Ab funcoes-logicas-portas-logicas
MarcoAntonioCosta
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Aug 07, 2016
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About This Presentation
funções logicas
Slide Content
José Augusto Baranauskas
Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP
[email protected]
http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto
Funções Lógicas e
Portas Lógicas
F
Nesta apresentação será
fornecida uma introdução
ao sistema matemático de
análise de circuitos lógicos,
conhecido como Álgebra de
Boole
F
Serão vistos os blocos
básicos e suas
equivalências
Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP-USP
[email protected]
http://dcm.fmrp.usp.br/~augusto
Funções Lógicas e
Portas Lógicas
F
Nesta apresentação será
fornecida uma introdução
ao sistema matemático de
análise de circuitos lógicos,
conhecido como Álgebra de
Boole
F
Serão vistos os blocos
básicos e suas
equivalências
2
Histórico 2
Em meados do século XIX o
matemático inglês George
Boole
desenvolveu um sistema
matemático de análise lógica
2
Em meados do século XX, o
americano Claude Elwood
Shannon
sugeriu que a Álgebra
Booleana poderia ser usada para
análise e projeto de circuitos de
comutação
George Boole (1815-1864)
Claude Elwood Shannon (1916-2001)
Histórico 2
Em meados do século XIX o
matemático inglês George
Boole
desenvolveu um sistema
matemático de análise lógica
2
Em meados do século XX, o
americano Claude Elwood
Shannon
sugeriu que a Álgebra
Booleana poderia ser usada para
análise e projeto de circuitos de
comutação
George Boole (1815-1864)
Claude Elwood Shannon (1916-2001)
3
Histórico 2
Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eram
solucionados por meio de sistemas analógicos 2
Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a
ser solucionados pela eletrônica digital 2
Na eletrônica digital, os sistemas (computadores,
processadores de dados, sistemas de controle,
codificadores, decodificadores, etc) empregam um
pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são
conhecidos como portas
e
,
ou
,
não
e
flip-flop
2
Com a utilização adequadas dessas portas é possível
implementar todas as expressões geradas pela álgebra
de Boole
Histórico 2
Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eram
solucionados por meio de sistemas analógicos 2
Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a
ser solucionados pela eletrônica digital 2
Na eletrônica digital, os sistemas (computadores,
processadores de dados, sistemas de controle,
codificadores, decodificadores, etc) empregam um
pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são
conhecidos como portas
e
,
ou
,
não
e
flip-flop
2
Com a utilização adequadas dessas portas é possível
implementar todas as expressões geradas pela álgebra
de Boole
4
Álgebra Booleana 2
Na álgebra de Boole, há somente dois
estados
(
valores
ou
símbolos
) permitidos
2
Estado
0
(zero)
2
Estado
1
(um)
2
Em geral
2
O estado zero representa
não
,
falso
, aparelho
desligado, ausência de tensão, chave elétrica
desligada, etc
2
O estado um representa
sim
,
verdadeiro
, aparelho
ligado, presença de tensão, chave ligada, etc
Álgebra Booleana 2
Na álgebra de Boole, há somente dois
estados
(
valores
ou
símbolos
) permitidos
2
Estado
0
(zero)
2
Estado
1
(um)
2
Em geral
2
O estado zero representa
não
,
falso
, aparelho
desligado, ausência de tensão, chave elétrica
desligada, etc
2
O estado um representa
sim
,
verdadeiro
, aparelho
ligado, presença de tensão, chave ligada, etc
5
Álgebra Booleana 2
Assim, na álgebra booleana, se
representarmos por 0 uma situação, a
situação contrária é representada por 1
2
Portanto, em qualquer bloco (porta ou
função) lógico somente esses dois estados
(0 ou 1) são permitidos em suas entradas e
saídas
2
Uma variável booleana também só assume
um dos dois estados permitidos (0 ou 1)
Álgebra Booleana 2
Assim, na álgebra booleana, se
representarmos por 0 uma situação, a
situação contrária é representada por 1
2
Portanto, em qualquer bloco (porta ou
função) lógico somente esses dois estados
(0 ou 1) são permitidos em suas entradas e
saídas
2
Uma variável booleana também só assume
um dos dois estados permitidos (0 ou 1)
6
Álgebra Booleana 2
Nesta apresentação trataremos dos seguintes blocos
lógicos
3
E (AND)
3
OU (OR)
3
NÃO (NOT)
3
NÃO E (NAND)
3
NÃO OU (NOR)
3
OU EXCLUSIVO (XOR)
2
Após, veremos a correspondência entre expressões,
circuitos e tabelas verdade 2
Por último, veremos a equivalência entre blocos lógicos
Álgebra Booleana 2
Nesta apresentação trataremos dos seguintes blocos
lógicos
3
E (AND)
3
OU (OR)
3
NÃO (NOT)
3
NÃO E (NAND)
3
NÃO OU (NOR)
3
OU EXCLUSIVO (XOR)
2
Após, veremos a correspondência entre expressões,
circuitos e tabelas verdade 2
Por último, veremos a equivalência entre blocos lógicos
7
Função
E
(
AND
)
2
Executa a
multiplicação
(
conjunção
) booleana
de duas ou mais variáveis binárias
2
Por exemplo, assuma a convenção no circuito
2
Chave aberta = 0; Chave fechada = 1
2
Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1
AB
Função
E
(
AND
)
2
Executa a
multiplicação
(
conjunção
) booleana
de duas ou mais variáveis binárias
2
Por exemplo, assuma a convenção no circuito
2
Chave aberta = 0; Chave fechada = 1
2
Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1
AB
8
Função
E
(
AND
)
2
Situações possíveis:
A=0B=0S=0
A=1B=0S=0
A=0 B=1S=0
A=1 B=1
S=1
Função
E
(
AND
)
2
Situações possíveis:
A=0B=0S=0
A=1B=0S=0
A=0 B=1S=0
A=1 B=1
S=1
9
Função
E
(
AND
)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta ( B=0), não haverá
circulação de energia no circuito, logo a lâmpada f ica apagada (S=0) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), não
haverá circulação de energia no circuito, logo a lâ mpada fica apagada
(S=0)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), não
haverá circulação de energia no circuito, logo a lâ mpada fica apagada
(S=0)
2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Observando todas as quatro situações possíveis (int erpretações), é
possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando as
chaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A=1 e B=1)
Função
E
(
AND
)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta ( B=0), não haverá
circulação de energia no circuito, logo a lâmpada f ica apagada (S=0) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), não
haverá circulação de energia no circuito, logo a lâ mpada fica apagada
(S=0)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), não
haverá circulação de energia no circuito, logo a lâ mpada fica apagada
(S=0)
2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Observando todas as quatro situações possíveis (int erpretações), é
possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando as
chaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A=1 e B=1)
10
Função
E
(
AND
)
∧
Para representar a expressão
∧
S = A
e
B
∧
Adotaremos a representação
∧
S = A
.
B, onde se lê S = A
e
B
∧
Porém, existem notações alternativas
∧
S = A & B
∧
S = A, B
∧
S = A ∧B
Função
E
(
AND
)
∧
Para representar a expressão
∧
S = A
e
B
∧
Adotaremos a representação
∧
S = A
.
B, onde se lê S = A
e
B
∧
Porém, existem notações alternativas
∧
S = A & B
∧
S = A, B
∧
S = A ∧B
11
Tabela Verdade 2
A tabela verdade é um mapa onde são
colocadas todas as possíveis
interpretações (situações), com seus
respectivos resultados para uma expressão
booleana qualquer
2
Como visto no exemplo anterior, para 2
variáveis booleanas (A e B), há 4
interpretações possíveis
2
Em geral, para Nvariáveis booleanas de
entrada, há 2
N
interpretações possíveis
Tabela Verdade 2
A tabela verdade é um mapa onde são
colocadas todas as possíveis
interpretações (situações), com seus
respectivos resultados para uma expressão
booleana qualquer
2
Como visto no exemplo anterior, para 2
variáveis booleanas (A e B), há 4
interpretações possíveis
2
Em geral, para Nvariáveis booleanas de
entrada, há 2
N
interpretações possíveis
12
Tabela Verdade da Função
E
(
AND
)
A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Tabela Verdade da Função
E
(
AND
)
A B A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
13
Porta Lógica
E
(
AND
)
E
A porta
E
é um circuito que executa a função
E
E
A porta
E
executa a tabela verdade da função
E
E
Portanto, a saída será 1 somente se ambas as
entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída
será 0 E
Representação
Entrada A
Saída S
Entrada B
Porta
E
(
AND
)
Porta Lógica
E
(
AND
)
E
A porta
E
é um circuito que executa a função
E
E
A porta
E
executa a tabela verdade da função
E
E
Portanto, a saída será 1 somente se ambas as
entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída
será 0 E
Representação
Entrada A
Saída S
Entrada B
Porta
E
(
AND
)
14
Porta Lógica
E
(
AND
)
A B
S=A.B
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0
0
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0
1
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1
0
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1
1
1
Porta Lógica
E
(
AND
)
A B
S=A.B
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0
0
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
0
1
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1
0
0
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1
1
1
15
Porta Lógica
E
(
AND
)
E
É possível estender o
conceito de uma porta
E
para um número qualquer
de variáveis de entrada E
Nesse caso, temos uma
porta
E
com N entradas e
somente uma saída
E
A saída será 1 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 1; nos
demais casos, a saída
será 0
A
B
S=A.B.C…N
C
N
…
Porta Lógica
E
(
AND
)
E
É possível estender o
conceito de uma porta
E
para um número qualquer
de variáveis de entrada E
Nesse caso, temos uma
porta
E
com N entradas e
somente uma saída
E
A saída será 1 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 1; nos
demais casos, a saída
será 0
A
B
S=A.B.C…N
C
N
…
16
Porta Lógica
E
(
AND
)
2
Por exemplo,
S=A.B.C.D
A
B
S=A.B.C.D
C
D
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Porta Lógica
E
(
AND
)
2
Por exemplo,
S=A.B.C.D
A
B
S=A.B.C.D
C
D
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
17
Função
OU
(
OR
)
2
Executa a
soma
(
disjunção
) booleana de duas
ou mais variáveis binárias
2
Por exemplo, assuma a convenção no circuito
2
Chave aberta = 0; Chave fechada = 1
2
Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1
B
A
Função
OU
(
OR
)
2
Executa a
soma
(
disjunção
) booleana de duas
ou mais variáveis binárias
2
Por exemplo, assuma a convenção no circuito
2
Chave aberta = 0; Chave fechada = 1
2
Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1
B
A
18
Função
OU
(
OR
)
S=0
B=0
A=0
S=1
B=1
A=1
S=1
B=0
A=1
S=1
B=1
A=0
Função
OU
(
OR
)
S=0
B=0
A=0
S=1
B=1
A=1
S=1
B=0
A=1
S=1
B=1
A=0
19
Função
OU
(
OR
)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta ( B=0), não haverá
circulação de energia no circuito, logo a lâmpada f ica apagada (S=0) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Observando todas as quatro situações possíveis, é p ossível concluir
que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B
ou ambas estiverem fechadas
Função
OU
(
OR
)
2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta ( B=0), não haverá
circulação de energia no circuito, logo a lâmpada f ica apagada (S=0) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá
circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) 2
Observando todas as quatro situações possíveis, é p ossível concluir
que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B
ou ambas estiverem fechadas
20
Função
OU
(
OR
)
∧
Para representar a expressão
∧
S = A
ou
B
∧
Adotaremos a representação
∧
S = A
+
B, onde se lê S = A
ou
B
∧
Porém, existem notações alternativas
∧
S = A | B
∧
S = A; B
∧
S = A ∨B
Função
OU
(
OR
)
∧
Para representar a expressão
∧
S = A
ou
B
∧
Adotaremos a representação
∧
S = A
+
B, onde se lê S = A
ou
B
∧
Porém, existem notações alternativas
∧
S = A | B
∧
S = A; B
∧
S = A ∨B
21
Tabela Verdade da Função
OU
(
OR
)
E
Observe que, no
sistema de numeração
binário, a soma
1+1=10
E
Na álgebra booleana,
1+1=1, já que
somente dois valores
são permitidos (0 e 1)
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Tabela Verdade da Função
OU
(
OR
)
E
Observe que, no
sistema de numeração
binário, a soma
1+1=10
E
Na álgebra booleana,
1+1=1, já que
somente dois valores
são permitidos (0 e 1)
A B A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
22
Porta Lógica
OU
(
OR
)
E
A porta
OU
é um circuito que executa a função
OU
E
A porta
OU
executa a tabela verdade da função
OU
A
Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem
iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1
E
Representação
Entrada A
Saída S
Entrada B
Porta
OU
(
OR
)
Entrada A
Saída S
Entrada B
Porta Lógica
OU
(
OR
)
E
A porta
OU
é um circuito que executa a função
OU
E
A porta
OU
executa a tabela verdade da função
OU
A
Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem
iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1
E
Representação
Entrada A
Saída S
Entrada B
Porta
OU
(
OR
)
Entrada A
Saída S
Entrada B
23
Porta Lógica
OU
(
OR
)
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
A B
S=A+B
Porta Lógica
OU
(
OR
)
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
A B
S=A+B
24
Porta Lógica
OU
(
OR
)
E
É possível estender o
conceito de uma porta
OU
para um número qualquer
de variáveis de entrada E
Nesse caso, temos uma
porta
OU
com N entradas
e somente uma saída
E
A saída será 0 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 0; nos
demais casos, a saída
será 1
A
B
S=A+B+C+…+N
C
N
…
Porta Lógica
OU
(
OR
)
E
É possível estender o
conceito de uma porta
OU
para um número qualquer
de variáveis de entrada E
Nesse caso, temos uma
porta
OU
com N entradas
e somente uma saída
E
A saída será 0 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 0; nos
demais casos, a saída
será 1
A
B
S=A+B+C+…+N
C
N
…
25
Porta Lógica
OU
(
OR
)
2
Por exemplo,
S=A+B+C+D
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A
B
S=A+B+C+D
C
D
Porta Lógica
OU
(
OR
)
2
Por exemplo,
S=A+B+C+D
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
A
B
S=A+B+C+D
C
D
26
Função
NÃO
(
NOT
)
2
Executa o
complemento
(
negação
) de
uma variável binária
2
Se a variável estiver em 0, o resultado da
função é 1
2
Se a variável estiver em 1, o resultado da
função é 0
2
Essa função também é chamada de inversora
Função
NÃO
(
NOT
)
2
Executa o
complemento
(
negação
) de
uma variável binária
2
Se a variável estiver em 0, o resultado da
função é 1
2
Se a variável estiver em 1, o resultado da
função é 0
2
Essa função também é chamada de inversora
27
Função
NÃO
(
NOT
)
2
Usando as mesmas convenções dos circuitos
anteriores, tem-se que:
2
Quando a chave A está aberta (A=0), passará corrente
pela lâmpada e ela acenderá (S=1) 2
Quando a chave A está fechada (A=1), a lâmpada
estará em curto-circuito e não passará corrente por
ela, ficando apagada (S=0)
S=1
A=0
S=0
A=1
Função
NÃO
(
NOT
)
2
Usando as mesmas convenções dos circuitos
anteriores, tem-se que:
2
Quando a chave A está aberta (A=0), passará corrente
pela lâmpada e ela acenderá (S=1) 2
Quando a chave A está fechada (A=1), a lâmpada
estará em curto-circuito e não passará corrente por
ela, ficando apagada (S=0)
S=1
A=0
S=0
A=1
28
Função
NÃO
(
NOT
)
¬
Para representar a
expressão
3
S =
não
A
¬
Adotaremos a
representação
3
S = Ā, onde se lê S =
não
A
¬
Notações alternativas
3
S = A’
3
S = ¬A
3
S = Ã
¬
Tabela verdade da
função
NÃO
(
NOT
)
AĀ
0 1
1 0
Função
NÃO
(
NOT
)
¬
Para representar a
expressão
3
S =
não
A
¬
Adotaremos a
representação
3
S = Ā, onde se lê S =
não
A
¬
Notações alternativas
3
S = A’
3
S = ¬A
3
S = Ã
¬
Tabela verdade da
função
NÃO
(
NOT
)
AĀ
0 1
1 0
29
Porta Lógica
NÃO
(
NOT
)
E
A porta lógica
NÃO
, ou
inversor
, é o circuito que executa
a função
NÃO
E
O inversor executa a tabela verdade da função
NÃO
A
Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada fo r 1, a saída será
0
E
Representação
Entrada ASaída S
Porta
NÃO
(
NOT
)
Após um
bloco lógico
Antes de um
bloco lógico
Alternativamente,
Porta Lógica
NÃO
(
NOT
)
E
A porta lógica
NÃO
, ou
inversor
, é o circuito que executa
a função
NÃO
E
O inversor executa a tabela verdade da função
NÃO
A
Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada fo r 1, a saída será
0
E
Representação
Entrada ASaída S
Porta
NÃO
(
NOT
)
Após um
bloco lógico
Antes de um
bloco lógico
Alternativamente,
30
Porta Lógica
NÃO
(
NOT
)
01
AS=Ā
AS=Ā
0 1
1 0
10
AS=Ā
0 1
1 0
Porta Lógica
NÃO
(
NOT
)
01
AS=Ā
AS=Ā
0 1
1 0
10
AS=Ā
0 1
1 0
31
Função
NÃO E
(
NAND
)
∧
Composição da
função
E
com a
função
NÃO
, ou seja,
a saída da função
E
é
invertida
∧
S = (A.B) = A.B
= (A.B)’
= ¬(A.B)
∧
Tabela verdade
A B S=A.B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Função
NÃO E
(
NAND
)
∧
Composição da
função
E
com a
função
NÃO
, ou seja,
a saída da função
E
é
invertida
∧
S = (A.B) = A.B
= (A.B)’
= ¬(A.B)
∧
Tabela verdade
A B S=A.B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
32
Porta
NÃO E
(
NAND
)
2
A porta
NÃO E
(
NE
) é o bloco lógico que executa
a função
NÃO E
, ou seja, sua tabela verdade
2
Representação
A
B
S=A.B
A B
S=A.B
Porta
NÃO E
(
NAND
)
2
A porta
NÃO E
(
NE
) é o bloco lógico que executa
a função
NÃO E
, ou seja, sua tabela verdade
2
Representação
A
B
S=A.B
A B
S=A.B
33
Porta
NÃO E
(
NAND
)
E
Como a porta
E
, a porta
NÃO E
pode ter duas ou
mais entradas
E
Nesse caso, temos uma
porta
NÃO E
com N
entradas e somente uma
saída
E
A saída será 0 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 1; nos
demais casos, a saída
será 1
A
B
S=A.B.C…N
C
N
…
Porta
NÃO E
(
NAND
)
E
Como a porta
E
, a porta
NÃO E
pode ter duas ou
mais entradas
E
Nesse caso, temos uma
porta
NÃO E
com N
entradas e somente uma
saída
E
A saída será 0 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 1; nos
demais casos, a saída
será 1
A
B
S=A.B.C…N
C
N
…
34
Função
NÃO OU
(
NOR
)
∧
Composição da
função
OU
com a
função
NÃO
, ou seja,
a saída da função
OU
é invertida
∧
S = (A+B) = A+B
= (A+B)’
= ¬(A+B)
∧
Tabela verdade
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Função
NÃO OU
(
NOR
)
∧
Composição da
função
OU
com a
função
NÃO
, ou seja,
a saída da função
OU
é invertida
∧
S = (A+B) = A+B
= (A+B)’
= ¬(A+B)
∧
Tabela verdade
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
35
Porta
NÃO OU
(
NOR
)
2
A porta
NÃO OU
(
NOU
) é o bloco lógico que
executa a função
NÃO OU
, ou seja, sua tabela
verdade
2
Representação
A B
S=A+B
S=A+B
A B
Porta
NÃO OU
(
NOR
)
2
A porta
NÃO OU
(
NOU
) é o bloco lógico que
executa a função
NÃO OU
, ou seja, sua tabela
verdade
2
Representação
A B
S=A+B
S=A+B
A B
36
Porta
NÃO OU
(
NOR
)
E
Como a porta
OU
, a porta
NÃO OU
pode ter duas ou
mais entradas
E
Nesse caso, temos uma
porta
NÃO OU
com N
entradas e somente uma
saída
E
A saída será 1 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 0; nos
demais casos, a saída
será 0
A
B
S=A+B+C+…+N
C
N
…
Porta
NÃO OU
(
NOR
)
E
Como a porta
OU
, a porta
NÃO OU
pode ter duas ou
mais entradas
E
Nesse caso, temos uma
porta
NÃO OU
com N
entradas e somente uma
saída
E
A saída será 1 se e
somente se as N entradas
forem iguais a 0; nos
demais casos, a saída
será 0
A
B
S=A+B+C+…+N
C
N
…
37
Função
OU Exclusivo
(
XOR
)
∧
A função
OU
Exclusivo
fornece
∧
1 na saída quando as
entradas forem
diferentes entre si e
∧
0 caso contrário
∧
S = A ⊕B
= Ā.B + A.∨
∧
Tabela verdade
A B S=A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Função
OU Exclusivo
(
XOR
)
∧
A função
OU
Exclusivo
fornece
∧
1 na saída quando as
entradas forem
diferentes entre si e
∧
0 caso contrário
∧
S = A ⊕B
= Ā.B + A.∨
∧
Tabela verdade
A B S=A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
38
Porta
OU Exclusivo
(
XOR
)
como Bloco Básico
A
B
S=A⊕B ⊕
A
B
S=A⊕B |
Simbologia adotada
Outros símbolos utilizados
A B
S=A⊕B
Porta
OU Exclusivo
(
XOR
)
como Bloco Básico
A
B
S=A⊕B ⊕
A
B
S=A⊕B |
Simbologia adotada
Outros símbolos utilizados
A B
S=A⊕B
39
Porta
OU Exclusivo
(
XOR
)
como Circuito Combinacional
A
B
S=A⊕B
Porta
OU Exclusivo
(
XOR
)
como Circuito Combinacional
A
B
S=A⊕B
41
Resumo dos Blocos Lógicos
Básicos
Nome Símbolo Gráfico Função Algébrica Tabela Verdade
E (AND)
S=A.B
S=AB
OU (OR)
S=A+B
NÃO (NOT)
Inversor
S=Ā
S=A’
S= ¬A
NE (NAND)
S=A.B
S=(A.B)’
S= ¬(A.B)
NOU (NOR)
S=A+B
S=(A+B)’
S= ¬(A+B)
XOR
S=A⊕B
A
B
S=A.B
A B
S=A+B
AS=Ā A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
AS=Ā
0 1
1 0
A B S=A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B S=A.B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A B
S=A⊕B
Resumo dos Blocos Lógicos
Básicos
Nome Símbolo Gráfico Função Algébrica Tabela Verdade
E (AND)
S=A.B
S=AB
OU (OR)
S=A+B
NÃO (NOT)
Inversor
S=Ā
S=A’
S= ¬A
NE (NAND)
S=A.B
S=(A.B)’
S= ¬(A.B)
NOU (NOR)
S=A+B
S=(A+B)’
S= ¬(A+B)
XOR
S=A⊕B
A
B
S=A.B
A B
S=A+B
AS=Ā A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B S=A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B S=A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
AS=Ā
0 1
1 0
A B S=A⊕B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B S=A.B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A B
S=A⊕B
42
Correspondência entre expressões,
circuitos e tabelas verdade
2
Todo circuito lógico executa uma
expressão booleana
2
Um circuito, por mais complexo que seja, é
composto pela interligação dos blocos
lógicos básicos
2
Veremos, a seguir, como obter as
expressões booleanas geradas por um
circuito lógico
Correspondência entre expressões,
circuitos e tabelas verdade
2
Todo circuito lógico executa uma
expressão booleana
2
Um circuito, por mais complexo que seja, é
composto pela interligação dos blocos
lógicos básicos
2
Veremos, a seguir, como obter as
expressões booleanas geradas por um
circuito lógico
43
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Seja o circuito:
A
B
S
C
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Seja o circuito:
A
B
S
C
44
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Vamos dividi-lo em duas partes (1) e (2)
2
No circuito (1), a saída S
1
contém o produto
A.B, já que o bloco é uma porta
E
2
Portanto, S
1
= A.B
A
B
S
C
(1)
(2)
S
1
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Vamos dividi-lo em duas partes (1) e (2)
2
No circuito (1), a saída S
1
contém o produto
A.B, já que o bloco é uma porta
E
2
Portanto, S
1
= A.B
A
B
S
C
(1)
(2)
S
1
45
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
No circuito (2), note que a saída S
1
é utilizada
como uma das entradas da porta
OU
2
A outra entrada da porta
OU
corresponde à
variável C, o que nos leva à:
2
S = S
1+ C
A
B
S=S
1+C
C
(1)
(2)
S
1=A.B
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
No circuito (2), note que a saída S
1
é utilizada
como uma das entradas da porta
OU
2
A outra entrada da porta
OU
corresponde à
variável C, o que nos leva à:
2
S = S
1+ C
A
B
S=S
1+C
C
(1)
(2)
S
1=A.B
46
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Para obter a expressão final em relação às
entradas A, B e C basta substituir a expressão S
1
na expressão de S, ou seja:
2
(1) S
1= A.B
2
(2) S = S
1+ C
2
Obtém-se S = S
1+ C = (A.B) + C
A
B
S=S
1+C
C
(1)
(2)
S
1=A.B
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Para obter a expressão final em relação às
entradas A, B e C basta substituir a expressão S
1
na expressão de S, ou seja:
2
(1) S
1= A.B
2
(2) S = S
1+ C
2
Obtém-se S = S
1+ C = (A.B) + C
A
B
S=S
1+C
C
(1)
(2)
S
1=A.B
47
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Portanto, a expressão que o circuito executa é:
2
S = (A.B) + C = A.B + C
A
B
S=A.B+C
C
(2)
A.B
Expressões Booleanas Geradas
por Circuitos Lógicos
2
Portanto, a expressão que o circuito executa é:
2
S = (A.B) + C = A.B + C
A
B
S=A.B+C
C
(2)
A.B
48
Exercício 2
Escreva a expressão booleana executada
pelo circuito
S
A B C D
Exercício 2
Escreva a expressão booleana executada
pelo circuito
S
A B C D
49
Solução
S=(A+B).(C+D)
A B C D
(A+B)
(C+D)
Solução
S=(A+B).(C+D)
A B C D
(A+B)
(C+D)
50
Exercício 2
Determinar a expressão booleana
característica do circuito
A
B
S
C D
Exercício 2
Determinar a expressão booleana
característica do circuito
A
B
S
C D
51
Solução
A
B
S=(A.B)+C+(C.D)
C D
(A.B)
C
(C.D)
Solução
A
B
S=(A.B)+C+(C.D)
C D
(A.B)
C
(C.D)
52
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Até o momento, vimos como obter uma
expressão característica a partir de um
circuito
2
Também é possível obter um circuito
lógico, dada uma expressão booleana
2
Nesse caso, como na aritmética elementar,
parênteses têm maior prioridade, seguidos
pela multiplicação (função
E
) e, por último,
pela soma (função
OU
)
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Até o momento, vimos como obter uma
expressão característica a partir de um
circuito
2
Também é possível obter um circuito
lógico, dada uma expressão booleana
2
Nesse caso, como na aritmética elementar,
parênteses têm maior prioridade, seguidos
pela multiplicação (função
E
) e, por último,
pela soma (função
OU
)
53
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
54
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
2
Dentro do primeiro parêntese temos a
soma booleana
S
1=(A+B)
, portanto o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Dentro do segundo parêntese temos a
soma booleana
S
2=(B+D)
. Novamente, o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
A B
S
1=(A+B)
B D
S
2=(B+D)
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
2
Dentro do primeiro parêntese temos a
soma booleana
S
1=(A+B)
, portanto o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Dentro do segundo parêntese temos a
soma booleana
S
2=(B+D)
. Novamente, o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
A B
S
1=(A+B)
B D
S
2=(B+D)
55
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
2
Dentro do primeiro parêntese temos a
soma booleana
S
1=(A+B)
, portanto o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Dentro do segundo parêntese temos a
soma booleana
S
2=(B+D)
. Novamente, o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Portanto, temos:
2
S =
S
1
. C .
S
2
2
Agora temos uma multiplicação booleana
e o circuito que a executa é uma porta
E
A B
S
1=(A+B)
B D
S
2=(B+D)
S
1
CS
S
2
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
Seja a expressão
2
S = (A+B).C.(B+D)
2
Vamos separar as subfórmulas da
expressão, ou seja:
2
S =
(A+B)
. C .
(B+D)
2
Dentro do primeiro parêntese temos a
soma booleana
S
1=(A+B)
, portanto o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Dentro do segundo parêntese temos a
soma booleana
S
2=(B+D)
. Novamente, o
circuito que executa esse parêntese será
uma porta
OU
2
Portanto, temos:
2
S =
S
1
. C .
S
2
2
Agora temos uma multiplicação booleana
e o circuito que a executa é uma porta
E
A B
S
1=(A+B)
B D
S
2=(B+D)
S
1
CS
S
2
56
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
O circuito completo é:
A B
S
1=(A+B)
D
S
2=(B+D)
C
S = (A+B).C.(B+D)
Circuitos Gerados por
Expressões Booleanas
2
O circuito completo é:
A B
S
1=(A+B)
D
S
2=(B+D)
C
S = (A+B).C.(B+D)
57
Exercício 2
Desenhe o circuito lógico que executa a
seguinte expressão booleana
2
S = (A.B.C) + (A+B).C
Exercício 2
Desenhe o circuito lógico que executa a
seguinte expressão booleana
2
S = (A.B.C) + (A+B).C
58
Solução 2
É importante lembrar que as entradas que representam a mesma
variável estão interligadas 2
Contudo o desenho sem interligações facilita a inte rpretação do
circuito
A BA B
(A+B).C
C C
A+B
S=(A.B.C)+(A+B).C
A.B.C
Solução 2
É importante lembrar que as entradas que representam a mesma
variável estão interligadas 2
Contudo o desenho sem interligações facilita a inte rpretação do
circuito
A BA B
(A+B).C
C C
A+B
S=(A.B.C)+(A+B).C
A.B.C
59
Exercício 2
Desenhe o circuito lógico cuja expressão
característica é
2
S = (A.B + C.D)’
Exercício 2
Desenhe o circuito lógico cuja expressão
característica é
2
S = (A.B + C.D)’
60
Solução
A
B
A.B
D
C.D
S=((A.B)+(C.D))’
C
Solução
A
B
A.B
D
C.D
S=((A.B)+(C.D))’
C
61
Expressões ou Circuitos
representados por Tabelas Verdade
2
Uma forma de estudar uma função booleana
consiste em utilizar sua tabela verdade
2
Como visto anteriormente, há uma equivalência
entre o circuito lógico e sua expressão
característica
2
Podemos obter um circuito a partir de sua expressão
2
Podemos obter expressões a partir dos circuitos
2
Uma tabela verdade representa o comportamento
tanto do circuito como de sua expressão
característica
Expressões ou Circuitos
representados por Tabelas Verdade
2
Uma forma de estudar uma função booleana
consiste em utilizar sua tabela verdade
2
Como visto anteriormente, há uma equivalência
entre o circuito lógico e sua expressão
característica
2
Podemos obter um circuito a partir de sua expressão
2
Podemos obter expressões a partir dos circuitos
2
Uma tabela verdade representa o comportamento
tanto do circuito como de sua expressão
característica
62
Como obter a Tabela Verdade a
partir de uma Expressão
N
Colocar todas as possibilidades (interpretações)
para as variáveis de entrada
N
Lembrar que para Nvariáveis, há 2
N
possibilidades
N
Adicionar colunas para cada subfórmula da
expressão
N
Preencher cada coluna com seus resultados
N
Adicionar uma coluna para o resultado final
N
Preencher essa coluna com o resultado final
Como obter a Tabela Verdade a
partir de uma Expressão
N
Colocar todas as possibilidades (interpretações)
para as variáveis de entrada
N
Lembrar que para Nvariáveis, há 2
N
possibilidades
N
Adicionar colunas para cada subfórmula da
expressão
N
Preencher cada coluna com seus resultados
N
Adicionar uma coluna para o resultado final
N
Preencher essa coluna com o resultado final
63
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
A B C D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
A B C D
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
64
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
A B C D
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
A B C D
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1
65
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
3
Variação 4 zeros, 4 um
A B C D
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
3
Variação 4 zeros, 4 um
A B C D
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
66
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
3
Variação 4 zeros, 4 um
3
Variação 8 zeros, 8 um
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Exemplo 2
Considere a expressão
3
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
Como há 4 variáveis de
entrada (A, B, C, D), há
2
4
=16 interpretações
3
Variação 1 zero, 1 um
3
Variação 2 zeros, 2 um
3
Variação 4 zeros, 4 um
3
Variação 8 zeros, 8 um
A B C D
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
67
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
68
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
69
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
70
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
71
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1
72
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1
73
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma
coluna para cada
subfórmulade S, além de
uma coluna para o
resultado final S
3
A.B.C
3
A.D
3
A.B.D
2
Preencher cada coluna
com seu respectivo
resultado
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1
74
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma coluna
para cada subfórmula de S,
além de uma coluna para o
resultado final S
2
A.B.C
2
A.D
2
A.B.D
2
Preencher cada coluna com
seu respectivo resultado 2
Por último, preencher a coluna
do resultado final
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma coluna
para cada subfórmula de S,
além de uma coluna para o
resultado final S
2
A.B.C
2
A.D
2
A.B.D
2
Preencher cada coluna com
seu respectivo resultado 2
Por último, preencher a coluna
do resultado final
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
75
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma coluna
para cada subfórmula de S,
além de uma coluna para o
resultado final S
2
A.B.C
2
A.D
2
A.B.D
2
Preencher cada coluna com
seu respectivo resultado 2
Por último, preencher a coluna
do resultado final
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Exemplo 2
S = A.B.C + A.D + A.B.D
2
A seguir, adicionar uma coluna
para cada subfórmula de S,
além de uma coluna para o
resultado final S
2
A.B.C
2
A.D
2
A.B.D
2
Preencher cada coluna com
seu respectivo resultado 2
Por último, preencher a coluna
do resultado final
A B C D A.B.C A.D A.B.D S
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
76
Exercício 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
Exercício 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
77
Exercício 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
A B CĀC’A.B.C’S
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
Exercício 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
A B CĀC’A.B.C’S
0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 0
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
78
Solução 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
A B CĀC’A.B.C’S
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1
Solução 2
Encontre a tabela
verdade da expressão
2
S = Ā+B+A.B.C’
A B CĀC’A.B.C’S
0 0 0 1 1 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1
79
Exercício 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
Exercício 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
80
Exercício 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
A B CA’B’C’A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0
Exercício 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
A B CA’B’C’A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S
0 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0
81
Solução 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
A B CA’B’C’A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Solução 2
Montar a tabela verdade da expressão
2
S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
A B CA’B’C’A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S
0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
82
Equivalência de Expressões
Booleanas por Tabela Verdade
2
Sejam S1 e S2 duas expressões booleanas
2
S1 e S2 são
equivalentes
se e somente se para
todas as interpretações possíveis (linhas) na
tabela verdade ocorre S1=S2
2
Se S1≠S2 em pelo menos uma interpretação,
então S1 e S2 não são equivalentes
Equivalência de Expressões
Booleanas por Tabela Verdade
2
Sejam S1 e S2 duas expressões booleanas
2
S1 e S2 são
equivalentes
se e somente se para
todas as interpretações possíveis (linhas) na
tabela verdade ocorre S1=S2
2
Se S1≠S2 em pelo menos uma interpretação,
então S1 e S2 não são equivalentes
83
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A
2
S2 = A.(A+B)
A B A+B S1 S2
0 0
0 1
1 0
1 1
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A
2
S2 = A.(A+B)
A B A+B S1 S2
0 0
0 1
1 0
1 1
84
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A
2
S2 = A.(A+B)
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A.(A+B) = A
2
Como veremos mais adiante,
esta é uma propriedade,
conhecida como
absorção
A B A+B S1 S2
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A
2
S2 = A.(A+B)
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A.(A+B) = A
2
Como veremos mais adiante,
esta é uma propriedade,
conhecida como
absorção
A B A+B S1 S2
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
85
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1,
S2, S3 são equivalentes entre
si
2
S1 = A
2
S2 = A.(1 + B)
2
S3 = A + A.B
A B1+BA.B S1 S2 S3
0 0
0 1
1 0
1 1
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1,
S2, S3 são equivalentes entre
si
2
S1 = A
2
S2 = A.(1 + B)
2
S3 = A + A.B
A B1+BA.B S1 S2 S3
0 0
0 1
1 0
1 1
86
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1,
S2, S3 são equivalentes entre
si
2
S1 = A
2
S2 = A.(1 + B)
2
S3 = A + A.B
2
Como S1=S2=S3 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A + A.B = A.(1+B) = A
2
Como veremos mais adiante,
esta é uma propriedade,
conhecida como
absorção
A B1+BA.B S1 S2 S3
0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1,
S2, S3 são equivalentes entre
si
2
S1 = A
2
S2 = A.(1 + B)
2
S3 = A + A.B
2
Como S1=S2=S3 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A + A.B = A.(1+B) = A
2
Como veremos mais adiante,
esta é uma propriedade,
conhecida como
absorção
A B1+BA.B S1 S2 S3
0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
87
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A.(B + C)
2
S2 = A.B + A.C
A B C B+C A.B A.C S1 S2
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A.(B + C)
2
S2 = A.B + A.C
A B C B+C A.B A.C S1 S2
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
88
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A.(B + C)
2
S2 = A.B + A.C
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A.(B + C) = A.B + A.C
2
Como veremos mais adiante,
esta é a propriedade
distributiva
da multiplicação
booleana
A B C B+C A.B A.C S1 S2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A.(B + C)
2
S2 = A.B + A.C
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A.(B + C) = A.B + A.C
2
Como veremos mais adiante,
esta é a propriedade
distributiva
da multiplicação
booleana
A B C B+C A.B A.C S1 S2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
89
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A+(B.C)
2
S2 = (A+B) . (A+C)
A B C B.C A+B A+C S1 S2
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A+(B.C)
2
S2 = (A+B) . (A+C)
A B C B.C A+B A+C S1 S2
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
90
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A+(B.C)
2
S2 = (A+B) . (A+C)
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A+(B.C) = (A+B) . (A+C)
2
Como veremos mais adiante,
esta é a propriedade
distributiva
da adição
booleana
A B C B.C A+B A+C S1 S2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = A+(B.C)
2
S2 = (A+B) . (A+C)
2
Como S1=S2 em todas as
interpretações possíveis na
tabela verdade, as expressões
são equivalentes
2
A+(B.C) = (A+B) . (A+C)
2
Como veremos mais adiante,
esta é a propriedade
distributiva
da adição
booleana
A B C B.C A+B A+C S1 S2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
91
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = (Ā.3)
2
S2 = (A.B)’
A B A’ B’ A.B S1 S2
0 0
0 1
1 0
1 1
Exercício 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = (Ā.3)
2
S2 = (A.B)’
A B A’ B’ A.B S1 S2
0 0
0 1
1 0
1 1
92
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = (Ā.3)
2
S2 = (A.B)’
2
Como S1≠S2 em pelo menos
uma interpretação (de fato, em
2 das 4 possíveis) na tabela
verdade, as expressões não
são equivalentes
2
Portanto,
2
(Ā.3) ≠ (A.B)’
A B A’ B’ A.B S1 S2
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0
Solução 2
Verifique, usando tabela
verdade, se as expressões S1
e S2 são equivalentes
2
S1 = (Ā.3)
2
S2 = (A.B)’
2
Como S1≠S2 em pelo menos
uma interpretação (de fato, em
2 das 4 possíveis) na tabela
verdade, as expressões não
são equivalentes
2
Portanto,
2
(Ā.3) ≠ (A.B)’
A B A’ B’ A.B S1 S2
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0
93
Resumo de Algumas Propriedades
provadas por Tabelas Verdade
2
Absorção
2
A+(A.B)=A
2
A.(A+B)=A
2
Distributiva
2
A.(B+C)=A.B+A.C
2
A+(B.C)=(A+B).(A+C)
Resumo de Algumas Propriedades
provadas por Tabelas Verdade
2
Absorção
2
A+(A.B)=A
2
A.(A+B)=A
2
Distributiva
2
A.(B+C)=A.B+A.C
2
A+(B.C)=(A+B).(A+C)
94
Obtendo a Tabela Verdade a
partir de um Circuito
2
De forma análoga, é possível estudar o
comportamento de um circuito por meio da
sua tabela verdade
2
Dado um circuito, é necessário extrair sua
expressão característica; a partir dela é
possível montar a tabela verdade
correspondente
Obtendo a Tabela Verdade a
partir de um Circuito
2
De forma análoga, é possível estudar o
comportamento de um circuito por meio da
sua tabela verdade
2
Dado um circuito, é necessário extrair sua
expressão característica; a partir dela é
possível montar a tabela verdade
correspondente
95
Exemplo 2
A partir do circuito:
S
A B B C
Exemplo 2
A partir do circuito:
S
A B B C
96
Exemplo E
A partir do circuito:
E
Extraímos sua expressão característica
E
S = (A+B) . (B.C)
S=(A+B).(B.C)’
A B B C
(A+B)
(B.C)’
Exemplo E
A partir do circuito:
E
Extraímos sua expressão característica
E
S = (A+B) . (B.C)
S=(A+B).(B.C)’
A B B C
(A+B)
(B.C)’
97
Exemplo 2
A partir da expressão
2
S = (A+B) . (B.C)
2
Obtém-se a tabela
verdade, como
anteriormente
explicado
A B C A+B B.C (B.C)’ S
0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 0
Exemplo 2
A partir da expressão
2
S = (A+B) . (B.C)
2
Obtém-se a tabela
verdade, como
anteriormente
explicado
A B C A+B B.C (B.C)’ S
0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 0
98
Equivalência de Blocos Lógicos 2
Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizando
outro bloco qualquer e inversores 2
Inversores podem ser obtidos a partir de portas
NAND
e
NOR
2
Veremos a seguir essas equivalências entre
determinados blocos 2
Tais equivalências podem ser provadas pela tabelas
verdades correspondentes da seguinte forma
3
Seja S1 a expressão característica do primeiro bloc o B1
3
Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2
3
Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B 2, sempre
ocorrer que S1=S2, então B1 é equivalente a B2
Equivalência de Blocos Lógicos 2
Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizando
outro bloco qualquer e inversores 2
Inversores podem ser obtidos a partir de portas
NAND
e
NOR
2
Veremos a seguir essas equivalências entre
determinados blocos 2
Tais equivalências podem ser provadas pela tabelas
verdades correspondentes da seguinte forma
3
Seja S1 a expressão característica do primeiro bloc o B1
3
Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2
3
Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B 2, sempre
ocorrer que S1=S2, então B1 é equivalente a B2
99
Inversor a partir de porta
NAND
2
Inversor
2
Ao interligar as
entradas de uma porta
NAND
, obtém-se um
inversor
AS=Ā
A
B
S=Ā
A S
0 1
1 0
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
B
S=A.B
A B S
0 0 1
1 1 0
Note que, para cada
interpretação
possível, os
resultados são
equivalentes
Inversor a partir de porta
NAND
2
Inversor
2
Ao interligar as
entradas de uma porta
NAND
, obtém-se um
inversor
AS=Ā
A
B
S=Ā
A S
0 1
1 0
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
B
S=A.B
A B S
0 0 1
1 1 0
Note que, para cada
interpretação
possível, os
resultados são
equivalentes
100
Inversor a partir de porta
NOR
2
Inversor
2
Ao interligar as
entradas de uma porta
NOR
, obtém-se um
inversor
AS=Ā
A S
0 1
1 0
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A B S
0 0 1
1 1 0
A B
S=Ā
A B
S=A+B
Inversor a partir de porta
NOR
2
Inversor
2
Ao interligar as
entradas de uma porta
NOR
, obtém-se um
inversor
AS=Ā
A S
0 1
1 0
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
A B S
0 0 1
1 1 0
A B
S=Ā
A B
S=A+B
101
Porta
NOU
a partir de porta
E
e
inversores
2
Porta
NOU
2
Porta
E
e inversores
A
B
Ā
3
A
B
S
A B
S=A+B
A B2 3S
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Porta
NOU
a partir de porta
E
e
inversores
2
Porta
NOU
2
Porta
E
e inversores
A
B
Ā
3
A
B
S
A B
S=A+B
A B2 3S
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
A B S=A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
102
Equivalência de Blocos Lógicos 2
De maneira similar, a equivalência entre os
blocos mostrados a seguir pode ser
verificada
Equivalência de Blocos Lógicos 2
De maneira similar, a equivalência entre os
blocos mostrados a seguir pode ser
verificada
103
Blocos Lógicos Equivalentes
NomeBloco Lógico Bloco Equivalente AND
NAND
OR
NOR
A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B
S=Ā.3
A B
S=(Ā+3)
A B
S=Ā+3
A B
S=(Ā.3)
Blocos Lógicos Equivalentes
NomeBloco Lógico Bloco Equivalente AND
NAND
OR
NOR
A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B
S=A.B
A B
S=A+B
A B
S=Ā.3
A B
S=(Ā+3)
A B
S=Ā+3
A B
S=(Ā.3)
104
Exercício 2
Prove, usando tabela verdade, que os
seguintes blocos lógicos são equivalentes
A B
S1=A+B
A B
S2=(Ā.3)
Exercício 2
Prove, usando tabela verdade, que os
seguintes blocos lógicos são equivalentes
A B
S1=A+B
A B
S2=(Ā.3)
105
Solução
A B2 3Ā.3
S1=
A+B
S2=
Ā.3
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
A B
S1=A+B
A B
S2=(Ā.3)
≡
Solução
A B2 3Ā.3
S1=
A+B
S2=
Ā.3
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
A B
S1=A+B
A B
S2=(Ā.3)
≡
106
Copyright©Apresentação 2012 por
José Augusto Baranauskas
Universidade de São Paulo
Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da m aneira que lhes
for conveniente, desde que esta nota de copyrightpermaneça intacta.
Slides baseados em:
C
Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição,
Érica, 1987.
C
E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw-Hill,
1977.
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Érica, 1987.
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1977.
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