A-Conquista-Matematica-9_ano.pdf

José Ruy Giovanni Júnior
Matemática
ENSINO FUNDAMENTAL
ANOS FINAIS
COMPONENTE CURRICULAR:
MATEMÁTICA
9
MANUAL
DO
PROFESSOR
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1
a
edição
São Paulo • 2022
JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).
Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino
Fundamental e Ensino Médio desde 1985.
Matemática
COMPONENTE CURRICULAR:
MATEMÁTICA
9
MANUAL
DO
PROFESSOR
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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste
livro foram produzidas com fibras obtidas de
árvores de florestas plantadas, com origem
certificada.
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
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Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.
Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira
Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas
Direção editorial adjunta Luiz Tonolli
Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Edição João Paulo Bortoluci (coord.)
Aline Tiemi Matsumura, Bianca Cristina Fratelli,
Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira,
Juliana Montagner, Letícia Mancini Martins
Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)
Yara Affonso
Gerência de produção e arte Ricardo Borges
Design Andréa Dellamagna (coord.)
Sergio Cândido
Projeto de capa Sergio Cândido
Imagem de capa Worraket/Shutterstock.com
Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)
Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini
Diagramação Wym Design
Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga
Licenciamento de textos Amandha Baptista
Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Paula Squaiella, Emerson de Lima (trat. imagens)
Ilustrações Alberto Llinares, Bentinho, Daniel Bogni, Ilustra Cartoon, Manzi, Marcos Guilherme,
MW Editora e Ilustrações, Pedro Paulo Melara, Selma Caparroz, Sonia Vaz
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista matemática : 9
o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni
Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.
Componente curricular: Matemática.
ISBN 978-85-96-03443-2 (aluno)
ISBN 978-85-96-03444-9 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
22-114535 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427
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O intuito desta obra é oferecer aos estudantes e professores um material
que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração
as especificidades da faixa etária a que a obra se destina.
Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para
que se estabeleça uma relação significativa entre os estudantes e o conheci-
mento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão.
Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo
entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente
de seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a
formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e participar
ativamente na sociedade ao seu redor.
Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnolo-
gias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes
das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos estudantes precisam se
apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de
estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito
de auxiliar você, professor, a capitanear essa jornada pelo processo de ensino
e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas
estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas bases e sugestões para o seu
trabalho diário junto aos estudantes.
Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de
aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e agradáveis na
área da Matemática no Ensino Fundamental.
Aventure-se nessa jornada você também!
O autor
APRESENTAÇÃO
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Conheça o Manual do
professor...........................................................V
Orientações gerais......................................VI
Orientações específicas
do Volume......................................................VII
Conheça o Livro do
estudante.....................................................VIII
Aberturas de Unidade..........................VIII
Capítulos.........................................................VIII
Seções e boxes............................................VIII
Quadros de conteúdos.................................X
Orientações gerais......................................XIX
Considerações sobre o ensino
de Matemática..........................................XIX
Letramento matemático..........................XX
Inferência.......................................................XXI
Argumentação...........................................XXII
Pensamento computacional..............XXIV
Comunicação nas aulas de
Matemática................................................XXVI
Modelagem..............................................XXVII
Resolução de problemas..................XXVIII
Metodologias ativas..............................XXXI
Tecnologias digitais: potencialidades
no ensino e na aprendizagem..........XXXIII
Práticas de pesquisa e método
científico...................................................XXXV
Cidadania e cultura de paz.............XXXVI
A BNCC e o ensino de
Matemática...........................................XXXIX
As competências...................................XXXIX
As habilidades..............................................XLI
Quadros de habilidades da BNCC.......XLIII
Uma visão interdisciplinar e os
Temas Contemporâneos
Transversais.....................................................LIII
SUMÁRIO
O papel do professor...............................LV
Perfis de aprendizagem........................LVI
Avaliação......................................................LVIII
Avaliar o processo....................................LVIII
Autoavaliação.............................................LVIII
Indicações para apoio ao
trabalho do professor.............................LX
Documentos oficiais....................................LX
Sites e publicações.......................................LX
Entidades de apoio à educação
matemática....................................................LXI
Referências bibliográficas......................LXII
Orientações específicas
do Volume 9..........................................................1
Unidade 1 • Números reais,
potências e radicais...................................12
Unidade 2 • Produtos notáveis e
fatoração..........................................................60
Unidade 3 • Equações do 2
o
grau......88
Unidade 4 • Relações entre
ângulos............................................................118
Unidade 5 • Proporção e
semelhança..................................................144
Unidade 6 • Porcentagem,
probabilidade e Estatística.................176
Unidade 7 • Relações métricas
no triângulo retângulo e na
circunferência.............................................204
Unidade 8 • Figuras planas,
figuras espaciais e vistas.....................230
Unidade 9 • Funções.............................258
Resoluções comentadas..........................305
Avaliações oficiais em foco..................355
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CONHEÇA O MANUALDO PROFESSOR
Estas Orientações buscam elucidar os caminhos percorridos na elaboração desta obra desde a idealização dela até a
efetivação das propostas apresentadas em cada Volume.
Acredita-se ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que embasam a obra para, a partir deles,
perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscou-se promover
reflexões acerca do ensino e da aprendizagem de Matemática e as possíveis ações e estratégias que podem ser utilizadas
na prática pelo professor. Vale mencionar que muitas explorações aqui apresentadas consistem em sugestões e, portanto,
podem ser adaptadas sempre que necessário.
Neste manual, procurou-se utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações
idealizadas, bem como estratégias de aplicação dos conceitos aqui trabalhados.
Este material está organizado em três partes:
• Na primeira parte, denominada Orientações gerais, são apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendi-
zagem da Matemática e de possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhe-
cimento matemático nos Anos Finais do Ensino Fundamental e, como mencionado anteriormente, muitas dessas
abordagens nortearam a elaboração desta obra.
• Na segunda parte, denominada Orientações específicas do Volume, disposta em formato de U, o professor en-
contrará o detalhamento das situações e atividades propostas no Livro do estudante, acompanhada de sugestões
que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso.
• Na terceira parte, temos a seção de Resoluções comentadas de todas as atividades do Volume e a seção Avaliações
oficiais em foco, com uma proposta de avaliação, com questões baseadas em avaliações oficiais de larga escala.
Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e
com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar
e atuar no mundo de maneira consciente, cooperativa e autônoma.
LUCIOLA ZVARICK/PULSAR IMAGENS
Escola indígena da etnia Waurá da aldeia Piyulaga,
em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2019. V
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A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas
indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos
que precedem a homologação desse documento.
Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigual-
dade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação,
é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região
ou grupo.
Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem
desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade
de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.
Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes
para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos
mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados
com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.
No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os
estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a
todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais
e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades
escolares a partir das necessidades locais.
Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que
têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a
constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da
Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos
e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.
Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento
apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e
emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização
consciente da informação e da tecnologia.
As competências
O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores
para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (concei-
tos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes
e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício
da cidadania e do mundo do trabalho.
Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar
valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tor-
nando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preser vação
da natureza” [...].
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 17 jul. 2022.
São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao
longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.
XXXIX
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Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla
gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática
como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha
clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o profes-
sor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos
matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como
destacam Soares e Sheide (2004):
Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimen-
to matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento.
A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da
sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos
do saber e historicamente situado.
SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um
educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p.
2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf.
Acesso em: 13 jul. 2022.
Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito
do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento
e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.
Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que
ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais
e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.
PERFIS DE APRENDIZAGEM
A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensar-
mos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas
dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário,
a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:
[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desen-
volvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não
linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privi-
legiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda,
assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem
e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma
educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno,
nas suas singularidades e diversidades. […]
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 28 jul. 2022.
Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando
necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não
significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do
que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem
melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais.
Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários);
LVI
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Orientações gerais
Considerações sobre o ensino de Matemática
Neste tópico, são apresentados fundamentos teóricos e aplicações de temas relevantes para o ensino de Matemática,
como inferência, argumentação, pensamento computacional e resolução de problemas.
Indicações para
apoio ao trabalho
do professor
Aqui, encontram-se indicações
de materiais relevantes para
consulta e aprimoramento
do professor.
A BNCC e o ensino de Matemática
Nesta seção, são apresentadas reflexões e abordagens sobre a Base Nacional Comum Curricular, um dos documentos norteadores
desta obra.
Uma visão
interdisciplinar
e os Temas
Contemporâneos
Transversais
Aqui, são discutidos os
Temas Contemporâneos
Transversais e algumas
sugestões de aplicação
de tais temas de modo
interdisciplinar nas
aulas de Matemática.
O papel do
professor
Neste tópico, são
apresentadas importantes
reflexões sobre o papel
fundamental do professor
e a prática educativa em
Matemática.
Perfis de aprendizagem
Trata-se, aqui, de temas relacionados aos diferentes
perfis de aprendizagem apresentados nos diversos
contextos escolares brasileiros, e são discutidos modos
de lidar com tais diferenças nas aulas de Matemática.
Avaliação
São abordados neste tópico
os diversos tipos de avaliação
e a importância desse recurso
para o processo de ensino e
aprendizagem.
VI
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Orientações específicas do Volume
Avaliações oficiais em foco
Esta seção é composta de um conjunto de
questões extraídas ou baseadas em avaliações
oficiais de larga escala, que podem ser utilizadas
como uma proposta de avaliação a ser ministrada
quando e como o professor julgar adequado.
BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10
Competências específicas:
• 2, 3, 4 e 8
Habilidades:
Álgebra
• EF09MA06 • EF09MA08
Temas Contemporâneos
Tr a n s v e r s a i s :
• Educação Financeira
• Educação para o Consumo
• Educação para valorização do multi
-
culturalismo nas matrizes históricas
e culturais Brasileiras
• Trabalho
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em três capítulos e apresenta os
conteúdos por meio de exemplos,
atividades e seções que propi
-
ciam a reflexão, a argumentação
e o uso de diferentes linguagens
para expressar informações, contri
-
buindo para o desenvolvimento das
competências gerais 2, 4, 5, 7 e 9.
No primeiro capítulo, é explorada
a noção de função em diferentes
situações e a relação de depen
-
dência entre duas variáveis, além
de definir o domínio, a imagem
e o conjunto imagem de uma
função, o que favorece o desenvol
-
vimento da habilidade EF09MA06.
No segundo capítulo, aborda
-
-se o estudo da função afim e
seu gráfico, bem como algumas
características. Discute-se também
a relação de proporcionalidade
direta entre duas grandezas, desen
-
volvendo aspectos da habilidade
EF09MA08. No terceiro capítulo,
é discutida as principais caracte
-
rísticas da função quadrática, seu
gráfico, além da análise de alguns
pontos da parábola, reforçando
aspectos da habilidade EF09MA06.
OBJETIVOS
• Compreender e identificar re
-
lações entre duas grandezas
que podem ser representa
-
das por uma função.
• Compreender a ideia de função
por meio de vários contextos.
• Resolver problemas de juro sim
-
ples e composto.
• Representar uma função por meio de uma lei
de formação e graficamente.
• Identificar o domínio, a imagem e o conjunto
imagem de uma função.
• Reconhecer a função afim e a função linear
e suas leis de formação.
• Construir o gráfico da função afim.
• Reconhecer a função quadrática e sua lei
de formação.
• Construir a parábola que representa o gráfico
da função quadrática.
• Determinar os zeros, o ponto de mínimo e
o ponto de máximo da função quadrática.
• Determinar a concavidade e o vértice da pa
-
rábola que representa a função quadrática.
JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se as funções afim e
quadrática, destacando algumas de suas caracte
-
rísticas e suas representações algébricas e gráficas,
propiciando o desenvolvimento da habilidade
EF09MA06.
Os modelos matemáticos são utilizados
para estudar diversas situações do cotidiano.
Um exemplo é o movimento em comum
que observamos em diversas modalidades
de esportes.
A maneira mais simples de conhecer o
movimento de um corpo é relacionando a
posição dele com o tempo durante o desloca
-
mento a fim de obter a trajetória descrita por
ele, a qual pode ser em linha reta ou cur va.
Por exemplo, alguns movimentos obser
-
vados na prática de
skate, de futebol e de
basquete são caracterizados, na Física, pelo
movimento parabólico
, que descreve o
lançamento oblíquo de objetos e relaciona
posição e tempo em uma trajetória curva.
Agora, responda às questões a seguir no caderno.
• Os modelos que descrevem os movimentos são
denominados funções e relacionam duas grande
-
zas. Quais são essas grandezas?
• O que há em comum entre as trajetórias dos três
movimentos apresentados nas imagens?
Resoluções desta Unidade na
seção Resoluções comentadas

deste Manual.
UNIDADE
9
FUNÇÕES
Posição do corpo e tempo de deslocamento.
258
IMAGENS FOR A
DE PROPORÇ ÃO.
A S CORES N ÃO
SÃO RE A IS.
MARCOS GUILHERME
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Explorar as imagens da aber
-
tura, perguntar aos estudantes,
por exemplo, se praticam algum
esporte fora da escola e solicitar
a eles que comentem os elemen
-
tos relacionados a essa prática, se
precisam de trajes especiais, se o
esporte é praticado em um local
específico, entre outros aspectos.
Essa abertura busca relacio
-
nar a função quadrática com sua
representação gráfica e levar os estu
-
dantes a percebê-la no cotidiano.
Sugere-se que, neste momento,
as concavidades voltadas para
cima não sejam exploradas, pois
há noções que fazem parte do
senso comum e não são verdades
matemáticas, por exemplo, a cur va
formada pelos cabos de energia,
que não têm formato parabólico.
No segundo questionamento,
espera-se que os estudantes perce
-
bam que o padrão do movimento
é o mesmo (parabólico).
Nas explorações a respeito
do lançamento de um objeto,
perguntar aos estudantes como
eles imaginam a trajetória de um
objeto que não seja lançado do
solo e questioná-los se a curva
permanecerá a mesma; retomar o
assunto mais à frente na Unidade.
Na seção Educação Financeira
, busca-se
incentivar os estudantes a discutir aspectos
relacionados ao Tema Contemporâneo
Transversal Educação Financeira.
Na seção Por toda parte – Ar tesanatos
do Brasil, os estudantes conhecem um pouco
do artesanato brasileiro e aplicam os con
-
ceitos estudados a respeito de funções, o
que contribui para o trabalho com o Tema
Contemporâneo Transversal Educação para
valorização do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras, além de pro
-
piciar o trabalho com a competência geral 3.
Na seção Tratamento da informa
-
ção, os estudantes interpretam dados e
informações, além de trabalhar a argumen
-
tação com base em fatos matemáticos,
desenvolvendo aspectos da competên
-
cia geral 2 e da competência específica 2
da área de Matemática.
Na seção Tecnologias – Gráfico de
funções, o objetivo é que os estudantes
se familiarizem com o
sof t ware e as fer-
ramentas para a construção de gráficos,
além de realizar atividades que exploram
a argumentação, contribuindo para o
desenvolvimento da competência geral 7.
Na seção Tecnologias que encerra a
Unidade, os estudantes são desafiados a
escrever uma sequência lógica de instruções
para serem processadas por um computador,
desenvolvendo o pensamento computa
-
cional a competência geral 5.
259
MARCOS GUILHERME
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Para resolver as atividades,
os estudantes devem aplicar o
conceito de ângulo inscrito e
a relação de sua medida com
a medida do ângulo central
correspondente e a relação com
a medida do arco determinado
por esse ângulo inscrito.
Na atividade 1, os ângulos p
e t compreendem o mesmo
arco. Obser var se os estudantes
compreenderam que
p é ângulo
inscrito e t é ângulo central.
Portanto, a medida de
t é o
dobro da medida de
p.
Na atividade 3, para calcular
x _ y é preciso constatar que
x e y são ângulos inscritos na
circunferência que compreendem
arcos de medidas, respectiva
-
mente, iguais a 86° e 62°.

2 Na figura a seguir,
x é a medida do arco fi
AB, associado ao ângulo
inscrito A
ˆ
CB. Vamos determinar o valor de
x. De acordo com os
dados da figura, temos:
• x: medida do arco fi
AB;
• 63°: medida do ângulo inscrito
A
ˆ
CB.
Então: 63° =
x
2
h x = 2 ? 63° h x = 12 6 °.

3 Obter o valor da medida
x na figura a seguir.
De acordo com a figura, AOB é o ângulo central correspondente
ao ângulo inscrito
A
ˆ
CB. Ent ã o:
=
+
h=
+
5x
3x42°
2
10x
2
3x42°
2
h
h 10 x = 3x + 42° h 10 x _ 3x = 42° h
h 7x = 42° h x =
42°
7
= 6°
Logo, x = 6 °.
A
OC
B
3x + 42°
5x
ˆc
C
A
B
63°
x
Responda às questões no caderno.
1. Qual é a relação de igualdade entre as
medidas p e t indicadas na figura?
A
B
C
Ot
p
2. A medida do arco fi
BC é 92°. Determine as
medidas x e y indicadas na figura.
C
O
B
A
yx
C
B
x
y
62° 86°
A
D
p =
t
2
ou t = 2p.
x = 46° e y = 9 2 °.
3. Considerando a
figura a seguir,
calcule o valor
da expressão

x _ y. 12 °
4. Na figura a seguir, a medida do arco
fi
AB
corresponde a
1
5
da medida da circunfe
-
rência, em grau, e a medida do arco
fi
CD
corresponde a
1
6
da medida da circunfe
-
rência, em grau.
C
D
BA
x
y
Determine as medidas
x e y.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x = 36° e y = 3 0 °.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 5, para deter-
minar as medidas dos ângulos
solicitados, é importante que
os estudantes percebam que

med AOB()
ˆ
= med fi
AB().
Na atividade 8, escrever uma
equação a partir da relação que
há entre os ângulos. Verificar se
os estudantes têm dúvidas nesse
momento e, se necessário, ajudá-los
nesse passo, de modo que com
-
preendam que 7x
=
°+10x48
2
.
Depois de fazerem os cálculos,
devem substituir o valor de
x em
cada expressão de medida dos
ângulos. Ou seja, 10x
+ 48° h
h 10 ? 12 ° + 48° = 16 8 ° e
7x h 7 ? 12 ° = 8 4 °.
Na atividade 13, verificar
se os estudantes percebem
que os ângulos CÔB e DÂB são
correspondentes.
Se considerar pertinente,
propor a atividade complementar
a s e g u i r.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Considere a figura dada, na qual
BC é o diâmetro
da circunferência. Note que os vér tices do
*ABC es-
tão na circunferência, e o diâmetro
BC é um dos lados
desse triângulo. Nesse caso, dizemos que o
*ABC
está inscrito na semicircunferência.
5. Na figura a seguir, a
corda
AB deter-
mina, na circunferência, um arco que
mede 82°.
P
B
A
O
Sabendo que O é o centro e P é um ponto
qualquer da circunferência, determine a
medida do ângulo:
a) A
ˆ
OB; 82° b) Aˆ
PB. 41°
6. Sabendo que fi
RS mede 140°, calcule o
valor das medidas x, a, b e c indicadas
na figura a seguir.

R
T
S
O
b
a
x
c
7. Considere a circunferência da figura e
determine as medidas
s e t indicadas.
C
O
B
A
52°
t
s
8. Dada a circunferência da figura a seguir,
determine as medidas dos ângulos A
^
OC
e Aˆ
BC.
O B
C
A
7x
10x
+
48°
x = 40°, a = 14 0 °,
b = 20° e c = 2 0 °.
s = 104° e t = 3 8 °.
med((AÔC)) = 16 8 °
e med((Aˆ
BC)) = 8 4 °.
9. Qual é a medida do ângulo inscrito na
circunferência representada a seguir?
x + 62°
x + 2°
Q
P
O
R
10. Obser vando esta figura, determine a
medida do arco N
CD e a medida x do
ângulo Dˆ
BC. med((CD)
C
) = 130° e x = 6 5°.
C
O
B
x
100°
70°
A
D
11. Determine as
medidas a, b, c
e d indicadas na
figura.
12. Em uma circunferência, med
(N
(AB)) = 2x,
med(N
(BC)) = 3x, med(N
(CD)) = x + 30° e
med(N
(DA)) = x + 50°. Determine a medida
do ângulo inscrito:
a) BÂC; 60° b) B
ˆ
CD. 85°
13. Em uma semicircunferência de centro
O e
diâmetro
AB, OC ⁄ AD e med(N
(CD)) = 4 5 °.
Determine a medida
x indicada na figura.
Analise e compare com os colegas as
es tratégias que vocês utilizaram para
resolver esse problema.
A
C
x
B
D
O
60°
T
V
S
R
a
b
d
c
60°
48°
110°
a = 5 4 °,
b = 10 1°,
c = 12 6 ° e
d = 7 9 °.
45°. Resposta pessoal.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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O
a
A
C
B
EDITORIA DE ARTE
Responda às questões a respeito dessa situação.
a) Qual é a medida do arco
BC? Resposta: 180°.
b) Qual é o valor da medida
a indicada? Respos-
ta: a = 9 0 °.
c) Como você classifica o
*ABC quanto aos ân-
gulos? Resposta: Triângulo retângulo.
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BNCC na Unidade
No início de cada Unidade, são explicitadas
as competências (gerais e específicas), as
habilidades e os Temas Contemporâneos
Transversais a serem explorados e
desenvolvidos.
Introdução à Unidade
Aqui, apresenta-se um resumo dos
conteúdos desenvolvidos em cada Unidade e
como estão organizados.
Objetivos
Nesta seção, apresentam-se os principais
conteúdos e temas a respeito dos
conhecimentos cuja construção espera-se
favorecer com o trabalho realizado em cada
Unidade. Tais objetivos podem nortear o
professor no planejamento de aulas, uma
vez que oferecem um resumo sistemático
das aprendizagens que são pretendidas em
cada etapa educativa proposta pela obra.
Orientações didáticas
O professor encontrará comentários e orientações específicas referentes às
páginas do Livro do estudante. Os comentários podem abordar o conteúdo
principal a ser desenvolvido e/ou as seções e os boxes existentes nas páginas.
Essas indicações poderão favorecer o trabalho do professor, levando a um
melhor aproveitamento dos conhecimentos a serem explorados.
Justificativas dos objetivos
Este tópico traz as principais justificativas dos objetivos almejados em cada
Unidade, mostrando as principais motivações didáticas e pedagógicas desses
objetivos e a importância de atingi-los para potencializar a aprendizagem.
Ampliando
Neste boxe, serão apresentadas atividades, leituras complementares
e outros recursos que podem enriquecer o trabalho do professor e
possibilitar o aprofundamento, tanto do professor quanto dos estudantes,
em relação a questões e abordagens apresentadas na referida página.
Resoluções comentadas
No fim das Orientações específicas
do Volume, o professor encontrará as
resoluções das atividades propostas ao
longo do Livro do estudante.
Unidade 1 • Números reais,
potências e radicais
Abertura de Unidade – p. 12
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
2, 3 e 5,
entre outros números irracionais. Todos esses números, as
-
sim como o p, têm infinitas casas decimais não periódicas
e não podem ser escritos na forma
a
b
, com a e b números
inteiros e b 5 0.
• Uma aproximação para o número
p pode ser obtida di-
vidindo a medida do comprimento de uma circunferência
qualquer por duas vezes a medida do raio dessa circunfe
-
rência.
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Aproximando o
valor do número p para um valor conveniente.
1. A Geometria e a descoberta
do número irracional
Atividades – p. 18
1. a) Primeiro, traçamos a diagonal do quadrado,
obtendo, assim, dois triângulos retângulos isósceles.
2
0 123
De acordo com a propriedade estudada, dado um
triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado
construído com um lado comum ao maior lado do
triângulo será igual à soma das áreas dos quadrados
construídos com um lado comum a cada um dos
outros dois lados do triângulo.
Indicando a medida da diagonal do quadrado por
x,
temos:
x² = 2² + 2² h x² = 8 h x =
8.
b)
c)
82,831
2. a) De acordo com a propriedade estudada,
calculamos:
x² = 2² + 1² h x² = 5 (x . 0) h x =
5.
b)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
0 123
88
0 123
5
1
5
3. Sabendo que o valor aproximado de
5 está entre 2 e
3, podemos fazer as tentativas a seguir.
• (2,1)
2
= 4,41 , 5
• (2,2)
2
= 4,84 , 5
• (2,3)
2
= 5,29 . 5
Verificamos que
5 está entre 2,2 e 2,3. Desse modo,
podemos calcular:
• (2,22)
2
= 4,9284 , 5
• (2,23)
2
= 4,9729 , 5
• (2,24)
2
= 5,0176 . 5
Verificamos que um valor aproximado para
5 é 2,23.
4.
x7=;
Para calcular
7, podemos fazer as seguintes
tentativas:
• (2,5)
2
= 6,25 , 7
• (2,6)
2
= 6,76 , 7
• (2,7)
2
= 7,29 . 7
Verificamos que
7 está entre 2,6 e 2,7. Desse modo,
podemos calcular:
• (2,61)
2
= 6,8121 , 7
• (2,62)
2
= 6,8644 , 7
• (2,63)
2
= 6,9169 , 7
• (2,64)
2
= 6,9696 , 7
• (2,65)
2
= 7,0225 . 7
Verificamos que um valor aproximado para
7 é 2,64.
Atividades – p. 20
1. Sabemos que:
medidadocomprimentodacircunferência(C)
medidadodiâmetro(d)
.=p
Como a medida do diâmetro é igual a duas vezes a
medida do raio (r), podemos calcular: C
= 2 ? p ? r.
a) C = 2 ? 3,14 ? 8 = 50,24
C = 50,24 cm
b) C = 2 ? 3,14 ? 0,45 = 2,826
C = 2,826 cm
c) C = 2 ? 3,14 ? 2,5 = 15,7
C = 15,7 cm
d) C = 2 ? 3,14 ? 7 = 43,96
C = 43,96 cm
2. a) Podemos calcular o comprimento da circunferência
externa do pneu fazendo:
C
0,60
3,14= h C3,140,601,884=? =
C = 1,884 m
b) Podemos calcular:
5 000 ? 1,884 = 9 420
Portanto, 9 420 m.
3. Considerando p = 3,14, podemos calcular:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 11
C = 69,08 cm
A medida do comprimento de fita é, aproximadamente,
69,08 cm.
4. Seja n o número de voltas e
d a distância percorrida
(em metro), podemos calcular:
d = n ? 2 ? p ? r
15 700 = n ? 2 ? 3,14 ? 100
n = 25
Portanto, foram dadas 25 voltas nessa pista.
5. Primeiramente, calculamos a medida do comprimento
da circunferência determinada pelo contorno do
jardim:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 25
C = 157 m
Agora, calculamos a quantidade
x de mudas que serão
plantadas.
x ? 0,5 = 157 h x = 314
Serão plantadas 314 mudas.
2. Os números reais
Atividades – p. 22
1. a) 7
b) _ 3 e 7.
c) _ 3
d)
3
2
_; _ 1,4; 0,3333...
2.
27
10
.
7, pois 7 1 2,65 e
27
10
= 2,7.
3. a) V
b) V
c) F, pois a raiz quadrada de um número negativo não
pertence ao conjunto dos números reais.
d) F, pois _p pertence ao conjunto dos números reais
negativos.
3. Potências
Pense e responda – p. 24
1.
2. a) Para saber a quantidade de bactérias depois dos
seis primeiros intervalos de tempo, podemos
calcular: 2
6
= 64.
b) Depois de dez intervalos de tempo:
2
10
= 1 024.
c) Para representar a quantidade de bactérias depois
de n intervalos de tempo, podemos escrever
n
2.
Atividades – p. 27
1. a) 8
2
= 8 ? 8 = 64
b) ()13
2
_ = (_13) ? (_13) = +169
c) ()7
3
_ = (_7) ? (_7) ? (_7) = _343
d) ()0,9
1
_ = _0,9
e) 5
3
= 5 ? 5 ? 5 = 125
f) ()3,2
2
_ = (_3,2) ? (_3,2) = +10,24
g) 15
2
_ = _(15 ? 15) = _225
7
0 1 2 327
10
Quantidade de intervalos
de tempo transcorrido
Quantidade de bactérias
existentes
0
1
1
2 ? 1 = 2
2
2 ? 2 = 4
3
2 ? 4 = 8
4
2 ? 8 = 16
5
2 ? 16 = 32
6
2 ? 32 = 64
RESOLUÇÕES COMENTADAS
305
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VII
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Capítulos
Nos Volumes desta obra, as Unidades são compostas de uma quantidade variável de
capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.
Em cada capítulo, os estudantes contarão com diferentes explorações e
recursos, como textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo,
podem ser encontrados seções e boxes que buscam favorecer compreensões,
aprofundamentos, reflexões e articulações.
Aberturas de Unidade
Nesta obra, as aberturas de Unidades têm um
papel fundamental: elas propiciam o momento
de entrada no grande tema que será tratado. Em
cada Volume, a Unidade é introduzida por uma
abertura que traz:
• uma imagem (ilustração, fotografia ou
infográfico) relacionada com temas que serão
estudados ao longo da Unidade e cujo objetivo
é instigar os estudantes a uma discussão inicial;
• algumas questões para contextualizar os
estudantes no assunto da Unidade e mobilizar
conhecimentos anteriores.
Nesta seção, além dos elementos que compõem o material do estudante, são apresentados os conteúdos de cada Volume.
No Livro do estudante, cada Volume desta obra divide-se em nove Unidades e cada Unidade em capítulos.
CONHEÇAO LIVRO DO ESTUDANTE
A Arte e a Matemática têm uma
relação muito próxima, principalmente no
campo da Geometria. Uma dessas relações
pode ser observada no trabalho com rosá
-
ceas, que são construções decorativas com
formato circular. Em geral, as rosáceas
apresentam motivos florais e são muito
comuns em catedrais de estilo
gótico.
Uma rosácea é obtida a partir de pro
-
cessos de desenho geométrico. Analise
esta imagem de um vitral e o processo de
construção de um exemplo de rosácea.
Interior da Catedral

de Saint ‑Denis
(França), 2014.
UNIDADE
RELAÇÕES
ENTRE ÂNGULOS
4
Gótico: estilo artístico
e arquitetônico que
surgiu na Idade Média
(séculos V a X) e cujas
principais características
apresentam motivações
religiosas.
GLOSSÁRIO
FLORIAN MONHEIM/ALAMY/FOTOARENA
118
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FLORIAN MONHEIM/ALAMY/FOTOARENA
Agora é com você! Responda no caderno às questões a seguir.
• Utilizando um compasso, construa algumas rosáceas.
• Utilizando um
software de Geometria dinâmica, elabore uma rosácea a partir da
ferramenta de criar círculos.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
• Observe a primeira e a última imagens do processo de construção de uma rosácea.
A primeira imagem é somente uma linha circular em torno do centro, e a última é
composta dessa linha e de toda a região interna da figura circular. Como diferenciar
matematicamente esses dois casos?
No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.
119
MARBLESZONE.COM/SHUTTERSTOCK.COM,
JIRI HERA /SHUTTERSTOCK.COM
Com a ponta - seca do compasso em
qualquer ponto da circunferência,
e com a mesma aber tura utilizada
no primeiro passo, trace uma nova
circunferência.
2
B
A
Com a ponta - seca do compasso
em um dos pontos em que as duas
circunferências desenhadas se
cruzam, e com a mesma aber tura
utilizada nos passos anteriores ,
trace outra circunferência.
3
B
C
A
Com a ponta - seca do compasso no
ponto em que somente a primeira
e a terceira circunferências
desenhadas se cruzam, e com a
mesma aber tura utilizada nos
passos anteriores , trace mais

uma circunferência.
4
B
C
A
D
Repita esses passos com novas
circunferências até obter uma
figura semelhante a es ta.

Depois , bas ta colorir.
5
Trace uma circunferência
de raio qualquer.1
A
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam

diferentes rosáceas. Eles podem, por exemplo, realizar composições
inspiradas na construção apresentada na abertura.
Resoluções desta Unidade na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
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263
A IMPORTÂNCIA DE POUPAR
Leia, a seguir, o trecho de um texto.
Ao poupar, você acumula valores f inanceiros no presente para serem utilizados no futuro.
Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer
uma diferença sig nif icativa na qualidade de vida do poupador no futuro.
Assim, são vár ios os motivos para poupar: precaver-se diante de situações inespe
-
radas, preparar para aposentar-se, realizar sonhos etc. [...]
Poupança e investimento
[...] poupança é a diferença entre as receitas e as despesas, ou seja, entre tudo
que ganhamos e tudo que gastamos.
E invest imento?
Investimento é a aplicação dos recursos que poupamos, com a
expectativa de obtermos uma remuneração por essa aplicação
.
Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?
A poupança é uma sobra financeira e deve ser direcionada para alg um tipo de
i nvest i mento pa ra que seja remunerada. A cader neta de poupança ou conta de poupança é
um tipo de investimento.
BANCO CENTRAL DO BRASIL.
Caderno de Educação Financeira
: Gestão de Finanças Pessoais.

Brasília, DF: BCB, 2013. p. 43. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/
Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.
SINGKHAM/SHUTTERSTOCK.COM
EDUCAÇÃOFINANCEIRA
Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente.
Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para
realizar um sonho, por exemplo.
Responda no caderno.
1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R
$ 50,00
por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada
por ele ao longo dos meses pela expressão
y = 50x, em que
y é o total economizado,
e x, a quantidade de meses.
Considerando essa função, responda.
a) Quanto Ricardo terá economizado depois de
1 ano?
R$ 600,00
b) Calcule quanto dinheiro ele terá, se guardar esse
valor mensal durante nove anos.
c) Qual é a diferença entre o valor obtido no
item b
e o valor mostrado ne
ste gráfico,
que
corresponde a colocar esse dinheiro em um
investimento rendendo juro em vez de simples
-
mente guardá-lo? Essa diferença corresponde
a que percentual do total economizado?
R$ 5.400,00
1. c) Diferença de R
$ 1.815,18, que corresponde a
cerca de 33,6% dos R
$ 5.400,00 economizados.
EDITORIA DE ARTE
8.000,00
7.000,00
6.000,00
5.000,00
4.000,00
1.000,00
2.000,00
Tempo
(em ano)
3.000,00
0
Saldo (R
$$)
12345678
9
620,27
1.279,58
1.980,39
2.725,31
3.517,13
4.358,78
5.253,42
6.204,37
7.215,18
Saldo do investimento com
depósito mensal de R
$$ 50,00 com incidência de juro de
0,51% ao mês
Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares.
Banco Central do Brasil
. Brasília, DF, 30 maio 2022.

Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/

exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir
FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30 maio 2022.
D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV3.indd 263D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV3.indd 263
27/06/22 12:3127/06/22 12:31
POR TODAPARTE
A CULTURA AFRO-BRASILEIRA
Você sabia que, apenas a partir do século X X, manifestações, rituais e costumes
dos povos africanos começaram a ser aceitos e celebrados no Brasil como expressões
artísticas genuinamente nacionais?
Leia os textos a seguir para conhecer e refletir sobre as contribuições da cultura
africana para a formação da identidade do povo brasileiro.
Denomina-se cultura afro-brasileira o conjunto de manifestações culturais
do Brasil que sofreram alg um g rau de inf luência da cultura afr icana desde os
tempos do Brasil colônia até a atualidade. A cultura da Áfr ica chegou ao Brasil,
em sua maior parte, trazida pelos escravos neg ros na época do tráf ico transa
-
tlântico de escravos. No Brasil a cultura afr icana sofreu também a inf luência
das culturas europeia (pr incipalmente portug uesa) e indígena, de forma que
caracter ísticas de or igem afr icana na cultura brasileira encontram-se em geral
mescladas a outras referências culturais. Traços fortes da cultura afr icana podem
ser encontrados hoje em var iados aspectos da cultura brasileira, como a música
popular, a relig ião, a culinár ia, o folclore e as festividades populares. Os estados
do Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espír ito Santo, Rio de
Janeiro, São Paulo e Rio Grande do Sul foram os mais inf luenciados pela cultura
de or igem afr icana, tanto pela quantidade de escravos recebidos durante a época
do tráf ico como pela mig ração interna dos escravos após o f im do ciclo da cana-

-de-açúcar na reg ião Nordeste. A inda que tradicionalmente desvalor izados na
época colonial e no século XIX, os aspectos da cultura brasileira de or igem afr i
-
cana passaram por um processo de revalor ização a partir do século XX que
continua até os dias de hoje.
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira.
Portal da cultura afro-brasileira
. Colombo, [20-?].
Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Baianas em Vera Cruz
( B A ) , 2 0 19.
SERGIO PEDREIRA/
PULSARIMAGENS
LUKIYANOVA NATALIA FRENTA/SHUTTERSTOCK.COM
84
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27/06/22 10:1627/06/22 10:16
Educação financeira
Nesta seção, os estudantes
encontrarão temas como hábitos
conscientes de consumo,
controle de gastos, planejamento
financeiro e economia. Com base
em leituras e reflexões, serão
incentivados a repensar ações e
atitudes ligadas ao consumo e a
lidar com o dinheiro.
Seções e boxes
Atividades
Nesta seção, os estudantes encontrarão atividades diversificadas que foram
organizadas de acordo com os conteúdos apresentados em cada tópico, de
modo a facilitar a realização e a conferência. Eventualmente, são apresentadas
atividades denominadas Desafio, que apresentam maior nível de dificuldade,
permitindo a mobilização de mais habilidades e competências.
Por toda parte
É uma seção que apresenta textos, imagens e
atividades que proporcionam ao estudante maior
contextualização dos assuntos explorados na Unidade.
Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos
de Matemática e de outras áreas do conhecimento,
além de oportunizar a ampliação de repertório cultural
e perceber a Matemática em variadas situações
do cotidiano. Os temas e atividades desta seção
possibilitam, ainda, articulações entre os Temas
Contemporâneos Transversais e as competências
gerais e específicas apresentadas na BNCC.
VIII
D2_AV5-MAT-F2-2103-V9-MPG-I-LXIV-G24.indd 8
D2_AV5-MAT-F2-2103-V9-MPG-I-LXIV-G24.indd 8 04/09/22 13:5704/09/22 13:57

INTERPRETANDO INFORMAÇÕESINFORMAÇÃOTRATAMENTO
DA
Pessoa ocupada:
de acordo
com o IBGE, é toda pessoa que
exerce atividade profissional
(formal ou informal,
remunerada ou não).
GLOSSÁRIO
Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD
Covid-19.
Trabalho
: desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da
pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/
pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.
Quantidade de pessoas ocupadas por categoria

de emprego em novembro de 2020
Categoria de emprego
Quantidade de pessoas
ocupadas (em mil pessoas)
Trabalhador familiar auxiliar
1 402
Conta-própria
23 910
Empregador
2 614
Militar e servidor estatutário
7 906
Empregado do setor público sem carteira assinada
2 101
Empregado do setor público com carteira assinada
2 070
Trabalhador doméstico sem carteira assinada
2 852
Trabalhador doméstico com carteira assinada
1 226
Empregado do setor privado sem carteira assinada
8 515
Empregado do setor privado com carteira assinada
32 065
O impacto da pandemia no mercado de trabalho
A pandemia da Covid-19 teve um impacto profundo no mercado de trabalho, afetando
pr incipalmente os trabalhadores com menor proteção social e baixa escolar idade.
No Brasil os efeitos foram particularmente sig nif icativos, não somente em função da
queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas
também pelo fato de que, diferentemente de recessões anter iores, desta vez os trabalha
-
dores informais foram mais ating idos que os formais. Em particular, embora a redução
do emprego formal em 2020 tenha sido expressiva (
_4,2%), a queda no emprego informal
foi proporcionalmente três vezes maior (
_1 2,6%).
[...]
Além do forte impacto negativo da pandemia no mercado de trabalho no curto
prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão sig nif icativos a médio
e longo prazo. [...]
VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho.

Blog do IBRE
– FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em:

https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022.
Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD
Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos
da pandemia no mercado de trabalho brasileiro.
Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade
de pessoas ocupadas
por categoria de emprego, em novembro de
2020, estão registrados a seguir.
BOLDG/SHUTTERSTOCK.COM
270
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22/06/22 21:5022/06/22 21:50
Responda às questões no caderno.
1. Observe as afirmações e verifique se
são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) O número 3,
8 não per tence ao con
-
junto dos números irracionais.
b) O número
7 pertence ao conjunto dos
números irracionais.
c) Todo número racional também é um
número irracional.
d) O número
81 per tence ao conjunto
dos números racionais.
e) O número 5,
80 per tence ao conjunto
dos números naturais.
2. A representação decimal de um
número pode ser: finita, infinita e
periódica ou, ainda, infinita e não pe
-
riódica. Escreva qual é o caso de cada
um dos números a seguir.
a)
27
6
b) 0,
23
c)
2
3. Observe os números a seguir e res
-
ponda às questões.
_97;
3
5
; _
3;
49
7
;
1,25; p
a) Alguns desses números pertencem ao
conjunto dos números naturais? Quais?
b) Quais números pertencem ao conjunto
dos números inteiros
?
c) Quais números são irracionais
?
d) Quais números são reais, mas não são
racionais
?
e) Quais números são reais, mas não são
irracionais
?
4. Escolha um número irracional e faça
uma construção para representá-lo na
reta numérica, identificando - o pela
letra
P. Em seguida, troque de caderno
com um colega para que um descubra
o número que o outro representou.
V
V
F
V
F
Infinita e não
periódica.
Infinita e periódica.
Finita.
Sim;
49
7
.
_97;
49
7
_
3 e p.
_
3 e p.
1,
25;
49
7
; _97; 3
5
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
5. Qual é o resultado da expressão

5 ? +55()
?
_5
5
()
?
a)
5
b) 2
5
c) 10
d) 10
5
e) _10
6. Qual é o número que se obtém
ao simplificar a expressão
+_
_
31 10
83 4
6
5
?
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
e) 6
7. A expressão numérica
81
1
2 +
32
1
5 tem
valor
:
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10 .
e) 11 .
8. Calcule o valor de x
+ y, sabendo que
2 + x = 4
2 e 3 ? y = 5
6.
a) 2
2
b) 4
2
c) 5
2
d) 8
2
e) 10
2
9. Sendo a
=
24 e b =
36
4, o valor do
produto ab será
:
a) 2
6.
b) 6.
c) 12 .
d) 4
6.
e) 24 .
10. A expressão
(2
)
963
5
?
(2
)
936
5
é
igual a
:
a) 2.
b) 2
2.
c)
32.
d)
2
10.
e) 32.
11. Qual é o valor da expressão

32 + 4
8 _ 50 _
(2)
3
?
a) 5
2
b)
2
c) _5
2
d) 6
2
e) _
2
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa e.
Alternativa a.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
58
D2-MAT-F2-2103-V9-U1-044-059-LA-G24_AV4.indd 58D2-MAT-F2-2103-V9-U1-044-059-LA-G24_AV4.indd 58
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TECNOLOGIAS
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2
o
GRAU COM UM
SOFTWARE
Nesta seção, você vai utilizar um
software
chamado de
Ofi Calc, para descobrir as raízes de equações do 2
o
grau. É
possível fazer o
download
gratuito desse aplicativo no
site
https://www.ofimega.es/oficalc/ (acesso em: 20 fev. 2022).
Além de permitir a realização de operações matemáticas
básicas, esse recurso pode auxiliá-lo a conferir resoluções de equa
-
ções, verificar as formas fatoradas correspondentes e fazer outras
investigações, explorando as diversas ferramentas disponíveis.

1 Inicie o trabalho no Ofi Calc, clicando na aba
Ferram.
,
que disponibiliza as ferramentas do
software
. Depois,
selecione
a opção
Equações – Polinómios
, como indi
-
cado na imagem.

2 Clique na opção
Equação / função 2
o
grau e biquadrada

para acessar esta janela.
Na parte destacada em azul, você pode ajustar os coeficientes para definir a equação do
2
o
grau cujas raízes pretende descobrir.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/OFICALC
106
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27/06/22 10:2627/06/22 10:26
Tecnologias
Seção voltada ao desenvolvimento de
habilidades relacionadas ao uso de softwares
na aprendizagem de Matemática. Com os
tutoriais e as atividades desta seção, os
estudantes aprenderão a utilizar planilhas
eletrônicas, softwares de geometria dinâmica,
calculadoras de raízes de equações, entre
outros, e a simular situações e a analisar os
resultados. Além disso, no fim de cada Volume,
há uma seção direcionada às noções de
programação, como um dos recursos da obra
para favorecer o pensamento computacional a
partir do contato com recursos tecnológicos.
Tratamento da
informação
Nesta seção, que reúne propostas
de trabalho com temas associados
à probabilidade e Estatística,
os estudantes encontrarão
textos, gráficos, tabelas e
atividades, sempre buscando a
contextualização desses temas e a
análise e interpretação crítica de
dados e informações.
Retomando o que
aprendeu
Nesta seção, os estudantes
serão convidados a revisitar
os conteúdos explorados na
Unidade para que possam
perceber conquistas e
identificar possíveis dúvidas.
Respostas
Seção final do Livro do estudante,
na qual estão todas as respostas
diretas às atividades propostas.
Trata-se de uma seção voltada para
a consulta rápida de respostas.
Fórum
Este boxe traz questões que favorecem o debate e possibilitam
a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos,
fazendo que os estudantes pratiquem o desenvolvimento de
estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser
realizadas on-line. Caso a escola possua uma ferramenta desse
tipo ou o professor opte por usar uma ferramenta de uso livre
na internet, pode-se criar um grupo fechado para realizar essas
propostas.
Pense e responda
Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar
conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca
dos assuntos a serem explorados ou previamente estudados. Aqui,
os estudantes terão a oportunidade de exercitar a autonomia e o
raciocínio inferencial ao ter de investigar determinado tema antes
de observá-lo, generalizá-lo ou sistematizá-lo.
Saiba que
Neste boxe, os estudantes encontrarão um texto objetivo que
fornecerá uma dica interessante ou um recado importante para
o entendimento de alguma explicação ou para a realização de
uma atividade.
Glossário
Apresenta o significado de algumas palavras, auxiliando na
leitura e compreensão de textos. Esses significados podem ser
ampliados com o incentivo ao uso conjugado com dicionários.
Descubra mais
Boxe com indicações de ampliação do repertório e/ou
aprofundamento em determinado tema, como sugestões de livros,
vídeos, simuladores, podcasts, artigos etc. para os estudantes.
Um novo olhar
Possibilita aos estudantes retomar os conhecimentos explorados
na abertura das Unidades e perceber, por exemplo, as habilidades
desenvolvidas e as que precisam ser revistas. Assim, este boxe
oportuniza a autoavaliação dos estudantes, ao mesmo tempo
que pode ser utilizado pelo professor como ferramenta para o
mapeamento de conhecimentos desenvolvidos e a desenvolver
na turma.
IX
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D2_AV5-MAT-F2-2103-V9-MPG-I-LXIV-G24.indd 9 04/09/22 13:5704/09/22 13:57

QUADROS DE CONTEÚDOS
Cada um dos quatro volumes da obra é organizado em nove Unidades. O tema principal de cada Unidade está
relacionado a uma ou mais Unidades temáticas da BNCC e seguem, em geral, uma ordem de progressão de conteúdos,
de acordo com as etapas de aprendizagens previstas para cada um dos Anos Finais do Ensino Fundamental.
Entretanto, o professor tem autonomia para apresentar as Unidades na ordem que julgar mais conveniente para
a realidade da turma e de acordo com as ações de planejamento de suas aulas. Por exemplo, se houver mais de uma
Unidade consecutiva que trate sobre determinado tema de Números, o professor pode intercalar essas Unidades com
uma Unidade, localizada adiante, relacionada a Geometria e, posteriormente, retomar o estudo de Números.
Analogamente, com relação aos conteúdos abordados em cada Unidade, o professor pode seguir a ordem sugerida
ou, eventualmente, realizar a sequência de conteúdos que melhor lhe convier. Por exemplo, antes de começar a aborda-
gem teórica proposta em determinada Unidade, o professor pode propor a leitura do texto e o debate sobre o tema de
uma seção que traga uma contextualização para aquele conceito matemático a ser trabalhado. Depois da apresentação
formal dos conceitos, pode-se propor aos estudantes que retomem a conversa sobre a seção estudada no início da
Unidade e que realizem as atividades, analisem as respostas, validem hipóteses etc.
Portanto, o professor tem autonomia em relação aos conteúdos apresentados na coleção, podendo dispor deles,
articulá-los e complementá-los de modo a potencializar a construção de conhecimentos e tornar a aprendizagem cada
vez mais efetiva.
A fim de auxiliar o professor no planejamento de aulas com apoio didático desta obra, disponibilizamos quadros
com a organização trimestral e bimestral de conteúdos da obra por ano, indicando a Unidade, os principais conteúdos
abordados nela, além de habilidades, competências e Temas Contemporâneos Transversais da BNCC.
6
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
1º Trimestre 1
o
Bimestre
1. Sistemas de
numeração
• Sistemas de numeração
• Sistema de Numeração Decimal
• Leitura e interpretação de tabelas e
gráficos de colunas
• O conjunto dos números naturais
• Tipos de calculadora
Habilidades:
EF06MA01
EF06MA02
EF02MA32
Competências gerais: 1, 7 e 10
Competências específicas: 1, 2, 4, 5 e 7
Tema Contemporâneo Transversal: Edu-
cação Ambiental
2. Cálculos
com
números
naturais
• Operações com números naturais
(adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação)
• Tabelas de dupla entrada e gráficos
de barras duplas
• Aproximação e estimativa
• Expressões numéricas
• Uso da calculadora para a
resolução de expressões numéricas
Habilidades:
EF06MA03
EF06MA04
EF06MA12
EF06MA14
EF06MA31
EF02MA32
Competências gerais: 4, 7, 9 e 10
Competências específicas: 3, 4 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Direitos da Criança e do Adolescente e Edu-
cação para o Consumo
2º Bimestre
3. Figuras geométricas
• Ponto, reta e plano
• Semirreta e segmento
• de reta
• Figuras geométricas
• Sólidos geométricos
• Estimativas e projeções
Habilidades: EF06MA17 EF06MA28 EF06MA31 Competências gerais: 1, 2, 9 e 10
Competências específicas: 1, 2, 3, 6, 7 e 8
Tema Contemporâneo Transversal: Edu-
cação em Direitos Humanos
X
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6
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
2º Trimestre 2º Bimestre
4. Múltiplos
e divisores
• Critérios de divisibilidade
• Uso da calculadora para encontrar o
resto de uma divisão
• Divisores e múltiplos de um número
natural
• Leitura e interpretação de gráficos
pictóricos
• Números primos
• Uso de planilha eletrônica na divisibilidade
Habilidades:
EF06MA04
EF06MA05
EF06MA06
EF06MA31
EF06MA32
EF06MA33
EF06MA34
Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 e 10
Competências específicas: 1, 2, 3, 5,
6, 7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Diversidade Cultural, Educação para va-
lorização do multiculturalismo nas ma-
trizes históricas e culturais Brasileiras e
Educação para o Trânsito
5. A forma
fracionária
dos
números
racionais
• Fração (comparação, equivalência,
simplificação)
• Problemas envolvendo frações
• Adição e subtração de frações
• Forma mista
• Multiplicação com frações
• Fração e porcentagem
• Probabilidade
Habilidades:
EF06MA07
EF06MA09
EF06MA10
EF06MA13
EF06MA15
EF06MA30
Competências gerais: 4 e 9
Competências específicas: 1, 5 e 6
3º Bimestre
6. A forma
decimal
dos
números
racionais
• Número racional na forma decimal
(transformações e comparação)
• Operações com números racionais na
forma decimal (adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação)
• Cálculo de porcentagens
• Probabilidade
Habilidades:
EF06MA01
EF06MA08
EF06MA11
EF06MA13
EF06MA30
Competências gerais: 7 e 9
Competências específicas: 3 e 6 Tema Contemporâneo Transversal:
Educação Financeira
3º Trimestre
7. Ângulos e
polígonos
• Ângulo
• Transferidor
• Uso de software para construir e medir
ângulos
• Uso da planilha do LibreOffice Calc para
construir gráficos
• Construção de retas paralelas e
perpendiculares
• Polígonos (definição, identificação e
nomenclatura)
• Polígonos regulares
• Triângulos (elementos e classificação)
• Quadriláteros (elementos e classificação)
• Plano cartesiano
• Construção de polígonos no plano
cartesiano
• Construção e ampliação/redução de
polígonos com uso de um software
Habilidades:
EF06MA16
EF06MA18
EF06MA19
EF06MA20
EF06MA21
EF06MA22
EF06MA23
EF06MA25
EF06MA26
EF06MA27
EF06MA28
EF06MA31
EF06MA32
EF06MA33
Competências gerais: 1, 2, 5, 7, 8 e 9
Competências específicas: 1, 2, 4, 5,
6, 7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação para o Trânsito, Saúde e Edu-
cação Ambiental
XI
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6
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
3º Trimestre 4º Bimestre
8. Comprimento
e área
• Unidades de medida de
comprimento
• Transformação das unidades de
medida de comprimento
• Perímetro de um polígono
• Unidades de medida de superfície
• Transformação das unidades de
medida de superfície
• Medidas agrárias
• Área de figuras geométricas planas
(retângulo, quadrado e triângulo
retângulo)
• Gráfico de segmentos
Habilidades:
EF06MA24
EF06MA28
EF06MA29
EF06MA31
EF06MA32
Competências gerais: 4, 7, 9 e 10
Competências específicas: 2, 3 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação para o Consumo e
Educação Ambiental
9. Grandezas e
medidas
• Medidas de massa
• Transformação das unidades de
medida de massa
• Balança de dois pratos
• Medidas de tempo e de temperatura
• Medidas de volume
• Transformação das unidades de
volume
• Volume do bloco retangular e do cubo
• Medidas de capacidade
• Transformação das unidades de
capacidade
• Pesquisa e fluxograma
Habilidades:
EF06MA23
EF06MA24
EF06MA33
EF06MA34
Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7,
8 e 9
Competências específicas: 2, 3, 4,
6 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Saúde e Educação Alimentar e
Nutricional
7
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
1º Trimestre 1º Bimestre
1. Números naturais e operações
• Números naturais
• Operações com números naturais
• Divisores e múltiplos de um número natural
• Números primos
• mmc e mdc
• Gráficos de colunas triplas e de barras triplas
Habilidades:
EF07MA01
EF07MA05
EF07MA07
EF07MA36
Competências gerais: 1, 2, 4, 6, 7 e 9
Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6
e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação para valorização do multicultu-
ralismo nas matrizes históricas e culturais
Brasileiras e Vida Familiar e Social
2. O conjunto
dos números
inteiros
• Os números inteiros
• Os números negativos
• Módulo de um número inteiro
• Comparação de números inteiros
• Operações com números inteiros
(adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e raiz quadrada
exata)
• Expressões numéricas
Habilidades
EF07MA03
EF07MA04
EF07MA05
EF07MA06
Competências gerais: 1, 2, 3, 6, 7,
8 e 9
Competências específicas: 1, 2, 3 e 7
Tema Contemporâneo Transversal:
Educação em Direitos Humanos
XII
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7
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
1º Trimestre 2º Bimestre
3. Simetria e
transformações
geométricas
• Simetria
• Construções feitas com uso das
ferramentas de simetria do
GeoGebra
• Ampliação
• Transformações no plano
cartesiano
Habilidades:
EF07MA06
EF07MA19
EF07MA20
EF07MA21
Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 e 10
Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6,
7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Diversidade Cultural e Educação
Ambiental
2º Trimestre
4. O conjunto
dos números
racionais
• Os números racionais
• Módulo de um número racional
• Comparação de números racionais
• Operações com números racionais
nas formas decimal e de fração
• Raiz quadrada exata de números
racionais
• Média aritmética
• Média aritmética ponderada
• Análise de tabelas e gráficos com
números racionais negativos
Habilidades:
EF07MA05
EF07MA06
EF07MA07
EF07MA08
EF07MA09
EF07MA10
EF07MA11
EF07MA12
EF07MA35
Competências gerais: 2, 4 e 7
Competências específicas: 2, 3 e 6
Tema Contemporâneo Transversal:
Vida Familiar e Social
5. Linguagem
algébrica e
equações
• Sequências
• Expressões algébricas
• Igualdade
• Equações (conjunto universo e solução; equivalência)
• Equações do 1
o
grau com uma
incógnita
• Equações na resolução de problemas
• Gráficos de linhas (ou de segmentos)
Habilidades:
EF07MA05
EF07MA06
EF07MA13
EF07MA14
EF07MA15
EF07MA16
EF07MA18
EF07MA36
Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 9 e 10
Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Diversidade Cultural, Educação para valo-
rização do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras, Educação
em Direitos Humanos, Saúde e Vida Fa-
miliar e Social
XIII
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7
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
2º Trimestre 3º Bimestre
6. Figuras
geométricas
planas
• Ângulos
• Retas paralelas cortadas por uma
transversal
• Investigação de propriedades de
ângulos usando o GeoGebra
• Triângulos (construção, condição
de existência e soma das medidas
dos ângulos internos)
• Ângulos de polígonos regulares
• Circunferência
• Construções geométricas
(circunferência, triângulo e
polígono regular)
• Interpretação de gráfico de setores
Habilidades:
EF07MA22
EF07MA23
EF07MA24
EF07MA25
EF07MA26
EF07MA27
EF07MA28
EF07MA33
EF07MA36
EF07MA37
Competências gerais: 1, 5, 7 e 9
Competências específicas: 2, 5, 6 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Processo de Envelhecimento, Respeito e
Valorização do Idoso e Saúde
3º Trimestre
7. Grandezas proporcionais
• Razão
• Proporção
• Regra de três
• Construção de gráfico de setores
Habilidades: EF07MA09 EF07MA17 EF07MA29 EF07MA37
Competências gerais: 2, 3, 4, 6, 7, 8,
9 e 10
Competências específicas: 1, 2, 4, 6,
7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação Financeira, Educação para o
Trânsito, Educação Alimentar e Nutricio-
nal, Saúde, Educação Ambiental e Educa-
ção para o Consumo
4º Bimestre
8. Porcentagem, probabilidade e Estatística
• Porcentagem
• Porcentagem com o uso da calculadora
• Probabilidade
• Experimento aleatório
• Média
• Amplitude
• Pesquisa estatística censitária e amostral
• Construção de gráficos usando o LibreOffice
Habilidades: EF07MA02 EF07MA34 EF07MA35 EF07MA36 Competências gerais: 2, 5 e 7
Competências específicas: 3, 5 e 8
Tema Contemporâneo Transversal:
Educação Financeira
9. Área e volume
• Áreas de figuras geométricas planas
• Equivalência entre áreas
• Volume
Habilidades: EF07MA29 EF07MA30 EF07MA31 EF07MA32 Competências gerais: 3 e 5
Competências específicas: 2 e 6
Tema Contemporâneo Transversal:
Educação Fiscal
XIV
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8
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
1º Trimestre 1º Bimestre
1. Números
reais e
porcentagem
• Operações com números racionais
• Dízima periódica
• Números reais
• Porcentagem e juro simples
• Cálculo de porcentagem usando
planilha eletrônica
Habilidades:
EF08MA04
EF08MA05
EF08MA23
Competências gerais: 2, 6 e 7
Competência específica: 5 Temas Contemporâneos Transversais:
Educação Financeira, Educação Ambiental
e Educação para o Consumo
2. Potências e
raízes
• Potência com expoente inteiro
• Propriedades da potenciação
• Números quadrados perfeitos
• Raiz quadrada (exata e aproximada)
de um número racional não
negativo e raízes enésimas
• Potência com expoente fracionário
• Leitura e interpretação de tabelas
com intervalos de classes
Habilidades:
EF08MA01
EF08MA02
EF08MA24
Competências gerais: 5, 8, 9 e10
Competências específicas: 2, 3, 5, 6, 7 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Ciência e Tecnologia e Vida Familiar e
Social
2º Bimestre
3. Ângulos e triângulos
• Ângulos
• Triângulos
• Altura, mediana e bissetriz de um
triângulo
• Congruência de triângulos
• Propriedades dos triângulos
• Construção da bissetriz de um
ângulo e da mediatriz de um
segmento de reta
• Construção de ângulos notáveis
com o GeoGebra
Habilidades:
EF08MA15
EF08MA17
Competências gerais: 3, 5 e 9
Competências específicas: 1, 2 e 5
Temas Contemporâneos Transversais:
Diversidade Cultural e Educação para valo-
rização do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras
2º Trimestre
4. Expressões e cálculo algébrico
• Expressões algébricas
• Valor numérico de uma expressão algébrica
• Monômio (grau, semelhança e operações)
• Polinômios (grau e operações)
Habilidades:
EF08MA06
EF08MA10
EF08MA11
EF08MA13
EF08MA23
Competências gerais: 1, 3, 6 e 9
Competências específicas: 2, 5 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação Financeira, Educação para valo-
rização do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras, Educação
em Direitos Humanos, Educação para o
Consumo e Processo de envelhecimento,
respeito e valorização do Idoso
5. Equações
• Equações do 1
o
grau com uma e
com duas incógnitas
• Equação fracionária com uma incógnita
• Equações literais do 1
o
grau com
uma incógnita
• Sistemas de duas equações do 1
o
grau com duas incógnitas
• Equação do 2
o
grau
• Uso do Ofi Calc para resolver equações do tipo ax
2
+ c = 0
Habilidades:
EF08MA07
EF08MA08
EF08MA09
Competências gerais: 1, 2, 5 e 7
Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação Ambiental, Educação Financeira
e Educação para o Consumo
XV
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8
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
2º Trimestre 3º Bimestre
6. Polígonos e
transformações
no plano
• Polígonos e seus elementos
• Soma das medidas dos ângulos
internos e dos ângulos externos de
um polígono convexo
• Ângulos de um polígono regular
• Construção do triângulo equilátero
e do hexágono regular
• Propriedades dos quadriláteros
• Interpretação de gráficos de
setores
• Transformações no plano
• Uso do GeoGebra para fazer
composições envolvendo simetrias
Habilidades
EF08MA14
EF08MA15
EF08MA16
EF08MA18
EF08MA23
EF08MA24
Competências gerais: 5, 7 e 9
Competências específicas: 2, 4 e 5
Tema Contemporâneo Transversal:
Trabalho
3º Trimestre
7. Contagem, probabilidade e Estatística
• Contagem
• Probabilidade
• População e amostra
• Variáveis
• Média
• Moda
• Mediana
• Amplitude
• Realização de pesquisa estatística
• Construção de gráficos usando o LibreOffice Calc
Habilidades: EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27 Competências gerais: 1, 2 e 9
Competências específicas: 1, 2, 4 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Saúde e Educação para o Trânsito
4º Bimestre
8. Área, volume e capacidade
• Área de figuras planas
• Volume do cubo, do bloco retangular e do cilindro
• Unidades de medida de capacidade
• Equivalência entre decímetro cúbico e litro e entre metro cúbico e litro
• Análise de gráficos
Habilidades: EF08MA19 EF08MA20 EF08MA21 Competências gerais: 1, 2 e 7
Competências específicas: 3, 4 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Ciência e Tecnologia e Educação
Ambiental
9. Estudo de grandezas
• Grandezas proporcionais e não proporcionais
• Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica
• Grandezas diretamente proporcionais
• Grandezas inversamente proporcionais
• Regra de três simples e composta
Habilidades: EF08MA12 EF08MA13 EF08MA23 Competências gerais: 1, 4 e 9
Competências específicas: 3, 5 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Diversidade Cultural, Trabalho, Ciência e
Tecnologia, Educação Ambiental e Educa-
ção para o Trânsito
XVI
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9
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
1º Trimestre 1º Bimestre
1. Números
reais,
potências e
radicais
• A Geometria e a descoberta do
número irracional
• Os números reais
• Potências
• Notação científica
• Radicais
Habilidades:
EF09MA01
EF09MA02
EF09MA03
EF09MA04
EF09MA07
EF09MA18
Competências gerais: 1 e 7
Competências específicas: 1, 2, 3, 5 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Educação Financeira, Educação para o Con-
sumo e Ciência e Tecnologia
2. Produtos
notáveis e
fatoração
• Produtos notáveis
• Fatoração de polinômios
Habilidade:
EF06MA09
Competências gerais: 3, 4, 7, 8 e 9
Competências específicas: 2, 3, 4 e 6
Temas Contemporâneos Transversais:
Saúde, Educação para o Consumo e Edu-
cação para valorização do multiculturalis-
mo nas matrizes históricas e culturais
Brasileiras
2º Bimestre
3. Equações do 2
o
grau
• Equações do 2
o
grau com uma
incógnita
• Resolução de equações do 2
o
grau com uma incógnita
• Soma e produto das raízes de uma equação do 2
o
grau com uma
incógnita
• Equações biquadradas
• Importância da representação correta dos gráficos
Habilidades:EF09MA03EF09MA09EF09MA21Competências gerais: 1, 2 e 9
Competências específicas: 1, 2, 4 e 5
Tema Contemporâneo Transversal:
Educação para o Consumo
2º Trimestre
4. Relações entre ângulos
• Ângulos determinados por retas transversais
• Circunferência e ângulos
• Uso do GeoGebra para verificação da relação entre ângulo inscrito e ângulo central de uma circunferência
Habilidades: EF09MA10 EF09MA11 Competências gerais: 2, 3, 4 e 5
Competências específicas: 2 e 5
5. Proporção e semelhança
• Segmentos proporcionais
• Feixe de retas paralelas
• Figuras semelhantes
• Triângulos semelhantes
Habilidades: EF09MA07 EF09MA08 EF09MA10 EF09MA12 Competências gerais: 1, 2 e 7
Competências específicas: 2, 4 e 5
XVII
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9
o
ano
ORGANIZAÇÃOUNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE
2º Trimestre 3º Bimestre
6. Porcentagem,
probabilidade
e Estatística
• Porcentagem
• Juro simples e juro composto
• Uso do LibreOffice para cálculo de
juros e montantes
• Probabilidade
• Análise de gráficos
• Elaboração de pesquisa estatística
• Uso do LibreOffice para construir
tabelas e gráficos estatísticos
Habilidades
EF09MA05
EF09MA20
EF09MA21
EF09MA22
EF09MA23
Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 9 e
10
Competências específicas: 2, 4 ,5, 7 e
8
Temas Contemporâneos Transversais:
Processo de envelhecimento, respeito e
valorização do Idoso, Educação Financei-
ra e Educação Ambiental
3º Trimestre
7. Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência
• O teorema de Pitágoras
• Relações métricas no triângulo retângulo
• Comprimento de arco de circunferência
• Relações métricas na circunferência
Habilidades: EF09MA13 EF09MA14 Competências gerais: 1, 2 e 7
Competências específicas: 1, 2, 4 e 8
Tema Contemporâneo Transversal:
Diversidade Cultural
4º Bimestre
8. Figuras
planas, figuras
espaciais e
vistas
• Polígonos regulares inscritos em
uma circunferência
• Relações métricas nos polígonos
regulares inscritos em uma
circunferência
• Área de um polígono regular
• Área do círculo e de um setor
circular
• Representações no plano
cartesiano
• Figuras espaciais
• Projeções e vistas ortogonais
• Volume de prismas e de cilindros
• Uso do GeoGebra para
representação de polígonos
regulares
• Leitura e construção de gráficos de
setores
Habilidades:
EF09MA15
EF09MA16
EF09MA17
EF09MA19
EF09MA22
Competências gerais: 1, 2, 3, 7, 9 e 10
Competências específicas: 2, 5, 6 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Ciência e Tecnologia e Educação para va-
lorização do multiculturalismo nas matri-
zes históricas e culturais Brasileiras
9. Funções
• Função afim
• Função quadrática
• Uso do GeoGebra para construção
dos gráficos de funções afins e
funções quadráticas
Habilidades:
EF09MA06
EF09MA08
Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
e 10
Competências específicas: 2, 3, 4 e 8
Temas Contemporâneos Transversais:
Trabalho, Educação Financeira, Educação
para o Consumo e Educação para valori-
zação do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras
XVIII
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ORIENTAÇÕES GERAIS
CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA
A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda
a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo.
Considerando a relevância do ensino de Matemática na esfera escolar, é importante ter em mente que:
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Bá-
sica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas
potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilida-
des sociais.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 265. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 5 jul. 2022.
Desse modo, durante o estudo da Matemática, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando
capacitar os estudantes a mobilizar as aprendizagens e a solucionar problemas do cotidiano.
O aprendizado durante esse processo certamente servirá aos estudantes de exercício para o desempenho de seu
papel como cidadãos em interação com o mundo que os cerca; afinal, não queremos formar pessoas que apenas saibam,
mas que, com seus conhecimentos, possam estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e
modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente.
Podemos dizer que compreender Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da
aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, planejar a maneira de resolver determinado
problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, entre
as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio
lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem
mais significativa e abrangente.
A possibilidade de analisar vários modos de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses
também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo
mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções, e não
se inibindo diante de questões complexas.
Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de
correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais
podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e contribuem para que os estudantes se
tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a
antecipação de resultados.
Temos assistido, no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática, a uma forte conexão entre tendências
que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, metodo-
logias ativas e uso de tecnologias digitais – e as justificativas educacionais que sustentam essa conexão, a tal ponto que
se torna difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra
tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou
outra tendência. (MALHEIROS, 2012).
A seguir, apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências e de outros conceitos relentes em relação ao
ensino de Matemática.
XIX
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Letramento matemático
A perspectiva de que todos podem aprender Matemática tem sido um pressuposto dos estudos realizados por edu-
cadores matemáticos na busca pelo melhor preparo dos estudantes para viverem e atuarem de modo crítico, solidário e
participativo na sociedade contemporânea, visto que é incontestável a presença, cada vez mais significativa, da Matemática
no dia a dia. Esse pressuposto também está presente nos documentos oficiais que normatizam a educação brasileira.
Entretanto, esse tipo de afirmação gera uma questão importante a ser respondida pelos professores dessa área: O que
significa saber Matemática nessa perspectiva?
Ao apresentar a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC destaca que:
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letra-
mento matemático, definido como as competências e habilidades de raciocinar,
representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o
estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma
variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas
matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reco -
nhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão
e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, co-
mo aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula
a investigação e pode ser prazeroso (fruição).
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 10 jul. 2022.
A referência ao Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) ocorre por ter sido essa avaliação, que se
realiza em âmbito mundial, a cada três anos a partir do ano 2000, que colocou em evidência esse modo de expressar o
conhecimento matemático que se espera que jovens de 15 anos apresentem, tendo em vista sua inserção social, cultural
e no mundo do trabalho.
Desse modo, ensinar e aprender Matemática não se trata mais de o professor apenas apresentar procedimentos de
cálculo, de como resolver equações ou questões de geometria, de como fazer o gráfico de uma função, entre outros, para que
os estudantes repitam e repitam ao resolver longas listas de exercícios para apenas decorar o procedimento a ser realizado.
A construção do letramento matemático dos estudantes exige outra postura, tanto do professor como dos estudan-
tes, diante das situações a serem vivenciadas na sala de aula ou fora dela. Para o professor, trata-se de assumir que há
necessidade de criar um ambiente de aprendizagem que possibilite aos estudantes sentirem-se à vontade e com tempo
para pensar, colocar questões, explorar suas ideias e exprimi-las.
Nesse ambiente, deve ser possível para o professor compreender como os estudantes estão pensando, favorecendo a
formulação de questões ou pedidos de explicações para poder acompanhar a utilização das representações matemáticas
Essa definição de letramento matemático vem acompanhada da seguinte referência:
Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade indi-
vidual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de
contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimen-
tos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos.
Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo
e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamen-
tos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266 (nota de rodapé). Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 10 jul. 2022.
XX
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e verificar como se expressam sobre elas e, ainda, conferir os recursos que usam para construir sua argumentação. Para os
estudantes, trata-se da tomada de consciência de que aprender Matemática significa raciocinar, representar, comunicar-se
e argumentar matematicamente e que essas são ações que devem ser realizadas cotidianamente para que se tornem
cidadãos críticos, conscientes e capazes de tomadas de decisão bem fundamentadas.
Assim, é necessário que ambos, professor e estudante, reconheçam características que podem ser observadas para
a avaliação de que o letramento matemático está sendo desenvolvido, apresentadas a seguir.
• Raciocinar: envolve processos de pensamento logicamente encadeados, que exploram e vinculam elementos a
partir dos quais é possível realizar inferências, verificar uma dada justificativa, ou fornecer uma justificativa so-
bre uma afirmação ou sobre soluções alcançadas. É importante considerar ainda que raciocinar matematicamen-
te inclui processos intuitivos, a formulação de novas ideias e a obtenção e validação de conclusões. Segundo
D’Ambrosio (2005, p. 30): “As ideias matemáticas, particularmente comparar, classificar, quantificar, medir, expli-
car, generalizar, inferir e, de algum modo, avaliar, são formas de pensar, presentes em toda a espécie humana.”.
• Representar: utilização de diferentes registros (gráficos, tabelas, diagramas, figuras, equações, fórmulas, materiais
concretos) para expressar objetos matemáticos, identificando a possibilidade de transitar de um para o outro de
acordo com a necessidade.
• Comunicar: se expressa em ações de leitura, decodificação, interpretações de afirmações, descrição e modelagem
matemática de um problema que inicialmente esteja em outra linguagem e quando os estudantes são levados a
apresentar a solução ou explicação de determinada situação desafiadora.
• Argumentar matematicamente: processo que se dá pela utilização de conceitos, ideias e entes matemáticos na
busca de exercer uma comunicação eficaz e eficiente na aula de Matemática e que deve se aproximar da existente
na comunidade matemática. Segundo Grácio (1992), a argumentação envolve simultaneamente a “capacidade
de dialogar, de pensar, de optar e de se comprometer” (p. 67). O diálogo promove uma atitude de abertura nas
relações com o outro, no momento da comunicação e na disposição para ouvir. O pensar remete a uma atitude
crítica e de atenção. A opção traz o comprometimento aliado a uma tomada de decisão para assumir determinada
posição em relação a um tema dado.
É possível perceber que os elementos que caracterizam o letramento matemático se entrelaçam e se complementam
para uma aprendizagem mais significativa, contribuindo para a construção de uma imagem da Matemática que ultra-
passa a do senso e do sentimento comuns de que é uma área de difícil compreensão para muitos, colaborando para o
entendimento de que todos podem aprender Matemática.
No trabalho com as propostas desse livro, são várias as oportunidades de o professor acompanhar o desenvolvimento
do letramento matemático dos estudantes.
É importante propor discussões sobre as respostas dadas às questões para que os estudantes expressem como
pensaram para responder e que relações estabeleceram com as soluções apresentadas anteriormente. Essas relações
vão evidenciar como lidaram com a representação usada na resolução dos problemas e como realizaram a leitura,
decodificação e interpretação do exposto. Ao apresentarem sua conclusão sobre a questão e defenderem essa tomada
de decisão, estão utilizando as capacidades de comunicação e argumentação.
Inferência
A concepção de inferência é amplamente tratada na área de Linguagens por sua importância para os estudos relacio-
nados com a compreensão de textos. No entanto, essa compreensão também é fundamental para os textos matemáticos,
apresentados em seus diferentes registros (numérico, algébrico, geométrico, estatístico). Vamos, então, partir de uma
concepção geral de inferência para chegar a aspectos mais específicos do raciocínio inferencial em Matemática.
Segundo Santos (2008), há diferentes concepções de inferência por parte de vários autores, mas todas trazem duas
características básicas: o acréscimo de informação ao texto e a conexão de partes do texto com o objetivo de preencher
lacunas de sentido. A partir dessas características e de suas considerações, essa autora define inferência como “o resultado
de uma estratégia cognitiva cujo produto final é a obtenção de uma informação que não está totalmente explícita no
texto.” (SANTOS, 2008, p. 65). Portanto, fazer uma inferência significa identificar a presença de informação suplementar
não totalmente explicitada no texto.
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A inferência está presente no letramento matemático como uma ação inerente ao raciocinar, sendo essencial na
tomada de decisão em situações-problema. É ela também que dá suporte ao exercício de criar justificativas lógicas e
coerentes na construção de uma argumentação, ou seja, é o uso de informações existentes, de modo explícito ou não,
para chegar a novas conclusões.
A realização de inferências em Matemática pode ter um caráter lógico ou pode estar vinculada a processos intuitivos
que levam à caracterização de quatro tipos de inferência: indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia.
A inferência indutiva está associada a processos de observação a partir do qual são desenvolvidas conjecturas, che-
gando a um processo de generalização, que indicam uma propriedade, um conceito ou uma ideia de determinado objeto
matemático, mas que devem necessariamente ser testadas. É um movimento de análise que se desenvolve do particular
para o geral. Esse tipo de inferência é bastante incentivado pelas atividades dos livros desta coleção em propostas para
o desenvolvimento do pensamento algébrico, nas quais os estudantes são chamados, por exemplo, a analisar sequências
numéricas ou geométricas para escreverem ou obterem um termo qualquer dessa sequência ou uma sentença algébrica
que represente todos os seus elementos.
A inferência dedutiva diferencia-se da indutiva por usar a lógica como ferramenta argumentativa, e não a experiên-
cia e a observação, desenvolvida do geral para o particular, com uma conclusão necessária e com um papel de validação
de conhecimento. As características centrais dessa inferência são a relação necessária entre as premissas e a conclusão
e a validade universal da conclusão, desde que a cadeia de deduções esteja isenta de erros. Essa inferência é a mais
característica da Matemática; assim, toda vez que o livro tratar da demonstração de alguma propriedade, fórmula ou
teorema está sendo desenvolvido esse modo de pensar, e é essencial que o professor chame a atenção dos estudantes
sobre essa estruturação formal de encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento presente nas
demonstrações dedutivas.
A inferência abdutiva é um processo de procura por princípios, explicações ou hipóteses a partir da observação
de algo intrigante. Ao contrário da dedução, que parte das hipóteses para verificar que as conclusões são verdadeiras,
a abdução parte de uma suposta verdade para encontrar algumas hipóteses das quais ela possa ser deduzida. A criação
de hipóteses favoráveis nos leva a investigar a situação e, assim, podemos descobrir fatos novos. O esquema geral da
abdução consiste na identificação de uma evidência (um fato ou conjunto de fatos), na apresentação de hipóteses
alternativas para explicar tal evidência, seguida de uma avaliação da pertinência e adequação dessas explicações. A
hipótese que for considerada a que fornece melhor explicação é tomada como provavelmente verdadeira e assumida
como a conclusão da inferência. A procura de explicações a respeito de observações feitas é um processo muito rico na
construção do conhecimento e proporciona aos estudantes uma aprendizagem significativa. Esse tipo de inferência é de
grande importância para a construção de um pensamento crítico, apoiado em fatos, tendo em vista uma explicação e
uma conclusão plausíveis.
O raciocínio por analogia, de acordo com Polya (1954), está estreitamente relacionado com a indução, pois também
está ligado à observação e determinação de uma semelhança, mas de nível mais conceitual. Por exemplo, quando
pensamos na semelhança entre as propriedades da adição e da multiplicação podemos tomá-las como dois sistemas
análogos, ou, ainda, quando fazemos alguma modificação em uma figura geométrica para reconhecer nela uma figura
conhecida, estamos buscando situações que possam ser tratadas como análogas.
A identificação dessas diferentes maneiras de agir diante de situações matemáticas põe em relevo que processos
intuitivos são válidos em Matemática e são geradores de novas ideias e podem ser utilizados para a obtenção e validação
de conclusões.
Argumentação
A formação integral que se pretende para os estudantes, proposta pela BNCC, traz como pressuposto o desenvolvi-
mento de competências e, entre elas, “[...] saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento
e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia
para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções [...].” (BNCC, 2018, p. 14)
Para que esse desenvolvimento ocorra é necessário que se promova ao longo das aulas a constituição do pensamento
crítico dos estudantes.
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O pensamento crítico possibilita considerar situações, informações ou atitudes de maneira analítica e racional. Isso
envolve entender as origens, as motivações, a coerência, os objetivos e a validade de argumentos para a construção de
posicionamentos. Diariamente, precisamos recorrer a esse tipo de pensamento para avaliar se devemos nos convencer
da verdade de uma afirmação ou de que o argumento que nos é apresentado é consistente. Também é esse tipo de
pensamento que nos permite formular bons argumentos para comunicar e defender nossa posição diante de determinada
situação. Em essência, pensar criticamente é saber avaliar e formular uma argumentação. Mas o que é argumentação?
Como promover esse desenvolvimento nas aulas?
A teoria da argumentação, em seus primórdios entre os filósofos gregos, estava ligada ao estudo da retórica e da
poética, entendidas como a arte de falar bem e escrever belos discursos. Entretanto, com Aristóteles, considerado o pai
da teoria da argumentação, amplia-se essa visão. Para ele, ciência, sabedoria, arte, dialética e retórica são formas de
racionalidade, dotadas de diferentes graus de exatidão, de rigor ou de precisão, mas todas igualmente caracterizadas
pelo argumentar.
Atualmente, defende-se a ideia de que a prática argumentativa está presente em todos os campos da esfera humana
e que a argumentação é imprescindível à construção do conhecimento.
Para Japiassú e Marcondes (2001), a argumentação é um
Modo de apresentar e de dispor os argumentos, vale dizer, os raciocínios destina-
dos a provar ou a refutar determinada proposição, um ponto de vista ou uma tese
qualquer. Seu objetivo é o de convencer ou persuadir, mostrando que todos os ar-
gumentos utilizados tendem para uma única conclusão.
ARGUMENTAÇÃO. In: JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo.
Dicionário básico de Filosofia. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. p. 17. Disponível em:
http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filosofia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Para Carnielli e Epstein (2011), um argumento deve ser expresso em uma linguagem clara e direta, por meio de frases
chamadas declarativas, de modo que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas e a argumentação é uma
[…] coleção de afirmações, uma das quais se chama “conclusão” e cuja verda-
de procura-se estabelecer; as outras afirmações chamam-se “premissas”, e estas afirmações pretendem conduzir à conclusão (ou apoiá-la, ou persuadir-nos da sua verdade).
CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico:
o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011. p. 8.
O lugar que a argumentação ocupa hoje na escola explicita sua importância para a estruturação e formação do
indivíduo, pois ela reflete a liberdade de reflexão e de ação com objetivo democrático, o que leva a pensá-la não apenas
do ângulo intelectual mas também do social e do ético.
Ao considerarmos que um dos pilares da construção da Matemática como ciência está em seu processo argumen-
tativo, o qual se consolida nas demonstrações de propriedades e teoremas que, dessa maneira, se tornam verdades a
serem utilizadas em diferentes situações, tanto reais como internas à própria área, não se pode deixar de desenvolver
nos estudantes a capacidade argumentativa. Ela é tão significativa para essa área que é um dos elementos constitutivos
do letramento matemático.
A partir das contribuições da Filosofia e da Educação Matemática, podemos nos aprofundar na valorização do
pensamento voltado à explicação e justificação das ações executadas, tendo em vista a construção de significados para
conceitos, propriedades e procedimentos matemáticos. A recente valorização de atividades de argumentação nas aulas
de Matemática também tem a intenção de encontrar caminhos facilitadores para a aprendizagem de demonstrações.
As demonstrações têm um grande poder explicativo na Matemática, e, a princípio, os estudantes podem não reconhe-
cer essa característica e podem também não encontrar sentido nos raciocínios demonstrativos. Para que as demonstrações
exerçam seu papel como modo último de justificação matemática, é preciso que os estudantes estejam familiarizados
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com padrões de argumentação matemática. As propostas para essa realização apoiam-se na criação e na manutenção de
ambientes de aprendizagem que apoiem o fazer Matemática e o falar sobre esse fazer, procurando justificar suas ações.
Na exploração dos livros da coleção, há várias oportunidades para o fazer e o falar sobre Matemática, favorecendo o
desenvolvimento da argumentação. Nas aberturas das Unidades, sempre há desafios e novas descobertas a serem feitas;
na seção Pense e responda, os estudantes são chamados a usar estratégias próprias e investigativas para as soluções; no
boxe Fórum, os estudantes podem expressar entendimentos e exercitar a capacidade argumentativa ao defender ideias
nos debates propostos; na seção Retomando o que aprendeu, há a oportunidade de solicitar a eles que expliquem as
estratégias de resolução das questões.
No entanto, é preciso lembrar-se de que essas argumentações surgem durante as interações da aula, quando, no
decorrer da ação, o professor provoca a turma a justificar estratégias, o uso de determinados procedimentos, que expli-
quem aos colegas como estão pensando e porque pensaram desse modo. Nessas conversas, é interessante que sejam
usados pelo professor termos como argumento, conjectura, plausibilidade da conjectura, inferência, contraexemplo,
justificativa e prova matemática para que os estudantes se familiarizem com tais termos e passem a reconhecê-los como
parte do conhecimento matemático em construção.
Outro aspecto importante a ser considerado é o da contribuição dos processos argumentativos na elaboração de
inferências apoiadas nas relações lógicas que podem ser estabelecidas entre os argumentos, explorando o uso da estru-
tura condicional “se..., então...”. O pensamento computacional também pode ser acionado, estabelecendo um paralelo
no modo de pensar sobre a organização encadeada dos argumentos para se chegar à conclusão e às etapas a serem
construídas e seu encadeamento lógico para a solução computacional de uma situação.
O fundamental a se considerar é que “[…] compreender as bases da argumentação correta e do pensamento límpido
nos possibilita aproximar da verdade e da justiça, e compreendemos que só quem é realmente incapaz de argumentar
bem pode acreditar que maus argumentos produziriam bons resultados.” (CARNIELLI; EPSTEIN, 2011, p. XIV).
Pensamento computacional
Os desafios a serem enfrentados pela humanidade no século XXI têm sido foco de muitas discussões por diferen-
tes órgãos políticos, sociais e educacionais desde o final do século passado e se mantêm até hoje. A capacidade de
comunicação e de estabelecer relacionamentos que exige pensar no uso das tecnologias para superar desigualdades e
para construir ambientes públicos de direito; as alterações profundas no mundo do trabalho que exigem o domínio de
ferramentas digitais e de programas básicos de computação para a maioria dos trabalhadores, as questões éticas e sociais
envolvidas no desenvolvimento e uso da inteligência artificial (IA) são apenas alguns exemplos desses desafios.
Um dos pontos-chave dessas discussões é a função essencial da educação pela relevância do desenvolvimento da
capacidade de agir e pensar de modo criativo e crítico, apoiado pelo conhecimento das diferentes áreas e dos fundamentos
da computação aplicados em cada uma dessas áreas. Esses são elementos balizadores para a construção das competências
e habilidades dos estudantes tendo em vista a participação deles como cidadãos críticos, conscientes e protagonistas no
desenvolvimento da sociedade.
A Unesco, em seu relatório sobre a Educação para a Cidadania Global – preparando alunos para os desafios do
século XXI, destaca que:
Em um mundo globalizado, a educação vem enfatizando a importância de equipar
indivíduos desde cedo e por toda a vida, com conhecimentos, habilidades, atitudes
e comportamentos de que necessitam para serem cidadãos informados, engajados
e com empatia. Com essa interconectividade cada vez maior, por exemplo, por meio
de TIC e […] redes sociais, as oportunidades para respostas de colaboração, coope-
ração, aprendizagem compartilhada e coletivas têm aumentado.
ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA.
Educação para a cidadania global – preparando alunos para os
desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015, p. 11. Disponível em:
https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf.multi.
Acesso em: 16 jul. 2022.
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A presença da tecnologia no cotidiano pode ser notada não só para a comunicação, uma vez que
[…] praticamente todos os serviços essenciais da nossa sociedade – dos utensílios
do lar às atividades laborais, na saúde, na agricultura, nos automóveis e na crescente
automação que vem trazendo enormes desafios sociais e econômicos. Majoritariamente,
a informação que a humanidade possui e utiliza contemporaneamente está armaze-
nada digitalmente. O mundo é cada vez mais dependente de tecnologias digitais.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre computação na
Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 8. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481
-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021
-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.
Essas considerações iniciais colocam em relevo a necessidade de a educação escolar incorporar em sua prática discus-
sões e propostas variadas em que se apresentem elementos da Ciência da Computação, tendo em vista o desenvolvimento
do Pensamento computacional que
[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar, definir, modelar, resolver,
comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática,
através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando
fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pen -
samento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre Computação na
Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 10. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481
-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021
-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.
No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), em seus pressupostos quanto à educação integral dos estudantes,
que “se refere à construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as neces-
sidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea” (BNCC,
p. 14), expressa a preocupação com uma formação escolar que conecte os jovens a essa realidade mundial e os engaje nela.
Para isso, é importante evidenciar a importância de os professores do Ensino Fundamental tratarem do desenvolvimento
de competências e habilidades dos estudantes que permitirão a eles não se intimidarem diante das novas tecnologias e
do uso de recursos computacionais nos ambientes de estudo e, futuramente, de trabalho. No entanto, uma questão se
interpõe a esse fato: Como isso pode ser feito se a maioria dos docentes não têm formação específica em computação?
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O pensamento computacional não se refere apenas à computação. Ele parte da mente humana e da capacidade de realizar
conexões e resolver problemas de maneira eficiente.
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Uma resposta pode ser encontrada quando comparamos as competências e habilidades descritas para Matemática e
os elementos básicos do Letramento Matemático com as habilidades fundamentais da era da computação – “pensamento
crítico, resolução de problemas, criatividade, ética/responsabilidade, colaboração” (Brasil, 2021, p. 8) e o conceito de
pensamento computacional, propostos no documento Normas sobre Computação na Educação Básica (CNE).
Dessa comparação, é possível concluirmos que o desenvolvimento do pensamento computacional pode ser feito com
o letramento matemático, uma vez que, para ambos, raciocinar, representar, comunicar e argumentar são indispensáveis.
Essa possibilidade de abordagem do pensamento computacional e o do letramento matemático aparece de modo
explícito na seção Tecnologias, presente em diversos momentos nos livros desta coleção. Essa seção propicia discussões
sobre os softwares utilizados e seus recursos, além da apresentação de noções de programação, totalmente pertinentes
e de interesse tanto do ponto de vista dos resultados matemáticos a serem obtidos e de seu significado, como do ponto
de vista do pensamento computacional identificando a adaptação de algoritmos de uso matemático utilizados em um
software ou aplicativo. Há, ainda, outra possibilidade para esse trabalho conjunto – a resolução de problemas.
A resolução de problemas é um dos momentos mais propícios para abordar as relações entre o pensamento matemá-
tico e o pensamento computacional, sendo que este tem muito a contribuir para o desenvolvimento daquele. No entanto,
cabe ao professor promover discussões com os estudantes, nas quais sejam apresentadas algumas etapas utilizadas em
processos computacionais para a resolução de problemas que também são interessantes de serem aplicadas em situações
rotineiras de aula.
O Centro de Inovação para a Educação Brasileira (CIEB), em seu documento Currículo de Referência em Tecnologia
e Computação (CIEB, 2019), destaca que a resolução de problemas computacionais apresenta as etapas a seguir.
• Decomposição: realiza-se a análise de um problema com o intuito de identificar partes que podem ser separadas,
para tornar mais simples a solução de cada uma delas, e de que modo podem ser reconstruídas para a descoberta
de uma solução para um problema mais complexo.
• Reconhecimento de padrões: tem um viés um pouco diferente do utilizado na Álgebra, pois está voltado para
a identificação de características comuns entre as soluções das partes em que o problema foi decomposto que
permita a utilização do mesmo processo ou o reconhecimento de similaridades com outros problemas resolvidos.
• Algoritmo: trata-se de uma sequência de passos, ou seja, conjunto de instruções precisas, ordenadas e necessárias
para solucionar um problema, como em Matemática.
• Abstração: refere-se à generalização de padrões e sua classificação, destacando as informações necessárias e
organizando-as em estruturas que possam auxiliar na resolução de novos problemas, também se aproximando do
movimento de generalização usado em Matemática.
Essa abordagem do pensamento computacional possibilita aos estudantes criarem uma estrutura e um processo
de sistematização para analisar uma situação-problema, mobilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas
matemáticas, que nos permitem afirmar que o pensamento computacional pode ser visto como um suporte analítico
para o pensamento matemático com o estabelecimento de maneiras de como um problema pode ser abordado na
busca da solução.
Comunicação nas aulas de Matemática
Na escola, todos os dias os estudantes convivem com os colegas, professores e demais componentes da comunidade
escolar, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da
comunicação, incluindo as aulas de Matemática.
Os estudantes precisam ser estimulados a se expressar de diferentes modos, por exemplo, falar, ouvir, registrar por
escrito, atuar por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal maneira que possam compartilhar vivências,
conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc.
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Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estra-
tégias utilizadas em cada situação pode auxiliar não apenas o próprio estudante a reelaborar e organizar seu raciocínio
e processo de aprendizagem como também favorecer os demais colegas a validar hipóteses ou a compreender por que
pensam de modo diferente ou utilizam estratégias distintas.
Nesse processo de socialização, os estudantes são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências,
incluindo as socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável.
Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e es-
crita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens
artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, ex-
periências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que
levem ao entendimento mútuo.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 5 jul. 2022.
Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade,
resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, de-
mocráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 5 jul. 2022.
Vale destacar, ainda, a importância do desenvolvimento da leitura e da análise de textos matemáticos.
Nas aulas de Matemática, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a se familiarizar com o vocabulário,
a linguagem e as construções próprias dessa ciência. Além de conhecer termos e símbolos, é importante que consigam
articulá-los e analisar criticamente um texto matemático, por exemplo, avaliar a razoabilidade de um resultado, validar
ou refutar hipóteses na investigação de situações-problema ou para interpretar uma notícia com dados estatísticos.
Nesse sentido, o desenvolvimento de habilidades, como o raciocínio inferencial e argumentativo e o pensamento
computacional, torna-se ferramenta indispensável para uma comunicação eficiente nas aulas de Matemática. À medida
que os estudantes desenvolvem a capacidade de elaborar hipóteses, conjecturar, defender ideias e organizar etapas de
pensamento, tornam-se aptos a comunicar resultados e entendimentos a respeito dos mais diversos temas, incluindo
aqueles de caráter matemático, científico e do cotidiano de modo geral.
Modelagem
Modelagem matemática, em linhas gerais, pode ser entendida como a criação de um modelo, com base em
um conjunto de modificações e/ou adaptações de uma estrutura matemática já existente, para solucionar uma dada
situação-problema.
Para melhor compreender o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática,
será preciso recuperar esse conceito no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das
mais diversas áreas do conhecimento humano.
Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema
complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras áreas.
Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será
necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo
parâmetros, características e relações entre eles.
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[…] As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplifi-
cadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática
reflete a situação do problema. Durante e depois da criação do modelo, o profis-
sional verifica a coerência da matemática e a validade do modelo no contexto do
problema original. […]
BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação
Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 51, 2001. Disponível em:
http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.
Ainda de acordo com esse autor, uma transferência do método da modelagem vem sendo implantada na Matemática
desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento
dos estudantes em Matemática.
Essa transferência de método se dá com apoio na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões
de relevância que motivem os estudantes a buscar soluções.
Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a
modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas.
As duas pretendem enfocar situações de interesse dos estudantes. A primeira problematiza uma situação dada, não
bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada modelação, trabalha uma situação dada já em forma de
situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado.
Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem
definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001),
[…]
A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as ca -
racterísticas pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de
hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáti -
cos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por
esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento.
[…]
BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação
Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 53, 2001. Disponível em:
http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.
Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a
aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas
de ensino da Matemática.
A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de
modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas
se torna uma metodologia que costuma ser mais indicada para o Ensino Fundamental de Matemática do que a modelagem
matemática e a modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.
Resolução de problemas
Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por
Polya, em seu livro intitulado
How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática
por resolução de problemas avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida
como uma perspectiva metodológica para o ensino de Matemática.
Onuchic (1999) traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por
Schroeder e Lester (1989), que aponta para diferentes modos de abordá-la. De acordo com essa perspectiva, pode-se
adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de
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resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco, nesse caso, é
concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e,
por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, na qual
[...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender
matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino -
-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que
expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas
como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser vis-
to como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como
exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação
simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos).
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de
problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática:
concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 207.
Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCN, e estende-se aqui essa coe-
rência à BNCC, pela qual se espera que os estudantes “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização
da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las
segundo os contextos das situações” (BNCC, 2018, p. 265). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto
aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (1999, p. 210-211).
Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para
avaliar a compreensão dos estudantes dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando ao professor
perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de
ensino-aprendizagem-avaliação.
Onuchic (1999) alerta para a importância da ação e formação do professor ao aplicar essa metodologia.
[...] vale ressaltar que o
sucesso da operacionaliza-
ção proposta depende, em
grande parte, dos professo-
res que irão implementá-la
nas salas de aula e de co-
mo serão formados esses
profissionais nessa pers-
pectiva de trabalho.
ONUCHIC, Lourdes de la
Rosa. Ensino-aprendizagem
de Matemática através da
resolução de problemas. In:
BICUDO, Maria Aparecida
Viggiani (org.). Pesquisa
em educação matemática:
concepções e perspectivas. São
Paulo: Editora da Unesp, 1999.
p. 212.
Estudante resolvendo um problema na lousa.
RIDO/SHUTTERSTOCK.COM
Embora não haja uma maneira rígida de ensinar por
meio da resolução de problemas, passaremos a descrever
sucintamente um roteiro metodológico que poderá ser
desenvolvido com base em situações-problema propostas
em cada volume da obra.
XXIX
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ELENA PIMUKOVA/SHUTTERSTOCK.COM
Preparação do problema: nesta primeira
etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático
necessário para a resolução do problema não foi
trabalhado anteriormente com os estudantes. A
ideia é que eles mobilizem os conhecimentos
que possuem para, a partir disso, construir novos
conhecimentos necessários para a resolução.
Leitura do problema: é a etapa em que se
promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas.
Observar e incentivar: nesta etapa, o profes-
sor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento.
Resolução do problema: com base no enten-
dimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os estudantes, em grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolver o problema.
Registro das resoluções na lousa: represen-
tantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, na lousa, suas resoluções, indepen-
dentemente de estarem certas ou erradas.
O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas.
Plenária: para esta etapa, são convidados todos
os estudantes para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem as dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incenti-
vando a participação ativa e efetiva de todos os estudantes.
Busca do consenso: depois de sanadas as
dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a turma, chegar a um consenso sobre o resultado correto.
Formalização do conteúdo: nesse momento,
denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organi-
zada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolu-
ção do problema.
XXX
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Metodologias ativas
São os estudantes que aprendem. Essa afirmação, tão comentada em debates sobre educação, traz consigo uma
concepção do processo de ensino e aprendizagem que, apesar de não ser nova, ainda se apresenta como um desafio às
escolas: cada estudante é único e deve ser o motivo, o autor e o protagonista de seu processo de aprendizagem.
Se o principal objetivo da educação é fazer que os estudantes construam conhecimento, que se apropriem de
aprendizagens consideradas essenciais e, mais importante, que se tornem competentes em aprender – para que possam
fazer isso mesmo quando não estiverem mais no ambiente escolar – a escola é, portanto, para eles e feita deles e por
eles. Nesse caso, podemos dizer que são os autores e atores principais.
Os estudantes são os a(u)tores principais do processo porque é deles que devem vir as demandas, o interesse, a
curiosidade – uma educação que não considere as especificidades de cada indivíduo/grupo, que não abarque as diferentes
formas de ser, os desejos e os projetos desses sujeitos, provavelmente não mobilizará o envolvimento e a dedicação de
jovens e crianças que, consequentemente, deixarão de protagonizar essa história.
E, por fim, os estudantes são protagonistas de sua aprendizagem porque pouco se aprende sem interesse e moti-
vação (que é intrínseca), sem inspiração, sem a prática e sem a experimentação. É preciso levantar hipóteses, testá-las,
experimentar, errar, explorar, enfim, construir o caminho da própria aprendizagem.
Nessa perspectiva, o modelo de aula que vigora desde tempos remotos – em que o professor “ensina” transmitindo
seus conhecimentos e os estudantes os recebem – já não parece mais coerente às necessidades de nossos jovens e crian-
ças, não parece contribuir de forma efetiva com a aprendizagem. É preciso que eles construam o próprio conhecimento
– e essa construção relaciona-se ao acesso à informação e sua transformação em algo que faça sentido, em comunhão
com seus conhecimentos prévios, emoções e maturidade cognitiva de processamento.
De acordo com o texto “O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências”, publicado
no site oficial da Base Nacional Comum Curricular, a construção do conhecimento possibilita aos estudantes construir
também competências como:
•
saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e
priorização) a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de
perguntas ou de desafios dados pelos educadores;
• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexida-
de, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;
• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e mo-
mentos;
• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo ati-
tudes positivas para a aprendizagem colaborativa;
• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e
dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frus-
trações, e sendo flexível;
• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e
negativos envolvidos;
• desenvolver a capacidade de liderança;
• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções.
BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação
de competências. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Caderno de Práticas da Base Nacional Comum
Curricular. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/
caderno-de-praticas/aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-colaborativas-e
-a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJtZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9s
b2dpYXMgYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.
Mas que metodologias podem ser utilizadas para que os estudantes, de fato, possam construir o conhecimento?
Certamente, não há apenas uma maneira e nem sempre todos os estudantes carecem de uma mesma estratégia ou
formatação, mas se faz necessário o uso de metodologias que incentivem o protagonismo, que convidem os estudantes
à ação, à atuação, ao fazer – e que, fazendo, aprendam, ou seja, as chamadas metodologias ativas.
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É importante ressaltar que as metodologias ativas não se resumem a um conjunto de estratégias com nomes específi-
cos – trata-se principalmente de uma concepção de educação, de um olhar para o processo educativo. Existem inúmeras
maneiras de promover a ação dos estudantes, mas é fundamental perceber quais delas são mais adequadas a cada grupo
(ou estudante) em cada momento. Em geral, elas não se limitam ao ambiente escolar ou ao momento da aula, ampliando
as possibilidades de exploração e envolvimento.
A seguir, são apresentadas algumas estratégias que podem favorecer a aprendizagem ativa e significativa, as quais
poderão ser exploradas durante o uso desta coleção.
• Sala de aula invertida: o princípio dessa estratégia é que os estudantes tenham contato com os conceitos e a
teoria em um ambiente externo à sala de aula, por exemplo em casa, antes da aula – o que pode ser feito com um
vídeo curto, um texto, uma coleta de informações. Desse modo, o tempo didático na escola poderá ser utilizado
para a promoção de atividades em grupo, explorações, investigações e debates.
De acordo com Bacich e Moran (2018):
[…] os professores podem iniciar com o básico sobre a inversão da sala de aula e,
à medida que vão adquirindo experiência, passar a usar a aprendizagem baseada
em projetos ou em investigação. Com isso, vão se reinventando, criando cada vez
mais estratégias centradas nos estudantes ou na aprendizagem, em vez das aulas
expositivas que costumavam ministrar.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma
abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 84.
De acordo com Bacich e Moran (2018):
As metodologias ativas constituem alternativas pedagógicas que colocam o foco
do processo de ensino e de aprendizagem no aprendiz, envolvendo-o na aprendi -
zagem por descoberta, investigação ou resolução de problemas. [...]
[...]
As metodologias voltadas para a aprendizagem consistem em uma série de técni-
cas, procedimentos e processos utilizados pelos professores durante as aulas, a fim de
auxiliar a aprendizagem dos alunos. O fato de elas serem ativas está relacionado com
a realização de práticas pedagógicas para envolver os alunos, engajá-los em atividades
práticas nas quais eles sejam protagonistas da sua aprendizagem. Assim, as metodolo-
gias ativas procuram criar situações de aprendizagem nas quais os aprendizes possam
fazer coisas, pensar e conceituar o que fazem e construir conhecimentos sobre os con-
teúdos envolvidos nas atividades que realizam, bem como desenvolver a capacidade
crítica, refletir sobre as práticas realizadas, fornecer e receber feedback, aprender a in-
teragir com colegas e professor, além de explorar atitudes e valores pessoais.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma
abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 80-81.
• Rotação por estações: nessa estratégia, o professor organiza diferentes atividades relacionadas a um mesmo
assunto, de modo a explorar habilidades distintas e complementares. Cada grupo trabalhará com uma atividade
durante um período e, findado o tempo, passará para a próxima proposta. Durante o tempo de aula, todos os
grupos devem ter contato com todas as propostas.
• Aprendizagem baseada na investigação: nessa proposta, a aprendizagem é iniciada com perguntas, problemas
ou cenários relacionados à realidade, que deverão ser discutidos para identificação de uma solução. Importante
ressaltar que, muitas vezes, não existe apenas uma solução possível, e a experimentação pode ser uma maneira
interessante de validar as possibilidades.
XXXII
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• Aprendizagem em equipe: os estudantes são convidados a trabalhar, durante algum período, em um grupo
composto de quatro ou mais membros. As decisões e atividades são realizadas pela equipe, de forma conjunta, o
que favorece a interação entre os pares e o desenvolvimento de competências socioemocionais. No fim do período,
podem-se trocar as equipes, de modo que cada estudante aprenda a valorizar diferentes perfis e habilidades.
• Jogos: tanto jogar quanto criar jogos são atividades que podem favorecer a aprendizagem ativa. Quando os es-
tudantes jogam, envolvem-se em um contexto que traz significado ao conhecimento e pode mobilizar diferentes
habilidades. Desse modo, é importante que o professor crie oportunidades para trabalhar jogos nas aulas e propor
análises de estratégias e resultados com base em conhecimentos mobilizados pelos estudantes.
Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão a Matemática contextualizada, voltada para a resolução de
problemas muitas vezes em abordagem interdisciplinar, favorecendo a exploração das metodologias ativas. De modo
geral, todas as seções da obra, com destaque para as seções Pense e responda e Fórum, podem proporcionar um
envolvimento ativo dos estudantes, na investigação por soluções, mobilização de conhecimentos e construção de argu-
mentos baseados nos objetos do conhecimento matemático.
Tecnologias digitais: potencialidades no ensino e na aprendizagem
É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) na vida privada, no mundo do trabalho e no desenvolvimento
do conhecimento gerado na época atual. A intenção nesta obra é promover algumas reflexões acerca das possíveis
relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola, pensando nos principais motivos que podem levar
ao fortalecimento dessas relações.
Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam
as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação
Matemática.
[...] Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épo-
cas: Logo, informática, educação matemática on-line, tecnologias da informação,
tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos
utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título su-
gere, está em movimento.
BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases
das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. p. 16.
As diferentes maneiras – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias
– foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por
eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos
a leitura do livro.
A primeira fase, nos anos 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia
de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software
LOGO é que, principalmente, caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da
programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa
fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o
papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas.
A segunda fase teve início em 1990. Nela, existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisa-
dores viam o papel dos computadores na vida pessoal e profissional deles. Muitos nem chegaram a usar os computadores,
“outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam
explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo
e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para
o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre
e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação,
combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores.
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A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como
fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores
via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de
pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos
on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógi-
cas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances
cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, incentivando a coautoria dos estudantes na
atividade proposta.
Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase
instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la
é Tecnologia Digital (TD).
É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem
sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade.
O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implanta-
das na nossa vida e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel
preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação.
[...] O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas esco-
las públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no
momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetiza-
ção deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender
a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades es-
senciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos,
contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola
passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática.
Belo Horizonte: Autêntica, 2010. p. 16-17.
Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época
ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira
criativa por professores e estudantes na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada
ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do
estudante na aprendizagem.
No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em conse-
quência dos problemas contemporâneos, a prática do professor está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o
que faz dele também um protagonista da construção escolar como um todo.
A importância das tecnologias digitais se intensificou com a pandemia
de covid-19, decretada em 2020. Como uma das consequências
do isolamento social para conter a doença, aulas presenciais
foram suspensas. Com isso, foi necessário reprojetar a rotina
escolar no ambiente digital.
Dadas as dificuldades de acesso a recursos digitais
ou, ainda, a complexidade inerente ao ensino a distância
na Educação Básica, foi necessário grande esforço por
parte de professores e estudantes a fim de prosseguir
com a vida escolar.
VECTORFUSIONART/SHUTTERSTOCK.COM
Estudante assistindo
a uma aula on-line.
XXXIV
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Os professores precisaram desenvolver técnicas de aula a distância, bem como modelos de acompanhamento e
avaliação digitais. Essa nova realidade ressaltou a necessidade de uma formação integral do professor, incluindo a fami-
liarização com ferramentas de ensino digitais.
Práticas de pesquisa e método científico
A construção do conhecimento é permanente e se dá desde o nascimento de cada indivíduo. É por meio da interação
com o meio e com as pessoas, observando as relações sociais, culturais e naturais ao redor, e tirando conclusões sobre
elas, que aprendemos. Por esse motivo, de acordo com Pereira (2018, p. 13), “o conhecimento pode ser classificado em
popular (senso comum), teológico, mítico, filosófico e científico, com base na forma como é representado”.
O que diferencia o conhecimento científico dos demais tipos é o método, a maneira de conhecer. De acordo com
Pereira (2018, p. 18), o conhecimento científico “é necessariamente construído em relação a algo real, por meio da
experimentação, é sistemático, aproximadamente exato e verificável”. Destaca-se, contudo, que o conhecimento científico
é falível, ou seja, não é absoluto e pode ser contestado e ampliado.
O conhecimento científico é construído por meio da pesquisa científica, que, por sua vez, é um modo de construção
do conhecimento. Nela, o pesquisador, a partir de um problema que precisa resolver, algo que quer descobrir, manipula
métodos e técnicas para buscar resultados que atendam às suas indagações. De maneira geral, a pesquisa científica tem
a seguinte organização:
• identificação do problema;• levantamento de hipóteses;• enunciação do problema;• definição do método ou de estratégias;• tentativa de solução;• comunicação dos resultados.• testagem/comprovação da solução;
Em relação aos métodos científicos, podemos dizer, de acordo com Dias e Fernandes (2000, p. 6), que se trata de
“um conjunto de procedimentos adotados com o propósito de atingir o conhecimento”. Ou seja, o método científico consiste nas regras básicas que se devem executar em uma pesquisa para a construção de conhecimento científico.
De acordo com Demo (2001, p. 3) “o conhecimento está menos ligado a conteúdos, do que a procedimentos meto-
dológicos de superação dos conteúdos”. O autor amplia a discussão destacando que essa perspectiva leva “à valorização sem precedentes do saber pensar e do aprender a aprender”. Nesse ponto, podemos perceber a imbricada relação entre a pesquisa científica e a educação escolar. De acordo com a BNCC (Brasil, 2018, p. 14):
No novo cenário mundial, reconhecer-se em seu contexto histórico e cultural,
comunicar-se, ser criativo, analítico-crítico, participativo, aberto ao novo, colabo-
rativo, resiliente, produtivo e responsável requer muito mais do que o acúmulo de
informações. Requer o desenvolvimento de competências para aprender a aprender,
saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e
responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para
resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar
os dados de uma situação e buscar soluções, conviver e aprender com as diferen-
ças e as diversidades.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 5 jul. 2022.
XXXV
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Desse modo, podemos considerar a pesquisa como uma importante estratégia pedagógica para a construção do
conhecimento, em que os estudantes são convidados a identificar e resolver problemas reais, por meio da investigação,
construindo – eles mesmos em interação com os demais – sua aprendizagem.
A pesquisa, portanto, pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento autônomo e crítico, culminando,
inclusive, na capacidade de interpretar informações com clareza, analisá-las e verificar sua veracidade – habilidade tão
fundamental em uma época em que há um fluxo incontável de informações disponíveis, muitas delas falsas. De acordo
com Demo (2001, p. 10):
[...] Os conteúdos se consomem no tempo, enquanto a habilidade de saber pensar
necessita manter-se viva, mais que nunca. Se não sabe pesquisar, não sabe ques-
tionar. Não sabendo questionar, não sabe ultrapassar os impasses inevitáveis que
toda profissão encontra em sua prática. Assim, o mais importante hoje na pesquisa
não é o manejo de instrumentos metodológicos, mas o manejo dos desafios inova-
dores e por vezes surpreendentes da vida. Saber pensar é ótimo para o mercado,
mas é ainda mais essencial para a vida. [...]
DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 10. Disponível em:
http://funab.se.df.gov.br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-Professor-Conhecimento.pdf.
Acesso em: 8 jul. 2022.
Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão noções introdutórias de práticas de pesquisa relacionadas
à Matemática, inclusive, em abordagem interdisciplinar e que envolve a história da Matemática e a Etnomatemática,
valorizando a construção do conhecimento como um traço cultural e fruto do trabalho de muitos membros, em muitas
sociedades. Contextos atuais são apresentados para contribuir com a visão crítica da realidade e com o desenvolvimento
de argumentação baseada em conceitos matemáticos.
Cidadania e cultura de paz
Na atualidade, as expressões de violência parecem estar em toda parte. Na voz do âncora do jornal relatando os
novos números e desdobramentos de uma guerra, nas mídias sociais em que se escancara a vida pessoal de famosos
e anônimos, nas músicas que exploram os abismos provocados pela desigualdade de gênero, no relato de um colega
na sala dos professores que não sabe mais como lidar com as dificuldades da vida. E se essa avalanche nos atinge, com
flechas vindas de todas as direções, também o faz com os jovens, cujas estruturas, muitas vezes, não são suficientes para
lidar com tudo isso.
Em oposição a toda essa violência, faz-se necessária – cada vez mais – a construção e promoção de uma cultura de
paz, que, de acordo com D’Ambrósio (2010, p. 48), se estabelece em quatro dimensões: individual, social, ambiental e
militar.
A paz individual, relativa ao gerenciamento de emoções e sentimentos de cada indivíduo e que lhe permite ser “dono”
de suas ações, em consonância consigo e com as próprias escolhas. Poderíamos dizer que tem estreita relação com as
competências e habilidades socioemocionais.
A paz social, que resulta do olhar atento e cuidadoso para o outro, da empatia e do respeito, do reconhecimento
e da legitimação da diversidade humana, contribui para a construção de uma convivência harmoniosa e pautada pelos
princípios éticos e democráticos.
A paz ambiental, por sua vez, refere-se à impossibilidade de vivermos em conflito com o ambiente, com a natureza;
resulta da compreensão de que a manutenção da vida depende de um ambiente sadio e sustentável.
E, por fim, a paz militar, que é violada desde a Antiguidade e ainda hoje, pondo em risco a vida humana. A ausência
dela é a materialização da violência, do desrespeito, do descumprimento dos direitos humanos, da falta de empatia e
de coerência.
XXXVI
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[…] Se não contemplarmos a questão da paz na sua multidimensionalidade, es-
taremos nos iludindo, e este é um ponto fundamental.
Sem paz não haverá sobrevivência. Educar para a paz é educar para a sobrevivên-
cia da civilização deste planeta, da humanidade, da espécie – mas a sobrevivência
de todos com dignidade. Este é um ponto crucial: a dignidade de o indivíduo ser o
que ele é, de poder aderir a um sistema de conhecimentos, de conhecer suas raízes,
suas relações históricas, emocionais, sua religião, sua espiritualidade. Um indivíduo
é diferente do outro, não há como negar que nós todos somos diferentes. Preservar
essa diferença é algo fundamental para que a gente possa falar em uma sobrevi-
vência com dignidade.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: ORGANIZAÇÃO DAS
NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz: da reflexão
à ação. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. p. 48. Disponível em:
https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.
A escola, como instância socializadora – em complementaridade com familiares, grupos de convívio e a mídia de
massa –, possui papel fundamental para a construção da promoção da cultura de paz. É um espaço privilegiado
de desenvolvimento e convivência. É preciso ter, na paz, o percurso e o destino da educação.
Para que isso seja possível, a não violência deve permear todos os processos e ambientes educacionais e envolver os
diferentes profissionais que atuam de modo direto ou indireto com os estudantes, além dos familiares e a comunidade do
entorno e, claro, os próprios estudantes. A escola deve ser, efetivamente, um espaço de diálogo e civismo, promovendo
uma educação compartilhada para a convivência e cidadania.
A Unesco definiu, no texto Cultura de paz no Brasil publicado em seu site, as contribuições da educação para a
construção da paz. São elas:
•
aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, bem como os nos-
sos direitos;
• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferenças e similaridades;
• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no diálogo e na compre-
ensão intercultural;
• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas para resolverem seus
conflitos, experimentarem conflitos utilizando maneiras construtivas de me-
diação e estratégias de resolução;
• promover valores e atitudes de não violência - autonomia, responsabilidade,
cooperação, criatividade e solidariedade;
• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus colegas, os seus próprios
ideais de paz.
ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A
CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em:
https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.
Todavia, é muito importante não confundir paz com falta de opinião, conflito com confronto. A convivência pressupõe
a existência de valores e opiniões diferentes, diversidade de saberes e vivências particulares, interpretadas das mais variadas
maneiras, e todos esses elementos podem ser geradores de conflitos, das mais diversas ordens. Contudo, é pela cultura
de paz que esses conflitos serão gerenciados com base em princípios democráticos, éticos, solidários e sustentáveis,
promovendo o conhecimento – e não o confronto, que conduz à violência.
O professor D’Ambrósio (idem) afirma:
XXXVII
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D’Ambrósio (2010, p. 49) afirma: “trata-se de educar para a paz e a sobrevivência, baseadas na convivência entre
diferentes. Esse é o nosso grande desafio.” Para tanto, é preciso promover situações de fala e de escuta, escuta “desar-
mada”, momentos de debate e de socialização de ideias e sentimentos. Tais proposições poderão favorecer não apenas
o autoconhecimento como também a empatia, tão necessários para que os estudantes compreendam que o pluralismo é
positivo e necessário. A violência vem da incompreensão, que vem do desconhecimento – assim, conhecer e reconhecer
tais pontos é fundamental à cultura de paz.
Como pudemos observar, é imprescindível investir em estratégias pedagógicas que possibilitem e incentivem a iden-
tificação e o gerenciamento de sentimentos e emoções, pois as diferentes dimensões da paz se interrelacionam, e tais
movimentos favorecem o desenvolvimento de habilidades relativas à autogestão, saúde mental e amabilidade. É preciso
auxiliar os estudantes a refletir sobre situações contrárias à paz, como o bullying, e a combater essa e outras formas de
preconceitos e discriminação, tal como preconiza a competência geral 9 da BNCC (2018, p. 10):
9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fa-
zendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos,
com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos so -
ciais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos
de qualquer natureza.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 5 jul. 2022.
Nesta coleção, o professor os estudantes encontrarão propostas que buscam incentivar e promover a fala e a escuta
(atenta), o debate, a argumentação e o reconhecimento de diferentes maneiras de pensar e agir. Tais propostas, portanto,
objetivam o desenvolvimento de competências necessárias à convivência harmoniosa e à cultura de paz.
GROUND PICTURE/SHUTTERSTOCK.COM
A cultura de paz pode ser exercitada nas
atividades em grupo, em que os estudantes
podem perceber como o diálogo e a mediação de
conflitos favorecem a convivência harmoniosa.
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A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas
indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos
que precedem a homologação desse documento.
Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigual-
dade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação,
é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região
ou grupo.
Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem
desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade
de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.
Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes
para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos
mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados
com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.
No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os
estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a
todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais
e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades
escolares a partir das necessidades locais.
Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que
têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a
constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da
Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos
e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.
Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento
apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e
emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização
consciente da informação e da tecnologia.
As competências
O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores
para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.
Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (concei-
tos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes
e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício
da cidadania e do mundo do trabalho.
Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar
valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tor-
nando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação
da natureza” [...].
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 17 jul. 2022.
São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao
longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.
XXXIX
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Vale destacar que tais competências resumem as capacidades e os conhecimentos essenciais ao desenvolvimento de
atitudes e valores fundamentais no mundo contemporâneo, como a empatia, a cooperação, a valorização da Ciência e
da diversidade, o pensamento crítico e o preparo para o mundo do trabalho. O desenvolvimento desses valores e atitudes
objetivam a formação integral dos estudantes como cidadãos críticos e criativos.
As competências gerais, apresentadas a seguir, desdobram-se em competências específicas e habilidades voltadas
a cada componente curricular. Entretanto, é importante considerar que tais competências existem por si e podem ser
abordadas como tais a qualquer tempo da vida escolar, de modo que estejam presentes frequentemente nas mais variadas
atividades e abordagens. Desse modo, pode-se assegurar uma maior apropriação dos conhecimentos, atitudes e valores
que essas dez competências preconizam, bem como a aplicação destas nas questões do cotidiano.
As competências gerais da BNCC são:
Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e
explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.
Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise
crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.
Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas
diversificadas da produção artístico-cultural.
Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem
como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências,
ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.
Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e
ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir
conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.
Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem
entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida, com liberdade,
autonomia, consciência crítica e responsabilidade.
Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e
decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e
global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.
Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo
suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.
Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao
outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes,
identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.
Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões
com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9-10.
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.
16273849510
Conforme já mencionado, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que os
estudantes devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e do que devem saber fazer (mobilização desses
conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação.
Na BNCC, as aprendizagens relativas ao Ensino Fundamental estão distribuídas em cinco áreas do conhecimento
(Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Ensino Religioso), por sua vez, divididas em com-
ponentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que
abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa.
Os conhecimentos referentes a cada área do conhecimento, como mencionado, estão estruturados em competências
gerais, das quais derivam as competências específicas de cada área e/ou componente curricular.
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Cada área do conhecimento estabelece competências específicas de área, cujo
desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências
explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas.
[...]
As competências específicas possibilitam a articulação horizontal entre as áreas,
perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical,
ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Funda-
mental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando
suas especificidades.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 17 jul. 2022.
Em Matemática, cumpre destacar que as competências específicas vão ao encontro dos objetivos do letramento
matemático e sua importância de tornar significativa a aprendizagem de conhecimentos matemáticos para que estes
possam ser utilizados pelos estudantes em questões de estudo e práticas presentes na vida dos estudantes.
Observe, a seguir, as competências específicas da área de Matemática na BNCC.
Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em
diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e
para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo
aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra,
Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade
de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo
a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente,
produzindo argumentos convincentes.
Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas
cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas
com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens
(gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como
fluxogramas, e dados).
Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos,
democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem
preconceitos de qualquer natureza.
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas
para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou
não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 267.
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.
16273845
As habilidades
A fim de assegurar que o desenvolvimento das competências específicas de cada área do conhecimento, a BNCC
apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento, que, por sua
vez, são organizados em unidades temáticas.
XLI
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Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, cada componente
curricular apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacio-
nadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos,
conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.
Respeitando as muitas possibilidades de organização do conhecimento escolar,
as unidades temáticas definem um arranjo dos objetos de conhecimento ao longo
do Ensino Fundamental adequado às especificidades dos diferentes componentes
curriculares. Cada unidade temática contempla uma gama maior ou menor de ob -
jetos de conhecimento, assim como cada objeto de conhecimento se relaciona a um
número variável de habilidades [...].
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28-29. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 17 jul. 2022.
Cada habilidade pode ser dividida em partes, que abrangem diferentes ações e procedimentos. Compreender cada
uma dessas partes e definir os instrumentos adequados de aplicação delas são importantes para garantir a efetiva apro-
priação das habilidades. Por exemplo, nas habilidades que preveem a resolução e a elaboração de problemas, é necessário
dedicar momentos e atividades específicos para cada uma dessas ações a fim de favorecer a aquisição completa dessas
habilidades.
Quanto à relação entre as habilidades e as competências, cumpre destacar que uma competência compreende
um conjunto de saberes e habilidades. Assim, o fato de os estudantes desenvolverem certa habilidade, ou parte dela,
não garante que eles tenham construído a aprendizagem completa de determinada competência. Em Matemática, os
estudantes podem, por exemplo, dominar o uso de ferramentas de planilhas eletrônicas, mas isso não significa que eles
tenham desenvolvido todos os conhecimentos, atitudes e valores envolvidos na competência geral 5 da BNCC.
No texto da BNCC, a definição de competência aparece como “a mobilização de
conceitos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemo-
cionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana,
do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho”. É, portanto, a capacidade
de mobilizar recursos, conhecimentos ou vivências para resolver questões da vida
real, como pensamento crítico e empatia.
Já as habilidades indicam o que aprendemos a fazer e são sempre associadas a
verbos de ação, como identificar, classificar, descrever e planejar. No contexto es-
colar, ler e interpretar um texto, apresentar um trabalho para os colegas e realizar
operações matemáticas são exemplos de habilidades que os estudantes desenvol -
vem ao longo da evolução escolar.
BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em
educação integral. [S. l.], 19 fev. 2020, p. 3. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/
reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-competencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.
Desse modo, conclui-se que as competências são mais amplas do que as habilidades e que ambas, competências e
habilidades, devem ser desenvolvidas de modo articulado por meio dos recursos de aprendizagem presentes em cada
componente curricular, os quais devem estar relacionados entre si para garantir a formação integral dos estudantes.
Na abertura de Unidade das Orientações específicas de cada volume, são listadas as competências gerais e específicas,
as habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) relacionados aos assuntos de cada Unidade. Além disso,
ao longo das orientações, são destacados exemplos da coleção que favorecem o desenvolvimento de competências,
habilidades e TCTs com o objetivo de facilitar a identificação desses itens pelo professor e auxiliá-lo a tornar ainda mais
efetiva a aquisição dos conhecimentos, atitudes e valores previstos pela BNCC.
XLII
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Quadros de habilidades da BNCC
6
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Números
Sistema de numeração decimal:
características, leitura, escrita e
comparação de números natu-
rais e de números racionais re-
presentados na forma
decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e
números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da
reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o
que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e dife-
renças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais
características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, in-
clusive, a composição e decomposição de números naturais e núme-
ros racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão e poten-
ciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos
(mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais,
por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos ne-
les envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar
a paridade de um número
natural
Múltiplos e divisores de um nú-
mero natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e represen-
tá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema sim-
ples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos,
estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múlti-
plo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de in-
vestigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e
1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias
de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/
todo, quociente), equivalência,
comparação, adição e subtra-
ção; cálculo da fração de um
número natural; adição e sub-
tração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas
às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando fra-
ções equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem
ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações
entre essas representações, passando de uma representação para ou-
tra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo
da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natu-
ral, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou
subtração com números racionais positivos na representação
fracionária.
Operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão e poten-
ciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais
positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações
fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utili-
zando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade
de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para
múltiplos de potências de 10
(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números
para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por
meio de estratégias diversas,
sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcenta-
gens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “re-
gra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora,
em contextos de educação financeira, entre outros.
XLIII
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6
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Álgebra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não
se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois mem-
bros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar va-
lores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da par-
tição de um todo em duas par-
tes desiguais, envolvendo razões
entre as partes e entre uma das
partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha
de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações
aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre
uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação
dos vértices de um polígono a
pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do pla-
no cartesiano do 1
o
quadrante, em situações como a localização dos
vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planifica-
ções e relações entre seus ele-
mentos (vértices, faces e
arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de
vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu po-
lígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção
espacial.
Polígonos: classificações quan-
to ao número de vértices, às
medidas de lados e ângulos e
ao paralelismo e perpendicula-
rismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, consideran-
do lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regu-
lares, tanto em suas representações no plano como em faces de
poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los
em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los
em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersec-
ção de classes entre eles.
Construção de figuras seme-
lhantes: ampliação e redução
de figuras planas em malhas
quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de
ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas
e perpendiculares, fazendo uso
de réguas, esquadros e
softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou
softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e
construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a
passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslo-
camento de um objeto no plano segundo pontos de referência e dis-
tâncias fornecidas etc.).
XLIV
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6
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Grandezas e
medidas
Problemas sobre medidas en-
volvendo grandezas como com-
primento, massa, tempo,
temperatura, área, capacidade
e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grande-
zas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e re-
tângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares),
sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos
oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do
conhecimento.
Ângulos: noção, usos e
medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza asso-
ciada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo
em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio
de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas
(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples
de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como
grandeza proporcional à medi-
da do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no períme-
tro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igual-
mente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro
é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
Probabilidade
e estatística
Cálculo de probabilidade como
a razão entre o número de re-
sultados favoráveis e o total de
resultados possíveis em um es-
paço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por
meio de muitas repetições de
um experimento (frequências de
ocorrências e probabilidade
frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expres-
sando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentu-
al) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de
experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de ta-
belas e gráficos (de colunas ou
barras simples ou múltiplas) re-
ferentes a variáveis categóricas
e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elemen-
tos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes
tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de
pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, con-
sumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas
e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o obje-
tivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização
e registro
Construção de diferentes tipos de
gráficos para representá-los e in-
terpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práti-
cas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas
para registro, representação e interpretação das informações, em ta-
belas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representa-
ção de informações: gráficos e
fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identifi-
cando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posi-
ção de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos
funcionários de uma empresa etc.).
XLV
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7
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Números
Múltiplos e divisores de um núme-
ro natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números natu-
rais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo in-
cluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio
de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acrés-
cimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcen-
tagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples,
utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no
contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, or-
denação, associação com pontos
da reta numérica e operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes
contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numé-
rica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam opera-
ções com números inteiros.
Fração e seus significados: como
parte de inteiros, resultado da di-
visão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes
algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de pro-
blemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando
os mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos
utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de
partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação en-
tre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de
duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três
partes de outra grandeza.
Números racionais na representa-
ção fracionária e na decimal: usos,
ordenação e associação com pon-
tos da reta numérica e operaçõe.
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferen-
tes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de
números racionais, a relação entre elas e suas propriedades
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ope-
rações com números racionais.
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e
incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por
letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, di-
ferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas,
reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas
na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regula-
ridades encontradas em sequências numéricas.
XLVI
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7
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Álgebra
Equivalência de expressões algébri-
cas: identificação da regularidade
de uma sequência numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas
para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica
são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas
diretamente proporcionais e gran-
dezas inversamente proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam varia-
ção de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa en-
tre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a
relação entre elas.
Equações polinomiais do 1
o
grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser repre-
sentados por equações polinomiais de 1
o
grau, redutíveis à forma
ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria
Transformações geométricas de
polígonos no plano cartesiano:
multiplicação das coordenadas por
um número inteiro e obtenção de
simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados
no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas
de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o si-
métrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e
reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias
de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho
ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a repre-
sentações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.
A circunferência como lugar
geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reco-
nhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composi-
ções artísticas e resolver problemas que envolvam objetos
equidistantes.
Relações entre os ângulos forma-
dos por retas paralelas intersecta-
das por uma transversal
(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares
de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição
de existência e soma das medidas
dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, re-
conhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas
aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telha-
dos, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma,
um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhe-
cidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e
triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos
regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ân-
gulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vincula-
das à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma,
um algoritmo para a construção de um polígono regular (como qua-
drado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
XLVII
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7
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Grandezas e
medidas
Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medi-
das de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações co-
tidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que
toda medida empírica é aproximada.
Cálculo de volume de blocos re-
tangulares, utilizando unidades de
medida convencionais mais
usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida
do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais
(metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras
planas: cálculo de áreas de figu-
ras que podem ser decompostas
por outras, cujas áreas podem ser
facilmente determinadas como
triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângu-
los e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida
de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadra-
dos, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre
áreas.
Medida do comprimento da
circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medi-
da de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e re-
solver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade
e estatística
Experimentos aleatórios: espaço
amostral e estimativa de probabi-
lidade por meio de frequência de
ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simu-
lações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por
meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de
um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o signifi-
cado de média estatística como indicador da tendência de uma pes-
quisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a
amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa
censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e
organização dos dados, construção
de tabelas e gráficos e interpreta-
ção das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da reali-
dade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar
amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de rela-
tório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas
eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação,
pertinência e construção para re-
presentar conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico
de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível
ou conveniente sua utilização.
XLVIII
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8
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros
e aplicar esse conhecimento na representação de números em no-
tação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre
potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência
de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da
contagem
(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja re-
solução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens
(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de
porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração
geratriz
(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção
de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra
Valor numérico de expressões
algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo
do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
Associação de uma equação li-
near de 1
o
grau a uma reta no
plano cartesiano
(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1
o
grau com duas in-
cógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de
1
o
grau: resolução algébrica e repre-
sentação no plano cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu
contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1
o
grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizan-
do, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2
o
grau
do tipo ax
2
= b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias,
problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2
o
grau do tipo ax
2
= b.
Sequências recursivas e não
recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numéri-
ca ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras
seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numéri-
ca recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamen-
te proporcionais, inversamente pro-
porcionais ou não proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas,
diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, ex-
pressando a relação existente por meio de sentença algébrica e re-
presentá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grande-
zas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estra-
tégias variadas.
Geometria
Congruência de triângulos e de- monstrações de propriedades de quadriláteros
(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio
da identificação da congruência de triângulos.
XLIX
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8
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Geometria
Construções geométricas: ângu-
los de 90°, 60°, 45° e 30° e po-
lígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou
softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de
90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma,
um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de
esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como luga-
res geométricos: construção e
problemas
(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lu-
gares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: si-
metrias de translação, reflexão e
rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composi-
ções de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação),
com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geome-
tria dinâmica.
Grandezas e
medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento
de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas
de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de
área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como deter-
minar medida de terrenos.
Volume de bloco retangular
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro
cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver proble-
mas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálcu-
lo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco
retangular.
Probabilidade
e estatística
Princípio multiplicativo da
contagem
Soma das probabilidades de to-
dos os elementos de um espaço
amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na cons-
trução do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e re-
conhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do
espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas
ou setores e seus elementos cons-
titutivos e adequação para deter-
minado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para
representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma
variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de
uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de manei-
ra adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e
de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de
uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreen-
são de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, in-
dicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pes-
quisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou
econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não
censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de di-
ferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma
técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha
os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, des-
tacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude
e as conclusões.
L
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o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Números
Necessidade dos números reais
para medir qualquer segmento de
reta
Números irracionais: reconheci-
mento e localização de alguns na
reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de
comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de
um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida
de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número
real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar
a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negati-
vos e fracionários
(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potên-
cias com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica
e problemas
(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, in-
clusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que en-
volvem cálculo de percentuais
sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcen-
tagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a de-
terminação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de
tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
Álgebra
Funções: representações numéri-
ca, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de depen-
dência unívoca entre duas variáveis e suas representações numéri-
ca, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações
que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espé-
cies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas
grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Grandezas diretamente proporcio-
nais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações
de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de va-
riação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração
e produtos notáveis
Resolução de equações polino-
miais do 2
o
grau por meio de
fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expres-
sões algébricas, com base em suas relações com os produtos notá-
veis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados
por equações polinomiais do 2
o
grau.
Geometria
Demonstrações de relações entre
os ângulos formados por retas pa-
ralelas intersectadas por uma
transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos forma-
dos por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na
circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de
relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circun-
ferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria
dinâmica.
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes
para que dois triângulos sejam semelhantes.
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9
o
ano
UNIDADES
TEMÁTICAS
CONTEÚDOS HABILIDADES
Geometria
Relações métricas no triângulo
retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações
experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por trans-
versais: teoremas de proporcionali-
dade e verificações experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângu-
lo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a seme-
lhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teo-
rema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolven-
do retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma,
um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja me-
dida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como tam-
bém softwares.
Distância entre pontos no plano
cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta
e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas
desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utili-
zar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de pe-
rímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras
espaciais
(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e
aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e
medidas
Unidades de medida para medir
distâncias muito grandes e muito
pequenas
Unidades de medida utilizadas na
informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expres-
sar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distân-
cia entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células,
capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medi-
das de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso
de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade
e estatística
Análise de probabilidade de even-
tos aleatórios: eventos dependen-
tes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos in-
dependentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocor-
rência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela
mídia: elementos que podem in-
duzir a erros de leitura ou de
interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mí-
dia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente,
erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explici-
tadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes
e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e represen-
tação de dados de pesquisa ex-
pressos em tabelas de dupla
entrada, gráficos de colunas sim-
ples e agrupadas, gráficos de bar-
ras e de setores e gráficos
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colu-
nas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspec-
tos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pes-
quisa amostral e apresentação de
relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo
tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de re-
latório contendo avaliação de medidas de tendência central e da
amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio
de planilhas eletrônicas.
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UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS
CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS
Um dos desafios mais urgentes do ensino de Matemática é fazer que ela interaja com outras áreas do conhecimento
e contribua para a formação integral dos estudantes, indo além do conteúdo programático.
Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de
compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas. Nesse sentido, a interdisciplinaridade
(relação entre os componentes curriculares) surge como um dos recursos para tornar a aprendizagem Matemática ainda
mais significativa, uma vez que o ensino interdisciplinar prevê a mobilização de aplicações de cada componente de modo
integrado para a análise e resolução de uma situação-problema, como destaca-se na BNCC:
[...] a interdisciplinaridade implica um diálogo entre os campos dos saberes, em
que cada componente acolhe as contribuições dos outros, ou seja, há uma intera-
ção entre eles. [...]
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto
histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao
/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem,
estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Aqui, cabe citar a relevância do trabalho transdisciplinar, que prevê o ensino integrado dos conhecimentos de diferentes áreas, como destaca-se na BNCC:
A abordagem transdisciplinar contribui para que o conhecimento construído ex-
trapole o conteúdo escolar, uma vez que favorece a flexibilização das barreiras que
possam existir entre as diversas áreas do conhecimento, possibilitando a abertura
para a articulação entre elas. Essa abordagem contribui para reduzir a fragmenta-
ção do conhecimento ao mesmo tempo em que busca compreender os múltiplos e
complexos elementos da realidade que afetam a vida em sociedade.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto
histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18-19. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao
/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Para que a prática docente seja organizada, de modo que possibilite a formação de cidadãos críticos, é preciso
entender a contextualização como um acontecimento ou uma situação pertencente a um encadeamento de elementos
relacionados a recursos disponíveis em cada área de conhecimento.
Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o coti-
diano dos estudantes para a aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de
fazer que os estudantes aprendam a relacioná-las a diferentes aplicações do conhecimento matemático. As experiências
vivenciadas pelos estudantes e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Desse modo,
é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados
aos estudantes, mas que possam estar relacionados a seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo.
Portanto, fazer conexões interdisciplinares entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências, História, Geografia,
Educação Física, Língua Inglesa etc. e transdisciplinar, utilizando-se também os Temas Contemporâneos Transversais,
poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado para os
estudantes.
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É importante ressaltar a importância das explorações que favoreçam a leitura e as reflexões, inclusive nas aulas de
Matemática, sobre os conhecimentos construídos em cada momento do processo de aprendizagem.
O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemáti -
ca [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez
mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de en -
sino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de matemática, nos
processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um proje-
tos que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz.
POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e
potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.
Os Temas Contemporâneos Transversais visam promover a difusão de valores Fundamentais ao interesse social e a
formação integral dos estudantes. De acordo com a BNCC, temos que:
[...] os Temas Contemporâneos Transversais têm a condição de explicitar a liga-
ção entre os diferentes componentes curriculares de forma integrada, bem como de
fazer sua conexão com situações vivenciadas pelos estudantes em suas realidades,
contribuindo para trazer contexto e contemporaneidade aos objetos do conheci -
mento descritos na BNCC.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto
histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 5. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao
/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais
descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume
não se encerram em si mesmos, já que podem ser complementados e contemplados com um dos temas contemporâneos
como pano de fundo relacionados às competências e habilidades da BNCC.
Para isso, tornam-se de fundamental importância o planejamento e os estudos prévios por parte do professor para
se apropriar das relações entre os temas abordados e o conteúdo matemático que será desenvolvido em cada momento
e como potencializar essas relações para tornar a aprendizagem ainda mais significativa.
Os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC são:
BRASIL. Ministério da Educação.
Temas Contemporâneos Transversais
na BNCC: contexto histórico e
pressupostos pedagógicos. Brasília, DF:
MEC, 2019. p. 13. Disponível em: http://
basenacionalcomum.mec.gov.br/images/
implementacao/contextualizacao_
temas_contemporaneos.pdf. Acesso
em: 13 jul. 2022.
TEMAS CONTEMPORÂNEOS
TRANSVERSAIS
Economia
• Trabalho
• Educação Financeira
• Educação Fiscal
Ciência e Tecnologia
• Ciência e Tecnologia
Multiculturalismo
• Diversidade Cultural
• Educação para valorização do multiculturalis-
mo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras
Meio Ambiente
• Educação Ambiental
•
Educação para o Consumo
Saúde
• Saúde
•
Educação Alimentar e Nutricional
Cidadania e Civismo
• Vida Familiar e Social
• Educação para o Trânsito
• Educação em Direitos Humanos
• Direitos da Criança e do Adolescente
• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso
LIV
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O PAPEL DO PROFESSOR
Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem
de seus estudantes. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza
sobre o que os estudantes já sabem e como eles aprendem.
Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de
um novo conteúdo, de uma nova estratégia, ou ainda difusor de um termo
específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só
o que vai ensinar, mas também para quem está ensinando.
Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos
estudantes sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola,
bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em
que vivem e estudam.
Quanto mais o professor ajudar os estudantes a atribuir significados aos
conteúdos estudados, mais eles poderão compreender a Matemática e se
interessar por ela. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano.
É importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada
de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo:
o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para
resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio
da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de
conhecimento científico, entre outros.
Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A
Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas maneiras de compreender e resolver as situações-problema, as
questões e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reco-
nhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.
O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes maneiras de se fazer Matemática e dar suporte para
que os estudantes consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada
em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si.
Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de
aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os estudantes, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e
promovendo a solidariedade e a cooperação no dia a dia escolar.
As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar os estudantes no contexto de
produção de pensamento e de conhecimento matemático. Desse modo, o foco não é mais os estudantes, o professor
ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos.
Uma vez que as respostas dos estudantes às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar
matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma
maneira, os estudantes são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor.
Assim, o conhecimento matemático escolar é redefinido constantemente.
Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus
estudantes aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham:
[...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, arti-
culado com as ciências da educação, pode resultar em caminhos férteis para que
essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efe-
tiva e com significado.
PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A Matemática na formação de
professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar,
2010. p. 20.
CESAR DINIZ/PULSAR IMAGENS
Professor orienta estudantes indígenas
da etnia xerente durante aula na Escola
Indígena Sakruiwê, na Aldeia Funil, em
Tocantínia (TO). Fotografia de 2022.
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Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla
gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática
como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha
clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o profes-
sor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos
matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como
destacam Soares e Sheide (2004):
Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimen-
to matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento.
A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da
sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos
do saber e historicamente situado.
SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um
educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p.
2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf.
Acesso em: 13 jul. 2022.
Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito
do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento
e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.
Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que
ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais
e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.
PERFIS DE APRENDIZAGEM
A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensar-
mos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas
dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário,
a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:
[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desen-
volvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não
linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privi-
legiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda,
assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem
e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma
educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno,
nas suas singularidades e diversidades. […]
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular:
educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf.
Acesso em: 28 jul. 2022.
Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando
necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não
significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do
que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem
melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais.
Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários);
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outras pessoas são mais auditivas e, nesse caso, participar de conversas, fazer leituras em voz alta, praticar a escuta
de podcasts, assistir a palestras e até ouvir músicas podem ser um caminho promissor; temos, também, aqueles mais
cinestésicos e, nesse caso, pode ser importante explorar atividades concretas, como simulações, demonstrações, dinâmicas
e métodos lúdicos, como a gamificação. É importante salientar que existem ainda pessoas com certa facilidade para se
adaptar aos estímulos, os indivíduos chamados multimodais.
Para César Coll (2003, p. 2), é preciso identificar os diversos fatores que se relacionam com a aprendizagem – de
natureza cognitiva, emocional, afetiva, social. O autor afirma que:
A qualidade de um sistema educativo está estreitamente relacionada – sobretu-
do nos níveis correspondentes à educação básica – à sua capacidade de satisfazer
as necessidades educativas e de formação de todos os alunos, ou seja, à sua capa-
cidade de diversificar e de ajustar a ação educativa às características individuais e
à ampla gama de capacidades, interesses e motivações demonstrados por alunos e
alunas diante da aprendizagem escolar. (2003, p. 2)
COLL, Cesar. Atenção à diversidade e qualidade do ensino.
Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1, p. 7-17, 2012. Disponível em:
https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.
Há que se considerar as culturas juvenis em sua multiplicidade, a neuro-
diversidade, os diferentes perfis de aprendizagem. Uma escola que atenda
a todos precisa ser inclusiva – não apenas pensando em “minorias”, mas
reconhecendo que a diversidade é inerente à humanidade, logo, onde há
pessoas, há diversidade. Dessa forma, não há espaço para preconceitos ou
discriminações de quaisquer ordens.
Além disso, a escola precisa ser reconhecida pelos estudantes como um
espaço de paz para que se sintam seguros e confiantes na construção de seu
projeto de vida. Desse modo, é fundamental promover situações que desen-
volvam a empatia e a cooperação entre eles e toda a comunidade escolar.
Para que isso aconteça, é preciso buscar novas formas de “fazer edu-
cação”, promovendo o protagonismo dos estudantes no processo. As
metodologias ativas parecem propícias a essa tarefa, pois favorecem o tra-
balho coletivo, a reflexão, a convivência e respeitam os diferentes tempos e interesses, bem como a diversidade de formas
de aprender.
Sugerimos também a alternância entre agrupamentos e trabalho individual, considerando os objetivos de aula (ou
sequência de aulas) e as metodologias empregadas. Em duplas, pequenos grupos, grupos grandes ou até com o grupo-
-classe. Nos agrupamentos, os estudantes desenvolvem-se a partir da relação com os outros, e, no trabalho individual, o
professor pode personalizar o processo, enfocando em habilidades específicas necessárias ao desenvolvimento de cada
estudante. Em turmas grandes, o agrupamento pode ser, especialmente, uma estratégia muito útil para contemplar a
diversidade e favorecer a aprendizagem de todos.
O professor pode também explorar as tecnologias digitais em suas propostas pedagógicas, com base nas preferências
e nos estilos de aprendizagem, valorizando as potencialidades e a integração entre os estudantes. Para além da inclusão
das estratégias digitais, convidar os estudantes ao protagonismo, abrindo as portas da escola às culturas juvenis.
Dizemos no plural, culturas juvenis, porque é impossível unificá-las, uma vez que dependem de inúmeros aspectos,
como interesses, territorialidades, influências, fatores socioeconômicos. Elas podem ser consideradas como a confluência de
modos de vida, práticas sociais, interesses, gostos e saberes específicos que levam às escolhas, linguagens e atuações
de cada grupo de jovens, formando identidades. Para desenvolver essas culturas e ampliar a identificação dos estudantes
com o processo de aprendizagem, é importante abrir espaço para trocas e aprendizagem coletiva, como promover
festivais, saraus poéticos e musicais.
Nesta coleção, são apresentadas propostas diversificadas, que permitem variadas maneiras de exploração e orga-
nização do trabalho, favorecendo a organização do trabalho pedagógico e do seu planejamento para atender grupos
grandes ou pequenos em suas particularidades.
PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK.COM
Grupo de jovens posando para uma
fotografia.
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AVALIAÇÃO
Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala
de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos estudantes, como o ingresso nas universidades.
A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se os estudantes tinham
ou não condições de progredir nos estudos). Atualmente, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não
deve apenas verificar se os estudantes atingiram os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhes uma
nota ou um conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumiram o papel de
um potente instrumento que permite visualizar o progresso de cada estudante e sinalizar possíveis pontos de atenção.
Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos estudantes como também produzem
dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, incluindo o professor. Assim, para que haja um
ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principalmente no que se refere à
vinculação do professor com os estudantes. Por isso, é essencial compreender como esses estudantes lidam com o conhecimento,
quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de
superação dos desafios e avanço nas conquistas.
Nesse contexto, podem ser destacados três tipos principais de avaliação: diagnóstica, formativa de processo ou de resultado.
A avaliação diagnóstica, a ser realizada no início do processo de ensino e aprendizagem de determinado conteúdo, é
fundamental para esse processo. O professor e os estudantes precisam identificar os conhecimentos já adquiridos para, com
base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem
ser ampliados. A clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo o ponto a que se quer
chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou-se a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os estudantes os
objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar.
No tipo de avaliação formativa de processo, o professor deve lançar mão de diferentes instrumentos avaliativos que sinalizem
o desenvolvimento dos estudantes ao longo do processo educativo. Nesse caso, os resultados são parciais e os registros podem
nortear a tomada de decisões e o caminho de aprendizagem a ser proposto pelo professor. Desempenho em seminários,
participação em debates e capacidade de comunicar e compartilhar estratégias de resolução são indícios do desenvolvimento
dos estudantes durante o processo de construção de conhecimentos e podem ser utilizados como meios avaliativos.
A avaliação de resultado ou somativa é aquela realizada ao fim de determinado estudo ou período de estudo para indicar
os resultados de desempenho dos estudantes em relação a uma meta de aprendizagem. A prova tradicional é um dos instru-
mentos mais comuns desse tipo de avaliação, cujo resultado é um índice importante da evolução do nível de aprendizagem
dos estudantes, mas não deve ser o único, tampouco analisado isoladamente, sem considerar os resultados dos demais tipos
de avaliação realizados.
As questões da seção Avaliações oficiais em foco, baseadas em avaliações oficiais de larga escala (Saeb, Saresp, Pisa,
Enem, OBMEP, entre outras), podem ser utilizadas e aplicadas como instrumento avaliativo de um dos tipos de avaliação
descritos, de acordo com o planejamento do professor e a realidade de cada turma.
Avaliar o processo
Uma possibilidade é observar a estratégia que os estudantes utilizam para resolver as situações-problema; isso consiste
em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, o modo como produzem
algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz
para atender às necessidades reais dos estudantes. Pedir a eles que socializem com os colegas os raciocínios e as estratégias
é mais uma maneira de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um.
Como já comentamos, é importante incentivar os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os estudantes
são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é
interessante pedir-lhes que registrem o mesmo processo de maneiras distintas para que possam, além de explorar os
diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais simples ou desafiador.
Autoavaliação
Os estudantes precisam se conscientizar da responsabilidade deles por seu processo de aprendizagem e, para isso, é
preciso que percebam a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilizem-
-nos como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que indica sua nota, os
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estudantes precisam ser motivados a identificar, nos acertos, as conquistas realizadas e, nos erros, possíveis desvios de
rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto o espaço/tempo para os estudantes se autoavaliarem deve ser
fornecido pelo professor.
Nesse processo de autoavaliação, os estudantes podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que
lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão
causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros.
Nesta obra, os estudantes encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos
explorados para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e,
por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações e estudos.
Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos, como: rodas de conversa
ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelos próprios estudantes e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos;
provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um estudante
corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc.
É importante que os estudantes também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que
já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante.
A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamen-
to e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação
e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao alu -
no, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres
críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas.
CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi
Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan. O processo de avaliação nas aulas de matemática.
Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.
Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os estudantes podem perceber estratégias de aprendizagem
que precisam ser modificadas.
Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos estudantes, poderão
cooperar no estabelecimento dessas estratégias.
A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir
a uma prova. Como mencionado, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam
desenvolvidos ao longo do ano letivo. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento
dos estudantes.
A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por
objetivo contribuir para a formação dos estudantes.
Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN):
Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de con-
ceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos
implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia,
num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolu-
ção de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.
Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos de avaliação para regis-
trar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do
desenvolvimento de atitudes, [...]
Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, tra-
balhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem
ser considerados. [...]
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. p. 41. Disponível
em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 3 ago. 2022.
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INDICAÇÕES PARA APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR
DOCUMENTOS OFICIAIS
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum
Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018.
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares
Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB:
DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/
julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file.
BRASIL. Senado Federal. Lei de diretrizes e bases da edu-
cação nacional. Brasília, DF: Senado Federal, Coordenação
de Edições Técnicas, 2017.
BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computa-
ção na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília,
DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/
index.php?option=com_docman&view=download&alias=
182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu
cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.
BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela
Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF:
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-listagem/item/66-apresentacao.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares
Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental
– Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em:
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orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade.
2. ed. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: http://portal.
mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobase
final.pdf.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos
Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupos-
tos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa
cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria
de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. Disponível
em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf.
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SITES E PUBLICAÇÕES
A COR DA CULTURA. Disponível em: https://www.cenpec.
org.br/tematicas/a-cor-da-cultura-modos-de-brincar.
A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA TEMAS & DEBATES.
Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/td.
BOLETIM GEPEM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática). Disponível em: http://costalima.ufrrj.br/index.
php/gepem/index.
CADERNOS DO CAEM. Disponíveis em: https://www.ime.
usp.br/caem/publicacoes.php.
CADERNOS – SÉRIE IDEIAS DA FUNDAÇÃO PARA O
DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO – FDE. Disponíveis
em: https://www.fde.sp.gov.br/PagePublic/Interna.
aspx?codigoMenu=253&AspxAutoDetectCookieSupport=1.
EDUMATEC. Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/.
FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO
PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO
E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: http://www4.
fe.usp.br/feusp/departamentos/edm.
INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática.
Disponível em: https://www.alfaebeto.org.br/2019/06/06/
instituto-alfa-e-beto-pensa-sobre-ensino-da-matematica/.
INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: http://
acervo.paulofreire.org:8080/xmlui/.
LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da
USP. Disponível em: http://www2.fe.usp.br/~labmat/principal.html.
LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em:
http://www.multimeios.ufc.br/.
MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO
DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: https://www.youtube.
com/results?search_query=tv+escola+matem%C3%A1ti
ca+em+toda+parte.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: https://www.
gov.br/mec/pt-br.
NOVA ESCOLA. Disponível em: https://novaescola.org.br/.
PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: https://
pensaraeducacaoemrevista.com.br/.
PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação
matemática como formação necessária à cidadania. Disponível
em: http://www.dhnet.org.br/dados/livros/edh/br/rs/cidadan/
cap14.htm.
REDE DO SABER. Disponível em: https://deitapecerica.educa
cao.sp.gov.br/rede-do-saber/.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA – RPM. Disponível
em: https://www.rpm.org.br/.
REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Disponível em: https://periodicos.unespar.edu.br/index.php/rpem.
SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA –
SBEM. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/.
Acessos em: 27 jul. 2022.
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ENTIDADES DE APOIO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática
– CAEM
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de
São Paulo – IME/USP
Rua do Matão, 1010 – Bloco B – sala 167
Cidade Universitária – São Paulo – SP – CEP 05508-090
Fone e fax: (0XX11) 3091-6160
Site: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 27 jul. 2022.
Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE
Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F
Brasília – DF – CEP 70070-929
Tel.: 0800-616161
Site: https://www.fnde.gov.br/index.php. Acesso em: 27 jul. 2022.
Laboratório de Ensino de Matemática – LEM
Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC
Rua Sérgio Buarque de Holanda, 651 – CEP 13083-859
Fone: (0XX19) 3521-6090
Site: https://www.ime.unicamp.br/lem. Acesso em: 27 jul. 2022.
Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA
Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática
Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA – CEP 40170-110
Fone: (0XX71) 3263-6265
Site: http://www.dmat.ufba.br/extensao/lema. Acesso em:
27 jul. 2022.
Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED
Universidade Estadual de Campinas – Unicamp
Cidade Universitária Zeferino Vaz
Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP – CEP 13083-970
Tel.: (0XX19) 3788-7136
E-mail: [email protected]
Site: https://www.nied.unicamp.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.
Projeto Fundão – Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)
Instituto de Matemática
Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108
Cidade Universitária
Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972
Rio de Janeiro – RJ
Fone e fax: (0XX21) 2562-7511
Site: http://www.matematica.projetofundao.ufrj.br/. Acesso
em: 27 jul. 2022.
Sociedade Brasileira de Matemática – SBM
Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109
Jardim Botânico
CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ – CEP 22460-320
Fone: (0XX21) 2529-5073
Site: https://sbm.org.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.
RIDO/SHUTTERSTOCK.COM
Estudante resolvendo um
problema na lousa.
LXI
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ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múlti-
plas inteligências. Petrópolis: Vozes, 2014.
Nesse livro, o autor traz reflexões sobre a importância do jogo
no processo de aprendizagem.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas
para uma educação inovadora: uma abordagem téori-
co-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.
Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e
aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvi-
mento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.
BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação
Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57,
2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/
index.php/emr/article/view/1689/1182. Aceso em: 27 jul. 2022.
Nesse artigo, o autor diferencia a modelagem matemática de
outras aplicações no contexto do ensino de Matemática.
BNCC: você sabe a diferença entre competências e habili-
dades? Centro de referências em educação integral.
[S. l.], 19 ago. 2020. Disponível em: https://educacaointegral.
org.br/reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-compe
tencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.
O texto trata sobre as diferenças entre o ensino e a apren-
dizagem de competências e habilidades no contexto da BNCC.
BOAVIDA, Ana Maria Roque. A argumentação em
Matemática: investigando o trabalho de duas professoras
em contexto de colaboração. Dissertação (Doutorado em
Educação) – Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa,
Portugal, 2005. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/bits
tream/10451/3140/1/ulsd048032_td_Ana_Boavida.pdf.
Acesso em: 13 jul. 2022.
A autora descreve e analisa experiências voltadas para o
desenvolvimento de estudantes em atividades que envolvem argu-
mentação matemática.
BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy.
Informática e educação matemática. Belo Horizonte:
Autêntica, 2010.
Os autores apresentam o resultado de um trabalho sobre a
importância do uso da informática na educação matemática.
BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia
Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnolo-
gias digitais em educação matemática: sala de aula e
internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014.
Discute-se, nesse livro, a influência das tecnologias digitais no
ensino de Matemática nas últimas décadas.
BOUCINHA, Rafael Marimon. Aprendizagem do pensa-
mento computacional e desenvolvimento do raciocínio.
Tese (Doutorado) – Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias
na Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul,
Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/
bitstream/handle/10183/172300/001058885.pdf?sequen
ce=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 jul. 2022.
O autor investiga a relação entre a construção do pensamento
computacional e o desenvolvimento do raciocínio dos estudantes.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum
Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018.
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.
Acesso em: 8 jul. 2022.
Documento oficial composto de orientações que norteiam a
(re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes
pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos
essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pre-
tendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computa-
ção na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília,
DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/
index.php?option=com_docman&view=download&alias=
182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu
cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.
Acesso em: 8 jul. 2022.
Documento que define normas sobre Computação na Educa-
ção Básica, em complemento à BNCC.
BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias
ativas colaborativas e a formação de competências.
Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular.
Brasília, DF: MEC, [2019?]. Disponível em: http://basenacionalco
mum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/
aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-cola
borativas-a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJt
ZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9sb2dpYXM
gYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.
O caderno explora a relevância das metodologias ativas cola-
borativas para a aprendizagem, abordando conceitos como a Zona
de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares
nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental
– Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em:
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf.
Acesso em: 8 jun. 2022.
Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos
de cada componente, considerados fundamentais para o exercí-
cio da cidadania, além de uma proposta de organização curricular.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos
Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos
pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em:
http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa
cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso
em: 13 jul. 2022.
Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos
Transversais a serem abordados na Educação Básica.
CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento
crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São
Paulo: Rideel, 2011.
Os autores apresentam técnicas de como construir bons argu-
mentos e a influência dessa competência no desenvolvimento do
pensamento crítico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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CENTRO DE INOVAÇÃO PARA A EDUCAÇÃO BRASILEIRA
(CIEB). Currículo de referência em tecnologia e com-
putação: da Educação infantil ao Ensino Fundamental.
São Paulo, 2018. Disponível em: https://curriculo.cieb.net.
br/assets/docs/Curriculo_de_Referencia_em_Tecnologia_e_
Computacao.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.
Esse documento propõe uma reflexão sobre os usos das TDICs
e apresenta eixos, conceitos e habilidades alinhados à BNCC com
o objetivo de favorecer o desenvolvimento de competências de
exploração e de uso das tecnologias nas escolas.
COLL, César; MARTÍN, Elena (org.). Aprender conteúdos
e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling.
Porto Alegre: Artmed, 2004.
O livro aborda o processo de tomada de decisões que deter-
mina o planejamento do currículo, a partir das capacidades e dos
conteúdos a serem desenvolvidos.
COLL, César. Atenção à diversidade e qualidade do ensino.
Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1. p. 7-17, 2012.
Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/
article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.
O autor compartilha suas reflexões sobre as implicações de
uma concepção inclusiva na educação, que considera a diversi-
dade como inerente à condição humana e ao processo de ensino
e aprendizagem.
COLL, César. Psicologia e currículo: uma aproximação psi-
copedagógica à elaboração do currículo escolar. São Paulo:
Ática, 2003.
Nesse livro, são apresentadas considerações sobre propostas
curriculares que contribuam para o planejamento do ensino, bem
como a ação efetiva do processo educativo.
CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a apren-
dizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ,
Maria Inês Sparrapan (org.). O processo de avaliação nas
aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010.
Esse livro trata sobre a importância de tornar os estudantes
partícipes das práticas avaliativas.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da
sobrevivência. In: Cultura de paz: da reflexão à ação;
balanço da Década Internacional da Promoção da Cultura de
Paz e Não Violência em Benefício das Crianças do Mundo.
Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena,
2010. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/
pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.
Convidado para a palestra magna da série de debates, Ubi-
ratan D’Ambrósio apresenta reflexões acerca da cultura de paz,
apresentando-a como necessária à sobrevivência humana.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tra-
dições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
O autor apresenta reflexões acerca da Etnomatemática, con-
ceito do qual é um dos fundadores, e propicia uma análise da
influência cultural da Matemática.
DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF:
UnB, 2001. p. 1-12. Disponível em: http://funab.se.df.gov.
br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-Professor-
Conhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.
Nesse artigo, o autor discorre sobre a necessidade da pesquisa
científica para a formação humana, destacando ainda as caracte-
rísticas necessárias ao professor nessa perspectiva.
DIAS, Cláudia; FERNANDES, Denise. Pesquisa e método
científicos. Brasília, DF: UFPR, 2000. Disponível em: https://
docs.ufpr.br/~niveam/micro%20da%20sala/aulas/tecnicas_
de_pesquisa/pesquisacientifica.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.
Nessa publicação, as autoras apresentam diferentes defini-
ções de ciência, pesquisa e método científicos, buscando traçar
um paralelo entre o conhecimento científico e o popular.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessá-
rios à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.
O autor apresenta considerações acerca da formação de
professores e de aprimoramento da prática educativa capaz de
proporcionar uma aprendizagem eficiente para tornar os estudan-
tes autônomos, críticos e atuantes.
GALVÃO, Eliane Cruz de Santana; ISOTANI, Seiji; TODA,
Armando. Pensamento computacional como forma de
avançar na aprendizagem de Matemática: um compartilha-
mento entre o pensamento computacional e a matemática.
In: PÓS-GRADUAÇÃO EM COMPUTAÇÃO APLICADA À
EDUCAÇÃO, 1., 2020, São Paulo. Anais […]. São Paulo:
CAE/ICMC/USP, 2020. Disponível em: https://especializa
cao.icmc.usp.br/documentos/tcc/eliane_galvao.pdf. Acesso
em: 9 jul. 2022.
Os autores abordam o uso do pensamento computacional
como estratégia para resolução de problemas matemáticos.
GRÁCIO, Rui Alexandre Lalanda Martins. Nova retórica e
tradição filosófica. Caderno de Filosofias: Argumentação,
Retórica, Racionalidades, [S. l.], v. 5, p. 55-69, 1992. Disponível
em: https://www.ruigracio.com/pessoal/pdf/NovaRetorica.
pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.
O artigo traz considerações a respeito da teoria da argumen-
tação do ponto de vista filosófico.
HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação mediadora:
uma prática em construção da pré-escola à universidade.
33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.
A autora apresenta práticas avaliativas desenvolvidas em vários
segmentos de ensino, da Educação Infantil ao Ensino Superior.
JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de
filosofia. 3. ed. rev. e amp. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. Disponível
em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filoso
fia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Esse dicionário apresenta o significado de termos e conceitos
filosóficos, auxiliando na compreensão desses conceitos.
KOVALSKI, Larissa. O pensamento analógico na matemá-
tica e suas implicações na modelagem matemática para
o ensino. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e
em Matemática) – Universidade Federal do Paraná, Curitiba,
2016. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/han
dle/1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI.
pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 jul. 2022.
O desenvolvimento do raciocínio matemático por meio da
indução, abdução e analogia e as potencialidades desse tipo de
pensamento na modelagem matemática.
LXIII
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MACEDO, Lino de. Ensaios construtivistas. São Paulo:
Casa do Psicólogo, 1994.
O livro reúne textos baseados na experiência do autor acerca
da teoria construtivista aplicada à Psicologia e à Educação.
MALHEIROS, Bruno Taranto. Didática geral. São Paulo:
LTC, 2012.
O autor trata dos conceitos básicos da Didática, destacando a
diferença entre Educação, Pedagogia e Didática, e mostra méto-
dos práticos e técnicas de aprendizagem.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de
Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO,
Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em Educação
Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora
da Unesp, 1999. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/~
nedir/disciplinas-Pagina/Lourdes_Onuchic_Resol_Problemas
.pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.
A autora apresenta reflexões acerca do ensino de Matemá-
tica por meio de resoluções de problemas.
ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely
Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos,
avanços e novas perspectivas. Boletim de Educação
Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011.
As autoras apresentam os resultados de uma pesquisa sobre
a importância e a influência da resolução de problemas na cons-
trução de conhecimentos em Matemática.
ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO,
A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília,
DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldo
ffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.
A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciên-
cia e a Cultura (Unesco) apresenta orientações para a promoção
da cultura de paz na educação.
ORGANIZAÇÃO DAS NACÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO,
A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania
global: preparando alunos para os desafios do século XXI.
Brasília, DF: Unesco, 2015. Disponível em: https://unesdoc.
unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf.
multi. Acesso em: 9 jul. 2022.
O livro trata da importância de uma educação efetiva para a
resolução de questões globais e da formação de cidadãos prepa-
rados para os desafios do século XXI.
PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro
Carlos. A matemática na formação de professores dos
anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos:
Editora da UFSCar, 2010.
Esse livro traz uma concepção histórica de alguns assuntos
em Matemática com o objetivo de contextualizar situações e faci-
litar a prática docente.
PEREIRA, Adriana Soares et al. Metodologia da pes-
quisa científica. Santa Maria: UFSM/NTE, 2018. Disponível
em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/358/2019/02/
Metodologia-da-Pesquisa-Cientifica_final.pdf. Acesso em:
8 jul. 2022.
O livro apresenta as principais etapas da pesquisa científica,
discorrendo também sobre seus métodos e caracterizando-a como
forma de construção do saber.
MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Promover o
raciocínio matemático dos alunos: uma investigação baseada
em design. Bolema, Rio Claro, v. 32, n. 62, p. 781-801,
dez. 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema
/a/JbLWRnZGLJmBYCNYRm4P76J/?format=pdf&lang=pt.
Acesso em: 5 jul. 2022.
Nesse artigo, os autores abordam como alguns princípios de
design podem favorecer a construção de conhecimentos matemá-
ticos e otimizar a ação do professor.
PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para
ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000.
O autor trata da importância do desenvolvimento de um con-
junto de competências emergentes que contribuem para a luta
contra o fracasso escolar e desenvolvem a cidadania.
POLYA, George. Mathematics and plausible reasoning:
Induction and analogy in mathematics. New Jersey: Princeton
University Press, 1954a. v. I. Disponível em: https://www.isinj.com/
mt-usamo/Mathematics%20and%20Plausible%20Reasoning%20
I%20-%20Polya%20G.pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.
Esse livro trata de aspectos do raciocínio matemático por ana-
logia relacionado ao pensamento inferencial.
PONTE, João Pedro. Tecnologias de informação e comuni-
cação na formação de professores: que desafios? Revista
Iberoamericana de Educação, Lisboa, n. 24, p. 63-90, 2000.
Disponível em: https://repositorio.ul.pt/handle/10451/3993.
Acesso em: 3 ago. 2022.
Nesse artigo, o autor analisa os impactos e as contribuições das
tecnologias da informação e comunicação (TIC) na prática docente.
POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensa-
mento matemático: interações e potencialidades. Campinas:
Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática).
Nesse livro, discute-se como diferentes atividades de escrita
podem auxiliar o desenvolvimento da aprendizagem matemática.
SANTOS, Márcia Regina Mendes. O estudo das inferências
na compreensão do texto escrito. Dissertação (Mestrado
em Linguística) – Faculdade de Letras da Universidade de
Lisboa, Lisboa, Portugal, 2008. Disponível em: https://repos
itorio.ul.pt/bitstream/10451/378/1/19638_ulfl062026_tm.pdf.
Acesso em: 7 jul. 2022.
Nesse trabalho, a autora aborda o pensamento inferencial
envolvido na leitura e compreensão de textos escritos e como o
desenvolvimento desse pensamento pode auxiliar na comunica-
ção de ideia em diversas áreas do conhecimento.
SCHROEDER, Thomas Leonard; LESTER JUNIOR, Frank Klein.
Developing understanding in mathematics via problem
solving. In: TRAFTON, Paul R.; SCHULTE, Albert P. (ed.).
New directions for elementary school mathematics.
Reston: NCTM, 1989.
Esse artigo traz reflexões acerca da relevância do método de
resolução de problemas na compreensão matemática de estudan-
tes da Educação Básica.
VYGOTSKY, Lev Semionovitch (org.). A formação social da
mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superio-
res. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto,
Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007.
Esse livro reúne alguns dos ensaios mais importantes de
Vygotski, organizados e editados por estudiosos da obra desse
pensador.
LXIV
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1
a
edição
São Paulo • 2022
JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).
Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino
Fundamental e Ensino Médio desde 1985.
Matemática
COMPONENTE CURRICULAR:
MATEMÁTICA
9
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Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.
Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira
Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas
Direção editorial adjunta Luiz Tonolli
Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva
Edição João Paulo Bortoluci (coord.)
Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves,
Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner
Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)
Yara Affonso
Gerência de produção e arte Ricardo Borges
Design Andréa Dellamagna (coord.)
Sergio Cândido
Projeto de capa Sergio Cândido
Imagem de capa Worraket/Shutterstock.com
Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)
Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia,
Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini
Diagramação Wym Design
Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga
Licenciamento de textos Amandha Baptista
Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira, Paula Squaiella, Emerson de Lima (trat. imagens)
Ilustrações Alberto Llinares, Bentinho, Daniel Bogni, Ilustra Cartoon, Manzi, Marcos Guilherme,
MW Editora e Ilustrações, Pedro Paulo Melara, Selma Caparroz, Sonia Vaz
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Giovanni Júnior, José Ruy
A conquista matemática : 9
o
ano : ensino
fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni
Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.
Componente curricular: Matemática.
ISBN 978-85-96-03443-2 (aluno)
ISBN 978-85-96-03444-9 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
22-114535 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427
Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste
livro foram produzidas com fibras obtidas de
árvores de florestas plantadas, com origem
certificada.
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD
CNPJ 61.186.490/0016-33
Avenida Antonio Bardella, 300
Guarulhos-SP – CEP 07220-020
Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610
de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à
EDITORA FTD.
Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP
CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300
Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970
www.ftd.com.br
[email protected]
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Por que estudar Matemática? Quais são as aplicações da Matemática
no cotidiano? Essas são dúvidas muito comuns, que você também
pode ter.
A Matemática está presente em diversas situações do dia a dia,
seja em uma contagem, em uma brincadeira, seja nos mais modernos
estudos para auxiliar no desenvolvimento de novas tecnologias. Ela ajuda
a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender as
variações da inflação e dos juros, a medir os índices sociais de um país,
a compreender e organizar informações, a preservar o meio ambiente,
entre outros usos, incluindo as aplicações de figuras geométricas e
medidas na arquitetura, na arte e na agricultura.
É importante considerar que a aplicação da Matemática no cotidiano
ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de
conceitos nela presentes. Como em todas as áreas do conhecimento,
para compreender e aplicar Matemática, são necessários estudo e
dedicação.
Nesta coleção, apresentamos a você as bases desse processo de
aquisição de conhecimento, com uma linguagem de fácil compreensão,
porém com o rigor que a Matemática exige.
Hoje, vivemos em um mundo em constante e rápida transformação,
e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações.
Adquirir conhecimento matemático significa estar integrado às mudanças
do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática!
O autor
APRESENTAÇÃO
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G a l i l e u G a l i l e i ( 1 5 6 4 - 1 6 4 2 ) f o i
um dos cientistas responsáveis pelos
estudos que envolvem a queda livre de
corpos. Ele descobriu que o movimento
de todo corpo em queda livre, ou seja,
a b a n d o n a d o s e m q u e s e j a a p l i c a d a
uma velocidade inicial e desprezando-se
a resistência do ar, pode ser mode
-
lado da seguinte maneira:
=





1
2
gtd
2,
em que
d é a altura, em metro, da queda,
g é o valor da aceleração da gravidade no
local da queda (uma boa aproximação é
9,8 m/s
2
na Terra), e
t é o tempo de queda,
em segundo. Desse modo, conhecendo
a altura da queda, é possível definir uma
equação que determine o tempo de queda
de um corpo. Por exemplo, para uma altura
de 35 metros, temos:






1
2
? 9,8t
2
= 35
UNIDADE
EQUAÇÕES
DO 2
o
GRAU
3
SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM
Torre de Pisa e Catedral
de Pisa, Toscana (Itália),
2021.
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Agora, responda às questões no caderno.
• Na equação dada, identifique a incógnita e o coeficiente dessa incógnita. Essa equação
é de 1
o
grau? Justifique.
• De acordo com a equação, aproximadamente quanto tempo levará para um corpo cair
de uma altura de 35 metros?
Aproximadamente 2,67 s.A incógnita é
t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1
o
grau,
o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.
89
EDITORIA DE ARTE, BESTPIX/SHUTTERSTOCK.COM,
KRASOVSKI DMITRI/SHUTTERSTOCK.COM
Galileu foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano que teve grande
papel na revolução científica.
Esse cientista comprovou que, se dois corpos de massas diferentes forem
abandonados juntos de uma mesma altura, chegarão ao chão no mesmo instante
(desconsiderando-se a resistência do ar). Conta-se que, para ilustrar esse fato, Galileu
teria subido a Torre de Pisa e lançado dois objetos esféricos de massas diferentes,
os quais teriam chegado simultaneamente ao chão.
IANDAGNALL COMPUTING/ALAMY/FOTOARENA
SUSTERMANS,
Justus.
Galileo Galilei
.
1640. Óleo sobre tela,
867 mm
x 686 mm.
National Maritime
Museum, Londres.
SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM
Resoluções desta Unidade na seção
Resoluções
comentadas
deste Manual.
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CONHEÇA
SEULIVRO
ABERTURA DE UNIDADE
Com um estilo diferenciado, as páginas de abertura
trazem imagens, textos e questões sobre conceitos
que serão estudados em cada Unidade.
Escala
Um caso típico do uso da razão entre dois segmentos é a
escala. Acompanhe o exemplo a seguir.Analise o mapa do estado do Rio de Janeiro, com destaque para Petrópolis e Vassouras, muni
-
cípios do interior fluminense. Neste mapa, a distância, em linha reta, entre esses dois municípios
é de aproximadamente 1,83 cm. Sabendo que a distância real, em linha reta, entre Petrópolis e
Vassouras é de, aproximadamente, 51 km, qual foi a escala utilizada nesse mapa?
Como as medidas de segmentos de retas são sempre expressas por números positivos, a
razão entre
dois segmentos
também é um número real positivo.
• Se a razão for um número racional, dizemos que os segmentos são
comensuráveis
. Por exemplo:
=
AB
CD
1
2

AB e CD são segmentos comensuráveis, pois
1
2
é um número racional.
• Se a razão for um número irracional, dizemos que os segmentos são
incomensuráveis
. Por exemplo:
=
MN
PQ
2
5

MN e PQ são segmentos incomensuráveis, pois
2
5
é um número irracional.
S A IB A QUE
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO
DE GEOGRARIA E ESTATÍSTICA.
Mapa político do Rio de Janeiro.
Portal de mapas do IBGE
. Rio de
Janeiro, [c2022]. Disponível em:
https://portaldemapas.ibge.gov.br/
portal.php#mapa124. Acesso em:
16 mar. 2022.
SONIA VAZ
R I O D E J A N E I R O
43º O
22º S
O C E A N O AT L Â N T I C O
Vassouras
Petrópolis
Rio de Janeiro
MG
SP
0
?
km
Estado do Rio de Janeiro
Logo, a escala utilizada nesse mapa foi de 1
: 2 786 885,24.Essa razão indica que cada 1 centímetro representado no mapa corresponde a 2
786 885,24 cm
da distância real, ou seja, cada 1 cm corresponde a aproximadamente 28 km.
Escala é a razão entre a medida do comprimento de um desenho e a
medida do comprimento real correspondente, expressas na mesma unidade.
=escala
medidadocomprimento no desenho
medidadocomprimento real
Como 51 km equivalem
a 5 100 000 cm, a razão entre
a distância representada no
mapa e a distância real entre
os dois municípios é:
1,83
5100000
1
2786885, 24
=
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Responda às questões no caderno.
1. Um c aminhão p ercorreu 5 4 0 km em
6 horas . Já um carro p ercorreu uma
distância de 331 km em 4 horas. O ca
-minhão e o carro, nos percursos citados,
apresentaram velocidades médias pro
-porcionais? Justifique.
2. Leia as informações e responda.
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150
000 000 km.
A luz do Sol, para atingir a Terra,

leva em torno de 500 segundos.
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. O segmento
AB mede 16 cm, e o seg
-mento
CD mede 40 cm. Qual é a razão
entre
AB e CD nas formas fracionária e
decimal?
4. A razão entre dois segmentos é 0,4, e o
maior deles mede 8 m. Qual é a medida
do menor segmento, em metro?
5. N a f i g u ra a s e g uir,
a re p re s e n t a a
medida do segmento
AB, e b, a medida
do segmento
BC.
A
B
C
a
b
Sabendo que
a e b correspondem às
raízes da equação x
2
_ 24x + 135 = 0, determine
a e b e calcule a razão entre
AB e BC.
6. Um terreno quadrangular tem 15 m de
comp rim ento. Es s e comp rim ento foi
representado em um desenho por um
segmento de reta de 5 cm. Qual foi a
escala usada nesse desenho?
1. Não, pois a razão 540
: 6 = 90 é diferente da razão 331
: 4 = 82,75. Ou seja,
o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.
2. a) 300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e
20 segundos.
2
5
e 0,4.
3,2 m
a = 9, b = 15;
AB
BC
3
5
= ou 0,6.
1 : 300
ATIVIDADES
7. Um segmento de reta de 2 cm de compri
-mento representa, no papel, uma estrada
reta que tem 20 km de comprimento.
Nessa mesma representação, um seg
-mento de reta de 8 cm representa que
medida de comprimento real?
8. Em 1988, foi criado o estado de Roraima.
Boa Vista, capital do estado, apresenta
clima quente e úmido, com duas esta
-ções climáticas bem definidas: a estação
das chuvas (de abril a setembro) e o
verão (de outubro a março). No mapa,
que está representado com escala de
1 : 50 000 000, use uma régua e meça a
distância, em linha reta, entre Boa Vista
e Brasília. Depois, determine a distância
real aproximada, em quilômetro, em
linha reta entre Brasília e Boa Vista.
80 km
8. A distância real aproximada, em linha reta,
entre Boa Vista e Brasília é de 2
500 km.
EDITORIA DE ARTE
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E
ESTATÍSTICA. Divisão político-administrativa e regional:
mapa político do Brasil.
IBGE Educa
. Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/
conheca-o-brasil/territorio/18310-divisao-politico-
administrativa-e-regional.html. Acesso em: 16 mar. 2022.
Boa
Vista
Manaus
Por to
Velho
Rio
Branco
Belém
Macapá
Cuiabá
Campo
Grande
Goiânia
BR ASÍLIA
Palmas
50° O
Equador
0°Trópico de
Capricórnio
OCEANO
ATL ÂNTICO
Capital federal
Capital estadual
Divisa estadual
Fronteira
AMA ZONAS
AMAPÁ
PARÁ
MATO GROSSO
RONDÔNIA
MATO
GROSSO
DO SUL
TO
DF
GOIÁS
RORAIMA
ACRE
0
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Brasil: regiões Norte e

Centro-Oeste
SONIA VAZ
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ATIVIDADES
No decorrer das Unidades,
são apresentadas diferentes
atividades. Com elas, você poderá
desenvolver estratégias para
resolver e elaborar problemas e
compartilhá-las com os colegas.
SAIBA QUE
Traz informações complementares
importantes, que você pode
consultar de maneira prática ao
longo dos capítulos.
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INTERPRETANDO INFORMAÇÕESINFORMAÇÃO
TRATAMENTODA
Pessoa ocupada:
de acordo
com o IBGE, é toda pessoa que
exerce atividade profissional
(formal ou informal,
remunerada ou não).
GL OS S Á RIO
Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD
Covid-19.
Trabalho
: desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da
pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/
pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.
Quantidade de pessoas ocupadas por categoria

de emprego em novembro de 2020
Categoria de emprego
Quantidade de pessoas
ocupadas (em mil pessoas)
Trabalhador familiar auxiliar
1 402
Conta-própria
23 910
Empregador
2 614
Militar e servidor estatutário
7 906
Empregado do setor público sem carteira assinada
2 101
Empregado do setor público com carteira assinada
2 070
Trabalhador doméstico sem carteira assinada
2 852
Trabalhador doméstico com carteira assinada
1 226
Empregado do setor privado sem carteira assinada
8 515
Empregado do setor privado com carteira assinada
32 065
O impacto da pandemia no mercado de trabalho
A pandemia da Covid-19 teve um impacto profundo no mercado de trabalho, afetando
pr incipalmente os trabalhadores com menor proteção social e baixa escolar idade.
No Brasil os efeitos foram par ticular mente sig nif icativos, não somente em função da
queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas
também pelo fato de que, diferentemente de recessões anter iores, desta vez os trabalha
-
dores infor mais foram mais ating idos que os for mais. Em par ticular, embora a redução
do emprego for mal em 2020 tenha sido expressiva (
_4,2%), a queda no emprego infor mal
foi proporcionalmente três vezes maior (
_12,6%).
[...]
A lém do for te impacto neg at ivo da pandem ia no mercado de t rabal ho no c ur to
prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão sig nif icat ivos a médio
e longo prazo. [...]
VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho.

Blog
do IBRE
– FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em:

https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022.
Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD
Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos
da pandemia no mercado de trabalho brasileiro.
Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade
de pessoas ocupadas
por categoria de emprego, em novembro de
2020, estão registrados a seguir.
BOLDG/SHUTTERSTOCK.COM
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O PNAD Covid-19 também publicou dados
sobre o afastamento do trabalho em decorrência
do distanciamento social, indicando o percen
-
tual de trabalhadores afastados por ocupação e
categoria de emprego, em novembro de 2020.
Acompanhe.
CategoriaEmpregado do setor privado com carteira assinada
Empregado do setor privado sem carteira assinada
Trabalhador doméstico com carteira assinada
Trabalhad
or domésti
co sem carteira ass
inada
Empregado do setor público com carteira assinada
Empregado do setor público sem carteira assinada
Militar e servidor estatutário
Empregado
r
Conta-própri
a
Trabalhador familiar auxiliar
1,70%3,30%2,60%6%6,60%7%1,10%1,20%0,30%2,10%
Quantidade de
pessoas (%)
Percentual de pessoas afastadas do trabalho em decorrência

do isolamento social em novembro de 2020
Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD Covid-19.
Trabalho
:
desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro,
nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.
De acordo com as informações do tex to, da tabela e do gráfico, responda às questões
no caderno.
1. Aproximadamente, quantos milhões de brasileiros tinham uma ocupação em novembro
de 2020?
Aproximadamente 84,7 milhões de brasileiros.
2. Que categoria de emprego teve o maior percentual de afastamento do trabalho em
decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Esse percentual corres
-
ponde a quantos trabalhadores dessa categoria?
3. Que categoria teve a maior quantidade de trabalhadores afastados em decorrência do
distanciamento social em novembro de 2020? Quantos trabalhadores foram afastados?
4. Junte-se a um ou mais colegas, e pesquisem a seguinte afirmação do texto: “diferen
-
temente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais
atingidos que os formais.”. Converse com os colegas e o professor sobre o resultado
dessa pesquisa, e debatam sobre os principais impactos sociais da pandemia de covid-19.
2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse percentual corresponde a 553
420 trabalhadores.
3. Categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Foram afastados 673
365 trabalhadores.
4. Respostas pessoais. Espera-se que os
estudantes indiquem a carência de estabilidade
profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção
social ou a seguros de vida e de saúde como possíveis
causas para o desfavorecimento dos trabalhadores
informais durante a pandemia de covid-19.
EDITORIA DE ARTE
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BOLDG/SHUTTERSTOCK.COM
Representação de cena de teste
de temperatura realizado em
trabalhadores na chegada ao
local de trabalho.
APCHANEL/SHUTTERSTOCK.COM
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263
A IMPORTÂNCIA DE POUPAR
Leia, a seguir, o trecho de um texto.
Ao poupar, você acumula valores financeiros no presente para serem utilizados no futuro.
Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer
uma diferença significativa na qualidade de vida do poupador no futuro.
A ssi m, são vá r ios os mot ivos pa r a poupa r : precaver-se d iante de sit uações i nesp e
-
r adas, prepa r a r pa r a aposent a r-se, rea l i za r son hos etc. [...]
Poupança e investimento
[...] poupança é a di ferença ent re as re ceit as e as de spe sas, ou seja, ent re t udo
que ganhamos e t udo que gast amos.
E i nv e st i ment o?
Inv e st i ment o é a apl icação do s re c u r so s que p oupamo s, c om a
ex p e c t at iv a de obt er mo s uma remuneração p or e s sa apl icação
.
Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?
A poupança é uma sobr a f i nancei r a e d e v e s e r d i r e c i on ad a p a r a a lg u m t ip o d e
investimento para que seja remunerada. A caderneta de poupança ou conta de poupança é
um tipo de investimento.BANCO CENTRAL DO BRASIL.
Caderno de Educação Financeira
: Gestão de Finanças Pessoais.

Brasília, DF: BCB, 2013. p. 43. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/
Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.
SINGKHAM/SHUTTERSTOCK.COM
EDUCAÇÃOFINANCEIRA
Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente.
Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para
realizar um sonho, por exemplo.

Responda no caderno.
1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R
$ 50,00
por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada
por ele ao longo dos meses pela expressão
y = 50x, em que
y é o total economizado,
e x, a quantidade de meses.
Considerando essa função, responda.
a) Quanto Ricardo terá economizado depois de
1 ano?
R$ 600,00
b) Calcule quanto dinheiro ele terá, se guardar esse
valor mensal durante nove anos.
c) Qual é a diferença entre o valor obtido no
item b
e o valor mostrado ne
ste gráfico,
que
corresponde a colocar esse dinheiro em um
investimento rendendo juro em vez de simples
-
mente guardá-lo? Essa diferença corresponde
a que percentual do total economizado?
R$ 5.400,00
1. c) Diferença de R
$ 1.815,18, que corresponde a
cerca de 33,6% dos R
$ 5.400,00 economizados.
EDITORIA DE ARTE
8.000,00
7.000,00
6.000,00
5.000,00
4.000,00
1.000,00
2.000,00
Tempo
(em ano)
3.000,00
0
Saldo (R
$$)
1 2
3 4 5 6 7 8
9
620,27
1.279,58
1.980,39
2.725,31
3.517,13
4.358,78
5.253,42
6.204,37
7.215,18
Saldo do investimento com
depósito mensal de R
$$ 50,00
com incidência de juro de
0,51% ao mês
Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares.
Banco Central do Brasil
. Brasília, DF, 30 maio 2022.
Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/
exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir
FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30 maio 2022.
D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV3.indd 263D2-MAT-F2-2103-V9-U9-258-271-LA-G24_AV3.indd 263
27/06/22 12:3127/06/22 12:31
EDUCAÇÃO FINANCEIRA
Conceitos de educação financeira
são apresentados para desenvolver
reflexões sobre temas relevantes, como
consumo consciente, planejamento
financeiro, economia etc.
REPRESENTANDO POLÍGONOS REGULARES

COM O USO DE UM
SOFTWARE
DE GEOMETRIA
A seguir, vamos utilizar o
software
GeoGebra para representar um polígono regular.
Primeiramente, devemos escolher a quantidade de lados e a medida do lado do polígono que
será representado. Neste exemplo, vamos construir um polígono regular de 9 lados (eneágono
regular), cuja medida do lado é 3 cm. Acompanhe.
Acesse o
link https://w w w.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 2 abr. 2022) para abrir
uma tela do GeoGebra. Com o botão direito, clique na janela de visualização para ocultar os eixos
e a malha, como descrito na
página
138.Selecione a ferramenta
(Reta) e clique em dois pontos na janela de visualização para
construir a reta suporte
AB
I NT
.

1 Para definir a medida do lado do polígono, selecione a ferramenta
Reta e, em seguida, a
opção
(Segmento com Comprimento Fixo). Depois, clique na parte superior da janela de
visualização, digite 3 no boxe
Comprimento
e clique em
OK (Figura 1
).

2 Depois, selecione a ferramenta (Compasso), clique no segmento
CD, depois no ponto
A
para representar a circunferência de centro
A e raio igual a 3 cm. Em seguida, utilize a ferra
-
menta
(Interseção de Dois Objetos) para marcar o ponto
E correspondente à intersecção
da reta
I NT
AB e a circunferência construída anteriormente (
Figura 2
).
Figura
1.
Figura
2.
TECNOLOGIAS
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
PRO500/SHUTTERSTOCK.COM
240
D2-MAT-F2-2103-V9-U8-230-257-LA-G24_AV4.indd 240D2-MAT-F2-2103-V9-U8-230-257-LA-G24_AV4.indd 240
27/06/22 20:4427/06/22 20:44

3 A soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo de um polígono é
igual a 180°. Assim, para calcular a medida do ângulo interno do polígono que será repre
-
sentado, fazemos:
a180
a a
180
360
9
180
40
a140
i
e
i
i
= °
_ h
= °
_
°
= °
_ °h =
°
Para construir o ângulo interno desse polígono, selecione a ferramenta
(Ângulo com
Amplitude Fixa) e clique nos pontos
E e A, nessa ordem. Em seguida, digite 140° no boxe
Ângulo
,
selecione a opção
sentido anti-horário
e clique em
OK (Figura 3
).
Utilizando novamente a ferramenta
(Ângulo com Amplitude Fixa), clique nos pontos
A e E‘,
nessa ordem, digite 140° no boxe
Ângulo
, selecione a opção
sentido anti-horário
e clique em
OK. Repita esse processo para obter os outros sete pontos (
Figura 4
).
Figura
4.
Figura
3.

4 Clique com o botão direito do
mouse
em cada indicação de ângulo para ocultá-la. Em seguida, utilize a ferramenta
(Segmento) para ligar os pontos representados e obter os
lados do eneágono regular (
Figura 5
), cuja medida de cada lado é 3 cm.
1. Escolha a quantidade
n de lados e a medida do lado
l de um polígono regular. Em
seguida, utilize o GeoGebra para construir esse polígono regular.
2. Elabore, no caderno, um fluxograma com as etapas da construção do polígono obtido
na atividade 1
.
Figura
5.
1. Resposta
pessoal. Exemplo
de resposta
na seção
Resoluções
comentadas

deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
PRO500/SHUTTERSTOCK.COM
241
D2-MAT-F2-2103-V9-U8-230-257-LA-G24_AV3.indd 241D2-MAT-F2-2103-V9-U8-230-257-LA-G24_AV3.indd 241
27/06/22 12:1927/06/22 12:19
TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO
Nesta seção, você vai
observar como a organização
e a análise de dados
facilitam o entendimento
de informações, além
de conhecer conceitos de
probabilidade e estatística.
TECNOLOGIAS
Nesta seção, você é
convidado a utilizar
diferentes recursos
digitais para resolver e
elaborar problemas. São
apresentadas, ainda,
noções relacionadas à
lógica de programação.
D2-MAT-F2-2103-V9-INICIAIS-001-011-LA-G24_AV4.indd 5
D2-MAT-F2-2103-V9-INICIAIS-001-011-LA-G24_AV4.indd 5 27/06/22 20:5427/06/22 20:54
5
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1. Mariana recortou, em cartolina, figuras que representam um quadrado e quatro
retângulos como estes a seguir (as medidas são dadas em centímetro).

3
3
3
1
3
1
3
1
3
1

Usando a representação do quadrado e dos quatro
retângulos, Mariana formou esta figura.

A patir dela, Mariana quer formar um novo quadrado.
Para isso, terá de acrescentar representações de
quadrados à figura. Agora, responda no caderno.
a) De quantos quadrados ela vai precisar?
4
b) Qual deve ser a área de cada um desses quadrados?
c) Qual será a área do novo quadrado?
25 cm2
1 cm2
PENSE E RESPONDA
EQUAÇÕES COMPLETAS
a
2
b
2
ab
ab
a
a
b
a
b
b
a
b
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
O processo de completar quadrados
A partir da interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a
+ b)
2
, o matemático
al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações do 2
o
grau com
uma incógnita.
Inicialmente, vamos observar a figura que é a representação geométrica da expressão (a
+ b)
2
.
Pela figura, percebemos que: (a
+ b)
2
= a
2
+ 2ab
+ b
2
.
A interpretação geométrica dessa expressão algébrica é:
a
2
+ 2ab
+ b
2

área do quadrado de lado
b

área de um dos retângulos de lados
a e b

área do quadrado de lado
a
EDITORIA DE ARTE, CLAUDIO DIVIZIA/SHUTTERSTOCK.COM, CCAT82/SHUTTERSTOCK.COM
96
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14/06/22 10:1214/06/22 10:12
PENSE E
RESPONDA
Apresenta atividades
diversificadas que
ajudam a desenvolver
o raciocínio
investigativo.
Aqui, você poderá
mobilizar seus
conhecimentos
prévios e aplicá-los
nas investigações.
Manipulação de dados estatísticos na mídia
TAKASU/SHUTTERSTOCK.COM
F ÓRUM
1. Espera-se que os estudantes debatam sobre o fato de que conhecer ferramentas
estatísticas pode facilitar a análise correta de informações, e, por exemplo, a
identificação de
fakes news
, muito comuns nos dias de hoje, bem como avaliar a
qualidade de um produto ou serviço por meio das informações divulgadas sobre eles.
ESB PROFESSIONAL/SHUTTERSTOCK.COM
[...] A análise estatística é [...] relativa e não abso
-
luta, pois baseia suas conclusões sempre levando em
consideração o er ro existente entre as suas medições
e a realidade estudada.
[...]
Mesmo a ling uagem matemát ica e/ou estat íst ica t ida
como a mais objetiva das ling uagens pode e é constantemente
manipulada pela mídia. Para isso, basta que se [deem] infor mações
parciais ( publica-se uma par te da pesquisa) ou que não se publique um resultado que
se sabe poderá desag radar a um seg mento ou pr iv ileg iar outro. A manipulação pode ser
feita pela indução de conclusões que não estão nos resultados da pesquisa, através de
títulos, textos e tratamento g ráf ico dos dados estatísticos. [...]
[...]
Na g rande maior ia dos resultados de pesquisas publicados na mídia [...], o que é
infor mado ao leitor é uma parcela do total dos resultados encontrados na pesquisa. O
jor nalista acaba fazendo um recor te daqueles dados que mais lhe interessam ou que ele
julg ue que chamará mais a atenção do leitor. [...]
[...]
SOUZA, Genilda Alves de. A manipulação dos dados estatísticos pela mídia impressa.
In: CONGRESSO
BRASILEIRO DE CIÊNCIAS DA COMUNICAÇÃO, 32., 2009, Curitiba.
Anais
[...]. Curitiba: Universidade Positivo,
2009. p. 1-15. Disponível em: http://www.intercom.org.br/papers/nacionais/2009/resumos/r4-3646-1.pdf.

Acesso em: 11 abr. 2022.
Em algumas notícias publicadas pela mídia, dados de pesquisas estatísticas
podem ser manipulados inadequadamente, por exemplo, por meio da alteração de
parâmetros em gráficos ou pela presença de manchetes tendenciosas, para transmitir
determinada ideia que se quer defender.
1. Debata com os colegas a importância de conhecer ferramentas estatísticas
capazes de identificar dados tendenciosos nas informações divulgadas pela mídia.
2. Informações incorretas ou distorcidas podem originar as chamadas
fake news
ou
notícias falsas, que podem se espalhar rapidamente pelos meios digitais e trazer
consequências negativas para toda a sociedade. Por exemplo, se for disseminada a
notícia falsa de que um remédio cura determinada doença, muitas pessoas podem
acreditar nessa notícia, consumir o remédio falso e deixar de procurar o tratamento
de saúde adequado.

Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa sobre as consequências das
fake
news
. Depois, compartilhem com a turma as informações que vocês obtiveram.
Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
FA K E
NEWS
197
D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV3.indd 197D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV3.indd 197
27/06/22 11:5427/06/22 11:54
JURO
Juro
é toda compensação que se paga, em dinheiro, por uma quantia que
se tomou emprestado ou que se recebe por uma quantia que se emprestou.
Vamos estudar dois tipos de regime de
capitalização
: a juro
simples e a juro composto.
Juro simples
O regime de capitalização a
juro simples
é aquele em que a taxa
de juro é sempre aplicada sobre o capital inicial.
Considere a situação a seguir.
João comprou a prazo uma máquina de lavar roupas, como a da
imagem, e só pagou 3 meses após a data da compra. Sabendo que ele
não deu nenhum valor de entrada, e a taxa de reajuste foi de 5% ao
mês a juro simples, quanto ele pagou por essa máquina?
Observe que o capital
C financiado foi de R
$ 1.500,00 (C
= 1 500) a
uma taxa
i de 5% ao mês (i
= 0,05) por um período
t de 3 meses (t
= 3).
Como foi aplicado juro simples, a taxa mensal é computada a cada
mês sempre sobre o valor do capital. O valor total a prazo é o montante
M (capital
+ juro) obtido ao fim dos 3 meses. Então:
Juro ao final do 1
o
mês (
j
1
)
Juro ao final do 2
o
mês (
j
2
)
Juro ao final do 3
o
mês (
j
3
)
5% de R
$ 1 500
== 0,05
? 1 500
= R$ 75
5% de R
$ 1 500
== 0,05
? 1 500
= R$ 75
5% de R
$ 1 500
== 0,05
? 1 500
= R$ 75
Assim, o montante
M, ao fim dos 3 meses (preço pago a prazo), é dado por:M = 1 500
+ 3 ? 75
= 1 500
+ 225
= 1 725
Logo, o preço da máquina no pagamento a prazo foi de R
$ 1.725,00.
Acompanhe como podemos obter, de uma só vez, o juro total
j relativo aos 3 meses.
j = j
1
+ j
2
+ j
3
j = 0,05
? 1 500
+ 0,05
? 1 500
+ 0,05
? 1 500
j = 1 500
? (0,05
+ 0,05
+ 0,05)
j = 1 500
? 3 ? 0,05
h j = 225
Para o cálculo do juro total
j, a taxa de juro
i deve ser tomada na forma decimal,
e o período
t deve estar na mesma unidade de medida que o período de incidência
da taxa de juro
i. Por exemplo, se a taxa de juro
i for aplicada ao mês, o período
t
deve estar na unidade de medida mês.
j = C ? i ? t
C
t
i
Capitalização:
acumu
lação de capital por
meio da aplicação de
juros.
GL OS S Á RIO
Máquina de lavar
roupas.
AMAPHOTO/SHUTTERSTOCK.COM
Preço à vis ta:

R$ 1.50 0,0 0.
179
D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV3.indd 179D2-MAT-F2-2103-V9-U6-176-203-LA-G24_AV3.indd 179
27/06/22 11:4527/06/22 11:45
POR TODAPARTE
A CULTURA AFRO-BRASILEIRA
Você sabia que, apenas a partir do século X X, manifestações, rituais e costumes
dos povos africanos começaram a ser aceitos e celebrados no Brasil como expressões
artísticas genuinamente nacionais?
Leia os textos a seguir para conhecer e refletir sobre as contribuições da cultura
africana para a formação da identidade do povo brasileiro.
Denomina-se cultura afro-brasileira o conjunto de manifestações culturais
do Brasil que sofreram alg um g rau de inf luência da cultura afr icana desde os
tempos do Brasil colônia até a atualidade. A cultura da Áfr ica chegou ao Brasil,
em sua maior parte, trazida pelos escravos neg ros na época do tráf ico transa
-
tlântico de escravos. No Brasil a cultura afr icana sofreu também a inf luência
das culturas europeia ( pr incipalmente por tug uesa) e indígena, de for ma que
caracter ísticas de or igem afr icana na cultura brasileira encontram-se em geral
mescladas a outras referências culturais. Traços fortes da cultura africana podem
ser encontrados hoje em var iados aspectos da cultura brasileira, como a música
popular, a relig ião, a culinár ia, o folclore e as festividades populares. Os estados
do Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espír ito Santo, Rio de
Janeiro, São Paulo e Rio Grande do Sul foram os mais inf luenciados pela cultura
de origem africana, tanto pela quantidade de escravos recebidos durante a época
do tráf ico como pela mig ração interna dos escravos após o f im do ciclo da cana-

-de-açúcar na reg ião Nordeste. Ainda que tradicionalmente desvalor izados na
época colonial e no século XIX, os aspectos da cultura brasileira de or igem afr i
-
cana passaram por um processo de revalor ização a par t ir do século X X que
continua até os dias de hoje.
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira.
Portal da cultura afro-brasileira
. Colombo, [20-?].
Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Baianas em Vera Cruz
(BA), 2019.
SERGIO PEDREIRA/
PULSARIMAGENS
LUKIYANOVA NATALIA FRENTA/SHUTTERSTOCK.COM
84
D2-MAT-F2-2103-V9-U2-060-087-LA-G24_AV3.indd 84D2-MAT-F2-2103-V9-U2-060-087-LA-G24_AV3.indd 84
27/06/22 10:1627/06/22 10:16
Moqueca de peixe.
Grupo folclórico Terno de Congo
de Sainha Irmãos Paiva, de Santo
Antônio da Alegria (SP), 2018.
O Congado é uma manifestação
cultural e religiosa afro-brasileira.
ROCHARIBEIRO/SHUTTERSTOC
K.COM
CESAR DINIZ/PULSAR IMAGENS
Entre outras influências importantes da cultura africana,
podemos destacar aquelas relacionadas à culinária, à música
e à dança.
Culinária
[...] a cozinha brasileira reg ional foi muito inf luen
-
ciada pela cozinha afr icana, mesclada com elementos
culinár ios europeus e indígenas.
A culinár ia baiana é a que mais demonstra a inf luência afr icana nos seus pratos típicos
como acarajé, car ur u, vatapá e moqueca. Estes pratos são preparados com o [azeite de
dendê], extraído de uma palmeira afr icana trazida ao Brasil em tempos coloniais. [...]
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira.
Portal da cultura afro-brasileira
. Colombo, [20-?]. Disponível em:
https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Música e dança
A música cr iada pelos afro-brasileiros é uma mistura de inf luências de toda a Áfr ica
subsaar iana com elementos da música por tug uesa e, em menor g rau, amer índia, que pro
-
duziu uma g rande var iedade de estilos.
A música popular brasi leira é for temente inf luenc iada pelos r it mos af r icanos. A s
expressões de música afro-brasileira mais conhecidas são o samba, maracatu, ijexá, coco,
jongo, car imbó, lambada, maxixe, maculelê.
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira.
Portal da cultura afro-brasileira
. Colombo, [20-?]. Disponível em:
https://www.faecpr.edu.br/
site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso
em: 2 mar. 202
2.
Agora, converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir e responda
no caderno.
• Você conhece algumas manifestações da cultura afro-brasileira? Na região onde você
mora, essas manifestações estão presentes?
• Você já teve a oportunidade de experimentar pratos da culinária africana ou de assistir
a alguma das expressões musicais afro-brasileiras? Como foi essa experiência
?
• Você sabia que as línguas africanas influenciaram o processo de transformação da
língua por tuguesa falada no Brasil? Faça uma pesquisa sobre essa contribuição e
descubra palavras desse vocabulário que são comuns em algumas regiões do Brasil.
Respostas pessoais.
Respostas pessoais. Incentivar os estudantes a compartilhar as experiências deles com
aspectos da cultura afro-brasileira, apresentando exemplos de manifestações dessa cultura.
Resposta pessoal. Exemplos de resposta: cafuné (afago na cabeça de
alguém para provocar sono); fubá (farinha de milho); fuzuê (algazarra,
barulho, confusão); zabumba (bumbo) etc.
LUKIYA
NOV
A NATA
LIA FRENTA/SHUTTERSTOCK.CO
M
85
D2-MAT-F2-2103-V9-U2-060-087-LA-G24_AV3.indd 85D2-MAT-F2-2103-V9-U2-060-087-LA-G24_AV3.indd 85
27/06/22 10:1827/06/22 10:18
POR TODA PARTE
Esta seção apresenta
situações e contextos que
evidenciam a conexão da
Matemática com o cotidiano
e com diversas áreas do
conhecimento.
FÓRUM
Traz reflexões e
questões para
debate, em
que você e os
colegas poderão
compartilhar e
discutir ideias sobre
temas atuais e de
importância social.
GLOSSÁRIO
Traz o significado de
algumas palavras que
podem ser desconhecidas,
o que auxilia na
compreensão dos textos.
D2-MAT-F2-2103-V9-INICIAIS-001-011-LA-G24_AV4.indd 6
D2-MAT-F2-2103-V9-INICIAIS-001-011-LA-G24_AV4.indd 6 27/06/22 20:5527/06/22 20:55
6
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UNIDADE 1
Números reais, potências e radicais
Abertura de Unidade – p. 12
• Resposta pessoal.
• Uma aproximação para o número
p pode ser
obtida dividindo a medida do comprimento de
uma circunferência qualquer por duas vezes a
medida do raio dessa circunferência.
• Resposta pessoal.
1. A Geometria e a descoberta
do número irracional
Atividades – p. 18
1. a)
8
b)
c) 2,83
2. a)
5
b)
0
1
1 2
3
5
5
3. 2,23
4.
7; 2,64
Atividades – p. 20
1. a) 50,24 cm
b) 2,826 cm
c) 15,7 cm
d) 43,96 cm
2. a) 1,884 m
b) 9 420 m
3. Aproximadamente 69,08 cm (considerando
p = 3,14)
4. 25 voltas.
5. 314 mudas.
2. Os números reais
Atividades – p. 22
1. a) 7
b) _3 e 7.
c) _3
d)
3
2
_; _1,4; 0,3333...
2.
7
0
1
2
3
27
10
3. a) V
b) V
c) F
d) F
3. Potências
Pense e responda – p. 24
1. 2; 4; 8; 16; 32; 64
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
0
123
88
2. a) 64
b) 1 024
c) 2
n
Atividades – p. 27
1. a) 64
b) +169
c) _343
d) _0,9
e) 125
f) +10,24
g) _225
h)
32
243
_
i) +81
2. a) 7 777
b) 4 algarismos iguais.
c) 28
3. +32
4. _109
5. _3
6. Não é raiz.
7. a) 5
b) =
c) 5
d) =
8. 5
4
9. a) +1
b) _1
c) +1
d) _1
10. Alternativa e.
11. a) 380
b) Resposta pessoal.
Atividades – p. 31
1. a) 3
b) 1
c)
1
3
d)
1
9
e)
1
27
f)
1
81
2. a) 0,5
b) 0,03125
c) 0,25
d) _0,0625
e) 0,015625
f) 0,1
g) 0,001
h) 0,04
3. a) 7
_5
c) 5
_6
b) 10
_9
d) 2
_10
4. a) 2
b) 25
c) _
8
125
d) 64
5. a) _
2
3

c) _
8
81
b) 8
d) 1
6. 6
7. a) 7
3
b) 2
_1
c) 8
_5
d) 5
12
e) 8
f) 2
3
g) 2
_3
h) 3
_1
8. a) x²
b) x²
c) x
_12
d) a
_3
9. a) 10²
c) 2
_5
b) 5
7
d) 3
_3
10. a) 7
_2
? 13
_2
b) 9
_3
: 5
_3
c) 2
_2
? 5
_4
d) 3
_4
: 10
e) 2
_10 ? 3
4
? 11²
f) 7
_2
: 10
4
11. x = 3 e A
= _
5
6
.
12. Resposta pessoal.
Atividades – p. 33
1.
1
10
10
ou 10
_10.
2. a) 8,7 ? 10
6
; 6 ? 10
6
; 1,1 ? 10
6
b) Resposta pessoal.
3. a) 2,3 ? 10
22
b) 6,8 ? 10³ e 2,05
? 10
8
.
c) 1,06 ? 10
_8
4. a) 1 ? 10
_2
m
b) 1 ? 10
6
L
c) 1 ? 10
_6
g
Por toda parte – p. 34
Resposta pessoal.
Educação financeira – p. 35
R$ 2.275,00
4. Radicais
Pense e responda – p. 36
Não.
_9 é o oposto de 9; logo
,
_ =
_9 3
. Já
_9 não se define em
r.
Atividades – p. 37
1. Duas:
16
4_ e 1_.
2. 36; 144; 10; 100; 25
3. Sim; 11.
4. Sim, pois
25
5=.
5. a) 0,5
b) 0,2
c) 8
d) _10
e) _1
f) _5
Atividades – p. 40
1. a) 3
b) 7
c) 10
d) 5a²
2. a) 7
b) 3
c) 5
d) 2
e) 3
f) 7
3. a) x = 7
b) x = 1
c) x = 1
d) x =2
4. a)
2
3 b)
3
c)
10
4 d)
5
45
5. a)
2
b)
3
3
c)
3
4
d)
2
23
e)
2
34
f)
2
56
6. a) x = 4
b) x = 3
7. a)
5 7 ?
b)
3
3
a x ?
c)
3 1
127
7

?
d)
?
6 6
x y
e)
2 a
b
? ?
f)
3 3
x x
y y ?
8. a)
2 ? 5
d)
2
7 ? 3
7 ? 5
7
b)
3
6 ? 7
6
e)
3
10 ? 5
10
c)
5
9 ? 7
9
f)
2
3 ? 7
3 ? 11
3
Atividades – p. 42
1. a)
113
b) 2
7
6
c) 10
3
5
d) 6
6
e) 8
2
f) 35
7
3
2. a) x²
x
c)
x x
4
e) xy
y
b) y
y
3
d) y
2
y
2
5
f) xy
y
2
5
3. a) 5
3
b) 10
7
c) 2
11
4
d) 20
2
4. a) 7,05
c) 12,2
b) 5,19
d) 22,3
5. 72 m
6. Resposta pessoal.
7. 24
8. a) 2
b) 10
Por toda parte – p. 43
1. 128
14 ou 473,6 m².
2. Resposta pessoal.
Atividades – p. 44
1. a)
162
b)
28
c)
500
d)
250
3
e)
64
5
f)
64a
g)
4a
3
h)
x
1310
i)
432b
4
3
2. a)
x
518
b)
x y
7 3
10
3.
a
bRESPOSTAS
292
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POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA
EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Vamos estudar as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência.
Reta secante
A reta
s intersecta a circunferência em dois pontos distintos.
Nesse caso,
s é chamada de
reta secante
à circunferência.
Note que a distância
d do centro da circunferência à reta
s
é menor do que o comprimento
r do raio, ou seja,
d , r.
A
B
M
O
d
r
s
Reta externa
A reta
s e a circunferência não têm ponto em comum. Nesse
caso, a reta
s é uma
reta externa
à circunferência.
Note que a distância
d do centro da circunferência à reta
s
é maior do que o comprimento
r do raio, ou seja,
d . r.
s
N
O
r
d
Reta tangente
A reta
s tem apenas um ponto em comum com a circunfe
-
rência, o ponto
T, que é chamado de
ponto de tangência
. Nesse
caso,
s é chamada de
reta tangente
à circunferência.
Note que a distância
d do centro da circunferência à reta
s
é igual ao comprimento
r do raio, ou seja,
d = r.
s
T
O d
=
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
OBMEP. Sala para leitura_007: Circunferências – Definições básicas.
Clubes de Matemática
da OBMEP
. [S. l.], [202-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/ blog /sala - para -

leitura _ 0 07- circunferencias- def inicoes- basic as /. Acesso em: 4 mar. 2022.
No link indicado, você pode encontrar explicações, atividades

e simulações sobre circunferência.
Acompanhe os textos e as animações e aprenda

mais sobre essa figura geométrica.
D E S C U B R A M A I S
KUCHER SERHII/SHUTTERSTOCK.COM
128
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143-LA
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143-LA
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RESPOSTAS
Seção final do livro,
na qual você encontra
as respostas às
atividades propostas.
Responda às questões no caderno.
1. L u í s a c o m p r o u u m a g e l a d e i ra p o r
R$ 1. 20 0,0 0. Ela pagou R
$ 4 0 0,0 0 de entrada e vai pagar o restante depois
de 4 meses com taxa de 2% ao mês a
juro simples. Nessas condições, quanto
vai custar a geladeira para Luísa?
2. G a b ri e l a p li co u R
$ 5 . 0 0 0 ,0 0 a ju ro
composto a uma taxa de 1,8% ao mês
por um período de 1,5 ano. No fim do
período de aplicação, o rendimento de
Gabriel é um valor entre:
a) R$ 3.130,00 e R
$ 4.250,00.
b) R$ 1.110,00 e R
$ 1.650,00.
c) R$ 1.650,00 e R
$ 2.250,00.
d) R$ 4.250,00 e R
$ 5.750,00.
e) R$ 6.650,00 e R
$ 7.250,00.
3. (OBM) Os resultados de uma pesquisa
das cores de cabelo de 1
200 pessoas são
mostrados no gráfico a seguir.
Castanho
30%
Preto
24%
Loiro
Ruivo
16%
Q u ant a s d e s s a s p e s s o a s p o s su e m o
cabelo loiro?
a) 60
b) 320
c) 360
d) 400
e) 840
4. Considerando o gráfico da
questão 3
,
d e te rmin e a p ro b abilida d e d e u ma
p e s soa sor teada , ao ac a so, entre a s
1 200 ter cabelo loiro.
5. (Vunesp-SP – Santa Casa) Em uma urna
há 15 bolas, diferenciáveis apenas por
suas cores, sendo 6 pretas, 5 brancas e
R$ 1.264,00
Alternativa c.
Alternativa c.
30%
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
4 vermelhas, de modo que todas têm
igual probabilidade de serem sor tea
-
das. Uma pessoa vai até a urna, sor teia
uma bola, não a mostra a ninguém e
a mantém consigo. Em seguida, uma
segunda pessoa vai até a urna e retira
uma nova bola. A probabilidade de as
duas bolas sor teadas terem a mesma
cor é um valor:
a) entre 15% e 25%.
b) entre 25% e 35%.
c) entre 35% e 45%.
d) inferior a 15%.
e) superior a 45%.
6. A professora de Matemática do 9
o
ano de uma escola apresentou o gráfico a
seguir para os estudantes analisarem.
Quantidade de estudantes
do 9o
ano que usam óculos
Turma
Quantidade

de estudantes
30
25
25
20
15
10
5
0
9A
9 B
9C
Es tudantes que Es tudantes que u sam óculos
não u sam óculos
18
15
20
18
22
Fonte: Secretaria da escola.
a) Qual é a quantidade média de estudan
-tes que não usam óculos por turma?
b) Em qual turma há mais estudantes que
usam óculos? Quantos são?
c) Quantos estudantes tem a turma com
menor quantidade de estudantes?
d) Em quais turmas há mais estudantes que
usam óculos do que estudantes que não
usam óculos?
Alternativa b.
20
6. b) 9A; 25 estudantes usam óculos.
35
Apenas na turma 9A.
EDITORIA DE ARTE
EDITORIA DE ARTE
202
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29/07/22 12:4529/07/22 12:45
7. Durante uma conferência, um banco
digital apresentou o faturamento obtido
de 2013 a 2021 por meio do gráfico
de linhas a seguir e afirmou que foi a
empresa dessa área que mais cresceu nos
últimos anos.
Faturamento de uma empresa
(em bilhões de reais)
Ano
10 11
16 18
32
2013
2015
2017
2019
2021
Fonte: Banco digital.
Analise o gráfico e responda.
a) O que a empres a apresentou nes se
gráfico?
b) Você acha que o tipo de gráfico esco
-lhido foi adequado para o que se queria
apresentar? Justifique.
c) Há alguma distorção nesse gráfico?
8. A tabela a seguir apresenta os dados
coletados referentes à área de plantio
de flores em um jardim.
Flores do jardim
Tipo
cravo
lírio
rosa
tulipa
Área
(em m²) 4
6
4
12
Fonte: Equipe de jardinagem.
O lírio era chamado de Amor
Eterno por antigos povos chineses.
a) Construa um gráfico que mostre a com
-paração dos dados dessa tabela.
b) Qual é a área média de plantio das flores?
9. Junte -se a um colega, e escolham um
tema de interesse de vocês para fazer
uma pesquisa. Elaborem um pequeno
texto explicando as estratégias que vocês
utilizariam para realizar essa pesquisa e
um relatório com os resultados obtidos.
EDITORIA DE ARTE
7. Respostas na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
8. Respostas na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
9. Respostas na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
BERILOVA IRIDA/SHUTTERSTOCK.COM
Nesta Unidade, estudamos cálculos com porcentagem em variadas situações,
destacando a aplicação de taxas de juro nos regimes de juro simples e de juro composto
para cálculos de montantes e rendimentos; desenvolvemos o cálculo de probabilidade
de eventos independentes e de eventos dependentes; aprofundamos o estudo de
Estatística envolvendo análise de gráficos e cálculo de medidas estatísticas, observando
o uso de gráficos adequados, e analisamos gráficos que apresentam distorções;
acompanhamos os passos de uma pesquisa estatística simples e para o uso de
sof t ware

na construção de gráficos estatísticos.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• A aber tura desta Unidade apresentou informações sobre o índice de inflação e o
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPC A). Como o estudo de porcen
-
tagem nos ajuda a compreender esses índices econômicos?
• Explique a diferença entre o uso de juro simples e de juro composto.
• Como você definiria eventos aleatórios independentes e eventos aleatórios dependentes?
• Quais são os passos para a realização de uma pesquisa estatística?
Respostas dos itens deste boxe na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
UM NO V O OL H A R8 cm
203
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27/06/22 15:1727/06/22 15:17
DESCUBRA MAIS
Indicações de livros,
vídeos, simuladores,
podcasts, entre outros, para
enriquecer e aprofundar os
conteúdos estudados.
RETOMANDO O
QUE APRENDEU
Esta seção reúne
diferentes atividades
para revisar, praticar e
consolidar o estudo dos
conteúdos apresentados
em cada Unidade.
UM NOVO OLHAR
Momento proposto
para você refletir sobre
os conhecimentos que
adquiriu ao longo de
cada Unidade e analisar
seu desenvolvimento em
relação à aprendizagem
desses conhecimentos.
Os sites indicados nesta
obra podem apresentar
imagens e textos variáveis,
os quais não condizem com
o objetivo didático dos
conteúdos citados. Não temos
controle sobre essas imagens
nem sobre esses textos,
pois eles estão estritamente
relacionados ao histórico de
pesquisa de cada usuário e à
dinâmica dos meios digitais.
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SUMÁRIO
UNIDADE
NÚMEROS REAIS, POTÊNCIAS
E RADICAIS
...........................................................12
1. A Geometria e a descoberta
do número irracional
..................................14
Atividades .....................................................18
Um número irracional importante:
o número p (pi)
.............................................19
Atividades .....................................................20
2. Os números reais .........................................21
Operações com números reais ....................22
Atividades .....................................................22
3. Potências .........................................................23
Propriedades das potências
com expoentes naturais
...............................25
Atividades .....................................................27
Potência de um número real
com expoente inteiro
...................................28
Atividades .....................................................31
Notação científica .........................................32
Atividades .....................................................33
Por toda parte • Dados demográficos
do estado do Amazonas
..............................34
Educação financeira • Você já ouviu
falar em reserva de emergência?
................35
4.
Radicais ...........................................................36
Raiz enésima de um número real ...............36
Atividades .....................................................37
Propriedades do radical ...............................38
Atividades .....................................................40
Simplificando radicais ...................................41
Atividades .....................................................42
Por toda parte • Heron e a área
de um triângulo
.............................................43
Introduzindo um fator externo
no radical
.......................................................44
Atividades .....................................................44
Adição algébrica de radicais ........................45
Atividades .....................................................46
Multiplicação e divisão de radicais
com mesmo índice
........................................47
Atividades .....................................................48
Redução de dois ou mais radicais
ao mesmo índice
...........................................49
1
Multiplicação e divisão de radicais
com índices diferentes
..................................50
Atividades .....................................................50
Potenciação de radicais ................................51
Atividades .....................................................51
Racionalização de denominadores .............52
Atividades .....................................................53
Potência com expoente racional .................54
Atividades .....................................................55
Calculando raízes com
a calculadora científica
.................................56
Atividades .....................................................57
Retomando o que aprendeu ..............................58
UNIDADE
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO..........60
1. Produtos notáveis .......................................62
Quadrado da soma de dois termos ............63
Quadrado da diferença de dois termos
......64
Produto da soma pela diferença
de dois termos
..............................................65
Atividades .....................................................67
Cubo da soma de dois termos ....................69
Cubo da diferença de dois termos
.............69
Atividades .....................................................69
Tratamento da informação •
A importância da média móvel
no combate à covid-19
................................70
2.
Fatorando polinômios ...............................72
Atividades .....................................................72
Fatoração pela colocação de um fator
comum em evidência
...................................73
Fatoração por agrupamento
........................74
Atividades .....................................................76
Fatoração da diferença de dois quadrados ...77
Atividades .....................................................78
Fatoração do trinômio quadrado perfeito ....79
Atividades .....................................................80
Fatoração da soma ou da diferença
de dois cubos
................................................81
Fatorando mais de uma vez
........................81
Usando a fatoração para
resolver equações
.........................................82
Atividades .....................................................83
Por toda parte • A cultura afro-brasileira .84
Retomando o que aprendeu ..............................86
2
ELENAMIV/SHUTTERSTOCK.COM
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8
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UNIDADE
RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS .......................118
1. Ângulos determinados
por retas transversais
..............................120
Ângulos opostos pelo vértice ....................120
Ângulos adjacentes
.....................................120
Ângulos correspondentes
..........................121
Atividades ...................................................122
Ângulos alternos .........................................123
Ângulos colaterais
.......................................124
Atividades ...................................................126
2. Circunferência .............................................127
Posições relativas de uma reta
em relação a uma circunferência
..............128
Atividades ...................................................130
Arco de circunferência
e ângulo central
..........................................131
Atividades ...................................................132
Ângulo inscrito ............................................133
Atividades ...................................................136
Tecnologias • Ângulo inscrito
e ângulo central
..........................................138
Ângulos cujos vértices não pertencem
à circunferência
...........................................140
Atividades ...................................................141
Retomando o que aprendeu ............................142
4
ELENAMIV/SHUTTERSTOCK.COM
UNIDADE
EQUAÇÕES DO 2
O
GRAU ...................................88
1. Equação do 2
o
grau
com uma incógnita
.....................................90
Conhecendo a equação do 2
o
grau
com uma incógnita
.......................................91
Equação completa
e equação incompleta
..................................92
Atividades .....................................................92
Forma reduzida da equação do 2
o
grau
com uma incógnita
.......................................93
Atividades .....................................................93
2. Resolução de equações do 2
o
grau
com uma incógnita
.....................................94
Equações incompletas ..................................94
Atividades .....................................................95
Equações completas .....................................96
Atividades ...................................................100
Atividades ...................................................104
Tecnologias • Resolvendo equações
do 2
o
grau com um software ....................106
3.
Soma e produto das raízes
de uma equação do 2
o
grau
com uma incógnita
...................................108
Soma das raízes ...........................................108
Produto das raízes
.......................................108
Escrevendo uma equação
com raízes conhecidas
................................109
Atividades ...................................................110
4. Mais equações ............................................111
Equações biquadradas ................................111
Atividades ...................................................112
Equações irracionais ....................................112
Atividades ...................................................113
Tratamento da informação •
Os gráficos e a importância
de sua representação correta
....................114
Retomando o que aprendeu ............................116
3
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UNIDADE
PROPORÇÃO E SEMELHANÇA .....................144
1. Segmentos proporcionais ......................146
Razão e proporção .....................................146
Razão entre segmentos
..............................147
Atividades ...................................................149
Segmentos proporcionais ..........................150
Atividades ...................................................151
2. Feixe de retas paralelas ..........................152
Propriedade de um feixe
de retas paralelas
........................................152
Teorema de Tales
........................................153
Atividades ...................................................155
Teorema de Tales nos triângulos ..............156
Atividades ...................................................158
Teorema da bissetriz interna
de um triângulo
..........................................159
Atividades ...................................................160
3. Figuras semelhantes .................................161
Polígonos semelhantes ...............................162
Atividades ...................................................165
Triângulos semelhantes ..............................166
Atividades ...................................................168
Teorema fundamental da semelhança
de triângulos
................................................170
Atividades ...................................................171
Por toda parte • Descobrindo a altura
de pirâmides
................................................173
Retomando o que aprendeu ............................174
UNIDADE
PORCENTAGEM, PROBABILIDADE
E ESTATÍSTICA
..................................................176
1. Porcentagem e problemas
envolvendo juros
.......................................178
Porcentagem ...............................................178
Juro
...............................................................179
Atividades ...................................................181
Tecnologias • Cálculo de juro simples
e juro composto
..........................................182
2.
Probabilidade ..............................................184
Eventos dependentes e eventos
independentes
.............................................184
Atividades ...................................................186
56
3. Analisando gráficos ..................................187
Atividades ...................................................190
4. Elaborando uma pesquisa .....................192
Planejando uma pesquisa estatística ........192
Atividades ...................................................196
Por toda parte • Envelhecimento,
respeito e cidadania
....................................198
Tecnologias • Planilhas eletrônicas
e gráficos estatísticos
.................................200
Retomando o que aprendeu ............................202
UNIDADE
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO E NA CIRCUNFERÊNCIA
........204
1. Teorema de Pitágoras ..............................206
O triângulo retângulo dos egípcios ..........207
O triângulo retângulo
e um grego famoso
....................................207
Por toda parte • Problema do bambu
quebrado
......................................................211
Atividades ...................................................212
Aplicações do teorema de Pitágoras ........214
Atividades ...................................................216
2. As relações métricas
do triângulo retângulo
...........................217
Atividades ...................................................220
Por toda parte • Arquitetura enxaimel ...221
3.
Medida do comprimento
de um arco de circunferência
................222
Por toda parte • Arcos arquitetônicos ...223
Atividades ...................................................224
4. Relações métricas da circunferência ......225
Relação entre cordas ..................................225
Relação entre segmentos secantes
...........225
Relação entre segmento secante
e segmento tangente
.................................226
Atividades ...................................................227
Retomando o que aprendeu ............................228
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RESPOSTAS .........................................................292
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................304
UNIDADE
FIGURAS PLANAS, FIGURAS
ESPACIAIS E VISTAS
.......................................230
1. Polígono regular ........................................232
Polígonos regulares inscritos
em uma circunferência
...............................232
Atividades ...................................................235
Relações métricas em polígonos
regulares inscritos em
uma circunferência
.....................................235
Construção de polígonos regulares
..........237
Atividades ...................................................239
Tecnologias • Representando polígonos
regulares com o uso de um software
de Geometria
..............................................240
Área de um polígono regular
....................242
Área do círculo e de um setor circular
......242
Atividades ...................................................243
Por toda parte • Polígonos nas obras
de Eduardo Kobra
.......................................245
Tratamento da informação • Leitura
e construção de gráfico de setores
..........246
2.
Representações no
plano cartesiano
........................................248
Atividades ...................................................249
3. Figuras espaciais ........................................250
Projeção ortogonal .....................................250
Vistas ortogonais
........................................251
Atividades ...................................................253
Volume de prismas e de cilindros .............254
Atividades ...................................................255
Retomando o que aprendeu ............................256
8
UNIDADE
FUNÇÕES ............................................................258
1. Noções de função ......................................260
Domínio e conjunto imagem
de uma função
............................................261
Atividades ...................................................262
Educação financeira • A importância
de poupar
....................................................263
2.
Função afim .................................................264
Função linear ...............................................265
Atividades ...................................................265
Gráfico da função afim ..............................266
Atividades ...................................................267
Zero da função afim ...................................268
Atividades ...................................................268
Por toda parte • Artesanato no Brasil ...269
Tratamento da informação •
Interpretando informações
........................270
3.
Função quadrática .....................................272
Atividades ...................................................274
Gráfico da função quadrática ...................275
Atividades ...................................................276
Zeros da função quadrática .......................277
Atividades ...................................................278
Concavidade da parábola ..........................279
Traçando o gráfico de uma função
quadrática no plano cartesiano
................280
Atividades ...................................................281
Ponto de mínimo e ponto de máximo
da função quadrática
.................................282
Atividades ...................................................283
Tecnologias • Gráficos de funções .........284
Por toda parte • De olho na bandeira
.....287
Retomando o que aprendeu ............................288
Tecnologias • Localização de um
ponto no plano cartesiano utilizando
o computador
.......................................................290
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1 e 7
Competências específicas:
• 1<> , 2, 3, 5 e 8
Habilidades:
Números
• EF09MA01 • EF09MA04
• EF09MA02 • EF09MA07
• EF09MA03
Grandezas e medidas
• EF09MA18
Temas Contemporâneos
Transversais:
• C<> iência e Tecnologia
• Educação Financeira
• Educação para o Consumo
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em quatro capítulos; ela apre-
senta os conteúdos por meio de
exemplos e atividades diversifica-
das, traz seções que propiciam a
reflexão e a argumentação, que
contribuem para despertar a curio-
sidade intelectual dos estudantes
e favorecem com maior ênfase o
desenvolvimento das competên-
cias gerais 1 e 7.
No primeiro capítulo, são apre-
sentados os números irracionais e
como reconhecer que todo número
cuja representação decimal é infi-
nita e não periódica é um número
irracional. Esse estudo favorece
odesenvolvimento das habili-
dades EF09MA01 e EF09MA02.
No segundo capítulo, aborda-
-se o estudo do conjunto dos
números reais e as operações com
esses números, o que favorece o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA03. No terceiro capí-
tulo, abordam-se potências de
um número real e notação cien-
tífica. No quarto capítulo, são
apresentados conteúdos sobre
os radicais, contribuindo para o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA04.
OBJETIVOS
• Reconhecer números irracionais
e números reais.
• Compreender o surgimento dos
números irracionais.
• Reconhecer um número irracional como um
número real e estimar a localização de alguns
desses números em uma reta numérica.
• Explorar potências de 10 e a notação científica.
• Resolver problemas envolvendo cálculos com
potências de expoentes naturais e inteiros
negativos.
• Determinar potências com expoente fracionário.
• E<> fetuar cálculos com números reais.
• Aplicar as propriedades de radicais.
• Simplificar radicais.
• Efetuar operações envolvendo radicais.
• Resolver e elaborar problemas com números
reais envolvendo diferentes operações.
• Compreender e utilizar a calculadora científica
para realizar cálculos envolvendo radiciação.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se o estudo dos
números naturais, potência e radicais, propiciando
Até agora, você estudou os conjun-
tos dos números naturais, dos números
inteiros e dos números racionais. A cada
conjunto numérico já estudado, foram
agregados novos números, formando
um novo conjunto numérico.
O conjunto dos números inteiros
agregou ao conjunto dos números
naturais os opostos deles, enquanto o
conjunto dos números racionais agregou
ao conjunto dos números inteiros todos
os outros números na forma
a
b
, em que
a e b são números inteiros e b 5 0,
e que podem ser escritos na forma
decimal ou na forma de fração.
Ainda assim, com esses con-
juntos não é possível escrever todos
os números existentes. Temos, por
exemplo, o número p, que, entre outras
aplicações, é muito utilizado no estudo
de circunferência. Acompanhe a seguir
um pouco da história do número p.
NÚMEROS REAIS,
POTÊNCIAS E RADICAIS
1
Na Grécia antiga, Arquimedes
(287 a.C.-212 a.C.) atribuía a p
um valor entre 3
10
71
e 3
10
70
.
O número p é conhecido há pelo menos
4 000 anos. O Papiro de Ahmes (ou
Papiro de Rhind), assim chamado em
homenagem ao escriba que o copiou,
por volta de 1650 a.C., mostra que os
matemáticos egípcios utilizavam o valor
3,16 para o número p.
THE TRUSTEES OF THE BRITISH MUSEUM C/O SCALA, FLORENCE
DE AGOSTINI/GETTY IMAGES
Resoluções desta Unidade
na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
UNIDADE
EDITORIA DE ARTE, WANCHAI/SHUTTERSTOCK.COM, TOXA2X2/SHUTTERSTOCK.COM,
PALADIN12/SHUTTERSTOCK.COM, CORRI SEIZINGER /SHUTTERSTOCK.COM,
LUIS LINE /SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Antes de iniciar o estudo desta
Unidade, se possível, realize um
planejamento detalhado, incluindo,
além dos objetivos, conteúdos e
estratégias, diferentes momen-
tos em que considera adequado
realizar retomadas e possibilida-
des de avaliações. Nesse sentido,
vale comentar que o planejamento
deve ser o mais flexível possí-
vel, pois, por mais que possa ser
considerado um momento de pro-
gramação de ações, também pode
ser considerado um momento de
reflexão e de pesquisa.
É interessante, antes de começar
a abordar as questões propostas
na abertura desta Unidade, con-
versar com a turma e verificar se
os estudantes conhecem ou já
ouviram falar no número p e o que
sabem sobre ele. Depois, pode-se
dar continuidade abordando os
textos que compõem a abertura.
Nesse momento, é importante que
eles compreendam que os conhe-
cimentos matemáticos que hoje
estão construídos são resultado de
esforços humanos em diferentes
períodos da história da humani-
dade. Esse estudo favorece com
maior ênfase o desenvolvimento
da competência específica 1 da
área de Matemática.
À medida que a discussão
avança, pode-se conversar com os
estudantes a respeito das motiva-
ções que podem ter influenciado
os estudiosos a se debruçar em
estudos sobre o número p na
Grécia antiga, na China e na
Europa. Se possível, solicite a
eles que realizem uma pesquisa
sobre matemáticos que, ao longo
da história, ajudaram a desenvol-
ver os conhecimentos acerca do
número p.
Em 1761, Johann Heinrich
Lamber t (1728-1777),
matemático nascido em
Mulhouse (região da Alsácia),
na época, parte do território
suíço, foi o primeiro a provar
que o número p é irracional.
SPL/LATINSTOCK
Em 2021, a Universidade de Ciências
Aplicadas de Graubünden (Suíça)
calculou o número p com uma
precisão de 62,8 trilhões de dígitos
na parte decimal. Para fazer o
download de todos esses dígitos,
seria necessário um disco rígido
com capacidade de armazenagem
equivalente a 64 terabytes.
O matemático chinês
Tsu Ch’ungchih (430-501),
por volta de 480 de nossa
era, chegou a um valor
entre 3,1415926 e 3,1415927,
resultado surpreendente
para a época.
Agora, pense um pouco e responda no caderno.
• Como o número p não é um número natural, nem inteiro nem racional, ele faz parte
de outro conjunto de números. Que outro número você imagina que possa fazer
parte desse conjunto? Esse número deve ter alguma propriedade em comum com
o número p?
• Como podemos obter uma aproximação para o número p?
• Em 2021, o número p foi escrito com 62,8 trilhões de dígitos na parte decimal. Como
são muitos dígitos, não utilizamos todos sempre que precisamos fazer um cálculo
matemático. Como fazer, então, para usar esse número nos cálculos?
Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
SCIENCE PHOTO LIBRARY/FOTOARENA
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D2-MAT-F2-2103-V9-U1-012-020-LA-G24_AV1.indd 13 18/06/22 14:2318/06/22 14:23o desenvolvimento das habilidades EF09MA01,
EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18.
No boxe Fórum, promover uma reflexão
sobre as missões espaciais. Desse modo, busca-
-se desenvolver a capacidade de argumentação
e favorecer o desenvolvimento da competência
geral 7 e da competência específica 3 da área
de Matemática.
Na seção Por toda parte, os estudantes
são convidados a aplicar seus conhecimen-
tos de notação científica e potenciação e a
realizar aproximações. Esse estudo favorece
o desenvolvimento da competência geral 7 e
das competências específicas 3 e 8 da área de
Matemática.
Na seção Educação financeira, é discutido
o que é e qual é a importância de uma reserva
de emergência. Esse tipo de discussão favorece
o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos
Transversais Educação Financeira e Educação
para o Consumo e da competência específica
2 da área de Matemática.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
A Geometria
e a descoberta do
número irracional
Antes de iniciar este capítulo,
pode-se fazer uma retomada,
com os estudantes do conjunto
dos números naturais, do con-
junto dos números inteiros e do
conjunto dos números racionais.
Existem diversas possibilidades
para proporcionar esse momento.
Uma sugestão é propor aos estu-
dantes que elaborem uma lista,
um cartaz ou um arquivo pessoal
com exemplos de números que
fazem parte de cada conjunto
numérico citando, por exemplo,
limitações das operações com
os números em cada conjunto.
Outra possibilidade é fazer uso
da reta numérica para localizar
números naturais, números intei-
ros e números racionais.
Retomadas proporcionam um
momento para verificação dos
conhecimentos prévios dos estu-
dantes. Além da sondagem de
conhecimentos prévios, é pos-
sível fazer um planejamento de
aulas mais assertivo para a rea-
lidade de cada turma.
As explorações propostas neste
capítulo auxiliam os estudantes a
identificar um número irracional
e a reconhecer que todo número
cuja representação decimal é
infinita e não periódica é um
número irracional. Esse estudo
favorece o desenvolvimento da
habilidade EF09MA02.
AMPLIANDO
Propor aos estudantes que formem duplas e utilizem
papel quadriculado para representar triângulos retângu-
los isósceles, cujos lados de mesma medida coincidem
com lados dos quadrados das malhas, como os apre-
sentados no Livro do estudante, na malha pontilhada.
Depois, solicitar a eles que construam os quadrados com
um dos lados comum a cada lado do triângulo isósceles
obtido e observem o que ocorre com as áreas, compa-
rando o valor numérico da área do quadrado construído
sobre o maior lado com a soma dos valores numéricos
das áreas dos quadrados construídos com um lado co-
mum a cada um dos lados menores, que, nesse caso, têm
a mesma medida. Ao realizar essa atividade investiga-
tiva, espera-se que os estudantes observem a relação
de igualdade existente nessa comparação, como é
sistematizado na página 15 do Livro do estudante.
A GEOMETRIA E A DESCOBERTA
DO NÚMERO IRRACIONAL
CAPÍTULO
1
Observe, a seguir, a malha pontilhada em que representamos um triân-
gulo retângulo isósceles (colorido de verde) e construímos representações
de quadrados (coloridos de amarelo) com um dos lados comum a cada lado
desse triângulo.
Considerando o quadrado vermelho como unidade de área, vamos deter-
minar o número que expressa a área de cada quadrado amarelo.
• Área do quadrado que tem um dos lados comum ao lado maior do triângulo:
2 unidades de área.
• Área de cada quadrado que tem um dos lados comum a um dos lados
menores do triângulo: 1 unidade de área.
Com esses números, podemos escrever a igualdade:
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum ao maior
lado do triângulo.
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum a um
dos lados menores do triângulo.
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum ao outro
lado menor do triângulo.
2 = 1 + 1
Em uma malha pontilhada como a anterior, vamos observar outro triângulo
retângulo isósceles (colorido de roxo) e os quadrados (coloridos de azul) com um dos
lados comum a cada lado desse triângulo.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Se considerar oportuno, solici-
tar aos estudantes que, em uma
malha quadriculada, façam
triângulos retângulos quaisquer,
sempre com cada um dos lados
menores em comum com lados de
quadrados da malha. Eles podem
fazer essa exploração em duplas e
consultar as páginas do Livro do
estudante sempre que sentirem
necessidade. Explorações desse
tipo podem contribuir para que
compreendam a relação estudada
entre o quadrado da medida de
cada lado de um triângulo.
Após as explorações e a for-
malização da relação, verificar se
ficou claro para eles que a relação
apresentada é válida para qualquer
triângulo retângulo, mesmo que
não seja um triângulo isósceles.
Considerando ainda o quadrado vermelho como unidade de área, vamos determinar o
número que expressa a área de cada quadrado azul.
• Área do quadrado que tem um dos lados comum ao lado maior do triângulo: 8 uni-
dades de área.
• Área de cada quadrado que tem um dos lados comum a um dos lados menores do
triângulo: 4 unidades de área.
Com esses números, podemos escrever a igualdade:
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum ao maior
lado do triângulo.
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum a um
dos lados menores do triângulo.
Valor numérico da área do quadrado,
que tem um dos lados comum ao outro
lado menor do triângulo.
8 = 4 + 4
Esse fato vai se repetir sempre que considerarmos um triângulo retângulo isósceles,
e, também, para um triângulo retângulo qualquer. Essa propriedade será demonstrada na
Unidade 7.
Dado um triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado que tem um dos
lados comum ao maior lado desse triângulo é igual à soma das áreas dos quadrados,
que têm um dos lados comum a cada um dos outros dois lados desse triângulo.
Acompanhe a seguinte situação.
A figura a seguir representa um triângulo retângulo isósceles cujo maior
lado mede x, e cada lado congruente mede 1 unidade de comprimento.
Qual é o valor numérico da medida x?
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1
x
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Solicitar aos estudantes que
utilizem a malha quadriculada
da atividade da página 15 para
determinar a expressão que indica
a medida da diagonal de um qua-
drado. Comentar que a relação
estudada na página anterior pode
ser utilizada, uma vez que a dia-
gonal do quadrado divide a figura
em dois triângulos isósceles.
Antes de iniciar a estratégia
sugerida para localizar o número
irracional
2 em uma reta numé-
rica por meio da construção do
triângulo retângulo isósceles
de lado 1 u.c., é possível fazer
algumas explorações com a reta
numérica. Por exemplo, repre-
sentar uma reta numérica na
lousa, localizar o número zero e
alguns números naturais; depois,
podem localizar alguns números
inteiros negativos. Perguntar que
números ainda podem ser loca-
lizados. Nesse caso, espera-se
que os estudantes se lembrem
dos números racionais na forma
de fração e na forma decimal.
Após a localização de alguns
números racionais, comentar com
eles que é impossível representar
todos os números racionais em
uma reta numérica, pois entre
dois números racionais existem
infinitos outros números racio-
nais. Além disso, mesmo que
fosse possível representar todos
os números racionais, haveria
pontos nessa reta sem números
racionais a eles associados. Esses
pontos são os pontos correspon-
dentes aos números irracionais.
Esse estudo favorece o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA01
e EF09MA02.
AMPLIANDO
Caso seja possível, pode-se propor uma pesquisa sobre
Pitágoras, quem foram os pitagóricos e o estudo dos núme-
ros irracionais ao longo da história. A seguir, há um trecho
de um texto sobre a descoberta dos números irracionais.
[…] Deve ter sido um choque descobrir
que há pontos na reta que não correspon-
dem a nenhum número racional. Essa
descoberta foi uma das grandes reali-
zações dos pitagóricos. Em particular os
pitagóricos provaram que não há nenhum
número racional ao qual corresponda o
ponto P da reta no caso em que OP é igual à
diagonal de um quadrado cujos lados me-
dem uma unidade (ver Figura 14). Novos
números tiveram de ser inventados para
serem associados a esses pontos; e não
sendo racionais, vieram a se chamar nú-
meros irracionais (o que significa números
não racionais). A descoberta desses nú-
meros assinala um dos grandes marcos
da história da matemática.
Aplicando a propriedade estudada, temos a seguinte figura:
Pela figura, obtemos:
Valor numérico da área do quadrado, que
tem um dos lados comum ao maior lado do
triângulo.
Soma dos valores numéricos das áreas dos
quadrados, que têm um dos lados comum a
cada um dos outros dois lados do triângulo.
x
2
= 1
2
+ 1
2
x
2
= 1 + 1
x
2
= 2 ou x ? x = 2
Como x é a medida do maior lado, x . 0. Então, o valor numérico de x, que verifica essa
equação, é a raiz quadrada do número 2, ou seja,
2.
A seguir, vamos observar como localizar o número irracional
2 em uma reta numérica, por
meio da construção de um triângulo retângulo isósceles. Acompanhe.
Vamos construir um triângulo retângulo isósceles cujos lados menores medem 1 unidade,
com um dos catetos localizado sobre a reta numérica.
Já estudamos que o maior lado desse triângulo mede
2 unidade. O ponto correspondente
a esse valor na reta numérica pode ser encontrado ao colocar a ponta-seca do compasso em
0 e tomar como raio a medida da hipotenusa. O ponto em que a ponta de grafite cruza a reta
numérica corresponde a
2.
1
1
1
1
xx
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE01 2
12
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Nessas páginas, apresenta-
-se o teorema de Pitágoras de
maneira informal, pois o conteú-
do será explorado na Unidade 7
deste volume. Neste momento, é
importante que os estudantes com-
preendam que a área do quadrado
que tem um dos lados comum ao
maior lado do triângulo é igual à
soma das áreas dos quadrados
que têm um dos lados comum a
cada um dos outros lados do tri-
ângulo. Essa relação é chamada de
teorema de Pitágoras, e pode-se
indicá-la da seguinte maneira: a
2
=
= b
2
+ c
2
. Essa relação auxilia na
localização de alguns números
irracionais na reta numérica, à
qual atentaremos neste momento.
Desse modo, propicia-se o
desenvolvimento das habilida-
des EF09MA01 e EF09MA02.
números tiveram de ser inventados para
serem associados a esses pontos; e não
sendo racionais, vieram a se chamar nú-
meros irracionais (o que significa números
não racionais). A descoberta desses nú-
meros assinala um dos grandes marcos
da história da matemática.
O I
Figura 14
P
EVES, Howard. Introdução à história da mate-
mática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues.
5. ed. Campinas: Editora Unicamp. 2011. p. 105.
EDITORIA DE ARTE
Analisando essas construções geométricas, é possível perceber que os números irracionais
2 e 3 estão entre os números 1 e 2 na reta numérica.
Os números 2 e 3 não são quadrados perfeitos, ou seja, não são quadrados de um número
natural. Então, vamos calcular um valor aproximado para
2 e 3.

1 O número 2 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 1
2
e 4 = 2
2
. Então, fazemos
tentativas.
(1,1)
2
= 1,21 e 1,21 , 2
(1,2)
2
= 1,44 e 1,44 , 2
(1,3)
2
= 1,69 e 1,69 , 2
(1,4)
2
= 1,96 e 1,96 , 2
(1,5)
2
= 2,25 e 2,25 . 2
Observamos, portanto, que
2 está entre 1,4 e 1,5. Continuando o cálculo, temos:
(1,41)
2
= 1,9881 e 1,9881 , 2
(1,42)
2
= 2,0164 e 2,0164 . 2
Então,
2 está entre 1,41 e 1,42. Prosseguindo com o cálculo, temos:
(1, 411)
2
= 1,990921 e 1,990921 , 2
(1,412)
2
= 1,993744 e 1,993744 , 2
(1,413)
2
= 1,996569 e 1,996569 , 2
(1,414)
2
= 1,999396 e 1,999396 , 2
(1,415)
2
= 2,002225 e 2,002225 . 2
Desse modo, verificamos que
2 está entre 1,414 e 1,415. Então, podemos considerar 1,414
um valor aproximado para
2.
EDITORIA DE ARTE
Podemos fazer uma construção similar para localizar o número irracional
3 na reta numérica.
A partir da figura anterior, vamos construir um triângulo retângulo cujos lados menores
medem 1 e
2. Pela propriedade apresentada, podemos verificar que a medida do maior lado
desse triângulo é
3.
()=+
=+
=
=
x1
2
x1 2
x3
x3
22 2
2
2
2
3
01 2
13
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ao realizar os cálculos para
encontrar o valor aproximado de
2 e de 3, verificar se os estu-
dantes têm alguma dúvida sobre
o processo realizado e se com-
preenderam que esses números
são irracionais e, por esse motivo,
é possível calcular um valor apro-
ximado para cada um deles.
A seguir, há um trecho de um
texto que, se possível ou se julgar
oportuno, pode ser compartilhado
com os estudantes, favorecendo
com maior ênfase o desenvolvi-
mento da competência específica 1
da área de Matemática quanto à
valorização da construção histórica
dos conhecimentos matemáticos.
[…]
Desde o século VI a.C., os
matemáticos gregos, a come-
çar por um certo Pitágoras, já
tinham descoberto que a dia-
gonal de um quadrado “não
tem medida comum” com o
seu lado. [...] Foi a descober-
ta do que hoje denominamos
‘‘números irracionais’’, os que
não são nem inteiros nem
frações.
[...]
A categoria dos números
irracionais ficou ainda pou-
co precisa durante séculos
por causa das notações im-
perfeitas de outrora, que não
permitiam a representação
destes números de um modo
coerente [...].
Beneficiados por uma no-
tação numérica muito eficaz
e por uma ciência cada vez
mais avançada, os matemá-
ticos europeus dos tempos
modernos conseguiram ter
sucesso [...]. Eles descobriram
que estes números eram identifi-
cáveis a números decimais sem
fim, cujos algarismos após a vír-
gula nunca se reproduzem na
mesma ordem.
Fonte: SOUZA, Eronildo de Jesus.
Sobre a história dos números.
Instituto Federal da Bahia.
[Salvador], [20--?]. Disponível
em: http://www.ifba.edu.br/dca/
Corpo_Docente/MAT/EJS/SOBRE_
A_HISTORIA_DOS_NUMEROS.
pdf. Acesso em: 27 jun. 2022.
Atividades
A atividade 1 trabalha o cálculo e a localiza-
ção de
8 na reta numérica, utilizando como base
a diagonal de um quadrado de lado 2. Lembrar
aos estudantes que, para qualquer quadrado, a
medida da diagonal pode ser calculada usando a
relação que envolve os lados do triângulo retân-
gulo. Nessa seção Atividades, prossegue-se
o desenvolvimento da habilidade EF09MA02.
Responda às questões no caderno.
ATIVIDADES

2 O número 3 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 1
2

e 4 = 2
2
.
Para calcular um valor aproximado de
3, podemos fazer tentativas.
•(1,1)
2
= 1,21
•(1,2)
2
= 1,44
•(1,3)
2
= 1,69
•(1,4)
2
= 1,96
•(1,5)
2
= 2,25
•(1,6)
2
= 2,56
•(1,7)
2
= 2,89
•(1,8)
2
= 3,24
Desse modo, verificamos que
3 está entre 1,7 e 1,8.
Vamos continuar o cálculo:
•(1,71)
2
= 2,9241
•(1,72)
2
= 2,9584
•(1,73)
2
= 2,9929
•(1,74)
2
= 3,0276
Verificamos que
3 está entre 1,73 e 1,74.
Prosseguindo com o cálculo, temos:
•(1,731)
2
= 2,996361
•(1,732)
2
= 2,999824
•(1,733)
2
= 3,003289
Pelos últimos cálculos, verificamos que
3 está entre 1,732 e 1,733.
Então, podemos considerar que um valor aproximado para
3 é 1,732.
Os números
2
e
3 são números
irracionais, ou seja,
têm representação
decimal infinita e
não periódica. Por
isso, é possível
calcular apenas um
valor aproximado
para esses números.
SAIBA QUE
2
0
123
EDITORIA DE ARTE
a)Calcule a medida da diagonal desse quadrado.
b)Colocando a ponta-seca do compasso em 0 e
considerando a medida da diagonal como raio,
localize, na reta numérica, o número
8.
c)Determine o valor aproximado desse número
irracional, com duas casas decimais.
1. b) Resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
2,83
8
1.Ob<> serve a representação do quadrado da imagem.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 2, acompanhar os
estudantes na construção da figura
solicitada. Se apresentarem dificul-
dade de executar essa construção,
pedir-lhes que retomem as cons-
truções realizadas nas páginas 16
e 17 do Livro do estudante.
As atividades 3 e 4 envolvem
o cálculo do valor aproximado de
um número irracional. Verificar se
os estudantes conseguem aplicar a
técnica apresentada nesta Unidade
e pedir-lhes que comparem os resul-
tados obtidos com o de alguns
colegas e observem se as aproxi-
mações foram semelhantes.
Um número irracional
importante: o número p (pi)
Neste momento, caso tenha
interesse, é possível realizar uma
atividade experimental com os
estudantes. Pode-se solicitar-lhes
que levem para a sala de aula
objetos circulares para os quais
seja possível obter a medida do
comprimento da circunferência e
a medida do diâmetro utilizando
uma fita métrica.
Depois, com o auxílio de uma
calculadora, devem dividir a medida
do comprimento pela medida do
diâmetro e comparar os valores
obtidos. É importante que eles
atentem para o fato de que as
medidas devem ser consideradas
na mesma unidade de medida.
Espera-se que os estudantes perce-
bam que o valor obtido é sempre
próximo de p.
Além de compreender que o
número p é obtido pela razão do
comprimento de uma circunferên-
cia pela medida do diâmetro dela,
é importante que os estudantes
compreendam que esse é um
número irracional de muita impor-
tância histórica, utilizado, também,
em aplicações no cotidiano.
Depois da leitura conjunta do
texto sobre o número p, é possí-
vel promover uma conversa sobre
os temas tratados no texto e, se
julgar oportuno, propor uma pes-
quisa sobre outras aplicações desse
número em situações do dia a dia.
2. Considere um triângulo retângulo cujos lados menores medem 2 cm e 1 cm.
a) Calcule a medida do maior lado desse triângulo.
b) Em uma folha de papel quadriculado, construa uma representação do triângulo anterior. O
lado de 2 cm deve estar sobre uma reta numérica, com origem no zero e escala crescente
de uma em uma unidade. Colocando a ponta-seca do compasso na origem e considerando
como raio a medida do maior lado do triângulo, localize, na reta numérica, o número
5.
3. Sabemos que
5 está entre 2 e 3. Determine o valor aproximado desse número irracio-
nal, com duas casas decimais.
4. Qual deve ser o valor do número x, não negativo, para que se tenha x
2
= 7? Determine
o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais. Justifique sua
resposta e compare-a com a dos colegas.
2,23
Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
UM NÚMERO IRRACIONAL IMPORTANTE: O NÚMERO p (PI)
Sabemos que, ao dividir a medida do comprimento de uma circunferência pela medida do
diâmetro dela (na mesma unidade de medida), obtemos sempre o mesmo valor. Esse valor é o
número p. Vamos relembrar esse fato com o exemplo a seguir.
• Se medirmos o contorno deste anel, encontraremos, aproxima-
damente, 52 mm de comprimento da circunferência externa
representada e 16,55 mm de diâmetro externo.
No exemplo, o número 3,1419 é um número que se aproxima do número p.
O número p é um número irracional, pois tem representação decimal infinita e não periódica,
3,14159265... Por ser um número irracional, nas aplicações, utilizamos uma aproximação do valor
de p, em geral 3,14.
Como verificamos na abertura desta Unidade, o número p é muito importante na Matemática
e cujas aproximações foram exploradas por muitos matemáticos e cientistas ao longo da História.
Leia o trecho de um texto sobre o número p.
5
7; 2,64
16,55 mm
IUZVYKOVA IAROSLAVA/
SHUTTERSTOCK.COM
=1
medidadocomprimentodacircunferência
medidadodiâmetro
52mm
16,55mm
3,1419
[...]
A letra grega foi adotada como notação para este número usando-se a palavra grega
para perímetro: “peTµmetTBP”, provavelmente por William Jones em 1706 [...].
[...] o homem persegue a precisão do número desde a antiguidade, começando pelos
egípcios, [...] no Papiro de Ahmes [...].
[...]
E daí em diante, a precisão de p foi só aumentando, principalmente com o surgimento
dos computadores, passando de 3 casas decimais a 8 quadrilhões de casas decimais em
2013 pela The Santa Clara University.
[...]
Além das aplicações rotineiras em que usamos o Pi, como nas aulas de Geometria
[...], há também outros campos em que o número Pi desempenha grande importância [...]
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AMPLIANDO
Link
NÚMERO Pi, história e aplicações. Derivando a mate-
mática. Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica – Unicamp. Campinas,
[2020?]. Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/
~apmat/numero-pi/. Acesso em: 26 jun. 2022.
No link, é possível encontrar um pouco da histó-
ria do número p e algumas aplicações que envolvem
o uso desse número irracional conhecido e estuda-
do há tanto tempo.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas nessa
seção exploram situações que
envolvem a aplicação do número p
e do cálculo de medidas da circun-
ferência (comprimento, diâmetro
ou raio).
É importante que os estudan-
tes compreendam a relevância do
conhecimento acerca do número p
e de como esse conhecimento pode
ser aplicado em diversas situações,
como é o caso das atividades 2
a 5, por exemplo.
Se julgar necessário, atividades
nas quais os estudantes tiverem
mais dificuldades podem ser resol-
vidas na lousa.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Sabendo que o comprimento de uma circun-
ferência é 56,52 cm, calcule o diâmetro dela.
Para isso, considere p = 3,14.
2. Em um jardim circular, será construída uma fonte
no centro, e serão plantadas mudas de flores a
25 m dessa fonte, com espaçamento de 50 cm
entre cada uma, perfazendo toda a circunferên-
cia do jardim. Quantas mudas serão plantadas?
(Considere p = 3,14.)
Resolução das atividades
1. Para determinar o diâmetro dessa circunferên-
cia, podemos calcular:

56,52
medidadodiâmetro(D)
3,14=
D =
56,52
3,14
18=
ou
C = 2 ? p ? r = 56,52 = 2 ? 3,14 ? r h r = 9
Desse modo, D = 2 ? r h r = 2 ? 9 = 18.
Portanto, o diâmetro da circunferência é 18 cm.
2. Primeiro, calculamos o comprimento da
circunferência:
C = 2 ? p ? r h C = 2 ? 3,14 ? 25 h C = 157 m
Depois, calculamos a quantidade de mudas
que serão plantadas:
157 m ?
1muda
0,5m
= 314 mudas
Serão plantadas 314 mudas.
Responda às questões no caderno.
1. Usando o valor 3,14 para p, calcule a
medida do comprimento de uma circun-
ferência cujo raio mede:
a) 8 cm.
b) 0,45 cm.
c) 2,5 cm.
d) 7 cm.
2. Observe a medida do diâmetro externo
de um pneu de automóvel.
Considerando p = 3,14, responda às
questões.
a) Qual é, aproximadamente, o comprimento
da circunferência externa desse pneu?
b) Qual distância percorrida, em metro,
corresponde a 5 000 voltas completas
desse pneu?
50,24 cm
2,826 cm
15,7 cm
43,96 cm
1,884 m
9 420 m
3. Uma caixa de presente com tampa circu-
lar tem 22 cm de diâmetro. Necessita-se
de um pedaço de fita que envolva, exa-
tamente, todo o contorno dessa tampa.
Qual é, aproximadamente, o compri-
mento do pedaço de fita necessário?
4. Uma pista circular tem 200 m de diâme-
tro. Em uma competição nessa pista, os
corredores percorreram 15,7 km. Quantas
voltas foram dadas nessa pista por esses
corredores? (Considere p = 3,14.)
5. Em um jardim circular, será construída
uma fonte no centro, e serão plantadas
mudas de flores a 25 m dessa fonte,
com espaçamento de 50 cm entre cada
uma, perfazendo toda a circunferência
do jardim. Quantas mudas serão plan-
tadas? (Considere p = 3,14.)
25 voltas.
314 mudas.
ATIVIDADES
[...] sobre o número Pi, Chris Budd em entrevista à BBC afirma que “É possível
usar pi para descrever a geometria do mundo” [...] e esta frase pode ser entendida
em seu sentido literal.
O caso é que, segundo Budd, a importância em calcular Pi com bastante precisão
implica [...]o funcionamento de tecnologias modernas como o GPS.
E para além dos GPS’s de carros e celulares, quando os aviões voam grandes distân-
cias, o que estão fazendo, na realidade, é recorrer ao arco de um círculo. Neste caso, a rota
deve ser calculada, utilizando-se Pi, para medir com precisão o volume de combustível
necessário.
O número Pi aparece também em cálculos de navegação fora da Terra. A Nasa, por
exemplo, utiliza 16 dígitos (3,1415926535897932) para conseguir a precisão desejada ao seu
“GPS espacial”, segundo um artigo publicado na revista Scientific American.
NÚMERO Pi: história e aplicações. Derivando a Matemática – Unicamp. Campinas, [2020?].
Disponível em: http://www.ime.unicamp.br/~apmat/numero-pi/. Acesso em: 26 maio 2022.
Aproximadamente 69,08 cm (considerando
p = 3,14).
0,60 m
RYAN MCVAY/PHOTODISC/GETTY IMAGES
YURIY GOLUB/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Os números reais
Nesta aula, pode-se desenhar
na lousa o diagrama que repre-
senta a relação de inclusão dos
conjuntos numéricos já estuda-
dos. Orientar os estudantes a
reproduzi-lo no caderno, explorar
com eles o significado desse dia-
grama e pedir-lhes que relatem o
que interpretam nessa apresen-
tação dos conjuntos numéricos.
Eles podem verificar a relação
de inclusão entre esses conjun-
tos e perceber que não há um
número irracional que também
seja racional, simultaneamente.
Além disso, podem observar que,
reunindo-se todos os números
racionais aos números irracionais,
se obtém o conjunto dos números
reais. Enfatizar a relação entre
os conjuntos e a necessidade do
surgimento dos diferentes tipos
de número ao longo da história
da Matemática.
AMPLIANDO
Vídeo
ADOLFO, Gustavo. Aproximação de números reais.
Portal da OBMEP. [Rio de Janeiro], 2017. Dispo-
nível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/
modulo/ver?modulo=87. Acesso em: 27 jun. 2022.
É possível utilizar esse material como recur-
so tanto para ampliar quanto para sistematizar
o estudo sobre o conjunto dos números reais.
No mesmo site, há outros vídeos disponíveis
sobre os conjuntos numéricos estudados. Se julgar
oportuno, a turma pode ser organizada em gru-
pos de modo que cada grupo assista a um vídeo
sobre um dos conjuntos numéricos estudados e
faça algumas produções com representação des-
ses conjuntos numéricos. Depois, os estudantes
podem conversar e fazer uma troca sobre o es-
tudo dos conjuntos numéricos, favorecendo,
assim, uma apropriação dos conceitos envolvi-
dos, a empatia, a colaboração e o respeito
com os colegas.
OS NÚMEROS REAIS
CAPÍTULO
2
Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os
números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por r.
Exemplos de números reais:
2 [ r _
1
6
[ r _0,48 [ r
_5 [ r p [ r
10 [ r
3
4
[ r 1,25 [ r 1,666… [ r
2,030030003… [ r _
3 [ r _2,1333… [ r
Os conjuntos numéricos n, z e q são subconjuntos de r, pois todos os elemen-
tos de cada um deles pertencem também a r.
Além desses, outros subconjuntos de r são muito utilizados:
r*
conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)
r
+

conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou
iguais a 0)
r
_

conjunto dos números reais não positivos (números reais menores
ou iguais a 0)
r*
+

conjunto dos números reais positivos (números reais maiores do que 0)
r*
_

conjunto dos números reais negativos (números reais menores do que 0)
Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e
todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números
reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um
número irracional.
Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números
na reta.
_2
_3 _2 _1 102 34
_
1
4
_
8
3
1
4
8
3
2
EDITORIA DE ARTE
21
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Explorar com os estudantes
exemplos de diferentes operações
com números reais. Aproveitar
para revisar operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão,
enfatizando as limitações operacio-
nais de cada conjunto numérico.
Avaliar também o resultado
de raízes com índice ímpar de
números negativos, tal como
_8
3
= _2, cujo resultado é um
número real, uma vez que existe
um número (_2) que, elevado
ao cubo, resulta em _8.
Atividades
As questões apresentadas nessa
seção têm como principal obje-
tivo levar os estudantes a aplicar
os conhecimentos adquiridos
acerca do conjunto dos números
reais. Desse modo, pretende-se
favorecer o desenvolvimento da
habilidade EF09MA03.
Ampliar a atividade 1 com ques-
tionamentos como os seguintes.
• Que números pertencem ao
conjunto dos números reais, mas
não pertencem ao conjunto dos
números racionais? Resposta:
Os números irracionais.
• Que números pertencem ao
conjunto dos números inteiros
não negativos, mas não perten-
cem ao conjunto dos números
inteiros positivos? Resposta:
Apenas o zero.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
Já estudamos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n,
z e q. Por exemplo:
• no conjunto n, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz
quadrada e encontrar um número natural;
• no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e
encontrar um número inteiro;
• no conjunto q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número
racional.
Entretanto, no conjunto dos números reais, podemos efetuar qualquer adição, subtração,
multiplicação ou divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extrair a raiz
quadrada de qualquer número real positivo e obter um número real.
Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não
representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, resulte um
número real negativo. Então, por exemplo,
_4 { r. Analise algumas situações que envolvem
operações com números reais.

1 Calcular, com aproximação até a segunda casa decimal, o produto 53?.
Como
131,73, então,
?1 ?h ?153 51,735 38,65
O valor procurado é 8,65.

2 Calcular
5
4
.
5 5555 62525
4
= ??? ==
Logo, o valor procurado é 25.

3 Com valores aproximados até a segunda casa decimal, determinar 14 2+.1143,74 e
121,41

14 23,741,41+1 + ; então, 14 25,15+1
Então, o valor procurado é 5,15.
Responda às questões no caderno.
1. Observe os números a seguir.
_3; _
3
2
; _1,4; 0,3333...; 7;
51
Quais deles pertencem ao conjunto:
a) n? 7
b) z? _3 e 7
c) z, mas não pertencem a n?
d) q, mas não pertencem a z?
_3
3
2
_; _1,4;
0,3333...
2. Localize
7 e
27
10
na reta numérica.
Qual desses números é maior?
3. Analise cada uma das sentenças a
seguir e indique se são verdadeiras (V)
ou falsas (F).
a) 100 [ r
+
V
b) 100 { r
_
V
c)
−16 [ r F
d) _π { r
_
FATIVIDADES
Resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Potências
O objetivo aqui é retomar o
conceito de potência. Para isso,
solicitar aos estudantes que façam
a leitura individual da tirinha e
do texto a respeito de bacté-
rias apresentados no Livro do
estudante.
Perguntar que informações sobre
as bactérias eles podem extrair dos
textos lidos. Se possível, anotar na
lousa as respostas mais relevantes
dadas por eles.
Aproveitar o momento para veri-
ficar os conhecimentos prévios da
turma sobre o conteúdo e explo-
rar dúvidas e possíveis retomadas
que julgar necessário fazer.
As bactérias apresentam dois tipos principais de reprodução: assexuada e sexuada.
A reprodução assexuada acontece com uma única bactéria e sem a troca de
material genético. Essa é a maneira mais rápida de as bactérias se reproduzirem.
Na reprodução assexuada, a célula bacteriana divide-se em duas partes, e cada
uma dessas partes será uma nova bactéria, idêntica à primeira. A cada período, a
quantidade de bactérias dobra; com isso, em poucas horas, uma única bactéria dá
origem a diversas outras.
POTÊNCIAS
CAPÍTULO
3
Leia a tirinha e, depois, observe as informações sobre bactérias.
© FERNANDO GONSALES/ACERVO DO CARTUNISTA
GONSALES, Fernando. Vá Pentear Macacos! São Paulo: Devir, 2004.
Como todos os descen-
dentes são iguais, se o ambiente mudar e tornar-se mortal para a primeira bactéria, todas as outras também morrerão, o que é uma desvantagem nesse tipo de reprodução.
Nem todas as bactérias são causadoras de doenças; muitas delas são encontradas
em queijos, leites, iogurtes e outros alimentos fermentados. Quando administradas em quantidades adequadas, essas bactérias são benéficas à saúde. A esses organismos dá-se o nome de probióticos, termo derivado do grego, que significa “pró-vida”.
SELMA CAPARROZ
Elaborada com base em: RAVEN, Peter Hamilton
et al. Biologia vegetal. 5. ed. Rio de Janeiro:
Guanabara Koogan, 2001. p. 176.fi

??
IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.
SCIMAT/SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Pense e responda
Essa atividade tem como obje-
tivo levar os estudantes a associar
o crescimento da quantidade de
bactérias em uma reprodução
assexuada a uma sequência de
potências de base 2, ou seja, 2,
4, 8, 16, …
É interessante que eles resol-
vam as atividades dessa seção em
duplas, facilitando, assim, a troca
de conhecimentos e de ideias.
AMPLIANDO
Vídeo
MARCELL, Cristiano. Potenciação – Parte 1: definição e
aplicações. Portal da OBMEP. [Rio de Janeiro], [2013].
Disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.php/
modulo/ver?modulo=12#. Acesso em: 27 jun. 2022.
O vídeo apresenta o conceito de potenciação e mos-
tra algumas aplicações desse conceito.
É possível utilizar esse material como recurso pa-
ra fazer uma retomada sobre o conceito de potência.
Antes de dar continuidade ao conteúdo, é importante
verificar se os estudantes têm alguma dúvida e saná-la.
1. A partir das informações apresentadas sobre a reprodução das bactérias, construa,
no caderno, um quadro com os seis primeiros intervalos de tempo e complete-o
com a quantidade de bactérias existentes após cada um desses intervalos.
Quantidade de intervalos de tempo
transcorrido
Quantidade de bactérias
existentes
0 1
1
2
3
;
2. Observe o quadro e responda.
a) Qual será a quantidade de bactérias existente após os seis primeiros intervalos de tempo
transcorrido?
b) E depois de 10 intervalos de tempo, qual será a quantidade de bactérias existente?
c) Que expressão se pode usar para representar a quantidade de bactérias existente após
n intervalos de tempo transcorrido?
64
1 024
2
n
PENSE E RESPONDA
Assim:
• 3
4
= 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81
• (_2)
5
= (_2) ? (_2) ? (_2) ? (_2) ? (_2) = 232
•























_= _?_?_=_
1
6
1
216
1
6
1
6
1
6
3
• (21,4)
2
= (_1,4) ? (_1,4) = +1,96
• 10
1
= 10
•
3
5
3
5
1





=
Na potência a
n
:
o número real a chama-se base;
o número natural n chama-se expoente.
Observação:
Considere as potências _2
2
e (_2)
2
.
Pela definição, temos: _2
2
= _(2 ? 2) = _4 e (_2)
2
= (_2) ? (_2) = +4
Logo, _2
2
5 (_2)
2
.
4 vezes5 vezes2 vezesuma vez3 vezesuma vez
2; 4; 8; 16; 32; 64
Responda às questões no caderno.
A expressão obtida na seção Pense e responda é chamada de potência, e podemos defini-la
do seguinte modo:
Para n = 1,
define-se a
1
= a.
Para a 5 0 e n = 0,
define-se a
0
= 1.
SAIBA QUE
Dado um número real a e um número natural n, n . 1, a expressão a
n
, denominada potên-
cia, representa um produto de n fatores iguais ao número real a.
a
n
= a ? a ? a ? a ? … ? a
n fatores
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propriedades das potências
com expoentes naturais
O estudo das propriedades
das potências com expoentes
naturais favorece o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA03.
Incentivar os estudantes a fazer
um fichamento separando cada
uma das propriedades das potências
com expoentes naturais, seguidas
de um exemplo.
O processo de fichamento dessas
informações auxilia na fixação das
propriedades, além de ser uma
ferramenta rápida de consulta,
e ajudará a turma no estudo das
potências e nos cálculos com
radicais.
A seguir, alguns exemplos
numéricos que podem com-
plementar o estudo da 1
a
e da
2
a
propriedade.
• 8
2
? 8
4
= 8
2 + 4
= 8
6
• 2
8
? 2
12
= 2
8 + 12
= 2
20
• 15
8
: 15
3
= 15
8 _ 3
= 15
5
• p
2
: p
3
= p
2 _ 3
= p
_1
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS COM
EXPOENTES NATURAIS
As potências apresentam propriedades que auxiliam nos cálculos. Para estudá-las, vamos
considerar dois números reais a e b, não nulos, e dois números naturais m e n.
1
a
propriedade
Observe a multiplicação com potências de mesma base.
7
2
? 7
3
= (7 ? 7) ? (7 ? 7 ? 7) = 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 = 7
5
Então, 7
2
? 7
3
= 7
5
. Como 5 = 2 + 3, temos 7
2
? 7
3
= 7
2 + 3
= 7
5
.
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicação com potências de mesma
base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade:
a
m
? a
n
= a
m + n
Assim:
• (0,6)
4
? (0,6)
7
= (0,6)
4 + 7
= (0,6)
11
• ?? ==
++






























1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
59 51 91 5
2
a
propriedade
Observe a divisão com potências de mesma base.
7
5
 7
3

7
7
5
3

????
??
77777
777
 7  7  7
2
Então, 7
5
: 7
3
= 7
2
. Como 2 = 5 _ 3, temos 7
5
: 7
3
= 7
5 _ 3
= 7
2
.
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma divisão com potências de mesma base,
isso nos permite escrever a seguinte propriedade:
a
m
: a
n
= a
m _ n
(a 5 0)
Assim:
• (1,5)
10
: (1,5)
4
= (1,5)
10 _ 4
= (1,5)
6
• := =
_
2
3
2
3
2
3
2
3
99 18
























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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O trabalho relacionado com
as propriedades das potências
requer atenção especial, pois é um
tema de grande importância por
relacionar outros assuntos mate-
máticos e ter ampla aplicação em
outras áreas do conhecimento
(por exemplo, em cálculos de
Física). Além disso, a apresenta-
ção cuidadosa das propriedades
da potenciação visa minimizar
erros e não prejudicar as próximas
etapas do processo de aprendi-
zagem dos estudantes. Por esse
motivo, cada propriedade deve
ser trabalhada detalhadamente,
destacando-se características,
exemplos e contraexemplos
quando necessário. Verificar
dúvidas em cada propriedade,
respeitando o tempo de apren-
dizagem de cada estudante.
3
a
propriedade
Observe a potenciação cuja base é uma potência.
(7
5
)
2
= 7
5
? 7
5
= 7
5 + 5
= 7
10
Então, (7
5
)
2
= 7
10
. Como 10 = 5 ? 2, temos (7
5
)
2
 7
5 ? 2
 7
10
Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potência de outra potência, isso nos
permite escrever a seguinte propriedade:
=
?
(a)a
m
n
mn
Assim:
• (7
2
)
3
 7
2 ? 3
 7
6
• [(0,5)
4
]
3
 (0,5)
4 ? 3
 (0,5)
12
• 
??
1
4
1
4
1
4
2
5
2
2522 0
































4
a
propriedade
Observe as potenciações cuja base é um produto ou um quociente.
• (3 ? 5)
2
 (3 ? 5) ? (3 ? 5)  3 ? 5 ? 3 ? 5  3 ? 3 ? 5 ? 5  3
2
? 5
2
•












:= =? =
?
?
== :(27)
2
7
2
7
2
7
22
77
2
7
27
2
2 2
2
22
Como esses fatos sempre ocorrem quando temos a potência de uma multiplicação ou de
uma divisão, podemos escrever a seguinte propriedade:
(a ? b)
n
= a
n
? b
n
e (a : b)
n
= a
n
: b
n
(b 5 0)
Assim:
• (2
2
? 3 ? 5
3
)
2
 (2
2
)
2
? 3
2
? (5
3
)
2
ou 2
4
? 3
2
? 5
6
• (5 : 11)
4
= 5
4
: 11
4
Expoente zero
Vamos calcular o quociente de 2
5
: 2
5
.
• Aplicando a definição de potência, temos 2
5
: 2
5
= 3
2
: 3
2
= 1.
• Aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base, temos
2
5
: 2
5
= 2
5 _ 5
= 2
0
.
Comparando os dois resultados, podemos escrever que 2
0
= 1, o que ocorre com qualquer
número real não nulo.
De modo geral:
Para todo número real a, com a 5 0, temos a
0
= 1.
Essa 4
a
propriedade
não é válida para a
adição ou subtração,
pois (a + b)
2
5 a
2
+ b
2
.
SAIBA QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Essas atividades levam os
estudantes a rever conceitos
da potenciação com expoente
natural diferente de zero e base
real não nula e aplicá-los para rea-
lizar cálculos, determinar valores
de expressões numéricas e resol-
ver problemas que envolvem
potências, favorecendo, assim,
o desenvolvimento da habilidade
EF09MA03.
As quatro últimas atividades
propostas têm como objetivo levar
os estudantes a rever e aplicar
as propriedades da potenciação
com expoente natural diferente
de zero e base real não nula e a
rever e aplicar a particularidade
do expoente zero.
Na atividade 6, explorar a ideia
de raiz de uma equação, pois ela
será retomada na Unidade 3, no
estudo das equações do 2
o
grau.
Acompanhar as possíveis dúvidas
e as trocas dos estudantes ao reali-
zarem a atividade 11, em especial
o item b, no qual eles devem ela-
borar um problema envolvendo
o cálculo de potências.
Responda às questões no caderno.
1. Aplicando a definição de potência,
calcule o valor de:
a) 8
2
64
b) (_13)
2
+169
c) (_7)
3
_343
d) (_0,9)
1
_0,9
e) 5
3
125
f) (_3,2)
2
+10,24
g) _15
2
_225
h)






2
3
5
_
i) (_3)
4
+81
2. Considere o número N = (6
5
+ 1) e res-
ponda às questões.
a) Qual é o valor de N? 7 777
b) Quantos algarismos formam o número N?
c) Qual é a soma dos valores absolutos dos
algarismos que formam o número N? 28
3. Calcule o valor numérico da expressão
a seguir.
(_2)
3
+ (_3)
2
_ (_1)
2
_ (_2)
5
4. Determine o número real que repre-
senta o valor da seguinte expressão.
(_2)
4
_ (0,5)
2
: (+0,1)
3
_ (_5)
3
5. Sabendo que x = (_2)
4
: 4
2
_ 4
2
: (_2)
3

e y = [(_1)
3
_ (_1)
5
? (_1)
4
] + (_1)
7
, qual
é o valor da expressão x ? y? _3
6. Verifique se o número real (_1,5) é raiz
da equação 2x
2
_ 5,5x + 3 = 0. Não é raiz.
7. Compare as potências, utilizando o sinal
= ou 5.
a) (_10)
2
e _10
2
b) (_3)
3
e _3
3
=
c) (_2)
6
e _(+2)
6
d) _(_7)
3
e 7
3

=
8. Sabendo que x = (5
2
)
3
? (5
3
: 5
2
)
4
e
y = (5
9
)
2
: (5
4
? 5
2
)
2
, qual é a potência
de 5 que representa o valor de x : y? 5
4
9. Calcule o valor de:
a) 10
0
b) _10
0
_1
c) (_10)
0
+1
d) _(_10)
0
_1
32
243
_
4 algarismos
iguais.
+32
_109
5 5
+1
10. (Enem/MEC) Um dos grandes problemas
da poluição dos mananciais (rios, córregos
e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo
utilizado em frituras nos encanamentos
que estão interligados com o sistema de
esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de
óleo poderão contaminar 10 milhões (10
7
)
de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das
revistas Veja (ed. 2055), Cláudia
(ed. 555), National Geographic (ed. 93) e
Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma
cidade descartem os óleos de frituras
através dos encanamentos e consumam
1 000 litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de
água potável contaminada por semana
nessa cidade? Alternativa e.
a) 10
_2
b) 10
3
c) 10
4
d) 10
6
e) 10
9
11. Um campeonato de tênis de mesa é dis-
putado por 20 duplas, que jogam entre
si em turno (jogo de ida) e returno
(jogo de volta). A quantidade total de
jogos nesse tipo de campeonato é dada
pela expressão algébrica x
2
_ x, em que
x representa a quantidade de duplas.
a) Quantos jogos tem esse campeonato?
b) Elabore um problema envolvendo o cál-
culo de potência e esse campeonato de
tênis de mesa. Depois, troque de caderno
com um colega, de modo que um resolva
o problema que o outro desenvolveu.
380
ATIVIDADES
ILUSTRA CARTOON
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.
27
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Potência de um número real
com expoente inteiro
O objetivo aqui é levar os estu-
dantes a retomar o conceito e
as propriedades da potenciação
com expoente inteiro e base real
diferente de zero.
Sugerir aos estudantes que
façam uma leitura individual dessas
páginas para que compreendam
os conceitos e para promover a
autonomia deles.
Incentivá-los a se expressarem
oralmente e a trocar ideias e conhe-
cimentos entre eles. Depois, escrever
na lousa algumas expressões para
a turma aplicar os conhecimentos
estudados neste tópico.
POTÊNCIA DE UM NÚMERO REAL COM
EXPOENTE INTEIRO
Vamos calcular o quociente de 2
3
: 2
4
.
• Considerando o quociente na forma de uma fração e aplicando a definição de potência:
22
2
2
2 2 2
2 2 2 2
1
2
34
3
4
:= =
??
???
=
• Aplicando a propriedade do quociente de potências que têm a mesma base:
2
3
: 2
4
= 2
3

_

4
= 2
_1
Comparando os dois resultados, podemos dizer que:
2
_1
=
1
2
Procedendo da mesma maneira, podemos mostrar que:
• 3
_1
=
1
3
• 4
_4
=
1
4
• 5
_1
=
1
5
•
1
7
1_




= 7
De modo geral:
Para todo número real a, com a 5 0, temos a
_1
=
1
a
.
Logo:
• 10
_1
=
1
10
•
3
5
1_




=
1
3
5
=
5
3
• 3
1
3
1
3
1
_=
_
=_
_
()
Agora, vamos calcular o quociente de 2
5
: 2
8
.
• Considerando o quociente na forma de uma fração e aplicando a definição de potência:
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅





:= == =22
2
2
22222
22222222
1
2
1
2
58
5
83
3
• Aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base:
2
5
: 2
8
= 2
5 _ 8
= 2
_3
Comparando os dois resultados, podemos dizer que:





=
_
2
1
2
3
3

28
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Nessa página, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA03. Verificar se os estudan-
tes têm alguma dúvida acerca do
conteúdo abordado. Fazer algumas
explorações, perguntando a eles
o que acontece com números
maiores do que zero quando ele-
vados a um expoente negativo.
Espera-se que respondam que
números maiores do que zero,
quando elevados a um expoente
negativo, sempre resultam em
um número menor do que 1.
Sugerir aos estudantes que
façam um quadro semelhante
ao apresentado no Livro do estu-
dante, utilizando outros números
naturais como base, e que com-
parem os resultados e troquem
ideias entre eles, de modo a per-
ceber regularidades.
Se considerarmos o expoente zero e alguns números inteiros negativos como expoentes,
podemos montar este quadro.
Base Expoente Potência
2 4 2
4
= 16
8éiguala
1
2
de16
2 3 2
3
= 8
4éiguala
1
2
de8
2 2 2
2
= 4
2éiguala
1
2
de4
2 1 2
1
= 2
1éiguala
1
2
de2
2 0 2
0
= 1
1
2
éiguala
1
2
de1
2 _1 2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
== =
_





1
4
éiguala
1
2
de
1
2
2 _2 2
1
2
1
2
1
4
2
2
2
== =
_





1
8
éiguala
1
2
de
1
4
2 _3 2
1
2
1
2
1
8
3
3
3
== =
_





De modo geral:
Para todo número real a, com a 5 0, temos a
1
a
1
a
n
n
n
==
_




 , sendo n um número natural.

Assim:
•





==
_
5
1
5
1
25
2
2
• ()





_= _=
_
2
1
2
1
16
4
4
•











_= _= _
_
4
7
7
4
343
64
33
Acompanhe a seguir algumas situações em que esses conhecimentos são aplicados.

1 Determinar o valor da expressão 3
_1
+ 2
_2
_ (_4)
_1
.
3
_1
+ 2
_2
_ (_4)
_1
=











=+ __ =
1
3
1
2
1
4
2
1
3
1
4
1
4
10
12
5
6
=+ += =

2 Para a 5 0 e x 5 0, escrever a expressão (2a
3
x
_1
)
_1
com expoentes positivos.
() ⋅












== =
_
_
_ _
2ax2 a
1
x
2a
x
x
2a
31
1
3
1 3
1
3
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propriedades das potências
com expoentes inteiros
Muitas vezes, escrever um
número em forma de potência
facilita os cálculos. Apresentar
aos estudantes os exemplos pre-
sentes nessa página e discutir
como simplificar as expressões.
A seguir, há algumas ativida-
des que podem complementar
o estudo das propriedades das
potências com expoentes inteiros,
reforçar esse estudo e contribuir
para o desenvolvimento da habi-
lidade EF09MA03.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Escrever a expressão
2564
8
9
7
?
na forma de
uma única potência de base 2 e calcular o seu
valor.
2. Simplificar a fração algébrica (a
5
b
2
)
4
: (a
2
b
4
)
6
.
Resolução das atividades
1. Decompondo 256, 4 e 8, temos: 256 = 2
8
,
4 = 2
2
, 8 = 2
3
.
Daí, teremos a seguinte expressão:
?
=
?
=
(2)2564
8
2
(2)
9
7
8 29
37
22
2
2
2
81 8
21
26
21
=
?
== 2
5
= 32
2.
()
()
()()
()
ab
ab
ab
a)(b
524
246
54 24
26 46
?
=
?
=
ab
ab
a
a
b
b
20 8
12 24
20
12
8
24
=
?
?
=? =
ab a
1
b
a
b
81 68
16
8
16
=? =? =
_
Propriedades das potências com expoentes inteiros
Vamos considerar as propriedades a seguir.
1
a
propriedade
Para multiplicação de potências de mesma base, podemos escrever a seguinte propriedade:
a
m
? a
n
= a
m + n
Então:
• 5
2
? 5
_6
= 5
2 + (_6)
= 5
2 _ 6
= 5
_4
• 10
_3
? 10
_2
= 10
_3 + (_2)
= 10
_3 _ 2
= 10
_5
• 2
n
? 2
3
= 2
n + 3
, sendo n um número inteiro.
2
a
propriedade
Para divisão de potências de mesma base, podemos escrever a seguinte propriedade:
a
m
: a
n
= a
m _ n
ou
a
a
m
n
= a
m _ n
Então:
• 6
4
: 6
7
= 6
4 _ 7
= 6
_3
• 10
3
: 10
_2
= 10
3 _ (_2)
= 10
3 + 2
= 10
5
•
−
−
2
2
5
7 = 2
_5 _ (_7)
= 2
_5 + 7
= 2
2
•
+
_
3
3
n2
n1
= 3
n _ 2 _ (n + 1)
= 3
n _ 2 _ n _ 1
= 3
_3
, sendo n um número inteiro.
3
a
propriedade
Para potência de uma potência, podemos escrever a seguinte propriedade:
(a
m
)
n
= a
m

?

n
Então:
• (10) 10 10
3
2
3 (2)6
==
_
?_ _
• (5)5 5
1
3
(1) (3)3
==
_
_
_?_
• (10)10 10
x
5
x 55 x
==
?
, sendo x um número inteiro.
4
a
propriedade
Para transformar potência de um produto em um produto de
potências, e potência de um quociente em um quociente de potências,
podemos escrever a seguinte propriedade:
(a ? b)
n
= a
n
? b
n
ou (a : n)
n
= a
n
: b
n
Então:
• (2 ? 5)
_4
= 2
_4
? 5
_4
• (7 : 2)
_3
= 7
_3
: 2
_3
• (10 ? x)
_2
= 10
_2
? x
_2
, com x 5 0.
• (x : 5)
_1
= x
_1
: 5
_1
, com x 5 0.
As mesmas
propriedades
estudadas para
as potências com
expoentes naturais
valem para as
potências com
expoentes inteiros e
base real não nula.
SAIBA QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nessa seção, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA03. Aqui, vale lembrar
que pode acontecer de alguns
estudantes registrarem erro-
neamente (x + y)
2
= x
2
+ y
2
,
fazendo analogia com (x ? y)
2
=
= x
2
? y
2
(considerando x e y não
nulos), que é uma das propriedades
das potências. Se julgar oportuno,
compartilhar o exemplo a seguir,
a fim de explorar essa diferença
com os estudantes.
x
1
3
y
1
2
(x + y)
2
1
3
1
2
2
+=





 =
=
5
6
2
=






=
25
36
x
2
+ y
2
1
3
1
2
2 2
+=












=
=
1
9
1
4
=+ =











 =
=
13
36
=






(x ? y)
21
3
1
2
2
=?





=
1
6
2
==





 =
1
36
=
x
2
? y
2
1
3
1
2
22
?=











 =
=
1
9
1
4
=? = =
1
36
=
Para resolver as atividades finais
desse bloco, os estudantes preci-
sam aplicar as propriedades das
potências com expoentes inteiros
para expoentes negativos.
Responda às questões no caderno.
1. Observe a sequência.
3
4
= 81, 3
3
= 27, 3
2
= 9, ...
Agora, calcule os valores.
a) 3
1
3
b) 3
0
1
c) 3
_1
d) 3
_2
e) 3
_3
f) 3
_4

2. Dê o valor, na forma decimal, de:
a) 2
_1
b) 2
_5
c) (_2)
_2
d) _2
_4
e) _(_4)
_3
f) _(_10)
_1

g) 10
_3

h) 5
_2

3. Pela propriedade simétrica da igualdade,
você sabe que a
1
a
n
n
=
_
e que
1
a
a
n
n
=
_
.
Nessas condições, escreva, na forma de
potência com expoente inteiro nega-
tivo, cada uma das expressões a seguir.
a)
1
7
5 7
5_
b)
1
10
9
10
9_
c)
1
5
6 5
6_
d)
1
2
10
2
10_
4. Calcule o valor de cada potência.
a)
1
2
1_





 2
b)
1
5
2_





 25
c)
5
2
3
_
_






d)
1
8
2
_
_





 64
5. Determine o valor numérico de cada
expressão a seguir.
a) __ _
__
(1)( 3)
31
b) ()+
__
_
24
42
1
8
c) _
__
33
42
d) ()⋅
_
_
84
23
1
1
6. Qual é o número real expresso por
+_ __ _
_
_
2(2)4( 2)
1
4
06 33
1
⋅





? 6
1
3
1
9
1
27
1
81
0,5
0,03125
0,25
_0,0625
0,015625
0,1
0,001
0,04
8
125
_
2
3
_
8
81
_
7. Escreva cada uma destas expressões na
forma de uma só potência.
a) ⋅
_
7 7
11 8
7
3
b) 2
4
: 2
5
2
−1
c) (8
_1
)
5
8
−5
d) :
_
55
93
5
12

e) ⋅⋅
_
88 8
37 5
8
f) (2
_1
)
_3
2
3
g) :
__
22
41
2
−3
h) 3333
16 41 0__
⋅⋅⋅
8. Nas expressões a seguir, a base de cada
potência é um número real não nulo.
Transforme cada expressão em uma só
potência.
a) ⋅⋅
_
xx x
37 6
x
2
b) :
__
xx
13
x
2
c) ()
_
x
6
2
x
−12
d) ⋅⋅ ⋅
__
aa aa
94 71 5

9. Escreva cada fração na forma de uma só
potência.
a)
_
_
10
10
2
4

10
2
b)
_
5
5
6
1 5
7
c)
_
2
2
3
2 2
−5
d)
3
3
7
10 3
−3
10. Transforme cada expressão em um produto
(ou em um quociente) de potências.
a) ()⋅
_
713
2
7
−2
? 13
−2
b) ():
_
95
3
9
−3
: 5
−3
c) ()⋅
__
25
12
2
2
−2
? 5
−4
d) ():
_
_
310
41
1
3
−4
: 10
e) ()⋅⋅
− _
_
23 11
52 1
2
2
−10
? 3
4
? 11
2
f) ():
_
710
12
2
7
−2
: 10
4
11. Determine os valores de x e de A,
sabendo que são números reais.
x = (2
0
+ 2
_1
) : (2
0
_ 2
_1
) e
()






=
_+
_+_+
_
A
2
1
3
23 4
2
2
4 2 0
12. Elabore uma expressão numérica en-
volvendo potências com números reais
que tenha como resultado o número
25. Depois, troque de caderno com um
colega para que um resolva a expressão
que o outro criou.
3
−1
a
−3
x = 3 e A =
5
6
_
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Notação científica
Nesse tópico, incentivar os estu-
dantes a falar o que sabem a
respeito do tema. Espera-se que
eles mobilizem os conhecimentos
sobre potenciação para escrever
números em notação científica.
Enfatizar que essa é uma maneira de
representar números que apresen-
tam muitos algarismos, utilizando
potências de base 10.
Se julgar oportuno, solicitar aos
estudantes que escrevam alguns
números em notação científica e,
depois, os comparem. Espera-se
que eles percebam que a notação
científica pode facilitar a com-
paração entre esses números.
Fórum
Uma sugestão para trabalhar
essa seção é organizar a turma em
dois grupos. Um grupo pesquisa
os argumentos a favor dos finan-
ciamentos das missões espaciais
pelos governos; e o outro grupo,
os argumentos contra.
Depois, preparar um debate
com os representantes de cada
grupo para apresentarem os
argumentos: cada um apresenta
e defende os argumentos contra
e a favor dos investimentos públi-
cos para as missões espaciais.
Esse tipo de debate favorece o
desenvolvimento da capacidade
de argumentação e o desenvol-
vimento da competência geral 7
e da competência específica 3 da
área de Matemática e da habili-
dade EF09MA18.
É interessante observar que a
opinião a respeito desse assunto
pode ser influenciada pelas expe-
riências e entendimentos de cada
um. Alguns estudantes, talvez,
tenham uma preocupação com
as necessidades imediatas da
população; nesse caso, quando
se compara uma missão espacial
com investimento em educação ou saúde, a
missão espacial pode ser defendida como algo
de menor relevância.
No entanto, quando se avaliam as necessida-
des da humanidade em médio e longo prazos,
as missões espaciais ganham relevância e tor-
nam-se importantes para a manutenção da
vida na Terra ou mesmo fora dela, além das
contribuições dos avanços tecnológicos que as
viagens espaciais ajudam a acelerar. Esse con-
teúdo e as discussões que podem ser feitas em
grupo favorecem o desenvolvimento dos Temas
Contemporâneos Transversais Educação para
o consumo e Ciência e Tecnologia.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Muitas vezes, é conveniente escrever um número em forma de potência.
Por exemplo, o número 140 000 000, que representa a medida aproximada, em metro, do
diâmetro do planeta Júpiter, é um número muito grande, enquanto o número 0,0000000106,
que representa, em centímetro, a medida aproximada do diâmetro de um átomo de hidrogênio,
é um número muito pequeno.
Para escrever esses e outros números, podemos usar potências de 10, conforme é mostrado
a seguir.
1 Escrever o número: 0,0000001 na forma
de potência de 10.
== =
_
0,0000001
1
10000000
1
10
10
7
7
7 casas
decimais
7 zeros
2 Escrever o número 5 000 000 000 na
forma de potência de 10.
5 000 000 000 = 5 ? 1 000 000 000 = 5 ? 10
9
9 zeros
Escrevendo em notação científica
A distância média aproximada da Terra ao Sol é 150 000 000 km.
Por ser um número muito grande, podemos escrever o número 150 000 000 usando notação
científica.
Em notação científica, um dos fatores deve ser maior ou igual a 1 e menor do que 10,
e o outro fator deve ser uma potência de 10.
Voltando ao número 150 000 000, temos:
150 000 000 = 15 ? 10
7
Para utilizar a notação científica, vamos dividir o fator 15 por 10 e, para não alterar o número,
vamos multiplicar o fator 10
7
por 10:
15 ? 10
7
= [15 : (10)] ? [10
7
? (10)] = 1,5 ? 10
8
Então, a distância média aproximada da Terra ao Sol é, em notação científica, 1,5 ? 10
8
km.
FÓRUM
Exploração espacial
Além da motivação proveniente do contínuo interesse
do ser humano pelo espaço, a exploração espacial é
impulsionada pelo desenvolvimento científico que gera.
Não só novas tecnologias são criadas, como o próprio
espaço fornece um ambiente único, com características
impossíveis de serem simuladas na Terra, tornando-o um
laboratório sem igual para estudos científicos.
• As missões espaciais, apesar de importantes, são ca-
ras para os governos que as financiam. Você acredita
que esse grande investimento financeiro justifica o
conhecimento científico adquirido com as missões
espaciais? Debata com os colegas.
Em 2021, a Nasa lançou o
telescópio James Webb,
considerado o sucessor do
telescópio Hubble. A decolagem
foi um sucesso e inaugurou
uma jornada de 1,5 ? 10
6
km
pelo espaço.
EYEPRESS NEWS/AFP
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O bloco de atividades dessa
página trabalha o uso da notação
científica para representar números
muito grandes ou muito peque-
nos. Desse modo, propicia-se
o trabalho com as habilidades
EF09MA04 e EF09MA18.
Comentar com os estudantes
a importância da aprendizagem
da notação científica, pois ela é
amplamente utilizada em meios
de comunicação, como jornais,
revistas e portais da internet.
Também é bastante utilizada
na comunidade acadêmica, na
escrita de trabalhos científicos.
Verificar se os estudantes per-
cebem que a representação de
números muito grandes ou muito
pequenos utilizando a notação
científica facilita o entendimento
e a compreensão da noção de
grandeza do número em questão.
Ao explorar a atividade 4,
por exemplo, pode-se pergun-
tar para os estudantes quais dos
prefixos eles já conheciam e em
que situações eles costumam
ver a aplicação desses prefixos.
Responda às questões no caderno.
1. A expressão um décimo de milésimo do
metro pode ser escrita usando potên-
cias de 10 do seguinte modo:
?= =
_1
10
1
1000
1
10000
1
10
ou 10
4
4
O diâmetro do átomo de hidrogênio tem
aproximadamente 1 angström de compri-
mento. O nome dessa unidade de medida
de comprimento é uma homenagem ao
físico sueco Anders Jonas Ângström.
Elaborado com base em: HALLIDAY, David; RESNICK,
Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume
1: mecânica. Tradução: Ronaldo Sérgio de Biasi. Rio de
Janeiro: LTC, 2014. p. 4.
Sabendo que 1 angström equivale a um
décimo de bilionésimo de metro, como
podemos escrever esse número usando
potência de 10?
2. Em 2020, a frota de veículos do municí-
pio de São Paulo ultrapassou a marca de
8 700 000 veículos. Entre outros veículos,
essa frota era composta de, aproxima-
damente, 6 000 000 automóveis e de
pouco menos de 1 100 000 motocicletas.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE
GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Frotas de veículos –
São Paulo. IBGE Cidades. Rio de Janeiro, [2020?].
Disponível em: https://cidades.ibge.gov.br/brasil/
sp/sao-paulo/pesquisa/22/28120.
Acesso em: 22 fev. 2022.
a) Escreva esses números usando um pro-
duto de dois fatores em que um deles é
um número maior do que 1 e menor do
que 10, e o outro é uma potência de 10.
b) A partir dessas informações, elabore um
problema envolvendo operações com
números reais e notação científica. Em
seguida, peça a um colega que resolva o
problema que você elaborou, enquanto
você resolve a questão elaborada por ele.
3. Escreva, em notação científica, os números
destacados em cada uma das afirmações.
1
10
ou 10.
10
10_
2. a) 8,7 ? 10
6
; 6 ? 10
6
; 1,1 ? 10
6
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
a) Em um grama de água há
23 000 000 000 000 000 000 000
de moléculas.
b) O diâmetro do planeta Marte mede
cerca de 6 800 km, e a distância mínima
de Marte ao Sol é 205 000 000 km.
c) O diâmetro de um átomo de hidrogênio
mede 0,0000000106 cm. 1,06 ?10
_8
4. Algumas potências de 10, por serem
muito utilizadas, estão associadas a pre-
fixos originados do latim e do grego.
Acompanhe alguns exemplos.
Prefixo Significado Potência de 10
giga gigante (em grego) 10
9
(1 000 000 000)
mega grande (em grego) 10
6
(1 000 000)
quilo mil (em grego) 10
3
(1 000)
deca dez (em grego) 10
1
(10)
centi
centésimo
(em latim)
10
_2
(0,01)
mili mil (em latim) 10
_3
(0,001)
micro
pequeno
(em grego)
10
_6
(0,000001)
nano anão (em grego)10
_9
(0,000000001)
Assim, o prefixo quilo, utilizado em
expressões como quilômetro, equivale
a 1 000 metros, e quilowatt equivale a
1 000 watts. Escreva, usando notação
científica, os valores destacados em
cada uma das afirmações.
a) O prefixo centi é utilizado em expressões
como centímetro, que equivale a um
centésimo do metro.
b) O prefixo mega, utilizado em expressões
como megalitro (unidade utilizada para
medir a capacidade de lagos e represas),
equivale a um milhão de litros.
c) O prefixo micro é utilizado em expres-
sões como micrograma, que equivale à
milionésima parte do grama.
2,3 ? 10
22
3. b) 6,8 ? 10
3
e 2,05 ? 10
8
1 ? 10
_2
m
1 ? 10
6
L
1 ? 10
_6
g
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Um dos principais objetivos
dessa seção é apresentar o conceito
de densidade demográfica como
a razão entre duas grandezas, o
que favorece o desenvolvimento
da habilidade EF09MA07.
Ao explorar a densidade demo-
gráfica de estados (ou municípios)
brasileiros, os estudantes aplicam
seus conhecimentos de notação
científica e potenciação, reali-
zando mais aproximações. Além
de explorar a diferença entre os
valores obtidos com a calculadora
e pelo cálculo por aproximação,
é possível levantar uma discus-
são sobre as situações nas quais
esses dados podem ser utiliza-
dos apenas com aproximações e
em quais situações é importante/
necessário evitar aproximações e
utilizar o cálculo da maneira mais
precisa possível. Desse modo,
favorece-se o desenvolvimento
da competência geral 7 e das
competências específicas 3 e 8
da área de Matemática.
Após a pesquisa a respeito da
população e da área do estado e
do município onde vivem, incen-
tivar os estudantes a estabelecer
diferentes aproximações para os
dados obtidos, calculando, em
seguida, a densidade demográ-
fica em cada caso. Explorar com a
turma a estimativa do erro cometido
(em taxa percentual) oralmente,
discutindo a relação erro come-
tido/melhor aproximação.
Espera-se que os estudantes
concluam que, quanto maior a
aproximação dos valores do cálculo,
o resultado aproximado será mais
distante do valor exato.
DADOS DEMOGRÁFICOS DO ESTADO DO AMAZONAS
O Amazonas é o maior estado brasileiro em área e detém uma imensa biodiversidade.
De acordo com dados do IBGE (Censo 2010), o Amazonas ocupa uma área de aproxima-
damente 1 559 162 km
2
, com uma população de 3 483 985 habitantes.
Fonte dos dados: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Sinopse do
Censo Demográfico 2010: Amazonas. Censo 2010 – IBGE. Rio de Janeiro, [2011?]. Disponível em:
https://censo2010.ibge.gov.br/sinopse/index.php?dados=21&uf=13. Acesso em: 25 maio 2022.
A densidade demográfica (D) de determinado território é a razão entre a quantidade
de habitantes e a área da região ocupada (em km
2
), que permite avaliar a distribuição da
população nesse local.
D =
quantidade de habitantes
área ocupada em km
2
Vamos determinar a densidade demográfica do Amazonas em 2010.
• Usando uma calculadora: D =
3483985 hab.
1559162 km
2,23 hab./km
2
2
=
• Fazendo aproximações e usando notação científica:
Quantidade de habitantes = 3 483 985 ou, aproximadamente, 3 500 000. Em notação
científica, 3 500 000 = 3,5 ? 10
6
.
Área = 1 559 162 km
2
ou, aproximadamente, 1 600 000 km
2
. Em notação científica,
1 600 000 = 1,6 ? 10
6
km
2
.
Então, D =
?
?
=? 1? =? =
3,510
1,610
3,5
1,6
10
10
2,20102,2012,20
6
6
6
6
0
Portanto, a densidade demográfica do estado do Amazonas em 2010 era 2,20 hab./km²,
aproximadamente. Note que, utilizando aproximações, obtivemos um resultado (2,20 hab./km²)
bem próximo do resultado obtido com a calculadora (2,23 hab./km²).
Responda no caderno.
• Faça uma pesquisa sobre a população e a área do estado e a do município onde
você mora. Calcule as respectivas densidades demográficas, utilizando calculadora e
fazendo aproximações. Com os colegas, compare os resultados e avalie a diferença
entre os valores obtidos.
POR TODAPARTE
Fotografia do Porto de Manaus (AM), 2021.
NELSON ANTOINE/SHUTTERSTOCK.COM
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Educação financeira
O texto permite uma discus-
são sobre o que é e a importância
de uma reserva de emergência.
Além disso, pode-se ampliar essa
discussão a respeito do perigo da
falta de planejamento financeiro e
das taxas de juros de contas que
não são pagas até a data de ven-
cimento ou mesmo sobre as taxas
do cartão de crédito. É importante
que os estudantes percebam que,
apesar de os juros do cartão de
crédito serem, em sua maioria,
juros altos, a responsabilidade é
da pessoa que faz a dívida, pois
esses valores são previamente
informados. Desse modo, o pla-
nejamento e o cuidado na hora
de fazer as compras são essen-
ciais para evitar endividamentos.
É possível esclarecer a eles que
não existe um único modo de plane-
jamento para todos, cada indivíduo
tem necessidades e desejos dife-
rentes, mas é importante que eles
tenham consciência de que o pla-
nejamento financeiro deve atender
às necessidades das pessoas envol-
vidas, seja um grupo de pessoas,
seja uma única pessoa ou toda a
família. Portanto, o planejamento
deve ser feito a partir da realidade
que se tem, ou seja, de acordo
com a renda e com os objetivos
que se pretende alcançar. Por esse
motivo, é importante fazer um pla-
nejamento que contemple não
apenas objetivos no pequeno e
no médio prazos. Quanto mais
amplo for esse planejamento finan-
ceiro, melhor.
Essa discussão e a compreensão
de quanto o planejamento e o con-
trole do dinheiro são importantes
favorece o desenvolvimento dos
Temas Contemporâneos Transversais
Educação Financeira e Educação
para o Consumo e da compe-
tência específica 2 da área de
Matemática.
Responda à questão no caderno.
• Rafael e Milena economizaram para fazer uma reserva de emergência. Mas houve
um imprevisto, por isso vão ficar com saldo negativo mensal de R$ 455,00 pelos pró-
ximos cinco meses. Se eles não conseguirem cortar gastos do orçamento, quantos
reais dessa reserva precisarão gastar para cobrir o saldo durante esse período?
R$ 2.275,00
VOCÊ JÁ OUVIU FALAR EM RESERVA DE EMERGÊNCIA?
Leia o texto a seguir para conhecer uma prática que pode contribuir para o enfrentamento
de momentos de crise financeira.
Devido à pandemia gerada pelo novo coronavírus, muitos brasileiros estão vivendo
situações extraordinárias de perda ou diminuição significativa de renda. Para momentos
assim, percebemos a importância de ter uma reserva de emergência . A reserva é um
dinheiro guardado para fazer frente a algumas situações excepcionais, como a perda
temporária de renda, doenças na família ou acidentes domésticos, por exemplo. [...]
Mas como usá-la? Como calcular quanto a reserva de emergência vai durar?
Primeiro, é importante tomar consciência da sua situação financeira atual [...]. Assim,
você conseguirá calcular o novo saldo, ou seja, suas receitas menos suas despesas. Caso
o saldo seja negativo, pode valer a pena utilizar a reserva de emergência e é importante
saber quanto tempo ela vai durar.
Vamos supor que você calculou que ficará negativo em R $ 250 todo mês e tenha
uma reserva de emergência de R$ 2.000. Nesse caso, dividindo o valor da sua reserva de
emergência (R$ 2.000) pelo quanto precisará retirar de sua reserva a cada mês (R$ 250),
descobrimos que sua reserva vai durar 8 meses.
O QUE é e para que serve a reserva de emergência. Banco Central do Brasil. Brasília, DF, [2021?]. Disponível em:
https://www.bcb.gov.br/cidadaniafinanceira/emtemposdecoronavirus. Acesso em: 22 fev. 2022.
EDUCAÇÃOFINANCEIRA
Mesmo com
uma reserva de
emergência, às
vezes é possível
cortar algumas
despesas do
orçamento para
não comprometer
toda essa reserva.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Radicais
Os objetivos aqui são levar os
estudantes a reconhecer e iden-
tificar os termos de um radical
e a compreender a restrição
para a radiciação em r e a raiz
enésima de um número real,
observando a condição de exis-
tência dessa raiz.
Como esse é um conteúdo
relativamente novo para os estu-
dantes, é possível que tenham
algumas dúvidas iniciais. Para
auxiliá-los na compreensão dos
conceitos, pode-se apresentar
exemplos de radicais, com os
mais variados números no radical
(números inteiros, racionais, raízes
não exatas etc.).
RADICAIS
CAPÍTULO
4
RAIZ ENÉSIMA DE UM NÚMERO REAL
Consideremos um número real a e um número natural n, com n . 1.
A raiz enésima de um número real a é indicada pela expressão:
a
n
radicando
índice
Vamos separar o estudo da raiz enésima em dois casos: quando o índice for par e quando o
índice for ímpar. Acompanhe-os a seguir.
1
o
caso: o índice n é par
Nesse caso, estudamos duas situações: quando o radicando é um número real positivo e
quando o radicando é um número real negativo.
Radicando a positivo (a . 0)
Quando o número real a é positivo (a . 0) e n é um número natural par diferente de zero,
a expressão
a
n
é igual ao número real positivo b, tal que b
n
= a.
Observe.
•
49 = 7, pois 7
2
= 7 ? 7 = 49.
•
27,04 = 5,2; pois 5,2
2
= 5,2 ? 5,2 = 27,0 4.
•
729
6
= 3, pois 3
6
= 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 729.
•
256
8
= 2, pois 2
8
= 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 256.
Radicando a negativo (a , 0)
Quando o número real a é negativo (a , 0) e n é um número natural par diferente de zero,
a expressão
a
n
não é definida no conjunto dos números reais.
Já estudamos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois, ao elevar
um número real ao quadrado, não é possível obter um número real negativo.
Por exemplo, 2
2
é igual a 4, e (_2)
2
também é igual a 4. Não existe um número real que,
elevado ao quadrado, seja igual a _4. Dizemos, então, que
_4 não se define em r.
Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava, e assim por
diante, de um número real negativo.
Observe.
•
256
8
− não se define em r.
•
81
4
− não se define em r.
•
1
6
− não se define em r.
Responda no caderno.
As expressões
_9 e _9 são iguais?
Por quê?
PENSE E RESPONDA
Não.
9_ é o oposto de
9; logo, 9_ = _3. Já
9_ não se define em r.
Enésimo: o termo
que ocupa a posição
de número n, em uma
sequência.
GLOSSÁRIO
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades têm como objeti-
vos levar os estudantes a reconhecer
a restrição da radiciação em r,
identificando as expressões com
radicais que podem ser definidas
no conjunto dos números reais;
determinar a raiz enésima de
um número real; e determinar o
valor de expressões numéricas
que envolvam radicais.
Nas atividades 1 a 4, os
estudantes devem identificar as
expressões que são definidas em
r. Pedir a eles que justifiquem as
respostas e orientá-los a considerar
o índice n dos radicais, diferen-
ciando expressões com índice par
e expressões com índice ímpar.
Se possível, levar para a sala de
aula calculadoras que tenham a
tecla de raiz quadrada para que
os estudantes verifiquem os cál-
culos solicitados na atividade 5.
Orientá-los a expressar os conheci-
mentos acerca da manipulação da
calculadora, mostrando os procedi-
mentos realizados em cada etapa.
2
o
caso: o índice n é ímpar
Nesse caso, dizemos que:
Dados um número real a e um número natural ímpar n,
a expressão
a
n
é igual ao número real b, tal que b
n
= a.
Observe que, nesse caso, o radicando pode ser positivo ou negativo. Analise alguns exemplos.
•
8
3
= 2, pois 2
3
= 2 ? 2 ? 2 = 8.
•
8
3
= _2, pois (_2)
3
= (_2) ? (_2) ? (_2) = _8.
•
3125
5 = 5, pois 5
5
= 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 3 125.
•
_3125
5 = _5, pois (_5)
5
= (_5) ? (_5) ? (_5) ? (_5) ? (_5) = _3 125.
Observação:
Sendo n um número natural maior ou igual a 2, define-se:
0
n
= 0.
•
0
2
= 0
•
0
25
= 0
•
0
103
= 0
•
0
7855
= 0
Responda às questões no caderno.
1. Entre as expressões seguintes, quantas
não são definidas no conjunto r dos
números reais?
_8
3
_16
4
1
10
_132
5
_125
3
2. Quais dos números a seguir têm raiz
quadrada definida no conjunto r?
a) 36
b) _64
c) _81
d) 144
e) 10
f) _4
g) 100
h) _9
i) 25
Duas:
16
4
_ e
1_.
36; 144; 10; 100; 25
3. Quando a = 10, b = 21 e c = 8, a expres-
são
_b4ac
2
é definida no conjunto
r? Qual é o valor dessa expressão?
4. Verifique se a expressão
_x y
22
é
definida no conjunto r quando x = 13
e y = _12.
5. Sabendo que todas as expressões a
seguir são definidas no conjunto r
dos números reais, calcule o valor de
cada uma.
a)
0,25
b)
0,008
3
c)
_(8)
2
d)
_100
e)
_1
7

f)
_125
3
Sim; 11.
Sim, pois
25 = 5.
0,5
0,2
8
_10
_1
_5
ATIVIDADES
37
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propriedades do radical
Os objetivos aqui são levar
os estudantes a reconhecer um
radical aritmético e a compreen-
der, identificar e utilizar as
propriedades dos radicais em
situações-problema.
Para isso, retomar com eles a
nomenclatura dos elementos que
compõem a operação radiciação:
radical, radicando, índice e raiz.
Também é oportuno rever a leitura
dos radicais: raiz quadrada, raiz
cúbica, raiz quarta etc.
Em seguida, são apresenta-
das as propriedades dos radicais.
Solicitar aos estudantes que façam
alguns cálculos envolvendo raízes
não exatas, mas em sua forma
decimal aproximada, visto que
são números irracionais. Por
exemplo:
•
2 1 1,414 e 3 1 1,732
•
2 ? 3 1 1,414 ? 1,732 =
= 2,449048
Por fim, pode-se promover um
debate com a turma acerca das
dificuldades enfrentadas na reali-
zação dos cálculos. Espera-se que
os estudantes percebam que, em
determinados contextos, o trabalho
com números irracionais e números
racionais com muitas casas deci-
mais pode ser bastante árduo.
Nesse caso, o uso das propriedades
dos radicais para efetuar os cálcu-
los e escrever apenas o resultado
como um número decimal apro-
ximado é mais adequado.
PROPRIEDADES DO RADICAL
Toda expressão matemática que tenha forma
a
n
, com a [ r
+
, n [ n e n . 1, recebe o
nome de radical aritmético.
Como já estudamos, em todo radical, podemos destacar:
índicea
n
radicando
Assim:
• No radical
5, o índice é 2, e o radicando é 5. Lemos: raiz quadrada de cinco.
• No radical
10
3
, o índice é 3, e o radicando é 10. Lemos: raiz cúbica de dez.
• No radical
2
3
4, o índice é 4, e o radicando é
2
3
. Lemos: raiz quarta de dois terços.
Os radicais aritméticos apresentam propriedades importantes para o estudo dos radicais e
para estudos futuros de outros temas de Matemática. Conheça, a seguir, essas propriedades.
1
a
propriedade
a
nn = a, com a [ r
+
, n [ n e n . 1.
Considere as expressões a seguir.
•
32
5
= 2 e 32 = 2
5
Então:
==3222
5 55
•
81
4
= 3 e 81 = 3
4
Então:
==8133
4 44
Desse modo, temos:
•
7
2
= 7
•
10
33
= 10
•
+(x 3)
5
5
= x + 3, com x + 3 > 0.
2
a
propriedade
a
mn
=
::
a
mpnp
com a [ r
+
, n, m, p [ n, n . 1, p 5 0 e p divisor comum de m e n.
Considere as expressões
10
88
e 10
2
.
Aplicando a primeira propriedade nos dois radicais, obtemos:
=1010
88
Comparando as duas expressões, obtemos a igualdade 10
88
=
10
2
.
=1010
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Para a compreensão das pro-
priedades dos radicais, sugere-se,
primeiramente, que os estudan-
tes sejam organizados em grupos.
Determinar para cada grupo uma
das cinco propriedades dadas
neste capítulo para que expli-
quem para a turma quais são as
características da propriedade e
como utilizá-la.
Solicitar a cada grupo que faça
um cartaz para essa explicação.
Depois, expor todos os carta-
zes na sala de aula e mantê-los
expostos para que os estudantes
possam consultá-los ao longo do
trabalho com radicais ou sempre
que sentirem necessidade.
Verificar se os estudantes com-
preendem que, além de facilitar
os cálculos, trabalhar com radi-
cais utilizando as propriedades
também diminui o erro nas aproxi-
mações. Por exemplo, retomando
o exemplo apresentado na página
anterior, fazendo aproximações
para
2 e 3, obteve-se:2 ? 3 1 2,449048
Se tivessem sido aproximados
os valores das raízes quadradas
para uma casa decimal, teria-se:
•
2 1 1,4 e 3 1 1,72 ? 3 1 1,4 ? 1,7 = 2,38
• Agora, usando a propriedade
da multiplicação de radicais
com mesmo índice, tem-se:
•
2 ? 3 = ?23 = 6 1 2,449
Comparando os valores obtidos,
verifica-se que há uma diferença
entre os resultados.
De fato, aplicando a segunda propriedade em
10
88
, temos:
10
88
=
::
10
8484
= 10
2
Essa propriedade nos auxilia na simplificação de um radical do tipo
a
mn
, quando existe um
divisor comum (diferente de 1) dos números n e m.
Acompanhe alguns exemplos de simplificação.
•
10
46
=
::
10
4262
=
10
23
•
64
12
= 2
612
=
::
2
66126
= 2
12
= 2
•
2
520
=
::
2
55205
= 2
4
•
(xy)
1025
=
::
(xy)
105255
= (xy)
25
3
a
propriedade
a
nm
=
?
a
mn
, com a [ r
+
, n, m [ n, m . 1 e n . 1.
Vamos calcular o valor das expressões
64
3
e
64
6
.
64
3
= 8
3
= 264
6
= 2
Assim, podemos escrever a igualdade
64
3
=
64
6
.
De fato, observe o que fizemos:
64
3
=
?
64
32
=
64
6
.
Assim:
•
2
35
=
?
2
53
= 2
15
•
10 =
?
10
22
= 10
4
4
a
propriedade
?a b
n = a
n
?
b
n
, com a [ r
+
, b [ r
+
, n [ n e n . 1.
Considere as expressões
?425 e 4 ?
25.
Calculando, obtemos:
4 25⋅ = 100 = 104 ? 25 = 2 ? 5 = 10
Comparando, temos
?=4254 ? 25.
Então:
•
?311 = 3 ? 11
•
?25
3 = 2
3
? 5
3
•
4xy
7 = 4
7
? x
7
? y
7, com x, y [ r
+
.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nessa seção, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA04. Nas atividades 1
a 6, os estudantes devem calcu-
lar radicais aritméticos e aplicar
suas propriedades. Sugerir que
essas atividades sejam feitas indi-
vidualmente. Observar possíveis
dificuldades de cada estudante e,
caso seja preciso, retomar com a
turma as definições e os concei-
tos necessários para esclarecê-las.
Para ampliar o trabalho, pode-se
fazer explorações usando a cal-
culadora, conforme atividade
complementar sugerida a seguir.
Nesse caso, é necessário provi-
denciar calculadoras que tenham
a tecla √
–
para os estudantes
trabalharem individualmente ou
em duplas. Outra possibilidade é
solicitar previamente aos estudan-
tes que levem as calculadoras de
casa. Ou, ainda, podem ser utili-
zadas as calculadoras disponíveis
nos smartphones.
Perguntar aos estudantes se
eles já ouviram falar em número
palíndromo e explicar que esse é
o nome dado aos números que
permanecem iguais, ou seja, não
têm alteração alguma quando
lidos da direita para a esquerda
ou da esquerda para a direita.
Orientá-los a explorar a tecla √
–

para investigar a raiz quadrada
de alguns números palíndromos.
Por exemplo, para calcular
121
e
12321, pode-se fazer:
• Tecle 1 , 2 , 3 , √
–
, e
aparecerá no visor 11 .
• Tecle 1 , 2 , 3 , 2 , 1 ,
√
–
, e aparecerá no visor
111 .
Propor a resolução das ativi-
dades a seguir.
Atividades complementares
1. Investigue, com o auxílio de uma calculadora, qual
é a raiz quadrada do número palíndromo 1 234 321.
Resposta:
1234321 = 1 111
2. O que se pode notar com as raízes quadradas dos nú-
meros palíndromos a seguir? Registre no caderno.
a) 123 454 321
Resposta:
123454321 = 11 111
b) 12 345 654 321
Resposta:
12345654321 = 111 111
Incentivar os estudantes a verificar se há um
padrão nos resultados das raízes quadradas obtidas.
Pedir-lhes que expliquem o padrão que observa-
ram e, caso não consigam, é importante ajudá-los
a identificá-lo. Depois, pedir que indiquem qual
5
a
propriedade
a
b
n =
a
b
n
n
, com a [ r
+
, b [ r
+
*
, n [ n, e n . 1.
Considere as expressões
25
9
e
25
9
. Calculando, obtemos:25
9
=
5
3
e
25
9
=
5
3
Comparando, temos:
25
9
=
25
9
Então:
•
3
7
=
3
7
•

a
5
5 =
a
5
5
5
, com a [ r
+
.
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o valor de cada uma das
expressões.
a)
3
55
b)
7
33
c)
?(25)
77
d)
(5a)
22
2. Decomponha o radicando em fatores
primos e, em seguida, use uma das
propriedades dos radicais aritméticos
para encontrar o valor das expressões.
a)
49
b)
729
6
c)
625
4
d)
1024
10
e)
81
4
f)
343
3
3. Determine o valor do número x em
cada uma das igualdades.
a)
=22
814 4x
b)
10 10
515 x3
=
c)
=55
48 x
d)
=66
x10 5
4. Dividindo o índice do radical e o expoente
do radicando por um mesmo número,
diferente de zero, simplifique os radicais.
a)
2
515
b)
3
714
c)
10
416
d)
5
810
103
5a
2
7
27
33
75
x = 1x = 7
x = 2x = 1
2
3
310
4
5
45
5. Decomponha o radicando em fatores
primos e, em seguida, simplifique cada
um dos radicais.
a)
32
30
b)
27
9
c)
81
16
d)
16
6
e)
64
8
f)
1024
12
6. Determine o número real x em cada
igualdade.
a)
10
6x
= 10
24
b) 3
x5
= 3
15
7. Escreva como um produto de radicais.
a)
?57
b)
ax
3
c)
?311
27
d)
?xy
6
e)
2ab
f)
x
2y3
8. Decomponha o radicando em fatores
primos e escreva cada expressão na
forma de um produto de radicais.
a)
10
b)
21
6

c)
35
9

d)
30
7

e)
15
10

f)
154
3

x = 4 x = 3
57?
ax
3 3
?311
27 7
?
xy
6 6?2a b??
?xx
y3 y3
25?37
6 6
?
57
9 9
?235
7 77
??35
10 10
?27 11
33 3
??
ATIVIDADES
23
3
3
4
2
23
2
34
2
56
40
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Incentivar os estudantes a explicar por que
esse padrão ocorre.
AMPLIANDO
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Simplificando radicais
O objetivo aqui é levar os estu-
dantes a compreender, identificar
e utilizar a simplificação de radi-
cais com a extração de fatores
do radicando.
Inicialmente, pedir-lhes que
façam a leitura individual e atenta
dos exemplos dados no texto do
Livro do estudante, com o objetivo
de compreender como simplifi-
car e extrair fatores dos radicais.
Em seguida, solicitar a alguns
estudantes que expliquem, na
lousa e para a turma, como reali-
zar esses procedimentos a partir
de casos similares às situações
estudadas. Por exemplo:
10
5
, 2
94
, ?32
45
.
Incentivar a expressão oral dos
estudantes e a troca de ideias
entre eles.
SIMPLIFICANDO RADICAIS
Observe as expressões.
•
?57
2
= ?57
2
= ??57 57
Aplicamos a propriedade

=aa
nn
•
??23 7
333 = ??23 7
3 33 33
= 2
3
 3  7 = 212
3
Transformamos o radical
dado em um produto de radicais.
.
=33
33
=77
33
Transformamos o radical
dado em um produto
de radicais.
Assim:
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao
índice do radical, de acordo com a propriedade
a
nn
= a, esses fatores
podem ser extraídos do radicando.
Em alguns casos, o expoente do radicando é maior do que o índice do radical. Procura-se,
então, fazer transformações convenientes no radicando, conforme indicado a seguir.
•
10
3
= 10 10
2
= 10
2
 10 = 1010
•
2
73
= 2 2 2
33
3
= 2
33
 2
33
 2
3
= 2  2  2
3
= 42
3
•
2 5
34
= 2 2 5 5
22 2
= 2
2
 2  5
2
 5
2
= 2  5  5  2 = 502
Há situações, porém, em que há necessidade de fazer uma fatoração do radicando antes de
realizar a extração dos fatores. Acompanhe algumas dessas situações.

1 Simplificar a expressão 75.
Fatorando o radicando 75, obtém-se 3  5
2
. Daí, temos:
75 = 3 5
2
= 3  5
2
= 53

2 Qual é a forma mais simples possível de escrita da expressão
162
3
?
Fatorando o radicando 162, obtém-se 2  34. Daí, temos:
= = =  = =162 23 2332 33 3233 6
3 43 33 3 33 3 3 3
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será o próximo número palíndromo e a raiz qua-
drada dele. Comentar com eles que esse padrão
existe apenas para números palíndromos cujos
algarismos são consecutivos. Isso não acontece
com outros números palíndromos, como:
•
161 1 12,69 • 37573 1 193,84
Incentivar os estudantes a explicar por que
esse padrão ocorre.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades têm como
objetivo levar os estudantes a
simplificar um radical com a extra-
ção de um fator do radicando e a
utilizar os conhecimentos a res-
peito de radicais para resolver
situações-problema.
Salientar aos estudantes que,
na atividade 4, por exemplo, é
dado
2 = 1,41 (valor com apro-
ximação de duas casas decimais),
mas, para determinar melhores
aproximações no cálculo de expres-
sões que resolvem esse radical,
eles podem utilizar outras apro-
ximações para
2, aumentando
a quantidade de casas decimais.
Assim:
•
2 = 1,414 (com aproximação
de três casas decimais)
Ou
•
2 = 1,4142 (com aproximação
de quatro casas decimais)
Incentivar os estudantes a utili-
zar a calculadora para determinar
aproximações de
2, 3, 5 e 6,
com três ou quatro casas decimais.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Fatore o número que aparece no radicando e, depois, simpli-
fique cada um dos radicais retirando os fatores do radicando.
a)
250
3
b) 192
5
c) 1 800 d) 375
3
2. Para a = 40, b = 25 e c = 200, determine o valor numé-
rico da expressão algébrica
cab+.

3 Sabendo que x e y são números reais positivos, simplifique a expressão
2
5
50x
3y
.
Fatorando o número 50, obtém-se 2 ? 5
2
. Daí, temos:
== =
2
5
50xy
2
5
2·5·x·x·y
2
5
·5·x·2·x·y2x2xy
32 2
Acompanhe, a seguir, outra situação relacionada à simplificação de radicais.

4 Se l é a medida do lado de um quadrado, a área desse quadrado é dada por A = l
2
. Calcular a
medida l do lado de um terreno quadrado que tem 700 m
2
de área, considerando
7 1 2,65.
Temos: A = l
2
h l =
A.
Então, l é o número positivo que, elevado ao quadrado, resulta em A, ou seja, l =
A.
No caso, temos:
l= == == =700 2·5·72·5·7 10·7 10·2,6526,5
22
simplificando o radical
O lado desse terreno mede, aproximadamente, 26,5 m.
Responda às questões no caderno.
1. Escreva da maneira mais simples pos-
sível cada um dos radicais, retirando
fatores do radicando.
a)
?3 11
2
b)
?2 7
66
c)
??23 5
555
d)
6
3
e)
2
7
f)
?57
343
2. Nos radicais seguintes, os números x e
y são números reais positivos. Nessas
condições, simplifique cada radical re-
tirando fatores do radicando.
a)
x
5
x
2
x
b)
y
43yy
3
c)
x
9
x
4
x
d)
y
125y
2
y
25
e)
xy
23
xyy
f)
xy
575 xyy
25
3. Fatore o número que aparece no ra-
dicando e, a seguir, simplifique cada
um dos radicais retirando fatores do
radicando.
a)
7553
b)
700
107
c)
176
4
211
4
d)
800202
11
3
2
7
6
10
3
5
8
2
35
7
3
4. Considere os valores a seguir.
•
2 = 1,41
•
3 = 1,73
•
5 = 2,23
•
6 = 2,44
Usando esses valores, simplifique os
radicais e escreva o valor de cada um
na forma decimal.
a)
507,05
b)
275,19
c)
15012,2
d)
50022,3
5. Um terreno quadrangular tem área
de 5 184 metros quadrados. Qual é a
medida de cada lado desse terreno?
6. Elabore um problema parecido com o
anterior. Entregue-o a um colega e peça
a ele que o resolva. Em seguida, verifi-
que se ele obteve o resultado esperado.
7. Sabendo que x =
2304 e y = 64
6
,
qual é o valor da razão
x
y
?
8. Transforme as expressões em um só radical
e, depois, calcule o valor de cada uma.
a)
4096
3 b) 10000
72 m
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
24
2 10
ATIVIDADES
6
6
42
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Resolução das atividades
1. a)
250
3
= 52
33? = 52
3
b)
192
5
= 26
55? = 26
5
c)
1800 = 302
2
? = 202
d)
375
3
= 53
33? = 53
3
2. Para calcular
cab+, sabendo que a = 40,
b = 25 e c = 200, fazemos:
cab+ = 2004025+? = 1200 = 203
Portanto, o valor da expressão é 20
3.
42
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Propor aos estudantes que a
leitura seja feita em duplas e que
eles expliquem a fórmula apre-
sentada. Informar que p indica o
semiperímetro do triângulo (visto
que perímetro é a soma das medidas
dos lados). Em seguida, cada dupla
pode resolver a questão proposta.
Essa seção propicia o desenvolvi-
mento da competência geral 1 e
da competência específica 1 da
área de Matemática.
AMPLIANDO
Link
BITAR, Simone. Robôs e portas automáticas: as invenções de Heron de
Alexandria durante o império romano. Aventuras na História. [S. l.],
11 abr. 2020. Disponível em: https://aventurasnahistoria.uol.com.br/
noticias/almanaque/invencoes-heron-de-alexandria-no-imperio-romano.
phtml. Acesso em: 27 jun. 2022.
No link apresentado, é possível saber mais a respeito da vida e de outros
feitos de Heron de Alexandria durante o período do Império Romano.
Vamos resolver o problema a seguir aplicando a fórmula de Heron.
Uma praça pública triangular tem lados cujas medidas são
110 m, 90 m e 40 m. Qual é, em metro quadrado, a área ocupada
pela praça? Considere
2 = 1,4.
A praça pode ser representada pela figura:
Assim, temos:
a = 110 m, b = 90 m e c = 40 m
p =
a b c
2
++
=
1109040
2
++
=
240
2
= 120
Substituindo esses valores na fórmula deduzida por Heron, temos:
A =
p(pa)(pb)(pc)__ _ = 120(120110)(12090)(12040)__ _
A =
120103080?? ? = 2880000 = ?28810000 = 222 3100
22 22
????
Logo, A = 1 200
2 = 1 200 ? 1,4 = 1 680.
A área ocupada pela praça é de 1 680 m
2
.
Responda às questões no caderno.
1. Considere um terreno triangular, cujas
medidas estão indicadas na figura a seguir.
Qual é a área desse terreno?
(Use
14 = 3,7.)
2. Elabore um problema que possa ser solucionado pela fórmula deduzida por Heron e
entregue-o a um colega para resolvê-lo. Depois, verifique se a resolução está correta.
12814 m
2
ou 473,6 m
2
.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
HERON E A ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Heron de Alexandria, matemático grego que viveu por volta da
segunda metade do século I, desenvolveu tantos e diferentes trabalhos
sobre Física e Matemática que se costuma apresentá-lo como um enci-
clopedista dessas áreas.
Dos trabalhos de Heron, o mais importante é A métrica, organizado
em três livros. É no livro I dessa obra que se encontra a dedução da
fórmula da área de um triângulo em função dos três lados.
Quando conhecemos as medidas a, b e c dos lados de um triângulo
qualquer, podemos determinar a área desse triângulo usando a fórmula
deduzida por Heron:
POR TODAPARTE
Representação de
Heron de Alexandria
ao centro da imagem.
40 m
90 m
110 m
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
48 m
40 m
24 m
UNIVERSAL HISTORY ARCHIVE/UIG/GETTY IMAGES
Área de um triângulo:
p(pa)(pb)(pc)___ , com p =
ab c
2
++
.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo levar os estudan-
tes a simplificar expressões e a
resolver situações aplicando o
que aprenderam para introdu-
zir um fator externo no radical.
Com isso, prossegue-se o tra-
balho de desenvolvimento da
habilidade EF09MA04.
Para a atividade 4, orientar
os estudantes a realizar os cálcu-
los por etapas.
333 = 33 3
2
⋅ =
=
33
34
= 33
434
= 3
78
Após a realização das atividades
dessa página, peça aos estudan-
tes que apresentem oralmente as
conclusões que obtiveram a res-
peito do assunto “introduzindo
um fator externo no radical”,
isto é, que implicações conse-
guiram perceber quanto ao uso
dessa regra.
Enquanto apresentam as con-
clusões, é importante mediar a
conversa, enfatizando, sempre
que possível, a utilidade do
que aprenderam para viabilizar
cálculos matemáticos.
INTRODUZINDO UM FATOR EXTERNO NO RADICAL
A introdução de um fator externo no radical pode ser feita aplicando as propriedades
dos radicais.
Do mesmo modo que, ao simplificarmos radicais, podemos extrair fatores do radicando,
também podemos, se necessário, introduzir um fator externo no radical sem alterar o valor da
expressão. Observe, no exemplo a seguir, que a igualdade se mantém.
23 23
2
=?presença
de fator
externo
sem fator
externo
De modo geral, um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando,
para isso, escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical.
Acompanhe outros exemplos.
1 Introduzir no radicando o fator externo da expressão 53.
5
3 = 5 3
2
? = 25 3? = 75
2 Transformar em um só radical a expressão
x x
35
, com x > 0. Nesse problema, devemos,
inicialmente, introduzir o fator x no radical mais interno.
=? ==xx xx xx
35 335 435 415
pela propriedade:
=aa
nm
mn⋅
Responda às questões no caderno.
1. Introduza o fator externo no radi-
cando dos radicais a seguir.
a) 9
2
b) 2
7
c) 10
5
d) 5
2
3
e) 2
2
5
f) 8
a
g) 2a
a
h) x
x
310
i) 6b
2b
3
2. Transforme cada expressão em um só
radical, sabendo que x e y são dois
números reais positivos.
a)
x x
236
b) x xy
235
3. Escreva, em um único radical, a forma
simplificada da expressão
a
b
a
b
3 .
x
518
xy
7310
a
b
4. Represente a expressão
333 na
forma de um único radical.
5. Qual é a forma mais simples de escre-
ver a expressão
x
y
x
y
3
?
6. Escreva com suas próprias palavras
como introduzir um fator externo no
radical, destacando as propriedades
aplicadas nesse processo. Em seguida,
troque de anotações com um colega,
e, juntos, complementem as explica-
ções um do outro, se necessário.
3
78
x
x
y
3
3
4
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
ATIVIDADES
16228500
250
3
64
5
64a
1. g)
4a
3

h)
x
1310

i)
432b
43
44
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Adição algébrica de radicais
O objetivo é levar os estudan-
tes a reconhecer e compreender
radicais semelhantes, bem como a
realizar as operações de adição e
de subtração de radicais semelhan-
tes e a simplificar expressões que
apresentam radicais semelhantes.
Para isso, sugerir a leitura cole-
tiva do texto no Livro do estudante.
Depois, pedir aos estudantes
que deem exemplos de radicais
semelhantes. Anotar na lousa
as sugestões dadas e verificar
com eles a validade desses exem-
plos. Dar oportunidade para que
expressem as ideias deles. Desse
modo, será possível coletar dados
a respeito do nível de compreen-
são e de possíveis dúvidas dos
estudantes.
ADIÇÃO ALGÉBRICA DE RADICAIS
Para reduzir ou simplificar uma expressão algébrica, podemos utilizar os termos semelhantes.
Por exemplo, na expressão 9x + 3x _ 15x + 8x _ x todos os termos são semelhantes, e podemos
reduzi-la a um só termo.
9x + 3x _ 15x + 8x _ x = (9 + 3 _ 15 + 8 _ 1)x = 4x
Só é possível realizar a adição algébrica de radicais quando eles são semelhantes. Dizemos
que dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando.
Observe.
•
10 e _3
10 são radicais semelhantes.
•
2
3
, _102
3
e 7
2
3
são radicais semelhantes.
Desse modo,
ab+ 5
ab+.
Se em uma expressão há radicais semelhantes, podemos reduzi-la a um só termo. Vamos,
então, considerar estas situações.
1 Reduzir a um só termo a expressão
103 + 53 _ 113 + 23.
Observe que
3 é o fator comum a todos os termos.1035311323+_ + 11
1035311323+_ + 21035311323+_ + = (10 + 5 _ 11 + 2)
36 3=
Logo, 6
3 é a forma mais simples da expressão dada.
2 Simplificar a expressão a seguir. 65 275537 65552737151757__ += __ += += +
57+ é a maneira mais simples de escrever a expressão dada usando radicais, pois não
há mais radicais semelhantes para serem reduzidos.
No entanto, podemos encontrar valores aproximados para os radicais e, em seguida,
adicioná-los.
+57 2,23 + 2,64 1 4,87

forma decimal aproximada de 7
forma decimal aproximada de
5
PANDAPAW/SHUTTERSTOCK.COM
2,23 _ 1,41 1 0,82
•
52_
3 + 1,73 1 4,73
•
33+
O mesmo ocorre com expressões como:
45
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nessas atividades, é impor-
tante reforçar aos estudantes a
ideia de que só é possível adicio-
nar dois radicais, reduzindo-os
a um só termo, quando esses
radicais são semelhantes.
Verificar se ficou claro para os
estudantes que igualdades do tipo
2 + 3 = 5 não são ver-
dadeiras. Para confirmar que
2 + 3 5 5, eles podem, por
exemplo, realizar os cálculos de
cada membro e compará-los.
2 + 3 1 1,41 + 1,73 = 3,145 1 2,23
Como 3,14 5 2,23, conclui-se
que
2 + 3 5 5.
Outra opção é sugerir aos
estudantes que usem uma calcu-
ladora para determinar os valores
de
2, 3 e 5 e confirmar que a
igualdade
2 + 3 = 5 é falsa. AMPLIANDO
Atividade complementar
Sabendo que A =
243162_ e B = 30050_,
determine o valor da expressão A + B.
Resolução da atividade
A =
243162_ h A = 93 _ 9
B =
300 _ 50 h B = 103 _ 52
A + B = 9
3 _ 92 + 103 _ 52 = 193142_
Há expressões que exigem a simplificação de seus termos antes da realização da adição.
Observe os exemplos a seguir.
1 Calcular o valor de +50 18.
Como 50 = 2 ? 5
2
e 18 = 2 ? 3
2
, vamos, então, simplificar cada radical com a extração de
fatores do radicando.
+= ?+ ?= +=50 18 25 23 5232 82
22
Logo, o valor procurado é
82.
2 Simplificar a expressão
+12 75
2147
.
+12 75
2 147
=
?+ ?
?
23 35
2 37
22
2
=
+23 53
143
=
7 3
14 3
=
1
2
3 Escrever a forma mais simples da expressão ++ _200 500 84 5.
++ _200 500 84 5 = ??225
22
+ ??25 5
22
+ ?22
2
_ ?35
2
=
=
102 + 105 + 22 _ 35 = 102 + 22 + 105 _ 35 =
= (10 + 2)
2 + (10 _ 3)5 = 122 + 75
Logo, a forma mais simples da expressão dada é
122 + 75.
Responda às questões no caderno.
1. Reduza as seguintes expressões à
forma mais simples.
a)
+_ ++12 7593 27 48
b)
4125345305+_
c)
+_ +54 6150224
2. Um número real P é tal que P =
72 +
+
3200 + 392. Qual é o valor do
número P? (Considere
2 = 1,41.)
3. Os lados de um triângulo medem
4486 cm, 496 cm e 5216 cm.
Simplifique os radicais e calcule o perí-
metro desse triângulo. (Use
6 = 2,45.)53
5_
36
70,5
200,9 cm
4. Qual é a forma simplificada de cada
uma das expressões?
a)
+28175
63
b)
50 18
200
_
5. Um terreno com forma triangular tem
as medidas, em metro, como indicado
na figura. Qual é o perímetro desse
terreno? (Considere
7 = 2,65.)
6. Elabore um problema que possa
ser resolvido por meio da operação
218 m + 275 m. Depois, troque
de caderno com um colega para que
um resolva o problema que o outro
desenvolveu.
7
3
1
5
129,85 m
2
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
ATIVIDADES
112281753
5
7
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Multiplicação e divisão de
radicais com mesmo índice
Para o estudo da multiplicação
de radicais com o mesmo índice, é
bastante importante que os estu-
dantes se lembrem da aplicação
da propriedade distributiva da
multiplicação. Além dos exemplos
apresentados no Livro do estu-
dante, propor o exemplo a seguir.
Calcular (2 _ 7) ? (5 +
7).
(2 _ 7) ? (5 +
7) = 2 ? 5 +
+ 2 ?
7 _ 5 ? 7 _ 7 ? 7 =
= 10 + 2
7 _ 57 _ 7 =
= 10 _ 7 + 2
7 _ 57 = 3 _ 37
Sugerir aos estudantes que
façam o registro das ideias prin-
cipais acerca da multiplicação e
da divisão de expressões com
radicais de mesmo índice. É inte-
ressante, também, que façam o
fichamento desses procedimen-
tos para uma possível consulta
no decorrer do ano letivo.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS
COM MESMO ÍNDICE
Uma das propriedades dos radicais aritméticos nos mostra que:
?ab
n = a
n
? b
n
, com a > 0, b > 0, n [ n e n . 1.
Aplicando a propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:
a
n
? b
n
= ?ab
n , com a > 0, b > 0, n [ n e n . 1.
Dessa maneira, temos:
•
?= ?=27 27 14
•
?= ?=56 56 30
33 3 3
Assim:
O produto de dois ou mais radicais de mesmo índice
é um radical com o mesmo índice, cujo radicando é igual
ao produto dos radicandos desses radicais.
Utilizando a propriedade distributiva na multiplicação
de radicais
Acompanhe as situações a seguir.
1 Calcular
?_5325()()53 25 53 25 5?_ =? _? =3105 3105
2
=_ =_
2 Calcular
+(322) ? _(352)35 62 6102
22
=_ +_ =3562 620=_ +_ =320562 61 736=_ _+ =_ _
_17_
36+(322) ? _(352)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de atividades, os
estudantes terão a oportunidade
de aplicar as técnicas operatórias
usando algoritmos da multiplica-
ção de radicais de mesmo índice
para efetuar as multiplicações
indicadas e resolver as situações
apresentadas.
Sempre que possível, procu-
rar trabalhar com atividades que
envolvam conceitos geométricos,
principalmente perímetro e área
de figuras planas e volume de
sólidos geométricos.
Aproveitar as atividades para
rever esses conceitos geométricos.
Na atividade 3, por exemplo,
eles poderão trabalhar com a
adição e com a multiplicação de
radicais para determinar a área
do trapézio.
Além disso, na continuação das
atividades na página seguinte,
os estudantes vão efetuar divi-
sões que envolvem radicais de
mesmo índice.
Dividindo expressões com radicais de mesmo índice
Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que:
a
b
n =
a
b
n
n
, com a > 0, b . 0, n [ n e n . 1.
E pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever:
a
b
n
n
= a
b
n, com a > 0, b . 0, n [ n e n . 1.
Agora, observe as divisões.
•
:=== := =405
40
5
40
5
4058 22
•
:= == := =962
96
2
96
2
9624826
3 3
3
3
3 3 33
Temos que:
O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo
índice, cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos desses radicais.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Efetue cada multiplicação e simplifique
o resultado.
a)
8 ? 6
b)
2 ? 27
c)
?4228
d)
210 ?
530
e)
8 ? 12 ? 103
f) 6
7 ? 52 ? 821
2. Dê o perímetro e a área da região re-
tangular representada pela figura.
1915
2 cm
2 cm
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
3. A área de um trapézio é dada pela
fórmula A =
+(Bb)h
2
, em que B
43361461003
1 680
6
Perímetro:
682 cm; área: 570 cm
2
.
representa a medida da base maior, b
representa a medida da base menor,
e h representa a medida da altura.
a) Calcule a área do terreno representado
pela figura, cujas medidas são dadas
em metro.
520530
510
1010
b) A partir da figura desta atividade, elabore
uma questão usando um dos termos
triângulo ou retângulo. Depois, peça
a um colega que resolva o problema que
você propôs, enquanto você resolve a
questão elaborada por ele.
1 250 m
2
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
1. e)
1202
48
D2-MAT-F2-2103-V9-U1-044-059-LA-G24_AV3.indd 48
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48
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na continuação das ativida-
des, os estudantes vão efetuar
divisões que envolvem radicais
de mesmo índice. Sempre que
necessário, retomar com eles os
conceitos já estudados, como no
caso da atividade 9, e relembrar
que a divisão de duas frações
pode ser realizada conservando-
-se a primeira e multiplicando-a
pelo inverso da segunda. Além
disso, relembrar que, para mul-
tiplicar duas frações, efetua-se o
produto entre os numeradores e
entre os denominadores.
Redução de dois ou mais
radicais ao mesmo índice
A redução de radicais ao mesmo
índice é bastante útil quando se
deseja multiplicar ou dividir radi-
cais. Para isso, encontra-se um
múltiplo comum aos índices dos
radicais e faz-se a equivalência
necessária, multiplicando tanto
o índice quanto o expoente do
radicando.
4. Qual é a expressão, na forma mais
simples possível, que se obtém quando
efetuamos as multiplicações a seguir?
a)
5 ? +75() 75 + 5
b)
15 ? +35() 35 + 5
3  23
2
+
c)
8 ? _26() 4
92 _ 43  23
2
+
5. Qual é a expressão que representa o
resultado de
_(753) ? _(283)?
6. Escreva a expressão que represente
cada uma das potências a seguir,
usando uma multiplicação.
a)
+110
2
() 11 + 2
210
b)
_35
2
() 14 _ 6
5
c)
+72
2
() 9 + 214
d)
_107
2
() 17 _ 270
7. Dê o resultado de cada uma das divi-
sões a seguir.
a)
15 : 3 5
b)
21
4
: 7
4

c)
162 : 3
d)
240 : 6
8. Simplifique as expressões.
a)
40
5

b)
54 ? 3
c)
486
3

d)
150
3

9. Qual é o número que representa o
quociente
+
+
:
_(2  3)
(2  6)
(62)
3
?
134 _ 66
3  23
2
+
3
4
36210229292523  23
2
+
REDUÇÃO DE DOIS OU MAIS RADICAIS AO MESMO ÍNDICE
Acompanhe e analise as situações a seguir.
1 Vamos considerar os radicais
7
23
e
6
34
.
Podemos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deve ser múltiplo comum dos índices 3
e 4. Assim, temos: 12, 24, 36, 48, 60, ... Vamos escolher o menor deles, o 12. Agora, observe.
vezes 4 vezes 4
7
23
7
812
vezes 3 vezes 3
6
34
6
912
Nesse caso, temos:
radicais com
índices diferentes
7
23
6
34
e
radicais, respectivamente, equivalentes
àqueles com o mesmo índice
7
812
6
912
e

2 Consideremos, agora, os radicais
a
58
e a
36
, com a > 0.
Vamos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deverá ser múltiplo comum de 8 e 6.
Assim, temos: 24, 48, 72, 96, 120, ... Para facilitar, escolhemos o menor deles, o 24.
Nesse caso, temos:
radicais com
índices diferentes
e
a
58
a
36
radicais, respectivamente, equivalentes
àqueles com o mesmo índice
e
a
1524
a
1224
vezes 3 vezes 3
a
58
a
1524
vezes 4 vezes 4
a
36
a
1224
49
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nessas atividades, os estudan-
tes vão efetuar multiplicações e
divisões que envolvem radicais
de índices diferentes.
Antes de trabalhar com essas
atividades, se necessário, retomar
o conceito de mínimo múltiplo
comum (mmc).
Explicar aos estudantes que será
necessário, inicialmente, determinar
o mínimo múltiplo comum entre
os índices para reduzir radicais com
índices diferentes a um mesmo
índice e transformá-los em radi-
cais equivalentes; então, poderão
realizar as operações indicadas.
Com esse trabalho, perceberão
que, do mesmo modo que no
estudo das frações, o mmc é um
recurso para transformar radicais
com índices diferentes em radi-
cais de mesmo índice.
1. d)
e)
f)
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE RADICAIS COM
ÍNDICES DIFERENTES
A redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice nos possibilita efetuar a multiplicação
e a divisão de radicais que, inicialmente, apresentam índices diferentes.
Acompanhe e analise os exemplos a seguir.

1 Vamos calcular
2
4
? 2
310
.
Como os radicais têm índices diferentes, precisamos, primeiro, reduzi-los ao mesmo índice e,
depois, efetuar a multiplicação.
2
4
? 2
310
= 2
520
? 2
620
= ⋅22
56
20
= 2
1120

2 Calcular
10 :
10
3
.
Inicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo índice e, em seguida, efetuamos a divisão.
10 : 10
3
= 10
36
: 10
26
= :1010
32
6
= 10
6
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Reduza ao mesmo índice cada conjunto
de radicais a seguir.
a)
2
3
,
3
b)
a
37
,
b
23
c)
3
25
,
3
34
d)
2
514
, 2
921
e)
3
210
,
2
6
, 2
415
f)
3
45
,
6
10
,
2
2. Reduza cada par de radicais ao mesmo
índice e, em seguida, compare os valores
obtidos utilizando os sinais . ou ,.
a)
2
10
e 2
215
b)
3
1012
e 3
1118
c)
2
38
e 2
36
3. (Fuvest-SP) Se a =
2 e b = 2
4
, então
o valor de a ? b é:
a)
8
4
b)
4
4
c)
4
d)
4
8
e)
8
8
2
26
,
3
36
a
921
,
b
1421
3
820
, 3
1520
2
1542
, 2
1842
3
630
, 2
530
, 2
830
3
810
, 6
10
, 2
510
2
330
, 2
430
3
3036
. 3
2236
2
924
, 2
1224
Alternativa a.
4. Efetue as operações indicadas e,
quando possível, simplifique cada
resultado.
a)
10
3
? 10
5
b)
7 : 7
5
c)
3
4
? 3
d)
2 : 2
720
e)
5
26
: 5
310
f)
7
56
:
7
23
g)
2
34
? 2
45
? 2
710
h)
6
58
: 6
212
5. Em cada uma das expressões, a e b são
números reais positivos. Escreva, então,
a expressão algébrica que representa o
resultado de:
a)
ab
538
: ab
26
b)
ab
769
: ab
326
c)
a
b
:
b
a
3
d)
ab
534
: ab
10912
e)
()ab
ab
5
6
34
10
815
7
310
3
34
2
320
5
30
7
6
6
1124
ab
1124
ab
5618
a
b
5
5
6
a
512
ab
712
42
4
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Potenciação de radicais
O estudo da potenciação de
radicais finaliza o bloco de ope-
rações realizadas com radicais. O
desenvolvimento de potências que
envolvem adição ou subtração de
radicais, como em
+()53
2
,
será feito, inicialmente, com a
aplicação da propriedade distri-
butiva da multiplicação.
Incentivar os estudantes a trocar
ideias com os colegas a respeito
de temas sobre os quais ainda
tenham dúvida. Acompanhá-los
e orientá-los nesse trabalho. Se
necessário, explicar na lousa as
dúvidas que ainda persistam.
ATIVIDADES
POTENCIAÇÃO DE RADICAIS
Considere as seguintes potências.
(10)
2
, (7)
3
, (2)
53
Usando a definição de potência (produto de fatores iguais), temos:
•
(10)
2
= 10 ? 10 = 10
2
= 10
•
(7)
3
= 7 ? 7 ? 7 = 7
3
= ?77
2
= 77
•
(2)
53
= 2
5
? 2
5
? 2
5
= 2
35
Assim, de modo geral:
(a)
nm
= a
mn
, com a [ r
+, m [ z, n [ n e n . 1.
Então:
•
(3)
5
= 3
5
= ??3 3 3
22
= 93
•
(10)
3 4
= 10
43
= ?10 10
3
3
= 1010
3
Nas expressões que envolvem radicais, podemos aplicar a propriedade distributiva da multi-
plicação. Observe.
+(5 3)
2
= +(5 3)? +(5 3)= (5)
2
+ 5 ? 3 + 3 ? 5 + (3)
2
=
= 5 + 2
15 + 3 = 8 + 215
Responda às questões no caderno.
1. Calcule as potências a seguir.
a)
(21)
2
b)
(4)
32
c)
(83)
2
d)
(2)
49
e)






1
2
10
2
f)
(8)
62
2. Nas expressões seguintes, a e b são
números reais positivos. Nessas condi-
ções, escreva a forma mais simples de
cada expressão algébrica.
a)
(ab)
2

b)
(ba)
34
ab
4
a
3
c)
(abb)
34
a
4
b
5
b
3
d)






a
b
ab
2

a
b
3
3. Um número real A é tal que
A = 5
32 _
(22)
3
. Qual é o valor de A?
21
2
2
3
192
42
4
5
2
2
a
2
b
4
2
4. São dados os números reais x = 2
10 e
y = 10
2. Qual é o valor da expressão x
2
y
2
?
5. Considere os números reais a = 3
2 e
b = 2
3e determine, na forma decimal,
o valor da razão
a
b
. 1,22
6. Aplicando a propriedade distributiva,
calcule.
a)
+(3 2)
2

b)
_(17)
2
c)
+_(425)(425)
d)
+(210)
2

e)
+_(117)(117)
f)
+(332)
2

8 000
5 + 2
6
14 + 4
10
8 _ 2
7
4
7
29 + 6
6
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Racionalização
de denominadores
Aqui, o objetivo é levar os estu-
dantes a aplicar as propriedades das
frações e dos radicais e a proprie-
dade distributiva para racionalizar
denominadores de expressões
fracionárias.
É sempre interessante propiciar
situações em que os estudantes
possam desenvolver a autonomia.
Para isso, sugerir-lhes a leitura indi-
vidual e cuidadosa do texto dessas
páginas com o objetivo de com-
preender e aplicar os conceitos e
as propriedades utilizadas para a
racionalização dos denominado-
res de uma expressão fracionária.
Depois da leitura, perguntar aos
estudantes o que é a racionaliza-
ção de denominadores. Pedir-lhes
que mostrem, por meio de exem-
plos dados na lousa ou no Livro
do estudante. Neste momento,
incentivar a expressão oral e a
troca de ideias entre a turma.
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Consideremos, inicialmente, a expressão
1
3
.
Vamos calcular a forma decimal aproximada
da expressão
1
3
, adotando
3 = 1,732 (apro-
ximação com três casas decimais).
1
3
1
1
1,732
1 0,577
Voltemos a considerar a expressão
1
3
.
Pela propriedade de equivalência de frações, podemos multiplicar o numerador e o denomi-
nador dessa expressão pelo mesmo número
(3), para, em seguida, determinar a forma decimal
aproximada do resultado.
=
?
?
1
3
13
3 3
=
3
3
2
=
3
3
1 0,577
As expressões
1
3
e
3
3
são equivalentes, pois obtivemos o mesmo resultado na forma
decimal aproximada: 0,577.
Uma transformação em que o denominador obtido é um número
racional é chamada de racionalização de denominadores.
Essa racionalização consiste em transformar uma expressão, cujo denominador apresenta
números irracionais, em uma expressão equivalente, com denominador no qual há, apenas,
números racionais.
Acompanhe alguns exemplos de racionalização de denominadores.

1 Racionalizar o denominador da expressão
5
310
.
Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
10, temos:
expressão equivalente com
denominador racional
5
310
=
?
?
510
310 10
=
?
5 10
310
2
=
?
5 10
3 10
=
10
6
1,732 3
23 0,577
22
1
IRINA TIHOMIROVA/SHUTTERSTOCK.COM
10 000 1 732
134000,577
12760
0636
IRINA TIHOMIROVA/SHUTTERSTOCK.COM
52
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Os estudantes aplicarão, nessas
atividades, os conhecimentos adqui-
ridos e realizarão a racionalização
de denominadores usando proprie-
dades de radicais e a propriedade
distributiva.
Sugerir que essas atividades
sejam feitas individualmente.
Assim, é possível observar melhor
as possíveis dificuldades e dúvidas
de cada estudante. Depois, retomar
os conceitos e procedimentos
para esclarecer as dúvidas.

2 Racionalizar o denominador da expressão
3
5
4.
Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
5
34
, temos:?=
?
?
==
3
5
5
5
35
55
35
5
35
5
4
34
34
34
4 34
34
4
34

3 Racionalizar o denominador da expressão
_
2
13
.
Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
+13, temos:
_
?
+
+
=
+
_+
=
+
+_ _
=
2
13
13
13
2(13)
(13)(13)
2(13)
1333
2

=
+
_
=
+
_
=__
() ()213
13
213
2
13
Responda às questões no caderno.
1. Racionalize o denominador de cada
uma das expressões.
a)
2
10
b)
6
6
c)
9
3
d)
5
2
e)
20
25
f)
3
6
g)
20
310
h)
23
52
i)
73
27
2. Dadas as expressões a seguir, racionalize
os denominadores.
a)
_

1  3
3
b)
_

3  2
2
c)
+5  2
5
d)
_32
3
e)
+2  2
2
f)
+12
5
3. Sabendo que
a
b
n =
a
b
n
n
, racionalize o
denominador de cada uma das seguin-
tes expressões.
10
5
63310
2
256
2
210
3
6
5
21
2
_3  3
3
32 2
2
_510
5
+
3  6
3
_
2 + 1
+510
5
a)
3
10
b)
3
5
c)
1
2
d)
1
8
e)
5
3
f)
5
8
4. Determine, na forma decimal, o valor
de cada expressão. (Use
6 = 2,449; 2 = 1,414; e
10 = 3,162.)
a)
3
2
b)
2
5
c)
1
2
d)
2
3
5. Racionalize os denominadores das
expressões.
a)
1
6
35
b)
15
5
3
c)
2
2
79
d)
6
3
510
e)
4
8
34
f)
20
10
811
6. Racionalize o denominador das seguin-
tes expressões.
a)
_
1
3  6
b)
+
2
5  3
c)
_
+
2  2
3  2
d)
_
_
2 22
2  210
4
15
3
2
4
30
10
2
2
15
5
1,224 0,707
0,8160,632
6
6
25
35
23
2
29
23
510
8
2
4
210
311
36
3
+5 _ 38  52
7
_2_
ATIVIDADES
53
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53
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Potência com
expoente racional
Retomar discussões e apon-
tamentos elaborados pelos
estudantes, auxiliando-os na
conclusão de que as proprieda-
des estudadas para as potências
com expoentes inteiros também
são válidas para as potências com
expoentes fracionários.
Propor situações que envolvam
o uso da calculadora. Exemplo:
• Sem usar a tecla √
–
, obter um
valor aproximado para
8354
e verificar o resultado. Orientar
os estudantes a verificar o va-
lor encontrado, multiplicando
o resultado por ele mesmo e
comparando o produto obtido
com 8 354.
POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Já estudamos expressões da forma 10
2
, 6
_1
e 2
0
, que são potências com expoentes inteiros
cujos significados já conhecemos:
10
2
= 100
=
_
6
1
6
1
2
0
= 1
Mas qual será o significado de uma potência com expoente fracionário? Vamos considerar
algumas situações.

1 Qual é o significado de 2
3
4
?
• Consideremos um número real y, tal que y = 2
3
4
. Se elevarmos os dois membros à 4
a
potên-
cia, teremos:
y = 2
3
4
h y
4
= (2)
3
44
h y
4
= 2
3
I
• Consideremos um número real x, tal que x =
2
34
. Elevando os dois membros à 4
a
potência
e utilizando as propriedades de radicais, temos:
x =
2
34
h x
4
= 2
124
h x
4
= 2
3
II
Comparando I e II, obtemos y
4
= x
4
. Como x . 0 e y . 0, temos:
y
4
= x
4
h y = x
Na expressão anterior, como os expoentes são iguais, as bases positivas também são iguais.
Assim, podemos escrever: 2
3
4
=
2
34
.

2 Vamos considerar, agora, o radical 2
205
.
Como o radicando 2
20
pode ser escrito na forma (2)
45
, é possível fazer:
2
205
= (2)
455
= 2
4
.
Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma
20
5
, pois 4 =
20
5
. Portanto, podemos
escrever:
2
205
= 2
4
= 2
20
5
potência com expoente fracionário
O mesmo ocorre quando temos, por exemplo:
•
10
123
= 10
12
3
• 2
306
=
2
30
6
Observe que, nos exemplos, o expoente do radicando é múltiplo do índice do radical.
No entanto, mesmo quando isso não ocorre, procedemos dessa maneira. Acompanhe.
•
2
53
= 2
5
3
• 10
23
= 10
2
3
• 5 = 5
1
2
• 3
58
= 3
5
8
Assim, podemos escrever:
a
m
n
=
a
mn
, com a [ r
+
, m [ z e n [ z
+
*
.
54
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Essas atividades têm como
objetivos a escrita de radicais na
forma de potência com expoente
fracionário e o cálculo de potências
com expoente fracionário, reco-
nhecendo que as propriedades
estudadas para potências com
expoentes inteiros valem também
para as potências com expoen-
tes fracionários. Essas atividades
favorecem a apropriação das habi-
lidades EF09MA03 e EF09MA04.
Na atividade 5, acompanhar
os estudantes durante a elabo-
ração da expressão e verificar
se aplicam adequadamente os
conhecimentos estudados neste
capítulo. Depois de resolverem as
expressões propostas, é interes-
sante que eles troquem estratégias
entre si e confiram os resultados.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Escreva, na forma de potência com expoente fracionário, os ra-
dicais a seguir.
a)
7
23
b) 5
9
2. Escreva as potências com expoentes fracionários na forma de radical.
a) 10
3
4 b) 8
5
7
3. Escreva na forma de uma única potência de base 3.
a) 3
1
3
1
2
() b) 33
2
3
1
6:
_
c) 27
1
6
Resolução das atividades
1. a)
77
23
2
3= b)
55
9
1
9=
2. a)
10 10
3
4 34
= b) 88
5
7 57
=
3. a)
3
33
1
3
1
2
1
3
1
2
1
6==
?
()
b) 3
2
3 : 3
1
6
_






= 3
2
3
1
6
+
= 3
5
6
c) 2733
1
6
3
1
6
1
2==
?
Acompanhe as seguintes situações.

1 Qual é o valor da expressão 81
0,75
?
Inicialmente, fazemos:
==0,75
75
100
3
4
: 25
: 25
Decompondo 81, temos 81 = 3
4
.
81
0,75
= 81
3
4
=(3)
4
3
4
=
?
3
4
3
4
= 3
3
= 27
Logo, 81
0,75
= 27.

2 Qual é o número real expresso por
_
36
1
2
?
Decompondo 36, encontramos 2
2
? 3
2
= (2 ? 3)
2
= 6
2
.
_
36
1
2
=
_
(6)
2
1
2
=
_
6
2
1
2






=
_
6
1
=
1
6
Logo, 36
1
2
−
=
1
6
.
WAVEBREAK MEDIA/EASYPIX BRASIL
Responda às questões no caderno.
1. Escreva, na forma de potência com
expoente fracionário, os radicais a
seguir.
a)
2
37
b)
10
45
c)
2
5
d)
2
6
e)
11
f)
2
34
2. Escreva, na forma de radical, as se-
guintes potências com expoentes
fracionários.
a) 5
2
3
b) 3
5
7
c) 7
1
2
d) 6
4
3
e) 6
3
2
f) 7
4
9
3. Sabendo que x é um número real po-
sitivo, escreva na forma de uma única
potência de base x (com x . 0) a ex-
pressão x
1
2
? x
1
3
. Em seguida, escreva
a potência obtida na forma de radical.
2
3
7
10
4
5
2
5
2
2
1
6
11
1
2
2
3
4
5
23
3
57
76
43
6
32
7
49
x
5
6
;
x
56
4. Considere os radicais a seguir e faça o
que se pede.
3
36
1,2
64
p
106
7
1815
a) Escreva os radicais na forma de potência
com expoente fracionário e simplifique a
potência obtida.
b) Represente, na forma de radicais, as po-
tências obtidas no item anterior.
c) Compare cada radical dado com o
respectivo radical obtido no item b e
responda: Em que condições é possível
simplificar um radical?
5. Elabore uma expressão numérica que
envolva potências com expoentes fra-
cionários e que resulte 1. Troque de
caderno com um colega para que um
resolva as expressões que o outro criou.
4. b)
3,(1,2), e
553 65
pp
3
1
2;
(1,2)
3
; p
5
3 e 7
6
5
Quando o índice do
radical e o radicando têm divisores comuns.
ATIVIDADES
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
As mesmas propriedades
que já estudamos para potências
com expoentes inteiros são válidas
para as potências com expoentes
fracionários.
55
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Calculando raízes com
a calculadora científica
Existem vários tipos de calcula-
dora: básica, científica, financeira,
estatística, gráfica, entre outros.
Para o Ensino Fundamental e
o Ensino Médio, em algumas
ocasiões, orienta-se o uso da cal-
culadora científica, pois ela permite
acesso a operações matemáticas
estudadas nesses segmentos de
ensino. Os estudantes poderão
certificar-se de que os cálcu-
los estão corretos ao longo do
estudo de conceitos como poten-
ciação, radiciação, logaritmos,
trigonometria, fatorial, além das
operações fundamentais.
É interessante comentar que
muitos celulares apresentam as
funções de uma calculadora cien-
tífica. Além disso, também há
sites que apresentam calculado-
ras científicas on-line. Seguem
duas sugestões de calculado-
ras desse tipo.
• CALCULADORA científica.
Calculadora On-line. [S. l.],
c2022. Disponível em: https://
www.calculadoraonline.com.
br/cientifica. Acesso em: 27 jun.
2022.
• WEB 2.0 CALC. [S. l.], c2006-
c2022. Site. Disponível em:
https://web2.0calc.com/. Aces-
so em: 27 jun. 2022.
Ao trabalhar com a calcula-
dora, é preciso conhecê-la. Todas
as calculadoras científicas são
similares; o que diferencia uma
da outra é a maneira como as
informações serão introduzidas.
Por isso, é importante familia-
rizar-se com as teclas e com as
funções de cada uma. Esse estudo
propicia o desenvolvimento da
competência específica 5.
CALCULANDO RAÍZES COM A CALCULADORA
CIENTÍFICA
Vamos estudar como trabalhar com a radiciação usando uma calculadora científica.
Nem todos os modelos de calculadora científica apresentam as três teclas destacadas na
fotografia a seguir. Se esse for o caso da calculadora que você está usando, pesquise quais são
as teclas que têm função semelhante às destacadas. Se necessário, junte-se a um colega.
Observe, nos quadros a seguir, algumas funções das teclas destacadas.
Calculadora
científica.
A tecla
é utilizada para calcular a raiz quadrada de um número. Essa tecla
também é encontrada em algumas calculadoras simples.
Para calcular
169, por exemplo, devemos acompanhar o passo a passo a seguir.
1. Clique em
e digite o radicando 169.
2. Para finalizar, aperte a tecla ==. No visor, vai aparecer o número 13.
A tecla x
3
é utilizada para o cálculo de potências de expoente 3. Contudo, a
função desejada é a função secundária, ou seja, a que está em amarelo e que é usada
para o cálculo de raízes cúbicas.
Vamos acompanhar uma aplicação? Por exemplo, o cálculo de
8
3
. Para fazer esse
cálculo, adotamos este procedimento:
1. Pressionamos a tecla Shift e habilitamos a função secundária do teclado.
2. Em seguida, clicamos em x
3
.
3. No visor, vai aparecer o radical com índice 3.
4. Depois, digitamos o radicando, que, nesse caso, é 8.
5. Por fim, apertamos a tecla ==. No visor, vai aparecer o número 2.
DANUT VIERU/SHUTTERSTOCK.COM
EDITORIA DE ARTE
56
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Atividade complementar
Como curiosidade, indicar o filme O Céu de Ou-
tubro para os estudantes e fazer alguns comentários
relacionados ao cálculo de radicais.
O Céu de Outubro conta a história de Homer e seus
amigos, adolescentes de uma pequena cidade do interior
dos Estados Unidos, cuja principal atividade profissional
era uma antiga mineradora de carvão. Para realizar o so-
nho de colocar um foguete em órbita e, ainda, concorrer a
uma bolsa de estudos em uma universidade conceituada,
Homer teve de aprender alguns conceitos matemáticos, in-
cluindo os que foram vistos nesta Unidade.
Mais informações a respeito do filme estão disponí-
veis em: EXTRACLASSE – Dica cultural – Filme: Céu de
Outubro. 2011. Vídeo (1min09s). Publicado pelo canal
Educa Play. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=kdjoUQ8ecyg. Acesso em: 27 jun. 2022.
AMPLIANDO
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Descubra mais
O uso de calculadoras on-line
ou de aplicativos amplia aos estu-
dantes a possibilidade de uso dessa
ferramenta, uma vez que pode ser
realizado no celular ou em com-
putadores, sem a necessidade de
ter o objeto calculadora propria-
mente dito. Caso haja laboratório
de informática na escola, pode-se
utilizá-lo para que os estudantes
conheçam as ferramentas citadas
e façam uso delas.
Recomenda-se que seja dis-
cutido com a turma como o
avanço das tecnologias influen-
ciou o modo como a Matemática
é utilizada no cotidiano.
AMPLIANDO
Texto
OLIVEIRA, Edvaldo Fialho de. A cal-
culadora como ferramenta de
aprendizagem. 53 f. Trabalho de
Graduação em Licenciatura em Ma-
temática – Universidade Estadual
Paulista, Faculdade de Engenharia
de Guaratinguetá, 2011. Disponí-
vel em: https://repositorio.unesp.br/
bitstream/handle/11449/120264/
oliveira_ef_tcc_guara.pdf?sequence
=1. Acesso em: 27 jun. 2022.
Nesse trabalho, é possível en-
contrar um pouco da história e da
evolução dessa importante ferra-
menta, um pouco sobre o uso dela
em sala de aula e as possibilidades
que podem ser exploradas com es-
se recurso.
CALCULADORA. GeoGebra. Disponível em: geogebra.org/calculator. Acesso em: 22 fev. 2022.
Caso não tenha uma calculadora científica, você pode usar a calculadora científica de celulares ou
computadores, ou, ainda, acessar calculadoras científicas na internet. Por exemplo, a calculadora científica
disponível no software GeoGebra. Com ela, é possível obter gráficos, ferramentas de Geometria e
Estatística, entre outras.
DESCUBRA MAIS
Como no caso anterior, também vamos usar a função secundária da tecla
^
.
A função secundária dessa tecla calcula raízes com qualquer valor para o índice.
Observe, por exemplo, como calcular
1296
4 .
1. Digite o valor do índice; no caso, 4.
2. Por meio da tecla Shift, habilite a função secundária e, em seguida, clique em
^
.
Aparecerá na tela o radical e, no lugar do índice, aparecerá x.
3. Digite o radicando; neste caso, 1 296.
4. Para finalizar, aperte a tecla
=
. No visor, vai aparecer o número 6.
Vamos efetuar alguns cálculos com expoentes fracionários, escritos na forma
decimal.
Observe, por exemplo, como calcular 49
0,5
.
1. Digite o valor da base; no caso, 49.
2. Em seguida, digite a tecla
^
.
3. Digite o expoente, 0,5.
4. Para finalizar, aperte a tecla
=
. No visor, vai aparecer o número 7.
Responda à questão no caderno.
1. Agora que você já conheceu alguns recursos da calculadora científica para o cálculo
de raiz, faça os cálculos.
a)
32768
5
b)
784
c)
46656
3
d)
1048576
10
e) 16
0,25
f) 32
0,2
g) 121
0,5
h) 243
0,4ATIVIDADES
8
2
36
11
28
2
4
9
57
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Desafiar os estudantes a resolver um dos pro-
blemas com os quais Homer se deparou. Pedir que
calculem qual deveria ser a velocidade teórica inicial
(v
0
) de lançamento para que o foguete atingisse uma
altura máxima de 95 m. Para isso, os estudantes deve-
rão utilizar a equação de Torricelli (físico e matemático
italiano), v
2
= v
2
0
_ 2gh, adotando g = 10 m/s
2
para
a aceleração da gravidade, sabendo que, quando o
foguete atinge sua altura máxima (h = h
máx
), sua ve-
locidade é nula (v = 0). Se necessário, permitir o uso
de calculadora para calcular alguma raiz.
Essa atividade pode ser realizada em parceria
com o professor de Ciências, pois envolve alguns
conceitos de Física.
Resolução da atividade
Do enunciado do problema, tem-se as seguin-
tes informações.
g = 10 m/s
2
h = 95 m v = 0 m/s
Determinar a velocidade teórica inicial (v
0
). En-
tão, utilizando a equação de Torricelli, tem-se:
0
2
= v
2
0
_ 2 ? 10 ? 95
0 = v
2
0
_ 1 900
v
2
0
= 1 900
v
0
= ± 1900
Como se quer determinar a velocidade inicial,
ela não pode ser negativa, então:
v
0
= +1900 1 43,59
Portanto, a velocidade teórica inicial do foguete
deveria ser 43,59 m/s. 57
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
As atividades propostas nessa
seção visam retomar o trabalho
com números reais. Incentivar
os estudantes a socializar suas
estratégias e a trocar ideias com
colegas a respeito de temas sobre
os quais ainda tenham dúvida.
Acompanhá-los e orientá-los nesse
trabalho. Usar esse momento
para esclarecer as dúvidas que
ainda persistam.
Na atividade 5, para resol-
ver a expressão dada, orientar
os estudantes a utilizar a 4
a

propriedade dos radicais e, em
seguida, aplicar a propriedade
distributiva da multiplicação por
partes, iniciando pelo produto
+()55 ? _()55 .
Responda às questões no caderno.
1. Observe as afirmações e verifique se
são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) O número 3,8 não pertence ao con-
junto dos números irracionais.
b) O número
7 pertence ao conjunto dos
números irracionais.
c) Todo número racional também é um
número irracional.
d) O número
81 pertence ao conjunto
dos números racionais.
e) O número 5,80 pertence ao conjunto
dos números naturais.
2. A representação decimal de um
número pode ser: finita, infinita e
periódica ou, ainda, infinita e não pe-
riódica. Escreva qual é o caso de cada
um dos números a seguir.
a)
27
6
b) 0,23 c)
2
3. Observe os números a seguir e res-
ponda às questões.
_97;
3
5
; _
3;
49
7
; 1,25; p
a) Alguns desses números pertencem ao
conjunto dos números naturais? Quais?
b) Quais números pertencem ao conjunto
dos números inteiros?
c) Quais números são irracionais?
d) Quais números são reais, mas não são
racionais?
e) Quais números são reais, mas não são
irracionais?
4. Escolha um número irracional e faça
uma construção para representá-lo na
reta numérica, identificando-o pela
letra P. Em seguida, troque de caderno
com um colega para que um descubra
o número que o outro representou.
V
V
F
V
F
Infinita e não
periódica.
Infinita e periódica.
Finita.
Sim;
49
7
.
_97;
49
7
_
3 e p.
_
3 e p.
1,25;
49
7
; _97;
3
5
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
5. Qual é o resultado da expressão
5 ? +55() ? _5 5() ?
a)
5
b) 2
5
c) 10
d) 10
5
e) _10
6. Qual é o número que se obtém
ao simplificar a expressão
+_ _31 10 83 4
65
?
a) 2
b) 1
c) 3
d) 4
e) 6
7. A expressão numérica 81
1
2
+ 32
1
5
tem
valor:
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
8. Calcule o valor de x + y, sabendo que
2 + x = 42 e 3 ? y = 5
6.
a) 2
2
b) 4
2
c) 5
2
d) 8
2
e) 10
2
9. Sendo a =
24 e b = 36
4
, o valor do
produto ab será:
a) 2
6.
b) 6.
c) 12.
d) 4
6.
e) 24.
10. A expressão
(2)
963 5
? (2)
936 5
é
igual a:
a) 2.
b) 2
2.
c)
32.
d)
2
10
.
e) 32.
11. Qual é o valor da expressão
32 + 48 _
50 _(2)
3
?
a) 5
2
b)
2
c) _5
2
d) 6
2
e) _
2
Alternativa c.
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa d.
Alternativa c.
Alternativa e.
Alternativa a.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento desta
Unidade possibilitam, além de
uma retomada dos conteúdos
apresentados, reflexões acerca
das aprendizagens individuais.
É importante que os estudan-
tes respondam individualmente
a cada uma das questões para
que, assim, possam perceber
suas aprendizagens e dúvidas a
respeito de cada conteúdo apre-
sentado na Unidade.
As questões iniciais dessa seção
visam retomar alguns concei-
tos tratados na abertura desta
Unidade. É uma oportunidade
para verificar as aprendizagens
desenvolvidas ao longo das explo-
rações da Unidade.
A terceira questão deve ser
resolvida por meio de desenho
geométrico, indicando uma pos-
sibilidade para medir o segmento,
conforme a construção a seguir.
EDITORIA DE ARTE
0 1
1
2
2
Construir um triângulo retân-
gulo isósceles cujos lados menores
meçam 1 u e um deles esteja sobre
uma reta numérica, a partir do
zero. Desse modo, o lado maior
mede
2 u. A partir dessa cons-
trução, com o compasso aberto
com a medida do lado maior,
posicionar a ponta-seca sobre o
zero da reta numérica e traçar um
arco de circunferência que inter-
secte a reta numérica.
O ponto em que o arco de cir-
cunferência traçado cruza a reta
numérica está a
2 u de distância
do zero da reta numérica.
A última questão retoma a exis-
tência de resultado no conjunto
dos números reais para a raiz de
um número negativo. Destacar
que a raiz de um número nega-
tivo, quando o índice da raiz é
par, não está definida no con-
junto dos números reais.
12. Se x = 1 _
3 e y = _1 + 3, o
número real que expressa o valor
x
2
_ y
2
é:
a)
3.
b) 1.
c) _1.
d) 0.
e) 2.
13. Sabendo que
2
x
= 2
12
e
5
y3
=
5
15
,
o valor de x _ y é:
a) 1.
b) 0.
c) 6.
d) 5.
e) 10.
14. Qual é o número inteiro que se
obtém ao simplificar a expressão
3
10 _
10
103_
?
a) 1
b) 5
c) 10
d) _10
e) _5
Alternativa d.
Alternativa a.
Alternativa d.
15. Se A = 8
1
3
+ 16
1
4
_ (2)
2
+ 8
4
3
, então
A vale:
a) 20.
b) 18.
c) 16.
d) 14.
e) 10.
16. O valor da expressão
32
0,2
+ 27
0,5
_
108
2
1
2()
+ ()0,0016
0,25
é:
a) 2.
b) 2,2.
c) 22.
d) 2,2 + 63.
e) 22 + 6
3.
Alternativa c.
Alternativa b.
Nesta Unidade, ampliamos os estudos sobre o conjunto dos números reais, e foi
possível explorar: os números irracionais e sua descoberta por meio da Geometria, o
número p, os números reais e o cálculo com radicais, iniciando pela raiz enésima de um
número real, seguindo pelas propriedades operatórias dos radicais, pela simplificação,
pela adição algébrica, pela multiplicação e pela divisão, chegando à potenciação de
expressões com radicais.
Para melhor organizar o estudo dos cálculos com radicais, sugere-se que se faça um
breve resumo de cada propriedade, com um ou mais exemplos. Com esse resumo, você
pode retomar as aprendizagens desta Unidade.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• A abertura desta Unidade apresentou o número irracional p. Agora, responda nova-
mente à questão: “Como podemos obter uma aproximação para o número p?”.
• Na abertura desta Unidade, você foi convidado a sugerir um número que, assim como
o número p, também fosse um número irracional. O número que você sugeriu é um
número irracional? Se sim, qual característica esse número apresenta para ser conside-
rado um número irracional? Se não, qual número você responderia se fosse novamente
convidado a responder a essa questão?
• Como podemos construir geometricamente um segmento de medida
2?
• Considerando o conjunto dos números reais, em que situação não existe a raiz de um
número negativo?
Respostas na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
UM NOVO OLHAR
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 3, 4, 7, 8 e 9
Competências específicas:
• 2, 3, 4 e 6
Habilidade:
Álgebra
• EF09MA09
Temas Contemporâneos
Transversais:
• Saúde
• Educação para o Consumo
•
Educação para valorização do multi-
culturalismo nas matrizes históricas
e culturais Brasileiras
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em dois capítulos; ela apresenta
os conteúdos por meio de exem-
plos contextualizados e atividades
diversificadas e traz seções com
temas que contribuem para a for-
mação integral dos estudantes
favorecendo o desenvolvimento
das competências gerais 3, 7 e 9.
No primeiro capítulo, são apre-
sentados os produtos notáveis e
suas representações algébrica e
geométrica, o que pode contribuir
para ampliar a compreensão desse
tópico. No segundo capítulo, são
apresentadas diversas técnicas de
fatoração de polinômios e como
essas técnicas podem ser aplica-
das na resolução de equações
que podem ser escritas como um
produto nulo. Esses temas favore-
cem a apropriação da habilidade
EF09MA09.
A Unidade é permeada de seções
que trazem informações sobre con-
textos de relevância social e cultural,
como saúde, consumo consciente
e cultura afro-brasileira, os quais
colaboram com o desenvolvimento
de diversas competências gerais e
específicas e Temas Contemporâneos
Transversais (TCTs).
OBJETIVOS
• Compreender produtos notá-
veis (representações geométrica
e algébrica).
•
Compreender diferentes estratégias de fato-
ração de polinômios.
• Resolver um caso particular de equações por
meio da fatoração.
• Conhecer o conceito de média móvel e apli-
car os conhecimentos sobre tabelas e gráficos
de linhas em uma situação real.
• Refletir sobre o consumo consciente.
• Reconhecer características e a importância da
cultura afro-brasileira.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se o estudo de pro-
dutos notáveis e de fatoração de polinômios como
ferramentas para facilitar o cálculo algébrico.
Esses temas têm o objetivo de preparar os estu-
dantes para o estudo das equações polinomiais
de 2
o
grau. Desse modo, pretende-se favorecer
o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.
UNIDADE
PRODUTOS NOTÁVEIS
E FATORAÇÃO2
Imagem da montagem de
um vitral, confeccionado
pelo artista plástico
mineiro Célio de Moura,
que, desde 1982,
dedica-se à pesquisa e
ao trabalho com vitrais.
O vitral é um tipo de vidraça
formada por pedaços de vidro colorido
combinados para formar desenhos,
cenas ou personagens. Essa técnica
teve origem no Oriente, por volta do
século X, e difundiu-se pelo continente
europeu na Idade Média.
Inicialmente, os desenhos são feitos
em papel, mostrando como ficará a peça
finalizada. Depois, o vidro é cortado e
preparado (pintura e aquecimento em
fornos específicos) para a montagem
final, como um quebra-cabeça.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
A abertura desta Unidade
pretende mostrar que muitos
temas estudados nas aulas de
Matemática estão interligados e
podem ser explorados por vias
distintas. No caso dos produtos
notáveis, será mostrado como a
representação geométrica ajuda
a entender a manipulação algé-
brica de determinado produto.
Antes de propor a primeira
questão da abertura, é interes-
sante conversar com a turma sobre
vitrais. Para isso, pode-se mostrar
aos estudantes livros e sites na
internet com imagens de vitrais e
analisar com eles as figuras repre-
sentadas, inclusive sob o aspecto
geométrico. Esta pode ser uma
atividade realizada em parceria
com o professor de Arte.
Se possível, acessar com eles
a página do artista plástico Célio
de Moura, disponível em https://
www.vitraismoura.com/ (acesso
em: 11 maio 2022), de modo que
possam conhecer mais sobre essa
técnica e sobre o vitralista.
Recomendar aos estudantes
que descrevam os cálculos verbal-
mente e troquem estratégias de
resolução entre si antes de forma-
lizarem a resposta propriamente
dita. Desse modo, há oportuni-
dade de exercitar a capacidade
de argumentação e empatia, o
que auxilia no desenvolvimento
das competências gerais 7 e 9
e da competência específica 6
da área de Matemática.
Os estudantes podem construir
cartazes com as resoluções pro-
postas e oportunamente poderão
retomá-los, analisando se o que
imaginaram previamente se con-
firma ao longo do desenvolvimento
da Unidade.
Na seção Tratamento da informação, pre-
tende-se apresentar uma aplicação da análise de
dados em tabela e gráficos de linhas, bem como do
conceito de média móvel no contexto da pandemia
de covid-19. Esse tema colabora para o desenvol-
vimento do Tema Contemporâneo Transversal
Saúde, da competência geral 8 e das compe-
tências específicas 2 e 6 da área de Matemática.
A importância da pesquisa de preços é tratada
no boxe Fórum cujo objetivo é favorecer o
desenvolvimento do Tema Contemporâneo
Transversal Educação para o Consumo e da
competência geral 7.
Aspectos da cultura afro-brasileira são
destacados na seção Por toda parte cujo
objetivo é contribuir para o desenvolvi-
mento do Tema Contemporâneo Transversal
Educação para valorização do multiculturalismo
nas matrizes históricas e culturais Brasileiras
e da competência geral 3.
61
VITRAIS MOURA ATELIER
(JUIZ DE FORA - MG)
Converse com um colega para responder às questões a seguir no caderno.
• Vocês conhecem vitrais? Se sim, conseguem identificar padrões
geométricos nas composições dessas obras?
• As medidas das peças a serem confeccionadas, represen-
tadas em um desenho, auxiliam o artista a calcular a área
exata de cada peça de vidro que ele vai usar. Considerando
este esboço, como vocês fariam para calcular a área colorida
de amarelo?
Respostas pessoais.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.
x
y
y
x
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
MANZI
Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Produtos notáveis
O trabalho com o cálculo algé-
brico geralmente tem início no
8
o
ano. Além de conhecer as
definições de monômios e poli-
nômios, os estudantes efetuam
algumas operações básicas, como
adições, subtrações e multiplica-
ções algébricas.
No 9
o
ano, além do estudo
da propriedade distributiva, os
produtos algébricos são nova-
mente discutidos, porém com o
objetivo de apresentar e forma-
lizar os produtos notáveis para,
em seguida, explorar os casos
de fatoração.
Esses temas são fundamentais
para a resolução futura de equa-
ções do 2
o
grau, principalmente
as incompletas. Desse modo, o
conteúdo deste capítulo favorece
o desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Retomar os conceitos de
monômio e polinômio, solicitando
exemplos aos estudantes. Pedir
a eles que calculem a expressão
que representa a área da figura,
antes de apresentar o resultado
pronto. Verificar se todos os estu-
dantes compreendem esse cálculo
e se é necessário apresentar mais
exemplos.
Trabalhar o vocabulário asso-
ciado ao termo produto notável.
Muitas vezes, o significado de
alguns termos matemáticos torna
mais claro o conceito envolvido.
No 8
o
ano, você, provavelmente, estudou monômios e polinômios. Vamos relembrar?
Denomina-se monômio ou termo algébrico todo número ou toda expressão
algébrica formada apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números
e variáveis, em que as variáveis têm como expoentes somente números naturais.
Observe os exemplos a seguir.
ab + x
2
+ 3x3x + 2y _ x
2
+ y
2
9z + 3yy _ 2x3x7yx
2
abc4x
Já um polinômio é qualquer monômio ou adição algébrica de monômios. Exemplos:
Vamos escrever a expressão algébrica que representa a área da figura a seguir.
A área da figura é dada pela soma das áreas do retângulo
1
, dada por ab, e
do quadrado
2
, dada por x
2
.
Assim, a área dessa figura é dada pela expressão algébrica ab + x
2
.
Observações:
• Qualquer monômio é considerado um polinômio. Por exemplo, 2xy é um
polinômio de um só termo (monômio).
• Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do
polinômio. Por exemplo, 100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos:
100x, 10y e 2.
No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita frequência e, pela
importância que têm, são chamados de produtos notáveis. Observe alguns deles.
• (x + y) ? (x + y) ou (x + y)
2
(quadrado da soma de dois termos)
• (x _ y) ? (x _ y) ou (x _ y)
2
(quadrado da diferença de dois termos)
• (x + y) ? (x _ y) (produto da soma pela diferença de dois termos)
bx
x
a
1
2
EDITORIA DE ARTE
PRODUTOS
NOTÁVEIS
CAPÍTULO
1
62
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Quadrado da soma
de dois termos
O primeiro produto notável
estudado é o quadrado da soma
de dois termos. Antes de iniciá-lo,
retomar a questão do vocabu-
lário relacionado aos conceitos
que serão desenvolvidos. Discutir
a diferença entre representar
algebricamente o quadrado da
soma de dois termos e a soma
do quadrado de dois termos.
Se julgar oportuno, solicitar
aos estudantes que construam,
em uma folha de papel quadri-
culado, as figuras geométricas
apresentadas no Livro do estu-
dante. A visualização geométrica
desse produto notável auxilia na
compreensão.
Espera-se que, no fim desta
aula, os estudantes compreen-
dam que (x + y)
2
= x
2
+ y
2
.
Memorizar os produtos notá-
veis é útil para facilitar cálculos
e, futuramente, realizar fatora-
ções. Entretanto, é importante
evitar que a memorização seja
puramente mecânica, mas, sim,
que apresente significado para os
estudantes. A representação geo-
métrica é uma maneira de conferir
significado ao resultado algébrico
que se pretende memorizar.
AMPLIANDO
Vídeo
VIGINHESKI, Lúcia Virginia Mamcasz; SILVA, Sani
de Carvalho Rutz da; SHIMAZAKI, Elsa Midori. Pro-
dutos notáveis adaptado. Publicado pelo portal
eduCAPES, 2018. Vídeo (6min18s). Disponível em: http://
educapes.capes.gov.br/handle/capes/205426. Acesso
em: 12 maio 2022.
Esse vídeo mostra um material manipulativo que pode
auxiliar pessoas com deficiência visual a compreender
os conceitos relacionados a produtos notáveis.
É possível utilizar esse material como recurso para fa-
cilitar a aprendizagem de produtos notáveis a estudantes
com e sem deficiência visual. A manipulação das peças pa-
ra representar os cálculos algébricos pode permitir uma
apropriação mais rápida dos conceitos envolvidos.
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Vamos considerar a expressão (x + y)
2
, que representa o quadrado da soma de dois
termos, e desenvolvê-la algebricamente.
Aplicando a definição de potência e realizando a multiplicação de polinômios, temos:
(x + y)
2
= (x + y) ? (x + y) = x
2
+ xy + xy + y
2
= x
2
+ 2xy + y
2
Então, obtemos a igualdade:
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
.
Geometricamente, podemos obter a mesma igualdade resolvendo o problema a seguir.
Considerando dois segmentos de retas, um de comprimento x e outro de comprimento y,
como se pode calcular a área do quadrado cujo lado mede (x + y)?
xy
Usando esses dois segmentos de retas, construímos a representação do quadrado da figura 1,
cujo lado mede (x + y). A área desse quadrado, dada por (x + y)
2
, pode ser expressa pela
soma das áreas das figuras que o formam, como mostra a figura 2. Observe.
y
y
y
2
x
x
x
2
y
x
xy
y
x
xy
y
2
x
2
+ 2 ? (xy) +
(x + y)
2
=
x
xy
x y
y
x
y
Figura 1. Figura 2.
Então, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que:
(x + y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
quadrado
da soma de
dois termos
duas vezes
o produto do
1
o
pelo 2
o
termo
quadrado
do 1
o
termo
quadrado
do 2
o
termoO quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.
• (3x + 2y)
2
= (3x)
2
+ 2 ? 3x ? 2y + (2y)
2
= 9x
2
+ 12xy + 4y
2
• (a
3
+ 5b)
2
= (a
3
)
2
+ 2 ? a
3
? 5b + (5b)
2
= a
6
+ 10a
3
b + 25b
2
ILUSTRAÇÕES:
EDITORIA DE ARTE
63
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Quadrado da diferença de
dois termos
No início do estudo de produ-
tos notáveis, sempre que possível,
utilizar a representação geomé-
trica para facilitar a compreensão
dos estudantes.
Para isso, solicitar a eles que
analisem a figura apresentada no
Livro do estudante e procurem
descrever a área de cada parte
da figura antes de verificarem as
expressões algébricas que repre-
sentam essas áreas.
Mostrar que o caso (x _ y)
2

pode ser considerado um caso
particular de (x + y)
2
. Para isso,
basta fazer [x + (_y)]
2
, identifi-
cando x como o primeiro termo do
binômio e (_y) como o segundo
termo. Assim: [x + (_y)]
2
= x
2
+
+ 2 ? x ? (_y) + (_y)
2
=
= x
2
_ 2xy + y.
2
Apresentar outras situações que
recaem no quadrado da soma de
dois termos (ou no quadrado da
diferença de dois termos). Algumas
sugestões são apresentadas na
atividade complementar a seguir.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Desenvolva as expressões a seguir.
a) (_x _ y)
2
b) (y _ x)
2
c) (x + y + z)
2
d) (x _ y + z)
2
e) (x _ y _ z _ w)
2
Resolução da atividade
a) (_x _ y)
2
= [_(x + y)]
2
= (x + y)
2
=
= x
2
+ 2xy + y
2
b) (y _ x)
2
= [y + (_x)]
2
= y
2
_ 2yx + x
2
c) (x + y + z)
2
= [(x + y) + z]
2
=
= (x + y)
2
+ 2 ? (x + y) ? z + z
2
=
= x
2
+ 2xy + y
2
+ 2z(x + y) + z
2
=
= x
2
+ 2xy + y
2
+ 2xz + 2yz + z
2
=
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz
d) (x _ y + z)
2
= [(x _ y) + z]
2
=
= (x _ y)
2
+ 2z(x _ y) + z
2
=
= x
2
_ 2xy + y
2
+ 2xz _ 2yz + z
2
=
= x
2
+ y
2
+ z
2
_ 2xy + 2xz _ 2yz
e) (x _ y _ z _ w)
2
= [(x _ y) _ (z + w)]
2
=
= (x _ y)
2
_ 2 ? (x _ y) (z + w) + (z + w)
2
=
= x
2
_ 2xy + y
2
_ (2x _ 2y) (z + w) +
+ z
2
+ 2zw + w
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+
+ w
2
_ 2xy _ 2xz _ 2xw + 2yz + 2yw + 2zw
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Vamos considerar a expressão (x _ y)
2
, que representa o quadrado da diferença de dois
termos, e desenvolvê-la algebricamente.
Inicialmente, de acordo com a definição de potência e aplicando a multiplicação de polinô-
mios, temos:
(x _ y)
2
= (x _ y) ? (x _ y) = x
2
_ xy _ xy + y
2
= x
2
_ 2xy + y
2
Então, obtemos a igualdade:
(x _ y)
2
= x
2
_ 2xy + y
2
.
Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o problema
a seguir.
Considerando dois segmentos de retas, de medidas x e y, com x . y, como se pode calcular
a área do quadrado cujo lado mede (x _ y)?
Usando os dois segmentos, construímos a representação do quadrado indicado no problema.
xy

x
x
y
x
y
x _ y
x _ y
yx _ y
x
yx _ y
(x _ y)
2
y
2
y(x _ y)
y(x _ y)
Note que a parte da figura que não está hachurada é um quadrado cujo lado mede (x _ y).
A área desse quadrado é expressa por (x _ y)
2
e pode ser obtida subtraindo-se do quadrado
de lado x a área de cada um dos retângulos de lados y e (x _ y) e a área do quadrado de
lado y, ou seja:
x
2
_ y(x _ y) _ y(x _ y) _ y
2
= x
2
_ xy + y
2
_ xy + y
2
_ y
2
= x
2
_ 2xy + y
2
Portanto:
(x _ y)
2
= x
2
_ 2xy + y
2
.
EDITORIA DE ARTE
64
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Produto da soma pela
diferença de dois termos
O produto da soma pela dife-
rença de dois termos também é
trabalhado geometricamente. Os
estudantes poderão, novamente,
construir as figuras em folhas de
papel quadriculado. Mais uma
vez, a identificação do vocabulá-
rio associado a produtos notáveis
e a comparação com casos ante-
riores podem contribuir para a
melhor compreensão deste tema.
Após desenvolver a expressão
da soma pela diferença de dois
termos, iniciar a resolução do pro-
blema proposto no exemplo, no
qual apresenta-se a representação
geométrica do produto da soma
pela diferença de dois termos.
A resolução deste problema
favorece o desenvolvimento do
raciocínio inferencial, uma vez
que os estudantes devem partir
de dados conhecidos (as medidas
dos lados do retângulo analisado)
e desenvolver cálculos utilizando
regras estabelecidas até obter a
conclusão esperada (a expressão
da área do retângulo e a relação
dessa expressão com o produto
da soma pela diferença).
d) (x _ y + z)
2
= [(x _ y) + z]
2
=
= (x _ y)
2
+ 2z(x _ y) + z
2
=
= x
2
_ 2xy + y
2
+ 2xz _ 2yz + z
2
=
= x
2
+ y
2
+ z
2
_ 2xy + 2xz _ 2yz
e) (x _ y _ z _ w)
2
= [(x _ y) _ (z + w)]
2
=
= (x _ y)
2
_ 2 ? (x _ y) (z + w) + (z + w)
2
=
= x
2
_ 2xy + y
2
_ (2x _ 2y) (z + w) +
+ z
2
+ 2zw + w
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+
+ w
2
_ 2xy _ 2xz _ 2xw + 2yz + 2yw + 2zw
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Considere a expressão (x + y) ? (x _ y), que representa o produto da soma pela diferença
de dois termos, e vamos desenvolvê-la algebricamente aplicando a multiplicação de polinômios.
(x + y) ? (x _ y) =
x
2
_ xy + xy _ y
2
= x
2
_ y
2
Daí, obtemos a seguinte igualdade: (x + y) ? (x _ y) = x
2
_ y
2
Geometricamente, obtemos essa mesma igualdade resolvendo o problema a seguir.
Considerando dois segmentos de retas com medidas x e y, sendo x . y, como se pode calcular
a área do retângulo cujos lados são os segmentos de medidas (x + y) e (x _ y)?
Vamos considerar os segmentos de retas de medidas x e y, com x . y, e um terceiro segmento
de medida (x _ y), como representados a seguir.
x
y
(x _ y)
Com esses três segmentos de retas, podemos represen-
tar o retângulo a seguir.
x _ yx _ y
x + y
x + y
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda no caderno.
Como podemos
expressar algebricamente
a área desse retângulo?
PENSE E RESPONDA
A área desse retângulo pode ser expressa algebricamente por:
(x + y) ? (x _ y) = x
2
_ xy + xy _ y
2
= x
2
_ y
2
.
Assim, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que:
(x _ y)
2
= x
2
_ 2xy + y
2
quadrado da
diferença de
dois termos
duas vezes
o produto do
1
o
pelo 2
o
termo
quadrado
do 1
o
termo
quadrado
do 2
o
termo
(x _ y)
2
= x
2
_ 2xy + y
2
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do
segundo termo.
Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.
• (3a _ 4b)
2
= (3a)
2
_ 2 ? 3a ? 4b + (4b)
2
= 9a
2
_ 24ab + 16b
2
• (a
3
_ xy)
2
= (a
3
)
2
_ 2 ? a
3
? xy + (xy)
2
= a
6
_ 2a
3
xy + x
2
y
2
65
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Se julgar oportuno, explorar
com os estudantes a situação do
retângulo na prática, por meio de
recortes de uma folha de papel.
Isso pode fazer que eles compre-
endam melhor como as partes do
retângulo inicial foram reposicio-
nadas para se obter a nova figura.
Pedir aos estudantes que
refaçam no caderno os passos
da resolução e que registrem a
representação algébrica em cada
passo até obterem a expressão da
área do retângulo e, consequen-
temente, verificarem o resultado
do produto da soma pela dife-
rença de dois termos.
É interessante substituir x e
y por valores numéricos para
que os estudantes verifiquem
que tem validade a expressão
da área de um retângulo cujas
medidas dos lados são (x + y)
e (x _ y).
AMPLIANDO
Atividade complementar
Desenvolva as expressões a seguir.
a) (a + b)(a _ b)
b) (3x + 5y)(3x _ 5y)
c) (2m + 4n)(2m _ 4n)
Ao determinar geometricamente a área do retângulo cujos lados medem (x + y) e (x _ y),
obtemos o resultado para o produto (x + y) ? (x _ y). Para isso, fazemos a decomposição do
retângulo em dois quadriláteros (I e II) e compomos uma nova figura.
y
x
x _ y
x
y
x _ y I II
y
x
x
x _ y
x _ y
y
I
II
Figura 2. Figura 1.
A área da figura 2 corresponde à área de um quadrado cujo lado mede x, do qual retiramos
outro quadrado cujo lado mede y. Assim, a área das figuras I e II é expressa por x
2
_ y
2
.
A área da figura 1 e a área da parte colorida de amarelo na figura 2 são iguais, o que nos
permite escrever a igualdade:
(x + y) ? (x _ y) = x
2
_ y
2
Então, tanto algébrica como geometricamente, foi demonstrado que:
(x + y)?(x _ y) = x
2
_ y
2
soma dos
termos
diferença
dos termos
quadrado
do 1
o
termo
quadrado
do 2
o
termo
(x + y) ? (x _ y) = x
2
_ y
2
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
termo menos o quadrado do segundo termo.
Acompanhe como aplicamos esse resultado no cálculo dos seguintes produtos.
• (x
2
+ 7y) ? (x
2
_ 7y) = x
2
2
() _ (7y)
2
= x
4
_ 49y
2
• (4 _ xy
2
) ? (4 + xy
2
) = (4)
2
_ xy
2
2
() = 16 _ x
2
y
4
RODRIGUES, Aroldo Eduardo Athias. Algeplan. Geogebra. [S. l.], [20-?].
Disponível em: https://www.geogebra.org/m/qjv9z7u3. Acesso em: 2 mar. 2022.
O Algeplan virtual é um material manipulativo que envolve a representação
geométrica de monômios e polinômios. Esse material auxilia na aprendizagem
de adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios de grau no
máximo dois.
DESCUBRA MAIS
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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Resolução da atividade
a) (a + b)(a _ b) = a
2
+ ab _ ab _ b
2
= a
2
_ b
2
b) (3x + 5y)(3x _ 5y) = 9x
2
+ 15xy _ 15 xy _ 25y
2
= 9x
2
_ 25y
2
c) (2m + 4n) (2m _ 4n) = 4m
2
+ 8mn _ 8mn _ 16n
2
= 4m
2
_ 16n
2
66
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo destas atividades é
que os estudantes identifiquem
e utilizem os produtos notáveis
estudados até aqui, bem como
simplifiquem expressões algébri-
cas que envolvam tais produtos
notáveis e outros conhecimen-
tos já adquiridos. Desse modo,
pretende-se favorecer o desenvol-
vimento da habilidade EF09MA09.
Para que os estudantes com-
preendam a denominação produto
notável, é preciso que eles iden-
tifiquem que há uma regularidade
nesses produtos. Para isso, orien-
tar os estudantes a realizar alguns
exercícios usando primeiramente
a propriedade distributiva antes
de utilizar os produtos notáveis.
No item a da atividade 1, por
exemplo, é possível calcular assim:
(8x + 1)(8x _ 1) = 64x
2
_ 8x +
+ 8x _ 1
2
= 64x
2
_ 1
Em algumas atividades, como a
atividade 7, os estudantes vão pre-
cisar identificar o produto notável
que envolve as expressões dadas,
comparando-as com o produto
notável genérico conhecido.
Propor a resolução comparti-
lhada entre os estudantes, a fim de
desenvolver a troca e a cooperação
entre eles, bem como possibili-
tar-lhes que façam, validem ou
refutem hipóteses. Esses proces-
sos favorecem o desenvolvimento
das competências gerais 7 e 9.
Responda às questões no caderno.
1. Utilizando o que aprendeu sobre pro-
dutos notáveis, escreva o polinômio
correspondente a:
a) (8x + 1)(8x _ 1).
b) (10 + 3x)
2
.
c) (7a _ b)
2
.
d) (x + 0,5y)
2
.
e) (ax + b)(ax _ b).
f) (a
2
_ 4y)
2
.
g) (1,4 _ abc)(1,4 + abc).
h) +()ab
33
2
.
i) +()x5y
43
2
.
j) _+











bc
1
2
abc
1
2
a
22
.
2. Qual é o polinômio que obtemos
quando multiplicamos:
a) 3x
2
_ 2c por 3x
2
+ 2c?
b) a
2
b
2
+ 2,5c por a
2
b
2
_ 2,5c?
3. (Saresp-SP) O polinômio 9x
2
_ 25 é equi-
valente a:
a) (3x + 5)(3x _ 5)
b) (3x + 5)(3x + 5)
c) (3x _ 5)(3x _ 5)
d) 3x(3x _ 25)
4. (Saresp-SP) A expressão x
2
_ a
2
é equi-
valente a:
a) _2ax
b) (x _ a)
2
c) (x + a)
2
d) (x _ a)(x + a)
5. Desenvolvendo a expressão (3x
5
_ 0,5)
2
,
encontramos um trinômio.
a) Qual é esse trinômio?
b) Qual é o coeficiente numérico do termo
em x
5
?
c) Qual é o produto dos coeficientes numé-
ricos do trinômio?
64x
2
_ 1
100 + 60x + 9x
2
49a
2
_ 14ab + b
2
x
2
+ xy + 0,25y
2
a
2
x
2
_ b
2
a
4
_ 8a
2
y + 16y
2
1,96 _ a
2
b
2
c
2
a
6
+ 2a
3
b
3
+ b
6
x
8
+ 10x
4
y
3
+ 25y
6
_bc
1
4
a
22 4
9x
4
_ 4c
2
a
4
b
4
_ 6,25c
2
Alternativa a.
Alternativa d.
9x
10
_ 3x
5
+ 0,25
_3
_6,75
6. Classifique as igualdades em verdadei-
ras (V) ou falsas (F) e corrija as falsas,
escrevendo-as corretamente.
a) (b _ 2c)
2
= b
2
_ 4bc + 4c
2
b) (3y _ a)(3y + a) = 3y
2
_ a
2
c) (x
3
+ y
3
)(x
3
_ y
3
) = x
6
_ y
6
7. Ao dividir o polinômio P por 2ax + 5,
obtém-se o polinômio 2ax + 5. Usando
as regras dos produtos notáveis, escreva
o polinômio P.
8. Qual é o termo que devemos adicionar
ao polinômio x
2
+ 8x para obtermos
(x + 4)
2
?
9. Para obtermos (a _ 2b)
2
, devemos
acrescentar um termo ao polinômio
a
2
_ 2ab + 4b
2
.
Qual é esse termo?
10. O produto de dois polinômios é x
2
y
2
_ a
6
.
Se um dos polinômios é xy _ a
3
, qual é
o outro?
11. Sabe-se que xy = 72 e x
2
+ y
2
= 306.
Qual é o valor de (x + y)
2
?
12. (OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o
valor de x
2
+ 6xy + y
2
?
a) 64
b) 109
c) 120
d) 124
e) 154
13. (Mack-SP) Se (x _ y)
2
_ (x + y)
2
= _20,
então x ? y é igual a:
a) _1
b) 0
c) 10
d) 5
e)
1
5
V
F; 9y
2
_ a
2
V
(2ax + 5)
2
= 4a
2
x
2
+ 20ax + 25
16
_2ab
xy + a
3
450
Alternativa d.
Alternativa d.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 14, é importante
destacar a importância do registro
de uma expressão algébrica por
meio de linguagem textual e não
simbólica. Verificar se os estudan-
tes conseguem converter o texto
em uma expressão com símbolos
matemáticos e, se julgar necessá-
rio, apresentar outros exemplos.
Destacar, na atividade 15, a
importância da análise da razoa-
bilidade de respostas e solicitar
aos estudantes que compartilhem
as justificativas com a turma, de
modo a desenvolver a capaci-
dade de argumentação.
A atividade 17 apresenta
uma aplicação de cálculos algé-
bricos em um contexto real de
cálculo de área de uma casa. Se
julgar oportuno, aprofundar a
ideia de planta baixa e o cálculo
de áreas, apresentando outros
exemplos de plantas baixas e a
importância de conhecer a área
de um imóvel, a fim de prever
diversos fatores, por exemplo, o
preço do imóvel, que, em geral,
é calculado por metro quadrado.
No desafio da atividade 18, se
necessário, sugerir aos estudan-
tes que escrevam cada quadrado
como a soma ou a diferença de
dois termos, assim:
• (x _ y + 2)
2
= [(x _ y) + 2]
2
• (x _ y _ 2)
2
= [(x _ y) _ 2]
2
Depois disso, eles podem aplicar
o produto notável para resolver
a atividade.
Fórum
No mundo globalizado atual, a oferta de
produtos cresceu muito. Artigos podem ser
comprados de outros estados e até de outros
países com apenas um click. Por isso, os preços
de um mesmo produto podem variar até dez
vezes de um estabelecimento para outro, e a
pesquisa de preços tornou-se fundamental para
um consumo consciente.
Discutir com a turma a respeito desse tema e
enfatizar a importância da Matemática nas análi-
ses de preços. Isso pode evitar que o consumidor
seja enganado por alguma propaganda que pareça
vantajosa. Desse modo, esse conteúdo favorece
o desenvolvimento do Tema Contemporâneo
Transversal Educação para o Consumo e da com-
petência específica 4 da área de Matemática.
Espera-se que os estudantes percebam a impor-
tância do pensamento crítico ao efetuar uma
compra e incorporem esse fato nas respostas.
14. (Saresp-SP) A expressão algébrica que re-
presenta a situação: “o quadrado da soma
de dois números, mais 5 unidades” é:
a) x + y + 5
2
b) (x + y + 5)
2
c) (x + y)
2
+ 5
d) x
2
+ y + 5
2
15. Observe.
Alternativa c.
17. (Saresp-SP) Ao calcular a área de uma de-
terminada casa, representada na figura a
seguir, uma pessoa calculou a área de cada
cômodo da casa, encontrando a seguinte
expressão: ab + ac + 10b + 10c. Outra
pessoa calculou a área dessa mesma casa
de outra maneira, chegando também ao
resultado anterior. De que forma essa pessoa
pode ter representado a área dessa casa?
bc
banheiro
sala
cozinha quarto10
a
a) (a + 10)(b + c)
b) (a + b)(10 + c)
c) (c + 10)(a + b)
d) (a + c)(b + 10)
DESAFIO
Junte-se a um colega, e resolvam o
desafio a seguir.
18. Qual é o polinômio que representa a
diferença (x _ y + 2)
2
_ (x _ y _ 2)
2
?
Alternativa a.
EDITORIA DE ARTE
O polinômio procurado é 8x _ 8y.
A resposta do estudante está correta? Se
não estiver correta, dê a resposta certa.
16. Escreva na forma reduzida cada um dos
polinômios.
a) (x + 1)
2
_ x + (x _ 1)
2
_ 2 ? (x
2
_ 1)
b) (2x + y)
2
_ 6xy _ (x _ y)
2
15. Não. A resposta correta é 4x
2
_ 4xy
3
+ y
6
.
4 _ x
3x
2
Por favor, desenvolvam
esta expressão.
Professor, a resposta é
2x
2
_ 4xy
3
+ y
6
.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
Pesquisar antes de comprar
Quando se pretende realizar uma compra, principalmente de valores altos, como um
imóvel, é muito importante fazer uma pesquisa, pois os preços podem variar de acordo
com alguns fatores, como a localização, a área construída, o estado de conservação,
entre outros. Entretanto, em pequenas compras de mercado, por exemplo, também
é possível economizar. O ideal é preparar uma lista do que é necessário comprar, ficar
atento aos preços e fazer uma pesquisa. Isso também vale para as compras on-line,
situação em que, além de pesquisar em vários sites, é importante considerar o preço do
frete e consultar a seriedade da loja.
No caso de compras em lojas físicas, o consumidor deve verificar se o preço
anunciado corresponde ao valor afixado no produto. Se não houver essa
correspondência, o consumidor tem o direito de pagar o menor valor, conforme
estabelece o artigo 5
o
da lei n
o
10.962, que dispõe sobre a oferta e as maneiras de
afixação de preços de produtos e serviços para o consumidor.
• Em sua opinião, qual é a importância de fazer uma pesquisa antes de realizar uma
compra? Debata com os colegas.
Fonte dos dados: BRASIL. Lei n
o
10.962, de 11 de outubro de 2004.
Dispõe sobre a oferta e as formas de afixação de preços de produtos e serviços para o consumidor.
Diário Oficial da União, Brasília, DF, ano 141, n. 147, p. 1, 13 out. 2004.
FÓRUM
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância de realizar uma pesquisa de
preços e de outras condições (modos de pagamento, valor do frete, facilidades da entrega, entre outras)
para que a compra seja segura e econômica.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Cubo da soma
de dois termos
Desenvolver a expressão do
cubo da soma de dois termos
e verificar se os estudantes têm
alguma dúvida quanto ao desen-
volvimento dos cálculos. Apontar
que há diferença entre calcular o
cubo da soma de dois termos e
a soma do cubo de dois termos.
Cubo da diferença
de dois termos
Desenvolver a expressão do
cubo da diferença e verificar se
os estudantes percebem que o
desenvolvimento é parecido com
o caso anterior.
Vale lembrar que os produtos
notáveis são resultados úteis que
podem ser memorizados para
que sejam mobilizados facilmente
como ferramentas de cálculo. Para
contribuir com a memorização,
é importante que os estudantes
compreendam a representação
geométrica dos produtos e, em
seguida, relacionem as expressões
algébricas que os representam.
É possível propor a repre-
sentação algébrica do cubo da
soma e da diferença por meio
de modelos de figuras tridimen-
sionais. Recomenda-se verificar
um exemplo desses modelos no
vídeo indicado na página 63
deste Manual e no link a seguir.
AMPLIANDO
Vídeo
MARCELL, Cristiano. Produtos notáveis e fatoração de
expressões algébricas. Portal da OBMEP. [S. I.], [20--].
Disponível em: https://portaldaobmep.impa.br/index.
php/modulo/ver?modulo=14. Acesso em: 12 maio 2022.
No Portal da Olimpíada Brasileira de Matemática
(OBMEP), há diversos vídeos que apresentam os pro-
dutos notáveis, além de exercícios resolvidos e um
aplicativo, no qual representa-se geometricamente
o cubo da soma.
CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Considere a expressão (x + y)
3
, que representa o cubo da soma de dois termos. Para
desenvolvê-la, usaremos as regras já estudadas.
Observe.
(x + y)
3
= (x + y) ? (x + y)
2
=
propriedade das potências de mesma base
= (x + y) ? (x
2
+ 2xy + y
2
) =
pela regra do quadrado da soma de dois termos
= x
3
+ 2x
2
y + xy
2
+ x
2
y + 2xy
2
+ y
3
=
pela multiplicação de polinômios
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3

polinômio reduzido
Então, o cubo da soma de dois termos é dado por:
(x + y)
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Considere a expressão (x _ y)
3
, que representa o cubo da diferença de dois termos.
Aplicando as regras já estudadas, temos:
(x _ y)
3
= (x _ y) ? (x _ y)
2
=
propriedade das potências de mesma base
= (x _ y) ? (x
2
_ 2xy + y
2
) =
pela regra do quadrado da diferença de dois termos
= x
3
_ 2x
2
y + xy
2
_ x
2
y + 2xy
2
_ y
3
=
pela multiplicação de polinômios
= x
3
_ 3x
2
y + 3xy
2
_ y
3

polinômio reduzido
Então, o cubo da diferença de dois termos é dado por:
(x _ y)
3
= x
3
_ 3x
2
y + 3xy
2
_ y
3

Responda às questões no caderno.
1. Desenvolva as seguintes expressões.
a) (a + b)
3
b) (b _ c)
3
c) (2a + 1)
3
d) (1 _ 2a)
3
a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b
3
_ 3b
2
c + 3bc
2
_ c
3
8a
3
+ 12a
2
+ 6a + 1
1 _ 6a + 12a
2
_ 8a³
ATIVIDADES
e) (2x + y)
3
f) (3y _ 1)
3
2. Qual é a maneira mais simples de escre-
ver as expressões?
a) (a _ b)
3
_ (a
3
_ b
3
) + 4ab(a _ b)
b) (2x _ y)
3
_ (2x + y)
3
+ 2xy(2x + y)
c) (1 _ a)
3
+ 2a(_2 + a
2
) + (1 _ a
3
)
8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
27y
3
_ 27y
2
+ 9y _ 1
a
2
b _ ab
2
2. b) _2y
3
+ 20x
2
y + 2xy
2
3a
2
_ 7a + 2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tratamento
da informação
Nesta seção, é explorado o
conceito de média móvel apli-
cado ao contexto da pandemia
de covid-19, potencializando
o desenvolvimento do Tema
Contemporâneo Transversal
Saúde e das competências especí-
ficas 3 e 6 da área de Matemática.
O comportamento da média
móvel é apresentado por meio
de um gráfico de linhas orga-
nizado a partir de dados de
uma tabela.
Inicialmente, é importante
propor um debate sobre os
aspectos relacionados à pan-
demia de covid-19, como o
isolamento social, a importân-
cia da vacinação e do uso de
máscaras. É interessante citar
alguns impactos ocorridos no
contexto pandêmico, como a
grande quantidade de mortos
e de hospitalizações, o desem-
prego e as crises financeiras em
alguns setores.
Alguns estudantes podem
comentar experiências pessoais
que tiveram ao longo da pan-
demia. Cuidar para que sejam
acolhidos pela turma aqueles que
tiveram perdas de familiares ou
de amigos em razão da covid-19.
Ações desse tipo propiciam as
competências gerais 8 e 9.
Depois do debate, pedir aos
estudantes que se reúnam em
duplas ou trios, leiam o texto,
observem a tabela e os cálculos
e façam anotações. Em seguida,
reler o texto com eles e anotar na
lousa os principais pontos levan-
tados pela turma.
Analisar a tabela com eles,
destacando algumas informa-
ções, como o dia do mês de
abril de 2020 em que houve
mais ou menos óbitos; em que
período houve aumento da quan-
tidade de óbitos, por exemplo.
Verificar se os estudantes com-
preenderam o conceito de média
móvel e refazer os cálculos do
exemplo apresentado no Livro
do estudante.
A IMPORTÂNCIA DA MÉDIA MÓVEL NO COMBATE À COVID-19
Durante a pandemia de covid-19, detectada no Brasil em fevereiro de 2020, médicos e cien-
tistas do mundo todo precisaram coletar, organizar e representar diversos dados sobre o avanço
da doença que mudavam diariamente.
Um dos principais métodos de representação desses dados foi dado pela média móvel de
sete dias (ou semanal) da quantidade de mortos pela doença.
Nesse caso, a média móvel semanal em relação a determinado dia é calculada adicionando-
-se o número que indica a quantidade de óbitos em cada um dos sete dias anteriores ao dia
considerado e dividindo-se esse resultado por 7.
Assim, calcular a média dos últimos sete dias ajudou a identificar mais precisamente a inten-
sidade com que a quantidade de casos aumentou ou diminuiu, evitando que dados mais antigos
pudessem causar uma interpretação equivocada da situação mais recente.
Observe a tabela a seguir.
Quantidade total diária de óbitos por covid-19
na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020
DiaQuantidade de óbitos DiaQuantidade de óbitos DiaQuantidade de óbitos
1 73 11 115 21 137
2 78 12 131 22 193
3 72 13 119 23 184
4 75 14 150 24 206
5 85 15 170 25 191
6 72 16 133 26 191
7 88 17 144 27 209
8 75 18 157 28 218
9 89 19 158 29 164
10 122 20 233 30 242
Elaborada com base em: RIO DE JANEIRO (Município). Prefeitura do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Saúde.
EpiRio | Observatório Epidemiológico da Cidade do Rio de Janeiro: Painel Rio COVID-19. Rio de Janeiro: SMS, 2022.
Disponível em: https://experience.arcgis.com/experience/38efc69787a346959c931568bd9e2cc4. Acesso em: 2 mar. 2022.
Considerando, por exemplo, os dados do dia 16 de abril de 2020, temos:
• Quantidade total de óbitos no dia 16: 133.
• Média de óbitos considerando os 15 dias anteriores ao dia 16:
++ ++ ++ ++ ++ + +++
1
737872758572887589122115131119150170
15
101
• Média móvel semanal em relação ao dia 16 (considerando os sete dias imediatamente
anteriores ao dia 16):
++ + +++
=
89122115131119150170
7
128
Portanto, observamos que o valor da média móvel é mais próximo da quantidade real de
óbitos no dia considerado do que o valor da média usual.
INFORMAÇÃO
TRATAMENTO
DA
BLUE PLANET STUDIO/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propor a análise do gráfico a
partir dos dados da tabela e dos
cálculos realizados na página 70
do Livro do estudante. Por meio
desse contexto real, pretende-se
mostrar que uma tabela auxilia a
organizar e a resumir os dados,
enquanto um gráfico de linhas
permite uma visualização mais
direta da variação dos dados ao
longo do tempo.
No item a da atividade 2, é
importante que os estudantes
observem que a linha laranja
(média móvel) se aproxima mais
da linha azul (quantidade total
diária de óbitos) do que a linha
cinza (média). Portanto, a média
móvel representou melhor a
variação da quantidade total
diária de óbitos do que a média
usual no mês considerado. No
item b, a média móvel semanal
corresponde à média dos resul-
tados dos sete dias anteriores a
determinado dia. Nesse caso, o
primeiro dado referente à média
móvel semanal, registrado no
dia 8 de abril de 2020, repre-
senta a média da quantidade
de óbitos registrados nos sete
dias anteriores.
No item a da atividade 3, a
média móvel no dia 26 de abril
de 2020 representa melhor a
quantidade total de óbitos nesse
dia, pois a linha que representa a
média móvel praticamente coin-
cide com a linha que representa a
quantidade total de óbitos nesse
dia, enquanto a linha que repre-
senta a média está mais afastada
da linha que representa a quan-
tidade total de óbitos nesse dia.
No item b, observa-se que a
média usual é aproximadamente
132, e a média móvel de sete dias
é 186. Como a quantidade de
óbitos registrada na cidade do
Rio de Janeiro em 26 de abril de
2020 foi de 191 óbitos, então a
média móvel representou melhor
a quantidade total de óbitos nesse
dia do que a média usual, como é
indicado na resposta do item a.
Dia
Quantidade
de óbitos
Quantidade total
de óbitos
Média móvel de 7 dias
anteriores
Média de todos os dias
anteriores do mês
100
50
25
150
200250
75
12345678 9101112131415161718192021222324252627282930
0
125175225275
No gráfico de linhas a seguir, é possível identificar a variação da quantidade de óbitos por
covid-19 na cidade do Rio de Janeiro no período de 8 a 30 de abril de 2020, de modo que:
• a linha azul representa a quantidade total diária de óbitos no período considerado;
• a linha laranja representa a média móvel semanal, considerando as quantidades referentes
a sete dias imediatamente anteriores à informação de cada dia registrado;
• a linha cinza representa a média da quantidade indicada em todos os dias de abril ante-
riores à informação de cada dia registrado.
EDITORIA DE ARTE
Quantidade total diária de óbitos por covid-19 na cidade
do Rio de Janeiro de 8 a 30 de abril de 2020
Elaborado com base em: RIO DE JANEIRO (Município). Prefeitura do Rio de Janeiro. Secretaria Municipal de Saúde.
EpiRio | Observatório Epidemiológico da Cidade do Rio de Janeiro: Painel Rio COVID-19. Rio de Janeiro: SMS, 2022.
Disponível em: https://experience.arcgis.com/experience/38efc69787a346959c931568bd9e2cc4. Acesso em: 2 mar. 2022.
Responda às questões no caderno.
1. Considerando os dados da tabela da página 70, determine:
a) a média da quantidade diária de óbitos na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020;
b) a mediana da quantidade diária de óbitos na cidade do Rio de Janeiro em abril de 2020.
2. Observando o gráfico, responda às questões a seguir.
a) O que se pode afirmar sobre a média móvel e a média em relação à quantidade total diária
de óbitos no mês de abril de 2020?
b) Em sua opinião, por que a linha correspondente à média móvel semanal tem início no dia
8 de abril de 2020?
3. Considere as informações da tabela e do gráfico para o dia 26 de abril de 2020 e responda.
a) Analisando o gráfico, qual valor representa melhor a quantidade total de óbitos nesse dia: a
média móvel semanal ou a média usual?
b) A partir da tabela da página 70, calcule a média usual e a média móvel semanal referentes ao
dia 26 de abril de 2020. Observando os valores obtidos, é possível chegar à mesma resposta
que você indicou no item a?
Respostas na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fatorando polinômios
Enfatizar que a fatoração pode
ser feita de diferentes maneiras,
como no exemplo envolvendo o
número 90. Propor aos estudan-
tes outros números e solicitar-lhes
que pensem em diferentes manei-
ras de escrevê-los por meio de
uma multiplicação.
Verificar se os estudantes
compreendem a representa-
ção geométrica da fatoração de
ac + bc e, se necessário, retomar
as representações estudadas nos
produtos notáveis.
Atividades
As atividades deste bloco têm
como objetivo retomar a fatoração
numérica e propor algumas fato-
rações de expressões algébricas
para que os estudantes possam
aplicar a ideia de fatoração e corre-
lacionar com a fatoração numérica
que acabaram de realizar. Assim,
propicia-se o desenvolvimento da
habilidade EF09MA09.
Na atividade 1, ressaltar
que se pode fatorar o número
54 com mais de dois fatores
naturais de variadas maneiras e
que a fatoração completa se dá
com a decomposição em fatores
primos: 54 = 2 ? 3 ? 3 ? 3.
AMPLIANDO
Link
LIMA, Cristiano Lopes; SILVA, Patrícia Lima da. Algeplan
virtual. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
[Porto Alegre], [20--]. Disponível em: http://mdmat.mat.
ufrgs.br/algeplan/. Acesso em: 12 maio 2022.
Esse link apresenta uma versão virtual do material
didático denominado Algeplan, que também pode ser
construído com cartolina colorida ou outro material
disponível e propicia a representação geométrica da
fatoração de polinômios.
Observe como podemos escrever o número 90 utilizando a multiplicação.
90
2  45 3  30 5  18 6  15 9  10 2  3
2
 5
Quando escrevemos o número 90 nas formas apresentadas, transformamos esse
número em uma multiplicação de fatores.
Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 90.
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois
ou mais fatores.
Considerando esses conhecimentos, vamos representar a área da figura a seguir.
1
a
maneira: Área da figura I
mais área da figura II, ou seja, ac + bc.
2
a
maneira: Fazendo c  (a + b).
Daí, podemos escrever:
ac + bc = c  (a + b)

polinômio multiplicação
de polinômios
Quando escrevemos o polinômio ac + bc na forma c  (a + b), estamos trans-
formando o polinômio inicial em uma multiplicação de polinômios.
Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrever esse polinômio
como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.
EDITORIA DE ARTE
c
ab
I II
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Usando uma multiplicação de dois fatores, escreva cada um dos números a seguir de
três maneiras diferentes.
a) 54 b) 120
2. Ao efetuar a multiplicação (a + b)  (a _ b), obtém-se o polinômio a
2
_ b
2
.
Escreva na forma de multiplicação os polinômios a seguir.
a) x
2
_ y
2
b) 25b
2
_ 4c
2
2  27; 3  18; 6  9
Exemplos de resposta:
2  60; 4  30; 10  12.
(x + y)(x _ y) (5b + 2c)(5b _ 2c)
FATORANDO
POLINÔMIOS
CAPÍTULO
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fatoração pela colocação
de um fator comum em
evidência
Apresentar, na lousa, as situa
ções exploradas nesta página,
destacando os fatores comuns,
que podem ser monômios ou
polinômios.
Na situação 1, escrever a
expressão para o perímetro da
figura e para a área dela, a fim
de que os estudantes verifiquem
que são diferentes, já que se
tratam de conceitos diferentes. Se
julgar oportuno, pedir aos estu-
dantes que justifiquem por que
2(x + y) = 2x + 2y e verificar se
eles mencionam a propriedade
distributiva. Verificar, ainda, se
eles compreendem que 2(x + y)
geometricamente significa duas
vezes a soma das medidas x + y,
ou seja, essa soma corresponde
à metade do perímetro.
Comentar que em muitas
situações é necessário decompor
ou compor figuras para com-
preender as representações de
expressões algébricas envolvi-
das nos cálculos. Isso ocorre na
situação 2, em que a área do
retângulo ABEF é composta das
áreas do quadrado ABCD e do
retângulo CEFD.
Em todos os casos de fato-
ração, é importante que os
estudantes compreendam cada
passagem e saibam justificá-la
algebricamente, de modo que
a fatoração seja, de fato, uma
ferramenta útil na resolução de
problemas e não apenas um
conjunto de regras mecânicas
carentes de significado.
FATORAÇÃO PELA COLOCAÇÃO DE UM
FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
Considere as seguintes situações.

1 Calcular o perímetro da figura que representa um
retângulo cujos lados medem x e y.
O perímetro desse retângulo pode ser indicado de
duas maneiras: 2x + 2y ou 2 ? (x + y).
Então, podemos escrever:
2x + 2y = 2 ? (x + y)
forma fatorada
do polinômio
polinômio
Notamos que:
• 2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência;
• o outro fator (x + y) é o mesmo que (2x : 2) + (2y : 2), ou seja,
+
x y
2y
2
2x
2
.

2 A figura representa um quadrado ABCD, um retân-
gulo DCEF e um retângulo ABEF. Calcular a área total
da figura, ou seja, a área do retângulo ABEF.
De acordo com a figura, podemos escrever:
área do quadrado ABCDmaisárea do retângulo DCEFé igual àárea do retângulo ABEF
x
2
+ xy = x ? (x + y)
Assim, temos:
polinômio forma fatorada
do polinômio
x
2
+ xy = x ? (x + y)
Notamos que:
• x é um fator que aparece em todos os termos do poli-
nômio e foi colocado, como fator comum, em evidência;
• o outro fator (x + y) pode ser dado por (x
2
: x) + (xy : x),
ou seja,
x
2
x
xy
x
+
x y
.
Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo
em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio, que se obtém
dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.
Vale lembrar que
x . 0, pois x é a medida
de um dos lados de um retângulo.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x
x
y y
x
yx
AF D
B C E
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propor aos estudantes que
tentem resolver cada um dos
problemas apresentados nos
exemplos 1 a 4. Depois, mostrar
a resolução indicada no Livro do
estudante, explicando-a passo
a passo.
É importante que os estudan-
tes identifiquem que, em uma
fatoração, o termo colocado em
evidência não necessariamente
é apenas um número real, mas
pode ser um monômio (exem-
plos 1, 2 e 3) ou mesmo um
polinômio (exemplo 4).
Solicitar aos estudantes que se
dispuserem que mostrem para a
turma as justificativas dos cálculos.
Nas fatorações, é fundamental que
o cálculo algébrico seja organizado
por etapas bem definidas, o que
favorece o desenvolvimento do
pensamento computacional.
Fatoração por agrupamento
Espera-se que os estudantes
percebam que, no caso da fato-
ração por agrupamento, utiliza-se
mais de uma vez a fatoração pela
colocação de um termo comum
em evidência.
Certificar-se de que os estu-
dantes compreendem que as
três figuras têm áreas iguais para
que seja possível prosseguir com
o conteúdo da próxima página.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Fatore completamente as expressões a seguir.
a) 2x
2
_ 2x _ x + 1
b) x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
Resolução da atividade
Se necessário, explicar que fatorar completamente é
utilizar todos os casos possíveis de fatoração envolvidos
na expressão, até que não seja mais possível fatorar.
a) 2x
2
_ 2x _ x + 1 = 2x ? (x _ 1) _ (x _ 1) =
= (x _ 1) ? (2x _ 1)
Comentar com os estudantes que nem sempre é
conveniente efetuar a adição algébrica dos termos
semelhantes. No item a, por exemplo, ao efetuar
2x
2
_ 3x + 1, ficará mais difícil obter a fatoração, além
de serem envolvidas situações que só serão estudadas
posteriormente.
b) x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
=
= (x
2
+ x
3
) + (x
4
+ x
5
) + (x
6
+ x
7
) =
= x
2
? (1 + x) + x
4
? (1+ x) + x
6
? (1 + x) =
= (1 + x) ? (x
2
+ x
4
+ x
6
)
Embora o polinômio já esteja expresso como um pro-
duto (portanto, está fatorado), percebe-se que em um
dos fatores ainda há termo comum. Assim, ainda é pos-
sível fatorar esse fator:
x
2
+ x
4
+ x
6
= x
2
? (1 + x
2
+ x
3
)
Agora, acompanhe os exemplos a seguir.

1 Fatorar o polinômio 6ax + 8ay.
O fator comum é 2a. Daí, temos:
(6ax : 2a)(8ay : 2a)
6ax + 8ay = 2a ? (3x + 4y)
A forma fatorada do polinômio 6ax + 8ay é 2a(3x + 4y).

2 Escrever na forma de um produto o polinômio a
4
_ a
3
+ a
2
.
O fator comum é a
2
. Daí, temos:
a
4
_ a
3
+ a
2
= a
2
? (a
2
_ a + 1)
(a
4
: a
2
)(a
3
: a
2
)(a
2
: a
2
)
O polinômio a
4
_ a
3
+ a
2
na forma de um produto é a
2
(a
2
_ a + 1).

3 Qual é a forma fatorada de 8a
4
b
5
_ 20a
3
b
2
_ 16a
2
b
4
?
O fator comum é 4a
2
b
2
. Daí, temos:
8a
4
b
5
_ 20a
3
b
2
_ 16a
2
b
4
= 4a
2
b
2
? (2a
2
b
3
_ 5a _ 4b
2
)
(8a
4
b
5
: 4a
2
b
2
)
(16a
2
b
4
: 4a
2
b
2
)
(20a
3
b
2
: 4a
2
b
2
)
A forma fatorada do polinômio 8a
4
b
5
_ 20a
3
b
2
_ 16a
2
b
4
é 4a
2
b
2
(2a
2
b
3
_ 5a _ 4b
2
).

4 Obter a forma fatorada do polinômio a(a _ b) + x(a _ b).
O fator comum é (a _ b). Daí, temos:
a(a _ b) + x(a _ b) = (a _ b) ? (a + x)
[a(a _ b)] : (a _ b)
[x(a _ b)] : (a _ b)
A forma fatorada do polinômio a(a _ b) + x(a _ b) é (a _ b)(a + x).
FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO
Observe as três figuras a seguir.
x
y
ab
ax bx
byay
x ? (a + b)
y ? (a + b)
x
y
ab
x
y
ab
A área dessa figura pode
ser dada pelo polinômio:
ax + bx + ay + by
A área dessa figura pode
ser dada pelo polinômio:
x ? (a + b) + y ? (a + b)
A área dessa figura pode
ser dada pelo produto:
(a + b) ? (x + y)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na lousa, resolver os exemplos
com os estudantes, pedindo-lhes
que justifiquem algumas passa-
gens e verificando se ainda surgem
dúvidas em relação aos proce-
dimentos utilizados.
É importante ressaltar a impor-
tância das propriedades das
operações, como a proprie-
dade comutativa da adição ao
agrupar os termos semelhantes.
Os estudantes podem conferir as
fatorações realizadas, aplicando
a propriedade distributiva.
Destacar a importância da
atenção aos sinais durante a fato-
ração, pois podem ocorrer erros
caso alguns sinais sejam troca-
dos. Se julgar oportuno, mostrar
aos estudantes como um erro em
um sinal pode mudar completa-
mente a expressão final.
b) x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
=
= (x
2
+ x
3
) + (x
4
+ x
5
) + (x
6
+ x
7
) =
= x
2
? (1 + x) + x
4
? (1+ x) + x
6
? (1 + x) =
= (1 + x) ? (x
2
+ x
4
+ x
6
)
Embora o polinômio já esteja expresso como um pro-
duto (portanto, está fatorado), percebe-se que em um
dos fatores ainda há termo comum. Assim, ainda é pos-
sível fatorar esse fator:
x
2
+ x
4
+ x
6
= x
2
? (1 + x
2
+ x
3
)
Logo, a fatoração completa é dada por:
x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
+ x
6
+ x
7
= (1 + x) ? x
2
(1 + x
2
+ x
3
) =
= x
2
(1 + x)(1 + x
2
+ x
3
)
Comentar com os estudantes que há outros caminhos
para chegar a essa forma fatorada. Por exemplo, eles
poderiam, primeiramente, colocar x
2
, termo comum
a todos os termos, em evidência para depois agrupar
e continuar a fatorar.
Como as três figuras têm áreas iguais, podemos escrever:
ax + bx + ay + by = x ? (a + b) + y ? (a + b) = (a + b) ? (x + y)
polinômio forma fatorada
do polinômio
Observe como podemos obter algebricamente a forma fatorada do polinômio
ax + bx + ay + by:
ax + bx + ay + by =
Agrupamos os termos que têm fator comum.
= x(a + b) + y(a + b) =
Em cada grupo, colocamos o fator comum em evidência.
= (a + b)(x + y)
Colocamos novamente em evidência o fator comum.
Acompanhe outros exemplos.

1 Qual é a forma fatorada do polinômio mx _ nx + 2m _ 2n?

mx _ nx + 2m _ 2n = x(m _ n) + 2(m _ n) = (m _ n)(x + 2)
Então, (m _ n)(x + 2) é a forma fatorada do polinômio mx _ nx + 2m _ 2n.

2 Obter a forma fatorada do polinômio a
3
+ a
2
+ a + 1.

a
3
+ a
2
+ a + 1 = a
2
? (a + 1) + 1 ? (a + 1) = (a + 1)(a
2
+ 1)
Então, (a + 1)(a
2
+ 1) é a forma fatorada de a
3
+ a
2
+ a + 1.

3 Escrever, na forma fatorada, o polinômio 3ax + 2b
2
+ b
2
x + 6a.
Inicialmente, agrupamos os termos usando a propriedade comutativa.
3ax + 6a + b
2
x + 2b
2
= 3a(x + 2) + b
2
(x + 2) = (x + 2)(3a + b
2
)
Então, (x + 2)(3a + b
2
) é a forma fatorada de 3ax + 2b
2
+ b
2
x + 6a.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo levar os estudan-
tes a reconhecer e utilizar os casos
de fatoração estudados até agora:
fator comum em evidência e agru-
pamento. Propicia-se, assim, o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Se considerar necessário, resol-
ver algumas questões na lousa com
os estudantes. Para isso, trabalhar
as atividades 3 e 12, pois inserem
o conteúdo matemático em situa-
ções mais próximas do cotidiano.
Na atividade 12, verificar se
os estudantes estão atentos em
relação à expressão do perímetro
para que não confundam com a
da área para os dois retângulos.
Para o retângulo de lados a e b,
vão obter a expressão a + b = 9,
e para o retângulo de lados b e c,
vão obter b + c = 13. Ao fatorar
a expressão ab + b
2
+ ac + bc,
vão obter: b(a + b) + c(a + b) =
= (b + c) (a +b) = 9 ? 13 = 117
Responda às questões no caderno.
1. Colocando o fator comum em evidência,
fatore os seguintes polinômios.
a) 10x + 10y 10(x + y)
b) y
2
+ 9xy y(y + 9x)
c) 0,5x _ 1y 0,5(x _ 2y)
d) ab _ a
3
b
3
ab(1 _ a
2
b
2
)
e) a
2
x + abx ax(a + b)
f) x
2
y
2
_ x
5
y
5
x
2
y
2
(1 _ x
3
y
3
)
g) +
1
3
a
1
9
b






1
3
a
1
3
b+
h) 2,5ax
2
_ 2,5a 2,5a(x
2
_ 1)
2. Escreva a forma fatorada de cada poli-
nômio a seguir.
a) b
2
_ ab _ b b(b _ a _ 1)
b) 24x
5
_ 8x
4
_ 56x
3
8x
3
(3x
2
_ x _ 7)
c) a
7
+ a
5
+ a
3
a
3
(a
4
+ a
2
+ 1)
d) 120ax
3
_ 100ax
2
+ 60ax
e) +_
1
8
ab
1
4
ab
1
2
ab
22







1
2
ab
1
4
1
2
ab+_
3. A professora de Carlos escreveu na lousa
a expressão ac + ad + bc + bd e fez o
seguinte comentário:
“Nessa expressão, a, b, c e d representam
quatro números inteiros em ordem cres-
cente. A soma dos dois números maiores
é 53, e a soma dos dois números menores
é 38. Qual é o valor numérico dessa
expressão?”
Qual resposta Carlos deve fornecer para
acertar a pergunta feita pela professora?
4. Qual é a forma fatorada de:
a) a(x + y) _ b(x + y)? (x + y)(a _ b)
b) x(p + h) + y(p + h)? (p + h)(x + y)
c) b(a _ x) _ c(a _ x)? (a _ x)(b _ c)
5. Dado o polinômio 5ax
2
_ 5ay
2
, escreva-o
na forma fatorada e dê o valor numérico
dele, sabendo que a = 20 e x
2
_ y
2
= 25.
2 014
5a(x
2
_ y
2
); 2 500
ATIVIDADES
6. Fatore o polinômio xy
3
+ 7xy
2
_ 3xy
e dê seu valor numérico, sabendo que
xy = 6 e y
2
+ 7y = 20.
7. Considere as seguintes igualdades:
2x _ y = 20 e a + b + c = 100.
Nessas condições, escreva a forma fato-
rada do polinômio a(2x _ y) + b(2x _ y) +
+ c(2x _ y) e calcule seu valor numérico.
8. Fatore os seguintes polinômios.
a) a
2
+ ab + ax + bx
b) ax _ x + ab _ b
c) a
5
+ a
3
+ 2a
2
+ 2
d) bx
2
_ 2by + 5x
2
_ 10y
e) 2b
2
+ 2 _ b
2
k _ k
f) 5y
3
_ 4y
2
+ 10y _ 8
g) a
12
+ a
8
_ a
4
_ 1
h) 2an + n _ 2am _ m
i) ++ +
1
2
1
2
xxyy
9. Determine o valor numérico do polinô-
mio ac _ bc + ad _ bd, sabendo que
c + d = 2,5 e a _ b = _1,1.
10. Fatore os polinômios.
a) ax _ bx + cx + ay _ by + cy
b) am + bm + m _ an _ bn _ n
c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + b) + y(a + b)
11. Dado o polinômio x
2
_ xz + 2xy _ 2yz,
determine sua forma fatorada e o valor
numérico da expressão obtida, sabendo
que x _ z = 5 e x + 2y = 27.
12. As medidas dos lados de um retângulo são
expressas por a e b, e esse retângulo tem
18 unidades de perímetro. Um segundo
retângulo tem 26 unidades de perímetro,
e as medidas dos lados são expressas por
b e c. Nessas condições, calcule o valor
numérico da expressão ab + b
2
+ ac + bc.
xy(y
2
+ 7y _ 3); 102
7. (2x _ y)(a + b + c); 2 000
(a + b)(a + x)
(a _ 1)(x + b)
(a
2
+ 1)(a
3
+ 2)
(x
2
_ 2y)(b + 5)
(b
2
+ 1)(2 _ k)
(5y _ 4)(y
2
+ 2)
(a
4
+ 1)(a
8
_ 1)
(2a + 1)(n _ m)
++x1y
1
2
()






_2,75
10. a) (a _ b + c)(x + y)
b) (a + b + 1)(m _ n)
c) 2(a + b)(x + y)
(x _ z)(x + 2y); 135
117
2. d) 20ax(6x
2
_ 5x + 3)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fatoração da diferença de
dois quadrados
Para utilizar esse caso de fato-
ração, os estudantes devem
reconhecer números quadra-
dos perfeitos. Se julgar oportuno,
fazer uma lista com os quadra-
dos perfeitos até 400:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, 100, 121, 144, 169, 196,
225, 256, 289, 324, 361, 400.
Propor aos estudantes que
copiem a figura apresentada no
Livro do estudante em uma folha
avulsa e façam o procedimento
de recortar e montar, na prática,
uma nova figura de mesma área.
Isso pode ajudar na compreensão
dos estudantes a respeito do que
está sendo realizado.
Essa atividade pode tornar
mais significativa a aprendizagem
sobre fatoração, uma vez que os
estudantes podem verificar geo-
metricamente a representação
das expressões algébricas, em vez
de apenas memorizá-las como
um grupo de procedimentos
mecânicos e descontextualiza-
dos. Assim, procura-se favorecer
o desenvolvimento da compe-
tência específica 3 da área de
Matemática.
FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Considere a figura.
x
x
x _ y
x _ y
x
2
_ y
2
y
y
A área colorida da figura pode ser indicada pelo polinômio x² _ y², que expressa uma
diferença de dois quadrados.
Decompondo essa figura em dois retângulos, conforme figura 1, pelo tracejado e juntando
as duas partes obtidas, formamos uma nova figura. Observe.
x
x
x
y
x _ y
y
y
x _ y
x _ y
x _ y
I I
II
II
Figura 1. Figura 2.
Notando que a área da figura 1, que é expressa por x
2
_ y
2
, e a área da figura 2, que é
expressa por (x + y)(x _ y), são iguais, escrevemos:
x
2
_ y
2
= (x + y) ? (x _ y)
forma fatorada
do polinômio
polinômio
Acompanhe estas situações.

1 O polinômio x
2
_ 36 representa uma diferença de dois quadrados. Fatorar esse polinômio.
Como 36 = 6
2
, temos: x
2
_ 36 = x
2
_ 6
2
= (x + 6)(x _ 6).
Então, (x + 6)(x _ 6) é a forma fatorada de x
2
_ 36.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Apresentar cada um dos exem-
plos aos estudantes, verificando se
todos os cálculos ficam claros. Por
exemplo, os cálculos do exemplo 2
que envolvem frações. Além disso,
é importante destacar outros
casos de fatoração estudados
que podem ser aplicados em cada
exemplo ou atividade.
Atividades
As atividades têm como obje-
tivo que os estudantes apliquem
o caso da fatoração da diferença
de dois quadrados. Nesta seção
Atividades, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Na atividade 1, verificar se
os estudantes percebem que no
item f eles podem fatorar nova-
mente, aplicando o mesmo caso
de fatoração. Assim: a
4
_ c
4
=
= (a
2
_ c
2
) ? (a
2
+ c
2
). Como (a
2
_ c
2
)
é uma diferença de dois quadra-
dos, então a fatoração continua:
(a
2
_ c
2
) ? (a
2
+ c
2
) =
= (a _ c)(a + c)(a
2
+ c
2
)
Se julgar conveniente, comen-
tar que, ao fatorar novamente
todas as expressões que forem
possíveis, obtém-se a fatoração
completa da expressão original.
Em seguida, apresentar outras
expressões para serem fatoradas
completamente pelos estudantes.
Nas atividades 2 e 5, é
importante que os estudan-
tes identifiquem quais são os
termos de cada polinômio a ser
fatorado, de modo que levem
em consideração as particula-
ridades de cada termo, como o
sinal, o expoente, se é ou não
um número inteiro etc.
É importante destacar, nas
atividades 3 e 4, que os estu-
dantes terão de aplicar os casos
de fatoração e fazer substituições
para calcular o valor numérico de
algumas expressões. Verificar se
eles conseguem diferenciar os
procedimentos algébricos dos
aritméticos a fim de obter as res-
postas corretas.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Fatore completamente a expressão x
8
_ y
8
.
Resolução da atividade
x
8
_ y
8
= (x
4
_ y
4
) ? (x
4
+ y
4
)
(x
4
_ y
4
) H diferença de dois quadrados
(x
4
_ y
4
) ? (x
4
+ y
4
) = (x
2
_ y
2
) ? (x
2
+ y
2
) ? (x
4
+ y
4
)
(x
2
_ y
2
) H diferença de dois quadrados
(x
2
_ y
2
) ? (x
2
+ y
2
) ? (x
4
+ y
4
) = (x _ y)(x + y)
(x
2
+ y
2
)(x
4
+ y
4
)

2 Qual é a forma fatorada do polinômio _
1
9
xy
22
?
Como =






1
9
1
3
2
, temos: _= _= +_()


















1
9
xy
1
3
xy
1
3
xy
1
3
xy
22
2
2
.
Então, +_
1
3
xy
1
3
xy











 é a forma fatorada do polinômio _
1
9
xy
22
.

3 Escrever o polinômio (n + 7)
2
_ 1 na forma fatorada. Como 1 = 1
2
, essa expressão representa
uma diferença de dois quadrados.
(n + 7)
2
_ 1
2
= [(n + 7) + 1] ? [(n + 7) _ 1] = (n + 7 + 1)(n + 7 _ 1) = (n + 8)(n + 6)
Então, (n + 8)(n + 6) é a forma fatorada de (n + 7)
2
_ 1.

4 Escrever a expressão a
2
_ (b + c)
2
na forma de um produto.
a
2
_ (b + c)
2
= [a + (b + c)] ? [a _ (b + c)] = (a + b + c) ? (a _ b _ c)
Assim, a forma fatorada da expressão a
2
_ (b + c)
2
é (a + b + c)(a _ b _ c).
Responda às questões no caderno.
1. Cada um dos polinômios seguintes
representa uma diferença de dois qua-
drados. Fatore esses polinômios.
a) a
2
_ 64
b) 100 _ b
2
c) x
2
_ 0,25
d) 16b
2
_ 9c
2
e) 1 _ x
2
y
2
f) a
4
_ c
4
g) a
6
b
6
_ 0,01
h) x
4
_ 100
i) 9 _ y
6
j) 81r
2
_ s
4
2. Qual é a forma fatorada de cada
polinômio?
a)
1
4
9x
2
_
b)
1
100
ab
22
_
c)
1
25
a
1
4
y
42
_
d) b
1
16
c
22
_
+_
1
2
3x
1
2
3x












+_
1
10
ab
1
10
ab












+_
1
5
a
1
2
y
1
5
a
1
2
y
22











+_b
1
4
cb
1
4
c












ATIVIDADES
3. O professor de Matemática de Pedro
disse que 5x _ y = _20 e que 5x + y = _2
e perguntou aos estudantes: “Nessas
condições, qual é o valor numérico do
polinômio 25x
2
_ y
2
?”. Qual deve ser a
resposta de Pedro para que ele acerte
o resultado solicitado?
4. Dado o polinômio a
2
b
2
_ x
2
, escreva a
forma fatorada e calcule o valor numé-
rico dele para ab + x = 21 e ab _ x = 5.
5. Escreva a forma fatorada de cada um dos
seguintes polinômios, considerando que
representam diferenças de dois quadrados.
a) (x _ 4)
2
_ 16
b) (y + 1)
2
_ 25
c) (a + b)
2
_ c
2
d) (n + 5)
2
_ 36
e) (3x _ 1)
2
_ x
2
f) (a
3
+ 3)
2
_ a
6
g) x
2
_ (x + y)
2
h) a
2
_ (a + 1)
2
40
(ab + x)(ab _ x); 105
x(x _ 8)
(y + 6)(y _ 4)
(a + b + c)(a + b _ c)
(n + 11)(n _ 1)
(4x _ 1)(2x _ 1)
3(2a
3
+ 3)
_y(2x + y)
_1(2a + 1)
1. a) (a + 8)(a _ 8)
b) (10 + b)(10 _ b)
c) (x + 0,5)(x _ 0,5)
d) (4b + 3c)(4b _ 3c)
e) (1 + xy)(1 _ xy)
f) (a
2
+ c
2
)(a
2
_ c
2
)
g) (a
3
b
3
+ 0,1)(a
3
b
3
_ 0,1)
h) (x
2
+ 10)(x
2
_ 10)
i) (3 + y
3
)(3 _ y
3
)
j) (9r + s
2
)(9r _ s
2
)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fatoração do trinômio
quadrado perfeito
Apresentar a definição de tri-
nômio quadrado perfeito e pedir
aos estudantes que verifiquem se
alguns polinômios são quadra-
dos perfeitos ou não. É possível
que alguns estudantes verifiquem
apenas se o polinômio é um trinô-
mio e se esqueçam de analisar a
relação entre os termos. Caso isso
ocorra, retomar com a turma o sig-
nificado de ser quadrado perfeito.
Se julgar necessário, retomar
os produtos notáveis quadrado
da soma e quadrado da dife-
rença e analisar as relações entre
eles e a fatoração do trinômio
quadrado perfeito.
É interessante que os estudan-
tes reproduzam no caderno as
figuras apresentadas no Livro do
estudante para auxiliar na apro-
priação desse caso de fatoração.
Nos exemplos, destacar que,
para verificar se um trinômio
é quadrado perfeito, é preciso
realizar algumas etapas. Os estu-
dantes podem descrever essas
etapas de modo esquemático
para tornar mais claro o enten-
dimento desses procedimentos.
AMPLIANDO
Vídeo
FATORAÇÃO de trinômios do quadrado perfeito. Khan
Academy. [ S. I.], c2022. Disponível em: https://pt.khana
cademy.org/math/pt-9-ano/algebra-expressoes-alge
bricas-9ano/fatoracao-de-expressoes-de-segundo-
grau-quadrados-perfeitos/v/factoring-perfect-square-
trinomials. Acesso em: 12 maio 2022.
Nesse
link, é possível acompanhar uma videoaula
a respeito do tópico fatoração do trinômio qua-
drado perfeito.
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
A figura 1 representa um quadrado cujo lado mede
(x + y) unidades de comprimento e cuja área pode ser escrita
de duas maneiras:
x
2
+ 2xy + y
2
ou (x + y)
2
Na figura 2, a região não hachurada representa um qua-
drado cujo lado mede (x _ y) unidades de comprimento e cuja
área pode ser representada de duas maneiras:
x
2
_ 2xy + y
2
ou (x _ y)
2
Então, podemos escrever as seguintes igualdades.
• x
2
+ 2xy + y
2
= (x + y)(x + y) = (x + y)
2

polinômio forma fatorada do polinômio
• x
2
_ 2xy + y
2
= (x _ y)(x _ y) = (x _ y)
2

polinômio forma fatorada do polinômio
Os polinômios x
2
+ 2xy + y
2
e x
2
_ 2xy + y
2
são chama-
dos de trinômios quadrados perfeitos. Trinômios, porque
possuem três termos; quadrados perfeitos, porque o primeiro
representa o quadrado de (x + y), e o segundo representa o
quadrado de (x _ y).
Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É impor-
tante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito.
Para isso, considere as seguintes situações.

1 Verificar se o trinômio x
2
+ 8xy + 16y
2
é quadrado perfeito.
Inicialmente, verificamos se pelo menos dois termos do trinômio são quadrados. Nesse caso,
x
2
e 16y
2
são quadrados, pois:
x
2
+ 8xy + 16y
2
(x)
2(4y)
2
Finalmente, multiplicamos por 2 o produto dessas duas raízes para verificar se o resultado será igual ao termo restante: 2 ? x ? 4y = 8xy. Como, nesse caso, o termo restante é 8xy,
dizemos que o trinômio dado é quadrado perfeito.

2 Verificar se o trinômio x
2
_ 6x + 9 é quadrado perfeito.
Podemos verificar que x
2
e 9 são termos quadrados, pois:
x
2
_ 6x + 9
(x)
23
2
Além disso, temos que: 2 ? x ? 3 = 6x.

6x é o termo restante do trinômio.
Logo, x
2
_ 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito.
x
y xy
xyx
2
y
2
xy
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x
x _ y y
x
yx _ y
Figura 1.
Figura 2.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades propostas têm
como objetivo que os estudan-
tes utilizem o caso de fatoração
de trinômio do quadrado per-
feito e retomem conhecimentos
já adquiridos, o que favorece o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Se julgar necessário, ampliar
a atividade 1, escrevendo na
lousa outros trinômios (quadra-
dos perfeitos e não quadrados
perfeitos) para os estudantes os
identificarem.
Na atividade 6, os estudan-
tes podem começar resolvendo a
diferença indicada entre os polinô-
mios. Nesse caso, deixar que eles
percebam que, dessa maneira,
não vão conseguir usar as infor-
mações dadas no enunciado. Se
houver necessidade, orientá-los
a fatorar cada polinômio.
É importante que os estudan-
tes compartilhem com a turma as
estratégias de resolução utiliza-
das em cada atividade. Verificar
se eles conseguem explicar aos
colegas como pensaram para
resolver algumas atividades e se
são capazes de ouvir e interagir
criticamente sobre as resoluções
dos colegas. Desse modo, podem
ser desenvolvidas a competência
geral 9 e a competência especí-
fica 6 da área de Matemática.

3 Verificar se o trinômio 16x
2
_ 24x + 25 é quadrado perfeito.
Notamos que 16x
2
e 25 são termos quadrados, pois:
(4x)
2
5
216x
2
_ 24x + 25
Além disso, temos:
2 ? 4x ? 5 = 40x
40x não corresponde ao termo restante do trinômio.
Logo, 16x
2
_ 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito.
Os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Vamos fatorá-los.
• Fatorar x
2
+ 8xy + 16y
2
.
x
2
+ 8xy + 16y
2
x
2
+ 8xy + 16y
2
= (x + 4y)
2
2 ? x ? 4y = 8xy
(4y)
2
(x)
2
• Fatorar a
6
_ 10a
3
b + 25b
2
.
a
6
_ 10a
3
b + 25b
2
a
6
_ 10a
3
b + 25b
2
= (a
3
_ 5b)
2

2 ? a
3
? 5b = 10a
3
b
(a
3
)
2
(5b)
2
Responda às questões no caderno.
1. Verifique se cada um dos seguintes trinô-
mios representa um trinômio quadrado
perfeito.
a) a
2
_ 10ab + 25b
2
c) 9x
2
_ 6x + 1
b) x
2
_ 8x + 25 d) 16y
2
+ 24xy + 9x
2
2. Se você fatorar x
2
+ 18x + 81, qual po-
linômio vai obter?
3. O trinômio x
2
_ 0,4x + 0,04 é quadrado
perfeito. Qual é sua forma fatorada?
4. Para se obter (3a + 2)
2
, qual termo deve ser
adicionado ao trinômio 9a
2
+ 10a + 4?
5. Considerando x + y = 15 e x _ y = _6,
qual é o valor numérico da expressão al-
gébrica (x
2
+ 2xy + y
2
) _ (x
2
_ 2xy + y
2
)?
Sim.
Sim.
Não.
Sim.
(x + 9)
2
(x _ 0,2)
2
2a
189
ATIVIDADES
6. Sabendo que os trinômios a seguir são
quadrados perfeitos, escreva a forma
fatorada de cada um deles.
a) 4x
2
_ 12xy + 9y
2
b) y
2
+ 22y + 121
c) 81p
2
_ 18p + 1
d) 4b
2
+ 16bx + 16x
2
e) 100p
2
_ 20px + x
2
f) 144x
2
y
2
+ 24xy + 1
g) m
2
_ 12m + 36
h) 16a
4
+ 8a
2
b + b
2
i) 100 _ 20bc + b
2
c
2
j) x
10
+ 4x
5
y
3
+ 4y
6
7. Sabe-se que 2a _ 3 = _11. Qual é,
então, o valor numérico do polinômio
4a
2
_ 12a + 9? 121
(2x _ 3y)
2
(y + 11)
2
(9p _ 1)
2
(2b + 4x)
2
(10p _ x)
2
(12xy + 1)
2
(m _ 6)
2
(4a
2
+ b)
2
(10 _ bc)
2
(x
5
+ 2y
3
)
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fatoração da soma ou da
diferença de dois cubos
Como sugestão de encami-
nhamento de aula, explorar, na
lousa, os exemplos apresen-
tados no Livro do estudante.
Questionar a turma a respeito
dos casos de fatoração que
podem ser aplicados em cada
situação.
Enfatizar novamente os cui-
dados que os estudantes devem
ter ao trabalhar com os sinais
das expressões, evitando pos-
síveis erros.
Se julgar necessário, retomar
os produtos notáveis cubo da
soma e da diferença e compa-
rá-los, respectivamente, com a
fatoração da soma e da dife-
rença de dois cubos.
Fatorando mais
de uma vez
Neste tópico, são tratados
exemplos de polinômios que
podem ser fatorados mais de
uma vez e por meio de mais
de uma técnica de fatoração.
É recomendável pedir aos
estudantes que tentem resolver
os exemplos antes de apre-
sentar-lhes os resultados dos
exemplos.
Em cada etapa, vale desta-
car cada técnica de fatoração
utilizada para que os estudan-
tes compreendam como elas
podem ser aplicadas em dife-
rentes situações.
FATORAÇÃO DA SOMA OU DA DIFERENÇA
DE DOIS CUBOS
Observe as multiplicações.

1 (x + y) ? (x
2
_ xy + y
2
) =
_+ +_ +xxyxyx yxyy
32 22 23
= x
3
+ y
3
Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:
x
3
+ y
3
= (x + y) ? (x
2
_ xy + y
2
)
polinômio forma fatorada
do polinômio

2 (x _ y) ? (x
2
+ xy + y
2
) =
_+ +_ _xxyxyx yxyy
32 22 23
= x
3
_ y
3
Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos:
x
3
_ y
3
= (x _ y) ? (x
2
+ xy + y
2
)
polinômio forma fatorada
do polinômio
FATORANDO MAIS DE UMA VEZ
Vamos fatorar o polinômio x
4
_ 16. Como esse polinômio representa uma diferença de
quadrados, fazemos:
x
4
_ 16 = (x
2
+ 4) ? (x
2
_ 4)
Note, porém, que a fatoração não está terminada, pois o fator (x
2
_ 4) também é uma
diferença de quadrados; portanto, pode ser fatorado. Assim, escrevemos:
x
4
_ 16 = (x
2
+ 4) ? (x
2
_ 4) = (x
2
+ 4) ? (x + 2) ? (x _ 2)
Existem polinômios cuja fatoração exige a aplicação de mais de uma técnica. Acompanhe
estes exemplos.

1 Fatorar x
3
_ 4x
2
+ 4x.
x
3
4x
2
A 4x T x O (x
2
4x A 4) T x O (x 2)
2
FAAAAATAAAAAOFAAAAATAAAAAO FAAAAATAAAAAOFAAAAATAAAAAO FAATAAOFAATAAO
fator comum em evidência
trinômio quadrado
perfeito
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Usando a fatoração para
resolver equações
Muitas equações de grau maior
do que 1 podem ser fatoradas
e transformadas em equações
de produto nulo. Assim, os estu-
dantes podem resolver alguns
tipos de equação, mesmo sem
terem aprendido como solucio-
ná-los de outra maneira.
Ao explorar as situações apre-
sentadas, enfatizar o fato de os
estudantes terem de escrever cada
produto igual a zero para deter-
minar as raízes da equação. Isso
ocorre, por exemplo, na situa-
ção 1, em que (x + 4)(x _ 4) = 0.
A resolução de equações é
uma das principais justificativas
para o estudo de produtos notá-
veis e fatorações. É importante
que os estudantes percebam que
podem mobilizar o que foi apren-
dido sobre os referidos temas e
utilizá-los como ferramentas na
resolução de equações. Desse
modo, propicia-se o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA09.
Na Unidade 3 deste Volume,
serão estudadas equações do
segundo grau, com as quais é
possível ampliar as aplicações dos
temas estudados nesta Unidade.

2 Fatorar a
4
b + ab
4
.
a
4
b   ab
4
1 ab = (a
3
   b
3
) 1 ab = (a   b) = (a
2
_ ab   b
2
)
+??=??_+??=??_ +????????=????????_ ????????=????????_+??=??_+??=?? _
fator comum em evidência
soma de dois cubos
USANDO A FATORAÇÃO PARA RESOLVER EQUAÇÕES
Existe uma propriedade importante, válida para os números reais, que nos mostra que:
se x ? y = 0, então x = 0 ou y = 0.
Considerando essa propriedade e os casos de fatoração, podemos resolver algumas equações.
Observe os exemplos a seguir.

1 Quais são as raízes da equação x
2
_ 16 = 0?
Como x
2
_ 16 é uma diferença de quadrados dada por (x)
2
_ (4)
2
, temos:
x
2
_ 16 = 0
(x + 4)(x _ 4) = 0
forma fatorada
(x + 4)(x _ 4) = 0 h





+=h =_
_=h =
x4 0x 4
ou
x4 0x 4

Então, as raízes da equação x
2
_ 16 = 0 são os números _4 e 4.
As raízes de uma equação são os valores que tornam
a sentença verdadeira, ou seja, a solução da equação.
SAIBA QUE

2 Quais são as raízes da equação x
2
+ 7x = 0?
x
2
+ 7x = 0
x ? (x + 7) = 0
Colocamos o fator x em evidência.
x ? (x + 7) = 0 h





=
+= h=_
x0
ou
x7 0x 7
Então, as raízes da equação x
2
+ 7x = 0 são os números 0 e _7.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Este bloco de atividades tem
como objetivo que os estudantes
reconheçam e utilizem os casos
de fatoração aprendidos. Além
disso, as atividades abrangem
algumas equações que podem
ser resolvidas usando fatora-
ção e outros conhecimentos
já adquiridos, o que propicia o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Na atividade 2, verificar se
os estudantes percebem que há
alguns itens em que devem utili-
zar mais de um caso de fatoração.
Se eles tiverem muitas dúvidas,
propor a resolução desses itens
na lousa, chamando alguns estu-
dantes para resolvê-los.
Na atividade 4, estimular a
utilização de mais um modo de
agrupar. Além disso, os estudan-
tes devem empregar mais de um
caso de fatoração.
Na atividade 8, verificar se os
estudantes escrevem a expres-
são adicionando as medidas dos
quatro lados do retângulo e não
apenas (2x + 1) + (x _ 3).
Responda às questões no caderno.
1. Escreva a forma fatorada de cada um
dos seguintes polinômios.
a) x
3
+ y
3
b) b
3
_ c
3
c) a
3
_ 1
d) x
3
+ 8
e) 27 _ m
3
f) +
1
125
c
3

2. Fatore os polinômios.
a) a
4
_ b
4
b) 3x
2
_ 6x + 3
c) m
2
x _ x
d) 5a
2
+ 30ab + 45b
2
e) x
3
y _ xy
3
f) m
8
_ n
8
g) x
3
_ xy
2
+ x
2
y _ y
3
h) a
4
_ ax
3
i) _1
1
16
p
4
j) ++y
4
3
y
4
9
y
32
k) x
3
y _ y
l) ax
2
_ a + bx
2
_ b
m) a
3
+ 2a
2
+ a + a
2
b + 2ab + b
n) 2x
7
_ 2xy
6
o) a
5
+ a
2
b
3
_ a
3
b
2
_ b
5
3. Sabendo que x _ y = 6, determine o
valor numérico do seguinte polinômio.
5x
2
_ 10xy + 5y
2
4. Qual é a forma fatorada da expressão
ab
2
_ ac
2
+ b
3
_ bc
2
?
5. Fatore o polinômio x
3
y + 2x
2
y
2
+ xy
3
e
determine seu valor numérico, sabendo
que xy = 10 e x + y = _5.
6. Fatore o polinômio ax
3
_ ax + bx
3
_ bx.
(b _ c)(b
2
+ bc + c
2
)
(a _ 1)(a
2
+ a + 1)
(x + 2)(x
2
_ 2x + 4)
(3 _ m)(9 + 3m + m
2
)
+_ +
1
5
c
1
25
c
5
c
2











(a
2
+ b
2
)(a + b)(a _ b)
3(x _ 1)
2
x(m + 1)(m _ 1)
5(a + 3b)
2
xy(x + y)(x _ y)
(m
4
+ n
4
)(m
2
+ n
2
)(m + n)(m _ n)
(x + y)
2
(x _ y)
a(a _ x)(a
2
+ ax + x
2
)
++ _1
1
4
p1
1
2
p1
1
2
p
2

















+yy
2
3
2






y(x _ 1)(x
2
+ x + 1)
(a + b)(x + 1)(x _ 1)
(a + b)(a + 1)
2
(a + b)
2
(a _ b)(a
2
_ ab + b
2
)
180
(a + b)(b + c)(b _ c)
xy(x + y)
2
; 250
x(a + b)(x + 1)(x _ 1)
ATIVIDADES
7. Determine as raízes de cada uma das
seguintes equações, no conjunto dos
números reais.
a) x
2
_ 9x = 0
b) x
2
_ 81 = 0
c) x
2
_ 64 = 0
d) x
2
+ 20x = 0
e) x
2
_ x = 0
f) x
2
_ 0,25 = 0
g) x
2
_ 1 = 0
h) x
2
+ 0,6x = 0
i) x
2
_ 0,01 = 0
j) _=x
x
4
0
2
8. (Saresp-SP) Observe a
figura a seguir.
A expressão algébrica
mais simples que de-
termina o perímetro
desse retângulo é:
a) 6x _ 4
b) 4x _ 6
c) _4x
2
+ x _ 3
d) x + 4
9. Qual é a forma fatorada da expressão
(x + y)
2
_ (2x + y)(_x + y)?
a) x(3x _ y)
b) x(3x + y)
c) x(2x + y)
d) y(3x _ y)
e) y(3x + y)
10. Fatore os polinômios e simplifique
a fração algébrica
++
_
4x12x9
4x9
2
2
. Em
seguida, calcule o valor numérico da
expressão obtida para x = 0 e para x = 1.
11. Elabore uma expressão algébrica cuja
forma fatorada tenha x _ b como um dos
fatores. Em seguida, calcule o valor nu-
mérico dessa expressão para x _ b = 5.
12. Calcule o valor numérico do polinômio
2 ? (3a _ 2b) ? (6a + 4b), sabendo que
9a
2
_ 4b
2
= 15.
0 e 9.
_9 e 9.
_8 e 8.
_20 e 0.
0 e 1.
_0,5 e 0,5.
_1 e 1.
_0,6 e 0.
0,1 e _0,1.
2x + 1
x _ 3
0 e
1
4
.
Alternativa a.
Alternativa b.
10. Para x = 0:
2x3
2x3
1
+
_
=_.
Para x = 1:
2x3
2x3
5
+
_
=_.
60
(x + y)(x
2
_ xy + y
2
)
EDITORIA DE ARTE
2. n) 2x(x + y)(x _ y)(x
2
+ xy + y
2
)(x
2
_ xy + y
2
)
11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.83
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Inicialmente, promover um
debate com os estudantes a res-
peito da cultura afro-brasileira.
Questioná-los sobre o que sabem
a respeito do assunto tratado
na seção, abrindo espaço para
que compartilhem costumes,
informações, sensações e expe-
riências pessoais. Essa atividade
favorece o desenvolvimento das
competências gerais 7 e 9 e o
Tema Contemporâneo Transversal
Educação para valorização do
multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras.
Em seguida, solicitar-lhes que
elenquem outras contribuições
que a cultura afro-brasileira
trouxe para o Brasil. Incentivá-los
a socializar as informações que
possuem acerca das heranças
deixadas pela cultura afro-bra-
sileira. Se possível, incentivá-los
a construir um painel com as
informações obtidas.
Comentar que, em 2003, a
Lei n
o
10.639 passou a exigir que
as escolas brasileiras de Ensino
Fundamental e Médio exploras-
sem o ensino da história e da
cultura afro-brasileira em suas
atividades educativas.
Fonte: BRASIL. Lei n
o
10.639, de
9 de janeiro de 2003. Altera a Lei
n
o
9.394, de 20 de dezembro de
1996, que estabelece as diretrizes
e bases da educação nacional,
para incluir no currículo oficial
da Rede de Ensino a obrigato-
riedade da temática “História e
Cultura Afro-Brasileira”, e dá
outras providências. Diário
Oficial da União, Brasília, DF,
ano 140, n. 8, p. 1, 10 jan. 2003.
Esta pode ser uma oportuni-
dade para promover reflexões
acerca deste documento e suas
finalidades. Em seguida, se julgar
conveniente, convidá-los a ela-
borar uma pesquisa para coletar
informações a respeito dos temas
AMPLIANDO
Link
TRÁFICO de escravos no Brasil: cultura afro-brasileira.
Biblioteca Nacional Digital. Rio de Janeiro, [c2022].
Disponível em: https://bndigital.bn.gov.br/dossies/trafico-
de-escravos-no-brasil/cultura-afro-brasileira/. Acesso
em: 12 maio 2022.
Nesse link, é possível fazer uma visita virtual à Bi-
blioteca Nacional Digital e ter acesso a informações
relacionadas à cultura afro-brasileira.
preconceito e racismo. A ideia é que elaborem
uma entrevista a ser realizada com pessoas
que se declaram pardas ou negras.
Comentar com a turma que, nessa coleta
de informações, o principal objetivo será
descobrir se, atualmente, ainda há questões
envolvendo o reconhecimento e a valoriza-
ção da cultura afro-brasileira.
POR TODAPARTE
A CULTURA AFRO-BRASILEIRA
Você sabia que, apenas a partir do século XX, manifestações, rituais e costumes
dos povos africanos começaram a ser aceitos e celebrados no Brasil como expressões
artísticas genuinamente nacionais?
Leia os textos a seguir para conhecer e refletir sobre as contribuições da cultura
africana para a formação da identidade do povo brasileiro.
Denomina-se cultura afro-brasileira o conjunto de manifestações culturais
do Brasil que sofreram algum grau de influência da cultura africana desde os
tempos do Brasil colônia até a atualidade. A cultura da África chegou ao Brasil,
em sua maior parte, trazida pelos escravos negros na época do tráfico transa-
tlântico de escravos. No Brasil a cultura africana sofreu também a influência
das culturas europeia (principalmente portuguesa) e indígena, de forma que
características de origem africana na cultura brasileira encontram-se em geral
mescladas a outras referências culturais. Traços fortes da cultura africana podem
ser encontrados hoje em variados aspectos da cultura brasileira, como a música
popular, a religião, a culinária, o folclore e as festividades populares. Os estados
do Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de
Janeiro, São Paulo e Rio Grande do Sul foram os mais influenciados pela cultura
de origem africana, tanto pela quantidade de escravos recebidos durante a época
do tráfico como pela migração interna dos escravos após o fim do ciclo da cana-
-de-açúcar na região Nordeste. Ainda que tradicionalmente desvalorizados na
época colonial e no século XIX, os aspectos da cultura brasileira de origem afri-
cana passaram por um processo de revalorização a partir do século XX que
continua até os dias de hoje.
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?].
Disponível em: https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Baianas em Vera Cruz
(BA), 2019.
SERGIO PEDREIRA/
PULSARIMAGENS
LUKIYANOVA NATALIA FRENTA/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Solicitar aos estudantes que
compartilhem com a turma
o que conhecem a respeito
da culinária afro-brasileira. Se
julgar interessante, solicitar-
-lhes uma pesquisa sobre os
principais alimentos e receitas
típicas consumidos no Brasil
que sejam de origem africana.
Em seguida, verificar a possi-
bilidade de cada estudante ou
grupo de estudantes preparar
essas receitas em casa e trazer
para a escola a fim de serem
socializadas com a comunidade
escolar. Nesse momento, eles
também explicarão as origens
da culinária que está sendo
apresentada.
Os estudantes podem pesqui-
sar, também, outras manifestações
culturais afro-brasileiras, como
a dança, as artes plásticas e as
vestimentas.
Moqueca de peixe.
Grupo folclórico Terno de Congo
de Sainha Irmãos Paiva, de Santo
Antônio da Alegria (SP), 2018.
O Congado é uma manifestação
cultural e religiosa afro-brasileira.
ROCHARIBEIRO/SHUTTERSTOCK.COM
CESAR DINIZ/PULSAR IMAGENS
Entre outras influências importantes da cultura africana,
podemos destacar aquelas relacionadas à culinária, à música
e à dança.
Culinária
[...] a cozinha brasileira regional foi muito influen-
ciada pela cozinha africana, mesclada com elementos
culinários europeus e indígenas.
A culinária baiana é a que mais demonstra a influência africana nos seus pratos típicos
como acarajé, caruru, vatapá e moqueca. Estes pratos são preparados com o [azeite de
dendê], extraído de uma palmeira africana trazida ao Brasil em tempos coloniais. [...]
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?]. Disponível em:
https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Música e dança
A música criada pelos afro-brasileiros é uma mistura de influências de toda a África
subsaariana com elementos da música portuguesa e, em menor grau, ameríndia, que pro -
duziu uma grande variedade de estilos.
A música popular brasileira é fortemente influenciada pelos ritmos africanos. As
expressões de música afro-brasileira mais conhecidas são o samba, maracatu, ijexá, coco,
jongo, carimbó, lambada, maxixe, maculelê.
EVOLUÇÃO histórica: cultura afro-brasileira. Portal da cultura afro-brasileira. Colombo, [20-?]. Disponível em:
https://www.faecpr.edu.br/site/portal_afro_brasileira/3_III.php. Acesso em: 2 mar. 2022.
Agora, converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir e responda
no caderno.
• Você conhece algumas manifestações da cultura afro-brasileira? Na região onde você
mora, essas manifestações estão presentes?
• Você já teve a oportunidade de experimentar pratos da culinária africana ou de assistir
a alguma das expressões musicais afro-brasileiras? Como foi essa experiência?
• Você sabia que as línguas africanas influenciaram o processo de transformação da
língua portuguesa falada no Brasil? Faça uma pesquisa sobre essa contribuição e
descubra palavras desse vocabulário que são comuns em algumas regiões do Brasil.
Respostas pessoais.
Respostas pessoais. Incentivar os estudantes a compartilhar as experiências deles com
aspectos da cultura afro-brasileira, apresentando exemplos de manifestações dessa cultura.
Resposta pessoal. Exemplos de resposta: cafuné (afago na cabeça de
alguém para provocar sono); fubá (farinha de milho); fuzuê (algazarra,
barulho, confusão); zabumba (bumbo) etc.
LUKIYANOVA NATALIA FRENTA/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
As questões apresentadas
nesta seção visam retomar o tra-
balho com o cálculo algébrico e
os polinômios, o que favorece o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA09.
Incentivar os estudantes a socia-
lizar as estratégias que utilizaram
e a trocar ideias com os colegas a
respeito de temas sobre os quais
ainda tenham dúvida. Acompanhar
e orientá-los nesse trabalho. Se
necessário, explicar na lousa as
dúvidas que ainda persistam.
Os estudantes podem fazer
esse bloco de atividades como
uma autoavaliação; por isso, eles
devem respondê-las individual-
mente. É interessante sugerir-lhes
que realizem essa atividade durante
a aula; assim, poderão discutir
eventuais dúvidas com os colegas,
por exemplo.
Orientá-los a consultar o Livro do
estudante para esclarecer dúvidas
e buscar informações. Conversar
com eles a respeito de acertos e
erros, indicando as correções com
intervenções pontuais. Esse tipo
de ação amplia a capacidade de
comunicação e argumentação
dos estudantes de acordo com
a competência geral 7, além de
beneficiar a cooperação entre
eles de acordo com a compe-
tência geral 9.
Outra possibilidade é propor aos
estudantes que resolvam algumas
das questões previamente em
casa e que desenvolvam outras
em aula, formando duplas ou
grupos com os colegas. Nessa
interação, devem aproveitar para
fazer a autocorreção daquelas
que trouxeram prontas.
Sugerir também aos estudantes
que refaçam algumas atividades
anteriores dos assuntos em que
tiverem dúvidas. Ressaltar tais
temas ao corrigir as atividades.
Procurar trabalhar o conteúdo no qual os estu-
dantes mais apresentaram dificuldade durante
o desenvolvimento da Unidade também pode
contribuir nesse momento.
Nas atividades 6 e 13, é interessante per-
ceber se os estudantes conseguem resolver
empregando o raciocínio envolvido na repre-
sentação geométrica de expressões algébricas
apresentadas nesta Unidade.
Responda às questões no caderno.
1. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da
expressão n
2
+ 3n + 1 para n valendo 1,
2, 3 etc., obtém-se uma das sequências
a seguir. Qual delas?
a) 5, 11, 17, 23, ...
b) 5, 11, 19, 29, ...
c) 5, 7, 9, 11, ...
d) 1, 5, 9, 13, ...
2. (Saresp-SP) O valor numérico da expres-
são 2b
2
+ 8 para b igual a _3 é:
a) 17
b) 18
c) 26
d) 34
3. A sequência
xy
4
,
xy
2
2
, x
3
y, ... tem
7 termos. Qual é o último termo dessa
sequência?
a) 16x
7
y
b) 8x
7
y
c) 16x
6
y
d) 16x
5
y
e) 32x
7
y
4. Dois números a e b são tais que
a = 2x + 3 e b = 2x _ 1. Sabendo que
a
2
_ b
2
= 40, determine o valor de x.
5. Considere a fórmula matemática
V
R
S3
=
+
. Se R = 28,8 e S = 1,5, o valor
de V é:
a) 3,2.
b) 4,2.
c) 5,4.
d) 5,8.
e) 6,4.
Alternativa b.
Alternativa c.
Alternativa a.
2
Alternativa e.
6. Na figura a seguir, a área do retângulo
1 é ab, a área do quadrado 2 é b
2
, e
a área do retângulo 3 é bc.
1 2
3
Qual é a área do retângulo cor-de-rosa?
a) ac
b) a
2
c) bc
d) ab
7. Em uma adição de polinômios, encon-
trou-se o resultado 3x
3
_ 4x + 6, mas
verificou-se que a parcela 5x
3
_ 8x
2
_ 9
havia sido incluída indevidamente. A
soma dos coeficientes dos termos do
polinômio, que é o resultado correto
da adição, é:
a) +17.
b) _17.
c) +5.
d) _5.
e) +16.
8. Utilizando o que você aprendeu sobre
produtos notáveis, escreva o polinômio
correspondente a:
a) (3x + 1)(3x _ 1).
b) (10 + 2x)
2
.
c) (7a _ 2b)
2
.
d) (2x + 0,5y)
2
.
e) (4x + b)(4x _ b).
f) (a + 2b)
3
.
g) (2a _ b)
3
.
h) (2 _ 3a)
3
Alternativa a.
Alternativa a.
9x
2
_ 1
100 + 40x + 4x
2
49a
2
_ 28ab + 4b
2
4x
2
+ 2xy + 0,25y
2
16x
2
_ b
2
a
3
+ 6a
2
b + 12ab
2
+ 8b
3
8a
3
_ 12a
2
b + 6ab
2
_ b
3
8 _ 36a + 54a
2
_ 27a³
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos existentes
no encerramento desta Unidade
poderão permitir, além de uma
breve retomada dos conteúdos
apresentados, reflexões a respeito
das aprendizagens individuais. É
importante que os estudantes
respondam individualmente a
cada uma das questões para que,
dessa maneira, possam avaliar as
aprendizagens e identificar pos-
síveis dúvidas.
Em virtude do volume dos
conceitos tratados, sugere-se, no
encerramento desta Unidade, que
os estudantes registrem os pontos
principais e citem exemplos que
os ilustrem, dando destaque para
as operações entre monômios
e polinômios e a relação entre
produtos notáveis e fatoração.
Esse conteúdo não é facilmente
assimilado, em razão da abstra-
ção exigida, o que faz esperar
que apareçam dúvidas. Portanto,
socializar os registros e as dúvidas
poderá permitir maior e melhor
visualização do entendimento
da turma a respeito do assunto
e, desse modo, criar oportunida-
des de aprendizagem.
Primeiramente, permitir aos
estudantes que discutam as dúvidas
em grupos de três a quatro inte-
grantes. Nesse momento, parte
das questões deve ser resolvida
e apenas questões mais específi-
cas precisarão ser resolvidas em
atividade posterior de comparti-
lhamento com a turma.
As questões finais buscam
refletir a respeito do propósito de
estudar monômios e polinômios.
Espera-se que os estudantes per-
cebam que uma das motivações
está no contexto matemático,
na simplificação de operações e
nas generalizações que o cálculo
algébrico pode propiciar.
9. Escreva a forma fatorada de cada um
dos seguintes polinômios.
a) b
2
_ 2ab + b
b) 18x
5
+ 6x
4
_ 42x
3
c) 2a
5
+ 2a
3
+ 2a
d) 100ax
3
_ 60ax
2
+ 120ax
e) a
2
_ 49
f) 64 _ b
2
g) 4 _ a
2
b
2
10. Para obter (4a + 3)
2
, qual termo deve
ser adicionado ao trinômio a seguir?
16a
2
+ 20a + 9
11. Calcule o valor numérico do trinômio a
seguir para x _ 2y = 6.
7x
2
_ 28xy + 28y
2
b(b _ 2a + 1)
6x
3
(3x
2
+ x _ 7)
2a(a
4
+ a
2
+ 1)
20ax(5x
2
_ 3x + 6)
(a + 7)(a _ 7)
(8 + b)(8 _ b)
(2 + ab)(2 _ ab)
4a
252
12. Sabe-se que a
2
+ b
2
= 2,25 e x + y = 0,8.
Qual é o valor numérico da expressão a
seguir?
a
2
x + b
2
x + a
2
y + b
2
y
a) 0,18
b) 1,8
c) 18
d) 0,9
e) 2,8
13. A área de um retângulo é expressa
pelo polinômio x
2
_ 9, em que x . 3.
Fatorando esse polinômio, obtemos as
medidas dos lados do retângulo. Se o
perímetro do retângulo é 32 cm, qual é
a área dele?
a) 51 cm
2
b) 53 cm
2
c) 57 cm
2
d) 54 cm
2
e) 55 cm
2
Alternativa b.
Alternativa e.
Nesta Unidade, foram abordados os conceitos de monômios, polinômios, produtos
notáveis e fatoração de polinômios. Para retomar os detalhes envolvidos nos cálculos
algébricos e as propriedades matemáticas relacionadas a esses conteúdos, sugerimos a
você que:
• faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios
(adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação), indicando um exemplo
para cada operação;
• elabore um quadro-resumo dos produtos notáveis e indique como esses produtos
se relacionam com a fatoração (não se esqueça de incluir exemplos).
Em seguida, registre suas dúvidas para uma conversa com a turma. Essa conversa
pode começar em pequenos grupos e terminar de maneira coletiva, socializando
possíveis dúvidas que seu grupo não conseguiu esclarecer.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• Na abertura desta Unidade, você conheceu um pouco sobre os vitrais e observou
que os artistas, primeiramente, esboçam em papel como a peça deverá ficar ao
ser concluída. Esse esboço também lhes permite calcular a quantidade de material
necessária. Desse modo, foi proposta uma questão a respeito do cálculo da área de
determinada região de um esboço. Naquela situação, você conseguiu responder a
esse questionamento? E agora, ao concluir o estudo desta Unidade?
• Você percebe a relação entre polinômios, operações envolvendo polinômios e fi-
guras geométricas? Percebe, inclusive, que essa relação pode auxiliar em situações
práticas envolvendo área de superfícies cujas medidas sejam desconhecidas?
• Em sua opinião, o estudo de produtos notáveis e fatoração pode facilitar a resolu-
ção de problemas envolvendo cálculos numéricos e geométricos?
Respostas pessoais. Exemplos de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
UM NOVO OLHAR
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INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em quatro capítulos e apresenta
os conteúdos por meio de exem-
plos contextualizados e atividades
diversificadas, com seções que
contribuem para a formação
dos estudantes. Desse modo,
favorece-se com maior ênfase
o desenvolvimento das compe-
tências gerais 1, 2 e 9.
No primeiro capítulo, são apre-
sentadas as equações do 2
o
grau
com uma incógnita, nas quais
trabalha-se com equações com-
pletas e equações incompletas e
a forma reduzida de uma fração.
No segundo capítulo, aborda-
-se a resolução de equações do
2
o
grau com uma incógnita, com
diferentes processos de resolução.
No terceiro capítulo, aborda-se
a soma e o produto das raízes
de uma equação do 2
o
grau com
uma incógnita. No quarto capítulo,
são apresentadas mais equações,
com as equações biquadradas e
as equações irracionais.
OBJETIVOS
• Reconhecer uma equação do
2
o
grau com uma incógnita.
• Identificar elementos de uma
equação do 2
o
grau.
• Classificar equações do 2
o
grau com uma in-
cógnita em completas ou incompletas.
• Escrever equações do 2
o
grau com uma incóg-
nita na forma reduzida.
• Determinar a solução de equações do 2
o
grau
com uma incógnita na forma ax
2
+ bx = 0
e na forma ax
2
+ c = 0.
• Determinar a quantidade de raízes reais dis-
tintas de uma equação do 2
o
grau com uma
incógnita, analisando o valor do discriminante.
• Compreender a relação entre as raízes e os
coeficientes de uma equação do 2
o
grau com
uma incógnita.
• Resolver e elaborar problemas que podem
ser representados por equações do 2
o
grau.
BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2 e 9
Competências específicas:
• 1, 2, 4 e 5
Habilidades:
Números
• EF09MA03
Álgebra
• EF09MA09
Probabilidade e estatística
• EF09MA21
Tema Contemporâneo
Transversal:
• Educação para o Consumo
Galileu Galilei (1564-1642) foi
um dos cientistas responsáveis pelos
estudos que envolvem a queda livre de
corpos. Ele descobriu que o movimento
de todo corpo em queda livre, ou seja,
abandonado sem que seja aplicada
uma velocidade inicial e desprezando-se
a resistência do ar, pode ser mode-
lado da seguinte maneira: =






1
2
gtd
2
,
em que d é a altura, em metro, da queda,
g é o valor da aceleração da gravidade no
local da queda (uma boa aproximação é
9,8 m/s
2
na Terra), e t é o tempo de queda,
em segundo. Desse modo, conhecendo
a altura da queda, é possível definir uma
equação que determine o tempo de queda
de um corpo. Por exemplo, para uma altura
de 35 metros, temos:






1
2
? 9,8t
2
= 35
UNIDADE
EQUAÇÕES
DO 2
o
GRAU
3
SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM
Torre de Pisa e Catedral
de Pisa, Toscana (Itália),
2021.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Para iniciar o estudo sobre equa-
ções do 2
o
grau, a abertura desta
unidade traz um pouco sobre o
experimento que Galileu Galilei
teria realizado na Torre de Pisa.
Ao iniciar esta abertura, pode-se
propor o seguinte questionamento
aos estudantes: “Lançados em
queda livre de uma mesma altura,
o que chegará primeiro ao chão:
uma borracha ou uma folha de
papel?”. Convidá-los a pegar os
objetos em questão e, ao mesmo
tempo, soltar a borracha e a folha
de papel sem nenhum tipo de dobra
ou amassado (nesse caso, a bor-
racha cairá primeiro). Em seguida,
orientá-los a amassar a folha de
papel para que ela fique com o
formato de uma bolinha, e a sol-
tá-la novamente em queda livre,
ao mesmo tempo que a borracha.
Elas, provavelmente, vão parecer
chegar ao chão ao mesmo tempo.
Se for possível, pedir a algum estu-
dante que grave a cena para que
todos analisem de maneira mais
detalhada posteriormente.
Depois, propor aos estudantes
que realizem a leitura do texto da
abertura e verificar se eles têm
alguma dúvida. Explicar que, para
que o experimento de Galileu
fosse, de fato, bem-sucedido,
deveria ser realizado no vácuo.
Espera-se que eles compreendam
que a resistência do ar influen-
cia na queda dos objetos. Se
considerar oportuno, pode-se
trabalhar o tema desta abertura
em parceria com o professor de
Ciências. Desse modo, há oportu-
nidade de exercitar a capacidade
de reflexão e análise crítica, o
que favorece o desenvolvimento
das competências gerais 1 e 2 e
das competências específicas 1
e 4 da área de Matemática.
Incentivar os estudantes a res-
ponder às questões propostas
e verificar se eles têm alguma
dúvida.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se o estudo das
equações do 2
o
grau com uma incógnita como
uma ferramenta para auxiliar a descrever diver-
sas situações, favorecendo o desenvolvimento
das habilidades EF09MA03 e EF09MA09.
Na seção Tratamento da informação,
explora-se a importância da representação
correta dos gráficos. Esse tema colabora para o
desenvolvimento da habilidade EF09MA21,
da competência específica 5 da área de
Matemática e do Tema Contemporâneo
Transversal Educação para o Consumo.
Na seção Tecnologias, aborda-se a reso-
lução de equações do 2
o
grau fazendo uso
do software Ofi Calc. Desse modo, propi-
cia-se o desenvolvimento da competência
específica 5 da área de Matemática e das
habilidades EF09MA03 e EF09MA09.
Agora, responda às questões no caderno.
• Na equação dada, identifique a incógnita e o coeficiente dessa incógnita. Essa equação
é de 1
o
grau? Justifique.
• De acordo com a equação, aproximadamente quanto tempo levará para um corpo cair
de uma altura de 35 metros? Aproximadamente 2,67 s.
A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equação do 1
o
grau,
o expoente da incógnita é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.
89
EDITORIA DE ARTE, BESTPIX/SHUTTERSTOCK.COM,
KRASOVSKI DMITRI/SHUTTERSTOCK.COM
Galileu foi um físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano que teve grande
papel na revolução científica.
Esse cientista comprovou que, se dois corpos de massas diferentes forem
abandonados juntos de uma mesma altura, chegarão ao chão no mesmo instante
(desconsiderando-se a resistência do ar). Conta-se que, para ilustrar esse fato, Galileu
teria subido a Torre de Pisa e lançado dois objetos esféricos de massas diferentes,
os quais teriam chegado simultaneamente ao chão.
IANDAGNALL COMPUTING/ALAMY/FOTOARENA
SUSTERMANS,
Justus. Galileo Galilei.
1640. Óleo sobre tela,
867 mm x 686 mm.
National Maritime
Museum, Londres.
SEAN PAVONE/SHUTTERSTOCK.COM
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Equação do 2
o
grau
com uma incógnita
Após a contextualização his-
tórica apresentada nesta página,
comentar com os estudantes o
processo babilônico utilizado na
resolução de situações-problema.
Como sugestão de encaminha-
mento, apresentar a situação a
seguir para que os estudantes dis-
cutam em duplas ou em grupos.
• A soma de dois números é 50
e o produto entre eles é 400.
Quais são esses dois números?
Espera-se que os estudantes
concluam que os números são
40 e 10.
Solicitar que busquem outros
processos de resolução, desenvol-
vendo as próprias estratégias. Nesse
momento, podem ser exploradas
resoluções com cálculo mental. Na
discussão da atividade, enfatizar
que o processo babilônico permite
apenas determinar a solução natural
e que, posteriormente, será apre-
sentado o motivo desse fato.
AMPLIANDO
Link
PEDROSO, Hermes Antônio. Uma breve história da equação do 2
o
grau. REMat Revista eletrônica de
Matemática, [São José dos Campos], 2010, n. 2. Disponível em: https://www.ibilce.unesp.br/Home/
Departamentos/Matematica/labmat/uma-breve-historia-da-equacao-do-2-grau.pdf. Acesso em: 21 jun. 2022.
Nesse link, é possível ter acesso a um texto sobre a história da equação do 2
o
grau.EQUAÇÃO DO 2
o
GRAU
COM UMA INCÓGNITA
CAPÍTULO
1
1.C<> onsidere os polígonos e responda às questões no caderno.
x
x
x
3
a)Qual é a expressão que representa a área do quadrado? x
2
b)Qual é a expressão que representa a área do retângulo laranja? 3x
c)Escreva uma equação que represente a seguinte afirmação: o número que
expressa a área do quadrado menos o número que expressa a área do
retângulo laranja é igual a 4. x
2
_ 3x = 4
d)Descubra, entre os números 2; 5; 9; 6; 4; 8; 7; 10; 12, o valor do número x
que satisfaz a equação encontrada no item c. O número é 4.
e)Como você faria a resolução dessa equação para encontrar tal número?
Troque ideias com um colega.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
1. e) Resposta pessoal. Os estudantes podem escrever a forma fatorada
do polinômio: x(x _ 3) = 4 e analisar como o número 4 pode ser escrito
como produto de dois números inteiros positivos (1 ? 4; 4 ? 1; 2 ? 2).
Assim, eles podem substituir cada fator, a fim de descobrir o valor
de x na multiplicação, para que o produto seja igual a 4.
PENSE E RESPONDA
Textos babilônicos, escritos há cerca de 4 000 anos, já faziam referência a proble-
mas que hoje resolvemos usando equações do 2
o
grau.
Um dos problemas mais comuns nos escritos babilônicos tratava da determi-
nação de dois números, quando conhecidos a soma e o produto deles. A resolução
desses problemas era estritamente geométrica: consideravam-se o produto de
dois números como a área, e a soma deles como o semiperímetro (medida que
corresponde à metade da medida do perímetro) de um retângulo. As medidas dos
lados do retângulo correspondiam aos números dados, que eram sempre naturais.
Esse tratamento geométrico era longo e cansativo, o que levou os gregos – e
posteriormente os árabes – a buscar um procedimento mais simples para resolver
tais problemas.
No século IX, o matemático persa al-Khwarizmi (c. 780-c. 850) desenvolveu um
processo para a resolução desses problemas, o qual deu início à chamada Álgebra
geométrica.
No século XII, a partir dos estudos feitos por al-Khwarizmi, o matemático
indiano Bhaskara (1114-c. 1185) apresentou um processo puramente algébrico, que
permitia resolver qualquer equação do 2
o
grau. Partindo desse processo, e com o uso
da Álgebra simbólica, os matemáticos puderam chegar a uma fórmula, utilizada até
hoje, que ficou conhecida como fórmula resolutiva para equações do 2
o
grau.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Conhecendo a equação do
2
o
grau com uma incógnita
Em anos anteriores, os estudan-
tes tiveram contato com equações
do 2
o
grau incompletas do tipo
ax
2
+ c = 0. Agora, esse estudo
será ampliado para diferentes
tipos de equação desse grau.
Explorar com a turma a situa-
ção-problema que relaciona a
planta de um escritório ao cálculo
da área de figuras retangulares
usando expressões algébricas
de grau 2. Verificar se há alguma
dificuldade na compreensão dos
estudantes a respeito da repre-
sentação algébrica.
Apresentar a definição de
equação do 2
o
grau, detalhando
os seus elementos e respectivos
coeficientes. Se julgar oportuno, soli-
citar aos estudantes que escolham
valores para a, b e c e apresentem
a equação do 2
o
grau correspon-
dente. Esse estudo favorecerá o
desenvolvimento das habilidades
EF09MA03 e EF09MA09.
CONHECENDO A EQUAÇÃO DO 2
O
GRAU
COM UMA INCÓGNITA
Observe a planta baixa parcial de um escritório.
sala 1 sala 2
corredor
x
1 m
x
1 m
As duas salas quadrangulares e o corredor retangular têm, juntos, 40 m
2
de área. Cada sala
tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de largura. Qual é a medida x do lado de cada
sala quadrangular?
De acordo com a figura e os dados do problema, podemos concluir que:
• o valor numérico da área de cada sala é x
2
;
• o valor numérico da área do corredor é dado por 1 ? 2x ou 2x;
• a equação que representa o problema é 2x
2
+ 2x = 40.
Obtivemos uma equação que não é do 1
o
grau (que você já sabe resolver), pois existe um termo
em que a incógnita x se apresenta com expoente 2.
Denomina-se equação do 2
o
grau na incógnita x toda equação da forma ax
2
+ bx +
+ c = 0, em que a, b e c são números reais, e a 5 0.
Assim:• 2x
2
_ 2x _ 40 = 0 é uma equação do 2
o
grau na incógnita x, em que a = 2, b = _2 e
c = _40.
• x
2
_ 25 = 0 é uma equação do 2
o
grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = _25.
• 6x
2
_ 9x = 0 é uma equação do 2
o
grau na incógnita x, em que a = 6, b = _9 e c = 0.
Nas equações do 2
o
grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados de
coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x:
• a será sempre o coeficiente do termo em x
2
;
• b será sempre o coeficiente do termo em x;
• c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x.
EDITORIA DE ARTE
valor numérico da área do corredor
valor numérico da área das duas salas
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades têm como objetivo
levar os estudantes a reconhecer
uma equação do 2
o
grau com uma
incógnita, identificar seus coefi-
cientes e reconhecer equações do
2
o
grau completas e incompletas,
favorecendo o desenvolvimento
da habilidade EF09MA09.
Na atividade 4, orientar os
estudantes a escrever a equação
do 2
o
grau no caderno subs-
tituindo os coeficientes pelos
valores numéricos apresenta-
dos e a perceber a estrutura da
equação do 2
o
grau composta
de coeficientes a, b e c na forma
ax
2
+ bx + c = 0, em que a 5 0.
Ao terminar, solicitar que iden-
tifiquem quais dessas equações
são incompletas. Espera-se que
eles identifiquem as equações
dos itens c e d.
Para complementar, sugerir aos
estudantes que, após escrever as
equações, pensem em qual seria
o valor de x para cada equação
incompleta de modo verdadeira.
Isso pode ser feito por tentativa.
Alguns comentários podem auxi-
liá-los nessa tarefa:
c) 4x
2
_ 25 = 0
Se a diferença dos dois termos
é zero, então esses termos são
iguais, ou seja, 4x
2
tem de ser
igual a 25.
d) _21x
2
_ 7x = 0
Nessa equação, todos os
termos possuem a incógnita x,
portanto, x = 0 vai anular o
1
o
membro da equação. Assim,
x = 0 é uma solução para a
equação.
É importante que os estu-
dantes percebam que resolver
equações do 2
o
grau apenas por
tentativas pode ser um processo
que requer bastante tempo.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Qual é a forma reduzida da equação (2x + 3)
2
=
= 10 _ (x + 4) (x _ 2)?
2. Escreva na forma reduzida a equação
2
x
1
2
x
x4
_=
_
(com x 5 0 e x 5 4).
Resolução das atividades
1. Equação dada:
(2x + 3)
2
= 10 _ (x + 4) (x _ 2)
4x
2
+ 12x + 9 = 10 _ (x
2
+ 2x _ 8) H
H Resolvemos o produto notável e a multiplicação
dos polinômios.
4x
2
+ 12x + 9 = 10 _ x
2
_ 2x + 8 H Eliminamos
os parênteses.
EQUAÇÃO COMPLETA E EQUAÇÃO INCOMPLETA
Pela definição de equação de 2
o
grau, devemos ter sempre a 5 0. Entretanto, podemos ter
b = 0 ou c = 0.
Quando b 5 0 e c 5 0, a equação do 2
o
grau se diz completa.
Exemplos:
• 5x
2
_ 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = _8 e c = 3).
• y
2
+ 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12 e c = 20).
Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2
o
grau se diz incompleta.
Exemplos:
• x
2
_ 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = _81).
• 10t
2
+ 2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).
• 5y
2
= 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).
Responda às questões no caderno.
1. Quais destes itens indicam equações do
2
o
grau com uma incógnita? Itens a, d,
e, f.
a) 3x
2
_ 5x + 1 = 0
b) 10x
4
_ 3x
2
+ 1 = 0
c) 2x _ 3 = 0
d) _x
2
_ 3x + 2 = 0
e) 4x
2
_ x = 0
f) 9x
2
_ 1 = 0
g) 2x
4
+ 5 = 0
h) 0x
2
_ 5x + 6 = 0
2. Identifique como completa ou incompleta
cada equação do 2
o
grau a seguir.
a) x
2
_ 7x + 10 = 0 Completa.
b) _2x
2
+ 3x _ 1 = 0 Completa.
c) _4x
2
+ 6x = 0 Incompleta.
d) x
2
_ x _ 12 = 0 Completa.
e) 9x
2
_ 4 = 0 Incompleta.
f) 7x
2
+ 14x = 0 Incompleta.
3. Todas as equações seguintes são do
2
o
grau e estão escritas na forma ax
2
+
+ bx + c = 0.
Identifique os coeficientes de cada
equação.
a) 10x
2
+ 3x _ 1 = 0 a = 10, b = 3, c = _1
b) x
2
+ 2x _ 8 = 0 a = 1, b = 2, c = _8
c) y
2
_ 3y _ 4 = 0 a = 1, b = _3, c = _4
d) 7p
2
+ 10p + 3 = 0 a = 7, b = 10, c = 3
e) _4x
2
+ 6x = 0 a = _4, b = 6, c = 0
f) r
2
_ 16 = 0 a = 1, b = 0, c = _16
g) _6x
2
+ x + 1 = 0 a = _6, b = 1, c = 1
h) 5m
2
_ 10m = 0 a = 5, b = _10, c = 0
4. Escreva a equação ax
2
+ bx + c = 0,
considerando:
a) a = 1, b = 6, c = 9. x
2
+ 6x + 9 = 0
b) a = 4, b = _6, c = 2. 4x
2
_ 6x + 2 = 0
c) a = 4, b = 0, c = _25. 4x
2
_ 25 = 0
d) a = _21, b = 7, c = 0. _21x
2
_ 7x = 0
ATIVIDADES
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4x
2
+ 12x + 9 = _x
2
_ 2x + 18 H Juntamos
os termos semelhantes
4x
2
+ x
2
+ 12x + 2x + 9 _ 18 = 0 H pelo
princípio aditivo
5x
2
+ 14x _ 9 = 0 H forma reduzida da
equação dada
2. Equação dada:
2
x
1
2
x
x4
_=
_

2
2
2
4(x4)(x4)
x(x4)
x
x(x4)
2
2
__ _
_
=
_
= H Reduzimos
todos os termos ao mesmo denominador.
4(x _ 4) _ x (x _ 4) = 2x
2
H Eliminamos os
denominadores pelo princípio multiplicativo.
4x _ 16 _ x
2
+ 4x = 2x
2
H Aplicamos a
propriedade distributiva.
_x
2
+ 8x _16 = 2x
2
H Juntamos os termos
semelhantes.
_x
2
_ 2x
2
+ 8x _ 16 = 0 H pelo princípio
aditivo
_3x
2
+ 8x _ 16 = 0 H forma reduzida da
equação dada
Responda às questões no caderno.
1. Observe a frase.

O quadrado de um número aumentado do triplo
desse número é igual ao próprio número mais 35.
a) Escreva na forma reduzida a equação do 2
o
grau que se pode formar com os dados da frase.
b) Elabore uma frase cujos dados descrevem uma equação do 2
o
grau na forma reduzida, como na
situação anterior. Em seguida, escreva essa equação.
2. Escreva, na forma ax
2
+ bx + c = 0, as seguintes equações do 2
o
grau.
a) x
2
_ 7 = x + 5
b) x
2
+ 11x = 16x _ 6
c) (x + 1)
2
_ (2x + 3)
2
= 0
d) (x _ 10)
2
+ x(x + 17) = 104
e) x
1
3
1
6
x
22
_= 5x
2
_ 2 = 0
f)
x
4
1
10
x
5
x
2
22
+= + x
2
_ 10x + 2 = 0
g) x + 6 =
4x
x  2_
(x 5 2) x
2
_ 12 = 0
h)
2x
x  3
x  1
x3_
=
+
+
(x 5 _3, x 5 3)
3. A medida do lado de um quadrado é expressa por (3x _ 1) cm, e a área desse quadrado
mede 64 cm
2
. Qual é a equação do 2
o
grau, escrita na forma reduzida, que se pode obter
com os dados desse problema? 3x
2
_ 2x _ 21 = 0
1. a) x
2
+ 2x _ 35 = 0
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O quadrado de
um número diminuído do dobro desse número é igual a 3.
(x
2
_ 2x _ 3 = 0)
x
2
_ x _ 12 = 0
x
2
_ 5x + 6 = 0
_3x
2
_ 10x _ 8 = 0
2x
2
_ 3x _ 4 = 0 x
2
+ 8x + 3 = 0
ATIVIDADES
FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO 2
O
GRAU
COM UMA INCÓGNITA
Observe as seguintes equações do 2
o
grau com uma incógnita.
• x
2
_ 5x + 6 = 0
• y
2
_ 25 = 0
• _3t
2
+ 4t _ 1 = 0
• _2x
2
+ 8x = 0
Essas equações estão escritas na forma ax
2
+ bx + c = 0, que é denominada forma redu-
zida de uma equação do 2
o
grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2
o
grau que não estão escritas na forma ax
2
+ bx + c = 0,
por exemplo:
• 3x
2
_ 6x = x _ 3 •
2
x
1
2
x
x  4
_=
_
(com x 5 0 e x 5 4)
Por meio de transformações, nas quais aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo da igual-
dade, tais equações podem passar a ser expressas na forma reduzida. Acompanhe a situação a seguir.
Escrever a equação 2x
2
_ 7x + 4 = 1 _ x
2
na forma reduzida.
2x
2
_ 7x + 4 = 1 _ x
2

equação dada
2x
2
_ 7x + 4 _ 1 + x
2
= 0
Aplicamos o princípio aditivo.
3x
2
_ 7x + 3 = 0
forma reduzida da equação dada
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Forma reduzida da equação
do 2
o
grau com uma incógnita
Nesse tópico, são tratados
exemplos que proporcionam aos
estudantes o estudo com a forma
reduzida de uma equação do 2
o
grau
fazendo manipulações algébricas
ou usando contextos geométricos.
Explorar os exemplos apresentados
no Livro do estudante e comentar
a respeito dos princípios aditivo e
multiplicativo nas igualdades.
Pode-se propor mais exemplos
de equações que não estão escri-
tas na forma ax
2
+ bx + c = 0.
Atividades
A atividade 1 favorece o desen-
volvimento da habilidade EF09MA09.
Alguns estudantes podem encon-
trar dificuldade em associar ou
representar um número como
uma incógnita e, consequente-
mente, não conseguir elaborar uma
frase que se encaixe no contexto.
Caso ocorra, explicar que a incóg-
nita representa, na equação, um
número cujo valor não é conhecido.
Verificar se eles compreen-
dem o significado de palavras
como aumentado, diminuído,
dobro, triplo etc. Nesses casos,
pode-se solicitar que um estu-
dante explique com as próprias
palavras, assim eles participam
da aula e ajudam os colegas.
Para resolver a atividade 2,
os estudantes podem consul-
tar os exemplos apresentados
anteriormente.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Equações incompletas
O objetivo é que os estudantes
compreendam como determinar
o conjunto solução de equações
do 2
o
grau incompletas.
Explorar os exemplos apre-
sentados no Livro de estudante,
reforçando as condições de cada
equação, e verificar se eles se
recordam de algum dos proce-
dimentos de fatoração. Se julgar
necessário, fazer uma breve
retomada para que a compre-
ensão desse estudo não seja
comprometida.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO
2
o
GRAU COM UMA INCÓGNITACAPÍTULO
2
EQUAÇÕES INCOMPLETAS
Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores
que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado.
Na resolução das equações incompletas do 2
o
grau, usaremos a fatoração e estas
duas propriedades importantes dos números reais. Observe.
• Se x e y são dois números reais quaisquer, e x ? y = 0, então x = 0 ou y = 0.
• Se x e y são dois números reais quaisquer, e x
2
= y, então x = +
y ou x = _y.
Resolvendo equações da forma ax
2
+ bx = 0
Acompanhe a situação a seguir.
Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número?
Representando por x o número procurado, podemos escrever a equação x
2
= 3x.
x
2
_ 3x = 0
forma reduzida
x (x _ 3) = 0
Colocamos x em evidência.
Pela propriedade dos números reais, temos:
x = 0
uma raiz da equação
ou
x _ 3 = 0
x = 3
outra raiz da equação
O número procurado é 0 ou 3.
Resolvendo equações da forma ax
2
+ c = 0
Observe o exemplo a seguir.
A medida da área de uma
praça, cujo formato lembra um
quadrado, é 144 m
2
. Quanto mede,
em metro, o lado dessa praça?
ILUSTRA CARTOON
MIKOLAJ NIEMCZEWSKI/ SHUTTERSTOCK.COM
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Saiba que
Ao apresentar a notação x = ±
a,
algum estudante pode comen-
tar que não existe _
a para o
conjunto dos números reais por
confundir essa notação com
a_
para a . 0. Se acontecer, dar exem-
plos numéricos pode ajudá-los
a compreender essa diferença.
Atividades
As atividades desse bloco con-
tribuem para o desenvolvimento
das habilidades EF09MA03 e
EF09MA09 e têm como objetivo
levar os estudantes a determinar
o conjunto solução de equações
do 2
o
grau incompletas.
A atividade 1 apresenta
equações que não têm solução
no conjunto dos números reais.
Verificar se os estudantes com-
preendem o que isso significa e
como expressar a inexistência de
solução dessas equações.
Na atividade 4, enfatizar
a necessidade de escrever as
equações na forma reduzida
para decidir que processo será
utilizado na resolução.
Para resolver a atividade 7,
caso seja necessário, relem-
brar os estudantes da fórmula
A = p ? R
2
para o cálculo da
área A de um círculo de raio R.
Indicando por x a medida do lado dessa praça,
podemos escrever a equação:
x
2
= 144
x =
144±
x = ±12
Como a medida do lado não pode ser um número negativo, a solução x = _12 não serve para
o problema. Logo, a medida do lado da praça é 12 metros.
Sendo a um número real,
utilizamos a notação x =
a± para
representar x =
a+ ou x = a_.
SAIBA QUE
Responda às questões no caderno.
1. Determine o conjunto solução de cada
uma das seguintes equações do 2
o
grau,
no conjunto r.
a) x
2
_ 15x = 0 {0, 15}
b) x
2
_ 81 = 0 {_9, 9}
c) x
2
_ 121 = 0 {_11, 11}
d) 3x
2
_ 5x = 0 0,
5
3






e) x
2
_ x = 0 {0, 1}
f) 9x
2
_ 16 = 0 _
4
3
,
4
3






g) x
2
+ 25 = 0 @
h) 11x
2
_ x = 0






0,
1
11
i) 49x
2
= 36






6
7
,
6
7
_
j) 3x
2
_ 27x = 0 {0, 9}
k) x
2
_ 14 = 0
{}14,14_
l) _25x
2
_ 15x = 0






3
5
,0_
2. Qual é o conjunto solução de cada equa
ção do 2
o
grau a seguir, sendo U = r?
a) x
2
+ 3x(x _ 12) = 0 {0, 9}
b) (x _ 5)
2
= 25 _ 9x {0, 1}
c) (x _ 4)
2
+ 5x(x _ 1) = 16






0,
13
6
3. Calcule o conjunto solução de cada
equação.
a)
11x
10
3x
5
x
2
,U
2
_= =r {0, 1}
b)
−
3
x5
1
x 5
10x
x25
2
2
+
+
=
_
_
, U = r _ {_5,5}
4. Determine o número real positivo x para
que se tenha
xx
2
x
xx
3
22
_
=_
_
.
5. Sendo x e y reais, considere a equação
x
2
y = 90 e determine:
a) o valor de y quando x vale 50% de 8;
b) os valores de x quando y = 10. _3 ou 3.
6. Leia as afirmações.
O quadrado de um número real
positivo x é igual a 81.
O quíntuplo de um número real
positivo y é igual ao seu quadrado.
Elabore uma expressão algébrica que
envol va x e y e resolvaa.
7. Em uma praça, há um canteiro circular
cuja área mede 706,5 m
2
. Quanto mede
o diâmetro desse canteiro? (Considere
p = 3,14.) 30 m
8. Em um triângulo de 24 cm
2
de área, a
medida da base é o triplo da medida da
altura.
Determine as medidas da altura e da base
desse triângulo. 4 cm; 12 cm
{_4, 0}
O número é 7.
5,625
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o valor
da expressão x + y?; 9 + 5 = 14.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Pense e responda
Explorar a situação proposta
neste boxe sugerindo que os
estudantes utilizem cartolina e
façam os quadros com as mesmas
medidas da situação apresentada.
O objetivo é que os estudantes
comecem a se familiarizar com o
processo de completar quadra-
dos, um método de resolução
de equações do 2
o
grau que será
estudado a seguir. Desse modo,
prossegue-se com o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA03
e EF09MA09.
O processo de
completar quadrados
Solicitar aos estudantes que
façam a leitura do texto apre-
sentado no Livro do estudante,
no qual terão a oportunidade de
conhecer o processo geométrico
para a resolução de equações
do 2
o
grau com uma incógnita
desenvolvido pelo matemático
árabe al-Khwarizmi.
Se achar conveniente, propor
uma pesquisa para ampliar os
conhecimentos da turma acerca da
biografia do astrônomo e mate-
mático al-Khwarizmi, observando
a importância dos estudos que
ele fez e os aspectos culturais e
sociais da época em que ele viveu.
AMPLIANDO
Link
INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Al-Khwarizmi, o homem que simplificou a multiplicação.
Rio de Janeiro: IMPA, 21 dez. 2020. Disponível em: https://impa.br/noticias/al-khwarizmi-o-homem-que-simplificou-a
-multiplicacao/#:~:text=Al%2DKhwarizmi%20foi%20um%20grande,pela%20forma%20ousada%20de%20pensar.
Acesso em: 18 jun. 2022.
No link apresentado, é possível saber mais a respeito de Al-Khwarizmi e a relevância do trabalho dele para a
Matemática.
1. Mariana recortou, em cartolina, figuras que representam um quadrado e quatro
retângulos como estes a seguir (as medidas são dadas em centímetro).

3
3
3
1
3
1
3
1
3
1
Usando a representação do quadrado e dos quatro
retângulos, Mariana formou esta figura.
A patir dela, Mariana quer formar um novo quadrado.
Para isso, terá de acrescentar representações de
quadrados à figura. Agora, responda no caderno.
a) De quantos quadrados ela vai precisar? 4
b) Qual deve ser a área de cada um desses quadrados?
c) Qual será a área do novo quadrado? 25 cm
2
1 cm
2
PENSE E RESPONDA
EQUAÇÕES COMPLETAS
a
2
b
2
ab
ab
a
a
b
ab
b
a
b
11
11
11
11
3
33
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
O processo de completar quadrados
A partir da interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)
2
, o matemático
al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações do 2
o
grau com
uma incógnita.
Inicialmente, vamos observar a figura que é a representação geométrica da expressão (a + b)
2
.
Pela figura, percebemos que: (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
A interpretação geométrica dessa expressão algébrica é:
a
2
+ 2ab + b
2
área do quadrado de lado b
área de um dos retângulos de lados a e b
área do quadrado de lado a
EDITORIA DE ARTE, CLAUDIO DIVIZIA/SHUTTERSTOCK.COM, CCAT82/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Se julgar pertinente, levar para
a sala de aula cartolinas coloridas,
réguas e canetas hidrográficas.
Solicitar aos estudantes que, orga-
nizados em duplas, construam
a interpretação geométrica da
expressão x
2
+ 6x e completem
um quadrado. A manipulação dos
materiais, associada ao apelo visual,
contribui para que a compreensão
do método seja compreendida e
absorvida de maneira mais sig-
nificativa. Na sequência, solicitar
que façam a construção para o
caso x
2
+ 5x.
Durante as explorações do
exemplo apresentado no Livro do
estudante, verificar se os estudan-
tes compreendem que, durante o
processo de resolução, a equação
completa do 2
o
grau apresentada
recai em um trinômio do quadrado
perfeito. Se julgar necessário,
retomar esse caso de fatoração
para que eles possam seguir, sem
dúvidas, com o estudo.
Utilizando essa interpretação, vamos acompanhar os exemplos a seguir, que mostram como
al-Khwarizmi desenvolveu os estudos sobre equações de 2
o
grau.

1 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x
2
+ 6x e completar um quadrado a partir
da figura representada.

x
2
+ 6x = x
2
+ 2(3x)
Área de um retângulo cujos lados medem 3 e x.
Área de um quadrado cujo lado mede x.
Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:
x
2
3x
3x
x
x
3
3
x
2
3
2
3x
3x
x
x
3
3
Para completar
o quadrado,
acrescentamos o
quadrado de lado 3.
Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado de
lado 3, ou seja, de área 3
2
. Assim, se adicionarmos 3
2
à expressão x
2
+ 6x, obteremos x
2
+ 6x + 3
2
,
que é um trinômio quadrado perfeito. Daí, podemos escrever:
x
2
+ 6x + 3
2
expressão algébrica
correspondente à
área do quadrado
formado
= x
2
+ 6x + 9
trinômio
quadrado
perfeito
= (x + 3)
2
forma fatorada
do trinômio
Note que x
2
+ 6x 5 x
2
+ 6x + 9, pois representam áreas diferentes.

2 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x
2
+ 5x e
completar um quadrado.






x5xx 2
5
2
x
22
+= +
Área de um quadrado
cujo lado mede x.
Área de um retângulo
cujos lados medem
5
2
e x.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
O matemático e
astrônomo persa
al-Khwarizmi
(c. 780-c. 850) escreveu
um tratado de Álgebra
e um livro sobre os
numerais indianos.
Essas obras exerceram
enorme influência na
Europa do século XII.
ALBERTO LLINARES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O processo geométrico de
al-Khwarizmi
Comentar com os estudantes
que o processo geométrico de
resolução das equações auxilia
na compreensão do significado
delas, entretanto, na prática, será
mais usado o processo algébrico
para resolver equações.
Explorar a resolução do exemplo
x
2
+ 6x + 8 = 0. Inicialmente,
pensa-se na construção geo-
métrica da expressão x
2
+ 6x e
que é preciso acrescentar 3
2
para
obter um quadrado.
Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:
x
2
x
x
5
2
5
2
x
5
2
5
2
x
5
2
2
Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado
de lado
5
2
, ou seja, um quadrado de área






5
2
2
. Assim, se adicionarmos






5
2
2
à expressão x
2
+ 5x,
teremos:
trinômio
quadrado
perfeito
expressão algébrica
correspondente à
área do quadrado
formado











x5x
5
2
x5x
25
4
x
5
2
2
2
2
2
++ =+ += +











x5x
5
2
x5x
25
4
x
5
2
2
2
2
2
++ =+ += +
forma fatorada
do trinômio











x5x
5
2
x5x
25
4
x
5
2
2
2
2
2
++ =+ += += =
O processo geométrico de al-Khwarizmi
Aplicando o processo de completar quadrados, vamos resolver as seguintes equações do
2
o
grau com uma incógnita no conjunto dos números reais.

1 Resolver a equação x
2
+ 6x + 8 = 0.
Da expressão x
2
+ 6x, podemos interpretar:
x
2
+ 6x = x
2
+ 2(3x)
Área de um retângulo
cujos lados medem 3 e x.
Área de um quadrado
cujo lado mede x.
Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o
nú mero (3)
2
, ou seja, 9, à expressão x
2
+ 6x para obter um
quadrado.
x
2
3x
3x
x
x
3
3
(3)
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
É importante verificar se os
estudantes se lembram de como
fatorar um trinômio quadrado
perfeito. Se identificar dúvidas,
fazer uma retomada.
Propor a situação a seguir para
que os estudantes explorem em
grupo:
Um cartão retangular tem
91 cm
2
de área. Qual é a medida
de cada lado desse cartão, se
a medida da base supera a
medida da altura em 6 cm? É
possível ilustrar a situação.
x + 6
x
A área desse cartão pode ser
expressa assim: (x + 6)x = 91.
Dividir o cartão em um qua-
drado de lado x e dois retângulos
iguais de lados 3 e x:
xx
x
x
3
3
3
3
Em seguida, reorganizar as
partes do cartão:
x x
x
3
3
Para formar um quadrado maior,
é preciso completar a figura com
um quadrado de lado 3 cm. Desse
modo, a nova área da figura será
100 cm
2
. Assim, é possível escrever:
(x + 3) ? (x + 3) = 91 + 9
(x + 3)
2
= 100
x + 3 = ±
100
x + 3 = _10 h x = _13 (não
convém)
x + 3 = 10 h x = 7
Então, x + 6 = 7 + 6 = 13.
Portanto, as medidas dos lados
do cartão são: 7 cm e 13 cm.
ILUSTRAÇÕES:
EDITORIA DE ARTE
Depois de determinarmos, geometricamente, o valor que devemos acrescentar à expressão
x
2
+ 6x, voltamos à equação que queremos resolver.
x
2
+ 6x + 8 = 0
x
2
+ 6x = _8
princípio aditivo
x
2
+ 6x + 9 = _8 + 9
princípio de equivalência das equações
trinômio quadrado
perfeito
Note que, ao acrescentarmos 9 à expressão x
2
+ 6x do 1
o
membro da equação, acrescentamos
9 também ao 2
o
membro para obter uma equação equivalente à anterior.
Fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no 1
o
membro, obtemos a equação:
(x + 3)
2
= 1
Daí, temos:
(x + 3) = +
1
x + 3 = 1
x = 1 _ 3
x = _2
ou (x + 3) = _1
x + 3 = _1
x = _1 _ 3
x = _4
Logo, os números reais _4 e _2 são as raízes da equação dada.

2 Resolver a equação x
2
+ 3x _ 4 = 0.
Considerando a expressão x
2
+ 3x, podemos interpretar:
Área de um retângulo cujos lados medem
3
2
e x.
Área de um quadrado cujo lado mede x.
x
2
+ 3x = x
2
+ 2






3
2
x
Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o número






3
2
2
, ou seja,
9
4
à expressão x
2
+ 3x para obter um quadrado.
Depois de determinar geometricamente o valor que devemos
acrescentar à expressão x
2
+ 3x, voltamos à equação que quere-
mos resolver.
x
2
+ 3x _ 4 = 0
x
2
+ 3x = 4
x
2
+ 3x +
9
4
= 4 +
9
4
trinômio quadrado perfeito
princípio de equivalência
de equações
princípio aditivo
Então:





x
3
2
25
4
x
3
2
25
4
2
+= h+ =±
x
2
x
x
3
2
x
2
3
2
3
2
x
3
2
3
2
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O bloco de atividades desta
página contribui para o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA03
e EF09MA09.
Na atividade 1, os estudantes
deverão pensar em qual expres-
são indica um quadrado perfeito
a partir dos valores indicados em
cada item. Caso tenham dificul-
dade em alguns itens, lembrá-los
de que, às vezes, o termo a ser
acrescentado é uma fração.
Se julgar oportuno, como
preparação para o processo algé-
brico de Bhaskara, que virá na
sequência, iniciar uma discus-
são a respeito da relação entre
o termo a ser acrescentado para
o complemento do quadrado
e os coeficientes da equação.
Daí, temos:
x +
3
2
= +
25
4
x +
3
2
= +
5
2
x =
5
2
_
3
2
x =
2
2
= 1
ou
x +
3
2
= _
25
4
x +
3
2
= _
5
2
x = _
5
2
_
3
2
x = _
8
2
= _4
Logo, os números reais _4 e 1 são as raízes da equação dada.
Responda às questões no caderno.
1. Qual número real pode ser adicionado a
cada expressão a seguir para que se tenha
um trinômio quadrado perfeito? Se neces-
sário, utilize a interpretação geométrica,
fazendo um esboço das figuras.
a) x
2
+ 8x
b) x
2
_ 10x
c) x
2
+ 2x
d) x
2
_ 12x
e) x
2
+ 9x
f) x
2
_ 5x
g) x
2
_ 30x
h) x
2
+ x
i) x
2
_
3
2
x
j) x
2
+
x
3
k) x
2
_ 2ax
l) x
2
+ 6ax
2. Usando o processo geométrico de
al-Khwarizmi, determine as raízes de
cada uma das seguintes equações do
(4)
2
ou 16.
(5)
2
ou 25.
(1)
2
ou 1.
(6)
2
ou 36.






9
2
2
ou
81
4
.
15
2
ou 225.
a
2
(3a)
2
ou 9a
2
.
2
o
grau com uma incógnita no conjunto
dos números reais.
a) x
2
+ 2x _ 15 = 0 _5 e 3.
b) x
2
+ 4x _ 12 = 0 _6 e 2.
c) x
2
+ 12x + 32 = 0 _8 e _4.
d) x
2
+ 3x _ 10 = 0 _5 e 2.
e) x
2
+ 2x + 1 = 0 _1
f) x
2
+ 10x + 25 = 0 _5
g) 3x
2
_ 2x _ 1 = 0 _
1
3
e 1.
h) 10x
2
+ 7x + 1 = 0 _
1
5
e _
1
2
.
3. Escreva uma equação do 2
o
grau na forma
ax
2
+ bx + c = 0, com a 5 0, e encontre
as raízes dessa equação usando o pro-
cesso geométrico de al-Khwarizmi. Troque
de caderno com um colega e cada um
resolve a equação que o outro elaborou.
ATIVIDADES






5
2
2
ou
25
4
.
DESCUBRA MAIS
CÁSSIO, Jorge. Equação do 2
o
grau. GeoGebra. [S. l.], [c2022]. Disponível em: https://www.geogebra.org/
m/cyypnzqj. Acesso em: 3 mar. 2022.
Entre as diversas informações apresentadas nesse link, você pode explorar uma calculadora on-line de
equações e assistir a um vídeo sobre os métodos de resolução da equação do 2
o
grau utilizados ao longo
da História.
1. h)






1
2
2
ou
1
4
. 1. i)






3
4
2
ou
9
16
. 1. j)






1
6
2
ou
1
36
.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O processo algébrico
de Bhaskara
Pedir aos estudantes que
façam uma leitura individual
do texto apresentado no Livro no
estudante para o entendimento
das resoluções pelo processo
algébrico. Depois, realizar uma
discussão com a turma de modo
que alguns estudantes possam
explicar o método de Bhaskara,
refazendo, na lousa, os exem-
plos dados no texto.
Estimular a expressão oral
dos estudantes para verificar se
eles estão acostumados a usar
termos matemáticos durante
as explicações, favorecendo,
assim, o desenvolvimento da
capacidade de argumentação,
competência específica 2 da área
de Matemática e da competência
geral 9. Momentos como esses
proporcionam oportunidades
para os estudantes expressarem
seus conhecimentos de acordo
com suas vivências e são excelen-
tes oportunidades de exercitar a
empatia e de aprender a ouvir
um colega sem interrompê-lo,
mesmo que não concordem ou
que tenham contribuições a fazer.
O processo algébrico de Bhaskara
Considere, novamente, as equações x
2
+ 6x + 8 = 0
e x
2
+ 3x _ 4 = 0, que já resolvemos por meio do
processo geométrico de al-Khwarizmi.
• Em x
2
+ 6x + 8 = 0, o número que acres-
centamos aos dois membros da equação foi
9 = (3)
2
=






6
2
2
.
6





2
2
coeficiente b
• Em x
2
+ 3x _ 4 = 0, o número que acrescenta-
mos aos dois membros da equação foi






9
4
3
2
2
= .
3





2
2
coeficiente b
Nas duas equações, nas quais o coeficiente a é igual a 1, o número acrescentado aos dois
membros corresponde à metade do coeficiente b, elevada ao quadrado.
Esse fato foi constatado por Bhaskara ao estudar o processo de al-Khwarizmi. Bhaskara
apresentou, então, um processo algébrico que não mais necessitava da interpretação geométrica
para a resolução de equações do 2
o
grau com uma incógnita.
Acompanhe, a seguir, o caminho trilhado por Bhaskara.
Resolver a equação x
2
_ 2x _ 8 = 0, sendo U = r.
x
2
_ 2x _ 8 = 0
x
2
_ 2x = 8
x
2
_ 2x + 1
2
= 8 + 1
2
Adicionamos
2
2
2





 = (_1)
2
= 1
2
em ambos os membros da equação.
x
2
_ 2x + 1 = 8 + 1
(x _ 1)
2
= 9
x _ 1 = ±
9
x _ 1 = ±3
Daí, temos:
x _ 1 = 3
x = 3 + 1 = 4
ou
x _ 1 = _3
x = _3 + 1 = _2
Logo, os números reais _2 e 4 são as raízes da equação dada.
No século XII, o matemático
indiano Bhaskara baseou-se
nos estudos de al-Khwarizmi
para apresentar um processo
algébrico que permitia resolver
qualquer equação do 2
o
grau com
uma incógnita.
ALBERTO LLINARES
THEERADECH SANIN/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fórmula resolutiva de uma
equação do 2
o
grau com
uma incógnita
Ao explorar o quadro com o
passo a passo da dedução da
fórmula de Bhaskara, verificar se
surge alguma dúvida relacionada
aos procedimentos adotados.
É importante que os estudan-
tes compreendam o porquê de
a fórmula ser x = ±
b 4a
2a
2
_
.
Comentar que de acordo com
o discriminante da equação é
possível saber a quantidade e
a natureza das raízes de uma
equação do 2
o
grau.
Fórmula resolutiva de uma equação do 2
o
grau com uma incógnita
Partindo de uma equação completa do 2
o
grau com uma incógnita e na forma reduzida, pode-se
determinar, de modo mais simples, as raízes dessa equação pela chamada fórmula resolutiva.
Acompanhe como podemos chegar a essa fórmula.
Processo algébrico de
Bhaskara para o exemplo
Dedução da fórmula resolutiva
x + 2 = ±4
(x + 2) =
16±
(x + 2)
2
= 16
x
2
+ 4x = 12
x
2
+ 4x _ 12 = 0











x4x
4
2
12
4
2
2
22
++ =+
x
2
+ 4x + 4 = 12 + 4
ax
2
+ bx + c = 0 (a 5 0)
ax
a
bx
a
c
a
0
a
2
++ =
x
b
a
x
c
a
0
2
++ =
x
b
a
x
c
a
c
a
0
c
a
2
++_= _
x
b
a
x
c
a
2
+= _
x
b
a
x
b
a
2
c
a
b
a
2
2
22
++ =_+
x
b
a
x
b
4a
b
4a
c
a
2
2
2
2
2
++=_
x
b
a
x
b
4a
b4ac
4a
2
2
2
2
2
++ =
_
x =
bb 4ac
2a
2
_± _





x
b
2a
b4ac
4a
2 2
2
+=
_
x
b
2a

b4ac
4a
2
2
+= ±
_
x
b
2a

b4ac
2a
2
+= ±
_
x
b
2a
b4ac
2a
2
=_ ±
_
x = 2 ou x = _6
x = _2 ± 4
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Explorar os exemplos apresenta-
dos no Livro do estudante e pedir
que, individualmente, atentem
para que conjunto está sendo
pedida a solução da equação.
Nos exemplos dessa página,
todas as equações são resolvidas
no conjunto dos números reais,
entretanto, se a resolução for no
conjunto dos números inteiros,
por exemplo, algumas das possí-
veis soluções gerais da equação
podem ser desconsideradas.
Comentar que, em geral, antes
de aplicar a fórmula resolutiva, é cal-
culado o valor do discriminante D e,
depois, o valor da incógnita. Também
é possível fazer as substituições
na fórmula
x
bb 4ac
2a
2
=
_± _
.
A fórmula x =
bb 4ac
2a
2
_± _
é chamada de fórmula resolutiva da equação completa
do 2
o
grau ax
2
+ bx + c = 0 (a 5 0).
A expressão b
2
_ 4ac, que é um número real, é usualmente representada pela letra
grega D (delta) e é chamada de discriminante da equação.
Desse modo, a fórmula resolutiva pode ser escrita assim: x =
b
2a
_± D
.
A fórmula resolutiva também recebeu o nome fórmula de Bhaskara, em homenagem ao
grande matemático indiano.
A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes,
depende, exclusivamente, do valor do discriminante D = b
2
_ 4ac.
• Quando D > 0, a equação tem raízes reais
∆
∆



0(duasraízesdiferentes)
0(duasraízesiguais)
.
.
=
• Quando D , 0, a equação não tem raízes reais.
Vamos, agora, determinar as raízes de algumas equações do 2
o
grau com uma incógnita usando
a fórmula resolutiva.

1 Resolver a equação x
2
+ 2x _ 8 = 0 no conjunto r. Nessa equação, temos: a = 1, b = 2,
c = _8.
D = b
2
_ 4ac = (2)
2
_ 4 ? (1) ? (_8) = 4 + 32 = 36
Como D . 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:
x =
b
2a
_± D
= ()
()
23 6
21
_±
?
=
26
2
_±
h





x
26
2
4
2
2
x
26
2
8
2
4
‘=
_+
==
’=
__
=_=_
Os números _4 e 2 são as raízes reais da equação dada. Então, S = {_4, 2}.

2 Resolver a equação x
2
_ 14x + 49 = 0 no conjunto r. Nessa equação, temos: a = 1,
b = _14, c = 49.
D = b
2
_ 4ac = (_14)
2
_ 4 ? (1) ? (49) = 196 _ 196 = 0
Como D = 0, a equação tem duas raízes reais iguais, dadas por:
xx
b
2a
(14)
2(1)
14
2
7‘=’=_=
__
==
O número 7 é a raiz real da equação dada.
Então, S = {7}.

3 Resolver a equação x
2
_ 5x + 8 = 0 no conjunto r.
Nessa equação, temos: a = 1, b = _5, c = 8.
D = b
2
_ 4ac = (_5)
2
_ 4 ? (1) ? (8) = 25 _ 32 = _7
Como D , 0, a equação dada não tem raízes reais.
Logo, S = @.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades levam os estudan-
tes a resolver equações completas
do 2
o
grau usando o processo
algébrico de Bhaskara e a deter-
minar a quantidade de raízes reais
que uma equação do 2
o
grau
possui por meio do seu discrimi-
nante (D) e o conjunto solução
de uma equação do 2
o
grau apli-
cando a fórmula resolutiva. Desse
modo, pretende-se favorecer o
desenvolvimento das habilidades
EF09MA03 e EF09MA09.
Na atividade 4, solicita-se a
quantidade de números intei-
ros entre as raízes da equação
x
2
_ 2x _ 15 = 0, fato impor-
tante para que os estudantes
analisem diferentes conjuntos.
Na atividade 13, é preciso
escrever a expressão matemá-
tica que traduz o problema,
no caso, x
2
= 7x _ 6. Depois,
resolver essa equação, obtendo
1 ou 6 como raízes.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Quando você divide o polinômio x
3
+ 6x
2
_ x _ 6
por x + 1, obtém uma divisão exata e um quociente
Q(x). Quais os valores reais de x que tornam o polinô-
mio Q(x) igual a 0?
Resolução da atividade
x6xx 6
x1
32
+_ _
+
=
x(x6)(x6)
x1
2
+_ +
+
=
=
(x1)(x6)
x1
2
_+
+
=
(x1)(x1)(x6)
x1
+_ +
+
=
= (x _ 1)(x + 6) = x
2
+ 6x _ x _ 6 = 0 h
h x
2
+ 5x _ 6 = 0
D = (5)
2
_4(1) ? (_6) = 25 + 24 = 49
x =
(5)49
21
_±
?
h
h x =
57
2
_+
h x = 1 ou
57
2
__
h x = _6
Responda às questões no caderno.
1. Aplicando o processo algébrico de
Bhaskara, determine as raízes das
equações do 2
o
grau no conjunto dos
números reais.
a) x
2
+ 4x _ 5 = 0 _5 e 1.
b) 2x
2
_ 9x + 4 = 0
1
2
e 4.
c) x
2
+ 8x + 16 = 0 _4
2. As equações seguintes estão escritas na
forma reduzida. Usando a fórmula reso-
lutiva, determine o conjunto solução de
cada equação no conjunto r.
a) x
2
_ 3x _ 28 = 0 {_4, 7}
b) x
2
+ 12x + 36 = 0
{_6}
c) 6x
2
_ x _ 1 = 0






1
3
,
1
2
_
d) 9x
2
+ 2x + 1 = 0
3. Resolva, no conjunto r, as seguintes
equações.
a) x
2
_ 2x = 2x _ 4 {2}
b) x
2
_ 2x = x + 4
{_1, 4}
c) 6x
2
+ 3x = 1 + 2x






1
3
,
1
2
_
d) 9x
2
+ 3x + 1 = 4x
2

@
4. Quantos números inteiros existem entre
as raízes da equação x
2
_ 2x _ 15 = 0?
5. Observe estas equações.
x
2
_ 12x = 85

x
2
+ 51 = 20x
Essas equações têm uma raiz real comum.
Determine a soma das raízes não comuns.
6. Uma das raízes da equação 4x
2
_ 21x +
+ 20 = 0 é uma fração. Qual é a soma
dos termos dessa fração simplificada?
7. Sendo U = r, determine o conjunto
solução de cada uma das seguintes
equações do 2
o
grau.
a) (x + 2)
2
+ x = 0 {_4, _1}
b) 3x
2
= 2(x _ 1)
2
+ 3 {_5, 1}
@
4. Como as raízes são _3 e 5, existem sete números inteiros entre elas: _2, _1, 0, 1, 2, 3 e 4.
A raiz comum é 17, e as não comuns são _5 e 3.
Logo, _5 + 3 = _2.
6. A raiz, que é uma fração, é
5
4
; logo, 5 + 4 = 9.
8. Considere a expressão algébrica
32 _ [8x + (8 _ 2x)(4 _ x)]. Determine
os valores reais de x para que o valor
numérico dessa expressão seja 8. 2
9. Considere a equação
x4
3
x3
2
2
_
=
_
.
Podemos afirmar que a maior raiz dessa
equação é um número primo? Por quê?
10. Determine o conjunto solução S de cada
uma das seguintes equações do 2
o
grau,
sendo U = r.
a) x
4
5
x
1
5
2
_=
S =






1
5
,1_
b) x
x4
5
2
2
+
+
= S = {_6, 1}
11. Resolva as seguintes equações do 2
o
grau.
a) x + 10 = _
9
x
_ (com x [ r e x 5 0) {_9, _1}
b) 6x5
3x5
x 1
+=
+
_
(com x [ r e x 5 1)
c)
1
x
3
2
1
x 1
=_
_
(com x [ r e x 5 0 e x 5 1)
12. Considere a igualdade y =
6
x
+ x _ 3.
Quais são os valores reais de x para que
se obtenha y = 4? 1 ou 6.
13. O quadrado de um número real inteiro
é igual a sete vezes o número menos 6.
Qual é esse número? 6 ou 1.
14. O quadrado da diferença entre um
número real x e 3 é igual a cinco vezes
o número x subtraído de 1. Qual é esse
número x? 10 ou 1.
15. Um terreno retangular tem 1 100 m
2
de
área. A medida da frente desse terreno
tem 28 metros a menos que a medida
da lateral. Quais são as dimensões desse
terreno? 50 m e 22 m.
9. A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo.
Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é
um número primo.






1,
5
3
_
ATIVIDADES






1
3
,211. c)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Com essas atividades, pros-
segue-se o desenvolvimento da
habilidade EF09MA09. Na ativi-
dade 19, é preciso observar que
a fórmula d =
n(n 3)
2
_
relaciona
o número de diagonais de um
polígono ao número de lados.
Portanto, ao calcular as raízes da
equação 18 = n
2
_ 3n no item a
e 40 = n
2
_ 3n no item b, os
estudantes precisam considerar
apenas as respostas positivas, já
que estão tratando de quantidades.
Na atividade 23, orientar os
estudantes a calcular a medida
do recuo usando a área do
depósito. Assim:
(80 _ 2x) ? (50 _ 2x) = 1 000
dimensões do depósito
Com isso, vão obter 50 e 15
como raízes dessa equação.
Questioná-los o porquê de
o valor 50 não ser resposta do
problema. Espera-se que eles con-
cluam que a medida não pode
ser 50, pois essa é a medida da
largura do terreno.
16. Na figura a seguir, a soma dos números
que estão na linha é igual à soma
dos números que estão
na coluna. Quais são
os valores reais de x que
tornam verdadeira essa
afirmação? 4 ou _5.
17. Os registros de temperatura tomados
entre 0 hora e 24 horas de um dia em
uma zona rural se ajustam à fórmula
matemática T = _
1
10
(x _ 12)
2
+ 10,
em que T representa a temperatura em
grau Celsius, e x representa a hora do
dia. A que horas do período da tarde a
temperatura registrada foi 9,6 °C? 14 horas.
18. Uma associação comunitária vai dis-
tribuir igualmente 240 brinquedos
para uma quantidade de crianças in-
dicada pelo número x. No entanto, se
cada criança receber um brinquedo a
menos nessa distribuição, a quantidade
de brinquedos a ser distribuída a cada
criança será igual à quantidade x de
crianças que vão receber os brinquedos.
Quantas são essas crianças? 15
19. Usando a fórmula matemática
d =
n(n 3)
2
_
, que relaciona a quanti-
dade de diagonais (d) e a quantidade de
lados (n) de um polígono, calcule a quan-
tidade de lados do polígono que tem:
a) 9 diagonais. b) 20 diagonais.
20. Considere um retângulo que apresenta
as medidas indicadas na figura.
2 m
5 m
Ao aumentar, na mesma quantidade, o
comprimento e a largura desse retân-
gulo, a área do novo retângulo será igual
a 7 vezes a área do retângulo original.
a) Quais são as medidas dos lados do novo
retângulo? 10 m e 7 m.
b) Qual é o perímetro do novo retângulo?
8 lados.6 lados.
34 m
21. Um painel retangu-
lar tem 140 m
2
de
área. As medidas dos
lados desse painel,

em metro, estão in-
dicadas na figura.
a) Quais são as medidas dos lados desse
painel? 14 m e 10 m.
b) Formule uma pergunta relacionada à fi-
gura. Troque de caderno com um colega
e cada um responde à pergunta que o
outro criou.
22. O quadrado e o retângulo seguintes têm
a mesma área.
x
16
x
x + 5
a) Qual é a medida do lado e o perímetro
do quadrado? 20; 80
b) Qual é o perímetro do retângulo? 82
23. Em um terreno retangular de 80 m por
50 m, foi construído um depósito que
ocupa uma área de 1 000 m
2
. Nesse
depósito, há uma faixa de x metros de
largura, destinada a embarque de pro-
dutos, conforme indicado na figura.
Qual é a medida x? 15 m
x
x
x
x
80 m
50 m
24. A tela de um quadro retangular mede
50 cm x 30 cm. Nessa tela, foi colocada
uma moldura de largura x.
Calcule x, sabendo que o quadro todo
passou a ocupar uma área de 2 400 cm
2
.
30 cm
50 cm
x
x
xx

5 cm
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x
2
_76x
13
_x
x + 6
x + 2
21. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o perímetro desse painel? (48 m)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
Essa tem seção tem como
objetivo abordar a resolução de
equações do 2
o
grau fazendo uso
do software Ofi Calc. Desse modo,
propicia-se o desenvolvimento
da competência específica 5 da
área de Matemática e das habili-
dades EF09MA03 e EF09MA09.
Como sugestão de encaminha-
mento, antes de iniciar a aula,
perguntar aos estudantes se já
conhecem ou se já utilizaram o
software que será explorado.
É provável que quanto maior a
turma, maior seja a heterogenei-
dade das respostas. Caso ocorra,
solicitar aos estudantes que já
possuem algum conhecimento
sobre a ferramenta que ajudem
a apresentá-la aos colegas.
Para tornar o uso da ferramenta
mais relevante pedagogicamente,
é fundamental que cada estu-
dante manipule o software. Caso
não haja a disponibilidade de um
computador para cada estudante,
levar um computador para a sala
de aula e, com o auxílio de um
projetor multimídia, explicar o uso
do software de modo que todos
possam acompanhar.
Caso seja possível, levar os
estudantes a um laboratório de
informática e solicitar a eles que
utilizem o software para verificar
algumas equações já resolvidas
ao longo da Unidade. Assim,
eles poderão se familiarizar com
o uso dessa ferramenta.
TECNOLOGIAS
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2
o
GRAU COM UM SOFTWARE
Nesta seção, você vai utilizar um software chamado de
Ofi Calc, para descobrir as raízes de equações do 2
o
grau. É
possível fazer o download gratuito desse aplicativo no site
https://www.ofimega.es/oficalc/ (acesso em: 20 fev. 2022).
Além de permitir a realização de operações matemáticas
básicas, esse recurso pode auxiliá-lo a conferir resoluções de equa-
ções, verificar as formas fatoradas correspondentes e fazer outras
investigações, explorando as diversas ferramentas disponíveis.

1 Inicie o trabalho no Ofi Calc, clicando na aba Ferram.,
que disponibiliza as ferramentas do software
. Depois,
selecione
a opção Equações – Polinómios, como indi-
cado na imagem.

2 Clique na opção Equação / função 2
o
grau e biquadrada
para acessar esta janela.
Na parte destacada em azul, você pode ajustar os coeficientes para definir a equação do
2
o
grau cujas raízes pretende descobrir.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/OFICALC
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Depois que todos os estudan-
tes tiverem a oportunidade de
se familiarizar um pouco com
o software, solicitar a eles que
façam as atividades propostas,
se possível, individualmente
ou em duplas. Em seguida,
compartilhar os métodos de
resoluções e possíveis dúvidas
que tenham surgido ao longo
do processo de resolução.
AMPLIANDO
Texto
CONTRI, Rozelaine de Fatima Franzin; RETZLAFF, Eliani;
KLEE, Luiz Alberto. Uso de softwares matemáticos como
facilitadores da aprendizagem. In: CONGRESSO REGIONAL
DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2; ENCONTRO REGIONAL
DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9, 2011, Santo Ângelo.
Anais […]. Santo Ângelo: URI, 2011. Disponível em:
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/
cnem/principal/cc/PDF/CC45.pdf. Acesso em: 20 jun. 2022.
O texto é uma sugestão de leitura para aprofundar
o estudo de softwares nas aulas de Matemática, que
auxiliam a aprendizagem dos conteúdos envolvidos e
permitem agilidade nos cálculos.
3 Por exemplo, para obter as raízes da equação x
2
_ 10x + 24 = 0, ajustamos o campo
dos coeficientes com a = 1, b = _10 e c = 24. Assim, o software exibe a equação cor-
respondente na forma reduzida e na forma fatorada e as raízes dessa equação.
coeficiente c
coeficiente a
coeficiente b
raízes da equação
equação do 2
o
grau
na forma reduzida
equação do 2
o
grau
na forma fatorada
fórmula resolutiva
REPRODUÇÃO/OFICALC
Agora, com um colega, explore a função do Ofi Calc que auxilia na resolução de equações
do 2
o
grau, modificando os coeficientes e observando os resultados exibidos pelo software. Em
seguida, resolvam as questões a seguir no caderno.
1. Usando o Ofi Calc, obtenha as raízes das seguintes equações do 2
o
grau.
a) x
2
_ 6x + 9 = 0 3
b) 4x
2
_ 11x + 26 = 0 Não tem raiz real.
c) 3x
2
_ 53x = 0 0 e
53
3
.
d) 2x
2
_ 32 = 0 _4 e 4.
2. Observe os resultados da atividade 1 e, sem realizar o cálculo, responda: Qual das equa-
ções tem o discriminante negativo? A equação do item b.
3. Realize os cálculos, nas equações da atividade 1, para verificar que os resultados exibidos
pelo Ofi Calc são raízes das respectivas equações.
4. Fixando o coeficiente a = 1 e o coeficiente c = 10, descubra,
com o auxílio do Ofi Calc, a equação do 2
o
grau cujas raízes
são 2 e 5. x
2
_ 7x + 10 = 0
5. Escreva uma situação na qual um colega tenha de descobrir uma equação do 2
o
grau,
conhecendo dois dos coeficientes e as duas raízes reais, utilizando o Ofi Calc. Troque com
um colega para que ele resolva a situação que você escreveu, enquanto você resolve a
situação elaborada por ele.
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
insiram os resultados exibidos pelo software no lugar de x e verifiquem que a igualdade obtida é verdadeira.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Fixando a = 2, b = _14
e sabendo que as raízes da equação são 1 e 6, espera-se que os estudantes concluam, com o auxílio do
software, que a equação correspondente é 2x
2
_ 14x + 12 = 0.
BLACKWHITEPAILYN/SHUTTERSTOCK.COM
Usando os botões de
controle, atribua diferentes
valores ao coeficiente b.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Soma e produto das
raízes de uma equação
do 2
o
grau com uma
incógnita
A resolução de equações de
2
o
grau usando soma e produto é
uma estratégia ágil e rápida, que
dispensa os inúmeros cálculos que
devem ser feitos na resolução ao
utilizar a fórmula de Bháskara.
Destacar aos estudantes que
as relações envolvendo soma e
produto de raízes de equações
do 2
o
grau servem para qualquer
equação que tiver esse grau, já
que a dedução das relações foi
feita a partir da equação genérica
ax
2
+ bx + c = 0, com a 5 0,
e x‘ e x’, as raízes.
Utilizar exemplos de equações
resolvidas anteriormente para
aplicar a soma e o produto com
valores numéricos, a fim de que
os estudantes verifiquem a vali-
dade dessas relações.
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
DE UMA EQUAÇÃO DO 2
o
GRAU
COM UMA INCÓGNITA
CAPÍTULO
3
Considerando a equação do 2
o
grau ax
2
+ bx + c = 0, com a 5 0, há duas relações
que envolvem as raízes x‘ e x’ e os coeficientes a, b e c dessa equação. A seguir, vamos
estudar essas relações.
SOMA DAS RAÍZES
Sendo x‘ e x’ as raízes reais de uma equação ax
2
+ bx + c = 0, com a 5 0, temos:
x‘ =
b
2a
_+ D
e x’ =
b
2a
__ D
Adicionando membro a membro essas duas igualdades, obtemos a 1
a
relação.
x‘ + x’ =
b
2a
_+ D
+
b
2a
__ D
=
b b
2a
_+ D__D
=
2b
2a
_
=
b
a
_Em toda equação do 2
o
grau, em que x‘ e x’ são raízes reais, temos x‘ ? x’ = _
b
a
.
PRODUTO DAS RAÍZES
Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação de uma equação ax
2
+ bx + c = 0,
com a 5 0, temos:
x‘ =
b
2a
_+ D
e x’ =
b
2a
__ D
Multiplicando, membro a membro, as duas igualdades, obtemos a 2
a
relação.
x‘ ? x’ =
b
2a
_+ D
?
b
2a
__ D
=
() ()bb
4a
2
_+ D__D
=
()()b
4a
2 2
2
__ D
=
b
4a
2
2
_D
Como D = b² _ 4ac, fazemos a substituição a seguir.
x‘ ? x’ =
()bb 4ac
4a
22
2
__
=
bb 4ac
4a
22
2
_+
=
4ac
4a
2
=
4ac
4aa?
=
c
a
Em toda equação do 2
o
grau, em que x‘ e x’ são raízes reais, temos x‘ ? x’ =
c
a
.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Se considerar oportuno, propor
alguns exemplos para os estudan-
tes aplicarem a ideia de soma e
produto das raízes de equações
do 2
o
grau. Por exemplo:
1. Carlos observou a equação
2x
2
_ 12x = 0. Sem fazer
cálculos, ele afirmou: “Uma
das raízes é zero”. Qual é a
outra raiz?
2. Marina observou a equação
4x
2
_ 36 = 0 e afirmou, sem
fazer cálculos: “As raízes são
números opostos”. Quais são
as raízes?
Pedir aos estudantes que se
organizem em pequenos grupos e
resolvam as questões. Espera-se que
eles apliquem as relações estuda-
das. Para o item 1, pode-se fazer:
x‘ + x’ =
b
a
_
H 0 + x’ =
=
(12)
2
__
h x’ = 6
Item 2:
x‘ ? x’ =
c
a
H x‘ ? (_x‘) =
36
4
_
h
h_(x‘)
2
=
36
4
_
h _ (x‘)
2
=
=
36
4
_
h x‘ = 3 e x’’ = _3
Depois, incentivá-los a ela-
borar outros itens e a trocar
entre si.
Escrevendo uma
equação com raízes
conhecidas
Escrever uma equação a partir
da relação entre as raízes e
os coeficientes a, b e c é algo
muito importante e que será
utilizado com frequência em
anos posteriores do estudo de
Matemática. Verificar se os estu-
dantes atentam para os sinais
ao longo da aplicação de soma
e produto.
Vamos usar essas duas relações importantes para resolver o problema a seguir.
A equação 3x
2
_ 8x _ 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a
equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes.
Pela equação dada, a = 3, b = _8 e c = _3.
De acordo com as relações, podemos escrever:
x‘ + x’ =
b
a
_
=
(8)
3
__
=
8
3
x‘ ? x’ =
c
a
=
3
3
_
= _1
Logo, a soma das raízes da equação é
8
3
, e o produto dessas raízes é _1.
ESCREVENDO UMA EQUAÇÃO COM RAÍZES CONHECIDAS
Podemos aplicar as relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação do 2
o
grau para
escrever a equação na forma ax
2
+ bx + c = 0 quando são dados dois números reais (x‘ e x’) como
raízes da equação.
Consideremos a equação ax
2
+ bx + c = 0. Com a 5 0, vamos dividir todos os termos pelo
coeficiente a.
ax
a
bx
a
c
a
0x
b
a
x
c
a
0
2
2
++ =h ++ = 1
Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos:
x‘ + x’ =
b
a
_
h
b
a
_
= x‘ + x’ h
b
a
= _(x‘ + x’) 2
x‘ ? x’ =
c
a
h
c
a
= x‘ ? x’ 3
Substituindo 2 e 3 na equação 1: x
2
_ (x‘ + x’)x + x‘ ? x’ = 0
Se indicarmos por S a soma das raízes (x‘ + x’ = S) e por P o produto dessas raízes (x‘ ? x’ = P),
podemos escrever a equação na forma:
x
2
_ Sx + P = 0
Assim, podemos obter uma equação do 2
o
grau na incógnita x se forem dadas as raízes x‘ e x’.
Acompanhe o exemplo a seguir.
Determinar a equação do 2
o
grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação
são os números reais _3 +
3 e _3 _ 3.
S =
()33_+ + ()33__ = _3
3+ _ 3 3_ = _6
P =
()33_+ ? ()33__ = (_3)
2
_ ()3
2
= 9 _ 3 = 6
x
2
_ Sx + P = 0 h x
2
_ (_6)x + 6 = 0 h x
2
+ 6x + 6 = 0
Logo, a equação procurada é x
2
+ 6x + 6 = 0.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo das atividades é
levar os estudantes a obter a
soma e o produto das raízes de
uma equação do 2
o
grau, sem
precisar resolvê-la. Para isso,
vão aplicar as relações entre
coeficientes e raízes estudadas.
Desse modo, prossegue-se o
desenvolvimento das habilidades
EF09MA03 e EF09MA09.
Na resolução da atividade 8,
é necessário aplicar a relação
da soma das raízes da equação
mx
2
_
8
m
x + 2 = 0, com m 5 0,
sabendo que essa soma é 2, assim:
x‘ + x’ =
b
a
_
H 2 =
=












8
m
m
__
h 2m =
8
m
h
h m
2
= 4 h m = _2 ou m = 2
Na atividade 12, é possível
verificar as principais dúvidas dos
estudantes acerca do conteúdo
estudado, além de incentivá-los
a exercitar a criatividade.
Dados dois números reais x e
y, os estudantes devem calcular
a soma S = x + y e o produto
P = x ? y e montar a equação de
2
o
grau x
2
_ Sx + P = 0, con-
forme tratado na página 109.
Por exemplo, se o estudante
receber os números 5 e 6 de um
colega, é esperado que realize
os seguintes cálculos:
S = 5 + 6 = 11
P = 5 ? 6 = 30
Assim, uma possível resposta
seria x
2
_ 11x + 30 = 0.
Durante a realização dessa
atividade, investigar se algum estu-
dante está construindo a equação
de 2
o
grau de maneira diferente
da apresentada e, ao fim da ati-
vidade, pedir, se possível, que
exponha para os colegas. Caso
algum estudante seja tímido ou
não se sinta à vontade, verificar
a possibilidade de reproduzir o método elabo-
rado por ele na lousa.
No desafio 13, os estudantes serão desa-
fiados a realizar cálculo mental. Incentivar a
observação e socialização das estratégias utili-
zadas para resolver mentalmente as equações.
Para o item a, espera-se que eles façam per-
guntas como “Quais números que adicionados
resultam em 5 e multiplicados resultam em
6?” e concluam que são 2 e 3. Usar o mesmo
raciocínio para os outros itens.
No desafio 14, verificar se os estudantes
compreendem que, para utilizar a técnica da
soma e do produto das raízes, é preciso que o
coeficiente a seja 1. Então, é preciso dividir todos
os termos da equação por 3: x
2
_ 5x + 4 = 0.
Responda às questões no caderno.
1. Cada uma das equações seguintes tem
duas raízes reais diferentes. Sem re-
solver as equações, calcule a soma e o
produto dessas raízes.
a) x
2
_ x _ 20 = 0
x‘ + x’ = 1, x‘ ? x’ = _20
b) 16x
2
+ 8x + 1 = 0 x‘ + x’ = _
1
2
, x‘ ? x’ =
1
16
c) 6x
2
_ 4x _ 3 = 0
d) 10x
2
+ 3x _ 4 = 0 x‘ + x’ = _
3
10
, x‘ ? x’ = _
2
5
2. A equação x
2
_ 6x _ 16 = 0 tem duas
raízes reais diferentes, expressas por x‘
e x’. Sem resolver a equação, determine
o valor de:
a) x‘ + x’. 6
b) x‘ ? x’. _16
c)
1
x
1
x‘
+
’
.
3
8
_
3. Escreva as equações na forma reduzida
e, sem resolvê-las, determine a soma S e
o produto P das raízes de cada uma.
a)
x 1
4
5
x2
_
=
_
S = 3 e P = _18.
b)
1
x
1
x1
5
6
+
+
= S =
7
5
e P = _
6
5
.
c)
x
x 2
4
x1
5
_
+
_
= S =
9
2
e P =
9
2
.
4. Se S é a soma e P é o produto das raízes
reais da equação x
2
_ 11x + 28 = 0, qual
é o valor de S _ P? _17
5. Considere a equação a seguir.
x
2
_ 0,8x _ 1,6 = 0
Sendo S a soma e P o produto das raízes
reais dessa equação, determine
S
P
. _0,5
6. Determine a soma e o produto das raízes
de cada uma das equações a seguir, sem
resolvê-las.
a) x
2
_ 4
2x + 3 = 0 S = 42 e P = 3.
b) x
2
_
2x _ 3 = 0 S = 2 e P = _3.
1. c) x‘ + x’ =
2
3
, x‘ ? x’ = _
1
2
7. Dada a equação 10x
2
_ 7x + c = 0, deter-
mine o valor do coeficiente c, de maneira
que o produto das raízes reais dessa
equação seja igual a
1
8
. Dê a resposta na
forma decimal. c = 1,25
8. Na equação mx
2
_
8
m
x + 2 = 0, com
m 5 0, a soma S das raízes é 2. Qual é
o valor de m? _2 ou 2.
9. Considere a equação a seguir.
x
2
_ 3tx + t = 0
Se a soma das raízes dessa equação é 15,
qual é o produto dessas raízes? 5
10. As raízes reais de 2x
2
+ 5x + h _ 5 = 0
são tais que uma delas é igual ao inverso
da outra x‘ =
1
x’
. Nessas condições, de-
termine o valor de h. h = 7
11. Na equação 4x
2
_ 2(k _ 1)x _ 1 = 0, as
raízes são opostas ou simétricas. Nessas
condições, qual é o valor de k? k = 1
12. Escreva dois números reais quaisquer
em uma folha avulsa e troque-a com
um colega. Determine uma equação de
2
o
grau cujas raízes são os números escri-
tos pelo colega e explique para ele como
fez para determinar essa equação.
DESAFIOS
Junte-se a um colega, e resolvam os de-
safios a seguir.
13. Descubra mentalmente as raízes de
cada uma das seguintes equações.
a) x
2
_ 5x + 6 = 0 3 e 2.
b) x
2
_ 10x + 24 = 0 6 e 4.
c) x
2
_ 4x _ 12 = 0 6 e _2.
14. As raízes da equação 3x
2
_ 15x + 12 = 0
são as medidas dos lados de um retân-
gulo. Descubra mentalmente as raízes
e calcule a área e o perímetro desse
retângulo. x‘ = 1 e x’ = 4; A = 4 e P = 10.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
5 e 6; x
2
_ 11x + 30 = 0.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Equações biquadradas
O objetivo desse tópico é levar
os estudantes a identificar equa-
ções biquadradas e determinar o
conjunto solução de uma equação
biquadrada utilizando uma incóg-
nita auxiliar e a fórmula resolutiva
da equação do 2
o
grau. Como
sugestão de encaminhamento
de aula, explorar, na lousa, os
exemplos apresentados no Livro
do estudante.
Se julgar oportuno, antes de
explorar a resolução da equação
x
4
_ 5x
2
+ 4 = 0, pode-se fazer
algumas perguntas, como:
• Qual é o grau dessa equação?
• É possível identificar alguma se-
melhança com uma equação
do 2
o
grau?
Dessa discussão, pode surgir a
ideia da utilização de uma incóg-
nita auxiliar, conforme mostrado
no Livro do estudante.
MAIS EQUAÇÕES
CAPÍTULO
4
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Denomina-se equação biquadrada na incógnita x toda equação da forma
ax
4
+ bx
2
+ c = 0, em que a, b e c são números reais e a 5 0.
As equações a seguir são biquadradas.
• x
4
_ 10x
2
+ 9 = 0
• x
4
_ 5x
2
+ 4 = 0
• 9x
4
_ 6x
2
= 0
• x
4
+ 20x
2
_ 3 = 0
• 16x
4
_ 2 = 0
Podemos verificar que as equações biquadradas são equações incompletas
de 4
o
grau, desprovidas dos termos em que a incógnita teria expoente ímpar.
A resolução das equações biquadradas envolve um recurso algébrico, conforme
se observa no exemplo a seguir.
Resolver a equação x
4
_ 5x
2
+ 4 = 0, considerando U = r.
Vamos, inicialmente, indicar x
2
= p, usando a incógnita auxiliar p.
Substituindo x
2
por p na equação dada, temos:
x
4
_ 5x
2
+ 4 = 0
(x
2
)
2
_ 5x
2
+ 4 = 0
p
2
_ 5p + 4 = 0
equação do 2
o
grau na incógnita p
Nessa equação, temos: a = 1, b = _5 e c = 4. Então, temos:
D = b
2
_ 4ac = (_5)
2
_ 4 ? (1) ? (4) = 25 _ 16 = 9
p =
b
2a
_± D
=
(5)9
2(1)
__±
?
=
53
2
±
h







p
53
2
8
2
4
e
p
53
2
2
2
1
‘=
+
==
’=
_
==
As raízes 4 e 1 são valores reais da incógnita p.
Como consideramos x
2
= p, precisamos, agora, obter os valores de x, que serão
as raízes da equação biquadrada.
Para p = 4, temos: x
2
= 4 h x =
4± h x = ±2.
Para p = 1, temos: x
2
= 1 h x =
1± h x = ±1.
Então: S = {_2, _1, 1, 2}.
111
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Esse bloco de atividades tem
como objetivo que os estudantes
resolvam equações biquadradas,
o que proporciona o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA03
e EF09MA09.
Na atividade 4, espera-se
que os estudantes compreen-
dam que para as expressões
11x
4
_ 6x
2
e x
2
+ 4 terem valores
iguais, significa que 11x
4
_ 6x
2
=
= x
2
+ 4. Portanto, é necessá-
rio resolver essa equação para
determinar as raízes. Ao aplicar
os procedimentos de resolução de
equações biquadradas, os estu-
dantes vão obter _1 e 1.
Ao resolver as equações biqua-
dradas com a turma, verificar se
os estudantes têm dúvidas em
relação ao passo a passo da resolu-
ção. É importante que eles tomem
cuidado com possíveis erros ao
trocar sinais.
Equações irracionais
Ao explicar as equações irra-
cionais, sugerir aos estudantes
que sempre confirmem se o valor
encontrado para a incógnita é real-
mente a raiz da equação proposta.
Para isso, eles devem substituir
o valor encontrado na resolução
no lugar da incógnita e resolver
a expressão numérica resultante.
Se a sentença matemática obtida
for verdadeira, o valor encontrado
é, de fato, raiz da equação.
Responda às questões no caderno.
1. Determine, no conjunto r, o conjunto
solução de cada uma das seguintes
equações biquadradas.
a) x
4
_ 8x
2
_ 9 = 0 {_3, 3}
b) x
4
_ 4 = 3x
2 {_2, 2}
c) x
4
_ 16x
2
= 0 {0, _4, 4}
d) x
4
_ 8x
2
+ 16 = 0 {_2, 2}
2. Qual é a soma das raízes reais positivas
desta equação? 5 + 1 = 6
x
4
_ 26x
2
+ 25 = 0
3. Considere a equação x
2
_ 2 =
_
6
x1
2
, em
que x 5 1 e x 5 _1. Essa equação tem
quantas raízes reais? Duas: _2 e 2.
4. Para quais valores reais de x as expressões
a seguir apresentam valores numéricos
iguais? _1 e 1.
11x
4
_ 6x
2

x
2
+ 4
5. Determine o conjunto solução de cada
uma das seguintes equações, sendo U = r.
a) (x
2
_ 1)(x
2
_ 12) + 24 = 0 {_3, _2, 2, 3}
b) (x
2
+ 2)
2
= 2 ? (x
2
+ 6)
{}2,2_
c) (x + 2)(x _ 2)(x + 1)(x _ 1) + 5x
2
= 20
d) x
2
(x
2
_ 9) = _20
{}5,5,2,2__
6. Observe esta afirmação.
Todas as raízes da equação x
2
+
2
x
2
= 3,
com x 5 0, são números reais.
Essa afirmação é correta? Justifique.
{_2, 2}
Sim; pois as raízes são _1, 1,
2_ e
2.
ATIVIDADES
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Toda equação que apresenta a incógnita no radicando é chamada de equação irracional.
Para transformar uma equação irracional em uma equação racional, elevamos os dois membros
da equação a uma potência conveniente.
Ao fazer isso, podemos considerar raízes que não satisfazem a equação irracional dada;
portanto, sempre temos de fazer a verificação dos resultados encontrados.
Consideremos, então, os exemplos a seguir.

1 Resolver a equação x5+ = x _ 1.
Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 5, ou seja, U = {x [ r | x > 5}. Note que x
também deve ser maior do que 1 para que x _ 1 não seja negativo, já que, no conjunto dos
números reais, o resultado de uma raiz quadrada não pode ser negativo.
()x5
2
+
2
= (x _ 1)
2
Elevamos os dois membros ao quadrado.
x + 5 = x
2
_ 2x + 1
x
2
_ 3x _ 4 = 0
Equação racional a ser resolvida.
x =
b
2a
_± D
=
(3)25
2(1)
__±
?
=
35
2
±
h







x
35
2
8
2
4
e
x
35
2
2
2
1
‘=
+
==
’=
_
==
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Neste bloco de atividades, os
estudantes aplicarão os conhe-
cimentos obtidos a respeito de
resolução de equações irracionais.
Incentivar e valorizar a expressão
oral dos estudantes, propondo
que, após a resolução dos itens,
eles compartilhem o raciocínio
utilizado e possíveis dúvidas com
os colegas, de modo que os estu-
dantes que têm maior domínio
do conteúdo possam auxiliar os
colegas que têm alguma dúvida.
Desse modo, é possível favore-
cer um momento de incentivo à
cooperação entre eles.
Determinamos, assim, as raízes da equação racional do 2
o
grau.
Para determinar as raízes da equação irracional dada, precisamos fazer uma verificação com
os valores obtidos para a incógnita x.
Para x = 4, temos:
45+ = 4 _ 19 = 3
3 = 3 (verdadeira)
Para x = _1, temos:
_+(1)5 = (_1) _ 14 = _2
2 = _2 (falsa)
Logo, apenas o número 4 satisfaz a equação irracional dada. Portanto, S = {4}.

2 Resolver a equação x3_ + 5 = x.
Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 3, ou seja, U = {x [ r | x > 3}.
x3_ + 5 = xx3_ = x _ 5
Isolamos o radical no primeiro membro.
Assim, podemos ver que x deve ser maior do que 5 para que a raiz quadrada seja um número
positivo.
()x3
2
_ = (x _ 5)
2
Elevamos os dois membros ao quadrado.
x _ 3 = x
2
_ 10x + 25
x
2
_ 11x + 28 = 0
Equação racional a ser resolvida.
x =
b
2a
_± D
=
(11)9
2(1)
__ ±
?
=
113
2
±
h







x
113
2
14
2
7
e
x
113
2
8
2
4
‘=
+
==
’=
_
==
Fazendo a verificação com os valores obtidos para a incógnita x, temos:
Para x = 7, tem o s:
73_ + 5 = 74 + 5 = 7
2 + 5 = 7
7 = 7 (verdadeira)
Para x = 4, temos:
43_ + 5 = 41 + 5 = 4
1 + 5 = 4
6 = 4 (falsa)
Logo, apenas o número 7 satisfaz a equação irracional dada. Portanto, S = {7}.
Responda às questões no caderno.
1. Resolva as equações.
a)
_x1 = 3 _ x {2} b) __ =7x31 x {1, 4}
2. Quais são os valores reais de x para os quais a expressão
_+x6x16
2
é igual a 22? 4 ou 2.
3. Qual é o conjunto solução da equação 4 _ x =
+x2? {2}
4. Para quais valores reais de x as expressões
_x9
2
e +x11 apresentam o mesmo valor?
5. Qual é o valor real de x que torna a expressão
+_xx 4
2
igual a 4? x = 4 ou x = _3.
{_4, 5}
ATIVIDADES
113
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tratamento
da informação
Nessa seção, é explorada a
importância da representação
correta dos gráficos e como as
escalas e o tipo de gráfico esco-
lhido para representar os dados
podem influenciar na percepção
do que se deseja transmitir. Desse
modo, promove-se o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA21.
No decorrer da aula, é possí-
vel abrir uma discussão com os
estudantes sobre consumo cons-
ciente. Proporcionar um momento
para eles falarem o que sabem
sobre o tema. Incentivar os estu-
dantes a falar de hábitos que
já possuem ou que podem ser
incorporados no dia a dia que
corroboram para a prática de um
consumo consciente. É impor-
tante que, caso eles não citem,
compreendam que ser um con-
sumidor consciente vai além de
evitar compras por impulso, por
exemplo. É preciso levar em conta
os impactos da compra realizada,
o descarte dos produtos e servi-
ços e ficarem atentos a questões
como verificar se empresas que
produzem os itens que costumam
consumir são responsáveis social-
mente e ambientalmente, por
exemplo. Desse modo, busca-se
favorecer o desenvolvimento do
Tema Contemporâneo Transversal
Educação para o Consumo.
Comentar que pode ocorrer
de gráficos apresentados em
diferentes mídias serem cons-
truídos de maneira errada ou
induzirem o leitor a ter uma per-
cepção equivocada dos dados,
caso não sejam analisados com
cautela. Para evitar esse cenário,
é preciso estar atento às infor-
mações apresentadas, às escalas
utilizadas e ao tipo de gráfico
escolhido.
Na atividade 1, a altura das
barras não está respeitando a
escala, fazendo parecer que a
primeira marca está muito acima das demais.
Espera-se que os estudantes identifiquem a
incorreção ao responder ao item b.
No item c, pedir aos estudantes que compar-
tilhem as respostas para que se possa realizar
uma discussão a respeito da importância de
os gráficos estarem corretos. Verificar as pos-
síveis conclusões equivocadas a que se poderia
chegar a partir da interpretação desse gráfico.
OS GRÁFICOS E A IMPORTÂNCIA DE SUA
REPRESENTAÇÃO CORRETA
1. A empresa de confecção Roupa X realizou uma pesquisa de mercado para verificar,
entre as principais marcas oferecidas, qual era a preferida pelos consumidores. Em
seguida, foi publicado nas redes sociais dessa empresa um gráfico com o resultado
da pesquisa.
INFORMAÇÃO
TRATAMENTO
DA
EDITORIA DE ARTE
25%
15%
9%
40%
11%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Porcentagem de
consumidores
Marca
de roupa
Roupa X Roupa BelaRoupa Mais Não usa
roupas
de marca
Não sabe
100%
Marcas de roupas preferidas pelos consumidores
Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X.
Observe o gráfico e faça o que se pede.
a) Qual é o percentual de consumidores que escolheram a empresa Roupa X? 25%
b) Você considera que está correta a altura da coluna que representa o percentual de consumidores
que preferem a marca Roupa X? Explique.
c) Em seu entendimento, essa publicação da empresa Roupa X pode induzir os leitores a uma
interpretação incorreta do resultado da pesquisa realizada?
d) Construa o gráfico que representa corretamente as informações dadas.
1. b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical
vai de 0% a 100%, e o tamanho da barra indica uma
preferência de quase 90%.
1. c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos consumidores
entrevistados não usam roupas de marca, mas a coluna que representa esse percentual é mais baixa
do que a coluna que representa 25% dos consumidores.
Resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 2, o gráfico de
linhas não é adequado, pois é
mais apropriado para indicar
grandezas que oscilam ao longo
do tempo. É esperado que os
estudantes cheguem a essa con-
clusão no item d.
Pedir aos estudantes que deem
exemplos de situações em que
é recomendado ou mais ade-
quado o uso de um gráfico de
linhas, como o faturamento de
uma empresa durante um semes-
tre, a quantidade de visitantes
de um museu ao longo de uma
semana, o nível de chuva, dia a
dia, durante um mês.
Para ampliar a atividade, soli-
citar aos estudantes que pensem
sobre que dados precisariam ser
obtidos ou alterados para que
o gráfico de linhas fosse usado
no contexto apresentado. Uma
possível resposta é obter a quan-
tidade de pessoas que adquiriu
cada um desses bens, mês a
mês, ao longo dos quatro meses.
2. No gráfico de linhas a seguir, está representada a quantidade de bens de consumo duráveis
adquiridos, nos últimos 4 meses, pelo grupo de pessoas que participaram da pesquisa.
EDITORIA DE ARTE
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quantidade
de pessoas
Bem de
consumo
Carro Fogão Geladeira Televisão
Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses
Fonte: Dados fictícios.
a) Observando o gráfico, é possível afirmar que houve uma queda na compra de carros?
b) Copie no caderno a tabela a seguir e, a partir das informações do gráfico, complete-a.
Bens de consumo duráveis
Bem de consumo Quantidade
Carro

Fogão

Geladeira

Televisão

Fonte: Dados fictícios.
c) A partir das informações da tabela, construa um gráfico de barras, relacionando a quantidade
de bens de consumo duráveis adquiridos, nos últimos 4 meses, pelos pesquisados.
d) O gráfico de linhas é adequado para representar as grandezas envolvidas nesta atividade? Explique.
Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em determinado período.
6
3
2
9
Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência, crescente ou decrescente,
em um período, por exemplo.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
As questões apresentadas
nessa seção visam retomar o tra-
balho com equações do 2
o
grau,
o que favorece o desenvolvimento
das habilidades EF09MA03 e
EF09MA09.
Incentivar os estudantes a
socializar as estratégias que uti-
lizaram e a trocar ideias com os
colegas a respeito de temas sobre
os quais ainda tenham dúvida.
Acompanhá-los e orientá-los
nesse trabalho. Se necessário,
fazer retomadas para que as
dúvidas possam ser sanadas.
Os estudantes podem utilizar
esse bloco de atividades como
autoavaliação, por isso, sugere-se
que eles as façam individual-
mente durante a aula.Se julgar
necessário, poderá intervir e aju-
dá-los ou incentivar o diálogo
entre os colegas. Momentos de
autoavaliação permitem que eles
próprios analisem os pontos fortes
e as dificuldades que têm. Além
disso, permitem que o docente,
ao observar esse movimento dos
estudantes, também reflita sobre
a própria prática.
Por meio de atividades de múl-
tipla escolha, os estudantes vão
revisar os conceitos estudados
na Unidade e poderão detectar
possíveis dúvidas.
Na atividade 3, para calcular
o valor de (x‘ _ x’)
2
, os estudan-
tes precisam relembrar que essa
expressão pode ser escrita da
seguinte maneira: (x‘ _ x’)
2
=
= x‘
2
_ 2 ? x‘ ? x’ + x’
2
=
= (x‘
2
+ x’
2
) _ 2 ? (x‘ ? x’).
Responda às questões no caderno.
1. Considere a equação 5x + 9 = 5 +
1
x
,
com x 5 0. A menor raiz dessa equação
é o número real: Alternativa d.
a)
1
5
.
b) 5.
c) 1.
d) _1.
e) _
1
5
.
2. Observe a equação a seguir.
x(4x _ 1) = 3(x + 1)
Uma das raízes dessa equação é o número:
a) 1,5.
b) 21,5.
c) 0,5.
d) 2,5.
e) 1.
3. Se x‘ e x’ (com x‘ . x’) são as duas raízes
reais da equação _=x
12
x
1, com x 5 0,
o valor da expressão (x‘ _ x’)
2
é:
a) 36.
b) 45.
c) 49.
d) 64.
e) 81.
4. Sabe-se que x é um número real inteiro,
diferente de 0, tal que x +
1
x
=
5
2
. Nessas
condições, o valor numérico da expres-
são +x
1
x
3
3
é: Alternativa e.
a) 51.
b) 53.
c) 59.
d) 61.
e)
65
8
.
5. Considerando que a equação x
2
+ 11 =
= 12x tem duas raízes reais diferentes,
pode-se dizer que a média aritmética
dessas raízes é: Alternativa b.
a) 8.
b) 6.
c) 5.
d) 4.
e) 3.
Alternativa a.
Alternativa c.
6. Considere a equação 5x
2
+ 6 = 31x. Uma
das raízes dessa equação é expressa por
uma fração. A soma dos termos dessa
fração é: Alternativa e.
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
7. Determine os números reais x para que
as expressões
+_xx 1 e 7 tenham o
mesmo valor numérico. 5
8. Qual é a solução da equação

_
x
4x
=
_4x
2
, com x 5 4? S = {2}
9. Considere V = 2k +
h
5
2
. Se V = 25 e
5k = 2,5, há dois valores para h, que são:
a) _10 e 10.
b) _5 e 5.
c) _11 e 11.
d) _15 e 15.
e) _9 e 9.
10. O menor valor de x que verifica a igual-
dade y = _
4
x
+ x _ 1, se y = 2, é o
número real: Alternativa d.
a) 4.
b) 2.
c) 1.
d) _1.
e) _2.
11. A equação ax
2
_ 4x _ 16 = 0 tem uma
raiz cujo valor é 4. Qual é a outra raiz
dessa equação? Alternativa c.
a) 4
b) 2
c) _2
d) _4
e) _6
Alternativa a.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 12, caso seja
necessário, relembrar o que signi-
fica o discriminante da equação.
No caso, como a equação tem
duas raízes reais diferentes, é
preciso que o discriminante
seja maior do que zero, ou seja,
(2m _ 3)
2
_ 4 ? 1 ? (m
2
+ 3) . 0.
Ao resolver essa inequação, con-
clui-se que m , _
1
4
.
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento desta
Unidade permitem reflexões
a respeito das aprendizagens
individuais, além de uma breve
retomada dos conteúdos apre-
sentados. É importante que os
estudantes respondam individual-
mente a cada uma das questões
para que, dessa forma, possam
perceber o que aprenderam e
as possíveis dúvidas que ainda
tenham a respeito das equa-
ções do 2
o
grau e os métodos
de resolução abordados.
No decorrer das questões,
orientá-los a consultar o Livro
do estudante, para que tirem
dúvidas e busquem informações.
Conversar com eles a respeito
de acertos e erros, indicando as
correções com intervenções pon-
tuais. Esse tipo de ação amplia
a capacidade de reflexão e
análise crítica dos estudantes
de acordo com a competência
geral 2, além de beneficiar a coo-
peração entre eles, de acordo
com a competência geral 9.
A última questão é uma reto-
mada da equação proposta na
abertura da Unidade, que, agora,
deve ser resolvida por meio da
fórmula resolutiva. Espera-se que
os estudantes não encontrem difi-
culdade nessa resolução, mas,
caso seja necessário, fazer uma
retomada do conteúdo para que
as dúvidas sejam esclarecidas.
Nesta Unidade, estudamos as equações do 2
o
grau com uma incógnita
completa e incompleta. Verificamos como escrever uma equação desses
tipos na forma reduzida e os métodos de resolução delas.
Estudamos o processo de completar quadrados e a fórmula resolutiva que
leva o nome do matemático indiano Bhaskara.
Também estudamos duas variações da equação do 2
o
grau: a equação
biquadrada, que é uma equação do 4
o
grau incompleta, e as equações
irracionais.
Na abertura da Unidade, tratamos de uma aplicação da equação do 2
o
grau
na Física descoberta por Galileu Galilei: a queda livre de corpos.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo
desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.
• Em que caso uma equação do 2
o
grau tem duas raízes reais distintas?
• Como podemos escrever uma equação do 2
o
grau conhecendo as raízes
dela?
• No início da Unidade, você foi convidado a resolver uma equação. Agora,
utilizando a fórmula resolutiva, resolva a equação novamente. O resultado
encontrado foi o mesmo?
Quando seu discriminante é maior do que zero.
Pela soma e pelo produto das raízes utilizando a equação x
2
_ Sx + P = 0,
em que S é a soma, e P é o produto.
Resposta pessoal. O mais importante neste momento é verificar se os estudantes
conseguiram utilizar a fórmula resolutiva para resolver a equação.
UM NOVO OLHAR
12. A equação x
2
+ (2m _ 3)x + m
2
+ 3 = 0
tem duas raízes reais diferentes. Nessas
condições, devemos ter: Alternativa b.
a) m ,
1
4
.
b) m , _
1
4
.
c) m .
1
4
.
d) m > _
1
4
.
e) m , _2.
13. Na equação px
2
_ 2(q _ 1)x + 6 = 0, a
soma das raízes é _3, e o produto das
raízes é 3. Nessas condições, qual é o
valor de q? Alternativa e.
a) 3
b) 2
c) 1
d) _1
e) _2
14. Se S é o número que expressa a soma e
P é o número que expressa o produto
das raízes da equação 2x
2
+ 5x _ 3 = 0,
então a razão
S
P
vale: Alternativa a.
a)
5
3
.
b) _
5
3
.
c)
3
5
.
d) _
3
5
.
e) _
2
3
.
f)
1
2
.
15. O valor de x que satisfaz a equação
_+2x4x9
2
= 2x _ 3 é um número
real que está entre: Alternativa c.
a) 1 e 3.
b) 2 e 4.
c) 3 e 5.
d) 4 e 6.
e) 5 e 7.
f) 1 e 2.
16. Ao subtrair 3 de certo número real x,
obtém-se o dobro da raiz quadrada
desse número x. Então, o valor de x é:
a) 1.
b) 9.
c) 4.
d) 16.
e) 5.
f) 2.
Alternativa b.
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AMPLIANDO
Link
GALILEU Galilei. Biografias. Uol. [S. l.], 31 jul. 2005.
Disponível em: https://educacao.uol.com.br/biografias/
galileu-galilei.htm. Acesso em: 17 jun. 2022.
No link, é possível encontrar um breve relato da
vida de Galileu.
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INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em dois capítulos e apresenta os
conteúdos por meio de exemplos
e atividades diversificadas, além
de uma seção que contribui para a
formação integral dos estudantes
e favorece o desenvolvimento
das competências gerais 2 e 5
e da competência específica 2
da área de Matemática.
O tema abordado na aber-
tura da Unidade incentiva a
análise crítica e a curiosidade
dos estudantes, propiciando,
assim, o desenvolvimento das
competências gerais 2, 3 e 4.
No primeiro capítulo, trabalha-se
com ângulos determinados por
retas transversais. Com o objetivo
de ampliar a compreensão desse
tópico, ao longo do capítulo,
são apresentados exemplos e
atividades. No segundo capítulo,
é feita uma breve retomada do
conceito de circunferência; para
ampliar o estudo, são apresentadas
as posições relativas de reta em
relação a uma circunferência,
arco de circunferência e ângulo
central e ângulos inscritos. Além
dos exemplos e atividades, é
proposta a seção Tecnologias,
que traz uma sugestão de uso de
software para verificar a relação
entre o ângulo inscrito e o ângulo
central de uma circunferência. Esse
estudo favorece o desenvolvimento
da competência específica 5 da
área de Matemática. De modo
geral, os temas abordados ao
longo da Unidade favorecem
a apropriação das habilidades
EF09MA10 e EF09MA11.
OBJETIVOS
• Retomar e ampliar algumas propriedades dos
ângulos formados por um feixe de retas pa-
ralelas e uma transversal.
•
Recordar o conceito de circunferência e os
elementos de uma circunferência.
• Identificar as posições reativas de uma reta
em relação a uma circunferência.
• Compreender o conceito de arco de circun-
ferência e de ângulo central.
•
Resolver problemas envolvendo conceito de
arco de circunferência e de ângulo central e
determinar a medida de um ângulo central.
• Compreender o conceito de ângulo inscrito
em uma circunferência e determinar a medi-
da desse ângulo.
• Compreender casos específicos de ângulos
cujos vértices não pertencem à circunferência
e que não são ângulos centrais.
BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 2, 3, 4 e 5
Competências específicas:
• 2 e 5
Habilidades:
Geometria
• EF09MA10 • EF09MA11
A Arte e a Matemática têm uma
relação muito próxima, principalmente no
campo da Geometria. Uma dessas relações
pode ser observada no trabalho com rosá-
ceas, que são construções decorativas com
formato circular. Em geral, as rosáceas
apresentam motivos florais e são muito
comuns em catedrais de estilo
gótico.
Uma rosácea é obtida a partir de pro-
cessos de desenho geométrico. Analise
esta imagem de um vitral e o processo de
construção de um exemplo de rosácea.
Interior da Catedral
de Saint ‑Denis
(França), 2014.
UNIDADE
RELAÇÕES
ENTRE ÂNGULOS
4
Gótico: estilo artístico
e arquitetônico que
surgiu na Idade Média
(séculos V a X) e cujas
principais características
apresentam motivações
religiosas.
GLOSSÁRIO
FLORIAN MONHEIM/ALAMY/FOTOARENA
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Ao iniciar o estudo sobre
as relações entre os ângulos,
a abertura desta Unidade aborda
um pouco da proximidade entre
Arte e Matemática.
Como sugestão de encaminha-
mento, pode-se fazer a leitura do
texto da página 118 do Livro do
estudante. Depois, propor uma
pesquisa de imagens de rosáceas
em livros e sites e analisar as
figuras sob o aspecto geométrico
delas. Essa atividade pode ser
realizada em parceria com o
professor de História ou com o
professor de Arte, dependendo
do enfoque que se deseja. Por
exemplo, pode-se dividir a turma
em dois grupos; um deles pode
aprofundar o estudo sobre o
contexto histórico (pesquisar
por exemplo, como a geometria
se constituiu um importante
instrumento de leitura desde
as civilizações mais antigas ou,
ainda, as principais caracterís-
ticas da arquitetura gótica), e
o outro grupo pode pesquisar
diferentes imagens, compreen-
dê-las e, depois, vivenciarem a
experimentação e a criação de
rosáceas. Ambas as atividades
incentivam a análise crítica e
a curiosidade. Para finalizar,
promover um momento de troca
entre os grupos, propiciando,
assim, o desenvolvimento das
competências gerais 2, 3 e 4.
Antes de iniciar o trabalho com
as questões propostas na página
119, solicitar aos estudantes que
reproduzam a construção da
rosácea apresentada. E, a partir do
passo 2, orientá-los a desenhar
parte da circunferência tracejada,
conforme ilustração a seguir.
EDITORIA DE ARTE
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresentam-se algumas
propriedades dos ângulos formados por um
feixe de retas paralelas e uma transversal.
Depois, retoma-se brevemente o conceito
de circunferência e os elementos de uma
circunferência com o objetivo de preparar os
estudantes para o estudo das relações entre
arco e ângulo central e ângulos inscritos
em uma circunferência. Com esse estudo,
pretende-se favorecer o desenvolvimento das
habilidades EF09MA10 e EF09MA11.
Na seção Tratamento da informação,
propõe-se o uso de um software para verificar
a relação entre o ângulo inscrito e o ângulo
central de uma circunferência. Desse modo,
pretende-se favorecer com maior ênfase o
desenvolvimento das competências gerais 2 e
5 e das competências específicas 2 e 5 da área
de Matemática.
FLORIAN MONHEIM/ALAMY/FOTOARENA
Agora é com você! Responda no caderno às questões a seguir.
• Utilizando um compasso, construa algumas rosáceas.
• Utilizando um software de Geometria dinâmica, elabore uma rosácea a partir da
ferramenta de criar círculos.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
• Observe a primeira e a última imagens do processo de construção de uma rosácea.
A primeira imagem é somente uma linha circular em torno do centro, e a última é
composta dessa linha e de toda a região interna da figura circular. Como diferenciar
matematicamente esses dois casos?
No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.
119
MARBLESZONE.COM/SHUTTERSTOCK.COM,
JIRI HERA /SHUTTERSTOCK.COM
Com a ponta-seca do compasso em
qualquer ponto da circunferência,
e com a mesma abertura utilizada
no primeiro passo, trace uma nova
circunferência.
2 B
A
Com a ponta-seca do compasso
em um dos pontos em que as duas
circunferências desenhadas se
cruzam, e com a mesma abertura
utilizada nos passos anteriores,
trace outra circunferência.
3
B
C
A
Com a ponta-seca do compasso no
ponto em que somente a primeira
e a terceira circunferências
desenhadas se cruzam, e com a
mesma abertura utilizada nos
passos anteriores, trace mais
uma circunferência.
4 B
C
A
D
Repita esses passos com novas
circunferências até obter uma
figura semelhante a esta.
Depois, basta colorir.
5
Trace uma circunferência
de raio qualquer.1
A
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam
diferentes rosáceas. Eles podem, por exemplo, realizar composições
inspiradas na construção apresentada na abertura.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ângulos opostos pelo vértice
Inicialmente, promover uma
conversa sobre ângulos opostos
pelo vértice; depois, pedir a eles
que leiam o texto do Livro do
estudante.
Realizar a verificação da con-
gruência dos ângulos opostos
pelo vértice na lousa. Depois,
verificar se eles ainda têm alguma
dúvida quanto ao fato de que
dois ângulos opostos pelo vértice
são congruentes. Uma sugestão
de atividade prática é desenhar,
em uma folha de papel avulsa,
duas retas que se cruzam em um
ponto e recortar essa folha de tal
modo que, ao dobrá-la, os dois
ângulos opostos se sobreponham.
Se necessário, retomar os conceitos
de ângulos complementares e
suplementares. Desse modo,
favorece-se o desenvolvimento
da habilidade EF09MA10 da área
de Matemática.
Se possível, construir um mural
permanente na sala de aula,
e, à medida que o estudo da
Unidade avançar, os estudantes
devem preenchê-lo com o que
julgarem pertinente, por exemplo,
dando destaque para algumas
palavras-chave e algumas siste-
matizações de conteúdo. Esse
é um bom modo de, ao longo
do estudo, fazer retomadas
facilmente.
Nesta obra, optou-se por
repetir o símbolo que representa
uma entidade geométrica quando
estiver precedida pelo termo que
a define. Por exemplo: escreve-
mos ângulo â, e não ângulo a.
Se julgar pertinente, explicar
aos estudantes que é possível
utilizar apenas o termo que
define a entidade geométrica e
que isso é uma escolha feita para
o material, o que não implica
necessariamente um erro.
ÂNGULOS DETERMINADOS
POR RETAS TRANSVERSAIS
CAPÍTULO
1
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Consideremos duas retas, r e s, que se cruzam
em um ponto V, formando quatro ângulos: ˆa, ˆx,
ˆ
b
e ˆy, conforme mostra esta figura.
Os ângulos ˆx e ˆy são chamados de ângulos
opostos pelo vértice (o.p.v.). Também são
opostos pelo vértice os ângulos ˆa e
ˆ
b.
Observe que os lados do ângulo â são formados pelos prolongamentos dos lados
do ângulo
ˆ
b.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
Vamos mostrar que essa afirmação é verdadeira.
Consideremos as medidas dos ângulos ˆx, ˆy e â, dadas, respectivamente, por x,
y e a. Pela figura, podemos verificar que:
• x + a = 180° • y + a = 180°
Então:
x + a = y + a
Subtraindo-se a dos dois membros, obtemos:
x = y
Portanto, dois ângulos opostos pelo vértice
sempre têm a mesma medida.
É possível, também, verificar essa propriedade que os ângulos opostos pelo vértice
são congruentes com a ajuda de um transferidor para medir a abertura dos ângulos.
b
r
a
y x
s
V
Representaremos a medida de um ângulo â qualquer por med(â) ou a.
SAIBA QUE
r
s
a
y x
V
ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo
vértice e um lado comum.
Na figura a seguir, A
^
OB e B
^
OC são ângulos consecu-
tivos, pois eles têm em comum o vértice O e apenas o
lado OB. Note que eles não têm pontos internos comuns.
Como os ângulos A
^
OB e B
^
OC são consecutivos e
não têm pontos internos comuns, dizemos que eles são
ângulos adjacentes.
O
B
C
A
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ângulos correspondentes
Em anos anteriores, os estudan-
tes verificaram as propriedades
de ângulos formados por retas
paralelas cortadas por uma trans-
versal. Essa verificação pode ser
feita, também, usando softwares
de geometria dinâmica.
Apresentar, caso a caso, os pares
de ângulos correspondentes que
são formados por retas paralelas e
o cruzamento de uma transversal.
Como atividade prática, pode ser
construído um exemplo dessa
situação com valores numéricos
e, com a ajuda do transferidor,
verificar que os valores dos ângulos
correspondentes são iguais.
Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados de
ângulos adjacentes.
Observe, agora, os ângulos AOB e AOC na figura anterior. Eles têm o mesmo vértice O e um
lado comum, OA; logo, são ângulos consecutivos. No entanto, eles têm pontos internos comuns.
Por esse motivo, AOB e AOC não são ângulos adjacentes.
ÂNGULOS CORRESPONDENTES
Considere duas retas paralelas intersectadas por uma transversal,
como representado nesta figura.
Os pares de ângulos ˆaeˆe;
ˆ
be
ˆ
f; ˆc e ˆeeˆg;
ˆ
de
ˆ
h são chamados de
ângulos correspondentes.
Sabemos que ˆaeˆc são opostos pelo vértice, assim como ˆeeˆg.
Portanto, em relação às medidas desses ângulos, temos: a = c e e = g.
Como r ⁄ s, também podemos concluir que a = e e c = g.
Dadas duas retas paralelas intersectadas por uma transversal, os ângulos correspon-
dentes são congruentes.
Se uma reta transversal corta duas retas determinando ângulos correspondentes congruentes,
então essas retas são paralelas.
r
t
s
ae
â e ê são ângulos correspondentes.
r ⁄ s k â 2 ê
r
t
scg
ˆc e ˆg são ângulos correspondentes.
r ⁄ s k ˆc 2 ˆg
r
s
t
fb
ˆ
b e
ˆ
f são ângulos correspondentes.
r ⁄ s k
ˆ
b 2
ˆ
f
r
s
t
dh
ˆ
d e
ˆ
h são ângulos correspondentes.
r ⁄ s k
ˆ
d 2
ˆ
h
ˆc ˆc
ˆc ˆc
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
r
t
s
a
c
b
d
h
f
g
e
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco têm
como objetivo que os estudan-
tes apliquem os conhecimentos
sobre ângulos determinados por
retas transversais. Desse modo,
propicia-se o desenvolvimento
da habilidade EF09MA10.
Para resolver as atividades,
espera-se que os estudantes
encontrem equações para cada
situação a partir das definições
vistas até o momento.
Na atividade 5, espera-se
que os estudantes notem que a
adição dos ângulos de medidas
60°, 2x e 4x é igual a 180°.
Depois, é preciso observar que
o ângulo de medida y é corres-
pondente ao ângulo destacado
em verde na figura a seguir.
120°
60°
60°
y
r
s
4x
2x
O ângulo destacado também
é igual a 2x + 60°. Portanto, para
determinar o valor de y, basta
resolver a equação: 2x + 60° = y.
EDITORIA DE ARTE
Na figura a seguir, r ⁄ s. Vamos calcular as medidas de ˆae
ˆ
b dos ângulos correspondentes,
sabendo que, em grau, a = 2x + 50° e b = 4x _ 30°.
r
s
t
a
b
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
• Como r ⁄ s, temos:
a = b (ângulos correspondentes)
2x + 50° = 4x _ 30°
2x _ 4x = _30° _ 50°
_2x = _80°
x = 40°
• Como a = 2x + 50°, temos:
a = 2 ? (40°) + 50°
a = 80° + 50°
a = 130°
Como b = a, então b = 130°.
Responda às questões no caderno.
1. Dois ângulos correspondentes, determina-
dos por duas retas paralelas, intersectadas
por uma transversal, medem 2x + 40° e
_3x + 90°.
a) Determine o valor de x. 10°
b) Determine a medida de cada um dos ân
gulos dados.
Cada um dos ângulos
mede 60°.
2. Dois ângulos opostos pelo vértice medem
3x _ 75° e x + 15°. Determine o valor de x.
3. Em cada caso, determine o valor de x e y,
sabendo que r ⁄ s.
a) 3
4
x
r
y
s2x _ 75°
x = 60°;
y = 135°
b)
r
7x
y
140°
s
x = 20°;
y = 140°
45°
4. Determine o valor de x. 16,8°
s r
4x _ 5°
3x
2
+ 37°
5. Na figura seguinte, as retas r e s são
paralelas. Alternativa a.
r
s
120°
y
4x
2x
Qual é, em grau, o valor de y?
a) 100°
b) 110 °
c) 120°
d) 130°
e) 140°
6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo
vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um
deles mede: Alternativa b.
a) 20°
b) 70°
c) 30°
d) 80°
e) 50°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ângulos alternos
Apresentar a definição de
ângulos alternos congruentes
(internos e externos) conforme
apresentado no Livro do estu-
dante e pedir aos estudantes
que identifiquem quais desses
ângulos são internos e quais
são externos. Isso é importante
para que eles construam as
relações existentes entre cada
par de ângulos.
Se julgar conveniente, propor
que observem o ambiente escolar
e procurem reconhecer pares de
ângulos alternos internos ou
de ângulos alternos externos.
Solicitar que façam novamente
no caderno um traço oblíquo
às linhas de pauta, reforcem
duas linhas da pauta e identifi-
quem pares de ângulos alternos
internos e pares de ângulos
alternos externos. Esse estudo das
relações simples entre os ângulos
formados por retas paralelas
favorece o desenvolvimento da
habilidade EF09MA10.
ÂNGULOS ALTERNOS
Ângulos alternos são pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em relação
a uma reta transversal a outras duas retas quaisquer.
• keˆn

estão em lados opostos em relação à reta transversal t
e na região determinada entre as retas r e s (região interna).
Portanto, keˆn

são ângulos alternos internos.
• leˆm

estão em lados opostos em relação à reta transversal t
e na região determinada entre as retas r e s (região interna).
Portanto, leˆm

são ângulos alternos internos.
• jeˆo

estão em lados opostos em relação à reta transversal t
e na região externa às retas r e s. Portanto, jeˆo

são
ângulos alternos externos.
• ieˆp

estão em lados opostos em relação à reta transversal t
e na região externa às retas r e s. Portanto, ieˆp

são ângulos
alternos externos.
Considere, agora, as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t.
Vamos determinar a relação entre as medidas de dois ângulos alternos
(internos ou externos).
1 ˆc 2 â (ângulos o.p.v.)
2 â 2 ê (ângulos correspondentes)
De 1 e 2, obtemos: ˆc 2 ê (ângulos alternos internos
congruentes).
3 ˆg 2 ê (ângulos o.p.v.)
4 ê 2 â (ângulos correspondentes)
De 3 e 4, obtemos: ˆg 2 â (ângulos alternos externos
congruentes).
Propriedade
Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos
congruentes (internos ou externos).
Assim, dadas duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, temos:
r
t
s
a
e
c
bdfgh
alternos internos
alternos externos
ˆc 2 ê
ˆ
d 2
ˆ
f
â 2 ˆg
ˆ
b 2
ˆ
h
r
s
t
klnm
s
r
j
i
o
pt
t
a
e
c
r
s
t
r
s
a
eg
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Antes de iniciar o tópico
Ângulos colaterais, verificar
se os estudantes têm alguma
dúvida sobre ângulos corres-
pondentes, ângulos alternos ou
qualquer outra dúvida relacionada
aos conteúdos estudados até o
momento e buscar resolvê-las.
Uma sugestão de encami-
nhamento é propor uma leitura
do exemplo apresentado na
página 124 do Livro do estudante
e resolvê-lo na lousa. Comentar
com os estudantes que, antes
de resolver qualquer problema
envolvendo ângulos formados
por retas paralelas cortadas
por uma transversal, é preciso
identificar a relação existente
entre os pares de ângulos.
No exemplo, os ângulos são
congruentes, portanto se usa
a equação apresentada.
Se julgar pertinente, propor mais
um exemplo, como o indicado
a seguir.
Determine os valores de a e b,
na figura a seguir, sendo r || s.
r
b
a
s
x _ 15°
x
2
3
Ressaltar aos estudantes que
os ângulos de medidas x _ 15°
e
2
3
x são correspondentes,
portanto:
x _ 15° =
2
3
x h x = 45°
Como os ângulos de medida b
e x _ 15° são alternos internos,
então:
b = x _ 15°
b = 45° _ 15° h b = 30°
Como os ângulos de medida a
e x _ 15° são adjacentes suple-
mentares, então:
a + x _ 15° = 180°
a + 45° _ 15° = 180° h
h a = 150°
EDITORIA DE ARTE
Ângulos colaterais
Na sequência, apresentar a definição de
ângulos colaterais. Explicar aos estudantes que
esses ângulos devem estar do mesmo lado na
reta transversal. Depois, pode-se solicitar a eles
que retomem a figura que fizeram (sugestão
feita na página 123), na qual identificaram
pares de ângulos alternos internos e pares
de ângulos alternos externos, e identifiquem
também pares de ângulos colaterais internos
e pares de ângulos colaterais externos.
Aplicando a propriedade anterior, podemos resolver o seguinte problema.
Na figura a seguir, a = 3x _ 50° e b = x + 14°. Qual é a medida, em grau, dos ângulos â e
ˆ
b,
sendo r ⁄ s?
r
t
s
a
b
Como r ⁄ s, a = b (alternos internos). Então, temos:
3x _ 50° = x + 14°
3x _ x = 14° + 50°
2x = 64°
x = 32°
Daí:
a = 3 ? (32°) _ 50° = 96° _ 50° = 46°
Portanto, a = 46° e b = 46°.
ÂNGULOS COLATERAIS
Ângulos colaterais são pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da
reta transversal.
Considere as figuras a seguir e acompanhe.
r
s
t
opnm
• ˆmeˆo estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre
as retas r e s (região interna). Então, ˆmeˆo são ângulos colaterais internos.
• ˆneˆp estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre
as retas r e s (região interna). Então, ˆneˆp são ângulos colaterais internos.
r
s
t
f
e
h
g
•
ˆ
fe
ˆ
h estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r
e s. Assim,
ˆ
fe
ˆ
h são ângulos colaterais externos.
• ê e ˆg estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r
e s. Assim, ê e ˆg são ângulos colaterais externos.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Desenvolver os exemplos
apresentados e verificar se os
estudantes têm alguma dúvida
quanto às relações estabelecidas
pelos pares de ângulos. Comentar
que uma mesma atividade pode ser
resolvida de diferentes maneiras,
dependendo das escolhas de
relações que são feitas.
Após a exploração do conteúdo
apresentado no Livro do estudante,
pode-se sugerir que, mais uma vez,
retomem a figura que construíram
(reta transversal às linhas da pauta),
na qual já identificaram pares de
ângulos alternos internos, pares de
ângulos alternos externos, pares
de ângulos colaterais internos
e pares de ângulos colaterais
externos. Pode-se sugerir que
utilizem um transferidor para
verificar que esses pares de ângulos
são suplementes.
Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t. Vamos determinar
a relação entre as medidas de dois ângulos colaterais (internos ou externos).
Na representação a seguir,
ˆ
d e ê são ângulos colaterais
internos, e â e
ˆ
h são ângulos colaterais externos.
1 Como
ˆ
d e â são ângulos adjacentes suplementares, temos:
d + a = 180°.
2 Como â e ê são ângulos correspondentes, então: a = e.
De 1 e 2, obtemos: d + e = 180°.
Portanto,
ˆ
d e ê (ângulos colaterais internos) são suplementares.
3 Como
ˆ
h e ê são ângulos adjacentes suplementares, temos: h + e = 180°.
4 Como ê e â são ângulos correspondentes, então: e = a.
De 3 e 4, obtemos: h + a = 180°.
Portanto, â e
ˆ
h (ângulos colaterais externos) são suplementares.
Propriedade
Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos colaterais
(internos ou externos) suplementares.
Assim, considerando a figura a seguir, temos:
t
r
s
a
d
e
h
c
f
b
g
colaterais internos
colaterais externos
Se r ⁄ s, então:
c + f = 180°
d + e = 180°
a + h = 180°
b + g = 180°
Acompanhe a aplicação dessa propriedade no problema seguinte.
Na figura a seguir, temos r ⁄ s. Vamos calcular, em grau, as medidas dos ângulos â e
ˆ
b,
sabendo que a = 2x e b = 3x _ 20°.
t
rs
a
b
Como r ⁄ s, temos:
a + b = 180° (colaterais externos)
2x + 3x _ 20° = 180°
5x = 180° + 20°
5x = 200°
x = 40°
Como a = 2x, temos:
a = 2 ? 40° = 80°
Como a + b = 180°, então:
b = 180° _ 80° = 100°
Portanto, a = 80° e b = 100°.
t
r
s
d
e
h
a
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Comentar com os estudantes
que, nesse bloco de atividades,
para resolver algumas delas,
pode ser preciso desenhar o
prolongamento de retas ou
construir retas a partir de vértices
indicados, assim será possível
verificar melhor as relações
entre os ângulos.
Na atividade 1, verificar se os
estudantes identificaram que os
ângulos indicados na figura são
ângulos alternos internos. Caso
eles ainda tenham dúvida e não
consigam identificar e nomear
corretamente os pares de ângulos,
fazer uma retomada do conteúdo
tratado na página 123 do Livro
do estudante e apresentar outros
exemplos se julgar necessário.
Na atividade 5, verificar se,
durante a resolução, os estu-
dantes reproduziram a figura
e traçaram retas paralelas às
retas r e s, passando pelo vértice
dos ângulos b
ˆ
e cˆ e dividindo
esses ângulos em partes iguais.
Na atividade 7, para resolver
o item a, é preciso analisar
a figura e observar a relação
entre os ângulos d
ˆ
e f
ˆ
. Para
resolver o item b, basta aplicar
o valor de x em cada equação.
No item c, verificar se eles se
lembram de que a soma das
medidas dos ângulos internos
de um triângulo é 180°.
Ao finalizar esse bloco de
atividades, verificar as principais
dúvidas dos estudantes acerca
do conteúdo abordado ao longo
do capítulo e fazer retomadas
para que as possíveis dúvidas
sejam sanadas.
Responda às questões no caderno.
1. Considerando esta figura, determine o
valor de x, sabendo que r ⁄ s. 15°
r
s
2x + 17°
x
3
+ 42°
2. (Unimontes-MG) Se r ⁄ s, então o valor
de x, na figura a seguir, é: Alternativa c.
a) 52°
b) 68°
c) 72°
d) 58°
3. As retas r e s da figura são paralelas.
Sabendo que x + 2y + 2z = 340°, qual é
o valor, em grau, de y? Alternativa a.
a) 30°
b) 35°
c) 40°
d) 45°
e) 50°
4. Na figura representada a seguir, ABCD
é um retângulo, e ⁄EFAB ⁄ ⁄EFAB. A medida de
DÂC é igual à metade da medida de BÂC.
A
E
B
F
D
C
a
b
Determine, em grau, o valor de a _ b.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 45°
e) 50°
r
s
40°
x112°
r
s
50°
y
x
z
Alternativa c.
5. Na figura, as retas r e s são paralelas.
O ângulo â mede 42°, o ângulo
ˆ
b
mede 71°, e o ângulo
ˆ
d mede 33°.
Determine, em grau, a medida do
ân gulo ˆc. Explique quais estratégias você
utilizou para resolver este problema.
a) 71°
b) 42°
c) 73°
d) 33°
e) 62°
6. Na figura, AB é paralelo a DE. Sendo
med(B
ˆ
CD) = 68° e med(A
ˆ
BC) = 34°,
calcule med(CˆDE). Alternativa b.
a) 112 °
b) 102°
c) 78°
d) 68°
e) 46°
7. Junte-se a um colega, e resolvam a situa-
ção a seguir.
Na figura, as retas r e s são paralelas.
a
c
e f
b
d
s
r
A
C
B
Sabendo que a = 2x + 5°, d = 9x _ 10°,
f = 3x + 10°, determinem:
a) x; 15°
b) a e b; a = 35° e b = 55°.
c) a + b + c. 180°
Agora, respondam.
d) Como vocês classificariam os ângu-
los BÂC, A
ˆ
BC e A
ˆ
CB quanto às medidas
deles?
e) Como são chamados os ângulos BÂC e
A
ˆ
BC, de acordo com a soma das medidas
desses ângulos? Ângulos complementares.
rs
c
a
b
d
5. Alternativa e. Os estudantes podem utilizar
figuras de retas suporte para representar retas
paralelas e aplicar as propriedades de ângulos
determinados por retas transversais.
BA
DE
C
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
7. d) B
ˆ
AC e A
ˆ
BC são agudos, e A
ˆ
CB é reto.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Circunferência
O estudo da circunferência
foi iniciado em anos anteriores.
Nesse capítulo, é feita uma reto-
mada para relembrar parte do
vocabulário associado ao tema,
como raio, diâmetro, corda,
circunferência e círculo. Depois,
o conteúdo será ampliado com
a abordagem de ângulos ins-
critos, ângulo central e arco de
circunferência. Ao longo desse
capítulo, busca-se favorecer o
desenvolvimento das habilidades
EF09MA10 e EF09MA11.
Durante a retomada proposta
na página 127 do Livro do estu-
dante, ilustrar e tornar concreta
a propriedade que caracteriza a
circunferência como um lugar
geométrico e que a define.
Uma sugestão é construir uma
circunferência na lousa. Pode-se
usar um barbante, fixar uma
das pontas com um dos dedos,
esticar o barbante e, na outra
extremidade, fixar o objeto que
costuma utilizar na lousa (giz
ou pincel marcador). Manter o
barbante bem esticado durante
todo processo para garantir que
o centro da circunferência fique
à mesma distância de qualquer
ponto da circunferência. Se
julgar oportuno, solicitar aos
estudantes que também façam
esse procedimento em uma folha
de papel avulsa.
Depois, eles podem usar a
mesma circunferência para iden-
tificar os elementos raio, corda
e diâmetro.
Na abertura desta Unidade, estudamos que a circunferência é muito utilizada
em construções geométricas. Portanto, não é a primeira vez que falamos sobre essa
figura geométrica plana. Você já estudou como representá-la com a ajuda de um
compasso, por exemplo.
Retomemos a definição de circunferência.
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um
plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.
r
r
r
r
r
O
Esse ponto fixo é chamado de centro da circunferência (ponto O).
A distância constante entre o ponto O e qualquer ponto da circunferência é o
comprimento do raio, indicado por r.
Observe, nestas figuras, alguns elementos de uma circunferência.
raio
A
O
Qualquer segmento de
reta cujas extremidades
são o centro e um ponto da
circunferência chama-se raio.
A
B
O
cord
a
Qualquer segmento de
reta cujas extremidades
são dois pontos distintos da
circunferência chama-se corda.
diâmetro
BA
O
A corda que passa pelo centro
da circunferência chama-se
diâmetro. O diâmetro é a
maior corda da circunferência.
Observe que a medida do diâmetro (d) é igual ao dobro
da medida r do raio, ou seja:
d = 2r
O
d
r
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
IOAT/SHUTTERSTOCK.COM
CAPÍTULO
2
CIRCUNFERÊNCIA
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Posições relativas de uma
reta e uma circunferência
Apresentar as três posições
que uma reta pode ocupar em
relação a uma circunferência:
secante, tangente ou externa. Pedir
aos estudantes que indiquem a
quantidade de pontos em comum
em cada um desses casos.
Depois que o conteúdo da
página for explorado, sugerir
aos estudantes que, no caderno,
representem retas nas três posi-
ções relativas de uma reta em
relação a uma circunferência,
conforme apresentado. A seguir,
é apresentada uma possibilidade
de ilustração.
Or
s
A
t
Nesse caso, pode-se notar que a
reta r é secante à circunferência (A
é um dos pontos comuns), a reta s
é tangente (A é o único ponto
comum), e a reta t é externa (a
distância entre o centro e a reta é
maior do que a medida do raio).
EDITORIA DE ARTE
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA
EM RELAÇÃO A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Vamos estudar as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência.
Reta secante
A reta s intersecta a circunferência em dois pontos distintos.
Nesse caso, s é chamada de reta secante à circunferência.
Note que a distância d do centro da circunferência à reta s
é menor do que o comprimento r do raio, ou seja, d , r.
A
B
M
O
d
r
s
Reta externa
A reta s e a circunferência não têm ponto em comum. Nesse
caso, a reta s é uma reta externa à circunferência.
Note que a distância d do centro da circunferência à reta s
é maior do que o comprimento r do raio, ou seja, d . r.
s
N
O
r
d
Reta tangente
A reta s tem apenas um ponto em comum com a circunfe-
rência, o ponto T, que é chamado de ponto de tangência. Nesse
caso, s é chamada de reta tangente à circunferência.
Note que a distância d do centro da circunferência à reta s
é igual ao comprimento r do raio, ou seja, d = r.
s
T
O
d
=
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
OBMEP. Sala para leitura_007: Circunferências – Definições básicas. Clubes de Matemática
da OBMEP. [S. l.], [202-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-para-
leitura_007-circunferencias-definicoes-basicas/. Acesso em: 4 mar. 2022.
No link indicado, você pode encontrar explicações, atividades
e simulações sobre circunferência.
Acompanhe os textos e as animações e aprenda
mais sobre essa figura geométrica.
DESCUBRA MAIS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Após explorar as propriedades
apresentadas, se julgar pertinente,
fazer com os estudantes a cons-
trução da reta tangente a uma
circunferência, usando régua e
compasso. A seguir, uma sugestão
de passo a passo.
1. Desenhar uma circunferência
e identificar o centro O e um
ponto P.

P
O
2. Prolongar o raio OP. Depois,
com centro em P e abertura
do compasso menor que
o raio OP, determinar os
pontos A e B.
O
P
B
A
3. Determinar a mediatriz entre
os pontos A e B para marcar
o ponto Q. A reta que passa
por P e Q é a reta tangente
à circunferência inicial.

O
P
Q
B
A
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Propriedades da reta tangente
As retas tangentes a uma circunferência apresentam duas propriedades.
1
a
propriedade:
Na figura, há uma circunferência de centro O e uma reta t, tangente a essa circunferência
no ponto T.
A menor distância do ponto O à reta t é o segmento de reta OT, perpendicular à reta t no
ponto T, pertencente à circunferência. Assim, OT representa um raio dessa circunferência.
t
T
O
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de
tangência: t À OT.
2
a
propriedade:
A figura nos mostra dois segmentos de retas, PAePB, tangentes à circunferência nos pontos A
e B, respectivamente, e traçados a partir de um ponto P exterior à circunferência.
A
B
P
O
Os triângulos retângulos OAP e OBP são congruentes, pois têm a hipotenusa (OP nos dois
triângulos) e um cateto ( **(OAnoOAPeOBnoOBP)) respectivamente congruentes.
Se *OAP 2 *OBP, então PA 2 PB.
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos de retas PA e
PB tangentes à circunferência nos pontos A e B, respectivamente, então os segmentos PA
e PB são congruentes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Esse bloco de atividades pro-
porciona aos estudantes aplicar
os conceitos de reta secante,
reta tangente e reta externa a
uma circunferência, além das
propriedades de reta tangente.
São retomados, ainda, outros
conceitos geométricos, como
perímetro de polígonos.
Na atividade 2, verificar se
os estudantes notaram que a
reta r é tangente à circunferência
em A, portanto, x = 90°; e que
o ângulo oposto pelo vértice ao
ângulo de medida y é o ângulo
interno do triângulo retângulo
destacado. Portanto, pode-se
fazer: y + 30° = 90°. Desse
modo, y = 60°.
Na atividade 7, espera-se que,
após a resolução dos itens a, b
e c, os estudantes elaborem um
problema envolvendo os dados
da figura dada. Se possível,
solicitar que as atividades sejam
resolvidas em sala de aula; desse
modo, eles podem trocar as
questões elaboradas e, sempre
que necessário, pode-se auxiliá-los
no processo de elaboração do
problema.
Ao finalizar as atividades pro-
postas, sugere-se que as resolva
na lousa. Sempre que possível,
solicitar aos estudantes que
colaborem ou, para aqueles que
não se sentirem à vontade para
participar dessa etapa de reso-
lução, que façam uma análise e
identifiquem os erros para que,
a partir deles, compreendam o
que será necessário retomar
antes de dar continuidade ao
estudo do capítulo.
Responda às questões no caderno.
1. Uma reta t é secante a uma circunferên-
cia de centro O e raio de medida 10 cm.
Indicando por d
a distância do
ponto O à reta t,
qual é o maior
valor inteiro que
d pode assumir?
Justifique.
2. Na figura, a reta r é tangente à circunfe-
rência no ponto A. Determine, em grau,
as medidas x e y. x = 90° e y = 60°.
A
O 30°
x
y
r
3. Na figura, considere que a medida do
segmento de reta PA é expressa por x,
e a medida do segmento de reta AB é
expressa por y. Qual é o polinômio que
representa o perímetro do triângulo PAB?
A
P
B
O
4. Considerando a medida, em centímetro,
dos segmentos de retas PA e PB, que são
tangentes à circunferência nos pontos A
e B, respectivamente, determine:
A
B
OP
5
3
x + 10
4x + 3
a) a medida x; 3 cm
b) a medida do segmento de reta PA; 15 cm
c) a medida do segmento de reta PB; 15 cm
d) o perímetro do quadrilátero PAOB, se o
raio da circunferência mede 7 cm. 44 cm
t
O
d
1. 9 cm. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os estudantes podem utilizar o fato
de que, considerando que se trata de uma medida representada por um número inteiro,
se d for igual a 10 cm, d = r, o que contraria o fato de que t é secante à circunferência.
Assim, o maior valor inteiro que d pode assumir é 9 cm.
2x + y
5. Observe a figura.
A
P
O
CMB
N
x
8 cm
12 cm
Determine a medida:
a) do lado BC do triângulo ABC; 20 cm
b) do segmento de reta AN, considerando
o perímetro do triângulo ABC igual a
46 cm. 3 cm
6. Observe a figura a seguir.
A
P
C
B
O
M
N
b
c
a
31 cm
11 cm
25 cm
Determine:
a) as medidas a, b e c indicadas na figura;
b) o perímetro do triângulo ABC. 134 cm
7. Considerando a figura, determine:
A
N
C
B
O
M
P
r
8
6
a) a medida r do raio da circunferência; 2 cm
b) o perímetro do quadrado ANOM; 8 cm
c) a expressão algébrica que representa o
perímetro do *ABC, se a medida do seg-
mento de reta PC é dada, em centímetro,
por a. (2a + 16) cm
d) Agora, elabore um problema que envolva
os dados da figura. Em seguida, troque
de caderno com um colega para que um
resolva a questão que o outro elaborou.
a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
7. d) Espera-se que os estudantes observem os dados da figura e elaborem questões envolvendo
medidas de segmentos de retas ou de perímetro. Por exemplo: Qual é o perímetro, em centímetro, do
quadrilátero BMOP? (16 cm).
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Arco de circunferência
e ângulo central
Apresentar as definições de
arco de uma circunferência e
ângulo central, bem como as
notações usadas para indicar
esses termos. É importante que
os estudantes saibam identificar
a diferença entre as notações e
se familiarizem com a linguagem
utilizada.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Como atividade complementar, soli-
citar aos estudantes que construam um
quadro relacionando a medida do ângu-
lo central e a fração do comprimento
do arco correspondente de uma circun-
ferência. Por exemplo:
Medida do ângulo centralArco em relação à circunferência
30°
1
12
da circunferência
60°
1
6
da circunferência
120°
1
3
da circunferência
180°
1
2
da circunferência
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULO CENTRAL
Na circunferência representada a seguir, estão assinalados os pontos A e B, distintos. Esses pontos
dividem a circunferência em duas partes, e cada uma delas é chamada de arco de circunferência.
Os pontos A e B são chamados de extremidades do
arco. O arco menor é indicado por AB

. Para indicar o arco
maior, tomamos mais um ponto desse arco, por exemplo,
o ponto C, e representamos o arco maior por ACB
R
.
O
C
B
A
arco menor
arco maior
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
BA
semicircunferência
semicircunferência
O
Quando as extremidades de um arco de circunferência
também são extremidades de um mesmo diâmetro, cada um
dos arcos denomina-se semicircunferência.
Quando traçamos um ângulo central, ele determina um arco na circunferência cuja medida
pode ser dada em grau.
Na figura, AB

é o arco determinado na circunferência pelos lados do ângulo central AOB.
O
B
A
70°
C
Então, temos:
• a medida do arco menor, AB

, é 70°, pois o ângulo central
AOB mede 70°;
• a medida do arco ACB
R
é 290°, pois 360° _ 70° = 290°.
Considerando ângulos centrais cuja medida é expressa em grau, podemos dizer que:
• a medida do arco menor é igual à medida do ângulo central cujos lados passam
pelas extremidades do arco;
• a medida do arco maior é igual à diferença entre 360° (medida total da circunferência
em grau) e a medida do arco menor.
ˆc
ˆc
Nesta figura, o ângulo AOB tem o vértice no centro de uma
circunferência e, portanto, é chamado de ângulo central.
ˆc
O
A
B
Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma
circunferência é denominado ângulo central.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco
propõem aos estudantes que
reconheçam um ângulo central em
uma circunferência e estabeleçam
relações entre o ângulo central e
os arcos correspondentes. Desse
modo, favorece-se o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA11.
Na atividade 2, verificar se os
estudantes não concluíram que
a medida de x é 56°, uma vez
que as outras medidas também
são. Para resolver essa atividade,
eles devem considerar o ângulo
total da circunferência (360°) e
resolver a equação: x + 5 ? 56° =
= 360° h x = 80°.
Na atividade 5, espera-se que
os estudantes concluam que, como
as medidas dos ângulos centrais
são iguais, então as medidas dos
arcos correspondentes também
são iguais.
Na atividade 6, antes de
iniciar os cálculos para determinar
a medida x do ângulo central
AOB
ˆ
e a medida y do arco

AB,
espera-se que eles percebam que
a medida x do ângulo central é
igual à medida do arco

AB, ou
seja, x = y.
Responda às questões no caderno.
1. Em cada uma das figuras, determine as
medidas dos arcos
1
ABeACB.
a)
75°
O
B
A
C
b)
O B
A
C
2. Determine a medida x da figura a seguir.
P
0
x56°
56°
56°
56°
56°
P
1
P
2
P
3
P
4
P
5
3. Nesta figura, calcule o valor de x (medida
do arco

BC) e o valor de y (medida do
arco

DE). x = 45°; y = 90°

E
A
Cx
D
B
y
135°
70°
20°
4. Em cada uma das figuras a seguir, calcule
a medida x do ângulo central associado
ao arco menor

AB.
a)
A
B
x
O
120°
b)
B
A
xO
45°
med((AB)
.
) = 75°;
med(ACB) = 285°
med((AB)
.
) = 90°;
med(ACB) = 270°
80°
120° 45°
5. Na figura, temos que a = b = c, em que
a, b e c são as medidas dos ângulos cen
trais associados a cada arco. Determine a
medida dos arcos

AB,BCeCA.
A
B
C
a
c
b
6. Sabendo que o triângulo OAB da figura
é isósceles, determine a medida x do
ângulo central AOB e a medida y do
arco

AB associado a esse ângulo central.
AB
x
y
O
35°
7. Sabendo que o arco

BC mede 80°,
calcule o valor da expressão y _ x.
A
O
B
C
x
y
8. Na figura a seguir, as cordas ABeRS são
congruentes. Você pode afirmar que os
triângulos AOB e ROS são congruentes?
Em caso afirmativo, qual caso de con
gruência pode justificar sua resposta?
R
S
O
x
y
A
B
med((AB)
.
) = med((BC)
.
) = med((CA)
.
) = 120°
ˆc
x = y = 110°
20°
Sim; caso LLL.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ângulo inscrito
Apresentar a definição de
ângulo inscrito. Depois, explorar
os casos apresentados no Livro do
estudante junto à demonstração
dada. Se julgar oportuno, solici-
tar aos estudantes que utilizem
um transferidor para conferir as
medidas das figuras (tanto na
página 133 quanto na página 134
do Livro do estudante).
AMPLIANDO
Link
OBMEP Clubes de Matemática da Obmep. Ângulo
central e ângulo inscrito: dedução da relação. [S. l.],
[201-?]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.
br/blog/angulo-central-e-angulo-inscrito-deducao
-da-relacao/. Acesso em: 5 jun. 2022.
No link, é possível explorar visualizações dinâmicas
a respeito do ângulo inscrito e do ângulo central. Além
disso, é possível assistir a um vídeo com a demonstra-
ção do teorema.
ÂNGULO INSCRITO
Ângulo inscrito é todo ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados secantes a ela.
B
CA
Na figura, A
ˆ
BC é um ângulo inscrito. Ele determina, na circunferência,
o arco AC

.
R
T
S
Na figura, S
ˆ
RT é um ângulo inscrito. Ele determina, na
circunferência, o arco ST
N
.
A todo ângulo inscrito corresponde um ângulo central, que determina, na circunferência, o
mesmo arco determinado pelo ângulo inscrito.
Na figura a seguir, temos:
• A
ˆ
VB é um ângulo inscrito;
• AOB é o ângulo central correspondente;
• ambos determinam o mesmo arco AB

.
B
V
A
O
Existe uma relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida do ângulo central
correspondente:
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.
ˆc
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
A demonstração da relação
entre os ângulos central e ins-
crito em uma circunferência são
separadas em três casos: quando
o centro O pertence a um dos
lados do ângulo inscrito; quando
o centro O é interno ao ângulo
inscrito; quando o centro O é
externo ao ângulo inscrito.
Durante a demonstração,
verificar se surgem dúvidas dos
estudantes. É importante que
eles compreendam o passo a
passo para saberem de onde
vem a relação encontrada. Se
julgar necessário, fazer retoma-
das pontuais para ajudá-los a
compreender o conteúdo.
AMPLIANDO
Atividade complementar
1. Considere uma circunferência de raio r tangente
internamente à outra circunferência de raio R e
centro O, sendo R = 2r. Responda às questões.
a) Um ângulo inscrito, de 20°, na circunferên-
cia menor com vértice em O, determina na
circunferência maior um arco de que medi-
da, em grau?
b) Um ângulo inscrito na circunferência menor
com vértice no ponto de tangência entre as
circunferências determina um arco de 80°
na circunferência maior. Qual é a medida
desse ângulo inscrito e qual é a medida, em
grau, do arco que ele determina na circun-
ferência menor?
Resolução da atividade
a) Sabendo que
R = 2r, pode-se
fazer um esboço
da posição
das duas
circunferências:
Vamos demonstrar a relação apresentada na página anterior, considerando três casos.
1
o
caso: O centro O pertence a um dos lados do ângulo inscrito.
Na figura:
• x é a medida do ângulo inscrito;
• y é a medida do ângulo central correspondente.
Note que o triângulo OBV é isósceles, pois 2OBOV (ambos são raios da circunferência)
e VB é a base. Portanto, os ângulos da base medem x.
x
x
y
O
A
B
V
Como y representa a medida do ângulo externo do triângulo OBV, temos:
y = x + x h y = 2x h x =
y
2
2
o
caso: O centro O é interno ao ângulo inscrito.
Vamos, novamente, indicar por:
• x a medida do ângulo inscrito;
• y a medida do ângulo central correspondente.
Traçando, pelo vértice V, um diâmetro da circunferência, dividi-
mos o ângulo inscrito em dois ângulos de medidas x
1
e x
2
(x
1
+ x
2
= x)
e o ângulo central correspondente em dois ângulos de medidas y
1
e y
2

(y
1
+ y
2
= y).
x
1
x
1
x
2
x
2
y
2
y
1
O
A
T
B
V
De acordo com o 1
o
caso, temos:
• y
1
= 2x
1
(considerando o triângulo AOV);
• y
2
= 2x
2
(considerando o triângulo BOV).
Adicionando membro a membro as equações, temos:
y
1
+ y
2
= 2x
1
+ 2x
2
h y
1
+ y
2
= 2(x
1
+ x
2
) h y = 2x h x =
y
2
x
y
O
A
B
V
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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O
rR
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Após apresentar os três casos,
explorar situações numéricas
propostas. Comentar que, antes de
aplicar qualquer relação estudada,
é necessário analisar a qual caso
ela pertence.
Para complementar o con-
teúdo abordado, se considerar
oportuno, propor a atividade
complementar sugerida.
Se o vértice do ângulo inscrito é em O, então é
um ângulo central da maior circunferência. Logo,
o arco determinado nessa circunferência é de 20°.
b) Sabe-se que um ângulo inscrito na circunferência
menor, com vértice no ponto de tangência entre as
circunferências, determina um arco de 80° na cir-
cunferência maior. Fazendo um esboço da situação
tem-se:
3
o
caso: O centro O é externo ao ângulo inscrito.
Vamos, novamente, indicar por:
• x a medida do ângulo inscrito;
• y a medida do ângulo central correspondente.
O
A
B
V
x
y
Traçando, pelo vértice V, um diâmetro da circunferência, obtemos o ângulo inscrito T
ˆ
VA, de
medida z, e o ângulo central correspondente TOA, de medida w, como indicado na figura a seguir.
De acordo com o 1
o
caso, temos:
• w = 2z I
• w + y = 2(z + x) II
Substituindo I em II, temos:
2z + y = 2z + 2x h y = 2x h x =
y
2
Como o ângulo central tem a mesma medida do arco determi-
nado por ele na circunferência, existe uma relação entre a medida do
ângulo inscrito e a medida do arco correspondente.
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado por ele
na circunferência.
Nesta figura, temos:
A
B
V
x
• x é a medida do ângulo inscrito A
ˆ
VB;
•

AB é o arco determinado pelo ângulo inscrito A
ˆ
VB.
Então:

=x
medidadoarcoAB
2
Acompanhe algumas situações sobre ângulos inscritos.

1 Determinar a medida x do ângulo inscrito A
ˆ
VB nesta figura.
Como a medida do arco

AB é 40°, temos:
x =

medida do arco AB
2
=
40°
2
h x = 20°
ˆc
O
A
B
V
xz
y
w
T
A
B
V
x
40°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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O
EDITORIA DE ARTE
Se o arco determinado por esse ângu-
lo inscrito na circunferência maior é de
80°, então a medida do ângulo inscrito
é metade, isto é, 40°.
Assim, o arco determinado na circun-
ferência menor tem o dobro da medida
do ângulo inscrito correspondente, ou
seja, 80°, que é a mesma medida do
arco da circunferência maior.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Para resolver as atividades,
os estudantes devem aplicar o
conceito de ângulo inscrito e
a relação de sua medida com
a medida do ângulo central
correspondente e a relação com
a medida do arco determinado
por esse ângulo inscrito.
Na atividade 1, os ângulos p
e t compreendem o mesmo
arco. Observar se os estudantes
compreenderam que p é ângulo
inscrito e t é ângulo central.
Portanto, a medida de t é o
dobro da medida de p.
Na atividade 3, para calcular
x _ y é preciso constatar que
x e y são ângulos inscritos na
circunferência que compreendem
arcos de medidas, respectiva-
mente, iguais a 86° e 62°.

2 Na figura a seguir, x é a medida do arco

AB, associado ao ângulo
inscrito A
ˆ
CB. Vamos determinar o valor de x. De acordo com os
dados da figura, temos:
• x: medida do arco

AB;
• 63°: medida do ângulo inscrito A
ˆ
CB.
Então: 63° =
x
2
h x = 2 ? 63° h x = 126°.

3 Obter o valor da medida x na figura a seguir.
De acordo com a figura, AOB é o ângulo central correspondente
ao ângulo inscrito A
ˆ
CB. Então:
=
+
h=
+
5x
3x42°
2
10x
2
3x42°
2
h
h 10x = 3x + 42° h 10x _ 3x = 42° h
h 7x = 42° h x =
42°
7
= 6°
Logo, x = 6°.
A
OC
B
3x + 42°5x
ˆc
C
A
B
63°
x
Responda às questões no caderno.
1. Qual é a relação de igualdade entre as
medidas p e t indicadas na figura?
A
B
C
Ot
p
2. A medida do arco

BC é 92°. Determine as
medidas x e y indicadas na figura.
C
O
B
Ayx
CB
x
y
62°
86°
A
D
p =
t
2
ou t = 2p.
x = 46° e y = 92°.
3. Considerando a
figura a seguir,
calcule o valor
da expressão
x _ y. 12°
4. Na figura a seguir, a medida do arco

AB
corresponde a
1
5
da medida da circunfe-
rência, em grau, e a medida do arco

CD
corresponde a
1
6
da medida da circunfe-
rência, em grau.
C
D
BA
x
y
Determine as medidas x e y.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x = 36° e y = 30°.
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 5, para deter-
minar as medidas dos ângulos
solicitados, é importante que
os estudantes percebam que
med AOB()
ˆ
= med

AB().
Na atividade 8, escrever uma
equação a partir da relação que
há entre os ângulos. Verificar se
os estudantes têm dúvidas nesse
momento e, se necessário, ajudá-los
nesse passo, de modo que com-
preendam que 7x =
°+10x48
2
.
Depois de fazerem os cálculos,
devem substituir o valor de x em
cada expressão de medida dos
ângulos. Ou seja, 10x + 48° h
h 10 ? 12° + 48° = 168° e
7x h 7 ? 12° = 84°.
Na atividade 13, verificar
se os estudantes percebem
que os ângulos CÔB e DÂB são
correspondentes.
Se considerar pertinente,
propor a atividade complementar
a seguir.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Considere a figura dada, na qual BC é o diâmetro
da circunferência. Note que os vértices do *ABC es-
tão na circunferência, e o diâmetro BC é um dos lados
desse triângulo. Nesse caso, dizemos que o *ABC
está inscrito na semicircunferência.
5. Na figura a seguir, a corda AB deter-
mina, na circunferência, um arco que
mede 82°.
P
B
A
O
Sabendo que O é o centro e P é um ponto
qualquer da circunferência, determine a
medida do ângulo:
a) A
ˆ
OB; 82° b) A
ˆ
PB. 41°
6. Sabendo que

RS mede 140°, calcule o
valor das medidas x, a, b e c indicadas
na figura a seguir.
R
T
S
O
b
a
x
c
7. Considere a circunferência da figura e
determine as medidas s e t indicadas.
C
O
B
A
52°
t
s
8. Dada a circunferência da figura a seguir,
determine as medidas dos ângulos A
^
OC
e A
ˆ
BC.
O B
C
A
7x
10x
+
48°
x = 40°, a = 140°,
b = 20° e c = 20°.
s = 104° e t = 38°.
med((AÔC)) = 168°
e med((A
ˆ
BC)) = 84°.
9. Qual é a medida do ângulo inscrito na
circunferência representada a seguir?
x + 62°
x + 2°
Q P
O
R
10. Observando esta figura, determine a
medida do arco
)
CD e a medida x do
ângulo DˆBC. med((CD)
°
) = 130° e x = 65°.
C
O
B
x
100°
70°
A
D
11. Determine as
medidas a, b, c
e d indicadas na
figura.
12. Em uma circunferência, med()
(AB)) = 2x,
med()
(BC)) = 3x, med()
(CD)) = x + 30° e
med()
(DA)) = x + 50°. Determine a medida
do ângulo inscrito:
a) BÂC; 60° b) B
ˆ
CD. 85°
13. Em uma semicircunferência de centro O e
diâmetro AB, OC ⁄ AD e med()
(CD)) = 45°.
Determine a medida x indicada na figura.
Analise e compare com os colegas as
estratégias que vocês utilizaram para
resolver esse problema.
A
C
x
B
D
O
60°
T
V
S
R
a
b
d
c
60°
48°
110°
a = 54°,
b = 101°,
c = 126° e
d = 79°.
45°. Resposta pessoal.
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O
a
A
CB
EDITORIA DE ARTE
Responda às questões a respeito dessa situação.
a) Qual é a medida do arco BC? Resposta: 180°.
b) Qual é o valor da medida a indicada? Respos-
ta: a = 90°.
c) Como você classifica o *ABC quanto aos ân-
gulos? Resposta: Triângulo retângulo.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
Essa seção permite aos estudan-
tes verificar por meio do uso de
um software o fato de que todo
ângulo inscrito em uma circunfe-
rência mede exatamente metade
do ângulo central correspondente
a ele. Esse estudo favorece, com
maior ênfase, o desenvolvimento
das competências gerais 2 e 5 e
da competência específica 2 da
área de Matemática.
Explorar com eles o passo a
passo proposto na seção, rela-
cionando-a com a demonstração
dessa propriedade; desse modo,
pode-se validar o conhecimento
adquirido e eliminar possíveis
dúvidas.
Conversar com eles a respeito
do uso da tecnologia como um
facilitador para a construção de
figuras e verificação de relações
que possam existir entre partes
delas. Enfatizar que apenas a
demonstração matemática pode
garantir que relações encontradas
valem para qualquer figura do
mesmo tipo.
No decorrer da aula, incentivá-los
a se expressarem oralmente para
que eles se familiarizem com os
termos matemáticos, além de
possibilitar que se sintam enco-
rajados a expressar as opiniões.
Desse modo, busca-se favorecer
o desenvolvimento da capacidade
de argumentação.
TECNOLOGIAS
ÂNGULO INSCRITO E ÂNGULO CENTRAL
Nesta seção, utilizaremos o software gratuito GeoGebra para verificar a relação entre o ângulo
inscrito e o ângulo central de uma circunferência.
Acesse o GeoGebra on-line em https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 7 mar.
2022) e acompanhe as instruções a seguir.

1 Abra o programa e, com o botão direito do mouse, oculte os eixos e a malha. Para isso, clique
no símbolo do botão Exibir Eixos; depois, clique em Exibir Malha e selecione a opção
“Sem Malha”.

2 O próximo passo é construir uma circunferência. Para isso, basta selecionar a ferramenta
Círculo dados Centro e Um de seus Pontos.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Depois que os estudantes
tiverem tido a oportunidade de
explorar o software, solicitar que
respondam às questões propostas
no Livro do estudante. Acompanhar
o preenchimento do quadro.
Espera-se que eles concluam
que a medida do ângulo inscrito
é igual à metade da medida do
ângulo central correspondente.
Depois, verificar quais atividades
foram selecionadas pelos trios
para seguirem os procedimentos
indicados usando o software
utilizado na seção. Incentivar os
trios a compartilhar com os colegas
dúvidas que tenham surgido ao
longo do processo. Esse trabalho
propicia um momento para que
eles possam exercitar a curio-
sidade intelectual, formular e
resolver problemas e validar as
estratégias adotadas ao longo do
processo, o que favorece, com
maior ênfase, o desenvolvimento
da competência geral 2 e da
competência específica 5 da
área de Matemática.
SORALUK CHONVANICH/SHUTTERSTOCK.COM

3 Selecione a ferramenta Ponto em Objeto e marque dois pontos na circunferência,
denominados C e D. Depois, clique no botão Segmento e construa os segmentos de
retas AD, AC, DB e BC.

4 Por fim, construa os ângulos central e inscrito. Para isso, clique na ferramenta Ângulo
e selecione os pontos D, A e C para construir o ângulo central DAC. Depois, selecione
os pontos D, B e C para construir o ângulo inscrito D
ˆ
BC.
• Agora, movimente os pontos B, C e D, modificando as medidas dos ângulos inscrito e
central. Copie no caderno o quadro a seguir e anote algumas dessas medidas.
Ângulo inscrito Ângulo central
Responda às questões no caderno.
1. Analise o quadro que você preencheu. O que é possível concluir?
2. Organizados em trios, escolham uma das atividades desta Unidade para resolvê-la com
o software GeoGebra, utilizando as orientações desta seção. Após resolvê-la, cada
trio deverá propor um desafio de modificação da atividade escolhida para outros
grupos resolverem.
ˆc
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
1. Espera-se que os estudantes verifiquem a propriedade de que a medida de um ângulo inscrito é igual
à metade da medida do ângulo central correspondente.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ângulos cujos vértices não
pertencem à circunferência
Apresentar os dois casos de
ângulos: quando o vértice é um
ponto interno à circunferência,
distinto do centro; e quando
o vértice é um ponto externo
à circunferência. Verificar se,
durante o desenvolvimento
desses casos, surge alguma
dúvida dos estudantes. Após a
exploração do conteúdo abor-
dado no Livro do estudante,
pode-se apresentar alguns,
como sugerido na Atividade
complementar a seguir.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Para aplicar as relações desse tema, sugerir a se-
guinte atividade.
O diâmetro de uma circunferência é o lado me-
nor de um triângulo isósceles, conforme mostra a figura.
Determine a medida de todos os ângulos internos desse triângulo, saben-
do que um dos arcos determinado pelo triângulo mede 80°.
Resolução da atividade
Para resolver, considerar o arco maior determinado pelo triângulo com medida
de 180°, pois o ângulo central é o ângulo raso (o arco é uma semicircunferência).
Portanto, o arco menor é o que mede 80°. Assim, a medida
v do ângulo do
vértice do triângulo que é externo à circunferência é dada por:
v =
180° _ 80°
2
= 50°
O triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Ao
indicar a medida dos ângulos da base por
b, basta resolver a equação:
b + b + v = 180°
2b + 50° = 180° h 2b = 130° h b = 65°
Logo, as medidas dos ângulos internos do triângulo são 65°, 65° e 50°.
EDITORIA DE ARTE
ÂNGULOS CUJOS VÉRTICES
NÃO PERTENCEM À CIRCUNFERÊNCIA
Vamos analisar dois casos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência e que não
são ângulos centrais.
1
o
caso: O vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro.
A
CB
P
D
O
ab
x
Como x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD, temos que x = a + b. Note que:
a =
med(AB)
2
e b =
med(CD)
2
(â e
ˆ
b são ângulos inscritos)
Então, podemos escrever:
x =
med(AB)
2
+
med(CD)
2
2
o
caso: O vértice é um ponto externo à circunferência.
A
C
B
P
D
O
a
b
x
Como a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC, temos:
a = x + b h x = a _ b
Mas:
a =
med(CD)
2
e b =
med(AB)
2
(â e
ˆ
b são ângulos inscritos)
Então, podemos escrever:
x =
med(CD)
2
_
med(AB)
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco
propõem aos estudantes que
apliquem o conceito de ângulos
cujos vértices não pertencem à
circunferência e não são ângulos
centrais.
Na atividade 1, os estudantes
devem escrever as relações entre
os ângulos para os dois casos
estudados, mas em função de
t e s. No item a, espera-se que
eles concluam que x =
+ts
2
e,
no item b, que x =
_ts
2
.
Nas atividades 2 e 3, os
estudantes devem calcular as
medidas indicadas nas figuras.
Se possível, acompanhar as
resoluções e verificar as dúvidas
mais recorrentes, fazendo inter-
venções sempre que julgar
oportuno. No item a da ati-
vidade 2, por exemplo, para
se obter a medida x, deve-se
calcular x =
°°+8628
2
.
Acompanhe as seguintes situações.

1 Determinar a medida x indicada na figura, dados med(AB) =
= 60° e med(CD) = 30°.
De acordo com o 1
o
caso, temos:
x =
med(AB)
2
+
med(CD)
2
h x =
60°
2
+
30°
2
x = 45°
2 Determinar a medida x indicada na figura, dados
med(AB) = 130° e med(CD) = 50°.
De acordo com o 2
o
caso, temos:
x =
med(AB)
2
_
med(CD)
2
h x =
130°
2
_
50°
2
x = 40°
A
C
30º
60º
B
DO
x
A
C
B
D
xOP
130°
50°
Responda às questões no caderno.
1. Em cada uma das figuras, t é a medida
do arco

AB, e, s, é a medida do arco

CD.
Determine a medida x, em função de
t e s.
a)
A
D
B
C
x

x =
t + s
2
b)
A
C
B
D
x

x =
t _ s
2
2. Determine a medida x em cada uma das
figuras.
a)
x
A
B
C
D
P
28°
86°
57°
b)
A
C
B
D
P
x
92°
56°
18°
3. Determine as medidas a, b e c indicadas na
figura, sabendo que a medida do arco

AB
é 125° e a medida do arco

CD é 65°.
A
P
D
B
C
a
b
c
4. Quanto mede o arco

CD destacado em
vermelho, sabendo que o ângulo C
ˆ
MD
mede 35°? 87°
C
M
D
E
157°
a = 30°, b = 95° e c = 85°.
ATIVIDADES
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
As questões apresentadas nessa
seção visam retomar o trabalho
abordado nos capítulos ao longo
da Unidade, o que favorece o
desenvolvimento das habilidades
EF09MA10 e EF09MA11.
Incentivar os estudantes a
socializar as estratégias que uti-
lizaram e trocar ideias com os
colegas a respeito de temas sobre
os quais ainda tenham dúvida.
Acompanhá-los e orientá-los
nesse trabalho. Se necessário,
explicar na lousa as dúvidas que
ainda persistem.
Esse bloco de atividades pode
ser uma ferramenta para que eles
façam uma autoavaliação; para
isso, é interessante que eles façam
individualmente. Sugerir-lhes que
realizem essa atividade durante a
aula, assim poderão discutir even-
tuais dúvidas com os colegas, por
exemplo. Esse tipo de ação amplia
a capacidade de comunicação dos
estudantes, além de beneficiar a
cooperação entre eles.
Outra possibilidade é propor
que eles resolvam algumas ques-
tões em casa e desenvolvam
outras em aula, formando duplas
ou grupos com os colegas. Nessa
interação, devem aproveitar para
fazer a autocorreção daquelas
que trouxeram prontas.
Em ambas as situações, incen-
tivar os estudantes a justificar as
estratégias utilizadas por meio
dos conceitos estudados. Pedir a
eles que descrevam como pen-
saram e socializem as respostas.
Se necessário, devem buscar e
rever os conceitos no Livro do
estudante.
Na atividade 2, ressaltar para
os estudantes que eles devem notar
que DC e BC são congruentes,
resolver a equação formada a partir
dessa informação, concluindo
que x = 18. Depois, como o
diâmetro da circunferência é 40 cm, então o raio
mede 20 cm. Logo, AB + BC + CD + AD =
= 20 +





?+
1
2
1826 +





?+
4
3
1811 + 20,
portanto AB + BC + CD + AD = 110 cm.
Na atividade 6, para calcular a medida
do ângulo obtuso OTB, pode-se fazer:
medOTB()
ˆ
= x. Depois, calcula-se x + 75 +
+ 90° + 90° = 360°
Responda às questões no caderno.
1. Na figura, as retas r e s são paralelas, â
mede 60° e
ˆ
b mede 80°. Qual é a medida,
em grau, de ˆc? Alternativa c.
a) 10° d) 45°
b) 55° e) 50°
c) 140°
2. A medida do diâmetro da circunferência
a seguir é 40 cm. Alternativa a.
4
3
A
B
C
D
x + 11 cm
1
2
x + 26 cm
Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD.
a) 110 cm
b) 112 cm
c) 115 cm
d) 120 cm
e) 122 cm
3. O triângulo ABC a seguir é isósceles,
com AB 2 AC e RB 2 BT 2 TC 2 CS.
Sabendo que med((AS)) = a
e med((SC)) = b, qual é o
polinômio que expressa
o perímetro do triân-
gulo ABC? Alternativa c.
a) 2a + 2b c) 2a + 4b
b) 4a + 2b d) 4a + 4b
4. Em uma circunferência, a medida do
raio, em metro, corresponde à solução
da equação
1
3
_ 3x = _
2
3
_ + x. Então, o
diâmetro dessa circunferência mede:
a) 10 m.
b) 0,25 m.
c) 0,5 m.
d) 0,05 m.
e) 2 m.
r
s
a
c
b
A
B T
SR
C
Alternativa c.
5. Na figura a seguir, a distância entre os
pontos A e B é de 29 cm.
Sabendo que A e B são centros das cir-
cunferências dadas e que x _ y = 6,5,
qual é o valor de y? Alternativa e.
a) 7
b) 6,5
c) 4
d) 3,5
e) _0,5
6. Na figura, o ponto O é o centro da cir-
cunferência, e o arco

AT mede 75°.
Quanto mede o ângulo obtuso O
ˆ
TB?
a) 95°
b) 105°
c) 110 °
d) 115°
e) 125°
7. Considerando os dados da figura a seguir,
podemos dizer que a razão
x
y
vale:
100°120° y x
a) 0,5. b) 0,75. c) 0,25. d) 2. e) 4.
8. Na figura a seguir, o arco

AB mede 120°.
Se x = 2y, qual é
o valor da expres-
são x _ y?
a) 30°
b) 40°
c) 42°
d) 45°
e) 50°
A
B
3x + y
2x + y
Alternativa b.
T
BA
O
Alternativa c.
Alternativa b.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
A
B C
y
x
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos propostos
no encerramento desta Unidade
possibilitam aos estudantes fazer
reflexões a respeito das aprendi-
zagens individuais, além de uma
breve retomada dos conteúdos
apresentados. É importante
que os estudantes respondam
individualmente a cada uma
das questões para que, dessa
forma, possam perceber o que
aprenderam e as possíveis dúvidas
que ainda persistem.
Propor aos estudantes que
criem uma organização própria de
registros para que possam avaliar
os conhecimentos adquiridos ao
longo desses estudos.
A primeira questão proposta
possibilita aos estudantes lembrar-se
da relação entre os ângulos, defi-
nindo quando são complementares
ou suplementares.
A segunda questão leva os
estudantes a refletir a respeito
dos ângulos correspondentes e
ângulos congruentes.
A terceira questão resgata a
diferença entre circunferência e
círculo. Verificar se, ao finalizar
a unidade, os estudantes têm
clareza e conseguem distingui-los
e nomeá-los corretamente. Caso
seja necessário, retomar as defi-
nições disponibilizadas no Livro
do estudante.
9. Considerando a figura a seguir, pode-se
afirmar que x _ y é igual a: Alternativa a.
114°
y
x
B
A
C
O
a) 24°.
b) 28°.
c) 31°.
d) 33°.
e) 36°.
f) 20°.
10. Qual é o valor da medida x indicada na
figura? Alternativa e.
x
A
B
P
D
C
120°85°
a) 75°
b) 65°
c) 55°
d) 45°
e) 35°
f) 25°
11. Na figura a seguir, AB é o diâmetro da
circunferência. Alternativa c.
Qual é o valor, em grau, da medida y?
a) 70°
b) 64°
c) 60°
d) 58°
e) 48°
12. Sabendo que o ponto O é o centro da cir-
cunferência, qual é o valor da medida x
indicada na figura? Alternativa d.
62°
65°
x
P
A
N
R
M
Q
O
a) 54° b) 46° c) 38° d) 34° e) 28°
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Nesta Unidade, estudamos ângulos e circunferência. Foram abordados os ângulos
determinados por retas transversais, os ângulos correspondentes, os ângulos alternos, os
ângulos colaterais, os elementos de uma circunferência, as posições relativas de uma reta
em relação a uma circunferência, os arcos de circunferência e os ângulos centrais, o ângulo
inscrito em uma circunferência e os ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência.
Elabore um fichamento dos conteúdos explorados, fazendo registros gráficos (desenhos),
exemplos e lembretes. Na abertura, foi apresentada uma aplicação da circunferência e do
círculo na Arte.
Como você entende que as propriedades estudadas possam fazer parte de um objeto
artístico que utilize esses conceitos?
Em seguida, registre suas dúvidas para um debate em sala de aula, de modo a solucionar,
de maneira colaborativa, as questões que surgirem.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• O que são ângulos complementares? E suplementares?
• O que são ângulos correspondentes? Qual é a diferença entre ângulo correspondente
e ângulo congruente? Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
• Explique, com suas palavras, a diferença entre circunferência e círculo.
Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
UM NOVO OLHAR
BA
x y
2x
O
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2 e 7
Competências específicas:
• 2, 4 e 5
Habilidades:
Álgebra
• EF09MA07 • EF09MA08
Geometria
• EF09MA10 • EF09MA12
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em três capítulos e apresenta os
conteúdos por meio de exem-
plos contextualizados e atividades
diversificadas, que têm como
objetivo contribuir para o desen-
volvimento das competências
gerais 1, 2 e 7 e das competên-
cias específicas 2, 4 e 5.
No primeiro capítulo, é feita
uma retomada dos conceitos de
razão e proporção para então
dar continuidade ao conteúdo,
de modo a proporcionar aos
estudantes, no segundo capí-
tulo, compreender a propriedade
de um feixe de retas paralelas e
o teorema de Tales, utilizando
esse conhecimento para resolver
problemas e para determinar a
medida do comprimento de seg-
mentos de retas, aplicando-o em
triângulos. Esse estudo propicia
o desenvolvimento das habili-
dades EF09MA07, EF09MA08
e EF09MA10. No terceiro capí-
tulo, são explorados os conceitos
de polígonos semelhantes e a
semelhança de triângulos, o que
propicia o desenvolvimento da
habilidade EF09MA12.
OBJETIVOS
• Retomar e ampliar os conceitos
de razão e proporção.
• Resolver problemas envolvendo
razão e proporção em diferen-
tes contextos.
• Calcular a razão entre dois seg-
mentos de reta.
• Compreender a propriedade de um feixe de
retas paralelas.
• Verificar e compreender o teorema de Tales.
• Compreender o teorema da bissetriz interna
de um triângulo.
• Reconhecer figuras e polígonos semelhantes.
• Compreender e resolver problemas envolven-
do o teorema fundamental da semelhança
de triângulos.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se uma retomada
dos conceitos de razão e proporção com o obje-
tivo de preparar os estudantes para ampliar o
estudo e abordar conteúdos novos, como seg-
mentos proporcionais, propriedade de um feixe
de retas paralelas e teorema de Tales. Desse
modo, pretende-se favorecer o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA07, EF09MA08
Quando utilizamos um software
para ampliar ou reduzir imagens, temos
a opção de fixar a proporção entre as
medidas das imagens. Desse modo,
mesmo que deformemos uma imagem
somente em uma direção, o software
compensa na outra direção, preservando
a proporção entre as medidas da imagem.
Imagine, por exemplo, que a foto-
grafia em destaque tenha sido utilizada
em um catálogo do acervo do Palácio
dos Leões, mas teve de ser reduzida com
o auxílio de um software. Acompanhe
algumas modificações que essa imagem
poderia apresentar ao ser manipulada em
um software desse tipo.
Ao fundo, a fachada do Palácio
dos Leões, em São Luís (MA),
2021. A sede do Governo do
Estado do Maranhão data
historicamente de 1612 e
conta com 3 mil metros de
área construída divididos em
uma área reservada para a
residência do governador, uma
área administrativa e uma ala
aberta à visitação.
UNIDADE
PROPORÇÃO E
SEMELHANÇA
5
Espera-se que os estudantes respondam que é possível
identificar a distorção na imagem cuja modificação foi
apenas na direção vertical.
Espera-se que os estudantes respondam que podemos
considerar semelhantes a imagem original e a imagem
reduzida em que a proporção entre as medidas nas direções
horizontal e vertical foi fixada.
REPRODUÇÃO/ACERVO

DIGITAL DO PALÁCIO DOS LEÕES
KAREN BOGEA/ALAMY/FOTOARENA
Imagem original de vaso
de porcelana francês,
pertencente ao acervo
do Palácio dos Leões e
datado do século XX.
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e EF09MA10. Ao abordar o estudo de figuras
semelhantes busca-se favorecer o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA12.
No boxe Fórum, aborda-se a importância do
contexto nos mapas, estudo que pode ser reali-
zado em parceria com o professor de Geografia.
Na seção Por toda parte, são abordados
aspectos que favorecem o desenvolvimento
da competência geral 1.
ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
A abertura desta Unidade apre-
senta uma imagem de uma obra
que pertence ao acervo do Palácio
dos Leões, em São Luís (MA). Ao
iniciar esse estudo, perguntar aos
estudantes se já ouviram falar nesse
museu; se possível, levá-los à sala
de informática e proporcionar um
momento para que eles consigam
explorar o acervo digital do museu,
disponível em: https://acervo.pala
ciodosleoes.ma.gov.br/colecoes/
(acesso em: 10 jul. 2022).
Se considerar oportuno,
explorar também outros sites,
como o do Museu Nacional,
disponível em: https://artsand
culture.google.com/project/museu
-nacional-brasil (acesso em: 10
jul. 2022); ou o da Pinacoteca do
Estado de São Paulo, disponível
em: https://portal.iteleport.com.br/
tour3d/pinacoteca-de-sp-acervo
-permanente/?utm_medium=we
bsite&utm_source=archdaily.com.
br (acesso em: 10 jul. 2022). Essas
explorações podem ser realiza-
das em parceria com o professor
de História.
Outra sugestão de encaminha-
mento é propor aos estudantes
que, ainda na sala de informá-
tica, formem duplas. Orientar cada
dupla a escolher uma imagem no
acervo digital do Palácio dos Leões
e a manipular a imagem escolhida,
fazendo a ampliação. Solicitar a
eles, por exemplo, que, primeiro,
anotem as medidas da imagem
original; depois, que façam uma
ampliação sem que haja distorção e
anotem as medidas da imagem. O
procedimento de ampliar e anotar
as medidas deve ser repetido três
ou quatro vezes, sempre anotando
as medidas da imagem após a
ampliação. Perguntar a eles o que
essas medidas têm em comum.
Verificar se eles identificaram que a
razão entre a medida da largura e
a medida da altura é a mesma em
todas as imagens. Se necessário,
retomar a atividade posteriormente.
A partir do texto e da observação das imagens, responda no caderno às questões a seguir.
• Você já utilizou um software para ampliar ou reduzir imagens? Em caso afirmativo, procurou
manter a proporção das medidas nas direções horizontal e vertical da imagem?
• Em relação às reduções da imagem apresentadas, em qual delas podemos identificar, de
maneira mais evidente, a distorção ao compararmos com a imagem original?
• A partir do conceito matemático de semelhança entre figuras, qual par de imagens podemos
considerar figuras semelhantes?
Resposta
pessoal.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.
KAREN BOGEA/ALAMY/FOTOARENA
REPRODUÇÃO/ACERVO DIGITAL DO PALÁCIO DOS LEÕES
REPRODUÇÃO/ACERVO DIGITAL DO PALÁCIO DOS LEÕES Imagem da obra
reduzida, mantendo
a proporção entre as
medidas nas direções
horizontal e vertical.
Imagem da obra
reduzida de maneira
distorcida, modificada
em ambas as direções,
mas sem fixar a
proporção.
Imagem da obra
reduzida de maneira
distorcida, modificada
apenas na direção
vertical.
REPRODUÇÃO/ACERVO DIGITAL
DO PALÁCIO DOS LEÕES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Segmentos
proporcionais
Uma sugestão de condução do
conteúdo deste capítulo é, antes
de iniciar o estudo proposto na
página 146 do Livro do estu-
dante, fazer uma verificação dos
conhecimentos prévios dos estu-
dantes sobre razão e proporção.
Essa verificação pode ser feita
de maneira informal, não sendo
necessário aplicar uma avaliação
diagnóstica propriamente dita,
a depender do perfil da turma.
Após esse momento de sonda-
gem dos conhecimentos deles, é
possível alinhar o planejamento
das aulas à necessidade dos estu-
dantes. Esse tipo de abordagem
também possibilita uma reflexão
sobre a prática docente, uma vez
que, ao fim do processo, é pos-
sível refletir se o planejamento
e as escolhas feitas para a abor-
dagem do conteúdo refletem o
resultado esperado.
Ao fazer a retomada proposta
no Livro do estudante, pode-
se, por exemplo, perguntar a
eles o que significa dizer que a
velocidade média de um carro é
65 km/h. Espera-se que eles res-
pondam que isso quer dizer que,
a cada uma hora, o carro percor-
reu, em média, 65 km.
Pense e responda
As atividades têm como obje-
tivo levar os estudantes a retomar
e ampliar os conceitos de razão e
de proporção.
Uma sugestão de encami-
nhamento é propor a eles que
resolvam individualmente as ati-
vidades propostas e justifiquem
as respostas. Depois, as justifi-
cativas podem ser discutidas e,
sempre que necessário, pode-se
retomar os conceitos de razão
e de proporção para verificar a
pertinência das justificativas apre-
sentadas. Desse modo, inicia-se
o trabalho com as habilidades
EF09MA07 e EF09MA08.
Se julgar oportuno, compartilhar com eles
os textos a seguir sobre Tales de Mileto.
[...]
O que se sabe de fato sobre a vida e obra
de Tales é realmente muito pouco. A opi-
nião antiga é unânime em considerar Tales
como um homem de rara inteligência [...]
Tales foi frequentemente saudado como o
primeiro matemático [...] criador da organi-
zação dedutiva da geometria. Esse relato,
ou lenda, foi ornamentado acrescentando-
-se a esse teorema quatro outros, que se
diz terem sido demonstrados por Tales [...]
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia.
História da Matemática. 3. ed. Tradução: Helena
Castro. São Paulo: Blucher, 2018. p. 55.
CAPÍTULO
1
RAZÃO E PROPORÇÃO
Vamos retomar os conceitos de razão e proporção estudados anteriormente.
Acompanhe a situação a seguir.
Um automóvel percorreu uma distância de 455 km em 7 horas. Qual foi a
velocidade média desse automóvel nesse percurso?
A velocidade média de um carro é a razão entre a distância total percorrida e
o tempo gasto para percorrê-la. Ou seja:
velocidade média =
distância
tempo
Assim, a velocidade média (v) do carro é dada por: == h=v
455
7
65v65km/h.
Dados dois números reais a e b, com b 5 0, chama-se razão entre a e b
ou razão de a para b o quociente de a por b, ou seja, a : b ou
a
b
.
Considere que outro carro percorreu 910 km em 14 horas. Então, podemos dizer
que a velocidade média de ambos os carros foi a mesma, pois =
455
7
910
14
.
A igualdade entre essas razões indica que foi mantida a proporção entre a distân-
cia percorrida pelos carros e o tempo gasto em cada percurso. Dizemos que os números
455, 7, 910 e 14, nessa ordem, são proporcionais, ou seja, formam uma proporção.
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Responda às questões no caderno.
1. Determine a razão entre os números:
a) 14 e 20.
b) 35 e 50.
2. A razão entre 14 e 20 é igual à razão entre 35 e 50?
3. De acordo com a definição de números proporcionais, pode-se afirmar
que os números 14, 20, 35 e 50, nessa ordem, são proporcionais?
a)
14
20
7
10
= ou 0,7.b)
35
50
7
10
= ou 0,7.
Sim.
Sim.
PENSE E RESPONDA
SEGMENTOS
PROPORCIONAIS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Razão entre segmentos
A razão entre segmentos é
retomada para que os estudantes
voltem a se familiarizar com esse
tema e possam compreender os
conceitos que serão abordados
ao longo da Unidade.
Se julgar oportuno, sugerir aos
estudantes que façam uma pes-
quisa a respeito da vida e da obra
do matemático grego Tales de
Mileto. Nesse momento, é possível
discutir com eles a importância
da Matemática para solucionar
problemas. Outro ponto interes-
sante é que, ao trazer um pouco
do contexto histórico, se amplia
os conhecimentos dos estudan-
tes a respeito da história da
Matemática.
Segundo parece, Tales começou sua
vida como mercador, tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua
vida ao estudo e a algumas viagens. Di-
z-se que ele viveu por algum tempo no
Egito, e que despertou admiração ao cal-
cular a altura de uma pirâmide por meio
da sombra [...]. De volta a Mileto ganhou
reputação, graças a seu gênio versátil, de
estadista, conselheiro, engenheiro, ho-
mem de negócios, filosofo, matemático e
astrônomo. Tales é o primeiro personagem
conhecido a quem se associam descobertas
matemáticas. [...]
EVES, Howard. Introdução à história da Mate-
mática. Tradução: Hygino Hugueros
Domingues. Campinas: Editora Unicamp,
2011. p. 95.
RAZÃO ENTRE SEGMENTOS
As ideias de proporção e de sua aplicação em
Geometria são bastante antigas. Aproximadamente
em 600 a.C., Tales (c. 624 a.C.-c. 548-545 a.C.),
matemático da cidade grega de Mileto, desen-
volveu um dos trabalhos mais importantes sobre
esse assunto. Conta-se que Tales, em uma de suas
viagens ao Egito, foi desafiado a descobrir a altura
da grande pirâmide de Quéops.
Com apenas um bastão e aplicando os conhe-
cimentos que tinha sobre segmentos proporcionais, Tales venceu o
desafio. Ele sabia que a razão entre a altura da pirâmide e o compri-
mento da sombra projetada pela pirâmide (adicionado à metade do
comprimento da aresta da base da pirâmide) era igual à razão entre
a altura do bastão e o comprimento da sombra que ele projetava;
bastava, portanto, fazer os cálculos.
Chamamos de razão entre dois segmentos de retas a razão entre os números
que expressam as medidas desses segmentos, sempre tomados na mesma unidade.
Analise os exemplos a seguir.

1 Determinar a razão entre o segmento CD e o segmento AB representados a seguir.
CD
6 cm
12 cm
A B Como as medidas dos segmentos estão em centímetro, a razão procurada é:
==
CD
AB
6
12
1
2
ou 0,5
: 6
: 6
razão procurada

2 Qual é a razão entre os segmentos AB e DE, com AB = 60 cm e DE = 2 m?
Vamos, inicialmente, escrever as duas medidas na mesma unidade.
AB = 60 cm
DE = 2 m = 200 cm
Agora, podemos determinar a razão entre os segmentos AB e DE:
: 20
: 20
razão procurada
==
AB
DE
60
200
3
10
ou 0,3
altura da
pirâmide
(AB = ?)
metade da medida
da aresta da base
comprimento da
sombra da pirâmide
B
C
A
ILUSTRAÇÕES: ILUSTRA CARTOON
altura
do bastão
D
F
E
comprimento da
sombra do bastão
IMAGENS FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
EDITORIA DE ARTE
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AMPLIANDO
ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O trabalho com escalas pode
ser desenvolvido em parceria com
o professor de Geografia, uma
vez que há uma estreita relação
entre razão e proporção e a repre-
sentação de mapas. Se possível,
realizar um planejamento que
forneça mais informações sobre
a aplicação desses conceitos nos
contextos geográficos.
Se possível, explorar alguns
exemplos de uso de escalas em
mapas. Se sentir necessidade,
retomar com os estudantes as
transformações de unidades de
medida de comprimento. Propor
que, em duplas, eles organizem
um registro com as principais
transformações de medidas de
comprimento. Perguntar, por
exemplo: “2 000 metros corres-
pondem a quantos quilômetros?”;
“5 quilômetros correspondem a
quantos metros?”; “1 metro cor-
responde a quantos centímetros?”;
“400 centímetros correspondem
a quantos metros?”.
Atividades complementares
1. (Enem/MEC) Na construção de um conjunto ha-
bitacional de casas populares, todas serão feitas
num mesmo modelo, ocupando, cada uma de-
las, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m
de comprimento por 8 m de largura. Visando à
comercialização dessas casas, antes do início das
obras, a empresa resolveu apresentá-las por meio
de maquetes construídas numa escala de 1 : 200.
As medidas do comprimento e da largura dos
terrenos, respectivamente, em centímetros, na
maquete construída, foram de:
a) 4 e 10.
b) 5 e 2.
c) 10 e 4.
d) 20 e 8.
e) 50 e 20.
2. Faça uma pesquisa e escolha um mapa de uma
fonte confiável. Elabore um problema que envol-
va a escala desse mapa e que aborde proporção.
Depois, troque de caderno com um colega para
que um resolva o problema elaborado pelo outro.
Por fim, confiram as resoluções.
Resolução das atividades
1. Medida do comprimento do terreno na maquete:
20 m = 2 000 cm
1
200
x
2000
= h 200x = 2 000 h x = 10
Ou seja, 10 cm.
Medida da largura do terreno na maquete:
8 m = 800 cm
1
200
x
800
= h 200x = 800 h x = 4
Ou seja, 4 cm.
Portanto, a alternativa c é a correta.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apliquem os
conhecimentos sobre razão, proporção e escalas para elaborar
e resolver os problemas. Se houver algum mapa disponível na
escola, é possível utilizá-lo para elaborar um problema com ba-
se nele que envolva razão e proporção, como a atividade 8
proposta no Livro do estudante.
Escala
Um caso típico do uso da razão entre dois segmentos é a escala. Acompanhe o exemplo a seguir.
Analise o mapa do estado do Rio de Janeiro, com destaque para Petrópolis e Vassouras, muni-
cípios do interior fluminense. Neste mapa, a distância, em linha reta, entre esses dois municípios
é de aproximadamente 1,83 cm. Sabendo que a distância real, em linha reta, entre Petrópolis e
Vassouras é de, aproximadamente, 51 km, qual foi a escala utilizada nesse mapa?
Como as medidas de segmentos de retas são sempre expressas por números positivos, a razão entre
dois segmentos também é um número real positivo.
• Se a razão for um número racional, dizemos que os segmentos são comensuráveis. Por exemplo:
=
AB
CD
1
2

AB e CD são segmentos comensuráveis, pois
1
2
é um número racional.
• Se a razão for um número irracional, dizemos que os segmentos são incomensuráveis. Por exemplo:
=
MN
PQ
2
5

MN e PQ são segmentos incomensuráveis, pois 2
5
é um número irracional.
SAIBA QUE
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO
DE GEOGRARIA E ESTATÍSTICA.
Mapa político do Rio de Janeiro.
Portal de mapas do IBGE. Rio de
Janeiro, [c2022]. Disponível em:
https://portaldemapas.ibge.gov.br/
portal.php#mapa124. Acesso em:
16 mar. 2022.SONIA VAZ
RIO DE JANEIRO
43º O
22º S
OCEANO ATLÂNTICO
Vassouras
Petrópolis
Rio de Janeiro
MG
SP
0 ?
km
Estado do Rio de Janeiro
Logo, a escala utilizada nesse mapa foi de 1 : 2 786 885,24.
Essa razão indica que cada 1 centímetro representado no mapa corresponde a 2 786 885,24 cm
da distância real, ou seja, cada 1 cm corresponde a aproximadamente 28 km.
Escala é a razão entre a medida do comprimento de um desenho e a
medida do comprimento real correspondente, expressas na mesma unidade.
=escala
medidadocomprimentonodesenho
medidadocomprimentoreal
Como 51 km equivalem
a 5 100 000 cm, a razão entre
a distância representada no
mapa e a distância real entre
os dois municípios é:
1,83
5100000
1
2786885,24
=
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades deste bloco explo-
ram a ideia de que a razão entre
as medidas de dois segmentos,
tomadas na mesma unidade,
determinam a razão entre dois
segmentos. Os estudantes também
podem resolver problemas que
envolvam a razão entre duas gran-
dezas de espécies diferentes, como
velocidade média, conforme orienta
a habilidade EF09MA07.
Se possível, solicitar que as
atividades sejam realizadas em
sala de aula e individualmente;
desse modo, pode-se verificar
se os estudantes apresentam
alguma dificuldade durante a
execução das atividades, o que
permite auxiliá-los e propor
retomadas precisas.
Na atividade 3, espera-se que
os estudantes não apresentem
dificuldade em escrever a razão
entre os segmentos nas formas
fracionária e decimal; no entanto,
caso perceba alguma dúvida,
fazer uma breve retomada para
esclarecer essas dúvidas.
Na atividade 7, caso necessá-
rio, orientá-los a começar fazendo
o cálculo da escala utilizada,
para depois realizar o cálculo da
medida do comprimento real do
segmento de reta.
Se julgar oportuno, propor
outras atividades para ampliar
o estudo. Algumas sugestões
são apresentadas na atividade
complementar a seguir.
1
200
x
800
= h 200x = 800 h x = 4
Ou seja, 4 cm.
Portanto, a alternativa c é a correta.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes apliquem os
conhecimentos sobre razão, proporção e escalas para elaborar
e resolver os problemas. Se houver algum mapa disponível na
escola, é possível utilizá-lo para elaborar um problema com ba-
se nele que envolva razão e proporção, como a atividade 8
proposta no Livro do estudante.
Responda às questões no caderno.
1. Um caminhão percorreu 540 km em
6 horas. Já um carro percorreu uma
distância de 331 km em 4 horas. O ca-
minhão e o carro, nos percursos citados,
apresentaram velocidades médias pro-
porcionais? Justifique.
2. Leia as informações e responda.
A distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 150 000 000 km.
A luz do Sol, para atingir a Terra,
leva em torno de 500 segundos.
a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?
b) Quantos minutos a luz do Sol leva para
chegar à Terra?
3. O segmento AB mede 16 cm, e o seg-
mento CD mede 40 cm. Qual é a razão
entre AB e CD nas formas fracionária e
decimal?
4. A razão entre dois segmentos é 0,4, e o
maior deles mede 8 m. Qual é a medida
do menor segmento, em metro?
5. Na figura a seguir, a representa a
medida do segmento AB, e b, a medida
do segmento BC.
AB C
ab
Sabendo que a e b correspondem às
raízes da equação x
2
_ 24x + 135 = 0,
determine a e b e calcule a razão entre
AB e BC.
6. Um terreno quadrangular tem 15 m de
comprimento. Esse comprimento foi
representado em um desenho por um
segmento de reta de 5 cm. Qual foi a
escala usada nesse desenho?
1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da razão 331 : 4 = 82,75. Ou seja,
o caminhão e o carro apresentaram velocidades médias não proporcionais.
2. a) 300 000 km/s
Cerca de 8 minutos e
20 segundos.
2
5
e 0,4.
3,2 m
a = 9, b = 15;
AB
BC
3
5
= ou 0,6.
1 : 300
ATIVIDADES
7. Um segmento de reta de 2 cm de compri-
mento representa, no papel, uma estrada
reta que tem 20 km de comprimento.
Nessa mesma representação, um seg-
mento de reta de 8 cm representa que
medida de comprimento real?
8. Em 1988, foi criado o estado de Roraima.
Boa Vista, capital do estado, apresenta
clima quente e úmido, com duas esta-
ções climáticas bem definidas: a estação
das chuvas (de abril a setembro) e o
verão (de outubro a março). No mapa,
que está representado com escala de
1 : 50 000 000, use uma régua e meça a
distância, em linha reta, entre Boa Vista
e Brasília. Depois, determine a distância
real aproximada, em quilômetro, em
linha reta entre Brasília e Boa Vista.
80 km
8. A distância real aproximada, em linha reta,
entre Boa Vista e Brasília é de 2 500 km.
EDITORIA DE ARTE
Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E
ESTATÍSTICA. Divisão político-administrativa e regional:
mapa político do Brasil. IBGE Educa. Rio de Janeiro,
c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/
conheca-o-brasil/territorio/18310-divisao-politico-
administrativa-e-regional.html. Acesso em: 16 mar. 2022.
Boa
Vista
Manaus
Por to
Velho
Rio
Branco
Belém
Macapá
Cuiabá
Campo
Grande
Goiânia
BRASÍLIA
Palmas
50° O
Equador
0°
Trópico de
Capricórnio
OCEANO
ATLÂNTICO
Capital federal
Capital estadual
Divisa estadual
Fronteira
AMAZONAS
AMAPÁ
PA R Á
MATO GROSSO
RONDÔNIA
M AT O
GROSSO
DO SUL
TO
DF
GOIÁS
RORAIMA
ACRE
0 500
Brasil: regiões Norte e
Centro-Oeste
SONIA VAZ
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Segmentos proporcionais
Uma sugestão de encaminha-
mento para abordar o tópico
segmentos proporcionais é con-
vidar os estudantes a formar
duplas e propor que meçam,
usando uma régua graduada,
a medida do comprimento de
alguns objetos que podem ser
encontrados na sala de aula,
determinem a razão entre essas
medidas e comparem os valores
obtidos. Desse modo, será pos-
sível verificar a existência ou não
de proporcionalidade entre as
medidas dos comprimentos con-
siderados. Solicitar que façam as
anotações de maneira organizada
individualmente, no caderno.
Incentivar a socialização desses
resultados com os colegas; desse
modo, incentiva-se a curiosidade
intelectual, a análise crítica e
a argumentação, previstas nas
competências gerais 2 e 7.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Brasília, a terceira capital do Brasil, locali-
zada no território do Distrito Federal, foi
inaugurada em 21 de abril de 1960 pelo en-
tão presidente Juscelino Kubitschek. Pesquise
e responda no caderno.
a) Em um mapa, a distância entre Brasília e Sal-
vador, em linha reta, é 21,2 cm. Se a distância
real, em linha reta, é 1 060 km, em qual es-
cala o mapa foi confeccionado?
b) Um mapa foi confeccionado na escala
1 : 10 000 000. Em linha reta, a distân-
cia real entre Brasília e Florianópolis é de
1 310 km. Qual é a distância entre as du-
as cidades nesse mapa?
2. A fotografia do tipo 3 x 4 (três por quatro), mui-
to usada em documentos, tem formato retangular
cujos lados medem 3 cm e 4 cm.
a) Deseja-se ampliar uma fotografia 3 x 4, man-
tendo a proporção entre as medidas dos lados,
de modo que o maior lado meça 20 cm. Qual
deve ser a medida do menor lado?
3 cm
4 cm
x
20 cm
b) Formule uma pergunta sobre segmentos pro-
porcionais e a ampliação de uma fotografia
3 x 4. Troque de caderno com um colega
DESIGNINCOLOR/ SHUTTERSTOCK.COM
e cada um resolve o problema que o outro
elaborou. Depois, confiram as respostas e
façam as correções necessárias.
Resolução das atividades
1. a) 1 310 km = 131 000 000 cm
21,2
106000000
1
5000000
=
Portanto, a escala do mapa é de 1 : 5 000 000.
b) A escala do mapa é de 1 : 10 000 000, ou se-
ja, 1 cm no mapa representa 10 000 000 cm
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
Pelas definições de razão e proporção entre segmentos, podemos dizer que quatro segmen-
tos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são proporcionais quando a razão entre as medidas dos dois
primeiros for igual à razão entre as medidas dos dois últimos.
AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, segmentos proporcionais quando =
AB
CD
EF
GH
, em
que as medidas dos segmentos estão expressas na mesma unidade de medida.
Acompanhe as seguintes situações em que podemos aplicar esse conceito.

1 Considerar o segmento AB, de 4 cm; o segmento CD, de 6 cm; o segmento EF, de 8 cm; e o
segmento GH, de 12 cm. Nessa ordem, é possível dizer que esses são segmentos proporcionais?
: 2
: 2
=
AB
CD
4
6
==
EF
GH
8
12
4
6
h=
AB
CD
EF
GH
Portanto, AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são segmentos proporcionais.

2 Os quatro segmentos, AB, MN, CD e XY, nessa ordem, representados a seguir, são segmentos
proporcionais. Encontrar a medida de XY.
X Y
CD
4 cm
M N
15 cm
AB
5 cm
Como AB, MN, CD e XY, nessa ordem, são proporcionais, temos: =
AB
MN
CD
XY
.
Mas:
==
AB
MN
5
15
1
3
: 5
: 5
Então: =h =h =
CD
XY
1
3
4
XY
1
3
XY12
Assim, a medida de XY é 12 cm.
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades deste bloco
exploram a resolução de pro-
blemas que envolvem relações
de proporcionalidade direta-
mente proporcionais e divisão
em partes proporcionais con-
forme previsto na habilidade
EF09MA08.
Se julgar necessário, retomar
com os estudantes as unidades de
medida de comprimento e como
realizar a conversão entre elas.
e cada um resolve o problema que o outro
elaborou. Depois, confiram as respostas e
façam as correções necessárias.
Resolução das atividades
1. a) 1 310 km = 131 000 000 cm
21,2
106000000
1
5000000
=
Portanto, a escala do mapa é de 1 : 5 000 000.
b) A escala do mapa é de 1 : 10 000 000, ou se-
ja, 1 cm no mapa representa 10 000 000 cm
na realidade. Com isso, podemos escrever a
proporção:
=
1
10000000
x
131000000
=x
131000000
10000000
x = 13,1 cm
Portanto, a distância entre as duas cidades
no mapa é 13,1 cm.
2. a)
3
4

x
20
= h 4x = 60 h x = 15
Assim, a medida do menor lado é 15 cm.
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma
fotografia 3 x 4 foi ampliada de modo que
o lado menor passou a medir 6 cm e o lado
maior passou a medir 16 cm. Essa ampliação
manteve a proporção em relação às medidas
da fotografia inicial?
Não, pois as medidas 3 cm, 4 cm, 6 cm e 16cm
não são proporcionais.

3 Uma ripa de madeira de 100 cm de comprimento foi dividida em três partes com
comprimentos diretamente proporcionais aos números 4, 6 e 10. Determinar a
medida de comprimento de cada parte.
Vamos representar as medidas dos comprimentos de cada parte por a, b e c,
como mostra a representação a seguir.
a
b c
Como as partes da ripa devem ser, respectivamente, proporcionais aos números
4, 6 e 10, temos:
== =
a
4
b
6
c
10
x
Podemos escrever:
=
a
4
x h a = 4x =
b
6
x h b = 6x =
c
10
x h c = 10x
A soma das medidas das três partes deve ser igual a 100 cm. Então:
4x + 6x + 10x = 100
20x = 100
x = 100 : 20 = 5
Assim:
a = 4 ? 5 = 20 b = 6 ? 5 = 30 c = 10 ? 5 = 50
Portanto, a medida de comprimento de cada pedaço de madeira é 20 cm, 30 cm
e 50 cm, respectivamente.
Responda às questões no caderno.
1. Usando uma régua graduada, meça, em
centímetro, cada um dos segmentos de
retas representados a seguir.
C D
M NP Q
A B

De acordo com as medidas obtidas,
é correto afirmar que AB, CD, MN e
PQ, nessa ordem, são proporcionais?
Por quê?
Sim, pois
AB
CD
MN
PQ
2
3
== .
ATIVIDADES
2. Os segmentos AB, CD, MN e PQ são
proporcionais e tais que AB = 3,2 cm;
MN = 6,5 cm e PQ = 26 cm. Nessas con-
dições, qual é a medida de CD?
3. Sabe-se que EF = x cm, GH = (x + 16) cm,
RS = 16 cm e NP = 28 cm. Sabendo que
EF, GH, RS e NP são, nessa ordem,
segmentos proporcionais, determine o
valor de x.
4. Deseja-se dividir um barbante de 300 cm
de comprimento em quatro partes com
comprimentos diretamente proporcio-
nais aos números 2, 3, 4 e 6. Determine
a medida de comprimento de cada uma
das partes.
12,8 cm
8 cm
40 cm, 60 cm, 80 cm e 120 cm.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
151
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Feixe de retas paralelas
Na Unidade anterior, foram
retomadas as propriedades dos
ângulos formados por duas ou
mais retas paralelas interceptadas
por uma transversal. Agora, os
estudantes vão conhecer a relação
dos segmentos formados a partir
de um feixe de retas paralelas
cortadas por uma ou mais retas
transversais. Assim, pretende-se
favorecer o desenvolvimento da
habilidade EF09MA10.
Uma sugestão para iniciar o
estudo deste tópico é pedir aos
estudantes que façam uma leitura
do texto apresentado no Livro do
estudante e observem a ilustração
apresentada. À medida que avan-
çarem para o tópico Propriedade
de um feixe de retas parale-
las, verificar se os estudantes têm
familiaridade com os termos e
se compreendem as ilustrações.
Nesse sentido, sugere-se que,
no decorrer desse estudo, analise
como os estudantes lidam com os
conceitos abordados e, sempre que
julgar oportuno, antes de pros-
seguir com o conteúdo, retomar
os conceitos em que eles apre-
sentarem dificuldade.
CAPÍTULO
2
Sabemos que duas retas de um plano são paralelas quando não têm pontos
em comum. Se considerarmos três ou mais retas paralelas entre si, teremos um feixe
de retas paralelas ou, simplesmente, um feixe de paralelas.
Nesta figura, a reta t, que corta o feixe de
retas paralelas, é denominada reta transversal.
De acordo com a figura, temos:
• r ⁄ s ⁄ m ⁄ u
feixe de retas paralelas
• reta t
reta transversal
PROPRIEDADE DE UM
FEIXE DE RETAS PARALELAS
Considere este feixe de retas paralelas cortadas por uma reta t transversal.
a
b
c
d
A
B
C
D
t
• a ⁄ b ⁄ c ⁄ d
feixe de retas paralelas
• reta t
reta transversal
O feixe de paralelas determina os segmentos AB, BC e CD na reta transversal t.
Usando uma régua graduada, medimos esses segmentos e obtemos que:
AB = BC = CD = 0,8 cm (os segmentos AB, BC e CD são congruentes entre si).
Agora, vamos traçar uma reta m, também transversal ao feixe de paralelas,
determinando os segmentos MN, NP e PQ.
a
b
c
d
M
N
P
Q
A
B
C
D
tm
FEIXE DE RETAS
PARALELAS
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
rt
s
m
u
152
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ao iniciar a aula para tratar
do teorema de Tales, pode-se
propor aos estudantes a seguinte
experiencia: pedir a eles que
representem três retas paralelas
cortadas por duas transversais,
como na figura a seguir.
FC
B
AD
E
t
s
r
r // s // t
Em seguida, solicitar que meçam
os segmentos, usando uma régua
graduada, e escrevam as medidas
dos segmentos em um quadro,
como indicado a seguir.
Medida do segmento
Segmento Medida (cm)
AB
BC
AC
DE
EF
DF
Incentivar os estudantes a
escrever as proporções entres
os segmentos. Depois, podem
verificar juntos se calcularam cor-
retamente. Em seguida, pedir-lhes
que, mantendo as transversais,
dobrem a distância entre as retas
paralelas r e s.
Depois, solicitar que meçam
os novos segmentos e estabe-
leçam as mesmas proporções.
Incentivar os estudantes a registrar
o que perceberam. Esse tipo de
discussão propicia o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA10.
EDITORIA DE ARTE
Ao medirmos esses segmentos com uma régua graduada, obtemos que MN = NP =
= PQ = 1,2 cm, ou seja, os segmentos MN, NP e PQ são congruentes entre si.
Repetindo esse procedimento, ao traçarmos outras transversais ao feixe de paralelas, podemos
verificar que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si.
De modo geral, temos que:
Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal,
ele também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Vamos fazer a demonstração desse fato usando um feixe de três retas paralelas.
Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c e as retas t e m duas transversais, tais que 2ABBC. Vamos provar
que 2MNNP.
Traçamos por M e N retas paralelas à reta t.
• ABRM é um paralelogramo
2ABMR
• BCSN é um paralelogramo
2BCNS
• 2ABBC (dado)
2MRNS I
• 2R
ˆ
MNS
ˆ
NP (ângulos correspondentes) II
• 2M
ˆ
RNN
ˆ
SP ⁄⁄bceMRNS() III
Por I, II e III, temos *MRN 2 *NSP
(caso de congruência de triângulos ALA – Ângulo, Lado, Ângulo).
Portanto, 2MNNP. Essa demonstração pode ser estendida a um feixe de mais de três retas
paralelas.
TEOREMA DE TALES
Vamos estudar o que acontece quando os segmentos determinados por um feixe de paralelas
sobre duas transversais não são congruentes entre si.
• Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c, que determinam, na reta transversal t, os segmentos AB e BC
e, na reta transversal m, os segmentos MN e NP.
a
b
c
AM
N
P
B
C
tm
M
N
P
a
b
c
m
A
B
C
t
R
S
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
153
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AMPLIANDO
Atividades complementares
Propor, na lousa, as seguintes situa
ções de aplicação do teorema de
Tales.
1. Na figura a seguir, temos r ⁄ s ⁄ t.
Determinar a medida x indicada.
2
8 10
x
t
s
r
2. Vamos determinar a medida de
y na figura a seguir, sabendo que
a ⁄ b ⁄ c.
y + 2
y _ 2
a b c
y
3
Resolução das atividades
1. Pelo teorema de Tales, temos:
10
2
8
x
=
Pela propriedade fundamental
das proporções temos:
10x = 2 ? 8
10x = 16
x =
16
10
x = 1,6
2. Pelo teorema de Tales, temos:
y
y
y
y
22+
=
_
Pela propriedade fundamental
das proporções temos:
3(y + 2) = y(y _ 2)
3y + 6 = y
2
_ 2y
_y
2
+ 3y + 2y + 6 = 0
_y
2
+ 5y + 6 = 0
y
2
_ 5y _ 6 = 0
Resolvendo a equação do 2
o
grau:
D = (_5)
2
_ 4 ? (1) ? (_6) =
= 25 + 24 = 49
y =
54 9
2
()__±
=
57
2
±
y‘ =
12
2
= 6
y’ =
2
2
_ = _1
Como y = _1 não satisfaz (não
existe medida de segmento nega-
tiva), então y = 6.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
•Vamos tomar uma unidade u, com a qual é possível dividir cada um dos segmentos,
AB e BC, em uma quantidade de partes iguais indicada por um número inteiro.
Por exemplo, na figura a seguir, AB = 2 u e BC = 3 u. Dividimos, assim, os segmentos AB
e BC em duas e três partes, respectivamente, de modo que os cinco segmentos obtidos sejam
congruentes.
a
b
c
AM
N
P
B
C
tm
u
u
u
u
u
•Pelos pontos de divisão, traçamos retas paralelas
às retas a, b e c. Pela propriedade já estudada, se
os segmentos determinados em t são congruentes,
então os segmentos determinados em m também
serão congruentes. Chamamos a unidade dessas
medidas de v. Assim, no exemplo dado, temos:
a
b
c
AM
N
P
B
C
tm
u
uv
uv
uv
uv
v
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Essa relação é conhecida como teorema de Tales, em homenagem ao matemático grego
Tales de Mileto. Podemos enunciar esse teorema da seguinte maneira:
Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.
a
b
c
AM
N
P
B
C
tm
a ⁄ b ⁄ c
=
AB
BC
MN
NP
Podemos ainda considerar outras proporções com base no teorema de Tales:
•
AB
AC
MN
MP
= •
BC
AC
NP
MP
= •
AB
MN
BC
NP
=
==
AB
BC
2u
3u
2
3
==
MN
NP
2v
3v
2
3
Podemos perceber que =
AB
BC
MN
NP
, o que significa que os segmentos AB,
BC, MN e NP, nessa ordem, são proporcionais.
154
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de atividades, os
estudantes terão a oportunidade
de identificar e aplicar o teorema
de Tales em diversas situações.
Nessa seção, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA10. Sempre que possí-
vel, incentivar os estudantes a
justificar a resposta apresen-
tada por meio de argumentos
com base no estudo realizado.
Incentivar também a troca de
ideias entre eles e o respeito às
diferentes opiniões.
Na atividade 7, pode-se falar
com eles sobre a expressão ruas
paralelas, que costuma ser utili-
zada no cotidiano. Comentar que,
muitas vezes, a distância entre as
ruas nem sempre é constante;
nesses casos, as ruas não são,
necessariamente, representações
de retas paralelas. Explicar que
podem ser encontradas situações
em que o paralelismo existe de
fato, principalmente em cidades
planejadas, nas quais as ruas não
surgiram de acordo com o cres-
cimento urbano, muitas vezes,
desordenado.
Nesse sentido, pode-se propor
aos estudantes que realizem uma
pesquisa sobre cidades brasileiras
que foram planejadas. Esse traba-
lho pode ser realizado em parceria
com o professor de Geografia.
Essa atividade também possibilita
o desenvolvimento da competência
específica 4 da área de Matemática
no que diz respeito à observação
sistemática de aspectos qualitati-
vos e quantitativos presentes nas
práticas sociais e à comunicação
de informações relevantes, para
interpretá-las e avaliá-las critica-
mente, produzindo argumentos
convincentes.
Na atividade 8, conside-
rando a ilustração apresentada,
os estudantes devem mostrar
que x + y = 29. Essa atividade
permite desenvolver um aspecto
importante previsto na habili-
dade EF09MA10.
Responda às questões no caderno.
1. Em cada uma das figuras, temos que
a ⁄ b ⁄ c. Considerando as medidas dadas,
em unidade de comprimento, calcule o
valor de x.
a)
a
3240
100 x
b
c
b)
a
4,55,4
3
x
bc
2. Na figura, temos que a ⁄ b ⁄ c. Conside
rando que AB = 21 cm, AC = 49 cm e
DE = 27 cm, qual é a medida de DF?
a
b
c
A
B
C
D
E
F
3. Considerando a figura a seguir, em que
a ⁄ b ⁄ c, determine o valor de x + y. Escreva
detalhadamente os cálculos que você fez e
expliqueos a um colega. Vocês resolveram
esse problema de modos diferentes?
5
a
b
c
x2,75
84 y
4. Sabendo que a ⁄ b ⁄ c, qual é o valor de
y _ x?
a
b
c
A
B
C
M
N
P
5
13
y
x
45
80
3,6
63 cm
6,9
20
ATIVIDADES
5. Na figura a seguir, determine os possíveis
valores que a medida x pode assumir,
sabendo que r ⁄ s ⁄ t.
r
s
t
x
x + 2
2x + 4
25
6. Quais são os valores de x e y indicados
na figura?
a
r
s
t
3x
6
2
x + 3
b
y
7. A figura seguinte indica três lotes de terre
nos com frentes para a rua A e para a rua
B. As divisas dos lotes são perpendicula
res à rua A e paralelas entre si. As frentes
dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A medem,
respectivamente, 45 metros, 60 metros e
75 metros. A frente do lote 2 para a rua
B mede 72 metros. Quais são as medidas
das frentes para a rua B dos lotes 1 e 3?
x
72 m
45
m
60
m
Rua
A
Rua B
75
m
y
1
2
3
8. Nesta figura,
considere que
a ⁄ b ⁄ c ⁄ d
e mostre que
x + y = 29.
8 ou 0,5.
x = 1 e y = 9.
Lote 1: 54 metros;
lote 3: 90 metros.
Resposta na seção
Resoluções
comentadas
deste Manual.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x
4
y
10
8
10
abcd
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Teorema de Tales
nos triângulos
Para auxiliar os estudantes na
compreensão do conteúdo desta
página, pode-se propor mais um
exemplo a respeito do teorema
de Tales em triângulos, conforme
sugerido a seguir.
• Em um triângulo ABC, uma
reta r, paralela ao lado BC, vai
dividir o lado AB em dois seg-
mentos cujas medidas são 20 cm
e 30 cm. Sabendo que o lado
AC mede 80 cm, vamos obter as
medidas dos segmentos deter-
minados pela reta r nesse lado
AC. Pelo enunciado do proble-
ma, temos a figura a seguir, em
que x e y são as medidas dos
segmentos determinados em
AC pela reta r.
B C
80
20
30
A
y
r
x
De acordo com o teorema de
Tales nos triângulos, temos:
2030
20
xy
x
+
=
+
.
Como x + y = 80, temos:
50
20
80
x
=
50x = 1 600
x =
1600
50
x = 32
Sabendo que x + y = 80,
determinamos y:
y = 80 _ x
y = 80 _ 32 = 48
Então, os segmentos determi-
nados medem 32 cm e 48 cm.
EDITORIA DE ARTE
TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS
No *ABC da figura, traçamos uma reta r, paralela ao lado
BC. Assim, a reta r corta os lados AB e AC nos pontos M e P,
respectivamente.
Se traçarmos pelo vértice A uma reta s, paralela à reta r, obte-
remos três retas paralelas rsBC,e
TEO
() e duas transversais ABeAC
TEOTEOO
() .
A
BC
MP
rs
Toda reta paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em
pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.
A
BC
MP
Acompanhe a situação a seguir.
Na figura a seguir, RS ⁄ BC. Vamos determinar a medida de x.
Aplicando o teorema de Tales no triângulo, temos:
=
+
+
2x
x
x4
x1
, em que x 5 0 e x 5 _1.
2x(x + 1) = x(x + 4) h x
2
_ 2x = 0
x = 0 ou x _ 2 = 0 h x = 2
Como x = 0 deve ser desconsiderado nesse caso, então x = 2.
r ⁄ s ⁄ BC
TEO
Pelo teorema de Tales,
AM
MB
AP
PC
=.
Se MP ⁄ BC, então
AM
MB
AP
PC
=.
BC
A
RS
2x
x + 4
x + 1
x
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
BC
MP
r
As medidas dos lados de triângulos devem ser sempre maiores do
que zero. Assim, quando encontramos valores menores ou iguais a zero
para essas medidas, devemos desconsiderá-los.
SAIBA QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ao abordar o tópico segmento
áureo, se julgar oportuno, com-
partilhar o trecho a seguir com
os estudantes.
O Partenon [...] uma das
mais admiradas obras da ar-
quitetura universal, revela,
em seu frontispício [...] um
quase exato retângulo áureo.
Todavia não há evidência his-
tórica de que, ao construir o
templo no 5
o
século a.C., os
arquitetos de Péricles tenham
conscientemente usado o re-
tângulo áureo.
ÁVILA, Geraldo. Mídias digitais
II: módulo IV: retângulo áureo e
divisão áurea. Porto Alegre:
UFRGS, [201-?]. Disponível em:
https://www.ufrgs.br/espmat/
disciplinas/midias_digitais_II/
modulo_IV/retangulo_aureo.pdf.
Acesso em: 16 jul. 2022.
AMPLIANDO
Vídeo
O NÚMERO de ouro-Arte e Matemática-Ep. 6 (TV Es-
cola). 2018. Vídeo (25min24s). Publicado pelo canal
Professor Linnell. Disponível em: https://www.youtube.
com/watch?v=3GH7LczhH9M. Acesso em: 16 jul. 2022.
É possível utilizar esse material como recurso para
ampliar o estudo sobre segmento áureo. Se necessá-
rio, habilitar a legenda do vídeo. Apresentar um vídeo
pode ser um recurso interessante para auxiliar estudan-
tes com e sem deficiência visual. Por meio dele, pode-se
ampliar o estudo apresentado no Livro do estudante,
permitindo uma apropriação dos conceitos envolvidos.
Segmento áureo
Acompanhe a situação a seguir.
Considere um segmento AB, que mede 1 cm, e um ponto C que fica entre A e B. Encontre
a distância que esse ponto C deve ficar de A, de modo que a razão entre os segmentos CB e CA
seja igual à razão entre os segmentos AC e AB.
Analisando o enunciado, podemos montar o seguinte esquema.
EDITORIA DE ARTE
x cm (1 _ x) cm
1 cm
AC B
Além disso, do enunciado, podemos escrever:
=h
_
=
CB
CA
AC
AB
1x
x
x
1
h x
2
= 1 _ x h x
2
+ x _ 1 = 0
Calculando as raízes da equação x
2
+ x _ 1 = 0, temos:
=
_± __
h
=
_+
=
__
x
11 411
2
x
15
2
x
15
2
2 1
2
()()







Por se tratar de uma medida
de comprimento, o valor de x
deve ser positivo. Com isso, o
ponto C deve estar a
_51
2
cm
do ponto A. O número
_51
2
é
conhecido como número de ouro,
já o segmento AC recebe o nome
de segmento áureo.
Em diversas construções, no
corpo humano e até mesmo na
natureza, encontramos razões entre medidas que se aproximam do número de ouro. Por exemplo,
a fachada do Partenon, construído no século V a.C. em Atenas, na Grécia, que pode ser inscrita
em um retângulo, no qual a razão entre as medidas dos lados maior e menor é aproximadamente
o número de ouro.
MATEMÁTICA em toda parte | Artes – proporção áurea e Da Vinci. 2009. Vídeo (1min23s). Publicado
pelo canal TV Escola. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=gRr0SZigvwo&list=PLjzl1Kvpa9
BLTyr4Dn3jX0RPHeu7HskSa&index=21. Acesso em: 16 mar. 2022.
O vídeo mostra medidas de partes do corpo humano que apresentam razões próximas do número de ouro
ou da proporção áurea e como essa proporção pode ter sido utilizada na elaboração de obras de arte como o
Homem Vitruviano (c. 1490) e a Mona Lisa (c. 1503), ambos do artista Leonardo da Vinci (1452-1519).
DESCUBRA MAIS
Fachada do
Partenon, na
cidade de Atenas
(Grécia), 2019.
LUCKY-PHOTOGRAPHER/ALAMY/FOTOARENA
157
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nessas atividades, os estudantes
terão a oportunidade de aplicar
o teorema de Tales na resolução
de problemas. Desse modo, pros-
segue-se o desenvolvimento da
habilidade EF09MA10.
Sugerir aos estudantes que
resolvam essas atividades em trios
ou quartetos para que possam
trocar ideias e estratégias. Mesmo
em grupos, solicitar a cada estu-
dante que registre no caderno as
estratégias e resoluções encon-
tradas pelo grupo. Caso seja
necessário, intervir na resolu-
ção de dúvidas e no suporte
das ideias. Propor uma corre-
ção coletiva entre os grupos,
solicitando a cada um deles que
apresente a resolução das ativida-
des. Incentivar a troca de ideias
entre os grupos e o uso de argu-
mentos sempre recorrendo aos
conhecimentos matemáticos nas
justificativas apresentadas, tanto
para defender a veracidade de
uma resposta quanto para apre-
sentar uma justificativa para uma
possível correção. Desse modo,
contempla-se aspectos da com-
petência específica 2 da área de
Matemática.
Na atividade 6, os estudan-
tes são convidados a elaborar um
problema que possa ser resolvido
utilizando os dados apresentados
na ilustração e no texto intro-
dutório da atividade. Esse é um
momento importante em que é
possível analisar se os estudan-
tes compreenderam o conteúdo
abordado e verificar as princi-
pais dúvidas deles, visto que o
processo de elaboração de um
problema exige que eles organi-
zem os conhecimentos adquiridos
para, então, formularem o pro-
blema, assumindo o controle sobre
as ideias matemáticas que absorveram ao longo
das aulas e enquanto resolveram os problemas.
Nessa experiência, eles também assumem o con-
trole sobre o texto que deve expressar as ideias
que desejam, cuidando que fique correto tanto
no aspecto matemático quanto no aspecto rela-
cionado à língua portuguesa.
Responda às questões no caderno.
1. Determine o va lor
de x, sabendo que,
na figura a seguir,
DE ⁄ BC.
2. Na figura, temos que AB ⁄ MP. Qual é o
perímetro do triângulo MNP?
M
N
P
A
B
4x 2
3x 1 1
15
22,5
40
3. No triângulo ABC da figura, temos que
DE ⁄ BC. Sabendo que a medida do
lado BC do triângulo é 14 cm, calcule
as medidas dos lados AB e AC e o perí-
metro desse triângulo.
A
BC
x
x + 4
x _ 1
D E
3
4. Em um triângulo ABC, o lado AB mede
30 cm. Se traçarmos uma reta paralela
ao lado BC do triângulo, ela vai cortar
o lado AB no ponto D e o lado AC no
ponto E. Sabendo que AE = 15 cm e
EC = 9 cm, determine as medidas x (do
segmento AD) e y (do segmento DB).
Faça o esboço da figura e justifique seus
cálculos.
5. Na figura a
seguir, considere
que QR ⁄ NP e
determine o valor
da medida x do
segmento QN.
3
127,5
AB = 8 cm;
AC = 16 cm;
perímetro = 38 cm
x = 18,75 cm; y = 11,25 cm
x = 7,5
M
R
P
Q
5
x
N
8
12
6. A figura representa
um terreno que foi
dividido em dois
lotes. Nela, estão
indicadas algumas
medidas, em
metro. Sabendo
que BC é paralelo
a DE, elabore um
problema que
possa ser resolvido utilizando os dados
da figura.
7. Duas avenidas têm origem em um
mesmo ponto A e cortam duas ruas para-
lelas, como mostra esta figura. Essas ruas
paralelas determinam dois quarteirões
cujos lados, em uma avenida, medem
50 m e 80 m, respectivamente. Na outra
avenida, partindo de A, o lado x do pri-
meiro quarteirão é 36 m menor do que o
lado y do segundo quarteirão. Quais são,
em metro, as medidas de x e y?
A
xy
50 m
80 m
8. O esquema mostra dois postes perpendi-
culares ao solo, os quais estão a 4 m de
distância um do outro, e um fio de 5 m,
bem esticado, ligando os topos dos postes.
Prolongando esse fio até prendê-lo ao
solo, são utilizados mais 4 m de fio. Qual é
a distância entre o ponto no qual o fio foi
preso ao solo e o poste mais próximo a ele?
5 m
4 m
4 m
6. Resposta pessoal. Espera-se que os
estudantes formulem perguntas envolvendo
as medidas x ou y, ou, ainda, que envolvam
o perímetro de cada lote.
60 m e 96 m.
3,2 m
ATIVIDADES
A
E
C
B
D
3
x
x + 14
60
50
30
Lote 2
Lote 1
100
B
A
C
D
E
120
x
y
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Teorema da bissetriz interna
de um triângulo
Ao abordar esse tópico, se julgar
pertinente, apresentar o exemplo
de aplicação do teorema da bisse-
triz interna para ampliar o estudo.
Em um triângulo MNP, a bis-
setriz interna MC do ângulo M
determina no lado NP os seg-
mentos NC e CP, cuja razão é
NC
CP
2
3
=. Sabendo que MN =
= 12 cm, determinar a medida
do lado MP.
C
N P
12
M
x
Pelo teorema da bissetriz interna,
temos:
12
x
NC
CP
=.
Sabendo que
NC
CP
2
3
=, temos:
12
x
2
3
=
2x = 12 ? 3
2x = 36 h x =
36
2
= 18
Então, MP = 18 cm.
EDITORIA DE ARTE
TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
DE UM TRIÂNGULO
• Consideremos o triângulo ABC da figura.
A
BC
• Traçamos a bissetriz interna do ângulo BÂC, o segmento AS, na figura.
BC
A
S
a
1a
2
• Traçamos, pelo vértice C, uma reta paralela à bissetriz interna AS e observamos
que essa paralela encontra o prolongamento do lado AB no ponto E.
A
S
B C
E
a
1a
2
Considerando o triângulo BCE e sabendo que AS ⁄ CE, podemos escrever:
AB
AE
BS
SC
= I
• Partindo da mesma figura, temos:
m = a
1
(ângulos correspondentes)
n = a
2
(ângulos alternos internos)
a
1
= a
2
()ASébissetrizdeB
ˆ
AC
Com isso, concluímos que m = n. Portanto, *AEC é
isósceles, e AE = AC.
Substituindo AE por AC na proporção I, temos:
AB
AC
BS
SC
=.
A
S
B C
E
m
n
a
1a
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
159
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de atividades, os
estudantes devem identificar e
utilizar o teorema de Tales em
triângulos e o teorema da bis-
setriz interna na resolução de
situações-problema. Pedir a eles
que reproduzam, no caderno, as
figuras apresentadas ou dese-
nhem uma figura para a situação
proposta, de modo que possam
acrescentar todas as informa-
ções do enunciado e as que
eles forem determinando com
seus cálculos.
Responda às questões no caderno.
1. Calcule o valor da medida x em cada
figura, conforme a condição dada em
cada item.
a) AD é a bissetriz
do ângulo BAC.
b) BP é a bissetriz
do ângulo A
ˆ
BC.
2. Na figura, sabendo
que AD é a bissetriz
do ângulo BÂC, cal-
cule as medidas de
AC, BD e DC.
A
ˆ
BC
5
2,5
AC = 8, BD = 3, DC = 4
Esse resultado é conhecido como teorema da bissetriz interna de um triângulo, enunciado a seguir.
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, seg-
mentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o ângulo considerado.
AS é a bissetriz interna do ângulo BÂC no triângulo ABC da figura a seguir.
A
S
B C
Considere a seguinte situação.
Na figura, BD é bissetriz interna do ângulo A
ˆ
BC. Determinar o
valor de x.
Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
=
x
6
4
x
h x ? x = 6 ? 4 h x
2
= 24 h x = ±
24 h x = ±2
6
Como se trata da medida de um segmento, a resposta não pode
ser nula nem negativa. Portanto, x =
26.
Então:
AB
AC
BS
SC
= ou
AB
BS
AC
SC
=
A
BC
D
6
x + 4
x _ 1x
A
BC
4 10
2 xD
A
P
B C
2
3,2
4
x
A
B C
D
6
x
x
4
ATIVIDADES
3. Se os lados AB, AC e BC de um triân-
gulo ABC medem, respectivamente, 12 cm,
15 cm e 18 cm, e BD, a bissetriz do ângulo
ABC, intersecta o lado AC no ponto D,
quanto medem os segmentos AD e DC?
4. No triângulo ABC da figura, sabemos
que PM ⁄ BC e AD é a bissetriz do
ângulo BÂC.
A
B C
D
PM
x
10
4
6
7y
8z
Nessas condições, determine o perí-
metro do:
a) triângulo ABC;
b) trapézio PBCM.
A
ˆ
BC
AD = 6 cm, DC = 9 cm
52,5
40,8
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
160
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Figuras semelhantes
Ao longo desse capítulo, será
explorado um conteúdo que busca
favorecer, com maior ênfase, o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA12. Uma sugestão de
encaminhamento do conteúdo
abordado na página 161 do
Livro do estudante é explorar
com os estudantes os dois mapas,
que estão em escalas diferentes.
Questionar a turma a respeito do
porquê de mapas terem escalas
diferentes. Espera-se que os estu-
dantes percebam que, quanto
maior é a escala, mais detalhes
serão apresentados no mapa.
Fórum
Para ampliar a discussão pro-
posta no boxe, compartilhar com
eles o texto a seguir. A discussão
para compreender mais caracte-
rísticas dos mapas e como são
feitas as escolhas para determi-
nadas representações pode ser
trabalhada em parceria com o
professor de Geografia.
Cartografia
[…] Hoje entendemos car
tografia como a representação
geométrica plana […] de toda a
superfície terrestre ou de par-
te desta, apresentada através
de mapas, cartas ou plantas.
[…]
Não se pode esquecer, no
entanto, que os mapas, co-
mo meios de representação,
traduzem os interesses e ob-
jetivos de quem os propõe,
podendo se aproximar ou se
afastar da realidade represen-
tada. Além disso, enfrentam
[…] as limitações e distorções
que inevitavelmente surgem
quando da transposição da
realidade para o plano.
[…]
INSTITUTO BRASILEIRO DE
GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA.
Atlas geográfico escolar. 8. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p.
16. Disponível em: https://
biblioteca.ibge.gov.br/visua
lizacao/livros/liv101627.pdf.
Acesso em: 17 jul. 2022.
CAPÍTULO
3
FIGURAS
SEMELHANTES
SONIA VAZ
Trópico de
Capricórnio
MS
SP
SC
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
Cascavel
Londrina
Curitiba
Maringá
PARANÁ
0 121 km
25° S
Trópico de
Capricórnio
MS
SP
SC
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
Cascavel
Londrina
Curitiba
Maringá
PARANÁ
0 121 km
25° S
Estado do Paraná
Mapa 1.
MS
SP
SC
25° S
Cascavel
Londrina
Curitiba
Trópico de
Capricórnio
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
Maringá
PARANÁ
0 78 km
SONIA VAZ
Estado do Paraná
Mapa 2.
Fonte dos mapas: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 175. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf.
Acesso em: 17 mar. 2022.
Notamos que, embora tenham medidas diferentes, os dois mapas têm a mesma
forma: o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que esses mapas represen-
tam figuras semelhantes.
Importância do contexto nos mapas
A escolha do modo como os assuntos serão apresentados em mapas depende
do que se deseja destacar e do nível de detalhamento necessário em cada situação.
Essa escolha pode influenciar a representação cartográfica, aproximando-a ou
distanciando-a da realidade. Além disso, os mapas podem conter distorções
características de representações reais em um plano.
• Debata com os colegas sobre a importância de consultar mapas de fontes confiáveis
e de conhecer o contexto em que foram produzidos.
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que é importante considerar o
contexto dos dados apresentados em mapas e em outras representações cartográficas,
de modo que seja possível utilizar esses dados para auxiliar na interpretação da realidade,
minimizando as distorções e limitações inerentes a esse tipo de representação.
FÓRUM
Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma sem, necessariamente,
ter as mesmas medidas. Dessa maneira, podemos dizer que a ampliação e a redução
de uma figura são exemplos de semelhança de figuras. Figuras congruentes também
são semelhantes. Vamos verificar o que significa “ser semelhante a” em Geometria.
Os dois mapas a seguir são representações do estado do Paraná, mas ambos
estão em escalas diferentes. Neles, destacamos alguns municípios.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Polígonos semelhantes
O objetivo desse estudo é levar
os estudantes a identificar polígo-
nos semelhantes, compreender as
condições de semelhança desses
polígonos e aplicar essas condi-
ções para resolver problemas.
Esse estudo favorece o desenvol-
vimento da habilidade EF09MA12.
Como sugestão de encami-
nhamento, pode-se explorar o
exemplo e a definição de polígo-
nos semelhantes apresentados no
Livro do estudante. Depois, solici-
tar a eles que expliquem com as
próprias palavras o conceito explo-
rado. Enfatizar, nesse momento,
as condições necessárias para que
polígonos com o mesmo número de
lados sejam semelhantes, ou seja,
ângulos internos respectivamente
congruentes e lados correspon-
dentes proporcionais.
POLÍGONOS SEMELHANTES
Considere os quadriláteros ABCD e MNPQ.
85°
82°
115°
78°
6 cm
5 cm
4 cm
3 cm
A
B
C
D
82°
85°115°
78°
2,4 cm
1,6 cm
1,2 cm
2 cm
M
N
P
Q
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Perceba que:
• os ângulos correspondentes têm a mesma medida:
2
ˆ
A
ˆ
M, 2
ˆ
B
ˆ
N, 2
ˆ
C
ˆ
P, 2
ˆ
D
ˆ
Q
• os lados correspondentes são proporcionais:
==
AB
MN
6
2,4
2,5 ==
CD
PQ
5
2
2,5
==
BC
NP
3
1,2
2,5 ==
AD
MQ
4
1,6
2,5
Portanto:
== ==
AB
MN
BC
NP
CD
PQ
AD
MQ
2,5
Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes. Indicamos
assim:
quadrilátero ABCD / quadrilátero MNPQ
semelhante
Dois polígonos são semelhantes quando possuem os ângulos internos
correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Analise novamente os quadriláteros ABCD e MNPQ. Note que os ângulos internos
correspondentes desses quadriláteros são congruentes e que a razão entre qualquer
lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadrilátero MNPQ é sempre
a mesma: 2,5. Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes
e que 2,5 é a razão de semelhança entre eles.
Para saber se dois polígonos são semelhantes, devemos verificar duas condições:
• os ângulos internos correspondentes devem ser congruentes;
• os lados correspondentes devem ser proporcionais.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Como continuidade desse
estudo, sugere-se que a abor-
dagem para verificar se dois
polígonos são semelhantes seja
feita como na página 162 do
Livro do estudante, ou seja, explo-
rar os exemplos apresentados.
Depois, solicitar a eles que expli-
quem com as próprias palavras
o que ocorre nos dois exemplos
de polígonos não semelhantes.
Desse modo, pode-se verificar se
eles compreenderam o conteúdo
explorado e as dúvidas que eles
têm, sendo essa uma oportuni-
dade para identificar os pontos
que podem ser retomados para
esclarecer as dúvidas deles.
Satisfazer apenas uma das condições não atesta a semelhança entre dois polígonos, como
podemos comprovar pelos exemplos a seguir.

1 Verificar se os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes.
8 cm
6 cm
6 cm
3 cm 3 cm
8 cm
6 cm 6 cm
MN
QP
AB
CD
Analisando os quadriláteros, podemos verificar que:
• os ângulos correspondentes são congruentes (são retos);
• os lados correspondentes não são proporcionais, pois:
==
AB
MN
8
6
4
3
==
BC
NP
6
3
2
Portanto, 5
AB
MN
BC
NP
.
Embora os ângulos correspondentes dos quadriláteros sejam congruentes, os lados corres-
pondentes não são proporcionais. Logo, os quadriláteros ABCD e MNPQ não são semelhantes.

2 Conferir se os quadriláteros a seguir são semelhantes.
8 cm
4 cm
4 cm
3 cm
3 cm
8 cm
6 cm 6 cm
AB
CD
M N
Q P
Fazendo a verificação, temos:
• os lados correspondentes são proporcionais:
== =
AB
MN
CD
PQ
8
4
2 == =
BC
NP
AD
MQ
6
3
2
Portanto, ==
AB
MN
BC
NP
2.
• os ângulos correspondentes não são congruentes.
Nesse caso, embora os lados correspondentes dos quadriláteros sejam proporcionais, os
ângulos internos correspondentes não são congruentes. Portanto, os quadriláteros ABCD e MNPQ
não são semelhantes.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O objetivo aqui é que os estu-
dantes compreendam e apliquem
a propriedade do perímetro em
polígonos semelhantes.
Para isso, sugerir a leitura do
texto apresentado no Livro do
estudante, que mostra a relação
entre a razão de semelhança e a
razão dos perímetros de polígo-
nos semelhantes.
Depois da leitura, para facilitar
a compreensão, solicitar a alguns
estudantes que expliquem com as
próprias palavras o que entende-
ram a respeito da propriedade do
perímetro em polígonos semelhan-
tes. Incentivar a expressão oral,
a argumentação, a empatia e
a cooperação nos momentos
de troca de ideias. Anotar na
lousa as ideias sugeridas pelos
estudantes. Em seguida, orga-
nizar essas ideias e pedir a eles
que produzam cartazes com
essas ideias principais.
Se julgar conveniente, propor
uma atividade de ampliação ou
redução de figuras geométricas,
de acordo com determinada
razão; por exemplo: Dado um
hexágono ABCDEF, ampliá-lo na
razão 1 para 3 em relação aos
lados desse polígono, determi-
nando o hexágono A‘B‘C‘D‘E‘F‘.
Uma propriedade importante
Observe os pentágonos ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘ representados a seguir.
3 cm
2,6 cm
2,6 cm
2,2 cm 97°
100°93°
130°
120°
2,8 cm
D
E
AB
C
1,5 cm
1,3 cm
1,3 cm1,1 cm
97°
100°93°
130°
120°
1,4 cm
D‘
C‘
B‘A‘
E‘
Observe que:
• os ângulos correspondentes são congruentes;
• os lados correspondentes são proporcionais:
‘‘
==
AB
AB
3
1,5
2
CD
CD
2,6
1,3
2
‘‘
==
‘‘
==
EA
EA
2,8
1,4
2
‘‘
==
BC
BC
2,6
1,3
2
‘‘
==
DE
DE
2,2
1,1
2
Então, ABCDE / A‘B‘C‘D‘E‘, e a razão de semelhança é 2.
Agora, vamos calcular o perímetro de cada um dos pentágonos.
• Perímetro (P) de ABCDE:
P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cm
P = 13,2 cm
• Perímetro (P‘) de A‘B‘C‘D‘E‘:
P‘= 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cm
P‘ = 6,6 cm
A razão entre os perímetros P e P‘ é dada por:
‘
==
P
P
13,2
6,6
2
razão de semelhança ou razão entre as
medidas dos lados correspondentes
Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos
são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de atividades, dá-se
continuidade ao desenvolvimento
da habilidade EF09MA12. Assim,
busca-se verificar, por meio das
questões propostas, se os estu-
dantes reconhecem polígonos
semelhantes e compreendem e
aplicam a propriedade do períme-
tro em polígonos semelhantes.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Para ampliar as situações propostas, solicitar aos estudantes que realizem
uma atividade prática para aplicar a razão de semelhança por meio da escala.
Disponibilizar plantas de casas ou de apartamentos encontradas em jornais
e/ou panfletos, levar para a sala de aula e distribuir entre os estudantes. Em
grupos, eles poderão realizar os cálculos da medida dos cômodos do imóvel na
planta. Depois, pedir a eles que desenhem a planta baixa de uma casa, utili-
zando uma escala de 1 : 100.
Posteriormente, a planta pode ser reproduzida em papelão ou isopor.
Se julgar conveniente, propor a construção de uma maquete com o auxílio
dos familiares. Na construção da maquete, os estudantes poderão calcular
as proporções e realizar o trabalho em escala.
Combinar a apresentação das maquetes. Orientar os grupos a apresentar
suas maquetes com a explicação de como foram realizados os cálculos para
transformar as dimensões reais do imóvel escolhido na escala de 1 : 100. Além
disso, poderão apresentar a área da maquete construída e a área real do imóvel.
Responda às questões no caderno.
1. Considerando o retângulo ABCD da
figura, mostre que são verdadeiras as
afirmações dos itens a e b.
24 cm
15 cm
A
D
B
C
a) O retângulo ABCD é semelhante ao re-
tângulo EFGH.
40 cm
25 cm
HG
EF
b) O retângulo ABCD não é semelhante ao
retângulo IJKL.
30 cm
L K
I J
20 cm
2. Analise as afirmações e verifique se são
verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique
as respostas e compare-as com as de
outros colegas.
a) Dois retângulos são sempre semelhantes.
b) Dois quadrados são sempre semelhantes.
c) Dois triângulos são sempre semelhantes.
d) Dois triângulos equiláteros são sempre
semelhantes.
e) Dois polígonos regulares com a mesma
quantidade de lados são sempre
semelhantes.
3. Os hexágonos regulares H
1
e H
2
repre-
sentados a seguir são semelhantes. Qual
é a razão de semelhança entre H
1
e H
2
?
20
20
20 20
20 20
A
BC
D
EF
H
1
A
B
C
D
E
F
15 15
15
15 15
15
H
2
2. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
F
V
F
V
V
4
3
4. Dados os octógonos regulares O
1
e O
2
,
o perímetro de O
1
é 48 cm, e a razão de
semelhança entre O
1
e O
2
é
3
4
.
x
y
O
1
O
2
a) Qual é o perímetro de O
2
?
b) Quais são as medidas de x e y?
5. Considere que os trapézios ABCD e
MQPN, representados a seguir, são
semelhantes e que as medidas estão
indicadas em centímetro.
30
62
24
40
AD
CB
x
z
12
y
MN
PQ
a) Qual é a razão de semelhança entre os
trapézios ABCD e MQPN?
b) Determine as medidas x, y e z.
c) Qual é a razão entre o perímetro de
ABCD e o perímetro de MQPN?
6. Sabe-se que os pentágonos ABCDE e
A‘B‘C‘D‘E‘ são semelhantes; o lado AB
é correspondente ao lado ‘‘AB, e o lado
BC é correspondente ao lado ‘‘BC.
D
E
C
3,0 cm
B
A2,1 cm
108°
2,0 cm
C‘
D‘
E‘
A‘
B‘
a) Qual é a razão de semelhança entre
ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘?
b) Qual é a medida do ângulo com vértice
em D‘?
c) Qual é a medida do lado ‘‘AB?
64 cm
6 cm e 8 cm.
2
b) x = 15 cm; y = 20 cm; z = 31 cm
2
a)
3
2
ou 1,5.
108°
1,4 cm
ATIVIDADES
1. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que a afirmação é
verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, e os lados
correspondentes são proporcionais, cuja razão de proporção é
3
5
.
b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concluam que a afirmação é
verdadeira, pois os ângulos internos correspondentes são congruentes, mas os lados
correspondentes não são proporcionais.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Triângulos semelhantes
O objetivo desse estudo é levar
os estudantes a identificar triân-
gulos semelhantes.
Explorar os mapas, verificando
as condições de semelhança de
polígonos. É importante enfatizar
que o triângulo é um caso especí-
fico entre os polígonos, pois basta
verificar uma das duas condições
de semelhança de polígonos
para concluir que se trata de um
polígono semelhante. Discutir
com os estudantes essa particu-
laridade do triângulo em relação
aos demais polígonos. Destacar a
rigidez do triângulo e a garantia
de que, se dois triângulos tiverem
os três ângulos correspondentes
congruentes, necessariamente
eles são semelhantes. Comentar
que os quadriláteros podem ter
lados proporcionais, mas ângulos
diferentes.
Trópico de
Capricórnio
MS
SP
SC
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
2,9 cm
3,5 cm
1,9 cm
25° S
85º
35º
60º
Cascavel
Londrina
Curitiba
Maringá
PARANÁ
0 121 km
Estado do Paraná
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Você se lembra dos dois mapas do estado do Paraná apresentados na página 161, cada
um em uma escala diferente? Agora, analise os triângulos cujos vértices são os três pontos que
indicam os municípios de Curitiba, Maringá e Cascavel.
Fonte dos mapas: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed.
Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 175. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf.
Acesso em: 17 mar. 2022.
SONIA VAZ
4,5 cm
5,4 cm
2,9 cm
85º
35º
60º
MS
SP
SC
25° S
Cascavel
Londrina
Curitiba
Trópico de
Capricórnio
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
Maringá
PARANÁ
0 78 km
Estado do Paraná
SONIA VAZ
Trópico de
Capricórnio
MS
SP
SC
50º O
OCEANO
ATLÂNTICO
2,9 cm
3,5 cm
1,9 cm
25° S
85º
35º
60º
Cascavel
Londrina
Curitiba
Maringá
PARANÁ
0 121 km
Mapa 3.
Mapa 4.
Esses dois triângulos satisfazem as condições que nos permitem concluir que dois polígonos
são semelhantes: os ângulos internos são, respectivamente, congruentes, e os lados correspon-
dentes são proporcionais.
No entanto, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta que uma das duas
condições mencionadas se verifique. Se uma delas for satisfeita, a outra também será satisfeita.
Vamos fazer essa verificação.
• Os ângulos internos são respectivamente congruentes.
M
NP
60° 35°
85°A
BC
60° 35°
85°
• Os lados correspondentes são proporcionais.
4,8 cm3,2 cm
2,0 cm 3,0 cm
3,5 cm 5,6 cm
M
N P
A
BC
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Para auxiliar os estudantes no
entendimento do conceito de
triângulos semelhantes, apresen-
tar o exemplo a seguir na lousa.
Considerando a figura a
seguir, determine as medidas x
e y indicadas.
A
B D
C
y
E
3 cm
4 cm
10 cm
x
6 cm
Em relação aos triângulos ABC
e CDE, temos:
B
ˆ
2 D
ˆ
(ângulos retos)
BCA
ˆ
2 DCE
ˆ
(ângulos o.p.v.)
Logo, *ABC / *CDE.
Sendo AB e DE, BC e CD, AC
e CE os lados homólogos nos
triângulos considerados, temos:
AB
DE
BC
CD
AC
CE
==
6
3
x
4
10
y
==
6
3
é a razão de semelhança.
Assim:
6
3
x
4
= h 3x = 24 h x = 8
6
3
10
y
= h 6y = 30 h y = 5
Então, x = 8 cm e y = 5 cm.
EDITORIA DE ARTE
== ==
AB
MN
2,0
3,2
20
32
5
8
0,625
== ==
AC
MP
3,0
4,8
30
48
5
8
0,625
== ==
BC
NP
3,5
5,6
35
56
5
8
0,625
Portanto, *ABC / *M N P.
Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos internos respectivamente
congruentes ou os lados correspondentes proporcionais.
Em dois triângulos semelhantes:
• os ângulos congruentes são chamados de ângulos correspondentes;
• os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados de lados homólogos.
Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente congruentes, o terceiro ângulo de
cada triângulo também será congruente, pois a soma das medidas dos ângulos internos de cada
triângulo é 180°.
Assim, para saber se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles possuem dois
ângulos respectivamente congruentes.
Consideremos os triângulos ABC e MNP representados a seguir.
M
PN
A
CB
Pelas indicações nas figuras, temos:
2
ˆ
A
ˆ
M 2
ˆ
B
ˆ
N 2
ˆ
C
ˆ
P
Então, *ABC / *M N P.
Vamos demonstrar que, se os ângulos do *ABC e do *MNP são congruentes, então:
==
AB
MN
AC
MP
BC
NP
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco de atividades,
os estudantes devem identificar
triângulos semelhantes e aplicar
as propriedades de semelhança
na resolução de problemas. Desse
modo, prossegue-se o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA12.
Na atividade 1, orientar os
estudantes a justificar as res-
postas usando a definição de
semelhança de triângulos.
Para complementar o trabalho,
se possível, sugerir a atividade
complementar a seguir.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Representar um triângulo ABC
qualquer. Determinar o ponto médio
de cada um dos lados do triângu-
lo e unir esses pontos dois a dois,
obtendo, assim, quatro triângulos
menores. A seguir, há um exem-
plo de como deve ficar a imagem.
A
B C
D
E
F
Recortar esses quatro triângu-
los. Sobrepor as peças recortadas
e solicitar que façam comentários
e observações a respeito dos ângu-
los e dos lados. Depois, propor aos
estudantes que dividam os triângu-
los menores novamente nos pontos
médios dos lados, formando ao to-
do 16 triângulos, e comparem com
o triângulo maior, ABC.
Resolução da atividade
Espera-se que os estudantes con-
cluam que todos os 16 triângulos são
congruentes entre si e semelhantes
ao triângulo ABC inicial.
EDITORIA DE ARTE
Como os ângulos
ˆ
M e
ˆ
A são congruentes, vamos
sobrepor o *MNP ao *ABC, de modo que
ˆ
M fique super-
posto a
ˆ
A.
Nessas condições, NP é paralelo a BC, pois 2
ˆ
N
ˆ
B
(ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos:
=
AB
MN
AC
MP
I
Como os ângulos
ˆ
N e
ˆ
B são congruentes, vamos
sobrepor o *MNP ao *ABC, de modo que
ˆ
N fique super-
posto a
ˆ
B.
Nessas condições, MP é paralelo a AC, pois 2
ˆ
M
ˆ
A
(ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos:
=
BC
NP
AB
MN
II
Das igualdades I e II, concluímos que:
==
AB
MN
AC
MP
BC
NP
Ou seja, os lados do *ABC são proporcionais aos lados correspondentes do *M N P.
Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos
lados do outro, em relação aos ângulos correspondentes. Dizemos que esses lados são
os lados homólogos do par de triângulos semelhantes.
A 9 M
P
N
CB
coincidente
B 9 N P
M
C
A
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Em cada item, decida se os pares de
triân gulos representados são ou não
são semelhantes, de acordo com as in-
dicações nas figuras.
a)
A
BC
30°
P
QR
45°
Não.
b)
A
B
C
D
E
c)
110°
30°
C
M
D
40°
110°
S
T
P
Sim.
Sim.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Para a resolução do desafio 6,
sugerir aos estudantes que se
organizem em duplas para facilitar
a troca de ideias, conhecimento
e estratégias.
Pedir a eles que reproduzam no
caderno a figura e listem as infor-
mações importantes. Incentivar
a troca de ideias nas diferentes
estratégias de resolução de pro-
blemas e argumentação deles.
Incentivá-los a utilizar justifica-
tivas de acordo com o estudado
realizado, ou seja, eles devem apre-
sentar argumentos convincentes
sempre recorrendo ao conheci-
mento matemático adquirido.
Incentivá-los também a utilizar
os termos matemáticos corretos
sempre que precisarem apresen-
tar uma justificativa.
Solicitar a eles que registrem
em detalhes como pensaram para
chegar à solução do desafio.
Depois, corrigir coletivamente
a atividade, pedindo às duplas
que mostrem como pensaram.
Socializar os diferentes proce-
dimentos, procurando sanar as
dúvidas dos estudantes.
2. Quais condições permitem afirmar que
os triângulos representados a seguir são
semelhantes?
D
E
F
A
B
C
50°
50°
3. As indicações feitas nos triângulos a
seguir nos permitem afirmar que o
*ABC é semelhante ao *MNP. Nessas
condições, escreva uma relação de
igualdade entre as medidas x, y e z.
C
BA MN
P
xx
yz
ˆ
B
ˆ
E2 e
ˆ
C
ˆ
D2.
x
z
y
x
= ou x
2
= y ? z.
4. Na figura, o *ABC é semelhante ao
*AED 2ˆAécomume
ˆ
CˆD() . Determine
o valor de x em função de a e b.
A1 Eb B
C
D
x
a
5. Calcule a altura h de um prédio, que
projeta uma sombra de 19,2 m no
mesmo instante em que uma árvore
de 8,4 m projeta uma sombra de 5,6 m
(considere que a base do prédio e a
árvore estão no mesmo nível e que
ambos são perpendiculares ao chão).
x = ab
28,8 m
DESAFIO
6. (FGV-RJ) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhe-
cemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas
centenas de anos após sua morte.
Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar,
em relação a um ponto na praia.
Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de
um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco.
Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e a altura do penhasco (d),
ele calculou a distância x em relação ao barco.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
x
d
h
c
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x. Em seguida, deter-
mine a distância do navio à praia com estes dados: h = 1,80 m; c = 0,75 m; d = 298,20 m.
125 m. Espera-se que os estudantes utilizem os conhecimentos sobre semelhança de triângulos para
resolver o problema.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Teorema fundamental da
semelhança de triângulos
Ao abordar esse tópico, dá-se
continuidade aos desenvolvimen-
tos da habilidade EF09MA12.
Verificar se os estudantes com-
preendem a demonstração do
teorema. Se possível, realizar
os exemplos na lousa e, sempre
que possível, solicitar a participa-
ção deles. Se julgar pertinente,
pode-se fazer uma breve retomada
do conceito de congruência de
triângulos e fazer um comparativo
com o conceito de semelhança de
triângulos para que fique clara a
diferença entre esses conceitos.
AMPLIANDO
Vídeo
INTRODUÇÃO à semelhança de triângulos. Khan Academy.
[S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/
pt9-ano/geometria-9ano/pt-introduo-semelhana-de-tringulos/
v/similar-triangle-basics?modal=1. Acesso em: 17 jul. 2020.
Nesse link, é possível visualizar uma videoaula que pode ser
utilizada para ampliar o trabalho com o tópico Teorema fun-
damental da semelhança de triângulos.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Toda reta paralela a um lado de um triângulo – e que cruza os outros
dois lados em pontos distintos – determina, com esses lados, um triângulo
semelhante ao primeiro.
Considerando o *ABC representado a seguir, traçamos uma reta r, paralela ao lado BC e
que cruza o lado AB no ponto D e o lado AC no ponto E.
A
BC
A
B
DE
C
r
Como r ⁄ BC, temos:
•2
ˆ
B
ˆ
D (ângulos correspondentes);
•2
ˆ
C
ˆ
E (ângulos correspondentes);
•Â é ângulo comum.
Portanto, *ABC / *ADE.
Separando os triângulos ABC e ADE, temos:
A
BC
A
DE
Como os triângulos são semelhantes, os lados homólogos são proporcionais, ou seja:
==
AB
AD
AC
AE
BC
DE
Acompanhe o exemplo a seguir.
Aplicando o teorema fundamental da semelhança de triângulos e sabendo que MP ⁄ AB,
vamos calcular as medidas x e y indicadas na figura.
A
BC
P
M
6
x
6
y4
4
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Inicialmente, promover uma
conversa sobre o teorema fun-
damental da semelhança de
triângulos e, depois, pedir a eles
que leiam o texto do Livro do
estudante. Em seguida, pedir-lhes
que resolvam as atividades 1
e 2. Corrigir essas atividades e
verificar se é necessário retomar
alguma parte do conceito. Se não
houver dúvidas, prosseguir com
as atividades. Por fim, corrigi-las
na lousa com os estudantes e
pedir a eles que expliquem as
etapas de cálculo que utilizaram.
O objetivo desse bloco de
atividades é que os estudantes
apliquem o teorema fundamen-
tal da semelhança de triângulos
em situações variadas, a utiliza-
ção desse processo de resolução
favorece o desenvolvimento da
competência específica 5 da
área de Matemática e da habi-
lidade EF09MA12. Pedir a eles
que reproduzam as figuras no
caderno, escrevam a relação
encontrada e justifiquem a uti-
lização do teorema. Ao final,
corrigir as atividades coletiva-
mente, procurando sanar as
dúvidas dos estudantes.
Separando os triângulos e escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos:
A
BC
6
x + 6
4 + y
CP
M
4
y
6
== h=
+
=
+AB
MP
AC
MC
BC
PC
6
4
x6
6
4y
y
Com isso, resolvemos as seguintes equações.
+
=
x6
6
6
4
4(x + 6) = 6 ? 6
4x + 24 = 36
4x = 12
x = 3
+
=
4y
y
6
4
6y = 4(4 + y)
6y = 16 + 4y
2y = 16
y = 8
Portanto, x = 3 e y = 8.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Sabendo que MN ⁄ RQ, determine as
medidas x e y indicadas na figura.
18
M
x
R
y
Q
18N15
P
12
2. Na figura, temos DE ⁄ BC. Nessas con-
dições, determine as medidas de AB
e AD.
A
B
10D
E
C
36
27
x = 21,6 e y = 26,4.
AB = 30 e AD = 40.
3. No triângulo retângulo ABC da figura,
DE é paralelo a AB. Sabendo que as
medidas indicadas estão em centímetro,
calcule a área do trapézio ABED.
D
8
A 15
20
C
B
E
4. Na figura a seguir, AC e BD são perpen-
diculares a OB. Determine a razão
x
y
,
indicando a resposta na forma decimal.
y 13,6
x
18
15
17
AOB
C
D
96 cm
2
A área do
trapézio é dada por
=
?+()
S
ADABDE
2

SAIBA QUE
3,2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
171
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
No desafio 9, solicitar aos estu-
dantes que representem a situação
descrita no enunciado por meio
de um esquema; ajudá-los caso
eles apresentem alguma dúvida
para fazer essa representação.
A seguir, apresentamos uma
sugestão de esquema.
1,5 m
4 m
12,3 m
x
Se julgar conveniente, sugerir
aos estudantes que formem
duplas para que possam trocar
ideias e estratégias. Ao finali-
zarem a resolução, pedir que
escrevam um texto explicando
a trajetória percorrida por eles
até a resolução do desafio.
EDITORIA DE ARTE
5. Uma pessoa está a 6,30 m da base de um
poste, conforme representa a figura.
Sabendo que essa pessoa tem 1,80 m de
altura e projeta no solo uma sombra de
2,70 m de comprimento, qual é a altura
do poste?
a) 4,80 m
b) 6 m
c) 4,50 m
d) 6,4 m
e) 8 m
6. Para determinar a largura L de um lago,
Paulo desenhou o esquema a seguir, em
que AB ⁄ CD. Que medida ele encontrou
para a largura L do lago?
A
B
P
C
D
L 100 m
80 m
200
m
7. Um observador, situado em um ponto
O da margem de um rio, precisava
determinar, sem atravessar o rio, a
que distância estava de um ponto P,
Alternativa b.
250 m
DESAFIO
Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir.
9. (Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio
do Planalto, em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa,
tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a
1,5 metros de altura em relação ao solo.
[...] Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais
alto da rampa.
Para a resolução
deste desafio,
acompanhem estas
sugestões:
a) representem a situação por meio
de um esquema e indiquem as medidas;
b) observem os triângulos semelhantes do desenho;
c) escrevam uma proporção que lhes permita calcular a
medida procurada;
d) resolvam a equação correspondente;
e) analisem a solução obtida.
20,5 m
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
localizado na outra margem. Para isso,
marcou com estacas outros pontos do
lado da margem em que estava, de tal
modo que P, O e B ficaram alinhados
entre si, e P, A e C também, como mostra
o esquema a seguir. Sabendo que OA é
paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e
OB = 30 m, qual é a distância, em metro,
do observador em O até o ponto P?
P
A
rio
O
CB
8. (Mack-SP) No triângulo
ABC da figura, o lado BC
mede 4,5 e o lado do qua-
drado DEFG mede 3.
A altura do triângulo ABC,
em relação ao lado BC,
mede:
a) 7,5.
b) 8,0.
c) 8,5.
d) 9,0.
e) 9,5.
50 m
Alternativa d.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
EF
CDGB
A
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
IMAGENS FORA
DE PROPORÇÃO.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Utilizar o texto da seção a res-
peito da medição da altura das
pirâmides feita por matemáticos
da Antiguidade para promover
um debate a respeito de como
os conceitos vistos na Unidade
surgiram e se desenvolveram ao
longo da história da Matemática.
Para isso, orientar os estudan-
tes a realizar pesquisas em sites
confiáveis e livros. Conhecer o
desenvolvimento da Matemática
ao longo da história auxilia os
estudantes a compreender a
evolução do conhecimento ao
longo do tempo. Esse processo
enriquece a trajetória de apren-
dizagem, possibilitando a eles
valorizar e utilizar conhecimen-
tos construídos ao longo da
história, conforme orienta a
competência geral 1.
Acompanhar os estudantes
na resolução da questão pro-
posta e verificar se é necessário
fazer alguma retomada para
auxiliá-los.
Acredita-se que Tales foi desafiado a medir a altura [da] grande pirâmide de Quéops.
Para tanto, existem duas versões da história. Hicrônimos, discípulo de Aristóteles, acre-
ditava que Tales mediu o comprimento da sombra da pirâmide no momento em que
nossas sombras são iguais a nossa altura, assim medindo a altura da pirâmide. Plutarco
acreditava que fincando uma vara vertical no extremo da sombra
projetada pela pirâmide, Tales construiu a sombra projetada da
vara, formando no solo dois triângulos semelhantes.
A ALTURA da pirâmide de Quéops e o teorema de Tales. Derivando a matemática. Instituto de Matemática,
Estatística e Computação Científica – Unicamp. Campinas, [2019?]. Disponível em:
http://www.ime.unicamp.br/~apmat/a-altura-da-piramide-de-queops-e-o-teorema-de-tales/.
Acesso em: 17 mar. 2022.
DESCOBRINDO A ALTURA DE PIRÂMIDES
No início desta Unidade, comentamos que Tales de Mileto foi desafiado a medir a altura da
pirâmide de Quéops e que o teria feito com o auxílio de um bastão. Como será que ele o fez?
Leia, a seguir, o trecho de um texto a respeito desse desafio.
POR TODAPARTE
Fincar: enterrar; cravar.GLOSSÁRIO
EDITORIA DE ARTE
Vamos analisar como Tales teria medido a altura da pirâmide usando uma vara vertical, como
mostra a figura a seguir.
A
B
E
D
C
Por meio desse método, Tales poderia determinar a altura da pirâmide, sabendo que =
AB
BC
DC
CE
.
Logo, =
?
AB
DCBC
CE
.
Desse modo, bastaria medir o comprimento das duas sombras e da altura da vara para
determinar a altura da pirâmide.
Responda à questão no caderno.
• A pirâmide de Quéops, também conhecida como a Grande Pirâmide, é a mais alta das
pirâmides do Egito. Logo após sua construção, ela tinha a altura equivalente a um
prédio de 50 andares. Por isso, conhecer a altura da pirâmide não era uma tarefa fácil.
Estudamos, no texto, que Tales teria utilizado conceitos geométricos para descobrir
a altura da pirâmide de Quéops.
Suponha que, em determinado momento do dia, a sombra de uma pessoa, com
1,80 m de altura, media 5,40 m de comprimento e, nesse mesmo momento, o com-
primento da sombra da pirâmide de Quéops media 438 m. Considerando esses dados,
calcule a medida da altura da pirâmide.
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
146 m
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
Essa seção pode ser utilizada
como um momento para avaliar
os estudantes. Solicitar que resol-
vam as atividades propostas
individualmente. Acompanhar e
observar as principais dúvidas que
surgirem para, depois, proporcio-
nar um momento para debater
e fazer retomadas. Momentos
como esse permitem que seja
feita uma análise e reflexão das
estratégias de ensino utilizadas ao
longo da Unidade. Desse modo,
além de avaliar os estudantes, é
possível refletir sobre a própria
prática, o planejamento realizado
e os caminhos que percorreu.
Com base nessas experiências,
pode-se aprimorar as estratégias
adotadas, independentemente do
conteúdo que será desenvolvido.
Uma sugestão de encaminha-
mento interessante, embora as
questões sejam de múltipla escolha,
é pedir aos estudantes que jus-
tifiquem os procedimentos na
resolução de cada uma delas.
As atividades 1 a 5, assim
como as atividades 8 e 9, envol-
vem o conceito de segmentos
proporcionais e aplicações do
teorema de Tales.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Na figura a seguir, considere AB = 4 cm e BC =
= 10 cm.
A
B
A
1
C
D
Nessas condições, a medida do lado BD é:
a) 0,9 cm.
b) 1,2 cm.
c) 1,4 cm.
d) 1,6 cm.
e) 1,8 cm.
Resolução da atividade
4
BD
10
4
= h BD = 1,6
Assim, BD mede 1,6 cm.
Portanto, alternativa d.
EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. (Enem/MEC) A rampa de um hospital
tem na sua parte mais elevada uma
altura de 2,2 metros. Um paciente, ao
caminhar sobre a rampa, percebe que
se deslocou 3,2 metros e alcançou uma
altura de 0,8 metro.
A distância em metros que o paciente
ainda deve caminhar para atingir o
ponto mais alto da rampa é:
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
2. Caio tem um carrinho de brinquedo,
que é uma miniatura do carro da mãe
dele. A razão entre o comprimento do
carro da mãe e o comprimento do car-
rinho de Caio é
14
3
. Se o carrinho de
Caio tem 0,9 m de comprimento, qual é
o comprimento do carro da mãe dele?
a) 4 m
b) 4,2 m
c) 4,5 m
d) 4,8 m
e) 3,6 m
3. Para determinar a altura de uma
árvore, utilizou-se o esquema a seguir.
5 m
4 m
30 m
Nessas condições, qual é a altura da árvore?
a) 35 m
b) 36 cm
c) 37,5 m
d) 38,5 m
e) 40 m
Alternativa d.
Alternativa b.
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
Alternativa c.
4. A porta de entrada e a fachada de uma
casa são figuras retangulares semelhan-
tes, e a razão de semelhança da altura
da casa para a altura da porta é
5
2
. Se
a altura da casa é 6,0 m, qual é a altura
da porta?
a) 2,4 m
b) 2,8 m
c) 3,2 m
d) 3,6 m
e) 1,8 m
5. Considerando a figura a seguir, deter-
mine a medida x indicada.
A
D
BC
E
12x
3
14
a) 9,5
b) 10
c) 8,8
d) 8,6
e) 8,5
6. Na figura a seguir, o lado AB mede
20 cm, o lado BC mede 5 cm, e o
quadrilátero MBQP é um losango
cujo lado mede x cm. Nessas condi-
ções, qual é o perímetro do losango,
em centímetro?
A
P
M
BQ C
a) 12
b) 16
c) 20
d) 18
e) 24
Alternativa a.
Alternativa e.
Alternativa b.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos existentes
no encerramento desta Unidade
permitem reflexões a respeito
das aprendizagens individuais,
além de uma breve retomada
dos conteúdos apresentados.
É importante que os estudan-
tes respondam individualmente
a cada uma das questões para
que, desta forma, possam per-
ceber o que aprenderam e as
possíveis dúvidas que ainda
tenham a respeito de determi-
nado assunto abordado.
As questões propostas buscam
levar os estudantes a rever pro-
priedades que são fundamentais
para o estudo da semelhança.
A primeira questão retoma a
abertura desta Unidade; nesse
momento, verificar a necessi-
dade de rever com a turma os
conceitos abordados inicialmente
e incentivar os estudantes a falar
sobre o que entendem por figuras
semelhantes.
As questões finais buscam
refletir a respeito do conceito de
polígonos semelhantes e seme-
lhança de dois triângulos. Se julgar
conveniente, pode-se propor o
uso de material manipulativo,
como papéis mais resistentes
para recorte, para a verificação
da congruência dos ângulos.
Nesta Unidade, retomamos os conceitos de razão e proporção para aplicá-los à
Geometria, nos estudos sobre a razão entre segmentos e segmentos proporcionais; o
teorema de Tales e algumas aplicações desse teorema; figuras semelhantes (polígonos e
triângulos) e o teorema fundamental da semelhança de triângulos.
Com um colega, faça um resumo dos tópicos estudados, indicando exemplos e
representações. Em seguida, registre suas dúvidas para um debate com a turma, de
modo a solucionar, de maneira colaborativa, as dúvidas que surgirem.
Agora, vamos refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• Na abertura desta Unidade, exploramos uma característica relacionada a figuras
semelhantes, trabalhando a ideia de proporção envolvendo ampliação e redução
de figuras. Você conseguiu identificar essa característica comparando as imagens?
O que você percebeu?
• Você foi questionado sobre o par de figuras semelhantes entre as figuras apresen-
tadas. Naquela situação, você conseguiu responder a essa questão? E agora, ao
concluir o estudo desta Unidade?
• Como você faria para verificar se dois polígonos são semelhantes? E no caso de dois
triângulos?
Respostas pessoais. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
UM NOVO OLHAR
7. Para medir a largura x de um lago, foi
utilizado o esquema a seguir.
30 m
36 m
A
B
C
D
E
x
300 m
Assim, obteve-se *ABC / *EDC.
Determine a largura x do lago.
a) 250 m
b) 400 m
c) 260 m
d) 360 m
e) 450 m
8. Uma árvore projeta, no solo, uma
sombra de 10 m de comprimento no
mesmo instante em que uma pessoa de
1,60 m de altura, em pé, projeta uma
sombra de 2,50 m de comprimento.
Qual é a altura da árvore? Considere
que a pessoa e a árvore estão no
mesmo local, no mesmo nível e posi-
cionadas perpendicularmente ao solo.
a) 6 m
b) 6,2 m
c) 6,4 m
d) 6,5 m
e) 7, 2 m
Alternativa a.
Alternativa c.
9. Os triângulos ABC e XYZ, represen-
tados a seguir, são semelhantes. No
triângulo ABC, temos AB = 15 cm,
BC = 18 cm e AC = 27 cm.
A
B
C
X
Y
Z
Se o perímetro do triângulo XYZ é
20 cm, qual é a medida do lado XZ?
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 8 cm
e) 9 cm
10. Na figura, a altura AD divide o *ABC
em dois outros triângulos semelhantes:
*ABD e *CAD.
Qual é o valor de x + y, em centímetro?
a) 9,1
b) 8,8
c) 8,4
d) 9,6
e) 8,2
Alternativa e.
Alternativa c.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
6 cm
8 cm
6,4 cmy
A
B
D
C
x
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
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INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em quatro capítulos e apresenta os
conteúdos por meio de exemplos
e atividades diversificadas, além de
seções que propiciam momentos
que possibilitam o desenvolvimento
das competências gerais 1, 4 e 7.
No primeiro capítulo, é reto-
mado o cálculo de porcentagem
com ênfase nos percentuais sucessi-
vos favorecendo o desenvolvimento
da habilidade EF09MA05. No
segundo capítulo, aborda-se o
estudo da probabilidade de eventos
independentes e dependentes, o
que favorece o desenvolvimento
da habilidade EF09MA20. No
terceiro capítulo, o objetivo é
discutir as principais caracterís-
ticas de cada tipo de gráfico,
bem como determinar o gráfico
mais adequado para representar
um conjunto de dados, colabo-
rando para o desenvolvimento
das habilidades EF09MA21 e
EF09MA22. No quarto capítulo,
são abordados os passos de uma
pesquisa estatística, com foco na
realização de pesquisas amostrais,
favorecendo o desenvolvimento
da habilidade EF09MA23.
OBJETIVOS
• Compreender e resolver problemas que en-
volvam porcentagem.
• Compreender e diferenciar o regime de juro
simples e de juro composto.
•
Resolver problemas envolvendo juro simples
e juro composto.
•
Utilizar tecnologias digitais para resolver pro-
blemas envolvendo percentuais e juros.
•
Reconhecer e calcular a probabilidade de even-
tos aleatórios dependentes.
•
Identificar elementos que podem induzir a
erros de leitura em gráficos.
•
Construir o gráfico mais adequado para re-
presentar um conjunto de dados.
• Planejar, realizar pesquisas e comunicar os re-
sultados por meio de relatório.
BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10
Competências específicas:
• 2, 4, 5, 7 e 8
Habilidades:
Números
• EF09MA05
Probabilidade e estatística
• EF09MA20
• EF09MA21
• EF09MA22
• EF09MA23
Temas Contemporâneos
Transversais:
• Educação Ambiental
• Educação Financeira
• Processo de envelhecimento, respeito
e valorização do Idoso
Você sabe o que é inflação?
Leia o texto a seguir.
[...] Inflação é o nome dado ao aumento dos preços de produtos e ser-
viços. Ela é calculada pelos índices de preços, comumente chamados de
índices de inflação.
O IBGE produz dois dos mais importantes índices de preços: o IPCA,
considerado o oficial pelo governo federal, e o INPC.
[...]
O propósito de ambos é o mesmo: medir a variação de preços de uma
cesta de produtos e serviços consumida pela população. O resultado mostra
se os preços aumentaram ou diminuíram de um mês para o outro.
A cesta é definida pela Pesquisa de Orçamentos Familiares – POF, do
IBGE, que, entre outras questões, verifica o que a população consome e
quanto do rendimento familiar é gasto em cada produto: arroz, feijão, pas-
sagem de ônibus, material escolar, médico, cinema, entre outros.
Os índices, portanto, levam em conta não apenas a variação de preço
de cada item, mas também o peso que ele tem no orçamento das famílias.
[…]
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Inflação. IBGE.
Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/explica/inflacao.
php#:~:text=Infla%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20o%20nome%20dado,governo%20
federal%2C%20e%20o%20INPC. Acesso em: 8 abr. 2021.
UNIDADE
PORCENTAGEM,
PROBABILIDADE
E ESTATÍSTICA6
A imagem de uma cesta de
compras sobre uma pilha
de moedas cada vez maior
representa que o valor dessa
mesma cesta pode variar em
virtude da inflação.
NVS MY WORLD/SHUTTERSTOCK.COM, MAXX-STUDIO/
SHUTTERSTOCK.COM, BB DESIGN STOCK/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
A abertura explora o conceito
de inflação e o Índice de Preços
ao Consumidor Amplo (IPCA).
Verificar se os estudantes possuem
algum conhecimento a respeito
da inflação e como podemos
utilizá-la para obter informações
da evolução de preços dos mais
diversos produtos.
Ao iniciar a Unidade, fazer uma
retomada sobre porcentagens e
suas aplicações.
Se possível, acessar o site https://
www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO
/publico/corrigirPorIndice.do?
method=corrigirPorIndice (acesso
em: 2 fev. 2022) e explicar aos
estudantes como utilizar a ferra-
menta “Calculadora de inflação”.
Selecione o IPCA fornecido pelo
IBGE e faça simulações com perí-
odos a partir de 2010 para que
os estudantes possam comparar
valores e dialogar sobre experiências
financeiras. De preferência, no
campo “Valor a ser corrigido”,
digitar números múltiplos de 100
para esse primeiro momento.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, os conteúdos trabalhados
nos capítulos possibilitam o desenvolvimento
das habilidades EF09MA05, EF09MA20,
EF09MA21, EF09MA22 e EF09MA23.
No boxe Fórum, o objetivo é promover
a reflexão e um debate sobre as fakes news
e como os dados estatísticos podem ser
manipulados para produção de informações
falsas ou que induzem ao erro de inter-
pretação, favorecendo o desenvolvimento
da competência geral 2 e da competência
específica 4 da área de Matemática.
Na seção Por toda parte, os estudantes
são convidados a realizar a leitura de uma
pirâmide etária, bem como fazer uma
pesquisa sobre a qualidade de vida dos
idosos próximos a eles, contribuindo para o
desenvolvimento do Tema Contemporâneo
Transversal Processo de envelhecimento,
respeito e valorização do Idoso, bem como
da competência geral 10 e da competência
específica 7 da área de Matemática.
No gráfico a seguir, foram apresentados os percentuais do IPCA acumulado em 2021.
IPCA acumulado em 2021
Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Sistema Nacional
de Índices de Preços ao Consumidor – IPCA e INPC. Indicadores IBGE, Rio de Janeiro, p. 1-23, 2022.
Disponível em: https://ftp.ibge.gov.br/Precos_Indices_de_Precos_ao_Consumidor/IPCA/Fasciculo_
Indicadores_IBGE/2021/ipca-inpc_202112caderno.pdf. Acesso em: 8 abr. 2022.
Mês12,00
10,008,00
4,00
6,00
2,00
0,00
jan.fev.mar.abr.maiojun.jul.ago.set.out.nov.dez.
Percentual (%)
4,56
5,20
6,10
6,76
8,06
8,35
8,99
9,68
10,25
10,6710,74
10,06
A partir do texto e do gráfico, converse com os colegas e o professor para responder
às questões a seguir no caderno.
• O que você sabe sobre inflação e, no seu entendimento, por que é importante conhe-
cer esse tema? Como saber se o preço de uma mercadoria ou serviço sofreu inflação?
• Analisando o gráfico, responda: em qual mês de 2021 foi registrado o maior valor
do IPCA acumulado? E o menor? Calcule a inflação nesse período, que corresponde
à variação do IPCA acumulado entre esses dois meses.
• Na década de 1980, houve um período de hiperinflação no Brasil, durante o qual
foi registrada uma inflação superior a 82% ao mês. Com o professor e
os colegas, faça uma pesquisa sobre esse período econômico no
Brasil e compare com a situação econômica atual.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Porcentagem
Aproveitar as situações apre-
sentadas na página para avaliar
os conhecimentos prévios dos
estudantes sobre porcentagem.
A situação 1 apresenta duas
estratégias para obter a taxa per-
centual. Verificar se os estudantes
percebem que, no 1
o
modo, basta
obter uma fração equivalente à
dada com denominador 100.
Explorar outros denominadores
em que isso é possível, realizando
cálculos simples, como frações
com denominadores iguais a 5,
10, 20, 25, entre outros.
Na situação 2, reforce como
obter a taxa de acréscimo, explo-
rando os cálculos apresentados.
Explicar que um aumento de 8%
sobre 500 reais é calculado fazendo
0,08 ? 500. Já o preço final, com
o aumento embutido, é dado por
0,08 ? 500 + 500. Colocando 500
em evidência, temos: 500 (0,08 +
+ 1) = 500 (1,08). Ou seja,
podemos calcular diretamente
o preço final multiplicando 500
por 1,08.
Pense e responda
A questão proposta leva os
estudantes a perceber que, depois
dos aumentos sucessivos, a taxa
de acréscimo é diferente da soma
das taxas percentuais de aumento.
Na situação apresentada, a taxa,
depois dos aumentos sucessivos,
corresponde a um aumento de
94 reais em 500 reais, ou seja,
94
500
= 0,188 = 18,8%, já a
soma das taxas é 8% + 10% =
= 18%. Incentivá-los a levantar
hipóteses para explicar por que
isso acontece, propondo que
elaborem situações parecidas com
a estudada para validá-las. Desse
modo, os estudantes exercitam o
raciocínio por dedução, bem como
a argumentação matemática,
uma vez que precisam formular
ideias e argumentar com base em conhecimentos
matemáticos, contribuindo também para o
desenvolvimento das competências gerais 4 e 7. É
esperado que concluam que a taxa correspondente
aos aumentos sucessivos é diferente da soma das
taxas individuais porque o segundo aumento é
aplicado sobre o preço final do primeiro aumento
e, quando somamos as taxas, ela é aplicada
diretamente sobre o preço inicial.
CAPÍTULO
1
PORCENTAGEM
O conceito de porcentagem é aplicado em muitas situações do cotidiano, como em
transações bancárias, situações de compra, dados em gráficos e notícias, entre outras.
Acompanhe alguns exemplos de situações que envolvem porcentagens.

1 O preço de um produto que custava 50 reais teve um desconto de 15 reais em
uma promoção. Qual foi a taxa percentual de desconto aplicada?
Pode-se efetuar o cálculo de dois modos.
PORCENTAGEM E PROBLEMAS
ENVOLVENDO JUROS
CAPÍTULO
1
Placa de
desconto
em uma loja
cuja taxa
percentual
é 70%.
1
o
modo: escrevendo uma fração
equivalente a
15
50
com denominador
igual a 100:
?
?
=
152
502
30
100
= 30%
2
o
modo: escrevendo a fração
15
50
na
forma decimal:
15
50
= 0,30 =
?0,30100
100
=
=
30
100
= 30% h
15
50
= 30%
Portanto, a taxa percentual de desconto aplicada foi de 30%.

2 Uma comerciante, seguindo a taxa de inflação mensal, aumentou em 8% o preço
de suas mercadorias. No mês seguinte, os preços foram reajustados em 10%. Depois
do primeiro aumento, qual passou a ser o preço de uma mercadoria que custava
R$ 500,00? E depois do segundo aumento, quanto passou a custar essa mercadoria?
Como o primeiro aumento foi de 8%, temos:
500 +
8
100
? 500 = 500 + 0,08 ? 500 = 1,08 ? 500 h 1,08 ? 500 = 540
Portanto, depois do primeiro aumento, o preço da mercadoria passou a ser
R$ 540,00.
Depois do segundo aumento (10%), temos:
540 +
10
100
? 540 = 540 + 0,10 ? 540 = 1,10 ? 540 h 1,10 ? 540 = 594
Portanto, depois do segundo aumento, a mercadoria passou a custar R$ 594,00.
WIZARD GOODVIN/SHUTTERSTOCK.COM
Responda no caderno.
Calcule a taxa percentual de reajuste de preço da mercadoria, considerando os dois
aumentos sucessivos. Ela é igual à soma das taxas percentuais dos aumentos?
18,8%. Não, pois a soma das taxas percentuais é dada por
8% + 10% = 18%, e a taxa percentual de reajuste foi de 18,8%.
PENSE E RESPONDA
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Juro
O tema abordado neste tópico
faz parte da realidade das famílias
e pode ser explorado com foco na
Educação Financeira, favorecendo
o desenvolvimento dos Temas
Contemporâneos Transversais
Educação Financeira e Educação
para o Consumo.
Iniciar perguntando aos estu-
dantes o que é juro e solicitar
que citem exemplos de situações
cotidianas em que essa palavra é
usada. A partir dessa abordagem
inicial, é possível perceber os
conhecimentos prévios dos estu-
dantes a respeito desse conceito.
Explicar que conhecer juro e
como os bancos e comerciantes
trabalham com ele é essencial
para uma boa saúde financeira.
Juro simples
Com relação a juro simples,
explorar a situação de juro simples
apresentada e verificar se os
estudantes identificam o capital
como o preço da máquina à vista
e a taxa de juros de 5% ao mês
que será cobrada a cada mês em
que não ocorrer o pagamento.
Conduzir a explicação de modo
que os estudantes possam exercitar
o raciocínio indutivo, percebendo
que a cada mês sem pagamento
ocorre a cobrança de 5% sobre
R$ 1.500,00. Perguntar, por
exemplo, se o pagamento for
efetuado no 4
o
mês depois da
compra, como registrar mais um
mês no cálculo apresentado na
página. Proceder dessa maneira
até que percebam que o valor do
juro simples é calculado multipli-
cando-se o capital pela taxa de
juros em determinado período
e pela quantidade de períodos
correspondentes.
AMPLIANDO
Vídeo
O SONHO dourado. [2010?]. Vídeo (10min15s). Pu-
blicado por M3 Matemática Multimídia. Disponível
em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1178. Acesso
em: 20 jul. 2022.
No
link, é possível assistir ao vídeo em que são
apresentadas diferentes situações que mostram como
os conceitos de preço à vista e juros são utilizados em
propaganda.
Podcast
MATEMÁTICA#1: matemática financeira. [S. l.]: Brasil
Escola
Podcasts, maio 2020. Podcast. Disponível em:
https://open.spotify.com/episode/5FjcIjDrUBwYxqob
x37O38. Acesso em: 20 jul. 2022.
O episódio trata de temas como inflação, crise eco-
nômica, bolsa de valores, porcentagem, dentre outros
relacionados à Matemática Financeira.
JURO
Juro é toda compensação que se paga, em dinheiro, por uma quantia que
se tomou emprestado ou que se recebe por uma quantia que se emprestou.
Vamos estudar dois tipos de regime de capitalização: a juro
simples e a juro composto.
Juro simples
O regime de capitalização a juro simples é aquele em que a taxa
de juro é sempre aplicada sobre o capital inicial.
Considere a situação a seguir.
João comprou a prazo uma máquina de lavar roupas, como a da
imagem, e só pagou 3 meses após a data da compra. Sabendo que ele
não deu nenhum valor de entrada, e a taxa de reajuste foi de 5% ao
mês a juro simples, quanto ele pagou por essa máquina?
Observe que o capital C financiado foi de R$ 1.500,00 (C = 1 500) a
uma taxa i de 5% ao mês (i = 0,05) por um período t de 3 meses (t = 3).
Como foi aplicado juro simples, a taxa mensal é computada a cada
mês sempre sobre o valor do capital. O valor total a prazo é o montante
M (capital + juro) obtido ao fim dos 3 meses. Então:
Juro ao final do 1
o
mês (j
1
)Juro ao final do 2
o
mês (j
2
)Juro ao final do 3
o
mês (j
3
)
5% de R$ 1 500 =
= 0,05 ? 1 500 = R$ 75
5% de R$ 1 500 =
= 0,05 ? 1 500 = R$ 75
5% de R$ 1 500 =
= 0,05 ? 1 500 = R$ 75
Assim, o montante M, ao fim dos 3 meses (preço pago a prazo), é dado por:
M = 1 500 + 3 ? 75 = 1 500 + 225 = 1 725
Logo, o preço da máquina no pagamento a prazo foi de R$ 1.725,00.
Acompanhe como podemos obter, de uma só vez, o juro total j relativo aos 3 meses.
j = j
1
+ j
2
+ j
3
j = 0,05 ? 1 500 + 0,05 ? 1 500 + 0,05 ? 1 500
j = 1 500 ? (0,05 + 0,05 + 0,05)
j = 1 500 ? 3 ? 0,05 h j = 225
Para o cálculo do juro total j, a taxa de juro i deve ser tomada na forma decimal,
e o período t deve estar na mesma unidade de medida que o período de incidência
da taxa de juro i. Por exemplo, se a taxa de juro i for aplicada ao mês, o período t
deve estar na unidade de medida mês.
j = C ? i ? tC t iCapitalização: acumu
lação de capital por
meio da aplicação de
juros.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Juro composto
O objetivo é levar os estu-
dantes a reconhecer e aplicar
o juro composto em diferentes
situações cotidianas, aproximando
o conteúdo da realidade. Em
duplas, eles podem realizar a
leitura do Livro do estudante,
acompanhando o desenvolvimento
das situações apresentadas a fim
de perceberem que, diferente-
mente do juro simples, o juro
composto é aplicado sobre o
montante do mês anterior. Isso
pode ser observado no quadro,
analisando o valor do montante
ao fim de cada mês. Pergunte
sobre o montante ao final do
quarto mês, por exemplo, para
que possam levantar hipóteses
sobre como calcular o montante
mês a mês nesse regime de juros,
exercitando, assim, o raciocínio
indutivo. Ao final, pedir a eles
que comparem o regime de juro
composto com o de juro simples.
Essa abordagem favorece, além
do desenvolvimento do raciocínio
lógico, o espírito de investigação
e a capacidade de produzir argu-
mentos convincentes, recorrendo
aos conhecimentos matemáticos,
previstos na competência específica
2 da área de Matemática.
Nas situações apresentadas,
ressaltar sempre que a taxa de
juro e o tempo devem estar na
mesma unidade de medida de
tempo e, caso não estejam, as
devidas transformações devem ser
feitas a fim de que a unidade do
período fique na mesma unidade
de medida de tempo que a taxa
do juro; se a taxa é dada ao dia, o
tempo também deve ser expresso
em dias; se a taxa é dada ao mês,
o tempo deve ser expresso em
meses; e assim por diante.
Ressaltar também que, nos
cálculos, a taxa deve sempre ser
usada na sua forma decimal (ou
na forma de fração).
Juro composto
O regime de capitalização a juro composto é aquele em que a taxa de juro é aplicada sobre
o montante obtido a cada período considerado (ao dia, ao mês, ao ano etc.). Nesse caso, o juro,
inicialmente, se aplica ao valor do capital (emprestado ou aplicado), e é preciso expressar o período
na mesma unidade da taxa. Acompanhe as situações a seguir.

1 Ao aplicar R$ 100,00 a juro composto à taxa de 10% ao mês durante 3 meses, qual é o
montante obtido ao fim desse período?
Nessa situação, o capital aplicado foi C = R$ 100,00, com i = 10% ao mês e t = 3 meses.
Como foi utilizado juro composto, a taxa mensal é computada a cada mês sobre o montante
obtido ao fim do mês anterior. Observe.
Juro ao fim de cada mês Montante ao fim de cada mês
1
o
mêsj
1
= 10% de R$ 100 = 0,1 ? 100 = R$ 10M
1
= 100 + 10 = 1102
o
mêsj
2
= 10% de R$ 110 = 0,1 ? 110 = R$ 11M
2
= 110 + 11 = 1213
o
mêsj
3
= 1% de R$ 121 = 0,1 ? 121 = R$ 12,10M
3
= 121 + 12,10 = 133,10
Logo, ao fim dos 3 meses, o montante M é de R$ 133,10.
Para determinar o juro total desse período, fazemos:
j = M _ C = 133,10 _ 100,00 = 33,10 h j = 33,10
Observe como podemos obter, de uma só vez, o montante total M relativo aos 3 meses.
• M
1
= 110 = 1,1 ? 100 (M
1
corresponde a 110% do capital)
• M
2
= 121 = 1,1 ? 1,1 ? 100 (M
2
corresponde a 110% de M
1
)
• M
3
= 133,10 = 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 100 (M
3
corresponde a 110% de M
2
)
Assim, temos que o montante final M é dado por: M = (1,1)
3
? 100 = 100 ? (1 + 0,1)
3
Note que 1,1 = 1 + 0,1, em que 0,1 é a taxa i dada na forma decimal, 3 é o período t
da aplicação e 100 é o capital aplicado inicialmente. Desse modo, na capitalização a juro
composto, temos:
M = C ? (1 + i)
t
No cálculo do montante, a taxa de juro i deve ser tomada na forma decimal e deve estar na
mesma unidade de medida que o período t.

2 Durante um semestre, um investidor aplicou a juro composto a quantia de R$ 50.000,00 à
taxa de 0,2% ao mês. Com o auxílio de uma calculadora, determine qual foi o rendimento
dessa aplicação no período considerado.
Identificando as informações dadas, temos:
C = 50 000 i = 0,2% ao mês (i = 0,002) t = 1 semestre = 6 meses
Portanto, o montante que o investidor terá no final da aplicação é dado por:
M = C ? (1 + i)
t
h M = 50 000 ? (1 + 0,002)
6
h M = 50 000 ? (1,002)
6
Considerando (1,002)
6
1 1,01206, temos M = 50 000 ? 1,01206 h M = 50 603
O rendimento de uma aplicação corresponde à quantia de juro obtido nesse período, ou
seja: J = M _ C = 50 603 _ 50 000 = 603.
Logo, o rendimento apurado foi de R$ 603,00.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco apre-
sentam problemas envolvendo
juro simples e juro composto em
diferentes situações cotidianas e
favorecem o desenvolvimento da
competência geral 1, à medida
que os estudantes aplicam os
conhecimentos matemáticos
para compreender e explicar a
realidade em que vivem.
As atividades 1 e 3 apresentam
problemas que envolvem o cálculo
de percentuais sucessivos. Espera-se
que os estudantes tenham pouca
dificuldade com o cálculo de
porcentagens. As dúvidas que
ainda surgirem podem ser escla-
recidas em uma roda de conversa,
em que os estudantes poderão
argumentar matematicamente
para validar suas hipóteses.
Nas atividades 2, 4 e 5 são
trabalhadas as ideias relacionadas
ao juro simples. Reforçar que,
nesse regime, o juro é cobrado
sobre o capital e explicar que,
nas transações financeiras com
período acima de um mês, nor-
malmente não se trabalha com
juro simples.
Durante a exploração das
atividades 6 a 8, sobre juro
composto, certifique-se de que
os estudantes compreenderam
que o juro é calculado sobre o
montante do mês anterior e, por
isso, o valor obtido nesse sistema
de juros é maior do que o valor
obtido quando é aplicado juro
simples. Esse fato será discutido
na atividade 9.
No desafio 11, os estudantes
devem perceber que o valor da
dívida em 4 meses corresponde a
R$ 2.300,00 + R$ 2.300,00 ?
? 0,05 ? 4 = R$ 2.760,00. Depois
de pago metade desse valor, a
outra metade passa a ser o novo
valor do empréstimo, sobre o qual
serão cobrados 8 meses de juros
à taxa mensal de 5%.
Responda às questões no caderno.
1. Um lojista promoveu dois aumentos
sucessivos no preço das mercadorias da
loja dele, um de 5%, e outro, de 8%.
Considere que o preço de um produto
era R$ 35,00 antes dos dois aumentos.
a) Quanto esse produto passou a custar
depois dos dois aumentos sucessivos?
b) Depois dos aumentos sucessivos, o
lojista colocou esse produto em liquida-
ção, aplicando um desconto de 5%. Se
o cliente pagasse à vista, receberia mais
8% de desconto. Nessas condições, um
cliente que comprasse esse produto com
preço igual ao valor calculado no item a
pagaria quanto por ele?
c) O valor obtido no item b é igual ao
preço inicial do produto? Explique.
2. Júlia aplicou R$ 600,00 com rendimen-
tos mensais de 3% a juro simples. O
montante relativo a essa aplicação será
creditado na conta dela após 6 meses.
Qual deve ser o valor creditado?
3. O valor de mercado de um carro zero
sofre reduções de acordo com o tempo
de uso do veículo. Considere que, no
primeiro ano do carro, a taxa percen-
tual de redução é de 10% em relação
ao valor inicial e, no segundo ano, de
8% do valor referente ao primeiro ano
de uso. Depois de dois anos de uso, qual
será o valor de mercado de um carro
que custou R$ 80.000,00?
4. Paulo comprou um carro por R$ 45.000,00.
No ato da compra, ele deu uma entrada
de R$ 18.000,00 e vai pagar o restante
depois de 3 meses com uma taxa de 4%
ao mês a juro simples. Que quantia Paulo
deverá pagar ao fim dos 3 meses?
R$ 34,69
R$ 708,00
R$ 66.240,00
R$ 30.240,00
5. Dívidas apuradas pelo Poder Judiciário
recebem juro de mora de 1% ao mês a
juro simples, mais atualização monetá-
ria. Lucas ganhou uma ação no Poder
Judiciário no valor de R$ 5.000,00,
já atualizado monetariamente, e vai
receber depois de 2 anos. Qual é o mon-
tante que Lucas receberá?
6. Lilian aplicou R$ 1.500,00 a juro com-
posto de 3% ao mês por 1 ano. Qual é
o montante que ela vai receber no fim
desse período?
7. De quantos por cento deve ser a taxa
de juro mensal para que uma aplicação
de R$ 8.000,00 gere, a juro composto,
um montante de R$ 64.000,00 ao fim de
3 meses?
8. Fabiana fez um empréstimo de
R$ 4.500,00 a juro composto, com uma
taxa de 1% ao mês, para pagar ao fim
de 6 meses. Calcule o montante pago
no fim desse período.
9. Para uma aplicação de R$ 1.000,00 com
taxa de juro de 1% ao mês por um período
de 12 meses, qual é a diferença entre os
rendimentos obtidos, considerando o
cálculo a juro composto e a juro simples?
10. Pesquise as taxas de rendimento de
algumas aplicações financeiras, escolha
uma delas e elabore um problema para
um colega resolver. Em seguida, verifique
se a resolução feita por ele está correta.
DESAFIO
Agora, junte-se a um colega, e resolvam
o desafio a seguir.
11. Jorge fez um empréstimo no valor de
R$ 2.300,00 para pagar depois de 1 ano
a juro simples de 5% ao mês. Passados
4 meses, ele foi ao banco e pagou
metade da dívida, já acrescida dos juros
desse período. Qual é o valor que Jorge
deverá pagar quando completar 1 ano
de seu empréstimo?
R$ 6.200,00
R$ 2.138,64
100% ao mês.
R$ 4.776,84
R$ 6,83
10. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a capitalização
das aplicações financeiras é calculada, geralmente, a juro composto e usem a taxa
pesquisada para elaborar um problema envolvendo esse tipo de juro. Exemplo de
resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
R$ 1.932,00
ATIVIDADES
R$ 39,69
1. c) Não. Espera-se que os estudantes percebam que, embora os percentuais de aumentos sucessivos e os de
descontos sucessivos sejam iguais, eles foram aplicados em preços diferentes, resultando valores diferentes.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
O trabalho com essa seção
contribui para o desenvolvimento
da habilidade EF09MA05, uma
vez que explora o cálculo de
porcentagens para determinar
juros no contexto da educação
financeira usando planilha ele-
trônica. Desse modo, favorece
também o desenvolvimento da
competência geral 5 e da com-
petência específica 5 da área
de Matemática, pois explora
tecnologias digitais para modelar
e resolver problemas cotidianos,
validando estratégias e resultados.
Com intuito de familiarizar
os estudantes com o software
utilizado, incentivá-los a pesquisar
vídeos e sites que ensinam a explo-
rar os recursos do software. Isso
também os ajudará a desenvolver
autonomia na aprendizagem.
Em situações-problema como
à apresentada, é possível utilizar
uma calculadora para obter o
resultado desejado. No entanto,
verificar se eles percebem que
o uso de planilhas eletrônicas
ajuda a automatizar e a agilizar
os cálculos, além de organizá-los
em forma de tabela.
Explicar que é possível realizar
os cálculos utilizando outras
fórmulas nas células C2 e D2.
Encoraje-os a descobrir uma
maneira alternativa para apresentar
os resultados no LibreOffice Calc.
Durante a preparação da pla-
nilha eletrônica para o cálculo do
juro simples e do juro composto,
acompanhar os estudantes esclare-
cendo individualmente as dúvidas
que surgirem. É possível que eles
não estabeleçam a relação entre
a fórmula apresentada na teoria
e a que será digitada na planilha.
Caso isso ocorra, escreva na lousa
cada fórmula e mostre que, para
inseri-la na planilha utilizamos as
CÁLCULO DE JURO SIMPLES E JURO COMPOSTO
Nesta seção, você vai utilizar um software chamado LibreOffice Calc para calcular juros e
montantes. É possível fazer o download gratuito desse aplicativo no link: https://pt-br.libreoffice.
org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 8 abr. 2022).
A planilha eletrônica LibreOffice Calc é um recurso que auxilia na realização de cálculos e na
organização de dados, incluindo a construção de tabelas e gráficos estatísticos dos mais variados
tipos, entre outras aplicações.
Acompanhe as etapas a seguir para efetuar cálculos de juros e montantes usando esse tipo
de planilha eletrônica.

1 Abra o LibreOffice Calc. Você acessará uma planilha eletrônica na qual as colunas são identi-
ficadas pelas letras do alfabeto e as linhas são numeradas, como mostra a imagem a seguir.

2 A cada célula da planilha, podemos associar uma coluna e uma linha. No exemplo a seguir,
a célula selecionada corresponde à coluna D e à linha 3.
Vamos preparar a planilha eletrônica para realizar o cálculo de montantes nos regimes de
capitalização a juro simples e a juro composto.
TECNOLOGIAS
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE
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taxa e tempo. Por exemplo, a fórmula para o
cálculo do montante a juro simples depende dos
valores de C, i, e t. Tais valores encontram-se nas
células B3, B4 e B5, respectivamente. Aproveite
para explicar ao estudantes que as células B3,
B4 e B5 ficam coloridas quando é selecionada
a célula C3, pois nela está o cálculo que as
envolvem. Mostrar também que a taxa i está em
porcentagem e, portanto, é preciso escrevê-la na
forma decimal, fazendo a divisão por 100. No
caso da fórmula para o cálculo do montante a
juro composto, chame a atenção para o símbolo
utilizado para indicar a potência.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Quando os estudantes já estive-
rem familiarizados com a planilha
eletrônica programada para calcular
os montantes nos dois regimes
de capitalização, propor outras
simulações, variando o tempo, a
taxa de juros e o capital, de modo
que eles possam comparar os
resultados obtidos nos dois sistemas
de juros. Em seguida, propor a
realização da atividade em dupla
para que possam trocar ideias
e validar hipóteses, exercitando
a empatia e a cooperação, o
que favorece o trabalho com a
competência geral 9.
No item b, chamar a atenção
para o fato de a taxa de juro e
o tempo estarem em unidades
de medida diferentes. Para a
resolução desse item, é preciso
perceber que 15 dias correspon-
dem a 0,5 mês. Incentivar os
estudantes a simular os valores
dos montantes nos dois regimes,
aumentando o período de 0,5 mês
até 1 mês a fim de perceberem
que até 1 mês o montante a juro
simples cresce mais rapidamente
que a juro composto. A partir
desse período, o montante a
juro composto passa a aumentar
mais rapidamente, fato que os
estudantes devem perceber para
responder ao item c. Essa abor-
dagem favorece o trabalho com o
Tema Contemporâneo Transversal
Educação Financeira, à medida
que os estudantes compreendem
como o sistema bancário utiliza
os dois regimes de capitalização.
Finalizar comentando com a
turma que os boletos bancários
cobram juro simples sobre o
atraso diário no pagamento até
o período de 1 mês.
AMPLIANDO
Link
SOUZA, Tiago Gadelha. Ensino de matemática financeira com utilização de tecnologias.
Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Departamento de
Matemática, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2014. Disponível em: https://repositorio.
ufc.br/bitstream/riufc/8067/1/2014_dis_tgsousa.pdf. Acesso em: 20 jul. 2022.
No link apresentado, é possível aprofundar o conteúdo sobre regimes de capitalização e co-
nhecer uma proposta para trabalhar esses temas usando calculadoras e planilhas eletrônicas
como o LibreOffice Calc.

3 Na célula A3, digite Capital (R$) e pressione Enter. Analogamente, digite Taxa (%) e
Tempo (meses) nas células A4 e A5, respectivamente. Nas células C1 e D1, digite Montante,
e nas células C2 e D2, digite juro simples e juro composto, respectivamente.

4 Em C3, digite a fórmula para o cálculo do montante a juro simples, como indicado a seguir.

5 Em D3, digite a fórmula para o cálculo do montante a juro composto, como indicado a seguir.

6 Para calcular, por exemplo, os montantes de uma aplicação de R$ 200,00 a uma taxa de 5%
ao mês durante um período de 1 ano (12 meses), inserimos 200 em B3, 5 em B4 e 12 em B5,
e a planilha exibe em C3 o montante a juro simples e, em D3, o montante a juro composto.
Portanto, essa aplicação resultará em R$ 320,00 a juro simples e, aproximadamente, R$ 359,00
a juro composto.
Agora, junte-se a um colega, explorem a planilha do LibreOffice Calc programada para
calcular os montantes a juro simples e a juro composto, façam simulações e resolvam as questões
a seguir no caderno.
• Bruno deseja aplicar um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês.
a) Se ele deixar o capital aplicado durante 3 meses, em qual regime de capitalização o
montante será maior no fim desse período? Ele receberá quantos reais a mais?
b) Bruno vai deixar o dinheiro aplicado por 15 dias; em qual regime ele obterá o maior
rendimento?
c) Depois de quanto tempo de aplicação é mais vantajoso para Bruno utilizar o sistema de
capitalização a juro composto?
• a) No regime de capitalização a juro composto. Ele receberá R$ 27,27 a mais.
b) No regime de capitalização a juro simples.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/ LIBREOFFICE
A partir de 1 mês, o montante a juro composto passa a aumentar
mais rapidamente que o montante a juro simples.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Probabilidade
No ano anterior, os estudantes
estudaram que a soma das proba-
bilidades de todos os elementos do
espaço amostral é 1 e construíram
o espaço amostral de experimentos
aleatórios utilizando o princípio
multiplicativo. Nesse tópico, eles
vão reconhecer, em experimentos
aleatórios, eventos independentes
e eventos dependentes, deter-
minando a probabilidade em
cada caso, explorando, assim, a
habilidade EF09MA20.
Se julgar conveniente, retomar o
conceito de probabilidade com os
estudantes apresentando situações
com as quais eles já tenham lidado,
por exemplo, a probabilidade
de no lançamento de um dado
comum de seis faces se obter:
um número par (0,5 ou 50%);
um número menor do que 10
(1 ou 100%); um número maior
do que 7 (zero).
Eventos dependentes
e eventos independentes
Pode-se trabalhar os conceitos
de eventos dependentes e eventos
independentes por meio da estra-
tégia de aprendizagem em equipe,
que consiste em organizar a turma
em grupos com mais de quatro
estudantes, com diferentes perfis,
e solicitar a eles a leitura do texto
das páginas 184 e 185 com o
objetivo de definirem o que são
eventos independentes e eventos
dependentes e apresentarem
exemplos de cada caso. Esse tipo
de abordagem permite a troca de
saberes e opiniões, favorecendo
a argumentação e o raciocínio
lógico com base em conhecimentos
matemáticos para compreender
e atuar no mundo, bem como a
colaboração e o diálogo, previstos
nas competências gerais 7 e 9 e
na competência específica 2 da
área de Matemática.
Para que os estudantes enten-
dam que, no caso de eventos
independentes, o fato de um deles ter ocorrido
ou não ter ocorrido não interfere na ocorrência
do outro, usar novamente um experimento
fácil de vivenciar em sala de aula. Por exemplo:
lançar dois dados comuns de seis faces de cores
diferentes e observar os números que aparecem
nas faces superiores; ou jogar um dos dados
e observar o número que saiu e perguntar
se esse resultado interfere nos números que
podem sair no lançamento do outro dado.
Você já estudou que a probabilidade de um evento A
ocorrer, que chamaremos de P(A), é dada por:
P(A) =
quantidade de resultados favoráveis ao evento A
quantidadetotal de resultados possíveis
EVENTOS DEPENDENTES E
EVENTOS INDEPENDENTES
Em um experimento aleatório, dois ou mais eventos são denominados eventos
independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato
de os outros eventos terem ocorrido ou não.
Dados dois eventos independentes (A e B) de um espaço amostral, a
probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por:
P(A e B) = P(A) ? P(B)
Acompanhe as situações a seguir.

1 Uma urna contém 10 bolas coloridas idênticas. Há 5 bolas azuis, 2 bolas verdes,
2 bolas amarelas e 1 bola vermelha.
• Sorteando-se uma dessas bolas (ao acaso), qual é a probabilidade de a bola
sorteada ser azul?
Na urna, há 5 bolas azuis em 10, ou seja: P(bola ser azul) =
5
10
=
1
2
.
• Sorteando-se duas dessas bolas (ao acaso), uma de cada vez, com reposição
da bola sorteada, qual é a probabilidade de a segunda bola sorteada ser azul
sabendo que a primeira foi vermelha?
A ocorrência do evento “sair bola azul” não depende da ocorrência ou não do
evento “sair bola vermelha”, já que há reposição da bola retirada na urna, ou
seja, nesse caso, os dois eventos são independentes; continuamos, então,
com 5 em 10 para as azuis.
P(sair bola azul, sabendo que saiu vermelha) = P(sair bola azul) =
5
10
=
1
2
• Qual é a probabilidade de a primeira bola sorteada ser azul, e a segunda
ser vermelha?
Como nesse caso esses eventos são independentes, temos:
P(primeira azul e segunda vermelha) = P(ser azul) ? P(ser vermelha) = ?=
1
2
1
10
1
20
PROBABILIDADE
CAPÍTULO
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomar a ideia da árvore
de possibilidades. Verificar se
os estudantes se lembram de
como montar esse esquema e
se percebem sua utilidade na
resolução de problemas como
os apresentados.
Se possível, é interessante
que os estudantes vivenciem os
experimentos descritos no Livro
do estudante ou experimentos
similares. Explorar a situação 2
e propor outras questões para
que os estudantes calculem a
probabilidade. Exemplo:
• Qual é a probabilidade de a
quantia obtida (nas mesmas
condições) ser 4 reais? E 30 re-
ais? No caso de a quantia ser
4 reais, a única possibilidade
é sair duas cédulas de 2 reais,
ou seja: P(sair 4 reais) = P(sair
2 reais e 2 reais) =
3
5
2
4
6
20
?= =
3
5
2
4
6
20
?= = 30%.
Para o caso de a quantia ser
30 reais, a situação é impossível,
pois Joana tem apenas 26 reais na
bolsa, ou seja, P(sair 30 reais) = 0.
• Sorteando-se seguidamente duas dessas bolas (ao acaso) sem reposição, qual é a proba-
bilidade de a segunda bola sorteada ser azul, sabendo que a primeira foi vermelha?
Note que a primeira bola sorteada foi vermelha, e não houve reposição na urna. Assim, no
sorteio da segunda bola, a urna tem uma composição diferente: agora há 9 bolas: 5 azuis,
2 verdes e 2 amarelas. Logo, são 5 bolas azuis em um total de 9 bolas, ou seja:
P(sair bola azul, sabendo que saiu vermelha) =
5
9
.
Desse modo, a ocorrência do evento “sair bola vermelha” influenciou a ocorrência do
evento “sair bola azul”; por isso, dizemos que esses eventos são eventos dependentes.
No caso de dois eventos dependentes (A e B) de um espaço amostral, a
probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por:
P(A e B) = P(B e A) = P(A dado que B ocorreu) ? P(B)
Voltando à situação do exemplo, vamos determinar a probabilidade de a primeira bola
sorteada ser vermelha, e a segunda ser azul.
Como nesse caso esses eventos são dependentes, temos:
P(1
a
vermelha e 2
a
azul) = P(bola azul, sabendo que saiu vermelha) ? P(vermelha) =
= ?= =
5
9
1
10
5
90
1
18

2 Joana tem 3 cédulas de 2 reais e 2 cédulas de 10 reais na carteira. Qual é a probabilidade de
ela obter a quantia de 12 reais ao retirar, sucessivamente da carteira, duas cédulas ao acaso?
Vamos utilizar uma árvore de possibilidades para representar essa situação.
1
a
retirada
10 reais
12 reais (resultado favorável)
10 reais
2 reais
12 reais (resultado favorável)
10 reais
2 reais
2 reais
2
a
retirada
Registramos no quadro as respectivas probabilidades para os resultados favoráveis, verificando
que os eventos envolvidos são dependentes, já que não há reposição de cada cédula retirada.
1
a
retirada2
a
retirada Retiradas sucessivas
P(10 reais) =
2
5
P(retirar uma cédula de 2 reais, sabendo que
foi retirada uma cédula de 10 reais) =
3
4
P(retirar 2 reais e 10 reais) =
= ?=
2
5
3
4
6
20
= 30%
P(2 reais) =
3
5
P(retirar uma cédula de 10 reais, sabendo
que foi retirada uma cédula de 2 reais) =
2
4
P(retirar 10 reais e 2 reais) =
= ?=
3
5
2
4
6
20
= 30%
Como há duas maneiras de se obter 12 reais, devemos adicionar as probabilidades dessas
duas maneiras:
P(12 reais) = +=
6
20
6
20
12
20
= 60%
Logo, a probabilidade de Joana conseguir 12 reais retirando da carteira duas cédulas ao acaso
é de 60%.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O bloco de atividades apresenta
problemas para os estudantes
aplicarem e ampliarem os conhe-
cimentos a respeito de eventos
independentes e eventos depen-
dentes em experimentos aleatórios.
Sugere-se que esse bloco seja
desenvolvido com os estudantes
reunidos em duplas, o que ampliará
o repertório de estratégias deles,
de modo que possam trabalhar
a argumentação matemática.
Ficar atento às dificuldades
que possam surgir para ressaltar
esses pontos na correção de cada
atividade. Na atividade 5, por
exemplo, os estudantes devem
perceber que há 37 números
pares de 1 a 75 antes de começar
a resolver o problema.
Na atividade 6, a compreensão
do item a auxiliará na do item b,
pois os estudantes devem perceber
que obter duas cartas de mesmo
naipe é possível com duas cartas
de ouro, duas cartas de paus, duas
cartas de copas ou duas cartas de
espada. Raciocínio parecido deve
ser usado na atividade 8 (sair o
mesmo número no lançamento
de três dados).
No desafio 10, verificar se
eles conhecem o jogo de xadrez
e suas regras. Deixar que eles
apresentem aos colegas, com as
palavras deles, de que modo cada
peça do jogo pode se movimentar.
Intervir quando necessário para
realizar correções e complementos.
AMPLIANDO
Atividades complementares
1. Uma urna contém 2 cartas brancas e 3 cartas
vermelhas. Sorteando-se duas cartas dessa ur-
na, com reposição, determine a probabilidade de
se obter duas cartas brancas nos dois sorteios.
2. Se as cartas da atividade anterior forem retiradas
sem reposição, o que aconteceria com a proba-
bilidade de a 2
a
carta sorteada ser branca, dado
que a primeira foi branca?
Resolução das atividades
1. Sortear duas cartas brancas, com a primei-
ra carta sorteada retornando à urna antes do
2
o
sorteio, são eventos independentes. Assim,
P(carta branca e carta branca) =
2
5
2
5
4
25
0,1616%== =⋅
2
5
2
5
4
25
0,1616%== =⋅ =
= 0,16 = 16%, pois nos dois sorteios há 2 car-
tas brancas em 5 possibilidades.
2. Não havendo a reposição da primeira carta
branca sorteada à urna, para o 2
o
sorteio,
temos 1 carta branca em 4 possibilidades.
Assim, a probabilidade de sortear uma carta
branca no 2
o
sorteio é
1
4
, ou seja, essa proba-
bilidade é diferente da probabilidade obtida
na atividade anterior
2
5





.
Responda às questões no caderno.
1. Se uma pessoa jogar um dado cúbico
honesto (dado comum) com as faces
numeradas de 1 a 6, qual é a probabili-
dade de sair o número 4? E de sair um
número ímpar?
2. Em uma urna, há 8 bolas idênticas,
numeradas de 1 a 8. Qual é a probabi-
lidade de se retirar ao acaso:
a) a bola com o número 1?
b) uma bola com número par?
c) a bola com o número 1 e, em se-
guida, retirar uma bola com número
par, repondo, na urna, a bola retirada
anteriormente?
3. Ao jogar duas vezes um dado cúbico
comum, com as faces numeradas de
1 a 6, a probabilidade de obter dois
números ímpares é:
a) 0,5. b) 0,75. c) 1. d) 0,25.
4. Em uma urna, há 16 bolas idênticas, mas
de cores diferentes: 4 vermelhas, 4 azuis,
4 verdes e 4 amarelas. Sorteando-se duas
bolas sucessivamente e sem reposição,
determine a probabilidade de a segunda
bola sorteada ser amarela, sabendo que
a primeira bola foi azul.
5. Em um bingo beneficente, as bolinhas
são numeradas de 1 a 75. Expresse, na
forma percentual, a probabilidade de as
duas primeiras bolinhas sorteadas (sem
reposição) apresentarem um número par.
6. Em um jogo de cartas coloridas, 52 cartas
estão organizadas em 4 cores (azul, ver-
melho, amarelo e verde). Sorteando-se
(ao acaso) duas cartas desse jogo, sem
reposição:
a) qual é a probabilidade de se obterem
duas cartas verdes?
b) qual é a probabilidade de se obterem
duas cartas de mesma cor?
1
81
2
1
16
Alternativa d.
4
15
24%
1
17
4
17
7. Na bolsa de Clélia, há 3 cédulas de
10 reais e 4 cédulas de 5 reais. Se ela
retirar da bolsa duas cédulas ao acaso,
qual é a probabilidade de saírem duas
cédulas de mesmo valor?
8. No lançamento simul-
tâneo de três dados
cúbicos comuns (com
faces numeradas de 1 a
6) e de cores diferentes,
qual é a probabilidade
de sair o mesmo número nos três dados?
9. Em uma urna, há 16 bolas idênticas:
15 delas são brancas e uma é vermelha.
Retirando-se ao acaso 3 bolas dessa
urna, sucessivamente e sem reposição,
a probabilidade de retirar a bola verme-
lha é maior do que, menor do que ou
igual a 20%?
DESAFIO
Agora, junte-se a um colega, e resolvam
o desafio a seguir.
10. A abertura de um jogo de xadrez (pri-
meiro movimento de peças do jogo)
só pode ser realizada por duas peças:
o peão ou o cavalo. Se o jogo for ini-
ciado por um peão, essa peça tem duas
opções de movimento (para frente,
avançando uma ou duas casas). Por sua
vez, se o jogo for iniciado pelo cavalo,
também há duas opções de movimento
(L à esquerda ou L à direita). Além disso,
uma rodada é finalizada quando ambos
os jogadores concluem o movimento de
cada uma de suas peças. Quantas pos-
sibilidades distintas de primeira rodada
podem ocorrer em um jogo de xadrez?
3
7
1
36
É menor, pois
3
16
= 18,75%.
400 rodadas distintas.
ATIVIDADES
ASTUDIO-1/ SHUTTERSTOCK.COM
CHRISTOS GEORGHIOU/ SHUTTERSTOCK.COM
1
6
;
1
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Analisando gráficos
Inicialmente, retomar com
os estudantes todos os tipos de
gráfico já estudados: gráfico de
barras ou de colunas, gráfico de
linhas e gráfico de setores. Se
possível, apresentar exemplos de
cada tipo de gráfico para serem
analisados coletivamente. O objetivo
é discutir os tipos de gráfico com
ênfase no mais adequado para
apresentar determinados conjun-
tos de dados, além de destacar
aspectos de medidas de tendência
central, trabalhando a habilidade
EF09MA22, bem como analisar e
identificar elementos, em gráficos
divulgados pela mídia, que podem
induzir propositadamente ao erro,
explorando a habilidade EF09MA21.
Discutir com a turma a respeito
de qual tipo de gráfico é melhor
para ser usado em determinada
situação. É importante que os
estudantes compreendam que, para
cada situação, pode ser escolhido
um gráfico que melhor apresente
os dados analisados. Comentar
que, além da escolha do gráfico,
o cuidado com a construção é
muito importante para evitar
possíveis leituras equivocadas e
conclusões que não correspondem
ao que está sendo apresentado.
Na situação 1, chamar a atenção
para a característica dos gráficos
de setores que é permitir a com-
paração dos dados em relação ao
todo. Pedir aos estudantes que
pesquisem gráficos de setores
apresentados pela mídia para
que percebam essa característica.
Retomar a moda como uma
medida de tendência central que
indica o dado que aparece com mais
frequência. No caso da situação
apresentada, ela corresponde à
atividade cultural música, com
frequência de 30%. Isso signi-
fica que a música foi a atividade
realizada por mais estudantes no
período considerado.
CAPÍTULO
3
A Estatística está presente em diversas áreas do conhecimento que envolvem
planejamento de experimentos, coleta, processamento e organização de dados, além
de análise, interpretação e comunicação das informações obtidas.
Os gráficos são recursos utilizados para a comunicação de dados, comparando
informações quantitativas ou qualitativas.
Ao longo de seus estudos, provavelmente, você já lidou com vários tipos de
gráfico, que têm diferentes funções, como os exemplos descritos a seguir.
Tipos de gráfico
Gráficos de composição Gráficos de comparação
Gráfico de setores Gráfico de barras ou colunas Gráfico de linhas
Formado por setores circulares
que, juntos, compõem 100% da
área de um círculo. Existe uma
relação de proporcionalidade de
cada setor e o todo (o círculo).
Representa a comparação
de dados entre várias
categorias de uma variável e
entre itens individuais.
Representa a comparação de dados
(lineares) ao longo do tempo, ou
seja, mostra a evolução de uma ou
mais variáveis ao longo do tempo.
Depois de escolher o gráfico adequado para a apresenta-
ção do conjunto de dados que se tem, deve-se pensar na melhor
maneira de representar os dados para facilitar a leitura e
a interpretação do gráfico pelo leitor, escolhendo ade-
quadamente o título do gráfico, os títulos dos eixos,
as unidades e escalas apropriadas etc.
Vamos analisar as situações a seguir.

1 Uma escola realizou uma pesquisa sobre as atividades culturais realizadas pelos estudantes em determinado ano. A diretoria da escola apresentou um gráfico para mostrar quais atividades foram realizadas e a quantidade relativa de estudantes que realizaram cada uma. Cada estudante indicou apenas a atividade cultural que realizou mais vezes durante o ano.
Nesse caso, foram apontadas as atividades
desempenhadas durante um período fixo
(o ano analisado). O gráfico mais adequado
para isso é o gráfico de setores. Observe.
MASTER1305/
SHUTTERSTOCK.COM
ANALISANDO
GRÁFICOS
dança
músicaartesanato
outras
teatro
20%
30%
16%
26%
8%
Atividades culturais
realizadas no ano
Fonte: Diretoria da escola.
EDITORIA DE ARTE
Jovens dançando.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Explorar a situação 2, que
apresenta um exemplo com
gráfico de barras horizontais.
Questionar os estudantes se os
dados da situação poderiam ter
sido apresentados em um gráfico
de barras verticais. Espera-se que
eles percebam que é possível,
tomando cuidado com a troca
dos elementos dos eixos. Nesse
caso, a quantidade de acessos
seria indicada no eixo vertical e
o site, no eixo horizontal.
No item c, retomar o cálculo
da média, que, no caso da
situação apresentada, é feito
a partir dos valores indicados
em cada barra do gráfico.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Sugere-se que sejam trabalhadas as situações discuti-
das no Livro do estudante por meio da estratégia rotação
por estações, que consiste em organizar na sala quatro
estações, uma para cada situação apresentada; os estu-
dantes deverão percorrê-las, organizados em pequenos
grupos, indicando o gráfico mais adequado para represen-
tar os dados de cada situação. Caso opte por utilizar essa
estratégia, reproduza em um cartaz as situações apresen-
tadas nas páginas 187 a 189, com os dados organizados
em uma tabela, de modo que os estudantes decidam e
construam o gráfico mais adequado a cada conjunto de
dados. Os estudantes devem passar por todas as estações.
Ao final, promover uma roda de conversa para que
apresentem os gráficos que construíram e justifiquem suas
escolhas. Desse modo, podem trabalhar a argumentação
com base em conhecimentos matemáticos, bem como o
diálogo e a cooperação, o que favorece o desenvolvi-
mento das competências gerais 7 e 9.
No gráfico, é possível visualizar as atividades indicadas e o percentual com que cada uma
contribuiu para o total de atividades realizadas. Comparando os setores circulares e as res-
pectivas porcentagens, pode-se chegar a algumas conclusões, por exemplo:
• Música corresponde ao tipo de atividade realizada por mais estudantes nesse período, pois
é representada pelo maior setor circular (maior percentual). Esse é o produto modal (dado
de maior frequência) dessa distribuição.
• Como o total equivale a 100%, a soma das porcentagens de cada atividade deve ser
100%. Por exemplo, se no total 300 estudantes participaram da pesquisa, artesanato foi
a atividade cultural mais realizada por 48 estudantes (16% de 300 estudantes).

2 Uma empresa proprietária de diversos sites na internet mantém uma lista com a quantidade
de acessos, no último mês, a cada um desses sites. Para organizar a leitura dessas informa-
ções, foi construído o gráfico de barras horizontais a seguir.
A partir do gráfico, responder às
perguntas a seguir.
a) Qual site da empresa teve mais
acessos no último mês?
Nesse tipo de gráfico, o com-
primento de cada barra deve
ser proporcional à quantidade
de acessos. Assim, a barra mais
comprida indica a maior quan-
tidade de acessos, ou seja, o
site C foi o mais acessado no
último mês.
b) Quantos acessos a mais o site F deveria ter para obter a mesma quantidade daqueles do
site mais acessado no último mês?
Como o site mais acessado teve 431 mil acessos no último mês, o site F deveria ter essa
quantidade de acessos para se igualar ao primeiro colocado. Analisando o gráfico, o site
F teve 173 mil acessos. Vamos calcular quanto falta para 173 mil atingir 431 mil, ou seja:
431 mil _ 173 mil = 258 mil
Logo, o site F deveria ter mais 258 mil acessos.
c) Considerando apenas os sites representados nesse gráfico, qual foi a média de acessos
por site no último mês?
No último mês, a média de acessos, em milhares, é dada por:
média =
++ ++ ++306173128184431149242
7
=
1613
7
1 230,429, ou seja,
aproximadamente, 230 429 acessos.
Logo, cada um desses sites teve, em média, 230 429 acessos no último mês.
Quantidade de acessos, no último mês,
aos sites da empresa
Fonte: Dados fictícios.
Quantidade
de acessos
(em milhares)
G
E
D
B
C
A
0100 200300400500
Site
306
173
128
184
431
149
242
F
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomar com os estudantes as
medidas de posição (ou tendência
central) já estudadas – média,
moda e mediana – e como elas
são calculadas. Comentar também
que a amplitude é a medida de
dispersão mais simples, entre
outras, como desvio, desvio
padrão e variância, que serão
estudadas posteriormente. A
amplitude utiliza em seu cálculo
apenas os valores extremos, não
avalia valores intermediários.
Destacar a utilização do gráfico
de linhas na situação 3. Espera-se
que os estudantes compreendam
que esse gráfico é utilizado para
indicar uma variação ao longo
do tempo.
Discutir com a turma a respeito
da situação 4, que apresenta um
gráfico com manipulação visual.
Isso faz com que conclusões
erradas sejam tomadas a respeito
dos dados apresentados.
AMPLIANDO
Link
DANA, Samy. Mentiras em gráficos para ganhar a sua
atenção. G1, Rio de Janeiro, 17 jul. 2017. Disponível
em: https://g1.globo.com/economia/blog/samy-dana
/post/mentiras-em-graficos-para-ganhar-sua-atencao
.html. Acesso em: 20 jul. 2022.
No link apresentado, é possível conhecer alguns recur-
sos que são utilizados para causar distorções e manipular
dados em representações gráficas.

3 Uma cidade do sul do país
registrou a temperatura média
durante os 12 primeiros dias
do mês de junho de 2021 e
com esses dados construiu um
gráfico. Esse gráfico mostra a
evolução das temperaturas
médias ao longo dos 12 pri-
meiros dias do mês. O tipo de
gráfico mais adequado para
representar essa situação é o
gráfico de linhas. Observe.
No gráfico, analisa-se a temperatura média de cada dia do período analisado. Registrando
esses dados em ordem crescente, pode-se calcular as medidas de tendência central.
5 °C 6 °C 6 °C 8 °C 8 °C 8 °C 8 °C 9 °C 9 °C 10 °C 10 °C 12 °C
• Como há 12 elementos (número par), a mediana, nesse caso, é a média entre os dois
elementos centrais (8 e 8), que é 8. Logo, a mediana desse conjunto de dados é 8.
• A moda é o número que mais aparece; logo, a moda é 8.
• A média é a soma de todos os valores divididos pelo total de elementos (12):
média =
++ ++++ ++ +++56 6888 899 101012
12
= 8,25
Logo, a temperatura média é 8,25 °C.
Os gráficos possibilitam uma comunicação eficiente de informações, mas devem ser apresen-
tados corretamente. Gráficos incorretos podem causar falsas impressões, por exemplo, ao
apresentar escalas inadequadas para representar os números nos eixos.

4 Analisar este gráfico de colunas duplas, que se refere à comparação do faturamento da
Empresa Nova com duas concorrentes em 2020 e 2021.
Para dar a impressão de que a Empresa Nova se aproximou das concorrentes em relação
ao faturamento, as colunas que se referem ao faturamento da Empresa Nova não estão
na proporção correta em relação às
colunas que representam o faturamento
das concorrentes.
Observe que a altura da coluna verde da
Empresa Nova está incorreta, pois, como
a metade da escala do eixo vertical cor-
responde ao valor 75, a altura da coluna
que indica o valor 50 deveria correspon-
der a menos da metade da altura total.
Qual outro equívoco você percebe neste
gráfico?
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
EDITORIA DE ARTE
Temperatura média nos 12 primeiros
dias de junho de 2021
Fonte: Dados fictícios.
Dia
12
14
10
8
4
6
2
0
Temperatura (°C)
12 °C
8 °C
5 °C
6 °C
10 °C 10 °C
9 °C9 °C
6 °C
8 °C8 °C
8 °C
1
23456789101112
Faturamento das empresas
(em milhões de reais)
Fonte: Empresa Nova.
Faturamento
Líder de
mercado
128
Empresa
Nova
150
30
50
Vice-líder
de mercado
Empresa
110115
2020 2021
147
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Esse bloco de atividades tem
como objetivo verificar o apren-
dizado dos estudantes referente
à análise de gráficos. Pode-se
comparar quanto os estudantes
avançaram em relação aos conhe-
cimentos que eles já tinham (que
foram levantados anteriormente,
conforme sugestão).
Na atividade 1, pedir aos
estudantes que justifiquem a
escolha do tipo de gráfico mais
adequado para representar a
situação apresentada. Espera-se
que as explicações se apoiem
nas características estudadas de
cada tipo de gráfico e, com isso,
argumentem que o gráfico de
linhas é o mais indicado, pois ele
mostra a evolução das intenções
de voto ao longo do tempo.
A atividade 2 explora a análise
e a indicação de elementos que
induzem ao erro de leitura em
gráficos. Pedir aos estudantes que
justifiquem as respostas, exerci-
tando a argumentação com base
em conhecimentos matemáticos,
bem como a observação sistemá-
tica de aspectos quantitativos e
qualitativos das práticas sociais,
investigando causas e elaborando e
testando hipóteses, desenvolvendo
as competências gerais 2 e 7 e
a competência específica 4 da
área de Matemática.
A fim de ajudá-los nessa
análise, chamar a atenção para
os aspectos gráficos da represen-
tação, pedindo que comparem as
alturas das colunas e as escalas de
porcentagem, verificando se são
proporcionais. Outro fator que
pode ser analisado é o tamanho
da fonte em cada coluna.
Os dados da tabela da ati-
vidade 3 podem orientar uma
discussão em sala de aula a res-
peito do Tema Contemporâneo
Transversal Educação Ambiental.
Se possível, pedir aos estudantes que pesquisem
os dados sobre o desmatamento na Amazônia
referentes aos anos de 2022 e 2023 e comple-
tem a tabela. Para essa pesquisa, orientá-los a
buscar informações em sites confiáveis, como
o do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
(INPE) ou o do IBGE, sites do governo e de
Universidades, entre outros.
Responda às questões no caderno.
1. Para a eleição do prefeito de um muni-
cípio, um instituto de pesquisa colheu
dados sobre a intenção de votos dos
habitantes desse município nos últimos
8 meses. A partir desses dados, o insti-
tuto vai publicar um gráfico que mostra
a evolução da intenção de votos para
cada candidato no período analisado.
Qual alternativa indica o tipo de gráfico
mais adequado para representar essa
situação?
a) Um gráfico de setores é mais apropriado,
por apresentar vários períodos.
b) Um gráfico de barras múltiplas é o mais in-
dicado, pois compara vários itens (meses).
c) Um gráfico de colunas simples é o mais
indicado, pois há várias categorias.
d) Um gráfico de linhas é o mais indicado, por
mostrar uma evolução ao longo do tempo.
2. Alguns estudantes de uma universidade
organizaram-se em chapas (A, B e C)
para concorrer à diretoria do centro
acadêmico. Uma das chapas publicou,
como propaganda, o gráfico a seguir
com o resultado de uma pesquisa de
intenção de votos para a diretoria do
centro acadêmico.
Intenção de votos para a
diretoria do centro acadêmico
60,3%
A
30%
B
9,7%
C
Chapa
Quantidade
de votos (%)
Alternativa d.
a) Qual chapa você acha que lançou essa
propaganda? Por quê?
b) Quais recursos você entende que foram
usados para manipular o gráfico a fim de
chamar a atenção dos estudantes para
essa chapa?
c) Refaça o gráfico no caderno, corrigindo
os equívocos descritos no item b.
3. O projeto Prodes realiza o monitora-
mento por satélite do desmatamento da
Amazônia e calcula, desde 1988, as taxas
anuais de desmatamento na região.
Desmatamento na Amazônia
de 2015 a 2021
Ano Área desmatada (km²)
2015 6 207
2016 7 893
2017 6 947
2018 7 536
2019 10 129
2020 10 851
2021 13 235
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da
Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional
de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do
desmatamento da Floresta Amazônica brasileira.
São José dos Campos: INPE, 2021.Disponível em:
http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/programas/
amazonia/prodes. Acesso em: 11 abr. 2022.
a) Que tipo de gráfico você escolheria
para apresentar os dados obtidos nesse
monitoramento?
b) Construa o gráfico relativo aos dados
dessa tabela, usando o tipo indicado no
item a.
c) Determine a taxa percentual de aumento
da área desmatada de 2021 em relação
ao ano de 2015.
d) Qual foi a média, por ano, da área des-
matada na Amazônia em relação aos
anos registrados na tabela?
e) Determine a moda e a mediana do con-
junto de dados da tabela.
ATIVIDADES
2. a) Possivelmente, a chapa B, pois a coluna referente à quantidade de votos dessa
chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais destaque em relação às demais.
b) Espera-se que os estudantes percebam que, para representar a porcentagem de voto
da chapa B, foram usadas letras maiores do que nas demais chapas. Além disso, a altura
da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna referente à chapa A, que
detém 60,3% das intenções de voto, enquanto a chapa B detém apenas 30%.
c) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
3. a) Resposta pessoal. Exemplo
de resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
b) Resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
c) 113,23%.
d) 8 971,14 km² por ano.
e) Não há moda.
Mediana: 7 893 km².
EDITORIA DE ARTE
Fonte: Pesquisa de intenção de votos
para a diretoria do centro acadêmico.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
A atividade 4 traz um gráfico
de colunas empilhadas. Discutir
com os estudantes como pode
ser feita a leitura dos valores para
as partes coloridas, pois não é
uma leitura direta no gráfico.
Os estudantes devem observar
a altura da parte da coluna que
se deseja analisar e perceber que
esses valores são encontrados
pelas diferenças de valores do eixo
vertical do gráfico. Para ampliar
essa atividade, pode-se ainda
explorar questões do tipo: “Em
qual ano a empresa teve maior
arrecadação nas exportações e
de quanto foi?” (Em 2019, com
70 milhões de reais.)
Aproveitar o tema sobre agrotó-
xicos do gráfico da atividade 5 e
propor um estudo interdisciplinar
com o professor de Ciências sobre
os efeitos dessas substâncias
para a saúde.
Na atividade 6, os estudantes
podem elaborar gráficos de colunas
ou barras, tendo como base a
atividade 2 da página anterior
ou pesquisar gráficos na mídia
em que percebam algum recurso
gráfico de manipulação dos dados.
Pode-se também explorar o gráfico
de setores em situações em que a
soma das porcentagens não resulta
em 100%, por exemplo. Ao final,
promover uma roda de conversa
para que eles possam apresentar o
gráfico que construíram e os pro-
blemas percebidos, compartilhando
informações e experiências que
tiveram ao longo da realização da
atividade, favorecendo o trabalho
com a competência geral 4.
4. Um gráfico de colunas empilhadas é
aquele em que cada coluna é subdividida
em partes coloridas posicionadas umas
sobre as outras: cada coluna representa
uma categoria, e cada parte de cada
coluna representa uma subcategoria. É
um gráfico de composição, pois relaciona
partes com o todo, em que a composição
varia ao longo do tempo. A altura das
partes da coluna representam a contri-
buição de diferentes componentes para
o valor numérico que corresponde à
altura da respectiva coluna.
Uma empresa de exportação de alimen-
tos (soja, café e milho) apresentou o
gráfico de colunas empilhadas a seguir.
EDITORIA DE ARTE
Quantias arrecadadas em
exportação de 2018 a 2021
(em milhões de reais)
Quantia (em milhões de reais)
Ano
807050301060
2018 2019 2020 2021
4020
soja café milho
0
Fonte: Diretoria da empresa.
a) Explique o significado de cada parte
colorida em cada coluna.
b) É possível identificar se a arrecadação
pela exportação de algum dos três pro-
dutos sempre aumentou de um ano para
outro? Em caso afirmativo, que produto
foi esse?
c) Em qual ano a exportação de cada um
dos produtos teve a maior arrecadação?
d) Em qual ano a soja foi responsável por
mais da metade da arrecadação da
exportação?
4. a) Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Sim. O milho.
Em 2019.
5. No gráfico de barras horizontais, está
indicada a quantidade de registros de
agrotóxicos feitos pelo Ministério da
Agricultura de 2012 a 2021 no Brasil.
Quantidade de registros
de agrotóxicos no Brasil
de 2012 a 2021
600
2018
500
Quantidade
2017
2019
2020
2021
2016
2015
2013
2014
2012
0100 200300400
Ano
139
277
404
449
474
493
562
148
110
168
Elaborado com base em: SALATI, Paula. Após novo
recorde, Brasil encerra 2021 com 562 agrotóxicos
liberados, sendo 33 inéditos. G1, Rio de Janeiro,
18 jan. 2022. Disponível em: https://g1.globo.
com/economia/agronegocios/noticia/2022/01/18/
apos-novo-recorde-brasil-encerra-2021-com-562-
agrotoxicos-liberados-sendo-33-ineditos.ghtml.
Acesso em: 11 abr. 2022.
a) Em seu entendimento, que outro tipo de
gráfico poderia ser utilizado para repre-
sentar esses dados? Justifique.
b) Determine a média e a mediana de
registros de agrotóxicos no período re-
gistrado no gráfico.
c) Em quais anos os registros foram maiores
do que as medidas calculadas no item b?
d) De 2020 para 2021, qual foi o percentual
de aumento nos registros de agrotóxicos
no país?
e) Considere as medidas calculadas e
a análise feita nos itens anteriores
e elabore um texto que resuma as infor-
mações do gráfico.
6. Analogamente ao que foi apresentado na
atividade 2, construa um gráfico que con-
tenha algumas manipulações dos dados,
de modo que a interpretação favoreça
certo aspecto apresentado nele. Peça a um
colega que descreva quais são as distorções
presentes no gráfico que você criou e re-
faça-o da maneira correta. Faça o mesmo
para o gráfico que seu colega criou.
5. b) Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.
5. c) De 2017 a 2021.
14%
e) Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
6. Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
EDITORIA DE ARTE
5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a evolução dos dados ao longo do tempo.
c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Elaborando
uma pesquisa
Conversar com os estudantes a
respeito das pesquisas estatísticas
e da importância delas para que
sejam realizadas conclusões ou
projeções a partir da análise do
comportamento do objeto de
pesquisa. Verificar se os estudantes
conhecem outros institutos que
fazem pesquisa, além do IBGE.
Resumir os passos de uma
pesquisa estatística. Se julgar
necessário, retomar conceitos
básicos, como população, amostra,
variáveis quantitativas e qualita-
tivas, que já foram estudadas em
anos anteriores. É esperado que
os estudantes tenham autonomia
para planejar e executar pesquisa
amostral e comunicar os resultados
por meio de relatório, explorando
a habilidade EF09MA23.
AMPLIANDO
Link
GUIMARÃES, Carlos Alberto. Em 150 anos, conheça a história que o Censo
conta. Agência IBGE Notícias. Rio de Janeiro, 26 abr. 2022. Disponível em:
https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-no
ticias/noticias/33495-em-150-anos-conheca-a-historia-que-o-censo-conta.
Acesso em: 21 jul. 2022.
No link, é possível encontrar informações sobre a história do Censo e os
principais dados coletados durante os 150 anos em que o Censo foi realizado.
Você já observou que há diferentes
tipos de pesquisa? Nem todas as pesqui-
sas aplicam conhecimentos estatísticos;
por exemplo, quando você pesquisa um
assunto (em diversas fontes confiáveis)
para compor um trabalho escolar. No
entanto, as pesquisas em estudos estatísti-
cos são muito importantes, pois fornecem
dados que, depois de organizados e anali-
sados, podem nortear o planejamento de
mudanças acerca do assunto pesquisado.
No dia a dia, são comuns as pesquisas de opinião (servem para apontar informações
sobre produtos e serviços utilizados pelo público, opiniões de pessoas sobre determinado
assunto etc.) e pesquisas de mercado (servem para conhecer o perfil dos clientes de
uma empresa, perceber estratégias de concorrentes, analisar fornecedores, entre outros).
PLANEJANDO UMA PESQUISA ESTATÍSTICA
De modo simplificado, os passos para a realização de uma pesquisa são:
1. Formulação dos objetivos da pesquisa
O primeiro passo para fazer uma pesquisa é definir o que se deseja investigar e
formular uma pergunta ou hipótese que norteará o planejamento dessa pesquisa. No
fim dela, espera-se que a pergunta seja respondida ou que a hipótese seja validada
(pode ocorrer de a hipótese não ser validada ou podem ser obtidos dados inconclusivos).
2. Determinação do método de pesquisa (população ou amostra)
Uma pesquisa pode coletar dados de toda a população estatística, ou seja, de
todos os indivíduos de interesse, como acontece no Censo Demográfico. No Brasil, o
Censo ocorre geralmente de 10 em 10 anos, mas, devido à pandemia de covid-19,
o Censo previsto para 2020 foi realizado em 2022. No Censo, todas as residências
no Brasil são entrevistadas.
Na maioria das pesquisas, no entanto, os dados são coletados em uma amostra
(grupo representativo da população). Nesse caso, dizemos que é uma pesquisa por
amostragem. Para esse tipo de pesquisa, fazemos um estudo prévio dos indivíduos
de interesse e os separamos em grupos com afinidades, por exemplo: crianças, jovens
e adultos; ou trabalhadores e aposentados.
Para que possamos extrapolar os dados e as conclusões obtidas no estudo da
amostra para a população de interesse, é necessária uma amostra significativa.
Pessoa respondendo a uma pesquisa
de opinião sobre um produto ou serviço.
FOTOGRAFIAS: TERO VESALAINEN/SHUTTERSTOCK.COM,
IR STONE/SHUTTERSTOCK.COM
ELABORANDO
UMA PESQUISA
CAPÍTULO
4
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Durante a explicação sobre
pesquisa censitária e amostral,
propor algumas situações para
que os estudantes possam indicar
a população e a amostra selecio-
nada. Seguem alguns exemplos.
• Para verificar a qualidade de
um podcast, alguns ouvintes
foram entrevistados para ava-
liar o programa. Nesse caso,
a população são todos os ou-
vintes do podcast e a amostra
são os ouvintes entrevistados.
• A fim de avaliar a eficácia de
uma campanha de vacinação
para crianças com idade en-
tre 5 e 7 anos, 200 mães com
filhos nessa idade foram en-
trevistadas para saber quando
foi a última vez que vacina-
ram seus filhos. Nesse caso, a
população são todas as mães
com filhos com idade entre 5
e 7 anos, e a amostra são as
200 mães entrevistadas.
Saiba que
Verificar se os estudantes
recordam a diferença entre
população e amostra. Espera-se
que eles percebam que, quanto
maior for a amostra, mais os
dados indicarão o comporta-
mento da população.
A escolha da quantidade de indivíduos da amostra, para que ela seja
significativa, depende de vários fatores: quantidade de indivíduos da
população, margem de erro que se espera, nível de confiabilidade, entre
outros.
Por exemplo, para um universo de 10 000 indivíduos (população) e
margem de erro de 5%, precisamos de uma amostra com, no mínimo,
cerca de 400 indivíduos.
SAIBA QUE
ENY SETIYOWATI/
SHUTTERSTOCK.COM
Representação de uma amostra de dada população.
população
amostra
3. Definição dos instrumentos de pesquisa
Nessa etapa, são definidos os instrumentos que serão utilizados para coletar
os dados, como uma votação, uma entrevista ou um questionário. No caso do
Censo, os pesquisadores aplicam um questionário durante a entrevista em todas as
residências que visitam.
4. Coleta e organização dos dados
A pesquisa é realizada aplicando os instrumentos definidos, e os dados obtidos
são organizados em tabelas ou gráficos elaborados com ou sem o auxílio de pla-
nilhas eletrônicas.
5. Análise e apresentação dos resultados
Nesse momento, os dados são analisados com o auxílio de ferramentas estatísticas,
como medidas de tendência central, gráficos e tabelas. Com isso, espera-se que possam
ser elaboradas conclusões a respeito da pergunta ou da hipótese inicial. Os resultados
podem ser apresentados em forma de relatório com textos explicativos, tabelas e gráfi-
cos, com o objetivo de facilitar a comunicação e a compreensão dos dados da pesquisa.
Acompanhe, a seguir, um exemplo de como aplicar esses passos para realizar
uma pesquisa estatística.
A Secretaria de Educação de um município realizou uma pesquisa para mapear
as áreas das carreiras que os estudantes pretendem cursar na faculdade. Observe.
• Formulação do objetivo da pesquisa: Investigar qual área os jovens estu-
dantes do município querem seguir na faculdade.
• Determinação do método de pesquisa: A pesquisa será por amostragem, e
serão entrevistados jovens que estão cursando o último ano do Ensino Médio
provenientes de escolas públicas e privadas do município.
IR STONE/SHUTTERSTOCK.COM
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO SÃO REAIS.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Explorar com os estudantes
a tabela de dupla entrada com
os dados da pesquisa realizada
e pedir a eles que obtenham as
medidas estatísticas (média, moda
e amplitude) antes de realizar a
leitura do Livro do estudante com
os cálculos e a análise dos dados.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Realizar uma pesquisa na sala de aula a respeito
da altura de cada estudante (em centímetro). Com os
dados coletados, montar uma tabela e gráficos pa-
ra comunicar os resultados. Juntar-se com um colega
e elaborar um relatório com as observações. Depois,
comparem o relatório feito com os de outras duplas.
Questionário de pesquisa
1. Escola: pública privada
2. Qual área você pretende cursar na
faculdade? Escolha apenas uma opção.
Engenharia: todos os tipos de
Engenharia e Arquitetura.
Ciências Médicas: Medicina,
Veterinária, Odontologia, Nutrição,
Psicologia, Ciências Biológicas etc.
Ciências Exatas: Matemática, Física,
Química, Ciência da Computação etc.
Ciências Humanas: Direito, Jornalismo,
Letras, Artes, Administração etc.
Ciências Sociais: História, Geografa,
Sociologia, Filosofa etc.
• Cálculo da amostra e determi-
nação dos locais da pesquisa:
Considerando que no municí-
pio há cerca de 6 700 escolas e
140 000 es tudantes no 3
o
ano
do Ensino Médio, a amostra
contará com 600 indivíduos
(300 estudantes de escolas pú bli-
cas e 300 estu dantes de escolas
privadas) e será composta de
20 jovens, sorteados ao acaso,
de cada escola de um total de
30 escolas do município.
• Definição dos instrumentos
de pesquisa: Será aplicado um
questionário em que os jovens
devem escolher apenas uma das
cinco áreas determinadas pelos
pesquisadores.
Exemplo de questionário de pesquisa.
• Coleta e organização dos dados: Uma equipe de entrevistadores visitará as escolas
definidas na amostra e aplicará o questionário de pesquisa aos jovens sorteados.
• Análise e apresentação dos resultados: com os dados coletados e agrupados, é possível
organizá-los e analisá-los por meio de tabelas, gráficos e algumas medidas estatísticas.Depois de realizar a coleta dos dados, estes foram organizados em uma tabela e analisados como apresenta-se a seguir.
Área escolhida pelos estudantes
Área
Escola
Engenharia
Ciências
Médicas
Ciências
Exatas
Ciências
Humanas
Ciências
Sociais
Total
Pública
60 48 110 38 44 300
Privada 100 30 56 90 24 300
Total 160 78 166 128 68 600
Fonte: Pesquisa da Secretaria de Educação do município.
MODVECTOR/SHUTTERSTOCK.COM
• Determinação de medidas e informações a partir dos dados organizados: Podemos
calcular algumas medidas estatísticas relativas a essa distribuição de dados, como a média
de estudantes por área (razão entre o total de estudantes pesquisados e a quantidade
de áreas), a moda das áreas (área almejada por mais estudantes), amplitude (diferença
entre as quantidades da área mais indicada e da área menos indicada); e outras informações relevantes, como a área menos procurada etc.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomar com a turma que,
para construir o gráfico de setores
com os dados da tabela de dupla
entrada da página 194, é neces-
sário determinar o percentual do
total de estudantes de cada área
em relação ao total de estudantes
que participaram da pesquisa.
Ao final, mostrar que a soma
desses percentuais é 100%. Se
julgar pertinente, solicitar que
construam um gráfico de setores
para representar a área escolhida
pelos estudantes de escola pública
e outro gráfico de setores para
representar a área escolhida pelos
estudantes de escola privada.
Incentive-os a utilizar tecnologias
digitais nessas construções.
Aproveitar a representação do
gráfico de barras duplas e propor
aos estudantes que elaborem
algumas questões a respeito dos
dados apresentados. Depois,
pedir que troquem as questões
com os colegas e, ao final, façam
juntos as correções necessárias.
Analise o quadro elaborado com esses cálculos.
Todos os estudantes
Estudantes de escola
pública
Estudantes de escola
privada
Média
120 estudantes por área
600
5






60 estudantes por área
300
5






60 estudantes por área
300
5






Moda Ciências Exatas Ciências Exatas Engenharia
Amplitude 98 estudantes (166 _ 68)72 estudantes (110 _ 38)76 estudantes (100 _ 24)
Área menos
procurada
Ciências Sociais Ciências Humanas Ciências Sociais
• Construção de gráficos relevantes para comunicar os resultados: A fim de mostrar a
composição de cada área escolhida em relação ao todo, foi feito um gráfico de setores.
EDITORIA DE ARTE
EDITORIA DE ARTE
Área escolhida pelos estudantes
11%
27%
13%
28%
21%
Engenharia
Ciências Médicas
Ciências Exatas
Ciências Humanas
Ciências Sociais
Fonte: Pesquisa da Secretaria de
Educação do município.
Para comparar a quantidade de interessados em cada área, foi apresentado um gráfico de
barras duplas.
EDITORIA DE ARTE
Área escolhida pelos estudantes
Fonte: Pesquisa da Secretaria de Educação do município.
020406080100120Quantidade
de estudantes
Área
Ciências Sociais
Ciências Humanas
Ciências Exatas
Ciências Médicas
Engenharia
Estudantes de
escola pública
Estudantes de
escola privada
44
48
60
100
30
38
24
90
110
56
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Explorar o item Elaboração
de relatório para comunicar
resultados e planejar ações
para verificar o que os estudantes
sabem a respeito da produção
de um relatório. Comentar
que, ao escrever um relatório,
é importante os estudantes terem
definido a que público se dirige
o documento de análise. Além
disso, as informações presentes
no relatório não devem conter
erros que levem o leitor a concluir
fatos de maneira incorreta.
Atividades
Na atividade 1, promover uma
roda de conversa para que os estu-
dantes possam ler o texto elaborado
por eles no item b. Durante a leitura,
os colegas podem verificar se as
conclusões apresentadas estão de
acordo com os dados e propor
as correções necessárias. Dessa
maneira, os estudantes desenvol-
vem a argumentação com base
em conhecimentos matemáticos,
além de comunicar informações
relevantes, contribuindo para o
desenvolvimento da competência
geral 7 e da competência espe-
cífica 4 da área de Matemática.
A atividade 2 apresenta uma
proposta de pesquisa estatística.
Os estudantes ficarão responsáveis
pela definição da pergunta ou
hipótese inicial, participando do
planejamento, da execução e da
apresentação dos resultados da
pesquisa. Incentivá-los a buscar
um tema de relevância social ou
próximo da realidade deles que
tenha certa urgência social, na
comunidade escolar ou no bairro
onde vivem. Os temas podem
estar relacionados à saúde, ao
meio ambiente, à educação, à
mobilidade, ao mundo do trabalho,
entre outros.
Durante a definição dos temas,
incentive os estudantes a defen-
der suas ideias e a formular
argumentos convincentes, mas
deixe claro que o tema deve ser
escolha do grupo. Acompanhá-los
nas etapas do planejamento da
pesquisa e durante a coleta de
dados, caso seja necessário. Explicar que todos
os integrantes do grupo devem agir de maneira
cooperativa e buscar soluções consensuais para
os impasses, sempre respeitando o modo de
pensar dos colegas.
Para a organização dos dados coletados,
incentivar o uso de planilhas eletrônicas para
a construção de tabelas e gráficos e para os
cálculos das medidas de tendência central.
Caso seja necessário, retomar como isso pode
ser feito usando o software LibreOffice Calc.
Durante a apresentação dos resultados, orientar
os grupos a apresentar possíveis soluções para a
situação pesquisada. Essa abordagem favorece
o desenvolvimento das competências gerais 4,
7 e 9 e das competências específicas 4, 7 e 8
da área de Matemática.
Descubra mais
Recomenda-se que o vídeo seja exibido aos
estudantes em sala de aula e que possa ser pausado
à medida que os conceitos são apresentados. As
Analisando os gráficos anteriores, é possível verificar, por exemplo, que no ano em que a
pesquisa foi realizada, a área de Ciências Exatas foi mais escolhida do que as áreas de Ciências
Médicas e Ciências Sociais juntas ou que a área mais escolhida pelos estudantes de escola pública
foi a de Ciências Exatas, e pelos estudantes de escola privada, foi a de Engenharia.
• Elaboração de relatório para comunicar resultados e planejar ações:
O relatório deve ser o mais detalhado possível, apresentando a descrição das etapas da
pesquisa, o objetivo, a população-alvo, a especificação da amostra, tabela e gráficos,
registro de informações relevantes, medidas estatísticas, conclusões e propostas para ações
que podem ser tomadas.
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Considere a pesquisa já descrita sobre
as áreas escolhidas pelos estudantes
para cursarem na faculdade e faça o
que se pede.
a) Responda: você entende que os gráficos
apresentados foram adequados para o
que se queria mostrar?
b) Elabore um texto com uma conclusão
possível para essa pesquisa e proponha
alguma ação que possa ser tomada pela
Secretaria de Educação do município em
que ocorreu a pesquisa.
2. Junte-se a mais dois colegas e, com eles,
planeje uma pesquisa estatística sobre um
tema de interesse comum. Escolham
um tema de relevância social ou próximo
da realidade escolar de vocês. Para isso,
sigam os passos descritos a seguir.
a) Elaborem a pergunta ou a hipótese ini-
cial da pesquisa.
Exemplos de resposta dos itens da atividade 2 na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
b) Definam a população que fará parte
da pesquisa e o tipo de pesquisa, expli-
cando se toda a população participará
ou apenas uma amostra dela. No caso
da pesquisa por amostragem, expliquem
como obterão uma amostra significativa.
c) A partir das definições do item b, de-
finam e elaborem os instrumentos de
pesquisa e definam como ocorrerá a
coleta de dados.
d) Realizem a pesquisa, coletem os dados e
os organizem em tabelas e gráficos com
ou sem o uso de planilhas eletrônicas.
e) Determinem a média, a moda e a ampli-
tude dos dados coletados e preparem um
relatório para comunicar os resultados
encontrados, apresentando a conclusão
da pesquisa e ações que possam ser to-
madas a partir desses resultados.
f) Combinem um momento para a apresen-
tação dos resultados e da conclusão da
pesquisa para os demais colegas da turma
e, se possível, para a comu nidade escolar.
1. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para os estudantes da escola pública,
a área mais escolhida foi a de Ciências Exatas, e a menos escolhida foi a de
Ciências Humanas. Para os estudantes da escola privada, a área mais escolhida
foi a de Engenharia, e a menos escolhida foi a de Ciências Sociais. Algumas ações
possíveis são o incentivo aos cursos das áreas mais escolhidas e a divulgação e a
melhoria da infraestrutura de cursos das áreas menos escolhidas.
1. a) Espera-se que os estudantes percebam que sim, pois, para mostrar os componentes de um todo, o
gráfico de setores é o mais adequado, e, para comparar categorias, o mais adequado é o gráfico de barras
(no caso, barras duplas).
COMO funciona uma pesquisa eleitoral. 2018. Vídeo (4min34s). Publicado pelo canal Nexo Jornal.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=igi7E1OY7gs. Acesso em: 11 abr. 2022.
O vídeo aborda como são feitas as pesquisas eleitorais, explicando como elas podem fornecer dados
sobre a intenção de voto da população, e discute conceitos essenciais que fazem parte desse tipo de
pesquisa estatística, como amostra, margem de erro e intervalo de confiança.
DESCUBRA MAIS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Fórum
Antes de propor a leitura do
texto, trabalhar a leitura inferencial,
solicitando aos estudantes que
observem a imagem e o título de
texto e digam o que eles imaginam
que será tratado. Durante as falas,
pedir que expliquem o que eles
entendem por fake news e como
definiriam esse termo. Pedir para
que eles relatem situações em que já
se depararam com uma informação
falsa e como procederam.
Explicar que há algumas estra-
tégias para determinar se uma
informação é falsa, como buscar a
fonte da notícia, fazer uma pesquisa
buscando algumas palavras-chave
do texto, pesquisar organizações
ou personagens mencionados no
texto, comparando a informação
com outras notícias. Destacar
que em todas essas estratégias
a ideia é buscar evidências da
confiabilidade da fonte da notícia.
Destacar a importância de analisar
criticamente uma informação
antes de repassá-la.
Durante as discussões das
atividades, certifique-se de que
os estudantes compreenderam
as ideias debatidas e oriente-os a
realizar a pesquisa solicitada em
fontes confiáveis. Desse modo,
busca-se incentivar os estudantes
a exercitar a curiosidade intelectual
e a análise crítica para interpretar
e compreender a realidade, desen-
volvendo a competência geral 2
e a competência específica 4 da
área de Matemática.
pausas possibilitam dialogar com a turma sobre
o assunto, percebendo eventuais dúvidas e escla-
recendo o tema de acordo com as necessidades
apresentadas. Além do conceito de amostra, o
vídeo traz aspectos básicos de margem de erro
e de intervalo de confiança. Apesar do estudo
desses conceitos não ser desenvolvido nessa fase
da Educação Básica, é relevante que os estudantes
saibam da existência e desses conceitos possam
ter uma ideia inicial deles.
AMPLIANDO
Texto
ROCHA, Ana Carolina; GONÇALVES, Ana Luísa;
PEREIRA, Daniervelin Renata Marques. Tra-
balho com notícias e fake news na sala de
aula: experiências do PIBID no COLTEC/UFMG.
PERcursos Linguísticos, [S. l.], v. 11, n. 27,
p. 112-131, 2021. Disponível em: https://
periodicos.ufes.br/percursos/article/view/33924.
Acesso em: 12 ago. 2022.
O artigo traz o relato da experiência e refle-
xões de duas professoras na discussão sobre
fake news em sala de aula.
Manipulação de dados estatísticos na mídia
TAKASU/SHUTTERSTOCK.COM
FÓRUM
1. Espera-se que os estudantes debatam sobre o fato de que conhecer ferramentas
estatísticas pode facilitar a análise correta de informações, e, por exemplo, a
identificação de fakes news, muito comuns nos dias de hoje, bem como avaliar a
qualidade de um produto ou serviço por meio das informações divulgadas sobre eles.
ESB PROFESSIONAL/SHUTTERSTOCK.COM
[...] A análise estatística é [...] relativa e não abso-
luta, pois baseia suas conclusões sempre levando em
consideração o erro existente entre as suas medições
e a realidade estudada.
[...]
Mesmo a linguagem matemática e/ou estatística tida
como a mais objetiva das linguagens pode e é constantemente
manipulada pela mídia. Para isso, basta que se [deem] informações
parciais (publica-se uma parte da pesquisa) ou que não se publique um resultado que
se sabe poderá desagradar a um segmento ou privilegiar outro. A manipulação pode ser
feita pela indução de conclusões que não estão nos resultados da pesquisa, através de
títulos, textos e tratamento gráfico dos dados estatísticos. [...]
[...]
Na grande maioria dos resultados de pesquisas publicados na mídia [...], o que é
informado ao leitor é uma parcela do total dos resultados encontrados na pesquisa. O
jornalista acaba fazendo um recorte daqueles dados que mais lhe interessam ou que ele
julgue que chamará mais a atenção do leitor. [...]
[...]
SOUZA, Genilda Alves de. A manipulação dos dados estatísticos pela mídia impressa. In: CONGRESSO
BRASILEIRO DE CIÊNCIAS DA COMUNICAÇÃO, 32., 2009, Curitiba. Anais [...]. Curitiba: Universidade Positivo,
2009. p. 1-15. Disponível em: http://www.intercom.org.br/papers/nacionais/2009/resumos/r4-3646-1.pdf.
Acesso em: 11 abr. 2022.
Em algumas notícias publicadas pela mídia, dados de pesquisas estatísticas
podem ser manipulados inadequadamente, por exemplo, por meio da alteração de
parâmetros em gráficos ou pela presença de manchetes tendenciosas, para transmitir
determinada ideia que se quer defender.
1. Debata com os colegas a importância de conhecer ferramentas estatísticas
capazes de identificar dados tendenciosos nas informações divulgadas pela mídia.
2. Informações incorretas ou distorcidas podem originar as chamadas fake news ou
notícias falsas, que podem se espalhar rapidamente pelos meios digitais e trazer
consequências negativas para toda a sociedade. Por exemplo, se for disseminada a
notícia falsa de que um remédio cura determinada doença, muitas pessoas podem
acreditar nessa notícia, consumir o remédio falso e deixar de procurar o tratamento
de saúde adequado.
Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa sobre as consequências das fake
news. Depois, compartilhem com a turma as informações que vocês obtiveram.
Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
FAKE
NEWS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Primeiro, abrir uma roda de
conversa com os estudantes
para que possam compartilhar
as experiências e conhecimentos
que possuem acerca do assunto.
Perguntar se já ouviram alguma
história interessante contada por
um idoso e se alguém gostaria de
contar essa história para a sala.
Verificar se os estudantes
compreendem como é feita a
leitura de uma pirâmide etária.
Pergunte a eles se consideram o
Brasil um país jovem. Explicar que,
de acordo com o PNAD de 2017,
somente 14,6% da população
é idosa e que a projeção para
o ano de 2060 é que teremos
cerca de um terço da população
de idosos. Conversar com a
turma sobre as implicações de
se ter uma população idosa
e qual a opinião deles sobre
como os idosos são tratados no
nosso país. Pode-se propor que
realizem uma pesquisa com os
idosos do bairro para conhecer
as principais necessidades deles
ou como avaliam os cuidados
que recebem, por exemplo.
Se possível, levar para a sala de
aula ou pedir aos estudantes que
consultem o Estatuto do Idoso e,
juntos, descubram informações
acerca do estatuto vigente. Solicitar
aos estudantes que se reúnam
para que possam elaborar um
plano de ações que poderia
modificar a realidade dos idosos
próximos a eles. Essa abordagem
contribui para o trabalho com o
Tema Contemporâneo Transversal
Processo de envelhecimento, res-
peito e valorização do Idoso, bem
como da competência geral 10
e da competência específica 7
da área de Matemática.
ENVELHECIMENTO, RESPEITO E CIDADANIA
Nos últimos anos, a população de pessoas idosas no Brasil tem aumentado de maneira mais
rápida em comparação com as demais faixas etárias. Você já leu ou ouviu algo sobre esse tema?
Leia o texto seguir e observe a evolução da pirâmide etária da população brasileira.
POR TODAPARTE
A partir dos dados do Censo de 2010, o IBGE estimou um incremento médio de mais de
1 milhão de pessoas idosas a cada ano, nos 10 anos seguintes.
O avanço dos números ultrapassou a previsão do IBGE, uma vez que a Pesquisa Nacional
por Amostra de Domicílios (PNAD Contínua) de 2017 aponta que 14,6% da população brasileira
têm 60 anos ou mais de idade, correspondendo a 30,3 milhões de pessoas.
Censo 2010
População total: 190,7 milhões
População idosa: 20,6 milhões
% de população idosa: 10,8%
Pirâmides etárias absolutas
Fonte: IBGE, 2017.
1980
Homens Mulheres
2017
Homens Mulheres
2060
Homens Mulheres
População
idosa
(60+)
0 – 4
5 – 9
10 – 14
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80+
85+
EDITORIA DE ARTE
PICTRIDER/SHUTTERSTOCK.COM
JOJOSTUDIO/SHUTTERSTOCK.COM
A Pessoa Idosa no Brasil
[...]
No Brasil, há um número cada vez maior de pessoas idosas (com 60 anos ou mais de
idade). São cidadãos usuários dos serviços sociais, de saúde, de proteção e que precisam ter os
seus direitos garantidos. A menor mortalidade de pessoas em todas as idades e a diminuição
de nascimentos resultam em um aumento não só no número absoluto de idosos como também
na proporção deste grupo em relação à população brasileira.
Informações publicadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) mostram
que o aumento da população idosa tem mudado o formato da pirâmide etária em relação ao
ano de 1980. Esta mudança será ainda mais significativa em 2060, quando aproximadamente
1/3 da população brasileira será de pessoas idosas, conforme ilustrado abaixo.
PNAD (2017)
População total: 207,1 milhões
População idosa: 30,3 milhões
% de população idosa: 14,6%
[...]
BRASIL. Ministério da Cidadania. Secretaria Especial do Desenvolvimento Social.
Estratégia Brasil Amigo da Pessoa Idosa: a pessoa idosa no Brasil. Brasília, DF: MDS, [2018?]. Disponível em:
http://mds.gov.br/assuntos/brasil-amigo-da-pessoa-idosa/estrategia-1. Acesso em: 11 abr. 2022.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ler o texto e perguntar aos
estudantes a experiência deles
em relação aos avós ou outras
pessoas idosas durante a pan-
demia de covid-19. Durante as
falas, comentar a importância
de ter realizado o esquema
vacinal completo para a prote-
ção contra a doença e como a
vacina salvou a vida de muitos
idosos. Em seguida, discutir as
questões propostas, esclarecendo
possíveis dúvidas.
No Programa Nacional de Imunização do Brasil contra a covid-19, foram vacinados, inicial-
mente, os profissionais que trabalham na área da saúde e a população idosa.
No trecho a seguir, publicado em fevereiro de 2021 – no início da vacinação contra a covid-19,
verificamos um dos motivos pelos quais a orientação da Organização Mundial da Saúde (OMS) e
das pesquisas realizadas pela comunidade científica foi priorizar a população de mais idade, em
relação à população adulta mais jovem.
a) Espera-se que os estudantes percebam que, com o passar dos anos, a base da pirâmide tem ficado mais
estreita e que o topo tem ficado mais largo, o que indica que a população brasileira, no futuro, tende a ser
predominantemente composta de pessoas mais velhas.
c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses da vacina contra a covid-19.
d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
JOJOSTUDIO/SHUTTERSTOCK.COM
Jovens ou idosos: quem vacinar primeiro
para acabar com a covid-19?
[...] A pesquisa, feita pela Associação Americana
para o Avanço da Ciência, apontou que vacinar pessoas
acima de 60 anos é a forma mais eficaz de mitigar a
mortalidade da covid-19 – o que deveria ser o foco no
momento, segundo os especialistas. “Apesar de a vacina-
ção de pessoas mais jovens ter a capacidade de reduzir
a incidência da doença, vacinar adultos mais velhos vai
reduzir as mortes de forma mais eficaz”, diz a pesquisa.
O impacto da cobertura vacinal foi feito com base em um
modelo matemático, priorizando estratégias com base
na incidência cumulativa da doença. Diversos cenários foram analisados.
Em um deles, a vacinação de adultos de 20 a 49 anos foi priorizada, o que diminuiu a
incidência da doença consideravelmente. No entanto, em todas as simulações que prioriza-
vam adultos acima de 60, a taxa de mortalidade passava por uma redução ainda maior. Isso,
segundo os cientistas, indica que priorizar indivíduos mais velhos traz mais benefícios do que
os jovens. A situação só muda, para os pesquisadores, se a vacina for menos eficaz em idosos.
[...]
Também é importante conscientizar os mais velhos de que não é porque eles receberam
a primeira dose da vacina que estão totalmente imunes ao vírus [...]. “Não é porque você foi
vacinado que você tem carta branca para fazer tudo o que você quiser, você não vai estar
100% seguro até que uma boa parte da população esteja vacinada.
VITORIO, Tamires; PANCINI, Laura. Jovens ou idosos: quem vacinar primeiro para acabar com a covid-19?
Exame, São Paulo, 15 fev. 2021. Disponível em: https://exame.com/ciencia/jovens-ou-idosos-quem-
vacinar-primeiro-para-acabar-com-a-covid-19/. Acesso em: 11 abr. 2022.
Responda às questões no caderno.
• Converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir.
a) Ao comparar a evolução da pirâmide etária da população brasileira, o que você pode concluir?
b) De acordo com o texto, qual foi o principal motivo pelo qual a pesquisa realizada pela
Associação Americana para o Avanço da Ciência recomendou vacinar inicialmente a po-
pulação com mais de 60 anos?
c) O fato de receberem a primeira dose da vacina contra covid-19 significa que os idosos
estavam totalmente imunes ao vírus naquele momento da pandemia?
d) O texto da página 198 cita que os idosos são “usuários dos serviços sociais, de saúde,
de proteção e que precisam ter os seus direitos garantidos”. Faça uma pesquisa sobre os
principais incentivos e políticas públicas que buscam promover o respeito e os direitos
garantidos à população idosa no Brasil. Em seguida, debata com os colegas e o professor
sobre as informações que vocês encontraram nessa pesquisa.
Pessoa idosa recebendo a vacina
contra a covid-19. Rio de Janeiro, 2021.
LUCIANA WHITAKER/PULSAR IMAGENS
b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir
a mortalidade causada pela doença.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
A seção apresenta a construção
de gráficos utilizando o software
LibreOffice Calc. Se for possível,
desenvolver essa atividade no
laboratório de informática.
Antes de iniciar o uso do
software, discutir com a turma
a respeito das facilidades que a
tecnologia permite ao processar
dados de uma pesquisa estatística.
Espera-se que eles percebam que
uma pesquisa com quantidade
grande de dados exige o uso
da planilha eletrônica para que
a análise desses dados e as
construções de tabelas e gráficos
sejam agilizadas.
TECNOLOGIAS

1 Abra o LibreOffice Calc. Ao acessar a pla-
nilha eletrônica, digite o nome de cada
árvore nas células A2 a A5. Em seguida,
digite Ano 2021 e Ano 2022 nas células
B1 e C1, respectivamente.
PLANILHAS ELETRÔNICAS E GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
Vamos usar a planilha eletrônica LibreOffice Calc
para construir tabelas e gráficos estatísticos. Caso ainda
não tenha baixado esse software, é possível fazê-lo no
link https://www.libreoffice.org/download/download/
(acesso em: 11 abr. 2022).
Observe esta situação.
Uma fazendeira fez um levantamento das árvores
frutíferas da fazenda dela em 2021 e 2022 e registrou
esses dados na tabela seguinte.
Acompanhe os passos a seguir para construir uma
tabela como essa usando uma planilha eletrônica.

2 Complete as células inserindo a quanti-
dade de cada árvore em cada ano, como
mostra a imagem.

3 Para incluir bordas na tabela, selecione as células de A1 até C5 e clique na
função Bordas localizada na barra de ferramentas. Em seguida, selecione
a opção Borda externa e todas as linhas internas. Considerando que
uma tabela apresenta bordas laterais abertas, selecione a coluna A e
clique na opção Apenas borda à direita; selecione a coluna C e clique
na opção Apenas borda à esquerda.
Quantidade de árvores
frutíferas da fazenda

Ano
Árvore
frutífera
2021 2022
Bananeira
20 15
Laranjeira 20 30
Mamoeiro 15 10
Mangueira 10 15
Fonte: Dados fictícios.
FOTOGRAFIAS:
REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
A atividade 1, propicia aos
estudantes que manipulem uma
planilha eletrônica. Inicialmente,
eles têm de introduzir os dados nas
células da planilha para montar a
tabela de dupla entrada fornecida
na questão. Orientar os estudantes
quanto a isso.
Para fazer o gráfico, eles devem
explorar os menus suspensos da
planilha na seguinte ordem:
1) Clicar na aba “Inserir”.
2) Selecionar “Gráfico...”.
3) No “Assistente de gráficos”
escolher:
a) o tipo de gráfico;
b) o intervalo de dados;
c) os elementos dos dados.
4) Clicar em concluir.
A pesquisa da atividade 2
pode ser feita em pequenos
grupos e, nesse caso, o grupo
escolhe o quarteirão próximo
à moradia de um de seus inte-
grantes. É necessário ter cuidado
ao orientar os estudantes sobre
como proceder na coleta dos
dados e como interagir de modo
respeitoso com os moradores.
Agora, com o auxílio de uma planilha eletrônica, resolva as questões no caderno.
1. Foi feita uma pesquisa eleitoral com os três candidatos a prefeito, e foram obtidos os
dados da tabela a seguir, com os percentuais de intenção de votos.
Pesquisa para prefeito – Intenções de voto
Mês
Candidato
Janeiro Março Maio Julho Setembro
Candidato A 10% 15% 20% 30% 45%
Candidato B 30% 25% 25% 20% 25%
Candidato C 40% 35% 35% 30% 20%
Fonte: Dados fictícios.
a) Escreva os dados dessa tabela na planilha eletrônica. Depois construa, nessa planilha, o gráfico
de linhas triplas correspondente, colocando o título dos eixos e do gráfico.
b) Observe o gráfico e verifique se as intenções de voto de algum candidato só cresceram ou
só decresceram no período analisado e quais foram esses candidatos.
2. Faça uma pesquisa com a turma, perguntando a quantidade de moradores na casa de
cada colega. Em seguida, registrem esses dados em uma planilha eletrônica e construam
o gráfico de barras ou de colunas correspondente.

4 Para inserir o gráfico correspondente à tabela
construída, selecione toda a tabela (com o
botão esquerdo do mouse) e clique na aba
Inserir. Em seguida, selecione a opção
Gráfico... e escolha o tipo de gráfico. Como exemplo, vamos selecionar o gráfico de colunas
múltiplas. Na tela, aparecerá um gráfico de colunas duplas como o Gráfico 1, a seguir.

5 Posicione o cursor sobre a região do gráfico, clique uma vez com o botão direito do mouse
e, em seguida, selecione a opção Inserir títulos. Digite o título do gráfico e dos respectivos
eixos, obtendo assim o gráfico a seguir.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE
Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Gráfico 1.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
Esse bloco de atividades pode
ser usado como avaliação de
processo. Espera-se consolidar os
conhecimentos dos estudantes
construídos na Unidade. Sugerir
que refaçam algumas atividades
anteriores dos assuntos que
surgirem dúvidas. Ressaltar tais
temas ao corrigir as atividades.
Na atividade 4, espera-se que
os estudantes percebam que,
no cálculo da probabilidade, a
razão entre o número de casos
favoráveis (360) e o número total
de casos (1 200) é a porcentagem
relativa ao setor associado a
cabelo loiro (30%).
No item c da atividade 7,
espera-se que os estudantes
respondam que não há distor-
ção no gráfico apresentado.
Se julgar pertinente, explorar o
gráfico, reproduzindo-o na lousa,
alterando o último período de
2019 a 2021 para 2019 a 2023,
e perguntar a eles se agora há
alguma distorção. Nesse caso,
espera-se que eles respondam
que sim, pois, inicialmente, o
período é de dois em dois anos,
mas que com a alteração feita o
último período passou a ser de
quatro anos, o que acentua o
crescimento do último período.
Na atividade 8, discutir com
a turma qual é o tipo de gráfico
mais adequado para representar
os dados da tabela. Espera-se que
os estudantes percebam que os
dados podem ser representados
em um gráfico de barras. Nesse
caso, a comparação entre as áreas
destinadas ao plantio de cada
flor fica evidente comparando o
comprimento das barras. Discuta
também que a comparação das
áreas pode ser feita em relação
à área total do jardim; com isso,
o gráfico de setores pode ser
usado para essa representação.
Nesse caso, podemos calcular os
percentuais em relação a cada
área e em relação à área total
do jardim ocupada pelas flores.
Responda às questões no caderno.
1. Luísa comprou uma geladeira por
R$ 1.200,00. Ela pagou R$ 400,00 de
entrada e vai pagar o restante depois
de 4 meses com taxa de 2% ao mês a
juro simples. Nessas condições, quanto
vai custar a geladeira para Luísa?
2. Gabriel aplicou R$ 5.000,00 a juro
composto a uma taxa de 1,8% ao mês
por um período de 1,5 ano. No fim do
período de aplicação, o rendimento de
Gabriel é um valor entre:
a) R$ 3.130,00 e R$ 4.250,00.
b) R$ 1.110,00 e R$ 1.650,00.
c) R$ 1.650,00 e R$ 2.250,00.
d) R$ 4.250,00 e R$ 5.750,00.
e) R$ 6.650,00 e R$ 7. 250,0 0.
3. (OBM) Os resultados de uma pesquisa
das cores de cabelo de 1 200 pessoas são
mostrados no gráfico a seguir.
Castanho
30%
Preto
24%
Loiro
Ruivo
16%
Quantas dessas pessoas possuem o
cabelo loiro?
a) 60
b) 320
c) 360
d) 400
e) 840
4. Considerando o gráfico da questão 3,
determine a probabilidade de uma
pessoa sorteada, ao acaso, entre as
1 200 ter cabelo loiro.
5. (Vunesp-SP – Santa Casa) Em uma urna
há 15 bolas, diferenciáveis apenas por
suas cores, sendo 6 pretas, 5 brancas e
R$ 1.264,00
Alternativa c.
Alternativa c.
30%
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
4 vermelhas, de modo que todas têm
igual probabilidade de serem sortea-
das. Uma pessoa vai até a urna, sorteia
uma bola, não a mostra a ninguém e
a mantém consigo. Em seguida, uma
segunda pessoa vai até a urna e retira
uma nova bola. A probabilidade de as
duas bolas sorteadas terem a mesma
cor é um valor:
a) entre 15% e 25%.
b) entre 25% e 35%.
c) entre 35% e 45%.
d) inferior a 15%.
e) superior a 45%.
6. A professora de Matemática do 9
o
ano
de uma escola apresentou o gráfico a
seguir para os estudantes analisarem.
Quantidade de estudantes
do 9
o
ano que usam óculos
Turma
Quantidade
de estudantes
30
25
25
20
15
10
5
0
9A 9B 9C
Estudantes que Estudantes que
usam óculos não usam óculos
18
15
20
18
22
Fonte: Secretaria da escola.
a) Qual é a quantidade média de estudan-
tes que não usam óculos por turma?
b) Em qual turma há mais estudantes que
usam óculos? Quantos são?
c) Quantos estudantes tem a turma com
menor quantidade de estudantes?
d) Em quais turmas há mais estudantes que
usam óculos do que estudantes que não
usam óculos?
Alternativa b.
20
6. b) 9A; 25 estudantes usam óculos.
35
Apenas na turma 9A.
EDITORIA DE ARTE
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
As questões apresentadas buscam
retomar os assuntos discutidos
no início da Unidade e levam à
reflexão sobre os cuidados que
precisamos ter com nossa vida
financeira.
É importante que os estudantes
respondam individualmente a cada
uma das questões para que possam
perceber suas próprias conquistas e
possíveis dúvidas a respeito de cada
conteúdo estudado na Unidade. Ao
final, explorar o diagrama com eles.
Na primeira questão, espera-se
que os estudantes percebam que
a porcentagem é uma fração que
indica uma comparação, isto é,
uma razão centesimal (fração com
denominador 100), expressa pelo
símbolo % (por cento), e que
com base nesse conhecimento, é
possível compreender os índices
de inflação e o IPCA.
A segunda questão explora os
conceitos de juro simples e juro
composto e sua diferenciação.
Espera-se que os estudantes reco-
nheçam que, no caso de juro
simples, a taxa é aplicada sempre
no capital inicial, enquanto no caso
de juro composto, a taxa se aplica
a cada montante obtido, ou seja,
a cada acréscimo de juro gera-se
um montante que será o novo
capital, no qual será aplicada a taxa
de juro para o próximo período.
Na terceira questão, os
estudantes devem expor o que
entenderam a respeito de eventos
independentes e eventos depen-
dentes. Solicitar que comparem
suas respostas com as dos colegas.
A quarta questão refere-se aos
passos necessários para a realiza-
ção de uma pesquisa estatística.
Pode-se sugerir que os estudantes
registrem as etapas utilizando um
fluxograma. Desse modo, exploram
o pensamento computacional.
Ao final, permitir que comparem
os fluxogramas que construíram
e, juntos, façam as correções, se
necessárias.
7. Durante uma conferência, um banco
digital apresentou o faturamento obtido
de 2013 a 2021 por meio do gráfico
de linhas a seguir e afirmou que foi a
empresa dessa área que mais cresceu nos
últimos anos.
Faturamento de uma empresa
(em bilhões de reais)
Ano
10
11
16
18
32
2013 2015 2017 2019 2021
Fonte: Banco digital.
Analise o gráfico e responda.
a) O que a empresa apresentou nesse
gráfico?
b) Você acha que o tipo de gráfico esco-
lhido foi adequado para o que se queria
apresentar? Justifique.
c) Há alguma distorção nesse gráfico?
8. A tabela a seguir apresenta os dados
coletados referentes à área de plantio
de flores em um jardim.
Flores do jardim
Tipo cravolíriorosatulipa
Área
(em m²)
4 6 4 12
Fonte: Equipe de jardinagem.
O lírio era chamado de Amor
Eterno por antigos povos chineses.
a) Construa um gráfico que mostre a com-
paração dos dados dessa tabela.
b) Qual é a área média de plantio das flores?
9. Junte-se a um colega, e escolham um
tema de interesse de vocês para fazer
uma pesquisa. Elaborem um pequeno
texto explicando as estratégias que vocês
utilizariam para realizar essa pesquisa e
um relatório com os resultados obtidos.
EDITORIA DE ARTE
7. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
8. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
9. Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
BERILOVA IRIDA/SHUTTERSTOCK.COM
Nesta Unidade, estudamos cálculos com porcentagem em variadas situações,
destacando a aplicação de taxas de juro nos regimes de juro simples e de juro composto
para cálculos de montantes e rendimentos; desenvolvemos o cálculo de probabilidade
de eventos independentes e de eventos dependentes; aprofundamos o estudo de
Estatística envolvendo análise de gráficos e cálculo de medidas estatísticas, observando
o uso de gráficos adequados, e analisamos gráficos que apresentam distorções;
acompanhamos os passos de uma pesquisa estatística simples e para o uso de software
na construção de gráficos estatísticos.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• A abertura desta Unidade apresentou informações sobre o índice de inflação e o
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA). Como o estudo de porcen-
tagem nos ajuda a compreender esses índices econômicos?
• Explique a diferença entre o uso de juro simples e de juro composto.
• Como você definiria eventos aleatórios independentes e eventos aleatórios dependentes?
• Quais são os passos para a realização de uma pesquisa estatística?
Respostas dos itens deste boxe na seção Resoluções comentadas deste Manual.UM NOVO OLHAR8 cm
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
1, 2 e 7
Competências específicas:
1, 2, 4 e 8
Habilidades:
Geometria
• EF09MA13 • EF09MA14
Tema Contemporâneo
Transversal:
• Diversidade Cultural
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em quatro capítulos e apresenta
os conteúdos por meio de exem-
plos, atividades diversificadas e
seções com temas que contri-
buem para a formação integral
dos estudantes e o trabalho
com o Tema Contemporâneo
Transversal Diversidade Cultural, o
que favorece o desenvolvimento
das competências gerais 1, 2 e 7.
No primeiro capítulo, são
apresentadas características do
triângulo retângulo, o teorema
de Pitágoras e algumas aplica-
ções. No segundo capítulo, são
apresentadas outras relações
métricas no triângulo retân-
gulo. No capítulo três, aborda-se
medida de comprimento de
arco de uma circunferência e,
no quarto capítulo, as relações
métricas em uma circunferên-
cia. Esses estudos favorecem
a apropriação das habilidades
EF09MA13 e EF09MA14.
OBJETIVOS
• Reconhecer os elementos de
um triângulo retângulo.
• Compreender o teorema de Pi-
tágoras e algumas aplicações.
• Utilizar o teorema de Pitágo-
ras como um procedimento
para realizar cálculos.
• Compreender relações métri-
cas existentes em um triângulo
retângulo.
• Resolver problemas que envol-
vam semelhança de triângulos
retângulos.
• Determinar o comprimento de arcos de cir-
cunferência.
• Reconhecer e aplicar as propriedades entre
arcos e cordas de uma circunferência e das
relações métricas em uma circunferência.
JUSTIFICATIVAS
DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se o estudo das
relações métricas no triângulo retângulo e
na circunferência. Desse modo, pretende-se
favorecer o desenvolvimento das habilidades
EF09MA13 e EF09MA14.
As seções Por toda parte apresentam variadas
situações que proporcionam diferentes aplica-
ções dos conhecimentos adquiridos ao longo
dos capítulos. Em especial, o tema abordado
na seção, arquitetura enxaimel, colabora para
o desenvolvimento do Tema Contemporâneo
Transversal Diversidade Cultural, da compe-
tência geral 1 e das competências específicas
1 e 8 da área de Matemática.
Em alguns casos práticos do dia a dia,
não é possível fazer medições diretas de
representações de segmentos de retas.
A imagem da tela do tablet representa
um problema que uma engenheira civil
precisa resolver. Ela está trabalhando em um
projeto urbanístico de uma cidade e precisa
determinar a medida de um segmento de
reta que passa pelas construções. Por esse
motivo, é inviável fazer uma medição em
linha reta. Observe o que ela diz.
UNIDADE
RELAÇÕES MÉTRICAS
NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO E NA
CIRCUNFERÊNCIA
7
Resposta pessoal. Espera-se que,
ao analisar a imagem do esquema,
os estudantes percebam que os
segmentos cujos comprimentos
representam as distâncias, em linha
reta, entre os pontos indicados
lembram lados de um triângulo
retângulo. Portanto, será necessário
determinar a medida do lado
oposto ao ângulo reto, ou seja, da
hipotenusa.
DANIEL BOGNI
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Essa abertura proporciona uma
discussão interessante para iniciar
o estudo sobre relações métricas
no triângulo retângulo e aplica-
ção do teorema de Pitágoras. O
mapa apresentado indica uma
aplicação do teorema de Pitágoras
para determinar as medidas em
um plano; no caso apresentado
na abertura, as medidas das ruas
são mais simples de determinar
do que a medida de uma dia-
gonal, considerando que haverá
casas e prédios nessa diagonal.
Entende-se que, para que haja
um trabalho mais amplo com os
itens descritos nessa abertura, as
situações podem ser discutidas
previamente e retomadas após o
estudo do teorema de Pitágoras
como atividades de aplicação.
Caso seja possível, seria inte-
ressante levar os estudantes ao
laboratório de informática para
que tenham acesso à internet
e possam consultar mapas e
utilizá-los em atividades comple-
mentares, seguindo o exemplo
apresentado na abertura. Sugerir
aos estudantes que elaborem
questões referentes ao teorema
de Pitágoras que envolvam a dis-
tância entre dois pontos.
Antes de propor a primeira
questão da abertura, conversar
com a turma para verificar os
conhecimentos prévios deles. A
partir dessa verificação, pode-se
optar, por exemplo, por fazer
uma retomada das questões pro-
postas nessa abertura ao longo
da Unidade, e não apenas ao
finalizá-la.
Para a terceira questão, é
interessante que os estudan-
tes percebam que, caso exista
uma relação entre os lados do
triângulo, com essas informa-
ções seria possível calcular a
medida desejada.
DANIEL BOGNI
Responda às questões no caderno.
• Das informações apresentadas, quais podem ser utilizadas para solucionar esse problema?
• Indique o nome da figura formada pelos segmentos de retas tracejados em azul
e classifique-a quanto aos ângulos. Triângulo retângulo.
• Como você acha que esse problema pode ser resolvido?
Espera-se que os estudantes respondam que podem ser utilizados o comprimento das ruas
indicadas e o ângulo formado entre elas, que é de 90°.
205
Preciso calcular a distância,
em linha reta, entre dois pontos. Um ponto
é a esquina da Rua Severina de Sousa com a
Rua Nelson Coelho. O outro ponto é a esquina da
Rua Miriam Pereira com a Rua Michele de Alencar.
Além disso, conheço o comprimento das
ruas e sei que, nessa parte da cidade,
todas as esquinas formam
um ângulo de 90°.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
IMAGENS FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
Rua Michele d e Ale n c ar
Rua S eve rina d e S ou s a
Rua Nelson Coelho
Rua Miriam Pereira
205
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Pense e responda
A atividade proposta retoma
os elementos de um triângulo
retângulo – ângulo reto, catetos
e hipotenusa – e trabalha com
a ideia de construir quadrados
sobre os lados do triângulo
retângulo.
A comparação entre as áreas
desses quadrados prepara os
estudantes para a introdução do
teorema de Pitágoras, que será
estudado a seguir. Esse estudo
favorecerá o desenvolvimento
da habilidade EF09MA13.
No item d, espera-se que
os estudantes percebam que a
medida da área do quadrado
com lado comum à hipotenusa
é igual à soma das medidas dos
quadrados com lado comum a
cada um dos catetos.
TEOREMA
DE PITÁGORAS
CAPÍTULO
1
Vamos recordar algumas características do triângulo retângulo.
• É um triângulo que tem um ângulo reto.
• O lado oposto ao ângulo reto chama-se
hipotenusa.
• Os lados que formam o ângulo reto são
denominados catetos.
Responda no caderno.
• Vamos considerar o triângulo retângulo da figura a seguir, em que a
hipotenusa mede 2,5 cm, e os catetos medem, respectivamente, 2,0 cm
e 1,5 cm.

2,5 cm
1,5 cm
2,0 cm
Representando um quadrado com um
lado comum a cada um dos lados do
triângulo retângulo dado, obtemos
esta figura cujas medidas são dadas
em centímetro.
a) Considerando Q
1
o quadrado com um
lado comum à hipotenusa do triângulo
e A
1
a área desse quadrado, determine
o valor de A
1
. A
1
= 6,25 cm
2
b) Considerando Q
2
o quadrado com um
lado comum ao cateto que mede 2,0 cm
e A
2
a área desse quadrado, determine o
valor de A
2
. A
2
= 4 cm
2
c) Considerando Q
3
o quadrado com um lado comum ao cateto que mede 1,5 cm
e A
3
a área desse quadrado, determine o valor de A
3
.
d) Escreva uma igualdade usando os valores encontrados para A
1
, A
2
e A
3
.
e) De acordo com a resposta do item d, nesse triângulo, que relação há entre
a área do quadrado com um lado comum à hipotenusa desse triângulo e as
áreas dos quadrados com um lado comum a cada um dos catetos? Explique
sua resposta a um colega e observe como ele fez para responder.
c) A
3
= 2,25 cm
2
d) A
1
= A
2
+ A
3
e) Espera-se que os estudantes percebam que a área do quadrado com lado comum à
hipotenusa é igual à soma dos quadrados com lado comum a cada um dos catetos.
PENSE E RESPONDA
hipotenusa
cateto
cateto
Q
1
Q
2
Q
3
2,5
2,5
2,5
2,5
2,0 2,0
1,5
1,5
1,5 1,5
2,0
2,0
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
206
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O triângulo retângulo
dos egípcios
Ao abordar esse tópico, se
possível, solicitar aos estudantes
que formem grupos e experi-
mentem construir um triângulo
retângulo com um barbante com
12 nós, de modo que obtenham
cantos retos. O triângulo deve,
assim como o triângulo utili-
zado pelos antigos egípcios.,
ter lados de 3, 4 e 5 unidades.
Na ilustração a seguir, há um
esquema que pode ser utilizado
como inspiração para realizar a
construção.
4 unidades
de medida
5 unidades
de medida
barbante
lápis lápis
lápis
lápis lápis
3 unidades
de medida
Após a construção, pode-se
fazer algumas perguntas aos estu-
dantes. Por exemplo: “Quantas
unidades de medida tem o menor
cateto?”; “E o maior?”; “E a
hipotenusa?”.
Para complementar, pedir
aos estudantes que façam uma
pesquisa a respeito da vida e
da obra de Pitágoras.
EDITORIA DE ARTE
O TRIÂNGULO RETÂNGULO E UM GREGO FAMOSO
No texto a seguir, vamos conhecer algumas informações sobre o filósofo grego Pitágoras.
Gravura de Pitágoras.
Mosaico egípcio, feito de mármore, do
período compreendido entre os séculos
XV e XVII. Egito, 2020.
NORTH WIND PICTURE ARCHIVES/AKG/ALBUM/FOTOARENA
ASAR STUDIOS/ALAMYS/FOTOARENA
Representação de triângulo retângulo utilizado pelos egípcios.
5 unidades
3 unidades
4 unidades
PEDRO PAULO MELARA
O TRIÂNGULO RETÂNGULO DOS EGÍPCIOS
A construção de pirâmides de base quadrangular é uma das apli-
cações do conhecimento geométrico dos antigos egípcios, os quais
usavam um processo prático para obter ângulos retos.
Com o auxílio de uma corda com 12 nós, os egípcios parecem ter
construído um triângulo retângulo particular para obter ângulos retos.
No triângulo representado, cujos lados medem 3 unidades, 4 unidades
e 5 unidades de comprimento, o ângulo formado pelos dois lados
menores é um ângulo reto.
Elaborado com base em: KALEFF, Ana Maria Martensen Roland. A geometria dos
egípcios e situações do cotidiano. Laboratório de Ensino de Geometria da Universidade
Federal Fluminense. [Niterói], [2010?]. Disponível em: http://www.cdme.im-uff.mat.br/
tangrans_pitagoricos/saber_mais.html. Acesso em: 22 abr. 2022.
É possível que Pitágoras e seus discípulos tenham
se baseado em conhecimentos geométricos utilizados
pelos egípcios e em mosaicos vistos com frequência
em paredes das construções do antigo Egito para fazer
uma demonstração desse teorema.
Mosaicos compostos de representações de figuras
geométricas, como triângulos retângulos, presentes em
culturas mais antigas, levaram o ser humano a perceber
importantes relações na Geometria.
[...] Ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos. É
possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales [...]. Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito e [...] decidiu então emigrar para [...] Crotona, uma colônia grega
situada no sul da Itália. Lá ele fundou a famosa escola pitagórica, que, além de ser um
centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, era também uma irman-
dade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias. [...]
[...] Como os ensinamentos da escola eram inteiramente
orais e como era costume da irmandade atribuir todas as des-
cobertas ao [...] fundador, é difícil [...] saber exatamente que
descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras [...].
[...] A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras a desco-
berta independente do teorema sobre triângulos retângulos hoje
universalmente conhecido pelo seu nome. [...] esse teorema era
conhecido pelos babilônios [...] mais de um milênio antes, mas sua
primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras. [...]
EVES, Haward. Introdução à história da matemática.
Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas: Editora Unicamp, 2001. p. 97 e 103.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O objetivo aqui é levar os estu-
dantes a compreender e a aplicar
o teorema de Pitágoras para
encontrar medidas desconheci-
das dos lados de um triângulo
retângulo. Além disso, eles serão
levados a reconhecer e a aplicar o
teorema de Pitágoras no cálculo
da medida da diagonal de um
quadrado e no cálculo da medida
da altura de um triângulo equi-
látero. Esse estudo favorece o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA14.
Para que os estudantes cons-
tatem com maior facilidade a
validade do teorema de Pitágoras,
sugere-se que os exemplos apre-
sentados no Livro do estudante
sejam explorados na lousa para
que todos acompanhem.
Outra sugestão para dar conti-
nuidade a esse estudo é solicitar
aos estudantes que utilizem papel
quadriculado para desenhar, recor-
tar e colar, no caderno, quadrados
de lados 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 6, 8
e 10 unidades de comprimento,
formando triângulos retângulos,
como o triângulo apresentado
no Livro do estudante.
Depois, com os triângulos
retângulos feitos, retomar os
elementos de um triângulo retân-
gulo e incentivar os estudantes
a participar. Se julgar interes-
sante, sistematizar essa retomada
fazendo a representação de um
triângulo retângulo na lousa e
anotando as observações a seguir.
• São chamados de catetos os
lados com ângulo interno reto.
• A hipotenusa é o lado maior,
oposto ao ângulo reto.
A figura a seguir representa um mosaico com figuras que lembram triângulos retângulos
coloridos de verde, quadrados amarelos com um dos lados comum à hipotenusa de cada um
desses triângulos e quadrados cor-de-rosa com um dos lados comum a cada cateto.
unidade de área
C
A
B
B‘ C‘
A‘
C’
B’
A’
Considerando a unidade de área indicada na imagem, podemos construir o quadro a seguir.
Triângulo ABCTriângulo A‘B‘C‘Triângulo A’B’C’
Área do quadrado com um dos
lados comum à hipotenusa
4 8 16
Área do quadrado com um dos
lados comum a um cateto
2 4 8
Área do quadrado com um dos
lados comum ao outro cateto
2 4 8
Analisando que 4 = 2 + 2; 8 = 4 + 4 e 16 = 8 + 8, temos exemplos da seguinte relação
válida para esses triângulos:
A área do quadrado com um dos lados comum à hipotenusa é igual à soma das áreas
dos quadrados com um dos lados comum a cada um dos catetos.

Essa relação estava inicialmente restrita a um triân-
gulo retângulo particular: o triângulo retângulo isósceles. No entanto, estudos realizados posteriormente mostraram que a relação métrica descoberta era válida para todos os triângulos retângulos.
Considerando, por exemplo, o triângulo retângulo
particular dos egípcios e representando quadrados com um dos lados comum a cada lado desse triângulo, podemos obter uma figura que nos permite estabelecer uma relação entre as medidas dos lados desse triângulo retângulo escaleno. Observe a figura e o esquema.
25 = 16 + 9 ou 5
2
= 4
2
+ 3
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
4
35
4
2
= 16
5
2
= 25
3
2
= 9
1 unidade de área
1 unidade de comprimento
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O teorema de Pitágoras é um
conceito bastante importante na
resolução de problemas geométri-
cos, tanto no Ensino Fundamental
quanto no Ensino Médio. Explorar
as situações apresentadas no
Livro do estudante e verificar se
surgem dúvidas em relação à apli-
cação do teorema de Pitágoras e
fazer as retomadas necessárias.
Caso eles não tenham dúvidas,
seguir o estudo.
Depois de explorar os exem-
plos apresentados no Livro do
estudante, propor aos estudantes
que, em duplas, tentem elabo-
rar alguma situação de aplicação
do teorema de Pitágoras para
que outra dupla de estudantes a
resolva. Em seguida, pedir a eles
que compartilhem as situações
elaboradas e as estratégias que
utilizaram para resolvê-las. Esse
estudo favorece o desenvolvi-
mento das habilidades EF09MA13
e EF09MA14.
Ao explicar aos estudantes
que a recíproca do teorema de
Pitágoras é verdadeira, se pos-
sível, compartilhar com eles a
demonstração das páginas 34
e 35 de uma dissertação apre-
sentada ao Centro de Ciências
e Tecnologia da Universidade
Estadual do Norte Fluminense
Darcy Ribeiro, disponível em
https://uenf.br/posgraduacao/
matematica/wp-content/uploads/
sites/14/2017/09/28042016Lenil-
son-Oliveira-da-Silva.pdf (acesso
em: 25 jul. 2022).
Podemos, então, enunciar o teorema de Pitágoras.
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da
medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das medidas dos catetos.
a
2
= b
2
+ c
2
A
BC
a
c
b
A recíproca desse teorema também é verdadeira, ou seja, em um triângulo, se o quadrado da
medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores, então esse
triângulo é retângulo.
Analise as situações a seguir que envolvem triângulos retângulos.

1 Qual é o valor da medida a no triângulo retângulo desta
figura?
Como temos um triângulo retângulo, vamos aplicar o
teorema de Pitágoras para encontrar o valor da medida a.

a
2
= 5
2
+
()3
22
h a
2
= 25 + 3 h a =
28 h a = 27
a . 0
Logo, a mede
27.

2 Em um triângulo retângulo ABC, a hipotenusa mede a = 13 cm, e um dos catetos mede
b = 12 cm. Quanto mede o outro cateto?
De acordo com o teorema de Pitágoras, a
2
= b
2
+ c
2
.
Como são dados a = 13 cm e b = 12 cm, podemos escrever:
13
2
= 12
2
+ c
2
h
h 169 = 144 + c
2
h
h c
2
= 169 _ 144 h
h c
2
= 25
Como c . 0, c =
25 h c = 5.
Então, o outro cateto mede 5 cm.
3 Os lados de um triângulo medem 16 cm, 30 cm e 34 cm. Verificar se, nesse caso, há um
triângulo retângulo.
Para confirmar se temos um triângulo retângulo, aplicamos a recíproca do teorema de
Pitágoras, ou seja, sendo a = 34 cm, b = 30 cm e c = 16 cm, temos:

a
2
= 34
2
= 1 156
b
2
= 30
2
= 900
c
2
= 16
2
= 256
Como 1 156 = 900 + 256, temos a
2
= b
2
+ c
2
.
Como as medidas dos lados satisfazem o teorema de Pitágoras, podemos dizer que, nessa
situação, temos um triângulo retângulo.
a
5
3
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Depois de explorar a demons-
tração do Livro do estudante,
apresentar a demonstração
baseada no cálculo de áreas de
figuras geométricas planas, desse
modo, favorece-se o desenvolvi-
mento da habilidade EF09MA13.
Considerar o triângulo
retângulo:
C
AB
a
b
c
a = medida da hipotenusa.
b = medida de um cateto.
c = medida do outro cateto.
Observar, agora, que os qua-
drados MNPQ e DEFG têm mesma
área, visto que o lado de cada
quadrado mede (b + c).
QP
MN
V
T
S
R
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c

GF
ED
K
L
I
H
J
b
b
b
b
b
b
cc c
c
c
c
a
a
Com base nesses dois quadra-
dos, temos:
• área do quadrado MNPQ =
= área do quadrado RSVT +
+ (área do triângulo RNS) ? 4
• área do quadrado DEFG =
= área do quadrado IELJ +
+ área do quadrado GHJK +
+ (área do retângulo DIJH) ? 2
• área do quadrado RSVT = a
2
• área do triângulo RNS =
bc
2
?
• área do quadrado IELJ = c
2
• área do quadrado GHJK = b
2
• área do retângulo DIJH = b ? c
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Como as áreas dos quadrados MNPQ e DEFG
são iguais, podemos escrever:
a
2
+
bc
2






? 4 = c
2
+ b
2
+ (bc) ? 2
a
2
+ 2bc = c
2
+ b
2
+ 2bc
Cancelando 2bc, temos: a
2
= b
2
+ c
2
4 O esquema a seguir representa parte do bairro de uma cidade. Nele, estão indicadas a
estação A e a estação B do metrô. O trecho em azul indica um dos caminhos que um carro
pode percorrer, na superfície, para ir da estação A até a estação B, e o traçado cinza indica
a linha subterrânea do metrô que liga, em linha reta, as duas estações. De acordo com os
dados, qual é a distância que o metrô percorre da estação A até a estação B?

A
B
100 m
x
A
B
300 m
Modelo matemático:
400 m
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo anterior, temos:
x
2
= 400
2
+ 300
2
h x
2
= 160 000 + 90 000 h x
2
= 250 000.
Como x . 0, x =
250000 h x = 500.
Portanto, da estação A até a estação B, o metrô percorre 500 m.
Vamos, agora, utilizar a semelhança de triângulos para demonstrar que, se um triângulo ABC
é um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos. Considere o triângulo retângulo da figura a seguir.
• a: medida da hipotenusa
• b: medida de um cateto
• c: medida do outro cateto
Nesse triângulo, vamos traçar a altura relativa ao lado BC.
Essa altura divide a hipotenusa em dois segmentos cujas medidas
chamaremos de x e y.
Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, pois apresentam um ângulo reto e um ângulo
comum ()ˆ
B.
C
A
B
b
c
a
AB
y
D
c
C
AB
a
b
c
C
x
AB
y
a
D
b
c
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Sugerir aos estudantes, após
a resolução do problema apre-
sentado, que se organizem em
duplas para facilitar a troca de
ideias, conhecimento e estraté-
gias utilizadas.
Se julgar pertinente, para facili-
tar a compreensão do enunciado
do problema, pode-se utilizar as
seguintes estratégias.
• Pedir aos estudantes que façam
um desenho e organizem os da-
dos do problema apresentado.
• Pedir a um dos estudantes da
dupla que explique ao outro
o que entendeu a respeito do
problema.
• Levar os estudantes a perceber
que a aplicação do teorema
de Pitágoras é uma maneira
de resolvê-lo, pois o bambu
quebrado forma com o chão
um triângulo retângulo.
Em seguida, solicitar aos estu-
dantes que registrem todos os
passos que utilizaram no pro-
cesso de resolução.
Ao final, fazer uma correção
coletiva, pedindo às duplas que
mostrem suas resoluções, e sanar
as dúvidas que possam surgir.
Durante a verificação da reso-
lução, pedir aos estudantes
que observem se o teorema
de Pitágoras está sendo apli-
cado corretamente. Caso algum
obstáculo apareça nessa etapa,
retome o teorema de Pitágoras
com os estudantes e, se neces-
sário, faça alguns exemplos
na lousa.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Com linguagem similar à do problema publicado por Bhaskara, ela-
bore um problema que possa ser resolvido pelo teorema de Pitágoras.
Troque o caderno com um colega para que um solucione o problema
elaborado pelo outro. Depois, verifique se a resolução está correta.
Resolução da atividade
De uma escada encostada na parede, sabe-se que a extremi-
dade apoiada no chão está a 2 m da parede e que a extremidade
apoiada na parede está a 5 m do chão, qual é o comprimento apro-
ximado da escada?
Resolução:
Como o chão forma um ângulo reto com a parede, temos um
triângulo retângulo.
C
2
= 2
2
+ 5
2
h C 1 5,36
O comprimento da escada é aproximadamente 5,36 m.
Assim, podemos escrever:
c
y
=
a
c
h ya = c
2
h y =
c
a
2
Analogamente, os triângulos ABC e ACD são semelhantes, pois têm um ângulo reto e um
ângulo comum ()ˆ
C.
Assim, podemos escrever:
b
x
=
a
b
h xa = b
2
h x =
b
a
2
Como a = x + y, podemos escrever:
a =
b
a
2
+
c
a
2
h a
2
= b
2
+ c
2
C
A
B
b
c
a
C
x
A
D
b
MM_PHOTOS/SHUTTERSTOCK.COM, NELLA/SHUTTERSTOCK.COM
PROBLEMA DO BAMBU QUEBRADO
Leia, a seguir, o trecho de um texto a respeito dos primeiros registros do conhecimento
matemático na China e do teorema de Pitágoras.
[...] talvez o mais influente livro de matemática chinês [...] foi o Jiuzhang suanchu
(Chui-chang suan-shu) ou Nove Capítulos sobre a arte matemática. Esse livro contém
246 problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia,
impostos, cálculos, solução de equações e propriedades dos triângulos retângulos.
[...] O nono e último capítulo contém problemas sobre triângulos retângulos, alguns
dos quais reapareceram mais tarde na Índia e na Europa. [...] [Um] desses problemas
bem conhecidos é o do bambu quebrado: há um bambu de 10 pés de altura, cuja
extremidade superior, ao ser quebrada, atinge o chão a 3 pés da haste. Achar a altura
da quebra.
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta C. História da matemática.
Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. p. 144.
• No século XII, o matemático hindu Bhaskara publicou uma releitura do pro-
blema chinês.
“Se um bambu de 32 cúbitos de altura é quebrado
pelo vento, de modo que a ponta encontra o chão a
16 cúbitos da base, a que altura, a partir do chão, ele
foi quebrado?”.
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta C. História da matemática.
Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012. p. 161.
Resolva esse problema no caderno e justifique cada etapa de cálculo que
você utilizou na resolução.
12 cúbitos. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
211211
Cúbito: antiga unidade de
medida de comprimento
que correspondia à
distância entre o cotovelo
e a extremidade do
dedo médio.
GLOSSÁRIO
EDITORIA DE ARTE
POR TODAPARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo dessas atividades
é que os estudantes apliquem o
teorema de Pitágoras para veri-
ficar se determinado triângulo é
ou não retângulo e determinar
medidas de lados desconhecidas
de um triângulo retângulo, além
de utilizar os conhecimentos rela-
cionados com esse assunto para
resolver as situações-problema
indicadas. Desse modo, pretende-
-se favorecer o desenvolvimento
da habilidade EF09MA13.
Na atividade 1, para mostrar
que cada triângulo é retângulo,
eles devem verificar se o qua-
drado da medida do lado maior
deve ser igual à soma dos qua-
drados das medidas dos outros
dois lados. Acompanhá-los nesse
processo de verificação e analisar
as dúvidas, em especial as mais
recorrentes e, ao fazer a correção,
trazer esses pontos analisados para
serem discutidos com a turma.
Se julgar necessário, retomar o
conteúdo, em especial a defini-
ção tratada na página 209 do
Livro do estudante.
Na atividade 4, verificar se os
estudantes percebem que, para
calcular a medida do segmento
AC, podem aplicar o teorema de
Pitágoras, pois o triângulo ABC
é retângulo, e o segmento AC é
um dos catetos desse triângulo.
Responda às questões no caderno.
1. Os lados de um triângulo ABC medem
26 cm, 24 cm e 10 cm. Mostre que esse
triângulo é retângulo.
2. Calcule a medida x em cada um dos triân-
gulos retângulos a seguir.
a)
b)
c)
d)
3. Considerando a figura a seguir, determine:
M
R
N
P
Q
c
b
a
8
2
44
a) a medida a;
25
b) a medida b;
45
c) a medida c; 10
d) o perímetro do trapézio MNPQ. 28
4. Na circunferência da figura a seguir, o
comprimento do diâmetro BC é 5 cm.
Sendo A um ponto da circunferência e
sabendo que o
comprimento
de AB é 1 cm,
calcule a medida
do segmento AC.
(Considere
6 = 2,45.)
1. Como 26
2
= 24
2
+ 10
2
, o triângulo é retângulo.
35
x
21
28
7
x25
24
25
x
10
10
5
x
29
2
4,90 cm
5. Sabendo que o triângulo BCD na
figura é equilátero, deter-
mine, em centímetro, o
perímetro:
a) do triângulo BCD;
b) do quadrilátero ABCD.
6. Considerando
esta figura,
calcule o valor da
expressão x + y.
7. Na figura, os segmentos AB e BD têm o
mesmo comprimento.
A
B C
D
12
16
y
x
Nessas condições, determine a medida:
a) x do segmento AB; 20
b) y do segmento AD.
1210

8. Na figura, as medidas são dadas em
centímetro. Calcule o valor da expres-
são a + b + c.
2,4
0,9
1,2
1,8
c
a
2,0
b
9. O monitor de um notebook tem formato
retangular, cuja diagonal mede 30 cm, e
um lado mede
3
4
do comprimento do
outro lado. Quais são as medidas dos
lados desse monitor? 24 cm e 18 cm.
45 cm
51 cm
95
a + b + c = 7,0
ATIVIDADES
O
B
A
C
AB
D
C
9 cm
12 cm
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
x
y
48
35
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 10, espera-se
que os estudantes identifiquem
que é possível aplicar o teorema
de Pitágoras para resolvê-la. Caso
necessário, auxiliá-los a deter-
minar um ponto P por meio de
duas retas suportes, uma paralela
ao eixo x passando pelo ponto
A e outra paralela ao eixo y pas-
sando por B. Desse modo, os
pontos A, B e P determinam um
triângulo retângulo.
Para a realização da
atividade 14, organizar a turma
em grupos de três ou quatro
estudantes. Cada grupo deve
representar por meio de um
desenho a situação proposta.
Orientá-los a utilizar a escala de
1
100
na hora de desenhar; assim,
cada centímetro do desenho
representará 1 metro, visto que
as medidas são indicadas em
metro no enunciado. Acompanhar
os estudantes para que encon-
trem o ângulo reto do triângulo
retângulo sugerido pelo desenho
que fizeram, determinando a
hipotenusa e os catetos para
aplicar o teorema de Pitágoras
e encontrar a altura. Observar
as representações geométricas
a seguir.
cateto (c)
hipotenusa (a)
10 m
c
6 m
cateto (b)
cateto (c)
hipotenusa (a)
10 m
c
6 m
cateto (b)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
AMPLIANDO
Caso note o envolvimento dos estudantes com o tema,
propor aos grupos que realizem uma pesquisa a respeito
dos procedimentos que podem ser adotados para evitar
incêndios domésticos, ou como agir diante de uma situa-
ção de risco como essas.
Depois da pesquisa, os estudantes poderão criar car-
tazes informativos e fixá-los em murais da escola para
alertar os usuários do espaço dos perigos e dos cuidados
a serem tomados na prevenção de incêndios.
10. João gosta de navegar e está se organi-
zando para fazer um percurso com o qual
não está acostumado. O objetivo é sair do
ponto A e ir até o ponto B, ambos loca-
lizados às margens de um lago. Ele não
está considerando a correnteza da água
e pretende navegar no menor tempo
possível. Analise a figura a seguir.
20
2
4
841 0126
y (km)
x (km)
6
8
A
B
1012
a) Qual é a distância, em quilômetro, entre
o ponto A e o ponto B? 10 km
b) Considerando que João navegará a uma
velocidade média de 2 km/h, quanto
tempo ele levará para ir do ponto A até
o ponto B? 5 horas.
c) A partir da figura anterior, elabore um pro-
blema que envolva o cálculo de distâncias.
Troque o caderno com um colega para
que um solucione o problema do outro.
Em seguida, confiram, juntos, se a resolu-
ção de cada um está correta.
11. Existe uma lenda em que, acredita-se,
um aventureiro deixou um mapa com a
localização exata de um valioso tesouro
em uma ilha, e nesse mapa havia dicas de
como encontrar o tesouro a partir de certo
ponto O de origem. O tesouro localiza-se
no ponto médio M, entre os pontos A e B,
definidos no mapa, de acordo com as
dicas descritas a seguir.
• Ponto A: a partir do ponto O de
origem, seguir 20 m na direção leste
e, depois, mais 30 m na direção norte.
• Ponto B: a partir do ponto O de origem,
seguir 40 m na direção oeste e,
depois, 50 m na direção norte.
Observe o esquema a seguir e considere
10 = 3,16.
10. c) Resposta pessoal.
Exemplo de resposta
na seção
Resoluções
comentadas
deste Manual.
A
M
B
O
30 m
50 m
40 m
20 mO
a) Qual é a distância do ponto A ao ponto B?
b) Qual é a distância do ponto A ao ponto M?
12. Uma torre vertical é presa por cabos de
aço fixos no chão, em um terreno plano
horizontal, conforme mostra o esquema
a seguir. Se o ponto A está a 15 m da
base B da torre, e o ponto C está a 20 m
de altura, qual é o comprimento do cabo
representado por AC? 25 m
AB
C
13. Uma árvore foi quebrada pelo vento, e a
parte do tronco que restou em pé forma
um ângulo reto com o solo. Se a altura
da árvore antes de quebrar era de 9 m, e
a ponta da parte quebrada está a 3 m da
base da árvore, qual é a altura do tronco
que restou em pé? 4 m
14. Durante um incêndio em um edifício, os
bombeiros utilizaram uma escada articu-
lada de 10 m de comprimento para ter
acesso à janela de um apartamento em
chamas. A escada estava colocada a 1 m
do chão, sobre um caminhão que se en-
contrava afastado 6 m do edifício. Qual é
a altura dessa janela em relação ao chão?
63,2 m
31,6 m
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
9 m
ILUSTRA CARTOON
AS CORES NÃO SÃO REAIS. IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Aplicações do teorema
de Pitágoras
Os estudantes serão convi-
dados a aplicar o teorema de
Pitágoras no cálculo da medida
da diagonal de um quadrado.
Desse modo, propicia-se o
desenvolvimento da compe-
tência específica 2 da área de
Matemática e da habilidade
EF09MA14.
Mostrar aos estudantes a
relação entre a medida d da
diagonal e a medida l do lado
do quadrado, como é feito no
Livro do estudante, porém de
modo que eles acompanhem
a explicação passo a passo na
lousa. Reproduzir os desenhos e
as informações necessárias para
chegar à expressão d = l
2.
Incentivar os estudantes a
estabelecer as conexões entre
o teorema de Pitágoras e os
elementos das figuras. Incentivá-
‑los a recorrer a argumentos
matemáticos caso apresentem
justificativas. Mostrar as etapas
até chegar às relações preten-
didas e fazer a sistematização
coletivamente.
APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Por meio do teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação entre a
medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado. No quadrado ABCD, l é
a medida do lado, e d, a medida da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo ABC, podemos escrever:
d
2
= l
2
+ l
2
d
2
= 2l
2
(l . 0)
d =
l2
2
d = l
2
Acompanhe as situações a seguir.
1 Quanto mede a diagonal do quadrado a seguir?
CD
8 cm 8 cm
8 cm
8 cm
BA
d
Pela expressão obtida, temos d = l
2. Substituindo l por 8, temos d = 82.
Logo, a medida da diagonal desse quadrado é 8
2 cm.2 A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Quanto mede o lado l desse quadrado?
Pela situação, temos d = 10 cm.
Substituindo na expressão d = l
2, temos:
10 = l
2 h l2 = 10 h l =
10
2
h l =
102
2
h l = 5
2
Logo, o lado desse quadrado mede 5
2 cm.
CD
BA
d
l
ll
l
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
GARBI, Gilberto Geraldo. A rainha das ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo
da matemática. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2010.
Esse livro apresenta diversos capítulos que abordam diferentes períodos da história
da Matemática. Um dos capítulos é sobre Pitágoras e a escola pitagórica, no qual são
apresentadas algumas demonstrações do teorema de Pitágoras.
DESCUBRA MAIS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Para estabelecer uma relação
entre a medida h da altura e a
medida l do lado do triângulo
equilátero aplicando o teorema
de Pitágoras, retomar as proprie-
dades dessa figura. Verificar se os
estudantes se recordam que se
trata de uma figura plana, com
três lados congruentes e três
ângulos internos que medem 60°.
Além disso, a altura, a mediana,
a mediatriz e a bissetriz relativas
a quaisquer vértices coincidem.
Essa é uma importante caracte-
rística desse triângulo e pode ser
utilizada na resolução de diversos
problemas geométricos.
Os estudantes serão convi-
dados a aplicar o teorema de
Pitágoras no cálculo da medida
da altura de um triângulo equi-
látero. Para tanto, mostrar a
relação que há entre a medida h
da altura e a medida l do lado
do triângulo equilátero a fim
de que os estudantes compre-
endam a expressão h =
3
2
l
.
Desse modo, propicia-se a con-
tinuidade do desenvolvimento
da habilidade EF09MA14.
Podemos estabelecer uma relação entre a medida h da altura e a medida l do
lado de um triângulo equilátero aplicando o teorema de Pitágoras.
A figura a seguir é um triângulo equilátero, em que l é a medida do lado, e h
é a medida da altura.
l
2
BC
A
H
h
l
l
l
No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem; logo, o ponto H é
o ponto médio do lado BC. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retân-
gulo AHC ()
ˆ
Héreto, temos:
l
2
= h
2
+






l
2
2
h h
2
= l
2
_
l
4
2
h h
2
=
l3
4
2
h h =
l3
4
2
(l . 0) h h =
l3
2
Acompanhe as situações a seguir.
1 Vamos determinar a medida h da altura de um triângulo equilátero com 20 cm
de lado.
Substituindo l por 20 na expressão h =
l3
2
, podemos escrever:
h =
203
2
= 10
3
Logo, a altura desse triângulo equilátero mede 10
3 cm.2 A altura de um triângulo equilátero mede 9 cm. Qual é a medida l do lado desse
triângulo?
Substituindo h por 9 em h =
l3
2
, temos:
9 =
l3
2
h l
3 = 18 h l =
18
3
h l = 6
3
Logo, a medida do lado desse triângulo é 6
3 cm.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O bloco de atividades desta
página contribui para o desenvol-
vimento da habilidade EF09MA14.
Nessas atividades, os estudantes
terão a oportunidade de aplicar o
teorema de Pitágoras no cálculo
da medida da diagonal de um
quadrado e no cálculo da medida
da altura de um triângulo equi-
látero. A resolução de parte das
atividades propostas nesse bloco
favorece o desenvolvimento do
raciocínio inferencial, uma vez
que os estudantes devem partir de
dados conhecidos (as medidas dos
lados da figura ou medidas forne-
cidas no enunciado) e desenvolver
cálculos utilizando regras estabe-
lecidas em relação à aplicação do
teorema de Pitágoras para obter
a conclusão esperada.
Organizar a turma em duplas
a fim de facilitar a troca de
ideias e conhecimento para
resolver as atividades.
Depois da resolução concluída,
pedir às duplas que expliquem
como fizeram para resolver as
atividades.
Na atividade 13, espera-se
que os estudantes percebam
que, para obter a expressão soli-
citada, deve-se trocar a medida h
da altura do triângulo equilátero
por
3
2
l
na fórmula da área do
triângulo e, por manipulações
algébricas, obter A em função
da medida l do lado do triângulo.
Para auxiliar na compreensão
dos estudantes, pedir a eles que
façam um esboço com os dados
do enunciado do problema e
registrem no caderno todos os
passos que percorreram para
resolvê-lo.
Responda às questões no caderno.
1. Sabe-se que a medida do lado de um
quadrado é 12 cm. Calcule a medida d da
diagonal desse quadrado. 12
2 cm
2. Se o perímetro de um quadrado é 80 cm,
qual é a medida d da diagonal desse
quadrado? 20
2 cm
3. A diagonal de um quadrado mede 15
2 cm.
Qual é a medida l do lado e a medida do
perímetro desse quadrado?
4. Um quadrado tem 576 cm
2
de área.
Calcule o comprimento, expresso na
forma decimal, da diagonal desse qua-
drado. (Use
2 = 1,41.) 33,84 cm
5. Qual é a área de um quadrado cuja dia-
gonal mede 40 cm? 800 cm
2
6. Sabendo que na figura as medidas estão
expressas em centímetro, calcule:
QD
P
A
BC
10
10
a) a medida do lado do quadrado BDPQ;
b) o perímetro desse quadrado;
c) a área desse quadrado.
7. Se o lado de um triângulo equilátero mede
24 cm, qual é a medida h da altura desse
triângulo? 12
3 cm
8. O perímetro de um triângulo equilátero
é 36 cm. Escreva, na forma decimal, a
medida h da altura desse triângulo, con-
siderando
3 = 1,73. 10,38 cm
l = 15 cm; perímetro = 60 cm
10
2 cm
40
2 cm
200 cm
2
9. Em um triângulo equi-
látero, a altura mede
5
3 cm. Qual é o perí-
metro desse triângulo?
10. A área de um triângulo pode ser calculada
multiplicando a medida de um lado pela
medida da altura relativa a esse lado e di-
vidindo o resultado por 2. Considerando
3 = 1,73, qual é a área de um triângulo
equilátero cujo lado mede 6 cm? 15,57 cm
2
11. A medida do lado de um triângulo equi-
látero é igual à medida da diagonal de
um quadrado de 10 cm de lado. Quanto
mede a altura desse triângulo? 5
6 cm
12. Considerando o
triângulo equi-
látero da figura
e que
3 = 1,73,
elabore um pro-
blema. Troque de caderno com um
colega para que cada um resolva o que
foi elaborado pelo outro. Juntos, verifi-
quem as respostas e façam as cor re ções
necessárias.
DESAFIO
Junte-se a um colega, e resolvam o desafio
a seguir.
13. Sabendo que l expressa a medida do lado
de um triângulo equilátero e
3
2
l
expressa
a medida da altura desse triângulo, de-
termine a expressão da área A em função
de l, dado que A =
h
2
l?
.
l3
4
2
30 cm
30 cm
Respo sta pessoal. Exemplo de resposta: Calcule
o perímetro desse triângulo. (103,8 cm)
ATIVIDADES
Esta expressão da área de um triângulo
equilátero é válida qualquer que seja a medida l
do lado do triângulo.
SAIBA QUE
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
5
3
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
As relações métricas
no triângulo retângulo
O objetivo é levar os estudan-
tes a identificar os elementos de
um triângulo retângulo e asso-
ciar cada um à sua medida. É
importante que eles compre-
endam e apliquem as relações
métricas no triângulo retângulo.
Pedir aos estudantes que
reflitam a respeito dos casos
de semelhança de triângulos
e, depois, apresentar a justi-
ficativa que valida as relações
entre as medidas consideradas
no triângulo retângulo dado
no início desta Unidade.
Com base nela, sugerir que,
em grupos, pensem e escrevam
justificativas para as relações
métricas no triângulo retângulo.
Para isso, organizar a turma em
pequenos grupos e determi-
nar para cada grupo um caso
de relação métrica para que
seja apresentado e explicado.
Desse modo, é possível favore-
cer um momento de incentivo à
argumentação e à autonomia
conforme sugere a competência
geral 7 além de ser um momento
propício para incentivar a coo-
peração e o respeito mútuo
entre eles.
AS RELAÇÕES MÉTRICAS
DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
CAPÍTULO
2
Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas entre os elementos
de um triângulo retângulo.
Para estudar essas relações, vamos entender o conceito de projeção ortogonal.
Considere uma reta r e um ponto P
externo a ela. Ao traçarmos uma reta
perpendicular a r, passando por P,
obtemos o ponto P‘ na intersecção das
retas. O ponto P‘ é chamado de pro-
jeção ortogonal de P sobre a reta r.
r
P
P‘
Considere a reta r e o segmento AB.
Projetando as extremidades de AB
sobre r, obtemos os pontos A‘ e B‘. O
segmento A‘B‘ é chamado de projeção
ortogonal de AB sobre r.
r
A
B
B‘A‘
Vamos, inicialmente, identificar os
elementos de um triângulo retângulo,
como o representado na figura.
• BC é a hipotenusa cuja medida é
indicada por a.
• AC é um cateto cuja medida é
indicada por b.
• AB é outro cateto cuja medida é indicada por c.
• AH é a altura relativa à hipotenusa cuja medida é indicada por h.
• BH é a projeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa; a medida de BH
é indicada por n.
• CH é a projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa; a medida de CH
é indicada por m.
Agora, podemos estabelecer relações entre essas medidas, demonstradas a partir
da semelhança de triângulos e baseadas na seguinte propriedade:
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triân
gulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e
semelhantes entre si.
Assim, no triângulo ABC anterior, temos que:
HBAA BC
HAC ABC
HBA HAC





*/ *
*/ *
*/ *
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
BC
A
H
h
c
b
a
nm
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Demonstrar cada uma das
relações métricas na lousa. É
importante que os estudantes
acompanhem atentamente os
passos da demonstração e con-
sigam compreender cada passo.
Espera-se também que eles
consigam demonstrar algumas
relações métricas do triângulo
retângulo utilizando também
a semelhança de triângulos,
conforme orienta a habilidade
EF09MA13.
Comentar com os estudan-
tes a importância de escrever
as relações de semelhança na
ordem correta, de acordo com
os lados e ângulos correspon-
dentes a cada par de triângulos.
Incentivá-los a verbalizar e a escre-
ver as expressões exploradas no
Livro do estudante.
Vamos estudar essas relações.
1
a
relação: Considerando os triângulos HBA e ABC, temos:
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Considerando, agora, os triângulos HAC e ABC, temos:
C
A
H
h
b
m
BC
A
a
c
b
ˆ
H 2 Â (ângulos retos)
ˆ
C 2
ˆ
C (ângulo comum)
Portanto, *HAC / *ABC.
Então, temos a proporção:
b
a
=
m
b
h b
2
= am
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual
ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre
a hipotenusa.
2
a
relação: Considerando os triângulos HBA e HAC, temos:
B
A
H
h
c
n
BC
A
c
b
a
ˆ
H 2 A (ângulos retos)
ˆ
B 2
ˆ
B (ângulo comum)
Portanto, *HBA / *ABC.
Então, temos a proporção:
c
a
=
n
c
h c
2
= an
ˆ
H
H
2
A
2
C
A
H
h
b
m
B
A
H
h
c
n
A
1
H
1
ˆ
H
1 2
ˆ
H
2 (ângulos retos)
Â
1
2
ˆ
C (complementos do ângulo
ˆ
B)
Portanto, *HBA / *HAC.
Então, temos a proporção:
h
m
=
n
h
h h
2
= mn
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que essa altura determina
sobre a hipotenusa (que são as projeções dos dois catetos sobre a hipotenusa).
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AMPLIANDO
Link
GEOMETRIA plana: triângulo retângulo <traço médio> relações métricas (aula
10). 2015. Vídeo (40min23s). Publicado pelo canal Ferreto Matemática. Disponível
em: https://www.youtube.com/watch?v=f4JBVvr72MQ. Acesso em: 25 jul. 2022.
A videoaula pode ser utilizada para ampliar o estudo, pois apresenta um
resumo dos elementos no triângulo retângulo, a demonstração das relações
métricas no triângulo retângulo e do teorema de Pitágoras, além de alguns
exercícios resolvidos.
3
a
relação: Da 1
a
relação métrica, temos que b
2
= am e c
2
= an. Multiplicando
membro a membro essas duas igualdades, temos:
b
2
? c
2
= am ? an h b
2
? c
2
= a
2
? m ? n h b
2
c
2
= a
2
h
2
h bc = ah (a, b, c e
h são maiores do que zero)
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual
ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
4
a
relação: Vamos, agora, verificar uma demonstração algébrica de que, em
qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos.
Como estudamos, da 1
a
relação temos que b
2
= am e c
2
= an. Adicionando
membro a membro essas duas igualdades, obtemos:
BC
A
H
h
c
b
a
nm
b
2
+ c
2
= am + an h b
2
+ c
2
= a(m + n) h b
2
+ c
2
= a
2
ou a
2
= b
2
+ c
2
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Observe um exemplo de aplicação dessas relações.
No triângulo retângulo a seguir, vamos determinar as medidas a, b, h e m
indicadas.
BC
A
H
h
6
4
b
a
m
Da 1
a
relação:
6
2
= 4a h 4a = 36 h a = 9
Mas: m + 4 = a, então m + 4 = 9 h m = 5
Da 2
a
relação:
h
2
= 5 ? 4 h h
2
= 20 (h . 0) h h =
20 h h = 25
Da 1
a
relação:
b
2
= 9 ? 5 h b
2
= 45 (b . 0) h b =
45 h b = 35
h
2
a
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
No bloco de atividades
desta página, prossegue-se o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA13. Para possibilitar
aos estudantes a atribuição
de significado ao estudo das
relações métricas no triângulo
retângulo, ao resolverem a ati-
vidade 6, pedir que desenhem
no caderno um triângulo retân-
gulo ABC. Depois, orientá-los a
representar as distâncias entre
os municípios A, B e C, indi-
cando no desenho todas as
medidas e informações dadas.
Responda às questões no caderno.
1. Determine as medidas indicadas por letras
em cada triângulo retângulo a seguir.
a) Medidas m e n. m = 4; n = 12

mn
8
A
CB
16
b) Medidas b e h. b = 18; h = 12
2

b
h
54
48
B
C
A
c) Medidas a e n. a = 34; n = 25

a
n 9
15
C B
A
2. As medidas indicadas no triângulo
retângulo ABC a seguir estão em milí-
metro. Determine as medidas a, h, b e
c indicadas.
36
h
64
c
A
BC
a
b
3. Em um retângulo, a perpendicular traçada
de um vértice sobre uma diagonal deter-
mina, sobre essa diagonal, segmentos de
64 cm e 36 cm. Calcule o perímetro desse
retângulo. 280 cm
a = 100 mm;
h = 48 mm;
b = 80 mm;
c = 60 mm
4. Em um triângulo retângulo, um cateto
mede 10 cm, e a projeção desse cateto
sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nessas
condições, determine a medida:
a) da hipotenusa; 20 cm
b) do outro cateto; 10
3 cm
c) da altura relativa à hipotenusa. 5
3 cm
5. Por um ponto A de uma circunferência,
traça-se o segmento AH perpendicular
a um diâmetro BC, conforme a figura a
seguir. Se o ponto H determina, no diâme-
tro, segmentos de
4 cm e 9 cm, en-
contre a medida x
de AH, a medida y
da corda AB e
a medida z da
corda AC.
6. Em um mapa, os municípios A, B e C re-
presentam os vértices de um triângulo
retângulo, e o ângulo reto está em A.
A estrada AB tem 80 km, e a estrada BC
tem 100 km. Um rio impede a construção
de uma estrada que ligará diretamente
o município A ao município C. Por
esse motivo, projetou-se uma estrada
saindo do município A e perpendicular
à estrada BC para que ela seja a mais
curta possível. Qual é o comprimento da
estrada que será construída? 48 km
7. Em um triângulo retângulo ABC, o
cate to AH mede 15 cm, e o cateto HC
mede 16 cm. Determine a medida x da
hipotenusa desse triângulo. x = 25 cm
A
BC
H
x
A
BC
xy
z
OH
x = 6 cm; y = 2
13 cm; z = 313 cm
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
ATIVIDADES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Nessa seção, aborda-se um
pouco sobre a arquitetura enxai-
mel. Se possível, após a exploração
do texto apresentado no Livro
do estudante e das questões
propostas, solicitar a eles que
façam uma pesquisa em busca
de mais detalhes sobre esse tipo
de construção. Essa pesquisa
pode trazer mais repertório,
além de possibilitar a eles que
valorizem e utilizem conheci-
mentos construídos ao longo
da história. Ainda, essa pode
ser uma interessante oportuni-
dade para eles interagirem com
os pares de maneira colabora-
tiva e respeitosa, conforme
orienta a competência geral 1 e
as competências específicas 1 e
8 da área de Matemática. Esse
estudo, favorece ainda o desenvol-
vimento do tema Contemporâneo
Transversal Diversidade Cultural.
Incentivá-los a falar sobre a impor-
tância de reconhecer, valorizar e
respeitar a diversidade cultural
existente no país, manifestada
das mais diversas maneiras, como
na arquitetura e nas tradições.
Uma sugestão de encaminha-
mento para conduzir as questões
propostas é solicitar a eles que
as respondam no caderno para
que depois possam fazer a corre-
ção na lousa, de maneira coletiva
com a contribuição de toda a
turma. Na atividade 3, incenti-
var os estudantes a falar sobre a
importância da preservação dos
patrimônios históricos e cultu-
rais. Se possível, solicitar a eles
que busquem mais informações
sobre o tema ou apenas com-
partilhem os conhecimentos com
os colegas abrindo um diálogo.
Essa discussão pode favorecer
o desenvolvimento da compe-
tência específica 4 da área de
Matemática.
ARQUITETURA ENXAIMEL
A arquitetura enxaimel, presente em
diversas construções na Região Sul brasileira,
representa a influência da cultura alemã no
Brasil. Leia, a seguir, o trecho de um texto
sobre essa arquitetura.
A técnica enxaimel, ou Fachwerk, é um padrão arquitetônico atribuído
historicamente às regiões germânicas da Europa central. Segundo Weimer
(2005) o Fachwerkbau designa um padrão construtivo centenário, originário
da sociedade feudal, em que as paredes são estruturadas por um tramado
de madeira onde as peças horizontais, verticais e inclinadas são encaixadas
entre si em que os tramos são posteriormente preenchidos com taipa, adobe,
pedra, tijolos [...] etc.
FRANZEN, Douglas Orestes; EIDT, Simone; TESSING, Daniele. A arquitetura enxaimel:
identidade, memória e dimensão patrimonial em Itapiranga/SC. Revista de
Arquitetura IMED, Passo Fundo, v. 7, n. 1, p. 5-27, jan./jun. 2018. Disponível em:
https://seer.imed.edu.br/index.php/arqimed/article/view/2558/1867. Acesso em: 28 mar. 2022.
Analise a representação de uma construção
baseada na arquitetura enxaimel, em que a torre (sem o
telhado) lembra a forma de um prisma hexagonal cujas
faces têm 2 m de largura. A estrutura de madeira des-
tacada na figura lembra um triângulo isósceles com
1 m de altura e 2 m de base.
Responda às questões no caderno.
1. Quantos metros de ripa de madeira foram utilizados em todas as estruturas
triangulares da torre como a destacada na figura? Utilize uma calculadora
para obter o resultado aproximado até o centímetro. Aproximadamente 28,97 m.
2. Elabore um problema a partir da representação da construção e peça a um
colega que o resolva, enquanto você soluciona o problema que ele elaborou.
3. Converse com os colegas e com o professor sobre a importância da
preservação dos patrimônios históricos e culturais. Depois, escreva um
breve texto sobre o que vocês concluíram.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância da preser vação dos
patrimônios históricos e culturais para a construção e valorização da identidade de um povo.
Castelinho Caracol, construído entre 1913 e 1915
no município de Canela (RS), 2019, é um exemplo
de arquitetura enxaimel.
Representação de construção
baseada na arquitetura enxaimel.
BERNARD BARROSO/SHUTTERSTOCK.COM
IMAGENS FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
POR TODAPARTE
ILUSTRA CARTOON
torre
1 m
2 m
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Medida do
comprimento de um
arco de circunferência
Nesse tópico, é feita uma reto-
mada de como calcular a medida
do comprimento de uma circun-
ferência quando se conhece a
medida do diâmetro ou a medida
do raio e da razão que determina
uma aproximação do número
irracional p. Ao abordar o con-
teúdo apresentado no Livro do
estudante, verificar as dúvidas
deles antes de dar continuidade
ao estudo proposto.
Verificar se eles compreen-
dem a diferença entre o cálculo
da medida do comprimento de
uma circunferência e o cálculo da
medida do comprimento de um
arco de circunferência. Explicar
para eles, por exemplo, que a
medida de determinado arco
de circunferência, em grau, é o
mesmo em qualquer circunfe-
rência, independentemente da
medida do comprimento do raio
da circunferência. No entanto, o
comprimento do arco, em cen-
tímetro, muda de acordo com a
medida do raio da circunferên-
cia em questão.
MEDIDA DO COMPRIMENTO DE
UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
CAPÍTULO
3
Vamos relembrar como podemos determinar a medida do comprimento (C) de uma
circunferência quando se conhece a medida do diâmetro (d) ou a medida do raio (r).
Sabe-se que a medida do diâmetro de uma circunferência é o dobro da medida
do raio. Então, se dividirmos o comprimento C de uma circunferência pelo compri-
mento 2r do diâmetro dela, encontraremos uma aproximação do número irracional
p (isso ocorre sempre, qualquer que seja a circunferência).
C
2r
= p h C = 2r ? p h C = 2pr
Essa fórmula permite calcular o comprimento de qualquer
circunferência, desde que seja conhecida a medida r do raio
dessa circunferência.
Para calcular a medida do comprimento de um arco de uma
circunferência, podemos utilizar essa fórmula e uma regra de três
simples. Acompanhe.
Na figura, observe o arco

AB determinado pelo ângulo central
de medida a. Vamos calcular o comprimento x desse arco.
Sabemos que a medida completa da circunferência, em grau,
é 360 e que o comprimento da circunferência corresponde a
2pr. Assim, para calcular o comprimento do arco

AB, podemos
aplicar a seguinte regra de três simples.
360
2pr
a
x
Nos exemplos a seguir, considere p = 3,14.
1 Qual é a medida r do raio de uma circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?
C = 2pr h 18,84 = 2 ? 3,14 ? r h 6,28r = 18,84 h r = 3
Logo, o raio da circunferência mede 3 cm.
2 Qual é o comprimento x de um arco de 60° em uma circunferência que tem
21 cm de raio?
Sabendo que a medida completa da circunferência, em grau,
é 360 e aplicando uma regra de três simples, temos:
360°
2pr
60°
x
Daí:
360°
60°
=
p2r
x
h
6
1
=
??23,1421
x
h
6
1
=
131,88
x
h 6x = 131,88 h x = 21,98
Logo, o comprimento do arco é de 21,98 cm.
360
a
=
p2r
x
h 360x = a2pr h x =
p2ra
360
d
O
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
O
ax
A
B
60°
O
x
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Nessa seção, explora-se um
exemplo de aplicação de arcos
de circunferência em estrutu-
ras da arquitetura. Explorar a
seção com os estudantes de
modo a desenvolver as com-
petências específicas 1 e 2 da
área de Matemática. É impor-
tante que eles reconheçam a
Matemática como ciência viva,
fruto das necessidades e preo-
cupações de diversas culturas
em diferentes momentos históri-
cos, e desenvolvam o raciocínio
lógico, conforme orientam as
competências.
Caso julgue interessante, solici-
tar-lhes uma pesquisa sobre o uso
de arcos em obras arquitetônicas
no Brasil e em outros países. Em
seguida, verificar a possibilidade
de cada estudante ou grupo (caso
opte em trabalhar com equipes)
compartilhe a pesquisa com a
comunidade escolar.
ARCOS ARQUITETÔNICOS
Os arcos arquitetônicos são um exemplo da aplicação de arcos de circunfe-
rência. Muitas dessas estruturas, presentes em diversas construções pelo mundo,
têm grande importância histórica e devem ser preservadas pelo patrimônio cultural
que representam. Leia o texto a seguir.
POR TODAPARTE
SIMON MAYER/
SHUTTERSTOCK.COM
O termo arco que vem do latim arcus [...] designa um elemento construtivo
em curva, geralmente em alvenaria, que emoldura a parte superior de um vão
(abertura, passagem) [...].
[...]
Os construtores da [A]ntiguidade dispunham de limitados materiais para
fazer suas construções. [...] As pedras, apesar de difíceis de serem removidas
e trabalhadas, apresentavam grande resistência [...].
Foram desenvolvidas, então, técnicas para melhor se aproveitar essas
características da pedra. Os etruscos iniciaram e depois os romanos aper-
feiçoaram a construção de arcos. Conseguem-se vãos muito maiores com
arcos do que com vigas retas, por isso eles são muito usados na construção
de pontes e viadutos. [...]
BARISON, Maria Bernadete. Desenho geométrico: aula 8T: arcos.
Geométrica: Geometria e Arquitetura On line. [Londrina], [2007]. Disponível em:
http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_8t.php. Acesso em: 28 mar. 2022.
Responda às questões no caderno.
1. Você conhece alguma construção que apresente arcos arquitetônicos?
Em caso afirmativo, descreva-a para os colegas.
2. Pesquise alguns tipos de arco arquitetônico e cite construções nas quais
é possível identificá-los.
Resposta pessoal.
2. Resposta
pessoal. Exemplo
de resposta na
seção Resoluções
comentadas
deste Manual.
Arcos da Lapa, na cidade do Rio de
Janeiro (RJ), 2018. Neles, é possível
identificar arcos romanos.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Para essas atividades, sugerir
aos estudantes que formem
duplas para facilitar a troca de
ideias e estratégias. Pedir a eles
que reproduzam as figuras no
caderno e listem as informa-
ções importantes para facilitar
o entendimento das questões.
Incentivá-los a um trabalho que
explore o diálogo, a discussão e
o registro dos cálculos. É impor-
tante incentivar e orientar os
estudantes a fazer os registros
de modo cuidadoso e completo.
Finalizar com a correção cole-
tiva das atividades, procurando
sanar as dúvidas. Desse modo,
favorece-se o desenvolvimento
da habilidade EF09MA14.
O desafio 9 explora a relação
entre diversas unidades de com-
primento que aparecem no texto.
Pedir aos estudantes que identi-
fiquem na fala da personagem a
medida do diâmetro do pneu da
bicicleta. Explicar que, para isso,
devem imaginar o pneu como se
fosse uma circunferência, des-
prezando a sua espessura. Para
tanto, considerem a circunferência
maior do pneu, a mais externa.
Responda às questões no caderno.
1. O comprimento do raio de uma
circunferência corresponde, em cen-
tímetro, a uma das raízes da equação
x
2
_ 16x _ 720 = 0. Qual é o comprimento
dessa circunferência? (Use p = 3,14.)
2. A medida do raio de uma circunferência
corresponde à medida da hipotenusa de
um triângulo retângulo isósceles cujos
lados congruentes medem 10
2 cm.
Nessas condições, calcule o comprimento
dessa circunferência. (Use p = 3,14.)
3. Suponha que o quadrado ABCD da
figura tenha 360 cm
de perímetro. Qual é
a medida do raio r e
qual é o comprimento
da circunferência ins-
crita nesse quadrado?
(Use p = 3,14.)
4. Deseja-se construir um oleoduto que
ligará os municípios A e B. Sabe-se que há
duas possibilidades de trajeto para esse
oleoduto: em linha reta ou em arco (for-
mando uma semicircunferência), conforme
a figura a seguir. Sabendo que o trajeto
em linha reta tem o custo de 2 700 reais
por quilômetro, e
o trajeto em arco
custa 1 600 reais por
quilômetro, qual
dos dois trajetos é o
mais barato? (Use
2 = 1,41 e p = 3.)
5. Caminhando 50,24 m em uma praça
circular, Débora descreveu um arco de
72°. Qual é o diâmetro da praça? (Use
p = 3,14.) 80 m
226,08 cm
125,6 cm
r
AB
C
O
D
60 km
60 kmA
B
r = 45 cm; C = 282,6 cm
O trajeto em arco é o mais
barato, pois 203 040 , 228 420.
6. Em um jogo eletrônico,
o formato da persona-
gem lembra uma região
circular com 2 cm de
raio. A parte que falta
no círculo representa a
boca da personagem.
• Qual é o comprimento do contorno
dessa região circular? (Use p = 3,14.)
7. Percorrendo uma estrada de 20 m de
largura, um veículo inicia um retorno
em um ponto A e passa pela trajetória
circular representada pela figura cujo
raio é 20 m. Quantos metros, aproxima-
damente, o veículo percorreu no arco

AB?
(Use p = 3,14.) Aproximadamente 104,67 m.
20 m
20 m
20 m
A
B
60° 0
8. Descreva uma maneira de determinar o
comprimento de um arco de medida a
(0° < a < 360°) em uma circunferência
de raio r.
DESAFIO
9. Sabendo que 1 po-
legada equivale a,
aproximadamente,
2,54 cm, resolva. (Use
p = 3,14.)
a) Uma volta do pneu
da bicicleta de Helena
corresponde a quantos
centímetros?
b) No último domingo, Helena andou
4 km com sua bicicleta. Quantas voltas,
aproximadamente, cada pneu dessa bi-
cicleta deu? Aproximadamente 1 672 voltas.
10,99 cm
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Resposta pessoal. Exemplo de resposta
na seção Resoluções comentadas deste Manual.
9. a) Aproximadamente 239,3 cm.
ATIVIDADES
45°
2 cm
2 cm
O diâmetro
do pneu da minha
bicicleta mede
30 polegadas.
MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Relações métricas
da circunferência
O objetivo é levar os estudan-
tes a aplicar a propriedade entre
cordas, entre segmentos secantes
e entre segmentos secante e tan-
gente a uma mesma circunferência.
Seguir a proposta abordada
no Livro do estudante para justifi-
car a proporcionalidade existente
entre os segmentos determina-
dos pelo encontro de duas cordas
da circunferência. No momento
das justificativas, se necessário,
retomar as ideias de semelhança
de triângulos.
É importante que os estudan-
tes percebam as conexões entre
a semelhança de triângulos e as
relações entre as cordas na cir-
cunferência. O mesmo cuidado
deve ser tomado na justifica-
tiva das relações entre duas
retas secantes e entre uma reta
tangente e uma reta secante.
Desse modo, prossegue-se o
desenvolvimento das habilida-
des EF09MA13 e EF09MA14.
RELAÇÕES MÉTRICAS
DA CIRCUNFERÊNCIA
CAPÍTULO
4
A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos.
Vamos estudar algumas dessas relações.
RELAÇÃO ENTRE CORDAS
Na primeira circunferência, destacamos duas cordas, AB
e CD, que se cruzam no ponto P, interno à circunferência.
Dessa maneira, ficam determinados dois segmentos
de retas sobre cada uma dessas cordas. Podemos, então,
estabelecer uma relação métrica entre esses segmentos.
Considerando os triângulos APC e DPB, temos:
• A
ˆ
PC 2 D
ˆ
PB (são ângulos o.p.v.)
• 2
ˆ
A
ˆ
D (são ângulos inscritos no mesmo arco)
Ângulos inscritos em uma circunferência e que
determinam um mesmo arco têm a mesma medida.
Como qualquer par de triângulos que têm dois ângulos internos, respectivamente
congruentes, são semelhantes, então: *APC / *DPB. Portanto:
PA
PD
=
PC
PB
h PA ? PB = PD ? PC
RELAÇÃO ENTRE SEGMENTOS SECANTES
Na circunferência a seguir, temos duas secantes traçadas a partir de um mesmo
ponto exterior P.
A
D
B
C
O
P
PA é um segmento de reta secante, e PB é a parte desse segmento externa à
circunferência.
PC é um segmento de reta secante, e PD é a parte desse segmento externa à
circunferência.
A
D
B
C
P
A
D
B
C
P
O
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ao abordar a relação entre
um segmento secante e um
segmento tangente, explorar
o conteúdo abordado no Livro
do estudante e verificar se os
estudantes compreenderam a
relação apresentada. Se julgar
oportuno, retomar o vocabu-
lário relacionado aos conceitos
abordados.
Entre os quatro segmentos que destacamos na página anterior, podemos estabelecer mais
uma relação métrica.
Considerando *PAD e *PCB, temos:
•
ˆ
P (ângulo comum)
• 2
ˆ
A
ˆ
C (ângulos inscritos no mesmo arco)
Então, *PAD / *PCB. Portanto:
PA
PC
=
PD
PB
h PA ? PB = PC ? PD
RELAÇÃO ENTRE SEGMENTO SECANTE
E SEGMENTO TANGENTE
Na figura a seguir, são representados dois segmentos: um segmento secante e um segmento
tangente a uma circunferência, traçados a partir de um mesmo ponto externo P.
A
B
C
P
PA é um segmento de reta secante, e PB é a parte desse segmento externa à circunferência.
PC é um segmento de reta tangente à circunferência.
Considerando *PAC e *PCB, temos:
•
ˆ
P 9
ˆ
P (ângulo comum)
• 2
ˆ
A
ˆ
C
Assim, temos: *PAC / *PCB. Portanto:
PA
PC
=
PC
PB
h PC
2
= PA ? PB
Vamos resumir as três relações no quadro a seguir.
A
D
B
P
C
A
B
DC
P
A
B
C
P
PA ? PB = PC ? PD PA ? PB = PC ? PD PC
2
= PA ? PB
A
D
B
C
P
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Se considerar conveniente,
orientar os estudantes a reali-
zar esse bloco de atividades em
duplas para facilitar a troca de
ideias e colaborar com a escolha
de estratégias na resolução dos
problemas.
Solicitar aos estudantes que
reproduzam as figuras no caderno
e listem as informações impor-
tantes para melhor compreensão
de cada atividade.
Nas atividades 5 a 8, os estu-
dantes podem representar cada
situação por meio de esquemas
ou desenhos para auxiliar na
interpretação. Nesse caso, eles
podem comparar os desenhos
que fizeram com os do colega de
dupla e conversar a respeito de
possíveis diferenças que encon-
traram e o seu significado. Fazer
a correção coletiva das ativida-
des, procurando sanar as dúvidas
dos estudantes.
Responda às questões no caderno.
1. Usando as relações métricas da circunfe-
rência, calcule a medida x indicada em
cada uma das figuras.
a)
3
4
8
x

b)
5
6
x + 2
x

c)
4
2
6
x

d)
1,9
8,1
x

2. Considerando a figura, determine o valor
da expressão x + y. 19
8
9
10
x
y
3. Determine a
medida r do raio
da circunferência
da figura. 6
3
6
10
8
9
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
4. Na figura, PA = 3x,
PB = x + 1, PC = x
e PD = 4x _ 1.
Nessas condições,
determine:
a) a medida x; 4
b) o comprimento de cada uma das cordas
indicadas na figura. AB = 17; CD = 19
5. O raio de uma circunferência é 6 cm. A
partir de um ponto P externo, traçamos um
segmento tangente e um secante a essa
circunferência. O segmento secante, que
encontra a circunferência nos pontos A e
B, passa pelo centro e é tal que a parte
externa desse segmento mede 8 cm.
Determine a medida do segmento tan-
gente que foi traçado a partir do ponto P.
6. Uma corda AB, que mede 18 cm, corta uma
corda CD de tal maneira que os segmen-
tos determinados sobre CD medem x cm
e 2x cm, respectivamente. Sabendo que a
corda CD mede 12 cm, calcule a medida
de cada um dos segmentos determinados
sobre a corda AB. 16 cm e 2 cm.
7. Por um ponto P, distante 18 cm do
centro de uma circunferência, traça-se
um segmento secante que determina, na
circunferência, uma corda AB, que mede
8 cm. Se o comprimento do raio dessa
circunferência é 12 cm, determine:
a) o comprimento do segmento secante tra-
çado a partir do ponto P; 18 cm
b) o comprimento da parte externa do seg-
mento secante. 10 cm
8. De um ponto P, situado a 3 cm de uma
circunferência, traça-se um segmento
tangente PC cuja medida é 9 cm. Nessas
condições, determine o comprimento do
raio dessa circunferência. 12 cm
9. Em uma circunferência de centro O e raio
6 cm, traça-se uma corda AB. Sobre essa
corda, considera-se um ponto M de tal
maneira que AM = 5 cm e OM = 4 cm.
Determine a medida do segmento MB.
4
10 cm
4 cm
ATIVIDADES
O
rr r
18
P
A
D
B
C
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
As questões apresentadas nessa
seção visam retomar as relações
métricas no triângulo retângulo
e as relações métricas na circun-
ferência, trabalhadas ao longo
da Unidade, o que favorece o
desenvolvimento das habilida-
des EF09MA13 e EF09MA14.
Incentivar os estudantes a
socializar as estratégias que uti-
lizaram e trocar ideias com os
colegas a respeito de temas sobre
os quais ainda tenham dúvida.
Acompanhá-los e orientá-los
nesse trabalho. Se necessário,
explicar na lousa as dúvidas que
ainda persistam.
Pode-se solicitar aos estudan-
tes que resolvam as atividades em
duplas ou trios, discutindo cada
questão. Orientá-los também a
destacar as informações impor-
tantes do enunciado e o que se
pede. Se necessário, eles podem
reproduzir os desenhos apresen-
tados ou elaborar os desenhos
que traduzem a situação des-
crita. Ao finalizar, pode-se fazer
um levantamento das principais
dificuldades e retomar os conte-
údos na lousa.
Pode-se orientá-los também
a consultar o Livro do estudante
para tirar dúvidas e buscar infor-
mações. Conversar com eles
a respeito de acertos e erros,
indicando as correções com
intervenções pontuais. Esse tipo
de ação amplia a capacidade de
comunicação e argumenta-
ção dos estudantes, conforme
orienta a competência geral 7,
além de beneficiar a coopera-
ção entre eles, de acordo com
a competência específica 8 da
área de Matemática.
Nas atividades 1, 4 e 5, veri-
ficar se os estudantes aplicaram
o teorema de Pitágoras no pro-
cesso de resolução.
Responda às questões no caderno.
1. (IFRS) Na figura abaixo, o valor de x e y,
respectivamente, é Alternativa a.
a)
42e97
b)
22 e 97
c)
22e227
d)
42e227
e)
42 e 97
2. De acordo com o triângulo, qual é o valor
de x
2
+ y
2
? Alternativa d.

x6
h
y7
a) 45
b) 65
c) 75
d) 85
e) 95
3. (Enem/MEC)
Na figura acima, que representa o projeto
de uma escada com 5 degraus de mesma
altura, o comprimento total do corrimão
é igual a Alternativa d.
a) 1,8 m.
b) 1,9 m.
c) 2, 0 m.
d) 2,1 m.
e) 2,2 m.
REPRODUÇÃO/(IFRS), 2016.
REPRODUÇÃO/ENEM, 2006.
4. Considere que, na figura a seguir, o qua-
drado ABCD tem 16
5 cm de perímetro,
e C e D pertencem ao diâmetro EF, de tal
modo que OCOD2 .
AB
CO
D
EF
Nessas condições, a medida do raio da
circunferência é, em centímetro:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 16.
5. (Colégio Naval-RJ) Um ponto P, perten-
cente a uma circunferência de raio de
5 unidades, dista 4,8 unidades de um
diâmetro dessa circunferência. Qual a
soma das distâncias de P até os extre-
mos desse diâmetro? Alternativa a.
a) 14
b) 12
c) 7
d) 6
e) 5
6. Para calcular a medida do lado AD na
figura, pode-se dividi-la em dois triângu-
los: o triângulo BCD retânguloem
ˆ
C() e
o triângulo ABD retânguloem
ˆB() .
A medida do lado AD é: Alternativa a.
D
AB
C
16
12
15
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
a) 25.
b) 15.
c) 30.
d) 27.
e) 32.
Alternativa b.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Os questionamentos exis-
tentes no encerramento desta
Unidade permitem, além de
uma breve retomada dos con-
teúdos apresentados, reflexões
a respeito das aprendizagens
individuais. É importante que os
estudantes respondam individual-
mente a cada uma das questões
para que, dessa forma, possam
perceber suas aprendizagens e
possíveis dúvidas de cada con-
teúdo abordado.
A primeira questão informa
aos estudantes que há outras
demonstrações para o teorema
de Pitágoras. Uma possibilidade
de condução para essa questão
é sugerir a eles que realizem
uma pesquisa prévia na internet
ou em livros para conhecerem
outras demonstrações possíveis
para o teorema. Discutir com
os estudantes os resultados da
pesquisa para identificar qual
é o pressuposto utilizado nas
demonstrações que eles selecio-
naram. Desse modo, favorece-se
o desenvolvimento da compe-
tência específica 2 da área de
Matemática.
A segunda questão busca
justificar as relações métricas estu-
dadas em um triângulo retângulo.
Na terceira questão, retoma-se o
problema apresentado na aber-
tura da Unidade e espera-se que
os estudantes tenham clareza
quanto ao uso do teorema de
Pitágoras na resolução do pro-
blema em questão.
Ao finalizar a Unidade, conversar
com eles sobre as aprendizagens
e sugerir que façam uma autoava-
liação e reflitam sobre a trajetória
que fizeram ao longo da Unidade,
verificando a necessidade ou não
de fazerem retomadas pontuais
antes de seguirem o estudo que
virá posteriormente.
7. Na representação em escala a seguir, os
quadrados são iguais, e cada centíme-
tro representa 100 km. Um avião sai da
cidade A, faz uma parada para abastecer
na cidade C e chega à cidade B, conforme
a figura. Alternativa e.
6 cm
A
C
B
12 cm
Das alternativas dadas, assinale o valor
mais próximo da distância percorrida pelo
avião da cidade A até B, passando por C.
a) 1 000 km
b) 950 km
c) 1 150 km
d) 1 400 km
e) 1 250 km
8. Um segmento OA descreve um arco de
30° em torno do ponto O, como indica
a figura a seguir. Alternativa a.
30°
A
O
Se a medida do segmento OA é 5 cm, e
adotando p = 3, qual é a distância per-
corrida pelo ponto A?
a) 2,5
b) 5,5
c) 1,7
d) 3,4
e) 4,5
9. Uma pessoa que sai do ponto A e vai
até o ponto B, seguindo o arco AB

, con-
forme o esquema a seguir, percorre que
distância? (Considere p = 3.) Alternativa d.
a) 600 m
b) 630 m
c) 700 m
d) 720 m
e) 750 m
120°
O
360 m 360 m
AB
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Nas relações métricas do triângulo retângulo estudadas nesta Unidade, conhecemos
o teorema de Pitágoras, alguns aspectos históricos que o envolvem e algumas de suas
aplicações. Complementamos os estudos com outras relações métricas do triângulo
retângulo e estudamos, ainda, a circunferência, o cálculo do comprimento de uma
circunferência e as relações métricas da circunferência.
Na abertura desta Unidade, analisamos uma aplicação do teorema de Pitágoras em
uma situação que implica medições inacessíveis, que são calculadas por meio de triângulos.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• Entre as diversas demonstrações de que, em qualquer triângulo retângulo, o qua-
drado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos, pesquise uma delas e registre a diferença entre a demonstração encontrada
e a exposta nesta Unidade.
• As relações métricas são obtidas utilizando triângulos semelhantes. Como podemos
justificar a semelhança desses triângulos?
• Na abertura desta Unidade, foi perguntado como você resolveria o problema ex-
posto. E agora, que solução você daria para a situação, considerando que uma das
medidas conhecidas é 21 m, e a outra é 28 m? Qual é a distância que a engenheira
precisa calcular? Espera-se que os estudantes utilizem o teorema de Pitágoras; 35 m.
• Quais são os principais elementos de uma circunferência?
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes.
Centro, corda, raio, diâmetro
e arco.
UM NOVO OLHAR
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2, 3, 7, 9 e 10
Competências específicas:
• 2, 5, 6 e 8
Habilidades:
Geometria
• EF09MA15
• EF09MA16
• EF09MA17
Grandezas e medidas
• EF09MA19
Estatística e probabilidade
• EF09MA22
Temas Contemporâneos
Transversais:
• Ciência e Tecnologia
• Educação para valorização do
multiculturalismo nas matrizes
histórias e culturais Brasileiras
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organi-
zada em três capítulos, e os
conteúdos são apresentados por
meio de exemplos contextuali-
zados e atividades diversificadas
e seções com temas que contri-
buem para a formação integral
dos estudantes, favorecendo o
desenvolvimento das compe-
tências gerais 1, 2, 3, 7, 9 e 10.
O primeiro capítulo retoma o
conceito de polígono regular e
amplia seu estudo, favorecendo
a habilidade EF09MA15.
No segundo capítulo, é explo-
rada a determinação do ponto
médio de um segmento de reta
e do cálculo da distância entre
dois pontos, contribuindo para
o desenvolvimento da habilidade
EF09MA16. Na seção Tratamento
da Informação, é abordada a
interpretação e a construção de
um gráfico de setores, o que con-
tribui para o desenvolvimento da
habilidade EF09MA22.
No terceiro capítulo, são desenvol-
vidas as noções de vistas ortogonais
de um objeto e o cálculo do volume
de um prisma e de um cilindro,
conforme orientam as habilidades
EF09MA17 e EF09MA19.
OBJETIVOS
• Compreender como construir polígonos regu-
lares, utilizando instrumentos geométricos ou
softwares de geometria dinâmica.
•
Resolver problemas envolvendo polígonos
inscritos em uma circunferência.
• Resolver problemas envolvendo cálculos de
áreas de polígonos regulares, círculos e se-
tores circulares.
•
Determinar as coordenadas do ponto médio
de um segmento de reta, no plano cartesiano.
• Calcular a distância entre dois pontos, no pla-
no cartesiano.
• Ler, interpretar e construir gráficos de setores,
relacionados a situações reais.
•
Identificar as três vistas ortogonais (frontal,
lateral e superior) de um objeto.
• Calcular o volume de prismas e cilindros.
•
Refletir sobre a relação de ciência e tecnologia,
a partir de um texto sobre insumos agrícolas.
STEFANPHOTOZEMUN/SHUTTERSTOCK.COM
IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.
MARINAGRIGORIVNA/SHUTTERSTOCK.COM
MARINAGRIGORIVNA/SHUTTERSTOCK.COM
Sequência de etapas de
impressão 3D de um objeto
decorativo de plástico amarelo.
A impressora 3D, uma das maiores
invenções tecnológicas das últimas décadas,
foi criada em 1984 pelo estadunidense
Charles Hull (1939-). Ele patenteou a invenção,
fundou uma empresa que, até hoje, é uma
das líderes de mercado em impressão 3D e
criou diversos modos de impressão, iniciando
a comercialização da tecnologia envolvida.
Para criar uma peça em uma impres-
sora 3D, primeiramente é preciso elaborar
um modelo tridimensional dela, por meio
de um aplicativo de computador, e definir
as dimensões do objeto e o material a ser
utilizado (filamentos plásticos ou pó ultrafino
de plástico e metal). Em seguida, o modelo
é inserido no software da impressora, o qual
compila todos os dados e os sistematiza em
várias camadas para dar início à impressão.
Atualmente, existem vários tipos de
impressora 3D que utilizam diferentes tecno-
logias e podem criar, com precisão, objetos
para diversas finalidades, como peças de
decoração, próteses e outros produtos de
saúde, miniaturas, maquetes e brinquedos.
A seguir, observe algumas etapas de
impressão 3D de um objeto decorativo.
UNIDADE
FIGURAS PLANAS,
FIGURAS ESPACIAIS
E VISTAS8
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
A abertura desta Unidade
aborda um pouco da trajetória da
construção de figuras tridimen-
sionais e o material utilizado na
construção de modelos para a
reprodução em impressoras 3D.
Pode-se iniciar o trabalho suge-
rindo aos estudantes que analisem
as imagens das páginas 230
e 231 do Livro do estudante e
antes de explorar o texto apre-
sentado, perguntar se eles sabem
quem inventou a impressora
3D; se acham que essa inven-
ção é algo recente, e caso eles
respondam que sim, indagar
quão recente acham que é.
Desse modo, pode-se verificar
o que eles sabem sobre essas
impressoras. Também é possível
fazer perguntas para verificar se
eles já leram ou se conhecem o
processo de impressão. Depois
dessa conversa inicial, explorar
o texto e a questão sugerida.
Para ampliar a discussão a res-
peito de impressoras 3D, sugerir
aos estudantes que se organi-
zem em duplas e realizem uma
pesquisa sobre o funcionamento
desse tipo de impressora e como
alguns profissionais de diferen-
tes áreas podem utilizá-las. Ao
final, eles podem compartilhar
as informações com os colegas.
• Reconhecer características e a importân-
cia da cultura brasileira e da arte urbana.
JUSTIFICATIVAS DOS
OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se o estudo
de figuras planas, figuras espaciais e vistas,
aprofundando aspectos de construções
geométricas. Desse modo, pretende-se
favorecer o desenvolvimento das habilidades
EF09MA15, EF09MA16, EF09MA17 e
EF09MA19.
Na seção Tratamento da informação,
os estudantes analisam informações de uma
pesquisa a respeito do uso de produtos bioló-
gicos de controle na agricultura, propiciando
o desenvolvimento do Tema Contemporâneo
Transversal Ciência e Tecnologia, da compe-
tência geral 7 e da competência específica 5
da área de Matemática.
Aspectos da arte urbana, como o grafite,
são destacados na seção Por toda parte,
com o objetivo de contribuir para o desenvol-
vimento do Tema Contemporâneo Transversal
Educação para valorização do multicultu-
ralismo nas matrizes históricas e culturais
Brasileiras e das competências gerais 1 e 3.
STEFANPHOTOZEMUN/SHUTTERSTOCK.COM
MARINAGRIGORIVNA/SHUTTERSTOCK.COM
Observando a sequência de imagens, que mostra a impressão 3D de um objeto deco-
rativo, é possível notar que a impressão é feita de baixo para cima, camada por camada.
Responda à questão no caderno.
• Converse com um colega, e discutam a importância da impressão 3D. Elabore um
pequeno texto sobre as conclusões a que vocês chegaram.
Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Polígono regular
O trabalho com as noções
gerais da Geometria no Ensino
Fundamental inicia-se com o
reconhecimento dos polígonos
a partir da quantidade de lados,
vértices e ângulos internos, pas-
sando pelas propriedades de
algumas figuras planas parti-
culares, como os triângulos e
os quadriláteros.
Nesse capítulo, o objetivo é
estudar as propriedades asso-
ciadas aos polígonos regulares
inscritos em uma circunferência.
Esse estudo é fundamental para
a resolução de problemas rela-
cionados ao cálculo de área de
polígonos regulares e problemas
relativos às construções geomé-
tricas, com régua e compasso
ou com softwares de geometria
dinâmica, por exemplo. Desse
modo, o conteúdo deste capítulo
favorece o desenvolvimento da
habilidade EF09MA15.
As questões do boxe Pense
e responda podem ser explo-
radas em uma breve retomada
para verificar os conhecimen-
tos prévios dos estudantes sobre
polígonos regulares.
Pense e responda
Explorar a questão 2 com os
estudantes, fazendo-os perceber
o que observaram de comum no
triângulo equilátero e no quadrado,
ao responderem à questão 1. Se
julgar necessário, apresentar outros
exemplos de polígonos regula-
res, como o pentágono regular
e o hexágono regular, para que
os estudantes identifiquem as
mesmas características em qual-
quer polígono regular. Comentar
que todo polígono regular é equi-
látero e equiângulo.
Ampliar a questão 3 reto-
mando os conceitos de ângulo
interno e ângulo externo de um
polígono convexo. Relembrar
que o ângulo interno e o ângulo
externo de um mesmo vértice
do polígono são suplementares.
Verificar se todos os estudantes compreen-
dem e se recordam dos conceitos de ângulos
complementares e ângulos suplementares. Se
necessário, registrar na lousa uma observação
com essas definições.
Polígonos regulares inscritos
em uma circunferência
Retomar o conceito de corda de uma circunfe-
rência, destacando que o diâmetro é uma corda
que passa pelo centro da circunferência e tem
o maior comprimento possível.
Ao iniciar esse estudo, propor aos estu-
dantes que respondam, oralmente, como é
possível desenhar um polígono regular ins-
crito em uma circunferência. Espera-se que
eles relacionem a quantidade de vértices do
polígono à quantidade de pontos que serão
marcados na circunferência.
Ao longo dos estudos de Geometria, você provavelmente conheceu vários tipos
de polígono. A seguir, vamos estudar um grupo de polígonos, do qual o quadrado
e o triângulo equilátero fazem parte. Acompanhe.
POLÍGONO
REGULAR
Responda às questões a seguir no caderno.
1. O que caracteriza um triângulo equilátero e um quadrado?
2. Explique o que é um polígono regular.
3. Qual é a medida de cada ângulo externo de um triângulo equilátero?
E de um quadrado? E de um polígono regular de n lados? (Lembre-se
de que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é
sempre 360°.)
PENSE E RESPONDA
POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS
EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
Corda de uma circunferência é todo segmento de reta cujas extremidades são
pontos da circunferência.
Na circunferência a seguir, os segmentos AB, BC, CD e DA são chamados de
cordas consecutivas.
EDITORIA DE ARTE
Se um polígono estiver inscrito em uma circunferência, podemos dizer
que a circunferência está circunscrita a esse polígono.
SAIBA QUE
AB
CD
2. Um polígono regular
é aquele que tem todos
os lados com a mesma
medida e todos os ângulos
internos congruentes entre
si. O triângulo equilátero e
o quadrado são polígonos
regulares.
1. O triângulo equilátero é um polígono
de três lados de mesma medida, e cada
um dos três ângulos internos mede 60°.
O quadrado é um polígono de quatro
lados de mesma medida e quatro ângulos
internos de 90°.
3. Como a soma das medidas dos ângulos
externos de qualquer polígono convexo é 360°
e um polígono regular tem todos os ângulos
externos de mesma medida, a medida a
e
de
cada ângulo externo de um polígono regular
de n lados é dada por: a
360°
n
e
= . Então, a
medida do ângulo externo de um triângulo
equilátero é 120°, e a de um quadrado é 90°.
Polígono regular é todo polígono convexo que tem todos os lados de
mesma medida e todos os ângulos internos congruentes entre si.
Considerando três ou mais pontos distintos de uma circunferência, as cordas
consecutivas que ligam esses pontos determinam polígonos inscritos nessa circun-
ferência, como o polígono ABCD da figura anterior.
CAPÍTULO
1
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Verificar se os estudantes
compreenderam o conceito de
cordas consecutivas. Para isso,
pode-se solicitar que analisem
e identifiquem as cordas conse-
cutivas do triângulo equilátero
inscrito e do quadrado inscrito
apresentados no Livro do estu-
dante. Na primeira ilustração, eles
devem responder, por exemplo,
AB, BC e CA.
Elementos de um polígono
regular inscrito em uma
circunferência
Antes de abordar os elementos
de um polígono regular inscrito
e suas propriedades, propor a
seguinte questão: “Um polígono
está inscrito em uma circunfe-
rência quando está no interior
dela?”. Espera-se que os estudan-
tes respondam que nem sempre,
pois o polígono deve ter todos
os vértices pertencentes à circun-
ferência para estar inscrito nela.
Se considerar pertinente, soli-
citar, à medida que o estudo é
aprofundado, que eles comecem
a montar um pequeno glossário
com as definições estudadas, de
modo que, sempre que sentirem
necessidade, possam retomá-las
rapidamente.
AMPLIANDO
Link
ÂNGULOS internos de um polígono regular. Khan Academy. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy.
org/math/em-mat-geometria/x44371671f5ceab6a:poligonos-regulares-e-pavimentacoes-no-plano/x44371671f
5ceab6a:construindo-poligonos-regulares/e/angulos-internos-de-um--poligono-regular. Acesso em: 13 jul. 2022.
Nesse link, é possível praticar o cálculo da medida do ângulo interno de polígonos regulares.
Observe alguns polígonos regulares inscritos em uma circunferência.
Em uma circunferência dividida em três
arcos congruentes, as três cordas consecu-
tivas, cujas extremidades coincidem com as
extremidades desses arcos, delimitam um
triângulo equilátero inscrito.
A
C
B
rO
Em uma circunferência dividida em
quatro arcos congruentes, as quatro cordas
consecutivas, cujas extremidades coincidem
com as extremidades desses arcos, delimi-
tam um quadrado inscrito.
A
B
C
D
r
O
Elementos de um polígono regular inscrito
em uma circunferência
Vamos conhecer os elementos de um polígono regular inscrito.
Na figura a seguir, o raio de comprimento r da circunferência, na qual está inscrito um
polígono regular, é também chamado de raio do polígono regular.
A
B
C
D
E
F
r
O
O ângulo de medida a, cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados passam
por dois vértices consecutivos do polígono inscrito, chama-se ângulo central do polígono
regular (
a
c)
.
A medida a = a
c
é dada por =
°
a
360
n
c
, em que n é a quantidade de lados
do polígono inscrito.
Sabendo que em um polígono regular de n lados, inscrito ou não em
uma circunferência, todos os ângulos internos são congruentes, então a
medida a
i
de cada um dos ângulos internos é dada por =
_?
a
n2 180º
n
i
()
.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Quando dividimos uma circunferência em n arcos congruentes (com n . 2), as cordas
consecutivas delimitam um polígono regular inscrito, de n lados, nessa circunferência.
A
B
C
D
E
F
O
a
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Propriedades de um polígono
regular inscrito em uma
circunferência
Antes de abordar as três pro-
priedades de um polígono regular
inscrito em uma circunferência,
retomar a ideia de semelhança
entre figuras planas, considerando
que ambas têm os ângulos inter-
nos correspondentes congruentes
e os lados correspondentes
proporcionais.
Enfatizar que, no caso dos
polígonos regulares, é preciso que
os ângulos internos correspon-
dentes sejam congruentes e os
lados homólogos, proporcionais.
Em seguida, apresentar as
propriedades e discutir com
os estudantes que todas rela-
cionam um dos elementos
referentes a comprimentos, vistos
anteriormente, ao perímetro
(1
a
propriedade: perímetros
proporcionais às medidas dos
raios; 2
a
propriedade: períme-
tros proporcionais às medidas
dos lados; 3
a
propriedade: perí-
metros proporcionais às medidas
dos apótemas).
Caso algum estudante mani-
feste dificuldades em compreender
a resolução do exemplo mos-
trado no Livro do estudante,
pode-se apresentar os dados
do problema em um quadro,
identificando a relação de pro-
porcionalidade direta.
Raio
(em cm)
Perímetro
(em cm)
14 84
21 126
x 6
x 6
Neste hexágono, há seis ângulos internos congruentes entre si. Considerando
n = 6 e a
i
a medida de cada um dos ângulos internos, temos:
() °
a
n2 180
n
i
=
_?
h
() °
a
62 180
6
i
=
_?
h a
i
= 120°
O segmento que vai do centro O de uma circun-
ferência até o ponto médio M de um dos lados do polígono regular inscrito
nessa circunferência chama-se apótema do polígono regular, cuja medida
é, normalmente, representada por a.
Como o triângulo AOB da figura é isósceles, o apótema OM repre-
senta a altura, a mediana e a bissetriz relativas ao lado AB desse triângulo.
Propriedades de um polígono regular
inscrito em uma circunferência
Dois polígonos regulares que têm a mesma quantidade de lados são semelhantes, pois têm os
ângulos internos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Assim,
podemos destacar as propriedades a seguir.
1
a
propriedade
Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de
lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos raios.
2
a
propriedade
Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de
lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos lados.
3
a
propriedade
Em dois polígonos regulares inscritos em uma circunferência e com a mesma quantidade de
lados, os perímetros são proporcionais às medidas dos respectivos apótemas.
Acompanhe o exemplo a seguir.
Dois hexágonos regulares estão inscritos em circunferências de raios 14 cm e 21 cm. Se o
perímetro do hexágono inscrito na circunferência menor é 84 cm, vamos determinar o perímetro
do outro hexágono.
Indicando o perímetro desconhecido por x e aplicando a 1
a
propriedade, podemos escrever:
=
14
84
21
x
h 14x = 84 ? 21 h x
1764
14
= h x = 126
Logo, o perímetro do outro hexágono regular é 126 cm.
A
a
i
B
a
i
C
a
i
a
i
a
i
D
a
iE
F
O
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
M
B
C
A
a
O
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Para a resolução das atividades,
considerar a possibilidade de os
estudantes trabalharem em duplas
ou em pequenos grupos, para
trocar estratégias de resolução.
As atividades exploram os
conceitos de ângulo central e
de ângulo interno e as proprie-
dades dos polígonos regulares
inscritos. Se necessário, retomar
o conceito de perímetro e indicar
o registro em um quadro para a
análise das relações de propor-
cionalidade direta, como apoio
aos estudantes com dificuldades.
Relações métricas em
polígonos regulares
inscritos em uma
circunferência
Como em todas as demons-
trações apresentadas, será
aplicado o teorema de Pitágoras,
é importante verificar se todos os
estudantes conhecem e sabem
aplicar esse teorema.
Quadrado inscrito
Identificar cada um dos ele-
mentos (lado, apótema e raio) do
quadrado inscrito. Em seguida, des-
tacar os triângulos BOA e OMA
e, com os estudantes, estabele-
cer as relações direcionadas pelo
teorema de Pitágoras. Perguntar
aos estudantes se os triângulos
são retângulos, e tanto em caso
negativo quanto em caso afir-
mativo, pedir para indicarem que
informações garantem esse fato.
Esse tipo de questionamento con-
tribui para o desenvolvimento da
argumentação dos estudantes,
além de oportunizar o desenvol-
vimento de aspectos relacionados
à competência geral 7 e à com-
petência específica 2 da área de
Matemática.
Explicitar que tanto a medida do
lado do quadrado inscrito quanto
seu apótema são obtidos em função
da medida do raio da circunfe-
rência circunscrita ao polígono.
AMPLIANDO
Vídeo
RELAÇÕES métricas do quadrado – Matemática – 9
o
ano –
Ensino Fundamental. 2020. Vídeo (15min6s). Publicado pelo
Canal Futura. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
v=UNZ2RwuvtkI. Acesso em: 13 jul. 2022.
Nesse link, é possível visualizar uma videoaula na qual
são demonstradas as relações métricas para um quadrado ins-
crito em uma circunferência.
Responda às questões no caderno.
1. Determine a medida do ângulo central e
a medida do ângulo interno de cada um
dos polígonos regulares inscritos em uma
circunferência.
a) Triângulo equilátero.
b) Quadrado.
c) Hexágono regular.
d) Octógono regular.
2. O perímetro de um polígono regular
inscrito em uma circunferência, cujo raio
mede x, é 60 cm. Sabe-se que outro po-
lígono regular, com a mesma quantidade
de lados, está inscrito em uma circunfe-
rência de raio 25 cm e tem 150 cm de
perímetro. Qual é o valor de x?
3. Os perímetros de dois polígonos regulares,
com a mesma quantidade de lados, são
a
c
= 120° e a
i
= 60°.
a
c
= 90° e a
i
= 90°.
a
c
= 60° e a
i
= 120°.
a
c
= 45° e a
i
= 135°.
x = 10 cm
ATIVIDADES
48 cm e 60 cm, respectivamente. Quanto
mede o apótema do polígono de maior
perímetro, se o apótema do polígono de
menor perímetro mede
43 cm?
4. Os perímetros de dois polígonos I e II,
regulares e com a mesma quantidade
de lados, estão entre si assim como
2 está para 5. Sabendo que a medida do
lado do polígono II é
202 cm, calcule
a medida do lado do polígono I.
5. Os perímetros de dois polígonos regu-
lares, com a mesma quantidade de lados,
são, respectivamente, 28,28 cm e 28 cm.
Quanto medem o raio e o apótema do
polígono de maior perímetro, sabendo
que o raio e o apótema do polígono de
menor perímetro medem, respectiva-
mente,
3,52 cm e 3,5 cm?53cm82cm3,5352cme3,535cm.
RELAÇÕES MÉTRICAS EM POLÍGONOS REGULARES
INSCRITOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
Considerando a medida l do lado de um polígono regular inscrito em uma circunferência, a
medida a do apótema do mesmo polígono e a medida r do raio da circunferência em que esse polígono
está inscrito, podemos estabelecer algumas relações métricas. Vamos conhecer algumas a seguir.
Quadrado inscrito
No quadrado inscrito, temos:
• l: medida do lado do quadrado;
• a: medida do apótema do quadrado;
• r: comprimento do raio da circunferência.
Podemos, pelo teorema de Pitágoras, relacionar o lado e o
apótema do quadrado com o raio da circunferência. Acompanhe.
Considerando o *BOA da figura, temos:
l
2
= r
2
+ r
2
h l = r
2
Considerando o *OMA da figura:
r
2
= a
2
+






2
2
l
h r
2
= a
2
+
2r
4
2
h a
2
= r
2
_
2r
4
2
h a
2
= r
2
_ _1
1
2





 h
=a
r2
2
EDITORIA DE ARTE
D
A
B
C
r
a
M
O
l
l l
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Hexágono regular inscrito
Na demonstração das relações
métricas referentes ao hexágono
regular inscrito em uma circun-
ferência, solicitar aos estudantes
que analisem a ilustração apre-
sentada no Livro do estudante
e justifiquem por que o *OFA
é equilátero.
Uma possibilidade de argumen-
tação é identificar que o ângulo
central mede 60° e que os dois
lados do triângulo são iguais ao
raio da circunferência. Portanto, o
triângulo é isósceles e os ângulos
da base são congruentes.
Assim, 180° _ 60° = 120°.
Como ambos têm a mesma
medida, cada ângulo da base
mede 60°. Dessa maneira, o
triângulo tem os três ângulos con-
gruentes e é, portanto, equilátero.
Triângulo equilátero inscrito
Ao abordar o triângulo equilá-
tero inscrito em uma circunferência,
mostrar aos estudantes a seme-
lhança entre os triângulos AMC e
CMO. Para isso, indicar os ângulos
internos de ambos os triângulos,
considerando que OC é bissetriz
do ângulo

ACB.
AMPLIANDO
Link
RELAÇÕES métricas em polígonos regulares: triângulo equilátero –
Aula 25. 2013. Vídeo (11min49s). Publicado pelo canal Portal da
Matemática OBMEP. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=dNCfUxDVCzU. Acesso em: 13 jul. 2022.
Nesse link, é possível visualizar uma videoaula na qual são
demonstradas as relações métricas para um triângulo equiláte-
ro inscrito em uma circunferência.
Hexágono regular inscrito
A
B
CD
E
F
M
O
a
r
l
l
l
ll
No hexágono regular inscrito, temos:
• l: medida do lado do hexágono;
• a: medida do apótema do hexágono;
• r: comprimento do raio da circunferência.
Sabemos que o *OFA é equilátero. Então, temos que =MA
r
2
, pois FA = r,
ou seja:
l = r
Assim:
r
2
= a
2
+






r
2
2
h r
2
= a
2
+
r
4
2
h
h a
2
= r
2
_

r
4
2
h a
2
= r
2
?

_1
1
4





 h
h a
2
= r
2
?
3
4
h
=a
r3
2
Triângulo equilátero inscrito
M
C
A
B
O
a
r
ll
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
No triângulo equilátero inscrito, temos:
• l: medida do lado do triângulo;
• a: medida do apótema do triângulo;
• r: comprimento do raio.
Note que o *AMC e o *CMO são semelhantes pelo critério AA.
Então, podemos escrever:
l
=
l
h=
r
2
a
a
r
2
Com isso, temos:
r
2
= a
2
+






2
2
l
h r
2
=












r
2

2
22
+
l
h
h r
2
=
r
44
22
+
l
h
4
2
l
= r
2
_
r
4
2
h
h
4
2
l
= r
2
? _1
1
4





 h
l
=
2
r3
2
h
l=r3
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Construção de
polígonos regulares
Nessa página, é apresentado
um fluxograma para a constru-
ção, com régua e compasso, de
um polígono regular de n lados.
Ler com os estudantes os passos
apresentados no fluxograma e,
sempre que necessário, expli-
car cada etapa, de modo que
os estudantes compreendam
todas as etapas que devem ser
executadas para a construção.
Esse tipo de abordagem contri-
bui para o desenvolvimento do
pensamento computacional.
Apresentar o passo a passo
da construção de um polígono
regular. Depois, incentivar a expres-
são oral dos estudantes e pedir
que expliquem o que entende-
ram dos passos descritos.
Verificar se os estudantes
dispõem de régua e transferidor
para realizarem a construção.
Se julgar pertinente, indicar a
todos os estudantes que reali-
zem a construção do pentágono
regular com medida de lado igual
a 2,5 cm. Checar se todos com-
preendem o cálculo do ângulo
externo. Em seguida, distribuir
papel sulfite para os estudantes.
Iniciar a construção realizando,
coletivamente, as etapas II e III,
já que a etapa I, é dada no Livro
do estudante.
AMPLIANDO
Texto
O desenho geométrico é parte fundamental para
a aprendizagem dos conteúdos geométricos, sendo
assim, as construções com régua, compasso e trans-
feridor têm um papel especial, pois permitem uma
interação entre essas ferramentas e a teoria estuda-
da, ampliando os conceitos geométricos pertinentes
ao tema dos polígonos regulares e aprofundando
os conhecimentos acerca das demonstrações ge-
ométricas. O ensino do desenho geométrico é
importante para desenvolver as habilidades de pla-
nejar, projetar e abstrair, estabelecendo uma relação
entre o campo visual e o raciocínio espacial.
A geometria estuda as figuras relacionando-as
com números, que são suas medidas. Já o desenho
geométrico estuda as figuras, que são abstratas, e
as relaciona com as representações, que são con-
cretas, formalizando os conhecimentos teóricos da
geometria, definindo os conceitos, demostrando pro-
priedades e resolvendo problemas.
Elaborado com base em: OLIVEIRA, Clézio Le-
mes de. Importância do Desenho Geométrico.
Trabalho acadêmico (Licenciatura em Matemática)
– Universidade Católica de Brasília, Brasília, DF, [ca.
2005]. Disponível em: https://repositorio.ucb.br:94
43/jspui/bitstream/10869/1547/1/Clezio%20Lemes
%20de%20Oliveira.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.
Hexágono regular inscrito CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS REGULARES
Acompanhe as etapas para a construção de um polígono regular de n lados, utilizando
instrumentos de desenho, conhecida a medida l do lado desse polígono.
Fluxograma para construir um polígono regular de n lados
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Colorir a região
interna da figura
obtida.
(Início) Escolher a
quantidade de lados
do polígono (n) e a
medida de cada lado
do polígono (l).
Determinar a
medida do ângulo
externo do polígono:
=
°
a
360
n
e
.
Fim: polígono
finalizado.
Construir uma reta
suporte ao primeiro
lado do polígono.
Marcar, sobre a
reta suporte, o
segmento de reta
de comprimento l.
Construir o ângulo
externo, de medida
a
e
, em uma das
extremidades do
segmento anterior.
III
III
V
IV
Linha
poligonal
fechada?
Não
Sim
Marcar o segmento de
medida l na semirreta
correspondente a um
dos lados do ângulo â
e
,
que não está contida
na reta suporte.
Seguindo as etapas de construção descritas no fluxograma, é possível construir qualquer
polígono regular.
Observe, a seguir, como podemos descrever a construção de um pentágono regular.
Início: Inicialmente, escolhemos a quantidade de lados do polígono (n) e a medida do lado (l).
Nesse caso, temos: n = 5 e l = 2,5 cm.
Etapa I: Em seguida, calculamos a medida do ângulo externo do polígono.
°
°a
360
5
72
e==
Etapa II: Usando uma régua, representamos uma reta suporte para a construção do primeiro
lado do polígono.
72°
72°
72°
Início:
Fim
I:
II:
III:
IV, V, VI e VII (looping)
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
n=5
a
e=
360°
5
=72°
l=4 cm
Etapa III: Marcamos, na reta suporte, o segmento de reta cuja medida é igual à do lado do
polígono; nesse caso, 2,5 cm.
2,5 cm
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Verificar se os estudantes con-
seguem construir o ângulo de 72°
corretamente, manuseando o
transferidor de forma adequada.
Pense e responda
Com os instrumentos geo-
métricos em mãos, propor aos
estudantes que escolham um
polígono de n lados e indiquem
a medida do comprimento do
lado, como orientado na etapa I.
Ainda nessa etapa, devem calcu-
lar a medida do ângulo externo.
Nesse momento, o foco da ati-
vidade está na construção do
polígono regular, e pode-se per-
mitir o uso de uma calculadora.
Em seguida, devem construir
as etapas II e III, que consistem
em uma preparação inicial para
a construção.
Construir as etapas IV e V
repetidas vezes, até completar a
figura. Propor a alguns estudan-
tes que apresentem o polígono
escolhido e compartilhem os pro-
cedimentos usados na construção.
Agora, é sua vez! Escolha um valor para n e outro para l. Em uma folha avulsa,
construa um polígono regular de n lados, cuja medida do lado é l. Em seguida,
escreva, no caderno, o passo a passo para a construção desse polígono e troque de
caderno com um colega para que cada um construa o polígono descrito pelo outro.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
PENSE E RESPONDA
Etapa IV: Usando um transferidor, construímos, em uma das
extremidades do segmento, o ângulo externo de medida a
e
, que será
o vértice desse ângulo e um dos vértices do polígono.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Etapa V: Usando uma régua, marcamos na semirreta represen-
tada na etapa IV o segmento de reta com 2,5 cm de comprimento.
Em seguida, repetimos as etapas IV e V, até que sejam representados todos os lados do
polígono. Por fim, colorimos a região interior do polígono representado.
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
Início:
Fim
I:
II:
III:
IV, V, VI e VII (looping)
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
72°
n=5
a
e=
360°
5
=72°
l=4 cm
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nesse bloco, sugere-se que os
estudantes se organizem em duplas
para facilitar a troca de ideias. Em
boa parte das atividades, os valores
de
2 e de 3 foram fornecidos
na forma decimal. Assim, avaliar
permitir aos estudantes utilizarem
a calculadora para realizar alguns
cálculos. Verificar a necessidade
de retomar as operações com
números decimais. O momento
da correção das atividades pode
ser uma oportunidade interes-
sante para realizar esse tipo de
retomada.
A atividade 6 propõe aos
estudantes que elaborem ques-
tões para os colegas responderem.
A seguir, duas possibilidades de
questões que podem ser discutidas
com eles para ampliar a atividade:
• Qual é a medida r do raio da
circunferência? (40 cm)
• Qual é a medida a do apóte-
ma desse quadrado inscrito?
(20
2 cm)
O item b da atividade 8 soli-
cita aos estudantes que expliquem
para dois colegas como pensa-
ram para responder à questão
proposta no item a. É muito
importante incentivar esse tipo
de atividade, pois ela amplia a
capacidade de comunicação e
argumentação dos estudantes,
de acordo com a competência
geral 7, além de beneficiar a coo-
peração entre eles, de acordo
com a competência geral 9.
Na atividade 10, os estudan-
tes precisam determinar o valor do
raio da circunferência circunscrita
ao triângulo equilátero e ao hexá-
gono regular. Para isso, precisarão
se recordar da fórmula do períme-
tro da circunferência. Circular pela
sala de aula e verificar se todos os
estudantes se recordam. Se julgar
necessário, registrar essa infor-
mação na lousa.
AMPLIANDO
Livro
SELVA, Ana Coelho Vieira; BORBA, Rute Elizabete S. Rosa. O
uso da calculadora nos anos iniciais do Ensino Funda-
mental. 1. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Tendências
em Educação Matemática).
Neste livro, as professoras Ana Coelho e Rute Borba abordam
vários aspectos relacionados ao uso da calculadora nas aulas
de Matemática.
Responda às questões no caderno.
1. Considerando uma circunferência de
80 cm de diâmetro, calcule a medida
do lado de:
a) um quadrado inscrito nessa circunferência;
b) um hexágono regular inscrito nessa
circunferência;
c) um triângulo equilátero inscrito nessa
circunferência.
2. Determine a medida do lado de um
quadrado e de um triângulo equilá-
tero inscritos em uma circunferência de
50 cm de raio. (Use
2 = 1,4; 3 = 1,7.)
3. Uma peça de vidro lembra um triângulo
equilátero inscrito em um vitral circular,
na parede de um teatro. Se o raio da
circunferência mede 25 cm, qual é a
medida do lado do triângulo equilátero?
(Use
3 = 1,73.)
4. Considerando que
a figura a seguir
representa um
triângulo equilátero
inscrito em uma
circunferência, calcule:
a) a medida do ângulo RÔS;
b) a medida do segmento RS;
c) a medida do segmento OM;
d) a medida do segmento SM.
5. O comprimento de uma circunferência é
157 cm. Um hexágono regular cujo lado
mede x cm e apótema y cm está ins-
crito nessa circunferência. Considerando
3 = 1,73 e p = 3,14, determine o valor
de x + y.
6. Sabe-se que o lado de um quadrado
inscrito em uma circunferência de raio
r mede
402 cm. Nessas condições,
elabore duas questões e troque-as com
um colega. Cada um resolve as questões
que o outro criou.
402cm
40 cm
403cm
Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.
43,25 cm
M
R
S
T O
9 cm
120°
93cm
4,5 cm
13,5 cm
46,625 cm
ATIVIDADES
7. Na figura, o raio da cir-
cunferência mede 3 cm,
AB representa o lado de
um hexágono regular
inscrito, e BC representa
o lado de um quadrado
inscrito. Nessas condi-
ções, determine:
a) a medida de AB;
b) a medida de BC, considerando
2 = 1,4;
c) a distância de A até C, passando por B.
8. Em uma circunferência de 100 cm de
raio, estão inscritos um quadrado e um
triângulo equilátero. Faça o que se pede.
a) A medida do lado do quadrado repre-
senta quantos por cento da medida
do lado do triângulo? (Use
2 = 1,4; 3 = 1,7.)
b) Explique a dois colegas como você
pensou para responder ao item a e
ouça a explicação deles. Vocês respon-
deram à questão do mesmo modo?
Obtiveram as mesmas respostas?
9. Uma pessoa observa uma pintura com
o desenho de um triângulo equilátero
inscrito em uma circunferência de 40 cm
de raio. Se a área de um triângulo equi-
látero é dada pela expressão
l?3
4
2
, qual
é a área do triângulo observado por essa
pessoa? (Use
3 = 1,73.)
10. Em uma circunferência de 50,24 cm de
comprimento, estão inscritos um triân-
gu lo equilátero e um hexágono regular.
Considerando
3 = 1,7 e p = 3,14,
determine:
a) a medida do lado e o perímetro do
triângulo equilátero;
b) a medida do apótema e o perímetro do
hexágono regular.
3 cm
4,2 cm
7,2 cm
Aproximadamente 82,35%.
2 076 cm
2
l = 13,6 cm e P = 40,8 cm.
a = 6,8 cm e P = 48 cm.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
8. b) Respostas pessoais. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
A
B
C
O
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
O trabalho com esta seção cola-
bora para o desenvolvimento da
habilidade EF09MA15. É impor-
tante dizer para os estudantes que
existem outras maneiras de cons-
truir um polígono regular, além
das apresentadas na seção e no
fluxograma da página 237 do
Livro do estudante, e incentivá-los
a pesquisar outros métodos de
construção, sejam eles softwares,
sejam instrumentos como régua,
compasso e transferidor.
Para realizar a atividade pro-
posta ao final da seção, pedir
aos estudantes que, após a ela-
boração do fluxograma com as
etapas de construção do polígono,
identifiquem inicialmente que
ferramentas do GeoGebra serão
utilizadas na construção. Assim,
eles podem organizar o processo,
além de ser uma oportunidade
para que se familiarizem com o
software e com as ferramentas
que serão utilizadas nesse tipo
de construção. Pode-se propor
aos estudantes que elaborem um
quadro associando cada etapa
do fluxograma à ferramenta
que será utilizada no GeoGebra.
Observar o exemplo a seguir.
Etapa do fluxograma Ferramenta do GeoGebra que pode ser utilizada
I Nesse caso, não é necessário utilizar nenhuma ferramenta.
II Reta
III
Segmento com Comprimento Fixo Compasso Interseção de Dois Objetos
IV Ângulo com Amplitude Fixa
V Semirreta
VI
Compasso Interseção de Dois Objetos
VII
Segmento (Nessa etapa, deve-se ligar os pontos construídos para obter os lados do polígono.)
REPRESENTANDO POLÍGONOS REGULARES
COM O USO DE UM SOFTWARE DE GEOMETRIA
A seguir, vamos utilizar o software GeoGebra para representar um polígono regular.
Primeiramente, devemos escolher a quantidade de lados e a medida do lado do polígono que
será representado. Neste exemplo, vamos construir um polígono regular de 9 lados (eneágono
regular), cuja medida do lado é 3 cm. Acompanhe.
Acesse o link https://www.geogebra.org/classic?lang=pt (acesso em: 2 abr. 2022) para abrir
uma tela do GeoGebra. Com o botão direito, clique na janela de visualização para ocultar os eixos
e a malha, como descrito na página 138.
Selecione a ferramenta (Reta) e clique em dois pontos na janela de visualização para
construir a reta suporte AB
REP
.

1 Para definir a medida do lado do polígono, selecione a ferramenta Reta e, em seguida, a
opção
(Segmento com Comprimento Fixo). Depois, clique na parte superior da janela de
visualização, digite 3 no boxe Comprimento e clique em OK (Figura 1).

2 Depois, selecione a ferramenta (Compasso), clique no segmento CD, depois no ponto A
para representar a circunferência de centro A e raio igual a 3 cm. Em seguida, utilize a ferra-
menta (Interseção de Dois Objetos) para marcar o ponto E correspondente à intersecção
da reta
REP
AB e a circunferência construída anteriormente (Figura 2).
Figura 1.
Figura 2.
TECNOLOGIAS
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
PRO500/SHUTTERSTOCK.COM
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FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
A seguir, há uma possibilidade
de construção para representar
um polígono regular de 9 lados
utilizando o GeoGebra, seguindo
as etapas de fluxograma que
deram origem ao quadro ela-
borado na página anterior.
Repetir esse procedimento até
obter um polígono de 9 lados.
Caso os estudantes tenham
dúvida, em especial na etapa de
construção dos ângulos internos,
solicitar que insiram pontos auxilia-
res nas semirretas para construí-los.
No final da construção, orientá-
-los a apagar os pontos auxiliares
para visualizar apenas o polígono,
como na referência a seguir.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

3 A soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo de um polígono é
igual a 180°. Assim, para calcular a medida do ângulo interno do polígono que será repre-
sentado, fazemos:
a180aa 180
360
9
18040a140
ie ii
=° _h =° _
°
=° _°h= °
Para construir o ângulo interno desse polígono, selecione a ferramenta (Ângulo com
Amplitude Fixa) e clique nos pontos E e A, nessa ordem. Em seguida, digite 140° no boxe Ângulo,
selecione a opção sentido anti-horário e clique em OK (Figura 3).
Utilizando novamente a ferramenta (Ângulo com Amplitude Fixa), clique nos pontos A e E‘,
nessa ordem, digite 140° no boxe Ângulo, selecione a opção sentido anti-horário e clique em
OK. Repita esse processo para obter os outros sete pontos (Figura 4).
Figura 4. Figura 3.

4 Clique com o botão direito do mouse em cada indicação de ângulo para ocultá-la. Em
seguida, utilize a ferramenta (Segmento) para ligar os pontos representados e obter os
lados do eneágono regular (Figura 5), cuja medida de cada lado é 3 cm.
1. Escolha a quantidade n de lados e a medida do lado l de um polígono regular. Em
seguida, utilize o GeoGebra para construir esse polígono regular.
2. Elabore, no caderno, um fluxograma com as etapas da construção do polígono obtido
na atividade 1.
Figura 5.
1. Resposta
pessoal. Exemplo
de resposta
na seção
Resoluções
comentadas
deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
PRO500/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Área de um
polígono regular
Apresentar o exemplo do
cálculo da área do pentágono
regular e verificar se os estu-
dantes compreendem que todo
polígono regular pode ser divi-
dido em triângulos isósceles e
congruentes. A partir dessa ideia,
é desenvolvida a expressão para
o cálculo da área de qualquer
polígono regular, usando o con-
ceito de semiperímetro.
Solicitar aos estudantes que
deem outros exemplos de polígo-
nos regulares para que o cálculo
da área seja realizado pela expres-
são obtida.
Área do círculo e
de um setor circular
Para iniciar o trabalho com
esse tópico, pode-se propor
uma atividade como a apre-
sentada a seguir.
• Em uma cartolina, desenhar
um círculo (de raio medindo
r), dividindo-o em 16 partes
iguais. Depois, recortar o cír-
culo, separando cada pedaço.
• Juntar as partes recortadas,
encaixando-as, conforme a
figura a seguir. Notar que a
altura é aproximadamente
igual à medida do raio r.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
AE
BC
D
pr
altura
• Realizar os mesmos procedimentos, dividin-
do o círculo em mais partes iguais. Quanto
maior for a quantidade de partes em que o
círculo é dividido, mais próxima de um re-
tângulo fica a figura formada. Assim, a área
dessa figura, que é igual à área do círculo,
cada vez mais se aproxima da área de um re-
tângulo; então:
área do círculo = pr ? r
área do círculo = pr
2
Após essa atividade, apresentar a expressão
da área do círculo a partir dos polígonos inscri-
tos na circunferência.
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR
Considere o pentágono regular AEDCB representado a seguir. A partir do centro O, esse
pentágono foi decomposto em cinco triângulos isósceles e congruentes. São eles: *AOB, *BOC,
*COD, *DOE e *EOA.
a
O
A B
C
D
E
l
Em cada um desses triângulos, temos:
• a base do triângulo corresponde ao lado do polígono, cuja medida
indicaremos por l;
• a altura relativa à base do triângulo corresponde ao apótema do
polígono, cuja medida indicaremos por a.
A área
*
A() de cada um desses cinco triângulos é dada por A
a
2
=
l?
*
.
Como são cinco triângulos, a área do pentágono A
P() é dada por:
A
P
= 5
a
2
?
l?
=
5a
2
l
=
5
2
a
l
? h A
P
=
5
2
a
l
?
Sabendo que 5l é o perímetro do pentágono regular, temos que
5
2
l
representa a metade
do perímetro ou o semiperímetro do pentágono regular. Assim:
medida do apótema
semiperímetro
área do pentágono regular =
l
?
5
2
a
Podemos dizer que, para todos os polígonos regulares, temos:
área de um polígono regular = semiperímetro ? medida do apótema
ÁREA DO CÍRCULO E DE UM SETOR CIRCULAR
Observe esta sequência de figuras que representam polígonos regulares inscritos em uma
circunferência.
À medida que a quantidade de lados do polígono regular inscrito aumenta, o perímetro desse
polígono se aproxima do comprimento da circunferência. Desse modo, a área desse polígono regular
se aproxima da área do círculo determinado pela circunferência. Nessas condições, temos que:
• o perímetro do polígono regular se aproxima do comprimento da circunferência (C = 2pr);
• o semiperímetro do polígono regular tende ao valor
p2r
2
, ou seja, pr;
• a medida do apótema do polígono regular tende a ser igual à medida do raio da
circunferência.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
A atividade 1 propõe aos
estudantes que encontrem a
fórmula para o cálculo da área
de um octógono regular, por
meio da decomposição da figura
em triângulos isósceles. Para
isso, eles poderão se apoiar no
desenvolvimento apresentado na
página 242 do Livro do estudante.
Atividades desse tipo ampliam a
capacidade de argumentação
dos estudantes conforme orienta
a competência geral 7.
A situação 2 aborda o cálculo
da área de um setor circular.
Uma possibilidade de aborda-
gem é resolver a atividade na
lousa e verificar se os estudan-
tes compreendem a relação de
proporcionalidade estabelecida
entre o ângulo central e a área
do círculo/setor circular.
Descubra mais
O podcast sugerido é com-
posto de dois módulos. Se julgar
pertinente, antes de propor as
atividades da página 243 do
Livro do estudante, apresentar
o primeiro módulo do programa
e pedir aos estudantes que,
ao final, registrem as informa-
ções que julgarem relevantes.
Em seguida, permitir que eles
escutem o primeiro módulo até
1min54s e pedir que verifiquem
se anotaram corretamente os
tamanhos das pizzas que serão
comercializas, identificadas pelas
quantidades de pedaços (a tra-
dicional com 8 pedaços e as
pizzas de 6, 12 e 16 pedaços
cada). O podcast é interrompido
e propõe ao ouvinte que pense
nessa questão. Fazer o mesmo
questionamento ao grupo, regis-
trar as hipóteses dos estudantes
na lousa e, em seguida, ouvir o
segundo módulo.
Assim, a área do polígono regular inscrito tende a coincidir com a área do círculo determinado
pela circunferência. Logo:
área do círculo = pr ? r = pr
2
(pr = semiperímetro do polígono inscrito e r = medida do apótema do polígono inscrito)
Usando a fórmula da área do círculo, vamos resolver as situações a seguir.

1 Um pedaço de papelão lembra a forma de um círculo de raio 21 cm. Qual é, em centímetro
quadrado, a área ocupada por essa representação de círculo, considerando p = 3,14?
A = pr
2
h A = 3,14 ? (21)
2
h A = 3,14 ? 441 h A = 1 384,74
A área ocupada por esse pedaço de papelão é 1 384,74 cm
2
.

2 A região colorida de azul na figura chama-se setor circular. Qual é a área desse setor circular?
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
5 cm
5 cm
60°
O
360°
pr
2
60°
x
Daí, temos a proporção:
°
°
=
?
h
°
°
=
360
60
3,145
x
360
60
78,5
x
2
h 6x = 78,5 h
h =x
78,5
6
h x 1 13,08
Responda às questões no caderno.
1. Observe a representação deste octógono regular. Utilizando
o método de decomposição de um polígono regular em triân-
gulos, como realizado na página 242, mostre que a área de
um octógono regular é dada por:
l
?
8
2
a , em que l é a medida
do lado do octógono e a é a medida do apótema dele. Faça
uma figura e justifique cada etapa da resolução.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série Problemas e Soluções) Tudo começa em pizza, 26 maio 2020.
Anchor do Spotify. Disponível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1325. Acesso em: 8 maio 2022.
Nesse podcast, apresenta-se uma aplicação da área de setores circulares em uma situação do
cotidiano relacionada ao cálculo da área de pedaços de pizzas.
DESCUBRA MAIS
ATIVIDADES
A
B
CG
H
DF
E
Logo, a área desse setor circular é, aproximadamente, 13,08 cm².
243
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Nas atividades 2 e 3, os estu-
dantes devem calcular a área dos
polígonos regulares indicados,
usando o produto do semiperí-
metro pela medida do apótema
do polígono.
Para resolver a atividade 4,
os estudantes devem utilizar o
conhecimento desenvolvido para
determinar a área do círculo. Para
resolver as atividades 5 e 7, os
estudantes devem retomar o
cálculo da área do setor circular.
Se necessário, retomar a reso-
lução do exemplo apresentado
no Livro do estudante, relacio-
nando o ângulo central e a área
do círculo/setor circular.
Ler a atividade 6 com o
grupo e questionar como, a
partir do perímetro do quadrado,
é possível calcular a área do
círculo. Espera-se que os estu-
dantes respondam que dado o
perímetro do quadrado é pos-
sível determinar a medida de
seu lado e, consequentemente,
encontrar a medida do raio do
círculo inscrito, que será igual
à metade da medida do lado.
As atividades 8 a 10 são
situações-problema que devem
ser resolvidas a partir da apli-
cação do conceito de área do
círculo. Os estudantes devem
ler e interpretar os enunciados,
fazendo inferências e cons-
truindo uma argumentação
consistente, principalmente na
atividade 9. Desse modo, favo-
rece-se o desenvolvimento da
competência geral 7.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Como atividade complementar, propor a
seguinte situação:
Uma rodovia circular, construída a 36 km do
centro de um município, limita uma região des-
se município. Nessa região, a população é cerca
de 900 000 habitantes. Usando p = 3 para os
cálculos, determine a densidade demográfica
dessa região.
Resolução da atividade
É uma boa oportunidade para os estudantes mo-
bilizarem seus conhecimentos a respeito de razões
entre grandezas de espécies diferentes tratadas em
estudos anteriores. Se necessário, relembrar que:
densidade demográfica =
quantidade de habitantes
área da região
Com isso, os estudantes devem calcular a área
dessa região circular e, depois, a densidade de-
mográfica, assim:
Área da região = 3 ? 36
2
Área da região = 3 888 km
2
Densidade demográfica =
900 000
3 888
=
= 231,48 hab./km
2
Assim, a densidade demográfica dessa região
é de 231,48 hab./km
2
.
2. Uma região poligonal, em forma de
hexágono regular, tem lado de 80 cm.
Nessas condições, determine:
a) o semiperímetro desse hexágono;
b) a medida a do apótema do hexágono,
sabendo que
a
3
2
=
l
;
c) a área da região poligonal, considerando
3 = 1,73.
3. Sabendo que um hexágono regular está
inscrito em uma circunferência cujo raio
mede 18 cm, determine:
a) a medida do lado desse hexágono;
b) o semiperímetro desse hexágono;
c) a medida do apótema desse hexágono;
d) a área desse hexágono.
4. O diâmetro de um disco de cobre mede
80 cm. Qual é a área desse disco?
5. Considere o setor circu-
lar (região colorida de
amarelo) na circunfe-
rência da figura. Se O
é o centro do círculo, e
OA = 8 cm, qual é a área
desse setor circular?
6. Na figura a seguir, há um círculo inscrito
em um quadrado. Se o perímetro desse
quadrado é 48 cm, qual é a área do
círculo? (Use p = 3,14.)
7. Qual é a área do setor circular colorido
de amarelo na figura? (Use p = 3,14.)
6 cm
O
60°
240 cm
403 ou 69,2 cm.
16 608 cm
2
18 cm
54 cm
cm93cm4863
2
A
B
45°
O
5 024 cm
2
25,12 cm
2
113,04 cm
2
94,2 cm
2
8. No centro da sala de recepção de um
edifício, há um tapete circular, como
representado na figura.
Sabendo que a sala é retangular, cujas
dimensões são 4,5 m (largura) e 8 m
(comprimento), e que o diâmetro do
tapete equivale a
1
4
do comprimento da
sala, qual é a área da superfície da sala
que não ficará coberta pelo tapete?
(Use p = 3,14.)
9. Esta figura repre-
senta um canteiro,
no qual uma parte
representa um
semicírculo. Para
cobrir todo esse
canteiro, um jardi-
neiro calculou que
precisaria de uma
lona com 170 m²
de área. Você pode afirmar que a área
da lona calculada é suficiente para cobrir
completamente esse canteiro? Justifique.
10. Um vazamento no tanque de um navio
provocou o aparecimento de uma
mancha de óleo em formato circular. O
raio r da mancha, t minutos depois do
início do vazamento, é dado, em metro,
pela fórmula
=r
t
5
.
a) Qual é, em metro, o raio da mancha,
4 minutos depois do início do vazamento?
b) No momento considerado no item a,
qual é, em metro quadrado, a área da
mancha? (Use p = 3,14.)
32,86 m
2
5 m
15 m
10 m
Sim, pois 170 m
2
. 139,25 m
2
.
0,4 m
0,5024 m
2
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
BENTINHO
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
244
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Ao evidenciar a relevância
do artista e muralista brasileiro
Eduardo Kobra no mundo, valo-
rizamos a cultura brasileira e,
principalmente, a arte urbana,
potencializando o desenvolvimento
do Tema Contemporâneo Transversal
Educação para valorização do
multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras e
das competências gerais 1 e 3.
Antes de iniciar a atividade do
Livro do estudante, levar para a
sala de aula obras do artista para
que os estudantes observem livre-
mente. Conversar sobre o que
chama a atenção dos estudantes
nas imagens. Só então anunciar que
conhecerão o artista e as suas téc-
nicas para a produção dos painéis.
Caso não seja possível realizar essa
exploração, pedir aos estudan-
tes que observem as imagens do
Livro do estudante e conduzir uma
roda de conversa a partir delas.
Espera-se que, para responder
à primeira pergunta, os estudantes
se apoiem no texto introdutó-
rio e, também, no nome dado
à obra. Podem, ainda, comentar
sobre a imagem dos rostos, em
estilo realista, apresentar cores
fortes e padrões geométricos que
lembram polígonos. Na segunda
pergunta, além da identificação
das figuras geométricas, é possível
abordar o recobrimento de super-
fícies e as condições necessárias
para que não haja sobreposição
dos polígonos ou espaços vazios.
Entre os polígonos regulares que
satisfazem essa condição, estão o
quadrado e o triângulo equilátero
que aparecem com frequência nas
obras de Eduardo Kobra.
Atentar para a importância da
discussão da terceira pergunta. O
grafite, muitas vezes, é marginali-
zado e associado ao vandalismo,
entretanto, muito se discute sobre
a importância desse movimento
como arte.
AMPLIANDO
Link
SILVA, Camila. Grafite: arte que faz dos muros sua tela. Federa-
ção nacional dos arquitetos e urbanistas. Brasília, DF, 1 abr.
2019. Disponível em: http://www.fna.org.br/2019/04/01/grafite
-arte-que-faz-dos-muros-sua-tela/. Acesso em: 3 ago. 2022.
O texto apresentado no link pode ser utilizado para ampliar o
conhecimento e as discussões sobre a arte do grafite.
POLÍGONOS NAS OBRAS DE EDUARDO KOBRA
Leia o trecho de reportagem a seguir sobre o mural Etnias, criado pelo muralista brasileiro
Eduardo Kobra (1975-), em homenagem aos Jogos Olímpicos de 2016.
POR TODAPARTE
Responda às questões no caderno.
1. Observe a imagem dos rostos retratados no mural Etnias. Em relação aos recursos uti-
lizados por Eduardo Kobra, em seu entendimento, o que esses rostos têm em comum?
2. Eduardo Kobra costuma representar polígonos nas composições dele. Junte-se a um
colega, pesquisem outras obras de Kobra e analisem as características dos polígonos
representados nessas obras.
3. A arte da grafitagem é um tipo de intervenção no espaço urbano muito comum nas
grandes cidades e representa um modo de expressão associado a culturas populares.
Como é a presença da grafitagem no município em que você vive?
Mural Todos somos um (Etnias), de Eduardo Kobra.
Rio de Janeiro (RJ), 2016.
O mural Etnias do artista Eduardo Kobra, pintado no Boulevard Olímpico, na Orla Conde,
área portuária do Rio, recebeu o certificado do Guinness World Record, o Livro dos Recordes,
como o maior grafite do mundo. O trabalho, que tem a extensão de 3 mil metros quadrados
representa a união entre os povos dos cinco continentes estampada em rostos dos povos
Huli da Nova Guiné, Mursi da Etiópia, Kayin da Tailândia, Supi da Europa e os Tapajós das
Américas, em uma ligação com os cinco arcos olímpicos.
BRASIL, Cristina Indio do. Mural Etnias, de Kobra, entra para o Guinness como maior grafite do mundo. Agência
Brasil. Rio de Janeiro, 23 ago. 2016. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/cultura/noticia/2016-08/
mural-etnias-de-kobra-entra-para-o-guinness-como-maior-grafite-do-mundo. Acesso em: 3 abr. 2022.
© KOBRA, EDUARDO/ AUTVIS, BRASIL, 2022
ALEXANDRE MACIEIRA/TYBA
OLEYNIK ALINE/SHUTTERSTOCK.COM, KLUVA/SHUTTERSTOCK.COM
Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tratamento
da informação
Nessa seção, são abordadas
informações de uma pesquisa
a respeito do uso de produtos
biológicos usados para controlar
pragas e doenças nas lavouras.
Esse tema favorece o desenvolvi-
mento do Tema Contemporâneo
Transversal Ciência e Tecnologia,
da competência geral 7 e da com-
petência específica 5 da área de
Matemática.
Aproveitar o tema para con-
versar com os estudantes sobre
o uso de substâncias químicas
naturais, classificadas em semio-
químicos e bioquímicos, e os
agentes biológicos de controle,
que podem ser microbiológicos
ou macrobiológicos.
Discutir com os estudantes
a pertinência do gráfico apre-
sentado. Espera-se que eles
compreendam que esse tipo
de gráfico é adequado para
apresentar as informações. Esse
tipo de discussão favorece o
desenvolvimento de aspectos
da habilidade EF09MA22.
AMPLIANDO
Vídeo
PRODUTOS biológicos na agricultura ganham espaço e de-
vem movimentar US$ 5 bi em 2020. 2019. Vídeo (3min46s).
Publicado por Globoplay. Disponível em: https://globoplay.globo.
com/v/8094066/. Acesso em: 14 jul. 2022.
A reportagem aborda o aumento do uso de produtos bio-
lógicos na agricultura brasileira.
INFORMAÇÃO
TRATAMENTO
DA
Leia o trecho a seguir e analise o gráfico sobre o registro de produtos biológicos de controle.
LEITURA E CONSTRUÇÃO DE GRÁFICO DE SETORES
O uso de produtos biológicos na agricultura tem se intensificado nos últimos anos no Brasil.
Esses produtos têm o objetivo de controlar pragas e doenças nas lavouras agrícolas e oferecem
menor impacto ambiental que os insumos tóxicos tradicionalmente utilizados na agricultura.
No esquema a seguir, observe a classificação dos produtos biológicos de controle.
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Classificação dos produtos
biológicos de controle. Brasília, DF: MAPA, 2019. Disponível em: https://croplifebrasil.org/conceitos/conheca-os-
protagonistas-dos-produtos-biologicos-disponiveis-no-brasil/. Acesso em: 5 abr. 2022.
Classificação dos produtos biológicos de controle
Substâncias químicas naturais
Agentes biológicos de controle
Organismos vivos que controlam a
população de pragas e doenças.
• feromônio
• aleloquímicos
• vírus
• bactérias
• protozoários
• fungos
• hormônios reguladores
de crescimento
• enzimas
• insetos
• ácaros
• nematoides
Semioquímicos
Compostos que induzem respostas comportamentais nos organismos-alvo:
Microbiológicos
Bioquímicos
Compostos de origem natural que controlam pragas e doenças:
Macrobiológicos
62,1%
15,5%
10,2%
12,2%
Microrganismos
Macro-organismos
Semioquímicos
Bioquímicos
480
produtos
Produtos biológicos registrados
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos
biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/
sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.
EDITORIA DE ARTE
[...]
O setor de biodefensivos [...] teve em 2021, 77 novos produtos registrados para o controle de
pragas e doenças. Em 2020, já se identificou o crescimento no número de registros desses produ-
tos [...]. Esse número reflete o maior interesse por produtos cada vez mais sustentáveis no campo
e a necessidade de integração de tecnologias para a superação dos desafios da agricultura.
[...]
BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF:
MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-
producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
As questões 1 e 2 referem-
-se à leitura e interpretação dos
dados apresentados no gráfico
da página 246 do Livro do
estudante.
Já a atividade 3 propõe uma
pesquisa, em duplas, sobre a
diferença entre produtos biológi-
cos de controle e os agrotóxicos.
Essa atividade permite ampliar o
debate sobre os biodefensivos,
permitindo a troca de ideias e a
refutação de hipóteses pré-con-
cebidas, o que contribui para o
desenvolvimento das compe-
tências gerais 2 e 10.
Ao explorar os procedimen-
tos para construir um gráfico de
setores, verificar se os estudantes
apresentam alguma dúvida em
relação aos passos de constru-
ção, fazendo as retomadas que
considerar necessárias.
Por meio das atividades dessa
seção, os estudantes são levados
a interpretar os dados e represen-
tá-los em tabela de distribuição
de frequência. É importante que
eles notem que são utilizados
conceitos diferentes para resol-
ver uma situação estatística.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Como atividade complementar, propor aos estudantes
que façam uma pesquisa com outros estudantes da escola
a respeito de um assunto de interesse comum. É importante
que eles se organizem planejem como serão feitas a coleta
dos dados e a apresentação do resultado por meio de um
gráfico de setores.
Considerando os dados apresentados no gráfico da página 246, responda às questões
no caderno.
1. Do total de 480 produtos biológicos registrados no Brasil até 2021, quantos correspon-
dem a produtos formulados com base em microrganismos?
2. De acordo com o gráfico, qual foi o tipo de produto biológico menos registrado no
Brasil até 2021? Quantos produtos desse tipo foram registrados?
3. Junte-se a um colega, e façam uma pesquisa sobre a diferença entre produto biológico
de controle e os chamados de agrotóxicos. Depois, debata com o professor e a turma
sobre os efeitos de cada um desses tipos de defensivo agrícola.
No gráfico da página anterior, os dados são representados por trechos de uma coroa circular.
Podemos observar que a interpretação desse tipo de gráfico é semelhante à de um gráfico de setores.
Em um gráfico de setores, a porcentagem associada a cada setor circular é proporcional à
área desse setor. Por sua vez, a área de um setor circular é proporcional à medida de seu ângulo
central. Assim, se um setor corresponde a 30% da área do gráfico (círculo todo), o ângulo central
deve corresponder a 30% do giro de uma volta completa (360°) que gera o círculo, ou seja, 30%
de 360°, que é 108°.
Desse modo, para construir um gráfico de setores, podemos elaborar uma tabela com os
dados da pesquisa em valores absolutos, as porcentagens correspondentes (valores relativos) e as
medidas dos ângulos centrais de cada setor.
4. A partir dos dados do gráfico da página 246, elabore uma tabela como a apresentada
a seguir e complete-a.
Produtos biológicos registrados
Produto biológico
Quantidade de
produtos
Percentual
correspondente
Medida do ângulo central
de cada setor do gráfico
Microrganismos
Macro-organismos
Semioquímicos
Bioquímicos
Total
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos biológicos
registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-
as-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.
5. Utilizando os dados da tabela da atividade 4, construa um gráfico de setores corres-
pondente ao gráfico da página anterior. Para isso, com o auxílio de compasso, régua
e transferidor, represente um círculo e delimite cada setor circular de acordo com a
medida do ângulo central correspondente. Lembre-se de registrar a porcentagem
relativa a cada setor, pintar cada setor com uma cor diferente e inserir legenda, título
e fonte dos dados.
Aproximadamente 298 produtos.
Semioquímicos; aproximadamente 49 produtos.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
298,08 1 298 62,1% 223,56° 1 223°
74,4 1 74 15,5% 55,8° 1 56°
48,96 1 49 10,2% 36,72° 1 37°
58,56 1 59 12,2% 43,92° 1 44°
480 100% 360°
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Representações
no plano cartesiano
Nesse capítulo são feitas a reto-
mada e a ampliação da noção de
ponto médio de um segmento
de reta. Propor aos estudantes
que determinem o ponto médio
de um segmento de reta usando
régua e compasso. Espera-se que
os estudantes relembrem que,
para isso, precisam construir a
mediatriz do segmento de reta.
Explorar a representação de
segmentos de reta e de polígo-
nos no plano cartesiano e a
identificação das coordenadas
cartesianas dos extremos dos
segmentos traçados. Depois,
mostrar, no plano cartesiano,
a localização do ponto médio
de segmentos (ou de lados de
figuras planas) para obter as
coordenadas desse ponto médio.
Apresentar o cálculo da distân-
cia entre dois pontos, conhecidas
as coordenadas cartesianas
deles. Verificar se os estudan-
tes se recordam do teorema de
Pitágoras, usado para chegar à
fórmula da distância entre os
pontos. Esse estudo favorece o
desenvolvimento da habilidade
EF09MA16.
AMPLIANDO
Vídeo
FÓRMULA da distância. Khan Academy. [S. l.], c2022. Disponível
em: https://pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geoanalytic
-geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/v/distance-formula.
Acesso em: 14 jul. 2022.
Nesse link, é possível visualizar uma videoaula de como
encontrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano
cartesiano.
Conhecendo as coordenadas cartesianas (x, y) das extremidades de um segmento
de reta, podemos representá-lo em um plano cartesiano. Já estudamos que o ponto
médio de um segmento de reta é o ponto que divide esse segmento em duas partes
de mesma medida.
Consideremos o segmento AB em cada caso a seguir e o ponto médio M desse
segmento. Inicialmente, vamos determinar as coordenadas do ponto médio de
AB, em três casos particulares, quando uma das extremidades do segmento está na
origem dos eixos cartesianos.
REPRESENTAÇÕES NO
PLANO CARTESIANO
y
x
B(x
B
, 0)
M
x
B,

0
2
A(0, 0)
x
y
B(0, y
B
)
A(0, 0)
M,0
2
y
B
x
y
A(0, 0)
y
M
y
B
x
M
x
B
x
B
B(x
B
, y
B
)
B(x
B
, y
B
)
M(x
M
, y
M
)
x
M=
2
y
M=
2
y
B
Agora, para calcular as coordenadas do ponto médio M
de um segmento AB qualquer, temos:
• x
M
é o valor médio de x
A
e x
B
: x
xx
2
M
AB
=
+
;
• y
M
é o valor médio de

y
A
e y
B
: y
yy
2
M
AB
=
+
.
Conhecendo as coordenadas cartesianas (x, y) das extre-
midades de um segmento AB, também podemos determinar o
comprimento desse segmento, que é a distância d
AB() entre
os pontos A e B. Para isso, vamos considerar o segmento AB
representado a seguir.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
ABC, temos: =_ +_dx xy y
AB
2
BA
2
AB
2
() () () .
Como

d
AB
. 0 para A distinto de B, obtemos:
=_ +_dx xy y
AB BA
2
AB
2
() ()
x
y
y
A
y
M
y
B
x
A
x
M
x
B
B(x
B
, y
B
)
A(x
A
, y
A
)
M(x
M
, y
M
)
A(x
A
, y
A
)
M(x
M
, y
M
)
x
y
y
B
y
A
_ y
B
x
B
_ x
A
y
A
x
A
x
B
A
B
d
AB
C
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
CAPÍTULO
2
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Saiba que
Questionar os estudantes o
porquê de as diferenças entre
as respectivas coordenadas ele-
vadas ao quadrado poderem ser
tomadas em qualquer ordem.
Mais uma vez, incentiva-se a
inferência, a comunicação e a
argumentação, aspectos rela-
cionados ao desenvolvimento
da competência geral 7.
Atividades
Para a atividade 1, sugerir aos
estudantes que reproduzam a
figura no caderno e tracem o triân-
gulo ADE para facilitar a resolução
dos itens c e d. Assim, é possível
observar que esse triângulo é isós-
celes (AD = AE) de base medindo
2 (u.c.) e cuja altura relativa a essa
base mede 1 (u.c.).
Na atividade 3, acompanhar
os estudantes na elaboração da
situação e incentivá-los a com-
partilhar as situações elaboradas
e as estratégias que utilizaram
para resolvê-las.
Acompanhe a situação a seguir.
Observe o triângulo com vértices em A(0,5; 0,5), B(3,5; _3,5) e C(0,5; _3,5).
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
1 _1 2345
1 cm
A
B
C
x
y
1
0
_1
_2_3
_4
2
OP
Qa) Os pontos O, P e Q correspondem aos pontos médios
dos lados do triângulo ABC. Determine as coordena-
das desses pontos.
=
+
=x
0,50,5
2
0,5
O e =
+_
=_y
0,53,5
2
1,5
O
()
=
+
=x
0,53,5
2
2
P e =
+_
=_y
0,53,5
2
1,5
P
()
=
+
=x
3,50,5
2
2
Q e =
_+ _
=_y
3,53,5
2
3,5
Q
()
Então, temos: O(0,5; _1,5), P(2; _1,5) e Q(2; _3,5).
b) Determine o perímetro do triângulo ABC e classifique-o quanto à
medida dos lados.

d 0,53,5 0,5 3,5 25
AB
2 2
= _ +_ _[]() () ⇒ (d
AB
. 0) h d
AB
= 5 cm
d
BC
=
_+ __ _(3,50,5) 3,5 (3,5)
2 2
[] =
_(3,50,5)
2
h d
BC
= 3 cm
d
CA
=
_+ __(0,50,5)0,5(3,5)
2 2
[] =
__0,5(3,5)
2
[] h d
CA
= 4 cm
Logo, o perímetro do triângulo ABC é: 5 cm + 3 cm + 4 cm = 12 cm.
Esse triângulo é escaleno, pois tem os três lados com medidas diferentes
entre si.
No cálculo da
distância entre dois
pontos, como as
diferenças entre
as respectivas
coordenadas
são elevadas ao
quadrado, podemos
tomar os valores
envolvidos em
qualquer ordem.
SAIBA QUE
ATIVIDADES
Responda às questões no caderno.
1. Na figura, os pontos D e E são pontos
médios dos segmentos AB e AC,
respectivamente.
1
_1_2_3_4_5
x
1
2
3
4
DE
A
CB
0
_1
y
a) Dê as coordenadas dos pontos A, B e C.
1. a) A = (_3, 4), B = (_5, 2) e C = (_1, 2).
b) D = (_4, 3) e E = (_2, 3).
c)
222+ (u.c.)
d) Triângulo isósceles; área: 1 (u.a.).
b) Determine as coordenadas dos pontos D
e E. Comprove que eles são os pontos
médios dos respectivos segmentos.
c) Calcule o perímetro do triângulo ADE.
d) Classifique o triângulo ADE quanto às
medidas dos lados e obtenha a área
desse triângulo.
2. M(_0,5; _3) é ponto médio de BC.
Sabendo que B(2, _2), determine a
medida do segmento BC.
3. Elabore uma situação, com base em um
contexto real, que envolva o cálculo das
coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta e da distância entre
dois pontos. Em seguida, troque com
um colega, e cada um resolve a situação
criada pelo outro.
29(u.c.)
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Projeção ortogonal
Explorar a ideia de projeção
ortogonal. Propor aos estudantes
que busquem, em um dicioná-
rio físico ou virtual, o significado
da palavra ortogonal e façam
um registro no caderno. Outra
possibilidade de atividade com-
plementar, para apresentar o
conceito de projeção ortogonal,
é utilizar sombras produzidas, por
exemplo, com lanternas. Depois,
mostrar a definição.
Ler os exemplos, coletivamente
com os estudantes, destacando
o fato de a projeção ortogonal
nem sempre manter a forma ori-
ginal da figura que se projeta.
Garantir que todos os estudan-
tes compreendam esse fato, pois
será fundamental para a resolu-
ção das atividades.
Para aplicar a ideia de proje-
ção ortogonal, pode-se propor
a atividade a seguir como ativi-
dade complementar.
AMPLIANDO
Atividade complementar
(Enem/MEC) Gangorra é um brinquedo que consis-
te de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada em
seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas
sentam-se nas extremidades e, alternadamente, im-
pulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade
oposta, realizando assim o movimento da gangorra.
Considere a gangorra representada na figura, em que
os pontos A e B são equidistantes do pivô:
PROJEÇÃO ORTOGONAL
Projeção ortogonal é uma figura formada em
um plano a partir de outra figura, que pode, ou não,
estar contida nesse plano.
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um
plano a é o ponto de intersecção P‘ da reta perpendicular a esse plano e que passa por
P (essa reta forma 90° com todas as retas do plano que passam por P‘). Se o ponto P
pertence ao plano a, então sua projeção é o próprio ponto P.
A projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano é a figura formada
pelas projeções ortogonais de todos os pontos da figura dada sobre esse plano.
Nesta imagem, o triângulo A‘B‘C‘ (contido
no plano a) é a projeção ortogonal do triângulo
ABC sobre o plano a.
Desse modo, existe um vínculo entre os
pontos da figura que se projeta com os pontos
projetados, mas nem sempre a projeção orto-
gonal manterá toda a forma original da figura
que se projeta.
Acompanhe os exemplos a seguir.
FIGURAS
ESPACIAIS
P
P‘
a
B
C
C‘
B‘
A‘
a
A

1 O segmento ‘‘CD é a projeção
ortogonal do segmento CD sobre
o plano b. Nesse caso, como o seg-
mento CD é paralelo ao plano b, sua
projeção ortogonal ‘‘CD também é
um segmento de reta, que é con-
gruente a CD (de mesma medida).
b
C‘
C
D
D‘
2 O segmento ‘‘AB é a projeção ortogonal
do segmento AB sobre o plano a. Nesse
caso, como o segmento é oblíquo (não
é paralelo nem perpendicular) ao plano
a, sua projeção ortogonal ‘‘AB também
é um segmento de reta, que tem com-
primento menor do que o segmento AB
(que foi projetado).
a
A‘
A
B
B‘
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
CAPÍTULO
3
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Pivô
A
B
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Vistas ortogonais
Explorar o conceito de vista orto-
gonal de um objeto. Dependendo
da vista que se toma, obtém-se
um tipo de projeção ortogonal:
a vista frontal, em que o plano
de projeção é vertical; a vista
superior, em que o plano de
projeção é horizontal (é aquele
que gera a planta baixa); a vista
lateral, em que o plano de pro-
jeção é de perfil.
Colocar diferentes objetos sobre
a mesa e pedir aos estudantes que
verifiquem as diferentes vistas. Esse
estudo contribui para o desenvol-
vimento da habilidade EF09MA17.
Saiba que
O boxe Saiba que traz um
sinônimo para o termo projeções
ortogonais: projeções ortográfi-
cas. Sugere-se que os estudantes
façam o registro desses termos
no caderno, o que permite que
eles possam fazer uma breve con-
sulta, sempre que considerarem
necessário, além de contribuir
para a familiarização e ampliação
do vocabulário matemático,fa-
vorecendo a compreensão de
enunciados e para construção
de argumentos consistentes.
AMPLIANDO
Vídeo
DESENHO Técnico – passo a passopa-
ra desenhar vistas ortogonais – prisma
com rebaixo. 2020. Vídeo (11 min). Pu-
blicado pelo canal Professor Novais.
Disponível em: https://youtu.be/E8y
jqBMYzMo. Acesso em: 15 jul. 2022.
Nesse
link, é possível assitir a
uma videoaula que mostra como
desenhar as vistas frontal, lateral e
superior de um objeto.
A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B,
sobre o plano do chão da gangorra, quando esta está em movimento, é:
a) A
B c)
(
A
)
B e)
AB
b) A B d)
|
A
|
B
Resolução da atividade
Para quem olha de cima, o ponto B (por exemplo)
move-se em linha reta para trás e, depois, para a frente.
Projetando-se ortogonalmente cada ponto dessa traje-
tória no plano do chão, obtém-se a figura apresentada pela alternativa b.
VISTAS ORTOGONAIS
A representação de uma figura não plana por meio de projeções ortogonais é feita por
vistas dessa figura (objeto), tomadas de diferentes posições: vertical (vista frontal), horizontal (vista
superior) e perfil (vista lateral – direita ou esquerda).
As projeções ortogonais são utilizadas para representar as figuras
não planas por meio de figuras planas, que são as vistas ortogonais da
figura não plana considerada. As vistas ortogonais são a representação
de um mesmo objeto, que se encontra no espaço, em planos diferentes.
Desse modo, podemos obter dois ou mais pontos de vista diferentes de
um objeto observado.
Observe, nas figuras a seguir, as projeções que geram as vistas de um dado cúbico.
Esta projeção gera a vista frontal do objeto.
projeção ortogonal
(gera a vista frontal)
plano de projeção
objeto
observador
As projeções
ortogonais também
são denominadas
projeções
ortográficas.
SAIBA QUE
A projeção a seguir produz a vista supe-
rior do objeto.
objeto
observador
plano de
projeção
projeção ortogonal(gera a vista superior)
Esta terceira projeção gera a vista lateral
do objeto (nesse caso, lateral esquerda).
objeto
projeção ortogonal
(gera a vista lateral)
plano de projeção
observador
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A utilização das projeções ortogonais é fundamental para o setor industrial, em que é neces-
sário conhecer todas as perspectivas de um objeto antes de fabricá-lo. Também é utilizada em
outras áreas, como na Arquitetura e no Urbanismo.
Na área de desenho técnico, a projeção ortogonal é indispensável para se obter a represen-
tação gráfica de um objeto.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
O primeiro objeto proposto
na análise é composto de oito
partes, que foram destacadas
com cores e com números.
Fazer a leitura dessa imagem
com os estudantes, destacando
que, em lilás, encontram-se os
números 1 e 2, que compõem
a vista frontal; em amarelo,
os números 3, 4, 5 e 6, que,
juntos, formam a vista supe-
rior e, por fim, em vermelho,
os números 7 e 8, compondo
a vista lateral. Esse estudo
favorece o desenvolvimento da
habilidade EF09MA17.
Pedir aos estudantes que acom-
panhem a descrição dos passos
simplificados para a obtenção de
projeções, descritos no Livro do
estudante. Cada um dos passos
está associado a uma imagem
ilustrativa, na parte inferior da
página. Essa organização em
passos ou etapas bem definidas
favorece o desenvolvimento do
pensamento computacional.
Glossário
O vocábulo “rebatido” é expli-
cado no boxe Glossário e usado
logo a seguir, na descrição do
3
o
passo para obtenção de
projeções.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Como atividade complementar, propor aos estu-
dantes que reproduzam a peça representada a seguir.
Depois, destaquem com cores diferentes as
partes dessa perspectiva que geram cada vista
ortogonal da peça.
Resolução da atividade
Uma possível solução é apre-
sentada a seguir.
A projeção ortogonal da parte verde gera a vista
frontal.
A projeção ortogonal da parte amarela gera
a vista superior.
A projeção ortogonal da parte azul gera a vis-
ta lateral.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Em uma projeção ortogonal de um objeto, as linhas projetantes (raios de visão) sempre têm
direção ortogonal em relação ao plano de projeção, ou seja, formam com o plano um ângulo de 90°.
Dependendo do formato do objeto considerado, partes de sua superfície podem ficar ocultas
em relação à posição de observação.
Analise as projeções a seguir.

f

hz
1
1
3
4
•
•
•
4
•
•
3
•
•
•
•
•
De maneira simplificada, vamos apresentar os passos para a obtenção das projeções que
geram as vistas ortogonais de figura não plana.
1
o
passo: Definimos qual é a vista frontal do objeto que determina a disposição das outras
vistas. Geralmente, é a vista com mais detalhes do formato do objeto ou a vista apresentada na
posição de utilização da peça considerada.
2
o
passo: Visualizando a figura, identificamos as dimensões dela, definindo largura, altura
e profundidade.
3
o
passo: Anotamos as vistas que serão usadas, imaginando os planos rebatidos.
Rebatidos: dados
dois planos a e b, cuja
intersecção é a reta
r,
ao fazer a coincidir
com b por meio de uma
rotação em torno da
reta
r, dizemos que o
plano a foi rebatido no
plano b.
GLOSSÁRIO
2
5
4
4
2
2
2
8
3
vista lateral
direita
vista frontal
vista superior
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
1
252
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Na atividade 1, solicitar, por
exemplo, que os estudantes apre-
sentem um contraexemplo e uma
justificativa para explicar por que
a afirmação é falsa. No caso, se
tomar um segmento de reta per-
pendicular ao plano, a projeção
dele no plano será um ponto.
É importante discutir com os
estudantes a utilização de con-
traexemplos para comprovar ou
não a falsidade ou a veracidade
de uma afirmação. Ressaltar,
no entanto, que exemplos não
podem ser usados para provar
a veracidade de uma afirmação.
Tais procedimentos ampliam a
capacidade de inferência e de
argumentação dos estudantes,
o que contribui para o desenvol-
vimento da competência geral 7.
A atividade 2, como trata da
projeção ortogonal em relação
ao plano da base, verificar se
os estudantes percebem que se
refere à vista superior do deslo-
camento. Discutir com a turma
o fato de que há pontos desse
deslocamento que já estão no
plano de projeção e, sendo assim,
suas projeções ortogonais são
eles próprios.
A atividade 3 propõe aos
estudantes que reconheçam as
três vistas dadas por cores distin-
tas, relacionadas ao objeto e ao
olho do observador. Sugere-se
que circule pela sala de aula a
fim de observar como eles resol-
vem a atividade e, sempre que
considerar necessário, fazer inter-
venções ou provocações que
contribuam para o processo de
aprendizagem.
A projeção ortogonal da parte amarela gera
a vista superior.
A projeção ortogonal da parte azul gera a vis-
ta lateral.
4 5 e 6
4
o
passo: Desenhamos a vista frontal no local destinado a ela.
5
o
passo: Em seguida, desenhamos a vista superior, traçando linhas
auxiliares (espessura fina).
6
o
passo: Depois, de maneira análoga, desenhamos a vista lateral
direita do objeto.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. Avalie se a afirmação a seguir é verda-
deira ou falsa. Justifique sua resposta.
• A projeção ortogonal de um seg-
mento de reta PQ sobre um plano a,
que não tem pontos comuns com PQ,
sempre é um segmento de reta.
2. (Enem/MEC) João propôs um desafio a
Bruno, seu colega de classe: ele iria des-
crever um deslocamento pela pirâmide
a seguir e Bruno deveria desenhar a
projeção desse deslocamento no plano
da base da pirâmide.
E
C
D
M
B
A
O deslocamento descrito por João foi:
mova-se pela pirâmide, sempre em linha
1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é
perpendicular ao plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.
vista lateral direitavista frontal
vista superior
vista lateral direita
8
5
vista frontal
vista superior
5
2
2
4
4
Linha tracejada
representa
um recorte na
figura ou uma
aresta oculta em
determinada vista.
SAIBA QUE
ATIVIDADES
reta, do ponto A ao ponto E, a seguir do
ponto E ao ponto M, e depois de M a C.
O desenho que Bruno deve fazer é:
a)
b)
c)
d)
e)
3. Observe a peça
representada.
Identifique, pela
respectiva cor, as
vistas frontal, supe-
rior e lateral dessa
peça, em relação à
posição indicada do observador.
Alternativa c.
Amarelo: vista frontal; verde: vista
lateral; laranja: vista superior.
observador
DC
AB
DC
AB
DC
AB
DC
AB
DC
AB
4
253
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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Volume de prismas
e de cilindros
Mostrar modelos de prismas
retos para os estudantes identifi-
carem diferenças e similaridades:
todos têm duas bases poligonais
paralelas e idênticas e faces laterais
retangulares. O prisma se modi-
fica de acordo com o polígono
que determina suas bases. Isso
faz que prismas tenham dife-
rentes números de vértices, de
arestas e de faces.
Prisma
Triangular
Prisma
Quadrangular
Prisma
Pentagonal
Prisma
Hexagonal
Ampliar o estudo dos prismas
apresentando o prisma oblíquo
(aquele que não é reto) e o prisma
regular (todo prisma reto que tem
as bases formadas por polígonos
regulares).
Prisma
Reto
Prisma
Oblíquio
Prisma
Regular
É comum os estudantes con-
fundirem prismas triangulares
com pirâmides. Se possível, levar
para a sala de aula modelos
desses dois tipos de sólido, para
ajudá-los a esclarecer possíveis
dúvidas. Apresentar os modelos
em diferentes posições também
é importante para os estudan-
tes se acostumarem com as
representações.
Para explorar o cilindro circular
reto, levar, também, modelos que
possam ser desmontados para que
os estudantes analisem as partes
que formam a superfície desse
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
cilindro. Verificar se os estudantes compreen-
dem o cálculo do volume de prismas e cilindros,
assim como identificam as partes de um cilindro
em sua planificação. Ressaltar, ainda, que no
cálculo do volume de um prisma, a área da base
dependerá do cálculo da área do polígono que
a compõe. Desse modo, favorece-se o desen-
volvimento da habilidade EF09MA19.
VOLUME DE PRISMAS E DE CILINDROS
Os prismas são sólidos do grupo dos poliedros, aqueles que têm
apenas superfícies planas cujas faces são representadas por polígonos.
Um prisma reto é caracterizado por ter duas faces paralelas
formadas por polígonos idênticos, que são as bases do prisma, e
as demais faces formadas por retângulos, que são as faces laterais.
Em um prisma reto, as arestas laterais são perpendiculares às
bases. Observe os exemplos a seguir.
face que é
uma base
aresta
face
lateral
aresta
base
Prisma reto de
base triangular.
De modo geral, o volume de um prisma reto é
dado por:
V
prisma
= área da base ? altura
Os cilindros são sólidos do grupo dos corpos
redondos, aqueles que têm superfície arredondada.
Um cilindro circular reto (ou simplesmente
cilindro reto) é caracterizado por ter duas superfícies
planas e paralelas, formadas por círculos idênticos,
que são as bases do cilindro.
O segmento de reta que liga os centros das bases (círculos) do cilindro é o eixo do cilindro.
Em um cilindro reto, o eixo é perpendicular aos planos das bases.
De maneira análoga ao volume do prisma reto, o volume de um cilindro reto também é dado
pelo produto da área da base pela altura h do cilindro (distância entre as bases). Como cada base
é um círculo de raio r, temos:
V
cilindro
= pr
2
? h
Acompanhe a situação seguinte.
• José fez o molde de uma caixa que vai construir, conforme
esta figura.
a) Esta caixa montada lembra a forma de qual figura geométrica
não plana?
Prisma reto hexagonal.
Cilindro
circular
reto.
Planificação da superfície
do cilindro reto.
eixo
2pr
h
r
r
r
h
A altura de
um prisma reto
é a distância
entre as bases
paralelas.
SAIBA QUE

1 O cubo é um prisma reto
cujas faces são formadas
apenas por quadrados.
a
aa
O volume de um cubo é
dado por:
=??=V aaa a
cubo
3
área da base
altura

2 O bloco retangular, também
chamado de paralelepípedo
reto ‑retângulo, é um prisma reto.

c
b
a
O volume de um bloco retan‑
gular é dado por:
área da
base
altura
=??Va bc
blocoretangular
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
h
l
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Na atividade 1, espera-se que
os estudantes verifiquem que o
primeiro sólido é um prisma trian-
gular reto e o segundo, um prisma
reto de base pentagonal. Como
o primeiro prisma tem base trian-
gular, seu volume será dado pela
área do triângulo da base multi-
plicada pela altura do prisma.
Como o segundo é um prisma
cuja base é um pentágono, seu
volume é dado pelo produto da
área da base pela altura do prisma.
A figura da atividade 2 é um
prisma de base triangular, sendo
esse um triangulo isósceles.
Na atividade 3, verificar se os
estudantes conseguem, a partir
da medida de 30 cm, recuperar o
raio da base do cilindro. Se julgar
pertinente, retomar a fórmula
para o cálculo do perímetro de
uma circunferência (2pr).
No Livro do estudante, suge-
re-se que as atividades 4 e 5
sejam resolvidas em duplas, o que
contribui para o desenvolvimento
da competência específica 8 da
área de Matemática e da habili-
dade EF09MA19. Para determinar
a medida do raio, os estudantes
deverão trabalhar com os pontos
de tangência indicados na figura,
como mostrado na imagem.
6 _ r
6 _ r
r
r
r
r8 _ r
8 _ r
Por isso, verificar se eles se recor-
dam da seguinte propriedade: Se
de um ponto P, exterior a uma
circunferência, traçamos os seg-
mentos de retas PA e PB tangentes
à circunferência nos pontos A e B,
respectivamente, então os segmen-
tos PA e PB são congruentes. Com
a medida do raio, os estudantes
poderão determinar o volume da
peça, na atividade 5, subtraindo
a medida do volume do cilin-
dro da medida do volume do
prisma triangular.
EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. Identifique estes
sólidos geométricos.
Depois, explique
como se obtém o
volume de cada um
deles.
2. Uma peça de metal
tem o formato
desta figura.
a) Esta peça lembra a forma de qual sólido
geométrico?
b) Qual é o volume ocupado por essa
peça? Organize por etapas a resolução
deste item e compare-as com as etapas
descritas por um colega.
3. Uma indústria produz
organizadores para
escritório. Observe o
molde de um porta
lápis com tampa que
um projetista fez.
a) Esse porta-lápis terá a forma de qual
sólido geométrico?
b) Determine o volume dessa peça. (Use
p = 3.)
2. a) Essa peça lembra
a forma de um prisma
reto triangular.
b) 810 m
3
. Exemplo
de resposta na seção
Resoluções comentadas
deste Manual.
Cilindro.
1 125 cm
3
ATIVIDADES
DESAFIOS
Juntese a um colega, e resolvam os
desafios a seguir.
4. (Enem/MEC) Uma metalúrgica recebeu
uma encomenda para fabricar, em
grande quantidade, uma peça com o
formato de um prisma reto com base
triangular, cujas dimensões da base são
6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm.
Tal peça deve ser vazada de tal maneira
que a perfuração na forma de cilindro
circular reto seja tangente às suas faces
laterais, conforme mostra a figura.
8 cm
10 cm
6 cm
O raio da perfuração da peça é igual a:
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
5. Qual é o volume da peça representada
na atividade 4? Justifique sua resposta.
(Use p = 3,14.)
Alternativa b.
114,4 cm
3
1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal
reto. O volume do primeiro é dado pela área do
triângulo da base multiplicada pela altura do prisma.
O volume do segundo é dado pelo produto da área
do pentágono regular da base pela altura do prisma.
45°
45°
10
m
18 m
30 cm
15 cm
r
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
b) Se a medida de cada um dos lados do polígono da base é l, o que podemos concluir
acerca de cada base?
Cada base é delimitada por um hexágono regular de lado l.
c) Qual é o volume dessa caixa para l = 10 cm e h = 30 cm?
Para um hexágono regular, temos que a medida l do lado é igual à medida r do raio do
polígono, a medida a do apótema é dada por
=a
r3
2
e a área (A) é dada pelo produto
do semiperímetro






p
2
pela medida do apótema, ou seja, =?A
p
2
a. Assim, temos:
V
caixa
= área da base ? altura =






??=
?
??
p
2
ah
610
2
103
2
30 h 4 500
45003
Portanto, o volume da caixa é de 4 500
45003 cm
3
.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando
o que aprendeu
Propor aos estudantes que
refaçam algumas atividades
anteriores dos assuntos que
despertarem dúvidas.
Na atividade 1, espera-se que
os estudantes percebam que:
• no caso do triângulo equilátero,
deve-se construir segmentos
de 6 cm, e a cada segmento
construído faz-se um giro de
120° (medida do ângulo exter-
no do triângulo equilátero), até
completar o triângulo (com a
construção do 3
o
lado);
• no caso do pentágono regular,
deve-se construir segmentos
de 3 cm, e a cada segmento
construído faz-se um giro de
72° (medida do ângulo exter-
no do pentágono regular), até
completar o pentágono (com
a construção do 5
o
lado).
Na atividade 3, os estu-
dantes devem perceber que o
triângulo OPQ é um triângulo
retângulo em O e isósceles, pois
os catetos são raios da circun-
ferência, cuja hipotenusa mede
4 cm. Ao aplicar o teorema de
Pitágoras nesse triângulo, obtém-
-se r = 2
2 cm. Desse modo,
ao usar a relação métrica l =
= r
3 para o triângulo equilá-
tero inscrito ABC, determina-se
o perímetro do *ABC.
Responda às questões no caderno.
1. Descreva os passos de um procedimento
para a construção de um:
a) triângulo equilátero de 6 cm de lado;
b) pentágono regular de 3 cm de lado.
2. (Saresp-SP) A figura a
seguir representa um
hexágono inscrito em
uma circunferência cujo
raio mede 8 cm.
Considerando
3 = 1,7, o lado e o
apótema desse hexágono medem,
respectivamente:
a) 8 cm e 6,8 cm.
b) 8 cm e 13,6 cm.
c) 5,8 cm e 8 cm.
d) 4 cm e 6,8 cm.
3. Na figura, o triângulo
equilátero ABC está
inscrito na circunferên-
cia de centro O.
Sendo P e Q pontos
dessa circunferência,
tal que PQ = 4 cm, o
perímetro do *ABC é:
a)
36 cm.
b)
66 cm.
c) 12 cm.
d)
122 cm.
e)
123 cm.
4. (Saresp-SP) Uma circun-
ferência de 10 cm de
raio circunscreve um
triângulo ABC equilá-
tero. (Use:
3 = 1,7.)
A área desse triângulo é de:
a) 255 cm
2
b) 216,75 cm
2
c) 105,5 cm
2
d) 127,5 cm
2
5. (Saresp-SP) Tenho um pedaço de papel
de seda de forma circular cujo raio
mede 20 cm. Quero fazer uma pipa qua-
drada, do maior tamanho possível, com
1. Respostas pessoais. Exemplos de respostas na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
Alternativa a.
Alternativa b.
esse pedaço de papel de
seda. Fazendo
2 = 1,4,
quanto medirá o lado
desse quadrado?
a) 56 cm
b) 35 cm
c) 28 cm
d) 14 cm
6. A divisão do número 0,5 por x tem
o mesmo resultado que a adição do
número 0,5 com x. Se x é um número
real positivo e considerando p = 3,14,
qual é a área do círculo cujo raio mede
x cm?
a) 0,685 cm
2
b) 0,785 cm
2
c) 0,885 cm
2
d) 0,875 cm
2
7. Qual é a área, em centímetro quadrado,
desta figura? (Use p = 3,14.)
2
2 2
2
2
2
a) 11
b) 11, 0 4
c) 11,14
d) 11, 24
e) 12,14
8. O desenho representa
uma praça circular de
60 m de diâmetro. Os
jardins estão repre-
sentados pelas regiões
pintadas de amarelo,
que são setores circulares, cujo ângulo
central é 30°. Qual é a área ocupada
pelos jardins? (Use p = 3,14.)
a) 900 m
2
b) 920 m
2
c) 940 m
2
d) 942 m
2
e) 950 m
2
Alternativa c.
Alternativa d.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
r
a
A
BC
O
10
10
10
20 cm
A
P
B
Q
C
O
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Alternativa d.
Alternativa b.
Alternativa c.
256
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Um novo olhar
Esses questionamentos finais
poderão permitir, além da retomada
dos conteúdos apresentados, dife-
rentes reflexões e sistematizações,
ampliando o desenvolvimento da
competência específica 6 da área
de Matemática. É importante que
os estudantes respondam indivi-
dualmente às questões para que
possam perceber os conhecimen-
tos adquiridos e possíveis dúvidas.
Na primeira questão, espera-
-se que os estudantes relacionem
o termo 3D à palavra tridimen-
sional. Na segunda questão, os
estudantes devem argumen-
tar que o objeto não pode ser
considerado um prisma, por
apresentar superfície arredon-
dada. A resposta para a terceira
questão é pessoal, mas o profes-
sor deve orientar os estudantes
a fazer o esboço de um fio circu-
lar amarelo sem preenchimento
interior, já que o objeto aparenta
ter o interior vazado.
Na quarta questão, espera-se
que os estudantes percebam que
esse tema costuma aparecer nos
setores industriais (fabricação de
peças, de embalagens etc.), na
Arquitetura, na Engenharia, entre
outras áreas.
Na quinta questão, espera-se
que os estudantes compreendam
que esse cálculo possibilita deter-
minar medidas de segmentos
cujas coordenadas dos extremos
sejam conhecidas. Isso pode ser
útil no trabalho com polígonos,
para determinar a medida dos
lados, da altura, das diagonais
(quando existirem), entre outros.
Na sexta questão, que trata da
importância das vistas ortogonais,
espera-se que os estudantes perce-
bam a presença delas na confecção
de moldes, modelos e protótipos,
que podem, depois, ser construí
dos por meio da impressão 3D.
9. Na figura, AB = 6 cm
e AC = 8 cm. Sabendo
que BC é o diâmetro do
círculo, qual é a área
da região colorida de
roxo? (Use p = 3,14.)
a) 63 cm
2
b) 63,25 cm
2
c) 63,50 cm
2
d) 63,75 cm
2
e) 64,25 cm
2
10. Um quadrado ABCD tem um dos lados
sobre o eixo x com A(_1, 2) e B(1, 2).
a) Represente esse quadrado em um plano
cartesiano e determine as coordenadas
dos outros dois vértices.
b) Localize M, ponto médio de AB, no
plano cartesiano, e obtenha as coorde-
nadas desse ponto.
c) Dê as coordenadas dos pontos mé-
dios N, O e P dos lados BC, CD e DA,
respectivamente.
d) Calcule o perímetro e a área do quadri-
lá te ro M N O P.
Alternativa b.
10. Respostas na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
11. Observe, a seguir, a perspectiva de um
objeto.
Desenhe as pro-
jeções ortogonais
que geram as vistas
ortogonais desta
peça: vista frontal,
vista superior e
vista lateral.
12. Observe, a seguir, a representação de
um cilindro reto e da planificação de
sua superfície. (Use p = 3,1.)
5 cm
10 cm
Qual é o volume desse cilindro?
775 cm
2
11. Respostas na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
A
O
BC
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Nesta Unidade, ampliamos o estudo sobre polígonos regulares, explorando a
construção, os elementos e as relações métricas desses polígonos. Estudamos áreas,
trabalhando com a área de um polígono regular, do círculo e de um setor circular.
Verificamos como obter as coordenadas cartesianas do ponto médio de um segmento
de reta, a distância entre dois pontos, as vistas ortogonais de um objeto e o volume de
um prisma reto e de um cilindro reto.
Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade.
Responda no caderno às questões seguintes.
• Na abertura desta Unidade, foram apresentadas imagens da impressão 3D de um
objeto decorativo. O que significa o termo 3D?
• O objeto decorativo apresentado na abertura desta Unidade pode ser considerado
um prisma? Por quê?
• Faça um esboço de como você imagina que seria a vista superior do objeto deco-
rativo representado na abertura desta Unidade.
• Indique uma aplicação do cálculo da área de um polígono regular e do círculo.
• O cálculo da distância entre dois pontos possibilita obter que elementos de um
polígono cujas coordenadas do vértice são conhecidas?
• Qual é a importância de conhecer as vistas ortogonais de um objeto?
UM NOVO OLHAR
O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional (largura, altura e profundidade).
Não, pois apresenta superfície arredondada.
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam o esboço de um fio circular amarelo sem preenchimento
interior, já que o objeto aparenta ter o interior vazado.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na confecção de embalagens.
Espera-se que os estudantes respondam: medida dos lados, perímetro e área (entre outros).
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para a construção de modelos de peças em uma indústria.
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BNCC NA UNIDADE
Competências gerais:
• 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10
Competências específicas:
• 2, 3, 4 e 8
Habilidades:
Álgebra
• EF09MA06 • EF09MA08
Temas Contemporâneos
Transversais:
• Educação Financeira
• Educação para o Consumo
• Educação para valorização do multi-
culturalismo nas matrizes históricas
e culturais Brasileiras
• Trabalho
INTRODUÇÃO
À UNIDADE
Esta Unidade está organizada
em três capítulos e apresenta os
conteúdos por meio de exemplos,
atividades e seções que propi-
ciam a reflexão, a argumentação
e o uso de diferentes linguagens
para expressar informações, contri-
buindo para o desenvolvimento das
competências gerais 2, 4, 5, 7 e 9.
No primeiro capítulo, é explorada
a noção de função em diferentes
situações e a relação de depen-
dência entre duas variáveis, além
de definir o domínio, a imagem
e o conjunto imagem de uma
função, o que favorece o desenvol-
vimento da habilidade EF09MA06.
No segundo capítulo, aborda-
-se o estudo da função afim e
seu gráfico, bem como algumas
características. Discute-se também
a relação de proporcionalidade
direta entre duas grandezas, desen-
volvendo aspectos da habilidade
EF09MA08. No terceiro capítulo,
é discutida as principais caracte-
rísticas da função quadrática, seu
gráfico, além da análise de alguns
pontos da parábola, reforçando
aspectos da habilidade EF09MA06.
OBJETIVOS
• Compreender e identificar re-
lações entre duas grandezas
que podem ser representa-
das por uma função.
• Compreender a ideia de função
por meio de vários contextos.
• Resolver problemas de juro sim-
ples e composto.
• Representar uma função por meio de uma lei
de formação e graficamente.
• Identificar o domínio, a imagem e o conjunto
imagem de uma função.
• Reconhecer a função afim e a função linear
e suas leis de formação.
• Construir o gráfico da função afim.
• Reconhecer a função quadrática e sua lei
de formação.
• Construir a parábola que representa o gráfico
da função quadrática.
• Determinar os zeros, o ponto de mínimo e
o ponto de máximo da função quadrática.
• Determinar a concavidade e o vértice da pa-
rábola que representa a função quadrática.
JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS
Nesta Unidade, apresenta-se as funções afim e
quadrática, destacando algumas de suas caracte-
rísticas e suas representações algébricas e gráficas,
propiciando o desenvolvimento da habilidade
EF09MA06.
Os modelos matemáticos são utilizados
para estudar diversas situações do cotidiano.
Um exemplo é o movimento em comum
que observamos em diversas modalidades
de esportes.
A maneira mais simples de conhecer o
movimento de um corpo é relacionando a
posição dele com o tempo durante o desloca-
mento a fim de obter a trajetória descrita por
ele, a qual pode ser em linha reta ou curva.
Por exemplo, alguns movimentos obser-
vados na prática de skate, de futebol e de
basquete são caracterizados, na Física, pelo
movimento parabólico, que descreve o
lançamento oblíquo de objetos e relaciona
posição e tempo em uma trajetória curva.
Agora, responda às questões a seguir no caderno.
• Os modelos que descrevem os movimentos são
denominados funções e relacionam duas grande-
zas. Quais são essas grandezas?
• O que há em comum entre as trajetórias dos três
movimentos apresentados nas imagens?
Resoluções desta Unidade na
seção Resoluções comentadas
deste Manual.
UNIDADE
9
FUNÇÕES
Posição do corpo e tempo de deslocamento.
258
IMAGENS FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
MARCOS GUILHERME
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção
Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Abertura de Unidade
Explorar as imagens da aber-
tura, perguntar aos estudantes,
por exemplo, se praticam algum
esporte fora da escola e solicitar
a eles que comentem os elemen-
tos relacionados a essa prática, se
precisam de trajes especiais, se o
esporte é praticado em um local
específico, entre outros aspectos.
Essa abertura busca relacio-
nar a função quadrática com sua
representação gráfica e levar os estu-
dantes a percebê-la no cotidiano.
Sugere-se que, neste momento,
as concavidades voltadas para
cima não sejam exploradas, pois
há noções que fazem parte do
senso comum e não são verdades
matemáticas, por exemplo, a curva
formada pelos cabos de energia,
que não têm formato parabólico.
No segundo questionamento,
espera-se que os estudantes perce-
bam que o padrão do movimento
é o mesmo (parabólico).
Nas explorações a respeito
do lançamento de um objeto,
perguntar aos estudantes como
eles imaginam a trajetória de um
objeto que não seja lançado do
solo e questioná-los se a curva
permanecerá a mesma; retomar o
assunto mais à frente na Unidade.
Na seção Educação Financeira, busca-se
incentivar os estudantes a discutir aspectos
relacionados ao Tema Contemporâneo
Transversal Educação Financeira.
Na seção Por toda parte – Artesanatos
do Brasil, os estudantes conhecem um pouco
do artesanato brasileiro e aplicam os con-
ceitos estudados a respeito de funções, o
que contribui para o trabalho com o Tema
Contemporâneo Transversal Educação para
valorização do multiculturalismo nas matrizes
históricas e culturais Brasileiras, além de pro-
piciar o trabalho com a competência geral 3.
Na seção Tratamento da informa-
ção, os estudantes interpretam dados e
informações, além de trabalhar a argumen-
tação com base em fatos matemáticos,
desenvolvendo aspectos da competên-
cia geral 2 e da competência específica 2
da área de Matemática.
Na seção Tecnologias – Gráfico de
funções, o objetivo é que os estudantes
se familiarizem com o software e as fer-
ramentas para a construção de gráficos,
além de realizar atividades que exploram
a argumentação, contribuindo para o
desenvolvimento da competência geral 7.
Na seção Tecnologias que encerra a
Unidade, os estudantes são desafiados a
escrever uma sequência lógica de instruções
para serem processadas por um computador,
desenvolvendo o pensamento computa-
cional e a competência geral 5.
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MARCOS GUILHERME
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Noções de função
Sugerir aos estudantes a leitura
coletiva do texto do Livro do estu-
dante para a compreensão da
situação 1 proposta. Explorar o
quadro, de modo a trabalhar o
raciocínio indutivo, desafiando
os estudantes a escrever uma regra
para determinar o preço a pagar,
de acordo com a quantidade de
joelheiras compradas. Caso apre-
sentem dificuldades, propor que
copiem o quadro no caderno e
insira algumas linhas para que
possam incluir outras quantida-
des de joelheiras comparadas e
o respectivo valor a pagar por
elas, até que percebam que, se
forem compradas x joelheiras,
basta multiplicar x por 30 para
obter o preço a pagar. Nessa abor-
dagem, os estudantes trabalham
o desenvolvimento de hipóteses
testáveis, reconhecendo e des-
crevendo variáveis, habilidades
que contribuem para a constru-
ção do pensamento científico e
favorecem o desenvolvimento da
competência geral 2.
Verificar se os estudantes com-
preendem o significado de variável
dependente e variável indepen-
dente. Caso tenham dificuldade
nessa compreensão, usar valores
numéricos em vez de variáveis
pode ajudá-los.
Pense e responda
Nessa seção, os estudantes
devem utilizar a lei de formação
da função dada para determinar
valores da variável dependente
e da variável independente por
meio de manipulações algébricas.
É esperado que não apresentem
dificuldades na resolução do
item a. Verificar se compreen-
dem que basta substituir x por
50 na expressão y = 50x e cal-
cular o respectivo valor de y. Já
no item b, o processo é inverso,
eles precisam substituir y por 780
e calcular o respectivo valor de x,
resolvendo a equação 780 = 50x.
NOÇÕES
DE FUNÇÃO
CAPÍTULO
1
Com frequência, encontramos situações que envolvem relações entre duas gran-
dezas variáveis. Acompanhe algumas dessas situações.

1 Um professor de Educação Física quer comprar joelheiras para aumentar a proteção
dos estudantes durante as aulas. Para isso, ele fez uma pesquisa e decidiu comprar
um modelo de joelheira que custa 30 reais cada. Se representarmos por x a quan-
tidade de joelheiras, iguais à do modelo escolhido, e por y o preço, em reais, que
o professor vai pagar, podemos organizar o quadro a seguir.
Quantidade
de joelheiras (x)
Preço a pagar
em reais (y)
1 1 ? 30 = 30
2 2 ? 30 = 60
3 3 ? 30 = 90
; ;
10 10 ? 30 = 300
; ;
Note que:
• a quantidade x de joelheiras varia de modo independente;
• o preço y a pagar varia de acordo com a quantidade de joelheiras;
• a todos os valores de x estão associados valores de y;
• para cada valor de x está associado um único valor de y.
Nessas condições, dizemos que o preço y a pagar é dado em função da quanti-
dade x de joelheiras adquiridas, e a sentença y = 30x é chamada de lei de formação
dessa função.
Nesse caso, a variável x é chamada de variável independente, e y é a variável
dependente (y depende da variável x). Em uma função, os valores que y assumirá
(valor da função) dependem dos valores de x. Para cada valor de x, temos um único
valor correspondente de y.
O preço y a pagar depende
da quantidade x de joelheiras
que forem compradas.
Entre as grandezas represen-
tadas pelas variáveis y e x existe
uma relação que pode ser ex-
pressa pela sentença matemáti-
ca y = x ? 30 ou y = 30x.
Responda no caderno.
Considerando a relação entre as variáveis x (quantidade de joelheiras) e y (preço a
pagar em reais) dada pela expressão y = 30x, responda às questões a seguir.
a) Quanto o professor vai pagar por 50 joelheiras iguais a essa?
b) Quantas joelheiras ele poderá comprar gastando R$ 780,00?
a) O professor vai pagar R$ 1.500,00.
b) Ele poderá comprar 26 joelheiras.
PENSE E RESPONDA
Jovens
praticando
esporte.
SLAVICA/E+/GETTY IMAGENS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na situação 2, proceder do
mesmo modo que na situação
anterior para que os estudan-
tes determinem a expressão que
fornece o valor a ser pago de acordo
com o tempo de acesso por meio
do raciocínio indutivo. Destacar
na expressão obtida as variáveis
dependente e independente.
No item b, retomar que 1 hora
corresponde a 60 minutos e verifi-
car se os estudantes percebem que,
dividindo 400 por 60, obtém-se a
quantidade de horas na represen-
tação decimal. Com isso, precisam
considerar que 0,666... h corres-
pondem a 0,666... ? 60 min =
= 40 min. Assim, 400 min corres-
pondem a 6 horas e 40 minutos.
Domínio e conjunto
imagem de uma função
Pedir aos estudantes que expli-
quem o que é a lei de formação
de uma função, o domínio, a
imagem e o conjunto imagem
da função. Anotar na lousa as
explicações dadas e discutir com
a turma a validade delas, esti-
mulando a expressão oral dos
estudantes.
Um erro comum é confundir a
imagem da função e o conjunto
imagem. Explicar que a imagem da
função corresponde a determinado
valor do domínio. Por exemplo,
na situação do perímetro apre-
sentada, se x = 4 cm, a imagem
da função é dada por y = 4 ? 4 =
= 16. Já o conjunto imagem reúne
todas as imagens da função. Ou
seja, fazendo x percorrer todo o
domínio da função e calculando os
respectivos valores de y, obtemos
o conjunto de todas as imagens
da função, ou seja, o conjunto
imagem. Desse modo, nessa situa-
ção, se x pode assumir apenas
valores reais maiores do que zero,
então os valores calculados de y
também serão números reais e
maiores do que zero, formando
o conjunto imagem da função.

2 Uma operadora oferece um pacote de dados para navegar na internet por uma mensalidade
fixa de R$ 30,00, mais 15 centavos de real (R$ 0,15) por minuto de uso. Então, o valor a ser pago
no fim do mês depende do tempo de uso da internet.
Observe, a seguir, a relação entre o valor a ser pago (em reais) com o tempo de acesso à rede
(em minuto).
Tempo de acesso
em minuto (t)
Valor a ser pago
em reais (V)
1 30 + 0,15 ? 1 = 30,15
2 30 + 0,15 ? 2 = 30,30
3 30 + 0,15 ? 3 = 30,45
; ;
t 30 + 0,15 ? t
Considerando a relação obtida para esse pacote de internet, vamos responder às questões
a seguir.
a) Quanto gastará uma pessoa que, durante um mês, utiliza a internet por 10h20min?
Sabemos que 10h20min corresponde a 10 horas mais 20 minutos e que 1 hora corresponde
a 60 minutos. Então, temos:
10 ? 60 min + 20 min = 620 min
V = 30 + 0,15 ? 620 = 123
Essa pessoa gastará R$ 123,00.
b) Quantas horas uma pessoa poderia utilizar a internet se quisesse gastar, no máximo, R$ 90,00
no mês?
Para V = 90, temos:
90 = 30 + 0,15 ? t h 60 = 0,15 ? t h t
60
0,15
= = 400 h t = 400 min = 6h40min
Nesse caso, essa pessoa poderia utilizar a internet por 6h40min.
DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Quando relacionamos duas variáveis por meio de uma função, devemos estar atentos aos valores
que as variáveis podem assumir em cada situação. Observe os casos a seguir.

1 O perímetro y de um quadrado, por exemplo, é dado em função da medida x do lado do
quadrado, pela lei de formação y = 4x. Nesse caso, temos:
• Para x = 2,5 cm, o perímetro vale y = 4 ? 2,5 cm = 10 cm. Dizemos que
y = 10 é a imagem da função (valor da função) para x = 2,5.
• A variável x deve assumir apenas valores reais positivos (x . 0), pois não
existe medida de lado menor ou igual a zero. Assim, x nunca poderá
assumir o valor _2, por exemplo. Dizemos que o domínio (valores de x)
dessa função é o conjunto dos números reais positivos.
• A variável y, portanto, também assumirá apenas valores positivos (y . 0). Dizemos que o
conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números reais positivos.
x
EDITORIA DE ARTE
ALPHASPIRIT.IT/SHUTTERSTOCK.COM
Podemos, então, estabelecer uma relação
entre o valor a ser pago em reais (V) e o
tempo de acesso em minuto (t) por meio
da sentença: V = 30 + 0,15 ? t.
Nessa relação, dizemos que t é a variá-
vel independente, e V é a variável que
depende de t, ou seja, a variável V é dada
em função da variável t.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Sugerir aos estudantes que
realizem as atividades em dupla,
incentivando a troca de ideias
e o levantamento de hipóteses
para a solução dos problemas
propostos, exercitando a intera-
ção entre os colegas de forma
cooperativa, trabalhando cole-
tivamente no planejamento e
desenvolvimento das resoluções,
promovendo, assim, aspectos
relativos à competência geral 9
e à competência específica 8 da
área de Matemática.
Na atividade 1, os estudantes
precisam expressar a relação de
dependência entre duas grande-
zas, o valor recebido por mês e
a quantidade de aulas por meio
de uma expressão matemática.
Ressaltar que essa relação é de
dependência unívoca, ou seja,
para cada quantidade de aulas
há apenas um valor a receber
por mês, o que caracteriza uma
função entre essas variáveis.
Pode-se ampliar a atividade 2
solicitando aos estudantes que
determinem o conjunto imagem
de cada função. Em seguida,
pedir que apresentem as res-
postas obtidas para a turma, de
modo que possam validá-las cole-
tivamente. É esperado que eles
percebam que, no item a, como
o domínio da função é composto
dos números reais positivos, o
conjunto imagem também será
formado por esses números, uma
vez que x não poderá assumir
valores negativos e nulos. Nos
itens b e c, o conjunto imagem
é formado por todos os números
reais, pois não há restrição nos
domínios das funções.
Na atividade 3, os estudantes
precisam determinar a lei de for-
mação que define uma função e
utilizar os conhecimentos a res-
peito de função para resolver a
situação-problema apresentada.
262

2 Na função dada pela lei =y
1
x
, por exemplo, a variável x não pode assumir o valor zero, pois
não existe divisão por zero. Assim, a variável x pode assumir qualquer valor real diferente de zero.
Nesse caso, o domínio e o conjunto imagem dessa função são representados pelo conjunto
dos números reais, exceto o número zero.
De modo geral, em uma função:
• o conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função e
é indicado por D;
• o valor da variável y correspondente a determinado valor de x é chamado de imagem
do número x dada pela função. Para cada valor de x existe um único valor de y
correspondente;
• o conjunto formado por todos os valores de y que correspondem a algum x do
domínio é chamado de conjunto imagem da função e é indicado por Im.
Responda às questões no caderno.
1. Os professores de uma academia comu-
nitária recebem a quantia de 45 reais por
aula, mais uma quantia fixa de 500 reais
como abono mensal. Então, a quantia y
que cada professor recebe por mês é
dada em função da quantidade x de aulas
de cada professor durante esse mês.
• Qual é a lei de formação da função que
representa a relação entre essas duas
grandezas? y = 500 + 45x
2. Escreva, algebricamente, a lei de formação
de cada função descrita a seguir.
a) A cada número real positivo x, associar
um número real y que represente o in-
verso de x. y
1
x
=
b) A cada número real x, associar um número
real y que represente o quadrado de x
menos 4. y = x
2
_ 4
c) A cada número real x, associar um número
real y que represente a metade de x au-
mentada de 5. y =
1
2
x + 5
3. Carla é arquiteta e trabalhou em um projeto
durante o ano de 2022. O valor total desse
trabalho (x reais) lhe foi pago em parcelas
iguais e mensais durante o ano.
a) Para planejar financeiramente e economi-
zar para realizar um curso, Carla decidiu
gastar, mensalmente, 5% do valor total
desse trabalho. Escreva uma sentença
para expressar quanto ela poupou, no
total, e justifique sua resposta.
b) O curso que Carla quer fazer é de pós-
-graduação, cujo valor é R$ 20.000,00.
Para que ela pague integralmente esse
curso com o dinheiro poupado, qual deve
ser o menor valor de x, em reais?
50 mil reais.
ATIVIDADES
RAWPIXEL.COM/SHUTTERSTOCK.COM
3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na
seção Resoluções comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Educação financeira
Discutir com os estudantes
sobre a importância da educação
financeira e o que entendem a res-
peito de poupança. Depois, ler o
texto do Livro do estudante, tra-
balhando o Tema Contemporâneo
Transversal Educação Financeira e
aspectos da aplicação do conheci-
mento relacionados à competência
geral 1, uma vez que os estu-
dantes são levados a selecionar
as informações do texto e do
gráfico e articulá-las para orga-
nizar conhecimentos.
A atividade proposta aborda a
importância de economizar para
realizar sonhos. A forma de eco-
nomizar também é discutida, pois
mostra que o dinheiro guardado
vai perdendo seu valor de compra.
Os estudantes poderão compa-
rar valores usando a função e a
interpretação de gráfico de linha
e compreender a importância do
juro composto no aumento de
uma quantia, mesmo quando o
valor percentual parece baixo.
Sugerir a eles que façam essa
atividade individualmente e depois
socializem as respostas dadas.
263
A IMPORTÂNCIA DE POUPAR
Leia, a seguir, o trecho de um texto.
Ao poupar, você acumula valores financeiros no presente para serem utilizados no futuro.
Os valores poupados no presente e investidos durante um, dois ou mais anos poderão fazer
uma diferença significativa na qualidade de vida do poupador no futuro.
Assim, são vários os motivos para poupar: precaver-se diante de situações inespe-
radas, preparar para aposentar-se, realizar sonhos etc. [...]
Poupança e investimento
[...] poupança é a diferença entre as receitas e as despesas, ou seja, entre tudo
que ganhamos e tudo que gastamos.
E investimento? Investimento é a aplicação dos recursos que poupamos, com a
expectativa de obtermos uma remuneração por essa aplicação .
Você sabe a diferença entre poupança e caderneta de poupança?
A poupança é uma sobra financeira e deve ser direcionada para algum tipo de
investimento para que seja remunerada. A caderneta de poupança ou conta de poupança é
um tipo de investimento.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Caderno de Educação Financeira: Gestão de Finanças Pessoais.
Brasília, DF: BCB, 2013. p. 43. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/content/cidadaniafinanceira/documentos_cidadania/
Cuidando_do_seu_dinheiro_Gestao_de_Financas_Pessoais/caderno_cidadania_financeira.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.
SINGKHAM/SHUTTERSTOCK.COM
EDUCAÇÃOFINANCEIRA
Como você observou no texto, é muito importante planejar os gastos e poupar regularmente.
Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para
realizar um sonho, por exemplo.
Responda no caderno.
1. Ricardo tem 14 anos e já está pensando no futuro: ele pretende economizar R$ 50,00
por mês. Por meio de uma função, pode-se relacionar a quantia total economizada
por ele ao longo dos meses pela expressão
y = 50x, em que y é o total economizado,
e x, a quantidade de meses.
Considerando essa função, responda.
a) Quanto Ricardo terá economizado depois de
1 ano? R$ 600,00
b) Calcule quanto dinheiro ele terá, se guardar esse
valor mensal durante nove anos.
c) Qual é a diferença entre o valor obtido no
item b e o valor mostrado neste gráfico, que
corresponde a colocar esse dinheiro em um
investimento rendendo juro em vez de simples-
mente guardá-lo? Essa diferença corresponde
a que percentual do total economizado?
R$ 5.400,00
1. c) Diferença de R$ 1.815,18, que corresponde a
cerca de 33,6% dos R$ 5.400,00 economizados.
EDITORIA DE ARTE
8.000,00
7.000,00
6.000,00
5.000,00
4.000,00
1.000,00
2.000,00
Tempo
(em ano)
3.000,00
0
Saldo (R$$)
12345678 9
620,27
1.279,58
1.980,39
2.725,31
3.517,13
4.358,78
5.253,42
6.204,37
7.215,18
Saldo do investimento com
depósito mensal de R$$ 50,00
com incidência de juro de
0,51% ao mês
Elaborado com base em: APLICAÇÃO com depósitos regulares.
Banco Central do Brasil. Brasília, DF, 30 maio 2022.
Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/
exibirFormAplicacaoDepositosRegulares.do?method=exibir
FormAplicacaoDepositosRegulares. Acesso em: 30 maio 2022.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Função afim
Pedir aos estudantes que reflitam
a respeito do uso de funções no
cotidiano, ressaltando que o estudo
de função não se restringe apenas
à Matemática, sendo relevante
também para o entendimento de
assuntos e conteúdos relacionados
a várias áreas do conhecimento,
como Física, Química, Economia,
entre outras. É importante que os
estudantes percebam que, diaria-
mente, utilizam funções, mesmo
sem perceber. Pedir a eles que
relatem situações do dia a dia
em que usam funções.
Esse diálogo é uma oportuni-
dade de contextualizarem juntos
a noção de função, relacionando
as vivências no cotidiano com as
situações apresentadas no Livro
do estudante.
Discutir os exemplos apre-
sentados para introduzir a ideia
de função afim, destacando a
relação entre esse conceito e o
estudo da Geometria. Verificar
se os estudantes percebem que
o perímetro do pentágono e
o do retângulo dependem do
valor que x assume. Assim, y
é a variável dependente, e x, a
variável independente. Questioná-
-los sobre o domínio e o conjunto
imagem da função perímetro, de
modo que percebam que x pode
assumir apenas valores reais posi-
tivos, pois representa a medida
de um lado de uma figura geo-
métrica. Desse modo, o conjunto
imagem também terá apenas
valores reais positivos. Essa aborda-
gem favorece o desenvolvimento
da competência específica 3 da
área de Matemática.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Propor aos estudantes que construam um quadro, atribuam alguns valores
para x e calculem os respectivos valores para y para a função afim cuja lei de
formação é y = _7x + 5 e determinem a taxa de variação dessa função.
Caso apresentem dificuldades na resolução, oriente-os a aumentar os va-
lores atribuídos a x de 1 em 1 unidade e verificar se os valores de y aumentam
ou diminuem e se a taxa é constante. Desse modo, eles não devem ter dificul-
dade de obter que a taxa de variação dessa função é _7. Isso significa que,
para cada aumento de 1 unidade em x, o valor de y diminui em 7 unidades.
Acompanhe um exemplo de quadro.
x y = _7x + 5
_1y = _7 ? (_1) + 5 = 12
0y = _7 ? 0 + 5 = 5
1y = _7 ? 1 + 5 = _2
2y = _7 ? 2 + 5 = _9
3y = _7 ? 3 + 5 = _16
5 _ 12 = _7
_2 _ 5 = _7
_9 _ (_2) = _9 + 2 = _7
_16 _ (_9) = _16 + 9 = _7
264
FUNÇÃO AFIM
CAPÍTULO
2
Acompanhe as situações seguintes.

1 Um hexágono regular, cujo lado mede x unidades, tem
o perímetro indicado por y. Nesse caso, o perímetro
é dado em função da medida do lado, e essa relação é
uma função definida pela lei de formação y = 6x.

2 Um retângulo, cujo comprimento mede x unidades e cuja largura mede 10 unidades,
tem o perímetro indicado por y. Logo, o perímetro desse retângulo é dado em função
do comprimento, e a função obtida dessa relação é definida por y = 2x + 20.

x
x
1010
Podemos observar que, nas duas sentenças matemáticas obtidas, o 2
o
membro é
um polinômio do 1
o
grau na variável x.
y = 6x y = 2x + 20
polinômio do 1
o
grau
na variável x
polinômio do 1
o
grau
na variável x Uma função é chamada de função afim quando é definida pela sentença
matemática y = ax + b, com a [ r, b [ r e a 5 0.
Pela definição, são exemplos de funções afins:
• y = 3x _ 1
• y = _6x
• y =
1
2
x + 5
• y =
1
3
x _
2x
• y = 7 _ 5x
• y = 12x
Observe os exemplos a seguir, que envolvem função afim.

1 Dada a função definida por y = _7x + 5, determinar a imagem do número real
_3 por essa função.
Para determinar essa imagem, substituímos x por _3 na lei de formação dessa
função.
y = _7x + 5 h y = _7 ? (_3) + 5 h y = 21 + 5 h y = 26
Logo, 26 é a imagem do número _3 pela função dada.
x
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na situação 2, é apresentada a
ideia de taxa de variação de uma
função afim. O objetivo é que
os estudantes percebam situa-
ções que podem ser modeladas
por uma função afim, reconhe-
cendo a característica desse tipo
de função: a taxa de variação é
constante, ou seja, aumentando
em 1 unidade os valores de x, os
respectivos valores de y aumen-
tam de um valor constante, que
chamamos de taxa de variação.
Assim, situações que relacionam
preço unitário de um produto
ou serviço e preço total, distân-
cia percorrida e tempo, sendo a
velocidade constante, podem
ser descritas pela função afim.
Função linear
Apresentar aos estudantes
o que faz com que uma função
afim seja linear. Espera-se que eles
concluam que toda função linear
também é função afim; entre-
tanto, o contrário não é válido.
Aproveitar a discussão da
função linear para retomar os
conceitos de grandezas direta
e inversamente proporcionais.
Por meio de exemplos, mostrar
que as grandezas diretamente
proporcionais podem ser expres-
sas por uma função linear; já as
grandezas inversamente propor-
cionais não. Uma situação que
pode ser discutida com a turma
é a de um móvel se descolando
com velocidade constante. Nessa
situação, a distância e o tempo
são grandezas diretamente pro-
porcionais e podem ser descritas
por uma função linear. Depois,
discutir a situação em que o
móvel tem de percorrer uma dis-
tância fixa. Nesse caso, tempo e
velocidade são grandezas inver-
samente proporcionais, e essa
relação não pode ser descrita
pela função afim.
265

2 Dada a função afim definida por y = 3x + 2, atribuir
alguns valores para x e calcular os respectivos valores
de y dados pela função. Observe o quadro.
Podemos notar que, ao aumentarmos os valores de x
em 1 unidade, os respectivos valores de y aumentam em
3 unidades. Nessa situação, dizemos que a taxa de
variação da função é constante e igual a 3.
FUNÇÃO LINEAR
Em uma função afim dada por y = ax + b (com a 5 0), os valores a e b
são os coeficientes da função. Quando b = 0, a lei da função afim é dada por
y = ax (com a 5 0) e ela é denominada função linear.
Como exemplo, consideremos a função definida por y = 4x.
Nesse caso, os coeficientes são a = 4 e b = 0, ou seja, a função afim é uma
função linear (b = 0). Neste quadro, são apresentados alguns valores de x e y.
Observando o quadro, podemos verificar que:
• a razão entre os valores correspondentes das variáveis y e x é uma constante






y
x
4,x0=5 .
Nessa situação, dizemos que as variáveis x e y determinam grandezas diretamente proporcio-
nais, cuja constante de proporcionalidade k é igual a 4;
• o coeficiente a da função linear corresponde à constante de proporcionalidade: k = a = 4.
Assim, a função linear definida por y = ax (com a 5 0) pode representar situações que envol-
vem grandezas diretamente proporcionais, em que o coeficiente a da função corresponde
à constante de proporcionalidade;
• nesse exemplo, aumentando os valores de x em 1 unidade, os correspondentes valores de y
aumentam em 4 unidades. Dizemos que a taxa de variação dessa função é constante e
igual a 4.
xy
y
x
1 4 4
2 8 4
3124
4164
x y = 3x + 2
_23 ? (_2) + 2 = _4
_13 ? (_1) + 2 = _1
03 ? 0 + 2 = 2
13 ? 1 + 2 = 5
23 ? 2 + 2 = 8
+3+1
+3+1
+3+1
+3+1
Responda às questões no caderno.
1. Uma função afim é definida por
y = 5x + 3. Determine a imagem do
número _2 definida por essa função. _7
2. Dada a função definida por y = _8x + 4,
determine o número real x cuja imagem
definida por essa função é zero.
3. Considere o perímetro y de um quadrado
que é dado em função da medida x do
lado. Nessas condições, faça o que se pede.
a) Escreva a lei de formação dessa função e
indique os valores de x para os quais essa
função está definida.
x
1
2
=
3. a) y = 4x. A função está definida para valores reais positivos, pois x é uma medida
de comprimento.
b) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax (com a 5 0). As grandezas perímetro e
comprimento do lado de um quadrado são grandezas diretamente proporcionais.
ATIVIDADES
b) Organize um quadro com os valores dessa fun-
ção para as seguintes medidas x do lado: 5
cm; 7,2 cm; 11 cm; 20,5 cm; e
103 cm.
c) Qual é a imagem do número real
103 por
essa função?
403
d) Qual é o número real x cuja imagem por essa
função é 44? 11
e) Essa função é linear? O que se pode dizer
sobre as grandezas perímetro e comprimento
do lado de um quadrado relacionadas por
essa função?
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Gráfico da função afim
Retomar com os estudantes o
plano cartesiano e a representa-
ção de pontos nesse sistema de
coordenadas. Representar um
plano cartesiano na lousa e pedir
a alguns estudantes que localizem
pontos nele. Incluir também pontos
sobre os eixos coordenados. Em
seguida, trabalhar com a situa-
ção proposta e aproveitar o plano
cartesiano da lousa para localizar
os pontos que estão no quadro.
Explicar à turma que o gráfico da
função afim é sempre uma reta;
então, para representá-lo, basta
unir os pontos por meio de uma
reta. Essa abordagem favorece o
desenvolvimento da competência
geral 4 e da competência especí-
fica 4 da área de Matemática, uma
vez que os estudantes aprendem
a se comunicar por meio de grá-
ficos e da linguagem matemática
de maneira adequada.
Fórum
Ao realizar a pesquisa solicitada,
os estudantes vão perceber que
o Brasil não está entre os primei-
ros países no ranking de conexão
à internet. Explicar que a Anatel
é a agência do governo do Brasil
que regula os serviços de teleco-
municações no país, incluindo o
serviço de banda larga.
Para a realização da questão
proposta, os estudantes podem
ser organizados em trios. Orientá-
-los a buscar fontes confiáveis
de pesquisa, como sites gover-
namentais ou de universidades,
por exemplo. Ao final, promover
uma conversa em que os trios
possam apresentar as conclu-
sões a que chegaram. Durante
esse momento, verificar se os
estudantes são capazes de se
expressar com clareza, mantendo
discussões conectadas com as
ideias dos outros, e se buscam
o entendimento mútuo, desen-
volvendo, assim, aspectos da
competência geral 4.
Acesso à internet
Leia um trecho de matéria a seguir.
Brasil tem 152 milhões de pessoas com acesso à internet
O internauta tem um dia dedicado a ele, 23 de agosto, data em que, no ano de 1991,
a rede mundial de computadores foi aberta ao mundo. No Brasil, tem crescido, ano a ano,
o número de pessoas com acesso à internet e a pandemia acelerou esse processo. [...]
Pesquisa promovida pelo Comitê Gestor da Internet do Brasil revelou que, em 2020,
o país chegou a 152 milhões de usuários – um aumento de 7% em relação a 2019. Com
isso, 81% da população com mais de 10 anos têm internet em casa.
LEÓN, Lucas Pordeus. Brasil tem 152 milhões de pessoas com acesso à internet. Agência Brasil.
Brasília, DF, 23 ago. 2021. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/geral/noticia/2021-08/
brasil-tem-152-milhoes-de-pessoas-com-acesso-internet. Acesso em: 28 maio 2022.
• Pesquise os dados de acesso à internet em outros países do mundo e compare-os com
os dados do Brasil informados no texto. Em seguida, debata com os colegas sobre as
possíveis soluções para aumentar o acesso da população brasileira à internet.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
FÓRUM
266
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
Podemos representar graficamente uma função afim utilizando, para isso, um sistema de
coordenadas cartesianas. Essa representação oferece todas as informações sobre o comportamento
dessa função e é um recurso muito utilizado por ser de fácil visualização.
Já sabemos que, em uma função, cada valor de x corresponde a um único valor de y. Marcando,
então, no plano cartesiano, os pontos de coordenadas (x, y), obtém-se um conjunto de pontos
chamado de gráfico da função.
É possível demonstrar que o gráfico de uma função afim, no plano cartesiano, com x [ r,
é sempre uma reta.
Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Traçar, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = 2x, cujo domínio é o
conjunto dos números reais, ou seja, x pode assumir quaisquer valores reais.
Inicialmente, vamos atribuir valores arbitrários para x, calculando os correspondentes
valores de y por meio da sentença y = 2x.
• x = _2 h y = 2 ? (_2) = _4
• x = _1 h y = 2 ? (_1) = _2
• x = 0 h y = 2 ? 0 = 0
• x = 1 h y = 2 ? 1 = 2
• x = 2 h y = 2 ? 2 = 4
Em seguida, localizamos esses pontos no plano cartesiano.
A cada par ordenado (x, y) obtido, associamos um ponto do plano
cartesiano. O gráfico da função no plano cartesiano é o conjunto
de todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x. Observe que esse
gráfico é uma reta.
y
0 x1_1_2_3 23
1
2
3
4
_1
_2
_3
_4
xy (x, y)
_2_4(_2, _4)
_1_2(_1, _2)
0 0 (0, 0)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
As atividades desse bloco per-
mitem que os estudantes associem
o gráfico de uma função afim de
domínio r a uma reta não verti-
cal e não horizontal, bem como
utilizem os conhecimentos a res-
peito dessas funções para traçar,
no plano cartesiano, gráficos que
representem essas funções.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Promover uma pesquisa por meio da qual os
estudantes sejam levados a perceber o uso de grá-
fico traçado a partir de uma função afim. Orientar
os estudantes a levar para a sala de aula revistas
e jornais usados. Organizar a turma em grupos
com quatro estudantes, pedindo a eles que encon-
trem artigos e notícias que apresentem gráficos
da função afim.
Aproveitar o momento da pesquisa para re-
forçar que o traçado desse tipo gráfico no plano
cartesiano, com x [ r, é sempre uma reta. Encon-
trados os gráficos, os estudantes poderão discutir
partindo das seguintes questões:
• O gráfico trata a respeito do quê?
• Há título no gráfico? E legenda?
• É possível identificar os eixos x e y no gráfico?
O que cada eixo representa?
• A variável pode assumir qualquer valor real?
Depois da discussão, os estudantes pode-
rão relacionar os assuntos que conhecem com
os cálculos que vão realizar nas atividades. É im-
portante que atribuam significado aos cálculos,
relacionando-os com seus conhecimentos prévios.
Se possível, além do traçado manual, orientar
os estudantes a explorar os gráficos com o auxílio
de softwares como o Winplot ou o GeoGebra.
EDITORIA DE ARTE
267

2 Representar, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = 2x _ 3, conside-
rando x um número real qualquer.
Inicialmente, atribuímos alguns valores para x
e calculamos os respectivos valores de y.
x y = 2x _ 3 (x, y)
_1y = 2 ? (_1) _ 3 = _5(_1, _5)
0y = 2 ? 0 _ 3 = _3 (0, _3)
1y = 2 ? 1 _ 3 = _1 (1, _1)
2y = 2 ? 2 _ 3 = 1 (2, 1)
Como sabemos, a cada par (x, y) associamos
um ponto do plano cartesiano. O conjunto de
todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x _ 3,
é o gráfico da função, o qual é uma reta.
y
0 x1_1_2_3 2 3
1
_1
_2
_3
_4
_5
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, e uma reta é determinada por dois pontos, para obter
o gráfico da função afim basta definir dois pares (x, y) no plano cartesiano e traçar a reta que passa por
esses pontos.
SAIBA QUE
Responda às questões no caderno.
1. Trace no plano cartesiano o gráfico de
cada função afim definida a seguir, em
que x é um número real qualquer.
a) y = x + 1
b) y = x
c) y = _x + 4
d) y = 1 _ 2x
e) y = _4x
f) y =
1
2
x + 2
2. Trace, em um mesmo plano cartesiano,
os gráficos das funções definidas por
y = 3x _ 2 e y = 2x _ 1, em que x é um
número real qualquer. Observando os grá
ficos obtidos, quais são as coordenadas
do ponto de intersecção das duas retas?
3. Em um mesmo plano cartesiano, trace
as retas que representam os gráficos das
funções definidas por y = x + 3 e y = x _ 2,
sendo x um número real qualquer. Qual
ATIVIDADES
é a relação entre essas duas retas? Justi
fique sua resposta.
4. Um carro se movimenta em velocidade
constante, de acordo com a função defi
nida por y = 2x + 1, em que y representa a
posição, em metro, do carro no instante x,
em segundo. Esboce, no plano cartesiano,
o gráfico que descreve a posição do carro
em função do tempo. Lembrese de que,
nesse caso, a variável x assume apenas
valores reais não negativos.
5. Usando o plano cartesiano, determine
as coordenadas do ponto de intersecção
das retas que representam os gráficos das
funções dadas por y = 6 _ x e y = x _ 2.
Converse com os colegas e compare as es
tratégias de resolução que vocês utilizaram.
2. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. As coordenadas do ponto de intersecção das duas
retas são (1, 1).
3. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. São paralelas. Espera-se que
os estudantes percebam que a inclinação das retas é a mesma e que elas não apresentam
pontos em comum (essa observação, neste momento, será empírica e baseada no trecho do
gráfico de cada reta que os estudantes tiverem representado no plano cartesiano).
1. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
4. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
5. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. As coor denadas do ponto de intersecção são (4, 2).
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Zero da função afim
Explicar o que é o zero de
uma função e mostrar como
determiná-lo algebricamente
e por meio do gráfico traçado
da função. Espera-se que os
estudantes percebam que deter-
minar algebricamente o zero da
função ajuda a levantar hipóte-
ses sobre o traçado do gráfico.
Apresentar outros gráficos de
funções que tenham mais de um
zero e pedir que indiquem os zeros
da função e expliquem suas esco-
lhas, destacando que, no zero da
função, o gráfico corta o eixo das
abscissas. Depois, solicitar que
resolvam as atividades desse bloco.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Propor uma atividade para explorar o fato de que,
por dois pontos, passam apenas uma reta. Incentivar
os estudantes a construir o gráfico das funções da ati-
vidade 1 utilizando apenas dois pontos: o zero da
função e o ponto em que x = 0. Ao final, verificar se
eles percebem algo em comum com o ponto em que
x = 0 e a lei de formação da função. Espera-se que os
estudantes percebam que esse ponto tem coordenadas
(0, b). Desse modo, podem concluir que, conhecendo
a lei de formação da função afim e determinando seu
zero, é possível obter a reta que representa o gráfico
dessa função. Essa abordagem favorece a argumen-
tação com base em fatos matemáticos.
EDITORIA DE ARTE
268
ZERO DA FUNÇÃO AFIM
O valor do número real x, para o qual se obtém y = 0 (ou ax + b = 0), denomina-se zero
(ou raiz) da função afim.
Vamos determinar, por exemplo, o zero da função definida por y = x _ 3.
Algebricamente, devemos fazer x _ 3 = 0 e resolver a equação obtida.
x _ 3 = 0 h x = 3
Geometricamente, representamos o gráfico da função:
x y
0 _3
2 _1
3 0
y
0 x1_1 245
_1
12
_2
_4
_3
(3, 0)
3
Responda às questões no caderno.
1. Determine, algebricamente, o zero de cada uma das funções definidas por:
a) y = x _ 6. x = 6
b) y = _x _ 4. x = _4
c) y = _x + 10. x = 10
d) y = 2x _ 3. x
3
2
=
e) y = 1 _ 5x.
x
1
5
=
f) y =
1
2
x + 3. x = _6
2. Construa o gráfico e determine o zero de cada uma das funções definidas a seguir.
a) y = x + 1 x = _1 b) y = _x + 3 x = 3 c) y = 2 _ x x = 2
ATIVIDADES
Pelo gráfico, observamos que y = 0 no ponto associado ao par ordenado (3, 0), ou seja, para
y = 0, temos x = 3.
Logo, o zero da função é dado pelo valor x = 3.
Geometricamente, o zero da função está associado ao ponto em que a reta corta o eixo x.
De modo geral, dada a função afim definida por y = ax + b, para y = 0, temos:
ax + b = 0 h ax = _b h x
b
a
=_
Portanto, algebricamente, o zero da função afim é dado por x
b
a
=_ e, geometricamente,
corresponde à abscissa do ponto em que a reta cruza o eixo x (x, 0).
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
A seção mostra situações
brasileiras e cotidianas em que
os estudantes podem aplicar os
conceitos estudados a respeito
de funções. Isso dará mais sig-
nificado ao aprendizado desse
assunto. Observar que nessa
seção os estudantes são convi-
dados a conhecer um pouco do
artesanato brasileiro e a perce-
ber as habilidades dos artesãos
e artesãs.
Se julgar conveniente, propor
aos estudantes que tentem loca-
lizar no estado em que vivem um
grupo de artesãos que realize
algum trabalho manual e, se pos-
sível, entrar em contato com esse
grupo para uma possível visita ou
entrevista. Orientá-los a perce-
ber que existe uma tradição que
passa de geração em geração, e
valorizar a cultura é uma impor-
tante ação que pode e deve ser
promovida. Esse tipo de aborda-
gem contribui para o trabalho
com o Tema Contemporâneo
Transversal Educação para valo-
rização do multiculturalismo nas
matrizes históricas e culturais
Brasileiras, além de propiciar
vivência e favorecer a compre-
ensão da importância de manter,
celebrar, respeitar e valorizar as
tradições dos povos originários,
bem como de outros povos,
favorecendo o trabalho com a
competência geral 3.
Vasos Marajoara no Mercado
Ver-o-Peso. Belém (PA), 2021.
ARTESANATO NO BRASIL
Leia, a seguir, o trecho de um texto.
[...]
A renda de bilros é produzida sobre uma almo-
fada [...] E por cima da almofada ficam os moldes que
serão traçado[s] com os bilros. Os bilros são objetos
de madeira nos quais as linhas são enroladas, para a
execução dos traçados.
[...]
[...] As rendeiras brasileiras estão espalhadas em
vários estados, em especial, no Nordeste, Rio de Janeiro
e Santa Catarina. A renda é um patrimônio de nossa
cultura [...]
BRASIL. Biblioteca Nacional. Acervo da BN | Rendeiras de bilros. Rio de
Janeiro: BN, 25 jun. 2020. Disponível em: https://www.bn.gov.br/acontece/
noticias/2020/06/acervo-bn-rendeiras-bilros. Acesso em: 28 maio 2022.
POR TODAPARTE
[...]
De Norte a Sul do país, o artesanato brasileiro tem
características diferenciadas, cada qual com a influência
de suas comunidades locais e matéria-prima disponível
na região. No Norte, o artesanato tem forte influên-
cia indígena [...]. No Pará, destaque para a cerâmica
Marajoara, produzida na Ilha de Marajó e que encanta
com variadas formas e padrões de decoração. [...]
O DIA mundial do artesão é lembrado como meio de aumentar o turismo nas regiões brasileiras. Confederação
Nacional de Municípios. Brasília, DF, 21 mar. 2016. Disponível em: https://www.cnm.org.br/comunicacao/noticias/o-dia-
mundial-do-artesao-e-lembrado-como-meio-de-aumentar-o-turismo-nas-regioes-brasileiras. Acesso em: 28 maio 2022.
Responda às questões no caderno.
1. Uma cooperativa de artesãos anunciou, na internet, a venda de vasos Marajoara por
275 reais cada um. Uma loja encomendou alguns desses vasos, cuja taxa de entrega foi
de R$ 50,00. Chamando de x a quantidade de vasos encomendados e de y a despesa
que essa loja teve ao adquirir essa encomenda, determine:
a) a lei de formação da função que descreve a dependência da despesa total com a quantidade
de vasos encomendados. y = 50 + 275x
b) a quantidade de vasos encomendados, sabendo que a loja gastou R$ 3.350,00 nessa transação.
12 vasos.
2. A venda de toalhas produzidas por uma rendeira no primeiro semestre deste ano teve
o desempenho representado pela função y = _110x + 440, que relaciona a variação y
do lucro/prejuízo com a quantidade x de meses decorridos.
a) Atribua alguns valores para x, calcule os valores de y correspondentes e construa o gráfico
dessa função. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
b) No fim do primeiro mês, a rendeira teve lucro ou prejuízo? De quanto? Lucro de 330 reais.
c) Em que período a rendeira não teve lucro nem prejuízo? Justifique.No fim do quarto mês. O gráfico
intersecta o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4, o valor de y é zero.
RITA BARRETO/FOTOARENA
MARCO ANTONIO SÁ/PULSAR IMAGENS
269
Produção da renda de bilro.
Aquiraz (CE), 2018.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tratamento
da informação
Antes de propor a leitura do
texto, explorar com a turma a
leitura inferencial, destacando os
títulos do texto, da tabela e do
gráfico, bem como analisando a
imagem da página. Perguntar aos
estudantes que pistas os títulos e
a imagem dão sobre o que será
tratado nessa seção. Conduzir a
conversa de modo que eles expres-
sem os conhecimentos prévios
que têm a respeito das catego-
rias de empregos, afastamento
do trabalho, isolamento social e
pandemia de covid-19. Esclarecer
as dúvidas que surgirem e, em
seguida, propor a leitura do texto,
que pode ser feita convidando
alguns estudantes para realizá-la
em voz alta para a turma.
A abordagem proposta favo-
rece o desenvolvimento do Tema
Contemporâneo Transversal
Trabalho e pode ser explorada
em parceria com o professor de
Geografia.
Propor a análise da tabela por
meio de algumas perguntas orais,
como: “Quantos empregados
do setor privado estavam ocu-
pados em novembro de 2020?”
(40 580 000 pessoas); “E quantos
empregados do setor público?”
(4 171 000). Espera-se que os estu-
dantes percebam que, na tabela,
as informações sobre essas catego-
rias de emprego estão separadas
em dois tipos: com carteira assi-
nada e sem carteira assinada.
Assim, para responder a essas
perguntas, é preciso adicionar as
quantidades correspondentes.
INTERPRETANDO INFORMAÇÕES
INFORMAÇÃO
TRATAMENTO
DAPessoa ocupada: de acordo
com o IBGE, é toda pessoa que
exerce atividade profissional
(formal ou informal,
remunerada ou não).
GLOSSÁRIO
Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD
Covid-19. Trabalho: desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da
pandemia no trabalho. Rio de Janeiro, nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/
pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.
Quantidade de pessoas ocupadas por categoria
de emprego em novembro de 2020
Categoria de emprego
Quantidade de pessoas
ocupadas (em mil pessoas)
Trabalhador familiar auxiliar 1 402
Conta-própria 23 910
Empregador 2 614
Militar e servidor estatutário 7 906
Empregado do setor público sem carteira assinada 2 101
Empregado do setor público com carteira assinada 2 070
Trabalhador doméstico sem carteira assinada 2 852
Trabalhador doméstico com carteira assinada 1 226
Empregado do setor privado sem carteira assinada 8 515
Empregado do setor privado com carteira assinada32 065
O impacto da pandemia no mercado de trabalho
A pandemia da Covid-19 teve um impacto profundo no mercado de trabalho, afetando
principalmente os trabalhadores com menor proteção social e baixa escolaridade.
No Brasil os efeitos foram particularmente significativos, não somente em função da
queda sem precedentes da população ocupada e da população economicamente ativa, mas
também pelo fato de que, diferentemente de recessões anteriores, desta vez os trabalha-
dores informais foram mais atingidos que os formais. Em particular, embora a redução
do emprego formal em 2020 tenha sido expressiva (_4,2%), a queda no emprego informal
foi proporcionalmente três vezes maior (_12,6%).
[...]
Além do forte impacto negativo da pandemia no mercado de trabalho no curto
prazo, estudos recentes mostram que seus efeitos também serão significativos a médio
e longo prazo. [...]
VELOSO, Fernando. O impacto da pandemia no mercado de trabalho.
Blog do IBRE – FGV. Rio de Janeiro, 22 mar. 2021. Blogue. Disponível em:
https://blogdoibre.fgv.br/posts/o-impacto-da-pandemia-no-mercado-de-trabalho. Acesso em: 28 maio. 2022.
Em 2020, primeiro ano da pandemia de covid-19, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE) realizou a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios – PNAD
Covid-19. Um dos objetivos dessa pesquisa foi monitorar os impactos
da pandemia no mercado de trabalho brasileiro.
Os dados divulgados por essa pesquisa sobre a quantidade
de
pessoas ocupadas por categoria de emprego, em novembro de
2020, estão registrados a seguir.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Comparando os dados da tabela
com os do gráfico, é possível
determinar quantos trabalhadores
de cada categoria de emprego
ficaram afastados em decorrência
do isolamento social em novem-
bro de 2020. Para isso, basta
aplicar o percentual do gráfico
à quantidade de pessoas ocupa-
das na respectiva categoria de
emprego. Mostrar alguns exem-
plos desse cálculo para a turma.
Discutir as atividades 2 e 3, de
modo que os estudantes percebam
que, embora a categoria militar
tenha tido o maior percentual de
afastamento do trabalho, a cate-
goria que mais teve trabalhadores
afastados foi a do setor privado
com carteira assinada. Perguntar a
eles como isso é possível e incen-
tivá-los a levantar hipóteses sobre
esse questionamento. Espera-se
que eles percebam que a cate-
goria setor privado com carteira
assinada corresponde a cerca de
32 milhões de pessoas, enquanto
na categoria militar esse número
é, aproximadamente, 8 milhões.
Assim, 7% de 8 milhões é menor
do que 6,6% de 32 milhões.
Por meio dessa abordagem, os
estudantes interpretam dados e
informações de maneira precisa,
considerando o contexto em que
foram produzidos, além de traba-
lhar a argumentação com base
em fatos matemáticos, espírito
de investigação e capacidade de
produzir argumentos convincen-
tes, desenvolvendo aspectos da
competência geral 2 e da com-
petência específica 2 da área
de Matemática.
Na atividade 4, propor uma
roda de conversa para os estudan-
tes apresentarem os resultados da
pesquisa. Durante esse momento,
verificar se são capazes de posi-
cionar-se criticamente com base
em critérios científicos e éticos,
desfazendo-se de preconceitos.
O PNAD Covid-19 também publicou dados
sobre o afastamento do trabalho em decorrência
do distanciamento social, indicando o percen-
tual de trabalhadores afastados por ocupação e
categoria de emprego, em novembro de 2020.
Acompanhe.
Categoria
Empregado do setor privado com carteira assinada
Empregado do setor privado sem carteira assinada
Trabalhador doméstico com carteira assinada
Trabalhador doméstico sem carteira assinada
Empregado do setor público com carteira assinada
Empregado do setor público sem carteira assinada
Militar e servidor estatutário
Empregador
Conta-própria
Trabalhador familiar auxiliar
1,70%
3,30%
2,60%
6%
6,60%
7%
1,10%
1,20%
0,30%
2,10%
Quantidade de
pessoas (%)
Percentual de pessoas afastadas do trabalho em decorrência
do isolamento social em novembro de 2020
Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. PNAD Covid-19. Trabalho:
desocupação, renda, afastamentos, trabalho remoto e outros efeitos da pandemia no trabalho. Rio de Janeiro,
nov. 2020. Disponível em: https://covid19.ibge.gov.br/pnad-covid/trabalho.php. Acesso em: 28 maio 2022.
De acordo com as informações do texto, da tabela e do gráfico, responda às questões
no caderno.
1. Aproximadamente, quantos milhões de brasileiros tinham uma ocupação em novembro
de 2020? Aproximadamente 84,7 milhões de brasileiros.
2. Que categoria de emprego teve o maior percentual de afastamento do trabalho em
decorrência do distanciamento social em novembro de 2020? Esse percentual corres-
ponde a quantos trabalhadores dessa categoria?
3. Que categoria teve a maior quantidade de trabalhadores afastados em decorrência do
distanciamento social em novembro de 2020? Quantos trabalhadores foram afastados?
4. Junte-se a um ou mais colegas, e pesquisem a seguinte afirmação do texto: “diferen-
temente de recessões anteriores, desta vez os trabalhadores informais foram mais
atingidos que os formais.”. Converse com os colegas e o professor sobre o resultado
dessa pesquisa, e debatam sobre os principais impactos sociais da pandemia de covid-19.
2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse percentual corresponde a 553 420 trabalhadores.
3. Categoria de empregado do setor privado com carteira assinada. Foram afastados 673 365 trabalhadores.
4. Respostas pessoais. Espera-se que os
estudantes indiquem a carência de estabilidade
profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção
social ou a seguros de vida e de saúde como possíveis
causas para o desfavorecimento dos trabalhadores
informais durante a pandemia de covid-19.
EDITORIA DE ARTE
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BOLDG/SHUTTERSTOCK.COM
Representação de cena de teste
de temperatura realizado em
trabalhadores na chegada ao
local de trabalho.
APCHANEL/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Função quadrática
O objetivo é levar os estudan-
tes a reconhecer e compreender
funções quadráticas. Recomenda-se
que a leitura e o entendimento
do texto do Livro do estudante
sejam feitos por etapas.
Antes de ler o texto sobre
os números triangulares, explo-
rar o quadro de modo que os
estudantes possam encontrar
uma lei de formação para a
sequência. Pedir que, no caderno,
completem o quadro para x =
= 6 e x = 7, de modo que possam
perceber a regularidade exis-
tente na formação dos números
triangulares. Destacar que, para
formar um novo triângulo, acres-
centa-se uma linha de bolinhas
na base. Essa abordagem favo-
rece o raciocínio indutivo e a
argumentação com base em
conhecimentos matemáticos.
Estabelecer um diálogo com a
turma por meio de perguntas a
respeito do texto e as respostas
dadas pelos estudantes. Assim,
é possível verificar a compreen-
são deles e as possíveis dúvidas.
Se julgar pertinente, estender
essa proposta para outras sequên
cias numéricas, por exemplo, os
números quadráticos.
Na segunda etapa, ler com os
estudantes a história da soma
de Gauss. Explorar o raciocínio
que ele desenvolveu para chegar
à resposta de maneira rápida,
surpreendendo seu professor, a
fim de que os estudantes perce-
bam a relação entre os números
triangulares e a soma de Gauss.
AMPLIANDO
Atividade complementar
Solicitar aos estudantes uma pesquisa a respeito
da vida de Gauss. O objetivo é incentivar o gosto dos
estudantes pela Matemática, conhecendo um pouco
da vida e da trajetória de um dos mais importantes
matemáticos que a humanidade conheceu.
272
FUNÇÃO
QUADRÁTICA
CAPÍTULO
3
Você sabe qual é a soma dos cinco primeiros números inteiros positivos? Para
calcular, é simples:
S
5
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, ou seja, S
5
= 15.
Os números dados por adições como essas indicam quantidades que podem ser
representadas por pontos dispostos como figuras triangulares. Por isso, esses números
são conhecidos como números triangulares. Observe alguns exemplos.
x Formação triangular S
x
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
; ; ;
Observe que a cada valor de x corresponde um único valor de S
x
, que é a soma
dos x primeiros números inteiros positivos.
E para obter a soma dos 100 primeiros números inteiros positivos, você conhece
um método eficiente?
Conta-se que Carl Friedrich Gauss (1777-1855), um dos mais importantes mate-
máticos da história, teria feito esse cálculo em apenas alguns minutos. Acompanhe
como Gauss calculou essa soma.
S
10 0
=1+2+3+4+...+97+98+99+100
+ S
10 0
=100+99+98+97+...+4+3+2+1
2 ? S
10 0
=101+101+101+101+...+101+101+101+101
2 ? S
10 0
=100?101
S
100101
2
100
=
?
S
100(100 1)
2
100=
?+

S
10 0
= 5 050
EDITORIA DE ARTE
100 parcelas 100 parcelas 100 parcelas
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na terceira etapa, explorar o
exemplo que relaciona a Álgebra
e a Geometria. Explicar que o
retângulo ABCD foi decom-
posto em um quadrado de lado
de medida x e três retângulos.
Desse modo, a área do retân-
gulo ABCD será dada em função
da medida x.
Calcular, com a colaboração
da turma, as respectivas áreas até
obter o polinômio do 2
o
grau que
representa a área do retângulo
ABCD. Mostrar que o valor de y
depende do valor de x e atribuir
alguns valores para x para que a
turma perceba essa relação de
dependência.
Em seguida, definir a função
quadrática, destacando seus
coeficientes.
273
Aplicando a estratégia de Gauss à soma dos x primeiros números inteiros positivos, podemos
associar a cada número x um único número y pela função definida por:
polinômio do 2
o
grau na variável x
y
x(x1)
2
=
+
ou y
x
2
x
2
2
=+
Agora, vamos analisar outra situação que pode ser expressa por um polinômio do 2
o
grau na
variável x.
Na figura representada a seguir, a área y do retângulo ABCD é dada em função da medida x
indicada na figura.
x7
x
4
D
A
B
C
1 2
3 4
Área do retângulo ABCD = área de 1 + área de 2 + área de 3 + área de 4
y = x ? x + 7 ? x + 4 ? x + 7 ? 4
y = x
2
+ 7x + 4x + 28
y = x
2
+ 11x + 28
polinômio do 2
o
grau na variável x
Observe que, nas duas situações apresentadas, a função é definida por um polinômio do
2
o
grau na variável x.
De modo geral:
Função quadrática é toda função definida pela sentença matemática y = ax
2
+ bx + c,
com a, b e c números reais e a 5 0.
Observe alguns exemplos de funções quadráticas.
• y = x
2
+ 2x _ 8
• y = _x
2
+ 9x _ 18
• y = x
2
_ 9
• y = 4x
2
_ 4x + 1
• y = _2x
2
+
6
• y = _3x
2
_ 2x + 1
Considerando as definições dadas e os conhecimentos que você já tem, acompanhe o
exemplo a seguir.
Dado o número real 7, vamos calcular a imagem desse número pela função dada por
y = 3x
2
_ 4x + 1.
Nesse caso, temos x = 7. Efetuamos, então:
y = 3 ? (7)
2
_ 4 ? (7) + 1 = 147 _ 28 + 1 = 120
Logo, a imagem do número real 7, pela função dada, é 120.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Os objetivos dessas ativida-
des são levar os estudantes a
reconhecer funções quadráti-
cas, determinar a imagem de um
elemento por meio de funções
desse tipo e resolver problemas
com essas funções.
Orientar os estudantes a
relacionar as diferenças que
encontram entre função afim e
função quadrática.
Incentivar os estudantes a
resolver a atividade 2 usando
diferentes estratégias, como:
1. A subtração de áreas:
Área colorida = Área do
quadrado _ Área branca
y = 5 ? 5 _ (5 _ x)x
y = 25 _ 5x + x
2
2. Decompor a figura e adicio-
nar as áreas:
Área colorida = Área 1 +
+ Área 2, sendo Área 1
relacionada ao quadrado de
lado x e Área 2 relacionada
ao retângulo de lados 5 e
5 _ x.
y = x ? x + 5 ? (5 _ x)
y = x
2
+ 25 _ 5x
Discutir com os estudantes
qual estratégia eles conside-
ram a melhor. Depois, pedir
que justifiquem a resposta.
No desafio 8, orientar os
estudantes a observar as regula-
ridades geométricas nas figuras
e os valores obtidos no quadro a
fim de que possam identificar a
relação entre o número de qua-
dradinhos roxos e o número de
cada figura. Uma vez estabele-
cida essa relação, eles podem
escrever a lei de formação cor-
respondente. Essa abordagem
favorece o desenvolvimento do
raciocínio indutivo, uma vez
que os estudantes vão buscar
uma regra para a formação da
sequência, com base nos resul-
tados obtidos anteriormente.
274
Responda às questões no caderno.
1. O volume y do
bloco retangular
é dado em função
da medida x indi-
cada na figura. Qual é a sentença
mate mática que define essa função?
2. No quadrado represen-
tado, a área y da região
colorida de laranja é
dada em função da
medida x. Escreva a lei
que define a função
dada por essa relação.
3. Considerando a função definida por
y = x
2
_ 15x + 26, determine a imagem
do número real 10 por essa função. _24
4. Dada a função definida por
y = 6x
2
_ x _ 3, qual é a imagem do
número real
1
2
por essa função? _2
5. Utilizando a sentença matemática
y
x(x1)
2
=
+
, que foi descrita no início
deste capítulo, calcule:
x
x
5
5
y = x
2
+ x
y = x
2
_ 5x + 25
ATIVIDADES
a) a soma y dos 1 000 primeiros números
inteiros positivos. 500 500
b) o número inteiro positivo para que a
soma y seja igual a 66. 11
6. A soma y dos x primeiros números ímpares
positivos é uma função definida pela lei
y = x
2
.
a) Calcule a soma dos 100 primeiros núme-
ros ímpares positivos. 10 000
b) Calcule x, de modo que se tenha y = 256.
c) Qual é a maior parcela (número ímpar)
da adição referente ao item b? 31
7. Dadas as funções definidas por f = 0,7t
e g = t _ 0,15t
2
, responda às questões
a seguir.
a) Considerando t = 1, qual será o valor
de f? E o valor de g? f = 0,7 e g = 0,85.
b) Existe algum valor positivo de t para o qual
as funções f e g assumem o mesmo valor?
Se sim, qual é esse valor? Sim, t = 2.
c) Para t = 4, qual dessas funções assume
o maior valor?
16
Para t = 4, temos que f = 2,8
e g = 1,6. Portanto, f assume o maior valor.
DESAFIO
8. Observe a sequência de figuras e faça o que se pede.
a) Copie e complete este quadro para
analisar como podemos calcular a quan-
tidade de quadrinhos de qualquer uma
das figuras dessa sequência.
b) A figura n tem:
• quantos quadrinhos no total? n
2
• quantos quadrinhos roxos? n
• quantos quadrinhos azuis? n
2
_ n
c) Escreva a lei de formação que fornece a quantidade y de quadrinhos azuis em função do
número n da figura. y = n
2
_ n
Figura 1. Figura 2.
Figura 3. Figura 4. Figura n.
x + 1
1
x
Figura 12345678
Total de
quadrinhos
Quadrinhos
roxos
Quadrinhos
azuis
1491625364964
12345678
0261220304256
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ao trabalhar o gráfico da função
quadrática, destacar as caracte-
rísticas da parábola, curva que
representa o gráfico dessa função,
como a simetria em relação ao
eixo y e o vértice, ponto em
que a parábola muda de com-
portamento. Exemplificar essas
características usando as duas
curvas representadas na página.
Conhecer as características da
parábola pode contribuir para
a compreensão da construção
do gráfico da função.
AMPLIANDO
Link
ÁUDIOS DA COLEÇÃO M3. (Série O que é?) O que
é parábola, 19 set. 2020. Anchor do Spotify. Dispo-
nível em: https://m3.ime.unicamp.br/recursos/1293.
Acesso em: 29 jul. 2022.
No
link, você acessa um programa em que o apre-
sentador discute com um convidado especial, contando
com algumas participações de ouvintes, o significado
da palavra parábola no contexto da Matemática.
275
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
No capítulo anterior, estudamos que o gráfico de uma função afim, dada por y = ax + b, para
x [ r, é uma reta.
Agora, vamos conhecer a curva que representa o gráfico de uma função quadrática.
Acompanhe os exemplos.

1 Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função definida por y = x
2
_ 4, sendo x um número
real qualquer.
Inicialmente, vamos atribuir alguns valores reais
para x, como os valores _3, _2, 0, 2, 3, substi-
tuí-los na lei de formação da função e calcular
os respectivos valores de y, determinando os
seguintes pares ordenados (x, y).
x y (x, y)
_3 5 (_3, 5)
_2 0 (_2, 0)
0 _4 (0, _4)
2 0 (2, 0)
3 5 (3, 5)
O conjunto de todos os pontos (x, y), com x real
e y = x
2
_ 4, é o gráfico da função. Esse
gráfico é representado por uma curva chamada de parábola. O ponto V, indicado na figura,
chama-se vértice da parábola.

2 Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y = _x
2
+ 4x, sendo x um número
real qualquer.
Inicialmente, vamos determinar alguns
pontos (x, y).
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 3 (1, 3)
2 4 (2, 4)
3 3 (3, 3)
4 0 (4, 0)
O conjunto de todos os pontos (x, y), com
x real e y = _x
2
+ 4x, que é o gráfico da
função, corresponde a esta parábola.
_4
0_3_2_12 13
y
V
54321_1_2_3
x
0213 4
y
V
x
4
321
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Localizando esses pontos no plano car-
tesiano, temos:
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Na atividade 1, os estudantes
vão determinar as coordenadas
do vértice da parábola de cada
uma das funções apresentadas.
Espera-se que eles apliquem as
relações vistas anteriormente para
x
v
e y
v
. Verificar se eles tomam
cuidado com os sinais ao realizar
os cálculos.
Na atividade 2, comentar
que o gráfico traçado começa em
(0, 150), pois o eixo x indica a
quantidade de dias após o término
da propaganda. Logo, não é
possível considerar x negativo.
276
Nos exemplos dados, cada parábola possui um ponto V (um vértice), cujas coordenadas
passaremos a indicar por (x
v
, y
v).
É possível demonstrar que o vértice de uma parábola dada pela função y = ax
2
+ bx + c
pode ser obtido calculando-se:
• x
v
x
b
2a
v=
_
• y
v
= ax
2
v
+ bx
v
+ c
No exemplo 1 da página anterior (y = x
2
_ 4), verificamos que V(0, _4).
Considerando a = 1, b = 0 e c = _4, podemos calcular o valor de x
v
e y
v
.
x
v
x
b
2a
(0)
21
0
2
0
v
=
_
=
_
?
==
y
v
= x
2
v
_ 4 = (0)
2
_ 4 = _4
Logo, V(0, _4).
No exemplo 2 (y = _x
2
+ 4x), verificamos que V(2, 4).
Considerando a = _1, b = 4 e c = 0, temos:
x
b
2a
(4)
2(1)
4
2
2
v=
_
=
_
?_
=
_
_
=
y
v
= _x
2
v
+ 4x
v
= _2
2
+ 4 ? (2) = _4 + 8 = 4
Logo, V(2, 4).
O vértice tem um papel importante na parábola, conforme estudaremos mais adiante.
Responda às questões no caderno.
1. Determine as coordenadas (x, y) do vértice
da parábola que representa cada uma
das funções definidas a seguir.
a) y = x
2
+ 6x + 8 (_3, _1)
b) y = x
2
_ 2x _ 8 (1, _9)
c) y = _x
2
+ 8x _ 15 (4, 1)
d) y = _4x
2
+ 6x






3
4
,
9
4







3
4
,
9
4
e) y = x
2
+ 6x + 11(_3, 2)
f) y = _x
2
+ 36 (0, 36)
g) y = _x
2
+ 7x _ 10






7
2
,
9
4







7
2
,
9
4
h) y = x
2
_ 10x + 24 (5, _1)
i) y = 2x
2
_ 4x _ 1 (1, _3)
j) y = _4x
2
_ 2x






1
4
,
1
4
_






1
4
,
1
4
_
ATIVIDADES
2. (UMC-SP) Uma loja fez campanha pu-
blicitária para vender seus produtos
importados.
0 x
v
x‘
y
v150
x (dias)
y (unidades)
Suponha que x dias após o término da
campanha as vendas diárias tivessem sido
calculadas segundo a função y = _2x
2
+
+ 20x + 150, conforme o gráfico.
a) Depois de quantos dias (x
v), após encer-
rada a campanha, a venda atingiu o valor
máximo? Depois de cinco dias.
b) Depois de quantos dias as vendas se redu-
ziram a zero (y = 0)? Depois de 15 dias.
EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Zeros da função quadrática
Se preferir, organizar a turma
em pequenos grupos e desafiá-
-los a descobrir quantos zeros
a função quadrática admite.
Combinar um tempo para que
troquem ideias e possam levantar
e validar hipóteses. Essa estraté-
gia de aprendizagem em equipe
favorece o desenvolvimento da
argumentação, à medida que
os estudantes fazem inferên-
cias, explicam suas hipóteses e
identificam limitações nas argu-
mentações do colega, bem como
aprendem a ouvir e a colaborar
com a turma, contribuindo para
o trabalho com as competências
gerais 7 e 9.
Retomar o conceito de zero
da função com um exemplo de
função afim. Em seguida, ques-
tionar os estudantes a respeito
de quantos zeros eles imagi-
nam que a função quadrática
admite. Incentivá-los a respon-
der à questão pensando no que
conhecem do gráfico da função
quadrática e das raízes da equação
do 2
o
grau. Espera-se que eles
percebam que, assim como a
equação do 2
o
grau, a função
quadrática pode ter dois, um
ou nenhum zero, a depender do
discriminante da equação y = 0.
AMPLIANDO
Vídeo
FUNÇÃO QUADRÁTICA – Zeros ou raízes da função quadrática. 2018.
Vídeo (5min56). Publicado pelo canal 300 segundos de Matemática.
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=15dw_gOIM-Q.
Acesso em: 29 jul. 2022.
No link, há uma videoaula apresentando exemplos de funções
quadráticas, analisando seus gráficos e raízes de acordo com o dis-
criminante, utilizando o software GeoGebra como ferramenta.
277
ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Dada a função definida por y = ax
2
+ bx + c, os valores reais de x para os quais se tem
y = 0 (ou ax
2
+ bx + c = 0) são denominados zeros (ou raízes) da função quadrática.
Algebricamente, os zeros da função quadrática são obtidos ao resolvermos a equação do
2
o
grau ax
2
+ bx + c = 0. Além disso, a quantidade de zeros da função depende do valor
do discriminante (D = b
2
_ 4ac) dessa equação. Assim:• Quando D . 0, a função tem dois zeros (ou raízes) reais diferentes.
• Quando D = 0, a função tem dois zeros (ou raízes) reais iguais.
• Quando D , 0, a função não tem zeros (ou raízes) reais.
Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Determinar os zeros da função definida por y = x
2
+ 2x _ 3.
x
2
+ 2x _ 3 = 0
a = 1 b = 2 c = _3
D = b
2
_ 4ac = (2)
2
_ 4 ? (1) ? (_3) = 4 + 12 = 16

x
b
2a
216
2(1)
24
2
=
_± D
=
_±
?
=
_±
x
24
2
2
2
1‘=
_+
==
x
24
2
6
2
3’=
__
=
_
=_

Como D = 16 (D . 0), a função tem dois zeros reais, que são os números 1 e _3.

2 Determinar os zeros da função definida por y = x
2
_ 4x + 4.
x
2
_ 4x + 4 = 0
a = 1 b = _4 c = 4
D = b
2
_ 4ac = (_4)
2
_ 4 ? (1) ? (4) = 16 _ 16 = 0
xx
b
2a
(4)
2(1)
4
2
2‘=’=
_
=
__
?
==
Como D = 0, a função tem dois zeros reais iguais, que é o número 2.

3 Determinar os zeros da função dada por y = _x
2
+ 4x _ 5.
_x
2
+ 4x _ 5 = 0
a = _1 b = 4 c = _5
D = b
2
_ 4ac = (4)
2
_ 4 ? (_1) ? (_5) = 16 _ 20 = _4
Como D = _4 (D , 0), a equação não tem solução no conjunto dos números reais. Com isso,
a função não tem zeros reais.
Geometricamente, os zeros da função correspondem aos valores de x nos pontos de intersecção
da parábola com o eixo x, pois nesses pontos tem-se y = 0.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Durante a discussão sobre os
zeros da função quadrática, incen-
tivar os estudantes a justificar as
hipóteses levantadas represen-
tando esboços do gráfico de
uma função quadrática quando
ela tem dois zeros, um zero ou
nenhum zero. Pedir também
que variem a concavidade da
parábola nessas representações.
Atividades
Ao responder à atividade 1,
espera-se que os estudantes iden-
tifiquem os zeros de cada função
para determinarem os pontos
em que o gráfico intersecta o
eixo x e analisem o que ocorre
com o valor do discriminante.
Assim, no item d, vão concluir
que o gráfico não intersecta o
eixo x, pois vão encontrar _3
para o valor do discriminante.
Na atividade 3, os estudan-
tes devem se lembrar de que os
pontos em que a parábola corta
o eixo x correspondem aos zeros
da função que ela representa.
278
• No gráfico da função dada por y = x
2
+ 2x _ 3,
do exemplo 1, em que D . 0, a parábola intersecta
o eixo x em dois pontos: (_3, 0) e (1, 0).
x
y zero da
função
zero da
função
1_3
• No gráfico da função y = x
2
_ 4x + 4, do
exemplo 2, em que D = 0, a parábola
tangencia o eixo x, isto é, tem um único
ponto em comum com esse eixo, no caso,
o ponto (2, 0).
zero da função
x
y
4
2
• No gráfico da função y = _x
2
+ 4x _ 5,
do exemplo 3, em que D , 0, a parábola
não intersecta o eixo x.
x
y
A função não
tem zero.
As condições verificadas nos gráficos têm relação com o valor do discriminante D. Acompanhe.
• Quando D . 0, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos.
• Quando D = 0, a parábola e o eixo x têm apenas um ponto em comum, ou seja, a parábola
tangencia o eixo x.
• Quando D , 0, a parábola não intersecta o eixo x.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. Verifique se a parábola que representa
o gráfico das funções definidas em cada
item intersecta ou não o eixo x.
a) y = x
2
_ 2x _ 24 c) y = _x
2
+ 9x _ 14
b) y = x
2
_ 6x + 9 d) y = x
2
_ 7x + 13
2. Determine, algebricamente, os zeros das
funções quadráticas definidas por:
1. a) Intersecta.
b) Intersecta.
c) Intersecta.
d) Não intersecta.
ATIVIDADES
a) y = x
2
_ 25.
b) y = _x
2
+ 6x.
c) y = _x
2
+ x + 6.
d) y = 9x
2
_ 1.
e) y = _4x
2
+ 4x _ 1.
f) y = 6x
2
+ 6x.
3. Sem construir o gráfico das funções a
seguir, determine as coordenadas (x, y)
dos pontos em que o gráfico dessas
funções corta o eixo x.
a) y = x
2
_ 16 c) y = 3x
2
_ 21x
b) y = _x
2
+ 12x _ 36 (6, 0)
_5 e 5.
0 e 6.
_2 e 3.
1
3
e
1
3
_ .
1
2
0 e _1.
3. a) (_4, 0) e (4, 0).
c) (0, 0) e (7, 0).
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Concavidade da parábola
Se julgar conveniente, propor
aos estudantes que trabalhem
com o simulador sugerido no
Ampliando, de modo que possam
construir o gráfico de diferen-
tes funções quadráticas visando
perceber a condição para que
a concavidade da parábola seja
voltada para cima ou para baixo.
Preparar de antemão as funções
para as quais eles devem cons-
truir o gráfico, além das funções
trabalhadas no Livro do estu-
dante. Essa abordagem favorece
o desenvolvimento do raciocí-
nio inferencial, à medida que
buscam explicar uma regra por
meio de diversos exemplos.
AMPLIANDO
Simulador
GERADOR de gráfico de uma função. c-online. [ S. l.],
c2022. Disponível em: https://www.calc-online.xyz/
gerador-de-grafico-de funcao#. Acesso em: 29 jul. 2022.
No
link, há uma calculadora on-line com um simu-
lador de gráficos de função. É possível entrar com a
lei de formação da função e ajustar o intervalo que se
quer a representação.
279
CONCAVIDADE DA PARÁBOLA
Considere as funções quadráticas definidas a seguir e os esboços dos gráficos de cada
uma delas.
• y = x
2
_ 9 • y = _x
2
+ 4x
x
_33
V
04
V
x
• y = 4x
2
_ 4x + 1 • y = _x
2
+ 10x _ 25
x
V
1
2
5
V
x
• y = x
2
_ 2x + 5 • y = _x
2
+ 4x _ 5
x
V
x
V
Observe, nessas funções, que a . 0, e
a parábola tem a concavidade voltada
para cima.
Observe, nessas funções, que a , 0, e
a parábola tem a concavidade voltada
para baixo.
De modo geral, temos:
• Quando a . 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
• Quando a , 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Para concluir o estudo do gráfico
da função quadrática, é apresen-
tado um quadro mostrando os
fatores que influenciam nessa
representação. Como sugestão de
abordagem, reproduzir o quadro
na lousa sem as informações des-
tacadas com fundo colorido. Em
seguida, convidar alguns estudan-
tes para completar as informações
que estão faltando. Desse modo,
eles podem retomar esses concei-
tos e esclarecer possíveis dúvidas.
Traçando o gráfico de
uma função quadrática
no plano cartesiano
O objetivo é levar os estudan-
tes a determinar os zeros de uma
função quadrática, observar que
a parábola pode intersectar o eixo
x em dois pontos, em um ponto
(tangenciando) ou em nenhum
ponto, associar o discriminante
da função quadrática ao fato de
a parábola intersectar ou não
o eixo x e associar os zeros da
função às abscissas dos pontos
em que a parábola intercepta o
eixo x. Considerando esses fatos,
espera-se que compreendam
como traçar o gráfico da função
quadrática no plano cartesiano.
Trabalhar os procedimentos
destacados, construindo os grá-
ficos de algumas funções. Ao
final, propor aos estudantes
que elaborem um fluxograma
descrevendo os passos para a
construção do gráfico de uma
função quadrática. Essa aborda-
gem favorece o desenvolvimento
do pensamento computacio-
nal, uma vez que eles devem
pensar em uma sequência de
instruções que podem ser pro-
cessadas por um computador,
contribuindo para o desenvolvi-
mento da competência geral 5.
280
Podemos fazer um resumo dessas características das funções quadráticas, por meio de esboços
dos gráficos dessas funções, como mostrado no quadro a seguir.
a . 0
Concavidade voltada
para cima
a , 0
Concavidade voltada
para baixo
D . 0
A função tem dois zeros reais
distintos, e a parábola corta
o eixo x em dois pontos.
x
x
D = 0
A função tem dois zeros reais iguais,
e a parábola tangencia o eixo x.
x
x
D , 0
A função não tem zeros reais,
e a parábola não corta o eixo x.
x

x

TRAÇANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
QUADRÁTICA NO PLANO CARTESIANO
Para traçar uma parábola, é conveniente seguir um planejamento para obter o gráfico
desejado. Acompanhe o roteiro a seguir.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
A
B
C
D
Determinar as coordenadas
do vértice: V(x
v
, y
v).
Marcar, no plano cartesiano,
os pontos (x, y) determinados.
Atribuir à variável x alguns valores
menores do que x
v
, alguns valores
maiores do que x
v
e obter os valores de y
correspondentes. Em seguida, organizar
esses pares ordenados em um quadro.
Unir esses pontos
e traçar a parábola.
IMGHANI/SHUTTERSTOCK.COM
Seguindo esse roteiro, vamos traçar os gráficos, no plano cartesiano, de algumas funções
quadráticas.

1 Esboçar, no plano cartesiano, o gráfico da função quadrática definida por y = x
2
+
+ 2x _ 3, sendo x um número real qualquer.
A Inicialmente, determine as coordenadas do vértice.

x
b
2a
(2)
2(1)
2
2
1
v=
_
=
_
?
=
_
=_
y
v
= x
2
v
+ 2x
v
_ 3 = (_1)
2
+ 2 ? (_1) _ 3 = 1 _ 2 _ 3 = _4
V(_1, _4)
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
Apresentar diferentes pará-
bolas que representem funções
quadráticas e pedir aos estudan-
tes que identifiquem os zeros da
função, explicando seu signifi-
cado. Retomar com eles esse
conceito na lousa para que, em
seguida, façam as atividades.
A atividade 3 tem como
objetivos levar os estudantes a
representar graficamente, no
plano cartesiano, a função qua-
drática, a associar a ela o gráfico
de uma parábola cujo eixo de
simetria é paralelo ao eixo das
ordenadas (eixo y) e a identificar
o vértice da parábola.
Organizar os estudantes em
quatro grupos. Um represen-
tante de cada grupo realizará um
item da atividade diretamente
na lousa, podendo ser ajudado
pelos colegas. Assim, todos terão
a oportunidade de acompanhar
as hipóteses construídas pelos
grupos, possibilitando a eluci-
dação de dúvidas.
Incentivar os estudantes a
encontrar o eixo de simetria
em cada função. Por exemplo,
o item a: y = x
2
_ 1, em que
o eixo de simetria é o próprio
eixo das ordenadas (y).
281
B Determine e organize os
pares ordenados.
x y
_3 0
_2 _3
_1 _4
0 _3
1 0
C Marque os pontos.
_1 1_2_3
_3
_4
y
x
0
D Trace o gráfico.
_1 1_2_3
_3
_4
V
y
x
0

2 Traçar o gráfico da função definida por y = _x
2
+ 4x _ 5, sendo x um número real qualquer.
A Determine as coordenadas do vértice.

x
v
x
b
2a
(4)
2(1)
4
2
2
v=
_
=
_
?_
=
_
_
=
y
v
= _x
2
v
+ 4x
y
_ 5 = _(2)
2
+ 4 ? (2) _ 5 = _1
V(2, _1)
B Determine e organize os
pares ordenados.
x y
0 _5
1 _2
2 _1
3 _2
4 _5
C Marque os pontos.
12 34
_2
_1
_5
y
x
0
D Trace o gráfico.
12 34
_2
_1
_5
y
x
0
V
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Responda às questões no caderno.
1. Sem construir o gráfico e observando
apenas o coeficiente a, verifique se a
parábola que representa o gráfico de
cada uma das funções definidas a seguir
tem a concavidade voltada para cima ou
para baixo.
a) y = x
2
_ 7x + 10 c) y = _x
2
+ 25
b) y = 3x
2
_ 7x + 4 d) y = _6x
2
+ x + 1
2. Os esboços seguintes são de gráficos de
funções quadráticas definidas pela lei
y = ax
2
+ bx + c, com a 5 0 e x [ r.
1. a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.
b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.
c) a = _1 (a , 0); concavidade para baixo.
d) a = _6 (a , 0); concavidade para baixo.
ATIVIDADES
Para cada esboço, escreva a condição do
coeficiente a e do discriminante D.
a)
x
b)
x
3. Para cada uma das funções definidas a
seguir, dê as coordenadas do vértice,
organize um quadro com alguns pares
ordenados convenientes e esboce o
gráfico no plano cartesiano, sendo x um
número real qualquer.
a) y = x
2
_ 1 c) y = x
2
+ 2x _ 8
b) y = _x
2
d) y = _x
2
+ 6x _ 9
a . 0 e D , 0.
a , 0 e D . 0.
Resposta na seção Resoluções comentadas
deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Ponto de mínimo e ponto de
máximo da função quadrática
Associar o estudo do ponto de
máximo e do ponto de mínimo
ao gráfico da função quadrática.
Retomar com a turma quando a
parábola tem a concavidade para
baixo e quando ela apresenta
a concavidade para cima. Em
seguida, por meio do compor-
tamento de cada gráfico, definir,
com a colaboração da turma, se
a parábola apresenta ponto de
mínimo ou de máximo. Além
disso, os estudantes não devem
ter dificuldades em reconhecer
que esses pontos coincidem com
o vértice da função.
Destacar que o ponto de
mínimo ou de máximo corres-
pondem à abscissa do vértice,
ou seja, ao ponto x
v
. Já o valor
de mínimo ou de máximo que
a função assume corresponde
à ordenada do vértice y
v
.
Saiba que
O boxe retoma o comporta-
mento da função quadrática e a
alteração que ocorre no vértice.
Destacar que o trecho da função
é crescente quando os valores de
x aumentam e os valores de y
também aumenta. Já a função
é decrescente no trecho em que
os valores de x aumentam e os
valores de y diminuem.
Descubra mais
O recurso sugerido pode ser
usado no estudo do compor-
tamento do gráfico da função
quadrática. Os estudantes podem
realizar as atividades propostas
ao longo do capítulo e depois
conferi-las usando o simulador
gráfico indicado ou outro. Pode-se
também propor que investiguem
situações por meio do simulador,
como o estudo da concavidade
da parábola e o número de zeros
da função quadrática, favore-
cendo o desenvolvimento da
competência geral 5.
282
O vértice da parábola é o ponto em que o comportamento da função muda. Se antes do vértice os valores de y
diminuem, depois do vértice eles começam a aumentar, indicando que y
v
é o menor valor que a função pode
assumir. Isso ocorre apenas quando a parábola tem a concavidade voltada para cima (a . 0).
Do mesmo modo, se antes do vértice os valores de y aumentam, depois do vértice eles começam a
diminuir, indicando que y
v
é o menor valor que a função pode assumir. Isso ocorre apenas quando a
parábola tem a concavidade voltada para baixo (a , 0).
SAIBA QUE
PONTO DE MÍNIMO E PONTO DE MÁXIMO
DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Observe o gráfico da função definida por y = x
2
+ 2x _ 3, em que a . 0, representado a seguir.
V
_3
_2
_1
x
y
_1_20 1_3
_4
Percorrendo o gráfico da esquerda para a direita, notamos
que os valores de y vão diminuindo até atingir o vértice. Depois,
esses valores vão aumentando. Nesse caso, dizemos que o vértice
é o ponto de mínimo da função, e o menor valor para y corres-
ponde a y
v
.
Agora, analise o gráfico da função definida por y = _x
2
+
+ 4x _ 5, em que a , 0.
Percorrendo o gráfico, da esquerda para a direita, notamos que os
valores de y vão aumentando até atingir o vértice. Depois, os valores
de y vão diminuindo. Nesse caso, dizemos que o vértice é o ponto de
máximo da função, e o maior valor para y corresponde a y
v
.
V
x
213 4
y
_1
0
_2
_3
_4
_5
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
GRÁFICO de quadráticas. PhET Interactive Simulations. Colorado, c2002-2022. Disponível em:
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_pt_BR.html.
Acesso em: 28 maio 2022.
O simulador Gráfico de quadráticas é um material manipulativo que envolve a representação e o estudo da
função quadrática. As seções Explore e Forma Padrão desse material auxiliam na aprendizagem da construção
de gráficos de funções quadráticas por meio do estudo dos coeficientes.
DESCUBRA MAIS
• Quando a . 0, a função definida por y = ax
2
+ bx + c tem um
valor mínimo, e o vértice é o ponto de mínimo.
• Quando a , 0, a função definida por y = ax
2
+ bx + c tem um
valor máximo, e o vértice é o ponto de máximo.
De modo geral, temos:
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Atividades
O objetivo dessas atividades é
determinar o ponto de mínimo
ou o ponto de máximo de uma
função quadrática.
Ao trabalhar a atividade 3,
pode-se realizar uma observa-
ção prática, de modo que os
estudantes possam lançar uma
bola cuja trajetória se pareça
com uma parábola. Se possível,
levar os estudantes à quadra da
escola, próximo à cesta de bas-
quete, e providenciar uma bola.
Eles deverão se posicionar em fila
única e, um a um, arremessar a
bola na cesta de basquete. Antes
de iniciar a atividade, pedir que
observem o movimento que a
bola faz. Caso não seja possível
utilizar a quadra, providenciar
uma lata e realizar a mesma
atividade, nesse caso, arremes-
sando uma bola de papel na lata.
Lembrar de garantir uma distân-
cia de pelo menos 4 metros entre
o estudante e a lata para que a
parábola, no percurso da bola
de papel, fique evidente.
Pedir aos estudantes que obser-
vem a altura máxima atingida
pela bola em seu percurso des-
crito por uma parábola; ressaltar
que essa altura máxima é o valor
máximo da função, dado pela
ordenada y
v
do ponto de máximo.
283
Acompanhe os exemplos a seguir.

1 A função definida por y = x
2
_ 3x _ 18 tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Quais
são as coordenadas desse ponto?
Pela função dada, a = 1; então, a . 0. Portanto, essa função tem um ponto de mínimo,
cujas coordenadas são:

x
v
x
b
2a
(3)
2(1)
3
2
v
=
_
=
__
?
=
y
v
= x
2
v
_ 3x
v
_ 18 =






3
2
22
_ 3 ?






3
2
_ 18 =
81
4
_





V
3
2
,
81
4
= _
A função tem ponto de mínimo de coordenadas






3
2
,
81
4
_. Nesse caso, o valor mínimo da
função é
81
4
_, que corresponde a y
v
.

2 A função definida por y = _x
2
_ 2x + 24 tem ponto de mínimo ou ponto de máximo? Quais
são as coordenadas desse ponto?
Como na função dada a = _1; então, a , 0. Portanto, essa função tem um ponto de máximo,
cujas coordenadas são:

x
v
x
b
2a
(2)
2 (1)
2
2
1
v=
_
=
__
?_
=
_
=_
y
v
= _x
2
v
_ 2x
v
+ 24 = _(_1)
2
_ 2 ? (_1) + 24 = 25
V(_1, 25)
A função tem ponto de máximo de coordenadas (_1, 25). Nesse caso, o valor máximo da
função é 25, que corresponde a y
v
.
Responda às questões no caderno.
1. Verifique se cada uma das funções defi-
nidas a seguir tem ponto de mínimo ou
ponto de máximo e dê as coordenadas
desse ponto.
a) y = x
2
_ 8x + 6 Ponto de mínimo; (4, _10).
b) y = _x
2
+ 4x + 5 Ponto de máximo; (2, 9).
c) y = _6x
2
+ 6x
Ponto de máximo;
1
2
,
3
2






.
d) y = x
2
_ 16
Ponto de mínimo; (0, _16).
e) y = x
2
_ 4x _ 45 Ponto de mínimo; (2, _49).
f) y = 3x
2
+ 6x Ponto de mínimo; (_1, _3).
g) y = _x
2
+ 9 Ponto de máximo; (0, 9).
h) y = 5x
2
_ 8x + 3
2. Sabe-se que a função definida por y =
= 3x
2
_ 6x _ 2 tem um ponto de mínimo.
Quais são as coordenadas desse ponto?
Ponto de máximo;
4
5
,
1
5





_ .
(1, _5)
ATIVIDADES
3. Um dardo é lançado da origem, segundo
determinado referencial, e percorre a
trajetória de uma parábola. A função
que representa essa parábola é dada por
y = _x
2
+ 4x. Quais são as coordenadas
do ponto em que esse dardo atinge a
altura máxima durante essa trajetória?
(2, 4)
BENTINHO
IMAGEM FORA
DE PROPORÇÃO.
AS CORES NÃO
SÃO REAIS.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
O GeoGebra é um software
livre e dinâmico de Matemática
que pode ser utilizado para o
estudo de diversos conteúdos
de Álgebra e de Geometria e em
todos os níveis de ensino. Além
do acesso on-line, é possível fazer
o download desse software em:
www.geogebra.org/download
(acesso em: 29 jul. 2022).
Explicar aos estudantes
que, para construir gráficos no
GeoGebra, precisamos digitar a
lei de formação da função. Iniciar
com a construção da reta, gráfico
da função afim. Pode-se solicitar
a eles que simulem a construção
de outros gráficos de função afim,
variando os valores dos coefi-
cientes a e b, e observar o que
acontece com a representação.
TECNOLOGIAS
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Nesta seção, utilizaremos o software gratuito GeoGebra para construir gráficos de funções
afins e gráficos de funções quadráticas e estudar algumas características dessas funções.
Para realizar as atividades descritas a seguir, acesse o GeoGebra on-line, disponível em:
https://www.geogebra.org/classic#graphing (acesso em: 27 maio 2022).
Gráfico da função afim
Vamos construir o gráfico da função afim definida por y = 2x + 4 e determinar os pontos
de intersecção desse gráfico com os eixos coordenados. Para isso, acompanhe os passos descritos
a seguir.

1 Abra o programa e, com o botão esquerdo do mouse, clique no campo Entrada e digite
y = 2x + 4. Em seguida, pressione o botão Enter do teclado. Na tela, aparecerá a reta
correspondente ao gráfico dessa função.

2 Clique no ícone , localizado ao lado da expressão que você digitou. Em seguida, clique no
ícone de três pontos, abaixo do botão anterior, e selecione a opção Pontos Especiais.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
IUZVYKOVA IAROSLAVA/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Realizar as explorações com os
estudantes e propor a construção
do gráfico de outras funções do
1
o
grau e do 2
o
grau para que eles
se apropriem das ferramentas e
funcionalidades desse software.
Se possível, organizar uma aula
no laboratório de informática
para que a atividade seja reali-
zada com a sua supervisão. Desse
modo, os estudantes poderão
esclarecer dúvidas durante o pro-
cesso. Acompanhar a execução
de cada etapa e verificar se os
estudantes são capazes de reali-
zá-las com autonomia. Pode-se
propor aos estudantes que traba-
lhem em duplas para que possam
exercer a colaboração entre eles.
AMPLIANDO
Texto
DORIGO, Marcio. Função quadrática: um estudo sobre
as representações gráficas. Monografia (Especialização
em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Cató-
lica de São Paulo, São Paulo, 2006. Disponível em: http://
www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/
artigos_teses/MATEMATICA/Monografia_Dorigo.pdf.
Acesso em: 30 jul. 2022.
Outras sugestões de atividades com gráficos de
funções quadráticas podem ser encontradas neste do-
cumento. Sugerimos que essas atividades sejam realizadas
no GeoGebra para que os estudantes possam focar no
comportamento das curvas.
Os pontos A e B aparecerão no gráfico, e as coordenadas desses pontos estarão indicadas
abaixo da sentença que define a função.
De acordo com o gráfico obtido, podemos observar que:
• o ponto A corresponde ao ponto em que o gráfico da função cruza o eixo x, ou seja, repre-
senta o zero da função;
• o ponto B corresponde ao ponto em que o gráfico da função cruza o eixo y.
Gráfico da função quadrática
Vamos construir o gráfico da função quadrática definida por y = x² _ 5x + 4 e determinar
os pontos de intersecção da parábola com os eixos coordenados e as coordenadas do vértice.
Para isso, acompanhe os passos descritos a seguir.

1 Abra novamente o programa e, com o botão esquerdo do mouse, clique no campo Entrada
e digite y = x² _ 5x + 4. Em seguida, pressione o botão Enter do teclado. Na tela, aparecerá
a parábola correspondente ao gráfico dessa função.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
IUZVYKOVA IAROSLAVA/SHUTTERSTOCK.COM
285
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Depois que os estudantes já
estiverem familiarizados com
o software e as ferramentas
para a construção de gráficos,
propor a realização das ativida-
des. As atividades exploram a
argumentação com base em
conhecimentos matemáticos,
contribuindo para o desenvolvi-
mento da competência geral 7.
Na atividade 1, espera-se
que os estudantes percebam
que, se pudéssemos dobrar a
representação no eixo y, as retas
se sobreporiam perfeitamente,
indicando que as retas são simé-
tricas em relação a esse eixo.
A atividade 2 explora o ponto
em que cada parábola cruza o
eixo y. Esse ponto tem coorde-
nadas (0, c). Caso os estudantes
não indiquem esse fato, pedir
que observem esse ponto no
gráfico das funções quando os
construírem.

2 Clique no ícone , localizado ao lado da expressão que você digitou. Em seguida, clique
no ícone de três pontos abaixo do ícone anterior e selecione a opção Pontos Especiais. Os
pontos A, B, C e D aparecerão no gráfico, e as coordenadas desses pontos estarão indicadas
abaixo da sentença que define a função.
De acordo com o gráfico, podemos observar que:
• A e B são os pontos em que a parábola cruza o eixo x, ou seja, são os zeros da função;
• o ponto C corresponde ao vértice da parábola e, nesse caso, ele é ponto de mínimo da função;
• D indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.
Utilizando o software GeoGebra, faça as atividades a seguir.
Responda às questões no caderno.
1. Construa o gráfico das funções definidas por y = 3x + 3 e g = _3x + 3 no mesmo
plano cartesiano. Compare essas representações e responda.
a) Quais são as coordenadas dos pontos em que a função dada por y = 3x + 3 cruza os eixos
coordenados? Eixo x: (_1, 0); e eixo y: (0, 3).
b) Quais são as coordenadas dos pontos em que a função dada por g = _3x + 3 cruza os
eixos coordenados? Eixo x: (1, 0); e eixo y: (0, 3).
c) Os gráficos dessas funções são simétricos em relação ao eixo y. Você concorda com essa
afirmação?
2. Considere as funções quadráticas definidas a seguir.
I. y = x
2
_ 4x + 4
II. y = _x
2
+ 3x _ 5
III. y = x
2
+ 2x + 1
IV. y = x
2
+ 4x + 4
V. y = _x
2
+ 6x _ 9
VI. y = x
2
+ 2x + 6
a) Apenas analisando a lei de formação das funções, o que é possível afirmar sobre o gráfico de
cada uma delas?
Há várias respostas possíveis. Exemplo de resposta: As parábolas terão concavidade
voltada para cima, exceto para as funções definidas em II e V.
b) Agora, construa o gráfico de cada uma das funções e verifique se a resposta ao item a
está correta. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
c) Observando o gráfico de cada uma das funções, indique o ponto em que a parábola cruza
o eixo y. I: (0, 4); II: (0, _5); III: (0, 1); IV: (0, 4); V: (0, _9); VI: (0, 6)
d) Você observa algo em comum entre a ordenada y do ponto em que cada parábola cruza o
eixo y e a lei de formação da respectiva função?
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
Espera-se que os estudantes observem os gráficos e concordem com a afirmação, pois o
eixo y representa um eixo de simetria em relação aos gráficos.
Espera-se que os estudantes percebam que o
gráfico de cada função cruza o eixo y no ponto (0, c), considerando y = ax² + bx + c.
IUZVYKOVA IAROSLAVA/SHUTTERSTOCK.COM
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Por toda parte
Sugerir uma discussão coletiva
para, inicialmente, explorar o que
é consumo eficiente de energia
elétrica, destacando hábitos
inadequados que causem des-
perdícios de energia e prejuízo
para toda a sociedade, além de
aspectos de uso adequado da
energia, favorecendo o trabalho
com o Tema Contemporâneo
Transversal Educação para o
Consumo.
Discutir o uso de energia pelas
empresas visando à otimização
dos processos e economia de
energia. Depois, explorar o texto
do Livro do estudante que trata
das cores das bandeiras tarifárias.
Se julgar pertinente, comentar
que, no Brasil, a maior parte da
energia elétrica produzida vem
de usinas hidrelétricas e que estas
dependem das águas das chuvas
para manter os reservatórios em
nível satisfatório. Quando esse
nível diminui, outras usinas são
acionadas e os custos de produ-
ção aumentam e por meio das
bandeiras tarifárias esse custo é
repassado ao consumidor. Por isso,
medidas de consumo consciente
de energia são importantes para
evitar desperdícios e economizar.
Promover uma roda de con-
versa para discutir as questões
propostas. Por meio das respos-
tas, verificar se os estudantes
reconhecem causas e conse-
quências de questões ambien-
tais e interesses e necessidades
de diferentes atores na temática
da energia elétrica, bem como
se apresentam consciência sobre
os impactos de decisões nos
grupos sociais, desenvolvendo,
assim, aspectos das competên-
cias gerais 7, 9 e 10.
287
DE OLHO NA BANDEIRA
Você já ouviu falar nas bandeiras tarifárias? A cor da bandeira na
cobrança da conta de energia elétrica pode interferir diretamente no
orçamento mensal e anual de uma casa. As bandeiras tarifárias indicam
para os consumidores o custo da geração de energia elétrica no Brasil. Por
exemplo, em períodos de escassez de água, chamados de crises hídricas, o
custo de geração de energia elétrica aumenta; por causa disso, a cobrança da bandeira
vermelha na conta de energia entra em vigor.
Sobre esse tema, leia o trecho da reportagem a seguir.
POR TODAPARTE
[...] Criadas em 2015 pela Aneel, as bandeiras tarifárias refletem os custos
variáveis da geração de energia elétrica [...]. Elas indicam quanto está custando
para o Sistema Interligado Nacional (SIN) gerar a energia usada nas casas, em
estabelecimentos comerciais e nas indústrias. Quando a conta de luz é calculada
pela bandeira verde, significa que a conta não sofre nenhum acréscimo.
A bandeira amarela significa que as condições de geração de energia não estão favoráveis,
e a conta sofre acréscimo de R$ 1,874 por 100 quilowatt-hora (kWh) consumido. A bandeira
vermelha mostra que está mais caro gerar energia naquele período. A bandeira vermelha
é dividida em dois patamares. No primeiro patamar, o valor adicional cobrado passa a ser
proporcional ao consumo, na razão de R$ 3,971 por 100 kWh; o patamar 2 aplica a razão de
R$ 9,492 por 100 kWh.
“Com as bandeiras tarifárias, o consumidor ganha um papel mais ativo na definição
de sua conta de energia. Ao saber, por exemplo, que a bandeira está vermelha, o consu-
midor pode adaptar seu consumo e diminuir o valor da conta (ou, pelo menos, impedir que
ele aumente)”, explica a Aneel.
MÁXIMO, Wellton; BRANDÃO, Marcelo. Agência Brasil explica: como funciona nova bandeira tarifária de luz.
Agência Brasil. Brasília, DF, 2 set. 2021. Disponível em: https://agenciabrasil.ebc.com.br/economia/noticia/2021-09/
agencia-brasil-explica-como-funciona-nova-bandeira-tarifaria-de-luz. Acesso em: 28 maio 2022.
Responda às questões no caderno.
1. Analise uma conta de luz, de preferência do local onde você reside, e responda.
a) Na conta de luz, é possível observar a cobrança de impostos e da bandeira tarifária? Identifique,
na conta que você analisou, o valor dos impostos e como foi a cobrança da bandeira tarifária.
Em seguida, faça uma pesquisa para descobrir qual é a finalidade desses impostos.
b) No período de bandeira verde, podemos concluir que há uma função linear que define o valor
total a ser pago em decorrência do consumo de energia? É possível definir a lei de formação
dessa função de acordo com a conta de energia que você analisou?
2. Você concorda com a afirmação da Aneel de que “Com as bandeiras tarifárias, o con-
sumidor ganha um papel mais ativo na definição de sua conta de energia”? Converse
com os colegas e o professor.
3. Debata com os colegas e o professor sobre ações que poderiam ser realizadas para
que as pessoas passassem a utilizar a energia elétrica de modo mais eficiente e sem
desperdícios. Em seguida, elaborem em grupo um plano de ações que possa efetivar
algumas das sugestões apresentadas pela turma.
Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Retomando o que
aprendeu
Antes de iniciar a resolução
das atividades desse bloco, pedir
aos estudantes que façam um
resumo dos principais conceitos
estudados na Unidade. Se neces-
sário, eles podem consultar o Livro
do estudante. Depois, solicitar a
eles que caracterizem as funções
afim e quadrática e seus gráficos.
Anotar as características levanta-
das por eles na lousa, de modo
que as ideias principais também
fiquem expostas. Em seguida,
pedir que resolvam as atividades.
Esse bloco de atividades pode
ser usado como avaliação de pro-
cesso. Espera-se consolidar os
conhecimentos dos estudantes
construídos na Unidade. Sugerir
que refaçam algumas ativida-
des anteriores dos assuntos que
surgirem dúvidas. Ressaltar tais
temas ao corrigir as atividades.
Na atividade 3, os estudan-
tes são levados a elaborar um
problema envolvendo grande-
zas diretamente proporcionais.
Comentar que essa relação entre
as grandezas pode ser descrita
por uma função linear tal que
y = ax, em que a corresponde
ao fator de proporcionalidade.
Por exemplo, podemos relacio-
nar o preço pago pela compra
de x produtos, y, e o preço uni-
tário a do produto. Convide os
estudantes a apresentar os pro-
blemas elaborados, destacando
a relação de proporcionalidade
entre as variáveis envolvidas.
288
Responda às questões no caderno.
1. (Enem/MEC) O valor cobrado por uma
corrida de táxi é calculado somando-se a
bandeirada, um valor fixo que é cobrado
em qualquer corrida, a um valor variável
que depende da distância percorrida.
Uma empresa de táxi cobra pela ban-
deirada o valor de R$ 4,50. Para corridas
de até 200 metros, é cobrada somente a
bandeirada, e para corridas superiores a
200 metros é cobrado o valor de R$ 0,02
para cada metro adicional percorrido.
Para analisar o valor cobrado, em real,
em função da distância percorrida, em
metro, a empresa elaborou um gráfico,
com uma simulação para uma distância
de 600 metros. O gráfico que representa
o valor da corrida, em real, em função da
distância percorrida, em metro, é
a)
b)
c)
d)
Alternativa d.
e)
2. A figura mostra o gráfico da função
definida por y = _x + 2.
0 x
y
2
2
Nessas condições, responda.
a) Para qual valor real de x temos y = 0?
b) Observando o gráfico, é possível afirmar
que, à medida que os valores de x au-
mentam, os valores de y aumentam ou
diminuem? Explique.
3. Elabore uma questão envolvendo uma
função que relacione duas grandezas,
de modo que elas sejam diretamente
proporcionais. Em seguida, troque o
caderno com um colega, e cada um
resolve a questão criada pelo outro.
4. (Unifor-CE) Dos números a seguir, o
único que NÃO pertence ao conjunto
imagem da função do segundo grau
definida por y = x
2
_ 3x + 2 é:
a) 1
b)
1
4
c) 0
d)
1
6
_
e)
1
3
_
IMAGENS: REPRODUÇÃO/ENEM, 2020.
EDITORIA DE ARTE
x = 2
2. b) Diminuem. Espera-se que os estudantes
observem o comportamento do gráfico, atribuam
alguns valores para x, calculem os valores de y
correspondentes e percebam que os valores de y
diminuem à medida que os valores de x aumentam.
3. Resposta pessoal. Resposta na seção Resoluções
comentadas deste Manual.
Alternativa e.
RETOMANDOAPRENDEU
O QUE
Uma função quadrática definida por y = ax
2
+
+ bx + c (com a 5 0 e x [ r) também pode ser
chamada de função do segundo grau.
SAIBA QUE
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Na atividade 5, é possível
pedir aos estudantes que indi-
quem se o vértice de cada função
quadrática representa o ponto de
mínimo ou o ponto de máximo
da função. Comentar que, se a
concavidade da parábola estiver
voltada para cima, o vértice repre-
senta o ponto de mínimo e, se a
concavidade da parábola estiver
voltada para baixo, o vértice
representa o ponto de máximo.
Destacar também que a conca-
vidade da parábola depende do
sinal do coeficiente a da função.
Quando a . 0, a parábola tem
concavidade voltada para cima
e, quando a , 0, a concavidade
da parábola é para baixo.
Um novo olhar
As questões apresentadas no
encerramento desta Unidade
buscam retomar os assuntos dis-
cutidos ao longo dela e sistematizar
alguns aspectos estudados sobre
as funções afim e quadráticas e
seus gráficos. É importante que os
estudantes respondam individual-
mente a cada uma das questões
para que possam perceber suas
próprias conquistas e possíveis
dúvidas a respeito de cada con-
teúdo abordado.
A primeira e a segunda ques-
tões retomam as representações
gráficas e os zeros da função afim.
A terceira e quarta questões
retomam os zeros e a concavi-
dade de uma função quadrática.
Se julgar conveniente, é possí-
vel explorar a quantidade de
zeros a partir do discriminante.
A última questão solicita aos
estudantes que citem aplicações
da função quadrática. Isso pode
ser compartilhado entre todos.
289
5. Para cada função quadrática definida
a seguir, indique as coordenadas do
vértice, organize um quadro de valores
conveniente e faça o gráfico no plano
cartesiano.
a) y = _x
2
+ 9 V(0, 9)
b) y = x
2
_ 5x






V
5
2
,
25
4
= _
c) y = x
2
_ 4x _ 5 V(2, _9)
d) y = x
2
+ x +
1
4






V
1
2
,0=_
6. Uma função quadrática é dada pela lei
y = (k _ 3)x
2
+ x. Para que valores de k
o gráfico dessa função é uma parábola
com a concavidade voltada para cima?
7. Para cada função quadrática a seguir,
identifique o ponto de máximo ou de
mínimo e dê as coordenadas desse ponto.
a) y = x
2
_ 25 Ponto de mínimo; (0, _25).
b) y = _x
2
+ 25 Ponto de máximo; (0, 25).
c) y = _x
2
+ 10x Ponto de máximo; (5, 25).
d) y = 4x
2
+ 4x + 1 Ponto de mínimo;
1
2
,0





_ .
8. (Prefeitura de Colômbia-SP) Sendo o
ponto P(4, 13) o ponto máximo da função
y = _x
2
+ mx + n, então, a soma entre
os valores de m e n é: Alternativa a.
a) 5 b) 8 c) 9 d) 11
5. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
k . 3
9. (Vunesp-SP) A parábola de equação
y = ax
2
passa pelo vértice da parábola
y = 4x _ x
2
.
Ache o valor de a: Alternativa a.
a) 1
b) 2
c) 3
d) _1
e) nda
10. (Fatec-SP) A distância do vértice da pa-
rábola y = _x
2
+ 8x _ 17 ao eixo das
abscissas é: Alternativa a.
a) 1
b) 4
c) 8
d) 17
11. (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrá-
tica definida por y = x
2
_ mx + (m _ 1),
onde m [ r, tem um único ponto em
comum com o eixo das abscissas. Então,
o valor de y que essa função associa a
x = 2 é: Alternativa d.
a) _2
b) _1
c) 0
d) 1
e) 2
Nesta Unidade, estudamos a noção de função e conjuntos domínio e imagem de
uma função. Após reflexões sobre esses temas, prosseguimos com o estudo da função,
observando os zeros da função e analisando o gráfico desse modelo de função.
Estudamos, também, a função quadrática, seu gráfico, como obter os zeros da função,
e a concavidade da parábola. Na abertura, verificamos a aplicação da função quadrática
no movimento parabólico. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao
longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.
• Como é a representação gráfica de uma função afim? Uma reta.
• Qual é a generalização do zero de uma função afim?
b
a
_
• Quantos zeros uma função quadrática pode ter? Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).
• O que define o sentido da concavidade da parábola?
• Cite duas aplicações para o conceito de função quadrática.
O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por
ax
2
+ bx + c (a 5 0 e x [ r).
Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Altura máxima atingida por um objeto em um lançamento
oblíquo e preço mínimo cobrado por um produto para que o lucro seja máximo.
UM NOVO OLHAR
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Tecnologias
Explicar aos estudantes que
Scracth é uma linguagem de pro-
gramação criada para iniciantes,
contendo um conjunto de regras
e comandos para criar animações,
jogos e outros programas inte-
rativos. O download pode ser
feito pelo link https://scratch.
mit.edu/download (acesso em:
3 ago. 2022); ou pode-se usar
a versão on-line, disponível em:
https://scratch.mit.edu/ (acesso
em 3 ago. 2022).
Comentar que, nessa seção,
eles vão escrever um código em
uma linguagem de programa-
ção que pode ser lido por uma
máquina. Esse código é escrito
por meio de comandos em uma
sequência lógica. Essa abordagem
favorece o desenvolvimento do
pensamento computacional,
uma vez que os estudantes vão
escrever uma sequência lógica de
instruções que podem ser pro-
cessadas por um computador,
contribuindo para a competên-
cia geral 5.
Se possível, levar os estudantes
para a sala de informática e rea-
lizar as atividades propostas em
pequenos grupos para que você
possa acompanhá-los, esclare-
cendo possíveis dúvidas. Caso não
seja possível, projete o software
para a turma em sala de aula.
Nesse caso, convide os estudantes
para realizar alguns comandos de
modo que todos tenham a opor-
tunidade de explorar o software.
Depois de acessar o link indicado
na página do Livro do estudante,
mostrar onde se localizam os
códigos (canto esquerdo da tela) e
como estão separados por catego-
ria. No canto inferior direito estão
os ícones Selecionar cenário e
Selecionar um Ator. Clicando
sobre eles, aparecem as opções.
Acompanhar o passo a passo
proposto no texto da seção e
esclarecer possíveis dúvidas.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/SCRATCH
DONATAS1205/SHUTTERSTOCK.COM
LOCALIZAÇÃO DE UM PONTO NO PLANO CARTESIANO
UTILIZANDO O COMPUTADOR
Nesta seção, vamos utilizar ferramentas do Scratch para localizar e deslocar objetos em uma
representação do plano cartesiano.
O Scratch é uma linguagem de programação em blocos gratuita. Voltada para crianças
e jovens, essa linguagem foi desenvolvida para facilitar, de modo prático e intuitivo, a criação
de programas.
No exemplo a seguir, vamos considerar uma situação em que se deseja levar um personagem
de menino até o cachorro dele, sabendo que o perso-
nagem se move apenas vertical ou horizontalmente.
Observe a localização dos personagens na malha
quadriculada que representa o plano cartesiano na
interface do Scratch (Figura 1). O lado de cada qua-
drado da malha mede 20 unidades.
Para obter a Figura 1, acesse a página inicial do
Scratch, disponível em: https://scratch.mit.edu/projects/
editor/?tutorial=getStarted (acesso em: 6 jun. 2022) e
acompanhe os passos a seguir.

1 Para inserir o cenário de plano cartesiano, clique no botão Selecionar cenário e
selecione o cenário Xy-grid-20px.

2 Em seguida, exclua o personagem de gato e clique no botão Selecione um Ator para
inserir o personagem de menino e o de cachorro. Selecione cada personagem, clique no
botão Tamanho, digite o número 20 e digite Enter para reduzir os personagens.

3 Na Figura 1, o ponto de intersecção das linhas em cinza no plano cartesiano representa
a origem, ou seja, o ponto (0, 0). Para posicionar o menino na origem, selecione esse per-
sonagem, digite 0 (zero) nos dois campos do bloco do menu Movimento e
clique nesse bloco.

4 Observa-se que o cachorro está localizado, em relação à origem, a uma distância equiva-
lente a oito vezes a medida do lado do quadrado da malha na direção do eixo x e a essa
mesma distância na direção do eixo y. Como o lado de cada quadrado da malha mede
20 unidades, conclui-se que o cachorro está no ponto cujas coordenadas são (160, 160).
Assim, selecione o cachorro, digite 160 em cada um dos campos do bloco
e clique nesse bloco.
Figura 1.
TECNOLOGIAS
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ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
Orientar os estudantes sobre
os movimentos dos personagens
no plano cartesiano. Caso tenham
dificuldades, lembre-os de que:
• x é responsável pelo movi-
mento do personagem na
horizontal;
• y é responsável pelo movi-
mento do personagem na
vertical.
Incentivá-los a explorar novas
ferramentas do Scracth e a resol-
ver a situação inicial de outras
maneiras. Para melhorar a com-
preensão das ferramentas básicas
do Scratch e desenvolver auto-
nomia na aprendizagem, oriente
os estudantes a pesquisar vídeos
e sites que ensinam a explorar
os recursos dessa linguagem
de programação. Uma opção é
indicar os tutoriais do Scratch,
os quais podem ser acessados
na própria interface do Scratch
na aba Tutoriais.
Depois de realizada a ativi-
dade 1, incentive os estudantes a
compartilhar as estratégias usadas
com os colegas para que per-
cebam que há muitas maneiras
de organizar os comandos para
obter o resultado pretendido.
Para a realização da atividade
2, sugerir aos estudantes que
utilizem outros comandos de movi-
mento, como os de giro ou passos.
Permitir que façam simulações e
explorem outros comandos para
que se familiarizem com as ferra-
mentas do software.
Verifique, agora, outro modo de resolver o problema anterior.
Considere que o menino se movimente por uma distância equivalente à
medida do lado de um quadrado da malha na direção do eixo x e pela mesma
distância na direção do eixo y, cuja sequência de blocos é mostrada na Figura 4.
Para o menino chegar até o cachorro, nesse caso, os dois últimos blocos
teriam de se repetir oito vezes.
Para simplificar essa ação, podemos usar um comando de repetição. Para
isso, selecione o bloco no menu Controle, digite 8 no campo
desse bloco e posicione os blocos e “dentro” do
bloco de repetição. Assim, com a sequência de blocos da Figura 5, também
é possível levar o menino até o cachorro.
Junte-se a um colega para realizar as atividades a seguir utilizando o Scratch.
1. Utilizando o comando de repetição, construam outras duas sequências de blocos que
executem a ação de levar o menino até o cachorro.
2. Insira e posicione dois personagens no cenário de plano cartesiano do Scratch utilizado
no exemplo desta seção. Em seguida, peça a um colega que, utilizando os blocos do
Scratch, elabore um algoritmo (sequência de etapas) para que um personagem seja
deslocado até a posição do outro personagem.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.
DONATAS1205/SHUTTERSTOCK.COM
Figura 4.
Figura 5.

5 Vamos, agora, determinar os passos para o menino chegar até o cachorro. Selecione o
menino e arraste o bloco do menu Eventos e o bloco do menu
Movimento. Para que o menino se movimente para a direita e para cima, digite 160 em
cada um dos campos dos blocos e do menu Movimento e
arraste-os.
Observe a sequência de etapas definida pelos blocos descritos (Figura 2) cujo objetivo é levar
o menino até o cachorro, como mostra a Figura 3.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/SCRATCH
Figura 2. Figura 3.
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UNIDADE 1
Números reais, potências e radicais
Abertura de Unidade – p. 12
• Resposta pessoal.
• Uma aproximação para o número p pode ser
obtida dividindo a medida do comprimento de
uma circunferência qualquer por duas vezes a
medida do raio dessa circunferência.
• Resposta pessoal.
1. A Geometria e a descoberta
do número irracional
Atividades – p. 18
1. a)
8
b)
c) 2,83
2. a)
5
b)
0
1
12 3
5
5
3. 2,23
4.
7; 2,64
Atividades – p. 20
1. a) 50,24 cm
b) 2,826 cm
c) 15,7 cm
d) 43,96 cm
2. a) 1,884 m b) 9 420 m
3. Aproximadamente 69,08 cm (considerando
p = 3,14)
4. 25 voltas.
5. 314 mudas.
2. Os números reais
Atividades – p. 22
1. a) 7
b) _3 e 7.
c) _3
d)
3
2
_; _1,4; 0,3333...
2.
7
0 1 2 327
10
3. a) V b) V c) F d) F
3. Potências
Pense e responda – p. 24
1. 2; 4; 8; 16; 32; 64
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
0
123
88
2. a) 64 b) 1 024 c) 2
n
Atividades – p. 27
1. a) 64
b) +169
c) _343
d) _0,9
e) 125
f) +10,24
g) _225
h)
32
243
_
i) +81
2. a) 7 777
b) 4 algarismos iguais.
c) 28
3. +32
4. _109
5. _3
6. Não é raiz.
7. a) 5 b) = c) 5 d) =
8. 5
4
9. a) +1 b) _1 c) +1 d) _1
10. Alternativa e.
11. a) 380
b) Resposta pessoal.
Atividades – p. 31
1. a) 3
b) 1
c)
1
3
d)
1
9
e)
1
27
f)
1
81
2. a) 0,5
b) 0,03125
c) 0,25
d) _0,0625
e) 0,015625
f) 0,1
g) 0,001
h) 0,04
3. a) 7
_5
c) 5
_6
b) 10
_9
d) 2
_10
4. a) 2
b) 25
c) _
8
125
d) 64
5. a) _
2
3
c) _
8
81
b) 8 d) 1
6. 6
7. a) 7
3
b) 2
_1
c) 8
_5
d) 5
12
e) 8
f) 2
3
g) 2
_3
h) 3
_1
8. a) x²
b) x²
c) x
_12
d) a
_3
9. a) 10² c) 2
_5
b) 5
7
d) 3
_3
10. a) 7
_2
? 13
_2
b) 9
_3
: 5
_3
c) 2
_2
? 5
_4
d) 3
_4
: 10
e) 2
_10
? 3
4
? 11²
f) 7
_2
: 10
4
11. x = 3 e A = _
5
6
.
12. Resposta pessoal.
Atividades – p. 33
1.
1
10
10
ou 10
_10
.
2. a) 8,7 ? 10
6
; 6 ? 10
6
; 1,1 ? 10
6
b) Resposta pessoal.
3. a) 2,3 ? 10
22
b) 6,8 ? 10³ e 2,05 ? 10
8
.
c) 1,06 ? 10
_8
4. a) 1 ? 10
_2
m
b) 1 ? 10
6
L
c) 1 ? 10
_6
g
Por toda parte – p. 34
Resposta pessoal.
Educação financeira – p. 35
R$ 2.275,00
4. Radicais
Pense e responda – p. 36
Não.
_9 é o oposto de 9; logo,
_=_93. Já
_9 não se define em r.
Atividades – p. 37
1. Duas:
16
4
_ e 1_.
2. 36; 144; 10; 100; 25
3. Sim; 11.
4. Sim, pois
255=.
5. a) 0,5
b) 0,2
c) 8
d) _10
e) _1
f) _5
Atividades – p. 40
1. a) 3 b) 7 c) 10 d) 5a²
2. a) 7
b) 3
c) 5
d) 2
e) 3
f) 7
3. a) x = 7
b) x = 1
c) x = 1
d) x =2
4. a)
2
3
b)
3 c) 10
4
d) 5
45
5. a)
2
b)
3
3
c)
3
4
d)
2
23
e)
2
34
f)
2
56
6. a) x = 4
b) x = 3
7. a)
57  ?
b)
3 3
ax ?
c)
311
27 7
   ?
d)
?
6 6
xy
e)
2a b  ??
f)
33
xx
yy
  ?
8. a)
2 ? 5 d) 2
7
? 3
7
? 5
7
b)
3
6
? 7
6
e) 3
10
? 5
10
c)
5
9
? 7
9
f) 2
3
? 7
3
? 11
3
Atividades – p. 42
1. a)
113
b) 2
7
6
c) 10
3
5
d) 6
6
e) 8
2
f) 35
7
3
2. a) x²
x c)
xx
4
e) xy
y
b) y
y
3 d) y
2
y
25 f) xy
y
25
3. a) 5
3
b) 10
7
c) 2
11
4
d) 20
2
4. a) 7,05 c) 12,2
b) 5,19 d) 22,3
5. 72 m
6. Resposta pessoal.
7. 24
8. a) 2 b) 10
Por toda parte – p. 43
1. 128
14 ou 473,6 m².
2. Resposta pessoal.
Atividades – p. 44
1. a)
162
b)
28
c)
500
d)
250
3
e)
64
5
f)
64a
g)
4a
3
h)
x
1310
i)
432b
43
2. a)
x
518
b)
xy
7310
3.
a
b
RESPOSTAS
292
D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV4.indd 292
D2-MAT-F2-2103-V9-PFI-290-304-LA-G24_AV4.indd 292 29/07/22 12:4629/07/22 12:46
292
D2_AV1-MAT-F2-2103-V9-FINAIS-292-304-MPE-G24.indd 292
D2_AV1-MAT-F2-2103-V9-FINAIS-292-304-MPE-G24.indd 292 04/09/22 14:1304/09/22 14:13

4. 3
78
5. x
x
y
3
3
4
6. Resposta pessoal.
Atividades – p. 46
1. a) 5
3 b) _5 c) 36
2. 70,5
3. 200,9 cm
4. a)
7
3
b)
1
5
5. 129,85 m
6. Resposta pessoal.
Atividades – p. 48
1. a) 4
3
b)
36
c) 14
6
d) 100
3
e) 120
2
f) 1 680
6
2. Perímetro: 68
2 cm; área: 570 cm².
3. a) 1 250 m²
b) Resposta pessoal.
4. a) 7
5 + 5
b) 3
5 + 53
c)
4243_
5. 134 _
663
6. a) 11 +
210
b) 14 _
65
c) 9 +
214
d) 17 _
270
7. a)
5 c)
36
b)
3
4
d)
210
8. a)
22
b)
92
c)
92
d)
52
9.
+323
2
Atividades – p. 50
1. a)
2
26
, 3
36
b)
a
921
,
b
1421
c)
3
820
, 3
1520
d)
2
1542
, 2
1842
e)
3
630
, 2
530
, 2
830
f)
3
810
,
6
10
,
2
510
2. a)
2
330
,
2
430
b)
3
3036
.
3
2236
c)
2
924
,
2
1224
3. Alternativa a.
4. a)
10
815
b)
7
310
c)
3
34
d)
2
320
e)
5
30
f)
7
6
g) 4
2
4
h)
6
1124
5. a)
ab
1124
b)
ab
5618
c)
a
b
5
5
6
d)
a
512
e)
ab
712
Atividades – p. 51
1. a) 21
b) 2
2
3
c) 192
d) 42
4
e)
5
2
f) 2
2. a) a
2
b c) a
4
b
5

b
3
b) ab
4
a
3
d)
a
b
3
3. 4
2
4. 8 000
5. 1,22
6. a) 5 + 2
6
b) 8 _
27
c) 7
d) 14 + 4
10
e) 4
f) 29 +
66
Atividades – p. 53
1. a)
10
5
b)
6
c)
33
d)
10
2
e)
25
f)
6
2
g)
210
3
h)
6
5
i)
21
2
2. a)
33
3
_
b)
322
2
_
c)
510
5
+
d)
36
3
_
e)
21+
f)
510
5
+
3. a)
30
10
b)
15
5
c)
2
2
d)
2
4
e)
15
3
f)
10
4
4. Considerando
== ;,62,44921414 e 103,162= , calculamos:
a) 1,224
b) 0,632
c) 0,707
d) 0,816
5. a)
6
6
25
b)
35
23

c)
2
29
d) 2
3
510
e)
8
2
4
f)
210
311

6. a)
36
3
+
b)
5 _ 3
c)
_852
7
d) _
2
Atividades – p. 55
1. a) 2
3
7
b) 10
4
5
c) 2
5
2
d) 2
1
6
e) 11
1
2
f) 2
3
4
2. a)
5
23
c) 7 e) 6
32
b)
3
57
d) 6
43
f) 7
49
3. x
5
6 ;
x
56
4. a) 3
1
2;
(1,2)
3
; p
5
3 e 7
6
5
b)
3, ,12
5
; p
53
e p
65
c) Quando o índice do radical e o radicando têm
divisores comuns.
5. Resposta pessoal.
Atividades – p. 57
1. a) 8
b) 28
c) 36
d) 4
e) 2
f) 2
g) 11
h) 9
Retomando o que aprendeu – p. 58
1. a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
2. a) Finita.
b) Infinita e periódica.
c) Infinita e não periódica.
3. a) Sim;
49
7
.
b) _97;
49
7
c)
3_ e p.
d)
3_ e p.
e) 1,25;
49
7
;97;
3
5
_
4. Resposta pessoal.
5. Alternativa c.
6. Alternativa a.
7. Alternativa e.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
10. Alternativa e.
11. Alternativa a.
12. Alternativa d.
13. Alternativa a.
14. Alternativa d.
15. Alternativa c.
16. Alternativa b.
Um novo olhar – p. 59
• Podemos obter uma aproximação para o
número p dividindo o comprimento de uma
circunferência pelo comprimento do diâmetro,
ou seja, pelo dobro da medida do raio.
• Respostas pessoais.
• Traçando a diagonal de um quadrado cujo lado
mede 1.
• No conjunto dos números reais, não é possível
obter a raiz de um número negativo quando o
índice for um número par.
UNIDADE 2
Produtos notáveis e fatoração
Abertura de Unidade – p. 60
Respostas pessoais.
1. Produtos notáveis
Pense e responda – p. 65
(x + y) ? (x _ y) = x
2
_ xy + xy _ y
2
= x
2
_ y
2
Atividades – p. 67
1. a) 64x
2
_ 1
b) 100 + 60x + 9x
2
c) 49a
2
_ 14ab + b
2
d) x
2
+ xy + 0,25y
2
e) a
2
x
2
_ b
2
f) a
4
_ 8a
2
y + 16y
2
g) 1,96 _ a
2
b
2
c
2
h a
6
+ 2a
3
b
3
+ b
6
i) x
8
+ 10x
4
y
3
+ 25y
6
j) b
2
c
2
_
1
4
a
4
2. a) 9x
4
_ 4c
2
b) a
4
b
4
_ 6,25c
2
3. Alternativa a.
4. Alternativa d.
5. a) 9x
10
_ 3x
5
+ 0,25
b) _3
c) _6,75
6. a) V c) V
b) F; 9y
2
_ a
2
7. (2ax + 5)
2
= 4a
2
x
2
+ 20ax + 25
8. 16
9. _2ab
10. xy + a
3
11. 450
12. Alternativa d.
13. Alternativa d.
14. Alternativa c.
15. Não. A resposta correta é 4x
2
_ 4xy
3
+ y
6
.
16. a) 4 _ x b) 3x
2
293
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293
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17. Alternativa a.
18. O polinômio procurado é 8x _ 8y.
Atividades – p. 69
1. a) a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b) b
3
_ 3b
2
c + 3bc
2
_ c
3
c) 8a
3
+ 12a
2
+ 6a + 1
d) 1 _ 6a + 12a
2
_ 8a³
e) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
f) 27y³ _ 27y² + 9y _ 1
2. a) a
2
b _ ab
2
b) _2y³ _ 20x²y + 2xy²
c) 3a² _ 7a + 2
Tratamento da informação – p. 70
1. a) Aproximadamente 142,5 óbitos por dia.
b) 140,5
2. a) Observa-se que a linha laranja (média móvel)
se aproxima mais da linha azul (quantidade
total diária de óbitos) do que a linha cinza
(média). Com isso, pode-se concluir que a
média móvel representou melhor a variação
da quantidade total diária de óbitos do que
a média usual no período considerado.
b) Resposta pessoal.
3. a) A média móvel.
b) A média usual é aproximadamente 132, e a
média móvel é 186. Sim.
2. Fatorando polinômios
Atividades – p. 72
1. a) 2 ? 27; 3 ? 18; 6 ? 9
b) Resposta pessoal.
2. a) (x + y)(x _ y)
b) (5b + 2c)(5b _ 2c)
Atividades – p. 76
1. a) 10(x + y)
b) y(y + 9x)
c) 0,5(x _ 2y)
d) ab(1 _ a
2
b
2
)
e) ax(a + b)
f) x
2
y
2
(1 _ x
3
y
3
)
g)






1
3
a
1
3
b+
h) 2,5a(x
2
_ 1)
2. a) b(b _ a _ 1)
b) 8x
3
(3x
2
_ x _ 7)
c) a
3
(a
4
+ a
2
+ 1)
d) 20ax(6x
2
_ 5x + 3)
e)
1
2
ab
1
4
1
2
ab





+_
3. 2 014
4. a) (x + y)(a _ b)
b) (p + h)(x + y)
c) (a _ x)(b _ c)
5. 5a(x
2
_ y
2
); 2 500
6. xy(y
2
+ 7y _ 3); 102
7. (2x _ y)(a + b + c); 2 000
8. a) (a + b)(a + x)
b) (a _ 1)(x + b)
c) (a
2
+ 1)(a
3
+ 2)
d) (x
2
_ 2y)(b + 5)
e) (b
2
+1)(2 _ k)
f) (5y _ 4)(y
2
+ 2)
g) (a
4
+ 1)(a
8
_ 1)
h) (2a + 1)(n _ m)
i) (x + 1)





y
1
2
+
9. _2,75
10. a) (a _ b + c)(x + y)
b) (a + b + 1)(m _ n)
c) 2(a + b)(x + y)
11. (x _ z)(x + 2y); 135
12. 117
Atividades – p. 78
1. a) (a + 8)(a _ 8)
b) (10 + b)(10 _ b)
c) (x + 0,5)(x _ 0,5)
d) (4b + 3c)(4b _ 3c)
e) (1 + xy)(1 _ xy)
f) (a
2
+ c
2
)(a
2
_ c
2
)
g) (a
3
b
3
+ 0,1)(a
3
b
3
_ 0,1)
h) (x
2
+ 10)(x
2
_ 10)
i) (3 + y
3
)(3 _ y
3
)
j) (9r + s
2
)(9r _ s
2
)
2. a)












1
2
3x
1
2
3x+_
b)












1
10
ab
1
10
ab+_
c)












1
5
a
1
2
y
1
5
a
1
2
y
22
+_
d)











b
1
4
cb
1
4
c+_
3. 40
4. (ab + x)(ab _ x); 105
5. a) x(x _ 8)
b) (y + 6)(y _ 4)
c) (a + b + c)( a + b _ c)
d) (n + 11)(n _ 1)
e) (4x _ 1)(2x _ 1)
f) 3(2a
3
+ 3)
g) _y(2x + y)
h) _1(2a + 1)
Atividades – p. 80
1. a) Sim.
b) Não.
c) Sim.
d) Sim.
2. (x + 9)
2

3. (x _ 0,2)
2
4. 2a
5. 189
6. a) (2x _ 3y)
2
b) (y + 11)
2
c) (9p _ 1)
2
d) (2b + 4x)
2
e) (10p _ x)
2
f) (12xy + 1)
2
g) (m _ 6)
2
h) (4a
2
+ b)
2
i) (10 _ bc)
2
j) (x
5
+ 2y
3
)
2
7. 121
Atividades – p. 83
1. a) (x + y)(x
2
_ xy + y
2
)
b) (b _ c)(b
2
+ bc + c
2
)
c) (a _ 1)(a
2
+ a + 1)
d) (x + 2)(x
2
_ 2x + 4)
e) (3 _ m)(9 + 3m + m
2
)
f)












1
5
c
1
25
c
5
c
2
+_ +
2. a) (a
2
+ b
2
)(a + b)(a _ b)
b) 3(x _ 1)
2
c) x(m + 1)(m _ 1)
d) 5(a + 3b)
2
e) xy(x + y)(x _ y)
f) (m
4
+ n
4
)(m
2
+ n
2
)(m + n)(m _ n)
g) (x + y)
2
(x _ y)
h) a(a _ x)(a
2
+ ax + x
2
)
i)

















1
1
4
p1
1
2
p1
1
2
p
2
++ _
j) y





y
2
3
2
+
k) y(x _ 1)(x
2
+ x + 1)
l) (a + b)(x + 1)(x _ 1)
m) (a + b)(a + 1)
2
n) 2x(x + y)(x _ y)(x
2
+ xy + y
2
)(x
2
_ xy + y
2
)
o) (a + b)
2
(a _ b)(a
2
_ ab + b
2
)
3. 180
4. (a + b)(b + c)(b _ c)
5. xy(x + y)
2
; 250
6. x(a + b)(x + 1)(x _ 1)
7. a) 0 e 9.
b) _9 e 9.
c) _8 e 8.
d) _20 e 0.
e) 0 e 1.
f) _0,5 e 0,5.
g) _1 e 1.
h) _0,6 e 0.
i) 0,1 e _0,1.
j) 0 e
1
4
.
8. Alternativa a.
9. Alternativa b.
10. Para x = 0:
2x3
2x3
+
_
= _1
Para x = 1:
2x3
2x3
+
_
= _5
11. Resposta pessoal.
12. 60
Por toda parte – p. 84
• Respostas pessoais.
• Respostas pessoais.
• Pesquisa do estudante.
Retomando o que aprendeu – p. 86
1. Alternativa b.
2. Alternativa c.
3. Alternativa a.
4. 2
5. Alternativa e.
6. Alternativa a.
7. Alternativa a.
8. a) 9x
2
_ 1
b) 100 + 40x + 4x
2
c) 49a
2
_ 28ab + 4b
2
d) 4x
2
+ 2xy + 0,25y
2
e) 16x
2
_ b
2

f) a
3
+ 6a
2
b + 12ab
2
+ 8b
3
g) 8a
3
_ 12a
2
b + 6ab
2
_ b
3
h) 8 _ 36a + 54a
2
_ 27a³
9. a) b(b _ 2a + 1)
b) 6x
3
(3x
2
+ x _ 7)
c) 2a(a
4
+ a
2
+ 1)
d) 20ax(5x
2
_ 3x + 6)
e) (a + 7)(a _ 7)
f) (8 + b)(8 _ b)
g) (2 + ab)(2 _ ab)
10. 4a
11. 252
12. Alternativa b.
13. Alternativa e.
Um novo olhar – p. 87
Respostas pessoais.
UNIDADE 3
Equações do 2
o
grau
Abertura de Unidade – p. 88
• A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em
uma equação do 1
o
grau, o expoente da incógnita
é 1, e na equação apresentada, o expoente é 2.
• Aproximadamente 2,67 s.
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1. Equação do 2
o
grau com
uma incógnita
Pense e responda – p. 90
1. a) x
2

b) 3x
c) x
2
_ 3x = 4
d) O número é 4.
e) Resposta pessoal.
Atividades – p. 92
1. Itens a, d, e, f.
2. a) Completa.
b) Completa.
c) Incompleta.
d) Completa.
e) Incompleta.
f) Incompleta.
3. a) a = 10, b = 3, c = _1
b) a = 1, b = 2, c = _8
c) a = 1, b = _3, c = _4
d) a = 7, b = 10, c = 3
e) a = _4, b = 6, c = 0
f) a = 1, b = 0, c = _16
g) a = _6, b = 1, c = 1
h) a = 5, b = _10, c = 0
4. a) x
2
+ 6x + 9 = 0
b) 4x
2
_ 6x + 2 = 0
c) 4x
2
_ 25 = 0
d) _21x
2
_ 7x = 0
Atividades – p. 93
1. a) x
2
+ 2x _ 35 = 0
b) Resposta pessoal.
2. a) x
2
_ x _ 12 = 0
b) x
2
_ 5x + 6 = 0
c) _3x
2
_ 10x _ 8 = 0
d) 2x
2
_ 3x _ 4 = 0
e) 5x
2
_ 2 = 0
f) x
2
_ 10x + 2 = 0
g) x
2
_ 12 = 0
h) x
2
+ 8x + 3 = 0
3. 3x
2
_ 2x _ 21 = 0
2. Resolução de equações do
2
o
grau com uma incógnita
Atividades – p. 95
1. a) {0, 15}
b) {_9, 9}
c) {_11, 11}
d)






0,
5
3
e) {0, 1}
f)






4
3
,
4
3
_
g) @
h)






0,
1
11
i)






6
7
,
6
7
_
j) {0, 9}
k)
{}14,14_
l)






3
5
,0 _
2. a) {0, 9} b) {0, 1} c)






0,
13
6
3. a) {0, 1} b) {_4, 0}
4. O número é 7.
5. a) 5,625 b) _3 ou 3.
6. Resposta pessoal.
7. 30 m
8. 4 cm; 12 cm
Pense e responda – p. 96
1. a) 4
b) 1 cm
2
c) 25 cm
2
Atividades – p. 100
1. a) (4)
2
ou 16.
b) (5)
2
ou 25.
c) (1)
2
ou 1.
d) (6)
2
ou 36.
e)
9
2
2





 ou
81
4
.
f)
5
2
2





 ou
25
4
.
g) 15
2
ou 225.
h)
1
2
2





 ou
1
4
.
i)
3
4
2





 ou
9
16
.
j)
1
6
2





 ou
1
36
.
k) a
2

l) (3a)
2
ou 9a
2
.
2. a) _5 e 3. e) _1
b) _6 e 2. f) _5
c) _8 e _4. g) _
1
3
e 1.
d) _5 e 2. h) _
1
5
e _
1
2
.
3. Resposta pessoal.
Atividades – p. 104
1. a) _5 e 1.b)
1
2
e 4. c) _4.
2. a) {_4, 7}
b) {_6}
c)






_,
1
3
1
2
d) @
3. a) {2} c)
1
3



, _
1
2



b) {_1, 4} d) @
4. Como as raízes são _3 e 5, existem sete números
inteiros entre elas: _2, _1, 0, 1, 2, 3 e 4.
5. A raiz comum é 17, e as não comuns são _5
e 3. Logo, _5 + 3 = _2.
6. A raiz, que é uma fração, é
5
4
; logo, 5 + 4 = 9.
7. a) {_4, _1} b) {_5, 1}
8. 2
9. A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo.
Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz
é um número primo.
10. a) S =






1
5
,1 _ b) S = {_6, 1}
11. a) {_9, _1}b)






1,
5
3
_ c)






1
3
,2
12. 1 ou 6.
13. 6 ou 1.
14. 10 ou 1.
15. 50 m e 22 m.
16. 4 ou _5.
17. 14 horas.
18. 15
19. a) 6 lados. b) 8 lados.
20. a) 10 m e 7 m. b) 34 m
21. a) 14 m e 10 m. b) Resposta pessoal.
22. a) 20; 80 b) 82
23. 15 m
24. 5 cm
Tecnologias – p. 106
1. a) 3
b) Não tem raiz real.
c) 0 e
53
3
.
d) _4 e 4.
2. A equação do item b.
3. Resposta pessoal.
4. x
2
_ 7x + 10 = 0
5. Resposta pessoal.
3. Soma e produto das raízes de
uma equação do 2
o
grau com uma
incógnita
Atividades – p. 110
1. a) x‘ + x” = 1; x‘ ? x” = _20
b) x‘ + x” = _
1
2
; x‘ ? x” =
1
16

c) x‘ + x” =
2
3
; x‘ ? x” = _
1
2
d) x‘ + x” = _
3
10
; x‘ ? x” = _
2
5
2. a) 6
b) _16
c) _
3
8
3. a) S = 3 e P = _18.
b) S =
7
5
e P = _
6
5
.
c) S =
9
2
e P =
9
2
.
4. _17
5. _0,5
6. a) S = 4
2 e P = 3.
b) S =
2 e P = _3.
7. c = 1,25
8. _2 ou 2.
9. 5
10. h = 7
11. k = 1
12. Resposta pessoal.
13. a) 3 e 2.
b) 6 e 4.
c) 6 e _2.
14. x‘ = 1 e x” = 4; A = 4 e P = 10.
4. Mais equações
Atividades – p. 112
1. a) {_3, 3}
b) {_2, 2}
c) {0, _4, 4}
d) {_2, 2}
2. 5 + 1 = 6
3. Duas: _2, 2.
4. _1 e 1.
5. a) {_3, _2, 2, 3}
b)
{}2,2_
c) {_2, 2}
d)
{}5,5,2,2__
6. Sim; pois as raízes são _1, 1, _
2 e 2.
Atividades – p. 113
1. a) {2}
b) {1, 4}
2. 4 ou 2.
3. {2}
4. {_4, 5}
5. x = 4 ou x = _3.
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Tratamento da informação – p. 114
1. a) 25%
b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100% e o
tamanho da barra indica uma preferência de quase 90%.
c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo,
40% dos consumidores entrevistados não usam roupas de marca, mas a
coluna que representa esse percentual é mais baixa do que a coluna que
representa 25% dos consumidores.
d) Marcas de roupas preferidas pelos consumidores
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Porcentagem de
consumidores
Marca
de roupa
Roupa XRoupa
Bela
Roupa
Mais
Não usa
roupas
de marca
Não
sabe
Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X.
2. a) Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em
determinado período.
b)
Bem de consumo Quantidade
Carro 6
Fogão 3
Geladeira 2
Televisão 9
Bens de consumo duráveis
Fonte: Dados fictícios.
c) Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quantidade
de pessoas
Bem de
consumo
Carro FogãoG eladeiraTelevisão
Fonte: Dados fictícios.
d) Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência,
crescente ou decrescente, em um período, por exemplo.
Retomando o que aprendeu – p. 116
1. Alternativa d.
2. Alternativa a.
3. Alternativa c.
4. Alternativa e.
5. Alternativa b.
6. Alternativa e.
7. 5
8. S = {2}
9. Alternativa a.
10. Alternativa d.
11. Alternativa c.
12. Alternativa b.
13. Alternativa e.
14. Alternativa a.
15. Alternativa c.
16. Alternativa b.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Um novo olhar – p. 117
• Quando o discriminante é maior do que zero.
• Pela soma e pelo produto das raízes, utilizando a equação x
2
_ Sx + P = 0,
em que S é a soma e P é o produto.
• Resposta pessoal.
UNIDADE 4
Relações entre ângulos
Abertura de Unidade – p. 118
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no outro, de um círculo.
1. Ângulos determinados por retas transversais
Atividades – p. 122
1. a) 10° b) Cada um dos ângulos mede 60°.
2. 45°
3. a) x = 60° e y = 135°. b) x = 20° e y = 140°.
4. 16,8°
5. Alternativa a.
6. Alternativa b.
Atividades – p. 126
1. 15°
2. Alternativa c.
3. Alternativa a.
4. Alternativa c.
5. Alternativa e.
6. Alternativa b.
7. a) 15°
b) a = 35° e b = 55°.
c) 180°
d) BA
^
C e AB
^
C são agudos, e AC
^
B é reto.
e) Ângulos complementares.
2. Circunferência
Atividades – p. 130
1. 9 cm. Resposta pessoal.
2. x = 90° e y = 60°.
3. 2x + y
4. a) 3 cm
b) 15 cm
c) 15 cm
d) 44 cm
5. a) 20 cm b) 3 cm
6. a) a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm.
b) 134 cm
7. a) 2 cm
b) 8 cm
c) (2a + 16) cm
d) Resposta pessoal.
Atividades – p. 132
1. a) med ()AB
=
= 75°
med ()ACB

= 285°
b) med ()AB
=
= 90°
med ()ACB

= 270°
2. 80°
3. x = 45°; y = 90°
4. a) 120° b) 45°
5. med ()AB
=
= med ()BC
=
= med ()CA
=
= 120°
6. x = y = 110°
7. 20°
8. Sim; caso LLL.
Atividades – p. 136
1. p =
t
2
ou t = 2p.
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2. x = 46° e y = 92°.
3. 12°
4. x = 36° e y = 30°.
5. a) 82° b) 41°
6. x = 40°, a = 140°, b = 20° e c = 20°.
7. s = 104° e t = 38°.
8. med ()AOC
ˆ
= 168° e med ()ABC
ˆ
= 84°.
9. 60°
10. med ()CD
=
= 130° e x = 65°.
11. a = 54°, b = 101°, c = 126° e d = 79°.
12. a) 60° b) 85°
13. 45°. Resposta pessoal.
Tecnologias – p. 138
1. Verificação da propriedade de que a medida de
um ângulo inscrito é igual à metade da medida
do ângulo central correspondente.
2. Resposta pessoal.
Atividades – p. 141
1. a) x =
ts
2
+
b) x =
ts
2
_
2. a) 57° b) 18°
3. a = 30°, b = 95° e c = 85°.
4. 87°
Retomando o que aprendeu – p. 142
1. Alternativa c.
2. Alternativa a.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa e.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa b.
9. Alternativa a.
10. Alternativa e.
11. Alternativa c.
12. Alternativa d.
Um novo olhar – p. 143
• Ângulos complementares são ângulos cuja
soma das medidas é igual a 90°; e ângulos
suplementares são ângulos cuja soma das
medidas é igual a 180°.
• Ângulos correspondentes em retas paralelas
são ângulos de mesma medida que coincidem
por translação; ângulos congruentes são
quaisquer ângulos de mesma medida entre si.
Ângulos correspondentes são pares de ângulos
congruentes, mas nem todo par de ângulos
congruentes são ângulos correspondentes.
• Resposta pessoal.
UNIDADE 5
Proporção e semelhança
Abertura de Unidade – p. 144
• Resposta pessoal.
• É possível identificar a distorção na imagem cuja
modificação foi apenas na direção vertical.
• Podemos considerar a imagem original e a
imagem reduzida em que a proporção entre
as medidas nas direções horizontal e vertical
foi fixada.
1. Segmentos proporcionais
Pense e responda – p. 146
1. a)
14
20
=
7
10
ou 0,7.
b)
35
50
=
7
10
= 0,7.
2. Sim.
3. Sim.
Atividades – p. 149
1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da
razão 331 : 4 = 82,75. Ou seja, o caminhão e
o carro apresentaram velocidades médias não
proporcionais.
2. a) 300 000 km/s
b) Cerca de 8 minutos e 20 segundos.
3.
2
5
ou 0,4.
4. 3,2 m
5. a = 9; b = 15;
AB
BC
=
3
5
ou 0,6.
6. 1 : 300
7. 80 km
8. A distância real aproximada, em linha reta, entre
Boa Vista e Brasília é de 2 500 km.
Atividades – p. 151
1. Sim, pois
AB
CD
=
MN
PQ
=
2
3
.
2. 12,8 cm
3. 8 cm
4. 40 cm, 60 cm, 80 cm e 120 cm.
2. Feixe de retas paralelas
Atividades – p. 155
1. a) 80 b) 3,6
2. 63 cm
3. 6,9
4. 20
5. 8 ou 0,5.
6. x = 1 e y = 9.
7. Lote 1: 54 metros; lote 3: 90 metros.
8. Resposta pessoal.
Atividades – p. 158
1. 3
2. 127,5
3. AB = 8 cm; AC = 16 cm; perímetro = 38 cm
4. x = 18,75 cm; y = 11,25 cm
5. x = 7,5
6. Resposta pessoal.
7. 60 m e 96 m.
8. 3,2 m
Atividades – p. 160
1. a) 5 b) 2,5
2. AC = 8, BD = 3 e DC = 4.
3. AD = 6 cm e DC = 9 cm.
4. a) 52,5 b) 40,8
3. Figuras semelhantes
Fórum – p. 161
Resposta pessoal.
Atividades – p. 165
1. a) A afirmação é verdadeira, pois os ângulos
internos correspondentes são congruentes, e
os lados correspondentes são proporcionais,
cuja razão de proporção é
3
5
.
b) A afirmação é verdadeira, pois os ângulos
internos correspondentes são congruentes,
mas os lados correspondentes não são
proporcionais.
2. a) F
b) V
c) F
d) V
e) V
3.
4
3
4. a) 64 cm b) 6 cm e 8 cm.
5. a) 2
b) x = 15; y =20; z = 31
c) 2
6. a)
3
2
ou 1,5.
b) 108°
c) 1,4 cm
Atividades – p. 168
1. a) Não. b) Sim. c) Sim.
2. B
^
2 E
^
e C
^
2 D
^
.
3.
x
z
=
y
x
ou x
2
= y ? z.
4. x = ab
5. 28,8 m
6. 125 m
Atividades – p. 171
1. x = 21,6 e y = 26,4.
2. AB = 30 e AD = 40.
3. 96 cm
2
4. 3,2
5. Alternativa b.
6. 250 m
7. 50 m
8. Alternativa d.
9. 20,5 m
Por toda parte – p. 173
1. 146 m
Retomando o que aprendeu – p. 174
1. Alternativa d.
2. Alternativa b.
3. Alternativa c.
4. Alternativa a.
5. Alternativa e.
6. Alternativa b.
7. Alternativa a.
8. Alternativa c.
9. Alternativa e.
10. Alternativa c.
Um novo olhar – p. 175
• Respostas pessoais.
UNIDADE 6
Porcentagem, probabilidade
e estatística
Abertura de Unidade – p. 176
• Resposta pessoal.
• Em 2021, o maior índice foi registrado em
novembro, e o menor, em janeiro. A inflação
nesse período pode ser calculada pela subtração
10,74% _ 4,56% = 6,18%.
• Resposta pessoal.
1. Porcentagem e problemas
envolvendo juros
Pense e responda – p. 178
18,8%. Não, pois a soma das taxas percentuais
é dada por 8% + 10% = 18%, e a taxa
percentual de reajuste foi de 18,8%.
Atividades – p. 181
1. a) R$ 39,69
b) R$ 34,69
297
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c) Não. Embora os percentuais de aumentos sucessivos e os de
descontos sucessivos sejam iguais, eles foram aplicados em preços
diferentes, resultando valores diferentes.
2. R$ 708,00
3. R$ 66.240,00
4. R$ 30.240,00
5. R$ 6.200,00
6. R$ 2.138,64
7. 100% ao mês.
8. R$ 4.776,84
9. R$ 6,83
10. Resposta pessoal.
11. R$ 1.932,00
Tecnologias – p. 182
1. a) No regime de capitalização a juro composto. Ele receberá R$ 27,27 a mais.
b) No regime de capitalização a juro simples.
c) A partir de 1 mês, o montante a juro composto passa a aumentar mais
rapidamente do que o montante a juro simples.
2. Probabilidade
Atividades – p. 186
1.
1
6
;
1
2
2. a)
1
8
b)
1
2
c)
1
16
3. Alternativa d.
4.
4
15
5. 24%
6. a)
1
17
b)
4
17
7.
3
7
8.
1
36
9. É menor, pois
3
16
= 18,75%.
10. 400 rodadas distintas.
3. Analisando gráficos
Atividades – p. 190
1. Alternativa d.
2. a) Possivelmente, a chapa B, pois a coluna referente à quantidade
de votos dessa chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais
destaque em relação às demais.
b) Para representar a porcentagem de voto da chapa B, foram usadas
letras maiores do que nas demais chapas. Além disso, a altura
da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna
referente à chapa A, que detém 60,3% das intenções de voto,
enquanto a chapa B detém apenas 30%.
c) Intenção de voto para a diretoria do centro acadêmico
60,30
A
30
B
Chapa
Quantidade
de votos (%)
9,70
C
Fonte: Pesquisa de intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico.
3. a) Resposta pessoal.
b) Desmatamento na Amazônia
Ano
Área
desmatada
(km
2
)
6207
7893
12000
10000
14000
8000
6000
4000
2000
7536
10851
13235
6947
10129
2015201620172018201920202021
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da
Floresta Amazônica brasileira. São José dos Campos: INPE, 2021. Disponível em:
http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/programas/amazonia/prodes. Acesso em: 11 abr. 2022.
c) 113,23%
d) 8 971,14 km² por ano.
e) Não há moda. A mediana é 7 893 km².
4. a) Para cada ano (coluna inteira), cada cor representa um dos produtos
exportados. De acordo com a legenda, temos: cor azul representa as
exportações de soja, cor laranja, as de café, e cor roxa, as de milho.
b) Sim, o milho.
c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.
d) Em 2019.
5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a
evolução dos dados ao longo do tempo.
b) Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.
c) De 2017 a 2021.
d) 14%
e) Resposta pessoal.
6. Resposta pessoal.
4. Elaborando uma pesquisa
Atividades – p. 196
1. a) Sim, pois, para mostrar os componentes de um todo, o gráfico de
setores é o mais adequado, e, para comparar categorias, o mais
adequado é o gráfico de barras (no caso, barras duplas).
b) Resposta pessoal.
2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.
Fórum – p. 197
Resposta pessoal.
Por toda parte – p. 198
• a) Com o passar dos anos, a base da pirâmide etária tem ficado mais estreita,
e o topo tem ficado mais largo, o que indica que a população brasileira, no
futuro, tende a ser predominantemente composta de pessoas mais velhas.
b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir a mortalidade causada pela doença.
c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses
da vacina contra a covid-19.
d) Resposta pessoal.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
298
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Tecnologias – p. 200
1. a) Pesquisa para prefeito – Intenção de votos
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
JaneiroMarço Maio JulhoSetembro
Candidato A
Mês
Intenção
de votos (%)
Candidato B Candidato C
Fonte: Dados fictícios.
b) Para o candidato A, a intenção de voto cresceu mês a mês, e para o
candidato C, a intenção de voto decresceu mês a mês ou ficou constante
(manteve o percentual), mas não houve crescimento algum.
2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.
Retomando o que aprendeu – p. 202
1. R$ 1.264,00
2. Alternativa c.
3. Alternativa c.
4. 30%
5. Alternativa b.
6. a) 20 c) 35
b) 9A; 25 estudantes usam óculos. d) Apenas na turma 9A.
7. a) A evolução do faturamento ao longo do tempo (de 2011 a 2021).
b) Resposta pessoal.
c) Sim, inicialmente, o período é de 2 em 2 anos, mas o último período é de
4 anos, o que acentua o crescimento do último período.
8. a) Flores do jardim

0
Área (m
2
)
Flor
2
4681012
Cravo
LírioRosaTulipa
b) 6,5 m
2
9. Resposta pessoal.
Um novo olhar – p. 203
• A inflação e o IPCA são expressos em percentuais que indicam a variação dos
preços de mercadorias e serviços em determinado período. Assim, conhecendo
o conceito de porcentagem, podemos realizar cálculos, comparar índices, bem
como fazer outras análises envolvendo situações financeiras e econômicas.
• No cálculo de juro simples, a taxa de juro é aplicada sempre sobre o capital a
cada período; já no cálculo de juro composto, a taxa de juro é aplicada sobre
o montante do período imediatamente anterior.
• Resposta pessoal.
• Para realizar uma pesquisa estatística, é preciso definir um objetivo, ou seja,
formular uma pergunta ou uma hipótese que se deseja testar. Com isso,
pode-se determinar a população que fará parte da pesquisa, definindo se
a pesquisa será censitária ou por amostragem. Caso seja por amostragem,
é preciso definir a amostra. O próximo passo é elaborar os instrumentos
de pesquisa e como será feita a coleta de dados. Com essas definições, é
possível aplicar a pesquisa, coletar e organizar os dados e analisá-los por
meio de tabelas, gráficos e medidas estatísticas. Por fim, é feito um relatório
com as explicações sobre o planejamento da pesquisa, a coleta dos dados,
as análises e as conclusões.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
Fonte: Equipe
de jardinagem.
UNIDADE 7
Relações métricas no triângulo retângulo
e na circunferência
Abertura de Unidade – p. 204
• Resposta pessoal.
• Triângulo retângulo.
• Resposta pessoal.
1. Teorema de Pitágoras
Pense e responda – p. 206
1. a) A
1
= 6,25 cm
2
b) A
2
= 4 cm
2
c) A
3
= 2,25 cm
2
d) A
1
= A
2
+ A
3
e) Resposta pessoal.
Por toda parte – p. 211
1. 12 cúbitos. A justificativa depende das etapas utilizadas no cálculo.
2. Resposta pessoal.
Atividades – p. 212
1. Como 26
2
= 24
2
+ 10
2
, o triângulo é retângulo.
2. a) 35 b) 7 c) 2
5 d) 2
3. a) 2
5 b) 45 c) 10 d) 28
4. 4,90 cm
5. a) 45 b) 51
6. 9
5
7. a) 20 b) 12
10
8. a + b + c = 7,0
9. 24 cm e 18 cm.
10. a) 10 km b) 5 horas. c) Resposta pessoal.
11. a) 63,2 m b) 31,6 m
12. 25 m
13. 4 m
14. 9 m
Atividades – p. 216
1. 12
2 cm
2. 20
2 cm
3. l = 15 cm; perímetro = 60 cm
4. 33,84 cm
5. 800 cm
2
6. a) 10
2 cm b) 402 cm c) 200 cm
2
7. 12
3 cm
8. 10,38 cm
9. 30 cm
10. 15,57 cm
2
11. 5
6 cm
12. Resposta pessoal.
13.
3
4
2
l
2. As relações métricas do triângulo retângulo
Atividades – p. 220
1. a) m = 4; n = 12 b) b = 18; h = 12
2c) a = 34; n = 25
2. a = 100 mm; h = 48 mm; b = 80 mm; c = 60 mm
3. 280 cm
4. a) 20 cm b) 10
3 cm c) 53 cm
5. x = 6 cm; y = 2
13 cm; z = 313 cm
6. 48 km
7. x = 25 cm
Por toda parte – p. 221
1. Aproximadamente 28,97 m.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
299
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3. Medida do comprimento de um arco
de circunferência
Por toda parte – p. 223
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
Atividades – p. 224
1. 226,08 cm
2. 125,6 cm
3. r = 45 cm; C = 282,6 cm
4. O trajeto em arco é o mais barato, pois 203 040 , 228 420.
5. 80 m
6. 10,99 cm
7. Aproximadamente 104,67 m.
8. Resposta pessoal.
9. a) Aproximadamente 239,3 cm.
b) Aproximadamente 1 672 voltas.
4. Relações métricas da circunferência
Atividades – p. 227
1. a) 6 b) 10 c) 8 d) 9
2. 19
3. 6
3
4. a) 4 b) AB = 17; CD = 19
5. 4
10
6. 16 cm e 2 cm.
7. a) 18 cm b) 10 cm
8. 12 cm
9. 4 cm
Retomando o que aprendeu – p. 228
1. Alternativa a.
2. Alternativa d.
3. Alternativa d.
4. Alternativa b.
5. Alternativa a.
6. Alternativa a.
7. Alternativa e.
8. Alternativa a.
9. Alternativa d.
Um novo olhar – p. 229
• Resposta pessoal.
• Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes,
então eles são semelhantes.
• 35 m
• Centro, corda, raio, diâmetro e arco.
UNIDADE 8
Figuras planas, figuras espaciais e vistas
Abertura de Unidade – p. 230
• Resposta pessoal.
1. Polígono regular
Pense e responda – p. 232
1. O triângulo equilátero é um polígono de três lados de mesma medida, e
cada um dos três ângulos internos mede 60°. O quadrado é um polígono
de quatro lados de mesma medida e quatro ângulos internos de 90°.
2. Um polígono regular é aquele que tem todos os lados com a mesma
medida e todos os ângulos internos congruentes entre si.
O triângulo equilátero e o quadrado são polígonos regulares.
3. Como a soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono
convexo é 360° e um polígono regular tem todos os ângulos externos
de mesma medida, a medida a
e
de cada ângulo externo de um polígono
regular de n lados é dada por: a
360°
n
e
= . Então, a medida do ângulo
externo de um triângulo equilátero é 120°, e a de um quadrado é 90°.
Atividades – p. 235
1. a) a
c
= 120° e a
i
= 60°.
b) a
c
= 90° e a
i
= 90°.
c) a
c
= 60° e a
i
= 120°.
d) a
c
= 45° e a
i
= 135°.
2. x = 10 cm
3. 5
3 cm
4. 8
2 cm
5. 3,535
2 cm e 3,535 cm.
Pense e responda – p. 238
Resposta pessoal.
Atividades – p. 239
1. a) 40
2 cm b) 40 cm c) 403 cm
2. Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.
3. 43,25 cm
4. a) 120° b)
93 cm c) 4,5 cm d) 13,5 cm
5. 46,625 cm
6. Resposta pessoal.
7. a) 3 cm b) 4,2 cm c) 7,2 cm
8. a) Aproximadamente 82,35%.b) Respostas pessoais.
9. 2 076 cm
2
10. a) l = 13,6 cm e P = 40,8 cm.b) a = 6,8 cm e P = 48 cm.
Tecnologias – p. 240
1. Resposta pessoal.
2. O fluxograma depende do polígono construído na atividade 1.
Atividades – p. 243
1. Resposta pessoal.
2. a) 240 cm
b)
403 ou 69,2 cm.
c) 16 608 cm
2
3. a) 18 cm b) 54 cm c) 9
3 cm d) 4863 cm
2
4. 5 024 cm
2
5. 25,12 cm
2
6. 113,04 cm
2
7. 94,2 cm
2
8. 32,86 cm
2
9. Sim, pois 170 m
2
. 139,25 m
2
.
10. a) 0,4 m b) 0,5024 m
2
Por toda parte – p. 245
1. Resposta pessoal.2. Resposta pessoal.3. Resposta pessoal.
Tratamento da informação – p. 246
1. Aproximadamente 298 produtos.
2. Semioquímicos; aproximadamente 49 produtos.
3. Resposta pessoal.
4. Produtos biológicos registrados
Produto biológico
Quantidade
de produtos
Percentual
correspondente
Medida do ângulo
central de cada setor
do gráfico
Microrganismos298,08 1 298 62,1% 223,56° 1 223°
Macro-organismos74,4 1 74 15,5% 55,8° 1 56°
Semioquímicos48,96 1 49 10,2% 36,72° 1 37°
Bioquímicos 58,56 1 59 12,2% 43,92° 1 44°
Total 480 100% 360°
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento.
Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://
croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-de-
alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.
300
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5. Produtos biológicos registrados
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento.
Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em:
https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-
de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 5 abr. 2022.
Microrganismos
Macro-organismos
Semioquímicos
Bioquímicos
62,1%
15,5%
10,2%
12,2%
2. Representações no plano cartesiano
Atividades – p. 249
1. a) A = (_3, 4), B = (_5, 2) e C = (_1, 2).
b) D = (_4, 3) e E = (_2, 3).
c)
222+ (u.c.)
d) Triângulo isósceles; área: 1 (u.a.).
2.
29 (u.c.)
3. Resposta pessoal.
3. Figuras espaciais
Atividades – p. 253
1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é perpendicular
ao plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.
2. Alternativa c.
3. Amarelo: vista frontal; verde: vista lateral; laranja: vista superior.
Atividades – p. 255
1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal reto. O volume
do primeiro é dado pela área do triângulo da base multiplicada pela
altura do prisma. O volume do segundo é dado pelo produto da área do
pentágono regular da base pela altura do prisma.
2. a) Essa peça lembra a forma de um prisma reto de base triangular.
b) 810 m
3
. Resposta pessoal.
3. a) Cilindro.
b) 1 125 cm
3
4. Alternativa b.
5. 114,4 cm
3
Retomando o que aprendeu – p. 256
1. a) Resposta pessoal
b) Resposta pessoal.
2. Alternativa a.
3. Alternativa b.
4. Alternativa d.
5. Alternativa c.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa b.
10. a) C(_1, 0) e D(1, 0).
b) M(0, 2)
c) N(1, 1), O(0, 0) e P(_1, 1).
d) Perímetro:
42 (u.c.); área: 2 (u.a.).
11.
Vista frontal
Vista superior
Vista lateral
12. 775 cm
3
Um novo olhar – p. 257
• O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional (largura, altura
e profundidade).
• Não, pois apresenta superfície arredondada.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
• Resposta pessoal.
UNIDADE 9
Funções
Abertura de Unidade – p. 258
• Posição do corpo e tempo de deslocamento.
• Resposta pessoal.
1. Noções de função
Pense e responda – p. 260
a) O professor vai pagar R$ 1.500,00.
b) Ele poderá comprar 26 joelheiras.
Atividades – p. 262
1. y = 500 + 45x
2. a) y
1
x
=
b) y = x
2
_ 4
c) y =
1
2
x + 5
3. a) Resposta pessoal.
b) 50 mil reais.
Educação financeira – p. 263
1. a) R$ 600,00
b) R$ 5.400,00
c) Diferença de R$ 1.815,18, que corresponde a cerca de 33,6% dos
R$ 5.400,00 economizados.
2. Função afim
Atividades – p. 265
1. _7
2. x
1
2
=
3. a) y = 4x. A função está definida para valores reais positivos, pois x é
uma medida de comprimento.
b)
x y = 4x
5 cm y = 4 ? 5 = 20 cm
7,2 cm y = 4 ? 7,2 = 28,8 cm
11 cm y = 4 ? 11 = 44 cm
20,5 cm y = 4 ? 20,5 = 82 cm
10
3 cm y = 4 ? 103 = 403 cm
c) 40
3
d) 11
e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax (com a 5 0). As
grandezas perímetro e comprimento do lado de um quadrado são
grandezas diretamente proporcionais.
Fórum – p. 266
Resposta pessoal.
Atividades – p. 267
1. a)
1
2
1
0
y
x
301
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b)
1
1
y
x
0
c)
12
2
3
1
0
y
x
d)
12–1
–2
–3
0
y
x
e)
1
0
y
x
_4
_3
_2
_1
f)
12
1
–1
3
y
x
0
2
2. (1, 1)
3. São paralelas.
4.
12 345
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y
x
0
5. (4, 2)
Atividades – p. 268
1. a) x = 6
b) x = _4
c) x = 10
d) x
3
2
=
e) x
1
5
=
f) x = _6
2. a) x = _1 b) x = 3 c) x = 2
Por toda parte – p. 269
1. a) y = 50 + 275x b) 12 vasos.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2. a)
x y = _110x + 440 (x, y)
1y = _110 ? 1 + 440 = 330 (1, 330)
2y = _110 ? 2 + 440 = 220 (2, 220)
3y = _110 ? 3 + 440 = 110 (3, 110)
4 y = _110 ? 4 + 440 = 0 (4, 0)
5y = _110 ? 5 + 440 = _110(5, _110)
6y = _110 ? 6 + 440 = _220(6, _220)
y
x
0
100
200
300
_300
_200
_100
400
y = _110x + 440
123456
b) Lucro de 330 reais.
c) No fim do quarto mês. O gráfico intersecta
o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4,
o valor de y é zero.
Tratamento da informação – p. 270
1. Aproximadamente 84,6 milhões de brasileiros.
2. Categoria militar e servidor estatutário. Esse
percentual corresponde a 553 420 trabalhadores.
3. Categoria de empregado do setor privado com
carteira assinada. Foram afastados 673 365
trabalhadores.
4. Respostas pessoais.
3. Função quadrática
Atividades – p. 274
1. y = x
2
+ x
2. y = x
2
_ 5x + 25
3. _24
4. _2
5. a) 500 500 b) 11
6. a) 10 000 b) 16 c) 31
7. a) f = 0,7 e g = 0,85.
b) Sim, t = 2.
c) Para t = 4, temos que f = 2,8 e g = 1,6.
Portanto, f assume maior valor.
8. a)
Figura 12345678
Total de quadrinhos1491625364964
Quadrinhos roxos12345678
Quadrinhos azuis0261220304256
b) • n
2
• n
• n
2
_ n
c) y = n
2
_ n
Atividades – p. 276
1. a) (_3, _1)
b) (1, _9)
c) (4, 1)
d)
3
4
,
9
4






e) (_3, 2)
f) (0, 36)
g)
7
2
,
9
4






h) (5, _1)
i) (1, _3)
j)
1
4
,
1
4





_
2. a) Depois de cinco dias.
b) Depois de 15 dias.
Atividades – p. 278
1. a) Intersecta nos pontos (6, 0) e (_4, 0).
b) Intersecta apenas no ponto (3, 0).
c) Intersecta nos pontos (2, 0) e (7, 0).
d) Não intersecta o eixo x.
2. a) _5 e 5.
b) 0 e 6.
c) _2 e 3.
d)
1
3
_ e
1
3
.
e)
1
2
f) 0 e _1.
3. a) (_4, 0) e (4, 0).
b) (6, 0)
c) (0, 0) e (7, 0).
Atividades – p. 281
1. a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.
b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.
c) a = _1 (a , 0); concavidade para baixo.
d) a = _6 (a , 0); concavidade para baixo.
2. a) a . 0 e D , 0.
b) a , 0 e D . 0.
3. a) V(0, _1)

2
0
3
y
x
1
2
1
_1
_1_2
b) V(0, 0)

12
_1
_2
_3
_4
0
y
x
_2_1
302
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c) V(_1, _9)

12_1
_1
_2
_3
_4
_5
_6
_7
_8
_9
_2_3 0
y
x
d) V(3, 0)

1
2
3
4
5
_1
_2
_3
_4
0
y
x
Atividades – p. 283
1. a) Ponto de mínimo; (4, _10).
b) Ponto de máximo; (2, 9).
c) Ponto de máximo;






1
2
,
3
2
.
d) Ponto de mínimo; (0, _16).
e) Ponto de mínimo; (2, _49).
f) Ponto de mínimo; (_1, _3).
g) Ponto de máximo; (0, 9).
h) Ponto de mínimo;






4
5
,
1
5
_.
2. (1, _5)
3. (2, 4)
Tecnologias – p. 284
1. a) Eixo x: (_1, 0) e eixo y: (0, 3).
b) Eixo x: (1, 0) e eixo y: (0, 3).
c) Resposta pessoal.
2. a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) I: (0, 4); II: (0, _5); III: (0, 1); IV: (0, 4); V: (0, _9); VI: (0, 6)
d) Resposta pessoal.
Por toda parte – p. 287
1. a) Respostas pessoais.
b) Sim, podemos afirmar que o valor pago varia em função do consumo; a
definição da lei de formação da função dependerá da conta analisada.
2. Resposta pessoal.
3. Resposta pessoal.
Retomando o que aprendeu – p. 288
1. Alternativa d.
2. a) x = 2
b) Diminuem. Os valores de y diminuem à medida que os valores de x
aumentam.
3. Resposta pessoal.
4. Alternativa e.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
5. a) V(0, 9)
21_1_2
7
6
8
4
3
2
1
0
y
x
5
9
b) V
5
2


, _
25
4



2341
_1
_3
_4
_5
_6
0
y
x
_2
5

c) V(2, _9)
2341
_1
_6
_7
_8
_9
0
y
x_3
_4
_5
_2
d) V






1
2
, 0_
21_1_2_3
6
4
3
2
1
0
y
x
5
6. k . 3
7. a) Ponto de mínimo; (0, _25).
b) Ponto de máximo; (0, 25).
c) Ponto de máximo; (5, 25).
d) Ponto de mínimo;






1
2
,0_ .
8. Alternativa a.
9. Alternativa a.
10. Alternativa a.
11. Alternativa d.
Um novo olhar – p. 289
• Uma reta. •
b
a
_
• Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).
• O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por ax
2
+ bx + c
(a 5 0 e x [ r).
• Resposta pessoal.
Tecnologias – p. 290
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
303
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ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da;
VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na
Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2016.
Esse livro destaca como situações do dia a dia podem contribuir
para a motivação do estudo da matemática e para a compreensão e
aplicação de vários conceitos trabalhados nessa área.
BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas
para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-
-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.
Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplica-
ções de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do
protagonismo estudantil de maneira inovadora.
BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História
da matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo:
Blucher, 2012.
Esse livro apresenta episódios da construção histórica do conheci-
mento matemático destacando a solução de problemas, abertos há
muito tempo, e o papel dos computadores na pesquisa em matemática.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum
Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018.
Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.
Acesso em: 8 jun. 2022.
Documento oficial composto de orientações que norteiam a
(re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes
pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos
essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pre-
tendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.
BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares
Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB:
DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/
julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/
file. Acesso em: 8 jun. 2022.
As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas obrigató-
rias para a Educação Básica que orientaram a elaboração da BNCC.
Elas são discutidas, concebidas e fixadas pelo Conselho Nacional de
Educação (CNE).
BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computa-
ção na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília,
DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/
index.php?option=com_docman&view=download&alias=
182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu
cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.
Acesso em: 8 jun. 2022.
Documento que define normas sobre Computação na Educação
Básica, em complemento à BNCC.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares
nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental –
Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://
portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso
em: 8 jun. 2022.
Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de
cada componente, considerados fundamentais para o exercício da
cidadania, além de uma proposta de organização curricular.
BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos
transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos peda-
gógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basena
cionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextuali
zacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.
Documento explicativo acerca dos Temas Contempo râneos
Transversais a serem abordados na Educação Básica.
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto.
Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Esse material propõe a análise de dados, e apresenta conceitos de
probabilidade. Compreende, também, tópicos de inferência estatística.
COSTA, Erick John Fidelis. Pensamento computacional na
Educação Básica: uma abordagem para estimular a capaci-
dade de resolução de problemas na matemática. Dissertação
(Mestrado em Ciência da Computação) – Centro de Engenharia
Elétrica e Informática, Universidade Federal de Campina
Grande, Campina Grande, 2017.
Essa dissertação aborda a importância do desenvolvimento de
competências relacionadas ao pensamento computacional desde os
anos iniciais da educação básica com o objetivo de estimular a capaci-
dade de resolver problemas.
COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (org.). As ideias da
álgebra. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo:
Atual, 1994.
Conceitos de álgebra são explorados nesse livro por meio de ideias
fundamentais que auxiliam a aprendizagem do pensamento algébrico.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática.
Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora
da Unicamp, 2004.
Esse livro apresenta uma narrativa da história da matemática
baseada em resultados obtidos, obras e dados biográficos de estu-
diosos, e explicita os panoramas culturais de cada época.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos et al.
Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo:
Atual, 2019. 11 v. (Fundamentos de matemática elementar).
Os livros dessa coleção apresentam conceitos fundamentais de
matemática, que servem de introdução a estudos nessa área.
IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande inven-
ção. Tradução: Stella Maria de Freitas Senra. 11. ed. Rio de
Janeiro: Globo, 2001.
Esse livro apresenta o desenvolvimento histórico do conceito de
números e de outros conceitos matemáticos.
KENSKI, Vani Moreira. Educação e tecnologias: o novo ritmo
da informação. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012.
Nesse livro, busca-se mostrar como os avanços tecnológicos
podem contribuir para as situações de ensino e aprendizagem, discu-
tindo, diversas compreensões do termo tecnologias e sua aplicação.
LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (org.).
Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução: Hygino
Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
O livro apresenta um conjunto de artigos que abordam desafios
do ensino de Geometria e recursos para o desenvolvimento do pen-
samento geométrico.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução:
Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.
Nesse livro, a resolução de problemas é apresentada como ferra-
menta para o desenvolvimento cognitivo.
ROCHA-FILHO, Romeu Cardozo. Grandezas e unidades de
medida: o sistema internacional de unidades. São Paulo: Ática,
1988.
Nesse livro são apresentados conceitos fundamentais de grandezas,
de unidades de medida, e o surgimento e a importância do Sistema
Internacional de Unidades.
ROSALE, André Rodrigues. Argumentação e prova mate-
mática na Educação Básica. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática e Estatística,
Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.
Essa dissertação aborda a importância da argumentação matemá-
tica para o desenvolvimento da aprendizagem matemática.
ROSEN, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações.
6. ed. [S. l.]: McGraw Hill, 2009.
Esse livro apresenta conceitos de matemática aplicada, entre eles
a definição de inferência, fundamental para o desenvolvimento do
raciocínio matemático.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Unidade 1 • Números reais,
potências e radicais
Abertura de Unidade – p. 12
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
2,
3 e
5,
entre outros números irracionais. Todos esses números, as-
sim como o p, têm infinitas casas decimais não periódicas
e não podem ser escritos na forma
a
b
, com a e b números
inteiros e b 5 0.
• Uma aproximação para o número p pode ser obtida di-
vidindo a medida do comprimento de uma circunferência
qualquer por duas vezes a medida do raio dessa circunfe-
rência.
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Aproximando o
valor do número p para um valor conveniente.
1. A Geometria e a descoberta
do número irracional
Atividades – p. 18
1. a) Primeiro, traçamos a diagonal do quadrado,
obtendo, assim, dois triângulos retângulos isósceles.
2
0
123
De acordo com a propriedade estudada, dado um
triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado
construído com um lado comum ao maior lado do
triângulo será igual à soma das áreas dos quadrados
construídos com um lado comum a cada um dos
outros dois lados do triângulo.
Indicando a medida da diagonal do quadrado por x,
temos:
x² = 2² + 2² h x² = 8 h x =
8.
b)
c)
82,831
2. a) De acordo com a propriedade estudada,
calculamos:
x² = 2² + 1² h x² = 5 (x . 0) h x =
5.
b)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
2
0
123
88
0
123
5
1
5
3. Sabendo que o valor aproximado de
5 está entre 2 e
3, podemos fazer as tentativas a seguir.
• (2,1)
2
= 4,41 , 5
• (2,2)
2
= 4,84 , 5
• (2,3)
2
= 5,29 . 5
Verificamos que
5 está entre 2,2 e 2,3. Desse modo,
podemos calcular:
• (2,22)
2
= 4,9284 , 5
• (2,23)
2
= 4,9729 , 5
• (2,24)
2
= 5,0176 . 5
Verificamos que um valor aproximado para
5 é 2,23.
4.
x7=;
Para calcular
7, podemos fazer as seguintes
tentativas:
• (2,5)
2
= 6,25 , 7
• (2,6)
2
= 6,76 , 7
• (2,7)
2
= 7,29 . 7
Verificamos que
7 está entre 2,6 e 2,7. Desse modo,
podemos calcular:
• (2,61)
2
= 6,8121 , 7
• (2,62)
2
= 6,8644 , 7
• (2,63)
2
= 6,9169 , 7
• (2,64)
2
= 6,9696 , 7
• (2,65)
2
= 7,0225 . 7
Verificamos que um valor aproximado para
7 é 2,64.
Atividades – p. 20
1. Sabemos que:
medidadocomprimentodacircunferência(C)
medidadodiâmetro(d)
.=p
Como a medida do diâmetro é igual a duas vezes a
medida do raio (r), podemos calcular: C = 2 ? p ? r.
a) C = 2 ? 3,14 ? 8 = 50,24
C = 50,24 cm
b) C = 2 ? 3,14 ? 0,45 = 2,826
C = 2,826 cm
c) C = 2 ? 3,14 ? 2,5 = 15,7
C = 15,7 cm
d) C = 2 ? 3,14 ? 7 = 43,96
C = 43,96 cm
2. a) Podemos calcular o comprimento da circunferência
externa do pneu fazendo:
C
0,60
3,14= h C3,140,601,884=? =
C = 1,884 m
b) Podemos calcular:
5 000 ? 1,884 = 9 420
Portanto, 9 420 m.
3. Considerando p = 3,14, podemos calcular:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 11
C = 69,08 cm
A medida do comprimento de fita é, aproximadamente,
69,08 cm.
4. Seja n o número de voltas e d a distância percorrida
(em metro), podemos calcular:
d = n ? 2 ? p ? r
15 700 = n ? 2 ? 3,14 ? 100
n = 25
Portanto, foram dadas 25 voltas nessa pista.
5. Primeiramente, calculamos a medida do comprimento
da circunferência determinada pelo contorno do
jardim:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 25
C = 157 m
Agora, calculamos a quantidade x de mudas que serão
plantadas.
x ? 0,5 = 157 h x = 314
Serão plantadas 314 mudas.
2. Os números reais
Atividades – p. 22
1. a) 7
b) _ 3 e 7.
c) _ 3
d)
3
2
_; _ 1,4; 0,3333...
2.
27
10
.
7, pois 7 1 2,65 e
27
10
= 2,7.
3. a) V
b) V
c) F, pois a raiz quadrada de um número negativo não
pertence ao conjunto dos números reais.
d) F, pois _p pertence ao conjunto dos números reais
negativos.
3. Potências
Pense e responda – p. 24
1.
2. a) Para saber a quantidade de bactérias depois dos
seis primeiros intervalos de tempo, podemos
calcular: 2
6
= 64.
b) Depois de dez intervalos de tempo: 2
10
= 1 024.
c) Para representar a quantidade de bactérias depois
de n intervalos de tempo, podemos escrever
n
2.
Atividades – p. 27
1. a) 8
2
= 8 ? 8 = 64
b) ()13
2
_ = (_13) ? (_13) = +169
c) ()7
3
_ = (_7) ? (_7) ? (_7) = _343
d) ()0,9
1
_ = _0,9
e) 5
3
= 5 ? 5 ? 5 = 125
f) ()3,2
2
_ = (_3,2) ? (_3,2) = +10,24
g) 15
2
_ = _(15 ? 15) = _225
7
0 1 2 327
10
Quantidade de intervalos
de tempo transcorrido
Quantidade de bactérias
existentes
0 1
1 2 ? 1 = 2
2 2 ? 2 = 4
3 2 ? 4 = 8
4 2 ? 8 = 16
5 2 ? 16 = 32
6 2 ? 32 = 64
RESOLUÇÕES COMENTADAS
305
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h)






2
3
5
_ =






2
3
_ ?






2
3
_ ?






2
3
_ ?






2
3
_ ?






2
3
_ =
32
243
_
i) (_3)
4
= (_3) ? (_3) ? (_3) ? (_3) = +81
2. a) Sabemos que N = (6
5
+ 1), então:
N = (7 776 + 1)
N = 7 777
b) 4 algarismos iguais.
c) 4 ? 7 = 28
3. (_2)
3
+ (_3)
2
_ (_1)
2
_ (_2)
5
= _ 8 + 9 _ 1 _ (_32) = +32
4. (_2)
4
_ (0,5)
2
: (+0,1)
3
_ (_5)
3
= 16 _ 0,25 : 0,001 _ (_125) =
= 16 _ 250 + 125 = _109
5. x = (_2)
4
: 4² _ 4² : (_2)³ = 16 : 16 _ 16 : (_8) = 1 _ (_2)
x = 3
y = [(_1)³ _ (_1)
5
? (_1)
4
] + (_1)
7
= [_1_ (_1) ? 1] _ 1 = [_1+ 1] _ 1
y = _1
Assim, x ? y = _3
6. Primeiro, substituímos x = _1,5 em 2x² _ 5,5x + 3 = 0
2 ? (_1,5)² _ 5,5 ? (_1,5) + 3 = 0
2 ? 2,25 + 8,25 + 3 = 0
4,5 + 8,25 + 3 = 0
15,75 = 0 (F)
Portanto, _1,5 não é raiz da equação dada.
7. a) (_10)² 5 _10², pois (_10)² = 100 e _10² = _100
b) (_3)³ = _3³, pois (_3)³ = _27 e _3³ = _27
c) (_2)
6
5 _ (+2)
6
, pois (_2)
6
= 64 e _ (+2)
6
= _64
d) _(_7)³ = 7³, pois _ (_7)³ = _ (_343) = 343 e 7³ = 343
8. x = ()()55 5
2
3
32
4
?: = ()()55
61
4
? = 5
6
? 5
4
x = 5
10
y = ()5
9
2
: ()55
42
2
? = ()5
18
: ()5
6
2
= 5
18
: 5
12
h y = 5
6
Assim: =
x
y
5
5
10
6
= 5
4
9. a) 10
0
= +1
b) _10
0
= _1
c) (_10)
0
= +1
d) _ (_10)
0
= _1
10. A quantidade, em litro, de água potável contaminada por semana é dada por:
10² ? 10
7
= 10
9
.
Alternativa e.
11. a) 20² _ 20 = 400 _ 20 = 380
O campeonato tem 380 jogos.
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Considerando as mesmas regras
apresentadas para as duplas jogarem entre si (turno e returno) e a quantidade de
duplas reduzida para 15, quantos jogos teria o campeonato? (210 jogos).
Atividades – p. 31
1. a) 3
1
= 3
b) 3
0
= 1
c) =
_
3
1
3
1
d) =
_
3
1
9
2
e) =
_
3
1
27
3
f) =
_
3
1
81
4
2. a) 2
_1
=
1
2
= 0,5
b) 2
_5
=
1
32
= 0,03125
c) (_2)
_2
=
()_
1
2
2
=
1
4
= 0,25
d) _2
_4
= _
1
2
4
= _
1
16
= _0,0625
e) _(_4)
_3
= _
()_
1
4
3
=
1
64
= 0,015625
f) _(_10)
_1
= _
_
1
10
=
1
10
= 0,1
g) 10
_3
=
1
10
3
=
1
1000
= 0,001
h) 5
_2
=
1
5
2
=
1
25
= 0,04
3. a) 7
_5
b) 10
_9
c) 5
_6
d) 2
_10
4. a)
_






1
2
1
= 2
1
= 2
b)






1
5
2_
= 5
2
= 25
c)






−
_
5
2
3
=





_
2
5
3
= _
8
125
d)






−
_
1
8
2
= (_8)² = 64
5. a) (_1)
_3
_ (_3)
_1
= _1 _





_
1
3
= _1 +
1
3
= _
2
3
b) ()+=
__
_
24
42
1






+=
_
1
16

1
16
1







_
2
16
1
= 8
c) 3
_4
_ 3
_2
=
1
81
_
1
9
= _
8
81
d) ()?=
_
_
84
23
1
() ()?=
_
__
22 2
66
1
0
1
= 1
6. 2
0
+ (_2)
6
? 4
–3
_ (_2)
3
_






_
1
4
1
= 1 + 64 ?
1
64
_ (_8) _ 4 =
= 1 + 1 + 8 _ 4 = 6
7. a) 7
11
? 7
_8
= 7
11

_

8
= 7
3
b) 2
4
: 2
5
= 2
4

_

5
= 2
_1
c) ()
_
8
1
5
= 8
_1

? 5
= 8
_5
d) 5
9
: 5
_3
= 5
9

_

(_3)
= 5
12
e) 8
3
? 8
_7
? 8
5
= 8
3

_

7 +

5
= 8
1
= 8
f) ()
_
_
2
1
3
= 2
(_1) ? (_3)
= 2
3
g) 2
_4
: 2
_1
= 2
(_4) _ (_1)
= 2
_3
h) 3
_1
? 3
6
? 3
4
? 3
_10
= 3
_1

+

6

+

4

_

10
= 3
_1
8. a) x³ ? x
_7
? x
6
= x
3

_

7

+

6
= x
2
b) x
_1
: x
_3
= x
(_1) _ (_3)
= x
2
c)
_
()x
6
2
= x
6 ? (_2)
= x
_12
d) a
9
? a
_4
? a
7
? a
_15
= a
9

_

4

+

7

_

15
= a
_3
9. a)
_
_
10
10
2
4
= 10
_2

_

(_4)
= 10
2
b)
_
5
5
6
1
= 5
6

_

(_1)
= 5
7
c)
_
2
2
3
2
= 2
_3

_

2
= 2
_5
d)
3
3
7
10
= 3
7

_

10
= 3
_3
10. a) 7
_2
? 13
_2
b) 9
_3
: 5
_3
c) 2
_2
: 5
_4
d) 3
_4
: 10
e) 2
_10
? 3
4
? 11
2
f) 7
_2
: 10
4
306
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11. x = (2
0
+ 2
_1
) : (2
0
_ 2
_1
) =





+1
1
2
:





_1
1
2
=
3
2
:
1
2
=
3
2
?
2
1
x = 3
A =
()





_+
_+ _+
_
2
1
3
23 4
2
2
4 2 0
=
_+
_+ +
49
1691

A = _
5
6
12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: ()()100 22 28
0 4 2
+_ +? _.
Atividades – p. 33
1. Podemos escrever ?
1
10
1
1000000000
=
1
10000000000
=
1
10
10
ou 10
_10
.
2. a) 8 700 000 = 8,7 ? 10
6
; 6 000 000 = 6 ? 10
6
; 1 100 000 = 1,1 ? 10
6
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual era a quantidade dos outros
veículos, além de automóveis e motocicletas, que compunham a frota de veículos
do município de São Paulo em 2020? Escreva a resposta em notação científica.
(1,6 ? 10
6
).
3. a) 23 000 000 000 000 000 000 000 = 2,3 ? 10
22
b) 6 800 = 6,8 ? 10³
205 000 000 = 2,05 ? 10
8
c) 0,0000000106 = 1,06 ? 10
_8
4. a)
1
100
= 1 ? 10
_2
; 1 ? 10
_2
m
b) 1 000 000 = 1 ? 10
6
; 1 ? 10
6
L
c)
1
1000000
= 1 ? 10
_6
; 1 ? 10
_6
g
Por toda parte – p. 34
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam uma pesquisa sobre a popula-
ção e a área do estado e do município onde moram, calculem as respectivas densi-
dades demográficas e façam comparações dos resultados obtidos. É esperado que os
valores obtidos utilizando aproximações sejam próximos dos valores obtidos usando
a calculadora.
Educação financeira – p. 35
• 5 ? 455 = 2 275
Eles precisarão gastar R$ 2.275,00 da reserva.
4. Radicais
Pense e responda – p. 36
• Não. _
9 é o oposto de 9; logo, _9 = _3. Já
9_ não se define em r.
Atividades – p. 37
1. Duas expressões não são definidas no conjunto dos números reais:
1_ e
16
4
_.
2. 36; 144; 10; 100; 25.
3. Sim, a expressão é definida no conjunto dos números reais.
Sabendo que a = 10, b = 21 e c = 8, podemos calcular:
_= _? ?=b4ac(21)4108
22
44132012111_= =
O valor da expressão é 11.
4.
xy
22
_ = ()13 12
2 2
__ = 169144_ = =255
Sim, a expressão é definida no conjunto dos números reais.
5. a)
0,25 = ()0,5
2
= 0,5
b)
0,008
3
= ()0,2
3
3
= 0,2
c)
()8
2
_ = 64 = 8
d)
100_ = 10
2
_ = _10
e)
1
7
_ = ()1
7
7
_ = _1
f)
125
3
_ = ()5
3
3
_ = _5
Atividades – p. 40
1. Aplicando a 1
a
propriedade dos radicais, temos:
a)
3
55
=3
b)
7
33
=7
c)
(25)
7
7
?=10
d)
()5a
2
2
=5a²
2. a)
49 = 7
2
= 7
b)
729
6
= 3
66
= 3
c)
625
4
= 5
44
= 5
d)
1024
10
= 2
1010
= 2
e)
81
4
= 3
44
= 3
f)
343
3
= 7
33
= 7
3. a)
::
2
8 2142
= 2
4x
2
47
= 2
4x
x = 7
b)
::
10
55155
= 10
x3
10
13
= 10
x3
x = 1
c)
::
5
4484
= 5
x
5
1
= 5
x
x = 1
d)
::
6
x2102
= 6
15
x : 2 = 1
x =2
4. a)
::
2
5 515 5
= 2
3
b)
::
3
77147
= 3
c)
::
10
44164
= 10
4
d)
::
5
82102
= 5
45
5. a)
32
10
= 2
510
=
::
2
55105
= 2
b)
27
9
= 3
39
=
::
3
3393
= 3
3
c)
81
16
= 3
416
=
::
3
44164
= 3
4
d)
16
6
= 2
46
=
::
2
4262
= 2
23
e)
64
8
= 2
68
=
::
2
6282
= 2
34
f)
1024
12 = 2
1012
=
::
2
102122
= 2
56
6. a)
10
6x
= 10
24x
10
6
= 10
24
6x = 24 h x = 4
b)
3
x5
= 3
15
3
5x
= 3
15
5x = 15 h x = 3
307
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7. a)
5  7   ?= 5  7?
b)
ax
3
= a   x
3 3
?
c)
3  11
2
7
?= 3  11
27 7
?
d)
x y
6?=x  y
6 6
?
e)
2ab   =2  a b ??
f)
x
2y3
= x  x
y3 y3
?
8. a)
10 = 2  5? = 2 ? 5
b)
21
6
= 3  7
6? = 3
6
? 7
6
c)
35
9
= 57
9
? = 5
9
? 7
9
d)
30
7
= 2  3  5
7?? = 2
7
? 3
7
? 5
7
e)
15
10
= 3  5
10? = 3
10
? 5
10
f)
154
3
= 2   7   11
3?? = 2
3
? 7
3
? 11
3
Atividades – p. 42
1. a)
3  11
2
? = 3 ? 11
2
= 113
b)
2 7
6
6
? = 2
66
? 7
6
= 27
6
c)
2 3  5
55
5
?? = 2
55
? 3
5
? 5
55
= 2 ? 5 ? 3
5
= 103
5
d)
6
3
= 6 6
2
? = 6
2
? 6 = 66
e)
2
7
= 2 2 2   2
22 2
?? ? = 2
2
? 2
2
? 2
2
? 2 =
= 2 ? 2 ? 2 ?
2 = 82
f)
5 7
34
3
? = 57 7
33 1
3
?? = 5
33
? 7
33
? 7
13
= 5 ? 77
3
= 357
3
2. a)
x
5
= ??x x  x
22 1
= x
2
? x
2
? x
1
= x²x
b)
y
43
= ?y  y
31
3
= y
33
? y
13
= yy
3
c)
x
9
= ?? ??x   x  x   x  x
22 22
= x
2
? x
2
? x
2
? x
2
? x = xx
4
d)
y
125
= y  y  y
55 2
5
?? = y
55
? y
55
? y
25
= y²y
25
e)
xy
23
= x  y y
22 1
?? = x
2
? y
2
? y = xyy
f)
xy
575
= x  y  y
55 2
5
?? = x
55
? y
55
? y
25
= xyy
25
3. a)
75 = 3   25? = 53
b)
700 = 7   100? = 107
c)
176
4
= 2  11
4
4
? = 211
4
d)
800 = 20  2
2
? = 202
4. a)
50 = 252? = 52 = 5 ? 1,41 = 7,05
b)
27 = 3
3 = 3 ? 1,73 = 5,19
c)
150 = 56 = 5 ? 2,44 = 12,2
d)
500 = 105 = 10 ? 2,23 = 22,3
5. Seja x a medida do lado, então, podemos calcular:
x =
5184 = 72
Cada lado mede 72 m.
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é a medida, em metro, de cada lado de
um terreno quadrangular que tem área igual a 6 561 m
2
? (81 m).
7. x =
2304 = 23
82
?
x = 48
y =
64
6
= 2
66
y = 2
Assim:
x
y
=
48
2
= 24.
8. a)
4096
3 = 2
1212
= 2
b)
10000 = 10
44
= 10
Por toda parte – p. 43
1. Considerando a = 24, b = 48 e c = 40, temos:
p =
a  b c
2
++
=
24  48  40
2
++
=
112
2
= 56
Usando a fórmula deduzida por Heron, temos:
A =
()()()ppapbpc__ _ = () () ()56562456485640__ _ =
=
5632816 ??? = 12814 = 128 ? 3,7 = 473,6
Logo, a área desse terreno é igual a 473,6 m
2
.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem problemas envolvendo a
área de triângulos em que as medidas dos lados são conhecidas. Exemplo de resposta:
Qual é a área de um triângulo cujos lados medem 6 m, 6 m e 10 m?
Considerando a = 6, b = 6 e c = 10, temos:
p =
a  b c
2
++
=
++6  6  10
2
=
22
2
= 11
Utilizando a fórmula deduzida por Heron, temos:
A =
()()()ppapbpc__ _ = () () ()___111161161110 = ???11551 =
=
511
A área do triângulo é
511m
2
ou 16,6 m
2
.
Atividades – p. 44
1. a) 9
2 = 92
2
? = 162
b) 2
7 = 27
2
? = 28
c) 10
5 = 105
2
? = 500
d) 5
2
3
= ?52
3
3
= 250
3
e) 2
2
5
= 22
5
5
? = 64
5
f) 8
a = 8a
2
? = 64a
g) 2a
a = ()2aa
2
? = 4a
3
h) x
x
310
= ?xx
103
10
= x
1310
i) 6b
2b
3
= ()6b2b
3
3
? = 432b
43
2. a)
xx
236
= ?xx
32
36
= x
518
b)
xxy
235
= ??xxy
52 3
5
= ?xy
73
10
3.
a
b
a
b
3 =






a
b
a
b
2
3 ? =






a
b
3
6 =
a
b
4.
333   = 333
2
? = ?33
43
4
= 3
78
5.
x
y
x
y
3
=






x
y
x
y
3
2
=
x
y
7
3
4 = x
x
y
3
3
4
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Podemos introduzir um fator externo em
um radical, sem alterar o valor da expressão, utilizando as propriedades dos radicais.
Por exemplo, o número
75 pode ser escrito de modo que o fator externo 7 fique
no radicando. Para isso, aplicamos a 1
a
propriedade dos radicais e escrevemos o
fator externo 7 como uma raiz de índice 2 e, depois, aplicamos a 3
a
propriedade dos
radicais. Assim, temos:
7575 75 75 245
22
=? =? =? =
308
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 308
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 308 06/09/22 18:1006/09/22 18:10

Atividades – p. 46
1. a)
12 + 75 _ 93 + 27 + 48 =
= 2
3 + 53 _ 9
3 + 33 + 43 = 53
b) 4
125 + 345 _ 305 = 205 + 95 _ 305 = _5
c)
54 + 6 _ 150 + 224 = 36 +6 _ 56 + 46 = 36
2. P =
72 + 3200 + 392
P = 6
2 + 302 + 14
2
P = 50
2 = 50 ? 1,41 = 70,5
3. Simplificando os radicais que indicam as medidas dos lados do triângulo, temos:
• 4
486 = 366 • 496 = 166 • 5216 = 306
Agora, podemos calcular o perímetro:
36
6 + 166 + 306 = 826 = 82 ? 2,45 = 200,9
Logo, o perímetro desse triângulo é igual a 200,9 cm.
4. a)
28 175
63
+
=
27 57
37
+
=
77
37
=
7
3
b)
50 18
200
_
=
5232
102
_
=
22
102
=
1
5
5. Simplificando os radicais que indicam as medidas dos lados do terreno, temos:
• 7
28 = 147
• 5
112 = 207
• 3
175 = 157
Calculando o perímetro, obtemos:
14
7 + 207 + 157 = 497 = 49 ? 2,65 = 129,85
Portanto, o perímetro do terreno é 129,85 m.
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Calcule a soma das medidas dos lados de um
retângulo, cujos lados medem
18me75m. Considere =21,41 e =31,73.
18187575218275
22323562103
61,41101,7325,76
22
+ ++= +=
=? +? =+ =
=? +? =
A soma das medidas dos lados é igual a 25,76 m.
Atividades – p. 48
1. a)
8 ? 6 = 163? = 43
b)
2 ? 27 = 239?? = 36
c)
42 ? 28 = 23747 ???? = 146
d) 2
10 ? 530 = 1010103?? = 1003
e)
8 ? 12 ? 103 = 22 ? 23 ? 103 = 1202
f) 6
7 ? 52 ? 821 = 2407237??? = 1 6806
2. Perímetro = 2 ? 19
2 + 2 ? 152 = 682
Área = 19
2 ? 152 = 19 ? 15 ? 2 = 570
Perímetro: 68
2 cm; área: 570 cm².
3. a) A =
()Bbh
2
+
h A =
()305205105
2
+?
hA
505105
2
A5055h=
?
h= ??
A = 1 250 m²
Portanto, o valor de x é 2.
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Considere a medida da base maior e a
medida da altura e calcule o perímetro de um terreno retangular cujas medidas
correspondem aos dados apresentados.
()805m.
4. a)
5 ? ()75+ = 5 ? 7 + 5 ? 5 = 7
5 + 5
b)
15 ? ()35+ = 3533 55??+? ? = 3
5 + 53
c)
8 ? ()26_ = 22 ? ()26_ = 222226 4243?_ ?= _
5.
()753_ ? ()283_ = 7 ? 2 _ 7 ? 83 _ 53 ? 2 + 53 ? 83 =
= 14 _
663 + 120 = 134 _ 663
6. a)
()110
2
+ = 1 + 210 +10 = 11 + 210
b)
()35
2
_ = 9 _ 65 + 5 = 14 _ 65
c)
()72
2
+ = 7 + 214 + 2 = 9 + 214
d)
()107
2
_ = 10 _ 270 + 7 = 17 _ 270
7. a)
153:=
15
3
5=
b)
217
44
:=
3 7
7
4 4
4
?
=
3
4
c)
1623:=
92
3
=
36
d)
2406: =
435
2 3
?
?
=
210
8. a)
40
5
=
85
5
?
=
225
5
?
=
22
b)
?= ??543963 =? ?? =32 33 92
c)
486
3
=
99 23
3
?? ?
=
92
d)
150
3
=
2523
3
??
=
52
9.
()
()
+
+
23
26
:
()62
3
_
=
()
()
23
26
+
+
?
()_
3
62
=
233
64
+
_
=
323
2
+
Atividades – p. 50
1. a)
2
1232??
= 2
26
3
1323 ??
= 3
36
b)
a
3373 ??
= a
921
b
2737 ??
= b
1421
c)
3
2454 ??
= 3
820
3
3545 ??
= 3
1520
d)
2
53143??
= 2
1542
2
92212??
= 2
1842
e)
3
23103??
= 3
630
2
1565 ??
= 2
530
2
42152??
= 2
830
f)
3
4252 ??
= 3
810
6
11101??
= 6
10
2
1552??
= 2
510
2. a)
2
1310 3??
= 2
330
2
22152??
= 2
430
2
330
, 2
430
309
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 309
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 309 06/09/22 18:1106/09/22 18:11

b)
3
103123 ??
= 3
3036
3
112182??
= 3
2236
3
3036
. 3
2236
c)
2
3383 ??
= 2
924
2
3464 ??
= 2
1224
2
924
, 2
1224
3.
2 ? 2
4
= 2
24
? 2
4
= 2
34
= 8
4
Alternativa a.
4. a)
10
3
? 10
5
= 10
1535 ??
? 10
1353 ??
= 10
515
? 10
315
= 10
815
b)
7
7
5
=
7
7
1525
1252
??
??
=
7
7
510
210
=
7
310
c)
3
4
? 3 = 3
1141??
? 3
1222 ??
= 3
4
? 3
24
= 3
34
d)
2
2
720
=
2
2
110210
71201
??
??
=
2
2
1020
720
=
2
320
e)
5
5
26
310
=
5
5
2565
33103
??
??
=
5
5
1030
930
=
5
130
f)
7
7
56
23
=
7
7
5161
2232
??
??
=
7
7
56
46
=
7
6
g)
2
34
? 2
45
? 2
710
= 2
310410??
? 2
4858 ??
? 2
74104??
=
=
2
3040
? 2
3240
? 2
2840
= 2
9040
= 222
404010
40
?? = 42
1040
= 42
4
h)
6
6
58
212
=
6
6
5383
22122
??
??
=
6
6
1524
424
=
6
1124
5. a)
ab
ab
538
26
=
ab
ab
15924
4824
=
ab
11124
b)
ab
ab
769
326
=
ab
ab
141218
9618
=
ab
5618
c)
a
b
b
a
3
=












a
b
b
a
3
6
2
6
=
a
b
a
b
3
6
2
6
_












=






a
b
5
6 =
a
b
5
5
6
d)
ab
ab
534
10912
=
ab
ab
15912
10912
=
a
512
e)
()ab
ab
5
6
34
=
ab
ab
556
34
=
ab
ab
101012
3912
=
ab
712
Atividades – p. 51
1. a)
()21
2
= ()21
2
= 21
b)
()4
3
2
= ()2
2
2
3
= 2
43
= 22
3
c)
83
2
() = 64 ? 3 = 192
d)
2
4
9
() = 2
4
4
() ? 2
4
4
() ? 2
4
= 2 ? 2 ? 2
4
= 42
4
e)






1
2
10
2
=
1
4
? 10 =
5
2
f)
()8
6
2
= 2
66
= 2
2. a)
()ab
2
= a
2
b
b)
()ba
3
4
= b
4aa
3
3
? = ab
4
a
3
c)
()abb
3
4
= a
4
b
4bb
3
3
? = a
4
b
5
b
3
d)






a
b
ab
2
=
a
b
2
2
? ab =
a
b
3
3. A =
532 _ ()22
3
h A = 52 2 2
22
?? _ 2
32 2
2
?
A = 20
2 _ 162 h A = 42
4.
()210
2
? ()102
2
= 40 ? 200 = 8 000
5.
32
23
=
3  1,41
2 1,73
?
?
=
4,23
3,46
1 1,22
6. a)
()32
2
+ = 3 + 2 ? 3 ? 2 + 2 = 5 + 26
b)
()17
2
_ = 1 _ 27 + 7 = 8 _ 27
c)
() ()425425+_ = 32 _ 25 = 7
d)
()210
2
+= () ()2102 10+? + = 4 + 2 ? 2 ?
10 + 10 =
= 14 + 4
10
e)
()117+()117_ = 11 _ 7 = 4
f)
()33 2
2
+= () ()33 2332+? +=
=
9336362?+++ =29 + 66
Atividades – p. 53
1. a)
2
10
=
2
10
?
10
10
=
210
10
=
10
5
b)
6
6
=
6
6
?
6
6
=
66
6
=
6
c)

9
3
9
3
3
3
93
3
33=? ==
d)
5
2
5
2
2
2
10
2
=? =
e)
20
25
20
25
5
5
205
10
25=? ==
f)
3
6
3
6
6
6
36
6
6
2
=? ==
g)
20
310
20
310
10
10
2010
30
210
3
=? ==
h)
23
52
23
52
2
2
26
10
6
5
=? ==
i)
73
27
73
27
7
7
721
14
21
2
=? ==
2. a)
1  3
3
1  3
3
3
3
3 3
3
_
=
_
?=
_()
b)
3  2
2
3  2
2
2
2
32  2
2
_
=
_
?=
_()
c)
5  2
5
5  2
5
5
5
5  10
5
+
=
+
?=
+()
d)
3  2
3
3  2
3
3
3
3  6
3
_
=
_
?=
_()
e)
2  2
2
2  2
2
2
2
22  2
2
2  1
+
=
+
?=
+
=+
()
310
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 310
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 310 06/09/22 18:1106/09/22 18:11

f)
1  2
5
1  2
5
5
5
5  10
5
+
=
+
?=
+()
3. a)
3
10
=
3
10
10
10
30
10
?=
b)
3
5
=
3
5
5
5
15
5
?=
c)
1
2
=
1
2
2
2
2
2
?=
d)
1
8
=
1
8
8
8
8
8
22
8
2
4
?= ==
e)
5
3
=
5
3
3
3
15
3
?=
f)
5
8
=
5
8
8
8
40
8
210
8
10
4
?= ==
4. Considerando
2 = 1,414, 62,449= e 103,162= , calculamos:
a)
3
2
=
3
2
2
2
6
2
2,449
2
1,224?= ==
b)
2
5
=
2
5
5
5
10
5
3,162
5
0,632?= ==
c)
1
2
=
1
2
2
2
2
2
1,414
2
0,707?= ==
d)
2
3
=

2
3
3
3
6
3
2,449
3
0,816?= ==
5. a) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
6
25
, temos:

1
6
1
6
6
6

6
6
35 35
25
25
25
=? =
b) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
5
23
, temos:
15
5
15
5
5
5
155
5
35
33
23
23
23
23
=? ==
c) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
2
29
, temos:
2
2
2
2
2
2
22
2
2
79 79
29
29
29
29
=? ==
d) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
3
510
, temos:
6
3
510
=
6
3
510
?
3
3
510
510
=
63
3
510
= 2
3
510
e) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
8
14
, temos:4
8
4
8
8
8
48
8
8
2
34 34
14
14
14 14
=? ==
f) Multiplicando o numerador e o denominador dessa expressão por
10
311
, temos:
20
10
20
10
10
10
811 811
311
311
=?2010
10
210
311
311
==
6. a)
1
3  6
1
3  6
3  6
3  6_
=
_
?
+
+
=
()
()
()

3  6
9 6
3  6
3
+
_
=
+
b)
+
2
5  3
2
5  3
5  3
5  3
=
+
?
_
_()
()
()
=
25  3
5  3
_
_
()
=
5 _ 3
c)

)
)
)
)
(
(
(
(
22
32
22
32
32
32
6223 22
92
852
7
_
+
=
_
+
?
_
_
=
__ +
_
=
=
_
d)
2  22
2  2
2  22
2  2
2  2
2  2
4  22  42  4
4  2
22
2
2
_
_
=
_
_
?
+
+
=
+_ _
_
=
=
_
=
()
()
()
()

Atividades – p. 55
1. a)
2
37
= 2
3
7
b)
10
45
= 10
4
5
c)
2
5
= 2
5
2
d)
2
6
= 2
1
6
e)
11 = 11
1
2
f)
2
34
= 2
3
4
2. a)
55
2
3 23
=
b)
33
5
7 57
=
c)
7 7
1
2
=
d)
6 6
4
3 43
=
e)
66
3
2 32
=
f)
7 7
4
9 49
=
3. xx xx
1
2
1
3
1
2
1
3
5
6
?= =
+
=
x
56

4. a) 3
1
2
; 1,2
3
2
;
5
3
pe 7
6
5
.
b)
3, (1,2)
3
;
53
pe 7
65
.
c) É possível simplificar um radical quando o índice do radical e o radicando têm
divisores comuns.
5. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem expressões com operações
em que possam aplicar as propriedades das potências. Exemplo de resposta:
22
4
3
2
1
2
?
.
Atividades – p. 57
1. a)
327688
5 =
b)
784 28=
c)
46656  36
3 =
d)
1048576  4
10 =
e) 16
0,25
= 2
f) 32
0,2
= 2
g) 121
0,5
= 11
h) 243
0,4
= 9
Retomando o que aprendeu – p. 58
1. a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
2. a) Finita.
b) Infinita e periódica.
c) Infinita e não periódica.
311
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 311
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 311 06/09/22 18:1106/09/22 18:11

3. a) Sim;
49
7
.
b) _97;
49
7

c)
3_ e p.
d)
3_ e p.
e) 1,25;
49
7
; 97;
3
5
_
4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para localizar o número irracional
7,
podemos fazer uma construção similar à feita para localizar o número irracional
3.
A medida do lado maior do triângulo é a medida cujo valor será calculado, e as
medidas dos outros dois lados do triângulo são 2 e
3.x2 3
22
2
=+
x4 3
2
=+
x7=
5.
() ()55 55 5?+ ?_ = ()() ()55 5 55 ?+ ?_ =
=
() ()5255 520?_ =? =52510?=
Alternativa c.
6.
31108343 110832
65 65+_ _= +_ _ =
=
31108131109
65 65+_ =+ _=311311 322
65 5 5
+= += =
Alternativa a.
7. 81 32 3 2
1
2
1
5
4
1
2
5
1
5
+= +
? ?
= 3
2
+ 2
1
= 11
Alternativa e.
8. •
2 + x = 4 2 h x = 32
•
3 ? y = 56 h y = 52
• x + y = 3
2 + 52 = 82
Alternativa d.
9. a ? b =
?= ?=243626612
4
Alternativa c.
10.
() () () () ()22 2 2 2
963
5
936
5
918
5
918
5 5
?= ?= ? 2
5
() = ()2
10
= 32
Alternativa e.
11.
32 + 48 _ 50 _ ()2
3
= 42 + 82 _ 52 _ 22 = 52
Alternativa a.
12. x
2
_ y
2
=
()13
2
_ _ ()13
2
_+ = ()1233_+ _ ()1233_+ = 0
Alternativa d.
13. •
2
x
= 2
12
h 2
2x
= 2
12
h x = 6
•
5
y3
= 5
15
h 5
3y
= 5
15
h y = 5
x _ y = 6 _ 5 = 1
Alternativa a.
14.
310 _
10
10  3
310
_
=
10
10  3
10 + 3
10  3
_
_
?
+()
()
()
=
= 3
10 _ 10  310
10  9
+
_
= _10
Alternativa d.
15. A = 8 16 2 8
1
3
1
4
2
4
3
+_ +()
A = 2 2 4  2
3
1
3
4
1
4
3
4
3
+_ +
? ? ?
A = 2 + 2 _ 4 + 2
4
A = 16
Alternativa c.
16. 32 27
108
2
0,0016
0,20 ,5
1
2
0,25
+_ +=
()
()
2 3
63
2
210
50,2 30,5 1
40,25
=+ _+ ?=
?? _
?
()
2  3  33  0,22  33  33  0,22,2
1,5
=+ _+ =+ _+ =
Alternativa b.
Um novo olhar – p. 59
• Podemos obter uma aproximação para o número p dividindo a medida do comprimento
de uma circunferência pela medida de seu diâmetro, ou seja, o dobro da medida do raio.
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes consigam indicar um número irracio-
nal, por exemplo
2, e o descrevam como um número cuja representação decimal é
sempre infinita e não periódica.
• Traçando a diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 unidade de comprimento.
• No conjunto dos números reais, não é possível obter a raiz quando o índice for um
número par.
Unidade 2 • Produtos notáveis e fatoração
Abertura de Unidade – p. 60
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes identifiquem padrões e representações de
figuras geométricas nos vitrais apresentados. Se julgar oportuno, apresentar outros exem-
plos de vitrais aos estudantes e analisar as obras com eles.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes obtenham a medida da área desejada mul-
tiplicando x por (y _ x) e, posteriormente, multiplicando o resultado por dois.
1. Produtos notáveis
Pense e responda – p. 65
• A área desse retângulo pode ser expressa algebricamente por:
(x + y) ? (x _ y) = x
2
_ xy + xy _ y
2
= x
2
_ y
2
.
Atividades – p. 67
1. a) (8x + 1) (8x _ 1) = 64x
2
_ 8x + 8x _ 1 = 64x
2
_ 1
b) (10 + 3x)
2
= (10)
2
+ 2 ? (10) ? (3x) + (3x)
2
= 100 + 60x + 9x
2
c) (7a _ b)
2
= (7a)
2
_ 2 ? (7a) ? (b) + (b)
2
= 49a
2
_ 14ab + b
2
d) (x + 0,5y)
2
= (x)
2
+ 2 ? (x) ? (0,5y) + (0,5y)
2
= x
2
+ xy + 0,25y
2
e) (ax + b)(ax _ b) = a
2
x
2
_ abx + abx _ b
2
= a
2
x
2
_ b
2
f) (a
2
_ 4y)
2
= (a
2
)
2
_ 2 ? (a
2
) ? (4y) + (4y)
2
= a
4
_ 8a
2
y + 16y
2
g) (1,4 _ abc)(1,4 + abc) = 1,96 _ 1,4abc + 1,4abc _ a
2
b
2
c
2
= 1,96 _ a
2
b
2
c
2
h) (a
3
+ b
3
)
2
= (a
3
)
2
+ 2 ? (a
3
) ? (b
3
) + (b
3
)
2
= a
6
+ 2a
3
b
3
+ b
6
i) (x
4
+ 5y
3
)
2
= (x
4
)
2
+ 2 ? (x
4
) ? (5y
3
) + (5y
3
)
2
= x
8
+ 10x
4
y
3
+ 25y
6
EDITORIA DE ARTE
3
7
01 2
2
7
3
312
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 312
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 312 06/09/22 18:1206/09/22 18:12

j) bc
1
2
abc
1
2
a
22










_+ = b
2
c
2
+
1
2
a
2
bc _
1
2
a
2
bc _
1
4
a
4
= b
2
c
2
_
1
4
a
4
2. a) (3x
2
_ 2c) ? (3x
2
+ 2c) = (3x
2
)
2
_ (2c)
2
= 9x
4
_ 4c
2
b) (a
2
b
2
+ 2,5c) ? (a
2
b
2
_ 2,5c) = (a
2
b
2
)
2
_ (2,5c)
2
= a
4
b
4
_ 6,25c
2
3. (3x + 5)(3x _ 5) = (3x)
2
_ (5)
2
= 9x
2
_ 25
Alternativa a.
4. (x _ a)(x + a) = (x)
2
_ (a)
2
= x
2
_ a
2
Alternativa d.
5. a) (3x
5
_ 0,5)
2
= (3x
5
)
2
_ 2 ? (3x
5
) ? (0,5) + (0,5)
2
= 9x
10
_ 3x
5
+ 0,25
b) _3
c) 9 ? (_3) ? 0,25 = _6,75
6. a) V
b) F; (3y _ a)(3y + a) = 9y
2
_ 3ay + 3ay _ a
2
= 9y
2
_ a
2
c) V
7. (2ax + 5)
2
= (2ax)
2
+ 2 ? (2ax) ? (5) + (5)
2
= 4a
2
x
2
+ 20ax + 25
8. (x + 4)
2
= (x)
2
+ 2 ? (x) ? (4) + (4)
2
= x
2
+ 8x + 16
O termo que deve ser adicionado ao polinômio é 16.
9. (a _ 2b)
2
= (a)
2
_ 2 ? (a) ? (2b) + (2b)
2
= a
2
_ 4ab + 4b
2
Para que a
2
_ 2ab + 4b
2
seja igual a (a _ 2b)
2
devemos acrescentar o termo _2ab.
10. (xy _ a
3
) ? (xy + a
3
) = (xy)
2
_ (a
3
)
2
= x
2
y
2
_ a
6
O outro polinômio é xy + a
3
.
11. (x + y)
2
= (x)
2
+ 2 ? (x) ? (y) + (y)
2
= 306 + 2 ? 72 = 450
O valor de (x + y)
2
é 450.
12. (x + y)
2
= 64
(x)
2
+ 2 ? (x) ? (y) + (y)
2
= 64
(x)
2
+ 2 ? 15 + (y)
2
= 64
(x)
2
+ (y)
2
= 34
Portanto:
x
2
+ 6xy + y
2
= 34 + 6 ? 15 = 124
Alternativa d.
13. (x _ y)
2
_ (x + y)
2
= _20
(x)
2
_ 2 ? (x) ? (y) + (y)
2
_ [(x)
2
+ 2 ? (x) ? (y) + (y)
2
] = _ 20
_ 4xy = _20 h xy = 5
Alternativa d.
14. A expressão que representa a situação “o quadrado da soma de dois números, mais 5
unidades” é: (x + y)
2
+ 5.
Alternativa c.
15. Não. A resposta correta é:
2xy
3
2
()_ = (2x)
2
_ 2 ? (2x) ? (y
3
) + y
3
2
() = 4x
2
_ 4xy
3
+ y
6
16. a) (x + 1)
2
_ x + (x _ 1)
2
_ 2 ? (x
2
_ 1) =
= x
2
+ 2x + 1 _ x + x
2
_ 2x + 1 _ 2x
2
+ 2 = 4 _ x
b) (2x + y)
2
_ 6xy _ (x _ y)
2
= 4x
2
+ 4xy + y
2
_ 6xy _ x
2
+ 2xy _ y
2
= 3x
2
17. A pessoa pode ter calculado da seguinte maneira:
(a + 10) ? (b + c) = ab + ac + 10b + 10c.
Alternativa a.
18. (x _ y + 2)
2
_ (x _ y _ 2)
2
=
= (x _ y + 2 + x _ y _ 2) ? (x _ y + 2 _ x + y + 2) =
= (2x _ 2y) ? (4) = 8x _ 8y
O polinômio procurado é 8x _ 8y.
Fórum – p. 68
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reconheçam a importância de realizar
uma pesquisa de preços e de outras condições (modos de pagamento, valor do frete,
facilidades da entrega, entre outras) para que a compra seja segura e econômica.
Atividades – p. 69
1. a) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
b) (b _ c)
3
= b
3
_ 3b
2
c + 3bc
2
_ c
3
c) (2a + 1)
3
= (2a)
3
+ 3 ? (2a)
2
? (1) + 3 ? (2a) ? (1)
2
+ (1)
3
=
= 8a
3
+ 12a
2
+ 6a + 1
d) (1 _ 2a)
3
= (1)
3
_ 3 ? (1)
2
? (2a) + 3 ? (1) ? (2a)
2
_ (2a)
3
=
= 1 _ 6a + 12a
2
_ 8a³
e) (2x + y)
3
= (2x)
3
+ 3 ? (2x)
2
? (y) + 3 ? (2x) ? (y)
2
+ (y)
3
=
= 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³
f) (3y _ 1)
3
= (3y)
3
_ 3 ? (3y)
2
? (1) + 3 ? (3y) ? (1)
2
_ (1)
3
=
= 27y³ _ 27y² + 9y _ 1
2. a) (a _ b)
3
_ (a
3
_ b
3
) + 4ab(a _ b) = a
3
_ 3a
2
b + 3ab
2
_ b
3
_ a
3
+ b
3
+
+ 4a
2
b _ 4ab
2
= a
2
b _ ab
2
b) (2x _ y)
3
_ (2x + y)
3
+ 2xy(2x + y) = (2x)
3
_ 3 ? (2x)
2
? (y) +
+ 3 ? (2x) ? (y)
2
_ (y)
3
_ (2x)
3
_ 3 ? (2x)
2
? (y) _ 3 ? (2x) ? (y)
2
_ (y)
3
+ 4x²y +
+ 2xy² = _2y³ _ 20x²y + 2xy²
c) (1 _ a)
3
+ 2a(_2 + a
2
) + (1 _ a
3
) =
= (1)
3
_ 3 ? (1)
2
? (a) + 3 ? (1) ? (a)
2
_ (a)
3
_ 4a + 2a³ + 1 _ a
3
=
= 3a² _ 7a + 2
Tratamento da informação – p. 70
1. a) 73 + 78 + 72 + 75 + 85 + 72 + 88 + 75 + 89 + 122 + 115 + 131 +
+ 119 + 150 + 170 + 133 + 144 + 157 + 158 + 233 + 137 + 193 +
+ 184 + 206 + 191 + 191 + 209 + 218 + 164 + 242 = 4 274
4274
30
142,461
Aproximadamente 142,46 óbitos por dia.
b)
137144
2
+
= 140,5
2. a) Observa-se que a linha laranja (média móvel) se aproxima mais da linha azul
(quantidade total diária de óbitos) do que a linha cinza (média). Com isso, pode-se
concluir que a média móvel representou melhor a variação da quantidade total
diária de óbitos do que a média usual no período considerado.
b) Espera-se que os estudantes respondam que a média móvel semanal corresponde
à média dos resultados dos sete dias anteriores a determinado dia. Nesse caso, o
primeiro dado referente à média móvel semanal, registrado no dia 8 de abril de
2020, representa a média da quantidade de óbitos registrados de 1
o
a 7 de abril de
2020 na cidade do Rio de Janeiro.
3. a) Espera-se que os estudantes respondam que a média móvel no dia 26 de abril
de 2020 representa melhor a quantidade total de óbitos nesse dia, pois a linha
que representa a média móvel praticamente coincide com a linha que representa
a quantidade total de óbitos, enquanto a linha que representa a média está mais
afastada da linha que representa essa quantidade.
b) A média usual é aproximadamente 132 e a média móvel de sete dias é 186. Como
a quantidade de óbitos registrada na cidade do Rio de Janeiro em 26 de abril de
2020 foi 191 óbitos, podemos concluir que a média móvel representou melhor a
quantidade total de óbitos nesse dia do que a média usual, como é indicado na
resposta do item a.
2. Fatorando polinômios
Atividades – p. 72
1. a) 2 ? 27; 3 ? 18; 6 ? 9
b) Essas são algumas possibilidades de respostas, mas existem outras.
2 ? 60; 4 ? 30; 10 ? 12
313
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D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 313 06/09/22 18:1206/09/22 18:12

2. a) (x + y) ? (x _ y)
b) (5b + 2c) ? (5b _ 2c)
Atividades – p. 76
1. a) 10x + 10y = 10(x + y)
b) y
2
+ 9xy = y(y + 9x)
c) 0,5x _ 1y = 0,5(x _ 2y)
d) ab _ a
3
b
3
= ab(1 _ a
2
b
2
)
e) a
2
x + abx = ax(a + b)
f) x
2
y
2
_ x
5
y
5
= x
2
y
2
(1 _ x
3
y
3
)
g)
1
3
a
1
9
b+=
1
3
a
1
3
b





+
h) 2,5ax
2
_ 2,5a = 2,5a(x
2
_ 1)
2. a) b
2
_ ab _ b = b(b _ a _ 1)
b) 24x
5
_ 8x
4
_ 56x
3
= 8x
3
(3x
2
_ x _ 7)
c) a
7
+ a
5
+ a
3
= a
3
(a
4
+ a
2
+ 1)
d) 120ax
3
_ 100ax
2
+ 60ax = 20ax(6x
2
_ 5x + 3)
e)
1
8
ab
1
4
ab
1
2
ab
22
+_ =
1
2
ab
1
4
1
2
ab





+_
3. ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (a + b) ? (c + d) = 53 ? 38 = 2 014
4. a) a(x + y) _ b(x + y) = (x + y)(a _ b)
b) x(p + h) + y(p + h) = (p + h)(x + y)
c) b(a _ x) _ c(a _ x) = (a _ x)(b _ c)
5. 5ax
2
_ 5ay
2
Forma fatorada:
5ax
2
_ 5ay
2
= 5a(x
2
_ y
2
)
Valor numérico do polinômio:
a = 20 e x
2
_ y
2
= 25
5a(x
2
_ y
2
) = 5 ? 20 ? 25 = 2 500
6. xy
3
+ 7xy
2
_ 3xy
Forma fatorada:
xy
3
+ 7xy
2
_ 3xy = xy(y
2
+ 7y _ 3)
Valor numérico do polinômio:
xy = 6 e y
2
+ 7y = 20
xy(y
2
+ 7y _ 3) = 6 ? (20 _ 3) = 6 ? 17 = 102
7. a(2x _ y) + b(2x _ y) + c(2x _ y)
Forma fatorada:
a(2x _ y) + b(2x _ y) + c(2x _ y) = (2x _ y)(a + b + c)
Valor numérico do polinômio:
2x _ y = 20 e a + b + c = 100
(2x _ y)(a + b + c) = 20 ? 100 = 2 000
8. a) a
2
+ ab + ax + bx = a(a + b) + x(a + b) = (a + b) ? (a + x)
b) ax _ x + ab _ b = x(a _ 1) + b(a _ 1) = (a _ 1) ? (x + b)
c) a
5
+ a
3
+ 2a
2
+ 2 = a
3
(a
2
+ 1) + 2(a
2
+ 1) = (a
2
+ 1) ? (a
3
+ 2)
d) bx
2
_ 2by + 5x
2
_ 10y = b(x
2
_ 2y) + 5(x
2
_ 2y) = (x
2
_ 2y) ? (b + 5)
e) 2b
2
+ 2 _ b
2
k _ k = 2(b
2
+ 1) _ k(b
2
+ 1) = (b
2
+ 1) ? (2 _ k)
f) 5y
3
_ 4y
2
+ 10y _ 8 = y
2
(5y _ 4) + 2(5y _ 4) = (5y _ 4) ? (y
2
+ 2)
g) a
12
+ a
8
_ a
4
_ 1 = a
8
(a
4
+ 1) _ 1(a
4
+ 1) = (a
4
+ 1) ? (a
8
_ 1)
h) 2an + n _ 2am _ m = n(2a + 1) _ m(2a + 1) = (2a + 1) ? (n _ m)
i)
1
2
+
1
2
x + xy + y =
1
2
(x + 1) + y(x + 1) = (x + 1) ? y
1
2





+
9. ac _ bc + ad _ bd
Forma fatorada:
ac _ bc + ad _ bd = c(a _ b) + d(a _ b) = (a _ b)(c + d)
Valor numérico do polinômio:
c + d = 2,5 e a _ b = _1,1
(a _ b)(c + d) = (_1,1) ? 2,5 = _2,75
10. a) ax _ bx + cx + ay _ by + cy = x(a _ b + c) + y(a _ b + c) =
= (a _ b + c)(x + y)
b) am + bm + m _ an _ bn _ n = m(a + b + 1) _ n(a + b + 1) =
= (a + b + 1)(m _ n)
c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + b) + y(a + b) =
= (x + y)(a + b) + (a + b)(x + y) = 2(a + b)(x + y)
11. x
2
_ xz + 2xy _ 2yz
Forma fatorada:
x
2
_ xz + 2xy _ 2yz = x(x _ z) + 2y(x _ z) = (x _ z)(x + 2y)
Valor numérico do polinômio:
x _ z = 5 e x + 2y = 27
(x _ z)(x + 2y) = 5 ? 27 = 135
12. • 2a + 2b = 18 h a + b = 9
• 2b + 2c = 26 h b + c = 13
• ab + b
2
+ ac + bc = b(a + b) + c(a + b) = (a + b) (b + c) = 9 ? 13 = 117
Atividades – p. 78
1. a) a
2
_ 64 = a
2
_ 8
2
= (a + 8)(a _ 8)
b) 100 _ b
2
= 10
2
_ b
2
= (10 + b)(10 _ b)
c) x
2
_ 0,25 = x
2
_ (0,5)
2
= (x + 0,5)(x _ 0,5)
d) 16b
2
_ 9c
2
= (4b)
2
_ (3c)
2
= (4b + 3c)(4b _ 3c)
e) 1 _ x
2
y
2
= 1
2
_ (xy)
2
= (1 + xy)(1 _ xy)
f) a
4
_ c
4
= a
2
2
() _ c
2
2
() = (a
2
+ c
2
)(a
2
_ c
2
)
g) a
6
b
6
_ 0,01 = ab
33
2
() _ (0,1)
2
= (a
3
b
3
+0,1)(a
3
b
3
_ 0,1)
h) x
4
_ 100 = x
2
2
() _ (10)
2
= (x
2
+ 10)(x
2
_ 10)
i) 9 _ y
6
= (3)
2
_ y
3
2
() = (3 + y
3
)(3 _ y
3
)
j) 81r
2
_ s
4
= (9r)
2
_ s
2
2
() = (9r + s
2
)(9r _ s
2
)
2. a)
1
4
_ 9x
2
=
1
2
2





 _ (3x)
2
=
1
2
3x
1
2
3x











+_
b)
1
100
_ a
2
b
2
=
1
10
2





 _ (ab)
2
=
1
10
ab
1
10
ab











+_
c)
1
25
a
4
_
1
4
y
2
=
1
5
a
2
2





 _
1
2
y
2





 =
1
5
a
1
2
y
1
5
a
1
2
y
22










+_
d) b
2
_
1
16
c
2
= (b)
2
_
1
4
c
2





 = b
1
4
cb
1
4
c











+_
3. 5x _ y = _20 e 5x + y = _2
25x
2
_ y
2
= (5x)
2
_ (y)
2
= (5x + y)(5x _ y)
(5x + y)(5x _ y) = (_2) ? (_20) = 40
4. a
2
b
2
_ x
2
Forma fatorada:
a
2
b
2
_ x
2
= (ab)
2
_ (x)
2
= (ab + x)(ab _ x)
Valor numérico do polinômio:
ab + x = 21 e ab _ x = 5
(ab + x)(ab _ x) = 21 ? 5 = 105
5. a) (x _ 4)
2
_ 16 = (x _ 4)
2
_ (4)
2
= (x _ 4 + 4)(x _ 4 _ 4) = x(x _ 8)
b) (y + 1)
2
_ 25 = (y + 1)
2
_ (5)
2
= (y + 1 + 5)( y + 1 _ 5) = (y + 6)(y _ 4)
c) (a + b)
2
_ c
2
= (a + b)
2
_ (c)
2
= (a + b + c)( a + b _ c)
314
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D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 314 06/09/22 18:1206/09/22 18:12

d) (n + 5)
2
_ 36 = (n + 5)
2
_ (6)
2
= (n + 5 + 6)( n + 5 _ 6) = (n + 11)(n _ 1)
e) (3x _ 1)
2
_ x
2
= (3x _ 1)
2
_ (x)
2
= (3x _ 1 + x)(3x _ 1 _ x) =
= (4x _ 1)(2x _ 1)
f) a3
3
2
()+ _ a
6
= a3
3
2
()+ _ a
3
2
() =
= (a
3
+ 3 + a
3
)(a
3
+ 3 _ a
3
) = 3(2a
3
+ 3)
g) x
2
_ (x + y)
2
= (x)
2
_ (x + y)
2
=
= (x + x + y)(x _ x _ y) = _y(2x + y)
h) a
2
_ (a + 1)
2
= (a)
2
_ (a + 1)
2
=
= (a + a + 1)(a _ a _ 1) = _1(2a + 1)
Atividades – p. 80
1. a) a
2
_ 10ab + 25b
2
= (a _ 5b)
2
Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.
b) x
2
_ 8x + 25 5 (x + 5)
2
ou (x _ 5)
2
Não representa um trinômio quadrado perfeito.
c) 9x
2
_ 6x + 1 = (3x _ 1)
2
Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.
d) 16y
2
+ 24xy + 9x
2
= (4y + 3x)
2
Sim, representa um trinômio quadrado perfeito.
2. x
2
+ 18x + 81 = (x + 9)
2

3. x
2
_ 0,4x + 0,04 = (x _ 0,2)
2
4. (3a + 2)
2
= 9a
2
+ 12a + 4
Para obter (3a + 2)
2
, deve-se acrescentar o termo 2a ao trinômio 9a
2
+ 10a + 4.
5. x + y = 15 e x _ y = _6
(x
2
+ 2xy + y
2
) _ (x
2
_ 2xy + y
2
) = (x + y)
2
_ (x _ y)
2
= (15)
2
_ (_6)
2
=
= 225 _ 36 = 189
6. a) 4x
2
_ 12xy + 9y
2
= (2x _ 3y)
2
b) y
2
+ 22y + 121 = (y + 11)
2
c) 81p
2
_ 18p + 1 = (9p _ 1)
2
d) 4b
2
+ 16bx + 16x
2
= (2b + 4x)
2
e) 100p
2
_ 20px + x
2
= (10p _ x)
2
f) 144x
2
y
2
+ 24xy + 1 = (12xy + 1)
2
g) m
2
_ 12m + 36 = (m _ 6)
2
h) 16a
4
+ 8a
2
b + b
2
= 4ab
2
2
()+
i) 100 _ 20bc + b
2
c
2
= (10 _ bc)
2
j) x
10
+ 4x
5
y
3
+ 4y
6
= x2 y
53
2
()+
7. 2a _ 3 = _11
4a
2
_ 12a + 9 = (2a _ 3)
2
= (_11)
2
= 121
Atividades – p. 83
1. a) x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
_ xy + y
2
)
b) b
3
_ c
3
= (b _ c)(b
2
+ bc + c
2
)
c) a
3
_ 1 = (a _ 1)(a
2
+ a + 1)
d) x
3
+ 8 = (x + 2)(x
2
_ 2x + 4)
e) 27 _ m
3
= (3 _ m)(9 + 3m + m
2
)
f)
1
125
c
3
+=
1
5
c
1
25
c
5
c
2










+_ +
2. a) a
4
_ b
4
= (a
2
+ b
2
)(a
2
_ b
2
) = (a
2
+ b
2
)(a + b)(a _ b)
b) 3x
2
_ 6x + 3 = 3(x
2
_ 2x + 1) = 3(x _ 1)
2
c) m
2
x _ x = x(m
2
_ 1) = x(m + 1)(m _ 1)
d) 5a
2
+ 30ab + 45b
2
= 5(a
2
+ 6ab + 9b
2
) = 5(a + 3b)
2
e) x
3
y _ xy
3
= xy(x
2
_ y
2
) = xy(x + y)(x _ y)
f) m
8
_ n
8
= (m
4
)
2
_ (n
4
)
2
= (m
4
+ n
4
)(m
4
_ n
4
) = (m
4
+ n
4
)((m
2
)
2
_ (n
2
)
2
) =
= (m
4
+ n
4
)(m
2
+ n
2
)(m
2
_ n
2
) = (m
4
+ n
4
) (m
2
+ n
2
)(m + n)(m _ n)
g) x
3
_ xy
2
+ x
2
y _ y
3
= x(x
2
_ y
2
) + y(x
2
_ y
2
) = (x
2
_ y
2
)(x + y) =
= (x + y)(x _ y)(x + y) = (x + y)
2
(x _ y)
h) a
4
_ ax
3
= a(a
3
_ x
3
) = a(a _ x)(a
2
+ ax + x
2
)
i) 1 _
1
16
p
4
= (1)
2
_
1
4
p
2
2





 = 1
1
4
p1
1
4
p
22










+_ =
= 1
1
4
p1
1
2
p1
1
2
p
2
















++ _
j) y
3
+
4
3
y
2
+
4
9
y = yy
4
3
y
4
9
2




++ = yy
2
3
2





+
k) x
3
y _ y = y(x
3
_ 1) = y(x _ 1)(x
2
+ x + 1)
l) ax
2
_ a + bx
2
_ b = a(x
2
_ 1) + b(x
2
_ 1) =
= (a + b)(x
2
_ 1) = (a + b)(x + 1)(x _ 1)
m) a
3
+ 2a
2
+ a + a
2
b + 2ab + b = a(a
2
+ 2a + 1) + b(a
2
+ 2a + 1) =
= (a + b)(a
2
+ 2a + 1) = (a + b)(a + 1)
2
n) 2x
7
_ 2xy
6
= 2x(x
6
_ y
6
) = 2xx y
3
2
3
2
_()()


 =
= 2x(x
3
_ y
3
)(x
3
+ y
3
) = 2x(x + y)(x _ y)(x
2
+ xy + y
2
)(x
2
_ xy + y
2
)
o) a
5
+ a
2
b
3
_ a
3
b
2
_ b
5
= a
2
(a
3
+ b
3
) _ b
2
(a
3
+ b
3
) = (a
2
_ b
2
)(a
3
+ b
3
) =
= (a + b)
2
(a _ b)(a
2
_ ab + b
2
)
3. x _ y = 6
5x
2
_ 10xy + 5y
2
= 5(x
2
_ 2xy + y
2
) = 5(x _ y)
2
= 5 ? (6)
2
= 180
4. ab
2
_ ac
2
+ b
3
_ bc
2
= a(b
2
_ c
2
) + b(b
2
_ c
2
) = (a + b)(b
2
_ c
2
) =
= (a + b)(b + c)(b _ c)
5. x
3
y + 2x
2
y
2
+ xy
3
Forma fatorada:
x
3
y + 2x
2
y
2
+ xy
3
= xy(x
2
+ 2xy + y
2
) = xy(x + y)
2
Valor numérico do polinômio:
xy = 10 e x + y = _5
xy(x + y)
2
= 10 ? (_5)
2
= 250
6. ax
3
_ ax + bx
3
_ bx = a(x
3
_ x) + b(x
3
_ x) = (a + b)(x
3
_ x) =
= (a + b) x(x
2
_ 1) = x(a + b)(x + 1)(x _ 1)
7. a) x
2
_ 9x = 0
x(x _ 9) = 0 h
x0
ou
x9 0x 9
=
_= h=





0 e 9.
b) x
2
_ 81 = 0
(x + 9)(x _ 9) = 0 h
x9 0x 9
ou
x9 0x 9
+= h= _
_= h=





9 e _9.
c) x
2
_ 64 = 0
(x + 8)(x _ 8) = 0 h
x8 0x 8
ou
x8 0x 8
+= h= _
_= h=





8 e _8.
d) x
2
+ 20x = 0
x(x + 20) = 0 h
x0
ou
x200 x2 0
=
+= h= _





_20 e 0.
e) x
2
_ x = 0
x(x _ 1) = 0 h
x0
ou
x1 0x 1
=
_= h=





0 e 1.
315
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f) x
2
_ 0,25 = 0
(x + 0,5)(x _ 0,5) = 0 h
x0,50x 0,5
ou
x0,50x 0,5
+= h= _
_= h=





_0,5 e 0,5.
g) x
2
_ 1 = 0
(x + 1)(x _ 1) = 0 h
x1 0x 1
ou
x1 0x 1
+= h= _
_= h=





_1 e 1.
h) x
2
+ 0,6x = 0
x(x + 0,6) = 0 h
x0
ou
x0,60x 0,6
=
+= h= _





_0,6 e 0.
i) x
2
_ 0,01 = 0
(x + 0,1)(x _ 0,1) = 0 h
x0,10x 0,1
ou
x0,10x 0,1
+= h= _
_= h=





0,1 e _0,1.
j) x
2
_
x
4
= 0
xx
1
4





_ = 0 h
=
_= h=






x0
ou
x
1
4
0x
1
4
0 e
1
4
.
8. P = 2(2x + 1) + 2(x _ 3)
P = 4x + 2 + 2x _ 6
P = 6x _ 4
Alternativa a.
9. (x + y)
2
_ (2x + y)(_x + y) = x
2
+ 2xy + y
2
+ 2x
2
_ xy _ y
2
= 3x
2
+ xy =
= x(3x + y)
Alternativa b.
10.
4x12x9
4x9
2
2
++
_
=
2x3
2x32x3
2
()
() ()
+
+_
=
2x3
2x 3
()
()
+
_
Para x = 0:
2x3
2x 3
+
_
=
203
20  3

?+
?_
= _1
Para x = 1:
2x 3
2x  3
+
_
=
2  13
2 1  3
?+
?_
= _5
11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
9x
2
_ 18xb + 9b
2
; 225.
12. Temos de calcular P = 2 ? (3a _ 2b) ? (6a + 4b), sabendo que 9a
2
_ 4b
2
= 15.
P = 2 ? (3a _ 2b) ? (6a + 4b)
P = 2 ? (18a
2
+ 12ab _ 12ab _ 8b
2
)
P = 2 ? (18a
2
_ 8b
2
)
P = 4 ? (9a
2
_ 4b
2
)
P = 4 ? (15)
P = 60
Por toda parte – p. 84
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes reconheçam e citem manifestações da
cultura afro-brasileira que fazem parte do cotidiano deles.
• Respostas pessoais. Incentivar os estudantes a compartilhar as experiências deles
com aspectos da cultura afro-brasileira, apresentando exemplos de manifestações
dessa cultura.
• Pesquisa do estudante. Exemplos de resposta: cafuné (afago na cabeça de alguém para
provocar sono); fubá (farinha de milho); fuzuê (algazarra, barulho, confusão); zabumba
(bumbo) etc.
Retomando o que aprendeu – p. 86
1. • n
2
+ 3n + 1= 1
2
+ 3 ? 1 + 1 = 5
• n
2
+ 3n + 1= 2
2
+ 3 ? 2 + 1 = 11
• n
2
+ 3n + 1= 3
2
+ 3 ? 3 + 1 = 19
Alternativa b.
2. b = _3
2b
2
+ 8 = 2 ? (_3)
2
+ 8 = 2 ? 9 + 8 = 26
Alternativa c.
3.
xy
4
,
xy
2
2
, x
3
y, 2x
4
y, 4x
5
y, 8x
6
y, 16x
7
y.
Alternativa a.
4. • a = 2x + 3
• b = 2x _ 1
• a
2
_ b
2
= 40
Determinamos o valor de x fazendo:
(2x + 3 + 2x _ 1)(2x + 3 _ 2x + 1) = 40 h (4x + 2)(4) = 40 h x = 2
5. V =
R
S3+
=
28,8
1,53+
=
28,8
4,5

V = 6,4
Alternativa e.
6. Do enunciado, temos:
1 2
3
ab
b
c
Assim, a área do retângulo cor-de-rosa será a ? c.
Alternativa a.
7. 3x
3
_ 4x + 6 _ 5x
3
+ 8x
2
+ 9 = _2x
3
+ 8x
2
_ 4x + 15
Assim: _2 + 8 _ 4 + 15 = +17
Alternativa a.
8. a) (3x + 1)(3x _ 1) = 9x
2
_ 1
b) (10 + 2x)
2
= 100 + 40x + 4x
2
c) (7a _ 2b)
2
= 49a
2
_ 28ab + 4b
2
d) (2x + 0,5y)
2
= 4x
2
+ 2xy + 0,25y
2
e) (4x + b)(4x _ b) = 16x
2
_ b
2
f) (a + 2b)
3
= a
3
+ 6a
2
b + 12ab
2
+ 8b
3
g) (2a _ b)
3
= 8a
3
_ 12a
2
b + 6ab
2
_ b
3
h) (2 _ 3a)
3
= 8 _ 36a + 54a
2
_ 27a³
9. a) b
2
_ 2ab + b = b(b _ 2a + 1)
b) 18x
5
+ 6x
4
_ 42x
3
= 6x
3
(3x
2
+ x _ 7)
c) 2a
5
+ 2a
3
+ 2a = 2a(a
4
+ a
2
+ 1)
d) 100ax
3
_ 60ax
2
+ 120ax = 20ax(5x
2
_ 3x + 6)
e) a
2
_ 49 = (a + 7)(a _ 7)
f) 64 _ b
2
= (8 + b)(8 _ b)
g) 4 _ a
2
b
2
= (2 + ab)(2 _ ab)
10. (4a + 3)
2
= 16a
2
+ 24a + 9
Para obter (4a + 3)
2
, devemos adicionar o termo 4a.
11. x _ 2y = 6
7x
2
_ 28xy + 28y
2
= 7(x
2
_ 4xy + 4y
2
) = 7(x _ 2y)
2
= 7 ? (6)
2
= 252
12. a
2
+ b
2
= 2,25 e x + y = 0,8
a
2
x + b
2
x + a
2
y + b
2
y = x(a
2
+ b
2
) + y(a
2
+ b
2
) = (x + y)(a
2
+ b
2
) =
= 0,8 ? 2,25 = 1,8
Alternativa b.
13. x
2
_ 9 = (x + 3)(x _ 3)
EDITORIA DE ARTE
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Assim:
2(x + 3) + 2(x _ 3) = 32
2x + 6 + 2x _ 6 = 32
4x = 32
x = 8
Portanto, a área será:
A = (8 + 3)(8 _ 3) = 11 ? 5 = 55
Alternativa e.
Um novo olhar – p. 87
• Respostas pessoais. Espera-se que, ao concluir o estu-
do da Unidade, os estudantes tenham clareza sobre o
cálculo da área do vitral e consigam realizá-lo e com-
preender as implicações desse resultado, por exemplo,
em relação à quantidade de material necessária para
confeccionar cada peça do vitral.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consi-
gam associar o cálculo de áreas de figuras geométricas
com as operações envolvendo polinômios, fatoração e
casos de produtos notáveis abordados na Unidade. As-
sim, utilizando o que aprenderam sobre operações com
polinômios e fatoração, podem obter a medida da área
de uma superfície.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes con-
siderem os produtos notáveis ferramentas úteis na
resolução de problemas, uma vez que alguns cálculos
podem ser abreviados pelos resultados que esses pro-
dutos fornecem.
Unidade 3 • Equações do 2
o
grau
Abertura de Unidade – p. 88
• A incógnita é t, e o expoente é 2. Não, pois em uma equa-
ção do 1
o
grau, o expoente da incógnita é 1, e na equação
apresentada, o expoente é 2.
• Aproximadamente 2,67 s.
1. Equação do 2
o
grau com uma
incógnita
Pense e responda – p. 90
1. a) x ? x = x
2

b) x ? 3 = 3x
c) x
2
_ 3x = 4
d) O número é 4, pois 4
2
_ 3 ? 4 = 4.
e) Resposta pessoal. Os estudantes podem escrever
a forma fatorada do polinômio: x(x _ 3) = 4 e
analisar como o número 4 pode ser escrito como
produto de dois números inteiros positivos (1 ? 4;
4 ? 1; 2 ? 2). Assim, eles podem substituir cada fator,
a fim de descobrir o valor de x na multiplicação,
para que o produto seja igual a 4.
Atividades – p. 92
1. As equações que são do 2
o
grau são aquelas que têm
um termo com a incógnita com expoente 2. Assim, os
itens que apresentam equações do 2
o
grau são a,
d, e, f.
2. a) Completa.
b) Completa.
c) Incompleta.
d) Completa.
e) Incompleta.
f) Incompleta.
3. a) 10x
2
+ 3x _ 1 = 0
a = 10, b = 3, c = _1
b) x
2
+ 2x _ 8 = 0
a = 1, b = 2, c = _8
c) y
2
_ 3y _ 4 = 0
a = 1, b = _3, c = _4
d) 7p
2
+ 10p + 3 = 0
a = 7, b = 10, c = 3
e) _4x
2
+ 6x = 0
a = _4, b = 6, c = 0
f) r
2
_ 16 = 0
a = 1, b = 0, c = _16
g) _6x
2
+ x + 1 = 0
a = _6, b = 1, c = 1
h) 5m
2
_ 10m = 0
a = 5, b = _10, c = 0
4. a) a = 1, b = 6, c = 9
x
2
+ 6x + 9 = 0
b) a = 4, b = _6, c = 2
4x
2
_ 6x + 2 = 0
c) a = 4, b = 0, c = _25
4x
2
_ 25 = 0
d) a = _21, b = 7, c = 0
_21x
2
_ 7x = 0
Atividades – p. 93
1. a) x
2
+ 3x = x + 35
x
2
+ 2x _ 35 = 0
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O quadrado
de um número diminuído do dobro desse número é
igual a 3. (x
2
_ 2x _ 3 = 0).
2. a) x
2
_ 7 = x + 5
x
2
_ 7 _ x _ 5 = 0
x
2
_ x _ 12 = 0
b) x
2
+ 11x = 16x _ 6
x
2
+ 11x _ 16x + 6 = 0
x
2
_ 5x + 6 = 0
c) (x + 1)
2
_ (2x + 3)
2
= 0
x
2
+ 2x + 1 _ 4x
2
_ 12x _ 9 = 0
_3x
2
_ 10x _ 8 = 0
d) (x _ 10)
2
+ x(x + 17) = 104
x
2
_ 20x + 100 + x
2
+ 17x _ 104 = 0
2x
2
_ 3x _ 4 = 0
e) x
1
3
1
6
x
22
_=
x
2
_
1
3
_
1
6
x
2
= 0
5
6
x
2
_
1
3
= 0
5x
2
_ 2 = 0
f)
x
4
2
+
1
10
=
x
5
2
+
x
2
x
4
2
+
1
10
_
x
5
2
_
x
2
= 0
x
20
2
_
x
2
+
1
10
= 0
x
2
_ 10x + 2 = 0
g) x + 6 =
4x
x2_
(x 5 2)
(x +6)(x _2) = 4x
x
2
_ 2x + 6x _ 12 = 4x
x
2
_2x + 6x _ 12 _ 4x = 0
x
2
_ 12 = 0
h)
2x
x3_
=
x1
x3
+
+
(x 5 _3, x 5 3)
2xx3
x3 x3
()
() ()
+
_+
=
x1 x3
x3 x3
+_
+_
()
() ()
()
2x(x + 3) = (x + 1)(x _ 3)
2x
2
+ 6x = x
2
_ 3x + x _ 3
x
2
+ 8x + 3 = 0
3. (3x _ 1)
2
= 64
9x
2
_ 6x + 1 = 64
9x
2
_ 6x _ 63 = 0
3x
2
_ 2x _ 21 = 0
2. Resolução de equações do 2
o
grau
com uma incógnita
Atividades – p. 95
1. a) x
2
_ 15x = 0 h x(x _ 15) = 0
x = 0 ou x = 15
{0, 15}
b) x
2
_ 81 = 0 h x = ±
81 h x = ±9
{_9, 9}
c) x
2
_ 121 = 0 h x = ±
121 h x = ±11
{_11, 11}
d) 3x
2
_ 5x = 0 h x(3x _ 5) = 0 h x = 0 ou
x =
5
3
0,
5
3






e) x
2
_ x = 0 h x(x _ 1) = 0 h x = 0 ou x = 1
{0, 1}
f) 9x
2
_ 16 = 0 h x = ±
16
9
h x = ±
4
3
4
3
,
4
3






_
g) x
2
+ 25 = 0 h x =
25_
Portanto, x { r.
Logo, o conjunto solução é: @
h) 11x
2
_ x = 0 h x(11x _ 1) = 0
x = 0 ou x =
1
11
0,
1
11






i) 49x
2
= 36 h x = ±
36
49
h x = ±
6
7
6
7
,
6
7






_
j) 3x
2
_ 27x = 0 h 3x(x _ 9) = 0
x = 0 ou x = 9
{0, 9}
k) x
2
_ 14 = 0
x = ±
1414{_ , 14}
l) _25x
2
_ 15x = 0 h _5x(5x + 3) = 0
x = 0 ou x = _
3
5
3
5
, 0






_
317
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(x + 6)
2
= 2
2
x + 6 = 2 h x = _4 ou
x + 6 = _2 h x = _8
_8 e _4.
d) x
2
+ 3x _ 10 = 0
x
2
+ 3x +
9
4
= 10 +
9
4
x
3
2
2





+ =
7
2
2






x +
3
2
=
7
2
h x = 2 ou
x +
3
2
= _
7
2
h x = _5
_5 e 2.
e) x
2
+ 2x + 1 = 0
(x + 1)
2
= 0 h x = _1
_1
f) x
2
+ 10x + 25 = 0
(x + 5)
2
= 0
x = _5
_5
g) 3x
2
_ 2x _ 1 = 0
x
2
_
2x
3
_
1
3
= 0
x
2
_
2x
3
+
1
9
=
1
3
+
1
9
x
1
3
2





_ =
2
3
2






x _
1
3
=
2
3
h x = 1 ou
x _
1
3
= _
2
3
h x = _
1
3
_
1
3
e 1.
h) 10x
2
+ 7x + 1 = 0
x
2
+
7x
10
+
1
10
= 0
x
2
+
7x
10
+
49
400
= _
1
10
+
49
400
x
7
20
2





+ =
9
400

x +
7
20
=
3
20
h x = _
4
20
= _
1
5
ou
x +
7
20
= _
3
20
h x = _
10
20
= _
1
2
_
1
5
e _
1
2
.
3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
x
2
_ 6x + 9 = 0.
Fórmula resolutiva:
x
2
_ 6x + 9 = 0
x
2
_ 6x = _9
x
2
_ 6x + 3
2
= _9 +3
2
x
2
_ 6x + 9 = _9 + 9
(x _ 3)
2
= 0
x _ 3 =
0±
x = 3
8.
x3x
2
?
= 24
3x
2
= 48
x
2
= 16 h x = ±
16 h x = 4 ou x = _4
Como x é a medida da altura do triângulo, não pode
ser um valor negativo; a medida da altura é 4 cm e a
medida da base é 12 cm.
Pense e responda – p. 96
1. a) Mariana vai precisar de mais quatro quadrados.
b) 1 ? 1 = 1; 1 cm
2
c) 5 ? 5 = 25; 25 cm
2
Atividades – p. 100
1. a) x
2
+ 8x + 16 = (x + 4)
2
(4)
2
ou 16.
b) x
2
_ 10x + 25 = (x _ 5)
2
(5)
2
ou 25.
c) x
2
+ 2x + 1 = (x + 1)
2
(1)
2
ou 1.
d) x
2
_ 12x + 36 = (x _ 6)
2
(6)
2
ou 36.
e) x
2
+ 9x +
81
4
= x
9
2
2





+
9
2
2





 ou
81
4
.
f) x
2
_ 5x +
25
4
= x
5
2
2





_
5
2
2





 ou
25
4
.
g) x
2
_ 30x + 225 = (x _ 15)
2
15
2
ou 225.
h) x
2
+ x +
1
4
= x
1
2
2





+
1
2
2





 ou
1
4
.
i) x
2
_
3
2
x +
9
16
= x
3
4
2





_
3
4
2





 ou
9
16
.
j) x
2
+
x
3
+
1
36
= x
1
6
2





+
1
6
2





 ou
1
36
.
k) x
2
_ 2ax + a
2
= (x _ a)
2
a
2

l) x
2
+ 6ax + 9a
2
= (x + 3a)
2
(3a)
2
ou 9a
2
.
2. a) x
2
+ 2x _ 15 = 0
x
2
+ 2x + 1 = 15 + 1
(x + 1)
2
= 4
2

x + 1 = 4 h x = 3 ou
x + 1 = _4 h x = _5
_5 e 3.
b) x
2
+ 4x _ 12 = 0
x
2
+ 4x + 4 = 12 + 4
(x + 2)
2
= 4
2
x + 2 = 4 h x = 2 ou
x + 2 = _4 h x = _6
_6 e 2.
c) x
2
+ 12x + 32 = 0
x
2
+ 12x + 36 = _32 + 36
2. a) x
2
+ 3x(x _ 12) = 0
x
2
+ 3x
2
_ 36x = 0
4x
2
_ 36x = 0
4x(x _ 9) = 0
x = 0 ou x = 9
{0, 9}
b) (x _ 5)
2
= 25 _ 9x
x
2
_ 10x + 25 = 25 _ 9x
x
2
_ x = 0
x(x _ 1) = 0
x = 0 ou x = 1
{0, 1}
c) (x _ 4)
2
+ 5x(x _ 1) = 16
x
2
_ 8x + 16 + 5x
2
_ 5x = 16
6x
2
_ 13x = 0
x(6x _ 13) = 0
x = 0 ou x =
13
6
0,
13
6






3. a)
11x
10
2
_
3x
5
=
x
2
11x6x
10
2
_
=
5x
10
11x
2
_ 11x = 0
11x(x _ 1) = 0
x = 0 ou x = 1
{0, 1}
b)
3
x5_
+
1
x5+
=
10x
x25
2
2
_
_
3x5x 5
x25
2
()++ _
_
=
10x
x25
2
2
_
_
3x + 15 + x _ 5 = 10 _ x
2
x
2
+ 4x = 0
x(x + 4) = 0
x = 0 ou x = _4
{0, _4}
4.
xx
2
2
_
= x _
xx
3
2
_
3x3x
6
2
_
=
6x2x2x
6
2
_+
x
2
_ 7x = 0
x(x _ 7) = 0
x = 0 ou x = 7.
Como x deve ser real positivo, então o número é 7.
5. a) 50% de 8 = 0,5 ? 8 = 4
(4)
2
? (y) = 90
y =
90
16
y = 5,625
b) x
2
y = 90
x
2
? 10 = 90
x
2
= 9 h x = ±
9 h x = 3 ou x = _3.
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o valor
da expressão x + y? (x + y = 9 + 5 = 14).
7. A = p ? r
2
706,5 = 3,14 ? r
2
r = 15
D = 2 ? 15 = 30
30 m
318
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 318
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 318 06/09/22 18:1206/09/22 18:12

Interpretação geométrica:
Resolução pelo método de al-Khwarizmi:
x
2
_ 6x + 9 = 0
(x _ 3)
2
= 0
x = 3
Atividades – p. 104
1. a) x
2
+ 4x _ 5 = 0
x
2
+ 4x = 5
x
2
+ 4x +
4
2
2





 = 5 +
4
2
2






x
2
+ 4x + 4 = 5 + 4
(x + 2)
2
= 9
x + 2 =
9±
x + 2 = ±3
x = _2 + 3 = 1
x = _2 _ 3 = _5
As raízes reais da equação são _5 e 1.
b) 2x
2
_ 9x + 4 = 0 (: 2)
x
2
_
9
2
x = _2
x
2
_
9
2
x +
9
4
2





 = _2 +
9
4
2






x
9
4
2
_





 = _2 +
81
16
x
9
4
2
_





 =
3281
16
_+
x
9
4
49
16
_= ±
x
9
4
7
4
_= ±
x
7
4
9
4
=+
x
16
4
=
x = 4
x
9
4
7
4
_= _
x
7
4
9
4
=_+
x
2
4
=
x
1
2
=
As raízes reais da equação são
1
2
e 4.
c) x
2
+ 8x + 16 = 0
x
2
+ 8x = _16
x
2
+ 8x +
8
2
2





 = _16 +
8
2
2






x
x3
x
2
3x
3
2
3x3
EDITORIA DE ARTE
x
2
+ 8x + 16 = _16 + 16
(x + 4)
2
= 0
x + 4 =
0±
x + 4 = ± 0
x = _4 + 0 = _4
x = _4 _ 0 = _4
As raízes reais da equação são iguais a _4.
2. a) x
2
_ 3x _ 28 = 0.
Nessa equação, temos: a = 1, b = _3 e
c = _28.
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_28) = 9 + 112 = 121
Como D . 0, a equação tem duas raízes reais
diferentes, dadas por:
x =
3 121
21
()__ ±
?
x =
311
2
+
h x = 7 ou
x =
311
2
_
h x = _4
Os números _4 e 7 são as raízes reais da equação.
Então, S = {_4, 7}.
b) x
2
+ 12x + 36 = 0
Nessa equação, temos: a = 1, b = 12 e c = 36.
D = (12)
2
_ 4(1) ? (36) = 144 _ 144 = 0
Como D = 0, a equação tem duas raízes reais
iguais, dadas por:
x =
12 0
21
()_±
?
x =
12
2
_
h x = _6
O número _6 é a raiz real da equação.
Então, S = {_6}.
c) 6x
2
_ x _ 1 = 0
Nessa equação, temos: a = 6, b = _1 e c = _1.
D = (_1)
2
_ 4(6) ? (_1) = 1 + 24 = 25
Como D . 0, a equação tem duas raízes reais
diferentes, dadas por:
x =
12 5
26
()__ ±
?
x =
1 5
12
+
h x =
1
2
ou
x =
15
12
_
h x = _
1
3
Os números _
1
3
e
1
2
são as raízes reais da
equação. Então, S =
1
3
,
1
2






_ .
d) 9x
2
+ 2x + 1 = 0
Nessa equação, temos: a = 9, b = 2 e c = 1.
D = (2)
2
_ 4(9) ? (1) = 4 _ 36 = _32
Como D , 0, a equação não tem raízes reais.
A equação não possui raízes reais.
Então, S = @.
3. a) x
2
_ 2x = 2x _ 4
x
2
_ 4x + 4 = 0
D = (_4)
2
_ 4(1) ? (4) = 16 _ 16 = 0
x =
40
21
()__ ±
?
h x =
4
2
h x = 2
{2}
b) x
2
_ 2x = x + 4
x
2
_ 3x _ 4 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_4) = 9 + 16 = 25
x =
32 5
21
()__ ±
?

x =
35
2
+
h x = 4 ou
x =
35
2
_
h x = _1
{_1, 4}
c) 6x
2
+ 3x = 1 + 2x
6x
2
+ x _ 1 = 0
D = (1)
2
_ 4(6) ? (_1) = 1 + 24 = 25
x =
12 5
26
()_±
?
x =
15
12
_+
h x =
1
3
ou
x =
15
12
__
h x = _
1
2
1
3



, _
1
2



d) 9x
2
+ 3x + 1 = 4x
2

5x
2
+ 3x + 1 = 0
D = (3)
2
_ 4(5) ? (1) = 9 _ 20 = _11
D , 0
S = @
4. Primeiro, calculamos as raízes reais da equação
x
2
_ 2x _ 15 = 0.
D = (_2)
2
_ 4(1) ? (_15) = 4 + 60 = 64
x =
26 4
21
()__ ±
?
x =
2 8
2
+
h x = 5 ou
x =
28
2
_
h x = _3
Como as raízes são _3 e 5, existem sete números
inteiros entre as duas raízes: _2, _1, 0, 1, 2, 3 e 4.
5. Primeiro, resolvemos as equações:
• x
2
_ 12x = 85
x
2
_ 12x _ 85 = 0
D = (_12)
2
_ 4(1) ? (_85) = 144 + 340 = 484
x =
12 484
21
()__ ±
?
x =
1222
2
+
h x = 17 ou
x =
1222
2
_
h x = _5
• x
2
+ 51 = 20x
x
2
_ 20x + 51 = 0
D = (_20)
2
_ 4(1) ? (51) = 400 _ 204 = 196
x =
20 196
21
()__ ±
?

x =
2014
2
+
h x = 17 ou
x =
2014
2
_
h x = 3
A raiz comum é 17, e as não comuns são _5 e 3.
A soma das raízes não comuns é: _5 + 3 = _2.
6. Primeiro, resolvemos a equação 4x
2
_ 21x + 20 = 0.
D = (_21)
2
_ 4(4) ? (20) = 441 _ 320 = 121
x =
21 121
24
()__ ±
?
319
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 319
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 319 06/09/22 18:1206/09/22 18:12

4x = 6 + x
2
_ 3x
x
2
_ 7x + 6=0
D = (_7)
2
_ 4(1) ? (6) = 49 _ 24 = 25
x =
72 5
21
()__ ±
?
x =
75
2
+
h x = 6 ou
x =
75
2
_
h x = 1
1 ou 6.
13. x
2
= 7x _ 6 h x
2
_ 7x + 6 = 0
D = (_7)
2
_ 4(1) ? (6) = 49 _ 24 = 25
x =
72 5
21
()__ ±
?
x =
7 5
2
+
h x = 6 ou
x =
75
2
_
h x = 1
6 ou 1.
14. (x _ 3)
2
= 5x _ 1
x
2
_ 6x + 9 + 1 _ 5x = 0
x
2
_ 11x + 10 = 0
D = (_11)
2
_ 4(1) ? (10) = 121 _ 40 = 81
x =
11 81
21
()__ ±
?
x =
11 9
2
+
h x = 10 ou
x =
119
2
_
h x = 1
10 ou 1.
15. x(x _ 28) = 1 100 h x
2
_ 28x _ 1 100 = 0
D = (_28)
2
_ 4(1) ? (_1 100) =
= 784 + 4 400 = 5 184
x
28 5184
21
=
__ ±
?
()
x
2872
2
=
±
x
2872
2
=
+
h x = 50 ou
x
2872
2
=
_
h x = _22
As dimensões do terreno são 50 m e 22 m.
16. x
2
_ 7 + 6x = 6x + 13 _ x
x
2
+ x _ 20 = 0
D = (1)
2
_ 4(1) ? (_20) = 1 + 80 = 81
x =
18 1
21
()_±
?
x =
19
2
_+
h x = 4 ou
x =
19
2
__
h x = _5
4 ou _5
17. T = _
1
10
(x _ 12)
2
+ 10
9,6 = _
1
10
(x _ 12)
2
+ 10
_0,4 = _
1
10
(x _ 12)
2
4 = x
2
_ 24x + 144
x
2
_ 24x + 140 = 0
x =
46
10
_
h x = _
2
10
= _
1
5

S =
1
5
,1






_
b) x +
x4
5
2
+
= 2
5x + x
2
+ 4 _ 10 = 0
x
2
+ 5x _ 6 = 0
D = (5)
2
_ 4(1) ? (_6) = 25 + 24 = 49
x =
54 9
21
()_±
?

x =
57
2
_+
h x = 1 ou
x =
57
2
__
h x = _6
S = {_6, 1}
11. a) x + 10 = _
9
x
x
2
+ 10x + 9 = 0
D = (10)
2
_ 4(1) ? (9) = 100 _36 = 64
x =
10 64
21
()_±
?
x =
108
2
_+
h x = _1 ou
x =
108
2
__
h x = _9
{_9, _1}
b) 6x + 5 =
3x5
x1
+
_
(6x + 5) ? (x _ 1) = 3x + 5
6x
2
_ 6x + 5x _ 5 _ 3x _ 5 = 0
6x
2
_ 4x _ 10 = 0
D = (_4)
2
_ 4(6) ? (_10) = 16 + 240 = 256
x =
4 256
26
()__ ±
?
x =
416
12
+
h x =
20
12
=
5
3
ou
x =
416
12
_
h x = _1
1,
5
3






_
c)
1
x
=
3
2
_
1
x1_
2x1
2xx1
()
()
_
_
=
3xx1 2x
2xx1
()
()
__
_
2x _ 2 = 3x
2
_ 3x _ 2x
3x
2
_ 7x + 2 = 0
D = (_7)
2
_ 4(3)(2) = 49 _ 24 = 25
x =
72 5
23
()__ ±
?
x =
7 5
6
+
h x = 2 ou
x =
75
6
_
h x =
2
6
=
1
3
1
3
,2






12. y =
6
x
+ x _ 3
4 =
6
x
+ x _ 3
x =
21 11
8
+
h x = 4 ou
x =
2111
8
_
h x =
10
8
=
5
4
A raiz fracionária é
5
4
; logo, 5 + 4 = 9.
7. a) (x + 2)
2
+ x = 0
x
2
+ 4x + 4 + x = 0
x
2
+ 5x + 4 = 0
D = (5)
2
_ 4(1) ? (4) = 25 _ 16 = 9
x =
59
21
()_±
?

x =
53
2
_+
h x = _1 ou
x =
53
2
__
h x = _4
{_4, _1}
b) 3x
2
= 2(x _ 1)
2
+ 3
3x
2
= 2(x
2
_ 2x + 1) + 3
3x
2
= 2x
2
_ 4x + 2 + 3
x
2
+ 4x _ 5 = 0
D = (4)
2
_ 4(1) ? (_5) = 16 + 20 = 36
x =
4 36
21
_±
?
()
x =
46
2
_+
h x = 1 ou
x =
46
2
__
h x = _ 5
{_5, 1}
8. 32 _ [8x + (8 _ 2x)(4 _ x)] = 8
32 _ [8x + 32 _ 8x _ 8x + 2x
2
] = 8
32 _ 8x _ 32 + 8x + 8x _ 2x
2
_ 8 = 0
_ 2x
2
+ 8x _ 8 = 0 h x
2
_ 4x + 4 = 0
D = (_4)
2
_ 4(1)(4) = 16 _16 = 0
x =
4
21
()__
?
=
4
2

x = 2
9.
x4
3
2
_
=
x3
2
_
2 (x
2
_ 4) = 3(x _ 3)
2x
2
_ 8 = 3x _ 9
2x
2
_3x + 1 = 0
D = (_3)
2
_ 4(2)(1) = 9 _ 8 = 1
x =
31
22
()__ ±
?
x =
31
4
+
h x = 1 ou
x =
31
4
_
h x =
1
2
A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo.
Portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é um
número primo.
10. a) x
2
_
4
5
x =
1
5
x
2
_
4
5
x _
1
5
= 0
5x
2
_ 4x _ 1 = 0
D = (_4)
2
_ 4(5) ? (_1) = 16 + 20 = 36
x =
4 36
25
()__ ±
?
x =
46
10
+
h x = 1 ou
320
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 320
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21. a) (x + 2)(x + 6) = 140
x
2
+ 8x _ 128 = 0
D = (8)
2
_ 4(1) ? (_128) = 64 + 512 = 576
x =
8 576
2 1
_±
?
()
x =
824
2
_+
h x = 8 ou
x =
8  24
2
__
h x = _16
8 + 2 = 10 e 8 + 6 = 14
Assim, os lados medem: 14 m e 10 m.
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o perímetro desse painel? (48 m).
22. a) x
2
= 16x + 80
x
2
_ 16x _ 80 = 0
D = (_16)
2
_ 4(1) ? (_80) = 256 + 320 = 576
x =
16 576
21
()__ ±
?
x =
1624
2
+
h x = 20 ou
x =
1624
2
_
h x = _4
Assim, a medida do lado do quadrado é 20 e o perímetro será 4 ? 20 = 80.
b) P = 16 + 16 + 25 + 25 = 82
23. (80 _ 2x)(50 _ 2x) = 1 000
x
2
_ 65x + 750 = 0
D = (_65)
2
_ 4(1) ? (750) = 4 225 _ 3 000 = 1 225
x =
65 1225
2  1
()__ ±
?
x =
6535
2
+
h x = 50 ou
x =
65  35
2
_
h x = 15
Como x , 50 m, x = 15 m.
24. (50 + 2x)(30 + 2x) = 2 400
x
2
+ 40x _ 225 = 0
D = (40)
2
_ 4(1) ? (_225) = 1 600 + 900 = 2 500
x =
40 2500
2  1
()_±
?
x =
40  50
2
_+
h x = 5 ou
x =
40 50
2
__
h x = _45
5 cm
Tecnologias – p. 106
1. a)
A raiz real é 3.
b)
Não tem raiz real.
D = (_24)
2
_ 4(1) ? (140) = 576 _ 560 = 16
x =
24 16
21
()__ ±
?
x =
244
2
+
= 14 ou
x =
244
2
_
= 10
14 horas. Como 10 horas corresponde a um período da
manhã, não consideramos essa resposta.
18.
240
x
_ 1 = x
240 _ x = x
2
x
2
+ x _ 240 = 0
D = (1)
2
_ 4(1) ? (_240) = 1 + 960 = 961
x =
1 961
21
()_±
?
x =
131
2
_+
h x = 15 ou
x =
131
2
__
h x = _16
15 crianças.
19. a) d =
nn3
2
()_
9 =
nn3
2
()_
n
2
_ 3n _ 18 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_18) = 9 + 72 = 81
n =
38 1
21
()__ ±
?
n =
39
2
+
h n = 6 ou
n =
39
2
_
h n = _3
6 lados.
b) d =
nn3
2
()_
20 =
nn3
2
()_
n
2
_ 3n _ 40 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_40) = 9 + 160 = 169
n =
3 169
2 1
()__ ±
?

n =
313
2
+
h n = 8 ou
n =
3  13
2
_
h n = _5
8 lados.
20. a) (2 + x)(5 + x) = 7 ? 10
10 + 7x + x
2
= 70
x
2
+ 7x _ 60 = 0
D = (7)
2
_ 4(1) ? (_60) = 49 + 240 = 289
x =
7 289
2  1
()_±
?
x =
717
2
_+
h x = 5 ou
x =
7 17
2
__
h x = _12
As medidas dos lados do novo retângulo são:
2 + 5 = 7 e 5 + 5 = 10. Portanto: 10 m e 7 m.
b) P = 10 + 10 + 7 + 7 = 34
34 m
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/OFICALC
321
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3. a)
x  1
4
_
=
5
x 2_
x
2
_ 3x + 2 = 20
x
2
_ 3x _ 18 = 0
S = 3 e P = _18.
b)
1
x
+
1
x1+
=
5
6
6x16x
6xx1
()
()
++
+
=
5xx1
6xx1
()
()
+
+
6x + 6 + 6x = 5x
2
+ 5x
5x
2
_ 7x _ 6 = 0
S =
7
5
e P = _
6
5
.
c)
x
x  2_
+
4
x  1_
= 5
xx  14 x  2
x  2x  1
() ()
() ()
_+ _
__
=
5x 2x  1
x  2x  1
() ()
() ()
__
__
x
2
_ x + 4x _ 8 = 5x
2
_ 15x + 10
4x
2
_ 18x + 18 = 0
S =
18
4
()__
=
9
2
e P =
18
4
=
9
2
.
4. S = 11 e P = 28.
Assim: S _ P = 11 _ 28 = _17.
5. S = 0,8 e P = _1,6.
Assim:
S
P
=
0,8
1,6_
= _0,5.
6. a) S = 4
2 e P = 3.
b) S =
2 e P = _3.
7.
c
10
=
1
8
h c = 1,25
8.
8
m
m
= 2
8
m
= 2m
2m
2
= 8
m = ±2
_2 ou 2.
9. 3t = 15
t = 5
P = t = 5
10. x‘ =
1
x’
x‘ ? x’ = 1
h5
2
_
= 1
h _ 5 = 2
h = 7
11. Se as raízes são opostas ou simétricas, então, a soma
das raízes é zero. Assim:
S = 0
2k1
4
()_
= 0 h k = 1
12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
5 e 6; x
2
_ 11x + 30 = 0.
13. a) Devemos procurar dois números cuja soma é 5 e o
produto é 6. Esses números são 3 e 2.
b) Devemos procurar dois números cuja soma é 10 e o
produto é 24. Esses números são 6 e 4.
c) Devemos procurar dois números cuja soma é 4 e o
produto é _12. Esses números são 6 e _2.
c)
As raízes reais são 0 e
53
3
.
d)
As raízes reais são _4 e 4.
2. A equação do item b.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes insiram os resultados exibidos pelo software no lugar de x e verifiquem
que a igualdade obtida é verdadeira.
4.
x
2
_ 7x + 10 = 0
5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Fixando a = 2, b = _14 e sabendo que as raízes da equação são 1 e 6,
espera-se que os estudantes concluam, com o auxílio do software, que a equação correspondente é
2x
2
_ 14x + 12 = 0.
3. Soma e produto das raízes de uma equação do 2
o
grau com uma incógnita
Atividades – p. 110
1. a) x‘ + x’ = 1
x‘ ? x’ = _20
b) 16x
2
+ 8x + 1 = 0
x‘ + x’ = _
8
16
= _
1
2
x‘? x’ =
1
16

c) 6x
2
_ 4x _ 3 = 0
x‘ + x’ =
4
6
()__
=
2
3
x‘ ? x’ =
3
6
_
= _
1
2
d) 10x
2
+ 3x _ 4 = 0
x‘ + x’ = _
3
10
x‘ ? x’ = _
4
10
= _
2
5
2. a) x‘ + x’ = _
6
1
_
= 6
b) x‘ ? x’ = _
16
1
= _16
c)
1
x‘
+
1
x’
=
x‘x
x‘x
+’
?’
=
6
16_
= _
3
8
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/OFICALC
322
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-305-325-RES-G24.indd 322
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t =
26
2
_+
h t = 2 ou
t =
26
2
__
h t = _4
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
22,2_{}
c) (x + 2)(x _ 2)(x + 1)(x _ 1) + 5x
2
= 20
x
4
_ 16 = 0
t
2
_ 16 = 0 h t = _4 ou t = 4
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
4 h x = ±2
{_2, 2}
d) x
2
(x
2
_ 9) = _20
x
4
_ 9x
2
+ 20 = 0
t
2
_ 9t + 20 = 0
D = (_9)
2
_ 4(1) ? (20) = 81 _ 80 = 1
t =
9 1
21
()__±
?
t =
91
2
+
h t = 5 ou t =
91
2
_
h t = 4
Assim:
x
2
= t
x = ±
5
x
2
= t
x = ±
4 h x = ±25,5,2,2{}__
6. x
2
+
2
x
2
= 3
x
4
_ 3x
2
+ 2 = 0
t
2
_ 3t + 2 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (2) = 9 _ 8 = 1
t =
3 1
21
()__±
?
t =
3 1
2
+
h t = 2 ou t =
31
2
_
h t = 1
Assim:
x
2
= t
x = ±
2
x
2
= t
x = ±
1 h x = ±1
Sim; pois as raízes são _1, 1, _
2 e
2.
Atividades – p. 113
1. a)
x1_ = 3 _ xx1
2
()_ = (3 _ x)
2

x
2
_ 7x + 10 = 0
D = (_7)
2
_ 4(1) ? (10) = 49 _ 40 = 9
x =
79
2
±
x =
73
2
+
h x = 5 ou x =
7 3
2
_
h x = 2
Para x = 5:
x1_ = 3 _ x h 51_ = 3 _ 5 h
h 2 5 _2
Para x = 2:
x1_ = 3 _ x h 21_ = 3 _ 2 h 1 = 1
Portanto, S = {2}.
b)
7x31 x__ =7x3x 1_= +7x3 x1
22
() ()_ =+
t =
26 576
21
()__±
?
t =
2624
2
+
h t = 25 ou
t =
2624
2
_
h t = 1
Assim:
x
2
= t
x = ±
25 h x = ±5
x
2
= t
x = ±
1 h x = ±1
Portanto: 5 + 1 = 6
3. x
2
_ 2 =
6
x 1
2
_
x
4
_ 3x
2
_ 4 = 0
t
2
_ 3t _ 4 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_4) = 9 + 16 = 25
t =
3 25
2 1
()__±
?
t =
3 5
2
+
h t = 4 ou
t =
35
2
_
h t = _1
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
4 h x = ±2
A equação tem duas raízes reais: _2 e 2.
4. 11x
4
_ 6x
2
= x
2
+ 4
11x
4
_ 7x
2
_ 4 = 0
11t
2
_ 7t _ 4 = 0
D = (_7)
2
_ 4(11) ? (_4) = 49 + 176 = 225
t =
7 225
211
()__±
?
t =
715
22
+
= 1 ou
t =
715
22
_
= _
8
22
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
1 h x = ±1
_1 e 1.
5. a) (x
2
_ 1)(x
2
_ 12) + 24 = 0
x
4
_ 13x
2
+ 36 = 0
t
2
_ 13t + 36 = 0
D = (_13)
2
_ 4(1) ? (36) = 169 _ 144 = 25
t =
13 25
21
()__±
?

t =
135
2
+
h t = 9 ou
t =
135
2
_
h t = 4
Assim:
x
2
= t
x = ±
9 h x = ±3
x
2
= t
x = ±
4 h x = ±2
{_3, 3, _2, 2}
b) (x
2
+ 2)
2
= 2 ? (x
2
+ 6)
x
4
+ 2x
2
_ 8 = 0
t
2
+ 2t _ 8 = 0
D = (2)
2
_ 4(1) ? (_8) = 4 + 32 = 36
t =
2 36
21
()_±
?
14. 3x
2
_ 15x + 12 = 0.
S =
15
3
()__
= 5
P =
12
3
= 4
Portanto, as raízes são 1 e 4.
Assim, a área A e o perímetro P do retângulo são:
A = 4 ? 1 = 4.
P = 4 + 4 + 1 + 1 = 10.
4. Mais equações
Atividades – p. 112
1. a) x
4
_ 8x
2
_ 9 = 0
t
2
_ 8t _ 9 = 0
D = (_8)
2
_ 4(1) ? (_9) = 64 + 36 = 100
t =
8 100
21
()__±
?
t =
810
2
+
h t = 9 ou
t =
810
2
_
h t = _1
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
9
x = ±3
{_3, 3}
b) x
4
_ 4 = 3x
2
t
2
_ 3t _ 4 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1) ? (_4) = 9 + 16 = 25
t =
3 25
21
()__±
?
t =
35
2
+
h t = 4 ou
t =
35
2
_
h t = _1
Como t deve ser maior do que zero:
x
2
= t
x = ±
4
x = ±2
{_2, 2}
c) x
4
_ 16x
2
= 0
t
2
_ 16t = 0
t(t _ 16) = 0
t = 0 ou t = 16
Assim:
x
2
= t
x = ±
0 h x = 0
x
2
= t
x = ±
16 h x = ±4
{0, _4, 4}
d) x
4
_ 8x
2
+ 16 = 0
t
2
_ 8t + 16 = 0
D = (_8)
2
_ 4(1) ? (16) = 64 _ 64 = 0
t =
8 0
21
()__±
?
t =
8
2
h t = 4
Assim:
x
2
= t
x = ±
4 h x = ±2
{_2, 2}
2. x
4
_ 26x
2
+ 25 = 0
t
2
_ 26t + 25 = 0
D = (_26)
2
_ 4(1) ? (25) = 676 _ 100 = 576
323
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x
2
_ 5x + 4 = 0
D = (_5)
2
_ 4(1) ? (4) = 25 _ 16 = 9
x =
5 9
2  1
()

__ ±
?
x
53
2
=
+
h x = 4 ou x
53
2
=
_
h x = 1
Para x = 4:
7x3x 1_= + h 74 34 1?_ =+ h 5 = 5
Para x = 1:
7x3x 1 _= + h 71 31 1 ?_ =+ h 2 = 2
Portanto, S = {1, 4}.
2.
x6x16
2
_+ = 22
x
2
_ 6x + 16 = 8
x
2
_ 6x + 8 = 0
D = (_6)
2
_ 4(1) ? (8) = 36 _ 32 = 4
x =
6 4
21
()

__ ±
?
x =
62
2
+
h x = 4 ou x =
62
2
_
h x = 2
Para x = 4:
x6x16
2
_+ = 2246 416
2
_? + = 22
16241622
2422
Parax2:
_+ =
_5
=
x6x16
2
_+ = 2226 216
2
_? + = 22
x
4121622
822
2222
Portanto,ovalordeé2.
_+ =
=
=
3. 4 _ x =
x2+
(4 _ x)
2
=
x2
2
()+
x
2
_ 9x + 14 = 0
D = (_9)
2
_ 4(1) ? (14) = 81 _ 56 = 25
x =
9 25
2  1
()

__±
?
x =
9 5
2
+
h x = 7 ou x =
95
2
_
h x = 2
Para x = 2:
4 _ x =
x2+ h 4 _ 2 = 22+ h 2 = 2
Para x = 7:
4 _ x =
x2+ h 4 _ 7 5 72+
Portanto, S = {2}.
4.
x9
2
_ = x11+
x
2
_ x _ 20 = 0
D = (_1)
2
_ 4(1) ? (_20) = 1 + 80 = 81
x =
1 81
2  1
()

__±
?
x =
19
2
+
h x = 5 ou x =
1 9
2
_
h x = _4
Para x = 5:
x9
2
_ = x11+ h 59
2
_ = 511+ h 4 = 4
Para x = _4:
x 9
2
()_ = x11+ h 4 9
2
()__ = 411_+ h 7 = 7
Portanto, S = {_4, 5}.
5.
xx 4
2
_+ = 4
x
2
_ x _ 12 = 0
D = (_1)
2
_ 4(1) ? (_12) = 1 + 48 = 49
x =
)(1 49
21
__±
?

x =
1  7
2
+
h x = 4 ou x =
1  7
2
_
h x = _3
Para x = 4:
xx 4
2
_+ = 4 h 44 4
2
_+ = 4 h 4 = 4
Para x = _3:
xx 4
2
_+ = 4 h 3 34
2
() ()__ _+ = 4 h 4 = 4
Assim, x = 4 ou x = _3.
Tratamento da informação – p. 114
1. a) 25%
b) Não está correta, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100%, e a altura da
barra indica uma preferência de quase 90%.
c) Sim, pois as alturas das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos
consumidores entrevistados não usam roupas de marca, mas a coluna que representa
esse percentual é mais baixa do que a coluna que representa 25% dos consumidores.
d)
Fonte: Pesquisa da empresa Roupa X.
Marcas de roupas preferidas pelos consumidores
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Porcentagem de
consumidores
Marca
de roupa
Roupa X
Roupa Bela Roupa Mais
Não usa roupas
de marca
Não sabe
2. a) Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros em determinado
período.
b)
Bens de consumo duráveis
Bem de consumo Quantidade
Carro 6
Fogão 3
Geladeira 2
Televisão 9
Fonte: Dados fictícios.
c)
Fonte: Dados fictícios.
Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Quantidade
de pessoas
Bem de
consumo
Carro FogãoGeladeiraTelevisão
10
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
324
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d) Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar
uma tendência, crescente ou decrescente, em um
período, por exemplo.
Retomando o que aprendeu – p. 116
1. 5x + 9 = 5 +
1
x
5x + 4 =
1
x
5x
2
+ 4x _ 1 = 0
D = (4)
2
_ 4(5) ? (_1) = 16 + 20 = 36
x =
4 36
2 5
()_±
?
x =
46
10
_+
h x =
1
5
ou
x =
4  6
10
__
h x = _1
Alternativa d.
2. x(4x _ 1) = 3(x + 1)
4x
2
_ 4x _ 3 = 0
D = (_4)
2
_ 4(4) ? (_3) = 16 + 48 = 64
x =
46 4
2 4
()__ ±
?
x =
48
8
+
h x =
3
2
ou
x =
4 8
8
_
h x = _
1
2
Alternativa a.
3. x _
12
x
= 1
x _ 1 =
12
x
x
2
_ x _ 12 = 0
S = 1
P = _12
Assim: x‘ = 4 e x” = _3.
Portanto: [4 _ (_3)]
2
= 49.
Alternativa c.
4. x +
1
x
=
5
2
x
1
x
3





+ =
5
2
3






x
3
+ 3x
2
1
x





 + 3x
1
x
2





 +
1
x
3
=
125
8
x
3
+
1
x
3
+ 3x
1
x





+ =
125
8
x
3
+
1
x
3
=
125
8
_
15
2
x
3
+
1
x
3
=
65
8
Alternativa e.
5. x
2
+ 11 = 12x
x
2
_ 12x + 11 = 0
S = 12
P = 11
Assim: x‘ = 1 e x” = 11.
Portanto:
111
2
+
= 6.
Alternativa b.
6. 5x
2
+ 6 = 31x
5x
2
_ 31x + 6 = 0
D = (_31)
2
_ 4(5) ? (6) = 961 _ 120 = 841
x =
31 841
25
()__ ±
?
x =
3129
10
+
h x = 6 ou x =
31  29
10
_
h x =
1
5
Assim: 1 + 5 = 6.
Alternativa e.
7.
xx 1+_ = 7
x +
x1_ = 7x1_ = 7 _ x
x
2
_ 15x + 50 = 0
D = (_15)
2
_ 4(1) ? (50) = 225 _ 200 = 25
x =

15 25
2  1
__ ±
?
()
x =
155
2
+
h x = 10 ou x =
155
2
_
h x = 5
Para x = 5:
xx 1+_ = 7 h 55 1+_ = 7
Para x = 10:
xx 1+_ = 7 h 10101+_ 5 7
Assim, para que as expressões tenham o mesmo valor
numérico, x = 5.
8.
x
4  x_
=
4x
2
_
x
4  x_
=
4  x
2
_
x
2
_ 10x + 16 = 0
D = (_10)
2
_ 4(1) ? (16) = 100 _ 64 = 36
x =
10 36
21
()__ ±
?
x =
10  6
2
+
h x = 8 ou
x =
106
2
_
h x = 2
Para x = 2:
x
4  x_
=
4  x
2
_
h
2
4  2_
=
4  2
2
_
Como
x
4  x_
. 0 e
4  x
2
_
. 0, x não pode ser
igual a 8.
S = {2}
9. V = 2k +
h
5
2
25 = 2 ? 2,5 +
h
5
2
25 = 5 +
h
5
2
20 =
h
5
2
h
2
= 100
h = ±10
Alternativa a.
10. y = _
4
x
+ x _ 1
2 = _
4
x
+ x _ 1
4
x
= x _ 3
x
2
_ 3x _ 4 = 0
Soma das raízes = 3
Produto das raízes = _4
Assim: x‘ = 4 e x” = _1.
Alternativa d.
11. ax
2
_ 4x _ 16 = 0
a ? 4
2
_ 4 ? 4 _ 16 = 0
a = 2
Portanto: 2x
2
_ 4x _ 16 = 0.
Soma das raízes = 2
Produto das raízes = _8
Assim: x‘ = 4 e x” = _2.
Alternativa c.
12. D . 0
(2m _ 3)
2
_ 4(1) ? (m
2
+ 3) . 0
_12m _ 3 . 0
m , _
1
4
Alternativa b.
13. S =
2q 1
p
()_
= _3
2q _ 2 = _3p
P =
6
p
= 3
p = 2
Portanto:
2q _ 2 = _3p
2q _ 2 = _3 ? 2
q = _2
Alternativa e.
14.
S
P
=
5
2
3
2
_
_
=
5
3
Alternativa a.
15.
2x4x9
2
_+ = 2x _ 3
2x
2
_ 4x + 9 = 4x
2
_ 12x + 9
2x
2
_ 8x = 0
Assim: x = 0 ou x = 4.
Para x = 0:
2x4x9
2
_+ = 2x _ 320 40 9
2
?_ ?+ = 2 ? 0 _ 39 5_ 3
Para x = 4:
2x4x9
2
_+ = 2x _ 324 44 9
2
?_ ?+ = 2 ? 4 _ 3
5 = 5
Portanto, o valor de x é 4.
Alternativa c.
16. x _ 3 = 2
x
x
2
_ 10x + 9 = 0
Soma das raízes = 10
Produto das raízes = 9
Assim: x‘ = 1 e x” = 9.
Para x = 1:
x _ 3 = 2
x h 1 _ 3 5 21
Para x = 9:
x _ 3 = 2
x h 9 _ 3 = 29
Alternativa b.
Um novo olhar – p. 117
• Quando seu discriminante é maior do que zero.
• Pela soma e pelo produto das raízes, utilizando a equa-
ção x
2
_ Sx + P = 0, em que S é a soma e P é o
produto.
• Resposta pessoal. O mais importante neste momento é
verificar se os estudantes conseguiram utilizar a fórmu-
la resolutiva para resolver a equação.
325
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326
Unidade 4 • Relações entre ângulos
Abertura de Unidade – p. 118
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes construam
diferentes rosáceas. Eles podem, por exemplo, realizar
composições inspiradas na construção apresentada na
abertura.
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Construção de
uma rosácea de 6 pétalas. Após abrir o programa e, com
o botão direito do mouse, os estudantes precisam ocultar
os eixos e a malha da Janela de Visualização. Para
isso, eles devem clicar no símbolo de assinalado do botão
Exibir Eixos e na opção Sem Malha do botão Exibir
Malha. Feito isso, eles devem realizar o passo a passo
apresentado a seguir.
1. Selecionar a ferramenta Circunferência (Centro,
Ponto) e clicar em dois pontos distintos quaisquer,
A e B, na Janela de Visualização. (Figura 1)
Figura 1.
2. Clicar no ponto B e construir outra circunferência
com a mesma medida de raio da circunferência
anterior. (Figura 2)
Figura 2.
3. Construir outras duas circunferências com a mesma
medida de raio das anteriores, clicando nos pontos
formados pela intersecção das duas circunferências.
(Figura 3)
Figura 3.
4. Clicar no ponto E e construir uma circunferência com
mesma medida de raio das anteriores. (Figura 4)
Figura 4.
5. Clicar no ponto F e, mais uma vez, construir uma
circunferência com mesma medida de raio das
anteriores. (Figura 5)
Figura 5.
6. Por fim, clicar no ponto G e construir outra
circunferência com a mesma medida de raio das
anteriores. (Figura 6)
Figura 6.
Os estudantes podem continuar construindo
circunferências com a mesma medida de raio
das anteriores e com centro nas intersecções das
circunferências já construídas, ou em outros pontos,
para compor rosáceas diferentes.
No fim da construção, se possível, imprimir ou
digitalizar as construções para os estudantes.
• No primeiro caso, trata-se de uma circunferência, e, no
outro, de um círculo.
1. Ângulos determinados por retas
transversais
Atividades – p. 122
1. a) Dois ângulos correspondentes formados por
retas paralelas cortadas por uma transversal são
congruentes. Assim:
2x + 40° = _3x + 90°
5x = 50°
x = 10°
b) Ao substituir o valor de x encontrado no item a, na
sentença que representa a medida de cada um dos
ângulos, tem-se:
• 2 ? 10° + 40° = 60°
• _3 ? 10° + 90° = 60°
Cada um dos ângulos mede 60°.
2. Como dois ângulos opostos pelo vértice são
congruentes, tem-se:
3x _ 75° = x + 15°
2x = 90°
x = 45°
3. a) Ao analisar a imagem, percebe-se que os ângulos
indicados em verde são correspondentes; logo, são
congruentes. Assim, tem-se:
3
4
x = 2x _ 75°
3x = 8x _ 300°
5x = 300°
x = 60°
Já os ângulos em rosa e em verde, cujos vértices
encontram-se na reta r, são suplementares. Assim,
tem-se:
y +
3
4
x = 180°
Substituindo o valor de x encontrado (60°) na
equação acima, temos:
y +
3
4
? 60° = 180°
y = 135°
x = 60°; y = 135°
b) Ao analisar a imagem, percebe-se que o ângulo y é
oposto ao vértice do ângulo de medida 140°. Assim:
y = 140°
Como os ângulos 7x e y são correspondentes,
tem-se:
7x = 140°
x = 20°
x = 20°; y = 140°
4. Pela análise da imagem, percebe-se que os ângulos
indicados em verde são opostos pelo vértice e, desse
modo, são congruentes. Assim:
4x _ 5° =
3x
2
+ 37°
4x _ 42° =
3x
2
8x _ 84° = 3x
5x = 84°
x = 16,8°
5. Pela análise da imagem, percebe-se que o ângulo de
120° é correspondente ao ângulo 2x + 4x. Assim:
2x + 4x = 120°
6x = 120°
x = 20°
Os ângulos y e 4x são suplementares, ou seja:
4x + y = 180°
Ao substituir o valor de x encontrado (20°) na equação
acima, tem-se:
4 ? 20° + y = 180°
y = 100°
Alternativa a.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
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327
6. Como ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
tem-se:
3x + 10° = x + 50°
2x = 40°
x = 20°
Substituindo o valor de x encontrado em qualquer uma
das sentenças que representa a medida dos ângulos,
podemos encontrar o valor correspondente:
3 ? 20° + 10° = 70° ou 20° + 50° = 70°
Alternativa b.
Atividades – p. 126
1. Os ângulos indicados em verde são alternos internos.
Assim:
x
3
+ 42° = 2x + 17°
x
3
+ 25° = 2x
x + 75° = 6x
5x = 75°
x = 15°
2. Uma reta paralela às retas r e s divide o ângulo de
112° em dois, com medidas 40° e x, como ilustrado a
seguir.
r
r // s
t // r
s
40°
40°
x
Alternos internos
Alternos internosx
Assim: 40° + x = 112°
x = 72°
Alternativa c.
3. Colocando em um sistema a sentença dada pelo
enunciado e as sentenças que são possíveis deduzir ao
analisar a imagem, tem-se:
++ =
++ =
+=
°
°°
°





x  2y  2z  340
y  z  50  180
x  z  180
h
h
++ =
+=
+=
()
()
()
°
°
°





x  2y  2z  340I
y  z  130 II
x  z 180 III
Fazendo (I) _ (II), obtém-se: x + y + z = 210° (IV).
Fazendo (IV) _ (III), obtém-se: y = 30°.
Alternativa a.
4. Do enunciado:
A
a
2
E
B
F
D
C
a
b
Assim:
• b =
a
2
• a + b = a +
a
2
= 90°
a = 60°
Portanto:
a _ b = a _
a
2
=
a
2
=
60°
2
= 30°
Alternativa c.
5. Retas paralelas às retas r e s, passando pelo vértice
dos ângulos
ˆ
b e ˆc, dividem esses ângulos em partes,
como mostra a figura a seguir.
rt u
42°
42°
33°
33°
x
x
s
r // s // t // u
Do enunciado, tem-se que
ˆ
b = 71° e que
ˆ
b = 42° + x.
Assim:
ˆ
b = 71° = 42° + x
x = 29°
Também é possível observar que ˆc = x + 33°.
Assim: ˆc = 29° + 33° = 62°.
Alternativa e.
6. Traçando, pelo ponto C, uma reta paralela à reta
suporte de AB, prolongando o segmento DE e
sabendo que medA
ˆ
BC() = 34° e
medB
ˆ
CD() = 68°, tem-se:
B
A
ED
C
34°
68°
34°
CDE
ˆ
medC
ˆ
DE() = 34° + 68° = 102°
Alternativa b.
7. a) Os ângulos
ˆ
b e
ˆ
f são alternos internos; desse
modo
ˆ
b 2
ˆ
f. Pela análise da imagem, tem-se:
a + c = d. Assim:
9x _ 10° + 3x + 10° = 180°
12x = 180°
x = 15°
b) Ao substituir o valor de x, encontrado no item a,
na sentença que representa a medida do ângulo ˆa,
tem-se:
a = 2x + 5°
a = 2 ? 15° + 5° = 35°
Pela análise da imagem, percebe-se que os ângulos
ˆ
b e
ˆ
d são suplementares. Assim:
b + 9x _ 10° = 180°.
Ao substituir na sentença anterior, o valor de x já
encontrado (15°), tem-se:
b + 9 ? 15° _ 10° = 180°
b = 55°
a = 35° e b = 55°.
c) Como ˆa,
ˆ
b e ˆc são os ângulos internos de um
triângulo, e a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180°, tem-se:
a + b + c = 180°
d) Como as medidas de ˆa e
ˆ
b já foram determinadas,
é necessário calcular a medida de c para classificar
os ângulos. Substituindo na sentença anterior, os
valores de a e b, tem-se:
a + b + c = 180°
35° + 55° + c = 180°
c = 90°
Assim, B
ˆ
AC é agudo, A
ˆ
BC é agudo e

ACB é
reto.
e) Ângulos complementares.
2. Circunferência
Atividades – p. 130
1. 9 cm
Os estudantes podem utilizar o fato de que,
considerando que se trata de uma medida
representada por um número inteiro, se d for igual a
10 cm, d = r, o que contraria o fato de que t é secante
à circunferência. Assim, o maior valor inteiro que d
pode assumir é 9 cm.
2. Como a reta r é tangente à circunferência, x = 90°.
Assim:
x + y + 30° = 180°
90° + y + 30° = 180°
y = 60°
x = 90° e y = 60°.
3. Como PA = PB = x, o perímetro será 2x + y.
4. a) Como PA = PB, tem-se:
4x + 3 =
5
3
x + 10
4x =
5
3
x + 7
12x = 5x + 21
7x = 21
x = 3
Portanto, a medida de x é igual a 3 cm.
b) Ao substituir o valor de x, encontrado no item
anterior, na sentença que representa a medida do
segmento PA, tem-se:
PA = 4x + 3 = 4 ? 3 + 3 = 15 h PA = 15 cm
c) Como PA = PB, então PB = 15 cm.
d) Perímetro = 15 + 15 + 7 + 7 = 44
Então: Perímetro = 14 cm
5. a) CN = CM = 8 cm
BP = BM = 12 cm
Assim: x = (12 + 8) = 20 cm
b) Seja AP = AN = t. Assim:
20 + 12 + 8 + t + t = 46
2t = 6
t = 3
Portanto, AN = 3 cm.
6. a) AP = AM = a = 11;
BM = BN = c = 31;
CP = CN = b = 25;
a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm.
b) Como a = 11, b = 25 e c = 31, então:
P = 25 + 25 + 11 + 11 + 31 + 31 = 134
Assim, P = 134 cm.
7. a) BP = BM = 6
Assim: AM = AN = 8 _ 6 = 2 = r
Portanto, r = 2 cm.
b) Perímetro = 4r = 4 ? 2 = 8 h Perímetro = 8
c) PC = NC = a
Perímetro = 6 + 8 + 2 + a + a = 16 + 2a
Portanto, perímetro = (2a + 16) cm.
d) Espera-se que os estudantes observem os dados da
figura e elaborem questões envolvendo medidas de
segmentos de retas ou de perímetro. Por exemplo:
Qual é o perímetro, em centímetro, do quadrilátero
BMOP? (Perímetro = 6 + 6 + 2 + 2 = 16;
Perímetro = 16 cm).
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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328
13. Do enunciado, temos:
A
xx
B
C
O
D
45°
x =
45x
2
°+
h 2x = 45° + x h x = 45°
Espera-se que os estudantes utilizem estratégias que
envolvam o conhecimento das relações entre ângulo
central e ângulo inscrito em uma circunferência.
Tecnologias – p. 138
1. Espera-se que os estudantes verifiquem a propriedade
de que a medida de um ângulo inscrito é igual à
metade da medida do ângulo central de mesmo arco
determinado por ele na circunferência.
2. Resposta pessoal. Os estudantes podem resolver
a atividade 7 da página 137 com o auxílio do
GeoGebra. Construir a circunferência, os segmentos
AB,AC,BC,OBeOC() e os ângulos central
B
ˆ
OC(), inscrito (52°) e t. Uma alteração que pode
ser proposta é modificar o triângulo para que ele se
torne equilátero, assim a medida do ângulo central
B
ˆ
OC será 60°. O trio pode solicitar aos colegas que
determinem a medida do ângulo inscrito BAC

,
a qual eles verificarão, com o software de geometria
dinâmica, que é a metade da medida do ângulo central
correspondente, ou seja, 30°.
BC
O
30°
60°
A
Atividades – p. 141
1. a) x =
ts
2
+
b) x =
ts
2
_
2. a) x =
8628
2
°+°
=
114
2
°
= 57°
x = 57°
b) x =
9256
2
°_°
=
36
2
°
= 18°
x = 18°
3. a =
12565
2
°_°
=
60
2
°
= 30°
b =
12565
2
°+°
=
190
2
°
= 95°
c = 180° _ 95° = 85°
Assim, a = 30°, b = 95° e c = 85°.
4. 35° =
°_
)()157medCD
2
medCD
)() = 157° _ 70° = 87°
medCD
)() = 87°
5. a) medA
ˆ
OB() = medAB
)() = 82°
b) medA
ˆ
PB() =
medAB
2
)()
=
82
2
°
= 41°
6. a = medRS
)() = 140°
x = 180° _ a = 180° _ 140° = 40°
c =
x
2
=
40
2
°
= 20°
b = c = 20°
x = 40°, a = 140°, b = 20° e c = 20°.
7. 52° =
s
2
s = 104°
Considerando o triângulo isósceles BOC, tem-se:
s + t + t = 180°
104° + 2t = 180°
t = 38°
Assim: s = 104° e t = 38°.
8. 7x =
10x48
2
+°
14x = 10x + 48°
4x = 48°
x = 12°
Assim:
medAOC
() = 10x + 48° =
= 10 ? 12° + 48° = 168°
medA
ˆ
BC() = 7x = 7 ? 12° = 84°
Então: medAOC
() = 168° e medA
ˆ
BC() = 84°.
9. x + 2° =
x62
2
+°
2x + 4° = x + 62°
x = 58°
Assim:
medQ
ˆ
RP() = x + 2° = 58° + 2° = 60°
Portanto, med ()Q
ˆ
RP = 60°.
10. medBD
)() = 2 ? 100° = 200°
medCD
)() = 200° _ 70°= 130°
x =
130
2
°
= 65°
Assim, medCD
)() = 130° e x = 65°.
11. a =
4860
2
°+°
a =
108
2
°
= 54°
medVR
)() = 360° _ 60° _ 48° _ 110° = 142°
b =
14260
2
°+°
= 101°
c =
142110
2
°+ °
= 126°
d =
48110
2

°+ °
= 79°
Então: a = 54°, b = 101°, c = 126° e d = 79°.
12. 2x + 3x + x + 30° + x + 50° = 360°
7x = 280°
x = 40°
a) med (B
ˆ
AC) =
340
2
?°
=
120
2
°
= 60°
b) med (B
ˆ
CD) =
2xx50
2
++ °
med (B
ˆ
CD) =
34050
2
°?°+
med (B
ˆ
CD) = 85°
Atividades – p. 132
1. a) medAB
)() = 75°
medACB
°() = 360° _ 75° = 285°
b) medAB
)() = 90°
medACB
°() = 360° _ 90° = 270°
2. x = 360° _ 5 ? 56°
x = 360° _ 280°
x = 80°
3. y = 90°
x = 360° _ 70° _ 90° _ 20° _ 135°
x = 45°
x = 45°; y = 90°
4. a) A medida x do ângulo central é igual à medida do
arco AB
)
, ou seja, 120°.
b) A medida x do ângulo central é igual à medida do
arco AB
)
, ou seja, 45°.
5. Seja a = b = c = x.
Assim: x + x + x = 360°
x = 120°
Portanto:
medAB
)() = medBC
)() = medCA
)() = 120°
6. A medida x do ângulo central é igual à medida do
arco AB
)
, ou seja, x = y.
Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são
congruentes. Assim:
x + 35° + 35° = 180°
x = 110°
x = y = 110°
7. Do enunciado, x = 80°.
Assim:
x + y + 180° = 360°
80° + y = 180°
y = 100°
Portanto: y _ x = 100° _ 80° = 20°.
8. Sim, pois, além de AB = RS, temos que OR = OS = OB =
= OA (são raios da circunferência). Assim, os triângulos
AOB e ROS são congruentes pelo caso LLL.
Atividades – p. 136
1. Como a medida do ângulo inscrito é igual à metade da
medida do arco determinado por ele na circunferência,
tem-se que p =
t
2
.
Ou, ainda, t = 2p.
2. y = medBC
)() = 92°
x =
)(medBC
2

=
92
2
°
= 46°
Assim, x = 46° e y = 92°.
3. x =
86
2
°
= 43°
y =
62
2
°
= 31°
Assim: x _ y = 43° _ 31° = 12°.
4. medAB
)() =
360
5
°
= 72°
x =
medAB
2
)()
=
72
2
°
= 36°
medCD
)() =
360
6
°
= 60°
y =
)(medCD
2

=
60
2
°
= 30°
Assim, x = 36° e y = 30°.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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329
• Espera-se que os estudantes respondam que é possível
identificar a distorção na imagem cuja modificação foi
apenas na direção vertical.
• Espera-se que os estudantes respondam que podemos
considerar semelhantes a imagem original e a imagem
reduzida em que a proporção entre as medidas nas
direções horizontal e vertical foi fixada.
1. Segmentos proporcionais
Pense e responda – p. 146
1. a)
14
20
=
7
10
ou 0,7.
b)
35
50
=
7
10
= ou 0,7.
2. Sim, pois
14
20
0,7e
35
50
0,7.==
3. Sim, pois
14
20
35
50
7
10
0,7== =.
Atividades – p. 149
1. Não, pois a razão 540 : 6 = 90 é diferente da razão
331 : 4 = 82,75. Ou seja, o caminhão e o carro
apresentaram velocidades médias não proporcionais.
2. a)
150000000km
500s
= 300 000 km/s
b) A luz do Sol leva cerca de 500 segundos para
atingir a Terra, então, 500 = 60 ? 8 + 20.
Portanto, a luz do Sol leva em torno de 8 minutos e
20 segundos para atingir a Terra.
3.
AB
CD
=
16
40
=
2
5
ou 0,4.
4.
x
8
= 0,4
x = 3,2
3,2 m
5. x
2
_ 24x + 135 = 0
D = (_24)
2
_ 4(1)(135) = 576 _ 540 = 36
x =
()24 36
21
__ ±
?
=
246
2
±
x = 15 ou x = 9
Assim, a = 9 e b = 15.
Por fim, a razão entre AB e BC é:
AB
BC
=
9
15
=
3
5
ou 0,6.
Portanto, a = 9, b = 15;
AB
BC
=
3
5
ou 0,6.
6. 15 m = 1 500 cm
escala
medidadocomprimentonodesenho
medidadocomprimentoreal
= =
=
5
1500
=
1
300
A escala usada no desenho foi 1 : 300.
7. Primeiramente, é preciso descobrir a escala utilizada:
20 km = 2 000 000 cm
=
2
2000000
1
1000000
Depois, calcula-se a medida de comprimento real de
um segmento de 8 cm, utilizando a escala encontrada.
=
1
1000000
8
x
h x = 8 000 000
Assim, 8 000 000 cm = 80 km.
8. Ao utilizar uma régua para medir o segmento de reta
que representa a distância em linha reta entre a cidade
de Boa Vista e Brasília, os estudantes encontrarão 5 cm.
Mas x = 2y e medAB
−() + medBC
−() +
+ medCA
−() = 360°.
Assim:
120° + 2y + 4y = 360°
6y = 240°
y = 40°
Então: x = 2 ? 40° = 80°.
Portanto: x _ y = 80° _ 40° = 40°.
Alternativa b.
9. • No triângulo AOC:
y + y + 114° = 180°
2y = 66°
y = 33°
• x =
114
2
°
= 57°
Portanto: x _ y = 57° _ 33° = 24°.
Alternativa a.
10. Da figura, pode-se concluir que:
• medCB
−() = 2x
• medAD
() = 170°
Assim:
120° =
2x170
2
°+
2x = 70°
x = 35°
Alternativa e.
11. Da figura:
• x + y = 90° I
• y = 2x II
Substituindo II em I:
x + 2x = 90°
3x = 90°
x = 30°
Assim: y = 2 ? 30° = 60°.
Alternativa c.
12. Da figura, pode-se concluir que:
• medMN
() = 62°
• medPQ
−() = 130°
Assim:
x =
13062
2
°°_
x = 34°
Alternativa d.
Um novo olhar – p. 143
• Ângulos complementares são ângulos cuja soma das
medidas é igual a 90°; ângulos suplementares são ângulos
cuja soma das medidas é igual a 180°.
• Ângulos correspondentes em retas paralelas são ângulos
de mesma medida que coincidem por translação; ângulos
congruentes são quaisquer ângulos de mesma medida
entre si. Ângulos correspondentes são pares de ângulos
congruentes, mas nem todo par de ângulos congruentes
são ângulos correspondentes.
• Circunferência é a figura geométrica formada por todos os
pontos de um plano que distam igualmente de um ponto
fixo desse plano, chamado de centro da circunferência.
Círculo é a figura geométrica formada pela reunião de uma
circunferência com a região interna a essa circunferência.
Unidade 5 • Proporção e semelhança
Abertura de Unidade – p. 144
• Resposta pessoal. Em caso afirmativo, espera-se que os
estudantes respondam que tenham procurado manter as
proporções das medidas nas direções horizontal e vertical.
Retomando o que aprendeu – p. 142
1. Uma reta paralela às retas r e s que passa pelo vértice de
ˆc, divide esse ângulo em dois outros de medidas 60° e
80°, pois são alternos internos aos ângulos ˆa e
ˆ
b.
Assim, c = 60° + 80° = 140°.
Alternativa c.
2.
4
3
x + 11 =
1
2
x + 26
4
3
x =
1
2
x + 15
8x = 3x + 90
5x = 90
x = 18
medCD() =
4
3
x + 11 =
4
3
? 18 + 11 = 35
medCB() =
1
2
x + 26 =
1
2
? 18 + 26 = 35
Assim, o perímetro do quadrilátero ABCD será:
35 + 35 + 20 + 20 = 110; 110 cm.
Alternativa a.
3. Do enunciado, pode-se concluir que:
• AS 2 AR
• SC 2 CT 2 BT 2 RB
Portanto, o polinômio que expressa o perímetro P do
triângulo ABC será:
P = a + a + b + b + b + b = 2a + 4b
Alternativa c.
4.
1
3
_ 3x = _
2
3
+ x
1
3
= _
2
3
+ 4x
4x = 1
x =
1
4

Assim, o diâmetro dessa circunferência, em metro, mede:
D = 2 ?
1
4
=
1
2
= 0,5
Alternativa c.
5. • 3x + y + 2x + y = 29
5x + 2y = 29 I
• x _ y = 6,5
x = 6,5 + y II
Substituindo II em I:
5 ? (6,5 + y) + 2y = 29
32,5 + 5y + 2y = 29
7y = _3,5
y = _0,5
Alternativa e.
6. Considerando medO
ˆ
TB() = x, temos:
x + 75° + 90° + 90° = 360°
x = 105°
Alternativa b.
7. 100° =
120y
2
°+
y = 80°
x =
12080
2
°°_
x = 20°
Assim:
x
y
=
20
80
°
°
=
1
4
= 0,25
Alternativa c.
8. Do enunciado, tem-se: medAB
−() = 120°,
medBC
−() = 2y, medCA
−() = 2x.
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330
x = 6 ou x = _2
Como x . 0, x = 6.
Assim: P = (6 _ 1) + 3 + (6 + 4) + 6 + 14 = 38
AB = 5 + 3 = 8
AC = 10 + 6 = 16
Assim: AB = 8 cm; AC = 16 cm; perímetro = 38 cm.
4. Um possível esboço da figura seria:
15 cm
9 cm
30 cm
B C
E
A
x
D
y
Do enunciado: y = 30 _ x.
x
15
=
30  x
9
_
450 _ 15x = 9x
x = 18,75
Assim: y = 30 _ 18,75 = 11,25.
Portanto: x = 18,75 cm; y = 11,25 cm.
5.
8
12
=
5
x
h x = 7,5
Assim, x = 7,5.
6. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
formulem perguntas envolvendo as medidas x ou y,
ou, ainda, que envolvam o perímetro de cada lote. Por
exemplo: Qual é o perímetro de cada lote?
160
120
=
100
x
h x = 75
160
120
=
60
y
h y = 45
Perímetro do lote 1: P = 100 + 75 + 30 = 205.
Perímetro do lote 2: P = 30 + 45 + 50 + 60 = 185.
Portanto, o perímetro do lote 1 é 205 m e o do lote 2
é 185 m.
7.
50
y  36_
=
80
y

50y = 80y _ 2 880
y = 96
x = y _ 36 = 96 _ 36 = 60
x = 60
Portanto, os comprimentos dos quarteirões da segunda
avenida são: 60 m e 96 m.
8. Sendo x a distância entre o ponto no qual o fio foi
preso ao solo e o poste mais próximo a ele, tem-se:
x
4
=
x4
9
+
9x = 4x + 16
x = 3,2
Logo, a distância procurada é de 3,2 m.
Atividades – p. 160
1. a)
4
2
=
10
x
h x = 5
b)
x
2
=
4
3,2
h x = 2,5
2.
6
x  1_
=
x4
x
+
x
2
+ 3x _ 4 = 6x
x
2
_ 3x _ 4 = 0
D = (_3)
2
_ 4(1)(_4) = 9 + 16 = 25
x =
()32 5
2  1
__ ±
?
=
35
2
±
x = 4 ou x = _1
x = 12,5
Assim: y = 45 _ 12,5 = 32,5.
Portanto: y _ x = 32,5 _ 12,5 = 20.
5.
x
2x 4+
=
x2
25
+
25x = 2x
2
+ 8x + 8
2x
2
_ 17x + 8 = 0
D = (_17)
2
_ 4(2)(8) = 289 _ 64 = 225
x =
()17 225
2 2
__ ±
?
=
1715
4
±

x = 8 ou x =
1
2
= 0,5
6.
3x
2
=
6
x3+
3x
2
+ 9x = 12
3x
2
+ 9x _ 12 = 0
x
2
+ 3x _ 4 = 0
D = (3)
2
_ 4(1)(_4) = 9 + 16 = 25
x =
325
21
_±
?
=
35
2
_±
x = 1 ou x = _4
Como x . 0, x = 1.
Assim:
y = 3 ? 1 + 6 h y = 9
Portanto: x = 1 e y = 9.
7.
x
45
=
72
60
h x = 54
72
60
=
y
75
h y = 90
Assim, a medida da frente do lote 1 para a rua B é
igual a 54 metros; e a do lote 3 é igual a 90 metros.
8.
4
8
=
x4
10
_
8x _ 32 = 40
x = 9
8
4
=
y
10

4y = 80
y = 20
Portanto: x + y = 9 + 20 = 29.
Atividades – p. 158
1.
3
x1+
=
x
4
x
2
+ x = 12
x
2
+ x _ 12 = 0
D = (1)
2
_ 4(1)(_12) = 1 + 48 = 49
x =
149
2  1
_±
?
=
17
2
_±
x = 3 ou x = _4
Como x . 0, x = 3.
2.
3x 1
15
_
=
4x2
22,5
+
67,5x _ 22,5 = 60x + 30
7,5x = 52,5
x = 7
Assim:
P = 40 + (4 ? 7 + 2) + (3 ? 7 _ 1) + 15 + 22,5
P = 127,5
3.
x  1
x4
_
+
=
3
x
x
2
_ x = 3x + 12
x
2
_ 4x _ 12 = 0
D = (_4)
2
_ 4(1)(_12) = 16 + 48 = 64
x =
()46 4
21
__ ±
?
=
48
2
±
Com a escala dada no enunciado, tem-se:
=
1
50000000
5
x
h x = 250 000 000
Assim, 250 000 000 cm = 2 500 km.
Logo, a distância real aproximada, em linha reta, entre
Boa Vista e Brasília é de 2 500 km.
Atividades – p. 151
1. •
AB
CD
=
2
3
•
MN
PQ
=
4
6
=
2
3
Sim, pois
AB
CD
=
MN
PQ
=
2
3
.
2.
3,2
x
=
6,5
26
h x = 12,8
Então, CD = 12,8 cm.
3.
x
x6+
=
16
28
28x = 16x + 96
12x = 96
x = 8
Logo, EF = 8 cm.
4. Ao considerar a a medida do barbante proporcional
a 2, b a medida proporcional a 3, c a medida
proporcional a 4 e d a medida proporcional a 6, tem-se
que as medidas das partes do barbante são:
a
2
b
3
c
4
d
6
x== ==
ab cd
23 46
300
15
20
++ +
++ +
==
•
a
2
20= h a = 40
Ou seja, 40 cm.
•
b
3
20= h b = 60
Ou seja, 60 cm.
•
c
4
20= h c = 80
Ou seja, 80 cm.
•
d
6
20= h d = 120
Ou seja, 120 cm.
2. Feixe de retas paralelas
Atividades – p. 155
1. a)
40
32
=
100
x
h x = 80
b)
5,4
x
=
4,5
3
h x = 3,6
2.
21
27
=
49
x
h x = 63
DF = 63 cm.
3.
5
x
=
8
4
h x =
5
2
5
2,75
=
8
y
h y =
22
5
x + y =
5
2
+
22
5
=
2544
10
+
= 6,9
4. Do enunciado, y = 45 _ x.
5
x
=
13
45x_
13x = 225 _ 5x
EDITORIA DE ARTE
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331
1,8
0,75
300
x
=
1,8x = 0,75 ? 300
1,8x = 225
x =
225
1,8
= 125
Logo, a distância do navio à praia é de 125 m.
Atividades p. 171
1.
18
15
=
x
18
h x = 21,6
15
1518+
=
12
y
h y = 26,4
Portanto: x = 21,6 e y = 26,4.
2. •
+
AB
AB10
=
27
36
h AB = 30
• AD = AB + 10 h AD = 40
Portanto: AB = 30 e AD = 40.
3.
20
208_
=
15
DE
h DE = 9
Assim: S =
()8159
2
?+
= 96
Portanto, a área é igual a 96 cm
2
.
4.
15
1517+
=
y
y13,6+
h y = 12
15
1517+
=
18
x
h x = 38,4
Assim:
x
y
=
38,4
12
= 3,2.
5. Sendo h a altura do poste, em metro, temos:
1,8
h
=
2,7
2,76,3+
h h = 6
Alternativa b.
6.
200
80
=
L
100
h L = 250
Portanto, o lago tem 250 m de largura.
7.
OP
OP30+
=
25
40
h OP = 50
Assim, a distância do observador até o ponto P é igual
a 50 m.
8. Sendo x a distância do ponto A até o segmento EF,
temos:
x3
x
+
=
4,5
3
h x = 6
Assim: h = 6 + 3 = 9.
Alternativa d.
9. Para auxiliar na resolução, podemos fazer um esquema
com os dados apresentados no enunciado.
12,3 cm
x
4 m
1,5 m
Utilizando o teorema fundamental da semelhança,
podemos escrever:
1,5
4
=
12,3
12,3x+
1,5 ? (12,3 + x) = 12,3 ? 4
18,45 + 1,5x = 49,2
1,5x = 49,2 _ 18,45
1,5x = 30,75
x = 20,5
Logo, a pessoa ainda deve caminhar 20,5 metros para
chegar ao ponto mais alto da rampa.
e) Verdadeira. Dois polígonos regulares com a mesma
quantidade de lados serão sempre semelhantes,
pois os ângulos correspondentes serão congruentes,
e os lados correspondentes, proporcionais.
3.
20
15
=
4
3
4. a)
3
4
=
48
P
2
h P
2
= 64
Portanto, o perímetro do octógono O
2
é igual a 64 cm.
b) x =
48
8
= 6 y =
64
8
= 8
Assim, x é igual a 6 cm e y é igual a 8 cm.
5. a)
24
12
= 2
A razão de semelhança é 2.
b)
30
x
= 2 h x = 15
40
y
= 2 h y = 20
62
z
= 2 h z = 31
Portanto: x = 15 cm; y = 20 cm; z = 31 cm.
c) A razão entre o perímetro ABCD e o perímetro
MQPN é igual à razão de semelhança entre essas
figuras, ou seja, 2.
6. a)
3
2
ou 1,5.
b) Como ABCDE é semelhante a A‘B‘C‘D‘E‘, o ângulo
ˆ
D é congruente a
ˆ
D‘. Assim, a medida do ângulo
ˆ
D‘ é igual a 108°.
c)
3
2
=
2,1
x
h x = 1,4
Assim, A‘B‘ mede 1,4 cm.
Atividades – p. 168
1. a) Seja a a medida do ângulo Â e q a medida do
ângulo
ˆ
Q.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo é 180°, temos que: a = 60° e q = 45°.
Então, como os ângulos internos dos triângulos
não são congruentes, os triângulos não são
semelhantes.
b) Nesse caso, os ângulos com vértice em C são congruen-
tes, e ˆ
E
ˆ
B2, então os triângulos são semelhantes.
c) Seja c a medida do ângulo
ˆ
C e t a medida do ângulo
ˆ
T.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo é 180°, temos que: c = 40° e t = 30°.
Então, como ˆ
M
ˆ
S2,
ˆ
C
ˆ
P2 e
ˆ
T
ˆ
D2, os triângulos
são semelhantes.
2. ˆ
B 2
ˆ
E (ambos medem 90°) e
ˆ
C 2
ˆ
D (ambos
medem 50°).
3.
x
z
=
y
x
h x
2
= yz
4.
a
ax+
=
1
1b+
h x = ab
5.
h
8,4
=
19,2
5,6
h h = 28,8
Portanto, a altura do prédio é igual a 28,8 m.
6. A partir da imagem, e utilizando a semelhança de
triângulos, temos:
h
c
dh
x
=
+
1,8
0,75
298,2 1,8
x
=
+
Como x . 0, então x = 4.
Assim:
AC = x + 4 = 4 + 4 = 8
BD = x _ 1 = 4 _ 1 = 3
DC = 4
Portanto, AC = 8, BD = 3 e DC = 4.
3. Seja x a medida de DC.
12
15 x_
=
18
x
30x = 270
x = 9
Assim: DC = 9 e AD = 15 _ 9 = 6.
Portanto, AD = 6 cm e DC = 9 cm.
4. Aplicando o teorema de Tales no triângulo ABC, tem-se:
10
x
=
4
6
h x = 15
a)
10
7
=
15
y
h y = 10,5
Assim, o perímetro do triângulo ABC será igual a:
P = 10 + 4 + 7 + 10,5 + 15 + 6 = 52,5
b)
10
z
=
15
8
h z 1 5,3
Assim, o perímetro do trapézio PBCM será igual a:
P 1 5,3 + 4 + 7 + 10,5 + 6 + 8 = 40,8
3. Figuras semelhantes
Fórum – p. 161
Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam
que é importante considerar dados de fontes confiáveis e
o contexto dos dados apresentados em mapas e em outras
representações cartográficas, de modo que seja possível
utilizar esses dados para auxiliar na interpretação da
realidade, minimizando as distorções e limitações inerentes
a esse tipo de representação.
Atividades – p. 165
1. a)
24
40
=
15
25
=
3
5
A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos
correspondentes são congruentes, e os lados
correspondentes são proporcionais, cuja razão de
proporção é
3
5
.
b)
24
30
5
15
20
A afirmação é verdadeira, pois os ângulos internos
correspondentes são congruentes, mas os lados
correspondentes não são proporcionais.
2. a) Falsa. Para que duas figuras sejam semelhantes, elas
precisam ter ângulos correspondentes congruentes
e lados correspondentes proporcionais. Contudo,
nem todos os retângulos têm lados correspondentes
proporcionais, como verificamos na atividade 1.
b) Verdadeira. Os ângulos correspondentes de dois
quadrados serão sempre congruentes e as medidas dos
lados correspondentes serão sempre proporcionais.
c) Falsa. Em dois triângulos quaisquer, os ângulos
correspondentes podem não ser congruentes e os lados
correspondentes não serem proporcionais. Por exemplo:
60°60°
50°
40°
90°
7,8
5
6
A
A B
C
C
B
3 3
3
60°
d) Verdadeira. Em dois triângulos equiláteros, os
ângulos correspondentes serão sempre congruentes,
pois será sempre igual a 60° (180° : 3) e as
medidas dos lados serão sempre proporcionais.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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332
3. Após a primeira redução, o valor do carro será:
R$ 80.000 _ ?$
10
100
R80.000 =
= R$ 80.000 _ R$ 8.000 = R$ 72.000
Após a redução percentual do segundo ano, o carro
passou a custar:
R$ 72.000 _ ?$
8
100
R72.000 =
= R$ 72.000 _ R$ 5.760 = R$ 66.240
Assim, depois de dois anos de uso, o carro custará
R$ 66.240,00.
4. Ainda falta Paulo pagar:
R$ 45.000,00 _ R$ 18.000,00 = R$ 27.000,00
M = R$ 27.000,00 + R$ 27.000,00 ? 3 ? 0,04
M = R$ 30.240,00
Portanto, ao fim dos três meses, Paulo deverá pagar o
valor de R$ 30.240,00.
5. M = R$ 5.000,00 + R$ 5.000,00 ? 24 ? 0,01
M = R$ 6.200,00
Lucas receberá um montante de R$ 6.200,00.
6. M = R$ 1.500,00 ? (1,03)
12
= R$ 2.138,64
O montante que Lilian receberá é de R$ 2.138,64.
7. R$ 64.000,00 = R$ 8.000,00 (1 + n)
3
8 = (1 + n)
3
1 + n = 2
n = 1
Portanto, a taxa de juro será de 100% ao mês.
8. M = R$ 4.500,00 ? (1,01)
6
M = R$ 4.500,00 ? 1,06152
M = R$ 4.776,84
9. Juro simples:
M = R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 ? 0,01 ? 12
M = R$ 1.120,00
Juro composto:
M = R$ 1.000,00 ? (1,01)
12
= R$ 1.126,83
Diferença:
R$ 1.126,83 _ R$ 1.120,00 = R$ 6,83
A diferença entre os rendimentos obtidos é R$ 6,83.
10. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
percebam que a capitalização das aplicações
financeiras é calculada, geralmente, a juro composto
e usem a taxa pesquisada para elaborar um problema
envolvendo esse tipo de juro. Exemplo de resposta:
Uma aplicação de R$ 5.000,00 na poupança, à taxa
de 0,5% ao mês, renderá quantos reais em 5 meses,
considerando que essa taxa não varie?
M = R$ 5.000,00 ? (1,005)
5
1 R$ 5.126,26
R$ 5.126,26 _ R$ 5.000 = 126,26
Renderá aproximadamente R$ 126,26.
11. Empréstimo: R$ 2.300,00
Taxa de juro (simples): 5% ao mês (0,05)
Tempo do empréstimo: 1 ano = 12 meses
Dívida após 4 meses:
R$ 2.300,00 + R$ 2.300,00 ? 0,05 ? 4 = R$ 2.760,00
Valor pago: R$ 2.760,00 : 2 = R$ 1.380,00
Dívida após 8 meses:
R$ 1.380,00 + R$ 1.380,00 ? 0,05 ? 8 = R$ 1.932,00
Jorge deverá pagar R$ 1.932,00.
Tecnologias – p. 182
a) No regime a juro simples, a aplicação renderá:
M = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ? 3 =
= R$ 10.900,00
• Espera-se que os estudantes identifiquem que, em 2021,
o maior índice foi registrado em novembro, e o menor,
em janeiro. A inflação nesse período pode ser calculada
pela subtração 10,74% _ 4,56% = 6,18%. Portanto, a
inflação nesse período foi de 6,18%.
• Auxilie os estudantes na elaboração da pesquisa, fornecendo
dados e fontes confiáveis para que eles possam conhecer as
condições de instabilidade econômica que eram enfrentadas
no país nessa época, bem como os planos econômicos que
foram implantados para amenizar essa situação. Para obter
mais informações sobre esse tema, pode-se consultar a
reportagem de Carlos Alberto Guimarães, da Agência IBGE
Notícias, disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.
br/lentes-doc/26571-40-anos-ipca-inpc.html (acesso em: 8
jun. 2022).
1. Porcentagem e problemas envolvendo
juros
Pense e responda – p. 178
A diferença entre o valor da mercadoria após os aumentos
e seu valor inicial é R$ 94,00 (R$ 594,00 _ R$ 500,00).
Ao fazer a razão entre essa diferença e o valor inicial,
obtém-se o percentual dos aumentos. Assim:
94
500
0,188=
== =
?
0,188
0,188100
100
18,8
100
18,8%
A taxa percentual do reajuste da mercadoria, após os dois
aumentos sucessivos, foi de 18,8%. Podemos perceber
que essa taxa não é igual à soma das taxas percentuais.
A soma dessas taxas é dada por 8% + 10% = 18%, e a
taxa percentual de reajuste foi de 18,8%.
Atividades – p. 181
1. a) Após o aumento de 5%, a mercadoria passou a
custar:
R$ 35,00 +
5
100
R35,00?$ =
= R$ 35,00 + R$ 1,75 = R$ 36,75
Agora, o aumento de 8% será calculado sobre o
valor após o primeiro aumento, ou seja, será sobre
R$ 36,75. Desse modo, temos:
R$ 36,75 +
8
100
R36,75?$ =
= R$ 36,75 + R$ 2,94 = R$ 39,69
Assim, após os dois aumentos a mercadoria passou
a custar R$ 39,69.
b) Após o desconto de 5%, a mercadoria passou a
custar:
R$ 39,69 _
5
100
R39,69?$ =
= R$ 39,69 _ R$ 1,98 = R$ 37,71
Com o desconto de 8% para pagamento à vista, a
mercadoria passou a custar:
R$ 37,71 _
8
100
R37,71?$ 1
1 R$ 37,71 _ R$ 3,02 = R$ 34,69
Portanto, o cliente pagaria R$ 34,69 pelo produto.
c) Não. Espera-se que os estudantes percebam que,
embora os percentuais de aumentos sucessivos
e os de descontos sucessivos sejam iguais, eles
foram aplicados a valores diferentes, o que fornece
resultados distintos.
2. R$ 600,00 ? 0,03 = R$ 18,00
Em 6 meses: R$ 18,00 ? 6 = R$ 108,00.
Assim: R$ 600,00 + R$ 108,00 = R$ 708,00.
Então, o valor creditado deve ser R$ 708,00.
Por toda parte – p. 173
•
1,80 m
5,40 m
=
x
438 m
h x = 146 m
Assim, a altura da pirâmide de Quéops é igual a 146 m.
Retomando o que aprendeu – p. 174
1.
3,2
3,2x+
=
0,8
2,2
h
h 7,04 = 2,56 + 0,8x h x = 5,6
Ou seja, a distância que o paciente deve andar é 5,6 metros.
Alternativa d.
2.
14
3
=
x
0,9
h x = 4,2
Assim, o comprimento do carro da mãe de Caio é igual
a 4,2 m.
Alternativa b.
3.
30
4
=
h
5
h h = 37,5
Logo, a altura da árvore é igual a 37,5 m.
Alternativa c.
4.
5
2
=
6
x
h x = 2,4
A altura da porta é igual a 2,4 m.
Alternativa a.
5.
3
12
=
12 x
14
_
h x = 8,5
Alternativa e.
6.
20
20x_
=
5
x
h x = 4
O perímetro do losango será: 4 ? 4 = 16.
Alternativa b.
7.
300
36
=
x
30
h x = 250
Assim, a largura do lago é 250 m.
Alternativa a.
8.
x
1,6
=
10
2,5
h x = 6,4
Portanto, a altura da árvore é igual a 6,4 m.
Alternativa c.
9. O perímetro do triângulo ABC é igual a 60 cm. Então:
60
20
=
27
XZ
h XZ = 9
Assim, a medida de XZ é igual a 9 cm.
Alternativa e.
10.
6
8
=
x
6,4
h x = 4,8
y
4,8
=
6
8
h y = 3,6
x + y = 4,8 + 3,6 = 8,4
Alternativa c.
Um novo olhar – p. 175
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes tenham
percebido as alterações em cada fotografia, considerando
a preservação ou não da proporção entre as medidas de
cada imagem.
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes notem
que as figuras semelhantes têm a mesma forma, ainda
que não tenham as mesmas medidas.
• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes percebam
que, no caso de dois polígonos, é necessário verificar se os
ângulos correspondentes são congruentes e se os lados
correspondentes são proporcionais. No caso de triângulos,
basta verificar se dois de seus ângulos são congruentes ou,
ainda, se os lados homólogos são proporcionais.
Unidade 6 • Porcentagem,
probabilidade e Estatística
Abertura de Unidade – p. 176
• Respostas pessoais. Os estudantes podem conhecer esse
tema, em especial, ao acompanhar o aumento dos preços
de produtos do mercado ou por meio de notícias.
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333
No regime a juro composto, a aplicação renderá:
M = R$ 10.000,00 ? (1,03)
3
= R$ 10.927,27
R$ 10.927,27 _ R$ 10.900,00 = R$ 27,27
Comparando o rendimento da aplicação nos dois regimes, percebe-se que no
regime de capitalização a juro composto o rendimento será maior. Ele receberá
R$ 27,27 a mais.
b) No regime a juro simples, a aplicação renderá:
M = R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ?
1
2
=
= R$ 10.150,00
No regime a juro composto, a aplicação renderá:
M = R$ 10.000,00 ? ()1,03
1
2 1 R$ 10.148,90
R$ 10.150,00 _ R$ 10.148,90 = R$ 1,10
Comparando o rendimento da aplicação nos dois regimes, podemos perceber que
no regime de capitalização a juro simples o rendimento será maior.
c) No regime de juro simples a aplicação renderá:
M
1
= R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ? 1 = R$ 10.300,00
M
2
= R$ 10.000,00 + R$ 10.000,00 ? 0,03 ? 2 = R$ 10.600,00
No regime de juro composto a aplicação renderá:
M
1
= R$ 10.000,00 ? (1,03)
1
= R$ 10.300,00
R$ 10.300,00 _ R$ 10.000,00 = R$ 300,00
M
2
= R$ 10.000,00 ? (1,03)
2
= R$ 10.609,00
Pelos cálculos, a partir de 1 mês o montante a juro composto passa a aumentar
mais rapidamente que o montante a juro simples.
2. Probabilidade
Atividades – p. 186
1. Entre as seis possibilidades de resultado do dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6), há apenas uma
possibilidade de sair o número 4, assim:
P(4) =
1
6
Entre as seis possibilidades de resultado do dado, há três possibilidade de sair um
número ímpar (1, 3 e 5), assim:
P(ímpar) =
3
6
=
1
2
2. a) Entre as oito possibilidades, há apenas um resultado com o número 1, assim:
P(1) =
1
8
b) Entre as oito possibilidades, há quatro resultados com um número par (2, 4, 6 e 8),
assim:
P(par) =
4
8
=
1
2
c) Como há reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo:
P(1 e par) =
1
8
?
1
2
=
1
16
3. Os eventos são independentes, então:
1
2
?
1
2
=
1
4
= 0,25
Alternativa d.
4. Depois de sorteada a bola azul, haverá 15 bolas na urna. Como se quer saber a
possibilidade de sortear uma bola amarela, tem-se:
P(amarela)=
quantidade de bolas amarelas
quantidade de bolas na urna
=
4
15
A probabilidade de sair bola amarela é igual a
4
15
.
5.
37
75
?
36
74
=
1332
5550
= 0,24 = 24%
A probabilidade de as duas primeiras bolinhas sorteadas (sem reposição)
apresentarem um número par é de 24%.
6. Como não há reposição, os eventos são dependentes; então:
a)
13
52
?
12
51
=
1
17
b) 4 ?
13
52
?
12
51
=
4
17
7. Os eventos são dependentes, então:
3
7
?
2
6
+
4
7
?
3
6
=
18
42
=
3
7
8. Os eventos são independentes, assim:
6 ?
1
6
?
1
6
?
1
6
=
1
36
9. A probabilidade de a bola vermelha sair na 1
a
, 2
a
ou 3
a
retirada é de:
3 ?
1
16
=
3
16
= 0,1875 = 18,75%.
A probabilidade de retirar a bola vermelha é menor do que 20%, pois
3
16
= 18,75%.
10. O enunciado informa que o peão e o cavalo podem se movimentar de duas maneiras
distintas no primeiro movimento. Como há oito peões e dois cavalos no conjunto de
peças de cada jogador, há 20 possibilidades (8 ? 2 + 2 ? 2) de cada jogador fazer o
seu primeiro movimento no jogo.
Desse modo, cada jogador tem 20 maneiras diferentes de iniciar o seu jogo. Portanto,
existem 400 (20 ? 20) rodadas possíveis.
3. Analisando gráficos
Atividades – p. 190
1. Alternativa d.
2. a) Possivelmente a chapa B, pois a coluna referente à quantidade de votos dessa
chapa, aparentemente de modo proposital, tem mais destaque em relação às
demais.
b) Espera-se que os estudantes percebam que, para representar a porcentagem de
voto da chapa B, foram usadas letras maiores do que nas demais chapas. Além
disso, a altura da coluna da chapa B está desproporcional em relação à coluna
referente à chapa A, que detém 60,3% das intenções de voto, enquanto a chapa
B detém apenas 30%.
c)
3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O gráfico de linhas, pois compara a área
desmatada ao longo dos anos.
b)
Fonte: Pesquisa de intenção de votos para a diretoria do
centro acadêmico.
Intenção de votos para a diretoria do centro acadêmico
60,3
A
30
B
Chapa
Quantidade
de votos (%)
9,7
C
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações.
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do
desmatamento da Floresta Amazônica brasileira por satélite. São José dos
Campos: INPE, 2021. Disponível em: http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/
programas/amazonia/prodes. Acesso em: 8 jun. 2022.
Desmatamento na Amazônia
Ano
Área
desmatada
(km
2
)
6207
7893
12000
10000
8000
6000
4000
2000
7536
10851
13235
10129
2015201620172018201920202021
6947
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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334
c) 13 235 _ 6 207 = 7 028
7028
6207
1 1,1323
1,1323 ? 100 = 113,23%
113,23%
d) Média =
++ ++ ++6207789369477536101291085113235
7
1
1 8 971,14
Assim, a média da área devastada é 8 971,14 km² por ano.
e) Como não há dados repetidos, não há moda.
Como são sete dados, a mediana é o dado que ocupa a posição quatro, quando
estes estão ordenados de modo crescente ou decrescente:
6 207 6 947 7 536 7 893 10 129 10 851 13 235
Assim, a mediana é 7 893 km².
4. a) Espera-se que os estudantes percebam que, para cada ano (coluna inteira), cada
cor representa um dos produtos exportados. De acordo com a legenda: a cor azul
representa a quantia arrecadada em exportações de soja, a cor laranja representa
a do café, e a cor roxa, a do milho.
b) Sim, o milho.
c) Soja: 2019; café: 2020; milho: 2021.
d) Em 2019.
5. a) O gráfico de linhas. Porque esse tipo de gráfico também mostra a evolução dos
dados ao longo do tempo.
b) Média =
=
++++ ++ + ++168110148139277404449474493562
10
=
= 322,4
Ou seja, 322,4 registros por ano.
Organizando os dados de maneira crescente, temos:
110 139 148 168 277 404 449 474 493 562
Como a quantidade de dados é par, a mediana é dada pela média dos dados que
ocupam as posições centrais (posições cinco e seis). Assim, temos:
277404
2
+
= 340,5
Portanto 340,5 registros.
Média: 322,4 registros por ano; mediana: 340,5 registros.
c) De 2017 a 2021.
d) Ao fazer a razão entre a diferença dos anos citados e a quantidade de registros em
2020, teremos o percentual de aumento de 2020 para 2021. Assim, temos:
562 _ 493 = 69
69
493
1 14%
14%
e) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Pode-se observar que, desde 2016, a
quantidade de registros de agrotóxicos vem aumentando no país, permanecendo
acima da média desde 2017. Além disso, no período retratado no gráfico, a maior
quantidade de agrotóxicos registrada ocorreu em 2021, aumentando 14% em
relação ao ano anterior.
6. Resposta pessoal. Sugestões de manipulações que os estudantes podem aplicar
na construção dos gráficos: as representações das barras ou dos setores estarem
desproporcionais em relação à quantidade de dados, ou ainda, a posição dos
pontos, em um gráfico de linhas, pode estar de modo que favoreça certo aspecto ou
interpretação, entre outras.
4. Elaborando uma pesquisa
Atividades – p. 196
1. a) Espera-se que os estudantes percebam que sim, pois, para mostrar os componentes
de um todo, o gráfico de setores é o mais adequado, e para comparar categorias, o
mais adequado é o gráfico de barras (no caso, barras duplas).
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para os estudantes da escola pública, a
área mais escolhida foi a de Ciências Exatas, e a menos escolhida foi a de Ciências
Humanas. Para os estudantes da escola privada, a área mais escolhida foi a de
Engenharia, e a menos escolhida foi a de Ciências Sociais. Algumas ações possíveis
são o incentivo aos cursos das áreas mais escolhidas e a divulgação e a melhoria
da infraestrutura de cursos das áreas menos escolhidas.
2. Realização de pesquisa e construção de gráfico.
a) Exemplo de resposta: Verificar a preferência dos estudantes por cursos
extracurriculares que a escola poderá oferecer.
b) Exemplo de resposta: Coletar os dados de toda a população estatística, que será
composta pelos estudantes do 9
o
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e da
1
a
a 3
a
série do Ensino Médio.
c) Exemplo de resposta: A coleta de dados se dará por meio de uma votação. Os
integrantes do grupo podem combinar com o professor o momento mais oportuno
para que ela ocorra.
d) A resposta depende dos dados coletados.
e) A resposta depende dos dados coletados.
f) A resposta depende dos dados coletados.
Fórum – p. 197
1. Espera-se que os estudantes debatam sobre o fato de que conhecer ferramentas
estatísticas pode facilitar a análise correta de informações e, por exemplo, a
identificação de fakes news, muito comuns nos dias de hoje, bem como avaliar a
qualidade de um produto ou serviço por meio das informações divulgadas sobre eles.
2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A disseminação de informações erradas ou
falsas pode prejudicar campanhas de vacinação, incentivar o uso de medicamentos,
difamar a imagem de uma pessoa, prejudicar a vida profissional de indivíduos, entre
outras.
Por toda parte – p. 198
a) Espera-se que os estudantes percebam que, com o passar dos anos, a base da
pirâmide tem ficado mais estreita, e que o topo tem ficado mais largo, o que indica
que a população brasileira, no futuro, tende a ser predominantemente composta
de pessoas mais velhas.
b) Por ser a maneira mais eficaz de reduzir a mortalidade causada pela doença.
c) Não. O esquema vacinal completo foi composto de três ou quatro doses da vacina
contra a covid-19.
d) Resposta pessoal. Exemplo de política pública voltada para a população idosa:
lei n
o
8.842, que dispõe sobre a política nacional do idoso.
Tecnologias – p. 200
1. a)
b) Para o candidato A, a intenção de voto cresceu mês a mês, e para o candidato C, a
intenção de voto decresceu mês a mês ou ficou constante (manteve o percentual),
mas não houve crescimento algum.
2. Realização de pesquisa e construção de gráfico. Espera-se que os estudantes
consigam coletar e registrar os dados da pesquisa e que, em seguida, organizem
esses dados em uma planilha eletrônica de acordo com as orientações desta seção.
Retomando o que aprendeu – p. 202
1. M = R$ 800,00 + R$ 800,00 ? 0,02 ? 4 = R$ 864,00
Custo da geladeira = R$ 400,00 + R$ 864,00 = R$ 1.264,00
R$ 1.264,00
2. M = R$ 5.000,00 ? (1,018)
18
h M = R$ 6.893,34
Rendimento = R$ 6.893,34 _ R$ 5.000,00 = R$ 1.893,34
Alternativa c.
Fonte: Dados fictícios.
Pesquisa para prefeito – Intenções de voto
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
JaneiroMarço Maio JulhoSetembro
Candidato A
Intenções de voto (%)
Candidato B
Candidato C
EDITORIA DE ARTE
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335
Isolando os termos com incógnitas no 1
o
membro e
resolvendo a equação, temos:
64x = 768
Dividindo os dois membros por 64:
x = 12
Logo, o bambu foi quebrado a 12 cúbitos de altura, a
partir do chão.
Atividades – p. 212
1. Para mostrar que o triângulo é retângulo, o quadrado
da medida do lado maior deve ser igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados. Verificando:
26
2
= 24
2
+ 10
2

676 = 576 + 100
676 = 676, o triângulo é retângulo.
2. a) x
2
= 21
2
+ 28
2
= 441 + 784
x =
1225 = 35
b) 25
2
= x
2
+ 24
2
x
2
= 625 _ 576
x =
49 = 7
c) x
2
=
()10
2
+ 10
2
()
x
2
= 20
x =
20 = 25
d)
29
2
() = x
2
+ 5
2
x
2
= 29 _ 25
x =
4 = 2
3. a) A medida a é a hipotenusa do triângulo QMR.
Então:
a
2
= 2
2
+ 4
2
= 4 + 16
a =
20 = 25
b) A medida b é a hipotenusa do triângulo RNP. Então:
b
2
= 4
2
+ 8
2
= 16 + 64
b =
80 = 45
c) A medida c é a hipotenusa do triângulo QRP. Então:
c
2
= a
2
+ b
2
c
2
=
25
2
() + 45
2
()
c
2
= 20 + 80
c =
100 = 10
d) O perímetro P é dado pela soma das medidas dos
lados do trapézio:
P = 10 + 2 + 4 + 4 + 8 = 28
4. O triângulo ABC é retângulo e o segmento AC é um
dos catetos desse triângulo. Então:
5
2
= 1
2
+ BC
2
BC
2
= 25 _ 1
BC =
24
BC = 2
6 = 2 ? 2,45 = 4,90
O segmento AC mede 4,90 cm.
5. a) Para descobrir a medida BD, aplicamos o teorema
de Pitágoras no triângulo ABD.
BD
2
= 9
2
+ 12
2
= 81 + 144
BD =
225 = 15
Como BD também é um dos lados do triângulo
equilátero BCD, os lados BC e CD também
medem 15. Assim:
P = 3 ? 15 = 45
O perímetro do triângulo BCD mede 45 cm.
b) O perímetro do quadrilátero ABCD é dado pela
soma das medidas dos lados. Então:
P = 15 + 15 + 9 + 12 = 51
O perímetro do quadrilátero mede 51 cm.
• No cálculo de juro simples, a taxa de juro é aplicada
sempre sobre o capital a cada período; já no cálculo
de juro composto, a taxa de juro é aplicada sobre o
montante do período imediatamente anterior.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
tenham compreendido que dois eventos aleatórios são
independentes quando a probabilidade de ocorrer um
deles não depende do fato de outros eventos terem
ocorrido ou não. Dois eventos aleatórios são dependentes
quando a ocorrência de um influencia na ocorrência do
outro.
• Para realizar uma pesquisa estatística, é preciso
definir um objetivo, ou seja, formular uma pergunta
ou uma hipótese que se quer testar. Com isso,
pode-se determinar a população que fará parte da
pesquisa, definindo se a pesquisa será censitária ou
por amostragem. Caso seja por amostragem, é preciso
definir a amostra. O próximo passo é elaborar os
instrumentos de pesquisa e como será feita a coleta
de dados. Com essas definições, é possível aplicar a
pesquisa, coletar e organizar os dados e analisá-los
por meio de tabelas, gráficos e medidas estatísticas.
Por fim, é feito um relatório com as explicações sobre
o planejamento da pesquisa, a coleta dos dados, as
análises e as conclusões.
Unidade 7 • Relações métricas no
triângulo retângulo e na circunferência
Abertura de Unidade – p. 204
• Espera-se que os estudantes respondam que é necessário
conhecer o comprimento das ruas indicadas e considerar
que o ângulo formado entre elas é de 90°.
• Triângulo retângulo.
• Resposta pessoal. Espera-se que, ao analisar a imagem do
esquema, os estudantes percebam que os segmentos cujos
comprimentos representam as distâncias, em linha reta,
entre os pontos indicados lembram lados de um triângulo
retângulo. Portanto, será necessário determinar a medida
do lado oposto ao ângulo reto, ou seja, da hipotenusa.
1. Teorema de Pitágoras
Pense e responda – p. 206
a) A
1
= 2,5 ? 2,5 = 6,25; 6,25 cm
2
b) A
2
= 2 ? 2 = 4; 4 cm
2
c) A
3
= 1,5 ? 1,5 = 2,25; 2,25 cm
2
d) A
1
= A
2
+ A
3
e) Espera-se que os estudantes percebam que a área do
quadrado com lado comum à hipotenusa é igual à
soma dos quadrados com lado comum a cada um dos
catetos.
Por toda parte – p. 211
• Como o bambu quebrado forma com o chão um
triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de
Pitágoras. Seja x a medida da altura a partir do chão até
o ponto no qual o bambu foi quebrado, temos:
(32 _ x)
2
= x
2
+ 16
2
Resolvendo o quadrado da diferença e o quadrado
de 16:
1 024 _ 64x + x
2
= x
2
+ 256
3. Porcentagem de loiro:
100% _ 30% _ 16% _ 24% = 30%
Quantidade de pessoas que têm cabelo loiro:
0,3 ? 1 200 = 360
Alternativa c.
4.
360
1200
= 0,3 = 30%
5. P =
6
15
5
14
P
preta
?
↓
+
5
15
4
14
P
branca
?
↓
+
4
15
3
14
P
vermelha
?
↓
=
62
210
=
= 0,295 = 29,5%
Alternativa b.
6. a) M =
182022
3
++
= 20
20 estudantes não usam óculos.
b) Turma 9A; 25 estudantes usam óculos.
c) Turma 9B: 15 + 20 = 35 estudantes.
d) Apenas na turma 9A.
7. a) A evolução de seu faturamento ao longo do tempo
(de 2011 a 2021).
b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sim, o
gráfico de linhas é um gráfico mais adequado para
enfatizar as mudanças dos dados ao longo do
tempo.
c) Não há distorção no gráfico apresentado.
8. a)
b) Área
média
=
464 12
4
++ +
= 6,5
Pontanto, a área média é 6,5 m
2
.
9. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
retomem e apliquem os conhecimentos sobre as
etapas de realização de uma pesquisa. Depois de
escolhido o tema, uma possibilidade é coletar os dados
em fontes confiáveis na internet. Por exemplo, se o
tema for relativo aos resultados do Brasil em Jogos
Olímpicos, os estudantes podem consultar sites oficiais
sobre os Jogos Olímpicos e a delegação brasileira
que participou de cada um deles. Em seguida, os
estudantes podem organizar os dados coletados e
apresentá-los por meio de tabelas, gráficos e textos de
conclusão da pesquisa.
Um novo olhar – p. 203
• A inflação e o IPCA são expressos em percentuais que
indicam a variação dos preços de mercadorias e serviços
em determinado período. Assim, conhecendo o conceito
de porcentagem, podemos realizar cálculos, comparar
índices, bem como fazer outras análises envolvendo
situações financeiras e econômicas.
0
Área (m
2
)
Flor
2
4
6
8
10
12
14
CravoLírioRosaTulipa
Fonte: Equipe de jardinagem.
Flores do jardim
EDITORIA DE ARTE
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336
A altura do tronco da árvore que restou em pé mede
4 m.
14. Seja x a medida da altura da janela em relação ao
chão, temos:
10
2
= 6
2
+ x
2
x
2
= 100 _ 36
x =
64 = 8
Portanto, a altura dessa janela em relação ao chão é
de 1 m + 8 m = 9 m.
Atividades – p. 216
1. A diagonal d de um quadrado o divide em dois
triângulos retângulos congruentes. Essa diagonal
representa a hipotenusa dos triângulos cujos catetos
são dois lados do quadrado. Daí, temos:
d
2
= 12
2
+ 12
2
= 288
d =
288 = 122
Logo, a diagonal desse quadrado mede 12
2 cm.
2. Se o perímetro de um quadrado mede 80 cm, cada
lado mede 20 cm. Como a diagonal d de um quadrado
representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos
catetos são dois lados do quadrado, temos:
d
2
= 20
2
+ 20
2
= 800
d =
800 = 202
Logo, a diagonal desse quadrado mede 20
2 cm.
3. Uma diagonal e dois lados l do quadrado formam um
triângulo retângulo. Então:
152
2
() = (l)
2
+ (l)
2
2l
2
= 450
l = 15
Assim, o lado desse quadrado mede 15 cm e o
perímetro é dado por 4 ? 15 cm = 60 cm.
4. Seja x a medida do lado do quadrado, temos:
A = x ? x
x
2
= 576
x =
576 = 24
Sabendo a medida do lado do quadrado, usamos o
teorema de Pitágoras para encontrarmos a medida da
diagonal.
d
2
= 24
2
+ 24
2
= 2 ? 576
d = 24
2 = 24 ? 1,41 = 33,84
Assim, a diagonal do quadrado mede 33,84 cm.
5. Para determinarmos a área do quadrado, é preciso
saber a medida do lado. Dada a medida da diagonal e
sendo x a medida do lado do quadrado, temos:
40
2
= x
2
+ x
2x
2
=1 600
x = 20
2
A área do quadrado é dada por x
2
. Então:
A =
202
2
() = 800
A área desse quadrado é 800 cm
2
.
6. a) Seja x a medida do lado do quadrado BDPQ, temos:
x
2
= 10
2
+ 10
2
= 200
x = 10
2
Logo, x = 10
2 cm.
b) O perímetro P é dado por 4x. Utilizando o valor
encontrado no item a, temos:
P = 4 ? 10
2 cm = 40
2 cm
c) A área A é dada por x
2
. Utilizando mais uma vez o
valor de x encontrado, temos:
A =
102cm
2
)( = 200 cm
2
Assim, os pontos A, B e P determinam um triângulo
retângulo e podemos aplicar o teorema de
Pitágoras.
(d
A,B
)
2
= (d
A,P
)
2
+ (d
P, B
)
2
(d
A,B
)
2
= (10 _ 2)
2
+ (10 _ 4)
2
(d
A,B
)
2
= (8)
2
+ (6)
2
= 64 + 36
d
A,B
=
100 = 10
Logo, a distância entre as cidades A e B é de 10 km.
b) Pelo enunciado, João navega a uma velocidade de
2 km/h, ou seja, ele percorre 2 km a cada 1 hora.
Então, o tempo t é dado por:
t =
10 km
2 km/h
= 5 h
João levará 5 horas para ir da cidade A até a
cidade B.
c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O estudante
pode determinar outra cidade às margens do lago,
por exemplo a cidade C, no ponto C(10,2), e fazer o
seguinte questionamento: João precisa ir da cidade
A até a cidade C e, depois, da cidade C até a cidade
B. Ele não está considerando a correnteza da água
e pretende navegar no menor tempo possível.
Quantos quilômetros João navegará no total?
Resolução:
Na figura, podemos determinar um ponto P por
meio de duas retas suportes: uma paralela ao eixo x
passando pelo ponto A, e uma reta paralela ao eixo
y passando por C.
Assim, os pontos A, P e C determinam um triângulo
retângulo, e podemos aplicar o teorema de
Pitágoras.
(d
A,C
)
2
= (d
A,P
)
2
+ (d
P, C
)
2
(d
A,C
)
2
= (10 _ 2)
2
+ (4 – 2)
2
(d
A,C
)
2
= (8)
2
+ (2)
2
= 64 + 4
d
A,C
=
68 = 217
Logo, a distância entre as cidades A e C é
2
17 km.
Já a distância entre as cidades C e B é:
10 _ 2 = 8. Logo, 8 km.
No total, João navegará (2
17 + 8) km, ou,
aproximadamente, 16,25 km.
11. a) Do esquema, temos:
(d
A,B
)
2
= (50 – 30)
2
+ (20 + 40)
2
(d
A,B
)
2
= (20)
2
+ (60)
2
= 400 + 3 600
d
A,B
=
4000 = 2010 = 20 ? 3,16 = 63,2
Assim, a distância do ponto A até o ponto B mede
63,2 m.
b) Como M é ponto médio entre os pontos A e B,
temos:
d
A,M
=
63,2
2
= 31,6
Logo, a distância do ponto A até o ponto M é
31,6 m.
12. Do esquema, temos que o cabo representa a
hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos
medem 20 m e 15 m. Então:
(d
A,C
)
2
= (20)
2
+ (15)
2
(d
A,C
)
2
= 400 + 225
d
A,C
=
625 = 25
Assim, o comprimento do cabo é 25 m.
13. Seja x a medida da altura do tronco da árvore que
restou em pé, temos:
(9 _ x)
2
= (x)
2
+ (3)
2
18x = 72
x = 4
6. Sabe-se que y é a medida da hipotenusa do triângulo
retângulo cujos catetos medem 4 e 8. Aplicando o
teorema de Pitágoras, temos:
y
2
= 4
2
+ 8
2
= 16 + 64
y =
80 = 45
Sabendo que x é a medida da hipotenusa do triângulo
retângulo cujos catetos medem 3
5 e y, sendo
y = 4
5, temos:
x
2
=
45
2
() + 35
2
() = 80 + 45
x =
125 = 55
Assim: x + y = 5
5 + 45 = 95
7. a) Como x é a medida da hipotenusa do triângulo
retângulo cujos catetos medem 12 e 16, aplicando
o teorema de Pitágoras temos:
x
2
= 12
2
+ 16
2
x
2
= 144 + 256
x =
400 = 20
b) Sabendo que y é a medida da hipotenusa do
triângulo retângulo cujos catetos medem
12 e 16 + DB, sendo DB = x = 20, temos:
y
2
= 12
2
+ 36
2
y
2
= 144 + 1 296
y =
1440 = 1210
8. Para determinar a mediada de a, aplicamos o teorema
de Pitágoras no triângulo retângulo cujos catetos
medem 0,9 e 1,2 cm.
a
2
= 0,9
2
+ 1,2
2
a
2
= 0,81 + 1,44
a =
2,25
a = 1,5
Sabendo a medida de a, é possível determinar a
medida de b pelo mesmo processo.
b
2
= 2
2
+ 1,5
2
b
2
= 4 + 2,25
b =
6,25
b = 2,5
Agora, determinamos a medida de c e calculamos o
valor da expressão a + b + c.
c
2
= 2,4
2
+ 1,8
2
c
2
= 5,76 + 3,24
c =
9
c = 3
Assim: a + b + c = 1,5 + 2,5 + 3 = 7,0.
9. Considerando x a medida de um dos lados do
monitor do notebook, o outro lado medirá
3
4
x. Como
a diagonal divide o retângulo em dois triângulos
retângulos, temos:
(30)
2
= (x)
2
+
3
4
x
2






x
2
= 900 ?
16
25
x =
576 = 24
Logo, um lado mede 24 cm e o outro lado mede
3
4
? 24 = 18 cm.
10. a) Na figura, podemos determinar um ponto P por
meio de duas retas suportes. Uma paralela ao eixo
x passando pelo ponto A e outra reta, paralela ao
eixo y, passando por B.
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337
3. Do enunciado, temos:
b
h
a
36 cm
64 cm
Utilizando a 2
a
relação:
h
2
= 64 ? 36
h = 48
Utilizando a 1
a
relação:
a
2
= 36 ? (36 + 64)
a = 60
Utilizando a 1
a
relação:
b
2
= 64 ? (36 + 64)
b = 80
Assim, o perímetro P do retângulo é dado por:
P = 60 + 60 + 80 + 80
P = 280
O perímetro é 280 cm.
4. a) Utilizando a 1
a
relação e considerando a a
hipotenusa, temos:
10
2
= 5 ? a h a = 20
Logo, a medida da hipotenusa é 20 cm.
b) Utilizando a 4
a
relação:
20
2
= x
2
+ 10
2
h x
2
= 400 _ 100
x =
300
x = 10
3
Logo, a medida do outro cateto é 10
3 cm.
c) Utilizando a 3
a
relação:
10 ? 10
3 = 20 ? h
h = 5
3
Logo, a medida da altura relativa à hipotenusa é
5
3 cm.
5. Utilizando a 2
a
relação:
x
2
= 4 ? 9
x = 6
Utilizando a 1
a
relação:
y
2
= 4 ? (4 + 9)
y = 2
13
Utilizando a 1
a
relação:
z
2
= 9 ? (4 + 9)
z = 3
13
Então: x = 6 cm, y = 2
13 cm e z = 313 cm.
6. Do enunciado, obtemos a figura a seguir, na qual h
representa a estrada que será construída.
A
B
80 km
pq
100 km
C
h
Utilizando a 1
a
relação:
80
2
= p ? 100
p = 64
Da figura, temos que:
p + q = 100
64 + q = 100
q = 36
Utilizando a 2
a
relação:
h
2
= 36 ? 64
h = 48
O comprimento da estrada será 48 km.
Resolução:
Calculando o perímetro do triângulo do enunciado
e considerando x a medida do lado desse triângulo,
temos:
h =
x3
2
30 =
x3
2
x =
60
3
x = 20
3
Assim, o perímetro P do triângulo é dado por:
P = 3 ? 20
3 = 603 = 60 ? 1,73 = 103,8
Portanto, P = 103,8 cm.
13. (1) área A do triângulo: A =
h
2
l?
(2) a medida da altura h do triângulo equilátero é dada
por: h =
3
2
l
Substituindo (2) em (1), temos:
A
3
2
2

3
4
2
=
l?
l
=
l
Logo, a área do triângulo em função do lado é
3
4
2
l
.
2. As relações métricas do triângulo
retângulo
Atividades – p. 220
1. a) Utilizando a 1
a
relação:
8
2
= m ? 16 h m = 4
Como m + n = 16, temos:
4 + n = 16 h n = 12
b) Indicando por a a medida do segmento de reta que
vai do ponto C até o pé da altura indicada, temos:
a = 54 _ 48 = 6
Utilizando a 2
a
relação:
h
2
= 6 ? 48
h = 12
2
Utilizando a 4
a
relação:
b
2
= 6
2
+
122
2
() = 36 + 288
b =
324 = 18
c) Utilizando a 2
a
relação:
15
2
= 9 ? n h n = 25
Como:
a = 9 + n h a = 9 + 25 = 34
2. Da figura, temos: a = 36 + 64 = 100
Utilizando a 2
a
relação:
h
2
= 36 ? 64
h = 48
Utilizando a 4
a
relação:
b
2
= h
2
+ 64
2
= 2 304 + 4 096
b =
6400
b = 80
Utilizando a 4
a
relação:
c
2
= h
2
+ 36
2
= 2 304 + 1 296
c =
3600
c = 60
Então: a = 100 mm, h = 48 mm, b = 80 mm e
c = 60 mm.
7. Do enunciado, temos:
24
12
h
Logo:
24
2
= h
2
+ 12
2
h
2
= 576 _ 144
h =
432 = 123
A medida da altura h desse triângulo é 12
3 cm.
8. Seja x a medida do lado do triângulo, temos:
x =
36
3
= 12
Observe o esquema a seguir.
12
6
h
Logo:
12
2
= h
2
+ 6
2
h
2
= 144 _ 36
h =
108 = 63
h = 6 ? 1,73 = 10,38
A medida h da altura desse triângulo é 10,38 cm.
9. A medida da altura h do triângulo equilátero é dada
por: h =
3
2
l
Com as informações apresentadas, temos:
5
3 = 3
2
l
l = 10
Assim, o perímetro do triângulo é: 3 ? 10 cm = 30 cm.
10. A medida da altura h do triângulo equilátero é dada
por: h =
3
2
l
. Então:
h =
63
2
= 3
3
Do enunciado, temos que a área A de um triângulo é
dada por: A =
h
2
l?
.
Então:
A =
6 33
2
?
= 9
3 = 9 ? 1,73 = 15,57
A área desse triângulo é 15,57 cm
2
.
11. A medida da diagonal d de um quadrado é dada por:
d = l
2.
Então:
d = 10
2 cm
Sabendo que a medida da altura h do triângulo
equilátero é dada por h =
3
2
l
e que, do enunciado,
a medida da diagonal do quadrado e a medida do lado
do triângulo são iguais, temos:
h =
102 3
2
= 5
6
A altura desse triângulo mede 5
6 cm.
12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Calcule o
perímetro desse triângulo.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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338
C 1 104,67
O veículo percorreu aproximadamente 104,67 metros
no arco representado por AB

.
8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Pode-se utilizar a regra de três simples e direta,
fazendo a relação: 360° está para 2pr assim como
o ângulo a está para o comprimento que se deseja
descobrir. Fazendo a multiplicação, temos que o
comprimento desconhecido é igual ao produto de a e
2pr, dividido por 360.
9. a) Como o diâmetro mede 30 polegadas, o raio mede
15 polegadas.
Fazendo a conversão de polegada para centímetro,
temos:
r = 15 ? 2,54 = 38,1.
Também podemos fazer a conversão de
30 polegadas para centímetros:
30 ? 2,54 = 72,2
Logo, o diâmetro do pneu da bicicleta mede
72,2 cm e o raio mede 38,1.
Como a medida de uma volta do pneu da bicicleta é
igual à medida do comprimento do pneu, temos:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 38,1
C 1 239,3
Então, uma volta do pneu corresponde a
aproximadamente 239,3 cm.
b) 239,3 cm = 2,393 m
Então:
quantidade de voltas =
4000 m
2,393 m
1 1 672,2
Aproximadamente 1 672 voltas.
4. Relações métricas da circunferência
Atividades – p. 227
1. a) Utilizando a relação entre cordas, temos:
4 ? x = 3 ? 8
x = 6
b) Utilizando a relação entre cordas, temos:
6 ? x = (x + 2) ? 5
6x = 5x + 10
x = 10
c) Utilizando a relação entre segmentos secantes,
temos:
4 ? (4 + x) = 6 ? (6 + 2)
16 + 4x = 36 + 12
x = 8
d) Utilizando a relação entre segmento secante e
segmento tangente, temos:
x
2
= 8,1 ? (8,1 + 1,9) = 8,1 ? 10
x = 9
2. Para determinar o valor de x e de y, utilizamos a
relação entre segmento secante e segmento tangente.
x
2
= 8 ? (8 + 10) = 8 ? 18
x = 12
12
2
= 9 ? (9 + y)
9 + y = 16
y = 7
Assim: x + y = 12 + 7 = 19
3. Utilizando a relação entre segmento secante e
segmento tangente, temos:
18
2
= r ? (r + 2r)
324 = 3r
2
r
2
= 108
r = 6
3
O comprimento da circunferência é dado por:
C = 2 ? p ? r.
C = 2 ? 3,14 ? 36 = 226,08
Portanto, C = 226,08 cm.
2. Para determinar a hipotenusa do triângulo, utilizamos o
teorema de Pitágoras. Como, do enunciado, sabemos que
a medida dessa hipotenusa corresponde à mesma medida
do raio da circunferência, vamos representá-la por r.
r
2
=
()102
2
+ ()102
2
= 200 + 200
r =
400 = 20
Logo: r = 20 cm.
Assim, o comprimento da circunferência é:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 20 cm
C = 125,6 cm
3. Seja x a medida do lado do quadrado.
x =
360
4
= 90
Assim:
r =
90
2
= 45
Então: r = 45 cm.
E a medida do comprimento da circunferência é:
C = 2 ? p ? r = 2 ? 3,14 ? 45 cm
C = 282,6 cm
4. Na figura, o oleoduto em linha reta corresponde à
diagonal de um quadrado de lado 60 km, e o arco
corresponde à metade de uma circunferência.
Então, sendo C o custo da obra, temos:
• Custo em linha reta:
C
reta
= 60
2 ? 2 700 = 60 ? 1,41 ? 2 700 =
= 228 420
O custo do trajeto em linha reta é R$ 228.420,00.
• Custo do trajeto em arco:
C
arco
=
?p?2r
2
=
23301,41
2
?? ?
? 1 600 =
= 203 040
O custo do trajeto em arco é R$ 203.040,00.
Logo, o trajeto em arco é o mais barato, pois
R$ 203.040,00 , R$ 228.420,00.
5. Temos que:
°
°
=
p360
72
2r
50,24
Então:
2pr =
36050,24
72
?
= 251,2
2r =
251,2
3,14
= 80
Logo, o diâmetro da praça é 80 m.
6. A medida, em grau, do setor da figura é:
360° _ 45° = 315°.
Temos que:
°
°
=
p360
315
2r
C
Então:
C =
3152r
360
??p?
=
31523,142
360
?? ?
= 10,99
Portanto, o comprimento do contorno é 10,99 cm.
7. A medida, em grau, do setor da figura é:
360° _ 60° = 300°.
Temos que:
°
°
=
p360
300
2r
C
Então:
C =
3002r
360
??p?
=
30023,1420
360
?? ?
7. Seja p a medida de BH.
A
B
15 cm
p 16 cm
C
H
Utilizando a 1
a
relação:
15
2
= p ? (p + 16)
p
2
+ 16p _ 225 = 0
Resolvendo a equação:
D = 16
2
_ 4 ? 1 ? (_225) = 256 + 900 = 1 156
p =
161156
21
_±
?
=
16 34
2
_±
p = 9 ou p = _25
Como p . 0, p = 9.
Assim, a hipotenusa mede: (9 + 16) = 25 cm.
Por toda parte – p. 221
1. Os lados do triângulo medem 2 m,
2 m e 2 m.
Logo, em cada triângulo foram utilizados (2 + 2
2) m
de ripa de madeira. Portanto, nos seis triângulos foram
utilizados:
6 ? (2 + 2
2) = 12 + 12
2 1 28,97
Aproximadamente 28,97 metros de ripa de madeira.
2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Utilizando a mesma figura destacada na questão 1,
responda: Quantos metros de ripa de madeira foram
utilizados em todos os triângulos menores da torre?
Considere que no lado comum entre dois triângulos foi
utilizado uma ripa. Utilize uma calculadora para obter
o resultado aproximado em centímetro.
Resolução:
Os lados de cada triângulo menor medem 1 m, 1 m e
2 m.
Logo, em cada triângulo foram utilizados (2 +
2) m
de ripa de madeira. Então, multiplicamos essa medida
por 12 (quantidade de triângulos menores da torre)
e subtraímos 6 (lados duplicados). Assim:
12 ? (2 +
2) _ 6 = 18 + 12
2 1 34,97
Aproximadamente 34,97 metros de ripa de madeira.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes
reconheçam a importância da preservação dos
patrimônios históricos e culturais para a construção e
valorização da identidade de um povo.
3. Medida do comprimento de um arco
de circunferência
Por toda parte – p. 223
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Arco gótico,
na Catedral da Sé, em São Paulo (SP); arco abatido,
presente na Ponte da Cadeia, em São João del-Rei
(MG), entre outros.
Atividades – p. 224
1. Resolvendo a equação:
D = (_16)
2
_ 4 ? 1 ? (_720) = 256 + 2 880 =
= 3 136
x =
()16 3136
21
__ ±
?
=
16 56
2
±
x = 36 ou x = _20
Como x . 0, x = 36.
EDITORIA DE ARTE
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339
Daí:
AB
C O D
r
EF45cm25cm25cm
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo ODB, temos:
r
2
=
()45
2
+ ()25
2
= 80 + 20
r =
100
r = 10
Alternativa b.
5. Sabendo que todo triângulo inscrito em uma
circunferência é retângulo e possui um dos lados como
diâmetro dessa circunferência, temos:
P
bc
10
4,8
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
10
2
= c
2
+ b
2
c
2
+ b
2
= 100
Utilizando também a 3
a
relação métrica no triângulo
retângulo: bc = ah.
bc = 10 ? 4,8 = 48
Para descobrir o valor de b + c, elevamos essa soma
ao quadrado.
(b + c)
2
= b
2
+ 2bc + c
2
Como calculado anteriormente, c
2
+ b
2
= 100 e
bc = 48. Então:
(b + c)
2
= 100 + 2 ? 48
b + c =
196
b + c = 14
Alternativa a.
6. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
BD
2
= CB
2
+ CD
2
= 12
2
+ 16
2
= 144 + 256
BD =
400= 20
AD
2
= BA
2
+ BD
2
= 15
2
+ 20
2
= 225 + 400
AD =
625= 25
Alternativa a.
7. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
AC
2
= 2
2
+ 8
2
= 4 + 64
AC =
68
Logo: AC = 2
17 cm
Assim: AC 1 2 ? 4,123 ? 100 km 1 824,6 km
CB
2
= 3
2
+ 3
2
= 9 + 9
CB =
18
Logo: CB = 3
2 cm
Assim: CB 1 3 ? 1,414 ? 100 km 1 424,2 km
Portanto, a distância percorrida pelo avião é:
824,6 km + 424,2 km = 1 248,80 km.
Alternativa e.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
8. Do enunciado, temos:
3 cmrr
PB A
C
9 cm
Assim, pela relação entre segmento secante e
segmento tangente:
9
2
= 3 ? (3 + 2r)
81 = 9 + 6r
r = 12
Logo, o comprimento do raio é 12 cm.
9. Na figura descrita no enunciado, podemos indicar os
pontos C e D, determinando a corda CD.
2
B
M
A
4
5
O
6
D
C
Da relação entre cordas, temos:
MA ? MB = MC ? MD
5 ? MB = 2 ? 10
Assim: MB = 4 cm
Retomando o que aprendeu – p. 228
1. Para determinar o valor de x e de y, vamos aplicar o
teorema de Pitágoras.
Valor de x:
x
2
= 4
2
+ 4
2
x =
32
x = 4
2
Valor de y:
y
2
= 4
2
+ 9
2
y =
97
Alternativa a.
2. Temos que:
7
2
= h
2
+ x
2
h
2
+ x
2
= 49 I
y
2
= h
2
+ 6
2
y
2
_ h
2
= 36 II
Adicionando I e II: x
2
+ y
2
= 85
Alternativa d.
3. Seja x o comprimento da escada:
x
2
= 90
2
+ (5 ? 24)
2
= 8 100 + 14 400
x =
25500
x = 150
A medida do comprimento total do corrimão, em
centímetro, é: 30 + 150 + 30 = 210
Transformando a medida em metro: 210 cm = 2,1 m
Alternativa d.
4. Seja x a medida do lado do quadrado, temos:
x =
165
4
= 4
5
4. a) Utilizando a relação entre cordas, temos:
3x ? (x + 1) = x ? (4x _ 1)
3x
2
+ 3x = 4x
2
_ x = x
2
_ 4x = 0
x(x _ 4) = 0
x = 0 ou x = 4
Como x não pode ser zero, x = 4.
b) Corda AB:
AB = 3x + x + 1 = 4x + 1
AB = 4 ? 4 + 1 = 17
Corda CD:
CD = x + 4x _ 1 = 5x _ 1
CD =5 ? 4 _ 1 = 19
5. Do enunciado, temos:
8 cm6 cm6 cm
PB A
x
Assim:
x
2
= 8 ? (8 + 12) = 8 ? 20
x = 4
10
Portanto, a medida do segmento tangente é 4
10 cm.
6. Do enunciado:
x + 2x = 12
x = 4
Assim:
A
D
B
C
y
x = 4 cm
2x = 8 cm
18 _ y
Portanto:
y ? (18 _ y) = 4 ? 8
18y _ y
2
= 32
y
2
_ 18y + 32 = 0
Resolvendo a equação:
D = (_18)
2
_ 4 ? 1 ? 32 = 324 _ 128 = 196
y =
()18 196
21
__ ±
?
=
1814
2
±
y = 16 ou y = 2
Logo, os segmentos sobre a corda AB são: 16 cm e
2 cm.
7. a) Do enunciado, temos:
6 cm12 cm
8 cm
12 cm
P
B
A
B
x
6 ? (24 + 6) = x ? (x + 8)
6 ? 30 = x
2
+ 8x
x
2
+ 8x _ 180 = 0
Resolvendo a equação:
D = 8
2
_ 4 ? 1 ? (_180) = 64 + 720 = 784
x =
()8 784
2 1
_±
?
=
8 28
2
_±
x = 10 ou x = _18
Como x não pode ser negativo, x = 10.
Assim: PB = 10 + 8 = 18 cm.
b) 10 cm
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340
x ? t =
2
5
? x ? 20
2 h t = 82
Logo, a medida do lado do polígono I é 8
2 cm.
5. Seja r a medida do raio do polígono de maior
perímetro. Temos, pela proporcionalidade:
28,28
r
=
28
3,52
h r = 3,535
2
Seja a a medida do apótema do polígono de maior
perímetro. Temos, pela proporcionalidade:
28,28
a
=
28
3,5
h a = 3,535
Pense e responda – p. 238
Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Passo a passo:
Quantidade (n) de lados do polígono: 6
Medida (l) dos lados do polígono: 4 cm
I. Determine a medida do ângulo externo do polígono:
°
a
360
n
e
= .
II. Construa uma reta suporte ao primeiro lado do
polígono.
III. Marque, sobre a reta suporte, o segmento de reta de
comprimento l.
IV. Construa o ângulo externo, de medida a
e
, em uma das
extremidades do segmento anterior.
V. Marque o segmento de medida l na semirreta
correspondente a um dos lados do ângulo a
e
, que não
está contida na reta suporte.
VI. Repita os passos IV e V até fechar a linha poligonal.
VII. Pinte o interior da figura obtida.
Construção:
°
a
360
n
e
=
°
°a
360
6
60
e
==
4 cm
60°
60°
60°
60°
60°
Atividades – p. 239
1. A medida do raio da circunferência é 40 cm.
a) Como a medida do lado de um quadrado inscrito
em uma circunferência é dada por l = r
2, temos:
l = 40
2 cm.
b) Como a medida do lado de um hexágono regular
inscrito em uma circunferência é dada por l = r, temos:
l = 40 cm.
c) Como a medida do lado de um triângulo equilátero
inscrito em uma circunferência é dada por l = r
3,
temos:
l = 40
3 cm.
2. • Medida do lado do quadrado inscrito em uma
circunferência: l = r
2.
l = 50
2 = 50 ? 1,4 h l = 70
• Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência: l = r
3.
l = 50
3 = 50 ? 1,7 h l = 85
Quadrado: 70 cm; triângulo equilátero: 85 cm.
1. Polígono regular
Pense e responda – p. 232
1. O triângulo equilátero é um polígono de três lados de
mesma medida, e cada um dos três ângulos internos
mede 60°. O quadrado é um polígono de quatro lados
de mesma medida e quatro ângulos internos de 90°.
2. Um polígono regular é aquele que tem todos os lados
com a mesma medida e todos os ângulos internos
congruentes entre si. O triângulo equilátero e o
quadrado são polígonos regulares.
3. Como a soma das medidas dos ângulos externos de
qualquer polígono convexo é 360° e um polígono
regular tem todos os ângulos externos de mesma
medida, a medida a
e
, de cada ângulo externo de um
polígono regular de n lados é dada por: a
e
=
°360
n
.
Então, a medida do ângulo externo de um triângulo
equilátero é 120°, e de um quadrado é 90°.
Atividades – p. 235
1. a) • a
c
=
°360
n
=
°360
3
= 120°
• a
i
=
() °n  2  180
n
_?
=
() °3  2  180
3
_?
=
=
°1  180
3
?
=
°180
3
= 60°
a
c
= 120° e a
i
= 60°.
b) • a
c
=
°360
n
=
°360
4
= 90°
• a
i
=
() °n  2  180
n
_?
=
() °4  2  180
4
_?
=
=
°2  180
4
?
=
°360
4
= 90°
a
c
= 90° e a
i
= 90°.
c) • a
c
=
°360
n
=
°360
6
= 60°
• a
i
=
() °n  2  180
n
_?
=
() °6  2  180
6
_?
=
=
°4 180
6
?
=
°720
6
= 120°
a
c
= 60° e a
i
= 120°.
d) • a
c
=
°360
n
=
°360
8
= 45°
• a
i
=
() °n  2  180
n
_?
=
() °8  2  180
8
_?
=
=
°6  180
8
?
=
°1080
8
= 135°
a
c
= 45° e a
i
= 135°.
2. Seja x a medida do raio desconhecido. Pela 1
a

propriedade de um polígono regular inscrito, temos:
x
60
=
25
150
h 150x = 1 500 h x = 10
Logo, o raio mede 10 cm.
3. Seja x a medida do apótema desconhecido. Pela 3
a

propriedade de um polígono regular inscrito, temos:
48
43
=
60
x
h 48x = 60 ? 4
3 h x = 53
Logo, o apótema mede 5
3 cm.
4. Seja x o número de lados dos polígonos e t a medida
do lado do polígono I. Os perímetros são:
P
1
= x ? t
P
2
= x ? 20
2
Do enunciado, temos que
P
P
1
2
=
2
5
. Então:
P
1
=
2
5
P
2

8. Temos que:
360
30
2r
d
°
°
=
p
d =
?p30  2r
360
=
30  2  3  5
360
???
d = 2,5
Alternativa a.
9. Temos que:
°
°
=
p360
120
2r
D
D =
?p120  2r
360
=
120 2  3 360
360
???
= 720
Portanto, a pessoa percorre 720 m.
Alternativa d.
Um novo olhar – p. 229
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
A partir de quatro triângulos retângulos, de catetos
medindo a e b e hipotenusa medindo c, vamos montar
um quadrado.
a b
b
b
b
c
c
c
c
a
a
a
ca
b
a _ b
Note que os lados desse quadrado são as hipotenusas
de medida c dos triângulos e que a figura possui em seu
interior um quadrado (vazado) de lado medindo a _ b.
Da figura, temos que:
• a área do quadrado maior é dada por c
2
.
• a área do quadrado menor é dada por (a _ b)
2
.
• a área dos quatro triângulos retângulos juntos é
4 ?
ab
2
?
= 2ab.
Como a área do quadrado maior é composta da soma
das áreas de todas as figuras que o compõe, temos:
c
2
= 2ab + (a _ b)
2
= 2ab + a
2
_ 2ab + b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Essa demonstração difere da demonstração exposta nesta
Unidade porque parte de quatro triângulos retângulos
iguais, e não da semelhança de triângulos.
• Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois
ângulos congruentes, então eles são semelhantes.
• Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
x =
2128
22
+
x = 35
A distância é 35 m.
• Centro, corda, raio, diâmetro e arco.
Unidade 8 • Figuras planas, figuras
espaciais e vistas
Abertura de Unidade – p. 230
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes considerem
a importância da impressora 3D para os avanços
tecnológicos conquistados em diversas áreas. Por exemplo,
na área da saúde foi possível obter próteses, por meio da
impressão 3D, com mais rapidez e precisão em relação às
obtidas por métodos tradicionais de produção.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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341
do lado do quadrado (140 cm); em seguida, calculou
o lado do triângulo (170 cm) e, por fim, calculou
a razão entre as medidas dos lados, obtendo o
resultado 0,8235, que é o mesmo que 82,35%.
9. Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência:
l = r
3
l = 40
3 cm
Do enunciado, temos que a área de um triângulo
equilátero é dada pela expressão
3
4
2
l?
.
Então: A =
()403 3
4
2
?
cm
2
=
16003 1,73
4
??
cm
2
A = 2 076 cm
2
10. O comprimento de uma circunferência é dado por:
C = 2 ? p ? r.
Do enunciado, temos que o comprimento da
circunferência é 50,24 cm. Então:
50,24 = 2 ? 3,14 ? r
r = 8
a) A medida do lado do triângulo equilátero inscrito
em uma circunferência é dada por: l = r
3.
Assim:
l = 8
3 = 8 ? 1,7 = 13,6
P = 13,6 ? 3 = 40,8
Portanto, a medida do lado é 13,6 cm e o perímetro
do triângulo equilátero é 40,8 cm.
b) A medida do apótema do hexágono regular inscrito
em uma circunferência é dada por: a =
r3
2
.
Assim:
a =
83
2
= 4 ? 1,7 = 6,8
Como no hexágono regular l = r:
P = 8 ? 6 = 48
Portanto, a medida do apótema é 6,8 cm e o
perímetro do hexágono regular é 48 cm.
Logo: y = 21,625 cm
Assim: x + y = (25 + 21,625) = 46,625 cm
6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
a) Qual é a medida do raio da circunferência?
A medida do lado do quadrado inscrito em uma
circunferência é dada por: l = r
2.
Então: 40
2 = r2 h r = 40
Logo, o raio da circunferência mede 40 cm.
b) Qual é a medida do apótema do quadrado?
A medida do apótema do quadrado inscrito em uma
circunferência é dado por: a =
r2
2
.
Então: a =
402
2
h a = 20
2
Logo, o apótema do quadrado mede 20
2 cm.
7. a) A medida do lado um hexágono regular inscrito é
igual à medida do raio: med()AB = 3 cm.
b) A medida do lado do quadrado inscrito em uma
circunferência é dada por: l = r
2.
med()BC = 3
2 = 3 ? 1,4 = 4,2
Então: med()BC = 4,2 cm
c) med()AB + med()BC = 3 cm + 4,2 cm = 7,2 cm
8. a) • Medida do lado do quadrado (em centímetro):
l = 100
2 = 100 ? 1,4 = 140
• Medida do lado do triângulo equilátero (em
centímetro):
l = 100
3 = 100 ? 1,7 = 170
Assim:
140
170
1 0,8235
Logo, a medida do lado do quadrado representa,
aproximadamente, 82,35% da medida do lado do
triângulo.
b) Respostas pessoais. Exemplo de resposta: O
estudante pode dizer que primeiro calculou a medida
3. Medida do lado do triângulo equilátero inscrito em
uma circunferência: l = r
3.
l = 25
3 = 25 ? 1,73 h l = 43,25
Portanto, o lado do triângulo mede 43,25 cm.
4. a) O ângulo R
ˆ
OS é ângulo central do triângulo e sua
medida é dada por:
°360
n
.
Então: (med) R
ˆ
OS =
°360
3
= 120°.
b) RS é lado do triângulo equilátero e sua medida é
dada por: r
3.
Então: RS = 9
3 cm
c) med()OM corresponde à metade da medida do
raio. Então:
med()OM =
r
2
=
9
2
= 4,5
Então: med()OM = 4,5 cm
d) SM corresponde à soma da medida do raio com a
medida de OM. Então:
med()SM = 9 + 4,5 = 13,5
Então: med()SM = 13,5 cm
5. O comprimento de uma circunferência é dado por:
C = 2 ? p ? r.
Do enunciado, temos que o comprimento da
circunferência é 157 cm. Então:
157 cm = 2 ? 3,14 ? r
r = 25 cm
Como em um hexágono regular inscrito a medida do
lado é igual à medida do raio: x = 25 cm.
A medida do apótema do hexágono regular é dada por:
y =
r3
2
. Então:
y =
253
2
=
25 1,73
2
?
= 21,625
Tecnologias – p. 240
1. Resposta pessoal. Para a construção do polígono, o estudante pode seguir o passo a passo apresentado no Livro do estudante, alterando apenas a quantidade n de lados, a medida
l do lado e a medida dos ângulos internos de acordo com o polígono escolhido.
2.
Sim
Início: Escolha a quantidade de lados e
a medida do lado do polígono que será
representado.
Não
Selecione a ferramenta Reta e clique em
dois pontos na janela de visualização para
construir a reta suporte
−
AB.
Selecione a ferramenta Reta e, em
seguida, a opção Segmento com
Comprimento Fixo para definir a
medida do lado do polígono.
Selecione a ferramenta Interseção de
Dois Objetos para marcar o ponto E
correspondente à intersecção da reta
AB e a circunferência construída
anteriormente.
Selecione a ferramenta Compasso, clique
no segmento CD, depois, no ponto A para
representar a circunferência de centro A
e raio igual ao comprimento do lado do
polígono.
Clique na parte superior da janela
de visualização, digite, no boxe, o
Comprimento do lado e clique em OK.
Calcule a medida do ângulo interno do
polígono.
Selecione a ferramenta Ângulo com
Amplitude Fixa e clique nos pontos
E e A, nessa ordem. Em seguida, digite
a medida do ângulo interno no boxe
Ângulo, selecione a
opção sentido anti-horário e clique
em OK.
Selecione novamente a ferramenta
Ângulo com Amplitude Fixa, clique
nos pontos A e E‘, nessa ordem, digite
novamente a medida do ângulo interno no
boxe Ângulo, selecione a opção sentido
anti-horário e clique em OK.
Fim: Selecione a ferramenta
Segmento para ligar os pontos
representados e obter os lados do
polígono regular.
Clique com o botão direito do mouse em
cada indicação de ângulo para ocultá-la.
Polígono fechado?
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342
Para determinar a área da superfície da sala que não ficará coberta pelo tapete,
subtraímos a área do tapete da área da sala. Então:
(4,5 ? 8) _ (p ? 1
2
) = 36 _ 3,14 = 32,86
Assim, a área da superfície da sala que não ficará coberta pelo tapete é 32,86 m
2
.
9. A área do canteiro pode ser calculada adicionando-se a área do quadrado à área do
semicírculo. Assim:
A = 10 ? 10 +
3,14 5
2
2
?
= 100 + 39,25 = 139,25
Então: A = 139,25 m
2
Do enunciado, temos que a área da lona é 170 m
2
. Como 170 m
2
. 139,25 m
2
,
podemos afirmar que a área da lona é suficiente para cobrir completamente o canteiro.
10. a) Do enunciado, temos que o raio da mancha de óleo é dado por: r =
t
5
.
Então: r =
4
5
m = 0,4 m
b) Como a mancha de óleo tem formato circular, temos:
A = p ? r
2
= 3,14 ? (0,4)
2
m
2
A = 0,5024 m
2
Por toda parte – p. 245
1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A imagem dos rostos, em estilo realista,
apresenta cores fortes e padrões geométricos que lembram polígonos.
2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O artista representa, em grande parte de suas
obras, triângulos e quadriláteros. Nem todos os polígonos representados parecem regulares.
3. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam um relato de possíveis
ocorrências de obras de grafitagem no município em que vivem e analisem as
características dessas obras. É importante esclarecer aos estudantes que a grafitagem
é uma expressão de arte permitida e que deve ser valorizada, ao contrário de
pichações, que são atos de vandalismo.
Tratamento da informação – p. 246
1. Como os produtos formulados com base em microrganismos representam 62,1% dos
480 produtos, temos:
62,1
100
? 480 1 298
Ou seja, dos 480 produtos registrados, aproximadamente 298 são formulados com
base em microrganismos.
2. O produto menos registrado foi do tipo semioquímicos, que corresponde a 10,2% dos
480 produtos registrados.
10,2
100
? 480 1 49
Dos 480 produtos registrados, aproximadamente 49 são semioquímicos.
3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Os produtos biológicos são produtos agrícolas desenvolvidos a partir de um
ingrediente ativo com origem natural. Esses produtos eliminam doenças ou pragas
que estejam prejudicando a lavoura e não agridem o meio ambiente.
Já os agrotóxicos, apesar de eficazes em combater pragas e doenças nas lavouras, são
produtos tóxicos, e seu uso requer diversos cuidados, pois oferecem risco às pessoas
e ao meio ambiente.
Elaborado com base em: SILVA, Rafaela. Defensivos biológicos: saiba tudo sobre
os produtos. AgriQ Receituário Agronômico. Santa Genoveva, 28 ago. 2022.
Disponível em: https://agriq.com.br/defensivos-biologicos/#:~:text=Os%20
defensivos%20biol%C3%B3gicos%20(ou%20biodefensivos,sem%20agredir%20
o%20meio%20ambiente. Acesso em: 5 set. 2022.
4. Produtos biológicos registrados
Produto biológico
Quantidade de
produtos
Percentual corres-
pondente
Medida do ângulo
central de cada
setor do gráfico
Microrganismos 298,08 1 298 62,1% 223,56° 1 223°
Macro-organismos 74,4 1 74 15,5% 55,8° 1 56°
Semioquímicos 48,96 1 49 10,2% 36,72° 1 37°
Bioquímicos 58,56 1 59 12,2% 43,92° 1 44°
Total 480 100% 360°
Elaborada com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Produtos
biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021. Disponível em: https://croplifebrasil.org/
noticias/sustentabilidade-marcou-as-discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/.
Acesso em: 10 jun. 2022.
Atividades – p. 243
1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Ligando o centro do polígono a cada um
de seus vértices, obtêm-se oito triângulos congruentes. Sabendo que a área de um
triângulo é dada pelo produto da medida da base pela medida da altura dividido por
dois, temos:
a
2
l?
.
Logo, a área do octógono é: 8 ?
a
2
l?
ou
8
2
l
? a.
a
l
2. a) semiperímetro =
80 6
2
?
= 240
Portanto, o semiperímetro é 240 cm.
b) a =
3
2
l
=
803
2
a = 40
3 1 69,2
Logo, a medida do apótema é aproximadamente 69,2 cm.
c) área do polígono = semiperímetro ? apótema
A = 240 ? 40
3 = 240 ? 40 ? 1,73
Portanto: A = 16 608 cm
2
3. a) A medida do lado do hexágono é igual à medida do raio da circunferência.
Portanto, o lado do hexágono mede 18 cm.
b) A medida do semiperímetro é igual à metade da medida do perímetro. Então:
semiperímetro =
18  6
2
?
cm = 54 cm
c) A medida do apótema do hexágono regular é dada por: a =
r3
2
.
a =
183
2
cm
a = 9
3 cm
d) área do polígono = medida do semiperímetro ? medida do apótema
A = 54 ? 9
3 cm
2
A = 486
3 cm
2
4. A área do círculo é dada por: A = pr
2
.
A = 3,14 ? 40
2
= 5 024
Assim, a área do disco é 5 024 cm
2
.
5. Seja x a área do setor circular destacado na figura. Pela proporcionalidade, temos:
°
°
360
45
8
x
2
=
p
x =
°
°
45  3,14  8
360
2
??
= 25,12
Assim, a área do setor destacado é 25,12 cm
2
.
6. O lado do quadrado mede
48
4
cm = 12 cm.
Logo, o raio do círculo mede
12
2
cm = 6 cm.
A = p ? r
2
= 3,14 ? 6
2
= 113,04
Assim, a área do círculo é 113,04 cm
2
.
7. O ângulo central do setor amarelo é: 360° _ 60° = 300°.
Seja x a área do setor amarelo. Pela proporcionalidade, temos:
°
°
360
300
6
x
2
=
p
x =
°
°
300  3,14  6
360
2
??
= 94,2
Assim, a área do setor amarelo é 94,2 cm
2
.
8. Diâmetro do tapete =
1
4
? 8 m = 2 m
EDITORIA DE ARTE
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343
Então:
d
AB
=
() ()xx yy
BA
2
BA
2
_+ _
d
AB
=
() ()10010 5010
22
_+ _ = 9700
d
AB
1 98,5
Logo, Aline precisa percorrer aproximadamente 98,5 m para visitar Bruno.
Do enunciado, temos que Cecília mora exatamente no meio do caminho entre
as casas de Aline e de Bruno. Assim, na representação do plano cartesiano, as
coordenadas são:
C






10010
2
,
5010
2
++
, ou seja, C(55, 30).
3. Figuras espaciais
Atividades – p. 253
1. Afirmação falsa, pois, se o segmento estiver sobre uma reta que é perpendicular ao
plano, a projeção ortogonal do segmento será apenas um ponto.
2. Alternativa c.
E
A
D
B
M
C
E
A
D
B
M
C
E
A
D
B
M
C
E
A
D
B
M
C
3. Amarelo: vista frontal; verde: vista lateral; laranja: vista superior.
Atividades – p. 255
1. Um prisma triangular reto e um prisma pentagonal reto. O volume do primeiro é
dado pela área do triângulo da base multiplicada pela medida da altura do prisma. O
volume do segundo é dado pelo produto da área do pentágono regular da base pela
altura do prisma.
2. a) Essa peça lembra a forma de um prisma reto triangular.
b) O volume é dado pelo produto da área do triângulo da base pela medida da altura
do prisma.
Área do triângulo da base =
18 9
2
?
= 81
Volume do prisma:
V = 81 ? 10 = 810
O volume ocupado pela peça é 810 m
3
.
3. a) O porta-lápis lembrará um cilindro.
b) Para determinar o volume da peça precisamos obter primeiro a medida do raio da
base.
C = 2 ? p ? r
30 = 2 ? 3 ? r
r = 5
O volume é dado pelo produto da área da base pela medida da altura.
V
cilindro
= pr
2
? h = 3 ? 5
2
? 15
V
cilindro
= 1 125
O volume da peça é 1 125 m
3
.
5.
2. Representações no plano cartesiano
Atividades – p. 249
1. a) A = (_3, 4), B = (_5, 2) e C = (_1, 2).
b) D = (_4, 3) e E = (_2, 3).
Comprovando que D e E são pontos médios:
• D =



3  5
2
__
,



4  2
2
+
= (_4, 3)
• E =



3  1
2
__
,



4 2
2
+
= (_2, 3)
c) Seja AD a diagonal de um quadrado de lado medindo 1, cuja medida é
2.
Assim:
med()AD = med()AE =
2
med()DE = 2
Logo, o perímetro P do triângulo ADE é:
P = 2 + 2
2 (u.c.)
d) O triângulo ADE é isósceles, e sua área é:
A =
21
2
?
= 1 (u.a.)
2. A medida BC é o dobro da medida MB.
A distância MB é:
d
MB
=
() ()xx yy
MB
2
MB
2
_+ _
d
MB
=
() ()0,52 32
22
__ +_ +
d
MB
=
6,251+
d
MB
=
7,25
med()BC = 2 ? d
MB
= 2 ?
7,25 = 47,25?
med()BC =
29 (u.c.)
3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Aline, Cecília e Bruno moram na mesma rua. A figura a seguir mostra o trecho da
rua entre a casa de Aline (A) e a casa de Bruno (B) representado no plano cartesiano
(escala em metro). Escreva as coordenadas da casa de cada um e calcule a distância
que Aline precisa percorrer para visitar Bruno. Depois, determine as coordenadas da
casa de Cecília (C) no plano cartesiano, sabendo que ela mora exatamente no meio
do caminho entre as casas de Aline e de Bruno.
B
60
50
40
30
20
10
102030405060708090100
0
A
Casa de Aline: A(10, 10)
Casa de Bruno: B(100, 50)
A distância entre a casa de Aline e de Bruno é dada por:
d
AB
=
() ()xx yy
BA
2
BA
2
_+ _
Microrganismos
Macro-organismos
Semioquímicos
Bioquímicos
62,1%
15,5%
10,2%
12,2%
Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e
Abastecimento. Produtos biológicos registrados. Brasília, DF: MAPA, 2021.
Disponível em: https://croplifebrasil.org/noticias/sustentabilidade-marcou-as-
discussoes-sobre-producao-de-alimentos-em-2021/. Acesso em: 10 jun. 2022.
Produtos biológicos registrados
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344
mais
1
4
de círculo. Então:
A = 2 ? 2 ? 2 +
3,14  2
4
2
?
A = 8 + 3,14 = 11,14
A área da figura é 11,14 cm
2
.
Alternativa c.
8. Seja x a área de um setor amarelo. Pela
proporcionalidade, temos:
°
°
360
30
30
x
2
=
p()
x =
30  3,14  30
360
2
°
°
??
= 235,5
Então: x = 235,5 m
2
Logo, a área ocupada pelos jardins é:
4 ? 235,5 m
2
= 942 m
2
.
Alternativa d.
9. Seja a medida de BC igual a x. Pelo teorema de
Pitágoras, temos:
x
2
= 6
2
+ 8
2
= 36 + 64
x =
100
x = 10
A área da região colorida de roxo é a área do triângulo
ABC mais a área do semicírculo:
A =
6 8
2
?
+
3,14 5
2
2
?
A = 24 + 39,25
A = 63,25
Assim, a área da região é 63,25 cm
2
.
Alternativa b.
10. a) C(_1, 0) e D(1, 0).
B(1, 2)A(_1, 2)
C(_1, 0) D(1, 0)
1
_2_1 2
x
y
1
0
_1
3
4
2
b) M



1  1
2
_+
,



2  2
2
+
, ou seja: M(0, 2)
B(1, 2)
M(0, 2)
A(_1, 2)
C(_1, 0) D(1, 0)
1
_2_1 2
x
y
1
0
_1
3
4
2
c) N



1 1
2
+
,



2  0
2
+
, ou seja: N(1, 1)
O



1 1
2
_+
,



0  0
2
+
, ou seja: O(0, 0)
P



1  1
2
__
,



2  0
2
+
, ou seja: P(−1, 1)
a
i
= 108°
3 cm
108° 108°
108° 108°
108°
2. A medida do lado do hexágono é igual à medida do
raio, portanto:
Lado do hexágono = r = 8 cm
A medida do apótema é dada por: a =
r3
2
Então:
a =
83
2
cm = 4 ? 1,7 cm = 6,8 cm
Alternativa a.
3. PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQO de
catetos de medida r (raios da circunferência). Então:
r
2 = 4
r = 2
2
A medida do lado do triângulo ABC é dada por:
l = r
3.
Assim:
l = 2
2 ? 3
l = 2
6
Portanto, o perímetro é: 3 ? 2
6 cm = 66 cm.
Alternativa b.
4. A medida do lado do triângulo equilátero inscrito é
dada por:
l = r
3.
Então: l = 10
3 cm
A = 3 ?
a
2
l?
= 3 ?
r
2
2
l?
A = 3 ?
10310
4
?
A = 75
3 = 75 ? 1,7 = 127,5
A área do triângulo é 127,5 cm
2
.
Alternativa d.
5. Nesse caso, a medida do diâmetro da circunferência
deve corresponder à medida da diagonal do quadrado.
D = l
2
40 = l
2
l = 20
2 = 20 ? 1,4 = 28
Portanto, o lado medirá 28 cm.
Alternativa c.
6. Do enunciado, temos:
0,5
x
= 0,5 + x.
Daí: 0,5 = 0,5x + x
2
x
2
+ 0,5x _ 0,5 = 0
D = 0,5
2
_ 4 ? 1 ? (_0,5) = 0,25 + 2 = 2,25
x =
0,5  2,25
2  1
_±
?
=
0,5  1,5
2
_±
x = 0,5 ou x = _1
Como x . 0, x = 0,5.
Assim, a área do círculo é: A = p ? (0,5)
2
A = 3,14 ? 0,25 = 0,785
Portanto, a área é 0,785 cm
2
.
Alternativa b.
7. A figura é composta de dois quadrados de lado 2 cm
4. Pode-se verificar que:
6 _ r
6 _ r
r
r
r
r
8 _ r
8 _ r
Assim:
6 _ r + 8 _ r = 10
2r = 6 + 8 _ 10
2r = 4
r = 2
Logo, o raio é 2 cm.
Alternativa b.
5. Semiperímetro da base:
6  8  10
2
++
= 12
Assim:
área da base = semiperímetro ? medida do apótema
A
base
= 12 ? 2 = 24
Então: volume sólido = volume do prisma _ volume
do cilindro
V
sólido
= 24 ? 10 _ 3,14 ? 2
2
? 10 h
h V
sólido
= 240 _ 125,6 = 114,4
Então, o volume da peça é 114,4 cm
3
.
Retomando o que aprendeu – p. 256
1. Respostas pessoais. Exemplo de resposta:
A descrição a seguir serve para a construção dos dois
polígonos.
Passo a passo:
I. Determine a medida do ângulo interno do polígono:
a
(n2)180°
n
i
=
_?
.
II. Construa um segmento horizontal de
comprimento l.
III. Construa o ângulo de medida a
i
em uma das
extremidades do segmento anterior.
IV. Trace um segmento de medida l correspondente ao
outro lado do ângulo ˆa
i
.
V. Repita os passos III e IV até fechar a linha
poligonal.
VI. Pinte o interior da figura obtida.
a) Construção do triângulo equilátero:
Quantidade (n) de lados do polígono: 3
Medida (l) dos lados do polígono: 6 cm
a
(n2)180°
n
i
=
_?
a
(32)180
3
i
=
_? °
a
i
= 60°
6 cm
60°
60°6 0°
b) Construção do pentágono:
Quantidade (n) de lados do polígono: 5
Medida (l) dos lados do polígono: 3 cm
a
(n2)180
n
i
°
=
_?
a
(52)180
5
i
°
=
_?
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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345
usuários de internet em relação à população do país
pesquisado e que façam o mesmo para o Brasil, a fim
de comparar os percentuais. Se julgar pertinente, nessa
comparação, pedir aos estudantes que informem se o
país pesquisado é desenvolvido, em desenvolvimento
ou pouco desenvolvido e se eles acham que isso faz
diferença.
Já no debate entre os estudantes, pode ser citada, como
solução para ampliar o acesso à internet, a necessidade
de aumento da qualidade do sinal e da velocidade de
conexão em banda larga e a instalação de antenas com
Wi-fi em áreas públicas de baixa conectividade.
Para mais informações, consultar:
• CONHEÇA os países mais conectados do mundo. BBC
News Brasil, São Paulo, 14 jul. 2019. Disponível em:
https://www.bbc.com/portuguese/geral-48877552.
Acesso em: 10 jun. 2022.
• EXCLUSÃO digital: o que fazer para ampliar o acesso
dos brasileiros à Internet? 2021. Vídeo (25min26s).
Publicado pelo canal TV Senado. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=bhpgRvcbORk.
Acesso em: 10 jun. 2022.
Atividades – p. 267
1. Para traçar o gráfico de cada item, é necessário
determinar pelo menos dois pontos (x, y), atribuindo
valores arbitrários para x e determinando os valores
correspondentes para y.
a)
1
2
1
0
y
x
b)
1
1
y
x
0
c)
12
1
3
y
x
0
2
x y == x ++ 1 (x, y)
0 y = 0 + 1 = 1 (0, 1)
1 y = 1 + 1 = 2 (1, 2)
x y == x (x, y)
0 y = 0 (0, 0)
1 y = 1 (1, 1)
x y == __x ++ 4 (x, y)
1 y = _1 + 4 = 3 (1, 3)
2 y = _2 + 4 = 2 (2, 2)
x =
20000
0,4
= 50 000
O menor valor de x deve ser 50 mil reais.
Educação financeira – p. 263
1. a) 1 ano tem 12 meses. Então, substituímos x por 12
na equação apresentada.
y = 50x = 50 ? 12 = 600
Assim, em 1 ano Ricardo terá economizado
R$ 600,00.
b) 9 anos têm 108 meses. Então, substituímos x por
108 na equação.
y = 50x = 50 ? 108 = 5 400
Em 9 anos, Ricardo terá R$ 5.400,00.
c) Diferença de R$ 7.215,18 _ R$ 5.400,00 =
= R$ 1.815,18, que corresponde a cerca de 33,6%
dos R$ 5.400,00 economizados.
2. Função afim
Atividades – p. 265
1. Para determinar a imagem de _2, substituímos x por
_2 na função.
y = 5x + 3 = 5 ? (_2) + 3 = _7
Logo, a imagem é _7.
2. Sabendo que a imagem é zero, substituímos y por 0 na
função.
y = _8x + 4
0 = _8 ? x + 4
x =
1
2
Logo, o número é
1
2
.
3. a) Lei de formação: y = 4x
A função está definida para valores reais positivos,
pois x é uma medida de comprimento.
b) Substituindo o x da função pelas medidas dadas no
enunciado, temos:
x y == 4x
5 cm y = 4 ? 5 = 20 cm
7,2 cm y = 4 ? 7,2 = 28,8 cm
11 cm y = 4 ? 11 = 44 cm
20,5 cm y = 4 ? 20,5 = 82 cm
10cm3 y = 4 ? 103 = 403 cm
c) Para x = 10
3, o y vale 403.
Logo, a imagem é 40
3.
d) Para y = 44, o x vale 11.
Logo, o número é 11.
e) Sim, pois a lei de formação é do tipo y = ax
(com a 5 0 e b = 0). As grandezas perímetro
e comprimento do lado de um quadrado são
grandezas diretamente proporcionais.
Fórum – p. 266
• Resposta pessoal. Orientar os estudantes a pesquisar
a quantidade de usuários de internet em outros países,
no ano de 2020, para que os números possam ser
comparados. Sugerir que calculem o percentual de
d) O lado do quadrilátero MNOP mede
2. Logo, o
perímetro é igual a 4
2 (u.c.).
A área é igual a
()2
2
, ou seja, 2 (u.a.).
11.
12. O volume é dado pelo produto da área da base pela
medida da altura. Então:
V = p ? r
2
? h = 3,1 ? 5
2
? 10
V = 775
Assim, o volume do cilindro é 775 cm
2
.
Um novo olhar – p. 257
• O termo refere-se às dimensões do espaço tridimensional
(largura, altura e profundidade).
• Não, pois apresenta superfície arredondada.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes façam o
esboço de um fio circular amarelo sem preenchimento
interior, já que o objeto aparenta ter o interior vazado.
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na confecção de
embalagens.
• Espera-se que os estudantes respondam: medida dos
lados, perímetro e área (entre outros).
• Exemplo de resposta: Para a construção de modelos de
peças em uma indústria.
Unidade 9 • Funções
Abertura de Unidade – p. 258
• Posição do corpo e tempo de deslocamento.
• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam
que as trajetórias dos movimentos são iguais.
1. Noções de função
Pense e responda – p. 260
a) Do enunciado, temos que x é a quantidade de
joelheiras. Então:
y = 30x h y = 30 ? 50 = 1 500
Logo, o professor vai pagar R$ 1.500,00.
b) Do enunciado, temos que y é o preço a pagar. Então:
y = 30x h 780 = 30x h x =
780
30
= 26
Logo, o professor poderá comprar 26 joelheiras.
Atividades – p. 262
1. Sendo 500 reais um valor fixo, x a quantidade de aulas
e y a quantia que o professor recebe por mês, a lei de
formação dessa função é: y = 500 + 45x.
2. a) y =
1
x
b) y = x
2
_ 4
c) y =
1
2
x + 5
3. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Carla
gastou, mensalmente, 5% de x por 12 meses.
Assim, a quantia g gasta é dada por:
g = 0,05x ? 12, ou seja, g = 0,6x. Como a quantia
poupada p é dada por p = x _ g, temos:
p = x _ 0,6x h p = 0,4x. Portanto, a quantia
poupada corresponde a 0,4x.
b) Do enunciado, temos que a quantia poupada deve
ser igual ao valor do curso de pós-graduação. Então:
0,4x = 20 000
Vista frontalVista superiorVista lateral
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346
x y == x __ 2 (x, y)
0 y = 0 _ 2 = _2 (0, _2)
2 y = 2 _ 2 = 0 (2, 0)
4 y = 4 _ 2 = 2 (4, 2)
2 _2_4 486
2
0
y
x
_2
_4
4
6
y = 6 _ x
y = x _ 2
A = (4, 2)
As coordenadas do ponto de intersecção são (4, 2).
Atividades – p. 268
1. Em cada item, calculamos o valor de x para que y seja
igual a zero.
a) y = x _ 6
0 = x _ 6
x = 6
b) y = _x _ 4
0 = _x _ 4
x = _4
c) y = _x + 10
0 = _x + 10
x = 10
d) y = 2x _ 3
0 = 2x _ 3
x =
3
2
e) y = 1 _ 5x
0 = 1 _ 5x
x =
1
5
f) y =
1
2
x + 3
0 =
1
2
x + 3
x = _6
2. Para cada item, podemos calcular o zero da
função e outro ponto qualquer para esboçarmos o
gráfico. Assim, atribuiremos valores arbitrários
para x e determinaremos os valores correspondentes
para y.
a)
1_3 _1_2
1
0
y
x
_1
_2
2
y = x + 1
x y == x ++ 1 (x, y)
_2 y = _2 + 1 = _1 (_2, _1)
0 y = 0 + 1 = 1 (0, 1)
3. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando
os valores correspondentes para y nas duas funções,
temos:
x y == x ++ 3 (x, y)
_2 y = _2 + 3 = 1 (_2, 1)
2 y = 2 + 3 = 5 (2, 5)
x y == x __ 2 (x, y)
_2 y = _2 _ 2 = _4 (_2, _4)
2 y = 2 _ 2 = 0 (2, 0)
2
_2_4_6 468
2
0
y
x
_2
_4_6
4
6
y = x + 3
y = x _ 2
Como a inclinação das retas é a mesma e elas não
apresentam pontos em comum, as retas são paralelas.
4. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando os
valores correspondentes para y, temos:
x y == 2x ++ 1 (x, y)
0 y = 2 ? 0 + 1 = 1 (0, 1)
1 y = 2 ? 1 + 1 = 3 (1, 3)
2 y = 2 ? 2 + 1 = 5 (2, 5)
3 y = 2 ? 3 + 1 = 7 (3, 7)
4 y = 2 ? 4 + 1 = 9 (4, 9)
5 y = 2 ? 5 + 1 = 11 (5, 11)
12 345
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y
x
0
5. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando
os valores correspondentes para y nas duas funções,
temos:
x y == 6 __ x (x, y)
0 y = 6 _ 0 = 6 (0, 6)
2 y = 6 _ 2 = 4 (2, 4)
4 y = 6 _ 4 = 2 (4, 2)
d)
12–1
–2
–3
0
y
x
e)
1
–4
0
y
x
f)
12
1
–1
3
y
x
0
2
2. Atribuindo valores arbitrários para x e determinando
os valores correspondentes para y nas duas funções,
temos:
x y == 3x __ 2 (x, y)
0 y = 3 ? 0 _ 2 = _2 (0, _2)
1 y = 3 ? 1 _ 2 = 1 (1, 1)
2 y = 3 ? 2 _ 2 = 0 (2, 4)
x y == 2x __ 1 (x, y)
0 y = 2 ? 0 _ 1 = _1 (0, _1)
1 y = 2 ? 1 _ 1 = 1 (1, 1)
2 y = 2 ? 2 _ 1 = 3 (2, 3)
1
_1_2 2345
1
0
y
x
_1
_2
2
34
A = (1, 1)
y = 2x _ 1
y = 3x _ 2
As coordenadas do ponto de intersecção são (1, 1).
x y == 1 __ 2x (x, y)
1 y = 1 _ 2 ? 1 = _1 (1, _1)
2 y = 1 _ 2 ? 2 = _3 (2, _3)
x y == __4x (x, y)
0 y = _4 ? 0 = 0 (0, 0)
1 y = _4 ? 1 = _4 (1, _4)
x y ==
1
2
x ++ 2 (x, y)
0 y =
1
2
? 0 + 2 = 2 (0, 2)
2 y =
1
2
? 2 + 2 = 3 (2, 3)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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347
b) Substituindo x por 1 na função, temos que a rendeira teve lucro de R$ 330,00.
c) Podemos concluir que a rendeira não teve lucro nem prejuízo no fim do 4
o
mês, pois
o gráfico intersecta o eixo x no quarto mês, ou seja, para x = 4, o valor de y é zero.
Tratamento da informação – p. 270
1. Somando a quantidade de pessoas ocupadas da tabela Quantidade de pessoas
ocupadas por categoria de emprego em novembro de 2020, obtemos
84 661 000 pessoas, ou seja, aproximadamente, 84,7 milhões de brasileiros.
2. Categoria militar e servidor estatutário. Dos 7 906 000 trabalhadores dessa categoria,
7% foram afastados do trabalho, o que corresponde a 553 420 trabalhadores.
3. Calculando o total de pessoas afastadas em cada categoria, a que teve maior
quantidade foi a categoria de empregado do setor privado com carteira assinada.
Dessa categoria, foram afastados 673 365 trabalhadores.
4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem a carência de estabilidade
profissional e a dificuldade de acesso a itens de proteção social ou a seguros de
vida e de saúde como possíveis causas para o desfavorecimento dos trabalhadores
informais durante a pandemia de covid-19.
3. Função quadrática
Atividades – p. 274
1. O volume é dado pelo produto entre as medidas do comprimento, da largura e da
altura do bloco retangular. Então:
y = (x + 1) ? x ? 1 = x
2
+ x
Assim, a sentença matemática que define essa função é y = x
2
+ x.
2. Podemos calcular a área da região laranja subtraindo a área cinza da área total do
quadrado. Então:
y = 5 ? 5 _ x ? (5 _ x) = 25 _ 5x + x
2
Logo, a lei que define a relação é y = x
2
_ 5x + 25.
3. Substituindo x por 10 na função y = x
2
_ 15x + 26, temos:
y = (10)
2
_ 15 ? 10 + 26 = _24
Assim, nessa função, a imagem de 10 é _24.
4. Substituindo x por
1
2
na função y = 6x
2
_ x _ 3, temos:
y = 6
1
2
2





 _
1
2
_ 3 = _2
Logo, pela função, a imagem de
1
2
é _2.
5. a) Substituindo x por 1 000 na função y =
xx1
2
+()
,
temos:
y =
10001000 1
2
+()
= 500 500
Logo, a soma dos 1 000 primeiros números inteiros positivos é 500 500.
b) Para obter o número cuja soma y seja 66, substituímos y por 66 na função e
determinamos o número x.
y =
xx1
2
+()
66 =
xx1
2
+()
x
2
+ x _ 132 = 0
D = 1
2
_ 4 ? 1 ? (_132) = 1 + 528 = 529
x =
1529
2 1
_±
?
=
123
2
_±
x = 11 ou x = _12
Como x . 0, o número é 11.
Como a reta cruza o eixo x no ponto (_1, 0), o zero da função é dado por x = _1.
b)
1 _1 2345
1
0
y
x
_1
_2
2
34
y = _x + 3
Como a reta cruza o eixo x no ponto (3, 0), o zero da função é dado por x = 3.
c)
1_1 23
1
0
y
x
_1
_2
2
34
y = 2 _ x
Como a reta cruza o eixo x no ponto (2, 0), o zero da função é dado por x = 2.
Por toda parte – p. 269
1. a) A lei de formação da função é: y = 50 + 275x.
b) Substituindo y por 3 350 na lei de formação, temos:
3 350 = 50 + 275x
x = 12
Logo, foram encomendados 12 vasos.
2. a) Montando o gráfico dos seis primeiros meses, temos:
x y == __110x ++ 440 (x, y)
1 y = _110 ? 1 + 440 = 330 (1, 330)
2 y = _110 ? 2 + 440 = 220 (2, 220)
3 y = _110 ? 3 + 440 = 110 (3, 110)
4 y = _110 ? 4 + 440 = 0 (4, 0)
5 y = _110 ? 5 + 440 = _110(5, _110)
6 y = _110 ? 6 + 440 = _220(6, _220)
y
400
300
200
100
0
_100
_200
_300
123456 x
y = _110x + 440
x y == __x ++ 3 (x, y)
0 y = _0 + 3 = 3 (0, 3)
2 y = _2 + 3 = 1 (2, 1)
x y == 2 __ x (x, y)
0 y = 2 _ 0 = 2 (0, 2)
2 y = 2 _ 2 = 0 (2, 0)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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348
6. a) Substituindo x por 100 na função y = x
2
, temos:
y = 100
2
y = 10 000
Logo, a soma dos 100 primeiros números ímpares positivos é 10 000.
b) Para obter o número cuja soma y seja 256, substituímos y por 256 na função e
determinamos o número x.
y = x
2
256 = x
2

x = ±16
Como x . 0, o número é 16.
c) Escrevendo as 16 parcelas, temos que a maior delas é 31.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
7. a) Substituindo t por 1 nas duas funções, temos:
f = 0,7t
f = 0,7
g = t _ 0,15t
2
g = 1 _ 0,15 ? 1
2
g = 0,85
b) Igualando as duas funções, temos:
0,7t = t _ 0,15t
2
0,3t _ 0,15t
2
= 0
0,15t(2 _ t) = 0
t = 0 ou t = 2
Como o enunciado pede que o valor seja positivo, o valor é 2. Portanto, a resposta
é sim, para t = 2.
c) Substituindo t por 4 nas duas funções, temos:
f = 0,7 ? 4 = 2,8
g = 4 _ 0,15 ? 4
2
= 4 _ 2,4 = 1,6
Para t = 4, temos que f = 2,8 e g = 1,6. Portanto, f assume o maior valor.
8. a)
Figura 12345678
Total de
quadrinhos
1491625364964
Quadrinhos roxos12345678
Quadrinhos azuis0261220304256
b) Observando o quadro do item a, podemos perceber que a figura n tem:
• n
2
quadrinhos no total.
• n quadrinhos roxos.
• n
2
_ n quadrinhos azuis.
c) y = n
2
_ n
Atividades – p. 276
1. Para determinar as coordenadas do vértice de uma parábola, devemos obter os
valores x
v
e y
v
, que são dados por:
• x
v
= _
b
2a
• y
v
= ax
v
2
+ bx
v
+ c
Então:
a) x
v
= _
6
2  1?
= _3
y
v
= 1 ? (_3)
2
+ 6 ? (_3) + 8 = _1
V(_3, _1)
b) x
v
= _
2
2  1
_
?
= 1
y
v
= 1 ? 1
2
_ 2 ? 1 _ 8 = _9
V(1, _9)
c) x
v
= _
8
2  1?_()
= 4
y
v
= _1 ? 4
2
+ 8 ? 4 _ 15 = 1
V(4, 1)
d) x
v
= _
6
2 4?_()
=
3
4
y
v
= _4 ?
3
4
2





 + 6 ?
3
4





 =
9
4
V
3
4
,
9
4






e) x
v
= _
6
2  1?
= _3
y
v
= 1 ? (_3)
2
+ 6 ? (_3) + 11 = 2
V(_3, 2)
f) x
v
= _
0
2  1?_()
= 0
y
v
= _1 ? (0)
2
+ 36 = 36
V(0, 36)
g) x
v
= _
7
2 1?_()
=
7
2
y
v
= _1 ?
7
2
2





 + 7 ?
7
2





 _ 10 =
9
4
V
7
2


,
9
4



h) x
v
= _
10
2  1
_
?
= 5
y
v
= 1 ? 5
2
_ 10 ? 5 + 24 = _1
V(5, _1)
i) x
v
= _
4
2  2
_
?
= 1
y
v
= 2 ? (1)
2
_ 4 ? 1 _ 1 = _3
V(1, _3)
j) x
v
= _
2
2 4
_
?_()
= _
1
4
y
v
= _4 ?
1
4
2
_





 _ 2 ?
1
4
_





 =
1
4
V
1
4
_


,
1
4



2. a) A coordenada x
v
é dada por: x
v
= _
b
2a
.
Então:
x
v
= _
20
2 2?_()
= 5
Depois de 5 dias.
b) Do enunciado, temos a função:
_2x
2
+ 20x + 150 = 0.
Então:
D = 20
2
_ 4 ? (_2) ? 150 = 400 + 1 200 = 1 600
x =
201600
2 2
_±
?_)(
=
2040
4
_±
_
x = _5 ou x = 15
Depois de 15 dias.
Atividades – p. 278
1. Para verificar se o gráfico da função intersecta ou não o eixo x, precisamos resolver as
equações.
a) x
2
_ 2x _ 24 = 0
D = (_2)
2
_ 4 ? 1 ? (_24) = 100
x =
2 100
2  1
__ ±
?
()
=
210
2
±
x = 6 ou x = _4
Intersecta o eixo x nos pontos (6, 0) e (_4, 0).
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349
b) x
2
_ 6x + 9 = 0
D = (_6)
2
_ 4 ? 1 ? 9 = 36 _ 36 = 0
x =
60
2 1
__ ±
?
()
=
6
2
x = 3
Intersecta o eixo x apenas no ponto (3, 0).
c) _x
2
+ 9x _ 14 = 0
D = 9
2
_ 4 ? (_1) ? (_14) = 81 _ 56 = 25
x =
9  25
2  1
_±
?_()
=
9  5
2
_±
_
x = 2 ou x = 7
Intersecta o eixo x nos pontos (2, 0) e (7, 0).
d) x
2
_ 7x + 13 = 0
D = (_7)
2
_ 4 ? 1 ? 13 = 49 _ 52 = _3
Não intersecta o eixo x.
2. Para determinar os zeros das funções, precisamos resolver as equações.
a) x
2
_ 25 = 0
D = 0
2
_ 4 ? 1 ? (_25) = 100
x =
0 100
2  1
_±
?
()
x = 5 ou x = _5
Os zeros da função são _5 e 5.
b) _x
2
+ 6x = 0
D = 6
2
_ 4 ? (_1) ? 0 = 36
x =
636
2  1
_±
?_()
=
66
2
_±
_

x = 0 ou x = 6
Os zeros da função são 0 e 6.
c) _x
2
+ x + 6 = 0
D = 1
2
_ 4 ? (_1) ? 6 = 1 + 24 = 25
x =
1 25
2  1
_±
?_()
=
15
2
_±
_
x = _2 ou x = 3
Os zeros da função são _2 e 3.
d) 9x
2
_ 1 = 0
D = 0
2
_ 4 ? 9 ? (_1) = 36
x =
03 6
2  9
_±
?
()
x =
1
3
ou x = _
1
3
Os zeros da função são _
1
3
e
1
3
.
e) _4x
2
+ 4x _ 1 = 0
D = 4
2
_ 4 ? (_4) ? (_1) = 0
x =
40
2  4
_±
?_()
x =
1
2
O zero da função é
1
2
.
f) 6x
2
+ 6x = 0
D = 6
2
_ 4 ? 6 ? 0 = 36
x =
636
2  6
±
?
−
=
66
12
_±
x = 0 ou x = _1
Os zeros da função são 0 e _1.
3. Para determinar as coordenadas dos pontos em que o gráfico cruza o eixo x,
precisamos resolver as equações.
a) x
2
_ 16 = 0
x
2
= 16
x = _4 ou x = 4
O gráfico cruza o eixo x nos pontos (_4, 0) e (4, 0).
b) _x
2
+ 12x _ 36
D = 12
2
_ 4 ? (_1) ? (_36) = 144 _ 144 = 0
x =
12  0
2  1
_±
?_()
x = 6
O gráfico cruza o eixo x no ponto (6, 0).
c) 3x
2
_ 21x = 0
3x(x _ 7) = 0
x = 0 ou x = 7
O gráfico cruza o eixo x nos pontos (0, 0) e (7, 0).
Atividades – p. 281
1. Para verificar se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo,
analisamos se o valor de a na equação é maior ou menor do que zero.
a) a = 1 (a . 0); concavidade para cima.
b) a = 3 (a . 0); concavidade para cima.
c) a = _1 (a , 0); concavidade para baixo.
d) a = _6 (a , 0); concavidade para baixo.
2. a) Como a concavidade da parábola é voltada para cima, a . 0.
Como a função não tem raízes reais, D , 0.
b) Como a concavidade da parábola é voltada para baixo, a , 0.
Como a função tem duas raízes reais, D . 0.
3. a) y = x
2
_ 1

2
–1
3
0
y
x
–1–2
1
2
1
x y
_2 3
_1 0
0 _1
1 0
2 3
b) _x
2

x y
_2 _4
_1 _1
0 0
1 _1
2 _4
12
–1
–2
–3
–4
–2 0
y
x
–1
c) x
2
+ 2x _ 8
x y
_3 _5
_2 _8
_1 _9
0 _8
1 _5
12–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–2–3 0
y
x
d) _x
2
+ 6x _ 9
x y
1 _4
2 _1
3 0
4 _1
5 _4
12345
–1
–2
–3
–4
0
y
x
V(0, _1)
V(0, 0)
V(_1, _9)
V(3, 0)
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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350
Tecnologias – p. 284
1.
a) Observando o gráfico, podemos concluir que a função y = 3x + 3 cruza o eixo x no ponto (_1, 0) e o eixo y no ponto (0, 3).
b) Observando o gráfico, podemos concluir que a função g = _3x + 3 cruza o eixo x no ponto (1, 0) e o eixo y no ponto (0, 3).
c) Espera-se que os estudantes observem os gráficos e concordem com a afirmação, pois o eixo y representa um eixo de simetria em relação aos gráficos.
2. a) Há várias respostas possíveis. Exemplo de resposta: As parábolas terão concavidade voltada para cima, exceto para as funções definidas em II e V.
b) Resposta pessoal. Seguem alguns exemplos de resposta.
REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
Atividades – p. 283
1. Primeiro, calculamos o vértice da parábola encontrando, em cada item, os valores x
v
e
y
v
, que são dados por:
• x
v
= _
b
2a
• y
v
= ax
v
2
+ bx
v
+ c
Depois, analisamos a concavidade da parábola para determinar se o vértice é ponto
de mínimo ou de máximo.
a) y = x
2
_ 8x + 6
x
v
= _
8
2 1
_
?
= 4
y
v
= 1 ? 4
2
_ 8 ? 4 + 6 = _10
Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(4, _10).
b) y = _x
2
+ 4x + 5
x
v
= _
4
2  1?_()
= 2
y
v
= _1 ? 2
2
+ 4 ? 2 + 5 = 9
Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V(2, 9).
c) y = _6x
2
+ 6x
x
v
= _
6
2 6?()−
=
1
2
y
v
= _6 ?
1
2
2





 + 6 ?
1
2





 =
3
2
Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V
1
2


,
3
2


.
d) y = x
2
_ 16
x
v
= _
0
2 1?
= 0
y
v
= 1 ? 0
2
_ 16 = _16
Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(0, _16).
e) y = x
2
_ 4x _ 45
x
v
= _
4
2  1
_
?
= 2
y
v
= 1 ? 2
2
_ 4 ? 2 _ 45 = _49
Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(2, _49).
f) y = 3x
2
+ 6x
x
v
= _
6
2  3?
= _1
y
v
= 3 ? (_1)
2
+ 6 ? (_1) = _3
Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V(_1, _3).
g) y = _x
2
+ 9
x
v
= _
0
2 1?_()
= 0
y
v
= _1 ? 0
2
+ 9 = 9
Como a , 0, temos que o vértice é ponto de máximo; V(0, 9).
h) y = 5x
2
_ 8x + 3
x
v
= _
8
2  5
_
?
=
4
5
y
v
= 5 ?
4
5
2





 _ 8 ?
4
5





 + 3 = _
1
5
Como a . 0, temos que o vértice é ponto de mínimo; V
4
5


,
1
5
_


.
2. As coordenadas do ponto de mínimo são dadas por:
• x
v
= _
b
2a
• y
v
= ax
v
2
+ bx
v
+ c
Então, da função y = 3x
2
_ 6x _ 2, temos que:
x
v
= _
6
2  3
_
?
= 1
y
v
= 3 ? 1
2
_ 6 ? 1 _ 2 = _5
As coordenadas são (1, _5).
3. As coordenadas do ponto de máximo são dadas por:
• x
v
= _
b
2a
• y
v
= ax
v
2
+ bx
v
+ c
Então, da função y = _x
2
+ 4x, temos que:
x
v
= _
4
2 1?_()
= 2
y
v
= _1 ? 2
2
+ 4 ? 2 = 4
As coordenadas são (2, 4).
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351
I. y = x
2
_ 4x + 4
II. y = _x
2
+ 3x _ 5
III. y = x
2
+ 2x + 1
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
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352
IV. y = x
2
+ 4x + 4
V. y = _x
2
+ 6x _ 9
VI. y = x
2
+ 2x + 6
c) I: (0, 4); II: (0, _5); III: (0, 1); IV: (0, 4), V: (0, _9); VI: (0, 6).
d) Espera-se que os estudantes percebam que o gráfico de cada função cruza o eixo
y no ponto (0, c), considerando y = ax² + bx + c.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA
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353
Por toda parte – p. 287
1. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem que, na conta de
energia, são cobrados tarifas e tributos cujas principais finalidades são o
financiamento e a manutenção de iniciativas públicas.
b) Sim, podemos afirmar que o valor pago varia em função do consumo. A definição
da lei de formação da função dependerá da conta analisada pelos estudantes. De
modo geral, na bandeira verde, o valor a ser pago y pode ser obtido pelo produto
do valor do quilowatt-hora (kWh) pela quantidade x de kWh consumidos durante
o mês, mais as taxas de impostos.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes concordem com a afirmação, uma vez
que as bandeiras tarifárias possibilitam ao consumidor se planejar para economizar
energia e evitar acréscimos no valor da conta. Além disso, a economia de energia
favorece o meio ambiente e toda a sociedade.
3. Resposta pessoal. Entre as ações possíveis, os estudantes podem citar: adquirir
produtos que apresentem baixo consumo energético, evitar banhos longos, optar por
lâmpadas LED, aproveitar a presença de luz natural.
Retomando o que aprendeu – p. 288
1. O enunciado diz que até 200 m é cobrado apenas a bandeirada (R$ 4,50). Depois de
200 m é cobrado R$ 0,02 para cada metro adicional.
Com isso, temos que de 0 a 200 m o valor é fixo, ou seja, nesse intervalo o gráfico
é uma reta paralela ao eixo x. De 200 m a 600 m o gráfico é crescente, pois o valor
aumenta R$ 0,02 a cada metro.
Assim, obtemos a equação y = 0,02 d + 4,50, sendo d os metros adicionais
(600 _ 200 = 400).
Logo:
y = 0,02 ? 400 + 4,5
y = 12,5
Portanto, o gráfico que representa o valor da corrida é o da alternativa d.
2. a) Do gráfico, é possível observar que y = 0 quando x = 2.
b) Diminuem. Espera-se que os estudantes observem o comportamento do gráfico,
atribuam alguns valores para x e calculem os valores de y correspondentes, e
percebam que os valores de y diminuem à medida que os valores de x aumentam.
3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um estacionamento cobra R$ 10,00 pela
primeira hora e R$ 2,00 para cada hora adicional.
a) Escreva a função que representa o valor cobrado por x horas nesse
estacionamento.
y = 2x + 10
b) Quanto um cliente pagará por deixar o carro 4 horas nesse estacionamento?
y = 2x + 10 = 2 ? 3 + 10
y = 16
O cliente pagará R$ 16,00.
4. O gráfico da função dada é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
Então, vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola para descobrir o
valor mínimo que a função assume.
x
v
= _
b
2a
= _
3
2  1
_
?
=
3
2
y
v
=
3
2
2





 _ 3 ?
3
2
+ 2 = _
1
4
Portanto, _
1
4
é o valor mínimo da função.
Assim, o conjunto imagem da função é Im = y| y
1
4
[r._






.
Portanto, o valor que não pertence ao conjunto imagem da função é
1
3
_.
Alternativa e.
5. a) y = _x
2
+ 9
• Coordenadas do vértice:
x
v
= _
b
2a
= _
0
2 1?_()
= 0
y
v
= 0
2
+ 9 = 9
V(0, 9)
21–1–2
7
6
8
4
3
2
1
0
y
x
5
9
x y
_2 5
_1 8
0 9
1 8
2 5
b) y = x
2
_ 5x
• Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
5
2  1
_
?
=
5
2
y
V
=
5
2
2





 _ 5 ?
5
2
= _
25
4
V
5
2


, _
25
4



x y
0 0
1 _4
2 _6
3 _6
4 _4
5 0
2341
–1
–3
–4
–5
–6
0
y
x
–2
5
c) y = x
2
_ 4x _ 5
• Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
4
2  1
_
?
= 2
y
V
= 2
2
_ 4 ? 2 _ 5 = _9
V(2, _9)
x y
0 _5
1 _8
2 _9
3 _8
4 _5
2341
–1
–6
–7
–8
–9
0
y
x–3
–4
–5
–2
d) y = x
2
+ x +
1
4
• Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
1
2  1?
= _
1
2
y
V
=
1
2
2
_





 +
1
2
_





 +
1
4
= 0
V
1
2
, 0_







x y
_3
25
4
_2
9
4
_1
1
4
0
1
4
1
9
4
2
25
4
21–1–2–3
6
4
3
2
1
0
y
x
5
6. Para que o gráfico da função tenha concavidade para cima, (k _ 3) deve ser maior do
que zero. Então:
k _ 3 . 0
k . 3
Logo, a concavidade é para cima, para k maior do que 3.
ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE
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354
7. a) Como a . 0, o vértice é ponto de mínimo.
Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
0
2  1?
= 0
y
V
= 0
2
_ 25 = _25
Ponto de mínimo; (0, _25).
b) Como a , 0, o vértice é ponto de máximo.
Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
0
2  1?_()
= 0
y
V
= _(0)
2
+ 25 = 25
Ponto de máximo; (0, 25).
c) Como a , 0, o vértice é ponto de máximo.
Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
10
2  1?_()
= 5
y
V
= _(5)
2
+ 10 ? 5 = 25
Ponto de máximo; (5, 25).
d) Como a . 0, o vértice é ponto de mínimo.
Coordenadas do vértice:
x
V
= _
b
2a
= _
4
2 4?
= _
1
2
y
V
= 4 ?
1
2
2
_





 + 4 ?
1
2
_





 + 1 = 0
Ponto de mínimo;
1
2
, 0_





.
8. Do enunciado, temos que P é vértice da parábola e que x
V
= 4 e y
V
= 13. Então:
x
V
= _
b
2a
4 = _
m
2  1?_()
4 =
m
2
m = 8
y
V
= _x
2
+ mx + n
13 = _(4)
2
+ 8 ? 4 + n
13 = 16 + n
n = _3
Logo, 8 _ 3 = 5.
Alternativa a.
9. Coordenadas do vértice da parábola: y = 4x _ x
2
.
x
V
= _
b
2a
= _
4
21?_()
= 2
y
V
= 4 ? 2 _ (4)
2
= 4
Como (2, 4) é ponto comum das parábolas das duas funções, temos:
y = ax
2
4 = a ? 2
2
a = 1
Alternativa a.
10. Coordenadas do vértice da parábola:
x
V
= _
b
2a
= _
8
21?_()
= 4
y
V
= _(4)
2
+ 8 ? 4 _ 17 = _1
A distância do vértice ao eixo das abscissas é dada pelo módulo de y
V
, ou seja, 1.
Alternativa a.
11. Como o gráfico da função tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas,
concluímos que esse ponto é vértice da parábola. Portanto, D = 0.
D = b
2
_ 4ac
0 = (_m)
2
_ 4 ? 1 ? (m _ 1)
m
2
_ 4m + 4 = 0
m =
40
21
__ ±
?
()
m = 2
Sendo m = 2 e x = 2 (do enunciado), temos:
y = x
2
_ mx + (m _ 1)
y = 2
2
_ 2 ? 2 + (2 _ 1)
y = 1
Alternativa d.
Um novo olhar – p. 289
• Uma reta.
•
b
a
_
• Nenhum ou dois (iguais ou diferentes).
• O sinal do coeficiente a da função quadrática definida por ax
2
+ bx + c
(a 5 0 e x [ r).
• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Altura máxima atingida por um objeto em um
lançamento oblíquo e preço mínimo cobrado por um produto para que o lucro seja
máximo.
Tecnologias p. 290
1. Existem várias possibilidades de resposta. Exemplo de resposta:
2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:
Para que a menina vá até o gatinho, uma possibilidade de sequências de bloco está
indicada a seguir.
FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/SCRATCH
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-326-354-RES-G24.indd 354
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QUESTÕES PROPOSTAS
1. (Enem/MEC) Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o
jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas
linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos.
Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:
Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação
das fichas no tabuleiro, é:
a)
b)
c)
d)
e)
2. (OBMEP) Qual é o valor da expressão
242424 121212
242424121212
?
22
_
x
a)
1
2
b)
3
4
c) 1 d)
3
2
e)
7
4
REPRODUÇÃO/ENEM
REPRODUÇÃO/ENEM
AVALIAÇÕES OFICIAIS
EM FOCO
355
D2_AV2-MAT-F2-2103-V9-MP-355-368-AV-G24.indd 355
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3. Em um edifício, as instalações de TV a cabo são feitas a partir do térreo, pela parte externa.
Para instalar a TV a cabo em um apartamento, o profissional mediu a distância do térreo ao
apartamento e encontrou a medida
101580+() metros.
A quantidade de cabo necessária, em metros, para realizar a instalação é de, aproximadamente:
a) 27,9
b) 54,8
c) 67,3
d) 134,6
4. (Enem/MEC) O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet,
mensalidade escolar e mesada do filho.
InternetMensalidade escolarMesada do filho
120 700 400
No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de
20% e 10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família
reduzirá a mesada do filho.
Qual será a porcentagem da redução da mesada?
a) 15,0
b) 23,5
c) 30,0
d) 70,0
e) 76,5
5. (OBMEP) Uma loja de roupas ofereceu um desconto de 10% em uma camiseta, mas não con-
seguiu vendê-la. Na semana seguinte, aplicou um desconto de 20% sobre esse novo preço, e a
camiseta foi vendida por R$ 36,00. Qual era o preço original da camiseta?
a) R$ 40,00
b) R$ 45,00
c) R$ 47,00
d) R$ 48,00
e) R$ 50,00
O enunciado a seguir refere-se às questões 6 e 7.
(PISA) Os faróis são torres com um sinal de luz na parte superior, que
ajudam os navios a encontrar seus caminhos à noite quando estão nave-
gando próximos ao litoral.
O farol envia sinais luminosos em sequência regular e fixa. Cada farol possui
a sua própria sequência.
REPRODUÇÃO/PISA
356
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No diagrama abaixo, podemos observar o padrão de um determinado farol. Os sinais luminosos
alternam-se com períodos de escuridão.
Trata-se de uma sequência regular. Após um certo tempo, a sequência se repete. A duração de uma sequência completa, antes que ela comece a se repetir, chama-se período. Quando se
determina o período de uma sequência, é fácil estender o diagrama para os segundos, minutos ou, até mesmo, as horas seguintes.
6. Qual das opções a seguir corresponderia ao período da sequência desse farol?
a) 2 segundos.
b) 3 segundos.
c) 5 segundos.
d) 12 segundos.
7. Por quantos segundos o farol envia sinais luminosos durante 1 minuto?
a) 4
b) 12
c) 20
d) 24
8. (Enem/MEC) Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir
dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior
número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados: Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.
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Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
9. Em uma caixa temos bolas brancas e vermelhas. O total de bolas brancas é 6 e o total de bolas
vermelhas corresponde a 70%. Quantas bolas vermelhas devem ser retiradas da caixa para que
o total de bolas brancas seja de 50%?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
10. (Saresp) Para as comemorações de aniversário de uma cidade, foi construído um grande painel
de forma triangular na fachada de um edifício, sendo AB paralelo a CD.
Dados: VA = 10 m; AC = 5 m e CD = 18 m.
Portanto, AB mede:
a) 9 m
b) 12 m
c) 15 m
d) 16 m
11. (Saresp) As hipotenusas de quatro triângulos retângulos isósceles coincidem com os lados de um quadrado, de cor branca, como indica a figura a seguir.
REPRODUÇÃO/SARESP
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Se os lados desse quadrado medem 4 cm, a soma das áreas dos triângulos coloridos é igual a:
a) 32 cm
2

b) 16 cm
2

c) 8 cm
2

d) 4 cm
2

12. (PISA) Veja abaixo a planta da sorveteria de Maria, que ela está reformando. A área de serviço
é rodeada por um balcão.
Observação: Cada quadrado da grade representa 0,5 metro por 0,5 metro. Maria deseja instalar uma nova borda ao longo da parede externa do balcão. Qual é o compri-
mento total da borda de que ela precisa? Demonstre seu raciocínio.
13. (OBMEP) Na figura, dois vértices do hexágono regular maior coincidem com dois vértices do hexágono regular menor. O hexágono menor tem área igual a 10 cm². Qual é a área do hexá-
gono maior?
a) 20 cm²
b) 30 cm²
c) 35 cm²
d) 36 cm²
e) 40 cm²
REPRODUÇÃO/PISA
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14. (OBMEP) A figura mostra um polígono regular de dez lados com centro O. Qual é a medida do
ângulo a?
a) 15°
b) 18°
c) 20°
d) 30°
e) 36°
15. (Enem/MEC) A unidade de medida utilizada para anunciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é a polegada, que corresponde a 2,54 cm Diferentemente do que muitos imaginam, dizer que a tela de uma TV tem X polegadas significa que a diagonal do retângulo que representa
sua tela mede X polegadas, conforme ilustração.
O administrador de um museu recebeu uma TV convencional de polegadas, que tem como razão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 4 : 3, e precisa calcular o comprimento
(C) dessa TV a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C em centímetro, igual a:
a) 12,00
b) 16,00
c) 30,48
d) 40,64
e) 50,80
REPRODUÇÃO/OBMEP
REPRODUÇÃO/ENEM
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16. Considere o retângulo ABCD representado no plano cartesiano a seguir cuja unidade dos eixos
é de 1 cm.
_4 _3 _2 _1 0
1
2
_1
_2
3
1 2 3 4
B
D
A C
x
y
Construindo os pontos médios dos lados do retângulo ABCD obtém-se um novo quadrilátero. O perímetro, em centímetros, desse novo quadrilátero é:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
17. (Saresp) Na figura a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que:
a) o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos correspondentes dobraram de valor.
b) o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A, e os ângulos internos nos correspondentes não
se alteram.
c) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes não se
alteram.
d) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também
dobraram de valor.
EDITORIA DE ARTE
REPRODUÇÃO/SARESP
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18. (Enem/MEC) Utiliza-se o termo download para designar o processo pelo qual um arquivo é
transferido de algum sítio da internet para o dispositivo do usuário (computador, tablet, celular).
Quando a transferência é interrompida, diz-se que o download travou. O esboço do gráfico
representa a evolução do download de um arquivo que demorou 16 segundos para ser concluído.
Por quanto tempo, em segundo, esse download ficou travado?
a) 9
b) 5
c) 3
d) 2
e) 0
19. (PISA) Os gráficos abaixo fornecem informações relacionadas às exportações da Zedelândia, um
país que utiliza o zed como sua moeda corrente.
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REPRODUÇÃO/PISA
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Qual foi o valor total das exportações de suco de frutas da Zedelândia em 2000?
a) 1,8 milhão de zeds.
b) 2,3 milhões de zeds.
c) 2,4 milhões de zeds.
d) 3,4 milhões de zeds.
e) 3,8 milhões de zeds.
20. (PISA) Um repórter de TV apresentou o gráfico abaixo e disse:
– O gráfico mostra que, de 1998 para 1999, houve um grande aumento no número de assaltos.
Você considera que a afirmação do repórter é uma interpretação razoável do gráfico? Dê uma explicação que justifique a sua resposta.
21. (Saresp) Um aquário possui o formato de um bloco retangular, cujas dimensões da base são 50 cm e 20 cm, e a água contida em seu interior está atingindo um nível de altura 15 cm (Figura 1). Mergulhando, a seguir, 5 bolas coloridas de metal, de volumes iguais, o nível de água do aquário atinge uma altura de 25 cm (Figura 2).
Calcule o volume, em cm
3
, ocupado por cada bola.
REPRODUÇÃO/PISA
REPRODUÇÃO/SARESP
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22. (OBMEP) O professor Michel aplicou duas provas a seus dez alunos e divulgou as notas por meio
do gráfico mostrado abaixo.
Por exemplo, o aluno A obteve notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, respectivamente; já o aluno B obteve
notas 3 e 5. Para um aluno ser aprovado, a média aritmética de suas notas deve ser igual a 6
ou maior do que 6.
Quantos alunos foram aprovados?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
23. (Saresp) Um quadrado cuja medida do lado é (x + k) tem área dada por x
2
+ 8x + 16. Pode-se
concluir que o valor de k é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
24. Pedro lançou um dado de 6 faces e o número da face superior foi o 2. Suponha que Pedro tenha
resolvido lançar o dado novamente, neste caso, a probabilidade de que no segundo lançamento
a face superior seja o 2 no segundo lançamento é:
a)
1
5
b)
1
6
c)
1
18
d)
1
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25. (OBMEP) Em uma caixa há cinco bolas idênticas, com as letras O, B, M, E e P. Em uma segunda
caixa, há três bolas idênticas, com as letras O, B e M. Uma bola é sorteada da primeira caixa e,
a seguir, outra bola é sorteada da segunda caixa.
Qual é a probabilidade de que essas bolas tenham a mesma letra?
a)
1
6
b)
1
5
c)
1
4
d)
1
3
e)
1
2
ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS
Na questão 1, os estudantes precisam reconhecer o número x como um número irracional e localizar números reais
na reta numérica, o que favorece a habilidade EF09MA02.
Na questão 2, os estudantes têm a oportunidade de explorar cálculos com números reais, o que favorece o desen-
volvimento da habilidade EF09MA03, além de aplicar fatoração para realizar os cálculos, o que contribui também para
o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.
A questão 3 explora o cálculo com números reais, em particular com radicais, favorecendo o desenvolvimento da habili-
dade EF09MA04. A questão foi elaborada a partir da Matriz de Referência de Matemática do SAEB, de acordo com a habilidade
MA9N1, e os estudantes têm a oportunidade de efetuar cálculos com valores aproximados de radicais. As alternativas incorretas
preveem erros no descritor, como realizar uma multiplicação pelo número inteiro, antes de encontrar o valor da raiz quadrada.
As questões 4 e 5 proporcionam a oportunidade de trabalhar Educação Financeira no contexto de situações coti-
dianas, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA05. Na questão 4, os estudantes precisam pensar em
estratégias para enfrentar o aumento no custo de vida, e na questão 5, trabalham-se descontos sucessivos. Para ampliar
o trabalho em Educação Financeira, aproveitar a oportunidade para explorar situações que envolvam pesquisa de preços
e promoções para elaborar estratégias de planejamento financeiro e adequação do orçamento pessoal e familiar, princi-
palmente em contextos inflacionários.
Nas questões 6 e 7, os estudantes devem explorar as relações entre variáveis a partir de um gráfico, favorecendo,
assim, o desenvolvimento da habilidade EF09MA06. A questão 6 envolve a compreensão da repetição da sequência de
luzes do farol, e a questão 7 utiliza essa compreensão da repetição para obter os sinais luminosos em um tempo maior
do que os 13 segundos apresentados, ou seja, deve-se extrapolar a construção do gráfico.
A questão 8 envolve o cálculo de razão, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF09MA07. Sempre que
possível, procurar trabalhar questões como essa em que, além de calcular a razão, os estudantes precisam avaliar qual
dos valores está de acordo com a proposta apresentada.
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A questão 9 permite explorar a habilidade EF09MA08, abordando uma situação que envolve divisão proporcional. A
questão foi elaborada com base na Matriz de Referência de Matemática do SAEB, de acordo com a habilidade MA9N23
que destaca a resolução de problemas envolvendo porcentagem.
A questão 10 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA14 por meio da proporcionalidade que envolve
retas paralelas cortadas por secantes. A proposta da questão 11 também contribui para o desenvolvimento da habilidade
EF09MA14, mas relacionada à aplicação do teorema de Pitágoras. A questão também permite a exploração de outra
solução, por composição de triângulos, a partir da congruência dos 8 triângulos que formam a figura.
Na questão 12, há a possibilidade de desenvolver as habilidades EF09MA08 e EF09MA14, pois envolve o uso de
escala, e a solução mais usual é a que utiliza o teorema de Pitágoras. Uma possibilidade de solução prevista no PISA é
a solução utilizando medições, por esse motivo admitem-se respostas no intervalo de 4,45 a 4,55, permitindo o erro de
precisão de ± 1 mm.
A questão 13 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA08, pois envolve a proporcionalidade entre áreas
de figuras semelhantes.
A questão 14 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA11 ao explorar os ângulos na circunferência (ângulos
centrais e ângulos inscritos). Caso seja possível, propor a construção, em um software de geometria dinâmica, para que
os estudantes possam investigar e perceber que o ângulo identificado na figura tem a mesma medida em qualquer
decágono regular.
A questão 15 favorece o desenvolvimento das habilidades EF09MA08 e EF09MA14, pois é necessário determinar
uma medida por meio da proporcionalidade entre duas grandezas e aplicar o teorema de Pitágoras.
A questão 16 favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA16, pois explora o cálculo do ponto médio e do
perímetro no plano cartesiano. Na Matriz de Referência de Matemática do SAEB está associada à habilidade MA9G28.
Pode-se aproveitar o contexto da questão para explorar o cálculo de distâncias e de áreas.
A questão 17 possibilita destacar que, em dois polígonos semelhantes, os ângulos correspondentes são congruentes
e que os lados correspondentes têm medidas proporcionais, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA12.
Na questão 18, há a possibilidade de que o estudante explore o significado de uma representação em um gráfico
no plano cartesiano. Na questão 19, há a oportunidade de que se realize uma análise baseada em duas representações
gráficas diferentes. A questão 20 apresenta uma situação de análise de confrontar uma afirmação de reportagem e
um gráfico, na qual os estudantes avaliam a coerência entre as duas informações. Trata-se de uma questão na qual
os estudantes podem expressar suas ideias e justificá-las, utilizando o conhecimento matemático, de acordo com seu
entendimento. Desse modo, as questões 18, 19 e 20 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA21.
A questão 21 auxilia no desenvolvimento da habilidade EF09MA19, pois uma situação que envolve o cálculo do
volume de prismas, além de abordar o princípio de Arquimedes, propiciando a oportunidade para que se apresente o
problema da coroa de ouro do rei Hierão e a utilização da expressão Eureka.
A questão 22 aborda uma medida de tendência central a partir da análise de dados em uma representação gráfica,
o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF09MA22. No tratamento de informações, reforçar a importância das
medidas que resumem um conjunto de dados e seus significados.
Na questão 23, é proposta a comparação dos termos de um produto notável para obter o valor do termo indepen-
dente, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF09MA09.
As questões 24 e 25 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF09MA20. Tanto a questão 24, quanto a
questão 25 exploram eventos independentes e o cálculo de probabilidade em contextos diferentes: no lançamento de
um dado de seis faces e na retirada de determinadas letras de duas caixas diferentes, respectivamente.
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RESOLUÇÕES
Questão 1
A representação decimal aproximada de x é 1,7 e as representações decimais de y e
z são _0,5 e 1,5, respectivamente. Com isso, temos que t , y , z , x.
Alternativa d.
Questão 2
242424121212
242424121212
2121212 121212
2121212121212
2121212121212
2121212121212
4121212121212
2121212
12121241
2121212
3
2
22
2 2
22 22 2
2
2
2
()
()
()
()
_
?
=
?_
??
=
=
?_
??
=
?_
?
=
=
?_
?
=

Alternativa d.
Questão 3
Para encontrar uma aproximação, pode-se utilizar valores de raízes quadradas
conhecidas, as raízes quadradas de 100 e 81, respectivamente. Tem-se (10 + 5 ? 9)
metros = 55 metros.
Alternativa b.
Questão 4
A mesada inicial do filho é de R$ 400,00. O valor total de reajustes com a internet e com
a mensalidade da escola é de 20% ? 120 + 10% ? 700 = 24 + 70 = R$ 94,00
O percentual de redução da mesada deve ser de
94
400
0,23523,5%==
Alternativa b.
Questão 5
Considerando o preço original como x, o preço após o primeiro desconto é expresso
por: 0,9x. Após o segundo desconto, o preço será: 0,2 ? 0,9x = 0,72x. Igualando
a expressão final obtida ao valor de venda, tem-se: 0,72x = 36; logo, x = 50.
Portanto, o preço original era de R$ 50,00.
Alternativa e.
Questão 6
Observa-se o padrão: escuridão, escuridão, luz, escuridão, luz. Esse padrão se repete
a cada 5 segundos.
Alternativa c.
Questão 7
Se em 5 segundos há 2 segundos de luz, logo, em 1 minuto haverá (60 : 5) ? 2 = 24
segundos com luz.
Alternativa d.
Questão 8
O desempenho de cada jogador corresponde à razão entre o número de vezes que
todos os pinos foram derrubados e o número de jogadas. Assim, temos
50
85
0,59;1
40
65
0,62;1
20
65
0,31;1
30
40
0,751 e
48
90
0,53.1
Alternativa d.
Questão 9
O número de bolas brancas corresponde a 30%. Logo, considerando x o número
de bolas vermelhas temos:
6
x
3
7
,= o que permite concluir que o total de bolas
vermelhas é 14. Como há 6 bolas brancas e elas devem representar 50% das bolas
da caixa, deve-se ter apenas 6 bolas vermelhas, ou seja, é necessário retirar 8 bolas
vermelhas da caixa.
Alternativa d.
Questão 10
Como o triângulo VAB é semelhante ao triângulo VCD, temos
10
15
AB
18
= , portanto
AB = 12 cm.
Alternativa b.
Questão 11
A hipotenusa de cada triângulo colorido mede 4 cm.
Como os catetos dos triângulos são congruentes, chamando a medida do
comprimento do cateto de x, pelo teorema de Pitágoras, temos, x
2
+ x
2
= 4
2
. Logo,
x8= cm.
Com isso, a área de cada triângulo é
88
2
4
?
= cm
2
e a soma das áreas dos
triângulos coloridos é igual a 4 ? 4 = 16 cm
2
.
Alternativa b.
Questão 12
Como cada quadrado da malha mede 0,5 m, a borda externa do balcão é a
hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1,5 m e 2 m.
Pelo teorema de Pitágoras: x
2
= 2
2
+ 1,5
2
; logo, x = 2,5 m.
Questão 13
Traçando diagonais nos dois hexágonos, observa-se por simetria que a área do
triângulo ABC equivale a
1
6
da área do hexágono menor e a
1
18
da área do
hexágono maior.
A
C
B
Sendo assim, tem-se:
Área do hexágono maior =
1
6
101830?? = cm
2
.
Alternativa b.
Questão 14
Observando a figura, como OA = OB, â = OBA.
(
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O
A
â
B
AOB
4
10
360°144°

=? =
2â = 180° _ 144°. Logo, â = 18°
Alternativa b.
Questão 15
A partir da proporção
C
A
3
4
=, obtém-se a relação A
3C
4
=.
Como X = 20, pelo teorema de Pitágoras, tem-se que:
X
2
= C
2
+ A
2
h
20C
3C
4
22
2





h= +h
h C = 16
16 polegadas correspondem a 16 ? 2,54 = 40,64 cm.
Alternativa d.
Questão 16
Na figura, temos o retângulo MNOP formado pelos pontos médios dos lados do
retângulo ABCD.
_4_3 _10
2
_2
3
1 3
N = (2, 1)M = (_2, 1)
O = (2, _1)P = (_2, _1)
4
B
D
A
C
x
y _2
1
_1
2
As dimensões desse retângulo são 4 e 2. Logo o perímetro mede 12 cm.
Alternativa d.
Questão 17
Observa-se que as medidas dos lados da figura B são o dobro das medidas dos lados
correspondes na figura A. Sendo assim, o perímetro de B será o dobro do perímetro
de A. Além disso, na ampliação, as figuras são semelhantes e, portanto, se mantêm
os ângulos internos.
Alternativa c.
Questão 18
O download ficou travado entre 3 e 6 segundos e entre 10 e 12 segundos,
totalizando 5 segundos.
Alternativa b.
Questão 19
O total de exportações no ano 2000 foi 42,6 milhões de zeds e o suco de frutas
corresponde a 9% do total de exportações do ano. Ao calcular 9% de 42,6 milhões
de zeds, obtém-se 3,834 milhões de zeds.
Alternativa e.
Questão 20
Resposta pessoal. Espera-se que o estudante perceba que a afirmação do repórter
não é correta e que justifique baseado na análise e comparação dos valores de cada
ano apresentados no gráfico.
Questão 21
Volume de água da Figura 1: V1 = 50 ? 20 ? 15 = 15 000 cm
3
.
Volume de água da Figura 2: V2 = 50 ? 20 ? 25 = 25 000 cm
3
.
O volume das 5 bolas juntas é a diferença dos volumes das figuras 2 e 1:
V = 25 000 _ 15 0000 = 10 000 cm
3
.
Como as 5 bolas tem volumes idênticos, o volume de cada bola é
10000
5
2000= cm
3
.
Questão 22
Para solucionar o problema, pode-se calcular a média de cada ponto, e identificar a
quantidade de alunos com média maior ou igual a 6.
Prova 1 Prova 2 Média aritmética
A 9 8 8,5
B 3 5 4
C 8 3 5,5
D 8 10 9
E 7 6 6,5
F 3 9 6
G 8 7 7,5
H 10 5 7,5
I 10 1 5,5
J 6 3 4,5
Alternativa a.
Questão 23
Área do quadrado: (x + k) ? (x + k) = x
2
+ 8x + 16 = x
2
+ 2kx + k
2
. Como
2k = 8, k = 4.
Alternativa c.
Questão 24
A probabilidade de aparecer o 2 no segundo lançamento é
1
6
e independe do
número que apareceu no primeiro lançamento.
Alternativa b.
Questão 25
Como a primeira caixa tem 5 bolas e a segunda 3, temos 5 ? 3 = 15 possibilidades
de escolher uma bola em cada caixa. Desse total, apenas três repetem a mesma
letra. Logo, a probabilidade é
3
15
1
5
=.
Alternativa b.
EDITORIA DE ARTE
EDITORIA DE ARTE
368
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9788596 034449
ISBN 978-85-96-03444-9
PNLD24-2103-CAPA-Conquista-MAT-MP.indd 20 8/9/22 1:08 AM

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