
5. (Enem/MEC) Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olim-
píada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos:
Raia 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo (segundo)20,9020,9020,5020,8020,6020,6020,9020,96
A mediana dos tempos apresentados no quadro é Alternativa d.
a) 20,70. b) 20,77. c) 20,80. d) 20,85. e) 20,90.
Alternativa d.
Nesta Unidade, estudamos o princípio multiplicativo da contagem, probabilidade e
Estatística. Você conheceu um pouco os conceitos básicos de Estatística e como eles estão
relacionados com a organização dos dados em tabelas e gráficos.
Você percebeu como a Estatística é importante para a tomada de decisões? Com ela
conseguimos analisar as características de séries de dados para entender seu comporta-
mento e decidir a melhor forma de utilizar esses dados.
Na seção Tecnologias, você pôde aprender como utilizar uma planilha eletrônica para
construir gráficos de colunas e de setores.
A abertura teve como tópico principal o retrabalho e como podemos, com o uso de
técnicas, investigar e diagnosticar os motivos que levam ao retrabalho.
Vamos retomar as aprendizagens adquiridas nesta Unidade e refletir sobre elas, resol-
vendo as questões a seguir no caderno:
• Como o princípio multiplicativo pode nos auxiliar a resolver problemas de
probabilidade?
• Que técnicas você aprendeu para facilitar a organização de dados?
• Quais foram as medidas estatísticas que você aprendeu?
• Qual é a diferença entre média, moda e mediana?
• Você foi convidado na abertura desta Unidade a opinar sobre que tipo de gráfico
seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho de deter-
minada tarefa. Após concluir esta Unidade, sua resposta permanece a mesma?
Por quê? Resposta pessoal.
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275. COMPETÊNCIAS
GERAIS
2. Exercitar a curiosidade
intelectual e recorrer à abor-
dagem própria das ciências,
incluindo a investigação, a re-
flexão, a análise crítica, a ima-
ginação e a criatividade, para
investigar causas, elaborar e
testar hipóteses, formular e
resolver problemas e criar so-
luções (inclusive tecnológicas)
com base nos conhecimentos
das diferentes áreas.
ESPECÍFICAS
1. Reconhecer que a Mate-
mática é uma ciência humana,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diferentes cultu-
ras, em diferentes momentos
históricos, e é uma ciência
viva, que contribui para solu-
cionar problemas científicos e
tecnológicos e para alicerçar
descobertas e construções, in-
clusive com impactos no mun-
do do trabalho.
3. Compreender as relações
entre conceitos e procedimen-
tos dos diferentes campos da
Matemática (Aritmética, Álge-
bra, Geometria, Estatística e
Probabilidade) e de outras áre-
as do conhecimento, sentindo
segurança quanto à própria
capacidade de construir e apli-
car conhecimentos matemáti-
cos, desenvolvendo a autoesti-
ma e a perseverança na busca
de soluções.
5. Utilizar processos e ferra-
mentas matemáticas, inclusive
tecnologias digitais disponí-
veis, para modelar e resolver
problemas cotidianos, sociais
e de outras áreas de conheci-
mento, validando estratégias e
resultados.
7. Desenvolver e/ou discutir
projetos que abordem, sobre-
tudo, questões de urgência
social, com base em princípios
éticos, democráticos, susten-
táveis e solidários, valorizando
a diversidade de opiniões de
indivíduos e de grupos sociais,
sem preconceitos de qualquer
natureza.
HABILIDADES p. XXI e XXII
Grandezas e medidas
• EF08MA19
• EF08MA20
• EF08MA21
AMPLIANDO
Link
Para saber mais a respeito
do status dos reservatórios de
água, consulte a página da
Agência Nacional de Águas.
Disponível em: <http://livro.
pro/7w7kui>. Acesso em 9
nov. 2018.
A necessidade de determinar as
medidas de superfície, volume e capa-
cidade é algo que faz parte da vida
das pesssoas há muito tempo.
Alguns povos da Antiguidade,
como os babilônios, os chineses, os
egípcios, os hindus e os gregos, cal-
culavam as áreas de algumas figuras
geométricas com muita precisão em
seus cálculos. Por exemplo, no Egito
antigo os agricultores das margens
do Rio Nilo pagavam ao faraó um
imposto pelo uso da terra, que era
proporcional à área cultivada.
Atualmente, costuma-se ficar
atento à capacidade de água dos
reservatórios que abastecem a popu-
lação. Esse monitoramento é feito
por empresas especializadas e nos
ajuda a compreender a situação dos
reservatórios.
SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Nível em 24/02/2015
Nível em 23/02/2015
Nível em 24/02/2014
Área, volume e
capacidade8
Responda no caderno.
• Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compa-
rarmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão
podemos chegar sobre os reservatórios apresentados?
• Você sabe como está a situação atual dos reservató-
rios de água da região onde você mora?
Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil
sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples
no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício.
Todos os reservatórios tiveram queda em
seus níveis em 2015 em comparação a 2014.
SITUAÇÃO DOS
RESERVATÓRIOS
QUE ABASTECEM A
GRANDE SÃO PAULO
1 164**
Cantareira
521
Alto Tietê
171
Guarapiranga
112
Rio Grande
16,5
Alto Cotia
13
Rio Claro
Capacidade total
dos reservatórios
Em bilhões de litros
(Dados de 21/10/2014)
Capacidade máxima
TOTAL
1 998*
* Cálculo feito sobre a capacidade máxima
acrescida do volume morto
** Inclui primeira cota do volume morto,
de 182,5 bilhões de litros
ALEX SILVA
BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM
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SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7%
e recupera reserva retirada do 2
o

volume morto. G1. Disponível em:
<http://g1.globo.com/sao-paulo/
noticia/2015/02/cantareira-sobe-
107-e-recupera-reserva-retirada-
do-2-volume-morto.html>.
Acesso em: 10 nov. 2018.
231
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276. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Ao iniciar o trabalho com
essa abertura, propor aos
alunos que observem o in-
fográfico e elaborem indivi-
dualmente um resumo das
informações obtidas. Verificar
se eles conseguem perceber
o significado de cada item,
principalmente a linha ponti-
lhada que indica o nível do re-
servatório em 2014. Perguntar
a eles se sabem o nome do re-
servatório que atende a região
onde moram e qual é o nível
atual desse reservatório.
Outras discussões a res-
peito da economia de água
podem ser debatidas durante
a aula. Algumas perguntas
que podem ser feitas: “Será
que há a preocupação com a
economia de água em nossa
casa?”; “Qual é o tempo mé-
dio de banho de cada um de
nós?”; “Nós nos lembramos
de fechar as torneiras para es-
covar os dentes?”; “Evitamos
lavar carros e calçadas com
água própria para o consu-
mo?” etc.
Ao iniciar a leitura do texto
que acompanha a imagem,
conversar com os alunos a
respeito dos conceitos de ca-
pacidade e volume dos reser-
vatórios de água.
NO DIGITAL – 4˙ bimestre
• Ver o plano de desenvolvi-
mento para as Unidades 8 e 9.
• Desenvolver o projeto
integrador sobre preconceito
e discriminação.
• Explorar as sequências didáti-
cas do bimestre, que trabalham
as habilidades EF08MA12,
EF08MA13, EF08MA19,
EF08MA20, EF08MA21,
EF08MA26 e EF08MA27.
• Acessar a proposta de acom-
panhamento da aprendizagem.
A necessidade de determinar as
medidas de superfície, volume e capa-
cidade é algo que faz parte da vida
das pesssoas há muito tempo.
Alguns povos da Antiguidade,
como os babilônios, os chineses, os
egípcios, os hindus e os gregos, cal-
culavam as áreas de algumas figuras
geométricas com muita precisão em
seus cálculos. Por exemplo, no Egito
antigo os agricultores das margens
do Rio Nilo pagavam ao faraó um
imposto pelo uso da terra, que era
proporcional à área cultivada.
Atualmente, costuma-se ficar
atento à capacidade de água dos
reservatórios que abastecem a popu-
lação. Esse monitoramento é feito
por empresas especializadas e nos
ajuda a compreender a situação dos
reservatórios.
SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Nível em 24/02/2015
Nível em 23/02/2015
Nível em 24/02/2014
Área, volume e
capacidade8
Responda no caderno.
• Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compa-
rarmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão
podemos chegar sobre os reservatórios apresentados?
• Você sabe como está a situação atual dos reservató-
rios de água da região onde você mora?
Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil
sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples
no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício.
Todos os reservatórios tiveram queda em
seus níveis em 2015 em comparação a 2014.
SITUAÇÃO DOS
RESERVATÓRIOS
QUE ABASTECEM A
GRANDE SÃO PAULO
1 164**
Cantareira
521
Alto Tietê
171
Guarapiranga
112
Rio Grande
16,5
Alto Cotia
13
Rio Claro
Capacidade total
dos reservatórios
Em bilhões de litros
(Dados de 21/10/2014)
Capacidade máxima
TOTAL
1 998*
* Cálculo feito sobre a capacidade máxima
acrescida do volume morto
** Inclui primeira cota do volume morto,
de 182,5 bilhões de litros
ALEX SILVA
BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM
230
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SÃO PAULO
Cantareira/
Alto Tietê
Alto Cotia
Guarapiranga/
Alto Cotia
Guarapiranga
Cantareira/
Alto Cotia
Cantareira
Rio Claro/
Alto Tietê
Rio Claro
Alto Tietê
Rio Grande
CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS
CantareiraA lto Tietê Guarapiranga Alto Cotia Rio Grande Rio Claro
C
93,5%
36,4%36,7%
55,7%
83,4%
83,1%
35,4%35,4%
95,5%
57,5%
57,4%
67,1%
17,1%
18,3%18,3%
39,2%
10,6%
10,7%
t tCtltTi iCli G
Manteve Subiu Desceu
Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7%
e recupera reserva retirada do 2
o

volume morto. G1. Disponível em:
<http://g1.globo.com/sao-paulo/
noticia/2015/02/cantareira-sobe-
107-e-recupera-reserva-retirada-
do-2-volume-morto.html>.
Acesso em: 10 nov. 2018.
231
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277. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
Reunir os alunos em grupos
e distribuir quadrados de pa-
pel para cada grupo (ou con-
feccionar com eles as peças),
para que possam concretizar
a atividade. Caso decida cons-
truir com os alunos, separar
cartolina, tesoura e régua com
antecedência (ou solicitar que
os alunos tragam esse material
na data da realização da ativi-
dade). É importante que os
pedaços quadrados de papel
mantenham a proporção das
medidas indicadas no proble-
ma. Por exemplo, os quadra-
dos de papel podem ter lados
de medida 10 cm.
ÁREA DE FIGURAS
PLANAS
pense e responda
1
CAPÍTULO
Ac ompanhe a situação.
A prefeitura de uma cidade atendeu as solicitações dos moradores e vai construir uma área
para as crianças brincarem na praça principal da cidade. Analisando a vista aérea da praça, a
equipe responsável optou por utilizar uma região em forma de trapézio que não estava com
gramado. Observe.
Problemas envolvendo área
de polígonos
Responda à questão no caderno.
Para cobrir um terreno com gra-
mado, Marcos vai utilizar placas
quadradas de grama com lados de
1 m. De quantas placas quadradas
ele vai precisar para fazer um gra-
mado retangular de 5 m por 3 m?
Ele vai precisar de 15 placas.
Resoluções a partir da p. 289
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
8 m
12 m
5 m
gira-gira escorregador
piso emborrachado
balançotanque de areia
EDITORIA DE ARTE
O arquiteto desenhou um esboço da área para crianças. Ele pretende fazer uma região
onde será colocada areia, de formato triangular, ampliar um pouco o espaço total e montar um
parquinho com piso emborrachado de formato retangular. Observe o esboço.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
232
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A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto:
1 Qual a área do terreno que não está com gramado?
2 Qual a área da região onde será colocada areia?
3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado?
Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial,
antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado.
Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio:
=
+?
=
+?
=A
(Bb)h
2
(128)5
2
50
i
Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o
espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo.
=
?
=
?
=A
bh
2
25
2
5
t e =?= ?=Ab h105 50
p
Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m
2
, a área da
região destinada ao tanque de areia é de 5 m
2
e a área da região destinada ao parquinho com piso
emborrachado é de 50 m
2
.
A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se
uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia
do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura.
pense e responda
Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada
à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região
triangular de 2 m de base e 5 m de altura.Resposta pessoal.
Resoluções a partir da p. 289
Cultivar em locais pequenos
Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas
podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos.
Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira
de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para
download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para
cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las.
• Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira?
NÓS
Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência.
12 m
8 m
8 m2 m 2 m
5 m5 m
10 m
10 m2 m
5 m 5 m
EDITORIA DE ARTE
Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico.
233
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278. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Nós
Organizar a classe para ler
as informações do capítulo 2
do livro Horta em peque-
nos espaços, publicado no
site da Embrapa. Disponível
em: <http://livro.pro/berwqu>
(acesso em 9 nov. 2018). Nes-
se capítulo do livro, os alunos
vão aprender os princípios de
como cultivar uma horta em
pequenos espaços.
Em seguida, organizar a
classe para discutir e levantar
os benefícios de uma horta
caseira. Anotar na lousa as
sugestões dadas pelos alunos.
As prováveis sugestões que
os alunos vão apontar podem
ser: levar a uma forma de co-
mer mais saudável e de respei-
to com o meio ambiente, pois
o cultivo dessas hortas elimina
o uso de agrotóxicos; contato
com a natureza, que pode ser
terapêutico e tranquilizador; a
economia, por ser uma forma
mais barata de produzir o pró-
prio alimento; a melhoria da
relação familiar, entre outras.
Depois, os alunos podem
sugerir formas e ações especí-
ficas para implementar hortas
em suas casas ou de parentes,
condomínios ou na sua pró-
pria escola. Para viabilizar essas
ações, é interessante que eles
escrevam um manual a respei-
to da construção de uma horta
em pequenos espaços. Essa
atividade pode ser feita em pe-
quenos grupos, para estimular
a participação de todos e a
troca de ideias. É interessante,
sempre que possível, promover
ações em que o aluno seja o
agente propagador do conhe-
cimento que adquiriu.
Se considerar convenien-
te, convidar o professor de
Ciências para um trabalho
interdisciplinar.
ÁREA DE FIGURAS
PLANAS
pense e responda
1
CAPÍTULO
Ac ompanhe a situação.
A prefeitura de uma cidade atendeu as solicitações dos moradores e vai construir uma área
para as crianças brincarem na praça principal da cidade. Analisando a vista aérea da praça, a
equipe responsável optou por utilizar uma região em forma de trapézio que não estava com
gramado. Observe.
Problemas envolvendo área
de polígonos
Responda à questão no caderno.
Para cobrir um terreno com gra-
mado, Marcos vai utilizar placas
quadradas de grama com lados de
1 m. De quantas placas quadradas
ele vai precisar para fazer um gra-
mado retangular de 5 m por 3 m?
Ele vai precisar de 15 placas.
Resoluções a partir da p. 289
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
8 m
12 m
5 m
gira-gira escorregador
piso emborrachado
balançotanque de areia
EDITORIA DE ARTE
O arquiteto desenhou um esboço da área para crianças. Ele pretende fazer uma região
onde será colocada areia, de formato triangular, ampliar um pouco o espaço total e montar um
parquinho com piso emborrachado de formato retangular. Observe o esboço.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
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A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto:
1 Qual a área do terreno que não está com gramado?
2 Qual a área da região onde será colocada areia?
3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado?
Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial,
antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado.
Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio:
=
+?
=
+?
=A
(Bb)h
2
(128)5
2
50
i
Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o
espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo.
=
?
=
?
=A
bh
2
25
2
5
t e =?= ?=Ab h105 50
p
Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m
2
, a área da
região destinada ao tanque de areia é de 5 m
2
e a área da região destinada ao parquinho com piso
emborrachado é de 50 m
2
.
A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se
uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia
do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura.
pense e responda
Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada
à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região
triangular de 2 m de base e 5 m de altura.Resposta pessoal.
Resoluções a partir da p. 289
Cultivar em locais pequenos
Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas
podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos.
Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira
de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para
download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para
cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las.
• Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira?
NÓS
Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência.
12 m
8 m
8 m2 m 2 m
5 m5 m
10 m
10 m2 m
5 m 5 m
EDITORIA DE ARTE
Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico.
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279. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
A circunferência e o
círculo
A determinação do com-
primento da circunferência é
apresentada nesta página. Ler
com os alunos e verificar se
eles apresentam alguma dúvi-
da. Auxiliá-los nesse caso.
Em seguida, a área do cír-
culo é apresentada. Para fazer
a verificação, uma atividade
experimental é proposta no
livro do aluno. Para isso, pro-
videnciar com antecedência
o material necessário para a
atividade proposta, ou pedir
aos alunos que tragam de
casa. Eles podem desenvolver
a atividade em duplas sob sua
orientação.
Ler o texto da experiência
e acompanhar o desenvolvi-
mento e os procedimentos
utilizados pelos alunos.
Com base nas manipula-
ções, nos recortes e nas remon-
tagens das partes recortadas,
os alunos devem verificar ex-
perimentalmente a relação do
círculo com o retângulo e de-
terminar sua área.
Para finalizar esta aula ex-
perimental para a verificação
da área do círculo, solicitar
às duplas que desenhem, em
uma folha, dez circunferências
de mesmo raio e tracem po-
lígonos inscritos (aproximados)
nessas circunferências com
número de lados diferentes. O
objetivo é que os alunos per-
cebam que, quanto maior o
número de lados do polígono
inscrito, mais o seu perímetro
se aproxima do comprimento
da circunferência e sua área se
aproxima da área do círculo.
A circunferência e o círculo
O comprimento de uma circunferência
Acompanhe a situação a seguir.
Suponha que um aro da rodinha de uma bicicleta possua o raio com comprimento igual a r.
Consideremos que seja possível adaptar, perfeitamente, sobre esse aro, um barbante qualquer.
Cortando esse barbante e esticando-o, obteremos o comprimento da circunferência desse aro.
Aro da rodinha de bicicleta.
FOTOS: DOTTA2
Comprimento C da circunferência do aro.
Se dividirmos o comprimento C de uma circunferência pelo comprimento 2r de seu diâmetro,
encontraremos uma aproximação do número irracional p (isso ocorre sempre, qualquer que seja
a circunferência).
ππ π=h =? h=
C
2r
C2rC 2r

Essa fórmula permite calcular o comprimento de qualquer circunferência, conhecida a
medida  r de seu raio.
Se juntarmos à circunferência todos os pontos de seu interior, obtemos um círculo. Observe:
O círculo ocupa uma superfície, e sua medida é a área do círculo.
Circunferência.
r
O
Círculo.
EDITORIA DE ARTE
r
O
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Área de regiões circulares
Para determinar a expressão para o cálculo da área do círculo, vamos utilizar a ideia de
aproximação por áreas conhecidas. Observe.
Em uma cartolina desenhamos um círculo dividindo-o em 16 partes iguais. Depois recorta-
mos, separando cada pedaço.
Juntamos as partes recortadas, encaixando-as, conforme a figura a seguir:
A
B
C
D
E
pr
altura
A superfície do círculo foi reorganizada, e sua área se aproxima da área de uma figura que
conhecemos: o retângulo.
Assim, podemos calcular a área do círculo, multiplicando a medida da base pela medida da
altura. Observando a imagem acima, percebemos que a medida da base é a metade da medida
do comprimento da circunferência, e a medida da altura é equivalente à medida do raio da
circunferência. Temos:
A = b ? h = pr ? r = pr
2
Usando a fórmula da área do círculo, vamos resolver a situação a seguir.
1 Uma folha de papelão tem a forma circular de raio 21 cm. Qual é, em cm

, a área ocupada
por essa folha? (Usar: p = 3,14)
Área = pr² H Área = 3,14 ? (21)² H Área = 3,14 ? 441 H Área = 1 384,74
A área ocupada por essa folha é 1 384,74 cm².
O tanque triangular tem área de 5 m
2
, e o tanque circular tem área aproximada de 3,14 m
2
. Assim, o tanque trian-
gular tem uma área maior para as crianças brincarem.
⋅⋅
A
bh
2
25
2
5
t== = Ar 3,1413,14
c
22
=p11 ⋅
pense e responda
Voltando à questão da página 233 sobre a área do tanque de areia para as crianças,
qual tanque ocupa uma área maior na praça: o tanque de areia com formato circular
de 2 m de diâmetro, ou um tanque triangular de 2 m de base e 5 m de altura?
Quanto maior a
quantidade de partes em
que dividimos o círculo, mais
próxima de um retângulo
fica a figura formada.
SAIBA QUE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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280. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Área de regiões
circulares
Para motivar os alunos a
buscar aspectos históricos e
complementares a essa se-
ção, apresentar o vídeo: Roda
do sonho. Disponível em:
<http://livro.pro/h7qu6h>.
(acesso em: 9 nov. 2018). Esse
recurso educacional produzi-
do pela Unicamp-SP apresenta
justificativas para a fórmula de
cálculo da área do círculo. O
vídeo pode ser apresentado
para apoiar uma discussão
entre os alunos com a inten-
ção de esclarecer dúvidas e
sistematizar a justificativa da
fórmula.
A circunferência e o círculo
O comprimento de uma circunferência
Acompanhe a situação a seguir.
Suponha que um aro da rodinha de uma bicicleta possua o raio com comprimento igual a r.
Consideremos que seja possível adaptar, perfeitamente, sobre esse aro, um barbante qualquer.
Cortando esse barbante e esticando-o, obteremos o comprimento da circunferência desse aro.
Aro da rodinha de bicicleta.
FOTOS: DOTTA2
Comprimento C da circunferência do aro.
Se dividirmos o comprimento C de uma circunferência pelo comprimento 2r de seu diâmetro,
encontraremos uma aproximação do número irracional p (isso ocorre sempre, qualquer que seja
a circunferência).
ππ π=h =? h=
C
2r
C2rC 2r

Essa fórmula permite calcular o comprimento de qualquer circunferência, conhecida a
medida  r de seu raio.
Se juntarmos à circunferência todos os pontos de seu interior, obtemos um círculo. Observe:
O círculo ocupa uma superfície, e sua medida é a área do círculo.
Circunferência.
r
O
Círculo.
EDITORIA DE ARTE
r
O
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Área de regiões circulares
Para determinar a expressão para o cálculo da área do círculo, vamos utilizar a ideia de
aproximação por áreas conhecidas. Observe.
Em uma cartolina desenhamos um círculo dividindo-o em 16 partes iguais. Depois recorta-
mos, separando cada pedaço.
Juntamos as partes recortadas, encaixando-as, conforme a figura a seguir:
A
B
C
D
E
pr
altura
A superfície do círculo foi reorganizada, e sua área se aproxima da área de uma figura que
conhecemos: o retângulo.
Assim, podemos calcular a área do círculo, multiplicando a medida da base pela medida da
altura. Observando a imagem acima, percebemos que a medida da base é a metade da medida
do comprimento da circunferência, e a medida da altura é equivalente à medida do raio da
circunferência. Temos:
A = b ? h = pr ? r = pr
2
Usando a fórmula da área do círculo, vamos resolver a situação a seguir.
1 Uma folha de papelão tem a forma circular de raio 21 cm. Qual é, em cm

, a área ocupada
por essa folha? (Usar: p = 3,14)
Área = pr² H Área = 3,14 ? (21)² H Área = 3,14 ? 441 H Área = 1 384,74
A área ocupada por essa folha é 1 384,74 cm².
O tanque triangular tem área de 5 m
2
, e o tanque circular tem área aproximada de 3,14 m
2
. Assim, o tanque trian-
gular tem uma área maior para as crianças brincarem.
⋅⋅
A
bh
2
25
2
5
t== = Ar 3,1413,14
c
22
=p11 ⋅
pense e responda
Voltando à questão da página 233 sobre a área do tanque de areia para as crianças,
qual tanque ocupa uma área maior na praça: o tanque de areia com formato circular
de 2 m de diâmetro, ou um tanque triangular de 2 m de base e 5 m de altura?
Quanto maior a
quantidade de partes em
que dividimos o círculo, mais
próxima de um retângulo
fica a figura formada.
SAIBA QUE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resoluções a partir da p. 289
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281. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Nessas atividades, os alu-
nos utilizarão o conhecimento
desenvolvido nas atividades
propostas na seção anterior
para determinar áreas de cír-
culos e partes de círculos.
Pedir aos alunos que resol-
vam as atividades em duplas e,
caso julgar necessário, corrigir
algumas questões na lousa.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um piso quadrado de cerâmica tem
15 cm de lado.
a) Qual é a área desse piso?
b) Quantos pisos são necessários para pavi-
mentar uma sala de 45 m
2
de área?
2. Quantas telhas francesas são necessárias
para cobrir um telhado formado por duas
partes retangulares, com as dimensões da
figura a seguir, se para cada metro qua-
drado de telhado são usadas 20 telhas?
10 m
4 m
Os dados a seguir referem-se às ques-
tões de números 3 e 4.
(Saresp-SP) Na figura está representada
a planta baixa de um escritório que terá
seu piso totalmente revestido de carpete.
4 m
4 m
4 m
1 m (porta)
2 m
4 m
5 m
4 m
3. A quantidade de carpete necessária para
executar o serviço será, no mínimo, igual a:
a) 34 m
2
b) 36 m
2
c) 38 m
2
d) 40 m
2
4. Quantos metros de cordão de acaba-
mento serão colocados à volta toda do
escritório como rodapé?
a) 30
b) 28
c) 27
d) 20
225 cm
2
2 000 pisos.
1 600 telhas.
Alternativa a.
Alternativa c.
5. Quero pintar as quatro paredes e o teto
de uma sala com as dimensões da figura
a seguir. Sabendo que cada lata de tinta
permite pintar 40 m
2
, quantas latas de
tinta terei de comprar?
8 m
1,5 m
4 m
2 m
1 m
3
m

5 m
6. O comprimento do raio de uma
circunferência corresponde, em cen-
tímetro, a uma das raízes da equação
__ =x16x7200
2
. Qual é o comprimento
dessa circunferência? (Use: p = 3,14)
7. A medida do raio de uma circunferência
corresponde à medida da hipotenusa de
um triângulo retângulo isósceles, cujos
lados congruentes medem 102 cm.
Nessas condições, calcule o comprimento
dessa circunferência. (Use: p = 3,14)
8. Um menino brinca com um arco de 1 m
de diâmetro. Que distância ele percorre
ao dar 100 voltas no arco? (Use: p = 3,14)
9. Um vazamento no tanque de um navio
provoca o aparecimento de uma mancha
de óleo circular. O raio r da mancha, t
minutos depois do início do vazamento,
é dado, em metros, pela fórmula r
t
5
! .
a) Qual é, em metros, o raio da mancha
após 4 minutos do início do vazamento?
b) Nesse momento, qual é, em m
2
, a área
da mancha? (Use: p = 3,14)
4 latas de tinta.
226,08 cm
125,6 cm
314 m
0,4 m
0,5024 m²
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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236
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Áreas pelo Brasil
Responda às questões no caderno.
1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões:
2 m
1,4 m
a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen-
tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira.
b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros
quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira?
2. Uma maneira muito prática de calcu-
lar áreas aproximadas de regiões com
formas complexas é dividir essas regiões
por polígonos simples, como triângulos,
retângulos e até trapézios. Esse processo
é muito utilizado ainda nos dias de hoje.
Usando esse método, vamos calcular a
área de alguns estados brasileiros, con-
forme o esquema apresentado do mapa
do Brasil, que traz os estados aproxima-
dos por polígonos.
a) A região ocupada pelo estado de São
Paulo foi aproximada por dois trapézios
isósceles congruentes. Observe a figura,
com as medidas em quilômetros, e calcule
a área aproximada desse estado.
400
200
200
800
480
b) Aproximando a região ocupada pelo es-
tado de Sergipe por um triângulo retângulo
isósceles, calcule essa área aproximada.
1,9202 m²
0,4948 m²
240000 km²
20 000 km²
POR TODA PARTE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
RR
AM
RO
AC
PA
AP
PI
CE
MA
TO
GO
BA
MG
ES
RJ
RN
PB
PE
SE
AL
SP
PR
SC
RS
MS
MT
DF
200 km
200 km
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282. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Por toda parte
Nessa seção, os alunos apli-
carão os conceitos de áreas
estudados. Tais conhecimentos
serão empregados na resolu-
ção de situações que envolvem
dados reais brasileiros, com
foco nas dimensões e carac-
terísticas oficiais da Bandeira
Nacional Brasileira. Além disso,
serão exploradas áreas aproxi-
madas de estados brasileiros
representados por polígonos.
Na atividade 1, os alunos
precisarão relembrar a tabela
de conversão de unidades de
medida de superfície. Se julgar
oportuno, retome o quadro de
medidas na lousa.
km
2
hm
2
dam
2
m
2
dm
2
cm
2
mm
2
Ou, se preferir, anotar na lousa
a relação entre m
2
e dm
2
, ou
seja, 1 m
2
= 100 dm
2
No item a da atividade 2,
os alunos devem calcular a
área de um trapézio isósceles.
Talvez alguns alunos não se re-
cordem da fórmula para o cál-
culo da área de um trapézio.
Se julgar oportuno, escrever
na lousa essa fórmula. É possí-
vel também que eles resolvam
o problema usando apenas
triângulos e retângulos, resol-
vendo o problema por compo-
sição e decomposição.
Para complementar a ati-
vidade, solicitar aos alunos
que, em pequenos grupos,
escolham dois estados da fe-
deração e, a partir do uso de
polígonos simples, calculem
a área aproximada desses es-
tados. Nesse momento, eles
precisarão retomar o conceito
de escala. É uma atividade que
entrelaça novos conhecimen-
tos e conhecimentos estuda-
dos anteriormente.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um piso quadrado de cerâmica tem
15 cm de lado.
a) Qual é a área desse piso?
b) Quantos pisos são necessários para pavi-
mentar uma sala de 45 m
2
de área?
2. Quantas telhas francesas são necessárias
para cobrir um telhado formado por duas
partes retangulares, com as dimensões da
figura a seguir, se para cada metro qua-
drado de telhado são usadas 20 telhas?
10 m
4 m
Os dados a seguir referem-se às ques-
tões de números 3 e 4.
(Saresp-SP) Na figura está representada
a planta baixa de um escritório que terá
seu piso totalmente revestido de carpete.
4 m
4 m
4 m
1 m (porta)
2 m
4 m
5 m
4 m
3. A quantidade de carpete necessária para
executar o serviço será, no mínimo, igual a:
a) 34 m
2
b) 36 m
2
c) 38 m
2
d) 40 m
2
4. Quantos metros de cordão de acaba-
mento serão colocados à volta toda do
escritório como rodapé?
a) 30
b) 28
c) 27
d) 20
225 cm
2
2 000 pisos.
1 600 telhas.
Alternativa a.
Alternativa c.
5. Quero pintar as quatro paredes e o teto
de uma sala com as dimensões da figura
a seguir. Sabendo que cada lata de tinta
permite pintar 40 m
2
, quantas latas de
tinta terei de comprar?
8 m
1,5 m
4 m
2 m
1 m
3
m

5 m
6. O comprimento do raio de uma
circunferência corresponde, em cen-
tímetro, a uma das raízes da equação
__ =x16x7200
2
. Qual é o comprimento
dessa circunferência? (Use: p = 3,14)
7. A medida do raio de uma circunferência
corresponde à medida da hipotenusa de
um triângulo retângulo isósceles, cujos
lados congruentes medem 102 cm.
Nessas condições, calcule o comprimento
dessa circunferência. (Use: p = 3,14)
8. Um menino brinca com um arco de 1 m
de diâmetro. Que distância ele percorre
ao dar 100 voltas no arco? (Use: p = 3,14)
9. Um vazamento no tanque de um navio
provoca o aparecimento de uma mancha
de óleo circular. O raio r da mancha, t
minutos depois do início do vazamento,
é dado, em metros, pela fórmula r
t
5
! .
a) Qual é, em metros, o raio da mancha
após 4 minutos do início do vazamento?
b) Nesse momento, qual é, em m
2
, a área
da mancha? (Use: p = 3,14)
4 latas de tinta.
226,08 cm
125,6 cm
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Áreas pelo Brasil
Responda às questões no caderno.
1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões:
2 m
1,4 m
a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 cen-
tímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira.
b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros
quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira?
2. Uma maneira muito prática de calcu-
lar áreas aproximadas de regiões com
formas complexas é dividir essas regiões
por polígonos simples, como triângulos,
retângulos e até trapézios. Esse processo
é muito utilizado ainda nos dias de hoje.
Usando esse método, vamos calcular a
área de alguns estados brasileiros, con-
forme o esquema apresentado do mapa
do Brasil, que traz os estados aproxima-
dos por polígonos.
a) A região ocupada pelo estado de São
Paulo foi aproximada por dois trapézios
isósceles congruentes. Observe a figura,
com as medidas em quilômetros, e calcule
a área aproximada desse estado.
400
200
200
800
480
b) Aproximando a região ocupada pelo es-
tado de Sergipe por um triângulo retângulo
isósceles, calcule essa área aproximada.
1,9202 m²
0,4948 m²
240000 km²
20 000 km²
POR TODA PARTE
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RR
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283. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Volume de sólidos
geométricos
O estudo do volume do
cubo e do bloco retangular foi
iniciado em anos anteriores e,
neste Volume ele é retomado
e ampliado. A ideia é a discus-
são do volume desses sólidos
geométricos em comparação
com o cilindro, por exemplo.
Além disso, busca-se resolver
problemas mais complexos,
que exijam um grau de abs-
tração maior e que permitam
relacionar este conteúdo a ou-
tros temas já estudados.
É importante que os alunos,
nesse momento, consigam di-
ferenciar as medidas lineares
(utilizadas para comprimen-
tos) das medidas de superfície
(relacionadas ao cálculo de
áreas) e também das medidas
de volume (relacionadas à ca-
pacidade). Se julgar oportuno,
refazer na lousa uma tabela
com as medidas.
Caso seja possível, construir
um mural permanente com as
unidades de medida de com-
primento, área e volume mais
usuais, seus múltiplos e sub-
múltiplos. Isso facilita, ao lon-
go do tempo, a memorização
tanto das unidades de medida
quanto de suas relações.
CAPÍTULO
2
VOLUME DE SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
Volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por ele. A
unidade de volume padrão é o metro cúbico.
Unidades de medida de volume
Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para
expressar volumes. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente,
com as respectivas abreviações:
Múltiplos do metro cúbico
Unidade
fundamental
Submúltiplos do metro cúbico
Quilômetro
cúbico
Hectômetro
cúbico
Decâmetro
cúbico
Metro cúbico
Decímetro
cúbico
Centímetro
cúbico
Milímetro
cúbico
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
(1 000 m)³ (100 m)³ (10 m)³ (1 m)³ (0,1 m)³ (0,01 m)³ (0,001 m)³
1 000 000 000 m³ 1 000 000 m³ 1 000 m³ 1 m³ 0,001 m³ 0,000001 m³ 0,000000001 m³
As unidades mais utilizadas para expressar volumes, além do metro cúbico, são
o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.
Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades.
• Transformar 30 000 cm
3
em decímetro cúbico.
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
Como, da direita para a esquerda, cada unidade representa
1
1000
da unidade
anterior, devemos dividir 30 000 cm
3
por 1 000.
30 000 cm
3
= (30 000 : 1 000) dm
3
= (30 000 x 0,001) dm
3
= 30 dm
3
• Quantos centímetros cúbicos há em
1
2
m³?
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
Como, da esquerda para a direita, cada unidade representa 1 000 vezes a unidade
seguinte, multiplicamos
1
2
m³ por 1000 x 1000 (1 000 000).
1
2
m³ = 0,5 m³ = (0,5 x 1 000 000) cm
3
= 500 000 cm
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Cubo e bloco retangular
Você deve se lembrar de que o cubo é um sólido cujas dimensões têm medidas iguais. As
três dimensões do cubo são dadas pelas medidas de suas arestas. Observe:
a
a
a
O volume V de um cubo de aresta com medida a é dado por:
V = a
3
O volume de um cubo é igual à medida de sua aresta elevada ao cubo.
Veja a seguir a imagem de um bloco retangular, também chamado de paralelepípedo. Nesse
sólido, suas bases e faces laterais são retângulos:
a
b
c
O volume V de um bloco retangular de dimensões com medidas a, b e c é dado por:
V = a ? b ? c
Assim como no cubo, o volume de um bloco retangular é igual ao produto de suas três
dimensões.
Acompanhe a resolução de um exemplo.
O volume de uma piscina com a forma de um bloco
retangular é 120 m
3
. O comprimento da piscina
é 8 m, e a largura é 5 m. Vamos calcular a
profundidade dessa piscina.
=? ?h =? ?h ==Va bc 12085 cc
120
40
3

A profundidade dessa piscina é 3 m.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Acompanhe a resolução de um exemplo.
O volume de uma piscina com a forma de um bloco
. O comprimento da piscina
==== 3
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
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284. CAPÍTULO
2
VOLUME DE SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
Volume de um sólido geométrico é a medida do espaço ocupado por ele. A
unidade de volume padrão é o metro cúbico.
Unidades de medida de volume
Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para
expressar volumes. Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente,
com as respectivas abreviações:
Múltiplos do metro cúbico
Unidade
fundamental
Submúltiplos do metro cúbico
Quilômetro
cúbico
Hectômetro
cúbico
Decâmetro
cúbico
Metro cúbico
Decímetro
cúbico
Centímetro
cúbico
Milímetro
cúbico
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
(1 000 m)³ (100 m)³ (10 m)³ (1 m)³ (0,1 m)³ (0,01 m)³ (0,001 m)³
1 000 000 000 m³ 1 000 000 m³ 1 000 m³ 1 m³ 0,001 m³ 0,000001 m³ 0,000000001 m³
As unidades mais utilizadas para expressar volumes, além do metro cúbico, são
o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.
Veja a seguir alguns exemplos de transformação de unidades.
• Transformar 30 000 cm
3
em decímetro cúbico.
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
Como, da direita para a esquerda, cada unidade representa
1
1000
da unidade
anterior, devemos dividir 30 000 cm
3
por 1 000.
30 000 cm
3
= (30 000 : 1 000) dm
3
= (30 000 x 0,001) dm
3
= 30 dm
3
• Quantos centímetros cúbicos há em
1
2
m³?
km
3
hm
3
dam
3
m
3
dm
3
cm
3
mm
3
Como, da esquerda para a direita, cada unidade representa 1 000 vezes a unidade
seguinte, multiplicamos
1
2
m³ por 1000 x 1000 (1 000 000).
1
2
m³ = 0,5 m³ = (0,5 x 1 000 000) cm
3
= 500 000 cm
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Cubo e bloco retangular
Você deve se lembrar de que o cubo é um sólido cujas dimensões têm medidas iguais. As
três dimensões do cubo são dadas pelas medidas de suas arestas. Observe:
a
a
a
O volume V de um cubo de aresta com medida a é dado por:
V = a
3
O volume de um cubo é igual à medida de sua aresta elevada ao cubo.
Veja a seguir a imagem de um bloco retangular, também chamado de paralelepípedo. Nesse
sólido, suas bases e faces laterais são retângulos:
a
b
c
O volume V de um bloco retangular de dimensões com medidas a, b e c é dado por:
V = a ? b ? c
Assim como no cubo, o volume de um bloco retangular é igual ao produto de suas três
dimensões.
Acompanhe a resolução de um exemplo.
O volume de uma piscina com a forma de um bloco
retangular é 120 m
3
. O comprimento da piscina
é 8 m, e a largura é 5 m. Vamos calcular a
profundidade dessa piscina.
=? ?h =? ?h ==Va bc 12085 cc
120
40
3

A profundidade dessa piscina é 3 m.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Acompanhe a resolução de um exemplo.
O volume de uma piscina com a forma de um bloco
. O comprimento da piscina
==== 3
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285. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Cilindro
Para o cálculo do volume
do cilindro, retomar com os
alunos o cálculo do compri-
mento da circunferência e o
cálculo da área do círculo.
Se achar oportuno, con-
versar com os alunos a respei-
to do Princípio de Cavalieri e
apresentar o vídeo Princípio
de Cavalieri – aula 17, do
professor Eduardo Corrêa,
com a demonstração desse
princípio tão importante na
determinação de volume de
sólidos geométricos. Disponível
em: <http://livro.pro/o559je>.
Acesso em: 9 nov. 2018.
Cilindro
Sabemos que o cilindro circular reto é um sólido geométrico, portanto tem volume.
Vamos lembrar de algumas características dos cilindros.
• As bases são dois círculos paralelos congruentes.
• A altura é a distância entre suas bases.
• Superfície lateral curva.
Para compreender o cálculo do volume do cilindro, vamos retomar o volume de um bloco
retangular.
O bloco retangular é um sólido geométrico que apresenta
duas bases retangulares paralelas congruentes e sua altura é a
distância entre as bases. Na figura ao lado, as bases do bloco
retangular são retângulos com dimensões a e b, e altura c.
A área do retângulo é dada por ⋅ab e a chamamos de área da base do bloco retangular. O
volume do bloco retangular é dado por =? ?Va bc, mas podemos substituir a expressão ?ab
por área da base e c por altura. Observe:
Va bc VA h
blocoretangular blocoretangular base=? ?= ?→
área da
base
altura

Como no bloco retangular, podemos determinar o volume de outros sólidos geométricos
retos, que apresentam duas bases paralelas congruentes e que a altura é a distância entre elas,
por meio do produto da área da base pela altura.
Assim, o volume do cilindro reto também é dado por: =?VA h
cilindrob ase
A base do cilindro é um círculo e já vimos que sua área é =pAr
2
; então, temos:
VA hV rh
cilindrob asec ilindro
2
=? =p?→
Considere o exemplo a seguir.
1 Calcule o volume de um cilindro reto, cujo raio da base é igual a 5 cm, e a altura é igual a 10 cm.
Utilizando a expressão do volume do cilindro, temos:
π=? =? ?=Vr h3,145 10785
cilindro
22
O volume do cilindro é 785 cm
3
.
base
altura
base
a
b
c
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Para cada figura a seguir, calcule a área
total e o volume.
a) b)
2. Qual é a medida da aresta de um cubo
que tem 125 cm³ de volume?
3. Calcule a área total de um cubo cujo
volume é igual a 64 m³.
4. Calcule o volume de um bloco retangu-
lar sabendo que suas arestas medem
2,5 cm ? 1,5 cm ? 2 cm.
5. O bloco retangular da figura tem 45 cm³
de volume. Determine a medida da altura
desse bloco retangular.
3 cm
x
5 cm
6. As medidas das arestas de um cubo
medem x cm. Se dobrarmos as medidas
das arestas, dobraremos o volume?
Justifique sua resposta.
7. Para cada figura a seguir, determine o
volume. Use p = 3,14.
a) b)
8. (Enem/MEC) Uma fábrica de sorvetes utiliza
embalagens plásticas no formato de para-
lelepípedo retangular reto. Internamente,
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
3 cm
5 cm
96 m²
7,5 cm³
3 cm
Não, pois o volume ficará multiplicado por 8.
Volume: 62,8 cm³
2 cm
5 cm
Volume: 28,26 cm³
3 cm
4 cm
a embalagem tem 10 cm de altura e
base de 20 cm por 10 cm. No processo de
confecção do sorvete, uma mistura é co-
locada na embalagem no estado líquido
e, quando levada ao congelador, tem
seu volume aumentado em 25%, ficando
com consistência cremosa. Inicialmente
é colocada na embalagem uma mistura
sabor chocolate com volume de 1 000 cm
3
e, após essa mistura ficar cremosa, será
adicionada uma mistura sabor morango,
de modo que, ao final do processo de
congelamento, a embalagem fique com-
pletamente preen chida com sorvete, sem
transbordar. O volume máximo, em cm
3
,
da mistura sabor morango que deverá ser
colocado na embalagem é:
a) 450
b) 500
c) 600
d) 750
e) 1000
DESAFIO
Agora, reúna-se a um colega para resol-
ver o desafio a seguir:
9. (Enem/MEC) Um casal realiza sua
mudança de domicílio e necessita colocar
numa caixa de papelão um objeto cúbico,
de 80 cm de aresta, que não pode ser
desmontado. Eles têm à disposição cinco
caixas, com diferentes dimensões, con-
forme descrito:
Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ? 86 cm
Caixa 2: 75 cm ? 82 cm ? 90 cm
Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ? 90 cm
Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ? 82 cm
Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ? 85 cm
O casal precisa escolher uma caixa na
qual o objeto caiba, de modo que sobre
o menor espaço livre em seu interior.
A caixa escolhida pelo casal deve ser a
de número
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Alternativa c.
Alternativa c.
1. a) Área total: 24 cm²;
volume: 8 cm³.
b) Área total: 32 cm²;
volume: 12 cm³.
Resoluções a partir da p. 289
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286. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco
buscam consolidar o cálculo
do volume de cubos, blocos
retangulares e cilindros.
Na atividade 1, além do
cálculo do volume, os alunos
são convidados a determinar
também a área total de cada
sólido. Se julgar oportuno, re-
alizar a planificação, na lousa,
tanto do cubo quanto do blo-
co retangular. A visualização
dos sólidos “desmontados”
contribui para o entendimento
do cálculo da área.
Para resolver a atividade 8,
o aluno deve considerar que, ao
final da primeira etapa, o vo-
lume na embalagem é igual a
1 000 cm
3
? 1,25 = 1 250 cm
3
.
Como a capacidade da caixa e
de 10 cm ? 20 cm ? 10 cm =
= 2 000 cm
3
, ficam faltando
750 cm
3
. Como a mistura de
morango vai aumentar 25%,
seu volume máximo deve ser
750 cm
3
: 1,25 = 600 cm
3
.
Portanto, alternativa c.
Desafios
A atividade 9 solicita que
o aluno analise as dimensões
de cada uma das caixas, verifi-
cando em qual delas é possível
inserir o objeto de 80 cm de
aresta. A escolha deve ser feita
de modo que sobre o menor
espaço livre em seu interior.
Resolução do Desafio
O objeto que se deseja co-
locar dentro dessa caixa tem
volume igual a 512 000 cm
3
,
pois 80
3
= 512 000. Assim,
para resolver essa atividade
devemos analisar as dimen-
sões das opções de caixa e
calcular o respectivo volume
para comparar com o volume
do objeto. Então:
• A caixa 2 não pode ser
utilizada pois uma das suas
dimensões é menor que a
aresta do objeto.
Volume das outras caixas:
• Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ?
? 86 cm = 636 056 cm
3
• Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ?
? 90 cm = 627 300 cm
3
• Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ?
? 82 cm = 638 780 cm
3
• Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ?
? 85 cm = 646 000 cm
3
Assim, a caixa que possui
o menor volume maior que
512 000 cm
3
é a Caixa 3.
Portanto, alternativa c.
Cilindro
Sabemos que o cilindro circular reto é um sólido geométrico, portanto tem volume.
Vamos lembrar de algumas características dos cilindros.
• As bases são dois círculos paralelos congruentes.
• A altura é a distância entre suas bases.
• Superfície lateral curva.
Para compreender o cálculo do volume do cilindro, vamos retomar o volume de um bloco
retangular.
O bloco retangular é um sólido geométrico que apresenta
duas bases retangulares paralelas congruentes e sua altura é a
distância entre as bases. Na figura ao lado, as bases do bloco
retangular são retângulos com dimensões a e b, e altura c.
A área do retângulo é dada por ⋅ab e a chamamos de área da base do bloco retangular. O
volume do bloco retangular é dado por =? ?Va bc, mas podemos substituir a expressão ?ab
por área da base e c por altura. Observe:
Va bc VA h
blocoretangular blocoretangular base=? ?= ?→
área da
base
altura

Como no bloco retangular, podemos determinar o volume de outros sólidos geométricos
retos, que apresentam duas bases paralelas congruentes e que a altura é a distância entre elas,
por meio do produto da área da base pela altura.
Assim, o volume do cilindro reto também é dado por: =?VA h
cilindrob ase
A base do cilindro é um círculo e já vimos que sua área é =pAr
2
; então, temos:
VA hV rh
cilindrob asec ilindro
2
=? =p?→
Considere o exemplo a seguir.
1 Calcule o volume de um cilindro reto, cujo raio da base é igual a 5 cm, e a altura é igual a 10 cm.
Utilizando a expressão do volume do cilindro, temos:
π=? =? ?=Vr h3,145 10785
cilindro
22
O volume do cilindro é 785 cm
3
.
base
altura
base
a
b
c
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Para cada figura a seguir, calcule a área
total e o volume.
a) b)
2. Qual é a medida da aresta de um cubo
que tem 125 cm³ de volume?
3. Calcule a área total de um cubo cujo
volume é igual a 64 m³.
4. Calcule o volume de um bloco retangu-
lar sabendo que suas arestas medem
2,5 cm ? 1,5 cm ? 2 cm.
5. O bloco retangular da figura tem 45 cm³
de volume. Determine a medida da altura
desse bloco retangular.
3 cm
x
5 cm
6. As medidas das arestas de um cubo
medem x cm. Se dobrarmos as medidas
das arestas, dobraremos o volume?
Justifique sua resposta.
7. Para cada figura a seguir, determine o
volume. Use p = 3,14.
a) b)
8. (Enem/MEC) Uma fábrica de sorvetes utiliza
embalagens plásticas no formato de para-
lelepípedo retangular reto. Internamente,
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
2 cm
3 cm
5 cm
96 m²
7,5 cm³
3 cm
Não, pois o volume ficará multiplicado por 8.
Volume: 62,8 cm³
2 cm
5 cm
Volume: 28,26 cm³
3 cm
4 cm
a embalagem tem 10 cm de altura e
base de 20 cm por 10 cm. No processo de
confecção do sorvete, uma mistura é co-
locada na embalagem no estado líquido
e, quando levada ao congelador, tem
seu volume aumentado em 25%, ficando
com consistência cremosa. Inicialmente
é colocada na embalagem uma mistura
sabor chocolate com volume de 1 000 cm
3
e, após essa mistura ficar cremosa, será
adicionada uma mistura sabor morango,
de modo que, ao final do processo de
congelamento, a embalagem fique com-
pletamente preen chida com sorvete, sem
transbordar. O volume máximo, em cm
3
,
da mistura sabor morango que deverá ser
colocado na embalagem é:
a) 450
b) 500
c) 600
d) 750
e) 1000
DESAFIO
Agora, reúna-se a um colega para resol-
ver o desafio a seguir:
9. (Enem/MEC) Um casal realiza sua
mudança de domicílio e necessita colocar
numa caixa de papelão um objeto cúbico,
de 80 cm de aresta, que não pode ser
desmontado. Eles têm à disposição cinco
caixas, com diferentes dimensões, con-
forme descrito:
Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ? 86 cm
Caixa 2: 75 cm ? 82 cm ? 90 cm
Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ? 90 cm
Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ? 82 cm
Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ? 85 cm
O casal precisa escolher uma caixa na
qual o objeto caiba, de modo que sobre
o menor espaço livre em seu interior.
A caixa escolhida pelo casal deve ser a
de número
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Alternativa c.
Alternativa c.
1. a) Área total: 24 cm²;
volume: 8 cm³.
b) Área total: 32 cm²;
volume: 12 cm³.
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287. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Unidades de medida de
capacidade
A relação entre as unida-
des de medida de capacidade
e as unidades de medida de
volume será feita na próxima
etapa. Neste momento, é im-
portante que os alunos com-
preendam a relação entre litro
e mililitro.
Se julgar oportuno, pro-
por a resolução dos exemplos
apresentados, em duplas.
CAPÍTULO
CAPACIDADE3
A capacidade de certo recipiente corresponde à quantidade de líquido que cabe
dentro dele. A unidade de capacidade padrão é o litro.
Unidades de medida de capacidade
Além do litro, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar
capacidades.
Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as res-
pectivas abreviações:
Múltiplos do litro
Unidade
fundamental
Submúltiplos do litro
QuilolitroHectolitroDecalitro Litro DecilitroCentilitroMililitro
kL hL daL L dL cL mL
1 000 L 100 L 10 L 1 L 0,1 L 0,01 L 0,001 L
A unidade mais utilizada para expressar capacidades, além do litro, é o mililitro.
Veja a seguir um exemplo de transformação de unidades.
• Expressar 35 L em mililitros.
hLkL daL Ld Lc Lm L
35 L = (35 x 10 x 10 x 10) mL = (35 x 1 000) mL = 35 000 mL
Acompanhe a situação a seguir.
1 Cristina vai fazer uma festa e precisa comprar embalagens de suco de frutas de
capacidade igual a 1 L. Ela sabe que, cada convidado bebe cerca de 3 copos
de 200 mL. Quantas embalagens ela terá que comprar, sabendo que convidou
20 pessoas para a festa?
Cada convidado deve tomar 600 mL (3 ? 200 mL = 600 mL).
Serão 20 convidados, então 20 ? 600 = 12 000 mL.
Como 1 L = 1 000 mL, temos que 12 000 mL = 12 L.
Logo, Cristina precisará comprar 12 embalagens de suco.
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Equivalência entre o decímetro cúbico
e o litro
Agora, pense:
Se em 1 dm³ cabe 1 litro de água, quantos litros cabem em
um recipiente com 1 m³ de capacidade?
Para responder a essa questão, imagine que esse recipiente
tenha a forma de um cubo. Para que o volume desse cubo seja
1 m
3
, as suas arestas devem medir 1 m. Podemos escrever:
1 m
3
= 1 m ? 1 m ? 1 m
Sabemos que 1 m = 10 dm. Logo: 1 m
3
= 10 dm ? 10 dm ? 10 dm
1 m
3
= 1 000 dm
3
Então:
Como 1 dm³ = 1 L, cabem 1 000 litros dentro de um recipiente com capacidade de 1 m³.
Vejamos algumas situações em que podemos aplicar essa relação.
1 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que
o consumo do último mês foi 36 m
3
. Quantos litros de
água foram consumidos?
36 m
3
= 36 000 dm
3
Como 1 dm
3
= 1 L, temos: 36 m
3
= 36 000 dm
3
= 36 000 L
Foram consumidos 36 000 litros de água.
2 Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de vacina, que devem ser colocados em
ampolas de 35 cm
3
cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com a quantidade de
vacina fabricada?
Como 1 L = 1 dm
3
= 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1 000 cm
3
, temos:
1 400 L = 1 400 dm
3
= (1 400 x 1 000) cm
3
= 1 400 000 cm
3
(1 400 000 cm
3
) : (35 cm
3
) = 40 000 ampolas
Serão obtidas 40 000 ampolas dessa vacina.
pense e responda
Você se surpreenderia se alguém lhe dissesse que uma caixa
em forma de cubo com 1 dm de aresta tem capacidade de
1 litro?
Se, em um recipiente em forma de cubo de 1 dm de aresta,
for despejada a água de uma garrafa com exatamente 1 li-
tro, veremos que nesse recipiente cabe exatamente 1 litro
de água.
1 dm é o mesmo que 10 cm.
SAIBA QUE
1 L = 1 dm
3
ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Resoluções a partir da p. 289
Veja no material
audiovisual o vídeo
sobre a relação entre
litro e decímetro cúbico.
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288. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Pense e responda
O objetivo da atividade é
mostrar aos alunos que 1 li-
tro é a capacidade de um re-
cipiente cúbico com 1 dm de
aresta. Se achar conveniente,
desafiar os alunos a construir a
caixa descrita na atividade. So-
cializar as ideias e estratégias
utilizadas.
AMPLIANDO
Links
Para mais informações a
respeito das unidades de me-
dida em uso no país e seu sur-
gimento histórico, acessar os
links a seguir:
• POZEBON, A.; LOPES, A. R.
L. V. Grandezas e medidas:
surgimento histórico e con-
textualização curricular. In: VI
CONGRESSO INTERNACIO-
NAL DE ENSINO DE MATE-
MÁTICA, 2013, Canoas. Dis-
ponível em: <http://livro.pro/
jc8vmn>. Acesso em: 9 nov.
2018.
• INMETRO. Portaria n
o
590,
de 2 de dezembro de 2013.
Disponível em: <http://livro.
pro/fuxvm8>. Acesso em: 9
nov. 2018.
NO AUDIOVISUAL
Um dos materiais audiovisuais
disponíveis nesta coleção é
um vídeo a respeito da relação
entre o litro e o decímetro cú-
bico. Nesse vídeo, aborda-se
uma discussão a respeito das
diferentes unidades de volume
e de capacidade, bem como um
experimento que permite veri-
ficar a correspondência entre
1 decímetro cúbico e 1 litro.
Além disso, apresenta-se uma
reflexão a respeito do consumo
consciente de água.
CAPÍTULO
CAPACIDADE3
A capacidade de certo recipiente corresponde à quantidade de líquido que cabe
dentro dele. A unidade de capacidade padrão é o litro.
Unidades de medida de capacidade
Além do litro, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar
capacidades.
Veja no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as res-
pectivas abreviações:
Múltiplos do litro
Unidade
fundamental
Submúltiplos do litro
QuilolitroHectolitroDecalitro Litro DecilitroCentilitroMililitro
kL hL daL L dL cL mL
1 000 L 100 L 10 L 1 L 0,1 L 0,01 L 0,001 L
A unidade mais utilizada para expressar capacidades, além do litro, é o mililitro.
Veja a seguir um exemplo de transformação de unidades.
• Expressar 35 L em mililitros.
hLkL daL Ld Lc Lm L
35 L = (35 x 10 x 10 x 10) mL = (35 x 1 000) mL = 35 000 mL
Acompanhe a situação a seguir.
1 Cristina vai fazer uma festa e precisa comprar embalagens de suco de frutas de
capacidade igual a 1 L. Ela sabe que, cada convidado bebe cerca de 3 copos
de 200 mL. Quantas embalagens ela terá que comprar, sabendo que convidou
20 pessoas para a festa?
Cada convidado deve tomar 600 mL (3 ? 200 mL = 600 mL).
Serão 20 convidados, então 20 ? 600 = 12 000 mL.
Como 1 L = 1 000 mL, temos que 12 000 mL = 12 L.
Logo, Cristina precisará comprar 12 embalagens de suco.
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Equivalência entre o decímetro cúbico
e o litro
Agora, pense:
Se em 1 dm³ cabe 1 litro de água, quantos litros cabem em
um recipiente com 1 m³ de capacidade?
Para responder a essa questão, imagine que esse recipiente
tenha a forma de um cubo. Para que o volume desse cubo seja
1 m
3
, as suas arestas devem medir 1 m. Podemos escrever:
1 m
3
= 1 m ? 1 m ? 1 m
Sabemos que 1 m = 10 dm. Logo: 1 m
3
= 10 dm ? 10 dm ? 10 dm
1 m
3
= 1 000 dm
3
Então:
Como 1 dm³ = 1 L, cabem 1 000 litros dentro de um recipiente com capacidade de 1 m³.
Vejamos algumas situações em que podemos aplicar essa relação.
1 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que
o consumo do último mês foi 36 m
3
. Quantos litros de
água foram consumidos?
36 m
3
= 36 000 dm
3
Como 1 dm
3
= 1 L, temos: 36 m
3
= 36 000 dm
3
= 36 000 L
Foram consumidos 36 000 litros de água.
2 Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de vacina, que devem ser colocados em
ampolas de 35 cm
3
cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com a quantidade de
vacina fabricada?
Como 1 L = 1 dm
3
= 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1 000 cm
3
, temos:
1 400 L = 1 400 dm
3
= (1 400 x 1 000) cm
3
= 1 400 000 cm
3
(1 400 000 cm
3
) : (35 cm
3
) = 40 000 ampolas
Serão obtidas 40 000 ampolas dessa vacina.
pense e responda
Você se surpreenderia se alguém lhe dissesse que uma caixa
em forma de cubo com 1 dm de aresta tem capacidade de
1 litro?
Se, em um recipiente em forma de cubo de 1 dm de aresta,
for despejada a água de uma garrafa com exatamente 1 li-
tro, veremos que nesse recipiente cabe exatamente 1 litro
de água.
1 dm é o mesmo que 10 cm.
SAIBA QUE
1 L = 1 dm
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Veja no material
audiovisual o vídeo
sobre a relação entre
litro e decímetro cúbico.
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289. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
Os gráficos apresentados
nesta seção trazem informa-
ções de três diferentes assun-
tos que podem se transformar
em tema de pesquisa, envol-
vendo as áreas de Matemática,
Ciências e Geografia.
O primeiro gráfico mostra o
aumento dos valores dos com-
bustíveis nas refinarias ao lon-
go dos meses de abril e maio
de 2018.
O segundo gráfico mostra
o decrescimento do desmata-
mento da Amazônia, de forma
sistemática, a partir de 2004,
quando foi implementado
pelo governo o Plano de Ação
para Prevenção e Controle do
Desmatamento na Amazônia
Legal (PPCDAm). Mais infor-
mações a respeito do plano ou
outras questões relacionadas
ao tema podem ser encon-
tradas no site do Ministério
do Meio Ambiente, disponível
em: <http://livro.pro/b5asjq>
(acesso em: 9 nov. 2018).
O último gráfico traz a
questão da imigração para o
Brasil. Nos últimos anos, de-
vido a diversas guerras e pro-
blemas econômicos graves,
diversos países do mundo re-
ceberam, de formas distintas e
em maior ou menor número,
imigrantes. Uma pesquisa a
respeito dos deslocamentos e
os motivos que levaram milha-
res de pessoas a deixarem seus
países de origem pode ser um
assunto interessante para
complementar a seção.
Se julgar oportuno organi-
zar uma aula no laboratório de
informática e propor que os
alunos construam os gráficos
apresentados, usando uma
planilha eletrônica.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Preço dos combustíveis nas refinarias
1,5
2
2,5
7/4/2018
11/4/2018 13/4/2018 17/4/2018 19/4/2018 21/4/2018 26/4/2018 28/4/2018
3/5/2018 5/5/201
8
9/5/2018
12/5/201
8
16/5/201
8
18/5/2018 22/5/201
8
GasolinaDiesel
Em R$
Data
Fonte: MOTA, C. V. 6 perguntas para entender a alta nos preços da gasolina e do diesel. Terra.
Disponível em: <https://www.terra.com.br/noticias/brasil/6-perguntas-para-entender-a-alta-nos-precos-da-
gasolina-e-do-diesel,ca91201b9d03f54efccbe616558e74e2p1y97sm0.html>. Acesso em: 22 set. 2018.
EDITORIA DE ARTE
Gráfico de linhas
Quando precisamos representar uma série de dados com relação ao tempo, o gráfico mais
adequado é o gráfico de linhas.
No exemplo a seguir, temos representados os preços da gasolina e do diesel, ao longo dos
meses de abril e maio de 2018, nas refinarias.
Analisando o gráfico, percebemos que, de 7 de abril de 2018 a 22 de maio de 2015, o
valor dos combustíveis aumentou consideravelmente. O que poderia ter acontecido no Brasil, ou
em outros países, para que esse aumento fosse assim tão acentuado? Observe que apenas os
dados do gráfico não nos permitem entender totalmente a realidade. Os dados, retirados de um
contexto, não significam muita coisa.
Observe outras situações em que aparece o gráfico de linhas.
1. A partir de 2004, o governo federal instituiu o Plano de Ação para Prevenção e Controle
do Desmatamento na Amazônia Legal (PPCDAm). A medida fomenta políticas públicas
para manter a floresta em pé, por meio do monitoramento e de ações de fiscalização
e controle. 
Resoluções a partir da p. 289
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• Analise o gráfico e diga em qual ano ocorreu o primeiro pico migratório para o Brasil.
• Faça uma pesquisa sobre imigração no Brasil e explique o que aconteceu para ocorrer
esses dois picos migratórios indicados no gráfico.
Em 2010.
Série histórica de monitoramento de desmatamento
Ano
Desmatamento
(km
2
)
1988 1990 1992 1994 1996 1998 200
0
2002 2004 2006 2008 2010 2012 201
4
201
6
0
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
29 059
27 772
11 030
4 517 7 986
Fonte: BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Desmatamento na Amazônia Legal.
Disponível em: <http://www.mma.gov.br/mma-em-numeros/desmatamento>. Acesso em: 22 set. 2018.
Série histórica do número de imigrantes no Brasil – 2000 a 2014
Númer
o de imigrantes
Ano
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
30 000
230 000
430 000
630 000
830 000
1 030 000
95 829
30 134
46 860
46 946
73 001
1 134 678
432 356
70 415
65 654
Fonte: UEBEL, R. R. G.; RÜCKERT, A. A. Aspectos gerais da dinâmica imigratória no Brasil no século XXI.
Disponível em: <https://journals.openedition.org/confins/11905#tocto1n1>. Acesso em: 22 set. 2018.
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
2. Pico migratório em 2010: crise econômica internacional; mudanças na macroestrutura conjuntural do país nas áreas de
infraestrutura, construção, tecnologia, inovação e serviços que tornaram atrativa a vinda de imigrantes estrangeiros;
crescimento das indústrias de petróleo, gás, mineração e de alta tecnologia, coincidentemente setores que exigem uma
A partir da criação do programa do governo, em 2004, é claramente perceptível a
redução no desmatamento da Amazônia.
Observe ainda que, com o parágrafo introdutório, que contextualiza o início do pro-
grama de controle do desmatamento, a leitura do gráfico torna-se muito mais eficiente.
Ainda observando o gráfico, responda às questões a seguir no caderno:
• Em qual ano, a quantidade de quilômetros quadrados desmatados foi mínima?
• Qual foi a porcentagem de redução, com relação a 2004?
2. O gráfico a seguir mostra o número de imigrantes vindos para o Brasil de 2000 a 2014.
Em 2012.
84%
No gráfico a seguir, temos a série histórica de 1988 a 2016, sobre o total de quilômetros
quadrados desmatados na Amazônia, nesse período. O monitoramento da região ama-
zônica é feito por satélites, desde 1988, segundo o Ministério do Meio Ambiente (MMA).
qualificação profissional de excelência e mão de obra especializada existente no exterior. Pico migratório em 2014: cenário
internacional e suas mudanças políticas e econômicas nos últimos anos; implantação de acordos de cooperação nas matérias
de imigração e trabalho; atratividade econômica do país nas áreas de indústria, finanças e ensino.
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290. TRATAMENTO DA INFORMAÇão
Preço dos combustíveis nas refinarias
1,5
2
2,5
7/4/2018
11/4/2018 13/4/2018 17/4/2018 19/4/2018 21/4/2018 26/4/2018 28/4/2018
3/5/2018 5/5/201
8
9/5/2018
12/5/201
8
16/5/201
8
18/5/2018 22/5/201
8
GasolinaDiesel
Em R$
Data
Fonte: MOTA, C. V. 6 perguntas para entender a alta nos preços da gasolina e do diesel. Terra.
Disponível em: <https://www.terra.com.br/noticias/brasil/6-perguntas-para-entender-a-alta-nos-precos-da-
gasolina-e-do-diesel,ca91201b9d03f54efccbe616558e74e2p1y97sm0.html>. Acesso em: 22 set. 2018.
EDITORIA DE ARTE
Gráfico de linhas
Quando precisamos representar uma série de dados com relação ao tempo, o gráfico mais
adequado é o gráfico de linhas.
No exemplo a seguir, temos representados os preços da gasolina e do diesel, ao longo dos
meses de abril e maio de 2018, nas refinarias.
Analisando o gráfico, percebemos que, de 7 de abril de 2018 a 22 de maio de 2015, o
valor dos combustíveis aumentou consideravelmente. O que poderia ter acontecido no Brasil, ou
em outros países, para que esse aumento fosse assim tão acentuado? Observe que apenas os
dados do gráfico não nos permitem entender totalmente a realidade. Os dados, retirados de um
contexto, não significam muita coisa.
Observe outras situações em que aparece o gráfico de linhas.
1. A partir de 2004, o governo federal instituiu o Plano de Ação para Prevenção e Controle
do Desmatamento na Amazônia Legal (PPCDAm). A medida fomenta políticas públicas
para manter a floresta em pé, por meio do monitoramento e de ações de fiscalização
e controle. 
Resoluções a partir da p. 289
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• Analise o gráfico e diga em qual ano ocorreu o primeiro pico migratório para o Brasil.
• Faça uma pesquisa sobre imigração no Brasil e explique o que aconteceu para ocorrer
esses dois picos migratórios indicados no gráfico.
Em 2010.
Série histórica de monitoramento de desmatamento
Ano
Desmatamento
(km
2
)
1988 1990 1992 1994 1996 1998 200
0
2002 2004 2006 2008 2010 2012 201
4
201
6
0
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
29 059
27 772
11 030
4 517 7 986
Fonte: BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. Desmatamento na Amazônia Legal.
Disponível em: <http://www.mma.gov.br/mma-em-numeros/desmatamento>. Acesso em: 22 set. 2018.
Série histórica do número de imigrantes no Brasil – 2000 a 2014
Númer
o de imigrantes
Ano
1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
30 000
230 000
430 000
630 000
830 000
1 030 000
95 829
30 134
46 860
46 946
73 001
1 134 678
432 356
70 415
65 654
Fonte: UEBEL, R. R. G.; RÜCKERT, A. A. Aspectos gerais da dinâmica imigratória no Brasil no século XXI.
Disponível em: <https://journals.openedition.org/confins/11905#tocto1n1>. Acesso em: 22 set. 2018.
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
2. Pico migratório em 2010: crise econômica internacional; mudanças na macroestrutura conjuntural do país nas áreas de
infraestrutura, construção, tecnologia, inovação e serviços que tornaram atrativa a vinda de imigrantes estrangeiros;
crescimento das indústrias de petróleo, gás, mineração e de alta tecnologia, coincidentemente setores que exigem uma
A partir da criação do programa do governo, em 2004, é claramente perceptível a
redução no desmatamento da Amazônia.
Observe ainda que, com o parágrafo introdutório, que contextualiza o início do pro-
grama de controle do desmatamento, a leitura do gráfico torna-se muito mais eficiente.
Ainda observando o gráfico, responda às questões a seguir no caderno:
• Em qual ano, a quantidade de quilômetros quadrados desmatados foi mínima?
• Qual foi a porcentagem de redução, com relação a 2004?
2. O gráfico a seguir mostra o número de imigrantes vindos para o Brasil de 2000 a 2014.
Em 2012.
84%
No gráfico a seguir, temos a série histórica de 1988 a 2016, sobre o total de quilômetros
quadrados desmatados na Amazônia, nesse período. O monitoramento da região ama-
zônica é feito por satélites, desde 1988, segundo o Ministério do Meio Ambiente (MMA).
qualificação profissional de excelência e mão de obra especializada existente no exterior. Pico migratório em 2014: cenário
internacional e suas mudanças políticas e econômicas nos últimos anos; implantação de acordos de cooperação nas matérias
de imigração e trabalho; atratividade econômica do país nas áreas de indústria, finanças e ensino.
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291. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
Nesta seção, exploram-se
questões envolvendo os con-
teúdos desenvolvidos na Uni-
dade. Propor aos alunos que
resolvam as questões desse
bloco de atividades em duplas
ou trios, discutindo cada ques-
tão. Pedir aos alunos que re-
gistrem no caderno o procedi-
mento utilizado em cada caso,
resgatando os conceitos traba-
lhados na Unidade. Mais uma
vez, incentivá-los a procurar no
livro do aluno os conceitos em
que tiveram dificuldade.
Orientar os alunos a destacar
as informações importantes do
enunciado e o que se pede. Se
for necessário, eles devem re-
produzir os desenhos apresen-
tados ou elaborar outros que
traduzam a situação descrita.
Realizar um levantamento
das principais dificuldades e
retomar os assuntos na lousa.
Para a correção, chamar alunos
de diferentes grupos para resol-
ver, na lousa, as questões que
geraram mais dificuldades.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua
cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m
com ladrilhos quadrados de 30 cm de
lado. Qual é o número de ladrilhos
necessários?
a) 49
b) 51
c) 161
d) 483
2. (Saresp-SP) Na figura
há dois quadrados.
A área do quadrado
maior é 25 m² e BG
mede 2 m.
A área da região
pintada de azul é:
a) 16 m²
b) 21 m²
c) 9 m²
d) 18 m²
3. (Vunesp-SP) O menor país do mundo
em extensão é o estado do Vaticano,
com uma área de 0,4 km². Se o territó-
rio do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados
estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
4. A, B, C e D são os vértices
de uma região retangu-
lar, conforme mostra a
figura. Considere que
as medidas indicadas
são dadas em quilômetros.
Se a densidade demográfica dessa
região é de 72 habitantes por km², qual
é a população dessa região?
a) 17 100 habitantes.
b) 17 200 habitantes.
c) 17 280 habitantes.
d) 17 300 habitantes.
e) 17 380 habitantes.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
5. A divisão do número 0,5 por x tem
o mesmo resultado que a adição do
número 0,5 a x. Se x é um número real
positivo e considerando p = 3,14, qual é
a área do círculo cujo raio mede x cm?
a) 0,685 cm²
b) 0,785 cm²
c) 0,885 cm²
d) 0,875 cm²
e) 0,578 cm²
6. Observe esta figura:
2
2
2
2
2
2
A área dessa figura, em centímetro qua-
drado, é: (Use p = 3,14)
a) 11
b) 11,04
c) 11,14
d) 11,24
e) 12,14
7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm.
Sabendo que BC é o diâmetro do círculo,
qual é a área da região colorida de roxo?
A
O
BC
a) 63 cm²
b) 63,25 cm²
c) 63,50 cm²
d) 63,75 cm²
e) 64,25 cm²
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa b.
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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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8. (Saresp-SP) Um recipiente de plástico,
de forma cúbica, tem o volume de
1 331 cm
3
. Podemos dizer que nesse re-
cipiente cabe:
a) menos que 1 litro de água.
b) entre 1 litro e 1 litro e meio de água.
c) entre 1 litro e meio e 2 litros de água.
d) mais que dois litros de água.
9. Uma empresa comprou 100 barris, sendo
que cada barril contém 120 L de óleo. A
quantidade de óleo deverá ser colocada
em recipientes que têm 750 mL de ca-
pacidade cada um. Quantos recipientes
serão necessários?
1 0 . Um reservatório, cujo volume é 10 m
3
,
estava totalmente cheio, quando dele
foram retirados 2 200 L de água. Numa
segunda vez, foi retirado
1
2
da quan-
tida de de água que restou. Quantos
litros ainda restaram nesse reservatório?
11. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura
está cheia só com café, só com leite ou só
com suco. No total, a quantidade de café é
o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas
está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais
as xícaras que contêm leite?
Alternativa b.
16 000 recipientes.
3 900 L
Alternativa e.
I
II
III
IV
V
950 mL 750 mL
550 mL 475 mL 325 mL
a) Apenas a xícara I.
b) As xícaras III e IV.
c) As xícaras II e V.
d) As xícaras III e V.
e) As xícaras IV e V.
12. (Enem/MEC) A maior piscina do mundo,
registrada no livro Guiness, está locali-
zada no Chile, em San Alfonso del Mar,
cobrindo um terreno de 8 hectares de
área. Sabe-se que 1 hectare corresponde
a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor,
em metros quadrados, da área coberta
pelo terreno da piscina?
a) 8
b) 80
c) 800
d) 8 000
e) 80 000
EDITORIA DE ARTE
Alternativa e.
Nesta Unidade, aprofundamos o estudo sobre a área de figuras geométricas planas.
Estudamos também a área do círculo. Retomamos o estudo do volume de cubos e blocos
retangulares. Relembramos as características do cilindro e aprendemos como calcular
seu volume.
Retomamos também a ideia de capacidade e vimos a equivalência entre as unidades
de medida de volume e de capacidade. Na abertura dessa Unidade você foi convidado a
refletir sobre a capacidade dos reservatórios de água que abastecem a Grande São Paulo.
Agora, vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8. Responda às
questões no caderno.
• Quais as medidas estudadas que você costuma usar no dia a dia? Cite exemplos.
• Qual é a diferença entre volume e capacidade?
• Aponte relações do assunto tratado nesta Unidade com conceitos estudados em
outras disciplinas.
Resposta pessoal.
O volume representa o espaço ocupado
por um corpo, enquanto a capacidade é quanto esse corpo é capaz de armazenar no seu interior.
Uma possível resposta: Relacionar o assunto meio ambiente da abertura
com as aulas de Geografia e Ciências.
UM NOVO OLHAR
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292. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento desta
Unidade poderão permitir re-
flexões a respeito das apren-
dizagens individuais, além de
uma breve retomada dos con-
teúdos apresentados.
É importante que os alunos
respondam individualmente a
cada uma das questões para
que, dessa forma, possam
perceber o que aprenderam e
as possíveis dúvidas que ainda
tenham a respeito de determi-
nado assunto abordado.
Um ponto a ser ressaltado no
encerramento desta Unidade é
a interpretação de textos que
envolvem valores numéricos e
a utilização de conhecimentos
matemáticos para uma correta
interpretação dos dados.
Questionar os alunos acerca
da seguinte situação: “Quem
não possui determinados co-
nhecimentos matemáticos
consegue realizar uma inter-
pretação de texto ou de gráfi-
co da mesma forma que uma
pessoa que possui?”; “Será
que haverá diferença entre es-
sas interpretações? Por quê?”;
“Quais são os conhecimentos
matemáticos importantes nes-
se tipo de interpretação?”.
O objetivo desses questiona-
mentos é levar os alunos a
notarem que a Matemática é
uma ferramenta indispensável
para o pleno exercício da cida-
dania, pois sem ela acabamos
por fazer uma interpretação
fragmentada das informações,
o que nos impede de ter uma
visão do todo e, portanto,
uma análise mais completa da
situação.
No início da Unidade foram
propostos questionamentos
relacionados à capacidade e
ao volume de reservatórios hí-
dricos, ao consumo de água e
economia. Retome o questio-
namento inicial analisando a
capacidade da piscina propos-
ta na última questão da seção.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua
cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m
com ladrilhos quadrados de 30 cm de
lado. Qual é o número de ladrilhos
necessários?
a) 49
b) 51
c) 161
d) 483
2. (Saresp-SP) Na figura
há dois quadrados.
A área do quadrado
maior é 25 m² e BG
mede 2 m.
A área da região
pintada de azul é:
a) 16 m²
b) 21 m²
c) 9 m²
d) 18 m²
3. (Vunesp-SP) O menor país do mundo
em extensão é o estado do Vaticano,
com uma área de 0,4 km². Se o territó-
rio do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados
estaria entre:
a) 200 m e 201 m.
b) 220 m e 221 m.
c) 401 m e 402 m.
d) 632 m e 633 m.
e) 802 m e 803 m.
4. A, B, C e D são os vértices
de uma região retangu-
lar, conforme mostra a
figura. Considere que
as medidas indicadas
são dadas em quilômetros.
Se a densidade demográfica dessa
região é de 72 habitantes por km², qual
é a população dessa região?
a) 17 100 habitantes.
b) 17 200 habitantes.
c) 17 280 habitantes.
d) 17 300 habitantes.
e) 17 380 habitantes.
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
5. A divisão do número 0,5 por x tem
o mesmo resultado que a adição do
número 0,5 a x. Se x é um número real
positivo e considerando p = 3,14, qual é
a área do círculo cujo raio mede x cm?
a) 0,685 cm²
b) 0,785 cm²
c) 0,885 cm²
d) 0,875 cm²
e) 0,578 cm²
6. Observe esta figura:
2
2
2
2
2
2
A área dessa figura, em centímetro qua-
drado, é: (Use p = 3,14)
a) 11
b) 11,04
c) 11,14
d) 11,24
e) 12,14
7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm.
Sabendo que BC é o diâmetro do círculo,
qual é a área da região colorida de roxo?
A
O
BC
a) 63 cm²
b) 63,25 cm²
c) 63,50 cm²
d) 63,75 cm²
e) 64,25 cm²
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa b.
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8. (Saresp-SP) Um recipiente de plástico,
de forma cúbica, tem o volume de
1 331 cm
3
. Podemos dizer que nesse re-
cipiente cabe:
a) menos que 1 litro de água.
b) entre 1 litro e 1 litro e meio de água.
c) entre 1 litro e meio e 2 litros de água.
d) mais que dois litros de água.
9. Uma empresa comprou 100 barris, sendo
que cada barril contém 120 L de óleo. A
quantidade de óleo deverá ser colocada
em recipientes que têm 750 mL de ca-
pacidade cada um. Quantos recipientes
serão necessários?
1 0 . Um reservatório, cujo volume é 10 m
3
,
estava totalmente cheio, quando dele
foram retirados 2 200 L de água. Numa
segunda vez, foi retirado
1
2
da quan-
tida de de água que restou. Quantos
litros ainda restaram nesse reservatório?
11. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura
está cheia só com café, só com leite ou só
com suco. No total, a quantidade de café é
o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas
está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais
as xícaras que contêm leite?
Alternativa b.
16 000 recipientes.
3 900 L
Alternativa e.
I
II
III
IV
V
950 mL 750 mL
550 mL 475 mL 325 mL
a) Apenas a xícara I.
b) As xícaras III e IV.
c) As xícaras II e V.
d) As xícaras III e V.
e) As xícaras IV e V.
12. (Enem/MEC) A maior piscina do mundo,
registrada no livro Guiness, está locali-
zada no Chile, em San Alfonso del Mar,
cobrindo um terreno de 8 hectares de
área. Sabe-se que 1 hectare corresponde
a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor,
em metros quadrados, da área coberta
pelo terreno da piscina?
a) 8
b) 80
c) 800
d) 8 000
e) 80 000
EDITORIA DE ARTE
Alternativa e.
Nesta Unidade, aprofundamos o estudo sobre a área de figuras geométricas planas.
Estudamos também a área do círculo. Retomamos o estudo do volume de cubos e blocos
retangulares. Relembramos as características do cilindro e aprendemos como calcular
seu volume.
Retomamos também a ideia de capacidade e vimos a equivalência entre as unidades
de medida de volume e de capacidade. Na abertura dessa Unidade você foi convidado a
refletir sobre a capacidade dos reservatórios de água que abastecem a Grande São Paulo.
Agora, vamos retomar e refletir sobre as aprendizagens da Unidade 8. Responda às
questões no caderno.
• Quais as medidas estudadas que você costuma usar no dia a dia? Cite exemplos.
• Qual é a diferença entre volume e capacidade?
• Aponte relações do assunto tratado nesta Unidade com conceitos estudados em
outras disciplinas.
Resposta pessoal.
O volume representa o espaço ocupado
por um corpo, enquanto a capacidade é quanto esse corpo é capaz de armazenar no seu interior.
Uma possível resposta: Relacionar o assunto meio ambiente da abertura
com as aulas de Geografia e Ciências.
UM NOVO OLHAR
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293. COMPETÊNCIAS
GERAIS
1. Valorizar e utilizar os co-
nhecimentos historicamente
construídos sobre o mundo
físico, social, cultural e digital
para entender e explicar a rea-
lidade, continuar aprendendo
e colaborar para a construção
de uma sociedade justa, de-
mocrática e inclusiva.
4. Utilizar diferentes lingua-
gens – verbal (oral ou visual-
-motora, como Libras, e escri-
ta), corporal, visual, sonora e
digital –, bem como conheci-
mentos das linguagens artís-
tica, matemática e científica,
para se expressar e partilhar
informações, experiências,
ideias e sentimentos em di-
ferentes contextos e produzir
sentidos que levem ao enten-
dimento mútuo.
ESPECÍFICAS
3. Compreender as relações
entre conceitos e procedimen-
tos dos diferentes campos da
Matemática (Aritmética, Álge-
bra, Geometria, Estatística e
Probabilidade) e de outras áre-
as do conhecimento, sentindo
segurança quanto à própria
capacidade de construir e apli-
car conhecimentos matemáti-
cos, desenvolvendo a autoesti-
ma e a perseverança na busca
de soluções.
5. Utilizar processos e ferra-
mentas matemáticas, inclusive
tecnologias digitais disponí-
veis, para modelar e resolver
problemas cotidianos, sociais
e de outras áreas de conheci-
mento, validando estratégias e
resultados.
6. Enfrentar situações-pro-
blema em múltiplos contex-
tos, incluindo-se situações
imaginadas, não diretamente
relacionadas com o aspecto
prático-utilitário, expressar
suas respostas e sintetizar con-
clusões, utilizando diferentes
registros e linguagens (gráfi-
cos, tabelas, esquemas, além
de texto escrito na língua ma-
terna e outras linguagens para
descrever algoritmos, como
fluxogramas, e dados).
HABILIDADES p. XXI e XXII
Álgebra
• EF08MA12
• EF08MA13
O uso de escala na Arquitetura
Você já viu a planta baixa de uma residência ou
alguma maquete que represente uma construção ou um
conjunto de construções, como um bairro, por exemplo?
Diante da impossibilidade de usar as medidas reais
em tais representações, profissionais que trabalham
com Arquitetura, Engenharia Civil, Design, entre outros,
usam o conceito de escala.
Com isso, podemos verificar a relação entre a
medida do comprimento de uma parede da sala de aula
e a medida do comprimento da representação corres-
pondente em uma planta baixa.
Estudo de
grandezas9
Observe a imagem, converse com os colegas e faça no caderno o que se pede nos itens
a seguir.
• Identifique na imagem o que nos permite afirmar que temos uma maquete que repre-
senta uma casa em construção.
• Você já viu uma maquete ou uma planta baixa? Junte-se a um colega e pesquise situ-
ações em que é comum o uso desses recursos.
• Meça as paredes da sua sala de aula e faça o esboço de uma delas para representá-la.
Use 1 cm, no desenho, para representar 1 metro de comprimento real. Nesse caso a
escala utilizada é de 1 para 100, indicada por 1 : 100.
Resposta possível: a proporção entre o lápis sobre o desenho da
planta baixa em relação à casa e os personagens.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal. Algumas situações que os alunos podem relatar: maquetes feitas para representar prédios
que serão construídos, localizadas em stands de vendas, planta baixa de apartamentos à venda em panfletos de
propaganda, planta baixa de feiras e exposições com a distribuição dos stands de cada expositor.
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294. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Analisar a imagem de
abertura da Unidade com os
alunos, trazendo questões a
respeito dos temas relaciona-
dos a ela. Por exemplo, escala,
maquete, planta baixa, pro-
porção são alguns assuntos
que os alunos podem indicar.
Discutir com a turma a res-
peito das questões que apare-
cem na abertura desta Unida-
de. Ao solicitar que os alunos
meçam as paredes da sala de
aula, verificar como realizam
essa medida. Caso algum de-
les meça de modo errado,
indicar os procedimentos ade-
quados para concluírem as
medições. Pedir que compar-
tilhem o esboço feito com os
outros colegas para verifica-
rem diferenças e semelhanças.
Comentar que na Arte é
possível encontrar muitas es-
culturas que usam a proporção
em suas representações. Este
é o caso das obras do artista
australiano Ron Mueck que
é conhecido por suas obras
realistas se assemelharem ao
ser humano em proporções
diferentes das que estamos
acostumados a ver na vida
real. Acessar o site <http://
livro.pro/e8njer> para conhe-
cer algumas obras e compar-
tilhar com os alunos.
O uso de escala na Arquitetura
Você já viu a planta baixa de uma residência ou
alguma maquete que represente uma construção ou um
conjunto de construções, como um bairro, por exemplo?
Diante da impossibilidade de usar as medidas reais
em tais representações, profissionais que trabalham
com Arquitetura, Engenharia Civil, Design, entre outros,
usam o conceito de escala.
Com isso, podemos verificar a relação entre a
medida do comprimento de uma parede da sala de aula
e a medida do comprimento da representação corres-
pondente em uma planta baixa.
Estudo de
grandezas9
Observe a imagem, converse com os colegas e faça no caderno o que se pede nos itens
a seguir.
• Identifique na imagem o que nos permite afirmar que temos uma maquete que repre-
senta uma casa em construção.
• Você já viu uma maquete ou uma planta baixa? Junte-se a um colega e pesquise situ-
ações em que é comum o uso desses recursos.
• Meça as paredes da sua sala de aula e faça o esboço de uma delas para representá-la.
Use 1 cm, no desenho, para representar 1 metro de comprimento real. Nesse caso a
escala utilizada é de 1 para 100, indicada por 1 : 100.
Resposta possível: a proporção entre o lápis sobre o desenho da
planta baixa em relação à casa e os personagens.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal. Algumas situações que os alunos podem relatar: maquetes feitas para representar prédios
que serão construídos, localizadas em stands de vendas, planta baixa de apartamentos à venda em panfletos de
propaganda, planta baixa de feiras e exposições com a distribuição dos stands de cada expositor.
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295. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Razão e proporção
Nesse momento são reto-
mados os conceitos de razão
e proporção para que, na se-
quência, sejam explorados,
com mais profundidade, o
reconhecimento de relações
proporcionais e não propor-
cionais entre grandezas.
Para complementar o
exemplo envolvendo espor-
te, propor a seguinte situa-
ção: no Campeonato Anual
de Futebol de uma escola, a
equipe do 8
o
ano A acumulou
36 pontos dos 57 disputados.
Qual foi o aproveitamento
dessa equipe?
Pedir aos alunos que escre-
vam a razão correspondente à
essa situação, ou seja, a razão
que relaciona o total de pon-
tos acumulados pelo total de
pontos disputados:
total de pontos acumulados
total de pontos disputados
Conversar com a turma a
respeito das maneiras de repre-
sentar esta razão na forma per-
centual. Neste caso, a maneira
mais interessante é pelo quo-
ciente entre 36 e 57 que resul-
ta em, aproximadamente, 0,63
ou 63%. Portanto, o aprovei-
tamento dessa equipe foi de,
aproximadamente, 63%.
GRANDEZAS1
CAPÍTULO
Razão e proporção
Vimos que, sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão
entre a e b ou razão de a para b o quociente
a
b
ou a : b.
A razão
a
b
ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
razão de a para b ou a está para b ou a para b.
Considere a situação a seguir.
Em um jogo de basquete, determinado jogador
fez 23 dos 92 pontos marcados pela sua equipe em
certa partida. A razão entre o número de pontos
feitos por esse jogador e o total de pontos da
partida é dada por:
23
92
.
A proporção é uma igualdade entre duas razões.
Segundo a propriedade fundamental das proporções, temos:
=x =x
a
b
c
d
ad bc⇔

No exemplo dado, podemos afirmar que a cada
4 pontos feitos, 1 foi desse jogador. Assim, temos
a razão
1
4
.
As razões são equivalentes; portanto, podemos
escrever a seguinte igualdade:
!
23
92
1
4
A essa igualdade, damos o nome de proporção.
Verificando a propriedade fundamental das proporções no exemplo anterior,
temos: =x =x
23
92
1
4
2349 21⇔ .
Kevin Durant, jogador da
seleção norte-americana de
basquete, nos Jogos Olímpicos
do Rio de Janeiro. 2016.
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Grandezas proporcionais
Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas proporcionais.
1 No quadro a seguir, relacionamos a medida do lado de um quadrado e o respectivo perímetro.
Medida do lado do quadrado (em metros)Perímetro do quadrado (em m)
1 4
2 8
3 12
Observe que, quanto maior a medida do lado do quadrado, maior o seu perímetro. E esse
aumento é proporcional, pois, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, seu perímetro
também dobrará. Ao triplicarmos a medida do lado, o perímetro também triplicará.
2 Um automóvel e um ônibus farão uma viagem entre São Paulo (SP) e Valparaíso (SP), distantes
560 km. A velocidade média permitida para o automóvel é de 100 km/h. Já o ônibus precisa
transitar desenvolvendo uma velocidade média de 80 km/h. Sabendo que o automóvel leva
5,6 h para percorrer essa distância, considerando sua velocidade constante, calcule quanto
tempo a mesma distância será percorrida pelo ônibus (também com velocidade constante).
Construindo um quadro que relaciona as duas informações, temos:
Velocidade média (em km/h)Tempo gasto no percurso (em h)
Automóvel 100 5,6
Ônibus 80 7
Observe que o produto entre a velocidade e o tempo gasto, em ambos os casos, é igual
a 560. Conforme a velocidade média aumenta, o tempo gasto no percurso se reduz,
proporcionalmente.
3 Para asfaltar certa região retangular, de 25 m por 60 m, usamos 2 340 L de betume. Qual
volume de betume é necessário para asfaltarmos outra região retangular, de 80 m por 60 m?
Para resolver essa situação, vamos construir um quadro, relacionando a área a ser asfaltada
e a quantidade de betume necessário.

Área retangular a ser asfaltada
(em m
2
)
Volume de betume
(em L)
25 x 60 = 1 500 m
2
2 340
80 x 60 = 4 800 m
2
x
Observe que uma das dimensões do terreno se manteve.
A outra dimensão aumentou 3,2 vezes (80 : 25 = 3,2).
Assim, o volume de betume necessário também deverá
aumentar em 3,2 vezes.
Dessa maneira, 2 340 x 3,2 = 7 488.
O volume necessário de betume será de 7 488 L.
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296. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grandezas proporcionais
Explorar as situações apre-
sentadas para que os alunos
identifiquem a presença da
proporcionalidade e da não
proporcionalidade. A situa-
ção 1 relaciona a medida do
lado de um quadrado com o
seu perímetro. A situação 2
apresenta a relação entre a
velocidade e o tempo de des-
locamento de veículos. A situ-
ação 3 envolve área e volume.
Se julgar oportuno, pedir aos
alunos que se reúnam em gru-
pos e analisem cada uma des-
sas situações antes de fazer a
leitura do livro do aluno.
Solicitar que os alunos, em
grupo, pensem e anotem em
seus cadernos, duas situações
proporcionais e duas situações
não proporcionais. Depois,
propor que socializem com
a turma, para que possam
apresentar suas ideias. Criar
um mural de exemplos de si-
tuações de proporcionalidade
e de situações nas quais as
grandezas envolvidas não são
proporcionais pode colaborar
com o aprendizado da turma.
GRANDEZAS1
CAPÍTULO
Razão e proporção
Vimos que, sendo a e b dois números racionais, com b ≠ 0, denomina-se razão
entre a e b ou razão de a para b o quociente
a
b
ou a : b.
A razão
a
b
ou a : b pode ser lida de uma das seguintes maneiras:
razão de a para b ou a está para b ou a para b.
Considere a situação a seguir.
Em um jogo de basquete, determinado jogador
fez 23 dos 92 pontos marcados pela sua equipe em
certa partida. A razão entre o número de pontos
feitos por esse jogador e o total de pontos da
partida é dada por:
23
92
.
A proporção é uma igualdade entre duas razões.
Segundo a propriedade fundamental das proporções, temos:
=x =x
a
b
c
d
ad bc⇔

No exemplo dado, podemos afirmar que a cada
4 pontos feitos, 1 foi desse jogador. Assim, temos
a razão
1
4
.
As razões são equivalentes; portanto, podemos
escrever a seguinte igualdade:
!
23
92
1
4
A essa igualdade, damos o nome de proporção.
Verificando a propriedade fundamental das proporções no exemplo anterior,
temos: =x =x
23
92
1
4
2349 21⇔ .
Kevin Durant, jogador da
seleção norte-americana de
basquete, nos Jogos Olímpicos
do Rio de Janeiro. 2016.
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Grandezas proporcionais
Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas proporcionais.
1 No quadro a seguir, relacionamos a medida do lado de um quadrado e o respectivo perímetro.
Medida do lado do quadrado (em metros)Perímetro do quadrado (em m)
1 4
2 8
3 12
Observe que, quanto maior a medida do lado do quadrado, maior o seu perímetro. E esse
aumento é proporcional, pois, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, seu perímetro
também dobrará. Ao triplicarmos a medida do lado, o perímetro também triplicará.
2 Um automóvel e um ônibus farão uma viagem entre São Paulo (SP) e Valparaíso (SP), distantes
560 km. A velocidade média permitida para o automóvel é de 100 km/h. Já o ônibus precisa
transitar desenvolvendo uma velocidade média de 80 km/h. Sabendo que o automóvel leva
5,6 h para percorrer essa distância, considerando sua velocidade constante, calcule quanto
tempo a mesma distância será percorrida pelo ônibus (também com velocidade constante).
Construindo um quadro que relaciona as duas informações, temos:
Velocidade média (em km/h)Tempo gasto no percurso (em h)
Automóvel 100 5,6
Ônibus 80 7
Observe que o produto entre a velocidade e o tempo gasto, em ambos os casos, é igual
a 560. Conforme a velocidade média aumenta, o tempo gasto no percurso se reduz,
proporcionalmente.
3 Para asfaltar certa região retangular, de 25 m por 60 m, usamos 2 340 L de betume. Qual
volume de betume é necessário para asfaltarmos outra região retangular, de 80 m por 60 m?
Para resolver essa situação, vamos construir um quadro, relacionando a área a ser asfaltada
e a quantidade de betume necessário.

Área retangular a ser asfaltada
(em m
2
)
Volume de betume
(em L)
25 x 60 = 1 500 m
2
2 340
80 x 60 = 4 800 m
2
x
Observe que uma das dimensões do terreno se manteve.
A outra dimensão aumentou 3,2 vezes (80 : 25 = 3,2).
Assim, o volume de betume necessário também deverá
aumentar em 3,2 vezes.
Dessa maneira, 2 340 x 3,2 = 7 488.
O volume necessário de betume será de 7 488 L.
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297. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grandezas não
proporcionais
O trabalho com grandezas
não proporcionais é bastante
importante para que os alunos
percebam a não linearidade
destes casos. A situação 1
relaciona a medida do lado de
um quadrado com a área dele.
A situação 2 relaciona a me-
dida de temperatura em graus
Celsius com graus Fahrenheit.
Nos dois casos não há propor-
cionalidade entre as grande-
zas comparadas.
Para ampliar a ideia de não
proporcionalidade, propor aos
alunos que tragam panfletos
promocionais que apresentem
informações do tipo “Leve 3 e
pague 2”. Analisar com a tur-
ma a relação entre os preços e a
quantidade de itens oferecidos.
Pense e responda
A comparação da altura
de uma pessoa relacionada à
idade dela é um exemplo ex-
plícito de que as duas gran-
dezas não possuem relação
de proporcionalidade. Após
responder à questão, fazer
um levantamento de outras
situações em que é explícito
a não proporcionalidade. Por
exemplo, em uma partida de
futebol, o tempo de jogo e a
quantidade de gols marcados.
Grandezas não proporcionais
Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas, mas não de forma proporcional.
1 Considere o lado de um quadrado, medido em centímetros (cm), e sua área, medida em
centímetros quadrados (cm
2
).
1 cm
1 cm
2
2 cm
4 cm
2
3 cm
9 cm
2
Vamos organizar esses dados em um quadro.
Medida do lado do quadrado (em cm) Área do quadrado (em cm
2
)
1 1
2 4
3 9
Percebemos que, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, sua área quadruplicará. Da
mesma maneira, triplicando a medida do lado, a área ficará multiplicada por 9.
Assim, podemos concluir que a medida do lado de um quadrado e de sua área não são
grandezas proporcionais. Observe:
1
1
!
4
2
!
9
3
.
2 A escala de temperatura Fahrenheit é muito utilizada nos países de língua inglesa. Para con-
verter uma temperatura, medida em graus Celsius (°C) para graus Fahrenheit (°F) é preciso
multiplicar a temperatura em °C por 1,8 e somar 32. Observe o quadro a seguir.
Medida em grau Celsius (
o
C)Medida em grau Fahrenheit (
o
F)
10 50
20 68
Assim, 10 °C correspondem a 50 °F e 20 °C, a 68 °F.
As duas escalas termométricas não são proporcionais, pois, ao dobrarmos a temperatura em
graus Celsius, isso não se repetirá na escala Fahrenheit.
Um bebê nasceu com 3,5 kg e 50 cm; ao final do
primeiro ano, ele está com 75 cm.
Podemos afirmar que, aos 20 anos, esse bebê terá
1 500 cm, ou seja, 15 m? Explique seu raciocínio.
pense e responda
Não, pois a idade de uma pessoa e sua altura não são
grandezas proporcionais.
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Representação gráfica
As situações que apresentam grandezas proporcionais podem ser representadas por meio
de gráficos.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Considere um automóvel que, partindo de uma situação de repouso, começa a se deslocar
6 metros a cada 5 segundos. Observe no quadro a seguir os dados desse deslocamento.
Observe que, em todos os pontos, o deslo-
camento é igual a 1,2 vezes o tempo, pois
===
6
5
12
10
18
15
1,2.
Considerando o deslocamento como y e o tempo, como x, matematicamente, temos:
y = 1,2 ? x.
Observe que os pontos estão alinhados, o que nos permite traçar uma semirreta, começando
pela origem do sistema cartesiano.
2 Uma costureira está fazendo a tabela de preço dos vestidos que vai produzir. Ela sabe que o
preço de 1 metro de cetim custa R$ 17,90. Decidiu fazer um quadro com valores para saber
o quanto vai gastar, dependendo da quantidade de cetim que precisará comprar, depois
representou em um gráfico. Observe.
Valor gasto (em R$)
Quantidade de cetim (em m)
0,00
(3; 53,70)
(2; 35,80)
(1; 17,90)
20,00
30,00
10,00
40,00
50,00
2310
Com a representação gráfica, ela consegue perceber
que, se precisar de 2,5 m de tecido, por exemplo, vai
gastar por volta de R$ 45,00.
Podemos dizer que o valor gasto depende da quanti-
dade de metros. Assim, se chamarmos o valor gasto
em reais de y e a quantidade de cetim em metros, de x, temos: y = 17,9 ? x.
Com essa expressão, podemos calcular que para 2,5 metros de cetim essa costureira pagará
R$ 44,75.
Deslocamento (em m)
Tempo
(em s)0_5
_5
5
10
15
20
101520255
Tempo
(em s)
Deslocamento
(em m)
0 0
5 6
10 12
15 18
Quantidade de cetim
(em m)
Valor gasto
(em R$)
1 17,90
2 35,80
3 53,70
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298. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Representação gráfica
A representação gráfica de
situações de proporcionalida-
de direta é uma reta, confor-
me os exemplos mostrados,
mas nem toda reta representa
uma relação de proporcionali-
dade; a representação gráfica
de situações envolvendo duas
grandezas inversamente pro-
porcionais é uma hipérbole,
assunto que será abordado
no Ensino Médio. Da mesma
maneira, gráficos de funções
quadráticas, que representam
grandezas não proporcionais
(como a relação entre o lado
de um quadrado e sua área)
também serão revistos mais
adiante.
Se julgar oportuno, cons-
truir com os alunos o gráfico
que relaciona a temperatura
em graus Celsius e a tempe-
ratura em graus Fahrenheit a
partir da relação: F = 32 +
+ 1,8 ? C, em que F represen-
ta a temperatura em graus
Fahrenheit e C representa a
temperatura em graus Celsius.
100
50
32
68
2030°C
°F
86
Destacar aos alunos que
esse gráfico é uma reta que,
diferente dos outros casos,
não passa pela origem do pla-
no cartesiano.
EDITORIA DE ARTE
Grandezas não proporcionais
Vamos analisar algumas situações que relacionam grandezas, mas não de forma proporcional.
1 Considere o lado de um quadrado, medido em centímetros (cm), e sua área, medida em
centímetros quadrados (cm
2
).
1 cm
1 cm
2
2 cm
4 cm
2
3 cm
9 cm
2
Vamos organizar esses dados em um quadro.
Medida do lado do quadrado (em cm) Área do quadrado (em cm
2
)
1 1
2 4
3 9
Percebemos que, ao dobrarmos a medida do lado do quadrado, sua área quadruplicará. Da
mesma maneira, triplicando a medida do lado, a área ficará multiplicada por 9.
Assim, podemos concluir que a medida do lado de um quadrado e de sua área não são
grandezas proporcionais. Observe:
1
1
!
4
2
!
9
3
.
2 A escala de temperatura Fahrenheit é muito utilizada nos países de língua inglesa. Para con-
verter uma temperatura, medida em graus Celsius (°C) para graus Fahrenheit (°F) é preciso
multiplicar a temperatura em °C por 1,8 e somar 32. Observe o quadro a seguir.
Medida em grau Celsius (
o
C)Medida em grau Fahrenheit (
o
F)
10 50
20 68
Assim, 10 °C correspondem a 50 °F e 20 °C, a 68 °F.
As duas escalas termométricas não são proporcionais, pois, ao dobrarmos a temperatura em
graus Celsius, isso não se repetirá na escala Fahrenheit.
Um bebê nasceu com 3,5 kg e 50 cm; ao final do
primeiro ano, ele está com 75 cm.
Podemos afirmar que, aos 20 anos, esse bebê terá
1 500 cm, ou seja, 15 m? Explique seu raciocínio.
pense e responda
Não, pois a idade de uma pessoa e sua altura não são
grandezas proporcionais.
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Representação gráfica
As situações que apresentam grandezas proporcionais podem ser representadas por meio
de gráficos.
Acompanhe as situações a seguir.
1 Considere um automóvel que, partindo de uma situação de repouso, começa a se deslocar
6 metros a cada 5 segundos. Observe no quadro a seguir os dados desse deslocamento.
Observe que, em todos os pontos, o deslo-
camento é igual a 1,2 vezes o tempo, pois
===
6
5
12
10
18
15
1,2.
Considerando o deslocamento como y e o tempo, como x, matematicamente, temos:
y = 1,2 ? x.
Observe que os pontos estão alinhados, o que nos permite traçar uma semirreta, começando
pela origem do sistema cartesiano.
2 Uma costureira está fazendo a tabela de preço dos vestidos que vai produzir. Ela sabe que o
preço de 1 metro de cetim custa R$ 17,90. Decidiu fazer um quadro com valores para saber
o quanto vai gastar, dependendo da quantidade de cetim que precisará comprar, depois
representou em um gráfico. Observe.
Valor gasto (em R$)
Quantidade de cetim (em m)
0,00
(3; 53,70)
(2; 35,80)
(1; 17,90)
20,00
30,00
10,00
40,00
50,00
2310
Com a representação gráfica, ela consegue perceber
que, se precisar de 2,5 m de tecido, por exemplo, vai
gastar por volta de R$ 45,00.
Podemos dizer que o valor gasto depende da quanti-
dade de metros. Assim, se chamarmos o valor gasto
em reais de y e a quantidade de cetim em metros, de x, temos: y = 17,9 ? x.
Com essa expressão, podemos calcular que para 2,5 metros de cetim essa costureira pagará
R$ 44,75.
Deslocamento (em m)
Tempo
(em s)0_5
_5
5
10
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101520255
Tempo
(em s)
Deslocamento
(em m)
0 0
5 6
10 12
15 18
Quantidade de cetim
(em m)
Valor gasto
(em R$)
1 17,90
2 35,80
3 53,70
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299. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas le-
vam os alunos a identificarem
grandezas proporcionais e
grandezas não proporcionais
e explora a representação grá-
fica de grandezas diretamente
proporcionais.
A atividade 3 apresenta
uma situação comum de en-
contrar no dia a dia: promo-
ção de um produto em quan-
tidades maiores. Espera-se
que os alunos identifiquem
que, nesse caso, não se trata
de uma situação envolvendo
grandezas proporcionais.
Na atividade 4, observar
as estratégias desenvolvidas
pelos alunos para encontrar o
valor pago pelas 8 alcachofras.
Um modo de resolver o pro-
blema é descobrir o valor uni-
tário da alcachofra (R$ 3,90) e,
a partir disso, calcular o valor
total (R$ 31,20)
Na atividade 7, verificar
se os alunos concluem que o
preço a ser pago pela corrida
de táxi e o número de quilô-
metros percorridos não são
grandezas proporcionais. Se
julgar conveniente, solicitar
aos alunos que escrevam a re-
lação matemática entre essas
grandezas: y = 5,12 + 2,49x,
em que y indica o valor pago
e x, a quantidade de quilôme-
tros percorridos.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Retome a relação entre as escalas termo-
métricas estudadas na Unidade. Vimos
que as escalas Celsius e Fahrenheit não
são proporcionais. A relação matemá-
tica entre elas é dada pela expressão:
°F ! 1,8 " °C # 32.
Assim, determine:
a) 68
o
F em
o
C. b) 25
o
C em
o
F.
2. Classifique as grandezas apresentadas
nas situações a seguir em Proporcionais
(P) ou em Não Proporcionais (NP).
A medida do lado de um hexágono regular
e seu perímetro. P
A quantidade de cestas convertidas em
uma partida de basquetebol e o tempo
de jogo. NP
A temperatura e a hora em que foi medida
ao longo de um dia. NP
A distância percorrida por um automóvel,
a uma velocidade constante, e o tempo
do percurso. P
A medida da aresta de um cubo e seu
volume, em litros. NP
3. Uma livraria decidiu fazer uma liquidação
com alguns livros.
Ao chegar lá, é possível ler o anúncio: “2
livros por R$ 19,00”; “5 livros por R$ 38,00”.
Os preços são proporcionais ao número de
livros comprados? Justifique sua resposta.
4. Maurício foi a uma quitanda e viu que
três alcachofras custavam R$ 11,70.
Decidiu comprar 8. Quanto ele pagou
no total? R$ 31,20
5. Um prêmio de loteria, no valor de
R$ 1 530 000,00, será dividido igual-
mente pelo total de acertadores.
20
o
C 77
o
F
Não, pois R$ 38,00 seriam o preço correspondente a 4 livros.
a) Quanto cada acertador receberá, se o
prêmio for dividido entre 5 ganhadores?
b) E se fossem 6 ganhadores?
c) Faça um quadro relacionando as quanti-
dades 1, 2, 5 e 6 de acertadores e o valor
do prêmio correspondente.
d) Conforme o número de acertadores au-
menta, o que acontece com o valor do
prêmio?
6. Observe o gráfico a seguir:
Preço a pagar
(em R$)
Quantidade
de kg de café
0
58,16
87,24
?
2314 55,56
Analisando as informações presentes no
gráfico, responda:
a) Qual o preço de 2 kg de café? R$ 58,16
b) Qual o valor pago por 5,5 kg de café?
7. A tarifa de táxi é composta de um valor
fixo, chamado de bandeirada, adicionado
ao valor pago por quilômetro rodado.
Sabendo que o valor da bandeirada é de
R$ 5,12 e o valor por quilômetro rodado
é de R$ 2,49, responda às perguntas:
a) O valor a ser pago em um táxi e a quan-
tidade de quilômetros rodados são duas
grandezas proporcionais? Explique.
Não, pois o valor é sempre acrescido da bandeirada.
b) Paola pegou um táxi em Recife às 10 h da
manhã. Fez um percurso de 12 quilômetros.
Qual o valor pago por ela? R$ 35,00
R$ 306 000,00.
R$ 255 000,00
Diminui proporcionalmente.
EDITORIA DE ARTE
R$ 159,94
Resoluções a
partir da p. 289
Quantidade de acertadoresValor do prêmio (em R$)
1 1 530 000,00
2 765 000,00
5 306 000,00
6 255 000,00
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ALGUMAS RAZÕES
ESPECIAIS2
CAPÍTULO
Velocidade média
Felipe Massa: Vencedor do GP Brasil
2006 e 2008
O piloto brasileiro Felipe Massa triunfou no
Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1, em 2006.
Ele foi o quinto brasileiro a conquistar a primeira
colocação em pistas brasileiras.
Felipe Massa conquistou a vitória no GP Brasil 2006 com a velocidade média de
199,732 km/h e foi o terceiro colocado na classificação final do campeonato mundial
de 2006. No GP Brasil 2008, chegou ao 1
o
lugar com a velocidade média de 194,885 km/h
e foi o 2
o
colocado na classificação final do campeonato mundial de 2008.
Informações obtidas em: NEW SUPER SPEEDWAY. Próximos eventos dos esportes a motor.
Disponível em: <www.superspeedway.com.br/f_um/hist/interlagos.asp>. Acesso em: 9 mar. 2015.
ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Ai, ai, ai... que
engarrafamento!
Demorei duas
horas! A velocidade
média era de 5 quilômetros
por hora.
Denomina-se velocidade média
a razão entre a distância total percor-
rida e o tempo gasto para percorrê-la.
=velocidademédia
distânciapercorrida
tempogasto
Considere esta situação:
1 Um trem percorreu a distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem
nesse percurso?
=velocidademédia
distância
tempo
453km
6h
75,5km/h!!
A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h. Lê-se: 75,5 quilômetros por hora.
Velocidade média
STEFANO GARAU/SHUTTERSTOCK.COM
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300. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Velocidade média
Antes de apresentar o cál-
culo da velocidade média, le-
vantar as opiniões que os alu-
nos têm a respeito do que se-
ria velocidade média. Concluir
que para indicar essa grande-
za é necessário relacionar a
distância de um percurso e o
tempo gasto para realizá-lo.
Verificar se os alunos não
confundem a velocidade máxi-
ma permitida que aparece nas
placas de rua com a velocida-
de média. Depois, apresentar
a razão:
velocidade média =
=
distância percorrida
tempo gasto
Comentar que, geralmen-
te, a velocidade média é indi-
cada em km/h ou m/s.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Retome a relação entre as escalas termo-
métricas estudadas na Unidade. Vimos
que as escalas Celsius e Fahrenheit não
são proporcionais. A relação matemá-
tica entre elas é dada pela expressão:
°F ! 1,8 " °C # 32.
Assim, determine:
a) 68
o
F em
o
C. b) 25
o
C em
o
F.
2. Classifique as grandezas apresentadas
nas situações a seguir em Proporcionais
(P) ou em Não Proporcionais (NP).
A medida do lado de um hexágono regular
e seu perímetro. P
A quantidade de cestas convertidas em
uma partida de basquetebol e o tempo
de jogo. NP
A temperatura e a hora em que foi medida
ao longo de um dia. NP
A distância percorrida por um automóvel,
a uma velocidade constante, e o tempo
do percurso. P
A medida da aresta de um cubo e seu
volume, em litros. NP
3. Uma livraria decidiu fazer uma liquidação
com alguns livros.
Ao chegar lá, é possível ler o anúncio: “2
livros por R$ 19,00”; “5 livros por R$ 38,00”.
Os preços são proporcionais ao número de
livros comprados? Justifique sua resposta.
4. Maurício foi a uma quitanda e viu que
três alcachofras custavam R$ 11,70.
Decidiu comprar 8. Quanto ele pagou
no total? R$ 31,20
5. Um prêmio de loteria, no valor de
R$ 1 530 000,00, será dividido igual-
mente pelo total de acertadores.
20
o
C 77
o
F
Não, pois R$ 38,00 seriam o preço correspondente a 4 livros.
a) Quanto cada acertador receberá, se o
prêmio for dividido entre 5 ganhadores?
b) E se fossem 6 ganhadores?
c) Faça um quadro relacionando as quanti-
dades 1, 2, 5 e 6 de acertadores e o valor
do prêmio correspondente.
d) Conforme o número de acertadores au-
menta, o que acontece com o valor do
prêmio?
6. Observe o gráfico a seguir:
Preço a pagar
(em R$)
Quantidade
de kg de café
0
58,16
87,24
?
2314 55,56
Analisando as informações presentes no
gráfico, responda:
a) Qual o preço de 2 kg de café? R$ 58,16
b) Qual o valor pago por 5,5 kg de café?
7. A tarifa de táxi é composta de um valor
fixo, chamado de bandeirada, adicionado
ao valor pago por quilômetro rodado.
Sabendo que o valor da bandeirada é de
R$ 5,12 e o valor por quilômetro rodado
é de R$ 2,49, responda às perguntas:
a) O valor a ser pago em um táxi e a quan-
tidade de quilômetros rodados são duas
grandezas proporcionais? Explique.
Não, pois o valor é sempre acrescido da bandeirada.
b) Paola pegou um táxi em Recife às 10 h da
manhã. Fez um percurso de 12 quilômetros.
Qual o valor pago por ela? R$ 35,00
R$ 306 000,00.
R$ 255 000,00
Diminui proporcionalmente.
EDITORIA DE ARTE
R$ 159,94
Resoluções a
partir da p. 289
Quantidade de acertadoresValor do prêmio (em R$)
1 1 530 000,00
2 765 000,00
5 306 000,00
6 255 000,00
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ALGUMAS RAZÕES
ESPECIAIS2
CAPÍTULO
Velocidade média
Felipe Massa: Vencedor do GP Brasil
2006 e 2008
O piloto brasileiro Felipe Massa triunfou no
Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1, em 2006.
Ele foi o quinto brasileiro a conquistar a primeira
colocação em pistas brasileiras.
Felipe Massa conquistou a vitória no GP Brasil 2006 com a velocidade média de
199,732 km/h e foi o terceiro colocado na classificação final do campeonato mundial
de 2006. No GP Brasil 2008, chegou ao 1
o
lugar com a velocidade média de 194,885 km/h
e foi o 2
o
colocado na classificação final do campeonato mundial de 2008.
Informações obtidas em: NEW SUPER SPEEDWAY. Próximos eventos dos esportes a motor.
Disponível em: <www.superspeedway.com.br/f_um/hist/interlagos.asp>. Acesso em: 9 mar. 2015.
ILUSTRAÇÕES: MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Ai, ai, ai... que
engarrafamento!
Demorei duas
horas! A velocidade
média era de 5 quilômetros
por hora.
Denomina-se velocidade média
a razão entre a distância total percor-
rida e o tempo gasto para percorrê-la.
=velocidademédia
distânciapercorrida
tempogasto
Considere esta situação:
1 Um trem percorreu a distância de 453 km em 6 horas. Qual foi a velocidade média do trem
nesse percurso?
=velocidademédia
distância
tempo
453km
6h
75,5km/h!!
A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h. Lê-se: 75,5 quilômetros por hora.
Velocidade média
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301. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Fórum
É interessante que os alu-
nos pesquisem em sites, ou
textos previamente selecio-
nados, quais são as possíveis
soluções para a redução do
tráfego intenso das grandes
cidades. Solicitar que listem
as soluções respeitando um
ranking que parta da solução
de maior contribuição para a
de menor, justificando as es-
colhas. Algumas sugestões
possíveis: usar transporte cole-
tivo, revezar carona para ir ao
trabalho ou à escola, aumen-
tar linhas de metrô, ciclovias,
estimular o trabalho em casa
através do uso intensivo das
telecomunicações.
Em seguida, pedir aos alu-
nos que pesquisem o estresse,
os seus efeitos e o impacto nas
atividades humanas, em espe-
cial nos problemas de trânsito.
Escala
Ao explorar o conceito de
escala, caso os alunos encon-
trem dificuldade na escolha da
unidade de medida usada e na
conversão de unidades de me-
didas, revisar as unidades de
medida de comprimento para
construir, em seguida, um
quadro que auxilia na conver-
são de unidades de medidas
de comprimento.
km hm dam m dm cm mm
Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades
do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas, por ser um dos fatores que
pioram a qualidade de vida da população, pois diminui o tempo para descanso e lazer e
para se dedicar à saúde e aumenta o estresse.
Uma pesquisa divulgada em 2016, que estudou áreas metropolitanas com mais de 1,6
milhão de habitantes, situou os tráfegos das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo
como o sexto e sétimos piores tráfegos do mundo, respectivamente.
Essa combinação, tráfego intenso com estresse, resulta em um dado divulgado
pela Associação Brasileira de Medicina do Tráfego (Abramet) de que entre 13% e 17%
dos motoristas brasileiros apresentam algum distúrbio comportamental no trânsito,
de tal forma que esses distúrbios podem acarretar brigas, discussões, acidentes e até
mesmo mortes.
Dessa forma, os Departamentos Estaduais de Trânsito (Detran) buscam conscientizar
os motoristas para que estes pratiquem a gentileza no trânsito, lembrando sempre que
as ruas são um espaço coletivo.
Informações obtidas em: DETRAN dá dicas de como evitar o estresse no trânsito. Semana On. Disponível em:
<http://www.semanaon.com.br/conteudo/4135/detran-da-dicas-de-como-evitar-o-estresse-no-transito> e ABAD
LIÑÁN, J. M.; ALAMEDA, D.; GALÁN, J. Trânsito piora nas grandes cidades latino-americanas. El País. Disponível
em: <http://brasil.elpais.com/brasil/2016/09/15/tecnologia/1473950908_051813.html>. Acessos em: 22 mar. 2017.
• Debata com seus colegas possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes
cidades.
• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências, e técnicas de
como tratar esse problema no cotidiano.
FÓRUM
Escala
Uma das aplicações da ideia de razão entre duas
grandezas encontra-se na escala de redução e na
escala de ampliação, conhecidas simplesmente
como escala.
Profissionais de diversas áreas usam uma deter-
minada escala de redução, por exemplo, ao construir
a maquete de um prédio, fazer a planta de um imóvel
ou desenhar um novo modelo de carro.
Denomina-se escala de um desenho a razão entre
o comprimento considerado nele e o correspondente
comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para
determinar uma escala.
A escala de ampliação é um dado importante
em análises científicas. Na foto, a bactéria
Brucella abortus. Aumento aproximado de
14 160 vezes e colorido artificial.
!escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
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A escala 1 : 50 000 000 significa que 1 cm no desenho
corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se
a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância
real entre essas cidades é de 1 250 km (2,5 ! 500).
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar.
Rio de Janeiro, 2007. p. 94. SONIA VAZ
Brasil: Político
0 500
50°O
Equador
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
0°
Escala 1:50000000
No mapa, vemos que a escala é de
1 : 50 000 000.
Considere a seguinte situação:
• A distância entre duas cidades é
de 6 cm. Sabendo a escala e a dis-
tância no mapa, qual é a distância
real entre as cidades?
comprimento no desenho: 6 cm
escala: 1 : 50 000 000
⇒
⇒
"
"
escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
1
50000000
6
x
x = 300 000 000 cm ⇒ x = 3 000 km
A distância entre os dois pontos é
3 000 km.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um automóvel percorreu uma distância de
455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade
média desse automóvel nesse percurso?
2. Leia as informações:
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150 000 000 km; A luz
do Sol, para atingir a Terra, leva em torno
de 500 segundos.
Responda:
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. A Praça de Tian’anmen, na China, é mun-
dialmente conhecida pelo seu enorme
tamanho. Ela foi representada, em uma
folha de papel, com 5,5 cm de comprimento
65 km/h
300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
por 3,125 cm de largura. Sabendo que a
escala utilizada foi 1 : 16 000, determine
as dimensões reais da praça.
4. (ENEM/2015) Na construção de um con-
junto habitacional de casas populares,
todas serão feitas num mesmo modelo,
ocupando, cada uma delas, terrenos cujas
dimensões são iguais a 20 m de com-
primento por 8 m de largura. Visando
a comercialização dessas casas, antes
do início das obras, a empresa resolveu
apresentá-las por meio de maquetes
construídas numa escala de 1 : 200. As
medidas do comprimento e da largura
dos terrenos, respectivamente, em centí-
metros, na maquete construída, foram de
a) 4 e 10.
b) 5 e 2.
c) 10 e 4.
d) 20 e 8.
e) 50 e 20.
880 m por 500 m
Alternativa c.
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302. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
A atividade 2 apresenta
dados relacionados ao planeta
Terra. Para responder o item a,
basta aplicar o cálculo da velo-
cidade média. Para responder
o item b, será necessário fazer
uma conversão de 500 segun-
dos para minutos, obtendo 8
minutos e 20 segundos.
Para resolver a atividade 3,
é preciso aplicar o conceito de
escala: razão entre o compri-
mento no desenho e o com-
primento real; e considerar os
dados da situação: as medi-
das 5,5 cm de comprimento
por 3,125 cm e a escala 1 :
: 16 000. Com isso, aplicar
o princípio fundamental das
proporções para determinar o
comprimento x e a largura y:
1
16 000
=
5,5
x
h
h x = 88 000 e
1
16 000
=
3,125
y
h
h y = 50 000
As medidas foram obtidas
em centímetro. Ao converter
para metros, obtém-se 880 m
e 500 m.
Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades
do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas, por ser um dos fatores que
pioram a qualidade de vida da população, pois diminui o tempo para descanso e lazer e
para se dedicar à saúde e aumenta o estresse.
Uma pesquisa divulgada em 2016, que estudou áreas metropolitanas com mais de 1,6
milhão de habitantes, situou os tráfegos das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo
como o sexto e sétimos piores tráfegos do mundo, respectivamente.
Essa combinação, tráfego intenso com estresse, resulta em um dado divulgado
pela Associação Brasileira de Medicina do Tráfego (Abramet) de que entre 13% e 17%
dos motoristas brasileiros apresentam algum distúrbio comportamental no trânsito,
de tal forma que esses distúrbios podem acarretar brigas, discussões, acidentes e até
mesmo mortes.
Dessa forma, os Departamentos Estaduais de Trânsito (Detran) buscam conscientizar
os motoristas para que estes pratiquem a gentileza no trânsito, lembrando sempre que
as ruas são um espaço coletivo.
Informações obtidas em: DETRAN dá dicas de como evitar o estresse no trânsito. Semana On. Disponível em:
<http://www.semanaon.com.br/conteudo/4135/detran-da-dicas-de-como-evitar-o-estresse-no-transito> e ABAD
LIÑÁN, J. M.; ALAMEDA, D.; GALÁN, J. Trânsito piora nas grandes cidades latino-americanas. El País. Disponível
em: <http://brasil.elpais.com/brasil/2016/09/15/tecnologia/1473950908_051813.html>. Acessos em: 22 mar. 2017.
• Debata com seus colegas possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes
cidades.
• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências, e técnicas de
como tratar esse problema no cotidiano.
FÓRUM
Escala
Uma das aplicações da ideia de razão entre duas
grandezas encontra-se na escala de redução e na
escala de ampliação, conhecidas simplesmente
como escala.
Profissionais de diversas áreas usam uma deter-
minada escala de redução, por exemplo, ao construir
a maquete de um prédio, fazer a planta de um imóvel
ou desenhar um novo modelo de carro.
Denomina-se escala de um desenho a razão entre
o comprimento considerado nele e o correspondente
comprimento real, medidos com a mesma unidade.
Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para
determinar uma escala.
A escala de ampliação é um dado importante
em análises científicas. Na foto, a bactéria
Brucella abortus. Aumento aproximado de
14 160 vezes e colorido artificial.
!escala
comprimentodeumdesenho
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A escala 1 : 50 000 000 significa que 1 cm no desenho
corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se
a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância
real entre essas cidades é de 1 250 km (2,5 ! 500).
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar.
Rio de Janeiro, 2007. p. 94. SONIA VAZ
Brasil: Político
0 500
50°O
Equador
OCEANO
PACÍFICO
OCEANO
ATLÂNTICO
Trópico de Capricórnio
0°
Escala 1:50000000
No mapa, vemos que a escala é de
1 : 50 000 000.
Considere a seguinte situação:
• A distância entre duas cidades é
de 6 cm. Sabendo a escala e a dis-
tância no mapa, qual é a distância
real entre as cidades?
comprimento no desenho: 6 cm
escala: 1 : 50 000 000
⇒
⇒
"
"
escala
comprimentodeumdesenho
comprimentoreal
1
50000000
6
x
x = 300 000 000 cm ⇒ x = 3 000 km
A distância entre os dois pontos é
3 000 km.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um automóvel percorreu uma distância de
455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade
média desse automóvel nesse percurso?
2. Leia as informações:
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150 000 000 km; A luz
do Sol, para atingir a Terra, leva em torno
de 500 segundos.
Responda:
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. A Praça de Tian’anmen, na China, é mun-
dialmente conhecida pelo seu enorme
tamanho. Ela foi representada, em uma
folha de papel, com 5,5 cm de comprimento
65 km/h
300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
por 3,125 cm de largura. Sabendo que a
escala utilizada foi 1 : 16 000, determine
as dimensões reais da praça.
4. (ENEM/2015) Na construção de um con-
junto habitacional de casas populares,
todas serão feitas num mesmo modelo,
ocupando, cada uma delas, terrenos cujas
dimensões são iguais a 20 m de com-
primento por 8 m de largura. Visando
a comercialização dessas casas, antes
do início das obras, a empresa resolveu
apresentá-las por meio de maquetes
construídas numa escala de 1 : 200. As
medidas do comprimento e da largura
dos terrenos, respectivamente, em centí-
metros, na maquete construída, foram de
a) 4 e 10.
b) 5 e 2.
c) 10 e 4.
d) 20 e 8.
e) 50 e 20.
880 m por 500 m
Alternativa c.
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303. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Por toda parte
As atividades propostas
levam os alunos a trabalha-
rem com razões aplicadas a
situações envolvendo dados
reais do Brasil. Se achar con-
veniente, sugerir que coletem
dados a respeito de cidades
próximas à cidade em que vi-
vem, anotando, por exemplo,
a distância, em quilômetros,
entre elas.
Perguntar se alguém já
realizou algum trajeto entre
essas cidades e o tempo que
demorou para percorrê-lo;
assim, poderão aplicar esses
conhecimentos para desco-
brir informações como veloci-
dade média (carro ou ônibus),
possível consumo de combus-
tível, total gasto com o deslo-
camento, entre outros.
Responda às questões no caderno.
1. A tabela a seguir mostra as distâncias aproximadas entre algumas cidades brasileiras.
Distâncias aproximadas entre algumas cidades
Cidade (partida) Cidade (chegada) Distância (em km)
Aracaju (SE) Anápolis (GO) 1783
Araraquara (SP) Rio de Janeiro (RJ) 678
Palmas (TO) Barbacena (MG) 1695
Caruaru (PE) Fortaleza (CE) 761
São Luís (MA) Campina Grande (PB) 1508
Chuí (RS) Florianópolis (SC) 966
Boa Vista (RR)Governador Valadares (MG) 5250
Foz do Iguaçu (PR) Cuiabá (MT) 1446
Brasília (DF) Picos (PI) 1601
Mossoró (RN) Vitória (ES) 2 005
Fonte: Distância entre cidades. Disponível em: <http://www.distanciasentrecidades.com/>.
Acesso em: 1
o
nov. 2018.
a) Qual é a velocidade média aproximada de um carro, em quilômetros por hora, que
foi de:
• Caruaru a Fortaleza em 11 horas? 69,18 km/h
• Brasília a Picos em 21 horas? 76,24 km/h
• Aracaju a Anápolis em 22 horas e 30 minutos? 79,24 km/h
b) Sabendo que consumo médio de combustível é a razão entre a distância percorrida e a
quantidade de litros de combustível consumidos para percorrê-la, determine o consumo
médio, em quilômetros por litro, aproximado, de um automóvel que gastou:
• 420 L de combustível para ir de Boa Vista a Governador Valadares. 12,5 km/L
• 50 L de combustível para ir de Araraquara ao Rio de Janeiro. 13,56 km/L
• 152 L de combustível para ir de Mossoró até Vitória. 13,19 km/L
c) Um caminhão (cegonheiro) carre-
gando automóveis levou 30 horas
para ir de São Luís a Campina
Grande. Qual foi a velocidade
média, aproximada, em quilômetros
por hora, desse caminhão?
d) Qual é a escala de um mapa em que
a distância entre Mossoró e Vitória
é representada por 10,0 cm?
50,27 km/h
1 : 20 050 000
POR TODA PARTE
Caminhão-cegonha.
DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS
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Densidade de um corpo
Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas gran-
dezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo.
!densidade
massadocorpo
volumedocorpo
Consideremos a seguinte situação:
1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm
3
. Qual é a densidade
dessa escultura?
densidade !
massa do corpo
volume do corpo
!
3,5 kg
400 cm
3
!
3500 g
400 cm
3
! 8,75 g/cm
3
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm
3
.
Eureka! Eureka!
Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na
ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava
de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar
em Alexandria, templo do saber da época.
Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma
delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria
moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata
oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a
coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes.
Conta-se que, quando estava em um banho público,
Arquimedes observara a elevação da água à medida que
mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia
resolver o problema da coroa. Feliz com a descoberta,
Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra
para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”).
Veja como ele fez:
1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa
da coroa, e recolheu a água que transbordou.
2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura,
também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou.
3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o
volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na
1
a
e 2
a
operações. Ficou, então, constatado que a coroa não era totalmente de ouro puro!
• Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro
e da prata. d
ouro
! 19,32 g/cm
3
e d
prata
! 10,49 g/cm
3
PARA QUEM QUER MAIS
SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES
Arquimedes saindo da água,
em xilogravura de 1547, de
autoria desconhecida.
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304. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Para quem quer mais
Discutir com a turma a res-
peito dos procedimentos fei-
tos por Arquimedes e verificar
se os alunos sugerem outras
ideias que poderiam ter sido
feitas na época. É importante
que os alunos compreendam
que a investigação é funda-
mental para o desenvolvimen-
to científico das ciências, prin-
cipalmente em áreas como a
Matemática e a Física.
Para complementar o texto,
pedir aos alunos que pesqui-
sem os valores das densidades
do ouro (d
ouro
= 19,32 g/cm
3
),
da prata (d
prata
= 10,49 g/cm
3
)
e de outros materiais.
Responda às questões no caderno.
1. A tabela a seguir mostra as distâncias aproximadas entre algumas cidades brasileiras.
Distâncias aproximadas entre algumas cidades
Cidade (partida) Cidade (chegada) Distância (em km)
Aracaju (SE) Anápolis (GO) 1783
Araraquara (SP) Rio de Janeiro (RJ) 678
Palmas (TO) Barbacena (MG) 1695
Caruaru (PE) Fortaleza (CE) 761
São Luís (MA) Campina Grande (PB) 1508
Chuí (RS) Florianópolis (SC) 966
Boa Vista (RR)Governador Valadares (MG) 5250
Foz do Iguaçu (PR) Cuiabá (MT) 1446
Brasília (DF) Picos (PI) 1601
Mossoró (RN) Vitória (ES) 2 005
Fonte: Distância entre cidades. Disponível em: <http://www.distanciasentrecidades.com/>.
Acesso em: 1
o
nov. 2018.
a) Qual é a velocidade média aproximada de um carro, em quilômetros por hora, que
foi de:
• Caruaru a Fortaleza em 11 horas? 69,18 km/h
• Brasília a Picos em 21 horas? 76,24 km/h
• Aracaju a Anápolis em 22 horas e 30 minutos? 79,24 km/h
b) Sabendo que consumo médio de combustível é a razão entre a distância percorrida e a
quantidade de litros de combustível consumidos para percorrê-la, determine o consumo
médio, em quilômetros por litro, aproximado, de um automóvel que gastou:
• 420 L de combustível para ir de Boa Vista a Governador Valadares. 12,5 km/L
• 50 L de combustível para ir de Araraquara ao Rio de Janeiro. 13,56 km/L
• 152 L de combustível para ir de Mossoró até Vitória. 13,19 km/L
c) Um caminhão (cegonheiro) carre-
gando automóveis levou 30 horas
para ir de São Luís a Campina
Grande. Qual foi a velocidade
média, aproximada, em quilômetros
por hora, desse caminhão?
d) Qual é a escala de um mapa em que
a distância entre Mossoró e Vitória
é representada por 10,0 cm?
50,27 km/h
1 : 20 050 000
POR TODA PARTE
Caminhão-cegonha.
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Densidade de um corpo
Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas gran-
dezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo.
!densidade
massadocorpo
volumedocorpo
Consideremos a seguinte situação:
1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm
3
. Qual é a densidade
dessa escultura?
densidade !
massa do corpo
volume do corpo
!
3,5 kg
400 cm
3
!
3500 g
400 cm
3
! 8,75 g/cm
3
Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm
3
.
Eureka! Eureka!
Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na
ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava
de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar
em Alexandria, templo do saber da época.
Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma
delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria
moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata
oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a
coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes.
Conta-se que, quando estava em um banho público,
Arquimedes observara a elevação da água à medida que
mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia
resolver o problema da coroa. Feliz com a descoberta,
Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra
para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”).
Veja como ele fez:
1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa
da coroa, e recolheu a água que transbordou.
2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura,
também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou.
3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o
volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na
1
a
e 2
a
operações. Ficou, então, constatado que a coroa não era totalmente de ouro puro!
• Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro
e da prata. d
ouro
! 19,32 g/cm
3
e d
prata
! 10,49 g/cm
3
PARA QUEM QUER MAIS
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Arquimedes saindo da água,
em xilogravura de 1547, de
autoria desconhecida.
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305. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Densidade demográfica
Apresentar densidade de-
mográfica como a razão entre
o número de habitantes e a
área da região ocupada. Pro-
por que os alunos calculem
a densidade demográfica da
cidade, do estado e da região
brasileira onde está localizada
a escola em que estudam.
Para ampliar a ideia de
densidade demográfica, pro-
por aos alunos que calculem
a densidade demográfica das
salas de aula da escola. Orien-
tar a respeito de como fazer
uma pesquisa para colher os
dados da área de cada sala
de aula e da quantidade de
alunos que estudam em cada
uma delas. Organizar os alu-
nos em grupos e dividir as sa-
las de aula entre eles. Depois,
elaborar uma tabela para que
possam anotar os dados le-
vantados. Após a coleta dos
dados, orientar os alunos a
calcular a densidade demográ-
fica de cada sala de aula para
que possam analisar os dados.
Saiba que
Estimular os alunos a pen-
sar na importância da criação
de políticas públicas eficientes.
Para que os alunos ampliem
seus conhecimentos a respei-
to do Censo Demográfico de
2010, pedir que façam uma
pesquisa no site do IBGE. Esse
trabalho pode ser feito em par-
ceria com a área de Geografia.
Densidade demográfica
O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grande-
zas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade
demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:
!densidadedemográfica
númerodehabitantes
áreaderegiãoocupada
Considere a seguinte situação:
1 O estado de Tocantins, situado na região
Norte e criado em 5 de outubro de 1988,
ocupa uma área de 277 621 km
2
. De
acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha
uma população de 1 383 445 habitantes.
Qual era, então, a densidade demográfica
aproximada desse estado nesse ano?
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
PARÁ
MARANHÃO
TOCANTINS
PIAUÍ
BAHIA
GOIÁS
MATO
GROSSO
Palmas
50°O
10°S
0 160
GOIÁS
SONIA VAZ
Tocantins: localização
A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa
realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que
o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade.
O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por
meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam
censos séculos antes de Cristo.
O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a
população brasileira.
SAIBA QUE
De acordo com os dados apresentados, temos:
densidade demográfica !
1 383 445 hab
277 621 km
2
! 4,9 hab/km
2
Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km
2
, aproximadamente.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um bloco maciço de madeira tem 14 kg
de massa e ocupa um volume de 35 dm³.
Qual a densidade desse bloco? 0,40 kg/dm
3
2. Um fio de platina ocupa um volume de
0,2 cm³. Sabendo que a massa do fio é
de 4,3 g, determine a densidade desse
metal. 21,5 g/cm
3
3. A água-marinha é uma das pedras se-
mipreciosas mais admiradas em todo o
mundo. Suponha que uma água-mari-
nha tenha 8,1 g de massa e ocupe um
volume de 3 cm³. Qual é a densidade
dessa pedra? 2,7 g/cm
3
Pedras de água-marinha.
4. Uma região do interior do Brasil tem
uma população de 64 200 habitantes e
ocupa uma área de 15 000 km². Qual é a
densidade demográfica dessa região?
5. A Grécia, país situado no continente
europeu, tem cerca de 132 000 km² de
área e, em 2010, tinha uma população
aproximada de 11 200 000 habitantes.
Qual era a densidade demográfica apro-
ximada da Grécia nesse ano? 84,8 hab./km
2
Vista da Acrópole de Atenas, na Grécia.
Foto tirada em fevereiro de 2015.
4,28 hab./km
2
6. Dois bairros de uma cidade, Água Branca
e Pedra Azul, têm os seguintes dados
aproximados para população e área:
Bairro População
Área
(em km²)
Água Branca 125 000 36
Pedra Azul 85 000 30
Qual dos dois bairros apresenta maior
densidade demográfica? Água Branca.
7. A Argentina ocupa uma área de cerca
de 2 800 000 km². Em 2010, a popula-
ção argentina era de aproximadamente
40 100 000 habitantes. Determine a
densidade demográfica da Argentina
em 2010. 14,3 hab./km
2
Buenos Aires, Argentina. Foto tirada em
março de 2014.
8. No Rio Grande do Norte, o turismo é a
atividade que mais gera empregos no
estado. Entre seus inúmeros atrativos
podemos citar a deslumbrante beleza
natural, o artesanato (cerâmica, cestaria,
rendas e bordados) e a comida típica. O
estado possui cerca de 3 168 027 habitan-
tes (dados do Censo do IBGE de 2010) e
área de 52 810 km². Determine a densi-
dade demográfica desse estado.
59,99 hab./km
2
Resoluções a partir da p. 289
DIEGO GRANDI/SHUTTERSTOCK.COM
ANGELOS TZORTZINIS/AFP/GETTY IMAGES
HEMERA
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306. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas
abordam problemas relaciona-
dos à densidade de um corpo
e à densidade demográfica.
Se julgar pertinente, retomar
com os alunos o conceito de
área e volume, bem como
suas respectivas unidades de
medida.
Para resolver as atividades
que tratam de densidade de
um corpo, basta verificar as
unidades que se encontram os
dados do problema e calcular
a razão entre a massa e o vo-
lume ocupado.
Para resolver as atividades
que tratam de densidade de-
mográfica, calcula-se a razão
entre o número de habitantes
e a área ocupada.
Na atividade 6, comen-
tar com os alunos que Água
Branca é o bairro com maior
densidade demográfica, maior
número de habitantes e maior
área, mas nem sempre isso
ocorre. Apresentar dados do
Censo 2010 do IBGE de dois
locais em que haja essa dife-
rença. Por exemplo:
Rio Branco
(Acre)
Apuí
(Amazonas)
população:
336 038 pessoas
população:
18 007 pessoas
área territorial:
8 834,942 km
2
área territorial:
54 245,153 km
2

densidade
demográfica:
38,03 hab./km
2
densidade
demográfica:
0,33 hab./km
2

Fonte: <https://cidades.ibge.gov.br/>.
Acesso em: 9 nov. 2018.
Nesse caso, Rio Branco tem
maior densidade demográfico;
porém, Apuí tem maior área
territorial.
Densidade demográfica
O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grande-
zas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade
demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:
!densidadedemográfica
númerodehabitantes
áreaderegiãoocupada
Considere a seguinte situação:
1 O estado de Tocantins, situado na região
Norte e criado em 5 de outubro de 1988,
ocupa uma área de 277 621 km
2
. De
acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha
uma população de 1 383 445 habitantes.
Qual era, então, a densidade demográfica
aproximada desse estado nesse ano?
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
PARÁ
MARANHÃO
TOCANTINS
PIAUÍ
BAHIA
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MATO
GROSSO
Palmas
50°O
10°S
0 160
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SONIA VAZ
Tocantins: localização
A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa
realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que
o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade.
O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por
meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam
censos séculos antes de Cristo.
O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a
população brasileira.
SAIBA QUE
De acordo com os dados apresentados, temos:
densidade demográfica !
1 383 445 hab
277 621 km
2
! 4,9 hab/km
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Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km
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, aproximadamente.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Um bloco maciço de madeira tem 14 kg
de massa e ocupa um volume de 35 dm³.
Qual a densidade desse bloco? 0,40 kg/dm
3
2. Um fio de platina ocupa um volume de
0,2 cm³. Sabendo que a massa do fio é
de 4,3 g, determine a densidade desse
metal. 21,5 g/cm
3
3. A água-marinha é uma das pedras se-
mipreciosas mais admiradas em todo o
mundo. Suponha que uma água-mari-
nha tenha 8,1 g de massa e ocupe um
volume de 3 cm³. Qual é a densidade
dessa pedra? 2,7 g/cm
3
Pedras de água-marinha.
4. Uma região do interior do Brasil tem
uma população de 64 200 habitantes e
ocupa uma área de 15 000 km². Qual é a
densidade demográfica dessa região?
5. A Grécia, país situado no continente
europeu, tem cerca de 132 000 km² de
área e, em 2010, tinha uma população
aproximada de 11 200 000 habitantes.
Qual era a densidade demográfica apro-
ximada da Grécia nesse ano? 84,8 hab./km
2
Vista da Acrópole de Atenas, na Grécia.
Foto tirada em fevereiro de 2015.
4,28 hab./km
2
6. Dois bairros de uma cidade, Água Branca
e Pedra Azul, têm os seguintes dados
aproximados para população e área:
Bairro População
Área
(em km²)
Água Branca 125 000 36
Pedra Azul 85 000 30
Qual dos dois bairros apresenta maior
densidade demográfica? Água Branca.
7. A Argentina ocupa uma área de cerca
de 2 800 000 km². Em 2010, a popula-
ção argentina era de aproximadamente
40 100 000 habitantes. Determine a
densidade demográfica da Argentina
em 2010. 14,3 hab./km
2
Buenos Aires, Argentina. Foto tirada em
março de 2014.
8. No Rio Grande do Norte, o turismo é a
atividade que mais gera empregos no
estado. Entre seus inúmeros atrativos
podemos citar a deslumbrante beleza
natural, o artesanato (cerâmica, cestaria,
rendas e bordados) e a comida típica. O
estado possui cerca de 3 168 027 habitan-
tes (dados do Censo do IBGE de 2010) e
área de 52 810 km². Determine a densi-
dade demográfica desse estado.
59,99 hab./km
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307. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grandezas diretamente
proporcionais
Situações relacionadas à
proporcionalidade direta foram
abordadas em anos anteriores.
Agora essa noção será retoma-
da, apresentando o gráfico que
relaciona duas grandezas dire-
tamente proporcionais.
Explorar a situação 1 que
trata do pomar. Ao estabele-
cer a relação de proporciona-
lidade, é possível determinar o
valor que falta, no caso, o total
de fertilizante para 32 000 m
2
.
Espera-se que os alunos
compreendam que, antes de
resolver qualquer equação
envolvendo grandezas pro-
porcionais, primeiro, precisa-
-se analisar se são grandezas
diretamente ou inversamente
proporcionais.
FABIO EUGENIO
Para responder à pergunta proposta, vamos
organizar os dados em um quadro:
Área do pomar (em m
2
)Quantidade de fertilizante (em kg)
15 000 30
32 000 x
Como as grandezas são proporcionais, para encontrar a quantidade de fertili-
zante para adubar uma área de 1 000 m
2
, vamos utilizar a relação:
=h ?= ?h =
15000
32000
30
x
15000x3032000x64

Dessa maneira, 32 000 m
2
necessitarão de 64 kg de fertilizante.
Percebemos que, quanto maior a área do pomar, maior a quantidade de fertili-
zante, na mesma proporção. Dizemos assim que as grandezas área e quantidade de
fertilizante são diretamente proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando
variam sempre na mesma razão, ou seja, uma aumenta e a outra
aumenta na mesma proporção ou, quando uma diminui, a outra
diminui na mesma proporção.
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
CAPÍTULO
3
Considere as seguintes situações:
1 Para adubar um pomar de área
igual a 15 000 m
2
, utilizam-se
30 kg de fertilizante. Vamos
calcular a quantidade de ferti-
lizante necessária para adubar
um pomar de 32 000 m
2
.
Essa situação relaciona duas grandezas
proporcionais: área (em m
2
) e quantidade
de fertilizante (em kg).
Veja no material
audiovisual o vídeo
sobre o desperdício
de água causado
por uma torneira
pingando.
262
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Graficamente, podemos representar a área a ser adubada com relação à quantidade de
quilogramas de fertilizante usado.
Área do pomar
(em m
2
)
Quantidade de
fertilizante (em kg)
0
0
32 000
15 000
6430
2 Uma empresa que fabrica parafusos decidiu verificar a relação entre a quantidade de para-
fusos produzida (em unidades) e o tempo de funcionamento da máquina que produz essa
quantidade. Observe o gráfico que representa essa relação.
Quantidade de
parafusos
(em unidades)
Tempo
(em horas)
0
0
600
1 200
1 500
2468 10
Analisando o gráfico, percebemos que essas grandezas são diretamente proporcionais, pois
as duas aumentam na mesma razão. Observe:
• quando a produção de parafusos passa de 600 unidades para 1 200 unidades, varia na razão
de =
600
1200
1
2
.
• quando o tempo passa de 4 horas (produção de 600 unidades) para 8 horas (produção de
1 200 unidades), varia na razão de
4
8
1
2
=.
Assim, conseguimos determinar, por exemplo, o tempo para a produção de 4 200 unidades
de parafusos:
=h =H
600
4200
4
x
x2828horas
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
263
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NO AUDIOVISUAL
Um dos materiais audiovisuais
disponíveis nesta coleção é um
vídeo a respeito do desperdício
de água causado por uma tor-
neira pingando. Nesse vídeo,
aborda-se um experimento que
permite verificar a quantidade de
água coletada de uma torneira
pingando em um intervalo de
tempo. Além disso, usando o con-
ceito de grandezas diretamente
proporcionais, é apresentado o
cálculo da quantidade de litros de
água que essa torneira pingando
pode desperdiçar em um dia, em
uma semana e em um mês.
262
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308. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Comentar que os pontos
marcados no plano cartesiano,
nas duas situações, pertencem
a uma reta. Destacar que são
retas que passam necessaria-
mente pela origem do sistema
cartesiano (0, 0).
É interessante dizer aos
alunos que problemas envol-
vendo grandezas diretamente
proporcionais podem ser re-
solvidos a partir de alguns da-
dos apresentados em quadros
ou em gráficos, como mostra
cada situação apresentada.
FABIO EUGENIO
Para responder à pergunta proposta, vamos
organizar os dados em um quadro:
Área do pomar (em m
2
)Quantidade de fertilizante (em kg)
15 000 30
32 000 x
Como as grandezas são proporcionais, para encontrar a quantidade de fertili-
zante para adubar uma área de 1 000 m
2
, vamos utilizar a relação:
=h ?= ?h =
15000
32000
30
x
15000x3032000x64

Dessa maneira, 32 000 m
2
necessitarão de 64 kg de fertilizante.
Percebemos que, quanto maior a área do pomar, maior a quantidade de fertili-
zante, na mesma proporção. Dizemos assim que as grandezas área e quantidade de
fertilizante são diretamente proporcionais.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando
variam sempre na mesma razão, ou seja, uma aumenta e a outra
aumenta na mesma proporção ou, quando uma diminui, a outra
diminui na mesma proporção.
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
CAPÍTULO
3
Considere as seguintes situações:
1 Para adubar um pomar de área
igual a 15 000 m
2
, utilizam-se
30 kg de fertilizante. Vamos
calcular a quantidade de ferti-
lizante necessária para adubar
um pomar de 32 000 m
2
.
Essa situação relaciona duas grandezas
proporcionais: área (em m
2
) e quantidade
de fertilizante (em kg).
Veja no material
audiovisual o vídeo
sobre o desperdício
de água causado
por uma torneira
pingando.
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Graficamente, podemos representar a área a ser adubada com relação à quantidade de
quilogramas de fertilizante usado.
Área do pomar
(em m
2
)
Quantidade de
fertilizante (em kg)
0
0
32 000
15 000
6430
2 Uma empresa que fabrica parafusos decidiu verificar a relação entre a quantidade de para-
fusos produzida (em unidades) e o tempo de funcionamento da máquina que produz essa
quantidade. Observe o gráfico que representa essa relação.
Quantidade de
parafusos
(em unidades)
Tempo
(em horas)
0
0
600
1 200
1 500
2468 10
Analisando o gráfico, percebemos que essas grandezas são diretamente proporcionais, pois
as duas aumentam na mesma razão. Observe:
• quando a produção de parafusos passa de 600 unidades para 1 200 unidades, varia na razão
de =
600
1200
1
2
.
• quando o tempo passa de 4 horas (produção de 600 unidades) para 8 horas (produção de
1 200 unidades), varia na razão de
4
8
1
2
=.
Assim, conseguimos determinar, por exemplo, o tempo para a produção de 4 200 unidades
de parafusos:
=h =H
600
4200
4
x
x2828horas
GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE
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309. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Para auxiliar os alunos na
resolução das questões, sugerir
que sejam montados os qua-
dros referentes a cada situa-
ção, destacando as grandezas
envolvidas.
Um modo de resolver a ati-
vidade 3 é converter 8 horas
em minutos. Depois, verificar a
relação que há entre as gran-
dezas: quantidade de pães e
tempo de produção. Sugerir a
construção do quadro abaixo.
Quantidade
de pães
Tempo de
produção (min)
230 40
x 480
Ao aplicar a propriedade
fundamental das proporções,
é possível determinar que x =
= 2 760.
A atividade 8 trata da con-
versão de unidades de velocida-
de, de metros por segundo para
quilômetros por hora. Verificar
se os alunos utilizam a relação
1 h = 3 600 s (60 x 60).
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Copie e complete o quadro a seguir, con-
siderando que as grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais.
Quantidade
de garrafas
de água
1 4 5 16
Preço a
pagar
(em R$)
19,20 43,204,80 24,00
9
76,80
2. O tempo de cozimento de um frango
depende de sua massa em quilogramas.
Sabe-se que um frango de 2,5 kg leva
1h15min para assar. Maria tem 60 min
para assar um frango. Qual a massa
máxima de frango que ela poderá
comprar?
3. Uma panificadora produz 230 pães fran-
ceses a cada 40 min. Em uma jornada de
8 h, quantos pães são produzidos?
4. Duas bolachas de água e sal possuem
64 calorias. Marina diariamente
consome 5 bolachas de água e sal em
seu café da manhã. Quantas calorias
de bolachas de água e sal Marina
consome por dia?
5. Um automóvel percorre uma estrada
com velocidade constante de 110 km/h.
a) Que distância terá percorrido após
3h30min?
b) Uma viagem de 473 km demoraria quanto
tempo, mantendo-se essa velocidade?
6. A maquete de um novo empreendi-
mento imobiliário foi construída na
escala de 1 : 390. Sabendo que esse
edifício terá 26 andares e que, em
média, cada andar tem 3 m de altura,
determine a medida da altura desse
edifício na maquete.
2 kg
2 760 pães.
160 calorias.
385 km
4,3 h = 4h18min
20 cm
7. Um caminhão pode levar 600 sacos de
cimento ou 7 290 tijolos. Se o veículo já
foi carregado com 100 sacos de cimento,
quantos tijolos ainda podem ser coloca-
dos no caminhão?
8. Converta as velocidades dadas em m/s
para km/h:
a) 20 m/s
b) 100 m/s
c) 55 m/s
9. O cachorro de Amanda pesa 4,5 kg. Para
tratar uma infecção nas vias urinárias, o
veterinário receitou um antibiótico cuja
dosagem é de 6 mL a cada 10 kg de
peso corporal.
Quantos mL de antibiótico Amanda dará
a seu ca chorro? 2,7 mL
10. (Encceja) As telas dos televisores são
medidas em polegadas. Quando dizemos
que um televisor tem 20 polegadas, isso
significa que a diagonal da tela mede 20
polegadas (aproximadamente 51 cm).
20 polegadas
EDITORIA DE ARTE
Se a diagonal da tela de uma televisão
mede 35,7 cm, podemos concluir que se
trata de um aparelho de:
a) 12 polegadas.
b) 14 polegadas.
c) 16 polegadas.
d) 18 polegadas.
6 075 tijolos.
72 km/h
360 km/h
198 km/h
Alternativa b.
Resoluções a partir da p. 289
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ALAN CARVALHO
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS4
CAPÍTULO
Considere as seguintes situações.
1 Um ônibus faz o percurso do terminal até o centro da cidade e depois
volta ao terminal. Um fiscal registrou as velocidades médias do ônibus e
o tempo gasto nos percursos de ida até o centro
em um determinado dia.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma varia na
razão inversa da outra, ou seja, quando uma aumenta, a outra diminui na mesma
proporção, ou quando uma diminui, a outra aumenta na mesma proporção.
Observe que, à medida que a velocidade aumenta, o tempo gasto para percorrer
o mesmo percurso diminui.
=
=
=
=
52
65
4
5
80
64
5
4
4
5
e
5
4
52
104
1
2
80
40
2
1
1
2
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
são razões
inversas
=
=
=
=
52
65
4
5
80
64
5
4
4
5
e
5
4
52
104
1
2
80
40
2
1
1
2
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
2 são razões
inversas.
e
Dizemos, assim, que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente
proporcionais.
Velocidade (em km/h) Tempo (em min)
52 80
65 64
104 40
Observe o quadro com essas informações.
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310. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Grandezas inversamente
proporcionais
Antes de conceituar o que
são grandezas inversamen-
te proporcionais, levantar as
opiniões dos alunos a respei-
to desse assunto. Verificar se,
após terem estudado as gran-
dezas diretamente propor-
cionais, percebam que nesse
novo caso se uma grandeza
aumenta, então a outra dimi-
nui na mesma proporção.
Comentar que o gráfico da
situação 1 é uma hipérbole,
que é um tipo de gráfico a ser
estudado no Ensino Médio.
Neste momento, é importante
que os alunos identifiquem a
característica das grandezas
inversamente proporcionais
no formato da curva (quando
uma grandeza aumenta, a ou-
tra diminui proporcionalmen-
te), e não necessariamente
que entendam a construção
dessa curva. Esse é um proce-
dimento um pouco mais com-
plicado e que será apresenta-
do no Ensino Médio.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Copie e complete o quadro a seguir, con-
siderando que as grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais.
Quantidade
de garrafas
de água
1 4 5 16
Preço a
pagar
(em R$)
19,20 43,204,80 24,00
9
76,80
2. O tempo de cozimento de um frango
depende de sua massa em quilogramas.
Sabe-se que um frango de 2,5 kg leva
1h15min para assar. Maria tem 60 min
para assar um frango. Qual a massa
máxima de frango que ela poderá
comprar?
3. Uma panificadora produz 230 pães fran-
ceses a cada 40 min. Em uma jornada de
8 h, quantos pães são produzidos?
4. Duas bolachas de água e sal possuem
64 calorias. Marina diariamente
consome 5 bolachas de água e sal em
seu café da manhã. Quantas calorias
de bolachas de água e sal Marina
consome por dia?
5. Um automóvel percorre uma estrada
com velocidade constante de 110 km/h.
a) Que distância terá percorrido após
3h30min?
b) Uma viagem de 473 km demoraria quanto
tempo, mantendo-se essa velocidade?
6. A maquete de um novo empreendi-
mento imobiliário foi construída na
escala de 1 : 390. Sabendo que esse
edifício terá 26 andares e que, em
média, cada andar tem 3 m de altura,
determine a medida da altura desse
edifício na maquete.
2 kg
2 760 pães.
160 calorias.
385 km
4,3 h = 4h18min
20 cm
7. Um caminhão pode levar 600 sacos de
cimento ou 7 290 tijolos. Se o veículo já
foi carregado com 100 sacos de cimento,
quantos tijolos ainda podem ser coloca-
dos no caminhão?
8. Converta as velocidades dadas em m/s
para km/h:
a) 20 m/s
b) 100 m/s
c) 55 m/s
9. O cachorro de Amanda pesa 4,5 kg. Para
tratar uma infecção nas vias urinárias, o
veterinário receitou um antibiótico cuja
dosagem é de 6 mL a cada 10 kg de
peso corporal.
Quantos mL de antibiótico Amanda dará
a seu ca chorro? 2,7 mL
10. (Encceja) As telas dos televisores são
medidas em polegadas. Quando dizemos
que um televisor tem 20 polegadas, isso
significa que a diagonal da tela mede 20
polegadas (aproximadamente 51 cm).
20 polegadas
EDITORIA DE ARTE
Se a diagonal da tela de uma televisão
mede 35,7 cm, podemos concluir que se
trata de um aparelho de:
a) 12 polegadas.
b) 14 polegadas.
c) 16 polegadas.
d) 18 polegadas.
6 075 tijolos.
72 km/h
360 km/h
198 km/h
Alternativa b.
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ALAN CARVALHO
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS4
CAPÍTULO
Considere as seguintes situações.
1 Um ônibus faz o percurso do terminal até o centro da cidade e depois
volta ao terminal. Um fiscal registrou as velocidades médias do ônibus e
o tempo gasto nos percursos de ida até o centro
em um determinado dia.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma varia na
razão inversa da outra, ou seja, quando uma aumenta, a outra diminui na mesma
proporção, ou quando uma diminui, a outra aumenta na mesma proporção.
Observe que, à medida que a velocidade aumenta, o tempo gasto para percorrer
o mesmo percurso diminui.
=
=
=
=
52
65
4
5
80
64
5
4
4
5
e
5
4
52
104
1
2
80
40
2
1
1
2
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
são razões
inversas
=
=
=
=
52
65
4
5
80
64
5
4
4
5
e
5
4
52
104
1
2
80
40
2
1
1
2
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
2 são razões
inversas.
e
Dizemos, assim, que a velocidade e o tempo são grandezas inversamente
proporcionais.
Velocidade (em km/h) Tempo (em min)
52 80
65 64
104 40
Observe o quadro com essas informações.
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311. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Ao explorar a situação 2,
verificar se os alunos têm al-
guma dúvida quanto ao termo
razões inversas. Espera-se
que eles percebam que uma
fração é o inverso da outra.
Graficamente, podemos representar a relação entre a velocidade média e o tempo gasto nos
percursos de ida e volta do ônibus.
Velocidade
(em km/h)
Tempo
(em min)
0
0
64
40
80
5265104
2 Todo ano uma empresa faz um desafio aos seus funcionários. Um prêmio em dinheiro, no
valor de R$ 15 000,00, é dividido igualmente para quem acertar a pergunta do desafio.
Observe o quadro com a relação entre a quantidade de premiados e o valor que cada um
recebeu nos últimos três anos.
Quantidade de premiados Valor do prêmio (em reais)
3 5 000
5 3 000
8 1 875
No quadro, é possível observar que, quando a quantidade de pessoas premiadas aumenta,
o valor do prêmio recebido diminui, proporcionalmente.
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
3
5
5000
3000
5
3
3
5
e
5
3
sãorazõesinversas.
=
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
5
8
3000
1875
8
5
5
8
e
8
5
sãorazõesinversas.
=
Assim, dizemos que as grandezas quantidade de premiados e valor do prêmio são inversa-
mente proporcionais.
EDITORIA DE ARTE
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que os gráficos de grandezas diretamente
proporcionais são retas que "crescem" e os de grandezas inversamente proporcionais são curvas
que "decrescem".
Observe as representações gráficas da página 263 e o gráfico
desta página. Como podemos relacionar as representações
gráficas com os conceitos de grandezas diretamente e inversa-
mente proporcionais?
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
A curva que representa
grandezas inversamente
proporcionais é
chamada hipérbole.
SAIBA QUE
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Uma impressora a jato de tinta imprime
100 páginas em 20 min. Quatro impresso-
ras iguais a essa imprimirão essa mesma
quantidade de folhas em quanto tempo?
2. Um cano, com área de 6 cm
2
, esvazia
uma caixa-d’água em 4,5 min. Outro
cano, com área de 10 cm
2
e com a mesma
vazão por minuto, esvaziará a mesma
caixa-d’água em quanto tempo?
3. Para fazer uma viagem escolar até uma
cidade próxima, a escola de Maria precisa
alugar um ônibus. O custo desse aluguel
será distribuído equitativamente entre
os alunos que participarão da viagem. A
direção avisa que, se 15 alunos participa-
rem da viagem, cada um terá de pagar
R$ 25,00 pelo aluguel do ônibus. Se 30
alunos participarem da viagem, quanto
cada um pagará?
4. Cinco homens levam 20 dias para reca-
pear um trecho de estrada. Esse mesmo
serviço seria realizado em quantos dias,
se fossem 8 homens no total?
5. Um ciclista viaja 48 km em uma hora
e meia.
a) Qual é sua velocidade média nesse
percurso?
b) Mais tarde, ele faz o mesmo percurso,
porém com uma velocidade média de
38,4 km/h. Quanto tempo ele gasta?
6. 38 professores foram convocados para
corrigir um vestibular bastante concor-
rido. Estimam que levarão 14 dias para
concluir a tarefa, trabalhando 8 h/dia. Se
forem contratados mais 18 professores,
mantendo o mesmo ritmo de trabalho,
em quantos dias conseguirão finalizar o
trabalho de correção?
5 min
2,7 min ou 2 min e 42 segundos.
R$ 12,50
12,5 dias.
32 km/h
1h15min
9,5 dias.
7. Um livro tem 150 páginas, e cada página
tem 36 linhas. Um editor resolveu colocar
apenas 30 linhas em cada página. Qual será
a nova quantidade de páginas do livro?
8. Um grupo de 15 amigos parte para uma
trilha, com alimentação contabilizada
para 20 dias. Passados 5 dias, um novo
grupo de 10 aventureiros, sem manti-
mentos, se junta ao anterior. Quantos
dias durarão os mantimentos, contados
a partir da chegada do novo grupo?
9. Caio dividiu certo número em parce-
las inversamente proporcionais aos
números 2, 5 e 4. A primeira parcela que
ele obteve foi 200. Qual foi o número
que Caio dividiu?
a) 380
b) 360
c) 400
d) 420
e) 390
10. Um terreno retangular tem 80 m de
comprimento por 35 m de largura. Se di-
minuirmos 10 m na largura, em quantos
metros deverá ser aumentado o compri-
mento para que a área do terreno seja
mantida?
a) 20 m
b) 24 m
c) 25 m
d) 32 m
e) 40 m
DESAFIO
Agora, junte-se a um colega para resol-
ver a próxima questão.
11. (OBM) Anita imaginou que levaria 12
minutos para terminar a sua viagem,
enquanto dirigia à velocidade constante
de 80 km/h, numa certa rodovia. Para
sua surpresa, levou 15 minutos. Com
qual velocidade constante essa previsão
teria se realizado?
a) 90 km/h
b) 95 km/h
c) 100 km/h
d) 110 km/h
e) 120 km/h
180 páginas.
9 dias.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
Resoluções a partir da p. 289
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312. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
É importante que os alu-
nos identifiquem as grandezas
envolvidas em cada problema
para compreenderem o tipo
de relação de proporcionalida-
de que há entre elas.
Na atividade 1, propor
a montagem de um quadro
para auxiliar na resolução.
Quantidade de
impressoras
Tempo de
impressão
(em min)
1 20
4 x
Observar que, quanto maior
a quantidade de impressoras,
menor será o tempo de produ-
ção. A razão entre as quanti-
dades de impressoras é
1
4
=
= 0,25. Como o tempo diminui
na mesma proporção, basta
calcular esse valor: 20 ? 0,25 =
= 5. Logo, as 4 impressoras,
juntas, imprimem 100 páginas
em 5 min.
Desafio
Na atividade 11, os alunos
devem perceber a relação de
proporcionalidade inversa en-
tre a velocidade e o tempo,
pois a distância está fixa.
Resolução do Desafio
A partir dos dados do pro-
blema, é possív el construir o
quadro a seguir:
Velocidade
(em km/h)
Tempo
(em min)
80 15
x 12
A razão entre os tempos é
15
12
= 1,25. Logo, para cal-
cular a velocidade procurada,
basta fazer: 80 ? 1,25 = 100.
Assim, a velocidade deveria ter
sido de 100 km/h.
Portanto, alternativa c.
Graficamente, podemos representar a relação entre a velocidade média e o tempo gasto nos
percursos de ida e volta do ônibus.
Velocidade
(em km/h)
Tempo
(em min)
0
0
64
40
80
5265104
2 Todo ano uma empresa faz um desafio aos seus funcionários. Um prêmio em dinheiro, no
valor de R$ 15 000,00, é dividido igualmente para quem acertar a pergunta do desafio.
Observe o quadro com a relação entre a quantidade de premiados e o valor que cada um
recebeu nos últimos três anos.
Quantidade de premiados Valor do prêmio (em reais)
3 5 000
5 3 000
8 1 875
No quadro, é possível observar que, quando a quantidade de pessoas premiadas aumenta,
o valor do prêmio recebido diminui, proporcionalmente.
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
3
5
5000
3000
5
3
3
5
e
5
3
sãorazõesinversas.
=
e
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
5
8
3000
1875
8
5
5
8
e
8
5
sãorazõesinversas.
=
Assim, dizemos que as grandezas quantidade de premiados e valor do prêmio são inversa-
mente proporcionais.
EDITORIA DE ARTE
Resposta pessoal. Espera-se que os alunos percebam que os gráficos de grandezas diretamente
proporcionais são retas que "crescem" e os de grandezas inversamente proporcionais são curvas
que "decrescem".
Observe as representações gráficas da página 263 e o gráfico
desta página. Como podemos relacionar as representações
gráficas com os conceitos de grandezas diretamente e inversa-
mente proporcionais?
pense e responda
Resoluções a partir da p. 289
A curva que representa
grandezas inversamente
proporcionais é
chamada hipérbole.
SAIBA QUE
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Uma impressora a jato de tinta imprime
100 páginas em 20 min. Quatro impresso-
ras iguais a essa imprimirão essa mesma
quantidade de folhas em quanto tempo?
2. Um cano, com área de 6 cm
2
, esvazia
uma caixa-d’água em 4,5 min. Outro
cano, com área de 10 cm
2
e com a mesma
vazão por minuto, esvaziará a mesma
caixa-d’água em quanto tempo?
3. Para fazer uma viagem escolar até uma
cidade próxima, a escola de Maria precisa
alugar um ônibus. O custo desse aluguel
será distribuído equitativamente entre
os alunos que participarão da viagem. A
direção avisa que, se 15 alunos participa-
rem da viagem, cada um terá de pagar
R$ 25,00 pelo aluguel do ônibus. Se 30
alunos participarem da viagem, quanto
cada um pagará?
4. Cinco homens levam 20 dias para reca-
pear um trecho de estrada. Esse mesmo
serviço seria realizado em quantos dias,
se fossem 8 homens no total?
5. Um ciclista viaja 48 km em uma hora
e meia.
a) Qual é sua velocidade média nesse
percurso?
b) Mais tarde, ele faz o mesmo percurso,
porém com uma velocidade média de
38,4 km/h. Quanto tempo ele gasta?
6. 38 professores foram convocados para
corrigir um vestibular bastante concor-
rido. Estimam que levarão 14 dias para
concluir a tarefa, trabalhando 8 h/dia. Se
forem contratados mais 18 professores,
mantendo o mesmo ritmo de trabalho,
em quantos dias conseguirão finalizar o
trabalho de correção?
5 min
2,7 min ou 2 min e 42 segundos.
R$ 12,50
12,5 dias.
32 km/h
1h15min
9,5 dias.
7. Um livro tem 150 páginas, e cada página
tem 36 linhas. Um editor resolveu colocar
apenas 30 linhas em cada página. Qual será
a nova quantidade de páginas do livro?
8. Um grupo de 15 amigos parte para uma
trilha, com alimentação contabilizada
para 20 dias. Passados 5 dias, um novo
grupo de 10 aventureiros, sem manti-
mentos, se junta ao anterior. Quantos
dias durarão os mantimentos, contados
a partir da chegada do novo grupo?
9. Caio dividiu certo número em parce-
las inversamente proporcionais aos
números 2, 5 e 4. A primeira parcela que
ele obteve foi 200. Qual foi o número
que Caio dividiu?
a) 380
b) 360
c) 400
d) 420
e) 390
10. Um terreno retangular tem 80 m de
comprimento por 35 m de largura. Se di-
minuirmos 10 m na largura, em quantos
metros deverá ser aumentado o compri-
mento para que a área do terreno seja
mantida?
a) 20 m
b) 24 m
c) 25 m
d) 32 m
e) 40 m
DESAFIO
Agora, junte-se a um colega para resol-
ver a próxima questão.
11. (OBM) Anita imaginou que levaria 12
minutos para terminar a sua viagem,
enquanto dirigia à velocidade constante
de 80 km/h, numa certa rodovia. Para
sua surpresa, levou 15 minutos. Com
qual velocidade constante essa previsão
teria se realizado?
a) 90 km/h
b) 95 km/h
c) 100 km/h
d) 110 km/h
e) 120 km/h
180 páginas.
9 dias.
Alternativa a.
Alternativa d.
Alternativa c.
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313. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Regra de três simples
Por meio da regra de três,
os alunos podem resolver
muitos problemas de propor-
cionalidade, percebendo as
relações multiplicativas entre
as linhas e as colunas de dife-
rentes quadros construídos a
partir das situações apresenta-
das. Comentar que resoluções
de problemas envolvendo re-
gra de três simples, também,
estão presentes em diversas
áreas do conhecimento, como
Física e Química.
Explorar as duas situações
propostas. A situação 1 traz
um caso envolvendo grande-
zas diretamente proporcio-
nais, enquanto a situação 2
mostra a regra de três sendo
usada no caso de grandezas
inversamente proporcionais.
5
Regra de três simples
A regra de três simples é uma estratégia para o cálculo de valores desconhecidos
em problemas que relacionam grandezas diretamente, ou inversamente, proporcio-
nais. Recebe esse nome, pois são conhecidos três valores em uma situação-problema
e deseja-se determinar o quarto valor.
Observe as situações a seguir:
1 Camila pagou R$ 3,50 por 2,5 kg de laranjas. Pedro quer comprar 1,8 kg de
laranjas. Quanto Pedro pagará?
Para resolver essa situação, vamos organizar os dados do problema em um quadro,
que relaciona as grandezas envolvidas (quantidade de laranjas e preço a pagar).
Quantidade de laranjas (em kg)Preço a pagar (em R$)
2,5 3,50
1,8 x
Sabendo que as grandezas são diretamente proporcionais, podemos escrever a
seguinte proporção:
2,5
1,8
3,5
x
2,5x 1,83,5x
6,3
2,5
x2,52=h ?= ?h =h =
Assim, Pedro deverá pagar R$ 2,52 por 1,8 kg de laranjas.
2 Um automóvel, trafegando em uma estrada à velocidade constante de 90 km/h,
faz uma viagem em 2,5 h. A viagem de volta é feita a uma velocidade constante
de 75 km/h. Qual é o tempo de duração dessa viagem?
Para resolver essa situação, vamos, novamente, organizar os dados do problema
em um quadro.
Velocidade (em km/h) Tempo (em h)
90 2,5
75 x
Nesse caso, como se trata de grandezas inversamente proporcionais, temos que:
90
75
1
2,5
x
90
75
x
2,5
75x902,575x225x3=h =h ?= ?h ?= h=
A viagem de volta, a uma velocidade constante de 75 km/h, demorará 3 horas.
REGRA DE TRÊS5
CAPÍTULO
5
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Para construir um muro de 16 metros,
Antônio utilizou 2 240 tijolos. Caso o
muro tivesse 27 metros, quantos tijolos
seriam necessários?
2. Um cano, com área de 6 cm
2
, despeja
7,5 L de água por minuto. Outro cano,
com área de 10 cm
2
, despejará quantos
litros de água por minuto?
3. Para pintar uma parede, um pintor
mistura tinta branca e tinta verme-
lha. Para cada 2,5 L de tinta branca,
ele mistura 1,7 L de tinta vermelha.
A quantidade de tinta branca e a de
tinta vermelha são proporcionais. Para
3,5 L de tinta branca, quanto ele deverá
misturar de tinta vermelha? 2,38 L
4. Uma empresa de pintura de fachadas
acaba de ganhar um grande contrato.
O diretor da empresa pensou em colocar
2 funcionários para fazer o serviço, mas
isso demoraria 80 horas. Pelo contrato
firmado, a obra precisa ser concluída em
16 horas. Quantos pintores serão neces-
sários para cumprir essa meta?
5. O gráfico abaixo apresenta, para uma
operadora de telefonia, o preço pago,
em R$, de acordo com o tempo de liga-
ções utilizado.
Preço
(R$)
Tempo
(min)
0
10
20
30
20 30 40 5010
3 780 tijolos.
12,5 L/min
10 pintores.
a) Esse gráfico ilustra uma situação de pro-
porcionalidade? Explique.
b) Qual é o preço a pagar por 25 minutos
de comunicação?
c) Quantos minutos, aproximadamente,
é possível falar, com um crédito de
R$ 20,00?
6. Um carro consome em média 4,9 litros
de gasolina a cada 10 km percorridos.
Quantos litros de combustível são neces-
sários para viajar 96 km?
7. Um motorista dirige a uma velocidade
constante. Sabendo que ele viaja 120 km
em 1h30min, calcule a distância que ele
viaja em:
a) 1 hora. 80 km b) 2h20.
8. Um filtro de ar retém 0,7 grama de
poeira para cada 100 m
3
de ar filtrado.
Quantos gramas de poeira são retidos
para 15 000 m
3
de ar filtrado?
9. Uma escola lançou uma campanha para
seus alunos arrecadarem, durante 30
dias, alimentos não perecíveis para doar
a uma comunidade carente da região.
Nos primeiros 15 dias, apenas 20 alunos
aceitaram a tarefa e arrecadaram 180 kg
de alimentos. Nos últimos 15 dias da cam-
panha, 30 novos alunos juntaram-se ao
grupo e mantiveram constante o ritmo
da coleta. Nessas condições, quantos
quilogramas de alimentos foram arreca-
dados nesses últimos 15 dias?
1 0 . Com certa quantidade de arame pode-se
fazer uma tela de 50 m de comprimento
por 1,20 m de largura. Aumentando a
largura em 1,80 m, qual será o compri-
mento de outra tela feita com a mesma
quantidade de arame usado na tela
anterior?
Sim, pois as grandezas variam na mesma razão.
R$ 15,00
Aproximadamente 33 minutos.
47,04 litros.
Aproximadamente 186,6 km.
105 g
450 kg
20 m
EDITORIA DE ARTE
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314. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
Essas atividades apresentam
diferentes situações envolven-
do grandezas diretamente pro-
porcionais e grandezas inversa-
mente proporcionais. Enfatizar
o fato de os alunos terem de
avaliar qual é a relação existen-
te entre as grandezas antes de
aplicarem a regra de três sim-
ples na resolução.
A atividade 1 relaciona
a quantidade de metros de
um muro com a quantidade
de tijolos necessários para
construí-lo. Trata-se de uma
relação de proporcionalida-
de direta, pois, quanto maior
for o muro, mais tijolos foram
usados para construí-lo. Para
resolver, pode-se aplicar a re-
gra de três, assim:
16
2 240
=
27
x
h x = 3 780
Portanto, seriam necessá-
rios 3 780 tijolos.
Na situação da ativida-
de 4, quanto maior for o nú-
mero de funcionários envol-
vidos na obra, menor será o
tempo de execução dela. Por-
tanto, trata-se de um problema
envolvendo grandezas inversa-
mente proporcionais. Ao aplicar
a regra de três simples nesse
problema, obtém-se:
2
x
=
16
80
h x = 10
Portanto, serão necessários
10 funcionários para que a
obra seja finalizada em 16 h.
Os alunos podem resolver
os itens a e b da atividade 5
a partir da interpretação do
gráfico. Para o item c, podem
calcular o valor aproximado a
partir da informação obtida
anteriormente:
15
25
=
20
x
h
h x 2 33,33.
5
Regra de três simples
A regra de três simples é uma estratégia para o cálculo de valores desconhecidos
em problemas que relacionam grandezas diretamente, ou inversamente, proporcio-
nais. Recebe esse nome, pois são conhecidos três valores em uma situação-problema
e deseja-se determinar o quarto valor.
Observe as situações a seguir:
1 Camila pagou R$ 3,50 por 2,5 kg de laranjas. Pedro quer comprar 1,8 kg de
laranjas. Quanto Pedro pagará?
Para resolver essa situação, vamos organizar os dados do problema em um quadro,
que relaciona as grandezas envolvidas (quantidade de laranjas e preço a pagar).
Quantidade de laranjas (em kg)Preço a pagar (em R$)
2,5 3,50
1,8 x
Sabendo que as grandezas são diretamente proporcionais, podemos escrever a
seguinte proporção:
2,5
1,8
3,5
x
2,5x 1,83,5x
6,3
2,5
x2,52=h ?= ?h =h =
Assim, Pedro deverá pagar R$ 2,52 por 1,8 kg de laranjas.
2 Um automóvel, trafegando em uma estrada à velocidade constante de 90 km/h,
faz uma viagem em 2,5 h. A viagem de volta é feita a uma velocidade constante
de 75 km/h. Qual é o tempo de duração dessa viagem?
Para resolver essa situação, vamos, novamente, organizar os dados do problema
em um quadro.
Velocidade (em km/h) Tempo (em h)
90 2,5
75 x
Nesse caso, como se trata de grandezas inversamente proporcionais, temos que:
90
75
1
2,5
x
90
75
x
2,5
75x902,575x225x3=h =h ?= ?h ?= h=
A viagem de volta, a uma velocidade constante de 75 km/h, demorará 3 horas.
REGRA DE TRÊS5
CAPÍTULO
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Para construir um muro de 16 metros,
Antônio utilizou 2 240 tijolos. Caso o
muro tivesse 27 metros, quantos tijolos
seriam necessários?
2. Um cano, com área de 6 cm
2
, despeja
7,5 L de água por minuto. Outro cano,
com área de 10 cm
2
, despejará quantos
litros de água por minuto?
3. Para pintar uma parede, um pintor
mistura tinta branca e tinta verme-
lha. Para cada 2,5 L de tinta branca,
ele mistura 1,7 L de tinta vermelha.
A quantidade de tinta branca e a de
tinta vermelha são proporcionais. Para
3,5 L de tinta branca, quanto ele deverá
misturar de tinta vermelha? 2,38 L
4. Uma empresa de pintura de fachadas
acaba de ganhar um grande contrato.
O diretor da empresa pensou em colocar
2 funcionários para fazer o serviço, mas
isso demoraria 80 horas. Pelo contrato
firmado, a obra precisa ser concluída em
16 horas. Quantos pintores serão neces-
sários para cumprir essa meta?
5. O gráfico abaixo apresenta, para uma
operadora de telefonia, o preço pago,
em R$, de acordo com o tempo de liga-
ções utilizado.
Preço
(R$)
Tempo
(min)
0
10
20
30
20 30 40 5010
3 780 tijolos.
12,5 L/min
10 pintores.
a) Esse gráfico ilustra uma situação de pro-
porcionalidade? Explique.
b) Qual é o preço a pagar por 25 minutos
de comunicação?
c) Quantos minutos, aproximadamente,
é possível falar, com um crédito de
R$ 20,00?
6. Um carro consome em média 4,9 litros
de gasolina a cada 10 km percorridos.
Quantos litros de combustível são neces-
sários para viajar 96 km?
7. Um motorista dirige a uma velocidade
constante. Sabendo que ele viaja 120 km
em 1h30min, calcule a distância que ele
viaja em:
a) 1 hora. 80 km b) 2h20.
8. Um filtro de ar retém 0,7 grama de
poeira para cada 100 m
3
de ar filtrado.
Quantos gramas de poeira são retidos
para 15 000 m
3
de ar filtrado?
9. Uma escola lançou uma campanha para
seus alunos arrecadarem, durante 30
dias, alimentos não perecíveis para doar
a uma comunidade carente da região.
Nos primeiros 15 dias, apenas 20 alunos
aceitaram a tarefa e arrecadaram 180 kg
de alimentos. Nos últimos 15 dias da cam-
panha, 30 novos alunos juntaram-se ao
grupo e mantiveram constante o ritmo
da coleta. Nessas condições, quantos
quilogramas de alimentos foram arreca-
dados nesses últimos 15 dias?
1 0 . Com certa quantidade de arame pode-se
fazer uma tela de 50 m de comprimento
por 1,20 m de largura. Aumentando a
largura em 1,80 m, qual será o compri-
mento de outra tela feita com a mesma
quantidade de arame usado na tela
anterior?
Sim, pois as grandezas variam na mesma razão.
R$ 15,00
Aproximadamente 33 minutos.
47,04 litros.
Aproximadamente 186,6 km.
105 g
450 kg
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315. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Regra de três composta
Na resolução de problemas
envolvendo regra de três com-
posta, é importante que os alu-
nos percebam a relação entre
as grandezas envolvidas no pro-
blema, para que possam escre-
ver a equação correspondente.
Explorar a situação apre-
sentada e verificar se os alunos
percebem que uma estratégia
é fixar uma grandeza e avaliar
o comportamento das outras
duas, conforme aumenta-se
(ou diminui-se) uma delas.
Regra de três composta
A regra de três composta também é uma estratégia para o cálculo de valores desconhecidos
em problemas que relacionam três ou mais grandezas diretamente, ou inversamente, proporcionais.
Acompanhe as seguintes situações.
1 Um trator, ao ser puxado por cinco homens durante 20 minutos, percorre uma distância de
120 metros. Em quanto tempo o mesmo trator percorrerá a distância de 150 metros ao ser
puxado por quatro homens?
Inicialmente, vamos organizar as grandezas envolvidas no problema em um quadro. Nesse
caso, temos: quantidade de homens, tempo (dado em minutos) e distância, em metros.
Quantidade
de homens
Tempo
(em min)
Distância
(em m)
5 20 120
4 x 150
• Fixando a grandeza “quantidade de homens”, vamos relacionar as grandezas “tempo” e
“distância”.
Aumentando a distância, o tempo para percorrê-la também aumenta. Podemos dizer que
as grandezas “tempo” e “distância” são diretamente proporcionais.
• Fixando a grandeza “distância”, vamos relacionar as grandezas “quantidade de homens”
e “tempo”.
Quanto maior a quantidade de homens puxando o trator, menor o tempo gasto para isso.
Assim, podemos dizer que as grandezas “quantidade de homens” e “tempo” são inver-
samente proporcionais.
Então, a grandeza “tempo” é diretamente proporcional à grandeza “distância” e inversa-
mente proporcional à grandeza “quantidade de homens”. Assim, podemos montar a seguinte
equação:

20
x
120
150
4
5
=?
20
x
480
750
=
480x20750
x31,25
?= ?
=
20
x
120
150
1
5
4
=?
tempo
distância
quantidade
de homens
Portanto, o trator levará 31,25 min (31 minutos e 15 segundos) para percorrer a distância de
150 metros ao ser puxado por 4 homens.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em uma fábrica de chocolates, trabalham
21 funcionários na produção. Juntos, eles
fazem, ao longo da jornada de trabalho
de 6 h diárias, 420 barras de chocolate.
Próximo de datas comemorativas, como
Páscoa, Dia dos Namorados e Natal, a
fábrica costuma aumentar a jornada de
trabalho para 8 h/dia e faz novas contrata-
ções, pois tem como meta a produção de
960 barras de chocolate por dia. Quantos
funcionários precisam estar na produção
para que essa meta seja atingida?
2. Três crianças constroem 5 castelos de
areia em 2 h. Cinco crianças construirão
6 castelos de areia em quanto tempo?

3. Para preparar 3 receitas de bolo, 5 co-
zinheiras utilizam 12 xícaras de farinha
de trigo. Quantas receitas de bolo
serão feitas por 14 cozinheiras, usando
45 xícaras de farinha de trigo?
4. Elabore uma situação envolvendo três
grandezas, que possa ser resolvida com
regra de três composta. Em seguida,
troque com um colega e resolva o pro-
blema elaborado por ele.
5. Com um automóvel a uma velocidade
média de 60 km/h, Beto roda 8 horas
por dia e leva 6 dias para fazer certo
percurso. No mesmo carro, mas man-
tendo uma velocidade média de 80 km/h
36 funcionários.
Aproximadamente 1h27.
LÉO FANELLI/ GIZ DE CERA
31,5 receitas de bolo.
Resposta pessoal.
e rodando 9 horas por dia, em quanto
tempo ele faria o mesmo percurso?
6. (IFPE) Numa fazenda há 5 cavalos que
consomem 300 kg de ração em 6 dias.
Suponha que todos eles consomem por
dia a mesma quantidade de ração. Com
apenas 240 kg de ração, por quantos
dias 12 cavalos iguais aos dessa fazenda
seriam alimentados?
7. (Fuvest) A fábrica do Sr. Eusébio possui
12 máquinas, de mesmo tipo e ca-
pacidade, que usualmente executam
determinada tarefa em 16 dias, funcio-
nando 6 horas por dia. Como quatro
dessas máquinas ficaram inutilizadas, as
restantes passaram a ser colocadas em
funcionamento 8 horas por dia. Nessas
condições, a mesma tarefa será execu-
tada em
a) 18 dias.
b) 19 dias.
c) 20 dias.
d) 21 dias.
e) 22 dias.
8. (ENEM/MEC) Uma indústria tem um
reservatório de água com capacidade
para 900 m³. Quando há necessidade
de limpeza do reservatório, toda a água
precisa ser escoada. O escoamento da
água é feito por seis ralos, e dura 6 horas
quando o reservatório está cheio. Esta
indústria construirá um novo reserva-
tório, com capacidade de 500 m³, cujo
escoamento da água deverá ser reali-
zado em 4 horas, quando o reservatório
estiver cheio. Os ralos utilizados no novo
reservatório deverão ser idênticos aos
do já existente.
A quantidade de ralos do novo reserva-
tório deverá ser igual a
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
4 dias.
2 dias.
Alternativa a.
Alternativa c.
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316. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atividades
É possível que surjam difi-
culdades, por parte dos alu-
nos, em identificar a relação
que há entre as grandezas en-
volvidas em situações que po-
dem ser resolvidas pela regra
de três composta. Caso isso
ocorra, relembrar a turma de
que a construção de quadros
ajuda muito a analisar essas
relações.
Na atividade 2, as grande-
zas envolvidas são: quantida-
de de crianças, quantidade de
castelos de areia e tempo, em
horas.
Quantidade
de crianças
Quantidade
de castelos
de areia
Tempo
(em h)
3 5 2
5 6 x
Observar que a quantida-
de de crianças e o tempo são
grandezas inversamente pro-
porcionais, pois, aumentando
o número de crianças, dimi-
nui-se o tempo da atividade.
Por outro lado, a quantidade
de castelos de areia é direta-
mente proporcional ao tempo,
ou seja, mais castelos necessi-
tam de mais tempo para se-
rem construídos. Com isso, é
possível montar a equação:
2
x
=
5
3
?
5
6
h
2
x
=
25
18
h
h x = 1,44
Ao converter o resultado
em horas e minutos, obtém-se,
aproximadamente, 1h27min.
Regra de três composta
A regra de três composta também é uma estratégia para o cálculo de valores desconhecidos
em problemas que relacionam três ou mais grandezas diretamente, ou inversamente, proporcionais.
Acompanhe as seguintes situações.
1 Um trator, ao ser puxado por cinco homens durante 20 minutos, percorre uma distância de
120 metros. Em quanto tempo o mesmo trator percorrerá a distância de 150 metros ao ser
puxado por quatro homens?
Inicialmente, vamos organizar as grandezas envolvidas no problema em um quadro. Nesse
caso, temos: quantidade de homens, tempo (dado em minutos) e distância, em metros.
Quantidade
de homens
Tempo
(em min)
Distância
(em m)
5 20 120
4 x 150
• Fixando a grandeza “quantidade de homens”, vamos relacionar as grandezas “tempo” e
“distância”.
Aumentando a distância, o tempo para percorrê-la também aumenta. Podemos dizer que
as grandezas “tempo” e “distância” são diretamente proporcionais.
• Fixando a grandeza “distância”, vamos relacionar as grandezas “quantidade de homens”
e “tempo”.
Quanto maior a quantidade de homens puxando o trator, menor o tempo gasto para isso.
Assim, podemos dizer que as grandezas “quantidade de homens” e “tempo” são inver-
samente proporcionais.
Então, a grandeza “tempo” é diretamente proporcional à grandeza “distância” e inversa-
mente proporcional à grandeza “quantidade de homens”. Assim, podemos montar a seguinte
equação:

20
x
120
150
4
5
=?
20
x
480
750
=
480x20750
x31,25
?= ?
=
20
x
120
150
1
5
4
=?
tempo
distância
quantidade
de homens
Portanto, o trator levará 31,25 min (31 minutos e 15 segundos) para percorrer a distância de
150 metros ao ser puxado por 4 homens.
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ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em uma fábrica de chocolates, trabalham
21 funcionários na produção. Juntos, eles
fazem, ao longo da jornada de trabalho
de 6 h diárias, 420 barras de chocolate.
Próximo de datas comemorativas, como
Páscoa, Dia dos Namorados e Natal, a
fábrica costuma aumentar a jornada de
trabalho para 8 h/dia e faz novas contrata-
ções, pois tem como meta a produção de
960 barras de chocolate por dia. Quantos
funcionários precisam estar na produção
para que essa meta seja atingida?
2. Três crianças constroem 5 castelos de
areia em 2 h. Cinco crianças construirão
6 castelos de areia em quanto tempo?

3. Para preparar 3 receitas de bolo, 5 co-
zinheiras utilizam 12 xícaras de farinha
de trigo. Quantas receitas de bolo
serão feitas por 14 cozinheiras, usando
45 xícaras de farinha de trigo?
4. Elabore uma situação envolvendo três
grandezas, que possa ser resolvida com
regra de três composta. Em seguida,
troque com um colega e resolva o pro-
blema elaborado por ele.
5. Com um automóvel a uma velocidade
média de 60 km/h, Beto roda 8 horas
por dia e leva 6 dias para fazer certo
percurso. No mesmo carro, mas man-
tendo uma velocidade média de 80 km/h
36 funcionários.
Aproximadamente 1h27.
LÉO FANELLI/ GIZ DE CERA
31,5 receitas de bolo.
Resposta pessoal.
e rodando 9 horas por dia, em quanto
tempo ele faria o mesmo percurso?
6. (IFPE) Numa fazenda há 5 cavalos que
consomem 300 kg de ração em 6 dias.
Suponha que todos eles consomem por
dia a mesma quantidade de ração. Com
apenas 240 kg de ração, por quantos
dias 12 cavalos iguais aos dessa fazenda
seriam alimentados?
7. (Fuvest) A fábrica do Sr. Eusébio possui
12 máquinas, de mesmo tipo e ca-
pacidade, que usualmente executam
determinada tarefa em 16 dias, funcio-
nando 6 horas por dia. Como quatro
dessas máquinas ficaram inutilizadas, as
restantes passaram a ser colocadas em
funcionamento 8 horas por dia. Nessas
condições, a mesma tarefa será execu-
tada em
a) 18 dias.
b) 19 dias.
c) 20 dias.
d) 21 dias.
e) 22 dias.
8. (ENEM/MEC) Uma indústria tem um
reservatório de água com capacidade
para 900 m³. Quando há necessidade
de limpeza do reservatório, toda a água
precisa ser escoada. O escoamento da
água é feito por seis ralos, e dura 6 horas
quando o reservatório está cheio. Esta
indústria construirá um novo reserva-
tório, com capacidade de 500 m³, cujo
escoamento da água deverá ser reali-
zado em 4 horas, quando o reservatório
estiver cheio. Os ralos utilizados no novo
reservatório deverão ser idênticos aos
do já existente.
A quantidade de ralos do novo reserva-
tório deverá ser igual a
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
4 dias.
2 dias.
Alternativa a.
Alternativa c.
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317. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Tratamento da
informação
Conversar com os alunos
a respeito da importância de
compreender as informações
das pesquisas estatísticas à
nossa volta. Colher as opiniões
que eles exprimem sobre pro-
blemas que podem ocorrer
com interpretações feitas de
modo errado.
Ao explorar a pesquisa a
respeito da amizade no tra-
balho, propor aos alunos que
digam o que pensam a respei-
to desse tema. É importante
que eles compreendam que as
ideias sejam respeitadas e os
argumentos usados por eles
tenham consistência. Depois,
responder às questões sobre
essa pesquisa.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
I nterpretando os significados das informações
Todo o tempo deparamos com informações que são resultados de pesquisas estatísticas; por
isso é tão importante compreendê-las. Os conceitos que você aprendeu até aqui irão ajudá-lo a
responder às questões a seguir.
Resoluções a
partir da p. 289
1. Veja alguns resultados obtidos em uma pesquisa sobre amizade no trabalho, realizada
por uma empresa norte-americana:
I. A amizade entre colegas aumenta a satisfação do funcionário com
o emprego em até 50%.
II. Menos de uma, entre cinco pessoas, considera-se amiga do chefe.
I I I . Apenas 18% dos entrevistados afirmam trabalhar em empresas
que estimulam a amizade entre funcionários.
Informações obtidas em: DIAS, A. S. Relações interpessoais.
<www.avm.edu.br/docpdf/monografias_publicadas/k210742.pdf>. Acesso em: 2 nov. 2018.
De acordo com esses resultados, responda às questões no caderno.
a) Explique o significado da informação III. Se o número de entrevistados fosse 300 000, quantos
fariam tal afirmação?
b) Em um grupo de 55 pessoas, quantas se considerariam amigas do chefe?
Aproximadamente 1 de cada 5 pessoas trabalha em empresas que estimulam
a amizade entre funcionários; 54 000 entrevistados.
11 pessoas.
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2. Considere as informações sobre o uso de telefone celular e responda às questões a seguir
no caderno.
Pesquisa revela que, em 2016, o brasileiro fica conectado, em
média, 194 minutos por dia com o celular.
Informações obtidas em: AMARAL, B. do Brasileiro usa celular por mais de três
horas por dia. Exame. <https://exame.abril.com.br/tecnologia/brasileiro-usa-
celular-por-mais-de-tres-horas-por-dia/>. Acesso em: 11 nov. 2018.
Para carregar, simultaneamente, 100 milhões de celulares, seriam
consumidos 315 megawatts-hora, o equivalente ao consumo
mensal de 1 260 residências, habitadas por 5 600 pessoas.
Informações obtidas em: 100 000 000 de celulares. Veja.
São Paulo, ed. 1991, ano 40, n. 2, 17 jan. 2007.
a) Em média, quanto tempo (em horas) três brasileiros falam ao celular durante 5 meses?
b) De acordo com as informações anteriores, o consumo de megawatts-hora para carregar
2 bilhões de celulares é equivalente ao consumo mensal de quantas residências? Considere
que a proporção entre o número de residências e de habitantes se mantém a mesma.
1 455 horas.
25 200 residências.
c) Os gerentes de uma empresa fizeram uma pesquisa, com seus funcionários, sobre o nível
de satisfação com o emprego. Cada funcionário deu uma nota de 1 a 10 para a empresa.
A nota média foi de 6,0. No ano seguinte, promoveram atividades para estimular a amizade
entre os colaboradores e repetiram a pesquisa. Qual é a nota média máxima que os gerentes
da empresa esperariam obter?De acordo com a pesquisa, 9,0.
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318. Ao explorar a pesquisa a res-
peito do uso de celular, dispo-
nibilizar um tempo para que a
turma converse sobre o tema,
pensando nos benefícios e nos
malefícios que o uso excessivo
pode causar. Aproveitar para
tratar das relações humanas e
de como elas foram mudando
ao longo da história com a in-
serção das novas tecnologias.
Depois, responder às questões
propostas.
Para ampliar o tema de in-
terpretação de informações,
uma sugestão é que os alu-
nos interpretem uma fatura
de conta de energia elétrica.
Nela, eles vão identificar o
modo como a empresa for-
necedora de energia elétrica
transmite as informações ne-
cessárias. Em muitos casos, é
apresentada uma represen-
tação gráfica do consumo de
energia elétrica dos últimos
meses. Isso pode servir de dis-
cussão a respeito do porquê
dessa informação ser dada na
forma de gráfico de barras.
Para o consumidor, fica visível
perceber os meses de maior e
menor consumo, assim como
a variação do consumo de um
mês para outro.
TRATAMENTO DA INFORMAÇão
I nterpretando os significados das informações
Todo o tempo deparamos com informações que são resultados de pesquisas estatísticas; por
isso é tão importante compreendê-las. Os conceitos que você aprendeu até aqui irão ajudá-lo a
responder às questões a seguir.
Resoluções a
partir da p. 289
1. Veja alguns resultados obtidos em uma pesquisa sobre amizade no trabalho, realizada
por uma empresa norte-americana:
I. A amizade entre colegas aumenta a satisfação do funcionário com
o emprego em até 50%.
II. Menos de uma, entre cinco pessoas, considera-se amiga do chefe.
I I I . Apenas 18% dos entrevistados afirmam trabalhar em empresas
que estimulam a amizade entre funcionários.
Informações obtidas em: DIAS, A. S. Relações interpessoais.
<www.avm.edu.br/docpdf/monografias_publicadas/k210742.pdf>. Acesso em: 2 nov. 2018.
De acordo com esses resultados, responda às questões no caderno.
a) Explique o significado da informação III. Se o número de entrevistados fosse 300 000, quantos
fariam tal afirmação?
b) Em um grupo de 55 pessoas, quantas se considerariam amigas do chefe?
Aproximadamente 1 de cada 5 pessoas trabalha em empresas que estimulam
a amizade entre funcionários; 54 000 entrevistados.
11 pessoas.
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2. Considere as informações sobre o uso de telefone celular e responda às questões a seguir
no caderno.
Pesquisa revela que, em 2016, o brasileiro fica conectado, em
média, 194 minutos por dia com o celular.
Informações obtidas em: AMARAL, B. do Brasileiro usa celular por mais de três
horas por dia. Exame. <https://exame.abril.com.br/tecnologia/brasileiro-usa-
celular-por-mais-de-tres-horas-por-dia/>. Acesso em: 11 nov. 2018.
Para carregar, simultaneamente, 100 milhões de celulares, seriam
consumidos 315 megawatts-hora, o equivalente ao consumo
mensal de 1 260 residências, habitadas por 5 600 pessoas.
Informações obtidas em: 100 000 000 de celulares. Veja.
São Paulo, ed. 1991, ano 40, n. 2, 17 jan. 2007.
a) Em média, quanto tempo (em horas) três brasileiros falam ao celular durante 5 meses?
b) De acordo com as informações anteriores, o consumo de megawatts-hora para carregar
2 bilhões de celulares é equivalente ao consumo mensal de quantas residências? Considere
que a proporção entre o número de residências e de habitantes se mantém a mesma.
1 455 horas.
25 200 residências.
c) Os gerentes de uma empresa fizeram uma pesquisa, com seus funcionários, sobre o nível
de satisfação com o emprego. Cada funcionário deu uma nota de 1 a 10 para a empresa.
A nota média foi de 6,0. No ano seguinte, promoveram atividades para estimular a amizade
entre os colaboradores e repetiram a pesquisa. Qual é a nota média máxima que os gerentes
da empresa esperariam obter?De acordo com a pesquisa, 9,0.
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319. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
As atividades propostas
vão retomar a ideia de pro-
porcionalidade por meio de
diferentes situações em que
os alunos precisam analisar a
relação que há entre as gran-
dezas apresentadas: se são
diretamente proporcionais ou
inversamente proporcionais
ou se não há relação de pro-
porcionalidade.
A atividade 4 apresen-
ta um problema clássico de
analisar diferentes opções de
tarifas oferecidas por opera-
dora de telefonia para avaliar
qual é a mais adequada para
a situação apresentada. Para
responder ao item a, os alunos
vão completar o quadro a par-
tir das informações de cobran-
ça de cada tarifa. No item b,
eles precisam construir os grá-
ficos de cada uma das tarifas
apresentadas para, no item c,
comparar e decidir a tarifa mais
vantajosa para 120 minutos.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. A distância entre duas casas de um vila-
rejo, na escala 1 : 15 000, é representada
por um segmento de reta de 1,6 cm. Qual
é a distância real entre essas duas casas?
2. Calcule a área do estado do Paraná,
sabendo que sua população, no Censo
2010, era de 10 444 526 pessoas e sua
densidade demográfica, na época, era
de 52,40 hab./km
2
.
3. (ENEM/MEC) Num mapa com escala
1 : 250 000, a distância entre as
cidades  A e B é de 13 cm. Num outro
mapa, com escala 1 : 300 000, a distância
entre as cidades  A e C é de 10 cm. Em um
terceiro mapa, com escala 1 : 500 000, a
distância entre as cidades  A e D é de 9 cm.
As distâncias reais entre a cidade  A e as
cidades  B, C e D são, respectivamente,
iguais a X, Y e Z (na mesma unidade de
comprimento). As distâncias X, Y e Z, em
ordem crescente, estão dadas em
a) X, Y, Z.
b) Y, X, Z.
c) Y, Z, X.
d) Z, X, Y.
e) Z, Y, X.
4. Uma operadora de telefonia oferece as
três tarifas a seguir:
Tarifa 1: R$ 0,40/min sem assinatura.
Tarifa 2: assinatura de R$ 35,00 para
pacote de ligações de 2 horas, em
seguida, R$ 0,40/min além da assinatura.
Tarifa 3: assinatura de R$ 48,00 para
um pacote de ligações de 4 horas, em
seguida, R$ 0,40/min além da assinatura.
a) Copie e complete o quadro abaixo:
240 m
199 323,02 km
2
Alternativa b.
b) A tarifa 2 foi representada no gráfico
abaixo em preto. Copie o gráfico em uma
folha de papel quadriculado e, em se-
guida, represente as tarifas 1 e 3, usando
as cores azul e verde, respectivamente.
Preço
(em R$)
Duração (em min)
10
0 60 120 180 240 300
20
30
40
50
60
70
Tarifa 1
Tarifa 3
80
90
100
110
c) Por quanto tempo é melhor escolher a
tarifa 2?
d) Qual é a tarifa mais barata para 210 mi-
nutos de ligações?
5. A explosão de um vulcão localizado no
mar provoca a formação de um tsunami
– onda gigante, de várias dezenas de
metros de altura –, que se move a uma
velocidade de 138,89 m/s.
a) Transforme essa velocidade em km/h.
b) Em quanto tempo a onda alcançará a casa?
tsunami
continente
1,3 km
ALEX ARGOZINO
EDITORIA DE ARTE
500,04 km/h
0,16 min ou, aproximadamente, 9,4 s.
Duração, em minutos60150200250300
Preço a ser pago pela
Tarifa 1
Preço a ser pago pela
Tarifa 2
Preço a ser pago pela
Tarifa 3
R$ 24,00R$ 60,00R$ 80,00R$ 100,00R$ 120,00
R$ 35,00R$ 47,00R$ 67,00R$ 87,00R$ 107,00
R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 52,00R$ 72,00
Se utilizar entre 90 e 150 minutos.
Tarifa 3.
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c) Qual a distância percorrida pela onda
em 1 s?
d) Assumindo que a onda leva 18 minutos
para chegar à costa, a que distância es-
tava localizada?
6. (Fuvest-SP) Uma família de 6 pessoas
consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos
quilos serão necessários para alimentá-
-las durante 5 dias, estando ausentes
2 pessoas?
a) 3 quilos
b) 2 quilos
c) 4 quilos
d) 6 quilos
e) 5 quilos
7. (ENEM/2015) Na imagem, a personagem
Mafalda mede a circunferência do globo
que representa o planeta Terra.
Em uma aula de matemática, o professor
considera que a medida encontrada por
Mafalda, referente à maior circunferên-
cia do globo, foi de 80 cm. Além disso,
138,89 m
150 km
Alternativa e.
informa que a medida real da maior cir-
cunferência da Terra, a linha do Equador,
é de aproximadamente 40 000 km.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins
Fontes, 2008 (adaptado).
A circunferência da linha do Equador é
quantas vezes maior do que a medida
encontrada por Mafalda?
a) 500
b) 5 000
c) 500 000
d) 5 000 000
e) 50 000 000
Alternativa e.
Nesta Unidade, estudamos grandezas proporcionais. Esse tema foi iniciado no 7
o
ano
e aprofundado nesta Unidade.
Ao explorar o tema, observamos quando duas grandezas são proporcionais e quando
não são. Vimos também a representação gráfica de grandezas diretamente proporcionais
e de grandezas inversamente proporcionais.
Estudamos algumas razões especiais que são utilizadas no dia a dia, como a velocidade
média (que é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto). Exploramos ainda a
escala, uma relação matemática que existe entre as dimensões reais e aquelas dimensões
da representação. E analisamos a densidade de um corpo, que pode ser calculada por meio
da razão entre a massa de um corpo e o volume ocupado por ele.
Elaboramos também um trabalho com a regra de três simples e a regra de três com-
posta, bem como suas aplicações.
Na abertura desta Unidade, você teve a oportunidade de conhecer um pouco sobre
a aplicação do conceito de escala no dia a dia de arquitetos, engenheiros e profissionais
que trabalham com representações de edificações.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade. Com base nas
informações obtidas na abertura e ao longo da Unidade, responda às questões no caderno:
• Como você definiria grandezas diretamente proporcionais?
• Como você definiria grandezas inversamente proporcionais?
• O que caracteriza a representação gráfica de duas grandezas diretamente
proporcionais?
Grandezas que crescem ou decrescem na mesma proporção.
Quando uma grandeza cresce e a outra decresce na mesma proporção.
Uma reta.
UM NOVO OLHAR
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320. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos des-
sa seção retomam, de forma
breve, os assuntos tratados ao
longo da Unidade e podem
permitir reflexões a respeito
das aprendizagens individuais
dos alunos.
É importante que eles res-
pondam individualmente a cada
uma das questões para que,
dessa maneira, possam perce-
ber possíveis dúvidas que ainda
existem a respeito de cada um
dos assuntos estudados.
Espera-se que os alunos
consigam explicar o que são
grandezas diretamente pro-
porcionais e grandezas inver-
samente proporcionais, além
de conseguirem identificar
grandezas diretamente propor-
cionais representadas por meio
de gráficos, no caso, retas que
passam pela origem.
RETOMANDO O QUE APRENDEU
Responda às questões no caderno.
1. A distância entre duas casas de um vila-
rejo, na escala 1 : 15 000, é representada
por um segmento de reta de 1,6 cm. Qual
é a distância real entre essas duas casas?
2. Calcule a área do estado do Paraná,
sabendo que sua população, no Censo
2010, era de 10 444 526 pessoas e sua
densidade demográfica, na época, era
de 52,40 hab./km
2
.
3. (ENEM/MEC) Num mapa com escala
1 : 250 000, a distância entre as
cidades  A e B é de 13 cm. Num outro
mapa, com escala 1 : 300 000, a distância
entre as cidades  A e C é de 10 cm. Em um
terceiro mapa, com escala 1 : 500 000, a
distância entre as cidades  A e D é de 9 cm.
As distâncias reais entre a cidade  A e as
cidades  B, C e D são, respectivamente,
iguais a X, Y e Z (na mesma unidade de
comprimento). As distâncias X, Y e Z, em
ordem crescente, estão dadas em
a) X, Y, Z.
b) Y, X, Z.
c) Y, Z, X.
d) Z, X, Y.
e) Z, Y, X.
4. Uma operadora de telefonia oferece as
três tarifas a seguir:
Tarifa 1: R$ 0,40/min sem assinatura.
Tarifa 2: assinatura de R$ 35,00 para
pacote de ligações de 2 horas, em
seguida, R$ 0,40/min além da assinatura.
Tarifa 3: assinatura de R$ 48,00 para
um pacote de ligações de 4 horas, em
seguida, R$ 0,40/min além da assinatura.
a) Copie e complete o quadro abaixo:
240 m
199 323,02 km
2
Alternativa b.
b) A tarifa 2 foi representada no gráfico
abaixo em preto. Copie o gráfico em uma
folha de papel quadriculado e, em se-
guida, represente as tarifas 1 e 3, usando
as cores azul e verde, respectivamente.
Preço
(em R$)
Duração (em min)
10
0 60 120 180 240 300
20
30
40
50
60
70
Tarifa 1
Tarifa 3
80
90
100
110
c) Por quanto tempo é melhor escolher a
tarifa 2?
d) Qual é a tarifa mais barata para 210 mi-
nutos de ligações?
5. A explosão de um vulcão localizado no
mar provoca a formação de um tsunami
– onda gigante, de várias dezenas de
metros de altura –, que se move a uma
velocidade de 138,89 m/s.
a) Transforme essa velocidade em km/h.
b) Em quanto tempo a onda alcançará a casa?
tsunami
continente
1,3 km
ALEX ARGOZINO
EDITORIA DE ARTE
500,04 km/h
0,16 min ou, aproximadamente, 9,4 s.
Duração, em minutos60150200250300
Preço a ser pago pela
Tarifa 1
Preço a ser pago pela
Tarifa 2
Preço a ser pago pela
Tarifa 3
R$ 24,00R$ 60,00R$ 80,00R$ 100,00R$ 120,00
R$ 35,00R$ 47,00R$ 67,00R$ 87,00R$ 107,00
R$ 48,00R$ 48,00R$ 48,00R$ 52,00R$ 72,00
Se utilizar entre 90 e 150 minutos.
Tarifa 3.
Resoluções a partir da p. 289
274
D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 274 11/15/18 20:16
c) Qual a distância percorrida pela onda
em 1 s?
d) Assumindo que a onda leva 18 minutos
para chegar à costa, a que distância es-
tava localizada?
6. (Fuvest-SP) Uma família de 6 pessoas
consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos
quilos serão necessários para alimentá-
-las durante 5 dias, estando ausentes
2 pessoas?
a) 3 quilos
b) 2 quilos
c) 4 quilos
d) 6 quilos
e) 5 quilos
7. (ENEM/2015) Na imagem, a personagem
Mafalda mede a circunferência do globo
que representa o planeta Terra.
Em uma aula de matemática, o professor
considera que a medida encontrada por
Mafalda, referente à maior circunferên-
cia do globo, foi de 80 cm. Além disso,
138,89 m
150 km
Alternativa e.
informa que a medida real da maior cir-
cunferência da Terra, a linha do Equador,
é de aproximadamente 40 000 km.
QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins
Fontes, 2008 (adaptado).
A circunferência da linha do Equador é
quantas vezes maior do que a medida
encontrada por Mafalda?
a) 500
b) 5 000
c) 500 000
d) 5 000 000
e) 50 000 000
Alternativa e.
Nesta Unidade, estudamos grandezas proporcionais. Esse tema foi iniciado no 7
o
ano
e aprofundado nesta Unidade.
Ao explorar o tema, observamos quando duas grandezas são proporcionais e quando
não são. Vimos também a representação gráfica de grandezas diretamente proporcionais
e de grandezas inversamente proporcionais.
Estudamos algumas razões especiais que são utilizadas no dia a dia, como a velocidade
média (que é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto). Exploramos ainda a
escala, uma relação matemática que existe entre as dimensões reais e aquelas dimensões
da representação. E analisamos a densidade de um corpo, que pode ser calculada por meio
da razão entre a massa de um corpo e o volume ocupado por ele.
Elaboramos também um trabalho com a regra de três simples e a regra de três com-
posta, bem como suas aplicações.
Na abertura desta Unidade, você teve a oportunidade de conhecer um pouco sobre
a aplicação do conceito de escala no dia a dia de arquitetos, engenheiros e profissionais
que trabalham com representações de edificações.
Vamos agora refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade. Com base nas
informações obtidas na abertura e ao longo da Unidade, responda às questões no caderno:
• Como você definiria grandezas diretamente proporcionais?
• Como você definiria grandezas inversamente proporcionais?
• O que caracteriza a representação gráfica de duas grandezas diretamente
proporcionais?
Grandezas que crescem ou decrescem na mesma proporção.
Quando uma grandeza cresce e a outra decresce na mesma proporção.
Uma reta.
UM NOVO OLHAR
ENEM 2015
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321. ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Atualidades em foco
Aproveitar a presença da tiri-
nha do Armandinho para ques-
tionar os alunos a respeito da
importância desse tipo de texto
para exprimir opiniões diversas.
Levantar a relação de quais tiri-
nhas os alunos conhecem.
Ler o texto junto à turma e
realizar uma discussão a res-
peito de diversidade e cultura.
É importante que os alunos
compreendam que acima de
tudo deve haver respeito com
o diferente. Assim como nos
debates relacionados às pes-
quisas estatísticas, argumen-
tos consistentes devem existir
para expressar uma opinião.
Enfatizar que o respeito
é algo a ser cultivado desde
criança, pois ele deve existir
em todos os ambientes que o
ser humano possa frequentar.
ATUALIDADES EM FOCO
Diversidade cultural
Você conhece o personagem Armandinho?
1. Leia a tirinha e responda: Qual a relação entre o título desta seção e a fala de Armandinho?
Leia o texto a seguir.
Resposta pessoal.
[...]
Todas as culturas são diferentes, mas a humanidade é uma comunidade única, que
compartilha valores, um passado e um futuro. Todas as pessoas são diferentes, e isso é
uma força para todas as sociedades, para a criatividade e a inovação. Existem 7 bilhões
de formas de “ser humano”, mas nós estamos juntos como membros da mesma família,
todos diferentes, mas igualmente buscando respeito aos direitos e à dignidade.
[...]
UNESCO. Mensagem da Unesco para o Dia Internacional da Tolerância. Disponível em:
<http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/about-this-office/single-view/news/unesco_message_for_the_
international_day_for_tolerance/>. Acesso em: 4 nov. 2018.
A tolerância é um ato de humanidade, que cada um de nós deve alimentar e realizar
todos os dias em nossas próprias vidas, para nos alegrarmos com a diversidade que nos
torna fortes e com os valores que nos unem.
Fonte: ONU. Em dia mundial, Unesco chama cidadãos a combater todas as formas de discriminação e ódio.
Disponível em: <https://nacoesunidas.org/em-dia-mundial-unesco-chama-cidadaos-a-combater-todas-
as-formas-de-discriminacao-e-odio/>. Acesso em: 4 nov. 2018.
Para Audrey Azoulay, diretora-geral da Unesco (Organização das Nações Unidas para a Educação,
a Ciência e a Cultura) “a tolerância não pode se resumir à indiferença”. Ou seja, de acordo com a sua
fala, pode-se entender que ser tolerante não pode significar ignorar o outro e as suas necessidades
e lutas; é preciso aceitar e compreender essas necessidades como se fossem de todos.
Veja trecho de fala de Audrey sobre tolerância:
BECK, A. Armandinho. Disponível em: <https://tirasarmandinho.tumblr.com/search/respeito>.
Acesso em: 17 jul. 2018.
ALEXANDRE BECK
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Responda, no caderno, às questões a seguir.
2. Você se considera uma pessoa tolerante? Converse com seus colegas e com o professor.
3. Segundo a Unesco, o Brasil tem uma notável diversidade criativa. Você conhece a diver-
sidade existente no estado onde mora? Forme dupla com um colega e, juntos, realizem
uma pesquisa sobre os temas a seguir.
Depois de finalizada a pesquisa, compartilhem as descobertas feitas, apresentando as
informações em um painel. Resposta pessoal.
4. Sobre a pesquisa que realizaram, responda às questões a seguir.
a) No estado onde mora, as pessoas são tolerantes e respeitam a diversidade nele existente?
b) Há algo que precisa ser melhorado em relação a esse tema? Por quê? Resposta pessoal.
5. Você acha importante sermos tolerantes? Por quê? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
•
Diversidade Cultural
•
Diver sidad e S o cial
•
Diversidade Musical
• Diversidade Étnica
•
Diversidade Religiosa
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322. Explorar as questões pro-
postas e verificar como os
alunos se organizam para
construir a pesquisa solicitada.
Após realizarem a pesquisa, se-
parar um tempo da aula para
que as ideias sejam comparti-
lhadas. Esse tipo de trabalho
permite que assuntos diversos
sejam encontrados e o com-
partilhamento disso é muito
importante para o desenvolvi-
mento das relações humanas
entre os alunos.
ATUALIDADES EM FOCO
Diversidade cultural
Você conhece o personagem Armandinho?
1. Leia a tirinha e responda: Qual a relação entre o título desta seção e a fala de Armandinho?
Leia o texto a seguir.
Resposta pessoal.
[...]
Todas as culturas são diferentes, mas a humanidade é uma comunidade única, que
compartilha valores, um passado e um futuro. Todas as pessoas são diferentes, e isso é
uma força para todas as sociedades, para a criatividade e a inovação. Existem 7 bilhões
de formas de “ser humano”, mas nós estamos juntos como membros da mesma família,
todos diferentes, mas igualmente buscando respeito aos direitos e à dignidade.
[...]
UNESCO. Mensagem da Unesco para o Dia Internacional da Tolerância. Disponível em:
<http://www.unesco.org/new/pt/brasilia/about-this-office/single-view/news/unesco_message_for_the_
international_day_for_tolerance/>. Acesso em: 4 nov. 2018.
A tolerância é um ato de humanidade, que cada um de nós deve alimentar e realizar
todos os dias em nossas próprias vidas, para nos alegrarmos com a diversidade que nos
torna fortes e com os valores que nos unem.
Fonte: ONU. Em dia mundial, Unesco chama cidadãos a combater todas as formas de discriminação e ódio.
Disponível em: <https://nacoesunidas.org/em-dia-mundial-unesco-chama-cidadaos-a-combater-todas-
as-formas-de-discriminacao-e-odio/>. Acesso em: 4 nov. 2018.
Para Audrey Azoulay, diretora-geral da Unesco (Organização das Nações Unidas para a Educação,
a Ciência e a Cultura) “a tolerância não pode se resumir à indiferença”. Ou seja, de acordo com a sua
fala, pode-se entender que ser tolerante não pode significar ignorar o outro e as suas necessidades
e lutas; é preciso aceitar e compreender essas necessidades como se fossem de todos.
Veja trecho de fala de Audrey sobre tolerância:
BECK, A. Armandinho. Disponível em: <https://tirasarmandinho.tumblr.com/search/respeito>.
Acesso em: 17 jul. 2018.
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Responda, no caderno, às questões a seguir.
2. Você se considera uma pessoa tolerante? Converse com seus colegas e com o professor.
3. Segundo a Unesco, o Brasil tem uma notável diversidade criativa. Você conhece a diver-
sidade existente no estado onde mora? Forme dupla com um colega e, juntos, realizem
uma pesquisa sobre os temas a seguir.
Depois de finalizada a pesquisa, compartilhem as descobertas feitas, apresentando as
informações em um painel. Resposta pessoal.
4. Sobre a pesquisa que realizaram, responda às questões a seguir.
a) No estado onde mora, as pessoas são tolerantes e respeitam a diversidade nele existente?
b) Há algo que precisa ser melhorado em relação a esse tema? Por quê? Resposta pessoal.
5. Você acha importante sermos tolerantes? Por quê? Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
•
Diversidade Cultural
•
Diver sidad e S o cial
•
Diversidade Musical
• Diversidade Étnica
•
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323. 278
respostasrespostas
UNIDADE 1
Números racionais
Atividades p. 18
1.
_2 _1
_
0 7
5
3
4
1 2
1,6
2. a) .
b) ,
c) ,
d) ,
e) =
f) .
3. a)
29
8
b)
141
20
c) _
79
33
d) 66,65
e)
457
4
f) 1 479,87
g) 1
h) 45,01
4. a) 16,74
b) _
120
49
c) 10,875
d) 10
e) 3,22
f)
209
7
g) _44,2
h) 7,878
5. a) _12,6
b) 12
c) Aproximadamente 68,14.
d) _
5
26
e) 66,84
f) 32,1
g) 60,3
6. Alternativa b.
7. Alternativa a.
Atividades p. 21
1. 8%
2. 60%
3. 76%
4. 12,5%
5. a) 42%
b) 40%
c) 12%
d) 6%
6. Aproximadamente 16,6%.
7. a) 450 kg
b) 88%
8. 55%
Por toda parte p. 22
1. 8 500 000 km²
2. A área aproximada é de 16 250 000 km².
3. Pesquisa do aluno.
4. 6 630,12 km²
Pense e Responda p. 23
1. Resposta pessoal.
2. R$ 480,00; R$ 720,00
3. R$ 1 080,00
Atividades p. 25
1. a) 207 reais.
b) 96,04 reais.
2. 2,5%
3. 760 reais.
4. Alternativa a.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. 4%
8. Alternativa c.
9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
Tratamento da informação p. 26
1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de
múltiplas colunas.
b) Região Norte: 45,30%; Região Norte:
68,50%; Região Norte: 6,98%.
c) Região Nordeste: 3,30%.
d) Região Sudeste: 42,65%.
e) Não. Resposta pessoal.
f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Não.
2. a) Resposta pessoal.
b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%.
3.
Cérebro
Fígado
Pulmões Músculos
Coração
Rins
Sangue
Percentual
Órgão
10%
0%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%75% 75%75%
86%86%
83%
81%
90%
100%
Percentual de água nos órgãos do corpo humano
Fonte: NÚCLEO DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL MUNICIPAL.
Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti.
org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>.
Educação Financeira p. 28
1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e
quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já
para as pessoas que precisam de dinheiro para
investimentos, os bancos fazem empréstimos,
recebendo uma compensação na forma de juro
pelo serviço.
2. R$ 360,00
3. Resposta pessoal.
Pense e responda p. 30
1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13;
3; 13.
3. A quantidade de algarismos do período de
cada uma das dízimas é igual à quantidade
de algarismos do denominador da respectiva
fração; os denominadores são formados
somente pelo algarismo 9.
Atividades p. 30
1. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 1,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
k) 4,27
l) 1,104
2. a) 0,5
b) 2,333...
c) 1,8
d) 1,85
e) 3,1818...
f) 1,2222...
g) 1,375
h) 1,32
i) 0,15
j) 0,1444...
k) 8,25
l) 4,1666...
3. a) DE
b) DP
c) DE
d) DE
e) DP
f) DP
g) DE
h) DE
i) DE
j) DP
k) DE
l) DP
4. a) Período: 2
b) Período: 7
c) Período: 01
d) Período: 3
e) Período: 56
f) Período: 034
Atividades p. 32
1. a) _
22
9
b)
1
9
c)
161
9
d) _
629
99
e)
29
99
f)
700
333
2. Alternativa d. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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279
Atividades p. 33
1.
O número é uma
dízima periódica
composta?
A parte não periódica
passou para o lado
esquerdo da vírgula?
O período da dízima
periódica passou para
o lado esquerdo da
vírgula?
Início.
Fim.
Iguale essa dízima a x.
Isole o x.
Multiplique os membros
dessa equação por 10.
Chame essa equação de
equação 2.
Subtraia a equação 1 da
equação 2.
Chame essa equação de
equação 1.
Multiplique os membros
dessa equação por 10.
sim
sim
sim
não
não
não
2. a)
322
45
b)
24
45
c)
2071
30
d) _
1163
990
3. Alternativa d. 4. Alternativa e. 5. Alternativa b. 6.
41
90
Tecnologias p. 34
• Alternativas b, c e d; resposta pessoal.
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
1
2
X
1
9
X
1
16
X
1
3
X
1
10
X
1
17
X
1
4
X
1
11
X
1
18
X
1
5
X
1
12
X
1
19
X
1
6
X
1
13
X
1
20
X
1
7
X
1
14
X
1
21
X
1
8
X
1
15
X
1
22
X
• Respostas em aberto.
• a) DP; b) DE; c) DE; d) DP; e) DE; f) DE
• divisores; potência; exata.
• Dízima periódica.
Retomando o que aprendeu p. 36
1. denominadores; equivalentes; mantemos;
numeradores; irredutível.
2. Alternativax c.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. Alternativa c.
7. a)
34
9
b)
23
90
c)
1206
99
−
d)
3973
990
8. Resposta pessoal.
9. Alternativa b.
10. Alternativa d.
UNIDADE 2
Potências, raízes e números
reais
Abertura p. 38
• Sissa pediu grãos de trigo distribuídos em um ta-
buleiro da seguinte maneira: 1 grão na primeira
casa do tabuleiro, 2 grãos na segunda, 4 na tercei-
ra, 8 na quarta, e assim sucessivamente, dobrando
a quantidade de grãos, até chegar à 64
a
casa.
• Espera-se que os alunos percebam que, para cada
casa do tabuleiro, eles precisarão calcular uma po-
tência de base 2. O expoente vai variar de 0 a 63.
• Para essa questão, uma resposta provável será o
computador. Mas ele não faz o cálculo sozinho.
Para isso, você poderá apresentar aos alunos as
planilhas eletrônicas.
Pense e responda p. 40
1. a) 8
b) 16
c) 32
d) Resposta pessoal.
Atividades p. 42
1. a) 6³
b) 0,5
5
c)
3
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 1,2
4
e) 9
10
f) 1,1
20
g) 2
25
h) 1
100
2. a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2
b) 0,8 x 0,8 x 0,8
c) xxx
1
4
1
4
1
4
1
4
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
e) 2,8 x 2,8
f) 0,7 x 0,7 x 0,7
3. a) 5² b) 2³
4. a) 125
b) 100 000
c) 128
d) 81
e) 121
f) 1
g) 3,24
h) 0,064
i)
8
27
j) 6,25
k)
1
16
l) 1
5. 169 quadrados.
6. 512 cubinhos.
7. Sim, pois (10 + 7)
2
= 17
2
= 289 e
10
2
+ 7
2
= 100 + 49 = 149.
8. 0,125
9. 0,99
10. a) 0,25
b) 25%
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 279 11/17/18 13:29278
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 278 19/11/18 10:38

324. 278
respostasrespostas
UNIDADE 1
Números racionais
Atividades p. 18
1.
_2 _1
_
0 7
5
3
4
1 2
1,6
2. a) .
b) ,
c) ,
d) ,
e) =
f) .
3. a)
29
8
b)
141
20
c) _
79
33
d) 66,65
e)
457
4
f) 1 479,87
g) 1
h) 45,01
4. a) 16,74
b) _
120
49
c) 10,875
d) 10
e) 3,22
f)
209
7
g) _44,2
h) 7,878
5. a) _12,6
b) 12
c) Aproximadamente 68,14.
d) _
5
26
e) 66,84
f) 32,1
g) 60,3
6. Alternativa b.
7. Alternativa a.
Atividades p. 21
1. 8%
2. 60%
3. 76%
4. 12,5%
5. a) 42%
b) 40%
c) 12%
d) 6%
6. Aproximadamente 16,6%.
7. a) 450 kg
b) 88%
8. 55%
Por toda parte p. 22
1. 8 500 000 km²
2. A área aproximada é de 16 250 000 km².
3. Pesquisa do aluno.
4. 6 630,12 km²
Pense e Responda p. 23
1. Resposta pessoal.
2. R$ 480,00; R$ 720,00
3. R$ 1 080,00
Atividades p. 25
1. a) 207 reais.
b) 96,04 reais.
2. 2,5%
3. 760 reais.
4. Alternativa a.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. 4%
8. Alternativa c.
9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos
100 reais de desconto pelo pagamento à vista.
Tratamento da informação p. 26
1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de
múltiplas colunas.
b) Região Norte: 45,30%; Região Norte:
68,50%; Região Norte: 6,98%.
c) Região Nordeste: 3,30%.
d) Região Sudeste: 42,65%.
e) Não. Resposta pessoal.
f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal.
g) Não.
2. a) Resposta pessoal.
b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%.
3.
Cérebro
Fígado
Pulmões Músculos
Coração
Rins
Sangue
Percentual
Órgão
10%
0%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%75% 75%75%
86%86%
83%
81%
90%
100%
Percentual de água nos órgãos do corpo humano
Fonte: NÚCLEO DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL MUNICIPAL.
Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti.
org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>.
Educação Financeira p. 28
1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e
quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já
para as pessoas que precisam de dinheiro para
investimentos, os bancos fazem empréstimos,
recebendo uma compensação na forma de juro
pelo serviço.
2. R$ 360,00
3. Resposta pessoal.
Pense e responda p. 30
1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...
2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13;
3; 13.
3. A quantidade de algarismos do período de
cada uma das dízimas é igual à quantidade
de algarismos do denominador da respectiva
fração; os denominadores são formados
somente pelo algarismo 9.
Atividades p. 30
1. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 1,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
k) 4,27
l) 1,104
2. a) 0,5
b) 2,333...
c) 1,8
d) 1,85
e) 3,1818...
f) 1,2222...
g) 1,375
h) 1,32
i) 0,15
j) 0,1444...
k) 8,25
l) 4,1666...
3. a) DE
b) DP
c) DE
d) DE
e) DP
f) DP
g) DE
h) DE
i) DE
j) DP
k) DE
l) DP
4. a) Período: 2
b) Período: 7
c) Período: 01
d) Período: 3
e) Período: 56
f) Período: 034
Atividades p. 32
1. a) _
22
9
b)
1
9
c)
161
9
d) _
629
99
e)
29
99
f)
700
333
2. Alternativa d. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 278 11/17/18 13:29
279
Atividades p. 33
1.
O número é uma
dízima periódica
composta?
A parte não periódica
passou para o lado
esquerdo da vírgula?
O período da dízima
periódica passou para
o lado esquerdo da
vírgula?
Início.
Fim.
Iguale essa dízima a x.
Isole o x.
Multiplique os membros
dessa equação por 10.
Chame essa equação de
equação 2.
Subtraia a equação 1 da
equação 2.
Chame essa equação de
equação 1.
Multiplique os membros
dessa equação por 10.
sim
sim
sim
não
não
não
2. a)
322
45
b)
24
45
c)
2071
30
d) _
1163
990
3. Alternativa d. 4. Alternativa e. 5. Alternativa b. 6.
41
90
Tecnologias p. 34
• Alternativas b, c e d; resposta pessoal.
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Fração
Representação decimal
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
Decimal
exato
Dízima
periódica
1
2
X
1
9
X
1
16
X
1
3
X
1
10
X
1
17
X
1
4
X
1
11
X
1
18
X
1
5
X
1
12
X
1
19
X
1
6
X
1
13
X
1
20
X
1
7
X
1
14
X
1
21
X
1
8
X
1
15
X
1
22
X
• Respostas em aberto.
• a) DP; b) DE; c) DE; d) DP; e) DE; f) DE
• divisores; potência; exata.
• Dízima periódica.
Retomando o que aprendeu p. 36
1. denominadores; equivalentes; mantemos;
numeradores; irredutível.
2. Alternativax c.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. Alternativa c.
7. a)
34
9
b)
23
90
c)
1206
99
−
d)
3973
990
8. Resposta pessoal.
9. Alternativa b.
10. Alternativa d.
UNIDADE 2
Potências, raízes e números
reais
Abertura p. 38
• Sissa pediu grãos de trigo distribuídos em um ta-
buleiro da seguinte maneira: 1 grão na primeira
casa do tabuleiro, 2 grãos na segunda, 4 na tercei-
ra, 8 na quarta, e assim sucessivamente, dobrando
a quantidade de grãos, até chegar à 64
a
casa.
• Espera-se que os alunos percebam que, para cada
casa do tabuleiro, eles precisarão calcular uma po-
tência de base 2. O expoente vai variar de 0 a 63.
• Para essa questão, uma resposta provável será o
computador. Mas ele não faz o cálculo sozinho.
Para isso, você poderá apresentar aos alunos as
planilhas eletrônicas.
Pense e responda p. 40
1. a) 8
b) 16
c) 32
d) Resposta pessoal.
Atividades p. 42
1. a) 6³
b) 0,5
5
c)
3
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d) 1,2
4
e) 9
10
f) 1,1
20
g) 2
25
h) 1
100
2. a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2
b) 0,8 x 0,8 x 0,8
c) xxx
1
4
1
4
1
4
1
4
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
e) 2,8 x 2,8
f) 0,7 x 0,7 x 0,7
3. a) 5² b) 2³
4. a) 125
b) 100 000
c) 128
d) 81
e) 121
f) 1
g) 3,24
h) 0,064
i)
8
27
j) 6,25
k)
1
16
l) 1
5. 169 quadrados.
6. 512 cubinhos.
7. Sim, pois (10 + 7)
2
= 17
2
= 289 e
10
2
+ 7
2
= 100 + 49 = 149.
8. 0,125
9. 0,99
10. a) 0,25
b) 25%
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 279 11/17/18 13:29279
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 279 19/11/18 10:38

325. 280
11. a) a = 32; b = 64; a , b
b) a = 225; b = 225; a = b
12. 3
Pense e responda p. 43
1. a) 2
2
x 2
3
= 2
5
; 3
4
x 3
2
= 3
6
b) 2
5
: 2
3
= 2
2
; 3
5
: 3
2
= 3
3
c) 64; 64; 81
d) =; =; =
Por toda parte p. 46
7x 10
8
bytes; 1,23 x 10
8
bytes;
7 x 10
5
quilobytes; 1,23 x 10
5
quilobytes;
5,6 x 10
9
bits; 9,84 x 10
8
bits.
Atividades p. 47
1. a) 9
8
b) 20
6
c) 10
2
d) 8
30
e) (0,7)
3
f) (2,5)
20
g) (1,9)²
h)
1
2
11
⎛
⎝
⎞
⎠
i)
2
5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2. a) 2
20
b) 2
2
c) 2
18
d) 2
6
e) 2
26
f) 2
21
g) 2
25
h) 2
8
i) 2
20
3. x
5
= y
2
4. a) (0,6)
4
x (1,1)
4
b) 3
4
x 10
2
c) (1,6)
6
x (2,4)
4
d) x
1
2
1
3
5 5
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5. 10
6. 243
7. a) 252 b) 756 c) 3
8. a) 4 b) 0,064
9. 4
10. a) 400 b) 8 000
11. Giga = 10
9
; mega = 10
6
; miria =10
4
;
quilo = 10
3
; hecto = 10
2
; deca = 10
1
.
12. a) 1,35 x 10
6
b) 6,89 x 10
5
c) 5,43 x 10
8
d) 8,276 x 10
7
13. a) 6 300 000 000
b) 92 300
c) 460 800
d) 16 000 000
Atividades p. 49
1. a) Sim, 25 é quadrado perfeito.
b) Não, 29 não é um quadrado perfeito.
2. a) É quadrado perfeito.
b) Não é quadrado perfeito.
c) É quadrado perfeito.
d) É quadrado perfeito.
e) Não é quadrado perfeito.
f) É quadrado perfeito.
g) Não é quadrado perfeito.
h) É quadrado perfeito.
3. Qualquer algarismo que represente um número
ímpar.
4. 7 números: 121; 144; 169; 196; 225; 256 e
289.
5. Alternativa b.
6. O valor de B é 625.
Atividades p. 51
1. a) 22
b) 25
c) 27
d) 34
e) 36
f) 43
g) 55
h) 64
2. a) 1,6
b) 1,9
c) 2,3
d) 2,8
e) 3,2
f) 3,5
g) 6,1
h) 7,2
3. 42 m
Atividades p. 53
1. a) 13 b) 14 c) 19 d) 22
2. a) 1,7
b) 2,6
c) 3,6
d) 4,3
e) 7,1
f) 8,1
3. a) 1,4
b) 1,7
c) 2,4
d) 3,1
e) 4,4
f) 7,4
g) 12,2
h) 21,2
4. 2,2
Tratamento da informação p. 54
1. a) 90 alunos.
b) De 1,50 m até 1,98 m.
c) 11 alunos.
d) 1,74 ¿ 1,82. Significa que a resposta mais
obtida entre os alunos pesquisados foi a de
que eles têm altura maior que ou igual a
1,74 m e menor que 1,82 m.
e) 75 alunos.
f) 45 alunos.
g) 5,56% aproximadamente.
2. a)
Notas dos alunos do 8
o
ano na
prova final de Matemática
Nota obtida na
prova final de
Matemática
Número de
alunos
0 ¿ 2 2
2 ¿ 4 6
4 ¿ 6 7
6 ¿ 8 11
8 ¿ 10 9
Total 35
Fonte: Professora do 8
o
ano.
b) 9 alunos. d) 57% aproximadamente.
c) 15 alunos.
3. a)
b) 21 jogadores.
c) De 79 kg a 86 kg.
d) 7 jogadores.
e) 72 kg; 107 kg
Tecnologia p. 56
1. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
d) Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. a) Calcular a raiz quadrada de um número é o
mesmo que elevar esse número ao expoente
1
2
.
b) Usar a tecla ^ e elevar o número 258 ao
expoente
1
2
.
c) Resposta pessoal.
Atividades p. 58
1. Alternativa d.
2. Alternativa d.
3. Alternativa d.
Pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina
de Voleibol de 2018, em quilogramas (kg)
Pesos Número de atletas
70 ¿ 78 4
78 ¿ 86 8
86 ¿ 92 2
92 ¿ 100 4
100 ¿ 108 3
Total 21
Fonte: Confederação Brasileira de Voleibol. <http://2018.cbv.
com.br/ligadasnacoes/selecao_brasileira_masculina>.
Acesso em: 28 ago. 2018.
Atividades p. 60
1. a) 0; 1
b) _4; 0; 1
c) _4
d) _2,3; _
1
4
; 0,6
2. a) 6
b) 6 e _6
c) 6; _6; 6,6
d) 6
3.
22
9
4. a) [
b) [
c) {
d) [
e) [
f) {
g) [
5. Alternativa a.
6.
_5 _0,4
9
7
2
_
5
4
7. Resposta pessoal.
Retomando p. 61
1. Alternativa a.
2. Alternativa e.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa e.
6. Alternativa c.
7. Alternativa c.
8. Alternativa c.
9. Alternativa b.
10. Alternativa b.
11. Alternativa d.
12. Alternativa d.
13. Alternativa d.
14. Alternativa e.
15. a) Finita.
b) Infinita e
periódica.
c) Infinita e não
periódica.
16. a) Sim.
49
7
b) _97;
49
7
c) _3
d) _3
e) 1,25;
49
7
; _97;
3
5
17. Alternativa d.
18. Alternativa d.
19. Alternativa b.
20. Alternativa d.
21. Alternativa b.
UNIDADE 3
Ângulos e triângulos
Atividades p. 69
1. x = 130° e y = 80°.
2. a) 24° b) 16° c) 68° d) 43°
3. a) 102°
b) 113°
c) 45°
d) 41°
4. 80°
5. 45°
6. 72°
7. 72°
8. 60°
9. x = 80° e y = 100°.
10. x = 140°, y = 40° e z = 140°.
11. x = 130° e y = 20°.
12. 45°, 45°, 135° e 135°.
Pense e responda p. 71
1. Resposta pessoal.
2. Pela montagem é possível verificar que, juntos,
os três ângulos internos do triângulo formam
um ângulo raso ou de meia-volta. Então:
a + b + c = 180°.
Atividades p. 73
1. a) BC b) PN
2. a) b + c + d = 180°
b) a + b = 180°
c) c + d = a ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 280 11/17/18 13:29
281
3. 27°
4. 86°
5. 58°
6. 50°
7. 53°
8. 68°, 48° e 64°.
9. x + y + a + b = 180°
Para quem quer mais p. 78
1. Sim.
2. Sim. Os dois segmentos traçados possuem
sempre o mesmo comprimento.
Atividades p. 79
1. x = 20° e y = 50°.
2. 50°
3. a = 30°, b = 30° e c = 60°.
4. x = 80° e y = 130°.
5. a = 115°, b = 80° e c = 65°.
6. 20°
7. a) 1,5 cm
b) 2,6 cm; todos possuem a mesma medida de
altura.
c) *AFB; *ACB e *AIB.
8. a = 90°, b = 50° e c = 95°.
Atividades p. 85
1. Caso LAL. x = 60° e y = 30°.
2. x = 4 cm e y = 5 cm.
3. Demonstração.
4. Demonstração.
5. São congruentes pelo caso LAA
O
.
6. Alternativa c.
7. Demonstração.
8. Demonstração.
Atividades p. 88
1. 37° cada um.
2. x = 67° e y = 46°.
3. 22°30’
4. 50°
5. 17°
6. 36°
7. a = 20°, b = 40° e c = 50°.
8. 165°
Retomando o que aprendeu p. 92
1. Alternativa b.
2. Alternativa a.
3. Alternativa e.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. a) 60° cada um.
b) Equilátero.
7. Alternativa d.
8. Alternativa b.
9. Alternativa a.
10. Alternativa c.
Atualidade em foco p. 94
• Resposta pessoal.
UNIDADE 4
Expressões e cálculo algébrico
Pense e responda p. 98
1. a) 3²
b) a · 5
c) 2x · y
I) Expressão a.
II) Expressão b.
III) Expressão c.
2. Resposta pessoal.
Atividades p. 99
1. a) x²
b) y³
c) a
d) b
5
e) b + c
f) ax
g) 2y
h)
1
6
m
i)
z
w
j)
1
2
x
k) x _ y
l) 5z
2. a) 2x + 2y
b) (x + y)(x _ y)
c) x
2
+ y
2
d) x
2
_ y
2
e) (x + y)
2
f) +x
1
5
y
Atividades p. 102
1. 5x + 8y
2. a) h + m; h _ m;
h
m
b) Sim;
h
m
.
3. 12xy
4. 5x + 3y
5. x
2
+ ay
6. x _ 2y
7. x
2
+ 3x
8. 7x + 10y
9. a) 7x + 20
b) 12y + 10
Educação financeira p. 103
1. Entre 7 e 8 meses.
2. Aproximadamente R$ 60 896,33.
Atividades p. 106
1. _1,75
2. 37
3. 201000 pessoas.
4. 9,6
5. 2,3
6. a) 14 b) 504
7. a) 4
b)
25
16
c) 4
d) zero.
e) _
8
9
f) _0,25
g) _
65
63
h)
1
2
8. 122 500
9. a) x = 4
b) a =
1
3
c) x = _
2
5
d) b = 1
10. a) x = _y
b) x = 2y
c) x = _
y
2
11. _20
Pense e responda p. 107
1. a) xy
b) 2x + 2y
c) Resposta pessoal.
2. a) 2x b) x² + x
Atividades p. 109
1. 9x
2. 9,20x
3. 20x
4. 22,50y
5. 7ab
6. a) 8x
b) 8y
7. a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
e) Não.
f) Sim.
g) Não.
h) Sim.
i) Não.
j) Não.
8. a) 7; b
3
b) _1; x
2
y
c) 0,9; c
4
d) 1; a
5
x
3
e) _6,2; a
4
b
2
c
f)
4
5
; não tem.
9. 8a³
10. 125x, 625x, 3 125x
Atividades p. 112
1. 9x
3
y; _
2
3
m
2
n
2
2. 9
o
grau.
3. x = 3
4. a) _2x
5
b) _2x
5
; 10x
4
; 7x
3
; 8x
2
; _2,5x; 20
5. 7
6. a) 0,7ax
2
b) 20a
2
x
2
c) 5a
2
x; _0,5a
2
x
d) 10ax; _
1
2
ax
7. a) 3x2
b) _2xy
c) 1,2ab
d) _1,3x
2
y
e) 2bc
f) _0,5ab
3
g) _
1
18
x
2
y
2
8. _9x
3
y
3
9. a) 7x
2
b) _2x
2
c) 3x
2
d) 2x
2
10. a) 10x
b) _y
2
c) 13ab
d) _12xy
11. a) _13bc b) 18bc
12. _3,3a²x²
13. a) 0,4ay b) _0,504
Pense e responda p. 113
1. a) 3a³ b) 7a³ c) 14a³ d) 14a³
Atividades p. 114
1. a) a
10
b) _0,45x
3
y
3
c) 3,12a
2
b
2
c
d) a
5
bc
3
e) _0,02y
7

2. a) 20a
6
b
3
c
5
b) 1,35y
7
c) 0,1x
5
y
3
d) 40m
3
n
3
p
2
3. a)
1
2
x
2
ou 0,5x
2
b) 6x
2
c) 6x
2
d) 12x
2
4. A = x
11
y
6
Atividades p. 116
1. a) _4b
b) _4x
3
c) +4
d) _5a
2
c
2. a)
1
2
a
3
x b) _4an
3. _2ax
2
4. M = +2x
2
y
5. +5a
3
b
6. Não, pois a resposta correta é 5x
2
.
7. _5y
8. 2c
2
Por toda parte p. 117
a) China.
b) 0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x
(China e Brasil).
c) 0,08y; 0,26y
d) Resposta pessoal.
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 281 11/17/18 13:29280
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 280 19/11/18 10:38

326. 280
11. a) a = 32; b = 64; a , b
b) a = 225; b = 225; a = b
12. 3
Pense e responda p. 43
1. a) 2
2
x 2
3
= 2
5
; 3
4
x 3
2
= 3
6
b) 2
5
: 2
3
= 2
2
; 3
5
: 3
2
= 3
3
c) 64; 64; 81
d) =; =; =
Por toda parte p. 46
7x 10
8
bytes; 1,23 x 10
8
bytes;
7 x 10
5
quilobytes; 1,23 x 10
5
quilobytes;
5,6 x 10
9
bits; 9,84 x 10
8
bits.
Atividades p. 47
1. a) 9
8
b) 20
6
c) 10
2
d) 8
30
e) (0,7)
3
f) (2,5)
20
g) (1,9)²
h)
1
2
11
⎛
⎝
⎞
⎠
i)
2
5
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2. a) 2
20
b) 2
2
c) 2
18
d) 2
6
e) 2
26
f) 2
21
g) 2
25
h) 2
8
i) 2
20
3. x
5
= y
2
4. a) (0,6)
4
x (1,1)
4
b) 3
4
x 10
2
c) (1,6)
6
x (2,4)
4
d) x
1
2
1
3
5 5
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
5. 10
6. 243
7. a) 252 b) 756 c) 3
8. a) 4 b) 0,064
9. 4
10. a) 400 b) 8 000
11. Giga = 10
9
; mega = 10
6
; miria =10
4
;
quilo = 10
3
; hecto = 10
2
; deca = 10
1
.
12. a) 1,35 x 10
6
b) 6,89 x 10
5
c) 5,43 x 10
8
d) 8,276 x 10
7
13. a) 6 300 000 000
b) 92 300
c) 460 800
d) 16 000 000
Atividades p. 49
1. a) Sim, 25 é quadrado perfeito.
b) Não, 29 não é um quadrado perfeito.
2. a) É quadrado perfeito.
b) Não é quadrado perfeito.
c) É quadrado perfeito.
d) É quadrado perfeito.
e) Não é quadrado perfeito.
f) É quadrado perfeito.
g) Não é quadrado perfeito.
h) É quadrado perfeito.
3. Qualquer algarismo que represente um número
ímpar.
4. 7 números: 121; 144; 169; 196; 225; 256 e
289.
5. Alternativa b.
6. O valor de B é 625.
Atividades p. 51
1. a) 22
b) 25
c) 27
d) 34
e) 36
f) 43
g) 55
h) 64
2. a) 1,6
b) 1,9
c) 2,3
d) 2,8
e) 3,2
f) 3,5
g) 6,1
h) 7,2
3. 42 m
Atividades p. 53
1. a) 13 b) 14 c) 19 d) 22
2. a) 1,7
b) 2,6
c) 3,6
d) 4,3
e) 7,1
f) 8,1
3. a) 1,4
b) 1,7
c) 2,4
d) 3,1
e) 4,4
f) 7,4
g) 12,2
h) 21,2
4. 2,2
Tratamento da informação p. 54
1. a) 90 alunos.
b) De 1,50 m até 1,98 m.
c) 11 alunos.
d) 1,74 ¿ 1,82. Significa que a resposta mais
obtida entre os alunos pesquisados foi a de
que eles têm altura maior que ou igual a
1,74 m e menor que 1,82 m.
e) 75 alunos.
f) 45 alunos.
g) 5,56% aproximadamente.
2. a)
Notas dos alunos do 8
o
ano na
prova final de Matemática
Nota obtida na
prova final de
Matemática
Número de
alunos
0 ¿ 2 2
2 ¿ 4 6
4 ¿ 6 7
6 ¿ 8 11
8 ¿ 10 9
Total 35
Fonte: Professora do 8
o
ano.
b) 9 alunos. d) 57% aproximadamente.
c) 15 alunos.
3. a)
b) 21 jogadores.
c) De 79 kg a 86 kg.
d) 7 jogadores.
e) 72 kg; 107 kg
Tecnologia p. 56
1. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
d) Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. a) Calcular a raiz quadrada de um número é o
mesmo que elevar esse número ao expoente
1
2
.
b) Usar a tecla ^ e elevar o número 258 ao
expoente
1
2
.
c) Resposta pessoal.
Atividades p. 58
1. Alternativa d.
2. Alternativa d.
3. Alternativa d.
Pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina
de Voleibol de 2018, em quilogramas (kg)
Pesos Número de atletas
70 ¿ 78 4
78 ¿ 86 8
86 ¿ 92 2
92 ¿ 100 4
100 ¿ 108 3
Total 21
Fonte: Confederação Brasileira de Voleibol. <http://2018.cbv.
com.br/ligadasnacoes/selecao_brasileira_masculina>.
Acesso em: 28 ago. 2018.
Atividades p. 60
1. a) 0; 1
b) _4; 0; 1
c) _4
d) _2,3; _
1
4
; 0,6
2. a) 6
b) 6 e _6
c) 6; _6; 6,6
d) 6
3.
22
9
4. a) [
b) [
c) {
d) [
e) [
f) {
g) [
5. Alternativa a.
6.
_5 _0,4
9
7
2
_
5
4
7. Resposta pessoal.
Retomando p. 61
1. Alternativa a.
2. Alternativa e.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa e.
6. Alternativa c.
7. Alternativa c.
8. Alternativa c.
9. Alternativa b.
10. Alternativa b.
11. Alternativa d.
12. Alternativa d.
13. Alternativa d.
14. Alternativa e.
15. a) Finita.
b) Infinita e
periódica.
c) Infinita e não
periódica.
16. a) Sim.
49
7
b) _97;
49
7
c) _3
d) _3
e) 1,25;
49
7
; _97;
3
5
17. Alternativa d.
18. Alternativa d.
19. Alternativa b.
20. Alternativa d.
21. Alternativa b.
UNIDADE 3
Ângulos e triângulos
Atividades p. 69
1. x = 130° e y = 80°.
2. a) 24° b) 16° c) 68° d) 43°
3. a) 102°
b) 113°
c) 45°
d) 41°
4. 80°
5. 45°
6. 72°
7. 72°
8. 60°
9. x = 80° e y = 100°.
10. x = 140°, y = 40° e z = 140°.
11. x = 130° e y = 20°.
12. 45°, 45°, 135° e 135°.
Pense e responda p. 71
1. Resposta pessoal.
2. Pela montagem é possível verificar que, juntos,
os três ângulos internos do triângulo formam
um ângulo raso ou de meia-volta. Então:
a + b + c = 180°.
Atividades p. 73
1. a) BC b) PN
2. a) b + c + d = 180°
b) a + b = 180°
c) c + d = a ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 280 11/17/18 13:29
281
3. 27°
4. 86°
5. 58°
6. 50°
7. 53°
8. 68°, 48° e 64°.
9. x + y + a + b = 180°
Para quem quer mais p. 78
1. Sim.
2. Sim. Os dois segmentos traçados possuem
sempre o mesmo comprimento.
Atividades p. 79
1. x = 20° e y = 50°.
2. 50°
3. a = 30°, b = 30° e c = 60°.
4. x = 80° e y = 130°.
5. a = 115°, b = 80° e c = 65°.
6. 20°
7. a) 1,5 cm
b) 2,6 cm; todos possuem a mesma medida de
altura.
c) *AFB; *ACB e *AIB.
8. a = 90°, b = 50° e c = 95°.
Atividades p. 85
1. Caso LAL. x = 60° e y = 30°.
2. x = 4 cm e y = 5 cm.
3. Demonstração.
4. Demonstração.
5. São congruentes pelo caso LAA
O
.
6. Alternativa c.
7. Demonstração.
8. Demonstração.
Atividades p. 88
1. 37° cada um.
2. x = 67° e y = 46°.
3. 22°30’
4. 50°
5. 17°
6. 36°
7. a = 20°, b = 40° e c = 50°.
8. 165°
Retomando o que aprendeu p. 92
1. Alternativa b.
2. Alternativa a.
3. Alternativa e.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. a) 60° cada um.
b) Equilátero.
7. Alternativa d.
8. Alternativa b.
9. Alternativa a.
10. Alternativa c.
Atualidade em foco p. 94
• Resposta pessoal.
UNIDADE 4
Expressões e cálculo algébrico
Pense e responda p. 98
1. a) 3²
b) a · 5
c) 2x · y
I) Expressão a.
II) Expressão b.
III) Expressão c.
2. Resposta pessoal.
Atividades p. 99
1. a) x²
b) y³
c) a
d) b
5
e) b + c
f) ax
g) 2y
h)
1
6
m
i)
z
w
j)
1
2
x
k) x _ y
l) 5z
2. a) 2x + 2y
b) (x + y)(x _ y)
c) x
2
+ y
2
d) x
2
_ y
2
e) (x + y)
2
f) +x
1
5
y
Atividades p. 102
1. 5x + 8y
2. a) h + m; h _ m;
h
m
b) Sim;
h
m
.
3. 12xy
4. 5x + 3y
5. x
2
+ ay
6. x _ 2y
7. x
2
+ 3x
8. 7x + 10y
9. a) 7x + 20
b) 12y + 10
Educação financeira p. 103
1. Entre 7 e 8 meses.
2. Aproximadamente R$ 60 896,33.
Atividades p. 106
1. _1,75
2. 37
3. 201000 pessoas.
4. 9,6
5. 2,3
6. a) 14 b) 504
7. a) 4
b)
25
16
c) 4
d) zero.
e) _
8
9
f) _0,25
g) _
65
63
h)
1
2
8. 122 500
9. a) x = 4
b) a =
1
3
c) x = _
2
5
d) b = 1
10. a) x = _y
b) x = 2y
c) x = _
y
2
11. _20
Pense e responda p. 107
1. a) xy
b) 2x + 2y
c) Resposta pessoal.
2. a) 2x b) x² + x
Atividades p. 109
1. 9x
2. 9,20x
3. 20x
4. 22,50y
5. 7ab
6. a) 8x
b) 8y
7. a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
e) Não.
f) Sim.
g) Não.
h) Sim.
i) Não.
j) Não.
8. a) 7; b
3
b) _1; x
2
y
c) 0,9; c
4
d) 1; a
5
x
3
e) _6,2; a
4
b
2
c
f)
4
5
; não tem.
9. 8a³
10. 125x, 625x, 3 125x
Atividades p. 112
1. 9x
3
y; _
2
3
m
2
n
2
2. 9
o
grau.
3. x = 3
4. a) _2x
5
b) _2x
5
; 10x
4
; 7x
3
; 8x
2
; _2,5x; 20
5. 7
6. a) 0,7ax
2
b) 20a
2
x
2
c) 5a
2
x; _0,5a
2
x
d) 10ax; _
1
2
ax
7. a) 3x2
b) _2xy
c) 1,2ab
d) _1,3x
2
y
e) 2bc
f) _0,5ab
3
g) _
1
18
x
2
y
2
8. _9x
3
y
3
9. a) 7x
2
b) _2x
2
c) 3x
2
d) 2x
2
10. a) 10x
b) _y
2
c) 13ab
d) _12xy
11. a) _13bc b) 18bc
12. _3,3a²x²
13. a) 0,4ay b) _0,504
Pense e responda p. 113
1. a) 3a³ b) 7a³ c) 14a³ d) 14a³
Atividades p. 114
1. a) a
10
b) _0,45x
3
y
3
c) 3,12a
2
b
2
c
d) a
5
bc
3
e) _0,02y
7

2. a) 20a
6
b
3
c
5
b) 1,35y
7
c) 0,1x
5
y
3
d) 40m
3
n
3
p
2
3. a)
1
2
x
2
ou 0,5x
2
b) 6x
2
c) 6x
2
d) 12x
2
4. A = x
11
y
6
Atividades p. 116
1. a) _4b
b) _4x
3
c) +4
d) _5a
2
c
2. a)
1
2
a
3
x b) _4an
3. _2ax
2
4. M = +2x
2
y
5. +5a
3
b
6. Não, pois a resposta correta é 5x
2
.
7. _5y
8. 2c
2
Por toda parte p. 117
a) China.
b) 0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x
(China e Brasil).
c) 0,08y; 0,26y
d) Resposta pessoal.
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 281 11/17/18 13:29281
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 281 19/11/18 10:38

327. 282
Atividades p. 119
1. 2x + 3y
2. d + 5r
3. x
2
_ y
2
4. a) x + y
b) 4x + 2y
5. a) 10x + y
b) 10y + x
6. a) 2a + b
b) 2a _ b
7. a
2
+ 2ab + b
2
8. 200 + 3x
Atividades p. 122
1. a) 3a
2
x _ 4a
2
x
2
_ 2ax
2
b) 5x + 3y + 4xy
2. a) 1,3a + 0,6ab
b) É um binômio.
3. a) 5ab + 3a _ 14b + 7
b) x
2
_ y
2
4. 5
o
grau.
5. x
5
_ 9x
4
_ 6x
3
_ 5x
2
+ x + 10; 5
o
grau.
6. c
5
+ 0c
4
+ 0c
3
+ 0c
2
+ 0c _ 1
7. 2x² + 3ax
8. a) O perímetro.
b) 6x
9. 6x; 6x + 6; 6x + 12
Atividades p. 124
1. 13x + 3,1a
2. _2
3. a) 0,6x _ 3
b) 0,4x + 1
c) x _ 2
d) 0,2x _ 4
4. a) _9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x
b) 0
c) 18a
2
x
2
_ 14ax _ 22a + 12x
5. a) 3a + b + c
b) a _ b + 3c
c) a + 3b _ c
d) _a + b + c
6. 4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
7. a) 3x
2
+ 3xy _ 2y
2
b) _x
2
_ 13xy + 4y
2
8. a) 6a _ 15b + 7c
b) 7y
2
_ 4ay + 5a
2
c) _2a
3
+ 5a
2
b _ ab
2
_ 5b
3
d) 2x
2
+ 2y
2
+ 4x
2
y
2
e) 0,2a
2
_ 0,6b
2
_ 0,8c
2
f) 4a
2
_ 4ab + 5b
2
+ 2c
2
g) 0,2x
3
+ 0,3x
2
+ 0,4x _ 6
h) 2a
2
b
2
+ 2ab
i) 3y
3
_ 6y
2
+ 3
Atividades p. 127
1. 2xy _ 1,2y
2
2. 12x
2
y _ 6xy
2
3. a) _2abx
b) 3ab _ 5b
2
4. xy + 4xz
5. a
3
+ b
3
6. a) 6x
2
_ xy _ y
2
b) 2 100
7. P = 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
8. _6
9. a) 2,1a
2
_ 16,05ax + 7,5x
2
b) 2a
4
_ 2a
3
_ a
2
+ 2a _ 1
c) a
3
+ x
3
10. a) x
2
_ 10xy + 25y
2
b) 0,36 + 2,4ax + 4a
2
x
2
c) b
3
+ 3b
2
y + 3by
2
+ y
3
11. 7x
3
+ 6x
2
+ 3x
12. a) a
3
b _ ab
3
b) _3a
2
+ 7ab _ 2b
2
13. Pela ponta da esquerda: B, C, D, A; pela ponta
da direita: A, D, C, B.
Atividades p. 129
1. a) _0,5a
3
+ 0,9a
4
b
2
b) _+
1
3
xy
5
4
c) abc + a
2
_ c
2. 3x
2
+ 7ax _ 12a
2
Tratamento da informação p. 130
1. 77,30 anos.
2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África
do Sul; maior esperança de vida: 83,98 anos,
no Japão; variação da esperança de vida: 21,21
anos.
3. 8,47 anos.
4. 2,0 anos.
5. Resposta pessoal.
6. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 132
1. a) _1
b) 7
c) _2,68
2. Alternativa a.
3. Alternativa e.
4. Alternativa d.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. Alternativa e.
8. Alternativa d.
9. Alternativa b.
10. Alternativa e.
11. Alternativa b.
12. Alternativa d.
13. Alternativa b.
14. Alternativa b.
15. Alternativa a.
UNIDADE 5
Equações
Pense e responda p. 136
1. 35 2. 32 3. 60
Atividades p. 139
1. a) 6
b) _5
c) 1
d) 7
e) _
5
2
f) _8
g) 10
h) _1
i) 7,5
j) _5
2. 2
3. a) 240
b) 3
c) _6
d) 40
e) _29
f) 16
4. O número 6.
5. 45
Atividades p. 141
1. 100 g
2. 1
a
fase: 6; 2
a
fase: 9.
3. Caio: R$ 58 000,00; Lucca: R$ 29 000,00;
Theo: R$ 78 000,00.
4. a) 500 reais.
b) 700 reais.
5. x = 80
6. a) Sim, pois gastaria R$ 300,00.
b) R$ 172,00 no mínimo.
7. 81 (primeiro valor) e 24 (último valor).
Atividades p. 144
1. a) 0
b) 0
c) 0
d) _3
e)
1
2
ou _1
f) 2
2. 3
3. _
4
5
4. _1
5. a)
4
3{}
b) @
c)
2
3{}
d) _
1
2
6. _
2
5
7. 14 grupos.
8. 500 camisetas.
9. 32 alunos no 8
o
ano A e 30 alunos no 8
o
ano B.
Por toda parte p. 145
1. 23; 23 bases.
2. y = 81; 81 km
Atividades p. 146
1. a) !
a
4b
,comb0{}
b) _
5b
a
,coma0!{}
c)
1
b
,comb0!{}
d) {1}
e) {2ac}
2.
1
h
,comh0!{}
3. 16b
Educação Financeira p. 147
1. Aproximadamente 19%
Pense e responda p. 148
1. a) 2x + 16 = 4y
b) Sim, pois 2 · (6) + 16 = 4 · (7), ou seja,
12 + 16 = 28.
2. a) 4x + 2y = 60
b) Sim, pois 4 _ (12) + 2 _ (6) = 60, ou seja,
48 + 12 = 60.
Atividades p. 149
1. a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
e) Não.
f) Não.
2. a) x = 2
b) =_x
9
2
c) x
11
16
"
d) x = _1
3. a) (_0,5; 0,8) b) (0,5; 1,2)
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 282 11/17/18 13:29
283
4. a) (4, 3) b) (_6, _15)
5. a) (8, 6) b) (12, 30)
6. É verdadeira.
7. O par ordenado é (4, 3).
Atividades p. 150
1. a)
x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0 2 (0, 2)
1 4 (1, 4)
2 6 (2, 6)
b) x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0
1
3
0,
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
3
1,
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 1 (2, 1)
2. a)
b)
c)
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
12345 x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
Atividades p. 152
1. a)
xy 60
x2y
!"
"
⎧
⎨
⎩

b)
xy 9
xy 3
!"
#"
⎧
⎨
⎩
c)
xy 3,5
x3y0,5
!"
"#
⎧
⎨
⎩
d)
+
xy 10
20x10y130
!"
"
⎧
⎨
⎩
e)
xy 100
x2y4
!"
"!
⎧
⎨
⎩
f)
xy 24
3x2y56
!"
!"
⎧
⎨
⎩
g)
2x2y22
xy 5
!"
"!
⎧
⎨
⎩
2.
xy 23
2x4y82
!"
!"
⎧
⎨
⎩
Atividades p. 154
1. Sim.
2. Sim, é solução.
3. (2, 1)
4. Não é solução.
5. (4, 2)
6. a) Alternativa b.
b) A incógnita x representa a quantia
economizada por Bento; a incógnita y, a
quantia economizada por Antônio.
c) Alternativa a.
d) x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e
y = 90 reais (quantia economizada por Antônio).
Atividades p. 157
1. a) (15, 7)
b) (10, 6)
c) (_1, _2)
d) (4, _4)
e) (1,2; 0,6)
f) (20, 12)
g) (1, 0)
h) (6, 3)
i) (4, 2)
2.
21
12
Atividades p. 160
1. a) (25, 17)
b) (4, _1)
c) (6, 5)
d) (2, _1)
e) (_2,5; 1,5)
f) (9, 6)
g)
2
7
,
2
7
⎛
⎝
⎞
⎠

h) (2, 3)
2. a) 1 b)
3
2
c) 5
3.
3
4
4. 109 e 66.
5. 128 e 42.
6. 12 anos.
7. 21 galinhas e 10 ovelhas.
8. a)
= 8
= 2
= 6= 12
= 14
b) Carlos tem 72 kg, Andrea tem 51 kg e
Balu tem 15 kg.
Atividades p. 162
1. a) {_1, 1}
b) {_4, 4}
c) {_8, 8}
d) @
e) _
5
3
,
5
3{}

f) _25,25{}
2. a) {_9, 9}
b) {_6, 6}
3. a)
1
3
,
1
3
#{}
b) _6,6{}
Retomando o que aprendeu p. 163
1. Alternativa b.
2. Alternativa a.
3. Alternativa a.
4. Alternativa d.
5. Alternativa d.
6. Alternativa c.
7. Alternativa b.
8. Alternativa c.
9. Alternativa d.
10. Alternativa b.
11. Alternativa e.
12. Alternativa b.
13. Alternativa a.
14. Alternativa d.
15. Alternativa e.
16. 3 horas.
17. 13 000 pessoas.
18. 10 partidas.
19. 12 caixas para 50 livros e 15 caixas para 70 livros.
20. 7 medalhas de ouro.
21. 42 arremessos.
22. 58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real.
23. _10 ou 10
24. 800
UNIDADE 6
Polígonos e transformações
no plano
Atividades p. 170
1. a) 3 tipos.
b) Triângulos, quadriláteros e octógonos.
Atividades p. 172
1. a) Triângulo. b) Quadrilátero.
2. a) 5 diagonais.
b) 20 diagonais.
c) 44 diagonais.
d) 104 diagonais.
e) 135 diagonais
3. Alternativa c.
4. 12 lados; 54
diagonais.
5. Alternativa b.
6. Undecágono.
7. Alternativa c.
8. Alternativa c.
Atividades p. 176
1. 10 lados; decágono.
2.
3. Undecágono.
4. Hexágono.
5.
!!
medEAB54emedABC81""() ()°° 81°
6.
Soma das medidas dos
ângulos internos
1 440°1 800°2 160°2 340°
Número de lados do
polígono
10121415
Atividades p. 178
1. a) 1 440° b) 144°
2. 141°
3. 72°
4. 36°
5. Decágono regular.
6. 9 lados.
7. 165°
8. 105°
9. a) Decágono regular. c) 1 650 passos.
b) 1,2 km
Pense e responda p. 180
1. Três lados congruentes entre si.
2. Sim, três ângulos congruentes entre si.
Pentágono Eneágono Icoságono
Soma das
medidas dos
ângulos internos
540° 1 260° 3 240°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 283 11/17/18 13:49282
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 282 19/11/18 10:38

328. 282
Atividades p. 119
1. 2x + 3y
2. d + 5r
3. x
2
_ y
2
4. a) x + y
b) 4x + 2y
5. a) 10x + y
b) 10y + x
6. a) 2a + b
b) 2a _ b
7. a
2
+ 2ab + b
2
8. 200 + 3x
Atividades p. 122
1. a) 3a
2
x _ 4a
2
x
2
_ 2ax
2
b) 5x + 3y + 4xy
2. a) 1,3a + 0,6ab
b) É um binômio.
3. a) 5ab + 3a _ 14b + 7
b) x
2
_ y
2
4. 5
o
grau.
5. x
5
_ 9x
4
_ 6x
3
_ 5x
2
+ x + 10; 5
o
grau.
6. c
5
+ 0c
4
+ 0c
3
+ 0c
2
+ 0c _ 1
7. 2x² + 3ax
8. a) O perímetro.
b) 6x
9. 6x; 6x + 6; 6x + 12
Atividades p. 124
1. 13x + 3,1a
2. _2
3. a) 0,6x _ 3
b) 0,4x + 1
c) x _ 2
d) 0,2x _ 4
4. a) _9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x
b) 0
c) 18a
2
x
2
_ 14ax _ 22a + 12x
5. a) 3a + b + c
b) a _ b + 3c
c) a + 3b _ c
d) _a + b + c
6. 4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
7. a) 3x
2
+ 3xy _ 2y
2
b) _x
2
_ 13xy + 4y
2
8. a) 6a _ 15b + 7c
b) 7y
2
_ 4ay + 5a
2
c) _2a
3
+ 5a
2
b _ ab
2
_ 5b
3
d) 2x
2
+ 2y
2
+ 4x
2
y
2
e) 0,2a
2
_ 0,6b
2
_ 0,8c
2
f) 4a
2
_ 4ab + 5b
2
+ 2c
2
g) 0,2x
3
+ 0,3x
2
+ 0,4x _ 6
h) 2a
2
b
2
+ 2ab
i) 3y
3
_ 6y
2
+ 3
Atividades p. 127
1. 2xy _ 1,2y
2
2. 12x
2
y _ 6xy
2
3. a) _2abx
b) 3ab _ 5b
2
4. xy + 4xz
5. a
3
+ b
3
6. a) 6x
2
_ xy _ y
2
b) 2 100
7. P = 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
8. _6
9. a) 2,1a
2
_ 16,05ax + 7,5x
2
b) 2a
4
_ 2a
3
_ a
2
+ 2a _ 1
c) a
3
+ x
3
10. a) x
2
_ 10xy + 25y
2
b) 0,36 + 2,4ax + 4a
2
x
2
c) b
3
+ 3b
2
y + 3by
2
+ y
3
11. 7x
3
+ 6x
2
+ 3x
12. a) a
3
b _ ab
3
b) _3a
2
+ 7ab _ 2b
2
13. Pela ponta da esquerda: B, C, D, A; pela ponta
da direita: A, D, C, B.
Atividades p. 129
1. a) _0,5a
3
+ 0,9a
4
b
2
b) _+
1
3
xy
5
4
c) abc + a
2
_ c
2. 3x
2
+ 7ax _ 12a
2
Tratamento da informação p. 130
1. 77,30 anos.
2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África
do Sul; maior esperança de vida: 83,98 anos,
no Japão; variação da esperança de vida: 21,21
anos.
3. 8,47 anos.
4. 2,0 anos.
5. Resposta pessoal.
6. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 132
1. a) _1
b) 7
c) _2,68
2. Alternativa a.
3. Alternativa e.
4. Alternativa d.
5. Alternativa c.
6. Alternativa c.
7. Alternativa e.
8. Alternativa d.
9. Alternativa b.
10. Alternativa e.
11. Alternativa b.
12. Alternativa d.
13. Alternativa b.
14. Alternativa b.
15. Alternativa a.
UNIDADE 5
Equações
Pense e responda p. 136
1. 35 2. 32 3. 60
Atividades p. 139
1. a) 6
b) _5
c) 1
d) 7
e) _
5
2
f) _8
g) 10
h) _1
i) 7,5
j) _5
2. 2
3. a) 240
b) 3
c) _6
d) 40
e) _29
f) 16
4. O número 6.
5. 45
Atividades p. 141
1. 100 g
2. 1
a
fase: 6; 2
a
fase: 9.
3. Caio: R$ 58 000,00; Lucca: R$ 29 000,00;
Theo: R$ 78 000,00.
4. a) 500 reais.
b) 700 reais.
5. x = 80
6. a) Sim, pois gastaria R$ 300,00.
b) R$ 172,00 no mínimo.
7. 81 (primeiro valor) e 24 (último valor).
Atividades p. 144
1. a) 0
b) 0
c) 0
d) _3
e)
1
2
ou _1
f) 2
2. 3
3. _
4
5
4. _1
5. a)
4
3{}
b) @
c)
2
3{}
d) _
1
2
6. _
2
5
7. 14 grupos.
8. 500 camisetas.
9. 32 alunos no 8
o
ano A e 30 alunos no 8
o
ano B.
Por toda parte p. 145
1. 23; 23 bases.
2. y = 81; 81 km
Atividades p. 146
1. a) !
a
4b
,comb0{}
b) _
5b
a
,coma0!{}
c)
1
b
,comb0!{}
d) {1}
e) {2ac}
2.
1
h
,comh0!{}
3. 16b
Educação Financeira p. 147
1. Aproximadamente 19%
Pense e responda p. 148
1. a) 2x + 16 = 4y
b) Sim, pois 2 · (6) + 16 = 4 · (7), ou seja,
12 + 16 = 28.
2. a) 4x + 2y = 60
b) Sim, pois 4 _ (12) + 2 _ (6) = 60, ou seja,
48 + 12 = 60.
Atividades p. 149
1. a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
e) Não.
f) Não.
2. a) x = 2
b) =_x
9
2
c) x
11
16
"
d) x = _1
3. a) (_0,5; 0,8) b) (0,5; 1,2)
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-282-LA-G20.indd 282 11/17/18 13:29
283
4. a) (4, 3) b) (_6, _15)
5. a) (8, 6) b) (12, 30)
6. É verdadeira.
7. O par ordenado é (4, 3).
Atividades p. 150
1. a)
x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0 2 (0, 2)
1 4 (1, 4)
2 6 (2, 6)
b) x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0
1
3
0,
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
3
1,
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 1 (2, 1)
2. a)
b)
c)
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
12345 x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
Atividades p. 152
1. a)
xy 60
x2y
!"
"
⎧
⎨
⎩

b)
xy 9
xy 3
!"
#"
⎧
⎨
⎩
c)
xy 3,5
x3y0,5
!"
"#
⎧
⎨
⎩
d)
+
xy 10
20x10y130
!"
"
⎧
⎨
⎩
e)
xy 100
x2y4
!"
"!
⎧
⎨
⎩
f)
xy 24
3x2y56
!"
!"
⎧
⎨
⎩
g)
2x2y22
xy 5
!"
"!
⎧
⎨
⎩
2.
xy 23
2x4y82
!"
!"
⎧
⎨
⎩
Atividades p. 154
1. Sim.
2. Sim, é solução.
3. (2, 1)
4. Não é solução.
5. (4, 2)
6. a) Alternativa b.
b) A incógnita x representa a quantia
economizada por Bento; a incógnita y, a
quantia economizada por Antônio.
c) Alternativa a.
d) x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e
y = 90 reais (quantia economizada por Antônio).
Atividades p. 157
1. a) (15, 7)
b) (10, 6)
c) (_1, _2)
d) (4, _4)
e) (1,2; 0,6)
f) (20, 12)
g) (1, 0)
h) (6, 3)
i) (4, 2)
2.
21
12
Atividades p. 160
1. a) (25, 17)
b) (4, _1)
c) (6, 5)
d) (2, _1)
e) (_2,5; 1,5)
f) (9, 6)
g)
2
7
,
2
7
⎛
⎝
⎞
⎠

h) (2, 3)
2. a) 1 b)
3
2
c) 5
3.
3
4
4. 109 e 66.
5. 128 e 42.
6. 12 anos.
7. 21 galinhas e 10 ovelhas.
8. a)
= 8
= 2
= 6= 12
= 14
b) Carlos tem 72 kg, Andrea tem 51 kg e
Balu tem 15 kg.
Atividades p. 162
1. a) {_1, 1}
b) {_4, 4}
c) {_8, 8}
d) @
e) _
5
3
,
5
3{}

f) _25,25{}
2. a) {_9, 9}
b) {_6, 6}
3. a)
1
3
,
1
3
#{}
b) _6,6{}
Retomando o que aprendeu p. 163
1. Alternativa b.
2. Alternativa a.
3. Alternativa a.
4. Alternativa d.
5. Alternativa d.
6. Alternativa c.
7. Alternativa b.
8. Alternativa c.
9. Alternativa d.
10. Alternativa b.
11. Alternativa e.
12. Alternativa b.
13. Alternativa a.
14. Alternativa d.
15. Alternativa e.
16. 3 horas.
17. 13 000 pessoas.
18. 10 partidas.
19. 12 caixas para 50 livros e 15 caixas para 70 livros.
20. 7 medalhas de ouro.
21. 42 arremessos.
22. 58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real.
23. _10 ou 10
24. 800
UNIDADE 6
Polígonos e transformações
no plano
Atividades p. 170
1. a) 3 tipos.
b) Triângulos, quadriláteros e octógonos.
Atividades p. 172
1. a) Triângulo. b) Quadrilátero.
2. a) 5 diagonais.
b) 20 diagonais.
c) 44 diagonais.
d) 104 diagonais.
e) 135 diagonais
3. Alternativa c.
4. 12 lados; 54
diagonais.
5. Alternativa b.
6. Undecágono.
7. Alternativa c.
8. Alternativa c.
Atividades p. 176
1. 10 lados; decágono.
2.
3. Undecágono.
4. Hexágono.
5.
!!
medEAB54emedABC81""() ()°° 81°
6.
Soma das medidas dos
ângulos internos
1 440°1 800°2 160°2 340°
Número de lados do
polígono
10121415
Atividades p. 178
1. a) 1 440° b) 144°
2. 141°
3. 72°
4. 36°
5. Decágono regular.
6. 9 lados.
7. 165°
8. 105°
9. a) Decágono regular. c) 1 650 passos.
b) 1,2 km
Pense e responda p. 180
1. Três lados congruentes entre si.
2. Sim, três ângulos congruentes entre si.
Pentágono Eneágono Icoságono
Soma das
medidas dos
ângulos internos
540° 1 260° 3 240°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 283 19/11/18 10:38

329. 284
Pense e responda p. 181
1. 6 triângulos equiláteros.
Atividades p. 181
1. F
G
C
B
H I
A
2. Resposta pessoal.
Atividades p. 185
1. 45°, 45°, 135° e 135°.
2. x = 47°
3. a) 10x + 6y b) 6x
2
+ 7xy + 2y
2
4. a) 20x _ 4y b) 25x
2
_ 10xy + y
2
5. a) x = 16 e y = 12.b) 48, 64 e 72.
6. x = 90° e y = 45°.
7. 33° e 57°.
8. 95°, 95°, 85° e 85°.
9. x = 60° e y = 120°.
10. Demonstração.
Atividades p. 187
1. 82°
2. 74°, 106° e 106°.
3. x = 62°
4. x = 80° e y = 50°.
5. 100°, 100°, 80° e 80°.
6. x = 106°
7. 20,5 cm
8. x = 32 cm e y = 18 cm.
Tratamento da informação p. 188
1. Região Sudeste. 42,1%.
2. Região Centro-Oeste. 7,4%.
3. Não, porque não temos a informação da
população total.
4.
Preferência esportiva dos alunos na escola X
EsportePercentual (%) Número de alunos
Basquete 30% 108
Futebol 35% 126
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
Total 100% 360
a) Futebol.
b) 108
c) Resposta pessoal.
Pense e responda p. 191
O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro
de rotação.
Pense e responda p. 192
Sim, um exemplo são duas reflexões seguidas.
r
s
Figura inicial
Figura final
Atividades p. 193
1.
A
E
E‘
A‘B‘
D‘
C‘
D
C
B
r
2.

C‘
A‘
1
2
3
4
5
1 _8 2 _7 3 _6 4 _5 5 _4 6 _3 7 _2 8 _1
6
0
0
A B
C
B‘

a) A‘(2,2); 3‘(7,2); C‘(5,5)
b) Os valores das ordenadas permaneceram iguais
e das abscissas são os opostos da figura inicial.
3.
C‘
D‘E‘
A
A‘B‘
B
D
E
C
4. a)
u
b)
u
5.
A
B
O
B‘
F‘
F
A‘
6. Translação.
7. Resposta pessoal.
Tecnologias p. 194
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 196
1. Alternativa c.
2. Alternativa b.
3. Alternativa a.
4. Alternativa b.
5. Alternativa a.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
10. a) x = 22°30’
b) =_x
4
5

11. Alternativa c.
12. Alternativa d.
Atualidades em foco p. 198
1. Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00,
pagarei R$ 10,69. Como o video game equivale
a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você
pagará 14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza
R$ 146,90.
3. Resposta pessoal.
UNIDADE 7
Contagem, probabilidade
e estatística
Pense e responda p. 202
De 12 maneiras distintas.
Atividades p. 204
1. a) 6 maneiras diferentes.
b) 3 maneiras diferentes.
2. 48 maneiras.
3. 4 536 números.
4. 8 556 maneiras
5. 52 488 maneiras
6. 456 976 000
7. 72 números.
8. Alternativa e.
9. 512
10. Alternativa d.
Atividades p. 208
1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara);
(coroa, coroa)}
b) S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2);
(3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4);
(4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M); (M, F, F);
(F, F, F); (F, F, M); (F, M, F); (F, M, M)}
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 284 11/17/18 15:05
285
2. a) E = {(cara, cara); (coroa, coroa)}
b) S = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}
c) S = {(M, M, F); (M, F, M); (F, M, M)}
3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
b) A = {9, 18}
c) B = {24, 25}
4. PA
4
9
!() ; ()PV
3
9
1
3
!!
5. a) PA
1
52
!()
b) PB
4
52
1
13
!!()
c) PC
12
52
3
13
!!()
6. ()PE
41
81
!
7. a) PE
16
100
4
25
!!() b) =PE
6
100
3
50
!()
8. PE
2
3
!()
9. a) 10 duplas. b) PE
3
10
!()
10. a) PE
3
5
!() b) =PE
2
5
()
11. Alternativa b.
Pense e responda p. 210
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 212
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 214
Tabela 1: Qualitativa nominal; tabela 2: qualitativa
ordinal; tabela 3: quantitativa discreta; tabela 4:
quantitativa contínua.
Pense e responda p. 215
As variáveis qualitativas e quantitativa discretas
são representadas em gráficos de barras ou colunas
separadas. A variável quantitativa contínua é
representada em colunas agrupadas.
Atividades p. 216
1. Resposta pessoal.
2. a) 250 funcionários da empresa.
b) 50 funcionários da empresa.
c) Massa, em quilogramas. Variável quantitativa
contínua.
3. Resposta pessoal.
4.
Quantidade de copos
de água (por dia)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
3 23 23%
6 56 56%
9 14 14%
12 7 7%
Total 100 100%
Ingestão de água por jovens universitários
Dados fictícios.
a) 79 jovens.
b) 21%
5. a) 11 funcionários.
b) 3 funcionários.
6. a)
Quantidade de irmãos
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
0 8 27%
1 7 23%
2 8 27%
3 4 13%
4 3 10%
Número de irmãos dos alunos do 8
o
ano
Dados obtidos na escola.
b) 15 alunos.
7. a)
Gastos
(em reais)
Frequência
Absoluta
Frequência
relativa
5 ¿ 10 7 12,3%
10 ¿ 15 14 24,6%
15 ¿ 20 10 17,5%
20 ¿ 25 12 21,1%
25 ¿ 30 5 8,8
30 ¿ 35 9 15,7%
Total 57 100%
Gastos dos clientes da padaria
Dados fictícios.
b) 57 clientes. c) 31 clientes.
8. a) 2 b) 16%
c)
Números de
aparelhos de TV
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
0 24 4%
1 120 20%
2 360 60%
3 84 14%
4 12 2%
Total 600 100%
Aparelhos de TV nas residências
Dados fictícios.
Atividades p. 223
1. a) Bruno teve média 6,9; Camila, 7,4; Marcela,
5,3 e Roberto, 6,0.
b) Bruno, Camila e Roberto foram aprovados.
2. a) A altura média é 1,71 m.
b) A mediana é 1,69 m. Metade dos jogadores
têm altura menor ou igual a 1,69 m e a outra
metade têm altura maior ou igual a 1,69 m.
c) A altura média será 1,72 m e a mediana, 1,72 m.
3. a) 13,3 anos.
b) 12 anos e 14 anos.
c) 13
d) 10
4. Alternativa a.
5. Alternativa d.
Pense e responda p. 225
Não, pois essa pesquisa trabalhou com uma variável
qualitativa.
Atividades p. 225
1. Pesquisa do aluno.
Tecnologias p. 226
1. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 228
1. Alternativa c. 2. Alternativa d.
3. a) 4 anos; 15 anos.
b) • 8,2 • 10 • 0,82
c) 8 anos; 11 anos.
4. Alternativa d.
5. Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57. Os dois alunos
estão aprovados.
UNIDADE 8
Área, volume e capacidade
Pense e responda p. 232
Ele vai precisar de 15 placas.
Pense e responda p. 233
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 235
O tanque triangular tem área de 5 m
2
, e o tanque
circular tem área aproximada de 3,14 m
2
. Assim,
o tanque triangular tem uma área maior para
as crianças brincarem. == =A
bh
2
25
2
5
t
⋅⋅

=1 1Ar 3,1413,14
c
2
π⋅
Atividades p. 236
1. a) 225 cm
2
b) 2 000 pisos.
2. 1 600 telhas.
3. Alternativa a.
4. Alternativa c.
5. 4 latas de tinta.
6. 226,08 cm
7. 125,6 cm
8. 314 m
9. a) 0,4 m
b) 0,5024 m²
Por toda parte p. 237
1. a) 1,9202 m²
b) 0,4948 m²
2. a) 240 000 km²
b) 20 000 km²
Atividades p. 241
1. a) Área total: 24 cm²; volume: 8 cm³.
b) Área total: 32 cm²; volume: 12 cm³.
2. 5 cm
3. 96 m²
4. 7,5 cm³
5. 3 cm
6. Não, pois o volume ficará multiplicado por 8.
7. a) Volume: 628 cm³. b) Volume: 28,26 cm³.
8. Alternativa c.
9. Alternativa c.
Tratamento da informação p. 244
1. Em 2012; 84%.
2. Em 2010. Pico migratório em 2010: crise
econômica internacional; mudanças na
macroestrutura conjuntural do país nas áreas
de infraestrutura, construção, tecnologia,
inovação e serviços é que tornaram atrativa
a vinda de imigrantes; crescimento das
indústrias de petróleo, gás, mineração e de
alta tecnologia, coincidentemente setores
que exigem uma qualificação profissional
de excelência e mão de obra especializada
existente no exterior. Pico migratório em
2014: cenário internacional e suas mudanças
políticas e econômicas nos últimos anos;
implantação de acordos de cooperação nas
matérias de imigração e trabalho; atratividade
econômica do país exclusivamente nas áreas
de indústria, finanças e ensino.
Retomando o que aprendeu p. 246
1. Alternativa c.
2. Alternativa a.
3. Alternativa d.
4. Alternativa c.
5. Alternativa b.
6. Alternativa c.
7. Alternativa b.
8. Alternativa b.
9. 16 000 recipientes.
10. 3 900 L
11. Alternativa e.
12. Alternativa e.
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 285 11/17/18 13:49284
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 284 19/11/18 10:38

330. 284
Pense e responda p. 181
1. 6 triângulos equiláteros.
Atividades p. 181
1. F
G
C
B
H I
A
2. Resposta pessoal.
Atividades p. 185
1. 45°, 45°, 135° e 135°.
2. x = 47°
3. a) 10x + 6y b) 6x
2
+ 7xy + 2y
2
4. a) 20x _ 4y b) 25x
2
_ 10xy + y
2
5. a) x = 16 e y = 12.b) 48, 64 e 72.
6. x = 90° e y = 45°.
7. 33° e 57°.
8. 95°, 95°, 85° e 85°.
9. x = 60° e y = 120°.
10. Demonstração.
Atividades p. 187
1. 82°
2. 74°, 106° e 106°.
3. x = 62°
4. x = 80° e y = 50°.
5. 100°, 100°, 80° e 80°.
6. x = 106°
7. 20,5 cm
8. x = 32 cm e y = 18 cm.
Tratamento da informação p. 188
1. Região Sudeste. 42,1%.
2. Região Centro-Oeste. 7,4%.
3. Não, porque não temos a informação da
população total.
4.
Preferência esportiva dos alunos na escola X
EsportePercentual (%) Número de alunos
Basquete 30% 108
Futebol 35% 126
Tênis 15% 54
Vôlei 20% 72
Total 100% 360
a) Futebol.
b) 108
c) Resposta pessoal.
Pense e responda p. 191
O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro
de rotação.
Pense e responda p. 192
Sim, um exemplo são duas reflexões seguidas.
r
s
Figura inicial
Figura final
Atividades p. 193
1.
A
E
E‘
A‘B‘
D‘
C‘
D
C
B
r
2.

C‘
A‘
1
2
3
4
5
1 _8 2 _7 3 _6 4 _5 5 _4 6 _3 7 _2 8 _1
6
0
0
A B
C
B‘

a) A‘(2,2); 3‘(7,2); C‘(5,5)
b) Os valores das ordenadas permaneceram iguais
e das abscissas são os opostos da figura inicial.
3.
C‘
D‘E‘
A
A‘B‘
B
D
E
C
4. a)
u
b)
u
5.
A
B
O
B‘
F‘
F
A‘
6. Translação.
7. Resposta pessoal.
Tecnologias p. 194
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 196
1. Alternativa c.
2. Alternativa b.
3. Alternativa a.
4. Alternativa b.
5. Alternativa a.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
10. a) x = 22°30’
b) =_x
4
5

11. Alternativa c.
12. Alternativa d.
Atualidades em foco p. 198
1. Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00,
pagarei R$ 10,69. Como o video game equivale
a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você
pagará 14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza
R$ 146,90.
3. Resposta pessoal.
UNIDADE 7
Contagem, probabilidade
e estatística
Pense e responda p. 202
De 12 maneiras distintas.
Atividades p. 204
1. a) 6 maneiras diferentes.
b) 3 maneiras diferentes.
2. 48 maneiras.
3. 4 536 números.
4. 8 556 maneiras
5. 52 488 maneiras
6. 456 976 000
7. 72 números.
8. Alternativa e.
9. 512
10. Alternativa d.
Atividades p. 208
1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara);
(coroa, coroa)}
b) S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6);
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2);
(3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4);
(4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6);
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F, M); (M, F, F);
(F, F, F); (F, F, M); (F, M, F); (F, M, M)}
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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285
2. a) E = {(cara, cara); (coroa, coroa)}
b) S = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}
c) S = {(M, M, F); (M, F, M); (F, M, M)}
3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}
b) A = {9, 18}
c) B = {24, 25}
4. PA
4
9
!() ; ()PV
3
9
1
3
!!
5. a) PA
1
52
!()
b) PB
4
52
1
13
!!()
c) PC
12
52
3
13
!!()
6. ()PE
41
81
!
7. a) PE
16
100
4
25
!!() b) =PE
6
100
3
50
!()
8. PE
2
3
!()
9. a) 10 duplas. b) PE
3
10
!()
10. a) PE
3
5
!() b) =PE
2
5
()
11. Alternativa b.
Pense e responda p. 210
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 212
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 214
Tabela 1: Qualitativa nominal; tabela 2: qualitativa
ordinal; tabela 3: quantitativa discreta; tabela 4:
quantitativa contínua.
Pense e responda p. 215
As variáveis qualitativas e quantitativa discretas
são representadas em gráficos de barras ou colunas
separadas. A variável quantitativa contínua é
representada em colunas agrupadas.
Atividades p. 216
1. Resposta pessoal.
2. a) 250 funcionários da empresa.
b) 50 funcionários da empresa.
c) Massa, em quilogramas. Variável quantitativa
contínua.
3. Resposta pessoal.
4.
Quantidade de copos
de água (por dia)
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
3 23 23%
6 56 56%
9 14 14%
12 7 7%
Total 100 100%
Ingestão de água por jovens universitários
Dados fictícios.
a) 79 jovens.
b) 21%
5. a) 11 funcionários.
b) 3 funcionários.
6. a)
Quantidade de irmãos
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
0 8 27%
1 7 23%
2 8 27%
3 4 13%
4 3 10%
Número de irmãos dos alunos do 8
o
ano
Dados obtidos na escola.
b) 15 alunos.
7. a)
Gastos
(em reais)
Frequência
Absoluta
Frequência
relativa
5 ¿ 10 7 12,3%
10 ¿ 15 14 24,6%
15 ¿ 20 10 17,5%
20 ¿ 25 12 21,1%
25 ¿ 30 5 8,8
30 ¿ 35 9 15,7%
Total 57 100%
Gastos dos clientes da padaria
Dados fictícios.
b) 57 clientes. c) 31 clientes.
8. a) 2 b) 16%
c)
Números de
aparelhos de TV
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
0 24 4%
1 120 20%
2 360 60%
3 84 14%
4 12 2%
Total 600 100%
Aparelhos de TV nas residências
Dados fictícios.
Atividades p. 223
1. a) Bruno teve média 6,9; Camila, 7,4; Marcela,
5,3 e Roberto, 6,0.
b) Bruno, Camila e Roberto foram aprovados.
2. a) A altura média é 1,71 m.
b) A mediana é 1,69 m. Metade dos jogadores
têm altura menor ou igual a 1,69 m e a outra
metade têm altura maior ou igual a 1,69 m.
c) A altura média será 1,72 m e a mediana, 1,72 m.
3. a) 13,3 anos.
b) 12 anos e 14 anos.
c) 13
d) 10
4. Alternativa a.
5. Alternativa d.
Pense e responda p. 225
Não, pois essa pesquisa trabalhou com uma variável
qualitativa.
Atividades p. 225
1. Pesquisa do aluno.
Tecnologias p. 226
1. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu p. 228
1. Alternativa c. 2. Alternativa d.
3. a) 4 anos; 15 anos.
b) • 8,2 • 10 • 0,82
c) 8 anos; 11 anos.
4. Alternativa d.
5. Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57. Os dois alunos
estão aprovados.
UNIDADE 8
Área, volume e capacidade
Pense e responda p. 232
Ele vai precisar de 15 placas.
Pense e responda p. 233
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 235
O tanque triangular tem área de 5 m
2
, e o tanque
circular tem área aproximada de 3,14 m
2
. Assim,
o tanque triangular tem uma área maior para
as crianças brincarem. == =A
bh
2
25
2
5
t
⋅⋅

=1 1Ar 3,1413,14
c
2
π⋅
Atividades p. 236
1. a) 225 cm
2
b) 2 000 pisos.
2. 1 600 telhas.
3. Alternativa a.
4. Alternativa c.
5. 4 latas de tinta.
6. 226,08 cm
7. 125,6 cm
8. 314 m
9. a) 0,4 m
b) 0,5024 m²
Por toda parte p. 237
1. a) 1,9202 m²
b) 0,4948 m²
2. a) 240 000 km²
b) 20 000 km²
Atividades p. 241
1. a) Área total: 24 cm²; volume: 8 cm³.
b) Área total: 32 cm²; volume: 12 cm³.
2. 5 cm
3. 96 m²
4. 7,5 cm³
5. 3 cm
6. Não, pois o volume ficará multiplicado por 8.
7. a) Volume: 628 cm³. b) Volume: 28,26 cm³.
8. Alternativa c.
9. Alternativa c.
Tratamento da informação p. 244
1. Em 2012; 84%.
2. Em 2010. Pico migratório em 2010: crise
econômica internacional; mudanças na
macroestrutura conjuntural do país nas áreas
de infraestrutura, construção, tecnologia,
inovação e serviços é que tornaram atrativa
a vinda de imigrantes; crescimento das
indústrias de petróleo, gás, mineração e de
alta tecnologia, coincidentemente setores
que exigem uma qualificação profissional
de excelência e mão de obra especializada
existente no exterior. Pico migratório em
2014: cenário internacional e suas mudanças
políticas e econômicas nos últimos anos;
implantação de acordos de cooperação nas
matérias de imigração e trabalho; atratividade
econômica do país exclusivamente nas áreas
de indústria, finanças e ensino.
Retomando o que aprendeu p. 246
1. Alternativa c.
2. Alternativa a.
3. Alternativa d.
4. Alternativa c.
5. Alternativa b.
6. Alternativa c.
7. Alternativa b.
8. Alternativa b.
9. 16 000 recipientes.
10. 3 900 L
11. Alternativa e.
12. Alternativa e.
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 285 11/17/18 13:49285
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 285 19/11/18 10:38

331. 286
2. 2 kg
3. 2 760 pães
4. 160 calorias
5. a) 385 km
b) 4,3h = 4h18min
6. 20 cm
7. 6 075 tijolos.
8. a) 72 km/h
b) 360 km/h
c) 198 km/h
9. 2,7 mL
10. Alternativa b.
Pense e responda p. 266
Resposta pessoal.
Atividades p. 267
1. 5 min
2. 2,7 min ou 2 min e 42 segundos
3. R$ 12,50
4. 12,5 dias.
5. a) 32 km/h
b) 1h15min
6. 9,5 dias.
7. 180 páginas.
8. 9 dias
9. Alternativa a.
10. Alternativa d.
11. Alternativa c.
Atividades p. 269
1. 3 780 tijolos.
2. 12,5 L/min
3. 2,38 L
4. 10 pintores.
5. a) Sim, pois as grandezas variam na mesma razão.
b) R$ 15,00
c) Aproximadamente, 33 minutos.
6. 47,04 litros.
7. a) 80 km
b) Aproximadamente 186,6 km.
8. 105 g 9. 450 kg 10. 20 m
Atividades p. 271
1. 36 funcionários
2. Aproximadamente 1h27min
3. 31,5 receitas de bolo.
4. Resposta pessoal.
5. 4 dias.
6. 2 dias.
7. Alternativa a.
8. Alternativa c.
Tratamento da informação p. 272
1. a) Aproximadamente 1 a cada 5 pessoas
trabalham em empresas que estimulam
a amizade entre funcionários.
54 000 entrevistados.
b) 11 pessoas.
c) De acordo com a pesquisa, 9,0.
2. a) 1 455 horas.
b) 25 200 residências.
Retomando o que aprendeu p. 274
1. 240 m 2. 199 323,02 km
2
3. Alternativa b.
4. a)
Duração, em
minutos
60150200250300
Preço a ser pago
pela Tarifa 1
R$
24,00
R$
60,00
R$
80,00
R$
100,00
R$
120,00
Preço a ser pago
pela Tarifa 2
R$
35,00
R$
47,00
R$
67,00
R$
87,00
R$
107,00
Preço a ser pago
pela Tarifa 3
R$
48,00
R$
48,00
R$
48,00
R$
52,00
R$
72,00
b)
Preço
(em R$)
Duração
(em min)
10
0 60 120 180 240 300
20
30
40
50
60
70
Tarifa 1
Tarifa 3
Tarifa 2
80
90
100
110
c) Se utilizar entre 90 e 150 minutos.
d) Tarifa 3.
5. a) 500,04 km/h
b) 0,16 min ou, aproximadamente, 9,4 s.
c) 138,89 m
d) 150 km
6. Alternativa e.
7. Alternativa e.
Atualidades em foco p. 276
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
4. Respostas pessoais.
5. Resposta pessoal.
UNIDADE 9
Estudo de grandezas
Pense e responda p. 252
Não, pois a idade de uma pessoa e sua altura não
são grandezas proporcionais.
Atividades p. 254
1. a) 20 °C b) 77 °F
2. P, NP, NP, P e NP.
3. Não, pois R$ 38,00 seria o preço
correspondente a 4 livros.
4. R$ 31,20
5. a) R$ 306 000,00. b) R$ 255 000,00
c) Quantidade de
acertadores
Valor do prêmio
(em R$)
1 1 530 000
2 765 000
5 306 000
6 255 000
d) Diminui proporcionalmente.
6. a) R$ 58,16 b) R$ 159,94
7. a) Não, pois o valor é sempre acrescido da
bandeirada.
b) R$ 35,00
Atividades p. 257
1. 65 km/h
2. a) 300 000 km/s
b) Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
3. 880 m por 500 m.4. Alternativa c.
Por toda parte p. 258
a) 69,18 km/h; 76,24 km/h; 79,24 km/h
b) 12,5 km/L; 13,56 km/L; 13,19 km/L
c) 50,27 km/h
d) 1 : 20 050 000
Atividades p. 261
1. 0,40 kg/dm
3
2. 21,5 g/cm
3
3. 2,7 g/cm
3
4. 4,28 hab./km
2
5. 84,8 hab./km
2

6. Água Branca.
7. 14,3 hab./km
2
8. 59,99 hab./km
2
Atividades p. 264
1.
Quantidade de
garrafas de água
145916
Preço a pagar
(em R$)
4,8019,2024,0043,2076,80
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 286 11/17/18 13:50
287
ASOCIACIÓN DE MAESTROS ROSA SENSAT.
Didáctica de los números enteros. Madrid:
Nuestra Cultura, 1980.
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Pedreira. Lisboa: Gradiva, 1991.
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D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-283-288-LA-G20.indd 287 11/17/18 13:50286
D2-MAT-F2-2051-V8-FINAIS-278-288-MP-G20.indd 286 19/11/18 10:38

332. 286
2. 2 kg
3. 2 760 pães
4. 160 calorias
5. a) 385 km
b) 4,3h = 4h18min
6. 20 cm
7. 6 075 tijolos.
8. a) 72 km/h
b) 360 km/h
c) 198 km/h
9. 2,7 mL
10. Alternativa b.
Pense e responda p. 266
Resposta pessoal.
Atividades p. 267
1. 5 min
2. 2,7 min ou 2 min e 42 segundos
3. R$ 12,50
4. 12,5 dias.
5. a) 32 km/h
b) 1h15min
6. 9,5 dias.
7. 180 páginas.
8. 9 dias
9. Alternativa a.
10. Alternativa d.
11. Alternativa c.
Atividades p. 269
1. 3 780 tijolos.
2. 12,5 L/min
3. 2,38 L
4. 10 pintores.
5. a) Sim, pois as grandezas variam na mesma razão.
b) R$ 15,00
c) Aproximadamente, 33 minutos.
6. 47,04 litros.
7. a) 80 km
b) Aproximadamente 186,6 km.
8. 105 g 9. 450 kg 10. 20 m
Atividades p. 271
1. 36 funcionários
2. Aproximadamente 1h27min
3. 31,5 receitas de bolo.
4. Resposta pessoal.
5. 4 dias.
6. 2 dias.
7. Alternativa a.
8. Alternativa c.
Tratamento da informação p. 272
1. a) Aproximadamente 1 a cada 5 pessoas
trabalham em empresas que estimulam
a amizade entre funcionários.
54 000 entrevistados.
b) 11 pessoas.
c) De acordo com a pesquisa, 9,0.
2. a) 1 455 horas.
b) 25 200 residências.
Retomando o que aprendeu p. 274
1. 240 m 2. 199 323,02 km
2
3. Alternativa b.
4. a)
Duração, em
minutos
60150200250300
Preço a ser pago
pela Tarifa 1
R$
24,00
R$
60,00
R$
80,00
R$
100,00
R$
120,00
Preço a ser pago
pela Tarifa 2
R$
35,00
R$
47,00
R$
67,00
R$
87,00
R$
107,00
Preço a ser pago
pela Tarifa 3
R$
48,00
R$
48,00
R$
48,00
R$
52,00
R$
72,00
b)
Preço
(em R$)
Duração
(em min)
10
0 60 120 180 240 300
20
30
40
50
60
70
Tarifa 1
Tarifa 3
Tarifa 2
80
90
100
110
c) Se utilizar entre 90 e 150 minutos.
d) Tarifa 3.
5. a) 500,04 km/h
b) 0,16 min ou, aproximadamente, 9,4 s.
c) 138,89 m
d) 150 km
6. Alternativa e.
7. Alternativa e.
Atualidades em foco p. 276
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
4. Respostas pessoais.
5. Resposta pessoal.
UNIDADE 9
Estudo de grandezas
Pense e responda p. 252
Não, pois a idade de uma pessoa e sua altura não
são grandezas proporcionais.
Atividades p. 254
1. a) 20 °C b) 77 °F
2. P, NP, NP, P e NP.
3. Não, pois R$ 38,00 seria o preço
correspondente a 4 livros.
4. R$ 31,20
5. a) R$ 306 000,00. b) R$ 255 000,00
c) Quantidade de
acertadores
Valor do prêmio
(em R$)
1 1 530 000
2 765 000
5 306 000
6 255 000
d) Diminui proporcionalmente.
6. a) R$ 58,16 b) R$ 159,94
7. a) Não, pois o valor é sempre acrescido da
bandeirada.
b) R$ 35,00
Atividades p. 257
1. 65 km/h
2. a) 300 000 km/s
b) Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
3. 880 m por 500 m.4. Alternativa c.
Por toda parte p. 258
a) 69,18 km/h; 76,24 km/h; 79,24 km/h
b) 12,5 km/L; 13,56 km/L; 13,19 km/L
c) 50,27 km/h
d) 1 : 20 050 000
Atividades p. 261
1. 0,40 kg/dm
3
2. 21,5 g/cm
3
3. 2,7 g/cm
3
4. 4,28 hab./km
2
5. 84,8 hab./km
2

6. Água Branca.
7. 14,3 hab./km
2
8. 59,99 hab./km
2
Atividades p. 264
1.
Quantidade de
garrafas de água
145916
Preço a pagar
(em R$)
4,8019,2024,0043,2076,80
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287
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334. 289
Unidade 1
Números racionais
Atividades p. 18
1.
2. a) .
b) ,
c) ,
d) ,
e) =
f) .
3. a) _
7
8
+ 4,5 = _
7
8
+
9
2
=
=
29
8
b)
13
4
+
19
5
=
141
20
c) _
8
11
_
5
3
= _
79
33
d) 79,05 _ 12,4 = 66,65
e) 123 _
35
4
=
457
4
f) 1 347,01 + 132,86 = 1 479,87
g)
49
7
+ [_
18
3
] =
49
7
_
18
3
=
= 7 _ 6 = 1
h) 50 _ 4,99 = 45,01
4. a) 5,4 ? 3,1 = 16,74
b) [_
45
49
] ? [
14
18
] = _
2160
882
= _
120
49
c) 8,7 ? 8,7 ?
5
4
= 10,875
d) [_
36
15
] ? [
50
12
] = 10
e) (_4,6) ? (_0,7) = 3,22
f)
19
3
?
33
7
=
209
7
_2_1 0
_
3
4
7
5
1 2
1,6
g) 11,05 x (_4) = _44,2
h) 3,9 x 2,02 = 7,878
5. a) _12,6
b) 12
c) Aproximadamente 68,14.
d) _
5
26
e) 66,84
f) 32,1
g) 60,3
6. Alternativa b.
Seja x o peso da barra em gramas.
x =
2x
5
+
x
4
+ 70 h x = 200
7. Alternativa a.
Seja x a altura do segundo andar.
7,80 = 3,88 + x h x = 3,92
Atividades p. 21
1.
12
150
= 0,08 = 8%
2.
120
200
= 0,6 = 60%
3.
38
50
= 0,76 = 76%
4.
5
40
= 0,125 = 12,5%
5. a)
105
250
= 0,42 = 42%
b)
100
250
= 0,40 = 40%
c)
30
250
= 0,12 = 12%
d)
15
250
= 0,06 = 6%
6. Aproximadamente 16,6%.
3
18
= 0,1666...
7. a) 450 kg
396 + 9 + 18 + 27 = 450
b) 88%
396
450
= 0,88
8. 55%
1 600 _ 720
1 600
=
880
1 600
= 0,55
Por toda parte p. 22
1. 8 500 000 km
2
2. A área aproximada é 16 250 000 km
2
.
3. Pesquisa do aluno.
4. 6 630,12 km
2
84
100
x 7 893 = 6 630,12
Pense e responda p. 23
1. Resposta pessoal.
2. R$ 480,00; R$ 720,00.
R$ 1200,00 ? 0,4 = R$ 480,00;
R$ 1200,00 _ R$ 480,00 =
= R$ 720,00
3. R$ 1080,00
R$ 1200,00 ? 0,9 = R$ 1 080,00
Atividades p. 25
1. a) 207 reais.
1800 x 0,023 x 5 = 207
b) 96,04 reais.
2 450 x 2 x 0,0196 = 96,04
2. 2,5%
Considerando juros simples, a
aplicação rendeu 1 000 reais por mês.
1 000
40 000
= 0,025
3. 760 reais.
Seja x a quantia aplicada.
x ? 2 ? 0,256 = 389,12 h x = 760
4. Alternativa a.
350 ? 4 ? (1 _ 0,15) = 1 190
5. Alternativa c.
Juros = 50 ? 12 ? 0,003 = 1,8
Valor = 50 + 1,8 = 51,8, ou seja,
R$ 51,80.
6. Alternativa c.
Juros pagos ao mês: 120 000 x
x 0,01 = 1 200
Seja x o número de meses da dívida.
1 200 ? x = 6 000 h x = 5
7. 4%
156 _ 150
150
= 0,04
resoluções
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335. 290
8. Alternativa c.
Valor investido = 30 000 +
+ 10 000 ? 1,05 + 10 000 ? 1,04 =
= 10 500 + 10 400 = 50 900
Valor da casa valorizada = 50 000 ?
? 1,03 = 51 500
Lucro = 51 500 _ 50 900 = 600
9. À vista, pois o valor do rendimento
é inferior aos 100 reais de desconto
pelo pagamento à vista.
Tratamento da informação p. 26
1. a) Gráfico de colunas triplas ou
gráfico de múltiplas colunas.
b) • com a maior superfície: Região
Norte: 45,30%.
• com mais recursos hídricos: Região
Norte: 68,50%.
• com a segunda menor
concentração de população: Região
Norte: 6,98%.
c) Região Nordeste: 3,30%.
d) Região Sudeste: 42,65%.
e) Não. O Sudeste possui a maior
população, porém possui a segunda
menor superfície do Brasil.
f) Cerca de 0,82%. Resposta
pessoal.
0,137 ? 0,06 = 0,0082
g) Não.
2. a) Resposta pessoal.
b) Determine qual taxa percentual,
aproximadamente, de água do
planeta corresponde:
• às geleiras e coberturas
permanentes de neve:
0,025 ? 0,689 = 1,72%
• aos rios e lagos: 0,025 ? 0,003 =
= 0,0075%
• às águas subterrâneas: 0,025 ?
? 0,299 = 0,75%
• aos solos, aos pântanos e às
geadas: 0,025 ? 0,009 = 0,02%
3.
Cérebro
Fígado
Pulmões Músculos
Coração
Rins
Sangue
Percentual
Órgão
10%
0%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%75% 75%75%
86%86%
83%
81%
90%
100%
Percentual de água nos órgãos do
corpo humano
Educação financeira p. 28
1. Os bancos oferecem, para quem
tem dinheiro e quer guardá-lo, uma
forma segura de fazê-lo. Já para as
pessoas que precisam de dinheiro
para investimentos, os bancos
fazem empréstimos, recebendo uma
compensação na forma de juro pelo
serviço.
2. R$ 1 000,00 ? 0,03 ? 12 =
= 360,00, ou seja, R$ 360,00.
3. Respostas pessoal.
Atividades p. 30
1. a) 0,7
b) 3,1
c) 0,06
d) 0,11
e) 1,62
f) 0,009
g) 0,029
h) 0,385
i) 8,2
j) 16,3
k) 4,27
l) 1,104
2. a) 0,5
b) 2,333...
c) 1,8
d) 1,85
e) 3,1818...
f) 1,2222...
g) 1,375
h) 1,32
i) 0,15
j) 0,1444...
k) 8,25
l) 4,1666...
3. a) DE
b) DP
c) DE
d) DE
e) DP
f) DP
g) DE
h) DE
i) DE
j) DP
k) DE
l) DP
4. a) período: 2
b) período: 7
c) período: 01
d) período: 3
e) período: 56
f) período: 034
Pense e responda p. 30
1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...;
2,131313...
2. Todos os números são dízimas
periódicas; 7; 13; 3; 13.
3. A quantidade de algarismos do
período de cada uma das dízimas é
igual à quantidade de algarismos do
denominador da respectiva fração;
os denominadores são formados
somente pelo algarismo 9.
Atividades p. 32
1. a) x = _2,4444... (I)
10x = _24,444... (II)
Fazendo (II) _ (I): 9x = _22 h
h x = _
22
9
b) x = 0,11111... (I)
10x = 1,1111... (II)
Fazendo (II) _ (I): 9x = 1 h
h x =
1
9
c) x = 17,8888... (I)
10x = 178,888... (II)
Fazendo (II) _ (I): 9x = 161 h
h x =
161
9
d) x = _6,353535... (I)
100x = _635,3535... (II)
Fazendo (II) _ (I): 99x = _629 h
h x = _
629
99
e) x = 0,292929... (I)
100x = 29,2929... (II)
Fazendo (II) _ (I): 99x = 29 h
h x =
29
99
f) x = 2,102102102... (I)
1 000x = 2 102,102102... (II)
Fazendo (II) _ (I): 999x = 2 100 h
h x =
700
333
2. Alternativa d.
x = 1,888... (I)
10x = 18,888... (II)
Fazendo (II) _ (I): 9x = 17 h x =
17
9
Assim:
17
9
+
1
9
=
18
9
= 2
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336. 291
Atividades p. 33
1. Exemplo de resposta
2. a) 10x = 71,5555... (I)
100x = 715,555... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 644 h
h x =
322
45
b) 10x = _5,3333... (I)
100x = _53,333... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 48 h
h x =
24
45
c) 10x = 690,333... (I)
100x = 6903,33... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 6 213 h
h x =
2071
30
d) 10x = _11,7474... (I)
1000x = _1174,74... (II)
Fazendo (II) _ (I): 990x =
= _1163 h x = _
1163
990
3. Alternativa d.
10x = 1,333... (I)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 20 h
h x =
20
90
10y = 2,333... (I)
100y = 23,333...(II)
Fazendo (II) _ (I): 90y = 21 h
h y =
21
90
Assim:
20
90
+
21
90
=
41
90
Tecnologias p. 34
• Alternativas b, c e d; resposta pessoal.
Fração
Representação decimal
Decimal
exato
Dízima
periódica
1
2
X
1
3
X
1
4
X
1
5
X
1
6
X
1
7
X
1
8
X
1
9
X
1
10
X
1
11
X
1
12
X
1
13
X
1
14
X
1
15
X
1
16
X
1
17
X
1
18
X
1
19
X
1
20
X
1
21
X
1
22
X
O número é uma
dízima periódica
composta?
A parte não periódica
passou para o lado
esquerdo da vírgula?
Início.
Fim.
Iguale essa dízima a x.
Isole o x.
Multiplique os membros dessa
equação por 10.
Chame essa equação de
equação 2.
Subtraia a equação 1 da
equação 2.
Chame essa equação de
equação 1.
Multiplique os membros dessa
equação por 10.
sim
sim
sim
não
não
não
O período da dízima
periódica passou para
o lado esquerdo da
vírgula?
100x = 13,333... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 12 h
h x =
2
15
4. Alternativa e.
10x = 15,666... (I)
100x = 156,66... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 141 h
h x =
47
30
5. Alternativa b.
x = 0,999...
10x = 4,999... (I)
100x = 49,999... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 45 h
h x =
1
2
Ou seja, a = b.
6.
41
90
10x = 2,222.. .(I)
100x = 22,22.. .(II)
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337. 292
• Resposta pessoal
• a) DP;
b) DE;
c) DE;
d) DP;
e) DE;
f) DE
Retomando o que aprendeu p. 36
1. Para somarmos frações de denominadores diferentes, encontramos as frações equivalentes às frações dadas, mantemos
os denominadores e somamos os numeradores. Se necessário, simplificamos o resultado, de forma a obter a fração
irredutível.
2. Alternativa c.
3. Alternativa c.
1
5
= 0,2 = 20%
4. Alternativa c.
15
375
= 0,04 = 4%
5. Alternativa d.
30
100
?
40
100
?
50
100
= 0,06 = 6%
6. Alternativa c.
Juro = 0,04 ? 2 400 = 96
7. a) x = 3,777... (I)
10x = 37,777... (II)
Fazendo (II) _ (I): 9x = 34 h x =
34
9
b) 10x = 2,555... (I)
100x = 25,555... (II)
Fazendo (II) _ (I): 90x = 23 h x =
23
90
c) x = _12,181818... (I)
100x = _1218,1818... (II)
Fazendo (II) _ (I): 99x = _1 206 h x = _
1206
99
d) 10x = 40,1313.... (I)
1000x = 4013,13.... (II)
Fazendo (II) _ (I): 990x = 3973 h x =
3973
990
8. Resposta pessoal.
9. Alternativa b.
1,26
1,20
= 1,05, ou seja, 5%
10. Alternativa d.
0,60 ? 0,40 = 0,24 = 24%
0,40 ? 0,30 = 0,12 = 12%
24% + 12% = 36%
11. Alternativa a.
Um novo olhar p. 37
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• Será uma dízima periódica. Resposta pessoal.
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338. 293
Unidade 2
Potências, raízes e números
reais
Pense e responda p. 40
1. a) 8
b) 16
c) 32
d) Resposta pessoal
Atividades p. 42.
1. a) 6
3
b) 0,5
5
c) [
3
10
]
2
d) 1,2
4
e) 9
10
f) 1,1
20
g) 2
25
h) 1
100
2. a) 2 x 2 x 2 x 2 x 2
b) 0,8 x 0,8 x 0,8
c) [
1
4
] x [
1
4
] x [
1
4
] x [
1
4
]
d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
e) 2,8 x 2,8
f) 0,7 x 0,7 x 0,7
3. a) 5
2
b) 2
3
4. a) 125
b) 100 000
c) 128
d) 81
e) 121
f) 1
g) 3,24
h) 0,064
i)
8
27
j) 6,25
k)
1
16
l) 1
5. 13
2
= 13 x 13, ou seja,
169 quadrados.
6. 8
3
= 8 x 8 x 8, ou seja,
512 cubinhos.
7. Sim, pois (10 + 7)
2
= 17
2
= 289 e
10
2
+ 7
2
= 100 + 49 = 149.
8. (50%)
3
= (0,5)
3
= 0,125
9. 0,99
A = 2 ? 1,1 = 2,2
B = (1,1)
2
= 1,21
A _ B = 2,2 _ 1,21 = 0,99
10. a) 0,25
b) 25%
11. a) a = 2
3
x 2
2
= 32 e b = 2
6
= 64;
a , b.
b) a = 3
2
x 5
2
= 225 e
b = (3 x 5)
2
= 225; a = b.
12. 10
x
= 100 h 10
x
= 10
2
h x = 2
y = 10
0
= 1
x + y = 2 + 1 = 3
Pense e responda p. 43
1. a) • 2
2
x 2
3
= 2
5
• 3
4
x 3
2
= 3
6
b) • 2
5
: 2
3
= 2
2
• 3
5
: 3
2
= 3
3
c) • 2
6
= 64
• 2
6
= 64
• 81
d) • (2
3
)
2
= 2
6
• (3
2
)
2
= 3
4
• (2
2
)
3
= 2
6
Por toda parte p. 46
1. 7 x 10
8
bytes; 1,23 x 10
8
bytes;
7 x 10
5
quilobytes;
1,23 x 10
5
quilobytes;
5,6 x 10
9
bits;
9,84 x 10
8
bits.
Atividades p. 47
1. a) 9
8

b) 20
6

c) 10
2

d) 8
30

e) (0,7)
3

f) (2,5)
20

g) (1,9)
2
h) [
1
2
]
11
i) [
2
5
]
5
2. a) 2
13
x 2
7
= 2
20

b) 2
7
: 2
5
= 2
2

c) 2
13
x 2
5
= 2
18
d) 2
13
: 2
7
= 2
6

e) (2
13
)
2
= 2
26

f) (2
7
)
3
= 2
21

g) 2
13
x 2
7
x 2
5
= 2
25

h) 2
13
: 2
5
= 2
8
i) (2
5
)
4
= 2
20
3. x
5
= y
2
(10
2
)
5
= 10
10
(10
5
)
2
= 10
10
4. a) (0,6)
4
x (1,1)
4

b) 3
4
x 10
2

c) (1,6)
6
x (2,4)
4
d) [
1
2
]
5
x [
1
3
]
5
5.
(10
4
)
7
(10
8
x 10)
3 =
10
28
10
27
= 10
6.
3
2
x 3
6
3
3 = 3
5
= 243
7. a)
2
7
x 3
4
x 7
2
2
5
x 3
2
x 7
= 2
2
x 3
2
x 7
1
=
= 252
b)
2
7
x 3
4
x 7
2
2
5
x 3 x 7
= 2
2
x 3
3
x 7 =
= 756
c)
2
5
x 3
2
x 7
2
5
x 3 x 7
= 3
1
= 3
8. a) 2
2
= 4
b) (0,4)
3
= 0,064
9.
(1024)
2
(64)
3
=
(2
10
)
2
(2
6
)
3 =
2
20
2
18
= 2
2
= 4
10. a) a
2
x b
2
= 20
2
= 400
b) a
3
x b
3
= 20
3
= 8 000
11. Giga = 10
9
; mega = 10
6
;
miria = 10
4
; quilo = 10
3
;
hecto = 10
2
; deca = 10
1
.
12. a) 1,35 x 10
6
b) 6,89 x 10
5
c) 5,43 x 10
8
d) 8,276 x 10
7
13. a) 6 300 000 000
b) 92 300
c) 460 800
d) 16 000 000
Atividades p. 49
1. a) Sim. Sim, 25 é um quadrado
perfeito.
b) Não.
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339. 294
2. a) É quadrado perfeito.
b) Não é quadrado perfeito.
c) É quadrado perfeito.
d) É quadrado perfeito.
e) Não é quadrado perfeito.
f) É quadrado perfeito.
g) Não é quadrado perfeito.
h) É quadrado perfeito.
3. Qualquer algarismo que represente
um número ímpar.
4. 7 números: 121; 144; 169; 196; 225;
256 e 289.
5. Alternativa b.
6. O valor de B é 625.
Atividades p. 51
1. a) 22
b) 25
c) 27
d) 34
e) 36
f) 43
g) 55
h) 64
2. a) 1,6
b) 1,9
c) 2,3
d) 2,8
e) 3,2
f) 3,5
g) 6,1
h) 7,2
3. A = 1764 = 42 m
Atividades p. 53
1. a) 13
b) 14
c) 19
d) 22
2. a) 1,7
b) 2,6
c) 3,6
d) 4,3
e) 7,1
f) 8,1
3. a) 1,4
b) 1,7
c) 2,4
d) 3,1
e) 4,4
f) 7,4
g) 12,2
h) 21,2
4. 2,2
Tratamento da informação p. 54
1. a) 90 alunos.
b) De 1,50 m até 1,98m.
c) 11 alunos.
d) 1,74 ¿ 1,82.
Significa que a maioria dos
alunos pesquisados tem altura
maior que ou igual a 1,74 m e
menor que 1,82 m.
e) 9 + 11 + 25 + 30 = 75 alunos.
f) 30 + 10 + 5 = 45 alunos.
g) 5,56% aproximadamente.
5
90
= 0,055...
2. Observe as informações dadas e
faça o que se pede, no caderno.
a)
Notas dos alunos do 8º ano na prova final de Matemática
Nota obtida na prova
final de matemática
Número
de alunos
0 ¿ 2 2
2 ¿ 4 6
4 ¿ 6 7
6 ¿ 8 11
8 ¿ 10 9
Total 35
b) 9 alunos.
c) 2 + 6 + 7 = 15 alunos.
d) Aproximadamente 57%.
20
35
= 0,571
3. a) Exemplo de resposta:
Pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de
Voleibol de 2018, em quilogramas (kg).
Pesos
Número de
atletas
70 ¿ 78 4
78 ¿ 86 8
86 ¿ 92 2
92 ¿ 100 4
100 ¿ 108 3
Total 21
b) 21 jogadores.
c) De 79 kg a 86 kg.
d) 7 jogadores.
e) 72 kg; 107 kg.
Tecnologias p. 56
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. a) Calcular a raiz quadrada de um
número é o mesmo que elevar
esse número ao expoente
1
2
.
b) Usar a tecla ^ e elevar o número
258 ao expoente
1
2
.
c) Resposta pessoal.
Atividades p. 58
1. Alternativa d.
2. Alternativa d.
3. Alternativa d.
Atividades p. 60
1. a) 0; 1.
b) _4; 0; 1.
c) _4
d) _2,3; _
1
4
; 0,6.
2. a) 6
b) 6; _6.
c) 6; _6; 6,6.
d) 6
3.
22
9
5 = 2,236
22
9
= 2,444...
4. a) [
b) [
c) {
d) [
e) [
f) {
g) [
5. Alternativa a.
EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 294 19/11/18 13:40

340. 295
6.
7. Resposta pessoal
Retomando o que aprendeu p. 61
1. Alternativa a.
a) 3
31
b) 8
10
= 2
30
c) 16
8
= 2
32
d) 81
6
= 3
24
e) 243
4
= 3
20
2. Alternativa e.
2
1
= 2
2
2
= 4
2
3
= 8
2
4
= 16
2
5
= 32
2
6
= 64
2
7
= 128
2
8
= 256
2
9
= 512
2
10
= 1 024
Verifica-se que o algarismo das
unidades se repete com o seguinte
padrão: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ...
• Assim, se o resto da divisão do
expoente por 4 for igual a 1, o
algarismo das unidades será 2,
se for igual a 2, o algarismo das
unidades será 4, se for igual a 3, o
algarismo das unidades será 8, e se
a divisão for exata, o algarismo das
unidades será 6.
95 : 4 = com resto 3.
3. Alternativa c.
3 11 = 9,94
4 7 = 10,58
5 5 = 11,18
6 3 = 10,39
7 2 = 9,89
4. Alternativa c.
A = 3 000 m ? 100 m = 300 000 m
2
Pensando em acomodar 2 pessoas
_5 _0,4
9
7
2
_
5
4
por metro quadrado, tem-se que a
ordem de grandeza do maior número
possível de adultos que podem assistir
a esse evento sentados na areia é:
300 000 m
2
? 2 = 600 000 pessoas,
cuja ordem de grandeza é 10
6
.
5. Alternativa e.
4
(4
2
)
4
4
=
4
16
4
4
= 4
12
6. Alternativa c.
(2
4
)
8
(4
8
)
2
=
2
32
(2
16
)
2 =
2
32
2
32
= 1
7. Alternativa c.
2
2003
?

9
1001
4
1001
?

3
2003
+
2
2002
?

9
1001
4
1001
?

3
2003
=
=
2
2003
?

3
2002
2
2002
?

3
2003
+
2
2002
?

3
2002
2
2002
?

3
2003
=
=
2
3
+
1
3
= 1
8. Alternativa c.
Títulos registrados =
1 000 mm
0,1 mm/folha
?
? 10 títulos/folha = 10
5
títulos
9. Alternativa b.
A = (7,7 cm)
2
= 59,29 cm
2
10. Alternativa b.
Seja x a medida do lado do
quadrado.
x = 1764 = 42 m
Assim, o perímetro será igual a:
4 ? 42 m = 168 m
11. Alternativa d.
x = 51,84 = 7,2
y = 40,96 = 6,4
7,2 _ 6,4 = 0,8
12. Alternativa d.
13. Alternativa d.
10 = 3,1
14. Alternativa e.
15. a) Finita.
b) Infinita e periódica.
c) Infinita e não periódica.
16. a) Sim;
49
7
.
b) _97;
49
7
.
c) _ 3
d) _ 3
e) 1,25;
49
7
; _97;
3
5
.
17. Alternativa d.
15 x 60 = 900
900
300
100
20
4
2
1
3
3
5
5
2
2
2
2
x 3
2
x 5
2
Como todos os expoentes são
pares, o número é quadrado
perfeito.
18. Alternativa d.
999
2
_ 1
2
= (999 + 1) x (999 _ 1)
1 000 x 998 = 998 000
19. Alternativa a.
105 125
3 625
725
145
29
5
5
5
29
29
5
3
x 29
2
, assim dividimos por 5 para
que o quociente seja um número
quadrado perfeito escrito na forma
5
2
x 29
2
20. Alternativa d.
21. Alternativa b.
59 049 + 6 561
10
=
65 610
10
=
= 6 561 = 81
Um novo olhar p. 63
• Resposta pessoal.
• 8 000 bits ou 8 x 103 bits.
• Os números naturais que são
quadrados de outros números naturais.
• Determinar a raiz quadrada de um
número X é encontrar um número Y
que, quando elevado ao quadrado, tem
como resultado o número X.
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341. 296
Unidade 3
Ângulos e triângulos
Atividades p. 69
1. x + 50° = 180° h x = 130°
y + 100° = 180° h y = 80°
2. a) 90° _ 66° = 24°
b) 90° _ 74° = 16°
c) 90° _ 22° = 68°
d) 90° _ 47° = 43°
3. a) 180° _ 78° = 102°
b) 180° _ 67° = 113°
c) 180° _ 135° = 45°
d) 180° _ 139° = 41°
4. x = (90° _ x) + 70° h
h 2x = 160° h x = 80°
5. x =
180° _ x
3
h 4x = 180° h
h x = 45°
6. x = 4(90° _ x) h 5x = 360° h
h x = 72°
7. 3x = 2(180° _ x) h 5x = 360° h
h x = 72°
8. (180° _ x) = 4(90° _ x) h
h 3x = 180° h x = 60°
9. x = 80° (OPV)
x + y = 180° h 80° + y = 180° h
h y = 100°
10. y = 40° (OPV)
x + 40° = 180° h x = 140°
x = z (OPV) h z = 140°
11. 2x _ 100° = x + 30° (OPV) h
h x = 130°
x + 30° + y = 180° h
h 130° + 30° + y = 180° h
h y = 20°
12. ABMC = DBMB = x
ABMC = BBMC =
ABMC
3
ABMD + ABMC = 180° h
h
ABMC
3
+ ABMC = 180° h
h 4 ? ABMC = 540° h ABMC = 135°
Portanto:
ABMC = DBMB = 135°
ABMD = BBMC =
135°
3
= 45°
Pense e responda p. 71
1. Resposta pessoal.
2. Pela montagem é possível verificar
que, juntos, os três ângulos internos
do triângulo formam um ângulo
raso ou de meia-volta.
Então: a + b + c = 180°.
Atividades p. 73
1. a) BC
b) PN
2. a) b + c + d = 180°
b) a + b = 180°
c) c + d = a
3. x + 72° + 81° = 180° h
h x = 27°
4. 86°
(3x _ 48°) + (2x + 10°) + (x _ 10°) =
= 180° h 6x = 228° h x = 38°
(3x _ 48°) = 3 ? 38° _ 48° = 66°
(2x + 10°) = 2 ? 38° + 10° = 86°
(x _ 10°) = 38° _ 10° = 28°
5. 58°
2a = 116° h a = 58°
6. 50°
2x + 10° = x + 60° h x = 50°
7. 53°
x + 72° = 125° h x = 53°
8. 68°, 48° e 64°.
BB + BC = 116° h
h x + x _ 20° = 116° h x = 68°
Assim:
BA + 116° = 180° h BA = 64°
BB = x = 68°
BC = x _ 20° = 68° _ 20° = 48°
9. 110 ° + y = 135° h y = 25°
135° + x = 180° h x = 45°
75° + a = 110° + 45° h a = 80°
80° + b + 70° = 180° h b = 30°
Assim: x + y + a + b = 180°
Para quem quer mais p. 78
Investigação 1: Sim.
Investigação 2: Sim. Os dois segmentos
traçados possuem sempre o mesmo
comprimento.
Atividades p. 79
1. 70° + 90° + x = 180° h x = 20°
40° + 90° + y = 180° h y = 50°
2. 50°
BM + 35° + 45° = 180° h
h BM = 100°
PBMA =
BM
2
=
100°
2
= 50°
3. a = 30°, b = 30° e c = 60°.
60° + 90° + a = 180° h a = 30°
a = b = 30°
30° + 90° + c = 180° h c = 360°
4. x = 80° e y = 130°.
60° + 40° + x = 180° h x = 80°
30° + 20° + y = 180° h y = 130°
5. a = 115°, b = 80° e c = 65°.
c = 35° + 30° = 65°
a + c = 180° h 65° + a = 180° h
h a = 115°
a = b + 35° h 115° = b + 35° h
h b = 80°
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 296 19/11/18 13:40

342. 297
EDITORIA DE ARTE
6. Do enunciado, temos:
B60°
20°DE C
50°
x
A
ABEB = 50° + 20° = 70°
x + 90° + 70° = 180° h x = 20°
7. a) 1,5 cm
b) 2,6 cm; todos possuem a mesma
medida de altura.
c) • o menor perímetro: *AFB.
• o maior perímetro: *ACB e
*AIB.
8. a = 90°, b = 50° e c = 95°.
a = 90°;
b =
180° _ (45° + 35°)
2
= 50°;
50° + c + 35° = 180° h c = 95°.
Atividades p. 85
1. Caso LAL; x = 60° e y = 30°.
2. x = 4 cm e y = 5 cm.
3. Como AB 2 AC e BD 2 DC e o lado
AD é comum aos triângulos ABD e
ADC, os triângulos são congruentes
pelo caso LLL. Assim, x = y e BB 2 BC.
4. Como AC 2 MN, BC 2 BN e BA 2 BM,
então os triângulos ABC e MNP são
congruentes pelo caso ALA. Assim,
AB 2 MP .
5. São congruentes pelo caso LAA
O.
6. Alternativa c.
Os triângulos LUA e AMO são
congruentes pelo caso ALA. Assim,
LA 2 AO e UA 2 MO. Portanto,
AO = LA = 8 cm e UA = MO = 10 cm.
7. Como BA 2 BB, AM 2 MB e
ABMC 2 DBMB, então os triângulos
AMC e DMB são congruentes
pelo caso ALA. Assim, CM 2 DM.
Portanto, M é ponto médio de CD.
8. Como M é o ponto médio do
lado BC, então DBMC 2 ABMB.
Assim, os triângulos DMC e AMB
são congruentes pelo caso ALA.
Portanto, AM 2 DM.
Atividades p. 88
1. 37° cada um.
x + x + 106° = 180° h
h 2x = 74° h x = 37°
2. x = 67° e y = 46°
Se AB 2 BC, então BA 2 BC. Assim,
x = 67°.
67° + 67° + y = 180° h y = 46°
3. 22°30’
Na figura, AB 2 BC. Assim, o
triângulo ABC é isósceles de base AC.
x + x + 135° = 180° h x = 22,5°
ou 22° 30’
4. 50°
Na figura, AB 2 AC. Assim, o
triângulo ABC é isósceles de base BC.
x + 65° + 65° = 180° h x = 50°
5. 17°
Como o triângulo ABC é isósceles
de base AC, tem-se que BC = 73°.
Assim: 73° + 73° + 2x = 180° h
h x = 17°
6. 36°
Como ABCDE é um pentágono
regular, o triângulo ABE é isósceles.
Assim, ABEB = ABBE = x.
Portanto: x + x + 108° = 180° h
h x = 36°
7. a = 20°, b = 40° e c = 50°.
• 20° + 110° + c = 180° h c = 50°
• Como AB e CD são paralelos
BBAC 2 ABCD, assim, a = 20°.
• b = 2a h b = 2 ? 20° = 40°
8. 165°
Como o triângulo ABE é equilátero,
x = 60°. No quadrado, x + y =
= 90° h y = 30°. Como o triângulo
ADE é isósceles, z + z + 30° =
= 180° h z = 75°.
Portanto: x + y + z =
= 60° + 30° + 75° = 165°.
Retomando o que aprendeu p. 92
1. Alternativa b.
3x + 10° = x + 50° h 2x = 40° h
h x = 20°
Assim: x + 50° = 20° + 50° = 70°
2. Alternativa a.
Como r//s, então a = € e b = 0.
Assim: a + b = € + 0.
3. Alternativa e.
BA + BB = BC = 180° h
h 2 ? 2x + x + x = 180° h x = 30°
4. Alternativa c.
MBCB + 155° = 180° h
h MBCB = BBAM = 25°
Como AB 2 BC, então ABBC = 2x
155° = ABBC + BBAM h
h 155° = 2x + 25° h x = 65°
5. Alternativa d.
60° = x + 15° + 20° h x = 25°
6. a) 60° cada um.
b) Equilátero.
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 297 19/11/18 13:40

343. 298
7. Alternativa d.
Do enunciado, BB = BC = 45°.
Como CP é bissetriz,
PBCA =
45°
2
= 22,5°. Assim,
BBPC = 90° + 22,5° = 112,5°
8. Alternativa b.
Como t//s: 150° = y + 130° h
h y = 20°
Assim, x _ y = 70° _ 20° = 50°
9. Alternativa a.
• Como o triângulo ABP é isósceles,
ABBP = ABPB = z.
Assim: z + z + 20° = 180° h
h z = 80°
• ABPC + 80° = 180° h ABPC = 100°
• Como o triângulo APC é isósceles,
PBAC = PBCA = y.
• y + y + 100° = 180° h y = 40°
• x =
100°
2
= 50°
Assim: x + y = 40° + 50° = 90°
10. Alternativa c.
Um novo olhar p. 93
• 180°. Resposta pessoal.
• De acordo com as medidas de seus
ângulos internos: triângulo retângulo,
triângulo acutângulo ou triângulo
obtusângulo. De acordo com as
medidas de seus lados: triângulo
equilátero, triângulo isósceles ou
triângulo escaleno.
• LLL, LAL, ALA, LAA
O
.
• Resposta pessoal.
Atualidades em foco p. 94
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
Unidade 4
Expressões e cálculo algébrico
Pense e responda p. 98
1. a) 3
2
b) a ? 5
c) 2x ? y
I) Expressão a.
II) Expressão b.
III) Expressão c.
2. Resposta pessoal.
Atividades p. 99
1. a) x
2
b) y
3
c) a
d) b
5
e) b + c
f) a ? x
g) 2y
h)
1
6
m
i)
z
w
j)
1
2
x
k) x _ y
l) 5z
2. a) 2x + 2y
b) (x + y)(x _ y)
c) x
2
+ y
2
d) x
2
_ y
2
e) (x + y)
2
f) x +
1
5
y
Atividades p. 102
1. 5x + 8y
2. a) • h + m
• h _ m
•
h
m
b) Sim;
h
m
3. 4x ? 3y = 12xy
4. 5x + 3y
5. x
2
+ ay
6. x _ 2y
7. x
2
+ 3x
8. 7x + 10y
9. a) 7x + 20
b) 12y + 10
Educação financeira p. 103
1. Entre 7 e 8 meses.
2. Aproximadamente R$ 60 896,33.
v = 200 ? 1,1
n
h v = 200 ? 1,1
60
h
h v = 200 ? 304,48 h
h v = 60 896,33
Atividades p. 106
1.
1
x
_x + x =
1
4
_4 + 4 =
=
1
4
_4 + 2 =
1
4
_2 = _
7
4
=
= _1,75
2. S =
5p + 28
4
h S =
5 ? 24 + 28
4
h
h S = 37
3. N = 10
3
+ 2 ? 10
t
h
h N = 10
3
+ 2 ? 10
5
h
h N = 201 000 pessoas.
4. V =
T
M + 3
h V =
43,2
1,5 + 3
h
h V = 9,6
5. y =
6
x
+ x _ 3,2 h
h y =
6
1,5
+ 1,5 _ 3,2 h y = 2,3
6. a) p =
a + b + c
2
h
h p =
5 + 13 + 10
2
h p = 14
b) p ? (p _ a) ? (p _ b) ? (p _ c) =
= 14 ? (14 _ 5) ? (14 _ 13) ?
? (14 _ 10) = 504
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 298 19/11/18 13:40

344. 299
7. a)
a
2
_ 2a
a
=
4
2
_ 2 ? 4
4
= 4
b) m
2
_ 2mn + n
2
=
= (_1)
2
_ 2(_1)
1
4
+ [
1
4
]
2
=
25
16
c)
a
2
+ ax
m
=
8
2
+ 8 ? 10
9
=
=
64 + 80
9
= 4
d) 3(x
2
_ y
2
) _ 10(x + y) ? (x _ y) =
= 3((_2)
2
_ (_2)
2
) _ 10 ((_2) +
+ (_2)) ? ((_2) _ (_2)) = 0
e) (a _ b)
2
_ c
2
=
= [
2
3
_ 1]
2

_ (_1)
2
=
=
1
9
_1 = _
8
9
f)
1 _ x
2

xy + 1
=
1 _ (0,5)
2

(0,5) ? (_8) + 1
=
=
1 _ 0,25
(_4) + 1
=
0,75
_3
= _0,25
g)
x
3
_ y
3

x
3
+ y
3
=
[
1
2
]
3
_ (_2)
3

[
1
2
]
3
+ (_2)
3
=
=
[
1
8
] + 8
[
1
8
] _8
=
[
65
8
]
[_
63
8
]
= _
65
63
h)
y +
1
x
x +
1
y

=
5 +
1
10
10 +
1
5

=
=
51
10
51
5

=
1
2
8. A = p ? [1 +
r
100
]
n
h
h A = 10
4
? [1 +
250
100
]
2

h
h A = 122 500
9. a) x = 4
b) a =
1
3
c) x = _
2
5
d) b = 1
10. a) x = _y
b) x = 2y
c) x = _
y
2
11. • x + y + z = 34
• x = 2y = 5z
• x = 2y e 2y = 5z h z =
2y
5
Assim: x + y + z = 34 h
h 2y + y +
2y
5
= 34 h y = 10
• x = 2 ? 10 = 20
• z =
2y
5
h z =
2 ? 10
5
h z = 4
Portanto:
5x _ 3yz = 5 ? 20 _ 3 ? 10 ? 4 = _20
Pense e responda p. 107
1. a) x ? y
b) 2x + 2y
c) Resposta pessoal.
2. a) 2x
b) x
2
+ x
Atividades p. 109
1. 9x
2. 9,20x
3. 20x
4. 22,50y
5. 7ab
6. a) 8x
b) 8y
7. a) Sim.
b) Sim.
c) Não.
d) Sim.
e) Não.
f) Sim.
g) Não.
h) Sim.
i) Não.
j) Não.
8. a) 7; b
3
.
b) _1; x
2
y.
c) 0,9; c
4
.
d) 1; a
5
x
3
.
e) _6,2; a
4
b
2
c.
f)
4
5
; não tem.
9. (2a)
3
= 8a
3
10. 125x, 625x, 3125x.
Atividades p. 112
1. 9x
3
y; _
2
3
m
2
n
2
.
2. 9º grau.
3. x = 3
4. a) _2x
5
b) _2x
5
; 10x
4
; 7x
3
; 8x
2
; _2,5x; 20.
5. • n + 2 = 8 h n = 6
• 7 + m = 8 h m = 1
m + n = 7
6. a) 0,7ax
2
b) 20a
2
x
2
c) 5a
2
x; _0,5a
2
x.
d) 10ax; _
1
2
ax.
7. a) 3x
2
b) _2xy
c) 1,2ab
d) _1,3x
2
y
e) 2bc
f) _0,5ab
3
g) _
1
18
x
2
y
2
8. _9x
3
y
3
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345. 300
9. a) 7x
2
b) _2x
2
c) 3x
2
d) 2x
2
10. a) 10x
b) −y
2
c) 13ab
d) _12xy
11. a) _13bc
b) 18bc
12. _3,3a
2
x
2
13. a) 0,4ay
b) 0,4ay = 0,4 ? 1,4 ? (_0,9) =
= _0,504
Pense e responda p. 113
1. a) 3a
3
b) 7a
3
c) 14a
3
d) 14a
3
Atividades p. 114
1. a) a
10
b) _0,45x
3
y
3
c) 3,12a
2
b
2
c
d) a
5
bc
3
e) _0,02y
7
2. a) – 20a
6
b
3
c
5
b) 1,35y
7
c) 0,1x
5
y
3
d) 40m
3
n
3
p
2
3. a)
1
2
x
2
ou 0,5x
2
b) 6x
2
c) 6x
2
d) 12x
2
4. A = x
11
y
6
.
Os termos, a partir do segundo, são
multiplicados por: x
2
y
(xy, x
3
y
2
, x
5
y
3
, x
7
y
4
, x
9
y
5
, x
11
y
6
)
Atividades p. 116
1. a) −4b
b) _4x
3
c) +4
d) _5a
2
c
2. a)
1
2
a
3
x
b) _4an
3. _2ax
2
(_40ax) ? (_0,5ax
2
)
_10ax
=
20a
2
x
3
_10ax
=
= _2ax
2
4. M = +2x
2
y
M =
+60x
6
y
3
_12x
4
y
2
+ 7x
2
y =
= _5x
2
y + 7x
2
y = 2x
2
y
5. +5a
3
b
_27a
4
b
2
+ 7a
4
b
2
_10ab + 6ab
=
_20a
4
b
2
_4ab
=
= 5a
3
b
6. Não, pois a resposta correta é 5x
2
.
_10x
3
y
_2xy
= 5x
2
7. _5y
(_7y + 10y + 2y)
3
(_10y
2
_15y
2
)
=
(5y)
3
_25y
2
=
=
125y
3
_25y
2
= _5y
8. 2c
2
[_
1
2
a
2
c
5
]
4
[_
1
4
a
4
c
9
]
+ c
2
=
1
16
a
8
c
20
1
16
a
8
c
18
+ c
2
=
= c
2
+ c
2
= 2c
2
Por toda parte p. 117
a) China
b) 0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x
(Brasil); 0,7x (China e Brasil)
c) • 0,08y (Centro−Oeste); • 0,26y
(Nordeste)
d) Resposta pessoal.
Atividades p. 119
1. 2x + 3y
2. d + 5r
3. x
2
_ y
2
4. a) x + y
b) 4x + 2y
5. a) 10x + y
b) 10y + x
6. a) 2a + b
b) 2a _ b
7. a
2
+ 2ab + b
2
8. 200 + 3x
Atividades p. 122
1. a) 3a
2
x _ 4a
2
x
2
_ 2ax
2
b) 5x + 3y + 4xy
2. a) 1,3a + 0,6ab
b) É um binômio.
3. a) 5ab + 3a _ 14b + 7
b) x
2
_ y
2
4. 5
o
grau.
5. x
5
_ 9x
4
_ 6x
3
_ 5x
2
+ x + 10;
5
o
grau.
6. c
5
+ 0c
4
+ 0c
3
+ 0c
2
+ 0c _ 1
7. 2x
2
+ 3ax
8. a) O perímetro.
b) 6x
9. 6x; 6x + 6; 6x + 12
Atividades p. 124
1. 13x + 3,1a
3x + 0,5a + 3x + a + 3x + a +
+ 4x + 0,6a = 13x + 3,1a
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 300 19/11/18 13:40

346. 301
2. _2
(17x
2
_ 15x + 20) +
+ (_13x
2
+ 20x _ 31) =
= 4x
2
+ 5x _ 11
Assim: a + b + c =
= 4 + 5 _ 11 =_2
3. a) 0,6x _ 3
b) 0,4x + 1
c) 0,6x _ 3 + 0,4x + 1 = x _ 2
d) 0,6x _ 3 _ 0,4x _ 1 = 0,2x _ 4
4. a) _9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x
b) 0
c) (9a
2
x
2
_ 7ax _ 11a + 6x) _
_ (_9a
2
x
2
+ 7ax + 11a _ 6x) =
= 18a
2
x
2
_ 14ax _ 22a + 12x
5. a) 3a + 2b + 2c
b) a _ b + 3c
c) a + 3b _ c
d) _a + b + c
6. 4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
A + 9x + 3y _ 10xy _ x
2
y
2
=
= 3x
2
y
2
_ 7x + 5y _ xy h
A = (3x
2
y
2
_ 7x + 5y _ xy) _
_ (9x + 3y _ 10xy _ x
2
y
2
) h
A = 4x
2
y
2
_ 16x + 2y + 9xy
7. a) 3x
2
+ 3xy _ 2y
2
b) _x
2
_ 13xy + 4y
2
8. a) 6a _ 15b + 7c
b) 7y
2
_ 4ay + 5a
2
c) _2a
3
+ 5a
2
b _ ab
2
_ 5b
3
d) 2x
2
+ 2y
2
+ 4x
2
y
2
e) 0,2a
2
_ 0,6b
2
_ 0,8c
2
f) 4a
2
_ 4ab + 5b
2
+ 2c
2
g) 0,2x
3
+ 0,3x
2
+ 0,4x _ 6
h) 2a
2
b
2
+ 2ab
i) 3y
3
_ 6y
2
+ 3
Atividades p. 127
1. 2xy _ 1,2y
2
2. V = 3x ? 2y ? (2x _ y) =
= 6xy ? (2x _ y) = 12x
2
y _ 6xy
2
3. a) _2abx
b) 3ab _ 5b
2
4. xy + 4xz
5. P = a
3
+ b
3
6. a) A
verde
= (3x + y)(2x _ y) =
= 6x
2
_ xy _ y
2
b) A
verde
= 6x
2
_ xy _ y
2
=
= 6(20)
2
_ 20 ? 10 _ (10)
2
= 2 100
7. P = 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
P = (1,2x + 0,5y) ? (1,5x _ 0,5y) =
= 1,8x
2
_ 0,6xy + 0,75xy _ 0,25y
2
=
= 1,8x
2
+ 0,15xy _ 0,25y
2
8. P = (5x
2
_ x _ 1) ? (2x
2
+ x _ 5) =
P = 10x
4
+ 5x
3
_ 25x
2
_ 2x
3
_ x
2
+
+ 5x _ 2x
2
_ x + 5
P = 10x
4
+ 3x
3
_ 28x
2
+ 4x + 5
Assim: a = 10; b = 3; c = _28;
d = 4; e = 5
Portanto: a + b + c + d + e =
= 10 + 3 _ 28 + 4 + 5 = _6
9. a) 2,1a
2
_ 16,05ax + 7,5x
2
b) 2a
4
_ 2a
3
_ a
2
+ 2a _ 1
c) a
3
+ x
3
10. a) x
2
_ 10xy + 25y
2
b) 0,36 + 2,4ax + 4a
2
x
2
c) b
3
+ 3b
2
y + 3by
2
+ y
3
11. V
1
= x ? (3x + 1) ? 2x = 6x
3
+ 2x
2
V
2
= (x + 1) ? x ? (x + 3) =
= x (x
2
+ 4x + 3) = x
3
+ 4x
2
+ 3x
V
1
+ V
2
= 6x
3
+ 2x
2
+ x
3
+ 4x
2
+
+ 3x = 7x
3
+ 6x
2
+ 3x
12. a) (a
3
_ b
3
)(a + b) _ (a
2
+ b
2
)
(a
2
_ b
2
) = (a
4
+ a
3
b _ ab
3
_ b
4
) _
_ (a
4
_ a
2
b
2
+ a
2
b
2
_ b
4
) = a
3
b _ ab
3
b) (a _ 2b) [a(b _ 3) + b(1 _ a)] =
= (a _ 2b) (ab _ 3a + b _ ab) =
= (a _ 2b) (_ 3a + b) =
= _3a
2
+ 7ab _ 2b
2
13. Pela ponta da esquerda: B, C, D, A.
Pela ponta da direita: A, D, C, B.
Atividades p. 129
1. a) _0,5a
3
+ 0,9a
4
b
2
b) _
1
3
xy +
5
4
c) abc + a
2
_ c
2. P =
18a
2
x
5
+ 42a
3
x
4
_ 72a
4
x
3
6a
2
x
3
=
= 3x
2
+ 7ax _ 12a
2
Tratamento da informação p. 130
1. 77,30 anos.
M =
83,98 + 82,20 + 83,40 +
13

82,70 + 81,00 + 81,20 + 78,69 +
13

77,12 + 76,25 + 75,51 + 71,59 +
13

68,56 + 62,77
13
M =
1 004,97
13
= 77,30
2. Menor esperança de vida: 62,77
anos, na África do Sul; maior
esperança de vida: 83,98 anos, no
Japão; variação da esperança de
vida: 83,98 _ 62,77 = 21,21 anos.
3. 83,98 _ 75,51 = 8,47 anos.
4. 73,9 _ 71,9 = 2,0 anos.
5. Resposta pessoal.
6. Resposta pessoal.
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 301 19/11/18 13:40

347. 302
Retomando o que aprendeu
p. 132
1. a) 3(0)
2
_ 5(0) _ 1 = _1
b) 3(_1)
2
_ 5(_1) _ 1 = 7
c) 3(1,2)
2
_ 5(1,2) _ 1 = _2,68
2. Alternativa a.
(_ a _ b) (a + b) + ab
3
_
a
2
b
=
= _(a + b)
2
+ ab
3
_
a
2
b
=
= _ (_2 _2)
2
+ (_2)(_2)
3
_
(_2)
2
(_2)
=
= _ 16 + 16 + 2 = 2
3. Alternativa e.
xy
x _ y
=
0,4 ? 0,5
0,4 _ 0,5
= _2
4. Alternativa d.
5. Alternativa c.
x
3
+ 2x
2
= (_2)
3
+ 2(_2)
2
=
= _8 + 8 = 0
6. Alternativa c.
V =
3
2
x + 40 h
h V =
3
2
? 50 + 40 h V = 115
7. Alternativa e.
A =
x _ y
xy
h A =
2
5
_
1
2
2
5
?
1
2
h
h A =
4
10
_
5
10
2
10
h A =
_
1
10
2
10
h
h A = _
1
2
8. Alternativa d.
• para t = 12h;
T = _
1
6
t
2
+ 4t + 10 h
h T = _
1
6
(12)
2
+ 4 ? 12 + 10 h
h T = 34° C
• para t = 18h;
T = _
1
6
t
2
+ 4t + 10 h
h T = _
1
6
(18)
2
+ 4 ? 18 + 10 h
h T = 28° C
Portanto, a temperatura diminui:
34 °C – 28 °C = 6 °C
9. Alternativa b.
x
3
_ 1
1 _ x
=
(0,1)
3
_ 1
1 _ 0,1
=
_0,999
0,9
=
= _1,11
10. Alternativa e.
V =
4
3
pr
3
h V =
4
3
p(5)
3
h
h V = 523,33 cm
3
11. Alternativa b.
a
x
= 10
A = 4 ? a
x
_ 2a
2x
=
= A = 4 ? 10 _ 2(10)
2
= _160
12. Alternativa d.
A =
5x ? 2,5x
2
= 6,25x
2
13. Alternativa b.
3 ? 3,5x ? 3,5x = 36,75x
2

14. Alternativa b.
• para n = 1;
n
2
+ 3n + 1 = 1
2
+ 3 ? 1 + 1 = 5
• para n = 2;
n
2
+ 3n + 1 = 2
2
+ 3 ? 2 + 1 = 11
• para n = 3;
n
2
+ 3n + 1 = 3
2
+ 3 ? 3 + 1 = 19
15. Alternativa a.
Cada termo, a partir do segundo, é
o anterior vezes 2x.
xy
4
,
x
2
y
2
, x
3
y, 2x
4
y, 4x
5
y, 8x
6
y, 16x
7
y
Um novo olhar p. 133
• Resposta pessoal.
• Aristóteles, Euclides, Michael Stifel,
Girolamo Cardano, Raffaele Bombelli
e Leonhard Euler são os mais notórios
personagens dessa longa história.
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 302 19/11/18 13:40

348. 303
Unidade 5
Equações
Pense e responda p. 136
1. 35
x +
x
7
= 40 h 8x = 7 ? 40 h x = 35
2. 32
x +
x
2
+
x
4
= 56 h 7x = 4 ? 56 h
h x = 32
3. 60
x +
2x
3
+
3x
4
= 145 h
h 29x = 12 ? 145 h x = 60
Atividades p. 139
1. a) 21x _ 17 = 109 h 21x = 126 h
h x = 6
b) 73x + 100 = 53x h
h 20x = _100 h x = _5
c) 1,7 + 2,5x = 4,2 h
h 2,5x = 2,5 h x = 1
d) 23x _ 22 = 19x + 6 h
h 4x = 28 h x = 7
e) 12x _ 16 = _21 + 10x h
h 2x = _5 h x = _
5
2
f) 1,9x _ 3,6 = x _ 10,8 h
h 0,9x = _7,2 h x = _ 8
g) 10 (x + 1) _ 5 (x _ 2) = 70 h
h 10x + 10 _5x + 10 = 70 h
h 5x = 50 h x = 10
h) 5 (x + 2) _ 13 = 2 (3x _ 1) h
h 5x + 10 _ 13 = 6x _ 2 h
h x = _1
i) 7 (2 + x) = 5 (x _ 1,2) + 35 h
h 14 + 7x = 5x _ 6 + 35 h
h 2x = 15 h x = 7,5
j) 3 (x + 1) _ 2 (x _ 1) =
= _ (x + 5) h 3x + 3 _ 2x + 2 =
= _ x _ 5 h 2x = _ 10 h x = _5
2. (3 + x) _ 1 = (17 _ 4x) _ (3 + x) h
h 3 + x _ 1 = 17 _ 4x _ 3 _ x h
h 6x = 12 h x = 2
3. a)
x
4
+ 20 =
x
3
h
h
x
4
_
x
3
= _20 h
h _x = 12 ? (_20) h x = 240
b)
2
5
y _
3
4
=
3
20
y h
h
2
5
y _
3
20
y =
3
4
h
h
5y
20
=
3
4
h y = 3
c) 1 _
x
2
= _
1
3
x + 2 h
h _
x
2
+
x
3
= _1 + 2 h
h _x = 6 ? 1 h x = _6
d)
x _ 10
9
+
x
6
= 10 h
h
2(x _ 10) + 3x
18
= 10 h
h 5x = 200 h x = 40
e)
x + 3
4
_
x _ 1
3
=
7
2
h
h
3x + 9 _ 4x + 4
12
=
42
12
h
h _x = 29 h = _29
f)
4x _ 1
10
_2 =
4
5
_
2 _ x
4
h
h
4x _ 1
10
+
2 _ x
4
=
4
5
+2 h
h
8x _ 2 + 10 _ 5x
20
=
16 + 40
20
h
h 3x = 48 h x = 16
4. O número 6.
x + 2
4
_
x _ 1
5
= 1 h
h
5x + 10 _ 4x + 4
20
=
20
20
h x = 6
5. 45
(x _ 5) + (2x _ 9) + (3x _ 13) +
+ (4x _ 3) = 90 h 10x = 120 h
h x = 12
• (x _ 5) = 12 _ 5 = 7
• (2x _ 9) = 24 _ 9 = 15
• (3x _ 13) = 36 _ 13 = 26
• (4x _ 3) = 48 _ 3 = 45
Atividades p. 141
1. 100 g
2x + 400 = 4x + 200 h
h 2x = 200 h x = 100
2. 1
a
fase: 6; 2
a
fase: 9.
Chamando a nota da primeira fase
de x:
x + 2 ? (x + 3)
3
= 8 h 3x = 18 h
h x = 6
Assim, a nota da segunda fase será:
x + 3 h 6 + 3 = 9
3. Caio: R$ 58 000,00; Lucca:
R$ 29 000,00; Theo: R$ 78 000,00.
Seja (C) o valor recebido pelo Caio.
Assim:
• L =
C
2
• T = C + 20 000
Então: C + L + T = 165 000 h
h C +
C
2
+ C + 20 000 =
= 165 000 h C +
C
2
+ C =
= 145 000 h 2,5C = 145 000 h
h C = 58 000
Portanto:
• L =
C
2
h L =
58 000
2
h L = 29 000
• T = C + 20 000 h
h T = 58 000 + 20 000 = 78 000
4. a) 500 reais.
x + 200 = 2x _ 300 h x = 500
b) 700 reais.
x + 200 = 500 + 200 = 700
5. x = 80
x
100
? 2 000 +
60
100
? 5 000 +
80
100
?
? 3 000 = 7 000 h 20x = 1 600 h
h x = 80
6. a) Sim, pois gastaria 20 ? R$ 15,00 =
= R$ 300,00.
b) R$ 172,00 no mínimo.
Consumo mínimo: 16 ? R$ 7,00 +
+ 4 ? R$ 15,00 = R$ 172,00
7. 81 (primeiro valor) e 24 (último
valor).
Seja x o primeiro valor:
x +
2
3
x +
2
3
?
2
3
x +
2
3
?
2
3
?
2
3
x =
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 303 19/11/18 13:40

349. 304
= 195 h x +
2
3
x +
4
9
x +
8
27
x =
= 195 h
65x
27
= 195 h x = 81
Assim, o primeiro valor será 81 e o
último valor
8
27
x =
8
27
? 81 = 24
Atividades p. 144
1. a) 0
b) 0
c) 0
d) x + 3 5 0 h x 5 _3
e) 2x _ 1 5 0 h x 5
1
2
ou
x + 1 5 0 h x 5 _1
f) 2 _ x 5 0 h x 5 2
2. 3
x _ 1
1 _ x
=
1
2
+
x
1 _ x
h
h
x _ 1
1 _ x
_
x
1 _ x
=
1
2
h
h
x _ 1 _ x
1 _ x
=
1
2
h 1 _ x = _2 h
h x = 3
3. _
4
5
3y
y _ 4
= 3 +
2
y
h
h
3y
y _ 4
_
2
y
= 3 h
h
3y
2
_ 2 (y _ 4)
(y _ 4)y
= 3 h
h
3y
2
_ 2y + 8
y
2
_ 4y
= 3 h
h 3y
2
_ 2y + 8 = 3y
2
_ 12y h
h 10y = _8 h y = _
4
5
4. S = { _1}
1
x _ 1
=
3
x _ 2
_
2
x _ 3
h
(x _ 2) (x _ 3)
(x _ 1) (x _ 2) (x _ 3)
=
3(x _ 1) (x _ 3) _ 2 (x _ 1) (x _ 2)
(x _ 1) (x _ 2) (x _ 3)
h
h (x _ 2) (x _ 3) = 3 (x _ 1) (x _ 3)_2
(x _ 1) (x _ 2) h x
2
_ 5x + 6 =
= 3x
2
_ 12x + 9 _ 2x
2
+ 6x _ 4 h
h x = _1
5. a) S = {
4
3
}
5
x
2
_ 9
= _
3
x + 3
h
h
5
x
2
_ 9
= _
3(x _ 3)
x
2
_ 9
h
h 5 = _3x + 9 h x =
4
3
b) S = @
4
x
2
_ 4
+
1
x + 2
=
1
x
h
h
4x + x(x _ 2)
x(x
2
_ 4)
=
x
2
_ 4
x(x
2
_ 4)
h
h 4x + x
2
_ 2x = x
2
_ 4 h x = _2
Mas x 5 _2. Assim: S = @
c) S = {
2
3
}
1
y + 5
+
2
y _ 5
=
7
y
2
_ 25
h
h
y _ 5 + 2(y + 5)
y
2
_ 25
=
=
7
y
2
_ 25
h y _ 5 + 2y + 10 = 7 h
h 3y = 2 h y =
2
3
d) S = {_
1
2
}
5x _ 2
9 _ x
2
+
2
x + 3
_
1
3 _ x
= 0 h
h
5x _ 2 + 2(3 _ x) _ (x + 3)
9 _ x
2
=
= 0 h 5x _ 2 + 6 _ 2x _ x _
_ 3 = 0 h 2x = _1 h x = _
1
2
6.
5x
x
2
_ 1
+
1
x _ 1
_
1
x + 1
= 0 h
h
5x + x + 1 _ (x _ 1)
x
2
_ 1
=
=
0
x
2
_ 1
h 6x + 1 _ x + 1 = 0 h
h 5x = _2 h x = _
2
5
7. 14 grupos.
128
x
=
224
x + 6
h 224x =
= 128x + 768 h 96x = 768 h
h x = 8
Assim, na colônia de férias B, há
8 + 6 = 14 grupos
8. 500 camisetas.
C
x
= F + 8x h
C
x
=
F + 8x
x
h
h 12 =
2 000 + 8x
x
h
12x = 2 000 + 8x h 4x = 2 000 h
h x = 500
9. 32 alunos no 8
o
ano A e 30 alunos
no 8
o
ano B.
Chamando de x a quantidade de
alunos no 8º ano A, temos que:
320
x
=
300
x _ 2
h 300x =
= 320x _ 640 h 20x = 640 h
h x = 32
Assim, há 32 alunos no 8
o
ano A e
32 _ 2 = 30 alunos no 8
o
ano B.
Por toda parte p. 145
1. 23 bases
3x
10
_ 15 = 5
7
10
_
3x
5
h
h
3x
10
+
3x
5
=
57
10
+ 15 h
h
3x + 6x
10
=
57 + 150
10
h
h
9x
10
=
207
10
h x = 23
2. y = 81; 81 km
1
4
_
4
y _ 11
=
1
2
_
129
6y _ 66
h
h
3(y _ 11) _ 48
12 (y _ 11)
=
=
6y _ 66 _ 258
12 (y _ 11)
h
h 3y _ 33 _ 48 = 6y _ 324 h
h 3y = 243 h y = 81
Atividades p. 146
1. a) {
a
4b
, com b 5 0}
5bx + 2a = bx + 3a h 4bx = a h
h x =
a
4b
b) {_
5b
a
, com a 5 0}
3(ax + b) = 2(ax _ b) h
h 3ax + 3b = 2ax _ 2b h
h ax = _ 5b h x = _
5b
a
c) {
1
b
, com b 5 0}
(x + b)(x _ b) = x ? (x _ b
3
) h
h x
2
_ b
2
= x
2
_ xb
3
h
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 304 19/11/18 13:40

350. 305
h xb
3
= b
2
h x =
1
b
d) {1}
(a _ b)x + (a + b)x = 2a h
h ax _ bx + ax + bx = 2a h
h 2ax = 2a h x = 1
e) {2ac}
x
a
= c +
x
2a
h
x
a
_
x
2a
= c h
h
2x _ x
2a
= c h
x
2a
= c h
h x = 2ac
2. {
1
h
, com h 5 0}
6hx + 14 = 18 + 2hx h
h 4hx = 4 h x =
1
h
3. 16b
b + x
5
+
b _ x
3
= _
x
10
h
h
6b + 6x + 10b _ 10x
30
= _
3x
30
h
h x = 16b
Educação financeira p. 147
1. Aproximadamente 19%
Preço à vista: 300,00 _ (300,00 x
x 8%) = R$ 276,00
Preço a prazo: R$ 300,00
R$ 276,00 dos quais R$ 150,00 são
pagos no ato (sem juros) e sobra
R$ 126,00 para pagar.
Como o valor pago na segunda
parcela é R$ 150,00, o juro equivale
a R$ 24,00.
150
126
1 1,19, ou seja, o juro é de
aproximadamente 19%.
Pense e responda p. 148
a) 2x + 16 = 4y
b) Sim, pois 2 ? 6 + 16 = 4 ? 7, ou
seja, 12 + 16 = 28.
2. a) 4x + 2y = 60
b) Sim, pois 4 ? (12) + 2 ? (6) = 60,
ou seja, 48 + 12 = 60.
Atividades p. 149
1. a) Sim.
5 ? 5 + 2 ? (_2) = 21
b) Sim.
5 _ 9 ? (_2) = 23
c) Não.
10 ? 5 _ (_2) 5 48
d) Sim.
6 ? 5 + 6 ? (_2) = 18
e) Não.
3 ? 5 _ 4 ? (_2) 5 _23
f) Não.
0,5 ? 5 _ 0,3 ? (_2) 5 1,9
2. a) x = 2
2x + 5(7x _ 3) = 59 h
h 2x + 35x _ 15 = 59 h
h 37x = 74 h x = 2
b) x = _
9
2
3x _ (7x _ 3) = 21 h
h 3x _ 7x + 3 = 21 h
h _ 4x = 18 h x = _
9
2
c) x =
11
16
5x _ 3(7x _ 3) = _2 h
h 5x _ 21x + 9 = _2 h
h _16x = _11 h x =
11
16
d) x = _1
0,3x _ 0,2(7x _ 3) = 1,7 h
h 0,3x _ 1,4x + 0,6 = 1,7 h
h _1,1x = 1,1 h x = _1
3. a) (_0,5; 0,8)
0,6x _ 1,5 ? 0,8 = _1,5 h
h 0,6x = _0,3 h x = _0,5
b) (0,5; 1,2)
0,6x _ 1,5 ? 1,2 = _1,5 h
h 0,6x = 0,3 h x = 0,5
4. a) (4, 3)
9x _ 5 ? 3 = 21 h 9x = 36 h
h x = 4
b) (_6, _15)
9 ? (_6) _ 5y = 21 h
h _54 _ 5y = 21 h y = _15
5. a) (8, 6)
6 ? 8 _ y = 42 h y = 6
b) (12, 30)
6x _ 30 = 42 h 6x = 72 h
h x = 12
6. É verdadeira.
• 10 ? (_1) _ 10 = _20 h
h _20 = _20
• 5 ? (_1) + 2 ? (10) = 15 h
h 15 = 15
7. O par ordenado é (4, 3).
Atividades p. 150
1. a)
b)
2. a)
b)
x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0 2 (0, 2)
1 4 (1, 4)
2 6 (2, 6)
x y (x, y)
_1 0 (_1, 0)
0
1
3
[0,
1
3
]
1
2
3
[1,
2
3
]
2 1 (2, 1)
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
1234 5x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 305 19/11/18 13:40

351. 306
c)
Atividades p. 152
1. a) {
x + y = 60
x = 2y
b) {
x + y = 9
x _ y = 3
c) {
x + y = 3,5
x = 3y _ 0,5
d) {
x + y = 10
20x + 10y = 130
e) {
x + y = 100
x = 2y + 4
f) {
x + y = 24
3x + 2y = 56
g) {
2x + 2y = 22
x = y + 5
2. {
x + y = 23
2x + 4y = 82
Atividades p. 154
1. Sim.
{
3x _ 2y = 16 h 3 ? 10 _ 2 ? 7 = 16
2x + 3y = 41 h 2 ? 10 + 3 ? 7 = 41
2. Sim, é solução.
{
4x + 3y = 3 h 4 ? (_3) + 3 ? 5 = 3
2x _ 5y = _31 h 2 ? (_3) _ 5 ? 5 = _41
3. (2, 1)
{
2x _ y = 3 h 2 ? 2 _ 1 = 3
3x + 2y = 8 h 3 ? 2 + 2 ? 1 = 8
4. Não é solução.
{
x
2
+ 4y = 7 h
_2
2
+ 4 ? 2 5 7
x _
y
2
= 3 h _2 _
2
2
5 3
5. (4, 2)
{
x + y = 6
x _ y = 2
h {
x + y = 6
x = 2 + y
2 + y + y = 6 h 2y = 4 h y = 2
Portanto: x = 2 + 2 = 4
6. a) Alternativa b.
b) A incógnita x representa a
quantia economizada por Bento; a
incógnita y, a quantia economizada
por Antônio.
c) Alternativa a.
{
x +
y
3
= 110
y +
x
4
= 110

h
{
80 +
90
3
= 110
90 +
80
4
= 110
d) x = 80 reais (quantia economizada
por Bento) e y = 90 reais (quantia
economizada por Antônio).
Atividades p. 157
1. a) (15, 7)
{
x + y = 22
x _ y = 8
h {
x + y = 22
x = 2 + 8
• y + 8 + y = 22 h 2y = 14 h
h y = 7
• x + y = 22 h x + 7 = 22 h
h x = 15
b) (10, 6)
{
2x + y = 26
x _ y = 4
h {
2x + y = 26
x = 4 + y
• 2(4 + y) + y = 26 h
h 8 + 2y + y = 26 h
h 3y = 18 h y = 6
• x = 4 + y h x = 4 + 6 h
h x = 10
c) (−1, −2)
{
3x + y = _5 ?(2)
5x _ 2y = _1
h
h {
6x + 2y = _10 (I)
5x _ 2y = _1 (II)
Somando (I) e (II):
11x = _11 h x = _1
Substituindo x em (II):
5 ? (_1) _ 2y = _1 h
h _5 _2y = _1 h 2y = _4 h
h y = _2
d) (4, _4)
{
x + 2y = _4 (I)
3x _ 2y = 20 (II)
Somando as equações:
4x = 16 h x = 4
Substituindo x em (I):
4 + 2y = _4 h 2y = _8 h
h y = _4
e) (1,2; 0,6)
{
x + 3y = 3
2x _ y = 1,8 ?(3)
h
h {
x + 3y = 3 (I)
6x _ 3y = 5,4 (II)
Somando as equações:
7x = 8,4 h x = 1,2
Substituindo x em (I):
1,2 + 3y = 3 h 3y = 1,8 h
h y = 0,6
f) (20, 12)
{
x
5
= 10 _
y
2
(?10)
x _ y = 8
h
h {
2x = 100 _ 5y (I)
x = 8 + y (II)
Substituindo (II) em (I)
2(8 + y) = 100 _ 5y h
h 16 + 2y = 100 _ 5y h
h 7y = 84 h y = 12
Substituindo y em (II):
x = 8 + 12 h x = 20
g) (1, 0)
{
3x _ 5y = 2(x _ y) + 1
6y _ 3(x _ 3y) + 2 = _x
h
h {
x _ 3y = 1
_2x + 15y = _2
h
h {
x = 1 + 3y (I)
_2x + 15y = _2 (II)
Substituindo (I) em (II)
_2(1 + 3y) + 15y = _2 h
h _2 _ 6y + 15y = _2 h
h 9y = 0 h y = 0
Substituindo y em (I):
x = 1 + 3 ? 0 h x = 1
h) (6, 3)
{
x + y = 9
x
2y
= 1
h {
x + y = 9 (I)
x = 2y (II)
Substituindo (II) em (I)
2y + y = 9 h y = 3
12345 x
0
y
_1
_1
_2
_3
_4
_2_3_4
1
2
3
6
5
4
EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 306 19/11/18 16:34

352. 307
Substituindo y em (II):
x = 2y h x = 2 ? 3 h x = 6
i) (4, 2)
{
2x = 2 + 3y
1
y _ 1
=
1
x _ 3

h
h {
2x = 2 + 3y
x _ 3 = y _ 1
h
h {
2x = 2 + 3y (I)
x = y + 2 (II)
Substituindo (II) em (I)
2(y + 2) = 2 + 3y h
h 2y + 4 = 2 + 3y h y = 2
Substituindo y em (II):
x = 2 + 2 h x = 4
2.
21
12
• {
x
y
=
7
4

x
y + 2
=
3
2

h {
4x = 7y
2x = 3y + 6 (?2)
h
h {
4x = 7y (I)
4x = 6y + 12 (II)
Igualando (I) e (II):
7y = 6y + 12 h y = 12
Substituindo y em (I):
4x = 7 ? 12 h x = 21
Atividades p. 160
1. a) (25, 17)
{
x + y = 42
x _ y = 8
h {
x + y = 42 (I)
x = 8 + y (II)
Substituindo (II) em (I)
8 + y + y = 42 h y = 17
Substituindo y em (II):
x = 8 + 17 h x = 25
b) (4, _1)
{
2x + 7y = 1 (I)
_2x + 3y = _11 (II)
Somando (I) e (II):
10y = _10 h y = _1
Substituindo y em (I):
2x + 7 ? (_1) = 1 h 2x = 8 h
h x = 4
c) (6, 5)
{
7x _ 4y = 22
2x _ 4y = _8 ?(_1)
h
h {
7x _ 4y = 22 (I)
_2x + 4y = +8 (II)
Somando (I) e (II):
5x = 30 h x = 6
Substituindo x em (I):
7 ? 6 _ 4y = 22 h 4y = 20 h
h y = 5
d) (2, −1)
{
8x + 6y = 10
_3x + 6y = _12 ?(_1)
h
h {
8x + 6y = 10 (I)
3x _ 6y = 12 (II)
Somando (I) e (II):
11x = 22 h x = 2
Substituindo x em (I):
8 ? 2 + 6y = 10 h 6y = _6 h
h y = _1
e) (−2,5; 1,5)
{
4x + 2y = _7
2x + 3y = _0,5 ?(_2)
h
h {
4x + 2y = _7 (I)
_4x _ 6y = 1 (II)
Somando (I) e (II):
_4y = _6 h y = 1,5
Substituindo y em (I):
4x + 2 ? (1,5) = _7 h
h 4x + 3 = _7 h 4x = _10 h
h x = _2,5
f) (9, 6)
{
2x _ y = 12
x
3
+
y
2
= 6 (?6)
h
h {
2x _ 12 = y (I)
2x + 3y = 36 (II)
Substituindo (I) em (II):
2x + 3(2x _ 12) = 36 h
h 2x + 6x – 36 = 36 h
h 8x = 72 h x = 9
Substituindo x em (I):
y = 2 ? 9 _ 12 h y = 6
g) [
2
7
,
2
7
]
{
x _ y
5
=
x _ y
2
2x = 2 _ 5y

h

h {
x = y (I)
2x = 2 _ 5y (II)
Substituindo (I) em (II):
2x = 2 _ 5x h 7x = 2 h x =
2
7

Portanto: x = y =
2
7
h) (2, 3)
{
3(x _ 2) = 2(y _ 3)
18 (y _ 2) + y = 3 (2x + 3)
h
h {
3x = 2y (x2)
6x _ 19y = _45
h
h {
6x = 4y (I)
6x _ 19y = _45 (II)
Substituindo (I) em (II):
4y _ 19y = _45 h
h _15y = _45 h y = 3
Substituindo y em (I):
6x = 4 ? 3 h x = 2
2. {
x + 4
y + 3
= 1

2y
x + 2
= 4
h {
_x + y = 1 (I)
2x _ y = _4 (II)
Substituindo (I) em (II): x = _3
Substituindo x em (I): 3 + y = 1 h
h y = _2
a) y _ x = _2 _ (_3) = 1
b) x : y =
_3
_2
=
3
2
c) (x + y)(x _ y) = (_5) ? (_1) = 5
3.
3
4
{
x + 2
y + 2
=
5
6

x _ 2
y _ 2
=
1
2
h {
6x _ 5y = _2
2x _ y = 2
h
h {
6x _ 5y = _2 (I)
_10x + 5y = _10 (II)
Somando (I) e (II): _4x = _12 h
h x = 3
Substituindo x em (I):
6 ? 3 _ 5y = _2 h y = 4
4. 109 e 66.
{
x + y = 175 (I)
x _ y = 43 (II)
Somando (I) e (II):
2x = 218 h x = 109
Substituindo x em (I):
109 + y = 175 h y = 66
5. 128 e 42
{
x + y = 170 (I)
x = 3y + 2 (II)
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353. 308
Substituindo (II) em (I):
3y + 2 + y = 170 h 4y = 168 h
h y = 42
Substituindo y em (II):
x = 3 ? 42 + 2 h x = 128
6. 12 anos.
Seja x a idade de Caio e y a idade
de Pedro.
{
x + y = 22 (I)
x = y + 2 (II)
Substituindo (II) em (I):
y + 2 + y = 22 h 2y = 20 h
h y = 10
Substituindo y em (II):
x = 10 + 2 = 12
7. 21 galinhas e 10 ovelhas.
Seja x o número de galinhas e y o
número de ovelhas.
{
x + y = 31
2x + 4y = 82
h
h {
x = 31 _ y (I)
2x + 4y = 82 (II)
Substituindo (I) em (II):
2(31 _ y) + 4y = 82 h
h 62 _ 2y + 4y = 82 h
h 2y = 20 h y = 10
Substituindo y em (I):
x = 31 _ 10 h x = 21
8. a) = 8
= 2
= 6
= 12
= 14
Considere:
= x
= y
= z
= t
= k
Da 4
a
linha, tem-se: 4 + 4 +
+ 4 + x = 20 h x = 8
Da 1
a
coluna, tem-se: z + 8 +
+ 4 + 4 = 30 h z = 14
Da 3
a
coluna, tem-se: y + y +
+ 14 + 4 = 22 h y = 2
Da 2
a
linha, tem-se: 8 + k +
+ 2 + 2 = 18 h k = 6
Da 2
a
coluna, tem-se: 4 + 6 +
+ t + 4 = 28 h t = 12
b) Carlos tem 72 kg, Andrea tem
51 kg e Balu tem 15 kg.
{
C + B = 87 (I)
C + A = 123 (II)
A + B = 66 (III)
Subtraindo (I) de (II):
A _ B = 36 (IV)
Somando (III) e (IV):
2A = 102 h A = 51
Substituindo A em (IV):
51 _ B = 36 h B = 15
Substituindo A em (II):
C + 51 = 123 h C = 72
Atividades p. 162
1. a) {_1, 1}
x
2
_ 1 = 0 h x
2
= 1 h x = ±1
b) {_4, 4}
x² − 16 = 0 h x² = 16 h
h x = 16 h x = ±4
c) {_8, 8}
x
2
_ 64 = 0 h x
2
= 64 h
h x = 64 h x = ±8
d) @
x
2
+ 16 = 0 h x
2
= _16 (não
tem solução no conjunto dos
números reais)
e) [_
5
3
,
5
3
]
9x
2
= 25 h x
2
=
25
9
h
h x =
25
9
h x = ±
5
3
f) {_2 5, 2 5}
x
2
_ 20 = 0 h x
2
= 20 h
h x = 20 h x = ±2 5
2. a) {_9, 9}
(x + 5)(x _ 6) = 51 _ x h
h x
2
_ 6x + 5x _ 30 =
= 51 _ x h x
2
= 81 h
h x = 81 h x = ±9
b) {_6, 6}
2x(x + 1) _ x(x + 5) =
= 3(12 _ x) h
h 2x
2
+ 2x _ x
2
_ 5x =
= 36 _ 3x h x
2
= 36 h
h x = 36 h x = ±6
3. a) {_
1
3
,
1
3
}
3x _
1
3x
= 0 h 3x =
1
3x
h
9x
2
= 1 h x =
1
9
h x = ±
1
3
b) {_ 6, 6}
x
2
4
_
5
2
= _1 h x
2
_10 =
= _4 h x
2
= 6 h x = ± 6
Retomando o que aprendeu
p. 163
1. Alternativa b.
7x _ [5x + 3 _ (2x + 1) _ 10] =
= _ (_ x + 3) h
h 7x _ [5x + 3 _ 2x _ 1 _ 10] =
= x _ 3 h 7x _ 5x _ 3 + 2x +
+ 1 + 10 = x – 3 h
4x + 8 = x _ 3 h 3x = _11 h
h x = _
11
3
2. Alternativa a.
3x
x _ 4
= 3 +
2
x
h
3x
2
x(x _ 4)
=
=
3x

(x _ 4) + 2 (x _ 4)
x(x _ 4)
h
h 3x
2
= 3x
2
_ 12x + 2x _ 8 h
h 10x = _8 h x = _
4
5
5
y
2
_ 9
=
_3
y + 3
h 5(y + 3) =
= _3(y
2
_9) h 5(y + 3) =
= _3(y + 3)(y _ 3) h
h 5 = _3(y _3) h 5 = _3y + 9 h
h 3y = 4 h y =
4
3
Assim:
x
y
=
_
4
5
4
3
= _
3
5
3. Alternativa a.
A: 280 + 3x
B: 400 + x
280 + 3x = 400 + x h
h 2x = 120 h x = 60
4. Alternativa d.
n + 3
n + 7
=
n + 7
n + 12
h
h n
2
+ 15n + 36 =
= n
2
+ 14n + 49 h n = 13
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 308 19/11/18 13:40

354. 309
Assim: n + 3 = 13 + 3 =
= 16 = 4
5. Alternativa d.
h = 10 _
100
10 + t
h
h 6 = 10 _
100
10 + t
h
h
100
10 + t
= 4 h 4t + 40 = 100 h
h t = 15
6. Alternativa c.
13 000
10
x
+ 2
= 4 000 h
13
10
x
+ 2
= 4 h
h
40
x
+ 8 = 13 h
40
x
= 5 h x = 8
7. Alternativa b.
{
x _ 2
3
+
y
2
=
1
2
x _
y _ 1
2
= 2
h
h {
2x + 3y = 7
2x _ y = 3 x(_1)
h
h {
2x + 3y = 7 (I)
_2x + y = _3 (II)
Somando (I) e (II):
4y = 4 h y = 1
Substituindo y em (I):
2x + 3 ? 1 = 7 h 2x = 4 h x = 2
Assim:
x
y
=
2
1
= 2
8. Alternativa c.
{
P
V
_ P
C
= 5 000 (I)
P
C
= 0,75 ? P
V
(II)
Substituindo (II) em (I):
P
V
_ 0,75 ? P
V
= 5 000 h
h 0,25 ? P
V
= 5 000 h
h P
V
= 20 000
Substituindo P
V
em (II):
P
C
= 0,75 ? 20 000 h
h P
C
= 15 000
9. Alternativa d.
Substituindo (I) em (II):
3P _ 26 = P _ 2 h 2P = 24 h
h P = 12
Substituindo P em (I):
V = 3 ? 12 = 36
10. Alternativa b.
{
A = 4B (I)
A + B = 260 (II)
Substituindo (I) em (II):
4B + B = 260 h 5B = 260 h
h B = 52
Substituindo B em (I):
A = 4 ? 52 h A = 208
Assim: A _ B = 208 _ 52 = 156
11. Alternativa e.
{
P + A = 420 (I)
P +
A
2
= 235 (II)
Fazendo (I) – (II), tem-se:
A
2
= 185 h A = 370
Substituindo A em (I):
P + 370 = 420 h P = 50
12. Alternativa b.
•
1
x _ 3
=
1
y _ 1
h x _ 3 =
= y _ 1 h x _ y = 2 h
h x = y + 2 (I)
• 3y = 2(x _ 1) h 3y = 2x _ 2 h
h 2x _ 3y = 2 (II)
Substituindo (I) em (II):
2(y + 2) h 3y = 2 h
h 2y + 4 _ 3y = 2 h y = 2
Substituindo y em (I):
x = 2 + 2 = 4
Assim:
x
y
_
y
x
=
4
2
_
2
4
=
= 2 =
1
2
=
3
2
13. Alternativa a.
{
N + E = 100
8N + 4E = 620
h
h {
N = 100 _ E (I)
8N + 4E = 620 (II)
Substituindo (I) em (II):
8(100 _ E) + 4E = 620 h
h 800 _ 8E + 4E = 620 h
h 4E = 180 h E = 45
14. Alternativa d.
x ?
3
4
= x _ 5 h 3x = 4x _ 20 h
h x = 20
y ?
5
3
= x + 6 h 5y = 3y + 18 h
h y = 9
Assim: x _ y = 20 _ 9 = 11
15. Alternativa e.
Seja x o número de jovens. Assim:
(100% _ 25% _ 45%)x = 12 h
h 0,3 ? x = 12 h x = 40
Então: 0,45 ? 40 = 18
16. 3 horas.
240
t
=
400
t + 2
h 400t =
= 240t + 480 h t = 3
17. 13 000 pessoas.
{
70A + 90N = 1 540 000
50A + 80N = 1 210 000 ? [_
70
50
]
h
h {
70A + 90N = 1 540 000 (I)
_70A _ 112N = _1 694 000 (II)
Somando (I) e (II):
_22N = _154 000 h N = 7 000
Substituindo N em (I):
70A + 90 ? 7 000 = 1 540 000 h
h A = 13 000
18. 10 partidas.
{
V + D = 12 (I)
2V _ D = 18 (II)
Somando (I) e (II):
3V = 30 h V = 10
19. 12 caixas para 50 livros e 15 caixas
para 70 livros.
{
P + G = 27 ? (_50)
50P + 70G = 1 650
h
h {
_50P _ 50G = 1 350 (I)
50P + 70G = 1 650 (II)
Somando (I) e (II):
20G = 300 h G = 15
Substituindo G em (II):
50P + 70 ? 15 = 1 650 h P = 12
20. 7 medalhas de ouro.
{
O + P = 11 ? (_2)
3O + 2P = 29
h
h {
_2O _ 2P = 29 (I)
3O + 2P = 29 (II)
Somando (I) e (II):
O = 7
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 309 19/11/18 13:40

355. 310
21. 42 arremessos.
{
A + E = 50 ? (_2)
5A _ 2E = 194
h {
2A + 2E = 100 (I)
5A _ 2E = 194 (II)
Somando (I) e (II):
7A = 294 h A = 42
22. 58 moedas de 50 centavos;
20 moedas de 1 real.
{
C + R = 78 ? (_1)
0,5C + R = 49
h {
_C _ R = _78 (I)
0,5C + R = 49 (II)
Somando (I) e (II):
_ 0,5C = _ 29 h C = 58
Substituindo C em (II):
0,5 ? 58 + R = 49 h R = 20
Um novo olhar
• Os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação, pois, se isso ocorrer, teremos uma
divisão por zero, o que já sabemos que é impossível.
• Método da substituição e método da adição.
• Resposta pessoal.
• Possível sistema:
{
x + y = 122 ? (_2)
4x + 2y = 418
h {
_2x _ 2y = _244 (I)
4x + 2y = 418 (II)
Somando (I) e (II):
2x = 174 h x = 87
Substituindo x em (II):
4 ? 87 + 2y = 418 h 2y = 70 h y = 35
Portanto, são 87 vacas e 35 galinhas.
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 310 19/11/18 13:40

356. 311
Unidade 6
Polígonos e transformações no
plano
Atividade p. 170
1. a) 3 tipos.
b) Triângulos, quadriláteros e
octógonos.
Atividades p. 172
1. a) Triângulo.
b) Quadrilátero.
2. a) 5 diagonais.
d =
n(n _ 3)
2
h d =
5(5 _ 3)
2
h
d = 5
b) 20 diagonais.
d =
n(n _ 3)
2
h d =
8(8 _ 3)
2
h
d = 20
c) 44 diagonais.
d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
11(11 _ 3)
2
h d = 44
d) 104 diagonais.
d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
16(16 _ 3)
2
h d = 104
e) 135 diagonais.
d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
18(18 _ 3)
2
h d = 135
3. Alternativa c.
d =
n(n _ 3)
2
h d =
8(8 _ 3)
2
h
d = 20
4. 12 lados; 54 diagonais.
n
o
de lados:
60 cm
5 cm
= 12 lados
d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
12(12 _ 3)
2
h d = 54
5. Alternativa b.
d =
n(n _ 3)
2
h d =
7(7 _ 3)
2
h
h d = 14
6. Undecágono.
• d = 4n
• d =
n(n _ 3)
2
h 4n =
n(n _ 3)
2
h
h n _ 3 = 8 h n = 11
7. Alternativa c.
d =
n(n _ 3)
2
h 35 =
n(n _ 3)
2
h
h n
2
_ 3n _ 70 = 0
D = (_3)
2
_ 4 ? (1) ? (_70) = 289
n =
3 ± 289
2
=
3 ± 17
2
. Assim,
n = _7 ou n = 10.
Como n . 0, tem−se que n = 10.
8. Alternativa c.
d =
n(n _ 3)
2
h 90 =
n(n _ 3)
2
h
h n
2
_ 3n _ 180 = 0
D = (_3)
2
– 4 ? (1) ? (_180) = 729
n =
3 ± 729
2
=
3 ± 27
2
. Assim,
n = _12 ou n = 15.
Como n > 0, tem-se que n = 15.
Pentágono
n = 5
Eneágono
n = 9
Icoságono
n = 20
Soma das
medidas
dos ângulos
internos
S = (n _ 2) ? 180°
S = (5 _ 2) ? 180°
S = 3 ? 180° = 540°
S = (n _ 2) ? 180°
S = (9 _ 2) ? 180°
S = 7 ? 180° = 1 260°
S = (n _ 2) ? 180°
S = (20 _ 2) ? 180°
S = 18 ? 180° = 3 240°
Atividades p. 176
1. 10 lados; decágono.
n _ 2 = 8 h n = 10
2.
3. Undecágono.
S = (n _ 2) ? 180° h
h 1 620° = (n _ 2) ? 180° h
h n _ 2 = 9 h n = 11
4. Hexágono.
Em qualquer polígono a soma dos
ângulos externos vale 360°. Assim:
• S
i
+ S
e
= 1 080° h
h S
i
+ 360° = 1 080° h S
i
= 720°
• S = (n _ 2) ? 180° h
h 720° = (n _ 2) ? 180° h
h n _ 2 = 4 h n = 6
5. med (EBAB) = 54° e med (ABBC) = 81°
Para n = 5:
S = (n _ 2) ? 180° h
h S = (5 _ 2) ? 180° h
h S = 3 ? 180° = 540°
Assim: 2x + 3x + 120° + 135° +
+ 150° = 540° h 5x = 135° h
h x = 27°
med (EBAB) = 2x = 2 ? 27° = 54°
med (ABBC) = 3x = 3 ? 27° = 81°
6.
Soma
das
medidas
dos
ângulos
internos
1 440° 1 800°
Número
de lados
do
polígono
S = (n _ 2) ?
? 180° h
h 1 440° =
= (n _ 2) ?
? 180° h
h n _ 2 =
= 8 h n = 10
S = (n _ 2) ?
? 180° h
h 1 800° =
= (n _ 2) ?
? 180° h
h n _ 2 =
= 10 h n = 12
Soma
das
medidas
dos
ângulos
internos
2 160° 2 340°
Número
de lados
do
polígono
S = (n _ 2) ?
? 180° h
h 2 160° =
= (n _ 2) ?
? 180° h
h n _ 2 =
=12 h n = 14
S = (n _ 2) ?
? 180° h
h 2 340° =
= (n _ 2) ?
? 180° h
h n _ 2 =
= 13 h n = 15
Atividades p. 178
1. a) 1 440°
n _ 3 = 7 h n = 10
S = (n _ 2) h 180° h
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357. 312
h S = (10 _ 2) ? 180° h
h S = 1 440°
b) 144°
a
i
=
1440°
10
= 144°
2. 141°
Para n = 7:
S = (n _ 2) ? 180° h
h S = (7 _ 2) ? 180° h S = 900°
Assim: x + x + x + x + 78° + 78° =
= 900° h 4x = 744 h x = 186°
3. y _ x = 72°
Para n = 5
S = (n _ 2) ? 180° h
h S = (5 _ 2) ? 180° h S = 540°
Como o pentágono é regular:
a
i
= y =
540°
5
= 108°
Como o triângulo ABE é isósceles:
x + x + 108° = 180° h x = 36°
Portanto: y _ x = 108° _ 36° = 72°
4. 36°
Para n = 5
S = (n _ 2) ? 180° h
h S = (5 _ 2) ? 180° h S = 540°
Como o pentágono é regular:
a
i
= y =
540°
5
= 108°
Assim, cada ângulo externo mede:
a
e
= 180° _ 108° = 72°
B
108°
108°
72°
72°
D
E
F
C
x
A
Portanto: x + 72° + 72° = 180° h
h x = 36°
5. Decágono regular.
• S
i
= 4 ? S
e
h S
i
= 4 ? 360° h
h S
i
= 1 440°
• S
i
= (n _ 2) ? 180° h
h 1 440° = (n _ 2) ? 180° h
h n _ 2 = 8 h n = 10
6. 9 lados.
Pense e responda p. 180
1. Três lados congruentes entre si.
2. Sim, três ângulos congruentes entre si.
Pense e responda p. 181
1. 6 triângulos equiláteros.
Atividades p. 181
1.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os
alunos construam um quadrado.
Eles podem construir ângulo de 90º
e utilizar arcos de circunferência
para transportar a medida do lado.
Atividades p. 185
1. 45°, 45°, 135° e 135°
6x _ 21° = 4x + 1° h 2x = 22° h
h x = 11°
Assim, os ângulos desse
paralelogramo medem:
• 6x _ 21° = 6 ? 11° _ 21° = 45°
• 180° _ 45° = 135°
2. x = 47°
82° = x + 35° h x = 47°
3. a) P = 2 ? (3x + 2y) + 2 ? (2x + y) =
= 10x + 6y
b) A = (3x + 2y) ? (2x + y) =
= 6x
2
+ 7xy + 2y
2
4. a) P = 2 ? (5x _ y) + 2 ? (5x _ y) =
= 20x _ 4y
b) A = (5x _ y) ? (5x _ y) =
= 25x
2
_ 10xy + y
2
5. a) O ponto M é ponto médio das
diagonais AC e BD.
x = 16 e y = 12
b) Perímetro do triângulo AMB:
P = 12 + 16 + 20 = 48
F
G
C
B
H I
A
•
S
i
S
e
=
7
2
h
S
i
360°
=
7
2
h
h S
i
= 1260°
• S
i
= (n _ 2) ? 180° h
h 1 260° = (n _ 2) ? 180° h
h n _ 2 = 7 h n = 9
7. 165°
O polígono ABDEFGHI corresponde
a um octógono regular. Assim, a
medida de cada ângulo interno vale:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h
h a
i
=
(8 _ 2) ? 180°
8
h a
i
= 135°
Assim: x + 135° + 60° = 360° h
h x = 165°
8. 105°
• A medida de cada ângulo interno
do hexágono regular vale:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h
h a
i
=
(6 _ 2) ? 180°
6
h a
i
= 120°
• A medida de cada ângulo interno
do octógono regular vale:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h
h a
i
=
(8 _ 2) ? 180°
8
h a
i
= 135°
Assim: x + 135° + 120° = 360° h
h x = 105°
9. a) Decágono regular.
a
e
=
360°
n
h 36° =
360°
n
h
h n = 10
b) 1,2 km
distância que essa pessoa
caminha na trajetória: 10 ? 120 m
= 1 200 m = 1,2 km
c) 1 650 passos.
11 passos 8 m
x 1 200 m
X =
1 200 ? 11
8
= 1 650
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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358. 313
Perímetro do triângulo ABC:
P = 12 + 12 + 20 + 20 = 64
Perímetro do triângulo ABD:
P = 16 + 16 + 20 + 20 = 72
6. x = 90° e y = 45°
No quadrado, as diagonais são
bissetrizes dos ângulos internos.
Assim:
• y = 45°;
• x + 45° + 45° = 180° h x = 90°
7. 33° e 57°
114°
90° _ x
xx
Da figura temos que: x + x + 114° =
= 180° h x = 33°
Assim: 90° _ x = 90° _ 33° = 57°
8. 95°, 95°, 85° e 85°
2x + 5° + x + 40° = 180° h
h 3x = 135° h x = 45°
Assim, as medidas dos ângulos são:
• 2x + 5° = 2 ? 45° + 5° = 95°
• x + 40° = 45° + 40° = 85°
9. x = 60° e y = 120°
• A medida de cada ângulo interno
do hexágono regular vale:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h
h a
i
=
(6 _ 2) ? 180°
6
h a
i
= 120°
Assim: 120° + x = 180° h x = 60°
Mas: x + y = 180° h
h 60° + y = 180° h y = 120°
Atividades p. 187
1. 82°
Seja x a medida do quarto ângulo.
Assim:
x + 78° + 102° + 98° = 360° h
h x = 82°
2. 74°, 106° e 106°
Em um trapézio isósceles, os
ângulos agudos (de medida x) são
congruentes, e os ângulos obtusos
(de medida y) são congruentes.
Assim: x = 74° e x + y = 180° h
h y = 180° _ 74° = 106°
3. x = 62°
x + 118° + 90° + 90° = 360° h
h x = 62°
4. x = 80°; y = 50°
• x + 30° + 70° = 180° h x = 80°
• x + y + 50° = 180° h y = 50°
5. 100°, 100°, 80° e 80°
Em um trapézio isósceles, os
ângulos agudos (de medida x) são
congruentes, e os ângulos obtusos
(de medida y) são congruentes.
Assim: x =
4
5
y
Mas, x + y = 180° h
h
4
5
y + y = 180° h
h y =
5 ? 180°
9
h y = 100°
Portanto:
x =
4
5
y h x =
4
5
? 100° h x = 80°
6. x = 106°
Seja t a medida dos ângulos agudos.
Assim:
t + t + 106° + 106° = 360° h
h t = 74°
Portanto:
x +
t
2
+
t
2
= 180° h
h x = 180° _ 74° = 106°
7. 20,5 cm
16,7 =
12,9 + x
2
h x = 20,5
8. x = 32 cm e y = 18 cm
{
x + y
2
= 25
x _ y = 14

h

{
x + y = 50 (I)
x _ y = 14 (II)
Somando as equações (I) e (II):
2x = 64 h x = 32
Substituindo x em (I):
y = 50 _ x h y = 50 _ 32 h
h y = 18
Tratamento da informação p. 188
1. Região Sudeste. 42,1%.
2. Região Centro-oeste. 7,4%.
3. Não, porque não temos a
informação da população total.
4.
Preferência esportiva dos alunos
da escola X
Esporte
Percentual
(%)
Número de
alunos
Basquete 30% 0,3 ? 360 = 108
Futebol 35% 0,35 ? 360 = 126
Tênis 15% 0,15 ? 360 = 54
Vôlei 20% 0,2 ? 360 = 72
Total 100% 360
a) Futebol.
b) 108
c) Resposta pessoal.
Pense e responda p. 191
O ponto K, que corresponde, neste
caso, ao centro de rotação.
Pense e responda p. 192
Sim, um exemplo são duas reflexões
seguidas.
r
s
Figura inicial
Figura final
Atividades p. 193
1.
A
E
E‘
A‘B‘
D‘
C‘
D
C
B
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 313 19/11/18 13:40

359. 314
2.

C‘
A‘
1
2
3
4
5
1 _8 2 _7 3 _6 4 _5 5 _4 6 _3 7 _2 8 _1
6
0
0
A B
C
B‘
a) A’(−3, 2), B’(−7, 2) e C’(−5, 5).
b) Os valores das ordenadas
permaneceram iguais e das abscissas
são os opostos da figura inicial.
3.
C‘
D‘E‘
A
A‘B‘
B
D
E
C
4. a)
u
b)
u
5.
A
B
O
B‘
F‘
F
A‘
6. Translação.
7. Resposta pessoal.
Tecnologias p. 194
1. Resposta pessoal.
2. Resposta possível. As alterações
realizadas nos primeiros polígonos
construídos acontecem nos
demais polígonos obtidos como
transformação no plano dos primeiros.
Retomando o que aprendeu
p. 196
1. Alternativa c.
Para n = 11:
d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
11(11 _ 3)
2
h d = 44
2. Alternativa b.
Para n = 6:
d =
n(n _ 3)
2
h d =
6(6 _ 3)
2
h
h d = 9
Assim, o número de estradas será:
9 + 6 = 15
3. Alternativa a.
S = (n _ 2) ? 180° h
h 2 160° = (n _ 2) ? 180° h
h n _ 2 = 12 h n = 14
4. Alternativa b.
Para n = 6:
S = (n _ 2) ? 180° h
h S = (6 _ 2) ? 180° h S = 720°
Assim:
4x + 160° + 160° = 720° h
h 4x = 400° h x = 100°
5. Alternativa a.
a
e
=
360°
n
h 24° =
360°
n
h
h n = 15
Assim: d =
n(n _ 3)
2
h
h d =
15(15 _ 3)
2
h d = 90
6. Alternativa b.
Do enunciado:
0,6 ? 15 cm = 9 cm
15 cm
Assim, o perímetro do retângulo
vale: 15 + 15 + 9 + 9 = 48 cm
Portanto, o lado do quadrado mede:
48
4
h 12 cm
7. Alternativa c.
{
x + 3y = 40 (I)
x + y = 30 (II)
Fazendo (I) − (II):
2y = 10 h y = 5
Substituindo y em (II):
x + 5 = 30 h x = 25
Portanto: x _ y = 25 _ 5 = 20 cm
8. Alternativa d.
No quadrilátero ABCD, tem-se:
x + 2x +
3x
2
+
x
2
= 360° h
h 5x = 360° h x = 72°
Verifica−se que: m (ABBC) =
= m(MBBN) = 2x = 2 ? 72° = 144°
Assim, no triângulo BMN: y + y +
+ 144° = 180° h y = 18°
9. Alternativa c.
No triângulo ABD:
72° + (21° + y) + (21° + y) =
= 180° h 2y = 66° h y = 33°
10. a) x = 22°30’
Do enunciado, tem-se:
AB
CD
E
45°
45°
x
y
y
Assim:
{
x + y = 90° (I)
x = y + 45° (II)
Substituindo (II) em (I):
x + x + 45 ° = 90° h
h 2x = 45° h x = 22,5° ou
22° 30’
b) x = _
4
5
3x
x _ 4
_
2
x
= 3 h
3x
2
_ 2(x _ 4)
x(x _ 4)
=
3x (x _ 4)
x(x _ 4)
h
h 3x
2
_ 2x + 8 = 3x
2
_ 12x h
h 10x = _8 h x = _
4
5
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 314 19/11/18 16:35

360. 315
11. Alternativa c.
• Para n = 5:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h a
i
=
(5 _ 2) ? 180°
5
h a
i
= 108°
• Para n = 4:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h a
i
=
(4 _ 2) ? 180°
4
h a
i
= 90°
• Para n = 3:
a
i
=
(n _ 2) ? 180°
n
h a
i
=
(3 _ 2) ? 180°
3
h a
i
= 60°
Assim: m(HBDE) + 108° + 90° + 60° = 360° h m(HBDE) = 102°
Como o triângulo HDE é isósceles:
b + b + 102° = 180° hb = 39°
12. Alternativa d.
Do enunciado:
40°
A
D C
B
b
a 180° _ a
180° _ b
Assim, no quadrilátero ABCD:
40° + 90° + (180° _ a) + (180° _ b) = 360° h a + b = 130°
Atualidades em foco p. 198
1. Resposta pessoal.
2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, será pago R$ 10,69. Como o video game equivale a
14 x R$ 100,00, pode-se dizer que será pago 14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza R$ 146,90.
3. Respostas pessoais.
EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 315 19/11/18 13:41

361. 316
Unidade 7
Contagem, probabilidade e
estatística
Pense e responda p. 202
De 12 maneiras distintas.
Quantidade de maneiras possível de
sair da cidade A e chegar na cidade C,
passando pela cidade B: 4 ? 3 = 12
Atividades p. 204
1. a) 3 ? 2 = 6 maneiras diferentes.
b) 3 maneiras diferentes.
2. 16 ? 3 = 48 maneiras.
3. 4 536 números.
A ordem das unidades de milhar
pode ser ocupada por 9 algarismos
(de 1 a 9). A ordem das centenas
pode ser ocupada por 9 algarismos,
que corresponde aos algarismos de
0 a 9, menos o algarismo utilizado
na ordem anterior. A ordem das
dezenas pode ser ocupada por 8
algarismos, que corresponde aos
algarismos de 0 a 9, menos os dois
algarismos utilizados nas ordens
anteriores. A ordem das unidades
pode ser ocupada por 7 algarismos,
que corresponde aos algarismos
de 0 a 9, menos os três algarismos
utilizados nas ordens anteriores.
Assim:
9 ? 9 ? 8 ? 7 = 4 536
4. 8 556 maneiras.
93 ? 92 = 8 556
5. 52 488 maneiras.
9 ? 9 ? 9 ? 9 ? 2 ? 2 ? 2 = 52 488
6. 456 976 000 placas.
26 ? 26 ? 10 ? 10 ? 10 ? 26 ? 26 =
= 456 976 000
7. 72 números.
Na ordem das unidades há
3 possibilidades: 1, 7 e 9. Na ordem
das dezenas de milhares pode
ser qualquer algarismo, menos o
algarismo colocado na ordem das
unidades, ou seja, 4 possibilidades.
Na ordem das unidades de milhar
pode ser qualquer algarismo, menos
o algarismo colocado na ordem das
unidades e das dezenas de milhar,
ou seja, 3 possibilidades. Na ordem
das centenas pode ser qualquer
algarismo, menos o algarismo
colocado na ordem das unidades,
das dezenas e unidades de milhar,
ou seja, 2 possibilidades. Na ordem
das dezenas pode ser qualquer
algarismo, menos o algarismo
colocado na ordem das unidades,
das dezenas e unidades de milhar e
das centenas, ou seja,
1 possibilidade.
Assim: 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 72
8. Alternativa e.
Opção I: 26 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =
= 2 600 000
Opção II: 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =
= 1 000 000
Opção III: 26 ? 26 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =
= 6 760 000
Opção IV: 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 =
= 100 000
Opção V: 26 ? 26 ? 26 ? 10 ? 10 =
= 1 757 000
Como a empresa quer escolher uma
opção de formato cujo número
de senhas distintas possíveis seja
superior ao número esperado de
clientes, mas que esse número não
seja superior ao dobro do número
esperado de clientes, então a opção
que mais se adequa às condições da
empresa é a opção V.
9. 512 sócios.
8 ? 8 ? 8 = 512
10. Alternativa d.
1
a
possibilidade: o carro preto ocupa
uma das vagas abaixo:
As vagas “laranja” correspondem às
vagas que não podem ser ocupadas
pelo carro rosa. Assim, há 8 ? 7 =
= 56 possibilidades.
2
a
possibilidade: o carro preto ocupa
uma das vagas abaixo:
As vagas “vermelho” correspondem
às vagas que não podem ser
ocupadas pelo carro rosa. Assim, há
2 ? 8 = 16 possibilidades
Portanto: 56 + 16 = 72
Atividades p. 208
1. a) S = {(cara, cara); (cara, coroa),
(coroa, cara), (coroa, coroa)}
b) S = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5);
(1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5);
(2,6); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4);
(3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3);
(4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2);
(5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,1);
(6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
c) S = {(M, M, M); (M, M, F); (M, F,
M), (M, F, F), (F, F, F), (F, F, M), (F,
M, F), (F, M, M)}
2. a) E = {(cara, cara); (coroa, coroa)}
b) S = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}
c) S = {(M, M, F); (M, F, M);
(F, M, M)}
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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362. 317
Pense e responda p. 215
As variáveis qualitativas e quantitativas
discretas são representadas em gráficos
de barras ou colunas separadas.
A variável quantitativa contínua é
representada em colunas agrupadas.
Atividades p. 216
1. Resposta pessoal.
2. a) 250 funcionários da empresa.
b) 50 funcionários da empresa.
c) Massa, em quilogramas. Variável
quantitativa contínua.
3. Resposta pessoal. Espera−se que os
alunos percebam que essa amostra
refletirá a opinião de uma parte dos
alunos, já que as meninas não foram
representadas na amostra e podem
ter opiniões divergentes.
4.
Ingestão de água por jovens universitários
Quantidade
de copos
de água
(por dia)
Frequência
Absoluta
Frequência
relativa
3 23
23
100
= 0,23 =
= 23%
6 56
56
100
= 0,56 =
= 56%
9 14
14
100
= 0,14 =
= 14%
12 7
7
100
= 0,07 =
= 7%
Total 100 100%
a) 56 + 23 = 79 jovens.
e) 14% + 7% = 21%.
5. a) 9 + 2 = 11 funcionários
b) 1 + 2 = 3 funcionários
d) 954 ¿ 1443
3. a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,
20, 21, 22, 23, 24, 25}
b) A = {9, 18}
c) B = {24, 25}
4. P(A) =
4
9
; P(V) =
3
9
=
1
3
5. a) P(A) =
1
52
b) P(B) =
4
52
=
1
13
c) P(C) =
12
52
=
3
13
6. P(E) =
49
81
Nº de elementos do espaço
amostral: 9 ? 9 = 81
9 possibilidades (1 a 9)
9 possibilidades
(0 a 9, menos o anterior)
Nº de elementos do evento: 41
Assim: P(E) =
41
81
7. a) P(E) =
16
100
=
4
25
elementos do evento: 6, 12, 18,
24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,
72, 78, 84, 90, 96
b) P(E) =
6
100
=
3
50
elementos do evento: 15, 30, 45,
60, 75, 90
8. P(E) =
2
3
N
o
de elementos do espaço amostral:
6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 720
N
o
de elementos do evento:
4 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 = 480
2 possibilidades (qualquer letra,
menos as 4 anteriores)
3 possibilidades (qualquer letra,
menos as 3 anteriores)
4 possibilidades (qualquer letra,
menos as 2 anteriores)
5 possibilidades (qualquer letra,
menos a anterior)
5 possibilidades (F, L, C ou H)
1 possibilidade (qualquer letra,
menos as 5 anteriores)
Assim: P(E) =
480
720
=
2
3
9. a) 10 duplas (G1−G2; G1−G3;
G2−G3; G1−R1; G1−R2; G2−R1;
G2−R2; G3−R1; G3−R2; R1−R2)
b) P(E) =
3
10
10. a) P(E) =
3
5
N
o
de elementos do espaço
amostral: 5 ? 4 ? 3 ? 2 = 120
N
o
de elementos do evento:
4 ? 3 ? 2 ? 3 = 72
P(E) =
72
120
=
3
5
b) P(E) =
2
5
N
o
de elementos do espaço
amostral: 5 ? 4 ? 3 ? 2 = 120
N
o
de elementos do evento:
4 ? 3 ? 2 ? 2 = 48
P(E) =
48
120
=
2
5
11. Alternativa b.
P(E) =
26
91
2 0,2857 2 28,5%
Pense e responda p. 210
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 212
Resposta pessoal.
Pense e responda p. 214
Tabela 1: Qualitativa nominal;
tabela 2: qualitativa ordinal; tabela
3: quantitativa discreta; tabela 4:
quantitativa contínua.ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 317 19/11/18 13:41

363. 318
6. a)
Número de irmãos dos alunos do 8º ano
Quantidade
de irmãos
Frequência
Absoluta
Frequência
Relativa
0 8
8
30
2 0,266
2 27%
1 7
7
30
2 0,233
2 23%
2 8
8
30
2 0,266
2 27%
3 4
4
30
2 0,133
2 13%
4 3
3
30
2 0,10 2
10%
Dados obtidos na escola.
b) 8 + 4 + 3 = 15 alunos
7. a)
Gastos dos clientes da padaria
Gastos
(em Reais)
Frequência
Absoluta
Frequência
Relativa
5 ¿ 10 7
7
57
2 0,1228
2 12,3%
10 ¿ 15 14
14
57
2 0,2456
2 24,6%
15 ¿ 20 10
10
57
2 0,1754
2 17,5%
20 ¿ 25 12
12
57
2 0,2105
2 21,1%
25 ¿ 30 5
5
57
2 0,0877
2 8,8%
30 ¿ 35 9
9
57
2 0,1578
2 15,7%
Total 57 100%
Dados fictícios.
b) 57 clientes.
c) 7 + 14 + 10 = 31 clientes.
8. a) 2 aparelhos.
b) 14% + 2% = 16%.
c)
Aparelhos de TV nas residências
Número de
aparelhos
de TV
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
0 24
24
600
= 0,04 =
= 4%
1 120
120
600
= 0,2 =
= 20%
2 360
360
600
= 0,6 =
= 60%
3 84
84
600
= 0,14 =
=14%
4 12
12
600
= 0,02 =
= 2%
Total 600 100%
Dados fictícios.
Atividades p. 223
1. a) Bruno teve média 6,9; Camila,
7,4; Marcela, 5,3 e Roberto, 6,0.
Bruno:
M =
6,5 + 7,5 +7 +7,5 + 6
5
=
=
34,5
5
= 6,9
Camila:
M =
8 + 8 +7 + 6,5 + 7,5
5
=
=
37
5
= 7,4
Marcela:
M =
5 + 5,5 + 4,5 + 5,5 + 6
5
=
=
26,5
5
= 5,3
Roberto:
M =
4,5 + 7,5 + 5 + 5 + 8
5
=
=
30
5
= 6,0
b) Bruno, Camila e Roberto foram
aprovados.
2. a) A altura média é 1,71 m.
M =
1,65 + 1,69 + 1,79 +
7

+1,75 + 1,63 + 1,69 + 1,76
7
=
=
11,96
7
2 1,708
b) Ordenando os valores:
1,63; 1,65; 1,69; 1,69; 1,75; 1,76;
1,79
A mediana corresponde ao valor
do elemento da 4ª posição.
Assim, a mediana é 1,69 m.
Metade dos jogadores têm altura
menor ou igual a 1,69 m e a
outra metade tem altura maior
ou igual a 1,69 m.
c) A altura média será 1,72 m e a
mediana 1,72 m.
M =
1,65 + 1,69 + 1,79 + 1,75 +
8

+ 1,63 + 1,69 + 1,76 + 1,78
8
=
=
13,74
8
2 1,7175
Ordenando os valores:
1,63; 1,65; 1,69; 1,69; 1,75; 1,76;
1,78; 1,79
A mediana corresponde à média
dos valores dos elementos da 4
a
e
5
a
posições. Assim, a mediana será
1,69 + 1,75
2
= 1,72 m.
3. a) M =
12 + 17 + 15 + 14 + 12
10

+ 19 + 9 + 11 + 14 + 10
10
=
=
133
10
= 13,3 anos
b) 12 e 14 anos
c) Organizando os dados em
ordem crescente:
9 10 11 12 12 14 14 15 17 19
A mediana corresponde à média
dos valores dos elementos da 5ª e
6ª posições. Assim, a mediana será
12 + 14
2
= 13, ou seja, 13 anos.
d) 19 _ 9 = 10
4. Alternativa a.
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 318 19/11/18 13:41

364. 319319
5. Alternativa d.
Ordenando os valores:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
A mediana corresponde à média dos valores dos
elementos da 4
a
e 5
a
posições. Assim, a mediana será
20,80 + 20,90
2
= 20,85 s.
Pense e responda p. 224
Não, pois essa pesquisa trabalhou com uma variável
qualitativa.
Atividades p. 225
1. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu
p. 228
1. Alternativa c.
Número de maneiras distintas com que a secretária
poderá se arrumar:
6 ? 4 ? 3 = 72
2. Alternativa d.
Soma dos valores de 2 dados
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 91011
6 7 8 9101112
Da tabela, verifica−se que há 6 possibilidades para formar a
soma “7”, 5 possibilidades para formar a soma “8” e apenas
3 possibilidades para formar a soma “4”.
3. a) 4 anos; 15 anos.
b) • M
1
=
4 ? 8 + 8 ? 4 + 11 ? 5 + 15 ? 3
20
=
164
20
= 8,2
• M
2
=
4 ? 10 + 8 ? 5 + 11 ? 10 + 15 ? 12
20
=
370
37
= 10
•
M
1
M
2
=
8,2
10
= 0,82
c) 2013: 8 anos
2014: 11 anos
Para 2013, organizamos os dados da seguinte forma:
4 4 4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 11 11 11 11 11 15 15 15
Como são 20 vendedores, utilizamos os 10
o
e o 11
o

termos (em vermelho).
Mediana =
8 + 8
2
= 8
Para 2014, organizamos os dados da seguinte forma:
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 8 8 8 8 11 11 11 11 11 11 11 11
11 11 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
Como são 37 vendedores, utilizamos os 19
o
termo (em
vermelho).
Mediana = 11 anos.
4. Alternativa d.
A mediana será a média dos valores intermediários de
cada candidato.
Mediana do candidato K:
33 + 33
2
= 33
Mediana do candidato L:
33 + 34
2
= 33,5
Mediana do candidato M:
35 + 35
2
= 35
Mediana do candidato N:
35 + 37
2
= 36
Mediana do candidato P:
26 + 36
2
= 31
5. Aluno 1 = 6,65; Aluno 2 = 6,57.
Os dois alunos estão aprovados
Aluno 1:
• M =
3 ? 5,5 + 2 ? 9,2 + 1 ? 10 + 4 ? 5,4
10
=
66,5
10
= 6,65
Aluno 2:
• M =
3 ? 6,3 + 2 ? 8,7 + 1 ? 9,8 + 4 ? 4,9
10
=
65,7
10
= 6,57
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 319 19/11/18 16:49

365. 320
Unidade 8
Área, volume e capacidade
Pense e responda p. 232
Ele vai precisar de
3m5m
1m
2
?
= 15
placas
Pense e responda p. 233
Resposta pessoal.
Pensa e responda p. 235
O tanque triangular tem área de
2m5m
2
?
= 5 m
2
, e o tanque circular
tem área aproximada de A = p ? (1)
2
=
= 3,14 m
2
. Assim, o tanque triangular
tem uma área maior para as crianças
brincarem.
Atividades p. 236
1. a) 15 cm ? 15 cm = 225 cm
2
b) 2 000 pisos.

450000cm
225cm
2000
2
2
=
2. 1 600 telhas.
A = 2 ? 10 m ? 4 m = 80 m
2
N
o
de telhas = 80 m
2
? 20 telhas/m
2

= 1 600 telhas
3. Alternativa a.
A4 4
34
2
43
1661234m
2
=? +
?
+? =
=+ +=

4. Alternativa c.
P = 4 + 4 + 4 + 4 + 2 +
+ 4 + 5 = 27 m
5. 4 latas de tinta.
Área a ser pintada:
A = 2 ? (5 ? 4) + 2 ? (8 ? 4) +
+ 5 ? 8 – 1 ? 3 – 2 ? 1,5 h
h A = 40 + 64 + 40 – 3 – 3 =
= 138 m
2
n
o
de latas de tinta:
138m
1lata
40m
3,45
2
2
?2

6. 226,08 cm
D = (−16)
2
– 4 ? (1) ? (−720) = 3 136
x
(16) 3136
2
1656
2
=
__ ±
=
±

Como x . 0, x
1656
2
36=
+
=.
Assim, o comprimento dessa
circunferência será igual a:
C = 2 ? p ? 36 = 2 ? 3,14 ? 36 =
= 226,08 cm
7. 125,6 cm
Medida da hipotenusa:
1022 20cm⋅=
Assim, o comprimento dessa
circunferência será igual a:
C = 2 ? p ? 20 = 2 ? 3,14 ? 20 =
= 125,6 cm
8. 314 m
C = 2 ? p ? 0,5 = 2 ? 3,14 ? 0,5 =
= 3,14 m
Em 100 voltas, ele percorre:
100 ? 3,14 = 314 m
9. a) r
t
5
r
4
5
r
2
5
0,4m
⇒⇒
⇒
==
==
b) A = 3,14 ? (0,4)
2
h
h A = 0,5024 m²
Por toda a parte p. 237
1. a) 1,9202 m²
• Comprimento do losango:
2 – 0,34 = 1,66 m
• Largura do losango:
1,4 – 0,34 = 1,06 m
Área verde:
21,4
1,661,06
2
2,80,87981,9202m
2
?_
?
=
=_ =

b) 0,4948 m²
• 38,5 dm
2
= 0,385 m
2
área da parte amarela:

1,661,06
2
0,385
0,87980,3850,4948m
2
?
_=
=_ =
2. a) 240 000 km²
A2
(600400)240
2
240000
=?
+?
=
=

b) 20 000 km²

A
200200
2
20000=
?
=
Atividades p. 241
1. a) Área total: 6 ? 2 ? 2 = 24 cm²
Volume: 2 ? 2 ? 2 = 8 cm³
b) Área total: 2 ? 2 ? 2 + 4 ? 3 ? 2 =
= 32 cm²
Volume: 3 ? 2 ? 2 = 12 cm³
2. 5 cm
medida da aresta = 1255cm
3
=
3. 96 m²
medida da aresta = 644m
3
=
área total = 6 ? 4 ? 4 = 96 m
2
4. 7,5 cm³
Volume = 2,5cm ? 1,5 cm ? 2 cm =
= 7,5 cm³
5. 3 cm
5 ? 3 ? x = 45 h x = 3 cm
6. Não, pois o volume ficará
multiplicado por 8.
7. a) Volume: 62,8 cm³
V = p ? r
2
? h h V = 3,14 ? 2
2
? 5 h
h V = 62,8 cm³
b) Volume: 28,26 cm³
V = p ? r
2
? h h V = 3,14 ? (1,5)
2
? 4 h
h V = 28,26 cm³
8. Alternativa c.
Volume da embalagem =
= 10 ? 20 ? 10 = 2 000 cm
3
Volume após o congelamento da
mistura de chocolate =
= 1 000 cm
3
? 1,25 = 1 250 cm
3
Volume a ser preenchido com
mistura de morango =
= 2 000 cm
3
– 1 250 cm
3
= 750 cm
3
Seja x o volume da mistura de
morango: 1,25 ? x = 750 h
h x = 600
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 320 19/11/18 16:37

366. 321
9. Alternativa c.
• A caixa 2 não pode ser utilizada,
pois uma das suas dimensões é
menor que a aresta do objeto.
Volume das outras caixas:
• Caixa 1: 86 cm ? 86 cm ? 86 cm =
= 636 056 cm
3
• Caixa 3: 85 cm ? 82 cm ? 90 cm =
= 627 300 cm
3
• Caixa 4: 82 cm ? 95 cm ? 82 cm =
= 638 780 cm
3
• Caixa 5: 80 cm ? 95 cm ? 85 cm =
= 646 000 cm
3
Tratamento da informação p. 245
1. • Em 2012.
• 84%

277724517
27772
0,837
_
1

2. • Em 2010.
• Pico migratório em 2010: crise
econômica internacional; mudan-
ças na macroestrutura conjuntural
do país nas áreas de infraestrutura,
construção, tecnologia, inovação e
serviços é que tornaram atrativa a
vinda de imigrantes estrangeiros;
crescimento das indústrias de pe-
tróleo, gás, mineração e de alta
tecnologia, coincidentemente se-
tores que exigem uma quali$cação
pro$ssional de excelência e mão
de obra especializada existente no
exterior.
• Pico migratório em 2014: cenário
internacional e suas mudanças
políticas e econômicas nos últimos
anos; implantação de acordos de
cooperação nas matérias de imi-
gração e trabalho; atratividade
econômica do país nas áreas de
indústria, $nanças e ensino.
Retomando o que aprendeu
p. 246
1. Alternativa c.
número de ladrilhos = 3,45 m ?
? 4,2 m ?
1ladrilho
0,09m
2
= 161 ladrilhos
2. Alternativa a.
Se a área do quadrado maior é
25 m², então o seu lado mede 5 m.
Assim:
ABAGBG
AB52 3m
=_
=_ =
⇒
⇒

Portanto, a área da parte azul será:
25 m² _ 9 m
2
= 16 m
2
3. Alternativa d.
0,4 km
2
= 400 000 m
2
Seja x o lado do quadrado:
x
2
= 400 000 h x 1 632,45 m
4. Alternativa c.
72hab./km
N
12km20km
N17280hab.
2
=
?
=
⇒
⇒
5. Alternativa b.
⇒
⇒⇒
⇒
0,5
x
0,5x
x0,5x0,50
2xx1 0
2
2
=+
+_ =
+_ =

142( 1)9
2
=_ ??_=∆

x
19
22
x
13
4
=
_±
?
=
_±
⇒

Como x . 0: x
13
4
1
2
=
_+
=
Portanto: A = p ? (0,5)
2
h
h A = 3,14 ? 0,25 h A = 0,785 cm
2
6. Alternativa c.
A = 2 ? 2 +
2
4
2
?π
+ 2 ? 2 =
= 8 + 3,14 = 11,14
7. Alternativa b.
⇒
⇒⇒
⇒
(BC)(AB)(AC)
(BC)(6)(8)
BC10cm
22 2
22 2
=+
=+
=

Assim, o raio do círculo mede 5 cm.
Portanto:
π
=
A
68
2
5
2
2439,2563,25cm
2
2
=
?
+
?
=
=+

8. Alternativa b.
1 331 cm
3
= 1,331 dm
3
= 1,331 L
9. 16 000 recipientes.
• 100 ? 120 L = 12 000 000 mL
•
12000000mL
750mL/recipiente
16000=
10. 3 900 L
• 10 m
3
= 10 000 L
Volume que restou
nesse reservatório =
100002200
100002200
2
780039003900L
__
_
=
=_ =

11. Alternativa e.
Nenhuma das xícaras tem o dobro
do volume de outra xícara.
Somando os valores das xícaras dois
a dois, tem−se: 
950 + 750 = 1 700 
950 + 550 = 1 500 
950 + 475 = 1 425 
950 + 325 = 1 275 
750 + 550 = 1 300 
750 + 475 = 1 225 
750 + 325 = 1 075 
550 + 475 = 1 025 
550 + 325 = 875 
475 + 325 = 800 
Verifica−se que V
II
= V
I
+ V
III
Assim:
• xícaras I e III contém café; 
• xícara II contém suco; 
• xícaras IV e V contém leite. 
12. Alternativa e.
8 hm
2
= 800 dam
2
= 80 000 m
2
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 321 19/11/18 13:41

367. 322
Unidade 9
Estudo de grandezas
Pense e responda p. 252
Não, pois a idade de uma pessoa e sua
altura não são grandezas proporcionais.
Atividades p. 254
1. a) 20
o
C

⇒
⇒⇒
⇒
ºF1,8°C32
681,8°C32
°C20
=? +
=? +
=
b) 77
o
F

⇒
⇒⇒
⇒
ºF1,8°C32
ºF1,82532
ºF77
=? +
=? +
=
2. P, NP, NP, P, NP
3. Não, pois R$ 38,00 seria o preço
correspondente a 4 livros.
4. R$ 31,20
⇒
3
11,70
8
x
x31,20==

5. a) R$ 306 000,00.
1530000
5
306000=

b) R$ 255 000,00

1530000
6
255000=
c)
Quantidade
de
acertadores
Valor do prêmio
(em R$)
1 1 530 000
2
1530000
2
= 765 000
5
1530000
5
= 306 000
6
1530000
6
= 255 000
d) Diminui proporcionalmente.
6. a) R$ 58,16 (obtido direto do gráfico)
b) R$ 159,94

⇒
2
58,16
5,5
x
x159,94==
7. a) Não, pois o valor é sempre
acrescido da bandeirada.
b) V = 5,12 + 2,49 ? 12 = R$ 35,00
Atividades p. 257
1. 65 km/h
455km
7h
65km/h=

2. a)
150000000
500
= 300 000 km/s
b) Cerca de 8 minutos e 20
segundos.
500 s = 480 s + 20 s = 8 min 20 s
3. 880 m por 500 m
• Comprimento = 5,5 ? 16 000 =
= 88 000 cm = 880 m
• largura = 3,125 ? 16 000 =
= 50 000 cm = 500 m
4. Alternativa c.
• Comprimento = 20 m = 2 000 cm
• largura = 8 m = 800 cm
Dimensões da maquete:
• Comprimento =
= 2 000 cm ?
1
200
= 10 cm
• largura = 8 m =
= 800 cm ?
1
200
= 4 cm
Conexões p. 258
1. a) • Caruaru a Fortaleza:

761km
11h
= 69,18 km/h;
• Brasília a Picos:
1601km
21h
= 76,24 km/h;
• Aracaju a Anápolis:
1783km
22,5h
= 79,24 km/h
b) • de Boa Vista a Governador
Valadares:
5250km
420L
=
= 12,5 km/L;
• de Araraquara ao Rio de Janeiro:
678km
50L
=13,56 km/L;
• de Mossoró até Vitória:
2005km
152L
=13,19 km/L
c)
1508km
30h
=50,27 km/h
d) 1 : 20 050 000
10cm
2005km
0,10m
2005000m
1
20050000m
==
=
Atividades p. 261
1.
14kg
35dm
3
= 0,40 kg/dm
3
2.
4,3g
0,2cm
3
= 21,5 g/cm
3
3.
8,1g
3cm
3
= 2,7 g/cm
3
4.
64200hab.
15000km
2
= 4,28 hab./km
2
5.
11200000hab.
132000km
2
= 84,8 hab./km
2
6. Água Branca.
• Água Branca:
125000hab.
36km
2
=
= 3 472,2 hab./km
2
• Pedra Azul:
85000hab.
30km
2
=
= 2833,3 hab./km
2
7.
40100000hab.
2800000km
2
= 14,3 hab./km
2
8.
3168027hab.
52810km
2
= 59,99 hab./km
2
Atividades p. 264
1.
Quantidade de
garrafas de água
Preço a pagar
(em R$)
1
19,20
4
4,80=
4 19,20
5
19,205
4
24,00
?
=
43,20
4,80
= 9 43,20
16
19,2016
4
76,80
?
=
2. 2 kg
60min2,5kg
75min
2kg
?
=

3. 2 760 pães
23086 0
40
2760
??
=

D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 322 19/11/18 13:41

368. 323
4. 160 calorias.
564
2
160
?
=
5. a) 110 km/h ? 3,5 h = 385 km
b) 4,3 h = 4h18 min

473km
110km/h
4,3h=

6. 20 cm
263
390
0,2m
?
= ou 20 cm
7. 6 075 tijolos.
• Parcela ocupada pelos sacos de
cimento:
100
600
0,166=
• tijolos que ainda podem ser
colocados: (1 – 0,166) ? 7 290 =
= 6 075
8. a) 20m/s ? 3,6 = 72 km/h
b) 100 m/s ? 3,6 = 360 km/h
c) 55 m/s ? 3,6 = 198 km/h
9. 2,7 mL
4,56
10
2,7
?
=
10. Alternativa b.
35,720
51
14
?
=

Pense e responda p. 266
Resposta pessoal. Espera-se que os
alunos percebam que os gráficos de
grandezas diretamente proporcionais são
crescentes e o de grandezas inversamen-
te proporcionais, decrescente.
Atividades p. 267
1. 5 min
x
20min1imp
4imp
5min=
?
=

2. 2,7 min ou 2 min e 42 segundos
=x
6cm4,5min
10cm
2,7min
2
2
?
=
3. R$ 12,50
x
1525
30
12,50=
?
=
4. 12,5 dias.
x
5homens20dias
8homens
12,5dias
=
?
=
=

5. a)
48km
1,5h
32km/h=
b)
48km
38,4km/h
1,25h=
ou 1 h 15 min
6. 9,5 dias.
3814
56
9,5
?
=
7. 180 páginas.
36150
30
180
?
=

8. 9 dias.
1515
25
9
?
=
9. Alternativa a.
• 2x = 5y = 4t
• x = 200
• 5y = 200 ? 2 h y = 80
• 4t = 200 ? 2 h t = 100
Assim: x + y + t = 380
10. Alternativa d.
80 ? 35 = (80 + x) ? 25 h
h 80 + x = 112 h x = 32
11. Alternativa c.
⇒x
1580
12
x100=
?
=

Atividades p. 269
1. 3 780 tijolos.
x
272240
16
3780=
?
=

2. 12,5 L/min
x
107,5
6
12,5=
?
=
3. 2,38 L
x
3,51,7
2,5
2,38=
?
=
4. 10 pintores.
x
280
16
10=
?
=
5. a) Sim, pois as grandezas variam na
mesma razão.
b) R$ 15,00
c) Aproximadamente, 33 minutos.

x
2520
15
33,33=
?
=
6. 47,04 litros.
x
964,9
10
47,04=
?
=
7. a) x
120km1h
1,5h
80km=
?
=
b) x80km/h2,333...h
186,666...km
=? =
=
Aproximadamente186,6 km.
8. x
15000m0 ,7g
100m
105g
3
3
=
x
=
9.
10. Quantidade de arame
50 m ? 1,20 m = 60 m²
Nova tela: x ? (1,20 m + 1,80 m) =
= 60 m²
x = 20 m
Atividades p. 271
1. 36 funcionários
⇒
21
x
8
6
420
960
x36=? =

2. Aproximadamente 1 h 27 min
⇒
2
x
5
3
5
6
x1,44h=? =
3. 31,5 receitas de bolo.
⇒
3
x
5
14
12
45
x31,5=? =
4. Resposta pessoal.
5. 4 dias.
⇒
x
6
60
80
8
9
x4=? =

6. 2 dias
⇒
6
x
12
5
300
240
x2=? =
7. Alternativa a.
⇒
x
16
12
8
6
8
x18=? =
8. Alternativa c.
⇒
6
x
4
6
900
500
x5=? =
Tratamento da informação p. 272
1. a) Aproximadamente 1 de cada
5 pessoas trabalham em
empresas que estimulam a
amizade entre funcionários
300 000 ?
18
100
= 54 000
b) menos de 11 pessoas.

55
5
11=
c) Nota inicial: 6.
Nota esperada:
6 + (50% de 6) = 6 + 3 = 9
x
180kg50alunos
20alunos
450kg=
x
=
D2-MAT-F2-2051-V8-RESOLUCOES-MP-G20.indd 323 19/11/18 13:41

369. 324
2. a) em 1 mês, cada brasileiro fica
conectado, em média,
194 ? 30 = 5 820 min ou
97 h. Assim, em 5 meses, cada
brasileiro fica conectado, em
média, 97 ? 5 = 485 h. Portanto,
em 5 meses, 3 brasileiros ficam
conectados, em média,
485 ? 3 = 1 455 h
b) x = 20 ? 1 260 = 25 200
residências
EDITORIA DE ARTE
4. a)
Duração, em minutos 60 150 200 250 300
Preço a ser pago pela Tarifa 1
0,4 ? 60 =
= R$ 24,00
0,4 ? 150 =
= R$ 60,00
0,4 ? 200 =
= R$ 80,00
0,4 ? 250 =
= R$ 100,00
0,4 ? 300 =
= R$ 120,00
Preço a ser pago pela Tarifa 2 R$ 35,00
35 + 0,4 ? 30 =
= R$ 47,00
35 + 0,4 ? 80 =
=R$ 67,00
35 + 0,4 ? 130 =
= R$ 87,00
35 + 0,4 ? 180 =
= R$ 107,00
Preço a ser pago pela Tarifa 3 R$ 48,00 R$ 48,00 R$ 48,00
48 + 0,4 ? 10 =
= R$ 52,00
48 + 0,4 ? 60 =
= R$ 72,00
b)
Preço
(em R$)
Duração
(em min)
10
0 60 120 180 240 300
20
30
40
50
60
70
Tarifa 1
Tarifa 3
Tarifa 2
80
90
100
110
c) Se utilizar entre 90 e 150 minutos.
d) Tarifa 3.
5. a) 38,89 ? 3,6 = 500,04 km/h
b) x
1300m
138,89m/s
;9,4s=
Ou 0,16 minutos.
c) 138,89 m
d) 138,89 ? 18 ? 60 = 150 001,2 m ou aproximadamente
150 km
6. Alternativa e.

⇒
3
x
2
5
6
4
x5=? =
7. Alternativa e.

40000000m
0,8m
50000000=
Atualidades em foco
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
4. Resposta pessoal.
5. Resposta pessoal.
Retomando o que você
aprendeu p. 274
1. 240 m
distância real entre essas duas casas:
1,6 ? 15 000 = 24 000 cm ou 240 m
2. 199 323,02 km
2
.
52,40
10444526
A
A
10444526
52,40
A199323,02
⇒
⇒= ⇒
⇒
=
=

3. Alternativa b.
• distâncias entre as cidades A e B:
X = 13 ? 250 000 = 3 250 000 cm
ou 32 500 m ou 32,5 km
• distâncias entre as cidades A e C:
Y = 10 ? 300 000 = 3 000 000 cm
ou 30 000 m ou 30 km
• distâncias entre as cidades A e D:
Z = 9 ? 500 000 = 4 500 000 cm
ou 45 000 m ou 45 km
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