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Algebra con ejercicios para resolver

1. ALGEBRA — a.patpor

2. contre del número de animales que ne
Tamer al eigen del Mabe

iar. Pasaron ciento de silos pera que el hom
acto del base

Inner un concerto bt
ble porate forma

ción de la elenco algebras.

PRELIMINARES

1) ALGEBRA es la rama de la Matematica que estudia la cantidad consi-
A derada del modo más general posible.

(2) CARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFEREMCIA
— GON LA ARITMETICA

El concepto de la cantidad en Algebra es mucho más amplio que en
Aviunética

Tin Aritmética las cantidades se representan por mimeros y dos ex-
presan valores determinades. Asi, 20 expresi un solo valor: veinte; para
Expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un mimero
distinto de 20.

En Algebra, para logtar la generalización, las eantidades sc represen:
tan por medio de letras, las cuales pueden tepresentar todos los valore»
Aal, a sepresonta el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re-
presentar 20 0 más de 20.0 menos de 20, a muestra cleocidm, augue. con-
iene advertir que cuado en un problema asiguamos a una leer un valor
Geeerminado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro
valor distinto del que le hemos asignado.

DNOTACION ALGEBRAICA

Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los
nümeros y las Tetras.

3. CC

Lo
terminada.

Las Jeuras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya
enn conocidas o desconocidas.

Lay cantidades conocidas se expresun por las primeras letras del alfa-
beto: a, by €, de.

Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del
alfabeto: u, Y, w, x, Y, 2

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos
por medio de comillas; por ejemplo: a’, a”, a’, que se leen a prima, a se-
gunda, a tercera, o también por medio de subíndices; por ejemplo: ay, aa,
ds, que se leen a subuno, a subdos, a subtres,

hero se emplean: para representar cantidades conocidas y de

FORMULAS

Consecuencia de la generalización que implica la representación de
las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas,

Formula algebraica es la representación, por medio de letras, de una
regla o de un principio general.

Asi, la Geometría enseña que el área de un rectángulo es
igual al producto de su base por su aleara; luego, llamando À
al ärea del rectángulo, b a la base y ha la altura, la fórmula

representará de un modo general" el área de
cualquier rectángulo, pues el área de un rec.
tángulo dado se obtendrá con sólo sustituir
by fe en la formula anterior por sus valores
en el caso dado. Asi, si la base de un rec.
tängulo es 3 m, y su altura 2 m, su Área ser?

A=bxk

d=bxh=3 MAD MES m
”
„Asbxh

El área de otro rectängulo cuya mx} m.=28 mA.)

base fuera 8 m. y su altura 34 m, sería:

©) sianos pet aLcteea

Los signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope-
ración, Signos de Relación y Signos de Agrupación.

(6) sienos DE OPERACION
En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que
en Aritmética: Suma, Resta, Multiplicación, División, Elévación a Poten-
is y Extracción de Raices, que se indican con los signos siguientes:
El Signo de la Suma es +, que se lee més, Ast u+b se lee "a más 6".

En ol Gap, XVII, página 270, e extn ampliamente todo Jo relacionado, con Las
Arno gens Fd id

A E]

El Signo de la Resta es —, que se lee menos, Así, a—b se lee “a me-

no de la Multiplicación es x, que se lee multiplicado por. Así;
axb se lee “a multiplicado por 6".

En lugar del signo X sucle emplearse un punto entre los factores y
también se indica la multiplicación colocando los factores entre paréntesis.
Así, a.b y (a)(b) equivalen a ax b.

Entre factores literales o entre un factor mumérico y uno literal el
signo de multiplicación suele omitirse. Asi abc equivale a ax bX; Oxy
equivale a 5 XxX 3.

El Signo de la División es +, que se lee dividido entre. Ast, a+b se
lee “a dividido entre 6”. También se indica la división separando el die
videndo y el divisor por una raya horizontal. Así, * equivale a mn.

El Signo de la Elevación a Potencia cs el exponente,

que es un número pequeño colocado ariba y a ha der pasar yesh
recha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha

cantidad, Mamada base, se toma como factor. As,

Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad,
Ash, a equivale a al; mnx equivale a mnt

El Signo de Raiz es V, llamado signo radical, y bajo este signo se CO:
loca la cantidad a la cual se le extrac la raíz. Asi, V@ equivale a raíz cua
drada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la can:
tidad a; YB equivale a raíz cúbica de b, o sea la cantidad que elevada
al cubo reproduce la cantidad b.

7) CORFICIENTE
— En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado.
coeficiente del otro factor,

Asi, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica
que el factor 4 se toma como sumando tres veces, o sea da=a+a+a; en
el producto 6b, el factor 5 es coeficiente de b € indica que 0U=0+0+b+-b+b,
Estos son cocficientes numéricos.

En el producto ab, el factor a es cocficionte del factor b, e indica que
el factor D se toma como sumando a veces, o sea ab =b 4 b4b4b... a
veces, Este es un coeficiente literal.

En el producto de más de dos factores, uno o varios de ellos son el
coeficiente de los restantes. Así, en el producto abcd, a es el cocficiente
de bad; ab es el coeficiente de cd; abe es el coeficiente de d.

Juando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente
es la unidad. Asi, b equivale a 1b; abe equivale a 1abc.

4. SIGNOS DE RELACION
Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos
cantidades. Los principales son:

=, que se lec igual a. Así, a=b se lee “a igual a D".
>, que se lee mayor que. Asi, x+y> m se lee "x-+y mayor que m",
<, que se lee menor que. Asf, a<b+c se lee "a menor que bee".

SIGNOS DE AGRUPACION

Los signos de agrupación son: el paréntesis ordinario ( }, el parénte-
ingular o corehete [ ], las Mlaves | | y labarrao vínculo.

Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efec
tuarse primero. Asi, (a+ be indica que el resultado de la suma de a y b
debe multiplicarse por e; [e— DJm indica que la diferencia entre a y b debe
multiplicarse por mi [a + 01+(c—d indica que la suma de a y b debe di

MODO DE RESOLVER LOS PROBLEMAS

EN ARITMETICA Y EN ALGEBRA

Exponemos a continuación un ejemplo para hacer notar la diferencia
entre el método aritmético y el algebraico en la resolución de problemas,
fundado este último en la notación algebraica y en la generalización que
ésta implica.

Las edades de A y B suman 48 años. Si la edad de B es 5 veces la
edad de A, ¿qué edad tiene cada uno?

METODO ARITMETICO

Edad de A más edad de B=48 años.
Como la edad de B es 5 veces la de-A, tendrem
Edad de A más 5 veces la edad de A=48 años.

O sea, 6 veces la edad de A
luego, aes

18 años;

METODO ALGEBRAICO
Como la edad de À es una cantidad desconocida la represento por x
Sea =edad de A.
Entonces 5x=edad de B.
Como ambas edades suman 48 años, tendremos:

CANTIDADES rosmivas + mecarivas © 9)

Si 6 veces x equivale a 48 años, x valdrá la sexta parte de 48 años,

(O carrioanes posırıyas Y necarvas

En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos,
se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo) de la cantis
dad por medio de los signos + y —, anteponiendo el signo + à las cantida:
des tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponien:
do el signo — a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (can:
tidades negativas).

Asi, el haber se designa con cl signo + y las deudas con el signo =,
Para expresar que una persona tiene $100 de haber, diremos que tiene
+$100, y para expresar que debe 5100, diremos que dene — $100,

Los grados sobre cero del termómetro se designan con el signo + y
los grados bajo cero con el signo — Así, para indicar que el termómetro
marca 10° sobre cero escribiremos 410° y para indicar que marca 8° bajo
«cero escribiremos ~8°

El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se desig
na con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o hacia abajo de
un punto se representa con el signo —. Así, si hemos recorrido 200 m.
a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido + 200 M,
y si recorremos 200 m. a la izquierda de un punto escribiremos — 900 m.

El tiempo transcurrido después de Cristo se considera positivo y el
po transcurrido antes de Cristo, negativo. Ast, +150 años significa
160 años D.C. y —18 años significa 78 años A.C.

En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la
porción que se halla del suelo hacia arriba y con el signo — la porción que
se halla del suclo hacia abajo. Asi, para expresar que Ja longitud del pos:
te que se halla del suclo hacia arriba mide 15 m., escribiremos +15 m.,
y si la porción introducida en el suelo es de 8 m., escribiremos —8 m,

La Iatitud norte se designa con el signo + y la fatitud sur con el sig
no —; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negati
Por lo tanto, un punto de la Tierra cuya situación geográfica sea: + 459
de longitud y ~15° de latitud se hallará a 45° al este del primer meridia:
no y a 18° bajo el Ecuador,

12) ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO
La fijación del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en
dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir,

5. 10 @ Acta

que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez
fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a éste será el negativo.

Auf, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la dere
cha de un punto, el camino recorrido a la inquierda de ese punto serd
negative, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido
a la iequierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del
punto sería negativo.

Asi, si sobre el segmento AB tomamos como positivo el sentido de A
hacia B, el sentido de
B hacia A sería mega
tivo, pero si fijamos
como sentido positive AB
de B hacia A, el senti-
do de A hacia B seria
negativo.

No obstante, en la práctica se aceptan generalmente los sentidos posi
tivos de que se trató en el mimero anterior.

13) CERO es la ausencia de cantidad. Asi, representar el estado económi-
co de una persona por 0 equivale a decir que no tiene haber ni deudas
Las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas menores
que 0. Así, +3 es una cantidad que es tres unidades mayor que 0; +5 es
una cantidad que es cinco unidades mayor que 0, mientras que —3 es una
cantidad que es tres unidades menor que 0 y =5 es una cantidad que cs
ico unidades menor que 0,
De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; asi,
+5 es mayor que +3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor
la de menor valor absoluto: =$ cs mayor que —5; —9 es menor que —4.

EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS
Y NEGATIVAS

1) Un hombre cobra $180, Paga una deuda de $80 y luego hace com-
pras por valor de $95, ¿Cuánto tiene?

Teniendo $190, pagó $80; luego, se quedo con $50, Después hace un
gasto de $95 y como sólo tiene $50 incurre en una deuda de $45, Por lo
tanto, tiene actualmente — 45, R.

pp EJERCICIO 1
L Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado eoondmico,
à Un hombre que tenía 1170 sucres hizo una compra por valor de 1516,

Expresar su estado económico.
3 Tenia $200. Gobré $66 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?

cANTIMADES vosrrivas y mecarivas @ 11

Y o a ua

en

een.
recibe $200 y hace un gasto de $10, ¿Cuánto den? ONE

qe yes 0 arm. el termömetro marca —4£. A las D a.m, ha subido
y desde esta hora hasta las 6 p.m. ha bajado 11°. Ex m)
ratura a las 5 p.m. say er

A las 6 a.m, marca —4%. Como a las 9 a. m. ha subido 7°, contamos
siete divisiones de la escala desde —4° hacia arriba y tendremos 3° sobre
cero (43°); como desde esta hora hasta las 5 p. m. ha bajado 11°, contando
11 divisiones de la escala desde +3%-hacia abajo legaremos a —8*. Lue:
go, a las 5 p.m. la temperatura es de 8: =

EJERCICIO 2

1. A lis da el tennéeto maven 4136 y de eat orn a ta’ 5 pa
bajado 18%, Expresar la temperatura a las 8 pum, e.
2 A les 6 t,o emos masa 3. À 1 10 à la tempera
ia temperatura a las 9 pst. A ae
8 Ala] pom el termómetro marca 4159 y a las 10 pom. marca 90
¿Cuántas grados ha bajado la temperaturas nn aa
4 Alas 2 am el ermömetro marca 8 y al mediodia 46% ¿Cuántos
grados ha subido la temperatura? > wees
& A los D a.m, el termómenso marca —4°: à las 9 a.m. ha subido 753
tas 4 pom. ha subido 2 más y a las 11 pom. ha bajado 11°. Expresar
la temperatura a las 11 eos G HT
do Alas Cam. el urmdmetro marca #5. De tas 6 ait. at
sado a rasón de 43 por hora: Expresar ta tempera a lie 7 A
aaa o = STAR
To Alas 8 a.m, cl tormémetro marca 19. De las 8 a.m: a las 11 a.m, baja
a rar des por hora y de Tam a pm; sue à rar de de por
hora. Expresar la temperatura a las 16/8.m a las 11 a.m. a las 12 arm,
vols dpa
& Él dia 10 de diciembre un barco se: bal à ße al vete del primer
meridiano, Del día 10 al 18 recorre 7° hacia/el ete. Expresar M Tone
em
a primero de febrero a situación de un barco cs 71° de Tong
ene y 159 de atitud sur. Del día primero al 20 ha. secorido go, Raul
EUER yu lcd es enn de 9> mas al. Expiración

6. 20 a

10. El dia 5 de mayo la situación de un viajero es 190 de longitud este y
650 de tatitud norte. Del día 6 al 31 ha recorrido 1° hacia el este y se
ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su sitnación el día 31

11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después,
Expresar la fecha de su destrucción.

5) Un móvil recorre 40 m. en línea recta a la derecha de un pun-
to A y luego retrocede en la misma dirección a razón de 15 m, por segun-
do. Expresar a qué distancia se halla del punto A al cabo del 19, 29, 3°
y 4 segundo.

El móvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto 4; luego, su po
sición es + 40 m,, tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.

Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentido
negativo) a razón de 15 m. por segundo; luego, en el primer segundo se
cerca 15 m. al punto A y como estaba à 40 m, de ese punto, se halla a
40—15=25 m. a la derecha de A; luego, su posición es 425 m. R.

En el 29 segundo se acerca otros 15 m. al punto A; luego, se hallarä
a 25—15=10 m. a la derecha de A; su posición abora es + 0 m. R.

En el $e segundo recorre otros 15 m. hacia A, y como estaba a
10 m. a la derecha de A, habrá llegado al punto À (con 10 mi) y recotri-
do 5 m. a la izquierda de A, es decir, 10—15==5 m. Su posición ahora
a-5m R.

En el 49 segundo recorre otros 15 m. mis hacia la izquierda y como
ya estaba a 5m. a la izquierda de A, se hallará al cabo del 4° segundo a
20 m. a la izquierda de A, o sea —5=15==20 mi luego, su posición
ahora es -20m. R.

m EJERCICIO 3
ISENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A ARRIBAI.

1, Expresar que un móvil se halla a 99 m. a la derecha del punto dj a
16 m. a la iequierda de A.

2, Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y
tiene enterrados 4 m.

3 Después de caminar 530. m. a la derecha del punto À recorro 85 m. en
sentido contrario. ¿A qué distancia me hallo ahora de A?

& Si corro a la ixquierda del punto B a razón de 6 m. por segundo, ¿a
qué distancia de B me hallaré al cabo de 11 segs?

5. Dos cortedores parten del punto J en sentidos opuestos, El que corre
hacía la jequierda de À va a 8 m, por seg. y el que corre hacia la derecha
va a 9 m, por seg. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 sep:

6 Partiendo de la linea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas
a una pista de 400 m. de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy
3 vueltas a la pista en sentido contrario, ¿qué distancia hemos recorrido?

%. Un poste de 40 pies de longitud tenía 15 pies sobre cl suclo. Dias después
se introdujeron } pies más. Expresar la parte que sobresale y la

10.

i

2

19.

14

CANTIDADES rourivas Y mısarıvas @ 13

n móvil recorre 56 m. a la derecha del punto À y Juego en la mis
direción retrocede Se m. 2A que distancia e. hala dest i
a la jequierda del punto À y luego retrocede
la misma dirección 15 mm, 2A qué distancia se halla de
vil recome 35 m, a la derecha de B y Juego retrocede em la mis
ón 47m, ¿A qué distancia se halla de 27
xecorre 99 m. a la izquierda de M y luego retrocede en la
ción 56 m. ¿A qué distancia se halla de M?
A pari del punto, wna persona core DD m. a la descha y eto:
sede, en la misma dirección, primero 58 m. y Juego 36 m. ¿4 qué distanch
se halla de Br ö vee 0 y
Un móvil recorre 72 m. a la derecha de À y entonces empieza a retro:
ceder en la mina dirección, a raxdn de 30 m. por seg. Expresar su
distancia del punto À al cabo del 19, 29, 39 y 49 sey.
Un auto recorre 120 Km. a la izquerda del punto M y luego retrocede
a razón de 60 Km. por hart. ¿Al qué distancia se halla del punto M
al cabo de la 1%, 2%, 9% y a? hora?

(2) vator ABSOLUTO Y RELATIVO

Valor absoluto de

na cantidad es el número que representa la cano

tidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad, y valor relativo €
el sentido de la cantidad, representado por el signo.

Ast, el valor absoluto de +58 es $8, y el valor relativo haber, expre:

sado por el signo +; el valor absoluto de ~$20 es $20, y el yalor relativo

deuda, expresado por el signo

alor relativo es opuesto, pues el

Las cantidades +79 y —7° tienen el mismo valor absoluto, pero su
¡mero expresa grados sobre cero y el

segundo bajo cero; —8° y — 11" tienen el mismo valor relativo (grados
bajo cero) y distinto valor absoluto.

El valor absoluto de una cantidad algebraica cualquiera se representa

colocando el número que corresponda a dicho valor entre dos líneas ver:
ticales. Así, el valor absoluto de +8 se representa |8].

(5) CANTIDADES ARITMETICAS Y ALGEBRAICAS

De lo expuesto anteriormente se deduce la diferencia entre cantida-

des aritméticas y algebraicas.

Cantidades aritenéticas son las que expresan solamente el valor abso-
luto de las c

idades representado por los números, pero no nos dicen el

sentido o valor relativo de las cantidades,

esto
que el termómetro m

os solamente I

Asi, cu:

ido en Aritmética escribimos que una persona tiene $5, te.

idea del valor absoluto $6 de esta cantidad, pero con

no sabemos si la persona tiene $5 de haber o de deuda, Escribiendo
rca 8°, no sabemos si son sobre cero o bajo cero.

7. 14 @ users

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las
«cantidades y además su sentido o valor relativo por medio del signo.

‚Ast, escribiendo que una persona tiene +$5 expresamos el valor ab-
soluto $6 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo +;
escribiendo —$8 expresamos cl valor absoluto 58 y el sentido o valor rela-
tivo (deuda) expresado por el signo — escribiendo que el termómetro mar-
ca +85 tenemos el valor absoluto 8° y el valor relativo (sobre cero) expre.
sado por el signo +, y escribiendo ~9° tenemos el valor absoluto 9° y el

lor relativo (bajo cero) expresado por el signo
Los signos + y — tienen en Algebra dos aplicaciones: un.

operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condición de las
cantidades.
Esta doble aplicación se distingue porque cuando los signos + 0 —

nificacién de suma o resta, van entre lérminos o expresiones in-
lufdas en paréntesis, como por ejemplo en (+ 8) + (4) y. en (1) — (4 6).
o van precediendo a un término, ya sea literal o numérico, expresan el
positivo o negativo, como por ejemplo en —a, + b, + 7, —8

(16) REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA SERIE
LS) ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS

Teniendo en cuenta que el D en Algebra es la ausencia de la canti
dad, que las cantidades positivas son mayores que 0 y las negativas meno:
res que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de
un punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un
punto negativas, la serie algebraica de los números se puede representar
de este modo:

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

(17) EXPRESION ALGEBRAICA es la representación de un simbolo alge-
— braico o de una o más operaciones algebraicas.

ejemplos | vases

8) TERMINO cs una expresión algebraica que consta de un solo símbolo
=" 6 de varios simbolos no separados entre si por el siguo +0 — Asi,
da

4, BD, xy,

son términos.

An

HomeNcLarusA ALcronarca © 15

Los elementos de un término son cuatro: el signo, gl cocficiente, la
parte literal y el grado. :

Por el signo, son términos positivos los que van precedidos del sig-
no + y negativos los que van precedidos del signo —. Asi, +a, +8x, + 9ab
Sbe y son términos negativos.

El signo + suele omitirse delante de los términos posiuvos. Asi,
a equivale a +a; Bab equivale a + Bab,

Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es

son términos positivos y =x,

El cocficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente €]
primero, de los factores del término. Asi, en el término 5a el coeficiente
5 5; en — dare! el coeficiente es —3,

La parte literal la constituyen las letras que haya en el cérmino. Asi,

pe i
Sap {a parte literal es ——
19) EL. GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absoluto ¥ con
relación a una letra.

Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sux
actores literales. Asi, el término 4a es de primer grado porque el expo:
nente del factor literal a es 1; el término ab es de segundo grado porque
la suma de los exponentes de sus factores literales es 1+1= 2; el término
ab es de tercer grado porque la suma de los exponentes de sus factores
literales es 2+1=3; 5atbte? es de noveno grado porque la suma de Tos ex-
ponentes de sus factores literales es 4 42 +

El grado de un término con relación a una letra es el exponente de
dicha letra, Asi el término bx* es de primer grado con relación ab y de
tercer grado con relación a x; 4x%y* es de segundo grado con relación a x
y de cuarto grado con relación a y.

en sy la parte literal es xy:

20) CLASES DE TERMINOS
— Término entero cs el que no tiene denominador literal como ba,
20
Gate, À
“Término fraccionario es el que

denominador literal como ¿2
) Término racional es el que no tiene radical, como los ejemplos antes
riores, e irracional el que tiene radical, como VAL, 2,

Términos homogéncos son los que tienen el mismo grado absoluto,

Así, ly y 6539" son homogéncos porque ambos son de quinto grado
absoluto.

Términos heterogéneos son. los de distinto grado absoluto, como fa,
que 6 de primer grado, y da», que es de segundo grado,

8. 16 @ ame

m EJERCICIO 4
1. Digase qué clase de iémminos son los siguientes atendiendo al signo, a
Si tement 0 no denominador y a si tienen 0 no radical:

2 a VE _ ttt

dar, —4atd,

se ge mate ché
Ba, —Gab, ab, —Gabte, Bxty, mind, —xyx*
POR Dé re ee aie
pea
TEs or, sobre tab, Ame
fends Paes Sees Guo ee re
eee
be Gh tate ae re ee
ERA Sen Oe aes rer
ni ie ee coun Wales ieee de
ae is ene ee er ee ies
Fog nero an
Pe a roro i
a nr a
grado con relación a la y: otro de cinco factores Hiterales que sea de
O PES

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS =
ES y
MONOMIO es una expresión algebraica {on

que consta de un solo término, como /

22) POLINOMIO cs una expresión algebraica que consta de más de un
término, como a+b, atx-y, A a+ +7.

Binomio es un polinomio que
consta de dos términos, como:

Trinomio es un polinomio que
consta de tres términos, como

(23) eL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una
letra.

Grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor
grado. Ast, en el polinomio «*—5x*+x"=%x el primer término es de
Casto grado: cl segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y
el último, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el
cuarto.

OMENELATORA Attac 8 17.

Grado de un polinomio con relación a una letra es el mayor expo-
nente de dicha letra en el polinomio, Así, el polinomio at ax: — xt cs
de sexto grado con relación a la a y de cuarto grado con relación a la x,

= EJERCICIO 5
1. Digase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
a) ete ©) aveo tab?—be
D) Sader dat—o, Odia.
% Die el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una
Ic sus Tec
a) Pat
DITES
(24) CLASES DE POLINOMIOS
~~ Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene deno+
minador literal como x#+5x~6; 5-3 +2 fraccionario cuando alguno.
de sus términos tene letras en el denominador como © +8; racional
cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores: irracional
cuando contiene radical, como Va+Vb-VE-Vabe; homogéneo cuando 10.
dos sus términos son del mismo grado absoluto, como Aa Su%b-+ ab} D,
y heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado, como

9 6a1bdafxabr5añptss,
dd manne type

Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos
los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el más alto al más bajo que
tenga dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio x34 2*— s+? dx
es completo respecto de la x, porque coitiene todos los exponentes sucesi
vos de la x desde el más alto 5, hasta el más bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el
polinomio at—a%b 4 ab — ab? + b es completo respecto de a y b.

Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el
cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, va)
aumentando © disminuyendo,

Así, el polinomio xt 4x? 2x?—5x-+8 está ordenado én orden dew
cendente con relación a la letra ordenlatriz x; el polinomio a?—2a'b + Gab
~bab* 4 dab*— bi está ordenado en orden descendente respecto de la letra
vrdenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.

(25) Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los expo-
mentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden des-
tendente o ascendente, Así, ordenar el polinomio —5x'+x—3e-hx!—x246 en
orden descendente con relación a x será escribir x°+x!—5x!—x—3x-+6,
Ordenar el polinomio xy ~7x%y!— Gx" + Gxy*-+ 8 —xty? en orden ay

cendente con relación a x será escribirlo:
eg

9. 188 mamma

relación a la a es 5 porque no tiene a; en x= 6048
no independiente es 20; en a
con relación a la a es b%y el término independiente con x

Término independiente dé un potinomio con relación a una letra es
el término que no tiene dicha letra.

Así, en el polinomio a*—a*+-32—5 el término independiente con
9x+20 el térmi-
ah +3ab?4-b* el término independiente
ación a la b

es a? El término independiente con relación a una letra puede considerarse

que

Gene esa letra con exponente cero, porque como se verá más adelante,

toda cantidad elevada a cero equivale à 1.

Así, en el primer ejemplo anterior, —5 equivale a —5a0, y en el últi

mo ejemplo, b* equivale a 000%.

EJERCICIO 6
Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radi-
‘al, digase de qué clase son los polinomios siguientes:

a) ee ©) VE + VER VE
CENTS EU

Escribir un polinomio de ter grado absoluto; de quimo grado, aby
Tuto: de octavo grado. absolute: de decimoquinto grado. aboluto
Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio
de quinto grado respecto de la af un poltnomia de noveno grado ves
pr de hm

Pen
aabt, aaa

À abria, Y Cad
cacon ds que sean hamagincel y des batroginee,

y. De los siguientes polinomios:

2er, Dee,

Geena SR.
A

digase cuáles son completos y respecto de cuáles leuas.

Escribi tes polinomios homogéneos de tercer grade absoluto; cuatro

de quinto grado absoluto; dos polinomios. completos,

Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden

descendemes

a

À tab

A at-5a bat e246.

9 Bey matt

Ham tens Amin men? Lineman,

Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier lea en orden

d
9

rabat.
y

mouceron me rimas scans 010

(27) TERMINOS SEMEJANTES
=" Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte lite»
ral, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

Los términos dab y — 60% no son semejantes, porque aunque tienen
iguales letras, éstas no tienen los mismos exponentes, ya que Ja a del pri:
mero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2.

Los términos — bxt y ab* no son semejantes, porque aunque tienen 104
mismos exponentes, las letras no son iguales.

(28) REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES es una operación que tie
ne por objeto convertir en un solo término dos o mids términos 16
tes

En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres Cal
siguientes:
1) Reducción de dos a midi términos semejantes del mismo signo,
REGLA

Se suman los cocficientes, poniendo delante de esta suma el mismo
signo que tienen todos y a continu

Ejemplos

(1) 20420 =50. R 16) fob + Zeb =

w ie

a (8) Sr tombe R

ta De,
5 E x

1 6
2 Baa, 3
5 1040. 5
4 =b=5b. 8.
5. —8m-m 10

10. 208 am

1h, Bet gat oe. do doy,
18. Sx bass. 30. anar,
1e. su Jette
2.
2
=
=
bes tab Tab Sab? Babe,
25, 3, =mon—km—im-Om.
De Be Ponte
5 30 latlatletletha.
21. NasBate ttle, MORTE SC ae
28 mes tam Hed O

2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.

REGLA

Se restan los cocficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo
del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

(1) 20=30=—0. R (5) Berti Stow = Pat Re
RS

(3) ~200b+ Nab=—9eb. R.

(4) Bot F180" = 50 Re LR

Da lo regla anterior se deduce que dos lérminos semejontes de iguales coli
cents y de signo conraia se anulan,

“an

m EJERCICIO 8

Reducir:
1 Seba, 5 D. Ay sry.
2 Ga-8a. 6 10, -minksman.
3, 0ab=15ab. To. CS
à Yab~Bab. 5 ee 12, S5a¥bt—810%b*

+ 23
—9ab*4-9ab7,

Ixy Ay. Be.

A018

Em. a5, amt Lam.
O 0

abt cad, -Smn+ ton.
tb,

pp

A

Lanta,

ai: dass may.

Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo

término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la re:
gla del caso anterior.

11) Reducir 50-0040 6 2e.
Reduciendo los positives: 50 + 0 + 21a = 770.
Heduciendo los negativos: — ba — de = — Id
Aplicondo a ests sesllados ablenidos, 270 y — Mo, la regle del oso onli
io, so tenes Wo Mac tie, R
Esta reducción tombién suelo hacerse término a tórmino, de cto mancroi
Soto — 30 +0= 20, — 20 — da == Bo; Do +210 = VMS A

(2) Reda — pr Ste he

Reduciando los pos i? + Po 4 bet

Foduclndo ls sepas: = En =

Tendremos: bit —
EJERCICIO 9
Reducir:
5. 19m—10m Gin.
8 “Ia 1502. 8
= T Seo
e + 10518 8 Me i

Bat +8bx-8 oan epee)

11. 228 soma
1 Letter. ga, Feb a04 Zara.

12. —a+Sa+da—150. ® 1 a

13. Tab_11ab4200b-—Slab. year an
o —a+80—Ho+160—760.

. y ied Met lde—B0e+82e,
18. +210b—ab—804b, man l4mn—31mn—mn+ 20m.
ae eae a ER
19. —82bx—Tléx—53bx4-206bx. iS!
20 det tater tame

105a!—aGtat+580"-+301a4,

at, td
32, Ter-Bas-lat-Dart 730",

EE
(a+ 64~200-+1500—800+810,

00-119 -175~81)—b4110b,

BERLIN Sabah bath,

Blan —5OL etx —GOhbn#x— Tn} 2B lm 165.

bt abe abe and.

39. d0a—Bla}-19004- 110809104160
0. —21ab-+52ab—60nb+Bdab—31ab-

ab.

(38) nepuccion DE UN rOLINOMIO QUE CONTENGA TERMINOS

SEMEJANTES DE DIVERSAS CLASES

(1) Roducir el polinomio Sa— 6b + Be + 9a — 20e — b 4 6b— <.
Se reducen por reparado los de cada clase:

Ba + a = a.
6b.
Be Dee = — 1%,

ondromon 149 =5=180R
(2) Reduce el polinomios
BO + doth! COM — oth Fat — 15 — SO + 0~ bab,

Se reducen por separado los de coda clase: Ab Pob? = — Sab?
Gath + dab? ab? = 13037,

{31 Reducir el polinomio:

terio

pa 64) M pe

varo Huntaico à 23

Tondremas:

= EJERCICIO 10
Reducir los polinomios siguientes:

A

SUB) SRH.
52Gb Ba? +20—Bab—Bh-+0?—ab,
—BaHb-Ger 810-1146 Saab.
TED Bat
20-3a-3-30
nm Lömi Go
KERRY
ee Abra
ar Gama
030+04b+050-0.6a—0.70-0.9ctB0-30-

Zarsb+2a-30- 40-1045

dans ner Za EEE re pus,

VALOR NUMERICO

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se

obtiene al sustitu

as letras por valores numéricos dados y efectuar después

lai operaciones indicadas.

12. 24@ mamma vaok umeRico §— @ 25,

se
(5) varon numenico DE EXPRESIONES SIMPLES (2) Vote i AA
Qo? Sab b 3x29 5x2x3
aK 4 +
je SS En
(1) Hollor el valor numérico de Sab paro a=1, b=2. D EJERCICIO 12

Sunituimos la a por su valor 1, y la b por 2, y endtemoss Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para

a=3,

Le et 2ab +08, 7

Qe Qed bar, 3 VE va Vim, 4

0 VI d VE VBE 15

‘ 10 16.
se am
b u. a 0
EEN am E
ed 5x2X3. a. 12 ze ke 18

> EJERCICIO 11
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para

a=1, b=2 c=8, m

ins 2 Los operacionns indicadas 220 b}= 2 X 12 X 2-3)
. ¿dentro de Jos poréntsis de: à
2 Babe. a bon efectuarse antes quo. cr
on: ningura oto, esi.
ia se > enn
z 10. 4n VITE.
in 7 ag, IR
sn ate vo m
> EJERCICIO 13
(D vmion numanico ve exrnesons comuestas EEE ee pen
a=1, 0=2 623 d=4 mal, a=
1 (arby 5 (Amispre baina). 0 Es + Eye.
(1) Hallar el valor numérico de 0° —Sab +364 para a HA a a: MT
0% — Sob + BEP IX AFI 4 = 9— 60 4 1922 141. Re (b—m)(omn) +40? b(e+d)—a?(m+n)-+2x, ar

% mb Iny(ipedy, 8: mL Ad, di ern, 4

13. 260 arcinea
(Emtöntapxsp+ön—m)On+20P). 10. Ke-b)vBm-Nd-a) VIE

men) dp) +b3n+p).
O EC)
Er = rodeo
en = en

WEEE ME) acta ne)

(32)) EJERCICIOS SOBRE NOTACION ALGEBRAICA
Con Jas cantidades algebraicas, representadas por letras, pueden ha-
cerse las mismas operaciones que con los ntimeros aritméticos. Como la
representación de cantidades por medio de símbolos o letras suele ofrecer
dificultades a Jos alumnos, ofrecemos a continuación algunos ejemplos.

(1) Escaso lo soma del eine de a con o eb de b.
a+b R
12) Un hombre tenia Sa; después recibió $8 y después pogó una cuento de $e.
¿Cuento I quede
Teniendo $a recibió $8 luego tenia Slo +4). Si entonces gasta $c le quedon
Ha+B=cl R
13) Compré 3 libros a $a cade uno; 6 sombreros a $b cada uno y m trajes a $x
ada wo. ¿Culto ho gastos
3 los 0 a importen Sa
6 sombreros a $b importan $b.
m trajes 0 $x importan $x.
Luego el gasto total ha sido de H3o + &b rmx). Re ’
(4) Compro x libros iguales por fm. ¿Cuánto me ha costado cada uno?
Cad ro ha osado $ Re

(5) Tenía $? y gosté $x. ¿Cuánto me queda?
Me quedan $193). R.

D EJERCICIO 14

1 Escribase la suma de a,b ym.
2. Escribise la suma det cuadrado de om, el cubo de D y la cuarta poten:
ela de x

i. ¿Cuál será la super

oracion atanales 0 27

Siendo a un número entero, escríbanse los dos números enteros. conse
cautivos posteriores aa.

Siendo x un número entero, escribanse los dos nümeros consecutivos
anteriores a x

Siendo y un número entero par, escríbanse los tres números. pares con:
sccutivos posteriores a 9.

Pedro tenía $e, cobró $x y le regalaron Sm. ¿Cuánto tiene Pedro?
Escríbase la diferencia entre m y n.

Debía x bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo ahora?

De una jornada de x Km. ya se han recorrido m Ken. ¿Cuánto falta
por andar?

Recibo $x y después Jo. Si gasto $m, ¿cuánto me queda?

|. Tengo que recorrer m Km. El lunes ando a Km. el martes b Km, y

el miércoles € Kin. ¿Cuánto me Elta por andar?
AU vender una casa en Sn gano $100, ¿Cuámo me costó la casa?

Si han transcurrido x días de un año, ¿cuántos días faltan por transcurrir
SÍ un somero cuesta Sa, gar importaría 9 sombrero; 15 sombre
Escribase la suma del duplo de a con el triplo de b y la mitad de 6.
Expresar la superficie de una sala rectangular que mide a m. de largo
y Dm. de ancho.

'- Una extensión rectangular de 23 m. de largo mide m m. de ancho. Ex:

presar su superficie,

scie de un cuadrado de x m. de lado?

Si un sombrero cuesta Sa y un traje $6, ¿cuánto importarán 9 sombreros

y 6 trajes), 2x sombreros y m trajes?

Escribaso cl producto de «+0 por x 43.

Vendo (+6) trajes a $8 cada uno. ¿Cuánto importa la venta?

Compro (a -8) caballos a (344) bolívares cada uno, ¿Cuánto imporkk
‘compra’

Si x lápices cuestan 75 sucres: ¿cuánto cuesta un lápiz?

Si por $a compro m kilos de azúcar, ¿cuánto importa un kilo?

Se compran (n—1) caballos por $000 colones. ¿Cuánto importa cada

caballo?

Compré a sombreros por x soles, ¿A cómo habria salido cada sombrero

si hubiera comprado 4 menos por el mismo precio?

La superficie de un campo rectangular es mm. y el largo mide 14 M

Expresar el ancho.

a tren ha recorrido x 41 Km. en @ horas, ¿cuál es su velocidad por

Je y cobré $b.

el dinero que tengo lo empleo tado en comprar
(n=) libros, ¿a como sale cada rod A
En el piso bajo de u 3 habhacioncs En el segundo po lay
doble hümero de habitaciones que en el primero; en el tércero Ia mitad
de las que Jay en el primero. ¿Cuántas habitaciones tiene cl hotel?
Pedro thene a suerest Juan tiene la terra parte de lo de Pedro; Enriqu
la care parte del duplo de lo de Pedro, La suma de lo que tienen
Jos tres es menor que 1000 sucres, ¿Cuánto falta a esta suma. para ser
igual à 1000 sucre?

14. 28@ zum

NOTAS SOBRE EL CONCEPTO DE NUMERO

EL concepto de número natural (yéase Ariemética TeóricoPráctica, 99),
que satisface las exigencias de la Aritmética elemental no responde a la gene:
Hlización y abstracción caracteristicas de la operatoria algebraica.

‘Algebra se desarrolla un Cálculo de validez general aplicable a cual
ser tipo pedal de número. Conviene pues, considerar cómo se ha ampliado
Wie dos mümeros por la Introducción de nuevos entes, que sauce
fas leyes que regulan Jas operaciones fundamentales, ya que, como veremos
ms adelante, ef nümero natural (D no nos sirve para efectuar la resta y la
división en todos los casos. Baste por el momento, dado el nivel matemático
que alcamaremos a 10 largo de este texto, explicar cómo se ha llegado al
Concepto de número real.

Para hacer más comprensible la ampliación del campo de los números,
adoptaremos un doble criterio, Por un lado, un criterio histórico que nos haga
Conocer la gradual aparición de las distintas clases de números; por otro, un
Grterio intuitive que nos ponga de .uaniliesto cómo ciertas necesidades mate:
Hales han obligado a los matemáticos a introducir nuevos entes numéricos.
Este doble criterio, jusificable por la indole didáctica de este libro, permitirá
al principiante alcanzar una comprensión clara del concepto formal (abstracto)
de los números reales,

EL NUMERO ENTERO Y EL NUMERO FRACCIONARIO

Mucho antes de que los griegos (Fudoxio, Euclides, Apolonio, ete) rea
lizaran a sistematización de los conocimientos matemáticos, los babilonios
Gain muestran. las tablillas cuneiformes que datan de 20001800 A.) y los
Egipcios (como se ve en el papito de Rhind) conocían las fracciones

Ya hecesidad de medir magnitudes continuas tales como la longitud, el
volumen, el peso, etc, llevó al hombre a introducir los números fraccionarios.

"Cuando tomamos una unidad cualquiera, por ejemplo, la vara, para
medir una magnitud continua (magnitud escalar o lineal), puede ocurrir una
de estas dos cosas: que la unidad esté contenida un mimero entero de veces,
o que no exté contenida un número entero de veces. 09 En el primer caso,
representamos el resultado de la medición con un número entero, En el se-
Eundo emo, tendremos que Fraccionar la unidad clegida en dos, en tres, o en
Euatro partes Iguales; de este modo, hallaremos una fracción de la wnidil
que ese contenida en la magnitud que tratamos de medir. El resultado de esta
Última medición lo expresamos con un par de mimeros enteros, distintos de
ero, Mamados respectivamente numerador y denominador. El “denominador
nos dard el múmero de partes en que hemos dividido la unidad, y el nume-
fador, el numero de subunidades contenidas en la magnitud que acabamos
de medir, Surgen de este modo los números fraccionarios. Son números frac-
cionarios 1/2, 1/8. 3/5, et

1} 71,0: Die len, 10, a sei que ne secante au
enable Roplae eh coneepio de mimo. mural. ya que —Jegán &- cualquier principio
e pede deme por melo de Los meros matures

(2) En In prteica
de enteo aE muera e

horas soune KL concroro ot muito — @ 29

Pace a emote cen ba ee
meros enteros, que podemos definir como aquellos que expresan el cociente

6+2=

EL NUMERO RACIONAL Y EL NUMERO IMRACIOMAL

Siguiendo el orden histórico que nos hemos trazado, vamos a ver alio
«cuándo y cómo surgieron los números hr Be
Es indudable que fueron los griegos quienes con
eros irracionales, Los historiadores de la matemática, estan de acuerdo en
atribuir a Pitágoras de Samos (540 A.C), el descubrimiento de estos número,
establecer la relación entre el lado de um cuadrado y La diagonal del mismo
Mis tarde, Teodoro de Cirene (400 A.C), matemático de la escuela. pitagó:
demostró geométricimente que VE VB, VE, VT. ete, son irracionales
Euclides (800 A.C), estudió eu el Libro X de sus “Elementos”, ciertas
magnitudes que al ser medidas no encontramos ningún número enter ll
Iraccionario que las exprese. Estas magnitudes se llaman Snconmensurables, Y
los nümeros que se originan al medir tales magnitudes se Ilaman irracionales. 0)
jemplos de tales motrítudes son La relación de Jado de un cuadrado, a

la diagonal del mismo, que se expresa con el número irracional Val +0
y la relación de la circunferencia, al diámetro que se expresa con
4159: 3 pio

ieron primero los md

d c= et

D=diámelro

2

—

dNave E

sinemiticamente los micros race, Euclides os amd asymumetro,
aces. los Hand. yumetrs, palabra» que apmlken din mda y con media
naar hecho’ de que Cow mine os ira) no tenian Expresión los deal
lx vor alogos. Bocca (475-551 D.C), al tmducie emp comentado Income

i Sin embargo, Gerindo de Cremona gLUNCHET) en una traducción de un comentarlo
Irate sobre Tuch. wild eröneamente satlmale 2

all, al to

Amo, udn y mo en la acepción de Palabra (rerbum), mada. por Euclides. Le ner" se
Serle nn an

15. 30

auctor

Como consecuencia de la introducción de los múmeros irracionales, con-
sideramos racionales el conjumo de los números fraccionarios y el conjunto
de los mümeros enteros. Definimos el número racional como aquel número
gue puede exprese como codente de do eros, Y el número racional como
quel múmero real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.

Liamamos número reales al conjunto de los números racionales € ira
cionales.

LOS NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Los números negativos no fueron conocidos por los matemáticos de la
antigiiedad, salvo en el caso de Diofanto (siglo IIT D.C), que en su Arltmética,
al explicar el producto de dos diferencias, introduce un número con signo +.
En el siglo VI, los hindúes Brahmagupta y Bháskara usan los números negativos
de un modo práctico, sin llegar a dar uns definición de ellos. Durante la
Edad Media y el Renacimiento los matemáticos rehuyeron usar los números
negativos, y fue Newton el primero en comprender la verdadera naturaleza de
estos números. Posteriormente Hartiot (1560-1621) introdujo los signos + y —
para caracterizar los múmeros positivos y negativos. a

La significación de los números relativos © con signos (positivos y nega-
tivos) se comprende claramente, cuando los utilizamos para representar el
resultado de medir magnitudes relativas, es decir, magnitudes cuyas cantidades
pueden tomare en sentidos opuestos, tal como sucede cuando tratamos de
medir la longitud geográfica de una región determinada; o de expresar el
grado de temperatura de un lugar dado. En el primer caso, podemos hablar
de Tongitud este u oeste con respecto a un meridiano fijado arbitrariamente
(Greenwich), En el segundo caso, podemos referirnos a grados sobre cero 0
grados bajo cero. Convencionalmente fijamos los múmeros positivos o con

igno + en una dirección, y los múmeros negativos o con signo —, en la direc:

ción opuesta.

Seobre una vemireca fijamos un punto cero, a parts del cual, hacía la
derecha, señalamos puntos que representan una determinada unidad, nos re-
sultan los puntos A, B, C, ete. Si sobre esa misma semirrecta, a partir del punto.
cero (llamado origen), procedemos del mismo modo hacia la izquierda, tendre-
‘mos los puntos a,b, e, ete. Si convenimos en que los puntos de la semirrecta indi-
ados a la derecha del punto cero representan múmercs positivos (A, B, C, etc);
los puntos señalados a la izquierda (a, D, €, etc), representarán números
negativos.

Históricamente, los mimeros negativos surgen para hacer po-
sible la resta en todos los casos. De este modo, la resta se convierte en una
operación inversa de la suma, y se hace posible restarle a un minuendo menor
un sustraendo mayor.

noras scbne EL concerto Be numero @ 31

er ee eee
sea gb ein We eon dm arc
SS tee Bice oe e aa
pach ee ae Sees Se ree oe ae
© coordinables entre si. Por extensión llamamos conjunto al que tiene un solo
a Pr
ee
SR
Por otra parte, el cero representa un elemento de separación entre lov
nn te EIER Mn mi mens de ero ci
e ms Des
ae ae a one cic ao
fee aes

NUMEROS REALES

Raion Iran

a =" i

mean Franken Enten delas

LEYES FORMALES DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES.
COM HUMEROS REALES.

Hemos visto suniarlamente cómo a través del curso de la historia de las
Ivatemáticas, se ha ido ampliando sucesivamente el campo de los números,
hasta Hlegar al concepto de nümero real, El camino recorrido ha sido, unas
Seces, el geométrico, que siempre desemboca en la Aritmética pura, formal;
oui veces, el camino puro, formal ha iniciado el recorrido para desembocar
En lo intuitivo, en lo geométrico, Como ejemplos del primer caso, tenemos
Jos nn cionales, introducidos como ramón de dos segmentos con el
propésito de representar magnitudes inconmensurables, y que hacen posible
la Expresión del resultado de la radicación inexacta. Y tunbien, los mimeros
Iraccionarios que surgen para expresar el resultado de medir magnitudes con.
mensurables, y que hacen posible la división inexacta, Como ejemplo del
segundo caso, están los números negativos que aparecen por primera vez como
tales de ecuaciones, y hacen posible la resta en todos los casos, ya que cuando
el minuendo es menor que el sustraendo esta operación carece de sentido
guiado trabajamos con números naturales. Más tarde, estos números negativos
(class) servirán para expresar los puntos a uno y otro lado. de una recta

Si pretensiones de profundizar prematuramente en el campo mumérico,
vamos a exponer las leyes formales (esto es, que no toman en cuenta la natu:
raleza de los números) de Ja suma y de la multiplicación, ya que las demás ope:
Fuclones fundamentales pueden explicarse como inversas de éstas, así, la resta,

16. 32 @ Acura

la división, la potenciación, la logaritmación y la radicación. Conviene ir
adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas
leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente
le platcarán as matemáticas superior. Bor ora pare, el conjunto de ets
leyes formales constituir una delinición indirecta de los números reales y de
las operaciones fundamentales, Estas Jeyes que no requieren demostración, pues
son de aprehensión inmediata, se Haman axiomas.

IGUALDAD.
1. Axioma de identidad:
Hl. Axioma de reciprocidad: si
11. Axioma de transitividad: si a

b, tenemos que d.
y b=0, tenemos que

SUMA © ADICION

1. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igu
es decir, únicas ash, a= y e=d, tenemos que ate=D +4.

11. Axioma de conmutatividad: a + b = b a

UL Axioma de asociatividad: (a+ D) 4e = ad (b #0).

IV. Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un mimero y sólo
un número, el cero, de modo que a+9=0 +a=a; para cualquier valor de a.
De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idémico o módulo de la suma.

MMULTIPLICACION

|. Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual,
es decir, único, asi si a= y c=d, tenemos que ac = bd.

1. — Axioma de commutacivida

MI. Axioma de asociatividad: (ab) e= a (be).

IV. — Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que

bar.

V. Axioma de identidad, o módulo del producto: hay un nümero y sólo

un número, el uno (1), de modo que a.1=/-a=a, para cualquier valor de a:

VI, Axioma de existencia del inverse: para todo número real «40
istinto de cero) corresponde un nümero rea), y sólo uno, x, de modo que
7. Este múmero x se llama inverso 0 recíproco de a, y se representa por 1/2.

la

AXIOMAS DE ORDEN

|, Tricotomfa: Si
relación

memos dos números reales a y b sólo puede haber una
y sólo una, entre ambos, que a>b; a=b 0 a<b,

11. Monotonia de la sumas si a>b tenemos que a+c> bdo

111. Monotonía de la multiplicación: si a > D y €>0 tenemos que ac > be.

Moras sent UL concerro be fimo 033

AXIOMA DE -CONTINUIDAD,

L. Si tenemos dos conjuntos de mueros reales A y B, de modo que todo
nümero de A es menor que cualquier mimero de B, existirá siempre un número,
real e con el que se veritique SD, en que a es un número que está
dentro del conjunto A, y D es un número que está dentro del conjunto Bi

(CIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS RELATIVOS
UMA DE NUIAEROS RELATIVOS.

En la suma o adición de mümeros relativos podemos considerar cuatro
casos; sumar dos mimeros positivos; sumar dos números negativos; sumar un
positivo con otro negativo, y sumar el cero con un mimero positivo o negativo.

1) Suma de dos números pasitivos
Regla
ara sumar dos números positivos se procede la sua [GRE

aritmética de los valores absolutos de ambos números, yal.

al
vesultado obtenido se le antepone el signo ++. Asi tenemos,

Podemos representar la suma de dos niüuneros positivos del siguiente modo:

2) Suma de dos números negatives

Regla
Para sumar dos números negativos se procede a la suma (GSA)

aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado
obtenido se le antepone el signo — Asi tefiemos:

Podemos representar Ta suma de dos números negativos del siguiente
modo:

o A.

SHE St

e 1
RUE A ET

17. MOFAS sount mL conctero DE NUMERO © 35

© cm
3) Suma de wn número positivo y uno negativo Dai mi piro io
Regla Regla
Para sumar un núniero positivo y un múmero neguivo ( La suma de cero con cualquier múmero positivo o negativo nos dard

hrocede a hallar la diferencia aritmética de los valores | (gy el mismo número positivo o negativo.

lutos de ambos número», y al resultado obtenido se le EH +(+0)=0 ;
Mtoe, Les ant Ka de ane : hee
ome no o aloluro y egw din la soma es | (+OECO=O ca isa —
FR Semen
Podemos. sentar la suma de un nümere positivo y otro, negativo de
din bles ;
mn grdfica de a sum de un nämer positivo y un nönero

C9+0=
En general: > a+0=0+:

En que a puede ser positivo, negativo © nulo,
ativol en que el mitnero positivo tiene mayor valor absoluto que el negativo: en

Llamanos oqueño de un número al mio, número con [CERA
signo contrario, Ast, decimos que —m es opuesto de +3.
VÍ vimos en un. eue de la sun que:

e e a.
cont iru se ima Sita, at sk
es es en
Re ue

Enano tl onen de polen

ación gráfica de la suma de un número positivo y un número iguatiad @), no mat en o Ma
co sot ue el po

gativo, en qt Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2), FER Em

veremos que aplicando el axioma de asociatividad. tenemos:

mbm’ =O, y como x+0=x, tendremos:

que es lo que queríamos demostrar, es decir, que para hallar la diferencia

entre m y m basta sumarle a n el opuesto de m (m). Y como hemos visto que

para hallar el opuesto de un número basta cambiarle el signo, podemos enun-

inc la siguiente

Rela

un número positive \ümero Para hallar la diferencia entre dos nú
PR ka de. na de un nes Pete ean ee
egativo, en que el valor iracndo, cambiándole el signo.

As: A

(148) (+44) =(+8)+ (9) =>+4
9-4) = (4 CG)
CH-G9=CH4+-)=-12
C8-CH=CH+G)=—4

MUPRRSEHTACION GRAFICA DE LA SUSTRACCION DE NUMEROS ARLATIVOS

Por medio de la interpretación geométrica de la sustracción «de mimeros
relativos, podemos expresar la distancia, en tinidades, que hay entre el punto
que representa al minuendo y el punto que representa al sustraendo, así como
el sentido (negativo o. positivo) de esa distancia.

18. e mm

Para expresar la diferencia (44) (+8) =+12, tendremos:

E E E er

AULTIPLICACION DE NUMEROS RELATIVOS
Regla
EL producto de dos múmeros relativos se halla multiplicando los valores
\banlutos de ambos. El producto hallado llevará signo positivo (+), sí los
ignos de ambos factores son iguales; llevará signo negative (>), si los fac-
ores tienen signos dístimtos. Si tuno de los factores es 0 el producto será 0.

wre

Guando operamos con simbolos literales

1 producto es siempre indicado, bien en la (0 (3 =0 |
orma ax bi bien en la forma a,b y más jou
aif
te cuadro es un medio de re + por + dat + por de

Hg . el
cordar Fácilmente la ley de los signos en la, — por — da + — por da
multiplicación de los nimeros relativos.

LESEITACION GRAFICA DEL PRODUCTO OF DOS KUMENOS RELATIVOS

EI producto de dos números relativos puede expresarse geométrieamente
como el ren de un reetingulo cuyo Jango y cuyo ancho vienen dados por
smbos números. A esta área. podemos atribuirle un valor positivo o negativo,

horas donne rl cowcerro oc muutto © 37

según que sus lados tengan valores de un mismo sentido o de sentidos dis
tintos respectivamente.

E +2 r2 +6
md +3
3 +3
|
6 —|-2 ei
- L #

FIGURA 9

POTHNCIA DE MuMeKos amariVes

Llamamos potencia de un número relativo al producto
omarlo como factor tantas veces como se quiera, Si a
1 nümero relativo cualquiera y m>1 cs um número
à 1s la notación at, que sc Ice a clevado a la

“e indica que a debe tomarse como factor n

x, amor potencia at producto he al

‘que tomamos como tator a, y Exponente à m, que nos indica os

ory que debes tomar como factor 3 a. A la operación de hallar
2;

Al producto x, la llamamos potenciación o elevación a pot

1 esto ejemplo, 4 es la bases 5 es el exponente, y 1024 es la potencia.
Regla
La potencia de un número positivo siempre es positiva. =
Jeyela de un mimero negativo será positiva si el exponente es entero (- al?
Y par: negativa si el exponente entero es impar. Ast: —» e=tA

19. sé " MOTAS sonne ri coNcEPIO we mumeno 09039)

DUETO: DK DOS POTENCIAS DE IGUAL BASE

Regla

Para multiplicar dos potencias de igual base,
eleva dicha base a la potencia que resulte de la
na de los exponentes respectivos, Ejemplo:

Ahora que estudiamos la división, podemos enunciar tres caos de ln
clevación à potencia de un número cualquiera.

1) Si un número cualquiera 070, se

2) Si un mimero cualquiera 070, w eleva a un exponente
rugativo cualquiera = m es iual al reciproco de la potencia am, de
exponente positivo, Ast:
2) La division de dos potencias de igual base es igual

2 da base clovada à la potencia que dé la diferencia de ambos
exponentes. Ast.

TIA DE UNA POTENCIA

Regla

Para hallar la potencia de una porencia se ¡ml
ican los exponentes y se mantiene la base primi. (
ae RR E

Hay que poner especial cuidado en no confun-
ota pote de una potencia, con la elevación de
| nbhero a una. potencia cuyo exponente, a la vez
¿afectado por otto exponente, As, no es lo mismo ©

99 que (4%), Ejemplo: 4

VISION DE NUMEROS RELATIVOS.
Ya vimos, al tratar de las leyes formales de la multiplicación, que de
uerdo con el axioma VI (existencia del inverso), a todo número real a 7-0,
rresporde, imero real, y sólo uno, x, de
ero x se llama inverso o recíproco de a, y se representa por 1/e.
2 El inverso de +4 es +
EL inverso 0. teciproco de un número xele= Ei inverwo de — À es — À
30 cualquiera distinto de cero tiene su mismo |) inverm de YO

sd nverso de +4 es +2

LUNWORAIDAD DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS RELATIVOS

_ Hemos visto en las operaciones estudiadas, a saber: suma, resta, multiple:
cación, potenciación y división, que se cumple en todas ellas el axioma de
rmudad. Quiere esto signilicar que cuando sometemos dos números rela
ra de Jas operaciones mencionadas, el resultado es uno, y sdlo
mico. Sin embargo, cuando extracimos la raiz cuadrada de un
nemos un resultado doble, Pues como veremos, al estudi
s raíces, un número positivo cualquiera siempre
ces dle grado parana positi 3

Ast:

La división es une operación inversa de la multiplicación que consiste.
+ hallar uno de los factores, conocidos el otro factor y el producto, Es decir,
1do el dividendo à y el divisor d' hallar el cocieme e, de modo que se ver
fique d'e=d.
WM eccondamos que esta operación s6lo es posible si d° es distimo de ce

Aplicando el axioma de existencia del inverso, tenemos que:

1a Wey= Wal à

Sabemos ques ya! (de) = (ya d'}e=(i)e=e

Eliminando queda: ¢=1/a à

De lo cual deducimos la siguiente

del mismo modo: porque: | (+8)*= (+8) (+8) =-+ 64

EP) + 64

POSIDIEIDAD DE AMPLIAR EL CAMPO NUMERIC

Los némeros reales no cierran la posibilidad de ampliación del campo
‘numérico, Tal posibilidad se mantiene abierta para la introducción de nuevos
eines, siempre que tales entes cumplan las leyes formales, Dentro de los

(de este texto, el estudiante todavía se enfrentará con una mucya ampliación
‘lel campo numérico, Se trata del número complejo, que es un par de números
lados en un orden determinado y que está constituido por un número real
y Un mimero imaginario. Con estos números podremos representar wn punto.
cualquiera en ef plano. En cl capitulo XXXI se presentará una discusión
Amplia sobre estos. múmeros.

‘otto número distinto de cero 4,
cociente que resulte será posi
egativo, si son de signos contras

thie + da
entre —
ente
entre

‚dir un número cualquiera d
sultiplicamos d por el reciproco 4* (1/4
los dos números son del mismo signo: y

se cuadro podemos recordar Eicilmente la

Con el sige

cy de los signos de la división con núxueros ret

EE

20. (3) La suma O ADICION es una operación que tiene por objeto reunir

dos 0 más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión
algebraica (uma).

Asi, la suma de a y D es a+b, porque esta última expresión es la reu-
niôn de las dos expresiones algebraicas dadas: a y b.

La suma de a y —b es 4-0, porque esta última expresión es la
reunión de las dos expresiones dadas: a y —b.

CARACTER GENERAL DE LA SUMA ALGEBRAICA

En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Algebra
la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o dis.
minucién, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que
equivale a una resta en Aritmética

Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una
cantidad positiva de igual valor absoluto.

Así, la suma de m y —n es mn, que equivale a restar de m cl valor
absoluto de =n que es hh

La suma de —2x y — 3) es —2x—3y, que equivale a restar de —2 el
valor absoluto de —3y que es Byl-

40

ma a
(5) recia ceyerat pana suman

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a con:
tinuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos se.
mejantes si los hay.
|. SUMA DE MONOMIOS

1) Sumar Sa, 6b y 8e.

Los escribimos unos a continuación de otros con sus "GA HOYA BO
propios signos, y como 5a=+5a, 66==+6b y Sc=+8c la suma será: 7

El orden de los sumandos no altera la suma. Así, ba + 6b 4 8c cs lo
mismo que 5a + 8e 4-60 0 que 6b + Be+ 5a.

Esta es la Ley Conmutativa de la suma.

2) Sumar da, ab, a, Tab? y 6b.

Tendremos e a eh à Tab GA.

Reduciendo los términos

EEE

semejantes, queda: E

3) Sumar 3a y —2b.

Cuando algún sumando es negativo, sucte inchuirse TO
dentro de un paréntesis para indicar la sumas asi: A

La suma será qe?

4) Suma Ta, —80, —160, 9b, —4e y 8.

Tendremos:

Ta + (—8b)+(—150)+-90+(—4c)+8=70 RD —150+0b=40+8==84 HU=4CHB, |

0) Sumar Sat, Jab, —20%, Tab, dar, — 204,

Jura ad + (208) + HIER RANGE)

a? + fab — 2b" R.

» EJERCICIO 15
Sumar:
ı 1 mam 19 tx at
a 12. ab, —16ab. E 2.
A 13. 9, y 10 ade — habe 26
4 1 a
2

‘ 1
4 a
ja ar 38

21. 42 @ mem

en a 42. mi, Amt Gmb Ton, Aran, bm

= 5e 1h de, 00
al, Sab, 30%, añ. a ae ab Da be.
mnt, 5m, Ximo, Am. A. aE, Bay's iy, Tay, 8, xD

Bey, 5, Ta, dx,
, Sy, Bea Ts a,
025, 5ab%, —a20, —11ab%, 71
Bint, Ts, =, mn. 8.

40. Sa, 2b, ~4, —b, Ja, 6.

a Sr an
Card, Bart, a+, Gate}, Gas,

it. SUMA DE POLINOMIOS »

1) Sumar ab, 2a+3b=0 y

suma @ AB

Somor Ba—26+Sc—d, —2b-he~ Ad y ~3a4-56~c y probar el resultado:

por el valor numérico paro a <1, b=2, ¢=3,
Tendremos: Bo 3bd Se d= B— 64+15— 4
+ c-dd= = 44 316
sh Sb~ e

3410 3
bo +R 5 +5-2

La suma de les valores numéricos do los sumandos 13 — 17 +4
lor numérico de la sumo que tombién es ceso,

EJERCICIO 16

Hallar la suma de:

| 3a42—e; Betabte, T Tx Ay Fs; 1012) 8 beta
La suma suele indicarse incluyendo 4 Tomäbtbe: ~Tetdb—Ge, Fa ar danos tr
los sumandos dentro de paréntesis; asi: 7 re 8,
‘Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a conti- NOTA eee red vr ae dar rer de
nuaciôn de otros con sus propios signes, y tendremos Brg pra pito 1% Dr Eh 6e 0
a b+ 2a ab— cda tob=—a + TOO R. 19. -am6me-is 6s—am—Smm; —Bs—Smenara,
En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de los 14. 203: 64e; ape.
tros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la 18. Sinan, “Ap; np.
reducción de éstos, separándolos unos de otros con sus propios signos. ee
PR 18 Rat 30—6i habre —@=De; Ta-bide.
Ñ i 10 Fay GENS pie Es 5282.
Así, la sama anterior 230€ 00. 2m np m+2n-6; Bp-bmed; On dim
se verifica de esta manera: 7 — 40+ 5b a Bee ta
are R ps x
2) Sumar 3m—2n-+4, 6n-+4p—5, Bn=6 y m—n—4p.
Tendremos: Im- m +4 Beer,
Gn+4p—5
re DE 3) Sumar DADA, Gay Gxt y opti
dar a Si Jos polinomios que se suman pueden ordenarse con relación a una

36 )PRUEBA DE LA SUMA POR EL VALOR NUMERICO

Se halla el valor numérico de los sumandos y de la suma para los mis-
nos valores, que fijamos nosotros, de las letras, Si la operación está co-
recta, la suma algebraica de los valores muméricos de los sumandos debe
ser igual al valor numérico de la suma.

4, deben ordenarse todos con relación a una misma letra antes de

a Soh
Asien, eno cao vamos a ordenar en orden 6 Gay
com relación à x y tendemos A-9612 By O98

22. 448 nome

4) Sumar
ab -birabt, 2b? 4d A 204 y Bat dab? - 6.
ev + abr bi
Ordenando con relación a la a = 20th? + adobe
se diene: 7 ab Garb? —4ab§— DG
AS

m EJERCICIO 17
Hallar la suma de:

bx, a pet eds,

ab. ay

es MAT
Bat; ada. BOUT tat
RUE 2°46. Tad.

Ads; Todd: 30-5,
nass; — mm dné; mtb.

6 or, Baja.
16 Hm; AAA.
m

18

m

20,

2 re; dota;

20. pr Aa oy Se
D a: Dala; de 5

25. Hate ay Baty
fe dia male ate ‘,
Gh aby coto a bad; Bart aall dar, — dail Be? 2b,
3. mines mins Sant en msn Ge 2 nica.
39, dar Bart 460 à a

A A avants bat ty al

@) SUMA DE POLIMOMIOS CON COBFICIENTES FRACCIONARIOS
D Sumar btp hey, Loy tht iy, La
“Tendremos:

su @ 45

= EJERCICIO 18
Hallar la suma det

Do jad da Jato — Zab? — 209; Zur Jon o,

Bo etait tas Dotes ble

© EJERCICIO 19
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado

E percal: abs Sine ton: arte

23. Bat

“tutte de eme

mu |]

RESTA

( ón que ti x obje

38) LA RESTA O SUSTRACCION es una operación que tiene por ol

E) to, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sus-

traendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia), o
Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la dife-
ia tiene que ser el minuendo,

FES de a minuendo) queremos restar 6 (sustraendo), la diferencia será

a—b. En efecto: ab será la diferencia si sumada con el sustraendo b

reproduce el minuendo a, y en efecto: a=0-+

REGLA GENERAL PARA RESTAR 1 in
Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes,
si los hay.
|, RESTA DE MONOMIOS
1) De —4 restar 7. e
Escribimos el minuendo —4 con su propio signo
y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado,
y ln resta sen

En efecto; —11 es la ia
con el sustraendo 7 reproduce el minuendo

46

ferencia porque sumada

2), Restar 4b de 2a,
Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continua-
tión el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será:
En efecto: 2a—4b es la diferencia, porque su:
con el sustraendo 45 reproduce el minuendo; 7
9) Restar Ab de — 50%.
Escribo el minuendo —5a:b y
à continuación cl sustraendo ab
con el signo: cambiado y teng
b es la dilerencia, porque sum:
el sustracndo da®b reproduce el minuendo: 2

4) Det restar 4,
Cuando el sustraend es negativo suele incluirse den-
‘wo de un paréntesis para indicar la operación, de este mor ¿y
do distinguimos el signo — que indica la resta del signo — À
ricter negativo del sustraendo. Asi: “
signo — delante del paréntesis está para indicar la xesta y este sige
ho no tiene más objeto que decirnos, de ¿cuerdo con la regla general para
restar, que debemos cambiar el signo al sustraendo —4. Por eso'a contie
ación del minuendo 7 esc

0) De Fey! restar Rech
Vendremos: Ft = (Ss
ab rostar — Jab.

~#ab—(-4ab)=—hab +4ab= fab. Ra

yt + Baty! Bt Re

(40) caracter GENERAL DE LA RESTA ALGEBRAICA

~~ Ep Aviemética la resta siempre implica disminución, mientras que la
(sis algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar dis.
minuciön o aumento,
Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y'5 anteriores, en
lie la diferencia es mayor que el minuendo.
Lan ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equi
vale a sumar la misma cantidad positiva.

m EJERCICIO 20

Dei

# remar Gi D da nr abs
LT = 1. ip wee
SB tah watt 8 6b.
AH à IL 0 66.

” 8

24. 48 © atom

aba
ray
ath
area
pa

LT Ma eee

dam estar aime, 22 Gar restar Be E ear
D Eu DRE M AR
NA ges À 8e, CN ii
m nn ay eat
rs 1 2 5 ie: A
43. de
44. 3b
46. The à
e NES
UN de eae .
Ze ger
an. 50. ar a2 ”
3. bie El
5 a de ne
u er à
M ab Mio à CR

RESTA DE POLINOMIOS

nuendo escribiremos el sustraendo cambiindole el signo a todos sus
términos.

[Eni |

(3) De dx—3y dz restar 2x4 526,

Guando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo
cada uno de los términos del sustraendo, asi que a continuación del

La sustracción se indica incluyendo el suseoen-
do en un paréntesis precedido del signo —,
Ahora, dejamos el minveado con ses propios si
nos y a continuación escribimos al sustracndo.
cambiéndolo ol signo a todos sus trminos y ton
demos:
Reduciendo los. términos semejantes, lendremos:
En price sole esti locos con a mer Conti feo
jo dol minuendo, de modo que les Hninos semejantes queden en columna y
0 hace la reducción de éstos, separóndolos unos de alos con sus propios signos.
a+ 2
=m 546

RAGE RI

EZ EEE FS)

Al, la resta anterior se verilica de esta manera: —

EJES) restar =)

PRUEBA
La diferencia sumada con el sustraendo debe dar el minuendo:
En el ejemplo anterior, sumondo la dife- BY bb

en, A
En nd

(2) Restor — da — ab? + 6063 —atbt — Ab de Bolb? a — dot! + Cab.

Al escibir el suiicendo, con sus signos combiados, debajo del minuendo,
oben ordenarse ambos con reloción & une misma letra.

Asi, en este caso, ordenan- an + Both? — debit + bob?
do en orden descendente + deb — bob? + ott + 0h54 We
Gen falaciin à ko m ten Git dab + Batt O

La diferencia somo. que dab ++ Bath? — dab) — Bath + Fab + abt

de con ol oca. tA han ae
de abonar, ee Den a ee
minvendo: 7 A + Batbt datbt + babe Iminvond

(3) Restor Gate + 6—Sox!— de 708+ Box + Tori 4 y probar of resul
tado. por el valor numérico

Tox Bot Tel 4

P+ Sort Bor =

PH Vow | Vea 1 Fat O

La prueba del voler numérico se eloción hallando el valor numérico del mi.
vendo, del sustraendo con los signos cambiados y de lo diferencia para
un mismo volor de las letras el valor de cada letra lo escogemos nosohta).
Reduciendo el valor numérico de minuendo y sostaendo con el signo cam-
biado, debe domos el valor numérico de la diferencia.

Talk Box + 70° 4
w+ So Bote 6

WF Tae + leo + 70% —

Etacuumes la eta erdenanda con elción

B+ +7 — A=
84416 - 6m

= 040432471

Asi, ea el ejemplo.
anterior pare
x=2, tendremos: 7

> EJERCICIO 21
1

al remar amb. 9. too restar Gea.
testar +8) 10 PENA restar 2 tato
scar, Ba, 11. 00 Gabi4da restar 15040805.
Me restar 348. 18. NU Dei Ll restar 86207.
ahah restar Tah 1 9ab2. 18. atbte-d restar —a—bie~d.
Syd restar xyz, 14. abst2acBed Bde restar —dac+8ab— fed 54
Nyaa restar eye, 10, 002019 restar —11x7421x—13-400%,

PAGE AL venar —Ty441y—By*— ly
mn Gon? 18,

18. Any 10004 Slay Bath,

Li. mehmen-OmöneE 19 restar mins Oro" Om 01

20, aca Bub. estar Bat DU 11a a DA,

IT. 5m=-Ont-+ 6m

25. 50 © mous
Ian Bete restar art OR Lx 28.

22. EDO VAUT IR restar —9"

Day SDL Sy Lt,

25. mm ia 2 menta 66m restar mn d'idmènt-24mnt Bn.
DA SoBe Gn MINE AE restar 4250-0050 1218,

ate clab*— DOI exar Bash —LGash*+59—%b*—OadT 430"
eed estar Satara
mes vestar dint} Amo in St,
gat Oat restar Damien +3 Lan But
Ten Sao eae rear UL FLAS GO
SE ame 910m estar Bombe em m8.

E EJERCICIO 22

Restar:

—b de b= 11. mt&nt—aimn_ de —5m2—n?+ bmn,
¿y de 2437. 1. +6 de tb

“ab de ~Tat5. 18. mé lm?+9 de Hmi=bn+16.
Bb de 2246. ja. abbe+cd de Sabybberbed.
op de in 16. Baath —Sab?—b? de at-darb-br.
ahaa de fab Sas. By de 609
bie de Be me Tn-sc+d de men} Lice.

nn de —3n tmp.

| Tañb-#Gabi-Bnr0%.+b de Gat-+datb—A0ab™4604,

yes de x+3y—62. 19, Gx8—Oxtbe—T de KB 25x74 15.
36

batab—Gb? de —Db%aab-+04,

2

iS de Up Bry TE

D5x405x 18%! 1x6 de xt x
A A A Habt be46.

sy —By—5 de 44H90.
Pe ne dl ale
pi 0e DOS SO ima de F0 BEER,

o fat de art 5 pat 15,
Bart par Tarro de Sat Ia laa

a de Tats Set Geet d Le,
O O CURS Mant.

o de Amt 5m Le BF,

(4) De 1 restar ex +5.

E]
El sustrocado x + x 25 sumado con la di anna
foreneio 4 — «x nor da el minvendo: —, >
Y lminvondol.
(5) Restor Dal? — 110%) ++ Batbt — bi de at — 1.
Tendremos: of -1
Toth — dot? — Fab + bt
ot + loth — Bath? et Re
EJERCICIO 23
De:
À restar al 2 I estar data, 1 restar abat.

HG restar Tr

E16 rear Bey

sora @ 51
ne ee

yt estar TEE.

D. mt restar amet Tate Hamm.
Aa à
11 21 restar sy
JE 0048 rotar Gl date
13. Restar —Sxty-I7ig-5 de alot.
14, Restar DOY 15099 Say? de xl,
1b. Restar Nash 1200 dada de ab.
1. Resar Du 26 de rires
17. Restar Oy'+17y'—y24 1899 de yi4y 41.
IE Ron ae ane EP de oros
19. Restar 8x4 de xx Il
20. Restar mind Tmnt-äns de mi-1.

(42) nesta DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

jemplos

(1) De Jo resta

Tondromos Je

ern

3

(2) Restor — dot —,

Tendiemos:

M EJERCICIO 24

à fot restar teehee,
5
Led 6

26. 52 © man
Toa + ab Pb restar Fat + Gab —
Bota Eos restar — Eat By! — Sy.
tere nes Era er

Spe restr = bwin tmnt ht
A Bett Sty — Sant Sy retar a+ Spt a + Ep
nt UE fae

matt lers

© EJERCICIO 25
Restar:

deta dede de ato

dla de de ba + 66-5, Smta—p de Sm bint à

Buy de att hay.

Bamba ent = Brant de Zin Eo Lt 6

rt
Dn Ira eye yk ny? de Le + Say hey — ary yo yt

te

MB EJERCICIO 26
Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado
para a=L, b=2, c=3, x=4, y=5,m=
Dei E
1.a!-ab restar Jab+b%,
2 a%4b restar —Sa*b-+-6ab*—209.

4 msn? restar merino ION,
Gate Oy! restar 166)" 0pe.
Ga™Tam?-ton restar Samt bam.

there tab ¿40 restar Le ab =

12

suma Y RETA combrianas @ 53

Restar:
De abad? de ar-arbirde LL Marb-Habärbt de ar.
10. 150b de —ab+-10mn—8mx. a

13 Pai de try hay

1 iger part de dotar,

SUMA Y RESTA COMBINADAS

(43)SUMA_Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
— CON COBFICIENTES ENTEROS

(1) Deal restar la sumo de Job=6 y Jo" —Bob +5.

908 — Bob +5
Electuemos primero la soma: 3-6

Sa? = fab = 1
Esto sumo, que es el sustraendo, hoy que re

ll de of que _ 36-4 Sob + |

95 ol minaendo, luego debajo do a? escribo 3a — Sob — |
con los signos cambiodas, y tendremos: 7 = tal + Sob +.
12) De Ay St restos la suma de a+ Sty dt con
ost + xy? 6p
tips ot
Efeciuemos primero la sumas a

Py +39

i

Esta sumo, que os el sustraendo, tengo que restarla: dy +54

de TER AE Sl a+ y Er + 15
en ee

ee, Be

(0) De to suma de x8 A y — Sat MiS rentar xt

Hae <6
Efectuemos lo sumo: — 51x45

PTE)

elle

Esta suma es el minuendo, luego debajo de ella es-
cbr ol utendo, x= con os signos cambio:
dos y tendremos: es

27. 5A @ aucun

EJERCICIO 27

De a2 restar la suma de ab-+b? con o2—5b2.

A com “a

De —Ax3y restar la suma de 4xyi=x8 con .

De am hear la suma de —Smia--imnten? con Amtndmintsänt.

De da restar la suma de Ba+9b-3e con ~Ta—d-+3e.

De atb=e restar la suma de a-b+e con -Bab-c.

De m=ntp restar a suma de —min=p con 2n—20+2p.

De s-5axıBa® restar la suma de Yax-a? con Hirt axe,

De a-1 restar la suma de Gañ#Ga-4 con 2a*Be+6,

De xi—1 testar la suma de Sx'—ie"-H4 con — 1x6.

De a4 b> restar la suma de —Tab*+350"b—11 con —Tat+Babt-Ha2b--6.

De nó=in%+4n restar la suma de —11nt+10e—-25m+8 con 1960

Fon.

De agan dont restar la suma de —Gemibam=G con Tat-Leim?

Ban Gm‘.

De *-3023p%440xy&hy? restar la suma de —4x'y 413x901 con

ED à

De la suma de «+b con ab restar 2e—b.

PN oes een

De la su 5 con —Txp+40)" restar 992416,

De la suma de JaTadaD 20 con ROUCO destal—Ó%,

De la suma de 239° con —14x4y-+xy? restar 804 199%,

De la summa de st-beiythyt com Beyer yt retar x14 2052490)"

De la suma de nt—Gn%-1 con 71-80 AG rotar =: And,

Restar Satb-Tatb4b® de la suma de e—8a°*}Gab™ con 2200410407

BUT

Restar mt de la suma de —Sme4dm*—2m con Imma

Restar —4 de la suma de Tot-1labb: con —Te+11ab4D*

—Ta+8b-11; ~a+2b—Te.

Restar a'—Se%45 de la suma de 5a? L4a?—19a+8: af 4002 y ati 2a2—1,

Suma de mae 10min ión con IL

sab Batb%—a9b% de 300—Gatb Lat
Restar la suma de «5430 con 3x942LOy 2 plo de xy 26)
A

Resta la suma de Bar+dar-t con atari ar de Sat *—Tarh ia
ae,

44) Restor la sumo de Sly 634 — 5% con — et xy! = Ny de lo sume
do x Zt y con Aula + DR.

Electuomos la primera sume que será el
sustraendo:

Eleetuemos la segundo sumo que será el
vonder —

sua y era comumacas 0 55

‘Como esta suma es ol minvondo escribimos debajo
de ella, con los signos cambiados, la suma anterior
‘que oF el sustroondo y tenemess 24

= EJERCICIO 28
1 Dela suma de x45 con 2x—6 restar la suma de x—4 con —x+6.
2 De la suma de 3o=59+e con a--b-8
3. De la suma de ++1 con 5x°47—x? restar la suma de 9x-+4 con th.
% De la suma de +1 con at-1 restar la suma de at42 con 0-2,
$. De la suma de ab+begac con —TbciBac—9 restar la suma de dac—be
Hab con Bberöac-ab,
6°) la suma de ax con a4-3ax? restar la suma de —atx+1ax®

1x3 con ab nda ar,
% De la suma de AAA -BeHö—et —ixtedetat restar Ja suma de
rada con ria,
© De la suma de mnt Im linda? y — mtm?
estar Ta suma de me con —mint mn
0 De la suma de aa 8
30. Kemao It guna de Ber ton CU O7-16 de la suma de nd
estar la suma de 3x'-3! con —Illxp 10914 de la suma de x
SE con IB +1939. %
11 Restar la suma de ant con at de la suma de 0-3; 0-4; Jas
12 Restar la suma de at4-Da=ab; 102 —Sab-+Ba"; —3ar 17084 Tab de la
suma de 38%—a-+9ab com —Bab-—T0?.
19 Restar la suma de mi —m48mi-m+
PR a aay A
estar la suma de xy; 2 +ba e TARO): Espia de la
suma de = [hol con xy.
WO Restar la suma de Tatzat-da; Bald —Gol—1La—20+ 8;
ait Auf de la suma de Givet Bet con Gat—Toh- Aha
=G0a+8.
16 Restar la suma de a*Tae49; —2Match ober 1axt; Tax abt
—60 de la suma de -Art-1Seir2-&: dere 0436,

114426 restar la suma

—Tm=mé41 de la suma

(44)5UMA Y RESTA COMBINADAS DE POLINOMIOS
CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

11) De ja? -5b# restar la suma de Ja 3b?— job con — Sat zb’ —iob,

Elecluomos la sumo quo será el susroondo: =>

28. OS
3
de eno te tid a a
ee de co ima con ls Sis combo:
dos y too RO "
(2) teat dma 80 Sr Sree con a he nt be ma da E
ES
m
AN
er DEI
1
sa =
Efeciuamos la primera suma que será. 3
el sustraondor as aay z 14.
»
Ahoce, de la primera somo à
restamos esta último suma y 2
nc OY, n
‘
® EJERCICIO 29 4
y one 0
1. De Se restar la suma de at-4b con — 24 20 H

De 0° retar la suma de La 6 oon Let Set 4
Resar Indy de la suma de a:+30 con 6-26 2b,

Besar Ja suma de rre La con 6x ta? de 10

De la suma de Tat

Lot con tar Sets remar da

Restar Ja uma de — Lx Eye con 3

De at us estar la suma de

e.

SUMA Y RESTA: COMBINADAS

De la suma de Ja=20 con 46% restar la suma de 20 + Le con

Restar la suma de He lot con Lu Sat dela suma de

et Lun Bette

De la suma de Dat Say 4-458 om ty retar a sna

de fetta con Bee Bay iy,

Restar la suma de Far 249 con — 220+ alt + 208 de la sua de
Apt tabi, cou =

De Font restar ta sama de Lint —2mnt— nts nth Stn
nm
De 5 restar la suma de tee ty:

teh ut der Be

EJERCICIO 30

Hallar Ja expresión que sumada con 29-2345 da 3x6,

Mallar la expresión que sumada con —52+90—6c da 8x49.

¿Qué expresión sumada con at da ~Batb-+Sab®—4b%

Para obtener como resto x-5, ¿qué expresión debe restarse de 042482

¿Qué expresión hay que restar de mi-3mg%46n1 para que la diferencia
ea Amina

Sartre reno y GA el sutrcndo, cull e el minuendo?
{De qué expresión se ha resto oD il rent ha io 6a als 17
Siendo el sutraendo 4x Ay, ¿cul ha de ser el mínnendo para que
la diferencia von 4?

¿Qué expresión hay que sumar con sy 4 para que la suma ca 17
Si om-sinn-Santon® se re de qué expresión ha) que sumar
sde pars en mr

Si 63-548 e el suiaendo de una diferencia y à rato 6 =
die qué expres ve Da sonado le plc

30-8,

29. SIGNOS DE AGRUPACION

Dt pur de aap ops um de uo cas ana
tesis ordinario { }, el paréntesis angular o corchete | |. las Maves | |
y el vínculo o barra

USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION %
©) Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades
encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola
cantidad.
Asi. a4 (bc), que equivale a a+ (+b—ch

indica que la diferencia b—c debe sumarse con 4, aa
ra ‘abomos que para efectuar esa suma escribi DEHBERSEHE
i in de a las demás cantidades con

La expresión
indica que a x hay que sumarle —

+3

luego, a contiou
y+ x com sus propios signos y tendremos: 2 À >

Vemos, pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido del sig-
dejando a cada una de las cantidades que estaban dentro de él con
pio signo,

58

pares 0059

La expresión

a {bc}, que equivale a a— (+6

indica que de a hay que restar la suma b-+e y como à
para restar escribimos el sustraendo con los signos came 7 U Fe) Sd lh
biados a continuaciôn del minuendo, tendremos: 7

La expresión x-(-y+2)
indica que de x hay que restar — 4 2; luego, EIA
cambiando los signos al sustraendo, tendremos: 2

Vemos, pues, que hemos suprimido el paréntesis precedido: del sige

ambiando el signo a cada una de las cantidades que estaban ence
is.

sradas en, el parént

El paréntesis any

tienen ta misma signi
mo modo,

Se usan estos signos, que tienen distinta forma pero igual significa:

ayor claridad en los casos en que una expresión que ya tie

ignos de agrupación se incluye en otro signo de agrupación

ar | Je las Maves | ; y el vinculo o barra ——
¡ón que el paréntesis ordinario y se suprimen

L_SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION

7 )REGLA GENERAL PARA SUPRIMIR SIGNOS DE AGRUPACION

) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja

«1 mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan den:
tro de él.

2) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo — se cam:
bin el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.

mplos | {11 Suptimis las signos de aprupaciôn en lo oxpresión:
eb |e 6j+ 20 ja +b)

Esta expresión equivale o.
+Hal+b=cJ+20= (a Hb);
‘Como ol primar poréntesis vo precedido del signo + la suprimimos dejando
¿los cantidados que so hallon dentro con su propio signo y como el segunda
poréntess va precidido del signo — lo suprimimos cambiando ol signo a los
contídades que so hallan dentro y tendremos,
o+(b=e +20 lo bb] =0+b=c+200=b=2%00 R

(2) Suprimir los signos de agrapación en 5x +(—=x—=y)=I= yb ax] 4x6}
El paréntesis y los llavos estón pre:
cedidas del signo +, luego los supri
mimos dejando los cantidades que
so hallon dentro con zu propio signo
y como el carchete vo precedido del
signo — lo suptimimos cambiando el
signo a los cantidades que se hallan
dentro, y tendremos

yaa)
yey tetas

30. OS

(3) Simplificar m+ 40-64 3m nF 2m=1. 4
El vínculo o barra equivols « un paréntesis que encerta 0 las contidodes que
e hallan debajo de dl y su signo es el signo da la primera de los cantidades.
que están debajo de di.

Así, la expresión anterior equivale a: m + [4n—6} + 3m — {+ 2m— 11.

mt in + 3m —n + 2m 1
Suprimiendo los vínculos, tendremos = m+An—6# mn 2m +1
420-5 Re

m EJERCICIO 31 3
icar, supriraiendo los signos de agrupación y reduciendo términos

(69) del

3 hen) a. Chemie

i et EE

- Amon). 12. llar

5. 2x1. St ya,
Caio), Le oll aca ea e)

CA Th ete cae CIA pr ANS

Bd a Nao

(4) Simplificar la expresión: Int] — Sx— [— a+ {9x —0+xi]}.
nen en ae ee
EAN
Suprimiendo el poréntesis, tenemos: Ja + À —5x—[=0 + 9x—o—x) |
Suprimiendo el corchote, tenemos: 30+1—Sx-ba—%+a+x)
ee RON
Tabi ire soja da, TE E,

15) Simplificar la. expresión:
= (-30=4b+[—a+l

Empozondo par los

má: interiores que

son los parénte

se ordinarios, te-

—0+20—b+o—bi+3b)+40]
420—b+a—b +3b +40]
+a—20+b—0+b—3b 4 do)
o+70-b4a—b+ 3b 4a
e

= EJERCICIO 32
Sin

2a+[a—(a+b)). de da) HI) ER)
pci ear
Mi e Am-[am nn RE.

ars @ 61

DA a + pe

aby) a +30) H(—bbe—b)).
Fmt] {Be (51) (8 m9] (243).
2a-(4a+0) | [Sa (~a)—(—0-+4)]}.

DA 2H y FE A)

Ge [=(2ate)+{—(ehe)~2a~aFe}+2e,

10. (dm en) [Bm mm) nt 6).

17. 2e4{—[5b-+(8a—G42-(-a-+b—EFH)]-(—a +b) }.
18. [Ic Hr Ox ty) 3) 42 Fy}.
10 EOI Et

20. (eto) 4-0-0) LE

a. labo Alea ba) e
2. om fm) 4 mn) (Be)
2 ARANA AAA) y He
O Fe [-(-a) 10]

ll. INTRODUCCION DE SIGNOS DE AGRUPACION

EERRER een

48) Sabemos que — ak(-bid=a-v+e
luego, reciprocamente: ———= a—b+e=a4(—b-+e)
Hemos visto también que » a-ib-d=a-bte
luego, recíprocamente: > a=bre=a— (bc

Del propio modo, atb-e-d— eat (bc (de
Lo anterior nos dice que los términos de una expresión pueden agri
pare de cualquier modo.
Esta es la Ley Asociativo de la suma y de la resta.
Podemos, pues, enunciar la siguiente:

(49) REGLA GENERAL PARA INTRODUCIR CANTIDADES

EN SIGNOS DE AGRUPACIÓN

1) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-
cedido del signo + se deja a cada una de las cantidades con el mismo sige
no que tengan,

3) Para introducir cantidades dentro de un signo de agrupación pre-

cedido del signo — se cambia el signo a cada una de las cantidades que se
Incluyen en él.

31. 520 ann

Ejemplos |

(1) Intoducic los tes últimos términos de la expres
paréntesis precedido dol signo +.
Dejamos « cada contidad con el signo que
fiene y tendremos:

28 + 34 en un

(RISA SARS

12) lotroducir fos tres últimos lárminos do la expresión: x — oF 4+ Zab — b* en un
paréatesis precedido del signo —

Cambiomos el signo o cado uno de las tres, PELA

Últimos centidades y tendramos

B- EJERCICIO 33
A
EE ETE
o kena pads pre aged
Be, acia

0 2atb=etd.
Introducir los tres últimos términos de las 7. PEPE
expresiones siguientes dentro de un parémesis Bt —baty-tiiey® 9%

a AAA de ot
ES 1. a@+b—2be—c8,

181 tntaducir todos los términos menos el primero, de la expresión
lab 1= (20 43h
en un poréntoss precedido del signo.
Cambiotemos el signo a 2b y pondremos —2b, y cambiaremos los signos que
són delente de los poréntess, porque cambiando estos signos combion los
Signes de los contidedes encorradas en ellas, y tendremos

[loba +3)

19 EJERCICIO 34

Inttoducir todos los términos, me:
sos el. primero, de las
Pon un puentes precedido del

an
He EN
2a4-3b—{ 2a [at(b—a)}}-

ee’ (Ba)
oducie las exp sigue re

Las pecan a
Lr TT Rare esc re ry

CAPITULO

MULTIPLICACIÓN

(30) LA MULTIPLICACIÓN es una operación que Gene por objeto, di
das dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una
cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en

absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad
positiva.

multiplicando y multiplicador son Hamados factores del producto.

(51) El orden de los factores no altera el producto. Esta propiedad, de
mostrada en Aritmética, se cumple también en Algebra,
Así, el producto ab puede escribirse ba; el producto abe puede escri.
mbién bac o-acb.
a es la Ley Conmutativa de ka multiplicación.

birse
E

(52) Los tactores de uv producto pueden agruparse de cualquier modo.
Asi, en el producto abed=ax (Pal) = (a) (ed) = abe) Xd

abcd, tenemos:

Esta es la Ley Asociativa de la multiplicación.

63

32. COR

(E) ter ve 10s sions

Distinguiremos dos casos:

2) Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es:

Signos iguales dan + 7 signos diferentes dan —

En efecto:

1 La) x (+0) = + ab,
porque según la definición de multiplicar, el signo del producto tiene
que ser respecto del siguo del multiplicando lo que el signo del multipli-
cador es respecto de la unidad positiva, pero en este caso, el multiplicador
tiene cl mismo signo que la unidad positiva; luego, el producto necesita
tener el mismo signo que el multiplicando, pero el signo del multiplicando
es +, luego, el signo del producto será 4.

2. ax (60)
porque teniendo el multiplicador el mismo signo que la unidad positiva,
el producto necesita tener el mismo signo que el multiplicando, pera
éste tiene —, luego, el producto tendrá —

3. Ga x (-6)= ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto tendrá signo contrario al multiplicando, pero el multipli
ando tiene +, Juego, el producto tendrá —

4 (ax (-b)=+ab,
porque teniendo el multiplicador signo contrario a la unidad positiva,
el producto ha de tener signo contrario al mulitplicando; pero éste tiene —,
luego, el producto tendrá +.

ab,

+ Por 4 Fa
inter sumirlo diciene SEN
Lo anterior podemos resumitlo diciendo que Bor ga

© por + da —
2) Signo del producto de más de dos factores. En este caso, la regla es:
8) El siguo del producto de varios factores es ++ cuando tiene un mí
mero par de factores negativos 9 ninguno,
Ast, (a) x (8) x (—¢) x (a) = abed
En efecto: Según se demostró antes, el signo del producto de dos fac-
tores negativos es +; luego, tendremos:
Ea (o x= ima. —0)x (ed) =(+al)uied)=abed.
bY EI siguo del producto de varios factores es — cuando tiene’ un nie
mero impar de factores negativos.
Asa (a) x(~b) x(~e)= abe.
En efecto:
(=a) (0) {= à) = (EA EIA (Fab) x (0

-abe.

murırucncon — @ 65
(sa) ) LEY DE LOS EXPONENTES
traza multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma bask
J te le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.
As, aX a Kat abt a,
En efecto: at x a x 4 = aan x aaa X aa = annnaanac
(55) Lev DE Los cogricienres

— El cocficiente del producto de dos factors. es el producto de low coe
entes. ale los factores.

Asi, a X 4b =120b,

En efecto; Como el orden de factores no "XXI RAR NEN

altera el producto, tendremos

(56) casos DE LA MULTIPLICACIÓN
— Distinguiremos tres casos: 1) Multiplicación de monomios 2) Mul:

Liplicacién de un polinomio por un monomio. 3) Multiplicación de po
linomios.

|, MULTIPLICACION DE MONOMIOS

(57) necia

~~ Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se
escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada

letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los
mes. El signo del producto vendrá dado por la Ley de los signos (63).

41) Mutiplcar 2 por 308.
Ejemplos 20 X de? = 2X Bol = ba? À
El signo del productos + porque ++ por + do +

(2) Mulilicar = #72 por — Sm
[= a9) (= Sin?) = Sea toh ye
El signo del producto es + porque — por — da +.
(3) Mattipicor 264 por — Abi
Sab x (— Ab) = — 3 x Ach! =— 120169, Ro
El signo del producto es — porque ++ por — de —,
(4) Multiplicar — ab? por dare,
{= ob?) x damon = — 1 x dani
El signo del producto es — porque — por + da
M EJERCICIO 35

Sm,

br,

=16 por 16. De 28% por = 1. Bey por x
ab por —ab. 0. Alb por alt, 8 ad par gah

33. 13. List por 160%,
ie gab pol
15. Beth por TO
16. Bin por Sama.
(5) Malllicor ob por = dort.
{are} 2c — Bon | — gore
{61 Muliplicar — gb? por
mb) Xe] = OM Ie, Re

ae por apo,
men por —6mán,

ate,

EJERCICIO 36

Beene

18) Muliolicar — e
NI
+ EJERCICIO 37
Klectuars

1: as por Lab,

Enr por — Tat,

Bey" por Lots.

bent por hem: 10. Zee por —Zartbm,

11. Sams por = Sato

12 = Restores por Yan,

58) PRODUCTO CONTINUADO
Multiplicación de más de dos monomios.

Ejemplos (1) Efecivar (26}{—20%H{— ob"
2011 3a*b||— ob") = éotbt, R.

El signo del producio as + porque hoy un número par de factores negativos.

por Gabi,

Huriuexcion — @ 67
12) Efectuar (71 xt doy"),
es a n Re
Fl signo del producto es — porque tiene un número impar de factores negativos.

m- EJERCICIO 38

Multiplicar:
4 (@X-Hey(o"). 7. AAC.

2 a. = =

+ es ue, 4 ocean
AC are ret 10. (307 —4a*bylab (bata).

D. aL), TL Oba Ra

D. (a Far Farm): 2 ACA

it MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

Sea el producto (a+ bje.
Multiplicar (a+ b) por ¢ equivale a tomar la suma (a + b) como si
ndo € veces; luego:

(a+ D) + (a D} (ar b).....e veces

€ veces) + (b+b+b....c veces)

Sea el producto (a= bye.

Tendremos: (a=b)e={a-b)+(a-b)+(a-b)....c veces
(atata,..€ veces) (D+D+b...c veces)
ac~be,

la siguiente:

Podemos, pues, enunci

(60) REGLA PARA MULTIPLICAR UN POLINOMIO

POR UN MONOMIO

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polino-
mio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan
los productos parciales con sus propios signos.

Esta es la Ley Disteibutiva de la multiplicación.

KU) Molliplicar 3:2 —6e+7 por dor”.

Van — ax + Mor,

36x47
da

La operación svele disponerse ash 7

Tendremos: (hx? — 6x +7) X dor? =3e dor) — 6x( 40x?) +71

Wax = daw + Max

34. 68 © sctona aurnueaéon — @ 69

ty — AT + Sax? =x Il. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
(2) Multiplicar ax — dan! + Sox — xt ix
pa A ae ee (61))sea el produero (a+ 00m)
5 Haciendo m+n=y tendremos:
(3) Multiplicar x84y —Bxty2 de Bey? — Ay por arte, (+b- Am +n) =(0+0=0y=07+ 090)
AY A at (sustituyendo y por
zn su valor m+n)
RATA q Don — Eolo fe 21 MAL à
EJERCICIO 39 Podemos, pues, enunciar la siguiente:
Multiplicar: (62) REGLA PARA MULTIPLICAR DOS. POLINOMIOS
Bains por —2x. 10. amas 40m por —2a, Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de
Bye por Dart. IL eme Lame por $320, Jos términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los signos, y
34x43 por 2. 12. avbnntc ibn antbn1 2" por Je | se reducen los térmirios semejantes.
a®—4a®-t6a por ab. 13. 6 por Art.

13x28 por übt, (I Muliplicar o = 4 por 34.

Bebb? por ab. 14

26-638 por date. 15. arta" por a, Los dos factores deben ordoncise con relación @ und

IN la mime loro

Se +6)" por ax) 17 ato A por Bey 4 Tendremos: a —A 0-4

ee Hu u 3H SEA 3
19. atagatdetard—30%0%4.0" por Gas, clol—4ta) ose ode

20. Up dare eet dae da fe por dans,

Sa R

cado el primer término del multiplicador a por los dos Lärm
nos dal multiplicando y ol segundo lérmino dei multiplicador 3 por los dos
términos del multiplicando, escribiendo los productos parciales de modo que
somojories quoden en columna y hemos reducido los términos

(2) Muliplir 4x — 3y por —2y + Sr.
Ordenondo en orden descendente con relación 0 la x tendremos:

a — a
EJERCICIO 40 BEN 2%
COR) os wen,
B hs =
da? por ai, 6. Ha-5b-+6e por — Fatt, a WEHR. R.
xt ae por Ext. M EJERCICIO 41
: Multiplicar:
a je m
7 as } 043 por at 2 u. Y por abra
res pt ag Se cer ea 2 a-3 pora i 1 por nn
0 queda Lines D 846 por ad ren 2 À a por Um
A À m6 por mb 9. Gath por add. 16 por 114%)
10. 3x Do “eH por ch, A0 Fand por 442e,

35. 70 @

PES Petes e mp

arca

43) Moltiplicar 2+0*—20—* por at 1.

Rm
ite

Ordene en orden ascendente. FET
‘on relación a lo a tondromos / 2~ 20% ob ah
1
(4) Multiplicar 6y + 2x2 — Sy por 3x? — dy? + 2ay.
22 Sry + 6

wa
Ordenendo en orden descendente „ 00 15 + be
Rn Ay = 100? + 120
ad LP = De PO = 249
a My FR R

45) Molilicar x= de 423 por a1 het,

Ordenondo en erden descendente ARE at as

con relación a x, tendremos 7 OIGA
pr ear

Se ET
(61. Mutiplicar 2e y +3 por » dy — Ar

Ie y +

Kar or

RER a

"nee eine

PCA ET EC EU
EJERCICIO 42
Multiplicar:
AEREO por am, 13. 394257 + por 72x45.
8b! Bab por a 1. mia, “nbn por mi-2mn-Sn3.
+b 2eb por arb. 16. 8432 © por BKL.
MIRE por 243. 16. Hat por 2243,
ata? por at. LE m-amem por mL.
mtementent por mint, 18. 0% 5a+2 por oat,
DEN por Bet. 18. BEY por ayas
Oy por 242. 20. nF Bed por MA.
meta por ante, 21. a Jathtdab* por döb-2abt-10b8,
Saab 20 por 1a-öb. 11 Be? Sy Gey2—12e%y por Pet.
Oms-Aminz+n® por mmm. 23 y yäyi-h por Sb,
aa por aman: 24 Bo “e4Bax® por datar,

ESHER

30,

ay Et por play
oor

(2) Multiplicar x — 39

Auiriuieacion — @ 71)

mt—Sm24+4 por 30-241.
Gta EL por aparta
Bip Gaby? por O4 Aya
e eee
A EE por EBK
Da pepe por etat De
SPEED por yaya.

A $e oe Sirs

RE Re por ayy

Ba ads ed por at Reed

akD—e por ab

EE por apta,

Des por pele

SSigthstoxyoxz—gz por x4 742,

DD por agan

BEEBRE

SEBESSES

(63) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS CON
EXPONENTES LITERALES

Ejemplos |

LS
=2
(1) Matipicor amt 499207 por aim, m= nama age
ji ES + dan 4 al
+

A po,
pr es
et
se rer
pM Bet ae tet
AE = ye VE a

= oP aE R,

att? por ar.
anal por xb,
eine Css par mer,
ent —pargian* por atta?)
a por erp,
at por ada
Bart 4at-2at°% por aras
Da Bogen an por
Ol
ahha DE Lar AAA por arar
av+b® por a} bm.
a ok a

36. 720 nou

(64 ) MULTIPLICAGION DE POLINOMIOS CON
COEFICIENTES FRACCIONARIOS

e day por ix

Aoi +e or Sit 2 un.

eee

por ze

7 de dat Set por de anh Sot

Jat ab +26 por dodo a ars dy por Sat Say y

A

10. = Ein Sms Los por tint La = nn

Murriüeacion @ 73

()Muerieticacion POR COEFICIENTES SEPARADOS

La multiplicación de polinomios por el Método de coeficientes sepa:
rados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:

1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola letra y
estén ordenados en el wismo orden con relación a esa letra.

(1) Multiplicar DO — 238 + 56-2 por 23? +4x 3
por corfiientes seporodos,

3- 24 5-2

Escribimos solamente los coeficontes con sus
signos y efectuamos la muliplicación: ——

8
94 6-15 46
64 B= 742-46

Como el primer término del mulipliconde tiene x? y el primer lérmino del
multiplicador tione x°, ol primer tármino del producto lendré x y como en los
factores el exponente de x disminuyo uno unidad an cada término, en el pro-
ducto el exponemo de x disminuirá también una unidad en coda término, le.
90 ol producto sards

@)

Escribimos solamente los cooficiontes,
pero como en el multiplicando falla.
el término en o y en el moliplica-
dor fala el 1éminoenoescrbimos.
‘cero en los lugares correspondientes.
a esos léminos y tendremos, ——”

20412 4414
0 8-20
1+0-846+ 52842228
Como al primer lérmiro del multiplicando tiene ot y cl primoro del mulipl.
cador tion a, el primer término del producto tendrá a? y como en os octo.

res el exponente de a disminuye de uno en uno, on el producto también dit.
mínsirá de uno en uno, luego ol producto serd:

OBSERVACION

Si en ambos factoros ol exponente de la lero común disminuye de dos en dos,
de tres an tres, de cuatro en cuatro, ele, no es necesario poner cero en los
lugares correspondientes a los términos quo falten; sólo hay que tener presen-
to quo en ol producto, los exponentes también bojorán de dos en dos, de tros
fn Mes, de eval an cuatro, ie,

4) Multiplicación de dos polinowios homogéneos que contengan sólo
¿ls letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una
de: las letras.

37. 748 mcm

‘Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son homogé-
neos, o sea, cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término
¢ una cantidad constante.

El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio. ho-
mogénco.

Maltiplicar at ~Satm+7atni® mé por dot
por coeficientes separados.
polinomio os homogéneo, porque la suma de los exponentes de los letras

‘en lodos los Hérminos es £ y el seguado también es homogéneo, porque la a tiene
de exponente 2 y lo m también tiono de exponente 2.

Escribimos solamonte los cooficientes, poniendo.
coro en el multiplicando en el lugar correspon:
diente ol tármina en an que fala y panien-

E 3
do cero en el multiplicador on al lugar corros- se

pondiente al término en om que lolo, y lan = Ber
Ge A 03-1549+10-2-0+6

El primer térmiao del producto tendrá 0? y, como el producto es homogéneo, lo
suma de los exponentes de las leras en coda término se

Como en los factores, ol oxponento de a disminuya ue unidad en cada término
y el de m oumenta una unided en cade término, on el producto se cumplirá la mis
ma ley, luego el producto será:

= So + on + 100

Bein RL

= EJERCICIO 45
Multiplicar por coelicientes separados:
L xt por a
2 ras por x27,
3. etat 2etDE3aD™—H" por a —Bab4D%
4 NL an por mm
5
6
7
8

st por KB,
atea +10 por aut
Aixa por 0-10.
por étant

em mt 5

9 ENS por 2 a

Mh por aha.

11. ont por tank.

18, BAR)" por x HE.

E Ayo ityh-Gy" por tai

H Be:

i. yt or a Heat 140959,

1G. aa por Ger eee,

3 cia pie poe bart dE GA

MULTIPLICACIÓN @ 75,
ODUCTO CONTINUADO DE POLINOMIOS

Efectuar Sets + 3){x — 2){r 4e 1.

Al ponor los factores entre poténtosis la multiplicacién está indicado.

Le operación so desarrolla efectuando el producto de dos factores cualesquier; esto
producto se mulilia por el tercer factor y esto nuevo producto por el far
que queda,

Así, en este coso clociuomos el producio 3x(x-+3|= 3x! 49x, Este producto lo
mutplicomos por x—2 y tendremos:

sets P+ 30 — 18
a “4

se producto zo at
5 muliplicn por x1: ae axe
60? 18% TA

De 43e urn IA Ge — 15a? — 18, Re
En virtud de la Loy Asociativa de la muliplicación, podiamos lambién haber hallado:

el produce (s+ Sh depués el podoco (a Dlr YN y uso mo an.
bos productos parciales, ss Vee ne

© EJERCICIO 46

implicar

Lo Afore) E (reihen).

2 teenie en
2 De AA). 20. Mae)

4 HT), AL (ea) LM +.

Cr mn 2 ea

ne Bere ee

( 67) MULTIPLICACION COMBINADA CON SUMA Y RESTA
1) Simpliticar (1 4954) + 38-1) +2).
Efectuaremos el primer producto (x-+9)(x—4); efectuaremos el segun:

do producto 3(x—1)(x-+-2) y sumaremos este do produc
bd ) segundo producto con el

Efectuando el primer producto: (++2)(<—9)
Efecttando el segundo ve o >
ra A SIGHED) Een
Sumando este segundo producto con et primero:
(4-19) + (Bet Be 0) =a? tee

Axt hr

R.

38. 168 mm

2) Simplificar x{a - bj? -4x(a+ Dj.
Elevar una cantidad al cuadrado equivale a multiplicarla por sf mix
ma; así (a—b)* equivale a (a—D)(a—b)-
Desarrollando. x(a =D).
x(a— by = x(a! —2ab + 05) =a%x — Dads + Lx.
Desarrollando 4x(a 4 D)2,
Axa + bj x(a? + Dab + 0%) = date + Bab + 4%.
x —2abx + bis — (tala + Babx + 4%)
x —2abx + ix — duty — Bab — 40%.
Sas —10abx 30%, R.

Restando este segundo
producto del primero:

= EJERCICIO 47

Simpliticar:
(er Th KR,

NR ARTE 1a, mean,

ala et 1a)—a( 3e). Uh Hata) Aia) Ge Da 109) (ax)

NN id) as 14. (crbeotkambte (eto.

in nt. DB. hb A.
ner wanes re + u ee DE di

ee (a 2 À 18. x+19][80:+0)- 2x2).
cos PEL SES mener)

Boat) 9.
ani (re

SUPRESION DE SIGNOS DE AGRUPACION
CON PRODUCTOS INDICADOS

Ejemplos | 1) Spor 040-2 fo >= let

Un cocicinte colacado juno a un signo
de agrupación en irate O

Hier por ende uno de los hrmios ew | ETE
ee |
ts ee 2010 muliplicomos — por 0+,

pi O MAA

En ol curso de la operación podemos. reducir térmi-
nor semejantes, As, reduciendo los términos somo
jontos dentro del eorchete, tonomos:.

Efectvondo Io mullplicación de —2 por „
(20—b) tomemos 4

20 ANACO)

Caseros ma sten: 077.
(2) Simpliicar Alek y) = 4[—x-+24— 2372) 24].

ZA IE AL er lay al
AIR HA nt 2y = dy Höhe]

nee jo -al-x+ 24 — Act Sy +6} 2x]
Da Be Aloe Or 4 10) + 1224
a Bx —3y—4(— Mh Noy + 12)
Bx ~ By + Ade — 404 — 48
AM 0/40, Re
EJERCICIO 48
Simpliicar:

1. alan
2 et)aBa+h(—a42))

A Bey) Rt)

4 TA

5 ax Aa FF),
DANA) AA,
7

4

mon) 3 Don eA)
=2a-b)-H(a4+20)-4} 02042-0414 2(0--0)]}.

Dll + ya,

10. mn) [mnt tm e

1 EN E

12. lab) 820130040) abat bla,

18. Qe

14, fath— Hab [201030401] M0 +2(1+0)]f

Y

(69) CAMBIOS DE SIGNOS EN LA MULTIPLICACION
~ Las reglas generales para los cambios de signos cn la multiplicación
son las siguientes: (+0) (+8) =+ab y (a) (6)=+ab,
D) Si se cambia el siguo a un número par de facrores, el signo del
producto wo varia.
En efecto: Sabemos que

Ey ee
donde vemos que cambiando el signo a dos factores el signo del pro:
ducto no varía.

39. 780 arm
9 Si se campia el signo a un númeto impar de factores, el signo del
producto vari
En eect
(aye b)=4ab y (4a(-d)=—ab o (-alrb)=-ab,

londe vemos que cambiando el signo a un factor el signo del producto
va

Sabemos que

ido los factores sean polinomios, para cambiarles el signo hay que
cambiar el signo a cada uno de sus (érminos. Ast, en el producto (ab)
cd, para cambiar el signo al factor (a — b), hay que escribir (ba). don-
le vemos que a, que tenia +, ahora tiene — y b, que tenía —, tiene aho-
ad para cambiar el signo a (c=d) hay que escribir (d=0)

Por tanto, como cambiando el signo A a TENA =
A ee Meme

tendremos: Sie D Li moin uds un dois del Metre y loz G1 Alana pleno dant
ia Tan Fae reyes ARE
y como cambiando el signo des faces | EE TAZA
cl producto no varia de signo, tendremos: e a
i dod aie ‘le bs Bees aplican sise nc es qu capiruo Y
nos dicen que cambiando el signo a un número par de factores el producto DIVISION
ho varía de Nino y eamblando el signo à wi namiera impar de Tacones el ak ’
A ine Ras (7) LA DIVISION cs una operación que ene por objeto, dado el pros
a ot tt? de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor). hallar
Asis tendremas: (+ a)(+ de) == abro el otro factor (cociemte).

al DJ =

Woo _De esta definición se deduce que
(a(t oye

ES vor reproduce el dividendo.
Asi, la operación de di

el cociente multiplicado por el div.

caro a, quese sca ad

enbién: toro =(— a)(— Be) onsiste: ai 3a”

ae conte Cabo conse en all una caia que mulplicada por da dé Ga Esa ty
Gate Dr = a. D se

Es evidente que 6a

2a la. donde vemos que si el dividendo

> < {= dy(e=ay(a—n)
Si se trata de polino kam Medina) =

(= a){e—dj{m =n),
(a~b)(d —c){m — n)

vide entre el cociente nos da de cociente lo que antes era divi

or.

Al Ando {a—b)(e—d)(m—n} =~(b~ ay(d—o}(n— m) (m) ver De Los sıcnos
La ley de los signos en la división es la misma que en i.
y también: {a~b){c—d)(m —n) = (b —a){d— cjim =n) ración: he N ie) vision es la misma qu la maltipli-
(a~ bite dt —n) = la — 0) (d=0) (nm) o, Signos iguales dan 4 y signos diferentes dan
{a by(e— dim — m) = (b= ahead} (nm) En efecto:
L +ab
+ab++a AG:

ta
€ mililicado por el divisor tene que dar e dividendo
signo y siendo el dividendo positivo, como el dvi es pase al

7

porque el co

40. 80 @ Asa

cociente tiene que ser positivo para que multiplicado por el divisor repro-
duzca el dividendo: (+ a) X (6) = + ab.

El cociente no puede ser —b porque multiplicado por el divisor no
reproduce el dividendo: (+ a) x (- b)= ab.

Pi, abra + porque (a) x (#)=—ab.
Be Sane Sam a CO TE

=b porque (+ a) x (= b)

4 abrta=
++a=

En resumen: +enwe +da +
entre —da +
entre —da —
entre +da —

LEY DE LOS EXPONENTES

Para dividir potencias de la misma base se deja Ea misma base y se I
pone de exponente la ditereneia entro el exponente del dividendo y el ex
ponente del divisor,

Sea el cociente a+ a, Decimos que

aiserdelcocieme de esta «
duce el dividendo, y en efecto: a xa =a",

@) LEY DE LOS COEFICIENTES
El cuelicieme del cocieme es el enciente de
dividendo entre el eneficionte del divisor.

ividir el covficiente del

En efecto:
200 +50 =da

da es el cociente porque da x Ga = Plat y vemos que el coeficiente del
coviente 4,es el cociente de dividir 20 entre 5,

(7A) CASOS DE LA DIVISION

Estudiaremos tres casos: 1) División de monomios. 2) División de
un polinomio por un monomio. 3) División de dos polinomios.

own 908)

|. DIVISION DE MONOMIOS
De acuerdo con las leyes anteriores, podemos enunciar la siguiente

(5) REGLA PARA: DIVIDIR DOS MONOMIOS

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a
cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene
en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. EI signo lo da
la Ley de los signos.

Ejemplos | a) Di

oa zen

Ab? entre — 20b.

porque (= 2ob} x (~

porque Sorte x | ath) = — Satble,

Obsérvese que cuando en él dividendo, hay uno letra que no existe en el
divisor, en este coso ¢, dicho letia oporece en el cocionto. Sucede la mismo,
quo si la € estuviera en el divisor con exponente cero porque tendriamos:

(3) Dividir — 20m} + dy?
20m.

"porque day? X (= Sox) = — 20m).
Obsérvese que vetros iguolos on el dividendo y divisor so concelon porque su
aciente os 1. As, en este coro, y? del dividondo se cancela con y? del divt-
sor, igual que on Aviimética suprimimos los factores comunes en el numo.
tador y deneminador de un quebrado.

Tombién, de acuerdo con lo Ley de los exponentes y* + y®= 393 =yà y ve.
emo: més adelanto que y"=1 y 1 como factor puede suprimirse en el

lr — x2" entro Ixy,

= A any
SRE pie

ele]

ee

41. 820 Am

EJERCICIO 49
Dividir:
24 entre 8 3 mn eme min. 15. mnt entre -Ammt
| iit enue 7. 3 date entre dañe, 15, at entre a.
| Sat entre a, 10. age entre 2. 1%. Bere enue ab,
Mao“ entre “Zab, LL. Se entre 6x. 18 ashe entre —Gribte
. Saite entre as, 12 “ee entre Be 19, aed entre ler,
| db entre ab. (à Ant entre We. 20 mm
| sa 14. —oRatbees entre fmt
ere pto. entre 206,
(51 Didi ob ene ar
eves
open
(5 Didi — ss
es
a AR ea k
>
1. 038 entre ob, Dima entre ax.
Ese a, {Betsy cuire gar or
3 how entre Saw Saxe pue entre er y"
4 a, daneben entre ande,
à Hersh entre baño, 10, Sabie entre Gardner
17) Dividir jatbe entre —Jotbe.
dore

he

= EJERCICIO 51
Dividir:

De ence Sa

& Zube ence aba,

2x9 entre 2 il. ame entre — Za

Sint emro — Img

ura ene Ence,

Hl. DIVISION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

(16 )Sea (a+0=0)+m. Tendremos:
„atb-

(a+b=c 0

m

cado por el divisor reproduce el dividendo:

ab e

es el cociente de la división porque multipli:

te nm ma db e.

mima

Podemos, pues, enunciar la siguiente:

(77) REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO|

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos,
sión.

Esta es la Ley Distributiva de la

(1) Dividir Saf —6atb 4: 9ab* entre 90,

AE EEES

nn Rue

(2) Dividir Zorba — éattipu-s — Soupe? entre — Dott.

= Be 3e 3
S08 20b +38, R
MEA
gare + pote ¿E

(orb — gato —

EJERCICIO 52
Dividir:

añab entre a.

viyt—5atxt entre Ist.
Ant-Babt-Gatb? entre —2a.
PAR entre x.

AI 105é 5x4 entre 2%.
Gni8—8m2n-20mn* entre —2n.
b'—Batb*—a2b9 entre Hate.
810 IE entré Bx,

AA

Bm —2O NEL
entre 2m.

avant entre ai,

Dar Game entre dad,
anar entre ab?
ppt entre x,
Gate Ga pm gar me,
entre ar 204,

42. 30 Ama

(3) ive eh +9

m: EJERCICIO 53

Dividir;
1

stn st Smtr? entre
2 ye: Say entre Las

“Lab ab ce Ga.

+ tae entre a

el

argo dyna —

INN. DIVISION DE DOS POLINOMIOS

La división de dos polinomios se verifica de acuerdo con la siguiente:

(e REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS

Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma Tetra,

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divi-
sor y tendremos el primer término del cociente.

Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escri.
biendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este
producto no tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar
que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

Se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y tendremos el segundo término del cociente.

Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y
el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

vision © 85

Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del
divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta
que el residuo sea cero.

se+a—e Lt?
(1) Dividir 358 42x —8 entro x 4-2. er REN
1-8
Ars
EXPLICACION
El divideado y el divisor estón ordenador en orden descendente con relación

Dividimos el primer término del dividendo 3x* enlte el primero del divisor
x y tonomos 3x + x = 3x. Este es el primer término del cociente.
‘Multiplicamos 3x por cada uno de los términos del divisor y como estos pro,
ductos hay que restarlos del dividendo, tandromos: 3x X x=3s%, pora restar
— de Be x 2= 6x, para restar —6x,

Estos productos con sus signes cambiados los escribimos debajo. de los tôt.
minos semejantes con llos del dividendo y hacemos la reducción; nos da
dx y Bajomos ol — 8,

ividimos — dx entre x: — 4x + x = — 4 y osto cs ol segundo término del cos
ciente. Esto — 4 hay que mulliplicala por cada uno de los términos del divi.
sor y testar los producios del dividondo y tendremos:

(4) x= 4x, pare retar + Ay (4) X2=—8, para restar 8.
de sus semejontes y haciendo la reducción

RAZON DE LA REGLA APLICADA
ir 3624 2x 8 entre x + 2 es hallar una centidad que muliplicado por.
2 mos dé 3x? + 2x —8, do acuerdo con la definición de divisi

El término 3x8 que contiene la moyor potencia da x,en el dividendo tiene qu
ser el producto del término quo tiene la mayor potencia de x en el divisor q
4 x por el término quo tengo la mayor potencia de x en el cociente, luego.

vidiendo 342 + x = de tendremos el Término que contieno la mayor potencia
de x en ol cociente.

Hemos mulplicado 3x por x-+2 que nos da 3x? 46x y este producto lo tos
tamos del dividondo, EI residuo es — 4x —|

Esto residuo — dx —8, se considera como un nuevo dividendo, porque tions
que ser el producto dot divisor x 4-2 por lo que aún nos folta del cociente
Divido — 4 entre x y mo da de cocionto —4.

Esto es al segundo término del cociente, Mullplicando —4 por x-+2 ob.
Jengo —4x—0.. Reslando este producto del dividendo — 4x — 8 mo da cero
de residuo. Luego dx —4 es lo cantidod que multiplicada por el divisor x +2
os da el dividendo 3x? 4 23 — 8, luego 3x — 4 es el cosiento de la división

43. 86

Esprrneppor

iu

le als
(20 Dividie 28e2 207? — May entro dx —5y. A
i BER Las
en ees
Son donne con rección x ten: Uta Tabs. R
ot perineal oat
pri
xrtscacion
Docs 22-472 Sle pir eins del nano rs
por cada uno de los términos del divisor: 7x X4x=28x", para restor
— 28%; 7x X (— Sy) 35xy, para restar +35xy. Escribimos estos términos
datas Ss D cazas 0 dl dividendo Y lex nie E endo ot
Bee sobs el ma ri dal us et el tito dl dh
DEAN VAE SS lado Mine dl Cc
Hetil de ot ite ng del los db 4x
cesar 24 6y x Am SE 303, para restar + 30),
‘Es se du tense asus adición oe de cr de
Maks! Parlay e el cacas la avan
EJERCICIO 54

Dividi
a4 20-8 entre ad, 12. Gut—L1mn-}Gm? entre mon
Gi-De=à entre art. 12 Bnt-Bimt+lömn entre Sn—Hm,
SEO2D4x entre x45. 14 142-4354 ily entre 8-1).
mé—11om.4+D0 entre m6. 1b. ij entre x.
16. 6% 4Gal2—a2b—b entre a-b.
1%. 434 entre x43,
À entre 742%. 18. atta entre a1.
Day entre 2y—3x, 18 mént entre mia,
Set 8ab-210% ere ai. 20 2et-at-Blix entre 2540.

Vxt—12422e entre 4-8. ‘Qi. Sy+5y12y+10 entre y*
Hat lBaberäbt entre ba. 22 am*—an—2a entre amb,

33. 1at+Mabt-35a®b-106% entre de
BE 1omP—9min Stalin

# entre mn.

PRUEBA DE LA DIVISION
Puede verificarse, cuando la división es exacta, multiplicando el divi-

sor por el cociente, debiendo darnos el dividendo si la operación está co-
recta,

43) Dividir 2 — 2 — 4x entro 2-F 2x,

Al ordenar el dividendo y eldi-
visor debemos tener presento
que en el dividendo falta el lér-
ino on x, luego debemos de-
jor un lugar pora ese Krmin

ion @ 87

(4) Dividir 30° 4 1008 64%b* — 21 Ub + 320bt entre 0° — dab? —So%b,
‘Ordenando con relación a la 9 en orden descendent
30—2lotb + 10086? + 640°" +3206 | 0% — Sab ~ dab
Bot 1Sotb 1208" Eurer
EA 220%? à Sloth
oth — 3003? — Math!

= 806? + 4007" + 32abt
Bab? — 400"! — Jobs

(5) Divide 4 — xt = entro rt
Al ordenar el dividendo tenemos 28x94 «y pt,
ay podem osea qv foo o ios 92 7 en ir: dore
ues un espacio entra X y_— s'y* para el ming en x)!" otro espa
cio entre «9° y. —x%y"® para término en x'y* y tondremos:

be Li
Axa bay yt ee:
EAT

ny
ROY aly A xp

my?

YE
EEE ae

46) Dividir No! — 908 — 44o® ++ 32 entre 8-30? — 6a,
‘Ordenaremos en orden cscendonto porque con ello logramos que el primer
érmino del divisor sea positivo, lo cual siempro es més cómodo. Ademös,
como on ol dividendo faltan los términos en ot y en a dejaremos los lugores
vacios correspondientes y tendrem

RM da? [86030
+ Da + 120% AB 2080 Re
2e — Me 1108
— Da + 180+ Fa?
— 160? +2008
ét — 120? — co

EJERCICIO 55
Dividir:

2 2a-1 entre
sop 1oxt=be entre x
m3 20mEnt16mnt entre m*—2rin— Bn
xix] entre xx.

HN Dead entre ÉD

44. 88 @ arcos prison 0089

5. mem am—amtimiA entre metmi=ám—t, EXPLICACION

Te at atg1O BTE TT entre 84450. la diviión 2008 +a?
By It entre ap 9%, een —

rep Caen mois =

10, 22atbt Gard tath—40ab* entre a°b—2eb*—10b9, ae E

11. L6xt—aiyt24n%? entre Br Op xye 143). ps —

Es ery ace ate et (2) Divi 0 = D e lr Bd 2 BS ene 180 ES = TON
Sats?—BxtHaxt-Hate—2a entre 3x2 a4 Dee, en orden descendente con relación a x y tendremos:

1. Dept BS entre xP ia de oy

JE at Seth Blas ga tal entre 08-207. nd NES TAS Ir 2 | Bari
momo Om Gm +9 entre +34 ms, stade pete?

17. abroad fat? GO Dab entre at Sab +. m

18. 0 arto tE Oi Bay —2y0 entre x2—Op 2 xj tot TS Zus
1 ee oe poe RO eek goes

20. 3m Alo tnt + md Em—dm"4+4 entre mi-3mi44.

E en
DRE entre SIB) 689%.

-4a*—Ga entre at-20142, en

area) entre By! D.
EI, nice

pen ar Mes Ba co
He eT ae Lg Be se en Ares ee)
set at oe aS ant La diviién Pedido Sam
2Ix6-21y° entre 3x—By. M EJERCICIO 56
Mens LU Divide:
ISIE entre 855", arias entre al.

1
RABO entre ey yc 2 NARA eget entre abt,
RDS enter RD EYE th mé tm Bt tre entre ne.
dE tant entre aan.
vi Di
IVISION DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES 5 OT ashe an ane aad
D. a RODA entre dar-#-20" ts,
1
a
o

(1) Dividi JOVE 4 1908 — gr — Bor? Born
ento 3045,

Ordenando en orden descendente con relación a la 0, tendremos:

A O A entre aaa
an ptet ie Da agb

meets entre mem o,

AS ged entre re,

Do 10a" + 190! Bot at | oP — da +5 aD aA O DAA entre aba B24 Das-20%an db,
Bar} gout — pág Pe ee] 10. ab ie Data

IN amrntambspardupburr entre abs,
Mh Arabia ib entre amb,
ER jai
lA semi

45. AS

DIVISION DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOS

teduciive © su más simple expresión.

®- EJERCICIO 57
Dividir:
2

2 entre bat tb,

Pee re

2 rigen sd
CARRE Hrn A EE

dotes 04 Fahr entre te

A

10) Penta Lans =

Hand,

(62) pivision DE POLINOMIOS POR EL METODO

DE COEFICIENTES SEPARADOS

La división por coeficientes separados, que abrevia mucho la opera.
ción, puede usarse en los mismos casos que en la mulúplicación.

2) División de dos polinomios que contengan una sola letra y estén
ordenados en el mismo orden con relación a esa letra,

Dividir 8x0 — 16x 4 6x8 + 2442 4 1B — 36 entro 4404 de
=$ por coeficientes separados.

Escribimos solamente los coeficientes con sus signos teniendo cuidado de poner coro.
donde folie algún término y so eluctüe la división con ellos
16464 0+24+18—96 | 4+0+3=6
-8- 0-6+12 24404
1640412424
16+0+12—24

++ 041996
A 018436

El primer término del cociente tiene 2° porque provione de dividir 2 entre x" y
¡como en el dividendo y divisor el exponento de x disminuye una unidod en cada 1er.

mino, en el cociente también disminuité uno unidad cn cada término, luego. ol co:
ciento or:

2) División de dos polinomios homogéneos que contengan solamente
dos letras.

Dividir of = 7atb +210%b*— 7.0%b? + 3006 —24b* entra ai
ob + Ab? por coeficientes separados.

Tendremos: 174217 +3924 | 1-344
1=445=6

521438
= 5415-20
= 6418-24
b= 18+ 24

El primer término del cociento tiene a? porque proviene de dividir oF onto 0.
Como el cociente es homogéneo y en el dividendo y divisor el exponente de o d
minuye una unidad en cada término y el de b oumenta una unidad en cado Iérmino,
el cocionto sordı

46. 92 Abuses

EJERCICIO 58
Dividir por coeficientes separados:

Aa entre Ia

SERIES 1884198206 entre xt BeE 1.

ara RIZO abr be entre oP Babb,
0542? —5min + 20mn?—19min'—10mé—n0 entre msn -nt,
2x0 458-15 entre xt 635.

a O TARA SEDO? entre ada dat
Be! 20812704 SL AGD entro BxP-BxE+10.
SOLITO BF iS 19210 TEAS entre me o
DTO) BADIA LN Apt entre BAHN.

Dar 1207+ 2026074616008 —ada + TA entre at Bo ha
a
BA) IT 21 yy" entre eye
SO entre
Mose? ty yt

Samt art Dun entre 085.

abri 8 garer Late A à Du TaE entre abat area,
A TONE LD II GE entre
CET

at gant

C5) a es

En todos los casos de división estudiados hasta ahora el dividendo era
divisible exactamente por el divisor, Cuando el
exactamente por el divisor, la división no es exacta, nos da un residuo y
esto origina los cocientes mixtos, asi llamados porque constan de entero y
quebrado.

‘Cuando la división no es exacta debemos detencrla cuando el primer
término del residuo es de grado inferior al primer término del divisor con
relación a una misma letra, o sca, cuando el exponente de una letra en cl
residuo es menor que el exponente de la misma letra en el divisor y suma:
mos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el re-
siduo y por denominador et di

nt Date 2 IRSA LEG entre AA

van muutuco 0093

UD Dividir x? =x —6 entre x 43. pines

4

El residuo no tiene x, asi que es de grado cero con relación a la x y el div

es de primer grodo con relación a la x, luego cquí detenemos la divin

porque el residuo. es de grado inferior ol divisor. Alora añadimos al co.
é

ciento x4 el quebrado 2, de mado semejante a como procedemos an

Avimético cuondo nos sobra un residuo.

(2) Dividir der = data? = Ant Ar? eno mt = nt
Ent — dara Amt de da | Zn nt
— bint + mnt
"EE + mt
fate Zit

Hemos detenido la operación al ser el primer lármino del residue Am
cual la sn fiene de exponente 1 mienlras que en el primer lérmino dol
la m tieno de oxponente 2 y hemos añodido al cocionto el quebrado
forma poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.

NOTA

En el número 190, una vez conocidos los cambios de signos en los fracciones,
+9 Hataré esta materia más ampliamente.

M EJERCICIO 59
Hallar el cociente mixto de:

a2} entre añ. 8. x®Gxptyt entre xy.

att2 enue of. 9 OIE entre Sort.
DH 6x7 entre 10.098 entre x7.
Wat nah +Be%7+Tab? entre dat. 11. RS entre x.

KEHTSHIO entre x 12 ext Set entre dd
GH enue x 18. 8ad—6a*0-4+5ab*—90% entré 2a~ab,
mimi entre mima, 14 OP entre 094

VALOR HUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES

POSITIVOS Y NEGATIVOS

Conociendo ya las operaciones fundamentales con cantidades negati-
vas, así como las reglas de los signos en la multiplicación y división, pode.
mos hallar el valor de expresiones algebraicas para cualesquiera valores de
las letras, teniendo presente lo siguiente:

47. 948 aceros

'OTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS
1) Toda potencia par de una cantidad negaciva es positiva, porque
equivale a un producto en que entra un niimero par de factores negativos.
Así, (23H 4 porque (—2P=(-2) X (2) =44,
(-2%=+ 16 porque (= (2% (-IP=(+ Hx (HD 16.
(-2P=+ 64 porque (~3)"
(-2= +256 porque (~2)'=(—2) x (29 = (+ 64) x (4 4) = + 256.
y así sucesivamente.
En general, siendo N un nümero entero se tiene: (

y

2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativo porque
equivale a un producto en que entra un húmero impar de factores ne:
gai

== 2
= 8 porque (39 = (2x (-2)= (4 4)x¢
— 32 porque (BP =(—2)x (—2)=(+10)x¢

= 128 porque (2) =(=2)x (—2) =(+ 68) x (
y así sucesivamente.
En general, se tiene: (-a)*

atra,

(1) Volor numérico de 38 3x? +2x—4 pora x=
Sustituyendo x por —2, tenemos:
(224212) —4
=-8-314421-21=4

8-12-4=4

= 16_ HI, 51-209)
Carr 3

Ce
4-1-61+1- 20142
=446-30429=7, Re

1271

Nora
Poca ojercicios de valor numérico de expresiones olgebcoicos con exponantes
nto, negatives o fraccionarios, véase Teoría de los Exponentes, pág, 40%.

MIBERLANEA DE LAS OPERACIONES FUMDAMINTALES 09-99
@ EJERCICIO 60

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para

1 ab, 6. Mole.

2. edil aby ac de,

3. at-Sat+2ac—3be, ANO

4 Bac AE 40act <8, 3. t+ abate

5. (dP A 9, Weatd)—Aalb+e)—2oa-b),

Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para

IL a ae (a RAR mm).

m Re
13... (4499) (On — Am) +442 2
a

je EZ +

M EJERCICIO 61

MISCELANEA.
SOURE SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
LA las 7 a.m, el termömetro marca +0? y de las 7 a las 10 a.m. baja

a tarón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m D ath,
y 10 am.
Tomando como escala 1 em=10 m, representar grá

onto B est situado a 140 m de 4 y otro punto € est

1 32-99 con 399° y el resultado restarlo de x2,
expresión hay que añadir a Bet-5e-+6 para que la suma sea 3x?
7 —2a+da—6 de 3 y sumar el resultado con Fa

Mb

mente que un
ado a 36 m

Simpliiar (ty) xy) hy)
Valor: mumérico de M(a+0)-4(6=0p+

Be

Restar x3—dxy472 de Sx?—Sy? y sumar la diferencia con el resultado
de restar Gxy-tx de 20245) 46).

para a:

48. 96 @ man

10,
1

12
13
14:

15.
10
me

18.
19,
20.

a
2

2

m
2.

Mugler Le + abus
Dividir la suma de xa sión, -Oxt-2e—10e, Gxi6x+30 entre
rs

Rear el cociente de Let Lab + 209 entre La + Lo de Lat jab 4 tur.
Restar la suma de ~Bab2—08 y Yarbıräabt-03 de aah 09 y la dife-
rencia multiplicarla por a3abÓ3,

Restar la suma de x'—fx44x, —Ox*—Gx43, —8x448s—a de 2x16?
+5x412 y dividir esta diferencia entre «—x43,

Probar que (APA) (ee) = +410) 1).
Hallar cl valor numérico de (2626) para x=—2, y=1.

¿Qué expresión ay que sumar a la suma de 244, x6 y 2242048 para
Bane te 0 5 =

Restar Fett bte Nah} de arte]:
Multiplicar 5s+[—(8x-—)] por d+)

Raster el: soten de Tr u ae A emer a at de
dejo)

Probar que {x*~(xt2)] PH) ls) (146).

¿Qué expresión hay que sumar al producto de
iaa) para obtener Dig

yy hy! de coro. y multiplicar la diferencia por el cociente
0-3? entre xy.

Simplificar (ey) (WHE) lea.
a E JE

Hallar el valor numérico de \/

¿Por cuál expresión hay que dividir el cociemo de x*+8x3-4%=12 entre
%+3 para obtener x—2%

Simplificar 4e (d FF) y hallar su valor
me fone.

¿De cuál expresión hay que restar “1864142481015. para que la
diferencia dividida eme Sets dé como cocente WW
Probar que (a B’Yar-bXa-b)=at-[Ba+ +2) (a+ 040]

Restar —x*—Gn246 de 3 y sumar la diferencia con la suma de Y'=x+2
vba].

(66) s

ru À
PRODIICTOS Y COCIENTES NOTABLES

l PRODUCTOS NOTABLES

Hama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas
~ jas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir,
Sin verificar la multiplicación.

CUADRADO DE La SUMA DE DOS CANTIDADES
Elevar al cuadrado a + b equivale a mul ER

plicar este binomio por sí mismo y tendremos: >

ab

Efece
ducto,

Era
ab +12 0 sea (i= ar ul

más ef duplo de la primera cantidad por la segundi m
saltado ses La segunda san

quil

91

49. AT) Desarrollar xt 49,
Cuadrado, del primero.
Duplo del primero por
Cuadrado del segundo.

Luego bank at
Estas operaciones deben hacerse mentalmento y el producto escribicso direc-
somente,

Cuadrado de un monomie. Para elevar un

monomia al cuadrado so eleva su coeficiente a)
(och y ia main) esporate de cado. | EEE

otra por 2. Sea el monomio dab?. Decimos que"

En efecto: Hab)? = 4ab? X dob? = 160904,
Del propio modo: (Stop = 2508200,
Cuadrado del 1° . - (alt= 160,
(2) Dosarcoller [do +5647. — Duplo del 1° por X 36 = dab.
Cuadrado del 2.1"... (562 2558,

Luego [a + 56% = 160? + 400b? +-25b4, R.
Les opotacianes, que se hon detallo pora mayor facilidad, no deben escribio
sino vercion O
131 Desarrollar (30° + 5%,
4 1a? + 5? = Pat + net + 2500 R.
14) Efoctuor (Zax! + 9y#]{Zoxt 4-98),
Fax + PP NTOX + 9ÿ = Font + 9yM = APO + 1260x4y? + Bly. Re

>> EJERCICIO 62
Escribir, por simple inspección, el resultado de:

De TL (msi 10 as

ec E eE. red

8 ia 18 abe hey 18. ee yr ap,
(eth 12 (sena

10. Rebpsdge 1b. (aloe

SEPRESENTACION GRAFICA DEL CUADRADO
DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geo-
nétricamente cuando los valores son positivos. Véanse los siguientes pasos:
TN

Sea

| TWO

rrooweros monts @ 99

Construimos un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:

Construimos un cuadrado de hi
unidades de-lado, es decir, de lado b:

[mann

Construimos dos. rec-
Lingulos de largo a y ancho

un cuadrado de (a + b) unidades de lado. El área de este cuadrado
(ab) (a + 1) = (a + DY, y como puede verse en Ia figura 13, esta área est
formada por un cuadrado de área e, un cuadrado de área #° y dos rectán
nulos de área ab cada uno o sea 2ab). Luego:

Ka 4 YS à + ab OF,

50. 100 © mass

(68) CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES
Elevar (ab) al cuadrado equivale à -
e A Ol

(a b)(a=b),

Efectuando este producto,
tendremos:

sen Gob at ait Be

luego, et cnatrado de la diferentin de dos cantidades es igual al cuadrado
la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad ¡ue la se
gunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

11} Desameller (x — SIR,
[x= SF 981425. 8

42) Eloctvar of — 30892
Mo? — 3082

Née 2e 490,

EJERCICIO 63
F

shir, por simple inspección, e] resultado de:

PE sé, don HU,
LES, Dé ame

(83) PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA
DE DOS CANTIDADES

Sea el producto {a b){a— b)

a+b

Efectuando esta mul.
tiplicación, tenemos:

Far o sen (a+ b(a 0)

lucgo,la suina de din cantidades multiplicada por su diferencia ‘es igual
vwadrado-det iminuendo ten la diferencia) menos el cuadrado del sustrasudo,

(1) Efectuar (+ allo = xh
lotxHa—d=o'— at, à

42) Efaciuar (20-+ 369/20 — 3b)

(a+ 3b}f2a — 3b} iR

monveros morams @ 10

(3) Electuar[Sa"" + 30") (30% — Sort}.
Come el orden de las sumandos no alia la sma, So 3 es la mismo
que 30% + So*"!, poro föngase presente que 3e" — So"! no es lo mismo.
que So" a, Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir
el euadrado. del mimiendo menos el cuadrado del sustraendo.
Tendromon | S30" fa — Sant} = [aM — (ME = gain — 258%, y

EJERCICIO 64
Escribir, por simple inspección, el resultado de:
AE 6 plata a,
mn en). 7 dan. IR
alte). E mim. 18
(Ara 9 (Oia 1
Audit), 10. GFayhyehay). 18.
(4) Efectuar (o tb ello + bel.
Ein prof pug comer. (o-+b +ello+b—e)= (les BI e o +b)
iso on lo sumo de dos com
lidades multpliende por zu AA M
elferonci, de asta modo:
ondo hemos desorrollado lo + b por la regla del Ter. cas. 7
15) Escctuar [a +6 +cifa—b—e).
Intodweiindo les des úlimos términos del primet tinomio en un parinie
precedido del sino + lo cuol no hace voor los signos, y las dos últimos
Términos del segunda Minnie en un perchtesis prececido del signo —, poro.
lo, cuel hay que combior los signos, lendremos.
(ot b-bella-b—el= fete +el] [o—ib +e]
(bbe
bitte
a Re
16) Electuar (2x2 9y — Ae] (Qu y + del.
[2x + 3y — 42 (2x —3y +42) = [De + By — Aah] [2 — By — 421]
[203° (9y — del?
R.
EJERCICIO 65
Escribir, por simple inspección, el resultado dei
APIS 0 IL Grp).
ec E crt
(eye nie CRE ET 18, (arab bb ab
Ont Pl ide vr QUE ern
mn men), 10. (Bambee).

51. 102 © mur

REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMA
POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades puede
representarse geométricamente cuando los valores de dichas cantidades son
positivos. Véanse los siguientes. pasos:

Sea COTE ETES

Construimos: un cuadrado de a
unidades de lado, es decir, de lado a:

rrouea ta |

a Construimos un cuadrado de db DB
unidades de lado, es decir, de lato br

Al cuadrado de lado a le quitamos el cuadrado de la:
do b (figura 16), y trazando la fines de puntos obtenemos
el rectángulo e, cuyos lados son b y (@— 6). Si ahora trasla-
damos el rectángulo € en la forma indicada por la flecha en
la figura 17, obtenemos el rectángulo ABCD, cuyos lados
son (a + bj y (a—), y cuya área (figura 18) ser

(a+b) (ab) sa —
tar )(o—b) =a hs
(A046) (10 —6)= (29)? (op
16 x4= 10-36 ñ
#4 R are €
1
dl
Feng
! >| i
y y |:
\
ee
I
2 '
$— a Ley

mal

raoóucros woran @ 102

(90) CUBO DE UN BINOMIO
1) Elevemos a+ b al'cubo. E
Tendremos: la+0P=(04- b)(a-t ba + D) = (a+ Da +0) =
sabed
Efectuando esta a +b
multiplicación, A aE
tenemos: 7 ehr 20h? +b

dat EE TTL

lo que nos dice que el cubo de la suma de das cantidades es igual al cubo.
de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de ta primera por la
segunda, más el tripto de la primera por el cuadrstio de la segunula, más
ef cubo de a segunda.

(ar 2ab + (a dl

o sea (at Wy eat + Sa ail

2) Elevemos «—b al
cubo, Tendremos: > (a= by (a= bla -b)= (a= Bab IAS
Efectuando esta multiplicación, tenemos:

var gab bt

© sea (bj ar + Da D

In que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al
subo de kn primera cantidad, menos'el triplo del cuadrado de la primera
pur la seguinday más el triplo de la: primera por el cuadrado de ta seguida,
us el cube de la segunda cantidad,

mplos (1) Desorllar (a+ 1).
th [SEE TEE TUE LEEREN EEE Ry

12) Desarrollar lx = 29.
IK -2P = 34212] + 342012

(8) Desarrollor {4x +5),
[ae 5P = [axe BAR IS] SLA) SES = bla + 2400" + 9000 + 125, R.

Re R

14) Dosonollar fx? 3h.
bx? Sy a = AD BALE — O

52. 1048 aucrma
m EJERCICIO 66

Desarrolları
1 (tay, A a NO any.
rc
E (mag. © (a 9 int 12 (mai,

ét bab sponta REN 00
La multiplicación nos da:

a2 x 2-2 x46
243 x 246 Per
CEE a Pa ETS
i+ 6 45x10 40-21
rar 6 wert 3x 10 e

En los cata ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas:

1) El primer término del producto es el producto de Tos primeros tér-
minos de los binomios.

2) El cocficiente del segundo término del producto es la suma ale
braica de los segundos términos de los binomios y en este término la x está
elevada a un exponente que es Ja mitad del que tiene esta letra en el pri:
mer sérmino del producto.

3) El tercer término del producto es el producto de los segundos tér-
minos de los binomios,

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA Imx 4 3} tm 4b).
El producto de dos binomios de esta forma, en los cuales los términos
nx tienen distintos coeficientes, puede hallarse fácilmente siguiendo. tos
asus que se indican en el siguiente esquema.
‘Sea, hallar el producto de (3x + 5) (dx + 6):

Reduciendo los términos semejantes tenemos: 12x*+38x 4-00 IR.

~~

raooueros horastes @ 105
(1) Multiplicar [x + 7)Lx = 2).

Coeficiente del segurda término
Tercer término,

luego (4 7112]
(2) Electuar (x—7Ite—6).

Cocticionte dol 2° término +...
Tercer término

lego 18-7116)
Los posos intermedios deben suptimirso y el producto escrbirse directamente
sin escubie los operaciones intermedios.

(31 Efectuar. {a 1)e +91.

fo) (+9) = 0209. R,
14) Efectuar bé +710 #2).
PEEPS = +E +I
Obsérvese que como el exponente de x en el primer término del producto
534, el exponente de x en el segundo término es la milod de 4, o 100 x.

45) Eloewar 1 121 — 31.
Dé 12) — 3)

Ds il
TN

1150426 R

= EJERCICIO 67
Escribir, por simple inspección, el resultado de:

O
o 11 (EMG). a!
A à o 15. (imo, 2
pce 10. GntIO. 1 | om a
Wed reo IM 2. aaa),
Pea 18 een. 1 a peered
= EJERCICIO 68

MISCELANEA

por simple inspección, el xesulcado de:

1 (agp, 14 CD) 7 As

a & EN A E en

& Set nehmen. 29. (moment

© Gaye emai u (ueno).

3 Geena), EFM SL dab,

fone, en, à Votre

8. (Hp. À er Gt 2

0 (na) EN

1 Ve i Ne net:

br) (nokta:
12 tee Cava. BA era NA

th M, ar.

53. 106 © ara
ll, COCIENTES NOTABLES

2) llama cocientes notables a ciertos cucientes que obedecen a reglas
jjas y que pueden ser escritos por simple inspección.

93) cociente DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LA
DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

1) Sea el cociente ES e Etectuando la división, tenemos:
@ 0 Lath

e e
ab

ab bt

Lo anterior nos dice que:

1) La diferencia de los cusdrados de dos cantidades dividida por la
suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la

(31 Dividir (0-4 bf —c onto (o-+ 8) +e.

lo+bp-=e
dese hee
FETTE
44) Dividir 1— {a + af? entre 1—lo+nh.
us lean tae Le

ETC)

veses Moras @ 107
= EJERCICIO 69
Mallat, por simple inspeceién, el cociente de

say et Ant 14010
HL 2 ET a (al
Jess qe ton u
we See u
rs Bio? Pron)
yey, ds 110008 al
eae TT DETTE
BEB y RE (an
eh a oe
Cesta DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS
DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES
1) Sea el cocieme EE. tocando la división, tenemos:
e +8 Lab L
ah ETATS À
eb
bok ab? '
ale
hing
2) Sea el cociente ">. fectuando la división, cenemos:
a -b | amb
= ta ee abe
ah
— a+ ab

Lo anterior nos dice que:

1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de
las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el pro-
ducto de la primera por Ja segunda, más el cuadrado de la segunda can-
sidad.

2) La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la dife.
rencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más
el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segundo

ad.

54. cours moran © 109

108 @ arcano

(1D Divi 90 y! one Deby. z [ae no es exacta la divi
Laa L u, "ab aba. IA le
ay
no es exact la divs
(21 Dir 2748-4 1258 emo SE EP.
Ds ñ Lo anterior nos dice que:
CT = Dat = US FETTE
porated ime a 1 es 1) La diferencia de porencias iguales, ya scan pares o impares es

siempre divisible por la diferencia de las bases.

Dividir 1 — 640 ero 1= 4
8 2) La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible pár

16408

dot lé 2 la suma de las Danes.
3) La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la
729 etre 2 99 suma de las bises.
ara 3 4) La puma de potencias igual nunca es divisible por la suma
BELT neue boys, RL potencias iguales pares po
er E ni por la diferencia de las bases.

ER Y eS los anteriores pue presnse abreviadamente de este
ol
© EJERCICIO 70 1) ar—br es siempre divisible por a—b, siendo m cualquier número

entero, ya sea par o impar.

fallar, por simple imspreción, el cociente de:
nn Lo a 2) an— bn es divisible por a b si

un número entero par,

0 abet Be Gao
= 8. m > 3) @+b" es divisible por a-+ 0 siendo 1 un número entero impar.
pe Tab ten por pa
E a FA er EEE ane dile por aka pare eo n ung
4 o a u 0 entero par.
a 7 NOTA
ep ap ee ES 49. La prueba de estas propiedades, fundada en el Teorema del Residuo,
> ato er en el número 108.
par, ern == 96) LEYES QUE SIGUEN ESTOS COCIENTES
a a Los resultados de 1, IT y JUL del número anterior, que pueden ser com
probados cada uno de ellos en otros casos del mismo tipo, nos permiten
95) COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS establecer inductivamente las siguientes ley
IGUALES DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA 1) El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el expones
O DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES 4 de lay letras en el dividendo.
NN 2) El primer 1ermina del cociente se obtiene dividiendo el primer
R ; término del dividendo entre el primer término del divisor y et exponen
PET 2 © de a disminuye 1 en cada término.
(rad 3) El exponente de 6 en el segundo término del eociente es I, y ete
Hue xn ne == ab + al exponente aumenta 1 en cada término posterior a éste.
E o arte tabs à be 4) Cuando el divisor es a—b todos los signos del cociente son E y
last ¿tando el divisor es a-4 los signos del c

55. 10@ con

4 1) Hallar el cociente de 3! pl entro xy.
Aplicando los loyos anteriores, tonomoss

dy

xy
Como of divisor es x — y, todos los signos del cociente son ++.

(ZI Hallar el cocionto de m — 1% entre mo.
mn
Como el divisor es m

= mt = ak nin? — nto st enka — aR

a os signos del cociente olternan,
(3) Hallar el cociente do x84 32 ente x +2.

Como 322%, tendremos:
XD PDE Dg hI Sah Dh A Bu + 16.

14) Hallar el cocuento de 64" 7296" entre 204 2b.
Como 646% = {2a)* y 7296 =(2b]", tendremos:
Stat = 728% _ (al = GE
20 + 3b PRET
(20 — (28 + 120 PDF — (2aF(Ab + (20)(30)! — (be
= Wa! — Bob + 7207b? — 10802 + 1620b* — 240". R.

5 EJERCICIO 71
Tallas, por simple inspección, el endiente de:
den

1. ae.

= 2.

y a

xy

= oS =

me a

12 2

<ocitrrs moranıs © 111

45) Hallar ol cociente de at® + DA entro 0° +62,

En los casos estudiados hasta ahora los exponentes del divisor han sido siem
pre 1. Cuondo los exponentes del divisor sean 2, 3, 4, 5, ele, sucederá que
ol exponente de a disminuirá en cada término 2, 3, 4, 5, etc, la b oporece
en el segundo término del cociente elevada a un exponente igual al que eno
en ol divisor, y esto exponente en codo fétmino posterior, aumentaré 2, 3,

4, 5, cle.
att pto
As an eto coo, fonder: STEP =o at + at = ht bi

donde vos a exponent d a mue en codo tno y
aumenta 2 en cada término. = As)

(61 Hallar of coe

EJERCICIO 72
Escribir, por simple inspección, el cocieme de:
yt ae EA stay 100
8 Se >
ro a me 0 A rl
aros ass meme meta ant
ae ee E a a
meto poe ae wo
E . .
neon aye eu en
EJERCICIO 73
MISCELANEA
Escribir el cociente sin efectuar la división:
E dio
y + ETE
ay

a. 1

y 15

10, 16

u. ar.
ato 1maibtes

abe Tabet

56. ner ne

VAT por

a
en

tema
ara ds el Sage de en ee NS ah denen el principio que lleva sv nome:

TEOREMA DEL RESIDUO

7) POLINOMIO ENTERO Y RACIONAL
Un polinomio como 2 +x? —Bs +4 es entero porque ninguno de sus
os tiene letras
sus términos tiene r
xy su grado es ih
EI polinomio @ Gate # 5454 843 es un polinomio: entero y
sacional en a y su grado es 5.

2 inexacta, Este es un polinomio entero y racional en

RESIDUO DE LA DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO Y
RACIONAL EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x

1) Vamos a hallar el residuo de la división de x 7x? + 172-0 en:
we x—3.
Etectuemos la division:

+ Mix 6 lan
is er
Br

Vix
12x

- ati
v
La division no es exacta y el residuo es 9

m2

ronca ont nesiouo © 113

Si ahora, en el dividendo x? 7x4 17% —6 sustituimos la x por 3, ten:
pa RBB)

y vemos que el residuo de dividir el polinomio dado entre «—3 se obtiene
sustituyendo en el polinomio dado la x por +3.

2) Vamos a hallar el residuo de la división de 8x" 2x: -18x = 1 en.
tre x42,

—68+ 516

Electucanó la dise ate) alsa [308
~ 3x ~

Si ahora, en el
tendremos:

-M-8+-1=3

nos que el residuo de dividir el polinomio dado entre x-+2 se obtiene
tuyendo en el polinomio dado la x por —2.

Lo expuesto anteriormente se prueba en el

y

9) TEOREMA DEL RESIDUO
El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un bl

de la forma x—a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado. la
à pur à

Sea el polinomio Axt Be CR + Max

Dividamos este polinomio por += a y continuemos la operación hasta
que el residuo R sea independiente de x. Sea Q el cociente de esta división,

Como en toda división inexacta el dividendo es igual al producto del
divisor por el cociente más el residuo, tendrem

ASE BC MAN (xQ Ro
Esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Sustituyamos la x
por a y tendremos: +Ma+ N = (aa ER
Pero (a-a)=0 y («—0)Q=0x Q=0; luego, la igualdad anterior se
A O E TA

Au + Ban + Can +.

ad que prueba el tcorema, pues nos dice que A, el residuo de à
à lo que se obticne sustituyendo en el polinomio dado la
lo que queríamos demostrar.

x por a, qu

57. 1140 acens

Nora

Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por Ja
notación Pfs) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se
escribe Pla),

Si el divisor es x+a, como x+a=x- (-a); el residuo de la división!
del polinomio ordenado en x entre + + a se obtiene sust
linomio dado la x por —a.

En los casos anteriores el coeficiente de x en x-a y x+a es 1, Estos
binomios pueden escribirse le —« y Lx a.

Sabemos que el residuo de dividir un polinomio ordenado en x entre
xa 6 13 a se obtiene sustituyendo la x por a, o sea, por © y el residuo
de dividivlo entre aha 6 12 ka se obtiene sustituyendo x por —a o
sa por —Ÿ

Por tanto, cuando el divisor ser la forma bx—a,
iente de x, es distinto de 1, el resich de la di
tituyendo en el polinomio dado la x por ;; y cuando el divisor sex de la
forma a el residuo se obtiene susticuyendo es el polinomio dado la'x
por

yendo en el po-

coel

Y
En general, el residuo de dividir un polinomio orden:
binomio de la forma bx—a se obtiene sustituyendo en el pa
la x por el quebrado que resulta de dividir el segundo

mio con el signo cambiado entre el coeficiente del primer término del
binomio.

11) Hallar, sin cfoctuar la división, el resideo de dividir
= a+ 6 ente x 4,

Sestiluyendo le x por 4, tendremos:

EST 6= IE +

12) Hallar, por inspocción, of residuo de dividir a+ 5
Sustituyendo la à per —5, tendremos:

(SR HPA 1=— 19541255 1=—6. Ra
43) Hallar, por inspección, el residue de 2x + 6x! — 12s} 1 entre 2x4.
Susttuyendo le x por —, tondeomos:

6 OR

a 1 entre 0.45.

49) Hallo, por ins

PAT ETES

Troma versus @ 115

EJERCICIO 74

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir

83-2643 entre x-1, Y, @—2a420—4 entre anf.
Bohr entre tl.
SIGKEL5 entre x-2,
at-5er+ 256 enue ae,

E Gotxfits entre Berl.
D. 19x3-21x+90 entre 3x3,
10. 16x9-11x*+10x418 entre Us

x Det2entrextd, TR aaa Rd entre dar,
DIVISION S INTETI CA
EGLA PRACTICA PARA HALLAR EL COCIENTE Y EL RESIDUO DE

A DIVISION DE UN POLINOMIO ENTERO EN x POR x — 3.
Rear |
tie

BER
1) Dividamos x 5x8 3x + 14

nu © À

Eu
ax- 9
Aquí vemos que el cociente x#—2x~3 es un polinomio en x cuyo
rado es 1 menos que el grado del dividendo; que el coeficiente del primer
¡érmino del cociente es igual al coeficiente del primer término del divi
dendo y que el residuo es 3.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por
la siguiente regla práctica Mamada división sintética:
1) EI cociente es un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el
grado del dividendo.
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeti
del primer término del dividendo.
5) EI cocficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene
¡cando el cocficiente del término anterior por el segundo término
del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el
ino que ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiene del úlcimo tér
del cociente por el segundo término del divisor cambiado de signo y
ando este producto con el término independiente del dividend
Apliquemos esta regla a la división anterior. Para ello escribimos s0-
nes del dividendo y se procede de este modo:

Dividendos... a? + ae +1 Divisor x

Goeticlentes... 1 +9 Y 14) à 3m Begun, sn
1x3= 3 (2x 35-6 Ex = 0) fon el “sien
Fe D eq tust).

LL Gxt—12x44-9e2—2e-+91 entre AN

58. 60 arms

El cociente será un polinomio en x de 2? grado, porque el dividendo
es de 2e grado.

El coeficiente del
dividendo.

El cocficiente del segundo término del cociente es —2, que se ha ob.
tenido multiplicando el segundo término. del divisor con el signo cambia-
do +3, por el cocficiente del primer término del cociente y sumando este
producto, 13=8, con el coeficiente del término que ocupa en el dividen-
do el mismo lugar que el que estamos hallando del cociente, el segundo
del dividendo —5 y tenemos —5 +3 =—2,

El cocficiemte del tercer término del cociente es —3, que se ha obte.
nido multiplicando el segundo término del divisor con el signo cambia:
do +3, por el coeficiente del segundo término del cociente —2 y sumando
este producto: (-2)x3=— 6, con el coeficiente del término que ocupa en
el dividendo el mismo lugar que el que estamos hallando del coci
tercero del dividendo +3 tenemos + 3 —6 = —3,

El residuo es 5, que se obtiene multiplicando el coef
termino del cociente —3, por el segundo término del divisor cambiado dé
signo +3 y sumando este producto: (— 8) x 8==9, con el término indepen-
diente del dividendo +14 Y tenemos 4 14 —9 = + 5,
tanto, el cociente

imer término del cociente es 1, igual que en el

1208 y el residuo |
que son el cociente y el residuo que se obtuvieron efectuando la división.

Con este método, en realidad, lo que se hace es sustituir en el poli-
nomio dado la x por +3.

2) Hallar, por división sintética.
el cociente y el resto de las divisiones -2et— 5x34 6x#~4x ~105 entre x +2)
A >

0. demina det divisor

MN a So
KC DE 18 BX ES A8 a EI
+24 52 1

ne)

Coma el dividendo es de 4? grado, el cociente es de der grado.
Los coeficientes del cociente

won 2, 0, +24 y —62; luego, el, IIED YA resido es =

cociente es _ e

Gon este método, hemos sustituido en el polinomio dado la x por

roReMA pee nesiove 8117

3) Mallar, por división sintética,
el cociente y el residuo de divi
Coma este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos eh

st yen lentes ponemos 0 en los lugares que debian
‘cupar los coeficientes de estos términos
Tendremos:
1 +0 16 +0 -m +8 +a
4 6-0 0-88 |
F6 0 0 -#

(revue) |
Como el dividendo es de 5? grado, el cociente es de 4 grado.
Los coeficientes del cociente

son 1, +4, 0, 0 y 202; luego, el 5 (erie 200 y el residuo te 197,

cociente es 2

y el resto de la división de—

Pongamos el divisor en la forma x-+a dividiendo sus dos «érminos
por 2 y tendremos 442 +44. Ahora bien, como el divisor lo hemos
dividido entre 2, el cociente quedará multiplicado por 2; luego, los cocfi:
tienes que encontremos para el cociente tendremos que dividirlos entre à
para destruir esta operación:

1 +3 =. 4 ne
(reido)
2, —4, +2 y —8 son los coeficientes del cociente multipt
cados por 2; luego, para destruir esta operación hay que à
euciente es de tercer grado, el cociente será: 2

y el residuo es —2 porque al residuo no le afecta la división del divisor
entre 2.

= EJERCICIO 75
Hallar, por “división simtética, el cociente y el resto de las divisiones

1, Ted entre x.
2 aj entre at?
Be ata entre x41

& x-2cthe-2 entre «2

59. 118 © arena

8x45 entre 3

AL, Rda entro SR

ID ere x 12 2e entre 2x1
Batda-6 entre a— 13, a—da%+5a+6 entre da+2,
2080742076 entro x—5. 14. Unid +dx 1048 entre Be—L.
15. tae pi entre 2643,

COROLARIOS DEL TEOREMA: DEL RESIDUO

DIVISIBILIDAD POR x
Un polinomio entero en x que se anula para x = à, o sea sustinyendy
en ét la x por aves divisible por x—a,

Sea el polinomio entero P(x), que suponemos se anula para
decir, sustituyendo la x por a. Decimos que Px} es divisible por

En efecto: Según lo demostrado en el Teorema del Residuo, el resi-
duo de dividir un polinomio entero en + por x—a se obtiene sustituyendo
en el polinomio dado la x por a; pero por hipótesis P(x) se anula al sust
wir la x por a, orsea Pla) =0; luego, el residuo de la división de Pix) en-
tre xa es cero; luego, P(x) es divisible por +.

Del propio modo, si Piz) se amula para x=—a, P(x) es divisible por

1 es

s-(-a=x tra; si P(x) se anula para x=

ae

por be a; si Pix) se anula para

Bd air

eiprocamenne, i Pfs) cs diviibla por a Bese que saular ara
deci, sumiuyendo a x por a: PG) e divisible por x re dene
jue talk para =a; Pal O de qu bx od ee que stare
para x 2% y si es divisible por bx +a tiene que anularse para ==>

0
17% 608 divisible

A Holler, in efectuor la división, six ~ ax
por

Esto polinomio seté divisible por x=2 si se onulo para x= 2,
Susttuyendo la x por 2, tendremos;

2 AF 7 é= 016 +14
le por x—2,

lego es di

(2) Holla, por inspocción six? — 2x8 +3 es divisible por x 4 1
Esto polinomio será divisible por x + 1 si se onule para x = — 1
Susttuyend la x por — 1, tendremos

(t= 21-1 +32
luego es divisible por +1,

+3=0

vuoscua put nestouo 0119

(2) Holla, por inspección, si + 26° — 26% x 6 os divisible por 43 y ens
contrat el cociente de la división
Aplicaramosla división sintéticadel aGmeroT00 con le cual hallamos sil:
éneamente el cociento y al residuo, silo hay.
Tendremos: 1 +2 -2 41 6 |-
=3 +3 -3 +6 |—

DAA a

0
(residuo)
Lo anterior nos dice que el polinomio se anula ul susi
os divisible por xk.

El cociente es de tercer grado y sus coeficientes son 1, —1, + 1 y ~2, luego.
el cociono es

la x por ~3; luego.

Betr
Por tanto, s ol dividando es x 20% = 232 + «6, el divisar x +3 y el cos
dente x8 — #£ ex —2, y la división es exacta, podomos escribi

po SSA

CONDICION NECESARIA PARA LA DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO
EN x POR UN BINOMIO DE LA FORMA x—

Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por
ut binomio de la forma x—a, que el término independiente del polí

mio sea múltiplo del término 4 del binomio, sin tener en cuenta los
signos, Así, el polinomio 3x' 2x — 6x®+ 8x +7 no es divisible
por el binomio x=, porque el término independiente del polinomio 7,
ha es divisible por el término numérico del binomio, que es 3.

Esta condición no es suliciente, es decit, que aun cuando el tér
ino independiente del polinomio sea divisible por el término a del
binomio, no podemos alitmar que el polinomio en x sea divisible: por
el hinomio x—a.

EJERCICIO 76

Hallar, sin efectuar Ta división, sí son exactas las divisiones si

1 2x6 entre 48. 4. ton Tat entre x

4 lO entre 12, Do dG H1IG—4 entre 2-1.
RETRO entre 1 dd entre Ay]

efectuar la división, probar que:
7: atl es factor de at 2at4 2045,
Bo x-5 divide a 7—Gxt-6x"—Gxt4 2910.
9. Al divide a AORTA.
10. dn$2 no es factor de 3n*4-2n'—Bnt—2nt4-6n-47,

60. 120 © aan

Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas
y determinar el cociente en cada cmo y el residuo, si lo hay:

1 Zea +16 entre 42.

12. atmaF42a42 entre a+.

18. 2145x-6 entre 81.

da. XY 99x44 26—527429e~80 entre x6.

15, Arial ai Bat entre a4.

18, 16x24 ist bé entre 4x1.

17, 1425 AB 18S 17-11 entre Beh.

En los ejemplos siguientes, hallar el valor de la constante K (término
independiente del polinomio) para que:

18. Tex tk sen divisible por s—5.

19. x®x4dxeK sen divisible por x2,

20. 2425 +K sea divisible por a+.

BL 20x*=TeEFeEK sea divisible por 4x+1

Gdowviswiunan DE +4 y at—b POR ab y 8-5
Vamos a aplicar el Teorema del Residuo a ta demostración de las ro:
gas establecidas en el nümero 06.

Siendo n un número entero y positivo, se verifica:

1) a*—b* es siempre divisible por a—b, ya sea n par o impar.
En efecto: De acuerdo con el Teorema det Residuo, a*— bt seri di

sible por ab, si se anula sustituyendo a por +d,
Sustituyendo a por +b en ar— br,

[PRÉ |
Se anula; luego, a —4 es siempre divisible por a—b.

2) ar br es divisible por ab sin es impar,
Siendo n impar, a+ 09 será divisible por a+b si se anula al susti-
tuir a por ~b.

Sustituyendo a por —b en at br,
tenemos:

Se anula; luego, a*-+0* es divisible por a+b siendo n impar.
(by = —br porque m es impar y toda cantidad negativa elevada a un ex-
ponente impar da una cantidad negativa.

D ar bn es dis
Siendo n par, a'—b* será divisible por «+ si se anula al
à a por <b.

Teoma ont neue @ 121

Sustituyendo la a por —b en ar ab 0) b= brah
tenemos: — OS

Se anula; luego, a — b" es divisible por a+ b siendo n par. (—b)"= be
porque m es par y toda cantidad negativa elevada a un exponente par da
una cantidad positiva,

4) a+ be no es divisible por a+b sin es par.
Siendo.n par, para que a" +b" sea divisible por a + ex neces
se anule al sustituir la a por —b.
Sustituyendo la a por —b,
tenemos Lo ee
No se anula; luego, a +6" no es di

que

ble por «+D cuando n es pat,

5) abe mana es

visible por ab, ya sea n par o impar.

Siendo n par o impar, para que o° +5" sea divisible por a= b es nece.
sario que se anule al sustituir La a por +b.

Sustituyendo, Re aD:

tenemas_
No se anula; luego, a* + D° munca es divisible por ab

® EJERCICIO 77

Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en
negative, diga cuál & el residuo: a
Pa ak E
pS ee Ve oa! sit
eut em va x16 VOW , ade
ae Mer ter + a Gee
DES
DEZE siempre es divisible

ab

=

es divisible sim es par

ob

61. O PTOLOMEO (100-175 D, C.} El mir ro- catorce aigles ha
te de ls aaránomes de la pace helena. ms emacide
1 Ésipto, conlluencia do dos cultura, Orten. fundadoras de
idente, inlays iguslmente sobre amas Su Alm

goocéntrico dominé In Astronomia. durante

{stor trabajos, fue une de
Imemetta. Su obra ps

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA

103) IGUALDAD es la expresión de que dos «
gebraicas tienen el mismo valor.

Ejemplos |

104 ECUACION es una igualdad en la que hay una o varias cantidades

desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica 0 es verdadera
para determinados valores de as incógnitas.

Las incógnitas sc representan: por las últimas letras del allabe
zur

Asi, '55+2=17
ecuación, porque es una igualdad en la
que hay una incóguica, la x, y esta igualdad sólo.
se verili

idades © expresiones al-

be BE = dr 15,

Osea, que sólo ts verdadern, para ol [ONE

1, 0 sea:
Tin eier, 1 alien Ea à por 3,

tenemo

lamos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica

verdadera

122

FcuAcIONeS enrisas ur Payán caabe 9123

La igualdad y*—5y=~6 es una ecuación porque es 250) =-
una igualdad que sólo se verifica para y=2 e y=3. En efec 4 — 10 =-
10, sustituyendo la y por 2, tenemos; Ag
Si hacemos y=8, tenemos: $*—5(8)=~6
9-15 =-6
= 65-6

Si damos a y un valor distinto de 2 6 3, ta igualdad no se verifica,
(OS) WENTIDAD es una igualdad que se vertica para cualemquiera valo:
es de las letras que entran en el

As, COTE
at miam)

son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las Tetras
ay ben el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.

El signo de identidad es =, que se lee “idéntico a”. (AEREA
Asi, la identidad de (x +3} con x*+ 2xy + y% se escribe”
y se lee (ety)? idémico a x4 dey 98

Goë)miemsnos

Se Mama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la
expresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y se:
gundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

Asi, en la ecuación ggg, og
el primer miembro es 3x -5 y el segundo

mbro 2x—3.

(103) TERMINOS som cada una de las cantidades que están conectados con
otra por el signo + 0 — o la cantidad que está sola en un miembro.

Ash, en la ccuación ggg

los términos son 3x, —5, 2x y —3.

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos
de la misma, error muy frecuente en los alumnos.

son equivalentes sólo. cuando en un miembro de
tna ecuación hay tna solo cantidad,
Ast, en ta ecuación REN
a
‘nemos que 3x es el primer miembro de la ccuación y también es un

término de la ecuació

62. 124 @ auctma

CLASES DE ECUACIONES 4
Una ecuación numérica es una ecuación ==
que no tiene más letras que las incóguitas, como.
donde la tinica letra es la incógnita x.

Una ecuación literal cs una ecuación
que además de las incógnitas tiene otras letras, MESA
que representan cantidades conocidas, como x

Una ecuacién es entera cuando ninguno de sus términos tiene de-
adlor como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando al-

10s tienen denominador, como

+4

noi
gunos © todos sus tér

x

GRADO de una ecuación con una sola

incógnita es el mayor exponente que 4x=6=3x—1 y.
tiene la incógnita en la ecuación. Asi, /

son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.

La ecuación SERE
es una ecuación de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.
Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lincales.

HU x ke

do) RAICES O SOLUCIONES de una ecuación son los valores de las in.
cognitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que susticui:
dus en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad.

Asi, en la ecuación

a 0
la raíz es 7 porque haciendo x=T se tiene
Rn ~6=3(7)-+8, o sex =,

donde vemos que 7 satisface la ccuación.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una sola raíz.

(111) RESOLVER UNA ECUACION es hallar sus raíces, o sea el valor o los
valores de las incógnitas que satisfacen la ecuaciön.

(O ansia rimar orar rocas

Si con cantidades iguoles se verifican operaciones iguales los resulta:
des

reuaciones mermas oe sar craso © 125

REGLAS QUE SE DERIVAN DE ESTE AXIOMA

1) Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma canti.
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

2) Si a los dos miembros de una ecuación se resta una misma canti-
dad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una mis.
ma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma
cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.

13) Si los dos miembros de una ecuación se clevan a una misma pos
tencia vi a los das miembros se extrac una misma raíz, la igualdad subsiste

(113)LA TRANSPOSICION DE TERMINOS consiste en cambiar los térmis
~~" nos de una ecuación de un miembro al otro.

REGLA

Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro 9
otro cambiándole el signo.
a efecto:

1) 20~b.
Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste
(Regla D, y tendremos:
élan ME Seth ae prb

ea la ecuación

y como —b+b=0, qu
en

ande vemos que —b, que estaba‘en el segundo miembro de Ja ecuación
la pasado al primer miembro con

2) Sea la ecuación Bx + b

Restando b a los dos miembros de esta ocun
(Regla 2), y tendremos:

ión, la igualdad subsiste
Bebb b=2a-b

como b=0=0, queda

f Suck ay=2a~b

donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuación
dada, ha pasado al segundo miembro con signo =.

63. 126 @ acera

14) Términos iguales con signos. iguales en distinto miembro de ana
ecuación, pueden suprimine.

Asi, eu la ecuación ap

tenemos el término b con signo + en los dos miembros, Este término puede
suprimirse, quedando

porque equivale a restar b a los dos miembros.

En la ecuación Seoatsde— a5
tenemos el término x? con signo=sten los dos miembros.
Podemos suprimirlo, y queda
Bed bs
porque equivale a sumar x a los dos miembros,

CAMBIO DE SIGNOS

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar
sin que la ecuación varie, porque equivale a multiplicar los dos miembros
de la ecuación por —1, con lo cual la igualdad no varia. (Regla 3).

Asi, si em la ecuación era

multiplicamos ambos miembros por —1, para lo cual hay que multi
plicar por —1 todos los términos de cada miembro, tendremos:

ass +!
que es la ecuación dada con los siguos de todos sus 1érminos cambiados.

RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA

(116) REGLA GENERAL

1) Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

2) Se hace la cransposiciôn de términos, reuniendo en un miembro
odos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas
las cantidades conocidas.

9 Se reducen términos semejantes en cada miembro.

4) Se despeja Ja incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación
por el cocficiente de la incóguita.

FCUACIONES areas DE Perra GRADO @ 127

A) Resolver la ecuación Ir

+.
Pasendo x al primer miembro y — 5 al segundo, cam:
Biöndoles los signs, tenemos I ==
Reduciendo términos semejanter:
»
Despejondo x para lo cual dividimos los dos
miembros de la: ecuación por 2, tenemos:
VERIFICACION =

te velcación es le proba de que ol velo oblenido poro I incl es

in 10 roza usttyordo en lo das miombros de la etui
oda la Inégnio por el vor brenda, y si gate © conecto lo sevi
dada se convertirá en identidad. pete

Asi en el caso onteriot, haciendo x = 4 en lo scueclän
oda, tones:

El volor x = 4 solislaco lo ecuación.

12) Resolver la ecuación: 35 ~ 224 +6—18x=14—30:+ 32,
Pasando — 20% el primor miombro y 35 y 6 al segundo:
— 224 — Ve Ox = 14432956.

Red re
no er 2

Desejandax para 1 ev de

Vi bi bes or , 0

VERIFICACION
Hociondo x=—3 en la ecuación dodo, se ti

S-221-3)+5- 18|~ 3) = 14—30(-4) +2
BSN ESI 144 1592

EJERCICIO 78

Resolver Jas ecuaciones:

D. BxH0-Ie=ir- 13-5.
10. Syhoy-—st= ty 102-609.

1.
2
3.
4
5
6
7

u, Lex.
12. +074»
18 14

64. 128 @ cum

RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON SIGNOS DE AGRUPACION
(1) Resolver de (2x = 1} 57x 195) + (x + 28)
Supriniendo tos signos de agrupación:
Se Dh 1743 Set
Tionsponiondos 3° 2x—7x—Sxbx=—94+24—1,
Reduciendo: —10:=20

ae

ie

(2) Resolver Set] — 284 (14 6))=10—| IZ +6} 1024) |

Sup

Jolt preis roro:
Sea ato }=W—{— 706-424 |

Suprimiondo los Haves:

Bu nat 62 BA PH In 24
See x Fe dem 10H —6
Muhiplicando por
Dividiendo: por 2+

> EJERCICIO 79
Resolver las siguientes ecuaciones;
1. 3 )=8( +3).
ON
ON
4
5
6

LI A (HH.
A BD} (29) GD).
Deo) (50).

Te 16x—[B—(6—-9]]=304[—(e+2) (43)

8 pee (Ga)

DER) 00

10. TRAD BL).

11. ~fike48—[-15+6e—(—Be$2)-(Gx-H4)}—29

ECUACIONES ehtanas or nine © 129

(119) RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
CON PRODUCTOS INDICADOS

Ejemplos

(1) Resolver lo ecuación
Wie —9|—9 15— 6012 2x = 1145114281
Efoctuando los productos indicados.
10% — 90 = 45 + Ser = Bx — 2 5-4 10x.

primiendo 10x en ambos
iembras por ter camidodos
‘iguolos con signos iguales en
distintos: miembros, quedo; — 7"

VERIFICACION

E

43)

1013 9) 915 ~ 18) =2112—1)+ 511+ 4)

Hociondo x=3 en la 1046} 91 — 131 = 2011) +517)
ecuación dado, 10 line: + 417 = 22495
7 = 57,
solislace lo ecuación.
Recolver 4x— (2x43) 3x = 512 49— (6x 11x21
* (e+ DD —5)= 6 — x = 15
Electuando tor productos indicados — (un 111 Toh Ore a

El signo — delonte de las productos indicados en cada miembro de la ecva
ción nos dice que hoy que efectuar los productos y cambiar el signo o coda
uno de sus términos, luego una vez cfociuados los productos los introducimos
cen poröntesis procedidos del signo — y tendemos que la ecuación dado se
“convient om

A 16%

15)=49 (613x421
Au GE + 4 4152 49 — 6 134 2)
Suprimiendo fos parénlesis —

Revolver led V(x —=21— Be +5) 62 de 11(X 311x471,
Hlectuando los productos indicados:
x= D (14 La $9) 6 = Ba Ms + eT
Suptimiendo los paréatosis
arm 212017045 6 = Ex Vat — Ab + 231
En el primer miembro tone= —x— 2 1x +56
mos a? y — 125% quo teduci kW Bah dee
dos don — 1138, y como en el
segundo miembro. hoy otto
=H, los suprmimos y
queda:

65. 130 @ arcrora

(4) Resolver [Me 1 2 + AU +42= 201-8) NR,
Dosorrollando los cuadredos de los binomios:

DE 6e 1 A 12x + 9) + 42 © DA x tl)
Suprimiondo los paréntesis

Pet — 6x4 1120 — 26127 + 42

u 10% = 2x

Sate

En

| EJERCICIO 80

Resolver las siguientes ecuaciones:
o

Be TO +=
(BB +).

(ix-+9)—St2x-+5)—12.
Bra) ONE ul
NEST 2s) (8-8)
Te

Eux

eN

OHR.

(e Se a nea

(Ei

pr e Serie ye ec ieee,

a AE

Sa 1x (4-3) IA ES -2) III 2)
= O

1. Tea AG D).

Er Te The Da)

ho EJERCICIO 81

MISCELANEA:
Resolver las siguientes ecuaciones:

x 5x12-(2-1))=0,

z ENS aa

: 3 1) 440? D)-4> nt
Sr) Mat)

o lets

To (xt A

8. (+2) ADA AA) 47

De

10. HPA) EA.

Dintanto,
sn teria, lara bra
de Toni

eae, Hoy ucts baklnio y caldos ein de

fan ‘ninguna de lor problemas ve abordó ion

CAPITULO D

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

A a se ee

que A, Hallar ambas edades,

x= edad de de
no B tiene $ años , EE

¿monos que A: 2
La suma de ambas edades es 84 años: RARES

mos Lt ce

Resolviendo:

ños, edad de A. Ro

lad de 1 serás x ños. R

icación en los problemas consiste en ver si los resultados obte:
idos satisfacen las condiciones del prob

Al, en este caso, hemos obtenido qu
We AY AU años: nego. se cumple Ia condici

edad de B ex 38
la en el problen

yla
le que

a

66. 132 © suecas

B tiene 8 años menos que A y ambas edades suman 46+38=84 años, que
es la otra condición dada en el problema.
Luego. los resultados obtenidos satisfacen las condiciones del problema.

CD rage sr pat e a ld a. sie Si
16 $5 mis que el libro y 520 menos que el traje. ¿Cuánto pagué por
cada cosa?
Sea x = previo del libro.
Como el sombrero costs 55
mis que el libro:
El sombrero costó $20 menos que
el trajes luego. el traje costó $20 más
que el sombrero —__ 7
Como todo costó $87, la suma de los precios
del libro, traje y sombrero tiene que ser igual
a $8; luego, tenemos la ecuación: — 7
Resolviendo:

"XS = precio: del sombrero.

PAS Hx +25

CA

19 + 25= 544, precio del traje. R.

dun es ei urn
ay

¡ero menor
x+1=ntimero intermedio
x+2=número mayor,

lomo la suma de los tres números

8, se tiene la ecuación £

Resolviend ES

E jero menor R.
x+1=514+1%52, némero intermedio, R.
2, mimero mayor. Re

NOTA

Si designamos por x el múmero mayor, el número 6
el menor x—2.

designamos por x el número intermedio, el mayor sería x41 y el

xl,

wermedio sería.

£454 2024426 = precio del traje.

6
%
a

10
mn
m

Paoauzmas sonne Ecuaciones enrunas © 133

EJERCICIO 82

La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en $, Hallar
los números.

La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los múmesos.
Entre À y B tienen 1154 bolivares y B tiene 506 menos que A. ¿Cuánto
tiene cada uno?

Dividir el nämero 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la mie:
nor en 24.

A tiene 14 años menos que B y ambas edades sama
diene cada uno?

Repartir 1080 soles entre À y B de modo que A reciba 1014 más que ML
Hallar dos nümeres enteros consecutivos cuya suma sen 10).

“Tres mémeros enteros conscéutivos suman 201. Hallar los mümeros,
Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74.

Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea 194.
Hallar tres mimeros enteros consecutivos enya suma sea 186.

Pagué $825 por un caballa, un coche y sus arreos. El caballo cost $80
ás que el coche y los arreos $25 menos que el coche, Hallar los precios
Jespectivos.

La suma de tres números ca 200. El mayor exdede al del medio en 32
y al menor en 65. Hallar los números.

«estos unticmen 575 manzanas, EI primer eesto tiene 10 manzanas
que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en
testo?

Dividir 454 en tres partes subiendo que la menor es 16 unidades menor
que da del uo y 70 unidades menor que la mayor

Repartir 310 sucres entre tres personas de mudo que la segunda reciba 20
menos que la primera y 40 más que la tercera.

La sun de las edades de res personas es 88 años. La mayor tiene 20
anos más que la menor y la del medio 18 años menos que la major,
Mallar Jas edades respectivas

Dividir G12 en dos partes tales que una exceda a la otra en 36.

56 años. ¿Qué edu

(121) La edad de A es doble que la de B, y ambas edades suman 36 años.

Hallar ambas edades,

Sea x= edad de 8,
Como, según las condiciones, la edad de A 2x edad de
es doble que la de B, tendremos: = —
Como la suma de ambas edades es 35 años, ae
se tiene la ecutación mire En >"
Resolviendo:
R.
R

67. 134 @ nous

(122) Se ha comprado un coche, un caballo y sus arreos por $350. EI coche
costó el triplo de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costó el
coche. Hallar el costo de los arreos, del coche y del caballo,
Sea x=costo de los arreus.
Como el coche costó el triplo de los arreos: Sx=costo del coche.
Como el caballo costó el doble del coche: 6x =costw del caballo.
Como los arreos, el coche y el caballo FE
costaron $350,se tiene la ecuación: 7
Resolviendo: 10x =350

$ 35, costo de los arreos. R.
$105, costo del coche. R.
Gx = 5 x595 = 5210, costo del caballo. R.

Repartir 180 bolívares entre A, B y C de modo que la parte de A sea
la mitad de la de E y um tercio de la de €.

Si la parte de A es la mitad de la de B, la parte de B es doble que
la de A: y si la parte de A es un tercio de la de €, la parte de € es el wi-
plo de la de A. Entonces, sea: >
parte de A.
2x= parte de 8.
3x=parte de €.

Como la cantidad repartida es bs. 180, la soma 1

de las partes de cada uno tiene que ser igual a Eh 2x H dx 180!

bs. 180; luego, tendremos la ecuación: 4
Resolviendo: — 6x=180

7 =bs.30, parte de A. R.

2e=bs, 60, parte de 8. R.

3x =bs. 90, parte de €. R.

[> EJERCICIO 83
1 La edad de Pedro es el riplo de la de Juan y ambas edades suman 40
ios. Hallar ambas edades,
lo un caballo y sus arreos por S600. Si el caballo: costó
4 veces los arreos, ¿cuámo costó el caballo y cuánto los arreos?
un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones, Si las habitaciones det segundo
so, som la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en cada
4. Repartir 900 colones entre 4, B y € de modo que la
doble que la de À y la de € el wiplo de la de 4.
M Reparir 143 sucres entre A, B y C de modo que la parte de A sea la
mitad de la de By la de € doble de la de D,

rte de sea

PROnLENAS sone ecuaciones auroras © 135

Bh. major de dos nämeros es 6 veces el menor y ambos numeros sut
147. Baltar Jos nümeros.
7. Repartir 140 quetzales entre A, B y € de modo que la: parte de I sea la
Paid de a de A y um caro de la de © D
dir el mimero 860 en ues partes de modo que ta primera sea el
fat de a segunda y el quimo de i terra.
3. El duplo de un m ale al número aumentado en 111 Haar el

10. las „lade Rosa mis quince años y-ambay
1 1 número se multiplica por $ el resultado cs el número aumentado

1. Hallar el número,
12 Si al triplo de mi edad añado 7 años, tendria 100 años. ¿Qué edad ten

1. 96 en tres partes tales que la primera sea el triplo de la segunda
y la tercera igual a la suma de la primers y la segunda.
14 id de la de Pedro: la de Juan el riplo

edad de Enrique es la
a de Es y la de Eugenio él
lades seem 132 “años, ¿qué edad tiene

ble de la de Juan. Sé las cuatri
da uno?

(2) ta suma de las edades de A, B y Ces 69 años. La edad de A es doble
que la de By 6 años mayor que la de C. Hallar las edades.
Sea edad de B.
edad de 4
Si la edad de À es 6 años mayor que la de G, la edad de C es 6 años
inenor que la de A; luego, 2x —6=edad de €,

‘Cane ba, es ces ‘tain dle MA

tendremos I

Resolviendo: by — 6 = 69
be = 0946
=

es partes tales que la segunda sea el triplo de la primers
yor que la tercera,

130 balboas, € tiene el doble de lo que tiene À y
balboas menos que #. ¿Cuánto tiene cada uno?

ses múmeras es 238, El primero excede al duplo del sc

1 tercero en 18, Hallar los números,
; un bastón y un sombrero
ces lo que el sombrero y el bastón $30. menos
Hallar los. precios respectivos.

68. 136 © aucuns

bo La sum de es mers. 12 El segundo es $ del encens y el primer

excede al tercero en 6. Hallar Jos mémeros.

Entre À y B tienen 99 bolívares. La parte de B excede al triplo de la

de 4 en 19. Hallar la parte de cada tno,

% Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco.
Laparte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada
de blanco. Hallar la Tongitud de la parte pintada de cada color,

8. Repartir $152 entre 4, B y G de modo que la parte de B sea $8 menos
que el duplo de la de 4 y $02 más que la de

9. El exceso de un múmero sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el
duplo del número. Hallar cl mimero.

10, Si me pagaran 60 sucres tendria el doble de lo que tengo ahora más 10
sucres, ¿Cuánto tengo?

11. El asta de una bandera de 9:10 m de altura’ se ha partido en dos. La
parte separada tiene $0 em menos que la otra parte. Hallar la longitud
de ambas partes del asta.

12 Las eslades de un padre y su hijo suman 83 aos. La edad del padre
excede en 3 años al triplo de la etlad del hijo, Hallar ambas dades,

15. En una elección en que había 3 candidatos A, B y € se emitieron 9000
votos, 1! obtuvo 500 votos menos que À y 504 votos máx que €
yotos obtuvo el candidate trunkante?

14 El exceso de 8 veces un múmero sobre 0 equivale al exceso de 60 sobre
7 veces el número, Hallar el número. x

15. Preguntado un hombre por su edad, responde: $i al doble de mi edad
se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tenet 100 años: ¿Qué

ne cl hombre?

(23) Dividir 85 en dos partes tales que el triplo de la parte menor equi-
valga al duplo de la mayor.
Sea ln parte menor,
Tendremos: 85—x=la parte mayor.
El problema me dice que el tiplo de la parte
menor, 3x, equivale al duplo de la parte mayor, IES)
25-2); luego, tenemos Ea ecuación UT à
Resolviendo:

34, parte menor. R.
51, parte mayor. Re

Entre À y B tienen $81. Si A
da equivale al triplo de lo que
Sea

ierde $36, el duplo de lo que le que-
ne B ahora. ¿Cuánto ti

X= mmero de pesos que tiene A,
múmero de pesos que tiene A.

Peontemas somme ecuaciones suranas @ 137

Si A pierde $86, se queda con $(*—30) y el duplo
de esta cantidad 2x —30) equivale al triplo de lo que
Fiene B ahora, o sca, al triplo de $1—x; luego, tenemos.
In ecuación: RSR

Resolviendo:

FES) SKU

= $63, lo que tiene 4. Re
$18, lo que tiene BR,

» EJERCICIO 85
|, La suma de dos múmeros es 100 y el duplo del mayor equivale al tiple
del menus. Hallar los números.
Las edades de un padre y su hijo suman 60 años. Si la edad del padre
se disminuyera en 15 aos se tendria el doble de la edad del hijo. Hallar
ambas edades.
3. Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disininiida en 132 equi
valga a la menor <umentada cn 100
4 Entre À y D tienen 150 soles, Si À pierde 40, lo que le queda equivale
a lo que tiene D. ¿Cuánto tiene cada uno?
ho Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 45% al mayor,
Hallar os ángulos.
5. La suma de dos números es 610 y el mayor excede al riplo del menor
en 88. Hallar los “números
1 La dilesencia de dos números es 36. Si el mayor se din
tiene el cuidruplo del menor. Hallar los números.
% Un perro y su collar han costado S54, y el peno costó $ veces lo que
cl collar. ¿Cuánto cond el perro y cabrio el solar? +
de $16 y B gana $2

ye en 12

mbos tienen Jo.

lse hay 60 alumnos entre jóvenes y señoritas, El número de

señoritas excede em 13 al duplo de lox jóvenez, ¿Cuámos jóvenes hay en
la clase y cuäntas señoritas

3. Disklir 160 en dos partes tales que el triplo de la parte menor disminuido
en la parte a 16. E

La suma de dos mümeron es 506 y el triplo del menor excede en 50 al

yor aumentado cu 100. Hallar los numéros.

10. Una estilográfica y un lapicero han costado 18 bolivates. Sí la, estlográlica

vares menos y el lapicero 4 bolívares más, habrian.

mismo, ¿Cuánto costó cada uno? :

mgitud está. pintada de rojo y negro. La
menor que la par pintada de negro: Tal Ir
ud decada ‘parte,

69. 138 @ acciona

127) La estad de A es doble que la de By hace 15 años la edad de A era
el triplo de la de B. Hallar las edades actuales.

mero de años que tiene B ahora,

mero de años que tiene À ahora,

Sea x
x=

Hace 15 años, Ja edad de À era 2x—16 años v la
s y como el problema me dice E y
jue la edad de A hace 19 aios,(2x~19,)era igual al TI
ripla de la edad de B hace 15 años 0 sea el wiplo 2

ke x— 15, tendremos la seuación:

Resolviendo: en 13,

9 años, edad actual de B. R.
años, edad actual de d. Ro

int chin nee eo de ai ol
Mallar las edades actuales,
Sea x=número de años que tiene B alo
3x número de años que tiene À ahora
Denise de 20 años, la edad de À seräfix —20)años
la de B será(s—20)años. El problema me dice que la
de À dentro de 20 años, s À al doble xl
le la edad de B dentro de 20 años, o sea, igual al doble
le «+20: luego, tendremos la cc
Resolviendo: Ax +20=0x +40
By = 2x = 10 20
20 años, edad actual de B. R.
Bx=00 años, edad actual de A. R.

a

> EJERCICIO 86
% La edad actual de 4 es dablequela de A, y hace 10 años la edad de À
eta el triplo de la de I. Hallar las edades actuales
2 La edad de A es triple que la de B y dentro de 5 años será el doble,
Hallar. las edades actuales.
3 4 ticne doble dinero que B. Si À pierde $10 y B pierde $3, AtendráS20
nis que B. cada uno?
4 A tiene la unital de lo que ice B. Si
doble de lo que te quede

PROBLEMAS sonne scuncionis curesas @ 139

6. La edad de un padre es el tripto de la edad de su hijo, La edad que
tenía el padre hace $ años era el duplo de la edad que tendrá su INjo
dentro de 10 años, Hallar Jas edades actuales

7. La suma de dos números es 85 y el mimero menor aumentado cn 3
equivale al doble del mayor disminuido en 20. Hallar los números

8, Enrique tiene 3 veces lo que tiene su hermano. Si Enrique le diera à
su hermano 50 cs, ambos tendrían lo mismo. ¿Cuánto Uene cada Uno

9. Un colono tiene 1400 sucres én dos bolsas. Si de la bolsa que tiene más
dinero saca 200 y los pone en la otra bolsa, ambas tendrian Jgual cantidad
de dinero, ¿Cuánto tene cada bola?

10. El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número de
dias que ha trabajado Enrique, Si Pedro hubiera uabajado 15 dias menos
y Enrique 21 dias más, ambos habrian trabajado igual numero de dias,

/ Giudntos días trabajó cada uno?

11, Hace 14 años la edad de un padre era el triplo de la edad de su hijo
y ahora es el doble, Mallar las edades respectivas hace 14 ados.
nteo de 22 años la edad de Juan será el doble de la de su hijo y actual:
nue es el wiplo, Hallar las edades actmales
13. Enwe 4 y # tienen $84. Si À gana $80 y B gana $4, A tendrá el triplo
de lo que tenga B, ¿Cuánto tiene cada uno?

Un hacendado ha comprado doble número de vacas que de bueyes.
Por cada vaca pagó S70 y por cada buey 385. Si el importe de la come
pra fue de $2700, ¿cuántas vacas compró y cuántos bueyes?
Sea ¡úmero de bueyes.
rimero de vacas,

Si se han comprado x bueyes y cada buey costó $85,

los x bueyes costaron $85x y si se han comprado 2x vacas

y cada vaca costó $70, las 2x vacas costaron $10%2x=Slitlx, Ax E 140x = 949
porte total de la compra ha sido $2700, ter

Resolviendo:

Se han comprado 96 aves entre gallinas y palomas. Cada gallina cos
16 80 cts, y cada paloma 05 ets. Si el importe de la compra ha sido
500,30, ¿cuántas gallinas y cuántas palomas se han comprado?
Sea x=múmero de gallinas.

06=x=número de palomas.

Si se han comprado x gallinas y cada gallina costó 80 cts
mas costaron 80x cts.

Jas x gal

70. 140 © aaa
Si se han comprado 96—x palomas y cada paloma costó 65 ets, las
96—x palomas costaron 65(96—x) cts.
Como el importe total de la compra fue
569.90, o sea 6990 eis, tendremos la ecuación:

Resolviendo: 80x + 6240 — 65x = 6930
6930 — 6240

46, número de gallinas. R.
50, mimero de palomas. R.

D EJERCICIO 87
+ Compré doble mme de sombreros que de trajes por 102 balboas, Cada
somero costo 2 y ula traje 10. ¿Cuáios sombreros y cuäntos trajes
‘compre?
Un cs, compr calls veas por UDO Por ca ca
allo pagó 600 y por cada vaca 804. Si compro 6 vacas menos que caballos,
an vacas Y mos caballos compro? ÿ
3 Un paire pone 16 problems y su hijo com a condición de que por cada
problema que reve el muchacho secibirá 12 ct y por cada problema
e no reshelva perdera à cs, Después de trabajar en los 16 problemas
A inueiacho recbe 13 ts, ¿Cuáulos problewas resolvió y cuántos no
resolvió?

contrata un obrero por 50 dis pagándole $3 por cada día

‘abajo con la condición de que por cada día que el obrero deje de

ir al trabajo perderá $2. Al cabo de los 50 dias el «Muero recibe 590.

¿Cuántos días trabajó y cuámos no trabajó?

5. Un comerciante compró 35 wajes de a 30 quetzales y de a 25 quetzales,
pagando por todos O) 1015. ¿Cuántos trajes de cada precio compró?

6. Un comerciante compró trajes de dos calidades por 1624 balboas, De la

‘mejor compro 39 trajes y de la calidad inferior 18. Si cada traje
la mejor calidad le costó 7 balboas más que cada traje de Ja calidad
inferior, ¿cuál era el precio de un traje de cada calidad?

7 Un muchacho compró triple múmero de lápices que de cuadernos. Cada
pir te costó 5 cla. ÿ cada cuaderno 6 ets. St por todo pagó 51.41, ¿cuántos
Lápices y cuántos cuadernos compró?

2. Pagué $082 por cierto número de sacos de ambar y de frijoles. Por cada
Fe ee aan cuit estan tu cea dédie ce
sacos de frijoles ex el wiplo del nümero de sacos de aziiear más 5, ¿cuántos
Sacos de azlıcar y cuántos de frijoles compré?

1. Se han comprado 80 pies cúbicos de madera por $6840, La madera com.

ada es cedro y caoba, Gada pie cúbico de todro costó 75 ets, y cada
pie cübieo de caoba 40 cts. ¿Cuántos pies cúbicos he comprado de cedro

y cuántos de caoba?

10. Dividir el nümero 1050 en dos partes tales que el triplo de la parte mayor
disminuido eu el duplo de la parte menor equivalga a 1625.

80x + 65(08 — x) = 6900.

PROBLEMAS sous ECUACIONES ENTERAS @ 14]

EJERCICIO 88
MISCELANEA.

Dividir 196 en res partes tales que a segunda sea el duplo de la primera
y suma de las dos primeras exeeda a la tecera en 20. 7

La dad de 4 cs triple que ta de B y hace 5 años era el cv
de 3. Hallar 135 edades actuales, | el cuádruplo de la

Un comerciante adquiere 50 trajes y 95 pares de zapatos por 16000 ole.
at je ons el doble delo que dnt spar de pat mas 0 sole,
Halla precin de un wage y de un par de pu

6 personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales
pero dos de ellas desisticron del negocio y entonces cado tna de ay
Fetante too, que poner 2000 bolivar más. ¿Cuál era el valor de la
pes

suma de dos mimeros es 108 y el doble del mayor excede al triple
menor en 156. Hallar tos números da pt

ee
ee eee On
a a inn que sal nc oe Teer aT in deren oc olas

Un hacendado compró 25 cabal S haben conrad 5 cabal m
or cl mismo precio, cada caballo le habrd costado $10 menos. CAMES
ont cada caballo Sr

El exceso del wiple de un número sobre $5 equivale al exceso de 294
sobre el número. Hallar él numero. 7
Hallar es números enteros consecutivo, tales que cl duplo del menor
ds el wiplo del mediano más el cuádruplo del mayor equivala a Ti
tine ha seorid 159 metros, En auto sea una dae
ple que a caballo y a pic, 20 Kilómetsos menos que a caballo. ¿Caámios
Kilómetros récré de cada mado? E di
Un hombre deja uns herencia de 16500 colones para repartir cute 3
jos y 2 Mijas y manda que cada hija reciba 9008 más que cada hij
lar la parte de cada hijo y de cada hija
La diferencia de os cuadrados de dos mimeros enteros conse
Hallar los números
La edad de A es el iiplo de la de 2, y la de 1 5 veces la de ©. B tiene
12 años más que €. ¿Qué edad tene. cada uno?

von es AL.

71. 142

18.

18,

20.

=

py

=.

20

2

8.

30.

32

- Entre dy Du

Dentro de 5 años la edad de A será el wiplo de la de D, y 15 años des
pues la edad de À será el duplo de la de 8, Hallar las edades actuales
martes gané el doble de lo que gané el Tunes; el miércoles el doble
de lo que gané el martes; el jueves cl doble de lo que gané el miércoles;
fl viernes $20 menos que el jueves y el sábado SD más que el viernes.
Si en dos 6 días he ganado S911, ¿cuánto gané cada dia?

Hallar dos números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el uiplo de
su diferencia,

a $36. Si A perdiera $16, lo que tiene B sería el triple
filo que le quedaria'a dc ¿Eso went cad amor :

A tiene el triplo de lo que tiene B, y B el doble de lo de €. Si A pierde

SL y B pierde $3, la diterenein de lo que les queda a 4 y a B es el doble
de lo que tendeia G si ganara $20. ¿Cuánto tiene cada uno?

3 personas lan comprado una tienda contribuyendo por parte iguales
Si Rubis habido 2 socios mas, da uno hubiera pagado" 80) bollvros
menos, ¿Cuánto comó la tienda?

Un colono compró dos caballos, pagando por ambos $120. Si el caballo
peor hubiera costado $15 mis, el mejor habria costado duble que ck
¿Cuánto costó cada caballo?

¿y pican a ju com 0 ques cada uno ¿Cut bpd À
Ah tiene! ahora ef tipto de lo que tiene A?
A y 8 empieran a jugar teniendo, 4 doble dinero
dance B tiene! ef doble de lo que tiene sl.
Jugar cada. no?
Compré enidrupte número de caballos que de vacas. Si hubiera, come
prado 5 caballos más y 3 sacas mds tendía triple mimero de caballos
Que de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compre?

ue BA pierde $400
on eadnto emperó à

En cada día, de lunes a jueves, guné $6 uds que lo que gané el día
anterior, Si el Jueves gané el coláuplo de lo que gané el lunes, ¿euinto
ine cada dí

Tenía certa suma de dinero, Ahorre una
past 5D soles; luego ahored una suma. igual
‘Guedaba

pine
Una sala tiene doble Largo que ancho. Si el largo se disminuye en Gm
y cl ancho se aumenta cn 4 m, la superficie de la sala no verla, Hallar
las dimensiones de Ia sala

Hace 5 años la edad de um padre era tres veces la de su hijo y dentro
de 5 años será el doble. ¿Qué edades tienen ahora el padre y el lujo?
Dentro de 4 años la edad de A será el wiplo de la de B, y hace 2 años
ca el quíataplo. Hallar las edades acute

ma igual a lo que tenía y
al doble de lo que me
y gasté 300 soles. Si ahora no tengo mida, ¿cuánto tenía al

NYPATIA (370-415 D, C.I Una excepcional
Weleya, Mila dal Hote y matemática Fes

far sab po a elocuencia y

ida en. Alejandria, vais à Atanas

om

carito |

DESCOMPOSICION FACTORIAL

(131) Factores

Se llama factores o divisores de una expres
siones algebraicas que multiplicadas entre sí dan co
ra expresión

As

algebraica a las expre.
19 producto la primes

|, multiplicando. à por a+b tenemos

ON
a y a+b, que multiplicadas entre si dan como producto & + ab, son
factores 6 divisores de a + nb.

Del propio: modo,
FART HHS +O
luego, 2 y +43 son factores de x

+ +6
(132) DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión alge
braica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

(133) Factorar un MONOMIO

Los facores de un monemio se pueden hallar por simple inspe
Ash los Focos de Sab son 3.3.0.3 0 Porlanler

154 be 3,5 ab.
143

72. 144 @ mann

à) FACTORAR UN POLINOMIO

No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distin
tos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay nümeros primos que
sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que
sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el pro
ducto de otras expresiones algebraicas. Así a dd no puede descomponerse en
dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por 1.

En este capitulo estudiaremos la manera de descomponer polinomios en
dos ü más factores distintos de I,

CASO 1
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO
TIENEN UN FACTOR COMUN

a) Factor común monomio

1. Descomponer en factores a+ 2a,

a y 2a contienen el factor común a. Escribimos
el factor comin a como coeficiente de un paréntesis
dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividi
y % y tendremos. — —

3. Descomponer 100 — 80ab2.

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. ‘To:
mamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letra
único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión
dada y la tomamos con su menor exponente b.

E) factor común es 100. Lo escribimos
como coeficiente de un paréntesis y dentro ¿y 3o4p*=100(1=3ab):
amas Tos coctentes de dividir 100-1001 OPA POD
y —80ab?-+10)=—Sab y tendremos: —

3. Descomponer 104 = a + 150%.
EX factor común es 5a. “Tendremos:
1042 — 5a + 150*=5a(2o 1409). R-
4. Descomponer Lx —5imis%)? +-30mp2.
El factor común es 18 my" Tendremos:
syn xy? — Gimp? A6 y? = 18m? — Bax? +2)
5. Factorar Gx)? = Inst + Ln? — next.
Factor común Bay!
Gey! = Ind Lux —

na = ale +2 Re

Na x Hanne), Ro

oncoureseion racromat © 145

135) PRUEBA GENERAL DE LOS FACTORES

En cualquiera de los diez casos que estudiaremos, la prucba consiste en

nen

E EJERCICIO 89

Tale eine us

PTE nus

i br. 17. 30 10094150
ON 18. 15y24-20)2—5y. a PR
a. tia. A
tiie E E

E ab=be. 22. 34 12m%n+24m%0 3m
ae = mt
pertes ms n 35. 101% 15006946004
a 26. Söminsx+ LOA 36.

Da Bra (lt)

u -220m2) FR J
13 2 y aa 28 aabt
14 Durs Fabi.

fh A 39

b) Factor común polinomio

|. Descomponer la 4 b]4 mia + bi
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el bino:
mio (a+b). i ”
Escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del parén:
tesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada

entre el factor común (a+b), 0 sea:
xa+b)_ ma 0)
a Y any =" Y tendrem

xfa b)4 mia + b)=

+ bem Re

2 Descomponer 2x(a—1)—yla—1).

Factor común {a-1). Dividiendo los dos términos de la expresión
dada entre el factor común (a—1), tenemos:

5

@

Tendremos: 2x(a=1) (01)

(a~1)(2x—y) R

73. CS

3, Descomponer mix +2) 4x42.
Esta expresión podemos escribirla: mi(x-+2) + (+2) = mlx 4: 2) 4 1a 2)
Factor común (+2). Tendremos:

n(x +2) 4st (+ DOM Re

4. Descomponer aix+1)—#=1,
Introduciendo los dos últimos 1érminos en un paréntesis precedido

del signo — se tienes
ar +) 1) (RR DS ae Ae HY = +E}. R

Bebe ya) x —

9. Factorar xix ty +92
“Tendremos:
male ty 2) (ty) lx) HEART, R.

6. Factorar (x— ally +2) + big 2)
Factor comin (y-+ 2). Dividiendo los dos 1éxminos de la expresión

dada entre (y+2) tenemos:

HL 04 R

T. Descomponer (x + Dix = 1} {x M9
Dividiendo entre el factor común (x — 1) tenemos:

a y a)

Por tanto:
(+24) (== (e [+23]
Re 2 ER Re
jaa +1.
x(a— 14 ya 101)

8. Factorar xia—
x(a=1) + faut

EJERCICIO 90
Factorar o descomponer en dos factores:
7. 13, are 0 ab
s 14 Ama DA 1e
9. 1b, starb) Daher.
10, 18 ina).
1 1 de
ala. 10 mentada), 18 (ata DAA.

DH RA

10.
20.
2
22
23.
24.
26.
28,

esconosicion racrontaL @ 147

ON

SON
HE): 1).

Ste
nn Den.
Sat 2)a- äh):
GEHN Bar)
Bach )- Bet)
{ty 1Nax+2).

HEESES

CASO 11
FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

E I

aa be Ties
wie any br eee
Te ries, or tbe or hbo ba y
un paréntesis y los dos últimos spe ti

nn Recon a
Serdar teu,

La ogropción puede hacerse generalmente de más de un modo con fl que
los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que
los cantidades que quedan dentro de los poréntesis después de sacar el factor
‘comin on cada grupo, sean oxactamenfe igvalos, Si esto no os pobla lo:
grarlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Asi an el ejemplo anterior podemos

ogrupor el 1” y der. términos que
tae el factor común a y al 2° y 4%
que tienen el factor común b y ten:
remos: — it
‘exvlledo idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente,

Foclorar In? — émn + dm — 8h.
Los dos primeros términos fie. Im?
nen el foctor común 3m y los.

dos chimes el factor común

A, Agrupondo, tenemos: —/
Descomponer Bd y — dx by.
Los dos primeros lérminos tienen el
Factor comin x y los dos úlimos

ox + bet ay + by

ety Ble
let yl Bley

(am = dom) + (A
Im = 201 + Alm
ne PA

ol factor común 2, luego los ogru-
pomos pero introducimos los dor
Últimos. lérminos en un, paréntesis
precedido del signo — porque el
signo del 3er. término es —, pora
lo cual hay que combiarlos el sig:
no y tendremos

Be Bey dt by = ae do

= gap

74. 1488 aies

Tombién podiamos haber

agrapado el 1° y 3 que He: 28 — Bay — be + by = (20 — = [Sey — 6)
nen oct comin 2, y l ab 21= 3418-2)
By que tienen ol factor à She lee A

‘comin 3y y lendremoss
A4 29 Rox = 2a = Le 32) (oc + 203%)

w er Ue 28) Dale 2)
IAEA 2a. ——+ [A E
ach at 20 Dos? = [x — Zon) (28 202%)
Agrupondo (1 20) + 211 20)
Ty 3,2 y 4%, enemas: + AN

dar 3H hy = doy = (Box =) + y —

lata

(5) Factor Sox = But dy — day. auto 1)=

ETATS

6 a Ri i
en
Signosal Binomio (1 ~ 0) conviriéndolo en lu — 1], pero para que ol pre
ie arom ice ras
convirtiéndolo en — dy. De este modo, como hemos combiadolossigno a un
ea

En al ejemplo anterior, one: Sax — 3x + dy — dy = (ax — day) ~ (3x Ay
=

is Zeh
aumrEr?T ne
orar ox oytortx—y tilo —ey today ta
MES Fe DUREE
Pan O IS

(1) Descomponer 6Fx = ax Daly + Dany +02.
Agrupando 1° y 3,2 y £,5 y 6, tenemos:
ox y + Deny + Day = [ax 20] = (ot Dany 26)
us lines er er ee a
ace R
Agrupondo de oo mado: sis
ox? — Dy Dany Buy = [ola me + x — (oy — Dory 4-2
a al "Eklat —or + 2) lol = où a
E ®

m EJERCICIO 91
Factorar o descomponer en dos factores:

shi ps eater

abran. 12 Garda + 142%, 18. 1404Jab+30.

escomeosicion racromias 0.149

19, A. Rax—2dy—Dde—Gatay +40,
20. 26. 3
2 m.
aaa. 2
23. Bei-Tlix43ax-Tal 29.
30.

24. amant Pam tn]

CASO 111

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(136) Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de orra canı
idad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Asi, da® es cundrado perfecto porque es el cuadrado de 2a.
En efecto: (2a)? = 20% 2 2a, que multiplicada por si mis
da dat, cs la raíz cuadrada de de
Obsérvese que (24) 2 (2j x (-2u)= det; luego, — 2e es también
la raiz cuadrada de dat.

Lo anterior nos dice que Ta raíz cuadrado derma cantidad positiva tiene
dus signos, +3 —

En este capitulo nos referimos sólo a la raız positiva.

(3%) watz CUADRADA DE UN MONOMIO
~ vara extraer la raiz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadra
da de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra
Asi, la raie cuadrada de 9abt es 3ab* porque (Sal
at,
La raie cuadrada de Dix) es 6x4,

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un bino
mio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Asi, @ + ab +0? es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a+b,
En efecto: ar je = {a bla 0) =at + Rab +02,

Del propio modo, (2x 4 3y)
© un trinomio cuadrado perfecto.

Axt + 12xy +99" luego 4x4 + 12x94 9)?

Ko ea kava Gien nea
Bb arene es

letra es cuadrado. perfecto
nos son enadrados perfectos ( tie
livos. y el segundo término es el

75. serene rscomroricion yactontat @ 151

dab +46? es cuadrado perfecto porque:

Raiz cuadrada de a
Raiz cuadrada de 40%

1
(9) Factor 8 + be +

ao nl et ise pr o ci
eee er Be

20

Doble producto de estas raíces: 2 X aX 2b = Hub, segundo término,

to aros (ar
BEE an sabia tats pnl = i »)

ibe

Raiz cuadrada de ax: 45) Foctoror ¿q +
4

ie cuadrada de Ay

Doble producto de estas. races x que no es el ES œodrado pefecto porque Ríz cuadrado de 12 sole cuadrado de
término, be
7
REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO eue
Se extra la raiz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio e
y 30 separan ests raíces por el signo del segundo térmuno. El binomio así
formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo IGASOTESEERIAN
0 se eleva al cuadrado. 46) Descomponer of + 2a(a—b)+(o— bf.
Lo regla anterior puede aplicarse a casos en que el primero o tercer Jérmino.
A) Factor + 2 + 1 sl tint one er rene compuso
si, en este caso se tiene:
PAPE mE Ire
aa) a ;
a)
(21 Descompones 4x? 25 — 209.
ee | (1) aco 2 a Le.
ae = Se à REP ea ee SP
ol lu yi 8
li EJERCICIO 92
Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Asi, an el ejem Factorar © descomponer en dos factores:
plo anterior se tendrá tembién: N copada RTS ESO.
e A Darevetsd iu am.
O ae eur heel. E nt as
y Es igh a y
porque desrolando eit binomio 6 tires nes TA m
[Sy — 2x)? = 25)? — 20xy 4 N 96x43. zo maca. 2 D +emntome,
oxpresiön ica a Ax? — 20%) 2 tiene las mismos cont ? 164408 ee nes 542afa tb) Ha+b)
EN ea «de im 22. tons AO Ferner
1 ane. BL Am2-Amn—mytlum)t,
(3) Descomponar 16x! teta. M SR a
| Ma oy ay mn Dn 38. (a+x}-2ats)(e19) O04
ont ote F 4 ad 1 3. (mena mn) +
a et “By? 96. 4(1+a)—4(1+a)b—1)+(b-
E 3 O yey)

76. 152 © Avo

CASO IV
DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

(E) En les productos notables (89) se vio que &
suma de dos cantidades multiplicadas por su di.
ferencia es igual al cuadrado del mínvndo menos el
de del sustraendo, o seu, (a + b) (a — b) OBS (or bab
&— 8°; luego, recíprocamente, 7
Podemos, pues, enunciar la siguiente:

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA
DE CUADRADOS
Se extrae la cuadrada
ln soma de estas rajeescuadiadas por la
y la del sustraendo.
(1) Tocar 1-08,
La roi cuadrada de 121 avoir codtade de 0 oo, Muli la somo
de estos raíces (1 +0) por la diferencia (1— a) y tendremos:
ATA
(2) Descomponer 16 = 25,
Malate a ee nie
Mile lo somo de ees res (r+ 57) por dunes Un sal y
tendió
Noe = igh x eS Re
(9) racer Aya 0

A œ a N wu
lo ás cuadrada de Zen à yl roi cuado de D es = Tendıemar

EIER *

(5) Factoror 02% — gptm
CET

ten,‘

= EJERCICIO 93
Factorar o descomponer en dos factores:

Lo 15
2 att. 16.

a a4 17

4 9-62 18,

3 mdm, 1

8 16m, 20 2
7. 95, a0. errada,

orscomrosicion racromm 09.193

32 a 22504,

im D
88. Wenn,

bi

A
# aL

1
mí en
™ 25

1 1 0:
OM A were
CASO ESPECIAL

3. Factorar (a+ bc,

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las dife
rencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones
compuestas.

Ast, en este caso, tenemos:

La raiz cuadrada de (a+b)? es {a by.
La raíz cuadrada de € es e.

Multiplico la suma de estas ralees (a+ DP c= (a+b) + dla bb) e)
+b+0larb-o, À

(4+D)+e por la diferencia (a +b)-c
y tengo:

2% Descomponer Ax? — (x4 9)%.
La raíz cuadrada de Ax? es 2x.
La raiz cuadrada de (x + y)* es (eto).
Multiplico la suma de estas rai- ts — {x}
Les 2x 4 (+3) por la diferencia
Ex —(x 43) y tenemos: 7

4 Factorar (a+ x) — (x 42

La raíz cuadrada de (a+ x) es (a+ x).

La vale cuadrada de (x-+2)? es (x +2).
ata) + (x+2)) (at x)—(x +
Slate tx+H@tx—x—2)

FRA R

Multiplico la suma (at x] (x +3!
5 raices (a+ x) +
(<2) por la diferencia
HSID) y tengo:

77. 154 © acens

ID EJERCICIO 94

Descomponer

dos factores y simplificar, si es posible:

1. (ty) 18. (a 25 (aa the (at bP.
ne ee ee
de ee
arg 17. a, 29.
18. 30. (2x+1}—(x+
A a ae
ë Loos
PE Sr
Fo E

CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS II Y IV

(43) Escutia a continuación la descomposición: de expresiones. com-
puestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sits términos

se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perlecios y descomponiendo estos

trinomios (Caso INT) se obtiene una diferencia de cuadrados (Caso IV}.

1, Factorar a 4 24b + DA,
Aqui tenemos que a+ 2ab +0 es un trinomio cuadrado perfecto:

2. Descomponer 44 mi 10% Zum.
Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a? — 2a m
vemos que * es nn trinomio cuadrado perfecto: Inego
ar Tam + ab 2am +) 40%
(factorando el trinomio) = (a —m)*—40*
(factorando ta diferencia de cuadrados) = ke = m + 2104 —m=201 R.

3, Factorar It 24 2x 1
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido
del signo — para que x? y 1 se hagan positives, tendremos:
(2341)
om y
ıdrados) = [Ba +(x — 1)] [92 — (x = 1)]
=ba+x—1a=x +41) R.

abr, y

a? x
(factorando el
(luccorando la diferencia de cı

besconosicton racromiat 0:16

% Descomponer Axt a? + y*—4xy-+ ab — bi
El término 4x7 nos sugiere que es el segundo término de un trinomia
cuadrado perfecto cuyo primer término tiene x? y cuyo tercer término (ie:
ne y? y el término 2ab nos sugiere que es el segundo término de un trino.
mio cuadrado perfecto cuyo primer término tiene a? y cuyo tercer término
tiene D%; pero como —a* y — 0% son negativos, tenemos que introducir este
último trinomio en un paréntesis precedido del signo — para hacerlos pus

sitivos, y tendremos:

AE a+ 3 day}: Bub — 62 = (At dy +) = (a — Bab I)
(factorando los trinomios) = (2x — 9}
(descomp. la diferencia de cuadrados

5. Factorar 490 = Gen + Wah
El término 10ab nos sugiere que es el segundo término de un trié
mio cuadrado perfecto cuyo primer término tiene @ y cuyo tercer término.
tiene 6%, y Gm nos sugiere que es el 2? término de un trinomio cuadrado.
perfecto Cuyo primer término tiene m* y cuyo tercer término tiene nly
luego, tendremos:
a —9n? — Gn + 1000 + 260% ~ mie
(descomponiendo los trinomiosi
(descomp. la diferencia de cuadrados)

+ 10ab + 2509) — (r£ Grn fy
Hab? (m + Bn)?

+50 4 om dite À D mu = BW
> EJERCICIO 95
rar o descomponer en dus factores:
4 BR.
2 Beta? Am dam.
3 Baba,
4 at h25m2—1~2e.
TE 1x1 By.
D. ar. gab bec Dede,
do g4—4a—90e ER mE Bm
By. D 40% dab x
Doe. idad 00% 667.
10. Are mia Dé | nin dex

9x?—14-16et—2tas,

Da yet 122908
Tate ab.

Damos.
ga

12.
lia

(+58) (mt 3] [Ce 450) = (m ih

78. 156 @ arena
CASO Y

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION
Y SUSTRACCION

1. Factorar xt #242494,

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raiz cuadrada de xt
és x% la rate cuadrada de y! es y" y el doble producto de estas raices es
23% luego, este trinomio no es cuadrado perlecto.

Para que sca cuadrado perfecto hay que lograr que el 22 término «3%
se convierta en 2333, lo cual se consigue sumándole xy", pero para que el
trinomio no varie bay que restarle la misma cantidad que se suma,
tendremos:

xb aay gt
+ #7
REED DE aS (tb Baty bys) ye
(factorando el irinomio cuadrado perfecto) = (x+y — xy
(factorando la diferencia de cuadrados) = (x? +524 xy) x? + ÿ#— ky!
(ordenando) = (x? + 2 + yl! = y ryt Re

aye

2. Descomponer dat + Bao + DD.

La raíz cuadrada de dat es 2%; la raíz cuadrada de 90% es 10* y el do
ble producto de estas raices es 2 X 2a x 8b? =124%03 luego, este trinomio
no es cuadrado perfecto porque su 22 término es Bab? y para que sea cun-
drado perfecto debe ser 124%3,

Para que Safb* se convierta en 120? le sumamos 44%0* y para que el
trinomio no varie le restamos 4a! y tendremos:

dat Bab + DD

+ deb — sa

Hat TD DE + DD bat

(fact, el trinomio cuadrado perfecto)
(fact. la diferencia de cuadrados)
(ordenando)

lat + 12003 4 904) — datos
Lat 3b)? — an

= (a? +30? + 2ab) Bat + Bb
Dar + 2ab + 30°) 2% — 2ab +

2ab
bi R.

3, Descomponer at — Wate? + 3004,
La raiz cuadrada de at es a; la de 36b* es 66%. Para que este trinomio
Inera cuadrado perfecto, su 2° término debía ser — 2 X a
y es — 16a*b*; pero — 16a*l* se convierte en — 12a%b* sumándole 4a%0%,

esconpostcion racrmın @ 157

tendvemos: — 16450 + 4424 = — 12a%0%, y para que no varie le restamos
deb, igual que en los casos anteriores y tendremos:

at — 60°08 + a6b¢

sai — desen
62 AG — dr

= (at 120707 + 3664) dupe
lat Gb da?

‘a! ~ 6b? + 2abi( a — 6b? — 2a)

a+ 2ab — Gb a?—2ab— 604, R
4. Factorar 40mt— 151 En,

La raíz cuadrada de 49m* es Im;

la de Bla" es Ont. EI 2 término
debia ser —2X Tm? x Ont=—126mênt y es —151mnt, pero —15Imént ve

en —126m-n sumändole 2imént, pues se viene: — 13m À
=—126mén', y para que no varie le estamos 25mén* y tendremo

19m — 31min! à Sin
ES
Dire! 126mEn SL — 26m

(49m! — 126mén +81
(im? — 2er
Am? — Int 4 Sn (im? — Ink — Sn?)

‘im? 45mm? — mt, Toa? — Grant — Ont) Re

nn

= EJERCICIO 96

Factorar o descomponer en dos factores:

CRU TL Bats slates an 2
mein, Ge ODER 22
ara, er
OS 14. 54100. 24 22545mebmt,
16 daa 44008, 29. 1-26 + édatht,
16 494 TONI Bat. 26,
qbo IE Duran eye 7.
295195, 4984-76394 100y BR. Bla MDI 2927142008
SET 10 4—1082Hf2txt. e

Nm Oman. 20. at

FETE
CASO ESPECIAL

FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS

44) En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en

actores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay su
mas de cuadrados que, sumändoles y reständoles una m lad, pue-
den llevarse al caso anterior y descomponerse,

79. 158 @ arca

11) Fochorar ot + bt,
Lo reiz cuadrado do af os af; le de 4b* es 2b*. Para que esto expresión sea
un ‘inomio cuadiado perfecto hoce lallo que su segundo término sea:
2x a? x2? = 40%, Entonces, igual que en los casos anteriores, a lo
expresión at Abt le sumamos y restomos do'b? y tendremos:

a re

lo! + 4a? + Ab") — Ao!
jo! + 2b — doth

lo? + 26% + 2ablo® + 26 — Zob]
(e+ 2ub ch WEI]? 2ob 421 Ro

m EJERCICIO 97
ictorar 0 descomponer en dos factores:

L xs à amtébi TU
Ed i Aas 3 On.
Er 2 Gite 9 Mesa

caso vi

TRINOMIO DE LA FORMA x + bi + €

AGE 6 mm
es, jp +15

que cumplen las condiciones siguientes:
1. El coeficiente del primer térn
2. El primer término es una leıra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con ex-
ponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la Tetra que aparece en el
19 y 2% términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

+ bx + € son trinomios como

ino es 1.

Gas mue max pie mate Ta

D Et wi

mio se descompone en dos factores

bescomrosteion sacromal 0 159

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo
término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el
signo que resulta de multiplicar el signo del 29 término del trinomio por
el signo del tercer término del trinomio.

3) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se

buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término

del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del
mio. Estos números son los segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distinioy se
scan dos múmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo tér-
ino del trinomio y <uyo producto sea el valor absoluto del tercer término.
del trinomio. EI mayor de estos números es el segundo término del pri.
mer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

Esta vegla práctica, muy sencilla en su aplicación, se aclarará con los

Ejemplos |

(1) Factoror + 5846.

El trinomia ze descompone en dos binomios cuyo primer término esla raiz code
rada de x! 0 sea x:

TN)

En ol ptimor binomio después de x se pone signo + porque el segundo um
no del Winomio 4-5x fiene signo +. En el segundo Binomio, después de x, 1e
escribe el signo que resulta de multiplicar el signo do + 5x por el signo de.
#6 y se tiene que + por + da + o 190:

Peso Lt tick |

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscomos dos números.
que cuya sumo son 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego:

AER R
TA
Tendremos nel? da fxm |

(2) Factoror x

En el primer binomio se pone — porque — 7x tiene signo —
En el segundo binomio se pono — porque muliplicondo el signo de — 7x por
‘ol signo do + 12 se Tene que: — por + da =.

Ahora, coma en los binomios tonomos signos iguoles buscamos dos números
<uya soma sea 7 y cayo producto sea 12. Estos números son 3 y 4, luego:

IRIS

80. a Discomrosicion racrosiaL @ 161
en (9) Factoror e — ¿da + 1000.
(8) Factoror «242415. ci 66041080 [e— fo ]
Tenemos: ze im | "Necesitamos dos números cuya suma soa 66 y cuyo producto seo 1080.

fin el primer binomio se pone + porque + 2x fiene signo +. Descomponiendo 1080, tendremos:
En el Segundo binomio s6 pone — porque multiplicando el signo de +2x por

ano de = 15 vo ene que + por = de = 10012
Shown, como en los binomios enemas signos disintos buscamos dos meros so|2
cuya diferencia sea 2 y cuyo producto soo 15. 2012
Éstos números son 5 y 3. El mayor 5, se escribo en el primer binomio, y 13513 2x2x2= 8 3XIXIXS=105 1054 B= 119, m Mr
45/3 2Xx2x2x3=M 3X3IX5= 45 45+24= 69, mo Wine
AN R sa 2xX3X5=9 2x2x3x3= 36 +3=66, MN,
0) Ber 1
sh thet | Los números qu necestonos son 30 y 3 porque u una es 66 y su produc
En al prime binomio so pone — porque —Sx Ken signo — mecasoiomeno es 18D ya que poro obtener aos nimeos herr enpisodo
Ea Send Unie pon Y pene maipo lo de — 4 pot Jede los factores que obtuvimos en la descomposición de 1080, luego:
dono de = 1 v0 len que — por — do +. E
Sa como en los Binomios enomos signos dtinor se buscan dos nömeros a 1000 & la Vélo 30) Re
ja dierendo sea 5 y cuyo praducio sea 14.
ics meros son 7 9°2. E meyor 7, e eicribo en el primor binomio y se = EJERCICIO 98
tended Factorat o descomponer en
A (x Tile DLR Face de 'p dos factores;
EE 13. y?-dy +3. 31. m-2m-168-
(5) Fodorar ot 130 +40. 16 Teena, 30 pate any
V4 402 fo 5e) & 15 croco 30. miata
Bastei. métis 40. ere,
46) Factorar m? — Wm — 12. IT. m2-12m+ 11. 29. 13014. AL er
mm 12= Im 123 inh Re 18. 30. 30. 415x456. 42. at +42a +482,
ES mam
7) Focoror + Un = 29. . Dez aa |
(7) Fear En : 2 se esta
Be re an) or tape tie Pen):
23. nennen a
(8) Factors 8 = 216, 24 eos =

+ int Île |

Necesitamos dos nömeras suya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216.
eciimente. Para halles, descomponemos en sus
términos I

2162 Ahora, Tomamos con estos factores primos des productos
1082 Por tanteo, variando los factores de cado producto, obtendremos

'ocedimiento anterior es aplicable a la fectoración de trinomios
ie siendo de la forma x? + bx +e difieren algo de los estudiados an-

eng
34 2 les ds néons we be diner dr

LÉ ange A De eds einen ac 6 À
E aa o foe es ee

;

2x2K3=12 2x3X3=18 18-12

18 y 12 son los números que brscomos porque zu diferencia os 6 y sv producto A eae act nese EREN
ecesotiomente es 216 ya que pora obtener esos números homos empleado In des rion orn si en Boo 500
Todor loz factores que obtuvimos en la descomposición de 214, Por tanto: RE PL Tes ni su 5. Tend

(oF OH) Re

+ = heb IB) (121 R

u MR UP Ihe)

= si

81. 1620
(2)

43)

a

15)

16,

17)

Foclorar x 473% — 44

El primer téemino de coda binomio será la raíz cuodiade de xt o seo x,
Aplicando los reglas tendremos:

PAT MS

Fectorar ot! —ab —42.

El primes término de coda factor soré la raíz cuodiado de otb? o som ab:
etbt—ob—42 lob— Mob+ |

Buscomos dos números cuya diferencia seo 1 [que es el coeficiente de ab) y
cuyo producto sea 42, Esos números son 7 y 6. Tendremos

at ab 42= lob —7llnb +61 R

Factoror (Sxl? — 915%) +8.
Llamamos la atención sobre esto ejemplo porque usoremos esta descomposi-
ción en el coso siguiente,
El primer término de cada binomio soré la raíz cuadrada de [Se Po seo Sx:

[Se —95)4+8 (se (Gr )
Dos números cuya sumo [signos iguales en los binomios) es 9 y cuyo producto
es Bon By 1. Tendromos:

(SP Hs 48 = (5 8)Í5 11 Re
Factorar 3 — Sox — 360.

Ei Le Met)

El coeficionie de x en el seguado término es Sa. Buscomos dos contidados
cuya diferencia sea Sa [que es el corficionte de x en el segundo término]
y cuyo produclo sea 34a", Esos cantidades son a y de. Tendremos:

ES 36% = (x = alle dol. R

Fectoror Io + bF— V2la + 6} +20.
re Wr oe Pio me dE PE à
fo“ B).

No+bP12la+51+20 Ilarbl- let) |
Buscomos dos números cuyo suma 68 12 y cuyo producto sea 20.
meros son 10 y 2. Tendremos:

(0+b2=1210+b)+20=I10+6)—10/llo+b1=21

=fo+b-10la + b-A.R

AS

Foctorar 28 4 3x =
Ordenando en orden descendent respocto de x, lenemos:
HC.

Pera eliminar el signo — de — 32 introducimos el Irinomio en un poréntesis
precedido. del signo —:

13-28)

‘iscomrestcion racrona @ 163.

Foctorando 2% — 3x — 28 =(x—7](x +4), poro como al trinomio está prece:
ido de — su descomposición también debe ir precedido de — y tendiono.

7A

Para que desaporezca ol signo — del producto — 1x 7)lx + 41 0 seo, para
convertie en 1 hasta combiorl el sighs o un focior, por ejemplo, a (x 7]

veers
oa M4 P= — alle AL Re

18) Fade Ry Emp

és

1-6 +5) =(6-y

> EJERCICIO 99
Factorat:

25. ea 40

26 petra moe

27. 144501.

29. ication
(at acta

80. a

Faces BL. at arb? 1500
tal PER
CAPES ey li

Waite 20. yy? —192, 34 (ana

1, aan, 28 SIDA, 35. me abem=500l

mitm tnt, PA (cedyi—IBletay 465, DE (Hat ACTA

CASO vit
TRINOMIO DE LA FORMA ax! + bx + €

((48) Som trinomios de esta formas 2° 11x +5
a+ a 5
100 n 2
Tm? = 23m 46

‘© diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que
el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

(jap) PESCOMPOSICION EN FACTORES DE UN TRINOMIO

(1) Foctorar du! = 7x —3,

) DE LA FORMA ax + bx be
Mulipliquemos el tinamio por el coeficiente de x? que os
4 y dejando indicado el producto de 6 por 7x se Hone:

'jemplos |
= a8

Pero 36: = (661° y 617x)= 7166} luego podemos excibie [66]? ~7(6x) —

82. PER

Descomponiendo este rinomio según 0 via en ef caso anterior el tr, sémino

de cade factor será fa raiz cuadrada de (6xF © 200 60 [ee — St I

Dos nimeres cuya diferencia sea 7 y coyo praducto seo 18 son 9 y 2. Ten

remos ID

‘Como ol principio molplcamos el rinomio dado por 6, ahora 1onemos que
ER x (“Nr

iii por 6, pre no ara al Trinomio, y tendremos: ESF

juno de los binomios os divisible por 6, descomponemos & en

Boca y dividiendo (6x — 9] ente 3 y 16x +2] onr 2 30 lends
CETTE) a
GA EEE

zus PERTE
tego: EIA TN R

12) Factorar 2084 7x6.
Mulliplicando el tinomio por 20, tendramos: (20x]* + 7(20x] —120.
Descomponiendo esto trinomio, tenemos: 120x+ 15] (20x — 9)

Para cancelar le multiplicación por 20, tonomos que dividir por 20, pero como
ninguno de loz dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en
5% 4 y dividicado ol factor (20x + 151 ontre 5 y (20% — 8] entre 4 tendremos

120% a

a2]

5x4
Luego DE + Ta 6 (4x4 212, Re

(3) Factorar Ic! = 120-5.
icando por 18: (18a - 13 (180) ~90.
Factarando este trinomie: {180 — 18) [185 +5};

Dividendo por 18, par lo ce, como ol primer binonio Ta 18 es dvs
Bis por 18 bosta did ete factor one 18, lendhomos:

Ba ~ 18) 38045)

=(0—1)(1a 5)
18
Luego Yeo! 10 =S=l0—11(lo+5) k

EJERCICIO 100

1. nz

Y

12 ivi eee)
Bute 1x6 1B Wom} —15, Mre$200°=15,
Bxt—G—5x. 14, Batata, m8.
Bari 16. 127218, 2x2 20x490.
4615020. 18. Jez4100+L
341101002, 17. 20n2-9n-20.
12m?—1m—35, 18. BL.

orscnmmosieion sacro @ 165
CASOS ESPECIALES

1. Factorär Ipxt Las? 12,

Multiplicando por 16: (15x? -11(152) 180.

Descomponiendo este trinomio, el primer término. [1500 (ie
de cada factor será Ja raíz cuadrada de (1óx*P, o sea 15%: /

Dividendo por es TEN)

=Gxt=4) 5x44), R

2 Factorar 192324 xy ~ 20.
Multiplicando por 12: (12:))*41(12xy) —240,
Factorando este trinomio: (2xy-t 16)(12xy~ 13).

(122) + 16)(12x)—15)
as Bay FAB} Re

Dividiendo por 12:

4h, Factorar Gx? Max 104%,
Multiplicando por 6: (6x)? — a{6x) ~ 604%,
Factotando este trinomio: (Gx — 154) (6x +40).

i (6x ~ 15a) (6x 4a)
Dividiendo por 6: ©
liendo por 6: a

Br -Sa)ßr+2a) Ry

4. Factorar 20—ax— gx

Ordenado el trinomio en orden descendente respecto de x: —0s*=y 4
Incroduciéndolo en un paréntesis precedido del signo == — (Ox! aly =
Multipticando por 9: — [(9xj? + 39x) — 180].

Factorando este trinomio: — (9x4 15)(9x 12),

— (Ox + 15)(0x —12)
= eae

lara que desaparezca el signo — de este
pruducro, 0 sea para convertirlo en +, hay

Dividiendo por 9: == Ba t5)Qx—4).

Me cambiar et signo a un faclor, por WERE EN)
plo, a (x=), que se convertirá en (4 .

Y tendremos: Ne

®» EJERCICIO 101

re ARE
à petite HE re
3 tape rio io

À oxides 20

i em. a
dede E

Y. 12-7x—10%% =.

TO

83. 166 © avceana
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

(a+b) = a + Bath + Bab + bt

(59 En los productos notables (90) se vio que LE a gs a Hand be,

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica orde-
nada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que
cumplir. las siguientes condiciones:

4. Tener cuatro términos.

2. Que el primero y el último términos scan cubos perlectos.

3. Que el 2° término sen más o menos el triplo del cuadrado de la
raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último
término,

%. Que el 3er término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer
término por el cuadrado de la raíz cúbica del último,

i todos los términos de la expresión son positivos, la expresió
es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término,
y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión
dada cs el cubo de la diferencia de dichas raices,

da

RAIZ CUBICA DE UN MONOMIO

La tafe cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica
de su cocficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre à.
Así, la raíz. cúbica de satis dab. En efecto:

HALLAR Si UNA EXPRESION DADA ES EL CUBO
DE UN BINOMIO
UI Holler si 838+ 12x? + 6x +1 es ol cubo de un binomio.

“Veamos si cumple las condiciones expuestas antes.
La expresión llene cuatro términos.

Lo roíz cúbica do ax? os 2x,

La fale cúbico de Y es

BL P(1)= 12, segundo término.
BIN = Gr, torcer término.

Comple las condiciones, y como todos aus términos son postivs, la expresión
dodo es el cubo de (2e-+1), o de otro modo, [2x +] es la raíz cúbico
de la oxpresón.

utscomrosicion racroniat @ 167

(2) Hallar si Be? + 54-279" — Sn es ol cubo: de un binomio.
Ordenando la expresión, se ine: Bx! = 36473 + Sucht 2777,
| pétasse
expresión tone wahre términos... 19 ro cábico us ap
AA SES). = 36%, segundo, tino
Bia?) 19 = 54.2, tercer Léa
y como los términos son allenotivamente positives y negatives, la expresiin
¿ido es el cubo de (20? — 37h

FACTORAR UNA EXPRESION QUE ES EL CUBO
DE UN BINOMIO

(1) Factorar 1+ 126 +b dba + 610!
Aplicando al procedimiento anterior vomos que esto er
presión os el cubo de | 1-+ 4a}; luego:

V4 Vat Me? + ot = {1 + af R.
12) Factorar 0? — a 4 108%!" — 21601%,
Aplicado el procedimiento anterior, vemos que esta expresión es el cubo e
Kar = EP}; vege:
ol = 180° + 10807"
M EJERCICIO 102

ictorar por el método ant
ürlenänclolas previamente:

e

(er

si es posible, las expresiones sigulenten,

N 12. BENG HOR
3 1 512060100,

a . Td. izado.
Bates, A DR,

Do SH 1a Galea. 16: Bix +0) +100 120,
lire ax. 17. 216-166 42a ant
hub, 38

ho Omer 10.

0 bed mn.

10 L120 ab Bas, Bh. 3180501 10800" 216240,
11 Ia t-150a% + 60ab#++807. SS
CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

(154) sabemos (04) que: StH geyser y rare
1154) (04) q ns abt bt y mat bab tb
y como: en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divi-

sor por el cociente, tendremos:

abbr Got at A)
a=W bbe Fab pe) @)

84. 168.0 acta

La fórmula (1) nos dice que:
REGLA à
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La suma de sus raíces cübicas. 29 El cuadrado de la primera raiz,
menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
La fórmula (2) nos dice que:
REGLA 2
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
19 La diferencia de sus raíces cúbicas. 29 El cuadrado de la primera
raie, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

FACTORAR UNA SUMA 0 UNA DIFERENCIA
DE CUBOS PERFECTOS

= (1) Foctorae 23 +1.
Ejemplos Le tafe cúbica de x es x la raz cúbico de | a 1.
Según la Regla la

Tabb Mbt a ThE S(t UT

(2) Factorar of ~ 8,
de oF os 0, la de 8 es 2, Sogin lo Regla 2
(a~2){o* + 210142] =(0—2)la?+20+4), R,
13) Faclorar 276% 5%,

La roíz cúbica de 2704 es 30; la do bY os 6% Según le Rogla 1 tendremos:

70° + bY = [da + bAILISaF* — Jo (1%) + (BF) = (90+ 641908 — abt +b), Ra
44) Foctorar Br — 125,

La raíz cúbica de 8x8 as 2x; la de 125 es S. Según la Regle 2 tendremos:

De — 125 = [2x — S){l2x}* + 5121) +59] = (de — 5) de + 10% +25). Ro
(5) Factorar 27m? + 64,

m + 607 =| Sn? + An? Gort — Vent + 1600] R.

- EJERCICIO 103
Descomponer en 2 factores:

Lo Lar. TP 13
q a 80-1 14
a 8 16
as, 10- 16
ad. u Y
ed = 18

25. 14720. 29. a appt a
26. SnS+Gi 0, Be 12
OT. Merle. 3. 36. 8x4, 39.
REC ES

CASOS ESPECIALES

1. Factorar (a+b) +1.
La raíz cúbica de (a+0)* es (ab): la de 1 es 1. Tendremos:
(a+bP + 1=[la+0)=1] [la + DP — (a + DJ) +17]
= a+ D + ia daba 041
Factorar 8 {x y).
La vale cúbica de 8 es 2; la de (xy)! es (+9). Tendremos:
PTA) + =]
BRA a + y+ Be HR 9%),
8. Factorar (HIP
bora Le 28 2 [fs HR ACH IF G+ 2) — 2) 4 (9)
WEHR EHI HR dx tl)
(reduciendo)= (2x = 15447 Re
4 Factorar (ab) (at by
La 0 {a+ D = ab) ~ (a+ B)] fa — YF + (a bla + 6) + (a+ 0]
Lab a b) a? —2ab + 034 a — BF 4-0? + 20 + D)
(reduciendo) = (26) /fa + 6%), R.
=» EJERCICIO 104
Descomponer en dos factores:

Met. 1 atopy »

D 1-(otoy. 15. (arb rtd

rg Fnac Hour
PR re) {x

D Weider. 10. Gen a dun ge

CASO x
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

(156) En el número (98) establecimos y aplicando e] Teorema del Residuo
“ (102), probamos ques
À. at ben aivisible par 0h
11 Wee" es divisible par 446 sh
TT a+ bi cuando n cs par
IV. a0 in minen e lo pot a= hr

Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.

85. ie 2e escomosiion racromı @ 17]

FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS > BIERCICIO. 105:
IMPARES IGUALES Factorar:

SE ae ec A hr sets

(1) Factor men a I; e
4243. Ad stay

Divdiendo entre m-+. (96, 49) los signos del cocan- ps E ee eu

1e son alomativamente y
mn
me
luego mb = {mn mt = mn + nt mae Ro

BOMBE 1 mat 16 119847

EJERCICIO 106
MISCELANEA SOBRE LOS 10 CASOS DE DESCOMPOSICION EN FACTORES
Descomponer en factores:

= mnt min = mn nt

(2) Factor 2422. Settee so Da,
3 ? x oe nbc, | abs boat
Be resin pra AL HH. Divdiendo por x-+2, ten re E = amina O
+ AAA ri “el
nr Pe ES o
+ 5 Gaetan nm. om namen)
M sue fée Es
48. ELA Op. ee
Wego + 32= le 21628 dl Be + 161 Re 40. BO Amon
(oat) Gate. 0.
43) Factorar a> — bb. Bay en Bi. E
Dividiendo por ites 49) los signos del cociente son todos +: E de qi
ET = ct bth + ob? + ob + bt san ie 08. D
hugo of = la bat ob 4 ADS + bt + DML R. Fin Frac ses gees
m2. a bte 96. 36012 N
44) Factorar x? ARE RER SE AS m.“ Fare ie
sesión ‘equivele a x? = 17, Dividend entre x=1, se ie ar ea. bad
ba e da Bolio Det a 454. pares
= CO PTE De 3 arta da
ARPA EOL stot 64%

72420,
abraza,

A8 8 ET

owe Seto hb ata, re
pere ee

ne AIRED aE ET Fes a
FAT ee,

Nora m te Ho

Expresiones que corresponden al caso anterior x4 y? o Xy" on que m AO yz Dad. Dao 12m. mie bee.

ee impor y múliplo do 3, como +, mi Py), yh IE yl bn Tots au, TO 2107.

519298 poden decomponere por método eheriemane experi o como “nn. Taco) ID STI

tuo 6 dievendo de cabos. Generalmente es mir expedi esto Alma MANU Ta IR

HAGA
1m.

Las expresiones de la forma x" — y" en que m es per, como x! ~y', Y y
2 y son divisibles por x + y © x —y, y pueden descomponerse por el md“
todo enlerior, pero mucho més fácil es factorarlas como diferencia de cur
drados,

Hay EP
Baton 21.

1H 1Rab + 814892,
dat.

SENSESSRESSRASSSRBESSRS EASES:

SESESS BRSSSRNERFERESSE:

86. 172 © mors

116. 490*—x*—Dy?-+6xy- 126. atb\+-4a%?—-96.,

ur. re 126. Sa2x-+iy+21by—Tay~Salx + Path,
118. a—64. 127, xt+11x5-390.

nu 190. 7310.

in 120, Alo#b)—Mer ap

1m 190. 729-1259,

181. (ANA
190. d-(a4B3)4 2b.
138. Hey

ao Dba,

1m.

14.

COMBINACION DE CASOS DE FACTORES

(58) DESCOMPOSICION DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA
EN TRES FACTORES

Ej los

Ta, en este coso, tenemos of factor comin 5, luego:
Sat = 5 = Soi 1)
pero el factor fa? —1)=(0+11 10 — 1), luego:
Sell R
donde vemos que S0?—5 está descompuesto en ros factores,
(2) Descomponer en tres factores De? — sky + 270%.
Sacondo el factor contán I
30 — Mty + ay =
pero el factor (x= éxy +97") es un Má
puesto da (x2 — 60y +997} = 12 — 3y Fy luego:
Bd Bey sb Pay =D a Sy Re
(3) Descomponer en tres Bee
pero (xy let yl), lego:
yop À
(4) Descomponer en tros factores 6ox% ++ 2ax— 90a.
Socendo ol factor comin 60:
axe + 120 — 900 = bala? + 2x 15]
poro (Er 1} =Ic+5M—3), luego,
Ga V2ex—90a= oie Hd) 8.
(51 Descomponer en tres factores del — 261° — 9.
Factocando esta expresión: 1x — 260

(1) Descomponer en lies factoros Sa — 5.

Belt — Sey + PF

aye)

RN
(Be + Nick dy —3p À

(6) Descomponer en tres factores Bx +8.
TORA
Bj R.

Lo primero que debo hocewsa es vor si hay algún face

(TV Descomponer en es lee
toros a! Ba a? 8,7

a P nt
Doscomponer en tres Factores
Bode 7

m EJERCICIO 107

Descomponer en tres factores:

aa. 37 ami Tami4 lam.

= zes E
ctw fee à
et E
E
Van rte abla top. 49.
e x 0
a Bienen E |
Sn Ein E
A E E
tine E à
Lee me mal 36, Gax—2bx+Gab—20", 57.
58.
38 5. Betr
EN GO. axd4axiy tar) Dan
A =e
ne Ears à

(159) DEsCOMPOSICION DE UNA EXPRESION ALGEDRAICA
EN CUATRO FACTORES

11) Descomponer en cuatro factores Qe" — 32,
WR — 16)
Deere)

+ AG + A2 R,

(2) Descomponor an cuatro factoros a —b°.

Esta oxprosión puede foclorarse como dilerencio do cuadrados o como dile:
tencia de cubos. Por los dos mélodos oblenemos resultados idénicos

Facioronda como diferencia da cuadrados:
A)
Hacoionde + ye! 41 =ja+bjlo? = ab + bio — b){0? + ob +

87. 174 0 Amen

Faciorando como diferencia de cubos

= la + biio—bilot eb + bY lo* = ab Hi. R
cuodrado perfecto por adición

Io! + ob? + bt so descompone como Irina
y susraceiön).
El revallado oblenido por este mátodo es idéntico al anterior, ya que el orden
de los factores no altera ol producto.
13) Descomponer en cuatro Factores af — 1314-36.
a 1904 36= (el ANA)

10)
eas
¿cada = oa
He. 8.
5) Descomponer en cuatro foctoros 4x9 — 23 4: 32x38.
141320 9)
14 842 — 11

Hat = nal
DDR Nie 28 2 4) Re
(6) Descomponer en cuatro factores x — 254% = 5435.
A 25 x8 Sa le = 28 — 54]
= ab = Mea)
IS

nc 371
[> EJERCICIO 108
Descomponer en cuatro factores:

14 AA, a

15. Bet. 3 .
41924400. 10. Bin. 29. abet byte aye,
UD ME iaa. Dd,
oax, 18. alten. SL atorado.
tft. 19 12, aaa
26-249. 20. e729. 33. grat —25me49.
Gr 1 BA Baba 1200 +00x*-120.
ya. 22 35. tm -+Jam—30m +345 Va-30.
Da CR ee
A, 28. Got. TARA
AA 2. (ads 38 paa.
xt, 20, abel Dax Bat 160,

[> EJERCICIO 109
Descomponer en cinco factores:
ge.

0004 144x,
starre,

Asta

arab.

Descomponer en seis factores:
u ae

12. Aet—75xt—d6x44-1200.

DESCOMPICION vor rvatuacton — @ 175

DESCOMPOSICION DE UN POLINOMIO EN FACTORES

POR EL METODO DE EVALUACION

En la Divisibilidad por x —a (101) hemos demostrado que si un poli:
homio entero y racional en x se anula para x =a, el polinomio es divisible
por x—a.. Aplicaremos ese principio a la descomposición de un polinomio
‘en factores por el Método de Evaluación.

(1) Descomponer por evaluación 28 + 23? — x =2.

Los valores que daremos o x son los factores del término incopondiento 2 que

sen #1, 1, +2 y —2, Veomot si el polinomio se anula pora x= 1, x=—|,

x=2,%= 2 y sie anula pora olguno de estos velores, el polinomio sd

divisible por x manos ese valor.

Aplicando lo diviziér sintético explicada en el número (100) y (101, el. 3),
veromos si el

tendres:
Contents at po daw

+2
Careers cociente °

A am por
divise por Le 0 si

Dividiando x + 23% x —2 ente x=1. el eociente será de 2 grado y sut
<ocficiontos son 1, 3 y 2, luego ol cociente es 4° + 3x +2 y como el eivklendo
es igual al producto del divisor por el caciente, tondremos:

WP DE xD 2 pe Be +2)
Uocorondo at amie) {a Ml RR,
(2) Descomponer por ovolvoción x 3x? — 4412,
Los factores de 12 son 41), 2,3, 4,6, 12).
PRUEDAS

Shits 1 -3
el poling x

luego es

Ei residuo es 6 , luego el polinomio no se ana para x=, y no os die
bie por le 1
= ag
eect eV teat
i
El residuo er 12, luego el polinomio no ve anus para
sible port nt te
1 1 =H 412] 4292
A (61x22 20 |
1 û

1 y no es dvi

88. 116 @

(8)

El residuo es 0 luego el polinomio dado se anula para x=2 y es divi
ble por 1x2)
El cociente de dividir el polinomio dodo x? —Sx¥ = 4x 4-12 entre x —2 será
de 2 grado y sus coeficiontes son 1, —1 y —6, lvogo el cocionto sora
Axé.
Por ton

PA 12= (e 28 = = 6)
Uno el vinomio) = )e—2}(x—3) (x42), Re

Doscomponer por evaluación x4 — 11x? — 18x — 8.

Los factores do 8 son a: (1 24,0)

AA escribir los eoelcientes del polinomio dodo hay que pones cero en el lugor
comespondiente a los términos que fallen. En este coso, ponemos cero on el
lugar correspondiente al término en x® que falla.

PRUEBAS
Pu = 18 4 1
See | st #1 Die

TH a) oe ats
bons ot 1
eee E
E
Se ona pero x=—1, lugo el polinomio dedo cs be por
x-t-1jaxtı.
El cociente de dividir x*— 11x? — 18x —8 entre x-+ 1 será de der, grado y
tts sales on 1, 1,107 6, ego el ccoo pos 28 0x 8
For tonto; x8 = x —8= (eI IM

a

Ahore: vamos a descomponer x — 33 — 10x — 8 por el mismo método,
El valor x=", que no anuló of polinomio dado, no sa prueba porque ng pue-
de anular o este polinomio,

El alor x ==, que voló al polinomio: dado, so prueba newoimente. Ten-
dremos:
RE VS JR
Zi +2 3
er a | y
Se onule para x=—1, lvogo x — x? 10x—8 es divisible por x 1. El co.

ciento ser = 2x —É, luego
2108 = (x +12)

Sestituyendo en 14) esto valor, tenemos:

st = Ma? 1008 = (er Va + Nt 2% = BL
sc el wine) = fet fe + 1) De 4) + 21

Sin + What Axa

Descomponer por evalvación x — xt = 7x? — Tait 22x 424.
Los factoros de 24 son + (1, 2,3, 4, 6,8, 12, 24)

Descamrosician vox rvatvacion — @ 177
PRUEBAS
Coses 1 1 27 7 +2 +2
pee + EE: -7 Su es
Yo =7_ =" F3] vo se ante
1-1 =7 27 +42 424) =1x=-1
whew I 42 +5 +2 al
Sl ecient E A A.
Se anula pora x=—1, luego es divisible por xl. EI cociente sord

A D — 5x8 — De + 24, lagos

aA ATE D DES [et t= E)

Ahora descomponemos xt—2)—Sx?—2x+24, Se prueba nuevomen

=
tent

El cociente 03 #3 5e — 19, luego:

ALI = 24 + 24 = (x 29 — Se —

Susiituyendo esta descomposición on (1), tenemos:

DATA Pa 4 24= [xk 1) (= 2
Ahora descomponemos x
¿ero en el lugar correspondiente 0

Costes 1 9 -5 -"
del polinomio +2 +4 2
+2 ve

1 ù -5 -2

m2 +4 +2

w

Ssh coca

Se anula para x=3, luego x 5x — 12 es di
PH ICH 4, luego:

RN
juyondo esta descomposición an (2), tenemos:

Su
107 de Da +
(El tinomio 2 3x 4-4 no tiene descomposición).

he

pe 3) + 2x +41.

+2

[a8 = 5x

56-12, Se pruebo meramente x=2, poniendo.
que falle. Tendromos:

0 2e anal

x=2

2, luego x — 20° = = 26-424 os divisible por x = À)

12},

12, (2)

x=2

0 se anal

' 9 -5 -2 oer
#3 +9 +12
THEM

lo por x— 3, El cociente os

lee Ile 2) le 3) (2 + 4h Ra

89. 178 © Aston

(5) Descomponer por evaluación 6x + 1941 — 5x3 — 16032 — dr + 48.
os factores de 48: son (1,2, 3, 4, 6,0,12, 16, 24, 40)

robando pore x=1,x==1,1=2,
Probando: para x=—2:
Codes

io 6 +1 5
= =D =M +146
Cortines ven = M
‘el cocoa
Se emula, luego:

— 160

veríamos que el polinomio no se anslo.

x 4 VDM — 5930 — 16008 = dx + 8 = De 2) 1600 Ta 798 — Me +24), (1)
Ahora doscomponemos 6x1 +730 — 73% — Lx 4.24. Probando x ==2, vo-

‘amos que no se onula, Probando.
$ +7

Se emule, luego:
SETI 732 — Ne 24

(x — 31 6x8 4 25 + 2a — BL.

Sustiuyendo esta descomposición en (1):
ne AP DE 160.0 — deh AB = fe 2 Le SES 25042 8). (2)
‘Ahora descomponomos 6x 258-4 2x — 8.

del lármino independiente 8.
Si probamos x

EEN
Se onula, luego:

++
Susituyonde esto descomposición en
65 + 19 — 5999 — 1GD = du 48
econo ot imi

4 veriomos quo no enule a este polinomio. Probando x
6 +25 42 -8

=;

=3 no se prueba, aunque onulé al polinomio anterior, porque 3 no es factor

-4

= (+ 4 a 2),
(2), tenemos:

= Deh 20 — 31 (x + AH x — 2)

Lx 4 243 + AH 21 (2x DR.

(6) Descomponer por evaluación Bat — 479 210% +00.
A escribir los coeficiantes tonomos que poner cero como coeficiente de los

tér
Haciendo a=1, a=
onvla.

La

nos en oF, en a? y en 0, que allo.

2 veríomos que el polinomio no se

DECOMPOSICIÓN vor EVALUACION

m

Probando a=4:
3 0-0 0 - 4
#12 +48 +4 + u
342 +1 +4 —

Se onvlo, luego:

30" — 47at — 210? + 80 = [a ~4}| 30° + 120 o + do? 20), (1)
Para descomponer el cociente,siprobomosa = 4 veremos que no se anule.

Probando a = — 4:

3 +12
=v

3

Sa anula, luego:

+10 +4 = 2 ,
0 =4
10

Both 120t +07 + do — So — 202 la + 4) (ot + oF — 5,

Susituyend en (1):

34701 Mei 4-80

Alla Alia 40551. Ra

IE trinomio Sat + a? — 5 no tiene descomposición)

EJERCICIO 110
Descomponer por evaluación:
tl

ARES.

tar.

P12 M416,

atx 18x49.
4010-28,
Dee,

nn +6.

DST
a4-16a8-10u+24.

m2 Tn In 4190.
ARG 140,

Sat -180"~754?4-460+190.

29876.
set 94x32 164% +60.

+ 3-16 +108 144,

29 Gei+1120400.
A 2527 5220400,
115-30n*-26n*—30n 180.

13xt—SIxF4112x24-180x— 14

Daba 43012.
KH ec.

OH Bert ADN 118108880,
a8 2a} 1808+ 24Ta°- 162-300.
ide 184x144.
ESS 6394 DO ADA
aP—Ba"-Gat4-109a9—B44a189G0—144,
PRE CT STE

90. \LGE! DE LA INDI vv ido. Brahmagupta, del siglo VI, fue alum=

Te us de Ara, ee, yc Ep
ne E rare mndas. Y Bhiskara, dot siglo XI, recoge los conoci
IT i oes a

Bars. Aryabhats, dl siglo Y,
fata Mila Arabia, dl il Y,

camuo N]
MAKINO COMUN. DIVISOR

(gi) FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN de dos o más expresiones al
gebraicas es toda expresión algebraica que está contenida exactamen-

teencada una de las primeras.

Asi, x cs divisor común de 2x y x% Sab es
y Lab.

Una expresión algebraica es prima cuando sólo es div
misma y por la nidad.

Asi, a, b, ab y 2x—1 son expresiones primas.

Dos o más expresiones algebraicas son primas entre sí cuando el úni-
eo divisor común que tienen cs la unidad, como 2x y 9 a+b y a—x.

isor común de 100%?

ible por ella

2) MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más expresiones algebraicas es
la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor
grado que esta contenida exactamenteencada una de ellas.
‘Asi, el mc.d. de 104% y 200% es 100%; el m.c.d. de San, Man? y
aan es Sant,

180

waxıno comun oııson @ 18)

1. M.C.D, DE MONOMIOS

(fea) RELA

Se halla el m.c.d. de los ooeficientes y a continuación de Gte se ex
criben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que ten-
ga en las expresiones dadas.

Ejemplos ]

(1) Hallar el m. e. d. de of? y Sax.
Elm. e. d de los cocficientes es 1. Los tros comunos son oy x. Tomamos
a con su menor exponente: ©? y x con su menor exponente: x) la 6 no se toma
porque no es comin, Elm. cd. ció có R

12) Hallar el m. €. d de 26aPbÍ, ABotbte y dect.

x ne
Detcompoaiondo on focos primes ls cou Oty. = Machine
tenis emo TT ir = east,

El me. d. de los cooficiantos os 73. Les letras comunes son à y b. Tom
fos @ con su menor expanente: 6% y b con su menor exponente: BF € y m 1
se lemon porque no son comunes, Tendremos:

© EJERCICIO 111
Hallar el m. cod. des

1 atx, ax, 8. tee, 183%, Dee.
2 abe, abe 9. 2Beblet, Barbie, s2atbict,
na xp. 10, Toxyhet, Oxy, 120x452
À Gad, 160004. 11. 42amen, S6mintx, Toménty.
D. Bam, 20x42, 12. Thatbe, 150a°7X?, 225002.
© 18mm, amont. 13, datt, at, 2abe, 10abi.
ES 14. BBatxty', Timasyt 9x6)".

IM. M.C.D, DE POLINOMIOS

Al hallar el m.c. d. de dos o más polinomios puede ocurrir que los
jomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no, ca
sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios
dados; en el segundo caso se halla el m. c: d por divisiones sucesivas.

pol

91. 182 @ acciona

(@) mc. 0. ve rOLINOMIOS POR DISCOMPOSICION

EN FACTORES

REGLA
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. >EI

mc. d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente,

11) Hallar el mc. de do ee dab y 2at— 20%.

Foctorando éstas expre- , doT+4ob = 4alo + 6). = Zola + 6)
sone: 7" /" 2a — 2o%b? = 2atlo* — bi]

Los factores comunes son 2,0 y (8:4 b), luegoe

(2) Hallar ol m. € de de EA IÓ y ab ae tA,
PAS IEA
Faclorando: Pr 6= 2042)
PEG EAS [bE
El factor común es (x +2) y se lomo con su menor exponente, Iuogo:
a]

43) Hallar el m, e. dl de 909324923, bats! — Motel — Box? , date + 210% + 150%.

GEHE =)
605s? — art — IBax? = baxo" = 2a — 3) = 23ax%(a~3) 0+)
Sata Mods + 180% = Joti (2o" +70 +5) =Io%xI20-+5) let 11.

Los foctoros comunos son 3, x y (a+ 1), luego:

Teed =alat i), Ro
14) Hallar ol mc de de 8, xf xt al 28 y a+ 2et et
A TNT EU
oa © tM
Bat Dat 2 — 2a A WY = Pale EVP
MORTE)

SCHALE]

EJERCICIO 112
Hallar, por descomposición en factores, el m. ed. des

298 2ab, dat-dch. OS
e 10 what at Baba be

arbi, alan 11. mst, Semen

abt, esa. ranean

er tee
Dee Done Tk Beil GORE,

Mg Ve AS tab,

Gañ—1a, 09-30, 16. 36.8800, Orr.

maxıno convie ouvrson — @ 183

Betty, dax*—ay,
usa D Bab, abe Dati.
actad-2be—2bd, 2e%+ded+2d.
um atm—A5a, Gants 4 Marx 00x.
SA, GE
Bxb—Bx, Beide.

ead, aldo, ea
20-24, Sad, tA,
SIDR, REGS, xt eta
aaa, ara.
B42, DAB, BO
‘xt—2ax*—Bax, ax*—ax—Uo, ox? —10ats,
Yant-1Gent+ 2a, Dent Ban, Dan Adel,
4a*48a—19, 2a*—Ga+4, Ga*4190—24.
fat, BD, de 4ab+ D.
2x8, Kr, 10 9x4-20x.
ate, Pb Te, ata.

BEAT, 20-08, RD.
Sax, 4280, 241000
52.200, X0ax"—500, 504-608 28s
(ap, 2
ax —DBax, OS Tate, at 15 Sax
da?—60, a'—4a, a2b—2ab, o®—a~2.
Sx? PM, Oe, dara (9-2,
al, Adal, artos atra,
BLA, msn Em, meen, mm,
a dam), alba, wa, 084040,
Its, 124 Das 00, Is Me
CH AI, ay ay, Py
Dam Ha 2m, Ban m, Ga Bam-Amd, 160% Tam 40m.
12ax—Gay+240x—12bp, "Bat 2409, 9a?+9ab—180%, 190°+24ab.
5at+Gax-bSay-+axy, 150 150x"4150%)—15x%), 20a" 20ay*+ 2004x209",
Saar,

ax, BOI

M.C.D. DE DOS POLINOMIOS POR DIVISIONES SUCESIVAS

janao se quiere hallar el m. c.d. de dos polinomios que no pueden

descomponerse en factores fácilmente, se emplea el método de divisiones
wesivas, de acuerdo con la siguiente:

REGLA

Se ordenan ambos polinomios con relación a una misma letra y se die
vide el polinomio de mayor grado entre el de grado menor, Si
del mismo grado, cualquiera puede tomarse como dividendo.

92. 184@ mem

sión es exacta, el divisor es el m. .d.; si no es exacta, se divide el divisor
por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente has-
ta llegar a una división exacta, El último divisor es el m.c.d. buscado.

Todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término
det residuo sea de grado inferior al primer término del divisor,

Hallar por diviiones sucesivos el m. €. d, do Téx + 36%" — 12x — 18 y Be 23.

be 2 160436812918 [BE 23
“Ambos polinamios estén ordono- 161 kde? + de #5

“dos con relación e x. Dividimos
fl primero, que es do torcer gro
do entre el segundo que ex de
segundo grado:

Aquí detenemos la división porque el primer término dol residuo, 4x, es de grado
inferior al primer término del divisor Ar’,

tas | Ara

món NT

“Ahora dividimos el divisor Art 23 ente et,

Fesiduo Ax— 3: SR A 3
4043

Como esta división es exacto, el divisor 4x — 3 es el m. 6. d. buscado, R.

REGLAS ESPECIALES
En la práctica de este método hay que tener muy en cuenta las sie
guientes reglas:

4) Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un fac-
tor que no divida al otro polinomio, Ese factor, por no ser Factor común
de ambos polinomios, no forma parte del m. €. d.

2) El residuo de cualquier división se puede divi
que no divida a los dos polinomios dados.

lr por un factor

3) Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede cam-
biarse el signo a todos los términos de dicho residuo.

4) Si el primer término del dividendo o el primer término de algún
residuo no es divisible por el primer término del divisor, se multiplica»
todos los términos del dividendo o del residuo por la cantidad necesaria
para hacerlo divisible.

Maximo comun avi @ 185

por divsiones suce
12? — 26 20e = 12 y 2

Dividiendo el primer polinomio por 2 y el segundo por x quedo:
68 = 132 10-6 y 2 x 8.

Dividiendor 68-1324 102-6 Rd
— és 204 9x

10 + 199 6
WO? — 515

Fe]
Dividiendo el residuo Idx = 21 entro 7 queda 2x—3.

dm. ed. de

Dee 3
Be

Ahora dividimos el divisor 25 x = 3 ento

ol residuo Zr a oe

= 2a

Como asta división os exacta, el divisor 2¢—3es al m.c.d. R

10)

iones. sucesivos, el mo e de de IDEAS y

Como 39 no es divisible entre 2x%, mulplicamos el primer polinomio: por 2
pora hacerlo divisible y quedarás

2684 10x=8 y ROA
= + 18 | 27%
HE dr
ee
= $x? no os divisible por 2. Canibiondo el signo al resid tenemos
5% 22x +8 y muliplicando ese recidvo por 2, paro que su primer

z00 die por 2 queda 100 — Ade 16. (Ambas operaciones equvaen
6 mulipficr el eso por — 2. Eto oxpreión In dividimos entro 287 de

Ws? ~ Abe $18 | 2794
— 1047 +35x+20 5
—2+%

Combiando el signo ol residuo: 9x— 36; dividiendo por 9: x~4. (Ambar
operaciones equivalen o dividir por —9).

DÉ=Ta A

PA A O ER 4 =
ri
Como esta división er

93. 186 @ aucrm

(3) Hallar, por divisiones sucesivas, el m. €. d. de Gx! — at HB x y
Bet bet D — 2 + 3x,
¡Cuando los polinomios dados tienen un mismo lector común, debe sacarse esto
fader can gin ia in ho ch woe disent Sa ol a vee d
de las expresiones que quedan después de sacar al factor común y este m. cd.
multiplicade por el factor comin seró el m. cd, de las expresiones dados.
“Asi, on este coso, ambos polinomios tienen ol factor comén x. Sacando exte
factor en codo polinomio, queda;

bet Bu BE y xt — GA NE 2,

Didier Gxt = aa BE ez [aro IOP 213
Mer 2

“Ahora dividimos el dive

sor entre el residuo, pero Pa — MOT Ox? de +9 (DT ARA — 4

‘como dt no es divisible —9yt + 123
or 938 hoy que meli =
or el divisor por 3 y ten
demos:

da
Eee

A HE GES 2
Fo por 3 y tendremos. er

Dividiendo el residue por —19 queda 30 +1.
EHI | BE
E:
Ahora dividimos el divisor entre el

à
5 = a
os > ne EU 21

14 Les am € dd la expresiones quo quedaron después de scar of
feces comin x Eon, hoy que maipo Bact Y por lim € dde
le expreiones dador se

Fed Seat R

nes sucesivas, el m. c.d. des

fe EJERCICIO 113
Hallar, por dis
1 Mettüchl y 20.
2. Gat-2a-20 y Ya—a'—Ga.
3. batear y della,
À Det Rte y OE,
5. Bat Gate Hate —Sex y Dat dala Dart,
6
7
8
y,

Wari-daxs42axt-Gaxtila y” DD 16.
Oo ON y, Gxt Ast OO
ee Moe ies
| tdt m3 y Bon? Gent Bm? 10 mm,

OEA 27 [HEHE

maxi couv over © 187

10. GaF—Gat41Ga*—2e"+6a y Ta=1iat- 445100.
1. Hart Tiaxs1dar— 30: y Lar? 400x"— Das 508.
12 Brit Beet as ida? y 1ÓXI Lar arth
13. Be + Ibor i3ate—d0 y 10x34 2larthdar
14. BatbHeibihdabt y 1200180902 120%" Gabe,

15, Hain’ 88 RL y Da 120 Lat Gant,
16. Borat y at—adtat et,

17. Gax!—tas*4Gaxt—1Oext4a y Hart ars i8ax"448ax—240,

MC. D. DE TRES O MAS POLINOMIOS POR
DIVISIONES SUCESIVAS

En este caso, igual que en Aritmética, hallamos el m. c. d. de dos de
los polinomios dados; luego el m. c.d. de otro de los polinomios dados y
el m.c.d. hallado anteriormente, y ast sucesivamente. El último m.c.d
es el m. c.d. de las expresiones dadas.

Hella, por divisiones sucesivas, ol m. ed, de 2x2 — 1122 + 101
+8, Pal = 8 4 y Go ch Tox do.

D NÉ Ore a trend
poa E Né Beh A
née Tee
D xt Ox 2

Diino al resido por —6 quedo
2x —3x~2. Dividiendo el divisor por
esta oxprosión: 2

PERA a

Elm. e, d. de los dos primeras expresionos es 2x? — 3x—2, Ahara hallamos ol m. €.
dl del tercer polinomio dado Gax? + Tax + 4a y de este m. ed.

> GEHN 4 292
Dividido Gar? + Mai 4 da one a que, su it à là
THE Tendremos. A at ‘

206-410
DE [aus
“RE 0-2

Dividiondo el residuo por 10 queda 2x1: HN

Act?
Elm. cd. de las tros oxpresiones dadas és 2x +1. R,

æ EJERCICIO 114

Halla, por divisiones sucesivas, el md
Det Geddy Be
3, Bethy Big.
ne, By Beer.
Ea tiza atte eae tact y dab teach tet
e de,

a.

si

94. CAPITULO xu

168) COMUN MULTIPLO de dos o más expresiones algebraicas es toda ex-
— presión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas.

Así, Bab? es común múltiplo de 242 y 4a%b porque Sao es divisible
exactamente por 2a? y por 4a'b; 3x?—9x-+-6 es común múltiplo de x —2 y
de x°— 3x +2 porque 8x°— dx + 6 es divisible exactamente por x —2 y por
EN

MINIMO COMUN MULTIPLO

(169) MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más expresiones algebraicas
es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor
grado que cs divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Así, el m.c.m. de da y Ga? es 120°; el m.c.m. de 23%, 6x7 y Dx! es 18%.
La 1coría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y

L_M.C.M, DE MONOMIOS
(70) arca
— Se halla el m. €. m. de los coeficientes y a continuación de éste se es
exiben todas las letras distintas, scan o no comunes, dando a cada letra el
mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.
188

lo comun Mutrirto @ 189,

(1) Hallo el mm de ax y dx
Tomemos © can so moyor expenento 03 y con 1 mo
exponente x% y tondremos: m. cm. = alt. R, ve

(2) Hallar el m. €. m. de Babe y 12006% . Sal's = obi
El m. €. m do dos cosiietes cs 293, A continuación exrbimos @ con 34
‘mayor exponente a, b con su mayor exponente by €, veges

Worx
(2) Hallar el mc m de > om
100’, Bots? y 2abtmt, 2 Ame

PI Some = Ita, À.
Eb EJERCICIO 115
Hallar el m. com, de:

1 14, ana, ay, ary,
2 Th dab, cae oe

a. 18. Ant! 0, de,

4 17. aos 12a6%R%, 1809085

5 30. Ome Amos, 20m

& 19 ade,

7 EN , Bine, om
asa Ti. abt, bc e, be.
dis hed, se. 22. D, Beja daten, 1908,

10, Baie AY Get 20. Gate Da, day, Ade

11 Grant On 12min. 16 Anz, 10m, 200 mnt.
ia 2 Plus, 6057 Ay, oOe' yA
le 26. Bat, Bab, 1008, 120%D%, 160260.

I MGM. DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

(OL
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos, El
am, €. m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con
mor exponent.

(1) Hollor el mc m. de 6 ; 3,
Doscomponiendo:
= 3x1)

E
(2) Holor ol m. m. de Vet , 76-20,

Descomponiendo: Vda? = 270?
Ta 2 = Tir)

Nice m 27a —3) = RR:

95. 190 @ remar

(3) Hallar el m. cm. de 15%, 10454 5x 450.
Como 157% esd contenido en AS, proscindimos de 15%.
Descomporiendo, NE 5

tot ina 46 ét 20 D =23le IP
A Flo N= Mob IFOAM. R
(5) Hoar ame mde 2th, 1097, 28 +20 m Ae, ut — 200,
era
De
242 be Zul + IA)
Bon nee = eier)

= EJERCICIO 116
Hand alcaide

13. 20%, Gab, Fat-Gab,

1
14 9%, al, Sat Se

3 ie DE Fa Fiera

4 16 10, 60 Inn

5, Gath, Sa%b*4 Gabe. Xi Ax, A, y).

©. txt, Gxttdey. 13. 24 6meHlöm, Sm-24-

7. Im, Gmnë lin. 19, 20°68, Saxt3o, 6x—18.

Pe nt
2. Gab, #7 a
Ea. Ge Settee, Vide”

Dry), Pt.

90. an, 2m, MN, y
2G, Be, xx, Beas LAON IO
37. xh RAT, Ada, GP,

28 dey, D, oP 2ab +04, ax—at bab,
20. 20, Ab, Gab, 12et—2ab+12b4, 5ab9—Sh
30. 28%, SERRE, EL PAT, Ltd

Wi MGM, DE POLINOMIOS

(172) La vegta es la misma del caso anterior.
r (1) Hallar om. m. de Ait y ay ote = 6b
Descomponiendo:
dex Bary + oy? = dali? = Dey +
ir dy = a = Yi
mem = Pay

Pa yr
a]
abi ER

na conun muerto 0 191

(2) Hallar el. com. da x8-b 2b, y — db, x28: bay 4 ABS,
+ 2 = Lx 2b)
ty nyt = abe] (e+ 2b11x — 28)
Abi?

By Ab + Ab? = ALE Ab AB) = pad 26)
mem R
(3) Hallar of mem do m! = mm, mat, mi 0,
= mn = mm — >)
miralo
ne =a = {m Enlim—n)
PEREA
(4) Hallar et m.c.m. de (ef, 0-63, (a +BY, of +b.
El olomao debe notar que no es la mismo cuadrado de uno diferencia que
diferencia de cuadrados ni es lo mismo cuodrado de una sumo que sumo dy
cuadrados, En efecto:
(br =(o—6F
ot b= [et bllo—b)
fot oF
ote

(5) Hallar el mem. de (2 4 1P, 2841, x8 = 22-3,

El alumno debo notar que no es lo mismo suma de cubos que cubo de wine
somo. En electo:
DEEE
HIST
PEN]
ERS

mem (CE IPG OR ET RE

(6) Hallar olm.cim. de pa y, 2898, ya à Box + 80%.
El olomo debo notar que no es lo mismo cubo do una diferencia: que dif:
rena de oboe

(eye

deny
bey)? boy + y)
ama? + ay y ad my) 4 yl 2) = be — y + y)
Pr = yl y)
ete 30 = tn del
eM a et Pl PAR
EM Hallar em 6. de 150 + 206 4 Se, 28 DA, DCE +,
VS + 20x? + 5x = 5x3 + An + 1) = Sef + GY
Beh Be pe = = Safe 1) 4 (1) = be — 109 4 19
[xt De = Ve
IP 6x of 1) = DI JA
DEE TU RT 11
= SPATE OT Re

Dah + VO + Be

96. 192 @ acosa

(8) Heller el mem. de 20-86, Bet Bet Be, 2x 10M 41208
b= 26x +24,

= Bu = 28 = lc x= 2)
ag 18 dea + x 6) = Behl + — 21
BEE NO + 12 = D + Se +6]
20 28 = 6 Ax 4)

o lo que es igual.
ow racer ea ESTES

> EJERCICIO 117
Hallar el m. cm. des

1. 3x4, 68-6. 19.

& 5x10, 1047-40. 13,

3. Hy, Se, na

4 xt, x69, 36.

D. da 0%, 4e—12ab EN 16

fh ad, zada, a7. SUN 126898),

T Markle, DEB 18. SH), 1067495).

Bir 8420-15, 19. Hamm, sein.

Di eo 20. af msn).

10. Gel il. 2, 9 Ei et

11 Sy GP Ban a, 2
2 45) xx

34 Gabp 12046, Bott Vets, A+ 122

e410, Toes 15, ar
ax day, Kay, xy.
PTE NET
22-25, 31-195, 26410.

Bab 30%, added. albo.
Rattan: dant, Gv

2, IS) TARA

as Ir PEN
Pee, Da, Sah OHA.
Ot, dde, 19120.

Lmn Bm.

IR Was! 1648, 16-84,

30 Ligh CaP, Lah

40. Ent d, 200413049, 1OnS= Lin.

41 Ga=pab—2%, 1502429004815, 10021 Bab—h

1 Da, 150 bay HD? Pur) PE

49. GEN +Ob%, dadas, 10,

ME EA, alga, DANS,

30 Ia, x69, abet, a,

46 1-0, Ima, 1-00, 12a,

AT abad, ata, alab—b2), Ya-baby.
HA, OEM, MED,

FRACCIONES ALGEBRAICAS. REDUCCION DE FRACCIONES

(m3) FRACCION ALGEBRAICA es el cociente indicado de dos expresiones

algebraicas.

Asi, © es una fracción algebraica porque cs el cociente indicado de la
expresión a (dividendo) entre la expresión b (divisor).

El dividendo a se llama numerador de la fracción algebraica, y el di
Vitor di denomlanden, JA numerador y el decominador som loser
de la fracción.

Expresión algebraica entera cs la que no tiene denominador literal.
1

Ash a xy, mn, b son expresiones enteras.

Una expresión entera puede considerarse como una fracción de deno-

minador 1.

Asi,

era y parte

son expresiones mixtas.

193

97. 1990 ascos

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS FRACCIONES
Los siguientes principios demostrados en Aritmética se aplican igual-

mente a las fracciones algebraicas y son de capital importa

1) Si el numerador de una fracción algebraica se multiplica o divide
por una cantidad, la fracción queda multiplicada en el primer caso y divi-
dida en el segundo por dicha cantidad.

3) Si el denominador de una fracción algebraica se multiplica o di-
vide por una cantidad, la fracción queda dividida en el primer caso y mul-
tiplicada en el segundo por cantidad.

3) Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se
multiplican o dividen por una misma cantidad, la fracción no se altera.

[WE DE LA FRACCION Y DE SUS TERMINOS

En una fracción algebraica hay que considerar tres signos: El signo
de la fracción, el signa del numerador y el signo del denominador.

El signo de la Fracción es el signo + 0 — escrito delante de la raya de
la fracción. Cuando delante de la raya no hay ningún signo, se sobren-
tiende que el signo de la fracción es +.

Asi, en la fracción <> el siguo de la fracción es
sador es + y el signo del denominados +.

En la tracción ~—" el signo de la fracción es —, el signo del nume-
rador — y el signo del denominador +.

Gr camsios QUE PUEDEN HACERSE EN LOS SIGNOS DE UNA
FRACCION SIN QUE LA FRACCION SE ALTERE
Designando por m el cociente de divi-
dir a entre 6 se tendrá según la Ley de los
Signos de la division; 4

+ el signo det nume-

Y por tanto, — ~

Cambiando el signo a los dos miembros
de estas dos últimas igualdades, tenemos: 7

Como (1), (2), (3) y (4) tienen el segundo

Lo anterior nos dice que:
1) Si se cambia el signo del numerador y el signo del denominador
de una fracción, la fracción no se altera.

reacciones cameos oe senos © 195

2) Si se cambia el signo del numerador y el signo de la fracción, la
fracción no se altera.

3) Si se cambia el signo del denominador y el signo de la fracción,
la fracción no se altera.
in resumen: Se pueden cambiar dos de los tres signos que hay que
considerar en una tracción, sin que ésta se altere.

(180) cAMBIO DE SIGNOS CUANDO LOS TERMINOS
— DE LA FRACCIÓN SON POLINOMIOS

Cuando el numerador o denominador de la fracción es un polinomio,
para cambiar el signo al numerador o al denominador hay que cambiar el
signo a cada uno de los términos del polinomio,

Asi, si en la fracción "= cambiamos el

x=

dienominador la fracción no vari
que cam

no al numerador y al

pero para cambiar el signo a mn hay,
jar el signo de m y de —n y quedará — mh n= n—m, y para camı
blar el signo a x—y hay que cambiar el signo de x y de —y y quedará
Ox hy=)—x y tendremos:

5 Cambiamos el signo del

272
numerador y de la fracción, ésta no se altera y
iremos: — E »

x

Si en la fracción

Del propio modo, si en la fracei
abiamos el signo al denominador y

Iracción, ésta no varia y tendremos: 7

(ln la práctica, el paso intermedio se suprime).

_ „De acuerdo con lo anterior, la fracción
puede escribirse de los cuatro modos

Er
re

guientes!

(181) CAMBIO DE SIGNOS CUANDO EL MUMERADOR
O DENOMINADOR SON PRODUCTOS INDICADOS
Cuando uno o ambos términos de una fracción son productos indic
dos, se pueden hacer los siguientes cambios de signos, de acuerdo con las
seglas anteriores, sin que la fracción se altere:
1) Se puede camı
luv el signo de la trace

el siguo u un número par de factores sin cam.

98. 196 © ancre

Así, dada la fracción = podemos escribir:

En los cuatro primeros ejemplos cambiamos el signo a dos Factores;
en el último, a cuatro factores, número par en todos los casos, y el signo
de la fracción no se ha cambiado,

2) Se puede cambiar el signo a un número impar de factores cant
biando el sign de la fracción.

Así, dada la fr m podemon ein:

ab 16
7 >
ab db

>, ale
Eu los dos primeros ejemplos cambiamos el signo a un factor; en los

dos últimos ejemplos cambiamos el signo a tres factores, número impar en

todos los casos, y en todos los casos cambiamos el signo de la fracción,

Dar donne MS
D A

‘Como estos factores son binomios, para cambiar el signo de cualquie-
ra de ellos hay que cambiar el signo a sus dos términos.
Tendremos:
na) _ 0-03 aa) (1-20)
@-DE=9 ~ Bm EHEN Re
@-D@-2) __ EN a)
ee ~~ EDEN Ede) (=) 2)
Estos principios son de suma importancia para simplificar fracciones
y efectuar operaciones con ellas.

seuneacion ve rracciones © 197

REDUCCION DE FRACCIONES

(MB) neoucin UNA FRACCION ALGEBRAICA es cambiar su forma sin
cambiar su valor.

L SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

SIMPLIFICAR UNA FRACCION ALGEBRAICA es convertirla en una
fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción
es irreducible y entonces la fracción está reducida a su más simple expres
sión o a su mínima expresión.

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS
TERMINOS SEAN MONOMIOS

REGLA
Se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes
hasta que scan primos entre si.

Ejemplos | (9) Sir en
R

EE
cola Soe
Hamas dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; 6° y at entro où y obtuvimos

los cociantes Y y ay 1? y b* entre b* y obtuyimos los cocientes D? y 1. Como.
28% y 3am no tienen ningún Hector comin, esta frecién que renlla er

edle
(2) Simplificor
tags à
tap ae ®
Dividimos 9 y 36 entre 4 y 4 anto 0,9% o y one A.

Obsérvese que cuando al simplificar desaparecen todas los factores del nu-
marcdor, queda on el numerador 1, que no puedo suprimirso. Si desapı

odos los factores del denominador, queda en éste 1, que puede suprimir.
El resultado es una expresión entera.

= EJERCICIO 118
mplificar o reducir a su más simple expr
at 2a Er ee. 0

aw Lar aye ma E My

99. 198 @ acciona

Em 21mmxe E sais
7 ne : 16
ETS Fe re or
maya sara aa Istmo
PUE CE ee uen
ES Bate WS Jaime Fiano
17 roy Zestoa Bat
7 16 sa
© Ga nn Gebe Tona

@ sueuncacion ve maccionss cures
TERMINOS SEAN POLINOMIOS
REGLA
Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se supri
men los factores comunes al numerador y denominador. 1

(1) Smplico Zn:

Factorando el denominador, so tiene:
2

40° — 4ob Aula = bi
Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y 0? y o entre a.

ap
(2) Simplicor a
Een
Fectorando:
ete ae ee
ES HLD— 57)
sear SEES
13) Sinplticor RTE,
tes +
ak E
847 Mar] dia?
rat CES +3
22
(5) implicar E
o zn
250 der) _ late u à

20-1

AP + ba? = 109 Zolo* F405) Zalo + Sa = 1)

dy t3-¥
186 + 158 — 63x"
Py 2 RYAN) et I 1-1
E E TI E)

(6) Simplilicor

(2) Simplificar AAA,

PAE
ae 54 «
Fe TE ;
site Ne 203)
ya E a
Pilar a Mer
_ |= Wot +20-3) lat iHlo~Mle+3}to—1)
e204 Mor +403) fo Pote +11
eroticas HSE 3
rer rer
Descomponiendo por evolución eines
A ee
PA ME
EJERCICIO 119
cat o reducir a su más simple expresión:
ab |
Lar TETE Aaa TUE
Ser à 1 aber
RF Hay ES
PO sys miss
3 - 10, 11
Garou S25 mund
ws Bor
4 u 18.
x Goby
1002026 (mp.
= 30 2
ern # Ne men
mi 6450-6 ay, ona?
© Fara eg Be
Site aa EE
a : M aa ST

100. 12501
e PRET bs 25-200 tant
TON enim nr
AS | an? -an—30a" TA
mn. gg, EHEM gg, BBB?
een ma Hoe?
Sn 4% 160% 180%. ment dmen—10
"BAR 2086? —24ab™ dart món? " a
Per ay Pets, og, Py AAA
{a+b} re" aber
(ott) (a) gg, Mea oy Ee
ra ST Pay
Sata Y MANR
PE Ree eH
re Wa*{a"}-b4) z 48. Ban—4a—6bn+8b 6%. (et da + Md 40+1)
Gat—Gatb+6atb" En 7 (ata—6h2 5012)
a(sa—Bab) sts? in. GAIN)
x(Ga*—Gab) [rare
ON op, Brea ay(nt-tn—30) on
Faerie Genta ERT
CP: Es ee, INE
ETS Eimer PAR
EN qa Smdamtain-dan gg BA PN
AO AA FRET)
mintmPnt inn à Gmb A
CESR DATE CR
es Pame
iaa
an __ Ders

Bee

eons’ A
ye Ejemplos | (1) implica e
am-125

amuriencron ne macciours © 20]

3224195420 50 dite (en) simpuirtcacion DE FRACCIONES. CASO EN QUE HAY
He Para QUE CAMBIAR EL SIGNO A UNO O MAS FACTORES
dat 1ñat-4

are

2a-2_2lo-bl__2la-b)
Bw No ob 3
Al descomponer vemos que no hoy simplificación porque ol lector (ab) del
‘rumerador cs dísinto del octor (ba) del denominados, poro combiundo
el signo a (b—a) se convierto on [ob y este lector se cancela con el
(0-6) del numerador, paro como le hemos combiada ol signo a un foco
(nimero impor) hay que cambiar el signo de la facción, pora que ésto po
varie y por eso ponemos — delente de Io facción
ot 90

ar

ar MO al lx #31

Rupert [eV World you

Le combiamos el signo al factor [3 ~ } canvkiändolo on (k — 3 que 2e can
cela con of (x3) del numerador, y también le cambiemos el signa al factor
Is) que so conviene en = x. Como le hemos cambiado el sigh 0
doc faiores[nómero por) el signo de la fracción no se cambio.
Si lo cambiamos of signo solamente a [3] hay que cambiarle el signo 0
la roten, y tendremos;

O OTE)
Bey RA
Ambas soluciones son legítimos.

Descomponiendo:

i

ae of} 31

EE D
TA —

2e +03

Sinon SEL,

2e +a=3 (2a+3llo— il (o+3Mo—=1) dao

t= N-alitate) e-Wtore} bose
ARA

on weet

Acta x20 le 2 en

ER RAZ

Aqui le combiomos el signo al factor [2x] y a la fracción.
También, como la descomposición del tinomio evadrado perfecto x? — du +4

puedo oscribine (x — 2 o 2 — x]%, usando esto úlima forma, tendramos:
Pit (2
det RRR)

101. 202 © mou
® EJERCICIO 120

min axa Ga
5 me Bieter
see ot
Hee eg
aye z 3
Gm ee
Des OY
Sie a: a
pet Betty dey op, Benton
Vu ern Eee)
40-2 (ob yg, Ce
ton 1 ar =F
aed er aq, SEEN
5y—10% 1 9Ox4y*— 10"
Imma, Gabin gp, FED
e FR)

188) SIMPLIFICACION DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS
NO PUEDEN FACTORARSE FACILMENTE

REGLA
Hillese el m. c.d. del numerador y denominador por divisiones suce-
vas y dividanse mumerador y denominador por su m. c.d.

Ejemplo | spines terre,
jempl Sinn CREA SO te
TE de aan tiny y ds rar lll ous
a E me te
Ahora dividimos los dos términos de la fracción por su m.
fie

2H O +20 — 5x
PRE

Swrurieacion as pracetones — 9.203
B EJERCICIO 121

Simplificar las fracciones siguientes hallando el m.c.d. de los dos
términos:

ta 7 te
AS LA

y CABO 9, Pam.
AS Bacimtnema pa

5, Qu axt-axt-2uxhda y. HBat-dat-202 10046
E] BRAS °

4 re jo, StrlOxte sitar hd
TOPS a AA

y AAN yy, Bn ant 4 mean
AAA ET

PR 19. ae Da ee
Eee rer 2a Sat +100°+ 40° 100 416

HW, REDUCIR UNA FRACCION A TERMINOS MAYORES

189) Se trata de convertir una fracción en otra fracción equivalente de nus
~~" merador o denominador dado, siendo el nuevo numerador o denomi-
nador múltiplo del numerador o denominador de la fracción data.

(1 ae E ti oi de
e

E
fura, ue 20 se coving en Ss, un mile pos dt ran = do
lego pora que la fracción no varie hay que mulipicar el denominador por
da: 35 X da = Fob, luego

20 _ ta?

3 Ge
La freccién obtenida os equivalente a la fracción dada porque uno fracción
no varía si sus dos téxminos so muliplicon por uno misma cantidad.

R.

(2) Convenir À en frciän equivalent de denominador 200

Mora que dy se conviata en 206371 hay que mulpicaro por 200% 2-4 = Say,
luego para que la lación no vai. hoy” que muliplicar el numerader por 2
SR SCH = 230), luego.

2
ar" or

102. xa

lara que x3 se convierto en x?—x—6 hay que molipliearlo por
LÉ=x—6)=1x—3)= 1042, luego el numerador hoy que muliplicarlo por
X£2, y tendromos:

Lan 8
HT Fre os 6

m EJERCICIO 122

Completar:
Pe on ag a FE a

MI. REDUCIR UNA FRACCION A EXPRESION
ENTERA O MIXTA

190) Como una fracción representa la división indicada del numerador en-
tre el denominador, para reducir una fracción a expresión entera o
mixta aplicamos la siguien

REGLA
Se divide el numerador entre el denominador.
Si la división es exacta, la fracción equivale a una expresión entera.
Si la división no es exacta, se continúa hasta que el primer término
del residuo no sea divisible por el primer término del

REDUCCION A roma mixra @ 205,

al cociente una fracción cuyo numerador es el residuo y cuyo denominador
es el divisor.

42) Reducir a expresión mixto +,
Dividiondo of numerador por of denominador:
Bot 12a? = 4 | 3
Br gr
12-4

Erz

Cambiando al signo al numerador (a cada uno de sus términos) ya la frac:
Gén, tendremos:

= EJERCICIO 123
Reducir a expresión entera o mixta:
Gi, Y 2, abba

1 >
2a oy x Ta

103. 2068 ascos

MEE ya Sob

P eos, yo BH en ee

ee nn
1490 Laa bm Bt
a + 1 mern

IV. REDUCIR UNA EXPRESION MIXTA
A FRACCIONAR
© inador; prodi
Se multiplica la parte entera por el denominador; a este producto se
le suma o resta el numerador, según que el signo que haya delame de la
fraccién sea + o —, y se parte todo por el denominador.
La fracción que resulta se simplifica, si es posible.

Ejemplos ] (1) Reduce 24

3 M2 $3 _ ARA Pts

a Haccién.

®

+ latbllabl-le +t] a 26
Tab 0-5 sep ob

eth

IMPORTANTE
Obsereio que como la incite ino — de, pora rose ol me
mess o°' 6° hoy que combi ol signo © codo uno de sus términos y
io vo ica incleyendo a Y o un ponentes precede dol sone —

Done
CR D CALE LE 6) — (08 + Se? — 18)
no Fears ETE
PEGA MIRA MZA BA

E A A]

mupvecion A acción 9207
[> EJERCICIO 124

x 16. aan
2 1 ar:

= it, x13

‘ in ang

s

6. 20, eons

Y. REDUCCION DE FRACCIONES AL MINIMO
COMUN DENOMINADOR

2) REDUCIR FRACCIONES AL MINIMO COMUN DENOMINADOK és
couvertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denoml-

nador y que éste sex el menor posible,

Para reducir fracciones al mínimo común denominador se sigue la Aie
guiente regla, idéntica a la que empleamos en Aritmética:

REGLA

1) Se simplifican las fracciones dadas, si es posible.

2) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que
será el denominador común.

9 Para hallar los numeradores, se divide el m. c.m. de los denomi-
nadores entre cada denominador, y el cociente se multiplica por el nume-
tar respectivo

e Wes > >

Fai? Geo Minimo comin denominado,

Hallamos el m. € m. de a, 20 y An? que es dali". Este us el denominodor
‘Ahora dividimos gtx? ente los donominadores o, 20% y 4x? y codo

cociente lo mullilicamos por su numerador respectivo, y lendremos:

Bax?

ota? + à = tos?

104. 208 © scorn REDUCION AL MINIMO ComUN oENOMINADOE 8 209

2 er 4) Rodvcir LES, 2 tt, mimo común denominador.
wre een ; w Ha RE emo común denominador

m. factorando los denominadores:

ES
de de A
i ihn ed ninas cri demon quedan:

PTE

A)
1 cm. +1) [x= 1] x42) entre lo descomposición do coda
denominador, tendremos: !

Bild, OIE) tué
Ess [acciones son alles ls frascos dadas porque no hems he CAT BaD PENG F2) De DO D A)
ho més que mllipicr los dos términos de cada fracción pos el cociente
SA cm ape denominado esposo, con lo elles Wocdones Mette 2x TEA AN
o se aleron (176). TE A EA AAN
Ae Lee y A CRAN Pesa
(2) Radar y 22, 222 al mínimo común denominado. Gran Phx? CE AU PEUT PRE TEA TT)
im com. de 3x, 6x y 9% es 1@k#, Est os el denominador comin, = EJERCICIO 125
1 Lx 6x _ 6%
PT a
Tendremos Vet dé Ge ga Tue 4
LEE 5
MB 98 = 1

6 “aM
Beeren
e-b da de ab aa ba
duc II, Ge a mini denominador. A 1. N Bs
a nen | Me great ar E 2 ra Tah
Hallemos el m. em. de los denominadores, factorondo los binomios: 4 O cg pers ar
cb=cb y Bay yor oO
+ Reber MEER ' a oe aut 1
ERA LA y a aa Ba al TT
‘Ahora dividimos el m. €. m. ab (a+b) entre cada denominador o lo que «x man mon 1 te e 4
do mismo, ente la descomposición da coda denominador: e spar sea aL
sbletbl_ jé anh (o=bletbl. ter 1 ab ab at 12 n
+, ci slarhl blah) CNE EE ME mern mn Batt Bab" tab
oblotb de Aka, gy an in Mab Sora ob gy mel ml nl 1
bla +6) HE oblo+bl abla RD) ae! ae 2 1! wet’ PT era
bla+bl % xb . 4 m py, A rl att 1 at et)
alo +) Feb ab(a+b) oblate) AAA ab wT Gi Gi)
m Pe set

FA HRD

105. es | PE LA MATEMATICA Sevilla, Toledo,
sete Se A ES

OPERACIONES CON FRACCIONES

1 SUMA

REGLA GENERAL PARA SUMAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.

2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si son de distinto denominador.
9 Se efectian las mul
2) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se par:
te esta suma por el denominador común,
5) Se reducen términos semejantes en el numerador,
© Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

(©) SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIOS

Hoy que reducir las [raciones al mínimo. común dénominslor

210

SUMA pe rmacciónos 0211

Elm. €. m. de los denominadores os 60%. Dividionde 60? ontre los denomino:
dores, tenemos: do? +20 = da y ée + ét = 1. Estos cocientes lor mulliph
‘eames por los mumeradores respoctivos y Jendiemos

3272, 3130) 02% 0-2
a

kumondo los numradores) = a ta =2 „100 =2

=
= 1
timoliicondol = LE R.
4e 822,1
21 Simpliicar “2 al
LA Simpleo + +

Elm. <. m. de los denominadores es 10ax?. Dividiondo 100% entre caca de.
nominador y multiplicando los cociontos por el numerador respoctivo, tenemos
xo 2, 1 _Sxlx—dol+2a(e—2) ox

or Se Oe Vox?

Inultiplicondol =

(reduciendo términos semejantes] = =

M EJERCICIO 126
Simplificar

re na a
N mente
el, Et m
En te
a teh a
- a 3,84, yg
16a 200 EN E 10x © bax”
ab—dab? 3,142 249 a+b im
4 Ze 1 y
batt EE 2x i ‘Gx? ab 3 am a
M so, 2 ety oe

5

(193) SUMA DE FRACCIONES COM DENOMINADORES COMPUESTOS

| Ejemplos | Wes: = got GT,
ara tama

106. 212@ am

Hallemos el m. c. m: de los denominadores, factorando los binomios:

2 y EEE

Dividiendo el denominador comin 6(x-+111x=1) ontro coda denominador,
Io que es lo mismo, entre la descomposición de cada denominador, y muli-
plicondo cada cociente por ol numerador respectivo, tendremos:

1 ES A: 1 Bx-WAB AIAG
tt en

2-24 4346

rene SIM 1)
iol we ME sut?
(reduciendo téminos semejantes) =
9-2 y até
2) Simple nat ae! mare

Hollemos el m.c.m. de los denominadores:

@-4=(0+21(o-2)
Po

A S0+6=(a—3}(o—2)

Dividiondo el denominador comin (a + 2110 -2)(a—3) entre la descom-
posición de cada denominador, y multiplicando los eocientes por los nume-
adores respectivos, lendromos:

dal, 0-2 o+6 _lo=1lo—3)+0—2P+10+210 +6)
Pat Fe (o+2)(o—21(o~3)

rs hat Bot dad dat Ba 12
ieee = (a+21lo-2lle-)
aciendo términos monts = k
(reduciendo términos somejonts) een
B- EJERCICIO 127
Simplificar:
NA i
1 3 :
on ai 4 ay a
2 1 CI ca
a. Et,
tt y x % Es xHa Ya
ae FR
> 7 u 4
lex E 24 La 1+a?
æ , x de 2
E à Lata

suma or acciones @ 213

+ ot,
er 10 "Se © 2
DER
a a de A dd =a
arte ETS DCE ETAT TEE")
1, _3 2 118%, =
rs 2.
sr ten tes tt
x je, a a
1 co ey ey
ae ta at eu * Gap
te 3 #8 a A
Enr het tar
efi. bite 24,1 3
+ : a. +
metre Se eH eH Se
fe, 3, 1714 0 M2, Fr
store A AA
1 a “+5 x-2 3 2x1
+ . 2
a a tt 273 ry 2732 à Re
| 1850 a-2 043 ar
a. 3 : so.
rat at ‘are tao

RESTA

REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador,
si tienen distinto denominador.

3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas.

4) Se restan los mumeradores y la diferencia se parte por el denomi-
mador común.
1) Se reducen términos semejantes en el numerador,
©) Se simplifica el resultado si es posible.

(A nesra De Fracciones CON DENOMINADORES MONOMIOS

Ejemplos | metz u MP2

Elm. cm. do los denominadores es 6a%b. Dividiendo éa*b entre cada dano-
minador y muliplicondo cado cociente por el numerador respactivo, tenemos:
a42b _dob?—3 _ 2abla+2b)_dab?—9

do ob ob or

107. 214@ moon

{nokia )= PIRE _ dol

bart
[restando fos surveradoros|= 270+ 408? = (ob? 3)
60%
2a*b + dab? — dab? +3
jtondo ol pocémesis) =
(a porn Er
dato +

reduciendo)

da

IMPORTANTE
Observese que pora testar dab? — 3 del primor numerador hay que cambiar
el signo a cada uno de sus lérminos y esta operación la indicamos intluyondo
AobŸ— 1 en un parönlesis procedido. del signo —.

(2

El m. e. m. de los denominadores es 3x°, que será el denominador común,
Tendremos 22144220010 31842)

{evstipticando

{restondo los mumoradores

Lavitando el paréntesis),
Lredwcionde

(3) Simpliicar LI DES

ES te
En la préc suelen abreviorso elo los pares anteriores, como indicamos y
«continuación.
Elm. e. mes 4,

HBR AS UA) AR)
2 a i
D ón 4 208 — 5

multiplicando =

[mubtiplicando | E

reduciendo] = R

a

Obsérvese que al efectuar el producto — x(2x+ 5] hoy quo fiarse on ef
signo — de la x y decimos [x] 2e = — 24 (—x)5:

La

musta où mac — @ 215

xed 22 x

* een;
3201 sath
$ En
3 21 sach
“ Ses

Sant Sata

TT
1 24h 6

TT

RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES COMPUESTOS

Ejemplos (1) Simpllicar ¿Tp

@

Hollemos el m. €. m. de los denominadores:

TE
Dividiende bo — ) entro la descompéscién de cado denominador y null
plicondo codo cociente por el numerador respectivo, tenemos:

-atb_ 6b 1
blo=b) bla—b) au

0 _1_o-le=bj
bb 6 bla-b)

®
2 1 _ Inde

A
Hollamos el denominador comin:

Simpliicar

Pel

Dividiendo x(1 4 xJ{1-— x} entro la: descomposición de codo denominador,
tenomos:

2 1 A _ 2111-11 +x) - 11 x)
re rer dx
IE q
AO AA

‘Al reducir los términos semejantes en el numerador, se onulan todos los té.
‘minos, luego queda cero on el numerador y coro partido por cualquier con.
tidad equivolo a cero.

0%

108. 216 @ scenes

df) IHN eta

ra te re EN
Hollemos el denominador comin:

DPB =x 4=21x+2)[x-2)

ete HA bea TN

xm2= [x -2)

Dividiendo 2x 421? {x = 2] entre la descomposición de cado denominador,
Tenemos:

(AVP 3 [x24 IL OPE)

Fite 2 222 +

DRANG RA) AA)
2x+2F12-2]

BE X 2- Da 2 Be 2) — 2] a 7 Met 1D)

ÿ 22 x2)

WHERE 2 DAS GRAO aed = 2

2x+2F(x—2)

7-2 ANA

AAA OA

CEE

[reduciendo|

> EJERCICIO 129

ee di E
2 be a a, te nota de E
Lies pot ag eed
om Sap ae enr)
Sonore 1 Roue iy de Pia
Simpliicas
Sr a We mar
a 2.5, een
cie 1 rt rh had. al

2 AT ei yah” ha a a

suma y asta comomnons ® 217

3 #2 1-98
2 a8. a =

> Fist Go
a. wi Cid =

OR Bra Ba

i. ad: te
Tee FES Yea)

soy #9
te wre eB 041 ara
Aa er HEC 10a+10 50 50450

Ml. SUMA Y RESTA COMBINADAS DE FRACCIONES

bl

11 + _blo+bitla+bllo—bi—(oi#bt)
Fat Er abla+bila=b)
Be

~~ ebla+bito—b)

Imoltiplicando

reduciendo!

obía+b)(a—b)
1 al
bla+bjle

rando

{sing

Be

x=2__x+3
Fae ae

(ssl Pa PA

Hallemos el denominador común:

da 1)
4 4= Dela)

109. 218 © coma

Tec
42 743 RENACE | alte lebe
a roe ae Ft

any et tot
{milano a
L Pen
Vene aa
yee Attal n=
dni = ya A

- EJERCICIO 130

Simpliicar:
2,5 tet Y
ta CET
M, à pain ane ets ut
Tare” Gene ter ante ati
Se
=
ets od amt 1,8
sue.
CETTE mot
ab ath a a Det Gets

TS ae se

is.
ee

xt x #13 dis

E Faas be

zu 2 i. sd a

eS rea | TS D HG DRE

E EC

BD Sed TRA
at? m

ee,

ora Bard dad

26,08 4 2045 es
2010 * 400420 Anno
A a

Biden Be" ox

canos ve stamos @ 219

Bda Be Ba hd

38.
693) cameos DE SIGNOS EN LA SUMA Y RESTA
DE FRACCIONES
Los cambios de signos en las fracciones se usan en la suma y resta de

fracciones cuando los denominadores no están ordenados en el mismo
orden,

3 _x+5

Ie

‘Cambjando el signo al denominador de 2 última fracción 1 — x2 queda «2 — 1,
ete para que ese cambio no altere el voler de la fracción hay que combist
el signo de lo fracción, y tendremos:

2,8 ats
at
+11]. Tondremos:
FLD 3, x+5_ A
“+ 1 8-1 HT]
BADER ADRES
+1)
été CA)
Re Be)
x 1 %

DETENTE =x Bean)“
Descomponiendo x°—5x-+6=|x~3)(x—2]. Entonces le combiomos el
signo © 2—x quedando x — 2, combiomos el signo de la frocción y combo.
‘mos el signo de loz dos factores del tercor denominados [3 2)() x] que.
dando 1x—3J(x—1] y como ton dos lactores |némoro por de factores)

100 hoy que cambiar ol signo de fatima fracción y tendremos
A AÑ)
(x= 3)x 21 2 [x= 3x1) Lex 21x39)
A Anh 3-2 de
<< lx 1)1x2)fx—3)
ort
Terre)

2
ALT Simplficar 24.
a

En mes 1=

(2) Simplificor

110. 220 © nom
> EJERCICIO 131
Simplificars
oe do, da, 20
© a Etat
Es ai 3
a À oe E
y y ye BP A
ee x x8 1
Gata ESO
ato, a a a 4
tr Ma Der
ES 1 ati 2
SES EE L* ta uo
1 1 eee
cata cit pe ter
DT RHO | HL | dE
© patie et Mt ti

IV. MULTIPLICACION DE FRACCIONES

REGLA GENERAL PARA MULTIPLICAR FRACCIONES

1) Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las
fracciones que se van a multiplicar,

2) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numerado-

res y denominadores.

3) Se multiplican entre sí las expresiones que queden en los nume-
radores después de simplificar, y este producto se parte por el producto de
las expresiones que queden en los denominadores.

1) Main 25, SE, E
WW IIA E
=, TE = Re
ar meando!
M3, bata
12) ot BTS por ERAS,
Factorando, tondremos:
Sa Pra ARD, deter IU) té
A TD AN 2
Homos simpllicado |x—1) del primer nomerador con (x—1] del segundo.

denominador y {x +2]° del segund
nominadar.

et de

numerador con {x 4-2] del

(3) Motor SL,

0-6

uLTIPLICACION DE macciots — @ 22)

Baba

TS

Foctorando, tendemos: C—

lala
_ola+2)

m EJERCICIO 132

Bal, mo
Fiza” d+ ad
loa +2
(a+11(30+

+4
Bata

Simplificar:
y ze y 5, Tat 15. 202, adam
ab CRT “u aid
xy min nt eh
2 . 16
5 mn mt a
se IA Hy P4918 ya
& x 0 x te
ap Find Bay Dey 5 ar
A Sue y nt 2 y PA Del
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20 EC Per
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160 ze Ree +
Ta eabtad 3 abad
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Gin” Tom? az ar 9 Al
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Ro. us 2 a.
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Sole a Bub aa 2a
(min (mania dy BOY xt
Me len gg, STINE IO EEE
Mo mn a ay Hay
Baral? a Doro Geox
2 x x 3
a ar SHI m arten ata a
og 8 ata MICA
DarH10a 46-36 * Bat 18” Data
gp, BETO au taa
a a a
so ze xx 2

Bor

Aaa *

Meroe +

111. Se «ae Divison ne rracciónas @ 223
ni ON!
201) MULTIPLICACION DE EXPRESIONES MIXTAS v. DIVISION DE FRACCIONES
REGLA
Se reducen las expresiones mixtas a fracciones y se multiplican estas (02 recta
las Se multiplica el dividendo por el divisor invertido,
Miphior 04:93 por 024 E

Reduciendo las expresiones mixtos a fracciones, tendremos:

5 do+3Mo—=1)=5_of+20—-3-5_ 4200

in A Ir: (2) Dividir Batt te ae
A EN ES ES is ae Li >
ora ore ort ona etme
‘Aor muliplicamos las fracciones que hemos obtenido: y 1
; 5 5 w+20-8 a’+2ar3
(ets) (es ru > EJERCICIO 134
aplicar:

lo+4)lo—2), fatale

.-1 até u.
aa m, 4
D weRcIciO 133 Fer ee les
Simplificar: et rn 5 ee de
(+5) ein 1 (ont) (uE): 4 ere gare
an ae) + ea): ern
a ae € A
Ie e (qe) Ct 6 e Se
se (ace) La esse 4 e PEO Fee
m. NEE s =a #
: Sate
2» A (+ x DT so
dd 2 da EA

CE AR IOC

112. 240 non murrurciedcion y orvisiow comunas @ 225

1, Teer ee, SH =
DR DT Ra Ber STEP. Simpkticor
Dias Emp En | 2atiTab—150% | a?—Sab-405%

a La RR
(203) DIVISION DE EXPRESIONES MIXTAS

REGLA

Se reducen a fracciones y se dividen como tales.

Ejemplo ) oi 142 ene 14%,

Reduciendo estas expresiones a fracciones, tenemos:

49042, 16
dr ada
os la división en moliplicacón inviiondo el divisor y tendremos:
EID 16 _ 0-3 Lot + 90+ 20, 204 —20
Bab? Jde 404 ét EAN
0-3 lo+Sjleta) 2ata-ll ato+5}
wu =
=4lo-1) la-3% fo FA)(o— 4) 20-3904)

=.

= EJERCICIO 136
Simplilicar

aid
Fa
242064100 3100)
A ed
al pata „Arts

gk LE ot ty tae a)
7 > r NE à 4, MSIE, (s—9) Bety da a E A
Gore Ba Grete” Dés HNL
eye a Ce ml jo, eine A
Be EJERCICIO 135 Ha O oo ap abras 6
Simplifi ss emba (
a 2 [2 » Der =
: Grae) Orr) are pe ET meras
> a © iaa BP Tee
sn) ter ea a ( Fe ES ts
a 2 1 3 er ara eee 7"
SCO) ee ee
2 2-1 not F E a (ta
© (e rd) O (en Ap (a)

VIL FRACCIONES COMPLEJAS
VI, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION COMBINADAS

: 4 (203) FRACCION COMPLEJA cs una tracción en la cual el nur en;
(o) Cuando haya que efectuar operaciones en las que se combinen mul- E inerador o el denominador, o ambos, son fracciones alge- ,_ *

tiplicaciones y divisiones se procederá a convertir los divisores en bralcas o expresiones mikias, tomo ER =
factores, invirtiéndolos, y procediendo según la regla de la multiplicación.

113. 260 aus

Una fracción compleja no es más que una división indicada; la raya
de la fracción equivale al signo de dividir y ella indica que hay que divi
dir'lo que está encima de Ja raya por lo que está debajo de ella.

alce ra « E equivale a (2-4) (144
a o

God SIMPLIFICATION DE FRACCIONES COMPLEJAS
eas

1) Se efectiian las operaciones indicadas en el numerador y denomb-
mador de la fracción compleja.

2) Se divide el resultado que se obtenga en el numerador entre el
resultado que se obtenga en ef denominador.

{aividiendo el numerador _._
‘oni el denominador)

‘ines
(2) Sinpfiicor ——*—?,

16

x+6

Numercdor:
= Dit 2=— 12 #310
2 F2 =?

Denominaden
16 _ Ux) x= 2)4N6_ Mdr 124 IG _ AA

146
a ta 1-2 Lier or}

Feaccrones compresas 8 227

Tendremos:
12. 8-10
x=2_ x? = SN

page Ba A a
2 2

Obsérvese que como la fracción del numerador y la fracción del denominador

tenian el mismo denominador x—2 lo bemos uprinide porque al dividir à
00 al moliplicar ol numerados por el denominador invenido tondrionos
BRIZIO

22 tata act À
donde vemos que se concelo al factor x = 2.

M EJERCICIO 137
Simplificar:

114. EU arena, traccion comas © 229

Ahora trabajaremos fracciones complejas más complicadas. Tendremos:
Eu a+% _a 2ab + 0%
ST et aba aa—b) Mubrb: (a-b){ia-b)

A
ell

BE mb Bartab aa-b)” tab

3) Simpliticar
ab" a5 Ta

si

Numerador: _ bad) (a—D)(da—0) _ blsa—0) sat
Ñ 1 ARI) dl 2 ash. E fl

1H ADA) RAE RIDER Brille

Denominador:
x 1 er 1 xt
CRT A= Fes)
E le) ie) Las fracciones de esta forma se llaman continuas y se simplifican efcc-
Tendremos: (uando las operaciones indicadas empezando de abajo hacia arriba. Anl,
É A en este caso, tendremos:
i Sr E 4 ack
1 sa ar À
17241 ADD
a+2b aro |
4) Simplificar D 2.
D Simpliticar E ase
ab tab
M EJERCICIO 138
Numerador: Simpliicars
a+ arb aarb)-(atbjla-b) a+ 2ab (03) eet 248 x Ke
=e m = PE ES xe y
aa) ala—b) er 10.
bar IT ETC
aa-0) ae~b) me min ey ey
Denominador: a min mye
Denomin: 4 ae eee 7
b Rab) tab — D? + 2a? ~ dab de b= aby Srey’ mee ew
ab y aya) FSF EN
ayx_btx 2,22
2 tab À a ex Let
o a A

115. Vill, EVALUACION DE FRACCIONES
God iTeRPRETACION DE LA FORMA ©

La forma 2 que representa una fracción
cuyo numerador’ es cero y cuyo denominador u
es una cantidad Finita cualquiera, se interpreta as A
Fin efecto: Sabemos que toda facción representa e cocieme dela
visión de su n

nerador entre su denominador;

«go, + representa el co-
ciente de la división de 0 (dividendo) entre a (divisor) y el cociente de esta
«división tiene que ser una cantidad tal que multiplicada por el di

veprodwca el dividendo 0; ego, el cociente o sea el valor de la fracción
será 0 porque 0Xa=0.

Hell el valor de = pare x= 3.
Susttwyendo x por 3, tendremos:
er 3-9 9-9

TA Frau

vauuncion ox emaccionts 231

INTERPRETACION DE LA FORMA =

o
a
Sea la fracción ©, en que a es una cantidad constante y x es una ya-

le. Cuanto menor sea x, mayor es el valor de la fracción. En efecto:

Parax= 1,

d
Para x= I
ara x=

0008, etc.

‘Veinos, pues, que haciendo al denominador x sulici
ño, el

neemente peque:
slor de la tracción © será tan grande como queramos, © sea, que
viendo « constante, a medida ue el denominador x se aproxima al limite 0)
el valor de la fracción aumenta indefinidamente. Ve
Este principio se expresa de este mod — 1
El símbolo = se Jlamo infinite y no tiene un valor determinado; mu
en una cantidad, sino el símbolo que usamos para expresar, abreviadamontr
el principio anterior.
Entiéndase que la expresión === no puede tomarse en un sentido
aritmético fiera, porque siendo 0 la ausencia de cantidad, la división de
a entre 0 es inconcebible, sino como la expresión del principio de que si el
¡numerador de una fracción es una cantidad constante, a medida que el de-
hominador disminuye indefinidamente, acercándose al li
a valer 0, el valor de la fracción aumenta sin lí

Ejemplo | a de E

Staats bdd
a
“+2 F-3(2)+2

a

te Opera sin Megat

116. 2320 asma
(ELO INTERPRETACIÓN DE LA FORMA *

Consideremos. la: fracción = en que a es constante y x variable.

Cuanto mayor sea x, menor será el valor de la fracción.

En efecto: Paax= 2 Let
Para x= 10,
Para x = 100, Im eu
ess E

‘Vers, pues, que haciendo al denominador x suficientemente grande,
en

«U salor de la fracción À será tan pequeño como queramos, o sea que a

medida que +) denominador aumenta indefinidamente, el valor de la frac-

ción disminuye indefinidamente, acercándose al límite 0, pero sin llegar
a valer 0,

Fste principio se expres:

a
Este resultado no debe tomase tampoco en un sentido literal, sino
como la expresión del principio anterior,

Hollar el voler do

Suslituyondo x por 3, tenemos:

=3

ZI) INTERPRETACION DE LA FORMA À
Considerando esta forma como el cocieme de la división

dendo) entre 0 (divisor), tendremos que el cociente de esta di

que ser una cantidad tal que multiplicada por cl divisor 0 reproduzca el

Uividendo 0, pero cualquier cantidad multiplicada por cero da cero; huc-
0

puede ser igual a cualquier cantidad, Asi, pues, el simbolo

yo,

valor indeterminado.

Fvaauacion ot raackionis @ 233

Sustituyendo x por 2, so tiene

3 A A
E li

La indotorminoción del valor de esto fracción us aparente y es debida u lu pro:
soncio de un factor común ol numerador y donominadar,quo los anule. For
suprimir exe factor, se simpliica la Irocción dodo y tendremos:

#4 _ ol) xh?

ES
jalo” E RS
oer ares)

Hacienda x=2 on el seguado miembro de esta igualdad, 26 tendió:
a4 _2+2 4
Farm 243

2

o
dis I at Ve
AR PASES 11-5430 ie

Esto indeterminación ez aparente, Ello desoparece suprimiendo: ef factor co.
‘min al numerador y denominador que los anule.
ión Lel dencminador so factora por evaluación | 36 tenes
IE) +1
red A) [x ihren
Entonces, haciendo x = 1 en la última fraccién, 50 tendón
MET AA 3H
DE NU+31 0x
Luego el verdadero valor de la fracción dada poro «= | ui. fl

M EJERCICIO 139
Mallas el verdadero: valor de:

117. para x=.

Eis MER

A =
Beer

A Pd
sidi
25, A para a
Fan! *
zu Ste

2
jm EJERCICIO 140
‘Simplifiear:
5 pened ats
aa & Multiplicar a+ À ra

10-2

7, Dividir a entre x + 344

1) efecto is operacone

MISCELANEA some rraccions @ 235

Descomponer las expresiones siguientes en la suma o resta de tres frac
ciones simples irreducibles: ro

rd
<a a
10. Probar que EY = way.

ex? 0-1

AL Probar que 4-2 + 1 —

= er
OR Da
ÿ Me
Simplificar
a trad ae —
ut ee
D ne UE
Gl
m (LS dy, ee 2, 1
Fort are) res os
10 mes 4
Dre Texte
Be fhe dey ias
Gate) art):

st
ES
=1
FT
1 1 1 1

is.

22

a.

> et
A ke.
a. arb

au
ab y

a

118. RAIMUNDO LULIO (1235-13151. Llamado el
fer mins edición 3 In propaga

de ta fe. Callies com oxcclonte éxito [ay ciency

de su tempor fue ol primero que so propuso ca
‘ale metimos uen, Pub Seras a

au XV

ECUACIONES NUMERICAS FRACCIONARIAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Una ecuación es fraccionaria cuando algunos de sus términos o todos
$

tienen denominadores, como 5;

SUPRESIOM DE DENOMINADORES

Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una
ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin de-
nominadores.

La supresión de denominadores se funda en la propiedad, ya conoci-
da, de las igualdades: Una igualdad no varía si sus dos miembros se mul-
tiplican por una misina cantida

REGLA

Yara suprimir denominadores en una ecuación se mul
los rérminos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los de-
nominadores.

236

El m. €. m. de los denominadores 2, 6 y 4 cs 12. Mul
plicamos todos los términos por 12 y tendremos:
y simplificando estos facciones, queda

=2-3 (1
«ecuación aquivalente a le acuacién dada y entero que es lo que bvscábomos,
porque la rosolución do ecuaciones enteros ya la hemos estudiado.
Ahora bien, la operación que hemos ofoctuado, de mufipficor lodos Jos li.
mos do la veuaclän por el m. c. m. de los denominadores equivale à divid el
m. e, m. de los donominadares entre coda denominador y multiplicar cada to.
cionto por el numerador respectivo.

x
874

el m. cm. do les denominadares es 12. Dividiando 12 entre 2, 6 y 4 y mule
tiplicando codo cociente por su numerador respectivo, fenemos:
=

lénica à le que oblovimos antes en (1).

En efector En lo ecvación anterior =
2

Podemos decir entonces que
Para suprimir denominadores en una ecuación:

11 Se hall ol m. cm. de los denominadoves.

2)_ So divido esto m. e. m. onto codo denominador y codo cociente
lico por el numerador respectivo.

Ro) Ml 4-5
ma ë
Em. cm. de 4, 8 y 40 05 40. El primer término 2 equivale a 7. Entonces,

divido 40 1= 40 y este cociente 40 la muliplico por 2; 40 + 4 = | y aile
cociente 1 lo mulilico por x— 1; 40+ 4= 10 y este cociente 10 lo mulliplice
por 2x 1; 40+8=5 y esto cociente 5 lo muliplico por 4x—5 y landemon,

mule

(2) Suprimir denominadores en 2—

2040) (1 —1)=1012x—1)—5(4e — 5)
Efactuando los mulliplicaciones indicodas y quitando paréntesis, quedo,
OK 20m 10 20425
ecuación que ya es entera,
UY IMPORTANTE
Cuando wo hucción cuyo mpstrador e un polinomio rt precedido de signa
x a à E i

= como =“ y 77 en lo ecuación onterior, hey que tener cuidado

de combiar el signo © cada uno de los lérminos do su numerador al quita:
denominador. Por eso hemos puesto x— 1 entro un paréntasis precedido del
signe — © 100 —[x—1] y al quitar este poréntess queda = x +] y an
cuanto a la Glima fracción, al elecivar el producto —5(4x — 5] decimos:
(5A) == 208 y (=5)X(=5)=-+25, quedando — 20x +25,

119. 2380 atceana

15) RESOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS
CON DENOMINADORES MONOMIOS

Ejemplos | ¡daa Lar El
30a

El m. cm. de 5, 10 y 4 es 20. Dividimos 20 entre 1 [denominador de 3x1,
307 €) mulas sde ci par lucido caia Tor
AS.
jondor dx — 8x = 2x = — 35
EN

Trospé

VERIFICACION
7
Senior x por — Ten la eevocién dade y dará ideatded.

1er oat
dr see rast ee Stern

B12 — 1) — (4419) = 24 (86) 4151041)

16180 13 = 72 + Se 15
Emem de3MyBe Dr Woe xs

vidiend 24 ente 3, 2, 1 y B y mul. =
tiplicando los cocientes por el nume- 3
rador tespaciivo, tendremos 2”

2 1
41-2247,
cd

(2) Resol lo cación Lx 21-1253)

Efectuando los multiplicaciones Bet? tT
indicadas, tenemos: — ee
61x -21- 3026-3) = 1018 23 51247)
6 — 12— 60% + 90 = BOx + 20 — 10% 35
66 60x — BOx + 10% = 12 90 + 20—35

Him.cmde5,3y 6 es 30.
Quitando denominadores:

+ EJERCICIO 141

ECUAGIONIS FRACCIONARIAS OH Var, crane © 239

1
16 2-9-9

1 1
Fern+l
qt

28,

ey ing Lal
A À ox 9) = == 9)

20.

à 5+5=4(@@-5)-244

120. 240

TD)

Ejemplos | (nm 32

(2

© asoma

RESOLUCION DE ECUACIONES-DE PRIMER GRADO
CON DENOMINADORES COMPUESTOS

El m. c, m. de los denominadores
AR porque 46 — 1
= (2% +3)12x 1) y aquí vemos
‘que contiene à los elras dos de.
nominadores. Dividiondo 12 +1]
12% — 1) ontre cado denominedor
Y mulliplicondo cada cocionte por

UA 1) #3)
SIMI 1 3=0

el numerador tespecivo, lee.
— D

+5 _Sx+2 _ 2043
ME at 5

Como 5 está contenido en 15, el m. €. m delos danaminaderes es 151 x 4-4}
Dividiendos
1613 +4
REA Lau 4 à eta coceto lo linen por 6 + 5.
1519+ 4)
44
1513044)
5

TSCA = 3, 44 ae conte mn por

Tendeomos (Set 41( 6645) 151 5x42] =31Ix HAIR 31— 1513444).
Efeciuondo: 18x! + 39x +20 — 75x ~20= 18x? Slash 36 —A5e — 60.
De 75x — Six + die

por Sx+2.

= 313 +41 este cociente lo mulíplico por 204-3.

Suprimiendo 18x? en ambos à

miembros y Mansponierdo:
225 211
» 3

Rorolvor

Hollamos el m. €. m. de los
denominadoren:

A 12= 413)

Dividiendo B4x— 3) entre le 4(2e~5)-416|x—1) =3(x— 31461215)
descomposición de cado do. Be—20+ 16x—14 = 3x 9412: 90
Y multiplicando x16 — 3e — 12x = 20 16— 97

“2

aa 4
e ES
Hollemos elmem. x8-+2x—3= +3) e—1)
de los denomina E 9= (Se 3) meme (eM 49) IR
deren: O]

Dividiendo. (x— 1 31x = 31
entre la descomposición de cada
denominador y multiplicando ca:
de cociente por el numerador
respectivo, tendremos: 7

231 Lal
rte (e idad
Alda

‘
Suptimiendo los a y wosponiendo: —

EJERCICIO 142

Resolver las siguientes ecuaciones:

E de
% AM ae ATL
CRM
a SA
e 18 5x6 o
E 16
a 5 en
qn 142 1 1-* à
PRE Lee ies
Ee ae Io
= 2 143x 1-32
Sxt8_ Bet? wa 21,7
A =
BA 3x4 Lu et Ders" rar
en
ee
rer] 18.
; Be
en 10

A a.
is ESE
ine 12 o
fend a2 Bem
u. -
ae,
tg, ae, ee)

Tröx-1) TA DM

121. er
ur er

30%... 28 gp, M 6 el
RECENT

nr

A

2
E et
SDs Sa
se u x-2

len

2 __ N)
SET Bea
GS sl, Mt)

Va
123)

DE TARTAGLIA (1499-1557) Nacid
TE
A ae

ECUACIONES LITERALES DE PRIMER GRADO
CON UNA INCOGNITA

ECUACIONES LITERALES son ecuaciones en las que algunos 0 1odan
los coeficientes de las incógnitas o las canti

tan en la ecuación están representados por letras.
Estas letras suelen ser a,b.c,d,m y.» según costumbre, representan:

lo x la incógnita.

Las ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se tesucl-
plicando las mismas reglas que hemos empleado cı i

éricas.

Gra) RESOLUCION DE ECUACIONES LITERALES ENTERAS

Ejemplos
Eloctuodo las oporaciones indicados: ax + a? —

Tromsponiendos ax = x = ot +a-+1—a,
Reduciondo Iérminos semejantes: ox — x
Factorando: x (o=1)=0+ 1.
Despejando x, para lo eval divklimos x a=)
“ambos miembros por [a—1}, queda: 7

243

CU Resolver la ecvacién à (x + &]— 4 = & [9414 1
ator

122. 244 @ anna

(2) Resolver la ecvacién x{3—26)—1= x(2—36) 4%
Efectuondo los operaciones indicados: 3x — 2bx
Tronsponiendo: Be — 2bx — 2x + Ab = 1 — BF,
Reduciendo términos semejontes: x 4 bx = 1 — BR.

Factorando ambos miembros: x{1-+b)=(1+6)(1—b).
Dividiendo ombos miembros por (1-+ b}, quedo: x= 1—b, R,
m EJERCICIO 143
Resolver las siguientes ecuaciones:

11. m(n-x)=m(n—1)=m(ins—a}.
> x—at2=ax—Aatx)—2Aa—H).
. Bleiben).
Staat. : AN
att) x (ba) ab 36. Marl) aaa) sand).

16: (mAs) (Bmx) =(2x—m)*+m(15x—m).
AP ee Ito

(=D) 18 (o +A).
Ha) 5)- (eb) 20) 19. Cae tebeo.
bla-2)+3 BOL Cm) amie (rm Ded,

Hamlet).
(EN RESOLUCION DE ECUACIONES LITERALES FRACCIONARIAS

mplos ] (1) Resolver la ecuación = =

we suprimir denominadores, El m. c. m. de los deneminadores ce 2m
Dividende Im" nv codo denominador y molplicando cado codnie por
el numerador respeciivo, tendremos: mx = 2{3-— x] — 2 (2x) =|
Efeciuando les operaciones indicados: mx — 6-1: 6 mx = 4mx =D,
Transponiondo: nx ex = 4x
mx

Dividiendo por 3: mx:

a=1_2olo=1)__2a
er a

El m. €. m. de los denominadores es x*—o?=|x-ba)|x—o). Dividiondo
28 — 0% entro cada denominados y multiplicando codo cociente por el mime:
tador respectivo, tendremos: [0—1}|x-+a)~2a(a—1]=~2a|x~a).
Electuando las operaciones indicadas: ax — x + 0 — a 20? 4 2a = — 2ax + 20

Transponiondo: ax — x + 2ox=— 0% +0 + ut —2a 4 208,
Reduciendo: Jar — x = Je — 0.

Factorando ambos miembros: x [3a — 1|= a 30—1}.
Dividiendo ambos miembros por (Ja — 1 | quedo, finalmente;

12) Resolver

EJERCICIO 144
Resolver las siguientes ecuaciones:

scuActonts HACCIONAMAS De rex Guano @ 245

= n x mn

(24-300)
Er
a

te
he OU | data

16. = bt

ce, 130
a

e 3 Sa Ida
y EE
Beth Same
ee
gp, &ta_ #0 arta),
a.
mee Be * tasa
o) EE)
xta dxta [1 à ‘ENS
Bete
eet 2A. mf tooo min
Eb EA (nx) —(m—n)(m+x) (mn?

123. ;VIETE (1540-1603) fate polio y le
como paratiempo favorito lez mi

“puede consdsinele como sl faded dd

Logró la total liberación de ets

de in limitaciones aritméticos, al Inraducir

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES FRACCIONARIAS
DE PRIMER GRADO

2] La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale al du-
plo del número disminuido en 17. Hallar el número.
Sea x

“Tendremos: E

Ja tercera parte del número.

E Jn cura pane del número,
2e=duplo del némero

De acuerdo con las condiciones del problema,
tendremos la eet AO

Resolviendo: Ax 4 Be = 24x 204
dx Be 2x = — 901
— Me 204
204

12, el número buscado, R.

246

PROBLEMAS sopRe ECUACIONES maccionanıas @ 247

[> EJERCICIO 145
1. Hallar el número que disminuido en sus 4 equivale a su duplo dis
minufdo en 11.

2% Hallar el número que aumentado en sus À equivale a su triplo disais
nuido en 14,

3 ¿Qué número hay que restar de 22 para que la diferencia cquivalga a
la mitad de 23 anınentada en los E del ndmero que se rela?

de ¿Cuál es el múmero que tiene 10 de diferencia enre sus y sus 2

Bl exceso de un número sobre 17 equivale a la diferencia entré fos à} À
del mero, Hallar el número.

& La suma de la quinta parte de un númeco con los E del número excede
en 49 al doble de la diferencia entre 2 y À del nimeto, Hallar el numero.

To La edad de B es los 2 de lade A, y si ambas edades se suinan, la suma
excede en 4 años al doble de la edad de 2, Hallar ambas edades.

BB tiene los ] de lo que tiene A. Si A recibe $00, entonces tiene el doble
de lo que tiene D ahora. ¿Cuánto tiene cada uno?

D. Después de vender los 2 de una pest de tela quedan 40 mo
exa la longed de la pied?

10. Después de-gastar 4
enka?

ull

2 de lo que tenía me quedan 39 bolívares. ¿Cuánto

HE frblo de un mimero excede en 48 al terco del: mine número
Hallar el número.

13, El cuádeuplo de un número excede en 19 a la mitad del

nero aun
tada en 30. Hallar el

1% El exceso de 80 sobre la mitad de un número equivale al exceso del
húmero sobre 10. Hallar el número.

My Hallar el mmero cuyos = excedan a sus + en 2.

El largo de un buque que cs 800 pies excede en 744 pies a los

& del
anche, Hallar el ancho.

(223) Hallar tres miimeros enteros consecutivos tales que Ta suma de ton 2

del mayor con los $ del número intermedio equivalga al número
menor disminuido en 8.

Sea #=hiimero menor

Entonces x41=

» intermedio,

Kr 2= número. mayın

124. 248 @ una

Los À del número mayor serán À

Los 5 del número intermedio serán x 41).
El menor disminuido en 8 será x~8.

De acuerdo con las condiciones del
problema, tendremos la ecuación: ———,
Resolviendo: 2x2) 2%+1)
13 FN
tx 4: 2) + 2668-4 1)
Get 12-4268 + 26
Ga 26 30%
A
BEN
Si x=50, x 41261 y x-+0=08 luego, los mümeros buscados son 50,
Sy Re

@ EJERCICIO 146
1. Hallar dos múmeros consceu
al menor disminuido en 4.

Hallar dos números consecutivos tales que los 2 del menor excedan en
Ara dos & del mayor:

tales que los 4 del mayor equivalgan

3. Hallar dos nümeros consecutivos tales que el menor exceda en 8l a
1a diferencia entre los À del menor y los É del mayor,

4 Se tienen dos números consecutivos tales que la suma de del mayor
con 2 del menor excede en 8 a los & del mayor, Hallar fos números.

5. La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.
Hallar los múmeros.

5. A tiene $1 más que 2. Si 1 ganara $8, tendría $4 menos que los $ de
lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?

7. Hoy gané $1 más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es $25

ds que los É de lo que gané ayer. ¿Cuánto pané hoy y cuánto ayer?

6. Hallar tres múmeros consecutivos tales que si el menor se divide entre
20, el mediano entre 27 y el mayor entre 41 la suma de los cocientes es 8.

9. Hallar tre ndmeros conscivos tales que la suma de los 2 del menor
con los & del mayor exceda en 31 al del medio.

PnonLinns 2986 Keuacıonus eraccronnnıns @ 249

10, Se tienen tres números conecutives tales que la diferencia entre Jos $
del mediano: y los 3 del menor excede en 1 à À del mayor. Hallar fos
nümeros.

11. A tiene 2 años mis que A y éste 2 años más que C Si las edades de
B y G se suman, esta suma excede en 12 años a los 2 de la edad de A.
Hallar las edades respectivas.

19. A tiene 1 año menos que B y B 1 año menos que C. Si del cuadrado
de la edad de G se resta el cuadrado de la cdad de B la diferencia es
4 años menos que los Y de la edad de A. Hallar las edades respectivas.

222) La suma de dos números es 77, y si el mayor se divide por el menor,
el cociente es 2 y el residuo 8. Hallar los números.

Sea

=el mimera mayor.
Entonces

el mimera menor

De acuerdo con las condiciones del problema, al dividir el
mayor x entre el menor 77 x el cociente es 2 y el residuo 8, pero

x—8 entre 77—x es exacta y da de cociente 2; luego, tendremos

la ecuación 7

Resolviendo:

Si el número mayor es 54, el menor será 77-;
Luego, los mimeros buscados son 54 y 23. Re

jm EJERCICIO 147

1. La suma de dos mümeros es 59, y sl cl mayor se divide por el menor, el

cociente es 2 y el residuo 9. Hallar Jos mimos. 7

2. La suma de dos múmeros es 436, y $ el mayor se divide por el menor,
dl cociene 6 2 y el residuo 72, Hallar los números

3. La diferencia de on mimeros es, y i el mayor se divide por el menor,
el cocieme es 3 y el residuo 2. Hallar los mineros

4 Un nümero excede a otro en 5 vide por el menor, el

inte a y el reiduo & Ha

» 200 en dos parte tales que el duplo de la mayor dividido entre
el triplo de la menor de 2 de cociente y 40 de residuo.
0. Repartir 196 soles entre Ay de modo que si los 2 de la parte de À

re el quinto de la de B se obtiene 1 de coci

me y 16 de
sido. 7

125. 250

ganó el der día, 0 Sea los $ de à luego”

el 29 día, o sea los ? de

1endremos la ecuación:

5.

@ Auen

En tres dias un hombre ganó 185 sucres. Si cada día ganó los de
lo que ganó el día anterior, geudnto ganó en cada uno de los tres días?

Sea A

lo que ganó el 1e dia,
El 29 día ganó los ? de lo que Be
4

lo que ganó el 2 dia.

Ed
4

Como entre los 3 días ganó 185 sucres,

Resolviendo:
Av sucres, lo: que ganó
el primer dis, Re
hs ale pa EI. rr oR,
Car
CRTC.
BL see ala gang: EI 2 45 sores.
EJERCICIO 148

En tes días un hombre ganó $175, Si cada día ganó la mitad de lo que
ran el dia anterior, ¿cuánto ganó cada día?

El jueves perdí Tos É de lo que perdl el miércoles y el vienes los E de lo
que perdi el jueves. Si en los eres días perdí S252, ¿uámo perdí cada dia?
B tiene 2 de lo que tiene 4 y € 2 de lo que tiene tiene 2, Si ente los
tres tienen BIS sucres, ¿cuánto dene cada uno?

La edad de B es los 2 de la de À y la de G los 2 de In de 1, Si las tres
edades suman 78 años, hallar las edades respec

in 4 días un hombre recorrió 120 Km. Si cada dia recon
vecorrió el dia anterior, ¿unos Km recorrió en cada dla?

HROBLEAAS soone Ecuaciones yraccionanias @ 25)

nc de 390500 colones se ha repartido entre cinco. petionas

La segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera; la tercera L de lo.
que recibe la segunda; la cuarta 4 de Io que recibe la tercera y la quinta
de lo que recibe la cuarta. ¿Cuéno recbió cada personas

8 Un hombre viajó 8302 Kan por barco, tren y avi
los + de lo que recorrió en barco y en avión los
en tren, ¿Cuimos Kin recorió de cada modo?

. Por tren, recorrió
© de lo que recorrió

=
(24) A tenía cierta suma de dinero, Gasté $90 en libros y los + de lo que

le quedaba después del gasto anterior en ropa. Si le quedan $00,
¿cuánto tenía al principio?

xo que tenía al principio.
Después de gastar $90 en libros, le quedaron S(x—30).

En ropa gastó de lo que le quedaba, o sea x 30).

Como aún le quedan $30, la diferencia entre lo
que le quedaba después del primer gasto, x—30, y lo P

= in > -
¿ue gastó en ropa, F(x=30), será igual a $30; luego, ge
tenemos la ecuación:

Resolviendo:

Luego, A tenia al principio $130. Re

= EJERCICIO 149

Lo Tenia cierta suma de dinero. Gasté $20 y presté tos 2 de lo que me
quedaba. Si ahora tengo $10, ¿cuánto tenia al principio?

2 Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo
que me quedó, tengo 21 quetzales! ¿Cuánto tenia al pr

Tengo cierta suma de dinero, Si me pagan $7 que me deben, puedo
gastar los É de mi nuevo capital y me quedaran $20. ¿Cuánto tengo ahora?

& Gas los & de do que u
tengo 300 holivars, gcnänto tenía al p

a y presté los E de lo que me quedó. Si ain
apio?

Los + de las aves de una granja son palomas; los * del reso gallinas

Had” 4 aves restantes gallos. ¿Cuántas aves hay en la gran

4

126. 252 @ om

G. Gase los À de lo que tenía; perdí los 2 de lo que me quedó; se me
perdieron 8 soles y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía al principio?

7. Tenia cierta suma. Gasté À de lo que tenia: cobré $42 que me debian

pio, ¿Cuánto tenia al principio?

8. Después de gastar la mitad de lo que tenía y $15 más, me quedan $30,
¿Cuánto conta al principios

9, Gasté los À de lo que tenía y después recibi 1300 sucxes. Si ahora tengo
100 sucres más que al principio, ¿cuánto tenía al principio?

10. Tenía cierta suma. Gasté los 2 en trajes y los 2 de lo que me quedó
en libros. Si lo que tengo ahora cs $38 menos que los É de lo que tenia
al principio, ¿uánto tenía al principio?

La edad actual de A es la mitad de la de B, y hace 10 años la edad
de A era los + de'la edad de B. Hallar las edades actuales.

Sea x = eut

Si la edad actual de 4 esla mitad de ta de, | BE did actual! de

B, la edad actual de B es doble de la de A; luego,

actual de 4:

Hace 10 años, cada uno tenia x-10=edad de À hace 10 años.
10 años menos que ahora; luego, ———/ 2x~10=edad de B hace 10 años

Según las condiciones del problema, la edad de À hace PS
10 ine ie era los $ de la edad de B hace 10 años, o ON
sea 2 de 2x—10; luego, tendremos la ecuación: —————/
Resolviendo: Tx —T0=6x=90
x 6x =70— 30
x=40 años, edad actual de A. Re
2x =80 años, edad actual de BR.

(226) Hace 10 años la edad de A era los © de In edad que tendrá dentro
~~ de 20 años. Hallar la edad actual de A.

Sea x=edad actuat de A.
Hace 10 años la edad de A era x—10.
Dentro de 20 años la edad de À será x-1:20,

PROILEMAS Sonne ECUACIONES rracciomanas 0 253

Según las condiciones, la edad de A hace 10 años,

X~10, era los 2 de la edad que tendrá dentro de 20 años, age

es decir, los # de x-+20; luego, tenemos la ecuación — 7

Resolviendo: — 5x=50=3x +00
2x2 110

= 055 años, edad actual de A. Ro

M EJERCICIO 150

La edad de A es 4 de la de B y hace 15 años la edad de À era +

de B. Hallar las ¿dades actuales.

® La edad de A es el triplo de la de 8 y dentro de 20 años será el doble,
Hallar las edades actuales,

La edad de À hace 5 años era los * de la eqlad que tendrá dentro de 6
años. Hallar la edad actual de A,

4 Hace 6 años la edad de A era la mitad de la edad que tendrá dentro de
21 años. Hallar la edad actual de 4

5. La edad de un hijo es 4 de la edad de su padre y dentro de 16 alos
será la mitad. Hallar las edades actuales,

© La edad de un hijo es los 2 de la de su padre y hace 8 años la edad del

2 de la edad del padre, Hallar las edades actuales.

La suma de las edades actuales de À y B es 65 años y dentro de 10 Alon

ls edad de B será los # de la de A, Hallar las edades actuales

® La diferencia de las edades de un padre y su hijo es 25 años. Hace 15

años la edad del hijo era los de la del padre. Hallar Ins edades actuales

Hace 10 años la edad de un padre cra doble que la de su hijo y dentro

de 10 años la edad del padre será los 2 de la del hijo. Hallar las edades

actuales,

10. 4 ene 18 años más que B. Hace 19 años la edad de A era los $ dela
de B. Hallar las estados actuales.

La edad de A es el triplo de la de 8 y hace 4 años la suma de ambas
dades era igual a la que tendrá B dentro de 16 años. Hallar las edades
actuales,

le la

hijo era los

1

GA a mess AA tendrá los À
de lo que tenga B. ¿Cuánto tiene cada uno?

Sea

Entonces

Si A le da a 834 soles, A se queda con 2x—34 soles y tendrá
tonces x+34 soles,

em

127. 254

à B 24 soles, lo que le queda a A, 2¢—34 soles, es los À
de lo que tiene B, o sea, los 7 de «1-34 soles; luego,
tenemos la ecuación dio 2

© soma

Según las condiciones del problema, cuando A le da

Resolviendo:

Tit =i soles, lo que tiene B. Re
2x= 64 soles, lo que tiene 4. R.

EJERCICIO 151

. A tiene doble dinero que B. Si A le diera a B 20 bolívares, tendria

10.

|B tiene el doble de lo que tiene 4, pero si B le da a 4 $6 À tendrá los

los 4 de lo que tendría B, ¿Cuimo tiene cada uno?

A tiene la mitad de lo que tiene B, pero si B le da a À 24 colones
ambos tendrán lo mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?

de lo que le quede a B. ¿Cuánto tiene ua une?

Bi tiene ls E: de lo que tie A, SIB e gana à 4 00, B tend
de lo que Ie quede à 4. ¿Cuánio tiene cada unot

A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero, Cuando A ha per
dido 30 sucres tiene la mitad de lo que tiene H. ¿Con cuánto empezó
A jugar cada uno?

+

Ay B empiezan a jugar teniendo B los E de lo que tiene A. Cuando B

ha ganado $22 tiene los de lo que le queda a À, ¿Con eine emperó
a jugar cada uno?

A tiene los $ de lo que tiene D. Si À gana $13 y B pierdo $5, ambos
tendrían lo inne. ¿Cuánio tiene cada uno?

B tiene la mitad de lo que tiene À. Si 4 le gana a 4 una soma igual
a À de lo que tiene A, B tendrá $5 mis que A. ¿Cuánto tiene cada unor
A y E empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cuando 3 ha perdido
los À del dinero con que emperó a jugar, À ha ganado 24 balboas.
¿Can cuámo empezaron a jugar?

A y B empiezan a jugar con igual suma de dinero. Cu
los 2 del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado À es 24 soles
más que la tercera parte de lo que le queda a B. ¿Con €
a juga

ado B ha pe

PROMLEMAS sonne ECVACIONIS PRACCIONARDAS 18 255

[En] ‘Un padre tiene 40 años y su hijo 15. ¿Dentro de cuántos años la edad

del hijo será los À de la del padre?
Sea x el número de años que tiene que pasar para que la edad del

hijo sea los $ de la del padre,

Dentro de x años, la edad del padre será 404 x años, y la del hijo,

104x años.

dentro de x años, 15+, será los de la dad del padre

dentro de x años, o sea los [de 40+a; luego, tenemos la
ación: EAP

a

Según las condiciones del problema, la edad del hijo

Dentro de 5 años. R.

EJERCICIO 152

A tiene 36 años y 28 años. ¿Dentro de cuimos años la edad de I
será los À de la de ar

D tiene 25 años y À 30. ¿Dentro de cwintos años ta edad de AM
tos E de la edad de Bi

A tiene 58 años y B 48. ¿Cuámos años hace que la edad de 1 era
de la de A?

ne 27 años y María 18. ¿Cuántos as hace que la ad de Matin
cra + de la de Rosa?

Enrique tiene $60 y Ernesto $92, Si ambos reciben una misma suma de
dinero, Ernesto tiene los & de lo de Enrique. ¿Cuál es esa suma?

Pedro tenía Q90 y su hermano Q50. Ambos gastaron igual suma y
ahora el hermano de Pedro tiene los
gastó cada uno?

3, de lo que tiene Pedro, ¿Cuámo

Una persona tiene los À dela edad de su hermano. Dentro de un número
de años iguala la cda acta del mayor, la sumo. de ambas cados sr
76 años, Mallar las edades actuales, eh:
À sena 551 y 2 §
J ts Suma delo que
I que gan ca

Ambos ganaron tna misma cantidad de dinero
nen ambos ahora excede en $66 al euddruplo de
10, ¿Cuánto ganó cada uno?

A tenía 153 bolívares y M'12. 4 le dio a B cierta suma y ahora À tiene +
de lo que tiene B, ¿Cuánto le dio À a 17

128. 256 @ sica

223) La longitud de un sectingulo excede al ancho en 8 m. Si cada di
mensión se aumenta en 3 metros, el área se aumentaría en 57 m’.
Hallar las dimensiones del rectángulo,

Sea
Entonces

ancho del recrángulo,
#+8=longitud del rectängul

Gomo el área de un rectángulo se se DER
itiene multipijcando sa longi por. ma. EAS
ie

ancho, tendrem:

Si cada dimensión se aumenta en 3 metros, el ancho será ahora x+3
metros y la longitud (x+8)+3=%-+11 metros.
El área será ahora (x-+3)(x-+11) mi.

Según las condiciones, esta nueva superficie
HB HIN) ru? Gene 67 m? más que la su |/(89)(e4 IL) SINE O)
perficie del rectángulo dado x(x+8); luego, se

ei = a

x=4 m, ancho del rectängulo dado R.
x48=12 m, longitud del rectángulo dado. R.

m EJERCICIO 153
1. La longitud de un rectángulo excede al ancho en 3 m. Si cada dimen:
in se aumenta en 1 m la superficie se aumenta en 92 m2, Hallar las

“dimensiones. del rectángulo,

2. Una de las dimensiones de una sala rectangular es el dohle de la otra.
Si cada dimensión se aumenta en $ m el área se aumentaría en 160 n°.
Hallar las dimensiones del rectángulo.

3. Una dimensión de un rectángulo excede a la otra en 2 m. Si amb
dimensiones se disminuyen en mel drea se disminuye en 113 m
Hallar las dimensiones del rectingulo,

4. La longitud de un rectángulo excede en 24 m al lado del cuadrado
equivalente al rectángulo y su ancho cs 12 m menos que el lado de dicho
Gidrado, Hallar las dimensiones del rectángulo.

5. La longitud de un rectángulo es 7 m mayor y su ancho 6 m menor
que el lado del cuadrado equivalente al rectingulo. Hallar las dimen-
siones del rectángulo.

5. La longitud de un campo rectangulär excede a su ancho en 30 m. $i
1a tongitud se disminuye en 20 M y el ancho se aumenta cn 16 m, el
rea se disminuye en 150 mi, Hallar las dimensiones del

7 La longitud de una sala excede a su ancho en 10. m. Si la

isminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 1 m el área no varía.

Hallar las dimensiones de la sala.

PROMEMAS sons Ecuaciones smaceiomantas @ 257

El denominador de una fracción excede al numerador en 5. Si el de:
nominador se aumenta en 7, el valor de la fracción es 4. Hallar la
fracción.
Sea x=numerador de la fracción.

Como el denominador excede al númerador en 5: x +45 = denomina,

dor de la fracción.

ecuación:

x
La fracción será, por lo tanto, À.
será, por Mo,

Según las condiciones, si el denominador de esta fracción se
nta en 7, la fracción equivale a +; luego, tendremos la

Resolviendo:

x+12
12, numerador de la fracción.
17, denominador de la fracción.

12
Luego, la tracción buscada es 77. Re
EJERCICIO 154
El numerador de una fracción excede al denominador en 2. Si el den
minador se aumenta en 7 el valor de la fracción es 4. Hallar la fracción
1 denominador de una fracción excede al numerador en 1. Si el demo
‘minador se aumenta en 15, el valor de la fracción es 4, Hallar ta fraction
El numerador de una fracción es 8 unidades menor que el denominados
Si à los dos términos de la fracción se suma 1 el valor de la fracción © 4}
Hallar la fracción.
El denominador de una fracción excede al duplo del numerador en |
Si al numerador se resta 4, cl valor de la fracción es +, Hallar la f

El denominador de una fracción excede al duplo del mu
Si el numerador se aumenta en 15 y el denominador se dism

I valor de la tración cs 4, Hallar la fracción
1 denomin umerador en 1. Si al devo
nina se à unidades menor que
trio de a facción primitiva. Fallar Ta ración.
El denominador de una fracción 1 menos que el triplo del munerador
Bi el numerador ve mumenta en y e denominador On el valor de la
L. Hallar la fracción.
à fracción excede al denominador en à

16, la entre la fracción primitiv
Hallar la (ra

ción
wor cn 0
ye end,

fracción es

PEN
yh

129. 258 © prose ostras sonne ccuaciones rraccionamas 19 259

(232) A puede hacer una obra en 3 días y I en 8
pueden hacer la obra trabajando los dos juntos?
Sea x el número de días que tardarian en hacer Ja obra trabajando
los dos juntos.
Si en x días los dos juntos hacen toda la obra, en 1 día harán *
obra.
A, trabajando solo hace la obra en 3 dias; luego, en un día hace
ob

La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 3 à la
cifra de las unidades, y si el número se divide por la suma de sus cifras,
el cociente es 7. Hallar cl número.

Sea = la cilra de las unidades.
Entonces x 43 =la cifra de las decenas.

El múmero se obtiene multiplicando por 10 la cifra de las decenas y
sumändole la cifra de las unidades; luego:

Según las condiciones, el número 11x +80 dividido por la
suma de sus cifras, o sea por x + x +3= 2x +9, da de cociente 7:

Juego, tenemos la ecuación:

¿En cuánto tiempo

de

de

trabajando solo, hace la obra en 5 dias; Juego, en un dia hace + de
la obra.

Ten des Js er nun a 2) ae occ

como en un día los dos hacen + de la obra, tendremos: 4

csolviendo: ox tix
Resolviendo: UEFA Resolviendo:
Ux- 10-0421
—3x=-9

, la cifra de las unidades.
la cifra de las decenas.

æ EJERCICIO 156

A puede hacer una obra en 3 dias y B on 6 dim. ¿En cuénto tiempo
Ta obra los dos trabajando juntos?

we puede llenar un depósito en 10 minutos y otea en 20 min

ante tiempo pueden Donar el depéxito las dos

A puede hacer una obra en À dias, Ben 6 días y Cen 12 días. ¿En Cul

po pueden hacer la obra los tres juntos?

s+
Luego, el número buscado es 63, R.

E» EJERCICIO 155

La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede a la cifra de
las unidades en 2. Si el mimero se divide entre la suma de sus cifras,
el cociente es 7. Hallar el nümero.

2. La cifra de las unidades de un número de dos cifras excede en 4 a la
ira de las decenas y si el número se divide por la suma de sus cifras el
cociente es 4, Hallar el número.

% La cilra de tos decenas de un múmero de dos cifras es el duplo de la
lea de las unidades y si el mimero, di lo en 9, se divide por la
suma de sus cifras el cuciente es 6. Hallar el número.

4 La cifra de las decenas de un mimere de dos cifras excede en 1 a la cifra
de las unidades, Si el número se multiplica por 3 este producto equivale
a 21 veces la suma de sus cifras, Hallar et número.

5: La suma de la cifra de las decenas y la eifra de Jas unidades de wn número
de dos cifras es 7, Si el número, aumentado en 8, se divide por el duplo

de la cifra de las decenas el cociente es 6. Hallac el número.

Have puede Menst un depósito cn 3 mi
14 minutos. gen cite tiempo llenarán cl dep
‘ino tiempo?
Jar un depósito ex À vie, ara Have en 8 mir
cuando Demo, en 2
À et depósito,
laves? E

(233) {N qué hora ente Jas 4 y las 6 están opuesas
las agujas del relop

8. La cifra de las decenas de un múmero de dos cifras excede en 2 a la cifra En los problemas sobre el reloj, el alumno debe
de Jas unidades y el múmero excede en 27 a 10 veces la cra de las uni hacer siempre un gráfico como el adjunto.
dados. Hallar el

En el gráfico está representada la posición del

1 a ira de ls decenas de un número de das clas x el dup dela cla horario y el minutero a las 4. Después representa
ga dodo ot pos pisse ws la posición de ambas agujas cuando están opues-
ee may ota mus pci de alas gu cando sn pu

es 20. Hallar el nümero,

us, el horario en G y el minutero en D.

130. 260 @ scien

Mientras el minucero da una vuelta completa al reloj, 60 divisiones
de minuto, et horario avanza de una hora a la siguiente, 5 divisiones de
minuto, o sea ¡de lo que ha recorrido el minutero; luego, el horario
avanza siempre # de las divisiones que avanza el minutero.

Sea x= el número de divisiónes de 1 minuto del arco ARCD que ba
recorrido el minutero hasta estar opuesto al horario.

Entonces 4= mimero de divisiones de 1 minuto del arco BC que
recorrido el horario,

En la figura 20 se ve que el arco ABCD=x equivale al
arco AB=20 divisiones de 1 minuto, más el arco BC=+, más

el arco CD=30 divisiones de 1 minuto; luego, tendremos la
ecuación:

N x
Resolviendo: = 504%
en x= 45

Luego, entre las 4 y las 5 las manecillas del reloj están opuestas a las
ty HE minutos. Ra

(39) ea qué hora, entre las 5 y las 6, las agujas del reloj forman ángulo
recto?

Entre las 3 y las 6 las agujas están en ángulo recto en 2 posiciones:
una, antes de que el minutero pase sobre el horario, y otra, después.

1) Antes de que el minutero pase sobre el ho-

A las 5 el horario está en Cy el minutero en À.
Representemos la posición en que forman ángulo
recto antes de pasar el minutero sobre el horario: el
minutero en 8 y el horario en D (figura 21).

Sea x=el arco AB que ha recorrido el minute

10: entonces E=cl arco CD que ha recorrido el ho-

Proauenas Sonne scuacionts 1maccionamar @ 261

En la figura adjunta se ve que;
arco AG+arco CD, pero arco Ai
AG=25 y arco CD; luego:

Resolviendo: 12x + 190 = 300-4 x

Luego, estarán en ángulo recto por primera vez a las 5 y 10! mi
nutos. Ra

2) Después que el minutero ha pasado sobre
el horario.

A las 5 el horario está en 8 y el minutero en A.
Después de pasar el minutero sobre el horario, cuan-
do forman ángulo recto, el horario está en C y el
minutero en D.
Sea x= el arco ABCD que ha recorrido el mi
Bel arco BG que ha recorrido el horario.
En la figura se ve que: arco ABGD =arco AB +
arco BG are CD, © sea,

Resolviendo: 12x = 00 + x + 180
Lx = 480

a

Luego, formarán ángulo. recto por segunda vez a las 5 Y 48
mutos. Ra

m EJERCICIO 157

1: 2A qué hora, entre la 1 y las 2, están opuestas las agujas del reloj?
ı& horas, entre las 10 y las 11, las agujas del reloj forman ángulo

rector

1 4A qué ho las 8 y las 9, están opuestas las agujas del reloj?
% (A qué hora, entre las 12 y la 1, están opuestas las agujas del reloj?
hora, entre las 2 y las 3, forman ängulo recto las agujas del

feloj :
0. ¿A qué hora, entre las 4 y las 6, coinciden las agujas del reloj?

131. 262

a

10.

1

¿A qué horas, entre las 6 y las 7, las agujas del reloj forman ángulo recto?
¿A qué hora, entre las 10 y las 11, coinciden las agujas del reloj?

"ZA qué hora, eme las 7 y las 7 y 30, están en Angulo reto las agujas
Pre

1 ZA qué hora, entre las 3 y las 4, el minutero dista exactamente § divi

siones del horario, después de haberlo pasado?

+ ¿A qué horas, entre las 8 y las 9, cl minutero dista exactamente: del

horario 10, divisiones?

EJERCICIO 158

HlSCELANCA

SOBRE PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECUACIONES DE 1. GRADO

La diferencia de dos números es G y La witad del mayor excede en 10
a los 2 del menor. Hallar los mémeros.

A tenía $120 y B S90. Después que À te dio a B cierta suma, tiene los
À de lo que le queda a A. ¿Cuco le dio Aa BP

Un número se aumentó en 6 unidades
al cociente se le sumó 5 y esta mu
4 de cociente. Hallar el número,

Se ha repartido una herencia de 48000 soles entre dos pesonas de modo
que la parte de la que recibió menos equivale a los © de la pane de
la persona favorecida. Hallar la parte de cada uo.

esta suma se dividió entre $:
rd suma se dividió entre 2, obteniendo

84 en dos partes tales que
120 en dos partes tales que la menor sea a la mayor como 3

de la parte mayor equivalga a +

Un hombre gasta la mad de su sueldo mensual en el alquiler de la
casa y alimentación de su familia y E del sueldo en otros gastos, Al
cabo de 15 meses ha ahorrado $900. ¿Cuál ex su sueldo mensual?

Un hombre gastó + de lo que tenia en ropa; 2 en libros; prestó S102
aun amigo. y se quedó sin nada. {Cudnto gastó en ropa y cuinto en

La edad de Des à de t de À y a de CE dela de B. Si entre los es
tienen 26 años qu cs la edad de ca nod

Vendk um automovi por $000 bolivares mas la terra parte de lo que
pe había contado, y En ea operación ane 200 Blades
Hai cdo la

Compré cierto número de libros a 2 por $5 y los ven
ganando en a opetación 8. ¿Cuida lia? compa
Compré cierto número de libros a 4 por $3 y un número de libros igual
a los {del múmero de libros anterior a 10 por $7. Vendiéndotos todos
202 por $3 gané 554. ¿Cuántos libros compré?

a 2 por $7,

18,

14
16

16

17

a

99.

%

HtesLane Dt promos © 263

Dividir 150 en cuauo partes, tales que la segunda sea los © de ia pi
mera; fa tercera los 2 de la segunda y la cuarta à de In eeeets

2A qué hora, entre las 9 y las 10 coiuciden las agujas del reloj

A 65 10 años mayor que 8 y hace 13 años la el de B era lo 2 de la
de A. Hallar las edades actuales

A y B trabajando juntos hacen una obra en 6 días, B solo puede hacerla
en 10 días. ¿En cuántos días puede hacerla Ar

Dividir 650 en ds parts als que sila mayor se divide ent 6 y Ja
menor se dismimuyo"on 20, los semlados son Iguales

La edad actual de À cs 4 de la de 8; hace 10
cdndes actes

Hallas dos mómeros consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados
exceda cn 43 2 2, del número menor,

Un capataz contrata un obrero olreciéndole un sueldo anual de 9000
suo y

sortija, Al cabo de 7 meses el obrero es despedido y recibe
1900 sucres y la sortija, ¿Cál era el valor de la sortijaz

Una suma de $129 se reparte por partes iguales entre uen número d
personas. Si el ero de personas hubiera sido L mis de las que Habia,

cada persona hubiera recibido $2 menos, ¿Entre cuántas: personas we
reparué el dinero?

Un hombre compró ciento. número de libros por $400. Si hubiera coy
prado + mis del nimeso de libros que compró por el mismo din

cada libro le habría costado $2 menos.
pagó por cada uno?

Se ha repartido cierta suma entie 4, D y C. À recibió SD meuin que
la mitad de la sun; 3 $20 más que los 2 de la suma y € el reno, que
eran $30. ¿Cuánto recibieron À y 8?

Compré

era 2. Hallar lay

juäntus libros compró y du

to miimero de libros a 5 libros por $6. Me quedé con +

de los libros y vendiendo el resto a 4 libros por $9 gané $9. ¿Cuámos
libros compré? es

Un hombre dejó la mitad de su forma a sus hijos: À a sun herma-
1; + a un amigo y el resto, que eran 2500 colones a un asilo, ¿Cuál

era su fortuna?

Un padre de fail
su a À en ropa,
1a seo ani?

sista fos À de su sucldo. anual en atenciones de
em pascos y ahorra 810 balboas al año. ¿Cuál es

Un Nombre gastó el año antepasado tos E de sus ahoxrow; el a

0 pasado.
de sus ahorros inici

es; ste año À de lo que le quedaba y aún tiene
$100. ¿A cio meendfan sus ahorros?

132. 264 @ acens

23. Dividir 360 en dos partes, tales que la diferencia entré la. parte menor
y los © de la mayor equivalga a la diferenci
de la menor.

20. Se he repartido certs suma entre A, B y G. A recibió $15; 2 tanto
como A más los & de lo que recibió € y € tano como À y D jumos
¿Cuál fue la: sunt repartida?

50. Tengo $9.60 en peso» picas de 20 centavos y 10 centavos respectivas
mente. El nimero de piezas de 2) ceutavos es os * del numero de pesos
y el número de piezas dé 10 centavos es los 2 del número de pics de
20 centavos. ¿Cuímtas monas de cada clase tengo?

31. Un comerciante perdió cl pri

cre la parte mayor y los E

wer año + de su capital; el segundo año
and una cantidad igual a los À de lo que le quedaba; el tercer ado
ané los à de lo que tenía al terminar el segundo año y entonces tiene
2 quetzales. ¿Cuál cra an capital primitive?
32. A y 8 tienen la misma edad. Si A tuviera 10:años menos y 15 años
más, la edad de À sería los À de la de A. Hallar la edad de 4.

A ee Re e e
Raton tas de maca, ue Jomendo un teddy we que
Teal Gare Poni Eten neu mine us oy ca
decid, eats hones i a Pr eng
ade

3% Gase os & de lo que tenía y $20 mis y me quedé con a cuarta pane
de lo que tenia y SIG mis, ¿Cuánto tents?

36.4 empieza a jugar con derta soma. Primero ganó una caiidad igual
à lo que tenia al empezar a jugar; después perdió 60 lempiras mis tale
perdió À de lo que le quedaba y perdiendo nuevamente una cantidad
igual a los 2 del dinero con que empezó a jugar se quedó sin nada
¿Con cuánto emperó a jugar?

30. Un número de dos cilras excede en 18 à sch veces la suma de sus

cifras. Si la cilra de lus decenas excede en 5 a la ilra de las unidades,
¿cuál es el miimero?

La suma de las cifras de
se de resta 27 las ciltas se

número menor que 100 es 9. Si al número
nvierten, Hallar el numero.

88. En un puesto de rutas habia cierto número de mangos. Un ciente com.
bed de los mangos que Había más 4 mangos: oto cinto compró &

de ls que quedaban y 6 más, un tercer cliente compró la micad de 10
Que, queda y Dubé, y ¢ acabaron los mango, Cakes mans
había en el puesto? ee

30, A tenia $80 y B $50, Ambos ga

von igual suma de dinero y ahora D

tiene Jos Cuánto gané cada uno?

de lo que tiene A,

a.

a

45.

An,

m.

MISCILANEA BE rromumas © 265

Compré una plumafuente y un lapicero, pagando: por és los 2 de lo
que pagué por la pluma. Si la pluma me hubiera costado 20 ets, men
y el lapicero 30 cts. más, el precio del Inpicero habria sido los 2 del
precio de la pluma. ¿Cuánto costó la pluma y cuánto el tapicero?
EL Tunes gasté la mitad de lo que tenía y $2 más; el martes la mitad de
lo que me quedaba y 52 más; el miércoles la mitad de lo que me que
daba y $2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes ames de
gastar nad
Un hombre ganó el primer año de sus negocios una cantidad igual à
tad del capital con que emperó sus negocios y gastó. SODIO: 6)
and, una cantidad gual a la mind de o que tenia y ¿aro
Je año ganó una cantidad igual a La mitad de lo
«que tenía y Separó $6000 para gastos. Si su capital es entonces de 392240,
cuál exa su capital primitive?
Un hombre compró un bascón, un sombrero y un traje, Por el bastdn
pagô SIS. El sombrero y el bastón le costaron los & del precio del traje
y el traje y el bastón $5 mis que el doble del Sombrero. ¿Cuánto le
costó cada ‘com?
Un conejo es perseguido por un perro. El conejo lleva una ventaja
inicial de 50 de soa saltos al perma El conejo de 5 salir micas Ll
perro da 2 pero el perro en 3 saltos avanza tanto como cl conejo eN
# saltos. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzır al conejo
Una licbre leva una ventaja inicial de 60 de sus saltos a un perro. La
licbre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro cn 5 saltos avanıa
tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para ale
sue à Ta liebte?
¿A qué hora, entre las 10 y las 11, está el minutero. exactamente 4
Minutes del horario?

Ay B emprenden un negocio aportando 3 los À del capital que aporta A
El primer año A pierde À de su capital y B gana 3000 bolívares; el
segundo año A gana 1600 bolivares y B pierde 4 de su capital. Sial nul
¿le segundo año ambos socios denen el mismo" dinero, ¿con cuámo cl
tend cda uno el negocio)
Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuänton
» fa edad del padue será igual à la suma de las exades de los jos?
Un hombre que está en una ciudad dispone de 12 horas libres, ¿Qué
nel podrá recone Macael campo ci un aut que va a SR

por hora si el viaje de vuelta debe hacerlo en un caballo que anda
10 Km por hora?

Compre

caballo, un peno y un buey. El buey

1 costaron ef doble que el cal
me costaron 6) veces lo que el pero. ¿Cu
y cuánto el pero?

ne costó $40. El
ilo y el exbatloy el
nio me com el cabo

133. 266 @ cuna

(235) PROBLEMA DE LOS MOVILES

Sean los móviles m y m’ animados de movimiento uniforme, es decir,
que la velocidad de cada uno es constante, los cuales se mueven en la mis-
ma dirección y en el mismo sentido, de izquierda a derecha, como indican
las Mechas.

Suponemos que el möril m pasa por el punto A en el misino instante
en que el móvil m‘ pasa por el punto B, Designemes por a la distancia
entre el punto À y el punto B.

Sea v Ja velocidad del móvil m y v' la velocidad del mó
pongamos que v>2", 3
Se trata de hallar a qué distancia del punto A el móvil m alcanzará
al móvil mé,

Sea el punto £ el punto de encuentro de los móviles. Llamenos x
à la distancia del punto À al punto E (que es lo que se busca); entonces
la distancia del punto B al punto £ será x—a.

El móvil m pasa por À en cl mismo instante en quem” pasa por Ib
y m alcanza luego, es evidente que el tiempo que emplea el
móvil m en ir desde À hasta £ es igual al tiempo que emplea el mu
eu ir desde B hasta E. Como el movimiento de los móviles es un
el tiempo es igual al espacio partido por la velocidad; Inego:

El ciempo empleado por el móvil m en ir desde A hasta £ será igual
al espacio que tiene que recorrer x partido por su velocidad u..0 sca

El tiempo empleado por el móvil m' en ir desde B has

13 E será igual al espacio que tiene que recorrer x—a par EA
tido por su velocidad v/, o sca ‘2. Pero, según se

antes, estos tiempos son iguales; luego, tenemos la ecuació
Resolviendo: vx =us 0)
vaux an
vxux= uv

promena De sos Moves @ 267

Cambiando signos a todos los términos: vx —v'x:
x(0-0)

fórmula que da la distancia del punto A al punto de encuentro £ en fun:
ción de a, la distancia entre À y B, cantidad conocida y de las velocidades y
y v' de los móviles, también conocidas.

DISCUSION

La discusión de esta fórmula «=2 consiste en saber qué valores
toma x de acuerdo con los valores de a, 9 y w en cuya función viene dada y

Consideraremos cinco casos, observando la figura:
) N > 1 El numerador av es positivo y el denominador v= e
positivo por ser el minuendo # mayor que el sustraendo +’; luego, x es po:

sitiva, lo que significa que el móvil m alcanza al móvil m’ en un punto
situado a la derecha de 4.

2) <0". El numerador av es positivo y el denominador v—w' ci
negativo por ser el minuendo v menor que el sustracndo v'; luego, x es ne
gativa, lo que signitica que Tos móvilessi se encontraronfuden um punto sh
tuado a la izquierda de A, y a partir de ese momento, como la velocidad de
m es menor que la de m’, éste se apartó cada vez más de m, hallindoye
ahora a una distancia a de-é), distancia que continuará aumentando,

3) F=V% La fórmula x =" se convierte en x= =e, lo que
significa que los móviles se encuentran en el infinito; ast se expresa el ho
«lio de mantenerse siempre a la misma distancia a, ya que la vela
65 igual a la velocidad de m’,

4) V= y amd, La fórmula se convierte en x=
indeterminado, lo que significa que la distancia det punto dal punto de
encuentro es cualquiera. En efecto, siendo a=0, los puntos A y B coinci-

den; Juego, los
cualquier distancia de A estar:

¡óviles están juntos y como sus velocidades son ig

juntos.

0) 1 ex negativa. (EL móvil m’ va de derecha a izquierda). La tor
a av

vv) whe

el denominador también; luego x es positiva, pero menor que a

la se convierte en

El munterador es positivo y

En efecto; La fracción

que es el valor de x, puede escribirse

es una fraccién menor que 1 por te

), donde ei fac

erador menor que'el denominador y al multiplicar « par un:

134. ProsLens DE Los Movies @ 269

268 @ serena
m EJERCICIO 159

cantidad menor que 1, el producto será menor que a. Que x es posit
y menor que a significa que los móviles se encuentran en un punto situa-
do a la derecha de À y que este punto dista de A una distancia menor
que a, 0 sea, que el punto de encuentro se balla entre À y Ba

Si en la lips de que ves me wong
iva suponémos que y=w, la fórmula se con- ete
ete en —— ql ie
© sea, que el punto de encuentro es precisamente el punto medio de la
línea AB.

G39) ArLICACION PRACTICA DEL PROBLEMA DE LOS MOVILES

Ejemplos |

41) Un auto que va a 40 Km por here pasa pot el punto A en el mismo instonte
en que olto culo qué vo a 40Km por hora paso por el punto B, situado
a lo dececho de A y que disto de A BD Km. Ambos siguen la misma direc-
ción y van on el mismo sentido. ¿A qué distancia de A so encontrarón?

Un corredor que parte de À da una ventaja de 30 m a ouo que parte
de De EL 19 Dace' m por segundo y el 2" 5 m por seg, ZA QU die
tancia de À se encontrarán?

2. Dos autos parten de A y 8 distantes entre sí 160 Kim y van uno hacia
el otro, EI que pane de À va a 50 Kim por hora y el que parte def
4.90 Km por hora. ¿A qué distancia de À se encontrarán

3, Un tren que va a 90 Km por hora pasa por À en el mismo instante
‘en que otro que ya a 40 Kim pasa por B, viniendo ambos hacia €. Distt
cia entre À y B; 200 Km. ¿A qué distanciasde A y B se encontrado

4. Un auto que va a 90 Km pasa por À en el mismo instante en que ott
tuto que ya a 70 Km pasa por By ambos van en el mismo sentido, QUE

tiempo tardarán en encontrarse s 8 dita de À 80 Kin?

6; Un tren que va a 100 Km por hora pasa por A en el mismo instante
que otro fren que va a 120 Km por hora pasa por By van uno hacia
el otro, A dis de 1 350 Kin. ¿A qué distancia de À se encontrarán
y a qué hora si los trenes pasan por 4 y B a las 8 a.m?

& Dos personas, A y B, distantes entre sí 70 Km, parten en el mismo
instante y van uno hacia el otro. A va a 9 Km. por hora y B a5 Ki
por hora. ¿Qué distancia ha andado cada una cuando. se encuentran)

7. Dos personas, À y B, distantes entre si 204 Km parten, B, media hora
después que A y van uno hacia el otro. À va a à Km por hora y fl à
4 Km por hora. ¿Qué distancia ha recorrido exda uno cuando se CHU?

8, Un tren de carga que va a 42 Kin por hora es seguido 3 horas después
por un tren de pasajeros que va a 60 Km por hora. ¿En cuántas horas
el tron de pasajeros alcanzará al de carga y 2 qué distancia del pute
de parida?

D. Dos autos que llevan la misma velocidad pasm en el mismo instante
pot dos puntos, A y D, distantes entre si 186 Km y van uno hacia
el otro. ¿A qué distancia de À y 2 se encontrarán?

Lo fórmula es x ~ + En esto caso „ax En
0=0 km vad ko por ham, à a mt

W=40 Km por hora, luego: —

ado a 240 Km a la derecho de A. Re

Pa ar ps ae todo on econ
fro no hoy més que Si lapa por

leona, Srl puna de mio es (Do Kall TG

À 20 Le de Aro woe ar Cos: Fatal.

on À Ba a 6 Kon por bol, Pan Bone à Dies
Fée PASA

Luego se encontrarón en un punto

{21 Un auto posa por la ciudad A hacia la ciudad a 40 Km por hora y en el
‘mismo instante otto auto paso por B hacia A a 35 Km por hora. Lo dis-
tenia te A y Be 200 Kn. 1A qué dci de À y 8 se enconarn y
cuánto tiempo después del instante de pasar por el
En esto coso @= 300 km, v=40 Km por hora, v=35 Km por hora y
como van uno hacia el otro, Yes nogativa, Ivoge:

Se encuentra o 160 Km de la ciudod A, R.
La distencia del punta de encuentro © lo ciudod # será 300 Km —160 Km
140 Km. R.

160,
iompo empleado en encontrarse ha sido 2 =4 horas, R,
Eltiempo empleado. rors ho 5

135. 271182818

FORMULAS

Gi) ronmura es la expresión de una ley o de un principio general por
medio de simbolos 0 letras.

Asi, la Geometria enscña que el area de un triángulo es
igual a la mitad del producto de su base por su altura. Llaman:
do A al área de un triángulo, b a la base y dea Ia altura, este prio-
cipio general se expresa exacta y brevemente por la Fórmula —
que nos sirve para hallar el área de cualquier triángulo
con sólo sustituir D y he por sus valores concretos en el
aso dado. Así, si la base de um triángulo es 8 m ysu
altura 9 ms dea sera; 0

G58) uso Y VENTAJA DE LAS FORMULAS ALGEBRAICAS
Las fórmulas algebraicas son usadas en las ciencias, como Geometría,
Fisica, Mecánica, etc, y son de enorme utilidad como apreciará el alumno
en el curso de sus estudios.
La ja de las fórmulas algebraicas es muy grande

1) Porque expresan brevemente una ley o un principio general

2) Porque son Fáviles de recordar. 3) Porque 1 es muy Fc

270

Formuas @ 271

pues para resolver un problema por medio de la formula adecuada, basta
sustituir las letras por sus valores en el caso dado, 4) Porque una fórmula
nos dice la relación que existe entre las variables que en ella intervie
pues según se ha probado en Aritmética, la variable cuyo valor se da por
medio de una fórmula es directamente proporcional con las variables (fac
tores) que se hallan en el numerador del segundo miembro € inversamente
proporcional con las que se hallen en el denominador, si las demás perma
hecen constantes.

(239) TRADUCCION DE UNA FORMULA DADA

AL LENGUAJE VULGAR

Para traducir una fórmula al lenguaje vulgar, o sea, para dar la regla
contenida en una fórmula, basta sustituir las letras por las magnitudes que
ellas representan y expresar las relaciones que la fórmula nos dice existen
entre ellas. Pondremos dos ejemplos:

BE), en que À

representa el área de un trapecio, I su aluura, b y b' sus Bases.
regla es: El área de un trapecio es igual al producto de su altura
por La semisuma de sus bases.

1) Dar la regla comenda enla fórmula 4H

2) Dar la regla contenida en la fórmula v=, en que u represen

Jn velocidad de un móvil que se mueve con movimiento uniforme y € el
espacio recorrido en el tiempo £.

La regla es: La velocidad de un móvil que se mueve con movi
uniforme es igual al espacio que ha recorrido dividido entre el tiempo emo
pleado en recorrerlo,
cuanto a la relación de v con e y £, la fórmula me dicta las dos leyes
siguientes

1) La velocidad es directamente proporcional al espacio (porque e
está en el numerador) p no tiempo.

2) La velocidad es inversamente proporcional al tiempo (porqu
está en el denominador), para un mismo espacio.

æ EJERCICIO 160

ela te

correspondiente a las fórmulas siguientes:

3: ds 40 siendo 4 el dra de un wid

1Bulo, & su base y À su ater

£= ut, siendo e el espacio reco

ido por un mövil con movin
veloci

y E el tiempo.

136. 272 © nous

Be

£ Las letras tienen el significado del caso anterior.
4. T=Fe, siendo T trabajo, F fuerza y e camino recorrido.
5 422
6

250" siendo A el área de un rombo y D y D' sus diagonales.

kB, siendo Y el volumen de un prisma, } su altura y B el área
de su base.

hx siendo Yel volumen de una pirámido, # su aura y À
rinde e ha.

& Ama, siendo A el Aven de un circulo y + el radi. (s es
igual a 81416 0 2),

16 sti cho Stl por dello Ol Male

dds cena altra pariendo del repos, g la aceleración de ta gravedad
(98 m. por seg) y # el tiempo empleado en caer.

10. 4 Tas siendo À el área de un triángulo equilätero y { su lado.

mt

ua constante

u do F la fuerza centrifuga, me la masa del móvil, u u velo-

cidad y + el radio de la circunferencia que describe.

EXPRESAR POR MEDIO DE SIMBOLOS UNA LEY

MATEMATICA O FISICA OBTENIDA COMO

RESULTADO DE UNA INVESTIGACION

Cuando por la investigación se ha obtenido una ley matemäti
sica, para expresarla por medio de símbolos, o sea para escribir su forme
generalmente se designan las variables por las iniciales de sus nombres y
se escribe con ellas una expresión en la que aparezcan las relaciones obser.
vadas entre las variables.

Designando lo altura por h, el área por A y lo bose por b, la fôr.
mule sers — — = 7

(2) Escribir una fórmula que expreso que la presién que ejerce un liquido sobre
el fondo del recipiente que lo contiene us igual a la superlicie del fondo mul.
tiplicada por la allure del líquido y por su densidad.

Designondo lo prosión por P, la superficie del fondo del recipiente por 5, la
altura del liquide por h y sv densidad por d, la fórmula será: P=Shd,

(1) Escribir une Fórmula que exprese que la altura de un
trióngulo es iguol al duplo de su crea dividido entre
le bese.

= EJERCICIO 161
Designando las variables por la
que expresas
% La suma de dos múmeros multplicada por yu diferencia es igual a la
diferencia de sus cuadrados.

icial de su nombre, escriba la formula

a

xo

14

| Ejemplos |

roms @ 273

El cuadrado de la hiporemss de un triángulo rectángulo en igual a la
suma de los 'cuadíndos de los catetos. quí manasa

La base de un crigulo es igual al duplo de su Area avidity ence
La densidad de un cuerpo es igual al peso dividido por et volumen
1 peso de un cuerpo ez igual al producto de su volumen por su densidad
El área de un cuadrado «es igual al cuadrado del ldo,

El volumen de un cubo cs igual al cubo de su aria.

El radio de una circanfercncia es igual a la longitud de la eitcunfe
rencia dividida entre 2x. a = gee:

El cundrado de un eatewo de un triémpulo rectángulo cs igual al cua
rado de la hipotemisa menos cl cuadrado del ot Eat. 0e

El rea de un cuadrado es la mitad del cundrado de su diagonal.

La fuerza de atracción entre dos cuerpos cs igual al produce de un
Constante £ por el eociente que results de dividir et proucto de sinn,
sis de los eerpor por et cundrado de su distancia:

ES po que emplea una :

fondo de un para es igual à la rate cuadrada del duplo de la profi
tld del poro dividido ere 94 ia
El Grea de un poligono regular es igual a la mitad del producto de 4
Apotema. por el permet.

La potencia de una máquina es igual al trabajo que reafiza en 1 segundo.

Gi) exrazo ve ronsuLas EN casos reacricos

Basta sustituir Las letras de la fórmula por sus valores.

(1) Hallar el éree de un tropecio cuya ‘altura mide 3 m
y sus boses 6 y 8 m tespectivamento.

Lo fórmula es A

b4b"
com

Aqui, h=5 m. b=6m, b= 8 ema

luego sunituyando: — 2

(2) Hollor el volumen de una pirámide siendo su allure 12 m y el drea de la
base 34 mi.

La fórmula es

Yıxa
thx,

Aqui, h=12 m, 8

26 mi, luego sultuyende;

137. 274 @ aux
(3) Uno piedra dejado coer desde la azotea de on cdfiio tarda 4 segundos
sn llegar al sueo. Hello la altro del edificio.
Lo obra del edilicio es ol ospecio qu rare la pied.
1
¿e

1=4 509, luego sustituya

Lo fórmula os:

role 98 m.

Lo lira del edificio es 784 m. R.

im EJERCICIO 162
4. Hallar el árca de un sciámglo de 10 cm de base y 8 de altura, À 40h,
2. Hallar cl área de un cuadrado cuya diagonal mide 8 m. À +
3 ¿Qué distancia recoree un móvil en 15 seg. sí se mueve con movimiento

üniforme y leva una velocidad de 9 m por sex? e
4 ¿kn qué tiempo el mismo mévil recorrerá 108 ın?
bo Hallar ba hipotenusa o de un triängulo rectängulo siendo sus catetos

6. La hipotenusa de un triámgulo vectängulo mide 13 m y uno de los
eos 5 wm. Hallar el otro cateto. Da ch, =
Hallar el deca de wn circulo de 5 m de radio, A =z, 5= 7

Mallar la longitud de una civcunferencia de 5 m de radio. C = 2x7.

9. Hallar el volumen de un cono siendo su altura 9 m y el radio de la
base 2 m v

10. El volumen de un cuerpo es 8 cm, y pesa B24 g. Hallar su densidad,
PEE

11. Hallar el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 4 m.

42, Halls la suma de los ángulos interiores de un exägono regular.
S= 180% (N—2}. (Nes el número de lados del polígono).

sr’.

CAMBIO DEL SUJETO DE UNA FORMULA

El sujeto de una formula es la variable cuya valor se da por medio
de la fórmula. ‚Una formula es una ecuación literal y nosotros podemos
despejar cualquiera de los elementos que entran en ella, considerindolo
‘como incógnita, y con ello cambiamos el sujeto de la fórmula.

(1 Dada ls fórmula e = dor hacer
Hoy que despojar ! en esta ecuaci
Suptimiendo detominadores, tenemos

Tiere

Despejendo Fr

Extroyendo lo raiz evorkeda © ambos

sujeto de lo fórmula
ds la incögnite.

ropas © 275

{21 Dada la fórmula $=2R(N— 2} hacer a N el sujeto do le fórmalo,
Hay que despejor N. N es la incógnito.
Elecluando el produclo indicodo: 5 = 2NR —4R.
Tronsponiendor S++ 4R = 2NR

a

A despejar.

Di

El mm. de los denominadores es pp. Qultondo desominaderes tend nl
Pepi.

La incógnita ep. Troniponiendo: pp’ = pl

(A) Despejor a en v= VAR.

Elevande al cuadrado ambos miembros para destrir el radical:
= Da.

Despejando os

Esta operación de cambiar el sujeto de una fórmula sorá de incalculable will
dad paca ol alumno al Matemático y Física.

EJERCICIO 163

la Lula mot despejar y a 18 En = Y despejar dy e

En ash (ES) hacer a e 14 Ene=rt Lar, despejar Va
16. ja, despejar Ya y 0

16. En Patent, despejar hy 7

17. Ense LT, depejar es Ly Y

ct, despejar € 100
Lao, despejar a 18 En EST Re despejar Rel
aka, desp PR
Pat, despej >
à 2. AUD, despejat a, 1 yy
En Da, despejar Y y 2.
ARE EN _ 21. Ew weave, despejar a yr.
et, despejar bye. men 28, depor Q y

Kin Pat. despejar my te

N despejar py fe

138. DESIGUALDADES. INECUACIONES

Se dice que una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la

diferencia a — b es positiva. Asi, 4 es mayor que — 2 porque la dife-
rencia 4—(2)=442=6 es positiva; —1 es mayor que —3 porque
1 (29) ==1+8=2 es una cantidad: positiva.

Se dice que una cantidad a ex menor que otra cantidad D cuando la
dilerencia a—b es negativa. Asi, —1 es menor que 1 porque la diferen-
cía —1=1=-=2 65 negativa: —4 es menor que —3 porque la diferencia

3) =-4+8==1 69 negativa.

De acuerdo con lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad ne-
gativa,

Asi, 0 es mayor q

© —1 porque 0 = (1)=0+1=

|, cantidad positiv

Ge) DESIGUALDAD es un expre

Los signos de desigualdad son >, que se lec mayor que, y <
que. Asi 52 3 se lee 5 mayor que 3: —4<—2 se lee —4

que indica que una cantidad es ma-

216

= A @ 277
(245) MIEMBROS
Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está
à la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del
desigualdad.
Así, en a+b>c=d el primer miembro es a+b y el segundo cdi

TERMINOS de una desigualdad son las cantidades que están separadas
de otras por el signo 4 0 — o la cantidad que está sola en un miembro,
En la desigualdad anterior los términos son a,b, € y —d.

(ir ei tine due ee
sido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos,
que los segundos.
Asi, a> b y e>d son desigualdades del mismo sentido.
Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo
ido cuando sus primeras miembros ho son ambos mayores o menores
sue los segundos miembros, Asi, 323 y 1<2 son desigualdades de sentido
contrario.

(649) PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1) Sia los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una mis:
ad, el signo de la desigualdad no varía.

Asi, dada la desigualdad «>0, _ FESSES
pottemos escribir: 704

CONSECUENCIA
Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un
mbro al otto cambiándole el signo,

Asi, en la desigualdad a> b+e podemos pasar € al primer miembro
con signo — y quedará a—e>b, porque equivale a restar € a los dos
miembros.

cantidad posi

CONSECUENCIA
Se pueden suprimir denomi

el signo de la desigualdad, porq

ores en una desigualdad, sin que varie
ello equi multiplicar todos los 1ér

139. 2186 soma

minos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.
nominadores.

de los de-

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen
Por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.

Asi, si en la desigualdad a> b maleipli- | aS te,
camos ambos miembros por —6, tendremos: — 7
y dividiéndolos por — c, o sea mul- 8%
tiplicando por — L tendremos; ee
CONSECUENCIA

Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros
de una desigualdad, el signo de la desigualdad varía porque equivale a
multiplicar los dos miembros de la desigualdad por 1.

Asi, si en la desigualdad a—b>=c cambiamos el signo a todos los
términos, tendremos: b-a<c.

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.
Asi, si a> b es evidente que b<a.

5) Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo,

Así, siendo a>b se tiene que L<L,

y
8) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a
una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, 5>3. Elevando al cuadrado: 53° 0 sea 25>9,
7) Si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a tuna
potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.
Así, —3>—5. Elevando al cubor(—3)> (—5ÿ 0 sea —27> — 125,

do al cubo: 2>
8) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma po-

tencia par positiva, el signo de la desigualdad cumbia.
—3> 3. Elevando al cuadrado: (-23)%=9 y (—5)'=25 y que.

— 2) user 8> 8.

da 9225,
5) Si un miembro cs positivo y otro negativo y ambos se elevän a una
misma potencia par positiva, el signo de la desigualdad puede cambias
Así, 3>~6. Elevando al cnadrad ¥(-8F=25 y queda 9 <35.
Cambia.
8>-2. Elevando al cuadrado: #=64 y (2%=4 y queda 64>4.
No cambia.

inecuacionts 9279

10) Si Jos dos miembr
extrae una misma raíz posi
Asi, si a>b y n es posit

de una desigualdad son positivos y se les
. el signo de la desigualdad no cambia,
0, tendremos: YA > VB.

11) Si dos o más desigualdades del mismo signo se suman o mulipli.
can miembro a miembro, resulta una desigualdad del mismo signo.

Asi, si a>b y cmd, tendremos: a+c>b+d y ac> bd.

12) Si dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro
a miembro, el resultado no es necesariamente una desigualdad del mismo
signo, pudiendo ser una igualdad.
Así, 10>8 y 5>2 Restando miembro a miembro: 10=5
=6; Ingo queda 5<6; cambia el signo.
Si dividimos miembro a miembro las à

luego queda 2

By

ualdades 10>8 y 5>4, té
, igualdad.

10
nemos 22 y À

INECUACIONES

(249) UNA INECUACION es una desigualdad en la que hay una o mis

cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica para deter
jados valores de las incógnitas. Las ineeuaciones se Haman también
desigualdades de condición.

Asi, la desigualdad 2x—3>x-1-5 es una inecuacién porque tiene la
incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8,

En efecto: Para x=8 se convertiría en igualdad y para x<8 se col
vertiria en una desigualdad de signo contrario.

(250) RESOLVER UNA INECUACION es hallar los valores de las jucóguitas
que satisfacen la inecuación

(251) PRINCIPIOS EN QUE SE FUNDA LA RESOLUCION
DE LAS INECUACIONES
La resolución de las inccuaciones se funda en las propiedades de
gualdades, expuestas anteriormente, y en las consecuencias que de
y se derivan.

119 Rooker I nern 2495048
Ejemplos | sonda à De malos 7 à eh
Ro

Reduciendo: PET

8 es ol lito inferior de x, ox decir que la desigualdad dada sólo so ver
para los volores de x moyores que 8.

140. 2800 mama

ese pro

x 5%
lar ol limito de x en 7 — >

(2) Hall ito de x on 7 > — 6,

Suprimionde donominadoros: 42— 3x > 10e~36,

Transponiendo: Be Où > 3642,

136 > 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace combior el signo de la
desigualdad, se tiene: 13x < 78.

ae a ie on an a Gu
Seen ee ee

Hollar el límile de x en [x 3){x—1)<(x— TP + 3x,
See ee Ue a aaa
‘Suprimiendo x? en ambos miembros y transponiando: 2x + 2x — 3x <1 +3

8

wur
es el Hite superior de x.
EJERCICIO 164
Hallar el limite de x en las ineouaciones siguientes:
seit. 10. PAD).
in. e
s-6>21-8x A Teen
MATA, DH. Beto
Pr
M.
15.
ON
AE). 16.

17, Hallar los m
en 15 sea major que su mit

jo tercio anmentado
aumentada en 1

INECUACIONES SIMULTANEAS

E

mplos ]

INECUACIONES SIMULTANEAS som inecuaciones que tienen solu-

— ME

40) Hallo qué vo
Ins ineevacion
Resolviendo la primero: 2e> 6-+4
>> 10
55
Resolviendo la sogundos 3x 14—5
329
>.

mscuacionts 8 28]

La primora inecvación se salisface para x 2 5 y la segunda pora x > 3, luego
lomames como soluciôn general de ambos x > 5, yo que cualquier valor de.
x moyor que 5 será mayor que 3.

Luego el limite inferior do los soluciones comunes es 5. R.

Hallar el limite de las soluciones comunes 0 las
incevaciones: A
Resolviendo la primera: 3x< 16-4
me
ach
Resolviendo la segundo: — >
=>
x<2
La solución común es x < 2, ya que todo valor de x menor que 2
le es menor que 4.
Luego 2 os el limite superior de los soluciones comunes. R.

2

+6
2

a

Hallor el límite superior o inferior de los valores és
x que satislacon los inecvacionos: — | =
Resolviendo In primora: Sx- 3x > — 2410
>
x>4,
Resolviendo lo: segunda: 3x 2x < 6
05,
La primera se satistaco para x > 4 y la segunda para x<5, luego todos los
valores de x que seon a la vez mayores que 4 y menoroz quo 5, solislacen
‘inks ineeuaciones.
Luego 4 es el limite inferior y 5 el limite superior de Tos solecionos comunas
lo que so expresa 4ax<5. R

EJERCICIO 165

Hallar cl limite de las soluciones comunes a:
SIDS y QeesaaT. 4 Beta té y S70< 10100
-x>-6 y 2x40>3x. 8

5 Lau.
Mt ó>dx+1L y 4-2x>10—5x. 2 ur Ve a

Ox

Hallar el limite superior € inferior de las soluciones comunes a:
Bar 10 y xd Dx 6,

East 3,8

ES te
ADE y (AAA.
ee eel

0 eed
Hallar lor números enteros cuyo triplo menos sea mayor que su mi-

ta mis y apo cap uma en 3 sn mene gu se ils
aumentado en 16. 5 i 4

141. (54) CONSTANTES Y VARIABLES

Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son cons-
tantes cuando tienen un valor fijo y determinado y son variables cuando
toman diversos valores. Pondremos dos ejemplos.

an metro de tela cuesta $2, el costo de una pieza de tela depen-
mero de metros que tenga la pieza. Si la pieza tiene 5 metros,
el costo de la pieza será $10; sí tiene 8 metros, el costo será S16, etc, Aqui,
el costo de un metro que siempre es el mismo, $2, es una constante, y el
húmero de metros de la pieza y el costo de la pieza, que toman diversos
valores, son variables.

¿De qué depende en este caso el costo de la pieza? Del número de
metros que tenga. El costo de la pieza es la variable dependiente y el nü-
amero de metros Ja variable independiente.

2) Si um móvil desarralla una velocidad de 6 m por segundo, el es.
pacio que recorra dependerá del tiempo que esté andando, Si anda du:
rante 2 segundos, recorrerá un espacio de 12 m; si anda durante 3 segun-
dos, recorrer un espacio de 18 m. Aq
y el tiempo y el espacio recorrido, que ton

la velocidad 6 m es constante

in sucesivos valores, son variables.

282

runciones 0 283

¿De qué depende en este caso el espacio recorrido? Del tiempo que
ha estado andando el móvil. :mpo es la variable independiente y el
espacio recorrido la variable dependiente.

5) FUNCION

En el ejemplo 1) anterior el costo de la pieza depende del múmero de
Metros que tenga; el costo de la pieza es función del número de metros,
En el ejemplo 2) el espacio recorrido depende del tiempo que haya
estado andando cl móvil; el espacio recorrido cs función del tiempo.
Siempre que una cantidad variable depende-de otra se dice que es
función de esta última,
La definición moderna de función debida a Cauchy es la si
Se dice que y es función de x cuando a cada val

La notación para expresar que y cs función de x es y=f{x).

(256) FUNCION DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Y DE VARIAS VARIABLES

Cuando el valor de una variable y depende solamente del valor de
oua variable x tenemos una función de una sola variable independiente,
como en los ejemplos anteriores.

Cuando el valor de una variable y depende de los valores de dos o más
variables tenemos una función de varias variables independientes.

Por ejemplo, el área de un triángulo depende de los valores de si
base y de su altura; luego, el área de un triángulo es función de dos varla-
bles independientes que son su base y su altura, Designando por A el Área,
por b la base y por h la altura, escribimos: À = (bh).

El volumen de una caja depende de la longitud, del ancho y de la
altura; luego, el volumen es función de tres variables independientes

Designando el volumen por +, la longitud por 4 el ancho por a y la
a por Ih, podemos escribir: u=/(La lo.

(5) LEY DE DEPENDENCIA

Siempre que los valores de una variable y dependen de tos valores de

a variable x, y es función de x; la palabra función indica dependencia.

o no basta con saber que y depende de x, interesa mucho saber cómo

depende y de x, de qué modo varía y cuando varía x, la relación que I

bles, que es lo que se Hama ley de dependencia entre las

(258) EJEMPLOS DE FUNCIONES, PUEDA O NO ESTABLECERSE
A” MATEMATICAMENTE LA LEY DE DEPENDENCIA

No en todas I

modo preciso ia r
diente con la variable

inde

142. 284 @ actora

dcpendiente o función, es decit, no siempre se conoce la ley de depen-
dencia.

En algunos casos sabemos que una cantidad depende de otra, pero no
conocemos la relación que liga a las variables. De ahí la división de las
funciones en analíticas y concretas,

FUNCIONES ANALITICAS

Cuando se conoce de un modo preciso la relación analítica que liga
a las variables, esta relación puede establecerse matemáticamente por me-
Gio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de
la variable independiente, hallar el valor correspondiente de la función,
Estas son funciones analíticas.

Como ejemplo de estas funciones podemos citar las siguientes:

El costo de una pieza de tela, función del número de metros de la
pieza. Conocido el coso de un metro, puede cateularse el costo de cual:

er número de metros.

TE tempo empleado en hacer una obra, función del mümero de obre-
vos. Conocido el tiempo que emplea cierto número de obreros en hacer
la dura, puede calcularse el tiempo que emplearia cualquier otro número
de obreros en hacerla.

EI espacio que recorre un cuerpo en su caida libre desde ciéxta alt
función del tiempo. Conocido el tiempo que emplea en caer un móvil,
puede caleularse el espacio recorrido,

FUNCIONES CONCRETAS

Cuando por observación de los hechos sabemos que una cantidad de:
pende de otra, pero no se ha podido determinar la relación analitica que
ga a las variables, tenernos una función concreta. En este caso, la ley de
dependencia, que ho se conoce con precisión, no puede establecerse mate,
indticamente por medio de una fórmula o ecuación porque la relación fun-
cional, aunque existe, ho es siempre la misma

‘Como ejemplo podemos citar la velocidad de un cuerpo que se des
liza sobre otro, función del roce o frotamiento que hay entre los dos cuer-
pos. Al aumentar el roce, disminuye la velocidad, pero no se conoce de un
Modo preciso Ta relación analítica que liga a estas variables, Muchas leyes
fuera de ciertos límites, son funciones de esta clase.
En los casos dé funciones concretas suclen construirse tablas o gráficas
en que figuren los casos observados, que nos permiten hallar aproximada.
serie el valor de la función que corresponde a un valor dado de la var
riable independiente.

Se que A varia directamente à 0 que A es directamente propor
cional.a 8 cuando multiplicando o dividiendo una de estas dos variables

runciows © 285

pot uva cantidad, la otra queda mi
cantidad. ep

plicada o di

idida por esa misma

Sun mévl que e muevo con ovine

us indi lao

À aro Fm 79 minor veces Wk

Sinn cor kg wl pen
altos propio! pepe sl

tiempo y viceversa. is N ds

(ESO) Si À es proporcional a B, A es igual a 8 multiplicada por una conv

tante.

En el ejemplo anterior, la relació H
de Sale anti, esac, etre pad ol Keil

En efecto:

En 10 min el móvil recorre 30 Km; la relación es 2
10

En 29 min el mdvil recorre 60 Km: la relación es Y

En 5 min el móvil recorre 15 Km: la relación es 2
En general, i es proporcional a B,

; cionala B, la relación

entre 4 y B es consumer luego, designando esta

constante por À, tenemos —_ 2

VARIACION INVERSA

dice que À varía inversamente a Bo que À cs inversamente pro:
B cuando multiplicando o dividiendo una de estas variables
en el primer caso y multiplicada

Si 10 hombres hacen uno abre en 6 hotes, 20 hombres lhordn
jemplo 2 ¡oros y 5 hombres sn 12 teja Ket le vorab Hanna
Noble moro de ombres y Semen

si Aw mann proper
a inven proporcional a B, A es igual a una consta
7 dividida entre B. ? amen

En el ejemplo anterior, el producto del numero de hombres por el
hacer la obra cs constante. En efecto:
10 hombres emplean 6 horas; el producto 10% 6 601
mv 8 horas; ef producto 20%
in 12 horas; el producto 5x1

6 hombres empl

En general, si À es inversi
« 1 el producto AB es consta
eus constant por k, tenemos

€ proporcional
e; luego, desiguando.

143. 286 © rrcrana

YARIACION CONJUNTA

Si A es proporcional a B cuando € es constante y À es proporcional
a € cuando B es constante, À es proporcional a BC cuando B y C varian,
principio que se express: A=KBC,
donde k es constante, lo que se puede expresar diciendo que si una
cantidad cs proporcional a otras varias, lo es a su producto.
El área de un triángulo es proporcional la atra, ia base
vs conslome y es proporcional a la bois si la alla es cone
ane, luego à le base y 1a aluro vorion, el res cs prepoiio-
al at producto de lo bene por la alle. Siendo À ef dron,
Ble bee y h la clara tenemos:

A= tbh

y lo constant k=} for Geoneic)Ivego A= Jh.
G68) VARIACION DIRECTA E INVERSA A LA VEZ

Se dice que A es proporcional a B e inversamente proporcional

4 € cuando A es proporcional a la relación — lo que se expresa:

RESUMEN DE LAS VARIACIONES
Si A es proporcional a B...

Si A es inversamente proporcional a IB

Si A es proporcional a B y

Si A es proporcional a B €
proporcional a €..

(1) A es proporcional a 8 y A=20 cuando 3
Hollor A cuando 8:
Siendo A proporcional a B, se tiene: A=40,

Para kallor la constante k, como A=20 cuon-
do 8=2, tendremos

Si k=10, cuondo

4, A woe

A= =10X6=60. R

12) A cx inversomente proporcional o 8 y A= 5 cuando
Follar A cuando B= 10.

Coma A es inversomente proporcional a 8, se tiene: A

Hollemss k, haciendo A=5 y B= 4
k

5 2,

Siendo k= 20, cuando 8 = 10, A valde’:

CE

13) 4 es proporcional o B y C;
Hollar 8 euande. À =15 y C=5,
Siendo A proporcional a 8 y C, se liene: A=4BC, (1

Para hallar ke

Fora bollor 8 lo despejamos en (1): 8= À.

2

Sustiuyende A= 15, &

endiemor.

(4) x es proporcional o y e inversamente proporcional =.

Six=4 wondo y =2, 7 = 1, hollor x cuendo y =5, 2=15.
Sendo x reporciona a y e inversement prporconol a,
Haciendo x=

se ti 7

Haciendo en (1) k= 6, y =

AA
EJERCICIO 166

x 0 proporcional a y. Si +=9 cundo y=6, hallar x cuando y= 8

à es proporcional a y. Si y=8 cuando x=2, hallar y cuando x = 2.
2,5 propotcioal à By 6. Si 4280 cuando B=2 y C=5, Malla À

x es proporcional a y y a x Si x=4 cuando y=3 y 2=6, hallar y cuando
ee Ei 4

4 es imersamente propmeional a E Si 423 cuando B=5, halla À
¿usando #27.

Bes inversamente proporcional a 4, Si 4
cuando B
A cs proporcional a B € inversamente proporcional a €. Si 4=8 cuando
Bed hall cando DS ODA, El

x es proporcional x y © inversamente proporcional a 2. Si x=
ou 228, balla 2 cuando „=, x= 10.

x es proporcional a 9?—1, Si x=48 cuando y=3, hallar x cuando y = 7.
x es inversamente proporcional a, 3?—1. Si x=3 cuando y=3 hallar x
cuando y= 5.

a de un ido es proporcional al cuadrado de su di
el area es 18 mé cuando la diagonal €s 6 m. hallar el rea en
la diagonal sea 10 m.

El área lateral de una pirámide regular es propor
12 m y el perimetro de la base 50
0m y el perimetro de la base 40

+ quando 2

1
he hallar 4

cuando

do el apotema es
hallar el área cuando el

144. 288 @ arcana

lonal a su altura y al área de
su base, Si el volumen de una pirámide, cuya altura cs 8 m y el ârea
de se hase 26 mes DR mi, gu será el leen de uns pirimide
cuya altura es 12 m y el área de su base 64 a? E

14. EN Area de un círculo es proporcional al cuadrado del radio. Si el área
de un circulo de 14 cun de radio cs 610 ent, ¿cuál será el área de un
ireulo de 7 com. de radio? A

15. La longitud de ena circunferencia es proporcional al radio, Si una cir.
cuntercncia de 7 cm de radio tiene una longitud de 44 cm, ¿cuál es el

«dio de una circunferencia de 66 cm de longitude
eq inversamente proporcional al cuadrado de y. Cuando y=6, ¥=4.
ar y cando ve

FUNCIONES EXPRESABLES POR FORMULAS 3
En general, las funciones son expresables por Körmulas 0 ecuaciones

‘cuando se conoce la relación matemática que liga a la variable dependi
te o función con las variables independientes, o sex cuando se conoce la
ley de dependencia

En estos casos habrá una ecuación que será la expresión analitica de
Ja función y que define la función,

Así, Ox, y= Bet, yout Ben
son funciones expresadas por ecuaciones o fórmulas

2841 cs una función de primer grado; 24%, de segundo
4x1, de tercer grado.

Los ejemplos anteriores son funciones de la variable x porque a cada
valor de x corresponde un valor determinado de la función.

Para x= y=2X0 +121

En efecto: Considerando la em est
función 2x +1, que representamos
por y. tendremos:

12.El volumen de una pirá

x=-2, =P) + 1=3, etc

x es la variable independiente e y la variable dependiente.
DETERMINACION DE LA FORMULA CORRESPONDIENTE

A FUNCIONES DADAS CUYA LEY DE DEPENDENCIA
SEA SENCILLA

11) El costo de una pieza de tela es proporcional al nü-
mero de metros. Determiner In fórmula de le función
costo, sobiendo que une pieza de 10 metros cuesto $20,
Designando por x la variable independiente número de

metres y por y la funcién corto, tendremos, por ser y proporcional a x
m

situyendo y = 30, x = 10
Entonces, como la constante es 3, svitityyende este valor
en (1), lo función costo. vendrá dada por la ecuación:

runcionas 0 289

(2) E eo do un cusdrado es proporcione al cundrado de su diagonal. Hal
te Wma dla de on cuca op fotón delo dogoral bende un
el roo de un evaded euro dioganal wile Bm cs 32 me,
Qesignondo por A el êtes y ASADA |
por la diagonal, tendremos, A

Ba

d A= 32 y DER =:
Susttuyendo k= 4 on (1), el éres de un cuadrado on
funciéa-de la diagonal, vendrá dado por la fórmula: ——

(3) La altra de una phémide es proporcional ol volumen il área dela be m
constante y es inversamente proporcional al área de lo base si el volve
3 constante. Determinar la (ósmula de la altura de una pirämide en lst
ción del volumen y el área de la base, sabiendo quo uno pliómido cy
altura es 15 m y el Sion de su bose 16 m’ tiene un volumen de 80 m)
Designando lo altura por h, el volumen por =i
Y y el Gre de lo bose por 8, teen N
(Obséevese que la variable V diectomente proporcional con h va en el puna
rador yla variable 8, inversamente proporcional con h, va en el denommnadet

papery
1
Barker Mice =
Dean hote 1sxc10=008
win
ae aor 1 nd is tee
maty oe deals re ra

(9) Determiner lo férmela corespondiante @ una función sabiendo que para odo
voler de la voriable independiente corresponde un volar de lo función qu
«igual al triplo del valor de la vosiabl independiono cunentoda en %

Siendo y la función x lo varia: ystort
bie m 3 —

independiente, tendremos:

EJERCICIO 167

es proporcional a B y A=10 cuando B=6, escribi
que las relaciona.

El espacio recorrido por un móvil (mov. uniforme) es proporcional al
poses de la velocidad, por «tiempo Berta tortie que expo
cio e en función de la velocidad v y del tiempo LK = 1)
El Area de un tombo es proporcional al producto de sus di
Escribir la fórmula del rea A de un rombo en función de sus dispo"
males D y Di sabiendo que cuando D=8 y DI=G A da
do que A cs proporcional a A e inversamente proporcional à
la formula de 4 en función de By C, (&=3)

ir la fórmula

145. 290
5

6

10.

u

Y

18.

1

15

1 Escribir la fi

CS

La Jongitud G de una circunferencia es proporcional al radio 7. Una
Gircunterencia de 21 cm de radio tiene una longitud de 132 cm. Hallar
la fórmula que express la longitud de la circunferencia en función del
radio.
El espacio recorrido por un cuerpo que cac desde cierta altura cs pro
cional al cuadrado del tiempo que emplea en caer. Escribir la fórmula
1 espacio e en función del tiempo ı subiendo que un cuerpo que cue
desde una altura de 19,6 m emplea en su caida 2 seg,

| La fuerza cemrifuga P es proporcional al producto de la masa m por el

cuadrado de la velocidad y de un cuerpo si el radio 7 del circulo que
describe es constante y es inversamente proporcional al radio si la masa
yo aclocidad son constantes, Expresar tua relación por medio de una
formula.

ula de una función y sabiendo que para cada valor. de
a variable independiente x corresponde un valot de la función que es
el duplo del valor de x aumentado en 3.
EI lado de un cuadrado inscrito en un circulo cs
del eiteulo. Expresar Ia fórmula del lado del cuadra
‘del radio. (k= V2).
Escribir la formula de tina función y sabiendo que para cada valor de
la variable independiente x corresponde un valor de la función que es
igual à In id del cuadrado del valor de + mis 3.
Escribir la ecuación de una función y sabiendo que para cada valor
Se x corregida un valor de y que es igual a lu diferencia etre à y el
duplo de x. dividida esta diferencia entre
La fuerza de atracción entre dos cuerpos es: proporcional al. producto
de las masas de los cuerpos m y me si la distancia es constante y €
Siversamente proporcional al cuadrado de la distancia sl Jas masas no
varian. Expresar esta relacion por medio. de una fórmula.
La altura de un triängulo es proporcional al Area del triángulo sl ta base
'ramente propotcional a sul base i el área es cons
fame. Escribir la fórmula de Ta altura de un wiängulo en función del
ärea y de su baso, sabiendo que cuando la base 65 46m y la aleura
10 em, el área del iriimgulo es 20 Cm.
La energia cinética de un cuerpo Wes proporcional al producto de la
tsa m por el cuadrado de la velocidad Y. Expresar la formula de la
copia ‘cnet. (=D.
FI area de la hase de una pirámide es proporcional al volumen sí la
Mura es constante y es Invenamente proporcional a la altura si el
1 es constante, Escribir Ia fórmula del
€n función del volumen P y de la altura h sabiendo qu
P= 400.
iversimente proporcional a y. Si ¥=2 cuando y=5, ha
Torimuia de x en función de 3.
x es inversamente: proporcional al cuadrado de y: Si x=9 cuando
hallar la formula de x en fanción de y
A es proporcional 4.8 e inversamente: proporcional a €; Cuando B=
FEAR. Hallar la fórmula que expresa A en función de B y €.

cional al radio
inscrito en función

rea de la base B de una
cuando

ee
tive que pt oat

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS FUNCIONES

(268) SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS (1)
Dos lineas rectas que se cortan constituyen un sistema de ejes coulée
ados. Si las líneas son perpendiculares entre sí ten
«dos rectangulares; si no 10 som,
sistema de ejes oblicuos.. De los pri
a nos ocupaxcmos en este Ci
Tracemos dos líneas sectas XOX
que se cortan en el punto O tormando 4
24). Estas lineas constituyen un
à de ejes coordenados rectangulares.
La línea XOX" se Mama eje de las x o eje
isis y la lnea YOY" se Hama eje de
de las ordenadas. El punto O se llama
gen de coordenadas.
Los ejes dividen al plano
del papel en cuatro partes lla ta

madas cuadrantes. XOY es el

our e oft
la Geannetia Anal

ARTES (Cartel,

291

146. 292 © arcenen

primer cuadrante, VOX" el segundo cuadrante, X'OY° el tercer cuadran-
te, OX el cuarto cuadrante.

El origen O divide a cada eje en dos semi-cjes, uno positivo y otro
negativo. OX cs el semi-eje positivo y OX" el semi-cje negativo del eje
de las x; OY es el semi-cje positivo y OY" el semiceje negativo del eje de las y.

Cualquier distancia medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha
es positiva y de O hacia la izquierda es negativa.

Cualquier distancia medida sobre el eje de las y de O hacia arriba es
positiva y de O hacia abajo es negativa.

268) ABSCISA Y ORDENADA DE UN PUNTO

La distancia de un punto al eje de I
denadas se Mama abscisa del punto y su di
cía al eje de las abscisas se Mama ordenada det
punto. La abscisa y la ordenada de un punto
son las coordenadas cartesianas del punto.

abseisa del punto P es BP=04
fH. BP y AP son las worde-

adas del punto
Las coordenadas de Py son: abscisa BP,
y ordenada CP,=08.
Las coordenadas de P son: absci
y ordenada CP.=OD.
Las condenadas de Py son: abscisa DPy=04
y ordenada AP,=OD.
Las abscisas se topresentan por x yk

270) SIGNO DE LAS COORDENADAS

Las abscisas medidas del eje YY" hacia la derecha son positivas y hacia
la izquierda, negativas. Asi, en la figura anterior BP y DP son positivas;
BP, y DP, son negativas.

Las ordenadas medidas del eje XX" hacia arriba son posit
abajo son negativas. Asi, en la figura anterior, AP y CP, son positivas,
CP. y AP, son negativas.

e

Dr,

orde.

G11) DETERMINACION DE UN PUNTO POR SUS COORDENADAS
Las coordenadas de un punto determinan el punto, Conoci
coordenadas de un punto se puede fijar el punto en el plano.

1) Determinar el punto cuyas coordenadas son 2 y 3,

Siempre, el número que se da primero es Ja abscisa y el segundo la ord
vada. La notación empleada para indicar que la abs <a 2 y la ordenada
es “punto (2

PRESONTACION-GRANICA as LAS runciouts @ 293
asta Tommes una media, soda abiariumente, como unidad de me
ig. 26). Como la abscia es 2, poritiva, tomamos la unidad escogida
ee tole Ox de O laca la reci
Como la ordenada 3 € positiva, levantamos en A una perpendicular
a OX y sobre ella hacia arriba tomamos es veces

punto P es el punto (2, 8), del primer
cuadrante. Fa
2) Determinar el punto (=3, 4.

Como la abscisa es negativa, —3, tomamos so-
bre OX" de O hacia la izquierda tres veces la unidad
escogida; en B levantamos una perpendicular a OX"
y sobre ella llevamos 4 veces la unidad hacia arriba
Porque la ordenada e positiva 4. El punto P, cs
el punto (3, 4), del segundo cuadrante.

3) Determinar el punto (=2, —4).

Levamos Ta unidad dos veces sobre OX’ de
© hacía la iequierda porque la abscisa es —2 y sobre

cular, hain abajo porque la ordenada
1 punto P, es el punto
4), del torcer cuadrame.

Cr
4) Determinar el punto (4, —2).
De O hacia la derecha, porque la abscisa 4 cs positiva llevamos Ta unidad:

4 veces y perpendiculanmente a OX, hacia abajo porque la ordenada cs =
la Wevanton 2 veces. El punto Py es cl punto (i, 22), del cuarto cuadrante

En estos casos se puede también marcar el valor de la ordenada sabi
OY © sobre OY”, según que la ordenada sea positiva o negativa, y sobre OX
\ OX el valor de la abscisa, según que la abscisa sea positiva o negativa, Line
tonces por la última división de la ordenada, trazar una paralela al eje de lan
ubscisas y por última división de la abscisa trazar una paraleın al eje de
las ordenadas, y el punto en que se corten es el punto buscado. Es indiferente
usar un procedimiento u otro,

Por lo expuesto anteriormente, se comprenderá fácilmente que:
1) Las coordenadas del origen son (0, 0).
4) La abscisa de cualquier punto situado én el eje de las y es 0.
3) La ordenada de cualquier punto situado en el eje de las x es 0.
4) Los signos de las coordenadas de un punto serán:
Anis — Ordenada

Fy el tere euadlrame XOY 4 4

drone FOX = 4

Ma et dado cu

Ko el ler. cu

Eu el sto, cuadra

147. 294 @ Arctora

@) PAPEL CUADRICULADO
En todos los casos de gráficos sucle usarse el papel dividido en peque:
ños cuadrados, llamado. papel cuadriculado. Se
tefuerza con el lápiz una línea horizontal que
será el eje XOX" y otra perpendicular a ella
mar que será el eje YOY". “Tomando como unidad
una de las divisiones del papel cuadriculado
E (pueden tomarse como unidad dos o más divi-
siones), la determinación de un punto por sus
coordenadas es muy fácil, pues no hay más que
F contar un nümero de divisiones igual a las w
dades que tenga la abscisa o la ordenada; y tame
1 bién dado el punto, se miden muy ficilmente
a sus coordenadas.
En Ja figura 27estin determinados los pun-
== tos P42), P=3,), Pal 8.3), Pal, 5), POS)
sona 37 Y P20).

m EJERCICIO 168
Dererminar grificamente los puntos

L (12 5 (3 —4) % 30 18: (4, 0).
2 (1,2. 6 (5,2 10. (5, 1 (710)
a ( aay Am ia) 1)
4 (2-3) 8 (0, 3) 12. (0, —6).
‘Tramar la linea que pasa por los puntos:
16 (1,2) y (641 19 (2-4) y (5, —2). 2 4,5) y (2.0).
11. (2,1 y (-4 4), 20. (3,0 y (04 23, (3,6) y (0, 1)
BAY CL OI Y

25. Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (D, 6), (3, 0) y (=
Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos (0, —5), (4, 3) y (ds

27. Dibujar el cuadrado cuyos vertices son (4, 4), (4, 4), (ae =D y (de —

2%. Dibujar el cuadrado cuyos vértices son (-1, —1), (md, —1), (4, 8) y
El =.

Dibujar el rectángulo cuyos vértices son (1, 1). (1: 3h (6, —1) y (6, Me

Dibujar el rombo cuyos vértices son (1, 4), (3, 1). (5. 4) y (3, 7).

Dibujar la recta que x (8 0) y (0, 6) y Ia reta que pasa por (0,1

Y 6008) y haart Junto de intended eh dos ve PD

S82 Probar grálicamente que la serie de puntos (—3, 5), (3, 1) (-8, —1),
(3, —4), se hallan en una luca paralela a la linea que contiene a tos
puntos (2, N. (2, 0). (2. 9), (2

33. Probar gráficamente que la tinea que pasa por (=
pendicular a la lnea que pasa por (=1, =1) y (=

0) y (0. =A) es per.

A).

Kersstnración GRAFICA DE Las sunciones 9 295.

GRAFICO DE UNA FUNCION

Sea y= f(x). Sabemos que para cada valor de x corresponden uno 6
varios valores de y. “Tomando los valores de x como abscisas y los valores
correspondientes de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos.
El conjunto de todos estos puntos será una linea recta o curva, que ei ol
gráfico de la función o el gráfico de la ecuación y= f(x) que representa Ja
función.

En la práctica basta obtener unos cuantos puntos y unirlos convenien-
temente (interpolación) para obtener, con bastante aproximación, el ff.
«o de la función.

G7) pernrsensTACION GRAFICA DE LA FUNCION
"I NEAL DE PRIMER GRADO

1), Representar gráficamente la función

Dando valores a x obtendremos

serie de valores correspondlen
tes de y:
Para x 5= 0, el origen es un punto del gráfico,
y= 2
“a
y
Para x

y= —6, ete,

Representando los valores de x como abseisas y los valores correspon
¿licntes de y, como ordenadas (Fig. 28), obtenemos la serie de puntos que apare
‚en en el gráfico, La linea recta MN que pasa por el origen cs el gráfico de y dx.

2) Representar gráficamente la función
yaxtz HE

Los valores de x y los conespondientes de

Auclen disponerse en una tabla como se indien À
continuación, escribiendo debajo de cada valor
el valor correspondiente de 3: el

148. 296@ scenes

Representando los valores de x como alscias
y los valores corcspondiemes de y como ordenadas,
de se hc t la Pi e lee a ne
rosa MN que mo pasa por ei origen MIN ey el
de aa

ma Obsérvese que el punto P, donde la recta
corta el eje de las y, se obtiene haciendo x
= TEX Y el punto Q, donde la recta corta el eje de las x,
LE se obtiene haciendo y=0. OP se Mama inter-
au EHE cepto sobre el eje de las y, y OQ intereepto sobre

el eje de las x. El segmento OP es la ordenada
en el origen y el segmento OQ la abscisa en el
origen.

Obsérvese también que OP =2, igua
el término independiente de la función

que
+

3) Representar gráficamente la función y=3x y la función y=2x 44.
En la lunción yx, se tiene:

[2 |+6|-3

El gráfico es la

ovigen, (Fig. 30).
En la función y

ES

BL

gu

El grafico es la linea CD que no pasa por
el origen. (Fig. 30).

Los inerentos OP y 0Q se obtienen, OF haciendo x=0 y OQ haciendo
y=! Gintrens que OP 2%, éme mdependicno de gabe ed

Visto lo anterior, podemos establecer los siguientes principios:

1 on faución de primer grado representa una lnea rec y por eso

it función lineal, y la ecuación que representa la función se llama
nal.

2) Si la función carece de término independiente, o sea si es de la
forma y= ax, donde a es constante, la linea recta que ella representa pasa
por el origen.

REMRESENTACION GHAFICA OF Las funcions © 297

3) Si la función tiene término independiente, o sea si es de la forma
9=0x+b, donde e y b son constantes, la línea recta que ella representa
no pasa por el origen y su intereepto sobre el eje de las y es igual al térmi.
no independiente b.

DOS PUNTOS DETERMINAN UNA RECTA

Por tanto, para obtener el gráfico de una función de primer grado,
basta obtener dos puntos cualesquiera y unirlos por medio de una línea
recta.

Si la función carece de término independiente, como uno de los pun
tos del grálico es el origen, basta obtener un punto cualquiera yuniılu
con el origen.

la Tunción tiene término independiente, lo más cómodo es hallar
los interccptos sobre los ejes haciendo x=0 € y=0, y unir los dos puntos
que se obtienen,

Representar gróficomente la función 2x —y =
de y os la variable. depondiante Jonción
‘Cuando en una función la variable — dependiente
110 está despejada, como en este coso, la fonción
se llama implicho y cuando la variable * dependien-
1e 0stá despejada, la función es explicito.

spejando y, tondromos y =2%—S, Ahora la fun:
ción es explicite.

El gráfica de y= 2x — 5 05 la laca recta AB,

M EJERCICIO 169

Representar gráficamente las funciones:

\ 19.
i
à} m
the je
Bye m
N ysaeya res m

Representa las fanion sguientos siendo. y la variable depe
ses M24) =10. M dety=k Men
M Boy.” e M yen M à

149. 298 © aurora

GRÁFICOS DE ALGUNAS FUNCIONES

DE SEGUNDO GRADO
1) Gráfico de =.

Formemos una tabla con los valores de x y los correspondientes de y:

ofa jas] 2 [25].5 fl

y
EA

En el gráfico (Fig, 32)

2) Gráfico de +

ye

Despejando y tendremos:
=16—x% luego, y= + VIF

Hi signo + proviene de

rade cuadrida de tuna cantidad post
dos signos + y — Por dem: »
ple, Vee qe —

tiva tie

aparecen, representados. los valores de y. co
rreopundient Tos que hemos dado à =.

La posición de esos puntos nos indica la
forma de la curva; es una parábola, curva
ilimitada.

El trazado de la curva uniendo entre si
los puntos que hemos hallado de cada lade del
eje de las ÿ es aproximado, Cuantos más pun-
dos se hallen, mayor aproximación se obtient,

La operación de wazar la curva habien-
do hallado sólo algunos puntos de ella se
Nama interpolación, pues hacemos pasar la
curva por muchos otros puntos que no hemos.
hallado, pero que suponemos pertenecen à la
curva,

16,

que ta

RE

REPRGGENTACION GRAFICA DE LAS HUNEIONE: @ 299)

Fa tn is Bi ane cata Polo AO ne a,
de y, uno positivo y otro negativo.
Dando valores a x:

s [a ba be be Jos pa pa pa Ja

ata baba

La curva (Fig. 39) es un efrento cuyo centro está en el origen.

Toda ecuación de la forma x + ÿ*
=r* representa un circulo cuyo radio
es y. Así, en el caso anterior, el radio
es 4, que es la ralz cuadrada de 16.

2) Gráfico de 9x*+ 259% = 295,

‘Vamos a despejar y. Tendremos:

Boyt = map — Oat gt BEE,
Puce =
pao Beye rE

Dando valores a x, tendren

= las pa [a La

| | 1 | 2 | a4] 8
Cf afta fasfrajara | bealcealezaleia| |

En la fig, 34 aparecen representados los valores de y correspondientes
a, or Ue hemos dada. ES cuna que se btine es ana clipe, Gua
cerrada.
eo
‘Toda ecuación de la forma ax? bey = af, o sea T+ oa. repre
senta una elipse,

5

4) Gráfico de xy=5 0

Dando a x valores positivos, tendremos:

+]

‚== 10] s | 2s] 16 [sas] à [os[oroc|.

ilelolelslel lee

Marcando. cuidadosamente estos puntos obtenemos la: curva situada. ei
41 ter cuadrame de la Fig 85.

150. 300 8 Aarons

rem |

Dando a x valores negativos, tenen
ETE E
Is J==Lto|-s [-2s|

Marcando cuidadosamente estos puntos obtencimos lá curva situada en

el 3er. cuadrante de la Fig, 35. 1
La curva se aproxima indefinidamente a los ejes sin Ilegar a tocarlos;
los toca en al injinito,

UE tuiva Ubtenida es una hipérbola rectangular, “Toda ecuación de la
forma x donde a es constante, representa una hipérbola de
esta clase, ‘i

La parábola, la elipse y la hipérbola se llaman secciones cónicas 0
simplementes cónicas... El círeulo es un caso especial de la clipse.

Estas curvas son objeto de un detenido estudio en Geometría Ana-
lítica,

OBSERVACION del

En los gráficos no es imprescindible que la unidad sea una división
del papel cuadriculado, Puede tomarse como unidad dos divisiones, tres
divisiones, etc. En muchos casos esto es muy conveniente,

La unidad para las ordenadas puede ser distinta que para las abscisas.

E EJERCICIO 170
Hallar el gráfico des

aoy

ie ya, 6. 1.
a yak, E 12,

2 $ 7 18.
3 ttytaas AB ee aie fe
4 get ren 10 do

Woolsthorpe

GRAFICAS.
APLICACIONES PRACTICAS.

(TOUTILIDAD DE Los GRAFICOS

muy grande, En Matemáticas, en Física, Estadística, en la indus

en el comercio se emplean muchos los gráficos, Estudiaremos algunas
casos prácticos.

Gr) jiempre que una cantidad sea proporcional a otra es igual a esta otra
multiplicada por una constante (260). Asi, si y es proporcional a x,
podemos escribir y =ax, donde a es constante y Sabemos que esta ecu
Tepresenta una línea recta que pasa por el origen (274).
Por tanto, las variaciones de una cantidad proporcional a otra estarán
representadas por una línea recta que pasa por el origen.
Pertenecen a este caso el salario proporcional al tiempo de tral
¿vato proporcional al número de cosas u objetos comprad
mal al tiempo, si la velocidad es constante, ete,

jo; el
1 espacio pro.

301

151. 302 ©

@

msn

411 Un obrero gana $2 por hora. Hala la ica del a:
I on en an
Sobre el si de las x Hig. 36) señolomos al Mempo. Cuatro. divisions re-
Deere lan ina hora y sobre el je de les y el solo, coda división repre
sent un peso,
En una Nora el/obrere. gona
32, deletminomos of punto A
ge marca el voor del solar
Fe 42 paro uno hore y como
U soler és proporcional al
Her, la glia lene que ser
tine Ines ria que pate por
«origen, Unimos A con O y
le recta OM esla gráfico del
solar,
Eto toblo gréica nos da el
vals dl slo pe ue
ier número de haras. Paro
‘Shore solo correspon
1e a on tiempo dodo no hoy
més que Ir el los de lo ordonoda para exe volor de la obscsa.. As se vo
[ue on 2 haras cl solano es St on horas y cuarto $4.50; on 3 hara, $6 en
oros y 43 minutos o 34 haras, $7.50.

Sabiendo que 15 dólares equivolen a 225 sueres, formar una table que por:
‘mite convanlir dóloros en sucres y vicevorso.

tes, Hig. 27), cada. divi
sión os 0. 8. $1.00; las
ordenados sucres, coda
división 19 sueros. Hae
Hames al valor de la or
denado cuando la abc
isa es UL §. $15.0 y te
memos al punto A. Uni.
mes este punto con O y
endieinos la gráfica
OM.

Dando: sficionte exter
sión 0 los ajos, podemos
saber cuéntos sucres son
euolquior nimoro de dé
Totes. En el gráfico se ve
quo U.S. $1 equivale 0
1S sucres, Us $. $492
xuivalen a 67.50 sucios,
Uns, 89 a 135 sueros y
U.S. $18 0 270 sueros.

Gxaticas, APLICACIONES reacricas 08 303
43) Un tren que va a 40 Km por hora sale de un punto O @ las 7 a. m. Cont:

vir una gréfica que permita holler a qué distoncia se halla del punto de
partida en cualquier momento y a qué hora llogorá al punto P sado à 140

HE

[ML

Les horas (fig. 36), son las cbscisas; cado división es 10 minutos. Los
fancies las ordenados, cada división 20 Km.

Saliendo e las 7, a los 8 habrá andado ya 40 Km. Motcamos el puro A
y lo unimos con ©. Lo linea OM es la gráfica de lo .
‘Midiondo el valor de la ordenada, veromos que por ejemplo, a los B y 20
halla a 593 Km dot punto de parida; a les 9 y 15 a 90 Km. Al punto N
silvad a 140 Km logo a las 10 y 20 am.

(5) Un hombre sale de O hacia M, situado a 20 Km de O 6 les 10 a. m. y va à
8 Km por hore. Coda vez que anda una hota, + detiene 20 minvios
para descansar. Hollar gráficomento a qué hora llogorá à M.

Cada civsión de OX (fig. 39), representa 10 minutes; cado. división de OY
representa 4 Km,

ES A
HORAS

ram» 7]

152. 304

10

u.
13

13
14

O aaa

Como va 8 8:Km per hora y sele 0 los 10.0: m a las 11 habrá endodo yo
8 Ko so halla on A.
Eltiempo que descenso, de 11 a 11.20 se expreso con un segmento AB poro:
lalo al je de las hrs, porque ol llempo sigue oranzande: À los 11 y 20
Emprendie de nuevo sı marcha y en una hora, de 1120 0 1220 recore ots
Ein, lsego se hoor en © que corresponde a la ordenado 16 Km. Dessen
Sa amos 2 minvios, de 1220 0 1240, begmento CO) y a les 1240 emprende
‘ira ver la marche. Ahora le falon 4 Km para legor a M. De Do M le
Stdenade Gumemo 4 Km y al panto M covresponde en la abre la À y 10
A

EJERCICIO 171

VELA LAS UNIDADES ADEEUADAS!

Construir una gráfica que permita hallar el coso de cualquier número,

e metros de tela (hasta 10 0) sabiendo que 3 m cuestan $4

Sabiendo que 5 mu de tela cuestan $6, hallar gráfican

Sim, 8 moja ma y cuántos mena se pueden comprar con $

A Gorsiruie una. gr

Libé que bs 200 gana bs. 16 al «suya una gráfica q

peralta baller el incens anal de cualquier. cantidad hasta bs. 1000.

Halte grálicamente el intente de bs, 450, bs. 700. y bs. 925 cu

Pons horas de uabajo un hombre reabe 18 soles, Halle

el salario de 4 horas, 3 horas y 7 horas. i

Un wen va à 60 Kin por hock. Hallar gricamente ta distancia
aL cabo de 1 hora! 20 minutos, 2 horas y euano, 3 horas y me

Hallar la prática del movimento uaifome de un móvil a du de 3 m

par segundo hasta 10 segundos. Halle grálicameme la disancia recorrida
ep cn 74 ang, 5 > A

Un hombre sale de O hacia M, situado a 60 Km de O. a las 6 am.

$ va 2.10 Km por hora. Al cábo de 2 horas devansa 20 minutos y

Feanuda su 1 1a mama velocidad terior. Hallar gráficamente

à qué hors Mega a 4,

ds hombre le de acl, alo a 3 Km de O, à os 5 am

vad Kon por bora, Cada vez que anda una hora, descanka 10 mimi.

Exalar gráficamente à qué hora llega a M.

Un hombre sae de O hacia M, sivado #63 Km de O, a 10 Km por

hora, a las 11 am. y ouo sale de M hacia 0, en el mismo instant, à

8 Ka por hora. Determinar gráficamente cl puno de encuentro y la

hora a que se encuentran.

Un He de un itt pen 500 5-1

14 1.28 19935)

1 'Kg=22 lb. Hallar gráficamente cuimos Kg son 11 1b y cuántas

libras son 428 Kg.

lar gráficamente cuánto: pesan

Si 6 yardas = 5.5 m, hallar gráficamente cuámas yardas son 22 m, 18:5 m.
Un auto sale de A hacia B, situado a 200 Km de A, a las 8 am. y regresa
sin detenerse en B.A la ida va a 40 Km por hora y à la vuelta a 50 Ki

por hora. Hallar la gráfica del viaje de

sel y
lega al punto de parida.

a hora a que

‘Gharieas, articaciones vaacricas @ 305
Gesraoines

Las cuestiones de Estadística son de extraordinaria importancia para
la industria, el comercio, la educación, la salud pública, ete, La Estadistica
© una ciencia que se estudia hoy en muchas Universidades.

Daremos una ligera idea acerca de estas cuestiones, aprovechando la
oportunidad que nos ofrece la representación gráfica.

@73) METODOS DE REPRESENTACION EN ESTADISTICA

El primer paso para hacer una estadística es conseguir todos los daton
Posibles acerca del asunto de que se trate.

Cuanto más datos se reúnan, más fiel será la estadística,

Una vez en posesión de estos datos y después de clasificarlos rigurosi:
mente se procede a la representación de los mismos, lo cual puede hacerse
por medio de tabulares y de gráficos.

Tann
Cuando los datos estadísticos se disponen en columnas que puedan scı
leidas vertical y horizontalmente, tenemos un tabular.
1 el titulo del tabular se debe indicar su objeto y el tiempo y lugar
a que se refiere, todo'con claridad. Los datos se disponen en columnas
separadas unas de otras por rayas y encima de cada columna debe haber \
título que explique lo que la columna representa. Las filas horizontalen
tienen también sus culos.
Los totales de las columnas van al pie de las mismas y los totales de
las filas horizontales en su extremo derecho, generalmente.
Los tabulares, según su índole, pueden ser de muy diversas formas y
A continuación ponemos un ejemplo de tabular:

VENTAS DE LA AGENCIA DE MOTORES “P.
ENERO-JUNIO
CAMIONES Y AUTOMOVILES POR MESES

#: CARACAS

Auromayııza
ver ons Trennen | Anenros
ENERO 18 20 2
24 E Fil
MARZO EJ 0 8
am E & 2
MAYO. 25 2 7
JUNIO. 5 20 eal
TOTALES 158 20 E

153. 306 © mama

Gi) cnaricos

Por medio de gráficos se puede representar toda clase de datos esta:
dísticos. Gräficamente, los datos estadísticos se pueden representar por me-
dio de barras, círculos, líneas rectas o curvas.

BARRAS

Cuando se quieren expresar simples comparaciones de medidas se em-
plean las barras, que pueden ser horizontales o verticales. Estos gráficos
suelen llevar su escala. Cuando ocurre alguna anomalía, se aclara con una
mota al pie.

PRODUCCION DE CANA DE LA COLONIA “K*

Etuis de POR AÑOS 1951 - 57
gráfico con bartas. MILLONES. DE ARROBAS
horizontales. 4 2 3 4 5 6

En =

CIRCULACIÓN DE LA REVISTA “H™

. nan, Por meses nuo-De.
Ejemplo de De esperas

gráfico con barras

verticales.

De

‘oRAFICAS. aruicacionts pacricas — @ 307

43) cincutos

Algunas veces en la comparación de medidas se emplean círculos,
modo que sus diámetros o sus áreas sean proporcionales a las cantid.
que se comparan,

(Jo O8

VENTAS EN VENTAS EN VENTASEN VENTAS EN
LA CAPITAL ELINTERIOR LA CAPITAL EL INTERIOR
$40,000 a 540,000 420000

En la figura 42-A se representan las ventas de una casa de comercio
durante un año, $40000 en la Capital y $20000 en el interior, por medio de.
dos círculos, siendo el diámetro del que representa 510000 doble del que
representa $20000, En la figura 42-B el área del círculo mayor es doble 4
la del menor.

Siempre es preferible usar el sistema de áreas proporcionales a Jay
Hidades que se representan en
vez del de diámetros.

Este sistema no es muy usi-
do; es preferible el de las barras,

Los círculos: se emplean
también para comparar entre sí
Las partes que forman un todo,
representando las partes por sec-
tores circulares cuyas áreas sean
proporcionales a las partes que
ke comparan.

‘Asi, para indicar que de los
530000 de venta de una casa de
tejidos en 1938, el 20% se vendió
al contado y el resto a plazos, se
puede proceder asi:

154. 3089 aucun

Es preferible el método de barras 8, dada la difícultad de calcular
claramente el área del sector circular.

Para expresar que de los $120000 en mercancías que tiene en existen-
cia un almacén, el 25% es anicar, el 20% es café y el resto víveres, podemos
proceder asi:

Los gráficos anteriores en que las partes de un todo se representan por
sectores. circulares son llamados en inglés “pic charts”, (gráficos de pastel)
porque los sectores tienen semejanza con los cortes que se dan a un pastel

LINEAS RECTAS O CURVAS. GRAFICOS POR
EJES COORDENADOS
Cuando en Estadística se quieren expresar las variaciones de una can-
tidad en función del tiempo se emplea la representación gráfica por medio
de ejes coordenados, Las abscisas representan los tiempos y las ordenadas
la otra cantidad que se relaciona con el tiempo.

Cuando una cantidad y es proporco-
nal al tiempo 1, a ccuación que la liga con
Gie és de forma y= al, donde a es com
tame, luego el gráfico de sus variaciones será
uns lines recia a través del origen y al
su ielacón con à tiempo: cs: de I forme
Yate, donde a y b ton comtantes el
Jrálico serd wi loca recta, que no pasa
por el origen:

‘Asi, In estadística gráfica de las gañan
cias de un almacén de 1956 a 1957, sabiendo
‘que on 1954 ganó $2000 y que en cada año
Posterior ganó $2000 más que en el inmedia-
lo anterior, está representado por la Ik
mea recia OM en la fig. 45.

cearicas. anieacionss reactions @ 309

eo iio no es lo más comente, Lo ia of que a arena dela
cantidad que répresentan las ordenadas sean más o menos irregulares y en“
once el Br linca curva o quebrada. id

La fig. 46 muestra Jas variaciones de cb
la temperatura minima en una ciodad del EH
día 15 al 20 de diciembre, Se ve que el
dia 13 la minima fue 175%: el día 16 de
10°, el día 17 de 15%, el 18 de 25°, el 19
de 229 y el 20 de 15%. La línea quebrada
que se obtiene es la grálica de las varia

dones de Ta temperatira.
Der] ; E

En la fig. 47 se representa la produc:
ción de una fábrica de automóviles durante
los 12 meses del año en los años 1954, 1955,
1956 y 1957.

El valor de la oraenada correspondiente
a cada mes da la producción en ese

El grafico exhibe los meses de
y máxima producción en cada año.

En la fig. 48 se exbibe el aumento de
la población de una ciudad, desde 1935 ju
hasta 1960. Se ve que en 1935 la población eS
era de 5000 almas: el aumento de 1935 à B
1940 es de 2000 almas; de 1940 a 1945 de ES

6000 almas; ete. La población en 1955 es
¿le 30000 almas y en 1960 de 47000 almas. y,

[eee —

© EJERCICIO 172

do de barras horizontales o, verticales que en 1962 las
val X produjeron: La colonia A, 2 millones de arrob:
la colonia G, um millón y cuarto y la

L Exprese por
colonias del Co
la colonia B, 3 millones y medio;
tolonia D, 4} millones.

% Exprese por barras que de los 200-alumnos de un colegio, hay 50 de
10 años, 40 de 11 años, 30 de 13 años, 60. de 14 años y 20 de 15 años,

ik Exprese por medio de sectores circulares y de barras que de los 80000
sacos de mercancias que tiene un almacén, el 407% son de salar y el
resto de aryor

155. 310

4

10:

1

19

13

14 Las calificaciones de un alumno en Algebra han sid

15

16

17

19.

19

» Exprese por barras horizontales

| Exprese por med

Exprese por medio de secto
autos que produjo una fábrica en 1962 100000 fueron can
autos abiertos y el resto cerrados.

5 del país À tiene 3 mi
ones de hombres, el de B un millón 00000 hombres y el de € 6b000
hombres

Exprese por medio de barras verticales que la eirenlación de una revista

de marzo a julio de 1962 ha sido: marzo, 10000 ejemplares: abri), 14000;
mayo, 22000; junio, 25000 y julio, 30000.

jue por medio de haras que un almacén gané en 1956 $3000
después cada año hasta 1962, ganó $1500 más que el año anterior. 7

Exprese por medio de barras que un hombre tiene invertido en cas
bs. 540000: en valores bs. 400000 y en un Banco bs. 120000.

de barras que un país exportó me
siguiemes valores: en 1957, 14 millones de pesas; en I
ex 1959, 22 millones; en 1960 30 millones? en 1962
196% 49 millones.
Haga un gráfico que exprese las temperaturas. máximas. siguientes:
Dia 14, 32% día 15, 359% día 16, 38°; dí

por los
8, 17 millones:
millones y en

Haga un gráfico que exprese siguientes temperaturas de un en
Dés 20e a ls 13 de a na !

de la noche, 29°:

las G am, $9.59; a las 19 del día 40°;
12 de la noche, 38°; a las 6 am, 379:
14°; a las 6 pan
Las cotizaciones del dólar han sido: Dia 10, 1820 soles: día 11, 1840:
día 12, 19.00; dia 13, 18.80; día 14, 18.60. Expres gráficamente esta

de Algebra todos los meses. En octubre obtuvo
ada mes posterior hasta mayo obtuvo puntos mis que.
en el mes anterior. Halt Ta gräfien de sus liant. 2

octubre 15,
. 85 puntos!

90 puntos: oct. 30, 60 puntos: nov. 15, 72 puntos: nov.
die. 15, 95 puntos. Hallar la gráfica de sus calificaciones.

La población de una ciudad fue en 1920, 5000 almas; em 1940, 10000

almas; 2000) almas; en 1960, 40000. Hallar la gráfica del aumento
de pob)
Las ventas de um almacén han sido: 1957, $40000; 1958, 00

1959, SOON 1960 S20000: 1961, 35000: 1902, 512600. Hallar la gráfica
Las importaciones de un almacén de febrero a noviembre de 1962 han
i marzo, 530000: abril, $90000; mayo, $100000; junio,
à agosto, $60000: septembre, $040D0: octubre,
embre, $63000, Hallar la gráfica

Las cantidades empleadas por una compañía en salarios de sus obreros
de julio iembre de 1962 fueron: julio 325000, agosto, SS;
sept, S10009: oct, $2000: mov. $1000; dc, 928000. Hallar la gráfica
de los salarios.

Recomendamos a todo alumno como ejerci
una estadistica gráfica de sus ealilicae
asignatura.

VERSALLES

ECUACIONES INDETERMINADAS

(253) ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
Consideremos la ecuación 2% +2
cögnitas. Despejando y. tendre

valor para 3. Asi, para

“Todos estos pares de valores, sustituidos en la ecuación dada, la con.
vierten en identidad, o sea que satisfacen la ecuación. Dando valores a x
podemos obtener infinitos pares de valores que satisfacen la ecuación. Esta
es una ecuación indeterminada, Entonces, toda ecuación de primer grado
‘con dos variables es una ccuación indeterminada.

(286) RESOLUCION DE UNA ECUACION DE PRIMER GRADO COM
DOS INCOGNITAS, SOLUCIONES ENTERAS Y POSITIVAS
Hemos visto que toda ecuación de primer grado con dos incógnitas es
indetermi ; pero si fijamos la condición de

156. 3120

Asa

que las soluciones scan enteras y positivas, el número de soluciones puede
cr limitado en. algunos casos.

Ejemplos | AD Eee
Despejondo y, tenemos:

(5)

pare valores enteros y positivos.

El voor de y depende del valor de x; x tiene que ser enero y pasiva según
la condición fiado, y poro que y sea entera y postive, el mayor voor que
podemos dor a x 63, porque si x Oy
2 5 ya se tendía y 1, negativo, Por tomo, los soluciones ente:

tos y positives de la ecuación, son;
x=}

Resolver Sx + 7y = 128 para valores enteros y positives.
Despejando x que tiene el menor coeficiente, tendeomos:

A

Ahora descomponemos 128 y —7y en dos sumandos une de los cuales sea el
mayor múltiplo de 5 que contiene cada uno, y tendremos:

ray 125 DY 2-2 3-2
PA 1 Y eee aed

3 AE

3-2 3

Wiege quedo: #25 y4 y de gi =

Siendo x € y enteros, condición odo) el primer miembro, de esta igualdad:
iene que sor entero, logo el soguado miembro será entero y tendremos:
icamos el numerador por un número tol que al dividir el coefi
ciento de y entre 5 nos dé de residuo 1, en este coso por 3,y tendremos:

el
Bern

luego nos queda

Posa que Ly + Lo:

4
memos ma este entero: 47

seunciones moererninanas @ 313
Despejondo yo 4—y=5m
—y=5m-4
y=4-5m m
Susituyendo este valor de y en lo ecuoción dada 5x-+7y = 128, tenemos:

Sc+714- 5m).
‘be + 28 — 35

Rewniendo los resultados (1) y (2), tenemos:

[25747 ento ms ae

‘Ahoro, dando valores a m obtendremos valores para x © y. Si algún valor es
negativo, se desecha la solución.

Asis Poro

1 se desecho,

[No se pruebon més valores positives de m porque dorian la y negativa
Poo mel x= 1% y=9

& y=16
<3 x=— 1 50 desecho.

"No so prueban más valores negatives de m porque dorian lo x negativo.
Por tanto, los soluciones enteras y positivas de la ecuación, son:

Despejondo x: 7% = 17 4 19 +

MA

Siendo x e y enteras, x—2—y es entero, luego.

157. 314 @ stoma
Mullplicando el mumerador por 3 [porque 3X 5=y 15 dividido entre 7 da

94187
resid 1] tendremos: E
ose 94 15y 7424 by by A ER
7, En DIRT RAT
+2
luego queda: 14274 1" entero,
cael
Pero que esta expresión seo un número ener, es necesario que 27% = ener,
yr
Uomomos m a este entero, IF
Despejendo yo a
Sustuyende este valor de y en la ccuación dada 7x ~ 12y = 17, se tene:
T-1217m-2)-
7a = im 428

Te

y= m-2

genre ex |

i is luciano.
Sim es cero o negalivo, x e y seríon negativos se desechan esos sol
Para cuolquier valor positivo de m, x © y son positivas, y tendremos.

Para „en 5

y es scesivament, lego el númoro de soluciones entras y positives es fe
mitodo.

OBSERVACION: %
Si en la ocuación dada al término que contiene la x está concrtado con el tér
mino que contiene la y por medio del signo 1 el número de soluciones enteras
y positivas es limitado y si está conectado por el signo — ex limilado.

m EJERCICIO 173 can
lar todas las soluciones emteras y positivas de:

ee LL FH 16 We 13y=204.

12, Wety=82 17 Ne 8y=300.

18. Be +25y=705,

y
1h dry
15. Me 12y=354.

u —

ECUACIONES INDETERMINADA 00 315

Hallar la solución general y los tres menores pares de valores enteros
y positivos de x e y que satisfacen las ecuaciones siguientes:

19. Bendy. 20. Sx—13)=407.
20 yet. 26 2092
a. ty 2 Ryan. TA

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES INDETERMINADAS
(289, Un comerciante emplea Q.64 en comprar lapiceros a Q.3 cada uno
y plumasfuentes a Q.5 cada una. ¿Cuántos lapiceros y cuámas plu.
‘masfuentes puede comprar?
Sea x= nlimero de lapiceros.
"número de plumas fuentes.
los x Inpiceros costarán ar
cuesta Q. 5, las y plumas costarán
y. Por todo se paga O. 64; luego, tenemos la ecuación: 7

Resolviendo esta ecuación para valores enteros y positivos, se obtienen
las soluciones siguient

Como cada lapicero cuesta Q.
Q. 3 y como cada p
Qs

luego, por Qt puede comprar 18 Iapiceros y 2 plumas o 13 lapiceros y
5 plumas u 8 lapiceros y 8 plumas o 3 lapiceros y 11 plumas. R.

= EJERCICIO 174

1. ¿De cuántos modos se pueden tenet $42 en billets de $2 y de $50

3 ¿De cuintos modos se pueden pagar $45 en monedas de $9 y de $10?

3. Hallar dos múmeros tales que sí uno se muliplica por 3 y el oto
por 3, la suma de sus producios a 62

4 Un hombre pagó 340 bolivares por sombreros a ba. y pares de rapa:
tos a In. 16, ¿Cuántos sombreros y cuántos pares de zapatbe comté

5 Un hombre pagó $42 por tela de lam a $1.50 el metro y de scda a
3250 el meso. ¿Cuámos metros de lana y cuántos de soda sompris

0. En una excursiön cada niño pagaba 45 cu. y cada adulto $1. Stal pasto
total fue de SIT, ¿cuántos as y he Aha +.
Un ganadero compró caballos y vacas por 41000 sucres, Cada caballo

Le costó 460 sucres y cada vaca 440 suctes. ¿Cuántos caballos y wane

E El wiplo de un nümero aumentado en 3 equivale al quíntuplo de otro
aumentado co 5. Hallar los menores números positivsque cumplen,
esta condición. eet, ls

1. ¿De cuántos modos se pueden pagar 52.10 con monedas de 3
de 10 ets?

158. 316 © cross

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION LINEAL
Las ecuaciones de primer grado con dos variables se llaman ccuaciones
lineales porque representan líneas rectas. En efecto:
Si en la ecuación 2x—3y=0, despejamos y, tenemos:

y aquí vemos que y es función de primer grado de x sin término indepen-
diente, y sabemos (274) que toda función de primer grado sin término in
dependiente representa una linea recta que pasa por cl origen.
Si en la ecuación 4x —5y=10 despejamos y, tenemos:
4x~10

ERA A EE on yada

y aqui vemos que y es función de primer grado de x con término inde-
pendiente, y sabemos que toda función de primer grado con término inde-
pendiente representa una línea recta que no pasa por el origen (274). Por
tanto:

Toda casación de primer grado con dos variables representa una li
nea recta.

Si la ecuación carece de término independiente, la línea recta que ella
representa pasa por el origen.

Si la ecuación tiene término independiente, la linea recta que ella re-
presenta no pasa par el origen.

Ejemplos

(1) Ropresentor gréficamente la ecuación Sx —3y =.

Como la ecvoción.coreco de término independiente el origen es un punto de
la recto. (Fig. 49). Basto hallar otro punto cvalquicra y unirlo con el arigen.
Despejondo.

Y

TENEN

Hallemos el valor de y para un valor cualquiera
de x, por ejemplo:
Para x=3, y=5

El punto (3, 5] es un punto de la recto, que u
do con el origen determina, lo reco Sx —3y =0.

===]

caries DE edaciones una; 0317

(2) Gráfico de It 4y=15.

Como la ecuacién tiene término independiente la

linea recta que ella representa no poso por el

origen. En este coso, lo més cómodo es hallar

los intoreplos sobre los ejes. El inteceplo sobre

el ej de laz x se obtione hociendo y =O y ol ine

Jerero sobra ol eje delas y so obtiene ha in.
=0.

Tenemos;
Para y=0, x
2=0 y=3
Marcondo los puntos (5, 0] y (0,98, (Fig-50
y uniéndoles entre si queda reprezemtodo lo dec:
10 que representa lo ecuación An + Ay = 15.

Geilo de »-3=0.
Despejando x, se tiene x=3,
{to ecuación equivale a Oy += 3.
Pera cvolqier voler de y, el fétrin Oy = 0, Para
Y=0 223, pora poro y=2,
luego la ecyad es el lugar
geomético de lodos lot puntos <uya obres es
3.0 sea que x—3=0 8 x=2 represento ona
lin recta poole al aj de ls y que pesa por
el pinto (30. Fg. St)
Del propio modo, x 4 20 6 x=—2 represen:
do una Hnca rocta porolela al eje de los y que
pase porel punto (2, 01 ig. St
ecuación x=0, representa ol ojo de los or
denados. podi

(4) Gráfico de y—2=0,
Despejando y se tiene y=2,

Ésta ecuación equivale a Où + y
poro cualquier valo: do x,y =2, luego y — 2-26
272.8 baer Boon de edo ls pan
lo: cuyo es ©: 2, luego y =2 representa
una linea recto paralelo of je de las x que pasa
por el punto (0, 2}. (Fig. 52.

Del propio modo, y +4=0 6 y =—4 represen-
ta una línea tacto paralelo al eje de las x que
poso porel punto |, — 4. (Fig. 52).

La ecvoción y =0 representa el eje de las obs

© 500 que

159. 318 @ anciana

(5) Hollor la intersección de 3x 4e Ay =10 con 2x4:

Represents ember lines. (ig. 53).
En 3x4 dy

Marcon los puntos 10,24} y (34. 9) oni.

ao SE

En ety

Para x

punto (1, con el origen {la

ecuación de término independiente] que

de representado 2e + y 0.

En el gráfico se ve que los coordenadas del pun-

lo de intersección de las dos rectos son x =~ 2,
4, luego el punto de intersección es [—2, 4].

(6) Hallar la inecsección do 2x -+ Sy = 4 con Jx+2y
En ct 5y =A, se tienes

Paro x

y

Marcando estos puntos Fi. 54) y uniéndolos que:
2 representado lo ecuación 24 + Sy =4,

En + 2y ==, se tenes

Para x: 2

y 1.

Marcondo estos puntos y unióndolos queda:
presentada la ecuación Bel 2y =

Lo intersección de las dos rectos cs el punto
(3,2) e

> EJERCICIO 175

Representar gráficamente las ecuaciones:

Hallar la intersección de:
aL. 44150 com tt.

ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
CON DOS INCOGNITAS
ECUACIONES SIMULTANEAS

Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuan
do se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Asi, las cenaciones

son simultáneas porque x

ED ECUACIONES EQUIVALENTES son las que se ob una de
ds

Las ecuaciones equi

lentes tienen

tes son las que n

319

160. 320 © arcrons

Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución co-
min son simultáneas.

Así, las ecuaciones x+)=5 y x—y=1 son independientes porque no
se obtienen una de la otra y simultáneas porque el único par de valores
que satisface ambas ecuaciones es x=3, y=2.

Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tie-
nen solución común.

‘Asi, las ecuaciones

son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que veri-
fique ambas ecuaciones.

SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más ecuaciones con
dos o más incógnitas.
Ash,

Solución de un sistema de ccuaciones es un grupo de valores de las
incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema: La solución del
sistema anterior es x=2, 9=3.

Un sistema de ecuaciones cs posible o compatible cuando tiene solu-
ción y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.

Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución.
«e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER
GRADO CON DOS INCOGNITAS

Es resolucion

Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos
«ecuaciones dadas una sola ecuacién con una incógnita. Esta operación se
llama Eliminación.

METODOS DE ELIMIMACION MAS USUALES

Son tres: Método de igualación, de comparación y de reducción, tam-
bién Hamado este último de suma o resta.

«ecuaciones sunutrancas con Dos Incoomas @ 321

ELIMINACIÓN POR IGUALACION

Despejemos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo xen ams
has ecuaciones.

Despejando x en (1): 7x=18—ay

Despejando x en Bj SxS 194% 2 x

Alora se igualan entre sí los dos valores de x que hemos obtenido:

y wey,

EE
y ya tenemos una sola ecuación con una invdgni
Resolviendo esta ecu

+14

stituyendo este valor de y en cualguie
por ejemplo en (1) (generalmente se sustituy

de las ecuaciones dadas
en fa más sencilla), se tienes

19
13

IA

VERIFICACION

Sustituyendo x=3, y
vierten en identidad.

m EJERCICIO 176
Resolver por el método de igualación

Hee

161. 322 © avoeua

M3, ELIMINACION POR SUSTITUCION

@3) Resolver el sistema de HR

Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x en una
de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1), Tendremos:

Este valor de x se sustituye en la ecuación (21

(CHB) yap

y ya tenemos una ecuación con una incognita; hemos eliminado la x.
Resolvamos esta ecuación. Simplificando 8 y 2, queda:

10

19

Sustituyendo y=—5 en cualquiera de Jas ecuaciones dadas, por ejem-
plo en (2) se tiene:
Beta
R-=-%
et

VERIFICACION:
Haciendo x
ten en identidad.

= EJERCICIO 177

Resolver por sustitución:

rer
® [eigen

a += 2. @
ss) Resolver el sistema | ! 5. ©
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incog-
has.
Vamos a igualar los cocficientes de y en ambas ecuaciones, porque cs
lo más sencillo.

El m.c.m, de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6.
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque
2xB=6, y tendremos:

Como los coeficientes de y que hemos igua-
lado tienen signos distintos, se suman estas ecu
ones porque con ello se elimina la y:

2 en cualquiera de las ecuaciones dadas. por ejem

56-24 By =20
~ 10+ 6) =20

plo en (D), se tiene:

¡1x4 = 8 0

| Sie @)
Vamos a igualar los coeficientes de x. El m.c.m.

de 109 es 4: muhüpli a primera unción por 1 [CUORE

porque 4%10=40 y la segunda por 5 porque 5x8:

y tendremos:

Resolver el sistema

Como los coeficientes que hemos igualado We +50
dienen signos iguales, se restan ambas ecuaciones =e
y de ese modo se elimina la x, Cambiando los
ignos a una cualquiera de ellas, por ejemplo a
la segunda, tenemos: —

stituyendo y=} en (2), tenemos

Po)

162. 324 @ autark

El método expuesto, que es el más expedito, se Hama también de suma
resta porque segiin se ha visto en los ejemplos anteriores, si los coeficion:
tes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si
tienen signos iguales, se restan.

Es indiferente igualar los coeficientes de x 6 de 9. Generalmente se
igualan aquellos en que la operación sea más sencilla,

m EJERCICIO 178
Resolver por suma o resta:

15x—y=0.

RESOLUCION. DE SISTEMAS NUMERICOS DE DOS
ECUACIONES ENTERAS CON DOS INCOGNITAS
Conocidos los métodos de eliminacion, vexolveremos sito
antes de eliminar bay que simplificar las ecuaciones.

y Ay ly +6)=2)—(x +18).

1. Resolver el sistema

irritada
Transponiondo: | 97
ec

Vamos a igualar los coeficientes de y. Multipticamos
la segunda ecuación por 3 y sumamos:

Sustituyendo x =3 en (D), se tiene:
a+

ECUACIONES SIAULTANEAS COM OOS INCOGHITAS @ 325
à Resolver esse D ee
Efectuando las operaciones indicadas: | “+ zZ Are
o | Zr 2 en

et
luciendo:
Red 1

Dividiendo por 3 la 2a. ecuación: i

Muttiplicando la Ja. ecuación |
por 3 y la 2a. por $:

Cambiando signos a la la, ecuación: |

4 en (+
Bx 4e 2-4)
3x8

3x=

Brei

Susticuyendo

lo EJERCICIO 179
Resolver los siguientes sistemas:

aie
Eee *

5

163. 22608 aura

ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DOS INCOGNITAS

act ye
2. Resolver el sistema =
ez
=
re dues $ tee A= Ty 42)
Suprimiendo denominadores: { ae
J dx dit y+
Htecnsando operaciones: | A 62 Bela aes
endo: Y = We Ty
“Transponiendo: { LE
4
t
Multiplicando la 1a. ecuación
por Ty la da por dr

Suscituyendo y=10 en (De
Lx = 7006

2. Resolver el sistema

uprimiende denominadores: nn er a LPS
Electuando operaciones: ; ar sen
Tampon | EPI
Reduciendos | in A
Dividiendo por 3 la 2. ecuación: | 9% a Le

ECUACIONES SIMULTANTAS con Bos Incommıras @ 327

EJERCICIO 180
Resolver Jos siguientes sistemas:

Bryan.
= La

10,

1

164. SISTEMAS LITERALES DE DOS ECUACIONES
CON DOS INCOGNITAS

(1) Resolver el sistema (az

Vamos o igualar los coofiientes de la x. Mul
por b y la segunda por 0, tenemos:

fobs 4 by
(abr + oy

Rostondo lo 20. ecuación de |
le primera:

= 20h

eee isa 2
Rose By LA 5
e 46
TOS TN
paa es
so] +95
dx 5-1)
a

a

stl dy
3-1 Fa
AL 8, y PHL
mA Pr
Bet

=-15,
Sart 7

@

a

FEUACIONES SIMULTANCAS COW 005 incosnaras @ 329

Reduciendo términos semejanes: = by oy hh,

oF = bi bt

Sacando el factor común y on el primar miembro. eS
y el fattor comin b en el segundo: ——

Dividiendo por (6? — a?) ambos miembros: — y= bi
Sosituyendo y=6 on 12), tenemos;

3] uae

Transponiende:

Dividiondo por b.

Resolver ol sistema
Ley

ds din tt [oy
a 4

iplicando por 6 lo 20. ecue:
ción y combióndele el signos

Sacando factor común y on el primer miembro y b en al segundo:
yib-o)=bib-al

Dividiendo por [bah y=

Susituyendo en (2) este valor de y, lenemors

| a

Resolver el sistema

dia
Qué denn Shab 2
bsos
Mulipicondo la 20, ecuación | <P ot
ie
aie dae
Drehen Em
st

165. 30 ©

accieua
Este valor de x poode sut en cualquier cevación para hallo y, poro no
vanos o hocedo a, no que vonos a hola y elininando Tax. Pra exo,
tomamos otra vez el sistema (1) y (2):
obx + aby
a by
Multiplicando (2) por b y
combióndole al signo:
Faciorondo ombos miembros: by lo +5]
8
NOTA
stoma que hemos amplecdo tle hole la segue incógnito eliminando lo

primere, es muchas veces más sencillo que el de sustituir.

9 EJERCICIO 181

Resolver los siste

mas
7 15.
yaa-b. €
tbe.
nt,
a. 16.
ntm né
»
do. | tae
gala m.
ie mapa. me
x4)=a.
> a. (Dx (arb)
Hye ax—by=a(a+ ble, 18,
N (at bjs bp
PAR #40 pb asd
mps ee al
19.
xa ya atb
13. EB æ a
me
oo, | web ase
4
ara—y)=2s

ECUACIONAS smuiransas con Dos Ineoanırik 0331

ECUACIONES SIMULTANEAS CON INCOGNITAS
EN LOS DENOMINADORES

En ciertos casos, cuando las incógnitas están en los denominadores, el
sistema puede resolverse por un método especial, en que no:se suprimen

los denominadores. A continuación resolvemos dos ejemplos usando cite
método,

Ejemplos ]

UL) Resolver sitemo.

Vamos 0 eliminor la y... Multiplicando la primero «cuación por 2 y le soguado,
Por 3, lenemes

2,0

4
y

2 1893

A

TT z

Quitondo denominadores:

Sustityondo »=2 en (1:

(2) Resalvor ef sistema

166. resotcion pos ocrisunanres | @ 333
32 0 aucux
Vomos a efiminor lo x. Mulilicondo la primera ecuación por} y le se. é >
ndo. por 2, tenemos:
a
m. 13.
pila A
| a
DETERMINANTE
ost Si del producto ab restamos el producto ed, tendremos la expresión
ah—cd,
Gvitondo denominadores: Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación:
abc
Sustiluyendo y= en (Il: La expresión |* Fl es una determinante.
2 e
x te están constituidas por las cantida,
des que están en una misma linea vertical. En el ejemplo anterior * es
la primera columna y ] la segunda columna.

Las filas escín constituidas por las cantidades que están en unt mis
tua linea horizontal. En el ejemplo dado, a d es la primera fila yc dea
segunda fila,

A Una determinante es cuadrada cuando tiene el misino número de co.
lunas que de filas, Asi, | 4] cs una déterminante cuadrada porque tie
= EJERCICIO 182 y ne ds columnas y dos filas.

Resolver los sistemas: orden de una determinante cuadrada es el múmero de elementos
¿e Su de cado fla o columns, Ast, [3 ¿| y |] | son determinuntes de segundo
2 gabe eal Flag
5 ‘ lee orden, bd

= En la determinante |X,| la tinea que une a con bes In diagonal
ae incipal y la linea que une € con d es la diagonal secunda
aa Los «sta determinante son los productos ab y cd, a cuya
| ae a equivale esta determinante,
: Ñ | ty ya

167. 334 © avctusa AEiowWcioN sor oereammanres — @ 335

03) DESARROLLO DE UNA DETERMINANTE Resolviendo. este sistema por el método general estudiado antes, 36.
DE SEGUNDO ORDEN
Una descrminante de segundo orden equivale al producto de los tür-
minos que pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los
iénminos que pertenecen a la diagonal secundaria.

sae
27 abs

mM

Vénse que ambas fracciones tienen el mismo denomi y,

mador arba—asba y esta expresión es el desarrollo de la 65
Ejemplos | dia E NA NA O

formada con los coeficientes de las incógnitas en tas ecuaciones (1) y (2).
Esta es la determinante del sistema.

a = El uumerador de x, bac, es el desarrollo de, [ah
la determinante A
que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella
(ad la columna de los coeficientes de x |” por la columna de los términos In
a %
dependientes |' de las ecuaciones (1) y (2.
a ta
El numerador de y, axes a, es el desarrollo de , | as 4
cta a |
44 -2)-11-39= que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella
la columna de los coeficientes de y, | por la columna de los términos
15) 291125) -3I=18=1 independientes | de las ecuaciones dadas.
ra Por tanto, los valores de x e y, igualdades (9) y (9), pueden escribirse:
Desarrollar las determinantes: jas ua]
$5 19 5 le ul sl
2 5 2 | | a be Le &
it.
a |; >> | 2 à Fe 4 30 Visto lo anterior, podemos decir que para resolver un sistema de dos
3 que p
> 8-1 10 h | a ecuaciones con dos incógnitas por determinantes:
x ® | > 7 | | ma | og 1) El valor de x es una fracción cuyo denominador es la determinan.
te formada con los coeficientes de x € y (determinante del sistema) y cuyo
umerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determi.
ÉD) nesoLUGION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA era 4
DOS INCOGNITAS nante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los
BE -DOS!ACUACIONES EU E términos independientes de las ecuaciones dadas.
jones 2) El valor de y es una fracción cuyo. denominado: ex ia determinan

| eeeh 10 del escena y Expo. mms ce kr débaitante que bs ODA mu

168. 336 © an

tuyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de y
por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

: stay
EI Rocas por desmiente. (1 4

2
sé A E
ka tar por domain {
mos
3 dl -mim_-w
| 4 | —s0-12 —732
a —à| a
9 8
- là ee) re a
= La ar
o
3
d pS Ta+7 = Sy 10
Osten | SET
Tinponndey rend (PI
parr
Ro y=9

resoLucion por perennes 0337
m EJERCICIO 184

Resolver. por determinantes:

RESOLUCION GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DOS

ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Si una recta pasa por un punto, tas coordenadas de este punto satis.

facen la ecuación de la recta. Así, para saber si la recta 2x 45919 pasa
Gn de la recta y tenemos;

}.
Reciprocamente, si las coordenadas de ua punto satisfacen la ecuación
a recta, dicho punto pertenece a la recta.
2 +3y=18
Br +1y=25. Resolviendo este sistema se encuentra
y=4, valores que satisfacen ambas ecuaciones.
Esta solución x=3, y=4 representa un punto del plano, el pun:
1 (8, 4)
‘Ahora bien, x 23, y= satisfacen la ecuación 2x 4 y= 18; luego, el
punto (3. 4) pertenece a la recta que representa esta ecuación, y como x= 1,
mbién la ecuación 1 punto ($, 4) pertenece
esariamente el punto (3, 4) es In intersección de

de

Sea el sistema

169. 3380 ao

Por tanto, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incôg:
pitas representa las coordenadas del punto de intersección de las dos rectas
«que representan Tas ecuaciones; luego, resolver gráficamente un sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en hallar ef punto de intersec-

ción de las dos rectas.

Les méme e sine |

Hoy que teller lo intersección de estas
clos rectos, Representeries ambos ecu:

Canes. (Fig. SSL

xky=
Say =12

En
Para

“er
y

tonomos
y=6,
nme

€
Pore

Bu Ay = 12, tenemos:

x=0,

pa

La intersección es el punto 14, 2) luego:
lo sola
p

(2) Resolver gräficomento el sireme {

Hollemos la intersecrién de astas rc:
tes. (Fig. 56),

mtersacciön es (—3, — 4)
luego lo solución del saremo es x
yea R

FEU 5

(3) Resolver gráficamente. | *— 76

mme ot
Ropresentemes omar ecvociones. fe
gere 57)

En x= 2ÿ=6 30 tena:

Los lincas son porolelos, no hoy puntos
de intersección, luego ol sstoma no le
me solución; los ecuaciones son Incom-
coibles.

a

Ba cameo | DES,
Rosienmik Sb tacos. Ii
ei

5

Vemos que ambos soclos coinciden, lie.
en infinies puntos comunes... Los dos.
ecuaciones tepresenton lo, mismo línea,
laz ecuaciones son equivalentes.

m EJERCICIO 185

Resolver gráficamente;

. Seo

Ss,
el

Sx tty=16.

mens © asie

Mallar gráficamente el par de valores tk
We los grupos de ecuaciones siguientes:

© 339

Besotucion anariea

le x ey que satisfacen cada uno

170. ren
Een: ae Benin Coe

ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO.
CON TRES O MAS INCOGNITAS

306) RESOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES

CON TRES INCOGNITAS

Para resolver un sistema de wes ecuacione con eres incógnitas se pro:
se de is mode:

1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las
hcögnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con ello se ob-
ne una ecuación con dos incógnitas,

2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de as otras dos ecua-
ones dadas y se elimina entre ellas la misina incógnita que se eliminó
intes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3) Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos in-
óguitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

4) Los valores de las incógoitas obtenidos se sustituyen en una de Jas
vaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tescera incógnita.

340

EUA CIONIS MUAULTANEAS con reas comes © 341

wm
(2)
(3)

(1) Resolver el sistema

Combinomos las ocvacionos (1) y (2) y vamos « eliminar la x. Mall
cando la ecuación (1) por 2, se tiene:
PAHO 22
== Sy #72
Restandos FEA (4
Combinamos la tercera ecucción (3) con cuolquiero de las otros dos

ciones dedos. Vomos a combinerla con (1) pora eliminar la x. Mullipl)
condo (1) por 3 tenemos:

+ ty
at By
Restendo: Va
Dividiendo entra 2: Vy 2 (5)

‘Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incégnitas que hemos obtenido
(4) y 45), y formamos un sistema:

Resolvamos este sistema, Vamos a ellminor la 2 multiplicando (4) por 2 y

45) por 5:
by +102=42
35) — We

ay
y=2
Susttyyondo y =2 on (5) se tiene:
7(2)-2=

14-2=8
2
Susituyendo y=2, += 3 en cuolquiera de los tres ecuaciones dados, por ejer.
plo en (1), se tanos
a +4(21-3=6
x+8-3=6
real
VERIFICACION:

Los valores x=1, y =2, 2=3 tienen que satisfacer las tes ecuaciones dados,
Hágaso la sustitución y se vorá quo las tres ecuaciones dadas 36 conviarlen
‘en idontidad,

171. (2) Resolver el sistema

Gé mime |

Arh 3y = 3.

51-2046 19=— Sy
80 e422
fat

A 16422
+ dy dd

Vamos © oliminar x. Combinomos (1) y (2) y multiplicames (2) por 6:

condo (2) par 3
Ptc el signo; sy

rare
SEEN

Mvhipiconde 4). por 2
e a

Sumonde.

usilayendo 2=—2 00 (5):

(5)

14)
45)

2 1-2)= 132

26) +2=132

2 =130
yes.

Sostituyondo y=5, 3 ==2 en (3)

BAS] +42

13) Resolver el sistema

EJERCICIO 186
Resolver los sistemas:

EUACIONES SIMULTANEAS COM TRES INeneNITAS — @ 343)

En olguros casos, no hay regles fijas pare resolver ol sistoma y depende de
la habilidod dol alumno encontrar el modo más expedito de vesolvetlo, ste
ojemplo puede resolverse asis

Lo ecuación (1) tiene x e y. Entonces tengo que buscor alto ecuación de
dos incognites que tenga x e y para foumer con (1) un sistema de don
‘ecvotiones que tengon ombas x 0 y.

Reuniendo (2) y (31: Re
Sumando: Kr Se (a

Ya tengo le ecuación que buscobo, Ahora, formamos un sistema con (1)
yale

Molipliconda esto dima ecuación por 2 y reslondo:

D y= 13
-2- &= 2
= y.
=

172. Somo,

13 10. [irn
ya,

1

1.

2

win sam

EMPLEO DE LAS DETERMINANTES EN LA RESOLUCION
DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES
CON TRES INCOGNITAS

(307) DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Una determinante como

aha
a
ah à |

que consta de tres filas y tres columnas, es una deten

asowueion or orenminannen 0395
($08) HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE
— DE TERCER ORDEN
El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de ha
ar el valor de una determinante de tercer orden es aplicando la Regla
de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con dos ejemplos.
1-2-8
A 21
5-1 3

1) Resolver

por la Regla de Sarrus

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filiy
horizontales y tenemos:
1-2 -3
#22 Ahora trazamos 3 diagonales de dere:
5 =1 3 cha a iequierda y 3 de izquierda a de-
1 —2 -3 recha, como se indica a continuación:
a 2 1

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada
diagonal.

Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de
izquierda a derecha se escriben con su propio signo y los productos de lo
números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el
signo cambiado, Asi, en este caso, tenemos”

Her
valor de la determinante dada.
DETALLE DE LOS PRODUCTOS
De izquierda a derech

1x2x3=06 (NXI-NRCH--12 Exf-2x
De derecha a izquierda:
(-8)x2X5=~30 cambiándole el signa +30.
1 EDX 1 cambiändole cl signo + 1.
3x(-2)x(-4)= 24 cambiándole el signo —24.
| |
2) Resolver por Sarrus | 4 1

5 8

Aplicando el procedimiento explicado, tenemos:

173. 46 ® acen
> EJERCICIO 187
Hallar el valor de las sig +
1% 1 2 2-8 2
D Sa‘ 7 jus
ai (igh al: 5 ol 7
1... 3 2 à -9
Y 3] 6/2 a «puja
1 4 5 3 2 6| 4
ha 4 1 4 5 NE! u
.|2 43 of | 8 = oc 1 2) 1 [a
1 2 4 2 2 a IR [13

»)

RESOLUCION POR DETERMINANTES DE UN SISTEMA
DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Para resolver un sistema de tes ecuaciones con tres incógnitas, por

leterminantes, se aplica la Regla de Kramer, que dice:

El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la de-
inte formada con los coelicientes de las incógnitas (determinante

el sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustitu-
endo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la

neögni

que se halla por In columna de los términos independientes de

as ecuaciones dadas,

at y+
Ejemplos (1) Resolver por deteiminantes | 24 ay
Ie ay +7

Paro hallor x, aplicando la Rogla de Kramer, tendremos:

race
Lis
A
q FED”
135
ay

Váose que la determinante dei denominador | detorminonto del sistema} est
formado con los coeficientes de los incógnitas en las ecuaciones cados.
El numerador de x sn ha fomado susituyendo on la determinonte del siste

male cime À do colinda. pr 6 an ls
Meiner opa de scies dedo
pora Ses y, econo

12)

sxsotueion von orsennmianres 6 347
El denominador es el mismo de antes, la noterminonte del sem, € nu
merador sa oblieno sustuyendo en ésta lo columna -} de los coeficientes
de y por lo columma =} de los 1érminos independientes,

Pora hallar +. tendremos:

11114
2-5)
13 410] N
a
2-3 5
a ae

El denominador slo démonté dl site nero 5 ane i
Hand ola columna. de tt costas de 2 pla colma!
de los términos independientes,

Lo solución del sistema oz

Resolver par determinantes |

Tendremos:

174. 348 © Actora

> EJERCICIO 188
Resolver por determinantes:

TA 10y+ di
0 {5x2 6r=88.
ch.
em 2 a

64376
> #9 21.
A

ets
wf A

REPRESENTACION GRAFICA DE PUNTOS
DEL ESPACIO Y PLAMOS

Gi) sis COORDINADOS un ESPACIO (ens 5

Si por un punto del espacio O trazamos tres ejes OX, OY, OZ, de
iodo que cada eje sea perpendicular a los otros dos, tenemos un sistema.
de ejes coordenados rectangulares en el espacio, Si los ejes no son per-
pendiculares entre sí, tenemos un sistema
de ejes coordenados oblicuos. El punto 0
se llama origen,

Cada dos de estos ejes determinan
un plano.

Los ejes OX y OY determinan el pla-
no XF: los ejes OY y OZ determinan el
plano YZ, y los ejes OZ y OX determinan
el plano ZX. Estos son los planos coorde-
sados,

Estos tres planos, perpendicular cada
uno de ellos a los otros dos, forman un
triedro trirrectángulo.

Cuando los ejes están dispuestos como
sc indica en la figura 59, se dice que el
triedto trirrectángulo es inverso, Si cl eje
OX ocupara la posición del eje OY y vice-

coompmanas eu en pracie © 349

versa, el triedro sería directo. Nosotros trabajaremos com el triedro
inverso.

Para que el slumno aclare los conceptos anteriores, fíjese en el ángulo
de la iquierda de su salón de clase. El suelo es el plano XY; la pared que
(st ala quiera del hurano es el plano ¥2; la pared que le queda entren
<s el plano ZX. El eje OX es la intersección de la pared de enfrente con el
Suelo; el eje OY es la interseción de la pared de la izquierda con el suelo;
él eje OZ es In intersección de la pared de la iaquierda con la pared del frente.
EI punto donde concurren los tres ejes (la esquina del suelo, a la izquierda)
cs el origen.

COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO

DEL ESPACIO

La posición de un punto del espacio queda determinada por sus coor
denadas en el espacio, que son sus distancias a los planos coordenados.

Sea el punto P (figura 60). Las coordenadas del punto P son:

1) La abscisa x, que es la distancia de P al plano
9) La ordenada y, que es la distancia de P al plano ZX.
3) La cota x, que es la distancia de P al plano XY.

El punto P dado por sus coordenadas se expresa P (x, ys 2). Asi, el
punto (2, 4, 6) es un punto del espacio tal que, para una unidad escogida
su abscisa es 2, su ordenada es 4 y su cota es 5.

(Las coordenadas de un punto del espacio en su salón de clase son
abscisa, Ja distancia del punto a la pared de la izquierda; ordenada, la di
tancia del punto a la pared de enfrente; cota, la distancia del punto al
suelo).

En la práctica, para representar un punto del espacio, se mide la abs
sobre el eje OX y se trazan lineas que representen la ordenada y la cota

En la figura 61 está representado el punto P (3, 2, 4).

var

175. 50 @ arena

2) REPRESENTACION DE UN PUNTO CUANDO UNA

O MAS COORDENADAS SON 0

Cuando una de las coordenadas es 0 y las otras dos no, el punto esta

ituado en uno de los planos coordenados. (

Si x= 0, el punto está situado en el plano YZ; en la figura, Px(0, 2, 3
Si y=0, el punto está en el plano ZX;

| el punto

está situado en el plano XY; en la figura,

x en la figura,

af
| Pad, 2, 0)
|

de los ejes
si
Six
Si

es el origen.

m EJERCICIO 189
Representar gráficamente los puntos. siguientes:

oo

u. (42.0)

12 ©. 6.0).

LLL. 4650 TA
262% Beh 5610
S42 GOD 01639

EL PLANO

Tork ecuación de primer grado con
tres variables representa un planod }

Así, toda ecuación de la forms Ax +
By-+Cz=D representa un plano. (Figu-
ra 63).

Los segmentos OA, OB y OC som las
raras del plano sobre los ejes.

En la figura la traza del plano sobre
dl eje OX es OA=a; la waza sobre el
eje OF es OB=b y la waza sobre el eje OZ
es OC=e.

Los puntos 4, B y G, donde el plano
intersects a los ejes, por ser puntos de los
ejes, tienen dos coordenadas mulas.

1). Atmos ci: oro: palio ya q
toa de care N

Figura 62).

PB, 0.3). Si

Cuando dos de las coordenadas son 0
y la otra no, el punto está situado en uno

|, y=0, el punto está situado
eu el eje OZ: en la figura, Pa(0, 0,3).
2=0, el punto está en el eje
OY: co la figura, P.£ 2, 0).
i 0, el punto está en el eje
ON; en la figura, Pas. 0. Oi.
Si las tes coordenadas son U, el punta

au emanación o, eta keane

nemcsenracion ala © 357

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA ECUACION
DE PRIMER GRADO CON TRES VARIABLES

1) Representar la ecuación dx + 3y + 22219,

Para represents gráficamente esta ecu
ción vamos a hallar las raras del plano que
vila representa sobre los ejes (Fig. 61}.
La raza sobre el eje OX se halla h
ciendo y=0,==0 en la ecuación dada, Ten
arenas!
Para y=U, 550, queda de =12e=3,
Se representa el punto (3, 0, M.

La traza sobre el eje 05 se halla ha
endo N=0. 3=0 vu la ecuación dado. Ten,

D queda = y=,
Se representa el punto (0, 4 0).
La tra sobre el eje OZ ve halla har
tienda © =, y =0 eu la ecuación dada, Ten,

Ry

9 queda = 12226.
Se represente el punto (1.0, 65.

geese da represent

nico ete si tos trés puntos que hemos hallado, obtenemos Un pd

ión gráfica de la ec

DEEE

2) Representar gráficamente Ix + by +82=20. (Figura 65),

E ee Tenemos:

Para
1=0,2=0.

Vara

Fer]

¥=0, 220, x

Punto (5, 0,0),

4. Punto (0, 4, 0),

176. 352 @ arma

> EJERCICIO 190

Representar gráficamente las ecuaciones:

0 154107690.
7, Mx t10y+52=85.
0.

4 1SehOy beet.
DEP 10. Ir 20y-h2te=120

D raso que rasa ron un punto
Si un plano pasa por un punto del espacio, las coordenadas de ese pun:
10 satisfacen la ecuacién del plano, Asi, para saber si el plano 2x+y + 3x
15 pasa por cl punto (1, 2, 3), hacemos x=1, y=2, 2=3 en la ecuación
del plano y tendremos: X) +2-+3(3)=13, 0 set, luego, el plano
pasa por el punto (1, 2, 3), o de otro modo, el punto pertenece al plano,

ÉTO) SIGNIFICACIÓN GRAFICA DE LA SOLUCION DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
[xr ye ame
Sea el sistema À 2x— y +02
La 2y 5e

Resolviéndolo se halls

Esta solución representa un punto del espacio, el punto (514.5). Abo:
ra bien: x=5, y =4, ¿=5 satisfacen las tres ecuaciones del sistema; luego,
el punto (54,5) pertenece a los tres planos que representan las ecuaciones

; Juego, el punto (245) es un punto por el que pasan los 3 planos,
o común a los 3 planos.

(61) nesOLUCION Y REPRESENTACION GIAFICA DE UN
SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS
Resolver gráficamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógni
tas es hallar el punto del espacio por el que pasan Jos tres planos.
Para ello, dados los conocimientos que posee el alumno, el procedi-
miento a seguir es el siguiente:

1) Se representan gráficamente los tres planos que representan las
tres ecuaciones del sistema, hallando. sus trazas.

2) Se traza la intersección de dos cualesquiera de ellos, que será una
linea recta, 3) Se traza la intersección del tercer plano con cı a de
los anteriores, que será otra línca recta. 4) Se busca el punto donde se
cortan las dos rectas (intersecciones) halladas y ese será el punto común à
los tres planos. Las coordenadas de este punto son Ta solución del siste

ereccion onanica m 353

Resolver grolicomente
el sistema

maya
ad yd a
CERTES

Feux

Apliquemos ol procedinien
Represontemos Bu + 2y +2

12
Para y = 0,

y=o,
El plano que representa esta ecuación os of plano ABC,
Ropresonlemos eer y hz = 8,

Y=
El plano que represento esta ecuación es el
Ropresontomos 3x + 2y + 52 = 30,
Poray

2=0,

Él plono que ropresonto esta ocuaciön as el plano GH.

Trezomos la intersección del plano ABC con el plano DEF que es la linea recta MN)
Itozamos la intorscción del plano DEF con el plano GHI que es la lines tecta AQ,
Ambos intersecciones so corlan en el punta P; el punto P partenace © los 3 plenos,

Los coordenadas de P que en la figura se vo que son x=2, y =2, 2=4 son lo
solución del sistema.

177. 354 @ arm
m EJERCICIO 191

Resolver y representar gráficamente los sistemas:

pp en] Betas
dt a. lignes 5 Eta
at, dpi 21 Diners
ses esata Shy see

a (asa ae {i Din 0 (een
Bye Ber pr?

ED nesoLucion BE UN SISTEMA BE 4 ECUACIONES

CON 4 INCOGNITAS

a
(2
3)
a
Combinando (1) y (2) climinamos la x multipicendo (1) por 2 y restando:
2 + 2y 4 22 EN

+ y de tan
LATE (0)
Combinando (1) y 13) eliminamos lo x multipicando 11) por 3 y restado:
Atyiasse m

pre A
Combinando (1) y (4) olíminamos lo x, restondo:

m

3 15)
+427 16)
4 rte m

Vamos a eliminor la z.. Combinando. 15) y 16), muliplicamos (5) por 4 y sue

(9)

ECUACIONES smuitantas com cUATHO incocrras 0 359

Reuniende (8) y 19) tenemos un sistoma de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

{ Wy+mu= 6 «8
+ =? 19)
Resolvemos este sislomo. Muliplicardo (9) por 13 y sumando:
yi2u= 6
= My + Vu = 25
=
ven

Ahora, suatitvimas u = 1 en une. ecuación de dos incógnitas, por ejemplo en (9)
y eramos:

mys
MaS

Susttuimes u= 1, y =3 on una ecuación de tres incógnitas, por ejemplo en 15) y

AN-2+61)=

ica de los ecuaciones dados, nor

Ahora, sustvimos v= 1, y
eiempio en (1) y tenemos:
eres

E

EJERCICIO 192

Resolver lus sistemas:

4 de

178. at, la iden de la Enciclopedia. Diigió dicha movi

miénto y eedactó todos los artículos sobre mat
que aparecen on la famosa Enciclopedia.
tario Perpetuo do la Academia Fr

Hiderans con Rousseau, precursor de la Revolec

emo XVI

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR ECHACIONES
SIMULTANEAS.

La diferencia de dos números es 14, y + de su suma es 13. Hallar
los números.

Sea | nimero mayor,
eel mime menor.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos el sistema:

Aduna dai
sumando:

Sustituyendo x

¡eros buscados son 39 y 19, R.

356

E

fr EJERCICIO 193
1. La diferencia de des números es 40 y 4 de su suma es Ih. Hallar los
nömeren,
2 La suma de dos mémeros cx 290 y À de su diferencia es 2. Hallar Joy
names.
3 La suma de des mimeros es 1589 y su diferencia 101. Halla tos nú

4. Un cuano de la suma de dos mimerus es 43 y un tescio de su dilerencia
es 4 Hallar los números.

5. Los 2 de la suma de dos múmeros son 74 y los À de su diferencia Y
Hallar tos numeros.

© Los à de
du

de dos números exceden
‚nos que 26. Hallar los

Bad y los E de ww

‘L Un tercio de la diferencia de dos múmeros es 11 y los + del mayor
equivalen a dos & del menor. Hallar los
3. Dividir 80 en dos partes tales que los E de la pane mayor equivalgad

a los 2 de ln menor.

9 Hallar dos números tales que 5 veces el mayor exceda a E del menut
en 292 y 5 veces el menor exceda a 4 del mayor on 66,

6 lbs. de café y 6 Ibs, de azücar costaron $2.27, y 5 Ibs. de café y 4 I
de azúcar (a los mismos precios) costaron $1.88, Hallar el precio de

Si una libra de café cuesta x, 6 tbs, costarán 6x
lib, de anitcar cuesta y. 6 Ibs. de aniiear costarán Sy,
importe de esta compra fue S227 6 BT cts. 1
5 ths, de café cuestan Dx, y 4 de anticar, dy, y como el 6x47 = NEO
importe de esta compra {ue de SE85 6 188 cts. tendrentos: 7
Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), tenemos el sistema:
\ox+sy=227, a)
y=ım @)
Wx + 25y

ec
ubremos: 7

M

y (2) por & y restand

Sustituyendo y =7 en (1) se tiene x
lil

alo amear, 7 ets. Re

179. 358 @ mamma

i EJERCICIO 194

1. 3 trajes y 3 sombrcios een 4150 soles, y: 3 trajes y 3 sombreros MU,
Hallar el precio de un traje y de an seb

2. Un hacendad 4 sata y 7 Caballos por SI y mais tarde, à los
aise pr NG $ sacs y Y caballos pur ST. Hallar ef cono
de una vaca y de un eabally

3 En un cies 10 de adulto y 9 de n BI y AT de
niño y 15 de adulto 5831. Malla o y una
de aduho.

de Si a 5 acces el mayor de dos
rom os A, y si aD vers
Ainevencia es 83. Hallar tus necios,

veces el nena, la
huile del major, la

5. kan de la cad de A namens em tor À de Im a de 1

in, y ln E de la esa de À disuinuis en los
Jen a 2 tien. Hallar ambas. edades.
GEL lobo che Ea esa

cala ele JE es 335 ato memos que 1

À de da de 8 equis:

de excede

st chi ue a, y 2 de ta
dd de À, Hallar ambos nados
edad de #

7. Casual de A-excetle en 13 años a la de 2 y ol duplo de
años a la edad de J, Hallar ambas estados

visiten tos E de la de 8 6 peste er
la esd de équivalents & dela edad de A, Mall

Dart een oe
2, y si à los dos términos se resta 1, ef valor de la fracción
eh Hallar la fracción.

Entonces

Añadiendo 1 a vada término, la fracción se convierte en
las condiciones del problema el valor de esta I

y según

ion es 45 Juego:

Restando 14 cla término, la fracción se
las condiciones, el

E, y según

or de esta fracción es di Tue

nes

sistemas

Quitando denominadores:

PROBLEMAS SOBRE cevacionss simutranias @ 359

xt
Reuniendo las ocuacio | pg
(1) y (2, tenemos el A
a=

yl
248
es
Transponiendo

ony
y reduciendo:

anny
243
Bey

Sustituyendo
+26 en (9:

Luego, la fracción es 8. Ro

EJERCICIO 195
Sia los dos érminos de una lrución se añade 1, el valor de a rel
y si a los dos ten

Hallar la fracción

Si à los dos nis de una trac se resta 3, el valor de la faci
+s À y si 1os dos términos se aumentan en 5, el valor de la Iracciön ©
Molar Ja fra

Si al mmerador de una fracción se añade 5, € valor de la tracción ea %
y si al munerador se resta 2, el valor de la fracción es 1. Hallar Ja fracción
Si el numerador de una fcacción se aumenta en 26 el valor dela tr

ción es 3, y si el denuminador se dismimmye en 4, el valor es 1. Hallar
la Tracción.

endo 3 al numerador de una fracción y restando 2 al nominal,
la Iración 30 converte en &, pero i se veta 5 al numerador y se añade
2 al denominador, la fracción equivale a 2. Hallar la fra
Mulplicando yor 3 el mumerador de una ieaccion

denominador, e valor de Y

180. 360 © mama

322) Dos mimeros están en la relación de 3 a 4, Si el menor se aumenta
en 2 y el mayor se disminuye en 9, la relación es de 4 a 8. Hallar los
nümeros,

La relación de dos números es el cociente de dividir uno
por el otro. Según las condiciones, x e y están en la relación
le 3 ad; luego,

Si ef menor se aumenta en 2, quedará x+% si el
yor se disminuye en 9, quedará y—9; la relación de

Reuniendo (1 y (2,
105 el sistemas

estos son los m

Resolviendo el sistema se halla x=18, meros

buscados. R.

EJERCICIO 196

Dos múmeros están en la relación de 4 4 6. Si el menor se aumenta en

2 y el mayor se disminuye en 6, la relación es de Ya 5, Hallar Jos números.

2. La relación de dos números es de 2 a 3, Si ol menor se aumenta en 8
y el mayor en 7, la rélacion es de a 4. Hallar los números,

3. Dos mimeros son entre si como 9 es à 10, Si el mayor se aumenta en 20
{1 Menos se disminuye cn 15, el menor será al mayor como 3 es à 7.

Haltar los números.

% Las edades de A y B están en tt relación de 5 a 7
ha

Dentro de 2 años
ción entre la edad de À y la de B será de 8 a 11. Hallar las edades
acwales.

Bo Las edades de À y A están en la relación de À à 5. Hace
ción exa de 7 a 9. Hallar las edades actuales.

% La edad actual de A guarda con la edad actual de B la relación de
8 a 3 Si la edad que À tenia hace À años se divide por Ia edad que
tendrá H dentro de 4 años, el cociente es $. Hallar las eslades aétuales.

7. Cuando empiezan a jugar A y 8, la relación de lo que tiene À y lo
que tiene 45 es de 10-2 13, Después que A le ha ganado 10 holivares a Je,
la relación entre lo que tiene ‚I y lo que le queda a À es de 12 a 11
¿Con cuánto emperó à jugar cada un?

5. Antes de una batall
dera i

us la rela:

las fuerzas de dos ejércitos estab

323 Si

PROBLEMAS SURE ECUACIONES SMULTANCAS QG)

mayor de dos m
y el residuo 9, y si 3 veces el menor se d

os se divide por el menor, el cociente € 2
vide por el mayor, el &

te es 1 y el residuo 14. Hallar los númoros.

Según lus condiciones, al dividir x entre y el co
y el residuo 9, pero si el residuo se le rest
‘he = y emtonces la división entre y.

O

Bach hlage Sr

videnda Ta división

tenemos el sistema:

es y el residuo 14, pero restando 14 del di
cane lego 2

Dividiendo 3y entre x, según las condiciones. e] ¿y
E

a

Reuniendo (1 y (2h.

Sustituyendo y=23 en (3) se obtiene x=
Los mimeros buscados son 35 y 2% Re

EJERCICIO 197

Si el mayur de dos ndmeros se divide por el mendr, et ación
el residuo 4. y 3 3 veces el menen se dido por el mayor el con
2 y el raide 10. Hallar los numevos

Si el mayor dedos men se dise por dl ajenos, cl nee 6 3.

si 10 ‘eves cl menon se divide por el major, el cocine e 8 9 el Sek
duo 19. Hallar los múmeros. E i he
Si el duplo del mayor de dos nümeros se divide por
cl cociehte gy 1. Y el sodio 3,9 3 soe el
yor, el cocieme & 5 y el residuo 1. Halle los
er 3 sat de My si a tad de de
dise fe Bek cocieme es 1 y resid 12: Hat

triple del m
mor se divido y

Seis veces el
y si la Jongi
ds à y ob residue

sala excede en 4 m a ta longitu dela: sata
tada en 3 m se divide ente el ancho, el coc
Hallar tay dimensio In sala