Aalgebra-boole-simplificacao-circuitos
baiano133
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Mar 21, 2014
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Slide Content
José Augusto Baranauskas
Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP
[email protected]
http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto
Álgebra de Boolee Simplificação
de Circuitos Lógicos
F
Nesta apresentação serão
vistos os postulados e
propriedades e formas
canônicas de expressões
booleanas
F
Além disso, serão vistas
duas forma de simplificar
circuitos
F
Fatoração
F
Diagramas de Veitch-
Karnaugh
Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP
[email protected]
http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto
Álgebra de Boolee Simplificação
de Circuitos Lógicos
F
Nesta apresentação serão
vistos os postulados e
propriedades e formas
canônicas de expressões
booleanas
F
Além disso, serão vistas
duas forma de simplificar
circuitos
F
Fatoração
F
Diagramas de Veitch-
Karnaugh
2
Motivação 2
Como visto, os circuitos lógicos
correspondem (executam) expressões
booleanas, as quais representam
problemas no mundo real
2
Porém, os circuitos gerados por tabelas
verdade muitas vezes admitem
simplificações, o que reduz o número de
portas lógicas; essa redução diminui o grau
de dificuldade na montagem e custo do
sistema digital
Motivação 2
Como visto, os circuitos lógicos
correspondem (executam) expressões
booleanas, as quais representam
problemas no mundo real
2
Porém, os circuitos gerados por tabelas
verdade muitas vezes admitem
simplificações, o que reduz o número de
portas lógicas; essa redução diminui o grau
de dificuldade na montagem e custo do
sistema digital
3
Motivação 2
O estudo da simplificação de circuitos
lógicos requer o conhecimento da álgebra
de Boole, por meio de seus postulados,
propriedades, equivalências, etc
2
De fato, na álgebra de Boole encontram-se
os fundamentos da eletrônica digital de
circutos
Motivação 2
O estudo da simplificação de circuitos
lógicos requer o conhecimento da álgebra
de Boole, por meio de seus postulados,
propriedades, equivalências, etc
2
De fato, na álgebra de Boole encontram-se
os fundamentos da eletrônica digital de
circutos
4
Constantes, Variáveis e
Expressões
F
Existem apenas duas
constantes booleanas
a
0 (zero)
a
1 (um)
F
Uma
variável booleana
é representada por letra e pode
assumir apenas dois valores (0 ou 1)
a
Exemplos: A, B, C
F
Uma
expressão booleana
é uma expressão matemática
envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu
resultado assume apenas dois valores (0 ou 1)
F
Exemplos:
F
S = A.B
F
S = A+B.C
Constantes, Variáveis e
Expressões
F
Existem apenas duas
constantes booleanas
a
0 (zero)
a
1 (um)
F
Uma
variável booleana
é representada por letra e pode
assumir apenas dois valores (0 ou 1)
a
Exemplos: A, B, C
F
Uma
expressão booleana
é uma expressão matemática
envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu
resultado assume apenas dois valores (0 ou 1)
F
Exemplos:
F
S = A.B
F
S = A+B.C
5
2
Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a
partir dos quais são estabelecidas várias
propriedades
2
Existem várias propriedades da negação
(complemento, inversor), adição (porta E) e soma
(porta OU)
2
Estas propriedades podem ser verificadas como
equivalências lógicas
2
Para demonstrar cada uma, basta utilizar as
tabelas-verdade, constatando a equivalência
Postulados & Propriedades
2
Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a
partir dos quais são estabelecidas várias
propriedades
2
Existem várias propriedades da negação
(complemento, inversor), adição (porta E) e soma
(porta OU)
2
Estas propriedades podem ser verificadas como
equivalências lógicas
2
Para demonstrar cada uma, basta utilizar as
tabelas-verdade, constatando a equivalência
Postulados & Propriedades
6
Postulados F
Complemento
F
Se A=0 então Ā=1
F
Se A=1 então Ā=0
F
Notações alternativas
F
Ā= A’
F
Ā= ¬A
F
B.C = (B.C)’
F
Adição
F
0 + 0 = 0
F
0 + 1 = 1
F
1 + 0 = 1
F
1 + 1 = 1
F
Multiplicação
F
0 . 0 = 0
F
0 . 1 = 0
F
1 . 0 = 0
F
1 . 1 = 1
Postulados F
Complemento
F
Se A=0 então Ā=1
F
Se A=1 então Ā=0
F
Notações alternativas
F
Ā= A’
F
Ā= ¬A
F
B.C = (B.C)’
F
Adição
F
0 + 0 = 0
F
0 + 1 = 1
F
1 + 0 = 1
F
1 + 1 = 1
F
Multiplicação
F
0 . 0 = 0
F
0 . 1 = 0
F
1 . 0 = 0
F
1 . 1 = 1
7
Propriedades
Propriedade Complemento Adição Multiplicação
IdentidadeĀ= A
A + 0 = A A . 0 = 0
A + 1 = 1 A . 1 = A
A + A = A A . A = A
A + Ā= 1 A . Ā= 0
Comutativa A + B = B + A A . B = B . A
Associativa
A+(B+C) = (A+B)+C
= A+B+C
A.(B.C) = (A.B).C =
A.B.C
Distributiva
A+(B.C)
=
(A+B) . (A+C)
A.(B+C)
=
A.B + A.C
Propriedades
Propriedade Complemento Adição Multiplicação
IdentidadeĀ= A
A + 0 = A A . 0 = 0
A + 1 = 1 A . 1 = A
A + A = A A . A = A
A + Ā= 1 A . Ā= 0
Comutativa A + B = B + A A . B = B . A
Associativa
A+(B+C) = (A+B)+C
= A+B+C
A.(B.C) = (A.B).C =
A.B.C
Distributiva
A+(B.C)
=
(A+B) . (A+C)
A.(B+C)
=
A.B + A.C
8
Propriedades F
Absorção
a
A + (A.B) = A
a
A . (A+B) = A
F
OutrasIdentidades
F
A+Ā.B=A+B
F
(A+B).(A+C)=A+B.C
F
DeMorgan
a
(A.B)’=Ā+a
a
(A+B)’=Ā.a
F
DeMorganseestendeparanvariáveis
a
(A.B. ... .n)’=Ā+a+ ... +F
a
(A+B+ ... +n)’=Ā.a. ... .F
Propriedades F
Absorção
a
A + (A.B) = A
a
A . (A+B) = A
F
OutrasIdentidades
F
A+Ā.B=A+B
F
(A+B).(A+C)=A+B.C
F
DeMorgan
a
(A.B)’=Ā+a
a
(A+B)’=Ā.a
F
DeMorganseestendeparanvariáveis
a
(A.B. ... .n)’=Ā+a+ ... +F
a
(A+B+ ... +n)’=Ā.a. ... .F
9
Exercício F
Mostre, usando simplificação por postulados e
propriedades, ou seja, por transformações
algébricas que:
F
A+A.B = A
F
A.(A+B) = A
Exercício F
Mostre, usando simplificação por postulados e
propriedades, ou seja, por transformações
algébricas que:
F
A+A.B = A
F
A.(A+B) = A
10
Solução F
A+A.B = A
F
A + A.B
F
= A.(1+B) distributiva
F
= A.(1) identidade da adição
F
= A identidade da multiplicação
F
A.(A+B) = A
F
A.(A+B)
F
= (A.A) + (A.B) distributiva
F
= A + (A.B) identidade da multiplicação
F
= A pela prova do exercício acima
Solução F
A+A.B = A
F
A + A.B
F
= A.(1+B) distributiva
F
= A.(1) identidade da adição
F
= A identidade da multiplicação
F
A.(A+B) = A
F
A.(A+B)
F
= (A.A) + (A.B) distributiva
F
= A + (A.B) identidade da multiplicação
F
= A pela prova do exercício acima
11
Exercício 2
Idem ao exercício anterior
2
A + Ā.B = A + B
2
(A+B).(A+C) = A + B.C
Exercício 2
Idem ao exercício anterior
2
A + Ā.B = A + B
2
(A+B).(A+C) = A + B.C
12
Solução F
A + Ā.B = A + B
a
A + Ā.B = (A + Ā.B)’’ identidade do complemento
a
= (Ā. (Ā.B)’)’ = (Ā. (A + a))’ De Morgan
a
= (Ā.A + Ā.a)’ distributiva
a
= (0 + Ā.a)’ identidade da multiplicação
a
= (Ā.a)’ identidade da adição
a
= A + B De Morgan
F
A + Ā.B = A + B
a
A + Ā.B = (A + Ā).(A+ B) distributiva α+β.γ= (α+β) .(α+γ)
a
= 1.(A+B) identidade da adição
a
= A + B identidade da multiplicação
Solução F
A + Ā.B = A + B
a
A + Ā.B = (A + Ā.B)’’ identidade do complemento
a
= (Ā. (Ā.B)’)’ = (Ā. (A + a))’ De Morgan
a
= (Ā.A + Ā.a)’ distributiva
a
= (0 + Ā.a)’ identidade da multiplicação
a
= (Ā.a)’ identidade da adição
a
= A + B De Morgan
F
A + Ā.B = A + B
a
A + Ā.B = (A + Ā).(A+ B) distributiva α+β.γ= (α+β) .(α+γ)
a
= 1.(A+B) identidade da adição
a
= A + B identidade da multiplicação
13
Solução F
(A+B).(A+C) = A + B.C
a
(A+B).(A+C)
a
= A.A + A.C + B.A + B.C distributiva
a
= A.A + A.C + A.B + B.C comutativa
a
= A + A.C + A.B + B.C identidade da multiplicação
a
= A + A.(C+B) + B.C distributiva
a
= A.(1 + (C+B)) + B.C distributiva
a
= A.(1) + B.C identidade da adição
a
= A + B.C identidade da multiplicação
Solução F
(A+B).(A+C) = A + B.C
a
(A+B).(A+C)
a
= A.A + A.C + B.A + B.C distributiva
a
= A.A + A.C + A.B + B.C comutativa
a
= A + A.C + A.B + B.C identidade da multiplicação
a
= A + A.(C+B) + B.C distributiva
a
= A.(1 + (C+B)) + B.C distributiva
a
= A.(1) + B.C identidade da adição
a
= A + B.C identidade da multiplicação
14
Simplificação de Expressões
Booleanas
2
Usando a álgebra booleana é possível
simplificar expressões
2
Como cada circuito corresponde a uma
expressão, simplificações de expressões
significam em simplificações de circuitos
2
Há duas formas para simplificar expressões
2
Fatoração
2
Mapas de Veitch-Karnaugh
2
Veremos, a seguir, o processo de fatoração
Simplificação de Expressões
Booleanas
2
Usando a álgebra booleana é possível
simplificar expressões
2
Como cada circuito corresponde a uma
expressão, simplificações de expressões
significam em simplificações de circuitos
2
Há duas formas para simplificar expressões
2
Fatoração
2
Mapas de Veitch-Karnaugh
2
Veremos, a seguir, o processo de fatoração
15
Fatoração F
Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da
álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a
expressão
F
Por exemplo
a
S = A.B.C + A.C’ + A.B’
a
= A.(B.C + C’ + B’) distributiva
a
= A.(B.C + (C’ + B’)) associativa
a
= A.(B.C + ( (C’ + B’)’ )’) identidade do complement o
a
= A.(B.C + (C.B)’) De Morgan
a
= A.(B.C + (B.C)’ ) comutativa
a
= A.(1) identidade da adição (D+ð=1)
a
= A identidade da multiplicação
Fatoração F
Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da
álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a
expressão
F
Por exemplo
a
S = A.B.C + A.C’ + A.B’
a
= A.(B.C + C’ + B’) distributiva
a
= A.(B.C + (C’ + B’)) associativa
a
= A.(B.C + ( (C’ + B’)’ )’) identidade do complement o
a
= A.(B.C + (C.B)’) De Morgan
a
= A.(B.C + (B.C)’ ) comutativa
a
= A.(1) identidade da adição (D+ð=1)
a
= A identidade da multiplicação
16
Fatoração F
Portanto,
F
A.B.C + A.C’ + A.B’ = A
F
Essa expressão
mostra a importância
da simplificação de
expressões e a
consequente
minimização do
circuito, sendo o
resultado final igual ao
da variável A
a
Circuito antes da simplificação
a
Circuito após simplificação
A
B C
A
C A B
S
A
S
Fatoração F
Portanto,
F
A.B.C + A.C’ + A.B’ = A
F
Essa expressão
mostra a importância
da simplificação de
expressões e a
consequente
minimização do
circuito, sendo o
resultado final igual ao
da variável A
a
Circuito antes da simplificação
a
Circuito após simplificação
A
B C
A
C A B
S
A
S
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Exercício 2
Simplifique as expressões
2
S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C
2
S = Ā.3+ Ā.B
Exercício 2
Simplifique as expressões
2
S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C
2
S = Ā.3+ Ā.B
18
Solução F
Simplifique as expressões
F
S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C
a
= A’.C’.B’ + A’.C’.B + A.B’.C
a
= A’.C’.(B’ + B) + A.B’.C
a
= A’.C’.(1) + A.B’.C
a
= A’.C’ + A.B’.C
F
S = Ā.a+ Ā.B
a
= Ā.(a+B)
a
= Ā.(1)
a
= Ā
Solução F
Simplifique as expressões
F
S = A’.B’.C’ + A’.B.C’ + A.B’.C
a
= A’.C’.B’ + A’.C’.B + A.B’.C
a
= A’.C’.(B’ + B) + A.B’.C
a
= A’.C’.(1) + A.B’.C
a
= A’.C’ + A.B’.C
F
S = Ā.a+ Ā.B
a
= Ā.(a+B)
a
= Ā.(1)
a
= Ā
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Exercício 2
Simplifique as expressões
2
S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ +
A.B.C’
2
S = (A+B+C).(Ā+3+C)
Exercício 2
Simplifique as expressões
2
S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ +
A.B.C’
2
S = (A+B+C).(Ā+3+C)
20
Solução Ā
S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’
Ā
= A’.B’.
C’
+ A’.B.C + A’.B.
C’
+ A.B’.
C’
+ A.B.
C’
Ā
= A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).
C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.B’ +
A’
.B +
A
.B’ +
A
.B).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.(B’ + B) +
A
.(B’ + B)).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.(1) +
A
.(1)).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
+
A
).C’
Ā
= A’.B.C + (1).C’
Ā
= A’.B.C + C’ identidade X+(X’.Y) = X+Y
Ā
= A’.B + C’
Ā
S = (A+B+C).(Ā+3+C)
Ā
=
A.Ā
+ A.3+ A.C + B.Ā+
B.3
+ B.C + C.Ā+ C.3+
C.C
Ā
=
0
+ A.3+ A.C + B.Ā+
0
+ B.C + C.Ā+ C.3+
C
Ā
= A.3+ B.Ā+ A.
C
+ B.
C
+
C
.Ā+
C
.3+
C
Ā
= A.3+ B.Ā+
C
.(A + B + Ā+ 3+ 1)
Ā
= A.3+ B.Ā+
C
.(1)
Ā
= A.3+ B.Ā+ C
Solução Ā
S = A’.B’.C’ + A’.B.C + A’.B.C’ + A.B’.C’ + A.B.C’
Ā
= A’.B’.
C’
+ A’.B.C + A’.B.
C’
+ A.B’.
C’
+ A.B.
C’
Ā
= A’.B.C + (A’.B’ + A’.B + A.B’ + A.B).
C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.B’ +
A’
.B +
A
.B’ +
A
.B).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.(B’ + B) +
A
.(B’ + B)).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
.(1) +
A
.(1)).C’
Ā
= A’.B.C + (
A’
+
A
).C’
Ā
= A’.B.C + (1).C’
Ā
= A’.B.C + C’ identidade X+(X’.Y) = X+Y
Ā
= A’.B + C’
Ā
S = (A+B+C).(Ā+3+C)
Ā
=
A.Ā
+ A.3+ A.C + B.Ā+
B.3
+ B.C + C.Ā+ C.3+
C.C
Ā
=
0
+ A.3+ A.C + B.Ā+
0
+ B.C + C.Ā+ C.3+
C
Ā
= A.3+ B.Ā+ A.
C
+ B.
C
+
C
.Ā+
C
.3+
C
Ā
= A.3+ B.Ā+
C
.(A + B + Ā+ 3+ 1)
Ā
= A.3+ B.Ā+
C
.(1)
Ā
= A.3+ B.Ā+ C
21
Formas Normais (Canônicas) 2
Toda expressão booleana pode ser escrita
em uma forma padronizada, denominada
forma normal
ou
forma canônica
2
Duas formas normais são
2
Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de
Somas ou Produto de Maxtermos
2
Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de
Produtos ou Soma de Mintermos
Formas Normais (Canônicas) 2
Toda expressão booleana pode ser escrita
em uma forma padronizada, denominada
forma normal
ou
forma canônica
2
Duas formas normais são
2
Forma Normal Conjuntiva (FNC), Produto de
Somas ou Produto de Maxtermos
2
Forma Normal Disjuntiva (FND), Soma de
Produtos ou Soma de Mintermos
22
Maxtermose Mintermos 3
Maxtermos (ou maxitermos)
2
Variável com valor 0 é deixada
intacta 2
Variável com valor 1 é alterada
pela sua negação 2
Variáveis de uma mesma linha
são conectadas por
+
(adição)
3
Mintermos (ou minitermos)
2
Variável com valor 1 é deixada
intacta 2
Variável com valor 0 é alterada
pela sua negação 2
Variáveis de uma mesma linha
são conectadas por
.
(multiplicação)
A B C Maxtermo Mintermo
0 0 0 A+B+CĀ.3.4
0 0 1A+B+4 2.3.C
0 1 0A+3+CĀ.B.4
0 1 1A+3+4 2.B.C
1 0 0Ā+B+C A.3.4
1 0 1Ā+B+4A.3.C
1 1 0Ā+3+C A.B.4
1 1 1Ā+3+4A.B.C
Maxtermose Mintermos 3
Maxtermos (ou maxitermos)
2
Variável com valor 0 é deixada
intacta 2
Variável com valor 1 é alterada
pela sua negação 2
Variáveis de uma mesma linha
são conectadas por
+
(adição)
3
Mintermos (ou minitermos)
2
Variável com valor 1 é deixada
intacta 2
Variável com valor 0 é alterada
pela sua negação 2
Variáveis de uma mesma linha
são conectadas por
.
(multiplicação)
A B C Maxtermo Mintermo
0 0 0 A+B+CĀ.3.4
0 0 1A+B+4 2.3.C
0 1 0A+3+CĀ.B.4
0 1 1A+3+4 2.B.C
1 0 0Ā+B+C A.3.4
1 0 1Ā+B+4A.3.C
1 1 0Ā+3+C A.B.4
1 1 1Ā+3+4A.B.C
23
Forma Normal Disjuntiva F
Mintermo
(ou
minitermo
) é o
termo produto
associado
à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variávei s
de entrada estão presentes
F
Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das
variáveis associadas, obteremos 1 F
Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo
quaisquer outras combinações de valores, obteremos 0 F
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para
uma função a partir de sua tabela verdade, basta
montarmos um
OU
entre os mintermos associados aos
1s
da função
Forma Normal Disjuntiva F
Mintermo
(ou
minitermo
) é o
termo produto
associado
à cada linha da tabela verdade, no qual todas as variávei s
de entrada estão presentes
F
Dado um dado mintermo, se substituirmos os valores das
variáveis associadas, obteremos 1 F
Porém, se substituirmos nesse mesmo mintermo
quaisquer outras combinações de valores, obteremos 0 F
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para
uma função a partir de sua tabela verdade, basta
montarmos um
OU
entre os mintermos associados aos
1s
da função
24
FND: Exemplo O
S é uma função das variáveis
de entrada A, B e C O
Os valores de (A,B,C) para os
quais S=1 encontram-se nas
situações 2, 3, 5 e 6
O
Os mintermos associados a
essas condições (ou seja, os
mintermos 1) são mostrados na
tabela ao lado
O
Logo, a expressão em soma
de produtos (FND) para S será
o
OU
entre estes produtos
O
S = Ā.B.E+ Ā.B.C + A.O.C +
A.B.E
Situação A B C S Mintermo
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0
1
Ā.B.U
3 0 1 1
1
Ā.B.C
4 1 0 0 0
5 1 0 1
1
A.O.C
6 1 1 0
1
A.B.U
7 1 1 1 0
FND: Exemplo O
S é uma função das variáveis
de entrada A, B e C O
Os valores de (A,B,C) para os
quais S=1 encontram-se nas
situações 2, 3, 5 e 6
O
Os mintermos associados a
essas condições (ou seja, os
mintermos 1) são mostrados na
tabela ao lado
O
Logo, a expressão em soma
de produtos (FND) para S será
o
OU
entre estes produtos
O
S = Ā.B.E+ Ā.B.C + A.O.C +
A.B.E
Situação A B C S Mintermo
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0
1
Ā.B.U
3 0 1 1
1
Ā.B.C
4 1 0 0 0
5 1 0 1
1
A.O.C
6 1 1 0
1
A.B.U
7 1 1 1 0
25
Forma Normal Conjuntiva F
Maxtermo
(ou
maxitermo
) é o
termo soma
associado à
cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis
de entrada estão presentes
F
Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das
variáveis associadas, obteremos 0 F
Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo
quaisquer outras combinações de valores, obteremos 1 F
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para
uma função a partir de sua tabela verdade, basta
montarmos um
E
entre os maxtermos associados aos
0s
da função
Forma Normal Conjuntiva F
Maxtermo
(ou
maxitermo
) é o
termo soma
associado à
cada linha da tabela verdade, no qual todas as variáveis
de entrada estão presentes
F
Dado um dado maxtermo, se substituirmos os valores das
variáveis associadas, obteremos 0 F
Porém, se substituirmos nesse mesmo maxtermo
quaisquer outras combinações de valores, obteremos 1 F
Dessa forma, se quisermos encontrar a equação para
uma função a partir de sua tabela verdade, basta
montarmos um
E
entre os maxtermos associados aos
0s
da função
26
FNC: Exemplo O
S é uma função das variáveis
de entrada A, B e C O
Os valores de (A,B,C) para os
quais S=0 encontram-se nas
situações 0, 1, 4 e 7
O
Os maxtermos associados a
essas condições (ou seja, os
maxtermos 0) são mostrados
na tabela ao lado
O
Logo, a expressão em produto
de somas (FNC) para S será o
E
entre estas somas
O
S = (A+B+C) . (A+B+E).
(Ā+B+C) . (Ā+O+E)
Situação A B C S Maxtermo
0 0 0 0
0
A+B+C
1 0 0 1
0
A+B+U
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0
0
Ā+B+C
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1
0
Ā+O+U
FNC: Exemplo O
S é uma função das variáveis
de entrada A, B e C O
Os valores de (A,B,C) para os
quais S=0 encontram-se nas
situações 0, 1, 4 e 7
O
Os maxtermos associados a
essas condições (ou seja, os
maxtermos 0) são mostrados
na tabela ao lado
O
Logo, a expressão em produto
de somas (FNC) para S será o
E
entre estas somas
O
S = (A+B+C) . (A+B+E).
(Ā+B+C) . (Ā+O+E)
Situação A B C S Maxtermo
0 0 0 0
0
A+B+C
1 0 0 1
0
A+B+U
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0
0
Ā+B+C
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1
0
Ā+O+U
27
Simplificação a partir da Forma
Normal
2
Uma vez obtida a forma normal de
uma função booleana, é possível
simplificá-la por meio de manipulação
algébrica, respeitando os postulados e
propriedades da álgebra booleana,
com visto anteriormente
Simplificação a partir da Forma
Normal
2
Uma vez obtida a forma normal de
uma função booleana, é possível
simplificá-la por meio de manipulação
algébrica, respeitando os postulados e
propriedades da álgebra booleana,
com visto anteriormente
28
Mapas de Veitch-Karnaugh 2
Alternativamente ao método de
simplificação algébrico por fatoração, há
outro método de simplificação baseado na
identificação visual de grupos de mintermos
que podem ser simplificados
2
Para tanto, é necessário que os mintermos
sejam dispostos de maneira conveniente,
em tabelas conhecidas como
diagramas
ou
mapas de Veitch-Karnaugh
Mapas de Veitch-Karnaugh 2
Alternativamente ao método de
simplificação algébrico por fatoração, há
outro método de simplificação baseado na
identificação visual de grupos de mintermos
que podem ser simplificados
2
Para tanto, é necessário que os mintermos
sejam dispostos de maneira conveniente,
em tabelas conhecidas como
diagramas
ou
mapas de Veitch-Karnaugh
29
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 2 Variáveis
S
Em um mapa de Veitch-Karnaugh,
há uma região própria para cada
linha da tabela verdade
S
Essas regiões são os locais ondem
devem ser colocados os valores
que a expressão S assume nas
diferentes possibilidades
S
Para obter a expressão
simplificada por meio do diagrama
S
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
pares
(diagonais não são permitidas no
agrupamento de pares) S
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em pares
são consideradas isoladamente
iB
Ā
S i
0 0
Situação 0
ĀB
0 1
Situação 1
A
Ai
1 0
Situação 2
AB
1 1
Situação 3
Situação A B S
0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 2 Variáveis
S
Em um mapa de Veitch-Karnaugh,
há uma região própria para cada
linha da tabela verdade
S
Essas regiões são os locais ondem
devem ser colocados os valores
que a expressão S assume nas
diferentes possibilidades
S
Para obter a expressão
simplificada por meio do diagrama
S
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
pares
(diagonais não são permitidas no
agrupamento de pares) S
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em pares
são consideradas isoladamente
iB
Ā
S i
0 0
Situação 0
ĀB
0 1
Situação 1
A
Ai
1 0
Situação 2
AB
1 1
Situação 3
Situação A B S
0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1
30
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 2 Variáveis
3B
Ā
A
Região A (A=1)
3B
Ā
A
Região B (B=1)
3B
Ā
A
Região Ā.3
(A=0 e B=0)
3B
Ā
A
Região Ā.B
(A=0 e B=1)
3B
Ā
A
Região Ā(A=0)
3B
Ā
A
Região 3(B=0)
3B
Ā
A
Região A.3
(A=1 e B=0)
3B
Ā
A
Região A.B
(A=1 e B=1)
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 2 Variáveis
3B
Ā
A
Região A (A=1)
3B
Ā
A
Região B (B=1)
3B
Ā
A
Região Ā.3
(A=0 e B=0)
3B
Ā
A
Região Ā.B
(A=0 e B=1)
3B
Ā
A
Região Ā(A=0)
3B
Ā
A
Região 3(B=0)
3B
Ā
A
Região A.3
(A=1 e B=0)
3B
Ā
A
Região A.B
(A=1 e B=1)
31
Exemplo F
A tabela verdade mostra o
estudo de uma função F
A expressão booleana da
função S obtida da tabela
verdade usando
mintermos é
a
S = Ā.B + A.ar+ A.B
F
Obtenha uma expressão
equivalente, simplificada
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
A
Exemplo F
A tabela verdade mostra o
estudo de uma função F
A expressão booleana da
função S obtida da tabela
verdade usando
mintermos é
a
S = Ā.B + A.ar+ A.B
F
Obtenha uma expressão
equivalente, simplificada
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
A
32
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
A
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
A
33
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0
0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
0
A
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0
0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā
0
A
34
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1
1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0
1
A
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1
1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0
1
A
35
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0
1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A
1
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0
1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A
1
36
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1
1
aB
Ā0 1
A 1
1
Exemplo F
Inicialmente, o diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1
1
aB
Ā0 1
A 1
1
37
Exemplo F
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
F
Um par é o conjunto de
duas regiões onde S=1
que tem um lado em
comum, ou seja, são
vizinhos
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A 1 1
Par 1
Exemplo F
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
F
Um par é o conjunto de
duas regiões onde S=1
que tem um lado em
comum, ou seja, são
vizinhos
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A 1 1
Par 1
38
Exemplo F
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
F
Um par é o conjunto de
duas regiões onde S=1
que tem um lado em
comum, ou seja, são
vizinhos
F
Um mesmo valor 1 pode
pertencer a mais de um
par
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
Exemplo F
Agora tentamos agrupar
as regiões onde S=1 no
menor número possível
de pares
F
Um par é o conjunto de
duas regiões onde S=1
que tem um lado em
comum, ou seja, são
vizinhos
F
Um mesmo valor 1 pode
pertencer a mais de um
par
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
aB
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
39
Exemplo 3
Então, escrevemos a
expressão de cada par, ou seja,
a região que o par ocupa no
diagrama
3
O par 1 ocupa a região A=1,
então sua expressão é A 3
O par 2 ocupa a região onde
B=1, sendo sua expressão B 3
Neste caso, nenhum 1 ficou
isolado, ou seja, fora dos pares 3
Basta então somar os
resultados de cada par
2
S = Par 1 + Par 2
2
S = A + B
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
3B
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
Exemplo 3
Então, escrevemos a
expressão de cada par, ou seja,
a região que o par ocupa no
diagrama
3
O par 1 ocupa a região A=1,
então sua expressão é A 3
O par 2 ocupa a região onde
B=1, sendo sua expressão B 3
Neste caso, nenhum 1 ficou
isolado, ou seja, fora dos pares 3
Basta então somar os
resultados de cada par
2
S = Par 1 + Par 2
2
S = A + B
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
3B
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
40
Exemplo O
A expressão de S obtida por
mapa de Veitch-Karnaugh é
Ā
S = A + B
O
Como é possível notar, essa é
a expressão de uma porta
OU
,
pois a tabela verdade também
é da porta
OU
O
Outro ponto importante é que a
expressão obtida diretamente
da tabela verdade
Ā
S = Ā.B + A.OU+ A.B
O
é visivelmente maior que a
expressão minimizada
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
OB
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
Exemplo O
A expressão de S obtida por
mapa de Veitch-Karnaugh é
Ā
S = A + B
O
Como é possível notar, essa é
a expressão de uma porta
OU
,
pois a tabela verdade também
é da porta
OU
O
Outro ponto importante é que a
expressão obtida diretamente
da tabela verdade
Ā
S = Ā.B + A.OU+ A.B
O
é visivelmente maior que a
expressão minimizada
Situação A B S
0 0 0 0
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 1
OB
Ā0 1
A 1 1
Par 2
Par 1
41
Exercício 2
Dada a tabela ao lado,
obtenha a expressão
de S diretamente da
tabela, usando
mintermos
2
A seguir, transporte a
tabela para o
diagrama de Veitch-
Karnaugh e obtenha a
expressão simplificada
Situação A B S
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
3B
Ā
A
Exercício 2
Dada a tabela ao lado,
obtenha a expressão
de S diretamente da
tabela, usando
mintermos
2
A seguir, transporte a
tabela para o
diagrama de Veitch-
Karnaugh e obtenha a
expressão simplificada
Situação A B S
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
3B
Ā
A
42
Solução ’
Dada a tabela ao lado, obtenha a
expressão de S diretamente da
tabela, usando mintermos
’
S = Ā.1+ Ā.B + A.1
’
A seguir, transporte a tabela para o
diagrama de Veitch-Karnaugh e
obtenha a expressão simplificada
’
S = Par 1 + Par 2
’
S = Ā+ 1
’
Nota-se que a tabela verdade é a
de uma porta
NAND
, cuja
expressão é S=(A.B)’
’
Aplicando De Morgan na
expressão encontrada, tem-se
’
S = Ā+ 1= (A.B)’
Situação A B S
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
1B
Ā1 1
A 1 0
Par 2
Par 1
Solução ’
Dada a tabela ao lado, obtenha a
expressão de S diretamente da
tabela, usando mintermos
’
S = Ā.1+ Ā.B + A.1
’
A seguir, transporte a tabela para o
diagrama de Veitch-Karnaugh e
obtenha a expressão simplificada
’
S = Par 1 + Par 2
’
S = Ā+ 1
’
Nota-se que a tabela verdade é a
de uma porta
NAND
, cuja
expressão é S=(A.B)’
’
Aplicando De Morgan na
expressão encontrada, tem-se
’
S = Ā+ 1= (A.B)’
Situação A B S
0 0 0 1
1 0 1 1
2 1 0 1
3 1 1 0
1B
Ā1 1
A 1 0
Par 2
Par 1
43
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 3 Variáveis
S
De forma análoga para 2 variáveis,
com 3 variáveis também há uma
região própria para cada linha da
tabela verdade em um mapa de
Veitch-Karnaugh
S
Para obter a expressão
simplificada por meio do diagrama
S
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
quadras
S
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
pares
S
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em
quadras ou pares são
consideradas isoladamente
Situação A B C S
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
iB
Ā
S i t
0 0 0
Situação 0
S iC
0 0 1
Situação 1
ĀB C
0 1 1
Situação 3
ĀB t
0 1 0
Situação 2
A
Ai t
1 0 0
Situação 4
AiC
1 0 1
Situação 5
A B C
1 1 1
Situação 7
A B t
1 1 0
Situação 6
tCt
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 3 Variáveis
S
De forma análoga para 2 variáveis,
com 3 variáveis também há uma
região própria para cada linha da
tabela verdade em um mapa de
Veitch-Karnaugh
S
Para obter a expressão
simplificada por meio do diagrama
S
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
quadras
S
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
pares
S
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em
quadras ou pares são
consideradas isoladamente
Situação A B C S
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
iB
Ā
S i t
0 0 0
Situação 0
S iC
0 0 1
Situação 1
ĀB C
0 1 1
Situação 3
ĀB t
0 1 0
Situação 2
A
Ai t
1 0 0
Situação 4
AiC
1 0 1
Situação 5
A B C
1 1 1
Situação 7
A B t
1 1 0
Situação 6
tCt
44
3B
Ā
A
4C4
Região A=1 (Região A)
3B
Ā
A
4C4
Região B=1 (Região B)
3B
Ā
A
4C4
Região C=1 (Região C)
3B
Ā
A
4C4
Região A=0 (Região Ā)
3B
Ā
A
4C4
Região B=0 (Região 3)
3B
Ā
A
4C4
Região C=0 (Região C)
Quadras
3B
Ā
A
4C4
Região A=1 (Região A)
3B
Ā
A
4C4
Região B=1 (Região B)
3B
Ā
A
4C4
Região C=1 (Região C)
3B
Ā
A
4C4
Região A=0 (Região Ā)
3B
Ā
A
4C4
Região B=0 (Região 3)
3B
Ā
A
4C4
Região C=0 (Região C)
Quadras
45
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.3
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.B
3B
Ā
A
4C4
Região A.3
3B
Ā
A
4C4
Região A.C
3B
Ā
A
4C4
Região A.B
Pares (1/2)
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.3
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.B
3B
Ā
A
4C4
Região A.3
3B
Ā
A
4C4
Região A.C
3B
Ā
A
4C4
Região A.B
Pares (1/2)
46
3B
Ā
A
C C C
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
C C C
Região3.C
3B
Ā
A
C C C
Região3.C
3B
Ā
A
C C C
Região A.C
3B
Ā
A
C C C
Região B.C
3B
Ā
A
C C C
Região B.C
Pares (2/2)
3B
Ā
A
C C C
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
C C C
Região3.C
3B
Ā
A
C C C
Região3.C
3B
Ā
A
C C C
Região A.C
3B
Ā
A
C C C
Região B.C
3B
Ā
A
C C C
Região B.C
Pares (2/2)
47
Quadra e Pares nas
Extremidades
3B
Ā
A
4C4
Região C=0 (Região C)
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
4C4
Região A.C
Note que a região marcada
corresponde a uma quadra,
mesmo não estando contígua no
diagrama
De forma análoga, estas regiões
marcadas correspondem a pares
Quadra e Pares nas
Extremidades
3B
Ā
A
4C4
Região C=0 (Região C)
3B
Ā
A
4C4
RegiãoĀ.C
3B
Ā
A
4C4
Região A.C
Note que a região marcada
corresponde a uma quadra,
mesmo não estando contígua no
diagrama
De forma análoga, estas regiões
marcadas correspondem a pares
48
Exemplo F
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
F
S = Ā.a.t+ Ā.B.t+
Ā.B.C + A.a.t+ A.B.t
F
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
aB
Ā
A
tCt
Exemplo F
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
F
S = Ā.a.t+ Ā.B.t+
Ā.B.C + A.a.t+ A.B.t
F
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
aB
Ā
A
tCt
49
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0
1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā
1
A
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0
1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā
1
A
0C0
50
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1
0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1
0
A
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1
0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1
0
A
0C0
51
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0
1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0
1
A
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0
1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0
1
A
0C0
52
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1
1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0
1
1
A
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1
1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0
1
1
A
0C0
53
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0
1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A
1 0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0
1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A
1 0C0
54
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1
0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A 1
0
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1
0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A 1
0
0C0
55
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0
1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A 1 0
1
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0
1
7 1 1 1 0
1B
Ā1 0 1 1
A 1 0
1
0C0
56
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1
0
1B
Ā1 0 1 1
A 1 0
0
1
0C0
Exemplo ’
A expressão extraída
diretamente da tabela
verdade para S é
’
S = Ā.1.0+ Ā.B.0+
Ā.B.C + A.1.0+ A.B.0
’
Como antes, o
diagrama é
preenchido com cada
situação da tabela
verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1
0
1B
Ā1 0 1 1
A 1 0
0
1
0C0
57
Exemplo 2
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
4C4
Exemplo 2
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
4C4
58
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
59
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Ā
No exemplo, tem-se o par Ā.B
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Ā
No exemplo, tem-se o par Ā.B
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
60
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Ā
No exemplo, tem-se o par Ā.B
Ā
Por último, resta considerar termos
isolados, que não foram agrupados
nem em quadras, nem em pares
Ā
No exemplo, não temos nenhum termo
isolado
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
Exemplo Ā
Agora tentamos agrupar as regiões
onde S=1 no menor número possível
de quadras
Ā
No exemplo, tem-se a quadra 5
Ā
Como nenhuma quadra adicional pode
ser encontrada, tentamos localizar
agora o menor número de pares
Ā
Não devem ser considerados os pares
já incluídos em quadras
Ā
Contudo, pode acontecer de um par ser
composto por um 1 externo e outro
interno a uma quadra
Ā
No exemplo, tem-se o par Ā.B
Ā
Por último, resta considerar termos
isolados, que não foram agrupados
nem em quadras, nem em pares
Ā
No exemplo, não temos nenhum termo
isolado
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
C
61
Exemplo 2
Agora, basta somar as expressões
referentes às quadras, pares e
termos isolados
2
No exemplo, temos
2
Quadra 4
2
Par Ā.B
2
A expressão final minimizada é
2
S = 45+ Ā.B
2
Comparando com a expressão
antes da minimização, é possível
notar a redução do número de
portas e operações necessárias
para obter-se o mesmo resultado
2
S = Ā.3.4+ Ā.B.4+ Ā.B.C + A.3.4+
A.B.4
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
4C4
Exemplo 2
Agora, basta somar as expressões
referentes às quadras, pares e
termos isolados
2
No exemplo, temos
2
Quadra 4
2
Par Ā.B
2
A expressão final minimizada é
2
S = 45+ Ā.B
2
Comparando com a expressão
antes da minimização, é possível
notar a redução do número de
portas e operações necessárias
para obter-se o mesmo resultado
2
S = Ā.3.4+ Ā.B.4+ Ā.B.C + A.3.4+
A.B.4
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā1 0 1 1
A 1 0 0 1
4C4
62
Exercício 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā
A
4C4
Exercício 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā
A
4C4
63
Exercício 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
2
Lembrar de agrupar as quadras,
depois os pares e por últimos os
termos isolados
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
Exercício 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
2
Lembrar de agrupar as quadras,
depois os pares e por últimos os
termos isolados
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
64
Solução 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
2
Lembrar de agrupar as quadras,
depois os pares e por últimos os
termos isolados
2
Nesse caso, há apenas 3 pares
2
Ā.C
2
A.3
2
A.4
2
Portanto, a expressão minimizada
é
2
S = Ā.C + A.3+ A.4
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
Solução 2
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
2
Lembrar de agrupar as quadras,
depois os pares e por últimos os
termos isolados
2
Nesse caso, há apenas 3 pares
2
Ā.C
2
A.3
2
A.4
2
Portanto, a expressão minimizada
é
2
S = Ā.C + A.3+ A.4
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
65
Solução Ā
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
Ā
Lembrar de agrupar as quadras, depois
os pares e por últimos os termos
isolados
Ā
Nesse caso, há apenas 3 pares
Ā
Ā.C
Ā
A.3
Ā
A.4
Ā
Portanto, a expressão minimizada é
Ā
S = Ā.C + A.3+ A.4
Ā
Poderíamos também ter agrupado da
seguinte maneira, gerando a expressão
Ā
S = Ā.C + 3.C + A.4
Ā
Essas duas expressões, sintaticamente
diferentes, são semanticamente
equivalentes, pois possuem o mesmo
comportamento em cada situação da
tabela verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
Solução Ā
Minimizar o circuito que executa a
tabela verdade ao lado
Ā
Lembrar de agrupar as quadras, depois
os pares e por últimos os termos
isolados
Ā
Nesse caso, há apenas 3 pares
Ā
Ā.C
Ā
A.3
Ā
A.4
Ā
Portanto, a expressão minimizada é
Ā
S = Ā.C + A.3+ A.4
Ā
Poderíamos também ter agrupado da
seguinte maneira, gerando a expressão
Ā
S = Ā.C + 3.C + A.4
Ā
Essas duas expressões, sintaticamente
diferentes, são semanticamente
equivalentes, pois possuem o mesmo
comportamento em cada situação da
tabela verdade
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 0
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 0 1
4C4
66
Exercício 2
Simplifique a
expressão, utilizando
diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
S = Ā.3.5+ Ā.3.C+ Ā.B.C +
A.3.C + A.B.C
3B
Ā
A
4C4
Exercício 2
Simplifique a
expressão, utilizando
diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
S = Ā.3.5+ Ā.3.C+ Ā.B.C +
A.3.C + A.B.C
3B
Ā
A
4C4
67
Solução 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.3.C+ Ā.B.C + A.3.C
+ A.B.C
3
Após a minimização, obtém-se
Ā
S = C + Ā.3
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
3B
Ā1 1 1 0
A 0 1 1 0
C
Solução 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.3.C+ Ā.B.C + A.3.C
+ A.B.C
3
Após a minimização, obtém-se
Ā
S = C + Ā.3
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 1
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
3B
Ā1 1 1 0
A 0 1 1 0
C
68
Exercício 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
Tente montar o diagrama sem
escrever a tabela verdade
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3B
Ā
A
C
Exercício 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
Tente montar o diagrama sem
escrever a tabela verdade
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3B
Ā
A
C
69
Exercício 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
Tente montar o diagrama sem
escrever a tabela verdade
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3B
ĀĀ.3. Ā.B.CĀ.B.
A A.B.C
C
Exercício 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
3
Tente montar o diagrama sem
escrever a tabela verdade
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3B
ĀĀ.3. Ā.B.CĀ.B.
A A.B.C
C
70
Solução 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3
Após a minimização, obtém-se
Ā
S = Ā.54+ B.C
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
3B
Ā1 0 1 1
A 0 0 1 0
C
Solução 3
Simplifique a expressão,
utilizando diagrama de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.3.5+ Ā.B.5+ Ā.B.C + A.B.C
3
Após a minimização, obtém-se
Ā
S = Ā.54+ B.C
Situação A B C S
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 0
7 1 1 1 1
3B
Ā1 0 1 1
A 0 0 1 0
C
71
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 4 Variáveis
2
Nesse caso, para obter a
expressão simplificada por meio do
diagrama
2
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
oitavas
2
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
quadras
2
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
pares
2
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em
oitavas, quadras ou pares são
consideradas isoladamente 2
No diagrama, os lados
extremos
opostos se comunicam
, podendo
formar oitavas, quadras ou pares
4C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 4 Variáveis
2
Nesse caso, para obter a
expressão simplificada por meio do
diagrama
2
Agrupar as regiões onde S=1 no
menor número possível de
oitavas
2
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
quadras
2
Em seguida, agrupar as regiões
onde S=1 no menor número
possível de
pares
2
As regiões onde S=1 que não
puderem ser agrupadas em
oitavas, quadras ou pares são
consideradas isoladamente 2
No diagrama, os lados
extremos
opostos se comunicam
, podendo
formar oitavas, quadras ou pares
4C
Ā
3
B
A
3
ðDð
72
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 4 Variáveis
S
Como antes, há uma região para
cada linha na tabela verdade
Situação A B C D S
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
tC
Ā
S i t a
0 0 0 0 Situação 0
S i tD
0 0 0 1
Situação 1
S iC D
0 0 1 1
Situação 3
S iC ð
0 0 1 0
Situação 2
i
ĀB t a
0 1 0 0
Situação 4
Ā B tD
0 1 0 1
Situação 5
ĀB C D
0 1 1 1
Situação 7
ĀB C ð
0 1 1 0
Situação 6
B
A
A B t a
1 1 0 0
Situação 12
ABtD
1 1 0 1
Situação 13
A B C D
1 1 1 1
Situação 15
A B C ð
1 1 1 0
Situação 14
Ai t a
1 0 0 0
Situação 8
Ai tD
1 0 0 1
Situação 9
AiC D
1 0 1 1
Situação 11
AiC ð
1 0 1 0
Situação 10
i
ðDð
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 4 Variáveis
S
Como antes, há uma região para
cada linha na tabela verdade
Situação A B C D S
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
tC
Ā
S i t a
0 0 0 0 Situação 0
S i tD
0 0 0 1
Situação 1
S iC D
0 0 1 1
Situação 3
S iC ð
0 0 1 0
Situação 2
i
ĀB t a
0 1 0 0
Situação 4
Ā B tD
0 1 0 1
Situação 5
ĀB C D
0 1 1 1
Situação 7
ĀB C ð
0 1 1 0
Situação 6
B
A
A B t a
1 1 0 0
Situação 12
ABtD
1 1 0 1
Situação 13
A B C D
1 1 1 1
Situação 15
A B C ð
1 1 1 0
Situação 14
Ai t a
1 0 0 0
Situação 8
Ai tD
1 0 0 1
Situação 9
AiC D
1 0 1 1
Situação 11
AiC ð
1 0 1 0
Situação 10
i
ðDð
73
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A=1 (Região A)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B=1 (Região B)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C=1 (Região C)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região D=1 (Região D)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A=0 (Região Ā)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B=0 (Região 3)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C=0 (Região )
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região D=0 (Região ð)
Oitavas
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A=1 (Região A)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B=1 (Região B)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C=1 (Região C)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região D=1 (Região D)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A=0 (Região Ā)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B=0 (Região 3)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C=0 (Região )
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região D=0 (Região ð)
Oitavas
74
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.
Quadras (1/3)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.
Quadras (1/3)
75
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.
Quadras (2/3)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.
Quadras (2/3)
76
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região .D
Quadras (3/3)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região .D
Quadras (3/3)
77
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā.3.
Pares (1/4)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3.C
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā.3.
Pares (1/4)
78
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā.3.ð
Pares (2/4)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.3.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.3.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.B.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā.3.ð
Pares (2/4)
79
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A. .ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā. .ð
Pares (3/4)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região A. .ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
RegiãoĀ.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região Ā. .ð
Pares (3/4)
80
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B. .ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região 3. .ð
Pares (4/4)
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região B. .ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C.D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3. .D
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região3.C.ð
5C
Ā
3
B
A
3
ðDð
Região 3. .ð
Pares (4/4)
81
Exemplo F
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
F
S = Ā.a.t.D + Ā.a.C.ð
Ā.a.C.D+Ā.B.t.D +
Ā.B.C.D +A.a.t.ð+
A.a.t.D +A.a.C.D +
A.B.t.ð + A.B.t.D +
A.B.C.D
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
Exemplo F
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
F
S = Ā.a.t.D + Ā.a.C.ð
Ā.a.C.D+Ā.B.t.D +
Ā.B.C.D +A.a.t.ð+
A.a.t.D +A.a.C.D +
A.B.t.ð + A.B.t.D +
A.B.C.D
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
82
Exemplo F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.ð
Ā.a.C.D +Ā.B.o.D +
Ā.B.C.D + A.a.o.ð+
A.a.o.D + A.a.C.D +
A.B.o.ð + A.B.o.D +
A.B.C.D
F
Transpondo para o
diagrama, temos o
diagrama ao lado
tC
Ā
0 1 1 1a
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 0a
ðDð
Exemplo F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.ð
Ā.a.C.D +Ā.B.o.D +
Ā.B.C.D + A.a.o.ð+
A.a.o.D + A.a.C.D +
A.B.o.ð + A.B.o.D +
A.B.C.D
F
Transpondo para o
diagrama, temos o
diagrama ao lado
tC
Ā
0 1 1 1a
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 0a
ðDð
83
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B.4.D +Ā.B.C.D +
A.3.4.ð+ A.3.4.D + A.3.C.D +
A.B.4.ð + A.B.4.D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas
4C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B.4.D +Ā.B.C.D +
A.3.4.ð+ A.3.4.D + A.3.C.D +
A.B.4.ð + A.B.4.D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas
4C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
84
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B.4.D +Ā.B.C.D +
A.3.4.ð+ A.3.4.D + A.3.C.D +
A.B.4.ð + A.B.4.D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas, quadras
4C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B.4.D +Ā.B.C.D +
A.3.4.ð+ A.3.4.D + A.3.C.D +
A.B.4.ð + A.B.4.D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas, quadras
4C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
85
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
Ā
S = Ā.3. .D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B. .D +Ā.B.C.D +
A.3. .ð+ A.3. .D + A.3.C.D +
A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas, quadras e
pares 3
Observe que não existem
elementos isolados neste
exemplo
3
A expressão simplificada é
Ā
S = D + A.5+ Ā.3.C
C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
Exemplo 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
Ā
S = Ā.3. .D + Ā.3.C.ð
Ā.3.C.D +Ā.B. .D +Ā.B.C.D +
A.3. .ð+ A.3. .D + A.3.C.D +
A.B. .ð + A.B. .D + A.B.C.D
3
Transpondo para o diagrama,
temos o diagrama ao lado 3
Localizando oitavas, quadras e
pares 3
Observe que não existem
elementos isolados neste
exemplo
3
A expressão simplificada é
Ā
S = D + A.5+ Ā.3.C
C
Ā
0 1 1 13
0 1 1 0
B
A
1 1 1 0
1 1 1 03
ðDð
86
Exercício F
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
F
S = Ā.a.t.D + Ā.a.C.D
+ Ā.B.t.ð + Ā.B.t.D +
+ Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+
+ A.B.C.D + A.a.C.ð
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
Exercício F
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
F
S = Ā.a.t.D + Ā.a.C.D
+ Ā.B.t.ð + Ā.B.t.D +
+ Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+
+ A.B.C.D + A.a.C.ð
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
87
Exercício Ā
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.a. .D + Ā.a.C.D
+ Ā.B. .ð + Ā.B. .D +
+ Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+
+ A.B.C.D + A.a.C.ð
C
Ā
Ā.a.o.DĀ.a.C.Da
Ā.B.o.ð Ā.B.o.DĀ.B.C.DĀ.B.C.ð
B
A
A.B.C.D
A.a.C.ða
ðDð
Exercício Ā
Simplifique a
expressão usando
mapa de Veitch-
Karnaugh
Ā
S = Ā.a. .D + Ā.a.C.D
+ Ā.B. .ð + Ā.B. .D +
+ Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+
+ A.B.C.D + A.a.C.ð
C
Ā
Ā.a.o.DĀ.a.C.Da
Ā.B.o.ð Ā.B.o.DĀ.B.C.DĀ.B.C.ð
B
A
A.B.C.D
A.a.C.ða
ðDð
88
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
89
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras, um par
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras, um par
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
90
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras, um par
e um elemento isolado F
Portanto, a expressão
minimizada é
a
S = Ā.D + Ā.B + B.C.D +
A.a.C.ð
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
Solução F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.D + Ā.a.C.D +
Ā.B.o.ð + Ā.B.o.D + +
Ā.B.C.D + Ā.B.C.ð+ +
A.B.C.D + A.a.C.ð
F
Não há oitavas possíveis
F
Há duas quadras, um par
e um elemento isolado F
Portanto, a expressão
minimizada é
a
S = Ā.D + Ā.B + B.C.D +
A.a.C.ð
tC
Ā
0 1 1 0a
1 1 1 1
B
A
0 0 1 0
0 0 0 1a
ðDð
91
Exercício F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
Exercício F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
tC
Ā
a
B
A
a
ðDð
92
Exercício Ā
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
C
Ā
Ā.a.o.ð Ā.a.o.DĀ.a.C.ða
Ā.B.o.D
B
A
A.B.o.DA.B.C.D
A.a.o.ðA.a.o.D A.a.C.ða
ðDð
Exercício Ā
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
C
Ā
Ā.a.o.ð Ā.a.o.DĀ.a.C.ða
Ā.B.o.D
B
A
A.B.o.DA.B.C.D
A.a.o.ðA.a.o.D A.a.C.ða
ðDð
93
Exercício F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
tC
Ā
1 1 1a
1
B
A
1 1
1 1 1a
ðDð
Exercício F
Simplifique a expressão
usando mapa de Veitch-
Karnaugh
a
S = Ā.a.o.ð+ Ā.a.o.D +
Ā.a.C.ð+ Ā.B.o.D +
A.a.o.ð + A.a.o.D +
A.a.C.ð+ A.B.o.D +
A.B.C.D
tC
Ā
1 1 1a
1
B
A
1 1
1 1 1a
ðDð
94
Solução 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.ð+ Ā.3.4.D +
Ā.3.C.ð+ Ā.B.4.D + A.3.4.ð
+ A.3.4.D + A.3.C.ð+ A.B.4.D
+ A.B.C.D
3
Não há oitavas possíveis
3
Há duas quadras e um par
3
Portanto, a expressão
minimizada é
2
S = 4.D + 3.ð+ A.B.D
4C
Ā
1 1 13
1
B
A
1 1
1 1 13
ðDð
Solução 3
Simplifique a expressão usando
mapa de Veitch-Karnaugh
2
S = Ā.3.4.ð+ Ā.3.4.D +
Ā.3.C.ð+ Ā.B.4.D + A.3.4.ð
+ A.3.4.D + A.3.C.ð+ A.B.4.D
+ A.B.C.D
3
Não há oitavas possíveis
3
Há duas quadras e um par
3
Portanto, a expressão
minimizada é
2
S = 4.D + 3.ð+ A.B.D
4C
Ā
1 1 13
1
B
A
1 1
1 1 13
ðDð
95
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
O
Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do
diagrama
’
Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de
hexas
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares
’
As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas,
quadras ou pares são consideradas isoladamente
O
No diagrama, os lados
extremos opostos se comunicam
, assim
como um diagrama se sobrepõe ao outro
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
O
Nesse caso, para obter a expressão simplificada por meio do
diagrama
’
Agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de
hexas
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de oitavas
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de quadras
’
Em seguida, agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de pares
’
As regiões onde S=1 que não puderem ser agrupadas em oitavas,
quadras ou pares são consideradas isoladamente
O
No diagrama, os lados
extremos opostos se comunicam
, assim
como um diagrama se sobrepõe ao outro
96
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
Situação A B C D E S
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1
2 0 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1
4 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1
6 0 0 1 1 0
7 0 0 1 1 1
8 0 1 0 0 0
9 0 1 0 0 1
10 0 1 0 1 0
11 0 1 0 1 1
12 0 1 1 0 0
13 0 1 1 0 1
14 0 1 1 1 0
15 0 1 1 1 1
Situação A B C D E S
16 1 0 0 0 0
17 1 0 0 0 1
18 1 0 0 1 0
19 1 0 0 1 1
20 1 0 1 0 0
21 1 0 1 0 1
22 1 0 1 1 0
23 1 0 1 1 1
24 1 1 0 0 0
25 1 1 0 0 1
26 1 1 0 1 0
27 1 1 0 1 1
28 1 1 1 0 0
29 1 1 1 0 1
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
Situação A B C D E S
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1
2 0 0 0 1 0
3 0 0 0 1 1
4 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 1
6 0 0 1 1 0
7 0 0 1 1 1
8 0 1 0 0 0
9 0 1 0 0 1
10 0 1 0 1 0
11 0 1 0 1 1
12 0 1 1 0 0
13 0 1 1 0 1
14 0 1 1 1 0
15 0 1 1 1 1
Situação A B C D E S
16 1 0 0 0 0
17 1 0 0 0 1
18 1 0 0 1 0
19 1 0 0 1 1
20 1 0 1 0 0
21 1 0 1 0 1
22 1 0 1 1 0
23 1 0 1 1 1
24 1 1 0 0 0
25 1 1 0 0 1
26 1 1 0 1 0
27 1 1 0 1 1
28 1 1 1 0 0
29 1 1 1 0 1
30 1 1 1 1 0
31 1 1 1 1 1
97
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
ðD
A A S i
1 0 0 0 0 Situação 16
A A SE
1 0 0 0 1
Situação 17
A A D E
1 0 0 1 1
Situação 19
A A D Ē
1 0 0 1 0
Situação 18
S
A ACð Ē
1 0 1 0 0
Situação 20
A AtC ðE
1 0 1 0 1
Situação 21
A AC D E
1 0 1 1 1
Situação 23
A AC D Ē
1 0 1 1 0
Situação 22
C
B
A B Cð Ē
1 1 1 0 0
Situação 28
A B CðE
1 1 1 0 1
Situação 29
A B C D E
1 1 1 1 1
Situação 31
A B C D Ē
1 1 1 1 0
Situação 30
A B S i
1 1 0 0 0
Situação 24
A B SE
1 1 0 0 1
Situação 25
A B D E
1 1 0 1 1
Situação 27
A B D Ē
1 1 0 1 0
Situação 26
S
ĒEĒ
A Ā
ðD
utA S i
0 0 0 0 0 Situação 0
utA SE
0 0 0 0 1
Situação 1
utA D E
0 0 0 1 1
Situação 3
utA D Ē
0 0 0 1 0
Situação 2
S
utACð Ē
0 0 1 0 0
Situação 4
utAtC ðE
0 0 1 0 1
Situação 5
utAC D E
0 0 1 1 1
Situação 7
utAC D Ē
0 0 1 1 0
Situação 6
C
B
Ā B Cð Ē
0 1 1 0 0
Situação 12
Ā B CðE
0 1 1 0 1
Situação 13
Ā B C D E
0 1 1 1 1
Situação 15
Ā B C D Ē
0 1 1 1 0
Situação 14
Ā B S i
0 1 0 0 0
Situação 8
Ā B SE
0 1 0 0 1
Situação 9
Ā B D E
0 1 0 1 1
Situação 11
Ā B D Ē
0 1 0 1 0
Situação 10
S
ĒEĒ
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
ðD
A A S i
1 0 0 0 0 Situação 16
A A SE
1 0 0 0 1
Situação 17
A A D E
1 0 0 1 1
Situação 19
A A D Ē
1 0 0 1 0
Situação 18
S
A ACð Ē
1 0 1 0 0
Situação 20
A AtC ðE
1 0 1 0 1
Situação 21
A AC D E
1 0 1 1 1
Situação 23
A AC D Ē
1 0 1 1 0
Situação 22
C
B
A B Cð Ē
1 1 1 0 0
Situação 28
A B CðE
1 1 1 0 1
Situação 29
A B C D E
1 1 1 1 1
Situação 31
A B C D Ē
1 1 1 1 0
Situação 30
A B S i
1 1 0 0 0
Situação 24
A B SE
1 1 0 0 1
Situação 25
A B D E
1 1 0 1 1
Situação 27
A B D Ē
1 1 0 1 0
Situação 26
S
ĒEĒ
A Ā
ðD
utA S i
0 0 0 0 0 Situação 0
utA SE
0 0 0 0 1
Situação 1
utA D E
0 0 0 1 1
Situação 3
utA D Ē
0 0 0 1 0
Situação 2
S
utACð Ē
0 0 1 0 0
Situação 4
utAtC ðE
0 0 1 0 1
Situação 5
utAC D E
0 0 1 1 1
Situação 7
utAC D Ē
0 0 1 1 0
Situação 6
C
B
Ā B Cð Ē
0 1 1 0 0
Situação 12
Ā B CðE
0 1 1 0 1
Situação 13
Ā B C D E
0 1 1 1 1
Situação 15
Ā B C D Ē
0 1 1 1 0
Situação 14
Ā B S i
0 1 0 0 0
Situação 8
Ā B SE
0 1 0 0 1
Situação 9
Ā B D E
0 1 0 1 1
Situação 11
Ā B D Ē
0 1 0 1 0
Situação 10
S
ĒEĒ
98
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
A
Ā
Diagrama de Veitch-Karnaugh
para 5 Variáveis
A
Ā
99
Hexas(1)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A
A Ā
Região B
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā
A Ā
Região 3
Hexas(1)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A
A Ā
Região B
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā
A Ā
Região 3
100
Hexas(2)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C
A Ā
Região D
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5
A Ā
Região ð
Hexas(2)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C
A Ā
Região D
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5
A Ā
Região ð
101
Hexas(3)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região E
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ē
Hexas(3)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região E
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ē
102
Oitavas (1/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.B
A Ā
Região A.3
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.B
A Ā
Região Ā.3
Oitavas (1/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.B
A Ā
Região A.3
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.B
A Ā
Região Ā.3
103
Oitavas (2/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.C
A Ā
Região A.5
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.C
A Ā
Região Ā.5
Oitavas (2/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.C
A Ā
Região A.5
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.C
A Ā
Região Ā.5
104
Oitavas (3/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.D
A Ā
Região A.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.D
A Ā
Região Ā.ð
Oitavas (3/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.D
A Ā
Região A.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.D
A Ā
Região Ā.ð
105
Oitavas (4/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.E
A Ā
Região A.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.E
A Ā
Região Ā.Ē
Oitavas (4/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região A.E
A Ā
Região A.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região Ā.E
A Ā
Região Ā.Ē
106
Oitavas (5/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.C
A Ā
Região B.5
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.C
A Ā
Região 3.5
Oitavas (5/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.C
A Ā
Região B.5
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.C
A Ā
Região 3.5
107
Oitavas (6/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.D
A Ā
Região B.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.D
A Ā
Região 3.ð
Oitavas (6/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.D
A Ā
Região B.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.D
A Ā
Região 3.ð
108
Oitavas (7/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.E
A Ā
Região B.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.E
A Ā
Região 3.Ē
Oitavas (7/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região B.E
A Ā
Região B.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 3.E
A Ā
Região 3.Ē
109
Oitavas (8/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C.D
A Ā
Região C.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5.D
A Ā
Região 5.ð
Oitavas (8/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C.D
A Ā
Região C.ð
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5.D
A Ā
Região 5.ð
110
Oitavas (9/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C.E
A Ā
Região C.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5.E
A Ā
Região 5.Ē
Oitavas (9/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região C.E
A Ā
Região C.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região 5.E
A Ā
Região 5.Ē
111
Oitavas (10/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região D.E
A Ā
Região D.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região ð.E
A Ā
Região ð.Ē
Oitavas (10/10)
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região D.E
A Ā
Região D.Ē
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
ðD
3
C
B
ĒEĒ
A Ā
Região ð.E
A Ā
Região ð.Ē
112
Exemplo: Simplifique o Circuito
representado pelo diagrama
ðD
3
0 0 0 04
0 1 0 1
C
B
1 1 1 1
0 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 0 1 04
1 1 1 0
C
B
0 1 0 1
1 1 0 14
ĒEĒ
Exemplo: Simplifique o Circuito
representado pelo diagrama
ðD
3
0 0 0 04
0 1 0 1
C
B
1 1 1 1
0 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 0 1 04
1 1 1 0
C
B
0 1 0 1
1 1 0 14
ĒEĒ
113
Exemplo: 2 Quadras
ðD
3
4
1 1
C
B
1 1 1 1
4
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 14
1 1 1
C
B
1 1
1 1 14
ĒEĒ
Exemplo: 2 Quadras
ðD
3
4
1 1
C
B
1 1 1 1
4
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 14
1 1 1
C
B
1 1
1 1 14
ĒEĒ
114
Exemplo: 2 Quadras, 5 Pares
ðD
3
4
1 1
C
B
1 1 1 1
4
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 14
1 1 1
C
B
1 1
1 1 14
ĒEĒ
S= A.B.C + C.ð.E + Ā.3.ð.Ē+ Ā.3.D.E + Ā.B.4.ð+ Ā.B.D.Ē+ A.C.D.Ē
Exemplo: 2 Quadras, 5 Pares
ðD
3
4
1 1
C
B
1 1 1 1
4
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
1 14
1 1 1
C
B
1 1
1 1 14
ĒEĒ
S= A.B.C + C.ð.E + Ā.3.ð.Ē+ Ā.3.D.E + Ā.B.4.ð+ Ā.B.D.Ē+ A.C.D.Ē
115
Exercício
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
Exercício
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
116
Solução
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
S=
C.E
+
3.D.Ē
+
B.4.ð.Ē
Solução
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
A Ā
ðD
3
0 0 0 14
0 1 1 1
C
B
0 1 1 0
1 0 0 04
ĒEĒ
S=
C.E
+
3.D.Ē
+
B.4.ð.Ē
117
Casos Sem Simplificação Ā
Seja a expressão
Ā
S = Ā.B + A.B
Ā
Ao tentar simplificar a expressão
pelo diagrama de Veitch-Karnaugh,
nota-se que não é possível agrupar
termos
Ā
Nesse caso, a expressão dada já
se encontra minimizada
3
O mesmo ocorre com a
expressão
Ā
S = A.B + Ā.3
3
Que também se encontra
minimizada
3B
Ā0 1
A 1 0
3B
Ā1 0
A 0 1
Casos Sem Simplificação Ā
Seja a expressão
Ā
S = Ā.B + A.B
Ā
Ao tentar simplificar a expressão
pelo diagrama de Veitch-Karnaugh,
nota-se que não é possível agrupar
termos
Ā
Nesse caso, a expressão dada já
se encontra minimizada
3
O mesmo ocorre com a
expressão
Ā
S = A.B + Ā.3
3
Que também se encontra
minimizada
3B
Ā0 1
A 1 0
3B
Ā1 0
A 0 1
118
Casos Sem Simplificação 2
O mesmo ocorre nas duas situações seguintes,
que também não admitem simplificação
2
Estes casos também ocorrem para 4 ou mais
variáveis de entrada
3B
Ā1 0 1 0
A 0 1 0 1
4C4
3B
Ā0 1 0 1
A 1 0 1 0
4C4
Casos Sem Simplificação 2
O mesmo ocorre nas duas situações seguintes,
que também não admitem simplificação
2
Estes casos também ocorrem para 4 ou mais
variáveis de entrada
3B
Ā1 0 1 0
A 0 1 0 1
4C4
3B
Ā0 1 0 1
A 1 0 1 0
4C4
119
Outra Maneira de Utilização 2
Outra maneira de utilizar um diagrama
Veitch-Karnaughconsiste em utilizar o
complemento da expressão
2
Assim, somente são considerados os casos
onde a expressão S=0
2
Com isso, têm-se o complemento da função,
que precisa, portanto, ser invertida
2
Isso corresponde a utilizar De Morgan
Outra Maneira de Utilização 2
Outra maneira de utilizar um diagrama
Veitch-Karnaughconsiste em utilizar o
complemento da expressão
2
Assim, somente são considerados os casos
onde a expressão S=0
2
Com isso, têm-se o complemento da função,
que precisa, portanto, ser invertida
2
Isso corresponde a utilizar De Morgan
120
Diagrama de Veitch-Karnaughpelo
Complemento
3
Usando o diagrama pelo
método convencional, obtém-se
2
S =
A
+
C
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 1 1
4C4
Diagrama de Veitch-Karnaughpelo
Complemento
3
Usando o diagrama pelo
método convencional, obtém-se
2
S =
A
+
C
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 1 1
4C4
121
Diagrama de Veitch-Karnaughpelo
Complemento
3
Usando o diagrama pelo
método convencional, obtém-se
Ā
S =
A
+
C
3
Usando o complemento, tem-se
Ā
S =
Ā.5
3
Portanto,
Ā
S = (Ā.5)’
3
Aplicando-se De Morgan na
expressão acima, tem-se
Ā
S = (Ā.5)’ = A + C
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 1 1
C
Diagrama de Veitch-Karnaughpelo
Complemento
3
Usando o diagrama pelo
método convencional, obtém-se
Ā
S =
A
+
C
3
Usando o complemento, tem-se
Ā
S =
Ā.5
3
Portanto,
Ā
S = (Ā.5)’
3
Aplicando-se De Morgan na
expressão acima, tem-se
Ā
S = (Ā.5)’ = A + C
Situação A B C S
0 0 0 0 0
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
3B
Ā0 1 1 0
A 1 1 1 1
C
122
Resumo F
Neste apresentação foram vistos os postulados e
propriedades da álgebra de Boole F
É importante lembrar que qualquer expressão booleana
pode ser escrita de forma padronizada, obtida a partir da
tabela verdade
a
Produto de Maxtermos
a
Soma de Mintermos
F
Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito, é
possível realizar simplificações que visam reduzir redução
de custo de fabricação dos circuitos
a
Fatoração (simplificação algébrica)
a
Diagrama de Veitch-Karnaugh (simplificação visual)
Resumo F
Neste apresentação foram vistos os postulados e
propriedades da álgebra de Boole F
É importante lembrar que qualquer expressão booleana
pode ser escrita de forma padronizada, obtida a partir da
tabela verdade
a
Produto de Maxtermos
a
Soma de Mintermos
F
Uma vez obtida a expressão booleana de um circuito, é
possível realizar simplificações que visam reduzir redução
de custo de fabricação dos circuitos
a
Fatoração (simplificação algébrica)
a
Diagrama de Veitch-Karnaugh (simplificação visual)
123
Copyright©Apresentação 2012 por
José Augusto Baranauskas
Universidade de São Paulo
Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da m aneira que lhes
for conveniente, desde que esta nota de copyrightpermaneça intacta.
Slides baseados em:
2
Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição,
Érica, 1987.
2
E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill,
1977.
Copyright©Apresentação 2012 por
José Augusto Baranauskas
Universidade de São Paulo
Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da m aneira que lhes
for conveniente, desde que esta nota de copyrightpermaneça intacta.
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2
Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição,
Érica, 1987.
2
E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill,
1977.
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