ACV-TS013-GE-Posiciones relativas entre dos circunferencias_repaired.pdf

preparacionuniversitaria

2. Tema:Posiciones relativas
entre dos circunferencias
GEOMETRÍA

3. CONOCERLASPOSICIONESQUE
ADOPTANDOSCIRCUNFERENCIAS
ENELPLANO.
IDENTIFICARLOSDIFERENTESTEOREMAS
RELACIONADOSCONLASPOSICIONES
RELATIVASDEDOSCIRCUNFERENCIAS.
APLICARCORRECTAMENTELOSTEOREMAS
ENLARESOLUCIÓNDEPROBLEMASTIPO
EXAMENDEADMISIÓNUNI.

4. Fuente: psintesispsi.blogspot.com
C U R S O D E G E O M E T R Í A
CIRCUNFERENCIA III
•POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
•TEOREMAS GENERALES
•ÁNGULO ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS.
Fuente: psintesispsi.blogspot.com
https://es.vecteezy.com/arte-vectorial/156707-vectores-de-la-fase-del-eclipse-solar

5. �/2
�/2
Sonaquellascircunferenciasquenose
intersecanyunadeellasseencuentraen
laregiónexteriordelaotra
�
�
�
�
•Si �,�,�,�son puntos de tangencia.
��=���=�
��∥��
??????=�
�
�
�=
??????=�
DEMOSTRACIÓN:
�
�
�
�
•Por teorema 1:
En ??????
1∶��=��=�
En ??????
2∶��=��=�
�=�−�
�=�−�
�=�
•Por teorema 2:
En ??????
1∶�+??????=180°
En ??????
2∶�+�=180°
•Por ∢semi inscrito:
En ??????
1∶�∢���=Τ�2
En ??????
2∶�∢���=Τ�2
��∥��
�
??????
P
�
�
�
�
�
�
??????
1
??????
2
??????
��
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
���=���
→
→
�
•�: distancia entre los
centros. �>�+�
�
→ →
�
CIRCUNFERENCIA III
Teorema 1
Teorema 2

6. Enelgráfico,�,�,�y�sonpuntos
detangencia.Calculem��+���.
�
�
��
�
�
100°
TEOREMA
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
�
θ
100°
�
2
??????
2
•������������:��∥��
�??????���∶���+���=�+??????
�
�
�
�
��∥��
•Luego por teorema con paralelas “serrucho”:
∴�+??????=200°
α
2
+
θ
2
= 100°
RESOLUCIÓN:
CIRCUNFERENCIA III

7. DelgráficoA,B,CyDsonpuntosde
tangencia.Si��=3���=��=4.
CalcularNC.
�
�
�
�
�
�
TEOREMA
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
�
�
�
�
�
�
P
�
RESOLUCIÓN:
3
4
1
=5
1
4
Nos piden ��=�
Dato:
��=3
��=��=4
•Como A, B, C y D son puntos de
tangencia:
•Por teorema
��=��=�
��∥��
•Por lo tanto ����es un
trapecio isósceles.
•Al trazar ��y ��
perpendiculares a ��se forma
����y ����rectángulos:
��=3��=4
•Por teorema :
��=��=1
�=4+1
3
�
4
�
�
∴�=5
En un trapecio isósceles se cumple
�=�
��
CIRCUNFERENCIA III

8. ??????
�
1
�
2
Sonaquellasquetienenunsolopuntoen
comúnylosdemáspuntosdeunadeellas
estánenlaregiónexteriordelaotra.
�
1,??????��
2son colineales
•Si ??????es punto de tangencia:
�
1�
2=�=�+r
CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES EXTERIORES
�
�
T
�
1
�
2
RESOLUCIÓN:
•ComoTespuntodetangencia,entoncespor
dichopuntosolosepuedetrazarunarecta
tangentecomúnaambascircunferencias
C
1
C
2
M
•Por teorema en C
1: m∡�
1??????�=90°
•Por teorema en C
2: m∡�
2??????�=90°
•m∡�
1??????�+m∡�
2??????�=180°
Como los ángulos
suman 180°
���������
1,??????��
2
están sobre una
recta o sea están
alineados.
→
�
�
1,??????��
2son colineales →
CIRCUNFERENCIA III

9. •���??????����������??????�������������??????���??????�
�
??????
�
�
3
2
3
3
2
53°
�′
•Por teorema �,??????��′:���??????������:→��
′
=5
•⊿���
′
:���������53°
•���∢�������,�??????��������:
Calcule �. (P y T puntos de tangencia)
�
??????
�
�
3
2
TEOREMA
�??????���∶�
RESOLUCIÓN:
∴�=53°
??????
�
1 �
2
�
1,??????��
2son colineales
��
′
=3
Cuando tenemos
dos circunferencias
tangentes
exteriores y los
radios son datos
podemos
aprovechar la
distancia entre
centros que es la
suma de radios
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
CIRCUNFERENCIA III

10. ??????
??????
�
•Si T es punto de tangencia:
??????=α
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN:
??????
�
�
??????
�
•Por el punto T, trazar una recta tangente:
??????=α
??????
2
??????
2
•Por ángulo semi-inscritoen C
1
C
1
C
2
�
→�∡�??????�=
??????
2
•Por ángulos opuestos por el vértice →�∡�??????�=
??????
2
�
•Por ángulo semi-inscritoen C
2
TENERPRESENTE:
Porunpuntodela
circunferenciasolose
puedetrazarunarecta
tangenteyenestecaso
serialarectatangente
común.
→�=2(
??????
2
)
→
CIRCUNFERENCIA III

11. Enlafiguraadjunta,O:centrodela
circunferencia.Si���=80°,halleel
valorde���.
�
�
�
�
Sonaquellascircunferenciasquese
intersecanendospuntos.
�
�
�
1 �
2
�
�
•Si ��es cuerda común:
��=��
�
1�
2⊥��
�
CIRCUNFERENCIAS SECANTES UNAC2018−IEXAMEN DE ADMISIÓN
Piden x.�
�
�
�
80°
40°
�
�
40°
�
Trazamos la cuerda común
•En C
1por ∢inscrito:
→�∢���=40°
•∆BOC:isósceles
→�∢���=40°
•En C
2 por ∢inscrito:
C
1 C
2
∴�=80°
→
�
�
&#3627408465;<&#3627408453;+&#3627408479;
&#3627408465;
CIRCUNFERENCIA III

12. ??????
Esaquelángulodeterminadoporlasrectas
tangentes,sobreunodelospuntosde
intersección,delascircunferenciassecantes.
&#3627408450;
1 &#3627408450;
2
&#3627408451;
&#3627408452;
??????
1
??????
2
&#3627408447;
1 &#3627408447;
2
Si
&#3627408447;
1: Tangente a la ??????
1
&#3627408447;
2: Tangente a la ??????
2
??????: Medida del ángulos entre dos
circunferencias secantes
Son aquellas circunferencias secantes cuya
medida determinada es 90°
??????
??????=90°
Las ??????
1y ??????
2se le conocen como
circunferencias ortogonales.
&#3627408450;
1
&#3627408450;
2
&#3627408451;
&#3627408452;
??????
1 ??????
2
ÁNGULO ENTRE CIRCUNFERENCIAS
CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES
Recuerda que
ellas son
circunferencias
secantes y los
radios no
necesariamente
son de igual
longitud
→
→
CIRCUNFERENCIA III

13. TEOREMA
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
&#3627408450;
1 &#3627408450;
2
&#3627408451;
&#3627408452;
5
25
Delgráfico,setienedos
circunferenciasortogonales.Calcule
PQ.
&#3627408450;
1 &#3627408450;
2
&#3627408451;
&#3627408452;
5
25
525
Nos piden &#3627408451;&#3627408452;
•Como las circunferencias son ortogonales,
trazamos &#3627408450;
1&#3627408451;y &#3627408450;
2&#3627408451;: Por teorema
m∢&#3627408450;
1&#3627408451;&#3627408450;
2=90°
•Como los radios son constantes:
&#3627408450;
1&#3627408451;=25 &#3627408450;
2&#3627408451;=5
•De las circunferencias secantes:
&#3627408450;
1&#3627408450;
2⊥&#3627408451;&#3627408452;
53°
2
53°
2
1
2
2
&#3627408448;
•Los ⊿&#3627408450;
1&#3627408451;&#3627408450;
2y ⊿&#3627408451;&#3627408448;&#3627408450;
2son
notables de 53°/2:
&#3627408451;&#3627408448;=2
•Además: &#3627408451;&#3627408448;=&#3627408448;&#3627408452;=2
&#3627409148;=90°
??????=90°
θ
&#3627408450;
1 &#3627408450;
2
&#3627408451;
&#3627408452;
??????
1 ??????
2
??????
RESOLUCIÓN:
∴&#3627408451;&#3627408452;=4
CIRCUNFERENCIA III

14. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
INTERIORES
Sonaquellascircunferenciasquetienenun
puntoencomúnylosdemáspuntosde
unadeellasestánenlaregióninteriorde
laotra.
&#3627408450;
&#3627408450;
1
??????
&#3627408436;
&#3627408437;
•Si ??????es punto de tangencia:
??????=&#3627409148;
??????, &#3627408450;y &#3627408450;
1son colineales
??????
&#3627409148;
EJEMPLO
Piden &#3627408479;.
•Se cumple la colinealidad.
&#3627408450;
′
&#3627408450;=8−&#3627408479;
4
&#3627408439;
4
&#3627408479;
&#3627408450;
??????
&#3627408479;
&#3627408479;
8−&#3627408479;
8&#3627408450;′
•Se observa que:
•Se traza &#3627408450;
′
&#3627408439;
•En ⊿&#3627408450;
′
&#3627408439;&#3627408450;: por Pitágoras
&#3627408479;
2
+4
2
=(8−&#3627408479;)
2
&#3627408479;
2
+4
2
=8
2
−28&#3627408479;+&#3627408479;
2
∴&#3627408479;=3
→
&#3627408450;
1&#3627408450;
2=&#3627408465;=&#3627408453;−&#3627408479;
&#3627408465;
&#3627408479;
&#3627408453;
CIRCUNFERENCIA III
Delgráfico,si??????y&#3627408439;son
puntosdetangencia.
Calcule&#3627408479;.
4&#3627408439;4
&#3627408479;
&#3627408450;
??????

15. Calcule &#3627408485;. (??????y &#3627408451;son puntos de tangencia)
&#3627408437;
&#3627408436;
=200°
=200°
200°
??????
&#3627408451;
&#3627408485;
•&#3627408451;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;2:&#3627408474;??????&#3627408436;=&#3627408474;??????&#3627408451;=200°
•&#3627408451;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;1:&#3627408474;??????&#3627408451;=&#3627408474;&#3627408451;&#3627408437;=??????
•&#3627408479;&#3627408466;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408477;&#3627408473;&#3627408462;&#3627408487;&#3627408462;&#3627408475;&#3627408465;&#3627408476;&#3627408466;&#3627408475;(??????):
&#3627408485;+200°=360°
200°
??????
&#3627408451;
&#3627408485;
TEOREMAS
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
Nos piden
RESOLUCIÓN:
∴&#3627408485;=160°
&#3627408485;
??????
??????
&#3627409148;
??????=&#3627409148;
??????
??????
??????
??????=??????
Recuerda que, cuando
tienes dos circunferencias
tangentes exteriores se
cumple&#3627408481;&#3627408466;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;2&#3627408481;&#3627408466;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408466;&#3627408474;&#3627408462;1
??????
??????
•&#3627408485;+??????=360°⋯(??????)
CIRCUNFERENCIA III

16. Delgráfico??????,&#3627408451;y&#3627408452;sonpuntosde
tangencia.Calcule&#3627408436;&#3627408452;.
&#3627408450;
&#3627408436;
&#3627408437;
&#3627408450;
1
??????
&#3627408452;
&#3627408451;
2
TEOREMA
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
RESOLUCIÓN:
Nos piden &#3627408436;&#3627408452;=&#3627408485;
•Comolascircunferenciasson
tangentesinterioresen??????:
Teorema
??????,&#3627408450;y&#3627408450;
1soncolineales
•Además&#3627408452;y&#3627408451;sonpuntosde
tangenciaentoncestrazamos&#3627408450;
1&#3627408452;
y&#3627408450;
1&#3627408451;.
•Seforma&#3627408450;&#3627408452;&#3627408450;
1&#3627408451;uncuadrado:
&#3627408450;&#3627408452;=2&#3627408450;&#3627408450;
1=22
•Enelcuadranteelradioes
constante:
&#3627408450;??????=&#3627408450;&#3627408436;=2+22
&#3627408485;+2=2+22
O
&#3627408436;
B
&#3627408450;
1
??????
&#3627408452;
P
2
&#3627408485;
2
2
2
22
2
2
+
2
2
&#3627408450;
&#3627408450;
1
??????
??????,&#3627408450;y &#3627408450;
1
son
colineales
∴&#3627408485;=22
CIRCUNFERENCIA III

17. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS
&#3627408450;
Sonaquellascircunferenciascoplanares,
quetienenelmismocentro.
&#3627408438;
&#3627408439;
&#3627408451;
&#3627408436;
&#3627408437;
??????
&#3627408462;=&#3627408463;
&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408438;&#3627408439;
•Si??????es punto de tangencia:
•Si &#3627408451;es punto de tangencia:
&#3627408462;
&#3627408463;
&#3627408462;
&#3627408462;
CalculeelPerímetrodeltriángulo&#3627408436;&#3627408437;&#3627408438;,si
??????espuntodetangenciay&#3627408451;??????=6.
Laimagenmuestraunagotadeaguay
laalteraciónqueproduceestaenla
superficiedeaguastranquilas,
provocandoondasquepartendeun
mismopunto,yestonosdalaideade
circunferenciasconcéntricas.
https://oroverderadio.com.ar/wp-
content/uploads/2019/04/Agua-5.jpg
&#3627408437;
&#3627408436; &#3627408438;
&#3627408451;
??????
EJEMPLO
6
6 6
6
6
•Por teorema de circunferencias
concéntricas, &#3627408451;??????=&#3627408436;&#3627408452;=&#3627408452;&#3627408438;=6
&#3627408452;
•&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408437;&#3627408438;=&#3627408436;&#3627408438;=12
∴Perímetro es 36
→
→
CIRCUNFERENCIA III

18. TEOREMA
Cepre uni????????????????????????−??????EJEMPLO
Delgráficolascircunferenciasson
concéntricas,Si&#3627408474;&#3627408436;&#3627408438;&#3627408437;=140°,
calcule&#3627408474;&#3627408438;&#3627408437;.T,PyQsonpuntosde
tangencia.
&#3627408450;
&#3627408436;
&#3627408437;&#3627408438;
&#3627408439;
?????? &#3627408452;
&#3627408451;
RESOLUCIÓN:
&#3627408450;
&#3627408436;
&#3627408437;&#3627408438;
&#3627408439;
?????? &#3627408452;
&#3627408451;
Nos piden m&#3627408438;&#3627408437;=&#3627408485;
Dato:
m&#3627408436;&#3627408438;&#3627408437;=140°
140°
&#3627408485;
140°
&#3627408462;&#3627408462;
80°
&#3627408450;
&#3627408438;
&#3627408439;
&#3627408451;
&#3627408436;
&#3627408437;
??????
&#3627408462;
&#3627408462;
&#3627408462;
&#3627408462;&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408438;&#3627408439;
∴&#3627408485;=60°
??????
??????
??????=??????
•Lamedidadetodalacircunferenciaes
360°
140°+140°+&#3627408474;&#3627408437;&#3627408439;=360°
&#3627408474;&#3627408437;&#3627408439;=80°
m&#3627408438;&#3627408437;&#3627408439;=140°=&#3627408485;+80°
&#3627408462;
•Enlascircunferenciasconcéntricas
??????,&#3627408451;y&#3627408452;sonpuntosdetangencia:
Teorema
&#3627408436;&#3627408437;=&#3627408436;&#3627408439;=&#3627408438;&#3627408439;=&#3627408462;
•Por teorema de circunferencia:
&#3627408474;&#3627408436;&#3627408438;&#3627408437;=&#3627408474;&#3627408436;&#3627408439;=&#3627408474;&#3627408438;&#3627408437;&#3627408439;=140°
CIRCUNFERENCIA III

19. A B
θ
•Si??????,&#3627408436;y&#3627408437;
sonpuntos
detangencia:
T
&#3627408450;
1
&#3627408450;
2
&#3627408462;
&#3627408463;
&#3627408485;
??????=90°&#3627408485;=2&#3627408462;&#3627408463;
&#3627408436;
&#3627408437;
??????
&#3627408438;
&#3627408439;
&#3627408437;&#3627408438;∥&#3627408436;&#3627408439;
CURSO DE GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
•Si T es un punto de
tangencia:
TEOREMAS ADICIONALES
&#3627408436;
&#3627408437;
&#3627408438;
&#3627408439;
&#3627408485;
&#3627408486;
&#3627408451;
&#3627408452;
&#3627408485;=&#3627408486;
•Si&#3627408436;,&#3627408437;,&#3627408438;,y&#3627408439;
sonpuntosde
tangencia:
→
→
→
CIRCUNFERENCIA III

20. ??????
&#3627408436;
&#3627408437;
&#3627408438;
&#3627408439;
&#3627408450;
1
??????
??????
&#3627409148;
&#3627408452;
&#3627408436;
&#3627408437;
&#3627408451;
•Si ??????y&#3627408452;son puntos
de tangencia:
&#3627408450;
??????=&#3627409148;
&#3627408436; &#3627408437;
&#3627408438;&#3627408439;
&#3627408436;&#3627408438;=&#3627408437;&#3627408439;
•Si ??????es un punto
de tangencia:
&#3627408437;&#3627408439;∥&#3627408436;&#3627408438;
•Si circunferencias
son concéntricas:
&#3627408462;&#3627408462;
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS
→
→
→
CIRCUNFERENCIA III
TEOREMAS ADICIONALES