Algebra elemental sistema de ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES 4 METODOS

1. EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA
ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA
Clase Nº 2: SISTEMA DE ECUACIONES
Prof. Christian Farinango
www.eduvirtual.tk
14/10/2010




A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al
estudiante en el mundo de los sistemas de ecuaciones por los métodos de Eliminación,
Sustitución, Igualación y Gráfico, muy necesarios como base en el estudio del algebra. Este
documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del
mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales:

1. Método de Eliminación: Consiste en Eliminar una incógnita del sistema de ecuaciones
dado.
Ejemplo:
a) Pr o f. CP
b) fr o P. Cf
Para eliminar la incógnita “Y” debemos multiplicar a cada ecuación:
(-3) Pr o f. CP
(2) hfr o P. Cf
Quedando de la siguiente manera:
isr i t. iPs
hhhhhar o t. fa Procedemos a restar:
inrhhhhhhhhhhhhh iCn Despejamos:
X = 3
ESTE VALOR DE LA INCÓGNITA LOS REEMPLAZAMOS EN CUALQUIER ECUACIÓN Y
DESPEJAMOS:
PFgA o f. CP
b o f. CP
f. CP i b
e v
2. Método de Sustitución:
i) Despejar una incógnita en cualquier ecuación.
ii) Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación y
resolvemos.
Ejemplo:
a) Pr o f. CP
b) fr o P. Cf
Despejamos “Y” en la ecuación a) .
,cjcm
p

Sustituimos en la ecuación b) m.c.m. = 2 fr o P l
,cjcm
p
y Cf
Resolvemos: FfAdfr o P l
,cjcm
p
y Cfz

3. ar o PFCP i PrA= 24
ar o Ps i sr fa
inr fa i Ps
inr iCn
r P
Una vez encontrado el valor de una incógnita procedemos como el caso anterior a
reemplazarla en cualquier ecuación o en la ecuación despejada y resolvemos.
.
CP i gFgA
2

.
CP i b
2

.
u
2

e v
3. Método de Igualación:
i) Despejar una incógnita en las 2 ecuaciones.
ii) Igualar las dos ecuaciones despejadas y resolver.
Ejemplo:
é
vE i e ó
igE o ve ó

Despejamos: e
! vE i ó e
"=
óGgE
v

Igualamos: e
! h e
"
m.c.m. = 2 vE i ó
óGgE
v

Resolvemos: vFvE i óA ó o gE
uE i v ó o gE
uE i gE ó o v
E g
Reemplazamos para encontrar Y:he
! vE i ó
e vFgA−
e á i ó
e L

4. 4. Método Gráfico.- Graficamos cada ecuación y los puntos (X ; Y) donde se intersecan las
rectas, son las soluciones al sistema.
Ejemplo:
a) Pr o f. CP
b) fr o P. Cf
Construimos las tablas de cada ecuación:
Dando Valores de 0 para X y 0 para Y en cada Ecuación.
Ecuación a) Ecuación b)
X Y
0 4
6 0


Ejemplos de Cálculo:
Ecuación a): Ecuación b):
X = 0 X = 0
3(0)+2y=13 2(0)+3y=12
2y=13 3y=12
Y=13/2 y=12/3
Y = 6,5 y = 4
Y = 0 Y = 0
3x+2(0)=13 2x+3(0)=12
3x=13 2x = 12
X=13/3 x=12/2
X = 4,33 x = 6
Graficamos:


Solución: X=3 Y=2 Estos son los puntos donde se intersecan las ecuaciones.
X Y
0 13/2 =
6,5
13/3 =
4,33
0

5. Casos particulares:
EL SISTEMA TIENE VARIAS SOLUCIONES: Cuando las rectas de sus dos ecuaciones coinciden en
todos sus puntos. Ejemplo:
&
'
é
fr o P. t
ar o t. Cf


EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN: Cuando las rectas de las ecuaciones no se intersecan.
Ejemplo:
&
'
é
Pr i a. Cf
ar i a. fa

6. EJERCICIOS:
RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR LOS 4 MÉTODOS ESTUDIADOS:
i) v
ai l I ac
ai U l I uo

ii) v
cn ai U cn Bl I Bn /
cn c/i U cn rl I r

iii) v
cn BGi BMI cn al
cn ui I cn /Gr U lM

iv) +
ói
B
al I r

B
/i
u
+
Bl
a
= −,

v) -
i
u
−
l
B
= (
i
B
−
l
a
=

$


Referencias:
MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.
SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.
http://fooplot.com, Trazador de ecuaciones online.
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